вся
BЬICWAR
МАТЕМАТИКА
М.Л.Краснов
А.И.Киселев
Г.И.Макаренко
Е.В.Wикин
В.И.Заляnин
С.К.Соболев
Рекомендовано
Министерством обраэования
Российской Федерации
в качестве учебника дпя студентов
вь1сших технических учебных эаведений
1�1
Эдиториал УРСС • МОСJСВЗ • 2001
ББК 22. 1я73
Краснов Михаил Леонтьевич, Киселев AJieкcaЦIQ) Иванович,
Макаренко IPнropнi Иванович, Шикни Евrеннi Викторович,
Затшин Владимир Ильич, Соболев Серrей Константивович
Вся высшая математика:
ISBN
Учебник. Т. 3. - М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 240 с.
5-8360-0153-7
а затем на французском. Он пользуется большим сnросом за рубежом.
лауреатом конкурса по со:шанию новых учебников Министерства
Предлагаемый учебник вnервые вышел в свет в вкце двухтомника сначала на английском и
испанском языках в
В 1 999 году
1990 году,
киша стала
образования России.
Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим
инженерам и экономистам) и о:хватывает пра!dически все разделы математики, но при этом представ!Uiет
собой не набор разрозненных глЭв, а единое целое.
В третий том вошел материал по некоторым, разделам математического анализа (числовые,
степенные, функциональные ряды, ряды Фурье) и обыкновенным дифференциальным ураанениям.
Директор
-
Доминго Марин Рикой
-
Заместители директора
Администратор
-
Главный редактор
-
Елена Кудряшава
Компьютерный дизайн
Верстка
Редакция
-
-
-
Василий Подобед
-
-
Обработка графики
-
-
Василий Подобед
Ирина Макеева
Техническая поддержltа
-
Лариса Кирдяшкина, Марина Косарева
Василий Подобед, Андрей Стулов
Дизайн обложки
Набор
Виктор Романов, Василий Подобед
Василий Подобед, Наталия Бекетава
Корректурные работы
Указатель
Наталья Финоrенова, Ирина Макеева
Леонкц Иосилевич
-
Наталья Ариичева
Анна Тюрина, Марина Круцко
Менеджер по продажам
-
Алексей Петяев ,
Издательство еЗдиториал УРСС•. 113208, r. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11, к. п.
Лицензия ИД N.!03216 от 10.11.2000 r. Гигиенический сертификат на выпуск книжной
продукции N.!77.ФЦ.8.953.П.270.3.99 от 30.03.99 r. Подnисано к печати 21.12.2000 r.
Формат 70х 100/16. Тираж 2500 экз. Печ. л. 15. Зак. N.! 179.
Оrпечатано в АООТ •Политех-4•. 129110, r. Москва, ул. Б. Переяславская, 46.
ISBN
ISBN
©
5-8360-0150-2 (Полное nроизведение)
5-8360-0153-7 (Том 3)
Эдиториал УРСС, 2000
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или
механические, включая фотокопирование и запись на маrиитный носитель, если на то нет письменного
разрешения И:шаrельства.
Эдиториал УРСС
научная
и
учебная литература
Тел.fфахс: 7(09S)13S-44-23
Тел./фахс: 7(09S)l35-42-46
B-mail: urssCPurss.ru
Каталог изданий в lllfmШ: http:/jurss.m
ГлаваХV/1
______________________________
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 1 . Чисповой ряд. Сумма ряда
Пусть дана бесконечная числовая последовательность
а1, а 2, ... , а",
• . •
.
ЧиСIЮвЬLМ рядом называется выражение вида
1 а1 +а2 + . . . + an + . .1
(1)
· ·
которое короче записывается так
Числа а1, а2, ... называются ч.л.енами ряда, а число an - общим (n-.м) ч.л.ено.м ряда.
Сумма Sn первых n членов ряда называется n-й частичной су.м.мой ряда
n
Sп = а1 +а2 + ... +'an =
а�:.
k=l
L
Рассмотрим последовательность {Sn} частичных сумм ряда (1)
S1 =а1,
... '
Оnредепенме. Если последовательность {Sn} имеет конечный предел,
lim Sn = S,
11->00
00
т. е. nоследовательность {811} сходится, то этот nредел называют суммой ряда L; an,
n=l
00
пишут Е an = S и говорят, что ряд сходится. Если же предел
n =l
lim 811
n-+oo
00
не существует, т. е. последовательность {811} расходится, то говорят, что ряд Е an
n=l
расходится (и суммы не имеет).
4 -----�--- fllaвaXVII. Чмсл6вwе piiAW
3aмe'lllиe
ll . Символ
00
Е а..
n=l
принято испольэова'IЪ для обозна"'енюt юuс самого ряда, так и
Примерw.
1. Покажем, что ряд
ero суммы.
сходится.
.. Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда
Исnользуя очевидное равенсnю
1
4n2 - 1
nреобразуем сумму s.. :
1
l
l
1
. . + 4n2 1.
+.
s.. = 3 + 15 + 5
3
= (2n
1
1)
(
2n + l)
1
(
8• = N + 3-5 + s:7 + ... + (2n-1)2
( n + 1)
1
1
1
�(l- .1- ) + ! ( ! !)+ ! ( !_ 7)
=2
) (
(
1
l
_
! + ... + ! ____
22n-l 2n+I
_
23 5
25
переходя к преде.nу при n -+ оо, получим
3
)
1' - 1
= 21 2n 1 2n + 1 '
1
S=
1 = l I:
)
! t --1 2 2n+I .
�s.. = 2·
..
В силу определения данный ряд сходится, и его сумма
00
� 4n2
2.
1
2·.,.
Рассмотрим ряд, сосrавленный из 'UIIIНOВ rеометричес�t:ой nрогрессии со знаменатеJ18м
00
a+aq+al+...
.. Сумма
первых n членов этого
ряда
+aq"-1+... = I:aq"-1•
n=l
раена1>
s.. =a+aq+aq2 +... +aq
Если 11JI < 1 , то J!.� q" = О, и nоэтому
n-1
(
- aq" = а
aq" q 1.
= а-1-�-q · ::/=
- q --- q -.-
S = n-+oo
fun
1 q
lim
n-+oo "
т. е. данный ряд сходится и его сумма
Если IIJI > · 1, то
-­
а
n1
�
L...., OIJ - =
n=l
,.1!,� q" = оо и, значит, J� S,.
а
-l - q.
= оо, т. е. ряд расходится.
Sn = ·S"+aq" - aq" а+ (oq+aq2 + ... +aqn-! +aq") - aq"' =
= (а- aq)
" + q(a+ aq +... +aq"-2 + oq"-1) o(l - q") + qS,..
t) Напомним, юuс nолучить сумму геометрической nрогрессии:
Рассматривая начало и конец цеnочки юuс уравнение относительно S.,., получаем искомое:
S,. = a(1l -- q")
q .
q (q ::/= 0),
§2. Простеiwме дeiiC1:III над pwдaмll --�----- 5
При q = - 1 получим расходящийся ряд
а-а+а-а+ . . . .
Его n-я частичная сумма равна
если n нечвтно,
S,. =
если n четно,
откуда видно, что ..� S,. не существует.
При 1J = 1 получим ряд
для которого
{�;
S,. = na и, следовательно, J� S,. = J� na = оо, т. е. этот ряд расходится.
Итак, ряд
a+aq+aq2 + . . . +aq"-1 + . . .
сходится при lql < 1 , причем его сумма равна l�q, и расходится при lql � 1 . .,.
§ 2 . П ростейш ие действия над рядами
Над числовыми рядами можно совершать некоторые действия, допустимость которых
обосновывается следуЮщими теоремами.
Теорема 1 . Если ряд
00
z:
(1)
ап
n=l
сходится, то сходится и ряд, палученный из него изменением (в частности, отбрасывани­
ем) любого конечного числа член0t1. Обратно, из сходимости ряда, полученного из ряда (1)
изменением (в частности, отбрасыванием) конечного числа членов, вытекает сходимость
ряда (1).
а1 + а2 + ... + an + . . . =
� Для простотъ1 рассмотрим случай, когда изменяются первые k членов ряда (1).
Обозначим через Sn n-ю частичную сумму нового ряда
(4)
Разность
Sn - Sn = §. - S"
при n > k постоянна (не зависит от n) . Тем самым, последовательность Sn и Sn
сходятся или расходятся одновременно и, значит, из сходимости ряда (1) следует
сходимость ряда (2 ). Верно и обратное, из сходимости ряда (2) следует сходимость
ряда (1) .....
Теорема 2. Пусть имеется сходящийся ряд
а1 + а2 + . . . + an + . . . =
00
L an
n=l
и некоторое число >. 1- О. Тогда ряд
Лаt + Ла2 + . . . + Лаn + . . . =
00
L Лаn
n=l
------
будет сходящимся, причем
00
.
г� ют.��
00
'Е .\an = .\ L: an .
n=l
n=l
.,.. Составим n-e частичные суммы рядов
Очевидно, что
предел
-
Sn = >.Sn .
Так
как
00
00
Е an и Е .\an. Имеем
n=l
n=l
по условию ряд
00
Е an сходится, т. е.
n=l
lim Sn, то в силу последнего равенства существует предел n�oo
lim Sn, причем
п�оо
lim Sn = n-+oo
lim .\Sn = .\ п-оо
lim Sn,
n-+oo
00
или
'Е >.а
n=l
,.
=Л
00
L
n=l
An· •
Т�маЭ.llусть ряды
n=l
сходятся. Тогда их сумма и разность, т. е. ряды
00
L:<an + Ьп)
n=l
будут сходиться, причем
00
n=l
и
00
00
'E<an ± Ьп) = L: an ± L: Ь,..
n=l
n=l
n=l
<11
-
существует
Пусть
S,. = а 1 + а2 + · ·· + an,
Sn = Ьt + � + . · . + Ьп,
Un = (а, + ь,) + (а2 + �) + ...
n-e частичные суммы соответственно рядов
00
00
+ (ап + Ьп)
L: Ьп, 2)an + Ьn)·
n=l
n=l
Очевидно, что
§2. Пpocтeilwlleдeic:'rlll над p!IДIIIII ------ 1
Так как по условию ряды
00
00
lim Sn
L: а,. и L: Ьn сходятся, т. е. существуют пределы n-+oo
n=l
n=l
n-+oo Sn, то из последнего равенства, справедливогодля всех n, следует существование
предела lim O'n, причем
n-+OO
lim O'n = lim (S n+ Sn) = lim Sn+ lim Sn,
n-+oo
n-+oo
n-+oo
n�oo
и lim
что равносильно равенству
00
00
00
L:(an+ Ьn) = L: а,.+ L Ьn .
n=l
n=l
n=l
Аналогично доказывается сходимость ряда L: (а,. - Ьn)
n=l
00
Введем понятие остатка ряда.
•
Опредеяение. Если в сходящемся ряде
а1 + а2+ . . . + а,.+ a,.+l+ а,.+2 +
00
· ·
·
отбросить первые n членов, то получим сходящийся ряд
a,.+l + an+2 + . + a,.+k +
.
·
..,.
= L а,.
n=l
· · · ,
который называют n-.м ocmam/W.М данного ряда и обозначают
В.. =
00
kL
=n+J
ak
(здесь n фиксировано) . Тогда исходный ряд можно записать в виде
00
Если
00
S - сумма ряда L: а,., то остаток ряда В.. = S- Sn для любого n = 1, 2, .. .
n=J
Пример.
n-м остатком
являетеs� ряд
ряда
.R."
= fllln + fllln+1 + ...
который сходитеs� при lql < 1 .
+ flllnH-1 + . . .
=
00
I: fll/.lнn-1,
k=l
8 ------ Гпава XVII. ЧIICII-p!IДW
§ 3 . Критерий Кош и сходимости ряда
Из критерия Коши для сходимости последовательности вытекает самый общий кри­
терий сходимости числового ряда.
00
Теорема 4 (критерий Коwи). Для того чтобы числоt�ой ряд :Е а11 сходился, необходимо и
n=l
такой, что при
достаточно, чтобы для любого числае > О существоt�ал номер =
любом n > неравенство
N
N N(e)
.
lan+ llп+t+ . . + an+pl <е
выполНЯ!lось для всех р = О, 1, 2, .. . .
(l)
00
Используя частичные суммы Sn+p и Sn-l рассматриваемого ряда :Е an , неравенn=l
ство ( 1) можно записать в виде
/ ISn+p- Sn-tl < e.j
Из критерия Коши вытекает необходимый признак сходимости числового ряда.
Теорема 5. Если ряд
сходится, то
Iim
= о.
n-+oo ап
-.. Полатая р = О в теореме 4, получим неравенство
которое выnолняется для всех n
означает, что
l aпl < е,
>
N(e).
В силу произвольности числа
lim an = О. ...
П-->00
ClltДCJIII.I8 Если lim
11-->00
расходится.
an
отличен от нуля или не существует, то ряд
00
е
> О это
§ 3. l(pитepllii Коши CXOДIIМOC1II р1Д8 ----- 9
Прммер 1. Числовой ряд
расходится, так как
11"
L:cos00
lim
n-+oo
Пример 2. Ряд
n=l
11"
а,. = n-+oo
lim cos - = cosO
n
1
n
# О.
00
-l + . . . = 'E(-l)n+l
1+1
n=l
расходится, так как
а,. lim
аlim
-+оо = n-+oo
не существует.
(-l)n+1
Замечаиие
. . Теорема 5 дает необходимое условие сходимосm ряда, но00оно не ЯВ!IЯется достаточным, т. е.
условие 'А-+00
lim а;. = О может В:ЬШОJIИJI'l'ЬСЯ и для расходящеrося ряда Е а,..
n=l
Пример 3. Рассмотрим числовой ряд
001
1
1 1
1+ - + -3+ ... +- + . .. = 'Е -.
п
п
2
n=l
который называется rармоннчесrнм рядом. Дnя гармонического ряда выпопнено необходимое условие
сходимости, так как
lim а,.= lim - = 0.
n-00
А-+00 R
1
покажем, что этот ряд расходится. ПОJJОЖИМ р = 11. Тогда
=
+
+
.
+
+
.
а,. a,.+t а,.+2 .
а2,.
l
l
1
1
1
l
1
1
1
1
--+ -- +... + - > --+ --+ ... + - >
+
+ ... + - =
= -+
2n
2n
11 n +1 n + 2
n+ . n+2
n +n
n+n
2n
1 1
1
1 1
+ +. +
=
"' п = 2·
2n
2n
.. 2n
2
Паnученное неравенство выnолняется для любого как уrодно бonьworo n. Отсюда спедует, что для
е� и р = n неравенство (1) не выnолняется. Тем самым, в сипу критерия Коши гармоннческий ряд
расходится.
Восnользовавшись критерием Коши,
--
--
�
8аное замечание.
В известном смысле ряд ЯВ!IЯCrcst обобщением конечной суммы. Однако в отличие
последней, спаrаемые в которой можно совершенно проиэВОJIЬНо rрупnировать и переставтrrь
местами, O'Г'lero сумма, как известно, не меняется, действия с членами проиэвольноrо ряда нужно
nроводить осмотрительно - nоследствия могут быть не всеrда предскаэуемыми.
Если в расходящемся ряде
1
-1+1
-1
+1-1+...
(не выполнен необходИМЫЙ признак сходИмости) попарно сrруппировать соседние rрупnы
1
}+ ... '
)+ 1
( -1
( -1
)+ 1
( -1
от
ТО ПолучИТСЯ СХОДЯЩИЙСJI ряд
0 + 0 + 0 +....
1 l l
1
1
+
+
+...
2 3-4 5-6
(см. пример иэ § 8) можно переставить так, что он будет СходИТЬСЯ к любому числу и до:е расходитьс.11.
В частности, ряд
Члены сходящеrося ряда
полученный перестановкой ero членов, сходител х nолусумме исходного (nример из § 9). То, что в этих
оримерах члены ряда имеют разные знаки, существенно.
·
10 ------ Гда�� XVII. Ч11с11сSв1о1е р1А1о1
§ 4. Признак сравне ния
дпя рядов с положительн ыми членами
Приведем признаки, дающие возможность установить сходимость или расходимость
некоторых числовых рядов путем сравнения их с другими рядами, сходимость или
расходимость которых известна заранее.
Теорема 6 (nрнзнак с:р8118111). Пусть даны два ряда
00
а1 + а2 + ... + ар + ... = L: ар,
n=l
( l)
00
(2)
Ьt + Ь2 + ... + Ьп + . . . = L: Ьп,
n=l
rt��ены которЬIХ t1n и Ьп положительны. Если для всех намеров n 8ЬI1IOJIНRemcя неравенсm6о
(3)
tln � Ьп,
00
00
то иэ сходимости ряда :Е Ьп следует сходи.мост ь ряда Е t1n, а иэ расходи.мости ряда
n=l
n=l
00
00
:Е ар следует расходимость ряда :Е Ьп.
n=l
n=l
<ill
Составим частичные суммы рядов ( l) и (2)
Sn = at + а2 + . . . + an , Sn = Ь1 + � + . . . + Ьп.
Из условия (3) теоремы следует, что Sn � Sn для всех n = l, 2, . . . .
l) Предположим, что ряд (2) сходится, т. е . существует предел ero n-x частичных
сумм
Так как все члены данНЬIХ рядов положительны, то
0< Sn < s,
откуда в силу неравенства (3) следует, что
О < Sn < S
для n = 1, 2, ....
Таким образом, все частичные суммы Sn ряда ( l) ограничены и возрастают при возра­
ста��и и n, так как an > О. Следовательно, nоследовательность частичных сумм {Sn}
является сходящейся, что означает сходимость ряда Е ар. При этом при переходе
00
n=l
к пределу в неравенстве О � Sn � S при n оо, получим, что
o�s � s,
т. е. сумма S ряда (I) не превосходит суммы S сходящегося ряда (2).
2) Пусть ряд Е ар расходится. Так как все an > О, то последовательность Sn
n=l
возрастает и, следовательно,
-
00
.
lim S =
n->oo n +оо
14. Пр113Н81С cpaiiiiiU АН р11ДС111 С I\OJIOJIIIТeAIIIolll 'lllltlaМII ------- 1 1
В силунеравенства
Sn � Sn ( n = 1, 2 , . .. ) получим
lim Sn = +оо,
n-oo
00
т. е . ряд Е Ьп рас ходится . ..,..
n=l
31118'1111t. Теорема 6 остается справедливой и в случае, хоrда неравенство а,. � Ь,. WПOJIНJieтcя не длJ1
всех n, а начиная лишь с некотороrо номера k, т. е. длJ1 всех n ;;::: k, так :к.а:кизменение конечною числа
членов ряда не нарушает ero сходимости.
1'1р1м1ры. Исспедоеать на
сходимость спедующме ряды:
""
1
2" +v'i'
:;
1.
.. имеем
2R + v'i �
1
Т ак как чи� ряд
1
2"
.
(3)
()
()
1 "
дпя n=O,l, 2, ....
= i
""
:;
2
l "
сходитеR, то no nризнаку сравнениst исходный ряд (3) также сходится. •
n=2lпn
f:-•.
2.
.. Из
ряд
неравенства 1п n
расходитеR (как и ряд
< n сnедует
Е
-2 *
""
1
неравенство ь;;
f!
( 4)
1
> ; дпя n = 2, 3 ,
..",, n
), то no nриэнаку сравнения исходный ряд (
• . .
•
Так
n.-... 3. Исследовать на сходимость ряд
.Л > О.
.. Испоnьзуя неравенство sin ж �
дпя n =
1, 2,
f(•-cos ; )
-·
2
( 11' ) 11'2
.
сnрааедnивое дпя всех
:
Так как ряд
z
;:;::
"" l
Е 4"
n:l
сходится, то по признаку сравнения (здесь
,.2
.Л = т) сходится и данный ряд (5) . \111'
�. Если сущестqует конечный отличный от нуля предел
lim
п-.оо
апЬ
0
= L,
О <L<
\111'
� .ль.. ( n=1,2,... ) ,
(5)
.
О, наiiдем, что
1
11'
1r
2sin2 -- �2 -- = -·0<1-cos·
2
2" =
2·2"....
2
2 "
4"
.
. . •
z,
гармоничес:жиt\
4) таJОКе расходится .
3atll'l.lllt Теорема 6остается справедливой и вслучаебодееобщеrо неравепетва а,.
rде
как
+оо,
то ряды ( l ) и (2) сходятся ши рас:ходятсяодн011р еменно.
12 ------- rмuюm.��
� Из существования указанного выше nредела :вытекает, что для любого числа е > О,
найдется номер N такой, что для :всех n > N будет выnолняться неравенство
или
L- е <
IJn
Ьп
< L+е.
Оrсюда
(L-e)Ьn < an < (L+e)Ьn,
Если ряд (2) сходится, то сходится и ряд
n > N.
00
::l:(L+e)Ьn.
n=l
Но так как
< (L +е)Ьп, n > N,
то в силутеоремы 6 будет сходиться и ряд (1) . Если :ж.е ряд (2) расходится, то расходится
,
и ряд
1Jn
n=l
считаем
столь
малым,
что
(е
L-е> 0).
Таккак
(L- е)Ьn < tJn
то по теореме 6 ряд ( l) расходится . ..,.
для всех
n > N,
Замечаиие. Условие леммы равносип.ьно тому, что последовательности а" и Lb,. nри О < L < +оо
эК!Iивалентны
lim � = 1 .
или, что то же
.....". ьь..
В случае L = О из сходимости ряда (2) JIЬIТeiQleт сходимость ряда ( l). Обратное неверно.
В случае L = +оо мз расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Обратное неверно.
Прммеры. ИССS\9Д0113ть на сходимооть С11&Д}'10ЩИе числовые ряды:
. 1r
r.
"'-' sm -.
1.
00 1
Е-n ·
"""'
<11 Сравним этот ряд с rармоничеасим рядоМ
Имеем
(L
2.
n
-•
=
а"
lim n-+oo Ъn
=
sin !
sin !
lim --!.!.. = lim 1r .::тnn......oo !
n...:..oo
"
..
= 11:
:;. О
:11' ). Так как гармонический ряд расходится, то расходится и данный РЯА- •
""
1
Е�
-n ·
п=l
os. n,__дauu6epa
_______
'"11 ВОзьмем дnя сравнения схОД!Iщийся ps\A
Тоrм
(L = 1), так как
2"-"11
• -11m
lim а"
п.-.оо
......"" ь,.
""(!) ..
Е
D=\
_1_
=
1
21'
2
.
2
lim -•-oo 2" - n
"
..� 2iO
n
.
=
О
.
==
1
.
lim -;--т
,....""1-2"
==
1a
l #о
.
§ 5. Призн ак Дапамбера
Теорема 7 (прмэнак Даnамбера). Пусть дан ряд :Е o.n. где все
00
предел
n=l
.
1Ш1
n-+
\
+l
lln
--=л
а,.
> О. Если существует
,
то при О � .Л < . 1 ряд сходится. а при Л > 1 рядрасходится.
oo
1.
.-. Пусть существует nредел
lffi
n-oo
а11
ilп+l
\
-- =л
,
rде О � Л < l. Возъмем q такое, что Л <q < l . Тогда для любого числа & > О , напри­
мер, для е = q - Л, найдется номер N такой, что для всех n � N будет выnолняться
неравенство
а11
-- -л< q-.л,
В частности, будем иметь
llп+l
а,.
или
.
llп+l
- <q'
.
4n
откуда а11+1 < Unq для всех n � N. Из этого неравенства, nридавая
значения N, N + 1 , N + 2, . . , nолучим
.
«N+t < анq,
«нн <«н+Iq < ан
t/ ,
3
ан+з <«н+2q < aнtJ. ,
Члены ряда
ан+1 +«нн+ ан+з + ...
не nревосходят соответствующих членов ряда
2
3
анq+ ан q + анq + ... ,
n nоследовательно
14 ------- rmna�.��
который сходится как ряд, составленный из членов геометрической прогреесии со
знаменателем q, О < q < 1. По признаку сравнения ряд
a
N+I
+ ан+2 + ан+з + . . .
сходится, а значит, сходится и исходный ряд
В случае .Л
00
Е а".
n=l
> 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство
Следовательно,
a
H+I
>
ан
lim
n-..оо
an
l,
или
ан+l >ан
> О.
00
.
'# О, и ряд ·2: a
n расходится, так как не выполнен необходиn=t
мый признак сходимости. •
38111'181.1118 Если
или не сущесrвует, ro nризнак ДaJwdiepa оrвета о сходимости или расходимости ряда не дает.
lim tln+l = 1
'
10-tOO tJ"
11рммерм. ИсследоваlЪ на сходимость сnеду10ЩИ& ряды:
t.
� Дт1 данного ряда имеем
Тогда
""
n
"
L:,.
n.
n=l
� Имеем
Jim
n-oo
Данный ряд ра сходится. 81>
а,.н
а"
""
lim (n +
..... 00
1)". n!
n! n"
lim
n-oo
(1 .!.)
+
n
"
= е > 1.
§ 6. Признак Коши
Теорема 8 (11рИ3И81 Коши). ПустЬ дан ряд
00
n,
La
· n=l
Если существует конечный предел
t1n
lim
>О, n = l, 2, ....
�=..\,
то 1) при О � ..\ < 1 ряд сходится; 2) при .Л > 1 ряд расходится.
n-+oo
(l)
.\ §6•. Приан.Коw11 _______ 15
<4
1) Пусть Л < 1. Возьмем число q такое, что Л < q < 1. Так как существует nредел
lim �= Л,
·
Л < q, то, начиная с некоторого номера N, будет выnолняться неравенство
� < q. В самом деле, из предельного равенства вытекает, что для любого Е, в том
числе и для Е = q- Л, найдется такой номер N, начиная с которого будет выполняться
п-оо
где
IJ'(i; - Лl < Е = q - л,
неравенство
откуда
..;а;;- Л < q - Л или, что то же,
va;; < q.
Оrсюда получаем
а,.<
q
11
для
n ? N.
Таким образом, все члены ряда, начиная с ан н, меньше соответствующих членов
00
8
сходящеrося ряда L:; q • По признаку сравнения ряд
n=l
сходится, а значит сходится и ряд ( 1 )
2) Пусть Л > 1 Тогда, наЧиная с некоrорого номера N для всех n > N, будет
выполняться неравенство � > 1, или
n=N+I
.
..
> 1.
an
Следовательно,
lim
an
п-оо
и ряд ( 1) расходится. ..,.
#-О
1, ro рц ( l) может как сходитЬСа, так и расходитЬСЯ.
Исследова
Прммерw.
ть на сходимость сnедующ ие psw.�:
Эаме•••· Если Л =
];; In"(n
""
1.
41 Имеем
1"
1) ·
2
� = ln(n+
2"
а,. = ln"(
n
+
+ l)'
1) ;
,.1m ---- :::: О < 1.
уа., = ,._..,
liт ,.,;;,. _..,
Ряд сходится. ...
2.
1
а,.=2
"
Ряд расходится. .,.
1
Lп
2
00
•=1
(• -1 )
+
n
"2
n
1 ( 1+n)
2
"2
)
(l+-1
n
'
1
)"
1
lim era;= n.�oo
lim -2 1 + - = - >
а�оо
2
n
(
е
1.
.
16 -------'- Гnава ХVП. ЧIICJIOIIWe piДW
§ 7. Интегральный признак сходимости ряда
Теорема 9 (интеrра.nьныii nризнак схОАИМООТИ). Пусть функция /(ж) определена, непрерывна,
положительна и не возрастает н.а луче ж � 1 . Тогда:
00
l) числовой ряд Е /(n) сходится, если сходится несобетвенный интеграл
n=J
+оо
f f(ж) аж;
( 1)
1
00
2) ряд Е ·1 (n) расходится, если расходится несобетвенный интеграл ( l).
n'=l
<111
Вооьмем наrрафикефункции f(:х:)точабсциссами
ж1 = 1, :X:z= 2, жз = 3, ... , Жn = n
ки с
*
и построим две стуnенчатые фиrуры, со­
стоящие из выстуnающих и входящих
прямоугольников так, как показано на
рис. 1 . Площадь Q криволинейной тра­
пеции, ограниченной прямыми ж = 1,
ж= n, у= О и кривой у= /(ж) равна
n
Q = f(ж)dж.
1
00
Рис.l
J
Возьмем n-ючастичнуюсумму ряда Е f(n):
n=l
S n = /(1) /(2)+ /(3) + ...
Тоrда площадь q + выступающей фиrуры будет равна
+
+ /(n).
Q+ = /(1 ) + /(2) + /(3) + ... + f(n- 1)= Sn-1·
а площадь Q_ входящей фиrуры равна
q_= /(2) + /(З) + ... + f(n)= S,.- /(1).
Из построения и свойствфункции /(ж) следует, что q_ < Q < Q+, т. е.
n
S,.
/(1) <
J f(ж)dж < Sn-1·
1
ТаккакS,._1 < S,. (в силуусловия f(n) >О), то
n
Sп -/(1) < /(ж)dж < 811;
J
J
n = 1, 2, ....
(2)
О 7. ИнтеrрапlоНwА 11р1131111 сходмм0С111 рtД8 ------- 17
1) Пусть интеграл ( 1) сходится.
Тогда существует предел
1 f(a:) da: = А,
n
lim
1
n-+oo
таккак
1
n
/(а:) da: � А =
1
+оо
1 f(x) da:
1
(в силу условия /(ж) >О для ж Е [1, +оо)), то из неравенства (2) следует, что
n
Sn < /(1) + /(z) da: � /(1) +А= М ::::: const,
1l
для n ::::: 1, 2, . . . . Тем самым, последовательность {Sn} ограничена,
Sn
т. е. О
и при возрастании n сумма Sn воЗрастает, таккак f(n) > О для n = 1, 2, . . . . Поэтому
она имеет предел
<М
<
что означает сходимость р яда
lim S
n-+oo n
00
==
S,
'Е f(n) .
n=l
2) Пустьинтеграл (1) расходится. Таккак по условию f(a:) >О для а:� 1, то
n
+оо
f(ж) dz = lim
f(ж) da: = +оо.
1
1
Из неравенства
Sn �
следует, что
1
n-+oo
l
J f(a:) da:,
n
n = 1, 2, ...
,
1
lim S = +оо,
n-+oo n
00
т. е. ряд 2: f(n) расходится. �
n=l
Пример 1. Исспедова1Ь на сходимость ряд
• Здесь
f(n) = ;!,
.
Известно, что несобетвенный мнтеrрал
+оо
1
1
dж
:z;P
сходится при р > 1 и расходится при р � 1 . Следовательно, данный ряд сходится при р > 1 и
расходится при р � 1 . В частности, при р 1 nолучим г армонический ряд
1
l
"" 1
-l
1 + 2 + -з + . .. +- + . . . 2: - . ..,.
=
n
=
n=l
n
1•
-------
Пример 2.
Исспедовать
на
сходимость ряд
• В данном случае фyнКI.\IUI
/
+оо
1
dz
zZ + l
т. е. интеrрал
сходится, а
= ь-..�оо
/11
f(z) = *'
и
ь
dz
= �""arctgzll = �(arotgЬ- arotg
+
z2
1
1
+оо
значит,
""
1
1
11"
=
4'
11'
n
n2 + 1'
• Так как общиА чпен данного ряда имеет вид
Несобсrвн
ен ый интеrрал
lim
=
w
.
:Е
n=l
.
= 2- 4
dz
J
сходится и ряд. ..,.
ь zdz
zdz
li m
f -z2+ 1 = h+oo
+1
j -z2-
1)
J z2+ l
11р11м1р З. Исследовать на сходимость ряд
+оо
r��.��
Ь-++оо
/(n) =
kt, то выбираем функцию f(z) =
1 ]
[1
ь
1
lim - ln(Ь2+ l)- - ln 2 = +оо
-2 ln(z2+ 1)11 = ь-+оо
2
2
.
расходится. сn&дОВ8тельно, ряд тоже р8СХОДИТСЯ• .".
3амечанме. Ни:1кний предел интеrрированиJI в несобетвенном и нтеrрале
+оо
j J(z)dz
1
можно взять проиэво.rrьным, наnример, равным а, rде а
11р11м1р 4. �сспедовать сходимость ряда
• Так как общий
чпен
то в качестве функции
];
ряда
/(z)
возьмем
/(z) =
Тогда
+oo
j (z4
00
dz
2) in 2(z - 2)
1
jь (z -
lim
_
-
Ь-++оо
4
о
[
Так как несобсrвенный интеграл
ТО
СХОДИТСЯ И ИСХОДНЫЙ ряд...
1
-любое число.
.
l
2)
2
ln2(n(n
)
(z- 2) ln2(z- 2)'
lim = Ь-++о
СХОДИТСЯ,
;;,:
·
где
d..."z-:- ---:2) 1n2(z 2)
___
1
ln(z- 2)
]lь
---
1
z;;,: 4'
_ lim
-
h+oo
[1
lim = Ь-++оо
ln 2
/ d(ln(z
6
4
2)]
in2 (z- 2)
_
-
1 ]. 1
ln(Ь- 2)
=
ln 2''
;f.;:r.
07. Иlf1'8I'PIIIIIIIIIIIiinp11311a& СХ0Д11М0С111 Plдll
В случае сходимости ряда
IX!,
-------
19
2: /(n) метод, примененный при доказательстве инте­
n=l
грального признака сходимости, позволяет получить оценку погрешности, возникающей при замене суммы ряда частичной суммой.
Пусть функция f(ж) удовлетворяет условиям теоремы 9, ряд
00
Lf(n)
n=t
сходитс.я и его суМма равна S. Можно показать, что в этом случае будет сходиться и
несобетвенный интеграл
+«>
1
f(ж)dж.
1
Пользуясь неравенством
J:
J
/(k) �
/(ж) dz,
J:-1
оценим остаток R,. заданного ряда. Имеем
Rn = S- Sп =
со
L
,'
Jr
j
оо
f(k) �
L
j
+оо
/(ж)dж.
f(ж)аж =
11
J:=n+IJ:-I
J:=n+l
Итак,
1
+оо
·.
0< Rn �
f(ж)dж.
S сходящеrося ряда
+оо
Е /(n) его n-й частичной суммой S,н не иревосходит интеграла J /(ж) dж
-1
n
Таким образОм, погрешностъ, получаемая при замене суммы
оо
••
11рммер 5. Установить сходиLЮС�Ъ ряда
со
n
� (n2+ 1)2
и оценить nоrрешность nри замене его суммы S частичной суммой Ss .
.. Здесь
f(z)
1
+ 1)
Ь-о +оо
+
1
:z:
(z2 + 1)2;
+оо�=!im Ъ ll:th =
��оо[J (z2 2 j
=
1
2(z2 + 1)
]\:
В силу интегрального nризнака ряд сходится. Обозначим сумму этого ряда через S и будем считать,
что S � Ss . Тогда
2
3
4
5
1
s � Ss 4
+
+ 676 0,25 + 0,08 + 0,03 + 0,013841 + 0,007396 0,381237.
+
25 100 289
Оценим nогрешность Rs. Имеем
=+
Rs �
+ oo
J (:�:2
:td:z:
s
+ 1)2
=
=
1
=
l =
+oo
2(z 2 + 1) s
1
52
�
0,01 9231. _.,
.
20 --------�. Г11• xw. Чмс.nовwе р11ДЫ
1
замечанме. Обозпачеяне
2(:�:2 + 1 )
100
5
1
1
-- = -.
2 Ь-++оо :t2 + 1 52
- Hm
Пример 6.. Оценить n-й остаток сходящегоеs� ряд а
где р >
00
1
Е
n=l nl''
1.
..е Имеем
§ 8. Знакочередующиес1 рgды. Признак Лей бница
Оnредепен��е. Числовой ряд
а1 - а2 + аз
.
-'
... + (- l)n-1 «n + . . . ,
где все числа an положительны, наэьmается знакочередующимся.
Прнмер. Ряд
яiiЛЯется знакочередующимся, а ряд
знакочередующимся не является.
Для знакочередующихся рядов имеет место следующий признак сходимости, ко­
Торый носит название признака Лейбницо..
Теорема 10 (nрмзнак Лейбница). Пусть в знакоч.ередующе.мся ряде
а1 - а2 + аэ -
числовая последовательность {ап} убывает, а1 > а2 > а3 > . . . и lim an =О. Тогда
n-+oo
этот ряд сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена:
О< S :s; а 1 •
· . .
§8. ЗнакочередJIОIЦМ8Сt! р!!ДW. ПрИ3Нак Леilбница ------ 21
.,.
Возьмем четJiую частичную сумму S2n этого ряда и запишем ее в вцде
(at-а2) + (аз-а4) + . . + (a2n-t -a2n).
Из условия теоремы следует, что разности в скобках положительны и, значит, S2n > О,
причем с возрастанием n частичная сумма S2n возрастает. Эrу сумму можно записать
и так:
S2n = а1-(а2 -аз) - (�- as) -(a2n-2-a2n-t) -a2n ·
Здесь каждая скобка положительна, откуда следует, что
S2n
=
.
.
· .
S2n < at (n = 1 , 2, ... ).
Итак, последовательность {S2n} монотонно возрастает и ограничена. Следовательно,
она имеет предел
lim S = S,
n-+oo 2n
причем О< S � а1•
Для нечетной частичной суммы S2n+t будем иметь
S2мt
По доказанному
=
(n = 1, 2, ... ) .
S2n + a2n+t
lim
= S,
n-+oo S2n
а по условию теоремы
lim
l
n-+oo a2n+
=О
.
Поэтому существует предел
lim S2n+l = nlim S2n + nlim a2n+l = S.
-+oo
....oo
Таким образом, доказано, что
lim
= S,
n--+oo Sn
т.�- данный ряд сходится. Из неравенства О < S � а1 следует, в частности, положи­
тельность суммы ряда. .,..
R--f-00
3аМ1'18Ние. Теорема остается справедливой в части сходимости, если условие монотонности последо­
вательности {а,.} будет выполняться для всех номеров n, начиная с нехотороrономера
N.
Прнмер. Знакочередующийся ряд
сходится, так как
l
l
l
(-l)R-]
n+···
•-2+3-4+··· +-.
l
llПl - = о.
в-оо
n
Теорема 10 позволяет оценить n-й остаток
Rn = ±(an+l -an+2 + ... )
рассматриваемого ряда, который также является знакочередующимся рядом. По аб­
солютной величине остаток будет не больше абсолютной величины первого своего
члена, IRnl � an+t· Так как Rn = S-Sn, то
I IS-Snl � an+l• 1
22 ------ rnнa,xvН. ЧttcaoaweptДW
т. е. абсолютная nогрешность, nолучающаяся nри замене суммы знакочередующеrося
ряда его n-й частичной суммой, не иревосходит абсолютной величины nервого из
отброшенных членов ряда ( lln+ 1 ) .
Прммер.
Вычисnить nриближенно сумму ряда
(-l)n-l
1
1
1
- + - - --; + · · +
-- + .
2,. 3,. 4.
n.,
·
.. ,
оrраничивwись четырьмя чnенами, и оценить поrреwность.
1
.. Сходимость ряда очевидна. Положим приближенно
8 � s.4
Тогда
=
l 1
1--+2 6
1
24
- - =
о,625
.
18- 841 � Si = 120•
1
Абсолютная поrреwностъ не nревосходит
1�
�
1
0,0083. •
§ 9. Знакопеременны е ряды.
Абсолютно и условно сходвщиеся ряды
Числовой ряд
n=l
членами коТорого яwшются действительные числа любого знака, называется знакопе­
ременнWtl. Знакоnеременными рядами будуr, наnример, ряды
l+cosl+cos2+... +cosn+...
1 l 1 1 1
l-2-3+4-5-6+...
,
(nлюс, два минуса, nлюс, два минуса и т. д. ).
Наряду со знакоnеременным рядом
а, +а2 + ...
рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов, т. е.
la1l +la2l +...
и докажем следующую теорему.
Теорема 11. Если сходится ряд
00
2: la,.l,
то сходится и ряд
n=l
00
,
§ 9. Знакопеременные р!IДЫ. Абсолютно и условно сходищиеся ряды
------
-lanl � an � lanl получаем
О � an + lanl � 2lanl для n == 1, 2, . ..
·�Из двойного неравенства
Пустьряд
00
сходится. Тогда ряд
n=l
также будет сходиться, а по nризнаку сравнения будет сходящимся и ряд
00
Но ряд
I)an + !апl).
n=l
00
2: an естьразностьдвух сходящихся рядов
n=l
00
00
00
n=l
n=l
:2)an + !anl) - 2: lanl = Е an,
n=l
поэтому он также будет сходящимся.
..,.
Сnедствие. Если ряд
сходится, то справедливо неравенство
00
00
а L !ап!·
IL:
n=\ пl � n=\
� Для любого натурального числа
Переходя
или
к
k
k
an l � 2: laпl ,
12:
n=l
n=l
k
т. е.
k имеет место неравенство
k
k
n=l
n=l
- Е lan l � Е an ::;; Е !anl·
n=l
nределу nри
k -+ оо, nолучим
00
00
n=l
n=l
-Е laпl � 2:
00
ап
00
::;;
00
2::: !а"''
n=l
an j � L: lanl·..,.
IE
n=l
n=l
23
24
Гпава xvtl. ЧМС1101Ые piAIII
.
------
При исследовании ряда
00
L lanl
n=l
на сходимость можно применять все достаточные nризнаки сходимости, установленные для знакоположителъных
рядов.
о
щ
rо
во
,
о
д
сти ряда
ду
я
Пример 1. Ряд
00
2:;1a,.l
л
с
ет
,
т.
.
с
Зlмечанке
. Из
в
R=l
я
каза
l
l 1
в
-2+3-4+···
оби
те
с Лейбница, но ряд, составnенный
с
сходится
ло
признаку
мз
абсолютных
величин
его
членов,
х
1 ре l 1
м
1а
а
+2+3+4+
.. .
да
а
- это гармонический
ряд, 1С0Т0рЫЙ расходится.
ет
и
нн
н
ходимости ряда
1
х
л
д числовой ряд
Оnредеnемие.
Знакопеременный
м
о
м
и
шь д
е
е
е
е
L:an
n=l
о
о
называется
абсолютно
сходящимся, если сходится ряд
е е е
р
п р
м
00
о
с
тато
ч
о
00
нн ю ряд .
L:la nl.
n=l
Ряд
00
L:an
n=l
называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд
о
н
е
о
у
е
о
о
сл
ди
ост
и
знак
­
00
расходится.
Пример 2. ЧисловоА ряд
1
1
1
-22-32+42- . . .
(мюс, два минуса, мюс, два минуса и т. д.) явпяется абсолютно сходящимся, так как ряд, составnенны�
из абсолютных величин его членов,
1
1
l
l p )2 41 + ... '
+
+ +
сходится. Ряд из примера 1 является условно сходящимся.
1
Отметим следующие свойства абсолютносходящихся и условно сходящихся рядов.
Теорема 12. Абсолютно сходящийся ряд при любой перестановке его членов остается
абсолютно сходящимся, и его сумма не изменяется.
§ 9. Знакопеременные р!IДЫ. АбсоniОТНо м усповио CXOДIIЦII8CI р!IДЫ
------
25
Эамечанме. Утверждение теоремы справедлRво для любоrо сходящеrося знакопостоянноrо ряда.
Условно сходящиеся ряды этим свойством не обладают.
Теорема 13. Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число А,
можно так переставить члены этого ряда, что преобразованный ряд будет иметь своей
суммой число А.
Более того, члены условно сходящеrося ряда можно переставить так, что получен­
ный после перестаковки ряд будет расходящимсЯ.
Пример. Рассмотрим условно сходящиАся ряд
1 1
1 1 1
1 -2+ 3-4
+5-6
+· ··'
сумму которого обозначим через 8. Переставим члены ряда так, чтобы за каждым nоложительным
членом следовали два очередных отрицательных. Тогда nолучим ряд
1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 -4 + 3 - 6 8+ 5 - 1 - 1 +....
2
0
-
-
� 8. Рассмотрим nодпоследовательность его частич­
Покажем, что он сходится и его сумма равна
ных сумм Sз�t:
Sз ==1-
i � i � i i) '
-
== -
(
== 1
-
(1 1 1 ) - (1 1
- 1( 1 1 ) 1( 1 1 1 )
+234
86==8з + 36
- 8
=212
==8з + 6-8 ) =8э
- +3-4 '
-
-
-
-
( 1 1 1 ) - ( 1 1 ) - 1( 1 1 ) 1( 1 1 1 1 1 )
= 86+25-6 ==21 2
= +
'
- +34
- +56
1 о -12 86 1 0- 12
89==86 + 5-
Нетрудно убедиться в том, что она сходится к
� 8. д из того, что
1
8�+1 = 8з�r 4А: 2
_
и
-
8зн2
==
-
8з�r -
1
1
4А:-2 - 4А:
--
-
nолучаем, что J.!.m, 8n сущесr&ует и он равен 8
2 .
Таким образом, nри указанной nерестановке членов ряда мы nолучили сходящийся ряд, сумма
которого в два раза меньше суммы исходного ряда.
-
1
,
Упражнения
Найдите сумму Sn nервых nчленов ряда и докажите его сходимость, используя определение
СХОДИМОСТИ ряда:
00
в. Е
n=l
1
n<n-1>.
00
7. "
L.."
n=l
1
9n2 -Зn- 2
•
в.
00 2"+1
Е3" ·
=O
ro
9
·
00
�
2n+1
n2(n+ 1) 2'
a ______ r.. xw.
Чllclroiwe Р1дW
ИсполJ>3Уя признаки сравнения. а таюке необходимый nризнах, исследуйте на сходимость
следующие ряды:
"" sin2an
"" 1
2n+1
'n'
11.
10.
12. L � (а ;i: О).
.
•
1
•
,.�1 n+
fl=\
""'' v
f
14. f
n=l
L:
e-sm;.
О(>
1
2"+cos2 n •
15. "'
""
18. L In(I + 2-").
19.
n=l
�
�
""
16.
1(
sin
2
Ё
(tn=l
cos
:)
3
17.
.
1(
L:tz n-.
""
n=З
Гn.
яд :
Полъзуясь nризнаком Даламбера, исследуйте на сходимость следующ ие р ы
оо
оо
оо 11з
114
оо n"
2..
22. Е�·
21. Е -2-.
23. Е 1
20. Е3".
n=l +
n=l n +n
n=l n
n=l
-
оо
24. L
111
оо
26. Еn tg
1f
""
25. L n3 sin 3,..
112 '2,..
n=l
•
n=l
n=l
1r
2,.+1.
27.
оо а "
•
Е "
n=l n
С ПОМ ОЩЬЮ признака Коши ИССЛедуйте СХОДИМОСТЬ СЛедуюЩИХ рядов:
"" (-)"2
28. Е
""''
n
n+1
.
"" (
29. Е ,...1
n
2n+ 1
) ".
зо.
32. Е2-"(�) .
00 8"+2
з1. Еsп·
R=l
00
(О< а# 1).
1
Earetg-.
n
'
оо
""'
,.2
n
,.,.,
Применяя интегральный признах, исследуйте на сходИмость с ле дующие ряд ы:
оо
00 l
1
1
n
00
-r.== ·
зs. Е2 sш -.
зе.
n
n
1
+
n
nvlnn
v'n!+'Т'
n=2
n=l
n=J
34. I:
�
37 L.. ne-�
38'
2 .
•
""''
��
L..
n=l
n2 + 1
L:
� -139.
•
L..
n=l
2
rvn
-.rn.
Комбинируя различные признаки, исследуйте на сходимость следующие ряды:
2
1
1
n +n+ 1
40.
42.
41.
.
.
.
� (Зn+ 2) Jn2 n
tJ n4 +n+ 1
� (n2 +1) lri n
43.
�
�
00
4
Е, 1,.1(мl).
44. L
n
�
Уrаааи.ие Воспользуйтесь неравенством 1n(l + ж) � ж, -1
2 •
.
2
n=2 2" + n ln n
оо
·
. -.
-245. L sin n
+1
n=l
оо
1(
< z < +оо.
Исследуйте на сходимость и абсолютную сходимост ь следующие ряды:
оо
оо
оо ( l)n+l
11
( l)n+l
47. Е---.
48. Е---.
46.
2"
n=l Vn
n=2 ln 1n n
n=l
00
- "-13"
00 (-1)"+1n
( 1)
• Е
49 Е
• ""'' (2n - t)"
50 ..� 6n s ·
L:<-t>"-1-.
-
·
1.
а,.= ;:;:т· 2 • а,.= 2"·
8.8,.
з
..
"
..
4 а,.= iii+i
.. · 5 • а,.: �
а,.: cos ii·
а! · 8. s,. = ;:;:т· 7 s,. = з;;+Т·
[
(2
"+1
n2+2n
] . 9.8,.= (•нi)1.10.Расходится.11.Расходится.12.Сходится.13.Сходится.
6 1- 3)
..�
"1
•
•
.
•
14. Расходится. 15. СХодится. 16. Сходится. 17. Расходится. 18. Сходится. 19. Расходится.
20. СХодится. 21. Расходится. 22. Сходится. 23. Расходится. 24. Расходится. 25. СХодится.
09. Энаrоаеременные pt!Дiol. Абссm101110 и ус1101110 сход11щ111а pt!Дiol ------ 21
26. СХодится:. 27. Сходится.
32. Расходиrся. 33. СХодиrся.
38. Сходится:. 39. СХодится.
44. Сходится:. 45. Сходиrся.
28. Сходится:. 29. СХодится. 30. Сходится. 31. Расходится.
34. Расходится. 35. Сходится. 36. Расходится. 37. Сходится.
40. Сходится. 41. СХодится. 42. СХодится.· 43. Расходится.
46. Абсолютно сходиrся:. 47. Условно сходится. 48. Условно
сходится:.49.�носходитси.50.Расходится:.51.Расходится.
ГлаваХVИ/
_____________________________
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
§ 1. Область сходимости
ФункционШlьнымрядом называется ряд
00
!t(ж) +/2(ж) +. . . +/.,.(ж)+... = L: f.,.(z),
п=l
(1)
членами которого являются функuии /.,.(z) , n = l , 2, . .. , определенные на некотором
множестве Е числовой оси. Например, члены ряда
1 +z+ж2 +...
определены на интервале -оо < z < +оо, а члены ряда
1 + a.rcsin ж + arcsin2 z +. ..
определены на отрезке -1 � ж � 1 .
Функциональный ряд {1) называется сходящимся 8 точке z0 Е Е, если сходятся
00
числовой ряд 2: fn(z0). Если ряд (1) сходится в каждой точке ж множества
' D �Е
n=l
и расходятся в каждой точке, множеству D не принадлежащей, то говорят, что ряд
сходится на множестве D, и называют D областью сходимости ряда.
Ряд (1) называется абсолютно сходящимся на множестве D, если на этом множестве
СХОдИТСЯ ряд
00
1/п(z) l•
2:
n=!
В случае сходимости ряда ( l) на множестве D его сумма Sбудет являться функцией,
определенной на D,
S=S(x), xED.
Область сходямости некоторых функuиональных рядов можно найти с помощью
известных достаточных признаков, усТановленных для рядов с положительными чле­
нами, например, признаКа Даламбера, признака Коши.
Пример 1. Найти область сходимости ряда
00
1
J�Z·
L
=l n
n
О 1. Облаmсходимости ------ 29
..,. Так как числовой ряд
00
1
� nl'
сходится nри р > 1 и расходится nри р � 1, то, полагая р = lg z, nолучим данныii ряд которыii будет
сходиться nри lgz > l, т.е. если :r: > 10, и расходиться при lgz � 1 , т. е. nри О< z � 1 0. Таким
образом, областью сходимости ряда является луч
10< z < +оо. .,.
Прммер 2.
Наiiти область сходимости ряда
,
00
L:;( l)"-1 ne""'.
n=l ..,. Рассмотрим ряд
00
00
L:l(-l)n-1 ne"'"l = L: nenz.
n=l
n=l
Члены этого ряда положительны nри всех значениях z. Применим к нему признак Даламбера. Имеем
n l
'"
. (n + 1) e< + )z = lim
. (n + 1) е = еz .
.Л = lirn
п�оо
fl-+00
n
nenz
При е" < l, т. е. при z < О, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданныii ряд сходится абсо­
лютно на интервале -оо< z<О.
При z > О ряд расходится, так как А = е" > 1 . Расходимость ряда при z = О очевидна. .,.
Прммер
3. Найти область сходимости ряда
..,. Члены данного ряда определены и неnрерывны на множестве -оо < ж < +оо. Применяя признак
Коши, найдем
n
n"
.Л
lirn ..
= lim
+оо
n-+eo
(l+ ж 2)" а-оо 1 + ж2
для любого ж Е (-оо, +оо) . Следовательно, ряд расходИ'ТСЯ при всех значениях ж .,.
==
--
=
•
Обозначим через Sn(x) n-ю частичную сумму функционального ряда (1). Если
этот ряд сходится на множестве D и его сумма равна S(x), то ее можно nредставить
в виде
S(x) = Sn(x) + Rn(x),
1
1
где Rn(x) есть сумма сходящегося на множестве D ряда
!n+t (x) + ln+2(x) + . . . =
00
L:
lc=n+l
/�с(х),
который называется n-м остатком функционального ряда ( 1). Для всех значений
х Е D имеет место соотношение
lim Sn(x) = S(x),
R-+00
и поэтому
lim
R-+00
Rn(x)
= lim [Sn(x)R-tOO
()()
S(x)] = О,
т. е. остаток Rn(x) сходящегося ряда 'Е /n(x) стремится к нулю при n-+ оо, каково
n=l
бы ни было х Е D.
30
----
§ 2 . Равномерная сходимость
Гдata XYIII. �IIHiole PIIAW
Среди всех сходящихся функциональных рядов важную роль играют так называемые
равномерно сходящиеся ряды.
Пусть дан сходящийся на множестве D функциональный ряд
00
L f,.(ж),
сумма которого равна
В(ж) .
n-=1
Возьмем его n-ю частичную сумму
S,.(ж) =
Оnредепенме. Функциональный ряд
n
L f�с(ж).
1:=1
00
L f,. (ж)
n==l
называется paвnOJrtepнo cxoiJJlЩUAfcя на множестве
найдется число N
О такое, что неравенство
>
n � D. если для любого числа е
>О
IS(ж) - S,.(ж)l = IR,.(ж)l < е
будет выполняться для всех номеров n > N и для всех ж из множества n.
Эамечан118. Здесь число N яаляется ОдНИМ и тем же д.ля всех :а: Е fi, т. е . не зависит or :а: , однако зависит
от
выбора числа Е, так что nишут
N = N(E).
Равномерную сходимость функционального
множестве
n часто обозначают так:
OQ
L f,.(ж) =t S(ж)
n=l
Определение равномерной сходимости ряда
писать короче с помощью логических символов:
00
(L
fп (ж)
n=l
=t
ряда
OQ
Е fn(ж)
n=l
к функции
S(ж)
на
на Sl .
00
Е f,. (ж) на множестве О можно зa­
n=J
S(ж) на О) {:}
{:}
(V е > О 3N(e) Е N :
\f n
> N(e) \f ж Е О => !Sп(ж) - S(ж)l < е).
Поясним геометрически смысл равномерной сходимости функционального ряда.
Ь} и построим rрафики функций 11 =
Возьмем в качестве множества О отреэок
у=
Неравенство
11 =
11 =
выnолняющееся для номеров n > N и для всех Е
Ь] , можно записать в сш::дующем
виде
S(ж) - е,
S (;) + е (е > О),
[а,
Sn(ж).
ж [а,
S(ж) - е < Sn(ж) < S(ж)+ е.
S(ж) ,
IS(ж) - Sn (ж)l < е,
§2. Равномерни сходммость
9
-------
о
11
Рис
.1
ь
31
J:
Полученные неравенства по:казывают, что графики всех функций у = Sn(z) с но­
мерами n > N бу,цут·целиком заКJiючены внуrри Е -nолосы, ограниченной кривыми
у = S (z) - Е и у = S (z) + Е (рис. l).
Пример 1 . Показать,
что функциональный ряд
(- 1 )"-1
n=l � +n
Е
00
равномерно сходиТСй на отрезке (- 1, 1] .
-4 Данный ряд является энакочередуJОщимся, удовлетворяет условиям признака Лейбница при всяком
z Е \-1, 1] и, следовательно, сходиl'Сй на отрезке (-1, 1). Пусть S(z) - его сумма, а S,.(z) - его n-11
чаС111ч1 ная сумма. ОстаТIЖ ряда
R,.(z) = (-1)" (�
l - z +n+2 + ···)
1-z +n+ l - �
по абсолютной величине не превосходит абсолютной величины своеrо первого члена:
IR,.(z) l � v'J - ж21+ n + 1 ,
1
а посколысу Ji. �
< ,.- , то IS(z) - S,.(z)l < n.!. дnя всех z Е (-1, Jj и для всех n = 1, 2, . . . .
1-z +IHI
Возьмем любое е > О. Тогда неравенство IS(z) - S,.(x ) l < е будет выnолняться, если � < е.
Отсюда находим, что n > � . Если
число
взять
N = [�J + I
(здесь через [а] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее а), то неравенсrво IS(z) ­
S,.(x)l
< t будет выполняться для всех номеров n > N и для всех z Е /- 1 , 1). Это означает, что
данный ряд равномерно сходиl'Сй на отрезке \-1, 1) . .,.
Замечание. Не всякий сходищийся на мно::к� D функциональный ряд является равномерно сходя­
щимся на D .
Пример 2. Покажем,
что ряд
00
1 + (z - 1) + (х1 - z) + (z3 - z2) + ... = 1 + L(z"
- z"-1)
n=l
сходиl'Сй на отрезке О � z � 1 , но
равномерно.
-4 Вычислим n·ю чаС111ч1 ную сумму S,.(z) ряда . Имеем
если О � z< 1,
S,.(ж) = { ж1,", есл
и z = 1.
не
32 -------,....-- Глава XVUI. �ьиwе ряды
Откуда
{
если О � х < 1,
lim S,. (x) = . Оl,, если
ж = l.
данный ряд сходится на отрезке [О, 1] и его сумма
ли О � х < 1 ,
S(ж) = 1, если ж = l.
ес
Абсолютная величина разиости S(a:) - S,.(ж) (остатка ряда) равна
l1f»'' 0 х < 1 •
I S(ж) - S,.(a:) l =:: о , nри
ж - 1.
Возьмем число е такое, что О < е < 1 . Пусть
I S(z) - S,.(z)l � х11 < е.
Разреwим нерааеиство О < х" < е относительио n. Имеем n ln z < ln е, откуда
n-+00
{ О,
{ :.�:'\
n>
'§..
ln t
ж
(так как О < :с < l , то ln x < О, и nри делении на Jnx знак неравеиства меняется на обратный).
Неравенство IS(ж) S,.(z)l < е будет выполняться при
[ ln e )
n > N(e, z) =
+1
ln z
.
Но
N(e, z) -> +оо при ж --+ 1 О.
Поэтому такого не зависящего от ж числа N(e), чтобы нерааенство
I S(z) - S.. (ж)l � х" < е
выnолнялось для каждого n > N(e) сразу ДJ1Я всех х из отрезка О � х � J , не существует.
Если же заменить отрезок О � х � 1 меньwим отрезком О � х � 1 - 6, где О < 6 < l , то на
последнем данный ряд будет сходиться к фунщии S(z) О равномерно. В самом деле,
ln& s:: �
ln x "' ln(l - 6)
nри О � х � 1 - 6, и nоэтому
IS(x) S,.(x)l = х" < е nри n >
ln���6)
сразу для всех :с Е [О, 1 - 6] . .,..
§ 3. Признак Вейерштрасса
Достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда дается теоре­
мой Вейерштрас са.
Теорема 1 (f1Р113НВХ Вейершrрасса). Пусть для всех ж из множества О Чllены функционалыюго
ряда
(1)
n=l
по абсолютной величине не превосходят соотеетстеующих Ч/lен08 сходящегося числоеого
ряда
00
(2)
с положительнЬI.Мu Чllенами, т. е.
(3)
1/n (z) l � lLц, n = 1 , 2 , . . . ,
для всех z Е О. Тогда функциональный ряд (I) на множестве О сходится абсолютно и
равномерно.
оз. Прмзиак 8eiepwrpacCa ------ 33
<1111
Так как по условию теоремы члены ряда (1) удовлетворяют условию (3) на всем
00
множестве П , то по признаку сравнения ряд L 1/n(z) / сходится при любом z Е П, и,
n=l
следовательно, ряд (1) сходится на n абсолютно.
Докажем равномерную сходимость ряда (1). Пусть
00
00
L:/n(z) = S (z),
L: an = и.
n=l
n=l
Обозначим через Sn(z) и иn частичные суммы рядов (1) и (2) соответственно. Имеем
/S(z) - Sn(z)l = 1/n+l (z) + fn+2(z) + . / �
� lfn+l (z)/+ /Jn+2(z)/+ • · � an+ l + an-2 + · · · < и - иn
для всех z Е П.
Возъмем любое (сколь угодно малое) число Е > О. Тогда из сходимости числового
ряда (2) следует существование номера N = N(E) такого, что и - иn < Е и, следова­
тельно, I S(z) - Sn(z)l < Е для всех номеров n > N(E) и для всех z Е П , т. е. ряд ( 1)
сходится равномерно на множестве n . ...
·
·
·
Замечание. Числовой ряд (2) часто называютмажорирующим, И11И мажоранmнЬIАI, для функциональною
ряда (1).
Пример
<0111
1. Исследовать на равномерную сходимость ряд
cos nz
n=l n2 .
f:
Неравенство
выполняется для всех n
=
1 � 1 = \cosnz\
�
__!_
n2
n2
n2
1 , 2, . . и для всех z Е ( -оо, +оо) . Числовой ряд
00 1
L
n=l n2
.
�
сходится. В силу признака Вейерштрасса рассматриваемый функциональный
и равномерно на всей оси. •
Пример 2.
<0111
Исследовать на равномерную сходимость ряд
00
:; n2
sin nz
+ (4 _ z2)n/2
ряд
·
Члены ряда определены и непрерывны на отрезке (-2, 2]. Так как
(4 - ж2)n/2 (V4 - z2)" � О
=
на отрезке (-2, 2] для любого натурального n , то
1
sin nж
1
1 sin nzl
n2 + (4 z2)n/2
n2 + (4 z2)71/2 � n2 + (4 z2)n/2 n2
Таким образом, неравенство
1
выnо.nняется
для n
=
_
1 , 2,
• . .
1=
1
_
���:
_
1
�
n2 +
2)•/2 � 2
и для всех ж Е (-2, 2) . Так как числовой ряд
00 1
L n2
n=l
·
сходится абсолютно
34
------
сходится,
ГIIIIIII XYIJI. Фунtщион....Н.., рtДW
то no nризнаку Вейерштрасса исходный фукtЩИональный ряд сходится абсол101'Но и раrто­
мерно на отрезке (-2, 2}.
Земечанме. Функn.иональный рц ( 1 ) может сходи'l'СS! равномерно на мио::кесrве n в в том случае,
коrда не существует числового маж:орантноrо рца (2), т. е. признак Вейерштрасса
дОСiаТОчным признаком для равномерной сходимости, но не II'ВJIII'eтcи необходимым.
Прммер. Как быrю ооказано выше (nример 1 в § 2), ряд
IIВJllleтcИ
лишь
t
1
(- l )":ж2
a=l n + v't о
ра\IНОМеi)Н сходится на оrреэке (-1, l j . ОднаiСо дJ1Я неrо мажорантноrо сходящегос�� чисnового ряда (2)
не существует. 8 самом мле, дJ1Я всех ttatyp811bltblX n м Д11Я воех :е € [-1, 1) выnо11НЯ8ТС11 нера118НСТ10
1 (-l)A-1 1
!
n + � � n·
-1 и z == 1 . Позтому члены искомого мажорантного ряда (2)
nричем равенсrво достигается nри z =
неnременно должны удоелетворsпь усАО8И10
;; � а,.,
l
00
00
L: n
..=1
расходится. Значит, будет расходип.ся и ряд Е
n=l
1
а,..
§ 4 . Свойства равн омерно сходящихся
функцион альных рядов
Равномерно сходящиеся функциональные ряды об.ладаюr рядом важных свойств.
Теорема 2. Если все члены ряда
n=l
равномерно сходящегося на отре31€е [а, Ь], умножить на одну и ту же функцию g(z),
ограниченную на (а, Ь], то полученный функциональный ряд
00
'Е g(z)f,.(x)
будет равномерно сходиться на [а, Ь].
41
n=l
00
Пусть на отрезке (а, Ь] ряд 2:::: f,.(x) равщ�мерно сходится к функции S(z) , а функn=l
ция g(x) оrраничена, т. е. существует постоянная С > О такая, что
lo(x)l � С Vz Е (а, Ь).
По определению равномерной сходимости ряда для любого числа е > О существует
номер N такой, что для всех n > N и для всех х Е [а, Ь) будетвыполняться неравенство
IS,.(x) - S(x)j
<
е
С'
§4. Cloi1cпa p8IIIOII8piiO cxoдa'IIII"Ct фун!сцt1оиаnыно pi!ДOI ------- 35
Sn(ж) - частичная сумма рассматриваемого ряда. Поэтому будем иметь
ln(ж)Sn(ж) - g(ж)S(ж)l = ln(ж)I !Sn(ж) - S(ж) l < С · СЕ = Е
для n > N и для любого ж Е [а, Ь] , т. е. ряд
L n(ж)fn(ж)
n=l
равномерно сходится на [а, Ь] к функции g(ж)S(ж) . ..,.
Теорема 3. Пусть все члены Jп (ж) фуНiщионального ряда
fn(ж)
L
n=l
непрерывны и ряд сходится равномерно на отреже [а, Ь]. Тогда суАIМО S(ж) ряда непре­
где
00
00
рывна на этом отрезке.
� Возъмем на отрезке [а, Ь] две произволъные точки
и
Так как данный
ряд сходится на отрезке [а, Ь] равномерно, то для любого числа Е > О найдется номер
N = N(E) такой, что для всех n > N будут выполняться неравенства
Е
< 3'
(1)
Е
< 3'
ж ж + дж.
IS(ж) - Sn(ж)l
IS(ж + дж) - Sn(Ж + дж)l
где Sn (ж) - частичные суммы ряда .Е fп(ж) . Эти частичные суммы Sn(ж) непрерывны
n=l
на отрезке [а, Ь) как суммы конечного числа непрерывных на [а, Ь) функций fn(ж).
Поэтому для фиксированного номера
> N(E) и взятого числа Е найдется число
для приращения дж , удовлетворяющего условию lджl < 6,
6 = 6(Е) > О такое,
00
что
no
будет иметь место неравенство
( 2)
I S110(ж + дж) - S110(ж)l < j.
Приращение дS суммы S(ж) можно представить в следующем виде:
дS = S(ж + дж) - S(ж) =
= [S(ж + дж) - Sn0(ж + дж)] + [S110(ж + Аж) - S110(ж)] + [Sn0(ж) - S(ж)] ,
откуда
lдSI � IS(ж + дж) - S110(ж + дж)! + 1Sn0(ж + дж) - Sn0(ж)l + IS(ж) - Sn0(ж)l.
Учитывая неравенства ( l) и (2) , для приращений дж , удовлетворяющих условию
lджl < 6, получим
lдS I < 3Е + 3Е 3Е = Е.
Эго означает,
lim дS = О, т. е. сумма S(ж) непрерывна в точке ж . Так как ж
6z-+O
является произвольной точкой отрезка [а, Ь) , то S(ж) непрерывна на [а, Ь] .
что
+
..,.
38 ---- Г11811 XYIII. � Pf!Aiol
3амечание. Функциональный р!Щ
<Х>
члены которого неnрерывны на отрезке
иметь суммой разрывную фуmсщпо.
L J,. (z),
n=l
но
(а, Ь],
который СХОдитсJI на (а, Ь] неравномерно, мШ�rеТ
Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд
на отрезке {О,
1).
(1
z) + z2 (1 - z) + . . . + z"-1{1 - z) + · · ·
z) + z(l
Вычислим ero n-ю частичную сумму
s.. {z)
Поэтому
= (1
z) + z(l - z) + z2 (l - z) + . . . + z..-1 ( 1 - z) =
1 - ж,.
= (l - z)(1 + :t: + z2 + . . . + z"-1) = ( 1 - :е) -- = 1 - z... L-z
дnя О � z < 1,
Д/111 Z = 1,
lirn SR(х) = 01
А-+00
т. е. сумма ряда
{
S(z) =
дnя О �
{ О1
z: < 1,
для z = 1.
Она разрывна на отрез ке (О, 1 ) , хотя члены ряда неnрерывны на нем. В силу доказа нной теоремы
данный ряд не ЯВJI!IeТC!I равномерно сходящимся на отрезке (О, 1].
11рммер 2. Рассмотрим ряд
Как было nоказано
<Х> 1
=·
]; n
выше, этот ряд сходится при z 1 .
равномерно по nризнаку Вейершrрасса, так как
1
>
Дnя
z � 1 + а , ГIJI!J а > О, ряд бyfJI!JТ сходитьс:11
1
- � -­
n'" '"" nl+a
и чисповой ряд
00
сходмтся. Следовательно, дnя тобого
аа....... Функция
L
n=l
1
l+a
n
z > l сумма этого ряда непрерывна.
00
1
((z:) = :Е --; .
ж > 1,
n=l n
называется функцией Римона (эта фун!ЩИJI играет большую роль в теории чисел).
Теорема 4 (о почпенном интеrрнровании фунiiЦИОНапьиоrо Plдll). Пусть все члены
00
/n(x) ряда
L: Jn (x)
n=l
непрерЬiilны, и ряд сходится равномерно на отрезке [ а, Ь] к функции S(x) . Тогда справедливо равенство
1
z
zo
S(t)
dt
:=
1 [Ln=l ]
z
zo
oo
fn(t) dt =
oo
L
1
z
n=l zo
fп(t) dt,
т. е. данный ряд можно почленно интегрировать в пределах от х0 до х при любЬIХ х и
хо Е (а, Ь}. Полученный ряд будет сходиться равномерно по ж на отрезке [а, Ь}, каково
бы ни было жо Е [а, Ь].
04� Clolctla ре81011ерН0 СХ0Д1Щ11ХС11 фун1ц11анаmоных piiAOII ------ 37
fп (re)
• В силу неnрерывности функций
и равномерной сходимости данного ряда на
отрезке [а, Ь] его сумма
непрерывна и, следовательно, интегрируема на [а, Ь].
Рассмотрим разность
S(re)
z
где
z
z
1 S(t) 1 Sп(t) 1 [S(t) - Su(t)]
Е
tlt -
tlt =
tlt,
re, reo [а, Ь].
Из равномерной сходИМости ряда на [ а , Ь] следует, что для любого е > О найдется
число N(e) > О такое, что для всех номеров n > N(e) и для всех Е (а, Ь] будет
выполняться неравенство
е
re
IS(re) - Sn(re)l < Ь _ а .
Но тогда
%
%
•
%
11 S(t) 1 Sп(t) atl Jl IS(t) - Sп(t) l at\ 11 Ь � а l
zo
tlt -
�
zo
=
Итак,
<
=о
е
е
--
--
<
а
Ь - а l re - reol Ь - а IЬ - !
z
z
IJ S(t) dt - 1 Sn(t) atj
для любого n > N(e) . Иными словами,
z
•о
z
z
1
tlt =
=
е (Ь - а)
Ь-а
= е.
<е
n
n
z
lim J [" f�e(t)] dt = lim " J f�e(t) dt,
f S(t) dt = n-+oo Sn(t) tlt = n-.oo
n-.oo ,L..J
LJ
т. е.
lim
zo
Если ряд
00
zo
zo
z
1 S(t) dt
zo
=
00
L:
i:
=l
k= l zo
k= l
z
1 f1(t) dt.
zo
•
2: fn(t) не является равномерно сходящимся, то его, вообще говоря,
n=l
нельзя почленно интегрировать, т. е.
:1
z
1
J S(t) dt :/= L
fn(t) dt.
n=l
00
zo
zo
а 1И фyиiЩIIOНIJiыюro рwда). Пусть все 'tlleны
Теорема 5 (о nочпенном дифференцмроаН1
дящегося ряда
00
/n (re)
L
n=l
fп(re) схо­
• ------- r- xvm. � ,...,
имеют неnрерьl8ные проll380дные и JЖд
00
L l�(z),
n=l
составленный из этих njЮU3t'lfJiJньa, равномерно сходится на отрезк.е {а, Ь]. Тогда в любой
точ"е ж Е [а, Ь] спраsедливо равенс1МО
00
[L !п(ж)]
n=l
00
1
=
L /�(ж),
n=l
т. е. данныйJЖд можно почленно дифференцировать.
-4
Положим
00
00
L /11(Ж) = S(ж), L /�(z) = и (ж).
n=l
n=l
Возьмем две любые точки ж и жо Е l а, Ь] . Тогда в силу теоремы 4 будем: иметь
111
J u(t)
zo
Функция
функций .
dt =
=
111
00
j [L
!�(t)]
n l
1110
00
:=
dt =
00
111
L J l�(t) dt =
n= l
zo
L [ln(z) - /n(zo)]
n=l
=
Е /п(ж) - L /п(жо) = S(ж) - S(zo).
00
00
n=l
n=l
непрерывна как сумма равномерно сходящеrося ряда непрерывных
Поэтому, дифференцируя равенство
и(ж)
•
j u(t)
dt =
S(z) - S(жо),
zo
получим
т. е.
o-(z) = S'(ж), или
[/ u(t) dt]
111
1
=
zo
00
[L /n(z)]
n=l
S'(t),
00
,
=
L /�(t) . .._
n=l
УпраненИtl
Найдите области сходимости ,цанных функциональных рядов:
оо
"" n
"" • �
1.
е.
L -;·
z
•=•
00
2: tn"<t + z2) .
tt=l
2. }: - .
2
,.,., n
3.
}: eu.
"='
4.
oo n
L 2u '
,...,
5. }: In"' z.
.,.,.,
00
10.
00
}: sin
,.,.о
z
,. .
2
t4. C1IOiima рuиомерко сх� фyнiЦitOIWX
IIIIWI PIA08 --
--- 39
Полъэуясь признаком Вейерштрасса, дохажите
равномерную сходимость данных функци­
ональных рядов на ухазанных интервалах:
.
""
sш nz
1 1 • "'
L..
n 2 ,
l
n=
1 3.
""
L:
-оо <
1
n=2 n ln2 n + (4
z < +оо.
,
z2 ) 2
•
�
12•
-2 , а: , 2.
14.
Ответы
� cos nz ,
L..
n= l
nv'R
-оо < ж < +оо.
f: ш (1 + n�).
n=1
- 1 ' ж ' 1.
1 . -1 < z < 1 . 2. -оо < ж < +оо. 3. -оо < ж < О. 4. О < z < +оо. 5. е- 1 < ж < е .
6 . -v'ё=l < ж < v'ё=l. 7. Всюдурасходится. 8. - 2 < z < 2 . 9 . О < ж < е. 10. - оо < z < +оо.
Глава Х/Х
________________ ______________
СТЕПЕ ННЫЕ РЯДЫ
§ 1 . Теорема Абеля .
И нтервал и радиус сходимости степ енноrо р1да
Степенньl.м рядом называется функциональный ряд вида
(1)
или вида
со +
с1 (ж - жо) + с2 (ж - жо)2 +
...
+
еn(ж - жо)11 +
. . .
00
= 2::::: еn(ж - жо)11,
n=<D
(2)
где коэффициенты со.
e:z, . . . , Сп ,
. - постоянные.
Ряд (2) формальной заменой
на сводится к ряду (1). Степенной ряд (1)
всегда сходится в точке
О, а ряд (2) - в точке
и их сумма в этих точках равна со .
с1,
ж
• •
ж - жо ж
жо,
Пример . Ряды
и
являютс:я степенными рядами.
(z + 2}2 + {z + 2)4
+ . . . + (z + 2)211 + . . .
Выясним вид области сходимости степенного ряда.
Теорема 1 (Мел�.). Если степенной ряд
сходится при
=f:. О, то он сходится абсолютно для 8Сех таких, что
если степенной ряд расходится при
то он расходится при любом для ICOmopoгo
ж = ж1
lжl > !ж2 l ·
ж = ж2 ,
ж
ж,
\ж\ < lж,l;
§ 1. Теорема Мellt. Мlrrepllan 11 p11A11J'C � C1JI1tllll6ro Plдll ------- 41
<111 Пусть степенной ряд
СХОДИТСЯ: при
Ж = Жt :f::. 0, т. е.
n=l
СХОДИТСЯ ЧИСЛОВОЙ ряд
Оrсюда следует, что
а значит, существует число М > О такое, что lenж? l < М для всех n.
Рассмотрим: ряд
где l ж l
<
l ж r l , и оценим: его общий член:. Имеем:
lenж111 = lenж�l ·
где q =
1 � 1 < 1 . Но ряд
/; Г � Mqn,
n=O
из членов геометрической прогреесии со знаменателем: q , где О q < 1 , и
00
значит, сходится. На основании признака сравнения ряд Е l en жn 1 сходится в любой
n=O
составлен
точке ж , для которой l ж l
�
<
00
l ж 1 1 . Следовательно, степенной ряд Е епжп абсолютно
n=O
сходится для l ж l < l ж t l·
Пусть теперь степенной ряд
n=O
расходится при ж = ж2 . Допустим:, что этот ряд сходится для l жl > l ж2 l · По доказан­
ному он должен сходиться и при ж = ж2 , так как l ж2! < !ж!, что противоречит условию
расходимости ряда при ж = ж2. 811>
Теорема Абеля дает возможность установитьхарактер области сходимости степен­
ного ряда
00
n=O
Пусть в точке ж1 -:;:. О ряд сходится. Тогда ряд будет абсолютно сходиться в ин­
тервале ( - l ж t /, lжt l ) . Если в пекоторой точке ж2 (здесь /ж2/ > lzt l) ряд расходится, то
он будет расходиться и в бесконечных интервалах (- оо , -1 ж2 1) и ( \ж2 l,+оо). В этих
условиях на оси Ож существуют две точки (симметричные относительно начальной
a ______ r����a хах. Cnlneннwi ..,.
точки О), которые отделяютинтервалы расходимости от интервала сходимости. Имеет
место следующая теорема.
Теорема 2. Пусть степенной ряд
n=O
сходится в точке ж # О. 1Ьгда либо этот ряд абсQ/Iютно сходится в lСОJIСдой точке
числовой прямой, либо существует число R > О таlСОе, что ряд сходится абсQ/Iюmно при
\zl < R и расходится при \ж\ > R.
Р8СХОДКFСR 1
..
_"
"
t
.
Абс. СХОДИТСJI
1
•
•
IZtl
о
R
N
1 Расходитса
Рис. !
Onpeдeaetllle. Hнmep8Q.IIoм сходимости стеnенного ряда
называется интервал (-R, R) , где R > О, такой, что в каждой точке Е (-R, R)
ряд абсолютно сходится, а в точках ж таких, что
> R, ряд расходится. Число R
называется радиусом сходимости стеnенного ряда.
z
lжl
зам...ме. Что :касается концов ииrервала сходимости ( -R, R), то возможны следующие '1рИ Clly'WI:
1) степенной ряя сходится как в точке z = -R, так и в точке :r: = R, 2) степенной ряд расход�m:я
в обеих ТОЧ){]Ц, 3) степенной ряя СХ0Д11'1'СЯ в одном конце Иlf'rеРВМа сходиNОСТИ и расходи1СJ1 в,цруrом.
3амечанме. Степенной ряя
rде
""
Е c,.(z - zo)",
,.,.о
zo "/; О, имеет тот же радиус сходимости, что и ряд
""
Е c"z",
n=()
ко ero Иlf'rеРВМОМ СХОЩ!МОСТИ Я:ВJIJieтca ltИ'rеРВМ
(zo R, zo + R).
При условии существования конечного nредела
11.m
n-oo
l en+J I = L
!en l
--
00
,
о < L < +оо,
радиус сходимости стеnенного ряда 2: с,.ж n (или ряда
·
найти по формуле
n=O
R = lim
n-+oo
�.
ICn+ll
00
2: c,. (z - ж0)" , ж0 :;:. О) можно
n=O
(З)
t 1. Теор81111 Мем. Интер1u 11 P1W1YC СХ0А11М0С111 C1WIIIIt6ro piiДI ------- 43
Для: доказательства формулы
величин членов данною ряда
(3) рассмотрим ряд, сосrавленный из абсолютных
00
leol + fc,a:f + !с2 ж2! + . + fc,.жn l + . . = L fc,.ж,.f.
n=O
. .
(4)
.
Применяя к этому ряду признак Даламбера, находим
n+
н
lim IC.н t zn l l = lim \ Cn+tllz\' t
n-oo lenl la:l,.
n-+oo \c,.z l
lim ICn+t l = lim ICn+J I = fжfL.
n->oo lenl l ж l \ж l
lenl
Оrсюда следует, что ряд (4) будет сходиться, если lж\L< 1, и расходиться, eCJIИ fж\L > 1 ,
т. е. степенной ряд сходится абсолютно для всех ж таких, что lz l < t , н расходится
при l ж l > t. По определению радиуса сходимости получаем, что R = t , т. е.
1
lenl
R=
R=
J� I Cn+ t l '
lim &н! ' или
n->oo -тс;г
=
,._оо
.
Радиус сходимости степенною ряда можно находить также по формуле
(5)
1
R = lim \ljё;j
R-+00
-- ,
если существует конечный предел
(5)
lim VlcJ = L,
n-oo
О < L < +оо.
Формулу
легко получить, используя признак Коши.
Если степенной ряд
00
L c,.zn
n=O
ж = О, то юворят, что ею радиус сходимости R =
lim
lim \l'iCJ = оо )
n->oo 'j:{1 оо или n-+oo
Если степенной р.яд сходится во всех точках числовой оси, то полагают R
(это имеет место, например, при li m 1j:j1 = О или п�со
lim \l'iCJ = 0) .
сходится только в точке
возможно, например, при
=
.
О (это
=
+ оо
n-+oo
Областью сходимости степенною р.яда
00
L с,.(ж - жо)"
может оказаться либо интервал (ж0 - R, жо + R) , либо отрезок {ж0 - R, ж0 + R] , лмбо
один из полуинтервалов (Жо - R, жо + R] или {жо - R, жо + R) . Если R = +оо, то
областЬю сходимости ряда будет вся числовая ось, т. е. интервал ( - оо, + оо).
Для: отыскания области сходимости степенною ряда
00
L с,. (ж - жо)"
нужно сначала вычислить ею радиус сходимости R ( например, по одной из приве­
деиных выше формул) и тем самым найти интервал сходимости (ж0 - R, ж0 + R) ,
44 ------ Гпава XIX. Crllnettнiol8 piiДW
-
в котором ряд абсолютно сходится, затем - исследовать сходимость ряда в концах
интервала сходимости - в точках ж = ж0 R, ж = ж0 + R .
Пример 1 . Найти oбnacn. СХОДI'IМОСТИ стеnенного ряда
""
(6)
E (-l)п- l m:" .
<11
"='
1) Для нахождения радиуса СХОДI'IМОСТИ R данного ряда удобно nрименить формулу (3). Так как
с,. = (-l)"- 1 n и с..н
(-l)"(n + 1), ro будем иметь
'
R = llin � = llin
l (-l)n.- nl = ..llin ......!!._ = 1 '
,._,"" f(- l)"(n + 1
...оо n + 1
n-oo fC..+I I
)/
==
Ряд CXOДI'Il'Cfl абсолютно на икrврвапе -1 < 111 < 1.
2 ) Исследуем СХОДI'IМОСТЪ ряда (6) в концах интервала сiсодимОСJИ. Попожив
чисnовоА ряд
00
""
111
= -1,
nопучим
""
E(- l)"-1 n(-1)" == E<- t) 2""" 1 n = E (-n),
n=l
n=l
n=J
paCXOДI'IМOCTh которого очевидна (не выnоnнен необходимыil nризнак СХ<WIМОСТИ: ..l!m,(-n) � 0).
При 111 = 1 nопучим чисповоА ряд
""
E (-'1)•- ' n,
..= 1
llin (-1)"-' n
.....,.,
,.
Д11Я которого
не сущесrвует, а значит, эrот ряд расходится.
Итак, обпастъ СХ<WIМОСТИ ряда (6) есть интервал -1 < 111 < 1 .,..
Rpllмep 2. Найти oбnacn. сходимОСJИ ряда
•
'
00 (- 1)"-'
...
2)
+
<���
Е -n2
A
(7)
n= l
"111
1) Радиус СХОДI'Iмости находим no формуле (3). Имеем
= �·
(-1)..
(n + 1)2"+1 ;
. ��� = (n + l)2"+ 1 = lim 2 1 + -1 = 2.
R 1\-+00
llin l (-l)" l
-оо fl2"
пllin
п-оо
�
а
(n+ l)2"+
Ряд (7) cxoдиl'Cfl абсолютно на интврвапв /111 + 21 < 2, или -2 < 111 + 2 < 2, откуда -4 < 111 < О.
с,.
(-1)'1-1
<=n+l
=
•
2) При
z
-4 nопучим чисnовоА ряд
( )
00
оо (- t)2•- 1
оо (-l)n- 1
1
= Е -,
<-2).. = Е -Е -n2"
n
n
n=l
n=l
n=l
коrорый pacx<W!ТCfl (гармониЧЕ�С�Gtй ряд).
При ж = О будем иметь чИСЛОВОй ряд
СХОДЯЩИЙСЯ условно.
Таким образом, ряд (7) сходится в области -4 < 111 � О .,..
•
Пример 3. Найти интервал сходимости ряда
00
Е
n= l
(-l)"(z
n"
2)"
t 2. Равномерна� CXOДIIIIOC'Пt стеnенноrо p!IAII II неnреры11110С'П ero cyiOIIol ------ 45
•
Так как с" =
t;!!- ,
то
для нахождеi!Ия радиуса сходимосn� nримещ�м формулу (5):
1
1
n
lim ����� = n->oo
lirn
R = n->oo
� = n->oo
� lirn = +оо.
--
Это означает, что данный
интервал (-оо, +оо) . .,.
ряд
сходится при всех значениях ж, т.е. облаС1ЫО сходимости является
ПрИмер 4. Найти интервал сходимости ряда
00
Е n! жn ,
n=O
•
О! :;:: 1.
(8)
= (n +
1 )! = n!(n + 1), то получим
1
n!
= lirn -- = 0.
R = lim М = lirn
n->oo ���� n-+oo n! (n + 1 ) n->oo n + 1
Pai!8НC'nlo R = О означает, что ряд (8) сходится только в точке ж = О , т. е. область сходимости данного
степенного ряда состоит из одной точки ж = О .,.
Так как с" = n!, C..+t
.
§ 2 . Равномерная сходимость степенного ряда
и непрерывность его суммы
Теорема 1 .
Степенной ряд
сходится абсолютно и равномерно на лКJ{)ом отреЗке [ -а, а] , а > О, содержащемся в ин­
терволе сходимостиряда (-R, R), R > О.
�
Пусть О <
а
R.
<
любого n = О, 1 , 2, . .
.
ж, удовлетворяющих условию lжl � а, и для
будем иметь lenжn l � lc,.a8\. Но так как числовой ряд 'Е \с,.а8\
n=O
Тогда для всех
00
сходится, то по признаку Вейерштрасса данный степенной ряд сходиТся на отрезке
[ -а, а] абсолютно и равномерно. .,..
·
Теорема 2.
Сумма степенногоряда
00
S(z) = L: enжn
n=O
непрерывна в каждой точке ж его интервала сходимости (-R, R), R > О.
� Любую точку ж из интервала сходимости ( -R, R) можно заключить в некоторый
отрезок [ -а, а] , О < \zl < а < R, на котором данный ряд сходится равномерно. Так
как члены ряда непрерывны, то его сумма S(ж) будет непрерывной на отрезке [ -а, а] ,
а значит, и в точке ж .,..
•
46 ------ Г118118 XIX. Cnmetlиwe Pwa
§ 3. Интегрирование степе нных рядов
можно интегрировать nОIIЛеннов его интервале сходимости ( -R, R), R > О, причемра­
диус сходимости ряда, палученнога пОIIЛенны.м интегрированием, та"жеравен R. В част­
ности, для любого z из интервала ( R, R) cnpaeeiJлutiO формула
-
-
4 Любую точку :с из интервала сходимости ( R, R) можно заключить в некоторый
а < R. На этом аrрезке данный ряд будет сходиться
аrрезок [ -а, а] , rде О
равномерно, а так как члены ряда неnрерывны, то еrоможно почленно интегрировать,
например, в пределах от О до Тоrда, согласно тео.Реме 4 rлавы XVIII,
< !z l <
z.
:с
Е
(-R, R).
Найдем радиус сходямости I:t полученною ряда
rде
1
Сп
= Cn-1
--,
n
n
==
1, 2, . . .
1
и Со = О,
при дополнительном условии существования конечною предела lim 1J�11
= R. Имеn-+оо -n+l
ем
n+1
+1·
lim
lim J:bl.. = lim
lim
= 1 · R = R.
n->oo
n-+oo 1�+1 1
n-+oo
n
•ноо
n
в! =
(n
!Cя-J I ) =
lenl
ICя-J I
l en l
Итак, радиус сходямости степенною ряда при интегрировании не меняется. ,..
Замео18111.18 УтверJЦение теоремы остается СnраведmПIЬDI И nри R = +оо.
§ 4 . Дифферен цирование степ енных рgдов
Теорема 4 (о nочпенном дифференцировании стеnениоrо рtДа).
С��tеnенной ряд
f4. ДNtфepllltfiPDIIIe
IН C1'8II8IIIIWX p!IAOII ------ 47
.можно дифференцировать почленно в любой точке
R > О, при этом выпол1Ulется равенство
(Х>
ж его интерllала с.ходиАюсти (
-
R, R) ,
(Х>
S'(z) c�:enz") L:nenz"-1•
=
1
=
n=O
<4
Пусть R
а Jl!
-
n=l
радиус сходимости ряда
(1)
-
радиуС СХОДИМОСТИ
ряда
�
2: nenж"- .
00
n=O
(2)
Предnоложим, что существует (конечный или бесконечный) предел
Найдем радиус R! ряда
lim � = R.
ICn+t l
n-oo
(Х>
=
n= l
n=l
где
Имеем
00
� пепж"-1 2: с:аж",
(
)
Iim l + � · ICn+ ll
lim J:;_L = n-oo
+ 2 1Cn+21
IC:.+t l
Тем самым, радиусы сходимости рядов (l) и (2) равны.
Ii =
через
n-oo
u(z):
n
=
l · R = R.
Обозначим сумму ряда (2)
n= J
Ряды (1) и (2) равномерно сходятся ва любом отрезке l -a, a J , г,п.е О < а < R. При
этом все члены ряда (2) непрерывны и ямяются производными соответствующих чле­
нов ряда ( l). Поэтому, соrласно теореме 5 rлавыХVIП, на отрезке (-а, а) выполняется
равенство и (ж) =
В силу проиэвольности а последнее равенство выполнено и
на интервале R, R) . "'
( S'(z).
-
Спедс:тiiМ. Степенной ряд
можно почленно дифференцироt�ать СКОЛЬ/СО угодно роз в любой точке его uнтepв(JJJ(J
сходимости R, R) , f1Риче.м радиусы сходи.мости всех получаемыхрядов будутравны R.
(
-
ж
48 ------ Гда�� ХIХ. Стеnеи111118 Р1дW
§ 5 . РАД Тейл ора
00
Будем говорить, что функция /(z) р0311агаетсн в степенной ряд 2: enz"
n=O
на интервале (-R, R), если на этом интервале указанный ряд сходится и его сумма
равна f(z) :
Оnреде.nение.
00
f(z) = L en z'\ z Е ( -R, R).
(I)
n=O
Докажем сначала, что функция /(z) не может иметь двух различных разл:ожений
в степенной ряд вида (1).
Если функция f(:x) на интервШlе (-R, R) р0311агаетсн в степенной ряд ( 1 ), то
JЮ31ЮЖение единственно, т. е. коэффициенты ряда (1) по его су..име определяются
однозначно.
Теорема 5.
это
"" Пусть функция /(:t) в интервале ( -R, R) разложена в сходящийся степенной ряд
/(z) = Со + Ct Z + C2Z1 +
+ Cn,Z" +
Дифференцируя этот ряд почленно n раз, найдем
f(n) (z) = 1 2 З . . . (n - l )nen + 2 3 · . . . (n l)n(n + l)Cn+tZ + . . . .
При ж = О получаем
. • .
·
или
·
·
·
. . •
.
·
·
i")(O) = n! Сп, n = О, 1, 2 , . . . ,
откуда
(2)
(эдесь J<0>(o) = /(0), О! = 1).
Таким образом, коэффициенты Сп (n = О, 1, 2, . . ) степенного ряда (l) форму­
лой (2) определяются однозначно. •
.
замечание. Если функция /(z) разложена в стеnенной рид no стеnеня.м разности z - z0,
CIO
/(z) = L c.,.(z - zo)", z Е (zo - R, zo + R),
n
=O
то коэффициеиrы с.. этоrо ряда определяются формулами
Jl">(zo) ,
n.1
--
n : 0, 1, 2, . . .
О
(/( ) (zo) /(zo)) .
(3)
Пусть функция /(z) nри ж = zo имеет производвые всех порядков !'(zo), /11(zo),
. . . , /(n)(ж0) , , т. е. является бесконечно дифференцируемой в точке z0• Составим
для этой функции формальный степенной ряд
• •
.
00
L Cn (:t - zo)n ,
n::o
вычислив ero коэффициенты по формуле (3).
os. � т.m� ------- u
Оnределение.
ряд вида
Рядом Тейлора функции /(z) относительно точки zo называется степенной
'
(zo)
!"
/" (zo)
з
J (z0) + !' (zo )( z - zo) + � (z - zo) 2 + --- (z - zo) +
3!
оо
/(n) ( )
/(n) (жо)
жо
n
+
,.
,
(ж - zo)n + . . =
(ж - жо)
n
n
.
n=O
.
0
(здесь О! = 1 , J< >(жо) = f(жо) ) Коэффициенты этого ряда
!' (жо)
/"(жо)
Ct = -�-,- ,
.
Z:
.
со = /(жо),
.
1
• • •
� = �,
называются коэффициентами Тейлора функции /(ж) .
При жо = О ряд Тейлора
+
/"(О)
J<n>(o) n
0
'
2 - 2 + . . . + -/( ) + / (О) ж +
ж
ж
!
n!
.+
оо
.
называют рядом MaiCIIopeнa.
/ (n) (O) n
. . = """ -ж
n!
�
Из теоремы 5 вытекает следующее уrверждение.
Теорема 6.
Если на интервале (жо - R, ж0 + R), R
степенной ряд
> О,
функция J(ж) рQ3/Iагается в
n=O
то этот ряд являетсярядом Тейлора функции f(ж) .
Пример 1. Рассмотрим функцию
ДI1R
Д1111
и найдем ее производные.
�
z # о.
z == О,
Для z # О эта функция имеет производныв всех порwо��, которые находятся по обычным правилам
/'(z)
=
23 e-1 /zz '
z
и, вообще,
j<n> (z)
=
Рзn
/" (z)
( �)
e- l /z2
=
( z - z64 )
46
(n
=
e- 1 /zz
'
1, 2, . . . ) ,
где Рзn ( �) - многочлен степенИ Зn относительно � .
Покажем теперь, что в точке z О данная функция таlОКе имеет производныв любого порядка,
причем все они равны нулю. Исходя из определения производной, имеем
=
e - l /z2 - 1.
/(z) � - lim -1/
z2
- lim - 1.un /(z) - /(0) - lim -- un -- 2
/' (О) z
о:-+0
z-+0 х
z-+0 х
"...о e l/ 2 z-+0 -zy e l/z2
z
- li
- m
.,
...о
� е- l /z2
2
-О
(при вычислении предела мы применили правило Лопиталя). Аналогичным образом можно доказать,
что
/11(0) /111(0) . . . j<n> (o)
О.
=
=
=
= . . .
=
50 ______ г..... XJX. Стеnеннwе •
Тем самым, заданная функция имеет на чисповой оси пронаводные всех порядков.
Построим формальный ряд Тейлора исходной функции относительно точки :�:0 = О. Имеем
о+о. +о. + . . . + о
. :r" + . . . .
ж2
1.1:
Очевидно, что суммв S(:r) этоrо ряда тождественно равна нулю, в то время как сама функция /(z)
тождествне но равной нyJIIO не является
.,..
•
Про этот nример стоит вспомнить при обсуждении комплексного анализа (ана­
литичности) : функция, внешне совершенно благопристойная, nроявляет на действи­
тельной оси капризный характер, являющийся следствием неnриятностей на мнимой
оси.
Формально nостроенный в nримере для заданной бесконечно дифференцируемой
функции ряд сходится, но ero сумма не совпадает со значениями этой функции nри
:с :/:; О. В связи с этим возникает естественный воnрос: каким условиям доткна
удовлетворять функция /(z) на интервале (zo - R, :с0 + R) , чтобы ее можно было
, разложить в сходящийся к ней ряд Тейлора?
Условия ра3110DМОСТИ фунiСЦИИ в PIIA Тейлора
Для npocrorы будем рассматривать стеnенной ряд вида
т. е. ряд Маклореиа.
Теорема 7. Для того чтобы функцию J (:c) можно бшо разложить в степенной ряд
со
. L: c,. re"
n=O
на интервале (- R, R) , необходимо и достаточно, чтобы на этом интервале функция J(:c)
имела npou380iJныe всех порядков и чтобы в ее формуле 'Л!йлоро
/11(0)
/(n)(O)
/(z) = /(0) + /1(0)z + 2! ж2 + . . . + --n!' жn + В,.(z)
остаточный член Rn(ж) стремился к нулю при n -+ оо для всех :с Е (-R, R) .
<111
Необходммоm.
степенной ряд
Пусть на интерваJJе (-R, R) , R >
(1)
О, функция /(ж) разложяма в
(2)
т. е . ряд (2) сходится и ero сумма равна /(ж). Тогда по теореме 4 и следствию из нее
функция J(z) имеет на интервале (-R, R) nроиэводные J<n>(z) всех порядков. По
теореме 5 (формула (2)) к�ффициенты ряда (2) имеют вИд
c.. =
/(n)(z)
­
n!
'
т. е. мы можем написать равенство
/" (0) 2
/(n)(O)
/(z) = /(0) + /1 (0) ж + 2!
z + . . . + --n!' z + . . . .
11
(3)
0 5. Ptд Tei.nopl ------:-- 5 1
В силу сходимости этоrо ряда на интервале (-R, R) ero остаток
.Rn(z) =
00
�
L..J
k=n+l
/(k)
-zlc
kf
стремится к нулю nри n оо для всех Е (-R, R).
Достаточиосn.. Пусть функция
на интервале (-R, R) имеет nроиэводнъrе всех
nорядКов и в ее формуле Тейлора остаточный член
nри n - оо для любоrо
Е ( - R, R). Поскольку
-
z
то
/(z)
z
Rn(z) - О
Rn(x) = /(х) - [1(0) + /'(О)х + /'��О) х2 + . . . + /(:�о) х"] ,
"(х) - [!(О) + /'(0) z + /'��О) ж2 + . . . + /(:�О) х"] / = I.Rn(x)l - О
(4)
nри n - оо. Поскольку в квадра:rнъrх скобках заnисана n-я частичная сумма ряда
Тейлора, то формула (4)оэначает, что рядТейлорафункции
сходится наинтервале
•
-R, R) и ero суммой явл.яется функция
f(x)
f(x).
(
Достаточные условия разло:JКИN:ости функции в стеnенной ряд, удобные для nрак­
тическоrо nрименения, описываются следующей теоремой.
Теорема 8. Для того, чтобы функцию
г
степенной ряд
f(x) на ин�але ( -R, R) можно былоразложить
00
Z: enx",
n=O
достаточно, чтобы функция f(ж) имела на этом интервале произгодные всех порядков и
чтобы сущест808ала постоянная М > О такая, что
для всех n = О, 1 , 2, . . .
и для всех
\/(n)(ж)\ � М
ж Е (-R, R).
<111 Пусть функция
имеет на интервале (-R, R) проиэводные всех порядков. Тогда
для нее можно формально написать ряд Тейлора
f(x)
f J<"n>�o) жn
n=O
.
Докажем, что он сходится к функции
точный член
(О! = 1 ,
/(о) (о) = /(0)) .
остаточно
/(ж). Для этоrо д
покаэатъ, что оста ­
в формуле Тейлора ( l ) стремится к нулю при n
оо для всех Е (-R, R). В самом
М
Е ( -R , В)), будем иметь
деле, учитывая, что -R < < R и
�
х
n
+
/
х
1 ( I)(Oж) l (Ох
n
n+ l l - l /(n+ 1)(8ж) l · lжln+1 < мвn+l
0 I.Rn (ж)l - 1 J(n< ++t>(ex)
ж
1)!
(n + 1)!
(n + 1)!
�
--<
(5)
52 -------
для
n = О, 1 , . . . и для всех ж Е ( -R, R). Числовой ряд
00
rпава XIX"Crenetttwe
t JlllдW
мвn+ l
� (n + 1)!
сходится в силу признака Даламбера:
мR"+2
. ТnW
·
ltm ""'+' = 1tm
n-->oo м... --
n-->oo
(n+l)!
Поэтому
lim
R
= О < l.
n+2
--
мвn+ l
n-->oo (n + 1)!
=о
в силу необходимого признака сходимости. Из неравенства (3) получаем
1im Rn (ж) = О
для
R->00
всех ж Е ( -R, R) . .,.
Продоткение nримера 1. Хотя функция из примера 1 и имеет на числовой оси производныв всех поряд­
ков, универсальной постоянной М , ограничивающей их абсопкmtые величины, не существует,
при
�(n) = �IJ<">(z) l --+ оо
n --+ оо .
§ 6. Ряды Тейлора элементарных функций
Рассмотрим разложения в ряд
основных элементарных функций.
6. 1 .
J(z) = еж
Эrа функция имеет производные всех порядков на интервале ( -а, а) , где
любое число, причем
lin)(ж)l = e:z < е4,
а
> О­
n = О, 1, 2, . . . .
Следовательно, показателъная функция e:z разлагается в ряд Тейлора на любом интер­
вале ( -а, а) и, тем самым, на всей оси Ож. Так как /(n)(O) = е0 = 1 ( n = О, 1 , 2, . . . ),
то получаем ряд
=
Радиус сходимости этого ряда R = +оо.
оо
n
ж
·
Ln!
n=O
(1)
§6. Plдw Teinopa 8118М8НТiрНЫХ фунlсциi1
______
Если в разложении ( 1 ) заменить z на -z, то будем иметь
53
6 .2. f(z) = sin z
Данная функция имеет производные любого порядка, причем
О,
l ( �) �
j (sin z)(n) l = sin z + n
�1
для n = 1 , 2, . . . и z Е ( -оо, +оо). Тем самым, по теореме 8 функция sin z разлага­
ется в сходящийся к ней на интервале ( -оо, +оо) ряд Тейлора. Так как
n'lf'
для n = 2, 4, . . . ,
J (n) (О) = sin - =
�
2
( -1)
для n = 1 , 3, 5, . . . ,
то этот ряд имеет следующий вид
О,
{О
·
Радиус сходимости ряда R = +оо.
6.3. f(z) = cos z
Аналогично получаем, что
z2 z4
z2n
cos z = 1 - 2! + 4! - . . . + (- l)n {Щ! + . . . =
-
оо
z2n
�(- 1 )n {Щ!'
R = +оо.
(3)
6 .4. f(z) = (1 + z)01, где z > - 1 , а тобое действительное число
Эта функция удовлетворяет соотношению
( 1 + z) /'(z) = а j(z)
(4)
и условию /(0) = 1 .
Будем искать степенной ряд, сумма которого S(z) удовлетворяет соотношению (4)
и условию S(O) = 1 . Положим
(5)
Оrсюда находим
1
S'(z) = с1 + 2c2 Z + 3сзz2 + . . . + nenzn- + . . . .
(6)
Подставляя соотношения (5) и (6) в формулу (4) , будем иметь
( 1 + z) (c1 + 2c2Z + 3сзz2 + . . . + nenzn- 1 + . . . ) =
= а(1 + C1Z + C2 Z2 + Сзz3 + . . . + C,.Zn + . . . ) ,
или
CJ + (с1 + 2c2 )z + (2с2 + 3сз)z2 + . . . + [nen + (n + l)enн) zn + . . . =
- Q + QCJ Z + OC2 Z2 + . . . + QCnZn +
_
·
.
.
.
54 ------- r.... xoc � lllfAIII
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :r; в левой и правой частях
равенства, получим
Ct = а,
+
2
С2 = ас1 ,
Ct
2c:z + 3сз = ae:z,
.
'
.
.. = aen- t ,
(n - l)Cn-t + ..n.. en
..
..
..
откуда находим
.. ......
а(а - 1)
=
С3
..
2!
'
а(а - l)(a - 2) .
=
..
.
с1 = а,
C:z
. .. . .
.
1
3!
,. • • • • • • + •
• • " � •+ • • • "
а • • • + " '" • •
" • • • •" " "
а(а - l)(a - 2) , . . (а - n + 1)
Сп =
n!
)
'
Подставляя эти значения коэффициентов в соотношение (5), получим ряд
( - l )(a .:... 2)
:r:э + . . . +
3! :r;
(7)
а(а - 1)(а - 2) . . . (а - n + 1)
+... .
+
n!
Найдем радиус сходимости ряда (7) в случае, когда а не является натуральным
числом. Имеем
S(:r:) = l + a:r: +
= llm
R = llm �
\Сп t \
\
n--+oo +
\
.
n--+oo \ а
а(а - 1 ) 2
:r; +
2!
а а
n
\ a (a...:t) §a-n+l) \
-
(a-1)
1+!
n
lim
= llm \
n--+oo .!n - 1 \ = 1 .
�«-n+ 1) (a-n} 1 = n-+oo
\ а - n\
т
.•
••.
n+ l
--
иm
Итак, ряд (7) сходится при l:r:l l , т. е. на интервале (- 1 , 1) .
Докажем, что сумма S(:r:) ряда (7) на интервале ( - 1 , 1) равна (1 + :r:)a . Для этого
рассмотрим отношение
<
<р(ж) =
S(:r:)
J(:r:)
=
S(:r;)
.
(1 + :r;)«
Так как S(z) удо:влетворяет соотношению (4), т. е.
а
S'(:r:) = --S(:r:),
1+ж
то для производной функции <p(:r:) получаем:
'{J'(:r;)
_
-
=
t
S'(:r:)J(ж) - !'(:r:)S(ж)
(1 + :r;)aS'(:r:) a( l + ж)a- s(:r:)
=
(J(:r;))2
(1 + :r;)2«
_
(1
+
z)S'(z} - aS(x}
(1 +
:r;)a+l
=
О
(1 + :r:) �S(z) - аS(ж)
=0
=
( 1 + :r;)a+ l
(1 +
:r;)«+l
------ И
для � Е (- 1 , 1 ) . Отсюда следует, что
!р(ж) =: С = const
на (-1, 1). В частности, при ж = О имеем
и значит,
т = IJ'(ж) = l , т. е.
S(O)
C = fJ'(O) = - = 11
1
или
�------��---,
а (а - 1) . . . (а - n + 1 ) n
а (а - 1) 2
( 1 + ж)а = 1 + аж +
2,.
ж +... +
·
ж +... 1
n.1
(8)
r.цe -l < ж < l.
Полученный ряд называется бино.миальнШI, а ero коэффициенты - бино.миальнШ�и
коэффициентами.
Зaмe•lll.ll В случае, если а
степени,
- натурапыюс ЧИСJЮ (а = n), фyiOЩIUI (1 + z}a будет мноrочленом n-й
и R"(a:) = О дц всех n > а.
Оrметим еще два разложения. При а = - 1 будем иметь
1 тh
= 1 - :r: + :r:2 - :r:3 + . . .
1
- 1 < :r: < 1 .
1
- l < :r: < l .
Заменив :r: на -:r: в последнем равенстве, получим
6.5.
1
l
э
= l + ж . + ж2 + :r: + . . .
1 _ :r:
f(z) = ln(l + z), z
1
(9)
,
( 10)
> -1
Для полученияразложения этой функции в ряд Тейлора по степеням ж проинтеrрируем
равенство (9) в пределах от О до �. rде :r: Е ( -1, 1). Имеем
z
1
о
или
dt
-=
l +t
z
1 (1 - t + t - t + . . . )
о
2
dt,
3
( 1 1)
Равенство ( 1 1) справедливо в интервале - 1 < ж < l. Заменяя в нем ж на -:r:, получим
ряд
жз :r:•
жn
ln(l - ж) = -ж - 2 з - 4 - . . . - n - . . . '
(12)
1
z2 -
где - 1 < ж < 1 .
Можно доказать, что равенство ( 1 1) справедливо и для :r: = 1 :
1
1
1
tn 2 = t - + - + . . . .
2 3 4
1
56 ______ rnaвa XIX. Стеминwе р11ДЫ
Таблица ра311ожений в степенной рtД (ptlд Маморена) основных ЭJJементарных функций.
zn
z2
1.
ez = 1+ z + - + . . . + - + . . . ,
-oo < z < +oo;
n!
2!
zз zs
z2n+l
+... ,
2.
sinz = z - - + - - . . . + (- 1)n
-oo < z < +oo;
(2n+ 1 )!
3! 5!
z2 z4
z2n
3.
cosz = 1 - - + 1 - . . . + (- 1)n - + · · · •
-oo < z < +oo;
(2n) '.
21. 4.
а( а - 1) 2 а(а - 1)(а - 2)
4.
( 1 + z)a = 1 + az +
z +
х3 + . . . +
3!
2!
a(a - l)(a - 2) . . . (a - n + 1) n
х +... ,
-1 < зi < 1 ;
+
n.1
1
-- = 1 - х + х2 - х3 + . . . + ( - 1)n хn + . . . ,
-1 < z < 1;
1 +z
z2 zз
zn
5.
- 1 < z � 1.
1n( 1 + z) = z - - + - - . . . + (- l)n- t_ + · · · ,
n
2
3
Полъзуясъ этой таблицей , можно получать разложения в степенной ряд более слож­
ных функций. Покажем на примерах, как это делается.
Пр11мер 1. Разложить функцию
4-ж
жо = 2 , т. е. по сrепеням разности ж - 2.
� Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было использовать ряд (10) для функции J�z . Име­
l
l
l
l
l
4 - ж = 4 - ((ж - 2) + 2) = 2 - (ж - 2) = 2 1 - ( � ) ·
z3аменяя в формуле (10) ж на 22 , получим
ж 2 ж 2 2 ж 2 3 ··
; + ; + ; +
4�ж =
в степенной ряд в окресrности
точки
ем
Н•+
или
1
( ) ( )
l ж - 2 (ж - 2)2 (ж -l
- ...
42)3
4 - ж = 2 + """22 + -23 + -2 +
·
Это разложение сnраведливо, когда выполнено любое из эквивалентных неравенсrв
j ж ; l / < 1,
Пример 2. Разложить по сrепеням
исnользуя формулу
jж - 11 < 2, -2 < ж - 2 < 2, 0 < ж < 4. ...
ж функцию
(10).
� Разлагая знаменатель на множители, предсrавим данную рациональную функцию в виде разности
двух просrейших дробей. Имеем
l
l
ж2 - Зж + 2 - (ж - l) (ж - 2)
= ж- - 1·
2
х -
§6. Plдw Telnopa tлемеttтарнwх фуиiЩИй ------ 57
Посnе простых преобразований получим
1
1
1
z2 - 3Ж + 2 = 1 - z - 2 1 - ( ; ) ·
( 13)
К каждому слагаемому в правой части равенства (13) применяем формулу (10), в результате чего по­
лучим степенные ряды
1
2
-1 - z = 1 + z + z + z3 + . . . '
1
�! =1+ � +
(�) + (�) 3 + . . .
2
( 1 4)
( 15)
.
lzl 2.
Ряд (14) сходится дпя < 1, а ряд (15) сходится дпя 111 < 1, т. е. < Оба ряда (14) и (15) будут
сходиться одновременно дпя < 1 . Так как в интервале (-1, 1) ряды (14) и (15) сходятся, то их можно
почленно вычитать. В результате мы ПОЛУ/IИМ искомый стеnенной ряд
lzl
lzl
2 ( 3
(
2
3
1
.
z
z
1
z
.
=
+
+
+
+ �) + . . . ]
+
+
+
�
[
�
)
)
.
(
�
z2 - �z + 2
22 - 1
23 - 1 z2 + . . . + 2"+1 - 1 z.. + . . . ,
z + --v-= 21 + ---r
2n+l
радиус сходимости которого равен R = 1. Этот ряд сходится абсолютно дпя lzl < 1 . .,..
Пр11111р З. Разложить в. ряд Тейлора в окрестности точки zo = О функцию arcsin z .
<1111 Известно, что
(arcsinz)' = v'1 � zi = (1 + (-z2)) -l/2.
2
Применим к функции ( 1 + ( -z2)) -l/ формулу (8), заменяя в ней z на -z2 • В результате дпя l- z2 1 =
z2< 1 , т. е. дпя -1 <z< 1 , получаем
_ .!.(_ .!. - ) (-.!. - )
_ .!. )
(arcsmt ' = 1 1 z2 -!(
) + 2 + 2 221 - 1 z - 2 2 311 . 2 2 z + . . . =
= 1 + 21 z2 + 2!1 ·223 z + 13!· 323· 5 11: + . . . .
Интегрируя обе части последнего равенства от нуля до z (почленное интегрирование законно, так как
степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке с концами в
О и z, лежащем в интервале
(-1, 1) ), найдем
"'! ( 2
t 1 3 1 ·3·5
J(arcsш. z) dt = 1 + 2 + 21 ·22 t + 31 23 t + . . . ) dt,
или
1
arcsin tlo = tlo + 21 3t3 1"' + 21! ·232 5t5 ,., + 13!· 323 5 7t1 "' + · · · ·
Тем самым, окончательно получаем, что
�------,
1·3
1 3·5
. = z + иl z3 + 2!23.S
·
arcsinz
z +�
z +... ,
где -1 < z< 1 (R = 1 ) . .,..
=
4
•
4
z
о
1
z
z
6
6
точках
4
о
0
0
s
6
·
0
7
Эамечание. Р33Ложение в степенные ряды можно использовать для вычисления иmеrрвлов, не выра­
жающвхся в конечном виде через элементарные функции.
Приведем несколько примеров.
.,
!
Siz = -sint- dt.
11J111118P 4. Вычислить интеграл (интегральный синус)
о
t
58 -------..,.-- f.lllll XIX. Creneнtнole piAiol
1
� Изе8СП1о, что первообразная дnя функции si� не ВЬiражается через элементарные функции. Разло­
жим подынтегральную .функцию в степенной ряд. пользуясь тем, что
t3 + t5t1
5, - 7, + . . . .
(16)
t = 1 - 3i
t2 + t4Si 7!
t6 + . . . .
( 1 7)
sin t = t - '
3.
Из равенства (16) находим
sin
�
.
.
-
-
Заметим, что деление рsща (16) на t при t ::f:. О законно. Равенство (17) сохраняется и при = О,
если считать, что при = О отноwение si� 1
1 . Тем самым, ряд (17) сходится при всех значениях
(R = +оо). Интегрируя ero почленно, nолучим
t
t
=
t
Полученный ряд - знакочередующиilся, так что погрешность при замене ero суммы частичной суммой
оценивается просто. .,..
Прммер 5. ВЬiчислить интеграл
2
� Здесь первообразная дnя подынтегральной функции е-1 таiОКе не является элементарной функцией.
Дnя вычисления интеграла заменим в формуле
z
на
�
е =
-t2• Получим
t2
1
+ z + z22! + z3!з +
•..
t6 + . . . .
t2 + t421 - 31
Проинтегрируем обе части эroro ра88НСJ88 в пределэх от О до z:
.,
t1
z3 zs z7
ts
t2
J е- dt = tlo - 3 0 + 2! · 5 - 3!:7 0 + · · · = z - 3 + 2! · 5 - 3! · 7 + · · · ·
е
t3,�
�
о
Этот ряд сходится при любых
при > О . .,..
z
-
=1-
,�
0
1"'
z (его радиус сходимости R =
+оо) и является знакочередующимся
Упражненм
"" z" }:"" 2"
"" n+ 1 z".
n+ 1 z". 3. L ffn+l
n2"
n+ 1
5. L: nz".
4. L: n"z".
f (�1)"n1 (z + 2)".
Ё (- ;,."nз (z +
n+
Ё (n ;. l)! (z - 2)".
Ё 1n(z( 1-+1)"n) .
НайдИте область сходимости степенных рядов:
1.
2: -.
R=l
00
2.
,.=0
00
n=l
7.
10.
R= l
,.
=1
n=O
•=1
8.
11.
•=1
71=0
3)".
8.
9.
12.
(-1)"
,.f""=Q n+ 1 z".
}: n"n. (ж+ 1)".
Ё(- 1)" nn� (z - 1)".
•= 1
•=1
1
16. P!tAW TeiiiOpl 8l\eМIIIloiX
IТipll фун1щм1
------
59
Разложитеследующиефункции в ряд Маклоренаиукажите области сходимости полученных
рядов:
11:
1
15. sh z.
14.
�·
13•
16. сh ж.
'
2 + 3z
жж
17. .Vt + z3•
18.
19. arctg ж.
20. tn z + Vl + z2 .
+ж
-Qs
21. а*', О < а #
.
( �)
22. sin z -
l.
Yra11111e. Воспальэуйrесь таблицей.
24.
·
(
sin1 ж.
)
Пооьэуясь таблицей, ра31IОЖИТС Э�U��U�НЫе фунJСЦИи в psrд Тейлора по степеням z - z0
ухажите интервалы сходимости полученных рядов.
25. ;•
1
28'
26.
:t0 = -3.
ж+l
z + 2'
l
2z + 3
.
29. sm z,
zo = l .
31. Jn(Зz - 2), z0 = 2.
34. v'Ж+l, zo = 1
•.
32.
,
zo = l .
1Г
zo = 2 .
ln(2z - 1 ),
zo = 1.
27.
ж+ 1
ж-
30. соs ж,
жо = -1.
zo = - 1.
и
Глава )()(
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
РЯДЫ ФУР ЬЕ
§ 1 . Тригонометрические ряды
f(x),
Оnределение. Функция
определенная на неограниченном множестве D , назы­
D
вается периодической, если существует число Т "# О такое , что для каждого х
выполняется условие
D.
= /(х),
где
Наименьшее из таких чисел называется периодом функции
Е
х±ТЕ
J(x ± T)
Т
J(x).
Пример 1. Функция
/(z) = sinz,
-оо,
+оо),
является периодической, так как существует число Т = 21r # О
(-оо, +оо) выполняется услоаие
sin(z + 21r) = sinz, z + 21r Е (-оо, +оо).
таким образом, функция sin z имеет период Т = 21r.
То же самое относится и к функции
/(z) = cosz.
Пример 2. Функция
/(z) tgz,
определенная на интервале (
такое, что дnя воах z Е
опредепенная на множестве D чиоаn
11"
==
z :F 2 + n1r (n = 0, ±1, ±2, . . . ),
явпяется периодической, так как существует число Т # О, а именно,
имеем
+
где
'lf Е D .
tg(z 1r) = tgz, z +
Т = 1r, такое, что дnя z Е D
Оnредеnение. Функциональный ряд вида
ао
2
+
а\
cos х +
ь\
sin х + а2 cos 2х + � sin 2х + . . . +
+ a11 cosnx + Ь11 sin nx + . . .
=
00
cos nx + b11 sin nx)
� + L(an
n=l
называется тригонометрическим рядом, а постоянные а0, а11 ,
ваются коэффициентами тригонометрического ряда ( 1 .
)
(
(
(1)
Ьn (n = 1, 2, . . . ) назы­
Частичные суммы Sn х) тригонометрического ряда 1 ) являются линейными ком­
бинациями функций из системы функций
1,
х,
х,
2х,
2х, . . . ,
cos sin cos
sin
§ 2. Ортоrонап•ностtо tpllfOIIOМ81PII системw ------- 61
коюрая называется тригонометрической системой. Так как членами этого ряда явля�
ются периодические функции с периодом 211', то в случае сходимости ряда ( l) его
сумма S(ж) будет периодической функцией с периодом = 211':
Т
\ S(ж + 211') = S(ж), ж Е (
-оо,
+oo).
j
/(ж) с периодом Т = 211' в триго­
нометрический ряд ( 1 ) означает найти сходящийся тригонометрический ряд, сумма
которого равна функции /(ж).
Оnредеаеиие. Рtl31lожить периодическую функцию
§ 2. Ортогональность тригонометрической системы
Оnредеаеиме. Функции /(z) и g(z), непрерывные на отрезке [а, Ь] , называются ортого­
нальными на этом отрезке, если выполнено условие
ь
J /(z)g(z)
Cl
Например, функции
th = О.
/(ж) = ж и g(ж) = ж2 ортогональны на отрезке (- 1 , 1], так как
1
1 .
j ж · ж2dж = j ж3dж = О.
-J
-J
ОnредеJ18иие. Конечная или бесконечная система функций
�I (z), �2 (ж), . . . , �n (ж), . . . , где �n (z)
�О
(n = l, 2, . . . ) , интегрируемых на отрезке [а, Ь] , называется ортогональной системой
на отрезке [а , Ь], если для любых номеров т и n таких, что т =F n, выполняется
равенство
ь
J �m(z)�n(ж) dж ::::: О.
Cl
Теорема 1. Тригонометрическая система
l,
cos ж, sin ж, cos 2ж, sin 2ж, . . . , cos nж, sin nж,
ортагональна на отрезке [ -11', 1r].
..
.
62 ------ Глава хх. Рlдw Фре
41111
При любом целом n :/:- О имеем
..
J 1 · cos nж
_,..
dж
,
=
sin nж ,.. =
-- ,.. О,
n _
!,.. l · sin nz dz
_
=
,..
,
cos nж ,..
- -= О.
n _,..
С помощью известных формул тригонометрии
cos(а - fJ) + cos(а + fJ)
cos(а - fJ) - cos(а + fJ)
.
.
cos a cos fJ =
,
stn a sш fJ =
2
2
для любых натуральных т и n, т :/:- n, находим:
..
..
j cos тж cos nж dж � j [соs(т - n)z + соs(т + n)z]
=
_,..
=
..
j
_,..
=
sin тж sin nж dж
=
=
Наконец, в силу формулы
_
!
,..
,
[
sin(т - n)z ,..
sin(т + n)z
+
_
2
т-n
,..
т+n
0,
dж
,.. ]
_,..
..
� j [соs(т - n)z - соs(т + n)ж] dж
_,..
[
!
2
,
sin(т - n)z .. _ sin(т + n)z
т+n
т-n
_,..
=
=
=
,.. ,.].
_
=
О.
sin(a - fJ) + sin(a + fJ)
.
sш
,
a cos fJ =
2
для любых целых т и n получаем
..
j sin тж cos nж dж
_,..
При т = n имеем
=
,..
! cos2 nж
,..
J
-'11'
J
-'11'
..
� j [sin(т - n)z + sin(т + n)z] dж
!
2
,..
_
[-
dж
=
. 2 nж dж
sш
=
-lf
..
=
sin nж cos nж dж =
..
J
-'11'
, ,.. _
соs(т - n)z ,..
т-n
_
j,.. 1 + cos2 2nz
-lf
dж
j 1 - cos 2nz dж
..
-'11'
2
sin 2nж
cos 2nж
--- dж = 2n
2
,
,..
_
,..
=
,]
соs(т + n)z ,..
т+n
_,..
=
!
2
[\
ж
= 11',
=
О. •
,..
_,..
+
=
О.
,.. ]
sin 2nz
2n _,..
=
11' ,
§ 3. Трмrоt10118Тр11' р11Д Фре
_______
§ 3. Тригонометрический ряд Фурье
83
Поставим себе задачей вычислить коэффициенты ао , an , Ьn ( n = 1 , 2, . . . ) тригоно­
метрического ряда (1) , зная функцию /(ж).
Теорема 2. Пусть равенство
/(ж) =
()()
cos nж + Ьn sin nж)
� + L:<an
=l
(1)
n
имеет место для всех значений ж, при'lем ряд в правой части равенства сходится равно­
мерно на отрезке [ -1r, 1r]. Тогда справедливы формулы
an =
Ьn =
11"
� j /(ж) cos nж dж
11"
� j /(ж) sin nж dж
-11"
(n = О, 1 , 2, . . . ) ,
(2)
.
(n = 1, 2, . . ) .
� Из равномерной сходимости ряда (1) вытекает непрерывность, а значит, и инте­
грируемость функции /(ж). Поэтому равенства (2) имеют смысл. Более того, ряд (1)
можно почленно интегрировать. Имеем
или
11"
J /(ж) dж = CIQ1r,
-11"
откуда и следует первая из формул (2) для n =
О.
Умножим теперь обе части равенства ( 1) на функцию cos тж, где т
нос натуральное число:
/(ж) cos mж =
()()
-
произволь­
� соs тж + L(a
n cos mж cos nж + Ьn cos mж sin nж) .
=l
n
(3)
Ряд (3), как и ряд (1) , сходится равномерно. Поэтому его можно интегрировать почленно,
•
11"
j J(ж) соs тж dж = � j соs тж dж +
�
�
+
f;; (•.Z
cr. mz cm nz dz + Ь.
l
)··
� mz sin nz dz
64 ------- ГIIIIII ХХ. PIIAiol Фре
Все интегралы в правой части, кроме одноrо, каrорый получается при
нулю в силу ортоrональности триюнометрической системы. Поэтому
,..
J
f(ж) соs тх dж = ат
откуда
О.т =
,..
,..
j
f(x} sin тх dж = Ьт
откуда
' Ьт =
,..
j cos2 mx dx = o.m11',
-11"
� J f(ж) соs тж dх,
Аналоrично, умножая обе части равенства
получим
,..
�j
n = т, равны
( 1)
11"
j
/(ж) sin mx dx,
т = 1 , 2, . . . .
на
sin тж
и интегрируя от -1r до
1r ,
2
sin тх dж = Ьт1r,
т = 1 , 2, . . .
. �
Пустьдана произвольмая периодическая функция f(ж) периода 2'JI', интегрируемая
на отрезке [ -'JI', w ] . Можно ли ее представить в виде суммы некотороrо сходящеrо­
ся тригонометрическою ряда, заранее неизвестно. Однако по формулам (2) можно
вычислить постоянные а,. и Ь,. .
Оnределе1111е. Тригонометрический ряд
00
коэффициенты ао, а,.,
а,.
Ь,.
� + l:<o.n cos nж + Ьn sin nx),
n=l
Ь,. котороrо определяются через функцию /(ж) по формулам
=
=
,..
�j
�j
_,..
,..
_,..
/(ж) cos nж dж,
n = О, 1 , 2, . . . ,
f(x) sin nx dx,
n = 1, 2, . . . ,
называется тригонаметрическим рядом Фурье функции f(x) , а коэффициенты а,. , Ь,. ,
определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции /(ж).
Каждой интегрируемой на отрезке
ветствие ее ряд Фурье
/(ж) "'
00
(-1r, w ] функции f(ж) можно поставить в соот­
� + l:(a,. cos nx + Ь,. sin nz),
n=l
§4. Достаточные ycJIOIIИI paaiO
i JКIIМOCПI фукхции В р!1Д Фурье ------- 65
т. е. тригонометрический ряд, коэффициенты которого оnределяются по форму­
лам (2). Однако если от функции /(z) не требовать ничеrо, кроме интегрируемости
на отрезке [ -1r, 1r] , то знак соответствия в последнем соотношении, вообще говоря,
нельзя заменить знаком равенства.
Эамеt!ание. Часто :rребуетсн разложить в триюнометрический ряд функцию f(x), оnределенную ТОЛЬJШ
на О'l])езке [-11", 1r] и, следовательно, не ЯВIIЯIОШУIОСЯ периодической. Так как в формулах (2) для
коэффициентов Фурье интеrралы вычисляются по о:rрезку { -11", 71'], то для такой функции тоже можно
написать триrономе'l])ический ряд Фурье. Вместе с тем, если nродолжить функцию f(x) периодически
на всю ось Ох, то nолучим функцию F(z), nериодическую с nериодом 271', совnадающую с f(:r.) на
интервале (-11', �r):
F(z) = /(z) Vx Е (-11', �r).
Э1у функцию F(x) называют периодическим продолжением функции f(x). При этом функция F(z). не
имеет однозначного определения в точках х == ±w, ±З�r, ±5'11' , . . . .
Ряд Фурье для функции F(z) 'I'ОЖдествен ряду Фурье для функции f(x). К тому ж:е, если ряд
Фурье для функции /(z) сходится к ней, то ero сумма, ямяясь периодической функцией, дает перио­
дическое продолжение функции f(z) с отрезка {-w, ?r) на всю ось Ох . В это.м смысле говорить о ряде
Фурье для функции /(z) , определенной на О'l])езке [-w; w] , равносильно тому, что rоворить о ряде
Фурье для функции F(z) , JlRЛЯюшейся периодическим продолжением функции f(x) на всю ось Ох.
Оrсюда следует, что признаки сходимости рядов Фурьедостаточно сформулироватьдля периодических
функций.
§ 4. Достаточ ные условия
р83110>КИМОСТИ фу НКЦИИ
В
Приведем достаточный nризнак сходимо­
сти ряда Фурье, т. е . сформулируем усло­
вия на заданную функцию, при выполне­
нии которых построенный по ней ряд Фу­
рье сходится, и выясним, как при этом ве­
дет себя сум�а этого ряда. Важно подчерк­
нуть, что хотя приведенный ниже класс
кусочно-монотонных функций и является
достаточно широким, функции, ряд Фу­
рье для которых сходится, им не исчерпы­
ваются.
ряд Фурье
!1
о
а
ь
Рис. l
Оnределение. Функция
называется кусочио-монотонной на отрезке [а, ЬJ , еслИ этот
отрезок можно разбить конечным числом точек а < х1 < х2 < . . . < Xn -l < Ь на
интервалы (а, :�:1) , (х1 , х2), . . .
монотонна, т. е .
Ь), на каждом из которых
либо не убывает, либо не возрастает (см. рис. l ) .
f(x)
f(ж)
, (xn,
Пример 1.
Функция
Пример 2.
Функция
/(z) = :r?
является кусочно-монотонноА на интервале ( -оо, оо) , так.как этот интервал можно разбить на два ин­
тервала (-оо, О) и (О, +оо), на nервом из которых она убывает (и значит, не возрастает), а на втором
возрастает (и значит, не убыв ает) .
кусочио-монотонна на отрезке (-�r, 1r], так как этот отрезок можно разбить на два интервала (-1r, O) и
(0, 1f , на nервом из которых J:OS z возрастает от -1 до + 1, а на втором уб1>1вает от + 1 до - 1 .
)
j(x) = cos x
66 -------"--
rпава ХХ. PlдW Фурt.е
Функция f(ж), кусачно-монотонная и ограниченная на отрезке [а, Ь], может
иметь на нем только точки разрЬlва первого рода.
• Пусть, например, ж = с, с Е ( а, Ь) - точка разрыва функции f(ж) . Тогда в силу
ограниченности функции J (ж) и монотонности по обе стороны от точки с существуют
Теорема 3.
конечные односторонние пределы
lim
f(ж) =
z-c
z<c
f(c - 0) ,
lim
f(ж)
ж-с
z>c
= f(c+ 0).
·
Это означает, что точка с есть точка разрыва первого рода (рис. 2).
Jlloo
Если периодическая функция J(ж) с периодом 211" кусачно-монотонна и огра­
нич�на на отрезке [ -1Г, 1Г ], то ее ряд Фурье сходится в каждой точке ж этого отрезка,
причем для суММЬl
ао �
S(ж) = 2
+ L.)an cosnж + Ьn sш. nж)
n=l
этогоряда вьтолняются равенства:
1) S (ж) = J(ж), если -11" < ж < 1Г и ж является точкой непрерЬlвности f(ж),
2) S (ж) = НJ(ж+О)+f(ж-О)] , еслu -11" < ж < 1Г и жявляетсяточкойразрываf(ж),
3) S (-1Г) = S(1Г) = H J < - 11" + О) + f(1Г - 0) ] .
Теорема 4.
00
11
11
о
z
Рис. 3
Рис. 2
Пример 3. Функция
f(x) nериода 211', оnределяемая на интервале (-1r, Jr) равенством
/(z) = 1r -z
{рис. 3), удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому ее можно разложить в ряд Фурье. Находим для нее
коэффициенты Фурье:
"
(1r - х)2 1" == 211',
dx
==
(
j
)
х
21f
1f
"
" -..
sinnx l"
sinnx ) == -(Jr
l - x) -an = -1 j (1r - x) cosnx dx = -l j (1r - x) d ( -ао
=
_!_
1r
_..
1r -
1r
n
1r
cosnz2 l" - cos(-шr) -cosnJr
- О, n - I, 2, . . .
-- 1rn1rn2
_
-к
-�
_.,.
_
_
_
·
"
j
+ - sinnxdz =
l
n -.. Jrn
-т
§ 4. ДостiТО'IIIые усповм ра3110DМ0СТМ фун�ЩМJ� в р11Д Фурье ------
.
1
1 т
Ьn = ; j (1r - z) sш nz dж =
;
-•
""
j (1r - ж) d
-r
..
cosna:
(- -n )
�
�
j cos nz dz =
= - (:�r - ж) cosnz)� 1rn
.. 1rn
1
= -211' cos(-n11')
1m
1
"
2
(-1)n
sin nzl- = - cos nll' = 2-- n = 1 , 2, . . . .
n
1\'n
т n
---r
Ряд Фурье Д11Я данной фун1Щ111и имеет вид
11
Пример 4. Разложить фунiЩIIIю
z
О
/(z) = { ж,, о � <ж < <11",О,
-Jr
в ряд Фурье (рис. 4) на интервале (-•, 11').
Рис. 4
,.. данная функция удовпетворяет усооеиям теоремы. НаАдем коэффициенты Фурье. Исnользуя свой­
ство аддитивности оnределенного и�m�rpana, будем иметь
во = � j / (z) dz =
-т
�(j
-т
) �(i
( l
О f(z) dz =
/ (z) dz + j
..
..
j z cosnz da: = j z d
1
-т
) �
)
т
О z dж = � � О = �'
O · dz + j
sin nz
1 z sinnz ,.. 1 т
( --;:;---) = W -n- - n j sin nж dz =
о
о
о
о
1_
cos.nJГ - 1 (- 1).. - 1
1, 3, 5, . . .
n
дпя
-�
=
..
_
=
cosnz
={
=
1rn2
1rn2
дпя n 2, 4, 6,
О
Bn =
1
W
l
11"
•
0
. . •
� j z sinnz dz = � j z d (- cosnnz ) =
о
о
cos n
z c nz
1r =
=�
+ � cosnz dz = :
n
Ь,. =
(
[ i
-
)
Сnедоватеnьно, ряд Фурье имеет сnедующий вид:
cos Зz
�
cos z sin z sin 2x
(- �
n = 1 , 2, . .
n
sin3z sin 4a:
_
+
+
/ (z) = 4 +
11'
2
11" 32
4
1r � 2 cos(2n - l)z
+l
sin
nx
n
+
z
(- 1 )
- 4 ,tl ; (2n - J)2 +
-n-] ' -1Г < < 11'.
_
На концах О1реЗКЗ
будем иметь
рода,
[
_
�
_
..
�11" cos5z
+ )
j2
...
[-1r, �r}, т. е. в точках ж = -11' и z = 11', которые являюrея точками разрыва первого
+ 11' 11"
=
/(-11") = / (11") = 0
2'
Замечание. Если в найденном ряде Фурье положить ж = О, то получим
11" 2 1
1
1
0 = 4 - ; ( jl + p + ? + . . . )
откуда
,
'
rпаеа хх. Pll.t\W Фре
68
§ 5 . Разложени е в ряд Фурье четных и н ечетных функци й
/(ж), определенная на отрезке [ -l, l] , rде l > О, называется четной, если
j /(-ж) = /(ж) для всех ж Е [-l, IJ. j
Функция
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Функция
определенная на отрезке [-1, l], rдe l >
называется нечетной,
если
для всех Е [-l, l] .
/(ж),
1 /(- ж) = -/(ж)
ж
О,
j
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример.
а) Функция
/(z) = cos z
является четной на отрезке f-Jr, Jrj , так как
дт� всвх
б)
cos(- x) = cos(z)
z Е (-1r, 1r].
<J>Ункция
где
-1r
:::; z
:::;
для всех х Е
в) Функция
/(z) = Sin z ,
"", является нвчетноо, так как
sin(-z) = - sin x
(-1r, 1r].
где -Jr � х �
1r, не nринадлежит ни к четным, ни к нечетным функциям, так как
/(-x) = x2 + :.r:, f(-x) :f;. x2 - x, /(-:.r;) :f;. z х2 дml z E (-?r, 1r], x :f;. O.
j(ж), удовлетворяющая условиям теоремы l , является четной на
Пусть функция
отрезке [ -1r, 1r } . Тогда
J(- ж) cos(-nж) = J(ж) cosnж,
/(- z) sin( -nж) = - J(ж) sin nz для всех z Е [-1r, 1r] ,
т. е. /(ж) cos nx является четной функцией, а /(ж) sin nж
нечетной.
коэффициенты Фурье четной функции /(ж) будут равны
•
1r
_: j
_!.. j
= ; j j(ж) sin nж = О, n =
an = '1f J(ж) cosnж dж = '1f /(z) cosnж dz, n = О, l , 2, . . . ,
-1r
Ьn
1r
.
о
dz
1 , 2, . . . .
Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид
00
ао ""'
/(ж) = 2
+ .L..J an cosnж.
n=l
Поэтому
------
§ 5. Раэпожение 1 рtД Фурье четных м нечетных функцмй
69
Если f(x) - нечетпая функция на отрезке [-11', 1r) , то произведение f(x) cos nx
будет нечетной функцией, а произведение f(x) sin nx - четной функцией. Поэтому
будем иметь
an =
Ьn
=
11"
�j
f(x) cos nx dx = O
-11"
11"
�1
f(x) sin nx dx =
для
11"
�1
n = 0, 1 , 2, . . . ,
f(x) sin nx dx
о
-11"
Таким образом, ряд Фурье нечетной функции имеет вид
/(х) =
n=
для
1, 2, . . . .
00
L: Ьn sin nx.
n=l
Пример 1. Разложить в ряд Фурье на отрезке -11"
� z � 1r функцию
f(z) = z2 .
.,. Так как эта функция четная и удовлетворяет условиям теоремы 1, то ее ряд Фурье имеет вид
ао
оо
z2 = т + L: an cos nz.
n=l
Находим коэффициенты Фурье. Имеем
� j.. z2 dz = �1r zз l.. == � 11"2.
3 o
3
интегрирование
по
частям,
получим,
что
...
2j
( sin nz )
2j
= 1r z2 cos nz dz 1r х2d -ао
Применяя дважды
an
2
= 1r
о
==
(
4
= -n2 1r
=
1.. 1..
( ,.. !.-
sinnz
z2 -- 0
n
z cosnz
-
о
2
n
-
о
""
о
о
==
) 1..
n
x sin nx dx
cos nz dz
)
=
4
mr
(
cos nz
x d -n
4
(- l )n
= � 1r cos mr = 4 -- ,
n 1r
n2
--
Значит, ряд Фурье данной функции выглядит так:
00
""
( )n cos nz
1r2
Z2 = - + 4 L... .- 1
n2 '
3
n=l
или, в развернутом виде,
1r2
cos z cos2z cos 3z
-...
х2 - з - 4 т - ----р- + зг_
)=
(
'
n == 1, 2, . . . .
).
Это равенство сnраведливо для любого z Е [ - 11" , 1r) , так как в точках z = ±1r сумма ряда совnадает со
значениями функции /(z) = z2 , nоскольку
11"2 11"2 11'
/(-11") + /(11")
= 2 = /(11") = /(-11").
=
2
'
Графики функции f(z) = z2 и суммы полученного ряда даны на рис. 5. .,.
;
Замечание. Эrот ряд Фурье позволяет найти сумму одноrо из сходящихся числовых рядов, а именно,
при z = получаем, что
О
70 --------'-- Глава ХХ. Рlды Фур!.е
"
Пример 2. Разложить в рiщ Фурье на ин­
тервале _ ,.., функцию
( 7r)
/(z) z.
<11 Функция /(z) удовлетворяет условиям
=
теоремы 1 , следовательно ее можно раз­
ложить в ряд Фурье, который в силу не­
четности этой функции будет иметь вид
00
z L Ь,. sin nz.
n=l
=
Интегрируя по частям, находим коэффи­
циенты Фурье "
Ь,.
2
=
=
;r
j zsinnzdz
о
� i z d (- co:;z )
2
=
- -n cos mr
= -
2
=
Рис. S
=
n
- -(-1 )"
n� (zcosnz l: - i cosnzdz)
l
(- l)n+ , n = 1, . . . .
2,
2 --n
=
=
Следовательно, ряд Фурье данной функции
имеет вид
"
sinnz - 2 (.\smz sin2z + ...) .
n
2
Это равенство имеет место для всех z Е
(-r, ) В точках z ±,.- сумма ряда Фу­
рье не совпадает со значениями функции
/(z) z, так как она равна
1
] -7r2+7r
О
2 [/(-7r) + /(r)
Рис. б
Вне отрезка [
r]
сумма ряда является периодическим продолжением функции /(z) z; ее график изображен на рис. 6.
L..J.
z _ 2n
_
n=l
_
l) + I
"
.
_
1r .
_
=
=
=
-
=
.
,.. ,
_
=
§ 6. Разложение фун кции, зада нной н а отрезке ,
в ряд по си нусам ил и по косинусам
Пусть ограниченная кусочио-монотонная функция J (х) задана на отрезке [О, 1Г] . Зна­
чения этой функции на отрезке [ -1Г, О] можно доопределить различным образом. На­
пример, можно определитьфункцию f(x) наотрезке [-1Г, r] так, чтобы f(x) = /(-х) .
В этом случае говорят, что f(x) «продолжена на отрезок [-r, О] четным образом•; ее
ряд Фурье будет содержать только косинусы. Если же функцию f(x) определить на
отрезке [-1r, r] так, чтобы f(x) = f(-x) , то полуЧится нечетпая функция, и тогда
говорят, что f(x) «продолжена на отрезок [-1Г, О] нечетным образом•; в этом случае
ее ряд Фурье будет содержать только синусы.
Итак, каждую ограниченную кусочио-монотонную функцию f(x) , определенную
на отрезке [О, 1Г] , можно разложить в ряд Фурье и по синусам, и по косинусам.
-
Пример 1. Функцию
разложить в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.
§ 7. Р11д ФурJ.е дnt функции с nроitэаопьным nериодом
____
� Данная функция при ее четном и нечетном
продолжениях в отрезок [-1r, О) будет огра­
ниченной и кусочно-монотонной.
а ) Продолжим f(x) в отрезок [-1r, О)
четным образом {рис. 7), тогда ее ряд Фурье
будет иметь вид
оо
11" - Х = ао
т + L: an COS nX,
�
j
�
j
n=l
�
71
"
Рис. 7
1
,
<�r - x) dx = - - (7r - x)2
где коэффициенты Фурье равны соответственно
2
ао = 7r
2
an = ;r
=
o
о
7r
2
(1r - :r:) cosnx dx = ;r
j�
о
= 11",
о
( )
sin nx
(1r - x) d -n
[
2
sin nx
= ;r (�r - x)-n
cos nx l = �(1 - cos n7r) = � [ 1 - (- l )n] = {
-�
1rn
1rn
1rn
о
,.
Следовательно,
11" - Х =
1r
2
+
4 (cos :r:
cos Зх
r r + J2
б) Продолжим f(x) в аrрезок [ -�r, О)
нечетным образом {рис. 8). Тогда ее ряд Фурье
7r
-
2
Ьп = ;:
:r:
J
=
7:
+
cos S:r:
---sг + • • •
о
1,
]
=
4, 6, ...
0 � Х � 7r.
11
00
n=l
<�r - x) sin n:r: dx =
о
[-(1r - :r:)� �r о
и поэтому
"'
j sш. n:r: dx
L Ьn sin n:r:, ·
"'
j(1r - x) d (- cosnx )
- =
n
о
,.
j
�
�
cos n:r: dx = � - � = � .
=
1r
n
n
1r n
n
2
= ;r
о
+ ;1
для n ::: 3, 5 , . . . '
для n ::: 2,
.
�
О
)'
�
�
о
(
]
Рис. 8
n = 1, 2, . . . ,
sin :r: sin 2:r: sin З:r:
�- + -- + -- + · · ·
7r - x = 2 з
2
)
§ 7. Ряд Фурье дпя фун кции с произвол ьным периодом
Пусть функция f(x) яwшется периодической с периодом 21 , l ::/= О. Для разложения
ее в ряд Фурье на отрезке [-l, l], где l > О, сделаем замену переменной, положив
= f
х=
Тогда функция
будет периодической функцией аргумента с
периодом 211" , т. к.
�t.
F(t)
( �t)
t
·
72
-------
Глава :ХХ. Р.ды Фур.е
и ее можно разло�ить на отрезке [ -1Г, 1Г] в ряд Фурье
F(t) = f (� t) = �о + �(an cos nt + Ьn sin nt) ,
,..
где
an = � J ( � t) cos nt dt (n =
,..
Ьn = � J (� t) sin nt dt (n =
_,..
J
)
О, 1 , 2, . . . ,
)
Возвращаясь к переменной :с, т. е. положив t = f:c, dt = т dx, получим
а '""' (an cos n1rx + Ьn sin n1ГХ ) ,
/(:с) = 2о + L...
n=l .J
an = 1 f(:c) cos n1rx dx, n = О, 1 , 2, . . . ,
_,..
J
00
-1
1
-1
J
Ьn. = J /(:с) sin n1rx dx,
l
1
l
1 , 2, . . . .
--
l
-/
1
-1
-/
n = 1 , 2, . . . .
21Г,
Все теоремы, справедливые для рядов Фурье периодических функций с периодом
остаются в силе и для периодических функций с произвольным периодом 2l . В част­
ности, сохраняет свою силу и достаточный признак разложимости функции в ряд
Фурье .
·
11
Пример 1. Разложить в ряд Фурье периоди­
ческую функцию с периодом 2/ , заданную на
отрезке [-1 , 1} формулой
f (x) = lx l
(рис. 9) .
.,. Так как данная функция четная, то ее ряд
Фурье имеет вид
""
а0
n11'x
lx l = 2 L an cos -- ,
+
где
ао
2
= l
2
an = l
2
1
1
n=l
j х dx = 1,
о
Рис. 9
j х cos -П11'Х1- dx = l2 j х d ( n11'1 sin -П11'Х1- ) = 11'n j х d (sin -П71'Х1- ) =
о
= :�rn
l
(
n1ГХ
1
1 /1
x sin - о
о
о
l
)
2
о
l
2 1
n1rx
n1ГХ
sin - dx = - - cos 1
{
41
О
n1r 11'n
21
21
.
n
= 22 (cos n11' - 1 ) = 22 [( - 1) - 1) =
n 71'
n 1r
- ;;r,;!
1
1
о
, .,
для n = 1 ' 3' 5 . . .
для n = 2, 4, 6, . . .
-----�----�
(cos- -�.,)
О 7. Р!1д ФурJ.е дт1 функции с nроизво.nьНiоlм периодом
73
Подставл� в ряд Фурье найденные значения коэффициентов Фурье, nолучим
4l
11'2
1
для -l � x � l.
2
•
т
�2-
+
cos
32
+
cos
+···
Отметим одно важное свойство периодических функций.
Теорема 5. Если функция. !(х) имеет период
вьтолняется равенство
Т и интегрируема, то для любого числа
а
Т
а+Т
j f(x) dx = j J(x) dx,
О
а
Т, имеет одно и то же значение
т. е. интеграл по отрезку, длина которого равна периоду
независимо от положения этого отрезка на числовой оси.
<CII
В самом деле,
а+Т
Т
а+Т
j f(x) dx = j f(x) dx + j f(x) dx.
t + Т, dx = dt . Эrо дает
j J(x) dx = j J(t + Т) dt = j J(t) dt j J (x) dx,
а
а
Т
=
Делаем замену переменной во втором интеrрале, полагая х
а+Т
а
а
а
=
т
о
и следовательно,
а+Т
�о
Т
а
о
а
Т
т
j f(x) dx = j J(x) dx + j J(x) dx = j J(x) dx + J J(x) dx j J(x) dx.
О
О
а
а
а
о
Геометрически это свойство означа­
� О площади
ет, что в случае
заштрихованных на рис. 1 О областей
равны между собой. .,
f (x)
Т = 21r
В частности, для функции f(x) с периодом
получим при
1С
а=
21С
- 1r
J f(x) dx j f(x)
-..
о
dx.
Пример 2. Функция
f(x) = sin7 х
является периодИческой с периодом
Т = 211'. В силу нечетности данной функции
любом а
Рис. IО
без
2Jt
j
о
sin1
вычисления интегралов можно утверждать, что при
х dx =
1f
j sin7 х dx
-.-
=
О.
74 ---,.....--- Гяна хх. ft1дW фур1ое
Доказанное свойство, в частности, показывает, ч то коэффициенты Фурье перио­
дической функции f (x ) с периодом 21 можно вычислять по формулам
1 j J(x) cos n1rx
tk
=a+2l
an
l
(n = 0, 1 , 2, . . . ) ,
(1)
(n = l , 2, . . . ) ,
(2)
l
1 j f(z) sin n1rx dx
Ь,. = l
a+2l
-1-
а
где а - произволъное действительное число (отметим, что функции cos n�z и sin т
имеют период 2l).
Пример 3. Разложить в ряд Фурье зад<�нную на интервале О < � < 211" функцию
/(ж) =
211' (рис. 1 1 ).-'
с периодом
{. �1, - �,
вели О < � < 1r,
вели ,.. <
z
< 21r,
,
Pиc. l l
.. Найдем коэффициенты Фурье данной функции. Положив в формулах (1) и (2) а == О, l
что
ао
j /(x.) dz = ,..1 . [j..<1r - x) d� + j.,.
2
1 2..
= ,..
а,. =
о
о
Hi
[/..
(
1
.
о
J
/
(1r - x) cos nx dx +
..
..
]
dx =
.
,..
;2
] �j
] [/..
) !_ [�
cos nx dx =
о
=
1
-(1r+ (-1)" - 1) =
mr
{�
для n
{
)
(1r - �) co8 nx dx. =
(
1, 3, . . .
,
для n == 2, 4, . . .
.
""
1r ,
найдам,
,
для n = 1, 3, .
о
для
2..
cos n�
cos n� 2..
1
<1f �) sin nx dx + sin n� dz == ;: (1r - �) d - -- - -ь.. = ;:
n
n
0
"
о
..
1 - ,.. - �
(-1)"
" 1 - cosn11"
+
cos nx =
1r
n
0
n
1r n
n
j
==
n
,]
• •
,
2, 4, . . .
,
�
Следовательно, ряд Фурье будет выглядеть так:
f (z ) =
ДЛЯ 0 <
Х
11" + 2
4-
< 211'.
+
2 cosx
11'
2 cos 3x 11" - 2 sin 3x sin 4x
,.- - 2 sin x
sin 2x
+ -- + . . .
+ -+ -.-.-- + -- +
4
2
11'
1
1f
11"
'
оs. �омn��евнn 3IIIIICio PIA8 .,....
В точке z
------ 75
= 1r (точка разрыва первоrо рода) имеем
/(z) =
О) + /(7r + О)
2
f(1r
0+ 1
=
:z· �
l
§ 8. Коммексная запись ряда Фур ье
В этом параграфе используются некоторые элементы комnлексного анализа (см. гла­
ву ХХХ, где все, производимые здесь действия с комплексными выражениями, строго
обоснованы).
Пусть функция
удовлетворяет достаточным условиям разложимости в ряд
Фурье. Тогда на отрезке [ -r, r) ее можно представить рядом ВИда
J(x)
/(х) =
�
00
L:<an cos nx + Ьn sin nx).
+
Используя формулы Эйлера (см. "'"'*)
einz ==
nx + i sin
найдем, что
cos
cosnx = ei z
n
+
( 1)
n>=l
nx,
e -in:r =
cos nx
-
i sin
nx,
e-inz
2
Подставляя эти выражения в ряд (1) вместо cos и sin
будем иметь
n
n
ао
00
:r
е
n
е
ei + i z
i z е•м
=
+ tbn
an
/(х) = 2 +
2
2
n=:l
+ Ь
an - iЬn ;�
ао
е + an i п е -iпz
= 2 + .L."
2
2
n=1
Введем следующие обозначения
а,. - iЬп
ао
2
L:
�
= ео,
Тогда ряд (2) примет вид
J(x) =
(
(
nx
·
nx,
.
)
)
·
= с,. ,
2
00
Со +
'L: (en einz + C....ne-inz) .
n=l
Иреобразуем правуючасть этого равенства следующим образом
оо
-оо
оо
оо
c,.einz + L: c,.einz =
C_n e-inz = Со +
c,.einz +
/(х) = Со +
n=:l
n=-1
n=l
n=1
00
-1
-1
00
nz
n
n
= L: c,. ei + Со + L: c,.ei z = L: с,. е•- + L: en ei z .
n=-oo
n=l
n=:-oo
n=:O
L:
L:
L:
(2)
� --
--- ruu iOL � �
После.цнее равенство можно заnисать так:
+оо
n
/(х) = nL:
en ei z.
=-oo
(
(3)
Таким образом, ряд Фурье 1) предстамен в комплексной форме (3).
Найдем выражения коэффициентов и C-n через интегралы. Имеем
.
1r
iЬn
ttn
.
J
th
dx - t
Сп
(x) cosnx
1 (11"f
.1 J(:c) sш na: ) =
=
=
Сп 2 21r
= 2� 1 /(x)(cosna: . i sin nx) = 2� j J(a:)e-inz da:.
1r
da:
1r
Аналогично находим
Оконqательно формулы для
Сп, c_n и можно записать
Сп = 2� 1 J(a:)e-in:z dz,
Со
1r
так:
-11"
nКоэффициенты
= О, ±1, ±2, . . .Сп. называются комплексными коэффициентами Фурье функции
). я периодиqеской функции J(z) с периодом Т = 2l (l > О) комплексная форма
/(zДл
где
ряда Фурье примет вид
+
оо
/(z) = nL
=--oo enei �.
(4)
где коэффициенты Сп :вычисляются по формулам
l
Сп = ;l 1 J(a:)e-i � dx, . n = О, ±1, ±2, . . . .
Сходимость рядов ( 3) и (4) понимается так: ряды (3) и (4) называются сходящимися
для данного значения z , если существуют пределы
-J
Пример.
Разложиn.
в комnлексный ряд Фурье функцию nериода 2'11"
/(%) =
{ ?:
-�;:; 2:
§ 9. PQw Фурм по общим ортоrонuьмым системам фyнiЩidl
_______
тr
� Данная функция уДОIIЛетворяет достаточным условиям разложимости в ряд Фурье. Пусть
f(x) =
L c,.i=.
+оо
(-�е-'""'/")
j (x)e-'""' dz = _!_
j.. dx = _!_
с" = _!_
2'11" - f
211"
211"
.0
1- (
) + i sin(-n!r) = 1 i (-1 )" - 1
=
=
"
Найдам комnлексные коэффициенты Фурье этой функции. Имеем
=
е_,...,
cos -щr
0
cosmr
2!1'ni
2•ni
или, tropO'IВ,
Подставляя значения
щ
с,.
C:z..- t =
21rn
1r(2n
e-inr
{
l2кni
о
=
Дf\Я нечетнык
n,
Дf1Я четных n,
C2n = О.
1) '
в ряд (3}, окончательно nолvчим
f(z) = -;i �00
,.
+оо
Заметим, что этот ряд можно эаnисаТit и
ei(2n-l}:o
-Jr < z < O,
ln - l ,
O < z < Jr.
тэк::
+оо i(2n+l):o
1
/(z) = - ; n=�oo e2n + 1 ' /(О) = 2 " .,..
i
·
§ 9. Ряды Фурье
по общим ортогонапьны м системам фун кций
9.1 . Ортоrонапьные системы функций
Обозначим через L2[a, Ь] множество всех (действительных) функций, оnределенных
и интегрируемых на отрезке [а, Ь] с квадратом, т. е. таких, для которых существует
интеграл1>
В частности, все функции J(x) , неnрерывные на отрезке [а, Ь], nринадлежат L2[a, Ь} ,
и значения их интегралов Лебега совnадают со значениями интегралов Римана.
Оnредепе��ие. Системафункций {'-Pn (х)} , где '-Pn (х) Е L2 [а, Ь] , называется ортогонШ/r;,ной
на отрезке [а, ЬJ, если
' ('-Pm• '-Pn) = J. '-Pm(x)tp,.(x) dx
ь
а
=
{
О
для т :/:. n ,
. Л,. > О для т = n.
( 1)
Условие (1) предnолагает, в частности, что ни одна из функций tp,.(x) не равна
тождественно нулю.
t
) Интеграл nонимается в смысле Лебеrа.
78 _______ r.nua xx. P!lдw CJirP!oe
Введем обозначение
ь
J <р;(а:)
lf<J'nl l2 = (<рп. <J'n} =
4
da:
и назовем величину'II<J'nll � О нормой функции <J'n (ж) .
Если в ортогональной системе {<р,. (х) } для всякого n имеем II<J'nll = l , то система
функций {<рn(ж)} называется ортонор.мированной .
ортонормирована.
Если система {<р,. (а:)} ортогоналъна, то система
{ ];�j/}
Пример 1. Три гонометрическая система
1, cos z, sin z, cos 2z, sin 2:ж:,
ортоrональна на отрезке (-к, кJ. Система функций
1 ' cos ж sin ж
v"ii v"ii ' v"ii ' . . . '
. • .
, cos nж,
sin nz,
cos nж ' sin nж
V21i
v"ii
явmеТС!I ортонормирсванкой Cllicreмoй функций на [-7f, 11"J .
Пример 2 . Косинуо-система
1 , cos т · cos
'II'Ж
Т'
. кz
SIП
-l- ' ·
. 2,.:z
SIП
явmюТСR ортогональными на отрезке [О, 1],
.
2кz
но не
. .
. .
.,
n11"ж
, cos -- ,
,
. n,.:z
, ,
SIП
.
.
• . .
' ...
.
• • •
ортонормироаанными (при l :/: 2),
так как их нормы
Пример Э. М ногочлены, оnределяемые раеенсrвом
P,.(z) =
(n = О,
nри n
при n
1, 2,
=
::=
1
• • •
1 d"(z2 - 1)"
n!2" ___.:.-,d,-,
.:r.".-:-
), называются многочленами (полиномами) Лежандра.
JЬ(z) = 1,
поnучаем
1 d
dii:
Pt (z) = - - (��:2 - 1) = z,
1!2
2 имеем
и т. д.
Можно доказать, что функции
tp,. (z)
образуют ортанормированную
При n == О имеем
�(ж)
= у{2;+1
----т- P,.(z),
n = О, 1, 2, . . .
сисrему функций на отрезке [-1, 1].
(2)
§ 9. Pllдw Фури по о6щим oprorcжaл/ollblМ систем1111 фJнiЩIIii
11
--------�
79
Покажем, например, ортогональносrь полиномов Лежандра. Пусть т > n. В этом случае, интегрируя n раз по частям, находим
-1
� w�w · = 2m2nт!n!
1
1 rr'(x2 - 1 n
)
dz 11
1
=
[
1
tf"-l (z2 - l ) m . ,r+l (z2 l ) n
dzm-1
dz"+l
т!n!2m+ll
1
=
_
11
-11
1
. т!n!2m+n
.
=
-1
·
(
-
1 )11
т!n!2m+n
1
dm-1 (z2 - 1 ) m
dzm- 1
,r-n (z2 - l)m
•
11
-
·
_
1
11 dm-1 (z2
-1
_
dzm-1
,r+l (z2 - 1),.
dz =
dxn+l
]
1) m . ,r+l (x2 1) ,.
dz =
dxn+l
_
1
(-l ) R (2n) ! 1 ,r-11(z2 - 1 )m
d2R(z2 - 1 )"
dx = O
dx =
dz2n
dzm-11
'
т!n!2m+n
'
-1
·
dzm-n
tf" (z2 - 1 ) m
•=
dzm
поскольку для функции Um = (z2 - 1)m все производныв до nорядка т - 1 включительно обращаются
в нуль на концах отрезка [ - 1 , J .
-
l
Определение. Система функций
называется ортогональной на интервале (а, Ь)
с весом
если:
1) для всех n = 1 , 2, . . . существуют интегралы
{!р11 (ж)}
р(ж) ,
ь
1 р(х)У'�(х)
2)
а
dж;
1 р(х)У'm(Ж)У'rа(ж) { 'n
ь
а
dx =
·
О
л
для т i n ,
> О для т = n.
р(ж)
�десь nредполагается, что весовая функция
оnределена и nоложительна всюду на
Интервале (а, Ь) за возможным исключением конечного числа точек, где
может
обращаться в нуль.
р(х)
·
Пример 4. Система функций Бесселя
т. е.
{�(р;х) }:� ортагональна на интервале (О, 1) с весом р(х) = z ,
1
1
о
z� (J.I; z)fi (J.IjX) dx = О
для i # j. Эдесь J.li (i = l , 2, . . . ) - нули функции Бесселя �(х).
Пример 5. Рассмотрим многочлены Чебышева-Эрмнта, которые могут быть определены nри помощи
равенства
2
Н"(х) (- 1) nеz
=
.." _.,1
а
е
--;JX1'
(n = О, 1 , 2, . . . ) .
(3)
Выnолнив дифференцирование в формуле (3), находим
Но (х) = 1 , Н1 (х) = 2z , Н2 (х) = 4х 2 - 2, . . . .
Можно nоказать, что многочлены Чебышева-Эрмита ортагональны на интервале (-оо, +оо) с весом
р(х) = е_.,2 , т. е.
1
+оо
-оо
е
-"'2
Hm (x)H,. (z) dz = О ДЛR т f= n.
80 ------ Глава ХХ. Plaw Фурье
9.2. Ряд Фурье по ортогональной системе
Пусть {'Pn ( х)} ;� ортогональная система функций в интервале ( Ь) и пусть ряд
(4)
CJY?J (x) c2rp2 (x)
CnY?n(x)
( = const) сходится на этом интервале к функции f(ж):
/(х) = CJ Y?J (x) + c2rp2 (x) . . CnY?n(x) + . . . .
обе части последнего равенства на Y'k(x) k - фиксировано) и интегрируя
Умножая
по х до в силу ортогоналъности системы {Y?n(( х)} получим,
ck = 1 j f(x)rpk(x) dx,
(5)
J rp�(x) dx
или
а,
+
+. . . +
t;
+
+ .
от а
Ь,
+ . ..
что
ь
ь
а
а
k = 1, 2, . . . .
Эта
операцияслучаях,
имеет, вообще
говоря,
чисто
формальный характер. Тем не менее,
вY'k(некоторых
например,
когда
ряд
(4) сходится равномерно, все функции
х) непрерывны и интервал ( Ь) конечен, эта операция законна. Но для нас сейчас
трактовка. Итак, пусть задана функция f(z) L2 [a, ЬJ.
важна
именно
Образуем
числаформальная
ck по формуле (5) и напишем
(6)
\ f(z) CJY?J (x) C2Y?2 (z) . . + CnY?n(x) + . . j
Ряд, стоящий
в правой части, называется рядом Фурье функции /(z) относительно
системы
{ Y'n (z)} . Числа называются коэффициентами Фурье функции /(z) по этой
системе.
Знак
"" в формуле (6) означает лишь, что числа связаны с функцией f(x)
формулой
5) (при этом не предполагается, что ряд справа вообще сходится, а тем более
(
сходится
f(x) ). Поэтому естественно возникает вопрос: каковы свойства
этого ряда?к функции
В каком смысле он «ПредставляеТ» функцию /(ж)?
Е
а,
+
rv
+
.
·
Сп
.
Сп
9.3. Сходи мость в среднем
Последовательнос
ть Un(x)} , !п (х) L2{a, Ь] , сходится к элементу fп
если
lim j[l (z) - /11 (x)]2 dx
или, что то же, 1 / - !пll где 11 · !1 - норма в пространстве L2 [a, Ь].
ОпредМение.
в среднем,
Е
L2 [a, Ь}
ь
fl->00
-+ О,
Е
= О,
Теорема 6. Если последовательность {/11(х)} сходится равномерно, то она сходится и
в среднем.
§ 9. "-' Фурье no о6щим орrоrонат.ным С11С78М8М фунJцмii ------ 81
,.. Пусть последовательность {/,.(:r)} сходится равномерно на отрезке [а, Ь] к функ­
ции f (x) . Это означает, что для всякого е > О nри всех достаточно больших n имеем
1/ (х) - f,. (x) l < е Vx Е [а, Ь].
Следовательно,
ь
J [J(x) - /n (x)] 2 dx < е2(Ь
а) ,
откуда вытекает наше утверждение. �
Обратное утверждение неверно: nоследовательность Un (x)} может сходиться
в среднем к f(х), но не быть равномерно сходящейся.
Прммер. Рассмотри��о� nоследовательность
..
Но эта сходимость не равномерна: су1
2 , -такое,
было n , на
1] наЙдеТся точка, имен-
ществует е, наnример, е
'ПО сколь бы большим ни
(О,
но, точка
ж �
/п(ж)
==
,
о � .:t � 1.
,.'!.� /п(ж) "' О Vz Е (О, 1 ] .
Легко видеть, что
отрезке
nz
/ (�) = -l + n2z-2 '
fl
i: /,.(� ) i ·
в которой значение
равно
=
функции
Таким образом, за счет увеличения n
�
сделать неравенство lf,.(z)
Ol <
сnраведпивым сразу Д/IЯ всех значе­
ний :с от О до 1 никак нельзя. Иными
ет номера N,
сnовами, уже
Д/lя е =
� не существу­
который годился бы Д11Я
всех :r: Е (О, 1 ] одновременно (здесь характерен горб
налево с возрастанием n ).
С другой сrороны,
1
J
о
j1 {J +n2n:c22z2 2 dz
[f,.(z) - Oj2 dx
о
'
)
Рис. 12
8ЫСОТЫ
� {рис. 12), «nередвигающиliiся• сnрава
=
так что nоследовательность {!,. (z)} сходится в среднем к функции
/(z) := О.
9.4. Минимальное свойство коэфФициентов Фурье .
Неравенство &ессен. Равенство Парсеваля
Пусть {tpn (x) } , �Pn (x) Е L2 [a, Ь} - ортонормированная система функций на отрезке [а, ЬJ ,
·
ь
J �Pm(ж)tpn (x) dx
а
=
{ �: :: ::
и пусть f (x) Е L2 ( а , .Ь}. Обозначим через ck коэффициенты Фурье функции f (x)
no ортанормированной системе {tpn {x)} :
ck =
ь
j
а
1
f (x) rp�: (x) dx (k = l, 2, . . . ) .
82 �------
Глава XX.hдw Фурье
Рассмотрим линейную комбинацию
Tn(x) = O:t<;'t (z) + а2<р (х) + . . . + O:n<;'n(x),
2
где n � 1 - фиксированное целое число, и найдем значения постоянных а1 , а ,
2
O:n , при которых интеграл
• • •
,
ъ
1 [f(x) - Tn(x)] 2d:l:
а
принимает минимальное значение, Запишем его подробнее
=
ъ
ъ
1 (J(x} - T"(x)] 2 d:l: 1 [!2(х) - 2f(x)T"(x) + т;(х)} dx.
а
а
Интегрируя почленно, в силу ортанормированности системы {Y'n(x)} получим
=
а
,
=
а
n
n
Ъ
с,�;а�:
1 [f(x) - T"(x)] 2d:l: 1 !2(х) d:l: -. 2 ,Е
k=\
Ь
n
+
n
I: ai =
k=l
1 /2(х) d:l: - L
ci + L:<a�: - ck)2•
k=l
k=J
а
Ь
(7)
Первые два слагаемых в правой части равенства (7) не зависят от a�r , а третье слагаемое
неотрицателъно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при а111 = с�:
(k 1 , 2, . . . ) . Интеграл
=
ь
1 [f(x) - Tn(x)] 2 d:l:
а
�tвадратичным приближением функции f(x) линейной комбинаци­
ей Т11 (х) . Таким образом,среднее квадратичное приближениефункции f(х) Е L [a, Ь)
1; 2, . . . ) , т. е. коrда 2Т11(х)
принимает минимальное значение, когда ali: = Ct (k
по
системе {<р"(х)} : Т"(х) =
есть n-я частичная сумма ряда Фурье функции f(x)
S11 (x) . Полагая а�с == с�с , из (7) получаем
называюr среднШt
=
1 [f(x) - S"(x)] 2d:l: = 1 f2(x)
Ь
Ь
4
4
или
d:l: -
n
'Е
k=l
�
с ,
(8)
n
Hf
S"ll =
2
1!/11 - Е ci.
k=l
(9)
Равенство (9) называетсятождеством Бесселя. Так как еrолевая часть неотрицательна,
то из него следует неравенство Бесселя
n
с� � 11 ! 112•
k=l
L
§ 9. Р11ДЫ Фур1.е no общим ортоrоналlоНWМ системам фyнЩIIIi
------
83
Поскольку n здесь произвольно, то неравенство Бесселя можно представить в усилен­
ной форме
00
(10)
2: с� � 1\/\12 ,
т. е. для всякой функции f(ж) Е L2[a, Ь] ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой
функции по ортонормированной системе { lfJn(ж)} сходится.
Так как система
1 cos ж sin ж cos 2ж sin 2ж
..f2i 1 ..f2i ' ..f2i 1 .ffi ..f2i ' . . .
k==l
'
(10)
ортонормирована на отрезке [-1r, 1r} , то неравенство
в переводе на привычную
запись тригонометрического ряда Фурье дает соотношение
00
1'
2 + l:<a� + Ь�) � _!_ J /2(ж)
а2о
1r
k==l
/(ж)
-1'
dж,
( l l)
справедливое для любой функции
с интеrрируемым квадратом.
интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой
Если
части неравенства ( 1 1) получаем, что --+ О, --+ р при k --+ оо.
Равенство Парсеваnt
знак неравенства в формуле
может быть заменен
Для некоторых систем
знаком равенства. Получаемое равенство
(для всех функций
Е
j2 (ж)
а�:
Ь�:
(10)
{lfJп(z)}
f(x) L2 [a, Ь].)
(12)
называется равенством ПapceвOJIII-CmeiCiloвa (усповием полноmЬI) .
Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие ( в равносильной форме
1 J�� 11/ - Snll = 0. ,
12)
Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы Sn(x) ряда
в среднем, т. е. по норме простран­
сходятся к функции
Фурье функции
Ь] .
ства
L2 (a,
f(x)
/ (ж)
Оnредеnение. Ортонормированная система
всякую функцию
{tрп(ж)} называется полной в L2 [a, Ь] , если
можно с любой точностью приблизять в средмем линейной комбинацией вида
n
2: а�:tр�:(ж)
k==l
Ь)
с достаточно большим числом слаrаемых, т. е. еслидля всякой функции f(ж) Е
такие, что
и для любого Е > О найдется натуральное число N0 и числа
а1, а2 ,
•
•
•
, ан0 L2[a,
В4 ------ Гnall8 ХХ. Р!1ды фУри
Из пр�веденных рассуждений следует
Теорема 7. Если ортонормщюванная система {срn (ж)} пална в пространстве L2(a, Ь}, то
системе сходится j(ж) в среднем,
ряд Фурье всякой функции /(ж) Е Lz[a, Ь] по этой
т. е. по норме L2[a, Ь].
те
Можно показатъ, что тригонометрическая система
1
�
cos nж sin nж
cos ж
.ffi ' . . . '
'
v'2ir
'
.ffi
.ffi, ' v'2i '
sin
. .
.
полна в пространстве L2l -1Г, 1Г]. Оrсюда следует утверждение.
Теорема 8. Если функция j(ж) Е L2[ -?Г, 1Г ], то ее тригонометрический ряд Фурье сходится
к ней в среднем.
9. 5. Замкнуrые системы. Попнота и замкнутость систем
Оnредепеиие. Ортонормированная система функций {tрп (ж)} , <р11 (ж) Е L2[a, ЬJ , называ­
ecдJil в пространстве Lz[a, Ь] не существует отличной от нуля функции,
ется
ортогональной ко всем функциям <J'п(ж).
замтснутой,
В пространстве L2 [а, ЬJ понятия полноты и замкнутости ортонормированных сис­
тем совпадают.
УпрDИения
1. Разложите в ряд Фурье в интервале (-'11', '11') функцию
) ::::: {
/ (:е
nри -'11' < :е < О,
nри О < :r < 'К'.
1
О
2. Разложите в ряд Фурье в интервале (-1r, 1r) функцию
f(:e) :::::
{2
nри -1r <
nри О < ж
l
< О,
< ir.
:е
3. Разложите в ряд Фурье в интервале (-'11', 1r) функцию
f(ж) =
{О
nри -'11' < ж О
,
при О � ж < �
11'.
4:-е
4. Разложите в ряд Фурье в интервале ( -'11', '11') функцию
f(ж)
{ Зж-2ж
при -1r < ж � О,
nри О � ж < '11'.
5. Разложите в ряд Фурье в интервале (-'11', 11') функцию /(:е)
6. Разложите в ряд Фурье в интервале ( -'11', '11') функцию
/(:t)
{О
1Г -
ж
при - '11' < :е < О,
при О < :е < '11' .
'11' + ж.
7. Разложите в ряд Фурье в интервале (-'11', 1r) функцию /(ж) = sin2 ж.
8. Разложите в ряд Фурье в интервале ( -11', '11') фун кцию f(rz:) = �;i"2 •
§ 9. Pwдlol ФrРм по общим ортоt0И811Ы1WМ CtiC'J'8UIМ фуи1Ц11i
------
85
9. Разложите в ряд Фурье в интервале (-1r, '11') функцию /(:t) 1 sin zl.
1 0. Разложите в ряд Фурье в интервале ( -1r, 11) функцию / (ж) ! .
1 1 . Разложите в ряд Фурье в интервале (-'11', 1r) функцию /(ж) = sin � ·
12. Разложите в ряд Фурье функцию f(z) = 1r - 2х, заданную в интервале (О, '11'), продолжив
ее в интервал (-1r, 0) : а) четным образом; б) нечетным образом.
2
13. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(z) = z , заданную в интервале (О, 1r) .
14. Разложнте в ряд Фурье функцию f(x) = 3 - z , заданную в интервале (-2, 2) .
15. Разложите в ряд Фурье функциЮ f(z) = lzl , заданную в интервале (-1, l).
16. Разложите в ряд Фурье по синусам функцию f(x) 2z , заданную в интервале (О, 1).
Оrветы
1 2 � sin(2•H):z: S(O) = 21 • 8(± ) 21 · 2 /( ) = 2 т2 � sin(21 н)z ' 8(± ) = 2э •
1 /( ) = 2 - т
n=l 2n- l
n=l 2n- l '
S(O) = � . 3. /(z) =
!
f соs(lп-чо:
,. n=l
(211- 1)
" S(±1r) 2'11' 4• /(z) 4:!'11' n=l
n
+ 2 Ё (-1) "- l sin,. :o , 8(± 1r)
J! n=l
f (- l)n- l sin"n:z: , 8(±1r) = �'11' . 5. /(z)
f �};��)!{"' + n=l
в=l
6 f(z) = � - � Ё oos((2���;/"'
7. /(z) = ! - ! cos 2z .
Ё sin"""' , S(±'ll')
I·
n=l
•
Х
LJ
•
1Т
8. f(z)
=
з
Z
'
LJ
'11'
•
= 1Г
n=l
=
=
11" .
Ё (-1)"- • .m,.""' ; 8(±'11') = О.
n=l
1 1 . f(z)
sin=-. 13. /(z) =
�
1 2. а) f(z) = � Ё "t��jr ; б) f(z) = 2
1
2'11' Ё (-1)"- 1 sin,.""' - � f 51(J��;/"' . 14. /(z) 2+� Ё (-l)"sin :;� . 15. /(z) = 4 - ;\ Ё -/J:�;r.
n=l
n=l
n=l
""" 1
n
16. /(z) l - � Ё sin: n
n=l
=
Ё (-1)"- 1 �?' .
n=l
+
'
+ 4 f(-I)"-1�
'11'
•.
=
9. f(x) = � - �
Ё5-1)"-1��� .
•
f
n=! '::?� .
=
10. f(z) =
!
Глава )()(/
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
__
ДИФФЕР ЕНЦИАЛЬН ЫЕ УРАВ НЕ НИЯ
ПЕ РВОГQ ПОРЯДКА
§ 1 . Общи е
ПОНIТИI.
Примеры
Обыкнооенным дифференциальным уравнением называется уравнение вида
1 вr(�. у, у', . . . ' у<п> ) = о, 1
( l)
связывающее независимую перем:енную х, искомую функцию у = у(а:) и ее произ­
водные у1 (а:), у" (а:), . . . , y<n> (a:) (наличие хотя бы одной производной обязательно) .
Здесь 9f - заданная функция своих аргументов.
Эамечаиие. Обозначения зависимой и иезависимой персменных через z и у , используемые в приведеи­
ном опрсдмении, не .11ВЛЯ10ТСЯ жесткими; часто в качестве иезависимой удобно бjтть персменную t,
иными буквами обозначают и зависимую персменную (см. ниже пример 2).
В обыкновенном дифференциальном уравнении искомая функция у = у(а:) есть
функция одной независимой переменной а:. Если искомая функция естьфункциядвух
(и более) независимых переменных, то имеем дифференциальное уравнение с част­
ными производными. В этой и двух следующих главах мы будем рассматривать только
обыкновенные дифференциальные уравнения.
Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение вида
у' = J(a:),
(2)
где /(а:) - известная неnрерывная на пекотором интервале (а, Ь) функция,
а у = у( а:) - искомая функция. С таким уравнением мы уже встречались в интеграль­
ном исчислении, когда по данной функции /(а:) требовалось найти ее nервообразную
F(a:) . Как известно, всякая функция, удовлетворяющая уравнению (2), имеет вид
у = F(a:) + С,
где F(a:) - какая-нибудь первообразнаядля функции J(a:) на интервале (а, Ь) , а С
nроизвольпая nостоянная. Таким образом, искомая функция у = у(а:) оnределяется
из уравнения (2) неоднозначно.
Порядком дифференциального уравнения называется nорядок наивысшей производ­
ной, входящей в уравнение. Наnример,
у' = а:у •оо
дифференциальное уравнение 1 -ro nорядка;
y" + sin y = O
§ t . O� n�. n�� ------- 87
- дифференциальное уравнение 2-го порядка;
yv + у" + у = ж + 1
- дифференциальное уравнение пятого порядка.
Решениемдифференциальногоуравнения n-rопорядканаинтервале (а, Ь) называется
всякая функция у = <р(ж) , имеющая на этом интервале провзводные до n-го порядка
включительно и такая, что подсталовка функции у = <р(ж) и ее провзводных в диф­
ференциальное уравнение обращает последнее в тождество по ж на интервале (а, Ь) .
Например, функция у =
sin х является решением дифференциального уравнения второго порядка
у" + у = О
на интервале (-оо, + оо) . В самом деле, у' = cos х, у' = - sin х. Подставив в данное уравнение
найденные значения у и у", получим - sin х +
х = О Vz Е (-оо , +оо) .
sin
Задача. Найти совпадающие решения даух дифференциальных уравнений (не pei.uaя самих уравнений):
а) у' = у2 + 2z - z4 и б) у' = -у2 -' у + 2х + х2 + х4•
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой
этоrо уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется инте­
грированием дифференциального уравнения. К составлению и интегрированию диффе­
ренциальных уравнений приводят многочисленные задачи как самой математики, так
и друrих наук (физики, химии, биоh:оrии и т. п. ) .
Пример 1, Найти такую кривую, чтобы тангенс угла наклоне Касательной в каждой ее точке численно
равняле!l ординате точки касания.
.. пусть
11 = 11(z)
- уравнение искомой кривой. Как известно, tg a = 11'(z) и, значит, определяющее свойство кривой
есть
11'(z) = y(z)
- дифференциальное уравнение первого порядка. Неrруд/Ю видеть, что функция
11 = е"'
есть решение этого уравнения. Оно также имеет очевидное решение у = О. Кроме того, решениями
будут функции
у = Се",
гда С - произвольмая постоянная, так что уравнение имеет бесконечное множество решений . .,.
П�мер 2. Найти закон прямолинейного движения материальной точки, даижущейся с постоянным уско­
рением а .
,. Требуется найти формулу в = s(t) , выражающую пройденный путь как функцию времени. По условию
имеем
d2 s
=а
dt2
- дифференциальное уравнение второго порядка. Последовательно находим:
dв
at2
= (Jt + С1 , s(t) = Т + C1t + С .
2
dt
Произвольныв постоянные можно определить, если положить
dв
= во,
в/
= vo.
l=to
td t to
=
1
В самом деле, полагая t = to в первом из соотношений (*) , получаем vo = ato + С1 , откуда С1 =
v0 - at0. Из второго соотношения (*) при t to имеем
аtб
аtб
во = 2 + C1to + С , или во = Т + (vo - ato)to + С2 ,
2
==
88
------
о;�уда
С2 :;:
Глава XXI. Дмффереициапьttwе уравнеим• nepaoro nopsiAU
Во
at�
- Voto + т
·
Подаrавляя найденные значения С 1 и С2 · в выражение для функции s(t), приходим к извеаrному
закону движения материаnьной точки с постоянным ускорением:
s(t)
во
==
+ tto(t
-
to) +
a(t
2
to)2
•
•
§ 2 . Эквивалентн ые дифферен циал ьн ые уравне ния .
Задача Коши
Пусть имеем дифференциальное уравнение nервого nорядка
ВТ(х, у, у') = О .
ECJiи в этом уравнении удаеrся выразить nроизводную
l
уравнение
· y' = f(x, у) ,
разрешенное относительно nроизводной. Здесь
м ентов.
1
f
у' через х и у, то n�аем
(1)
-
заданная функция своих аргу­
Наряду с уравнением ( l ) рассматривают эквивалентное ему дифференциальное
уравнение
1 dy - J(x, у) dx = О, 1
( l')
1 M(x, y) dx + N(x, y) dy = О, j
( J ")
или уравнение более общего вида
nолучаемое из ( J') nутем умно:женiUJ на некоторую функцию
N(x , - известные функции своих аргументов).
у)
N(x, у) ф.
О (М(х, у),
Два дифференциальных уравнения
@i(x , у,;у') = О, §12 (х, у, у1 ) = О
называются эквившzентными в некоторой области D изменения величин х, у, у', eCJiи
всякое решение у(х) Е D одноrо из этих уравнений является решением другого урав­
нения и наоборот. При nрообразовании дифференциальных уравнений надо следить
за тем, чтобы иреобразованное уравнение было эквивалентным исходному.
ECJiи дифференциальное уравнение имеет решение, то, как правило, множество
его решений оказы вается бесконечным. Впрочем, дифференциальное уравнение
(у' l)2 + (х2
_
_
у2 )2 = 0
имеет только одно решение
11 ::::: х ,
а уравнение
у12 + 1 = о
вообще не имеет действительных решений.
§3. Теорема сущестаованм11 11 ед11ИС1Н11е IЮСТМ peUiellllll aeдa'lll Коши А/111 уравнен1111 у
'
=
f( х , у )
__
89
) z0
у0
z
y(z):
(2)
Yl:r=zo = Уо , или y(zo) = УО·
Геометрически это означает, что задается точка Mo(z0 , у0) , через которую должна
проходить искомая интегральная кривая.
Задачу отыскания решения y(z) уравнения ( 1), удовлетворяющего начальному
условию (2), называЮт зада�tей Коши (начодьнойзадачей)
уравнения ( 1).
Чтобы вьщелить определенное решение уравнения (1 надо задать начодьноеусло­
вие, которое заключается в том, что при некотором значении
независимой пере­
менной заранее дано значение искомой функции
,
для
§ 3. Тео рема существования и единственнос ти
решения задачи Коwи дпя уравнения у' =
f (ж, у)
Теорема 1 (существовани11 и едикспениости peweИИII) . Пусть и.меем дифференциодьноеуравнение
(1)
и пусть функция
определена в пекоторой
области D на плоскости
Выберем произ­
вольную точку
Уо) Е D. Если существу­
ет окрестность n этой точки, в которой функция
у' = /(z, у)
f(z , у) zOy.
Mo(zo,
/(z, y)
1) непрерывна по совокупности аргументов;
2) имеет огрониченную частную производную
то найдется интервод
оси
+
на котором существует, и притом единственная,
функция
шмяющаяся решением уравне­
значение (рис. 1 ).
ния ( i ) и прини.мающая при
U,
(zo - ho, :to h0) Ох,
у <р(х),
у0
х = ж0
Рис. l
М0(ж0, у0)
Геометрически это означает, что через точку
проходит одна и только
. одна интегральная кривая уравнения ( 1) .
Теорема 1 имеет локодьный характер: она гарантирует существование единствен­
ного решения
уравнения ( 1) лишь в достаточно малой окрестности точки
Из теоремы 1 вытекает, что уравнение 1) имеет бесконечное множество различных
решений (например, одно решение, график которого проходит через точку
другое решение, когда график проходит через точку
и т. д.).
у = <р(х)
(
Пример 1. В уравнении
функция
(х0, у1)
ж0•
(хо, Уо);
оnределена и неnрерывна во всех точках nлоскости хОу и имеет всюду * = 1. В силу пюремы 1 через
каждую точку (хо, Уо) плоскости хОу проходит единственная интеrральная кривая этого уравнения.
f(z, y)
= х + 11
nример 2. в уравнении
функция
f(x, у) "' 3у2/З
яwl ура1111811И1 nep11010 �
90 _______ rяав а XXI. Диффереtщиаые
zOy Здесь
2
дf
--+оо,
y l/3
ду = так что второе усnовие теоремы 1 нарушается в точках оси Ох. Нетрудно nроеерить, что функция
у = (:r: + С)з,
.
оnреде118На и неnрерывна не всей москОСТ\1
.
.....о
где С - любая nосrоянная, является решением данного уравнения. Кроме того, уравнение имеет
очевидное решение
у : О.
у(О) О, то таких решений найдется
Если искать решения этого уравнения, ооотаетствующие условию
бесчисленное множество, в частности, следующие ( рис. 2 ):
о.. :с s;:: о,
'
мз
< о'
y - .., ' .
11 = о,
3
:r: �
, :с >
{
{
g= z
�
О, О,
О,
Таким образом, через каждую точку оси Oz nроходят no крайней мере две интегральные кривые и, следовательно, в точках этой
оси нарушается единственность.
Если взять точку М1 ( 1, 1), то а достаточно малой ее окрест­
ности аыnолнены все условия теоремы 1 . Следовательно, через
данную точку в малом К�ЩДрате {} nроходит единственная инте­
гральная кривая
у = zЗ, z > О,
уравнения у'
i . Если квадрат {} взять достаточно болы.uим
(подумайте, каким), то в нем единственность решения уже не будет
иметь места . Это nодтеер:ждает локальный характер 1еоремы 1.
= Эу
2
"
Теорема 1 дает достаточные условия существования
Это
единственною решения уравнения
означает, что может существовать единствеююе решение
=
=
уравнения
удо влетворяющее условию
Уо· хотя в точке (zo, Уо) не вы полняются
условия 1 ) или 2) теоремы или оба вместе.
у' /(z, у).
/(z, у),
� 3. д1К1. уравнения
Yl:��:::�: �o =
Рис. 2
у y(z)
у'
у'
имеем
1
/(z, у) = g2.
Oz функции f и и разрывны, nричем
дf - 2З ;:о 00.
ду у
Но через каждую точку (zo, О) оси Oz nроходит единственная интегральная кривая
11 = �J(z - zo)
В точках оси
·
(рис. 3).
Замечание. Если отказаться от оrраниченности
решения.
и,
то
Рис. З
получается следующая теорема существования
то
Теорема 2. Если функция f(ж, у) непрерыВflа в пекоторой окрестности то11ки
уравнение у' =
имеет в этой окрестности по крайней мере однорешение = 4p(:t),
принимающее при ж = zo значение '!/О ·
f (ж, у)
(zo, у0),
у
'
f 3. Теорема CJII.I8CТIIOI8I и ед111tС'1'111Н1 J181118111!1
1 uда'1И kowи дп1 урнн811И11 у
=
f (ж, у ) -- 91
Задач�. Найти Иlmilf"PaiiЬiiYIO кривую уравнения
g' = sin(:r:y),
nроходящую через точку 0(0, О).
Задач�. Haitrи решение задачи Коши
dg "' sgn У
dz
Оnреде11tние
'
y(:r:o) = Vo·
·
Общим решением дифференциального уравнения
(1)
у)
у' =
в векоторой области О существования и единственности решения задачи Коши назы­
вается одноnараметрическое семействО S функций у =
С), зависящих от nере­
менной и одной nроизвольной nостоянной С (nараметра), такое, что
1) nри любом доnустимом значении nостояиной С функция у = fP(rc, С) Е S
является решением уравнения 1 ):
1.
f(rc,
!p(rc1
rc
(
�IP (rc, С) f (rc, fP(rc, С)),
rc Е (:со - h, + h);
2) каково бы нн было начальное условие Yl:r:=:r:o = уо , можно подобрать такое
значение С0 постоянной С, чторешение у == fP(rc, Со) будет удовлетворять нач альному
rco
=
::::: Уо·
При этом nредполаrается, что точка
Уо) nринадnежит области n существования
и единственности решения задачи Коши.
условию
IP(rco,'Co)
(rco,
11рммер 4. ЛоказаТh, что общим решением
дифференцмаnьного уравнения
.
у' = 1
ЯВIJЯе'Ю\ фунКЦИЯ
y = z + C,
где С
nроизiiОJiьная nосrоянная.
-
<4 В данном сnучае f(z, y) = l , и усnовия теоремы 1 ВЫОО/IНЯIОТСЯ всюду. Следовательно, через каждую
точку (:r:0, Уо) 11J10СК0СТИ zOy проходит единственная ИlfflN"P81Iaьtl я кривая данного уравнения.
Проаерим , ЧТО функция
y=z+C
удовлетворяет усnовиям 1) и 2), содержащимся в оnредвJ1ВНИи общего рвwвния. Действительно,
при любом С имеем
у' = (z + С)' ::; 1 ,
так что у ::::: z + C есть решение данного уравнения. Потребовав, чтобы nри z = :r:0 решение nринимало
значение !/0, nриходим к соотношению Уо = :r:o + Са. откуда
Со 1/О Жо.
Решение у = :r; + у0 - жо. или
!1 !10 = z - :ю о,
удовлетворяет nоставпвнному начаnьному усnовию. ..,.
==
-
-
(
Частным решением дифференциального уравнения 1) называется решение, nолу­
чаемое из общего nри каком-либо конкретном значении nроизвольной постоянной С
(вЮiючая ±оо). Таким образом, общее решение этого дифференциального уравнения
можно определить как множество всех часmнЬIХрешений уравнения.
В nроцессе интегрирования дифференциального уравнения мы часто nриходим
к уравнению
1 Ф(rс, у, С) = О, 1
( 2)
92 ------- Глаu XXI. Дифференцitьи
аll wе уравкенu nepeoro 110р1ДК8
неявно задающему общее решение уравнения. Уравнение
гралом дифференциального уравнения ( 1).
Уравнение
rде
(2) называют общим инте­
1 Ф(х, у, Со) = О, 1
Со - некоторое конкретное значение nостоянной С, называется частнЬLМ инте­
гралом.
Замечакие. Название происходит ar тоrо, что для nростейшеrо дифференциального уравнении вида
у' = f(:r;)
ero общее решение действm:ельно записывается nри помощи обычного неоnределенноrо
11 =
. Пример. Общий интеграл уравнени11
имеет следующий вид
f f(:r;) tl:r;
•
интеграла
у' = cos :r:
y = sin z + C
71 - sin z - С = О.
или
В дальнейшем для краткости мы будем иногда rоворить, что решение уравнения
nроходит через некоторую точку
если точка
лежит на rрафике этого
решения.
Мо
Мо(х0, Уо),
Оnредеnение 2.
Решение
у = Ф(а:)
(1) называется особЬLМ, если в каждой его точке на­
рушается свойство единственности, т. е. если через каждую его точку (а:0, у0) кроме
этого решения nроходит и друrое решение уравнения ( 1), не совnадающее с у = Ф (х)
в сколь уrодно малой окрестности точки (хо, Уо).
дифференциального уравнения
График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения. Гео­
метрически это - огибающая семейства интегральных кривых дифференциального
1
уравнения, оnределяемых его обшим интеrралu\1 > .
Если дл я дифференциального уравнения l) в п екоторой области D н а плоско­
выполнены условия теоремы l , то через каждую точку
Е D проходит
сти
уравнения._ Эта кривая входит в однопа­
единственная интеrральная кривая
раметрическое семейство кривых
хОу
(
у = <р(х)
(а:0, у0)
Ф(а: , у, С) = О,
0бразуюших общий интеrрал уравнения (1 ), и получается из этого семейства nри кон­
кретном значении параметра С, т. е: является частным интеrралом уравнения ( 1 ).
Никаких других решений, проходящих через точку (хо, Уо), здесь быть не может. Сле­
довательно, для существования особого решения у уравнения ( 1) необходимо, чтобы
не выполнялисъ условия теоj)емы 1. В частности, если правая часть уравнения ( l ) не­
прерывна в рассматриваемой области D, то особые решения могут пррходить только
через те точки, rде производпая
U становится бесконечной.
l) Наnомним, что огибающей сеж!йства кривых Ф(z, у, С) = О называется такая кривая, коrорая в ка­
ждой своей точке касается пекоторой кривой семейства и каждоrо аrрезка которой касается бесконечное
множество кривых из этоrо семейства.
f 4. RpмOлaetulw методw ИIITerpнpouнllll уравiсени1 у'
Наnример, для уравнения
=
/(z, у ) ------ 9Э
у' = зу213
функция f = Зу213 неnрерывна всюду, но nроизводная
обращается в бесконечность nри 11 = О,
на оси Ох nлоскости хОу. Уравнение (3) имеет общее решение
U
(3)
r.
е.
у = (х + С)3
- семеi!ство кубических nарабол - и очевидное решение
11 == о,
.
nроходящее через те точки, где nроиэводная д/
8V не ограничена. Решение 11 = О - особое, тек как
через каждую его точку nроходит и кубическая nарабола, и сема эта nрямая у = О (см. рис. 2). Таким
образом, в каждой точке решения 11 = О нарушается свойство единственности. Особое реwение у = О
не nолучается из решения у = (х + С)3 ни nри каком числовом значении nараметра С (вкnючая ±оо).
'
Из теоремы 1 можно вывести только необходимые условия для особого решения.
Множество тех точек, где производпая и не ограничена, если оно является кри­
вой, может и не быть особым решением уже потому, что эта кривая, вообще говоря,
не является интегральной кривой уравнения (1) .
Если, наnример, вместо уравнения (3) взять уравнение
О
то в точках прямой у =
t/ = 3g213 + а, а = coпst,
nо-nрежиему
а
;j: О,
нарушается условие Ограниченности nроиЗВОД!iОО
nрямая, очевидно, не является интегральной кривой уравнения (4).
(4)
�, но эта
Итак, чтобы найти особые решения уравнения ( 1), надо
1) найти множество точек, где производпая и обращается в бесконечность;
2) если это множество точек образует одну или несколько кривых, проверитъ,
являются ли оНи интегральными кривыми уравнения (1);
3) если это интегральные кривые, провер:Итъ, нарушается ли в каждой их точке
свойство единственности.
При выполнении всех этих условий найденная кривая представляет собой особое
решение уравнения ( 1).
Задача. Найти особые реШения уравнения
Сделать рисунок.
'
у =
}l - y2.
..
§ 4 . Приближенные методы интегрирования
уравнения у' = f(x, у)
4.1 .
Метод изоклин
Пусть имеем дифференциальное уравнение
(1)
у' = f (:r;, у),
где функция f(:c, у) в некоторой области D на плоскости :сОу удовлетворяетусловиям
теоремы l. Эrо уравнение определяет в каждой точке (:с, у) области D значение у',
т. е. угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в этой точке. Говорят,
что уравнение ( 1) определяет в области D поле направлений. Чтобы его построить, надо
в каждой точке (:с0, Уо) Е D представить с помощью некоторого отрезка направление
касательной к интегральной кривой в этой точке, определяемое значением f (:c0, у0) .
94
-------
rпau XXJ. Дмффереtщмu�о��Ые ypa8l8tlllll nepвoro noptiДU
Совокуnность этих отрезков дает геометрическую картину поля направлений. За­
дача интегрирования дифференциального уравнения ( 1 ) может быть теперь сформу­
лирована так: найти такую кривую, чтобы касательная к ней в каждой точке имела
направление, совпадающее с наnравлением nоля в этой точке. Такое истолкование
дифференциального уравнения и его интегрирования дает графический способ реше­
ния уравнения.
Для nостроения интегральных кривых пользуются изоклинами. Изоклиной на­
зывается множество всех точек плоскости zOy, в которых касательные к искомым
интегральным кривым имеют одно и то же направление (1/ = const) .
Из этого оnределения следует, что семейство изоклин дифференциального урав­
нения ( 1 ) задается уравнением
1 f (z, у) = k, 1
где k числовой nараметр. Если придать параметру k близкие числовые значения,
можно найти достаточно густую сеть изоклин и приближенно построить интегральные
кривые дифференциального уравнения.
-
Пример 1 . ПроинтеrрироваlЪ уравнение
t/ = :z:
по сnособу изоклин.
4
Семейсrво изоклин данного уравнения оnрвделяеТС!I уравнением
Полагая
k = О, + 1, - 1 ,
. . • ,
о,
z : k.
nолучаем изокпин1>1
х = 1,
11: = -1, . . . '
егральные
по которым строим инт
кривые уравнения (рис. 4). 11>
х:
Нулевая изоклина
J(z, y) = О
Рис. 4
определяет множество возможных точек экстремума интегральных кривых (прямая
z = О в nримере 1 ) .
Для большей точности построения интегральных кривых определяют направление
вогнугости и точки переrиба этих кривых (если такие точки существуют) . Для этого
находят у" в силу уравнения ( 1 ) :
у" = 1� + f�y' = /�{z, у) + /� (z, y}f (z, у) .
Знак правой части оnределяет знак 1/1, т. е. направление воrнуrости интегральных
кривых. Линия, заданная уравнением
/�(z, у) + t;(z, y) f(z, у) = О,
есть множество всех возможных точек перегиба интегральных кривых.
В примере 1 имеем
у" = 1,
позтому все интегральные кривые обращены вогнутостью вверх, и точек перегиба. интегрмьных кривых
нет.
0 4. Прибn11JК8Ниые методы иитеrрмроваииt уравиеим у'
�-
=
4. 2 . Метод последовательных приближений
Пусть имеем дифференциальное уравнение
f ( z, у )
------
95 ,
у' = J(x, y),
(1)
где функция J(x, в пекоторой области D изменения х, удовлетворяет условиям
Е D.
теоремы 1, и пустьточка
Решение задачи Коши
у) (хо, Уо)
у
dy
dx) == УJ(x, y),
у(хо о
(2)
(3)
равносильно решению пекоторою интегрального уравнения, т. е. уравнения, в кото­
рое неизвестная функция входит под знаком интеграла. В самом деле, пусть
у = у(х)
х0
х ·(хо(хо ho,h0,х0х+0 h0+ )hoточки
) имеет
-решение уравнения (2), заданное в пекоторой окрестности
и удовлетворяющее начальному условию (3). Тогда при Е
место тождество
dy
dx
Проинтегрируем это тождество по х
=
-
J (x, у(х)).
z
у(х) = С + 1 J(t, y(t)) dt.
zo
Отсюда учитывая (3), получаем
z
у(х) Уо + 1 J(t, y(t)) dt, х (хо - хо + ho) ,
zo
так что решение у(х) задачи Коши удовлетворяет интегральному уравнению
z
(4)
у = Уо + J J(t, y(t)) dt.
zo
Обратно: если непрерывная функция у(х), х (х0 - h0, х0 + h0) , удовлетворяет
интегральномууравнению (4), то, каклегко проВерить, у(х) является решением задачи
Коши (2)-(3).
Решение у = �р(х) интегрального уравнения (4) всех х, достаточно близких
к х0, может быть построено методом последовательных приближений по формуле
�р(х) = n�oo'
liЩ if'n (x),
Е
=
ho,
Е
для
где
z
lf'n+t(x) = Уо + 1 J (t, lf'n(t)) dt,
zo
n
= О, 1 , 2,
.
..
,
96
------
Гnава XXI. ДМфференциаn�о��ые уравненИII nepв6ro nop!IДIII
причем в качестве rp0(t) можно взятьлюбую непрерывную на отрезке [ хо - ho, Хо + ho]
функцию, в частности, rpo(t) = Уо = coпst.
Пример 2. Методом nоследовательных nриблИжений решить задачу Коши
dy
= у (х) ,
dz
у(О) = 1 .
..,. Сводим данную задачу к интегральному уравнению
z
j y(t) dt.
у (х) = 1 +
Выбирая за нулевое nриближение функцию
nоследовательно находим:
�t (x) = 1 +
�о(х) = 1,
z
j �o(t) dt = 1 + х,
о
�2 (х) = 1 +
z
z
j �t (t) dt = 1 + j(l + t) dt = 1 + х + � ,
о
2
о
xn
х х2
"'
�n (z) = 1 +
+... + n.1 n-oo
1
1
--+ е .
2
1.
Легко видеть, что функция у = е"' есть решение задачи. �
+
4.3.
о
о
Численные методы решении задачи Коши
Метод Эйпера
Пусть требуется найти приближенное решение дифференциального уравнения
dy =
dx f (x, у),
(1)
у(хо) = Уо·
(2)
удовлетворяющее начальному условию
Будем предполагать, что в некотором прямоуrольнике D = { lx-xol � А, IY - Yol � в}
функция f (x , у) непрерывна и имеет непрерывные частные производные достаточно
высокого порядка по всем аргументам, так что решение задачи Коши ( 1)-(2) суще­
�твует, единственно и является функцией, дифференцируемой достаточное число раз.
Численное решение задачи ( 1 )-(2} состоит в построении таблицы приближенных
значений у1, У2 , . . . , Yn решения задачи в точках X t , х2 , . . . , Xn . Чаще всего выбирают
xk = х0 + kh (k = О, 1 , . . . , n). Точки х1с называют уЗ/lами сетки, а величину h > О ­
шагом сетки. Так как по определению производмая � есть предел разностного от­
y(ж+h -y(z)
при h -+ О , то, заменяя производную этим отношением, вместо
ношения
J
дифференциального уравнения ( 1) получим разностное уравнение (разностную схему
Эйлера)
·
или
Yk+t - Yk = (x , У�с ),
f �c
h
k = о, 1 , 2 ,
1 Yk+ t = У1с + hf(x�c , У�с),
Отсюда последовательно находим значения
заданная величина.
о о
k = о, 1, 2, .
,
.
о
о
·1
(3)
(4)
У1с = у(х�с ), учитывая, что Уо = у(хо). ­
'
§ 4. ПрИбппенные методы интеrрмрованn ураененn у
=
f (ж, у ) ------ 97
В результате вместо решения у = у(х) мы 11
находим функцию
Yk = y(xk )
дискретного аргумента Xk (сетqчную функ­
цию), дающую приближенное решение зада­
чи ( 1 )-(2). Геометрически искомая интеграль­
наЯ кривая у = у(х) , проходящая через точ­
ку Мо (хо , Уо ) , заменяется ломаной Эйлера
М0М1 М2 . . . с вершинами вточках Мk (хk , Yk ) о
(см. рис. 5).
Рис. 5
Метод Эйлера относится к группе одношаговых методов, в которых для вычисления
точки (xA:+ I • Yk+ i ) требуется знание только предыдущей вычисленной точки (xk , Yk ) ·
Для оценки логрешиости метода на одном шаге сетки разложим точное решение
у = у(х) в окрестности узла х = xk по формуле Тейлора
y(xk+ l ) = y(xk + h) = y(xk ) + y' (xk )h + O(h2) = y(xk ) + hf (xk , Yk ) + O(h2) ; (5)
Сравнение формул (4) и (5) показывает, что они совпадают до членов первого порядка
по h включительно, а логрешиость формулы (4) равна O(h2). Поэтому говорят, что
метод Эйлера имеет первый порядок.
z
Пример. Методом Эйлера решить задачу Коши
dy
dx = у - х,
на отрезке (О; 0,5) с шагом h 0,1 .
у(0) = 2
==
�
В данном случае f(x, у) = у - х, хо = О, Уо = 2. Пользуясь формулой (4),
Yk+l = У1с + hf(x�c, Yt),
nоследовательно находим
Yl = Уо + hf(xo, Уо) = 2 + 0,1(2 - О) = 2,2,
У2 = Yl + hf(xl , Yl) = 2,2 + 0,1(2,2 - 0,1) = 2,41,
и т. д. Результаты вычислений сведем в таблицу
k Xk
о
1
2
3
4
5
Эамечание.
о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
У/с
f(x�c, y�c)
h(x�c, Ylc)
Точное решение
2.0000
2,2000
2,4100
2,6310
2,8641
3,1 105
2,0000
2,1000
2,2100
2,3310
2,4641
2,0000
0,2100
0,2210
0,2331
0,2464
2,0000
2,2052
2,4214
2,6499
2,8918
3,1487
y = e"' + x + l
Если рассмотреть задачу Коши
dy
dx = у - х, у(О) = l
па любом отрезке [О, а) с любым шагом h > О, то получим у1 = 1 + h, у2 = l + 2h , Уз = l + 3h и т. д.,
так что в этом случае ломаная Эйлера •распрямляетсЯ• и совпадает с прямой .у = х + 1 - точным
решением поставленной задачи Коши.
ференцмап
уравнен111 nep10r0 l'iopwa
98 ------ Гпава XXJ. ДllфW!Wе
Понmtе о методе Pyнre-l<yrтa
Метод Эйлера весьма nрост, но имеет низкую точность. Точность решения можно nо­
высить nyreм усложнения разностной схемы. Весьма распространенными на практике
являются схемы Рунге-Кутта.
Пустьопять требуетсярешитьзадачу Коши (1):_(2). Будемстроитътаблицуприбли­
женныхзначений уt , Y2 r · . . , Уu решения у = у(z) уравнения (1) в точках жt , Ж2, . . . , Ж0
(узлах сетки) .
Рассмотрим схему равноотстоящих узлов ж�: = жо + kh, где h > О - шаг сетки.
В методе Рунге- Кутта величины Yi+ 1 вычисляются no следуюmей схеме
где
kt :::: j(Жi, Yi),
k2 = J (Жi +
�, Yi + �),
kз = J (Ж; + �, Yi + �),
k4 = f(жi + h, Yi + hkз).
§ 5 . Некото рые виды уравнений ,
интегрируемых в квадратурах
В обmем случае, даже зная, что решение уравнения суmествует, отыскать его дОIЮЛЬНО
трудНо. Однако сухцествуют некоторые виды дифференциальных уравнений, методы
получения решений которых особенно nростьt (nри nомоiЦИ интеrралов от элементар­
ных функций). Рассмотрим некоторые из них.
5.1 .
Уравнения с раэдепяющимися nеременными
Уравнение вида
( 1)
называется дифференциальным уравнением с разделенными пере.менными. Здесь j1 (y) ,
j2(ж) - известные непрерывные функции своих арrументов.
Покажем, как найти решение этоrо уравнения. Пусть F1 (y) и F2(ж) - перво­
образные функции J1 (у) и j2 (ж) соответственно. Равенство (1) равносильно тому, что
дифференциалы этих функций должны совпадать
Отсюда следует, что
d.Ft (ж) = dF2(ж).
(2)
где С - произвольмая nостоянная.
Разрешая nоследНее уравнение {2) относительно у, nолучим функцию (может
быть, и не одну)
у = �(ж),
которая обрахцает уравнение ( l) в rо:ждество и значит, является ero решением.
·
f 5. lfelolopwe IIIAW JP8N!IId, llll'lel'piiPJ' I IIIIIДPI1YIIIX -----Например,
z dж + y dy == O
- уравнение с раздепенными nеременными. Записав ero в виде
y dy -z dж
и интеrрируя обе части, найдем общий интеrрал данноrо уравнения:
==
ж2 + 112
Уравнение вида
= с.
\ /t{z)tpt{Y) dz /2(z)lfJ2 (11) dy, 1
=
(З)
в к<ЛОром коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, завися­
щие · только от и только от 11 , называется liифференциольным уравнением с раэде­
Ляющимися переменными, так как. nутем деления на
1- О оно приводится
к уравнению с разделенными персменными
z
lfJt(Y)/2(z)
/J(z) dz = 'Р2 (У) dy;
/2(z) 'Pt(Y)
11рммер 1. Проинтеrрировать ура�
<4 Депя обе части ураенениИ
(1 + у2)ж dж == (1 + ж2)у t111.
на (1 + у2)(1 + ж2) :J= О , nриведем ero к виду
ж dж
y dy
1 + у2 '
1 + z2
Интегрируя обе ча сти nопученнаго равенства, найдем
ln( l + ж2) In(t + ti) + ln C.
==
==
(l + z2)
(I+ rP>
= С .,.
·
Заметим, что деление на 'PI (у)
щих в нуль произведение (у)
/2(z) может привести к потере решений, обращаю­
'PI /2 (z) .
Наnример, раэделяя nераменныв в уравнении
ж dу = y dz,
аем
nолуч
а после интеrрироввния -
ln IYI = ln lzl +ln ICI,
откуда
y == Cz
(здесь С может nринимать как поnожите.пьные, так и отриц.атеnьныв значения, но С :J= О). При деnении
на у потеряно решение
которое
11 ::
о,
быть вкnючено в общее решение 11 ::::: Сж, есnи 110С1"011Н1ЮА
значение С = О.
Есnи считать переменныв z и 11 равноправными, то уравненне
dy 11
dж
теряющее смысn при z О, надо дополнить уравиением
dz z
dy ::: у'
которое имеет очевидное решение z О.
можвт
=
==
=
;;
С разрешить приниметь
100
_______
rnau XXI. � ypalllelllltl nepeoro
nopQ..
В общем случае наряду с дифференциальным уравнением
dy
dx = J(x, y)
(4)
следует рассматривать уравнение
dx
dy = /I (ж, у),
где
(4')
/1 (ж, у) = /(�,��) , исnользуя уравнение (4') там, rде уравнение (4) не имеет смысла,
(4') имеет смысл.
а уравнение
быть
Некоторые дифференциальные уравнения пуrем замены nеременных могут
приведены к уравнениям с разделяющимиен nеременными. Например, уравнение
вида
/(z)
1 � = J(аж + Ьу + с), 1
(5)
а, Ь, с
z = ах + + с
dz = а + Ь dy = a + ЬJ(z),
dж
dx
где
- неnрерывная функция своего аргумента,
- постоянные числа,
nодстановкой
Ьу
nреобразуется в дифференциальное уравнение с разде­
ляющимиен переменными:
откуда
' · + �!(•) = dz. j
dz
После интегрирования nолучаем
J a +�(z) = х + С.
Заменяя в последнем соотношении z на
ния (5).
Прммер 2. Проиитеt"рировать
<t Положим
ypas��e�-�\116
z = ж + у, тогда
dz
z
или
dz
2
dx = l + z ,
dz
�
+ z = dx.
an:tgz = х + С,
Иитеt"рируя, нах�м
Подставляя вместо
Ьу + с, найдем общий интеграл уравне­
dg .. = (z + у)2 .
...,.
d:t
­
= 1 + dy
dz'
dz
откуда
или
аж +
величину
х + g,
z
= tg(x + C).
nолучаем обЩее решение данtЮrо уравнения
11
= tg(z + С) - z. •
Известно, что скорость радиоактивного расnада nроnорциональна количеству х вще не рас­
nавшегося вещества. Найти зависимосп. ж · от времени t, если в начальный момент t
t0 имелось
z = z0 вещества.
Прммер 3.
=
§ 5. Некоторые lllfAW урнкеиlli, иктеrрмруеwх в оадра1УраХ
�
ДИфференциальное уравнение процесса
1�
=
-------
k
.
- ж
101
l
Здесь k > О - постоянная распада - предnолагается известной, знак «-» указывает на уменьшение ж
при возрастании t. Разделяя переменныв в уравнении (•) и интегрируя, получаем
ln lzl = -kt + ln ICI,
Учитывая начальное условие ж lt=to
= zo .
откуда ж = Се-A:t.
находим, что С = ж0е"'tо , позтому
z(t) = zoe-t(t-to) •
(••)
.
Любой процесс (не только радиоактивный распад), при котором скорость распада пропорциональна
количеству еще не прореагировавшего вещества, описывается уравнением (•).
Уравнение
dж
= kж, k > О,
(•••)
dt
отличающееся лишь знаком правой часm от уравнения (*) , оnисывает лавинообразный процесс раз­
множения, например •размножение• нейтронов в цеnных ядерных реакциях или размножение бактерий
в предnоложении, что скорость их размножения пропорциональна наличному числу бактерий. Решение
= z0 , имеет вид
уравнения (•••). удовлетворяющее усJ\Овию жj
t�to
z(t) = zoeA:(t-tn)
и в отличие от решения уравнения (••) возрастает с возрастанием t .
Уравнения (•) и (***) можно объединить в одно
1 if
k = const,
= ky,
1
(****)
которое дает простейшую математическую модель динамики поnуляций (совокупносm особей того или
иного вида расmтельных или ЖИВОТН!IIJС организмов). Пусть y(t)
чисnо членов популяции в момент
времени t . Если предположить, что скорость изменемня популяции пропорциокальна величине nоnуля­
ции, то мы приходим к уравнению (••••) . Положим k = т - n, Г/JIJ т - коэффициент относительной
скоросm рождаемосm, а n
коэффициент относитеnьной скорости умирания. Тогда k > О при т > n
и k < О nри т < n. Если в момент t = О величина поnуляции равна у0 , то уравнемне (****) приводит
к экспоненциальному закону изменения популяции
......
-
-
_,
y(t) = roew;
при k < о имеем y(t) о при t ..... +оо. при k > о имеем y(t) ...... +оо nри t +оо.
Предположение, что величины т и n являются !J9СТОЯнными, не выnолняется дnя больших nо­
nуляций. действительно, большое число членов поnуляции приводит к уменьшению соответствующих
ресурсов, что снижает скорость рождаемосm и увеличивает скорость умирания. Это можно задать про­
ствйшими законами
т = 61 - 6211,
n = 11з + 1l4y,
где 11i - nоложительные nостоянные (i = 1, 2, 3, 4). Torдlil
- Ьз
11з - (62 + 1l4)y = (Ь2 + 64) k=т-n =
- у = а( А - у),
112 + Ь4
(ь.-- )
61 -
Ь2 + Ь4 , А = Ъ1-ьз
�+Ъ4
Уравнение динамики поnуляции в этой модели имеет вид
ГIJIJ а ==
•
1 ft
= а(А
у у
- ) .
,
Это так называемое логистнческов уравненив - фунд��.мвнтальное уравнение в �J�JМографии и в· ма­
тематической теории экологии. Оно nрименяется в математической теории распростраttения слухов,
болезней и других nроблемах фиЗИQЛОГИИ и социологии. Разделяя nервменttые в послвдt1еМ уравне·
нии, получаем
dy
откуда
(А - ) у
у
= a dt,
_!!!__ - dy = Аа dt
у-А
у
102
______
и далее
ln ly - Al - ln 1111 = Aat + lnC.
у-А
::: CeAat
11
Потенцируя
и выражая 11
через
r,... XXI. Дtlфферевцмuьнwе JP81181•
1 nep110r0 110р11Д111
t, окончатеnыю nо.пучаем
11 =
Считая, что у(О) = JIO, найдем уравнекие
АС�
1 + CeAat •
nOr
иtm�"'ffCC<DA кривой
А
1 + (� - l) e-мt '
+оо. Лоrиtm�ческая кривая
А при t
содержит два
При а > О и А > О nолучаем, что y (t)
()
g(t) =
nараметра А и
и t2 .
а. Дnя
-+
-+
их оnределения надо иметь два доnолнительных значения y t при каких-то t 1
Уравнения, однородные OТНOCIIТSIIЫIO z м у
Функция /(ж, у) называется однороiJной фующией n-го измерения относительно пере­
.меннЬIХ ж и у, если nри любом допустимом t справедливо тождество
5.2.
Например, д111'1 фунiЩ,Ии
(tж, ty) = tn/ (ж, у) .
имеем
2
2
2 2
2
2 2 2
f(tz., ty) = t z. - t zy + t g = r(z - z.y у ) = t /(z, у) ,
2
2
пк что /(z., 11) ::: z - zy + 11 - однородная фунiЩИя относителыю переменных z и у
+
Дnя
рения.
имеем
так что
фуttiЩИИ
второго
изме­
у
f(x, y) = ­
z
ty !
f(tz, ty) == = = f(z,y) ,
tz z
/(ж, у) = � есrь однородНая фунiЩИЯ нупевоrо измерения.
Дифференциальное уравнение nервого nорядка
dy
dz = /(ж, у)
называется однороднЬLМ относительно ж и у, если функция / (ж, у) есть однородная
функция нулевого измерения относительно переменных ж и у .
Пусть имеем дифференциальное уравнение
dy
dz = / (z, y) ,
однородное относительно nеременных ж и у. Положив t = � в тождестве j(tж, ty) =
/(ж, у) , nолучим
/ (ж, у) = / t ,
( �) ,
т. е. однородная функция нулевого измерения зависит только от отношения аргумен­
тов. Обозначая / (1 , �) через 1fJ (�), видим, что однородное относительно nеремен­
ных ж и у дифференциальное уравнение всегда можно представить в виде
1 � = lfJ (�) · 1
(б)
§ 5. Некоторые 1111ДW yp8818ниil, lllfТ8fPIIPY8II I оадратурах ------- 103
При произвольной непрерывной функции I(J переменные не разделяются. Вве­
дем новую искомую функцию u(x) формулой u � . оrкуда у xu . Подставляя
выражение * = u + х �� в уравнение (6), получаем
=
du
u + х dx
=
или х du = [I(J(u) - u] dx.
Деля обе части последнего равенства на z[I(J(u) - u] и интеrрируя, находим
u
= ln lx l + ln ICI .
I(J U - U
=
I(J(u) ,
1 �
(
Заменяя здесь u на его значение � , получаем общий интеrрал уравнения (6).
Пример 4. Проинтегрировать уравнение
dz
• Имеем
Положим
� = u. Тоrда
dy 11 z
- = - + -.
dz z 11
� = u + z � , и уравнение преобразуеТС!I к виду
du
1
=u+ '
dz
u
dz
u du = z
u+z
или
Интегрируя, найдем
zy
u2 = ln С:е2 , или
Пример 5. На'йти форму зеркаЛа, собирающего пучок параллельна падающих на него лучей в одну точку.
• Прежде всего, зеркало должно иметь форму поверхности вращения, так как только для поверхности
вращения все нормали к поверхносrи проходят через ось вращения.
Выберем прямоугольную декартову систему коррди­
11
нат так, чтобы лучи были параллельны оси Oz и что­
8
бы точкой, в которой собирались бы отраженные J1Y'IИ,
явилось бы начало координат. Найдем форму сечеttИЯ
зеркала плоскостью :еОу. Пусть уравнение сечения 8С1Ъ
11 = �(z) (рис. 6). В точке М(:е,у) падения луча
L
на зеркало проведем касательную
к сечению и обо­
значим ев угол с осью Qz через а. Пусть
- точка
пересечения этой касательной с осью Oz. По закону от­
ражения углы NMO и
равны. Нетрудно ви
что угол МОР равен 2а. Так как tg a = у , tg2a = z
BN
,
L
N
BML
и tg 2a = 2 11; то во всякой точке кривой 11
1 -tg а
выполня&ТС!I соотношение
11
�
= �(:е)
Рис. б
2r/
=
x 1 - yl2
- дифференциальное уравнение, определяющее требуемый ход луча. Разрешая это уравнение отно­
сительно производной, получаем два однородных уравнения:
1
1J =
Первое из них путем замены
-ж +
Ji2+iJi
11
'
1
у =
-:е
� = u преобр8Зу8ТС!1 к виду
u + zu1 =
-
Jz2 + у2
-1 + �
u . ,
11
.
t04 ------- rпава XXI. Диффере�щиаwе
пЬll уравнеи111 nepaoro I10ptiДICa
или
dx
u du
= - -z ·
1 + «2 - �
интегрируя, найдем
J
1)
J
u du
d( �
l ( ..Jl + u2 - I) .
=
2
�
�- l = n
l+u
Потенцируя после,днее соотношение и заменяя и через ! , nосле несложных преобразованиА имеем
- ln f:tl + ln C
i = 2Cx + C2,
или
у2 =
2с (:r: + %) ·
Попученное уравнение в nлоскости zOy определяет семейство парабол, симметричных относительно
оси Ох . фокусы всех этих парабол совпадают с началом координат. Фиксируя С и вращая nараболу
вокруг оси Ох, nолучаем nараболоид вращения
( j) .
у� + z2 = 2С z +
Таким образом, зеркало в виде nараболоида вращения решает nоставленную задачу. Эrо свойство
исnопьзуется в nрожекторах. •
8aмeolaltмe. Если
У�(«) - 'U =
то уравнение (6) имеет вид
о,
d11 у
dx = х
11 = Сх.
У�(и) - и обращается в нуль при эначениJI и uo = const, то существует также рещение и = ио ,
и интегрируется разделением переменных. Его общее рещение
Если
или
=
11 = 'UQX
(прямая, проходящая через начало координат).
Рассмотрим уравнения, приводяm.иеся к однородным. Уравнение
Ьу + с
аz +___:
dy
:
=
Ь
dz
a,z + t y + ct '
_
_
_
_
(7)
где а, Ь , с, а1 , Ь1 , с1 постоянные числа, при с = с1 = О является однородным. Пусть
теперь по крайней мере одно из чисел с, с1 отлично от нуля. Здесь следует различать
два случая.
1 . Определитель
по формулам
1:1 : J
.
отличен от нуля. Введем новые переменные { и '1
z = { + h, у = '1 + k ,
где h, k - пока не определенные постоянные. Тогда dz d{, dy = dq. Уравнение (7)
прообразуется при этом в уравнение
dq
� + Ь" + ah + Ьk + с
=
d{ a1 { + Ь1 q + at h + Ь1 k + c1 '
Если выбрать h и k как решения системы линейных алгебраических уравнений
ah + Ьk + c = О,
(8)
О 5. Некоторые 1111ДЫ ypaвнetlllil, интеrрируемwх в uадратурах ------- 105
то получим однородное относительно � . 1J уравнение
d1J = а� + Ь1J .
�
a, � + Ьr1J
Заменяя в его общем интеграле � на
уравнения (7).
1:, : 1
х - h,
f} на
у - k , найдем общий интеграл
равен нулю. Система
в общем случае не имеет
(8)
решения и изложенный выше метод неприменим. Но в этом случае � = � = Л ,
т. е. уравнение (7) имеет вид
2.
Определитель
,
dy = ----,--ах + Ьу + с
ах + Ьу) +
Л(
dx
с1
и ПРИВС?дится к уравнению с разделяющимлея переменными подстановкой z = ах+Ьу.
Аналогичными приемами цнтегрируется уравнение
где /(w)
-
непрерывная функция своего аргумента.
Линейные диффереициаяьные уравнения
Линейны.м дифференциальны.муравнением первого порядка наЗывается уравнение, линей­
ное относительно неизвестной функции и ее производной. В общем случае оно имеет
5.3.
ВИД
А(х)
� + В(х)у = f(x),
(9)
где коэффициентЫ уравнения А(х) и В(х) и его правая часть f (x) считаются извест­
ными функциями, заданными на пекотором инrервале (а, {3) .
Если f (x) = О на (а, /3), то это уравнение называется однородны.м, в противном
случае оно называется неоднородны.м. Считая А(х) ::/:. О на (а, {3) и деля обе части
уравнения (9) на A(z) , приведем (9) к виду
dy
dx
+ р(х)у = q(x) ,
( 1 0)
где Р (х) = �
A(z) , (х)
q ::::;: 1И
А(ж) .
р(х) q(x)
(а,
а < < -оо < у < +оо.
и
непрерывны на отрезке
Ь] С (а, {3), то урав­
Теорема 3. Если функции
нение ( 10) всегда имеет единственное решение, удовлетворяющее начальному условию
У l ж=жо = Уо, где точка (хо, Уо) принадлежит полосе х Ь,
.
1811
уравиеttИI nepвoro nop11ДU
106 ------ Гп• XXI. ДИфференЦ11оНЫ8
•
у' , приведем его к виду
у' = р(х)у + q(x),
Разрешая уравнение (10) относительно
-
где правая часть
f (x, у) = р(х)у + q(x)
-
удовлетворяет всем условиям теоремы 1: она непрерывна по совокупности перемен­
ных и и имеет ограниченную частную производную
х у
:� = -р(х)
в указанной полосе. Отсюда следует справедливость утверждения. ..,.
Линейное однородное уравнение, соответствующее уравнению (10), имеет вид
1�
+
р(х)у =
Оно интегрируется разделением переменных:
o.j
( 1 1)
dy = -р(х) dx,
у
j р(х) dx + ln ICI,
1У = J l
откуда
ln I Y I =
или
-
Се-
у
p(z) dz.
(12)
у
При делении на потеряно решение = О, однако оно может быть включено в найден­
ное семейство решений 12), если считать, что С может принимать значение, равное
нулю. Формула ( 12) дает общее решение уравнения ( 1 1) в указанной выше полосе
а<
(
х
< Ь , - оо < у < +оо .
Для интегрирования неоднородноголинейного уравнения
dy
dx + р(х)у = q(x)
может быть применен так называемыйметод вариации постоянной. Он основан на том,
что общее решение уравнения (10) равно сумме общего решения уравнения (11) и ка­
кого-либо частного решения уравнения (10)
Уо.н. = Уо.о. + Уч.н.
Подставляя в левую часть ( 1 1) вместо у сумму Уо.о. + Уч.н. , получим
d(Yo.o. + Уч.н. )
dуч.н.
dyo.o.
+ Р(Х)(Уо.о. + Уч.н. ) = dx + Р(Х) Уо.о. +
dx
dx + Р(Х)Уч.н. =..
dУч.н.
= О + dx
+ Р (Х) Уч.н. = q(Х)
С другой стороны, разность двух частных решений fiч.н. и Уч.н. уравнения ( 1 О) является
решением однородного уравнения ( 1 1)
d(-Уч.н. - Уч.н. )
Уч.н. + ( )
- н. - Уч.н. ) = Уч.н.
+ Р(Х)(Уч.
+ Р(Х) Уч.н. dx Р Х Уч.н. =
dx
dx
= q(x) - q(x) = О.
·
•
.
_
(
)
§ 5. Нноторые ... JP811181,11 мt11'8J1111PJ81 1 оадратурах
______
Поэтому сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение
dy
+ р(ж)у = О,
107
dx
общее решение которого имеет вид
у = Се- f p(z) u ,
где С - произвольная постоянная. Решение неоднородного уравнения ( 10) ищем
в виде
1 у = С(ж)е- J p(z) u, 1
(13)
где С(ж) - новая неизвестная функция.
Вычисляя производную � и подставляя значения � и у в исходное уравнение ( 10),
получаем
dС(ж)
= q(ж)ef p(z) u '
dx
оrкуда
C(z) =
1
q(ж)ef p(z) u
dx + С,
где С - новая произвольпая постоянная интегрирования. Следовательно,
Это есть общее решение линейного неоднородного дифференциального уравне­
ния (10) .
В формуле ( 14) общего решения неопределенные интегралы можнозаменить опре­
деленными интегралами с переменным верхним пределом:
•
- f p(t) dt
у(ж) = е zo
[ 1
f p(t) dt
z
z
С+
q(ж)ezo
dx].
Здесь С = у(жо) = у0 , Поэтому общее решение уравнения (10) можно записать в виде
z
- f p(t) dt
у=е
[ 1
z
Уо +
..
f p(t) dt
q(ж) е "'о
( 15)
zo
где роль произвольной постоянной играет начальное значение Уо искомой функ_ции у(ж).
Формула (15) является общим решением уравнения (10) в форме Коши. Огсюда
следует, что если р(ж) и q(ж) определены и непрерывны в интервале -оо < ж < +оо,
то и решение у(ж) уравнения (10) с любыми начальнымиданными у(жо) = Уо будетне­
прерывным и даже непрерывно дифференцируемым при всех конечных значениях ж ,
так что интегральная кривая, проходящая через любую точку (жо, Уо), будет гладкой
кривой в интервале оо < ж < +оо.
•о
·
-
dx],
llllfiii nepвoro nop!IДIII
108 ----,---- Гnава XXI. ДИффереициапlоИые JlllM
Пример 6. Проинтегрировать уравнение
•
dy
y cos x
dx +
Однородное уравнение
dy
dx
= 2 cosx.
+ у соs ж = О,
соответствующее данному, проинтегрируем, разделяя· переменные:
Уо.о. = ce - sin z.
Решение исходного уравнения будем искать в виде
где С(х) - неизаветная функция. Находя
dy
dx
=
у = C(x)e- sin z ,
� и подставляя � и у в (*), последовательно получаем:
dC(x) - sin z
�е
- С(х)е - sin z cos х,
dC(x)
z
e- z
e
� - sш - С(х)е- 81" "' cos x + C(x) s!П cos x = 2 cos x ,
.
dC(x)
2eSIП Z COS X'
·
·
dx
--
·
=
С(х) = 2esin z + С,
где С - постоянная интегрирования. Из формулы (**) находим общее решение уравнения (*)
у(х) = Уо.н. = Ce- sin z + 2.
...
Частное решение Уч.н. = 2 неоднородного уравнения (*) легко усматривается. Вообще, если удает­
ся •угадать• частное решение линейного неоднородного уравнения, то разыскание его общего решения
значительно упрощается.
Пример 7. Рассмотрим дифференциальное уравнение, описывающее изменение силы тока при замыка­
нии цепи постоянного электрического тока.
• Если R - сопротивление цепи, Е - внешняя ЭДС, то сила тока I = I(t) постепенно возрастает
от значения, равного нулю, до конечного стационарного значения
Пусть L - коэффициент самоиндукции цепи, роль которой такова, что при всяком изменении си­
лы тока в цепи появляется электродвижущая сила, равная
и направленная противоположно внеш­
ней ЭДС. На основании закона Ома, по которому в каждый момент t произведение силы тока на со­
противление равно фактически действующей ЭДС, получаем
�.
L�
IR = E - L
dl
dt '
R
Е
I=
(Е, L, R = const).
L
L
Уравнение (*) есть линейное неоднородное уравнение относительно I(t) . Нетрудно видеть, что его
частным решением является функция
Е
lч.н. (t) = Ji.•
или
dl
dt
+
Общее решение соответствующего однородного уравнения
lo.o. (t) = Ce-(RfL)t ,
откуда общее решение неоднородного уравнения (*):
/(t) = Lо.н. (t,\ = Ce-(R/L)t + !!_ ·
в
-�, так что окончательно
J(t) = � ( 1 - e-(R/L)t ) .
При t = О имеем I(O) = О, поэтому С =
Отсюда видно, что сила тока при включении асимmотически
приближается при t
.
Е
стационарному значению Ii . ...
-. +оо к своему
§ 5. Некоторые 11W1 ураене1111Й, IIII'I1II'JIIIP в квадр81Jр8Х ------ 109
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение
d
;;;y + p(m)y
=
q(z)
( 10)
может быть проинтегрировано также следующим приемом.
Будем искать решение.
уравнения ( 1 О) в виде
y(z)
u(z) v(z)
1 y(z) = u(z)v(z), 1
(16)
v(z),
и
- неизвестные фуакции, одна Из которых, наnример
может
где
в форме ( 16) в уравнение ( 10), после
быть выбрана произволъно. Подставляя:
элементарных преобразований получим
y(z)
'
и · v (v' p(z)v)u = q(z) .
Выберем в качестве v(z) любое частное решение v(z) 1. О уравнения
v' p(z)v О
+
·
+
Тогда в силу ( 17) для и(ж) получим уравнение
+
( 17)
.
=
du q(z)
� dz
,
=
которое без труда интеrрируетс.я в квадратурах. Зная v (a:) и и(ж) , найдем решение
уравнения (10).
Прнмер. Найти общее решение уравнения
.
1
у
y(z)
+ 2zy = ze-z2 .
y(z) данноrо линейного неоднородного уравнения в виде
y(z) = u(z) t1(z).
в исход11ое уравнение, попучим
<11 Будем искать решение
•
Подставляя у = u
•
t1
,
1
�2
-
u v + uv + 2жuv = же- ,
или
2
1
u1v + (v + 2zv)u = же-" .
Опредвлим фунiЩИIО tф:) как решение уравнения
(11)
v1 + 2zv = 0.
Разделяя переменные, найдем
dv
- = - 2z dж'
'11
'11
2
= се-" .
Выберем любое частное решение, например, 01'8еЧающее С = 1 Тоrда из (171) получим
1
и
,.2
е
_,.2 1
u = же
_,.2
• .
,
= ж, u = 2 + С.
откуда
Для общего решения исход11ого ура11нения попучаем ВЬiражение
у(ж) = u(z)v(ж)
(�2 +С) е
"'2 •
•
Преимущество метода вариации постоянной заключается в том, что он переносит­
ся на линейные неоднородные дифференциальные уравнения высшего порядка.
1 10
------- г... XXJ, � JP8IIIttllll nep80I'O nopiiДI(II
5.4.
Уравнение &ернуми
Некоторые дифференциальные уравнения пуrем замены переменных моrут быть све­
дены к линейным. К числу таких уравнений относится уравнение Бернулли
d
+ р(ж)у = q(ж)у0, а = const .
Уравнение это предложено Я. Бернупли в 1695 г., метод решения опубликовал И. Бер­
нупли в 1697 г.
При а = 1 получаем однородное линейное уравнение
: + [р(ж) - q(ж)]у = О.
При а = О - неоднородное линейное уравнение
dy
dж
+ р(ж)у = q(ж).
Поэтому будем предполагать, что а =/:. О, а =/:. 1 (для а нецелоrо считаем, что у > 0).
Подстановкой z = y-a+ l уравнение Бернулли приводится клинейномууравнению
отнОсительно функции z(ж).
Однако уравнение Бернупли можно проинтегрировать сразу методом вариации
постоянной. Это делается так. Сначала интегрируем уравнение
dy
dж
Его общее решение
+ р(ж)у = О.
у = Се- jp(z) lh .
Решение уравнения Бернулли будем искать в виде
у = С(ж)е- jp(z) lh ,
где С(ж) - новая неизвесrная функция. ПодставJUIЯ это выражение для у(ж) в урав­
нение Бернулли, получаем
с'(ж) = q(ж){С(ж)) а e(t -a) J p(z) lh
уравнение с разделяющимися переменными относительно С(ж). Интегрируя это
уравнение, находим
{С(ж)) 1-а
1-а =
1 q(ж)e(l-a)
J p(z) lh dж + С,
где С - постоянная интегрирования. Тоrда из формулы ( *) получаем общий интеграл
уравнения Бернупли
[/ q(ж)e(l-a)
]
�------�--�
у l-а (ж) = (1 - а)е(а-1 ) J p(z) lh
J p(z) dz dж + с .
3амечание. При а > О уравнение .Бернулли ИМС!:Т oчeВIWfoe решение 11 = О.
Для интегрирования уравнения Бернулли
dy
dж
+ р(ж)у = q(ж)уа
§ 5. Некоторwе IIIIДW уравнений, интеrрируемwх в Daдpa'IJp8X ------- 1 1 1
можно также воспользоваться подстановкой
у(х) = u(x)v(x),
где в качестве v(х) берется любое нетривиальное решение уравнения
v'(x) + p(x)v = О,
а функция u(x) определяется как решение уравнения
du
( )а- 1 (x)ua .
dx = q(x) v(x)
Пример; Найти решение уравнения �пли
у' - y tg ж = -у2 соsж.
•
Ищем решение у(ж) уравнения в виде
Подставляя !1 =
у(ж) = u(ж)11(ж).
u • 11 в исходное уравнение, nолучим
u111 + и11' - u11 tg ж = -u2 112 соsж,
или
u111 + (111 - 11 tg ж)u = -u2 112 соsж.
Выберем в качестве 11(ж) какое-нибудь ненулевое решение уравнения
111 - 11 tg Ж = 0
и проинтегрируем его,
d11 sin ж
dж, 11 = _!!__ ,
=
соs ж
соs ж
11
Поскольку нас интересует какое угодно частное решение, положим С
Тогда дпя u(ж) получим уравнение
интегрируя которое, найдем
u(ж) =
==
1 , т. е. возьмем 11 =
005,.
1
•
1
-.
ж+С
Общее решение у(ж) исходного уравнения оnределится формулой
1
. .,.
у(ж) = u(ж)11(ж) =
(ж + С) соsж
5.5.
Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение
М(х, у) dx + N(x, у) dy = О
1
1
( 18)
называется уравнением в полных дифференциШlах, если левая часть уравнения пред­
ставляет собой полный дифференциал некоторой функции u(x, у) двух независимых
переменных х и у, т. е.
дu dx дu
М(х, у) dx + N(x, у) dy = du = - + - dy.
ду
дх
В этомслучае u(х, у) = С будетобщи.минтегрШlо.мдифференциалъногоуравнения (18).
Будем предполагать, что функции М(х, у) и N(x, у) имеют непрерывные част­
ные производвые соответсТвенно по у и по х в векоторой односвязной области D
на плоскости хОу.
112
----
Глава XXI. ДИфференциапьнЫе уравнен111 nepвoro 110р!1Д1Ц1
Теорема 4. Для того чтобы левая часть М(х, у) dx + N(x, у) dy уравнения (18) была
полным дифференцишюм некоторой функции и(х, у) двух независимЬIХ переменнЬIХ а: и у,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось тождество
дМ
ду
дN
да:
(19)
� Необходимость. Предположим, что левая часть уравнения (18 ) есть полный диффе­
ренциал пекоторой функции и(а: , у), т. е.
ди
ди
М(х, у) dx + N(x, у) dy = dи = да: dx + ду dy,
тогда М = g: , N = g; . Дифференцируем первое соотношение по у, а второе по а::
дN д2и
дМ filи
=
ду ду да: ' да: = да: ду .
-
Отсюда, в силу равенства смешанных производных, вытекает тождество
дМ
ду
дN
= да: .
Необходимость (19) доказана.
Достаточность. Покажем, что условие (19) является и достаточным, а именно, пред­
полагая его выполненным, найдем функцию и(а: , у) такую, что dи=М(х, у) dx +
N(x, у) dy, или, что то же,
ди N
ди
(20)
=
М(х,
у),
да:
ду = (x, у).
Найдем сначала функцию и(а:, у), удовлетворяюmую первому условию (20). Интегри­
руя это равенство по а: (считаем у постоянной), получаем
(21)
и = М(а: , у) dx + tp(y) ,
где tp(y) произвольпая функция от у.
Подберем tp(y) так, чтобы частная производпая по у от функции и, определяемой
форм�лой (21), была равна N(a: , у). Такой выбор функции tp(y) при условии (19)
J
-
всегда возможен. В самом деле, из (2 1) имеем
J М(х, у) dx tp (у).
N(x, у),
tp' (y) = N (x, у) - !__ J М(х, у) dx.
ду
ди д
ду = ду
Приравняв правую часть полученного равенства к
+
1
найдем
(22)
Левая часть последнего равенства не зависит от а; . Убедимся в том, что при условии (20)
в его правую часть также не входит а:. Для этого покажем, что частная производпая
по а; от правой части (22) тождественно равна нулю. Имеем
[ !__ду J. М dx] = дNда: . !!_да: [!__ду J М dx] = дNда: - !__ду [!!_да: J М dx] .
!__ N -
да:
-
0 5. HllkO'I'opwe llfAiol уравнениl, IIII1'8I'JIIIPY в rвадратурах
Но
-------
� 1 М(х, у) dx М(х, у)
д
IJ
д
дМ
N
М
N
1
]
дх [ ду
дх ду
у,
1р(у) 1 [N : 1 М ] dy
у
1 13
=
и, следовательно,
dx =
-
Теперь, интегрируя равенство (22) по
=
где
::: О.
получим, что
dx
-
+ С,
С - постоянная интегрирования. Подставляя найденное значение для 1р(у) в фор­
мулу (21), получим искомую функцию
u(x, y) =
1 М dx + 1 [н- :у 1 dx] dy + C,
М
полный дифференциал которой, как петрудно проверить, равен
du(x, у) = М(х, у) dx + N (x, у) dy. JПриведенный прием посгроения функции u(x, у) составляет метод интегрирова­
ния уравнения ( 18), левая часть которого есть полный дифференциал.
Пример 8. Проверить, что уравнение
е-• d:�: - (2у + же-') dу = О
является уравнением в полных дифференциалах, и проинтегрировать его.
<11 В данном случае
N -(2у + же-').
дN
-.- = -е-у ,
дж
М = е-11,
дМ
- = -е -у ,
ду
отхуда
==
дМ дN
дi = дж '
Следовательно, уравнение (*) есть уравнение в полных дифференциалах.
Теnерь находим u (см. (21)):
t1
или
Находя
� от функции
u
j М(ж,у) dж + �(у) = j е-11
u
dж + �(у),
= же-11 + �(у).
из (**) и nриравнивая
� функции N(ж,у) = -2у - же-У , получаем
-же-11 + �'(у) = -2у - же-11,
отхуда �1(у) = -2у и, следовательно,
�(у) = -у2 + С, С = const .
ПОдсrавив найденное выражение для �(у) в (**), найдем
2
u
= же-11 - у + С.
Таким образом,
- общий интеграл исходного уравнения. �
ze-ll - y2 = С
р.(х, у) , что
р.М dx + p.N dy
Иногда можно найти такую функцию
(**)
А �wе уравне11М1 nepвoro ltapiДII.I
114 ------ rnau XXI. ДИфференциа�о�
,
М dx + N dy
будет полным дифференциалом, хотя
может им и не быть. Такую фуflк­
цию
называют интегрирующим множителем..
р.(х, у)
Можно показать, что для уравнения первого порядка
М(х, у) dx + N(x, у) dy = О
при определенныхусловияхна фуflкции М(х , у) и N (x, у) интегрирующий множитель
всегда существует, но отыскание ero из условия
д р.N
= ( )
дi/ в;д(р.М)
в общем случае сводится к интегрированию уравнения в частных производных, что
составляет, как правило, задачу еще более трудную.
Эадача. Найти интегрирующий множmель для линейного дифференциального уравнения
У1183811И&.
:: + р(х)у = q(x).
Искать множитель в виде р = p(z) .
§ 6 . Уравнение Ри ккати
Уравнение
dy
d;
где
q(x) , р(х) , r(x)
= q(x) + р(х)у + r(x)y2 ,
- известН ые функции, называется уравнением
( 1)
Риккати.
q, r - постоянные, то оно интегрируется разделением переменных:
1 q + pydy+ ry2 = х + с.
Если
р,
__...._
.:;_ -=
(1)
r(x)
q(x) ::: О ­
В случае, когда
= О, уравнение
оказывается линейным, в случае
не интегрируется в квадратурах.
уравнением Бернулли. В общем случае уравнение
Укажем некоторые свойства уравнения Риккати.
( 1)
Теорема 5. Если известно одно частное решение уравнения Риккати, то его общее решение
может быть получено с помощью квадратур.
<111 Пусть известно частное решение
у
Полагая
получаем
у = у1(х) уравнения ( 1 ), тогда
у; (х) ::: q(x) + p(x)yl (х) + r(x)yf(x).
(2)
= Yt (x) + z(x), где z(x) - новая искомаЯ функция, в силу тождества (2)
dz
dx -
(р(х) + 2r(x)y1(x))z = r(x)z2
- уравнение Бернулли, которое интегрируется в квадратурах. _.
Прммер. ПроинтегрироваlЪ уравнение Риккати
если известно его частное реwение
у' - у2 + 2е"'у = е2"' + е"',
о в. Урмненме Pllaaпf ------- 115
4 Полагая
дnя функции
у = е"' + z,
dz
dz
z = -z
z(z) паnучаем
откуда
реt.Uе+�ием исходного уравнения бу/111!Л функция
е"' +
p(z)
(С� z). "'
1) является специальное уравнение Рикк:ати:
/ � + вr/ = Ьzа, z > О, 1
Частным случаем уравнения (
где в, Ь,
При
.
аа =-Оnостоянные
имеем
(3)
а = -2
и уравнение инте:rрируется разделением nеременных.
получаем
При
Полагая у
= } где z
,
-
новая неизвестная функция, находим
Ь
dz
z2 dz z2 :�:2 '
1 + -в = --= в- ь(�)2.
dz
откуда
dz
Это уравнение однородное относительно ж,
а = а = -2
3:
а,
Оно инте:rрируется в квадратурах.
существует еще бесконечное множество других значений
Кроме
Ои
nри которых уравнение Риккати (З) инте:rрируетея в квадратурах. Они задаются фор­
мулой
1 а = -2�k+
а
1'
k
z.
= ± 1 , ±2,
.
.
.
·1
При всехдругих значениях рещение уравнения Риккати (З) не выражается в квадра­
турах.
Замечанме. Если же положиrь в уравнении (3)
где
и = u(z)
и'
'JI = au'
-
новая неизвестная функция, то пр!ШеМ к уравнению второrо 110р11ДКа
d2u - Ь аи = О
'
dz2 а z
решение котороrо может быть выражено в фуmщиях Бесселя.
1 16
-------
Глава XXI. ДИфференциаяЫtwе уравнени1 nepdOro nopRдra
§ 7 . Диффере нциальные ура вн ения ,
не разрешенные отн осительно производн ой
Рассмотрим теnерь общий случай уравнения первого порядка
9Т(х, у , у')
= О,
(1)
не разрешенного относительно производной.
Уравнения , относящиеся к этому классу, весьма разнообразны, и поэтому в об­
щем случае становится невозможным делать выводы о существовании и единствен­
ности решения, даже накладывая достаточно сильные ограничения на участвующие
в уравнении функции (ограниченность, гладкость, монотонность и т. п. ) . Например,
уравнение
у'2 + 1 = о
вообще не имеет действительных решений. Для уравнения
у'2 = 1
решения суть прямые у = ±х+С, так что через КЮJ<дУЮ точку плоскости хОу проходят
две взаимно перnендикулярные интегральные линии. Поле интегральных кривых
уравнения у'2 = 1 получается наложением nолей уравнений у' = 1 и у' = -1. Если
уравнение
9Т(х, у, у') = О
удается разрешить относительно nроизводной у', то получаются уравнения вида
у' = !i (x, у) , i = 1 , 2, . . . ,
которые иногда могут быть nроинтегрированы изложенными выше методами.
Введем понятие общего решения (интеграла) для уравнения (1). Доnустим, что
это уравнение в окрестноститочки (хо, Уо) может быть разрешено относительно nро­
изводной, т. е. расnадается на уравнения
у' = /; (х, у) , i == 1 , 2, . . . , т,
и пусть каждое из этих уравнений имеет общее решение
(2)
у = so;(x, С) , i == 1 , 2, . . . , т,
или общий интеграл
(3)
'l Цх, у, С) == О, i = 1 , 2, . . . , т.
Совокупность общих решений (2) (или общих интегралов (3)) будем называть
общим решением (общим интегралом) уравнения ( 1 ) .
Так, уравнение
расnадается на два:
y' = l, у' = - 1 .
И х общие решения у = ж + С, у = - ж + С в совокупности составляют общее решение исходного
уравнения у'2 = l . Общий интеграл этого уравнения часто записывают в виде
(у - ж - С)(у + ж - С) = О.
Однако не всегда уравнение ( 1) легко разрешимо относительно у' и еще реже полу­
ченные после этого уравнения у' = J;(x, у) интегрируются в квадратурах. Рассмотрим
некоторые методы интегрирования уравнения ( 1 ) .
t 7. ДИффереtщмаJn.1 ур8111еНМ1,1 не раэрешенные 01'И0С11ТеАЫЮ nрои380Д1101
1.
Пусть уравнение (1) имеет вид
______
1 :F(y') = о, 1
1f7
(4)
ki этого урав­
причем существует по крайней мере один действительный корень
нения. Так как это уравнение не содержит и то ki
постоянная. Интегрируя
уравнение
получаем
С,
или
ж у,
у = /.;ж +
(у с> .
kj =
у' = /.;,
-
у' =
Но /.; является корнем уравнения; следовательно ,
3:
- интеграл рассматриваемого уравнения.
Наnри�. уравнение
имеет интеграл
2. Пусть уравнение 1) имеет вид
(
1 :F(y, у') = о. \
( 5)
у' , бывает целесообразно ввести
у = tp(t), у' = ф(t), to � t � t1,
такими, что gr (1/'(t), ф (t))
t Е (t0, t 1) . Так dy у'dж, то
dy = IP'(t) dt,
dж = 1f
ф(t)
куд
от а
ж = J IP'ф((t)t) dt + с.
Если это уравнениетрудно разрешитьотносительно
параметр и заменить уравнение (5) дву.мя:
t
= О,
то
как
Следовательно, искомые интегральные кривые оnределяются уравнениями в параме­
трической форме
ж = 1 IP'ф(t)(t) dt + с, у = �P(t).
Пример 1. Проинтеrрировать уравнение
<С Полагаем
у = coSJ t, у' = sin3 t, тогда
'!/2/3 + (у') 2/З = l.
d
- 3 oo� t sint
dx =:: y' =
dt
sin3 t
у
2t
- 3 cos
-:-r dt.
sш t
118
-------
Далее
rпава XXJ. ДllфЦI
фepeн
WIW&
II
ур81811111 nepeoro noptiДka
1
находим
cos2 t
z = -3 si 2 dt = 3t + 3 ctg t + C
n t
и nараметрические уравнения искомых иКП�rральных кривых:
z = Зt + 3 ctg t+ С, у = cos3 t. (11.
Если уравнение (5) легко разрешимо относительно у , то обычно за параметр бе­
руr у'. Действительно, если у = fP(y') , то, полаrа.я у' = р, получаем у = fP{p) , так
d
что
• = -y
у'
откуда
ж=
=
IP'(p)
dp,
р
--
1 IP'(p) dp + C.
.
p
Параметрические уравнения интегральных кривых:
z=
1 IP'�) dp + С,
Исключая параметр р , получаем общий иНтеграл
у = V'(p).
Ф(z, у, С) = 0
уравнения (5).
Пример 2. ПpoиlfflИlfP poвa1Ь уравнение
... Разреwим уравнение отнооителЫtо g:
11../11 - 1 = 2
'J} =
Положим r/ = р, тогда
Далее имеем:
у'.
2 - r/
J1/ - t '
2-р
11 = v'p - 1 '
dz _.
dy 11'
dp
2(р - 1)3/2 '
-
1
Z = с--т + С.
vP - •
Таким образом, находим nараметрические уравнения интеrралЫtых кривых
1
2 р
2: =
11 = r=--r ·
r=--r +
vP - •
vP - •
Параметр р ЗNЭСЬ ll6f"I(O ИСЮIIО'М!Ъ. В са- дем, из nepeoro уравнения системы находим
1
== z - C.
v'F!
Первую часть второrо уравнения nреобразуем t:JIВДуЮЩИМ образом:
2
1
tp:l,
- vр - 1
=
v'F! yp::-r
откуда
1
11 = -- - ..jp - 1 = z - С Ji=1
z
- общее решение данного диффереtщиалЫtоrо уравнения. 111-
с,
.
--
:::; _1_ _ р- 1
1
О 7. � ура111,11 ие раэреwениwе O'ПIOCIIТ8RWIO npoii3IOAIIOi ------- 119
3.
Пусть уравнение
(1 )
'
имеет вид
1 gr"(ж , у') = о]
у' , (6)как
t
= tp(t) , у' = ф(t), to � t � t
dy = 1J1dж = ф(t)tp'(t) dt, у = 1 ф(t)tp'(t) dt + с.
Если это уравнение трудно разрешить относительно
целесообразно ввести nараметр
то,
и в nредыдущем случае,
двумя:
и за}.fенитъ уравнение
•.
:1:
тогда
(6)
Следовательно, интегральные кривые уравнения
форме уравнениями
:1:
(6) оnределяются в nараметрической
= tp(t), у = f ф(t)tp'(t) dt + с.
ж:
= tp(y'),
у' =
ж = tp(p), dy = у'dж = ptp'(p) dp ,
у = f prp'(p) dp + с.
Если уравнение (6) леrко разрешимо относительно
:1:
р. Тогда
то в качестве параметра удобно вЬlбрать
откуда
Прмuер 3. Решить уравнение
.,. Положим у' = р. Тогда
Дапее имеем:
8 nараметрическоii! форме
'
13
z = (у ) - у - 1 .
'
dy = у dz = p(3'i
3
р - р - 1,
1) dp,
'
у=3
�4 - �2
р4 р2
у = 3 4 - 2 + с. ...
+ с.
семейство интегралЬllых кривых данного ураВtiения оnределяют ypaвtietiия
z
4. Уравнение Лаrрааа. Уравнением Лаеранжа называется дифференциальное уравнение
вида
\ 11 = жrр(у') + ф(у'), 1
tp, ф
у = жrр(р) + Ф(р)
у
ж у
Р = rp(p) + xrp'(p) : + ф'(р) : ,
tp(p) = [жtр'(р) + 'Ф'(р)] ::
линейное относительно х и у. Здесь
ВВедя параметр
! = р, получаем
-
известные функции.
соотношение, связывающее переменвые х ,
соотношение, нужное для оnределения
ренцируем
откуда
(8) по х:
(7)
·
р-
и
(8)
и параметр р. Чтобы nолучить второе
как функций nараметра р, продиффе­
'
(9)
120 ------ Глава XXJ. ДМффереициапьные уравиеии• nepвoro 110р!1Д1а1
или
[Р - tp (p)]
�; = xtp'(p) + ф'(р).
(10)
�;
Уравнение (10) линейно относительно х и
и, следовательно, легко интеrриру­
ется, наnример, методом вариации nостоянной. Получив общее решение
х
= w(p, C)
уравнения ( 1 О) и nрисоединив к нему уравнение
11 = xtp(p)
+ ф (р) ,
nолучим nараметрические уравнения искомых интеrральных кривых.
При nереходе от уравнения (9) к (10) nришлось делить на
. При этом теряются
решения, для которых р постоянно, а значит,
!
dp
dx
= 0.
Считая р постоянным, замечаем, что уравнение (9) удовлетворяетсялишь в том случае,
если р является корнем уравнения
р - tp (p) = о.
Итак, если уравнение p- tp(p) = О имеет действительные корнир = Pi , то к найденным
выше решениям уравнения Лаrранжа надо еще добавить решения
{:: =�(р) + ф(р),
или
это
прямые линии.
5. Уравнение Кперо.
Полагая у'
Уравнением Клеро называется дифференциальное ураВнение вида
= р, nолучаем
Дифференцируя по х , имеем
! 11 = ху' + ф(у'). /
11 = хр + ф(р).
dp
dp
р = р + х dx + Ф (р) dx '
1
или
[х + ф'(р)]
откуда или
! = О и, значит, р = С, или
: = 0,
х + ф' (р) = 0.
В первом случае, исключая р, найдем семейство прямых
11 =
Сх + 1/J(C)
(1 1)
О 7. Д11фференцнаnыt уравнен111, не раэреwеннwе 0Т110СИ1'е11ЫЮ 11Р011380АИоА
------
121
общее решение уравнения Клеро. Оно находится без квадратур и представляетсобой
однопараметрическое семейство прямых. Во втором случае решение определяется
уравнениями
(12)
у = хр ф(р), х = -ф' (р).
Можно показать, что, как nравило, интегральная кривая ( 12) является огибающей
найденного семейства прямых.
+
11
Пример 4. Решить уравнеliие Клеро
11
= zy' у'2•
11
= Сж С2•
..,. Общее решеliие данtЮrо ypaвlieliИЯ 8МДЖ) сразу:
Другое {особое) peweliиe определяется уравнениями
11
= zp р2 , z 2р.
ИСJ(IJЮЧая nараметр р, находим
у = ж2
- огибающую прямых 11 = Сж с2 (рис. 7)
Для уравнения ВИда
.
Рис.
...
7
&Т(х, у, у') = О
(х
через некоторую точку о , Уо) , вообще rоворя, проходит не одна, а несколько инте­
гральных кривых, так как, разрешая уравнение &Т(х, у, у') = О относительно у' , мы,
как правило, получаем не одно, а несколько действительных значений
у' = /;.(х, у), i = 1 , 2, , т,
.
.
.
и если каждое из уравнений у' = /;. (х, у) в окрестности точки (ж0, у0) удовлетворяет
условиям теоремы существования и единственности решения, то для каждого из этих
уравнений найдется единственное решение, удовлетворяющее условию
у(хо) = Уо ·
Поэтому свойство единственности решения уравнения &Т(х, у, у') = О, удовлетво­
ряющего условию у(ж0) = у0, обычно понимается в том смысле, что через донную
точку (жо, Уо) по донному направлению проходит не более одной интегральной кривой
уравнения &Т(ж, у , у') = О .
Например, для решений уравнения
у'2 - 1 = 0
свойство единственности в эrом смысле всюду выполнеliо, посколЫ<у через каждую точку (zo, Уо) nлос­
кости zOy nроходят две интеrральные кривые, но по различным наnравлениям. Дnя уравнения Кперо
y = zy' - y'2
(см. nример 4) через точку (О, О) nроходят таюке две интегральные линии: nрямая
11
= О,
входящая в общее решение этого уравнения, и парабола
z2
у = 4'
причем э ти линии имеют в точке (О, О) одн о и то же наnравление:
у' = О.
Таким образом, в точке (О, О) свойство единственности нарушается.
атон уравнеt1111 nepao(o noptAU
122 ------- rJ1818 XXI. Дtlффереltциwе
Теорема 6. Пусть шиеем уравнение
вт(ж, у, у') = о
и пусть в нек:оторой окрестности точк:и (жо, уо, у�), где уЬ - один из действительных
корней уравнения
&Т(жо, Уо, у' ) = О,
функ:ция &r(ж, у, у1) удовлетворяет условиям:
1) &Т(ж, у, у') непрерывна па (!Сем аргументам;
2) производпая
существует и отлична от нуля;
!!f-
3} существует ограниченная производпая
18;71
жо
�:
8у � N.
.
Тогда найдется отрезок: [жо - ho, + ho], на котором существует единственное
решение у ::::: у(ж) уравнения &r(ж, у, у') = О, удовлетворяющее условию ·у(жо) = Уо ,
для которого у'(:со) = у�.
§ 8. Геометрические вопросы , связанные
с дифференциальными уравнениями 1 ..ro порядка.
Ортоrонапьные траектории
Общее решение у = !f'(ж, С) дифференциального уравнения 1 -го nорядка определяет
семейство плоских кривых, зависящее or одного параметра С.
Поставим теnерь в некотором смысле обратную задачу: дано одноnараметрическое
семейство кривых
С),
и требуется составить дифференциальное уравнение, для кoroporo у == �(:с, С) будет
общим решением.
Итак, nусть дано соотношение
(1)
у = �(ж, С),
где С - параметр. Дифференцируя ( 1) по ж, nолучим
у ::::: !f'(:c,
у' = ��(х, С).
(2)
Если nравая часть (2) уже не содержит С, то формула (2) будет представлять диффе­
ренциальное уравнение семейства кривых ( l ). Наnример, если у = х + С, то у' = 1
будет дифференциальным уравнением семейства прямых у = :с + С.
Пусть теперь nравая часть (2) содер:ж,ит С. Разрешая соотношение ( 1) относитель­
но С , оnределим С как функцию ж и у :
(3)
С = 'Ф(ж, у).
Подставляя это выражение для С в формулу (2), получим дифференциальное уравне­
ние 1-го порядка
(4)
§8. reoмeiJIIIЧIICIIИI IICIIIjiOCW, C:BIIIIIIIol8 С: Дltффер11� уравнеt1М1111 1•10 nopiAU ----- 123
Нетрудно убедиться в том, что у = V'(z, С) представляет собой общее решение урав­
нения (4).
Если соотношение между величинами z , у и С задано в вИде
Ф(z, у, С) = О,
(5)
то, дифференцируя его по z, получим
ф� + ф� . у' = о.
(6)
!11"(z, у, у') = О.
(7)
Исключая С из соотношений (5) и (6), приходим к уравнению
Можно показать, что (5) является общим интегралом уравнения (7).
Ортоrоиапьные траектории
В ряде прикладных вопросов встречается следующая задача. Дано семейство кривых
Ф(z, у, С) = О.
Требуется найти такое семейство
Ф(z, у, С) = О,
чтобы каждая кривая семейства Ф(z, у , С) = О , проходящая через точку (z, у) , пересека.n:ась в этой
точке кривой семейства Ф(z, у, С) = О под пря­
мым углом, т. е. чтобы касательные к кривым се­
мейства Ф = О и Ф = О в точке (z, у) были ор­
тогональны (рис. 8). Семейство Ф(z, у, С) = О
называется сеАtейством ортогональных траекторий
к Ф(z, у, С) = О (и наоборот). Если, например,
кривые семейства Ф = О - силовые линии. некото­
роrосилового поля, то ортогонаJtЬНЫе траектории ­
эквипотенциальные линии.
Аналитически это означает следующее. Если
!11"(z, у, у') = О
11
о
Рис. В
есть дифференциальное уравнение семейства
Ф(z, у, С) = О,
то дифференциальное уравнение траекторий, ортогональных к семейству Ф
ВИд
= О, имеет
(угловые коэффициенты касательных к кривым семейств Ф = О и Ф = О в каждой
точке должны быть связаны условием ортогональности k1 • k2 =
).
Таким образом, чтобы найти ортогональные траектории к семейству Ф(z, у, С) =
О, надо составить дифференциальное уравнение !11"(z, у, у') = О этого семейства и за­
менить в нем у' на (. Интегрируя полученное таким образом уравнение, найдем
семейство ортогональных траекторий.
-1
�)
124 ------- Гпааа XXI. Дифференцмапьные уравнения nepioro nор!1ДК8
Пример. Найти ортогональные траектории семейства
ж2 + у2 = с2
11
(8)
окружностей с центром в начале координат.
..,. Составляем дифференциальное уравнение семейст­
ва (8). ДИфференцируя (8) по получим
ж,
2ж + 2уу' = О,
или
ж +уу' = 0,
откуда
у = --жу .
Это дифференциальное уравнение данного семейства.
Заменив в нем у'
(- �), найдем дифференциальное
1
на
уравнение семейства ортогональных траекторий:
ж
- 111
== - у ,
или
1
у = -.жу
Рис. 9
Интегрируя последнее уравнение, получаем, что искомыми ортогональными траекториями будут полу­
прямые (рис. 9)
i: О),
1J С
= ж (ж
ж = о (у i: 0). �
Уnражнения
Методом изоклин постройте кривые дифференциальных уравнений:
1 . y' = :r: + y.
2. y' = (y - l):r:.
3. Методом последовательнщ приближений решите задачу Коши:
у' = ;lzy, у(О) = l .
Проинтегрируйте дифференциальные уравнения:
5. e311 sin2 :r: dz + cos2 :r:dy = 0.
4. 2:r:ydy + ( l + y2 ) d:r: = O.
dy
6. :r: = у + же"l"' , y(l) = ln2.
d:r:
ж+у-2
8 . у, y - :r: - 4
10. y' - yctgж = 2:r:sinж,
l
12. у1 = -- .
2ж - у2
14. жуу' = 2у2 - 3:r:2 •
y
J
7. жу' = у + у2 - ж2 •
,
2
9. у + 2жу = же-"' .
(�) = l.
1 1 . :r:2 y' +2:r:y = е"', y(l) = 1 .
13. :r:y' + y = y2 ln:r:.
15. (:r:y +ж2 y3) dy= dж.
(
:2 ) d:r: - (2y - �) dy= O.
16. :r:2 yy' + у2 ж = l.
1 7. 2:r: - l -
18. у2 +
19. 2y = :r:y' +y' lny'.
(
) d:r: + (2жy +tg:r:) dy = O.
+
cos ж
20. НаЙдите ортогональные траектории семейства гипербол
:r:2 у2 = 02
_
( а - числовой параметр) .
О 8. ГеомеtрИЧеС���е IIOIIJIOCW, СВ1138Н11Ы8 с дифференциапыtмМИ уравн1111111МИ 1-ro 1J0P!W8 ----- 125
1.
Pиc. ll.
:::: e:t2 • 4. :n(l + r/) = С. 5. tg :r - :r - ·�эr = С . 6. e-yfz =
С. 9. у = (� + С)е-"'2 •
7. Са:2 :::: у + �. 8. z2 + 2zy - y2 - 4z + 8y
Рис. IО.
ln 1.
10
14
•
•
Ответы
3. у
2.
Н+«е ·
(z2 + 1 - �) sm z. 1 1 · У -- -;rl
2
l
2
3
15
V 11
-С
- ce;'ll2+y2-2
У ·
Z
-
4
Z
.
·
•
18. zy2 + у tg ж = С. 1 9.
.
• Z
-
·
•
{. ж = Cp - Jn p - 2;
11
=
fi!_
2
- р.
С.е2у + . i. + 12 + 41 · 13
· 11 -:
2
2
1.
C+2z
1
1 6• 112
7
Z
•
Ж + " --;;r .
12
1
z -
-
·
20. жу = С.
11
Рис. IО
Рис. Н
1
l'tt+ln o:+l '
• .2
у � С•
-
Глава ХХII
__
________________
_____________
Д ИФФ Е Р Е НЦИ АЛЬ Н Ы Е УРАВ Н Е НИ Я
В Ы С Ш ИХ ПО Р ЯД КОВ
§ 1 . Задача Коw и
y<n>:
Пусть и меем дифференциальное уравнение n-ro порядка, разрешенное относительно
старшей производной
1 �(n) = / (х, у, у1 ' . . . ' у(n-1)) . 1
( I)
Возникает вопрос: какие надо задать условия, чтобы выделить определенное, частное
решение уравнени я ( 1 )? Для дифференциального уравнения nервого порядка
достаточно задать значение
симой переменной
х,
т . е.
у0
у' _= j(x , у)
(хо , Уо ) ,
частного решения nри каком -то значении
задать точку
интегральная кривая этого уравнения.
х0
незави ­
через которую должна проходить
Для уравнений в ы сшего порядка этого уже
недостаточно. Наnример, уравнение
и меет решениями функци и
где
С1 , С2
-
у = С1 х + С2,
nроизвольные nостоянные. Уравнение
у = С1х + С2
(хо , Уо ) ,
у11 = Уо1 ·
оnределяет двухnараметрическое семейство прямых на плоскости
лить оnределенную nрямую, мало задать точку
хОу,
и, чтобы выде­
через которую прямая должна
проходить, - надо еще задать угловой коэффициент nрямой
:c= zo
В общем случае д ифференциального уравнения n-ro nорядка
частного решения надо задать n условий:
где
у 1 = Уо , У1 1
Уо, у0 , , у0(n- 1)
1
z==zo
•
•
•
x =zo
= Уо,1
некоторые числа.
. . . '
у(n-1) 1
:t=xo
-
_
( I ) мя в ыделения
Уо(n- 1) '
(2)
Совокупность этих условий называется
начальными условиями для дифференциального уравнения ( 1 ) .
Задача Коши ДII Я этого
§ t. 3� � ------ 1U
уравнения ставится так: найти решение дифференциальноrо уравнения ( 1) , удовле­
творяющее заданным начальным условиям (2).
Сформулируем теорему существования и единственности решения задачи Коши.
Теорема 1 (существова•• и еди11СТ118НН0СТИ реwеии• эадачм Коwи).
Пусть имеем дифференциальное уравнение n -го порядка,
разрешенное относительно старшей производной,
y<n) = / (z, у, у' , . . . , y<n- 1 ) ) .
Если праеdя часть этого уравнения непрерывна как функ­
ция n + 1 аргументое z,y,y1 , , y<n.-l) е некоторой окрест­
t
ности П точки Mo(zo, Уо , U:,,
, y�n.- ) ) (на рис. l для
n = 2 ) , то найдется интервал zo ho < z < zo + ho
оси Oz, на котором существует по крайней мере одно ре­
шение у = rp(z) уравнения (1), удовлетворяющее начальнЬIJII
услоеиям
• • •
. . •
Jl
-
Рис. l
-
n1
У(n - 1) 1 z=zo Уо( - )
У 1:r:=zo = Уо, У'\ z=zo = Уо,
Если, кроме того, функция /{z, у , 1/1
y<n -t) ) имеет ограниченные частные произ­
водные U , .g;, 1
, 81,f..'--1> е указанной окрестности П, то такоерешение единственно.
1
•
• • •
•
•
· ·
,
'
·
_
·
=
/ =е-"
Так, для уравнения
e-"2 y + sin y'
у11
правая часть
2 y + sin y',
рассма-rриваемая как функция трех независимых переменных :r:, у, у1 , неnрерывна всюду и имеет огра.
ниченные всюду производные
� = е-"\ Z, = cos u.
Поэтому, какова бы ни была тройка чисел (х0, '110. 1/о) , существует единственное решение этого урав­
нения, удовлетворяющее начальным условиям
r�l
""""В
=
'
,1
'110 .
z=zo
= 1/о
·
Оnредепение. Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка
у(п) = f (z, у, у' , . . . ' y<n- 1 ) )
в пекоторой области П существования и единственности решения задачи Коши назы­
, Сп ), зависящих
вается n-параметрическое семейство S функций у = <p(z, С1 1 С2,
от z и n произоолыtых постоянных Ct , С2, . . . , Сп , таt(:ое, что:
l) при любых допустимых значениях постоянных С, , С2, . . . , Сп функция
• • •
у = <p(z1 С, ,_ С2, . . . , Сп) Е S
является решением дифференциального уравнения ( l ) т. е.
rp<"> (z, Ct, С2, . . . , Cn ) := / z, rp(a;, С, , С21 Сп), . . , rp<п- l ) (z, Ct , С2, . , Сп) ,
z Е (zo - h, zo + h);
(
•
•
•
,
.
,
. .
)
128 ------ Гпава XXII. ДИффереtнutапыlые ypaвиeнн lloiCWIIX OOJI!IAIOII
2) каковы бы ни были начальные условия
1
(n-1)
(n-1
'
У 1 z=zo - Уо , , У / z=zo - Уо ,
У ) / z=zo - Уо
(лишь бы точка (:со , Уо . у�, . . . ' у�п-!)) принадлежала области n существования и един­
ственности решения задачи Коши для уравнения ( 1) ) , можно так подобрать значения
_
_
· · ·
•
_
с?, �, . . . , � постоянных, чтобы решение
У = �t�(:c, cf , с1, . . . , С,:) Е S
удовлетворяло заданным начальным условиям.
Решение, получаемое из общего при конкретных значениях постоянных С1 , С2, ,
- назы­
Сп , называется частнЬI.М решением. Его график - кривую на плоскости
вают интегральной кривой данного дифференциального уравнения.
Соотношение
у, С1 , С2, . . . , Сп ) = О, неявно определяющее общее решение,
называют общим интегралом дифференциального уравнения ( 1 .
хОу
Ф(х,
• • •
)
задача. ПоказаТh, что функция
язляется общим решением уравнения
у" + у = О.
§ 2 . Уравнен ия вы сших порядков,
допускающие пон ижение порядка
1. Уравнение вида
1 Y(n) = f(x), 1
(1)
где / х) - известная непрерывная функция, интегрируется в квадратурах. Учитывая,
что y(n) = (y<n-l )) ' , и интегрируя по :с левую и правую части уравнения, получаем
(
1 f(x) dx + Ct,
y<n-2) = 1 (1 / (х) d:c) dx + Clx
y<n- 1) =
т. е. приходим к уравнению такого же вида, что и исходное; далее находим
Через n шагов получим общее решение уравнения
Пример 1. Найти общее решение уравнения
+ с2.
( 1 ):
у" = 2х.
..,. Последовательно интегрируя дважды, получаем искомое общее решение
з
у' Ja dx == x2 + Cr, у = х + Crx+C2. .,.
§ 2. Уравнениа высwих nорядков, доnускающие nоиижекие nорядка
129
_______
2. Если уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка k
-
1
включительно, т. е. имеет вид
( 2)
то порядок уравнения может быть снижен до порядка n - k заменой
такой замены уравнение принимает вид
у<"> = р(з:) . После
� (х,р, р', . . . , p<n-k)) = О.
Пусть удалось проинтегрировать полученное уравнение:
р = Ф(з: , С1 , С2, . . . , Cn-k) ·
р = у<"> (з:) , приходим к уравнению
1 у<") = Ф(з:, С1 , О1 , . . . , Cn-k) , 1
из которого у(з:) находится k-кратным интегрированием.
Замечая, что
Пример 2. Найти общее решение уравнения
�
11
у/11 - !!_ = о.
х
Положим у" = р(х), тогда
у", = р' (х)
и данное уравнение примет вид
dp - � = 0.
x х
d
Разделяя переменныв в последнем уравнении, найдем р = С1 х, или
у" = С1х,
откуда легко получаем общее решение исходного уравнения:
с1 з
у = б х + С2х + С3. ....
3. Пусть дифференциальное уравнение не содержит явно независимой переменной
т . е. имеет вид
1 F (y, у' ,
..
.
, у<п> ) = 0. ,
з:,
(3)
Порядок этого уравнения можно понизить на единицу подстановкой у' = р(у) , где р =
р(у) рассматривается какновая неизвестная функция, а у принимается замезависимую
dk
переменную. В этом случае все производные �
, k = 1, 2, . . . надо выразить через
производные от функции р по у :
dy = р(у),
dз:
d2 y = � ( dy ) = .!!._ ( (у)) dy = р dp ,
dз:2 dз: dз: dy р dз: dy
d3y = d ( d2y ) = d (р dp ) dy = р ( dp ) 2 + р2 d2p и т. д.
dy2
dy
dз:З dз: dз:2 dy dy dз:
, n,
130 ------ Гпава XXII. ДМфференii,IWIЫiые уравиеiiЖI высших 110РQК08
Мы видим, что любая производная !Jt.
dzk , k = 1, 2, . . . , n, выражается через производные от р по у порядка не выше k - 1 , что приводит к понижению порядка уравнения
на единицу.
Пример З. Проинтегрировать уравнеttие
.._ Положим
уу" + (у')2 = о.
у' = р(у) , тогда
dp
у" = p dy
и данное уравнение nринимает вид
Сокращая на р, р 1
О,
dp
УР dy + р = 0.
и разделяя nервменные, найдем
J
Р(11) =
или
dy
dz
11
2 = С1х + С2,
откуда
1Р
или
Случай р =
ёt
-,
О
содержащввся в (
11 =
дает решение
Jc1x + С2 .
11
**). �
-
-
с,
Всегда следует посмотреть, не является ли левая часть данного уравнения полным
дифференциалом некоторого выражения. Так, уравнение (*) можно переписать в виде
d ( 1
dx
откуда находим:
УУ ) = О,
с1
уу = -,
2
1
Часто встречающееся уравнение
у" = J(y)
можно легко проинтегрировать в квадратурах, если умножить
(проделайте это!) .
обе ero
части на
у'
РассмО'Iрим уравнение второго порядка
О,
(4
у" + PI(x} y' + P2 (:!:) 1J
)
о
и
линейное относительн скомой функu.ии у(х ) и ее nроиЗIIОдных 11 и 1/'. Поло:ж:им
(5)
у(х) u(:c) v(z),
и
где (х), v(х) новые фунщии, из которых одну мы можем выбирать nроизвольно. ПoдC'I'IIW1JPI 1J(z)
в форме (5) в исходное уравнение (4), для функции u(z) nолучаем уравнеиле
v" + PI ' + pzll и О.
и11
2
и'
(6)
+
+ р1
;
+
=
ЗаМечанме 1.
=:
(� ) (
)
), ro можно взять v = у1 (х).
Если извесrnо одно решение 111 (х) '/= О исходного уравнения (4
нии (6) тогда исчезнет слагаемое, содержащее функцию u(x) (если v = :VI(:r) , ro
v" + P1t11 + pzv = О,
В уравне­
вwсwих 110p!IДI08, доnус111110ЩИе 11011ае11ме IIOPiдiQI ------ 131
.
так
(2 � Pt)
мы
вид
§ 2. Ура1111е111111
как , по предположению,
Если nоложить
и леrко инrеrрируется.
111 (z) - решение уравнения (4))
"
и
В результате
+
'
и
+
Уравнение (6) примет тогда виц
=О
нwем
обшее решение исходного уравнения
·
1
v(z) = е- 2 f p1 (z).n,
(4).
(7)
то в уравнении (6) исчезнет слаrаемое с первой nроизводной, и уравнение примет
u" + q(z) и = О.
Thxoe nрообразование nолезнодm�: хачествениого amumзa уравнения и при исnаль:юванин приближен­
ных методов решения.
Рассмоrрим, наnример, дифференциальное уравнение Бесселя
(8)
z2y11 + :r.y' + (z2 - v2) у = О, v
чис.nовой параметр,
(его решения ф
Бессвля - играют важную роль во многих задачах физики); представим его
в виде
- ункции
Здесь Pl (z} =
� , так что
11
( 1 - -)
1 ,
v2
11 + z ·у +
е
z•
силу (7) имеем
1 f -�
1
t�(z) = IГi Ж = :r.-1 ,
Полагая y(z) = z-112u(z), получаем
дnя
у = О.
z > O.
u(z) уравнение
(для:
u" + 1
х� i
"1
)
u = О,
весьма удобное для изучения поведенмя· функций Бесселя nри больших значениях z .
3амечание 2 .
что
При решении задачи Коши
уравнеНИЙ высших порядков бывает ·целесообразно
оnределять значения постоянных С; в nроцессе решения, а не пOCJJe нахождения Обшего решения
уравнения. Это связано с тем,
интегрирование поройзначнrелъноуnрошается, когдапостоянные С;
при nроиЗВОJiъных С; интегрирование
nринимают конiфеТНые числовые значения; в то время
за-грудннrелъно, а то и вообше невозможно в элементарных фующия:х.
Рассмотрим, например, следующую задачу Коши:
11" =
Полагая у' = р(у), nолучаем
РаЗделяя переменные, найдем
2g3,
=0
11 1
·
z + C2 =
как
=
u'1.,=0
1,
1.
/<и4 + Ct)_1,2a11.
В правай части последнего равенства имеем интеграл от дифференциального бинома. Здесь т = О,
- что
�*\де
� , так этот интеграп ие аыражается а
= 4, р =
ций. ОдНако если исnользовать начальные условия, то С1
n
откуда, учитывая начальные условия, накадим
ау = y2
,
dz
11 =
1
(l - z)
·
=
коиечной комбинации элементарных функ­
О . Это сразу дает
132 --------:- Глава XXII.
ДиффереициаnЫtwе уравнеНИ!I вwсwмх IIDpiiДICOВ
Задача. Найти два реwения задачи Коwи для уравнения
у" = 3
V1/2 '
с начальными условиями у(О)
у1(0) = О . Не противоречит ли этот факт теореме существования
и единственности реwения задачи Коwи?
§ 3 . Л и н ейные однородн ые
диффе рен ци ал ьн ые уравнен ия
n-ro
по рядка
ЛинейнЬIМ дифференцишzьнЬIМ уравнением n -го порядка называется уравнение, линейное
относительно неизвестной функции и всех ее производных. Оно имеет вид
1 ао(ж)у(n)
+
аф:)у(n - 1 ) + . . . + аn (ж)у = g(ж),
1
где а0(х) , а 1 (ж), . . . , аn (ж), g(ж) - заданные на некотором интерВале (а , {3) функции.
Если g(ж) = О на этом интервале, то уравнение называется линейным однородньш,
в nротивном случае уравнение называется неоднородньш.
Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение
ао (ж)у(n) + a1 (ж)y(n- l ) + . . . + аn (ж)у = О.
Если а0(ж) # О на пекотором интервале, то разделив все члены данного уравнения
на коэффициент ао (ж), nолучим
y<n) + P l (ж)y(n - l ) + . .
или
.
+
Рn (ж)у = О,
( 1)
/ y(n) = -pJ (x)y(n- 1) - . . . - Pn(ж)y. j
(2)
Если коэффициенты Рt(ж), k = 1 , 2, . . . , n, уравнения (l) непрерывны на отрезке
[а , Ь] , то правая часть уравнения (2) непрерывна по :е , а � ж � Ь , и по у, у', . . . , y<n- l)
длялюбыхзначений у, у', . . . , y<n- l) и, кроме того, имеетчастные производные по y(k) ,
равные -Pn-t (z) , ограниченные нэ [ а, Ь]. Поэтому в силу теоремы 1 получаем:
еслик:оэффициентырt(х), k: l , 2, . . . , n,уравнения ( 1) непрерывны на (а, Ь], то, каковы
бы ни бши начшzыtые условия
1
У!х=хо = Уо, У' / z=zo = Уо,
жо Е (а, Ь), -оо < y�k) < + оо,
· · ·
'
(n 1
(n - 1
У - ) / z=жо - Уо )'
k = О, l, . , n - 1 ,
_
.
.
существует единственноерешение уравнения ( 1), удовлетворяющее этим начальнЬIМ усло­
виям.
§3. Линейные однородные дифференциат.нt.�е уравненик n·ro 110р11ДК8 ------ 133
Наnомним следующее nонятие. Говорят, что на множестве Е задан оператор А
значениями в множестве F, если каждому элементу у Е Е по пекоторому закону
поставлен в соответствие определенный элемент f Ау Е F. МножествоЕ называют
областью определения оператора А.
Пусть Е - линейное пространство. Оператор А, заданный на Е, называется
линейнЬIМ, если он аддитивен и однороден, т. е.
1 ) A(Yt У2 ) = Ayt + Ау2 , 'Vyt , 'VY2 Е Е ;
2) А(ау) = аАу 'Vy Е Е, 'Va , где а - число.
Представим линейное однородное уравнение (1) в виде
со
+
где
l .c[y)
:=
Y(n) Pt(x)y(n- l)
+
+
·
. . + Рп(х)у.
,
Петрудно видеть, что .С есть линейный дифференциальный оператор, опреде­
ленный на линейном пространстве функций у(х), непрерывных на интервале (а, Ь) ,
вместе со всеми производными до n-го nорядка включительно. Дифференциальный
характер оператора очевиден. Покажем его линейность, т. е. что
1) .C[y l У2 1 .C(yl J .С(у2 ] ;
2) .С[Су] = С.С[у] , где С - постоянная.
+
+
<1111
Имеем
.C[yt
+
Y2J = (Yt Y2 ) (n) + P l (x)(y l + 1/2) (n- l ) + . + Pn(x)(yt + 1/2) =
n
+ P (X)Yt)
= (y� ) + Pl (x)y�n - l ) +
n
Pn (x)y2) = .C(yt) + .С[у2 ]
(y�n) + Pt (x)y�n- l) +
+
· ·
· . ·
и
+
· ·
·
+
+
.С{Су] = (Cy)(n) + Р1 (x)(Cy)<n-l) + . . . + P (x)Cy =
n
= C (yfn) P J (x)y(n- t )
P (x)y) = С.С(у]. i1J1.
n
Как следствие получаем
+
+... +
. Установим некоторые свойства решений линейного однородного уравнения.
Теорема 2. Если функция Уо(х) является решениемлинейного однородного дифференциального уравнения
.С[у] = о,
то функция Су0(х), где С
уравнения.
произвольпая постоянная, тоже является·решением этого
134 ------ rпua XXII. Дltффереициаnьные уравиенм• вwсwмх Пор!IДКОI
.с
По условию,
.С[уо] = О.
Надо доказать, что
.С(Суо] = О.
Пользуясъ свойством однородности оператора .С[у] , имеем
.С [Су0} = С.С{Уо} =: О.
Это означает, что функция Cyo(z) есть решение уравнения .С[у] = О .
�
Теореме 3. Если функции Y t (z) и Y2(z) являются решениями линейного однородного урав-
нения
то сумма функций Yt (z)
<111
+
.С[у] = о,
Yz(z) тожеявляется решением этого уравнения.
По условию, .C fyt ] ::: О и .С[У2] = О. Надо до:казатъ, что
.C (yt
+ 1/2} = о.
Последнее сразу вытекает из свойства аддитивности оператора .С[у] :
.C [yt + Y2l = .C [yt ] + .С [у2 ]
о. �
С.tiедствие. Линейная комбинация с произвольны.ми постоянны.ми коэффициентами
т
CiYi(z)
2:
i=l
решений Yt (z) , Y2(z), . . . , Ym (z) линейного однородного дифференциШlьного уравнения
является решением того же уравнения.
.С(у] = о
Линейное однородное дифференциальное уравнение .С[у] = О всегда имеет три­
виальное решение у = О. Из теорем 2 и 3 получаем: совокупность решений линейного
однородного дифференциального уравнения .С[у] = О образует линейное простран­
ство, нулем которого является функция у = О.
Теорема 4. Если линейное однородное уравнение
.С[у] = о
с действительными коэффициентами Pk (x), k = 1 , 2, . . . , n, имеет комплексноерешение
y(z) = u(z)
+ iv(x) ,
то действительная часть этого решения u(z) и его мнимая часть v(z) в отдельности
являются решениями того же однородного уравнения.
1C11 вII и nинeiitot tte3111111C11Мble системы фунщий ------- 135
§4. Линеiiно 38111МI
_... Дано, что
.C [u + iv ] = О.
Надо доказать, что
.C[u] = О и
.C [v ] ::: О.
Полъзуясъ свойствами линейности оператора 1:,, получаем
.C[u + iv] = .C [u] + iJ:, [ v] = О.
Оrсюда следует, что J:,[u} = О и .C [ v ] = О, так как комплекснозначная функция дей­
ствительного арrумента обращается тождественно в нуль тогда и только тогда, когда
ее действительная и мнимая части тождественно равны нулю . .,.
§ 4. Ли нейно зависимые и ли нейно независ имые
системы фун кций ·
Пусть имеем систему функций у1(ж), Y2(z), . . . , Уn(ж) , определенных на пекотором
интервале (а, Ь).
Оnредепение. Будем говорить, что система функций у1(ж), У2(ж), . . . , Уn(ж) линейно за­
висима на интервале а < ж < Ь, если существуют постоянные о ц , а2,
, an такие, что
на этом интервале выполняется тождество по ж :
CtJYJ (ж) + а2У2 (ж) + . . . + CtnYn(ж) := О ,
причем хотя бы одно из чисел ai отлично от нуля.
• • •
Если это тождество имеет место только при а 1 = а2 = . . . = an = О, то семейство
функций y , (z), У2(ж), . . . , Уn(ж) называется линейно независи.мЬtМ на интервале (а, Ь) .
Рассмотрим примеры линейно зависимых и линейно независимых систем функ­
ций.
1. Функции
линейно зависимы
на
rдe a1 = 2, a 2 = - l .
!IJ (x)
=
х
112(х) = 2��:
и
любом интервале
(а, Ь) , так как имеет место, наnример, тож:дестsо
2yl - У2 = 2z 2z = О,
2. Функции
х, ж2 ,
, ж"
(а, Ь), так как тождество
ao · l + a1 x + . . . + а,.х" : О, х Е (а,Ь),
, n.
возможно лишь в случае, если а; :::: О, i = О, 1 , 2 ,
<lll Если хоть одно из чисел а;. было бы отлично от нуля, то в левой части тож:дестsа стоял бы многочлен
1,
• • •
линейно незаsисимы на любом интерsале
• • •
стеnени не выше n, который может иметь не более n различных корней и, следовательно, обращается
в нуль не более чем в n точках рассматриваемого интервала . .,.
З. Функции
ek l'• , ek2"'
. . . , е"-"' '
где k; :f; kj nри s # j, линейно независимы на любом интервале
(а, Ь).
<lll Для простоты ограничимся случаем n = 3. Допустим, что функции ek1"' , ek2" , ekзz ямяются линейно
зависимыми. Тогда имеет место тождество
a1 ek1" + а2еk2 ж + азi'3"'
= О,
·
136 ------ Гnава XXII. Диффереициаnьные уравнеи111 высwих nорtДков
nричем хотя бы одно из а; не равно нулю. Пусть для оnределенности
на ekl" и nродифференцировав, nолучим тождество
az(k2
деля которое на
kr)e(k2-k1}" + аз(kз - k i}e(k3-k1 )"
e!k2-k1)" и дифференцируя результат по х , найдем
аз(kз - kr){kз - k2)eф-k2Jz
аз
# Q. Разделив тождество
о,
О, ·
невозможно, так как аз i= О по nредnоложению и k; i= kj nри i i= j. Значит, наше доnущение
неверно, и рассматриваемые функции являJОТСЯ линейно нвэависимыми. ,...
'ПО
Замечание. Линейная зависимость nары функций означает, что одна иэ функций получается иэ друrой
ум!Iо:ж:ением на постоя!Iную:
112 (х) fJYI(x), {J = const .
YI(z),y2 (x), , yn (x) линейно зависимы иа (а, Ь), то по крайней мере
==
Вообще, если функции
. • .
одна из них есть линейная комбинация осталЪ!Iых.
Задача. Показать, что если система функций .
Yt (z), У2(х),
,
y,.(z)
линейно независима на интервале (а, Ь), то и любая подсистема
незавнсима на (а, Ь).
. . •
этоli системы функций таюке линейно
Теорема 5 (необходимое усповие ликеiiной 3881МОСТИ
1СН
фJIIIQИi), Если функции
!1 1 (а:), !12 (а:) , · , !ln(a:) ,
имеющие производные до порядка n - 1 включительно, линейно зависимы на интервале
(а, Ь), то на этом интервале определитель
• •
W(x) =
·
(п.:.i>".·)· · · · {n.:.i)·(· ·)· · · · · · ·<п:..·,; ·
(х У2
х · · · Yn (а:)
!11
fi:ОЗЫваемый определителем Вронского системы функций !11 (а:), Yz (а:), . . . , Yn (а:), тожде­
ственно равен нулю:
=: О на (а, Ь) .
•
•
•
• .
W(a:)
3 . Пусть дважды дифференцируемые функции у1 (:х:) ,
<111 Ограничимся случаем n
у2 (а:) , у3 (х) линейно зависимы на интервале (а, Ь). Значит, на (а, Ь) выполняется
тождество
а 1У 1 (а:) + а 2 у2 (х) + азУз (а:) О,
причем не все числа ai (i 1 , 2, 3) равны нулю. Для определенности будем считать,
что а 1 =/= О. Разрешим тождество относительно у1 (х) и дважды продифференцируем
ero:
111 (х)
,
у , (а:) ==
= - а1а2 Yz(a:) - ааз1 Уз (х),
аз ,
а2 ,
-Yz (а:) - - Уз (а:) ,
а1
а,
11
!11 (х) =
аз "
а2 ''
-!12 (а:) - - Уз (а:) .
а1
а,
Составим определитель Вронского системы функций у1 (х) , у2 (х) , у3(х ) :
W(a:) =
1
у, (х) У2 (х) Уз (х)
у�(х) у�(х)
у:'(х) у�(х) у�(х)
yj(x)
(I)
(2)
04.
ЛмнеАио 3111ИМ
1МС ые и лмнеАио 1183811ИСИмwе системы фуи1Щ1111
______
137
или , с учетом формул (1) и (2) ,
а
а
2 У2(ж) -з Уз(ж)
а1
а1
а
аз
у� (ж)
2 у;(ж) _
W(ж) =
а,
а1
а
аз
у� (ж)
_ 2 1/i (ж) _
а1
а1
Уз(ж)
�-
_
Первый столбец оnределителяявляется линейной комбинацией двухдругихnритобом
ж Е (а, Ь). Такой оnределитель, как известно, равен нулю; следовательно, W(ж) = О
Vж Е (а, Ь) . 111>
Рассуждением от nротивного легко доказывается следующая теорема.
Теорема 6. Если определитель Вронс1С020 W (ж) системы n функций неJЮ8ен тождественно
нулю в пекотором интервале (а, Ь) , то эти функции линейно независимы в этом интер­
вале.
Для произвольной системы n - l раз дифференци­
руемых на (а, Ь) функций теорема, обратная теореме 5,
неверна. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим nример.
Д/111 функциЯ (рис. 2)
J
= { z2,
9' (x)
О,
определитель
'1'2 (:1:) =
{ о,
ж2 .
- 1 х < О,
< х < 1,
О�
-1 < х < о.
W(x)
Рис. 2
о � х < 1,
ВрОНСI(ОГО на интервале (.,-1, l)
9'
1 1
'1'!
'1'2
тождественно равен нулю:
- ! 11
'f'J 1 -
11
�; � 1
о
0
=
21-
о
о
l
- < :1: < ,
,
:1: = о,
2х
о � :1: < 1 .
Однако, как легко видеть, функции <f'l (x) и y>i(x) на интервале (-1, 1 ) линейно независимы. Заметим,
и
) функции у>1(х) и <р2 (х) уже линейно зависимы.
в интервалах
что
(-1, О) (О, l
{ оxm,
Можно несколько обобщить рассмотреt�ныЯ пример,
fJJ
(x)
'Ф2 (ж)
=
=
ж < О,.
х�о
,
х < о,
{х
o,m, х О
� .
BЗSIB
систему функций
(m > 1,
целое) .
Эти функции линейно независимы в любом интервале, содержащем внутри себя точку х = О, а вместе
с тем их оnределитель Вронского тождественно равен нупю. При этом, скажем, функция ф2 (ж) имеет
всюду непрерывные производные, до порядка т - 1 вкmочитепьно, и лишь nроизводная m-ro nорядка
О . Выбирая т достаточно большим, по1Гf18ем систему
терnит разрыв с конечным скачком в точке х
функций, обладающих непрерывными проиэводными любого нужного nорядка.
задача. Что можно сказать
1/! (z) , У2 (х) , . . . , y,.(z),
об оnределителе Вронского си.С'!Вмы функци�
если только известно, что эти функции а) ли.нейно зависимы; б} линейно независимы?
138
------
Г118118 XXII. Д..фференциадыtые уравне11Иt 81o1C1U11X noptiAIOII
Теорема 7 (необходимое условие nинeiiнoil независимостм решений). Если линейно независи.мые
на интервале (а, Ь) функции у1 (х), у2(х), . . . , у11(х) являются.решениямилинейного одно­
родного дифференциального уравнения
1
(3)
y(n) + PJ(x)y(n- ) + . . . + Pn (x)y = О
с непрерывными на [а, Ь] коэффициентами Р�с (х) , то определитель Вронского этой си­
стемы решений
W (x) =
Уп(х)
r/n (x)
1)
(n- 1
Y(Jn- (ж) У2 ) (х ) . . .
-1
Yn(n ) (Х)
не может обратиться. в нуль ни в одной точке интервала (а, Ь)
., Ограничимся рассмотрением
случая
n
.
3. Допустим,
х0 Е (а, Ь) определитель Вронского равен нулю:
W(xo) = О, хо Е (а, Ь).
что
в пекоторой точке
Составим систему трехлинейных однородных алгебраических уравнений относитель-
{
0:1!/J(жо) + azy2(xo) + О:з!lз(хо) = О,
(4)
O:t!l�(жo) + 0:21/�(жо) + о:зу�(хо) = О,
.
a J y�'(xo) + а2у1(хо) + азу� (хо) = О.
Оnределитель этой системы W (ж0) в силу допущения равен нулю, поэтому система
имеет иенулевое решение а 1 , а2 , а3, т. е. по крайней мере одно из чисел ai отлично
от нуля.
Рассмотрим функцию
у = ttJ1/t(ж) + i't2Y2(x) + ttз!lз(z).
(5)
Она является линейной комбинацией реш ений Уt (ж) , у2(х), Уз(ж) уравнения (3) , и,
значит, сама есть решение этого уравнения. Это решение в силу уравнений (4) удо­
влетворяет нулевым начальным условиям
у(хо) = бt !IJ (xo) + ii2!12(xo) + ttз!lз(zo) = О,
у1 ( Хо) ltJ !I� (xo) + а2у; (хо) + iiзу;(жо) = о,
1/11(жо) = iily;'(жo) + i't2!1�(xo) + iiз!l�(xo) = О.
(6)
Таким начальным условиям, очевидно, удовлетворяет тривиальное решение у = О
уравнения (3) и, по теореме о единственности решения, только это решение. Следовательно,
iiJYJ (ж) + i't2Y2(x) + ttзУз(х) = О на (а, Ь) ,
причем хотя бы ОДНО из ai отлично от нуля. Таким образом, решения 1/J(z) , У2(х) ,
у3 (х) оказываются вопреки условию теоремы линейно зависимыми. Противоречие
возникло в связи с допущением, что W(x) обращается в нуль в точке z0 Е (а, Ь).
Значит, наше допущение неверно, и W{x) =1= О всюду в интервале (а) Ь). �
Из теорем 5 и 7 как следствие получаем следуютую важную теорему.
§ 5. Струпура общеrо peweНИi nмкeiiнoro одttородноrо АМФФереtщимЫ!оrо уравненn ______ 139
Теорема 8. Для того, чтобы частные решения Yt (ж), У2(ж), . . . , Уn (ж) линейного однород­
ного дифференциального уравнения (3) с непрерывны.ми на отрезке [а, Ь] коэффициентами
были линейно независимы.ми на интервале (а, Ь), необходимо и iJостоточно, чтобы опре­
делитель Вронского W (ж) системы решений был отличен от нуля.
<4
Необходимость условия прямо следует из теоремы 7.
Достаточность условия выrекает из того,
что nри ли нейной зависимости функций
Уt(ж), У2(ж), . . . , Уn(ж) , согласно теореме 5 , имеем W(ж) = О. Поэтому если W(ж) ::/= О,
то функции уt (ж), У2(ж), . . . , Уп(ж) не мшу:r быrь линейно зависимыми, т. е. они в этом
случае линейJiо независимы . ""
Эадача. Доказать,
что
два решения уравнения
1111 + Р1 (х) у1 + P2 (.z)y = О
свисимы.
неnрерывными коэффициентами, имеющие максимум nри одном и
3адача. ДОказа'Ц>,
что
том
же значении
.z ,
линейно
за­
отношение IJIJYX любых линейно независимых реwений уравнения
1/' + Pl (x) y1 + P2(:r)y = 0
с неnрерывными кооффициентами не может иметь точек максимума.
Эадача. nоказать, что два линейно независимых решения t�1 (:r) и t�2(z) уравнения
на
"
, + PJ (Z) f/1 + P2( Ж)fl
о
сзначении
неnрерывными
отрезке [а, Ь) кооффициентами не моrут обращап.ся в нуль nри одном и
'
z Е (а, Ь).
o
том же
§ 5. СтрУJПУра об щего решения
линейного однородног о
дифференциального уравнения
Теорема 9 (о структуре общеrо реwениt nииейноrо одкород,ноrо дифференциат.ноrо уравнеим1). Об­
щим решением в области а < ж < Ь, IY (k) l < +оо, k = О, 1 , 2, . . . , n - 1 , линейного
однородного дифференциального уравнения
n
n
y( ) + Pt (ж)y( -t ) + . . .
+ Рn (ж) у
=О
=
(1)
с непрерывны.ми но отрезке [а, Ь] коэффициентами Р�:(ж) , k
1 , 2, . . . , n, является
линейнШi камбинация
n
у = CiYi (ж)
(2)
i=l
n линейно независимыхна интервале (а, Ь) частныхрешений Уi(ж) , i = 1 , 2, . . . � n, этого
уравнения ( Ct , С2, . . . , Cn - произвольные постоянные).
L
140
------
rпава XXJI. ДИффереицмат.иые уравиенИII вwtWIIX I1QPfiДXOII
� Будем исходить из определения общего решения и nросто проверим, что семейство
функций
i=l
1), 2) этого определения.
Функция
определенная формулой (2), является решением дифференциаль­
ного уравнения (1) при любых значениях постоянных
Это следует
из тоtо, что, как было установлено выше, любая линейная комбинация частных реше­
ний линейного однородного уравнения есть снова решение этого уравнения.
Для уравнения (1) при а: Е
выполнены условия теоремы 1 сушествования
и единственности решения задачи Коши; поэтому остается показатъ, что постоян­
ные
всегда можно подобрать так, чтобы удометворялись произвольно
заданные начальные условия
удовлетворяет условиям
у(а:) ,
С1 , С2 , . . . , Cn .
[а, Ь]
С1 , С2, . . . , Cn
где
а:о Е (а, Ь) .
у 1 z=zo = Уо, у'1
z=-zo
. 1
= Уо ,
..
" "
,
(n 1
_ У(n - 1 )
У - ) 1 a:=zo о '
·= 3 . Потребовав, чтобы решение
у(а:) = C1 1/1 (:t) + С2112(а:) + СзУз(а:)
Ограничимся случаем, когда n
. удовлетворяло постаменным начальным условиям, получим систему Трех линейных
алгебраических уравнений относительно
С1 , Cz, Сз:
С1111 (а:о) С2112(а:о) + СзУз (а:о) = Уо,
( 3)
с) у: (хо) + с2�(а:о) + Сз уНа:о) = Уо.
Ct yq(zo) + С2у!{(а:о) + Сзу�(а:о) = yg.
Определитель этой системы есть определитель Вронского W(zo) линейно независи­
{
+
мой системы решений однородного уравнения (1), и, следовательно, отличен от нуля
при любом
Поэтому система уравнений {3) од­
Е (а, Ь), в частности при
нозначно разрешима относительно
при любом
Е (а, Ь) и при любых
правых частях, т. е. при любых
yg . А это и означает возможность выбора таких
а:
значений
а: = а:0 •
С1 , С2 , С3
у0, у0 ,
а:0
cr, �' dз. чтобы частное решение
у(а:) = c?yl (x) �У2(а:) + dзиз (а:)
+
удовлетворяло поставленным начальным условиям, каковы бы они ни были . ..,.
Из теоремы 9 следует, что если известно n линейно независимых частных реше­
ний линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка, то всякое
другое решение этого уравнения представляется в виде линейной комбинации этих
частных решений и, значит, линейно зависимо с ними. Отсюда вытекает, что макси­
мальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференци­
ального уравнения равно его порядкУ.
Таким образом,
совокупность решений линейного однородного дифференциального уравнения образует ли­
нейное пространство, размерность l(.оторого равна порядку дифференциального уравне­
ния.
Введем поиятие фундаментальной системы решений.
·
§ 5. Crpytcrypa общеrо решенмя пмнеАиоrо однородною дифференциаnьноrо уравнеимя ------ 141
Оnределение. Совокуnность любых n линейно независимых частных решений линей­
ного однородного дифференциального уравнения n-ro порядка называется ero фун­
даментальной системой решений.
10. У каждого липейного однородного уравнепия ( 1 ) с непрерывнЬIАfu коэффи­
циентами
существует фундаментальная система решений (и даже бескопечное
множество фундаментальпш систем решепий).
Теорема
"llll
р�;(х)
В самом деле, рассмотрим, например, однородное уравнение второго порядка
у" + PI (х)у' + Р2(х)у = О
(4}
с непрерывными на отрезке [а, Ь) коэффициентами. Пусть хо Е (а, Ь). По теореме l
уравнение (4) имеет решения
х хо
(xo)
=
1 , у� (хо) = О;
YI
Yz(xo) = О, у� (хо) = l .
Определитель Вронского в точке х0 системы решений (5) отличен от
W(xo) = 1 � � 1 # О.
удовлетворяющие при
(5)
начальным условиям
нуля,
(5')
Следовательно, система решений (5) для уравнения (4) фундаментальна. Выбор на­
чальных условяй (51) обеспечил построение одной фундаментальной системы. За на­
чальные данные в точке
можно взять любую систему чисел:
хо
YI(xo) = ан, у!{хо) = а21 ;
Yz(xo) = а12, 1h(xo) :::::: а22,
al2 1
W(xo) = 1 all
а21 а22
лишь бы определитель Вронского
был отлячен от нуля. ОчевИдНо, таких систем чисел можно подобрать бесконечно
много и nостроить бесконечно много фундаментальных систем решений для уравне­
няя (4) . .,.
Задача. Составить общее решение уравнения
у' + р(х)у = О,
если известно ненулевое частиое решение Yt(x) этого уравненИ!I.
Теорема
11. Если два уравнения вида
y(n) + Pt (x)y(n- 1) + . . . + Pn (x)y = О
и
y<n) + q1(x) y(n- l) . . . + qn (x)y О,
где функции Pi (x) и qi (x), i 1, 2, . . .
непрерывны на отрезке [а, Ь], имеют общую
фундаментальную систему решений Yt (х), У2 (х), . . . , Yn (x), то эти уравнепия совпада­
ют, т. е. Pi (x) = qi(x) на отреже [а , Ь) .
, n,
+
------=
.
()
142
Глава XXII. ДифференqкаЫt
п ые уравненн iiЫСWИХ IIOfiiДkOB
Таким образом, фундаментальная система решений вполне определяет линей­
ное . однородное уравнение (1), т. е. полностью определяет коэффициенты р;(ж) .
1, 2,
, n, этого уравнения. Следовательно, можно поставить задачу о нахо­
i
ждении уравнения вида 1 , имеющего заданную фуНДаМентальную систему решений
у1 (ж), 112(ж) , . . . , Уп(ж). Представимдифференциальноеуравнение с левой частъюв ви­
де определителя:
. .
у(ж)
Уn(ж)
у' (х)
1/n (z)
.
.
. .
(6)
= о,
n
1/� -l)(ж) yf-') (z) . . . 11;: - r> (ж) y<n- t) (ж)
n
yin) (ж) 1/(n) (ж)
1/� )(ж) 1/�n) (ж)
где у(ж) - искомая функция, а у1(ж), у2(ж),
, 1/n (ж) - заданная фундаментальная
система решений. Уравнение (6) имеет в качестве решений функции
1/t (ж), 112(ж), . . . , Уп(ж),
так как при подстановке вместо у (ж) каждой из этих n функций два столбца определи­
теля: становятсятождественно равными и определитель обрашается в нуль тождествен­
но по ж Е (а, Ь). Разлаrая определитель по элементам последнего столбца, nолучаем
из (6) уравнение вида
W(ж)y(n) - Wr (ж)y<n- r) + . ± Wп(ж)у = О,
(7)
где W(ж) - оnределитель Вронского системы функций !lr(ж), 112(ж), . . . , Уn(ж), а
Уп(ж)
!lr(ж)
!12(ж)
v�<ж>
vHx>
vНж>
.. " ф
... .. . .. ... . .. . ... ..
.. �
. .
..
.
. .
�
. " .. ,. . . .. . . .. .. . . . � • •
. . •
.
Оnределитель Вронского
.
W(ж) фундаментальной системы решений
!lr(z), У2(ж), . . . , Уп(Ж)
отличен от нуля: во всем интервале (а, Ь). Разделив все члены уравнения (7) на
W(ж) f. О, nриведем Э'l'о уравнение к виду (1):
y(n) + Pr(ж) y(n�t) + .
где, в частности, р r(ж) = - �(;)�'
.
Можно nоказатъ, что если элементы
фереНЦИруемые функции аргумента ж :
t&ij
==
.
+
Рn (ж)у = О,
оnределителя: � n -го порядка есть диф­
a,i а;i(ж) ,
то nроизводпая оnредели'fеля 6. = �(ж) равна сумме n определителей:
1 6.' = �;
�� +
1
�.
�
n
,
определитель,
получающийся
из данного заменой элем.ен­
�
.
k
=
1,
2,
.
.
.
где
,
тов его k-ой строки производными от этих элементов. Например, для: оnределителя
Вронского системы функций у1 (ж), У2(ж) имеем
+
+
...
�
!:_dж ! у�у1(ж)(ж) !hу2(ж)(z) 1 - .! y;(z
у\(х) у�(ж) 1 + 1 у,(ж)'у2(ж) ! - 1 Уr(ж) У2(ж) 1
ж) !Л (z) ·
) у�(х)
у'{ (ж) у�(х)
у'{(
§ 6. Линеiiные однородные дмфференЦМIIIWtwе ура111е11111 с ПOC'fO!IIIHWМИ коаффмцнентами ----- 143
Петрудно проверить, что
а:
W1 ( ) = d�;z) ; следовательно,
.
(a:)
Pt(a:) = - W'
W(:c)
·
Интеrрируя последнее равенство no х от х0 до ж , nолучим формулу Остроградск.ого­
Лиувилл.я:
z
- f PJ (:r) dz
W(ж) = W(ж0) е "'о
Задача. Состави'!Ъ линейное дифференциальное ургвнемие вroporo nорядка, имеющее решения
YJ = х, У2 = х2•
Показа'IЪ, что функции :�:: , x.l линейно независимы на интервале (-оо, +оо) . Убедиться в том, что оnре­
делитель Вронского дnя этих функций равен нулю в точке х О. Почему это не nротиворечит жюбходи·
мому условию линейной независимости системы решений линейного однородного дифференциального
уравнения?
==
§ 6 . Ли нейные однородные ди фференци альные уравнен ия
с постоянны ми коэффи циентами
6� 1 .
Частный спучай: уравнение второго порядка
Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
1 у" + PtY1 + Р2У = О, 1
р1, Р2
(1)
где
- действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения,
надо найти дiJa его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем
искать их в виде
(2)
где
Л = const; тогда
у' = Лелz , у" = Л2 еЛz.
Подставляя
выражения для у и ее производных в уравнение ( l ) получаем
елz (Л2 + Рt Л + Р2) = О.
елz =/:: О , то должно выnолняться равенство
Так
Л2 + Рt Л +Р2 = 0.
эти
,
как
.
Следовательно, функция у e.�.z будет решением уравнения (l), т. е. будет обращать
его в тождество по ж, если будет удовлетворять алгебраическому уравнению
Л
! Л2 + Рt Л +
Р2
= o. j
(з)
Уравнение (3) называется харак.теристическим уравнением по отношению к уравне­
2
нию ( 1) , а его левая часть 9'(
называется характеристическим мнего­
+
Ч.!Iеном .
Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через 1 и
они
могут быть
Л) Л + р1 Л Р2
Л Л2 ;
144
------
rпава XXII. ДИфференциапьные уравненИ!I высших nopi/ДКOII
1) действительными и разными;
2) комплексными;
3) действительными и равными.
Рассмотрим каждый случай в оrделъности.
..:\1 , ..:\2
1 . Если корни
характеристического уравнения действительные и разные, то
частными решениями уравнения ( 1 ) будут функции
1 1/1 = е>.• ж , 1/2 = е>.2ж . l
Эти решения линейно независимы (.Л1 =f:. ..:\2 ) и , следовательно, образуют фундамен­
тальную систему решений уравнения. Общее решение уравнения имеет вид
11
= с, ел1 z + С2е>.2ж (CI , с2 - произвольные постоянные).
Пример 1. Найти общее решение уравнения
у" - Зу' + 2у = О.
<4
Составляем характеристическое уравнение:
Оно имеет корни
.Л2 - з.л + 2 = о.
.Л1 = 1 , Л2
Отсюда получаем иСI<омое общее решение
у = С1е"' +
=
2.
C2e2z.
111>
2. Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициен­
P t , р2
характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят
попарно сопряженными. Положим, что
ты
..:\1 = а + i{J
и
..:\2 = а i{J.
Частные решения дифференциального уравнения ( 1) можно записать в виде
1 У! = e(a+i{J)z ,
У2
= e<a-i{J)ж - 1
Это комплекснозначные функции действительного аргумента х , а мы будем занимать­
ся лишь действительными решениями. С помощью формул Эйлера
eiflz = cos {Jx + i sin {Jx, е-ifjж = cos {Jx - i sin {Jx
частные решения fit и fi2 уравнения ( 1) можно представить в виде
fi1 = eaz (cos{J:e + i sin{Jx), fi2 = eaж (cos{Jx i sin {Jx) .
(
Воспользовавшись теоремой 4, nолучим, что частными решениями уравнения l) будут
также функции
1 1/t = еаж cos {Jx, 1/2 = еаж sin {Jx . l
Эти решения линейно независимы, так как
112(х) tg {J =j:. const
,
= x
У! (х)
§ 6. llинeйtt..e однородные дмфференциап1о111118 уравнеНМ!I с ПОСТОIНными коэффициентами
_____
145
И, значит, составляют фундаментальную снетему решений. Общее решение уравне­
ния (1 ) n рассматриваемом случае имеет вид
1 у = Ct eaz cos fJж + C2 eaz sin {Jж. \
Пример 2; Найти общее' решение уравнения
у"
-<4
+ 2у1 + Sy
О.
Составляем характеристическое уравнение;
л2 + 2-' + 5 = о.
Оно имеет корни
Лt = -1 + 2i, .Л2 = 1 2i,
поэтому а = -1, fJ = 2; искомое общее решение
у = Ct e-" cos 2x + С2е-"' sin 2x. 11>
-
-
З. Пусть теперь :корни характеристического уравнениядействительные и равные. Одно
частное решение
получаем сразу.
искать в виде
где
u(ж)
-
1 Yt = eЛ tll! 1
Второе частное решение, линейно независимое с первым, будем
У2 = eЛtz u(ж),
новая неизвестная функция. Дифференцируя, находим:
у� :::: A)eЛ tz'U + eЛJZ 'U/' у� :::: лт еЛJZ'U + 2Лt eЛ 1 Z u' + eЛJZu" .
Подставляя полученные выражения в
(1), получаем
eЛ tz (u" + (2Лt + Pt)u' + (Лi + PtAt + P2)u) = 0.
Л 1 - корень характеристического уравнения, то
ЛТ + PtЛt + Р2 = О,
а так как Л1 - двукратный корень, то и
2Лt + Pt = О.
Так :ка:к
Следовательно, соотношение (4) примет вид
u11 = О.
Отсюда
где
и = Аж + В,
А и В - постоянные. Можно, в частности, положить А = 1 , В = О ; тогда
'U :::: ж .
1 У2 = жеЛtz . \
Таким образом, в качестве второго частного решения уравнения можно взять
Это решение линейно независимо с первым, так как
У2(ж) = ж � const .
Yt ( ж )
(4)
146
-------
Глава XXII. Дифференциальные уравнени1 высwих nopwoв
= е.\1 "' , У2 = а:е.\ 1"' образуют фундаментальную систему решений уравне­
Решения у1
ния ( 1 ) , общее решение которого в этом: случае имеет вид
у = С1е.\ 1 "' + С2 а:е.\ 1 "'>
1 У = e.\1 "'(CI + С2а:). 1
или
Пример 3. Найти общее решение уравнения
у" + 2у1 + у = о.
..,. Характеристическое уравнение
>.2 + 2>< + l = о
имеет кратные корни
Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения:
у = С1е-" + С2 хе-" . .,..
Замечание.
Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с персменными
коэффициентами)
(5)
.С[у] = y(n) + Pl(x)y(n- 1) + . . . + р,.(х)у == О.
у1 (х) - частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию u(x) соотношением
у = Yl(x)u(x)
(разрешимым относительно u(x) в тех интервалах, где у (х) не обращается в нуль). Из этого соотно­
1
Пусть
шения наЙдем nроизводные от
у:
у' = У1и' + у; и,
у" = Y1 + 2y;u' + у;'и,
1
U
и nодставим их в уравнение (5):
Yl(x)u(n) + [пу; +PIYI]u<n- l) + · · · + [. . . ]u' + [Y:n) +PIY:n- l) + . . . + p,.(x)yl]u == O.
но коэффициент при u(x) есть .C[yl].
ДлS1 функции u(x) получаем оnять уравнение порядка
Он тождественно равен нулю, так как у (х ) есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном
1
уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) == u'(x). Ра:щелив, КРОме
того, все члены последнего уравнения на Yl(x) i= О, приведем его к виду
z(n- I) + ql(x)z(n-2) + . . . + qn-I (x)z = О.
n,
l.
Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интеГРирования этого уравнения
Можно показать,
приводится к интеГРИрованию линейного �;�днородного уравнения порядка n что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть
понижен на две единицы. Вообше, если известно r частныхлинейно независимых решений линейного
однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на r
единиц.
6.2.
Физические прилож.ения: уравнение колебаний
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возника­
ют в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение
свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать
время t :
d2y dy ky =
т dt2 + h dt +
о,
(6)
§ 6. Линейные ОАНородные днффереiiЦИМ•ные ypalllleНMR с nостомнымм коэффициеитамм
_____
147
где - отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, т - масса точ­
ки, h - коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скоро­
сти), k > О - коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта
сила пропорциональна отклонению). Характеристическое уравнение для (6)
у
тл? + h>. + k
имеет корни
=о
\
Если трение достаточно велико, h2 > 4mk, то эти корни действительные и отрица­
тельные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид
(7)
Так как Л 1 < О, >.2 < О, то иэ (7) заключаем, что при большом трении отклонение точки
от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний.
Если трение мало, h2 < 4mk, то характеристическое уравнение имеет комплексно
=
сопряженные корни - а ± ifJ, где а
2� > О, fJ =
уравнения (6) в этом случае определяется формулой
J!!i
-
�.
Общее решение
у = C1 e-at cos {Jt + C2e-at sin {Jt (а > О)
или
=
у = Ae-at sin ({Jt + 6) (А, 6 const).
Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания.
Пусть теперь трение отсутствует, т. е. h = О. .В этом случае характеристическое
уравнение m>.2 + k О им� чисто мнимые корни >.1,2 ±iД. Решение уравне­
ния (6) имеет ВИд
=
у = С1 cosu.�t + Cz sin u.�t = А sin(wt + 6),
где w :::: Л, т. е. в этом случае происходят везатухающие гармонические колебания
с частотой
w = Л и nроизвольными амплитудой А и начальной фазой б.
Задача . При каких Pl , Р2 (PI , Р2
1 ) все решения уравнения
стремятся к нулю nри ж -+ +оо;
2) каждое решение уравнения
обращается в нуль на
COnst)
''
,У + PI 1 / + Р2У = О
1111 + PIY1 + Р211 == О
бесконечном множестве точек ж?
6.3.
Общий сnучай: уравнение nроизвольноrо nopiAICI
Рассмотрим теперьлинейное однородное дифференциальное уравнение произвольпого
порядка n ( n ;;;: 1 ) с постоянными к6эффициентами
\ .с[у] :: y(n) + PIY(n- l ) +
·
. ·
+ PnY =
О, 1
(8)
где Pl , Р2 , . . . , Pn - действительные числа. Общее решение дифференциального урав­
нения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка.
148
1.
------ Глава XXII. Дкфференцмал�о��ые уравненм1 высwих 110JМ1.4ков
Ищем решение в виде
1 у = eлz. l
Подставляя вместо у величину елz в уравнение (8), получаем
.С[елz ]
елz !р( Л) = О,
что приводит к характеристическому уравнению
2. Находим корни
1 IР(Л) :: Л11 + p,лn- l + . . . + Pn = o. j
(9)
характеристическою уравнения.
3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравне­
ния (8), руководствуясь тем, что:
а) Каждому действительному однократному корню Л характеристическою урав­
нения соответствует частное решение
уравнения (8).
б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней
Л , = a + ifJ и Л2 = a - i{J
соответствуют два линейно независимых частных решения
eaz cos /J:t
eaz sin fJx
И
уравнения (8).
в) Каждому действительному корню Л кратности r соответствует r линейно неза­
висимых частных решений
уравнения (8).
� Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число Л есть корень кратности r харак­
теристическою уравнения IР(Л) = О . Функцию у = елz будем рассматривать как
функцию двух арrументов: z и Л. Она имеет непрерывные nровзводные по х и по Л
всех порядков, причем
ат ( елz) = жт елz .
ал
т
Поэтому частные провзводные функции у = елz по ж и по Л не зависят от порядка
дифференцирования (операции дифференцирования функции у по ж и по Л перестановочны ) , так что
·
[ ату] = ат .С[у}.
.с
алт
алт
Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что
[ ]
.С елz = елz !р(Л),
(10)
О 6. Линеiiные однородные дифференциап�tt�ые уравненв с I'IОСТО!Iнными коэффициентами
_____
149
получаем
д
.С [хе-'ж] = .с [!!_
дЛ елж] = дЛ .С[е-'ж] = !!._
дЛ (е-'ж<р(Л)) =
= хе.лж<р(Л) е-'ж<р1(Л) ,
д2
д2
а2
2
л
Л
.С[х е ж] = .с [ дЛ2 е.лж] дЛ2 .С[е ж] = дЛ2 (елж<р( Л)) =
(11 )
= х2 е.лж<р(Л) 2хелж<р1(Л) е.лж<р11(Л) ,
ат- 1
.С [хr- Jе.ЛЖ} = длr-1 (е-'ж <р(Л)) =
= хт-I еЛж<р(Л) (r -1! 1 ) хr- 2еЛж<р' (Л) + . . . + елж<р(r-I) (Л) .
Если Л есть r -кратный корень характеристическоrо уравнения <р(Л) = О, то
<р(Л) = <р1(Л) = . . . = <p(r- I) (Л) = О, <р(r) (Л) # О
и, стало быть, правые части ( 1 0) и ( 11 ) тождественно по х равны нулю:
.С[е.л'"] = О, .С[хе.лж ] = О, . . . , .С (хr- l еЛж] := О.
Эrо означает, что функции е.лж, хелz ,
, xr- J елж являются в этом случае решениями
уравнения (8). Легко проверитъ, что функции елж, хе.лж,
, xr- I е.лж линейно незави­
симы на
интервале (а, Ь) изменения х .
· г) Приведеиные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных кор­
ней. Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней Л = а + i{З и Л = а - i{З
кратности р. отвечает 2tt частных решений уравнения (8):
e(J:z соs{Зх, хе(J:ж соs{Зх , . . . , xP-I eaz соs{Зх ,
eaz sin {Зх, xe(J:'" sin {Зх, , xp-l еаж sin [Зх.
+
+
+
+
• • .
любом
..,..
. • •
• • •
4. Число построенных таКим образом частных решений уравнения (8) равно порядку n
этоrо уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в со­
вокупности. Имея n линейно независимых частных решений
уравнения (8), получаем общее решение этоrо уравнения,
Yl (x), 112(х), . . . , Yn (x)
+
где
1 у = С1 У1 (х) С2У2(х)
+
. . .
С1 , С2 , . . . , Сп - произволъные постоянные.
+
CnYn(x), 1
Пример 4. Найти общее решение уравнения
yVI - yt = О.
1. СостаВJ\Яем характеристическое уравнение:
л6 л2 = о, или л2 (л4 - 1) о.
2. Находим корни характеристического уравнения:
Л1 Л2 о, Лз 1, --\4 = -1, Лs = i, � -i.
3. По характеру корней выnисываем частные линейно независимые решения дифференциального
уравнения:
1
111 = 1 ,
Y2 = z,
Уз = е"',
1J4 = e-" ,
Ys
cos z,
4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид
Y6 = sin z.
у = С1 + С2 х + Сзе" + С4е-"' + Cs соs ж + C6 sin z . ...
150 _______ глава XXII. Дмфференциапьнwе уравнении � nop!IДICOB
Схема решения nинeiiнoro дифференциапьноrо уравненм с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение
.С[у] := Y(n) (x) + Pt Y(rH ) (x) + . · · + PnY(:t) = О
(Pt , Р2, . . , Pn - действительные числа) .
.
!
Харак:rеристическое уравнение
<р(Л) :: Лn + P t Лn- l +
·
· ·
+ Pn
о.
!
Корни
Л t , Л2, . . . , Лn
харак:rеристическоrо уравнения
<р(Л) = О.
1
Частные линейно независимые решения
1/t(x), 1/2(х),
·
· ·
,
Yn(:t)
дифференциального уравнения
.С[у} = о.
!
Общее решение уравнения .С[у] = 0:
у(ж) = CtYt(:t) + С2У2(х) + . + Cn Yn (ж)
(Ct, С2, . . . , Сп произвольные
·
.
постоянные).
§ 7. Уравнения, приводя щие к уравнениям
с постоянны ми коэффициентами
Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициен­
тами. которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоян­
ными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера
·
§ 7. Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами
-------
1 51
где Р1, р2 ,
, Pn - постоянные числа. Ограничимся рассмотрением уравнения Эй­
лера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики) :
. • .
2
2d y
d;;i
х
Положим х = et ; тогда
dy.
+ Р2У = О
+ Pl х d;
=
=
( )= ( )
dy
dx
(р 1 , Р2 = const).
(1)
dy dt
-t dY
,
е
dt dx
dx
d2 y
d
dy
d dy dt е -2t d2 y е -2t dy
=
=
dt ·
dt2
dt dx dx
dx dx
dx2
dy d2 y
Подставляя выражения для х,
и
в ( 1), получим дифференциальное уравнение
dx dx2
с постоянными коэффициентами
dy
d2 y
1
(2)
1
)
Р2У = О.
(р
2
dt
dt
Последнее интеrрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение
(3)
находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2),
после чего возврашаемся к старой переменной х .
-
-
-
-
+
+
Пример. Найти общее решение уравнения
rz
2 d2y + 3 dy + = О
:z: d:z: У
d:z:2
•
.,. Замена переменной :z: = е1 приводит к уравнению
характеристическое уравнение которого
d2y
dy
+2
+ - о'
dt2
dt У
J•.2 + 2Л + 1 = 0
Л
имеет корни Л1 = 2 = - 1 . Общее решение преобразованного уравнения равно
y(t) = Ct e-t + C2te-t .
1
Учитывая, что rz = е , для общего решения исходного уравнения получаем выражение
Ct + С2 ln rz
, :z: > O. IJioo
у (:z:) =
:z:
замечание 1. Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней харак­
теристического уравнения (3) частные решения имеют вид
e kt = (et) k = :z:k .
Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя
ние (1), получим для k уравнение
у = :z:k (:с > О) в уравне­
(4)
совпадаюшее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечаетчастное решение
уравнения
y = :z:k
( 1); двукратному корню отвечают два решения
Yt = :z:k , У2 = :z:k ln :z:
1 52 ------ Глава XXII. Дифференциаnьttые уравнения высWИХJIОр!IДkов
уравнения ( 1). Паре комплексных сопряженных корней а ± i{Э уравнения (4) будут соответствовать
два решения
уравнения ( 1).
Замечание 2. Уравнение
dy
d2y
(ах + Ь)2 dx
2 + РI (ах +Ь) dx + Р2 У = О
, 2 - постоянные числа) подстановкой а + Ь = е1 также приводится к уравнению с посто­
(янными
а , Ь , Pl коэффициентами
х
Р
.
§ 8. Лине йные н еодн ородн ые
дифферен ци альн ые уравнения
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид
(1)
1 ao(z)y(n) + а, (z)y(n- 1 ) + . . . + an (x)y = g(ж). ,
Здесь ао(ж), а 1 (z), . . . , ап(ж), g(ж) - заданные на пекотором интервале (а, Р) функ­
ции. Если ао(ж) # О на (а, {З) , после деления на ао(ж) получим уравнение
то
()
( -1)
У n + Р 1 (ж)У n . + . . . + Рп (ж) У = /(ж) ,
где
(2)
аk (ж)
g(ж)
/(ж) = - "
Рk (ж) = -) , k = 1, 2, . . . , n,
а0 (ж
ао (z)
Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем:
если на отрезке [а, Ь] коэффициенты Pk (ж) и правая часть f (ж) уравнения (2) непрерывны,
то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям
1
'1
t
(n-1) 1
(n - 1)
У z=zo - Уо 1 У z=zo = Уо 1
z=zo - Уо
1 У
1
k
где жо Е (а , Ь) , -оо < у0( ) < +оо, k = О, 1 , . . . , n - 1 .
_
_
·
·
•
Уравнение (2) можно записать в виде
где, как и выше,
.С[у]
:=
l .c[y] = f(x), 1
(3)
y(n) + P l (z)y (n - 1) + . . + Рп(ж) у.
·
Теорема 12. Если у(ж) есть решение неоднородного уравнения
.С[у] = f (z) ,
а Уо(ж) есть решение соответствующего однородного уравнения
.С[у] = о ,
то сумма y0(z) + y(z) естьрешение неоднородного уравнения.
§ 8. Линеilные неоднороАНые диффереициала.ные ypaвl\eИII!I
О.
_______
� По условию, C(yJ :::: /{z) , С{у01 :::: В силулинейностиоnератора .С имеем
С[уо + у] = .С(уо) + .С[у] = /(re).
Это означает, функция y0(re) + y(re) есть решениеуравнения .С(у] = /(z) .
что
153
�
Если у1 (z) есть решение уравнения
C{yJ = /r (z),
а У2(re) есть решение уравнения
.С[у) = /2(re),
то функция у1 (re) + 1J2(re) естьрешение уравнения
.С[у] = /1 (re) + /2(re).
Теорема 13.
� По условию, .C [yJ] = /1(re), .С[112] /2(re) ; используя линейность оператора .С ,
получаем
.С[у! + 112 ] = .C(yJ ] + .C[y2J = /1 (re) /2(re).
Последнее означает, функция Yt (re) +y2(re) есть решение уравнения .С[у] = /1 (re) +
/2(re) .
Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения).
Если уравнение
.С(у] = U (re) + i V(re),
�
+
что
Теорема 14.
где все коэффициенты Pk(:c), k
= 1 , 2, . . . , n, и функции U(re) и V (re) действительные,
имеет решение у и(ж) + iv (z) , то действительная часть решения u (x) и его мнимая
часть v(z) являютел соответственно решениями уравнений
.C[u] = U(re), .C(v ] = V (x).
� По условию имеем
или
Отсюда получаем:
.С[и + iv] = U(re) + iV(re),
.С[и] + i.C[v] = U (re) + iV (:c).
..C[u] :::: U (x),
.C[ v] = V(x). �
Теорема 15 (о структуре общеrо решенИя Аинейноrо неоднородноrо дифференциаnьноrо уравнения).
Общее решение в области а < re < Ь, /y(k)l < + оо, k = О , 1 , 2, . . . , n - 1, уравнения
(2)
..С[у] ::= y<n) + Pl (x)y(n-l ) + . . . + Рп(z)у = / (х)
=
с непмрывными на отрезке (а, Ь] коэффициентами Pt(re), k
l , 2, . . . , n , и правой
частью f(x) равно сумме общегорешения
n
L: ciYi(x)
i=l
соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения у(х) неид­
нородного уравнения, т. е.
У
о. н.
= Уо.о.
+ Уч.н.
•
154
<1111
______
rяава XXII. ДИфферtкциапьные уравненн высwих пор1ДК011
п
(4)
у(х) = L Ci Yi (x) + у(х),
i=l
произвольвые постоянные, а у1 (х), у2, . . . , Уп(х)
где С1, С2, . . . , Сп
линейно
независимые решения соответствующего однородного уравнения .С[у] = О, является
общим решением неоднородного уравнения
.С[у] = f(x).
Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство
функций у(х) , определяемое формулой (4), удометворяет условиям 1) и 2), содержа­
щимел в этом определении.
В самом деле, функция у(х) , определяемая формулой (4), ямяется решением
Надо доказать, что
-.,.-
-
уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо ре­
шения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного
уравнения есть решение неоднородного уравнения
Так как для уравнения (2) при Е [а, Ь] выполнены условия теоремы 1 суmество­
вания и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором
постоянных
в 4) можно удометворить произвольно заданным началь­
ным условиям
'1
1
t
( )1
(5)
'
"'"'"'О =
'
z=zo
z=zo
.С[у] = f(x) .
х
Ct , С2, . . . , Сп (
n=
хо
= Уо,
У
Уо,
У
Уп 1
-
·
·
·
_
-
Уо(п- 1 )
·
где
Е (а, Ь), т. е. можно решить любую задачу КошИ. Ограничимся случаем,
3. Потребовав, чтобы решение (4) удометворяло начальным условиям (5 ) ,
когда
приходим к системе уравнений для отыскания
{
Ct , С2 , Сз :
С1У1 (хо) + С2у2(хо) + Сзуз(хо) у(хо) = Уо ,
(6)
С1уНхо) + С2у�(хо) + Сзу;(хо) + �(хо) = у�,
Cl y;'(xo) + С2 у'{(:ео) + Сзу�(хо) + у"(хо) = у�.
Эrа линейная по отношению к С1 , С2 , С3 система трех уравнений с тремя неизвест­
ными допускает единственное решение относительно С1 , С2 , С3 при произвольных
правых частях, так как определитель этой системы естьопределитель Вронского W( х0)
для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравне­
ния и, следовательно, отличен от нуля в любой точке х Е ( а, Ь), в частности в точке
х = хо . Значит, какова бы ни была тройка чисел у0, у� , yg, наЙдется решение cf , cg,
С� системы (6) такое, что функция
У С?у1(х) crgy2(x) + dзУз(х) + у (х)
+
+
будет решением дифференциального уравнения (2), удометворяющим начальным
условиям
"1
1
/1
1
'1
=
1111>
z=zo
z=zo
z=zo
у
Уо, у
= Уо,
У
= Уо.
Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного не­
однородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого
неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравне­
ния.
m.н rо уравненм меtОДОМ uрмаЦ1111 110С1'0111Н1 ых 155
§ 9. И1fП111МроtаИМе nмнeillloro неоднороАНоrо дифференцмао
Пример 1. Найти общее решение уравнения
у/1 + у
::: Х
•
.. Нетрудно заметить, что функция
fJ(z} z
является частным решением данного неоднородноrо уравнения. Чтобы найти общее решение этого
уравнения, осrается оТh!скать общее решение соответствующего однородного уравнения
w
� +у = �
Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристи­
ческое уравнение, соответствующее уравнению (*}, есть
А.2 + 1
О;
корни его .\1 = i, .\2 = -i . nоэтому общее решенив уравнения (*} имеет вид
Уо.о. С1 cos z С2 sin z.
Общее решение исходного неоднородноrо уравнения:
1/о.н. = С1 cOs Z + С2 sin z + Z. ...
=
+
§ 9. Интегри рован ие линейного неоднородного
дифференциального уравнения
методом вариации постоянных
9.1 . Частный спучай: уравнение второго порядка
Начнем для простоты со случая уравнения второго порядка. Пусть имеем дифферен­
циальное уравнение
(1)
у" + Р l (ж)у' + Р2(ж)у = /(ж)
\
\
(функции р1 (ж), 112(ж), /(ж) непрерывны на [а, Ь]) и пусть известна фундаментальная
система У1 (ж) , У2(Ж) решений соответствующего однородного уравнения
тогда
у,, + Pl (.x)y, + Р2(.х)у = О,
{2)
У = С1У1 (ж) + С2у2(ж) (С1 , С2 - nостоянные)
общее решение уравнения (2).
Заметим, чrо это nредnоложение является весьма стеснительным, так как общеrо метода отыскания
рещений линейных однородных уравнений nорядЖа n ;?: 2 с персменными коэффициентами не суще­
Для интегрирования неоднородноrо уравнения (1) nрименим :метод вариации nо­
стоянных (метод Лагранжа) , каrорый состоит в следующем. Будем искать решение
неоднородноrо уравнения ( l) в виде
ствует.
(3)
где С1 (ж), С2(ж) - новые неизвестные функции от .х. Для их нахождения необходимы
два уравнения, содержащие эти функции. Естественно, что функции Сt(ж) , С2(:с)
должны удовлетворять тому уравнению, каrорое nолучится, если в исходное уравнение
подставить вместо у(.х) выражение С1(ж)у1(.х) + С2(ж)у2(ж) .
156 ------- Глава XXII. Дифференциальные уравиеии1 высших ПОрiДКОВ
С1(х) , С2(х) еще одно допоЛнительное условие. nродиф­
у' = Ct (х)у; + С2(х)у; + с; (x)yt + С�(х)у2,
и в качестве дополнительного условия, налагаемого на С1 , С2 , возьмем следующее
Наложим на функции
ференцируем (3),
(целесообразность этого будет видна из дальнейшего):
(4)
тогда
� = �W� + �W� ,
�
(6)
у" = Cty;' + С2У� + �у; + qy�.
Подставляя выражения
у , у' , у" из (3), (5), (6) в исходное уравнение (1), после
элементарной группировки слагаемых получаем
Ct(x) [y;' +Pt(x)y; +P2(x)yt] +С2(х) [у� +Pt(x)y�+P2(x)y2] +С;(х)у; +СНх)у� = /(х).
Выражения в квадратных скобках тождественно равны нулю, поскольку у1 (х) и У2 (х)
есть решения однородного уравнения (2). Следовательно, результат подстановки у ,
у' , у" в (1) таков:
(7)
Значит, функция у = Ct (х)Yt (х) + С2(х)у2 (х) будет решением неоднородного диффе­
ренциального уравнения (1), если функции С1 (х) и С2 (х ) будут удовлетворять одно­
для
временно уравнениям (4) и (7) , т. е. системе
{ c:(x)yt(X)
q(x)y2(x) =
с:(х)у; (х) + С� (х)у�(х) = f(x) ,
+
0,
(S)
определитель которой есть определитель Вронского линейно независимых решений
уравнения (2) и, следовательно, отличен от нуля всюду в интервале (а, Ь) .
Решаем эту системукаклинейнуюалrебраическуюсистемуотносительнос; (х) ,
у1(х) , у2 (х)
с:(х) = IPt(x), С�(х) = 1Р2(х)
С�(х):
IPt(x) , IP2(x) - известные функции) и интегрируем:
Ct(x) = 1 IPt(x) dx + Ct, С2 (х) = 1 1P2 (x) dx + C2
(здесь С1 , С2 - постоянные интегрирования). Подставляя эти выражения для С1(х) ,
С2 (х) в (3), найдем общее решение неоднородного дифференциального уравнения ( 1 ) :
y = CtYt(x) + C2Y2(x) + Yt(x) 1 1P t(x) dx + y2(x) 1 IP2(x) da:
(С1 , С2 - произвольные постоянные).
(здесь
Итак,
если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного урав­
нения, то общее решение неоднородного уравнения может быть найдено с помощью квад­
ратур.
§ 9. Интеrрированме лмнейноrо неоднородноrо дмфференцмапьиоrо уравненм• методом вариации ПОСТОRнных 157
Прммер. Найти общее реше11ие уравнения
1
у" + у = . -.
SID Z
.,. Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному:
у" + у = О
- это есть линейное уравнение с nостояннымИ коэффициентами. Функции
Yl (z) = sin z,
Y2(z) = cos z
образуют его фу11даментальную систему решений. Будем искать решение исходного уравнения в виде
(*)
y = Ct (z) sin z + C2(z) cos z.
{
Система (8) для определения C\(z) , CHz) в данном случае примет вид
c:(z) sin z + ci(z) cos z = о,
c:(z) cos z - C�(z) sin x =
Решая эту систему относительно с; (х) , CHz) , получаем:
'
cos z
с1 (z) = -.- ,
SID Z
-!-.
SID Z
CHz) = - 1 ;
C1(z) = 1n 1 sin zl + Ct ,
C2(z) = - z + С2.
ПоДставляя найденные выражения для C1(z) , C2(z) в (*), найдем общее решение данного уравнения:
у ::: Ct sin z + С2 cos z + sin z ln 1 sin z l - z cos z . ...
9.2.
Общий случай: уравнение nроизволького порядка
Для интегрирования линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го
порядка ( n ;:;: 1 )
1 Y(n) + P1(a:)y(n- 1) + .
.
. + Pn (a:)y = /(а:)
1
(9)
поступаем аналогично.
Пусть
известная фундаментальная система решений со­
ответствующего однородного уравнения. Будем искать решение уравнения (9) в виде
У1 (а:), У2 (а:), . . . , Yn (a:) -
(10)
где
С1 (а:), С2 (а:), . . . , Cn (a:)
- новые неизвестные функции.
Чтобы найти n функций
надо составить систему из n
уравнений, содержащих эти функции. При составлении такой системы уравнений
можно n - 1 уравнений взять произвольно и затем составить n-e уравнение, исхо­
дя из требования, чтобы функция
определенная формулой ( 10), удовлетворяла
уравнению (9). В качестве первых n - 1 уравнений возьмем следующие:
С1 (а:), С2 (а:), . . . , Cn (a:),
у(а:),
с;(а:)у1 + С�(а:)у2 + . . . + C�(a:)yn = О,
с;(а:)у: + С�(а:)у� + . . + С�(а:)у� = О,
c:(a:)y�n-2) + C�(a:)y�n-2) + . . + C�(a:)y�n-2) = О.
Torдjl, чтобы функция у(а:), определенная формулой ( 10), удовлетворяла уравне­
нию (9), надо на функции Ci(a:) наложить условие
c; (a:)y�n- 1 ) + C�(a:)y�n - 1 ) + . . + C�(a:)y�n- 1) = /(а:).
.
.
.
158 ------- fnaи XXII. ДиффереиЦ118J1Ы!I!Iе ypatllletiИIII IIЫCWИX ПОрiДКОВ
Для определения Ci (a:), i
= l, 2, . . . , n , получаем систему
C� yl + CiY2 + . . .
q y; + CiY2 + . . .
,..t n-2)
n-2)
v1 y(1 + C2' y2( +
,..t n 1 ,..t n-1)
vtYI( - ) + v2Y2( + . . .
• •
•
C�Yn = О ,
+ С� у� = О ,
+
'
Cn' yn(n- 2) - О
(n 1)
+ Cn 1Jn - = J (Х )
+
_
1
( l l)
•
Оnределитель этой системы есть оnределитель Вронского фундаментальной систе­
мы решений однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля всюду в ин­
тервале (а, Ь) . Поэтому система ( l l) однозначно разрешима относительно Ci (ж) ,
i = l , 2, . . . , n. Решая ее, находим С;{а:) = IJ'i(z) , где IJ'i(z) известные функции ,
откуда
i = 1, 2, . . . , n.
c, (z) = (J'; (z) dz + с,,
1
Подставляя найденные выражения для C1(z) в ( 10), получаем общее решение y(z)
исходного уравнения (9):
у(х) =
t
c,y;(z) + t y,(z) ! �·(z) dz,
i=l
i=l
где С1 , С2, . . . , Сп - произвольные постоянные.
§ 1 О. Неодн ор одные
ли нейные дифферен ци ал ьные уравнен ия
с постоянными коэффицие нта ми
В nредыдущем nараграфе бьm рассмотрен общий метод решения неоднородного ли ­
нейного дифференциального уравнения - метод вариации nостоянных. В случае
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами частное решение
неоднородноrо уравнения иногда бывает возможно найти проще - методом подбора..
Рассмотрим некоторые виды уравнений, допускающие применение этого метода:
1 . Уравнение вида
l .c(y)
:=
y<n) + PtY(tH ) + . .
·
+
Pn Y = Pm(z),
1
(1)
где Pt, P2, рз, . . . , Pn - действительные числа, Pm(z) - данный многочлен m-й степени,
Характеристическое уравнение для соответствующего ( l) однородного уравнения
имеет вид
или
<р(Л) = О,
§ 10. Неоднородные линейные дифференциальные уравненив с постовиными коэффициентами
где
____
159
<р( >.) :=
характеристический многочлен.
Если коэффициент
отличен от нуля, т. е. >.
не является корнем характери­
то существует частное решение
стического уравнения <р( >.)
уравнения (1),
имеющее тоже вид многочлена степени
Действительно, беря
в виде
>.n + P 1 >.n- l + . . . + Pn
-
Pn
=О
= О,
т.
т
у(х) = Вох + В1хт-l + . . . + Вт
у(х)
у(х)
неопределенные коэффициенты) , подставляя его в уравнение
и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, по­
лучаем для определения коэффициентов В; систему линейных алгебраических урав­
f:.
нений, которая всегда разрешима, если
В самом деле, приравнивая коэффи­
циенты при
, имеем:
(Во , В1 ,
• • •
, Вт -
хт , хт- l , . .
х
(1)
Pn О.
.
PnBo = Ао ,
откуда
Ао ,
Во = Pn
т
В1 = А1 - PnРп-I Во ,
Итак,
если >. = О не является корнем характеристического уравнения <р(>.) = О, то существует
частное решение у(х) уравнения (1), имеющее вид многочлена, степень которого равна
степени многочлена, стоящего в правой части уравнения ( 1):
у(х) = Вохт + В1 хт- l + . . . + Вт.
(2)
Предположим теперь, что Pn = О, причем для большей общности допустим, что и
Pn-1 = Pn-2 = = Pn-т+ l = О, НО Рп-т f:. О ,
т. е. >. = О является т-кратным корнем (r � 1 ) характеристического уравнения
<р(>.) = О. При этом уравнение ( 1) имеет вид
(3)
У(n) + Р1У(n- 1 ) + . . . + Рп-тУ(т) = Р.т (х) .
Полагая у(т) = z, приходим к предыдущему случаю; следовательно, существует част­
ное решение уравнения (3), имеющее вид
у-(т) (х) = В-охт + В-1хт-1 + . . . + Вт.
Отсюда получаем, что у(х) является многочленом степени т + r, причем члены,
содержащие х в степени r - 1 и ниже, будут иметь произвольные постоянные коэф­
·
· ·
фициенты, которые могут быть, в частности, выбраны равными нулю. Тогда частное
решение примет вид
Итак,
если >. = О есть корень кратности r � 1 характеристического уравнения <р(>.) = О ,
то частное решение у(х) уравнения (1) надо искать в виде произведения хт на многочлен
Qт(х) степени т с неопределеннЬIМи коэффициентами:
у(х) = хтQт(х).
160 ------ Гnава XXII. ДИфференциальные уравненn IЬICWИX IIOpiiДI{OВ
Пример 1 . Найти частное решение уравнения
"
1
у +у =
_.
2х + 3.
Характеристическое уравнение
Л2 + Л = О
имеет корни .Л1 = О, Л2 = - 1 , nоэтому .\ = О есть nростой корень {r 1 ) этого уравнения. В nравой ча­
сти многочлен первой стеnени (m 1 ), nоэтому частное решение несднородного дифференциального
уравнения следует искать в вИде
fl(ж) = ж(Вож + Bt)·
Подставляя у(х) в уравнение и сравнивая коэффициенты nри одинаковых стеnенях ж, найдем, что
Во = 1 , В1 1 ; nоэтому искомое частное решение будет
fJ(x) = х2 + х. �
2 . Уравнение вида
г-------,
.С[у] =: Y(n) + P I Y(n- 1 ) + · + Pn Y = eaz Рт(х), а = const .
Частное решение у(х) этого уравнения будем искать в виде
у(х) e0"'z (x) ,
где z = z (х) функция от х, которая должна быть определена из условия
.C[eazz] =: е4"'Pm(x) .
Тогда имеем:
fj = e4"' z ,
у' = e4"' (az + z'), . . . ,
·
·
(4)
(5)
·
(
(
)
)
ar z + _!:. ar- I z' + r(r - 1 ) a r-2z '' + . + z {r)
...'
..
'
1!
2!
g!n) = e az anz + an- I z ' + n (n � l ) an-2z" + . . . + z(n) .
n
2
Умножим функции у, f, . . . , y(n) соответственно на Pn 1 Pn- I, . . . , l и сложим полу­
ченные результаты, группируя слагаемые по столбцам:
<р (а) ' + . . . + <p(r) (a) (r) + . . .
.C[eazz] = e4"' {<p(a) z + '
z
+ z <п> } .
z
r!
l!
Здесь <р(а) есть результат подстановки в характеристический многочлен Л) значения
Л = а. Оrсюда следует, что для получения тождества (5 ) надо определить функцию
z (x) как решение уравнения
<p(r)( a) (r)
z (n} +. . . . + -z + . . . + <р' ( a) z1 + <p ( a)z = Р.m (X) ·
(6)
r!
Это линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, его пра­
вая часть - многочлен. Поэтому частное решение уравнения (6) надо искать в виде
многочлена Qm(x) степени т , если <р(а) f:; О , т. е. когда число а не есть корень
характеристического уравнения 1р(Л) = О. Если же число а окажется корнем характе­
ристического уравнения кратности r � 1 , то
1р(а) = <р1 (а) . . .
-)
О,
(
f:;
= <p(r l ( a)
<p r) (a ) О
=
и решение уравнения (6) надо искать в виде xr qm(x) . Поэтому
y(r) = еа"'
<р(
§ 10. Неоднородные nlllleiнi ыe дифференциальные ypaвнeiiИII с постоtнными коэффициентами
161
частное решение f}(х) исходного уравнения (4) надо искать в виде
=
fi(x) = Xr еах Qт (х),
fJ(x) е0х Qт (х),
если число а не есть корень характеристического уравнения VJ(Л)
=
(7)
О, и в виде
если число а есть корень характеристцческого уравнения кратности r � 1 .
(8)
Здесь Qт(х) - многочлен степени т с неопределенными коэффициентами,
Qт(х) = Boxm + B1xm- ! + . . . + Вт·
ПрммеJ) 2. Найти часrное решение уравнения
у" + у' = 2е"'.
• Характеристическое уравнение
.�? + .Л = О
имеет корни .Л 1 = О, .Л2 = - 1 . Правая часть уравнения представляет собой произведение е"', а = 1,
на многочлен нулевой степени (m 0). Так как число а , равное единице, не является корнем характе­
ристического уравнения, часrное решение fi(x) уравнения надо искать в виде
=
fi(x)
==
Ве"'.
Подставляя fi(x) в уравнение, сокращая на е"' , найдем В = 1, откуда
fi (x) = е'" . .,.
Пример 3. Указать вид частного решения уравнения
у" - 2у1 + у = хе" .
• Характеристическое уравнение
имеет корни .Л1 = .Л2 = 1 . В данном случае
.л2 - 2.Л + 1 = о
Рт (х) :: х,
т. е. т = 1 и число а, равное единице, является двукратным корнем ( r = 2) характеристического
уравнения. Поэтому частное решение IJ(x) следует искать в виде
fi(x) = х2 е" (Вох + В1 ) . .,.
3. Приведеиные выше рассуждения остаются справедливыми и при комплексном а.
Поэтому, если правая часть линейного дифференциального уравнения
имеет вид
l.c(y) = Y(n) + PIY(n- l) + · · · + РпУ = f (x) 1
1 f(x) = еах [Рт(х) cos {:Jx + Q.(x) sin {:Jx] , 1
(9)
(10)
многочлены степеней т и s соответственно, то поступим так.
где P (x), Q.(x)
m
Преобразуем
тригонометрические функЦии по формулам Эйлера к показательным:
-
cosjЗx =
e
iflx
+2 е-i{Jx , sin
{:Jx
=
iflx
e
_ -i{Jx
е
--2-:i --
162 ------ Гпава XXII. ДИффереitцмап�оиые уравненl!l высших nopiДI08
тогда
f (x) = еах Рт(х)
=
eif1x
eif'J:e + е-ifj'Z
е-ifjx
+ e�"Q,(x) ---_
[� Pm(x) + ; Q,(x)] e(a+i{1)z н Pm(x) - ; Q,(x)] e<a-i{1)x.
+
i
i
В квадратных скобках стоят многочлены, имеющие степень, равную наивысшей сте­
Pm(x) и Q,(x). Обозначив эти многочлены через М(х) и N(x),
пени многочленов
получим в правой части дифференциального уравнения выражение вида
M(x) e(a+ifj)z + N(x) e(a-iP)z .
( 1 1)
Для каждого елатемого nравой части можно применить указанное правило: если
а ± i{З не являются корнями характеристического уравнения, то частное решение
( 1 1); если же числа а ± i{З явля­
ются корнями характеристического уравнения кратности r � l , то частное решение
приобретает еще множитель xr.
Если опять вернуться к 1f>Игонометрическим функциям, то это правило можно
дифференциального уравнения можно искать в виде
сформулировать так:
а) если числа а ± i{З не !IВЛЯЮтсл корнями характеристического уравнения, то частное
решение jj(x) дифференциального уравнения (9) надо искать в виде
у(х) = eaz [U(x) cos {Зх + V(x) sin fЗх] ,
( 12)
где U(x) , V(x) - многочлены с неопределенными коэффициентами, степень каждого
из которЬIХ равна наивысшей из степеней многочленов Рт(х) , Q, (ж) .
jj(x)
Чтобы найти коэффициенты этих многочленов, надо nодставить функцию
в дифференциальное уравнение и приравнять коэффициенты nри одинаковых степе­
нях х в левых и правых частях. При этом надо приравнять друг другу соответствующие
коэффициенты тех многочленов, которые стоят множителями при
но
коэффициенты многочленов при
{Зх ;
sin
cos {3х, и отдель­
б) если а± i{З являютел r -к:ратными корнями характеристического уравнения {резонанс­
ный случай), то частное решение у( надо искать в виде
xr еах [U(x) соs {Зх + V(x) sin fЗx] .
( 1 3)
ж)
у(ж)
Замечание.
12) и ( 1 3) сохраняюn::я и в том·случае, когда в правой
Q.(x) или Pm(x) тож:о.ественно равен нулю, т. е. коrда правая
УказаННЬiе виды частных решений (
части уравнения один из мноrочленов
часть имеет вид
е""'Р.,.(х) соs,бх или e""'Q.(x) sin ,бx.
Пример 4. Найти частное решение уравнения
1'
у + 2у1 + у = cos z.
"" Характеристическое уравнение
.2
>. + .\ + 1 = 0
имеет корни .\ 1 = .\2 = - 1 . В данном СJ1учае
корнями характеристического уравнения;
а = О, ,б
Pm(z) = 1,
=
1,
I'!ОЭТому ЧИС/18
Q,(x) = О,
а ± i,б = ±i
не являются
§ 10. Неоднородные nинeiittыe дифференциап�о��ые уравненм с nостоянными коэффициентами ---- 163
значит, частное решение уравнения следует искать в виде
Подставляя функцию
fj(x) = A cos x + B sin x, А, В = const .
jj(x) в уравнение, получаем А = О , В = � и, следовательно,
l
jj(x) = 2 sin x. �
Пример 5 (1111ен
1 ие ре3011анса). Рассмотрим уравнение уnругих колебаний без сопротивления при нали­
чии периодической внешней силы
"
у + uiy = а sinf't
(независимой переменной считаем время t).
.. Общим решением однородного уравнения является функция
Уо.о.
= С1 cos wt + С2 sin wt = А sin(wt + li) .
Если f' f= w, т. е. если частота внешней силы не совпадает с частотой
системы, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид
fj(t) = М cos {Jt + N sin {jt,
М, N
= const .
=
Подставляя это выражение в уравнение (*), найдем, что М = О , N
уравнения (*) имеет в этом случае вид
'Уо.к.
= А sin(wt + li) + IAI2 � 1"2 sin {3t,
w собственных колебаний
(w>�p>) .
т. е. результирующее движение слагается из собственных колебаний с частотой
лебаний с частотой Р.
Если р = w, т. е. частота внешней силы совпадает с часто­
11
той собственных колебаний системы, то частное решение неод­
нородного уравнения ( *) надо искать в виде
Общее решение
w и вынужденных ко­
jj(t) = t(M cost.�t + N siпwt) .
fj(t) в (*), находим, что
а
- а
М = - 2t.1 , N = О, откуда fj(t) = 2t.1 t cos wt.
Подставляя
Общее решение уравнен�о�я (*) будет �о�меть вид
а
.
у = А sш(wt + li) - 2t.1 t coswt.
Второе слагаемое в правой части (••) показывает, что в этом
случае ампл�о�туда колебан�о�й неограниченно возрастает при не­
Рис. З
ограниченном воэрастан�о�и времени t {рис. 3). Это явление, воз­
никающее при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы, называ­
ется резонансом. �
Удобным для отыскания частных решений является следующий прием. Пусть
имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение с действительными по­
стоянными коэффициентами
"[ ]
,_, У = У
_
(n)
+ Р1У(n-1) + . . . + PnY = еa:r:P.т (ж) cos {Зж,
(14)
где Рт(ж) - заданный многочлен степени т с действительными коэффициентами,
а и (З - действительные числа. Составим вспомогательное неоднородное уравнение
с той же левой частью, что и у уравнения (14}, и правой частью в виде комплексно­
значной функции действительного перемениого ж:
1:- [z] = z(n) + P 1 Z (n - 1) + . . . + Pn Z = eaz Рт(ж) cos (Зж + iea:r:Рт(ж) sin (Зж.
( 15)
Правая часть уравнения (14) есть действительная часть правой части уравнения ( 15),
и поэтому в силу теоремы 14 действительная часть и(ж) рещения z(ж) = u(x) + iv(ж)
164 --..,..---- Г.118111 XXII. ДИффереицимwtые ypalllfiНИII IIIoiCWIIX noptfДIC08
уравнения
( 15)
( 14). Таким образом вопрос
( 15) , которое можно переписать
будет решением исходного уравнения
сводится к отысканию частного решения уравнения
В ВИде
.C[zJ = e(a+ifЗ)a: Рт(х) .
(16)
Из nриведеиных выше расемотрений следует:
1) если число а + ifJ не является корнем характеристического уравнения
+
<р(Л) :::: Лп + p, лn- l +
...
Pn = О,
то частное решение уравнения ( 1 6) следует искать в виде
.
z(x) = е (а+i/З)а:Qт(х) ,
(17)
где Qт(х) - многочлен степени т с неопределенными коэффициентами,
в т
m-1
Qт (Х)
+ . . . + Вт ;
о Х + В 1Х
2) если a+ifJ является корнем кратности r характеристическогоуравнения, то частное
решение уравнения ( 16) имеет вид
( 18)
Замена тригонометрических функций показательной упрощает вычисления, так
как после подстановки
e<a+ifJ)a: .
z(x)
в уравнение
( 1 6)
обе части уравнения можно сократить
Во, В 1,
Комплексные коэффициенты
на
ляются путем подстановки решений (17) или
• • • , В11 многочлена Qт(х) опреде­
(18) в уравнение (16) и nриравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного ра­
венства. Отделив действительную часть u(x) решений
решение уравнения (14). В случае уравнения вида
( 1 7)
или
( 1 8), наЙдем частное
.С[у] = еаа: Рт(х) sin fJx
(19)
1) переходим к JJСПОмогательиому уравнению ( 1 6); 2) находим
u(x) + iv (x) этого уравнения . Минмая часть v(x) решения
будет частным решением уравнения (19).
nостуnаем аналогично:
частное решение
z(x)
Пример 6. Найти · частное
решение уравнения
� Состз1111яем вспомогательное уравнение
z11
Поскольку число
-1 + i
+
z
=
5хе<- l +i)'".
не является корнем характеристического уравнения
л? + 1
о,
z(x) = (Вох + Bt )e(- l +i)ж.
частное решение уравнениЯ (**) ищем в виде
Подставляя
l(x)
и
i'(x) = 2(-1 + i)Boe(-i+ip + (-1 + i) 2(B0x + B1 )e(- l +i)o:
e(- l +i):., nолучаем
(-2 + 2i)Bo + (-2i + l)(Box + В 1 ) = 5z.
в уравнение (**) и сокращая на
§ 11. Применеине степенных и обобщенных степеиных Р11Д01 к иитеrрироваии10 дифференциальных уравнений 165
Приревнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж в левой и правой частях последнего равенства,
найдем:
B0(l - 2i) = 5 , откуда Во = l + 2i;
.
.
B1 ( I - 2•) + (-2 + 2•)Bo = 0,
Поэтому для
откуда
%(ж) имеем формулу
f(x) =
(2 + l4i)
Bt = --- .
5
[( 1 + 2i)x + � + 154 i] e-"'(cos ж + i sin x).
Отсюда получаем частное решение данного уравнения:
u(ж) = Re z(ж) == е-"'
[(ж + �) соs ж - (2ж + 1;) sin ж] . "'
§ 1 1 . Примен енив степенн ых
и обобщенн ых степенных рядов
к интегри ровани ю дифферен циальн ых урав н ений
Пусть имеем дифференциальное уравнение
1 у" = f (x, у, у') \
(1)
и требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
\ у(хо) = уо;
у' (хо) = у�.
\
(2)
Предположим, что функция f аналитична в окрестности точки (хо , Уо, у�) , т. е. пред­
ставляется степенным рядом по степеням х - Хо , у - Уо , у' - у�. Тогда решение у(х)
задачи Коши ( l), (2) можно получить в виде ряда
у(ж) = у(жо) +
1!-
у'(жо)
-
(ж - жо) +
у" (жо)
2
(ж - жо) +
�
n (жо)
. . .
у< >
+ -;;г- (ж - жо)n + . . . .
(3)
В самом деле, зная хо , Уо , у� , в силусамого уравнения ( l ) найдем у" (хо) = f (xo , Уо, у�) .
Дифференцируем уравнение ( l) по х:
111
!' + !' 1 !' 11 .
(4)
у
z
уУ + .; У
-
Подставляя в правую часть (4) значения хо , уо , у� и только что найденное значение
111
у" (хо) , найдем у (хо) и т. д.
Если ряд (3) сходится в некотором интервале (хо h, х0 + h) , то он определяет там
решение задачи (I), (2).
-
Пример 1. Найти решение задачи Коши
<111
11
у = у,
у(о) = 1, у' (о) =
В силу (*), (**) имеем
ДИфференцируя
(*) , найдем
у"(о) =
1.
,
у"' = у '
1.
166
---�----
откуда ,Ю(О)
==
у'(О)
ГRаеа XXII. Диффереlщиаьll ные ypuиet1111 высwр порs1ДК01
1, и вообще
v(")(o) = 1,
отсюда
n
о, 1, 2,
. • .
;
:е2
z
z"
y(z) = 1 + - +
+ ... +
+.. =
1,. 2,.
.
n.г
е" • •
Расемагрим линейное дифференциальное уравнение
Ро(ж)у" + р, (ж)у' + Р2(ж)у = О.
(5)
Теорема 16 (об BHIIIIIТIIЧIIOCТII pewe11161). Если Ро(ж), Р1 (ж), Р2(ж) являются анапитическими
функцuям.и t1 окрестности точки ж = жо и р(жо) # О, то решения уравнения (5) ток­
же являются анапитическими функциями в пекоторой окрестности точки ж = ж0 и,
следовательно, эти решения можно искать в виде ряда
.
У = ао + а1(ж - жо) + а2(ж - жо)2 + . . . + аn (ж - жо) n + . . .
Пример 2. Haim! pewettиe задачи
11
Решение будем
И<Жа.ТЬ
r/' + 11 = о, у(О) = о,
.
(6)
v'(O) "" 1.
в виде ряда
2
y(z) = ао + a 1 z + a2z + азz3 + . . . + a,.z" + . . . .
2
�+ . . . + na,. zn-1
11'(z) = а, + 2a2z + .-зz
. +... ,
2
y"(z) l · 2a2 + 2 · 3aзz + . . . + n(n l)a,.z"- + . . . .
Подставим g(z) и y11(z) в данное уравнение и nриравняем нулю коэффициеНТЬi nри стеnенях z:
ао
zP
ao + l · 2a2 = 0, откуда
42 "" w •
а,
а1 + 2 · 3аз "" О, откуда аз = - и ·
х
Имеем:
а,._2 + n( n
В сиnу
начаJIЫ{ых
уС!I()вий имеем а0
Далее имеем а1 = l , аз =
, as
1 ) а,. = 0,
а1 = l, nоэтому а2 = о и вообще
а� = 0, k 1 , 2, . . . .
О,
- ;Й ""'
a�+l ""'
и вообще
( - l)k
(2k + 1) ! '
Окончательно nолучаем
y(z)
z
= l!
Пусть теперь коэффициент
Оnредеnение. Точка
+ . . . + (-1 )
2i+l
\zxk + I )!
+ . . . ""' sin z.
•
Ро(х) обращается в нуль в точке х0 •
х0 называется нулем порядка (кратности) т (т - целое положи­
J(x), если J(x) предсrавима в виде /(ж) = (х - ж0)m J1(x),
тельное число) функци и
где
# О.
/1 (хо)
zз
а,.-2
(n 1 )n
откуда а,. = - ---- '
О 12. Уравнение &ессеnя. Функции &eccen1
167
Теорема 17 (о раЗJIОJКИМОСТИ реwения в обобщенный степенной ряд). Если в уравнении
Ро(х)у" + Pt (x)y' + Р2 (х)у = О
(5)
коэффициенты Ро(х ) , Pt (х) , Р2 (Х) суть аналитические функции в окрестности точки :со ,
причем х = :со является нулем порядка т функции Ро(х) , нулем порядка т - l или выше
функции р1 (х) (если т > 1) и нулем порядка т - 2 или выше функции р2 (х) (если т > 2),
то существует по кройней мере одно нетривиальное решение уравнения (5) в виде суммы
обобщенного степенногоряда
у(х) = ао(х - Хо)0 + а1(х - Хо)и+l + . . . + an (X - Хо)n+и + . . . 1
где и - некоторое действительное число, вообще говоря, не целое.
§ 1 2. Уравн ение &есселя . Фун кции Бесселя
1 2.1 .
ДИфференциаnьное уравнение &ecceJifl
Дифференциальным уравнением Бесселя называется уравнение вида
'
(7)
х2 у" + жу + (ж2 ,i )y = О,
rдe v -действителъноечисло. Эrоуравнение имеетособуюточкуж = О (коэффициент
при старшей производной в (7) обращается в нуль при ж = 0). Сравнивая (5) и (7),
заключаем, что для уравнения Бесселя
Ро(ж) = х2 , Р t (ж) = х, Р2 (х) ж 2 - v2 ,
так что х = О является нулем второго порядка (т = 2) функции Ро(х) , нулем первого
порядка функции р1 (х) и не является нулем функции Р2 (х) (если v # 0). Поэтому
в силу теоремы 17 существует решение уравнения (7) в вИде обобшенного степенного
рцца
/
1
00
у(ж) = :t0 2:::: a"xk ,
k=O
(8)
ао # О,
где и - характеристический показателъ, подлежащий определению. Перепишем
выражение (8) в виде
у(х) =
00
2:::: а&х.l:+и
k=O
и найдем производные:
00
k
у' = 2:::: (k + u)akx +и-t'
А:=О
00
у" = l::::<k + <r)(k + <r 1)аА: жk+и-2 •
А:=О
Подставим эти выражения в уравнение (7),
00
х 2 2:::: <к + u)(k +и
.1:=0
00
00
l )а�: ж"+и-2 + х 2:::: <к + o-)a,�: xk+и-l + (х2 - v2) 2:::: а�о х "+и = О,
k=O
k=O
168 ------ Гпава XXII. ДифференцмапЫtые уравненl!ll высwих nор!IДКОВ
,
и приравнивая нулю коэффициенты nри х в степени и, и + 1, . . . , и + k, . . . , получим
систему уравнений
(и2 v2]ao = О,
( (и + 1 ) 2 - v2 ]a1 = О,
[(и + 2) 2 - v2 ]a2 + ао = О,
х.т+k [(и + k)2 - v2 ]ak + ak-2 = О, k = 2, 3, . . . .
Так как ао f: О, то из первого уравнения (9) следует, что u2 - v2 = О, или
и = ±v.
(9)
Теперь из второго уравнения (9) будем иметь
Рассмотрим сначала случай
системы (9) в виде
q
а 1 = 0.
= v > О.
Перепишем
k-e ( k
> 1 ) уравнение
� + k + �� + k - �- + -� = �
откуда получаем рекуррентную формулу для определения ak через ak_2:
1 ak = - (и + k + :;(; + k - v) ·1
Учитывая, что а1 = О, получаем отсюда аз = О и вообще a2m+t = О. С другой стороны,
каждый четный коэффициент может быть выражен через nредыдущий по формуле
(u + 2m + v)(и + 2m v) '
или, с учетом q = v,
Последовательное применение этой формулы nозволяет найти выражение
рез ао :
вообще
a2m
че­
-1
а
а2т ( )m 22mm!(v + I)(v +о 2) . . . (v + m) ·
Подставим найденные значения коэффициентов в формулу (8),
( 10)
Нетрудно проверитъ, Ч1'О ряд в правой части (10) сходится на nолуоси х > О и определяет там функцию у1 (х) частное решение уравнения Бесселя.
§ 12. Уравнение &ecce.nt. ФунiЩИИ &ecce.n• ------ 169
а=
-v. Если v не равно положитель­
Рассмотрим телерь второй случай, когда
ному целому числу, то можно написать вrорое частное решение, которое получается
из выражения (10) заменой v на -v (в уравнение (7) v входит четным образом) ,
'Uz(z) = aoz-v
( + �(-1)711
1)(�:71+1 2) . . . (-v + m) ) . (10')
(Если v равно целому положительному числу, то решение ( 1 01) теряет силу, так как на­
чиная с некоторого числа один из множителей в знаменателе членов разложения ( 1 01)
будет равен нулю.) Ряд в правой части (10') также сходится при всех значениях х > О .
и
Решения у1
(z )
l
22711m! ( - v +
y2 (z) линейно независимы. Действительно, их отношение
z2
2 ( z) = z 2 l � + . . .
Y-- v
y , (z)
не является nостоянным.
2
1 - 22(:+ 1)
+...
1 2.2. Г-функция Эйпера и ее свойства
Для дальнейшего нам nонадобится некоторые свойства
деляется следующим образом:
Г -функции Эйлера. Она опре­
г-------�
+оо
Г(р) = J z1'- 1 e-z dz, Rep > O.
о
Интегрированием по частям лолучаем основное функциональное уравнение для
функции:
Так как
1 Г(р
1 ) = рГ(р) . 1
( 1 1)
Г(l) = 1 , то Г(2) = 1 · Г( 1) = 1 , Г{З) = 2Г(2) = 2! и вообще
1 Г(n + 1) = n!, n = О, l , 2, . . . · 1
+
Г­
Можно показать еще, что
С
помощью функциональноГо уравнения
( 1 1)
можно определить гамма-функцию
для отрицательных значений аргумента. Записав уравнение
замечаем, что для малых
( 1 1) в вИде Г(р)
р выполняется соотношение Г(р) � j .
Аналогично, если т - положительное целое число, то для значений
к числу
имеем
-m,
= г(р;l) ,
р, близких
.
Г(р) � ( -m!1 )711 p-+�m
Можно показать, что Г(р) :j:. О при всяком р, поэтому функция г&) будет непрерывной
для всех значений р, если положить
-(-�-l'г--m) _=_O_,_m =_O_,-l,-2,-.__
. .�.�
170 ------- Гnава XXII. ДИффереициапыtые уравиеим высwих ПОр!IДКОВ
1 2 .3 . Функции Бесселя
Возвратимся к решению уравнения Бесселя (7). Коэффициент ао до сих пор оставался
произвольным. Если
rде > О ....:. целое число, то, полагая
v =/:. -n,
n
1
2vГ(v + 1)
а0 - --:----:- 1
найдем
а
2m - ( - 1)m 22m+vm!(v + 1)(v + 2)1 . . . (v + m)Г(v + 1) =
= ( - 1)m 22m+vr(m + 1 Г(v + + 1) ·
т
�
Подставляя это выражение для коэффициентов в (9), получаем
l/I (x) =
�
оо
2
Ряд (12) определяет функцию
J"(x) =
()
2m+v
( - l)m Г(m + 1)Г(v1 + m + 1) x
�
оо
()
2m+v
·
( - l )m Г(m + 1)Г(v1 + m + 1) x
2
которая является решением уравнения Бесселя и называется
рода v-го порядка.
Ряд
J-v (x) =
�
оо
(- 1)m Г(m + 1)Г(-1 v + m + 1)
(12)
·
(13)
'
фущщией Бесселя первого
( ) 2m-v
�
нецелое) и оnределяет второе решение уравнения (7),
отвечает случаю
линейно независимое с функцией
, то функции
Итак, если не равно целому числу (v =/:. О,
образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (7) и ero
и
общее решение имеет в этом случае вид
f-v (x)
При
и = -v (v J"(x).
v
±1, ±2, . . . )
J"(x)
v целом выполняется линейная зависимость
(14)
В самом деле, имеем
f-n(x) =
�
оо
( - 1)m Г(m + 1)Г(1m - n + 1)
( ) 2m-n
i
·
i 12. Ураанекие &ессем. Фунrц11И lec:ceml --�----- 171
l, . . . , n - i,
=
=k
= l.
a;) 1:+n
./-n(x) = 2оо )-l)l:+n Г(k + n +1l)Г(k + 1) ( 2 2 =
) 21:+n n
(
1
x
= (- l )" }�) - l )k Г k + )Г k + n +
. 1:-0 ( l ( l) 2 = (- l ) �(z).
Выnишем ряды
функций Бесселя nервого рода нулевого (n = О) и nервого ( n = 1 )
nорядков:
fi(z) = l - (�У+ (2�)2 (�У- (3�)2 (�) + · · '
Jl(ж) � - �(�У+ 2!13! (�)
Функции fi(ж) и J1 (ж) (рис. 4) часто встречаются в прило:ж:ениях, и
них име­
ются подробные таблицы.
О при т = О,
Первые n членов ряда исчезают, так как г(m�n+I)
+
n, цаходим
Введя обозначение т
а г(n�n+ l)
1:=0
оо
для
6
·
s-... .
для
Рис. 4
1 2.4. Рекуррентные формулы д.m1 функций Бессели
Исnользуя формулу
·
.$ (х) =
�(- l)m Г(т + l )Г(l11+ т + 1 )
оо
т-0
.
непосредственно проверкой убеждаемся в том, что
-1; (�fv(x)) = Х11fv- I (x) .
(X ) 2m+v
2
'
( 13)
( 15)
Точно таким :же вычислением находим
( 16)
( 15) и ( 16} производные произведений, получаем
( 1 7)
.)': (х) + � fv (x) = fv-t (x),
(18)
fv (x) - ж-v fv (x) = -fv+1 (х) .
Раскрывая в левыхчастях формул
соответственно равенства
1
а;
1 72
------
Глава XXII. ДИффереиЦИ811Ы1ые ypalllltНм BloiCI.I.IIX riорядков
Складывая и вычитая ( 1 7) и ( 18), получим две важные рекуррентные формулы:
,J;: (x) =
� [J"_ , (x) - fi+ t (z) ],
(1 9)
2v
fi+t (z) + ./v-t (z) = - ,/v(x).
х
(20)
Формула (19) показывает, что производные функций Бесселя выражаются через
бесселевы же функции. Из формулы (20) вытекает, что, зная ,fv(x) и fi- 1 (x) , можно
найти fi+ 1 (х). В частности, все функции Бесселя целых номеров выражаются через
две функции )Б(х) и ft (x). Здесьоказывается полезным соотношение ( 1 4) . При v = 1
из (20) находим, например,
2
)'2 (х)
ft (x) )Б(х) .
х
=
-
1 2.5. Функции &ессепя поnуцепого индекса
Рассмотрим специальный класс бесселевых функций с индексом, равным половине
нечетнаго целого числа. Эrот класс встречается в nриложениях и замечателен тем, что
в рассматриваемом случае бесселевы функции могут быть выражены через элементар­
ные. Так, при v = � путем несложных преобразований находим
Аналогично, при v =
Обе
ft12 (x)
= {f sin х.
f- tf2 (x)
= у{2
;; cos х.
� nолучаем
эти формулы можно записать в виде
(2 1 )
{f
По рекуррентной формуле (20) подсчитываем, например,
1
JЗ12 ( х) = Х /JJ2 (x) - f- t/2 (x) =
и т . д.
( sin x
- -- - cos х)
1ГХ
Х
12.6. Нули бесселевых функций
При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о рас­
nределении нулей функций Бесселя. Нули функций Jlt2 (x) и f-1t2 (x) совпадают
с нулями sin х и cos х соответственно. Можно показать, чтодля больших значений х
1
имеет место асимптотическое представление > (сравните с ( 2 1))
fi(x) =
вy VIII).
J ) Символ f(x)
.[f ( Т - �) +
cos х -
O('f'(x)) означает,
что
отношение
О(х-312 ) ,
х -+
+оо,
(22)
� остается оrранuченным nри х -+ оо (см.
rлa-
§ 12. YpalltНIIIIIe &ессепя. Фумкции 6eccen•
------
173
справедливое как мя целых, так и мя дробных
Формула (22) показывает, как
ведет себя функция Бесселя при возрастании аргумента. Это колеблющаяся функция,
бесчисленное множество раз обращающаяся в нуль, причем амплитуда колебаний
стремится к нулю при
--+
Распределение нулей функции Бесселя с целым положительным индексом, т. е.
корней уравнения
v.
ж +оо.
fi(ж) = О
(n
устанавливается слеДующей теоремой.
= О, 1 , 2, . . . )
Функция
(n
1 , 2, . . . ) не имеет ко.мплекенЬlХ нулей, но имеет бес­
конечное множество действительнщ нулей, расположенных симметрично относительно
которая в случае n = 1 , 2, . принадлежит к их числу. Все нули функ­
точки
1, 2, . . я8.11Яется нулем
ции простые 30 исключением точки = О, котаран nри n
кратности n соответственно.
fi(ж) = О,
Теорема f8.
х = О,
х
..
.
=
1 2.7.
Ортоrонапьность и норма функций &ессепи
Ортоrона��ыюсть функqиi &eccent
(23)
+ жу1 + (>.lж2 - v2 ) у = О,
где А - некоторый числовой параметр, отличный от нуля. Петрудно проверитъ, что
уравнению (23) удовлетворяет функция Бесселя ,/v(Аж).
Перепишем уравнение (23) в виде
2
1 ,
v
2
А
(24)
у + ; 11 + - ж2 у = О
и обозначим У1 = f.,(.Л iж), У2 = ,/v(А 2ж), где A t , .Лz - какие-либо значения параметТогда будем иметь тождества
2
1/t + ;1 У,1 + .л,2 - хV2 у, = О,
2
1
v
2
112 + ; 112 + .Л2 - х2 . У2 = О.
Умножая первое тождество на у2 (ж), второе - на 111 (ж) и вычитая одно из другого,
nолучим
111 112 - YJ1/2" ж1 (1/J112 - 111 112) + (Л2J - Л22 ) Yt112 = о
Умножив все члены последнего тождества на х, замечаем, что его можно заnисать
в виде
�
d [х(1А112 - 11111�)) =: (Л� - Л�)ж111 112·
Интегрируя последнее тождество п о ж в пределах от О до 1, будем иметь
1
(ж (11�112 - 1/JY�) ] 1:: (Л� - Лi) 1 Z11t (Ж)У2 (ж} da:,
Рассмотрим дифференциальное уравнение
:iy11
( )
11
·
ра .Л.
11
11
11
+-
1
1
( )
( )
,
\
о
\
-
•
174 ------- Г111111а XXIL ДllфЦI
фepeи
IIIJIIolllol8 ypaeнeiiii!I IWCWIIX IIOIJIЧ'КOI
или
1
ЛI�(Л,))';,(Л2) - Л2�(Л2))';,(Лt) = (Л� - Лt) 1 z)';,(Л1z))';,(Л2z) dz.
(25)
()
а из равенства ( 25) следует, что е сли Л1, Л2 есть нули функции
# Л2•частьТогд(25),
rак что
а значит, и правая, равны
fv1 . Пу(a:)сть, то Л1левая
1
1 :t:Jv (ЛJ:t:))';,(Л2z) d:t: = О.
Эrо означает, согласно определению, что функции fv (Л1 x), J"(Л2х) ортагональны
с весом p(z) = х на оrрезке [О, 1].
Бесселева функция: fv (z) имеет счетное множество нулей
О < Л 1 < Л2 < . . . < Лn < . . .
и , следовательно, система функций
(26)
fi(ЛI:t:), )';,(Л2z), . . . , fv(Лnz), . . . (v - фиксировано)
есть ортогональная на оrрезке [О, 1] система с весом p(z) =
(27)
1 xfi(Л,z)J"(Л;z) dz = О при i # j.
2. Если Л 1, Л2 являются корнями уравнения:
"t<Ж> = о,
е имеем
то в этом случае при Л 1 # Л2 из (25}
1
1 :t:J"(ЛI:t:)J"(Л2z) dz = О.
Следовательно, системафункций {J"(Лnz)} ;:'=1 , где Лn - корни уравнения � (а:) == О ,
ортагональна на отрезке [0, 1] с весом р(х) х.
Пусть Л 1, Л2 являются корнями уравFt:ения
xfl(x) = h
(28)
fv(z) ,
нулю,
о
х,
1
о
такж
о
==
3.
где h - некоторое фиксированное число. Уравнение (28) встречается в математи­
ческой физике и при v > - 1 имеет бесtсонечное множество положительных корней,
но не имеет комплексных корней (исключая случай ( -h + v) < О, когда есть два чисто
мнимых корня). Записав левую часть равенства (25) в виде
Л2fl(Л2) ] '
,
)';,(Лt)fv(Л2) [Лifl(ЛI)
ЛIQ'v(ЛI)fv(Л2) - Л2fv(Л2)fv(ЛI)
fv(ЛJ) fi(Л2)
.r
=
·
1 12. Ура����е��ие &eccenl. Фуи1Щ1111 &eceeml ------- 175
в ортогональности бесселевых функций по нулям линейной :комбинации
хубе:ждаемся
J: (х) hJv(x) = О функции Бесселя и ее производной:
j xfv (Лix)Jv(Лjx) dx = О при i =1= j,
где ·Л�; (k = 1, 2, . ) - корни уравнения (28).
Норма функций
Величина
1
llfv (Лx) IJ = ( j хJ,}(Лх) dx) 112
называется нормой функции Бесселя Jv(Лx).
Пользуясь равенством (25), можно по:казать, что
I!Jv(Лx)\12 = � [�12(.\) ( 1 - �) �2(,\)].
(29)
В частности, для fi(Лx) , где Л - нуль бесселевой функции, имеем
llfi(Лж) !l2 = � ,J012(Л) = � J?(л) (fi(Л) = -)1(.\) )
1
&всеем
.
о
.
о
+
.
12.8.
Функции Неймаиа (Вебера)
Всякое нетривиальное решение уравнения Бесселя
х2у1 жу' (ж2 - v2)y = О
(7)
называют цилиндрической функцией. При v нецелом функции �(х) и J 11 (x) образуют
функциональную систему решений уравнения Бесселя (7). При v = n - целом имеет
место линейная зависимость
f- (ж) = ( - 1)71,J;.(ж).
Чтобы к решению J.. (ж) подыскать такое, которое ему не пропорционально, поступа­
ем
при нецелом v составляем функцию
;.Л;;(ж) = �(ж) �SШ1rv1ГV- f-"(ж) .
(30)
+
+
-
..
так:
Она является линейной комбинацией решений линейного однородного уравнения (7)
и, следовательно, сама есть решение этого уравнения. Переходя в (30) :к предеду
при v -+ n и пользуясь правилом Лоп
, будем иметь
n
(- 1} "
о"
·
n
(-1)П1Г
v=n
Характерное свойство функций
(функций Бесселя 2 -го рода) - наличие
особенности в начале координат (рис. 5)
JY.:(x) =
.ЛО(ж)
rv
"?n(-) ""
Jrfl "'
ln
�
1Г
_
италя
l!{f - д.f-v
Jn(ж)
(�) ,
: (�)
"(Ж
(n I)!
"
"'
'У = 1 , 781 . . .
n,
n
= 1 , 2,
1
,
.
.. .
176 ------ Гяава XXII. ДИфференЦ111ьи
111 ые уравненмн 11ЫСШ11Х пор!1Д1011
Найденное решение ..ffn (x) уравнения Бес­
селя (7) при
= n вместе с j;; (x) составляет
v
фундаментальную
систему решений уравнения
Jl
х2у" + ху1 + (х2 - n2)y = О.
Функцию .�(х) называют также
Неймана или функцией Вебера.
При достаточно больших х
fv(x) rv
.fl;; (x) rv
{f
{f
cos (x - v; - 1) ,
sin (x
футсцией
Х --�' +оо,
v; - 1) ·
Рис. 5
Таким образом, на больших расстояниях от начала координат цилиндрические функ­
ции 1-ro и 2-ro рода относятся друг к другу как косинус и синус, но затухают с ростом х
благодаря множителю
Эти функции удобны для nредставления стоячих цилин­
дРических волн.
По аналогии с показательными функциями (формулы Эйлера) можно nостроить
линейную комбинацию функций fv(x) и .%,;(:�:) , дающую функции, связанные с бе­
гущими волнами. Так мы nриходим к бесселевым функциям 3-ro рода или функциям
Ханкеля, определяемым соотношениями
:j;.
:r�fЛ(x) = fv(x) + i Лv(х) ,
fv(x) - i .fi;; (x).
:Ж:2> (х )
Упражнения
Найдите общее решение уравнений:
1 . ( l + z 2 )y11 + 2zy1 = z 3•
2. y1v th z
= у111•
Найдите решение задачи Коши:
3
5. у" + 18 sin у cos у = О, у(О)
у'(О)
7. у3у" = 4(у4 - 1),
у(О)
==
О,
.Ji, у' (О) === .Ji.
3. уу"
у12 .
4. уу" + у12 = 1 .
y( l) = 1,
3.
y' (t) :;;;:; 3.
Проинтегрируйте уравнения, найдя, где. указано, частные решения:
8 . у"
11.
у"
- 4у' + 4у = О.
Зу' + 2у
13. у111 - у = о,
О,
9. у" - 2у - 3у = О.
у(О) = О,
у1(0)
=
l.
у(1) = y'(l) = y"(I) = о.
10. у" + 2у + Sy
12. у111 - у' О.
14. y1v - у о.
О.
16. yv
О.
15. y1v + у О.
Найдите общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравнений:
17. у11 + у = l.
19. у" - у = 4:te"'.
z + 1.
18. у" - 27/ + у
20. у11 2у' + у 2еж.
23. у11 + 4у = Зz sin z.
21.
у" + у' + у = sin z.
24. у11 + 4у = 2 sin2 z.
22. у" + у
cos
z - 2 sin z.
§ 12. Jравненме &еесем. ФyHIЩIIII &ecce.nt ------ 177
Виды частных решениИ неоднородных линеИных уравнений
дnя
Правая часть*)
дифференциалъных
уравнений
1. P".(z)
2. ea"Pm(z)
с nОСТОIIнными коэффициентами
ра311Ичных правых частей
Корни характеристическою уравнения
Виды часnюю реiJiения
Число О не является корнем
характеристическою уравнения
Pm(a:)
Число О корень характеристическою
уравнения кратности r � 1
:1-'rPm(z)
Число а не является корнем
характеристическою уравнения
e"P".(z)
Число а является корнем
характеристическою уравнения
кратности r �· 1
3. Pт(x) cos f'x +
Числа ±if' не являются корнями
характеристическою уравнения
.i\(x) cos f'x +
+ Qk (z) sin f'x,
Числа ±if' являются корнями
характеристическою уравнения
кратностн r
x' .i\(x) cos f'x +
+ Q,(x) sin f'ж
Числа а ± if' не являются корнями
характеристическою уравнения
4. e""[Pm(z) cos {jz +
+ Q. (x) sin fjx J
х•е4110Р".(х)
Числа а ± if' являются корнями
характеристичесJЮю уравЕения
кратностн r
1: = max{m, s}
(
+ Qt(X) sinf'x
(
)
е0"' .i\(x) cos{jz +
+ Qk (x) sin fЭz) ,
1:
max{m, s}
х•е'"" (.i\(x) cos f'x +
+ ij.,(x) sin {Эх)
*) Первые три вида правых частей являются частными случаями четвертою.
2
Укажите вид частных решений следующих линейных неоднородных уравнений:
25. у111 - у' = 3 + хе"' + :r/ sin z.
26. у111 + у' = + z + z2 е" + z sin z.
'27. у111
- у" = l + ze" + 2z cos z.
29. у'1 - у = 1 + хе" + е" cos z.
1 -.
28. у111 + у" = z + :ее" + х sin х.
Методом вариации nостоянных nроинтегрируйте следующие уравнения::
ЗО. у" + У =
-
cos z
31. у" - у' = е2" sin e" .
Проинтегрируйте следующие уравнения Эйлера:
32. z2 r/ - zy' - Зу = О.
33. х2 у" + zy' + у = О.
12
х3
Ответы
ж
2
4 +Ct arctg z+C2 . 2. у = Ct ch hx+C2 x +C3 z+C4 • 3. у С2 ес1 "' . 4. у2 = (ж+С2 )2+
7. у vl + е4"' . 8. 11 = Cte2" + С же2"'. 9. 11 = С1е_., + С е 3" .
Ct . 5. 11 = arctg Зж. 6. у =
2
2
1. у
1
1
lllt 11o1CW11X Пop!IДICOI
178 ------ Гпава XXII. Диффереlщмапыlwе ypallllМI
2
е : - е: . 12. у
"'­
Ct eT "' cos
С1е"' + С2е-"' +С3 cos z + C4 sin z. 15. у
"'2
4
3
С4е - т " sin
ж . 16. у = Ct + C2 z + Сзz + C4z + C5z • 17. у
С1 cos z + C2 sin z + l .
2
18. у = С1е"' + С2 же"' + ж + 3 . 19. у = С,е"' + С2е-"' + (ж - :r:)e"' . 20. у = С1е"' + C2ze"' + z2 e"' .
-1{
21. у = С,е-"''2 cos 1 z + C2e-I sin 1 z - cos z . 22. у = С1 cos z + С2 sin z + z(cos z +
23.
�
�
�-:
sin z).
у = Ct cos 2z + с2 sin 2:t + z sin z COS :t. 24. у = C t cos 2z + с2 sin 2z +
sin 2ж.
2
2
25. у Az+z(A1 :t+Bt)e"' +(A2z +B2ж+D2) cos :t+ (A3z +B3z+D3) sin ж. 26. у = ж(Аж+В)+
2
2
Az +z(A1:t +B1)e" + (A2z +
(A1z + B1z+D t )e"' +z[(A2z + B2) cos z + (A3z +Bэ) sin z) . 27. у
2
В2) cos z+(A3z+ В3) sin z. 28. у
(Az +B)z +(А1 ж+ В1 )е"' +(А2ж+ В2) cos z+ (A3 z+В3) sin z .
2
29. у = A + (A1z + B1 )e "' + e"'(A2 cos z + B2 sin z) . ЗО. у = С1 cos z + C2 sin z + cos z ln 1 cos z l +
С2
3
z sin z . 31. у
С1 + С2е"' sin e"'. 32. у
C1z +
• 33. у ::::: С1 cos(ln z) + С2 sin(ln z) , z > О.
z
Глава ХХ/1/
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
СИСТ Е М Ы
ДИФФ Е Р Е НЦИАЛЬ НЫХ УРА В Н Е НИ Й
§ 1 . Основные понятия и определения
К системе дифференциальных уравнений приводит уже простейшая задача динамики
точки: даны с ил ы , действующие на материальную точку; найти закон движения, т. е.
у
найти функци и х = x(t) ,
= y(t) , z = z(t) , выражающ и е зависимость координат
движущейся точки от времени. Система, которая при этом получается, в общем
случае имеет вид
d2 x
d2y
=
dt2 g
d2z
dt2
у,
(
(
(
= 1 t , х,
t, х ,
h t, х ,
dx dy dz )
у, z , dt
' dt , dt ,
dz )
у, z , dxdt ' dy
dt ' dt . '
(1)
dz )
у, z , dxdt ' dy
dt ' dt .
Здесь х ;
z - координаты движущейся точ ки,
функци и своих аргументов.
время, J , g,
t
h -
и звестны е
Система вида ( 1 ) назы вается канонической. Обращаясь к общему случаю системы т
дифференциальных уравнений с т неизвестн ы м и функци я м и
аргумента
t, назовем канонической систему вида
x 1 (t) , x2(t) , . . . , Хт(t)
i
= 1 , 2,
. . . , m,
(2)
разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого по­
рядка, разрешенных относительно производных от искомых функций,
1 Х� = /i (t, Х 1 , Х2 1
называется нормальной.
•
•
•
,
Хп ) ,
i
=
},
2,
. . . , n,
1
(3)
Если х � , xf, . . . , x�k;-l) в (2) принять за новые вспомогательные функци и , то об­
щую каноническую с и стему (2) можно заменить эквивалентной ей нормальной систе­
мой, состоя щей из N
=
k1
+ k2 +
.
тривать лишь нормальные систе м ы .
Например, одно уравнение
.
.
+ km уравнений. Поэтому достаточно рассма­
180
-------
Глава ХХ/11. Системы дифференi.\IWIWIЫХ уравиенмll
� = у, в силу исходного уравнения будем
является частным спучаем канонической системы. Положив
иметь
dy
dt
результате получаем нормальную систему уравнений
dz =
dt у,
dy =
dt -z,
-11:.
В
{
эквивалентную исходному уравнению.
Оnреде.nенме 1. Решением нормальной системы {3) на интервале (а, Ь) изменения аргу­
мента t называется всякая система n функций
. .
дифференцируемых на интервале а
в тождества по t на интервале (а, Ь) .
< t <
.
'
(4)
Ь, обращающая уравнения системы (3)
Задача Коши для системы (3) формулируется так: найти решение (4) системы,
удовлетворяющее при t = t0 начальным условиям
. . .
'
(5)
Теорема 1 (существоваии11 и единствеиiiОС'IИ реwени11 задачи Коwи). Пусть имеем нормальную
систему дифференциал.ьнЬIХ уравнений
dжi
= fi (t, Ж ! , Ж21
dt
• • •
i = l , 2, . . . , n,
, Ж11),
и пусть функции fi (t, ж1 , ж2,
, Ж11) (i = 1 , 2, . . . , n) определены в пекоторой (n + 1)­
, Ж11• Если существует окрест­
мерной области D изменения пере.меннЬIХ t , Ж ! , ж2,
ность n точки Мо(to, жУ, жg , . . . , ж:) , в которой функции fi непрерывны по совокупности
аргументов и имеют ограниченные частные производные по переменньtМ ж 1 , ж2, • . . , ж11,
то найдется интервал. to - ho < < to + ho изменения t, на котором существует един­
ственное решение нормальной системы (3), удовлетворяющее начал.ьньtМ условиям
. .
•
. • .
t
...
'
Оnределение 2. Система n функций
(6)
' Cn ' называется общимреше­
зависящих от t и n произвольных ПОСТОЯfiНЫХ с! ' с2,
нием нормальной системы (3) внекоторой области n существования и единственности
решения задачи Коши, если
1 ) при любых допустимых значениях С1 , С2,
, С11 система фун кций (6) обращает
уравнения (3) в тождества,
2) в области !} функции (6) решают любую задачу Коши.
• •
•
• •
•
§ 2. Методы интеrрировани11 систем АИфференциап�о��ых уравнений ------ 181
Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных
С2 , . . . , Сп, называются частными решениями.
{�=
С1 ,
Обратимся для наглядности к нормальной системе двух уравнений,
d 1
dx2
dt
/1 (t, Х 1 , х2 ),
= !2(t, х1, х2).
(7)
t
Будем рассматривать систему значений t, х1 , х2 как прямо­
угольные декартовы координаты точки трехмерною про­
странства, отнесенною к системе координат Otx 1 х2 . Решение
=
Х 1 XJ(t),
х2 = x2 (t)
системы (7) , принимаюшее при t
to значения х?, xg,
определяет в пространстве некоторую линию, проходя­
щую через точку Mo(to, х?, xg). Эта линия называется ин­
=
тегральной кривой нормальной системы (7).
Задача Ко­
ши для системы (7) получает следующую геометрическую
формулировку: в пространстве переменных t, х1 , х2 най­
ти инте:сральную кривую, проходящую через данную точку
Mo(to, х1 , xg) (рис. 1). Теорема 1 устанавливает существо­
вание и единственность такой кривой.
Нормальной системе (7) и ее решению можно придать
еще такое истолкование: будем независимую переменную t
рассматривать как параметр, а решение
=
=
Рис. l
za
X J XJ (t) ,
х2 x2 (t)
/"
А
системы - как параметрические уравнения кривой на
х1 0х2• Эту ПЛОСКОСТЬ перемеННЫХ Х 1 Х2 наВ фазовой плоскости реше­
Рис. 2
ние х1
x 1 (t) , х2 x2 (t) системы (7) , принимаюшее
при t = t0 начальные значения х?, xg, изображается кривой АВ, проходящей через
точку М0(х?, xg) (рис. 2). Эту кривую называют
Траектория системы (7) есть проекция интегральной кривой на фазовую
плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно,
но не наоборот.
ПЛ ОСКОСТИ
=
=
ЗЫВаЮТ фазовой плоскостью.
екторией).
траекторией системы (фазовой тра­
§ 2 . М етоды интегри ровани я
систем дифференци ал ьных уравн ен ий
2. 1 .
Метод исключения
Один из методов интегрирования - метод исключения. Частным случаем канони­
ческой системы является одно уравнение п-го порядка, разрешенное относительно
182 ----- Гnава XXIII. Сисmtыдмфференциат.ных JР81118НИЙ
старшей производной,
1 х(n) = /(t х, х ' . . . ' х(n-1 ) . 1
(n l
Введя новые функции Z1 = z'(t), Xz = z11(t), . . . , Zn-1 = z ) (t)
уравнение следующей нормальной системой n уравнений:
dx
dt = Zt,
dz1 = xz,
dt
d�
xn-2 = Zn-1 •
dzn-1 = J(t, x, xl , . . 1 Zn-1),
�
1
'
-
,
заменим это
( 1)
.
т. е. одно уравнение n -го порядка эквивалентно нормальной системе (1).
Можно утверждать и обратное, что , вообще говоря, нормальная система n уравне­
ний первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка n. На этом и основан
метод исключения для интеrрирования систем дифференциальных уравнений.
. Делается: этотак. Пустьимеем нормальнуюсистемудифференциальныхуравнений
dz l
-;jt
dx
dtz
= /1 (t, Z1 1 Zz 1 Zn),
= /z(t, Zt, Xz, 1 Zn) 1
,
. .
•
(2)
. . •
Продифференцируем первое из уравнений (2) по t . Имеем
d2z,2 = 8/1 + д/1 dzt
dt дt дх1 -;jt
Заменя:я в правой части провзводные
чим
или, короче,
.
+
8/t dxz
дхz -;jt + · · ·
+ ддхftn dxdtn ·
� их выражениями f1(t, x1, xz, . . . ,zn ). полу­
(3)
dt2 = F2 (t, ZJ, Xz, , Zn)·
Уравнение (3) снова дифференцируем по t. Принимая во внимание систему (2),
получим
или
dz x l
• • •
11t! ---- 183
1 WХ yp8111lli
ЫI
фе
§ 2. Методы 111111
1'11fP11110 1 систем Дllфр81ЩМ81
Продолжая этот процесс, найдем
d"xt = F4 (t, Xt :1:2, • • • , :1:1 ),
dt4
.r-1 :�: 1 = t
dt.rn-1 Fn-1 ( , :I:J' Х2, ' Zn),
x1 F11 (t, Xt, :1:2, • • • , :1:11).
1
. • •
Предположим, что определитель
. . . . .. . . . . . . .
(якобиан системы функций
значениях
д/t
дzn
дF2
дхn
дFn-!
дхn
8/1 дfl
дz2 дzз
D(/1, F2, . . . , Fn-д ддхF22 ддхF2з
D(x2, хз, . . . , Zn)
дFn-1 дFn-1
дх2 дzз
/1 , F2, . . . , Fn-1 )
Z2, Хз, . . . , Zn ,
D(!t,F2, . . . , Fп-t ) -::/:: 0
D(z2, хз, . . . , Xn)
. . . . . . . . . .. .. .. . . . . .
отличен от нуля при рассматриваемых
(4)
·
Тогда система уравнений, составленная из первого уравнения: системы (2) и уравнений
. . . . .. . . . .. .. . . . . . . .. . . . . . . . .. � � . . . .
'
.r- I ЖJ = t
dtn-l Fn-l ( , Z1, Z2, , Ж11)
z2, хз, . . . , Z11 •
• • •
выразятся через t , ж, , Т• . · , dt..
Внося найденные выражения в уравнение
будет разрешима: относительно неизвестных
tlz
.
-11 •
d"- 1
.rж = t, ж,
dtfl Fn( ' Х2,
,
• • •
При этом
:�:2, zз, . . . , Zn
' ж,.) ,
получим одно уравнение n-ro порядка
( 5)
x, (t), x2(t), . . . , x11(f)
естьрешения
Изсамоrоспособа еrо построения следует, что если
будет решением уравнения (5).
системы (2), то функция:
- решение уравнения: (5) . Дифференцируя это решение по t,
Обратно, пусть ж
вычислим
�, .
.
.
1(
(t)
t) x1
, �,:�1 и подставим найденные значения как известные функции
184'
------
от t в систему уравнений
rnua ХХ\11. Системы диффереtщмат.wх
и ypalllиi.
ll
= !1(t, Х! , х2, . . . , Xn),
= F2(t, Х1, Х2, , Xn)1
= Fn-l (t, Х) , Х2, )
dx1
dt
d2x l
dt2
�- I XJ
dtn- 1
..•
• • • !
х ,. .
По nредnоложению эту систему можно разрешить относительно
найти х2 , хз, . . , Xn как функции от t.
Можно показать, что так построенная система функций
.
=
х2, хз , . . . , Xn , т. е.
=
Х! XJ(t) , Х2 X2 (t), . . . , Xn Xn(t)
составляет решение системы дифференциальных уравнений (2).
Пример. Требуется nроинтегрировать систему
dx
tly
х.
dt == -
у,
dt ==
(6)
-4 Дифференцируя nервое уравнение системы, имеем
откуда, исnользуя второе уравнение,
d2z dy
=
dt '
flt2
nолучаем
2
dz
+z о
dt2
==
- линейное дифференциальное уравнение второго nорядка с постоянными коэффициентами с одной
неизаестной функцией. Его общее решение имеет вид
;�;(t) = С1 cos t + С2 sin t.
В силу nервого уравнения системы находим функцию
y(t) = -С1 sin t + С2 cos t.
Найденные функции z (t) , y(t) , как легко nроеерить, nри лlобык значенияк С1 и
заданной системе.
Функции z(t), y(t) можно nредставить в виде
х = А sin(t + а),
g
= А cos(t + а),
с шагом h == 211' и с общей осью z
g = О,
интегральной кривой (рис. 3).
Исключая в формулах (7) nареметр t, nолучаем уравнение
откуда видно, что интегральные кривые системы
(6)
(7)
С2
удовлеtворS�ют
t
винтовые линии
которая таюке является
-
ж2 + у2 = А2 ,
так что фазовые траектории данной системы суть окружности с центром
в начале координат - nроекции винтовых линий на nлоскость хОу .
При А = О фазовая траектория состоит из одной точки z = О, у = О,
называемой точкой покоя системы. 11>
!1
Замечание. Может оказаться, что функции z 2 , х3, • • • , х,. нельзя выраd"� I., I
<�жi
зитъ через t, ZJ , Тt• . . . , .u•�l • Тогда уравнения n-то порядка, эквивале11тноrо исхощюй системе, мы не получим.
Систему уравнений
Вот nростой nример.
!�
Рис.
З
d J =
XJ,
dx2
z
dt == 2
нельзя эаменить эквивалентным уравнением второго nорядка относительно
или
Эrа система
составдена из nары уравнений 1-ro порядка , каждое из которых интегрируется независимо, что дает
z1 = С1 е1 ,
zz
z1
С2е1 •
х2 .
§ 2. Методы мнтеrриро�анм систем дмффереиЦIWIЬИЫХ ypalllleНMi ------ 185
2.2.
Метод интеrрируемых комбинаций
Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений
dx ·
= /i(t, х ,, Х2, . . . , х11),
dt1
(8)
i = 1 , 2, . . . , n,
иногда осуЩествляется методом ин.тегрируемьа �Сомбинаций.
Интегрируемой �Сомбинацией называется дифференциальное уравнение, яапяюще­
еся следствием уравнений (8) , но уже легко интегрирующееся.
Пример. Проинтегрировать систему
dz
= у,
dt
dy
=z
dt
.
<0111 Складывая nочленно данные уравнения, находим одну интегрируемую комбинацию:
d(z + y)
= z + y,
_t_
_d
z + y = C,e1•
откуда
ВЫ'М'ТВЯ почленно иэ nервого уравне�W�я системы второе, nолучаем вторую итеrрируемую комбинвцию:
' d(z - у) _
--;н- - -(Z у) ,
откуда
Мы нашли
два конечных уравнения
из которых легко оnределяется
z(t)
z + y = Ctet , z
y = Cze-1,
общее решение системы:
2 {Ct et + С2 е-t ) ,
1
.
1
y(t) = 2 (Ctet
С2 е-t ) .
.,.
Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение
• • • ' Xn ) cl ,
связывающее независимую переменную и неизвестные функции
Та­
кое конечное уравнение называется первым интегралом системы (8). Иначе: первым
интегралом системы дифференциальных уравнений (8) называется дифференцируе­
мая функция
не равная тождественно постоянной, но сохраняю­
•••,
щая постоянное значение на любой интегральной кривой этой системы.
Если найдено n первых интеграловсистемы (8) и все они независимы, т. е. якобиан
системы функций
,
отличен от нуля:
=
Фr(t, Xt, Х2,
t
х11) ,
Ф{t, х 1 , х2,
Ф1,
•
•
х1, х2, . . . , Xn .
Фn
дФr дФ 1
дх1 дх2
•
{
то задача интегрирования системы
дФ,
#: о,
(8) решена (так как из системы
,
Фr(t, х,, Х2, . • • Xn) = С,,
t
2'
.. �
�: .
.
Фn (t, х ,, х2, . . . ' Xn) = Сп
определяются все неизвестные функции х , (t) , x2(t), . . . , Xn(t) ).
'
� � .� � .��: : : � � .�. �
.
.'.
186 ------- Гпава ХХIИ. Сисtемы Дllфых
фереtщиаmои JPII8lJ8IIIIii
§ З . Системы лин ей ных дифференциальных уравн ений
линейной,
Система дифференциальных уравнений называется
если она линейна отно­
сительно неизвестных функций и их nроизводных, входящих в уравнение. Система n
линейных уравнений первого nорядка, заnисанная в нормальной форме, имеет вид
11
ИЛИ, В МIПрИЧНОЙ
i = 1 , 2, . . . , n ,
L tщ (t) z; + /i(t);
j :J
= AX + F , 1
�
1
форме,
где
F
(1)
( )
/J (t)
/2 (t)
.
(2)
'
/n(t)
=
все функции �щ(t) и /i(t), i, j 1 , 2, . . . , n, непрерывны на отреже
а ::;; t ::;; Ь, товдостаточномалойокрестностикаждойточки Mo(t0, z�, z�, . . . , z�), где
to Е (а, Ь), выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи
Коши и, следовательно, через каждую такую точку проходит единственная интегральная
кривая системы ( 1 ).
Теорема 2. Если
..,. Действительно, в таком случае правые части системы ( 1 ) непрерывны по совокуп­
ности аргументов
. . . , Zn и их частные производные по
j
2, . . , n ,
оrраничены, так как эти производные равны непрерывным н а отрезке [а, Ь] коэффи­
циентам
�
t, z 1 , z2,
.
z;, = 1,
ai;(t).
Введем линейный оnератор
-
Тогда система
d
1:- = .dt - А.
(2) запишется в виде
1:-[XJ = F.
Если матрица F
нулевая, т. е.
система (2) называется
/i(t)
=
О, i = 1, 2, . . . , n,
линейной однородной и имеет вид
на
(3)
интервале
(а, Ь) ,
С[Х ] = О .
то
(4)
Приведем некоторые теоремы, устанавливающие свойства решений линейных си­
стем.
Теорема 3.
Если Х(t) являетсярешением линейной однородной системы
С [ Х] = О,
то сХ(t), где с - произвольноя постоянная, являетсярешением той же системы.
§ 3. Системы пинеiiных Дllфре
фе нцмапWiых уравненмii
-------
1 87
Сумма
X t (t) + X2 (t)
· двух решений Х1 (t) и X2(t) однородной линейной системы уравнений является решением
той же системы.
Теорема 4.
Спедmие.
Линейная комбинация
т
L: e; Xi (t)
i= l
с произвольными постоянными коэффициентами е; решений X1(t), . . . , Xm(t) линейной
однородной системы дифференцимьныхуравнений
является решением той же системы.
Теорема 5.
.С[Х] = О
Если X(t) есть решение линейной неоднородной системы
.С[Х) = F,
а X0(t) -решение соответствующей однородной системы
.С[Х) = О,
то сум.ма
X(t) + X0(t)
будет решением неоднородной системы .С[Х] = F .
�
Действительно, по условию,
.C[XJ .= F, .С(Х0] = о.
Полъзуясъ свойством адцитивности оператора .С, получаем
.С[Х + Хо] = .С[Х) + .С(Хо) :: F.
Это означает, что сумма X(t) + X0 (t) есть решепие неоднородной системы уравнений
.С[Х) = F. �
Определение. Векторы
rде
X�c (t) =
линейно зависимыми
( :::�:� )
,
ЖnJc (t)
называются
на интервале а < t < Ь, если существуют постоянные
числа а 1 , а2 , . . . , an такие, что
(5)
188
-------
t
(а, Ь) ,
Глава XXIII. Системы дифференциальных уравнений
ai н е равно нулю. Есл и тожде­
,
а2 = . . . = а,. = О , то векторы Х 1 (t) , X2(t),
Х,. ( t) назы ваются линейно независимыми на (а, Ь) .
при
ство
Е
(5)
nричем п о край ней мере одно из чи сел
сnраведл и во только n р и
а1
. . .
Заметим , что одно векторное тождество
(5) экви валентно n тождествам:
L aka;lk (t) = О, L akX2�t (t) = О,
n
n
k= i
k=l
.
n
.
.
,
L апа:11�с (t)
k=l
=::
О.
Определ итель
:Z: J I (t)
X21 (t)
W(t) =
a;n11 (t)
назы вается определителем Вронского системы векторов X 1 (t), X2(t), . . . , Xn(t) .
Определение.
Пусть и меем л и нейную однородную систему
dX
( 6)
dt = A(t)X,
где
A(t)
-
n х п -матрица с элементами
aij(t) .
Систем а n реше н и й
X t (t) , X2(t ), . . . , X n (t)
л и не й ной однородной систе м ы
назы вается фундаментальной.
( 6) ,
л и нейно независ и м ы х на и нтервале
а < t < Ь,
Теорема 6. Определитель Вронского W(t) фундаментальной на интервале а < t < Ь сис­
темы решений линейной однородной системы ( 6) с непрерывными на отрезке а � t � Ь
коэффициентами
a;j(t)
отличен от нуля во всех точках интервала
(а, Ь).
Теорема 7 (о структуре общего решения линейной однородной системы) . Общим решением в обла­
сти а < t < Ь, lx k l < +оо, k = l , 2, . . , п, линейной однородной системы
.
dX
dt
A(t)X
с непрерывными на отрезке а � t � Ь коэффициентами a;j(t) является линейная ком­
бинация n линейно независимых на интервале а < t < Ь решений X 1 (t), X2 (t) , . . . , Xn (t)
системы (б) :
Хо.о. =
( с1 , с2 ,
•
•
•
, с71
-
n
I.: c; X; (t)
j= l
произвольные постоя�ные числа) .
§3. Смстемw .111ей
111 11111Х дмфференцмаnыtwх уравнениii ------- 189
Пример. Система
dx,
dt
dx2
dt
= х2,
= -х 1
имеет, как нетрудно проверить, решения
X, (t) =
( �;::) ,
X2 (t) =
и� �) .
Эти решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля:
-
_
W(t) == l -�:
=� 1 = 1.
Общее решение системы имеет вид
X(t) = c1 X , (t) + c2X2(t),
или
{ct . с2
3. 1 .
х1 (t) = с, cos t + с2 sin t,
произвольныв постоянные). •
x2(t) = -с, sin t + с2 cos t
Фундаментальная матрица
Квадратная матрица
X(t) =
" (t) X12(t) . . . z1 . (t)
a::m(t)
X21 (t) X22(t)
C
. . .
.
XnJ (t) Хп2 (t)
.
..
.
Xnn(t)
)
'
X 1 (t), X2 (t) , . . . , X11(t)
стоЛбцами которой являются линейно независимые решения
системы 6) , называется
этой системы. Петрудно прове­
рить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению
(
фундаментальной матрицей
�
X(t) -
=
A(t)X(t).
Если
фундаментальная матрица системы (6) , то общее решение системы
можно представить в виде
1 X(t) = X(t)C, 1
где
С=
(7)
(f)
постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в
имеем
откуда
следовательно,
(7) t
=
t0,
X(to) = X(to)C,
1
С X- (to)X(to) ;
=
1 X(t)
=
X(t)X- 1(t0)X(t0).
1
1
Матрица X(t)X- (to} = K(t , to) называется матрицей Коши.
системы (6) можно представить так:
1 X(t) = K(t, t0)X(t0) . 1
С ее помощью решение
190
...._
..:_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
rnaвa XXIU. СМстемы Af!Ффepeициanii!IWX урааRеНИй
Теорема 8 (о структуре общеrо реwен1111 линейной неоднородноА системы дифференциаnЫtых урав­
а < t < Ь, lжkl < +оо, k = 1 , 2, . . . , n,
нений).
Общее решение в области
нейднородной системы дифференциольныхуравнений
dX
dt =
линейной
(2)
A(t)X + F (t)
с непрерывны.ми на отре31ее а � t � Ь коэффициентами aij(t) и правы.ми частями fi(t)
равно сумме общего решения
2::: ckXk(t)
n
k=l
соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения X(t) нейдно­
родной системы (2) :
Хо.н. = Хо.о. + Хч.н.•
3.2. Метод вариации nостоянных
Если известно общее решение линейной однородной системы (6), то частное решение
неоднородной системы можно находиТЪ
Лаг­
методом вариации постоянных (метод
ранжа).
4
Пусть
n
2::: c11Xk(t)
X(t) =
k= l
естъ общее решение однородной системы (6) , тогда
dX11
dt
::
A(t)XA:(t),
t Е (а, Ь) ,
k = l, 2,
nричем решения X11 (t) линейно независимы.
Будем искать частное решение неоднородной системы
..
. , n,
dX
= A(t)X + F(t)
dt
в виде
где CA: (t), k
имеем
n
=
1 , 2, . .
.
, n,
dX
dt
Подставляя X(t) и
X(t) = L c�;: (t)X�:(t),
неизвестные функции от t . Дифференцируя X(t) по t ,
=
L Ctc (t) dXd: + L c�(t)Xk(t).
n
n
k=l
k =l
� в (2) , получаем
� c��:(t) ( ddX:
8
(9)
) �
A(t)Xk(t) +
8
c'11 (t)X11(t) = F(t).
п ы:х уравнениii с П0С1"0111ЫМ
1t И IОЭффициентами ------ 191
§ 4. Системы J1М11еЙИЫХ дмффереtщмаwt
Так как
dX;.
О
dt - A(t)X;.(t) =: ,
то для определения �(t) получаем систему
п
L c� (t)X �c (t) F(t),
==
или, в развернутом виде,
c�(t)zн(t) + �(t)ж 12(t) + . . . + �(t)x1,.(t) J1(t),
(10)
dt (t)XnJ(t) + c;(t)xn2(t) + . . . + �(t)Жпn(t) = J,.(t).
Система (10) есть линейная алгебраическая система относительно c';. (t) , определите­
лем которой является оnределитель Вронского W(t) фундаментальной системы ре­
шений X1(t), X2 (t), . . . , Xn (t). Эrот оnределитель отличен от нуля веюду на интервале
а < t < Ь, так что система ( 10) имеет единственное решение
�(t) = y:>;.(t), k = 1, 2, . . . , n,
rде y:>;.(t) - известные неnрерывные функции. Интегрируя nоследние соотношения,
c�c(t) = J y:>;.(t) dt, k = 1 , 2, . . . , n.
Подставляя эти значения c�r. (t) в (9) , находим частное решенltе системы (2) :
находим
X(t) = t X�c(t) f y:>;.(t) dt
А:=\
(здесь nод символом J y:>;.(t) dt nонимается одна из первообразных для функции
V?�: (t)) . ...
§ 4. Системы линей н ых дифференциальн ых уравнений
с п остоянн ы ми коэффициентами
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений
dж·•
dt
n
=
+
aijЖj fi(t),
L
j= l
i = l, 2, . . . , n ,
в которой все коэффициенты aц(i,j = l , 2, . . . , n) - постоянные. Чаще всего такая
система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокоrо nорядка,
причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Дру­
rой эффективный метод интегрирования систем с nостоянными коэффициентами -
метод преобразования Лапласа.
Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в сле­
дующем.
192
------
4.1 .
Метод Эйлера
Будем искать решение системы
dX t
dt
rпава XXIII. Систеuы дифференЦИ811ЫtЫХ ypaltJ81111Й
...
.
= анх 1 + а12Х2 + + a1nXn,
dx2 = а21Х1 + а22Х2 + . + a2nxn,
dt
(1)
в виде
,
(2)
{ �'.'�'.� (� .
an - пОС'tоянные. Подставляя в форме (2) в систему (1) , соКра­
где
щая на e>.t и перенося все члены в одну часть равенства, получаем систему
Л, а 1 , а2 ,
•
.
.
Zt
(а11 - Л) + а12а2 + + a1nan = О,
Л) -�� �-- · +
(3)
-�'
.
an1 a 1 + an 2 a2 + . . . + ( ann - Л) Otn - О.
Для того, чтобы эта система (3) линейных однородных алгебраических уравнений с
неизвестными а1 , а2 , . , an имела нетривиальное решение, необходимо и достаточ­
����:
...
Ott
.
.
.
n
но, чтобы ее определитель был равен нулю:
ан - Л а12
а21 а22 - Л . . .
= 0.
Gnn -
(4)
Л
Уравнение (4) называется характеристическим . В ero левой части стоит много­
член относительно степени n. Из этого уравнения определяются те значения
при которых система (3) имеет нетри�Jиальные решения
. . , an . Если все кор­
ни
i = 1 , 2, . , n, характеристического уравнения (4) различны, то, подставляя
их по очереди в систему (3) , находим соответствующие им нетривиальные решения
i = 1 , 2, . . . , n, этой системы и, следовательно, находим n решений
исходной системы дифференциальных уравнений 1) в виде
..
Л
at, а2,
Лi,
ан, a2i, . . . , апi,
,. ,.
. )
.
Л,
(
. · Л;
"' . - ....
.,nt
u.ns е t '
i
(5)
где второй индекс указывает номер решения, а первый - номер неизвестной функции.
Построенные таким образом n частных решений линейной однородной системы ( 1)
( ),
zн(t)
(t)
X 1 (t) = Z21
:
Znt (t)
� .. . '
(6)
образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы.
f 4. Смс1емw IIIIН8ilнWX aиффepetiЦIWX
IIIЫI JPIIНIНIIЙ С IIOCТOIIIUIWМИ 1оаффнциентами ------ 193
Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравне­
ний ( 1 ) имеет вид
1 X(t) = Cj XJ (t) + c2X2(t) +
или
. . .
+ enXn(t), 1
Z t (t) = CjZ IJ (t) + C2Z 1 2(t) + . . . + CnZin(t),
Z2(t) CJZ2J(t) + C2Z22(t) + . . . + CnЖ2n(t),
+ CnZпn(t),
Жп(t) = Cj:l:пt(t) + C2Zп2(t) +
где с 1 , � • • • • , Сп - произвольные постоянные.
Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассмат­
ривать не будем.
rtрммер 1. РешИ1Ь сисТему
· · ·
d:tl
dt
<4
dz2
dt
:::
==
-Z J + 2z2,
2z, - z2 .
Ищем решение в виде
ХарактеристиЧ4;JСКОе уравнение
или
1 -1 2 "
-1
�" 1 = о,
.\2 + 2.\ - 3 = о,
.
имеет корни .\1 = 1 , .\2 = -3
Система (3) для опредедения а , , а2 выглядит так:
( - 1 - .\) a l + 2а2 = О,
2ar + (-l - .\) a2 = 0.
Подставляя в (*) .\ = попучаем
1,
{
откуда а2 1 = ан . Следовательно,
z н = а, , ,/, z2 1 = а11е1•
Полагая в (*) .\ = -3 , находим а22 = -а1 2 . поэтому
z12 = а,2 е-31, z22 = -а12 е -31.
Общее решение данной СИС"rемы:
ZJ (t) = Сtане1 + c2a1ze-31,
z2 (t) = с1а11е1 - с2 а12 е-зt,
или
z1 (t) = С1е1 + С2е-31,
:t2 (t) = Cte1 - С2 е-31• •
4.2. Матричный метод
Изложим еще матричный метод интегрирования однородной системы ( 1). Запишем
систему (1) в виде
dX
= АХ ,
(7)
dt
; '
,
194 ------ ГJI888 XXIII. Системы дифференциапьнwх ураенениil
где
д
-
X(t) =
( :;!:] ) ,
Xn (t)
n х n-матрица с постоянными действительными элементами tljj .
Наломним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор
f. называется
матрицы д , если
= (ац)fJ= I
g
собственным вектором
д
-
Число
g = Лg.
-
Л называется собственным зна'lением матрицы д, отвечающим
g,, и является корнем характеристического уравнения
det(д
Л l) = О,
вектору
rде 1
О
единичная матрица.
,
Будем предполагать, что все собственные значения
личны. В этом случае собственные векторЫ
g 1 , g2,
собственному
л,, Л2, , Лn матрицы д раз­
g,. линейно независимы и су­
)
. • •
ществует n х n-матрица Т, приводящая матрицу д к диагональному виду, т. е. такая,
что
Л
т- ' дТ =
(
Л,
• • •
.
Л,
О
-
•
О
.
Лn
Столбцами матрицы Т являются координаты собственных векторов
трицы д.
g 1 , g2,
• •
•
,
(8 )
gn ма­
Введем еще следующие понятия. Пусть
n х n -матрица, элементы
которой суть функции аргумента
определенные на множестве Q. Матрица
B(t)
t,
Ьц(t) ,
B(t)
непрерывной на n, если непрерывны на Q все ее элементы �;(t) . Матри­
называется
ца
называется
дифференцируемой на Q, если дифференцируемы на n все элементы
B(t)
Ьi1(t) этой матрицы. При этом производной ��t) матрицы B (t) называется матрица,
-
элементами которой являются производные
цы
B(t).
Пусть
B(t)
n х п -матрица,
X(t) =
dЬ "(t
Тt) соответствующих элементов матри-
( ��.ш )
Xn (t)
- вектор-столбец. Учитывая правила алгебры матриц, непосредственной проверкой
убеждаемся в справедливости формулы
В частности, если
так как
В
-
г------�
d
dВ(t)
dX
) = dt
X(t) + B(t) dt
dt ( B(t)X(t)
постоянная матрица, то
!!J'i есть нуль-матрица.
� (BX(t)) =  �� ,
(9)
·
§ 4. Смстемы Jlllиll8il ыx дифференциальных ypaвllellli
l с IIOCТOIИIIIIIМII коэффtщментами ------ 195
Теорема 9. Если собственные значения .\1 , Л2,
шение системы (7) имеет вид
• • •
,
Лn .матрицы А раЗличны, то общее ре­
X(t) = Ct е� t8 t + cze�82 + . + с,. е�8n,
(10)
где St , 82, . . . , &n - собственныевекторы-столбцы матрицы А, а с1 , с2, . . . , с,. - произ­
вольные постоянные числа.
· ·
Введем новый неизвестный вектор-столбец Y(t) по формуле
X(t) TY(t),
( l l)
где Т - матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Подставляя X(t)
из ( l l) в (7) , nолучим систему
dY
= АТУ.
Т
dt
1
Умножая обе части nоследнего соотношения слева на т- t и учитывая, что т- АТ = Л ,
придем к системе
<4
или
( 12)
Мы получили систему из n независимых уравнений, которая без труда интеrрируется:
.
..
'
Здесь с1 , с2 , • • • , с,. - произвольные nостоянные числа,
Вводя единичные n-мерные векторы-столбцы
1
о
о
1
о
о
о
о
о
о
решение Y(t) можно представить в виде
1 Y(t)
= c1 i'1 te 1
1 X(t)
= CJe�ltgl
о
о
о
о
1
J
�----------------------�
+ c2e�2te2 + . . . + c,.e�"teп .
( 1 3)
В силу ( 1 1 ) X(t) = TY(t) . Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы
матрицы А, то Те�: = gk , где g�: - k-й собственный вектор матрицы А. Поэтому,
подставляя ( 1 3) в (l l), получим формулу (10) :
+ C2 e�2tg2 + . . . + c,.eЛnt 8n ·
l
.,.
XXIII. Системw Дlfффереициаых
тон JPIIКetiiiЙ
196 -------..,..-- Гпава
Таким образом, если матрица д системы дифференциальных уравнейий (7) имеет
различные собственные значения, ДJIЯ nолучения общего решения этой системы:
1} находим собственные значения Лt , Л2, . . . , Лп матрицы как корни алгебраичес­
кого уравнения
det(д - Лl) = О;
2) находим все собственные векторы 81 , 82 , . . . , 8n ;
3) выnисываем общее решение системыдифференциальныхуравнений (7) по фор­
муле (10) .
Пример 2. Решить систему
<111 Маtрица д системы имеет вид
1)
или
А= (� �) .
Состав.nяем характерИсmчеаrое уравнение
det(A - Лl) = 1 3 l .Л
-gн
откуда 11 1 = 112. так что
Аналогично
. 82
.
=
-
=
дпя Л = l находим
О,
о.
921
л = 4 nолучавм систему
1
Л1 ::: 4, Л2 l .
81 = ( 9912' 1 ) ' 82 = ( 922 )
{ + 012 = О,
2вн 111 2 О,
g, ( : )
Корни характерисmческого уравнения
2) Находим собственные векторы
Дпя
л2 - 5.Л + 4
=
2 1Л
.
= ( -�) .
3) Пользуясь формулой (10), nолучаем общее рвwение системы дифференциальных уравнений
( ;�:0 =
.
или
z(t) =
y(t)
0) + с2 е1 ( -�) ,
с1 e4t c2 et,
Cte4t - 2с2е1
c1 e4t
+
•
.,..
Корни характеристического уравнения моrут быть действительными и комплекс­
ными. Так как по предположению коэффициенты aii си�мы (7) действительные, то
характеристическое уравнение
det(д - Лl) = О
будет иметь действительные коэффициенты. Поэтому наряду с комплексным кор­
нем Л оно будет иметь и корень Л* , комплексно соnряженный с Л. Нетрудно показать,
что если 8 - собственный вектор, отвечающий собственному значению Л, то Л* тоже собственное значение, которому отвечает собстsенный вектор 8'" , комплексно
соnряженный с g.
f 4. Cllc'reuw Jlllei
ll ЫX
iн диффереtЩИUЫIЫХ ypaneниii С 110СТ0111111о1М11 108ффиЦ111Т1МИ
18
При комплексном
системы
Л решение
------
197
Х = eлtg
(7) также будет комплексным. Действительная часть
Х1
=
Re(eAtg)
и мнимая часть
Х2 = Im(eмg)
этоrо решения являются решениями системы (7). Собственному значению Л* будет
отвечать пара действительных решений xl и х2. т. е . та жсе пара, что и для собствен­
ною значения Л . Таким образом, паре Л, Л* комплексно сопряженных собственных
значений отвечает пара действительных решений системы (7) дифференциальных
-
уравнений .
• • •
-
дей�твительные собственные значения,
• • •
комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное реше­
-Л1 ,(7)Л2,
Пусть
л;+2 ,
ние системы
, Л�:
Лt+ l , л;+ l , Л�:+2,
имеет вид
X(t) = cl eлltgi + C2eл'tg2 + . . . + c�:eл"cgk+
где Ci
-
+ ck+I Re(eл"+1 t8k+J) + Ct+2 Im(eл"+l '8k+t) + . . .
произвольные постояннЫе.
Пример 3. Решить систему
<4
{ ��
= ж - Зу,
А=
о -п .
dy
- = 3ж + у.
dt
Матрица системы
1) Характеристическое уравнение системы
1)3
или
81 =
-
( ;Ш)
=
l
-:=.\ 1 =
(1 - Л)2 + 9
Его корни Л1 = 1 + Зi, Л2 = 1 Зi.
2) Собственные векторы матрицы
3) Решение системы
л
( -i ) ,
11Ie(1+Зi)t
=
82
О
=
о
,
.
о) .
( -l ) + a2 e<t-3i)t ( � ) ,
где а1 , а2 произвольныв комплексные постоянные.
Найдем действительные решения системы. Попьзуясь формупой Эйлера
еир = cos tp +i sin 91,
получаем
Зt
sin Зt .
eЗit
=
i - cos
-•
3t
sm Зt +
( � ) (c?S ) (
)
Следовательно, всякое действительное решение системы имеет sид
ж (t )
t cos 3t
sin Зt
t
g(t) = CJ е sin Зt + с2 е - Зt '
( )
(
)
(
cos
)
,
198
W!W)C уравкеииА
t
------ Глава XXIII. � ДJiффepetЦIWI
или
где
x(t)
с1е1
е1
cos Зt +
с2е1
Зt - с2е1
y(t)
с1 , с2 - произвольныв действительные
чисЛа . .,.
=
с1
sin
sin Зt,
cos
Зt,
Упрuиения
Методо
системы:
ения проинтегрируйТе
dz
{ -dжм ис= ключ
{
-z + 2у
dt = Зz - 2у
2.
1.
dy = - у.
dy = 2ж - у.
dt
Мет{о: ии::;,руемых комб{:� ��оинтеrрируйте системы:
dy = ж + у + t. 5. dy = ..!. .
z
а
�;:2:
М т{р
м:: nроинт{е:и::::�стемы:
6.
dy = Зж+4у. 7. dy = z + у.
dt
dt
dt
dt
4
.
1
1
2z
dt
dt
Ответы
ж = c1et + с2е-31, у = с1е1 - с2е-Зt 2. (с1 + !f) е1 + c2te1, = 2с1е1 + c2te1.
3.ж = с1еt +с2е-t +cзsm t +c4 cos t , y = cr e +с2е-t -cз . t
t .ж с1+с2е t
2
у = -с, +с2е 1+�-� � · 5. z = .Jc2(2t +с1), у = �· б. ж = с1е1+с2ея,у -с1е1+Зс2е51•
7. ж с1е1 cost + с2е1 sint, у = с1е1 sin t - с2е1 cos t.
1.
.
t
:r:
stn - 14 cos
1J
.
4
•
-
1
t
t1
4-4-i•
Глава XX/V
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
__
ТЕОРИЯ УСТОЙ ЧИ ВОСТИ
§ 1 . П редварител ьны е замечан ия
Рассмоrрим вопрос о зависимости реШения задачи Коши от начальных данных.
Пусть дана Задача Коши
dx
= J(t, x),
dt
x(to) = zo.
(1)
(2)
Если функция j(t, ж) непрерывна по совокупности аргументов и имеет ограниченную
провзводную U в векоторой области О изменения t, :с, содержащей точку (t0, :z:0) , то
решение задачи Коши (1)-(2) существует и единственно. Если изменять значения t0
и :с0 , то будет меняться и решение. Возникает важный в приложениях вопрос: как оно
будет меняться? Вопрос этот имеет и большое принципиальное значение. Действи­
тельно, если какая-либо физическая задача приводит к задаче Коши, то начальные
значения находятся из опыта и за абсолютную точность измерения ручаться нельзя.
И если сколь уrодно малые изменения начальных данных способны сильно изменять
решение, то математическая модель окажется малопригодной для описания реального
процесса.
СправедЛива следующая теорема о непрерывной зависимости решения от началь­
ных условий.
Теорема 1 .
Если правая часть j(t, :с) дифференциальногоуравнения
d:c
dt
= f (t, x )
непрерывна по совок.упности переменных и имеет ограниченную частную проU380дную !
в нек.оторой области G изменения t, х, то решение
:z:(t) = x(t; to, :z:o),
удовлетворяющее начальному условию :z:(to) = :со, где (t0, :z:o) Е G, непрерывно зависит
от начальных данных.
rпава XXIV. Теорм� �тм
200
Иными словами, пусть через точку (t0, :to) nроходит решение x(t) уравнения ( l ) ,
оnределенное на отрезке а � t � Р , to Е (а, Р) . Тогда д11я любого е > О найдется такое
б > О, что nри jt0 - tol < б , !Жо - xol < б решение z(t) уравнения (1) , nроходЯщее
через точку (f0, io) , существует на отрезке ( а ,
и отличается там от x(t) меньше чем
на е:
р)
l lx(t) - i(t)l < е
Vt Е [а ,
р]. \
Аналогичная теорема сnравед11Ива и мя системы дифференциальных уравнений
dxi
di = /i(t, х, , Х2 1 • • • , Xn),
i = 1 , 2,
.
.
. 1
n.
При выполнении условий теоремы ( 1) решение задачи Коши существует, един­
ственно и неnрерывно зависит от начальных данных. В этом случае говорят, что задача
Коши поставлена корректно. Существенным является то обстоятельство, что отрезоi<
[а, изменения t конечен. Однако во многих задачах нас интересует зависимость
решения от начальных данных в бесконечном промежутке to � t < оо . Переход
от конечного nромежутка, в котором рассматривается непрерывная зависимость ре­
шения от начальных значений, к бесконечному существенно меняет характер задачи
и методы исследования. Эrа nроблема относится к теории устойчивости, созданной
А. М. Ляпуновым.
Остановимся вкратце на nонятии о nродолжаемости решения. Пусть имеем си­
стему дифференциальных урав8ений
Ь]
dt = /1(t, х , , Х2 1 • • • 1 Xn),
dx1
i = l, 2, . . . 1 n,
(3)
где t - независимая nеременная (время) ; x 1 (t), x2 (t), . . . 1 x8(t) - искомые функ­
ции; f.i(t, Xt, х2,
, Zn) - функции , определенные для t Е (а, +оо) и х , , Х21 • • • , Xn
из некоторой области D С R" . Если функции
• . •
в их области оnределения неnрерывны по совокуnности аргументов и имеют огра­
ниченные частные nроизводные по х,, х2 , . . . , Xn , то для системы (3) справедлива
ло�Сальная теорема сущест6ования:
для каждой системы значений
tо
Е
(а, +оо) ,
о хо1, .
(:z:1,
·
.
, :Z:nо ) Е D ,
существует единственное решение
:Z:J (t), :z:2 (t), . . . 1 Xn(t)
системы (3), определенное в н.екотором. интервале (t0 - ho, to + ho)
и удовлетворяющее начальным условиям
:z:i(to) = х?,
i = l, 21
• • •
, n.
С
(а, +оо) изменения t
(4)
§ 2. YCТOЙ'IIIIIOCD 110 Лtmунову. Основнwе IIOIIIТIIII И OfiPIA8Jtellllll ------ 201
Введем следующее nонятие. Пусть
Z1 (t), Z2(t) , . . . 1 Zn(t)
- решение задачи Коши (3)-(4), оnределенное на пекотором интервале I
(t1 , t2) .
Это решение может быть продолжено, вообще
на больший интервал времени.
=
говоря,
Решение
1/1 (t) , Yz (t) , . . . , 'tln (t)
называетсяпродолжениемрешения z1 (t) , z2(t) , . . . , z11(t) , если онооnределено на боль�
шем интервале 11 , 11 :J 1, и совпадает с z1 (t), z2(t), . . . , Zn(t) при t Е 1. Решение
называется неограниченно продолжаемЬIМ (неогран.иченно продолжаемЬIМ вправо или вле­
во), если его можно продолжить на всю ось -оо < t < +оо (на полуось t0 � t < +оо
или
-оо < t � to соответственно).
Для дальнейших расемотрений важен вопрос о существовании решения
i = 1 , 2, . . . , n,
для to
t < +оо
ствОм обладает линейная система
�
d:r:;
dt
(глобальная теорема существования) .
"'
L IЩ(t):ci + li(t),
i= l
i
:c,(t) ,
Этим свой­
= 1 , 2, . . . , n,
где aij(t) и /i(t) - неnрерывные функции на
+оо). Для нее каждое решение
1 , 2, . . . , n, существует на [t0, +оо) (неограниченно продолжаемо вправо)
z;(t) , i
и единственно.
=
Не все системы обладают таким
свойством.
(to ,
Наnример, дпя скалярного уравнения
dж
- = :е2
dt
функция
(5)
f (t, ж) = ж2
ж . Нетруд.но nровери11::о, что фунtщи11
а
z == --
непрерыана и имеет nроi/\Зводные всек nopsщкos по
(1 - at)
dx
2
t =z ,
d
:с(О) = а,
Одttако это решение существует ТОJ1ЬКО в интервале
nродоткаемо на полуинтервал
(-оо, �] .
(
-оо,
а
> О.
�). ЭllfiЖ;I:Iщeм
от
начального услоs1111, и
не­
Уравнение (5) есть уравнение сверхбыстрого размкожекия, когда nрирост nроnорционален чисnу
всевозможкых пар. Его решение nоказывает, что nри таком эаtсоне nрироста насе��ения количество
населени11 становиТСII бесконечным за конечное время (в то время tсак обычный закон nрироста эксnокекциальный).
Задача. Псжаэать, что решени11 уравнени11
непЬЗ!I nродолжить неоrрвниченко ни
dx
- = ж2 + l
dt
вnраво, ни
влево.
§ 2 . Устойчивость по Ляпунову.
Осн овные понятия и оп ределения
Рассмотрим дифференциальное уравнение nepвoro порядка
di = J(t , а:) ,
d:c
(1)
202 -------'-- Гпава XXIV. Теор1111 устоiчивости
где функция
j(t, ж) определена и непрерывна для t
#
Е
области D и имеет ограниченную частную производную
ж = tp(t)
(а, + оо) и ж из некоторой
М. Пусть функция
есть решение уравнения ( l) , удовлетворяющее начальному условию
Пусть, далее, функция
жl t=to
tp(to) ,
to >
а.
ж = x(t)
есть решение того же уравнения, удовлетворяющее друrому начальному условию
x j t=to
Предполагается, что решения
ченно nродолжаемы вnраво.
x(to).
tp(t) и x(t) определены для всех t � to , т. е. неограни­
Оnредедеиие 1 . Решение ж = tp(t) уравнения (1) называется устойчивым по Ляпунову
при t -+ + оо, если дЛЯ любоrо Е > О существует 6 = 6(�::) > О такое, что длЯ всякого
решения ж = x(t) этого уравнения из неравенства
(2)
lж(to) - tp(to)l < 6
следует неравенство
lx(t) - tp(t)l < Е
для всех t � t0 (всегда :можно считать, что ti с:) .
(3)
Это значит, что решения, близкие по началь­
ным значениям к решению х = tp(t) , остаются
близкими и при всех t � t0 • Геометрически это
означает следующее. Решение
х ::::: tp(t)
уравнения ( 1) устойчиво, если, какой бы узе
кой ни бьща с:-полоска, содержащая кривую
В
х = tp(t) , все достаточно близкие к ней в начальный момент t = t0 интегральные кривые
х = ж(t) уравнения целиком содержатся в указанной е-полоске nри всех t � to (рис. l).
to
хотя
Если при сколь угодно м алом fJ
Рис. 1
бы для одного решения х = x(t) уравнения (1)
неравенство (3) не выполняется, то решение
.х = tp(t) этого уравнения называется неустойчивы.м. Неустойчивым следует считать
и решение, не продолжаемое вправо при t -+ оо.
>О
ОnреАедеиие 2. Решение х = tp(t) уравнения ( l ) называется асимптотически устойчи­
вы.м, если
1 ) решение х = tp(t) устойчиво;
2) существует 61 > О такое, что для любого решения х = x(t) уравнения (1),
удовлетворяющего условию lx(to) tp(to)l < 61 , имеем
lim lx(t) - tp(t)l = О.
t-++oo
§ 2. Ycтoilчllвoc'n. 110 Ляnунову, 0сиоеные ПОНRТИI И onpe,qeJИIНIIII -------------- 203
Эrо означает, что все решения ж = ж(t) , близкие по начальным условиям к асим­
птотически устойчивому решению ж = !f'(t) , не только остаются близкими к нему
при t ;;;:: t0 , но и неоrраниченно сближаются с ним nри t -+ +оо .
Вот простая физическая модель. Пусть шариклежит на дне полусферической лун­
ки (находится в положении равновесия) . Если малым возмущением вывести шарик
из этого положения, то он будет колебаться около него. При отсутствии трения по­
ложение равновесия будет устойчивым, прИ наличии трения колебания шарика будут
уменьшаться с возрастанием времени, т. е. положение равновесия будет асимnтоти­
чески устойчивым.
Пример 1. Исспедовать на устойчивость тривиальное решение
ж := О
уравнения
dж
dt
о.
"' Решение z = О , очевидно, удовлетворяет началь­
ному усnовию
ж
lt=to = 0.
Реwение уравнения (*), удовлетооряющее начально­
му уСЛО!'МЮ
имеет вид
Рис. 2
z := zo.
Jlenc:o видеть {рис. 2}, что, какова бы ни была е-nолоска вокруг интегральной кривой z = О, существует
li > О, например, 6 = е, такое, что любая интегральная кривая ж = жо, дпя которой lzo - 01 < 6 , целиl(()м
содержится в указанной е-полоске Д/IЯ всех t � to. Следовательно, решение :t = О устойчиво. Асимпто­
тической устойчивости нет, !lОСI(ОЛьку решение ж = z0 nри t
+оо не стремит� к nрямой ж = О . �
-->
Пример 2. ИсслЕiдовать на устойчивость тривиальное
реwение
ж
= О уравнения
dж
= а2 ж
dt
-
(а = const).
"' РешенИе уравнения (**) , удовлетворяющее началь­
ному условию
Рис. 3
имеет вид
ж жое -a2(t-to)
Возьмем любое е > О и рассмотрим разиость решений z(t) и y>(t)
•
О:
2
ж(t) - v>(t) ::: жое -•i(t-to} - О = (жо - О)е -a (Hn) .
2
Поскольку e -a (t-to) � 1 ДIIЯ всех t � to. из выражения (***) следует, что существует li > О, например,
е, такое, что при lzo - 01 < li = е имеем
lz(t) - v>(t)l = жое-a2(t-to) < е 'Vt � to.
Согласно определению {l) это означает, что реwвние y>(t) = О уравнения (**) устойчиво. Кроме того,
имеем
2
О,
lim lж(t) - �J�(t)l = lim l xole- " (Ho)
li
t-++oo
1-++оо
nоэтому решенив y>(t) = О асимптотически устойчиво (рис. 3). �
Пример 3. Показать, что решение
(jl(t) = о
204 -------:-- Глава XXIV. Теор1111 устойчивости
yp88HetWISI
d11!
dt
неустойчиво.
,_. В самом деле, nри сколь угодно малом lzol реwение
z(t) хое"2(Н&}
этого уравнения не удовлетворяет условию
==
iз: (t) - Ol lzole42(t-to) < t
nри достаточно больших t > t0 • Более того, nри любых з:0 t= О имеем
i з:(t)! t....+oo --> +оо
( рис. 4). 1111>
==
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
Рис. 4
dж·
(4)
s = Ji (t, ЖJ 1 Z2, · · · • Жn ) i = 1, 2, . . . , n,
dt
где функции fi определены д1IЯ а < t < +оо и ж1, ж1, . . . , Жn из пекоторой обла­
сти D изменения Жt , ж2, • • • , Жn и удовлетворяют условиям теоремы существования
и единственности решения задачи Коши. Предnоложим, что рее решения системы (4)
неограниченно nродолжаемы вправо при t � t0 > а.
Оnределение З. Решение
cpi(t), i = 1, 2, . . . , n,
системы (4) называется устойчuвЬJМ по Ляпунову при t -+ + оо , если для любого е > О
существует б = 6(е) > О такое, что для всякого решения Жi(t) , i = 1 , 2, . . . , n, той же
системы, начальные значения которого удовлетворяют условию
/жi(to) - cpi(t) / < б, i = 1, 2, . . . , n,
выполняются неравенства
(5)
lжi (t) - cpi(t) l < е, i = l , 2 , . . . , n ,
для всех t � to, т. е. близкие по начальным значениям решепия остаются близкими
для всех t � t0•
Если при сколь угодно малом 6 > О, хотя бы для одного решения zi(t) ,
i = 1, 2, . . . , n, не все перавеяства ( 5) выполняются , то решение cpi(t) называется
пеустойчивым.
Оnредеnенне 4. Решение
cpi (t ) , i = l, 2, . . . , n,
системы (4) называется асимптотически устойчивым, если:
1) решение это устойчиво;
2) существует 6i > О такое, что всякое решение Xi(t) , i = 1 , 2, . . . , n , системы,
для которого
удовлетворяет условию
Jim /ж;(t) - �i(t)l = О,
t-++oo
i = 1 , 2, . . . , n.
205
§ 2. Устоiiчивость 110 ЛIRyiiOIJ. Ос110111ые
1 ПОНIIТИI И onpeдeJI&НИI
Пример 4. Исходя из определения устойчивОС"tИ по Ляnунову, nоказать, что решение системы
удовлетворяющее начальным условиям
устойчиво.
dx
= у,
dt
dy
= -х,
dt
х(О) = О,
у(О) = О,
(*)
<11
Решение системы (*), удовлетворяющее начальным условиям (**), есть
z(t) = О, y(t) = О.
Решение этой системы, удовлетворяющее условиям х(О) = zo. у(О) = 1Jo , имеет вид
z(t) хо cos t + 110 sin t, y(t) -жо sin t + 1/О cos t.
Возьмем произвольнов е > О и покажем, что существует 6(е) > О таков, что при lzo-()1 < 6 и lyo-01 < 6
выполняются неравенства
\z(t) - 0\ = \:to cos t + Уо sin t\ < Е, \y(t) - 0\ = \ - zo sin t + Уо cos t\ < Е
для всех t � О . Это и буют означать, согласно оnределению, что нулевое решение ж(t) = О, y(t) = О
системы (*) устойчиво по Ляnунову. Очевидно, имеем:
lzo cos t + уо sin t\ � \zo cos t l + IYo sin tl lzol + IYo l,
==
==
1 - zo sin t + Уо cos t! � lzo sin tl + IYo cos t l
Если �ять
Е
6(е) = 2 ,
�
� lzol + IYol-
то nри !zol < 6 и IYol < 6 будут имЕm> место неравенства
lzo cos t + 1/о sin tl < е, 1 - zo sin t + Уо cos tl < е
для всех t � О, т. е. действительно нулевое решение системы устойчиво по Ляnунову, но эта устойчи­
вость не асимnтотическая. .,..
Из устойчивости нетривиалъного решения дифференциального уравнения не сле­
дует ограниченности этого решения.
Рассмотрим, наnример, уравнение
dx
- = 1.
dt
Решением этого уравнения, удовлетворяющим условию ж(О) = О, явля­
ется функция
�(t) t.
Решение, у.Цовnетаоряющее начальному условию ж(О) = жо. имеет вид
z(t) = t + :со.
Геометрически очевидно (рис. 5), что для всякоrо е > О существует %о
6 > О, наnример 6 = Е такое, что любое решение x(t) уравнения, -��-----�
для которого верно неравенство lzo - 01 < {J, удовлетворяет условию
lz(t) tl < Е 'Vt � О. Последнее означает, что решение �(t) = t
устойчиво по Ляпунову, однако это решение является неограниченным
Рис. 5
при t -+ +оо .
Из ограниченности решений дифференциалъноrо уравнения не следует устойчи­
·
=
-
вости решений.
Рассмотрим уравнение
(б)
Оно имеет очевидные решения
Интегрируя уравнение (6) , находим
или
х
х = kr,
k
= 0, ±1, ±2, . . . .
ctg ж = ctg zo - t,
=
arcctg(ctg xo - t) ,
х0 f: kr .
(7)
(8)
i
iiOCТII
206 ------ Гпава XXIV. Теор1111 ycтolliii
Все решения (7) и (8) ограничены на (-оо, +оо). Однако ре-
шение (J'(t) = О неустойчиво nри t -+ + оо, так как nри любом
ж Е (О, 1r) имеем
lim
(рис. б).
t-+oo
z(t)
1r
Таким образом , ограниченность и устойчивость
решений являются nонятиями, независимыми друr
от друrа.
Замечание. Исследуемое на устойчивость решение
�;(t), i = 1 , 2, . . . , n,
системы (4) всегда можно nрообразовать в тривиальное решение
Рис. 6
Yi : О
,цруrой системы заменой
Yi = z;(t) - (J';(t), i = l, 2, . , . , n.
самом деле, пусть имеем (дmi простоты) одно дифференциальное уравнение
dz
f(t, z),
dt
и пусть требуете�� исследовать на устойчивость какое-Либо решение tp(t) этого уравнения. Положим,
В
что
y(t) = z(t) - tp(t)
(величину z(t) - (J'(t) называют возмущением). Тогда
z(t) = y(t) + �(t),
и подстановка в (*) приводит к равенству
�� + :
t (t, g(t) + tp(t) ) .
Но tp(t) - решение уравнения (*), поэтому
: = t(t, tp(t)),
�� = t(t, g(t) + tp(t)) - !(t, tp(t)).
Обозначив здесь правую часть через F(t, у), получвм
dy
= F(t, у) .
dt
Это уравнение имеет решение у = О, так как при у = О его левав и правав части то:ждестаеиио по t
равны нулю:
f(t,O) = f(t, <p{t)) f(t, !p(t)) ::: О.
Таким образом, вопрос об устойчивости решения 'P(t) уравнения (*) приводится к воnросу об устойчи­
вости тривиального решения у
О уравнения (***), к которому сводится (*). Поэтому в дальнейшем
мы будем, как nравило, считать, что на устойчивость исследуется тривиальное решение.
§ 3. Устойчи вость а втон ом ных с истем .
П ростей шие ти пы точек покоя
Нормальная система дифференциальных уравнений называется автономной, если ее
nравые части fi не зависят явно от т . е. если она имеет вид
1 dжi
t,
dt = f;(Ж J , Жъ . . . , Жn)1
i=
1, 2, . . .
, n. l
t 3. YcтoiчИIOC'I'Io IIIIТOIONI
I ЫX
I систем. Пpocteiwlce Т1111Ъ1 точк 110101 ------ 207
Эrо значит, что закон изменения неизвестных функций, описываемый автономной
системой, не меняется со временем, как это бывает с физическими законами. Пусть
имеем автономную систему
dжi
{1)
dt = /i(z, , z2 , . . . , Zn ), i = 1 , 2, . . . , n,
·
: , an) - такая совокупность чисел, что
/i(aJ , а2 , . . . , an) = О, i = 1 , 2, . . . , n.
Тогда система функций
Zi(t) = щ, i = 1 , 2, . . . , n,
системы
(1).
Точку (а,, а2 , . . . , an) фазового пространства (z1 ,
будет решением
z2, . . . , zn) называют точкой покоя (положением равновесия) данной системы. Рас­
смотрим автономную систему ( 1 ) , для которой
и пусть (а1 , а2 ,
•
•
так что точка
/i(O, О,
. . •
i=
, О) = О,
1, 2, . . . , n,
Zi = О , i = 1, 2, . . . , n,
есть точка покоя этой системы. Обозначим через S(R) шар
n
l: жf < R2
i=l
и будем считать, что для рассматриваемой системы в шаре S(R) выполнены условия
теоремы суmествования и единственности решения задачи Коши.
Оnределение. Будем говорить, что точка покоя
i = 1, 2, . . . , n,
системы ( 1 ) устойчива, если для любого е > О
( О < е < R) суmествует такое б = б(е) > О, что
любая траектория системы, начинающаяся в на­
чальный момент t = to в точке М0 Е S(б), все
время затем остается в шаре S(e). Точка покоя
асимптотически устойчива, если:
l) она устойчива;
2) суmествует такое 61 > О, что каждая траек­
тория системы, начинающаяся в точке Мо области
S(б1), стремится к началу координат, когдавремя t
неоrраниченно растет (рис. 7).
Zi = О,
Рис. 7
Поясним это определение примерами.
Пример 1. Рассмотрим систему
dx
у
dt = ,
dy
ж
dt = - .
Траектории эдесь - концентрические окружности
х2 + у2
=
h2
с центром в начале координат - единственной точкой 11окоя системы. Если взять 6
t, то любая траек­
= и внутри S(t) , так
тория, начинающаяся в круге 8(6) , остается все время внутри S(li), а следовательно,
208
______
rпава XXJV. Теорм�� усто�чквости
что имеет место устойчивость. Однако 'l'раектории не nриближаются к началу координат nри t
и точка nокоя не ЯВ11Яется асимптотически устойчивой.
Пример 2. Пусть дана система
dz
= -z ,
dt
Ее решения:
dy
dt
-+
+оо
= -у.
Отсюда имеем
11
- = k = const'
= в
z
А
поэтому траекториями ЯSJIЯIОТОЯ лучи, входящие в начало коорди­
нат (рис. 8). Можно снова выбрать 6
Е . Любая точка траек­
тории, находивщаяся в начальный момент вну'l'ри 8(6) , остается
все время в круте S(e) и, кроме тоrо, неограниченно приближает­
ся к началу координат при t -> +оо. Следовательно, наблюдается
асимnтоти'lе!Жая устойчивость.
==
Пример 3. Возьмем, наконец. систему
dz
Ее решение
dt
=z
,
dy
dt
=у
.
Рис. 8
!!.. = k
Здесь таюке
z
и 'l'раекториями являются лучи, исходящие из начала координат, но в отличие от nримера 2 дiii/IJКeHИe
по лучам происходит в направлении от цеН'I'ра. Точка покоя неустойчива. •
Простейwие тиnы точек nокоя
Исследуем расnоложение траекторий в окрестности точки nокоя 11: = О, у = О системы
двух линейных однородных уравнений с nостоянными коэффициентами:
(2)
где
fJeм .
Для оnределения .Л nолучаем характеристическое уравнение
Решение будем искать в виде
11: =
а ем
1 ан - .Л
,
4!2
422 .л
421
Величины
а,
у=
1
=
О.
(3)
fJ с точностью до nостоянного множителя оnределяю;гся из системы
(ан - .Л)а + a12fJ
Возможны следующие случаи.
=
О,
а21а + (а22 - .Л)/3 = О.
Корни .Л1 , .Л2 характеристического уравнения (З) - действительные и различные.
Обшее решение системы (2) имеет вид
А.
(4)
§ 3. Устоilчивосn. авrономных систем. Простеiwие tиnы точек noкot ------ 209
1. Пусть Л1 < О , Л2 < О. Точка покоя (0, О) вэтом случаеасимптотическиустойчива, так
как из-за наличия множителей eA t t , е"2' все точки каждой траектории, находившиеся
в начальный момент t = t0 в произвольной б-окрестности начала координат, при до­
статочно большом t переходят в точки, лежашие в сколь угодно малой е-окрестности
начала координат, а при t - +оо стремятся к этому началу. Такая точка покоя назы­
вается устойчивым )'311ом.
При С2 = О из (4) получаем
11
откуда
1 z = Cta!e-'tt ,
у = ClfJi eЛtt ,
1
Е±]
и траекториями являются два луча, входящие в на­
чало координат с угловым коэффициентом
fJ
Рис. 9
k1 = -I .
al
Аналогично, при cl = о получаем еще два луча, входящие в начало координат
с угловым коэффициентом
fJ2
k2 = -.
а2
Пусть теперь cl t= о и с2 t= о и (для определенности) !Лt l > IЛ2 1 · Тогда в силу (4)
dy = C1fJ1Лi eA1t + C2fJ2Л2eл2t - fJ2 при t - +оо,
а2
dz
Сt а 1 Л1 ел1 t + С2 а2Л2еА2t
т. е. все траектории (исключая лучи у =
направление луча
�х) в окрестн
ости
точки покоя 0(0, О) имеют
(рис. 9).
2. Если Л1 > О, Л2 > О , то расположение траекторий такое же, как и в предыдущем
случае, но точки движутся по траекториям в противоположном направлении. Точка
покоя рассматриваемого типа называется неустойчивым )'3/IOM (рис. 10).
Прнмер. Рассмотрим систему
d:c
dy
ж
= 211'
, dt
dt
точка nокоя. ХарактериСТ\I!ческое
О)
Дт1 нее точка
уравнение
0(0,
о
2 Л =О
имеет корни Л t = 1 , ..\2 = 2 , так что нмицо неусrойчивый
узел. Перейдем от данной системы к одному уравнению
dy
2у
dж z '
или
xdy - 2уdж = О.
1 1 -0 ,\
11
1
РИс. lО
210 ------ rпава XXW. Теориg устоittмвости
Оно имеет реwения
fl
у =: О, z =: O
так чrо -rраеi<Ториями сисrемы будут лучи, совnадающие с координат­
ными попуосями, ,и семейство nарабол, касающихся оси Ож а начале
1<0ординат (рис. 1 1 ) .,.
•
3. Пусть теnерь >ч , Л2
< О; тогда точка покоя неустойчива.
При С2 = О получаем решение
Ctate.Л t f ,
CtfЗte.л lt.
j ж ==
l
у=
t
возрастанием точка этой траектории движется по лучу
flt
а,
Pиc. l l
в напра:вленииот начала (>ч > О), неоrраниченно удаляясъ от неrо. При С1 = О имеем:
С
у= -ж
1 ж = С2а2ел1с'
у = C2fJ2e>.1t
Отсюда вИдно, что nри возрастании t точка дви­
жется по лучу
fJ2
а2
в направлении к началу координат ( Л2 < 0) .
Если с, i= о и с2 '1 о, то как nри --+ + оо, так
и nри --+ -оо траектория покидает окрестность
точки покоя. Точка nокоя рассматриваемого ти­
па называется седлом (рис. 12).
.\
11
у = -ж
t
t
Прммер. Исследуем хараi<Тер точки покоя О(О , О) сисrе­
мы
dz
= z
- ,
dt
dy
dt
..,. Хараi<Теристическое уравнение сисrемы
имеет корни Л1
или
Рис. 12
(5)
= 1l·
.Л2-
1, Л2 = - 1 . Перейдем к одному уравнению
dy
dz
z '
1 =' о
zdy + ydx = О,
интегрируя которое nолучаем
(6)
zy ,""'- С.
Уравнение (6) имеет так:же решения 11 = О и z О.
Таким образом, интегральные кривые этого уравнения {траеi<ТОрии системы (5) ) - раенобочные
rиnepбollbl и лучи, совnадающие с координатными nолуоеs�ми. .,.
Корни Л1 , Л2 характеристического уравнения - комnлексные: Л1,2
Общее решение системы (2) можно представить в вИде
&.
1 m(t) = �(Ct cos qt
+ С2
sin qt),
y(t)
р ± iq,
= �(с: cos qt + С2 sin qt) , 1
q i= О.
(7)
где С1 и С2 - произвольные постоянные, а Ci , С2 - некоторые линейные комбина­
ции этих постоянных.
§3. YcтoliчiiiiOCn IIТOIIOМIЫX
I систем. Пpocтeiiwlle ТМ111о1 'f01181 1101(011 ------- 211
1 . Пусть Л 1 ,2 == р + iq, р < 0, q '# О; в этом слу­
чае множитель еР' стремится к нулю nри t -+ + оо ,
а вторые множители в (7) - ограниченные nерио­
дические функции. Траектории - сnирали, асим­
птотически приблmкающиеся к началу координат
при t -+ +оо. Точка покоя ж = О, у = О асимпто­
rически устойчива. Она называется устойчивЬI.М
фокусом (рис. 1 3).
2. Если >.1,2 = р ± iq, р > О, q ::/= О, то этот случай
переходит в предыдущий при замене t на -t. Тра­
ектории не отличаются от траекторий nредыдущего
случая, но движение по ним nри возрастани и t про­
исходит в противоnоложном направлении. Точка
покоя неустойчива - неустойчивый ФОJ€Ус.
З. Если же >.1,2 = ±iq, q '1= О, то решения системы (2) ­
периодические функции. Траекториями являются за­
МКНУТЫе кривые, содержащие внутри себя точку nокоя,
называемую в этом случае центроя (рис. 14). Центр
является устойчивой точкой покоя, однако асимптоти­
ческой устойчивости нет, так как решение
ж(t) = с, cos qt + с2 sin qt, y(t) = с; cos qt + с; sin qt
не стремится к нулю nри t -+ +оо.
11
Рис. 13
11
Пример. РассмОlрИм систему уравнений
dz:
dg
у
= z: + ау
dt
tп - ,
dt
Характеристическа& уравнение СIЮ'I'еМЫ
(а :::: const).
имеет комплексные корни .Л1 ,2 = а ± i.
Перейдем or СIЮ'I'еМЫ к одному уравнению
dy
(8)
(z + ау)
(az - у)
и введем полярные координа'IЫ :11 = pcos rp, 11 = p sin rp . Тогда
2
i :�:
==
Следоаатепьно,
Используя уравнение (9) , находим, что
откуда
:e
+
+ ri.
Рис. l4
(9)
tg rp == !!.
z:
dy
ydz '
dp
- = ар,
d'{J
р = Се""'.
Эtи интеrрапьные кривые являются логарифмическими спиралями, навивающимися на начапо коорди­
нат, которое дОО'I'Игается в пределе при rp ..... +оо или 1р -+ -оо в зависимости or того, будет nи а < О
или а > о . Налицо точка покоя типа фокуса. В частном случае, когда а ::: О , уравнение (9) принимает
вид
212
_______
rпава XXIV. Теормя �
Интегральные кривые этого уравнения - окружности с центром в начале координат, которое при
является точкой покоя системы (8) тиnа центра.
а
О
В. Корн и Л 1 , Л2 характеристического уравнения кратные: Л 1 = Л2 . Случай этот ско­
рее исключение, а не правило, так как сколь угодно малое изменение коэффициентов
системы разрушает ero. Применяя метод исключения, находим, · что общее решение
системы уравнений
(2) имеет вид
(Ct, С2 - некоторые линейные комбинации С1 , С2 ).
1 . Если Л1 = Л2 < О, то из-за наличия множителя
ел, t , Л1 < О, решения z(t), y(t) стремятся к нулю
при
t
--+
+ оо . Точка покоя х
=
О,
у =
11
О асим­
устойчи­
вы.м вырожденны.м узлом (рис. 1 5). Он отличается
от узла в случае A. l {там одна из траекторий име­
ла касательную, отличную от всех остальных) .
Возможен также дикритический узел (см. рис. 8).
птотически устойчива.
2.
При Л 1
=
Л2
> О
Ее называют
замена
t
на
-t
приводит
к предыдущему случаю, но движение по траек­
ториям происходит в противоположном напра­
Рис. 15
влении. Точка покоя в этом случае называется
неустойчивы.м вырожденны.м узлом.
Пример. Для системы уравнений
dz = х
dy ,
характеристическое уравнение
имеет кратные корни
.Л1 = .Л2
(.Л - 1)2 = о
1 . Деля второе уравнение системы на первое, найдем
dy l !
dx = + z '
откуда
В этом случае
у = z{In lxl + с).
lim у(х)
ж-+0
О,
li m у'( = lim(l + С + ln lxl)
ж-о х) ж-n
= -оо.
nоэтому все интегральные кривые nроходят через начало координат, и все они имеют
общей касательной.
Мы перебрали и исчерпали все возможности, поскольку случай Л 1
исключен условием
Прммер. Исследовать уравнение малых колебаний маятника с учетом трения.
<11
Уравнение малых колеб аний маятника в этом случае имеет вид
d2x = х
dt2 -
-
k
dx
dt '
=
там
ось
Оу
О (или Л2 = О)
§ 3. YCТOЙЧIIIIOC"IЬ 88ТОIIОМНWХ систем. Пpocmlilwиe 1111w
1 1'0'181 1'10101 ------ 213
z
ГSJII
- утол малого отклонения маятника от вертикали, /1: - коэффициент трения. замен�о�м уравне­
нив (*) эквивалентной системой
Характеристическое уравненив
dz1
dz
z "di == -ж - kz, .
dt = ,,
дnя системы
(••)
=� _,} 1 = 0,
,Л
или
имеет корни
i\ 1 ,2
О < k < 2,
= k ± v�
4 - 1.
то эти корни будут комnлексными с оtрМцательной действительной часrыо, так что ниж­
Если
нее nоложение равновесия маятника
будет устойчивым фокусом. Реwеиием уравивния (*)
является функция
z = ж, = О
/ot
ж(t) = Ае- Т sin(t.olt + а),
w = Jl - �
где
- частота колебаний, а величины А, а onpeдeлi\IOТC!I из начальных условий.
График решения и фазовая кривая
:z:
nри
имеtот вид, изображенный
на рис. 16. При
т. е. с уменьше­
нием коэффициента трения, фсжус nре'­
вращается s центр: маятнмк будет оовер­
wа1Ь незатухающме 118f»'!одиЧВGкие коле­
бания• .,.
О< k < 2
k ..... О,
Сформулируем результаты, каса­
ющиеся устойчивости решений си­
стемы n линейных однородныхдиф­
ференциальных уравнений nервого
nорядка с nостоянными коэффициентами
n
: OijZj ,
dt 2:::
j=l
drei
=
i
Рис. 16
= 1 , 2, . . . , n ,
aij
= const .
(IO)
Рассмотрим для системы ( IO) характеристическое уравнение
= 0.
Справедливы следующие nредложения:
1 ) если все корни характеристического уравнения имеют отрицательную действитель­
ную часть, то все решения системы ( 10) асимптотически устойчивы. Действительно,
в этом случае все слагаемые общего решения содержат множители e Re A.,t, стре.мящиеся
к нулю при t -+ +оо;
2} если хотя бы один корень Лk характеристического уравнения имеет положительную
действительную часть, то все решения системы неустойчивы;
214 ----'-----,.- Глава XXIV. Teopllll �
3) если характеристическое уравнение имеет прастые корни с нулевой действительной
частью (т. е. чисто мнимые rmи равные нулю корни), а остальные корни, если они есть,
имеют отрицательную действительную часть, то все решенил устойчивы, но асимпто­
тической устойчивости нет.
Эти результаты относятся и к одному линейному дифференциальному уравнению
с постоянными коэффициентами.
Следует обратить внимание на то, что для линейной системы все решения либо
устойчивы, либо неустойчивы одновременно.
Теорема 2. Решенил системы линейных дифференциальных уравнений
11
dж ·
=
dt• L щ;(t)жj + f;(t),
i ::::: l , 2, . . . , n,
либо 8се одновременно устойчивы, либо неустойчивы.
j=J
( 1 1)
:<111 Преобразуем Произвольное частное решение
�p; (t),
i = 1 , 2, . . . , n,
( 1 1) в тривиальное с помощью замены
Yi = ж; (t) - �p;(t).
Система ( 1 1) иреобразуется при :пом в динейиую однородную систему относительно
1/; (t) :
fl
dy ·
(12)
=
tщ (t)yJ , i = 1 , 2, . . . , n.
системы
• L:
dt
j:l
Следовательно, все частные решения системы ( 1 1) в смысле устойчивости ведут себя
одинаково, а именно как тривиальное решение однородной системы ( 12) .
В самом деле, пусть тривиальное решение
i.
1, 2 , . . . , n,
системы (12) устойчиво. Это значит, что для любого е > О сушествует 6 = б(е) > О
такое, что для всякоrо дpyroro решения системы y; (t) , i = 1 , 2, . . . , n, из условия
ly;(to)l < б, i = 1 , 2, . . , , n, следует, что
IY;(t)l < е, i = 1, 2, . . . , n, Vt ;;;э: to .
Y'i(t) , nолучаем, что из условия
Замечая, что y;(t) = a:;(t)
lж; (to ) - �p;(to)l < 6, i = 1, 2, . . . , n,
!li (t) = О,
�
lz;(t) - �p;(t)l < е, i = l, 2, . . . , n, Vt ;;;э: to
для всякоrо решения a:;(t) , i = 1 , 2, . . . , n , исходной системы (1 1). Согласно опреде­
лению, это означает устойчивость решения tp;(t) , i = 1, 2, . . . , n , этой системы . ..,.
следует
Это nредложение не имеет места для нелинейных систем, некоторые решения
которых могут быть устойчивыми, а другие - неустойчивыми.
Пример. Рассмотрим нели нейнов уравнение
dz
dt
=
1
z2 .
§4. Мeroд фyнiЦtlii lltnytiOIII ------ 215
Оно имеет очевИJV�Ые решения
z(t) :с - 1 и
Решение z(t) = -1 неусrойчиво, а решение z(t)
деле, nри t -+ +оо все решения
=
1
z(t) = 1 .
ЯВJIЯется асимmотически устойчивым. В самом
x(t)
стремятся 'к + 1 . Это означает, согласно оnределению, что решение z(t)
==
1 асимnтотически устойчиво.
3aмe'lalll.le Как и в случае n
2, можно исследовать расположение 'IpaeicrOpий в окрестнОI;I'И точки
покоя 0(0, О, О) системы (10). Для n = 3 возможнытакназываемые узлафокусы (рис. 17), седлофокусы
(рис. l8) и т. д.
Рис. l7
Рис. 18
§ 4. Метод фун кци й Липунова
Метод функций Ляпунова состоит в исследовании устойчивости точки покоя системы
дифференциальных уравнений с помощью подходящим образом выбранной функ­
ции v(t, а: 1 , z, . . . , а:,. ) - так называемой функ:ции Ляпунова , причем делается это без
a:
предварительного
построения решения системы; в этом неоценимое преимущество
метода.
Ограничимся рассмотрением автономных систем
для которых Жi
a:
d j
1 }it
:::::
/i(Жt , Ж2 ,
·
· ·
,
а:,.), i
==
1, 2, . . . , n,
\
(1)
= О, i = 1 , 2, . . . , n, есть точка покоя.
Идея методасостоит в следующем. Предположим, что на устойчивостьисследуется
точка покоя ж, = О, i = 1, 2, . . . , n , системы (1). Если бы с возрастанием t точки
всех траекторий приближались к началу координат или хотя бы не удалялись от него,
то рассматриваемая точка покоя была бы устойчивой. Проверка выполнения этого
условия не требует знания решений системы. Действительно, если р - расстояние
отточки траектории ж, = ж, (t), i = 1 , 2, . . . , n, до начала координат
р
n
I: a:i (t),
i=l
216 -'----- ГJ\1111 XXJV. Теор1111 ycroiчмвocnt
.то
n
n
др
др dXi =
I: -. 2: -. /i(x, , Xz, . . . , Xn)
(2)
д
i'"'l дх,
i=l х, dt
(производная вдоль траектории) .. Правая часть в (2) есть известная функция. от ж1 ,
d
х2 , • • • , Xn , и можно исследоваТь ее знак. Если окажется, что Т, � О, то точки на всех
траекториях не удаляются от начала координат nри возрастании t и точкапокоя Xi = О,
i = 1, 2, . . . , n, устойчива. Однако точка покоя может быть устойчивой и nри немоно­
тонuом приближении к ней с возрастанием t точек траекторий (например, в случае,
когда траектории - эллипсы) . Поэтому А. М. Ляпунов вместо функции р рассма­
тривал функции v(x 1, х2, . . . , Xn ) . являющиеся в пекотором смысле «обобщенным
расстоянием» от начала координат.
dp
dt
==
Оnредеnенме 1. Функция v(x1 , х2, • • • , жn ) , определенная в пекоторой окрестности на­
чала координат, называется знакаопределенной (энакоположительной или энакоотрица­
тельной) , если в области G
l xi l � h,
i = 1 , 2, . . . , n,
где h - достаточно малое положительное число, она может принимать значения
только одного определенного знака и обращается в нуль лишь при
Xn
=
0
.
Так, в случае n = 3 функции
v х� + 2цr2 + 2:.�:� + х �
будут знакоnоложительными, nричем эдесь величина h > О может быть взята сколь угодно большой.
и
называется знакопостоянной (положительной
Оnределение 2. Функция v(a:1 , х2 , . . ,
или отрицательной) , если она в области G может принимать значения только одного
определенного знака, но может обращаться в нуль и при
2
2
2
Z t rt2 + . . . Xn :/:: О.
.
+
Наnример, функция
+
v(x,, х2, хз) = xi + 2цс2 + х� + х�
v(x1, х2, хз) = (х1 + ж2) 2 + х� ;
бу1J!Л знакоnостоянной {nоложительной). В самом деле, функцию v(x1, х2 , х3) можно nредставить так:
отсюда видно, что она неотрицательна всюду, но обращается в нуль и при xi + xj + х� t- О, а именно
прИ жз = О и любых ZJ , .:1:2 таких, что х1 -х 2.
Пусть v(x 1 , а:2, a:n) - дифференцируемая функция. своих аргументов, и пусть
Х 1 (t), x2 (t), . . . , Xn( t)
являются некоторыми функциями времени, удовлетворяющими системе дифферен­
циальных уравнений ( 1). Тогдадля полной производной функции v по времени имеем
dt
,
dv
=
�
L...,;
i=l
дv da:i
� дv
=
a-:fi (X J , :'t21
дZt. dt L...,;
i=! z,
•
• •
, rtn ) ·
(3)
§ 4. МетодфуlнщмА Ляnунова ------- 217
Ояреде.nение З. Величина � , определяемая формулой (3), называется полной производ­
ной функции v по времени, составленной в силу системы уравнений ( l) .
v(a:: t , а::2 , . • • , a::n ), обладающую свойствами:
1) v(a:: 1 , а::2 , . . . , a::n ) диффе ренцируема в пекоторой окрестности S1 начала коорди­
нат;
2) t1(Zt1 Z2, . : . 1 Zn) опредеЛеННО-ПОЛОЖИТедЬНа (опредедеННО•отрИЦательна) В f!,
, О) = О;
и t�(O , О ,
3 ) полная производпая � функции t�(a::J , а::2 , • • • 1 a::n ), составленная в силу систе­
мы (1) ,
ОяредеJJен ие 4. Функцию
• .
всюду в
.
�; � о (: � о)
{}, называют функцией Ляпунова.
Теорема 3 (теорема ll!lnyнoвa об уетоhвости}.
Если для системы дифференциальныхуравнений
(1)
существует дифференцируемаязнакаопределенная функция v(a::t 1 а::2 , • • • , a::n ), полная про­
иэводная � которой по времени, составленная в силу систеАJы ( 1 ) , есть 31Юl«НЮСтаянная
функция (знака, протиtЮположного с v) или тождественна обращается в ноль, то точка
покоя ж; = О ( i = 1, 2,
, n, ) системы (1) устойчива.
. • .
• При ведем идею доказател ьства . Пусть для определенности v(a:: 1 , а::2 , . . . , :.&n) е сть
знакоположительная.функция , для которой � О . Так как
�
причем v = О лишь при а:: , = а::2 = . . . = Жn = О, то начало координат есть точ­
ка строгого минимума функции v(a:: 1 , ж2, . . 1 a::n )· В окрестности начала координат
поверхности уровня
.
v(a:: J , х2, . . . , :tn) = С
функции v являются, как можно поКазать, замкнутыми поверхностями , внутри ко­
торых находится начало координат. Чтобы картиt:rа стала наrляднее, остановимся .
на случае n = 2. Так как t1 О для малых а::1 , а::2 и v = О тол ько для z 1 = а::2 = О , то
поверхность
�
z = v(zt , z2)
в обших чертах напоминает параболоид, вогнутый вверх (рис. 19).
218 ------ Г.nава XXIV. Теорм ycтoio!IIIIDCТИ
z
Рис. l9
Рис. 20
Линии уровня v(x1 , х2) = С представляют собой семейство замкнутых кривых,
окружающих начало координат. При этом если С1 < С2 , то линия: уровня: v = С1
целиком лежитвнутри области, оrраниченной линией v = С2 . Зададим е > О. Придо­
статочно малом С > О линия уровня v = С целиком лежит в е -окрестности начала
координат, но не проходит через начало. Следовательно, можно выбрать б > О такое,
что 6 -окрестность начала координат целиком лежит внутри области, ограниченной
линией v = С, причем в этой окрестности v < С (рис. 20).
Рассмотрим траекторию системы ( 1 ) , выходящую в начальный момент времени
t to из какой-нибудь точки M0 (x1(to), x2(t0)) в б-окрестности начала координат.
Эта траектория при возрастании t никоrда не пересечет ни одной из линий v(x1, х2)
изнутри наружу. В самом деле, если бы такое пересечение было возможным в какой­
нибудь точке, то в этой точке или в ее окрестности функция v ( х1 (t) , x2(t)) необходимо
Имела бы положительную производную i , так как при переходе от какой-нибудь ли­
нии v С к другой линии этоrо семейс-mа, охватывающей первую, функция v(x1, х2)
возрастает. Но это невозможно в силу тоrо, что по условию i � О. Значит, если в на­
чальный момент времени какая:-нибудъ траектория находилась внутри области, оrра­
ниченной линией v = С, то она и в дальнейшем будет все время оставаться внутри этой
области. Отсюда ясно, что для всякоrо е > О существует б > О такое, .что любая тра­
ектория системы, выходящая в начальный момент времени t = t0 из б -окрестности
начала координат, для всех t � t0 будет содержаться в е-окрестности начала. Это
и означает устойчивость точки nокоя Xi = О , i 1 , 2, . . . , n, системы (1). 111Теорема 4 (теорема Ляnунова об асимnтотической устойчивости). &ли для системы дифференци­
альных уравнений
(l)
существует дифференцируемая 3НОКООпределенная функция V(XJ 1 Х2, . . . 1 Xn), полная nро­
изводная которой по времени, составленная в сшу системы, есть также знакаопреде­
ленная функция знака, противоположного с v, то точка покоя Xi = О, i = 1, 2, . . . , n,
системы ( l) асимптотически устойчива.
§ 4. Ме'юА фуиiЩМI ЛIIIIYitoвa -------'- 219
на устойчивость точку nокоя О(О, О) системы
dz = у dy -z
, dt = .
dt
.,. Вьlберем в качестве функции v(z, y) функцию
v ж2 + у2.
Эта функция знакопооожительная. В силу системы ( *) найдем
dv дv dж + дv dy
= дж dt
dt ду dt = 2жу 2жу := О.
ы (•) устойчива (центр) . Асим
Из теоремы 3 следует,
точка nокоя 0(0, О)
устойчиВОС1"И так как траекrория системы (•) - окружности. "'
Пр1смер 2. Иссоодоваn. на устойчивость точку nокоя 0{0, О) сисrемы
dz
з
ж3 ' dy
dt = 11
dt -ж - 11
Пр!смер. Исс.nе,цоваn.
что
нет,
систем
ой
ПТО'IИЧеСК
•
-
dv 2z(y - х3) + 2y(-:r: - r3) = -2(:r:4 + у4).
dt
Таким образом, �
знакоотрицаtельная функция. В силу теоремы 4 точка nокоя 0(0, О) сис­
темы (**) устойчива асимптоти'I6СI<И. "'
есть
ТеореМа 5 (о неусrоiчностм). Пусть для системы дифференциальнЬIХ уравнений
М;i
dt = /; (xJ, :t2, • • . , Жn) (li(O, О, . . . , О) = О),
i = 1 , 2,
. . .
(4)
, n,
существуетдифференцир)lеАIШlВОЩJестностиначалакоординатфункция v(x1 , ж2, . . . , жп )
такая� что v(O, О, . . . , О) = О. Если ееполная производная t, состаВ!Iенная в силусисте­
мы (4), есть знакаположительная фушщия и сколь угодно близко от начала тсоор(}инат
имеются точки, в которЬIХ функция v (ж1, :1:2, . . . , ж11 ) принимает положитuьные значе­
ния, то точка покая Жi = О, i = l , 2, . . . , n, системы (4) неустойчива.
Пример 3. Иссnедова'ТЬ Hf!
устойчивость точку nокоя 0(0, О) системы
dx z dg у
dt ::::: , dt - .
1
.,. Возьмем функцию
дnя нее функция
dv дt1 dx + дt1 dy
dt д:r: dt ду dt = 2 (:r:2 + g2)
знакоnопожительная. Так как сколь угодно близко к началу коорд11нат найдутся точки, в которых v > О
(наnример, "" х2 > О вдоль nрямой у 0), то выnопнвны усnовия ;еоремы 5 и точка nокоя 0(0, О)
неустойчива (свдпо). "'
11
:::::
все
Метод функций Ляпунова оказывается универсальным и эффективным ДJIЯ mиро­
коrо круга проблем теории устойчивости. Недостаток же метода в том, что достаточно
общеrо конструктивноrо способа nостроения функций Ляпунова пока нет.
В nростей­
mих случаях функцию Ляпунова можно искать в виде
v( ж, у)
2
= аж + Ь·!/,
v(ic, у) = аж4 + Ьу\
а > О,
Ь>О
и т. д .
220 ---�--- Гяава XXIV. Теорик устоiчиlости
§ 5. Устойчи вость по п ервому (лин ей ному) п риближен ию
d:e;
Пусть имеем систему дифференциальных уравнений
.
(1)
-;и = /i (Ж J , Ж2 1 • • • , Жn)1 i = 1, 2, . . 1 n,
и пустъ жi = О, i = l, 2, . . , n, есть точка покоя системы:, т. е.
/i(O, О, . . . , О) = О, i = 1, 2, . . . , n.
(2)
, Xn) дифференцируемы в окрестности
Будем предполагать , что функции /i(ж1 , ж2 ,
.
• • •
начала координат достт'ОЧн ое число раз. Применяя формулу Тейлора, разложим
функции fi по ж в окрестности начала .координат:
/i(Ж I 1 Ж2,1 • • • , Жn) = f;(О, О,
или, учитывая
•
� дfi(O, О, . . . , О) Жj
. . , О) + L..i
дж1.
i=l
.
+
Ri ( ЖJ, Ж21
• •
.
• 1 Жn ) ,
(2) ,
. n
/i(Жt , Ж2 .1 • • • 1 Жn) =
где
а;; =
L: lЩЖj
j=l
дfi(O,
О,
.
+ Лi(Жt,
, О)
• . .
джi
Ж2 , • • • 1 Жn)1
= const,
а слагаемые Ri содержат члены не ниже второго порядка малости относительно
, Жn . Система дифференциальных уравнений (1) nримет вид
ж1 , а:2,
• • •
dжi
dt =
n
L: щ;ж;
j=l
+
i = 1 , 2, . . . , n,
Лi (ж , , ж2, . . . , ж,.) ,
aij
= const .
(З)
Так .как понятие устойчивости точки покоя 0(0, О, . . . , О) связано с малой окрест­
ностью начала координат в фазовом nросrранстве, то естественно ожидать, что по­
ведение решения ( 1 ) будет определяться главными линейными членами разложения
функций f• по ж. Поэтому наряду с системой (З) рассмотрим систему
dж·
1
dt
n
L: щ;ж;,
(4)
i = l , 2, . . . , n,
j= l
называемую системой уравнений первого (линейного) приближения для системы (3).
Вообще говоря, строгой связи между системами (3) и (4) нет.
=
Рассмотрим, наnр�о�мер, уравнение
Здесь
w
: =�.
/(z) = О; пинеаризированное уравнение д/IЯ уравнения (5) имеет вид
dz :=: О
Решение z(t) = уравнения (6) явпяется устойчивым. Оно же, будучи решением исходного уравне­
ния (5) , не явn\lеТСЯ д11S1 него утойчмвым. В самом A8J19, каждое действительное решение уравнения (5), удовлетворяющее начальному уСIIОВи ю zl
и nерествет
= z0 > О , имеет вид :к: =
О
dt
.
t=a
существовать nри t = J...
(реwение непродопжаемо вnраво}.
zo
(l�)
§ 5. УстоiiЧИвОСtь 110 neJIIIOМY (nкнеlноuу) npибaaetuoo
------
221
Теорема 6. Если все корни характеристического уравнения
а ,2
ан - .Л
а21
а22 - .Л
. • •
=0
(7)
liJIIeют отрицательнЬiе действительнЬiе части, то точка покоя Zi = О, i = 1, 2, . . . , n,
системЬI (4) и системЬI (3) acliJIIIJтoтичecки устойчива.
При выполнении условий теоремы возможно исследование на устойчивость по
первому прибли.женИIО.
Теорема 7. Если хотя бЬI один корень характеристического уравнения (7) liJIIeeт положи­
тельную действительную часть, то точка покоя Zi = О системЬI (4) и системЬI (З)
неустойчива.
В этом случае таюке возможно исследование на устойчивость по первому прибли­
жению.
Наметим идею доказательства теорем 6 и 7.
стоты
, такая
( �. �2 � . � ) ,
OJ, ( J.)
-
корни .Л1 , .Л2,
<4 Пусть .для: про
.Лп характеристического уравнения (7)
дей­
ствительные и различные. В этом случае существует
невыроЖденная матрица Т
с постоянными элементами, что матрица т- ' АТ будет дИагональной:
• • •
т- ' дт =
о
.л,
.
О
• • •
О
..
о
• •
О
: : .'
•
о
• • • •
.Лп
• •
где д = (tщ)�J=I - матрица из коэффициентов системы (4). Положим
X = n,
где Х =
У=
dX
Тогда
и система (4) иреобразуется к виду
Отсюда получаем
d:(
T­
dt '
dt
av ·
Т dt
= АТУ.
или, в силу выбора матрицы Т ,
dy;.
-;и
=
.Л;.уi,
i = 1, 2,
..
, n.
222
------ Гпава XXIY. Теор1111 ycrolo11110C111
Система (3) nри том же иреобразовании перейдет в систему
dy,
dt = Ai'Ui + .R; (yt , У2, · • · , Yn) ,
(8)
nричем: в В. оnять входят члены не ниже второго порядка малости относительно
при у, -+ О.
Рассмотрим следующие возможности:
1 . Все корни Л�: - отрицательные. Положим
2
2
2
V = 'UI + У2 + • · • + Yn•
тогда производпая 4f в силу системЫ' (8) будет иметь вид
dv
у,
dt
n
где S(y1 , 'g2, • • • , Yn) при 2: У;.2 -+ О - малая более высокого порядка, чем квадратичная
i=t
n
форма Е Л�:11i .
k=l
Таким образом, в достаточно малойокрестности n точки 0(0, О, . . . , О) функция
v (yt , 112, • • • , Yn) знакоположительна, а производпая i - знакоотрицательна, и, зна­
чит, точка покоя 0(0, О, . . . , О) асимптотически устойчива.
2. Некоторые из корней Л�: (например, >. 1 , Л2 , . . . , Лт , т :::;; n) положительные ,
а остальные - отрицательные. Положим
2
2
.. 2
2
+ 1Im - 1lm+1 - Yn,2
V = 111 + 112 +
тогда
dv
( 2
2
2
2
= 2 AtYt + · · · + АтУт - Лm+t11m+t - AnYn ) + 8(111 , У2• • . . , Уп) ·
dt
Оrсюда видно, что сколь угодно близко к началу координат найдутся точки (например,
такие, у которых 1lm+ 1
= Yn = 0), где v > О. Что касается производной 4f,
то, поскольку Лm+I• • • • , Лn отрицательны, производпая i - знакоположительная
функция. В силу теоремы 5 точка покоя 0(0, О, . . . , О) неустойчива.
В критическом случае, когда все действительные части корней характеристичес­
кого уравнения неположительны, причем действительная часть хотя бы одного корня
равна нулю, на устойчивость тривиального решения системы (3) начинают влиять
нелинейные члены Н; и исследование на устойчивость по первому приближению ста­
новится невозможным . ..,..
·
· ·
•
• ·
·
• • •
Пример 1. Исследовать на устойчивость по nервому приближению точку nокоя
dж . ж + 2у
dt -
- '-2,
J/1
dy - 2ж у + жз
dt - -
ж = О, у = О системы
(•)
� Система первого приближвния имеет вид
d:t ж + 2у dy 2::1: у
.
' dt =
dt = -
Нелинейныв члены удовnетворяют нужным условиям: их порядок не
уравнение дnя системы (**) :
стическое
1 -12- ,\
2
-1 - А
1 = О,
меньше
2 . Составляем характери·
05. Ycтaii'lllaocп. no nереому (nииеiiиому) nрибпмжеииu ------ 223
л2 + 2Л - з о.
1, Л2 = -3. Поскольку Л1 > О, нулевое решение z ::= О,
Корни хараю-ерисrичвскоrо уравнения Л, =
у ::= О системы (*) иеустойчиsо; •
Пример 2. Иоопедуем на усrойчиВОС'IЬ ТО'fку nокоя 0(0, О) системы
d:t
dt
3
=у-z
dy
'
dt
= -z - у
3
·
<4 То-.ка покоя z = О, у = О сиспшы (•) асимптотически устойчива, так как дпя wой сжпемы функция
Ляпунова
" = z2 +712
удовлепюряет усnовиям теоремы Ляпунова Об асимптотичвской устойчивости. В
�:
частности,
2z(y - z3) + 2y(-z - у3) = -2(z4 + t/) � О.
В то же время точка покоя ж = О, у = О сисtемы
dz
з
dt
d.У
= у +ж '
неустойчива.
В самом деле, дnя функции v(ж, у) = z2
+ 1i
з
-ж - у
dt
(**)
в силу сиспшы (••) имеем
дv dж
dv
дv dy
з
-= - -+- = 2z(y + :с ) + 2y(-z + yз) = 2(z4 + у4),
дz dt
dt
ду dt
т. е.
�
- функция зкакоположитвльная.
Сколь угодно б.пизко от начала координат 0(0, О) имеются
точки, в которых v(z, у) > О .
В силу теоремы 5 заКllючаем о неустойчивости ТО'fКИ покоя 0(0,0) сиспшы (••) .
Дnя сжпемы (•) и (•*) система первоrо nриб.пижения одна и та же:
dz
dt
Характеристическое уравнение
dy
= -ж.
dt
у,
(•••)
дпя системы ( ***) имеет чисто мнимые корни - критический случай (действительные части корней ха­
раю-еристичвскоrо уравнения равны нулю). Дnя сжпемы первого приближения (•••) начало координат
является устойчивой точкой покоя - центром. Системы (•) и (••) получаютоя малым возмущением
правых частей (***) в окрвсrносrи начала координат. Однако эти малые возмущвния приводЯТ к тому,
что дпя системы (•) точка покоя 0(0, О) становится асимптотически устойчивой, а дпя системы (••) ­
Этоr пример показывает, ЧТо в критическом
ять на устойчивость точки покоя.
неустойчивой. •
случае нелинейные члены мoryr вли­
ЗQача. Исследовать на устойчиВОС'IЬ точку покоя 0(0, О) системы
d.z
dt
d.y
= у - zf(z, у),
dt
= -ж - уf(ж , у),
где функция /(ж, у) разлагается в сходящийся степенной ряд и /(0, О) = О.
Упражнения
Пользуя:сь определением, исследуйте на устойчивость решения уравнений:
d�
1 . t + z = l,
d
dz
d�
ж == I , ж(О) = - 1 .
Э.
2 , z(O) = O.
dt
dt
Установите характер точки покоя: 0(0, О) системы и нарисуйте расположение трае:кторий
{
d:' этой точки:
о
с и
в кре т
4.
z(O) = I .
::::: ж - 2у ,
dt
dy
= 3z - 4y.
dt
5.
{
2.
dz
= z + 2y ,
dt
dy
= 2z + y .
dt
.
6.
{
dж
- = -z + 2y'
dt
dy
- 2х - у.
dt
7.
{:
z + 2y ,
dy
- = -5z
dt
у.
224 ------ fnaвa XXJV. Теорн ycтoii'!IIIIOCТII
{ �;=�=::::� { �;а � : ;; { : � ::э�
�
{
&
2
dy = -7-z - 2у - 7ж у.
dt
d-z -2ж+ sm. y,
: S(e"' - 1) -
:
ус ой и
ва иссл
едуйrе
Мето
д
ь точку nоко
11
,
3 2
dy = -ж - ж у .
dt
(
�
О
м
,о
3
dy = ж - у .
dt
)
Исследуйте на устойчивость по nервому линейному nриближению точку nокоя
систем:
1 1.
- =
dt
:=
12.
!1·
{
:
11
0(0, О)
dж = 2ж- у соsу,
dy = Зж-. 2у- zr/.
dt
dt
Ответы
1 . Асимnтотически устойчиво. 2. Неустойчиво. 3. Устойчиво. 4. Устойчивый узел. 5. Седnо.
6. Устойчивый фокус. 7. Центр. 8. Асимnтотически устойчива, v
+
9. Устойчива,
10. Неустойчива, z2 у2• 1 1 . Асимnтотически устойчива. 12. Неустойчива.
v = 11/
+ у2 •
-
= 7ж2 у2 •
Глава XXV ------
НЕКОТОРЫЕ
СПЕЦИАЛ Ь Н ЫЕ ВОПРОС Ы
ТЕОРИИ
ДИ ФФ ЕР ЕНЦИАЛ Ь Н Ы Х УРАВНЕНИЙ
§ 1 . Асимптотическое поведение
решени й дифференциальных уравнен и й
при ж -+ оо
Пусть в дцфференциальном уравнении
-----,
\ у-"+-..-)
(ж
q у=01
(1)
функция q(x) имеет положительный предел при х -+ +со, который без ограничения
общности можно считать равным единице. Тогда
где а(ж)
При х
--+
z--++oo
-+
1 q(x) = 1 + а(ж), !
О, и уравнение ( 1) примет вид
у" + у + а(ж)у = О.
(2)
l y" + у = O, j
(3)
+оо мы nолучаем �предельное» уравнение
все решения которого
у = А соs ж + В sin x
ограничены для ж Е ( -оо, +со) . Поэтому естественно ожидать, что решения диффе­
ренциального уравнения (2) также ограничены при ж -+ +со .
- непрерывно дифференцируемая функция, причем
а
,(ж) l < 2а
(4)
la(ж) l < -,
la
ж
ж
для всех достаточно больших х, где а - положительная постоянная, то всякое решение
Теорема 1. Если а(ж)
дифференциального уравнения (2) ограничено при ж -+ +оо.
226
-------
Гstава xxv. Некоторwе сnециапьные 11011J10C1o1 теории дифференi.\МIIIЬНЫХ ура�ениli
<0111 Умножим все члены уравнения ( 2) на у' и проинтегрируем результаты по z от пеко­
торого положительного числа zo , которое надлежащим образом будет выбрано позже,
до х :
,2) jz=z ( 2) \•=z
(У z=zo + У z=zo +
:11
21 а(х)1/· У, dz = О.
Интегрируя по частям последнее слагаемое левой части, получаем
:11
y12(zo) + y2(z) - y2(zo) + (ау2) 1:::0 -
y12(z)
откуда
j a1(z)y2(z) dz = О,
zo
:11
у2(х) � y12(z) + у2 (х) � C(zo) + la(x)ly2(z) +
1 la1(z)ly2{x) dz,
zo
(5)
выражение, зависящее только от zo .
Обозначим через М наибольшее значение функции ly(z) 1 на отрезке [z0 , z] . Пусть
оно достигается в некоторой точке � Е [zo, z] Исполъзуяиеравенства (4) и (5) , найдем
где
C(z0) � О
-
2
М2 а
М � C(zo) + -- + М2 а
{
Если выбрать х0 � 2а, то получим
.
(
.
1
zo
-{
1
)
;
2
М
М2 � 2C(z<�) ,
что и доказывает утверждение, так как величина 2C (z0)
Зад.ача. Показать, что все решения уравнения
(
2
y" + t + e_"'
ограничены
Если на
нв
z
[О, +ooJ.
:)
2
{1 - ;а ) � C(z0) .
не зависит от z . •
y =0
а(z) наложить более сильные условия убывания:
а(х) = о
( :2 )
,
z -+ + oo,
(6)
то большая близость уравнения (2) к предельному уравнению (3) повлечет за собой
не только ограниченность решений, но и асимптотическое их приближение к триго­
нометрическим функциям - решениям предельного уравнения. Можно показатъ, что
для всякого решения y(z) уравнения (2) в этом случае имеет место асимптотическая
формула
y(x) = A sin(x + бo) + O
где а 1 ,
б0
-
некоторые постоянные.
Так, уравнение
(�) ,
§ 2. 11ottm1e о методе 1103мущеиий ------- 221
где
1 112
а(х) = �,
х
- -
удовлетворяет условию (6) . Решение этого уравнения связано с функцией Бесселя Jv(x) равенством
у(х) = vlzfv(x) ,
Jz
что приводит к асимптотической формуле дпя функций Бесселя
(здесь А
�
;r , ио
= - т + 4 ).
= у{2
II'JI'
11'
Jv(x) =
sin(x + 6о) +
( :/2 )
х
Примеры показывают, что асимптотическое поведение решений дифференциаль­
ного уравнения не всегда можно вывести из поведения решений предельного уравне­
ния.
Рассмотрим, например, два уравнения:
" . 2 ,
у - ж у + у = о,
(7)
2 ,
Предельным уравнением при
"
У + ; У + у = О.
(8)
� + y = �r
00
х -> +оо дпя каждого из них является уравнение
Все решения уравнения (9) ограничены на (1 , +оо). Уравнение (7) имеет фундаментальную систему
решений
у, (х) = sin x - х cos x, У2 (х) = cos x + х sin x,
откуда видно, что все нетривиальные решения этого уравнения при х -+ +оо неограничены. С другой
стороны, уравнение (8) имеет фундаментальную систему решений
sin x
cos x
у, (х) = -, 1J2(x) = -;
х
х
следовательно, все его решения ограничены на (1 , +оо) и даже стремятся к нулю при
х -> +оо.
§ 2 . Понятие о методе возмущени й
Одним из мощных методов прикладной математики является метод мшюго параметра
(метод возмущений) . Он состоит в следующем. Пусть формулировка не которой задачи
помимо основных неизвестных величин содержит некоторый параметр е, причем эта
задача может быть решена точно или сравнительно легко при е = е0 • Не нарушая общ­
ности, можно считать е0 = О. Тогда решение задачи при е, близких к нулю, во многих
случаях может быть получено в виде некоторого разложения по степеням е. При этом
первый член разложения, не содержащий е, получается при е = О и дает так назы­
ваемое невозмущенное решение; дальнейшие члены дают поправки на «возмущение•>
1
решения.
Проиллюстрируем этот метод на примере.
Пусть требуется решить задачу Коши
dy
dx
Рассмотрим более общую задачу
х
= 1 + O,Izy ' у (О) = О.
(1)
z
dy
(2)
=
у (О) = О,
dz
1 + ЕЖУ '
1
из которой задача ( 1) получается nри Е = О, 1 . При Е = О задача (2) легко решается; ее решение -
х2
у=2
228 ------- rпава XXV. Нноторwе сnециальные 11011J10СЫ теорми дмфференциапьых
н ура���МН�иi\
(невоэмущенное решение}. Решение задачи (2) при � = О будем искать в виде р��Да no степеням в:
откуда
y(z, �) = Уо(х) + ву, (х) + e2yz(x) + . . . ,
у'(х, <) = Yo(z) + еу: (х) н1у�(х) + . . . .
Подставим y(z, e) и r/(z,t) в (2) и умножим на знаменатель:
[y'(z) + ey\(z) + Е2уНх) + . . . [1 + ezy0(z) + e2xy1(z) + e2xgz(z) + . . .
Из начального условия у(О) О применительно к (З) имеем
J
·
(3)
]
-
z :::: О.
(4)
Уо(О} + E?/t(O) + е2у (О) + . . . О,
2
откуда в силу произвольносrи Е получаем
(5)
Уо(О} = О, !11 (О) = О, 1/2 (0) = О,
Поскольку уравнение (4) должно удовлетворЯlЬСЯ для всех достаточно малых lel, а последователЬНосrь
сrепеней Е линейно независима, оозффи�ент при каждой сrеnени t обращается в нуль независимо.
Раскрываем скобки в (4) и прираекиваем нулю коэффициенты при степенях &:
Е0
у0 = х (невозмущенное уравнение),
Е
у\ + Zl/Ol/o = 0;
(6)
t2
112 + ZYoY� + Xlfo1/l = 0
·
Из первого уравнения (6) с учетом (5) находим
z2
Уо = 2 ·
Подставляя Уо и 1/0 во второе уравнение из (6) , получаем
жs
1/J = 10 '
Из третьего уравнения теперь ОПредеJ!ИТСЯ
8
7z
= 1 0
6
1/2
и т. д. Тем самым, формула (3) принимает вид
z2
х5
х3
y(z, t) = 2 - Е + Е2 7160 + .
10
В часrносrи , для уравнения (1) nолучим (t = О, 1 }
z2
zs
zs
у = 2 - 00 + 700 + . . . '
1
16 0
причем ряд в правой часrи nри lzl < 1 бысrро сходится.
• •
•
Опишем более общую ситуацию. Рассмотрим задачу Коши для уравнения
dy
ах
где
= J(x, у, е),
о
у(О) = у ,
(7)
е > О - малый параметр.
Можно показатъ, что
если:
1) функция J(x, уе) непрерывна и имеет непрерывные и равномерно ограниченные
производныелюбогопорядкапосовокупностиаргументовпри О � х � а, -оо < у < +оо,
О � е � е0, и
2) задач.а Коши (7) при Е = О
dy
о
dж = J(x, у, 0) , у(О) = у
имеет единственное решение у = tp(x),
,
(8)
§ 2. Пон1ТИ8 о методе J103МУЩ&ниli ------ 229
то на пекотором отреJке О � :х: � :х:0 задача Коши (7) имеет решение
для которого справедливо представление
у = у(:х:, е),
00
у(:х: , е) = :�:::>k!lk (x).
k"=O
(9)
При этом для любого N � 1 имеем асимптотическую формулу
N
у(:х:, е) = Е еА: у�:(х) + ZN+t(:t, е) ,
k=O
где ZN+t(x, е) -+ О при е -+ О, О � :х: � z0, ZN+t(z, е) = O(eN+ t ) при N фиксирован­
ном и е -+ О (см. [17]).
Процедура отыскания функций у�:(х), k = О, 1, 2 , . . . , такова. Подставляем вы­
ражение для у в виде формального ряда
(10)
У = Yo(z) + eyt (z) + . . .
в уравнение (7):
dyo dyt
dz .+ е dz + · · · = ! (z, yo(z) + eyt(z) + . . . , e) .
Разлагая правую часть ( 1 1) таюке формально по степеням е , получаем:
д
д
dyo dyt .
О)
О)
+е+ . . = J(:x:, Уо, О) + J(ж,дууо, еу1 + J(ж,де1/о, е + .
�
dz
.,_
( 1 1)
.
. .
Из начального условия в силу (9) имеем
Уо (О) + eyt (O) + . . = у0 •
Приравняем члены с одинаковыми степенями е ,
dyo
о
)
dz = J(x, 1/о, 0 , Уо (О) = у ,
дf (ж , Уо, О)
dyt дf (:х:, Уо, О)
=
Y
t
+
де
, Yt (О) = О,
ду
dж
.
Для Yo(z) получаем задачу Коши (8) , которая, по предположению, имеет един­
ственное решение у = �,? (z), поэтому Уо = �,?(z). Для функции Yt(z) получаем задачу
Коши
dyt дf (ж, �,? (ж) , О) у (z) дf (z , �,?(х) , О)
ду
, +
де
dz _
'
Yt(O) = О.
(12)
Уравнение (12) есть линейное дифференциальное уравнение первого порядка от­
носительно Yt(z) , которое интегрируется явно. Для последующих приближений
112 (z) , Уз (ж) , . . . мыопятьполучаемлинейныедифферевциальныеуравнения (yi(O) = О,
i = 2, 3, . . . ) , которые таюке интегрируются явно.
230
т.н урннеимi1
------- Гпава xxv. Некоторwе сnеци����о�tые воnросы теории дифференциаwх
§ 3 . Осцилляция решений дифференци альных уравнений
С точки зрения физических приложений, а также и с теоретической точки зрения
очень важно уметь решать вопрос о наличии нулей решения
y(z) уравнения
Po (z)y'' + Pt (z)y' + Рz(ж)у = О
в интервале
в нуль.
( 1)
(а, Ь), т. е. тех значений z Е (а, Ь), при которых решение у(ж) обращается
Рассмотрим простейшее уравнение второrо порядка с nостоянными коэффициентами
у" + .qy = О,
q = const .
Если q � О, то каждое решение этоrоуравнения может на всем интервале -оо
обратиться в нуль не более чем в одной точке. При q > О каждое решение
< z < +оо
у = Ct cos .Гqz + С2 sin .Гqж = А sin (.Гqж + о)
имеет бесчисленное множество нулей, расстояние между которыми равно
т . е . тем меньше, чем больше
Опредепение.
Решением
ющим в данном
y(z)
q.
дифференциальною уравнения называется
-Ji,
неоси,UJIJlиру­
интервале, если оно имеет в этом интервале не более одного нуля;
в противном слуqае решение называется ocцUJIJlиpyющuм.
Таким образом, уравнение вида
y"qy = О (q = const)
имеет неосциллирующие в любом интервале решения, если
в достаточно большом интервале, если
q > О.
q ::;;;; О, и осциллируюшие
Обобшим этот результат на уравнение второrо nорядка с nеременными коэффи­
циентами . Предположим , что коэффициенты уравнения действительные, и изучим
только действительные решения таких уравнений. Рассмотрим уравнение вида
у" + q(x)y = О,
к которому приводится любое уравнение ( 1) .
Теорема 2. Если q(x) � О всюду в интервале (а, Ь) , то всерешения уравнения
у" + q (ж}у = О
- нeocцUJIJlupyющиe 8 интервале (а, Ь).
Дадим
геометрическое
пояснение
Предположим, что некоторое решение
теоремы.
11
Yt (z) ;;Е О
уравнения
(2) имеет по крайней мере два нулянаин­
(а, Ь) .
Пусть это будут zo и Жt 1 Жо < Xt ,
тервале
и nусть на интервале (zo , Zt ) функция Yt (ж) не имеет
других нулей (рис.
1).
Тогда
у1 (z) как непрерывная
функция сохраняет постоянный знак в интервале
Рис. l
(2)
§ 3. 0сци.1u11цJ11 pew8IIJiii ДllфWX:
фepeltцмami JPIIIll
If
llli ------- 231
Пусть для определенности
> Ов
(в противном случае мы взя­
В векоторой точке � Е
X t ) функция
ли бы решение
будет иметь
положительный максимум; следовательно, в в екоторой окрестности точки � будем
(х0, ж 1) .
Y t (x)
- у1(х)).
(хо , Xt )
(хо ,
у1(х)
у11(х) < О.
иметь
С друrой стороны, если
всюду в
( а, Ь) .
q(x) � О на (а, Ь) , то из уравнения (2) следует, что
у�1(х) ;;;:: О
Полученное противоречие rоворит о том, что наше предположение
неверно и все решения уравнения неосциллирующие.
Теорема 3 (Штурма). Если хо и Xt - два последовательнЬIХ нуля решения у1(х) дифференциальногоуравнения
у11 +
= О,
то всякое другоелинейно независи.моерешение 112 (х) того жеуравнения имеет в точности
один нуль между х0 и х1 ; другими словами, нули двух линейно независимЬIХ решений
уравнения (2) взаимно разделлют друг друга.
q(x)y
• Предположим , что во всем интервале (ж0, х1) решение 112 (х) не имеет нулей.
линейной независимости решений Yt (x) и
решение
Составим определитель Вронского:
при
и
У2(х)
х0 х1 •
Так как
В снлу
yz(x) не обращается в нуль
(3)
W(х) не обращается в нуль, то он сохраняет постоянный знак. Пусть для опре­
W (х) > О. Деля: обе части тождества (3) на у�(х), получаем
y:(x)Yt (x) - у2(х)у,(х) = W(x)
деленности
У1(х) '
у�(2)
или
( (х) )
� у,(х)
dx
_
W(x)
Y:Ux)
112
В снлу допутения, что у2 (х) ::f. О в [хо, х1] , мы имеем в правой части непрерывную
функцию от х. Интегрируя последнее тождество по х от х0 до х1 , получим
Левая часть равна нулю в снлу условий
-
у1(х0)
·
=
у1(ж1)
=:
О,
а в правой части
стоит интеграл от положительной функции, т. е. положительная величина. Проти­
воречие доказывает, что между двумя последовательностями нулями
по крайней мере один нуль
Если бы нулей было два:
у1 (х) существует
у2 (х).
У2 (хз) = 112(х4) = О, хо < хз < Х4 < х , ,
то , меняя ролями у1 (х) и у2 (х) , мы доказали бы существование нуля функции Yt (x}
между х 3 и ж 4 и , следовательно, между х0 и х1• А это противоречит условию , что YI (х)
не имеет нулей между хо и х1• •
232
_______
ruвa XXV. Некоторые спецмаm.иwе воnросы теории дмффереtщмаЬl
п ых
l ура���е�мй
�
Например, для уравнения
у" + у = О
111 = sin :�:, У2 = cos :с
тся двумя линейно независимыми решениями. Их нули взаимно разделяют Щ)УГ Щ)уrа. Уравнение
являю
у" + 11 = О имеет таюке комппекснозначное решение
11 = cos x + i sin x.
Это последнее не имеет нулей ни в одном интервале действительной оон.
функции
икrервале (а, Ь) OДiiO решение уравнения
у11 + q(x)y = О
имеет бoJ'tee двух нулей, то все решения - осциллирующие.
Зад.ача. Показать, что
еспи на.
Теорема 4 (сра��Не��ИW) . Пусть имеем два уравнения:
у" + qi{:l::)y = о
(4)
и
� + ��� = Q
�
Если q2 ( :z:) � q1 ( :z:) в интервале (а , Ь), то между каждьl.ми нуля:м.и любого решения y(:z:)
уравнения (4) заключен по крайней мере один нуль каждого решения z(:z:) уравнения (S).
Теорему сравнения обычно применяют, беря в качестве одного из уравнений (4)
или (5) уравнение с постоянными коэффициентами.
Пусть имеем уравнение
(6)
у" + q(:z:)y = о,
в котором q(:z:) > О на отрезке [а, Ь] и функция q(:z:) непрерывна на нем, и пусть
М
max
а�z�Ь
min q(:z: ).
q(:z:), т = a�z�b
Предположим, что М > т, так что q(:z:) � const на [а, Ь]. Принимая за уравне­
ние (4) уравнение у" + ту = О, а за уравнение (5) данное уравнение (6) , получаем
следующий результат: расстояние меящу двумя последовательными нулЯми решения
уравнения (6) меньшечем f,n. Принимая затемданное уравнение (6} за уравнение (4),
а в качестве уравнения (5) беря уравнение
у'' + Му = О,
заЮiючаем, что расстояние меящу двумя последовательными нулями решения уравне­
ния (6) не меньше чем -Jм .
Эта теорема дает оценку сверху и снизу расстояния меящу нулями осциллирующих
решений дифференциальных уравнений. Можно также показать, что если
lim q(:z:) = q > О,
z-+oo
то любое решение уравнения (6) - бесконечно осциллируюшее, причем расстояние
между соседними нулями стремится к jq .
х2у" + х11' + (х2 - v2) = О
Например, для уравнения Бесселя
полагая 11 = :с- 112 z , получаем
,
z
>
О,
§ 3. Осцилnнция peweнмil дифференциальных уравненмil
При дОстаточно большом х выражение
______
/.12 - !
-z2
4
1-
233
.
может быть сделано как угодно близким к единице. Поэтому при достаточно больших значениях х
расстояние между последовательными нулями решений уравнения Бесселя как угодно близко к ,..
Задача. Показать, что при неограниченном возрастании х последовательные нули всякого решения
уравнения Эй ри
11
у + ху о, х > о
неограниченно сближаются. (Уравнение Эй ри встречается в различных приложениях, например в кван­
товой механике, и не поддается интегрированию элементарными методами.)
=
Упражнения
1 . Покажите, что на (О, +оо) ограничены все решения уравнения
(
у11 + 1 +
1
1
+
z2
) у = О.
2. Получите асимптотическую формулу с остаточным членом
задачи Коши для уравнения Риккати
2
dy
- = 2ху + е-"' + Еху2 ,
dж
О(Е2 )
для решения
у(О) = О.
3. Рассмотрите задачу Коши
у' + у = Еу\
у(О) = 1 ;
(а) найдите три члена разложения решения для малого Е > О;
(б) nокажите, что точное решение имеет вид
(в) разложите это точное решение для малого Е > О и сравните с результатом п. 1.
Ответы
2. у = хе"'2 + �е"'2 [ l + е"'\х2 - l)] + 0(Е2).
у(х, Е)
Предметный указатель
А
и
Абеля теорема 40-41
изоклина 94
интеrрал дифференциального урввнения 1-го пoPJUIIOI Обtций 92, l l6
- - - - - частный 92
- - - n-го порЯдка общий 128
- первый нормальной системы дифференциальных уравнений 185
интегральный синус 57
интегрирование диффереяциалъного уравнения 87
интервал схадимости стеnенного ряда 42
&
Бернулли уравнение 1 10
Бесселя неравенство 82
- то:ждество 82
уравнение дифференциальное 131, 167
- функции 79, 131
- - , норма 175
1-го рода. l70
- - 2-го рода 175
- - 3-го рода 176
в
Вебера функция. 176
Вейерштрасса nризнак сходимости функционального ряда 32-33
векторы линейно зависимые на интервале 187
- - независимые на интервале 188
возмущение 206
Вронского оuределитеJiь системы векrоров 188
функций 136
д
Даламбера nризнак сходимости числового P!WI
13-14
3
задача Коши для обыкновенного дифференциаль­
ного уравнения 89
- - для нормальной снстемыдифференШiальных
уравнений 180
для дифференциального уравнения n-го no­
PJUIIOI , разрешенного относительно старшей
nроизводной 126
к
Клеро уравяенне 120
комбинация интегрируемая 185
Кощи критерий сходимости числового p!W1 8
матрица 189
- признак сходимости числоюго ряда 14-1 5
коэффициенты биномиальные 55
- Тейлора 49
- tрнrонометрнчесхоrо P!WI 60
- Фурье 64, 80
комплексные 76
кривая интегральная 87
- - дифференциального урввнения n-го nорядка
128
- - нормальной системы дифференциальных
уравнений 181
- - особая 92
критерий Коши схадимости чвсловоrо ряда 8
л
Лаrранжа метод отыскания частиого решения ли­
нейной неоднородной системы дифференциа­
льных уравнений 190-191
- уравнение 1 19
Лежандра многочлены (nолиномы) 78
Лейбнлца nризнак сходимостизнакочередуюшего­
ся числового ряда 20-21
ломаная Эйлера 97
П�ыi �u•
-------
м
Маклорела ряд 49
матрица, дифференцируемая на множестве 194
- КС)ШИ 189
- непрерывная на множестве 194
- , собственное значение 194
- , собственный вектор 194
- фундаМентальная однородной линейной системы дифференциальных уравнений 189
метод вариации постоянной интеrрировании
леоднородного линейного уравнении 106� 109
- - постоянных отыскании часnюго решеНИJiли­
нейной леоднородной системы дифферен­
циальныхуравнений 190-191
- возмущений (малого параметра) 227
- изоклин интегрировании дифференциального
уравнении 1-го порядка 93-94
- интеrрируемых комбинаций интеrрировании
нормальной системы дифференциальных
уравнений 185
- исключеНИJI интегрировании системы диффе­
ренциальных уравнений 181-184
- Лаrран:жа отыскания часnюго решении линей­
ной леоднородной системы дифференциаль­
ныхуравнений 190-191
- малого параметра (возмущений) 227
- матричный интеrрированиа однороднойлинейной системы дифференциальных уравнений
193-198
- последовательных прибли:жеинй для нахожде­
нии nриближенного решении дифференциаль­
ного уравнения 95-%
- преобразоваини Лапласа интегрироваНИJI ли­
нейной системы дифференциальных уравне­
ний с постояиными коэффициентами 191
- Pyиre-Кyrra приближеиного решении диффе­
ренциального уравнеНИJI 98
- Эйлера интегрировании линейной однородной
системы дифференциальных уравнений с по­
стоянными коэффициентами 191-193
- - приближенного решения дифференциального уравнения %-97
многочлен характеристический 143
многочлены Ле:жандра 78
- Чебышева-Эрмита 79
множитель интеtрируюmий 1 14
·
н
Неймала функция 176
неравенство Бесселя 82
норма функции 78
- - Бесселя 175
нуль порядка (краnюсти) т 166
о
область определения оператора 133
- сходимости функционального ряда 28
оmбающая семейства кривых 92
�
' оператор 133
- линейный 133
определитель Вронского системы векторов 188
- - - функций 136
остаток функционального ряда 29
- чнслового ряда 7
Остроградского-Лиувилля формула 143
n
Парсеваля (Парсеваля-Стеклова) равенство 83
период функции 60
IUIOCKOCТЬ фазовая 181
поле направлений 93
nолиномы Ле:жацдра 78
- Чебышева-Эрмита 79
положение равновесии системы дифференциаль­
ных уравнений 207
порядок дифференциального уравнения 86
nриближение функции линейной комбинацией
среднее квадратичное 82
признак сравнеНИJI для числовых рядов с nоложи­
тельными членами 10-11
- сходимости Вейерштрасса функционального
ряда 32-33
- - Лейбницазнакочередующеrося числовогоряда 20-21
- - Даламбера числового ряда 13-14
- - интеrральный числового ряда 16-17
- - Коши числового ряда 14--15
-.- необходимый числового ряда 8
nринциn суnерnозиции 153
nродолжение решения 201
- функции nериодическое 65
р
равенство Парсеваля (Парсеваля-Стеклова) 83
радиус сходимости степенного ряда 42
разложение функции в стеnенной ряд 48
- - в тригонометрический ряд 61
резонанс 163
решение дифференциального уравнения 87
1-rопорядка, не разрешенногоотносительно производиой, общее 1 16
- - - - - линейного неодиородного в форме
Коши 107
- - - n-го порядка общее 127
- - - - - частное 128
- - - неосциллирующее 230
- - - неустойчивое 202
- - - осциллируюmее 230
- - - обmее 91
- - - особое 92
- - - устойчивое по Ляпунову 202
- - - - асимптотически 202
- - - частиое 91
- задачи Коши неограниченно продолжаемое 201
- - - - - влево 201
- - - - - вnраво 201
� - -
236 --------�-- Предмеntый yw&Т8JIIt
- линейной системы дифференциальНых уравне­
ний 186
- - , СВОЙС1'1!11 186-J87
- нормальной системы дифференциальных
уравнений 180
- - - - общее 180
- - - - частное 181
- системы дифференциальных уравнений неустойчивое 204
- - - - устойчивое по Ляпунову 204
- - асимnтотически 204
Рик:кати уравнение 1 14
- - специальное 1 1 5
Римана функция 36
Рунrе-Kyrnt метод приближенного решения
дифференциальногО уравнения 98
ряд биномиальный 55
- Маклорена 49
- степенной 40
Тейлора 49
- тригонометрический 60
Фурье тригонометрический 64
- - - в комплексной форме 76
- - - - ....:. сходищийся 76
- - по ортогональным системам функциlt 80
- функциональный 28
- - сходящийся в точке 28
на множестве 28
- - - - абсолютно 28
- - - - равномерно 30
- числов0й 3
- - rармонический 9
- - знакопеременный 22
- - - СХОДЯЩИЙСЯ абсолЮТНО 24
- условно 24
знакочередующийся 20
- - мажорирующий (мажорантный) для функци­
онального рЯда 33
расходящийся 3
- - сходищийся 3
с
седло 210
семейство ортогональных траекторИЙ 123
синус интегральный 57
система дифференциальных уравнений автоном­
ная 206
- - - каноническая 179
- - - линейная 1 86
однородная 186
1 -го порядка нормальная 179
решений фундаментальная линейного однород­
ного дифференциального уравнения n-го по­
рядка 141
- - - линейной однородной системы дифферен­
циальных уравнений 188
- функциА линейно зависимая 135
независимая 135
- - ортогональная 61
на интервале с весом р 79
на отрезке 77
- - ортанормированная 78
- - - замкнуrая 84
полна.я 83
- тригонометрическая 61
- дифференциальных уравнений первого (линейного) nриближения 220
собственное значение матрицы 194
собственный вектор матрицы 194
сумма числовоrо ряда 3
- - - ЧаС'111Чная 3
схема разностная Эйлера 96
сходимость последовательности функций в сред­
нем 80
т
Тейлора коэффициенты 49
- ряд49
теорема Абеля 40-41
- о единственности разложения функции в сте­
пенной рsш 48
- о почленном дифференцировании стеnенного
рsша 46-47
- - - функционального рЯда 37-38
- - интегрировании стеnенного РЯда 46
функционального РЯда 36-37
- о разложимости решения однородиого линей­
ного дифференциального уравненИII 2-го по­
рядка в обобщенный степенной рsш 167
- о структуре общего решения линейного неоднородиого дифференциального уравнения
153-154
- одНородиого дифференциального
- - - - линеЙIJОЙ однородной системы диффе­
ренциальных уравнеЮiй 188, 190
об аналитичности решения одиородноголнней­
ного дифференциального .уравнения 2-го nо­
рядка 166
- об ортогональности тригонометрической систе­
мы функциlt 61-62
- существования и единствениости решения
задачи Коши 89
- - - для дифференциального уравне­
ния n-го nopsmкa 127
- - - - для системы дифференциальных
уравненИЙ 180
тождество Бесселя 82
точка nокоя системы дифференциальных уравне­
ний 184, 207
, тиnы 206-2 15
- - устойчивая 207
- - - - - - асимnтотически 207
траеJ<торИII фазовая системы дифференциальных
уравнений 181
уравнеиия l39-140
у
узел дикритический 2 1 2
- иеустойчивый 209
вырожденвый 212
11реАметиыi1 JU38Т8JIЬ -....,.--- 237
- сетки %
- устойчивый 209
- - вырожценный 212
уравнение БернуJUiи 1 10
- Бесселя дифференциальное 131, 167
- в полныхдифференциалах 1 1 1
дифференuиальное, иmеrрирумое в хвэдрату­
рах 98
- - линейное 1 -rо порядка 105
- - - - - неоднородное 1 05
- - - однородное 105
- n -ro порядка 1 32
- - - - неоднородное 1 32
- - - - - однородное 132
- - обыкновенное 86
однородное 102
- - с разделенными персменными 98
- - с раздмяющимися персменными 99
Клеро 120
- Лаrранжа 1 19
- логистическое 101
Рихкати 1 14
специальное 1 15
- характеристическоеtlдliлннейноrооднорощюrо
дифференциальноrо уравнения 143
- Ш1Я системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициента­
ми 192
Эйлера 150
услорие линейной зависимости фунКЦИЙ необходимое 136-137
- - независимости решений необходимое 138
- -'- - - - и дОСiаточн.ое 139
- ПОЛНОТЬI 83
разложимости функции Р ряд Тейлора дОСiаточ­
ное 51-52
- - - - - необходимое и дОС1:аточное 50-51
- начальное t1д1i дифференциальноrо уравнения
1-ro nорядка 88
- - - n-ro порядка 126
- - Ш1Я системы дифференциальных уравнений
180
ф
фокус неустойчНРый 2 1 1
- устойчивый 2 1 1
формула Остроrрадскоrо-ЛиувИШIЯ 143
формулы рекуррентные Ш1Я функций Бесселя 172
фундаментальная система решений линейноrо однородноrо дифференциальноrо уравнения n-ro
порядка 141
- линейной однородной системы дифферен­
циальных уравнений 188
функции.Бессмя 79, 1 3 1
- - , норма f75
l-ro рода 170
2-rо рода 175 . .
- 3-ro рода 176
- ортоrональные 61
Ханкеля 176 ,
функция ЛяпуноВа 215, 217
- Вебера 1 76
- знакооnределенная (знакоположительная, знакоотрицательная) 216
- знакоnостОянная (положительная, отрицаmn.ная) 2 16
- кусочио-монотонная на отрезке 65
- Неймана 176
- нечетиая 68
- однородная n-ro измерения отиосwrельно
двух nерсменных 102
- nериодическая 60
- Римвна 36
- сеточная 97
цилиндрическая 175
- четиая 68
Г -функция Эйлера 169
Фурье ряд по ортоrоиальным системам функций 80
- - - - - , коэффициенты 80
триrоиометрический 64
- - - , коэффициенты
- - - в комплексной форме 76
- - - - , коэффнциенты 76
---СХОдЯШИЙСЯ 76
-
х
Ханхеля функции
176
ц
центр 2 1 1
ч
Чебышева-Эрмнта многочлены (полиномы) 79
член чнсловоrо ряда 3
общий З
w
шаr сетки 96
э
Эйлера ломаная 97
- метод интегрирования линейной однородной
системы дифференциальных уравнений с по­
стоянными коэффициентами 191-193
- - приближениоrо решения дифференциальноrо уравнения 96-97
- разностная схема 96
- уравнение 150
- Г-функция 169
эКРивалентностьдифференuиальных уравнений 88
я
якобиаи системы фунКЦИЙ 183
Огпавпение
Тhава XVII. Числ01111е ptДW
•
•
•
•
Глава XVIII. Функцмоtuutыtые Р1дW
Глава XIX.
Стеnенные ptДW
Diaвa ХХ. ,.,... Фур.е
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
,
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
3
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
28
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
.
.
•
.
•
.
•
.
.
.
.
.
.
•
.
.
•
.
. . . . . . . . . . . .
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
.
•
•
•
.
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
.
.
.
.
,.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Глава XXI. ДltффepetщиiJIЬIIIale ypaiii8НIItl nepвoro nOp!IДD
Глава XXII. ДltффepeiЩИIJIWiwe уравнени1 11111СWИХ nopiiДICOI
Тhава XXIII. СИстемы дифференци8JIЫIЫХ ур811Н8НИЙ
Diaвa XXN. Теорн1 устоiчмiiОСТИ
•
•
.
•
•
•
.
.
•
•
•
•
•
�
.
.
.
.
.
Глава XXV. tleiO'ropwe cneЦИ811bltbl8 вопросы теории диффере�ЩИ�J�ьнwх ур11НеИИЙ
Предметный указате11Ь
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
.
•
•
•
•
•
•
•
40
60
86
126.
179
199
225
234
сnециализируется на выnуске учебцой и научцой дитературы, в том числе
монографий, журналов, трудов ученых Российской Академии наук,
научно�исследовательских институтов и учебных заведений.
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
Q;;новываясъ на широком и nлодотворном сотрудничестве с Российским
фондом фундаментальных исследований и Российским гуманитарным научным
фондом, мы предлагаем авторам свои услуги на выгодных экономических условиях.
При этом мы берем на себя всю работу по nодrотовке и:щания - от яабора,
редактирования и верстки до тиражирования и расnространения.
Среди недавно вышедшихкниг мы предлагаем Вам следующие.
Пригожин И., Стенгере И. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени.
Пригожин И. , Стенгере И. Порядок из хаоса. Новый диалог человека с природой.
Самарский А. А. и др. Задачи и упражнения по числеиным метОдам.
Боровков А. А. Теория вероятвостей.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
Гнеденко Б. В. О математике.
Шикин Е. В. От игр к играм.
Дубровин Б. А. , Новиков С. Л , Фоменко А. Т. Совремеиная геометрия. Методы н прило­
жеиня. 5-е издание, нcnpaJIJieииoe. Т. l-3.
Арнольд В. И. Математические методы цасснческой механики.
Волобуев И. Л , Кубышин Ю. А. Дифференциальная геометрия и алrебры Ли
приложекия в теории пOJUI.
н их
Табор М. Хаос и нитеrрируемость в неливейной динамике.
Малинецкий Г. Г. , Потапов А. Б. Совремеиные проблемы нелииейной динамики.
Капица С. Л , Курдюмов С. Л , Молинецкий r. r. Сннерrетика и проrвозы будущего.
Эбелинг В., Энтель А. , Файстель Р. Физика процессов ЭВОJПОЦИВ.
Кириллов В. М. и др. Решение задач по физике.
Шеnелt!В А. В. Оптика. Готовимся к экЗаменам, зачетам, коллоквиумам.
Колоколов И. В., Кузнецов Е. А. и др. Задачи по математическим методам физики.
Рубакав В. А. Х.!lасснческие калибрОВО'ПIЫе ПOJUI.
Ельяшевич М. А. 'Атомная н молекулярная спектроскопия.
1
Mopo3QIJ А. Д. и
Инвариантные множества дивамнческих систем в Windows.
'dр.
Болеинов А. В., фоменко А. Т. Геометрия и топологu нитеrрнруемых · геодезических
потоков на поверх&ОсТях.
Каноnлева Н. Л , Попов В. Н. Калибровочные ПOJUI.
Те.мчин А. Н. Уравнения Эйнштейна
на
мноrообразии.
Неретин Ю. А. Категории симметрий и бесковечиомерные rpyпnw.
Пытьев Ю. П. Возмо:ишость. Элементы теории и применевия.
Гейзенберг В. Собрание ва)"ППЫХ трудоа.
Низовцев ./J. В. Время. и место физики ХХ !l(lкa.
По кем воЩюсам Вы можете обра'П11'1оСи к
тu;jфас (995) 135-.U-23,
ти.
нам:
135-42-46
ИJ1И ЭllettltiJIORIIOi norunoii urss@urs.s ru.
Пo.mn.dt каталог вздаввй предета.влев
в Hнmepнem-JIUШUilRr. http://urss.ru
Издательство
УРСС
Научная и учебная
литература