Задача+414.1

Определить, какой минимальной мощностью должна обладать лебёдка для
равноускоренного подъёма груза массой m = 120 кг на высоту h = 7,6 м за время t = 10 с.
Трением пренебречь, ускорение свободного падения g = 9,815 м/с2.
Дано:
m  120 кг
h  7,6 м
 t  10 с
N Л min  ?
Решение.
Груз поднимается равноускоренно (с некоторым постоянным ускорением a ) из
состояния покоя, поэтому для пути h , пройденного грузом за время  t , можем записать:
a  t 2
.
2
Отсюда выразим ускорение груза:
2h
a
.
t 2
Следовательно, на высоте h (через время  t ) груз будет обладать скоростью
(движение равноускоренное из состояния покоя):
2h
2h
  a  t 
t 
.
2
t
t
Таким образом, на высоте h груз массой m будет обладать:
потенциальной энергией:
Π  mgh,
где g  9,815 м/с2 – ускорение свободного падения;
и кинетической энергией:
h
2
 2h 


m

 t 
m 2
2mh 2

.
T


2
2
t 2
То есть полная механическая энергия груза в конечный момент подъёма будет
равна:

2mh 2
2h 
.
E2  Π  T  m g h 
 m h  g 
2
t
 t 2 

Начальная энергия груза равна нулю:
.
E1  0
По закону сохранения энергии, увеличение полной энергии груза равно работе,
которую необходимо совершить:


2h 
2h 
  0  m h  g 
.
A   E  E 2  E1  m h  g 
2 
t 
 t 2 


Мощность, которую необходимо развить для равномерного выполнения работы A в
течение времени  t , равна:

2h
m h  g 
t 2
A

N

t
t


  m h  g  2 h
 t
t 3


 .

Мощность лебёдки N Л должна быть не меньше:
 g
2h 
.
N Л  N  N Л  m h 

3 
 t t 
Заменяя знак неравенства знаком равенства, получим минимальную мощность,
которую должен развить мотор лебёдки:
 g
2h 
;
N Л min  m h 

3 
 t t 
 9,815 2  7,6 
N Л min  120  7,6  

  909 Вт.
10 3 
 10
Ответ: N Л min  909 Вт.