Е.М. Махов, А.И. Потапов, В.Е. Махов
Прикладная
оптика
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2004 г.
Е.М. Махов, А.И. Потапов, В.Е. Махов
Прикладная
оптика
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2004 г.
1
УДК 666.189.2.535.8
Прикладная оптика: Учеб. пособие. / Е.М. Махов, А.И. Потапов,
В.Е. Махов. – СПб.: СЗТУ, 2003.– 230 с.
ISBN
В учебном пособии рассматриваются такие разделы прикладной оптики как геометрическая, волновая и квантовая оптика. Основное внимание уделяется изучению законов распространения света, дисперсии,
интерференции, дифракции, поляризации и когерентности света, а также
рассмотрены такие свойства оптических систем как фотометрические,
видимое увеличение, светосила, потери света, диафрагмирование, виньетирование, освещенность, поле зрения, глубина резкости, абберации и
др. Кроме того, рассмотрены теория микроскопов, теория телескопических систем и методы компьютерной оптики.
Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по
специальности 190100 - Приборостроение.
Рецензенты:
Засл. деятель науки РФ, д-р техн. наук, проф. Прокопенко В.Т.
д-р техн. наук, проф. Стафеев С.К.
ISBN
Северо-Западный государственный
университет, 2004
заочный
технический
2
ВВЕДЕНИЕ
Оптика - раздел физики, в котором изучается оптическое излучение (свет), его распространение и явления, наблюдаемые при взаимодействии света и вещества. Учение о свете принято делить на три части:
геометрическая или лучевая оптика;
волновая оптика;
квантовая оптика.
Оптическое излучение представляет собой электромагнитные волны, и поэтому, оптика - часть общего учения об электромагнитном поле.
Оптический диапазон длин волн охватывает около 20 октав и ограничен
с одной стороны рентгеновскими лучами, а с другой стороны - микроволновым диапазоном радиоизлучения.
Геометрическая оптика не рассматривает вопрос о природе света,
она исходит из эмпирических законов его распространения и использует
представление о световых лучах, которые преломляются и отражаются на границах сред с разными оптическими свойствами и которые распространяются прямолинейно в оптически однородной среде.
Волновая оптика - это раздел оптики, который рассматривает свет,
как электромагнитную волну; в ней изучаются явления, в которых проявляются волновые свойства света (как поперечной электромагнитной
волны).
Квантовая оптика, изучающая взаимодействие света с веществом,
при котором проявляются корпускулярные свойства света.
Свет играет чрезвычайно важную роль в нашей жизни. Подавляющее количество информации об окружающем мире человек получает с
помощью света. Однако, в оптике как разделе физике под светом понимают не только видимый свет, но и примыкающие к нему широкие
диапазоны спектра электромагнитного излучения – инфракрасный ИК и
ультрафиолетовый УФ. По своим физическим свойством свет принципиально неотличим от электромагнитного излучения других диапазонов
– различные участки спектра отличаются друг от друга только длиной
волны λ и частотой ν. Рис. 1. дает представление о шкале электромагнитных волн.
3
Рис. 1. Шкала электромагнитных волн
Для измерения длин волн в оптическом диапазоне используются
единицы длины 1 нанометр (нм) и 1 микрометр (мкм):
1 нм = 10–9 м = 10–7 см = 10–3 мкм.
Видимый свет занимает диапазон приблизительно от 400 нм до
780 нм или от 0,40 мкм до 0,78 мкм. Границы между различными диапазонами условны.
Электромагнитная теория света позволила объяснить многие оптические явления, такие как интерференция, дифракция, поляризация и
т. д. Однако, эта теория не завершила понимание природы света. Уже в
начале XX века выяснилось, что эта теория недостаточна для истолкования явлений атомного масштаба, возникающих при взаимодействии
света с веществом. Для объяснения таких явлений, как излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона и др. потребовалось введение
квантовых представлений. Наука вновь вернулась к идее корпускул –
световых квантов. Тот факт, что свет в одних опытах обнаруживает волновые свойства, а в других – корпускулярные, означает, что свет имеет
сложную двойственную природу, которую принято характеризовать
термином корпускулярно-волновой дуализм.
4
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ОПТИКИ
1.1. Природа света. Волновой и квантовый характер световых
явлений
Учение о свете, или как оно позднее стало называться оптика, возникло на заре развития человеческого общества. Человека всегда волновали и с философской точки зрения и с практической, вопросы, связанные с возможностью наблюдать окружающий мир, различные оптические и световые явления, происходящие в природе. Не останавливаясь
на первых попытках объяснения различных оптических явлений, которые с нашей современной позиции кажутся весьма наивными, мы отметим, что основные закономерности распространения света, такие как закон прямолинейного распространения, закон независимости световых
пучков, закон отражения и преломления света были известны еще в
древности.
Однако, только в 1672 году Ньютоном была выдвинута первая
научная теория света – корпускулярная, называемая им «теория истечения». Ньютон считал, что свет представляет собой поток особых частиц
– корпускул, и что скорость движения этих частиц есть скорость света.
Главным аргументом в пользу своей теории Ньютон считал прямолинейность распространения света. С помощью этой теории удалось
объяснить отражение и преломление света, для чего пришлось допустить, что скорость распространения световых корпускул в средах с различной оптической плотностью меняется только в направлении нормали
к поверхности. Из этого допущения вытекало, что скорость света в оптически более плотных средах больше, чем в воздухе. Следует отметить,
что некоторые оптические явления интерференции (кольца Ньютона)
наводили Ньютона на мысль о более сложном характере света, он пытался объединить корпускулярную теорию с волновой. Ньютону пришлось допустить, что лучи могут быть в «приступах легкого отражения
и приступах легкого прохождения». Он писал: «не могут ли в этом случае, когда луч света падает на поверхность какого-нибудь прозрачного
тела и преломляется там или отражается возбуждаться в следствии этого
волны или колебания…».
Современник Ньютона Гюйгенс, в свою очередь, выдвинул другую
теорию. Он считал, что никаких корпускул не существует и что свет является волновым процессом. В оптике известен принцип, носящий имя
Гюйгенса: Каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, сама становится источником вторичных световых волн, огибающая кото-
5
рых в каждый данный момент времени и представляет фронт распространяющейся волны.
Используя волновую теорию и принцип Гюйгенса можно получить
объяснение основных законов геометрической оптики, согласующиеся с
опытными данными. Согласно волновой теории, скорость распространения света в оптически более плотных средах, чем воздух, получается
меньше скорости света в воздухе. Это же подтвердили и опыты Физо,
который определил скорость распространения света в воде.
В Х1Х веке работами Юнга и Френеля были объяснены на основании волновых представлений явления, интерференции и дифракции света. Наконец, окончательное подтверждение волновой теории последовало после работ Максвелла, который показал, что свет является электромагнитным колебанием.
Однако, некоторые опытные данные, в частности явления, связанные с взаимодействием света с веществом – фотоэлектрический эффект,
поглощение и испускание света - не удавалось уложит в рамки волновой
теории.
В 1900 году Планк выдвинул гипотезу (первоначально принимаемую им как удобный математический аппарат и не имеющий физической основы), что свет испускается отдельными порциями, квантами,
энергия которых равна hν , где ν - частота света, h - постоянная Планка. Эта гипотеза позволила объяснить многие непонятные оптические
явления и одновременно явилась как бы возвращением к старой корпускулярной теории, но на более высоком уровне. Для объяснения одних
явлений, таких как интерференция, дифракция, поляризация света требуется предполагать, что свет является электромагнитным колебанием,
то есть, использовать волновую теорию света; другие явления понятны
только при условии принятия квантового характера света.
Отсюда следует естественное заключение, что свет одновременно
обладает и корпускулярными и волновыми свойствами.
1.2. Законы распространения света
Уже в первые периоды оптических исследований были опытным
путем установлены основные законы распространения света. Это:
1). Закон прямолинейного распространения света;
2). Закон независимости световых пучков;
3). Закон отражения;
4). Закон преломления.
При этом, основные законы геометрической оптики были известны
задолго до установления физической природы света.
6
Закон прямолинейного распространения света: в оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Опытным доказательством этого закона могут служить резкие тени, отбрасываемые непрозрачными телами при освещении светом источника достаточно малых размеров («точечный источник»). Другим доказательством может
служить известный опыт по прохождению света далекого источника
сквозь небольшое отверстие, в результате чего образуется узкий световой пучок. Этот опыт приводит к представлению о световом луче как о
геометрической линии, вдоль которой распространяется свет. Следует
отметить, что закон прямолинейного распространения света нарушается
и понятие светового луча утрачивает смысл, если свет проходит через
малые отверстия, размеры которых сравнимы с длиной волны. Таким
образом, геометрическая оптика, опирающаяся на представление о световых лучах, есть предельный случай волновой оптики при λ → 0. Границы применимости геометрической оптики будут рассмотрены в разделе о дифракции света.
На границе раздела двух прозрачных сред свет может частично отразиться так, что часть световой энергии будет распространяться после
отражения по новому направлению, а частично пройти через границу и
распространяться во второй среде.
Закон отражения света: падающий и отраженный лучи, а также
перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в точке
падения луча, лежат в одной плоскости (плоскость падения). Угол отражения γ равен углу падения α.
Закон преломления света: падающий и преломленный лучи, а
также перпендикуляр к границе раздела двух сред, восстановленный в
точке падения луча, лежат в одной плоскости. Отношение синуса угла
падения α к синусу угла преломления β есть величина, постоянная для
двух данных сред:
Закон преломления был экспериментально установлен голландским
ученым В. Снеллиусом (1621 г.).
Постоянную величину n называют относительным показателем
преломления второй среды относительно первой. Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсолютным показателем
преломления.
Относительный показатель преломления двух сред равен отношению их абсолютных показателей преломления:
n = n2 / n1.
7
Законы отражения и преломления находят объяснение в волновой
физике. Согласно волновым представлениям, преломление является
следствием изменения скорости распространения волн при переходе из
одной среды в другую. Физический смысл показателя преломления – это
отношение скорости распространения волн в первой среде υ 1 к скорости
их распространения во второй среде υ2:
Абсолютный показатель преломления равен отношению скорости
света c в вакууме к скорости света υ в среде:
Рис 1.2.1 иллюстрирует законы отражения и преломления света.
Рис. 1.2.1. Законы отражения и преломления: γ = α; n1 sin α = n2 sin β
Среду с меньшим абсолютным показателем преломления называют
оптически менее плотной.
При переходе света из оптически более плотной среды в оптически
менее плотную n2 < n1 (например, из стекла в воздух) можно наблюдать
явление полного отражения, то есть исчезновение преломленного луча. Это явление наблюдается при углах падения, превышающих некото-
8
рый критический угол αпр, который называется предельным углом полного внутреннего отражения (см. рис. 1.2.2).
Для угла падения α = αпр sin β = 1 значение sin αпр = n2 / n1 < 1.
Если второй средой является воздух (n2 ≈ 1), то формулу удобно переписать в виде
sin αпр = 1 / n,
где n = n1 > 1 – абсолютный показатель преломления первой среды.
Для границы раздела стекло–воздух (n = 1,5) критический угол равен αпр = 42°, для границы вода–воздух (n = 1,33) – αпр = 48,7°.
Рис. 1.2.2. Полное внутреннее отражение света на границе вода–воздух;
S – точечный источник света
Явление полного внутреннего отражения находит применение во
многих оптических устройствах. Наиболее интересным и практически
важным применением является создание волоконных световодов, которые представляют собой тонкие (от нескольких микрометров до миллиметров) произвольно изогнутые нити из оптически прозрачного материала (стекло, кварц). Свет, попадающий на торец световода, может распространяться по нему на большие расстояния за счет полного внутреннего отражения от боковых поверхностей (рис. 1.2.3). Научнотехническое направление, занимающееся разработкой и применением
оптических световодов, называется волоконной оптикой.
9
Рис. 1.2.3. Распространение света в волоконном световоде. При сильном
изгибе волокна закон полного внутреннего отражения нарушается, и
свет частично выходит из волокна через боковую поверхность.
Рис. 1.2.4. Модель 1. Отражение и преломление света
В геометрической оптике законы отражения и преломления света на
границе раздела двух прозрачных сред формулируются на основе понятия световых лучей. Компьютерная модель позволяет изучать законы
отражения и преломления света на границе воздух–среда и среда–
воздух. При этом показатель преломления n среды может изменяться от
10
1 до 2. Модель является компьютерным вариантом прибора для изучения законов отражения и преломления света.
Луч света направляется на плоскую границу двух сред либо со стороны воздуха, либо со стороны исследуемой среды. В обоих случаях
угол падения можно изменять в пределах от 0 до 90°. На экране дисплея
высвечиваются отраженный и преломленный лучи, направления которых можно определить по круговой градусной шкале.
Обратите внимание, что при падении света на границу раздела со
стороны среды (n > 1) под углом, превышающим некоторое значение α0,
преломленный луч отсутствует. Это явление называется полным внутренним отражением, а угол α0 – предельным углом полного внутреннего отражения (α0 = αпр). При падении света на эту же границу со стороны воздуха преломленный луч не может отклониться от перпендикуляра к границе раздела на угол, превышающий α0.
В дальнейшем было показано, что первые два закона, закон прямолинейного распространения и закон независимости световых пучков, в
следствии волнового характера световых колебаний, при определенных
условиях не выполняются, в следствии чего возникают такие явления
как дифракция и интерференция.
1.3. Способы определения скорости света
Одним из важных свойств, является скорость распространения света в пустоте и других оптических средах. Огромная величина скорости
света по сравнению со скоростью распространения различных движущихся объектов, наблюдаемых человеком в практической жизни, ставило много затруднений и при объяснений многих оптических явлений и
при практическом определении скорости света. Чтобы показать, как
трудно воспринималась человеком возможность перемещения материи,
в данном случае света, с огромными скоростями, можно привести пример определения скорости света, предпринятый итальянским ученым
Галилео Галилеем, который вместе со своим сотрудником расположились на двух соседних вершинах гор и сигнализировали друг другу светом фонарей. Один участник этого эксперимента открывал крышку фонаря и одновременно включал часы. Второй участник, получив световой
сигнал, также открывал фонарь и посылал свет в направлении первого
экспериментатора, который, получив ответный сигнал, останавливал часы. Зная расстояние между вершинами гор и время прохождения светом
этого расстояния туда и обратно, можно получить скорость света. Нам,
конечно ясно, почему эта попытка определения скорости света не дало
желаемых результатов.
11
Вскоре было понятно, что для того, чтобы измерить скорость распространения света с требуемой точностью, необходимо иметь большие
расстояния, которые бы проходил свет, во-первых, и необходимо было
отсчитывать время с очень высокой точностью, во вторых.
Ограниченность земное поверхности и, кроме того, ее кривизна не
позволили ученым получить необходимые большие расстояния. Поэтому все исследования были направлены на улучшение отсчетных
устройств времени, нахождения способов точной регистрации моментов
прихода светового сигнала в отсчетное устройство.
Для получения точных отсчетов времени используют модулирование света, при этом используют три основных метода модуляции:
а). Метод зубчатого колеса,
б). Метод вращающегося зеркала,
в). Метод электрического затвора.
Во всех этих методах время распространения определяется из измерения частоты модуляции.
Рассмотрим вкратце три эти варианта модуляции света на примерах.
Метод Физо. На рис.1.3.1 представлена принципиальная схема
установки, используемая в методе Физо, где модуляция светового потока производится вращающимся зубчатым колесом. Свет от источника
света 1 конденсорной системой направляется на полупрозрачное зеркало
2, отразившись от которого проходит между зубьями вращающегося
зубчатого колеса 5. Далее, коллиматорная система 3 направляет пучок
лучей на вогнутое зеркало 4, отразившись от которого, свет проходит
обратно по тому же пути до полупрозрачного зеркала 2. Наблюдение
производится глазом человека через окуляр 6.
Рис.1.3.1.
Если зубчатое колесо неподвижно, то свет пройдет через промежуток между зубцами, вернется обратно через тот же промежуток. Приведя
во вращение зубчатое колесо и увеличивая скорость вращения, можно
12
добиться, что за время, пока свет идет от колеса 5 до зеркала 4 и обратно
колесо повернется на ширину зуба и место промежутка займет зуб. В
этом случае свет не будет попадать в окуляр 6. Еще увеличив скорость
вращения колеса можно получить прохождение света обратно через соседний промежуток и т.д.
Физо имел колесо с 720 зубцами и длину двойного пути светового
пучка порядка 17 км. Из его опытов скорость света оказалась равной
3.15.1010 см/с. Основная ошибка здесь связана с трудностью фиксирования момента затемнения. Дальнейшие усовершенствование этого метода
привели к более точным результатам измерения скорости света.
Метод вращающегося зеркала. Этот метод, предложенный Уитстоном, был использован Фуко в 1960 году. Схема установки показана на
рис. 1.3.2. От источника излучения 1 свет, пройдя через полупрозрачное
зеркало 2 и объектив 3 направляется вращающимся зеркалом 4 на сферическое зеркало 5. Отразившись от зеркала 5, световой поток шел обратно и фокусировался наблюдательной системой в т. A (при неподвижном зеркале 4). При вращающемся зеркале за время прохождения светом
дважды пути L , зеркало успевало повернуться на некоторый угол φ и,
отраженный от него в обратном ходе световой поток фокусировался в
точке B . Измеряя расстояние между A и B , мы получаем угол, на который поворачивается зеркало 4 и, следовательно, зная скорость вращения
зеркала, время прохождения светом расстояния 2.L. При 2.L = 20 м,
найденное значение скорости распространения света оказалось равным
2.98.1010 см/с. Расстояние между A и B было равным только 0.7 мм, и основной источник ошибок лежал в неточности измерения этого расстояния.
Рис. 1.3.2
Метод электрического затвора Керра. В этом методе в качестве модулирующего устройства выступает ячейка Керра (ячейка Керра, запол-
13
ненная полярной жидкостью и помещенная между скрещенными николями, пропускает свет только при наложении электрического поля).
Схема установки представлена на рис. 1.3.3. Свет от ртутной лампы 1
проходит через затвор Керра на полупрозрачное зеркало 2, отражается
от него вправо и попадает на зеркало 3. После отражения от зеркала 3
свет в обратном ходе лучей попадает на приемник энергии 8.
Часть световой энергии проходит сквозь полупрозрачное зеркало и
преодолев путь, определяемыми зеркалами 4, 5, 6, 7 и обратно, также
попадает на приемник 8.
Точность этого метода определяется высокой частотой модуляции
светового потока, создаваемой ячейкой Керра, находящейся под воздействием высокочастотного электрического поля, и возможностю точного
измерения сдвига фаз двух световых потоков, поступающих от зеркала 3
и от зеркала 7.
Рис. 1.3.3
Значение, полученное для скорости света, равно (2.99776+0.00014)
10 см/с.
Современное общепринятое значение скорости света в вакууме
С=299792+0.4 км/с.
Для оптических сред с показателем преломления n скорость света
определяется выражением:
.
10
cn
c
.
n
1.4. Когерентность [7]
Теоретической основой анализа оптических явлений в когерентном
свете являются положения классической оптики достаточно полно из-
14
ложенные в известных трудах [1,2], а также в последующих монографиях и учебниках (см., например, [3-6]). При этом особенно большую роль
играют те разделы оптики, в которых рассматриваются процессы распространения, интерференции и дифракции излучения. В данной главе
мы рассмотрим эти процессы и явления, используя подход основанный
на анализе решений приведенного волнового уравнения. Однако, прежде
чем приступить к изложению основ теории дифракции и интерференции, уточним фундаментальное понятие когерентности, к которому нам
придется постоянно апеллировать в процессе изложения материала
учебного пособия.
В оптике понятие когерентности вводится для характеристики
cкоррелированности световых колебаний в различных точках пространства и в различные моменты времени. Поэтому наиболее логично степень когерентности определять посредством корреляционной функции
светового поля. Рассмотрим для простоты поляризованное поле, вектор
напряженности электрического поля E в котором колеблется в определенном направлении. Если вектор напряженности содержит компоненту,
случайным образом изменяющуюся по пространственным координатам r
и по времени t, то можно построить следующую корреляционную функцию
(1.4.1)
где угловые скобки означают усреднение по всему пространству и
по всему интервалу времени наблюдения, а "звездочка" при втором
множителе обозначает комплексно сопряженную величину. Для полей,
статистические характеристики которых во времени не меняются (такие
поля называются стационарными),
(1.4.2)
Принято выделять также статистически однородные поля, для которых корреляционная функция зависит лишь от разности r2 - r1
(1.4.3)
Однородное случайное поле называется изотропным, если корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния
между двумя точками. Таким образом, для стационарных, однородных и
изотропных полей с изменяющимся по случайному закону вектора E
15
(1.4.4)
где .
Корреляционная функция принимает максимальное значение при .
1.4.1. Степень когерентности светового пучка
Введем теперь применительно к световому пучку нормированную
корреляционную функцию
(1.4.5)
где I(r1,t1) I(r2,t2) - значение интенсивности пучка в указанных пространственных точках и в указанные моменты времени. В случае стационарности поле светового пучка
(1.4.6)
Построенную таким образом величину называют комплексной степенью когерентности, так как корреляционные функции в общем случае
комплексны. Абсолютную величину называют модулем степени когерентности или просто степенью когерентности. Степень когерентности
всегда удовлетворяет неравенству
(1.4.7)
при дает значение степени пространственной когерентности, а при значение степени временной когерентности. Значение и, при которых
степени пространственной и временной когерентности уменьшаются в
два раза называются соответственно размером зоны когерентности и
временем когерентности.
1.4.2. Методы измерения пространственной и временной когерентности
Рассмотрим кратко оптические методы экспериментального определения пространственных и временных корреляционных функций, или,
в терминах оптики, методы измерения пространственной и временной
16
когерентности световых полей. Исторически понятие когерентности
возникло в оптике в связи с интерпретацией результатов интерференционных опытов. Классические интерференционные опыты Юнга и Майкельсона оказываются прямыми методами измерения пространственных
и временных корреляционных функций; распределение средней интенсивности в интерференционной картине непосредственно дает корреляционную функцию поля. Одновременно эти опыты можно рассматривать как схемы, поясняющие физический смысл пространственных и
временных корреляционных функций. Обратимся к их рассмотрению.
Начнем с определения пространственной когерентности с помощью интерферометра Юнга.
Рис.1.4.1. Схема интерферометра Юнга
Интерферометр Юнга представляет собой непрозрачный экран, в
котором на некотором расстоянии s друг от друга вырезаны два малых
отверстия Р1 и Р2 (рис.1.4.1). Пусть на такой экран перпендикулярно падает случайная линейно поляризованная волна, поле которой E(r,t) будем считать стационарным и однородным. Волновые пучки, исходящие
из отверстий Р1 и Р2, интерферируют на экране Q2, расположенном на
некотором расстоянии от экрана Q1.
Обозначим комплексное поле в точке Pj (i=1,2) через E(Pj,t), а расстояние между точкой Pj и произвольной точкой Р экрана Q2 через
lj=PjP. Суммарное электрическое поле в точке Р от двух отверстий равно
(1.4.8)
где tj=lj/c - время запаздывания (дисперсией среды пренебрегаем).
17
Коэффициенты передачи К1 и К2 являются комплексными величинами, их абсолютные значения зависят от формы и размеров отверстий.
Для средней интенсивности в точке Р получаем
I(P) = <|E(P,t)|2> = K1K1*I1 + K2K2*I2 + K1K2* <E(P1,t-t1)E*(P2,t-t2)> +
K1*K2 <E*(P1,t-t1)E(P2,t-t2)>
или
(1.4.9)
Здесь - интенсивности светового поля в точках P1 и P2, - пространственно-временная корреляционная функция:
(1.4.10)
t2-t2= , s - расстояние между точками Р1 и Р2 на экране Q1; при этом
учтена статистическая стационарность и однородность поля.
Если открыто лишь одно из отверстий в экране Q1, то в точке Р интенсивность, очевидно, равна
Пользуясь этими обозначениями, выражение (1.4.9) можно переписать в виде
(1.4.11)
где - комплексная степень когерентности.
Для электромагнитного поля вида
(e - единичный вектор поляризации волны, А - медленно меняющаяся амплитуда волны) корреляционная функция (1.4.4) равна
Индекс означает, что корреляция оценивается в направлении,
перпендикулярном оси z.
Следовательно,
(1.1.12)
где
Таким образом, выражение (1.4.11) принимает вид
18
(1.4.13)
Параметры и равны соответственно:
где 0- средняя длина волны. При << к зависимость от в (1.4.13)
входит только через , так что максимальные и минимальные значения
интенсивности на экране Q2 (рис.1.4.1) определяются выражением
(1.4.14)
Контраст интерференционной картины, следуя Майкельсону, обычно характеризуют величиной
(1.4.15)
которую называют видностью. В соответствии с (1.4.14) для видности в окрестности точки Р имеем
(1.4.16)
Если интенсивности интерферирующих пучков одинаковы (I1=I2),
то значение (1.4.16) максимально и
(1.4.17)
т.е. видность интерференционной картины просто равна степени
пространственной когерентности. На рис. 1.4.2 приведено распределение интенсивности в интерференционной картине для различных видностей.
В общем случае видность (1.4.15) дает информацию о степени пространственно-временной когерентности. Если время задержки к, то
видность будет зависеть от :
(1.4.18)
19
Рис.1.4.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине
для различных видностей.
Таким образом, если временная задержка меньше времени корреляции << к, то интерферометр Юнга позволяет определить поперечную
пространственную когерентность. Если мы хотим измерить не искаженную пространственной статистикой временную корреляционную функцию поля, следует обратиться к другой интерференционной схеме - интерферометру Майкельсона.
Понятие временной когерентности прямо связано с интерференционным экспериментом, схема которого изображена на рис. 1.4.3. Волна
падает на наклонную полупрозрачную пластинку П интерферометра
Майкельсона, формирующую два пучка. Эти пучки отражаются от зеркал З1 и З2. Затем один из них, пройдя через пластинку П, а другой, отразившись от нее, поступают на экран Q, где интерферируют. В плоскости
экрана расположен детектор, измеряющий интенсивность (например,
фотодетектор, величина тока которого пропорциональна средней интенсивности).
Рис. 1.4.3
Если напряженность электрических полей пучков равна соответственно Е1 и Е1, то поле на экране Q равно
(1.4.19)
20
где tj=2lj/c, lj- расстояние от зеркала Зj до пластинки П.
Выражение (1.4.19) аналогично (1.4.8). Поэтому расчеты, подобные
выполненным выше, приводят к выражению для средней интенсивности
(1.4.20)
которое сходно с (1.4.13) ( =t2-t1).
Таким образом, изменяя временную задержку в схеме интерферометра Майкельсона от =0 до , из графика распределения средней
интенсивности в интерференционной картине (интерферограмме) можно
непосредственно определить временную корреляционную функцию светового поля.
Как и для интерферометра Юнга, для интерферометра Майкельсона
можно ввести понятие видности интерференционной картины. В данном
случае им удобно пользоваться, если волна квазимонохроматическая,
т.е. для такой волны, используя (1.4.15), для видности интерференционной картины в интерферометре Майкельсона вблизи заданного значения
при I1=I2 имеем
(1.4.21)
Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое
число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах: методе деления амплитуды
и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.
Согласно такой классификации интерферометр Юнга - это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона - интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерферометр Майкельсона
обладает большей светосилой, чем схема Юнга.
Проведение измерений пространственной и временной когерентности имеет большое значение для постановки экспериментов в области
когерентной оптики. Как правило, такие измерения должны проводиться
по отношению к любым источникам излучения, используемых в оптических исследованиях.
21
1.5. Дисперсия света
Совокупность всех электромагнитных волн составляет спектр электромагнитных волн с длинами от 1.10-11 до 3.1010 см. Этот спектр условно разбивается на отдельные области, частично перекрывающие друг
друга: радиоволны, инфракрасные лучи, видимые лучи, ультрафиолетовые лучи, гамма лучи.
Видимые лучи, которые в основном рассматриваются в прикладной
оптике, занимают в шкале электромагнитных волн участок спектра от
0.4 мкм до 0.7 мкм и идут в следующем порядке: фиолетовые, синие, голубые, зеленые, желтые, оранжевые, красные. В совокупности все эти
лучи дают белый свет.
Для различных длин волн показатель преломления оптической среды не остается постоянным, исключение составляет только вакуум для
него показатель преломления для всех длин волн n= 1. Зависимость показателя преломления вещества от длины волны называется дисперсией
света.
n f ( ) .
Явление дисперсии света позволяет разложить сложный, в частности белый, свет на его составляющие. Впервые такой опыт был проделан
Ньютоном в 1672 году, когда он направил узкий пучок солнечного света
на треугольную призму и получил изображение спектра, окрашенного в
различные света.
Пусть белый солнечный луч BP (рис. 1.5.1) падает на границу раздела двух сред с показателями преломления n и n’. При преломлении
происходит разложение белого света на его составляющие части.
Рис. 1.5.1
Определим угол di’ под которым расходятся крайние лучи спектра,
по закону преломления имеем зависимость:
n sin i n 'sin i '
22
Показатель преломления n для воздушной среды как и угол i падения луча на границу раздела двух сред, можно считать постоянными величинами.
Продифференцировав выше приведенное уравнение по переменным
n’ и i’, получим
dn 'sin i ' n 'cos di ' 0
Отсюда:
di '
dn '
tgi '
n'
Под dn’ понимается разность показателей преломления для лучей,
расположенных на краях изучаемого спектра, а под n’ -показатель преломления для среднего луча этого же участка спектра.
Способность стекла разлагать свет на составные части характеризуется коэффициентом дисперсии
nD -1
nF ne
Показатель преломления nD и коэффициент дисперсии (коэффициент Аббе) являются главными оптическими постоянными стекол и
приводятся во всех таблицах оптического стекла.
1.6. Интерференция света
Волновые свойства света наиболее отчетливо обнаруживают себя в
интерференции и дифракции. Эти явления характерны для волн любой
природы и сравнительно просто наблюдаются на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых волн. Наблюдать же интерференцию и
дифракцию световых волн можно лишь при определенных условиях.
Свет, испускаемый обычными (нелазерными) источниками, не бывает строго монохроматическим. Поэтому для наблюдения интерференции свет от одного источника нужно разделить на два пучка и затем
наложить их друг на друга. Существующие экспериментальные методы
получения когерентных пучков из одного светового пучка можно разделить на два класса. В методе деления волнового фронта пучок пропускается, например, через два близко расположенных отверстия в непрозрачном экране. Такой метод пригоден лишь при достаточно малых размерах источника. В другом методе пучок делится на одной или нескольких частично отражающих, частично пропускающих поверхностях. Этот
метод деления амплитуды может применяться и при протяженных источниках. Он обеспечивает большую интенсивность и лежит в основе
23
действия разнообразных интерферометров. В зависимости от числа интерферирующих пучков различают двухлучевые и многолучевые интерферометры. Они имеют важные практические применения в технике,
метрологии и спектроскопии.
Закон независимости световых пучков означает, что при встрече
они не взаимодействуют друг на друга. Однако явление света, называемое интерференцией, показывает, что два световых потока, накладываясь могут не только усиливать друг друга, но и ослаблять. Это свойство
следует из волновой теории света.
При сложении электрических векторов (а воздействие на приемник
энергии оказывает влияние именно электрический вектор, это было проверено экспериментально) отдельных волн может получиться волна, амплитуда колебаний которой равна, например, сумме амплитуд складывающихся волн. А так как энергия волны пропорциональна квадрату амплитуды, то энергия результирующей волны не будет, вообще говоря
равна сумме энергий складывающихся волн, так как математическая зависимость
(a 2 b 2 ) a 2 b 2 ,
которая как будто бы имеет место в этом случае, бессмысленна.
Обычный опыт показывает, что освещенность поверхности, создаваемая двумя или несколькими световыми пучками, представляется простой суммой освещенностей, получаемых от отдельных пучков.
Таким образом, получается, что с одной стороны математическая
зависимость вроде бы противоречит закону сохранения энергии и с другой стороны, экспериментальные факты не укладываются в рамки волновой теории.
Для объяснения этих противоречий рассмотрим сложение гармонических колебаний.
Свет представляет собой электромагнитное колебание, которое может быть представлено двумя векторами, электрическим и магнитным,
расположенными во взаимно перпендикулярных плоскостях в одной фазе, при этом волновые колебания поперечны. При сложении двух электрических векторов, принадлежащим двум волнам, идущих от двух источников и (рис. 1.6.1), у нас возникает случаи, когда волны накладываются в одной фазе (т. A ), и когда волны накладываются в противофазе
(т. B ). Естественно, что имеются и все промежуточные варианты. В первом случае у нас происходит сложение колебаний (векторов), и в случае
равенства амплитуд, учетверение энергии, так как E ~ f2 ; во втором варианте колебания вычитаются и в пределном случае уничтожают друг
друга, так как E = 0 . Таким образом, закон сохранения энергии не
24
нарушается, происходит перераспределение энергии, ослабление в одних местах за счет концентрации в других.
Рис. 1.6.1
Математический аппарат векторного исчисления дает нам
формулы, определяющие амплитуду и начальную фазу суммарного
колебания при сложении двух гармонических колебаний одного
периода.
Если колебания, определяются выражениями
S1 a1 sin( t 1 ) ; S2 a2 sin( t 2 )
происходит по одному направлению, то в результате получается
вновь гармоническое колебание того же периода
S S1 S2 a1 sin( t 1 ) a2 sin( t 2 )
S A sin( t )
где A2 a12 22 2 a1a2 cos(1 2 ) ,
a sin 1 a2 sin 2
tg 1
a1 cos 1 a2 cos 2
Из этих уравнений видно, что квадрат амплитуды результирующего
колебания зависит от разности фаз (φ1 - φ2) , на это нужно обратить
особое внимание, и может иметь любое значение в пределах от A2=(a1a2)2 при φ1 - φ2 = Δφ до A2=(a1+a2)2 при φ1- φ2
Однако, практически, мы никогда не имеем дела с колебаниями,
длящимися бесконечно долго и при том еще и неизменной амплитудой.
Обычно колебания время от времени обрываются и возникают вновь с
новой фазой и амплитудой. Так, например, излучение отдельных атомов
светящегося тела протекает в течении весьма малого промежутка
времени (порядка 10-8 с).
Следовательно, усиление и ослабление света в отдельных точках
будет протекать настолько быстро (108 раз в сек.), что глаз человека, да
и другие приемники энергии, не сможет следить за всеми изменениями
интенсивности света и будут регистрировать только среднее во времени
значение интенсивности и отмечать среднюю яркость.
Таким образом, при сложении двух колебаний одного периода надо
различать два случая:
25
1). Разность фаз колебаний сохраняется неизменной. Интенсивность
результирующего колебания отличается от суммы интенсивностей исходных колебаний и может быть больше или меньше ее, в зависимости
от разности фаз. Такие колебания называются когерентными; при их
сложении возникает явление, называемое интерференцией.
2). Разность фаз непрерывно меняется за время наблюдений. Такие
колебания называются некогерентными; при их сложении всегда наблюдается суммирование интенсивностей, то есть, интерференция не
наблюдается.
Естественные источники света не являются когерентными. Излучение когерентных световых волн производится искусственным путем, деля волну, излучаемую естественным источником, на две или более части. Очевидно, что части световой волны всегда будут когерентны между собой. Если части волны пройдут различные пути, то между ними
возникает разность фаз, обусловленная геометрической разностью хода.
Поэтому при наложении волн должны возникнуть интерференционные
явления.
Рис. 1.6.2
Рассмотрим схему опыта Юнга (рис. 1.6.2). Малое отверстие A в
непрозрачном экране освещается источником света, согласно принципу
Гюйгенса это отверстие становится новым источником полусферических
волн. Эти волны падают на два следующих малых отверстия B1 и B2 ,
которые, в свою очередь, становятся источниками волн, перекрывающихся в области D.
26
Рис. 1.6.3
Пусть из точек B1 и B2 исходят световые волны (рис. 1.6.3), которые
собираются в точке A . Расстояние от точки B1 и B2 до точки A одинаково, следовательно, на пути B1A B2A уложится равное число длин волн
и колебания в точке A придут в одинаковых фазах. Здесь будет максимум интерференции, поднимаясь от точки A на величину l в точку C ,
мы получим случай, когда колебания придут в противофазах и будем
иметь минимум интерференции.
Запишем это математически. Разность фаз, определяющая разность
хода волны, записывается следующим образом:
1 2 2t1 2t2 2 (t1 t2 )
l l
2 1 2 2 (l1 l2 )
u
u u
Известно, что =u ,
2
1
u
1
,
тогда
(l1 l2 )
Если l1 - l2==m , где m - целое число, тогда
l1 l2 2m
2
Если колебания окажутся в совпадающих фазах, то есть,
1
1 2 2 2m 2m
2
Отсюда cos 2m 1 и амплитуда результирующего колебания
будет максимальна.
Если же
l1 l2 (2m 1)
2
1
2
, то
(2m 1)
2
cos( 2m 1) 1 - амплитуда минимальна. Таким образом, если
разность геометрического хода двух колебаний равна четному числу
(2m 1)
полуволн, то есть, l 2m
при разности хода
1
то мы имеем максимум интерференции,
равному нечетному числу полуволн, l (2m 1)
1
-
минимум интерференции.
27
1.7. Интерференционные линии равной толщины и равного
наклона
Наиболее типичным примером интерференции являются так называемые линии равной толщины (кольца Ньютона) и линии равного
наклона. В дальнейшем эти понятия понадобятся при изучении курса
«Измерительные приборы в машиностроении».
Линии равной толщины, или кольца Ньютона, наблюдаются в системе, состоящей из плоскопараллельной пластинки и плосковыпуклой
линзой с большим радиусом кривизны R (рис. 1.7.1).
Рис. 1.7.1
Свет проходя по направлению CA и отражается от поверхности и
. При достаточно большом радиусе кривизны линзы зазор между динзой и пластинкой будет мал и при наложении отраженных волн возникает интерференционная картинка. Максимум интенсивности будет в тех
местах, для которых геометрическая разность хода
l l1 l2 2 AB (2m 1)
2
Здесь, как будто нарушается правило, которое было определено в
предыдущем параграфе, но это объясняеся тем, что при отражении
электромагнитных колебаний от более плотной среды происходит
потеря полуволны.
При нормальном падении света геометрические места с разной разностью хода будут представлять собой концентрические окружности,
следовательно, интерференционная картина будет иметь такой же вид –
чередующиеся темные и светлые кольца. Причем если свет у нас моно-
28
хроматический, то картина одноцветная, при белом свете – кольца
окрашены в разные цвета. Это получается потому, что каждой длине
волны l соответствует свет своей окраски, и если для одной длины волны у нас по формуле соответствует максимум интерференции, то для
другой длины волны – минимум интерференции или промежуточное
значение.
Линии равного наклона возникают при освещении плоскопараллельной пластинки пучком лучей, падающих на нее под разными углами
(рис. 1.7.2).
Рис. 1.7.2
Пучок лучей S1 при падении на плоскопараллельную пластинку
раздваивается: часть пучка отражается в направлении S’1, часть преломляется и проходит внутрь пластинки. Претерпев на второй грани пластинки отражение, часть пучка выходит обратно в направлении S”1,
причем S’1 и S”1 параллельны. Объектив Об собирает эти пучки в
точке B1 . Пучки лучей S’1 и S”1 имеют разность хода, определяемую
толщиной пластинки, показателем преломления стекла n и углом падения луча на пластинку. Для другого пучка лучей S2 эта разность хода
будет иной. Следовательно, каждому углу падения лучей соответствует
своя разность хода и, отсюда, своя интерференционная картина. Если в
качестве источника взять щель Щ , длинная сторона которой параллельна поверхности пластины, то интерференционная картина будет
иметь вид чередующихся светлых и темных полос на экране B1B2, параллельных длинной стороны щели.
1.8. Интерферометры
Интерферометрами называют оптические приборы, действие которых основано на явлении интерференции света. Они предназначены
для точных измерений длин, углов, характеристик оптических поверхностей, показателей преломления сред или их изменений, спектрального
29
состава исследуемого излучения и т.п. Наблюдение интерференционных
полос при этом становится не целью исследования, а средством проведения измерений. В зависимости от характера решаемой задачи к оптической схеме интерферометра и его конструкции предъявляются различные требования.
1.8.1. Интерферометр Линника
Собственно, интерферометр Линника представляет собой слегка
видоизмененный интерферометр Майкельсона и может быть назван и
так и этак. Мы здесь обсудим не столько его устройство, сколько его
применение для определения качества обработки поверхностей.
Основу интерферометра составляют две стеклянные пластины p1 и
p2 и два зеркала, одним из которых служит исследуемая поверхность
(рис.1.8.1).
З’
исслед.
поверхн.
2
1 2’
1
p1
P2 З
2
линза
1,2
З”
Рис. 1.8.1
Нижняя поверхность первой пластины представляет собой полупрозрачное зеркало, на котором происходит разделение лучей: часть света
(луч 1) отражается вверх, отражается от исследуемой поверхности и после отражения от нижнего зеркала З” направляется в окуляр (на рисунке
не показан), через который и наблюдается интерференционная картина.
После прохождения пластины p1 луч 2 направляется к зеркалу З,
отражается от него, затем от полупрозрачного зеркала и вместе с лучем
1 направляется к наблюдателю.
Луч 1 после отражения от полупрозрачного зеркала и на обратном
пути дважды проходит через пластину p1, “набирая” тем самым некоторую “лишнюю” разность хода. Для ее компенсации служит пластина p2,
изготовленная из того же материала, что и первая. Разумеется, эту
“лишнюю разность хода” можно было бы легко скомпенсировать про-
30
стым перемещением зеркала, если бы не было дисперсии, зависимости
коэффициента преломления от длины волны n(). Применение компенсирующей пластины p1 позволяет осуществить такую компенсацию сразу для всех длин волн.
Почему образуется интерференционная картина и как она выглядит
помогает понять укрупненный фрагмент рисунка слева вверху. Реальный луч 2 и его отражение от зеркала З можно заменить лучем 2’ и его
“отражением” от изображения зеркала З в полупрозрачном зеркале - З’.
Это изображение и исследуемая поверхность образуют клин, пластину
изменяющейся толщины. Соответственно, через окуляр наблюдаются
интерференционные линии равной толщины - прямые, направленные
перпендикулярно плоскости рисунка. И эти линии видны искривленными, если исследуемая поверхность не вполне плоская. При “идеально”
плоской поверхности это прямые линии.
Ту же мысль можно сформулировать и иначе. При отражении от
идеально плоских поверхностей волны остаются плоскими, и фронты
волн 1 и 2 составляют между собой угол 2, если угол между исследуемой поверхностью и изображением зеркала З’ равен . Если исследуемая поверхность обработана некачественно, волна 1 уже не будет плоской, интерференционная картина исказится.
Чрезвычайно простой в эксплуатации, такой интерферометр позволяет обнаружить весьма небольшие неровности на исследуемой поверхности - порядка долей длины волны.
1.8.2. Интерферометр Рэлея
Показатель преломления воздуха, как и других газов, при условиях,
близких к “нормальным”, мало отличается от единицы. Должно быть
понятным, что для измерения такой величины показателя преломления
необходим достаточно точный метод. Такого рода измерения могут быть
произведены с помощью интерферометра Рэлея (рис. 1.8.2).
x
1
S
0
2
l
экран
Рис. 1.8.2
31
По существу схема получения интерференционной картины в этом
случае насильно отличается от классического опыта Юнга. Источником
света служит освещаемая достаточно удаленным источником щель S, от
которой распространяется цилиндрическая волна. С помощью линзы
волна преобразуется в плоскую волну: лучи 1 и 2 становятся параллельными. Они проходят через кюветы, длины которых l могут быть достаточно велики.
Если показатели преломления газов в кюветах одинаковы, интерференционная полоса (максимум) с нулевой разностью хода помещается в
центре экрана при x=0. Заметим - выше ее (на рисунке) расположатся
линии (максимумы), для которых оптическая длина пути нижнего луча
больше.
Если верхняя кювета заполняется газом с несколько большим показателем преломления, оптическая длина пути луча 1 на протяжении кюветы станет больше и линия с нулевой разностью хода (“центральная”)
сместится вверх.
Изображенная на предыдущем рисунке схема интерферометра Рэлея заимствована из задачника Иродова. При такой схеме ширина интерференционной полосы определяется выражением
;
x
d
.
l
Реальный интерферометр Рэлея устроен несколько иначе: за диафрагмой устанавливается линза, в фокальной плоскости которой и
наблюдается интерференционные полосы (с помощью окуляра с достаточным увеличением).
Но тогда угловое расстояние между источниками становится нулевым, интерферировать должны параллельные лучи. Причина образования интерферационной картины становится не очень понятной, непонятно, чем определяется ширина полосы.
Но все это не так загадочно, как может показаться. Два точечных
источника представляют собой частный случай периодического расположения источников, рассмотренный нами раньше. Заметив, что мы
ограничимся лишь малыми значениями углов , повторим для пары источников проведенные ранее рассуждения (рис. 1.8.3).
d
L
x
f
экран
32
Рис. 1.8.3
При =0, естественно, будет наблюдаться максимум. Следующий
максимум будет при значении , которое определяется условием
L d ;
d
и ширина полосы на экране
x f
.
Эти уточнения и расчеты помогут нам понять принцип работы другого интерферометра, о котором речь пойдет ниже. Но обратите внимание на то, что ширина максимума на экране определяется их угловой
шириной, которую надо умножить на фокусное расстояние линзы.
Схема интерферометра Релея
В интерферометре Релея, предназначенном для измерения показателей преломления газов и жидкостей, использован, как и в опыте Юнга,
метод деления волнового фронта. Источник в виде узкой щели S расположен в фокальной плоскости линзы L1 (рис. 1.8.4).
Рис. 1.8.4. Схема интерферометра Релея (вид сверху)
Выходящий из нее параллельный пучок идет через диафрагму с
двумя щелями S1 и S2, параллельными щели S. Пучки света от S1 и S2
проходят через кюветы K1 и K2 и образуют интерференционные полосы
в фокальной плоскости линзы L2. Введение кювет, содержащих исследуемые газы или жидкости, требует значительного расстояния между S1 и
S2, вследствие чего интерференционные полосы располагаются тесно и
для их наблюдения требуется большое увеличение. Для этой цели удобен цилиндрический окуляр в виде тонкой стеклянной палочки, ось которой параллельна полосам. Кюветы занимают только верхнюю половину пространства между линзами L1 и L2, а внизу свет идет вне кювет.
Благодаря этому возникает вторая система интерференционных полос с
33
таким же расстоянием между полосами, которая может служить шкалой
для отсчета. Верхняя система полос сдвинута относительно нижней, так
как при прохождении света через кюветы появляется добавочная разность хода (n2 n1)l, где n1 и n2 коэффициенты преломления веществ, заполняющих кюветы. По этому смещению определяют n2 n1. В
один из пучков ставится компенсатор, с помощью которого можно добиваться, чтобы плавно изменялась оптическая разность хода, противоположная по знаку той, которая обусловлена прохождением света через
кюветы. Совпадение двух систем полос используется для установления
полной компенсации разности хода. Визуально можно установить совпадение с точностью до 1/40 порядка, что при l = 0,1 м, = 550 нм позволяет обнаружить изменение n2 n1 около 10-7.
1.8.3. Звездный интерферометр Майкельсона
Если угловое расстояние между двумя звездами очень мало, в телескоп они видны как одна звезда. В таком случае говорят о двойных звездах и надо провести специальное наблюдение, чтобы отличить их от
звезд одиночных. Для этого используется звездный интерферометр
Майкельсона, который позволяет к тому же определить угловое расстояние между звездами.
Устройство звездного интерферометра Майкельсона показано не
рис. 1.8.5. Лучи света, пришедшего от удаленной звезды, отражается от
зеркал, разнесенных на достаточно большое расстояние D, затем от двух
других зеркал и собираются линзой на экране, помещенном в фокальной
плоскости. Разнесенные на расстояние D зеркала можно рассматривать
как точечные источники, расстояние между которыми и равно D.
D
линза
x f
D
x 0
X
Рис. 1.8.5
34
Воспользуемся полученным ранее выражением для углового распределения максимумов излучения света
D sin D k
Иначе говоря,
D ;
;
D
.
На экране будут наблюдаться максимумы на расстояниях
x f f D друг от друга.
Если наблюдаются две близкие звезды, лучи света от которых приходят под малым углом , то на экране будут наблюдаться две интерференционные картины, сдвинутые по отношению друг к другу на расстояние x f . Измерение углового расстояния между звездами производится следующим образом.
При изменении величины D изменяется x . Несложно догадаться, что при x 2 x видимость интерференционной картины
ухудшится или она вообще не будет наблюдаться. Это позволяет определить угловое расстояние между звездами:
1
f
f ;
2
D
2D
.
На рис. 1.8.6 показано именно такое взаимоположение интерференционных картин, интенсивность излучения одной из звезд несколько
больше.
E0
0
Рис. 1.8.6
.
При изменении расстояния между зеркалами изменяется величина
Таким способом можно определить весьма малые угловые расстояния .
35
Схема интерферометра Майкельсона
Упрощенная схема интерферометра Майкельсона приведена на рис.
1.8.7.
1.8.7. Схема интерферометра Майкельсона
Свет от источника S падает на пластинку P1, задняя сторона которой покрыта тонким полупрозрачным слоем серебра или алюминия.
Здесь пучок разделяется на два взаимно перпендикулярных пучка. Отраженный пластинкой P1, пучок падает на зеркало M1, отражается назад,
вновь попадает на пластинку P1, где снова разделяется на две части. Одна из них идет к источнику S и не представляет интереса, а другая попадает в зрительную трубу, установленную на бесконечность, или на линзу
L, в фокальной плоскости F которой расположен экран для наблюдения
интерференции. Прошедший сквозь пластинку P1 пучок от источника
падает на зеркало M2, возвращается к P1 и частично отражается в сторону линзы L. Таким образом, от одного источника S получаются два пучка примерно одинаковой интенсивности, которые распространяются после разделения пластинкой P1 в разных "плечах" интерферометра, затем
снова встречаются и создают интерференционную картину в фокальной
плоскости линзы L. Пластинка P2, такая же, как и P1, только без отражающего покрытия, ставится на пути второго пучка для компенсации разности хода, возникающей из-за того, что первый пучок проходит через
P1 три раза, а второй - только один раз. Зеркало M2 неподвижно, а зеркало M1 можно передвигать микрометрическим винтом так, что его плоскость все время остается перпендикулярной зеркалу M2.
Построим изображение зеркала M2, создаваемое отражающей поверхностью разделительной пластинки (M2 на рис. 1.8.7). Оптическая
длина пути от источника до точки наблюдения для луча, отразившегося
36
от зеркала M2, будет такой же, как и для воображаемого луча, отразившегося от M2. Поэтому можно считать, что интерференционная картина,
наблюдаемая в фокальной плоскости линзы L, возникает из-за воздушного слоя между оторажающей поверхностью M1 и мнимой отражающей
поверхностью M2. При параллельных поверхностях M1 и M2 полосы
имеют вид концентрических окружностей с центром в фокусе линзы.
Если после разделительной пластинки P1 пучки имеют одинаковую
интенсивность, то распределение интенсивности в фокальной плоскости
описывается формулой, где разность хода , как и в случае плоскопараллельного воздушного слоя, в соответствии с (5.10) равна = 2hcos.
Разность хода при заданном расстоянии h между M1 и M2, т.е. при фиксированном положении подвижного зеркала, зависит только от угла
наклона луча по отношению к оптической оси. Данному значению соответствует кольцо радиусом Ftg в фокальной плоскости линзы. Поэтому положение и размер светлых и темных колец не зависят от положения источника S, т.е. можно использовать протяженный источник.
При этом получаются интерференционные полосы, локализованные в
фокальной плоскости линзы L.
Центру интерференционной картины (=0) соответствует максимальная разность хода max=2h, равная удвоенному расстоянию между
M1 и M2. Когда M1 приближается к M2, кольца стягиваются по направлению к центру. Перемещение зеркала на расстояние m0/2 вызывает
смещение картины на m порядков. Визуально смещение можно оценить с точностью до 1/20 порядка, но существуют методы, позволяющие
обнаружить смещения до 10-3 порядка. По мере приближения M1 к M2
угловой масштаб картины возрастает до тех пор, пока M1 не совпадет с
M2. При этом освещенность экрана (или поля зрения при визуальном
наблюдении) становится равномерной.
1.8.4. Интерферометр Фабри-Перо
Интерференция лучей отразившихся от поверхностей плоскопараллельной пластины называется двухлучевой (рис. 1.8.8). И для такого
названия имеется основание.
37
123
n=1
n>1
1’2’3’
Рис. 1.8.8
Коэффициент отражения границы стекло - воздух =I1/I0 невелик,
несколько процентов. Обозначив интенсивность падающего луча как I0,
для интенсивностей других лучей мы получим такие значения:
I1 =I0 ;
I2 =I0(1-)2; I3 =I0(1-)24;
I1’=I0(1-)2; I2’=I0(1-)22; I3’=I0(1-)24.
Получаются эти выражения таким образом. Если коэффициент отражения , то коэффициент прохождения, как это следует из закона сохранения энергии, равен (1-). При определении интенсивности каждого
луча интенсивность I0 следует умножить на коэффициент отражения и
на коэффициент прохождения в степени, равной числу отражений и пересечения границы раздела соответственно. При малом коэффициенте
отражения получается поэтому для отраженных и прошедших через пластинку лучей:
I1 I2; I3 << I2;
I3’<< I2’<< I1’.
Поэтому при сложении отраженных лучей мы учитываем только
два луча - 1 и 2, интенсивности которых различаются несильно. Поэтому
интенсивность в минимумах близка к нулю.
В проходящем свете также будет наблюдаться интерференционная
картина, но из-за быстрого уменьшения интенсивности участвующих в
интерференции лучей отношение интенсивности в максимуме и в минимуме различаются незначительно.
Устройство интерферометра Фабри-Перо показано на рис. 1.8.9.
38
d
1
2
3
4
Рис. 1.8.9
Роль пластинки играет воздушный промежуток между двумя прозрачными пластинами, на внутренних поверхности которых напылен
тонкий слой металла. Благодаря этому достигается большое значение
коэффициента отражения - теперь он отличается от единицы лишь на
несколько процентов, а коэффициент прохождения (1-) оказывается
малым. Это существенно изменяет соотношения между интенсивностями лучей:
I1 >> I2 I3;
I1’ I2’ I3’.
При таких соотношениях при обсчете углового распределения интенсивности проходящего света необходимо учитывать много (все) проходящие через интерферометр лучи. В этом случае интерференция
называется многолучевой.
Поскольку при прохождении прозрачных пластин энергия сохраняется, минимуму в отраженном свете должен соответствовать максимум в
свете проходящем. Наконец, поскольку в промежутке между пластинами
показатель преломления (воздуха) можно считать равным единице, мы
получаем такое условие для максимума в проходящем свете:
2d 1 sin 2 2d cos k ;
cos
k
.
2d
При практическом использовании интерферометра Фабри-Перо
угол мал, а расстояние между пластинами d велико (порядка нескольких сантиметров). Так что длина когерентности световой волны 2
должна быть достаточно большой.
Схема интерферометра Фабри-Перо
Интерферометр Фабри-Перо может быть выполнен в виде плоскопараллельной стеклянной или кварцевой пластины, на обе поверхности
39
которых нанесены отражающие слои, либо в виде двух пластин, у которых покрытые отражающими слоями плоскости установлены строго параллельно друг другу и разделены воздушным промежутком.
Отражение света от двух параллельных плоскостей приводит к образованию локализованных в бесконечности (или фокальной плоскости линзы) интерференционных полос равного наклона. В некоторую точку P
фокальной плоскости линзы собираются лучи, которые до линзы образуют с ее оптической осью один и тот же угол q (рис. 1.8.10).
Рис. 1.8.10. Полосы равного наклона при многолучевой интерференции
Разность хода Δ двух соседних интерферирующих лучей определяется
формулой: = 2nhcos
Максимумы интенсивности в проходящем свете расположатся там,
где Δ составляет целое число длин волн:
Линиям равных интенсивностей соответствует одно и то же значение угла q, поэтому интерференционные полосы в фокальной плоскости
линзы имеют вид концентрических колец с центром на оси линзы. Центру картины соответствует наибольший порядок интерференции. При
этом расположение максимумов интенсивности будет таким же, как в
полосах равного наклона при двухлучевой интерференции. Однако для
определения структуры максимумов в случае высокого коэффициента
40
отражения светоделительных поверхностей необходимо учесть интерференцию всех приходящих в точку P волн, образующихся при многократных отражениях
Угловое распределение амплитуды проходящей волны в интерферометре Фабри-Перо
На своем пути каждый последующий из пронумерованных лучей
(рис. 1.8.9) испытывает два дополнительных отражения от внутренних
поверхностей пластин. Стало быть, их интенсивности различаются в 2
раз. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и поэтому
Im
2 ;
I m 1
2d
Em
.
E m 1
Далее, разность оптических путей соседних лучей равняется
cos и разность фаз их колебаний в удаленной точке наблюдения
2
2d cos .
Таким образом, для амплитуды суммарных колебаний мы имеем
выражение:
E
E
1
m 1
cos t m 1
.
m 1
Начальную фазу колебаний первого луча мы положили равной нулю.
Для сложения этих колебаний перейдем к комплексным переменным - добавим мнимую часть, памятуя, что физический смысл имеет
лишь реальная часть суммы, которую мы получим:
E$
E cost m 1 isint m 1
1
m 1
m 1
m 1
E1 m 1 exp i t m 1
E1 e it
m 1
m 1
exp i m 1
.
Итак, нам надо найти сумму членов бесконечной геометрической
прогрессии, знаменатель которой q e i . Таким образом,
41
E$
E1 e it
1 e i
.
Амплитуда суммарных колебаний равна модулю комплексного значения E$ :
$$*
EE
E E$
E1
1 e i 1 e i
.
Воспользовавшись формулой Эйлера, произведем перемножение
скобок под квадратным корнем в знаменателе:
1
cos i sin 1 cos i sin
1 cos
1 2
Вспомним, что
2
2
2 sin 2
2 cos .
2d cos .
Таким образом,
E
E1
1
2
4d
2 cos
cos
:
.
E
0,05
0,25
0,75
0
Рис. 1.8.11
Как и ожидалось, с увеличением коэффициента отражения глубина
минимумов увеличивается. Одновременно уменьшается ширина интерференционных полос. Предвидеть этот результат было не так просто.
42
1.8.5. Интерферометр Жамена
Интерферометр Жамена состоит из двух одинаковых толстых пластин P1 и P2 (рис. 1.8.12), изготовленных из весьма однородного стекла
(или кварца для работы в ультрафиолетовой области спектра).
Рис. 1.8.12. Схема интерферометра Жамена (вид сверху)
Задние поверхности пластин посеребрены. Пучок света от протяженного источника падает под углом, близким к 45o, на одну из пластин.
В результате отражения от передней и задней поверхностей пластины P1
возникают два параллельнвх пучка, разделенных тем больше, чем толще
пластина. Каждый из них в свою очередь раздваивается при отражении
от двух поверхностей пластины P2. Средние пучки 1 и 2 налагаются и
образуют интерференционную картину в фокальной плоскости зрительной трубы T. Разность хода между ними равна
Здесь h - толщина пластин; n - показатель преломления их материала; 1 и 2 - углы падения на поверхности пластин P1 и P2; '1 и '2- соответствующие углы преломления. Если пластины строго параллельны, то
'1 = '2 и = 0. Поле зрения будет равномерно освещенным. При юстировке одну из пластин слегка наклоняют, поворачивая вокруг горизонтальной оси. При этом интерференционые полосы, наблюдаемые в установленную на бесконечность зрительную трубу, горизонтальны и эквидистантны. Они соответствуюют низким порядкам интерференции и потому могут наблюдаться в белом свете. Значительное разведение пучков
между пластинами позволяет поместить на их пути кюветы K1 и K2 с исследуемыми веществами. При этом оптическая разность хода изменится
43
на (n2 - n1)l, что вызовет смещение интерференционной картины. По такому же принципу устроен интерферометр Рождественского.
1.8.6. Интерферометр Рождественского
Роль делителей пучков внутренних граней пластин в интерферометре Жамена играют здесь полуотражающие плоскопараллельные
пластины A1 и B1, а посеребренных наружных граней пластин зеркала
A2 и B2 (см. рис. 1.8.13).
Рис. 1.8.13. Схема интерферометра Рождественского
Это позволяет без использования толстых пластин значительно раздвинуть пучки света и ввести кюветы K1 и K2, одна из которых окружена
печью (для исследования паров металлов). Пластины A1, A2 и B1, B2
установлены попарно на общих основаниях строго параллельно. Блоки
из A1, A2 и B1, B2 могут быть разнесены на значительное расстояние (1
м). Один из них наклоняется на небольшой угол поворотом вокруг горизонтальной оси. Поэтому, как и в интерферометре Жамена, наблюдаются
горизонтальные полосы равного наклона, соответствующие (при отсутствии кювет) низким порядкам интерференции.
На основе такого прибора Д.С. Рождественским в 1912 г.были выполнены классические исследования зависимости показателя преломления от длины волны вблизи линий поглощения (т.е. аномальной дисперсии в парах металлов на основе метода, предложенного Пуччианти.
Описанный метод измерения n(), предложенный Пуччианти в 1901
г., нагляден, но мало пригоден для количественного исследования дисперсии, так как изменение положения точек на круто изменяющей свое
направление кривой сопряжено с большими погрешностями. Рождественский разработал новый метод исследования дисперсии вблизи линии поглощения, позволяющий проводить измерения с большой точностью -метод "крюков".
44
1.8.7. Использование интерференции света в промышленности
Во многих случаях, где измерение длин должно производится с
очень высокой точностью, используются интерференционный метод измерения. При проверке концевых мер длины используют специальные
интерференционные приборы, позволяющие производить контроль мер,
длиной до 1000 мм с ошибкой от 0.1мкм до 0.05 мкм. С этими приборами вы познакомитесь в курсе «Измерительные приборы в машиностроении».
В оптической промышленности контроль точности изготовления
формы поверхности оптической детали производится с помощью так
называемых пробных стекол. В основе этого метода также лежит интерференция света. На пробное стекло, изготовленное с большой точностью, накладывается контролируемая оптическая деталь (рис.1.9.1).
Рис. 1.9.1
В местах несовпадения поверхности контролируемой детали с поверхностью пробного стекла образуется тонкая воздушная прослойка,
дающая в отраженном свете отчетливую интерференционную картину.
По форме интерференционных полос и их ширине, можно судить о недостатках изготовленной поверхности и видеть какие участки отступают
от заданной формы, в какую сторону и приблизительно оценивать величину отступления.
Интерференция также используется для оценки величины шероховатости поверхности – интерференционные микроскопы.
45
1.9. Дифракция света. Принцип Гюйгенса Френеля
Явление дифракции характерно для волнового процесса. Под дифракцией понимается огибание волной различных препятствий, встречающихся на ее пути, иными словами, отклонение волны от прямолинейного распространения.
Таким образом, волна, падающая на границу какого-либо непрозрачного тела, должна его огибать, заходить в «границу тени». Между
тем, повседневный опыт показывает, что предметы, освещаемые светом
от точечного источника, дают резкую тень и, что, следовательно, световые лучи не изменяют своего направления движения. В обычных условиях дифракция световых волн не наблюдается, чтобы ее обнаружить
надо создавать специальные условия.
Рис. 1.10.1
Как известно по примеру Гюйгенса, каждая точка, до которой доходит световая волна, сама становится источником волнового процесса
(рис. 1.10.1). Огибающая вторичных волн является фронтом распространяющейся волны. Этот принцип позволяет объяснить загибание волн за
преграды. Огибающая вторичных волн (рис.1.10.1) ближе к средней части является плоской и загибается по краям.
Расчет интенсивностей колебаний, распространяющихся в различных направлениях и приходящих в каждую точку поля наблюдения может быть произведен по методу, предложенному Френелем, в сочетании
с принципом Гюйгенса.
Френель впервые обратил внимание на то, что согласно принципу
Гюйгенса, колебания в какой-либо точке среды есть результат наложения волн, пришедших в данную точку от бесконечного количества источников, и по этой причине представляет собой некоторый интерференционный эффект.
Рассмотри наиболее простой случай, прохождение света через
круглое отверстие (рис.1.10.2). Пусть из источника света S вышла све-
46
товая волна, фронт которой представлен сферой радиуса R . По принципу Гюйгенса во всех точках этой сферы возникают колебания, распространяющиеся во всех направлениях.
Рис. 1.10.2
Через какой-то промежуток времени вторичные волны достигнут
точки A, состояние колебаний в которой мы определяем.
Френель предложил разбить волну на кольцевые зоны, проводя на
ней окружности с центром на оптической оси, причем расстояние от
точки A до соседних окружностей должно отличаться на половину длины волны (λ/2). Таким образом, каждые две соседние зоны будут давать
световые колебания, которые придут в точку A с противоположными
фазами, так как разность хода отличается на λ/2 . В результате такого
взаимодействия амплитуд вторичных колебаний амплитуда Ak суммарного колебания, вызванного действием k слоя, равна:
Ak a0 a1 a2 a3 a4 a5 ak
Амплитуды a0 , a1 , a2 , … не одинаковы и представляют собой ряд
уменьшающихся чисел. С достаточным приближением ряд чисел a0 , a1 ,
a2 , … подобен арифметической прогрессии, то есть для любых трех соседних амплитуд может быть составлено соотношение:
ak 1 ak ak ak 1
или
ak 1 ak 1
ak
2
2
Разобъем ряд Ak a0 a1 a2 a3 a4 a5 ak на части:
a a
a a
a
Ak 0 0 a1 2 2 a3 4
2 2
2 2
2
47
В согласии с нашим предположением о подобии ряда
арифметической прогрессии, каждая скобка может быть приравнена к
a0
нулю. Следовательно, Ak .
2
Из этого расчета мы видим, что амплитуда результирующего колебания в точке A такая же, как если бы действовала только половина
центральной зоны Френеля.
Рис. 1.10.3
Пусть теперь экран закрывает все зоны до K-й включительно
(рис.1.10.3), тогда амплитуда в точке A представиться рядом
AK ak 1 ak 2 ak 3
или, аналогично предыдущему
a
a a
a
a
a
A k 2 k 2 ak 2 k 3 k 3 ak 4 k 5 k 1
2 2
2 2
2
2
Таким образом, мы видим, что за непрозрачным для света экраном
интенсивность световых колебаний не равна нулю.
Итак, будет ли свет огибать препятствие, то есть, будет ли интенсивность света в точке A за экраном отлична от нуля (другими словами,
сможет ли приемник энергии зарегистрировать наличие света в точке A)
или будет распространяться прямолинейно, зависит от соотношения
между размерами экрана и зонами Френеля. Если размеры экрана соизмеримы с шириной зон Френеля, то есть, если в пределах экрана укладывается небольшое число зон Френеля, то за экраном в точке A наблюдается относительно большая освещенность. Если же в пределах экрана
укладывается большое число зон Френеля, то освещенность за экраном
мала, близка к нулю.
48
1.10. Дифракция Фраунгофера
Дифракция рассматривает процессы отклонения направления распространения света от прямолинейного при встрече с некоторыми препятствиями или при отражении от них. В случае дифракции Фраунгофера рассматривается падение на препятствие плоской волны (бесконечно
удаленный источник света) и подразумевается, что зона наблюдения
удалена от препятствия на достаточно большое расстояние (находится
на бесконечности). Коротко говоря, это “дифракция в параллельных лучах”.
Как Вы увидите, основные задачи дифракции Фраунгофера мы,
собственно, уже решили. Просто мы говорили о волнах вообще, а словом дифракция обычно обозначают именно оптические явления, поведение в том или ином случае световой (электромагнитной) волны.
1.10.1. Дифракция от щели
Так как дифракционная картина возникает в результате интерференции вторичных волн, ей присущи типичные для интерференции черты – неравномерное распределение энергии в пространстве.
Рис. 1.11.1
В этом смысле типична картина, возникающая при освещении параллельным пучком длиной узкой щели (рис.1.11.1). Здесь в качестве
зон Френеля выбирают не кольца, а полосы, параллельные краям щели.
Размеры такой зоны зависят от угла, под которым ведется наблюдение
света, прошедшего через щель.
Рассмотрим лучи света, идущие под углом φ к направлению падающего света; b – разность хода между крайними лучами. Разобъем ширину щели «a» на зоны так, чтобы разность хода лучей от краев зон равнялась λ/2. Всего в нашей щели уместится b/ (λ/2) зон. Так как b=a.sin φ
49
и зависит от угла φ, число зон Френеля, которые уложатся на ширине
щели, будет зависить от угла φ.
Площади зон Френеля в данном случае одинаковы, следовательно
одинаковы и амплитуды колебаний, возбуждаемые в фокальной плоскости оптической системы L2, прошедших каждую зону. Следовательно,
вторичные волны от соседних зон полностью друг друга гасят.
Если на ширине щели уложится четное число зон, то при наложении все вторичные волны погасят друг друга, в соответствующих
направлениях интенсивность света будет равна нулю. Такие направления определяются соотношением:
b a sin 2k
2
b 2k
2k
, arcsin
a a 2
a 2
В других направлениях (φ’ ) интенсивность света будет иметь максимальное значение. Это те направления, для которых на ширине щели
«a» уложится нечетное число зон Френеля.
sin
b a sin ' (2k 1)
2
b 2k 1
2k 1
' arcsin
;
a
2
a
a
2
В прямом направлении (φ = 0 ) вся щель действует как одна зона
Френеля b = 0 . В этом направлении свет распространяется с наибольшей интенсивностью.
sin '
Рис. 1.11.2
На рис. 1.11.2 – представлен график распределения интенсивности
света в фокальной плоскости оптической системы L2 при дифракции на
одной щели. Эта картина справедлива при дифракции монохроматического света, то есть, света с одной длиной волны λ. Центральный максимум 1 соответствует углу φ = 0 . Интенсивность центрального максимума мы принимаем за единицу.
50
Максимумы 2, по обе стороны от центрального максимума, соот
ветствует углу arcsin 2 , их интенсивность много меньше и со2
ставляет 0.047 от интенсивности центрального максимума.
Максимум 3 получается при угле φ” , равном: " arcsin
2
и так
далее.
В белом свете для каждой длины волны получается свой максимум
и минимум, которые частично или полностью накладываются друг на
друга. По обе стороны от центрального максимума, который не
разложен в спектр, располагаются максимумы для различных дли волн.
Таким образом происходит разложение света в спектр. Причем, первый
порядок спектра не налагается друг на друга, во втором наблюдается
частичное наложение и так далее.
Ранее мы получили такое выражение для углового распределения
амплитуды от системы точечных источников, от “цепочки” источников
длиной b:
b sin
sin
b sin
A
.
Ввиду особой важности да и сложности понимания этого результата
получим его еще раз - другим способом.
В связи с рассмотрением явлений дифракции формулируется принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу элементарный участок волнового фронта считается точечным источником вторичных
волн, огибающая которого и является “новым” фронтом волны. В случае
дифракции на щели в качестве таких источников выбираются узкие полоски (вдоль щели), которые являются источниками цилиндрических
когерентных волн (рис. 1.11.3).
X
b
0
Рис. 1.11.3
51
Электромагнитные колебания в удаленной зоне наблюдения подсчитывается как сумма колебаний волн, пришедших от таких источников.
На этот раз мы проведем их сложение с помощью векторной диаграммы. Амплитуда вторичной волны пропорциональна ширине элементарной полоски: E0 E0 x b , а начальная фаза колебаний зависит от
координаты выбранной полоски: x 2 x sin . Таким образом, разность фаз колебаний от соседних элементарных полосок шириной x
составит 2 x sin . На такой угол будут повернуты по отношению друг к другу соответствующие векторы на фазовой диаграмме.
При стремлении ширины полоски x к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса
R, угловой размер дуги (рис. 1.11.4)
E
R
E0
Рис. 1.11.4
2 b sin
.
При изменении угла угловые размеры дуги изменяется. Но длина
дуги, равная сумме модулей (длин) элементарных векторов, считается
постоянной:
x
E 0 E 0 E 0 .
b
Это позволяет нам определить радиус дуги и амплитуду суммарных
колебаний (см. рисунок) при произвольном :
R
E0
;
E 2 R sin 2 E0
sin b sin
b sin
.
Как видите, мы получили то же выражение, что и раньше. Но векторная диаграмма позволяет нам нагляднее представить причины обращения амплитуды суммарных колебаний в нуль и достижение максимумов.
52
При дуга превращается в окружность, амплитуда суммарных
колебаний равна нулю. Максимумы достигаются при и, (приблизительно) при 2k.
Эти ситуации показаны на рисунке. При =0 все элементарные векторы лежат на прямой, амплитуда суммарных колебаний максимальна и
равна E0. По мере увеличения угла наблюдения и, соответственно, угла амплитуда колебаний уменьшается и при обращается в нуль.
Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности
(2, ). При этом амплитуда колебаний равна примерно диаметру
окружности: E0 1,5 E . Затем спираль становится “двойной окружностью”, амплитуда колебаний снова обращается в нуль (3) (рис. 1.11.5)
и т.д.
1
2
E
3
E E0
E0
Рис. 1.11.5
1.10.2. Дифракционная решетка
Рассмотрим теперь дифракцию от нескольких щелей одинаковой
ширины «т» и расположенных на одинаковом расстоянии «т» друг от
друга (рис. 1.11.6).
Рис. 1.11.6
53
Система таких параллельных щелей называется дифракционной
решеткой. Работа дифракционной решетки происходит обычно в
параллельных пучках света.
Здесь явление усложняется тем, что кроме дифракции, которая возникает от каждой щели, происходит сложение колебаний в световых
пучках, прошедших разные щели, то есть, происходит интерференция
многих пучков. Плоская волна, направленная перпендикулярно к плоскости дифракционной решетки, доходит до всех щелей одновременно.
Поэтому можно считать, что все щели решетки излучают вторичные
волны в одинаковой фазе.
Выделим одно направление распространения световой волны после
дифракционной решетки, характеризуемое углом φ и рассмотрим результат интерференции волн. Как уже указывалось b – ширина щели, c
– ширина перегородки. Величину a = b + c называют периодом или постоянной решетки.
Поскольку все щели находятся на одинаковом расстоянии друг от
друга, то разность хода лучей, идущих от двух соседних щелей, LM1,
LM2, и так далее, будет одинаковой для данного угла φ для всей решетки.
l DM1 LM 2 (b c) sin a sin
Эта разность λl меняется с изменением угла φ. В противоположность процессу, происходящему при дифракции на одной щели, где при
разности хода равной четному числу полуволн, наблюдается минимум
интенсивности (каждые две соседние зоны компенсируют друг друга),
здесь все происходит иначе. Если разность хода λl=DM1=LM2 равна
четному числу полуволн, то будет наблюдаться максимум интерференции. Это легко понять, если представить себе, что вся решетка есть одна
a
2
щель, разбитая на зоны, ширина которых равна: b c , причем все
четные зоны перекрыты перегородками между щелями.
Таким образом, действие первой зоны (нечетной) не может быть
скомпенсировано второй (четной) зоны, так как она отсутствует (перекрыта), и так далее. В итоге амплитуда результирующего колебания,
возникающего как интерференция пучков, прошедших все щели, равна
сумме амплитуд всех составляющих колебаний, то есть, будет пропорциональна числу щелей в дифракционной решетке.
Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды световых колебаний, интенсивность света в максимуме пропорциональна квадрату числа щелей дифракционной решетки.
Исходя из этого, условие получения дифракционного максимума
записывается следующим образом:
54
a sin 2m
или
arcsin
2
2m
a 2
При разности хода Δl равной нечетному числу волн, l (2m 1) ,
2
волна, идущая от первой щели, погашается волной, идущей от второй
щели; волна третьей щели – волной четвертой щели и так далее.
В фокальной плоскости оптической системы, установленной после
дифракционной решетки, будет наблюдаться дифракционная картина, в
виде полос, параллельной щелям, состоящая из ряда максимумов и
минимумов. Увеличение числа щелей решетки приводит к тому, что
максимумы получаются острыми и резкими. Эти рассуждения о виде
дифракционной картины относятся, конечно, к монохроматическому
свету.
Для белого света явление интерференции, являющееся следствием
дифракции, несколько сложнее. Здесь нужно рассмотреть, во первых
схему образования минимумом и максимумов, которые образуются в
монохроматическом свете, и, во вторых, разное положение главных
максимумов длин света с разной длиной волны.
Пусть от дифракционной решетки свет распространяется в таком
направлении, что разность хода между лучами соседних щелей равна
λ/4 , при наложении таких колебаний они только частично усиливают
друг друга. В этом случае результирующее колебание имеет амплитуду,
равную A0 2 , где A0 – амплитуда колебаний, возбуждаемых волной,
исходящих от одной щели. Здесь разность хода лучей, идущих от первой
и третей щелей будет равна λ/2 и интенсивность результирующего колебания окажется равной нулю. То же самое произойдет с колебаниями,
идущих от второй и четвертой щели и так далее.
Таким образом, для решетки из четырех щелей мы будем иметь основные минимумы, определяемые разностью хода между соседними
щелями
3
5
, , и так далее. Между дополнительными минимумами
4 4
4
возникают, естественно, и дополнительные максимумы, но они будут
меньше по величине. Главный максимум же, оставшись по величине
неизменным ( ~L2 ) станет более узким.
Если мы имеем решетку из 8 щелей, то при разности хода между
лучами соседних щелей
только
1
мы можем по аналогии все повторить,
8
теперь минимумы
будут
получаться от взаимодействия
55
колебаний от первой щели и пятой, второй и шестой и так далее.
Дополнительные максимумы становятся еще меньше, а главный
максимум еще уже и пропорциональный 82 . Следовательно по мере
увеличения числа щелей дифракционной решетки, количество
дополнительным максимумов и минимумов увеличивается, величина
дополнительных максимумов уменьшается. Величина дополнительных
максимумов растет пропорционально квадрату числа щелей решетки
(рис.1.11.7). Поэтому, при достточно большом числе щелей решетки
интенсивность дополнительных максимумов будет столь мала по
сравнению с интенсивностью основных максимумов, что мы можем ею
прнебречь и считать, что падающая световая волна распределяется
только между основными максимумами. При дифракции белого света
каждой длине волны будет соответствовать свой максимум, а
вследствии того, что главные максимумы получаются очень узкими,
различные длины волн практически не будут накладываться друг на
друга.
Рис. 1.11.7
Дифракционные решетки с количеством штрихов на миллиметр до
1800 используются в спектральных приборах для разложения света в
спектр, с помощью которого производится анализ различных веществ.
Степень наложения главных максимумов соседних длин волны, а
также оптические параметры системы позволяют разрешающую
способность спектрального прибора, то есть, способность прибора четко
разделить соседние длины волн.
56
Такая решетка состоит из большого числа щелей шириной b, расположенных на расстоянии d друг от друга. Разумеется, b<d. Каждая щель
может рассматриваться как источник цилиндрических волн, вызывающих электромагнитные колебания в некоторой удаленной зоне наблюдения. В этом случае оказывается справедливым результат, который мы
получили для периодически расположенных точечных источников:
0 0
sin N 2
sin 2
;
d sin
2
.
E
0
E
0
Рис. 1.11.8
Но этот результат мы получили для изотропных точечных источников, интенсивность излучения которых не зависит от направления. Теперь у нас источниками являются щели, у которых амплитуда волны
существенно зависит от направления наблюдения. Поэтому в выражение
для углового распределения амплитуды волны, рождаемой периодически расположенными источниками, надо вставить угловое распределение амплитуды волны самих источников, щелей:
E E0
sin b sin
b sin
sin N d sin
sin d sin
.
57
Это довольно сложное выражение, но смысл его должен быть понятен. Он поясняется и рисунком. Вверху показано угловое распределение
амплитуды волны, излучаемой изотропными источниками. Внизу - угловое распределение амплитуды после прохождени светом решетки. Там
же показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой щелью. По рис. 1.11.8 можно оценить отношение ширины щели к периоду
решетки b/d.
1.10.3. Дифракционная решетка как спектральный прибор
Очевидно, что дифракционная решетка может быть использована
для разворачивания падающего на нее света в спектр, когда угловое положение максимума зависит от длины волны . При наблюдается
максимум для всех длин волн. Но (угловые) положения максимумов kтого порядка при k>1 различны для разных длин волн. Это следует из
условия максимума d sin k k . То, как “быстро” изменяется угол ,
под которым наблюдается максимум, при изменении длины волны определяет угловую дисперсию решетки (это - определение термина)
D
k
.
d cos
Как видно, дисперсия возрастает с ростом порядка максимума k и с
уменьшением периода решетки d. Обратите внимание, что в знаменателе
стоит cos , который уменьшается с увеличением угла.
Естественно, чем больше угловая дисперсия, тем успешнее могут
быть разрешены близкие по длине линии спектра, наблюдаться как отдельные линии. Попробуем разобраться с вопросом разрешения линий
детальнее.
Пусть в спектре имеется пара линий с близкими длинами волн 1 и
2, разность длин волн . Любая линия обладает некоторой
“естественной” шириной, которая предполагается меньше разности длин
вол самих линий: 1<.
Но даже если бы ширина каждой линии была равна нулю, при
наблюдении излучения после дифракционной решетки каждой линии
будет отвечать некоторая полоса (на рис. 1.11.9 внизу).
58
Рис. 1.11.9
Она определяется свойствами самой решетки и для разрешения
близких по длине волны линий эта ширина должна быть меньше или
равна D .
В физике вводится величина, называемая разрешающей способностью:
R
.
В этом выражении означает минимальную разность длин волн
линий, которые могут наблюдаться в спектре как отдельные линии, и
величина R является характеристикой спектрального прибора (например, дифракционной решетки).
Подсчитаем разрешающую способность дифракционной решетки.
Для этой цели используется критерий Рэлея: линии считаются разрешенными, наблюдаются как отдельные линии, если при разложении в
спектр максимум одной линии совпадает с минимумом другой. Ширина
дифракционной полосы (отвечающей определенной линии) определяется положением ближайших к максимуму минимумов. Положение минимумов, в свою очередь, определяется выражениями
d sin k N
;
k’0,N,2N,...
59
Если k’ кратно количеству щелей N, то наблюдается максимум знаменатель второго сомножителя выражения для распределения амплитуды колебаний в удаленной зоне наблюдения обращается в нуль:
E E0
sin b sin
b sin
sin N d sin
sin d sin
.
Таким образом, максимум первой волны наблюдается при условии
d sin k N k; k kN . Потребуем, чтобы при этом же угле
наблюдался минимум второй волны:
d sin k 1 N k 1 N ;
1
d sin k k k k
N
N
N
.
Считая, что и поэтому пренебреая последним слагаемым в
выписанном выражении, получаем:
0 k
N
;
R
kN .
Таким образом, разрешающая способность тем выше, чем больше
порядок интерференционного максимума, и чем больше количество щелей решетки.
1.11. Дифракция на круглом отверстии
В плане историческом теоретическое исследование явлений дифракции было исключительно важным для утверждения представлений
о волновой природе света. Что и говорить, правильные представления в
каждой области очень важны для общего правильного представления о
Природе. Только в таком случае мы можем успешно использовать явления всякого рода для наших нужд.
В оптике различные приборы по понятным причинам имеют круглое входные отверстия, диафрагмы и проч. И неизбежная дифракция на
круглых отверстиях ограничивает возможности этих приборов. При знакомстве, например, с линзой мы ограничивались параксиальными лучами, достаточно узкими пучками света. Лишь при этом условии преломляющие поверхности линзы можно изготавливать сферическими. Но это,
естественно, ограничивает возможности изготовленных из таких линз
60
оптических приборов и, в частности, из-за дифракции. А вот, например,
для астрономических наблюдений необходимы грандиозно большие
входные отверстия, изменяемые метрами. В этом случае задача изготовления телескопа неимоверно усложняется, телескопы с такими отверстиями очень дороги и, соответственно, уникальны.
Вот для некоторого, хотя бы, понимания этих проблем нам и необходимо заняться обсуждением дифракции на круглых отверстиях.
1.11.1. Зоны Френеля
При знакомстве с дифракцией в параллельных лучах (при бесконечных расстояниях до источника света и до зоны наблюдения) их параллельность сильно упрощала математические проблемы необходимых
расчетов, хотя результаты и их смысл не становились от этого очень
простыми. Теперь нам придется иметь дело со сферическими волнами,
их лучи, разумеется, не параллельны друг другу. Это усложняет нужную
для расчета математику, большинство задач поэтому мы будем решать
приближенно. Но вначале оставим хотя бы расстояние до источника
бесконечным - рассмотрим дифракцию плоской волны на круглом отверстии.
s
P
P
Рис. 1.12.1
В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждый элементарный участок фронта s (рис. 1.12.1) может быть рассмотрен как точечный источник сферических волн. Такой участок показан на рисунке.
Точка наблюдения p в наших задачах, как правило, будет находиться на
оси симметрии на некотором расстоянии от отверстия или от круглой
преграды. Разумеется, от различных элементарных участков фронта свет
к точке наблюдения будет проходить разные расстояния и при сложении
колебаний нам необходимо будет учитывать разности фаз отдельных
61
колебаний. Но разности фаз , понятно, будут нулевыми, если элементарные участки расположены в пределах тонкого кольца, и тогда (пока
мы не перешли к другому кольцу) мы можем просто складывать амплитуды колебаний волн, приходящих от таких участков. Поэтому и сами
элементарные участки мы будем выбирать в виде тонких колец. Фаза
колебаний в точке наблюдения будет зависеть от радиуса такого кольца.
Итак, рассмотрим падение плоской волны на круглое отверстие и
проанализируем, как зависит от радиуса отверстия амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения.
L r r 2 b r 2 2 b
L
r
=r/b
b
P
2 r 2 2 b
Рис. 1.12.2
Из рис. 1.12.2 видно, что разность хода лучей от края кольца радиуса r и от центра отверстия
L r 2 r 2 2 b .
Поэтому от кольца с радиусом r колебания будут приходить с запаздыванием по фазе на
r 2
L
2
r r 2 b
r 2
b
.
С помощью векторной диаграммы мы будем складывать колебания,
приходящие в точку наблюдения от тонких колечек толщиной r (рис.
62
1.12.3). Соответствующие векторы на фазовой диаграмме будут повернуты по отношению друг к другу на угол
Рис. 1.12.3
2r
r .
b
При достаточно большом радиусе будет
r 2
b
.
Соответствующий радиус r1 называется (внешним) радиусом первой зоны Френеля. При дальнейшем увеличении радиуса, естественно,
величина будет увеличиваться. Из условия k мы получаем выражение для радиуса k-й зоны Френеля:
rk2
k
b
;
rk
kb
.
E0
Рис. 1.12.4
Мы уже достаточно много работали с векторными диаграммами, и
должно быть понятно, что при дальнейшем увеличении радиуса отверстия (по сравнению с r1) амплитуда суммарных колебаний в точке
наблюдения, пропорциональная длине отрезка (вектора), соединяющего
начало и конец дуги, будет уменьшаться. Она достигнет минимума, когда радиус отверстия достигнет внешнего радиуса второй зоны Френеля.
63
Но в отличии от задачи о колебаниях волны, излучаемой щелью при дифракции Фраунгофера, дуга не замкнется в окружность, мы получим некоторую скручивающуюся спираль. Длина вектора, проведенного от
начала к центру спирали, дает, очевидно, амплитуду падающей волны скручивание спирали к центру соответствует бесконечно большому радиуса отверстия, когда дифракция не наблюдается.
Подобная спираль, которую называют спиралью Френеля, получается и в том случае, когда на отверстие падает сферическая волна конечного радиуса a. Выражение для радиусов зон Френеля в этом случае,
естественно, иное.
a
Sr
b P
Рис.1.12.5
На рисунке a - радиус фронта волны, b - расстояние от фронта до
точки наблюдения P. Таким образом, расстояние от источника света S до
точки наблюдения вдоль оси равно (a+b).
Подсчитаем теперь длину некоторого произвольного луча. Как и
раньше, рассматриваем лишь параксиальные лучи. При таком ограничении наши выражения будут приближенными.
Нижний катет прямоугольного треугольника, образованного радиусом фронта a, осью системы и радиусом r некоторого кольца на фронте
волны, будет равен
a 1 cosr a a a r 2 2a 2
a r 2 2a .
Расстояние от источника света до края кольца и от него до точки
наблюдения будет равен
2
a
r2
b
r2
2a
br 2
r4
b a
r 2 a b 1 2 r 2
2
ab
a
4a
a b 2
ab
r .
2ab
a
b2
64
При преобразованиях мы пренебрегли слагаемым с четвертой степенью r и воспользовались приближенным равенством 1 n 1 n .
Таким образом, разность хода “прямого” луча от S к точке наблюдения P и луча, проходящего через край кольца радиуса r
L
a b
ab
r2,
и разность фаз колебаний волн, проходящим по этим путям,
a b 2
2 a b 2
r
r .
2ab
ab
Наконец, из условия
ны Френеля выражение:
rk
kab
a b
k
получаем для внешнего радиуса k-й зо-
.
Естественно, при a это выражение переходит в полученное
нами ранее выражение для случая падения на отверстие плоской волны.
1.11.2. Зонная пластинка
Попробуем разобраться, к каким эффектам приводит дифракция на
круглом отверстии. При этом не будем ни на минуту забывать, что спираль Френеля состоит из элементарных векторов, которые, соответственно, представляют колебания от элементарных колечек круглого
фронта падающей волны. Вся спираль представляет колебания от полностью открытого фронта (k ), если открыта часть зон Френеля, “реализуется” лишь часть спирали. Амплитуда суммарных колебаний представляется длиной вектора, соединяющего начало спирали и ее конец.
0,5
1
1,5
2
2,5
E0
E E0 2
E 2 E0
EE 2
E 0
E E0 2
Рис.1.12.6
65
Проиллюстрируем эти слова. На рисунке показаны случаи, когда
открыта половина первой зоны, первая зона, полторы зона, две и две с
половиной. Иначе говоря, когда радиус круглого отверстия равен радиусу половине первой зоны Френеля, радиусу первой зоны и т.д.
1
2
3
4
5
E1 2 E0
E 2 2 E0
E3 2 E0
E k E0
;
k 1
k 1
...
E 2 k 1 E0 ;
E
2k
E0
;
k 1
Рис.1.12.7
Витки спирали для первых зон Френеля им будем считать окружностями. Поэтому на рисунке выписаны такие значения амплитуды суммарных колебаний E. Подсчет амплитуд колебаний производится приближенно, но для нас важно понимание причин изменения амплитуд при
изменении радиуса отверстия, хотя бы и за счет некоторого снижения
точности.
При суммировании амплитуд колебаний от первой, второй и т.д.
зон Френеля мы должны получить амплитуду E0. Но если бы мы складывали только колебания от четных или только от нечетных зон Френеля, мы получили бы колебания с амплитудой, модуль которой намного
превосходит величину E0. Действительно, вместо суммы членов знакопеременного ряда мы бы тогда складывали значения E одного знака.
Технически такое сложение осуществляется с помощью зонной
пластинки. Она представляет собой систему непрозрачных концентрических колец, которые закрывают, например, нечетные зоны Френеля.
Амплитуда колебаний в точке наблюдения при использовании такой
пластинки сильно возрастает.
Зонная пластинка действует в этом случае подобно линзе, которая
фокусирует свет в некоторой точке. Соответственно, для зонной пластинки может быть введено фокусное расстояние. На рис. 1.12.8 показана зонная пластинка, закрывающая нечетные зоны Френеля. Разность
хода нарисованных лучей равна , и амплитуда колебаний от открытых
зон при одинаковых знаках складываются по модулю. Поэтому и получается большая интенсивность колебаний в точке наблюдения, фокусировка лучей.
зоны Френеля: 6 4 2
66
P
b
Рис. 1.12.8
Следующим шагом в своего рода совершенствовании зонной пластинки является превращение ее в прозрачную фазовую зонную пластинку. Вместо того, чтобы закрывать, например, нечетные зоны Френеля, мы можем изменять на фазу приходящих от них колебаний. Тогда
амплитуда колебаний в точке наблюдения примерно удвоится. Чтобы
достигнуть этого, необходимо изменить для них оптическую длину пут
на половину длинны волны, обеспечить выполнение условия
d n1 2 , где d - толщина фазовой пластины из материала с показателем преломления n.
1.11.3. Линза как дифракционный прибор
Фазовая пластинка представляется удивительным прибором. Ее
способность фокусировать лучи основана на том, что она изменяет на
фазу колебаний от, например, четных зон Френеля E2k. В отсутствии
пластинки эти колебания противоположны по фазе колебаниям от нечетных зон E2k-1, противоположны им по знаку. Естественно, суммарная
амплитуда сильно увеличивается, происходит фокусировка. Но у нас
имеется еще одна и еще более мощная возможность увеличить амплитуду колебаний - выпрямить сами дуги спирали и вместо хорд складывать
длины этих дуг.
d
1
2
L=r
r/f
r f
F
d0
Рис. 1.12.9
67
Приходящие от элементарных колечек в пределах некоторой зоны
Френеля колебания имеют различные фазы, что и проявляется в скручивании элементарных векторов на векторной диаграмме в дугу. Если же
обеспечить нужное плавное изменение фазы колебаний в пределах отверстия, можно добиться желаемого результата - синфазности колебаний от всех элементарных колечек. Собственно, это и обеспечивается
линзой при фокусировке лучей.
Действительно, лучи 1 и 2 проходят одинаковые геометрические
пути, но один из них проходит путь d в материале с показателем преломления n. В результате на этом участке он проходит больший оптический путь, появляется оптическая разность хода L n 1d .
Рассмотрим теперь прохождение луча света через плоско-выпуклую
линзу из материала с показателем преломления n. Луч от отмеченной
пунктиром плоскости до выпуклой поверхности линзы проходит путь
R 1 cosr R r 2 2 R и в материале линзы d 0 r 2 2 R . Таким образом, на
этом
участке
оптическая
длина
пути
будет
2
2
2
r 2 R nd 0 r 2 R nd 0 n 1 r 2 R . С другой стороны от края колечка на плоской стороне линзы до фокуса луч пройдет путь
f r 2 f r 2 2f . Чтобы в фокусе колебания волн, проходящих по
путям всех лучей, складывались, необходимо, чтобы этот путь на зависел от радиуса колечка:
d
dr
n 1
r2
r2
1
nd
n
1
f
r
0;
2R
0
r
2f
R
f
n 1
1
.
f
R
Мы получили прежнее выражение для фокуса линзы, но на этот раз
исходя их требования синфазности колебаний волн, приходящих в некоторую точку наблюдения, которая называется фокусом.
1.11.4. Пятно Пуассона
E
Рис. 1.12.10
68
С помощью спирали Френеля можно получить еще один замечательный результат. Действительно, если на пути сферической волны
находится непрозрачное круглое отверстие (любого размера), то оказывается закрытым какое-то число внутренних зон Френеля. Но вклад в
колебания в точке наблюдения, находящегося в центре геометрической
тени, будут давать остальные зоны. В результате в этой точке должен
наблюдаться свет.
Этот результат показался в свое время Пуассону столь невероятным, что он выдвинул его как возражение против рассуждений и расчетов Френеля при рассмотрении дифракции. Однако, когда был проведен
соответствующий опыт, такое светлое пятнышко в центра геометрической тени было обнаружено. С тех пор оно носит название пятна Пуассона, хотя он не допускал и самой возможности его существования.
1.12. Поляризация света
Как известно из теории, электромагнитные волны, в том числе световые, есть волны поперечные. Каждый акт испускания света, длящийся,
как указывалось, порядка 10-8 сек., дает излучение приближающееся к
монохроматическому, то есть, волну с вполне определенным периодом,
амплитудой и вполне конкретными плоскостями, в которых расположены электрические и магнитные колебания. В сдедующем акте излучения
эти параметры могут быть другими. В результате излучения света, длящегося достаточно долгий промежуток времени, мы имеем плоскости
колебаний, например электрические вектора, расположенные под различными углами друг к другу параллельно линии излучения (рис.1.12.1).
Рис. 1.12.1
Такой свет называется неполяризованным. Если мы сумеем выделить каким-либо образом из неполяризованного света колебания, расположенные в одной плоскости, то получим волну, которую называют
69
плоско поляризованной или просто поляризованной. Плоскостью поляризации называют плоскость, проходящую через линию направления
распространения света и перпендикулярную вектору E (рис. 1.12.2).
Рис. 1.12.2
В природе существуют вещества, как правило кристаллические, которые пропускают световые волны, вектор электрических колебаний которых имеет одно направление. К таким веществам относятся турмалин,
исланский шпат, кварц и некоторые другие.
Рассмотрим пропускание света турмалиновой пластинкой (рис.
1.12.3). Такая турмалиновая пластинка пропускает световые колебания
одного направления, то световая волна, прошедшая через первую пластинку, называемую поляризатором, будет поляризованной. Проверку
состояния поляризованной волны производят с помощью второй турмалиновой пластинки, называемой анализатором, помещаемой после первой. Если оптические оси турмалиновых пластинок совпадают по
направлению, как показано на рис. сверху, то через систему проходит
50% света.
Рис. 1.12.3
При другом расположении пластин, рисунок снизу, когда оси их
взаимно перпендикулярны, свет, прошедший через первую пластинку,
задерживается полностью второй. Наблюдатель света не увидит.
Некоторые вещества, называемые оптически активными, обладают
способностью поворачивать плоскость поляризации. Если между двумя
70
скрещенными пластинками турмалина, поляризатором и анализатором
поместить оптически активное вещество, то поле зрение просветлеет.
Однако, если повернуть анализатор на некоторый угол , то можно
вновь получить темное поле зрения. Следовательно, плоскость поляризации поворачивается данным веществом на угол .
Отметим некоторые закономерности, которым подчиняется это явление.
1). Угол поворота плоскости поляризации пропорционален толщине слоя оптически активного вещества:
ad
где a – удельное вращение плоскости поляризации, град/см
d – толщина слоя оптически активного вещества, см.
2). Удельное вращение зависит от длины волны. Следовательно,
один и тот же слой оптически активного вещества вращает лучи различных длин волн на разные углы. Поэтому, когда через оптически активное вещество проходит белый свет, то просветленное поле зрения оказывается окрашенным.
3). Среди оптически активных веществ существуют разновидности,
одни из которых поворачивают плоскость поляризации по часовой
стрелке (правовращающие), другие – против часовой стрелки (левовращающие).
В природе встречаются кристаллы левовращающего и правовращающего кварца (Кристаллическая форма – зеркальное отображение другой). Вращение в кварце весьма значительно. Кварцевая пластинка толщиной в 1 мм поворачивает плоскость поляризации желтых лучей на
27О, фиолетовых – на 49О, ультрафиолетовых с длиной волны = 0.2
мкм – на 236О.
Есть вещества, которые в растворе поворачивают плоскость поляризации, например, раствор сахара в воде. Здесь угол поворота плоскости поляризации определяется еще и концентрацией C – растворенного
вещества, то есть
cad .
1.12.1. Свет поляризованный и неполяризованный. Закон Малюса
До сих пор при исследовании дифракции или интерференции мы
занимались волнами без учета их поляризации. Можно сказать, что в
случае волн поперечных, мы считали их поляризованными одинаково.
Только в этом случае с помощью векторной диаграммы можно склады-
71
вать амплитуды колебаний, т.е. в случае, если они происходят по одному
направлению.
Теперь нам нужно сосредоточиться на поперечных волнах, при
сложении которых может оказаться существенной поляризация волны.
Поляризация определяется тем, как направлен, например, вектор
электрического поля в плоскости, перпендикулярной к направлению
распространения волны.
r
Вектор E перпендикулярен направлению распространения волны,
но это направление может тем или иным способом изменяться. Свет
называют поляризованным, если наблюдается некоторая регулярность
такого изменения.
В естественном свете это направление изменяется случайным образом. Такой свет называют неполяризованным.
анализатор
r
E
o’
r
E
o
фотоприемник
Рис. 1.12.4
Каким образом можно судить о поляризованности света? Имеются
приборы, которые пропускают только свет с определенным направлениr
ем вектора E (в зависимости от назначения их называют поляризаторами или анализаторами). Если свет неполяризован, то при повороте анализатора вокруг горизонтальной оси интенсивность света, воспринимаемого фотоприемником, не изменяется: амплитуда колебаний электрического вектора остается неизменной.
Кроме света неполяризованного выделяют частично поляризованный свет. В этом случае направление вектора электрического поля также
изменяется хаотически, но имеется некоторое направление, при котором
в среднем амплитуда колебаний больше. Для такого случая вводится понятие степени поляризации: вращая анализатор, определяют значения
максимальной и минимальной интенсивности, воспринимаемой фотоприемником. Степень поляризации определяется выражением:
72
I max I min
P
I max I min
.
Частично поляризованным может быть смесь неполяризованного и
линейно поляризованного света.
Если неполяризованный свет проходит через поляризатор, он становится линейно или плоско поляризованным светом. В этом случае коr
лебания вектора E происходят в некоторой плоскости, проходящей через направление распространения световой волны, которая и называется
плоскостью поляризации. При этом, очевидно, Imin=0 и степень поляризации равна единице.
E0
O’
E
E
O
Рис. 1.12.5
Для линейно поляризованного света справедлив закон Малюса.
Пусть колебания электрического вектора происходят в вертикальной
плоскости и амплитуда колебаний равна E0. Если ось анализатора повернута не угол по отношению к направлению поляризации, к фотоприемнику пройдет свет с амплитудой
E || E 0 cos .
Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, мы получаем закон Малюса
I I 0 cos 2 .
Свет с амплитудой E задерживается анализатором.
1.12.2. Одноосные кристаллы
Кристаллы не обязательно или даже редко бывают изотропными. В
частности, скорость распространения света в кристалле может зависеть
от направления (плоскости) колебаний вектора электрического поля.
Простейшим случаем является одноосный кристалл.
73
Если внутри такого кристалла имеется точечный источник света,
волновой фронт (лучевая поверхность) будет иметь форму эллипсоида
вращения. Дело в том, что скорость распространения в таком кристалле
зависит от ориентации направления поляризации света по отношению к
некоторму направлению - оси кристалла. В показанном на рисунке случае положительного одноосного кристалла скорость распространения
света максимальна, если направление поляризации перпендикулярно
оси. Существуют также отрицательные одноосные кристаллы, в которых
эта скорость минимальна.
Вообще говоря эту поверхность удобно называть фронтом - колебания во всех ее точках происходят с одинаковой фазой. Но лучше называть ее лучевой поверхностью: нарисованные в определенном масштабе,
лучи, вышедшие из точки, где расположен источник света, будут равны
по длине расстоянию до этой поверхности. Но при этом они не будут,
естественно, перпендикулярны к этой поверхности.
Для таких кристаллов вводятся понятия обыкновенного и необыкновенного лучей. Обыкновенным лучем называется такой, направление
поляризации которого перпендикулярно оптической оси. Соответственно, вводится два показателя преломления: обыкновенного луча no и необыкновенного ne. В положительном кристалле n o n e . Это соответствует тому, что скорость распространения света вдоль оси кристалла
(обыкновенный луч) больше скорости в поперечном направлении, когда
колебания вектора электрического поля направлены вдоль оси кристалла. Для отрицательного кристалла соотношение показателей преломления обратное.
74
1.12.3. Скрещенные поляризаторы
y
X
E X E Y 0
Z
d
F
E X E0 cost kz
EY E0 cost kz
Эксперименты с одноосными кристаллами обычно проводятся с использованием скрещенных поляризаторов. При этом оси поляризаторов
обычно направляются под углом 450 к вертикали. Соответственно, и
направление плоскости поляризации составляет 450 к вертикали.
Амплитуды колебаний x- и y-составляющих электрического поля
одинаковы при таких условиях. Естественно, свет через такую систему
не проходит.
Иное дело, если между скрещенными поляризаторами помещается
кристалл, оптическую ось которого обычно направляют вертикально.
Луч, вдоль которой распространяется волна E X E0 cost kz является обыкновенным - направление вектора электрического поля для него
перпендикулярно оптической оси, показатель преломления n o . У другого луча EY E0 cost kz направление поляризации совпадает с осью
кристалла и показатель преломления n e . Эти лучи мы будем называть
обыкновенным и необыкновенным. Заметим еще раз, что различаются
эти лучи направлением плоскости поляризации по отношению к оси
кристалла. Заметим также, что направление поляризации это ни что
иное, как направление действующей на электроны вещества силы. Значения показателей преломления различны потому, что собственные частоты колебаний электронов вдоль оси и в поперечном направлении
различны.
Из-за различия показателей преломления внутри кристалла эти лучи, двигаясь параллельно, пройдут разные оптические пути - n o d и n e d ,
возникнет разность фаз колебаний. Проходящий через систему скрещенных поляризаторов свет можно зафиксировать помещенным за системой поляризаторов фотоприемником. Результат определяется тем,
какой будет поляризация после прохождения светом поляризатора и
кристаллической пластинки.
75
Рассмотрим подробнее, какие здесь возможны случаи.
При прохождении светом одноосного кристалла у обыкновенного и
необыкновенного лучей фазы изменятся таким образом:
2
2
o
d n o 1 ;
e
d n e 1 .
Разность фаз колебаний в этих лучах после прохождения кристалла
(но перед вторым поляризатором!) будет
2
d n o n e .
И будем еще помнить, что это разность фаз колебаний y- и xколебаний электрического вектора волны после прохождения кристалла.
Естественно, не представляет особого интереса случай, когда
2k - в этом случае вид поляризации не изменится, свет через
скрещенные поляризаторы проходить не будет. Если вращать второй
поляризатор, используя его как анализатор, интенсивность в зависимости от угла поворота будет изменяться по закону Малюса.
Изменяя толщину пластинки, можно добиться выполнения условия
2k 1 . В этом случае y- и x-колебаний электрического вектора
волны (волн) будут происходить в противофазе. Это означает поворот
плоскости поляризации света на 900. Свет не будет задерживаться вторым поляризатором, с ось которого теперь совпадает направление поляризации. Но при повороте анализатора опять-таки будет выполняться
закон Малюса.
Возникновение при прохождение пластинки разности фаз
2k 1 означает, что один из лучей отстал от другого на нечетное
количество полуволн - такая кристаллическая пластинка называется
“пластинкой в пол волны”.
Круговой после прохождения кристаллической пластинки поляризация будет при условии 2 k 2 . Такая пластинка по понятным
причинам называется пластинкой “в четверть волны”.
Y
4
Y’
EY X’
EY’
EX
0
X
EX’
Наконец, при произвольной толщине пластинки поляризация будет,
вообще говоря, эллиптической. При этом оси эллипса составят угол 450 с
76
осью кристалла. Свяжем параметры эллипса с толщиной и показателями
преломления n0 и ne кристаллической пластинки.
Запишем колебания электрического вектора световой волны после
прохождения кристаллической пластинки:
E X E0 cost e ; EY E0 cost o .
Проведя проецирование этих составляющих на оси повернутой на
угол = 450 системы координат, мы получим:
E X E0 cost e cos E0 cost o sin
E0
2
cost e cost o ;
EY E0 cost e sin E0 cost o cos
E0
2
cost e cost o .
Проведя сложение тригонометрических функций в скобках, получим:
E X
E Y
o
e o
2 E0 cos t e
cos
;
2
2
o
e o
2 E0 sin t e
sin
.
2
2
Введя обозначение
E X 2
2 E02 cos 2 2
e o ,
E Y 2
можем записать:
2 E02 sin 2 2
1.
Мы исключили из уравнений время и получили уравнение эллипса
с полуосями
a
2 d n e n o
2 E 0 cos
2
;
b
2 d n e n o
.
2 E 0 sin
2
Теперь мы доказали, что при произвольной толщине кристаллической пластинки d линейно поляризованный свет после ее прохождения
будет поляризован эллиптически.
77
1.12.4. Двойное лучепреломление
sin
ne
sin e
e,o
sin
no
sin o
Естественно, при наличии двух разных показателях преломления
как правило возникает двойное лучепреломление. Рассмотрим сначала
простой случай, когда оптическая ось кристалла направлена перпендикулярно плоскости падения луча.
Естественный неполяризованный свет при входе в кристалл разделяется на лучи обыкновенный и необыкновенный. У них разные показатели преломления, поэтому различны и углы преломления. Естественно,
преломленные лучи оказываются уже поляризованными: у обыкновенного луча плоскость поляризации совпадает с плоскостью рисунка направление поляризации перпендикулярно оси кристалла.
направления поляризации
Рассмотрим теперь более сложный случай, когда оптическая ось
кристалла направлена под некоторым углом к поверхности. Тогда луч с
направлением поляризации, перпендикулярном плоскости чертежа, будет обыкновенным. Сечения его лучевых поверхностей будет окружностями, и он пройдет в кристалл без преломления (на рисунке справа).
Для лучей, показанных слева, сечения лучевых поверхностей будут
эллипсами. Направление распространения света будет от центров этих
эллипсов к точкам касательной к их огибающей. Таким образом, даже
при нормальном падении на поверхность кристалла эти лучи будут преломляться!
1.12.5. Поляризаторы
У многих кристаллов поглощение света зависит от направления
электрического вектора световой волны. К таким кристаллам относится,
78
например, турмалин. В нем обыкновенный луч поглощается намного
сильнее необыкновенного. Поэтому после прохождения пластинки турмалина свет оказывается частично поляризованным. Если пластинка достаточно толстая (около 1 см), то обыкновенный луч поглощается практически полностью, и проходящий свет оказывается линейно поляризованным.
1
2
По-своему интересна как поляризатор призма Волластона. Она состоит из двух треугольных призм, изготовленных из одноосных кристаллов, оптические оси которых взаимно перпендикулярны.
В левой половине призмы обыкновенный и необыкновенный лучи
распространяются по одной прямой, хотя и с разными скоростями. Но на
границе обыкновенный луч, скажем, луч 1, становится необыкновенны.
И наоборот - второй луч из необыкновенного превращается в обыкновенным. Поэтому законы преломления для них выглядят по-разному:
sin 1
sin 1
ne
no
;
sin 2
sin 2
no
ne
.
В этих выражениях, очевидно, . Выходящие из призмы лучи
линейно поляризованы во взаимно перпендикулярных направлениях.
e
o
K
поляризатор
анализатор
Первая поляризационная призма была изобретена шотландским физиком Николем. Такая призма обычно и называется николем, как и некоторые другие призмы сходной конструкции.
79
Изготавливается она из исландского шпата и состоит из двух частей
специальной формы. Половинки призмы склеиваются между собой канадским бальзамом.
Углы шлифовки боковых граней и угол разрезания кристалла подбираются таким образом, чтобы обыкновенный луч o испытывал на границе полное отражение. Затем от поглощается на зачерненной боковой
рани, а из николя выходит линейно поляризованный луч.
На рисунке также показаны обычно используемые условные обозначения поляризатора и анализатора. Между ними помещен исследуемый кристалл K.
1.12.6. Анализ поляризованного света
При анализ вида поляризации светового луча могут возникнуть
определенные трудности. Скажем, у нас имеется луч света неполяризованного. Поставив на его пути николь (анализатор) и поворачивая его,
мы не обнаружим изменения интенсивности. Но тот же эффект будет и в
том случае, если свет будет поляризован по кругу!
Y
Y
x
x
поляризация
правая
левая
Чтобы различить два таких луча следует использовать пластину в
- после прохождения такой пластины в случае круговой поляризации
свет станет поляризованным линейно. Теперь, поворачивая анализатор,
мы сможем при некотором его положении достичь нулевой интенсивности света.
Рассмотрим эту задачу несколько более детально. При круговой поляризации вращение вектора электрического поля может происходить
по часовой стрелке, или против нее (правая и левая круговая поляризация). Запишем соответствующие аналитические выражения:
E0 cost 2
r
;
E П
E0 cost
E 0 cost 2
r
.
E Л
E0 cost
80
Поставим на пути луча света пластинку в . Предположим, что
наша пластинка имеет меньшую на оптическую длину для обыкновенного луча (x-составляющая). Предположим также, что выписанные
выражения описывают колебания непосредственно перед пластинкой в
.
Введем обозначения для волновых чисел обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле - ko и ke. Согласно первому предположению
k o d k e d 2 . Как видно из выражения E E0 cost kz , если после пластинки фаза колебаний необыкновенного луча изменится на ,
то обыкновенного - на 2 . Мы всегда можем положить (или
k). Поэтому выписанные выражения изменятся следующим образом:
Y
E1
Y
E2
X
X
E0 cost
r
E1
E0 cost
r
E0 cost
E2
E0 cost
;
-
такие колебания будут происходить в некоторой точке за кристаллической пластинкой. В обоих случаях циркулярно поляризованный
свет превращается в линейно поляризованный. Но в первом случае
плоскость поляризации пересекает плоскость XOY по второму и четвертому квадрантам, во втором - по первому и третьему квадрантам.
Y
Y
X
Y
X
X
А теперь рассмотрим, как действует пластинка в на эллиптически поляризованный свет.
Поворачивая анализатор, можно определить направления максимума и минимума электромагнитных колебаний. Проделав мысленно такие
81
манипуляции, совместим направление, например, оси OY с большой
r
осью эллипса. Тогда аналитическая запись колебаний вектора E будет
выглядеть так:
E x cost 2
.
E cost
y
От круговых колебаний эту запись отличает лишь неравенство Ex и
Ey. Поэтому после прохождение пластинки в такой свет станет линейно поляризованным. В отличии от случая круговой поляризации
r
направление колебаний E не будет составлять угла в 450 с осями, а то,
по каким квадрантам пройдет направление колебаний, зависит от того,
право- или лево-поляризованным является эллиптически поляризованный свет.
1.12.7. Естественное вращение плоскости поляризации
Некоторые вещества, например, раствор сахара обладают способностью поворачивать плоскость поляризации линейно поляризованного
света. Объяснение этого явления достаточно просто.
Причиной вращения (поворота) плоскости поляризации является то,
что лево- и право-поляризованный по кругу свет распространяется в таких веществах с различной скоростью, а луч линейно поляризованного
света можно представить как сумму двух лучей, поляризованных по
кругу в разные стороны:
E cost kz
r
E 0
0
E0
E0
cost kz
cost kz
2
2
E
0 cos t kz 2
E 0 cos t kz 2
2
2
.
В веществе, которое обладает способностью поворачивать плоскость поляризации, скорости распространения циркулярно право- и лево-поляризованного света различны. Поэтому,
82
E0
E0
cost k 1 z
cost k 2 z
2
2
E0 cos t k z 2
E 0 cos t k z 2
2
1
2
2
k k2
k1 k 2
z cos t 1
z
E0 cos
2
2
k
k
k
k
2
2
E0 cos 1
z cos t 1
z
2
2
2
k k2
k1 k 2
z cos t 1
z
E0 cos
2
2
k k2
k k2
E0 sin 1
z cos t 1
z
2
2
.
Сопоставив эту запись с первоначальной
E0 cos0 cost kz
E0 cost kz
r
E
E sin 0 cost kz
0
0
,
мы увидим, что плоскость поляризации повернулась на угол
k1 k 2
2
z.
В промышленности эффект вращения плоскости поляризации при
прохождении света через раствор сахара практически применяется для
измерения концентрации раствора.
1.12.8. Эффект Зеемана и поляризация
Исходя из понимания, что излучение световой волны происходит в
результате колебаний электрического диполя, рассмотрим поведение
диполя в магнитном поле.
На движущийся со скоростью vr действует сила Лоренца
.
r
rr
F B e vB
В результате, естественно, характер движения электрона в ходе колебаний изменится. Перейдем, однако, во вращающуюся систему коор-
83
динат. В такой системе на тот же электрон будет действовать сила Кориолиса
,
r
r r
F K 2m v
r
где - скорость вращения системы отсчета.
,Z
Y
pxy
r
pt
t X
r
Зависимость этих сил от скоростиr vr с одной стороны, и от поля B
и от скорости вращения с другой - одинаковы. Это обстоятельство
позволяет нам просто решить задачу о колебаниях электрического диполя в магнитном поле: направив скорость вращения системы вдоль магнитного поля и подобрав нужную скорость вращения системы, мы можем добиться компенсации силы Лоренца и силы Кориолиса. В результате во вращающейся системе отсчета колебания будет происходить
“обыкновенным” способом, как они происходили бы в отсутствии магнитного поля. Для этого необходимо лишь выполнение условия
2m eB;
e 2 m B
при подходящем направлении вращения системы.
Высказанные утверждения составляют суть (и доказательство) теоремы Лармора.
Нас, разумеется, будет интересовать излучение в лабораторной, неподвижной системе отсчета. Такое излучение в определенном направлении определяется составляющей вектора дипольного момента, перпендикулярной этому направлению.
Проще всего обстоит дело с z-составляющей амплитуда ее колебаний остается неизменной. Мы можем записать для нее выражение
r r
ez pt cos . Это некоторый колеблющийся диполь, направленный
вдоль оси OZ - его излучение имеет максимум в плоскости XOY.
Запишем теперь выражения для других составляющих:
r r
r
e x Pt sin cost e x pS cost cost ;
r r
r
e y Pt sin sint e y pS cost sint .
Преобразуем эти выражения:
84
PS cost cost
p S cost sin t
p S 2 cos t
p 2 sin t
S
p S 2 cos t
p 2 sin t
S
p S 2 cos t
p S 2 cos t
.
p 2 cos t 2
p 2 cos t 2
S
S
Итак, мы убедились, что в направлении оси OZ, в направлении магнитного поля диполь излучает две волны. Они различаются частотами
( ; ; e 2 m B ) и поляризованы по кругу в противоположных
направлениях.
r
Z
B
c
c
Y
r
pt
0
c
X
Вообще говоря, для анализа эффекта Зеемана необходим квантовый
подход. Позднее мы еще вернемся к этому вопросу, а пока лишь отметим, что классическая физика объясняет только так называемый простой эффект Зеемана. На основе эффекта Зеемана ниже будет проанализирован эффект магнитного вращения плоскости поляризации света.
1.12.9. Искусственное двойное лучепреломление
Сколько-нибудь детально строением кристаллов мы заниматься не
будем (или - не можем). Причины возникновения анизотропии, которая
является причиной двойного лучепреломления, для нас останутся загадкой. Поэтому для нас особенно ценно обсуждение искусственного двойного лучепреломления, когда причины анизатропии совершенно прозрачны.
E
n nkE 2
85
Может, не самым простым, но имеющим большую практическую
ценность, является создание анизотропии с помощью электрического
поля. если молекулы вещества полярны, их расположение под действием
поля становится в определенной степени упорядоченным. Неполярные
молекулы под действием поля поляризуются. Направление поляризации
и становится осью, определяющей анизотропию скорости распространения света.
Соответствующее устройство называется ячейкой Керра. Рабочим
веществом обычно является жидкость. В нее погружаются параллельные
металлические пластины, образующие плоский конденсатор, поле которого и осуществляет поляризацию вещества. Разность показателей
обыкновенного и необыкновенного лучей n n o n e оказывается пропорциональной показателю преломления вещества n и квадрату электрического поля E2 - эффект является квадратичным. В выражении
n nkE 2 коэффициент пропорциональности k называется постоянной
Керра.
Поместив ячейку Керра между скрещенными поляризаторами и подавая на нее импульсное напряжение. можно осуществлять управление
проходящим через систему светом. Время переключения света может
быть чрезвычайно малым - порядка 10-12 с.
Другой способ искусственного создания анизотропии - деформация,
видимо, не требует особых пояснений. При сжатии или растяжении
изотропного материала в направлении деформации создается оптическая
ось и проявляется явление двойного лучепреломления.
Кстати, пластинку в , например, можно изготовить из обыкновенного целлофана, в котором после его изготовления остаются остаточные напряжения. Сам по себе этот материал вполне изотропный.
1.12.10. Магнитное вращение плоскости поляризации
Как мы уже знаем, луч линейно поляризованного света может быть
представлен как сумма (суперпозиция) двух циклически поляризованных лучей:
E0 2 cost kz
E0 2 cost kz
r
E z, t
E 2 cost kz 2
E 2 cost kz 2
0
0
.
Для вакуума это лишь тождественное преобразование выражения,
но в магнитном поле благодаря эффекту Зеемана у циклически право- и
лево-поляризованных будут разные собственные частоты и .
Следовательно, у этих лучей будут разными и показатели преломления:
86
n
1
N e 2 m 0
0 2 2
n
;
Введя обозначение 02
ной показателя преломления:
2,
1
0 2
2
0
2
4 0
.
.
В нашем случае при подсчете n
0
2
запишем выражение для производ-
d n d
d n d 1
dn 1
d
d d
d d
d 2
dn
Ne 2 m 0
d n d
следует взять
. Поэтому, считая , получим:
n
dn 0
dn
2
2 .
d
d
Далее можно провести такие рассуждения. Некоторое расстояние l
волны пройдут за времена t ln c и t ln c . При этом вектор
электрического поля каждой волны вращается (в разные стороны) с угловой скоростью . Один из векторов повернется на угол ln c ,
другой (в противоположную сторону) на ln c . Поэтому угол поворота плоскости поляризации на длине l
2
RlB;
l
2c
n
R
l d n
l d n
d n l e
2
B
2c d
c d
d c 2 m
dn
e
2 mc
d
;
.
В выписанных выражениях R - постоянная вращения (постоянная
Верде).
1.13. Оптически бесцветное стекло. Марки стекла
Физико-химические свойства стекло весьмп сильно зависят от их
химического состава. В большинстве промышленных стекло составляющей частью является кремнезем SiO2 ; из чистого кремнезема можно
получить весьма ценное кварцевое стекло. Но температура плавления
кремнезема высокая, превышает 1700OС, но даже при этой температуре
87
вязкость стекла большая, что усложняет технологию изготовления деталей.
Добавляя к кремнезему другие окислы, так называемые плавни,
можно получить стеклообразующие расплавы, при значительно более
низких температурах.
А. Основные оптические свойства стекол.
Область применения оптического стекла того или иного вида определяется его оптическими свойствами (в первую очередь), к которым
относятся:
а). показатель преломления;
б). средняя и частные дисперсии,
в). относительные частные дисперсии и коэффициент дисперсии.
Показатель преломления. – обозначают nλ , где λ - длина волны в
мкм, для которой дается показатель преломления.
Вместо длины волны в качестве индекса может служить обозначение соответствующей спектральной линии ( nF, nD, nC и т.д.). Показатель
преломления измеряется и указывается в справочной литературе с точностью до одной единице четвертого или пятого десятичного знака.
Например, для стекла – К8 nD =1.5163. Показатель преломления стекла
зависит, главным образом, от химического состава и определяется термической обработкой стекла.
Дисперсия стекла – определяется разностью показателей преломления для волн различной длины.
Средняя дисперсия стекла – определяется разностью nF - nC. Укажем наиболее распространенные спектральные линии, линии ФраунГофера (ученый, открывший эти линии в спектре Солнца).
Обозначе-
Длина волны (мкм)
i
H
0.3650
0.3968
h
0.4047 фиол.
Hg
G
0.4341 фиол.
H
g
0.4358 фиол.
Hg
F
0.4861 синий
H
e
0.5461 зеленый
Hg
d
0.5876 желтый
He
ние
Элемент, в спектре которого эта линия наблюдается
Hg
Ca
88
D
0.5893 желтый
Na
C
0.6563 красный
H
b
0.7965 красный
He
A’
0.7665 красный
K
Частные дисперсии света – характеризуются разностью других показателей преломления, например: nD - nC ; nF – nD и т.д.
Относительная частная дисперсия – есть отношение частной дисперсии к средней дисперсии:
nD nC
nF nD
;
и т.д.
nF nC
nF nC
Дисперсия – измеряется и задается с точностью до одной единицы
пятого десятичного знака, например nF - nC = 0.00806.
Коэффициент дисперсии – (коэффициент Аббе)
n 1
D
nF nC
Величина ν вычисляется с точностью до одной единицы первого
десятичного знака. Для существующих стекол ν изменяется в пределах
от 20 до 70.
Оптическое стекло, выпускаемое стекловаренными заводами, по
отклонению оптических свойств от значений, указанных в ГОСТ, разделяется на четыре категории.
Категория
стекла
1
2
3
4
Допускаемые отклонения
nD
nF-nC
.
-4
± 5 10
± 5.10-5
± 7.10-4
± 7.10-5
± 10.10-4
± 10.10-5
± 20.10-4
± 20.10-5
Б. Марка стекла.
В соответствии с ГОСТом оптическое стекло разделяется на ряд
марок в зависимости от состава и оптических свойств. Марка оптического стекла обозначается буквой характеризующей группу, к которой принадлежит данное стекло, и порядковым номером в группе.
Различают следующие группы стекол:
1. Легкие кроны
(ЛК)
6. Баритовые флинты
(БФ)
89
2. Кроны
3. Баритовые кроны
4. Тяжелые кроны
5. Свертяжелые кроны
(К)
(БК)
(ТК)
(СТК)
7. Крон-флинты
8. Легкие флинты
9. Флинты
10. Тяжелые флинты
11. Свехтяжелые флинты
12. Особые флинты
(КФ)
(ЛФ)
(Ф)
(ТФ)
(СТФ)
(ОФ)
1.14. Требования к стеклу. Классы и категория стекла
Помимо указанных выше оптических свойств, стекло характеризуется рядом других свойств, называемых показателями качества стекла. К
ним относятся: коэффициент светопоглощения, оптическая однородность, бессвильность, пузырность, двойное лучепреломление. Рассмотрим эти показатели подробнее.
Коэффициент светопоглащения стекла. – проходя через стекло, свет
частично поглощается. Светопоглощение стекла должно быть возможно
более низким. Потеря света, связанная с поглощением его стеклом принято характеризовать коэффициентом светопоглощения Eλ, прозрачность стекла – коэффициентом прозрачности или пропускания τλ .
Оптическое стекло характеризуется средним для белого света коэффициентом поглощения.
Согласно ГОСТа, оптическое стекло по коэффициенту светопоглощения на следующие шесть категорий.
Категория стекла
00
0
1
2
3
4
Коэффициент светопоглащения
до 0.004
до 0.005
до 0.008
до 0.010
до 0.015
до 0.020
Светопоглощение стекла определяется с помощью различных видов
фотометрических устройств.
Обычно оптическое стекло весьма прозрачно в видимой части спектра и поглощает ультрафиолетовые и инфракрасные лучи. Так как стекло больше поглощает в фиолетовой области спектра, то оно приобретает
зеленоватый оттенок. С повышением показателя преломления прозрачность стекла, как правило, несколько понижается.
90
Оптическая однородность. Оптическое стекло должно быть максимально однородным. Постепенное (плавное) изменение показателя преломления стекла в пределах меньших 1.10-4 характеризует степень его
оптической однородности. Указанное изменение nD возникает в стекле
в следствии нарушения режима отжига.
Оценка оптической однородности стекла основана на том, что непостоянство показателя преломления стекла в образце приводит к
уменьшению разрешающей способности оптической системы. Существует восемь категорий однородности оптического стекла. В качестве
показателя оптической однородности принято отношение предельного
угла разрешения φ к теоретическому углу разрешения φ0.
Категория
стекла
1и2
3
4
5
6
7
8
Отношение предельного угла разрешения φ к теоретическому углу разрешения φ0 .
1.0
до 1.1
до 1.2
до 1.4
до 1.7
до 2.0
Свыше 2.0
Оптическая однородность определяется на коллиматорной установке (рис. 1.15.1).
Рис. 1.14.1
Испытуемый плоскопараллельный образец стекла 4 с полированными поверхностями помещается на столик установки в параллельном
ходе лучей между коллиматором и зрительной трубой. В фокальной
плоскости объектива 3 коллиматора расположена сетка мира 2, освещаемая источником света 1.
Изображение этой сетки мира строится объективом 5 зрительной
трубы в плоскости 6, где помещена сетка зрительной трубы. Это изображение рассматривается через окуляр 7.
91
Пузырность. Пузыри представляют собой газовые включения в
стекле. Они имеют различную форму и размеры. По форме пузыри бывают круглые, овальные и сильно вытянутые. Скопление мельчайших
пузырей, с диаметром менее 0.002 мм, называется мошкой. Пузыри рассеивают свет, что приводит к смазыванию изображения. Если оптическая деталь с пузырями расположена в плоскости изображения (сетки,
шкалы), то они видны как кружки с резко очерченными краями и мешают наблюдению.
По величине диаметра пузырей оптическое стекло разделяют на десять категорий.
Категория Наибольшего пустекла
зыря или камня в
заготовке
1
0.002
1а
0.05
2
0.1
3
0.2
4
0.3
Категория
стекла
5
6
7
8
9
Наибольшего пузыря или камня
в заготовке
0.5
0.7
1.0
2.0
3.0
Категория пузырности определяется диаметром наибольшего допустимого пузыря, причем пузыри неправильной формы учитываются по
наибольшему размеру.
По допустимому количеству пузырей в 1 кГ, стекло делится на
шесть классов:
Класс
стекла
А
Б
В
Среднее число
пузырей в 1 кГ
стекла
до 10
до 30
до 100
Класс
стекла
Г
Д
Е
Среднее число
пузырей в 1 кГ
стекла
до 300
до 1000
до 3000
Контроль пузырности стекла основан на свойстве пузырей рассеивать падающие на них лучи света (рис. 1.15.2).
92
Рис. 1.14.2
Пузыри 1 в стекле 2 рассматриваются на фоне черного экрана 3 при
освещении лучами от источника света S . Размер пузырей определяется
путем их сравнения с контрольными пузырями в отполированнных пластинах, прилагаемых к установке.
Бессвильность. В стекле могут находится участки с показателем
преломления резко отличающимся от nD основной массы стекла. Эти
участки называются свилями. Такое изменение показателя преломления
вызывается отличием химического состава свили от химического состава стекла.
В зависимости от формы и размера различают одиночную нитевидную свиль, пересекающиеся нитевидные свили и, наконец, свильграницу двух участков стекломассы с различными показателями преломления.
Наибольшее распространение имеют свиль-нити, диаметроом до
десятых долей миллиметра и длиной до сотен миллиметров.
В зависимости от количества и типа свилей, имеющихся в стекле,
определяют степень бессвильности стекла. По бессвильности стекло
разделяется на три класса и семь категорий.
Класс бессвильности характеризуется числом направлений, в которых просматривается заготовка стекла. По классу А свиль обнаруживается при просмотре образца в трех направлениях, по классу Б – в двух и
по классу В – в одном направлении.
Категория определяется условиями просмотра заготовок оптического стекла, ограниченных плоскими взаимо параллельными сторонами.
Двойное лучепреломление. Однородное стекло, свободное от каких
либо воздействий, является изотропным. В результате механических
усилий (сжатие образца), а также при неравномерном охлаждении и
нагревании стекла в нем возникают внутренние напряжения, которые
вызывают двойное лучепреломление.
Двойное лучепреломление измеряется разностью хода
обыкновенного и необыкновенного лучей и выражается миллимикронах на 1 см
93
пути луча в стекле. По двойному лучепреломлению оптическое стекло
разделяется на пять категорий:
1-я до 2; 2-я до 6; 3-я до 10; 4-я до 20; 5-я до 50
1.15. Цветное оптическое стекло. Техническое стекло
Для изготовления оптических деталей применяются три вида стекла:
а). Оптическое бесцветное стекло – для изготовления ответственных оптических деталей, его свойства и требования к нему мы только
что разобрали;
б). Техническое стекло – для изготовления стеклянных неоптических деталей (матовое стекло, ампулы уровней);
в). Цветное оптическое стекло – для изготовления светофильтров.
Цветное оптическое стекло применяется для изготовления светофильтров, с помощью которых из пучка лучей выделяются или ослабляются необходимые участки спектра. Светофильтрами пользуются для
улучшения видимости (контрастности), при неблагоприятных условиях
наблюдения (дымка, туман, слепящий свет). Так, например, в тумане рекомендуются оранжевые и красные светофильтры.
Цветные стекла маркируются буквенным и цифровым обозначениями. Все марки стекла разбиты на группы, объединяющие близкие по
цвету стекла:
Увиолевые (черные)
УФС
Фиолетовые
ФС
Синие
СС
Сине-зеленые
СЗС и т.д.
К техническому стеклу относятся обыкновенные виды стекол, также специальные виды стекол, например, стекло МКР-1 (пирекс). Это
стекло обладает низким коэффициентом теплового расширения и высокой термостойкостью. Используется для изготовления точных пробных
стекол, астрономических зеркал, деталей, подвергающихся при эксплуатации сильному нагреву.
1.16. Выполнение рабочих чертежей оптических деталей в соответствии с ЕСКД
Правила выполнения оптических деталей изложены в ГОСТ 2.41868. Оптические детали на чертежах изображаются по ходу луча, идущего слева направо (рис. 1.16.1).
94
Рис. 1.16.1
На чертежах оптических деталей в правой верхней части помещают
таблицу, состоящую из трех частей:
требование к материалу,
требование к изготовлению,
расчетные данные.
На чертежах оптических сборочных единиц указанная таблица
должна состоять из двух частей:
требование к изготовлению,
расчетные данные.
Требования к материалу нами подробно рассмотрены в предыдущем параграфе.
Требование к изготовлению:
N – предельное отклонение стрелки кривизны поверхности детали
от стрелки кривизны пробного стекла (интерференционные полосы,
кольца Ньютона).
ΔN – местные ошибки (кольца Ньютона).
С – допустимая общая децентрировка или децентрировка каждой
поверхности.
P – класс чистоты полированных поверхностей.
ΔR – отклонение радиуса кривизны от нормального значения.
95
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 1
1. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М.: Наука, 1970, 856 с.
2. Зоммерфельд А. Оптика. - ИЛ, 1953, 487 с.
3. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. - М.: Мир, 1970, 364 с.
4. Королев Ф.А. Теоретическая оптика. - М.: Высшая школа, 1968,
556 с.
5. Матвеев А.И. Оптика. - М.: Высшая школа, 1986, 352 с.
6. Калитеевский Н.Л., Волновая оптика. - М.: Высшая школа, 1978,
384 с.
7. Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М.: Наука, 1981, 640 c.
8. Маркузе Д. Оптические волноводы. - М.: Мир, 1974, 576 с.
9. Солимено С., Крозиньяни Б., Ди Порто П. Дифракция и волноводное распространение излучения. - М.: Мир, 1989, 664 с.
10. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982, 272 с.
11. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн М.: Наука, 1990, 432 с.
12. Семенов А.А. Теория электромагнитных волн. - М.: Изд-во
МГУ, 1968, 316 с.
13. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. - М.: Наука, 1980, 304 с.
14. Руситинов М.М., Грамматин А.П., Иванов П.Д. и др. Вычислительная оптика. Справочник. - Ленинград: Машиностроение, 1984, 424 с.
15. www.optics.npi.msu.ru
96
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ
2.1. Зеркала
Ранее были рассмотрены законы отражения и преломления света,
которые являются основными в геометрической оптике.
Закон отражения. (рис. 2.1.1). Луч, падающий и луч отраженный
лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восстановленном в точке
падения луча, при этом угол падения равен углу падения.
Рис. 2.1.1
Закон преломления. (рис. 2.1.2). Луч, падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с перпендикуляром, восстановленном в
точке падения луча, причем выполняется соотношение:
n sin i n' sin i'
Рис. 2.1.2
Если луч идет из среды более плотной в среду менее плотную
(n>n’), то преломленный луч отделяется от перпендикуляра (рис. 2.1.3) и
в пределе угол преломления равен 90О. Соответствующий ему угол падения называется предельным углом полного внутреннего отражения.
i' 900 , sin i' 1
97
sin iж
n'
n
Если n’=1 (воздух), то
sin iж
1
. Лучи, падение на поверхность
n
раздела двух сред под углом большим, чем iж , полностью отражаются.
Рис. 2.1.3
С явлением, которое называется полным внутренним отражением,
часто приходится встречаться в призмах. Если угол падения луча на отражающую меньше предельного угла полного внутреннего отражения,
то такая грань призмы должна быть посеребрена, что исключает возможность преломления на этой поверхности. Углы полного внутреннего
отражения для некоторых стекол:
К8
(nD =1.5163),
iж = 41О15’48”,
БК10 (nD =1.3688),
iж = 39О36’01”.
Плоское зеркало служит для изменения направления хода лучей. В
отличие от других оптических деталей, плоское зеркало дает идеальное
изображение, то есть не нарушает гомоцентричности хода лучей.
При построении изображений в плоском зеркале точки предмета и
изображения лежат на общей нормали к плоскости зеркала на одинаковых расстояниях от него (рис.2.1.4). От действительного предмета (точка
А) плоское зеркало дает мнимое изображение (точка А'), то есть изображение, расположенное за зеркалом.
Рис. 2.1.4
98
При повороте плоского зеркала вокруг точки на угол . отраженный луч отклоняется в направлении вращения зеркала на угол , равный удвоенному углу поворота зеркала, то есть = 2 (рис.2.1.5).
Рис.2.1.5
Два зеркала, расположенные под углом друг к другу, отклоняют
падающий луч от своего первоначального направления на угол = 2 ,
то есть угол отклонения луча не зависит от угла падения луча на зеркало
(рис.29).
Рис. 2.1.6
Действительно: из треугольника ABC , – внешний угол треугольника
2 i2 2 i1
Из треугольника BOC ,
i2 i1 , следовательно: 2
Эта замечательная способность двух зеркал широко используется в
оптических приборах. Действительно, при повороте даух зеркал вокруг
ребра O, изображение остается неподвижным, что значительно упрощает юстировку оптических приборов.
Плоские зеркала разделяются на две группы:
а). плоские зеркала с наружным слоем,
б). плоские зеркала с внутренним отражением (стеклянная пластинка, посеребренная с внутренней стороны).
99
Зеркала с внутренним отражением в оптических приборах стараются не применять, так как, во-первых, при прохождении оптического луча
через толщу стекла возникает аберрация, и; во-вторых появляются многократные изображения одного и того же предмета в результате многократных отражений лучей внутри пластинки (рис. 2.1.7).
Рис. 2.1.7
Простейшим оптическим устройством, способным создавать изображение предмета, является плоское зеркало. Изображение предмета,
даваемое плоским зеркалом, формируется за счет лучей, отраженных от
зеркальной поверхности. Это изображение является мнимым, так как
оно образуется пересечением не самих отраженных лучей, а их продолжений в «зазеркалье» (рис. 2.1.8).
Рис. 2.1.8. Ход лучей при отражении от плоского зеркала. Точка S' является мнимым изображением точки S
Вследствие закона отражения света мнимое изображение предмета
располагается симметрично относительно зеркальной поверхности. Размер изображения равен размеру самого предмета.
Сферическим зеркалом называют зеркально отражающую поверхность, имеющую форму сферического сегмента. Центр сферы, из кото-
100
рой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала. Вершину сферического сегмента называют полюсом. Прямая, проходящая через оптический центр и полюс зеркала, называется главной оптической
осью сферического зеркала. Главная оптическая ось выделена из всех
других прямых, проходящих через оптический центр, только тем, что
она является осью симметрии зеркала.
Сферические зеркала бывают вогнутыми и выпуклыми. Если на
вогнутое сферическое зеркало падает пучок лучей, параллельный главной оптической оси, то после отражения от зеркала лучи пересекутся в
точке, которая называется главным фокусом зеркала F. Расстояние от
фокуса до полюса зеркала называют фокусным расстоянием и обозначают той же буквой F. У вогнутого сферического зеркала главный фокус
действительный. Он расположен посередине между центром и полюсом
зеркала (рис. 2.1.9).
Рис. 2.1.9. Отражение параллельного пучка лучей от вогнутого сферического зеркала. Точки O – оптический центр, P – полюс, F – главный фокус зеркала; OP – главная оптическая ось, R – радиус кривизны зеркала.
Следует иметь в виду, что отраженные лучи пересекаются приблизительно в одной точке только в том случае, если падающий параллельный пучок был достаточно узким (так называемый параксиальный пучок).
Главный фокус выпуклого зеркала является мнимым. Если на выпуклое зеркало падает пучок лучей, параллельных главной оптической
оси, то после отражения в фокусе пересекутся не сами лучи, а их продолжения (рис 2.1.10).
101
Рис. 2.1.10. Отражение параллельного пучка лучей от выпуклого зеркала. F – мнимый фокус зеркала, O – оптический центр; OP – главная оптическая ось.
Фокусным расстояниям сферических зеркал приписывается определенный знак: для вогнутого зеркала
для выпуклого
где R –
радиус кривизны зеркала.
Изображение какой-либо точки A предмета в сферическом зеркале
можно построить с помощью любой пары стандартных лучей:
луч AOC, проходящий через оптический центр зеркала; отраженный
луч COA идет по той же прямой;
луч AFD, идущий через фокус зеркала; отраженный луч идет параллельно главной оптической оси;
луч AP, падающий на зеркало в его полюсе; отраженный луч симметричен с падающим относительно главной оптической оси.
луч AE, параллельный главной оптической оси; отраженный луч
EFA1 проходит через фокус зеркала.
На рис 2.1.11 перечисленные выше стандартные лучи изображены
для случая вогнутого зеркала. Все эти лучи проходят через точку A', которая является изображением точки A. Все остальные отраженные лучи
также проходят через точку A'. Ход лучей, при котором все лучи, вышедшие из одной точки, собираются в другой точке, называется стигматическим. Отрезок A'B' является изображением предмета AB. Аналогичны построения для случая выпуклого зеркала.
102
Рис. 2.1.11. Построение изображения в вогнутом сферическом зеркале
Положение изображения и его размер можно также определить с
помощью формулы сферического зеркала:
Здесь d – расстояние от предмета до зеркала, f – расстояние от зеркала до изображения. Величины d и f подчиняются определенному правилу знаков:
d > 0 и f > 0 – для действительных предметов и изображений;
d < 0 и f < 0 – для мнимых предметов и изображений.
Для случая, изображенного на рис 3.2.4, имеем:
F > 0 (зеркало вогнутое); d = 3F > 0 (действительный предмет).
По формуле сферического зеркала получаем:
следовательно, изображение действительное.
Если бы на месте вогнутого зеркала стояло выпуклое зеркало с тем
же по модулю фокусным расстоянием, мы получили бы следующий результат:
F < 0, d = –3F > 0,
– изображение мнимое.
Линейное увеличение сферического зеркала Γ определяется как отношение линейных размеров изображения h' и предмета h.
103
Величине h' удобно приписывать определенный знак в зависимости
от того, является изображение прямым (h' > 0) или перевернутым
(h' < 0). Величина h всегда считается положительной. При таком определении линейное увеличение сферического зеркала выражается формулой, которую можно легко получить из рис 2.1.11:
В первом из рассмотренных выше примеров
– следовательно, изображение перевернутое, уменьшенное в 2 раза. Во втором
примере
– изображение прямое, уменьшенное в 4 раза.
Рис. 2.1.12. Модель. Плоское зеркало
104
Рис. 2.1.13. Модель. Сферическое зеркало
Изображение предмета в плоском зеркале формируется за счет лучей, отраженных от зеркальной поверхности. Предмет и его мнимое
изображение располагаются симметрично относительно зеркала, размер
изображения равен размеру предмета.
Компьютерная модель иллюстрирует ход лучей в плоском зеркале.
Обратите внимание, что если предмет располагается перпендикулярно к
зеркалу, то его мнимое изображение оказывается перевернутым. Если
бы предмет располагался параллельно зеркальной поверхности, то его
мнимое изображение оказалось бы прямым.
Модель позволяет изменять положение предмета относительно зеркала либо с помощью соответствующих контролов, либо непосредственно с помощью мыши.
Сферическим зеркалом называют зеркально отражающую поверхность, имеющую форму сферического сегмента. Центр сферы, из
которой вырезан сегмент, называют оптическим центром зеркала.
Вершину сферического сегмента называют полюсом зеркала. Прямая,
проходящая через оптической центр и полюс зеркала, называется главной оптической осью сферического зеркала. Точка пересечения пучка
лучей, параллельных главной оптической оси и отразившихся от поверхности сферического зеркала, называется главным фокусом зеркала.
У вогнутого сферического зеркала главный фокус действительный. Он
расположен посередине между центром и полюсом зеркала. Главный
фокус выпуклого зеркала является мнимым. Фокусным расстояниям
сферических зеркал приписывают определенные знаки: для вогнутого
зеркала F > 0, для выпуклого F < 0. В обоих случаях фокусное расстоя-
105
ние сферического зеркала равно по модулю половине радиуса кривизны
зеркала |F| = R / 2. Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой зеркала. Оптическая сила сферических зеркал
измеряется в диоптриях (м–1).
Компьютерная модель иллюстрирует ход лучей при отражении от
вогнутого и выпуклого сферических зеркал и образование изображений
(прямых и перевернутых, действительных и мнимых). Можно изменять
оптическую силу зеркала F–1 и расстояние d от предмета до зеркала. На
экране дисплея с помощью стандартных лучей строится изображение
предмета, и высвечиваются значения расстояния f от зеркала до изображения и линейного увеличения Γ = –(f / d). Для прямых изображений
Γ > 0, для перевернутых Γ < 0.
Положение предмета относительно зеркала, а также расположение
на экране всей системы – предмета, его изображения и зеркала – можно
изменять с помощью мыши.
2.2. Тонкие линзы
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Если толщина самой линзы мала по сравнению с
радиусами кривизны сферических поверхностей, то линзу называют
тонкой.
Линзы входят в состав практически всех оптических приборов.
Линзы бывают собирающими и рассеивающими. Собирающая линза в
середине толще, чем у краев, рассеивающая линза, наоборот, в средней
части тоньше (рис. 2.2.1).
Рис. 2.2.1. Собирающие (a) и рассеивающие (b) линзы и их условные
обозначения
106
Прямая, проходящая через центры кривизны O1 и O2 сферических
поверхностей, называется главной оптической осью линзы. В случае
тонких линз можно приближенно считать, что главная оптическая ось
пересекается с линзой в одной точке, которую принято называть оптическим центром линзы O. Луч света проходит через оптический центр
линзы, не отклоняясь от первоначального направления. Все прямые,
проходящие через оптический центр, называются побочными оптическими осями.
Если на линзу направить пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то после прохождения через линзу лучи (или их продолжения) соберутся в одной точке F, которая называется главным фокусом
линзы. У тонкой линзы имеются два главных фокуса, симметрично расположенных относительно линзы на главной оптической оси. У собирающих линз фокусы действительные, у рассеивающих – мнимые. Пучки
лучей, параллельных одной из побочных оптических осей, также фокусируются после прохождения через линзу в точку F', которая расположена при пересечении побочной оси с фокальной плоскостью Ф, то
есть плоскостью перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус (рис. 2.2.2). Расстояние между оптическим
центром линзы O и главным фокусом F называется фокусным расстоянием. Оно обозначаетcя той же буквой F.
Рис. 2.2.2. Преломление параллельного пучка лучей в собирающей (a) и
рассеивающей (b) линзах. Точки O1 и O2 – центры сферических поверхностей, O1O2 – главная оптическая ось, O – оптический центр, F – главный фокус, F' – побочный фокус, OF' – побочная оптическая ось, Ф –
фокальная плоскость
107
Основное свойство линз – способность давать изображения предметов. Изображения бывают прямыми и перевернутыми, действительными и мнимыми, увеличенными и уменьшенными.
Положение изображения и его характер можно определить с помощью геометрических построений. Для этого используют свойства некоторых стандартных лучей, ход которых известен. Это лучи, проходящие
через оптический центр или один из фокусов линзы, а также лучи, параллельные главной или одной из побочных оптических осей. Примеры
таких построений представлены на рис. 2.2.3 и 2.2.4.
Рис. 2.2.3. Построение изображения в собирающей линзе
Рис. 2.2.4. Построение изображения в рассеивающей линзе
Следует обратить внимание на то, что некоторые из стандартных
лучей, использованных на рис. 2.2.3 и 2.2.4 для построения изображений, не проходят через линзу. Эти лучи реально не участвуют в образовании изображения, но они могут быть использованы для построений.
Изображения можно также рассчитать с помощью формулы тонкой линзы. Если расстояние от предмета до линзы обозначить через d, а
расстояние от линзы до изображения через f, то формулу тонкой линзы
можно записать в виде:
108
Величину D, обратную фокусному расстоянию. называют оптической силой линзы. Единица измерения оптической силы является
1 диоптрия (дптр). Диоптрия – оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1 м:
1 дптр = м–1.
Формула тонкой линзы аналогична формуле сферического зеркала.
Ее можно получить для параксиальных лучей из подобия треугольников
на рис. 2.2.3 или 2.2.4.
Фокусным расстояниям линз принято приписывать определенные
знаки: для собирающей линзы F > 0, для рассеивающей F < 0.
Величины d и f также подчиняются определенному правилу знаков:
d > 0 и f > 0 – для действительных предметов (то есть реальных источников света, а не продолжений лучей, сходящихся за линзой) и изображений;
d < 0 и f < 0 – для мнимых источников и изображений.
Для случая, изображенного на рис. 2.2.3, имеем: F > 0 (линза собирающая), d = 3F > 0 (действительный предмет).
По формуле тонкой линзы получим:
следовательно, изображение действительное.
В случае, изображенном на рис. 2.2.4, F < 0 (линза рассеивающая),
d = 2|F| > 0 (действительный предмет),
то есть изображение
мнимое.
В зависимости от положения предмета по отношению к линзе изменяются линейные размеры изображения. Линейным увеличением линзы
Γ называют отношение линейных размеров изображения h' и предмета h.
Величине h', как и в случае сферического зеркала, удобно приписывать
знаки плюс или минус в зависимости от того, является изображение
прямым или перевернутым. Величина h всегда считается положительной. Поэтому для прямых изображений Γ > 0, для перевернутых Γ < 0.
Из подобия треугольников на рис. 2.2.3 и 2.2.4 легко получить формулу
для линейного увеличения тонкой линзы:
109
В рассмотренном примере с собирающей линзой (рис. 2.2.3):
d = 3F > 0,
следовательно,
– изображение перевернутое и уменьшенное в 2 раза.
В примере с рассеивающей линзой (рис. 2.2.4): d = 2|F| > 0,
; следовательно,
– изображение прямое и уменьшенное в 3 раза.
Оптическая сила D линзы зависит как от радиусов кривизны R1 и R2
ее сферических поверхностей, так и от показателя преломления n материала, из которого изготовлена линза. В курсах оптики доказывается
следующая формула:
Радиус кривизны выпуклой поверхности считается положительным,
вогнутой – отрицательным. Эта формула используется при изготовлении
линз с заданной оптической силой.
Во многих оптических приборах свет последовательно проходит
через две или несколько линз. Изображение предмета, даваемое первой
линзой, служит предметом (действительным или мнимым) для второй
линзы, которая строит второе изображение предмета. Это второе изображение также может быть действительным или мнимым. Расчет оптической системы из двух тонких линз сводится к двукратному применению формулы линзы, при этом расстояние d2 от первого изображения до
второй линзы следует положить равным величине l – f1, где l – расстояние между линзами. Рассчитанная по формуле линзы величина f2 определяет положение второго изображения и его характер (f2 > 0 – действительное изображение, f2 < 0 – мнимое изображение). Общее линейное
увеличение Γ системы из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз: Γ = Γ1 · Γ2. Если предмет или его изображение
находятся в бесконечности, то линейное увеличение утрачивает смысл.
Частным случаем является телескопический ход лучей в системе из
двух линз, когда и предмет, и второе изображение находятся на бесконечно больших расстояниях. Телескопический ход лучей реализуется в
зрительных трубах – астрономической трубе Кеплера и земной трубе
Галилея.
Тонкие линзы обладают рядом недостатков, не позволяющих получать высококачественные изображения. Искажения, возникающие при
формировании изображения, называются аберрациями. Главные из них
110
– сферическая и хроматическая аберрации. Сферическая аберрация
проявляется в том, что в случае широких световых пучков лучи, далекие
от оптической оси, пересекают ее не в фокусе. Формула тонкой линзы
справедлива только для лучей, близких к оптической оси. Изображение
удаленного точечного источника, создаваемое широким пучком лучей,
преломленных линзой, оказывается размытым. Хроматическая аберрация возникает вследствие того, что показатель преломления материала
линзы зависит от длины волны света λ. Это свойство прозрачных сред
называется дисперсией. Фокусное расстояние линзы оказывается различным для света с разными длинами волн, что приводит к размытию
изображения при использовании немонохроматического света.
Поэтому в современных оптических приборах применяются не тонкие линзы, а сложные многолинзовые системы, в которых удается приближенно устранить различные аберрации.
Формирование собирающей линзой действительного изображения
предмета используется во многих оптических приборах, таких как фотоаппарат, проектор и т. д.
Фотоаппарат представляет собой замкнутую светонепроницаемую камеру. Изображение фотографируемых предметов создается на
фотопленке системой линз, которая называется объективом. Специальный затвор позволяет открывать объектив на время экспозиции.
Особенностью работы фотоаппарата является то, что на плоской
фотопленке должны получаться достаточно резкими изображения предметов, находящихся на разных расстояниях.
В плоскости фотопленки получаются резкими только изображения
предметов, находящихся на определенном расстоянии. Наводка на резкость достигается перемещением объектива относительно пленки. Изображения точек, не лежащих в плоскости резкой наводки, получаются нерезкими в виде кружков рассеяния. Размер d этих кружков может быть
уменьшен путем диафрагмирования объектива, т.е. уменьшения относительного отверстия a / F (рис. 2.2.5). Это приводит к увеличению глубины резкости.
Рис. 2.2.5. Фотоаппарат
111
Проекционный аппарат предназначен для получения крупномасштабных изображений. Объектив O проектора фокусирует изображение
плоского предмета (диапозитив D) на удаленном экране Э (рис. 2.2.6).
Система линз K, называемая конденсором, предназначена для того, чтобы сконцентрировать свет источника S на диапозитиве. На экране Э создается действительное увеличенное перевернутое изображение. Увеличение проекционного аппарата можно менять, приближая или удаляя
экран Э с одновременным изменением расстояния между диапозитивом
D и объективом O.
Рис. 2.2.6. Проекционный аппарат
Рис. 2.2.7. Модель. Тонкая линза.
112
Рис. 2.2.8. Модель. Система из двух линз.
Рис. 2.2.9. Модель. Тонкая линза
Линзой называют прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями. Основное свойство линз – способность давать
изображения предметов. Изображения бывают прямыми и перевернутыми, действительными и мнимыми, увеличенными и уменьшенными.
Положение изображения и его характер можно определить с помощью
геометрических построений. Для этого используются стандартные лучи,
проходящие через оптический центр линзы или один из ее фокусов.
113
Тонкая линза имеет два симметрично расположенных фокуса, через которые проходят параллельные пучки лучей (или их продолжений) после
преломления в линзе. Фокусным расстояниям линз приписывают определенные знаки – у собирающих линз F > 0, у рассеивающих линз F < 0.
Изображение можно рассчитать по формуле линзы
Здесь d – расстояние от предмета до линзы, f – расстояние от линзы
до изображения. Величину (1 / F) называют оптической силой линзы.
Оптическую силу линзы выражают в диоптриях (м–1).
Отношение линейных размеров изображения и предмета называют
линейным увеличением Γ. Для тонкой линзы линейное увеличение Γ = –
(f / d). Для прямого изображения Γ > 0, для перевернутого Γ < 0.
Компьютерная модель позволяет создавать на экране дисплея тонкие собирающие и рассеивающие линзы с различной оптической силой.
Модель строит изображение с помощью пары стандартных лучей и
определяет положение изображения и его характер, а также линейное
увеличение. Положение предмета относительно линзы можно изменять
с помощью соответствующего контрола, или непосредственно с помощью мыши. Установив курсор на оптический центр линзы, и кликнув
мышью, можно перемещать по экрану всю систему в целом: предмет,
его изображение и саму линзу.
Рис. 2.2.10. Модель. Система из двух линз
114
Во многих оптических приборах свет последовательно проходит
через две или несколько линз. Изображение предмета, даваемое первой
линзой, служит предметом (действительным или мнимым) для второй
линзы, которая строит второе изображение и т. д. Таким образом, расчет
оптической системы из двух или нескольких линз сводится к последовательному применению формулы линзы. При этом расстояние d2 от первого изображения до второй линзы следует положить равным величине
l – f1, где l – расстояние между линзами.
Общее линейное увеличение системы из двух линз равно произведению линейных увеличений обеих линз
Γ = Γ 1 · Γ2 .
Если предмет или его изображение находятся в бесконечности, то
линейное увеличение системы из двух линз теряет смысл.
Компьютерная модель предназначена для изучения системы из двух
линз. Можно изменять положение обеих линз относительно предмета
либо с помощью соответствующих контролов, либо непосредственно с
помощью мыши. В широких пределах можно изменять оптические силы
(F–1) обеих линз. Компьютер вычисляет положения первого и второго
изображений и определяет линейные увеличения системы из двух линз и
каждой линзы в отдельности. Точечный предмет располагается на общей
оптической оси линз. На дисплее высвечивается ход двух произвольных
лучей от предмета, испытывающих преломление в обеих линзах.
Обратите внимание, что в том случае, когда второе изображение
предмета находится в бесконечности (f2 = ∞), система из двух линз моделирует ход лучей в микроскопе в предположении, что глаз наблюдателя аккомодирован на бесконечность.
2.3. Плоскопараллельная пластинка
Плоскопараллельная пластинка, оптическая деталь с двумя плоскопараллельными гранями. Применяются в качестве защитных стекол, светофильтров, сеток, шкал. Отражательные призмы также во многих отношениях эквивалентны плоскопараллельным пластинкам.
Рассмотрим ход луча AP1 (рис. 2.3.1) через пластинку. Так как показатель преломления воздуха равен единице, то
sin 1 n sin '1
n sin 2 sin '2
115
Рис. 2.3.1
по чертежу устанавливаем
Следовательно:
'1 2
sin 1 sin '2
и
1 '2
Из равенства этих углов следует, что луч P2B , покидающий пластинку, параллелен лучу AP1 , падающему на нее.
Обратное продолжение луча P2B встречает осевую прямую AS2 в
точке A’ , которую можно рассматривать как изображение точки A . Если смотреть на предмет через плоскопараллельную пластинку, то он кажется ближе к наблюдателю на величину .
Определим отрезок = AA’ - смещение изображения, вызываемое
плоскопараллельной пластинкой.
Из треугольника P1NP2 :
d
P1 P2
; MA' P1K P1P2 sin( '2 2 )
cos '1
Так как '1 2 и 1 '2 , то можно записать
sin( 1 '1 )
sin 1 cos '1 sin '1 cos 1
d
d
cos '1
cos '1
sin '1
sin 1
sin 1
cos 1 d sin 1
cos 1 d
cos '1
n cos '1
cos 1
d
sin 1 1
n
cos
'
1
1 sin 2 1 1 2
cos '1 1 sin '1
n sin 2 1
2
n
n
2
116
Тогда:
d
2
2
n sin 1
Это окончательная формула для величины для сдвиг луча плоскопараллельной пластинкой.
Смещение изображения находится из треугольника
cos 1
d
1
2
2
sin 1
n sin 1
Из этой формулы видно, что зависит от толщины пластинки и от угла
1 . Следовательно, если из точки A исходит гомоцентрический пучок
лучей, образующий на входной грани пластинки различные углы падения 1 , то для этих лучей получается различная величина . Это значит, что пучок лучей после выхода из пластинки становится негомоцентрическим, а изображение точки A делается нерезким.
Если угол 1 - малый, то sin 1 0
sin 1 1
cos 1 1 и 0
cos 1
n 1
d
n
Разность 'З 0 называется сферической аберрацией плоскопараллельной пластинки. Это одна из аберраций, о которых шла речь при
рассмотрении зеркал с внутренним покрытием.
Для параксиальных лучей смещение луча
cos 1
d
sin 1 1
2
2
n sin 1
принимает вид:
n 1
0 1
d ,
n
то есть не зависит от угла 1 падения луча на плоскопараллельную
пластинку. Это обстоятельство используется длянебольшого смещения
изображений объекта при наклоне плоскопараллельной пластинки (рис.
2.3.2).
117
Рис. 2.3.2
2.4. Оптический клин
Клином называется призма, ограниченная двумя преломляющими
плоскостями с малым углом между ними (рис. 2.3.3).
Рис. 2.3.3
По закону преломления:
n sin i sin i'
i ; i'
При малом угле угол i’ будет также мал, следовательно, можно
заиенить:
sin ;
sin( )
Тогда:
(n 1)
n и
Для определения дисперсии клина в эту формулоу подставляем
вместо показатели преломления для различных длин волн, тогда для
лучей спектра F и C будем иметь:
d F C (nF 1) d (nC 1) d (nF nC ) d
118
или в общем виде:
d (n1 n2 ) d
При прохождении лучей через клин происходит сжатие пучка.
m'
Коэффициент анаморфозы K равен: K .
m
2.5. Отражательные призмы
Оптической призмой называется прозрачное тело, ограниченное
плоскостями, из которых хотя бы две не параллельны между собой.
Оптические призмы делятся на две группы: преломляющие (спектральные) и отражающие (эквивалентные плоскопараллельным пластинкам).
Отражательные призмы предназначаются:
а). Для изменения направления или параллельного смещения осей
пучков света (рис. 2.5.1 а, б, в);
б). Для оборачивания изображения (рис. 2.5.1 а, г);
в). Для разделения поля зрения (рис. 2.5.1 д).
Рис. 2.5.1
По принципу действия отражательные призмы разделяются следующим образом:
119
а). Призмы с посеребрянной гранью (рис. 2.5.2);
б). Призмы с крышей (рис. 2.5.3);
в). Призмы, построенные на явлении полного внутреннего отражения (рис. 2.5.4);
г). Комбинированные призмы (рис.2.5.5), например а – система Малофеева-Перро первого рода; б – система Малофеева-Перро второго рода.
Рис. 2.5.2
Рис. 2.5.3
Рис. 2.5.4
120
Рис. 2.5.5
На чертежах призмы обозначаются двумя буквами и числом: первая
буква – это число отражающих граней (А – с одной, Б – с двумя, В – с
тремя отражающими гранями), вторая буква – характер конструкции
(для равнобедренной – Р, пентапризмы – П, полупента – У, ромбической
– С, дальномерной – М); для обозначения призмы с крышей к первой
букве добавляют букву К. Цифры обозначают угол отклонения осевого
луча в градусах. Так, например, призма на рис. 2.5.1 а – АР-90о; призма
на рис. 2.5.4 – АКР-90о и так далее. Во многих случаях призмы по своему действию заменяют зеркала, но имеют перед ними ряд преимуществ:
1. углы между гранями призм остаются неизменными;
2. призмы конструктивно устойчивее зеркал;
3. у призм нет потери света на отражение от граней, когда выполняется условие полного внутреннего отражения.
Оборачивающее действие призм прослеживается с помощью лучей, идущих из концов предмета. При этом принято условное обозначение предмета в виде стрелки (рис. 2.5.1 и рис. 2.5.5), показывающей расположение предмета в плоскости чертежа, и точки (острие стрелки) и
крестика (хвост стрелки), дающих расположение предмета в направлении, перпендикулярной плоскости чертежа.
Как было указано выше, отражающие призмы эквивалентны
плоскопараллельным пластинкам. Следовательно, они, подобно пла-
121
стинкам, производят смещение предмета на величину , во первых, и
сферическую аберрацию, во-вторых. Кроме того, расчеты оптических
систем удобно производить, когда вместо призм показаны плоскопараллельные пластинки. Поэтому в методике расчета призм используются
особые приемы, которые заключаются в следующем:
1. развертка призмы в плоскопараллельную пластинку,
2. приведение развертки призмы к воздуху (редуцирование призмы),
3. определение габаритных размеров призмы.
2.6. Развертка призм в плоскопараллельную пластинку
Развертка призм позволяет определить длину хода осевого луча в
призме. Для ознакомления с этим приемом произведем развертку одной
из простейших призм – прямоугольной с двумя отражениями (рис.
2.6.1).
Рис. 2.6.1
Перекинем контур призмы ABC вокруг стороны AB так, чтобы он
занял положение ABC’. Участок хода лучей P2P3 в этом случае, перейдет в положение P2P’3 , составляющей продолжение луча P1P2 . Теперь
перекинем контур ABC’ вокруг стороны BC’, являющейся второй отражающей гранью, после чего контур займет положение BC’A’. Отрезок
P3P4 хода луча ляжет на продолжении луча P1P’3 в виде отрезка P’3P’4.
Таким образом, перевертывая контур сечения призмы вокруг каждой стороны этого контура, соответствующей отражающей грани, в той
последовательности, в которой происходит отражение луча от отражающих граней, мы выполним оптическую развертку призмы и построим
эквивалентную плоскопараллельную пластинку, толщина d которой
равна длине пути луча внутри призмы: d = k.a ,
122
где a – наибольшая ширина пучка лучей, которые могут пройти через развертку.
Для прямоугольной призмы с двумя отражениями
d AC' AC 2 a , то есть k = 2
Каждая призма должна непременно развертываться в плоскопараллельную пластинку, так как клиновидность развертки вносит ряд аберраций, несимметричных относительно оси проходящего пучка лучей, а
потому не устранимых при помощи других компенсаторов. Так на (рис.
2.6.2) показана развертка пентапризмы.
Рис. 2.6.2
Толщина этой развертки равна d = k.a . Коэффициент k определяется по формуле:
k 1 2 1 2 2 3.42
то есть d = 3.42 a .
Призма Дове обладает замечательным свойством, не изменяя
направления проходящего пучка, поворачивать изображение на угол
вдвое больший, чем поворот призмы вокруг оптической оси. Это свойство используется в перископических приборах для компенсации поворота изображения при вращении перископа по горизонту. Призма Дове,
установленная в главной трубе перископа поворачивается на угол вдвое
меньший (с помощью механической передачи), чем поворот трубы. При
этом изображение остается неподвижным. На рис. 2.6.3 показана развертка призмы Дове в плоскопараллельную пластинку. Как видно из рисунка, в результате развертки получается пластинка, не перпендикулярная к проходящему пучку лучей, Это обстоятельство указывает на то,
что призму Дове можно устанавливать лишь в параллельном ходе лучей,
иначе возникают аберрации, несимметричные относительно оси, и, следовательно, неустранимые другими компонентами оптической системы.
123
Рис. 2.6.3
Коэффициент развертки «k» является основным параметром призмы и его значение указывается во всех справочниках.
2.7. Редуцирование призм. Графоаналитический метод расчета
призм
При определении размеров призм необходимо еще проводить так
называемое «приведение развертки призмы к воздуху», или, как это еще
называют – «редуцирование призмы».
Пусть в результате оптической развертки получена плоскопараллельная пластинка толщиной d AP1P2B (рис. 2.7.1) – пут луча через
пластинку.
Рис. 2.7.1
Представим себе, что выходную грань призмы P2S2 мы сдвигаем
влево, уменьшая толщину пластинки до тех пор, пока точка P2 , двигаясь вдоль горизонтальной прямой P2P’2 не попадет на продолжение луча AP1 в точку P’2. Таким образом, выходящий из пластинки луч совпадает с продолжением луча AP1 , и проходит пластинку не претерпевая
сдвига, что возможно только в случае, если n будет равно единице,
пластинка станет воздушной.
По чертежу видно:
n 1
d ; d '1 d
n
124
n 1
d
d
n
n
Замена стеклянной пластинки редуцированной упрощает работу
конструктора, так как все лучи проходят редуцированную пластинку без
преломлений на ее гранях.
Пусть нам необходимо расчитать размеры призмы стоящей между
объективом M1M2 и полевой диафрагмой N1N2 (рис. 2.7.2). Вместо
призмы мы помещаем редуцированную воздушную пластинку.
d '1 d
Рис. 2.7.2
Лучше поместить призму в более узкий пучок лучей, так как размеры ее будут меньше. Но близко к плоскости N1N2 поместить ее нельзя,
так как в этой плоскости находится промежуточное изображение и все
дефекты призмы будут хорошо видны. Отрезок z рекомендуется делать
не менее, чем
z 0.01 f ок2 .
Найдя положение призмы, мы определяем диаметр выходного
пучка, но диаметр сечения пучка входной гранью будет больше и размер
d’1 должен определяться диаметром a на входной грани S1P1 .
Рис. 2.7.3
Для
определения
размеров
призмы
используется
графоаналитический метод. Прямая, проведенная через крайнюю точку
P1 входной грани и через осевую точку выходной грани образуют с
осью угол (рис. 2.7.3).
125
tg
a
;
2d
'
d
;
n
tg
Мы знаем, что = k.a , тогда tg
aт
2
n
.
2k
Это выражение интересно тем, что для определения угла не нужно знать линейные размеры призмы, так как в формулу входят только
величины n – показатель преломления стекла и k – коэффициент развертки, определяемый типом используемой призмы.
Дальше задача решается графически. Через точку SC (рис. 2.7.2)
выходно грани проводят прямую S2P1 под углом и отмечают точку
P1 пересечения прямой с габаритным лучом M1N1 и через эту точку
проводят прямую S1P1 .
Эта грань и есть входная грань редуцированной развертки призмы.
По чертежу определяем d’1 и далее
d
d n d '1 ; a .
k
2.8. Компенсаторы
Компенсаторы имею достаточно широкое распространение в измерительной технике в качестве элементов различных отсчетных
устройств, регистрирующих и юстирующих приспособлений. Компенсаторами могут служит различные оптические детали, такие как плоскопараллельные пластинки, клинья, системы зеркал, клинно-фокусные и афскальные линзы. Основным требованием, предъявляемым к компенсатору, является его способность преобразования пучка лучей, приводящая к
небольшому смещению изображения, при достаточно большом изменении положения компенсатора.
Рассмотри некоторые типы компенсаторов.
1. Качающаяся плоскопараллельная пластинка. При рассмотрении работы плоскопараллельной пластинки мы имели формулу:
n 1
z 0 1
d ,
n
где - угол падения луча на входную грань пластинки.
Из этой формулы мы видим, что смещение луча d0 , а в
измерительной технике его лучше обозначить
z , прямо
пропорционально толщине пластинки d углу ее наклона 1 и зависит
еще от сорта стекла ( n ).
126
Рис. 2.8.1
На рис. 2.8.1 представлена схема, показывающая работу плоскопараллельной пластинки в оптическом микрометре.
Например, при толщине пластинки d = 10 мм , n = 1.5 , смещение изображения на величину 0.01 мм получается при наклоне 1 =
0.001 рад, или 10’ .
2. Клин, перемещающийся вдоль оптической оси (рис.46).
Как мы имели:
(n 1) ,
где - преломляющий угол клина, - угол отклонения луча
клином. Из рис. 2.8.2 можно записать, что z = l. , то есть
z l (n 1) .
Тогда смещение изображения
z l (n 1)
Рис. 2.8.2
Перемещение клина отсчитывается по шкале, проградуированной
непосредственно по величине смещения изображения.
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОЙ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
127
3.1. Идеальная оптическая система
Реальные оптические системы, используемые в оптических приборах, обладают рядом недостатков, так называемыми аберрациями, которые ухудшают качество изображения и ограничивают некоторые параметры, определяющие свойства системы. Формулы для расчета прохождения пучка лучей через такие системы достаточно сложны и еще более
трудоемкими и сложными являются расчеты оптических систем,
направленные на уменьшение аберраций до таких величин, которые
позволяют получить системы с хорошим качеством изображения.
Использование сложного математического аппарата, применяемого
при аберрационных расчетах, при предварительном, так называемом габаритном расчете, крайне нецелесообразно. При габаритных расчетах
допускается возможность создания идеальной оптической системы, с
помощью которой можно получить изображение предмета без всяких
искажений, сколь угодно большой величины широкими пучками лучей.
Идеальной оптической системе приписываются определенные
свойства, часть которых действительна и для реальной оптической системы.
Во всякой оптической системе существует геометрическая связь
между двумя пространствами. В одном пространстве располагаются
предметы, объекты, проектируемые оптической системой, это пространство предметов. В другом пространстве системой образуются изображение этих предметов – пространство изображений. Эти пространства не
обязательно располагаются по разные стороны от оптической системы,
возможны и другие варианты, о чем более подробно будет указано в параграфе, посвященному построению изображений.
Пространство изображений связаны между собой множеством лучей, проходящих через оптическую систему. Каждому лучу в пространстве предметов соответствует свой луч в пространстве изображений. Такие соответствующие друг другу лучи, предмет и изображение и так далее, находяшиеся в разных пространствах, называются сопряженными.
Основные положения идеальной оптической системы состоят в том,
что:
а). всякой прямой пространства предметов соответствует только
одна прямая пространства изображений;
б). каждой точке пространства предметов соответствует в пространстве изображений одна сопряженная точка, это второе положение, как
правило, не выполняется, поэтому вводя его, мы идеализируем оптические системы;
128
в). всякой плоскости пространства предметов соответствует одна
сопряженная плоскость пространства изображения;
г). плоскость, перпендикулярная к оптической оси, изображается
также плоскостью, перпендикулярной к оси системы.
3.2. Линейное и угловое увеличение оптической системы.
Кардинальные точки
Линейным увеличением оптической системы - называется отношение величины изображения предмета к величине самого предмета:
v
y'
y
Для данной пары сопряженных, перпендикулярных к оптической
оси плоскосей (рис. 3.2.1), линейное увеличение есть величина
постоянная, не зависящая от величины предмета y.
Рис. 3.2.1
Угловым увеличением называют отношение тангенсов угла наклона
луча к оптической оси в пространстве изображений к тангенсу угла
наклона луча в пространстве предметов (рис. 3.2.2):
tg '
tg
Или для малых углов:
'
Рис. 3.2.2
129
Оптическая система имеет ряд кардинальных точек, определяющих
основные ее свойства. Любую оптическую систему, представленную в
нашем случае двумя сферическими поверхностями, можно характеризовать способностью собирать лучи в одной точке. Если лучи идут параллельно оптической оси из пространства предметов (рис. 3.2.3 а) то они
соберутся в точке F’, называемой задним фокусом оптической системы.
Плоскость, перпендикулярная оптической оси и проходящая через задний фокус, называется задней фокальной плоскостью. Пучок лучей,
проходящий оптическую систему под некоторым углом к оптической
оси, также собирается в фокальной плоскости, но на некотором расстоянии от оптической оси. Таким образом, можно сказать, что задняя фокальная плоскость есть плоскость изображения бесконечно удаленной
плоскости, расположенной в пространстве предметов. Всякая точка
плоскости, расположенной в бесконечности в пространстве предметом
изображается точкой, расположенной в задней фокальной плоскости.
Рис. 3.2.3
Абсолютно то же самое можно сказать относительно лучей, проходящих систему справа налево (рис. 3.2.3 б). Разница заключается лишь в
том, что точка F называется передним фокусом, плоскость, проходящая
через точку F перпендикулярно оптической оси – передней фокальной
плоскостью.
В следствии обратимости хода лучей через оптическую систему,
всякий пучок лучей, исходящий из точек, расположенных на фокальных
плоскостях (передней или задней) после прохождения системы будет
идти параллельным пучком. Если пучок лучей исходит из точки F (или
F’), то пучок лучей после системы будет параллелен оптической оси.
130
Если мы теперь продолжим до пересечения входящий в систему и
выходящий луч (рис. 3.2.3 а), то практически мы можем отобразить преломляющие сферические поверхности и считать, что изменение направления луча происходит в точке, находящейся на плоскости H’. То же самое можно проделать и с лучами, идущими из пространства предметов
(рис. 3.2.3 б).
Плоскости H и H’ - называются главными плоскостями оптической системы, линейное увеличение в этих плоскостях равно +1 (рис.
3.2.3 в). Точки пересечения этих главных плоскостей с оптической осью
называются главными точками: ( B и B’).
Главные точки B и B’ являются второй парой кардинальных точек оптической системы. Причем, плоскость H и точка B называются передней главной плоскостью и передней главной точкой системы, а плоскость H’ и точка B’ - соответственно задней главной плоскостью и
задней главной точкой.
Расстояние от передней главной плоскости до переднего фокуса
называется передним фокусным расстоянием, от задней главной плоскости до заднего фокуса – задним фокусным расстоянием.
Расстояние от вершины последней поверхности оптической системы до
заднего фокуса и от вершины первой поверхности до переднего фокуса
называется соответственно задним или передним вершинным фокусным
расстоянием ( s'F ' , sF ).
Оптические системы или линзы по своему действию на пучок лучей
разделяются на собирающие (или положительные) и рассеивающие (или
отрицательные). Если параллельный пучок лучей, падающий на линзу
собирается в точке, расположенной справа от линзы (рис. 3.2.4 а), то
линза (система) называется положительной ’ > 0 ; если же точка схода
лучей расположена слева от линзы, то линза называется отрицательной
(рис. 3.2.4 б) ’ < 0.
Рис. 3.2.4
131
Третья пара кординальных точек – узловые точки. Узловыми
точками называются такие точки, угловое увеличение в которых равно
+1, то есть (рис. 3.2.5):
tg '
1
tg
Рис. 3.2.5
Для систем находящихся в однородной среде, узловые точки
совпадают с главными. Для глаза человека или объектива фотоаппарата
для подводной съемки такого совпадения нет.
3.3. Правило знаков
Прежде, чем перейти к рассмотрению хода лучей через оптическую
систему и выводу формул, связывающих отдельные оптические параметры, необходимо установить некоторое правило знаков, соответствующие тому или иному расположению отрезков, определяющее некоторые оптические величины:
1. Оптические системы на схемах и чертежах располагаются таким
образом, чтобы расположение световых лучей происходило от
источника света слева направо.
2. Если направление отрезка, расположенного вдоль оптической
оси совпадает с направлением распространения света, то отрезок
считается положительным, в противном случае – отрицательным. Начало отсчета отрезков должно оговариваться, однако
имеются поверхности (точки), которые считаются предпочтительными. Это, во-первых – поверхности оптических деталей,
во-вторых – главные и узловые точки (главные плоскости), и втретьих – фокусы (фокальные плоскости) оптической системы
(рис. 3.3.1 а).
3. Высоты, отсекаемые лучами на поверхности оптических деталей,
отрезки, изображающие величину предмета или изображения
предмета считаются положительными, если они распложены
132
выше оптической оси, и отрицательными – если ниже оптической оси (рис. 3.3.1 б).
4. Углы, образованные лучами света с оптической осью или нормалью к поверхности оптической детали принимаются положительными, если ось (нормаль) нужно поворачивать до совпадения с лучом по часовой стрелке, и отрицательной в противном
случае (рис. 3.3.1 в).
5. Радиусы кривизны поверхностей оптических деталей положительны, если центр кривизны расположен справа от поверхности
и отрицательны – если слева (рис. 3.3.1 г).
6. Толщины оптических деталей, расстояния между ними всегда
положительны (рис. 3.3.1 д).
Рис. 3.3.1
133
7. Если в оптической системе имеются отражающие (зеркальные)
оптические детали, то при использовании общих формул геометрической оптики необходимо, во-первых изменить знак у показателя преломления оптической среды после отражения и, во-вторых, изменить
знак у расстояния между отражающей поверхностью и последующей
оптической (рис. 3.3.1 е).
8. Увеличение оптической системы считается положительным – если величина отрезков, изображающих предмет и его изображение имеют
одинаковые знаки, при противоположных знаках увеличение отрицательно (рис. 3.3.1 ж).
3.4. Основные оптические формулы. Построение изображения
На рис. 3.4.1 даны кардинальные точки – главные точки B, B’; фокусы F, F’ - оптической системы. Требуется построить изображение
предмета AP=y .
Рис. 3.4.1
Для нахождения изображения точки P проследим ход двух лучей.
Один луч направим параллельно оптической оси (PD1), сопряженный
луч пройдет через задний фокус F’ системы и через точку D’1 . Второй
луч проведем через передний фокус F системы. Сопряженный луч в
пространстве изображений идет параллельно оптической оси. Построенные в пространстве изображений лучи D’1P’ и D’2P’ пересекаются в
точке P’ , которая и является изображением точки P .
Пользуясь подобием одинаково заштрихованных треугольников
FAP и FBD2 ; A’P’F’ и F’D’1B’ , найдем:
v
y'
f
y'
x
, v .
y
f'
y
x
134
Это две расчетные формулы для линейного увеличения.
Приравнивая правые части формул, получим формулу, известную под
названием – формула Ньютона:
x x' f f '
Введем отрезки s=BA и s’=B’A’ . По рисунку видим
x s f , x' s ' f '
Подставляя в формулу Ньютона, получим
( s f )( s ' f ' ) f f ' ;
s s' s f ' s' f f f ' f f '
f 's f s ' s s '
Деля на s.s’ , найдем формулу отрезков:
f' f
1,
s' s
при f’=-f (система находится в однородной среде):
1 1 1
.
s' s f '
x x' f f '
Из фомул:
s x f ;
s ' x' f ' ;
x'
f f'
(ф.Ньютона)
x
имеем:
s' f ' x'
s f x
f f'
f
f x
1
x f '
x f ' x f '
f x
f x
f x x
f '
Из формулы Ньютона:
x' f '
f
x
Таким образом
s ' f ' x'
s x
f
Это выражение позволяет получить формулу для линейного
увеличения через отрезки s и s’
x' f
s'
;
s
v
x'
f s'
f'
f' s
При f’=-f формула приобретает простой вид
v
s'
s
Рассмотрим графическое построение изображения. При построении
изображения мы исходим из свойств лучей, проходящих через
кардинальные точки системы. Проследив ход двух лучей, исходящих из
какой-либо точки предмета, и прошедших через оптическую систему,
135
мы находим их точку пересечения в пространстве изображений, которая
и будет искомым изображением точки предмета. Следует иметь в виду,
что пространство предметов не обязательно находится слева от системы,
а пространство изображений – справа: они могут находится с любой
стороны.
Рис. 3.4.2
Рис. 3.4.3
p x1 x2 ;
p' x'2 x1 ;
По формуле Ньютона:
f f'
x '1
;
x1
Тогда
p x2 x1
p' x'2 x'1
x '2
f f'
x2
136
x x
p' x'2 x'1 f f ' 1 2
x1 x2
и
p'
x x
1
f f'
f f ' 1 2
p
x1 x2 x2 x1 x1 x2
Обозначив линейное увеличение в точках A1 A’1 через V1, а в точках
A2 A’2 через V2, можно записать:
p' f f ' f
f'
Q
V1 V2
p x1 x2 f '
f
В случае, когда точка A2 неограниченно приближается к точке A1 , то x2
x1 и V2 V1 . В пределе, когда точка A2 совпадает с точкой A1 ,
продольное увеличение Q переходит в продольное увеличение в точках,
обозначаемое через q ,
f'
f'
q lim Q V1 lim V2 V12
f
f
Если f’ = f , то q = V2 .
Q
Мы знаем, что угловое увеличение
'
(рис. 3.4.4).
Рис. 3.4.4
h
h
'
;
s'
s
Тогда
f f'
f ' x'
f
' s x f
x
f x
s' x' f '
x' f '
x' f '
f
f f'
x' x' f '
Но
137
V
Тогда
f 1
;
f' V
x'
;
f'
q
f'
1
x'
V
f' 2
1
V V
f
V q , то есть
линейное увеличение равно произведению углового увеличения на
продольное.
3.5. Инвариант Аббе
Пусть две среды с показателями преломления n и n’ разделены
преломляющей поверхностью с радиусом кривизны r (рис. 3.5.1).
Рис. 3.5.1
По закону преломления:
n sin i n' sin i'
При малых углах i и i’ можно записать:
n i n'i'
Проведем произвольный луч ANA’ . Так как углы и ’ малы, то будет мала величина h . Пренебрегая отрезком HO , можно записать из
треугольников ANH, NCH, HNA’:
h
h
h
' ;
;
.
s'
r
s
Из треугольника ANC , i - внешний угол,
i ;
i
Из треугольника NCA’ , - внешний угол,
'i ' ;
i ' '
Подставляя в уравнение закона преломления, получаем:
h ( ) n'( ' )
138
или
h h
h h
n n'
s r
s' r
Сокращая на h , получаем инвариант Аббе:
1 1
1 1
n n'
s r
s' r
Из формулы Аббе следует, что положение точки A’ зависит только
от положения точки A и не зависит от углов, образованных лучом с
осью. То есть, всякий луч, проходящий через точку A непременно пройдет через точку A’ .
Однако эта формула справедлива только для параксиальных лучей,
идущих бесконечно близко к оптической оси. Для лучей образующих
конечные углы с оптической осью, так называемых действительных лучей, мы не можем делать замену закона преломления, которая осуществлена нами в начале параграфа. Следовательно, положение точки A’ будет зависеть от угла и гомоцентрический пучок лучей исходящий из
точки A перестает быть гомоцентрическим при сходе в точке A’ . Изображение A’ точки A становится размытым.
Формула Аббе позволяет найти фокусные расстояния одной преломляющей поверхности. Для этого примем, что луч идет из бесконечности,
то есть s = - , тогда s’ = f’ :
n n' n'
n' n' n
n'r
;
f '
;
r
r
n' n
r f' r
И наоборот sэ = , тогда s = f
n n'
n'
n n n'
nr
;
f
;
f r
r
f
r
n' n
Определим отношение фокусных расстояний
f ' n'
f
n
При n’ = n : f’ = - f
Из рис. 3.5.2 видно
Рис. 3.5.2
139
s
h
;
s'
h
'
.
Также
y
y
i' .
;
s
s'
Подставляя эти формулы в закон преломления для малых углов, получим:
y
y'
n y n' y ' '
n n' ;
n y n' y ' '
;
h
h
s
s'
Это так называемая формула или инвариант Лагранжа-Гельмгольца.
i
3.6. Расчет хода нулевого луча
Из рис. 3.5.2 видно, что
h
h
'
;
s'
s
Умножая инвариант Аббе на h , получим
h
h
h h
h h
n n' ,
n n' '
r
r
s r
s' r
h
h
n' ' n'
r
r
n
n'n
' h
n'
n'r
Применяя формулу в более общем виде, получим для S -ой поверхности:
n n
ns
n n
s hs s 1 s
ns 1
ns 1r
Для вычисления по этой формуле необходимо знать высоту h луча на
преломляющей поверхности. Рассмотрим рис. 3.6.1. Здесь показано преломление луча на двух поверхностях S и S+1 . Луч падает на поверхность S с радиусом кривизны rS на высоте hS , после преломления
встречает поверхность S+1 с радиусом rS+1 на высоте hS+1 .
s 1
140
Рис. 3.6.1
Так как мы рассматриваем лучи параксиальные, то практически
расстояние между вершиной поверхности и следом перпендикуляра на
оптической оси для каждой поверхности описывается уравнением:
hS hS 1
hS 1 hS S 1d S .
S 1 ;
dS
Таким образом, для расчета хода нулевого луча через систему поверхностей мы имеем систему формул:
hS
n n
S hS S 1 S
hS 1
nS 1rS
hS 1 hS S 1 d S
S 1
При практическом расчете хода луча, принимают некоторые начальные
условия. Так, например, первую высоту h , берут равной обыкновенно
радиусу кривизны первой поверхности h1=r1 . В этом случае первая
формула для расчета 2 упрощается. Здесь не следует пугаться того,
что h1 может оказаться больше, чем размер линзы, то есть луч проходит
вне линзы. На точность и результаты расчета это никакого влияния не
оказывает.
Если мы рассматриваем лучи, идущие из края предмета, то принимается 1 = 0 , и после прохождения оптической системы точка пересечения луча с оптической осью (или продолжение луча) дает нам положение фокуса всей оптической системы. Изображение крайней точки
предмета, из которой проведен луч, будет лежать на луче, прошедшему
систему.
Для определения положения предмета рассчитывается ход луча, идущего из центральной точки предмета, то есть, точки пересечения предмета с оптической осью системы (мы все время предполагаем, что рассматриваются предметы расположенные симметрично оптической оси).
После прохождения системы точки пересечения этого луча с оптической осью дает нам положение изображения центральной точки предмета, а следовательно, и всего предмета в пространстве изображений.
141
Величина изображения определяется расстоянием или, иначе сказать,
длиной перпендикуляра, опущенного из точек пересечения второго луча
с оптической осью на луч, рассчитанный нами вначале, то есть на луч,
проходящий через фокус системы.
Рис. 3.6.2
Как только что было показано, расчетхода нулевого луча
принимается для вычисления положения фокуса оптической системы,
для ее заднего фокусного расстояния (рис. 3.6.2).
В результате расчета хода нулевого луча полагают 1 = 0 при h1 ,
находят высоту hm на главных плоскостях последней системы и последний угол m+1
Из треугольника PmSmF’
h
SF m
m 1
Буквами SF и S’F обозначаются расстояния от фокуса (переднего или
заднего, соответственно) до поверхностей системы (парной или
последней, также соответственно).
Для определения заднего фокусного расстояния системы находим
положение задней главной плоскости H . Для этого определяем точку
пересечения входящего в систему и выходящего из системы луча (точка
M ), тогда
h
f ' 1
m 1
3.7. Отдельная линза в воздухе
Отдельная линза в воздухе широко применяется в оптических приборах, но чаще отдельная линза входит в состав более сложных оптических систем.
142
Используем формулы, полученные в предыдущем параграфе и рассчитаем ход нулевого луча через отдельную линзу, положив 1=0 и выбрав h1 - произвольно (рис. 3.7.1).
Рис. 3.7.1
Для расчета мы имеем формулы:
S 1
nS
n n
S hS S 1 S
nS 1
nS 1 rS
hS 1 hS S 1 d S
Для первой поверхности:
2
1
n 1
n 1
0 h1
h1
n
n r1
n r1
h2 h1 h1
n 1
n 1
d h1 1
d
n r1
n
r
1
для второй поверхности
n 1 1 n
1 n
n 1
2 n 2 h2
h1
h1 1
d
r2
r1
n
r
r
1
2
n 1 1 n (n 1)(1 n)
h1
d
r
r
n
r
r
2
1 2
1
1 1 (n 1) 2d
h1 (n 1)
n r1 r2
r1 r2
Введем понятие о силе оптической системы
143
1
s'
Силой оптической системы мы называем обратную величину заднего
фокусного расстояния этой системы. Таким образом, чем меньше фокусное расстояние системы, то есть, чем сильнее она собирает лучи, тем
сила оптической системы больше.
Для определения фокусного расстояния мы имеем
h
h
3
f ' 1 1 ;
h1
ж 3
Отсюда
1 1 (n 1) 2 d
(n 1)
n r1 r2
r1 r2
Для заднего вершинного отрезка имеем
h
h
s'F ж 2
ж 1
3
Умножим и разделим эту величину на h1
Тогда:
(n 1)
h h
s'F 1 2 f '1
d
31 h1
n
r
1
Расчет переднего фокусного расстояния
и переднего вершинного
фокусного расстояния производится совершенно аналогично для луча,
идущего справа налево, то есть из пространства изображений в
пространство предметов.
Не приводя расчетов, запишем:
f ' f
n 1
s'F f '1
d
n
r
1
3.8. Расчет хода нулевого луча через сложную оптическую систему
Сложной оптической системой мы называем систему, состоящую из
ряда более или менее самостоятельных частей, называемых компонентами сложной системы (рис. 3.8.1).
144
Рис. 3.8.1
Для расчета хода нулевого луча через оптическую систему воспользуемся формулой отрезков
1
1
1
s 'S sS
f 'S
Умножая эту формулу на hS
hS hS
h
h
hS S ; S S ; S 1 S
s 'S sS
sS
sS
Подставляя, получим
S 1 S hS S
Формула для расчета hS+1 остается такой же, как в случае системы из
ряда преломляющих поверхностей.
hS 1 hS S 1 d S
Здесь dS есть расстояние между задней главной плоскостью первой
системы и передней главной плоскостью второй системы. Отличие
формул для расчета S и hS для разных случаев определяет и возможность их использования. Если система задана радиусами кривизны поверхностей, материалом стекол, толщиной оптических деталей, то, естественно, следует использовать первую формулу; если же даны уже рассчитанные параметры типа ( , f’ ), то вторая формула удобнее. Конечно можно перейти от первой формулы ко второй, используя формулу
для оптической силы линзы.
3.9. Оптическая система из двух компонент
На рис. 3.9.1 представлен схематически ход нулевого луча через оптическую систему, состоящую из двух компонентов.
145
Рис. 3.9.1
Положим и выберем произвольно, тогда из формул
S 1 S hS S
hS 1 hS S 1 d S
будем иметь
2 h 1
h2 h1 2 d h1 h1 1 d h1 (1 1d )
3 2 h2 2 h1 1 h (1 1d ) 2
h1 (1 2 1 2 d )
Мы знаем, что
э
3
h1
1 2 1 2 d
h1 h2
1 1 d
f '(1 1 d )
3 3 h1
э
Также, на обратном ходе лучей, получим
1 2 d
sF
s'F
h2
э
Если луч, входящий в оптическу систему не параллелен оптической
оси (рис. 3.9.2); то точки A и A’ будут на конечном расстоянии.
Определим отрезки s и s’
s x sF
s' x'sF
146
Рис. 3.9.2
Из формул оптики мы имеем:
v
f
x'
x f'
Следовательно,
x
f
f'
1
;
v
v v
x ' v f '
v
Подставляя, получим
1 1
1 2 d
4 v
1 1
s' 1 1 d
4 v
s
3.10. Графический способ определения хода нулевого луча
Графический способ определения хода нулевого луча приведен на
рис. 3.10.1 а.б.
Рис. 3.10.1
147
3.11. Определение хода действительного луча
Пусть сферическая поверхность разграничивает две среды с показателем преломления n и n’ (рис. 3.11.1).
Рис. 3.11.1
В пространстве предметов задано положение точки A отрезком s,
направление хода луча из точки A углом : известны также радиус
кривизны r преломляющей поверхности и показатели преломления
сред n и n’ .
Нам необходимо определить параметры луча в пространстве изображений: s’ , и i’ .
Из треугольника AMO по теореме синусов находим:
rs
r
rs
r
;
0
sin( i ) sin( )
sin( 180 i) sin( )
По закону преломления:
n sin i n' sin i'
Отсюда
n
n rs
sin i ' sin i
sin
n'
n' r
Из треугольника AMO будем иметь
'i '
Из треугольника AMO
i ; i
Тогда
i 'i'
И, наконец, по теореме синусов, из треугольника AMO
s 'r
r
r s'
r
;
sin( i ' ) sin( )
sin( i' ) sin( )
148
r s ' sin i '
r
sin '
Заменяя sin i’, получим:
rs n
r
'
sin
r n' sin '
n sin
r s' (r s)
n sin '
Если точка A’ является идеальным изображением точки A, то отрезок s должен быть постоянным для любого значения угла , то есть,
должно быть постоянным выражение
n sin
n' sin '
Такое постоянство сохраняется лишь в нескольких случаях, которые
имеют практическое применение. Точки, где выполняется указанное
равенство, называются апланатическими, их всегда три пары:
а). предметная точка и ее изображение совпадают с поверхностью
линзы,
б). предметная точка находится в центре кривизны поверхности,
в). есть еще одна пара, когда получается мнимое изображение точки
A . Положение точки A и A’ в третьем случае определяется выражением:
sin sin i n
const
sin ' sin i ' n'
При всех остальных положениях точки A отрезок s не имеет постоянного значения для лучей, идущих из точки A под различными углами
. Пучки лучей после преломления перестают быть гомоцентрическими
(рис. 3.11.2). Нарушение гомоцентричности в пучке лучей преломленных или отраженных вызывает ошибки изображения, называемые аберрациями.
r s'
Рис. 3.11.2
149
Глава IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4.1. Основные характеристики оптического прибора
С помощью оптических приборов, человек может изменять масштаб и освещенность изображений предметов, а также изменять
их цвета. Однако оптические системы не позволяют безгранично увеличивать пределы и возможности наблюдения. Прежде всего, оправы оптических деталей ограничивают прохождение пучков лучей в
прибор, а размеры изображения определяются возможностями оптической системы образовывать хорошее или удовлетворительное по
резкости изображение. Главными оптическими характеристиками
приборов являются: 1) увеличение (масштаб изображения), 2) освещенность изображения (светосила), 3) поле зрения.
Масштаб изображения зависит от фокусного расстояния системы или от расстояния между предметом и системой. Освещенность изображения зависит от яркости предмета, от диаметров диафрагм, ограничивающих светопропускание, и от потерь света в
приборе. Поле зрения ограничивается размерами диафрагм и величиной достаточно резкого изображения.
4.2. Видимое увеличение
Видимым увеличением называется отношение тангенса угла, под
которым глаз наблюдателя видит изображение, образованное оптической системой, к тангенсу угла, под которым предмет виден невооруженным глазом (рис. 4.2.2):
Г = tg γ' / tg γ
(4.2.1)
Если это отношение положительно, то оптическая система образует прямое изображение. На это указывает одинаковость знаков γ и
γ'. Перевернутое (обратное) изображение оптической системы характеризуется различными по знаку углами γ и γ', следовательно, и величина видимого увеличения будет отрицательна. Однако на практике пренебрегают знаком видимого увеличения и оно всегда считается положительным,
а вид изображения, прямое или обратное, оговаривается особо.
Глаз наблюдателя (рис. 4.2.2), помещенный в точку В, видит предмет
l под углом γ, а изображение l' этого предмета, образованное оптической
системой, наблюдает с расстояния k' под углом γ'. При положении предмета в бесконечности
150
но одновременно
Рис. 4.2.1. К выводу формулы видимого увеличения
Если оптическая система расположена .в однородной среде и
ω≈ω' а угол γ практически мало отличается от ω, тогда
(4.2.2)
Последнее уравнение указывает на условие естественной перспективы. Чтобы Г=1 (или Г = —1), k' должно быть равным f', т е
при наблюдении снимка необходимо помещать глаз перед снимком на
расстоянии, равном фокусному расстоянию съемочного объектива.
Для фотографических объективов вместо видимого увеличения применяют масштаб изображения. Масштаб изображения определяется отношением фокусного расстояния объектива к расстоянию от объектива
до предмета. Масштаб изображения принято обозначать следующим образом: 1 : 10000, 1 : 25000 и т. д.
Для других оптических систем, например для репродукционных объективов, проекционных систем и т. п., вместо видимого увеличения рассматривается отношение величины изображения к величине предмета.
Для многих систем в таких случаях формула линейного увеличения заменяет формулу видимого увеличения.
4.3. Основные фотометрические понятия
Светом, или оптическим излучением, называется электромагнитное излучение, характеризующееся длинами световых волн, расположенными в диапазоне от 0,01 нм до 1 см.
151
Та часть излучения, которая воспринимается глазом человека,
называется видимым излучением. Глаз способен воспринимать свет
в диапазоне длин волн от 380 до 770 нм.
Источник света испускает в пространство энергию излучения, которая оценивается и количественно и качественно. Основными фотометрическими величинами видимого излучения являются: сила света
(I), яркость (B), световой поток (F), освещенность (E), светность
(R).
Основной единицей фотометрических величин является единица
силы света 1 свеча (св). Все остальные световые единицы являются
производными от основной величины.
Световым эталоном силы света служит так называемый полный
излучатель в виде специального сосуда с отверстием, которое светится
как черное тело. В этом сосуде имеется блок из платины, которая разогревается до температуры затвердевания. Отверстие этого сосуда рассматривается как плоская площадка, дающая 60 св с 1 см2 или, точнее,
одну свечу с площади 16,667· 10 -7 м2 в перпендикулярном к ней
направлении, причем сила света рассматривается на таких расстояниях, на которых размерами площади излучателя можно пренебречь.
Достоинством такого источника света является его хорошая воспроизводимость. Эталон силы света хранится во Всесоюзном научноисследовательском институте метрологии.
Яркостью В называется поверхностная плотность силы света в
заданном направлении Ii, равная отношению силы света к площади
проекции светящейся поверхности Si на плоскость, перпендикулярную к
тому же направлению:
(4.3.1)
или с учетом наклона i, светящейся поверхности к направлению
луча
(4.3.2)
где S — площадь светящейся поверхности.
Единица яркости нит (нт) — это яркость предельно малой, одинаково во всех точках светящейся поверхности, для которой отношение
силы света (в свечах) к ее площади (в квадратных метрах) равно
единице, причем яркость и сила света определяются в перпендикулярном направлении к этой поверхности:
152
где k — произвольный предельно малый множитель.
Под световым потоком F. понимают среднюю мощность оптического излучения за время, значительно большее периода световых
колебаний. Источник света с силой I св излучает в окружающее пространство световой поток, равный
(4.3.3)
Здесь 4π есть полный телесный угол ω.
Если световой поток ограничен конусом, в вершине которого расположен источник света, а осно;ванием является освещаемая площадка
или отверстие в оптической системе, то
F = ω I,
(4.3.4)
где ω — телесный угол (рис. 21), вырезающий из центра сферы
с радиусом кривизны r на ее поверхности некоторую площадь S:
(4.3.5)
Рис. 21. Телесный угол
Единицей телесного угла является стерадиан (стер). Одним стерадианом называется телесный угол, вырезающий из центра сферы «а
ее поверхности с радиусом кривизны r площадь S, равную квадрату
радиуса этой сферы.
Зависимость между телесным углом ω и плоским и определяется
соотношением
(4.3.6)
Единицей светового потока является люмен (лм). Один люмен
равен световому потоку, испускаемому источником света с силой в I
cв в пределах телесного угла в 1 стер
153
Освещенностью поверхности Е называют поверхностную плотность светового потока излучения, равную отношению падающего на
поверхность светового потока к площади освещаемой поверхности S:
(4.3.7)
Единицей освещенности является люкс (лк). Один люкс есть
освещенность поверхности в 1 м2, на которую равномерно распределяется световой поток в 1 лм:
Подставим (4.3.4) и (4.3.5) в (4.3.7), тогда получим
(4.3.8)
Если освещаемая площадка расположена под углом i к направлению луча, то
(4.3.9)
(закон косинусов для освещенности поверхности).
Между освещенностью и яркостью одной и той же идеально
рассеивающей поверхности существует зависимость
(4.3.10)
где ρ — коэффициент отражения освещаемой поверхности. В кинематографии яркость освещенной поверхности (например, экрана) принято определять в апостильбах (асб). Один апостильб есть яркость
белой поверхности, на которой создана освещенность в один люкс
(1 асб = 0,318 нт).
Светностью R называется поверхностная плотность светового потока излучения, равная отношению светового потока к площади светящейся поверхности:
154
Между падающим на поверхность световым потоком
женным Ер существует зависимость
и отра-
(4.3.12)
где р — коэффициент отражения.
Единицей светности является люмен на квадрат ный метр
— это светность одинаково во всех точках светящейся плоской поверхности, которая испускает в одну сторону световой поток в один
люмен с площади в один квадратный метр:
Пример 12. Определить яркость кратера дуговой лампы прожектора, если сила света по оси равна 100000 свечей, а диаметр кратера равен 12 мм.
Решение. Площадь светового тела
S= πD2/4 = 0,000113 м2
и, далее,
Пример 13. Определить яркость листа белой бумаги с коэффициентом отражения 0,8, на которой создана освещенность в
200 лк.
Решение. Применив формулу (4.3.10), получим
В = 50,9 нт.
4.4. Потери света
Световой поток, падающий в оптическую систему, состоящую из
преломляющих и отражающих поверхностей, не весь проходит через
нее. Яркость пучков лучей, проходящих через преломляющие и отражающие поверхности оптических деталей, составляющих прибор,
ослабляется в связи с тем, что часть световых лучей поглощается массой стекла и отражается при переходе от одной среды к другой. Отношение потока излучения, пропущенного данным телом, к потоку излучения, упавшего на него, называется коэффициентом пропускания τ.
Та часть световой энергии, которая поглощается массой стекла,
определяется коэффициентом поглощения α. Коэффициентом поглощения называется отношение потока излучения, поглощенного данным
телом, к потоку излучения, упавшего на него:
(4.4.1)
155
где F — начальный поток излучения; Fа—поток излучения, поглощенный данным телом; l— длина пути луча в стекле, выраженная в сантиметрах. Величина θ в оптике получила наименование коэффициента прозрачности. Оптическое стекло не является идеальной
прозрачной средой. Внутри среды имеются материальные непрозрачные частицы, которые рассеивают свет и вызывают потери его на поглощение. Для современных сортов оптического стекла потеря света на
поглощение характеризуется величиной 1 % на 1 см хода луча в стекле,
следовательно, θ = 0,99.
Часть световой энергии, которая рассеивается на границе преломления или отражения, определяется коэффициентом отражения ρ. Коэффициентом отражения называется отношение потока излучения, отраженного
данным телом, к потоку излучения, упавшего на него.
Потери света на отражение и поглощение в линзе схематически
показаны на рис. 4.4.1.
Рис. 4.4.1. Схема потерь света в линзе
Коэффициент отражения для случая двух прозрачных сред с идеально полированной поверхностью соприкосновения определяется по известной формуле Френеля
(4.4.2)
Если угол падения равен нулю, то в этой формуле синусы и тангенсы углов можно заменить дугами, после чего, используя выражение
ni = n'i', получим
(4.4.3)
Коэффициент пропускания для одной поверхности определяется
формулой
156
(4.4.4)
Общее пропускание света через оптическую систему, с учетом потерь света на поглощение и отражение, находится путем перемножения
коэффициентов пропускания отдельных поверхностей с учетом коэффициентов поглощения, т. е.
(4.4.5)
Величина ρ зависит от показателя преломления среды. Так, например, если 1,5<n<1,57, то принимают ρ=0,04, а если
1,57< <n<1,65, то ρ = 0,05. Для отражающих поверхностей (посеребренных, алюминированных) достаточно принять ρ = 0,1.
Тогда можно написать приближенную формулу для подсчета пропускания света в случае отсутствия просветленных поверхностей:
(4.4.6)
где N1 — число преломлений на поверхностях, разделяющих воздух и стекло, с n<1,57; N2 — число преломляющих поверхностей, разделяющих воздух и стекло, с n>1,57; N3 — число отражающих поверхностей; l — длина хода луча в сантиметрах в стекле по оптической оси.
Потери света неприятны не только тем, что ослабляют освещенность изображения, но в особенности тем, что снижают контраст изображения. Свет, отраженный от поверхностей, частично возвращается
обратно путем отражений от предыдущих поверхностей и, пройдя
через поверхности оптической системы, образует вторичные изображения. Если эти вторичные изображения находятся вблизи основного
изображения, то они могут настолько его испортить, что основное изображение будет непригодным для использования. Таким образом, свет,
отраженный от поверхностей при преломлении, так же как и свет,
рассеянный средой стекла, является светом вредным, и борьба с ним
имеет важное значение.
Влияние рассеянного света на изображение принято характеризовать коэффициентом светорассеяния (s), под которым принято
понимать отношение освещенности образуемого объективом изображения черного предмета (E т ), расположенного на равномерно ярком
фоне, к освещенности изображения яркого фона (E с ), т. е.
S=Eт/Ec
(4.4.7)
157
Так, например, современные фотографические объективы имеют
s=0,03-0,04.
В последнее время удалось значительно повысить прозрачность
оптического стекла. В особенности значительные успехи достигнуты
в области снижения потерь света на отражение путем просветления поверхностей. Просветлением оптики называется процесс уменьшения
отражения света от поверхностей оптических деталей. Теоретические
разработки сущности снижения потерь света методами просветления
принадлежат нашим соотечественникам— академику И. В. Гребенщикову и А. Г. Власову. Просветление заключается в том, что на полированные поверхности оптических деталей наносят весьма тонкие
прозрачные пленки. В этих тонких пленках происходит явление интерференции. Теория этого явления так же, как и теория цвета тонких
пластинок в отраженном свете, известна из физической оптики. Толщина пленки приближенно определяется по формуле
(4.4.8)
где λ — длина волны света, а k = 0; 1; 2; 3 и т. д.; п — показатель
преломления пленки.
Показатель преломления пленки п 2 находится из условия
ρ 1 = ρ2, так как необходимо, чтобы яркости обоих интерферирующих
пучков были одинаковы. Из формулы (4.4.3) следует, что
Преобразуя, получим, что при п1=1
(4.4.9)
В практике мы имеем дело со светом широкого спектрального состава, и лучи идут в систему под различными углами поля зрения, поэтому для таких пучков лучей оказывается невозможным полностью
уничтожить потери света.
Различные методы, применяемые для просветления оптики,
можно разбить «а три группы:
1. Химическое взаимодействие стекла с растворами кислот и
солей (химический метод).
2. Испарение и конденсация фторидов или других веществ з
вакууме (физический метод).
3. Использование легкогидролизующихся растворов (метод
гидролизации).
158
Просветление травлением водными растворами кислот создает
прочную пленку и повышает химическую устойчивость стекла. Физическими методами достигаются хорошие результаты по просветлению, но
проблема надежного упрочнения слоя еще не решена, в связи с чем
применение этих методов не рекомендуется для просветления наружных
поверхностей. Просветление на основе использования легкогидролизующихся соединений, в основном на базе ортокремниевой кислоты, создает прочный слой и позволяет применять многослойные пленки с
хорошими показателями.
В табл. 1 приведены сравнительные данные результатов просветления различными методами. Коэффициент отражения одной поверхности до просветления находится в пределах от 0,04 до 0,055.
Просветление оптических приборов дает хорошие результаты и
широко .применяется. Например, просветление одного из фотографических объективов позволило увеличить светопропускание с
39 до 72%. В среднем можно считать, что просветление почти вдвое
повышает пропускание света в оптических приборах и, кроме того,
резко снижает действие рассеянного паразитного света.
Таблица 1
Коэффициент отражения в %
Метод
Химический
Физический
Гидролизация
однослойный
двухслойный
трехслойный
до
просветления
4,5—5,5
4,5—5,5
4,5—5,5
-
после
просветления
1,7—2,2
0,4—1,4
0,8—2,5
1 — 1,2
0,2 — 0,6
Внедрение просветления в практику оптического приборостроения
позволяет дать новую приближенную формулу коэффициента пропускания света:
(4.4.10)
где N4— число поверхностей, просветленных физическим методом и методом гидролизации; N5— число поверхностей, просветленных
химическим методом.
Пример 14. Оптическая система состоит из зеркала с внутренним
серебрением, из зеркала с 'внешним алюминированием, из трех непросветленных линз с показателем преломления п =1,54, свободно рас-
159
положенных в воздухе, и двух ахроматических двух-линзовых склеенных объективов, просветленных химическим методом. Общая толщина
оптического стекла по оптической оси составляет 67 мм (~7 см).
Определить коэффициент пропускания! света и потери света.
Решение. В нашем случае N1 = 8; N3=l; N5 = 4; l=7. На основании
(4.4.6) и (4.4.10) составим формулу
тогда получим
т. е. потери составляют 43,9%.
4.5. Диафрагмы и их значение
Диафрагмами называются непрозрачные экраны, имеющие отверстия для пропускания световых лучей.
Изображение оптической системы образуется при помощи пучков
лучей, имеющих конечные размеры. Из каждой точки объектива в
пространстве предметов по направлению к оптической системе выходят пучки лучей в пределах весьма больших телесных углов. Но в оптическую систему попадают лишь пучки лучей, ограниченные оправой
оптических деталей. Оправы оптических деталей выполняют роль диафрагм.
Если на первую поверхность оптической системы, ограниченную
оправой первой оптической детали, упал пучок лучей конечных размеров, то это еще не означает, что весь пучок лучей пройдет через
всю оптическую систему. Внутри оптической системы могут существовать оправы других оптических деталей, которые ограничивают
пучки световых лучей. Все эти оправы выполняют роль диафрагм. Но,
кроме оправ линз и призм, естественно ограничивающих пучок световых лучей, могут быть и специальные диафрагмы. Диафрагмы, как
правило, располагаются перпендикулярно оптической оси, а их центры совпадают с оптической осью системы.
Среди многих диафрагм, существующих в оптической системе,,
имеется одна, наиболее существенным образом влияющая на светопропускание, называемая действующей, или апертурной. Апертурной диафрагмой называется такая диафрагма, которая ограничивает осевой и наклонные пучки лучей, проходящие через оптическую систему.
Чтобы в реальной оптической системе отыскать местоположение
апертурной диафрагмы, надо определить путь и конечные размеры пучка лучей, проходящего через оптическую систему в меридиональной
160
плоскости. Здесь имеют значение только те лучи, которые действительно проходят через систему и дают изображение.
Найдем положение такой диафрагмы на примере сложной оптической системы из двух линз (рис. 4.5.1).
Из точки предмета В на оптическую систему падает пучок лучей сечения LBN, но через оптическую систему проходит только пучок лучей сечения MBN. Лучи из точки В поступают в систему и
выше точки Af, но не проходят, так как срезаются задней частью
оправы. Из системы могли бы выйти лучи и ниже точки N', но этих
лучей нет, так как их не пропускает передняя часть оправы.
Рис. 4.5.1. Ход наклонного пучка лучей через оптическую систему
Средний луч проходящего пучка лучей пересекает оптическую
ось в точке Qo. Этот луч называется главным лучом. Там, где он пересекает оптическую ось, и находится центр действующей, или апертурной
диафрагмы. Таким образом, QQ' есть диаметр действующей (апертурной) диафрагмы. При уменьшении диаметра диафрагмы диаметр пучка лучей также симметрично уменьшается. Легко видеть, что только в
точке Qo можно установить такую диафрагму. Диафрагма, поставленная в любое другое место, будет вызывать несимметричное уменьшение количества лучей в пучке.
Всякая диафрагма, поставленная правее точки Q0, вызывает срезание 'верхней части пучка, а диафрагма, поставленная левее точки
Qo,— срезание нижней части пучка. Пучок лучей, идущий из точки
вне оптической оси, называется наклонным пучком лучей.
Апертурная диафрагма влияет также и на ограничение лучей осевого пучка. Допустим, что из точки А падает пучок лучей на оптическую систему (рис. 4.5.2). Этот пучок лучей проходит через края действующей диафрагмы QQ'. Существует только одно место в оптической системе, в точке Q o , где диафрагма одновременно и симмет-
161
рично влияет на оба пучка лучей: наклонный « осевой. Действительно,
если сместим диафрагму QQ', например, вправо, так, чтобы она не
ограничивала осевой пучок лучей, то она будет ограничивать наклонный пучок лучей снизу, а если влево, — то сверху.
Найдем изображение апертурной диафрагмы через переднюю половину оптической системы. Из точки Q как бы выходят влево два
луча, после преломления их продолжения пересекаются в а, а два
луча, выходящие влево из точки Q', преломляются так, что их продолжения пересекаются в точке Ь. Отсюда следует, что ab — есть
изображение QQ'. Такое световое отверстие называется входным
зрачком. Входным зрачком называется отверстие, через которое световые лучи входят в оптическую систему. Оно может быть мнимым и
действительным.
Рис. 4.5.2. Апертурная диафрагма
Аналогичным образом два луча из точек Q и Q', идущие вправо, после преломления в задней половине оптической системы образуют изображение действующей диафрагмы arbr через; заднюю половину системы. Из этого отверстия как бы выходят световые лучи. Оно
называется выходным зрачком. Выходным зрачком называется отверстие, из которого лучи выходят из оптической системы. Его отличие от
других любых отверстий состоит в том, что из этого зрачка одновременно выходят и осевые и наклонные пучки лучей. Первая поверхность (а также и последняя) не удовлетворяет этому условию.
Входной зрачок явился изображением действующей диафрагмы
через переднюю половину оптической системы. Точка Р — центр
входного зрачка, Р — изображение точки Qo — центра действующей
диафрагмы. Выходной зрачок явился изображением действующей диафрагмы через заднюю половину оптической системы. Точка Рг —
центр выходного зрачка, Р' — изображение точки Qo — центра диафрагмы. Следовательно, выходной зрачок D' является изображением
входного зрачка D через всю оптическую систему.
162
Диаметр аb входного зрачка ограничивает размеры осевого пучка лучей. Если лучи идут параллельно оптической оси, то диаметр
пучка равен диаметру входного зрачка. Если лучи идут из точки Л,
находящейся на конечном расстоянии от системы, то входной зрачок
ограничивает телесный угол лучей. В главном сечении пучка, в плоскости чертежа, угол ит называется апертурным углом в пространстве
предметов. Таким же образом угол и'т называется апертурным углом в
пространстве изображений. Если лучи выходят из оптической системы параллельно оптической оси, то диаметр пучка лучей равен диаметру выходного зрачка.
Наклонный пучок падает в оптическую систему под некоторым углом w к оптической оси. Если лучи идут из бесконечно удаленной
точки, расположенной вне оптической оси, то с оптической осью все
лучи образуют одинаковый угол, называемый углом поля зрения.
Если же лучи идут из точки В (рис, 4.5.2), находящейся на конечном расстоянии от оптической системы, то все лучи этого пучка
образуют с оптической осью различные углы. Угол поля зрения ω в
этом случае определяется главным лучом, который направляется в
центр входного зрачка.
В пространстве изображения аналогичным образом будем рассматривать углы поля изображения ω'. Пользуясь формулами
γ = tgα'/tgα или γ = n1/nk+1·1/β
найдем линейное увеличение в зрачках:
(4.5.1)
D — диаметр входно-
где D'— диаметр выходного зрачка, a
го зрачка.
Если в плоскости изображения установить материальную диафрагму, то она будет ограничивать размеры изображения. Такая диафрагма называется диафрагмой поля зрения, или полевой. Ограничивая величину изображения, она тем самым ограничивает и размеры
видимого поля зрения. На рис. 4.5.2 А'В' есть радиус диафрагмы поля
зрения. Диафрагма поля зрения выбирается такой величины, чтобы
ограничивать круг резкого изображения, пригодного для использования.
4.6. Виньетирование
Для получения равномерной освещенности плоскости изобраг жения, без учета свойств предмета, нужно выполнить два важных условия: 1) угловые величины телесных пучков лучей в каждой точке
163
изображения должны быть одинаковыми; 2) направления осей пучков лучей в каждой точке изображения должны быть одинаковыми.
Оба эти условия практически весьма трудно выполнить. Входной
зрачок в оптической системе является одним и тем же основанием световых конусов лучей от различных точек предмета. Очевидно, что телесный угол тем меньше, чем дальше от оптической оси отстоит точка
предмета, или, что то же самое, чем больше поле зрения.
При одном и том же выходном зрачке, расположенном вблизи оптической системы, который является основанием выходящего светового
конуса лучей, невозможно получить одинаковые направления пучков
лучей в различных точках изображения.
Рассмотрим влияние оправ линз на неравномерность освещенности изображения. Оправы линз выполняют роль диафрагм. Чем больше
протяженность оптической системы, тем большая возникает опасность потери света из-за диафрагмирования оправами линз. На рис.
4.5.1 показан объектив, в который проходит узкий наклонный пучок
лучей. Основание этого пучка на первой поверхности оптической системы значительно меньше общего светового отверстия на этой же поверхности.
Больше всего на уменьшение светового потока влияют оправы
наружных линз. Допустим, из точки А1 (рис. 4.6.1) во входной зрачок
ВВ' падает пучок лучей.
Рис. 4.6.1. Виньетирование
Перед зрачком находится диафрагма QQ', которая не влияет на
прохождение этих лучей. Если лучи будут попадать из точки Л 2, то эта
диафрагма будет задерживать часть лучей, Из точки Л3 будут проходить только лучи, определяемые в главном сечении углом В' А3 Р. Легко
себе представить, что существуют такие точки в пространстве предметов, выше точки А3, из которых лучи из-за диафрагмы QQ' совсем
не будут попадать во входной зрачок ВВ'. В результате этого наблюдается явление постепенного затенения пучков лучей, поступающих в
164
оптическую систему, вследствие срезания световых лучей оправами
линз, называемое геометрическим виньетированием. Бороться с этим
явлением путем увеличения диаметра линз не всегда возможно.
Во-первых, возникают конструктивные трудности из-за необходимости значительно увеличивать толщины линз, а во-вторых, возникают аберрационные трудности из-за необходимости исправлять аберрации широких наклонных пучков лучей.
Виньетирование является бичом многих оптических систем, а в
особенности фотографических объективов, перископов и др., отличающихся значительным количеством линз. Вследствие виньетирования сечение наклонного пучка лучей всегда значительно меньше сечения осевого пучка лучей (вдвое меньше в обычных фотографических объективах и вчетверо — в сложных телескопических системах).
Блестяще разрешил проблему виньетирования проф. М. М. Русинов, применив названное им «аберрационное виньетирование» в конструкциях сверхширокоугольных фотографических объективов «Руссар».
На рис. 4.6.1 АВ есть апертурная диафрагма. Через ее отверстие проходит осевой пучок диаметром ab = D и наклонный в том же
сечении, равный а'b', причем a'b'>ab. Следовательно, в этом случае в
наклонных пучках световых лучей значительно больше, чем в обычном объективе (рис. 4.5.1). Вследствие этого удалось значительно увеличить светопропускание к краям изображения и осуществить впервые
во всем мире сверхширокоугольные аэросъемочные объективы с полем
зрения 2ω = 140°.
Рис. 4.6.2. Аберрационное виньетирование
Обозначим половину диаметра параллельного пучка лучей,
идущих из точки на оптической оси, через h, а идущих из точки вне
оптической оси, через т. На рис. 4.6.2 h и т будут соответствовать
165
Отношение этих отрезков и есть коэффициент виньетирования Kω:
(4.6.1)
4.7. Светосила
Светосилой оптического прибора называется отношение освещенности изображения, создаваемого данной системой, к яркости изображаемого предмета. Если в частном случае принять яркость предмета постоянной величиной, то освещенность предмета Е' и будет параметром, определяющим светосилу оптической системы.
Если изображение рассматривается глазом человека, то в оценке
его освещенности имеется фактор субъективности. В этом случае в
глазу возникает световое раздражение, психо-физиологическое восприятие которого называется субъективной яркостью. Если же изображение фиксируется светочувствительным фотографическим слоем или
поверхностью фотоэлектрического или другого светоприемника, то
освещенность его оценивается объективно и может быть определена в
люксах.
В оптическую систему от малого элемента площади предмета б
(рис. 4.7.1) падает пучок света в пределах телесного угла, опирающегося на входной зрачок.
Рис. 4.7.1. К выводу формулы светосилы
Световой поток dF от малого элемента б равномерно светящейся
поверхности с яркостью В, входящий во входной зрачок оптического
прибора, определяется, как известно, выражением
166
где и — апертурный угол в пространстве предметов.
но можно написать
Аналогич-
где и' — апертурный угол в пространстве изображений.
Известно, что если предмет с яркостью В расположен в оптической среде с показателем преломления п, а изображение с яркостью
пучка В / в среде с показателем преломления п', то яркость пучка
зависит от соотношения показателей преломления и от коэффициента пропускания света r и определяется выражением
(4.7.1)
Освещенность изображения находится как отношение светового
потока dF', прошедшего через систему, к площади изображения δ':
(4.7.2)
Это основная формула для определения освещенности изображения.
Если предмет расположен в бесконечности, а оптическая система
в однородной среде, например в воздухе, то п1 = п' а угол и' может
быть заменен отношением половины диаметра зрачка входа к фокусному расстоянию, тогда
(4.7.3)
Отношение диаметра входного зрачка D к фокусному расстоянию
f' называется относительным отверстием. Квадрат относительного
отверстия называется геометрической светосилой, а произведение коэффициента пропускания света τ на геометрическую светосилу называется физической светосилой.
Величина, обратная относительному отверстию, называется знаменателем значения геометрического относительного отверстия (диафрагменное число):
167
(4.7.4)
Относительное отверстие принято обозначать следующим образом:
1 : 4,5; 1 : 6,3 и т.д. Соответствующими знаменателями значения геометрического относительного отверстия являются: п = 4,5; п = 6,3 и
т. д.
Пример 15. Определить освещенность изображения Луны в. фокальной плоскости фотографического объектива с фокусным расстоянием 50 мм и отверстием 10 мм, если τ = 0,65.
Решение. Яркость Луны 2500 нт, D = 0,01 м, f' = 0,05 м, π = 3,14 и
τ = 0,65.
Применив формулу (28,3), получим
4.8. Освещенность по полю изображения
Найдем освещенность по полю изображения, если известна освещенность в центре поля. Оптическая система представлена в виде выходного зрачка диаметром D'. Яркость предмета постоянна. Расстояние от выходного зрачка до плоскости изображения также остается
без изменения. Требуется определить зависимость в освещенности
точек изображения, удаленных от оптической оси на различные расстояния.
Световой поток FQ' распространяется внутри телесного угла ω о и
освещает бесконечно малый элемент площади изображения δ 0' на оптической оси системы (рис. 28). Аналогичным образом световой поток
Fω' распространяется внутри телесного угла ωω и освещает элемент
площади изображения δω' в точке К'', удаленной от оптической оси.
Рис. 4.8.1. Освещенность по полю изображения
168
Эти элементы отстоят от выходного зрачка на различных расстояниях, и освещенность их, как известно из физики, обратно пропорциональна квадратам расстояний, но сами расстояния пропорциональны
косинусу угла наклона главного луча ω', а площадь выходного зрачка,
так же как и элемент изображения, наклонена к главному лучу под
тем же углом ω'.
Следовательно, освещенность элемента изображения в точке, удаленной от оптической оси, пропорциональна косинусу четвертой степени угла поля изображения по отношению к освещенности в центре
поля изображения:
(4.8.1)
Эта общеизвестная формула справедлива в случае малого диаметра выходного зрачка и при отсутствии виньетирования. Обычно
выходные зрачки достаточно велики, поэтому формула косинусов четвертой степени является формулой приближенной.
Учет коэффициента виньетирования Kω для данного наклона пучка лучей .приводит к формуле:
(4.8.2)
Величина Kω может быть и больше единицы, являясь переменной
в пределах рассматриваемого поля изображения. Если этому коэффициенту дать значение обратной величины косинуса угла поля изображения, то тогда освещенность изображения будет пропорциональна
косинусу третьей степени. Для такого частного случая справедлива
формула
(4.8.3)
Подобного рода оветопропускание пучков лучей было осуществлено по идее М. М. Русинова в сверхширокоугольных объективах
«Руссар».
Падение освещенности принято характеризовать графиком. Для
его построения откладывают по оси ординат отношения освещенности
точек изображения, удаленных от центра, к освещенности в центре, а
по оси абсцисс — углы поля зрения (рис. 4.8.2).
169
6 0 4 0 20
0 20 40 60
W, град
Рис. 4.8.2. Характеристическая кривая падения освещенности
изображения объектива «Руссар-25», 1 :6,3; 2ω=110°
4.9. Поле зрения
Полем зрения называется та часть пространства предметов, которая видна или изображается с помощью данной оптической системы.
Поле зрения оптических систем принято характеризовать в угловой мере, если наблюдаются значительно удаленные предметы, и в
линейной мере, если наблюдаются близко расположенные предметы.
Поле зрения телескопических систем и фотографических объективов характеризуется в угловой мере. Например, поле зрения полевого бинокля 2ω=12°, а поле зрения фотообъектива «Ю-8»,
2ω=45°. Поле же зрения репродукционных и проекционных объективов определяется и в угловой мере (например, 2ω=45°), и в линейной
(например, 70X80 см). Поле зрения микроскопов определяется в линейной мере (например, 2l=0,5 мм).
Поле зрения ограничивается диафрагмой поля зрения, или полевой
диафрагмой. Диафрагма обычно имеет форму круга в наблюдательных
приборах, работающих совместно с глазом человека, и форму прямоугольника в фотографирующих.
Размер диафрагмы определяется:
1. Величиной резкого изображения, заметно неухудшенного аберрациями, пригодного для практических целей.
2. Величиной изображения с достаточной освещенностью, уменьшенной виньетированием и действием закона четвертой степени косинуса угла поля изображения.
Созданное таким образам поле изображения называется полезным.
Вне установленного поля зрения олтическая система образует изображение, практически непригодное для использования.
170
а
б
Рис. 4.9.1. Круг полезного изображения
Центрированная оптическая система круговой симметрии дает изображение в виде круга. Существует два метода использования полезного
круга изображения. Тот или иной формат или вписывается в круг
(рис. 4.9.1, а), или описывается около круга (рис. 4.9.1, б). В последнем случае полезный круг изображения используется полностью и
изображение имеет форму квадрата. Вне этого круга, на уголках квадрата изображения, качество изображения значительно понижено как по
резкости, так и по световой интенсивности. Такой принцип использования
полезного изображения в настоящее время используется в некоторых
аэрофотоаппаратах.
4.10. Глубина изображаемого пространства
Глубиной изображаемого пространства называется измеренное вдоль
оптической оси расстояние между точками пространства предметов,
определяющим границы его резкого изображения оптической системой в
данной плоскости. Различают глубину в пространстве предметов (глубина
изображаемого пространства) и глубину в пространстве изображений
(глубина резкости). В основе их лежат одинаковые представления, а
именно: способность глаза человека видеть изображения, образованные
кружками рассеяния, в виде резких точечных изображений.
Рассмотрим оптическую систему, изображенную в виде зрачков
входа и выхода (рис. 4.10.1).
171
Рис. 4.10.1. Глубина в пространстве предметов
Допустим, что плоскость М' оптически сопряжена с плоскостью
М. Точки Р1 и Р2 проектируются на плоскость изображения М' в виде
кружков рассеяния δ'. Если глаз человека, имеющий определенную разрешающую способность, не сможет увидеть кружки рассеяния из-за их
малости, то вместе с предметами, расположенными в плоскости M, он
будет видеть резко точки Р1 и Р2. Глубина в пространстве предметов
определяется формулой
(4.10.1)
где T1 — передняя глубина, Т2 — задняя глубина. Плоскость М
называется плоскостью наводки.
Из подобия треугольников CEP1 и P1 BA имеем
Заменяя pi = p-\-Tl и преобразуя, получим
(4.10.2)
Аналогичным образом найдем заднюю глубину
(4.10.3)
Кружки рассеяния δ' видны, если их угловые размеры превосходят
разрешающую си;гу глаза. Кружку рассеяния δ' соответствует в плоскости предлгетов М кружок рассеяния δ. Между δ и δ' для случая бесконечно удаленных предметов существует простая зависимость:
172
Если разрешающую силу в угловой мере обозначим через ψ, то
δ'=ƒ'tgψ) и последнее выражение примет вид
Подставляя это равенство в формулу (4.10.2) и (4.10.3), получим
(4.10.4)
и
(4.10.5)
Подставляя в (31,1), получим
(4.10.6)
Найдем такое положение плоскости наводки, начиная с которого и
далее от оптической системы все предметы изображаются резко, т. е.
Т2 = ∞.
Для этого необходимо, чтобы
или
(4.10.7)
Определим переднюю глубину Т1 для такого положения плоскости
предметов.
В формулу (4.10.4) вместо p подставим — D/tgψ:
или
(4.10.8)
173
Найденное расстояние до плоскости наводки p= —D/tgψ, при котором
задняя глубина T2=оо называется гиперфокальным фокусным расстоянием. В этом случае все предметы, расположенные от объектива на расстоянии от p1 = —D/2tgψ до бесконечности, изображаются в плоскости изображения резко. Расстояние р1 и следует именовать «началам бесконечности».
Преобразуем формулы (4.10.2) и (4.10.3), заменив в них величины
δ и D следующими выражениями:
Тогда
(4.10.9)
и
(4.10.10)
Мы получили рабочие формулы для расчета глубины изображаемого пространства.
Пример 16. Найти глубину изображаемого пространства для фотографического объектива с фокусным расстоянием 50 мм и относительным
отверстием 1 : 3,5 при наводке на плоскость, расположенную от объектива
на расстоянии 5 м, если разрешающая способность объектива 25 штр/мм.
Решение. Дано: f' = 50 мм; р = —5000 мм; п =3,5. Данной разрешающей способности в линейной мере соответствует δ' = 0,04 мм. Применив формулы (4.10.9) и (4.10.10), получим
и полная глубина
4.11. Глубина резкости
Глубиной резкости называется расстояние вдоль оптической оси,
измеренное между точками пространства изображений, определяющими
границы резкого изображения оптической системой плоскости, заданной в
пространстве предметов.
Пучок лучей, выходящий из выходного зрачка оптической системы
(рис. 4.11.1), образует изображение в точке Ar IB плоскости изображения
М''. Ближе и дальше этой плоскости на расстояниях TI и ТУ точка образовывается в виде кружка рассеяния
174
Из рис. 4.11.1 следует, что Т1' = - Т2' и глубина в пространстве изображений будет равна
Из подобия треугольников аЬА1 и А'А2В2 следует:
(4.11.1)
Рис. 4.11.1. Глубина в пространстве изображений
Из треугольника КА2В2: δ' = k'tgψr. Угол ψг есть предельный УГОЛ
разрешающей способности глаза, а k' —расстояние, с которого наблюдается изображение. Подставив последнее выражение в предыдущее и
преобразовав, получим
(4.11.2)
Отсюда получим уравнение глубины в пространстве изображу ний
в общем виде:
(4.11.3)
В пределах Т можно смещать плоскость изображения, а изображения
предметов, расположенных в одной плоскости, будут оставаться для глаза резкими.
175
Если рассматриваются изображения бесконечно удаленных предметов, то p' = f', в то же время k' есть расстояние наилучшего зрения, равное
250 мм.
Тогда
(4.11.4)
Если изображение фотографируется, то δ' определяется из предела
разрешающей способности в линиях на миллиметр. Югда из соотношения (32,1) имеем при р' = ƒ'
(4.11.5)
Для высококачественного объектива допустимо δ'-0,01 мм, тогда
(4.11.6)
Глубина резкости оптической системы представляет наибольший
интерес для фотографических приборов. В практике чаще всего применяются относительные отверстия 1:2—1:4, и в этих случаях глубина резкости составляет 0,05—0,1 мм.
4.12. Аберрации оптических систем
4.12.1. Классификация аберраций
Нарушение качества изображения, вызываемое некоторыми физическими свойствами оптических систем, называется аберрациями.
Аберрации оптических систем разделяются на две группы: хроматические и монохроматические аберрации. Хроматические аберрации
являются следствием дисперсии материала. При прохождении пучков
света через границы раздела прозрачных сред происходит разложение
света в спектр, в результате чего изображение представляет собой сумму
изображений, каждое из которых построено лучами одной длины волны.
Среди хроматических аберраций различают хроматизм положения и
хроматизм увеличения.
Монохроматические аберрации оказывают влияние на качество
изображения в лучах любой длины волны, т.е. не зависят от длины волны. Здесь следует различать аберрации широкого пучка и полевые аберрации. Аберрации широкого пучка, к которым относятся сферическая
аберрация и кома, наблюдаются в широких пучках лучей, идущих параллельно или наклонно к оптической оси. Полевые аберрации (астигматизм, кривизна изображения, дисторсия) характерны для пучков лу-
176
чей, исходящих из точек предмета вне оптической оси. Они проявляются даже в очень узких пучках лучей.
Процесс устранения как монохроматических, так и хроматических
аберраций называется коррегированием оптической системы. Полностью устранить аберрации в оптической системе невозможно, можно
лишь уменьшить до такой степени, чтобы приемник энергии, в следствии ограниченности разрешающей силы, их не воспринимал.
Уменьшение аберраций до величины, приемлемой в оптическом
приборе задача чрезвычайно сложная, требующая кропотливых, дорогостоящих и трудоемких вычислений, поисков оптимальных решений и
приводящая в результате к сложным оптическим системам. Поэтому в
каждом конкретном случае необходимо ставить задачей устранения
лишь тех аберраций (в разумных пределах), которые нежелательны
именно в этом случае.
4.12.2. Хроматическая аберрация
На рис. 4.12.1 показан пучок белого света, проходящий через линзу.
В следствии дисперсии света, каждая длина волны идет после преломления по своему направлению, причем более короткие длины волн (фиолетовые, синие) преломляются больше, чем длинные волны (красные).
Рис. 4.12.1
Если лучи света входят в линзу параллельно оптической оси, то они
собираются в фокусе линзы. Каждая длина волны, т.е. лучи разных цветов, будут иметь свой фокус. Если за линзой поставить экран, совпадающий с изображением, построенным красными лучами, то изображения
построенные другими лучами, будут нерезкими, получаются пятна рассеивания. Безукоризненное изображение будет только для лучей одной
длины волны. Такая аберрация называется хроматизмом положения –
цветные изображения не совпадают друг с другом по их положению на
оптической оси системы.
Математически хроматизм положения определяется формулой
ds' f '1 f ' 2
177
Пусть мы устранили хроматизм положения, т.е. совместили цветные изображения в одной плоскости. Однако, хроматические явления
все же будут наблюдаться, поэтому что совпадение по положению цветные изображения могут не совпадать друг с другом по величине (рис.
4.12.2). В поле зрения оптического прибора возникают радужные каемки, наблюдаемые вдоль контура изображения контрастных предметов.
Численное значение хроматизма увеличения определяется по формуле:
dy ' y'1 y' 2
Рис. 4.12.2
Уменьшение хроматическох аберраций производится созданием
сложных систем, состоящих из нескольких компонентов, каждый из которых имеет свою дисперсию. Полностью устранить хроматизм невозможно, удается лишь совместить в одной плоскости два и в некоторых
сложных системах, три цветных изображения, сблизив между собой
остальные.
Здесь следует иметь в виду, что выбор длин волн, для которых производится совмещение изображений, зависит от приемника энергии. Для
приборов, работающих с глазом человека, т.е. визуальных, производится
так называемая оптическая коррекция хроматизма, для фотографических
приборов – актмническая коррекция. Дело в том, что области спектра, в
которых работает глаз человека и фотографическая пластинка различны.
178
Рис. 4.12.3
Графически хроматическая аберрация положения показывается следующим образом (рис. 4.12.3). По оси ординат откладывается длины
волн или спектральные линии Фраунгофера, а по оси абсцисс – положения изображений для различных длин волн, причем за начало отсчета
принято положение изображения для спектральной линии D . На рисунке графиком 1 показан хроматизм неисправленной системы. Линия II
показывает случай, когда в одной плоскости совмещены два цвета, для
спектральных линий C и F (оптическая коррекция). Расстояние от
совмещенных изображений, построенного лучами спектральной линии
D , называется вторичным спектром, а системы, исправленные на хроматизм подобным образом – ахроматами. Во многих случаях такая коррекция достаточна и не ведет к сильному усложнению системы.
При больших увеличениях вторичный спектр оказывается заметным
и приходится проводить совмещение трех изображений, линия III. Такие
системы называются анохроматами, а остающийся спектр – третичным
спектром.
4.12.3. Сферическая аберрация
Возьмем собирательную линзу, на которую падает параллельный пучок света и выделим три луча (рис. 4.12.4).
179
Рис. 4.12.4
По законам геометрической оптики эти лучи должны пересекаться в
заднем фокусе системы. Однако, чем выше расположен луч, тем ближе
он пересекает оптическую ось. Лучи, идущие ниже оптической оси обладают полной симметрией. Таким образом, после прохождения системы у нас получается не гомоцентрический пучок лучей, т.е. пучок лучей
не сходящийся в одной точке. Сферическая аберрация приводит к тому,
что изображение точки, улавливаемое на каком-нибудь экране, оказывается нерезким.
Линия, касательная к точкам пересечения близлежащих лучей,
называется каустикой. Вращая эту линию вокруг оптической оси, получаем каустическую поверхность, которая представляет собой геометрическое место точек пересечения бесконечно близких лучей, лежащих в
мередиальной плоскости. Геометрически каустическая поверхность
представляет собой колоколообразный конус, язычок которого есть оптическая ось (оптическая ось также является геометрическим местом пересечения сагиттальных лучей). На каустической поверхности и на оптической оси происходит концентрация световой энергии. Это хорошо
можно увидеть в затемненном помещении, если на пучок лучей направить струю дыма.
Расстояние по оптической оси между точками схода параксиальных
и крайних лучей называется предельной сферической аберрацией.
s ' s 'кр s 'F
Пересечение фокальной плоскости крайними лучами дает кружок
рассеивание, радиус которого равен ’ - поперечная сферическая аберрация.
180
Возникает вопрос, где находится наилучшее изображение. Исходя
из геометрических соображений, наименьший диаметр кружка рассеивания получается в плоскости, перпендикулярной оптической оси, проходящей через точку 3. Однако, в этом месте распределение энергии в
изображении точки неблагоприятно. Действительно, в плоскости, проходящей через фокус системы F’, в центре пересекаются геометрические места концентрации энергии – оптическая ось и каустическая поверхность. Здесь получается яркое светлое пятно, ядрышко, далее идет
более темное кольцо и по краю более светлое колечко.
В плоскости, проходящей через точку 3, в центре менее светлое
пятно, т.к. экран пересекает только одно геометрическое место концентрации энергии – оптическая ось, по краю изображения – светлое кольцо, место пересечения экрана каустической поверхности. Наилучшее
изображение будет все-таки в плоскости, проходящей через точку 1.
Сферическая аберрация положительной линзы – отрицательна, а отрицательной линзы – положительна. Комбинация из двух линз, одной положительной и одной отрицательной позволяет осуществить систему, отличающуюся меньшей сферической аберрацией.
Рис.4.12.5
На рис. 4.12.5 показано графическое изображение сферической
аберрации. По оси ординат откладывается высота падения луча на систему, по оси абсцисс – расстояние точки пересечения этого луча оптической оси от фокальной плоскости. Линия I неисправленная сферическая аберрация положительной линзы, линия II – исправленная аберрация. Исправление аберрации проводится для крайнего луча пучка, максимум аберрации получается (это легко показать математически) для
точки, отстоящей от оптической оси на расстоянии
2
hmax 0.707 hmax .
2
181
4.12.4. Астигматизм и кривизна изображения
Полевые аберрации – астигматизм, кривизна изображения и дисторсия, - образуются даже в бесконечно узких пучках, идущих наклонно
к оптической оси.
Астигматизмом называется явление, которое заключается в том, что
лучи одного и того же пучка, идущие по отношению друг к другу в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях, после преломления в оптической системе не собираются в одну точку, а образуют две точки схода.
Рассмотрим прохождение узкого пучка лучей, исходящих из точки
предмета вне оптической оси (рис. 4.12.6).
Рис. 4.12.6
В точку C направляется главный луч пучка под углом wk к оптической оси. Лучи, находящиеся в меридианальной плоскости (меридианальной плоскостью называется плоскость, проходящая через оптическую ось системы), после преломления собираются в точке P’m , а находящиеся в сагитальной плоскости SS (плоскость не проходящая через
оптическую ось системы) – в точке P’S . Это явление происходит потому, что кривизна преломляющей поверхности линзы в двух различных
направлениях будет различной. После прохождения системы пучок лучей начинает быстро суживаться в вертикальном направлении и сечение
пучка представляет эллипс, большая ось которого расположена в горизонтальной плоскости. В точке P'm этот эллипс выродится в прямую
линию. Далее лучи в горизонтальной плоскости будут сходится, а вертикальной плоскости начнут расходится. Где-то посередине отрезка
P’mP’S сечение пучка станет круглым, чтобы снова, в точке P’S , выродится в прямую, но теперь расположенную вертикально.
182
Расстояние между точками схода меридианальных лучей и сагиттальных лучей, обозначается t , называется астигматической разностью.
Рис. 4.12.7
Пусть через систему проходит параллельный бесконечно узкий
пучок лучей. Выходящий из системы пучок оказывается
астигматическим и на главном луче можно различить два фокуса –
меридиальный M , и саггитальный S (рис. 4.12.7) 3. Также будет и на
луче, идущем под другим углом к оптической оси. Если соединить кривой все точки M , то получится линия, симметричная относительная оптической оси и представляющая собой геометрическое место меридиальных фокусов, также образуется кривая саггитальных фокусов. Если эти линии вращать вокруг оси, то образуется две поверхности фокусов, меридиальных и саггитальных. Таким образом получается два изображения данного объекта, причем ни на одной из двух поверхностей не
будет наблюдаться резкое изображение, т.к. каждое изображение точки
есть не точка, а прямая линия, в центральной точки, у точки F’ , обе поверхности сближаются, здесь изображение будет достаточно резким.
Кроме того, из этих двух изображений ни одно ни оказывается плоским,
т.к. они расположены на чашеобразном поверхностях. Если считать, что
наилучшее изображение находится между поверхностями M и S , то
поверхность наилучшего изображения также не плоская. В этом проявляется друга аберрация, называемая кривизной изображения.
Рис. 4.12.8
183
Астигматизм и кривизна изображения имеют общую сферическую
основу, но независимы друг от друга. Можно в системе устранить
астигматизм (рис. 4.12.8 а), но кривизна будет оставаться – совмещение
плоскостей M и S . Возможно также другой случай, когда устранена
кривизна изображения, а астигматизм остается (рис. 4.12.8 б) – поверхности M и S расположены по разные стороны от градусной гаусовой
плоскости изображений.
В фотографических объективах кривизну изображений следует
удерживать в пределах до 0.6 мм при f’= 100 мм, в то время допустимый
астигматизм на краю поля зрения достигает 1.5 мм. В визуальных приборах дело обстоит лучше, т.к. глаз человека приспосабливается к различным расстояниям предмета, что позволяет не бояться кривизны
изображения. Здесь важно исправление астигматизма.
4.12.5. Кома
В наклонном пучке обнаруживается новая аберрация, заключающаяся в том, что в строении пучка нарушается симметрия. Эта аберрация
называется комой. Фигура рассеяния перестает быть круглой, ее форма
становится более сложной.
Рис. 4.12.9
Пучок параллельных лучей, падающий на систему наклонно, должен собираться в задней фокальной плоскости (рис. 4.12.9). Но из-за
действия сферической аберрации и комы нарушается симметрия в строении пучка. Пересечение трех лучей не лежат в одной точке.
Величина, численно характеризующая кому, равна
y ' y ' m
K m
y '0
2
184
Размер фигуры рассеивания в меридианальной плоскости определяется разностью
y 'm y ' m D
Величина D характеризует сферическую аберрацию и меридианальную кривизну изображения.
Кома представляет большие трудности при исправлении, она является существенным недостатком многих оптических приборов. Фигура
рассеивания для комы имеет вид треугольника (комета) у вершины которого максимум энергии.
Если кроме комы в образовании пятна рассеяния участвует еще
сферическая аберрация, то фигура рассеяния теряет простой вид и приобретает сложную форму. Если в оптической системе устранена сферическая аберрация для осевой точки предмета и выполнено условие синусов
n sin
V
n' sin '
То в пределах небольшого поля зрения, т.е. для элементарной площадки изображения кома устраняется и получается точечное изображение.
4.12.6. Дисторсия
Дисторсия не вызывает нерезкости изображения, она искажает
форму изображения, которое становится не подобным самому предмету.
Дисторсия возникает вследствии нарушения одного из положений геометрической оптики – постоянства линейного увеличения в паре сопряженных и перпендикулярных к оптической оси плоскостях. При непостоянстве увеличения можно встретится с тремя случаями:
а). По мере удаления от оптической оси увеличение v возрастает;
б). v остается постоянным;
в). v уменьшается. Второму случаю соответствует отсутствие дисторсии.
185
Рис. 4.12.10
Рассмотрим первый случай. Пусть предмет имеет форму квадрата
(рис. 4.12.10). Линейное увеличение возрастает с удалением от оптической оси. Так как точка C лежит дальше от оптической оси, чем точка
B , то изображение точки C будет расположено не в углу квадрата, а
несколько дальше. Аналогично находятся изображения остальных углов
квадрата. Таким образом, квадрат имеет вогнутые стороны. Дисторсия
такого типа называется положительной, или подушкообразной.
И, наоборот, если v уменьшается, то стороны квадрата будут выпуклыми, Это характерно для второго типа дисторсии, которая называется отрицательной или бочкообразной.
Линейная величина дисторсии определяется по формуле:
y' y'0
Или в процентных величинах
y'
100%
1 100%
y'0
y '0
На практике установлено, что в зрительных трубах можно допустить значительную дисторсию, а фотографических объективах следует
устранять дисторсию значительно более тщательно. Это связано с формой ограничения поля зрения. Если рассматривать через трубу вертикальные линии, то линия, проходящая через центр поля зрения не искривляется. Чем дальше линия отстоит от центра, тем искривление
больше (рис. 78). При круглом поле зрения искривление меньше заметно
для глаза наблюдателя, так как он судит о кривизне по стрелке прогиба
кривой линии.
186
Рис. 4.12.11
Нормально принято допускать дисторсию до 3.5%, в зрительных
трубах до 11%. В хороших фотографических объективах дисторсия допускается до 0.5%. В некоторых объективах дисторсия устраняется особо тщательно, до 0.1% (Объективы для аэрофотосъемки).
187
Глава 5. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
5.1. Зрачки и люки
При рассмотрении идеальных оптических систем не принимались
во внимание поперечные размеры компонентов, входящие в систему.
Однако, любая оптическая система, кроме оптических деталей, состоит
из диафрагм (оправы линз, специальные диафрагмы), которые тем или
иным способом ограничивают пучки лучей.
Размерами диафрагм и их расположением определяются следующие
две важнейшие характеристики оптической системы:
а). количество световой энергии, проходящей через оптическую систему;
б). часть пространства, которая может быть изображена данной оптической системой, или величина поля зрения.
Пусть пучки лучей, проходящие через оптическую систему, ограничиваются входным отверстием оптического прибора (рис. 5.1.1).
Рис. 5.1.1
Отверстие, расположенное в пространстве предметов и ограничивающие входящие в прибор пучки, исходящие из отдельных точек предмета, называются входным зрачком оптического прибора.
Для точки A , не лежащей на оптической оси системы, пучок лучей
входящий в оптический прибор, представляется в виде наклонного конуса лучей.
В пространстве изображений существует плоскость, сопряженная с
точкой A и плоскость, сопряженная с плоскостью входного зрачка
(плоскости, в которых получаются, изображаются предмет и входной
зрачок). Из этого следует, что луч, проходящий из точки A через край
188
входного зрачка, должны в пространстве изображений пройти через сопряженные точки, т.е. через край изображения входного зрачка и через
точку A’ .
Все лучи, которые проходят внутри пучка заполняющего отверстие
входного зрачка, пройдут через изображение входного зрачка и действует так же, как материальная диафрагма, она ограничивает пучки лучей,
выходящие из оптического прибора.
Изображение входного зрачка в пространстве изображений называется выходным зрачком прибора.
Если у нас есть материальная диафрагма, стоящая в выходном зрачке, а материальную диафрагму, стоящую во входном зрачке мы уберем,
то очевидно, что в ходе лучей ничего не изменится. Входным зрачком, в
этом случае является изображение выходного зрачка через всю оптическую систему в обратном ходе лучей.
Может быть еще более сложный случай, когда материальная диафрагма находится внутри оптической системы. В этом случае входным
зрачком является изображение этой материальной диафрагмы предшествующую ей часть оптической системы в обратном ходе лучей. Выходным зрачком системы – изображение этой диафрагмы, но в прямом ходе
лучей через следующую за ней часть оптической системы.
Материальная диафрагма, которая ограничивает пучок лучей, исходящих из отдельных точек предмета, называется апертурной диафрагмой. Апертурная диафрагма может находится в пространстве изображений. Это имеет место в визуальных приборах, работающих совместно с
глазом человека. Здесь роль апертурной диафрагмы часто играет зрачок
глаза, помещенный за прибором.
Угол с вершиной в центре предмета A0 , равный 2um и опирающийся на входной зрачок, называется апертурным углом, пространства
предметов.
Угол 2u’m - апертурный угол в пространстве изображений.
Из рис. 79 видим, что
Dp
D' p
tgum
tgu'm
2 p'
2 p
где
Dp - диаметр входного зрачка,
D’p - диаметр выходного зрачка,
p - расстояние от точки предмета до входного зрачка,
p’ - расстояние от точки изображения до выходного зрачка.
Эти формулы остаются справедливыми при любом расположении
зрачков.
Лучи, проходящие через центры входного и выходного зрачков,
называются главными лучами. На рисунке это лучи A1C и C’A’1 . Глав-
189
ные лучи образуют веер сходящихся лучей в центре входного зрачка
C (исходящих из различных точек предмета) и веер расходящихся лучей, из центра C’ выходного зрачка.
Кроме зрачков и апертурной диафрагмы, ограничивающих размер
пучка, проходящего через оптический прибор, имеются еще другие диафрагмы.
Рис. 5.1.2
Пусть в пространстве предметов кроме входного зрачка имеется
еще одна диафрагма ST (рис. 5.1.2). Для пучка лучей, исходящих из
точки A0 диафрагма ST никакой роли не играет. Для внеосевых точек
предмета дело обстоит иначе. Пучок лучей от точки A1 верхним краем
касается новой диафрагмы, но не срезается ею. Значит в пределах от т.
A0 до A1 через оптический прибор проходит полностью весь пучок лучей, заполоняющий отверстие входного зрачка.
Можно найти такое положение точки предмета A2 , при котором половина пучка будет срезана, в этом случае главный луч касается верхнего края диафрагмы ST .
И, наконец, от т. A3 свет уже не проникает через оптический прибор. Такое положение возникает тогда, когда нижний крайний луч касается верхнего края диафрагмы.
Вследствии такого срезания пучков, поле зрения оптического прибора оказывается ограниченным, причем падение освещенности изображения происходит не мгновенно, а постепенно. Рассматриваемую диафрагму, расположенную в пространстве предметов и ограничивающую
поле зрения прибора, называют входным люком.
Таким образом, существует некоторая часть предметной области,
для изображения которой получается полная освещенность (рис. 5.1.3),
190
на рисунке это зона 1. Затем начинается кольцеобразная зона, в пределах
которой освещенность изображения постепенно падает до полной темноты. Это явление постепенного срезания пучков света называется затемнением или виньетированием.
Рис. 5.1.3
Наличие затенения следует считать известным дефектом оптического прибора. При наличии затенения трудно практически пользоваться
частью изображения, в которой освещенность становится низкой. Поэтому желательно, чтобы зона затенения была бы по возможности уже,
или чтобы она вообще отсутствовала.
Если точка A передвигается вверх то пучок лучей, исходящий из
этой точки, срезается постепенно краем диафрагмы. Очевидно, что если
бы пучок был более узким, то срезался бы быстрее и ширина зоны 2
(рис. 5.1.3), зоны затенения стала бы меньше. Поэтому выгодно перемещать диафрагму, вызывающую затенение, в сторону предмета. Если
входной люк совпадает с плоскостью предмета, поперечное сечение
пучка будет перерезаться краем диафрагмы мгновенно.
Т.о. желательно чтобы входной люк совпадал с плоскостью предмета, тогда явление затенения полностью устраняется.
Если построить изображение входного люка через весь прибор, то
это изображение будет также ограничивать поле зрение в пространстве
изображений. Изображение входного люка называется выходным люком
оптической системы (прибора).
Так же, как в случае зрачков могут быть три вида расположения материальной диафрагмы:
а). совпадать с входным люком,
б). Лежать в пространстве изображений,
191
в). лежать в одном из междулинзовых промежутков.
Сама материальная диафрагма, которая ограничивает поле зрения
оптического прибора, называется полевой диафрагмой.
Совмещение входного люка с плоскостью предметов возможно в
том случае, если в междулинзовом пространстве имеется промежуточное изображение предмета. Если в этом месте поставить полевую диафрагму, т.е. совместить ее с плоскостью промежуточного изображения
предмета, то в пространстве предметов изображение этой диафрагмы
(входной люк) будет совпадать с плоскостью предмета. Следовательно,
в этом случае, затенение или виньетирование будет отсутствовать.
В практике оптического приборостроения допускается затенение
50% для уменьшения габаритных размеров прибора, т.е. допускается
срезание половины крайнего пучка. Практика показывает, что глаз человека мало чувствителен к падению освещенности у края поля зрения и
вообще не обнаруживает падения освещенности, когда оно составляет
50% и менее. Предположим, что имеется готовый прибор и известны
данные его конструкции. Определим положение входного зрачка, входного люка, апертурной и полевой диафрагмы. Для этой цели спроектируем оптически все материальные диафрагмы этой системы (рис. 5.1.4) в
пространство предметов, пользуясь обратным ходом лучей. В пространстве предметов получится целая серия различных диафрагм, обозначенных буквами D со штрихами.
Рис. 5.1.4
Осевую точку предмета соединим лучами с краями всех диафрагм,
расположенных в пространстве предметов, и заметим ту диафрагму
которая видна из осевой точки предмета под наименьшим углом зрения
(на нашем рисунке диафрагма D’3), эта диафрагма является входным
зрачком и ограничивает пучок лучей, идущих из точки A . Материаль-
192
ная диафрагма, диафрагма D3 сопряженная с найденным входным зрачком является апертурной диафрагмой.
Из точки C , центра входного зрачка проводим прямые линии к
краям всех остальных диафрагм, полученных проектированием в пространство предметов. Диафрагма, которая видна из центра входного
зрачка под наименьшим углом g , является входным люком, сопряженная с ней материальная диафрагма – полевой диафрагмой оптической
системы. На рис. это диафрагмы D’4 и D4 .
5.2. Отрезки, определяющие положение зрачков
Введем величину Vc - линейное увеличение в зрачках
D'
VC
D
где D’ и D – диаметры выходного и входного зрачков.
Рис. 5.2.1
Отрезки p и p’ (рис. 5.2.1) определяют положение предмета и
изображения относительно центров зрачка.
p x xC ;
p' x' x'C
Отрезки p и p’ выразим через линейные увеличения V и VC.
Как известно
f
x'
f
x'
VС
С
V ;
xС
f'
x
f'
отсюда:
f
f
xС ; x'C f VC
x ;
x' V f ' ;
VС
V
тогда
f
f
V V
p x xC
f C
V VC
V VC
193
p' x' x'C V f 'VC f ' f '(VC V )
Так как
f
n'
f'
n
то p можно записать как
f ' V V n
V V
pf C
f ' C
.
f V VC
n'
V VC
5.3. Передача перспективы оптическими приборами
Центр входного зрачка является центром перспективы в пространстве предметов, как нами уже указывалось в центре входного зрачка пересекаются все главные лучи, несущие изображение предмета. То же
самое можно сказать относительно центра выходного зрачка, он является центром перспективы в пространстве изображений.
В зависимости от положения центра входного зрачка, а соответственно и выходного зрачка, относительно предмета менялся характер
перспективы, поэтому оптические приборы могут в известных случаях
искажать перспективу.
Поскольку положение входного и выходного зрачков взаимосвязаны, то мы будем менять положение выходного зрачка, роль которого будет выполнять зрачок глаза.
Рис. 5.3.1
194
Пусть имеются два одинаковых по величине предмета (рис.5.3.1),
один из них расположен в фокусе системы, а другой несколько ближе.
Первый случай: зрачок глаза расположен между системой и
фокусом. Прочертим ход главных лучей и найдем положение центра
входного зрачка. Для этого из т. P проводим вспомогательный луч через
главные точки, луч BP . Через центр выходного зрачка C1 пройдет луч,
параллельный PB1 , через точку M и C’ . Соединяя т. M с точкой P
получим ход искомого луча. Продолжая луч PM до пересечения с оптической осью, строим положение центра C входного зрачка. Второй луч,
из точки P’ также должен пройти через центр входного зрачка. Отсюда
следует его построение; сначала P’M’ , далее M’C’ .
Проведя эти построения мы видим, что более далекая стрелка представляется глазу наблюдателя под меньшим углом зрения. Такая перспектива называется энсоцентрической или нормальной.
Второй случай: зрачок глаза лежит в задней фокальной плоскости.
Здесь центр входного зрачка будет находится в бесконечности, слева от
оптической системы. Оба предмета наблюдаются под одним и тем же
углом. Такую перспективу называют телецентрической.
И, наконец, третий случай, когда зрачок глаза расположен за задним фокусом. Проводя построения, аналогичные первому варианту, мы
увидим, что входной зрачок будет располагаться слева от системы на
конечном расстоянии. Более близкий предмет виден из точки C’ под
меньшим углом, чем менее дальний. Это не естественная перспектива
называется гипоцентрической.
Если прибор должен давать правильное представление о пространственной форме предмета, то такая перспектива не допустима.
Рассмотренные положения легко можно проверить на практике. Если мы будем рассматривать через лупу коробок спичек вдоль его большой стороны, оставляя лупу все время неподвижно, то при перемещении
глаза от лупы, мы видим сначала передний торец коробка, не видя заднего, затем в какой-то момент коробок нам начнет казаться расширяющимся к его заднему торцу, т.е. задний торец будет перекрывать передний.
Телецентрический ход лучей весьма широко используется в оптических измерительных приборах. Как мы видим в дальнейшем, каждая
оптическая система обладает определенной глубиной резкости, т.е.
предмет виден одинаково резко при различных положениях внутри некоторого интервала длины вдоль оптической оси. Однако увеличение
системы зависит от положения предмета, это мы видели уже раньше.
Следовательно, при точных измерениях величины предмета нам необходимо как-то устранить это недоразумение.
195
Рис. 5.3.2
Для этой цели в пространстве предметов создается телецентрический ход лучей, поместив диафрагму в задней фокальной плоскости
(рис.5.3.2). Все главные лучи будут проходить через центр выходного
зрачка, следовательно через фокус системы и в пространстве предметов
идут параллельно оптической оси. Небольшие перемещения предметов
не вызовут изменения угла ; а следовательно, и величины изображения y’ .
5.4. Основные фотометрические величины
При рассмотрении вопросов передачи световой энергии оптическими приборами необходимо оперировать некоторыми понятиями и величинами фотометрии.
Сила света I . Основной единицей фотометрических величин является единица сила света.
Световым эталоном силы света служит так называемый полный излучатель вида специального сосуда, заполненного расплавленной платиной при температуре затвердевания, с отверстием, которое светится как
абсолютно черное тело и дающее 60 свечей с 1 см2 в перпендикулярном
направлении.
Световой поток F - количество световой энергии, протекающее в
единицу времени через поперечное сечение пучка лучей и оцениваемое
по зрительному ощущению.
Источник света с силой в 1 свечу излучает в окружающее пространство световой поток, равный
F0 4I
Рис. 5.4.1
196
Если световой поток ограничен конусом, в вершине которого расположен источник света (рис.86), а основанием является освещаемая
площадка, то
F I
где - телесный угол, определяемый по формуле
S
2
r
Единица светового потока является люмен (лм).
Один люмен равен световому потоку, испускаемому источником
света с силой 1 свечу в пределах телесного угла 1 стерадиан.
Освещенность E. Освещенностью E называется величина потока,
приходящегося на единицу поверхности, т.е. поверхностная плотность
светового потока.
F
E
S
Единицей освещенности является люкс (лк). Один люкс есть освещенность поверхности площадью в 1 м2, на которой равномерно распределяется световой поток в 1 люмен.
Мы имеем
F I
SI
I
E
2 2
S
S r S r
Если освещенная площадка расположена под углом i к направлению луча, то
I cos i
E
r2
Это так называемый закон косинусов для освещенности.
Яркость B. Яркость B источника света есть сила света, излучаемая единицей светящейся площади в заданном направлении
I
B
dS cos i
где dS – площадь элементарной площадки; i – угол, образованный
главным лучом элементарного пучка лучей с нормалью к светящейся
площадке.
Единица яркости нит (нт) представляет собой яркость по
направлению нормали к светящейся поверхности, площадь которой равна 1 м2 и сила света рана одной свече.
Так как
F
F
B
I
то
и
dS cos i
197
F BdS cos i .
5.5. Источники излучения
Источники оптического излучения разделяются на два класса: источники теплового излучения, к которым относятся все пламенные источники и лампы накаливания и источники люминессцентного излучения, к которым относятся газоразрядные лампы.
Наибольшее распространение получили лампы накаливания, что
объясняется их достоинствами: удобством эксплуатации, простотой обращения, отсутствие периода разгорания, возможность изготовления источников света в широком диапазоне мощностей, сплошным спектром
излучения.
Однако, лампы накаливания имеют и недостатки, к которым можно
отнести: низкая световая отдача (1-3%), несоответствие спектрального
состава излучения спектральному составу солнечного света, низкое содержание коротковолнового излучения по сравнению с солнечным (в
следствии недостаточно высокой температуры светящегося тела).
Рис. 5.5.1
Максимум излучения тепловых источников света (рис.5.5.1), считая
их приближающимся по излучению к абсолютно черным телам, зависит
от абсолютной температуры, при увеличении которой max смещается в
сторону коротких волн. Количественно этот закон был открыт Вином и
называется законом смещения Вина:
1880
max ( мкм )
,
T
где T – измерена в абсолютной шкале температур.
Из этого закона видно, что для ламп накаливания, при T=3000OK,
максимум излучательной способности лежит в инфракрасной области
(max=0.96 мкм).
198
При температуре T=6000OK (температура поверхности солнца) максимум излучательной способности max=0.5 мкм , что соответствует максимуму чувствительности глаза.
Интегральная энергетическая светимость абсолютно черного тела
RЭ возрастает пропорционально четвертой степени абсолютной температуры тела:
RЭ T 4
где = 5.71.10-12 Вт/см2град4 (постоянная Стефана-Больцмана).
Это закон Стефана-Больцмана.
И, наконец, максимальная излучательная способность абсолютно
черного тела rmax возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры:
r max C 'T 5
15
где C" 1.30110
Вт
.
см 2 мкм град 5
В настоящее время промышленностью выпускается свыше 2000
ламп накаливания. Классифицируются лампы по их назначению. К электрическим характеристикам ламп относятся: 1). Номинальное напряжение Uн, 2). Потребляемая мощность P, 3). Номинальный ток Iн. К светотехническим характеристикам ламп – 1). Полный световой поток Iн, 2).
Максимальная сила света I, 3). Яркость (для ламп прожекторного и
проекционного типов). Имеются еще характеристики экономические и
эксплуатационные – световая отдача
P
и срок службы ламп.
В оптических приборах наибольшее распространение получили
лампы типов:
СЦ-61,
8 В, 20 Вт,
250 лм
СЦ-62,
12 В 100 Вт,
1750 лм.
Газоразрядные лампы по сравнению с лампами накаливания имеют
более высокий коэффициент полезного действия и больший срок службы. Используются в тех случаях, когда необходимо получить монохроматическое излучение, т.к. они имеют линейчатый спектр.
К недостаткам следует отнести необходимость создания специальных довольно сложных и громоздких устройств, в ряде случаев невозможность работы на переменном токе.
К газоразрядным источникам света следует отнести ртутные, водородные, ксеоновые и т.д. лампы.
199
5.6. Приемники световой энергии
Наиболее чувствительным приемником световой энергии является
глаз человека. При длительной адаптации на темноту он способен воспринимать энергию в несколько десятков квантов.
Однако, глаз человека является только регистрирующим прибором,
а не измерительным, во-первых, и кроме того, он обладает очень маленькой областью спектральной чувствительности и очень большой селективностью, во-вторых.
Большое распространение в качестве приемников энергии получили
различные фотоэлементы, вентильные и вакуумные.
Вентильный селеновый фотоэлемент по чувствительности (спектральной) весьма близок к чувствительности глаза человека, поэтому он
используется там, где в качестве приемника желателен глаз.
Интегральная чувствительность селеновых фотоэлементов составляет 400 – 500 мкА/лм.
Для регистрации световых потоков, величина которых менее 10-3лм,
применяют фотоумножители, или вакуумные фотоэлементы.
Для регистрации потоков излучения в области 0.6 – 1.2мкм используются сернисто-серебряные фотоэлементы вентильного типа (ФЭСС).
Интегральная чувствительность составляет примерно 10мА/лм.
В лабораторной практике в качестве приемников излучения широко
применяют фотографические материалы. Фотоматериалы обладают одной замечательной особенностью, почернением фотографической пластинки является функцией светового потока и времени экспонирования:
D f (H ) ,
где H – экспозиция, в первом приближении определяемая по формуле
H Et .
Таким образом, увеличивая время выдержки, можно получить регистрацию световых потоков, которые другими приемниками не воспринимаются.
5.7. Светосила оптического прибора
Светосилой H оптического прибора называется отношение освещенности, измеренной на поверхности изображения, к яркости предмета
E
H
B
200
Для определения светосилы прежде всего необходимо определить
величину светового потока F, входящего во входной зрачок оптического
прибора (рис. 5.7.1).
Рис. 5.7.1
Как мы уже имели
dF BdSd cos i ,
где B – яркость излучающей поверхности, dS – элемент поверхности, излучающей свет, d – телесный угол элементарного пучка и i –
угол между нормалью поверхности и осью элементарного пучка.
Элементарный телесный угол d образован пучком лучей, исходящих из точки A и заполняющих элементарную площадку на входном
зрачке. Угловые координаты этой площадки – углы i и . Выразим телесный угол d через приращения di и d угловых координат (рис.
5.7.2.). Для этого опишем вокруг точки A сферу с радиусом r. Ax –
оптическая ось системы, AP – главный луч пучка.
Рис. 5.7.2
Из чертежа мы видим, что площадь элементарной площадки dS
равна
201
dS dx dy
dy d
dx r di
где – длина перпендикуляра PM, опущенного из т.P на ось AX:
r sin i
Тогда
dS r 2 sin idid
при r=1 площадь dS переходит в выражение для телесного угла d в
стерадианах
d sin i di d
Отсюда, световой поток, входящий во входной зрачок системы,
равен
dF BdS d cos i BdS sin i cos i di d
и
i
2
i 0
0
F BdS sin i cos idi
i
d
1
BdS sin 2id (2i )
4
i 0
2
0
1
BdS cos 2i
4
i
i 0
2
0
1
BdS (1 cos 2 )
2
Или
F BdS sin 2
Световой поток, выходящий из оптического прибора, может быть
найден двумя путями
2
а). F ' F BS sin
б). аналогично рассмотренному выше
F ' B' dS ' sin 2 '
Закон Кирхгофа устанавливает связь между B и B’
2
n'
B' B
n
Тогда
2
n'
F ' BdS ' sin 2 '
n
Освещенность E на плоскости изображений равна
202
F ' BdS sin 2
E
dS '
dS '
но
dS '
V2
dS
sin
Тогда E B
V
2
2
n
F'
1 B sin 2 '
или E
dS '
n2
Приравнивая правые части формул найдем закон синусов,
полученный как условие применимости полученных формул
n sin
V
n' sin '
Светосила оптического прибора равна
E
sin
H
B
V
2
или
2
n'
H sin ' .
n
5.8. Светосила оптического прибора с малой передней апертурой и малой задней апертурой
Приборы с малым передним апертурным углом служат для наблюдения предметов, находящихся на далеком расстоянии – зрительные
трубы, фотографические объективы для ланшафтной съемки.
203
Рис. 5.8.1
Ввиду малости угла (рис. 5.8.1) можно заменить sin через
и, используя первую формулу для H, записать
H
V
2
Из чертежа видно, что
1 D
Тогда H
4 Vp
D
.
2p
2
Используя ранее полученную формулу
V V
n
p f ' C
n'
VC V
Найдем
n
V V
V p f ' C
n'
VC
Тогда
1 n' V
H C
4 n VC V
D
f '
2
Предмет для прибора с малой передней апертурой лежит, как
правило, на далеком расстоянии от прибора; его изображение
расположено в задней фокальной плоскости, следовательно, V равно 0
(V
f
f
x'
D
или V ), тогда
x
f'
f'
1 n' D
H
4 n f '
2
204
то есть, в случае бесконечно удаленного предмета светосила
прибора пропорциональна квадрату отношения
D
. Это отношение
f'
называется относительным отверстием прибора.
К приборам с малой задней апертурой относятся различные
приборы, проектирующие изображения на экран, освтительные и
сигнализа-ционные приборы.
В этом случае задний апертурный угол ’ мал, sin ’=’, кроме
того n = n’ =1, тогда из второй формулы для H имеем:
2
n'
H sin ' '
n
Как в предыдущем случае ’ заменяеься выражением:
'
D'
2 p'
Тогда
D'2
D'2
'
H
2
2
2
4 p'
p'
4
p'
где S’ - площадь выходного зрачка прибора.
Так как H
E
E'
, то E H B B 2 .
B
p'
Это выражение для освещенности E на экране.
Формула для определения светосилы H и освещенности на
экране для приборов с малой задней апертурой справедлива в том случае, когда выходной зрачок полностью заполнен светом. Если это условие соблюдено (рис. 5.8.2), то в площадь S’ должна входить не вся
площадь зрачка, а только ее действующая часть.
Рис. 5.8.2
Обычно в выходном зрачке прибора проектора получается
изображение источника света. Нужно стремится к тому, чтобы
изображение источника света полностью заполняло взодной зрачок
прибора.
205
5.9. Потери света в оптическом приборе
Для определения коэффициента - пропускной способности оптического прибора, рассмотрим причины, вызывающие потери света при
прохождении через оптическую систему.
1). На границах преломляющих поверхностей часть света отражается и не участвует в образовании изображения. Кроме того, многократные отражения от отражающих поверхностей вызывают засветку в
плоскости изображения.
Для вычисления потерь света при отражении от преломляющих поверхностей применяется формула Френеля, которая при малых углах падения света на преломляющие поверхности имеет вид:
(n'n)
Fr
F,
(n' n)
где F – световой поток, падающий на преломляющую поверхность,
n и n’ – показатели преломления сред, разделяемых преломляющей поверхностью.
Коэффициент пропускания , для одной поверхности определяется
формулой
1 1 Fr
Если преломляющая поверхность граничит с воздухом, то формула
еще упрощается и имеет вид
(n'1)
Fr
F
(n'1)
Для стекол с показателем преломлением n , находящихся в пределах от 1.5 – 1.57 (кроны) можно приближенно считать Fr =0.04, для n в
пределах 1.57 до 1.65 - Fr =0.05.
Если две поверхности склеены канадским бальзамом или бальзамином, так как коэффициент преломления склеивающего вещества близок
к 1.5, потери на отражения в месте склейки будут ничтожно малыми и в
расчет не принимаются.
Для уменьшения потерь света, при отражении от преломляющих
поверхностей используется просветление оптики, состоящее в том, что
преломляющая поверхность покрывается тонким прозрачным слоем вещества с показателем преломления
nC n .
Световые потоки, отраженные от двух поверхностей слоя,
вследствии интерференции, взаимно поглащается.
206
Толщина слоя для этой цели должна быть равна четверти длины
волны, т.е. /4. Т.к. по закону сохранения энергии она не может исчезнуть, то весь поток претерпевает преломление.
Для монохроматического света просветленная оптика может практически дать отсутствие отражения на преломляющих поверхностях при
нормальном падении света на них (или под определенным углом). Другие углы падения вызывают изменение длины хода луча в пленке и, следовательно, изменение разности хода интерферирующих пучков, что ведет к появлению отражения.
Для белого света для каждой длины волны толщина пленки должна
быть своей. Следовательно, минимум интерференции наблюдается только для одной длины волны, другие длины волн частично отражаются, и
отраженный свет приобретает окраску. Поэтому просветленная оптика
называется «голубой».
В промышленности используется три способа просветления: 1). химический – травлением преломляющей поверхности водными растворами солей; 2). физический – нанесением на поверхность стекла фторидов;
3). метод гидролизации – обработка поверхности стекла фторокрмневой
кислотой. На поверхность стекла может быть нанесено несколько слоев,
этим способом удается снизить потери до 1% при отражении от одной
поверхности.
2). Поглощение и рассеивание света в массе стекла.
Рис. 5.9.1
Пусть F0 – световой поток, прошедший через входную поверхность
оптической детали (рис. 5.9.1). Световой поток F , прошедший путь d
внутри стекла, становится меньше F0 , в следствии поглощения. Придадим d малое приращение d, тогда изменение светового потока на этом
пути будет равно
F F d ,
где – коэффициент пропорциональности.
Преобразуем эту формулу
F
d
F
207
и проинтегрируем ее на всем пути d.
F
d F d d ; ln F d C
или
F e d C
Для исключения неопределенной постоянной
C перейдем к
начальным условиям:
При d = 0 : F = F0
Тогда F0 e C .
Это позволяет исключить из формулы неопределенную постоянную
интегрирования C
F F0 e d
Для удобства пользования полученной формулой произведем
замену, введя постоянный коэффициент a=e-a , тогда , F=F0ad
а коэффициент пропускания 2 будет равен 2
F
ad
F0
Коэффициент a пропускной способности стекла зависит от категории стекла по светопоглащению.
При приблизительных подсчетах принимают a=0.99, d измеряется в
сантиметрах.
Коэффициент з пропускной способности зеркал зависит от покрытия зеркал, нанесения закрепляющей пленки, давности нанесения покрытия, наличия просветления зеркал. В среднем значение з принимают
равным
з 0.94 S ; з 0.85 S ; з 0.98 S ,
где
S1 – число серебрянных отражающих поверхностей,
S2 – число алюминиевых отражающих поверхностей,
S3 – число серебрянных и алюминиевых просветленных поверхностей.
Общая формула пропускной способности имеет вид:
0.96 N 0.95 N 0.99 d 0.94 S 0.85S 0.98S .
1
1
3
2
2
1
2
3
5.10. Глаз человека
Большинство оптических приборов работает совместно с глазом человека, оптические свойства которого имеют немаловажное значение
при рассмотрении действия и устройства прибора.
Во многих случаях приходится приспосабливать конструкцию прибора к зрительному восприятию изображения.
208
Глаз человека является природным оптическим устройством и имеет сложной устройство.
Рис. 5.10.1. Глаз человека
Снаружи глаз покрыт твердой белковой оболочкой – склерой 1 (рис.
5.10.1), передняя часть которой прозрачна и называется роговицей 2. За
роговой оболочкой спереди располагается передняя камера 3, заполненная водянистой влагой. Под склерой расположена сосудистая оболочка
4, которая впереди переходит в радужную оболочку 5. Радужная оболочка посередине имеет отверстие , выполняющее роль диафрагмы (зрачок глаза) 6, и за ним хрусталик 7, форма которого изменяется под воздействием мышц. Задняя камера 8 заполнена водянистой влагой – стекловидным телом. К сосудистой оболочке прилегает пигментный слой, за
которым располагается сетчатая оболочка или ретина 9. Ретина имеет
сложное устройство. В ней расположены чувствительные к свету элементы – палочки и колбочки. В середине сетчатки, в области, прилегающей к месту вхождения зрительного нерва в глазное яблоко, располагается небольшое углубление 10 – желтое пятно, где преимущественными являются колбочки, это самое чувствительное место глаза.
В центральной части глазного яблока больше располагается колбочек, а в боковых частях – больше палочек.
В месте входа зрительного нерва чувствительных элементов нет –
слепое пятно, диаметр которого равен 1.8 мм. В центре желтого пятна
находится только колбочки, причем наиболее мелкие. Это место наиболее ясного видения. При наблюдении предметов глаз человека своей
зрительной осью как бы ощупывает все контуры, последовательно приводя их в область желтого пятна.
209
Глаз человека обладает двумя свойствами: адаптация – приспособление к различным условиям освещения и аккомодация – приспособление к различным расстояниям до рассматриваемого предмета.
Адаптация глаза достигается при помощи трех структурных – физиологических устройств, механизмов: а). Изменение диаметра зрачка
глаза в пределах от 2-х до 8-ми мм, по площади величина зрачка меняется в 16 раз, б). Переход от палочек к колбочкам. Палочки обладают
большей чувствительностью, но они спектрально не селективны, т.е. не
различают света; в). разложение светочувствительного вещества (родопсина или йодопсина) и перемещение темного пигмента к наружной поверхности сетчатки. Различают три вида адаптации – световая, когда работают только колбочки и глаз хорошо различает все цвета; сумеречная
– работают одновременно часть колбочек и часть палочек – оттенки цветов меняются и плохо различимы; ночная (темновая) – работают только
палочки, глаз цветов совсем не различает.
Адаптирование глаза на свет или темноту, особенно на темноту,
происходит длительное время, необходимое для разложения (на свет)
или восстановление (на темноту) светочувствительного вещества. Механизм аккомодации действует автоматически, независимо от воли человека. Аккомодация глаза состоит из двух процессов: во-первых, изменение кривизны поверхности хрусталика под воздействием мускулов и,
следовательно, изменение фокусного расстояния хрусталика; во-вторых,
изменения направления визирования осей глаз и приведение точки пересечения на поверхность наблюдаемого объекта. Оба эти процесса согласованы. Когда предмет находится на бесконечности, мускулы хрусталика расслаблены, глаз имеет максимальное фокусное расстояние и визирные оси параллельны. При приближении предмета мускулы хрусталика
начинают сокращаться, одновременно оба глазных яблока поворачиваются по направлению к носу и визирные оси образуют угол тем больше,
чем ближе наблюдаемый предмет.
К приборам, работающим совместно с глазом, предъявляются требования согласования визирных осей и положения изображения. В бинокулярных приборах визирные оси окуляров должны быть параллельными и из них должны выходит параллельные пучки лучей, если изображение находится на бесконечности. Если же изображение располагается на расстоянии наилучшего видения, 250 мм, то оси окуляров должны составлять между собой небольшой угол, соответствующий этому
расстоянию. При несоблюдении этого условия глаза наблюдателя быстро утомляются и начинают болеть.
На бинокулярные приборы устанавливаются определенные допуска
на величину рассогласования этих требований.
210
При ненапряженном мускуле хрусталика глаз способен видеть далекие предметы, при уменьшении фокусного расстояния – близкие.
Существуют определенные пределы аккомодации глаза. Если рассматривать палец, приближая его постепенно к глазу, то обнаруживается
что отчетливо его можно видеть только до некоторого предела – ближайшая точка B, до которой действует аккомодация глаза при максимальном напряжении мускулов хрусталика (рис. 5.10.2). Существует
также и дальняя точка глаза D, дальше которой предметы неотчетливо
видимыми. Ближайшая точка постепенно отодвигается от глаза в течении всей жизни человека. В среднем возрасте (30 лет) – aБ – 125 мм; 55 –
60 лет, aБ достигает 250 мм. Если этот отрезок становится более 250 мм,
то наступает состояние зрения, которое называется старческой дальнозоркостью или пресбиопией.
Рис. 5.10.2
Остротой зрения или разрешающей способностью глаза называется
способность глаза различать две близкие точки раздельно друг от друга.
Острота зрения является функцией размера колбочек. Каждая клеточка
сетчатки (рис. 5.10.3) может воспринимать одновременно лишь одно
зрительное впечатление. Если изображение двух источников света попадает на одну ячейку сетчатки (А), то глаз их различить не может. Также,
если изображения попадают на соседние клетки (Б), глаз не в состоянии
видеть их раздельно. Между засвеченными ячейками должна находится
обязательно не засвеченная ячейка, тогда предметы видны раздельно
(С). Для глаза человека разрешающая способность в среднем равна одной угловой минуте, при наблюдении изображения на экране – 2-3 минуты. Совсем по другому обстоит дело, когда мы наблюдаем два штриха
(Д), - нониальное совмещение штрихов; здесь каждый штрих может попасть на свой ряд колбочек и разрешающая способность увеличивается
до 10 секунд.
Положение точки Д глаза бываает весьма различны в зависимости
от свойств зрения человека. Различают три состояния зрения у человека:
1). нормальное зрение, или эмметропия, 2). близорукость, илимиотропия, 3). дальнозоркость, или гиперметропия.
211
Рис. 5.10.3
Нормальным или эмметропическим зрением, называется зрение человека в том случае, если aД = . Это означает что размер глазного яблока соответствует максимальному фокусному расстоянию хрусталика,
следовательно, если мускулатура хрусталика полностью расслаблена то
эмметроп отчетливо будет видеть бесконечно далекий предмет.
Рис. 5.10.4
У близорукого человека глазное яблоко несколько растянуто вдоль
оптической оси, поэтому фокус глаза в ненапряженном состоянии располагается перед сетчаткой оболочки. Бесконечно удаленные предметы
он видеть не может. Когда предмет приближается к глазу и от него в
глаз входят расходящиеся пучки лучей, изображение предмета строится
на некотором расстоянии от фокуса и попадает на сетчатку.
212
Исправить этот дефект можно, если поместить перед глазом отрицательную линзу (рис. 5.10.4), превращающую параллельные пучки лучей в расходящиеся.
У дальнозоркого человека глазное яблоко сплющено относительно
визирной оси глаза и фокус ненапряженного хрусталика помещается за
глазом. Чтобы увидеть далекие предметы человеку приходится прилагать усилия для деформации хрусталика и уменьшения фокусного расстояния. Положительная линза у глаза превращает параллельный пучок
света в сходящийся и тем самым устраняет этот недостаток.
5.11. Видимое увеличение оптического прибора
Видимое увеличение характеризует способность оптического прибора создавать на сетчатке глаза более крупное (или более мелкое) изображение по сравнению с изображением, возникающем на сетчатке глаза
при рассмотрении этого же предмета невооруженным глазом.
Разница между линейным и видимым увеличением заключается в
следующем. Если мы рассматриваем через микроскоп или, например,
проекционный прибор мелкий предмет, то увеличивающая система прибора строит на сетке изображение этого предмета, которое в десятки раз
больше, чем сам предмет. Это изображение непосредственно рассматривается глазом человека (на экране проектора) или через лупу (окуляр
микроскопа). Это есть линейное увеличение.
Если же мы через зрительную трубу наблюдаем далекий объект,
например, корабль, то трудно предположить, что на сетке зрительной
трубы возникает изображение по размерам больше самого объекта, однако мы наблюдаем увеличение изображения через окуляр прибора.
Здесь дело заключается в том, что без прибора глаз человека наблюдает
объект под одним углом зрения, с прибором – под другим. Это есть видимое увеличение.
Видимое увеличение определяется формулой:
'
Где - угол, под которым виден объект без прибора, ’ - угол, под
которым наблюдатель наблюдает изображение объекта. Рассмотрим рис.
5.11.1. В точке O расположен глаз наблюдателя при наблюдении объекта невооруженным глазом, в т. O’ – при наблюдении объекта через прибор.
213
Рис. 5.11.1
Соответственно, углы наблюдения объекта и изображения равны
y
y'
;
'
k
k'
Где k - расстояние от наблюдателя до объекта, k’ - расстояние от
глаза наблюдателя до изображения.
Тогда
' y' k
k
v .
y k'
k'
Рассматривая ход главного луча через центры зрачка входа и выхода, можно записать y= -p и y’= -’p’
Тогда
p'k
p k'
Отношение /’ есть угловое увеличение WС в зрачках.
Мы ранее имели формулу:
f
n
VW , но VW VCWC
f ' n'
Следовательно,
n
WC
nVC
Подставляя в формулу для вместо значение получим
' p'k
p'k
n p'k
WC
p k'
p k ' n' p k 'VC
Это окончательная формула для определения видимого увеличения
любого оптического прибора.
Рассмотрим прибор ближнего действия – лупу. При работе
наблюдателя с лупой выходным зрачком является глаз человека,
214
следовательно, т. O совпадает с точкой C’ . Расстояние от глаза человека до изображения k’=p’ , тогда:
nk
n' p VC
Мы имели формулу:
n V V
n V V
p f' C
p VC f ' C
;
n' V VC
n'
V
Тогда
nk
nk
n'V
k V
x'
;V ;
n p VC
n' n f '(VC V ) f '(VC V )
f'
x '
VС С
f'
Подставляя в формулу, получим
x'
k
k x'
f'
x'
x' f '( x'C x' )
f ' C
y' y
Зрачок глаза обычно совмещается с задней фокальной плоскостью
лупы, следовательно, x’C=0 ; отрезок K принимается равным расстоянию наилучшего видения, K = -250 мм, тогда
250
лупы
f'
Эта же формула справедлива для определения видимого увеличения
окуляров, микроскопов.
Видимое
увеличение
приборов
дальнего
действия
–
фотоаппаратуры для ландшафтной съемки.
Так как фотообъектив аппарата окружен воздухом, то n = n’ = 1,
наблюдатель, сравнивающий действие фотокамеры с действием невооруженного глаза, должен находиться возле камеры, т.е. мы можем принять, что точки O и C совпадают (при большом расстоянии до объекта
небольшое несовпадение точек O и C не имеет принципиального значения). Таким образом K = P .
Тогда
n p'k
p'
n' p k 'VC k 'VC
Ранее мы имели: p' f '(VC V ) , следовательно
215
f '(VC V ) f ' V
x
x '
1 ; V ; VС С
f
f'
k 'VC
k' k
f ' V f '
x' f ' f '
x'
1 1
1
k ' VC k '
f 'x'C k ' x'C
При ландшафтной съемке пластина находится в задней фокальной
плоскости фотоаппарата, т.е. x’ = 0 , и
f'
k'
где k’ – расстояние от изображения предмета до глаза наблюдателя.
Если изображение рассматривается на матовом стекле, то k’ =-250
мм
f'
250
(изображение получается перевернутым). Если рассматривается
фотография, полученная путем контактной печати, то k’ =-250 мм , то
f'
250
так как фотоснимок при рассматривании поставят в правильное
положение. При наличии увеличений снимки вводится дополнительное
увеличение VФ , тогда
f'
VФ .
k'
5.12. Глубина резкости фотографического аппарата, лупы и
микроскопа
При рассмотрении глазом человека нескольких предметов, расположенных на разном расстоянии от наблюдателя, мы замечаем, что видеть одновременно резко все предметы мы не можем. Человек вынужден
выполнить некоторые физиологические воздействия на глаз, чтобы перевести наблюдение с одного предмета на другой. Совершенно аналогично любой оптический прибор не может одновременно с достаточной
резкостью изобразить предметы в плоскости изображения, если они расположены на различных расстояниях от прибора. Предметы же расположенные на небольшом расстоянии друг от друга по глубине во многих
случаях получаются резкими одновременно. Это свойство объясняется
216
тем, что изображение некоторой точки предмета попадает на чувствительный элемент глаза человека, колбочку, которая реагирует на цветовое раздражение независимо от того, покрывает ли изображение точки
часть колбочки или всю колбочку. И только после того, как изображение
точки по размерам начинает превышать колбочку, человек начинает
воспринимать его нерезким.
Рассмотрим определение глубины резкости в пространстве предметов для фотографического аппарата (рис. 5.12.1).
Рис. 5.12.1
Изображение предметов в фотоаппарате получается в плоскости
изображений E’, где расположены либо фотопластинка, либо матовое
стекло. С этой плоскостью E’ в пространстве предметов сопряжена
плоскость E которая называется плоскостью наводки. Все предметы,
расположенные в плоскости наводки E должны изобразиться в плоскости E’ идеально резкими (в случае отсутствия аберраций).
Пусть в точке O’ находится глаз наблюдателя, он будет видеть
резкими не только идеально изображенные точки, но и точки – изображения ’ которых виден из точки O’ под углом ’ , равный разрешающей способности человеческого глаза. Следовательно точка схождения
лучей, идущих от точки предмета может располагаться и перед плоскостью E’ (т. P’2 ) и за плоскостью E’ (т. P’1), главное – в плоскости E’
пятно рассеяния не должно превосходить ’.
217
Точка P1 изображение которой находится в плоскости, расположенной дальше плоскости E’ , в т. P1’ находится в плоскости E1 , называемой передним планом; точно также, т. P2 (изображение P2’ ) находится
в плоскости E2 - задний план. Все объекты, расположенные между передним планом E1 и задним планом E2 будут давать изображение в
плоскости E’ , которое будет казаться наблюдателю резким.
Отрезок ’ является изображением отрезка , который является
диаметром кружка рассеивания, перенесенным в пространстве предметов. Пусть глаз наблюдателя расположен в плоскости, входного зрачка, в
точке O. Тогда он увидит под углом
a
Углы и ’ связаны через видимое увеличение
'
Проведем через точку K вспомогательную линию, параллельную
P1M .
Из подобия треугольников LP1M и LKN получим
a D
a0
D
1 1
или
.
a1
a
aD
Окончательно формула имеет вид
aD D
1 1 1
,
где
a1
a
a0
Отсюда видно, что a0 есть расстояние, с которого диаметр D
входного зрачка виден под предельным углом рахрешающей
способности.
Аналогично, рассматривая точки P2 и P2’ получим формулу
1 1 1
a 2 a a0
Полная глубина изображаемого резко пространства равна
T a2 a1
При съемке далеких предметов наиболее простой способ наводки
на резкость состоит в совмещении плоскости фотопленки с задней фокальной плоскостью объектива. Плоскость наводки отодвигается на бесконечность, т.е. a = тогда из формулы
218
1 1 1
a1 a a0
получаем: a1 = a0
Отсюда видно, что величина a0 имеет физический смысл. Это
расстояние называется началом бесконечности. Однако этот способ
наводки имеет недостаток, при нем не используется задняя глубина
резкости, что не выгодно для фотографа. Лучше принять a2 = тогда
из формулы
1 1 1
a 2 a a0
будем иметь a = a0 , т.е. в начале бесконечности должна быть
расположена плоскость наводки E . Передний план E1 будет лежать на
1
2
расстоянии a1 a0
т.е. он расположен вдвое ближе к фотоаппарату,
чем в первом случае.
Глубина резкости T равна
2a 2 a0
T a2 a1
1 1 1 1 a02 a 2
a a0 a a0
1
1
При съемке близких предметов расстояние a много меньше a0 ,
тогда пренебрегая a получим
2a 2
T
a0
Чтобы получить представление о численных значениях величин,
входящих в формулу, рассмотрим пример: портретный снимок
производится с расстояния a = 2 м , диаметр входного зрачка
(объектива) D = 30 мм, разрешающая способность глаза человека =
1’ =0.0003.
По выведенным формулам имеем:
D
0.03
a0
100 м
0.0003
2a 2 2 2 2
8
T
0.08 м 80 мм
a0
100 100
Мы видим, что глубина резкости всего 80 мм, т.е. гарантии, что
весь портрет получится резким дать нельзя. В этом случае следует
уменьшить диаметр апертурной диафрагмы. При фокусном расстоянии
f’ = 50 мм (наиболее распространенные фотообъективы малоформатных
камер) относительное отверстие, при = 30 мм, получается:
219
30 3
1 : 1.6
50 5
Уменьшим относительное отверстие до величины 1:5, т.е. примем
равным D = 10 мм, тогда
0.01
a0
33 м
0.0003
2a 2 2 2 2
T
0.24 м 240 мм
a0
33
Для определения глубины резкости лупы и микроскопа также справедливы формулы
2a 2
D
T
a0
и
a0
2a 2 2a 2 2 p 2
Тогда будем иметь: T
.
a0
d
d
Здесь мы заменили в формуле величину a ранее используемым
нами обозначением p - расстоянием от предмета до зрачка входа.
Линейное увеличение в зрачках есть
D'
D'
D
VC
;
VC
D
Кроме того, мы имеем формулу
V V
n
p f ' C
n'
V VC
Для лупы и микроскопа V = , т.к. предмет располагается в
передней фокальной плоскости и x = 0 по формуле
f
f
V
x
0
Тогда
1 1
n
n f'
p f '
n'
n' VC
V VC
и
2
2
2
2
2 p
n f ' VC n 2 f '
T
2
D
n' VC
D'
n'
VC D'
Условие увеличения в зрачках
'
W
;
WC
'
220
и
2
2
n 2 f ' n 2 f '
T
n' VC D' n' WCVC D'
2
но
2
W V WC VC
f
n
f ' n'
n 2 f '2
T
n'
D
Для лупы n = n’ = 1, кроме того
250
250
f '
;
f'
2
n 2 f ' ' 2 2502
2
Тогда T
n'
D'
D'
Принимая диаметр зрачка равным 3 мм, D’ =3 мм, ’ = 1’ =
0.0003, получим
T
12.5
мм
2
Пример: при = 10Х, T = 0.125 мм.
Для микроскопа n’ = 1, показатель преломления среды в пространстве предметов, n может быть не равен единице – микроскопы с
иммерсионной жидкостью.
n 2 f '2 ' 2nf '2
T
Тогда
n'
D'
D'
1
2
Вместо диаметра входного зрачка D’ введем его радиус D '
n f '2 '
T
'
Из теории микроскопа известно несколько формул для видимого
увеличения микроскопа. Одну из них мы уже имели, она имеет вид
250
.
f'
Другая формула будет приведена нами пока без вывода
250 A
,
'
где A = k.sin - численная апертура микроскопа, - радиус зрачка выхода.
Из этих формул мы получим
221
250
250 A
и
Подставляя в формулу для T , получим
n f '2 ' n 2502
250 n
T
'
'
'
2
250 A
A
(знак минус при ’ принципиального значения не имеет, поэтому
мы его опускаем).
Пример: n =1, A =0.3, =200Х, ’ =4’.
Разрешающая способность глаза человека ’ = 4’ берется потому,
что диаметр выхода у микроскопов при таком увеличении равен ~ 0.5
мм, т.е. в 4 - 6 раз меньше оптимального диаметра зрачка глаза; отсюда
понижение разрешающей способности глаза
250 1 0.0003 4
T
0.005 мм 5 мкм
0.3 200
При очень сильных увеличениях микроскопа, когда =1500Х,
A =1.5, ’ =4
1.5 1 0.0003 4
T
0.0002 мм 0.2 мкм
1.5 1500
f '
5.13. Критерий разрешающей способности оптического прибора
При наблюдении близко расположенных друг к другу предметов
(точек) при их удалении от наблюдателя наступает момент, когда они
уже не видны раздельно, а сливаются в один предмет (точку). Способность раздельно видеть два близких предмета определяется разрешающей способностью глаза и, в конечном счете, физиологическим строением сетчатой оболочки глаза.
Оптические приборы также не могут разрешать беспредельно близкие точки предмета. Это объясняется тем, что изображение каждой точки получается не в виде идеальной точки, а в следствии дифракции света
в виде кружка рассеяния (так называемого кружка Эри), в центре которого располагается максимум световой энергии, вокруг которого строятся дифракционные кольца. Теоретически это распределение энергии
распространяется до бесконечности, а практически центральное ядро
окружено двумя – тремя кольцами. Каждая точка изображения имеет
свое пятно рассеяния, которые накладываются друг на друга.
222
Рис. 5.13.1
Рассмотрим (рис. 5.13.1) два дифракционных кружка Эри, являющихся изображением двух близлежащих точек. При наложении кружков
рассеяния в поле зрения или какого либо приемника энергии происходит
суммирование энергии и наблюдается распределение энергии, показанное пунктирной линией. Суммарная освещенность изображения напоминает гору с двумя вершинами, разделенными седловиной. Если седловина глубокая, то приемник энергии отчетливо различает два максимума энергии. Если же седловина имеет малую глубину, то изображение
двух точек сливается в одно.
Для определения разрешающей способности используется формула (выводимая в курсе физической оптики)
K
D
где - угол в угловых секундах, под которым наблюдается две
точки разрешаемые прибором;
D - диаметр входного зрачка прибора;
K - коэффициент.
Первый критерий разрешающей способности был установлен лордом Рэлеем в 1879 году. Рэлей установил критерий умозрительным путем. Он предложил считать два изображения светящихся точек лежащим
на пределе разрешения тогда, когда центральный максимум одной из
них совпадает с первым минимумом второй точки. Глубина седловины
b в этом случае 22.5% от высоты a максимумов, здесь максимумы достаточно легко должны различаться даже глазом человека. Формула для
определения разрешающей способности получает вид
138"
D
Накопленный астрономами обширный опыт по наблюдению двойных звезд при помощи различных телескопов позволили уточнить ре-
223
зультат, полученный Рэлеем, и установить так называемый практический критерий разрешающей способности оптических приборов, основанный на положении, что глаз наблюдателя способен разрешить две
светящиеся точки, если падение b освещенности в промежутке между
двумя максимумами будет не менее 5% от максимума a . В этом случае
120"
D
И, наконец, абсолютный критерий разрешающей способности, когда падение освещенности между двумя максимумами совершенно исчезает и, следовательно, ни один приемник энергии даже самый чувствительный не способен почувствовать «впадины» наступает при
108"
D
Формула практического критерия разрешающей способности получена при использовании уникальных приборов – телескопов. В приборах
же выпускаемых заводами в порядке серийного и массового производства всегда имеются погрешности изготовления, приводящие к заметному снижению их разрешающей способности. Поэтому для приборов серийного и массового изготовления введена формула
140"
D
Что является, в сущности, возвращением к критерию Рэлея.
5.14. Разрешающая способность зрительных труб и фотографических объективов
Исследование разрешающей способности зрительных труб производится опытным путем при помощи миры. Мирой называется прозрачная стеклянная пластинка, разбитая на квадратики. В каждом квадратике
содержится ряд параллельных штрихов, попеременно прозрачных и непрозрачных, равной ширины. Ширина штрихов меняется от квадратика
к квадратику. Освещенная мира помещается в передней фокальной
плоскости длиннофокусного объектива коллиматора, вслед за которым
расположена испытуемая зрительная труба. Между окуляром трубы и
глазом наблюдателя ставят еще дополнительную зрительную трубу четырехкратного увеличения. Предельный угол разрешающей способности зрительной трубы определяется по формуле:
l
206000 ,
f'
224
где l - ширина линий в последнем квадратике, в котором линии
еще различимы, f’ - фокусное расстояние объектива коллиматора. Фотографические объективы обычно обладают разрешающей способностью в 4 – 5 раз меньше установленной Релеем границы, в то время они
дают хорошее качество изображения. Это происходит потому, что разрешающая способность фотообъектива огрубляется низкой разрешающей способностью фотографической пленки из-за ее крупнозернистости.
Разрешающую способность фотографического объектива также
можно определить по формуле =K/D , однако коэффициент «K» должен определяться с учетом влияния аберраций. Это приводит к неправданно сложным расчетам. Поэтому для практических целей удобнее
пользоваться опытными данными.
Полагая, что b выражено в радианах, величина изображения, находящегося на пределе разрешения, выразится так:
f'
' f ' K
D
Разрешающая способность фотообъективов обычно определяют
количством штрихов на 1 миллиметр, количеством разрешаемых линий
на длине 1 мм. Тогда
1 1 D
N
' K f '
Коэффициент 1/K определяется экспериментальным путем. Если
мы рассматриваем изображение миры через объектив, то в этом случае
определяется разрешающая способность самого объектива. Если же
рассматривать изображение миры на проявленной пленке, то здесь на
разрешающую способность объектитва накладывается влияние
зернистости пленки.
225
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ МИКРОСКОПА
6.1. Оптическая система микроскопа
Микроскопы предназначены для наблюдения мелких, близко расположенных предметов. Отсюда вытекают и требования к прибору:
большое увеличение и более высокие характеристики.
Микроскоп состоит из двух основных компонентов: объектива и
окуляра, отсюда и увеличение микроскопа имеет две ступени – увеличение объектива и увеличение окуляра. Кроме этого, для обеспечения необходимой освещенности рассматриваемого через микроскоп предмета
он имеет еще специальную осветительную систему.
Рис. 6.1.1
Объектив 1 микроскопа (рис. 6.1.1) строит действительное и перевернутое изображение предмета в плоскости, которая располагается
вблизи переднего фокуса окуляра. Окуляр работает подобно лупе и образует вторичное увеличенное мнимое изображение y”, которое расположено от глаза наблюдателя на расстоянии наилучшего видения D =
250 мм.
Расстояние от заднего фокуса объектива F’об до переднего фокуса окуляра F’ок называется оптической длиной тубуса.
Из формулы
1 2 1 2 d
имеем
226
1
1
f '1 f '2
f ' f '
1 2
1
1
d
1 2 1 2 d
f '2 f '1 d
f '1 f '2 f '1 f '2
Так как f’1>0 и f’2>0 то f’<0 , т.е. заднее фокусное расстояние
микроскопа отрицательное. Задний фокус F’ микроскопа расположен
впереди ее задней главной плоскости H’ .
Расстояние x’F заднего фокуса микроскопа F’ от заднего фокуса
окуляра F’ок можно найти, если проследить по схеме ход лучей, вошедшего в систему параллельно оптической оси. Такой луч должен
пройти через задний фокус объектива F’об и через задний фокус всего
микроскопа F’об . Таким образом, оказывается, что точка F’об и F’ сопряженные точки для системы окуляра, и, следовательно, расстояния
от них до переднего и заднего фокуса окуляра связаны формулой Ньютона
2
2
f 'ок
f 'об
x' F
xF
,
также
Величина оптической длины тубуса, выдерживается одинаковой в
большинстве групп микроскопов. В России стандартизованы две длины
тубуса: 160 мм и 190 мм.
В микроскопии приняты и соблюдаются всеми фирмами некоторые
нормы, позволяющие применять объективы и окуляры одной фирмы в
штативе другой фирмы. Так, в качестве винтовой нарезки, которой
соединяются оправа объектива с корпусом микроскопа, применяется
дюймовая резьба W0.8х1/36 дм. Наружные диаметры цилиндрических
оправ окуляров: 23.2 мм, а окуляры с увеличенным полем зрения –
30.00 мм. Расстояние z от верхнего среза тубуса до передней фокальной
плоскости окуляра установлено 13 мм.
f '
6.2. Формулы геометрической теории микроскопа
Основой геометрической теории микроскопа служат три формулы
для видимого увеличения микроскопа.
Первую формулу можно получить, пользуясь формулой
n p 'k
n' p k 'VC
Для микроскопа = 1, кроме того равны отрезки и , так как
зрачок глаза наблюдателя совмещен с выходным зрачком микроскопа.
И, наконец, = 250 мм.
227
Тогда
pf
VC V
.
V VC
VC V
V
VC p f C 1
;
V VC
V
Так как входной зрачок микроскопа бесконечно далек, то VC = 0,
кроме того предмет находится в передней фокальной плоскости
250 n
микроскопа, V = тогда VC.p=f и F
.
f
Это первая формула для видимого увеличения микроскопа.
Пусть рассматриваемый предмет перенесен в точку Fок . Мы его
рассматриваем через один только окуляр, как через лупу, мы знаем
250
f 'ок
Если теперь вернуть предмет в его первоначальное положение, то в
передней фокальной плоскости окуляра возникает его изображение,
увеличенное в Vоб раз. Поэтому = Vоб.ок .
Учитывая, что есть расстояние от его заднего фокуса объектива
pf
до изображения, получим для Vоб формулу = x’, Vоб
'
.
f'
f 'об
A f 'ок 250
250
f 'об
f 'ок
f 'ок f 'об
В оптических системах с большой апертурой, какими являются
объективы микроскопов, необходимым условием хорошего качества
изображения является тщательное соблюдение закона синусов. Поэтому
во всех современных объективах микроскопов достаточно строго
n sin
выполнен закон синусов V
.
n' sin '
Теперь будем иметь Vоб ок
Учитывая, что n’ = 1 и угол ’ - мал, получим V
( < 0 ),
'
A
( A> 0 ),
'
p'
f'
228
Рис. 6.2.1
A f 'ок
'
- выходной диаметр микроскопа
250
f 'ок
Следовательно,
A f 'ок 250
250
Vоб ок
'
f 'ок
'
6.3. Осветительная система микроскопа
Поэтому
Vоб
Непрозрачный объект можно осветить с помощью плоского зеркала
(рис. 6.2.2).
Рис. 6.2.2
229
Свет, прошедший через предмет и объектив микроскопа должен заполнить весь выходной зрачок объектива. Для этого нужно иметь весьма
протяженный источник света S1S1 : таким источником может быть небо
или большая, хорошо рассеивающая поверхность. Для уменьшения источника света пользуются вогнутым зеркалом – размеры источника S2S2
. Оба эти способа освещения могут применяться лишь при работе с объективами, апертура которых невелика.
При больших апертурах микроскопа применяется специальная
осветительная система (рис.103).
Рис. 6.2.3
На рис. 6.2.3: 1– источник света, 2– коллектор, 3- полевая диафрагма осветителя, 4– зеркало, 5– апертурная диафрагма осветителя, 6– конденсор, 7– предмет, 8– объектив, 9– выходной зрачок объектива, 10– полевая диафрагма окуляра, 11– окуляр, 12– глаз.
230
Конденсор предназначен для получения такого большого источника
света, которое смогло бы заполнить световым потоком всю апертуру
микроскопа. Для этого изображение источника света проектируется в
плоскость ирисовой диафрагмы, которая расположена в фокальной
плоскости конденсора.
Источник света и коллектор, образующие осветитель, располагаются как правило, в стороне от микроскопа, поэтому в ход лучей вводится
дополнительное плоское зеркало 4. Источник света полностью заполняет коллектор, который как бы является источником света. Поэтому конденсор проектирует отверстие коллектора в плоскость предмета, или,
вернее, расположенную у коллектора ирисовую диафрагму 3 (полевую
диафрагму).
Рис. 6.2.4
Непрозрачные предметы освещаются с помощью устройства, называемого иллюминатором (рис.6.2.4), которое направляет свет на предмет
через объектив микроскопа 1. Пластинка 2 имеет полупрозрачное покрытие и выполняет роль зеркала при наблюдении, часть пучка из объектива проходит через пластинку к окуляру, а часть отражается пластинкой и в работе не участвует.
6.4. Основы дифракционной теории микроскопа
В микроскопе бывает малым диаметр D0 поля зрения на предмете.
Если предмет, обладающий микроскопической структурой, освещается
проходящим через него светом, что непрозрачные или сильно поглоща-
231
ющие свет детали структуры действуют подобно дифракионной решетки, вызывая, сильную дифракцию проходящих пучков лучей.
Для рассмотрения этого явления Аббе предложил рассматривать
явление дифракции в случае, если предметом для микроскопа служит
обычная дифракционная решетка с периодом e .
Пусть решетка освещается монохроматическим пучком лучей, образующих угол 0 с нормалью к решетке. Пройдя решетку, этот пучок
лучей распадается на серию параллельных пучков лучей (рис. 6.4.1).
Рис. 6.4.1
Из физической оптике известна зависимость:
S
sin 0 sin S
,
ne
где S – номер или порядок дифрагированного пучка.
Прямо прошедший через решетку пучок лучей в спектр не разлогается, остальные разлагаются в спектр, т.к. по формуле углы S завист
от .
Пусть дифракционная решетка помещена перед объективом микроскопа. Проследим ход двух дучей, исходящих из осевой точки A решетки: S и S+1 порядка (рис. 6.4.2):
S
sin 0 sin S
Мы имели
Для S+1 порядка: sin 0 sin S 1
ne
( S 1)
ne
Разность между ними равна
232
n sin S 1 n sin S
1
e
Рис. 6.4.2
В следствии закона синусов, который предполагается выполним в
данном объективе, имеем
n sin S 1 Vоб sin 'S 1
n sin S Vоб sin 'S
Разность между этими выражениями равна
n sin S 1 n sin S Vоб (sin 'S 1 sin 'S )
или
sin 'S ! sin 'S
Vоб e
Рассмотрим физическую сторону явления. Лучи параллельных пучков, идущих вдоль главных лучей ABS и ABS+1 после выхода из объектива соберутся в фокусах F’S и F’S+1 , лежащих на преломленных лучах F’SA’ и F’S+1A’ .
Рис. 6.4.3
233
У апертурной дифрагмы возникает изображение источника света
(рис. 6.4.3). Благодаря дифракции, вызываемой решеткой, получается
целая серия изображений источника света. Все изображения источника
света, имеющего форму круглого диска, разложены в спектры, за исключением изображения B0 нулевого порядка.
Дифракционная картина, возникающая у апертурной диафрагмы,
называется первичным изображением предмета. Оно совершенно не похоже на предмет, не несет в себе информации о предмете, достаточную
для создания похожего изображения. Такое изображение называется
вторичным, возникает в плоскости полевой диафрагмы с центром в точке A’ .
Фокусы F’S и F’S+1 можно рассматривать как когерентные источники света (дифракционные изображения одной точки), освещающие
плоскость полевой диафрагмы. В плоскости A’P’ лучи интерферируют
и здесь возникает периодическая картина – чередование светлых и темных интерференционных полос, которая и воспроизводит с большей или
меньшей точностью периодическую структуру решетки, служащей
предметом.
Пусть в результате интерференции лучей F’SA’ и F’S+1A’ у точки
A’ возникает максимум освещенности, середина светлой интерференционной полосы. Разность хода этих лучей равна
F 'S 1 A' F 'S A'
Выше точки A’ обнаруживается сначала падение освещенности, а
затем ее возрастание, пусть в точке P’ - ближайший соседний максимум. Тогда e’ = A’P’ - есть ширина интерференционной полосы, которую мы можем рассматривать как изображение периода e решетки:
1 F 'S 1 p' F 'S p'
Для того, чтобы в точках A’ и P’ находилось два соседних максимума, необходимо, чтобы
1
Тогда
F 'S 1 p' F 'S p' F 'S 1 A' F 'S A' F 'S 1 p F 'S 1 A'( F 'S p' FS A' )
Из точки P’ опустим перпендикуляр P’M на луч F’S+1A’ . Из треугольника F’S+1P’M
F 'S 1M ' F 'S 1 p' cos
Угол мал, так как e’ мало, а F’S+1 - приблизительно равная оптической длине тубуса – велико. Поэтому cos = 1 и F’S+1M= F’S+1P
234
Из треугольника MP’A' : MA'=e.sin'S+1
Тогда
F 'S 1P' F 'S 1 M MA' F 'S 1 P'e' sin 'S 1
F 'S 1P' F 'S 1 A' e' sin 'S 1
Аналогично получается выражение
F 'S P' F 'S A' e' sin 'S
Из приведенного ранее выражения
sin 'S 1 sin 'S
e' sin 'S 1 e' sin 'S ;
Мы имеем
sin 'S 1 sin 'S
Тогда
V0 e'
e
;
и
e'
(***)
y '0 e
e' V0 e
Полученная формула совпадает с формулой геометрической оптики. Однако, формула эта может быть нарушена. Пусть в плоскости апертурной диафрагмы перекрыты все нечетные спектры при помощи диафрагмы.
Тогда вместо формулы (*) будем иметь
n sin 'S 1 n sin 'S 2
e
И вместо (**) получим
sin 'S 1 sin 'S 2
Vоб e
Что касается формулы (***), то она не изменяется:
sin 'S 1 sin 'S
e'
Отсюда получаем:
1
e' Vоб e
n
Таким образом, перекрыв спектры первичного изображения через
один, мы получаем удвоенную частоту структуры изображения. Вообще
говоря, при экранировании некоторых спектров первичного изображения, во вторичном изображении. Вообще говоря, при экранировании некоторых спектров первичного изображения могут возникать так называемые “духи”, т.е. такие структурные детали, которые не соответствуют
никакая реальность в строении предмета.
235
6.5. Разрешающая способность микроскопа
В основной формуле решетки
S
sin 0 sin S
ne
период e входит в знаменатель, следовательно, чем меньше период
e , тем больше угол S и тем более широким веером расходятся дифрагированные пучки лучей. Но апертурная диафрагма ограничена в размерах, поэтому, чем меньше период e , тем меньше число спектров разных
порядков уместится в отверстии апертурной диафрагмы. При малом e
наступает момент, когда в отверстии апертурной диафрагмы помещается
один спектр. При наличии только одного спектра интерференция не
произойдет, и полевая диафрагма будет освещена равномерно. Это значит, что данный период e решетки лежит ниже предела разрешающей
способности микроскопа. При определении разрешающей способности
следует различать прямое и косое освещение. При прямом освещении
изображение источника света нулевого порядка (не разложенное в
спектр) возникает у центра апертурной диафрагмы (рис. 6.5.1). Когда
решетка с периодом e находится на пределе разрешения, у краев диафрагмы еще находится половины спектров первого и минус первого порядков. При этом -1 должен быть равен апертурному углу микроскопа:
Рис. 6.5.1
-1 = ;
S = -1 ;
sin S sin
0 = 0 .
ne
Откуда определяется e : e
n sin
A
236
При косом освещении решетка освещается пучком параллельных
лучей, угол наклона пучка 0 равен апертурному углу микроскопа. В
отверстии апертурной диафрагмы у нижнего края получается изображение источника света нулевого порядка (рис. 6.5.2). В этом случае 0 =
; S = 1; 1 = -
Рис. 6.5.2
Тогда: sin 0 sin S sin sin 2 sin
иe
ne
.
2 A
Таким образом, при замене прямого освещения косым, разрешающая способность микроскопа повышается вдвое.
Однако, в реальных условиях в микроскопе обычно осуществляется
всестороннее освещение, при котором предмет освещается множеством
параллельных лучей, проходящих под всевозможными углами к оси в
пределах апертуры микроскопа. Этот случай был исследован акад. Рождественским, который получил формулу
e
A A0
где A0 - численная апертура конденсора.
Микроскоп должен обладать достаточно большим видимым увеличением, чтобы изображение малого элемента структуры было видно
наблюдателю под углом зрения, соответствующим предельному углу
разрешающей способности глаза. Такое увеличение микроскопа
называется полезным увеличением. Действительно, дальнейшее повышение увеличения будет бесполезным, так как оно не позволит обнаружить мелкие структурные детали предмета, ибо они меньше предельной
величины e .
237
Мы имели: e Vоб e
Глаз рассматривает изображение e’ под углом ’ через окуляр с
f’ок e’ = ’.f’ок
e'
'
т.е.
f 'ок
Окуляр, в нашем случае, есть лупа, для которой мы имели формулу
250
f 'ок
Тогда,
e'
V
'
ок ;
' об ок e
Vок e e' ;
250
250
.
Произведение Vоб ок видимое увеличение микроскопа
e'
250 '
'
ок ;
250
e
Диаметр выходного зрачка микроскопа часто бывает значительно
меньше наименьшего диаметра зрачка глаза, что приводит к понижению
его разрешающей способности, а следовательно, к увеличению угла ’ .
Практически целесообразно принять ’ = 3’ = 0.001 рад.
0.25
Тогда
( e в мм )
e
250
Или
( e в мкм )
e
В следствии этого можно утверждать, что полезным является такое
увеличение, при котором предмет, находящийся на пределе разрешения,
увеличивается до 250 мкм, при этом величина изображения 250 мкм
должна измеряться в плоскости, отстоящей от глаза на 250 мм.
Разрешающая способность микроскопа
l
2 A
Подставляя это выражение в формулу для , получим
500 A
( в мкм )
При = 0.5 мкм, получим известное правило Аббе:
1000 A
Практически увеличение микроскопа следует выбирать в пределах от -500 A до -1000 A .
238
6.6. Фазовый контраст
Устройство для фазового контраста повышает контраст для предметов в мало выделяющихся на окружающем их фоне (рис. 6.6.1).
Рис. 6.6.1
Для наблюдения слабоконтрастных микроскопических включений,
отличающихся от окружающей среды главным образом показателем
преломления, применяются устройство фазового контраста, при котором
в передней фокальной плоскости конденсора 2 помещается колцеобразная диафрагма 1 . В задней фокальной плоскости объектива 4 находится фазовая пластинка 5 с кольцевым выступом. Диафрагма 1 делается таких размеров, чтобы ее изображение, возникающее, в плоскости
пластинки 5 после прохождения света через конденсор 2 , предмет на
предметном столике 3 и объектив 4 микроскопа, полностью покрывало фазовое кольцо пластинки 5 . Таким образом, луч света, не отклоненный диафрагмой от микро- структуры предмета и передающее изображение фона, полностью проходит через фазовое кольцо пластинки 5.
Лучи же, рассеянные в пределах широкого конуса благодаря дифракции
на микроструктуре предмета, проходят мимо фазового кольца. Высота
уступа фазового кольца выбирается так, чтобы кольцо удлиняло путь
недифрагированных лучей на четверть длины волны света. Поэтому
фаза этих лучей меняется на 1/2 и малоконтрастные включения в
следствии этого дают с фоном контрастную интерференцию.
Для того, чтобы в результате интерференции получилось контрастное изображение, необходимо, чтобы интерферирующие пучки несли
равное количество энергии, в то время как дифрагированные пучки значительно слабее неотклоненных. Для выравнивания их интенсивностей
необходимо либо покрыть фазовое кольцо пластинки 5 полупрозрачным слоем, отражающим 85-95% света, либо при вакуумном напылении
кольца применять вещества, сильно поглощающие свет.
239
6.7. Производство современных микроскопов
Микроскоп - оптический прибор для получения сильно увеличенных изображений объектов (или деталей их структуры), невидимых невооружённым глазом. Человеческий глаз представляет собой естественную оптическую систему, характеризующуюся определённым разрешением, т. е. наименьшим расстоянием между элементами наблюдаемого
объекта (воспринимаемыми как точки или линии), при котором они ещё
могут быть отличены один от другого. Для нормального глаза при удалении от объекта на т. н. расстояние наилучшего видения (D = 250 мм)
минимальное разрешение составляет примерно 0,08 мм (а у многих людей - около 0,20 мм). Размеры микроорганизмов, большинства растительных и животных клеток, мелких кристаллов, деталей микроструктуры металлов и сплавов и т. п. значительно меньше этой величины. Для
наблюдения и изучения подобных объектов и предназначены микроскопы различных типов. С помощью микроскопов определяют форму,
размеры, строение и многие другие характеристики микрообъектов.
Микроскоп даёт возможность различать структуры с расстоянием между элементами до 0,20 мкм.
6.7.1. Световые
Прямые лабораторные и исследовательские микроскопы отраженного света
Микроскопы серии DM LM
Универсальные лабораторные и исследовательские микроскопы серии DM LM, предназначены для:
исследований непрозрачных объектов в отраженном свете;
исследований прозрачных объектов в проходящем свете;
комбинированных исследований.
240
Микроскопам этой серии присуще модульная конструкция, рассчитанная на индивидуальные требования потребителей. А также установка:
микрофотометра;
микротвердомера;
автоматической микрофотосистемы;
зеркальных фотокамер;
люминесцентных модулей;
нагревательных столиков: 40oC, 350oC, 1350oC, 1750oC;
бино/эрготубусов (0-35o);
тринокулярных тубусов (vis. 100%, фото/теле 100% и 50%.), в том
числе с двумя фото/видео выходами для цифровой или аналоговой видеокамеры.
На данной серии микроскопов, в зависимости от задачи, можно использовать методы:
светлого поля,
темного поля,
поляризации,
фазового контраста,
интерференционного контраста,
интерферометрии,
флуоресценции.
Револьверное устройство расчитано на 5-6 объективов.
Возможно использовать: галогенновые, ртутные, ксеноновые лампы
или комбинированное освещение. Обеспечивается оптимальная стабильность и грузоподъемность стола.
Микроскопы оснащены специальной "бесконечной" оптикой и принадлежностями, обеспечивающими сверхвысокое разрешение. Общее
увеличение в пределах: от 16х до1500х. Применяются окуляры: 10x;
12,5х; 16х; 25х. Объективы: achromat, plan- achromat, plan- semiapochromat, immersion 1,6x - 250x. Блоки фильтров: 2, 3, 4, 8 - позиционные. Компенсаторы: l/ 4, l, Q. Стандартный анализатор, два поляризатора. Пять различных вариантов конденсоров (специальные, стандартные,
универсальные, 3-5-ти позиционные).
Вращаемый предметный столик:
диаметр - 165 мм,
поворот - 360o(1/10o, 1/45o),
объектодержатель - 25х75 и 50х50 мм,
перемещение - 30х40 мм,
точность - 0,1 мм.
241
Leica DM R
Серия DM R представляет материаловедческие микроскопы, нe
имеющие мировых аналогов, с уникальными оптическими характеристиками и очень широкими возможностями, предназначенные для лабораторных и научных исследований. Модульная конструкция микроскопов позволяет выполнять индивидуальные требования пользователей:
исследования непрозрачных объектов в отраженном свете;
прозрачных объектов в проходящем свете;
комбинированные исследования.
Возможна установка:
микрофотометра;
микротвердомера;
автоматической микрофотосистемы;
зеркальных фотокамер;
видеокамеры;
люминесцентных модулей;
нагревательных столиков: 40oC, 350oC,1350oC, 1750oC;
бино-, тринокулярных тубусов (vis.l00%, фото/теле 100% и 50%.), в
том числе и для двух фотовыходов.
На данной серии микроскопов, в зависимости от задачи, можно использовать методы:
светлого поля;
темного поля;
поляризации;
фазового контраста;
242
интерференционного контраста;
флуоресценции.
Револьверное устройство расчитано на 6-7 объективов.
Предлагается: механическая, полуавто- и электронная системы фокусировки. Моторизованное управление: фокусировка, конденсорная
турель, смена объективов и фильтров, смена фильтр-блоков для флуоресценции.
Возможно использовать: галогенное, ртутное, ксеноновое или комбинированное освещение. Обеспечивается оптимальная стабильность и
грузоподъемность стола.
Общее увеличение: от 10x до 2500х. Окуляры: 10x/20; 10x/25;
12,5x/16; 16x/14. Объективы: achromat, plan-achromat, plan- semiapochromat, immersion 1,6x - 250x. Блоки фильтров: 2, 3, 4, 8 - позиционные. Компенсаторы: l/ 4, l, Q. Стандартный анализатор, два поляризатора. Семь различных вариантов конденсоров (специальные, стандартные,
универсальные, 3-5-ти позиционные).
Вращаемый предметный столик:
диаметр - 165 мм,
поворот - 360o(1/45o),
объектодержатель - 25х75 и 50х50 мм,
перемещение - 30х40 мм,
точность - 0,1 мм.
Также возможна установка моторизированного столика.
Leica DM RE
Leica DM RE - это универсальный исследовательский моторизированный материаловедческий микроскоп, предназначенный для исследо-
243
ваний в падающем и проходящем свете. Он является идеальным выбором для обычной металлургии и других индустриальных применений,
для всех видов контроля качества и испытаний, где микроскопические
экспертизы проводятся в падающем свете.
Благодаря модульной конструкции, Leica DM RE может быть оборудован для индивидуальных требований пользователей. Теперь вы можете собрать ваш собственный персональный микроскоп, идеально подходящий для вашей работы. Помимо прочих удобств он позволяет использовать автофокусировку и компьютерное управление.
Кроме того, существует возможность:
индивидуально выбрать тубус;
модернизировать микроскоп для видеонаблюдения или для автоматической фотомикрографии.
Все принадлежности для Leica DM RE легко взаимозаменяемы.
Микроскоп оборудован:
револьверным устройством для 6-ти объективов светлого поля или
7-ми объективов темного поля;
взаимозаменяемыми отражателями для коаксиального падающего
света и флуоресценции;
функциональными модулями для всех контрастных методов падающего света;
заменяемым моторизованным / механическим предметным столиком;
взаимозаменяемыми тубусами;
встроенным блоком электропитанием для осветителя (12V 100W);
электронной грубой и тонкой настройкой револьверного устройства.
Leica DM LP и LSP
244
Leica DM LP и DM LSP - универсальные, современные поляризационные микроскопы, которые одинаково подходят как для простых стандартных экспертиз, так и для научных исследований. Они имеют много
особенностей, которые позволят сделать вашу ежедневную работу более
удобной. Ключевые характеристики работы этих микроскопов: поляризации, универсальный прикладной потенциал, стабильность, эргономика
и оптика.
Leica DM LP и Leica DM LSP представляют собой синтез современных технологий и практических идей:
Модульная конструкция. Индивидуальный выбор конфигурации,
для решений определенных задач. Вы покупаете только то, в чем Вы
действительно нуждаетесь. Все модули легко заменяемые.
Встроенное электропитание, с лампами 30W или 100W.
Автоматическая адаптация напряжения и стабилизации (90-250V).
Регулируемая установка высоты столика, установка больших рабочих расстояний (до 50 мм) для размещения больших объектов.
2-х или 3-х ступенчатая фокусировка.
Предметный столик с твердым керамическим покрытием.
HC "бесконечная" оптика.Три класса объективов: более чем 20 Pol
объективов и более чем 90 других специальных объективов. Также
предлагается выбор полей зрения окуляра: 20, 22 и 25 мм.
Широкий выбор дополнительных принадлежностей.
Методы работы микроскопов:
Проходящий свет
Oртоскопия
Коноскопия
л- и л/4 компенсатор
Темное поле
Фазовый контраст
Интерференционный контраст
Падающий свет
Флуоресценция
Поляризация
Интерференционный контраст
DM LP
x
x
x
x
x
x
DM LP
x
x
x
DM
x
x
x
x
x
DM
x
Вращающийся столик имеет большой диаметр - 176 мм. Также он
оборудован шкалой на 360o и ценой деления 1/10o для точных угловых
измерений, возможна установка фиксаторов каждые 45o. Объекты исследования могут быть закреплены двумя зажимами или легким металлическим объектодержателем.
245
Важным моментом при использовании микроскопов в учебных курсах является то, что лампу чрезвычайно легко заменить. И после замены
она не нуждается ни в каком регулировании. Микроскоп просто наклоняется назад, открывается откидная створка и лампа заменяется на новую.
Leica DM LP – современный поляризационный микроскоп, при работе с которым, кроме поляризационных методов в проходящем и падающем свете, могут применяться и обычные микроскопические методы.
Широкое разнообразие возможных конфигураций, основанных на
модульной конструкции микроскопа, делает Leica DM LP универсальным микроскопом:
Эргономический проект: все самые важные средства управления
сосредоточены у Вас под рукой.
Антивибрационная тройная опора. 2-х (грубая – тонкая) или 3-х
(грубая – средняя – тонкая) ступенчатая фокусировка. Регулируемая
установка высоты столика.
Вращаемый столик (360o, диаметр 176 мм, цена деления 0.1o, фиксаторы каждые 45o).
Патентованный тепловой стабилизатор столика.
Галогенный осветитель (12V, 30W), с трансформатором
(100/115/230V; 50/60 Hz). Быстрая и легкая замена лампы, не нуждающаяся в регулировании.
Встроенная полевая диафрагма в штативе микроскопа для освещения по Келлеру.
Механизм для быстрого переключения проходящего/падающего
освещения (одновременный TL/IL возможен с дополнительным трансформатором).
Выбор штатива и для падающего и проходящего света или только
для падающего.
Револьверное устройство для 5 центрируемых объективов (M25).
Leica DM LSP – стандартный поляризационный микроскоп, предназначенный специально для работы и обучения в проходящем свете, поляризации. При разработке этого микроскопа особое внимание уделялось таким параметрам как долговечность, эргономика и качества выполнения работы. DM LSP удобен в применении для различных экспертиз и другой рутинной работы, с прозрачными объектами, с порошковыми смесями, с фольгой, со сложными биологическими веществами, а
также других с другими материалов.
Этой модели присуще:
Антивибрационная тройная опора.
246
Встроенная полевая диафрагма в штативе микроскопа для освещения по Келлеру.
Вращаемый Ро1 столик (поворот на 360o, диаметр 176 мм, цена деления 0.1o).
Грубое / тонкое фокусирование со шкалой (3 мм).
Встроенный галогенновый осветитель (12V, 30W), с трансформатором (100/115/230V; 50/60 Hz). Быстрая и легкая замена лампы, не нуждающаяся в регулировании.
Револьверное устройство для 4-х индивидуально центрируемых
объективов (M25).
Leica DM RXP
Исследовательский поляризационный микроскоп с уникальными
оптическими характеристиками и очень широкими возможностями.
Благодаря своей модульной конструкции, RXP может быть индивидуально оборудован. Теперь вы можете собрать ваш собственный персональный микроскоп, идеально подходящий для вашей работы. Одно
из преимуществ этого микроскопа является то, что Вы сначала можете
заказать основную конфигурацию микроскопа и после, по мере увеличения потребности, добавлять модули. Например, микроскоп, который
предназначен только для наблюдения, может быть модернизирован до
микроскопа для количественных поляризационно-оптических измерений, микроскоп для фазового контраста или флуоресценции до видео
и/или фотомикроскопа. Все аксессуары микроскопов легко заменяемые.
Микроскопу присуще:
выбор из 3-х различных ламповых домиков с 7-ю различными типами ламп (осветители 100 Вт);
освещение по Келлеру;
тубусная оптика (1х/1,25х);
247
линза Бертрана;
тринокулярный тубус;
револьверное устройство, для 6-ти индивидуально центрируемых
объективов;
более 90 объективов, включая 18 специальных для поляризации.
вращающийся столик (360o) диаметром 176 мм с ценой деления 0.1o
и фиксаторами (на каждые 45o).
В применении для ортоскопии и коноскопии в проходящем свете:
светлое поле; тринокулярный тубус, объективы РL FLUOTAR Р 5х, 10х,
20х, 40х; окуляры 10х/25М.
Leica MEF 4A и 4M
Серия MEF4 представляет собой инвертированныe исследовательские поляризационныe микроскопы, нe имеющие мировых аналогов, с
уникальными оптическими характеристиками.
Микроскопам этой серии присуще модульная конструкция, которая
рассчитанна на индивидуальные требования потребителей. Микроскопы
предназначены для исследований непрозрачных объектов в отраженном
свете.
Возможна установка:
микрофотометра;
микротвердомера;
автоматической микрофотосистемы;
встроенной камеры большого формата;
35-ти мм камеры;
люминесцентных модулей;
модулей разогрева образца до: 40oC, 350oC, 1350oC, 1750oC;
ротоскопа;
бино-, тринокулярных тубусов (vis.100%, фото/ теле 100% и
90%/10%).
248
На данной серии микроскопов, в зависимости от задачи, можно использовать методы:
светлого поля,
темного поля,
поляризации,
фазового контраста,
интерференционного контраста,
флуоресценции.
Револьверное устройство рассчитано на - 6 объективов.
Модель MEF4A в отличии от MEF4М является автоматической.
Поэтому, для этого микроскопа предлагается полуавто- и электронная
системы фокусировки. Для микроскопа MEF4М предлагается механическая фокусировка.
На микроскопах возможно использовать: галогенное, ртутное, ксеноновое или комбинированное освещение.
Общее увеличение: от 8,0х до2500х.
Окуляры: 8x; 10x; 12,5x; 18,75x.
Объективы: асhгоmat, plan-achromat, plan- semi-apochromat, universal, immersion 1,0x - 150x. Блоки фильтров: 2, 3, 4, 8 - позиционные.
Компенсаторы: l/ 4, l, Q. Стандартный анализатор, два поляризатора. Семь различных вариантов конденсоров (специальные, стандартные,
универсальные, 3-5-ти позиционные).
Вращаемый предметный столик, обеспечивающий оптимальную
стабильность и грузоподъемность:
диаметр - 280 мм,
поворот - 180o,
коаксиальный контроль,
профильный держатель,
перемещение - 40х40 мм,
точность - 0,1 мм.
249
Leica DM ILM
Leica DM ILM – новый инвертированный микроскоп, специально
предназначенный для металлографии и дефектоскопии, а также для обучения металлографии в падающем свете светлом поле.
Высокоточная оптика от фирмы Leica с максимальным разрешением и контрастом. Новая серия объективов HC - является улучшением серии известной Delta "бесконечной" оптики. Бесконечная оптика Leica является практическим преимуществом этого микроскопа.
Штатив для материаловедения в падающем свете. Штатив сделан из
высокопрочного алюминия с защитным покрытием. Т-образный профиль микроскопа обеспечивает высокую устойчивость и значительно
экономит место. Антивибрационная база микроскопа гарантирует
устойчивое изображение, даже при больших увеличениях и при работе с
большими образцами.
Встроенный блок электропитания 6V, 35W. Встроенный блок электропитания - является эргономической особенностью, которая позволяет
экономить много места на рабочем столе. Микроскоп не нуждается в
дополнительных кабелях и может легко быть перемещен в другое место.
Система падающего света с новым принципом освещения. Новая
система освещения гарантирует:
максимальную интенсивность света;
однородность освещения поля зрения.
Полевая и апертурная диафрагмы позволяет устанавливать освещение по принципу Келлера. Центрируемая апертурная диафрагма.
Механический 3-х уровневый предметный столик.
Грузоподъемность - до 8 кг.
Широкий диапазон перемещения образца позволяет увеличить эффективность работы.
Большая поверхность – 247х230 мм.
250
Рычаг для вращения образца, диапазон перемещений – 60х40 мм.
DM ILM имеет широкий выбор тубусов для анализа изображения,
включая тубусы с переменным углом наклона от 0o до 35o.
Все тубусы оборудованы бесконечной тубусной линзой (1х).
Микроскоп может быть оборудован следующими тубусами:
Бинокулярный тубус HC ILB. С углом наклона - 45o, для окуляров с
внешним диаметром - 23.2 мм.
Тринокулярный тубус HC ILT. С углом наклона - 45o, для окуляров
с внешним диаметром - 23.2 мм (с вертикальным фото/теле выходом; с
переключаемым светоделителем 100 % vis/100% фото/теле).
А также:
Бинокулярный тубус HC LB.
Тринокулярный тубус HC LVB. С переменным углом наклона - 0o35o.
Тринокулярный тубус HC L1 Т. Светоделитель – 50% vis/50% фото/теле.
Тринокулярный тубус HC L3 Т. Светоделитель - 100 % vis/100%
фото/теле и 50%/50%.
Тринокулярный тубус HC LV1Т. С переменным углом наклона - 0o35o и световой дорожкой - 50% vis/50% фото/теле
МИКРОСКОПЫ ЛОМО
METAM PB
Микроскопы металлографические агрегатные единой серии МЕТАМ с верхним расположением столика - рабочие ЕС МЕТАМ РВ-21,
ЕС МЕТАМ РВ-22, студенческий ЕС МЕТАМ РВ-23 предназначаются
для визуального наблюдения микроструктуры металлов, сплавов и других непрозрачных объектов в отраженном свете при прямом освещении
в светлом и темном поле, а также для исследования объектов в поляризованном свете и методом дифференциально-интерференционного контраста (ДИК).
Микроскопы ЕС МЕТАМ РВ базируются на одном унифицированном штативе и различаются комплектацией агрегатных узлов: набором
объективов, окуляров и других принадлежностей.
Различные варианты комплектации обеспечивают потребителю
возможность выбора микроскопа в зависимости от специфики работы.
Увеличение микроскопа:
500 - 1000
50 - 507
251
Увеличение окуляров:
6.3x; 10x; 12.5x; 16x; 20x
6.3x; 10x; 12.5x; 16x
Объективы на револьвере:
F=25 mm - A=0.17
F=16 mm - A=0.30
F=6.3 mm - A=0.60
F=4.0 mm - A=0.85
на салазках:
F=25 mm - A=0.17
F=6.3 mm - A=0.60
Объективы с модулем ДИК:
F=25 mm - A=0.17
F=16 mm - A=0.30
F=6.3 mm - A=0.60
Диапазон перемещения предметного столика:
75 x 50
Возможность фотографирования:
Фотонасадка 24x36 mm (в комплект не входит)
Масса, кг:
8.0
7.0
6.5
Габаритные размеры, мм:
310x280x270
Источник света - лампа PH8-20-1.
МИМ-10
Микроскоп МИМ-10 с верхним расположением предметного столика предназначен для визуального наблюдения и фотографирования микроструктуры металлов, а также для количественного анализа фазового и
структурного объемного состава сплавов с помощью полуавтоматического интеграционного устройства.
Исследования проводятся:
в светлом поле при косом и прямом освещении;
в темном поле;
в поляризованном свете;
методом фазового контраста;
методом интерференции.
252
МИМ-10 применяется в металлографических лабораториях НИИ и
заводов, в металлургической, микроэлектронной, машиностроительной
промышленности и других областях науки и техники.
В микроскопе применен сканирующий столик с ручным и полуавтоматическим режимами работы. В полуавтоматическом используется
точечный, линейный и гранулометрический режимы исследования объектов.
Комплект оптики микроскопа обеспечивает стандартные увеличения при визуальном наблюдении, фотографировании и рассматривании
объектов на экране.
Фотографирование объекта осуществляется фотокамерой на пленку
с размером кадра 24х36 мм или на пластину размером 9х12 и 13х18 см с
помощью
экспонометрического
устройства.
Увеличение микроскопа: 10-2000.
Объективы: 50х0, 25х0,25 ЭПИ; 16х0,30 ЭПИ; 10х0,50; 6,3х0,65
ЭПИ; 4,0х0,85; 2,5х1,25 МИ.
Диапазон перемещения предметного столика, мм: 15х15; 50х50.
Скорость перемещения сканирующего столика, мкм/с: 1,5-400.
Минимальный шаг сканирования, мкм: 1.
Предельные размеры регистрируемых компонентов, мм: 0,001-4.
Габаритные размеры, мм: 1780х780х1250.
Масса микроскопа, кг: 250.
Источники света: лампа накаливания КГМ9-70, лампа дуговая осветительная ДКСШ-150.
METAM ЛB
Область применения: металлографические лаборатории НИИ и
предприятий металлургии и машиностроения.
МЕТАМ ЛВ - новый компактный лабораторный микроскоп с широкопольной планоптикой высокого разрешения, предназначенный для исследования микроструктуры металлов, сплавов и других непрозрачных
объектов в отраженном свете в светлом поле при прямом и косом освещении, в темном поле, а также по методу дифференциальноинтерференционного контраста.
Большой набор сеток позволяет производить количественный анализ, обеспечивается возможность наблюдения на экране, фотографирование и вывод на ТВ.
Увеличение микроскопа: при визуальном наблюдении 50-1500, при
наблюдении на демонстрационном экране и фотографировании на ли-
253
стовую фото пленку размером 9х12 см 50-1000, при фотографировании
на рулонную фотопленку с размерами кадра 24х36 мм 25-500.
Размер демонстрационного экрана, см: 9х12.
Объективы: ШП-ОПХ-5БЭ-О, ШП-ОПХ-10БЭ-О, ШП-ОПХ-20БЭО, ШП-ОПХ-50БЭ-О, ШП-ОПХ-100БЭ-О.
Окуляры: АШ-10/18Ц со втулкой, АШ-10/18ШЦ со втулкой 15х ортоскопический со втулкой.
Диапазон перемещения предметного столика, мм: в продольном
направлении 0-40, в поперечном направлении 100-130.
Цена деления шкал, мм: предметного столика 1,0; нониуса 0,1; механизма микрометрической фокусировки 0,002.
Габаритные размеры, мм: 510х370х470.
Масса микроскопа, кг: 24.
Источник питания - сеть переменного тока напряжением 220 В, частотой 50 Гц.
ЭЛЕКТРОННЫЕ
TESLA
BS 343A
Мобильный сканирующий электронный микроскоп.
BS 343A - мобильный сканирующий электронный микроскоп, выполняющий как стандартные функции, так и ряд специфических, связанных с необходимостью исследования поверхностей крупных объектов. Этот сканирующий электронный микроскоп может также использоваться для контроля качества в промышленности, в учебных учреждениях и даже как регистратор электронного пучка.
BS 343A состоит из миниатюрной электронно-оптической колонны
и простой и надежной электроники. На конце колонны имеется открытый конический кожух.
Микроскоп может быть извлечен при помощи различных вакуумных насосов, например BS 343.6 (высоковакуумное устройство с диффузным насосом) или любые подходящие для этого турбомолекулярные
насосы. Преимуществами турбомолекулярных насосов является простое
обслуживание, высокое быстродействие, чистота поучаемого вакуума, а
также тот факт, что они работают в любом положении.
Функция телесканирования – одна из основных рабочих функций
моделирования, выполнение которого предусматривает подключение к
254
аппарату дополнительного телевизионного устройства или видеокамеры.
При телевизионной скорости сканирования и рабочем расстоянием
8 мм разрешающая способность составляет 16 нм.
Ускоряющее напряжение: 10,15,20 кв.
Поле зрения - 30 мм: 7x7 мм.
Диапазон увеличения: от 10 до 67000.
Ток зонда: 5 рА к 10 m.
Оптическая система:
регулирование луча двумя стадиями;
электромагнитное гашение луча;
сдвоенный стигматор линзы конденсора;
сканирующая система с двухступенчатой объективной линзой;
динамическая фокусировка.
Смещение электронного изображения: 4x4 мм.
Фланец бленды с фиксатором образца: 16x16 мм.
Втяжной фланец: вращение 360o, 16x16 мм.
Цилиндрическая миникамера с манипулятором: 40x40 мм.
Скорость протечки: < 2.10-4 Pa 1/s.
Рабочее расстояние: от 8 до 50 мм.
Дополнительные опции:
BP 343.2 - миникамера с манипулятором;
BP 343.3 - фотоадаптер (35 мм);
BP 343.6 - высоко-выкуумное насосное устройство с диффузным
насосом;
BP 343.8 - амортизатор вибрации, позволяющий крепление турбомолекулярного насоса;
BP 343.9 - стол для колонки.
Электропитание: 220 V / 50 Hz (120 V), отдельная фаза, 1,5 kVA вакуумная насосная система включительно.
Рабочая среда: Температура рабочего места 10o - 40oС, Влажность
<60%.
Допустимый переменный ток магнитного поля: 3.10-7 T.
Допустимая вибрация: < 1 mm (5 Hz).
255
ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
7.1. Телескопические системы
Телескопические системы, или зрительные трубы, это наиболее
распространенная группа оптических приборов, используемая для самых
разнообразных целей и выполняющих роль как самостоятельных приборов, так и составных частей более сложных оптических устройств.
Принцип действия телескопических систем вытекает из двух требований, предъявляемых к ним в процессе эксплуатации.
а). Телескопическая система предназначена для наблюдения далеких предметов, диаметр входного зрачка мал по сравнению с расстоянием до наблюдаемого предмета, поэтому допустимо считать переднюю
апертуру системы равной нулю и предполагать, что в ее входной зрачок
входят параллельные пучки света.
б). Телескопическая система является визуальным прибором. Если
глаз человека эмметропический и его дальняя точка лежит на бесконечности, то для устранения утомления глаза напряжением аккомодации
необходимо, чтобы изображение располагалось также на бесконечности.
А это значит, что окуляр прибора должен покидать параллельный пучок
лучей и, следовательно, задняя апертура системы также должна быть
равной нулю.
Рис. 7.1.1
Вот из этих условий и строится оптическая схема телескопической
системы. На рис. 7.1.1 показана принципиальная схема простейшей телескопической системы, составленной из двух компонентов: объектива,
главные плоскости H1 и H’1 и окуляра – главные плоскости H1 и H’1.
Как известно, для того чтобы луч выходил из системы параллельно
оптической оси необходимо его прохождение через передний фокус
окуляра. Луч же, попадающий в оптическую систему параллельно оси,
проходит через задний фокус объектива. Отсюда вытекает, что в теле-
256
скопической системе задний фокус объектива и передний фокус окуляра
должны быть совмещены.
Если мы будем перемещать предмет вдоль оптической оси, то в
следствии рассмотренного хода лучей изображение l’ не изменит своей
величины, то есть для телескопической системы линейное увеличение,
равное, как видно из рисунка, отношению фокусных расстояний компонентов, остается постоянным
y'
f'
V 2 const .
y
f '1
А отсюда вытекает, что линейное увеличение в зрачках также
является постоянной величиной.
VC V const .
Как было показано, связь между линейным и угловым
увеличениями всякой оптической системы выражается формулой
f
n
V W
f ' n'
Следовательно, угловое увеличение телескопической системы
также постоянно и равно
n
W
const
n'V
При n = n’
1
f'
W 1
V
f '2
Для продольного увеличения была получена формула
n'
Q V 2
n
Для телескопической системы, при n = n’ будем иметь
Q V 2 const
Видимое увеличение
n p' x
n' p x'VC
Для телескопической системы можно считать, что p =x (в следствии
большого расстояния объекта наблюдения от зрительной трубы можно
принять его равным расстоянию от объекта наблюдения до наблюдателя) и p’ = x’ (зрачок глаза совпадает с выходным зрачком), отсюда
n
n
W const
n'VC n'V
257
при n = n’
1
1
V const ;
W const ; Q const
Из рис.111 также можно видеть, что абсолютная величина линейного увеличения VC равная линейному увеличению в любых точках, равна
отношению диаметров выходного зрачка D’ и входного зрачка D.
1 D'
D'
VC V
V
D
D
7.2. Зрительная труба Галилея
Зрительная труба Галилея, называемая еще голланской, была построена впервые в 1609 г. С помощью этой трубы Галилей в короткий
срок сделал ряд астрономических открытий.
Характерной особенностью трубы Галилея является то, что ее первый компонент, объектив, положительный, а второй компонент окуляр,
отрицательный (рис. 7.2.1). При этом, задний фокус объектива совмещен
с передним фокусом окуляра.
Рис. 7.2.1
Труба Галилея имеет два достоинства, которые определяют ее
использование в современных приборах.
1). Зрительная труба Галилея имеет очень небольшую длину, действительно, расстояние между объективом I и окуляром II, определяемое как сумма задних фокусных расстояний этих компонентов, оказывается меньше фокусного расстояния объектива:
258
d f '1 f '2
Так как f’2<0 то d определяется как разность абсолютных величин f’2 и f’1.
Это обстоятельство позволяет использовать трубы Галилея в качестве систем смены увеличения о чем будет сказано ниже.
2). Зрительная труба Галилея дает прямое изображение объекта.
Действительно, так как f’1>0 , а f’2<0 то
f'
1 0,
f '2
т.е. изображение неперевернутое.
Однако, зрительная труба Галилея имеет и ряд существенных
недостатков, в следствии чего они не нашли широкого применения.
1). Луч AD1 исходящий из осевой точки бесконечно далекого
предмета, нигде не пересекает оптическую ось, т.е. нигде не возникает
действительного промежуточного изображения предмета. Отсюда вытекает следующее: во-первых, в приборе нет места, где можно было расположить полевую диафрагму, чтобы полностью устранить виньетирование. Во-вторых, невозможно разместить сетку с маркой, чтобы ее
можно было наблюдать вместе с объектом.
2). Зрительная труба Галилея имеет малое поле зрения. Чтобы понять это, нужно проследить ход лучей и найти положение выходного
люка.
Луч AD1 проходит через край свободного отверстия объектива 1.
Найдем величину и положение изображение этого отверстия объектива.
Построим луч, проходящий через совмещенные главные точки объектива (луч BLE) и продолжим его до пересечения с передней фокальной
плоскостью MF2 окуляра. Чтобы найти ход луча после окуляра через
точку M и точку H (совмещенные главные плоскости окуляра) проводим вспомогательный луч KM.
Пучок лучей, имеющий точку пересечения M, расположенную в
передней фокальной плоскости окуляра, после окуляра должен идти параллельным пучком. Следовательно, луч BLE после окуляра будет параллелен вспомогательному лучу KM.
Точка пересечения L’ продолжения этого луча с оптической осью
дает положение центра изображения объектива 1. Размер этого изображения определяет точка D’, где продолжение луча D2A’ (проходящего
через край объектива 1 ) встретится с плоскостью, проходящей через
точку L1. Т.о. изображение входного отверстия объектива получается
мнимым и расположенным внутри зрительной трубы. Наблюдатель ли-
259
шен возможности совмещать зрачок глаза с изображением входного
объектива, т.к. глаз находится за окуляром, например, в точке C’.
Т.к. в зрительных трубах выходным зрачком является глаз человека
то изображение входного отверстия объектива будет выходным люком и
ограничивается видимое поле зрения: угол =LCD’ представляет собой
половину угла зрения прибора со стороны глаза.
Малый и не поддающийся увеличению угол поля зрения служит
препятствием для применения труб галилеевского типа в современных
оптических приборах.
7.3. Зрительная труба Кеплера
Трубу, известную под названием астрономической, построенную по
иному принципу, предложил в 1611 г. Кеплер. Эта труба состоит из двух
положительных компонентов, дает перевернутое изображение, однако, в
ней имеется возможность поместить в плоскости промежуточного изображения перекрестка, что дало возможность наводить трубу на определенную точку предмета, а следовательно, производить угловые измерения.
Рис. 7.3.2
Оптическая схема трубы Кеплера показана на рис.7.3.1. Луч AD1
параллельный оптической оси в пространстве предметов, после преломления в объективе проходит через задний фокус F’1 объектива и передний фокус окуляра. После выхода из окуляра луч D2A’ снова параллелен оптической оси.
Так как f’1>0 и f’2>0 то
f'
1 0
f '2
260
изображение получается перевернуто. Для того, чтобы изображение
сделать прямым, в зрительную трубу Кеплера вводят специальные
призменные или линзовые оборачивающие системы.
При положительных объективе и окуляре расстояние d между
компонентами трубы Кеплера равно сумме фокусных расстояний компонентов. В следствии этого труба Кеплера, при равных основных параметрах, длиннее трубы Галилея.
Преимуществом трубы Кеплера является то, что в задней фокальной плоскости объектива возникает действительное изображение далекого предмета. В этой плоскости можно поместить полевую диафрагму
(ПД) и полностью устранить затемнение. Здесь же помещается пластинка с перекрестием.
Проведем через центр C0 входного отверстия и через край полевой
диафрагмы луч C0E. Для построения хода этого луча после окуляра II
соединим точки M и K вспомогательным лучом MK. Тогда пучок лучей, исходящий из точки, расположенной в передней фокальной плоскости окуляра, после окуляра будет параллельным, т.е. луч EC0 параллелен лучу MK. В плоскости, проходящей через т. C0 возникает изображение входного отверстия объектива. Здесь можно поместить зрачок
глаза, являющийся выходным зрачком прибора. Поэтому, как бы не был
велик угол ’ , наклонные пучки все-таки попадут в зрачок глаза. В отличии от трубы Галилея, отверстие объектива здесь не служит входным
люком, ограничивающим поле зрения зрительной трубы. Поле зрения
ограничивается здесь полевой диафрагмой ПД.
7.4. Окуляры и объективы зрительных труб
Окуляры являются неотъемлемой частью зрительной трубы, через
него производится рассматривание промежуточного изображения, построенного объективом.
От конструкции окуляра во многом зависит качество изображения,
компенсация аберраций, возникающих в объективе, и удобство пользование самим прибором.
Каждый тип окуляра обладает своими оптическими характеристиками, из которых основными являются: фокусное расстояние, относительное отверстие, поле зрения и вынос выходного зрачка.
Фокусное расстояние окуляра определяет его видимое увеличение.
Мы уже имели
250
f 'ок
261
Для фокусных расстояний окуляра установлен нормальный ряд
значений: 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 50 мм.
Относительное отверстие окуляра определяет освещенность изображения.
Окулярное поле зрение определяет поле зрения всей системы, т.к.
приближенно можно считать, что
2 p'
2
.
где 2 ’ - угловое поле зрения окуляра,
2.p’ - угловое поле зрение трубы.
Вынос выходного зрачка важен потому, что глаз человека совмещается с выходным зрачком. Если выходной зрачок расположен внутри
окуляра или очень близко к последней поверхности окуляра, то такие
совмещения произвести невозможно. Кроме того, часто зрительные трубы устанавливаются на подвижных, вибрирующих платформах (военные
установки), поэтому глаз человека близко приближать к окуляру нельзя
во избежании травм.
При исправлении аберраций окуляров основное внимание обращают на полевые аберрации: астигматизм, кривизну изображения, кому,
которые при большом поле зрения очень неприятны. В зависимости от
оптических характеристик и степени исправления аберраций сложность
окуляров различна, от простых двух линзовых до много линзовых с
асферической оптикой и включением элементов из кристаллов.
На рис. 7.4.1 показано восемь типов наиболее распространенных
окуляров.
Рис. 7.4.1
262
Рис. 7.4.1 а – окуляр Рамбдена, две плоско- выпуклые линзы. Большинство аберраций не исправляется. Качество изображения не удовлетворительное, сейчас этот окуляр почти не применяется.
Вынос выходного зрачка, S’F = 8 мм.
Рис. 7.4.1 б – окуляр Кольнера. Глазная линза сделана из двух
стекол. Исправлен хроматизм положения, сферическая аберрация.
2.’ = 45O,
S’F = 8 мм.
Рис. 7.4.1 в – окуляр призменного бинокля фирмы “К.Цейсс”
2.’ = 50O,
S’F = 10 мм.
Рис. 7.4.1 г – широкоугольный окуляр Эрфле первого рода
2.’ = 64O,
S’F = 10 мм.
Рис. 7.4.1 д – широкоугольный окуляр Эрфле второго рода
2.’ = 72O,
S’F = 12 мм.
Качество изображение достаточно хорошее по всему полю зрения,
но дисторсия на краю поля зрения достигает 11%.
Рис. 7.4.1 е – широкоугольный окуляр с дополнительной отрицательной линзой для исправления кривизны изображения.
2.’ = 90O,
S’F = 9 мм.
Рис. 7.4.1 ж – симметричный окуляр. Хорошо исправлены астигматиизм и дисторсия, не поддается коррекция кривизны изображения.
2.’ = 48O,
S’F = 17 мм.
Рис. 7.4.1 з –окуляр полевого призменного бинокля “К.Цейсс”,
хорошо исправлена кривизна изображения, самый большой вынос
выходного зрачка
2.’ = 50O,
S’F = 21 мм.
Следует подчеркнуть, что не следует пользоваться во всех случаях
наиболее современными окулярами, если это не вызвано технически
обоснованными условиями, т.к. сложные окуляры очень дорогие.
Объективы зрительных труб обычно работают при небольших
углах поля зрения 2 ; поэтому нет необходимости исправлять полевые
аберрации. Вследствии этого оптические схемы объективов, как правило
очень простые.
Так же для объективов основными оптическими характеристиками
являются: фокусное расстояние, диаметр входного зрачка, относительное отверстие и поле зрения.
263
Рис. 7.4.2
Наиболее распространенными объективом является объектив склеенный их двух линз (рис. 7.4.2 а, б), причем одна из них положительная,
другая – отрицательная. Положительная линза выполняется из кронового стекла, отрицательная из флинтового.
Существует два вида склеенных объективов. Если первой линзой
является положительная линза (рис. 7.4.2 а), то комбинация называется
«крон впереди», если же первой линзой является отрицательная линза
(рис. 7.4.2 б), то комбинация называется «флинт впереди».
При относительном отверстии объектива меньшим чем D:f<1:2 ,
остаточные аберрации настолько малы, что в пределах поля зрения одного- двух градусов изображение получается очень высокого качества.
В сложных зрительных трубах некоторые аберрации могут быть
компенсированы путем введения в других компонентах трубы аберраций, равных по величине, но обратных по знаку. При этом относительное отверстие объектива может быть доведено до 1: 3.
Если фокусное расстояние объектива большое, то линзы могут
иметь также больший диаметр, и при склейке их могут появляться
напряжения снижающее качество изображения. В этом случае линзы
объектива не склеиваются, а собираются в общей оправе с тремя прокладками из станиоля между линзами (рис. 7.4.2 в). Кроме этого не склеенный объектив дает больше возможностей для исправления аберраций,
и, путем изменения расстояний между линзами, компенсировать погрешности его изготовления.
В зрительных трубах геодезических инструментов применяется
трех линзовый объектив (рис. 7.4.2 г), который позволяет существенно
сократить вторичный спектр.
264
7.5. Зрительные трубы с призменными оборачивающими системами
Как уже было указано, зрительная труба положительными компонентами дает перевернутое изображение, что во многих случаях является неприемлемым.
Для того, чтобы сделать его не перевернутым, в оптическую схему
трубы вводят оборачивающие устройства.
В зрительных трубах различают оборачивающие устройства:
а). Призменные или зеркальные, б). линзовые.
Рис. 7.5.1
На рис. 7.5.1 показано устройство стереотрубы типа ножниц. Верхняя часть трубы состоит из защитного стекла 1 и головного зеркала 2,
посылающего пучок лучей в объектив 3. На рис. стрелкой показано расположение изображения. Призменный блок 4, склеенный из двух призм
4 производит совместно с зеркалом 2, оборачивание изображения в двух
плоскостях. Призменный блок и зеркало, в совокупности представляют
собой систему Малофеева второго рода.
Изображение проектируется на сетку 5 и наблюдается через окуляр
6.
265
Рис. 7.5.2
На рис. 7.5.2 приведена схема панорамного зенитного визира, в котором 1- защитное стекло, 2- призма куб, 3- призма Дове, предназначенная для компенсации поворота изображения при врщении зрительной
трубы вокруг вертикальной оси. Объектив 4 строит изображение в
плоскости сетки 6, наблюдаемое через окуляр 7. Оборачивающей системой здесь служит прямоугольная призма 5 с крышей.
7.6. Зрительные трубы с линзовыми оборачивающими системами
Применение оборачивающих систем позволяет строить зрительную
трубу заданной длины и, «наоборот», в коротких зрительных трубах использование линзовых оборачивающих систем практически невозможно.
Линзовые оборачивающие системы могут менять знак и численную величину видимого увеличения зрительной трубы.
266
Рис. 7.6.1
На рис. 7.6.1 показан ход лучей в системе с одной оборачивающей
линзой. Луч AA1 входящий в систему параллельно оптической оси,
пересекает оптическую ось в т. F’1 фокусе объектива. Между передним
фокусом окуляра F’1 и задним фокусом объектива F3 помещается
оборачивающая линза II так, чтобы точки F’1 и F3 оказались
сопряженными. Тогда ход луча A’1A2A3A1 обеспечивает получение
телескопической системы, т.е. луч A3A1, выходящий из окуляра,
параллен оптической оси.
На рисунке также показано построение хода луча, проходящего
через центр входного зрачка C0 . Вспомогательный луч B1M
определяет ход луча между линзами 1 и 2, вспомогательный луч MB2
- между линзами 2 и 3 и вспомогательный луч M1B3 - после окуляра.
В точке C’ получается центр выходного зрачка, где помещается глаз
человека.
Из треугольника B1MF’1 находим
y'
tg
f '1
Из треугольника B3M’F3
y'
y'
tg ' 2 2
f '3
f '3
Видимое увеличение телескопической системы
tg '
y' f '
3 1
tg
y '1 f '3
Отношение
y '3
y '1
есть линейное увеличение оборачивающей
системы
267
y '2
V
y '1
Таким образом
f'
V 1
f '2
Мы имеем: V < 0; f’1> 0; f’3> 0 , следовательно >0
Во многих случаях оборачивающая система разбита на два
компонента с параллельным ходом лучей между ними. Кроме того, в
задней фокальной плоскости объектива располагается коллектив,
назначение которого ограничить диаметральный размер зрительной
трубы.
Рис. 7.6.2
На рис. 7.6.2 показано построение системы с двцумя
оборачивающими линзами и ход лучей в этой системе. Луч,
параллельный оптической оси, проходит через край входного зрачка и
поступает в т. C1 , в объектив. Далее, этот луч направляется в фокус F’2
объектива 1, с которым совмещен передний фокус F3 первой линзы
оборачивающей системы. Вследствии того, что луч проходит через
передний фокус линзы III , после нее он идет параллельно оптической
оси до второй линзы IV оборачивающе системы. Линза IV собирает
пучок параллельных лучей в своем фокусе (заднем) F4 , с которым
совмещен передний фокус F5 окуляра V . После окуляра луч выходит
параллельно оптической оси.
Из рис. 7.6.2 мы видим, что схема зрительной трубы состоит из
двух телескопических систем: первая – компоненты I и III , с видимым
увеличением
f'
1 1
f '3
268
Вторая – компоненты IV и V , с видимым увеличением
f'
2 4
f '5
Общее увеличение системы системы
f' f'
1 2 1 4
f '3 f '5
Коллектив II , помещенный в фокальной плоскости объектива I ,
отклоняет к оптической оси лучи, входящие в объектив под углом не
давая им выйти за пределы габаритов трубы.
7.7. Телескопические системы со скачкообразной переменной
увеличения
Невозможно изготовить зрительную трубу, обладающую одновременно большим увеличением и большим полем зрения. Поэтому в военных приборах, где необходимо и то и другое, приходится прибегать к
устройствам, позволяющим быстро менять увеличение и угол поля зрения зрительной трубы, не отрывая глаза от окуляра.
Различают две группы оптических устройств для перемены увеличения: устройства со скачкообразным переменой увеличения и панкратики.
Системы для скачкообразной перемены увеличения бывают трех
видов: а). системы, в которых перемена увеличения достигается сменой
одного из компонентов; б). системы, в которых перемена увеличения
производится поворотом телескопической системы на 180О и 90О вокруг
оси, перпендикулярной оптической оси; в). системы, в которых перемена
увеличения выполняется перемещением одного или нескольких компонентов вдоль оптической оси.
Устройства для перемены увеличения первого рода основаны на зависимости увеличения сложной зрительной трубы от фокусных расстояний четырех ее компонентов:
f ' f '
1 4
f '3 f '5
Заменив один из компонентов системой с другим фокусным расстоянием, мы изменим при этом увеличение .
В качестве примера решения этой задачи рассмотрим конструкцию
верхней головки перископа итальянской фирмы «Офичине Галилео»
(рис. 7.7.1).
269
Рис. 7.7.1
Длиннофокусный объектив 2 служит в то же время и защитным
стеклом; прямоугольная призма 2 изменяет направление луча света.
Изображение далекого предмета лежит на коллективе 6 . Плоское зеркало 4 находится при этом в вертикальном положении. Когда зеркало
повернуто на 45О вокруг оси 3, действует короткофокусный объектив
5. Изображение далекого предмета образуется на коллективе 6 в том же
месте.
На следующем чертеже приведена схема оптики половины стереотрубы (рис. 7.7.2).
Рис. 7.7.2
270
Защитное стекло – 1, концевой отражатель – 2, объектив – 3, коллектив – 4, первые сменные линзы 5 и 7 оборачивающей системы, вал
для смены линз – 6, вторая линза оборачивающей системы - 8, призма –
9, центрального мостика, призма-ромб – 10, сетка – 11, и марка – 12.
Широкое применение получил второй вид перемены увеличения
при помощи вращающей трубке Галилея (рис. 7.7.3).
Рис. 7.7.3
1- сферический защитный колпак, 2- собирающая линза, 3- призма –
куб, линзы 4 и 5 составляют телескопическую трубку Галилея и заключены в общую оправу, которая внутри корпуса может поворачиваться на
180О вокруг оси, 6- объектив перископа.
При первом положении трубки Галилея перископ имеет большое
увеличение - Б .Пусть при этом видимое увеличение трубки Галилея
будет 1 , а увеличение всей остальной части перископа - 2 - тогда,
Б 1 2
После поворота на 180О трубки Галилея ее увеличение будет равно
1/1, авесь перископ будет иметь малое увеличение М
М 2
1
Из этих выражений можно найти увеличения 1 и 2
Б
Б
12 ;
1
М
М
и
Б М 12 ; 2 Б М
271
ГЛАВА 8. МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ
Введение
Термин "компьютерная оптика" является относительно новым и не
приобрел еще строгого определения. Разные авторы очень часто вкладывают в него различное содержание. Можно сказать, что в самом широком смысле слова "компьютерная оптика" - это компьютеры в оптике
и оптика в компьютерах. Сюда относятся численные решения задач дифракции и фокусировки излучения, автоматизированное проектирование
и гибкое автоматизированное производство оптических систем, обработка изображений, оптический вычислительный эксперимент, оптические процессоры и запоминающие устройства, цифровая голография.
Очень часто формулировка предмета компьютерной оптики как
научного направления сужается и в нее вкладывается более конкретный
смысл. При этом считается, что компьютерная оптика - это получение на
основе применения ЭВМ оптических элементов, осуществляющих требуемое преобразование волновых полей. Именно на такую направленность компьютерной оптики и сориентирован, в основном, материал
настоящей главы.
Компьютерная оптика возникла на стыке физической оптики и информатики и стала формироваться как новое научное направление, объединяющее теорию, методы и технические средства обработки оптических сигналов с использованием ЭВМ, и отражающее тот факт, что современная оптика и оптические приборы становятся все в большей степени цифровыми.
Какие качественно новые свойства придают компьютеры оптическим системам? Главных свойств два. Во-первых, это способность к
адаптации и гибкость в перенастройке. Благодаря тому, что компьютер
способен перестраивать структуру обработки сигнала без перестройки
своей физической структуры, он является идеальным средством адаптивной обработки оптических сигналов и быстрой перестройки ее на
решение разных задач. Здесь речь идет прежде всего об информационной адаптации. Заметим попутно, что эта способность ЭВМ к адаптации
и перестройке нашла также применение в активной и адаптивной оптике
для управления световыми пучками как переносчиками энергии.
Во-вторых, это простота и естественность получения и переработки
количественной информации, содержащейся в оптических сигналах, соединение оптических систем с другими информационными системами.
Цифровой сигнал, представляющий в компьютере оптический сигнал,-
272
это переносимая оптическим сигналом информация, так сказать, в чистом виде, лишенная своей физической оболочки.
Благодаря универсальному характеру цифровой сигнал представляет собой идеальное средство объединения различных информационных
систем. Теоретической базой компьютерной оптики являются теории
информации, цифровой обработки сигналов, статистических решений,
теория систем и преобразований в оптике.
8.1. Задачи компьютерной оптики [1,2]
Одно из основных предназначений компьютерной оптики состоит в
расширении гаммы конструктивных элементов оптических систем. Помимо традиционных линз, призм и зеркал с помощью современных вычислительных средств и систем управления могут быть созданы оптические элементы с более широкими функциональными возможностями.
Типичным представителем семейства элементов компьютерной оптики
является плоский оптический элемент - киноформ. Сочетание киноформных корректоров с обычными линзами позволяет проектировать
оптические системы со слабыми сферическими аберрациями и новыми
оптико-физическими свойствами.
Существо подхода к созданию элементов компьютерной оптики состоит в следующем. Оптический элемент, работающий на пропускание
или на отражение излучения, характеризуется амплитудно-фазовой
функцией пропускания или отражения. Эта характеристика должна быть
определена, исходя из решаемой задачи преобразования волнового поля.
Для простейших случаев может быть известно ее аналитическое выражение, например, фазовая функция сферической или цилиндрической
линзы. В общем же случае требуется применение ЭВМ для определения
характеристики оптического элемента. При этом ЭВМ может использоваться как для численных расчетов в рамках прямой задачи, так и для
решения обратных задач. Таким образом, на этапе проектирования, компьютер используется для определения характеристики создаваемого оптического элемента.
После того, как указанная характеристика сформирована в памяти
ЭВМ, возникает задача переноса ее на физическую среду с помощью
программно-управляемого технологического автомата. На этом этапе
роль компьютера также очень велика.
Созданный оптический элемент необходимо далее экспериментально исследовать и аттестовать. Экспериментальные данные при этом регистрируются, как правило, в виде различного рода распределений интенсивности света: теневых картин, интрферограмм, голограмм. При
273
этом компьютер необходим для обработки, отображения и интерпретации экспериментальных данных, поскольку визуальные наблюдения и
ручная обработка не позволяют получать количественные результаты.
Необходимо отметить, что в компьютерной оптике перспективным
методом исследования является вычислительный эксперимент, в котором ключевую роль играет компьютер. Процесс создания элементов
компьютерной оптики носит сложный итерационный характер и на компьютер возлагается также функция обеспечения диалога с проектировщиком, технологом и исследователем.
В компьютерной оптике можно выделить следующие основные
направления:
цифровая голография;
решение обратных задач теории дифракции и создание на их основе
фокусаторов и корректоров излучения;
создание оптических элементов для анализа и формирования поперечно-модового состава излучения;
создание корректоров волновых фронтов и пространственных
фильтров для оптических систем обработки информации и оптикоцифровых процессоров;
цифровая обработка полей в оптических системах.
Характеристику вышеуказанных направлений мы начнем с цифровой голографии. Именно работы по цифровой голографии во многом
стимулировали появление компьютерной оптики как самостоятельного
научного направления на стыке квантовой электроники, вычислительной
математики и информатики.
8.2. Цифровая голография [3-5]
Цифровой голографией называется метод получения и восстановления голограмм, при котором основная роль отводится компьютеру.
Роль компьютера заключается в расчете распределения коэффициента
прозрачности или преломления по полю голограммы, которое затем записывается в оптической запоминающей среде. С помощью компьютера
рассчитывается и восстанавливается изображение, которое записано на
такой синтезированной голограмме и которое можно было бы получить
оптическим путем.
Имеется ряд веских оснований для такого синтеза голограмм и, в
частности, то обстоятельство, что геометрические размеры голографического объекта в этом случае не ограничиваются такими факторами, как
когерентность освещения, вибрация или турбулентность воздуха, и по-
274
является возможность исследовать путем моделирования некоторые голографические эффекты.
Еще более существенным моментом, стимулирующим синтезирование голограмм с помощью компьютеров, является возможность создать оптический волновой фронт для такого объекта, который физически не существует. Потребность в формировании волнового фронта, соответствующего объекту, определяемому расчетным путем, возникает в
любом случае, когда требуется визуально отобразить в трех измерениях
результаты того или иного трехмерного исследования, например, при
моделировании разрабатываемых конструкций. Иногда волновой фронт
от синтезированной голограммы может служить интерференционным
эталоном для контроля сложной оптической поверхности в процессе ее
обработки. Другая область применения таких голограмм связана с экспериментами по пространственной фильтрации. В некоторых случаях
изготовить фильтр с заданной функцией оптическими методами бывает
затруднительно, в то же время компьютер решает подобные задачи
сравнительно легко.
8.2.1. Общая процедура изготовления синтезированной голограммы
Для того, чтобы получить синтезированную голограмму, поступают
следующим образом:
1) Задавшись объектом, голограмму которого нужно получить, рассчитывают с помощью компьютера комплексную амплитуду испускаемого им света в плоскости, находящейся на определенном расстоянии от
него. Эта плоскость будет плоскостью голограммы.
2) Рассчитанная таким образом комплексная амплитуда кодируется
так, чтобы она была действительной и положительной функцией.
Например, производят сложение амплитуды света, испускаемого объектом, с какой-нибудь комплексной амплитудой, которая играет роль когерентного фона. Результирующая интенсивность будет в этом случае
действительной и положительной функцией.
3) Соответствующее устройство, управляемое компьютером, изображает графически распределение значений этой функции в некоторой
плоскости. Это может быть, например, электронно-лучевая трубка, печатающее устройство и т.п.
4) Полученный чертеж фотографируется; негатив и представляет
собой синтетическую голограмму. Для того, чтобы голограмма хорошо
дифрагировала свет, нужно, чтобы структура чертежа была достаточно
275
тонкой. Поэтому обычно фотографируют чертеж со значительным
уменьшением.
Для формирования голограммы применяются компьютерные дисплеи, штриховые печатающие устройства, плоттеры. Этап фотографического уменьшения, разумеется, может быть исключен, если применить
специальные выходные устройства, позволяющие осуществить непосредственную запись голограммы требуемого размера. Быстродействие
современных компьютеров достаточно для расчета синтетической голограммы, идентичной голограмме, полученной при записи интерференционной картины, созданной реальным объектом. Тем не менее, в большинстве случаев рассчитываются голограммы, где отсутствуют полутона и вся голограмма состоит из светлых участков (апертур) на черном
фоне. Такая голограмма называется бинарной. Бинарную голограмму с
помощью компьютера можно рассчитать и построить в увеличенном
масштабе за несколько минут.
Фотографическое уменьшение и репродуцирование бинарных голограмм легче и более точно, чем серых голограмм. На качество бинарной
голограммы совершенно не влияют нелинейные фотографические эффекты, поэтому в процессе фотоуменьшения бинарных голограмм требуется значительно менее строгий контроль величины экспозиции и режима проявления.
Другое преимущество бинарной голограммы в сравнении с серой
голограммой состоит в том, что она направляет на восстанавливаемое
изображение большую часть из падающего на нее света. Если в обычной
голограмме светоотдача, или эффективность, равна 6,2%, то светоотдача
бинарной голограммы достигает 10%. Помимо более высокой светоотдачи преимущество бинарной голограммы состоит в том, что при восстановлении возникает меньше шумов от света, рассеянного зернистой
структурой фотоэмульсии. Бинарная голограмма может быть вычерчена
плоттером. Восстановленное с бинарной голограммы в когерентном свете изображение имеет все свойства изображения, получаемого с обычной голограммы.
Бинарные голограммы являются эффективным промежуточным
звеном, позволяющим осуществлять связь между цифровой и оптической формами представления информации. Один из методов цифровой
голографии позволяет получать голограммы, которые при восстановлении падающий на голограмму свет направляют на создание одного
изображения, т.е. имеют эффективность около 100%.
276
8.2.2. Получение цифровой голограммы Фурье и ее бинаризация
Рассмотрим более подробно процедуру получения цифровой голограммы. Сделаем это на примере голограммы Фурье, принцип регистрации которой был рассмотрен в параграфе 3.5.2. Как и всякие другие
цифровые модели, цифровые модели голограмм воспроизводят процесс
лишь приближенно, однако наиболее существенные свойства, подлежащие исследованию, представляются четко выделенными, в явном виде,
что часто нельзя сделать в реальном процессе. Одно из основных приближений связано с переходом от непрерывных величин к дискретным,
с которыми работает ЭВМ. Этот переход, уменьшая точность результатов, в то же время не вносит принципиальных изменений в процесс, так
как с уменьшением шага дискретизации модель все более приближается
к непрерывной. Степень такого приближения ограничена лишь возможностями ЭВМ. Кроме того, есть разумный предел плотности дискретизации, определяемый разрешающей способностью оптических элементов и фотоматериалов, участвующих в голографическом процессе. Этот
предел для функций с ограниченным спектром определяется известной
специалистам теоремой Котельникова, из которой следует, что если
функция имеет спектр, ограниченный частотой f0, то она может быть
представлена с большой точностью в точках xm, отстоящих одна от другой на расстоянии . Теорема Котельникова легко распространяется на
двумерные функции. В этом случае отсчеты берут в узлах прямоугольной сетки с размерами ячеек.
Итак, переходя к цифровому моделированию голографического
процесса, заменим части плоскостей П и Г (см. рис. 3.5.2), ограниченные
прямоугольными апертурами, сетками. В узлах этих сеток зададим отсчеты поля. Эти сетки в плоскости предметов обозначим П, а в плоскости голограммы - Г . Для удобства последующих преобразований
расположение сеток в плоскостях П и Г выберем таким, как показано на
рис. 8.2.1.
277
Рис. 8.2.1 Расположение сеток
Правомерность такого выбора будет видна из дальнейшего. Чтобы
параметры сеток отвечали теореме Котельникова, необходимо выполнение следующих соотношений:
(8.2.1)
При этом суммарное число узлов сетки П равно MN. Перейдем в
плоскости П к новым координатам. Приняв размеры сетки Х=У=1, получаем:
(8.2.2)
Следовательно, координаты узлов сетки П выразятся так:
(8.2.3)
Число узлов сетки Г выбирают так, чтобы было обеспечено взаимно однозначное соответствие между изображениями, заданными на
П и его дискретным преобразованием Фурье, заданным на Г. Это число узлов также оказывается равным MN. Последнее определено тем, что
в системе, состоящей из MN точек, полной является система тригонометрических функций с частотами
(8.2.4)
Соотношения между размерами сеток П и Г получим из (4.2.1) с
учетом того, что и согласно (3.5.7)
(8.2.5)
Выбор сеток в плоскостях П и Г означает, что все непрерывные
функции в этих плоскостях могут быть представлены своими дискретными значениями в узлах сетки. Эти значения теперь являются функциями номеров узлов, т.е. m и n в плоскости П, p и q в плоскости Г. Для
отличия от непрерывных величин аргументы дискретных величин будем
обозначать индексами, например Еmn, вместо Е(хm,уn), Аpq вместо
А(р,q). Установим соответствие между основными физическими вели-
278
чинами, рассмотренными ранее, и их цифровыми моделями. Поле в
плоскости П представим так:
(8.2.6)
дискретное преобразование Фурье от hmn определит соотношение:
(8.2.7)
Примем c учетом (4.2.6)
(8.2.8)
Цифровая модель голограммы Фурье, являющаяся аналогом ранее
рассмотренной модели (3.5.22), будет иметь вид
(8.2.9)
где
(8.2.10)
Величину можно интерпретировать как коэффициент двойного ряда
Фурье от дискретной функции, заданной на двумерном интервале MN.
При этом в уравнении голограммы последнее слагаемое является не чем
иным, как косинусным коэффициентом Фурье изображения предмета. С
учетом изложеного уравнение цифровой голограммы Фурье, удобное
для расчетов на ЭВМ, принимает вид:
(8.2.11)
Здесь в общем случае имеем
(8.2.12)
(8.2.13)
279
(8.2.14)
В двух первых формулах последние члены в прямоугольных скобках используются при наличии рассеивателя со случайной фазой. Если
рассеиватель не используют, то они равны нулю и формула упрощается.
При компьютерном расчете структуры голограммы исходной информацией является изображение, которое разбивают на отдельные
участки в соответствии с выбранной сеткой (т.е. из изображения делают
выборку значений Еmn в узлах сетки), а также задаваемые параметры M,
N, kГ, α,β. В результате расчета должны быть получены величины τpq
прозрачности голограммы в узлах сетки σГ.
Основой вычисления является выполнение дискретного преобразования Фурье (ДПФ), причем двумерное преобразование выполняется в
два этапа: сначала по строкам, а затем по столбцам. Последовательность
вычислений показана на рис. 8.2.2. Для выполнения одномерных преобразований используется алгоритм быстрого преобразования Фурье
(БПФ).
Рис. 8.2.2. Последовательность вычислений голограммы Фурье
280
В приложении 1 содержится краткое описание процедур ДПФ и
БПФ, которые широко вошли в практику компьютерных расчетов. Для
удобства вычислений матрицу Cpq , полученную после преобразования
строк, транспонируют и повторное преобразование также выполняют по
строкам. В результате двойного БПФ получают коэффициенты apq и bpq
по которым и определяют значения Apq2. Результаты вычислений вместе
с заданными параметрами используют для расчета прозрачности голограммы по ее формуле. Эти значения и выдает машина.
Отпечатанную цифровую голограмму затем фотографируют с соответствующим уменьшением и используют для восстановления изображения оптическим путем. Очень часто голограмму Фурье пеставляют в
двоичном (бинарном) виде. В этом случае ее прозрачность имеет только
два значения: 0 или 1. Двоичную голограмму рассчитывают следующим
образом. Прозрачность голограммы как функцию пространственных частот обозначим через Qpq . Выберем некоторый порог А'. Если τpq больше или равно А', то величине Qpq сопоставим единицу, в противном случае– нуль. Это возможно записать как
(8.2.17)
В данном случае 1 соответствует уровню белого, а 0 - черного.
Окончательно получим
(8.2.18)
В выборе параметров и Aпор имеется определенный произвол. В
общем случае их увеличение приводит к снижению доли высоких пространственных частот в голограмме. Сама же двоичная голограмма в
большой степени подчеркивает высокие пространственные частоты.
8.2.3. Киноформ
Часто встречаются случаи, когда комплексная амплиуда объектной
световой волны
281
в плоскости регистрации голограммы практически постоянна по
модулю. В таких случаях изображение интересующего объекта может
быть восстановлено с использованием только фазовой информации
φ(ζ,η). Как правило, это имеет место, когда голографируемый объект является диффузным или освещен диффузно рассеянным светом. Однако
освещение объекта световой волной со специально выбранным детерминированным распределением фаз также приводит к объектной световой волне практически постоянной амплитуды в плоскости регистрации
голограммы. Таким образом, в указанных здесь случаях, записав только
фазовую информацию об объекте, можно восстановить трехмерное
изображение интересующего объекта. Получаемая при этом запись
называется киноформом. Киноформ не является голограммой в полном
смысле этого слова, так как он содержит не полную информацию об
объекте, а только фазовую. Киноформ обладает тем замечательным
свойством, что в отличие от других типов голограмм при идеальном изготовлении восстанавливает только одно изображение - мнимое или
действительное. Это означает, что весь световой поток, дифрагированный киноформом, концентрируется на одном изображении.
Процесс изготовления киноформа выглядит следующим образом.
На компьютере рассчитываются дискретные значения фазы φ(ζ,η)
объектной световой волны. Полученные значения фазы обрабатываются
таким образом, чтобы их отклонения от начальной фазы лежали в интервале от 0 до 2 радиан по всей области выборки, т.е. из каждого значения фазы вычитаются величины, кратные 2 радианам. В результате
получается двумерный массив, состоящий из дискретных значений фазы
(8.2.19)
Данный массив кодируется массивом значений яркости в многоградационной шкале, который уже отображается в виде картины на выходное устройство компьютера, например на дисплей. Полученная картина
фотографируется с необходимым уменьшением и конечный фотоснимок
отбеливается в дубящем отбеливателе. При отбеливании градации фотографического почернения превращаются в соответствующее распределение значений оптической толщины. Полученный таким образом киноформ имеет функцию пропускания
282
(8.2.20)
Знак показателя экспоненциального сомножителя определяется тем,
что используется в качестве киноформа- негатив или позитив фотоснимка картины киноформа. Соответственно и изображение, восстанавливаемое киноформом, будет мнимым или действительным.
Из рассмотрения функции пропускания киноформа (4.2.20) следует,
что для восстановления исходного волнового фронта без искажений
необходимо, чтобы константа с равнялась единице. Это означает, что
свет, падающий на участок с фазой φ=0, будет задерживаться ровно на
одну длину волны по сравнению со светом, падающим на участок с фазой φ=2π. Если такое согласование фаз было достигнуто, то весь свет,
падающий на киноформ, будет участвовать в формировании единственного (действительного или мнимого) изображения записанного обекта.
В противном случае киноформ подобен осевой голограмме, в которой
действительное и мнимое изображения частично накладываются; часть
света дифрагирует в нулевой порядок, создавая яркое пятно в центре
изображения. Качество изображения резко ухудшается. На практике согласование фаз достигается путем тщательного контроля процессов экспонирования и проявления уменьшенных фотоснимков киноформа, а
также отбеливания.
8.3. Фазовая проблема в оптике. Cоздание на основе решения
обратных задач нового класса оптических элементов [1, 2, 6-9]
8.3.1. Извлечение фазовой информации из данных об интенсивности
Как известно, проблема получения фазовых характеристик световых полей возникает в разнообразных оптических исследованиях. Трудности непосредственного измерения фазы в оптическом диапазоне заставляют оптиков искать обходные пути: пытаться извлекать фазовую
информацию из данных об интенсивности. Разумеется, попытки найти
простые рецепты решения задачи были обречены на неудачу. Однако за
последние 25 лет наметилось серьезное продвижение в проблеме восстановления фазовых характеристик световых полей. Работы, по восстановлению фазовых характеристик по характеристикам интенсивности с
283
помощью ЭВМ, набирают размах. Важно подчеркнуть, что при этом
привлекаются дополнительные данные о поле, например, во многих случаях используются два (а не одно) распределения интенсивности, относящиеся к двум сечениям поля.
Допустим, что монохроматическое поле, несущее информацию об
исследуемом объекте, было зарегистрировано в двух плоскостях: в
плоскости изображения и в фурье-плоскости. Будем считать, что поле
зависит только от одной пространственной координаты. Обозначим поле
в плоскости изображения через E(x) = a(x)exp iφ(x)) , в фурье-плоскости
- через F(x) =A(x) exp(iФ(x)). Для операции преобразования Фурье введем символ
(8.3.1)
так что
(8.3.2)
Пусть при регистрации поля получена информация о функциях a(x)
и A(x), а информация о фазовых множителях отсутствует. Задача состоит
в построении комплексной функции по заданному ее модулю и модулю
ее фурье-образа. Для решения этой задачи была предложена итерационная процедура, которая заключалась в следующем. В качестве пробной
функции бралась функция, модуль которой совпадал с заданным в плоскости изображения модулем a(x), а фазовый множитель exp (iψ(x)) брался произвольным; в работе он строился с помощью генератора случайных чисел. Пробную функцию удобно обозначить через y0(x), в дальнейшем индекс будет совпадать с числом выполненных итераций, перед
началом итераций имеем
(8.3.3)
Для этой функции строилось ее преобразование Фурье
(8.3.4)
Затем у полученной функции модуль заменялся на правильный, т.е.
на A(x), а фаза сохранялась. Так получали функцию в фурье-плоскости
(8.3.5)
что можно представить как
284
(8.3.6)
Затем выполнялось обратное преобразование Фурье и снова исправлялся модуль, при этом получалась функция в плоскости изображения в первом приближении
(4.3.7)
На следующем шаге выполнялись такие же преобразования. Всю
итерационную процедуру можно представить формулами
(8.3.8)
Если процесс окажется сходящимся, то функцию, получающуюся в
качестве предела итераций, будем обозначать через y
(8.3.9)
Описанный алгоритм расчета распределения фазы известен в литературе как алгоритм Гершберга-Сэкстона Практика его использования
показала, что во многих случаях процесс действительно сходился, и
функция y совпадала с исходным комплексным полем . Несмотря на то,
что в настоящее время разработан ряд более совершенных и корректных
методов решения фазовой проблемы алгоритм Гершберга-Сэкстона
остается одним из самых популярных.
8.3.2. Особенности расчета характеристик фокусаторов и корректоров излучения
К фазовой проблеме очень часто относят широкий класс обратных
задач теории дифракции, направленных на расчет фазовой функции оптических элементов, обеспечивающих формирование определенных световых структур.
Если задана фазовая функция оптического элемента, то в принципе
всегда можно решить прямую задачу дифракции волн на оптическом
элементе и получить распределение поля в интересующей нас области.
Сложнее обстоит дело с решением обратной задачи.
285
Для уяснения физической сущности проблемы рассмотрим рис.
8.3.1. Плоский оптический элемент Ф, расположенный в области G
плоскости u=(u,v), освещается пучком Е монохроматического излучения
длины волны. Требуется сформировать в области D плоскости х=(х,у)
волновое поле I(x,z). Фазовая функция оптического элемента полностью
определяет поведение пучка за плоскостью u и, в частности, в интересующей нас области х. Задача состоит в отыскании фазовой функции оптического элемента (u,y), обеспечивающего формирование волнового
поля. С математической точки зрения обратная задача является некорректной: во-первых, решение может вообще не существовать; вовторых, оно может быть неоднозначным; в-третьих, оно может быть неустойчивым.
Рис. 8.3.1. Постановка задачи формирования оптического поля
Отсуствие решения, как правило, обусловлено ограничениями,
налагаемыми на область фокусировки фундаментальными физическими
законами. Например, хорошо известно, что нельзя получить в области
фокусировки пятно, диаметр которого D меньше, чем дифракционный
предел, определяемый поперечным размером d линзы (фокусатора),
длиной волны и фокусным расстоянием f, то есть Df/d. Аналогичные
ограничения накладываются на минимально достижимую толщину линии при фокусировке в отрезок на плоскости, перпендикулярной оси
распространения. Решение задачи фокусировки может отсутствовать не
только по причине противоречия законам дифракции. В случае, когда
область фокусировки не расположена в плоскости перпендикулярной
оптической оси, а является, например, трехмерной пространственной
кривой, вполне определенные ограничения накладываются из-за того,
что в силу закона прямолинейного распространения света перенос энер-
286
гии осуществляется вдоль оптической оси. Нельзя, в частности, требовать, чтобы при фокусировке в тонкий цилиндр, расположенный вдоль
оптической оси, энергия целиком была сосредоточена в нем, а интенсивность вне тонкого цилиндра равнялась нулю. Ясно, что энергия к более удаленным от фокусатора точкам цилиндра переносится через периферийные области пространственных сечений, более близких к фокусатору.
Успехи в решении обратных задач привели к качественному обновлению элементной базы современных оптических систем. Так, имеются
практические достижения в создании киноформных линз большой светосилы. Сообщается о создании "безаберрационных" объективов, содержащих несколько киноформных линз и обладающих прекрасными
массогабаритными характеристиками. Наконец, есть несомненные достижения в области создания различных типов фокусаторов. В самом
широком смысле термин "фокусатор" используется среди специалистов
для обозначения элементов компьютерной оптики, обеспечивающих
концентрацию световой энергии в пределах пространственной области с
заранее заданной пространственной конфигурацией. Чаще всего речь
идет о фокусировке излучения в некоторую фокальную кривую с заданным распространением интенсивности на ней. Зачем нужны фокусаторы? Прежде всего для лазерных технологических установок в промышленности и медицине. Лазер без фокусатора - это только генератор излучения, лазер с фокусатором - это уже компонент гибкой производственной системы с программируемым режимом технологических операций.
Но производство - не единственная область применения фокусаторов
излучения. Закон пространственного распределения энергии в фокальной области оптической системы определяет режим нагрева мишеней
при лазерном управляемом термодинамическом синтезе, течение химических реакций, стимулированных лазерным излучением. В оптическом
приборостроении часто требуется сложная форма фокальной кривой.
На сегодняшний день созданы фокусаторы излучения в видимом и
инфракрасном диапазонах с регулировкой интенсивности вдоль фокальной линии. Эти результаты являются наглядной иллюстрацией достижений компьютерной оптики.
Огромные возможности открывает компьютерная оптика для получения оптических элементов, позволяющих корректировать амплитуднофазовое распределение поля в световых пучках. Такого рода корректоры
позволяют сформировать волновой фронт заданной формы. К числу
корректоров принадлежат, в частности, компенсаторы- элементы, преобразующие плоский или сферический волновой фронт в асферический
произвольного порядка. Основное назначение компенсаторов - контроль
287
оптических поверхностей. При этом компенсатор формирует эталонный
волновой фронт для интерферометрического исследования изготавливаемой оптической поверхности или же играет роль "нулевой линзы", сводя асферическую задачу к сферической.
8.3.3. Дифракционные оптические элементы
Фокусаторы и корректоры излучения чаще всего выполняются в
виде дифракционных зонных пластинок. Их расчет основан на процедуре приведения их фазовой функции к интервалу [0, 2 ), которая использовалась ранее при вычислении пропускания киноформов. Последнее
обстоятельство привело к тому, что указанный класс оптических дифракционных элементов часто относят к так называемой киноформной
оптике. Для уяснения основных принципов построения дифракционных
элементов кратко рассмотрим характеристики простейших фазовых элементов, являющихся аналогами классических линз и оптических призм.
Плоско-сферическая линза
Как следует из выражения (3.2.2), фазовая функция сферической
линзы в параксиальном приближении имеет вид
, (4.3.10)
где F - фокусное расстояние; D - диаметр линзы;
.
Приведение фазовой функции (4.3.10) к интервалу [0, 2 ) показано
на рис. 8.3.2.
Рис. 8.3.2. Приведение фазовой функции линзы к интервалу [0, 2Pi]
288
Если материал линзы имеет коэффициент преломления n, то максимальная высота рельефа составляет
и имеет порядок длины волны. Высота микрорельефа определяется
по формуле
(8.3.11)
Радиусы зон Френеля можно найти из соотношения
откуда следует
(8.3.12)
Число полных зон j0 на линзе определяется из условия rj0≤ D/2 и
удовлетворяет соотношению
(8.3.13)
где ][ - означает целую часть числа с округлением в меньшую сторону.
Плоская цилиндрическая линза
Рассмотрим цилиндрическую линзу (рис. 8.3.3), описываемую фазовой функцией
(8.3.14)
Приведение фазовой функции к интервалу [0, 2 ) аналогично проведенному выше для сферической линзы. Границы зон в данном случае прямые линии, а расстояния между ними определяются формулой
(8.3.12) при замене rj на j. На рис. 8.3.4 приведен фотошаблон плоской
цилиндрической линзы.
Плоская призма
Рассмотрим призму с углом (рис. 8.3.5).
Призма обеспечивает фазовый сдвиг, линейно зависящий от координаты, и характеризуется фазовой функцией
289
(8.3.15)
где
Приводя фазовую функцию φ(ξ) к интервалу [0, 2 ) (рис. 8.3.6) получим 1-D дифракционную решетку "с блеском" (рис. 8.3.7).
Максимальная высота рельефа:
и уравнение высоты микрорельефа имеет вид
(8.3.16).
Различным углам отклонения соответствуют различные периоды
решетки
(8.3.17),
где .
Бинарная 1-D амплитудная дифракционная решетка получается при
замене линейно-меняющейся фазовой функции в пределах одного периода на двоичную функцию, принимающую значения /2 (рис. 8.3.8).
Рис. 8.3.3. Цилиндрическая линза
290
Рис. 8.3.4. Фотошаблон плоской цилиндрической линзы
Рис. 8.3.5. Призма
Рис. 8.3.7. Фазовая функция дифракционной решетки "с блеском"
291
Рис. 8.3.8. Дифракционная решетка "с блеском"
Рис. 8.3.8. Сравнение бинарной дифракционной решетки и решетки "с
блеском"
8.3.4. Создание фокусаторов на основе управляемых зеркал
Альтернативным техническим решением по отношению к плоским
дифракционным элементам киноформного типа является использование
гибких управляемых зеркал, поверхность которых может принимать ту
или иную форму в зависимости от управляющих напряжений, приложенных к зеркалу. Гибкое зеркало, управляемое ЭВМ, позволяет по заданной программе изменять интенсивность в зоне фокусировки.
Задача расчета формы поверхности гибкого зеркала имеет особенности. Функцию , описывающую профиль зеркала, к которому приложены управляющие воздействия aj, можно представить в виде:
(8.3.18)
где - функции отклика зеркала, зависящие от конструкции и технологии его изготовления. Функциия отклика описывает форму поверхно-
292
сти зеркала при единичном управляющем воздействии, приложенном к
j-му приводу. При этом, естественно, предполагается линейность отклика. Расчет требуемого профиля поверхности зеркала сводится к определению конечного числа управляющих воздействий {aj}.
Общая схема гибкого зеркала мембранного типа приведена на рис.
8.3.9 (патент фирмы "Perkin-Elmer").
Рис. 8.3.9. Схема управляемого зеркала мембранного типа
Мембрана толщиной обычно 0.5-1.5 мкм помещается между прозрачным электродом, к которому приложено напряжение смещения
(V0), и группой приводов, представляющей собою набор проводящих
прокладок, к которым приложено напряжение , где - напряжение, создаваемое сигналом. Мембрана заземлена, а расстояние между ней и электродами составляет 50-100 мкм. При отсутствии сигнала суммарное
усилие, приложенное к мембране, равно нулю, и в этом случае мембрана
не испытывает никаких отклонений. плоская форма мембраны сохраняется с точностью до среднеквадратичного отклонения /20. Если к какому-либо из электродов приложить напряжение , то мембрана отклонится, причем центр деформации локализуется над данным электродом.
При напряжении менее 100 В величина прогиба мембраны составляет
обычно 0.5 . Используя для отклонения мембраны большое число
приводов, нетрудно получать прогиб величиной во много длин волн.
Общий вид описанного мембранного зеркала приведен на рис. 4.3.10.
293
Рис. 8.3.10. Общий вид зеркала мембранного типа
Перспективным представляется создание комбинированных формирующих оптических элементов, состоящих из киноформа и гибкого
зеркала. Эти элементы удачно дополняют друг друга. Гибкое зеркало
позволяет создать сравнительно плавную оптическую поверхность с
нужной глубиной рельефа Задача киноформного элемента - обеспечить
требуемое пространственное разрешение при сравнительно небольшой
глубине рельефа. Число зон при этом становится небольшим, и эффективность киноформа повышается (меньше сказывается пространственная дискретизация фазовой функции). Кроме того, комбинированный
оптический элемент позволяет в некоторой степени скорректировать небольшие отклонения параметров формирующей системы от расчетных
(например, ввести коррекцию угла падения излучения на элемент, расстояния до плоскости фокусировки, ширины светового пучка на элементе и т.д.).
8.4. Фокусировка излучения при наличии случайных помех.
Использование методов адаптивной оптики [7-9]
Очень часто излучение, идущее от фокусатора, достигает заданного
объекта, пройдя через область пространства с нестационарной случайнонеоднородной средой. В этом случае эффективно реализовать фокусирующие свойства гибкого зеркала можно лишь перманентно меняя форму его отражающей поверхности с целью компенсации влияния неоднородностей. Как известно, оптические элементы, характеристики которых
могут под воздействием управляющих сигналов изменяться во времени,
составляют элементную базу адаптивной оптики. Таким образом, проблема создания фокусаторов, способных работать в условиях случайных
помех, оказывается тесно связанной с необходимостью использования
методов адаптивной оптики. Среди этих методов важную роль играет
метод фазового сопряжения.
294
Метод фазового сопряжения следует из принципа оптической обратимости. В приближении геометрической оптики его можно сформулировать так:
если волну , прошедшую участок с неоднородным показателем преломления, послать обратно по тому же самому пути, заменив фазу этой
волны на u=- , то на выходе из среды волна восстановит свой первоначальный неискаженный фазовый профиль. Замена фазы на - эквивалентна операции сопряжения комплексной амплитуды волны: . Этим
объясняется название метода фазового сопряжения. Рис. 4.4.1 иллюстрирует сказанное.
Рис. 8.4.1. Компенсация возмущающего фактора оптической неоднородности
Пусть плоская волна проходит участок оптически неоднородной
среды, например кусок стекла. В результате фаза волны искажается и на
выходе из среды приобретает характерную впадину (сказалось относительное увеличение оптической длины пути и времени распространения
волны через стекло). При отражении от обычного зеркала запаздывание
на особом участке сохраняется и при повторном прохождении фазовая
неоднородность удваивается (рис. 4.4.1, а). Для того чтобы скомпенсировать первоначальное отставание по фазе при обратном распространении, необходимо обратить фазу, т.е. сформировать волну с профилем
фазы - . Фаза этой волны на месте впадины имеет выступ, равный ей по
значению (рис. 4.4.1, б). Этот особый участок теперь уже опережает по
фазе остальные. После повторного прохождения волной неоднородности
опережающий участок отстанет по фазе ровно настолько, чтобы ском-
295
пенсировать введенное возмущение. Волна в результате двукратного
распространения останется плоской (рис. 8.4.1, б).
Рассмотрим реализацию идеи фазового сопряжения на примере фокусатора, использующего для коррекции фазы гибкое зеркало (рис.
8.4.2).
Рис. 8.4.2. Оптическая фокусирущая система, реализующая принцип фазового сопряжения
1- лазер; 2-ЭВМ; 3- датчик волновогво фронта; 4, 5 - линзы телескопа; 6- мембранное зеркало; 7 - ответвлитель; 8 - начальный фронт
волны; 9 - мишень; 10 - фронт в области мищени; 11 - фронт отраженной
волны; 12 -скоректированный фронт; 13 - фронт неоднородности
Световой пучок от лазера 1, пройдя формирующий телескоп, образованный линзами 4 и 5, и отразившись от гибкого зеркала 6, выходит из
системы, имея изначально плоский волновой фронт 8. Пройдя область
со случайными неоднородностями (в частности, это может быть турбулентная атмосфера) вблизи мишени 9 волна будет иметь значительно
возмущенный фронт 10. Часть энергии, отразившись от мишени в виде
сферической волны, которая в данной оптической системе будет играть
роль опорного пучка. К фокусатору этот пучок подойдет с сильно искривленным волновым фронтом 11. Степень отклонения этого фронта от
фронта плоской волны определяется от датчика фазы 3, излучение на
который подается при помощи светоделительной пластины 7. Датчик
фазы, представляющий собой
Рассмотрим реализацию идеи фазового сопряжения на примере фокусатора, использующего для коррекции фазы гибкое зеркало (рис.
8.4.2).
Световой пучок от лазера 1, пройдя формирующий телескоп, образованный линзами 4 и 5, и отразившись от гибкого зеркала 6, выходит из
системы, имея изначально плоский волновой фронт 8. Пройдя область
со случайными неоднородностями (в частности, это может быть турбу-
296
лентная атмосфера) вблизи мишени 9 волна будет иметь значительно
возмущенный фронт 10. Часть энергии, отразившись от мишени в виде
сферической волны, которая в данной оптической системе будет играть
роль опорного пучка. К фокусатору этот пучок подойдет с сильно искривленным волновым фронтом 11. Степень отклонения этого фронта от
фронта плоской волны определяется от датчика фазы 3, излучение на
который подается при помощи светоделительной пластины 7. Датчик
фазы, представляющий собой интерферометрическое или голографическое устройство, регистрирует фазовый профиль, пришедшей от мишени
волны. Поступающая от датчика фазы информация перерабатывается
ЭВМ 2 и в виде управляющих сигналов подается на гибкое зеркало. Это
приводит к формированию на выходе фокусатора волны с обращенным
(фазово-сопряженным) по отношению к опорному пучку фронтом 12.
При распространении этой волны фазовые неоднородности будут компенсироваться. В результате излучение полностью сфокусируется на
мишени.
8.5. Оптические элементы для анализа и формирования поперечного состава излучения [1]
Оптические элементы этого класса позволили решить целый ряд
практически интересных задач, связанных с задачами анализа и формирования поперечно-модового состава лазерного излучения. Как известно, каждой моде соответствует известная математическая функция двух
переменных. Многомодовое излучение падает на транспарант, пропускание которого определяется функцией . Компьютер формирует в своей
памяти двумерный массив чисел, соответствующих моде с номером k, а
фотопостроитель переводит числа в значения оптической плотности на
фотоматериале. В результате получаем набор плоских оптических элементов, соответствующих различным модовым функциям. Используя их
как оптические элементы, можно построить прибор для анализа и формирования поперечно-модового состава излучения. Рассмотрим принцип действия анализатора. Многомодовое излучение падает на транспарант, пропускание которого определяется функцией . Интенсивность
света в фокусе выходной линзы при этом равна интенсивности k-й моды.
Меняя транспаранты, можно измерить интенсивность различных мод и
таким образом решить задачу определения поперечного состава. На
практике на одном оптическом элементе с использованием голографического метода можно записать сразу несколько модовых функций. При
освещении такого транспаранта многомодовым излучением одномоментно в различных точках фокальной плоскости линзы измеряется ин-
297
тенсивность различных мод. Описанный оптический элемент подобен
дифракционной решетке, разделяющей по углам излучение различных
длин волн. Однако в данном случае решается гораздо более серьезная
задача: по углам разделяются поперечно-модовые составляющие излучения. Имея набор оптических элементов, согласованных с модовыми
функциями, можем решить также и задачу формирования требуемого
поперечно-модового состава лазерного излучения. Как практически использовать выше означенные возможности? Поскольку при распространении излучения в волоконном световоде (ВОЛС) поперечно-модовая
структура его обладает устойчивостью, имеется возможность уплотнить
канал передачи информации. Для этого нужно использовать в качестве
переносчиков сообщения колебания, соответствующие различным поперечным модам. Число одновременно возбуждаемых на входе ВОЛС колебаний может составлять от нескольких единиц до нескольких десятков. Каждое колебание-переносчик несет свое сообщение и распространяется по волоконному световоду независимо от других переносчиков.
На выходе ВОЛС проводится анализ поперечно-модового состава излучения и индивидуальная демодуляция сообщения в каждой из выделяемых мод. Пропускная способность ВОЛС при модовом уплотнении резко возрастает. При этом усложнение аппаратуры связи, особенно на
приемном конце, не очень существенно.
Теперь уместным будет обсудить физический смысл поперечномодовых разложений излучения и ответить на вопрос: "Являются ли поперечные моды выдумкой математиков или же действительно излучение
в неоднородной среде состоит из множества мод?"
Аналогичный вопрос ставился в дискуссии о природе белого света:
"В самом деле в солнечном свете есть монохроматические волны различного цвета или мы только математически выражаем этот процесс
суммой синусоид?" Современная точка зрения на последний вопрос состоит в том, что спектральное разложение приобретает конкретный физический смысл при взаимодействии излучения со спектральным прибором. В этом случае оно оказывается физически адекватным представлением, соответствующим сущности физической задачи. Точно так же и
разложение излучения по модам становится физически адекватным и
целесообразным при взаимодействии излучения с анализатором мод.
Примечательно, что этот шаг удалось сделать только на основе применения компьютера.
В природе нам не известны генераторы эталонных поперечных мод,
подобные генераторам монохроматического излучения. Отсутствуют
также оптические элементы, подобные призмам и дифракционным решеткам, но предназначенные для проведения поперечно-модового ана-
298
лиза. Таким образом, компьютерная оптика восполняет существенный
пробел путем создания искуcственных эталонов физических величин по
их математическим моделям. Вполне возможно, что в дальнейшем будут
открыты новые физические явления и созданы соответствующие приборы без применения компьютеров. Однако, это уже ни в коей мере не повлияет на оценку роли компьютерной оптики в задаче анализа и формирования поперечно-модового состава излучения.
8.6. Цифровая обработка полей в оптических системах [10-13]
Важнейшей задачей оптики всегда было повышение качества и информационной производительности оптических приборов. В настоящее
время современная оптико-электронная техника, по существу, решила
проблему формирования изображений высокого качества и большой
информационной емкости для большинства практических задач. Важнейшей стала проблема эффективности использования заключенного в
них огромного объема информации, т.е. проблема обработки изображений, голограмм и интерферограмм.
Фундаментальным методом решения этой проблемы является развитие на основе теории информации и теории сигналов информационных аспектов теории оптического изображения, оптических систем и
привлечение современных методов обработки сигналов, из которых
важнейшими в настоящее время являются средства компьютерной техники. Оптические приборы с вычислительными устройствами теперь
усиливают не только оптические свойства зрения, но и его аналитические возможности. Это привело к тому, что в рамках общего научного
направления обработки оптических полей сформировалась еще одна
дисциплина, называемая иконикой. В настоящее время иконика объединяет теоретические и экспериментальные исследования, направленные
на всестороннее изучение свойств изображений в "тесной увязке" их со
зрительным восприятием.
Техническое обеспечение процедуры компьютерной обработки оптических полей помимо персональных и специализированых компьютеров включает сканеры, ПЗС-матрицы, телекамеры и т.п. На начальных
этапах компьютерная оптика заимствовала эти устройства из других областей, таких как машинная графика и автоматизированное проектирование. Но в последнее время стали создаваться и получили широкое
распространение специализированные технические средства компьютерной оптики, среди которых особое место занимают параллельные
процессоры для обработки многомерных сигналов.
299
8.6.1. Виды обработки оптических полей
Как научное направление, обработка оптических полей соприкасается с другими ветвями информационных и компьютерных наук - с распознаванием образов, искусственным интеллектом, компьютерным зрением, телевидением, интроскопией, акустоскопией, радиоголографией,
томографией. Задачи, решаемые в рамках данного направления, можно
классифицировать следующим образом.
Cинтез изображений по сигналам, получаемым с датчиков физических полей. Это задача цифровой обработки сигналов датчиков, направленная на их преобразование в форму, пригодную для визуализации.
Сюда, например, относится томографический синтез, цифровое восстановление акустических и радиоголограмм, формирование изображений в
оптических и других системах с кодированной апертурой и т.д.
Коррекция искажений. Это задача компьютерной обработки искаженного изображающей системой или датчиком изображения или
сигнала, направленная на получение изображения (сигнала), соответствующего выходу идеальной изображающей системы. Такова, например, обработка изображения для повышения его резкости и подавления
случайных помех.
Препарирование изображений. Идеальная изображающая система
не обязательно дает изображение, наилучшим образом отвечающее требованиям конкретной задачи визуального анализа и выделения информации, поскольку требования к идеальным характеристикам практически являются компромиссом между требованиями широкого класса задач. Для отдельных конкретных задач могут потребоваться дополнительные преобразования сигнала, облегчающие визуальный анализ путем подчеркивания одних особенностей и деталей изображения и устранения других, изменения пространственных соотношений, измерения и
визуализации количественных характеристик и т.п. Такие преобразования, являющиеся инструментом визуального анализа изображений профессиональным пользователем-экспертом в конкретной области применения данной визуальной информации, и называются препарированием
изображения. Существенная особенность препарирования изображения диалоговый режим обработки под управлением и наблюдением пользователя, неформализованный опыт и знания которого как бы включаются
при этом в систему обработки.
Характерной особенностью препарирования изображения является
также то, что в работу пользователю-эксперту предлагается для сравнительного анализа не само исходное (скорректированное) изображение, а
варианты в виде цветных, стереоскопических, подвижных (анимацион-
300
ные) изображений объекта исследования по результатам выявления существенных признаков.
Кодирование изображений. Это вид обработки, при котором осуществляется преобразование оптических сигналов и изображений в
форму, удобную для передачи по каналам связи и архивного хранения.
Важной составной частью кодирования является, в частности, сжатие
данных, т.е. кодирование, снижающее требования к пропускной способности каналов связи и емкости запоминающих устройств.
Измерение изображений полей. Под этой задачей подразумевается
обработка оптических сигналов, в результате которой получаются количественные данные, предназначенные для принятия решений и управления автоматическими исполнительными механизмами.
Последний тип обработки оптических полей является необходимым
атрибутом различных автоматизированных измерительных систем. Ниже в качестве примера рассматривается одна из таких систем, программное обеспечение которой было разработано на кафедре оптики и
спектроскопии физического факультета МГУ с целью обработки изображений лазерных пучков со сложной пространственной структурой.
8.6.2. Автоматизированная измерительная система для диагностики структуры лазерных пучков
В автоматизированной измерительной системе (АИС) можно выделить две основные части: устройство ввода изображения (УВИ) и персональный компьютер (ПК), снабженный соответствующим программным
обеспечением. УВИ регистрирует в телевизионном стандарте распределение интенсивности светового пучка и после оцифровки видеосигналов
вводит информацию о структуре поля в память ПК. Качество и особенности структуры изображения можно оценивать либо визуально, наблюдая его на мониторе компьютера, либо путем расчета по определенным
программам ряда характеристик, о которых будет сказано ниже.
Важнейшим элементом УВИ является камера с матричным фотоприемником. Фотоприемник представляет собой матрицу полупроводниковых элементов, работающих на принципе зарядовой связи (ПЗСматрица). Снимаемое с каждого элемента напряжение линейно зависит
от его освещенности, то есть от интенсивности соответствующего
участка падающего излучения.
При "считывании" напряжения с каждого элемента матрицы на выходе приемника формируется последовательность электрических сигналов, в которой закодировано распределение интенсивности. Для оцифровки сигналов от камеры в данной системе применяется компьютерная
301
плата "Видеопорт-2", позволяющая фиксировать процессы длительностью приближенно 20 мс. Время ввода оцифрованного сигнала в компьютер зависит только от быстродействия последнего. Программа ввода и
первичной обработки изображений с применением платы "Видеопорт-2"
работает под управлением операционной системы MS-DOS и позволяет
вводить и сохранять на диске компьютера черно-белые изображения
размером до 512 512 точек с цветовым разрешением до 64 градаций яркости.
Рис. 8.6.1. Схема регистрации излучения ПЗС-матрицей
Матрица имеет форму прямоугольника с длиной диагонали 8.8 мм и
несет 704Ѕ560 элементов. Столь плотное расположение элементов матрицы и их малые размеры обеспечивают очень высокую разрешающую
способность - 50 линий на миллиметр. Это означает, что матрица может
различать две линии в структуре изображения, расположенные на расстоянии 20 мкм друг от друга. Укажем для сравнения, что средняя толщина человеческого волоса - 50 мкм.
ПЗС-матрица выполнена на полупроводниковой подложке n-типа
нанесением металлических электродов с изоляцией от полупроводника
тонким слоем диэлектрика.
Принцип работы ПЗС-матрицы демонстрирует рис. 8.6.1. Если на
электрод подается отрицательное напряжение, то на поверхности полупроводника формируется обедненный слой, в котором нет свободных
зарядов, способных перемещаться. Фактически обедненный слой представляет собой потенциальную яму, в которой могут накапливаться не-
302
основные носители заряда из числа носителей, возникающих под действием света.
Передача заряда осущестляется под действием приложенного к
управляющим контактам напряжения трехфазного сигнала. Сначала, как
показано на рис. 4.6.1,а, накапливаются дырки в потенциальной яме, созданной высоким отрицательным напряжением, приложенным к контакту 1.
Рис. 8.6.2. Блок-схема устройства для обработки видеосигнала
1- АЦП; 2- буфер; 3- генератор; 4- схема управления и адресации;
5,6- шина данных и адресная шина компьютера
Если теперь приложить высокое отрицательное напряжение к контакту 2, то потенциальная яма углубится в сторону этого контакта, и туда же переместятся дырки (рис. 8.6.1,б). Сразу же конфигурацию потенциальных ям приводят к виду, показанному на рис. 8.6.1, в. Затем следует новый цикл. При повторении циклов заряд последовательно перемещается и воспринимается как изменяющийся во времени сигнал, несущий информацию об интенсивности и пространственном распределении
излучения.
Помимо ПЗС-матрицы в УВИ входит еще несколько электронных
узлов системы "Видеопорт-2", обеспечивающих в определенном режиме
считывание и оцифровку видеосигналов и их ввод в память компьютера.
Эти узлы и их функциональные связи в упрощенном виде изображены
на рис. 8.6.2. Сигналы с камеры попадают в 6-разрядный аналоговоцифровой преобразователь (АЦП) 1, что позволяет получать до 64 градаций яркости. Оцифрованные данные накапливаются в буфере 2. В нем
каждой точке изображения соответствует одна ячейка, а каждой строке
изображения - строка матрицы. Такое построение упрощает схему
управления, так как переключение осуществляется по строчным син-
303
хроимпульсам (ССИ). По кадровым синхроимпульсам (КСИ) происходит опознание начала кадра.
Генератор формирует сигналы оцифровки для АЦП, сигналы записи-чтения для блока памяти, импульсы переключения для устройства
адресации.
Схема адресации и управления опознает начало кадра, начало строки и, соответственно, управляет работой генератора и буфера.
Устройство работает в двух режимах: режим записи сигнала в буфер и режим передачи содержимого в компьютер.
При помощи компьютера можно управлять такими параметрами
изображения, как контрастность и яркость, изменяя опорное напряжение
на АЦП и постоянную составляющую сигнала соответственно.
Полученная информация о видеосигнале хранится и обрабатывается
в виде массива с размерностью, зависящей от выбранного формата ввода
(количества точек по вертикали и по горизонтали), элементами которого
являются целые числа от 0 до 255. Меньшие значения соответствуют
темным, а большие- светлым областям изображения.
Автоматизированная измерительная система имеет развитое программное обеспечение (ПО). Пользователю предлагается обширное меню, включающее проведение целого ряда операций над структурой оптического изображения и вычислений его характеристик. Все управление работой УВИ и ходом операций осуществляется с клавиатуры ПК
или манипулятором "мышь". Все предлагаемые процедуры обработки
изображений можно разбить на две группы. К первой относятся операции изменения яркости и контрастности изображений, а также проведение бинаризации и просмотр отдельных структурных фрагментов. Чаще
всего указанные операции осуществляются на предварительной стадии
обработки оптических полей. Ко второй группе относятся операции,
обеспечивающие определение характеристик оптических полей. С их
помощью определяются следующие характеристики.
Статистика точек введенного изображения по их интенсивности.
Распределение интенсивности по сечению пучка, профили пучка,
поперечные размеры пучка.
Среднее значение интенсивности <I> по заранее заданной площади
на приемной апертуре оптической системы.
Относительная дисперсия флуктуаций интенсивности
304
Координаты центра тяжести пучка:
(8.6.2)
где x1, y1, x2, y2 - координаты границы рабочего поля обработки.
Двумерный коэффициент автокорреляции интенсивности:
(8.6.3)
где ,
x,y; - координаты в поперечном сечении;
и тот же коэффициент в одномерном выражении:
(8.6.4)
Физический смысл функции R(r) - степень зависимости значения в
двух точках, разделенных расстоянием r. Значение функции нормировано, то есть, ее максимум равен единице. Максимум этот достигается в
точке r=0 (по определению), а также на таких значениях r, на которых
поле не изменяется. Когда значение R убывает до величины, близкой к
нулю, это означает, что на таких расстояниях значения поля не коррелируют, то есть, успевают измениться достаточно сильно.
Радиус зоны корреляции интенсивности rкор - значение аргумента
rкор, при котором rкор 1/2.
Пространственные Фурье-спектры распределения интенсивности и
характерные пространственные частоты по горизонтали fг и по вертикали fв. Процедура расчета пространственных Фурье-спектров распределения интенсивности основывается на типовом дискретном преобразовании Фурье. Спектры могут характеризовать распределение интенсивности в любом заранее заданном скане сечения лазерного пучка, кроме
того, может быть рассчитан усредненный по системе сканов фурьеспектр. По виду рассчитанных спектров можно определить характерные
пространственные частоты по горизонтали fг и по вертикали fв.
305
Количество и площадь выбросов интенсивности - таких участков
обрабатываемого светового поля, интенсивность которых превосходит
заранее задаваемый уровень.
Фрактальную размерность структуры светового пучка.
Приведенный перечень измеряемых характеристик свидетельствует
о том, что автоматизированная система измерений позволяет осуществлять многопараметрический анализ структуры световых полей со сложной пространственной структурой. Она была с успехом использована
для исследования возмущений амплитудно-фазового профиля лазерных
пучков при их распространении в турбулентной атмосфере.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 8
1. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. Компьютерная оптика. Достижения и
проблемы //сб. "Компьютерная оптика" под ред. акад. Велихова Е.П. и
акад. Прохорова А.М., 1987, в.1, с.5-19.
2. Сойфер В.А. Компьютерная оптика //Соросовский образовательный журнал, 1998.
3. Франсон М. Голография.- М.: Мир, 1972, 248 с.
4. Горохов Ю.Г., Неплюев Л.Н. Голография в приборах и устройствах.- М.: Энергия,1974, 80 с.
5. Федоров Б.Ф., Цибулькин Л.М. Голография.- М.: Радио и связь,
1989, 140 с.
6. Кузнецова Т.И. О фазовой проблеме в оптике //УФН, 1988, т.154,
в. 4, с. 677-690.
7. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики.- М.: Наука, 1985, 336 с.
8. Воронцов М.А., Корябин А.В., Шмальгаузен В.И. Управляемые
оптические системы. - М.: Наука, 1988, 270 с.
9. Гроссо Р., Еллин М. Мембранное зеркало как элемент адаптивной
оптической системы //Сб. статей "Адаптивная оптика" под ред. Э.А.
Витриченко - М.: Мир, 1980, с. 428-447.
10. Ярославский Л.П. Цифровая обработка полей в оптических системах. Цифровая оптика. //сб. "Новые физические принципы оптической обработки информации" под ред. С.А. Ахманова и М.А. Воронцова,
- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990, 400 с.
11. Мирошников М.М., Нестерук В.Ф. Развитие методологии иконики и ее структурной схемы //Труды Государственного оптического
института им. С.И. Вавилова, 1982, т. 57, в. 185, с. 7- 13.
306
12. Сойфер В.А. Компьютерная обработка изображений. Часть 1.
Математические модели //Соросовский образовательный журнал, 1996,
№2, с.118-124.
13. Сойфер В.А. Компьютерная обработка изображений. Часть 2.
Методы и алгоритмы //Соросовский образовательный журнал, 1996, №3,
с.110-121.
14. www.optics.npi.msu.ru
307
ГЛАВА 9. ЗАПИСЬ И ОБРАБОТКА ОПТИЧЕСКОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Введение
В настоящее время существует большое количество способов записи и обработки получаемой в когерентном свете оптической информации о структуре того или иного физического объекта. Cамый распространенный из них состоит в получении с помощью оптической системы
изображения интересующего объекта, его регистрации с использованием возможностей фото- и видеотехники и в последующей апостериорной обработке изображения. Другой способ, также получивший широкое
распространение, основан на получении голограммы объекта. Этот способ, в отличие от первого, позволяет регистрировать информацию не
только о распределении интенсивности света, отраженного или излучаемого объектом, но и о распределении фазы световых колебаний. Последнее обстоятельство создает дополнительные возможности по корректировке характеристик изображения. Однако свойства когерентных
оптических систем , даже состоящих из традиционных оптических элементов (линзы, зеркала, киноформы, диафрагмы, маски и т.д.), не сводятся только к способности формировать оптические изображения. В
ряде случаев их можно рассматривать как некие оптические процессоры,
осуществляющие определенные математические преобразования,
например, фурье-преобразования, по отношению к двумерной функции,
определяющей распределение комплексной амплитуды на входе системы. Несмотря на кажущееся различие указанных вариантов использования оптических систем, их теоретическое описание имеет много общего.
В связи с этим изложение материала данной главы начнем с построения общей теории оптических систем.
9.1. Общая характеристика оптических систем [1-3]
В самом общем виде функциональная схема записи и обработки оптической информации приведена на рис. 9.1.1. Плоская монохроматическая волна 1 освещает объект 2, который размещают во входной (предметной) плоскости системы 3. Излучение, прошедшее объект или отраженное от него, попадает во входное отверстие (входной зрачок) 7 оптической системы 4. Пройдя элементы оптической системы, излучение
выходит из выходного отверстия (выходного зрачка) 8 и формирует в
308
выходной плоскости (плоскости изображений) 5 изображение объекта.
Вблизи плоскости изображений располагается светочувствительный
элемент 6 регистрирующей системы (фотопластина, матрица фотоприемников и т.д.)
В тех случаях, когда оптическая система играет роль оптического
процессора, у входной плоскости системы вместо объекта 2 располагается преобразователь входных сигналов. Он, пространственно модулируя падающую на него световую волну, преобразует информацию, поступающую от некоторого источника во входной оптический сигнал. В
одном случае преобразователь может представлять собой слайд, на котором информация записана в виде изменяющего коэффициента пропускания. В другом случае в качестве преобразователя может использоваться слой жидкости, рельеф поверхности которой изменяется под действием ультразвуковых волн или электронного пучка.
Рис. 9.1.1. Схема оптической обработки информации. 1-плоская монохроматическая волна; 2-объект; 3-входная (предметная) плоскость; 4оптическая система; 5-выходная плоскость (плоскость изображения); 6светочувствительный элемент; 7-входное отверстие (входной зрачок); 8выходное отверстие (выходной зрачок).
Свяжем с входной плоскостью оптической системы прямоугольную
систему координат (x,y), а с выходной - систему координат (x? ,y? ). Если в системе отсутствуют нелинейные оптические элементы, между
входным сигналом
и выходным сигналом
жет быть записана в виде
(рис. 9.1.1) мо-
,
(9.1.1)
где
- некий линейный оператор. Линейность преобразования
означает, что выходной сигнал от суммы входных сигналов равен сумме
выходных сигналов от каждого входного сигнала в отдельности.
309
Используя свойство d -функции Дирака, можно представить функцию
в виде
(9.1.2)
Подставляя (9.1.2) в (9.1.1) и учитывая линейность оператора ,
можно записать
(9.1.3)
Таким образом, выходной сигнал
может быть представлен в
виде суммы (интеграла) элементарных откликов
с весовыми коэффициентами
. Поскольку d - функция
моделирует узкий и высокий "импульс" в точке
(точечный источник света), функцию
(9.1.4)
называют импульсным откликом системы. Учитывая последнее
обозначение, выражению (3.1.3) придаем вид
.
(9.1.5)
Импульсный отклик
называют также переходной функцией данной оптической системы, а выражение (9.1.5) получило название "интеграл суперпозиции".
Качество оптических систем во многом определяется тем, в какой
степени им присуще свойство изопланарности. Под изопланарностью
понимают инвариантность к пространственным смещениям, обеспечивающую выполнение соотношения
(9.1.6)
Форма выходного сигнала в изопланарной системе, тем самым, не
зависит от пространственных смещений входного сигнала. Хотя реальные оптические системы редко бывают изопланарными по всей плоскости входного сигнала (изопланарность имеет место лишь на отдельных
участках), все рассматриваемые системы мы в дальнейшем будем считать изопланарными. Это допущение позволяет нам представить переходную функцию системы
в более простом виде, считая ее зависящей от разности значений соответствующих координат
(9.1.7)
310
Интеграл суперпозиции (3.1.5) при этом принимает вид интеграла
свертки
(9.1.8)
Применим к левой и правой части соотношения (9.1.8) преобразование Фурье
(9.1.9)
Из теоремы свертки следует, что
(9.1.10)
поэтому выражение (9.1.9) может быть представлено в виде
(9.1.11)
Введем следующие обозначения:
(9.1.12)
Функцию
принято называть передаточной функцией системы.
Перепишем выражение (9.1.11) с учетом обозначений (9.1.12)
(9.1.13)
Из последнего соотношения видно, что спектр пространственных
частот выходного сигнала равен произведению спектра частот входного
сигнала и передаточной функции. Выражение (9.1.13), как мы убедимся
ниже, играет фундаментальную роль в теории систем записи и обработки оптической информации. Теоретический анализ мы начнем с простейшей оптической системы, состоящей всего лишь из одной линзы.
9.2. Однолинзовая система [1-4]
9.2.1. Линзы как элементы, выполняющие преобразование Фурье
Пусть оптическая система состоит из одного элемента - тонкой идеальной (без аберраций) линзы. Покажем, что такая простейшая система
может выполнять функцию оптического процессора, выполняющего
преобразование Фурье. Будем считать, что линза с фокальным расстоянием F и апертурой D располагается в плоскости
между входной
(х,у) и выходной (х',у') плоскостями соответственно на расстоянии d0 и
d1 (см. рис. 9.2.1).
Как уже ранее отмечалось, линза является элементом, осуществляющим квадратичную фазовую модуляцию. Это означает, что распреде-
311
ление поля падающей на линзу волны Y x (x ,h ) будет связано с распределением поля световых колебаний за линзой Y 'x (x ,h ) соотношением
(9.2.1),
где так называемая модуляционная характеристика линзы Т(x , h )
равна
Рис. 9.2.1. Однолинзовая система.
(9.2.2)
где
(9.2.3)
Рассчитаем теперь переходную функцию однолинзовой системы.
Для простоты будем считать, что апертура линзы существенно превосходит апертуру падающего на него светового пучка. Возьмем за основу
формулу (1.2.40) гл. 1, исключив из нее легко учитываемый постоянный
фазовый множитель -iexp(ikz). В соответствии с этой формулой входной
сигнал y (х,у) после прохождения расстояния d0 преобразуется в сигнал
(9.2.4).
Согласно (9.2.1 - 9.2.3), сразу за линзой сигнал принимает вид
(9.2.5).
Воспользовавшись формулой
,
312
получаем выражение для сигнала в выходной плоскости (после
прохождения на расстоянии d1)
(9.2.6).
Используя выражения (9.2.4-9.2.6), запишем теперь в явном виде
связь между входным y (х,у) и выходным y (х',у') сигналами
(9.2.7).
Отсюда видно, что переходная функция однолинзовой системы
равна
(9.2.8)
Положим d0=d1=F. В этом случае (9.2.8) принимает вид
(9.2.9)
Используя далее соотношение
(9.2.10)
и, полагая
ной функции простое выражение
, получаем для переход-
(9.2.11)
Если теперь ввести обозначения
(9.2.12)
то интеграл суперпозиции (9.2.7) можно привести к виду
(9.2.13)
313
Отсюда видно, что при выполнении условия d0=d1=F линза выполняет Фурье-преобразование сигнала: ее задняя фокальная плоскость является спектральной плоскостью входного сигнала. Таким образом, линза может предельно просто выполнять математическую операцию, представляющую трудность даже для сложных электронных устройств.
Заметим, что спектр с точностью до легко учитываемого фазового
множителя будет формироваться в фокальной плоскости даже в том
случае, когда d0>F. При этом условии выражение (9.2.7) приводится к
виду (промежуточные выкладки мы опускаем)
(9.2.14)
Фазовый множитель
,
(9.2.15)
не зависящий от вида входного сигнала, легко учитывается при последующей обработке.
9.2.2. Формирование изображения [1]
Конечно, наиболее известным свойством линз является их способность формировать изображение. Если предмет пемещен перед линзой и
освещен, то при определенных условиях в другой плоскости возникает
распределение интенсивности, которое очень напоминает предмет. Это
распределение называется изображением предмета. Изображение может
быть действительным в том смысле, что в плоскости за линзой возникает действительное распределение, и мнимым в том смысле, что свет за
линзой кажется исходящим из новой плоскости, расположенной перед
линзой.
Предположим, что плоский предмет, находящийся на расстоянии d0
перед положительной линзой, освещен монохроматическим светом.
Обозначим комплексное поле непосредственно за предметом через y
(x,y) Распределение поля, которое возникает на расстоянии d1 за линзой,
обозначим через y '(x',y'). Наша задача - определить условия, при которых распределение поля y ' можно с уверенностью назвать "изображением" распределения поля в плоскости предмета y .
Ввиду линейности явления распространения волн поле y ' можно
представить в виде интеграла суперпозиции (9.1.5). Тем самым свойства
314
системы, создающей изображение, будут полностью описаны с помощью импульсного отклика h (см. (9.2.8)).
Чтобы оптическая система давала высококачественное изображение, поле y ' должно как можно меньше отличаться от y . Это означает,
что импульсный отклик должен приближенно походить на d -функцию,
т.е.
(9.2.16)
где K - комплексная постоянная, М - увеличение системы, а знак
плюс или минус учитывает возможность как прямого, так и обратного
изображения. Поэтому "плоскостью изображения" мы будем называть ту
плоскость, где (9.2.16) выполняется лучше всего.
Преобразуем (9.2.8) к виду
(9.2.17)
Соотношения (9.2.17) играет важную роль при определении зависимости между y и y '. Однако без дальнейших упрощений трудно определить условия, при которых распределение y ' можно с уверенностью
назвать изображением распределения y .
Самые неприятные члены в приведенном выше выражении для импульсного отклика - это члены, содержащие квадратичные фазовые
множители. Заметим, что два из них:
(9.2.18)
не зависят от координат линзы (x , h ). Эти члены определяют фазовое искривление в плоскостях (x',y') и (x,y). Если бы мы решили рассматривать формирование изображения между двумя сферическими поверхностями, а не между двумя плоскостями, эти члены можно было бы
исключить. Однако можно показать, что и в случае формирования изображения между двумя плоскостями оба эти члена несущественны.
Опуская множитель
, заметим, что в подавляющем
большинстве представляющих интерес случаев конечной целью задачи
315
формирования изображения является получение некоторого распределения света, которое будет воспринято детектором, реагирующим только
на интенсивность (например, фотопленкой). Так как рассматриваемый
член изменяет только распределение фазы, он никак не будет влиять на
результаты измерения интенсивности и, следовательно, может быть
опущен.
К сожалению, от фазового множителя
не удается
освободиться столь же просто, поскольку он зависит от переменных интегрирования (x,y) интеграла суперпозиции. Однако в большинстве случаев, представляющих интерес, от него тоже можно избавиться. Если
система, создающая изображение, ведет себя приблизительно так же, как
идеальная система, для которой справедливо соотношение (9.2.16), то
амплитуда волны в точке с координатами (x',y') будет определяться
вкладом только очень малой области в пространстве предмета с центром
в точке, соответствующей идеальному геометрическому изображению
(рис. 9.2.2).
Рис.9.2.2. Область R, в которой функция h для точки с координатами
(x',y') имеет значительную величину
Если внутри этой малой области аргумент
изменяется не более чем на долю радиана, то можно использовать приближение
(9.2.19)
Теперь экспоненциальный член можно опустить, так как он не зависит от (x, y) и следовательно, не влияет на результат измерения интенсивности в плоскости (x',y').
Воспользовавшись приведенными соображениями, перепишем выражение для импульсного отклика в виде
316
(9.2.20)
Чтобы получить совсем простой результат, рассмотрим случай, когда плоскость наблюдения расположена на таком расстоянии d1 от линзы, что удовлетворяется соотношением
.
(9.2.21)
Это соотношение известно из геометрической оптики, где оно
называется формулой линзы. Соотношение (9.2.21) определяет расположенную за линзой точку, в которой пересекаются лучи, исходящие из
одной точки предмета (точка изображения). В приближении геометрической оптики выполнение формулы линзы означает, что импульсный
отклик системы достаточно близок к идеальному. Предположение о выполнении формулы линзы позволяет свести импульсный отклик к виду
(9.2.22)
Определяя увеличение системы как
(9.2.23)
находим последний упрощенный вид импульсного отклика
(9.2.24)
Таким образом, если формула линзы справедлива, то импульсный
отклик соответствует картине дифракции Фраунгофера на апертуре линзы, причем центр картины находится в точке изображения
.
Перейдем теперь к анализу соотношения между предметом и изображением. Рассмотрим сначала свойства изображения, предсказываемые
геометрической оптикой. Чтобы найти это идеальное изображение, допустим, что длина волны стремится к нулю. В этом случае дифракци-
317
онные эффекты становятся несущественными. Производя замену переменных
(9.2.25)
выражение для импульсного отклика (9.2.24) можно переписать в
виде
(9.2.26)
Область значений ( ), где функция зрачка Р равна единице, будет
безгранично увеличиваться, что дает возможность заменить Р единицей,
оставив те же пределы интегрирования. Таким образом,
(9.2.27)
Представляя этот результат в интеграл суперпозиции (9.2.16), получаем соотношение, связывающее распределения амплитуды в точках
предмета и в точках изображения
(9.2.28)
Отсюда следует, что изображение, получаемое в приближении геометрической оптики, представляет собой точную копию изображения.
Выводы геометрической оптики, конечно, приближенны. Более
точное представление о соотношении между предметом и изображением
можно получить только при учете дифракционных эффектов. Чтобы
найти такое соотношение, вернемся к выражению (9.2.26) для импульсного отклика и произведем следующую дополнительную замену переменных:
(9.2.29)
Импульсный отклик в этом случае будет равен
(9.2.30)
Заметим, что h теперь пространственно-инвариантная величина, зависящая только от разности координат
го определения
. С введением еще одно-
318
(3.2.31)
распределение поля в плоскости изображения принимает вид
(9.2.32)
В этом выражении мы узнаем свертку импульсного отклика
идеального изображения. Для удобства определим новую функцию
и
(9.2.33)
Свертку (3.2.32) тогда можно переписать в упрощенном виде:
(9.2.34)
где
(9.2.35)
Соотношения (9.2.34) и (9.2.35) представляют собой конечный результат настоящего анализа. Они показывают, что при учете дифракционных эффектов изображение нельзя больше считать точной копией
предмета. Полученное изображение дает несколько сглаженный облик
предмета, что является следствием неравенства нулю ширины импульсного отклика . Это сглаживание может привести к значительному
ослаблению мелких деталей предмета и соответственно к потере точности воспроизведения изображения. Точно такое же явление можно
наблюдать в случае, когда электрический сигнал проходит через линейную электрическую схему. Если длительность импульсного отклика
схемы велика по сравнению с "временем пульсаций" входного сигнала,
то схема будет сглаживать входной сигнал. Таким образом, быстрые изменения входного сигнала не будут воспроизводиться на выходе.
9.3. Получение изображений в сложных системах [1, 8]
9.3.1. Дифракционно-ограниченные системы
Теории Аббе и Релея
Предположим, что рассматриваемая оптическая система cостоит не
из одной линзы, а из нескольких линз, среди которых могут быть как
положительные, так и отрицательные. Линзы могут и не быть "тонкими". Будем предполагать, однако, что система в конечном счете дает
319
действительное изображение, но фактически это не ограничение, так как
если система дает мнимое изображение, то оно может быть преобразовано в итоге в действительное, например глазом. Значит, в подобном
случае нам следует включить глаз в качестве конечного элемента в нашу
систему.
При рассмотрении свойств системы линз будем считать, что все
элементы, создающие изображение, помещены в один "черный" ящик" и
что основные свойства системы можно полностью описать, определяя
только конечные свойства этого устройства.
Согласно рис. 9.1.1, входом этого черного ящика служит входной
зрачок, представляющий собой отверстие конечных размеров (эффективнное или действительное), через которое должен проходить свет
прежде, чем он достигнет элементов, создающих изображение, а выходом - выходной зрачок (также эффективный или действительный), представляющий собой отверстие конечных размеров, через которое свет
проходит после создающих изображение элементов на пути к плоскости
изображения. Обычно считают, что путь света между входной и выходной плоскостями может быть достаточно полно описан в приближениях
геометрической оптики. Таким образам, конечный размер обоих зрачков
можно найти, строя по законам геометрической оптики проекцию
наименьшей апертуры системы соответственно в пространстве предметов и пространстве изображений. Поскольку размеры получающихся
зрачков определяются размерами изображенния эффективного отверстия, существующего где-то внутри системы, они могут быть меньше
действительных физических размеров отверстий в входной и выходной
плоскостях. Заметим, что при таком определении входной зрачок всегда
является изображением выходнного зрачка и наоборот.
Оптическая система называется дифракционно ограниченной, если
она преобразует расходящуюся сферическую волну, исходящую из любого точечного источника, в новую идеальную сферическую волну, которая сходится в точке, лежащей в плоскости изображения. Таким образом, конечное свойство дифракционно ограниченной системы линз заключается в том, что она преобразует расходящуюся сферическую волну, падающую на входной зрачок, в сходящуюся сферическую волну,
выходящую через выходной зрачок. Для любой реальной оптической
системы это свойство выполняется в лучшем случае только для конечной области в плоскости предмета. Если рассматриваемый предмет не
выходит за пределы этой области, систему можно отнести к дифракционно ограниченной. Если в действительности фронт волны от точечного
источника после выходного зрачка значительно отличается от идеальной
320
сферической формы, то говорят, что оптическая система имеет аберрации.
Геометрическая оптика с достаточной точностью описывает прохождение света от входного зрачка к выходному, поэтому дифракционные эффекты играют заметную роль только на пути света от предмета к
входному зрачку и от выходного зрачка к изображению. Действительно,
все ограничения, налагаемые дифракцией, можно связать с любым из
этих двух участков пути распространения света. Утверждения о том, что
разрешение изображения ограничивается входным зрачком конечных
размеров или выходным зрачком конечных размеров, полностью эквивалентны. Основная причина эквивалентности заключается в том, что
один зрачок представляет собой просто изображение другого.
Представление о том, что обсуждаемые дифракционные эффекты
обусловлены входным зрачком конечных размеров, было впервые введено Эрнстом Аббе в 1873г. Согласно теории Аббе, только определенная
часть дифракционных максимумов, созданных сложным предметом,
пропускается входным зрачком конечных размеров. Не пропускаются
зрачком те максимумы, которые соответствуют высокочастотным составляющим предмета. Это положение иллюстрирует рис. 9.3.1, где
предметом служит простая решетка, а оптическая система состоит из
одной положительной линзы.
Рис. 9.3.1. Формирование изображения по Аббе
В 1896 г. Релей высказал другую, фактически эквивалентную точку
зрения, в соответствии с которой дифракционные эффекты обусловлены
выходным зрачком конечных размеров. Тем самым, на сложные оптические системы могут быть перенесены соотношения (3.2.34) и (3.2.35),
полученные для однолинзовой системы, путем замены апертурной
функции линзы Р на апертурную функцию выходного зрачка системы. К
321
сложным системам, формирующим изображение непосредственно применимо понятие передаточной функции.
Передаточная функция Н определяется как фурье-образ переходной
функции , которая в свою очередь определяется преобразованием
Фурье от фукции выходного зрачка (переходная функция будет выражаться формулой (9.2.35) в предположении,что функция P относится к
выходному зрачку)
Таким образом, мы приходим к выводу, что для дифракционно
ограниченной системы
(9.3.1)
Это крайне важное соотношение, так как оно дает информацию относительно поведения дифракционно ограниченных когерентных систем
в частотной области. Так как функция зрачка Р всегда равна или единице
или нулю, то же самое справедливо и для передаточной функции. Это,
естественно, означает, что в частотной области дифракционно ограниченная система имеет конечную полосу пропускания, внутри которой
все частотные составляющие пропускаются без искажения амплитуды и
фазы. На границе этой полосы пропускания частотный отклик сразу падает до нуля, в силу чего частотные составляющие вне полосы пропускания полностью подавляются.
Поскольку функция зрачка системы играет принципиальную роль в
формировании структуры изображения, возникает вопрос о возможности подбора такого амплитудного пропускания зрачка системы, при котором ослабляются боковые лепестки дифракционной картины резко
очерченной диафрагмы. Появление боковых лепестков в дифракционной
картине аналогично эффекту оптических выбросов или эффекту Гиббса.
Как известно, эффект Гиббса полностью исчезает, если от зрачка, амплитудное пропускание которого описывается прямоугольным импульсом, перейти к зрачку, описываемому треугольным импульсом. Наиболее подходящей формой зрачка является такая, амплитудное пропускание которой описывается функцией Гаусса. Действительно, в этом случае картина дифракции далекого поля описывается фурье- образом зрачка, а фурье-образ функции Гаусса равен функции Гаусса. Боковые лепестки при этом полностью исчезают. Процесс аподизации сопровождается неизбежным уширением основного пика дифракционной картины.
Mетод аподизации, основанный на сглаживании функции пропускания зрачка системы, является весьма эффективным способом улучшения пространственной структуры оптического сигнала. На рис. 9.3.2
приведены результаты аподизации картины дифракции далекого поля. С
помощью аподизации удается разделить изображение двух близко рас-
322
положенных предметов, когда они очень сильно отличаются между собой по интенсивности.
Рис. 9.3.2. Влияние аподизации на вид картины дифракции далекого поля. Вверху - дифракция без аподизации; внизу - после аподизации
9.4. Учет аберраций [5]
Если оптическая система является дифракционно ограниченной, то
импульсный отклик (при когерентном освещении), как мы видели, представляет собой картину дифракции Фраунгофера на выходном отверстии
с центром в точке идеального изображения. Это обстоятельство подсказывает удобный прием, который позволит непосредственно учесть аберрации в наших предыдущих результатах. В частности, в случае искажения волнового фронта можно представить, что выходной зрачок освещается идеальной сферической волной, но в пределах отверстия находится
фазовая пластинка, деформирующая выходящий из зрачка фронт волны.
Если фазовая ошибка в точке
выходного зрачка изображается
как
, где
, а W- эффективная погрешность длины пути,
то комплексный коэффициент пропускания Р воображаемой фазовой
пластинки можно представить в виде
323
(9.4.1)
Комплексную функцию Р можно считать обобщенной функцией
зрачка. Импульсный отклик когерентной системы с аберрациями представляет собой просто картину дифракции Фраунгофера на отверстии с
коэффициентом пропускания Р.
Передаточная функция при наличии аберрации запишется следующим образом:
(9.4.2)
где fx и fh - пространственные частоты в направлениях x и h .
Очевидно, что в случае когерентного освещения ограничение полосы пропускания передаточной функции, которое обусловлено конечным
размером выходного зрачка, не зависит от наличия аберраций. Аберрации вводят только фазовые искажения в пределах полосы пропускания.
Разумеется, фазовые искажения могут оказывать определенное влияние
на точность воспроизведения.
В теории оптических систем эффективную погрешность длины пути W принято оценивать по расстояниям отделяющих волновой фронт
точечного источника вблизи выходного зрачка реальной системы (c
аберрациями) от сферического волнового фронта, формируемого идеальной системой (без аберраций). Тем самым, при оценке аберраций
сферический волновой фронт идеальной системы выступает в качестве
сферы сравнения. Если ввести в плоскости выходного зрачка полярную
систему координат с радиальной координатой
(R - внешняя
апертура выходного зрачка) и азимутальной координатой j , то W можно
представить в виде:
(9.4.3)
Коэффициенты в этом выражении имеют следующий смысл:
d представляет дефокусировку или кривизну поля, т.е. максимальное отклонение на краю зрачка (r=1) сферы сравнения от волновой поверхности (которая является сферической, если эта аберрация единственная);
s1 - коэффициент сферической аберрации 3-го порядка. Это максимальное отклонение на краю зрачка деформированной волновой поверхности от сферы сравнения, имеющей центр в параксиальном фокусе
(острие геометрической каустики);
324
s2 - коэффициент сферической аберрации 5-го порядка при тех же
условиях;
K - параметр, соответствующий возможному покачиванию сферы
сравнения;
C1 - коэффициент комы 3-го порядка, т.е. максимальное отклонение
на краю отверстия от сферы сравнения, центр которой совпадает с параксиальным фокусом волновой поверхности, соответствующей коме
(если эта аберрация единственная);
C2 - коэффициент комы 5-го порядка при тех же условиях;
a - коэффициент астигматизма, т.е. максимальное отклонение
астигматической волновой поверхности от сферы сравнения.
9.5. Голографическая запись информации [2, 6-9]
9.5.1. Принцип голографической записи
В отличие от фотографирования, регистрирующего лишь интенсивность волны, идущей от объекта, метод голографии позволяет записывать как амплитуду, так и фазу световых колебаний в плоскости наблюдения. В основе голографической записи лежит идея, согласно которой
для выявления фазовой информации надо создать интерференцию исследуемой (объектной) волны с некоторой вспомогательной (опорной)
волной. Будем описывать световые колебания объектной O и опорной R
волн в точке M, лежащей в плоскости наблюдения, соответственно в виде выражений
(9.5.1)
(9.5.2)
o, r и j o, j r - соответственно амплитуды и фазы колебаний. Если в
плоскости наблюдения расположить фотопластинку с идеальной линейной по интенсивности фотоэмульсией, то она зарегистрирует следующее
распределение интенсивности:
(9.5.3)
После соответствующей обработки пропускание пластинки станет
пропорционально I.
Если теперь эту пластинку осветить опорной волной R, то поле на
выходе пластинки будет иметь вид
(9.5.4)
Последнее выражение составляет теоретическую основу голографии. В нем первое слагаемое
представляет собой поле опор-
325
ной волны R, амплитуда которой промодулирована коэффициентом
; второе слагаемое
- поле объектной волны, амплитуда которой промодулирована коэффициентом r 2. Если в качестве опорной волны используется плоская волна, то
и модуляция исчезает; объектная волна при этом равномерно ослабевает в соответствии с коэффициентом rо2. Наконец, третье слагаемое в выражении (9.5.4)
- описывает волну, комплексносопряженную с объектной волной. Оно несет информацию, хотя и очень
близкую к информации об объекте, но отличающуюся от объектной
волны наличием обратной фазы.
Остановимся теперь на конкретных схемах голографической записи
и восстановления изображений. Наибольшее распространение получила
схема, предложенная в 1962 г. американскими учеными Лейтом и Упатниексом. Ее упрощенный вариант приведен на рис. 9.5.1.
Рис. 9.5.1. Схема записи (а) и восстановления (б) изображения: 1 - лазер;
2 - светоделительная пластина; 3,4 - поворотные зеркала; 5,6 - линзы; 7 голографическая пластина; 8 - объект; 9 - наблюдатель; О - объектная
волна; R - опорная волна
Как видно из рисунка, при восстановлении изображения используется пучок, который при записи выполняет роль опорного. Положение
восстановленного изображения полностью соответствует положению
объекта.
Другая схема, ориентированная на получение так называемых голограмм Фурье, будет далее рассмотрена более подробно.
9.5.2. Голограммы Фурье
Рассмотрим приведенную на рис. 9.5.2 схему получения голограммы Фурье с точечным опорным источником, расположенным на оси системы. Такая схема рассчитана на получение голограмм плоских пред-
326
метов, как правило - изображений различных объектов на фотопленке.
Голограммы Фурье широко используются для оптической обработки
информации, а также в системах голографической памяти.
На схеме плоскость, в которой размещается пленка с изображениями объектов, обозначена буквой П, а плоскость, в которой формируется
голограмма, - буквой Г. Плоскости П и Г совпадают с фокальными
плоскостями линзы Л3. На плоскость П падает плоская волна когерентного света, создаваемая источником S. От этого же источника в плоскости П с помощью линз Л1 и Л2 формируется точечный источник S0, создающий опорную волну. Опорный и предметный пучки собираются
линзой Л3 и в плоскости Г создают интерференционную картину, которая регистрируется помещенной в этой плоскости фотопленкой.
Рис. 3.5.2. Схема получения голограммы Фурье
Выберем в плоскости П систему координат Оху, а в плоскости Г систему О1х1у1. Расположим начала координат этих систем на оптической оси линзы Л3. Точечный опорный источник S0 поместим в начало
координат системы Оху. Комплексное световое поле, образованное источником S в плоскости фотопленки, обозначим двумерной функцией
h(x,y). Комплексное световое поле в плоскости Г обозначим через
g(x1,y1). Линза Л3 выполняет над функцией h(x,y) двумерное преобразование Фурье, так что функции h(x,y) и g(x1,y1) связаны следующей зависимостью:
(9.5.5)
где l - длина волны когерентного света источника S, f1 - фокусное
расстояние линзы Л3. Запишем (3.5.5) в несколько иной форме:
(9.5.6)
327
из которой видно, что в подынтегральном выражении роль пространственных частот играют величины
(9.5.7)
Иначе:
(9.5.8)
Таким образом,
(9.5.9)
где H(p,q) - двумерное преобразование Фурье функции h(x,y), а p и
q определяются равенствами (9.5.7). Будем называть H(p,q) комплексным спектром функции h(x,y), а его составляющие A(p,q) и
в соответсвии с выражением
- амплитудным и фазовым спектрами.
Вернемся к схеме рис. 9.5.2 и составим выражение для функции
h(x,y). Как видно из рисунка, эта функция образуется двумя компонентами: полем опорного источника и полем, прошедшим пленку с изображением объекта. Так как мы рассматриваем опорный источник в виде
идеальной точки, обозначим его поле с помощью двумерной дельтафункции Дирака с амплитудой волны А0, т.е.
(9.5.10)
Поле центрированного объекта обозначим через Е0(х,у). Ввиду того, что в принятой схеме объект смещен относительно начала координат
на величину х0 и у0, то поле будет характеризоваться функцией Е0(х-х0,
у-у0)=Е(х,у). Таким образом, получим:
(9.5.11)
Поле в плоскости Г определим в соответствии с выражением (9.5.8).
Как известно, преобразование Фурье суммы функций равно сумме преобразований Фурье слагаемых, поэтому получим комплексные спектры
слагаемых в (9.5.11) раздельно. Для первого слагаемого, вспоминая, что
по одному из определений дельта- функции
получим:
(9.5.12)
Для второго слагаемого
328
Делая подстановку
получим
или
(9.5.13)
где
- комплексный спектр центрированного объекта.
Таким образом, учитывая, что
из (9.5.12) и (9.5.13) получим:
(9.5.14)
Комплексный спектр
центрированного объекта через амплитудный и фазовый спектры выразится следующим образом:
Поэтому для поля (9.5.14) будем иметь:
(9.5.15)
Голограмма получается регистрацией поля в плоскости Г на фотопленку. Ввиду того, что фотографическая эмульсия реагирует на интенсивность света I(p,q), прозрачность пленки t (p,q) (амплитудное пропускание) является функцией интенсивности:
,
(9.5.16)
где g - коэффициент контрастности пленки. Коэффициент k определяется чувствительностью фотослоя и временем экспозиции.
Интенсивность светового поля в плоскости Г равна квадрату модуля функции g(x1,y1), т.е.
(9.5.17)
где
а звездочкой обозначена комплексно сопряженная величина. Подставив в (9.5.17) вместо g(x1,y1) ее значение из (9.5.15), получим:
329
(9.5.18)
Здесь
(9.5.19)
Учитывая, что
, получим:
(9.5.20)
Функцию прозрачности голограммы получим, подставив (9.5.20) в
(9.5.16). При А0, достаточно больших по сравнению с АЕ(p,q), разлагая
(9.5.16) в степенной ряд и ограничиваясь линейным приближением, получим:
(9.5.21)
Запишем полученное выражение в более удобной для анализа форме:
(9.5.22)
Здесь
Соотношение (9.5.22) является уравнением голограммы Фурье, полученной по схеме рис. 9.5.2. но представляет собой связь амплитудного
пропускания t (p,q) голограммы с пространственно-частотными характеристиками голографируемого плоского предмета.
С точностью до разрешающей способности фотопленки и в пределах линейности ее характеристики на голограмме зафиксирована вся
информация о предмете, содержащаяся в его амплитудном AE(p,q) и фазовом j E(p,q) спектрах. Для сведения к минимуму нелинейных искажений при формировании голограммы необходимо правильно выбирать
входящие в уравнение параметры kG , a и b , а следовательно, и определяющие их амплитуду А0 опорного пучка и коэффициент контрастности
g . Обычно принимают А0>10AE и g » 2.
Проанализируем уравнение голограммы (9.5.22).
В правой части уравнения содержится три слагаемых. Постоянная
составляющая kG a =t 0 определяет среднюю прозрачность голограммы,
которая получилась бы в случае перекрывания пучка от предмета, т.е.
когда AE(p,q)=0.
330
Вторая составляющая kG b AE2(p,q) характеризует дополнительную неравномерную засветку голограммы пучком от предмета. Так как
эта составляющая вычитается из t 0, то она уменьшает прозрачность голограммы, особенно в тех местах, где велико значение амплитудного
спектра предмета. Ввиду того, что для большинства предметов
наибольшую энергию несут низкочастотные составляющие спектра, потемнение голограммы Фурье за счет второй составляющей сосредоточено вблизи начала координат частотной плоскости.
Вторая составляющая содержит лишь часть информации о предмете, так как в ней отсутствует фазовый спектр. Полную информацию содержит третья составляющая, возникающая благодаря интерференции
предметного пучка с опорным. Из-за наличия в ней функции
она
знакопеременная. При положительном значении косинуса она уменьшает прозрачность голограммы, при отрицательном- увеличивает. Эта составляющая представляет собой косинусную волну, промодулированную по амплитуде и фазе. Вектор несущей частоты косинусоиды имеет
составляющие
(9.5.23)
зависящие от смещения предмета относительно опорного источника. Направление фронта волны косинусоиды получим из соотношения
(9.5.19) для фазы. Полагая j E(p,q)=0, из (9.5.19) получим:
(9.5.24)
Так как фронт волны соединяет точки с одинаковой фазой, то, положив
(9.5.25)
получим уравнение фронта косинусоиды:
Это прямая, имеющая наклон k=-y0/x0. Косинусная волна на голограмме проявляется в виде периодических интерференционных полос и
особенно хорошо видна при равномерных AE(p,q) и j E(p,q), т.е. когда
она не сильно искажена модуляцией.
Таким образом, объект на голограмме представляется в виде суперпозиции элементарных косинусоид. Этим и объясняется, почему этот
способ записи получил название голографии Фурье.
Следует отметить, что фазовый спектр j E(p,q), входящий в выражение для есть фазовый спектр центрированного объекта, ибо смещение объекта на величины х0 и у0 от центра учитывается первым слагае-
331
мым в (9.5.19). Поэтому для всех объектов, имеющих центральную симметрию (двумерный аналог четности функций), j E(p,q)=0.
Отметим также, что голограмма Фурье любого вещественного объекта имеет центральную симметрию. Это следует из того, что уравнение
голограммы таких объектов инвариантно по отношению к перемене знака пространственных частот, ибо входящие в него члены AE(p,q)
и
не изменяют знака при изменении знаков p и q, первый
вследствие центральной симметрии, а второй - вследствие четности.
При восстановлении голограммы она освещается параллельным
пучком света (рис. 9.5.3) Каждая косинусоидальная решетка при этом
сформирует изображение соответствующей точки в бесконечности. Если
же сразу за голограммой установить линзу, то изображения всех точек
пернесутся из бесконечности в фокальную плоскость линзы. Изображение объекта и сопряженное ему изображение будут располагаться симметрично относительно оси. На оси будет располагаться светлое пятно,
обусловленное наличием первых двух слагаемых в уравнении голограммы.
Рис. 9.5.3. Восстановление голограммы Фурье: 1-голографическая фотопластинка; 2-линза.
В заключение заметим, что воспроизведение большого диапазона
значений прозрачности голограммы Фурье, полученной по схеме рис.
3.5.2, является сложной задачей, особенно при синтезе цифровых голограмм. Одним из путей устранения этой трудности является переход к
схеме с рассеивателем. Эта схема отличается от предыдущей лишь тем,
что перед предметом, установленным в плоскости П, помещается рассеиватель - тонкая прозрачная пластинка с неровной поверхностью (матовое стекло), не изменяющая амплитуду, но изменяющая случайным образом фазу в каждой точке падающей на предмет волны. Введенная та-
332
ким образом случайная фаза не влияет на изображение предмета, получаемое при восстановлении, так как фотослой, регистрирующий изображение, чувствителен лишь к интенсивности восстановленной волны. В
то же время она существенным образом перераспределяет энергию в частотной плоскости, т.е. в плоскости голограммы, значительно уменьшая
требуемую фотографическую ширину фотослоя.
Изложенные выше свойства голограмм играют важную роль при
разработке методов оптической фильтрации, краткая характеристика которых приведена в следующем параграфе.
9.6. Оптическая фильтрация и распознавание образов [2,3]
9.6.1. Применение системы 4-F
Рассмотрим устройство, состоящее из двух линз (рис. 9.6.1). Расположим их так, чтобы предметная плоскость (x,y) совпадала c передней
фокальной плоскостью линзы 1, а задняя фокальная плоскость линзы 1
совпадала c передней фокальной плоскостью линзы 2. Плоскость изображений (x',y') совместим с задней фокальной плоскостью линзы 2.
Рис. 9.6.1.
Рис. 9.6.1 иллюстрирует случай, когда линзы имеют одинаковые
фокусные расстояния F; выделенная на нем плоскость (x1,h 1) является
плоскостью линзы 1, плоскость (x2,h 2) является спектральной плоскостью, а плоскость (x3,h 3) - плоскостью линзы 2. Рассматриваемая оптическая система известна в литературе как система 4-F. Она осуществляет
два последовательных преобразования Фурье.
Сначала входной сигнал (x,y) подвергается Фурье-преобразованию
линзой 1. Световое поле в плоскости (x2,h 2) распределено в соответствии со спектром сигнала S(fx,fy)
333
(9.6.1)
Здесь мы воспользуемся тем, что x 2=l Ffx, h 2=l Ffy.
Сигнал y x (x 2,h 2), пропорциональный спектру S(fx,fy), подвергается аналогичному преобразованию Фурье при прохождении через линзу 2. Тем самым в плоскости изображений распределение поля будет
иметь вид
(9.6.2)
Таким образом, система 4-F восстанавливает в плоскости изображений входной сигнал в перевернутом виде.
Систему 4-F можно с успехом использовать для пространственной
фильтрации. Для этого в плоскости (x 2,h 2) помещают пространственный фильтр. Если фильтр имеет модуляционную характеристику T(x 2,h
2), то после прохождения фильтра спектр S(fx,fy) входного сигнала принимает вид
(9.6.3)
При этом в плоскости изображений будет формироваться сигнал
, соответствующий спектру
. Тем самым, меняя модуляционную характеристику фильтра, можно обеспечить требуемое
преобразование оптического пространственного сигнала.
Пространственная фильтрация широко используется для решения
задач, связанных с проблемой распознавания образов. Предположим,
что на входе системы 4-F помимо полезного сигнала присутствуют посторонние сигналы (помехи)
и
(9.6.4)
Тогда в спектральной плоскости будет формироваться сумма спектров:
(9.6.5)
Если в спектральной плоскости расположить фильтр с модуляционной характеристикой
(9.6.6)
то сразу за ним спектр сигнала
принимает вид
334
(9.6.7)
Волновой фронт поля
в плоскости (x 2,h 2) является плоским, поэтому, проходя через линзу 2, это световое поле должно фокусироваться в точку на плоскости изображения. Второе слагаемое в (9.6.7)
представляет поле не с плоским фронтом, его преобразование линзой 2
дает на выходной плоскости некоторое распределенное изображение.
Пространственный фильтр, превращающий парциальную световую
волну, несущую информацию о полезном сигнале, в плоскую волну,
называют согласованным с полезным (распознаваемым) сигналом.
Если во входной волне содержится полезный сигнал, то присутствие в системе согласованного фильтра приводит к появлению в выходной плоскости яркой светящейся точки. Фиксируя появление этой
точки, можно регистрировать наличие на входе системы распознаваемого сигнала.
9.6.2. Голографический метод синтезирования пространственных фильтров и проблема апостериорной обработки информации
Эффективность пространственной фильтрации во многом определяется качеством используемых фильтров с заданной переходной функцией. Для синтезирования пространственных фильтров успешно используются голографические методы. На рис. 3.6.2 изображена голографическая схема получения пространственных фильтров, известная как схема
Ван дер Люгта. Она включает следующие элементы: пластину 2, на которой записан оптический сигнал h(x ,h ), описывающий переходную
функцию системы; собирающую линзу 3 с фокусным расстоянием F,
производящую Фурье-преобразование сигнала h(x ,h ); голограмму 4 с
записью пространственного фильтра; призму 5, формирующую из части
падающего на систему светового потока 1 плоскую волну, падающую на
голограмму под углом Q. При записи голограммы объектной волной является волна
где
а опорной волной - волна
335
где
Рассчитаем модуляционную характеристику голограммы
(9.6.8)
В случае использования этой голограммы в качестве пространственного фильтра для некоторого входного сигнала существенным является наличие в характеристике (9.6.8) третьего и четвертого членов.
Они действуют как пространственные фильтры Н и Н*. Их действие
приводит к тому, что после второго Фурье-преобразования в выходной
плоскости системы (рис.9.6.1) будут присутствовать сигналы
(9.6.9)
(9.6.10)
Из выражений (9.6.9) и (9.6.10) видно, что выходной сигнал, полученный при использовании фильтра Н, будет сдвинут вверх по вертикали на расстояние
, сигнал же, полученный при использовании фильтра Н*, будет на то же расстояние сдвинут вниз. Таким образом появляется
возможность
рассматривать
эти
сигналы
порознь.
Рис. 9.6.2. Схема Ван дер Люгта для синтеза пространственных
фильтров
336
Рассмотренный голографический метод получения пространственных фильтров снимает проблему синтеза оптических масок в пространстве частот. Трудности же синтеза оптических масок в пространстве координат менее серьезны, поскольку требуемые переходные функции
(импульсные отклики), как правило, имеют простую форму и необходимые маски с пропусканием h(x ,h ) несложно изготовить с помощью простых фотографических средств.
Синтезирование пространственных фильтров голографическими
методами позволяет успешно решать важную в практическом отношении задачу улучшения качества оптических изображений, выполняемого
уже после того, как получено изображение. Такая задача относится к задачам, связанным с апостериорной ("послеопытной") обработкой информации.
Пусть некоторая оптическая система формирует изображение интересующего нас объекта. Идущая от объекта световая волна может рассматриваться как входной сигнал y (x,y), а изображение объекта - как
выходной сигнал y '(x',y'). Если бы система не вносила искажений, то
имело бы место равенство y=y '. Однако в реальной ситуации следует
считаться с тем, что любая система вносит определенные искажения, которые описываются некоторой переходной функцией (или передаточной
функцией Н). С помощью голографических методов можно синтезировать пространственный фильтр с модуляционной характеристикой H*.
Совмещая его с фильтром, синтезированным обычным фотоспособом,
получим составной фильтр с модуляционной характеристикой
(9.6.11)
Для апостериорной обработки искаженного сигнала y ' воспользуемся схемой 4-F (рис. 9.6.1) В ее входной плоскости разместим искажение y ', а в спектральной плоскости разместим фильтр с модуляционной
характеристикой (9.6.11). Тогда в выходной плоскости системы 4-F
сформируется сигнал
. Так как S'=SH, то согласно (9.6.11)
(9.6.12)
Это означает, что
Таким образом, благодаря модуляционной
характеристике (9.6.11) фильтр "учел" и автоматически "вычел" те искажения, которые оптическая система внесла при построении изображения.
337
9.7. Сопоставление методов когерентной и некогерентной оптики [2]
Когерентная оптическая фильтрация зарекомендовала себя удобным средством обработки изображений, что объясняется ее высоким
быстродействием, двумерностью, а также относительной универсальностью, поскольку могут быть реализованы почти любые линейные пространственно-инвариантные операции фильтрации над комплексными
сигналами. Тем не менее когерентные методы имеют и слабые стороны.
К ним, в первую очередь, относится требование когерентности источника света, что не позволяет обрабатывать самосветящиеся объекты, такие,
например, как изображения на телевизионном экране. Другим недостатком когерентных систем является их большая чувствительность к различного рода шумам (например, связанным с зернистостью фотоэмульсий, дефектами оптических поверхностей и т.д.). Эти шумы негативно
сказываются на качестве выходных изображений.
Указанные недостатки методов обработки информации в когерентном свете стимулируют разработку альтернативных способов, основанных на принципах некогерентной оптики. Однако, поскольку подробное
изучение этих способов выходит за рамки книги, ограничимся самыми
общими замечаниями.
В отличие от когерентного оптического сигнала y (x,y) некогерентный сигнал
описывается не комплексной, а действительной функцией. Информация содержится в интенсивности световой волны
(9.7.1)
Фазовая информация в световой волне утрачивается.
Интеграл свертки примет вид
(9.7.2)
Здесь функция
(9.7.3)
является некогерентной функцией системы. Аналогично в случае
некогерентных изопланарных систем вводят некогерентную передаточную функцию системы
(9.7.4)
Используя (9.7.3) и известную в Фурье-анализе теорему автокорреляции, можно построить выражение
338
(9.7.5)
которое определяет связь между передаточными функциями для когерентного и некогерентного сигналов.
9.8. Характеристики качества изображения [10]
В заключение данной главы рассмотрим дополнительно вопрос о
количественных характеристиках качества изображений формируемых
оптическими системами.
Если бы волновой интервал светового излучения был бесконечно
мал, а оптическая система (объектив) совершенна, то функция y 0(x,y)
преобразовалась бы идеальным образом в распределение освещенности
y '0(x',y'); единственным различием их было бы линейное увеличение.
Реальное же распределение освещенности в изображении y 'i(x',y') отличается от идеального y 0 из-за поперечного дифракционного рассеяния
света, а так же несовершенств объектива. Качество изображения - мера
степени отличия y i от y 0.
Принято использовать три параметра для сравнения распределений
в объекте (предмете) и изображении. Этими параметрами являются:
относительное содержание (емкость) структуры TL
(3.8.1)
правдоподобие изображения ФL
(9.8.2)
(9.8.3)
Пределы интегрирования здесь формально
, но обычно достаточно интегрировать в пределах формата данного изображения. Заметим, что
(9.8.4)
Относительное содержание структуры наиболее близко подходит к
тому, что обычно подразумевается под качеством изображения; реально
же величина TL представляет искажения вариаций функции y 0 в процессе ее регистрации. Ограничения применимости величины TL связаны
с искажениями, вносимыми оптической системой или приемником изображения. Величина TL также "не чувствительна" к искажениям коорди-
339
натной сетки из-за дисторсии. Эти искажения хорошо описываются величиной ФL - поэтому она широко используется в приложениях, где подобие координатной сетки принципиально важно. Корреляционное качество отражает сочетание требований как к подобию координатной
сетки, так и к структурному содержанию изображения.
Параметры качества представляют собой удобные оценочные характеристики для случаев, когда параметры поверхности предмета априорно хорошо известны; указанные параметры - одночисловые, они легко
сравнимы (для разных систем) и непосредственно взаимосвязаны (для
данной системы).
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ 9
1. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику. - М.: Мир, 1970, 364 с.
2. Дьяков В.А., Тарасов Л.В. Оптическое когерентное излучение.М.: Советское Радио, 1974; 169 c.
3. Парыгин В.Н., Балакший В.И. Оптическая обработка информации.-М.: Изд. МГУ, 1987, 141 c.
4. Матвеев А.Н. Оптика.- М.: Высшая школа, 1985, 351c.
5. Марешаль А., Франсон М. Структура оптического изображения.М.: Мир, 1964. 295 с.
6. Козанне А., Флере Ж., Мэтр Г., Руссо М. Оптика и связь.- М.:
Мир, 1984, 504 c.
7. Франсон М. Голография.- М.: Мир, 1972, 246 с.
8. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики.- М.:
Наука, 1971, 616 с.
9. Федоров Б.Ф. Эльман Р.И. Цифровая голография. - М.: Наука,
1976, 152 с.
10. Уэзерелл У. Оценка качества изображения. //Сб. Проектирование оптических систем. Под ред. Р. Шеннона и Дж. Вайнта.-М.: Мир,
1983, 430 с.
340
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПРИКЛАДНОЙ ОПТИКИ
1.1. Природа света. Волновой и квантовый характер световых явлений
1.2. Законы распространения света
1.3. Способы определения скорости света
1.4. Когерентность
1.4.1. Степень когерентности светового пучка
1.4.2. Методы измерения пространственной и временной когерентности
1.5. Дисперсия света
1.6. Интерференция света
1.7. Интерференционные линии равной толщины и равного
наклона
1.8. Интерферометры
1.8.1. Интерферометр Линника
1.8.2. Интерферометр Рэлея
1.8.3. Звездный интерферометр Майкельсона
1.8.4. Интерферометр Фабри-Перо
1.8.5. Интерферометр Жамена
1.8.6. Интерферометр Рождественского
1.8.7. Использование интерференции света в промышленности
1.9. Дифракция света. Принцип Гюйгенса-Френеля
1.10. Дифракция Фраунгофера
1.10.1. Дифракция от щели
1.10.2. Дифракционная решетка
1.10.3. Дифракционная решетка как спектральный прибор
1.11. Дифракция на круглом отверстии
1.11.1. Зоны Френеля
1.11.2. Зонная пластинка
1.11.3. Линза как дифракционный прибор
1.11.4. Пятно Пуассона
1.12. Поляризация света
1.12.1. Свет поляризованный и неполяризованный. Закон Малюса
1.12.2. Одноосные кристаллы
1.12.3. Скрещенные поляризаторы
1.12.4. Двойное лучепреломление
1.12.5. Поляризаторы
3
5
5
6
11
14
16
16
22
23
28
29
30
31
34
37
43
44
45
46
49
49
53
58
60
61
65
67
68
69
71
73
75
78
78
341
1.12.6. Анализ поляризованного света
1.12.7. Естественное вращение плоскости поляризации
1.12.8. Эффект Зеемана и поляризация
1.12.9. Искусственное двойное лучепреломление
1.12.10. Магнитное вращение плоскости поляризации
1.13. Оптически бесцветное стекло. Марки стекла
1.14. Требования к стеклу. Классы и категория стекла
1.15. Цветное оптическое стекло. Техническое стекло
1.16. Выполнение рабочих чертежей оптических деталей в соответствии с ЕСКД
ГЛАВА 2. ОСНОВНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ
2.1. Отражение и преломление света. Зеркала.
2.2. Тонкие линзы
2.3. Плоскопараллельная пластинка
2.4. Оптический клин
2.5. Отражательные призмы
2.6. Развертка призм в плоскопараллельную пластинку
2.7. Редуцирование призм. Графоаналитический метод расчета
призм
2.8. Компенсаторы
ГЛАВА 3. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИДЕАЛЬНОЙ
ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
3.1. Идеальная оптическая система
3.2. Линейное и угловое увеличение оптической системы.
Кардинальные точки
3.3. Правило знаков
3.4. Основные оптические формулы. Построение изображения
3.5. Инвариант Аббе
3.6. Расчет хода нулевого луча
3.7. Отдельная линза в воздухе
3.8. Расчет хода нулевого луча через сложную оптическую систему
3.9. Оптическая система из двух компонент
3.10. Графический способ определения хода нулевого луча
3.11. Определение хода действительного луча
Глава IV. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4.1. Основные характеристики оптического прибора
4.2. Видимое увеличение
4.3. Основные фотометрические понятия
4.4. Потери света
4.5. Диафрагмы и их значение
80
82
83
85
86
87
90
94
94
97
97
106
115
118
119
122
124
126
128
128
129
132
134
138
140
142
144
145
147
148
150
150
150
151
155
160
342
4.6. Виньетирование
4.7. Светосила
4.8. Освещенность по полю изображения
4.9. Поле зрения
4.10. Глубина изображаемого пространства
4.11. Глубина резкости
4.12. Аберрации оптических систем
4.12.1. Классификация аберраций
4.12.2. Хроматическая аберрация
4.12.3. Сферическая аберрация
4.12.4. Астигматизм и кривизна изображения
4.12.5. Кома
4.12.6. Дисторсия
Глава 5. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ ПРИБОРОВ
5.1. Зрачки и люки
5.2. Отрезки, определяющие положение зрачков
5.3. Передача перспективы оптическими приборами
5.4. Основные фотометрические величины
5.5. Источники излучения
5.6. Приемники световой энергии
5.7. Светосила оптического прибора
5.8. Светосила оптического прибора с малой передней апертурой
и малой задней апертурой
5.9. Потери света в оптическом приборе
5.10. Глаз человека
5.11. Видимое увеличение оптического прибора
5.12. Глубина резкости фотографического аппарата, лупы и микроскопа
5.13. Критерий разрешающей способности оптического прибора
5.14. Разрешающая способность зрительных труб и фотографических объективов
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ МИКРОСКОПА
6.1. Оптическая система микроскопа
6.2. Формулы геометрической теории микроскопа
6.3. Осветительная система микроскопа
6.4. Основы дифракционной теории микроскопа
6.5. Разрешающая способность микроскопа
6.6. Фазовый контраст
6.7. Производство современных микроскопов
ГЛАВА 7. ТЕОРИЯ ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИХ СИСТЕМ
7.1. Телескопические системы
163
166
168
170
171
174
176
176
177
179
182
184
185
188
188
193
194
196
198
200
200
203
206
208
213
216
222
224
226
226
227
229
231
236
239
240
256
256
343
7.2. Зрительная труба Галилея
7.3. Зрительная труба Кеплера
7.4. Окуляры и объективы зрительных труб
7.5. Зрительные трубы с призменными оборачивающими системами
7.6. Зрительные трубы с линзовыми оборачивающими системами
7.7. Телескопические системы со скачкообразной переменной
увеличения
ГЛАВА 8. МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ
Введение
8.1. Задачи компьютерной оптики
8.2. Цифровая голография
8.2.1. Общая процедура изготовления синтезированной голограммы
8.2.2. Получение цифровой голограммы Фурье и ее бинаризация
8.2.3. Киноформ
8.3. Фазовая проблема в оптике. Cоздание на основе решения обратных задач нового класса оптических элементов
8.3.1. Извлечение фазовой информации из данных об интенсивности
8.3.2. Особенности расчета характеристик фокусаторов и корректоров излучения
8.3.3. Дифракционные оптические элементы
8.3.4. Создание фокусаторов на основе управляемых зеркал
8.4. Фокусировка излучения при наличии случайных помех. Использование методов адаптивной оптики
8.5. Оптические элементы для анализа и формирования поперечного состава излучения
8.6. Цифровая обработка полей в оптических системах
8.6.1. Виды обработки оптических полей
8.6.2. Автоматизированная измерительная система для диагностики структуры лазерных пучков
ГЛАВА 9. ЗАПИСЬ И ОБРАБОТКА ОПТИЧЕСКОЙ
ИНФОРМАЦИИ
Введение
9.1. Общая характеристика оптических систем
9.2. Однолинзовая система
9.2.1. Линзы как элементы, выполняющие преобразование Фурье
9.2.2. Формирование изображения
9.3. Получение изображений в сложных системах
9.3.1. Дифракционно-ограниченные системы
258
260
261
265
266
269
272
272
273
274
275
277
281
283
283
285
288
292
294
297
299
300
301
308
308
308
311
311
314
319
319
344
9.4. Учет аберраций
9.5. Голографическая запись информации
9.5.1. Принцип голографической записи
9.5.2. Голограммы Фурье
9.6. Оптическая фильтрация и распознавание образов
9.6.1. Применение системы 4-F
9.6.2. Голографический метод синтезирования пространственных
фильтров и проблема апостериорной обработки информации
9.7. Сопоставление методов когерентной и некогерентной оптики
9.8. Характеристики качества изображения
323
325
325
326
333
333
335
338
339
345
