Государственная олимпиада по математике

Министерство образования Республики Саха (Якутия)
Физико-математический форум «Ленский край»
Государственная олимпиада школьников по математике
II (районный, городской) этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике
2005-2006 учебного года
11 класс1
1.
Докажите, что для любых натуральных чисел m, n найдется натуральное
число k такое, что
( m  1  m)2  k  1  k .
n
2.
В парламенте есть консерваторы и радикалы. Каждый консерватор
знаком с 10 радикалами и 7 консерваторами, а каждый радикал — с 9
консерваторами и 8 радикалами. Какое минимальное число радикалов
может быть в парламенте?
3.
Решите уравнение
x1945 + 2x1950 + 3x1955 +…+ 13x2005=91.
4.
В треугольной пирамиде высоты боковых граней равны 7. Найдите
объем пирамиды, если стороны основания 10, 17 и 21.
5.
Натуральные числа a, b, c образуют геометрическую прогрессию. Может
ли десятичная запись числа a3+b3+c3-3abc заканчиваться цифрами 20?
1
На выполнение задания отводится 4 часа
Министерство образования Республики Саха (Якутия)
Физико-математический форум «Ленский край»
Государственная олимпиада школьников по математике
II (районный, городской) этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике
2005-2006 учебного года
10 класс1
1.
На шахматной доске 8 х 8 отмечено 33 клетки. Докажите, что найдется
"уголок" из трех отмеченных клеток.
2.
Не применяя калькулятора сравните числа
2004  2006 и 2 2005.
3.
Все члены бесконечной арифметической прогрессии — натуральные
числа. Известно, что один из них — точный квадрат. Докажите, что
тогда прогрессия содержит бесконечно много точных квадратов.
4.
В трапеции ABCD биссектриса угла BAD при основании AD пересекает
прямую CD в точке M и AM=MD. Докажите, что точки A, B, C и M лежат
на одной окружности.
5.
Докажите, что число
1 
 1 1
1    ... 
  2  3  ...  2004
2004 
 2 3
целое, делящееся на 2005.
1
На выполнение задания отводится 4 часа
Министерство образования Республики Саха (Якутия)
Физико-математический форум «Ленский край»
Государственная олимпиада школьников по математике
II (районный, городской) этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике
2005-2006 учебного года
9 класс1
1.
Двузначное число a умножили на каждую из его цифр и получили
ненулевое число, состоящее из одинаковых цифр. Найдите все такие
числа.
2.
Сумма десяти натуральных чисел равна 1001. Какое наибольшее
значение может принимать наибольший общий делитель этих чисел?
3.
Как изготовить прямоугольную коробку площади 16, чтобы
в нее можно было поместить два пирожных в форме
креста? (Пирожное состоит из пяти квадратов 1 х 1).
4. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Центр окружности,
описанной около треугольника ABC, совпадает с центром окружности,
вписанной в треугольник ABK. Найдите углы треугольника ABC.
5. В каждой клетке шахматной доски 8 х 8 записано натуральное число.
Суммы чисел в любой горизонтали, и в любой вертикали, четны.
Докажите, что сумма чисел во всех черных клетках четна.
1
На выполнение задания отводится 4 часа
Министерство образования Республики Саха (Якутия)
Физико-математический форум «Ленский край»
Государственная олимпиада школьников по математике
II (районный, городской) этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике
2005-2006 учебного года
8 класс1
1.
Разрежьте угол 8 х 8 на уголки из трех клеток
(см. рис.).
2. Действительные числа a и b таковы, что a > b > 1. Сравните числа
A=a2 + ab2 + b и B = b2 + ba2 + a.
3. Докажите, что произведение 1 · 2 · 3 · … · 2004 · 2005 заканчивается
ровно на 500 нулей.
4.
На стороне AB треугольника ABC (AB>AC) взята точка K так, что
AC=KB. Точки M и N — середины отрезков KC и AB. Докажите, что MN
перпендикулярна биссектрисе угла BAC.
5. В каждой клетке шахматной доски 8 х 8 записано натуральное число.
Суммы чисел в любой горизонтали, и в любой вертикали, четны.
Докажите, что сумма чисел во всех черных клетках четна.
1
На выполнение задания отводится 4 часа
Министерство образования Республики Саха (Якутия)
Физико-математический форум «Ленский край»
Государственная олимпиада школьников по математике
II (районный, городской) этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике
2005-2006 учебного года
7 класс1
1.
Расставьте скобки в левой части выражения 2 : 3 : 4 : 5 : 6 = 5 так, чтобы
получилось верное равенство.
2.
В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1
кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
3.
Пусть S(n) — сумма цифр натурального числа n. Найдите все n, для
которых n + S(n) = 2005.
4.
В треугольнике ABC биссектриса AE равна BE. Найдите угол ACB, если
AB = 2AC.
5.
Можно ли все клетки таблицы а) 5 х 7, б) 66 х 67 заполнить крестиками
и ноликами так, чтобы рядом с каждым крестиком стоял ровно один
нолик, и с каждым ноликом стоял ровно один крестик? (Клетки
считаются рядом, если они имеют общую сторону).
1
На выполнение задания отводится 3 часа
Министерство образования Республики Саха (Якутия)
Физико-математический форум «Ленский край»
Государственная олимпиада школьников по математике
II (районный, городской) этап
Всероссийской олимпиады школьников по математике
2005-2006 учебного года
6 класс1
1.
Найдите десять натуральных чисел, сумма и произведение которых
равны 20.
2.
Имеется 4 гири с надписями 1 г, 2 г, 3 г, 4 г. Одна из них дефектная:
легче или тяжелее, чем указано. Как за два взвешивания узнать, какая
гиря дефектная, и определить, легче она или тяжелее?
3.
Натуральное число назовем "симметричным", если число, записанное
теми же цифрами в обратном порядке, совпадает с исходным. Найдите
все "симметричные" числа, которые остаются симметричными при
прибавлении 2005.
4.
Разрежьте изображенные на рисунке
фигуры каждую на две части и
сложите из них квадрат.
5.
Прямоугольник разбит на квадраты,
как на рисунке. Стороны всех
квадратов
—
целые.
Найдите
наименьшие возможные размеры
прямоугольника.
1
На выполнение задания отводится 3 часа