МТФР

1. Основные этапы истории развития страх-го дела
2. Понятие риска. Особенности страхуемых событий.
Измерение финансовых потерь
3. Принципы определения премии. Функция
полезности
4. Одна случайная величина. Вероятностные
характеристики. Произв-щая функц моментов (ПФМ)
5. Семейства случайных величин. Совместная
функция распределния
6. Суммы независимых случайных величин
7. Среднее и дисперсия совокупного иска. Составное
распределение Пуассона
8. Случайные процессы с дискретным временем.
Случайные блуждения
9. Считающие процессы. Процесс Пуассона
10. Составной пуассоновский процесс со
стационарными и независимыми приращениями
11. Модели индивидуальных исков. Применение к
страхованию жизни
12. Модели индивидуальных исков. Применение к
страхованию имущества
13. Суммы независимых равномерных
распределений
14. Пример свертки двух независимых равномерных
распределений
15. Аппроксимация распределений совокупных
исков нормальными распределениями. Пример
использования
16. Понятие коллективного риска
17. Модели коллективного риска. Распределение
совокупных исков
18. Распределение числа исков. Пуассоновское
распределение
19. Модели страхования жизни
20. Распределение числа исков. Отрицательное
биномиальное распределение
21. Распределение суммы индивидуальных исков
22. Свойства составного пуассоновского
распределения
23. Процессы коллективного риска и задачи
разорения. Основные понятия
24. Пример глобального способа описания описания
процесса числа исков
25. Пример способа дискретизации времени при
описании процесса числа исков
26. Пример инфинитезимального способа описания
процесса числа исков
27. Пример использования подстроечного
коэффициента
28. Первое падение резервов ниже нач уровня
29. Принципы определения страховых премий
30. Свойства принципов определения премий
31. Уменьшение премий путем кооперации.
Необходимость в перестраховании
32. Теория разоренияю Мартингальный подход к
теории разорения
1. Основные этапы истории развития
страхового дела
Объективную потребность в страховании вызывают
убытки, возникающие вследствие непредвиденных
обстоятельств природно-климатического,
экономического и социального характера. В своей
многовековой истории страховое дело прошло
несколько этапов развития, в ходе которых
выработались и утвердились основополагающие
принципы, виды и направления современного
страхования.
В настоящее время страхование принадлежит к числу
наиболее динамично развивающихся финансовых
институтов экономики.
Рыночные отношения стали объективной
предпосылкой появления нового характера страховой
деятельности в России: развития разнообразных видов
страхования, формирования дополнительных
секторов, форм и методов организации страховой
деятельности, стабильно функционирующих
специализированных страховых предприятий. Между
тем страхование принадлежит к числу наиболее старых
и устойчивых форм общественной жизни, уходящих
своими корнями в далекую историю.
Современное страхование в том виде, в котором оно
существует в настоящее время, прошло ряд этапов
развития, которым были присущи свои особенности
организации и проведения страхования.
2. Понятие риска. Особенности страхуемых
событий. Измерение финансовых потерь.
Страховой риск — это случайное непредвиденное
событие, в результате которого возникает ущерб. Событие
носит гипотетический характер и не является неизбежным.
Страхование редких событий и крупных рисков.
Речь идет о рисках, характеризующихся, с одной стороны,
низкой частотой наступления страховых событий, а с
другой — большой возможной величиной ущерба. Число
объектов, которые можно застраховать, ограниченно, а
разброс страховых сумм составляет значительную
величину.
Наиболее характерный вид страхования, который можно
отнести к данной категории, — страхование
промышленных предприятий (прежде всего на случай
пожара).
Финансовые риски связаны с вероятностью потерь
финансовых ресурсов (т.е. денежных средств).
Под финансовыми рисками понимается вероятность
возникновения непредвиденных финансовых потерь
(снижения прибыли, доходов, потери капитала и т.п.) в
ситуации неопределенности условий финансовой
деятельности организации.
Финансовые риски подразделяются на три вида:
1. риски, связанные с покупательной способностью денег;
2. риски, связанные с вложением капитала
(инвестиционные риски);
3. риски, связанные с формой организации хозяйственной
деятельности организации.
3. Принципы определения премии. Функция
полезности
Премирование – это выплата работникам
определенных денежных сумм сверх основной
зарплаты с целью материального поощрения за труд.
Систему премирования могут использовать все
организации.
Премирование работников основывается на
следующих принципах:
· справедливость и обоснованность размеров и
дифференциации премий;
· материальная заинтересованность работников в
достижении высоких конечных результатов трудовой
деятельности, сочетание индивидуальной и
коллективной материальной заинтересованности в
результатах труда;
· поощрение творческой инициативы, ответственности,
достижения высокого качества труда, продукции, работ
и услуг;
· простота определения размеров премиальных
выплат;
· ясность и доступность для понимания работниками
связи между их трудовыми усилиями и
вознаграждением;
· гибкость -- изменение премиальной системы с
изменением Целей и задач материального
стимулирования;
· гласность поощрения как доступность для работников
информации о результатах применения премиальной
системы.
Функция полезности является мерой соотношения
между объемами потребляемых благ и уровнем
полезности: U = U (y1 , y2 ,…, y n ); где U – полезность
набора благ, а y1 , y2 ,…, y n - объемы потребления
благ.
Функции полезности:
1. Средняя полезность – это отношение общей
полезности к количеству потреблённых единиц
блага
2. Предельная полезность (MU) — это увеличение
общей полезности при потреблении одной
дополнительной единицы блага.
3. Коэффициент эластичности - величина,
равная отношению предельной полезности к
средней. (>1 эластичная, <1 неэластичная)
4. Коэффициент полной эластичности функции
5. Предельная норма замены благ i и j
4. Одна СВ. Вероятностные характеристики.
Производящая функция моментов (ПФМ)
Когда исход эксперимента явл числом и
подчиняется случаю, численное значение
исхода наз случайной величиной
Исход СВ X заренее не известен. Заранее
известным или хотя бы заранее сущ-им явл ее
распр-ие, которое может быть описано ее ф-ей
распр 𝑭𝑿 (𝒙) = 𝑷(𝒙 ≥ 𝑿), 𝒙 ∈ (−∞; +∞)
Ф-ия распр 𝑭𝑿 (𝒙) явл вер-стью того, что X
принимает значения в инт-ле от −∞ до x. Ф-ия
распр явл непр справа, явл неуменьшающейся
ф-ей, кот возр от 0 до 1, когда аргумент x
проходит все значения от −∞ до +∞
Непр распр-ие относится к случаю, когда ф-ия
распр явл непр ф-ей; если ф-ия явл диф-ой, то
распр-ие наз абс-но непр и ф-ия 𝒇(𝒙) = 𝑭′(𝒙), где
f(x) – плотность вер-стей
Ф-ия распр, кот явл ступенчатой наз
дискретным распр-ем; если же еще скачки F
расположены в т-ках, кратных нек числу d>0 наз
арифметич распр-ем с инт-лом d
Для случ величины X с ф-ей распр F(x)
рассмотрим ее основные хар-ки:
1. Мат ожидание 𝑴(𝑿) = ∫ 𝒙𝒅𝑭(𝒙)
2. Дисперсия 𝑫(𝑿) = 𝑴(𝑿𝟐 ) − (𝑴(𝑿))𝟐
3. k-ый момент СВ X отн-но нуля: 𝑴(𝑿𝒌 ) =
∫ 𝒙𝒌 𝒅𝑭(𝒙), где 𝒌 ∈ [𝟏; +∞) и kϵN
Возможные значения СВ X могут принадлежать
конечному инт-лу
Данные хар-ки явл частными, т.к. различные
распр-ия могут иметь одинаковые мат
ожидания
Со СВ X ассоциируется ф-ия 𝑴𝑿 (𝒕) = 𝑴(𝒕) =
𝑴(𝒆𝒕𝒙 ) = ∫ 𝒆𝒕𝒙 𝒅𝑭(𝒙)
Данная ф-ия наз производящей ф-ей моментов
СВ X
M(t) опр-тся только в инт-ле сходимости
интеграла
Пр-ая ф-ия моментов явл полной хар-кой если 2
СВ имеют одинаковые пр-ие ф-ии моментов, их
распр-ия также должны быть одинаковыми.
Таким образом в следствие взаимного
однозначного соотв-ия между ф-ей распр и прей ф-ей моментов, какой бы рез-т не был
получен в терминах пр-ей ф-ии моментов, он
может быть преобразован в св-ва ф-ии распр
5. Семейства случайных величин. Совместная
функция распределения
X1, …, Xn – семейство СВ
Тогда модель опр-тся их совместным распр-ем.
Совместная ф-ия распр-ия – ф-ия n
переменных: 𝑭 = 𝑭𝒙𝟏 ,…,𝒙𝒏
F(x1, …, xn)=P(x1≥X1, …, xn≥Xn)
(1)
xiϵ(-∞; +∞), i=1, …,n
Этот процесс включает в себя неогр-ные
семейства случ величин
Маргинальная ф-ия распр СВ Xi получается
подстановкой x1=…=xi=xi+1=…=xn=∞ в ф-лу (1)
6. Суммы независимых случайных величин
СВ X1, …, Xn явл независимыми, если их совм-ая
ф-ия распр явл произведением их маргинальных
ф-ий распр
Если h(x1, …, xn) явл измеримой ф-ей n
переменных, тогда Y= h(X1, …, Xn) также явл СВ
Мат ожидание может быть получено
1) Путем вычисления марг распр СВ Y
2) Как n-мерный интеграл:
𝑴(𝒀) = ∫ 𝒉(𝒙𝟏 , … , 𝒙𝒏 )𝒅𝑭(𝒙𝟏 , … , 𝒙𝒏 )
Рассмотрим мат ожидание СВ-н, которое имеет
вид: (Xi-M(Xi))(Xj-M(Xj))
Ковариацией СВ-н Xi и Xj наз:
cov(Xi, Xj)=M(Xi-M(Xi))(Xj-M(Xj))=M(XiXj)-M(Xi)M(Xj)
Дисперсия:
𝑫(∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 ) = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑫(𝑿𝒊 ) + 𝟐 ∑ ∑ 𝒄𝒐𝒗(𝑿𝒊 , 𝑿𝒋 )
(𝟐)
𝒊<𝒋
Ф-ла (2) имеет место, если первые два момента
сущ-ют 𝑴(∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 ) = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑴(𝑿𝒊 ) – не требуется,
чтобы СВ Xi была незав
В частном случае, когда СВ Xi явл незав, она явл
некоррелируемой, тогда ф-ла (2) сводится к тому,
что D суммы равны сумме D (без ковариаций)
7.Среднее и дисперсия совокупного риска.
Составное распределение Пуассона
Дисперсия - характеризует степень колеблемости
изучаемого показателя. (в данном случае – ожидаемого
дохода от осуществления
финансовой операции) по отношению к его средней
величине. Чем колебания больше, тем выше степень
̂ )𝟐 ∗ 𝐏𝐢
риска. 𝛛𝟐 = ∑𝐧𝐢=𝟏(𝐑 𝐢 − 𝐑
𝐑 𝐢 − конкретное значение возможных вариантов
ожидаемого дохода по рассматриваемой
̂ − стреднее
финансовой операции 𝐑
ожидаемое значение дохода по рассматриваемой
финансовой операции; 𝐏𝐢 − возможная частота
(вероятность) получения отдельных вариантов
ожидаемого дохода по финансовой операции; n- число
наблюдений. Дисперсия не даёт полной картины
̂ , более наглядна для оценивания
уклонений ∆𝐗 = 𝐗 − 𝐑
рисков. Но задание дисперсии позволяет
установить связь между линейным и квадратичным
отклонениями с помощью известного неравенства
Чебышева. Из этого неравенства видно что
незначительному риску по дисперсионному отклонению
соответствует малый риск по линейным отклонениям
точки X с большой вероятностью будут располагаться
̂.
внутри окрестности ожидаемого значения 𝐑
Среднеквадратическое (стандартное) отклонение является
одним из наиболее распространенных при оценке уровня
индивидуального финансового риска, как
и дисперсия определяет степень абсолютной
̂ )𝟐 ∗ 𝐏𝐢
колеблемости и рассчитывается: 𝛛 = √∑𝐧𝐢=𝟏(𝐑 𝐢 − 𝐑
Среднеквадратическое отклонение 𝛛 является размерной
величиной и указывается в тех же единицах, в каких
измеряется варьирующий признак. Преимущество
среднеквадратического отклонения в том, что при
близости наблюдаемого распределения (например,
распределении дохода от инвестиций) к нормальному
этот параметр может быть использован для определения
границ, в которых с заданной вероятностью следует
ожидать значение случайной переменной. Сложное
распределение Пуассона является распределние
вероятностей суммы ряда , независимых одинаково
распределенных величин где число слагаемых , чтобы
быть добавлен сам по себе является Пуасонораспределенной переменной. В простейших случаях
результат может быть как непрерывным,
так и дискретным. Соединение Пуассон процесс с
скоростью и распределением по размерам
скачка G является непрерывным время стохастического
𝐍(𝐭)
процесс задается 𝛌 > 𝟎{𝐘(𝐭): 𝐭 ≥ 𝟎} Y(t)=∑𝐢−𝟏 𝐃𝐢 где сумма по
соглашению равна нулю, пока N ( t ) = 0. Процесс Пуассона
со скоростью , и являются независимыми и одинаково
распределенными случайными величинами с ф-ией
распределения G , которые также не зависят от {N(t):t≥
𝟎} 𝛌{𝐃𝐢 :i≥ 𝟏}{ 𝐍(𝐭): 𝐭 ≥ 𝟎}. Для дискретной версии сложного
процесса Пуассона его можно использовать в анализе
выживаемости для моделей хрупкости.
8.Случайные процессы с дискретным
временем. Случайные блуждения
В момент времени происходят переходы системы из
одного состояния в другое. Процесс с дискретным
временем – это случайный процесс, в котором реализацию
перехода из одного состояния в другое в определенные
моменты времени: 𝐭 𝟏 , 𝐭 𝟐 … Система S не меняет свое
состояние только в промежутки времени между этими
моментами. Процесс с непрерывным временем – это случ
процесс, который предполагает возможность осущ-ния
перехода в любой случ момент t. Допустим сущ система S,
может выглядеть 𝐒𝟏 , … , 𝐒𝐧 , при этом состояние системы
меняется только в моменты: 𝐭 𝟏 , 𝐭 𝟐 …, 𝐭 𝐤 . Обозначив это в
качестве шагов. Представим случайный процесс системы
S в качестве функции целочисленного аргумента 1,2,..3,
(номер шага). Сущность случайного процесса заключается
в том, что в последовательные моменты времени S, может
быть таким: 𝐒𝟏 − 𝐒𝟐 − 𝐒𝟑, − 𝐒𝟑 − 𝐒𝟒 − 𝐒𝟐 − ⋯ определив 𝐒𝐢𝐤 в
качестве события, что подразумевает, что после k шагов
система находится в состоянии 𝐒𝐢 . При любом k события
𝐒𝟏𝐤 , 𝐒𝟐𝐤 , … 𝐒𝐢𝐤 , … , 𝐒𝐧𝐤 . образуют полную группу и несовместимы.
Протекающий в системе процесс – это
последовательность событий, допустим 𝐒𝟏𝟎 , 𝐒𝟐𝟏 , 𝐒𝟏𝟐 , 𝐒𝟒𝟑 .
Подобная случайная последовательность событий есть
марковская цепь при условии, что для каждого шага
вероятность перехода из любого состояния 𝐒𝐢 , 𝐒𝐣 не
предполагает зависимости от времени и способа перехода
системы в состояние 𝐒𝐢 . Можно также определить
вероятность событий для k шага через
𝐩𝟏 (𝐤) = 𝐩(𝐒𝟏𝐤 ); 𝐩𝟐 (𝐤) = 𝐩(𝐒𝟐𝐤 ), … , 𝐩𝐧 (𝐤) = 𝐩(𝐒𝐧𝐤 )
9. Считающие процессы. Процесс Пуассона
Пуассоновский процесс, случайный процесс,
описывающий моменты наступления 0<𝛕𝟏 < ⋯ <
𝛕𝐧 < ⋯ < ⋯ каких-либо случайных событий, в
котором число событий, происходящих в
течение любого фиксированного интервала
времени, имеет Пуассоновское распределение и
независимы числа событий, происходящих в
непересекающиеся промежутки времени. Всего
есть два класса процессов. Простой: пусть 𝛌 > 𝟎
случайный процесс {𝐗 𝐭 }𝐭≥𝟎 называется
однородным Пуассоновским процессом с
интенсивностью 𝛌, если: 𝐗 𝟎 = 𝟎 почти
достоверно, {𝐗 𝐭 }-процесс с независимыми
переменными. Сложный: пусть £𝟏 ,…, £𝟐
последовательность взаимно независимых
одинаково распределённых случайных
величин. Пусть N(t) – простой пуассоновский
процесс с интенсивностью 𝛌 не зависящий от
последовательности £𝟏 ,…, £𝟐 .
10. Составной пуассоновский процесс со
стационарными и независимыми
приращениями
Пусть {Nt} явл. счит. процессом и пусть X1, X2, …
явл. послед. независ-ых и одинаково распр-ых
СВ с общей ФБ F(x), которые явл. незав. от
процесса {Nt}. Новый процесс {St} опр-им след.
образом: St=X1+…+XN(T), t>=0, где полагается
St=0, если N(t)=0. След. интерпретация делает
эту конструкцию полезной для теории фин.
рисков: если Nt обозн. число исков во вр-ом
инт-ле (0;t] и Xi явл. суммой i-го иска, тогда St
имеет смысл совокупного иска за инт-л (0;t]. В
этом смысле {St} явл. процессом совок-го иска.
Простейшим и наиболее популярным выбором
счит. процессы (или процессы числа исков)
явл. предположение о том, что {Nt} явл.
процессом Пуассона с пар-ом λ>0. Тогда {St}
наз. составным пуассоновским процессом, опрмым параметром λ (ожидаемое число исков в
ед. времени) и ФБ сумм исков F(x).
Из соотв-их св-в процесса Пуассона следует,
что сост. процесс Пуассона также имеет стац. и
незав. приращения
11. Модели индивидуальных исков. Применение
к страхованию жизни
Обозн. через S случ. фин. потери страховщика в
теч. нек. фикс. инт-ла времени исполнения
страх. контрактов. Тогда S явл. СВ, распр-ие
вер-стей которой необх-мо знать для опр-ия
рац-го ведения дел страховщика. В модели
индив-го риска принимается S=X1+X2+…+Xn (1)
где Xi, 1<=i<=n, явл. потерями на один страх.
контракт i, а n это число исп-мых страховых
контрактов в теч. рассм-го инт-ла времени. Как
правило, потери Xi наз. суммами инд-ых рисков.
В этом контексте суммарные потери S наз.
совокупным иском.
Закрытые модели – модели, в которых число
страхуемых единиц n в (1) известно и фикс-но в
начале рассм-го инт-ла времени.
Предположим, что при страх жизни на
одногодичный срок страховщик соглашается
заплатить сумму b, если страхуемый умирает в
течение срока контракта, и ничего не платит,
если страхуемый проживет год. Вер-сть
выплаты в теч. года обозн. через q. СВ иска X
имеет распр-е, которое м.б. списано или его
распр-ем вер-сти или его ф-ей распр-я. Распред.
вер-сти имеет вид
𝟏 − 𝒒, 𝒙 = 𝟎
𝒒, 𝒙 = 𝒃
𝒑 (𝒙 ) = 𝑷 𝒓 (𝑿 = 𝒙 ) = {
𝟎, в др. случаях
𝟎, 𝒙 < 𝟎
и ф-я распр-я 𝑭(𝒙) = 𝑷𝒓 (𝑿 ≤ 𝒙) = {𝟏 − 𝒒, 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝒃
𝟏, 𝒃 ≤ 𝒙
Моменты 1-го и 2-го порядка опр-тся по ф-лам
E[X]=bq, E[X2]=b2q
Var[X]=b2q(1-q)
Эти ф-лы могут быть получены посредством
представления X=I*b, где b - постоянная сумма,
выплачиваемая после смерти, и I СВ, которая
принимает значение1, когда смерть происходит
в теч. контрактного срока, и 0 в противном
случае. СВ I в теор. вер-сти – СВ Бернули. В
нашем случае – индикатор события. Страх.
возмещение наз иском к страховщику. Когда
страх. возмещение выплачивается по контракту
о страх-ии жизни или здоровья, оно чаще наз-ся
пособием.
12. Модели индивидуальных исков. Применение
к страхованию имущества
Обозн. через S случ. фин. потери
страховщика в теч. нек. фикс. инт-ла
времени исполнения страх. контрактов.
Тогда S явл. СВ, распр-ие вер-стей которой
необх-мо знать для опр-ия рац-го ведения
дел страховщика. В модели индив-го риска
принимается S=X1+X2+…+Xn (1)
где Xi, 1<=i<=n, явл. потерями на один страх.
контракт i, а n это число исп-мых страховых
контрактов в теч. рассм-го инт-ла времени.
Как правило, потери Xi наз. суммами инд-ых
рисков. В этом контексте суммарные потери
S наз. совокупным иском.
Закрытые модели – модели, в которых
число страхуемых единиц n в (1) известно и
фикс-но в начале рассм-го инт-ла времени.
13. Суммы независимых равномерных
распределений
Рассмотрим случай, когда третья случайная
величина Z является суммой двух
независимых случайных величин X и Y, то
есть 𝒁 = 𝑿 + 𝒀.
Плотности этих величин 𝒇𝟏 (𝒙), 𝒇𝟐 (𝒚)
соответственно. Плотность распределения Z
∞
𝒇𝟑 (𝒛) = ∫−∞ 𝒇𝟏 (𝒛 − 𝒚)𝒇𝟐 (𝒚) 𝒅𝒚 =
=
∞
∫−∞ 𝒇𝟏 (𝒙)𝒇𝟐 (𝒛 −
𝒙) 𝒅𝒙
Этот интеграл наз сверткой или композицией
плотностей и обозначается след образом:
𝒇𝟑 = 𝒇𝟏 ∗ 𝒇𝟐
Таким образом, если независимые случайные
величины суммируются, то их плотности
распределения свертываются.
Это правило распространяется на сумму
любого числа независимых слагаемых. То
есть, если 𝑿 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 , то
𝒇 = 𝒇𝟏 ∗ 𝒇𝟐 ∗ ⋯ ∗ 𝒇𝒏 .
14. Пример свертки двух независимых
равномерных распределений
Найдем функцию и плотность
распределения частного двух независимых
случайных величин 𝝃 и 𝜼, имеющих
показательное распределение с
параметром 1.
При x>0 имеем
𝜼
𝑷(
𝝃
< 𝒙) = ∬𝑫 𝒇𝝃 (𝒖)𝒇𝜼 (𝒗)𝒅𝒖 𝒅𝒗, где область
𝒙
𝑫𝒙 есть множество точек (𝒖, 𝒗) таких, что
𝒗
< 𝒙. При этом достаточно ограничиться
𝒖
положительными значениями 𝒖 и 𝒗:
показательно распределенные случайные
величины могут принимать отрицательные
значения лишь с нулевой вероятностью.
Вычислим интеграл по области 𝑫𝒙 =
{(𝒖, 𝒗)|𝟎 < 𝒖 < ∞, 𝟎 < 𝒗 < 𝒖𝒙}:
𝜼
𝑷(
𝝃
∞
< 𝒙) = ∫
𝟎
𝒖𝒙 −𝒖 −𝒗
(∫𝟎 𝒆 𝒆 𝒅𝒗) 𝒅𝒖
=𝟏−
𝟏
𝒙+𝟏
15. Аппроксимация распределений совокупных
исков нормальными распределениями. Пример
использования
Для того, чтобы использовать модель составных
совокупных сумм исков нужно знать или
предполагать функцию распределения
соответствующих индивидуальных исков.
Идеальная ситуация, если есть достаточное
количество статистических данных о прошлых исках
и эти данные обеспечивают аппроксимацию
функции распределения СВ Х с необходимой
точностью.
Модели, используемые для построения функции
распределения Х могут быть разделены на три
основные типа:
1. Функция распределения Х выражается в
аналитической форме, которая согласуется с
опытными данными.
2. Функция распределения СВ Х получается явно из
статистических данных в табличной форме.
3. Функция распределения Х точно не
конкретизирована, но из статистических данных
получают числовые характеристики.
Иногда все перечисленные методы комбинируют
между собой. Например, для исков малых размеров
достаточно табличного представления и
вычисления характеристик, а иски больших
размеров лучше исследовать аналитически, т.е.
определить тип аналитического представления и
далее оценить его параметры. Если данные были
собраны за период, в течении которого стоимость
денег изменилась, то важно преобразовать
стоимости к общему базису путем удобно
выбранного показателя.
Рассмотрим табличный метод. Естественной
оценкой для распределения величин исков является
эмпирическое распределение, т.е. функция
распределения исков Р определяется видом:
𝑷(𝒛) =
число исков величины 𝒛𝒊 ≤𝒛
полное число исков
Поскольку такая функция распределения является
дискретной, то она может быть представлена в
табличной форме. Если имеются изменения
стоимости денег в течении наблюдаемого периода,
то должны быть использованы поправочные
данные на инфляцию.
Табличный метод является уместным только тогда,
когда имеется достаточно большой объем данных
по искам. Поэтому желательно разделить диапазон
возможных значений исков z на две части: первую
часть исследуем с помощью табличного метода, а
вся остальная часть, заменяется аналитически
заданной функцией.
19. Модели страхования жизни
В актуальной матем. модели страх. жизни усл. дел. на две
больш. группы в завис от того, приним. или нет в расчет
доход от инвестир. собран. премий.
Если нет, то мы говор о краткосрочном страхов.;
обычно в качестве такого «короткого» интервала мы
будем рассматр интервал в 1 год. Если же да, то мы говор
о долгосрочн. страхован.
Простейш. вид страхован жизни заключ. в след.
Страхователь платит страховой компании р руб. (эта
сумма наз страховой премией); страхователем может быть
сам застрахован. или друг. лицо (напр., его работодат.).
В свою очередь страховая компания обязуется выплатить
лицу, в пользу которого заключен договор, страховую
сумму b руб. в случае смерти застрахованного в течение
года по причинам, перечисленным в договоре (и не платит
ничего, если он не умрет в течение года или умрет по
причине, которая не покрывается договором). Страх.
сумма часто приним. как 1 или 1000. Это означает, что
премия выраж. как доля от страх. суммы или на 1000
страх. суммы соответствен.
Велич страх. выпл., конечно мног. больше, чем страх.
премия, и нахожд. «прав.» соотнош. между ними — одна из
важнейш. задач актуальн. матем.
В схеме страх, когда плата за страховку полност. внос. в
момент заключ. договора, обязательств. застрахован.
выраж. в упл. прем p. Обязательств. компании заключ. в
выпл. страх. суммы, если наступ. страх. случай. В
простейш. форм. принцип эквивалент. обязательств
выраж. Равенством 𝒑 = 𝑬𝑿,
т.е. в качестве платы за
страховку назначается ожидаемая величина убытка. Эта
премия называется нетто-премией.
Купив за фиксированную премию p руб. страховой полис,
страхователь избавил выгодоприобретателя
от риска финансовых потерь, связанных с
неопределенностью момента смерти застрахованного.
Однако сам риск не исчез, его приняла на себя страховая
компания.
Поэтому было бы справедливо, что плата за страховку
включала бы надбавку l, которая служила бы
эквивалентом случайности, влияющей на компанию. Эту
надбавку назыв. страховой надбавкой, а 𝛉 =
𝐥
𝐄𝐗
— относительной страховой надбавкой.
Точн. расчет защитной надбавки может быть произвед. в
рамках теории риска.
Простейш. моделью функцион. страховой компании,
предназнач. для расчета вероятн. разорения,
является модель индивид. риска.
В основе модели лежат предположения:
1. Анализируется фикc. относительно короткий
промежуток времени — обычно это один год;
2.
Число договоров страх. N фиксир. и неслуч.;
3. Премия полн. вносится в начале анализир. периода;
никаких поступл. в теч. этого пер нет;
4. Мы наблюд. кажд. отдельн. договор страхован. и
знаем статистич. свойства связан. с ними индивид.
потерь X.
20. Распределение числа исков. Отрицательное
биномиальное распределение
Модель коллетивн. риска наиб. часто использ. при опис
исков по полисам общего страхован., когда по кажд. из
полисов может быть предъявл. больше одного иска.
Предплолож. в модели коллект. Риска
Согласно модели коллект., риска, велич. S суммарн.
выплат. опред. период от относ. группы полисов. страх.
равна: 𝑺 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 , где 1) 𝑿𝒊 одинаково распред 2)
𝑿𝒊 и N – независ. случ. велич. 3) Временная стоимость
денег игнорируется (то есть проценты не накаплив.)
Распред. общего числа исков N является одним из
предложений в мод. коллективного риска. Обычно оно
имеет распред. Пуассона или отриц. биноминальное
распределение.
Распредел. велич. индивидуальн. иска. Распред велич 𝑿𝒊
индивид. иска также явл. одним из предполож. в данной
модели. Будет прдполог., что 𝑿𝒊 имеет одно из стандарт.
распределений ущерба
Обобщенное распред. Пуассона
В случае с обобщ. распред. Пуассона, в кот. величина
индивид. иска имеет диск. распред, мы можем найти
точные вероятности для распределения суммарного иска
(которое также явл. дискретным), используя следующ.
Итерационную формуру:
Рекурсивная формула (Обобщенного распределения
Пуассона)
Если 𝑺 = 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏 имеет обобщ. распред. Пуассона
с параметром µ, 𝑿𝒊 – диск. независ. одинаково распред. СВ,
прин. неотриц. знач., то функция распред. величины S
может быть получ., использ. следующие рекурс. Формы
𝒑𝒔 (𝟎) = 𝒆𝝁 ,
𝒙
𝒑𝒔 (𝟎) = 𝝁 ∑𝟎<𝒙≤𝒔 𝒔 𝒑𝒙 (𝒙)𝒑𝒔 (𝒔 − 𝒙), 𝒔 = 𝟏, 𝟐, …
Где сумма берётся по всем знач. x, при котором 𝒑𝒔 (𝒔 − 𝒙) не
равно нулю.
Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также
называемое распределением Паскаля — это
распределение дискретной случайной величины, равной
числу произошедших неудач в последовательности
испытаний Бернулли с вероятностью успеха p,
проводимых до r-го успеха.
Пусть {𝑿𝒊 }∞
𝒊=𝟏 —
последовательность независимых случайных
величин с распределением Бернулли, то есть
𝟏, 𝒑
𝑿𝒊 = {
, 𝒊∈𝑵
𝟎, 𝒑 ≡ 𝟏 − 𝒑
Построим случайную величину Y следующим образом.
Пусть k+r — номер r-го успеха в этой последовательности.
Тогда Y=k. Более строго, положим 𝑺𝒏 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑿𝒊 . Тогда 𝒀 =
𝐢𝐧𝐟{𝒏 | 𝑺𝒏 = 𝒓} − 𝒓
Распределение случайной величины Y, определённой
таким образом, называется отрицательным
биномиальным. Пишут: 𝒀~𝑵𝑩(𝒓, 𝒑).
21. Распределение суммы индивидуальных
исков
Возникают ситуации, когда треб. свёртки.
распред. индив. иск. сумм. т.о., когда это
возможно, необх. выбирать такое распред. из
семейства распред., для кот. свёртки возможно,
необх. выбирать такое распред., из семейства
распред, для которых легко вычисл., либо
аналитич., либо численно. Например, если
сумма имеет норм., распред со ср. значением =
M, 𝐃 = 𝛔𝟐 , тогда n-кратная свёртка явл., норм.
распред. и ср. значением nµ и дисперсией n𝛔𝟐 .
Для таких типов стах, СВ суммы иска
принимают только положит знач. и её распред.
явл. ассимм. Для таких типов страхов. Можно
выбр. гамма распред.
Поскольку п-кр. Свёртка гамма распред. с
парам. 𝛂 и 𝛃 явл. также 𝛄 распред., на с парам.
𝐧𝛂 и 𝛃, это следует из
𝐌 𝐱 (𝐭 ) = (
𝛃
𝛃−𝐭
)𝛂 − Простая функция моментов
И след. пр. фукнция кот. соотв свёртке не будет
𝛃
равн. (𝐌𝐱 (𝐭))𝐧 = ( )𝛂𝐧 , где 𝐭 < 𝛃
𝛃−𝐭
Если суммы инд. Исков имеют эксп. распред. с
парам 1, то плотн. вероятн., им. вид:
𝐩(𝐱) = 𝐞−𝐱 , 𝐱 > 𝟎,
Оно также м. рассматр, как 𝛄 распр. С
параметрами 𝛂 = 𝛃 = 𝟏. Тогда получим, что п-кр.,
свертка явл. 𝛄 – распред. с парам 𝛂 = 𝐧, 𝛃 = 𝟏,
т.е. 𝐩
∗𝐧 (
𝐱) =
𝐱 𝐧−𝟏 ∗𝐞−𝐱
(𝐧−𝟏)!
,x>0
Данный случай эксп. распр-ния показыв., что
даже для простых распред. сумм. инд. исков,
распред. сов. иска может не иметь простого
вида. В таком случае случайное необх.
выбирать дискр. распред. сумм исков и вычисл.
требуемые свертки численно.
Для сост. Пуасс. Распределения вычесления
свёртки м. б. упрощенно использованием
реккурентной формуры для прямого
вычисления функции распред. СВ S.
22. Свойства составного пуассоновского
распределения
1) 1 св-во показывает,что сумма СВ-н с составным
Пуассоновским распределением также имеет составное
Пуасс. Распр:
Теорема: если 𝐒𝟏 , 𝐒𝟐 … 𝐒𝐦 явл. Взаимно-независимыми СВми такими, что 𝐒𝐢 имеет сост.пуасс.распр с парам 𝛂 и ф-я
распределения суммы исков Р𝐢 (х), тогда S= 𝐒𝟏 + 𝐒𝟐 + ⋯ +𝐒𝐦
имеет сост.пуас.распр. с парам 𝛂 , где 𝛌 = ∑𝐦
𝐢=𝟏 𝛌𝐢, а 𝐏(𝐱) =
𝛌
𝐢
∑𝐦
𝐢=𝟏 𝛌 Р𝐢 (х),
Этот рез-т имеет 2 последствия при построении
страхуемых моделей:
1. Если объединить m стр-ых портфелей, когда сов. Иски
отдельных портфелей имееют сост. Пуас.распр. и явл
взаимно-незавимыми, то сов. Иски для обед-го портфеля
будут опять иметь сост. Пуас.распр
2. М. рассм. отдельный страх.портфель для m лет.
Предположим независимость m годовых сов.исков,
которые в каждом году имеют сост.пуас.распр.
Распределениегодовых сов.исков необязательно д.б.
одинаковым. Тогда из теоремы следует, что полный иск за
m-летний период юудет иметь сост.пуас.распр.
2) 2-ое св-во приводит к методу вычислительных значений
сост.пуас.распр., которое отличается от обычного метода.
Теорема: если СВ S имеет сост. Пуас.распр. с парам 𝛌 и
инд. Иски заданы дискретным распределением, тогда:
1)СВ №1, №2, …, №m – взаимно-независимые
2)СВ № 𝐢 имеют пуас.распр с парам 𝛌
23. Процессы коллективного риска и задачи
разорения. Основные понятия
Фонд страх. Компании(страховщика) образуется из 2ух компонент:
- сумма нек. начального фонда и премий, собранных
по закл. до текущего момента вр. Страховым
контрактом;
- Сов. Иск, т.е сумма всех оплаченных к этому
времени исков.
Фонд страх. компании можно рассм. как свободные
резервы страховой компании.
Св. резервы и фонд стр. компании – эквивалентные
понятия.
U(t), t ≥ 𝟎 −фонд стаховщика в момент вр. t
Предполагается, что премии получаются
непрерывно с пост. Скоростью с > 𝟎
S(t) – cов. Иск до м.вр. t
Если U(0)= и явл. Фондом, кот. имеется у
страховщика в м.вр. 0, возможно,как рез-т прошлой
деят., тогда U(t)=u+ct - S(t) (1), t ≥ 𝟎
В этой модели игнорируются проценты и др.
факторы, кроме премий и исков, кот. могли повлиять
на фонд страховщика. Напр., игнорируются издержки
и дивиденты страхователей или акционеров.
Разорение-технич. Термин и не явл эквивалентным
неплатежеспособности. В реальной ситуации случаи
таким образом определенного разорения не
обязательно явл. безнадежными, т.к при
рассмотрении всех сторон деят-сти компании,
фонды страховщика м.б.положит. но полезная мера
фин.риска в организации стр-ия получается путем
вычисления вер-сти разорения как последствия
измерения суммы фонда. Опр-им Т = min{𝒕: 𝒕 ≥
𝟎, 𝑼(𝒕) < 𝟎}(𝟐). Т из(2) – момент появления
разорения(допуская Т=∞, что символизирует, что 𝑼(𝒕) ≥
𝟎, t ≥ 𝟎, т.е. разорение не встречается).
Введем вер-сть разоения, кот. рассм. Как ф-я
величины нач. фонда u, т.е: 𝝍(𝒖) = 𝑷(𝑻 < ∞)
Также нас интересует u(T), значение отриц.величины
фонда в момент, когда встречается разорение
На практике большинство страховщиков интересует
возможность разорения на продолжит., но конечном
периоде времени.
Таким образом, рассмотрение ограничится
вероятностью разорения до момента времени
t: 𝝍(𝒖) = 𝑷(𝑻 < 𝒕)
24. Пример глобального способа описания
процесса числа исков
Процесс 𝐍(𝐭), 𝐭 ≥ 𝟎 наз. процессом числа исков.
Процесс 𝐒(𝐭), 𝐭 ≥ 𝟎 наз. процессом сов.иска.
1.глобальный способ опр-ия процесса числа
исков:
Для 𝐭 ≥ 𝟎, h> 𝟎 задается распр. СВ-ы N(t+h)-N(t) –
это распределение может зависеть от значения
N(S), S≤ 𝐭
Пример. Рассм n лиц возраста х в момент времени
0. Пусть N(m) обозн. число смертей, которые
встретились за время t. 𝐓𝐢 обозн момент, когда
встретилась i-ая смерть, i=1,2…,n Предположим
взаимную независимость моментов времени
наступления смерти. Необходимо дать опр-ие
процессам {𝐍(𝐭), 𝐭 ≥ 𝟎} при помощи глобального
способа.
Условное распределение N(t+h)-N(t) при условии,
что N(t)=i явл. биномиальным распределением с
парам n- i и парам. h𝐪𝐱+𝟏 , где h𝐪𝐱+𝟏 обозн
вероятность того, что лицо возраста x+i умирает
до наступления им возраста x+i+h. Т.о
вероятность 𝐏(𝐍(𝐭 + 𝐡) − 𝐍(𝐭) =
𝐧−𝐤 (
𝐤|𝐍(𝐭) =i)=(
) 𝐧𝐪𝐱+𝟏 )𝐤 (𝟏 − 𝐧𝐪𝐱+𝟏 )𝐧+𝐢+𝐤 , k=0,…,n-i,
𝐤
если N(t)=n, то и N(t+h)=n
25. Пример способа дискретизации времени при
описании процесса числа исков
Рассмотрим n лиц возраста x в момент времени 0.
Пусть N(m) обозначает число смертей, которые
встретились за время t. 𝑻𝒊 обозначает момент, когда
встретилась i-ая смерть. Предположим взаимную
независимость моментов времени поступления
смерти. Необходимо дать определение процессам
{N(t), t≥0} при помощи каждого из 3-х методов.
Решение:
1 м-д: Усл. распределение N(t+h)-N(t) при условии,
что N(t)=i явл биномиальным распределением с
параметром n-i и параметром 𝒉𝒒𝒙+𝒊 – вероятность
того, что лица возраста x+i умирает до наступления
им возраста x+i+h.
Т.о. вероятность 𝑷(𝑵(𝒕 + 𝒉) − 𝑵(𝒕)) =
𝒏−𝒌
(
) (𝒏𝒒𝒙+𝒊 )𝒌 (𝟏 − 𝒏𝒒𝒙+𝒊 ) 𝒏+𝒊+𝒌 .
𝒌
2 м-д: Вероятность 𝑷(𝑵(𝒕 + 𝒉) − 𝑵(𝒕)) = (𝒏 − 𝒊)𝝁𝒙+𝒕 𝒅𝒕.
Это интенсивность смерти, действующая на статус
совместного выживания остающихся в живых n-i
лиц в возрасте x+t будет ровна (𝒏 − 𝒊)𝝁𝒙+𝒕 на
интервале времени dt.
3 м-д: Для 𝒊 = ̅̅̅̅̅
𝟏, 𝒏, 𝑷(𝑾𝒊+𝟏 > 𝒕|𝑻𝒊 = 𝑺) = (𝒕𝑷𝒙+𝒔 )𝒏−𝒊 , где
𝒕𝑷𝒙+𝒔 = 𝟏 − 𝒕𝒒𝒙+𝒔 , 𝑾𝒊+𝟏 = ∞.
26. Пример инфинитезимального способа
описания процесса числа исков
Задаётся вероятность того, что
N(t+dt)=N(t)+1, т е вероятность
появления иска в бесконечно малом
интервале времени от t до t+dt. Эта
вероятность пропорциональна dt и
может зависеть от наблюдений до
момента времени t, т е до момента N(S),
S≤t.
Способ ограничивается процессами, для
которых
𝐥𝐢𝐦
𝒅𝒕→𝟎
𝑷(𝑵(𝒕+𝒅𝒕)>𝑵(𝒕)+𝟏)
𝒅𝒕
=𝟎
27. Пример использования подстроечного
коэффициента
Процесс изменения фонда страховщика U(t),
может изучать путь путём его отношения к
процессу исков S(t).
Теперь, когда имеется полностью заданная
модель процессов фондов, можно получить
более конкретные результаты. Они могут быть
полезны для нахождения верхней или нижней
границы Ψ(u) в общем виде или
конкретизированном в частном случае
экспоненциального распределения
индивидуальных исков.
Сначала сделаем естественное предположение,
что темп сбора премии С превышает средние
платежи по искам за каждую единицу времени.
λр𝟏 = платежи.
Затем определяется относительная надбавка
безопасности (θ) из равенства: с = (𝟏 + 𝜽)𝝀р𝟏 .
Покажем, что условия 𝜽 → 𝟎 или 𝜽 < 𝟎 влекут за
собой равенство: Ψ(u)=1, что означает
достоверность разорения.
Пусть −∞ < х < 𝜸 обозначает наиболее
открытый интервал, для которого производная
функция моментов существует и обозначается
Р(х).
Предполагается, что const 𝜸 является
положительной в случае экспоненциального
распределения с параметром β, 𝜸 = 𝜷 , а для
любого распределения ограниченных сумм
исков: 𝜸 = +∞. Кроме того, будем предполагать,
что производная функция моментов →+∞ - это
не всегда достоверно для конечных 𝜸.
Для составного процесса Пуассона рассмотрим
𝒗
равенство : 𝝀 + 𝒄𝒓 = 𝝀 ∫𝟎 𝒆𝒓𝒙 𝒑(𝒙)𝒅𝒙 = 𝝀𝑴𝒙 (𝒓). В
большинстве случаев интеграл
рассматривается от 0 до +∞. Используя
с=(1+θ) 𝝀р𝒊 получим эквивалентное выражение:
1+(1+θ) 𝒓𝒑𝟏 =𝑴𝒙 (𝒓) (5)
Здесь левая часть – линейная функция по r,
правая - положительно возрастающая функция,
которая стремится к бесконечности при r→ 𝜸.
Кроме того, вторая производная в правой
части-положительна, следует график выпуклый
снизу.
Таким образом, принятое неравенство с > 𝝀р𝟏
означает, что наклон левой части выражения (5)
превышает наклон р𝟏 в правой части в т. r=0.
29. Принципы определения страховых премий
Принц-пы опр-ия премий основыв-тся на какомлибо функционале, согласно кот назначается
обычно нагруженная премия для заданного
рапр-ия исков.
Формально принцип опр-ия премий явл нек
правилом Н, на основе кот даётся вещ. число
наз-мое премией Р для нек СВ S из огр инт-ла,
кот задаётся её ф-ей распр F(S). Формально:
Р=Н(S).
Принципы выч-ия премий:
a) Принцип нетто-премий (пр-п эквивал-сти).
Этот пр-п означ: P=M(S).
b) Пр-п мат. ожиданий: Он означ., что имеется
надбавка безопасности, кот пропорц-на M(S),
т.о: P=(1+λ)M(S), где λ>0 – параметр.
с) Пр-п дисперсии: Надбавка без-сти пропорц D,
тогда: P=M(S)+𝜶D(S), где 𝜶>0 – параметр.
d) Пр-п станд. отклонения: Надб без. проп. станд
откл.: 𝑷 = 𝑴(𝑺) + 𝜷√𝑫(𝑺), где 𝜷>0 – параметр.
e) Пр-п нулевой полезности:
30. Св-ва принципов определения премий
Расм-им 5 св-в, которым д. удовл-ть принципы
вычисления премии P=H(S).
1) Неотриц-сть надбавки безопасности, т.е
P≥M(S), для Ɐ СВ S.
2) Рациональность – премии не должны
превышать макс-но возм. пособие.
3) Состоятельность, т.е H(S+c)=H(S)+c, для Ɐ
риска S и Ɐ const c.
Это соотв-ет требованию, что если пособие
увеличивается на аддитивную const, то премия
м.б. увеличена на эту const.
4) Аддитивность – если 𝑺𝟏 и 𝐒𝟐 явл незав.
Рисками, то H(𝑺𝟏 + 𝐒𝟐 ) = H(𝑺𝟏 ) + H(𝑺𝟐 ), т.е премия
за сумму рисков = сумме премий за каждый
риск. Т.о. срастание незав. рисков не д. влиять
на общую величину премий.
5) Реккурентность – если S и X явл Ɐ-ми
рисками, то H(S)=H(H(S|X)) (10).
Выраж-ие вида (10) означ, что премия за риск S
(левая часть (10)) м. вычисляться двумя
шагами: Сначала выч-тся усл. Премия за риск S
при заданном X, эта усл. премия явл ф-ей X и
поэтому сама явл СВ-ой; затем выч-тся
значение премии от полученной величины.
31. Уменьшение премий путем кооперации.
Необходимость в перестраховании
Рассмотрим n дружественных страх компаний,
каждая из которых использует экспоненциальный
принцип начисления премий, например с
параметрам 𝒂𝒊 , все вместе они должны страховать
заданный риск S. Т.о, они разбивают риск между
собой, т.е. они опр случайные величины
𝑺𝟏 , … , 𝑺𝒏 |𝑺𝟏 +, … , +𝑺𝒏 = 𝑺, где 𝑺𝒊 является риском
страховой компании под номером i. Тогда полная
𝟏
̂ = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝐥𝐧(𝑴(𝒆𝒂𝒊 ∗𝒔𝒊 )) (1)
премия: 𝒑
𝒂𝒊
Данная полная премия зависит от выбора
величины 𝑺𝒊 , чтобы сделать n компаний
настолько конкурентоспособными, насколько
возможно, т.е. минимизировать полную премию,
риск надо разделить так, что компания под
номером i должна стр-ть используя формулу 𝑺̂𝒊 =
𝒂
𝑺 , где 𝒂 =
𝒂𝒊
𝟏
(∑𝒏𝒊=𝟏
𝒂
𝒊
)
−𝟏
.
(2)
Тогда мин премия р̃ = ∑𝒏𝒊=−𝟏
𝟏
𝒂𝒊
𝐥𝐧(𝑴(𝒆𝒂
𝒔
))
(3)
Интерпретация равенства (2) состоит в том, что
каждая компания должна стр-ть опр % данного
риска и этот % пропорционален обратному
значению экспоненциального параметра. Также
выражение вида (3) показывает, что n компании
могут объявлять общую премию подобно одной
компании, которая использует экспоненциальный
принцип с параметром а, который определяется
по формуле (2).
Необходимость перестрахования:
В реальности может быть невозможно
реализовать принцип вычисления премии Н во
всех ситуациях. Рассмотрим страховой полис, для
которого получена премия Р и должна быть
сделана выплата S. Задача состоит в том, чтобы
выяснить, Будет ли этот полис
конкурентоспособным при Н. Для этого
необходимо сравнить фактическую премию Р с
теоретической премией H(S). Возможно два
случая:
1. P≥H(S) – премия достаточно высока;
2. P˂H(S) – принцип Н нарушается.
В качестве применения рассмотрим страхование
жизни на 1 год смертности q, премия: 𝑷 = (𝟏 + 𝝀)𝒁𝒒
Предположим, что доступен следующий тип
перестраховочного покрытия: 𝑺′ = 𝒁′ в том случаи,
если 𝑺 = 𝒁, 𝑺′ = 𝟎, если 𝑺 = 𝟎, 𝑷′ = (𝟏 + 𝝀′ )𝒁′𝒒
Величина x=Z-Z’ называется пределом удержания,
λ>0 отражает пропорциональную надбавку
безопасности одного страховщика, а λ’>0 надбавку без. перестраховщика.