Областное государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Старомайнский технологический техникум» Н.А.Марчук РАЗДАТОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ для практических занятий по математике р.п.Старая Майна, 2016 Марчук Н.А. Раздаточный материал для практических занятий по математике. – Старая Майна: ОГБПОУ СМТТ, 2016, с.67 Раздаточный материал разработан в соответствии с ФГОС СПО для обучающихся 1 курса на базовом уровне. В сборнике представлены практические и самостоятельные работы по соответствующим темам рабочей программы учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала анализа; геометрия» по специальности 35.02.07.Механизация сельского хозяйства Рецензент: Г. В. Ширманова – заместитель директора по учебной работе ОГБПОУ СМТТ, Почётный работник СП РФ, преподаватель математики. Адреса для отзывов и скачивания материалов: e-mail: marchuk@land.ru мини-сайт: nsportal.ru//marchuknatalya 2 Перечень практических занятий Математика № п/п 1 2 3 4 5 6 7 Наименование работы Практическая работа №1 Арифметические действия над числами Практическая работа №2 Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и относительной), сравнение числовых выражений. Практическая работа №3 Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчетов с радикалами. Практическая работа №4 Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразование выражений, содержащих степени. Практическая работа №5 Применение свойств логарифма. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Практическая работа №6 Переход от одного основания к другому. Вычисление и сравнение логарифмов. Логарифмирование. Практическая работа №7 Преобразование рациональных выражений. Стр. 7 8 9 10 11 12 13 8 Практическая работа №8 Преобразование иррациональных выражений. 14 9 Практическая работа №9 Преобразование степенных и показательных выражений. 15 10 Практическая работа №10 Преобразование логарифмических выражений. 16 11 Практическая работа №11 Признаки взаимного расположения прямых. Угол между прямыми. (ср1,ср2, ср3) Практическая работа №12 Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. (ср4, ср5) Практическая работа №13 Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Теоремы о взаимном расположении прямой и 12 13 17 19 21 3 плоскости. (ср6 (обуч.ср.) 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 4 Практическая работа №14 Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве. Практическая работа №15 Теорема о трех перпендикулярах. Практическая работа №16 Признаки и свойства перпендикулярных плоскостей. (ср7, ср8) Практическая работа №17 Параллельное проектирование и его свойства. Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника. Взаимное расположение пространственных фигур. Практическая работа №18 Правила комбинаторики. Решение комбинаторных задач. Размещения, сочетания и перестановки. Практическая работа №20 Прикладные задачи. Практическая работа №21 Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. Практическая работа №22 Расстояние между точками. Уравнение окружности, сферы, плоскости. Практическая работа №23 Действия с векторами, заданными координатами. Скалярное произведение векторов. Практическая работа №24 Векторное уравнение прямой и плоскости. Использование векторов при доказательстве теорем стереометрии. Практическая работа №25 Радианный метод измерения углов вращения и связь с градусной мерой. Практическая работа №26 Основные тригонометрические тождества, формулы сложения, удвоения. Практическая работа №27 Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение, преобразование произведения тригонометрических функций в сумму. 23 23 24 26 27 28 29 30 30 31 32 33 34 27 28 29, 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Практическая работа №28 Определение функций. Построение и чтение графиков функций. СР9 СР10 Практическая работа №№ 29, 30 Исследование функции. Свойства линейной, квадратичной, кусочно-линейной и дробно-линейной функций. Практическая работа №31. Применение свойств показательной и логарифмической функций к построению графиков и решению простейших уравнений и неравенств. Практическая работа №32. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи. Практическая работа №33. Нахождение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа. Практическая работа №34. Теорема о корне. Простейшие тригонометрические уравнения и неравенства. Практическая работа №35. Обратные функции и их графики. Обратные тригонометрические функции. Сложные функции. Практическая работа №36. Решение задач по теме «Призма. Параллелепипед» Практическая работа №37. РЗ: Пирамида. Усечённая пирамида. Практическая работа № 38. РЗ: Цилиндр и конус. Усеченный конус. Практическая работа № 39. РЗ: Шар и сфера. Практическая работа № 40. Числовая последовательность, способы ее задания, вычисления членов последовательности. Предел последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Практическая работа № 41. Производная: механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной в общем виде. Практическая работа № 42. Правила и формулы дифференцирования, таблица производных элементарных функций. 34 35 37 38 40 41 42 43 44 44 46 47 47 50 50 51 5 43 44 Практическая работа № 43. (обуч) Непрерывность функции и её применение. Непрерывность и производная. Критические точки, промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции. Практическая работа (обуч) Нахождение наибольшего, наименьшего значения и экстремальных значений функции. Практическая работа № 44. Исследование функции с помощью производной. 52 54 55 Практическая работа № 45. 56 Вычисление первообразной и неопределённого интеграла. 46 Практическая работа № 46. 57 Вычисление интегралов и площадей криволинейных трапеций. 47 Практическая работа № 47. Применение интеграла к вычислению физических величин и 58 площадей криволинейных фигур. 48 Практическая работа № 48. 59 Классическое определение вероятности, свойства вероятностей. 49 Практическая работа № 49. Теорема о сумме вероятностей. Вычисление вероятностей. 60 Прикладные задачи. 50 Практическая работа № 50. 61 Представление числовых данных. Прикладные задачи. 51 Практическая работа № 51. 62 Решение иррациональных уравнений, неравенств и систем. 52 Практическая работа № 52. 63 Решение показательных уравнений, неравенств и систем. 53 Практическая работа № 53. 64 Решение логарифмических уравнений, неравенств и систем. 54 Практическая работа № 54. 65 Решение тригонометрических уравнений, неравенств и систем. 55 Практическая работа № 55. 66 Решение смешанных систем уравнений. Примечание: Критерии оценки практической работы: Процент Качественная оценка индивидуальных результативности образовательных достижений (правильных ответов) балл (отметка) вербальный аналог по каждому заданию 90 ÷ 100 5 отлично 80 ÷ 89 4 хорошо 70 ÷ 79 3 удовлетворительно менее 70 2 не удовлетворительно 45 6 Практическая работа 1 на тему: Арифметические действия над числами. 1. Верно ли утверждение: А) если натуральное число делится на 6, то оно делится на 3; Б) если сумма двух чисел – число чётное, то каждое слагаемое чётно; В) если произведение двух чисел равно нулю, то каждый множитель равен нулю; Г) если куб некоторого числа делится на 8, то это число чётно? 2. Докажите, что сумма трёх последовательных натуральных чисел делится на 3, а их произведение – на 6. 3. Найдите значение выражения: А) ; Б) ; 4. Расположите числа в порядке возрастания: ; -2; -1,7; 5. Сравните числа: . Практическая работа 2 на тему: Приближённые вычисления. 1. Найти абсолютную погрешность числа: А) а0= 0,135; а = 0,13512; Б) а0= 3,528; а = 3,5281. 2. Записать число в виде двойного неравенства: А) а0= 0,3010; Δа = 0,00005; Б) а0= 99,973; Δа = 0,027; 3. Определить верные и сомнительные цифры чисел: А) а= 649; Δа = 0,04; Б) а= 428,7 ± 20; 4. Записать правильно следующие приближённые числа: А) а0= 278 000; Δа = 50; Б) а0= 0,3700; Δа = 0,05; В) а0= 0,35; Δа = 0,00005; 5. Округлить приближённые числа: А) до 0,01: 16,285; 0,785. Б) до 1000: 72385. 6. Выполнить сложение с приближёнными числами: А)14,5 + 113,76 + 12,783 + 11,2161 = Б) 645,27 + 102,324 + 715,645 + 10,2 = 7 Практическая работа 3 на тему: Вычисление и сравнение корней. Выполнение расчётов с радикалами. 1. Вычислить: А) , Б) 2. Решить уравнения: А) Б) 3. Вычислить: А) , Б) В) , Г) 4. Сравнить числа: А) и , Б) . В) . , . 5. Вынесите множитель за знак корня: 6. Внесите множитель под знак корня: . . Практическая работа 4 на тему: Нахождение значений степеней с рациональными показателями. Сравнение степеней. Преобразование выражений, содержащих степени. 1. Вычислить: А) , Б) 81-0,75 + . 2. Упростить выражение: А) , Б) . 3. Сравнить числа: А) , Б) . 4. Представить выражение в виде корня: . 5. Представить выражение в виде степени с рациональным показателем: . 8 на тему: Практическая работа 5 Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Сравнение логарифмов. 1. Найдите логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а. А) 42 = 16; Б) 5-3 = ; В) = 27. 2. Проверьте справедливость равенств: А) , Б) , В) 3. Вычислить: А) , Б) . 4. Найдите х: А) Б) 5. Найдите х: А) . , , , Б) 6. Упростите выражение: А) , Б) 7. Сравните: А) 1 и , Б) . и . Практическая работа 6 на тему: Применение формулы перехода логарифма от одного основания к другому. Логарифмирование. 1. Переведите логарифм к новому основанию: А) к основанию 7 Б) к основанию 9 2. Вычислить с помощью формулы перехода к новому основанию: А) Б) , В) , Г) , 9 Д) , Е) . 3. Прологарифмировать Х по основанию а: A) 64, , 2 при а = 8, Б) В) по основанию 3 , a=5 4. Докажите: Практическая работа 7 на тему: Преобразование рациональных выражений. 1. Разложить на множители: х3 + (у - 1)х + у= 2. Сократить дробь: = 3. Решить уравнение: . 4. Решить неравенство: 5. Упростить выражение: Практическая работа 8 на тему: Преобразование иррациональных выражений. 1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: А) , Б) . 2. Вычислить: = 3. Упростить и вычислить: 10 , при b = 0,0025; 4. Упростить: А) Б) В) 5. *Решить уравнение: 4х - 13 + 9 = 0. Практическая работа 9 на тему: Преобразование степенных выражений. 1. Разложите на множители: a. 3 + ; b. 2. Упростите выражения: a. ; b. 3. Представьте выражение в виде степени с рациональным показателем: . 4. Представьте выражение в виде корня: . 5. Сравните числа: 6. *Имеет ли смысл выражение: на тему: . Практическая работа 10 Преобразование логарифмических выражений. 1. Вычислить: . 11 2. Найти х: . 3. Упростить выражение: + 4. Прологарифмировать выражение . по основанию 10. 5. Сравнить: А) , Б) В) на тему: , . Практическая работа 11 СР1: Математический диктант по аксиомам стереометрии. 1. Перечислите основные фигуры в пространстве. 2. Сколько плоскостей можно провести через три точки, лежащие на прямой. 3. Перечислите способы задания плоскости: a. . b. . c. . 4. Прямыеa и b пересекаются в точке М, прямая с пересекает одновременно a и b. Сделайте рисунок. 5. Точки А, В, С, Д не лежат в одной плоскости. Как расположены прямые АС и ВД? 6. Могут ли точки А, В, С из задания 5 лежать на одной прямой? 7. Точки А, В, С соединены попарно отрезками. Как расположены эти отрезки? 8. Верно ли, что если две точки окружности принадлежат плоскости, то и вся окружность принадлежит плоскости. 12 Практическая работа 11 СР2 (контролирующее задание) на тему: Взаимное расположение прямых в пространстве. Практическая работа 11 СР3 на тему: Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. 13 Практическая работа 11 СР4 (тест - прогноз) на тему: Признак параллельности прямой и плоскости. Практическая работа 11 СР5 на тему: Параллельность плоскостей. 14 Практическая работа 12 15 СР 6 (графический тест) на тему: Перпендикулярность прямой и плоскости. . Практическая работа 13 (обучающие самостоятельные работы 1,2) на тему: Перпендикулярность прямой и плоскости. 1 16 Практическая работа 13 (обучающие самостоятельные работы 1,2) на тему: Перпендикулярность прямой и плоскости. 2 17 Практическая работа 14 на тему: Расстояния в пространстве. 1. Из точки А, не принадлежащей плоскости а, проведены к этой плоскости перпендикуляр АО и две наклонные АВ и АС. Известно, что < ОАВ = < ВАС = 600 , АО = 1,5 см. найдите расстояние между основаниями наклонных. 2. Один конец данного отрезка лежит в плоскости а , а другой находится от неё на расстоянии 6 см. найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости а. 3. Концы отрезка отстоят от плоскости а на расстояниях 1 см и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до плоскости. 4. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС равно 4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ = 6 см. Практическая работа 15 на тему: Теорема о трёх перпендикулярах. 1. через вершину А прямоугольника АВСД проведена прямая АК, перпендикулярная к плоскости прямоугольника. Известно, что КД = 6 см, КВ = 7 см, КС = 9 см. найдите: а) расстояние от точки К до плоскости прямоугольника АВСД; б) расстояние между прямыми АК и СД. 2. прямая СД перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что : а) треугольник АВС является проекцией треугольника АВД на плоскость АВС; б) если СН – высота треугольника АВС, то ДН – высота треугольника АВД. 3. Из середины М стороны АД квадрата АВСД проведён к его плоскости перпендикуляр МК, равный . сторона квадрата равна 2а. найдите а) площадь АВК и его проекции на плоскость квадрата, б) расстояние между прямыми АК и ВС. 18 СР 7 на тему: Двугранный угол. СР 8 на тему: Двугранный угол. 19 Практическая работа 17 (математический диктант) на тему: Изображение пространственных фигур на плоскости. 20 Практическая работа18 на тему: Задачи на подсчёт числа размещений, перестановок, сочетаний. 1. Вычислить: a. b. 2. Упростить: a. b. c. 3. Вычислить: a. b. c. d. e. 4. Найти х, если известно, что = 21. Практическая работа 20 на тему: Прикладные задачи комбинаторики 1. Пять студентов техникума претендуют на три путёвки в Анапу. Сколько возможно вариантов распределения путёвок? 21 2. Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр от 0 до 9? 3. Даны числа от 1 до 5. Сколько двузначных чисел можно составить из 5 цифр, если ни одна из них не повторяется? 4. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствуют 78 человек? 5. Найти х, если =153. Практическая работа 21 на тему: Векторы. Действия с векторами. Декартова система координат в пространстве. 1. Укажите равные векторы на рис.1, а, б. Рис.1 Найдите сумму векторов на рис.2. 2. Рис.2 3. Найдите разность векторов на рис.3. Рис.3 4. 5. Даны векторы на рис.3. Построить вектор 3 . Даны точки А(3;2), В(-1; 5), С(0;3). Найти координаты векторов 6. Найдите равные векторы. 7. Найдите колиниарные векторы. 22