2 СОДЕРЖАНИЕ 1. Задание 1. …………………………….………………................................ 2. Задание 2. …………………………….………………................................ 3. Задание 3. …………………………….………………................................ 4. Задание 4. …………………………….………………................................ 5. Список использованных источников …………………………………… 3 5 7 9 10 3 Задание 1. ЭДС источника с неизвестным внутренним сопротивлением измеряется дважды вольтметром на пределах 300 и 750 В с выходным сопротивлением 300 и 750 кОм соответственно. Класс точности вольтметра 1,5. Найти величину ЭДС и максимальные значения абсолютной и относительной погрешности, если показания вольтметра составляли 300 и 500 В. Решение: Вводим следующие обозначения: - ЭДС источника 𝜀; - внутреннее сопротивление источника 𝑟; - внутренние сопротивления вольтметра соответственно 𝑅1 = 300 кОм и 𝑅2 = 750 кОм; - пределы измерения вольтметра соответственно 𝑈𝑁1 = 300 В и 𝑈𝑁2 = 750 В; - показания вольтметра соответственно 𝑈1 = 300 В и 𝑈2 = 500 В; - класс точности вольтметра 𝛾 = 1,5. Тогда на основании приведенных определений и результатов двух измерений получаем следующие два уравнения: 𝜀 ∗ 𝑅1 = 𝑈1 , (1) 𝑟 + 𝑅1 𝜀 ∗ 𝑅2 = 𝑈2 . (2) 𝑟 + 𝑅2 Из уравнения (2) выразим ЭДС: 𝑈2 𝑟 𝑟 𝜀= ∗ (𝑟 + 𝑅2 ) = 𝑈2 ∗ (1 + ) = 500 ∗ (1 + )= 𝑅2 𝑅2 750 ∗ 103 2 = 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟. (3) 3 Подставим полученное выражение (3) в уравнение (1): 2 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 3 ∗ 𝑅1 = 𝑈1 ; 𝑟 + 𝑅1 2 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 𝑈1 3 = ; 𝑟 + 𝑅1 𝑅1 2 𝑈1 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = ∗ (𝑟 + 𝑅1 ); 3 𝑅1 2 𝑟 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = 𝑈1 ∗ (1 + ) ; 3 𝑅1 2 𝑟 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = 300 ∗ (1 + ); 3 300 ∗ 103 4 2 500 + ∗ 10−3 ∗ 𝑟 = 300 + 1 ∗ 10−3 ∗ 𝑟; 3 1 200 = ∗ 10−3 ∗ 𝑟; 3 200 𝑟= = 600000 Ом = 600 кОм. 1 −3 ∗ 10 3 Тогда на основании (3) можем определить ЭДС источника: 2 𝜀 = 500 + ∗ 10−3 ∗ 600 ∗ 103 = 900 В. 3 Для вольтметра в общем виде предел абсолютной погрешности ∆ находится из формулы: ∆ 𝛾=± ∗ 100%, (4) 𝑈𝑁 где 𝛾 – класс точности; 𝑈𝑁 – предел измерения. В свою очередь, предел инструментальной относительной погрешности определяется следующим образом: ∆ 𝛿=± ∗ 100%, (5) 𝑈изм где 𝑈изм – результат измерения. Рассматриваем измерение на пределе 𝑈𝑁1 = 300 В: 𝛾 ∗ 𝑈𝑁1 1,5 ∗ 300 ∆𝑈1 = =± = ±4,5 В; 100% 100 ∆𝑈1 4,5 ∗ 100% = ± ∗ 100% = ±1,5 %. 𝑈1 300 Рассматриваем измерение на пределе 𝑈𝑁2 = 750 В: 𝛾 ∗ 𝑈𝑁2 1,5 ∗ 750 ∆𝑈2 = =± = ±11,25 В; 100% 100 𝛿𝑈1 = ± 𝛿𝑈2 = ± ∆𝑈2 11,25 ∗ 100% = ± ∗ 100% = ±2,25 %. 𝑈2 500 5 Задание 2. Определить значения методической и инструментальной погрешности косвенного измерения сопротивлений 1,5 кОм и помощью амперметра и вольтметра по двум возможным схемам. Сопротивление амперметра 100 Ом, сопротивление вольтметра 10 кОм; напряжение источника питания 1 В; конечные значения диапазонов измерения амперметра: 1 мА; вольтметра 1 В. Классы точности: амперметра 2,5, вольтметра 2,5. Нарисовать схемы. Решение: Изображаем требуемые две схемы метода амперметра-вольтметра: Рассмотрим погрешности при измерении по схеме а). Значение сопротивления, вычисленное по показаниям приборов: 𝑈 𝑈𝐴 + 𝑈𝑥 𝑈𝐴 𝑈𝑥 𝑅𝑥′ = = = + = 𝑅𝐴 + 𝑅𝑥 = 100 + 1500 = 1600 Ом. 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝐼𝑥 𝐼𝑥 Показания приборов: 𝑈1 1 𝑈1 = 𝑈пит = 1 В; 𝐼1 = ′ = = 0,000625 𝐴 = 0,625 мА. 𝑅𝑥 1600 Абсолютная методическая погрешность измерения сопротивления: ∆м1 = 𝑅𝑥′ − 𝑅𝑥 = 𝑅𝐴 = 100 Ом. Относительная методическая погрешность измерения сопротивления: ∆м1 100 𝛿м1 = = = 0,0667 или 6,67 %. 𝑅𝑥 1500 Абсолютная инструментальная погрешность измерения напряжения: 𝛾𝑈 ∗ 𝑈𝑁 2,5 ∗ 1 ∆𝑈1 = =± = ±0,025 В. 100% 100 Относительная инструментальная погрешность измерения напряжения: ∆𝑈1 0,025 𝛿𝑈1 = ± ∗ 100% = ± ∗ 100% = ±2,5 %. 𝑈1 1 6 Абсолютная инструментальная погрешность измерения тока: 𝛾𝐼 ∗ 𝐼𝑁 2,5 ∗ 1 ∆𝐼1 = =± = ±0,025 мА. 100% 100 Относительная инструментальная погрешность измерения тока: ∆𝐼1 0,025 𝛿𝐼1 = ± ∗ 100% = ± ∗ 100% = ±4 %. 𝐼1 0,625 Инструментальная погрешность косвенного измерения сопротивления: 𝛿𝑅1 = √(𝛿𝑈1 )2 + (𝛿𝐼1 )2 = ±√2,52 + 42 = ±4,72 %. Рассмотрим погрешности при измерении по схеме б). Значение сопротивления, вычисленное по показаниям приборов: 𝑈𝑥 𝑈𝑥 𝑈𝑥 𝑅𝑥 ∗ 𝑅В 1,5 ∗ 10 𝑅𝑥′ = = = = = = 1,304 кОм. 𝐼 𝐼𝑥 + 𝐼В 𝑈𝑥 + 𝑈𝑥 𝑅𝑥 + 𝑅В 1,5 + 10 𝑅𝑥 𝑅В Показания приборов: 𝑈пит 1 𝐼2 = ′ = = 0,000712 𝐴 = 0,712 мА. 𝑅𝑥 + 𝑅𝐴 1304 + 100 𝑈2 = 𝑅𝑥′ ∗ 𝐼2 = 1,304 ∗ 103 ∗ 0,712 ∗ 10−3 = 0,928 В. Абсолютная методическая погрешность измерения сопротивления: ∆м2 = 𝑅𝑥′ − 𝑅𝑥 = 1,304 − 1,5 = −0,196 кОм. Относительная методическая погрешность измерения сопротивления: ∆м2 0,196 𝛿м2 = =− = −0,1307 или(−13,07 %). 𝑅𝑥 1,5 Абсолютная инструментальная погрешность измерения напряжения: 𝛾𝑈 ∗ 𝑈𝑁 2,5 ∗ 1 ∆𝑈2 = =± = ±0,025 В. 100% 100 Относительная инструментальная погрешность измерения напряжения: ∆𝑈2 0,025 𝛿𝑈2 = ± ∗ 100% = ± ∗ 100% = ±2,7 %. 𝑈2 0,928 Абсолютная инструментальная погрешность измерения тока: 𝛾𝐼 ∗ 𝐼𝑁 2,5 ∗ 1 ∆𝐼2 = =± = ±0,025 мА. 100% 100 Относительная инструментальная погрешность измерения тока: ∆𝐼2 0,025 𝛿𝐼2 = ± ∗ 100% = ± ∗ 100% = ±3,5 %. 𝐼2 0,712 Инструментальная погрешность косвенного измерения сопротивления: 𝛿𝑅2 = √(𝛿𝑈2 )2 + (𝛿𝐼2 )2 = ±√2,72 + 3,52 = ±4,4 %. 7 Задание 3 Найти доверительный интервал относительной случайной погрешности результата 6-ти кратного измерения сопротивления резистора, если оценка среднего квадратического отклонения равна 1,1 Ом. Закон распределения случайных погрешностей нормальный. Доверительную вероятность принять равной 0,9; 0,95; 0,98. Среднее арифметическое значение результата измерения 75,7 Ом. Решение: По имеющейся оценке среднего квадратического отклонения 𝑆𝑥 = 1,1 Ом 𝑛 = 6 измерений определим среднее квадратическое отклонение среднего арифметического: 𝑆𝑥 1,1 𝑆𝑥 = = = 0,449 Ом. √𝑛 √ 6 Далее по соответствующим таблицам необходимо определить соответствующие определенной доверительной вероятности коэффициенты Стьюдента для нормального распределения. Так, значение 𝑡𝑛;𝑃 квантиля распределения Стьюдента при доверительной вероятности 𝑃 = 0,95 и 𝑛 − 1 = 6 − 1 = 5: 𝑡𝑛;𝑃 = 2,571. Доверительные границы истинного значения случайной величины с вероятностью 𝑃 = 0,95 рассчитываются по формуле: 𝑅 − 𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃 < 𝑅 < 𝑅 + 𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃 . В свою очередь, искомый доверительный интервал относительной случайной погрешности: 𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃 𝑆𝑥 ∗ 𝑡𝑛;𝑃 − < 𝛿𝑅 < + . 𝑅 𝑅 Получаем: 0,449 ∗ 2,571 0,449 ∗ 2,571 − < 𝛿𝑅 < + . 75,7 75,7 −0,0152 < 𝛿𝑅 < +0,0152. −1,52 % < 𝛿𝑅 < 1,52 %. Аналогичным образом производим расчеты доверительных вероятностей: - 𝑃 = 0,9; 𝑡𝑛;𝑃 = 2,015; − при 0,449 ∗ 2,015 0,449 ∗ 2,015 < 𝛿𝑅 < + . 75,7 75,7 −0,012 < 𝛿𝑅 < +0,012. −1,2 % < 𝛿𝑅 < +1,2 %. двух других 8 - 𝑃 = 0,98; 𝑡𝑛;𝑃 = 3,365; − 0,449 ∗ 3,365 0,449 ∗ 3,365 < 𝛿𝑅 < + . 75,7 75,7 −0,02 < 𝛿𝑅 < +0,02. −2 % < 𝛿𝑅 < +2 %. 9 Задание 4 Класс точности цифрового вольтметра 0,5/0,1. Определить абсолютную погрешность и записать результат, если на диапазоне измерения 0 … 10 В вольтметр показывает 3,872 В. Решение: В общем виде предел абсолютной погрешности ∆ находится из формулы: ∆ ∗ 100%, (1) 𝑋𝑁 где 𝛾 – класс точности; 𝑋𝑁 – предел измерения. В свою очередь, предел инструментальной относительной погрешности определяется следующим образом: ∆ 𝛿=± ∗ 100%, (2) 𝑋изм где 𝑋изм – результат измерения. Но в нашем случае при используемом способе задания класса точности вольтметра его относительная погрешность определяется следующим образом: 𝑋𝑁 𝛿 = ± [𝑐 + 𝑑 ∗ ( − 1)], (1) 𝑋изм где 𝑋𝑁 = 10 − 0 = 10 В – предел измерения; 𝑋изм = 3,872 В – показание вольтметра при измерении. Кроме того, в соответствии с данными условия: 𝑐 = 0,5 и 𝑑 = 0,1. Таким образом, рассматривая измерение напряжения, получаем следующие значения абсолютной и относительной погрешностей: 10 𝛿𝑈 = ± [0,5 + 0,1 ∗ ( − 1)] = ±0,658 %; 3,872 𝛾=± 𝛿𝑈 ∗ 𝑋изм 0,658 ∗ 3,872 =± = ±0,02548 В. 100% 100 Записываем результат измерения: 𝑈 = (3,872 ± 0,025) В. ∆𝑈 = 10 Список использованных источников 1. Атамалян, Э. Г. Приборы и методы измерения электрических величин [Текст] : учеб. пособие для втузов / Э. Г. Атамалян .- 3-е изд., перераб. и доп. М. : Дрофа, 2005. 2. Димов, Ю. В. Метрология, стандартизация и сертификация [Текст] : учебник для студ. вузов (гриф. МО) / Ю. В. Димов. –3-е изд. -СПб. : Питер, 2010. –464 с. 3. Радкевич, Я. М. Метрология, стандартизация и сертификация [Текст]: учеб. для студ. вузов (гриф МО) / Я. М. Радкевич, А. Г. Схиртладзе, Б. И. Лактионов. –3-е изд., перераб. и доп. -М. : Высш. шк., 2007. -761 с. 4. Лифиц, И. М. Стандартизация, метрология и сертификация [Текст] : учебник для студ. вузов (гриф МО). -8-е изд., перераб. и доп. -М. : ЮрайтИздат, 2008. -412 с. 5. Сергеев, А. Г. Метрология и метрологическое обеспечение [Текст] : учебник для студ. вузов (гриф УМО). -М. : Высшее образование, 2008. 575 с.
