Termiz agro texnalogiyalar va innovotsion rivojlantirish instuti agrologistika va biznes fakulteti agrobiznes va invission ta’lim yo’nalish 114-guruh 1-bosqich talabasi Ollayorov Sardorbekning iqtisodiy matematika fanidan tayyorlagan mustaqil ishi Diskret tasodifiy miqdor va uning sonli xarakteristikalari Berilgan shart-sharoitlarda tasodifiy xolatga bog`liq ravishda u yoki bu son qiymatlarini qabul qiladigan o`zgaruvchi miqdor tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlarga misollar: 1) 1 yanvarda Toshkentda tug`ilgan qiz bolalar soni; 2) g`o`za to`pidagi gullagan ko`saklar soni; 3) paxta tolasi uzunligi; 4) bir yildagi quyoshli kunlar soni va h.k. Chekli (bazan, cheksiz) sondagi (ko`pincha, butun son) x1, x2, x3......xn qiymatlar qabul qila oladigan tasodifiy miqdor diskret tasodifiy miqdor deyiladi. Masalan, oila azolari soni, quyon bolalari soni, yoz oyida yomg`irli kunlar soni va x.k.lar diskret tasodifiy miqdorga misol bo`la oladi. Diskret tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlar soni chekli yoki cheksiz bo`lishi mumkin. O`zi o`zgaradigan oraliqdagi har qanday sonli qiymatlarni qabul qila oladigan tasodifiy miqdor uzluksiz tasodifiy miqdor deyiladi. Bug`doy hosildorligi, paxta tolasi uzunligi, ipak tolasi og`irligi, odam bo`yininning uzunligi va x.k.lar uzluksiz tasodifiy miqdorga misol bo`la oladi. Uzluksiz tasodifiy miqdor qabul qilinishi mumkin bo`lgan qiymatlar soni cheksiz to`plamni, masalan, to`g`ri chiziq yoki biror (a, b) intervalni tashkil etadi. Diskret tasodifiy miqdorning qabul qilinishi mumkin bo`lgan qiymatlari va bu qiymatlarni qabul qilish ehtimollari berilgan bo`lsa, diskret tasodifiy miqdorning taqsimoti berilgan deyiladi. Tajriba natijasida X diskret tasodifiy miqdor x1, x2, x3......xn qiymatlarni mos ravishda p1, p2, p3,......pn ehtimollar bilan qabul qilgan bo`lsin: P(X= x1)= p1 Ehtimollar nazariyasi nuqtai nazaridan ko`rsatilgan ma`lumotlar X tasodifiy miqdorni to`liq xarakterlash uchun yetarli bo`ladi. Shunday qilib, X diskret tasodifiy miqdor quyidagi jadval bilan to`liq aniqlanadi: X x1 x2 ..... .xn P(x) p1, p2 ...... pn Bu jadvalning birinchi yo`lida X tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan hamma qiymatlari ortish (yoki kamayish) tartibida yozilgan, ikkinchi yo`lida esa ularga mos ehtimollar ko`rsatilgan. Bu jadval tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlari va ularning ehtimollari orasida bog`lanish o`rnatadi. Jadval X diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni deb atalishi mumkin. X tasodifiy miqdor tajribada qabul qilinishi mumkin bo`lgan x1, x2, x3......xn qiymatlaridan birortasini albatta qabul qiladi. Shuning uchun P ( yoki X= x1 , yoki X= x2…., yoki X= xn)=1. Ikkinchi tomondan, ehtimollarni qo`shish teoremasi bo`yicha P(x) = pi n n i 1 i 1 Shunday qilib tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan barcha qiymatlarining ehtimollari yig`indisi birga teng. Masalan, X diskret tasodifiy miqdor quyidagi taqsimot qonuni bilan berilgan bo`lsin: 2 4 5 6 X P(x) 0.3 0.1 0.2 0,4 pi= 0.3 + 0,1 + 0,2 + 0,4 = 1. Jadval ko`rinishida berilgan taqsimot qonuni diskret tasodifiy miqdorning to`liq xarakteristikasini beradi. Lekin uzluksiz tasodifiy miqdor uchun bunday “jadval” yordamida xarakteristika tuzish mumkin emas. Buning sababi shuki, uzluksiz tasodifiy miqdor o`zining har qanday o`zgarish oralig`ida turli qiymatlarning cheksiz to`plamiga ega. Bunday tasodifiy miqdorning qabul qilishi mumkin bo`lgan qiymatlarining “sanalgan va nomerlangan” jadvalini tuzish mumkin emas. Ehtimollar nazariyasida turli xarakterdagi tasodifiy miqdorlarni yagona usul bilan tariflash maqsadida tasodifiy funksiyasi tushunchasi kiritiladi. Taqsimot qonuni tasodifiy miqdorni to`liq xarakterlaydi. Lekin ko`pincha taqsimot qonuni noma`lum bo`lib, kam ma`lumotlar bilan cheklanishga to`g`ri keladi. Bazan xatto tasodifiy miqdorni yig`ma tasvirlaydigan sonlardan foydalanish qulayroq bo`ladi. Bunday sonlar tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari deyiladi. Muhim sonli xarakteristikalar jumlasiga matematik kutilma tegishlidir. Ko`p masalalarni hal etishda matematik kutilmani bilish kifoya. Masalan, agar birinchi mergan urgan ochkolarning matematik kutilmasi, ikkinchi mergan urgan ochkolarning matematik kutilmasidan kattaligi ma`lum bo`lsa, ularga birinchi mergan o`rtacha hisobda ikkinchisiga qaraganda ko`proq ochko uradi va demak, u ikkinchi mergandan yaxshiroq otadi. Tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi diskret bo`ladi. Tasodifiy diskret matematik kutilma {xk} qiymatlarni {pk} ehtimollar bilan qabul qilsin. n x k 1 k pk qator yig`indisi (agar bu qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa) diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi(m.k.) deyiladi va n x M[x]= k 1 kabi belgilanadi. k pk Matematik kutilmaning xossalari: 1-xossa. O`zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o`ziga teng: M[C]=C, c=const 2-xossa. O`zgarmas ko`paytuvchini matematik kutilma belgisidan tashqariga chiqarish mumkin: M[cX] = cM[X], c=const 3-xossa. X va Y tasodifiy miqdorlar o`zaro bog`liq bo`lmasin. Agar M[X] va M[Y] mavjud bo`lsa, u holda M[XY ]= M[X]M[Y} 4-xossa. M[X] , M[Y] va M[X] + M[Y] larning ixtiyoriy ikkitasi mavjud bo`lsa, u holda ushbu M[X+Y] = M[X] + M[Y] tenglik o`rinli bo`ladi. 1-misol: X tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni berilgan, uning matematik kutilmasini toping? X 3 5 2 P 0,1 0,6 0,3 3 yechish: 3,9 EX xk pk k 1 = 3·0,1+ 5·0,6 + 2·0,3= Tasodifiy miqdorning mumkin bo`lgan qiymatlari uning matematik kutilma atrofida qanchalik tarqoqligini baholash uchun dispersiya deb ataluvchi sonli xarakteristikadan foydalanadi. Tasodifiy miqdorning dispersiyasi deb D(X) =M [X – M[X]]2 ifodaga aytiladi. Diskret matematik ifoda {xk} qiymatlarni {pk} ehtimollar bilan qabul qilsa, shu matematik miqdorning dispersiyasi uchun n 2 D(X) (x – M[X]) pk k k 1 formula o`rinli bo`ladi. X matematik miqdorning dispersiyasini ushbu formula bilan hisoblash qulaydir: D(X) =M[X]2 – (M[X])2 Dispersiyaning xossalari. 1-xossa. D(0) = 0 2-xossa: O`zgarmas sonning kvadratga oshirib, dispersiya ishorasidan tashqariga chiqarish 2 mumkin, ya’ni D(c X) = c D(X). 3-xossa. O`zaro bog`liq bo`lgan matematik ifodalar yig`indisining dispersiyasi bu tasodifiy miqdorlar dispersiyasining yig`indisiga teng, yani D (X+Y) = D(X) + D(Y) 2-Misol: Quyidagi tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi bilan dispersiyasini toping? X : 1 2 5 P : 0,3 0,5 0,2 MX= 1· 0,3 + 2· 0,5 + 5· 0,2 = 2,3 DX = (xk – M[X])2 pk= 3 k 1 2 2 2 = (1- 2,3) · 0,3 + (2 – 2,3) 0,5 + (5- 2,3) 0,2= = 2, 01 Tasodifiy miqdorning o’rta kvadratik chetlanishi deb uning dispersiyasidan olingan kvadrat ildiziga aytiladi: x Dx yoki x n (x k 1 2 k - M[X]) pk Puasson taqsimot qonuni binomal taqsimot qonuni kabi diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonunidir. Alternativ o`zgaruvchan belgilardan birining paydo bo`lish ehtimoli juda kichik bo`lsa, ikkinchisiniki birga yaqin bo`ladi; bu holda binomial taqsimot qonuni yaqqol ifodalangan asimmetrik bo`ladi. Shunday ehtimoli juda kichik, yani kamdan-kam ro`y beradigan hodisalarning taqsimot qonuni Puasson taqsimot qonuni deyiladi va quyidagi formula bilan ifodalanadi: Pm (a)= a m a e , m! a = np bunda Pm (a)- kamdan-kam ro`y beradigan hodisaning takror tajribalar seriyasida m ta uchrashi ehtimoligi. Biror A hodisa har bir tajribada ro`y berishi yoki ro`y bermasligi mumkin bo`lib, shu bilan birga uning har bir tajribada ro`y berish ehtimoligi p, ro`y bermaslik ehtimoli esa q bo`lsin (0 p<1, q= 1 – p va p, q tajriba nomeriga bog`liq emas). N ta tajribada A ning m marta takrorlanish ehtimoligini bilishni istaymiz. Agar biz bu ehtimolni Pn(m) bilan belgilasak, u holda Pn(m) = С n p q m m n-m (m= 0, 1, 2,....n) bo`ladi. Formulani quyidagicha yoyib yozish mumkin: n! Pn(m) = m!(n m)! p m qn -m Formula n n n-1 n -2 2 n(n 1) (q - p) = q + nq p+ 1 2 q p +....+ n–m m n q p +...+p С nyuton binomining umumiy hadidan iborat. m n С m koeffisientlar binomial koeffisientlar deb ataladi. Shuning uchun formula binomial taqsimot qonuni deb ataladi. n