Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа изрезанности рельефа поверхностей В

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Математика. Механика. Информатика
2013
Вып. 2 (21)
УДК 539.3; 622.831.31
Метод минимального покрытия и другие
методы фрактального анализа изрезанности
рельефа поверхностей
В. Ю. Митин
Пермский государственный национальный исследовательский университет
Россия, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15
victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
Приведены и сопоставлены различные методы оценки фрактальной размерности, подробно
описан метод минимального покрытия. Сформулированы и доказаны основные свойства индекса фрактальности и факторы, влияющие на его значение. Приведены иллюстративные
примеры. Показано, каким образом можно осуществлять фрактальный анализ поверхности с
помощью индекса фрактальности.
Ключевые слова: фракталы; метод минимального покрытия; индекс фрактальности;
фрактальная размерность; показатель Хёрста.
Фрактальная размерность множества
является мерой изрезанности фрактального
множества, это утверждение получает
наглядное подтверждение, например, при построении множеств Кантора с различными
параметрами [3].
В последнее время широкую распространённость обрело исследование последовательностей данных различной природы (рядов) фрактальными методами в физике, медицине, экономике, географии, биологии, теории информации и других областях науки.
При изучении динамики уровня воды в
водоёмах Хёрстом был обнаружен эмпирический закон: зависимость между нормированным размахом и длиной ряда в двойных логарифмических координатах близка к линейной.
Угловой коэффициент H линии регрессии для
этой зависимости называется показателем
Хёрста [4]. С его помощью обычно устанавливают такие статистические свойства временного ряда, как трендоустойчивость и детерминированность, отражающие эффекты
долговременной памяти.
Показатель Хёрста часто используется
также для оценки фрактальной размерности
временных рядов, при этом используется
формула, для одномерных рядов имеющая
D2H .
вид
(1)
1. Фрактальные множества и
фрактальная размерность 
Фракталом [1] называется множество,
для которого размерность Хаусдорфа–
Безиковича строго больше топологической
размерности.
Фрактальные объекты можно разделить
на математические (модельные) и природные.
Примерами математических фрактальных
множеств являются множества Кантора, снежинка Коха, салфетка и ковёр Серпинского,
алгебраические множества Жюлиа и Мандельброта и др.
История изучения природных фракталов началась с исследования длины береговой
линии.
При измерении длины в различных
масштабах её значение неограниченно увеличивалось, поскольку учитывались всё более
мелкие подробности береговой линии.
В монографии [2] показано, что фрактальные свойства проявляют большинство
природных объектов, описание которых
должно включать изучение структуры на различных масштабах.
© Митин В. Ю., 2013
16
Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа…
Показатель Хёрста обычно используется
для временных рядов, но в ряде публикаций
(например, [5]) он применяется при оценке
фрактальной размерности поверхности.
вариации и связанный с фрактальной размерностью соотношением
(3)
  D  1 .
Из соотношения (3) следует, что возможные
значения индекса фрактальности заключены в
отрезке [0, 1]. В методе минимального покрытия вместо симплексов правильной формы
(квадратов) используются минимальные покрытия в классе прямоугольников, основание
которых имеет постоянную длину δ.
2. Методы оценки фрактальной
размерности экспериментальных
поверхностей
Вычислительные эксперименты с различными случайными рядами показывают,
что показатель Хёрста как параметр для оценки фрактальной размерности обладает рядом
недостатков, одним из которых является зависимость от направления. Для временных рядов направление задаётся однозначно – от
прошлого к будущему. Одномерные пространственные ряды имеют два направления,
причём ни одному из них нельзя отдать предпочтения. Данная проблема особенно ярко
проявляется для случайных рядов, имеющих
различное фрактальное поведение на начальном и конечном участках.
Фрактальная размерность, в отличие от
долговременной памяти, является локальной
характеристикой ряда, т.е. не учитывает поведение ряда с самой первой точки.
Таким образом, для оценки фрактальной
размерности пространственных рядов предпочтительнее использовать методы, сущность
которых близка к классическому определению фрактальной размерности Хаусдорфа
([6]):
log N ( )
,
  0 log( 1 /  )
D  lim
3. Индекс фрактальности
Процедура вычисления индекса фрактальности состоит в следующем. Вводится
клеточное
разбиение
отрезка
 m  [a  t 0  t1  ...  t m  b] , далее строится минимальное покрытие функции в классе покрытий, состоящих из прямоугольников
с основанием   (b  a) / m , совпадающим с
отрезком [t i 1 , t i ] . Высота прямоугольника на
этом отрезке равна величине Ai ( ) (разности
между максимальным и минимальным значением функции на этом отрезке). Вводится величина
m
V f ( )   Ai ( ) ,
(4)
i 1
называемая амплитудной вариацией функции
f на отрезке [a, b], соответствующей масштабу
разбиения .
Далее необходимо выбрать аппроксимационную последовательность величин  и построить график зависимости амплитудной
вариации (4) от масштаба разбиения 
(5)
V f ( ) ~   
(2)
где N ( ) – минимальное количество шаров
радиуса  , покрывающих целиком данное
фрактальное множество.
Более того, использование формулы (1)
эффективно лишь в том случае, когда исследуемое фрактальное множество обладает достаточной степенью самоаффинности [1], что
для реальных рядов встречается весьма редко.
Если в определении (2) для одномерных
рядов или линий на плоскости заменить шары
квадратами, получится определение клеточной размерности, часто используемое для
оценки фрактальной размерности. В работе
[7] показано, что более быстрой степенью
сходимости обладает метод минимального
покрытия, в котором определяется фрактальный параметр μ, называемый "индексом фрактальности", являющийся обобщением индекса
в двойных логарифмических координатах.
Индекс фрактальности  равен угловому
коэффициенту линии регрессии, построенной по
методу наименьших квадратов для зависимости
(5) в двойных логарифмических координатах.
Обобщение метода минимального покрытия на двухмерный случай строится следующим образом. Пусть дана некоторая
функция f ( x, y ) .
Обозначим
Aij ( )  max f ( x, y)  min
xi  x  xi 1
y j  y  y j 1
xi  x xi 1
y j  y  y j 1
f ( x, y)
–
размах функции f ( x, y ) на прямоугольном
17
В. Ю. Митин
 xi  x  xi 1
, принадлежащем полy

y

y
j
j

1

3. Пусть
участке 
далее
щим образом: V f ( ) 
ij
i 1 j 1
Пусть
Доказательство. Если все достаточно
малые разбиения содержат точку b, то
асимптотическое
равенство

V f ( ) ~  , тогда индекс фрактальности 
(r  0)(  (0, r )) :
определяется как угловой коэффициент линии
регрессии
экспериментального
ряда
ln V f ( ) ~   ln  .
V[ a ,c ] ( f )  V[ a ,b ] ( f1 )  V[b,c ] ( f 2 ) ~
(1 /  ) 1  (1 /  ) 2 ~ (1 /  ) max( 1 ,2 )
В данном алгоритме рассматривается
минимальное покрытие из класса правильных
четырехугольных призм суммарного объема
W f ( ) .
Исходя
из
соотношения
3  D
, имеем V f ( ) 
W f ( )

2
~
1 D
    [ a ,c ] ( f )  max( 1 ,  2 ) .
4. Если существуют  ( f ) и  (g ) ,
( f )  (g) ,
причем
то
 ( f  g )  max(  ( f ),  ( g )) .
Доказательство. Пусть
,
Таким образом, справедливо соотношение (3).
V ( f ) ~ (1 /  )  ( f ) , V ( g ) ~ (1 /  )  ( g ) .
Тогда
4. Свойства индекса фрактальности
(  0) : V ( f  g )  V ( f )  V ( g ) .
Индекс фрактальности для бесконечных
рядов обладает следующими основными
свойствами.
1. Масштабная инвариантность, т.е. инвариантность относительно растяжений (сжатий) и сдвигов вдоль обеих осей.
Доказательство. Пусть индекс фрактальности функции f равен , т.е.
V ( f ) ~ (1/  )  ( f ) .
Тогда при любом >0:
А) V ( g  C  f )  V ( f )  V ( g ) ~ (1 /  )  ( f ) ;
Отсюда следует, что
(1 /  )  ( f  g ) ~ V ( f  g )  O[(1 /  )  ( f ) ] 
 O[(1 /  )  ( g ) ]   ( f  g )  max(  ( f ),  ( g )).
5. Факторы, влияющие на значение
индекса фрактальности случайного
ряда
Для конечных рядов многие свойства
индекса фрактальности принимают относительный характер. На индекс фрактальности
могут влиять следующие факторы.
1. Выбор последовательности аппроксимаций. Целесообразно рассматривать только покрытия прямоугольниками, у которых
основание намного меньше длины ряда.
2. Длина ряда. Чем больше длина ряда,
тем точнее оценка фрактальной размерности.
3. Конкретная выборка из генеральной
совокупности заданного распределения. Индекс фрактальности случайных рядов, получаемых на основе некоторых статистических
Б) V ( g  Cf )  CV ( f )  V ( g ) ~ (1/  )  ( f ) ;
В)
и
 f , t  [ a , b]
.
f  1
 f 2 , t  [b, c]
существует
W f ( ) ~ 
1   [ a , b ] ( f 1 )
 2   ( f 2 ) . Тогда, если все достаточно
малые разбиения содержат точку b, то
   [ a,c ] ( f )  max( 1 ,  2 ) , где
m
 A ( ) .
существуют
[ b ,c ]
ному прямоугольнику [a, b]  [c, d ] . Тогда
амплитудная вариация функции f ( x, y ) , соответствующей масштабу разбиения  на
участке [a, b]  [c, d ] , определяется следуюm
[a, c]  [a, b]  [b, c] . Пусть
V ( f (kt ))  V / k ( f (t )) ~ (k /  )  ( f )
 k  (1 /  )  ~ (1 /  )  ( f ) .
Инвариантность относительно сдвигов
вдоль оси абсцисс очевидна, так как значения
абсцисс не используются при вычислении индекса фрактальности.
2. Индекс фрактальности отрезка прямой равен нулю.
Доказательство. Пусть f – отрезок прямой. Тогда
(  0) : V ( f )  const  V ( f ) ~ (1 /  )0   ( f )  0.
18
Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа…
распределений (например, Коши, Парето,
Лапласа) принимает значимо различающиеся
значения для разных выборок.
4. Параметры, описывающие закон распределения. Например, для функции Вейерштрасса–Мандельброта W(b,D) индекс фрактальности зависит от размерностного параметра D.
5. Количество точек, по которым строится аппроксимация по методу наименьших
квадратов. Если точек брать мало, погрешность аппроксимации будет высока. С другой
стороны, если взять много точек, то в рассмотрение войдут крупные разбиения, которые дают искаженную информацию о фрактальном поведении функции.
Рассмотрим ряд иллюстративных примеров.
нусоиды, увеличивается, индекс фрактальности постепенно уменьшается. При p>5 функция является практически гладкой (см. график).
Индекс
фрактальности
Влияние длины ряда для
синусоиды
0,8
0,6
0,4
0,2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p
График зависимости индекса фрактальности от длины ряда для синусоиды
Пример 1. Определим индекс фрактальности функции y=sin(x/p) при длине ряда
n=2520p+1 для различных значений параметра p. Результаты вычислений индекса фрактальности приведены в табл. 1.
Из данного примера следует также,
что на основе индекса фрактальности нельзя
однозначно судить о типе распределения, поскольку значения  для случайных функций с
различными распределениями могут оказаться достаточно близкими.
Таблица 1
1
μ(sin(x/p)),
n=2520p+1
0,707
2
0,279
3
0,130
4
0,074
Пример 2. Вычислим значения индекса фрактальности функции Вейерштрасса–
Мандельброта (длина ряда  75601) при различных значениях параметра D, принадлежащих диапазону [1, 2], полагая, что b=D
(табл.2).
5
0,044
Таблица 2
6
0,033
D=b
 (W (b, D)
D=b
 (W (b, D))
7
0,024
1,1
0,0000
1,6
0,3876
8
0,019
1,2
0,0003
1,7
0,4501
9
0,015
1,3
0,0782
1,8
0,5193
10
0,019
1,4
0,2622
1,9
0,5346
1,5
0,3313
2
0,6268
p
Данный пример показывает относительный характер понятия гладкости функций
для конечных рядов.
Общее число полных волн синусоиды
на
выбранном
отрезке
составляет
[2520/2π]≈400. Если p=1, то на один полный
период приходится 6 или 7 точек ряда (т.е.
через каждые 3–4 точки возрастание сменяется убыванием и наоборот). Индекс фрактальности при этом близок к индексу фрактальности равномерного шума. C ростом p количество точек, приходящихся на одну волну си-
Результаты вычислений показывают
существенную зависимость индекса фрактальности
функции
Вейерштрасса–
Мандельброта от параметра D.
Пример 3. При суммировании полезного сигнала A (   0,2301 ) и случайного
шума R (   0,5773 ) с различными отношениями амплитуд были получены следующие
результаты (табл. 3).
19
В. Ю. Митин
Результаты эксперимента показывают,
что если функция обладает различным фрактальным поведением на отдельных участках,
то её индекс фрактальности зависит от соотношения длин этих участков.
Таблица 3
Функция

A+R/256
A+R/16
A+R/4
A+R/2
A+R
A+2R
A+4R
A+16R
A+256R
0,2302
0,2341
0,2571
0,3063
0,3932
0,4790
0,5322
0,5710
0,5772
6. Методика оценки фрактальной
размерности поверхности на основе
индекса фрактальности
Пусть имеется двумерный массив значений h(x,y) высоты точек некоторой поверхности. Можно вычислять значения индекса
фрактальности отдельно для строк, столбцов
и диагоналей массива, вычислять статистические показатели по полученным множествам
индексов фрактальности (среднее, максимум,
минимум, размах, дисперсия и т.д.).
Если число строк (столбцов) в массиве
невысоко, можно объединять несколько строк
(столбцов) в один большой ряд, однако при
этом возникает погрешность при переходе на
новую строку (столбец). Аналогичным образом можно поступать с диагоналями.
При небольшом количестве точек не рекомендуется добавлять новые точки искусственно, например посредством интерполяции, т.к. при этом может измениться фрактальная картина случайного ряда.
Для исследования эффектов анизотропии фрактальной размерности можно, наряду
с основными, рассматривать промежуточные
направления.
Двумерный аналог индекса фрактальности будет принимать значение из диапазона
[1,2] и связываться с фрактальной размерностью тем же соотношением (3). Это позволяет
получать оценки фрактальной размерности
для поверхности в целом.
Результаты данного эксперимента показывают, что при суммировании двух случайных
функций индекс фрактальности зависит от соотношения их амплитуд. Шумы малой амплитуды не оказывают существенного влияния на
индекс фрактальности полезного сигнала.
Пример 4. Рассмотрим функции F(t) и
G(t) с индексами фрактальности соответственно равными 0,6977 и 0,515, количество
точек данных N=2521. Зададим отображение
 : y   ( H ) , где y[1,2520], а случайная
функция H(t) имеет вид
F (t ), t  y
H (t )  
G (t ), t  y  1.
В табл. 4 содержатся значения индекса
фрактальности в зависимости от y.
Таблица 4
y
2
102
202
302
402
502
602
702
802
902
1002
1102
1202
1302
1402
1502
1602
1702
1802
1902
2002
(y)
0,6917
0,6764
0,6688
0,6584
0,6490
0,6403
0,6294
0,6153
0,6121
0,6097
0,5968
0,5862
0,5789
0,5778
0,5732
0,5628
0,5558
0,5498
0,5468
0,5414
0,5394
7. Применение предложенной методики
С помощью метода минимального покрытия и его двумерного обобщения на основе вышеописанной методики в статье [8] проведен фрактальный анализ поверхностей кристаллов соляных пород Верхнекамского месторождения калийных и калийно-магниевых
солей в нанодиапазоне. Сопоставлено фрактальное поведение качественно различных
областей соляных пород, описаны эффекты
анизотропии фрактальной размерности для
некоторых соляных пород и установлены их
причины.
20
Метод минимального покрытия и другие методы фрактального анализа…
танных поверхностей с помощью методов
фрактальных сигнатур // Журнал технической физики. 2005. Т.75, вып. 5.
6. Hausdorff F. Dimension und Ausseres Mass //
Matematishe Annalen. 1919. № 79. P. 157–179.
7. Дубовиков М.М., Крянев А.В., Старченко
Н.В. Размерность минимального покрытия и локальный анализ фрактальных
временных рядов // Вестник РУДН. 2004.
Т. 3, № 1.
8. Аптуков В.Н., Митин В.Ю. Сравнительные
характеристики изрезанности рельефа поверхности зёрен сильвина, шпатовой соли
и карналлита в нанодиапазоне // Физикотехнические проблемы разработки полезных ископаемых. 2013. №1.
Список литературы
1. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991.
2. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия
природы. М.: Ин-т компьютерных исслед.
2002.
3. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и
мультифракталы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2001.
4. Аптуков В.Н., Митин В.Ю., Скачков А.П. Исследование микрорельефа поверхности сильвина с помощью метода Хёрста // Вестник
Пермского университета: Математика. Механика. Информатика. 2010. Вып. 4. С. 30–33.
5. Потапов А.А., Булавкин В.В., Герман В.И. и
др. Исследование микрорельефа обрабо-
The method of minimal coverings and other methods
for fractal analysis of surface relief roughness
V. Yu.Mitin
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15
victormitin@ya.ru; (342) 229-15-35
Different methods of fractal dimension estimating are given and compared in the article, the minimal covering method is described in details. The basic properties of fractal index are formulated
and proved and the factors which influence its values are discussed. Some illustrative examples are
given. The way how to proceed the fractal analysis of a surface with help of fractal index is shown.
Key words: fractals; minimal covering method; fractal index; fractal dimension; Hurst exponent.
21