Царьков И.Г. - Математический анализ, 4 семестр (2013) - libgen.li

Математический анализ, 4-ый семестр
Царьков И.Г.
Оглавление
1 Множества и операции над ними.
1.1 Понятие множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Операции над множествами. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Декартово произведение множеств. Понятие отображения
1.4 Отношение порядка. Упорядоченные множества. . . . . .
1.5 Отношение эквивалентности. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
. 5
. 7
. 8
. 11
. 14
2 Множества действительных чисел.
15
2.1 Определение действительных чисел. . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Принцип полноты Вейерштрасса. Существование точной
верхней и точной нижней грани. . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Право- и левоиндуктивные множества. Целые и натуральные числа. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Принцип математической индукции. Конечные и бесконечные множества. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Геометрическая интерпретация множества действительных
чисел. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Принцип полноты Кантора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.7 Открытые и замкнутые множества на прямой. . . . . . . . 32
2.8 Предельные и изолированные точки множеств. Критерий
замкнутости. Компактность. Принцип Больцано-Вейерштрасса. 35
2.9 Понятие равномощности множеств. Мощности Q и R. . . . 37
3 Числовые последовательности. Предел последовательности
3.1 Сходимость и ограниченность числовых последовательностей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Бесконечно малые последовательности и их свойства. Арифметические и другие свойства предела последовательности.
3.3 Теорема Вейерштрасса о монотонной последовательности.
Число e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Расширенная числовая прямая. Предел в широком смысле.
Пределы типа ”e” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Частичный предел. Верхний и нижний пределы. . . . . . .
2
44
44
47
49
50
54
3
3.6 Критерий Коши существования предела числовой последовательности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.7 Преобразование Тёплица. Теоремы Коши и Штольца . . . . 58
3.8 Понятие направленности и ее предела. . . . . . . . . . . . . 59
4 Предел функции.
4.1 Эквивалентные определения предела функции по Коши
Гейне. Свойства предела функции. Критерий Коши. . .
4.2 Односторонние пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Пределы монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . .
61
и
. . 61
. . 66
. . 67
5 Непрерывность функции.
5.1 Свойства функций, непрерывных в точке. Классификация
особых точек и точек разрыва. . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Выпуклость промежутков. Теорема о продолжении монотонной функции. Классификация особенностей и точек разрыва монотонных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Теоремы о промежуточных значениях. Критерий непрерывности монотонной функции. Непрерывность обратной
функции на промежутке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Свойства непрерывных функций на компактах. Теоремы
Вейерштрасса и Кантора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Непрерывность простейших элементарных функций. . . . .
5.6 Переход к пределу под знаком функции. Замечательные
пределы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 База множеств. Предел по базе. . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8 Эквивалентные функции, их свойства. . . . . . . . . . . . .
69
69
72
74
76
79
82
84
89
6 Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
94
6.1 Производная, ее геометрический и механический смысл. . . 94
6.2 Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал,
его геометрический смысл. Свойства дифференцируемых
функций в точке. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6.3 Производные простейших элементарных функций. . . . . . 99
6.4 Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка. . . . . . . . . . . 101
6.5 Необходимое условие экстремума. Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа,
Коши и Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6.6 Достаточные условия монотонности. Доказательство неравенств при помощи производных. Раскрытие неопределенностей. Правила Лопиталя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
Формула Тейлора с остаточным членом в формах Пеано,
Лагранжа и Коши. Разложения некоторых элементарных
функций по формуле Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Ряды Тейлора и их сходимость. Ряды Тейлора некоторых
элементарных функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Достаточные условия существования экстремума. . . . . . . 115
Выпуклость и вогнутость функции в точке и на промежутке.116
Достаточные условия выпуклости функции. Критерий выпуклости гладкой функции на промежутке. Точки перегиба.121
Выпуклые функции на линейных пространствах. . . . . . . 122
Неравенства Йенсена, Юнга, Гельдера, Коши-Буняковского,
Минковского. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Первообразная и неопределенный интеграл, их свойства.
Таблица интегралов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Приложения. Итерационные методы. Метод Ньютона. . . . 129
7 Мера на кольце измеримых множеств. Интеграл Римана
для произвольной меры.
131
7.1 Внешняя мера Жордана и Лебега. Общая конструкция продолжения меры на класс измеримых подмножеств. . . . . 131
7.2 Мера на произведении колец. . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.3 Построение интеграла Римана для произвольной меры. Суммы Дарбу и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
7.4 Теорема Фубини для интеграла Римана. . . . . . . . . . . . 147
7.5 Интеграл Римана для отрезка. . . . . . . . . . . . . . . . . 149
1 Интеграл Римана и Римана-Стильтьеса для отрезка.
7
1.1 Интеграл Римана. Суммы Дарбу их свойства. . . . . . . . . 7
1.2 Критерий ограниченности функции, необходимые условие
интегрируемости. Функции скачков. . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3 Критерий интегрируемости Дарбу. . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Теорема Римана об интегрируемости функции. Достаточные условия интегрируемости. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5 Критерий Лебега интегрируемости функции. . . . . . . . . 24
1.6 Теорема о композиции с непрерывной функцией. Свойства
интеграла Римана-Стильтьеса. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.7 Интегральные неравенства. Неравенства Гельдера, КошиБуняковского, Минковского. Теоремы о среднем. . . . . . . 33
1.8 Интеграл с переменным верхним пределом. Формула НьютонаЛейбница. Замена переменной и интегрирование по частям
в определенном интеграле Римана. . . . . . . . . . . . . . . 36
1.9 Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме, формах Коши и Лагранжа. . . . . . . . . . . . . . . 38
5
1.10 Приложения интеграла Римана. Разложение в ряд Тейлора
функции ln(1 + x). Оценка частичной суммы ряда через
интеграл Римана. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Тождество Абеля, суммирование по частям. Формула интегрирования по частям для интеграла Римана-Стильтьеса.
1.12 Вычисление интеграла Римана-Стильтьеса. Формула Бонне
(2-я теорема о среднем). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.13 Функции ограниченной вариации. . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Критерий существования интеграла Римана-Стильтьеса относительно функции ограниченной вариации. . . . . . . . .
1.15 Несобственные интегралы Римана. Критерий Коши. Признаки Вейерштрасса, Дирихле, Абеля. . . . . . . . . . . . .
1.16 Замена переменной в несобственном интеграле и формула
интегрирования по частям. Теорема Фруллани. . . . . . . .
1.17 Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.18 Формула Стирлинга. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.19 Непрерывность неопределенного интеграла Римана. . . . .
2 Функции многих переменных. Предел и непрерывность.
2.1 Евклидовы и полуевклидовы пространства. . . . . . . . . .
2.2 Линейные нормированные пространства. Метрические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Топологические пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Предел функции по базе в метрических и топологических
пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Пределы и непрерывность в метрических и топологических
пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Полнота метрических пространств. Критерий Коши. . . . .
2.8 Пределы и непрерывность в Rn . Полнота Rn . . . . . . . . .
2.9 Кратные и повторные пределы. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Кривые в Rn . Длина кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Компакты в метрических и топологических пространствах.
2.12 Теорема Тихонова о произведении компактов. . . . . . . . .
2.13 Компакты в Rn . Критерий компактности в Rn . Теорема
Больцано-Вейерштрасса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Свойства непрерывных отображений на компактах. . . . .
2.15 Связные и выпуклые множества. . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Свойства линейных отображений в линейных нормированных пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
41
43
44
48
51
57
59
59
61
63
63
66
71
74
77
79
84
91
93
97
100
107
109
111
113
117
6
3 Дифференцируемость функций многих переменных.
123
3.1 Понятие дифференцируемости. Свойства дифференцируемых отображений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2 Дифференцируемость в пространствах Rn . Теорема о дифференцировании сложной функции в Rn . . . . . . . . . . . 126
3.3 Геометрический смысл градиента. Формулы для вычисления производной по направлению. . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.4 Достаточное условие дифференцируемости. . . . . . . . . . 129
3.5 Частные производные высших порядков. Достаточные условия равенства смешанных производных. . . . . . . . . . . . 129
3.6 Производные и дифференциалы высших порядков. Инвариантность дифференциала 1-го порядка. . . . . . . . . . . 131
3.7 Формулы Тейлора. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.8 Экстремумы функций многих переменных. Необходимые и
достаточные условия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
3.9 Формулы конечных приращений. . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.10 Теорема о неявной функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.11 Теоремы об обратном отображении и локальном диффеоморфизме. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.12 Касательная плоскость и нормаль к поверхности уровня. . 147
3.13 Условный экстремум. Необходимые и достаточные условия. 148
3.14 Зависимые функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
1 Числовые Ряды.
1.1 Сходимость рядов. Критерий Коши сходимости ряда. Необходимое условие сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Простейшие свойства рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Признак Вейерштрасса сходимости ряда. . . . . . . . . . . .
1.4 Абсолютная сходимость ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Формулы Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Иррациональность чисел "e"и "π". . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Знакопостоянные ряды. Теоремы сравнения. . . . . . . . . .
1.8 Интегральный признак. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.9 Признаки Даламбера и Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10 Признаки Раабе и Гаусса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Знакопеременные ряды. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.12 Перестановка абсолютно и условно сходящихся рядов. . . .
1.13 Двойные и повторные ряды. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.14 Произведение числовых рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.15 Бесконечные произведения их свойства. Критерий Коши. .
1.16 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения. . . . . .
1.17 Разложение sin x в бесконечное произведение. . . . . . . . .
10
10
11
13
13
14
16
17
19
21
23
24
27
29
33
35
37
39
7
1.18 Гамма-функция и ее свойства. Формулы Вейерштрасса и
Эйлера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Функциональные ряды и последовательности. Поточечная и равномерная сходимости.
2.1 Комплексная дифференцируемость. . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Степенные ряды. Радиус сходимости. . . . . . . . . . . . . .
2.3 Формулы Даламбера и Коши-Адамара. . . . . . . . . . . . .
2.4 Почленное дифференцирование степенных рядов. . . . . . .
2.5 Почленное интегрирование степенных рядов. . . . . . . . .
2.6 Единственность представления степенным рядом. . . . . . .
2.7 Поточечная и равномерная сходимость функциональных
рядов и последовательностей. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Критерий Коши равномерной сходимости функциональных
последовательностей и рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Признаки Вейерштрасса, Дини, Дирихле и Абеля равномерной сходимости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Равномерная сходимость степенных рядов. Теорема Абеля.
2.11 Равномерная сходимость параметрического семейства по
базе. Критерий Коши. Признак Дини. . . . . . . . . . . . .
2.12 Теоремы о перестановке пределов для равномерно сходящихся функциональных семейств, последовательностей и
рядов. Непрерывность равномерно сходящихся функциональных семейств, последовательностей и рядов. . . . . . .
2.13 Суммирование рядов методами средне арифметическим и
Абеля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.14 Полнота пространства непрерывных функций на компакте.
2.15 Критерий компактности в полных метрических пространствах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.16 Теорема Арцела-Асколи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.17 Интегрирование равномерно сходящихся семейств, последовательностей, рядов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.18 Дифференцирование семейств, последовательностей, рядов.
2.19 Пример Ван-дер-Вардена непрерывной нигде не дифференцируемой функции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.20 Пример непрерывной нигде не дифференцируемой суммы
тригонометрического ряда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Интегралы, зависящие от параметра.
3.1 Собственные интегралы от параметра. . .
3.2 Несобственные интегралы от параметра. .
3.3 Критерий Коши равномерной сходимости
интеграла. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
48
49
50
53
55
55
58
60
64
66
69
71
72
72
73
75
76
78
78
80
. . . . . . . . . . 80
. . . . . . . . . . 84
несобственного
. . . . . . . . . . 85
8
3.4
Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле и Дини равномерной сходимости несобственного интеграла. . . . . . . . .
3.5 Равномерная непрерывность неопределенного интеграла Римана от параметра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Непрерывность, интегрируемость и дифференцируемость
несобственных интегралов от параметра. . . . . . . . . . . .
3.7 Предельные переходы под знаком несобственного интеграла от параметра. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Равенство повторных несобственных интегралов. . . . . . .
3.9 Вычисление интеграла Дирихле. . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Свойства интегралов бета и гамма функций Эйлера. . . . .
4 Ряды и интегралы Фурье.
4.1 Ортонормированные системы. Ряды Фурье и их частичные
суммы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Экстремальные свойства частичных сумм Фурье. Неравенство Бесселя. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Замкнутые и полные системы. Единственность представлением рядом Фурье. Равенство Парсеваля (уравнение замкнутости Ляпунова). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Пространства L[a, b], L2 [a, b] (a, b ∈ R). Тригонометрические ряды Фурье. Интегральное представление частичных
сумм Фурье. Ядро Дирихле и его свойства. . . . . . . . . .
4.5 Плотность кусочно-постоянных финитных и непрерывных
функций в пространствах L[a, b] и L2 [a, b] ([a, b] ⊂ R). . . .
4.6 Поточечная сходимость рядов Фурье. Условие Дини и Гельдера. Признаки Дини и Дирихле-Жордана сходимости ряда. Принцип локализации Римана. . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Явление Гиббса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8 Равномерные оценки величин |Sn (f, ·)| и |f − Sn (f, ·)|. . . .
4.9 Равномерная сходимость ряда Фурье непрерывных периодических функций ограниченной вариации. Равномерная
сходимость тригонометрического ряда как ряда Фурье своей суммы. Простейший признак равномерной сходимости
ряда Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 Суммы Фейера. Ядро Фейера и его свойства. Теорема Фейера. Следствие о поточечной сходимости ряда Фурье для
2π-периодической непрерывной функции. . . . . . . . . . .
4.11 Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении многочленами непрерывных функций на отрезке. . . . . . . . .
4.12 Разбиение единицы. Равномерное приближения гладкими
функциями. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Замкнутость тригонометрической системы в L2 [−π, π]. Равенство Парсеваля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
88
89
90
91
92
93
97
97
102
104
106
110
113
116
117
119
121
123
124
127
9
4.14 Ядро Джексона и его свойства. Неравенство Джексона. Достаточное условие равномерной сходимости ряда Фурье. . .
4.15 Почленное дифференцирование рядов Фурье. Скорость убывания коэффициентов Фурье. Оценка kf − Sn (f, ·)kR . . . . .
4.16 Почленное интегрирование рядов Фурье. . . . . . . . . . . .
4.17 Ряды Фурье 2l-периодических функций. . . . . . . . . . . .
4.18 Комплексная форма рядов Фурье. . . . . . . . . . . . . . . .
4.19 Интеграл Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.20 Преобразование Фурье. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Интеграл Лебега на множестве конечной меры.
5.1 Измеримые функции и их свойства. . . . . . . . . . . . . .
5.2 Определение интеграл Лебега и его свойства. . . . . . . .
5.3 Теорема Лебега об ограниченной сходимости. Теорема Б.
Леви о монотонной сходимости. Теорема Фату. . . . . . .
128
130
133
133
134
135
137
141
. 141
. 145
. 152
1 Мера Жордана в пространстве Rn .
1.1 Объем параллелепипеда. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Объем элементарных множеств. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Мера Жордана. Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости по Жордану. Измеримость многогранников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Мера Жордана цилиндроидов и параллелепипедов в Rn .
Линейное преобразование измеримых по Жордану множеств.
1.5 Образы измеримых по Жордану множеств при диффеоморфизмах. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
16
2 Интеграл Римана.
2.1 Суммы Дарбу, Ω-суммы, верхний и нижний интегралы Римана и их свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Геометрический смысл сумм Дарбу и интеграла Римана.
2.3 Критерий интегрируемости Дарбу. . . . . . . . . . . . . .
2.4 Суммы Римана и их свойства. Теорема Римана. . . . . . .
2.5 Критерий Лебега интегрируемости по Риману. . . . . . . .
2.6 Свойства интеграла Римана. Арифметические свойства интеграла. Аддитивное свойство интеграла как функции множества. Неравенства для интеграла. . . . . . . . . . . . .
2.7 Теорема о среднем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Предел по исчерпанию для интеграла Римана. . . . . . .
2.9 Теоремы Фубини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Вычисление площадей и объемов. . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Замена переменных в кратном интеграле. . . . . . . . . .
2.12 Несобственные кратные интегралы. . . . . . . . . . . . . .
33
19
25
27
.
.
.
.
.
33
36
37
39
40
.
.
.
.
.
.
.
44
47
48
50
53
54
58
10
3 Элементы векторного анализа.
65
3.1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов. . . . . . . . . 65
3.2 Ориентация в пространстве Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Формула Грина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.4 Потенциальные векторные поля. Критерии потенциальности. 75
3.5 Понятие поверхности и гладкой поверхности. . . . . . . . . 82
3.6 Понятие площади гладкой 2-поверхности. . . . . . . . . . . 86
3.7 Понятия k-объема гладкой k-поверхности в Rn . . . . . . . . 88
3.8 Ориентация гладкой поверхности. . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.9 Понятие гладкой поверхности с краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края. . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.10 Понятие комплекса. Ориентируемые комплексы, выбор ориентации комплекса. Согласование ориентаций комплекса и
его края. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.11 Понятие кусочно-гладкой поверхности с краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края. Площадь кусочногладкой поверхности с краем и комплекса. . . . . . . . . . . 96
3.12 Поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов. . . . . . . . . . 99
3.13 Формула Гаусса-Остроградского. . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.14 Ротор векторного поля. Формула Стокса. . . . . . . . . . . 105
3.15 Физический смысл поверхностных интегралов 1-го и 2-го
родов, ротора и дивергенции. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.16 Элементы векторного поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.17 Полилинейные функции и кососимметричные формы. . . . 110
3.18 Дифференциальные формы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.19 Внешний дифференциал. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.20 Замена переменной. Перенос дифференциальных форм. . . 116
3.21 Интегрирование дифференциальных форм по поверхности.
Общая теорема Стокса. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.22 Теорема Брауэра о неподвижной точке. . . . . . . . . . . . . 124
Глава 1
Мера Жордана в пространстве
Rn .
1.1
Объем параллелепипеда.
Определение 1.1.1. Пусть L = (L, (·, ·)) – евклидово пространство, nмерным параллелепипедом Π = Π(x1 , . . . , xn ) ⊂ Rn , порожденным n векn
P
торами xi ⊂ Rn , i = 1, n называют множество { λi xi | λi ∈ [0, 1], i =
i=1
1, n}. Его n-объемом называют величину произведения (n − 1)-мерного
объема какой-нибудь его грани на длину высоты, опущенной из вершины противоположной грани на плоскость данной. Объем одномерного
параллелепипеда Π(x) ⊂ R по определению равен |x|. Параллелепипедом (в общем положении) называют множество, полученное из некоторого параллелепипеда Π = Π(x1 , . . . , xn ) параллельным переносом, т.е.
множество Πy = Π + y для некоторого y ∈ Rn . Объем этого параллелепипеда полагают равным объему параллелепипеда Π(x1 , . . . , xn ). Точки
n
P
вида y +
δi xi , где δi = 0 ∨ 1, называют его вершинами, а отрезки
i=1
{y + δ1 x1 + . . . + δj−1 xj−1 + txj + δj xj + . . . + δn xn | t ∈ [0, 1]} – его ребрами.
Для каждого номера i = 1, n у параллелепипеда Π(x1 , . . . , xn ) есть две
противоположные грани Π1i = Π(x1 , . . . , xi−1 , xi+1 , . . . , xn ) и Π2i = Π1i + xi .
Для параллелепипедов в общем положении, полученных из некоторого параллелепипеда Π(x1 , . . . , xn ) параллельным переносом, вершинами,
ребрами и гранями называют их образы при этом переносе. В качестве
L в дальнейшем будем рассматривать пространства Rm (m > n).
Обозначение 1. Объем n-мерного параллелепипеда Π будем обозначать
через V (Π) = Vn (Π).
Замечание 1.1.1. Для прямоугольного параллелепипеда его объем равен
11
12
1 Мера Жордана в пространстве RN .
произведению длин ребер, исходящих из некоторой (любой) его вершины.
Корректность определения объема параллелепипеда.
Лемма 1.1.1. Пусть Π = Π(x1 , . . . , xn ) ⊂ Rn , xi = (xi1 , . . . , xin ), i = 1, n.
Тогда объем параллелепипеда Π равен | det X|, где


x11 x21 . . . xn1
 x 1 x2 . . . x n 
2
2 
 2
i n,n
X = (xj )i,j=1 =  ..
..
..  .
 .
. ... . 
1
xn x2n . . . xnn
Доказательство. Доказательство проведем методом математической индукции.
1◦ . Для n = 1 объем параллелепипеда Π = Π(x) ⊂ R равен |x| =
| det X| (т.к. X = (x)).
2◦ . Предположим, что утверждение леммы верно для n = m, докажем, что оно верно и для n = m + 1. Выберем в пространстве Rn ортонормированный базис {ei }ni=1 так, чтобы вектора xk , k = 2, n, лежали в
подпространстве L, натянутом на вектора ek , k = 2, n. Известно, что матрица перехода C от канонического базиса к ортонормированному базису
{ei } является
ортогональной,
и поэтому det C = ±1.


 поскольку

матрица

1
2
n
k
x
e1 x
e1 . . . x
e1
x
e1
xk1
k 
 x
 x
 xk 
e12 x
e22 . . . x
en2 

 e2 
 2 
e =
X
ek =  ..  = C  ..  –
 ..
..
..  , столбцы которой x
 .
 . 
 . 
. ... . 
1
2
n
k
x
en x
en . . . x
en
x
en
xkn
координаты вектора xk в новом базисе, представляет собой произведение
e = |C|·| det X| = | det X|. По построению первые
матриц C и X, то | det X|
координаты
векторов xk(k = 2, n) в новом базисе равны нулю, поэтому

1
x
e1 0 . . . 0
1
 x
e22 . . . x
en2 
 e2 x

e
e = |e
X =  ..
x11 | · | det Ye |, где
..
..  , и, следовательно, | det X|
 .
. ... . 
x
e1 x
e2 . . . x
enn
 n n

x
e22 x
e32 . . . x
en2

..
. 
Ye =  ...
. . . . ..  – матрица порядка (n − 1) × (n − 1).
enn
e3n . . . x
x
e2n x
По предположению индукции det Ye равен (n − 1)-мерному объему параллелепипеда, натянутого на вектора xk (k = 2, n), т.е. (n − 1)-мерному
объему грани. Учитывая, что базисный вектор e1 перпендикулярен xk , k =
2, n, нетрудно видеть, что длина высоты параллелепипеда равна |e
x11 |. Отe = | det X|,
сюда объем параллелепипеда Π равен |e
x11 | · | det Ye | = | det X|
что и требовалось доказать.
1.1 Объем параллелепипеда.
13
Корректность определения объема параллелепипеда в общем положении вытекает из следующих соображений. Если параллелепипед Π
равен a + Π(x1 , . . . , xn ) = b + Π(y1 , . . . , yn ), то объемы параллелепипедов
Π(x1 , . . . , xn ) и Π(y1 , . . . , yn ) одинаковы, т.к. с точностью до перенумерации векторов yi = xi + a − b (i = 1, n), и, следовательно, по свойствам
определителя Vn (Π(x1 , . . . , xn )) = | det X| = | det Y | = Vn (Π(y1 , . . . , yn )),
где X и Y – матрицы, составленные соответственно из столбцов векторов
xi , (i = 1, n) и yi , (i = 1, n).
Свойства объемов параллелепипедов.
Лемма 1.1.2. Пусть A : Rn → Rn – линейное преобразование, переводящее параллелепипед Π1 в Π2 , с матрицей MA в некотором ортонормированном базисе. Тогда V (Π2 ) = | det MA | · V (Π1 ).
Доказательство. Без потери общности, будем считать, что Π1 = Π(x1 , . . . , xn )
и Π2 = Π(y1 , . . . , yn ). Пусть M – матрица оператора относительно канонического базиса, а C – матрица перехода от канонического базиса к
ортонормированному базису, относительно которого оператор A представлен матрицей MA . Тогда MA = CM C −1 , и, следовательно, det MA =
det C · det M · det C −1 = det M. Поэтому, без потери общности, можно считать,
что
– матрица Aв каноническом
базисе. Тогда yk =



 MA 
k
k
k
y1
x1
x1
 yk 
 xk 
 xk 
 2 
 2 
 2 
 ..  = MA  ..  , где xk =  ..  , k = 1, n. Последние соотно . 
 . 
 . 
k
k
yn
xn
xkn


y11 y12 . . . y1n
 y1 y2 . . . yn 
2 
 2 2
шения можно записать в виде: Y = MA X, где Y =  ..
..
..  ,
 .
. ... . 
1
yn yn2 . . . ynn


x11 x21 . . . xn1
 x1 x2 . . . x n 
2
2 
 2
X =  ..
..
..  . Отсюда det Y = det MA det X. Отсюда из
 .
. ... . 
1
xn x2n . . . xnn
предыдущей леммы вытекает утверждение данной леммы.
Замечание 1.1.2. Vn (Π) > 0 ⇒ int Π 6= ∅.
Доказательство. Поскольку любой для любых двух невырожденных
параллелепипедов существует аффинное взаимнооднозначное отображение, то найдется аффинное взаимнооднозначное отображение A : Rn →
Rn , для которого A(Π) = [−1, 1]n . Поскольку A – непрерывное отображение, то A−1 ((−1, 1)n ) ⊂ Π – открытое множество, т.е. int Π 6= ∅.
1 Мера Жордана в пространстве RN .
14
Лемма 1.1.3. Пусть параллелепипед Π ⊂ Rn рассечен при помощи гиперплоскостей, параллельным P
его граням, на конечное число параллелепипедов {Πα }α . Тогда Vn (Π) =
Vn (Πα ).
α
Доказательство. Пусть сначала Π – прямоугольный параллелепипед,
ребра которого параллельны осям канонического базиса. Без потери общности, можем считать, что одна из его вершин в нуле. Доказательство
проведем индукцией по n – размерности пространства.
`
1◦ . Пусть n = 1, Π = [0, c1 ] ⊂ R, и {Πα = [aα , bα ]} ⊂ R : Π = Πα .
α
P
|bα − aα |.
Тогда |c1 − 0| = |c1 | =
α
2◦ . Предположим, что для n = m утверждение верно. Докажем утверждение при n = m + 1. Гиперплоскости рассекут грань Π0 ⊂ Rm ⊂ Rm+1
на прямоугольные параллелепипеды {Π0β }β ⊂ Rm , а ребро [0, cm+1 ] на отрезки {[aγ , bγ ]}γ . Множеству индексов {α} взаимно однозначно
P сопостав0
ляются индексы {(γ, β)} так, что Πα = [aγ , bγ ] × Πβ . Тогда
Vn (Πα ) =
α
P
P
P
P
Vn−1 (Π0β ) · |cm+1 − 0| =
Vn−1 (Π0β )( |bγ − aγ |) =
|bγ − aγ |Vn−1 (Π0β ) =
γ
β
γ,β
β
|cm+1 |Vn−1 (Π0 ) = Vn (Π).
Общий случай. Пусть A : Rn → Rn – линейное преобразование, переводящее параллелепипеды Π и Πα в прямоугольные параллелепипеды
b иΠ
b α , ребра которого параллельны осям канонического базиса. Тогда,
Π
b α ) на | det MA |, получим требуемое
b = P Vn (Π
умножив равенство Vn (Π)
α
P
равенство Vn (Π) =
Vn (Πα ).
α
Определение 1.1.2. Стандартным разбиением параллелепипеда Π, являющегося параллельным сдвигом некоторого параллелепипеда Π(x1 , . . . , xn ),
назовем конечный набор параллелепипедов T = {Πj } с ребрами, паралS
лельными соответствующим векторам xk (k = 1, n), такой, что Π = Πj ,
j
и int Πi ∩ int Πj = ∅ для произвольных различных индексов i, j : i 6= j.
Теорема 1.1. Пусть T = {Π
Pj } – стандартное разбиение параллелепиn
педа Π ⊂ R . Тогда Vn (Π) =
Vn (Πj ).
j
Доказательство. Проведем через все грани параллелепипедов {Πj } гиперплоскости, которые рассекут параллелепипед
Π на конечное
число
`
S b
b
параллелепипедов {Πα }α∈A . При этом A = Aj , и Πj =
Πα . Поэтоj
α∈Aj
P
b α ) = P P Vn (Π
b α) =
му, в силу предыдущей леммы, Vn (Π) =
Vn (Π
j α∈Aj
α∈A
P
Vn (Πj ).
j
Теорема 1.2. Пересечение двух параллелепипедов с ребрами, параллельными векторам некоторого базиса, представляет собой параллелепипед
1.1 Объем параллелепипеда.
15
с ребрами, параллельными векторам этого же базиса. А разность первого параллелепипеда и внутренности второго представляется в виде
конечного объединения параллелепипедов с попарно непересекающимися
внутренностями и с ребрами, параллельными векторам того же базиса.
Доказательство. При помощи подходящего линейного преобразования
A : Rn → Rn , переводящего соответствующий базис в канонический,
n
Q
можно свести рассматриваемый случай к параллелепипедам Π1 = [ai , bi ]
и Π2 =
n
Q
[ci , di ]. Тогда Π1 ∩ Π2 =
i=1
n
Q
i=1
([ai , bi ] ∩ [ci , di ]) также является па-
i=1
раллелепипедом с ребрами параллельными векторам канонического базиса. Для каждой грани Pj (j = 1, 2n) параллелепипеда Π2 рассмотрим
замкнутое полупространство Tj1 , граница которого параллельна координатной гиперплоскости и содержит эту грань, при этом не пересекается
своей внутренностью с Π2 . Через Tj2 обозначим замкнутое полупространство, дополняющее Tj1 до Rn . Пусть R0 = Π1 и Qj = Rj−1 ∩ Tj1 , Rj =
2n
S
Rj−1 ∩ Tj2 (j = 1, 2n). Тогда R2n = Π1 ∩ Π2 и Π1 \ int Π2 =
Qj , при этом
j=1
Qj – параллелепипеды с попарно непересекающимися внутренностями
и ребрами, параллельными векторам канонического базиса. Применяя
преобразование A−1 к параллелепипедам Π1 , Π2 и Qj (j = 1, 2n), получим требуемое утверждение.
Определение 1.1.3. В дальнейшем обычные параллелепипеды будем
называть замкнутыми параллелепипедами. Под параллелепипедами будем понимать такие множества A ⊂ Rn , что найдется замкнутый параллелепипед Π ⊂ Rn : int Π ⊂ A ⊂ Π. При этом объемом множества
def
A будем называть величину Vn (A) = Vn (Π). Его вершинами, ребрами и
гранями будем называть соответственно вершины, ребра и грани соответствующего замкнутого параллелепипеда Π (если внутренность Π пуста, то вершины, ребра и грани задаются не однозначно). Стандартным
разбиением таких параллелепипедов, как и в предыдущем определении,
будем называть конечный набор параллелепипедов (в новом смысле), с
непересекающимися внутренностями, и ребрами, параллельными соответствующим ребрам исходного параллелепипедов.
Следствие 1.3. Пересечение двух параллелепипедов A1 , A2 (в новом смысле)
с ребрами, параллельными векторам некоторого базиса, представляет
собой параллелепипед (в новом смысле) с ребрами, параллельными векторам этого же базиса. А разность этих параллелепипедов представляется в виде конечного объединения параллелепипедов (в новом смысле)
с попарно непересекающимися внутренностями и ребрами, параллельными векторам того же базиса.
1 Мера Жордана в пространстве RN .
16
Доказательство. Пусть Π1 , Π2 – замкнутые параллелепипеды такие, что
int Πj ⊂ Aj ⊂ Πj (j = 1, 2). В силу теоремы 1.2 Π = Π1 ∩ Π2 , и Π1 \ int Π2
представляет собой объединение замкнутых параллелепипедов Qj (j =
1, 2n), с попарно непересекающимися внутренностями и с ребрами, параллельными векторам канонического базиса. Нетрудно проверить, что
int Π ⊂ A = A1 ∩ A2 ⊂ Π, т.е. A – параллелепипед в новом смысле.
Аналогично, для B = A1 \ A2 множества Bj = B ∩ Qj (j = 1, 2n) являются параллелепипедами в новом смысле с попарно непересекающимися
внутренностями и ребрами, параллельными векторам того же базиса, и
2n
S
B=
Bj .
j=1
Следствие 1.4. Пусть T = {Aj } – стандартное
Pразбиение параллелепипеда (в новом смысле) A ⊂ Rn . Тогда Vn (A) =
Vn (Aj ).
j
Доказательство. Пусть Π, Πj – замкнутые параллелепипеды такие, что
int Π ⊂ A ⊂ Π, int Πj ⊂ Aj ⊂ Πj . Если int Π = ∅, то int Πj = ∅, и, следовательно, в силу замечания 1.1.2 Vn (Π) = Vn (A) = Vn (Πj ) = Vn (Aj ) = 0.
Отсюда требуемое равенство вытекает тривиально. Рассмотрим случай,
когда int Π 6= ∅, тогда A = Π. Если int Πj = ∅ для некоторого индекса j,
то Vn (Aj ) = Vn (Πj ) = 0, и можно считать, что Πj ⊂ Π (для этого достаточно взять его пересечение с Π.) Если int Πj 6= ∅ для некоторого индекса
S
S
S
j, то Πj = Aj ⊂ A = Π. Поэтому Π = A = Aj = Aj ⊂ Πj ⊂ Π, т.е.
j
j
j
S
Π = Πj . При этом int Πi ∩ int Πj = int Ai ∩ int Aj = ∅ для произвольj
P
ных различных индексов i, j. Поэтому, в силу теоремы 1.1,
Vn (Aj ) =
j
P
Vn (Πj ) = Vn (Π).
j
1.2
Объем элементарных множеств.
Определение 1.2.1. Зафиксируем ортонормированный базис в Rn . Через Э = Эn обозначим класс всех элементарных множеств (относительно
некоторого ортонормированного базиса {en }), т.е. таких множеств M,
которые представляются в виде конечного объединения параллелепипедов Πj ⊂ Rn , ребра которых параллельны векторам базиса, и int Πi ∩
int Πj (i 6= j). При этом будем считать, что вырожденные параллелепипеды Πj можно поместить в замкнутые вырожденные параллелепипеды,
ребра которых параллельны векторам базиса. По определению положим
def P
Vn (Πj ). По определеобъем множества M равным величине Vn (M ) =
j
нию будем считать, что ∅ ∈ Эn и Vn (∅) = 0.
1.2 Объем элементарных множеств.
17
Корректность объема элементарного множества.
Пусть элементарное множество M представляется в виде объединения как параллелепипедов {Ai }, так и параллелепипедов {Bj }, с непересекающимися внутренностями,
P
P и ребрами параллельными базисным
векторам. Тогда
Vn (Ai ) =
Vn (Bj ).
i
j
Доказательство. Действительно, поскольку параллелепипеды {Cij =
Ai ∩Bj } не пересекаются внутренностями,
P а их ребра
P (если ониPнеPпусты)
Vn (Cij ) =
Vn (Cij ) =
параллельны базисным векторам, то Vn (Bj ) =
j
i,j
i
j
P
Vn (Ai ).
i
Замечание 1.2.1. Всякое подмножество вырожденного в Rn параллелепипеда (т.е. у которого хотя бы одно ребро длины ноль) является элементарным множеством из класса Эn , поскольку является параллелепипедом в новом смысле (его внутренность пуста). При этом его n-мерный
объем равен нулю.
Замечание 1.2.2. Конечное объединение, пересечение, разность элементарных множеств – элементарное множество. Т.е. семейство элементарных множеств – кольцо множеств. Кроме того, граница и внутренность
элементарного множества A ∈ Эn является элементарным множеством
из класса Эn .
Доказательство. В силу следствия 1.3 пересечение и разность двух параллелепипедов представляет из себя элементарное множество. Объединение двух параллелепипедов Π1 и Π2 равно (Π1 \Π2 )tΠ2 – элементарная
фигура. Далее индукцией по числу параллелепипедов, составляющих
элементарное множество, получим, что конечное объединение, пересечение, разность элементарных множеств – элементарное множество.
Граница ∂A элементарного множества A ∈ Эn содержится в конечном
наборе граней параллелепипедов его составляющих, а всякое подмножество грани (как вырожденного параллелепипеда) является вырожденным параллелепипедом (в новом смысле) и, согласно замечанию 1.2.1,
– элементарное множество, и, следовательно, как конечное объединение
элементарных множеств, множество ∂A принадлежит классу Эn . Внутренность множества A – разность этого множества и его границы, а, следовательно, как разность элементарных множеств – элементарное множество.
Пример. Пусть множество A ⊂ Rn ограничено, Q ∈ Эn : Q ⊃ ∂A.
Тогда A ∪ Q, A \ Q ∈ Эn .
1 Мера Жордана в пространстве RN .
18
Доказательство. Поскольку множество A ограничено, то найдется замкнутый параллелепипед Π, ребра которого параллельны векторам базиса, и Π ⊃ A, Q. Проведем через все грани непустых параллелепипедов,
составляющих Q, гиперплоскости, параллельные координатным гиперплоскостям, эти проведенные гиперплоскости рассекут параллелепипед
Π на замкнутые параллелепипеды {Πj }.
Докажем, что всякий параллелепипед Πj , имеющий непустое пересечение с A и такой, что int Πj 6⊂ A, пересекается с ∂A. Действительно, если
бы Πj ∩ ∂A = ∅, то ext A ∪ int A ⊃ Πj и Πj ∩ int A 6= ∅, Πj ∩ ext A 6= ∅ (т.к.
Πj ∩ A 6= ∅ и Πj 6⊂ int A). Тем самым, множество Πj было бы несвязным,
чего не может быть, т.к. это множество выпукло.
Пусть A – множество всех индексов j, для которых Πj ∩ Q 6= ∅, а B
b = S Πj ∈
– множество всех индексов j, для которых Πj ∩ A 6= ∅, и Q
j∈A
S
b
b
Πj . На самом
Эn . Из построения вытекает, что Q ⊂ Q и A ∪ Q ⊂
j∈A∪B
b = S Πj . Действительно, если j ∈ B, то Πj ∩ A 6= ∅, и,
деле, A ∪ Q
j∈A∪B
следовательно, или int Πj ⊂ A (поэтому Πj ⊂ A ∪ ∂A ⊂ A ∪ Q), или
Πj ∩ ∂A 6= ∅ (поэтому Πj ∩ Q 6= ∅, т.е. j ∈ A). Отсюда и вытекает, что
b \ Q ∈ Эn и A ∪ Q = (A ∪ Q)
b = S Πj ∈ Эn . Тогда Q
b \ (Q
b \ Q) ∈ Эn .
A∪Q
j∈A∪B
Следовательно, A \ Q = (A ∪ Q) \ Q.
Свойства объемов элементарных множеств.
1. Vn (∅) = 0 и Vn (A) > 0 для всех множеств A ∈ Эn .
2. Пусть {Ak } – конечный `
набор попарно непересекающихся
элеменP
тарных множеств, тогда A = Ak ∈ Эn , и Vn (A) =
Vn (Ak ).
k
k
3. Пусть A, B ∈ Эn : A ⊂ B, тогда Vn (A) 6 Vn (B) и Vn (B \ A) =
Vn (B) − Vn (A).
4. Пусть A, B ∈ Эn , тогда A ∪ B, A ∩ B ∈ Эn , и Vn (A ∪ B) = Vn (A) +
Vn (B) − Vn (A ∩ B).
Следствие 1.5. Vn (A ∪ B) 6 Vn (A) + Vn (B).
Из этого следствия индукцией доказывается следующее утверждение.
Следствие 1.6. Пусть элементарное множество A содержится
в коP
нечном объединении множеств {Aj } ⊂ Эn . Тогда Vn (A) 6
Vn (Aj ).
j
Следствие 1.7. Конечное объединение множеств нулевого объема имеет нулевой объем.
5. Пусть k ∈ R, a ∈ Rn , A ∈ Э. Тогда Vn (kA + a) = |k|n Vn (A).
6. Пусть A ∈ Эn . Тогда A, int A ∈ Эn , и выполняются равенства
Vn (A) = Vn (A) = Vn (int A), Vn (∂A) = 0.
1.3 Мера Жордана.
19
Доказательство.
1. Эти утверждения вытекают из определения объема элементарного
множества.
2. Каждое элементарное множество Ak представляет собой конечное
объединение параллелепипедов {Πkj }j , с непересекающимися внутренностями и ребрами параллельными осям. Тогда A представляет собой объединениеP
{Πkj }j,k , с непересекающимися
PP
P внутренностями, следовательно,
k
k
Vn (A) =
Vn (Πj ) =
Vn (Πj ) =
Vn (Ak ).
j,k
k
j
k
3. Поскольку B = (B \ A) t A, то Vn (B) = Vn (B \ A) + Vn (A) > Vn (A).
Следовательно, Vn (B \ A) = Vn (B) − Vn (A).
4. Поскольку A ∪ B = (A \ (A ∩ B)) t (A ∩ B) t (B \ (A ∩ B)), то
Vn (A ∪ B) = Vn (A \ (A ∩ B)) + Vn (A ∩ B) + Vn (B \ (A ∩ B)) = Vn (A) −
Vn (A ∩ B) + Vn (A ∩ B) + Vn (B) − Vn (A ∩ B) = Vn (A) + Vn (B) − Vn (A ∩ B).
5. Множество A представляет собой конечное объединение параллелепипедов {Πj }j , с непересекающимися внутренностями
и ребрами паS
раллельными осям. При этом kA + a = (kΠj + a). Тогда |k|n Vn (A) =
j
P
P
P
|k|n Vn (Πj ) =
Vn (kΠj ) =
Vn (kΠj + a) = Vn (kA + a).
j
j
j
6. Пусть A ∈ Эn , тогда согласно замечанию 1.2.2 int A, ∂A ∈ Эn , и
int A ⊂ A. Кроме того, граница содержится в конечном объединении
граней, т.е. множеств нулевого объема, и, следовательно, в силу следствий 1.6 и 1.7 Vn (∂A) 6 0. Таким образом, Vn (∂A) = 0, и, следовательно, Vn (int A) 6 Vn (A) 6 Vn (A) = Vn (int A t ∂A) = Vn (int A) + Vn (∂A) =
Vn (int A). Поэтому Vn (A) = Vn (A) = Vn (int A).
1.3
Мера Жордана. Измеримые по Жордану множества. Критерий измеримости по
Жордану. Измеримость многогранников.
Определение 1.3.1. Множество A ⊂ Rn называется измеримым по
Жордану, если ∀ε > 0 ∃M, N ∈ Эn : M ⊂ A ⊂ N, и Vn (N \ M ) =
Vn (N ) − Vn (M ) 6 ε.
Обозначение 2. Через Ж = Жn обозначим класс всех измеримых по
Жордану множеств в Rn .
Замечание 1.3.1. Из измеримости множества A по Жордану следует его
ограниченность, поскольку это множество должно содержаться в некотором элементарном множестве, которое, конечно, ограничено.
1 Мера Жордана в пространстве RN .
20
Определение 1.3.2. Для любого ограниченного множества A ⊂ Rn расdef
def
смотрим m∗ (A) =
inf
Vn (N ) – верхнюю меру Жордана и m∗ (A) =
N ∈Эn :A⊂N
sup
Vn (M ) – нижнюю меру Жордана.
M ∈Эn :M ⊂A
Следствие 1.8. Пусть A, Ai ⊂ Rn (i = 1, N ) – ограниченные множества. Тогда
N
N
S
P
1. Если A ⊂
Ai , то m∗ (A) 6
m∗ (Ai );
i=1
2. Если
Ǹ
Ai ⊂ A, то
i=1
N
P
i=1
m∗ (Ai ) 6 m∗ (A).
i=1
Доказательство.
1. Пусть Bi – произвольное элементарное множество, содержащее
N
N
P
def S
множество Ai (i = 1, N ), тогда A ⊂ B =
Bi ∈ Эn и V (B) 6
V (Bi ).
Следовательно, m∗ (A) 6 V (B) 6
N
P
i=1
i=1
N
P
V (Bi ), поэтому m∗ (A) 6 inf{
i=1
Bi ∈ Эn : Ai ⊂ Bi , i = 1, N } =
N
P
i=1
N
P
V (Bi ) |
i=1
inf{V (Bi ) | Bi ∈ Эn : Ai ⊂ Bi } =
i=1
m∗ (Ai ).
2. Пусть Bi – произвольное элементарное множество, содержащееся
def
в множестве Ai (i = 1, N ), тогда элементарное множество B =
содержится в A. Следовательно,
m∗ (A) > sup{
N
P
N
P
V (Bi ) = V (B) 6 m∗ (A), и поэтому
V (Bi ) | Bi ∈ Эn : Ai ⊂ Bi , i = 1, N } =
Bi ∈ Эn : Ai ⊂ Bi } =
N
P
Bi
i=1
i=1
i=1
Ǹ
N
P
sup{V (Bi ) |
i=1
m∗ (Ai ).
i=1
Следствие 1.9. Пусть A, B ∈ Rn – ограниченные множества. Тогда
1. Если A ⊂ B, то m∗ (A) 6 m∗ (B), m∗ (A) 6 m∗ (B) и m∗ (B \ A) 6
m∗ (B) − m∗ (A).
2. m∗ (A) = m∗ (int A) 6 m∗ (A) = m∗ (A).
3. m∗ (A) − m∗ (A) = m∗ (∂A).
Доказательство.
1. Для любых множеств M, N ∈ Эn : M ⊂ A ⊂ B ⊂ N. Из определения вытекает, что Vn (M ) 6 m∗ (B) и m∗ (A) 6 Vn (N ), поэтому m∗ (A) =
inf
Vn (N ) > m∗ (A). Поскольsup
Vn (M ) 6 m∗ (B) и m∗ (B) =
N ∈Эn :B⊂N
M ∈Эn :M ⊂A
ку B \ A ⊂ N \ M, то m∗ (B \ A) 6 Vn (N \ M ) = Vn (N ) − Vn (M ).
1.3 Мера Жордана.
21
Поэтому m∗ (B \ A) 6 inf (Vn (N ) − Vn (M )) = inf Vn (N ) − sup Vn (M ) =
M,N
N
M
m∗ (B) − m∗ (A).
2. Поскольку M ⊂ A ⊂ N ⇒ int M ⊂ int A ⊂ A ⊂ A ⊂ N , то
m∗ (int A) 6 m∗ (A) =
sup
Vn (M ) 6
sup
Vn (M ) =
M ∈Эn :M ⊂A
M ∈Эn :int M ⊂int A
sup
Vn (int M ) 6 m∗ (int A) и, следовательно, m∗ (A) = m∗ (int A).
M ∈Эn :int M ⊂int A
Аналогично, m∗ (A) > m∗ (A) =
Vn (N ) =
inf
Vn (N ) >
inf
N ∈Эn :A⊂N
N ∈Эn :A⊂N
Vn (N ) > m∗ (A)и, следовательно, m∗ (A) = m∗ (A). Кроме того,
inf
N ∈Эn :A⊂N
поскольку M ⊂ N, то Vn (M ) 6 Vn (N ). Отсюда m∗ (A) =
sup
Vn (M ) 6
M ∈Эn :M ⊂A
Vn (N ), и, следовательно, m∗ (A) 6
inf
Vn (N ) = m∗ (A).
N ∈Эn :A⊂N
3. Пусть Q ∈ Эn : ∂A ⊂ Q, тогда в силу примера на стр. 17 N = A ∪
Q, M = A\Q ∈ Эn . Из включений N \M = Q ⊃ ∂A, следует, что Vn (Q) =
Vn (N ) − Vn (M ) > m∗ (A) − m∗ (A). Поэтому m∗ (∂A) =
inf
Vn (Q) >
Q∈Эn :∂A⊂Q
m∗ (A) − m∗ (A). В силу пункта 1 m∗ (∂A) = m∗ (A \ int A) 6 m∗ (A) −
m∗ (int A) = m∗ (A) − m∗ (A). Отсюда m∗ (A) − m∗ (A) = m∗ (∂A).
Лемма 1.3.1. A ∈ Жn ⇔ m∗ (A) = m∗ (A) ∈ R.
Доказательство.
⇒ Пусть A ∈ Жn , тогда множество A ограничено и существуют
M, N ∈ Э : M ⊂ A ⊂ N, и Vn (N \ M ) 6 ε. Отсюда 0 6 m∗ (A) − m∗ (A) 6
Vn (N ) − Vn (M ) = Vn (N \ M ) 6 ε, т.е. m∗ (A) = m∗ (A) ∈ R.
⇐ Пусть m∗ (A) = m∗ (A) ∈ R. Тогда для любого ε > 0 найдутся
множества N, M ∈ Э : M ⊂ A ⊂ N такие, что m∗ (A) > Vn (N ) − 2ε
и m∗ (A) < Vn (M ) + 2ε . Следовательно, 0 = Vn (N ) − Vn (M ) < m∗ (A) −
m∗ (A) + ε = ε.
Определение 1.3.3. Пусть A ⊂ Rn , A ∈ Ж. Тогда число m(A) =
def
mn (A) = m∗ (A) = m∗ (A) называется мерой Жордана множества A.
Замечание 1.3.2. Если m∗ (A) = 0, то 0 6 m∗ (A) 6 m∗ (A) = 0, т.е.
m∗ (A) = m∗ (A) = 0, и, следовательно, A ∈ Жn и m(A) = 0.
Теорема 1.10 (критерий измеримости). Пусть A ⊂ Rn . Тогда A ∈
Ж ⇔ множество A ограничено, и m∗ (∂A) = 0.
Доказательство.
⇒ Если A ∈ Ж, то множество A ограничено, и m∗ (A) = m∗ (A) ∈ R.
Поэтому 0 = m∗ (A) − m∗ (A) = m∗ (∂A).
⇐ Если множество A ограничено, и m∗ (∂A) = 0, то m∗ (A) − m∗ (A) =
m∗ (∂A) = 0, т.е. m∗ (A) = m∗ (A) ∈ R.
Следствие 1.11. Пусть D ∈ Жn . Тогда mn (D) > 0 ⇔ int D 6= ∅.
1 Мера Жордана в пространстве RN .
22
Доказательство.
⇒ Если int D = ∅, то D ⊂ ∂D, и в силу критерия измеримости
m∗ (D) 6 m∗ (∂D) = 0, что противоречит условию mn (D) > 0.
⇐ Если int D 6= ∅, то найдется невырожденный элементарный параллелепипед Π ⊂ D, и, следовательно, 0 < Vn (Π) 6 m∗ (D) = mn (D).
n
Лемма 1.3.2. Пусть {Ai }N
i=1 ⊂ R – набор множеств меры нуль ЖорN
S
дана. Тогда A =
Ai – множество меры нуль по Жордану.
i=1
Доказательство. По следствию 1.8 m∗ (A) 6
N
P
m∗ (Ai ) = 0.
i=1
Следствие 1.12. Всякое конечное объединение, пересечение, разность
измеримых по Жордану множеств измеримо по Жордану.
Доказательство. Если {Ai }N
i=1 ⊂ Жn , то граница этих множеств (конечного объединения, пересечения, разности) содержится в объединении
границ множеств Ai (i = 1, N ), т.е. является мерой Жордана нуль. Из
ограниченности этих множеств и критерия измеримости вытекает их измеримость.
Свойства меры Жордана.
1. Пусть A ∈ Жn , то int A, A, ∂A ∈ Жn , и m(A) = m(int A) = m(A),
m(∂A) = 0.
2. Пусть {Ai }N
i=1 ⊂ Жn , и int Ai ∩ int Aj = ∅ для произвольных разN
N
P
S
m(Ai ). В частности,
личных индексов i, j = 1, N , то m( Ai ) =
m(
Ǹ
Ai ) =
N
P
i=1
i=1
m(Ai ).
i=1
i=1
3. Пусть A, B ∈ Жn : A ⊂ B. Тогда m(A) 6 m(B), и m(B \ A) =
m(B) − m(A).
4. Пусть A, B ∈ Жn . Тогда m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B).
5. Пусть k ∈ R, a ∈ Rn , A ∈ Жn . Тогда m(kA + a) = |k|n m(A).
Доказательство.
1. m(A) = m∗ (A) = m∗ (int A) = m(int A), m(A) = m∗ (A) = m∗ (A) =
m(A), m(∂A) = m∗ (∂A) = 0.
N
N
Ǹ
N
S
S
P
2. Поскольку m( Ai ) = m∗ ( Ai ) > m∗ ( int Ai ) >
m∗ (int Ai ) =
N
P
m∗ (Ai ) =
i=1
то m(
N
S
i=1
N
P
i=1
m(Ai ) и m(
i=1
N
P
Ai ) =
i=1
N
S
i=1
m(Ai ).
i=1
Ai ) = m∗ (
N
S
i=1
i=1
Ai ) 6
N
P
i=1
i=1
m∗ (Ai ) =
N
P
i=1
m(Ai ),
1.3 Мера Жордана.
23
3. Поскольку m(B) = m(A t (B \ A)) = m(A) + m(B \ A), то 0 6
m(B \ A) = m(B) − m(A), и, следовательно, m(A) 6 m(B).
4. Поскольку A ∪ B = (A \ (A ∩ B)) t (A ∩ B) t (B \ (A ∩ B)), то
m(A ∪ B) = m(A \ (A ∩ B)) + m(A ∩ B) + m(B \ (A ∩ B)) = m(A) − m(A ∩
B) + m(A ∩ B) + m(B) − m(A ∩ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B).
5. Поскольку m(kA + a) = m∗ (kA + a) 6
inf
Vn (kN + a) =
N ∈Эn :A⊂N
inf
|k|n Vn (N ) = |k|n m∗ (A) = |k|n m(A) и m(kA + a) = m∗ (kA + a) >
N ∈Эn :A⊂N
sup
Vn (kM + a) =
sup
|k|n Vn (M ) = |k|n m∗ (A) = |k|n m(A), то
M ∈Эn :M ⊂A
M ∈Эn :M ⊂A
m(kA + a) = |k|n m(A).
Обозначение 3. Рассмотрим величины
def
m∗ (A) =
def
sup
m(M ), m∗ (A) =
M ∈Жn :M ⊂A
inf
N ∈Жn :A⊂N
m(N ).
Теорема 1.13. Пусть A ⊂ Rn – ограниченное множество. Тогда m∗ (A) =
m∗ (A) и m∗ (A) = m∗ (A).
Доказательство. Поскольку Эn ⊂ Жn , то m∗ (A) 6 m∗ (A). С другой
стороны, для каждого числа ε > 0 и измеримого множества M ⊂ A найдется множество P ∈ Эn : P ⊂ M, и m(M ) < Vn (P ) + ε 6 m∗ (A) + ε. Отсюда m(M ) 6 m∗ (A), и, следовательно, m∗ (A) 6 m∗ (A). Таким образом,
m∗ (A) = m∗ (A). Равенство m∗ (A) = m∗ (A) доказывается аналогично.
Следствие 1.14. A ∈ Жn ⇔ для всех ε > 0 найдутся множества
M, N ∈ Жn такие, что M ⊂ A ⊂ N, и m(N \ M ) = m(N ) − m(M ) < ε.
Доказательство.
⇒ Нетрудно убедится, что для M = N = A верно соотношение m(N \
M ) = m(N ) − m(M ) = 0 < ε.
⇐ Поскольку 0 6 m∗ (A) − m∗ (A) 6 m(N ) − m(M ) < ε, то m∗ (A) =
m∗ (A) = m∗ (A) = m∗ (A), т.е. A ∈ Жn .
Лемма 1.3.3. Пусть A ⊂ Rn – ограниченное множество. Тогда m∗ (A) =
0 ⇔ для любого ε > 0 существует конечный набор невырожденных замкнутых параллелепипедовP
{Πj }, ребра которых параллельны некотоn
n
Vn (Πj ) < ε.
рому базису {fi }i=1 в R , и
j
Доказательство.
⇒ Для любого ε > 0 найдется элементарное множество, объема меньшего ε и содержащее множество A. Каждый прямоугольный параллелепипед, из которых состоит это элементарное множество можно поместить
1 Мера Жордана в пространстве RN .
24
в замкнутый параллелепипед того же объема. Любой замкнутый параллелепипед можно поместить в невырожденный замкнутый параллелепипед, ребра которого параллельны ребрам данного, а величина объема
сколь угодно мало отличается от объема исходного. Тем самым, можно
добиться, чтобы сумма их объемов также была меньше ε.
⇐ Пусть для любого ε > 0 существует конечный набор невырожденных замкнутых параллелепипедов
{Πj }, ребра которых параллельны
P
Vn (Πj ) < ε. Без потери общности, можно
некоторому базису в Rn , и
j
считать, что ребра параллелепипедов {Πj } – ненулевые. Рассекая в каждом параллелепипеде ребра, превышающие длину минимального ребра
dj более, чем в 2 раза гиперплоскостями, параллельными граням, на отрезки длины из промежутка [dj , 2dj ), мы получим такой набор параллелепипедов, для каждого из которых длины ребер не превосходят длину
наименьшего их ребра более, чем в 2 раза. Поэтому без потери, общности можно считать, что набор {Πj } обладает таким свойством. Для
каждого параллелепипеда Πj можно построить параллелепипеды Π1j и
Π2j , центры которых совпадают с центром Πj , относительно этого центра
параллелепипеды Π1j и Π2j гомотетичны друг другу, и все ребра Π1j равны
dj – минимальному ребру Πj , все ребра Π2j равны Dj – максимальному
ребру Πj , при этом Π1j ⊂ Πj ⊂ Π2j . Тогда Vn (Π1j ) = C0 dnj , Vn (Π2j ) = C0 Djn ,
где C0 > 0 – объем параллелепипеда Π с ребрами, равными 1 и параллельными векторам базиса {fi }ni=1 . Вокруг этого параллелепипеда можно
описать некоторый куб, ребра которого параллельны векторам ортонормированной системы (т.е. куб – элементарное множество) и равны некоторому числу C > 0. Тогда вокруг параллелепипеда Π2j можно описать
куб Kj ∈ Эn , ребра которого равны CDj . Отметим, что для всех индексов j верны соотношения Vn (Kj ) = (CDj )n и Vn (Π1j ) 6 Vn (Πj ) 6 Vn (Π2j )
(последнее неравенство вытекает из того факта, что, для 2-х параллелепипедов P1 , P2 , ребра которых попарно параллельны и P1 ⊂ P2 , можно
построить стандартное разбиение параллелепипеда P2 , одним элементом
которого будет параллелепипед P1 ).
n
n
Следовательно, Vn (Kj ) = C n Djn 6 (2C)n dnj = (2C)
Vn (Π1j ) 6 (2C)
Vn (Πj ).
C0
C0
P
P
C0
∗
Таким образом, если
Vn (Πj ) < ε (2C)n , то
Vn (Kj ) < ε, т.е. m (A) < ε.
j
j
Следовательно, m∗ (A) = 0.
Следствие 1.15. Все многогранники в Rn измеримы.
Доказательство. Каждую грань можно поместить в параллелепипед,
размерности n−1, т.е. вырожденный параллелепипед в Rn , объем которого равен нулю. Поэтому граница многогранника – множество меры нуль
Жордана, и, следовательно, многогранник измерим по Жордану.
1.4 Мера Жордана цилиндроидов и параллелепипедов.
1.4
25
Мера Жордана цилиндроидов и параллелепипедов в Rn. Линейное преобразование измеримых по Жордану множеств.
Определение 1.4.1. Пусть Ω ⊂ Rn−1 , x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Цилиндроидом C = C(Ω, x) назовем множество {tx + Ω | t ∈ [0, 1]}, при этом Ω
называют нижним основанием, а x + Ω – верхним основанием.
Лемма 1.4.1. Пусть Ω ⊂ Rn−1 – элементарный прямоугольный параллелепипед (т.е. его ребра параллельны векторам e1 , . . . , en−1 ), x =
(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn . Тогда mn (C) = |xn |Vn−1 (Ω) = Vn (C), где C = C(Ω, x) –
цилиндроид с основанием Ω.
Доказательство. Представим вектор x в виде суммы h + h0 , где h =
(0, . . . , 0, xn ), h0 = (x1 , . . . , xn−1 , 0). Для произвольного числа δ ∈ (0, 1)
рассмотрим прямоугольный параллелепипеды Pδ и Qδ , получающиеся из
Ω гомотетией с коэффициентом 1−δ и 1+δ соответственно, центр которой
расположен в центре Ω. Тогда Pδ ⊂ Ω ⊂ Qδ , и пусть число % > 0 – минимальное расстояние от точек ∂Ω ⊂ Rn−1 до точек множества ∂Pδ ∪ ∂Qδ ⊂
Rn−1 (минимальное расстояние до граней этих параллелепипедов). Выбе0
рем число l ∈ N так, чтобы |hl | < %. Пусть tj = jl x, hj = jl h, h0j = jl h0 (j =
0, l), тогда tj = hj + h0j , 4tj = 4hj + 4h0j (j = 1, l). Разобъем цилиндроидпараллелепипед C на слои Πj = {tj−1 + θ4tj +Ω | θ ∈ [0, 1]} (j = 1, l). По0
скольку |θ4h0j | 6 |4h0j | = |hl | < %, то Pδ −θ4h0j ⊂ Ω ⊂ Qδ −θ4h0j (j = 1, l).
Прибавив к этому соотношению вектор tj−1 + θ4tj = tj−1 + θ4hj +
θ4h0j , получим: tj−1 + Pδ + θ4hj ⊂ tj−1 + θ4tj + Ω ⊂ tj−1 + Qδ + θ4hj
def
для всех θ ∈ [0, 1]. Отсюда следует, что Mj = tj−1 + Pδ × [hj−1 , hj ] ⊂
def
Πj ⊂ tj−1 + Qδ × [hj−1 , hj ] = Nj (j = 1, l). Следовательно, Vn (Mj ) =
|4hj |Vn−1 (Pδ ) 6 mn (Πj ) 6 |4hj |Vn−1 (Qδ ) = Vn (Nj ) (j = 1, l), и поэтоl
l
l
P
P
P
mn (Πj ) = mn (C) 6 Vn−1 (Qδ )
|4hj |. То|4hj | 6
му Vn−1 (Pδ )
j=1
j=1
гда для элементарных множеств M =
j=1
l
S
j=1
Mj , N =
l
S
Nj , верны соот-
j=1
ношения: M ⊂ C ⊂ N, и mn (M ) = |xn |(1 − δ)n−1 Vn−1 (Ω) 6 mn (C) 6
|xn |(1 + δ)n−1 Vn−1 (Ω) = mn (N ). Устремляя δ → 0, получим, что mn (C) =
|xn |Vn−1 (Ω) = Vn (C).
Теорема 1.16. Пусть Ω ⊂ Rn−1 , Ω ∈ Жn−1 ; x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; C =
C(Ω, x) ⊂ Rn – цилиндроид. Тогда C ∈ Жn , и mn (C) = |xn |mn−1 (Ω)
(здесь h = |xn | – длина высоты C).
1 Мера Жордана в пространстве RN .
26
Доказательство. Без потери общности будем считать, что xn > 0. Для
произвольного ε > 0 найдутся два элементарных множеств P, Q ⊂ Rn−1 :
P ⊂ Ω ⊂ Q, и mn−1 (Q \ P ) < xεn . При этом
xn mn−1 (P ) 6 xn mn−1 (Ω) 6 xn mn−1 (Q).
S
S
Можно считать, что Q =
Πj , P =
Πj (B ⊂ A), где {Πj } ∈ Эn –
j∈A
j∈B
такой набор параллелепипедов, что int Πi ∩ int Πj = ∅ для произвольных
b j = C(Πj , x) (j ∈ A), тогда множеразличных индексов i, j. Положим Π
S
b = C(Q, x) =
b j и Pb = C(Q, x) = S Π
b j измеримы, и Pb ⊂ C ⊂
ства Q
Π
j∈A
j∈B
b Кроме того, mn (Q\
b Pb) = mn (Q)−m
b
b
Q.
n (P ) = xn mn−1 (Q)−xn mn−1 (P ) < ε.
b
Отсюда C ∈ Жn , и mn (Pb) = xn mn−1 (P ) 6 mn (C) 6 xn mn−1 (Q) = mn (Q).
b − mn (Pb) < ε. Следовательно,
Поэтому |mn (C) − xn mn−1 (Ω)| 6 mn (Q)
mn (C) = xn mn−1 (Ω).
Теорема 1.17. Пусть Π ⊂ Rn – параллелепипед. Тогда Π ∈ Жn , и
mn (Π) = Vn (Π).
Доказательство. Поскольку Π – многогранник, то Π ∈ Жn . Докажем
формулу индукцией по n.
1◦ . Пусть n = 1, Π = [a, b] ⊂ R, тогда Π – элементарное множество, а,
следовательно, m1 (Π) = |b − a| = V1 (Π).
2◦ . Предположим, что формула верна при n = k. Докажем формулу
n = k + 1. Осуществляя параллельный перенос, можно считать, что начало координат расположено в такой вершине параллелепипеда, что все
его вершины лежат в полупространстве {(x1 , . . . , xn ) | xn > 0}, т.е. Π =
Π(a1 , . . . , an ), где последние координаты векторов ai (i = 1, n) неотрицательны. Если необходимо, перенумеруем вектора {aj = (aj1 , . . . , ajn )}nj=1
так, чтобы вектор en не лежал в плоскости векторов {aj }n−1
j=1 . Пусть
2n−1
2n−1
{Ai }j=1 ({Bi }j=1 ) – вершины верхней (нижней грани) параллелепипеда
Π, определяемые условием [Ai , Bi ] k an . Обозначим через Bi0 проекции Bi
на координатную гиперплоскость Rn−1 параллельно вектору an , опреде−−→ −−→
лим точку A0i из условия Ai A0i = Bi Bi0 (i = 1, 2n−1 ). Пусть M1 (M2 ) – многоn−1
2n−1
гранники с вершинами {Aj , A0j }j=1
({Bj , Bj0 }2j=1 ). Они получаются друг
−−−→
−−−−−−−→
из друга параллельным переносом на вектор A1 B1 = . . . = A2n−1 B2n−1 ,
и в силу их измеримости mn (M1 ) = mn (M2 ). Многогранник M с вер2n−1
представляет собой цилиндроид, основание котошинами {A0j , Bj0 }j=1
рого Ω = Π(b1 , . . . , bn−1 ), где bi = ai − ti an (для некоторого ti ∈ R), и
M = Π(b1 , . . . , bn−1 , an ). Поэтому
¯


¯ ¯
¯
¯
an1 ¯¯ ¯¯
b11 . . . bn−1
a11 . . . a1n−1 an1 ¯¯
1
¯
 a1 . . . an−1 an ¯
 b1 . . . bn−1 an ¯ ¯
¯
2
2
2 ¯
2 ¯
 2
¯
 2
¯
Vn (M ) = ¯det  ..
..
.. ¯ = ¯det  ..
..
.. ¯ = Vn (Π).
¯
 .
 .
.
...
. ¯¯ ¯¯
.
...
. ¯¯
¯
n
n−1
n−1
1
1
¯
¯
¯
an
ann ¯
bn . . . b n
an . . . a n
1.5 Диффеоморфные образы измеримых множеств.
27
Кроме того, поскольку M – цилиндроид, то в силу предположения индукции mn (M ) = |ann |mn−1 (Ω) = |ann |Vn−1 (Ω) = Vn (M ) = Vn (Π). Поэтому
из Π = (M ∪ M1 ) \ M2 вытекает, что mn (Π) = mn (M ∪ M1 ) − mn (M2 ) =
mn (M ) + mn (M1 ) − mn (M2 ) = mn (M ) = Vn (Π).
Следствие 1.18. Пусть Π ⊂ Rn – параллелепипед, A : Rn → Rn – линейное преобразование с матрицей MA в некотором ортонормированном базисе. Тогда mn (A(Π)) = mn (Π)| det MA |.
Следствие 1.19. Пусть E ∈ Эn , A : Rn → Rn – линейное преобразование с матрицей MA в некотором ортонормированном базисе. Тогда
mn (A(E)) = mn (E)| det MA |.
Замечание 1.4.1. Отсюда вытекает, что меру Жордана можно эквивалентно определить, взяв вместо канонического базиса любой другой ортонормированный базис.
Теорема 1.20. Пусть множество E ⊂ Rn ограничено, A : Rn → Rn –
линейное преобразование с матрицей MA в некотором ортонормированном базисе. Тогда m∗ (A(E)) = m∗ (E)| det MA | и m∗ (A(E)) = m∗ (E)| det MA |.
Доказательство. Если оператор A вырожден, то множество F = A(E)
ограничено и содержится в некоторой гиперплоскости, а, следовательно,
F можно поместить в некоторый вырожденный параллелепипед. Отсюда
вытекает, что m∗ (F ) = 0, и, следовательно, m∗ (F ) = 0. Поэтому требуемые равенства верны тривиально. Рассмотрим случай, когда A – невыb) 6
рожденный оператор. Во-первых, m∗ (F ) = m∗ (F ) =
inf
m(N
b ∈Жn :F ⊂N
b
N
inf
m(A(N )) =
inf
| det MA |m(N ) = | det MA |m∗ (E), и, приN ∈Эn :E⊂N
N ∈Эn :E⊂N
меняя аналогичное неравенство для оператора A−1 , получим, что m∗ (E) 6
| det MA−1 |m∗ (F ), т.е. m∗ (E)| det MA | 6 m∗ (F ). Поэтому m∗ (A(E)) = m∗ (E)| det MA |.
Аналогично, m∗ (A(E)) = m∗ (E)| det MA |.
Следствие 1.21. Пусть E ⊂ Rn – множество меры нуль Жордана,
A : Rn → Rn – линейное преобразование. Тогда множество F = A(E)
меры нуль Жордана.
Следствие 1.22. Пусть E ∈ Жn , A : Rn → Rn – линейное преобразование. Тогда множество F = A(E) измеримо по Жордану, и mn (A(E)) =
mn (E)| det MA |.
1.5
Образы измеримых по Жордану множеств
при диффеоморфизмах.
1 Мера Жордана в пространстве RN .
28
Определение 1.5.1. Пусть X = (X, %), Y = (Y, η) – метрические пространства, отображение f : X → Y называется гомеоморфизмом между
X и Y, если у него существует обратное отображение f −1 : Y → X, и
f ∈ C(X), f −1 ∈ C(Y ).
Теорема 1.23 (о гомеоморфизме). Если X = (X, %) – компактное
метрическое пространство, Y = (Y, η) – метрическое пространство,
f ∈ C(X, Y ) – биективное отображение, то f является гомеоморфизмом между X и Y.
Доказательство. Надо проверить, что f −1 ∈ C(Y, X). Для этого достаточно воспользоваться критерием непрерывности и показать, что для
любого замкнутого множества A в X множество f (A), являющееся прообразом множества A при отображении f −1 , является замкнутым в пространстве Y. Поскольку замкнутое подмножество компакта является компактом и непрерывный его образ также компакт, то f (A) – компактное
множество в Y. В метрическом пространстве компакт является замкнутым множеством, поэтому f (A) – замкнутое множество. Отсюда следует
утверждение теоремы.
Замечание 1.5.1. Пусть X = (X, %) и Y = (Y, η) – метрические пространства, f : X → Y – гомеоморфизм между множествами X и Y. Тогда для
любых множеств E ⊂ X и F = f (E) ⊂ Y это отображение граничные,
внутренние и внешние точки множества E переводит соответственно в
граничные, внутренние и внешние точки множества F.
Доказательство. Действительно, пусть x – произвольная внутренняя
точка E, тогда существует окрестность O(x) ⊂ E. Поскольку f −1 ∈
C(F, E), то по критерию непрерывности множество f (O(x)) – открыто и
содержится в F, следовательно, y = f (x) ∈ int F. Таким образом, внутренние точки множества E переходят во внутренние точки множества
F. Поскольку f −1 : Y → X – также гомеоморфизм, то по тем же соображениям внутренние точки множества F переходят во внутренние точки
множества E. Проводя те же рассуждения для внутренностей дополнений этих множеств, мы получим, что множества внешних точек множеств E и F также переходят друг в друга. Следовательно, граничные
точки при отображениях f, f −1 могут переходить только в граничные
точки.
Лемма 1.5.1. Пусть E ⊂ Rn – ограниченное множество,
f : E → Rn
√
– C-липшицевое отображение. Тогда m∗ (F ) 6 (4C n)n m∗ (E).
Доказательство. Для произвольного числа ε > 0 найдетсяP
набор прямоугольных замкнутых параллелепипедов {Πj } таких, что
Vn (Πj ) <
j
S
√
m∗ (E) + (4C n + 1)−n ε и E ⊂ Πj . Дробя эти параллелепипеды (при
j
1.5 Диффеоморфные образы измеримых множеств.
29
необходимости) так же, как в лемме 1.3.3, можно считать, что наибольшее ребро каждого из них не √
превышает минимальное ребро больше, чем
в 2 раза. Отсюда Vn (Πj ) > (2 n)−n (dj )n , где dj – диаметр Πj . Без потери
общности, будем считать, что набор {Πj } уже обладают этими свойствами, и каждый из этих параллелепипедов пересекается с E (те которые
не пересекаются с E можно исключить из набора). Тогда для диаметра dbj множества f (Πj ∩ E) верно неравенство dbj 6 Cdj . Тогда каждое
множество f (Πj ∩ E) можно поместить в куб Pj , ребра которого паралP
лельны координатным осям и равны величине 2dbj . Поэтому
Vn (Pj ) 6
j
P b n P
P
√
√
(2dj ) 6 (2Cdj )n 6 (4C n)n Vn (Πj ) < (4C n)n m∗ (E) + ε. Из проj
j
j
√
извольности выбора числа ε вытекает, что m∗ (F ) 6 (4C n)n m∗ (E).
Замечание 1.5.2. Из доказательства вытекает, что если множество E покрывается не более, чем счетной системой прямоугольных параллелепипедов {Πj }, то существует набор элементарных
множеств
{P
P
P
√ j }, таких,
что f (Πj ∩ E) ⊂ Pj для всех индексов j, и
Vn (Pj ) 6 (4C n)n Vn (Πj ).
j
j
n
Определение 1.5.2. Множество A ⊂ R называется множеством меры
нуль Лебега, если для любого ε > 0 найдется не S
более, чем
P счетный набор
элементарных множеств {Nj }, такой, что A ⊂ Nj и
Vn (Nj ) < ε.
j
j
Замечание 1.5.3. Из этого определения вытекает, что множество меры
нуль Жордана является множеством меры нуль Лебега.
Замечание 1.5.4. Поскольку каждое элементарное множество состоит из
конечного число элементарных параллелепипедов с непересекающимися
внутренностями, то можно считать, что A – множество меры нуль Лебега, если для любого ε > 0 найдется не более, чем
элеменSсчетный набор
P
Vn (Πj ) < ε.
тарных параллелепипедов {Πj }, такой, что A ⊂ Πj и δ =
j
j
Можно считать, что множество индексов j – подмножество N. Поскольку
каждый параллелепипед Πj можно поместить в открытый (замкнутый)
P
Vn (Pj ) <
параллелепипед Pj , объем которого меньше Vn (Πj ) < ε−δ
, то
2j
j
P
P
Vn (Πj )+ ε−δ
< δ+ε−δ = ε, то предыдущее определение равносильно
2j
j
j
следующему.
Эквивалентное определение 1.5.1. Множество A ⊂ Rn называется
множеством меры нуль Лебега, если для любого ε > 0 найдется не более, чем счетный
открытых (замкнутых) параллелепипедов {Πj },
S наборP
такой, что A ⊂ Πj и
Vn (Πj ) < ε.
j
j
Следствие 1.24. Пусть E ⊂ Rn – множество меры нуль Жордана
(Лебега), f : E → Rn – C-липшицевое отображение. Тогда множество
F = f (E) – меры нуль Жордана (Лебега).
1 Мера Жордана в пространстве RN .
30
Следствие 1.25. Пусть Γ ⊂ Rn (n > 2) – след спрямляемой кривой γ.
Тогда Γ – множество меры нуль Жордана.
Доказательство. Пусть x : [a, b] → Rn – какая-то параметризация кривой γ. Рассмотрим вспомогательный путь x
b : [a, b] → Rn+1 , заданный
формулой x
b(t) = (x(t), t). Нетрудно проверить, что это простой спрямляемый путь, некоторой длины l, и, следовательно, для него есть эквивалентная натуральная параметризацию s : [0, l] → Rn+1 , сопоставляющая
точке t ∈ [0, l] такую точку x
равна t. Тогда отобb(u), что длина пути x
b
[a,u]
ражение s является 1-липшицевым. Композиция P ◦s, где P : Rn+1 → Rn
– проектор, сопоставляющий точкам (y1 , . . . , yn , yn+1 ) точки (y1 , . . . , yn ),
является путем эквивалентным путю x = P ◦ x
b. Тем самым, мы показали, что кривая γ имеет 1-липшицеву параметризацию. Поскольку отрезок [a, b] имеет нулевую меру Жордана в размерности n > 2, то, в силу
следствия 1.24, множество Γ = s([0, l]) меры нуль Жордана.
Теорема 1.26. Пусть G, D ⊂ Rn , – открытые множества, E ∈ Жn :
на
E ⊂ G, и f : G → D – гомеоморфизм открытых множеств G, D ⊂ Rn ,
являющийся липшицевым отображением на E. Тогда F = f (E) ∈ Жn .
Доказательство. В силу замечания 1.5.1 ∂F = f (∂E), и из предыдущего следствия вытекает, что это множество меры нуль Жордана, а,
следовательно ограниченное множество F измеримо по Жордану.
Лемма 1.5.2. Пусть x0 ∈ E ⊂ Rn , f : E → Rm , и f ∈ C 1 (x0 ). Тогда
существует окрестность Oδ (x0 ), на которой отображение f является
липшицевым.
Доказательство. Без потери общности, будем считать, что x0 = 0. По
определению все частные производные 1-го порядка определены в некоторой окрестности нуля и непрерывны в нуле. Следовательно, они лоn
Q
кально ограничены, т.е. существует куб Π = [−δ, δ] и число C > 0, для
i=1
¯ ¯
которых ¯fx0 i ¯ 6 C на Π. Возьмем произвольные точки x = (x1 , . . . , xn ), y =
(y1 , . . . , yn ) ∈ Π, тогда точки tk = (x1 , . . . , xk , yk+1 , . . . , yn ) (k = 0, n) принадлежат кубу Π. Из теоремы Лагранжа для некоторых ξk ∈ [tk−1 , tk ] (k =
n
n
¯ P
¯P
1, n) вытекают неравенства: |f (x)−f (y)| = ¯ (f (tk )−f (tk−1 ))¯ 6
|f (tk )−
f (tk−1 )| =
n
P
i=1
|fx0 k (ξk )(xk
− yk )| 6 C
n
P
i=1
i=1
|xk − yk | 6 Cn|x − y|. Отсюда вы-
i=1
текает, что f – Cn-липшицева на Oδ (x0 ).
Лемма 1.5.3. Пусть E ⊂ Rn – компакт, и f ∈ C 1 (E, Rm ). Тогда отображение f является C-липшицевым для некоторого числа C > 0.
Доказательство. Допустим противное, что существуют последовательности Mk → +∞ (k → ∞), {xk }, {yk } ⊂ E, для которых |f (xk ) − f (yk )| >
1.5 Диффеоморфные образы измеримых множеств.
31
Mk |xk − yk | > 0. Поскольку f ограничено, то |xk − yk | → 0 (k → ∞).
В силу компактности множества E найдется частичный предел x ∈ E
последовательности {xn }. В силу леммы 1.5.2 в некоторой окрестности
Oδ (x) отображение f является липшицевым. Для сколь угодно больших
номеров n ∈ N точки xn и yn попадают в окрестность Oδ (x), что противоречит ее построению.
Напоминание. Диффеоморфизмом класса C 1 открытых множеств
на
D1 , D2 ⊂ Rn называется биективное отображение f : D1 → D2 такое,
что оно и обратное к нему непрерывно дифференцируемо на D1 и D2
соответственно.
Свойства C 1 -диффеоморфизмов.
на
на
1. Если f : D1 → D2 – C 1 -диффеоморфизм, то и f −1 : D2 → D1
является C 1 -диффеоморфизмом, и det Jf (y) = (det Jf (x))−1 для всех x ∈
D1 , y = f (x).
на
2. Диффеоморфизм f : D1 → D2 класса C 1 является гомеоморфизмом, а, следовательно, для любого множества E ⊂ D1 и множества
F = f (E) верны соотношения: f (int E) = int F, f (ext E ∩D1 ) = ext F ∩D2 ,
f (∂E ∩ D1 ) = ∂F ∩ D2 .
на
на
3. Композиция C 1 -диффеоморфизмов f : D1 → D2 и g : D2 → D3
на
является C 1 -диффеоморфизмом g ◦ f : D1 → D3 .
на
4. Для любых f : D1 → D2 и компакта K ⊂ D1 найдется константа
C = C(K) > 0, для которой отображение f является C-липшицевым.
K
Доказательство. Вытекает из леммы 1.5.3.
на
Следствие 1.27. Пусть f : D1 → D2 – C 1 -диффеоморфизм, E ∈ Жn , E ⊂
D1 . Тогда F = f (E) ∈ Жn .
на
5. Пусть f : D1 → D2 – C 1 -диффеоморфизм, A ⊂ D1 – множество
меры нуль Лебега. Тогда f (A) – множество меры нуль Лебега.
Доказательство. Пусть Kn = {x ∈ D1 | %(x, ∂D1 ) > n1 } (n ∈ N). Тогда
∞
S
Kn (n ∈ N) – замкнутое множество, и D1 =
Kn . В силу пункта 4 и
n=1
bn = f (A ∩ Kn ) меры нуль Лебега. Следоваследствия 1.24 множество A
∞
S
bn – меры нуль Лебега.
тельно, f (A) =
A
n=1
Определение 1.5.3. Пусть E ⊂ Rn , x ∈ int E, через Qx = Qx (E) обозначим базу, состоящую из элементов
Qε = {P - куб | x ∈ P ⊂ E, 0 < diam P 6 ε}.
1 Мера Жордана в пространстве RN .
32
Лемма 1.5.4. Пусть U, V – открытые множества в Rn и f : U → V
– гомеоморфизм между множествами U и V ; f ∈ D(x0 ), det Jf (x0 ) 6= 0
∗ (f (P ))
(f (P ))
(x0 ∈ U ). Тогда существует предел lim m m(P
= lim m∗m(P
= | det Jf (x0 )|,
)
)
Q
Q
где Q = Qx0 (E).
Доказательство. Положим для удобства fb(·) = {f 0 (x0 )}−1 ◦ f (·), т.е.
f = f 0 (x0 ) ◦ fb. Тогда m∗ (f (P )) = | det Jf (x0 )|m∗ (fb(P )) и m∗ (f (P )) =
∗ (fb(P ))
| det Jf (x0 )|m∗ (fb(P )). Поэтому достаточно показать, что lim m m(P
=
)
Q
(fb(P ))
lim m∗m(P
)
Q
= 1. Делая, если необходимо, параллельные переносы в обра-
зе и прообразе отображения fb, без потери общности можно считать, что
x0 = 0 = fb(x0 ). Нетрудно проверить, что fb0 (x0 ) = Id : Rn → Rn – тождественное отображение, и, следовательно, fb(x) = fb(x0 ) + (x − x0 ) + ϕ(x) =
x + ϕ(x), где ϕ(x) = o(|x − x0 |) (x → x0 ). Пусть P ∈ Qε ∈ Q – произвольный куб, а y ∈ Rn и r > 0 его центр и половина его ребра соответственно.
Так как f является гомеоморфизмом, то ∂ Pb = fb(∂P ) и int Pb = fb(int P ).
Поскольку для каждой точки x ∈ P точка f (x) ее сдвиг на вектор, длиdef
ны не превосходящей δ = δ(P ) = diam ϕ(P ) = o(r) (r → 0), то множество Pb и его граница ∂ Pb содержатся соответственно в δ-окрестности
множества P и его границы ∂P. При этом можно считать, что число ε
достаточно мало, что δ < 12 r. В силу вышеизложенного около Pb можно описать куб Π1 = (1 + rδ )(P − y) + y (т.к. он содержит δ-окрестность
множества P, а, следовательно, и само P ). Докажем, что в Pb можно
вписать куб Π0 = (1 − rδ )(P − y) + y. Действительно, каждая точка куба Π0 находится на расстоянии большом, чем δ, от границы куба P, и,
следовательно, ∂ Pb ∩ Π0 = ∅. Поэтому Π0 ⊂ int Pb t ext Pb, а из связности куба Π0 вытекает, что либо Π0 ⊂ int Pb, либо Π0 ⊂ ext Pb. Учитывая что внутренняя точка y ∈ int P перейдет во внутреннюю точку
yb ∈ int Pb и |y − yb| 6 δ(r) < 12 r, мы получим, что yb ∈ P, а, следовательно,
Π0 ⊂ int Pb ⊂ Pb. Итак, Π0 ⊂ Pb ⊂ Π1 , и следовательно, верны неравенства
(1 − rδ )n m(P ) 6 m∗ (fb(P )) 6 m∗ (fb(P )) 6 (1 + δr )n m(P ). Переходя к пределу по базе в неравенствах (1 − δr )n 6
получим утверждение леммы.
m∗ (fb(P ))
m(P )
6
m∗ (fb(P ))
m(P )
6 (1 + rδ )n , мы
Учитывая, что при C 1 -диффеоморфизмах измеримые по Жордану
множества переходят в измеримые по Жордану множества, мы получим
следующее утверждение.
на
Следствие 1.28. Пусть f : D1 → D2 – C 1 -диффеоморфизм открытых
(P ))
=
множеств D1 , D2 ⊂ Rn , x0 ∈ D1 . Тогда существует предел lim m(f
m(P )
Q
| det Jf (x0 )|, где Q = Qx0 (D1 ).
Глава 2
Интеграл Римана.
2.1
Суммы Дарбу, Ω-суммы, верхний и нижний интегралы Римана и их свойства.
Определение 2.1.1. Пусть D ∈ Жn , D 6= ∅. Разбиением множества D
называется такой конечный набор непустых множеств T = {Di }N
i=1 ⊂
N
S
Di , и int Di ∩ int Dj = ∅ для произвольных различЖn , что D =
i=1
ных индексов i, j. Диаметром разбиения T называют величину λ(T ) =
max diam Di .
i
Замечание 2.1.1. Когда мы строили интеграл Римана на отрезке [a, b] (a <
b), в качестве разбиения нами рассматривались упорядоченныe наборы
точек. На самом деле, вместо такого определения разбиения отрезка
можно рассмотреть разбиение, представляющего собой набор отрезков
разбиения. Отличие от предыдущего определения в этом случае будет
лишь в том, что такой класс разбиений уже класса разбиений из предыдущего определения, в котором элементы разбиения произвольные измеримые множества, а не отрезки.
Определение 2.1.2. Пусть D ∈ Жn , f : D → R, T = {Di }N
i=1 – разбиеN
N
P
P
mi m(Di ) и S(f, T ) =
Mi m(Di )
ние множества D. Суммы S(f, T ) =
i=1
i=1
называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу, где mi =
inf f ∈ R и Mi = sup f ∈ R (i = 1, N ). Ω-суммой называют сумму
Di
Ω(f, T ) =
N
P
Di
ωi m(Di ), где ωi = ω(f, Di ) = M1 − mi ∈ R.
i=1
Замечание 2.1.2. Эти суммы определены, если все члены суммы определены. Поэтому если m(Di ) = 0, то ωi , Mi , mi должны быть конечными.
33
34
2 Интеграл Римана.
При этом mi < +∞, Mi > −∞, ωi > 0. Поэтому, когда соответствующие
суммы определены, то S(f, T ) < +∞, S(f, T ) > −∞, Ω(f, T ) > 0.
Замечание 2.1.3. Если суммы определены, то S(f, T ) 6 S(f, T ), Ω(f, T ) =
S(f, T ) − S(f, T ).
Определение 2.1.3. Разбиение T 0 = {∆j } называется измельчением
разбиения T = {Di }, если для каждого j существуют найдется индекс i,
для которого 4j ⊂ Di . Таким образом, разбиение T 0 является объединением разбиений множеств Di по всем индексам i. Обозначение T 0 ≺ T.
Лемма 2.1.1. Пусть D ∈ Жn , f : D → R. Тогда при условии существования соответствующих сумм имеют место следующие утверждения:
1. Для всех разбиений T, T 0 : T 0 ≺ T верны неравенства S(f, T 0 ) >
S(f, T ), S(f, T 0 ) 6 S(f, T ), Ω(f, T 0 ) 6 Ω(f, T ).
2. Для всех разбиений T1 , T2 и их измельчения T 0 ≺ T1 , T2 верны неравенства S(f, T1 ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T 0 ) 6 S(f, T2 ).
Доказательство.
S
1. Пусть T 0 = {4ij }i,j , T = {Dj }j , Dj = 4ij , mij = inf f, mj = inf f.
Dj
4ij
i
P
Тогда mj 6 mij , если Dj ⊃ 4ij . Следовательно, S(f, T ) =
mj m(Dj ) =
j
PP
PP
P
P
mij m(4ij ) = S(f, T 0 ). Анаmj m(4ij ) 6
mj m(4ij ) =
j
i
j
j
i
i
логично, S(f, T 0 ) 6 S(f, T ) для всех T 0 : T 0 ≺ T, т.к. Mij = sup f 6
4ij
Mj = sup f. Также ωij = Mij − mij 6 Mj − mj = ωj , и, следовательно,
Dj
0
Ω(f, T ) 6 Ω(f, T ).
2. Следует из пункта 1.
Определение 2.1.4. Если определена хотя бы одна сумма S(f, T ) (S(f, T )),
R
R∗
def
def
то определена величина ∗ f dx = sup S(f, T ) ( f dx = inf S(f, T )), коT
D
D
T
торая называется нижним (верхним) интегралом Римана.
Замечание 2.1.4. Если определены для некоторых разбиений T1 , T2 суммы S(f, T1 ) и S(f, T2 ), то верны неравенства:
Z
Z ∗
f dx 6 S(f, T2 ).
S(f, T1 ) 6 f dx 6
∗
D
D
Доказательство. Для всех разбиений, для которых определены суммы
S(f, T1 ) и S(f, T2 ), выполняется неравенство S(f, T1 ) 6 S(f, T2 ). Так как
в случае, когда S(f, T1 ) = −∞ или S(f, T2 ) = +∞, неравенство выполняется тривиально. В случае же, когда эти суммы конечны, то конечны
2.1 Суммы Дарбу, верхний и нижний интегралы Римана.
35
нижние и верхние суммы их любых измельчений, а, следовательно, неравенство выполняется в силу пункта
R ∗ 2 предыдущей леммы. Далее выполняются соотношения S(f, T1 ) 6
f dx = inf S(f, T ) 6 S(f, T2 ). Отсюда
T
D
R
R∗
S(f, T1 ) 6 sup S(f, T ) = ∗ f dx 6
f dx.
T
D
D
Замечание 2.1.5. Учитывая замечание 2.1.1, что класс разбиений для
отрезка [a, b] (a < b) в старом смысле уже, чем класс разбиений для этого
отрезка в новом смысле, мы получим, что нижний и верхний интегралы
в новом смысле находятся между значениями этих интегралов в старом
смысле.
Теорема 2.1 (критерий ограниченности). Пусть D ∈ Жn , f : D →
R. Тогда следующие условия равносильны:
1. Функция f – ограничена;
2. ∃T (∀T ) Ω(f, T ) ∈ R;
3. ∃T
R (∀TR) S(f, T ), S(f, T ) ∈ R;
4. ∗ f dx, ∗ f dx ∈ R.
D
D
Доказательство.
1 ⇒ 2 Пусть Функция f – ограничена, тогда найдется число M > 0,
для которого |f | 6 M, и, следовательно, для произвольного разбиения T = {DiP
} верны неравенства: ωi 6 2M для всех индексов i, и
Ω(f, T ) 6 2M m(Di ) = 2M m(D) < +∞.
i
P
ωi m(Di )
2 ⇒ 3 Если для некоторого разбиения T = {Di } сумма Ω(f, T ) =
i
существует и конечна, то все члены суммы конечны. Поэтому, если m(Di ) >
0, то ωi < +∞; если m(Di ) = 0, то ωi ∈ R. Следовательно, функция f
ограничена
S на каждом множестве Di , а, следовательно, она ограничена
и на D = Di , т.е. ∃M > 0 |f | 6 M. Тогда для всех разбиений T верны
i
неравенства −M m(D) 6 S(f, T ), S(f, T ) 6 M m(D), т.е. суммы Дарбу
конечны.
3 ⇒ 4 Если для некоторогоRразбиения
R ∗ T существуют и конечны
R
Rсуммы
∗
S(f, T ), S(f, T ), то S(f, T ) 6 ∗ f dx 6
f dx 6 S(f, T ), т.е. ∗ f dx, f dx ∈
D
D
D
D
R.
R
R∗
4 ⇒ 1 Если существуют интегралы ∗ f dx, f dx ∈ R, то для некотоD
D
рых разбиений T1 , T2 существуют конечные суммы S(f, T1 ), S(f, T2 ). Поэтому все числа mi , Mj конечны, и, следовательно, |f | 6 max{|mi |, |Mj |} <
i,j
+∞, т.е. функция f ограничена.
Определение 2.1.5. Пусть D ∈ Жn . Функция f : D → RRназывается интегрируемой по Риману, если существуют интегралы ∗ f dx =
D
36
R∗
2 Интеграл Римана.
f dx = I ∈ R. При этом число I называют интегралом Римана функ-
D
n
z }| Z{
Z
R
ции f. Обозначим это число как f dx = . . . f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn .
D
D
Интеграл по пустому множеству по определению будем считать равным
нулю. Множество всех интегрируемых функций на D будем обозначать
как R(D).
Следствие 2.2 (необходимое условие). Если f ∈ R(D), то f – ограничена.
Замечание 2.1.6. В силу замечания 2.1.5, если существует интеграл Римана в старом смысле для отрезка [a, b] (a < b), то существует интеграл
и в новом смысле, и они равны. На самом, деле классы функций интегрируемых на отрезке в новом и старых смыслах совпадают.
Пример. Пусть ∆1 , ∆½
2 , D ∈ Жn : D ⊂ ∆1 t ∆2 . Тогда для любого
c, на ∆1
числа c ∈ R функция f =
интегрируема на D. Это вытека0, на ∆2
ет из того, что для разбиения T состоящего из множеств D∩∆1 , D∩∆2 (в
случае их непустоты) верно равенство S(f, T ) = S(f, T ) = cmn (D ∩ ∆1 ).
Учитывая, что верхний и нижний интегралы заключены между равRными нижней и верхней суммами Дарбу, получим, что f ∈ R(D), и
f dx = cmn (D ∩ ∆1 ).
D
2.2
Геометрический смысл сумм Дарбу и интеграла Римана.
Пусть D ∈ Жn , T = {Di }N
i=1 – разбиение множества D, и функция
f : D → R ограничена и неотрицательна. Пусть Q = {(x, y) ∈ Rn+1 | x ∈
D, 0 6
S y 6 f (x)};
S и Mi = Di × [0, mi ], Ni = Di × [0, Mi ] – цилиндроиды;
M = Mi , N = Ni – измеримые множества соответственно вписанные
i
i
и описанные для множества Q. При этом mn+1 (M ) = S(f,
R ∗ T ), mn+1 (N ) =
S(f, T ). Отсюда вытекает, что m∗ (Q) = inf S(f, T ) =
f dx, m∗ (Q) =
T
D
R
sup S(f, T ) = ∗ f dx.
T
D
R
R∗
f dx = ∗ f dx = m∗ (Q) = m∗ (Q), т.е. для неотЕсли f ∈ R(D), то
D
D
рицательной функции верно утверждение:
Z
f ∈ R(D) ⇔ Q ∈ Жn+1 , и, при этом m(Q) =
f dx.
D
2.3 Критерий интегрируемости Дарбу.
2.3
37
Критерий интегрируемости Дарбу.
Обозначение 4. Для произвольных множеств M, N ⊂ Rn определим величину ρ(M, N ) = inf |x − y|.
x∈N,y∈M
Лемма 2.3.1. Пусть D ∈ Жn , A ⊂ D : m∗ (A) = 0. Тогда для произвольного числа ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для любого
разбиения
P T = {Di }i∈B : λ(T ) < δ множества D выполняется неравенство
m(Di ) < ε, где C = {β ∈ B | ρ(A, Dβ ) < δ}.
i∈C
Доказательство. Поскольку m∗ (A) = 0, то существует элементарное
множество M ⊃ A, представляющее собой объединение параллелепипедов {Πα }α∈A таких,
α ∩ int Πβ = ∅ для
S что int ΠP
P различных εиндексов α, β,
и mn (M ) = mn (
Πα ) =
mn (Πα ) =
Vn (Πα ) < 6n . Без потери
α∈A
α∈A
α∈A
общности, можно считать, что все параллелепипеды Πα невырождены
и замкнуты. Через δ > 0 обозначим длину минимального ребра среди
b α – гомотетичное раздутие
ребер всех этих параллелепипедов. Пусть Π
b α) =
параллелепипеда Πα относительно его центра в 6 раз. Тогда Vn (Π
P
b α ) < ε.
6n Vn (Πα ) для всех индексов α ∈ A, и, следовательно,
Vn (Π
α∈A
Пусть T = {Di }i∈B – произвольное разбиение множества D такое, что
λ(T ) < δ, и C = {β ∈ B | ρ(A, Dβ ) < δ}. Тогда для всех индексов
i ∈ C найдутся такие точки x ∈ A и y ∈ Di , что |x − y| < δ. Следовательно, для всех точек z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Di верны неравенства
|x − z| 6 |x − y| + |y − z| < δ + diam Di < 2δ. Докажем, что для
индекса α ∈ A, для которого x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Πα , верно включеb α . Действительно, если dj – длины ребер Πα (j = 1, n), а
ние Di ⊂ Π
d
0
x0 = (x1 , . . . , x0n ) – центр параллелепипеда Πα , то |xj − x0j | 6 2j . Тогда
d
6d
d
|zj − x0j | 6 |zj − xj | + |xj − x0j | 6 2δ + 2j 6 2dj + 2j < 3dj = 2j . Поскольку
6dj
b α , то z ∈ Π
b α , и, следовательно,
– полуребро параллелепипеда Π
2
P
S
S b
P
b α . Отсюда
b α) =
Di ⊂ Π
m(Di ) = m( Di ) 6 m(
Πα ) 6
m(Π
i∈C
i∈C
α∈A
α∈A
P
b α ) < ε.
V (Π
α∈A
Определение 2.3.1. Через Bλ = {Bδ }δ>0 обозначим базу, состоящую из
множеств Bδ = {T – разбиение D | λ(T ) < δ}. Эту базу называют базой
стремящего к нулю диаметра разбиений и обозначают как "λ(T ) → 0".
Теорема 2.3 (критерий Дарбу). Пусть D ∈ Жn , f : D → R. Тогда
следующие условия равносильны:
1. f ∈ R(D);
2. ∃ lim Ω(f, T ) = 0;
Bλ
3. inf Ω(f, T ) = 0.
T
38
2 Интеграл Римана.
Доказательство.
1 ⇒ 2 Если f ∈ R(D), то функция f ограничена и, следовательно, все
Ω-суммы и суммы Дарбу определены и конечны. Для каждого
R числа
ε > 0 существуют такие разбиения T1 , T2 , что для числа I = D f dx =
R
R∗
I∗ = ∗ f dx = I ∗ =
f dx верны неравенства: I∗ − 4ε < S(f, T1 ), S(f, T2 ) <
D
D
I ∗ + 4ε . Пусть T 0 = {Di } – измельчение разбиений T1 и T2 , тогда Ω(f, T 0 ) =
S(f, T 0 ) − S(f, T 0 ) 6 S(f, T1 ) − S(f, T2 ) < (I ∗ + 4ε ) − (I∗ − 4ε ) = 2ε . Поскольку
Di ∈ Жn , то m∗ (∂Di ) = 0 для всех индексов i. Конечное объединение
множеств
меры нуль Жордана – меры нуль Жордана. Следовательно,
S
A = ∂Di имеет нулевую меру Жордана. В силу предыдущей леммы
i
найдется число δ > 0 такое,Pчто для любого разбиения T = {4j }j∈B :
ε
λ(T ) < δ верно неравенство
m(4j ) < 4M
, где C = {j ∈ B | ρ(A, 4j ) <
j∈C
δ}, |f | < M.
Докажем, что для всех индексов j ∈ B \ C найдется индекс i, для
которого 4j ⊂S int Di . Действительно, поскольку ρ(A, 4j ) > δ, то 4j
содержится в int Di , и пусть x ∈ 4j ∩ int Di 6= ∅. Если бы нашлась
i
точка y ∈ 4j \int Di , то из связности отрезка [x, y] следует, что [x, y]∩∂Di
(иначе бы [x, y] ⊂ int Di ∪ ext Di ). Учитывая, что |x − y| 6 diam 4j < δ,
то ρ(A, 4j ) < δ, чего не может быть. Таким образом, 4j ⊂ int Di . При
0
этом ωj = ω(f, 4j ) 6 ω
Pi = ω(f, Di ). P
P
P
Отсюда Ω(f, T ) =
ωj m(4j ) =
ωj m(4j )+
ωj m(4j ) 6 2M
m(4j )+
j∈B
j∈C
j∈C
j∈B\C
P
P
P
P
P
ωi0
ωi0 m(Di ) =
m(4j ) 6 2ε +
ωj m(4j ) 6 2ε +
i
i j:4j ⊂int Di
ε
+ Ω(f, T 0 )
2
i
j:4j ⊂int Di
< ε. Из произвольности выбора ε > 0 вытекает существование предела lim Ω(f, T ) = 0.
λ(T )→0
2 ⇒ 3 Если ∃ lim Ω(f, T ) = 0, то для любого числа ε > 0 найдется число
Bλ
δ > 0 такое, что для всех разбиений T ∈ Bδ ∈ Bλ верно неравенство
0 6 Ω(f, T ) < ε. Поэтому существует T : 0 6 Ω(f, T ) < ε, и, следовательно, inf Ω(f, T ) = 0.
T
3 ⇒ 1 Поскольку 0 6 I ∗ −I∗ 6 S(f, T )−S(f, T ) = Ω(f, T ) и inf Ω(f, T ) =
T
0, то I ∗ = I∗ ∈ R, и, следовательно, f ∈ R(D).
Следствие 2.4 (наследуемость). Пусть f ∈ R(D), ∅ 6= 4 ⊂ D, 4 ∈
Жn . Тогда f ∈ R(4).
4
Доказательство. Для любого разбиения T = {Di }N
i=1 множества D расb
смотрим разбиение T множества 4, состоящее из непустых пересечений
4∩Di . Тогда Ω(f , Tb) 6 Ω(f, T ). В силу критерия Дарбу inf Ω(f, T ) = 0,
4
T
поэтому из предыдущего неравенства вытекает, что inf Ω(f , T ) = 0, и,
следовательно, в силу критерия Коши f
4
∈ R(4).
T
4
2.4 Суммы Римана. Теорема Римана.
39
Следствие 2.5. Пусть f ∈ R(D). Тогда ∃ lim S(f, T ) = lim S(f, T ) =
λ(T )→0
λ(T )→0
R
f
dx.
D
R
Доказательство. Поскольку
6 S(f, T ) для¯ всех разби¯ R S(f, T ) 6 D¯ f¯ dx
R
¯
¯
¯
ений T множества D, то D f dx − S(f, T ) , D f dx − S(f, T )¯ 6 S(f, T ) −
S(f, T ) = Ω(f, T ) → 0 (λ(T ) →R 0). Из теоремы о 2-х милиционерах
∃ lim S(f, T ) = lim S(f, T ) = D f dx.
λ(T )→0
λ(T )→0
½
Пример. Пусть D ∈ Жn , mn (D) > 0. Тогда f =
если D ∩ Qn
если D \ Qn
1,
0,
– ограниченная неинтегрируемая функция.
Доказательство. Пусть T = {Di }N
i=1 – произвольное разбиение D. Если
для некоторого индекса m(Di ) > 0, то int Di 6= ∅, и, следовательно, ωi =
N
P
P
P
m(Di ) =
ωi m(Di ) =
1. Поэтому Ω(f, T ) =
ωi m(Di ) =
i=1
N
P
i:m(Di )>0
i:m(Di )>0
m(Di ) = m(D) 9 0 (λ(T ) → 0). В силу критерия Дарбу f ∈ R(D).
i=1
2.4
Суммы Римана и их свойства. Теорема
Римана.
Определение 2.4.1. Пусть D ∈ Жn , T = {Di }N
i=1 – разбиение множе1,
N
)
–
множество
отмеченных точек.
ства D, и Σ = {ξi }N
:
ξ
∈
D
(i
=
i
i
i=1
Пару (T, Σ) назовем отмеченным разбиением. База Bλ = {Bδ }δ>0 , состоящая из множеств Bδ = {(T, Σ) | λ(T ) < δ}, где T = {Di }N
i=1 – разбиение
1,
N
),
назовем базой
множества D ∈ Жn , а Σ = {ξi }N
:
ξ
∈
D
(i
=
i
i
i=1
"λ(T ) → 0".
Замечание 2.4.1. Для сумм S(f, T ), S(f, T ), Ω(f, T ) можно рассматривать
пределы по базе Bλ , считая, что они формально зависят от множества
отмеченных точек Σ. При этом эти пределы совпадают с пределами по
базе Bλ .
Определение 2.4.2. Пусть D ∈ Жn , f : D → R, (T = {Di }N
i=1 , Σ =
N
P
{ξi }N
f (ξi )mn (Di )
i=1 ) – отмеченное разбиение. Сумма вида σ(f, T, Σ) =
называется суммой Римана.
i=1
Свойства сумм Римана.
Пусть D ∈ Жn , и f : D → R – ограниченная функция.
40
2 Интеграл Римана.
1. S(f, T ) 6 σ(f, T, Σ) 6 S(f, T ) для всех отмеченных разбиений
(T, Σ).
2. S(f, T ) = inf σ(f, T, Σ), S(f, T ) = sup σ(f, T, Σ) для всех разбиений
Σ
Σ
T.
3. Ω(f, T ) = sup |σ(f, T, Σ1 ) − σ(f, T, Σ2 )| для всех разбиений T.
Σ1 ,Σ2
Доказательство.
P
1. Для всех индексов i верны неравенства mi 6 f (ξi ) 6 Mi , то mi m(Di ) 6
i
P
P
f (ξi )m(Di ) 6
Mi m(Di ).
i
i
2. Для произвольных числа ε > 0 и индекса i найдутся
P точки ξi ∈
Di : f (ξi ) < mi + ε, поэтому S(f, T ) 6 σ(f, T, Σ) =
f (ξi )m(Di ) 6
i
P
P
(mi + ε)m(Di ) = S(f, T ) + ε m(Di ) = S(f, T ) + εm(D). Следоваi
i
тельно, inf σ(f, T, Σ) = S(f, T ). Аналогично, доказывается, что S(f, T ) =
Σ
sup σ(f, T, Σ).
Σ
3. Ω(f, T ) = S(f, T ) − S(f, T ) = sup σ(f, T, Σ1 ) − inf σ(f, T, Σ2 ) =
Σ1
Σ2
sup (σ(f, T, Σ1 ) − σ(f, T, Σ2 )) = sup |σ(f, T, Σ1 ) − σ(f, T, Σ2 )|.
Σ1 ,Σ2
Σ1 ,Σ2
Теорема 2.6. Пусть D ∈ Жn , f : D → R. Тогда f ∈ R(D) R⇔ f –
ограниченная функция, и ∃ lim σ(f, T, Σ) = A ∈ R. При этом A = D f dx.
Bλ
Доказательство.
⇒ Пусть f ∈ R(D), тогда f – ограничена, и по критерию Дарбу для
любого ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для всех разбиений T :
λ(T
¯ R 0 6 Ω(f, T ) < ε.¯ Поскольку S(f, T ) 6
R ) < δ выполняется неравенства
¯
f dx, σ(f, T, Σ) 6 S(f, T ), то ¯ D f dx − σ(f, T, Σ)
D
R 6 S(f, T ) − S(f, T ) =
Ω(f, T ) < ε. Следовательно, ∃ lim σ(f, T, Σ) = D f dx.
λ(T )→0
⇐
Пусть ∃ lim σ(f, T, Σ) = A ∈ R. Из критерия Коши сходимости
λ(T )→0
по базе Bλ вытекает следующее утверждение: для любого числа ε > 0
найдется элемент Bδ ∈ Bλ такой, что для всех отмеченных разбиений
(T1 , Σ1 ), (T2 , Σ2 ) ∈ Bδ верно неравенство |σ(f, T1 , Σ2 ) − σ(f, T1 , Σ2 )| 6 ε.
Положим T = T1 = T2 , тогда Ω(f, T ) = sup |σ(f, T, Σ1 ) − S(σ, T, Σ2 )| 6 ε.
Σ1 ,Σ2
R
По критерию Дарбу f ∈ R(D), по выше доказанному A = D f dx.
2.5
Критерий Лебега интегрируемости по Риману.
2.5 Критерий Лебега.
41
Напомним определение множества меры нуль Лебега.
Определение 2.5.1. Множество A ⊂ Rn называется множеством меры
нуль Лебега, если для любого ε > 0 найдется не более, чем счетныйSнабор
открытых (замкнутых) параллелепипедов {Πj }, такой, что A ⊂ Πj и
j
P
Vn (Πj ) < ε.
j
Лемма 2.5.1. Пусть A ⊂ Rn – компактное множество меры нуль
Лебега. Тогда это множество является множеством меры нуль Жордана.
Доказательство. Для любого числа ε > 0 существует не более, чем
счетное покрытие множества A открытыми параллелепипедами {Πj } :
P
m(Πj ) < ε. Из открытого покрытия компакта A можно выделить коj
нечное подпокрытие {Πjk }N
k=1 , тогда
N
P
k=1
m(Πjk ) 6
вательно, m∗ (A) < ε. Отсюда m∗ (A) = 0.
P
m(Πj ) < ε, и, следо-
j
Свойства множеств меры нуль Лебега.
1. Всякое подмножество меры нуль Лебега – множество меры нуль
Лебега.
2. Не более, чем счетное объединение множеств меры нуль Лебега
является множеством меры нуль Лебега.
Доказательство. Пусть {Ai }i∈A – не более, чем счетный набор множеств
меры нуль Лебега. Без потери общности, можем считать, что A ⊂ N.
Для любых индекса i ∈ A и числа ε > 0 найдется покрытие
{Πij }j
P
m(Πij ) < 2εi .
открытыми параллелепипедами множества Ai такое, что
P εj
P
Тогда {Πij }i,j – покрытие множества A, и
m(Πij ) <
= ε, т.е. A –
2i
i,j
i
множество меры нуль Лебега.
def
Напомним. что величина ω(f, x) = lim ω(f, Or (y) ∩ E) называется
r→0
колебанием функции f : E → R в точке x ∈ E.
Теорема 2.7 (критерий Лебега). Пусть D ∈ Жn , f : D → R. Тогда f ∈ R(D) ⇔ функция f ограничена и A = {x ∈ D | f ∈
/ C(x)} –
множество меры нуль Лебега.
Доказательство.
⇒ Поскольку f ∈ R(D), то функция f ограничена и в силу критерия
Дарбу для произвольных чисел ε, δ > 0 найдется разбиение T = {Di }N
i=1 ,
N
P
для которого Ω(f, T ) =
ωi m(Di ) < εδ. Пусть A = {i | ωi > δ},
i=1
42
2 Интеграл Римана.
N
P
P
P
тогда
δm(Di ) 6
ωi m(Di ) 6
ωi m(Di ) < εδ, и, следовательно,
i=1
i∈A
i∈A
P
m(Di ) < ε. Отсюда следует, что если x ∈ Aδ = {y ∈ D | ω(f, x) > δ}
i∈A
принадлежит int Di для некоторого индекса i, то ω(f, Di ) > ω(f, x) > δ,
N
S
S S
т.е. i ∈ A. Отсюда следует, что Aδ ⊂ ( ∂Di ) ( Di ). Поскольку
i∈A
S
P i=1
m(∂Di ) = 0 (i = 1, N ), и m( Di ) =
m(Di ) < ε, то из произвольi∈A
i∈A
ности выбора ε > 0 вытекает,
что Aδ – меры нуль Лебега для любого
S
числа δ > 0. Тогда A =
A 1 также множество меры нуль Лебега.
i∈N
n
⇐ Пусть |f | < M. Продолжим функцию f на множество D, доопределив, если необходимо, ее нулем на D \ D. Докажем, что f ∈ R(D), тогда
по следствию 2.4 f ∈ R(D).
Поскольку множества A и ∂D меры нуль Лебега, то для любого ε > 0
найдется не более, чем счетный набор открытых параллелепипедов {Πj },
S
P
def
ε
. Поскольку f ∈ C(D\Q),
такой, что A∪∂D ⊂ Πj = Q и Vn (Πj ) < 4M
j
j
то для каждой точки x ∈ D \ Q ∈ Жn существует невырожденный
ε
замкнутый куб P (x), на котором колебание ω(f, P (x)) < 2+2m(D)
. Тогда набор {int P (x), Πj }x∈E,j является открытым покрытием компакта
D, и, следовательно, найдется конечное подпокрытие этого компакта
N
T S
def
{int P (xi ), Πjk }M,N
( Πjk ) и E=D \
i,k=1 . Рассмотрим множества G = D
P k=1
ε
G. Мера Жордана множества G не превосходит
Vn (Πj ) < 4M
. Осуj
ществим стандартное разбиение параллелепипедов {P (xi )}M
i=1 , проводя
через их грани гиперплоскости, и получим для каждого параллелепипеда P (xi ) (i = 1, M ) его разбиение на замкнутые параллелепипеды
{Pij }j (i = 1, M ). Рассмотрим разбиение T = {Dk } множества D, образовав его из непустых множеств вида Pij ∩ E и G. По построению
ε
ω(f, Pij ∩ E) < 2+2m(D)
и ω(f, G) < 2M , если, конечно, множества Pij ∩ E
P
и G непусты. Поэтому Ω(f, T ) 6
ω(f, Dk )m(Dk ) + ω(f, G)m(G) 6
Dk 6=G
P
ε
m(Dk ) + 2M m(G) < 2ε + 2ε = ε. Поэтому inf Ω(f, T ) = 0, и в
2+2m(D)
Dk 6=G
силу критерия Дарбу f ∈ R(D), а, следовательно, f ∈ R(D).
Следствие 2.8. Пусть D ∈ Жn , функция f непрерывна и ограничена
на D. Тогда f ∈ R(D).
Следствие 2.9. Пусть f ∈ R(D), и функция fb : D → R отличается
от функции f в конечном числе точек. Тогда fb ∈ R(D).
Доказательство. Обе функции ограничены, и множества точек разрыва этих функций отличаются лишь конечным числом точек, а, следова-
2.5 Критерий Лебега.
43
тельно, множество точек разрыва функции fb меры нуль Лебега (т.к. в
силу критерия Лебега множество точек разрыва функции f меры нуль
Лебега). В силу критерия Лебега fb ∈ R(D).
½
f,
на D
b
Следствие 2.10. Пусть f ∈ R(D), и f =
. Тогда
0, на Rn \ D
fb ∈ R(4) для всех 4 ∈ Жn .
Доказательство. Поскольку f ∈ R(D), в силу критерия Лебега функция f ограничена, а ее множество точек разрыва A меры нуль Лебега.
Множество точек разрыва функции fb содержится во множестве B =
∂D ∪ (int D ∩ A). Учитывая, что в силу критерия измеримости множества D по Жордану мера Жордана его границы нулевая, получим, что
B – множество меры нуль. В силу критерия Лебега функция fb интегрируема по Риману на любом измеримом по Жордану множестве.
Теорема 2.11 (об интегрируемости характеристической
функ½
1, на D
ции). Пусть 4 ∈ Жn , D ⊂ 4. Тогда D ∈ Жn ⇔ χD =
∈
0, на Rn \ D
R
R(4), и 4 χD dx = m(D).
Доказательство.
⇒ Вытекает из примера на стр. 36.
⇐ Множество точек разрывов функции χD содержит множество
4
int 4∩∂D, которое, согласно критерию Лебега, меры нуль Лебега. Отсюда компактное множество ∂4 ∪ ∂D = (int 4 ∩ ∂D) ∪ ∂4 имеет меру нуль
Лебега, и, следовательно, в силу леммы 2.5.1, является множеством меры
нуль Жордана. Следовательно, m(∂D) = 0, и по критерию измеримости
ограниченное множество D – измеримо по Жордану.
Следствие 2.12. Если D ∈ Жn , m(D) > 0, то множество D не является множеством меры нуль Лебега.
Доказательство. ½Если бы D являлось множеством меры нуль Лебега,
1, если D ∩ Qn
то функция f =
в силу критерия Лебега была бы
0, если D \ Qn
интегрируемой, однако, согласно примеру на стр. 39 эта функция неинтегрируема на D.
Следствие 2.13. Пусть f, g : D → E ⊂ R; f, g ∈ R(D); функции
ϕ ∈ C(E) и ψ ∈ C(E × E) – ограничены. Тогда функции f ± g, cf (c ∈
R), |f |p (p > 0), ϕ ◦ f, ψ(f, g), max{f, g}, min{f, g}, f+ = max{f, 0}, f− =
min{f, 0} интегрируемы на D.
Доказательство. Из критерия Лебега вытекает, что функции f, g ограничены, и их множества точек разрыва A и B соответственно – меры
нуль Лебега. У всех перечисленных функций множество точек разрыва
44
2 Интеграл Римана.
содержится во множестве A ∪ B, и, следовательно, является множеством
меры нуль Лебега. Кроме того, эти функции ограничены. Поэтому, в
силу критерия Лебега, они интегрируемы.
Замечание
2.5.1. Пусть D ∈ Жn , f ≡ c = const. Тогда f ∈ R(D), и
R
f dx = cmn (D).
D
Замечание 2.5.2. R(D) – алгебра.
Определение 2.5.2. Если некоторое свойство функции выполняется
для всех точек множества E за исключением, множества меры нуль Лебега, то говорят, что это свойство выполняется почти всюду на E. К
примеру, фразу: "множество точек разрывов функции меры нуль Лебега"можно заменить фразой – "функция непрерывна почти всюду".
Замечание 2.5.3. Поскольку в случае отрезка [a, b] (a < b) согласно критериям Лебега (теорема 2.7 и следствие 1.23), классы интегрируемых
функций в старом и новом смыслах совпадают с классом ограниченных и непрерывных почти всюду функции. Поэтому интегралы в старом
и новом смысле существуют и равны друг другу (см замечание 2.1.6),
когда хотя бы один из них существует. Напомним, что при изменении
ориентации отрезка, т.е. в случае отрезка [b, a], знак интеграла в старом
смысле (по определению) менялся на обратный. Для нового определения интеграла Римана, вводя понятие ориентации, мы также могли бы
определить этот интеграл с учетом ориентации множества, на котором
происходит интегрирование. Однако, мы этого делать пока не будем.
2.6
Свойства интеграла Римана. Арифметические свойства интеграла. Аддитивное
свойство интеграла как функции множества. Неравенства для интеграла.
Теорема 2.14 (арифметическое свойство). ПустьR f, g ∈ R(D). Тогда
R αf + βg R∈ R(D) для любых чисел α, β ∈ R, и D (αf + βg)dx =
α D f dx + β D gdx.
Доказательство. Переходя в равенстве σ(αf + βg, T, Σ) = ασ(f, T, Σ) +
Rβσ(g, T, Σ) при λ(TR) → 0, изR свойства предела по базе получим, что
(αf + βg)dx = α D f dx + β D gdx.
D
R
Теорема
2.15. Пусть ϕ ∈ R(D), ϕ > 0. Тогда D ϕdx > 0, и равенство
R
ϕdx = 0 равносильно тому, что функция ϕ равна нулю почти всюду
D
на D.
2.6 Свойства интеграла Римана.
45
Доказательство. Поскольку для любого разбиения T = {Di }N
i=1 множества D ∈ Жn , числа mi = inf ϕ > 0 для всех индексов i, то 0 6 S(ϕ, T ) 6
Di
R
ϕdx.
D
Если функция ϕ равна нулю почти всюду на D, то для каждого индекса i, для которого m(Di ) > 0, множество Di не является множеством
меры нуль Лебега (следствие 2.12), и на нем функция ϕ принимает в
некоторой его точке значение равное нулю, и, Rследовательно, mi = 0.
Отсюда S(ϕ,
T ) = 0 → 0 (λ(T ) → 0), т.е. предел D ϕdx равен нулю.
R
Если D ϕdx = 0, и A – множество точек разрыва функции ϕ (это множество меры нуль Лебега), то для всех точек x ∈ int D\A верно равенство
ϕ(x) = 0. Так как, в противном случае, из условий ϕ ∈ C(x), |ϕ(x)| > 0
вытекало бы, что найдется невырожденный куб Π ⊂ int D, с центром в
точке x, на котором ϕ(·) > 12 |ϕ(x)| > 0, и, следовательно, для разбие1
ния T0 = {Π,
R D \ Π} выполнялось бы неравенство: 0 < 2 |ϕ(x)|m(Π) 6
S(ϕ, T0 ) 6 D ϕdx, чего не должно быть. Таким образом, функция ϕ равна нулю вне множества A ∪ ∂D, которое как объединение 2-х множеств
меры нуль Лебега является также множеством меры нуль Лебега, т.е. ϕ
равна нулю почти всюду на D.
R
R
Следствие 2.16.
Пусть
f,
g
∈
R(D),
f
>
g.
Тогда
f
dx
>
gdx,
D
D
R
R
и равенство D f dx = D gdx равносильно тому, что функции f и g
совпадают почти всюду на D.
Доказательство. Функция
ϕ = fR − g ∈ R(D)
неотрицательна,
R
R
R
Rи в силу
теорем 2.14R и 2.15 0R6 D ϕdx = D f dx − D gdx, Rт.е. D f dx > D gdx, и
равенство D f dx = D gdx равносильно тому, что D ϕdx = 0, а, следовательно, ϕ равна нулю почти всюду на D. Отсюда вытекает утверждение
следствия.
¯R
¯ R
Следствие 2.17. Пусть f ∈ R(D). Тогда ¯ D f dx¯ 6 D |f |dx.
Доказательство. Поскольку ±f R6 |f | ∈ R(D),
то из предыдущего
следR
R
ствия получается
неравенство
±
f
dx
=
±f
dx
6
|f
|dx,
и,
следоD
D
D
¯R
¯ R
вательно, ¯ D f dx¯ 6 D |f |dx.
Следствие
2.18.
Пусть f, g ∈ R(D), и f = g почти всюду на D. ТоR
R
гда
f dx = D gdx. В частности, если f = 0 почти всюду на D, то
D
R
f dx = 0.
D
def
Доказательство. Поскольку ϕ = |f − g| ∈ R(D), ϕ > 0 и ϕ = 0 почти
всюду
следствия
и теоремы 2.15, получим,
¯ R на D, то,R в силу
¯ предыдущего
¯R
¯ R
что ¯ D f dx − D gdx¯ = ¯ D (f − g)dx¯ 6 D ϕdx = 0. Отсюда и вытекает
требуемое утверждение.
Теорема 2.19. Пусть T = {Di }N
i=1 – разбиение множества D ∈ Жn .
N R
R
P
f dx.
Тогда f ∈ R(D) ⇔ f ∈ R(Di ) (i = 1, N ). При этом D f dx =
Di
i=1
46
2 Интеграл Римана.
Доказательство. Из свойства наследуемости (см следствие 2.4) для f ∈
R(D) вытекает, что f ∈ R(Di ) (i = 1, N ). Обратное легко выводится из
критерия Лебега. В силу критерия Дарбу для любого ε > 0 найдется
разбиение T0 , для которого Ω(f, T0 ) < ε. Пусть T 0 – измельчение разN
S
биений T0 и T, тогда T 0 =
Ti , где Ti – некоторое разбиение элемента
i=1
R
Di (i = 1, N ) и Ω(f, T 0 ) 6 Ω(f, T0 ) < ε. Кроме того, S(f , Ti ) 6 Di f dx 6
Di
N
N R
P
P
S(f , Ti ) (i = 1, N ), и, следовательно, S(f, T 0 ) =
S(f , Ti ) 6
f dx 6
Di
Di
N
P
i=1
Di
i=1
S(f
Di
, Ti ) = S(f, T 0 ). Учитывая, что S(f, T 0 ) 6
R
D
i=1
f dx 6 S(f, T 0 ), по-
N R
¯R
¯
P
¯ 6 S(f, T 0 ) − S(f, T 0 ) = Ω(f, T 0 ) < ε.
f
dx
лучим оценку: ¯ D f dx −
Di
i=1
Из произвольности выбора ε вытекает утверждение теоремы.
Замечание 2.6.1. Для ограниченной функции f : D → R верны равенN R
N R
R
R∗
P
P
∗
ства: ∗ f (x)dx =
f
(x)dx
и
f
(x)dx
=
f (x)dx.
∗
D
i=1 Di
i=1 Di
D
Следствие 2.20. Пусть f ∈ R(D), f > 0.R Тогда для
R любого подмножества 4 ⊂ D, 4 ∈ Жn верно неравенство 4 f dx 6 D f dx.
R
Доказательство. В силу теоремы 2.15 D\4 f dx > 0, и, следовательно,
R
R
R
R
f
dx
=
f
dx
+
f
dx
>
f dx.
D
4
D\4
4
Следствие 2.21. Пусть f ∈ R(D),
и f ≡
R
R 0 вне множества 4 ⊂ D :
4 ∈ Жn . Тогда верно равенство 4 f dx = D f dx.
R
R
R
Доказательство. Поскольку D\4 f dx = D\4 0dx = 0, то D f dx =
R
R
R
f dx + D\4 f dx = 4 f dx.
4
Замечание
2.6.2. RДля ограниченной
функции
f : D → R верны равенR
R∗
R∗
ства: ∗ f (x)dx = ∗ f (x)dx и
f (x)dx =
f (x)dx.
D
∆
D
∆
Теорема 2.22 (неравенства для интегралов). Пусть D ∈ Жn ; f, g ∈
R(D). Тогда
R
R
1.
Если
g
>
0
и
m
6
f
6
M
(m,
M
∈
R),
то
m
gdx
6
f gdx 6
D
RD
R
g
≡
1,
то
mm
(D)
6
f
dx
6
M
mn (D),
M D gdx. В частности,
если
n
D
¯R
¯
¯
¯
и если |f | 6 M, то D f dx 6 M mn (D).
2. Для всех p, q > 1 : p1 + 1q = 1 выполняется неравенство Гельдера:
¯R
¯ ¡R
¢ p1 ¡ R
¢ 1q
p
q
¯ f gdx¯ 6
|f
|
dx
|g|
dx
.
D
D
D
¡R
3. Для всех p > 1 выполняется неравенство Минковского:
|f +
D
¢ p1 ¡ R
¢ p1 ¡ R
¢ p1
p
p
p
g| dx 6 D |f | dx + D |g| dx .
2.7 Теорема о среднем.
47
Доказательство.
1. Вытекает из неравенств mg 6 f g 6 M g и следствияR2.16.
2. Учитывая, что в силу теоремы Римана σ(f g, T, Σ) → D f gdx (λ(T ) →
0), из соотношений для произвольного отмеченного разбиения (T = {Di }N
i=1 , Σ =
N
N
¯
¯
¯
¯
P
P
1
1
¯ f (ξi )g(ξi )m(Di )¯ = ¯ (f (ξi )m q (Di ))·(g(ξi )m q (Di )¯ 6
{ξi }N
i=1 ) : |σ(f g, T, Σ)| =
i=1
N
¡P
i=1
N
¢1 ¡ P
¢1
¡R
¢1 ¡ R
¢1
|f (ξi )|p m(Di ) p
|g(ξi )|q m(Di ) q → D |f |p dx p D |g|q dx q (λ(T ) →
i=1
i=1
¯ ¡R
¯R
¢1 ¡ R
¢1
0) получим, что ¯ D f gdx¯ 6 D |f |p dxR p D |g|q dx q .
¯
3. Аналогично, σ(|f + g|p , T, Σ) → D |f + g|p dx (λ(T ) → 0) и ¯σ(|f +
N
N ¯
¯1 ¡ P
¯ ¢1
¯1 ¯ P
¯f (ξi )m p1 (Di )+g(ξi )m p1 (Di )¯p p 6
g|p , T, Σ)¯ p = ¯ |f (ξi )+g(ξi )|p m(Di )¯ p =
i=1
i=1
N ¯
¢1
¡R
¢ p1 ¡ R
¢ p1
¡P
¢1 ¡ N ¯
p
p
¯f (ξi )|p m(Di ) p + P ¯g(ξi )|p m(Di ) p →
|f
|
dx
+
|g|
dx
(λ(T ) →
D
D
i=1
i=1
0). Тем самым, верно неравенство Минковского.
Следствие 2.23. Пусть f – ограниченная
функция на на множестве
R
D ∈ Жn меры ноль Жордана. Тогда D f dx = 0.
Доказательство.R В силу критерия Лебега f ∈ R(D), и если |f | < M, то
0 = −M m(D) 6 D f dx 6 M m(D) = 0.
2.7
Теорема о среднем.
Теорема 2.24. Пусть D ∈ Жn – связное множество, f ∈ C(D) ∩
R(D),
R g ∈ R(D); g >R 0(6 0). Тогда существует точка ξ ∈ D, для которой D f gdx = f (ξ) D gdx.
Доказательство. Для определенности будем считать,
R что g R> 0, тогда
в силу
теоремы 2.22 выполняются неравенства m D gdx 6 D f gdx 6
R
M D gdx, где m = inf f, M = sup f. Из связности множества D и непреD
D
рывности функции f вытекает, что I = fR (D) – промежуток,
и, RследоR
вательно,
I
⊃
(m,
M
).
При
этом,
если
m
gdx
<
f
gdx
<
M
gdx,
D
D
D
R
R
то D f gdx = c D gdx,
R где c ∈ (m,R M ) ⊂ I. Поэтому найдется точка
ξ ∈ D : f (ξ) = c, т.е. D f gdx = Rf (ξ) D gdx. R
R
Рассмотрим случай, когда D f gdx = m D gdx (= M D gdx). Если
m(D) = 0 или
R то в силу следствий
R функция g равнаR нулю почти всюду,
2.18 и 2.23 D gdx = 0. Поэтому D f gdx = 0 = f (ξ) D gdx для всех ξ ∈ D.
Пусть теперь, m(D) > 0 и g не является функцией, равной нулю почти
всюду на D. В силу следствия 2.16 функции mg(·) (M g(·)) и f g совпадают
почти всюду на D. Поэтому найдется точка ξ ∈ D, в которой g(ξ) > 0
и выполняется равенство f (ξ)g(ξ)R = mg(ξ) (= MR g(ξ)), и следовательно,
f (ξ) = m (M ), и, следовательно, D f gdx = f (ξ) D gdx.
48
2 Интеграл Римана.
Следствие 2.25. Пусть D ∈ Жn – связное множество,
f ∈ C(D) ∩
R
R(D). Тогда существует точка ξ ∈ D, для которой D f dx = f (ξ)m(D).
2.8
Предел по исчерпанию для интеграла Римана.
Определение 2.8.1. Пусть D ⊂ Rn , последовательность множеств G =
∞
S
{Di }∞
будем
называть
исчерпанием
множества
Di , и
D,
если
D
=
i=1
Di ∈ Жn , Di ⊂ Di+1 для всех i ∈ N.
i=1
Замечание 2.8.1. Не для всех множеств D существуют исчерпания. В
качестве примера такого множества можно рассмотреть множество D =
[0, 1]n \ Qn , для которого всякое его измеримое подмножество не может
иметь внутренние точки, а, следовательно, имеет нулевую меру Жордана. Если бы для этого множества существовало исчерпание, то оно как
счетное объединение множеств меры нуль Лебега также было множеством меры нуль Лебега, а, следовательно, и куб [0, 1]n как объединение
множеств D и [0, 1]n ∩ Qn был бы множеством меры нуль Лебега, чего не
может быть, т.к. m([0, 1]n ) = 1 > 0.
Замечание 2.8.2. Пусть последовательности G = {Gm } и W = {Wm } –
произвольные исчерпания множества D, тогда их подпоследовательности, а также последовательности {Gm ∪ Wm } и {Gm ∩ Wm } являются
исчерпаниями множества D.
Теорема 2.26. Пусть D ⊂ Rn – открытое непустое множество. Тогда существует исчерпание этого множества, состоящее из элементарных множеств, образованных замкнутыми невырожденными элементарными кубами.
Доказательство.
1◦ . Разобъем все пространство Rn на замкнутые равные кубы с ребром равным δ > 0, путем проведения гиперплоскостей, параллельных
координатным гиперплоскостям с шагом δ. При этом δ выберем так, чтобы хотя бы один куб из этого разбиения оказался внутри множества D.
Пусть точка x0 ∈ D принадлежит этому кубу.
2◦ . Для разбиения, полученного на (m − 1)-ом шагу, осуществим его
измельчение путем деления всех кубов на 2n равных кубов, проводя через середины их ребер гиперплоскости, перпендикулярные этим ребрам.
В качестве множества Gm рассмотрим объединение всех кубов из этого измельчения, попавших во внутрь множества D и находящихся на
расстоянии 6 mδ от точки x0 . Таких кубов может быть лишь конечное
2.8 Предел по исчерпанию для интеграла Римана.
49
√
число, т.к. все они содержатся в шаре B(0, mδ + δ n), являющимся компактом в пространстве Rn . А множество δ-различимых точек, какими
являются центры этих кубов, конечно в любом метрическом компакте.
3◦ . Тем самым, мы построим набор множеств G = {Gm }, каждое из
которых представляет собой объединение конечного числа невырожденных элементарных кубов, и Dm ⊂ Dm+1 для всех m ∈ N. Докажем, что
∞
S
D=
Gm . Действительно, для каждой точки x ∈ D найдется окрестm=1
ность Oε (x) ⊂ D и некоторый куб Π : x ∈ Π√ разбиения пространства Rn ,
полученного на N -ом шагу, где N > | log2 δ ε n√
|. При этом можно считать,
что |x − x0 | < N δ. В этом случае, diam Π = δ n2−N < ε, и, следователь∞
S
Gm , и
но, Π ⊂ Oε (x) ⊂ D, т.е. x ∈ GN . Отсюда следует, что D =
m=1
G = {Gm } – исчерпание множества D.
Теорема 2.27 (об исчерпании). Пусть G = {Di }∞
i=1 – исчерпание
множества D ∈ Жn . Тогда существуют пределы lim m(Di ) = m(D)
i→∞
и lim m(D \ Di ) = 0.
i→∞
b i = ∂Di ∪ ∂D (i ∈ N) является множеДоказательство. Множество D
ством меры нуль Жордана, поэтому для любого числа ε > 0 найдетb i и такое, что
ся элементарное множество Gi , содержащее множество D
m(Gi ) < 2εi . Учитывая, что каждый элементарный параллелепипед, из
которого состоит множество Gi , можно поместить в открытый параллелепипед сколь угодно близкого объема, то, без потери общности, будем
считать, что все множества Gi открыты в Rn . Рассмотрим открытые
¡ i
¢
bi = int Di ∪ S Gk , тогда {G
b i }∞
множества G
i=1 – вложенная система
k=1
множеств, являющаяся открытым покрытием компакта D ∈ Жn (т.к.
множество D ограничено и замкнуто в Rn ). Следовательно, из этого поbi }N
крытия можно выделить конечное подпокрытие {G
i=1 для D. Тогда
N
S
bi = G
bN ⊂ G
bm ,
G
для всех m > N верны включения Dm ⊂ D ⊂ D ⊂
i=1
bN ) < m(DN ) + ε 6 m(Dm ) + ε
и, следовательно, m(Dm ) 6 m(D) 6 m(G
для всех m > N. Отсюда в силу произвольности выбора ε вытекает,
что ∃ lim m(Di ) = m(D). Кроме того, m(D \ Di ) = m(D) − m(Di ) →
i→∞
m(D) − m(D) = 0 (i → ∞).
Теорема 2.28. Пусть D ∈ Жn , {4n }n∈N R⊂ Жn , f ∈
R R(D), и 4n ⊂
D (n ∈ N); m(D \ 4n ) → 0 (n → ∞). Тогда 4n f dx → D f dx, n → ∞.
Доказательство.
Поскольку
число M > 0 : |f | <
¯R
¯ f ∈¯ RR(D), то найдется
¯
R
¯
¯
¯
¯
M. Тогда D f dx − 4n f dx = D\4n f dx 6 M m(D \ 4n ) → 0, n →
∞.
50
2 Интеграл Римана.
Теорема 2.29. Пусть GR = {Di }∞
i=1
R – исчерпание множества D ∈ Жn ,
и f ∈ R(D). Тогда ∃ lim Di f dx = D f dx.
i→∞
Доказательство. В силу теоремы 2.27 m(D \ Di )R → 0 при Ri → ∞, поэтому из предыдущей теоремы вытекает, что ∃ lim Di f dx = D f dx.
i→∞
2.9
Теоремы Фубини.
Теорема 2.30 (Фубини). Пусть Π = P × Q ⊂ Rn × Rm – замкнутый
элементарный параллелепипед, образованный замкнутыми элементарными
параллелепипедами
P ⊂ Rn и Q ⊂ Rm , f = f (x, y)RR∈ R(Π), I∗ (·) =
R
R
∗
f (·, y)dy, I ∗ (·) =
f (·, y)dy. Тогда I∗ , I ∗ ∈ R(P ), и
f (x, y)dxdy =
∗
Q
Π
Q
R ∗
R
I (x)dx = P I∗ (x)dx. При этом функции I ∗ и I∗ совпадают почти
P
всюду на P относительно пространства
Rn , и, следовательно, почти
R
всюду существует интеграл Q f (·, y)dy.
Доказательство. Отметим сначала, что I∗ 6 I ∗ на P. Пусть T1 = {Pi }N
i=1
P
и
Q
на
и T2 = {Qj }N
–
разбиения
соответственно
параллелепипедов
j=1
замкнутые элементарные параллелепипеды, тогда разбиение T = {Πij =
Pi × Qj } – разбиение параллелепипеда Π. Рассмотрим числа mij = inf f,
Πij
Mij = sup f, и mj (t) = inf f (t, ·), Mj (t) = sup f (t, ·). Для них выполняютQj
Πij
Qj
ся неравенства mij 6 mj (t) 6 Mj (t) 6 Mij для всех индексов i, j и точки
t ∈ Pi . Кроме того, для всех t ∈ P выполняются неравенства
N
N
P
P
mj (t)Vm (Qj ) 6 I∗ (t) 6 I ∗ (t) 6 S(f (t, ·), T2 ) =
Mj (t)Vm (Qj ).
S(f (t, ·), T2 ) =
j=1
j=1
RR
R
Докажем, что
f (x, y)dxdy = P I∗ (x)dx. Действительно, для чисел
Π
mi = inf I∗ и M i = sup I∗ верны неравенства:
Pi
N
P
Pi
j=1
mij Vm (Qj ) 6 mi 6 M i 6
Mij Vm (Qj ) для всех индексов i, j. Поэтому S(f, T ) =
j=1
N P
N
P
mij Vn (Pi )Vm (Qj ) =
I (x)dx 6
∗ ∗
P
N,N
P
N,N
P
mij m(Πij ) =
i,j=1
i=1 j=1
R
N
P
N
P
i=1
R∗
Vn (Pi )
N
P
mij Vm (Qj ) 6
j=1
N
P
I∗ (x)dx 6 S(I∗ , T1 ) =
i=1
P
M i Vn (Pi ) 6
N
P
i=1
N
P
i=1
mi Vn (Pi ) = S(I∗ , T1 ) 6
Vn (Pi )
N
P
Mij Vm (Qj ) =
j=1
Mij m(Πij ) = S(f, T ). Учитывая, что база Pλ = {Gδ }δ>0 , где Gδ =
i,j=1
{T = {Pi × Qj } | λ(T ) < δ}, является подчиненной
RR базе Bλ , из теоремы
2.6 получим, что ∃ lim S(f, T ) = lim S(f, T ) = Π f (x, y)dxdy. Отсюда
Pλ
Pλ
2.9 Теоремы Фубини.
51
R
R∗
по теореме о 2-х милиционерах ∗ I∗ (x)dx =
I∗ (x)dx (т.е. I∗ ∈ R(P ))
P
P
RR
R
и
f (x, y)dxdy = P I∗ (x)dx. Аналогично доказывается, что I ∗ ∈ R(P )
Π
R
RR
и
f (x, y)dxdy = P I ∗ (x)dx. Отсюда в силу следствия 2.16 функции
Π
I ∗ и I∗ совпадают почти всюду на P относительно пространства Rn . По
Rопределению в точках совпадения этих интегралов существует интеграл
f (·, y)dy, равный этим двум.
Q
Следствие 2.31. Если, в условияхRпредыдущей теоремы,
R
R для каждой
точки x ∈ P существует интеграл Q f (x, y)dy, то ∃ P dx Q f (x, y)dy =
RR
f (x, y)dxdy.
Π
n
Q
Следствие 2.32. Если f ∈ C(Π), где Π = [ai , bi ], то
Rb
Rb
Rb
R i=1R
∃ a11 dx1 a22 dx2 . . . ann f (x1 , . . . , xn )dxn = . . . f (x1 , . . . , xn )dx1 . . . dxn , и
Π
порядок следования интегралов в левой части равенства можно менять.
Доказательство. Поскольку f ∈ C(Π), то f ∈ R(Π), и для представления параллелепипеда Π в виде декартова произведения Π1 × Π2 , где
Π1 ⊂ R, Π2 ⊂ Rn−1 функции f непрерывны (i = 1, 2). При этом верRR
R Πi
R
на формула
f (x, y)dxdy = Π1 dx1 Π2 f (x1 , x)dx, где x = (x2 , . . . , xn ).
Π
R
Далее, повторяем те же рассуждения к интегралу Π2 f (x1 , x)dx и т.д.
Пример. Следующий пример показывает, что интегрируемая на параллелепипеде функция на некотором его сечении, действительно, может
быть неинтегрируемой. Пусть
½
1, если (x, y) ∈ { 12 } × ([0, 1] ∩ Q)
2
Π = [0, 1] , f (x, y) =
.
0, в остальных случаях
Тогда функция f ( 12 , ·) является функцией Дирихле на отрезке [0, 1], и,
естественно, она не интегрируема на этом отрезке.
Теорема 2.33. Пусть D ∈ Жn ; f : D → R, функции ϕ1 , ϕ2 ∈ R(D)
совпадают почти Rвсюду на RD, и верноR неравенство ϕ1 6 f 6 ϕ2 на D.
Тогда f ∈ R(D), и D f dx = D ϕ1 dx = D ϕ2 dx.
Доказательство. Действительно, поскольку 0 6 g = f − ϕ1 6 ϕ2 − ϕ1 ∈
R(D), то для любого
R разбиения
R ∗ T множества D выполняются неравенR
gdx 6 S(g, T ) 6 S(ϕ2 − ϕ1 , T ) → D (ϕ2 −
ства 0 6 S(g, T ) 6 ∗ gdx 6
D
D
R
R∗
gdx = 0, и поэтому
ϕ1 )dx = 0 (λ(T ) → 0). Следовательно, ∗ gdx =
D
D R
R
R
g, f = g + ϕ1 ∈ R(D), и D f dx = D ϕ1 dx = D ϕ2 dx.
52
2 Интеграл Римана.
Следствие 2.34. Если в условиях теоремы 2.30 взять
RR произвольную
∗
функцию I : P → R : I∗ 6 I 6 I . Тогда I ∈ R(P ), и
f (x, y)dxdy =
Π
R
I(x)dx.
P
Доказательство. Вытекает из теорем 2.30 и 2.33.
Теорема 2.35 (Фубини). Пусть D ⊂ 4 × Rm , D ∈ Жn+m , 4 ∈ Жn ,
f = f (x, y) ∈ RR(D), и G(x) = {y | R(x, y) ∈ D} ∈ Жm (x ∈ 4). Поло∗
жим I∗ (x) = ∗ f (x, y)dy, I ∗ (x) =
f (x, y)dy, если G(x) 6= ∅, и будем
G(x)
G(x)
G(x) = ∅. Тогда I∗ , I ∗ ∈ R(4),
считать,
что I∗ (x)R = I (x) = 0, если
RR
R
∗
и
f (x, y)dxdy = G(x) I (x)dx = G(x) I∗ (x)dx. При этом функции I ∗
∗
D
и I∗ совпадают почти всюду на 4 относительно пространства
Rn , и,
R
следовательно, почти всюду существует интеграл G(x) f (x, y)dy.
Доказательство. Доопределим функцию f вне D нулем, и пусть Π =
Π1 × Π2 ⊂ Rn+m – элементарный
RR замкнутыйRпараллелепипед, гдеR ∗4 ⊂ Π1
f dxdy = 0,
f (x, y)dy = 0,
f (x, y)dy =
и D ⊂ Π. Тогда из равенств
∗
Π\D
Π2 \G(x)
Π2 \G(x)
RR
RR
RR
RR
0 вытекают равенства
f dxdy =
f dxdy+ f dxdy =
f dxdy и, анаΠ
D
D
Π\D
R
R
R∗
R∗
логично, ∗ f (x, y)dy = ∗ f (x, y)dy, f (x, y)dy =
f (x, y)dy. Кроме
Π2
Π2
G(x)
G(x)
R
того, учитывая, что I∗ = I ∗ ≡ 0 на Π1 \ 4, получим, что Π1 I∗ (x)dx =
R
R
R
RR
I (x)dx и Π1 I ∗ (x)dx = 4 I ∗ (x)dx. Отсюда по теореме 2.30
f dxdy =
4 ∗
D
RR
R
R
R
R∗
R
R
f dxdy = Π1 dx ∗ f (x, y)dy = Π1 dx f (x, y)dy = Π1 dx ∗ f (x, y)dy =
Π2
Π2
G(x)
RΠ
R
R
R∗
R
R ∗
∗
I
(x)dx
=
I
(x)dx
=
dx
f
(x,
y)dy
=
I
(x)dx
=
I (x)dx.
∗
∗
Π1
4
Π1
Π1
4
G(x)
Замечание 2.9.1. Множество G(x) измеримо по Жордану относительно
Rm для почти всех x ∈ Rn .
P ⊂ RRn , Q ⊂ Rm , для коДоказательство. Найдутся параллелепипеды
R
торых D ⊂ P × Q. Пусть f = χD , тогда P I∗ (x)dx = P I ∗ (x)dx, и в силу
следствия 2.16 функции I∗ и I ∗ совпадают почти всюду относительно Rn ,
т.е. χD (x, ·) ∈ R(Q) при почти всех x, что равносильно в силу теоремы
2.11, что G(x) ∈ Жm при почти всех x.
Следствие 2.36. Если,
дополнительно к условиям теоремы
2.35, f ∈
R
RR
f (x, y)dxdy =
C(D), то ∃I(x) = G(x) f (x, y)dy для всех x ∈ 4, и
D
R
I(x)dx.
4
2.10 Вычисление площадей и объемов.
53
Следствие 2.37. Пусть ϕ1 , ϕ2 ∈ R[a, b], D = {(x, y) | x ∈ [a,
RRb], ϕ1 (x) 6
2
y 6 ϕ2 (x)} и f ∈ R(D). Тогда множество D измеримо в R ,
f (x, y)dxdy =
D
R b R ϕ2 (x)
dx ϕ1 (x) f (x, y)dy, если внутренний интеграл определен для всех x ∈
a
[a, b].
Доказательство. Графики Γi = {(x, y) | x ∈ [a, b], y = ϕi (x)} функций
N
S
ϕi содержатся в элементарном множестве Ei =
Πij , где T = {xj }N
j=1 –
j=1
разбиение отрезка [a, b], и Πij = [xj−1 , xj ] × [mij , Mji ], mij =
sup ϕi (i = 1, 2). При этом m2 (Ei ) =
N
P
inf
[xj−1 ,xj ]
ϕi , Mji =
(Mji − mij )4xj = Ω(ϕi , T ), и
j=1
[xj−1 ,xj ]
поскольку ϕi ∈ R[a, b], то Ω(ϕi , T ) → 0 при λ(T ) → 0, отсюда m∗ (Γi ) =
0 (i = 1, 2). Отрезки {a}×[ϕ1 (a), ϕ2 (a)] и {b}×[ϕ1 (b), ϕ2 (b)] также являются множествами меры ноль Жордана в R2 . Следовательно, m∗ (∂D) = 0,
и в силу критерия измеримости D ∈ Ж2 . По теореме Фубини верно раRR
R b R ϕ (x)
венство
f (x, y)dxdy = a dx ϕ12(x) f (x, y)dy.
D
2.10
Вычисление площадей и объемов.
Примеры.
1. Пусть D = {(x, y) | x ∈ [a, b], ϕ1 (x) 6 y 6 ϕ2 (x)}, где ϕ1 , ϕ2 ∈
R[a, b]. Тогда его площадь равна
RR
R b R ϕ (x)
Rb
S = m2 (D) =
dxdy = a dx ϕ12(x) dy = a (ϕ1 (x) − ϕ2 (x))dx.
D
2. Пусть D ∈ Жn+1 , D ⊂ [a, b] × Rn , S(x) – n-мерный объем сечения
Rb
Dx = D ∩ {x1 = x}, и S ∈ R[a, b]. Тогда V = V (D) = a S(x)dx.
Доказательство.
По теоремеRФубини
R
R
R
R
Rb
b
V = . . . dx1 . . . dxn dxn+1 = a dx1 . . . dx2 . . . dxn = a S(x)dx.
D
Dx
3. Пусть D ⊂ R3 – фигура вращения вокруг оси OX криволинейной
трапеции {(x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [0, ϕ(x)]}, где ϕ > 0 и a < b. Тогда в
Rb
предположении, что D ∈ Ж3 , верна формула V (D) = π a ϕ2 (x)dx.
Доказательство. Сечение Dt фигуры D плоскостью {x = t} является
кругом с центром в точке (x,0,0) радиуса ϕ(x), поэтому S(x) = πϕ2 (x) и
Rb
Rb
V (D) = a S(x)dx = π a ϕ2 (x)dx.
4. Пусть D ⊂ R3 – фигура вращения вокруг оси OY криволинейной
трапеции {(x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ [ϕ1 (x), ϕ2 (x)]}, где ϕ1 , ϕ2 ∈ R[a, b],
p0 < a 6
b. Тогда D = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Ka,b ; z ∈ [ϕ1 (r), ϕ2 (r)]}, где r = x2 + y 2 ,
Rb
и Ka,b – кольцо a2 6 r2 6 b2 . При этом V (D) = 2π a r(ϕ2 (r) − ϕ1 (r))dr.
54
2 Интеграл Римана.
Доказательство. Сечение D(t,u) фигуры D прямой
{x = t, y = u} явля√
2
2
ется отрезком
По теореме Фуби2 (r)], где
p r = t + u .p
RR {(t, u)}
R × [ϕ1 (r), ϕRR
2
2
ни V (D) =
dxdy D(x,y) dz =
(ϕ2 ( x + y ) − ϕ1 ( x2 + y 2 ))dxdy. В
Ka,b
Ka,b
дальнейшем, мы покажем, что
замене x = r cos Rθ, y = r sin θ
R b приRполярной
2π
b
этот интеграл будет равен a rdr 0 (ϕ2 (r) − ϕ1 (r))dθ = 2π a r(ϕ2 (r) −
ϕ1 (r))dr.
2.11
Замена переменных в кратном интеграле.
Теорема 2.38. Пусть D, 4 ∈ Жn ; и F является C 1 -диффеоморфизмом
между int D Rи int 4, якобиан которого det JF (·) ограничен на int D. Тогда mn (4) = int D | det JF (x)|dx.
Доказательство. Докажем сначала формулу для произвольного замкнутого элементарного множества A ⊂ int D, составленного их замкнутых
невырожденных элементарных кубов, внутренности которых попарно не
пересекаются. Поскольку функция ϕ(x) = | det JF (x)| непрерывна на
компакте A, то, в силу критерия Лебега, ϕ ∈ R(A), и, следовательно,
в силу теоремы Римана, для любого ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что для любого отмеченного
разбиения
¯R
¯ (T, Σ) : λ(T ) < δ множества
¯
A верно неравенство A ϕdx − σ(ϕ, T, Σ)¯ < ε. Если необходимо разбивая кубы, из которых составлено множество A, на более мелкие кубы,
можно считать, что диаметр этих кубов меньше δ. Будем говорить, что
куб Π обладает свойством P, если найдется точка x ∈ Π, для которой
mn (F (Π)) ∈ [(1 − ε)mn (Π)ϕ(x), (1 + ε)mn (Π)ϕ(x)]. Докажем, что можно
построить такое разбиение T множества A на кубы, измельчая исходные,
что все кубы этого разбиения будут удовлетворять свойству P. Действительно, пусть на m-ом шагу есть кубы, не удовлетворяющие свойству
P, образуем из их объединения множество Em и разобъем каждый такой куб на 2n равных кубов, если какие-то из полученных кубов опять
не удовлетворяют свойству P, то образуем из них множество Em+1 , и
повторим эту же процедуру деления. Если эта процедура не оборвется на некотором шагу, то мы построим вложенную
T последовательность
компактов {Em }, для которой найдется точка x ∈ Em , а, следовательm
но, найдется последовательность кубов {Πm }, Πm ⊂ Em (m ∈ N), диа/ [(1 −
метры которых по построению стремятся к нулю, и mn (F (Πm )) ∈
mn (F (Πm ))
ε)mn (Πm )ϕ(x), (1 + ε)mn (Πm )ϕ(x)]. В силу следствия 1.28, mn (Πm ) →
ϕ(x), m → ∞, но по теореме о переходе к пределу в неравенствах этот
предел лежит вне интервала ((1 − ε)ϕ(x), (1 + ε)ϕ(x)), чего не может
2.11 Замена переменных в кратном интеграле.
55
быть. Таким образом, наша процедура дробления кубов остановится на
некотором шагу, и мы, тем самым, построим разбиение T множества A
на кубы {Pk }, диаметра меньшего δ, и обладающие свойством P, т.е. найдется точка ξk ∈ Pk , для которой mn (F (Pk )) ∈ [(1 − ε)mn (Pk )ϕ(ξk ), (1 +
ε)mn (Pk )ϕ(ξk )]. По свойству диффеоморфизма F (int Pk ) = int F (Pk ), и
int F (Pk ) ∩ int F (Pl ) = ∅ дляPпроизвольных различных индексов k, l, следовательно, mn (F (A)) =
mn (F (Pk )). Поэтому для Σ = {ξk } верно
k
P
неравенство (1 − ε)σ(ϕ, T, Σ) = (1 − ε) mn (Pk )ϕ(ξk ) 6 mn (F (A)) =
k
P
P
mn (F (Pk )) 6 (1 + ε) mn (Pk )ϕ(ξk ) = (1 + ε)σ(ϕ, T, Σ). Отсюда имеет
k
k R
¯
¯
¯
¯mn (F (A))− ϕdx¯ 6 |mn (F (A))−σ(ϕ, T, Σ)|+ ¯σ(ϕ, T, Σ)−
место
оценка
A R
¯
R
ϕdx¯ 6 ε|σ(ϕ, T, Σ)| + ε 6 ε( A ϕdx + ε) + ε. RИз произвольности выбора
A
ε вытекает требуемое равенство mn (F (A)) = A ϕdx.
Рассмотрим теперь случай множества D. Согласно теореме 2.26, существует исчерпание G = {Am }∞
m=1 множества int D, где множества Am
состоят из замкнутых невырожденных элементарных кубов с попарно
непересекающимися внутренностями. Отсюда и из свойств диффеоморфизма вытекает, что Gb = {F (Am )} – исчерпание F (int D) = int 4. Тогда,
в силу доказанного в Rпредыдущем
R абзаце и теорем 2.27 и 2.28 об исчерпании, mn (F (Am )) = Am ϕdx → int D ϕdx и mn (F (Am )) → mn (int 4)) =
R
mn (4)) при m → ∞. Т.е. mn (4) = int D | det JF (x)|dx.
Теорема 2.39. Пусть D, 4 ∈ Жn ; и F является C 1 -диффеоморфизмом
между int D и int 4, якобиан которого det JF (·) ограничен на Rint D, и ϕ ∈
RR(4). Тогда ϕ ◦ F (·)| det JF (·)| ∈ R(int D), и верна формула ∆ ϕ(y)dy =
ϕ ◦ F (x)| det JF (x)|dx.
int D
Доказательство. В силу критерия Лебега, функция ϕ ограничена и почти всюду непрерывна, а, в силу свойства 5 (см стр. 31) C 1 -диффеоморфизмов,
функция ϕ ◦ F (·)| det JF (·)| ограничена и почти всюду непрерывна (т.к.
множество точек разрыва этой функции является образом C 1 -диффеоморфизма
F −1 множества точек разрыва функции ϕ), и, следовательно, ϕ◦F (·)| det JF (·)| ∈
N
R(int D). Пусть (T = {4j }N
j=1 , Σ = {ξj }j=1 ) – отмеченное разбиение для
множества 4, ωj – колебание функции ϕ на 4j и Dj = F −1 (4j ), ζj =
N
N
R
P
P
F −1 (ξj ) (j = 1, N ), тогда σ(ϕ, T, Σ) =
ϕ(ξj )m(4j ) =
ϕ(F (ζj )) Dj | det JF (x)|dx.
j=1
j=1
N
¯ R
¯ ¯P
R
Отсюда ¯
ϕ◦F (x)| det JF (x)|dx−σ(ϕ, T, Σ)¯ = ¯
ϕ◦F (x)| det JF (x)|dx−
j=1 int Dj
int D
N
P
j=1
N
P
N
¯ ¯P
¯
R
ϕ(F (ζj )) Dj | det JF (x)|dx¯ = ¯
(ϕ(F (x))−ϕ(F (ζj )))| det JF (x)|dx¯ 6
R
j=1 int Dj
ωj
R
N
P
| det JF (x)|dx =
ωj m(4j ) = Ω(ϕ, T ) → 0, (λ(T ) → 0). Учиj=1
R
R
тывая, что σ(ϕ, T, Σ) → 4 ϕ(y)dy (λ(T ) → 0), получим, что ∆ ϕ(y)dy =
j=1
int Dj
56
2 Интеграл Римана.
R
int D
ϕ ◦ F (x)| det JF (x)|dx.
Замечание 2.11.1. Если дополнительно к условиям предыдущей теоремы
якобиан ограничен det JF (·) на множестве
D иRфункция F определена на
R
множестве D, то верна формула ∆ ϕ(y)dy = D ϕ ◦ F (x)| det JF (x)|dx.
Примеры:
1. Полярная замена в R2 . Замена декартовых координат (x, y) ∈ R2
на
½ полярные (r, ϕ), где r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), осуществляется по формуле
x = r cos ϕ
. При этом отображение (x, y) = F (r, ϕ) = (r cos ϕ, r sin ϕ)
y = r sin ϕ
является C 1 -диффеоморфизмом между измеримыми по Жордану мноb R = {(x, y) | x2 + y 2 < R2 , (x, y) ∈
b R = {(r, ϕ) |
жествами D
/ [0, R] ×µ{0}} и Π
¶
cos ϕ
sin ϕ
r ∈ (0, R), ϕ ∈ (0, 2π)}, а матрица Якоби равна JF =
,
−r sin ϕ r cos ϕ
и, следовательно, якобиан равен det JF = r. Рассмотрим множества DR =
{(x, y) | x2 + y 2 6 R2 } и ΠR = {(r, ϕ) | r ∈ [0, R], ϕ ∈ [0, 2π]}, которые
bR и Π
b R соответственно. Поскольку
являются замыканиями множеств D
для любой ограниченной функции интеграл от нее на множествах ∂DR и
∂ΠR меры RR
нуль Жордана равен
RR нулю, то для функции f ∈ R(DR ) верно
равенство
f (x, y)dxdy =
f (r cos ϕ, r sin ϕ)rdrdϕ.
DR
ΠR
2. Цилиндрическая и сферическая замены в R3 .
a). Замена декартовых координат (x, y, z) ∈ R3 на цилиндрические

 x = r cos ϕ
y = r sin ϕ .
(r, ϕ, h), где r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), h ∈ R осуществляется по формуле

z=h
При этом отображение (x, y, z) = F (r, ϕ, h) = (r cos ϕ, r sin ϕ, h) удовлетворяет условиям теоремы о замене переменных для множеств CR,H =
2
{(x, y, z) | x2 +y 2 6 R
 R]×[0, 2π)×[−H, H], матрица
 , |z| 6 H} и ΠR,H = [0,
cos ϕ
sin ϕ 0

−r sin ϕ r cos ϕ 0  , а якобиан равен det JF = r.
Якоби равна JF =
0
0
1
RRR
f (x, y, z)dxdydz =
Поэтому для функции f ∈ R(CR,H ) верно равенство
CR,H
RRR
f (r cos ϕ, r sin ϕ, h)rdrdϕdh.
ΠR,H
б). Замена декартовых координат (x, y, z) ∈ R3 на сферические
(r, ϕ, ψ),

x
=
r cos ϕ cos ψ

π π
y = r sin ϕ cos ψ .
где r > 0, ϕ ∈ [0, 2π), ψ ∈ [− 2 , 2 ] осуществляется по формуле

z = r sin ψ
При этом отображение (x, y, z) = F (r, ϕ, ψ) = (r cos ϕ, r sin ϕ, r sin ψ) удовлетворяет условиям теоремы о замене переменных для множеств ШR =
{(x, y, z) | x2 +y 2 +z 2 6 R2 } и ΠR = [0, R]×[0, 2π)×[− π2 , π2 ], матрица Якоби
2.11 Замена переменных в кратном интеграле.
57


cos ϕ cos ψ
sin ϕ cos ψ
sin ψ
 , а якобиан равен
0
равна JF =  −r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ
¯ −r cos ϕ sin ψ −r sin ϕ sin ψ ¯ r cos ψ ¯
¯ −r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ ¯
¯
sin ϕ cos ψ
¯+r cos ψ ¯ cos ϕ cos ψ
det JF = sin ψ ¯¯
¯
¯ −r sin ϕ cos ψ r cos ϕ cos ψ
−r cos ϕ sin ψ −r sin ϕ sin ψ
r2 cos ψ sin2 ψ+r2 cos3 ψ = r2 cos ψ. Поэтому для функции f ∈ R(ШR ) верно равенство
RRR
RRR
f (x, y, z)dxdydz =
f (r cos ϕ cos ψ, r sin ϕ cos ψ, r sin ψ)r2 cos ϕdrdϕdψ.
ΠR
ШR
Замечание 2.11.2. Формулы замены переменных для интегралов из предыдущих пунктов можно проводить и для любых измеримых по Жордану
подмножеств DR , CR,H , ШR и соответствующих им образов при отображении замены F. Для этого достаточно интегрируемые функции на этих
подмножествах доопределить нулем вне этих множеств и воспользоваться формулами из этих пунктов.
3. Полярная и цилиндрическая замены в Rn .
а). Полярная замена в Rn . Пусть M = (x1 , . . . , xn ). Первая пере−−→
менная замены r равна |OM |, вторая переменная замены – угол ϕ1 ∈
−−→
−−→
[0, π] между положительным направлением оси OX1 и вектором OM ; 3я переменная – угол ϕ2 ∈ [0, π] между положительным направлением
−−→
−−→
оси OX 2 и вектором OM 1 , где M1 = (0, x2 , . . . , xn ) – проекция точки
−−→
−−→
M на плоскость, натянутую на оси OX 2 , . . . , OX n ; . . . ; (n − 1)-я переменная – угол ϕn−2 ∈ [0, π] между положительным направлением оси
−−→
−−→
OX n−2 и вектором OM n−2 , где Mn−2 = (0, . . . , 0, xn−1 , xn ) – проекция
точки Mn−3 = (0, . . . , 0, xn−2 , xn−1 , xn ) на плоскость, натянутую на оси
−−→
−−→
OX n−1 , OX n ; n−я переменная – полярный угол ϕn−1 ∈ [0, 2π) в плоскости
−−→
OXn−1 Xn−2 , отсчитываемый от положительного направления оси OX n−1
−−→
к вектору OM n−2 . Тем
 самым, отображение (x1 , . . . , xn ) = F (r, ϕ1 , . . . , ϕn−1 )
 x1 = r cos ϕ1




 x2 = r sin ϕ1 cos ϕ2
..
. При этом
задается формулой:
.



xn−1 = r sin ϕ1 sin ϕ2 . . . sin ϕn−2 cos ϕn−1


 x = r sin ϕ sin ϕ . . . sin ϕ
n
1
2
n−2 sin ϕn−1
2
2
2
x1 + . . . + xn = r . Вычислим якобиан замены det Jn =
¯
¯
¯ cos ϕ1
−r sin ϕ1
0 0 . . . 0 ¯¯
¯
¯ sin ϕ1 cos ϕ2
r cos ϕ1 cos ϕ2
. . . 0 . . . 0 ¯¯
¯
¯ sin ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3
r cos ϕ1 sin ϕ2 cos ϕ3
. . . . . . . . . 0 ¯¯
,
= ¯¯
...
. . . . . . . . . . . . ¯¯
¯ ...
¯ sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 cos ϕn−1 r cos ϕ1 . . . sin ϕn−2 cos ϕn−1 . . . . . . . . . an ¯
¯
¯
¯ sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 sin ϕn−1 r cos ϕ1 . . . sin ϕn−2 sin ϕn−1 . . . . . . . . . bn ¯
где an = −r sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 sin ϕn−1 , bn = r sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 cos ϕn−1 , раскрыв определитель по его n-ому столбцу и получив рекуррентную фор-
¯
¯
¯=
¯
58
2 Интеграл Римана.
мулу: det Jn = bn cos ϕn−1 Jn−1 −an sin ϕn−1 Jn−1 = Jn−1 r sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 (cos2 ϕn−1 +
sin2 ϕn−1 ) = Jn−1 r sin ϕ1 . . . sin ϕn−2 . Следовательно,
det Jn = rn−1 sinn−2 ϕ1 sinn−3 ϕ2 . . . sin ϕn−2 .
б). Цилиндрическая замена в Rn .
Отображение цилиндрической замены
(x
 1 , . . . , xn ) = F (r, ϕ1 , . . . , ϕk−1 , hk+1 , . . . , hn ) задается формулой:
x1 = r cos ϕ1




x2 = r sin ϕ1 cos ϕ2



..


.



xk−1 = r sin ϕ1 sin ϕ2 . . . sin ϕk−2 cos ϕk−1
.
xk = r sin ϕ1 sin ϕ2 . . . sin ϕk−2 sin ϕk−1




xk+1 = hk+1




 ...



xn = h n
При этом x21 + . . . + x2k = r2 , а якобиан замены равен
det Jn = rk−1 sink−2 ϕ1 sink−3 ϕ2 . . . sin ϕk−2 .
2.12
Несобственные кратные интегралы.
Определение 2.12.1. Будем говорить, что исчерпание G = {Gm }∞
m=1
f
:
D
→
R,
множества D ⊂ Rn называется допустимым
для
функции
R
если f ∈ R(Gm ) (m ∈ N). Запись вида D f dx будем называть несобственным интегралом. Функция f : D → R называется интегрируемой
в несобственном смысле на D, если для нее существует хотя бы одно
допустимое исчерпание, и найдется число A ∈ R такое, что для любого
R
допустимого исчерпания G = {Gm }∞
f dx,
m=1 существует предел lim
m→∞ G
m
равный этому
числу A. Число A называют значением несобственного инR
теграла D fRdx, который в этом случае называют сходящимся, При этом
пишут A = D f dx. Класс всех интегрируемых в несобственном смысле
функций на множестве D обозначают через R(D). Если f ∈
/ R(D), то
несобственный интеграл называют расходящимся.
Замечание 2.12.1. В силу теоремы 2.29, R(D) ⊂ R(D), где D ∈ Жn .
Замечание 2.12.2. Если для функции f существует допустимое исчерпание множества D, то она почти всюду на D непрерывна, а, следовательно,
из критерия Лебега вытекает, что исчерпание будет для этой функции
допустимо, тогда и только тогда, когда на каждом элементе этого исчерпания функция f ограничена.
2.12 Несобственные кратные интегралы.
59
Доказательство. Действительно, пусть G = {Gn } – некоторое допустимое исчерпание множества D для функции f. Тогда f ∈ R(Gk ) для всех
k ∈ N. В силу критерия Лебега множество Ak = {x ∈ Gk | f ∈
/ C(x)} (k ∈
N) меры нуль Лебега, и, поскольку множество A точек разрыва функции
∞
S
f на множестве D содержится в
(Ak ∪ ∂Gk ) (которое является множеk=1
ством меры нуль как счетное объединение множеств меры нуль), то A
является множеством меры нуль.
Замечание 2.12.3. В силу замечания 2.12.2 класс допустимых исчерпаний
для функций f и f+ , f− , |f | совпадают.
R
R
Если
f
,
f
∈
R(D),
то
f
∈
R(D),
и
Замечание
2.12.4.
f
dx
=
f dx+
+
−
D
D +
R
f
dx.
D −
Доказательство. Любое допустимое для функции f исчерпание
R G =
{Gn } множества D является допустимым и для функций f+ , f− , и Gn f dx =
R
R
f dx + Gn f− dx для всех n ∈ N. Переходя в последнем равенстве к
Gn +
R
R
R
пределу при n → ∞, получим, что lim Gn f dx = D f+ dx + D f− dx.
n→∞
Отсюда вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2.40. Пусть для функции g : D → R+ (R− ) существует допустимое исчерпаниеR G = {Gm } множества D, для которого последовательность {an =
gdx} ограничена. Тогда g ∈ R(D).
Gm
Доказательство. Для определенности будем считать, что g > 0. Поскольку последовательность {an } ограничена и монотонно возрастает,
то по теореме Вейерштрасса существует предел A = lim an ∈ R+ . Пусть
n→∞
W = {Wm } – произвольное допустимое
для
R
R функции g исчерпание мноgdx 6
gdx = an 6 A (n, m ∈ N), то,
жества D. Поскольку 0 6
в силу теоремы 2.29, 0 6
Wm ∩Gn
def R
bm =
Wm
Gn
gdx = lim
R
n→∞ W ∩G
m
n
gdx 6 A (m ∈ N).
По теореме Вейерштрасса существует предел B = lim bn 6 A. Меняя
n→∞
в предыдущем рассуждении местами последовательности {an } и {bn },
получим, что A 6 B, т.е. A = B. Отсюда вытекает утверждение теоремы.
Теорема 2.41 (признак Вейерштрасса). Пусть D ⊂ Rn , f, g : D →
R, |f | 6 g на D, g ∈ R(D); множество точек разрыва функции f меры нуль Лебега и для множества D найдется какое-нибудь исчерпание (в частности, это выполнено, если для функции f существует
¯допустимое
¯ R исчерпание
R
R множества D). Тогда f, f+ , f− , |f | ∈ R(D), и
¯ f dx¯ 6
|f
|dx
6
gdx.
D
D
D
60
2 Интеграл Римана.
Доказательство. Пусть G = {Gm } – допустимое исчерпание для функции g. Учитывая, что 0 6 f+ , −f− 6 |f | 6 g, мы получим, что из
ограниченности функции g на элементах исчерпания G ограничены на
этих же элементах функции f+ , f− , f. Поскольку множества точек разрыва этих функций являются подмножествами множества точек разрыва
функции f, то в силу критерия Лебега функции f+ , f− , f интегрируемы
на элементах исчерпания G, т.е. это исчерпание является допустимым
0R6 f+ , −f− 6 g вытекадля этих функций.
Отсюда
и из неравенства
R
R
R
ет, что 0 6 Gm f+ dx, − Gm f− dx 6 Gm gdx 6 D gdx для всех m ∈ N.
R
R
Таким образом, последовательности { f+ gdx} и { f− gdx} ограничеGm
Gm
ны, а, следовательно, в силу замечания 2.40 f+ , f− ∈ R(D). Из замечачто и
¯ния
R 2.12.4¯ вытекает,
R
R f ∈ R(D). Переходя к пределу в неравенстве
¯
¯6
f
dx
|f
|dx
6
gdx при m → ∞, мы получим неравенство
¯ RGm ¯ R Gm
R Gm
¯ f dx¯ 6
|f |dx 6
gdx.
D
D
D
Определение 2.12.2. Пусть для функции f : D → R существует хотя
бы одно допустимое исчерпание множества D, и |f | ∈ R(D). В этом
случае говорят, что f абсолютно интегрируема на D.
Следствие 2.42. Если функция
f¯ абсолютно
интегрируема, то f ∈
¯R
R
¯
¯
R(D), и верно неравенство D f dx 6 D |f |dx.
Доказательство. Вытекает из теоремы Вейерштрасса и замечания 2.12.3
для случая g = |f |.
Теорема 2.43. Пусть D ⊂ Rn . Тогда f ∈ R(D) ⇔ функция f абсолютно
интегрируема.
Доказательство.
⇐ Уже доказано (см следствие 2.42).
⇒ Допустим противное: f ∈ R(D), но функция f не является абсолютно интегрируемой на D. Тогда существует допустимое для функций
f, |f | исчерпание
G = {Gm } множества D такое, что последовательность
R
{an =
|f |dx} расходится. В силу теоремы 2.40 an → +∞ (n → ∞).
Gn
Поскольку f+ = max{f, 0}, f− = min{f, 0} ∈ R(Gm ) для всех
R m ∈ N,
и f = f+ + f− , |f | = f+ − f− , то последовательности {bm =
f+ dx} и
Gm
R
{cm =
f− dx} расходятся к +∞ и к −∞ соответственно (т.к. последоGm
вательность {bm + cm } сходится, а последовательность {bm − cm } ↑ +∞).
Выберем подпоследовательность {mk } ⊂ N так, чтобы bmk > |ck | + k для
k Nk
всех k ∈ N. Для любого
¯ R ε > 0 найдется ¯такое разбиение Tk = {Wp }p=1
множества Gmk , что ¯
f+ dx − S(f+ , Tk )¯ < ε. Обозначим через Ak мноGmk
жество тех индексов p, для которых f > 0 на Wpk . Тогда для множества
2.12 Несобственные кратные интегралы.
61
S
P +
Wpk выполняются соотношения S(f+ , Tk ) =
mp m(Wpk ) =
p∈Ak
p∈Ak
R
R
R
S(f , Tk ) 6 f dx, и, следовательно, f dx > S(f+ , Tk ) >
f+ dx −
Vk
Vk
Vk
Vk
Gmk
R
ε = bmk − ε. И, если, в качестве ε взять число bmk − |ck | − k, то f dx >
Vk =
k
S
Vk
R
|ck | + k для всех k ∈ N. Поскольку f > 0 на Bk =
Vj , то
f dx >
j=1
Bk
R
f dx > |ck | + k для всех k ∈ N. Последовательность B = {Bk ∪ Gk }
Vk
является исчерпанием
D, и f−R ≡ 0 на Bk , следовательно,
выполняютR
R
R
ся соотношения
f dx =
(f+ + f− )dx > f+ dx +
f− dx =
Bk ∪Gk
Bk ∪Gk
Bk
Bk ∪Gk
R
R
/ R(D), противоf+ dx + f− dx > |ck | + k + ck > k → +∞. Поэтому f ∈
Bk
речие.
Gk
Следствие 2.44. f ∈ R(D) ⇔ существует допустимое для функции f
разбиение
R G = {Gm } множества D, для которого последовательность
{an =
|f |dx} ограничена.
Gm
Доказательство. Вытекает из предыдущей теоремы и теоремы 2.40.
Замечание 2.12.5. Пусть для функции f : D → R существует допустимое
исчерпание множества D, и пусть N – множество всех измеримых по
Жордану подмножеств множества D, на которых функция f интегрируема в собственном смысле по Риману. Базой расширения B назовем
назовем набор множеств {RB }B∈N , где RB ⊂ N состоит из всех множеств N ∈ N : N ⊃R B. Рассмотрим функцию F : N → R, задаваемую
формулой F (B) = B f dx Rдля всех B ∈ N . Тогда условие сходимости
несобственного интеграла D f dx к значению A равносильно существованию предела для функции F, равному числу A, по базе расширений
B.
Свойства интегрируемых в несобственном смысле функций.
1. Пусть f, g ∈ R(D) и α, β ∈ R. Тогда αf + βg ∈ R(D), и
R
R
βg)dx = α f dx + β gdx.
D
R
(αf +
D
D
Доказательство. Пусть G = {Gm } и W = {Wm } – соответственно допуD. Тогда последовастимые исчерпания Rдля функций f и g множества
R
тельности {an =
|f |dx} и {bn =
|g|dx} ограничены в силу
Gm ∩Wm
Gm ∩Wm
R
R
следствия 2.44. Поскольку
|αf +βg|dx 6
(|α||f |+|β||g|)dx =
Gm ∩Wm
GRm ∩Wm
|α|an + |β|bn (n ∈ N), то последовательность {
|αf + βg|dx} ограниGm ∩Wm
чена, и, следовательно, αf + βg ∈ R(D). Кроме того, переходя к пределу
62
2 Интеграл Римана.
R
R
R
при m → ∞ в равенстве
(αf + βg)dx = α
f dx + β
gdx,
G
∩W
G
∩W
G
∩W
m
m
m
m
m
m
R
R
R
получим равенство (αf + βg)dx = α f dx + β gdx.
D
D
D
2. Пусть f ∈ R(D1 ) ∩
f ∈RR(D1 ∪ D2 ). При этом, если
R R(D2 ). Тогда
R
f dx = f dx + f dx.
int D1 ∩ int D2 = ∅, то
D1 ∪D2
D1
D2
Доказательство. Пусть G = {Gm } и W = {Wm } – соответственно допустимые исчерпания
для функции
f множеств D1 и D2 . Тогда послеR
R
довательности { |f |dx} и { |f |dx} ограничены. Поскольку последоGm
Wm
вательность {Gm ∪ Wm } являетсяR допустимым исчерпанием
для
R
R функции f множества D1 ∪ D2 , и
|f |dx =
|f |dx +
|f |dx 6
Gm ∪Wm
Wm
Gm \Wm
R
R
R
|f |dx} огра|f |dx +
|f |dx (m ∈ N), то последовательность {
Gm
Gm ∪Wm
Wm
ничена. Отсюда вытекает, что f ∈ R(DR1 ∪ D2 ). В случае,
когда
R
R int D1 ∩
int D2 = ∅, имеет место равенство
f dx =
f dx +
f dx, т.к.
Gm ∪Wm
Gm
Wm
int Gm ∩ int Wm = ∅ (m ∈ N). Поэтому, Rпереходя кR пределуR при m → ∞ в
этом равенстве, получим равенство
f dx = f dx + f dx.
D1 ∪D2
Следствие 2.45. Пусть D =
N
S
D1
D2
Di , и int Dj ∩ int Dj = ∅ для произволь-
i=1
ных различных индексов i, j; f ∈ R(Di ) (i = 1, N ). Тогда f ∈ R(D), и
N R
R
P
f dx.
f dx =
D
i=1 Di
3. Свойство наследуемости. Если для функции f ∈ R(D) существует
допустимое
При этом
¯R
¯ R исчерпание
¯R
R подмножества
R4 ⊂ ¯D, Rто f ∈ R(4).
R
¯ f dx¯ 6 |f |dx 6 |f |dx и ¯ f dx − f dx¯ 6 |f |dx − |f |dx.
4
D
4
D
4
D
4
Доказательство. Пусть G = {Gm } и W = {Wm } – соответственно допустимые исчерпания для функции f множеств D и 4. Тогда последовательность {Gm
допустимым исчерпанием для f мноR ∩ Wm } является
R
жества 4, и
|f |dx 6
|f |dx для всех m ∈ N. Отсюда вытекает,
Gm ∩Wm
Gm
R
что последовательность {
|f |dx} ограничена, т.е. f ∈ R(4). ПереGm ∩Wm
¯ R
¯
R
ходя к пределу при m → ∞ в неравенстве 0 6 ¯ f dx −
f dx¯ =
Gm
Gm ∩Wm
¯ R
¯
R
R
R
¯
f dx¯ 6
|f |dx 6
|f |dx −
|f |dx, получим неравенGm \Wm
Gm \Wm
¯R
¯ R Gm
R
R Gm ∩Wm
¯
¯
ство 0 6
f dx − f dx 6 |f |dx − |f |dx. Отсюда следует требуемое
D
утверждение.
4
D
4
2.12 Несобственные кратные интегралы.
63
4. Обобщенное исчерпание. Пусть существуют исчерпания множеств
D, Dm (m ∈ N), допустимые для функции f ∈ R(D). При этом D =
∞
R
R
S
Dm , и Dm ⊂ Dm+1 для всех m ∈ N. Тогда f dx = lim
f dx.
m=1
D
m→∞ D
m
Доказательство. Пусть Gm = {Gm
для
k }k∈N – допустимое
S исчерпание
Gm
}
–
допустифункции f множества Dm (m ∈ N). Тогда G = {Vn =
k
k,m6n
мое исчерпание для функции
f множества
D,Rи Vn ⊂ DnR⊂ D (n ∈ N). Из
R
R
пункта 3 вытекает, что |f |dx > |f |dx > |f |dx → |f |dx (n → ∞),
D
Dn
Vn
D
R
R
а, следовательно, по теореме о 2-х милиционерах |f |dx → |f |dx (n →
Dn
D
¯R
¯
R
R
R
¯
¯
∞). В силу пункта 3
f dx −
f dx 6 |f |dx −
|f |dx → 0 при
D
n → ∞.
Dn
D
Dn
Примеры:
Интеграл Пуассона.
используя несобственный интеграл
RR 1.x2 +y
R 2 Докажем,
√
2
e
dxdy, что ex dx = π. Действительно, поскольку f (x, y) =
R2
x2 +y 2
R
2
e
>
RR0 на R , то для доказательства сходимости несобственного интеграла
f (x, y)dxdy достаточно показать сходимость последовательноRRR2
сти { f (x, y)dxdy}, где {Kn = {x2 +y 2 6 n2 }}n∈N – допустимое для f исKn
RR
черпание R2 . Применяя полярную замену получим, что
f (x, y)dxdy =
Kn
R 2π
Rn
2
2
dϕ 0 e−r rdr = π(1 − e−n ) → π. Отсюда f ∈ R(R2 ), и, следова0
тельно, по любому другому допустимому для f исчерпанию R2 значение
предела частичных интегралов такое
Возьмем исчерпание
RR же.
RR x2 +y2квадра2
2
тами {Πn = [−n, n]2 }. Тогда π =
ex +y dxdy = lim
e
dxdy =
n→∞ Π
R2
n
¡ R n −x2 ¢¡ R n −y2 ¢ ¡ R +∞ −t2 ¢2
R x2
lim
e
dx
e
dy
=
e
dt
.
Следовательно,
e dx =
−n
−n
−∞
n→∞
R
√
π.
Часто подходящей заменой переменных можно перевести множество
особых точек несобственного интеграла в достаточно простое множество
(например, в плоское множество). Поэтому в следующих примерах мы
ограничимся простыми конструкциями множеств особых точек.
p
2. Пусть g(x1 , . . . , xn ) = ρ−α (x), где ρ(x) = x21 + . . . + x2k – расстояние до плоскости L = {x = (0, . . . , 0, xk+1 , . . . , xn ) ∈ Rn }, и M = Mδ,H =
{x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | ρ(x) > δ; |xk+1 |, . . . , |xn | 6 H}, N = Nδ,H =
{x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | 0 < ρ(x) 6 δ; |xk+1 |, . . . , |xn | 6 H} для неко-
64
2 Интеграл Римана.
торых δ, H > 0. Тогда g ∈ R(M ) (g ∈ R(N )) при α > k (α < k), и
g∈
/ R(M ) (g ∈
/ R(N )) при α 6 k (α > k).
Доказательство. Рассмотрим допустимые для неотрицательной функции g исчерпания {Mn = {x ∈ M | ρ(x) 6 nδ}} и {Nn = {x ∈ N | ρ(x) >
δ
}} множеств M и N соответственно.
Делая цилиндрическую замену,
n
R
R
получим, что интегралы
gdx и gdx равны соответственно
Nn
n
RH
RH
R nδ rM
Rπ
R 2π
k−1 dr R π
k−2
dh
.
.
.
dh
sin
ϕ
dϕ
.
.
.
sin
ϕ
dϕ
dϕk−1
n
k+1
1
1
k−2
k−2
α
−H
−H
δ
RH
RH
R δ rrk−1 dr R0 π k−2
R0 π
R0 2π
и −H dhn . . . −H dhk+1 δ rα 0 sin
ϕ1 dϕ1 . . . 0 sin ϕk−2 dϕk−2 0 dϕk−1 .
n
R
R
Поэтому последовательность { gdx} ({ gdx}) имеет конечный преMn
Nn
дел тогда и только тогда, когда k − 1 − α < −1 (k − 1 − α > −1), т.е.
когда k < α (k > α). Из следствия 2.44 вытекает утверждение примера.
Следствие 2.46. Пусть множества M, N и функция g из предыдущего
примера, и существует допустимое для f исчерпание множества D ⊂
M (4 ⊂ N ), и |f | 6 Cg (C > 0). Тогда f ∈ R(D) (f ∈ R(4)), если
α > k (α < k).
Глава 3
Элементы векторного анализа.
3.1
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов.
Напоминание.
Непрерывное отображение x : [a, b] → Rn (a 6 b) называется путем или параметризацией (соответствующей кривой). При этом x(t) =
(x1 (t), . . . , xn (t)) ∈ C[a, b] ⇔ xi (t) ∈ C[a, b], i = 1, n. Пути xα : [aα , bα ] →
Rn и xβ : [aβ , bβ ] → Rn называются эквивалентными (одинаково ориентина
рованными), если существует функция перепараметризации τ : [aα , bα ] →
[aβ , bβ ], τ ↑↑ такая, что xα = xβ ◦ τ. При этом конечно, τ ∈ C[aα , bα ], τ −1 ∈
C[aβ , bβ ]. Обозначение: xα ∼ xβ или xβ ∼
xα .
−1
τ
τ
Отношение эквивалентности (для путей) обладает следующими свойствами: 1). xα ∼ xα ; 2). xα ∼ xβ ⇒ xβ ∼
xα ; 3). xα ∼ xβ &xβ ∼ xγ ⇒ xα ∼ xγ .
−1
Id
τ
τ
τ1
τ2
τ2 ◦τ1
Класс всех эквивалентных между собой путей в Rn называют кривой
γ = {xα } в Rn , при этом часто пути этой кривой называют ее параметризациями.
Следом пути x : [a, b] → Rn называется множество x([a, b]) ⊂ Rn .
Следом кривой называется след любого из ее путей (все эти следы совпадают). Началом (концом) пути x : [a, b] → Rn называется точка A =
x(a) (B = x(b)). Началом (концом) кривой (ориентированной) x : [a, b] →
Rn называется начало (конец) любого из ее путей.
Два пути xα и xβ называются противоположно ориентированными,
на
если существует функция перепараметризации τ : [aα , bα ] → [aβ , bβ ], τ ↓↓
такая, что xα = xβ ◦ τ. Для противоположно направленных путей xα и xβ
начало (конец) одного из них является концом (началом) другого. В этом
случае удобно считать, что ориентация отрезков [aα , bα ] и [aβ , bβ ] проти−−→ ←−−
воположна и задается направлением векторов aα bα и aβ bβ . Каждый из
65
66
3 Элементы векторного анализа.
этих путей определит свой класс эквивалентностей γ1 и γ2 соответственно, и эти классы являются по определению противоположно ориентированными кривыми. Говорят, что выбор кривой γ1 или γ2 является выбором (заданием) ориентации на кривой без ориентации γ, состоящей из
одинаково и противоположно ориентированных путей, т.е. класс эквивалентности задается функциями параметризациями как строго монотонно
убывающими, так и строго монотонно возрастающими. Для какой-либо
ориентированной кривой γ0 через −γ0 будем обозначать противоположно
ориентированную кривую. При этом у этих кривых начало одной является концом другой и наоборот, тем самым, фиксация ориентации отрезка
параметризации неориетированной кривой или выбор ее начала и конца
однозначно задает ее ориентацию.
Спрямляемость. Пусть x : [a, b] → Rn – путь, T = {ti }N
i=0 : a = t0 6
t1 6 . . . 6 tN = b – разбиение отрезка [a, b]. Через v(x, T ) обозначим сумN
P
му
|x(ti ) − x(ti−1 )|. Величина Vab x = Vba x = sup v(x, T ) ∈ R называется
T
i=1
вариацией вектор-функции x(t). Путь x(t) называется спрямляемым, если l = Vab x < +∞, При этом l называется длиной пути. В этом случае,
∃ lim v(x, T ) = lim v(x, T ) = l.
Bλ
Bσ
Достаточное условие спрямляемости. Пусть x : [a, b] → Rn – таRb
кой путь, что x0 = (x01 , . . . , x0n ) ∈ R[a, b]. Тогда l = Vab x = a |x0 (t)|dt =
R b p 02
x1 + . . . + x02
n dt.
a
Кривая γ называется спрямляемой, если среди ее путей есть спрямляемый, длина которого по определению является длиной кривой.
Корректность. Все пути спрямляемой кривой – спрямляемы и имеют
одну и ту же длину.
Доказательство. Пусть xα : [aα , bα ] → Rn и xβ : [aβ , bβ ] → Rn – пути одной кривой γ. Тогда существует функция перепараметризации τ :
на
[aα , bα ] → [aβ , bβ ], τ ↑↑ такая, что xα = xβ ◦ τ. Пусть Tα – разбиение отрезка [aα , bα ], тогда Tβ = τ (Tα ) – разбиение отрезка [aβ , bβ ]. При этом
v(xα , Tα ) = v(xβ , Tβ ). Следовательно, ∃l = sup v(xα , Tα ) ∈ R ⇔ ∃l =
sup v(xβ , Tβ ) ∈ R.
Tα
Tβ
Определение 3.1.1. Пусть Γ ⊂ Rn – след спрямляемой кривой γ = {xα :
[aα , bα ] → Rn }, f : Γ → R(C). Для каждого отмеченного разбиения (Tα =
N
{ti }N
i=0 , Σα = {ξi }i=1 ) отрезка [aα , bα ] рассмотрим сумму s(f, xα , Tα , Σα ) =
N
P
def
t
i
f (xα (ξi ))4li , где 4li = Vtti−1
xα = Vatαi xα − Vaαi−1 xα = 4vi .
i=1
Замечание 3.1.1. Если xα = xβ ◦τ, и (Tβ , Σβ ) = (τ (Tα ), τ (Σα )), то s(f, xα , Tα , Σα ) =
на
s(f, xβ , Tβ , Σβ ), где τ : [aα , bα ] → [aβ , bβ ], τ ↑↑ (↓↓).
3.1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов.
67
Определение 3.1.2. Криволинейным интегралом 1-го рода вдоль спрямляемого пути xα : [aα , bα ] → Rn от функции f : Γ → R(C), где Γ – след
def R
пути xα , называется предел lim s(f, xα , Tα , Σα ) = xα f ds, если он сущеBλ
ствует и конечен.
R
Определение 3.1.3. Криволинейным интегралом 1-го рода γ f ds вдоль
спрямляемой кривой γ = {xα : [aα , bα ] → Rn } от функции f : Γ → R(C),
где Γ – след кривой γ, называется интеграл 1-го рода вдоль одного из ее
путей.
Замечание 3.1.2. В силу предыдущего замечания интеграл 1-го рода
вдоль любого из ее путей одинаков и существует, если он существует
хотя бы для одного из ее путей.
Теорема 3.1. Пусть Γ – след спрямляемой кривой γ = {x
R α : [aα , bα ] →
n
R }, f ∈ C(Γ, R). Тогда существует интеграл 1-го рода γ f ds и равен
Rb
интегралу Римана-Стильтьеса aαα f (xα (t))dvα (t), где vα (t) = Vatα xα и
aα 6 bα .
Доказательство. Поскольку s(f, xα , Tα , Σα ) является суммой РиманаСтильтьеса σvα (f ◦ xα , Tα , Σα ), то из достаточного условия интегрируемости (см теорему 1.18) вытекает существование предела lim s(f, xα , Tα , Σα ) =
Bλ
R bα
lim σvα (f ◦ xα , Tα , Σα ) = aα f (xα (t))dvα (t)
Bλ
n
Следствие 3.2. Пусть x ∈ C 1 ([a, b], R
) (a 6 b) – путь кривой γ. Тогда
p
R
Rb
R
b
0
02
f ds = a f (x(t))|x (t)|dt = a f (x(t)) x02
1 + . . . + xn dt
γ
условия спрямляемости вытекает форДоказательство. Из
R t достаточного
t
0
мула v(t) = Va x = a |x (u)|du, следовательно, v 0 (t) = |x0 (t)| ∈ C[a, b]. По
Rb
следствию 1.68 о вычислении интеграла Римана-Стильтьеса, a f (x(t))dv(t) =
Rb
Rb
f (x(t))v 0 (t)dt = a f (x(t))|x0 (t)|dt.
a
Определение 3.1.4. Отображение x : [a, b] → Rn назовем путем класса
C 1 , если x ∈ C 1 [a, b]. Кривая γ называется кривой класса C 1 , если у нее
есть путь класса C 1 .
Свойства криволинейного интеграла 1-го рода.
1. Интеграл 1-го рода не зависит от выбора системы координат, и интегралы 1-го рода по противоположно направленным кривым совпадают
(т.к. интегральные суммы не зависят ни от выбора системы координат,
ни от ориентации кривой).
2. Пусть f, g ∈ C(Γ), где RΓ – след спрямляемой
кривой
R
R γ. Тогда
∀α, β ∈ R(C) верна формула γ (αf + βg)ds = α γ f ds + β γ gds (следует из свойств линейности интегральных сумм и предела по базе Bλ ).
68
3 Элементы векторного анализа.
¯R
¯
3. Пусть f ∈ C(Γ), |f | 6 M, тогда ¯ γ f ds¯ 6 M l, где l – длина кривой
γ (следует из следствия 1.85).
Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода
кривой γ, если f – плотность.
R
γ
f ds – масса
Определение 3.1.5. Пусть γ1 и γ2 – две кривые, конец первой из которых совпадает с началом второй. Тогда найдется пусть x : [a, b] → Rn
такой, что для некоторой точки c ∈ [a, b] путь x
принадлежит кривой
[a,c]
принадлежит кривой γ2 . Класс эквивалентностей, порожγ1 , а путь x
[c,b]
денный путем x, называется объединением кривых γ1 и γ2 . Обозначение:
γ = γ1 t γ2 .
Замечание 3.1.3. Пусть γ1 и γ2 – спрямляемые кривые в Rn , конец 1-ой
совпадает с началом 2-ой; и Γ1 и Γ2 – следы кривых γ1 и γ2 соответственгде ΓR = Γ1 ∪ Γ2 – след кривой γ = γ1 t γ2 , верно
но. Тогда для
R f ∈ C(Γ),
R
равенство γ f ds = γ1 f ds + γ2 f ds.
Определение
3.1.6. Если кривые γ1 и γ2 имеют
непересекающие
следы,
R
R
R
то через γ1 ∪γ2 f ds будем обозначать сумму γ1 f ds + γ2 f ds. Здесь надо
R
подчеркнуть, что γ1 ∪ γ2 не является кривой, и, выражение γ1 ∪γ2 f ds не
является криволинейным интегралом вдоль кривой.
Определение 3.1.7. Пусть Γ ⊂ Rn – след спрямляемой кривой γ =
−
{xα : [aα , bα ] → Rn }, и →
a = (P1 , . . . , Pn ) : Γ → Rn – векторное поле на Γ.
N
Для каждого отмеченного разбиения (Tα = {ti }N
i=0 , Σα = {ξi }i=1 ) отрезN
P →
−−→
→
(−
a (x (ξ ), 4 x ), где
a ,x ,T ,Σ ) =
ка [a , b ] рассмотрим сумму s(−
α
α
α
α
α
α
i
j α
i=1
−−→
→
4j xα = xα (tj )−xα (tj−1 ). Если существует конечный предел lim s(−
a , xα , Tα , Σα ),
Bλ
R −
−
→
a , dx) и называется криволинейным интеграто он обозначается как xα (→
лом 2-го рода вдоль пути xα .
→
Замечание 3.1.4. Если xα = xβ ◦τ, и (Tβ , Σβ ) = (τ (Tα ), τ (Σα )), то s(−
a , xα , Tα , Σα ) =
на
−
→
−
→
s( a , xβ , Tβ , Σβ ) (= −s( a , xβ , Tβ , Σβ )), где τ : [aα , bα ] → [aβ , bβ ], τ ↑↑ (↓↓).
R → −
→
В этом случае, если существует интеграл xα (−
a , dx), то существует интеR − −
R → −
R − −
R → −
→
→
→
→
грал xβ (→
a , dx), и верны соотношения xα (−
a , dx) = xβ (→
a , dx) (= − xβ (−
a , dx)).
Определение 3.1.8. Пусть γ – спрямляемая кривая Rn , Γ – след кривой
−
γ, и →
a = (P1 , . . . , Pn ) : Γ → Rn – векторное поле. Тогда криволинейным
n
R → −
R P
→
интегралом 2-го рода (−
a , dx) =
P dx вдоль кривой γ называγ
γ
i
i=1
i
ется криволинейный интеграл 2-го рода вдоль некоторого из ее путей.
При этом, если этот интеграл существует, то согласно предыдущему замечанию существует интеграл вдоль каждого ее пути, и эти интегралы
одинаковы.
3.1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов.
69
Теорема 3.3 (1-ое достаточное условие). Пусть Γ – след спрямля→
емой кривой γ в Rn , и −
a = (P1 , . . . , Pn ) ∈ C(Γ, Rn ). Тогда существует
R −
−
→
→
интеграл 2-го рода γ ( a , dx), который в этом случае равен сумме инn R
P
d
тегралов Римана-Стильтьеса
Pi (x(t))dxi , где xi : [c, d] → Rn –
c
i=1
произвольный путь кривой γ.
Доказательство. Пусть x : [c, d] → Rn , x(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)) – путь
кривой γ (он спрямляем). Следовательно, x ∈ V [c, d], что эквивалентно
условию xi ∈ V [c, d] (i = 1, n). Достаточно доказать, что сумма S i (T, Σ) =
N
Rd
P
Pi (x(ξj ))4xij имеет предел, равный c Pi (x(t))dxi , при λ(T ) → 0 для
j=1
всех i = 1, n. Отметим, что сумма S i (T, Σ) совпадает с суммой Риманаdef
Стильтьеса σxi (f, T, Σ). Так как xi ∈ V [c, d] и f (t) = Pi (x(t)) ∈ C[c, d], то
в силу достаточного условия интегрируемости (теорема 1.66) f ∈ Rxi [c, d]
Rd
и lim σxi (f, T, Σ) = c f dxi . Отсюда следует утверждение теоремы.
λ(T )→0
Теорема 3.4 (2-ое достаточное условие). Пусть Γ – след кривой γ
→
класса C 1 в Rn , и x = (x1 , . . . , xn ) : [c, d] → Rn – ее путь класса C 1 , −
a =
R −
−
→
→
n
(P1 , . . . , Pn ) ∈ C(Γ, R ). Тогда существует интеграл 2-го рода γ ( a , dx)
n
Rd →
Rd P
P (x(t))ẋi (t)dt
и равен (−
a (x(t)), ẋ(t))dt =
c
c
i
i=1
Доказательство.
В силу теоремы
1.67 о вычисление интеграла РиманаRd
Rd
Стильтьеса c Pi (x(t))dxi = c Pi (x(t))ẋi (t)dt для всех i = 1, n. Отсюда и
из предыдущей теоремы вытекает утверждение теоремы.
Свойства криволинейного интеграла 2-го рода.
1. Интеграл 2-го рода не зависит от выбора системы координат, и
интегралы 2-го рода по противоположно направленным кривым отличаются только противоположным знаком (т.к. интегральные суммы не
зависят ни от выбора системы координат, и меняют знак при изменении
ориентации пути кривой).
−
→
→
2. Пусть −
a , b ∈ C(Γ), где Γ – след спрямляемой кривой γ. Тогда
R →
R → −
R −
→
− −
→
→
→ −
→
∀α, β ∈ R верна формула γ (α−
a + β b , dx) = α γ (−
a , dx) + β γ ( b , dx)
(следует из свойств линейности интегральных сумм и предела по базе
Bλ ).
¯R → −
→¯
→
→
3. Пусть −
a ∈ C(Γ), |−
a | 6 M, тогда ¯ γ (−
a , dx)¯ 6 M l, где l – длина
кривой γ.
−
Доказательство. Переходя к пределу в неравенстве |s(→
a , x, T, Σ)| =
70
3 Элементы векторного анализа.
N
N
N
¯
¯P
P
P
→
→
¯ (−
a (x(ξj )), 4xj )¯ 6
|−
a (x(ξj ))||4xj | 6 M
|4xj | 6 M l, получим
j=1
j=1
j=1
требуемое утверждение.
4. Пусть γ1 и γ2 – спрямляемые кривые в Rn , конец 1-ой совпадает с
началом 2-ой; и Γ1 и Γ2 – следы кривых γ1 и γ2 соответственно. Тогда
→
для −
a ∈ C(Γ), где Γ = Γ1 ∪ Γ2 – след кривой γ = γ1 t γ2 , верно равенство
R →
R → −
R → −
−
→
→
→
−
( a , dx) = γ1 (−
a , dx) + γ2 (−
a , dx). Аналогично, для γ = γ1 t γ2 . . . t γN
γ
N R
R − −
P
→
−
→
→
верно равенство γ (→
a , dx) =
(−
a , dx), где конец кривой γi является
γi
i=1
началом кривой γi+1 (i = 1, N − 1).
Физический смысл интеграла 2-го рода
→
поля −
a вдоль кривой γ.
R −
−
→
(→
a , dx) – работа векторного
γ
Определение 3.1.9. Для кривых γ1 , . . . , γN с непересекающимися слеN R
N
R → −
S
P
→
−
→
→
γi через γ (−
a , dx) будем обозначать сумму
(−
a , dx).
дами и набора γ =
γi
i=1
i=1
R → −
→
a , dx)
Здесь надо подчеркнуть, что γ не является кривой, и, выражение γ (−
не является криволинейным интегралом вдоль кривой.
Определение 3.1.10. Путь x : [a, b] → Rn называется гладким, если он
класса C 1 , и у него нет особых точек, т.е. |ẋ(t)| 6= 0 для всех t ∈ [a, b].
Кривая γ называется гладкой, если у нее есть гладкий путь.
Следствие 3.5. Пусть γ – гладкая кривая в Rn , и x : [a, b] → Rn (a 6
R → −
→
→
a ∈ C(Γ, Rn ). Тогда γ (−
a , dx) =
b) ее гладкий путь, а Γ – ее след, −
R →
Rb −
−
→
−
→
−
→
(−
a , ` )ds =
(→
a (x(t)), ` (t))|ẋ(t)|dt, где ` (t) = ẋ(t) – единичный
γ
|ẋ(t)|
a
касательный вектор.
Определение 3.1.11. Путь x : [a, b] → Rn называется кусочно-гладким,
если существует разбиение T = {tj }N
j=0 отрезка [a, b] такое, что путь
x
является гладким (j = 1, N ). При этом точки x(t) ∈ Rn , где
[tj−1 ,tj ]
t ∈
/ T, называют точками гладкости этого пути. Кривая γ называется
кусочно-гладкой, если у нее есть кусочно-гладкий путь.
Замечание 3.1.5. Для кусочно-гладких путей и кривых выполняются все
вышеизложенные теоремы о достаточных условиях существования интегралов 1-го и 2-го родов. Это вытекает из этих теорем и свойства 4
криволинейных интегралов.
Определение 3.1.12. Путь (кривая) называется замкнутым (замкнутой), если его (ее) начало и конец совпадают. В случае, когда γ является
замкнутой кривой (набором замкнутых кривых) интеграл (выражение)
R −
H − −
−
→
→
(→
a , dx) часто обозначают символом (→
a , dx).
γ
γ
3.1 Криволинейные интегралы 1-го и 2-го родов.
71
Определение 3.1.13. Путь x : [a, b] → Rn называется простым, если x –
инъективное отображение между множествами [a, b] и x([a, b]). Замкнутый путь называется простым замкнутым путем, если x(t1 ) 6= x(t2 ) для
произвольных различных точек t1 , t2 ∈ [a, b). Кривая называется простой
(простым контуром), если у нее все пути простые (простые замкнутые).
Замечание 3.1.6. Простой путь в силу теоремы 1.23 является гомеоморфизмом между отрезком параметризации и следом этого пути. Поэтому
если простые пути xk : [ak , bk ] → Rn (k = 1, 2) имеют один и тот же след
Γ, то они обратимые отображения и x−1
k ∈ C(Γ, [ak , bk ]) (k = 1, 2). Слена
−1
довательно, функция τ = x2 ◦ x1 : [a1 , b1 ] → [a2 , b2 ] является функцией
перепараметризации, т.е. x1 = x2 ◦ τ. Из гомеоморфности τ вытекает,
что она строго монотонна, а, следовательно, пути либо одинаково ориентированы, либо противоположно ориентированы. Таким образом, след
простой кривой без ориентации однозначно задает эту кривую.
Замечание 3.1.7. След простого замкнутого пути является гомеоморфным образом невырожденной окружности.
Определение 3.1.14. Такой класс путей как простой контур, где фактически выделена точка начала-конца этого пути, представляет собой не
очень естественный объект. Поэтому его расширяют до так называемого одномерного цикла. Делают это следующим образом. Пусть Γ – след
какого-нибудь простого замкнутого пути x : [a, b] → Rn , являющего представителем простого контура γ с началом-концом A ∈ Rn . Продолжим
все пути контура γ периодически на все числовую прямую с периодом,
равным длине отрезка параметризации. При этом для любых продолженных путей-параметризаций xi (i = 1, 2), которые были связаны строго возрастающей функцией перепараметризации τ, будет продолжена и
эта функция τ, как строго возрастающий гомеоморфизм прямой R на
себя. Выбирая любой другой отрезок периода [b
a, bb] для продолженного пути x мы получим, что x b – простой замкнутый путь, но с уже
[b
a,b]
b = x(b
другой точкой началом-концом A
a) = x(bb). Нетрудно проверить,
что криволинейные интегралы по этому пути и по исходному одинаковы (если хотя бы один существует, то существует и другой). Этот путь
b Таким обрапорождает новый простой контур γ
b с началом-концом A.
зом, простой контур γ порождает класс простых контуров с другими
точками начала-конца из Γ. Набор всех путей этих контуров назовем
одномерным ориентированным циклом. Криволинейные интегралы по
этим путям одинаковы, поэтому эту величину называют криволинейным
интегралом по данному циклу. Можно построить противоположно ориентированный цикл таким же способом выбирая контур −γ. Цикл без
ориентации представляет собой объединение всех простых замкнутых
простых путей, имеющих данный след. Есть и другой способ построения
одномерных циклов. Поскольку множество Γ гомеоморфно единичной
72
3 Элементы векторного анализа.
окружности в R2 , то выбирая обход этой окружности по (против) часовой стрелке, мы породим обход множества Γ. Если этот обход имеет тоже
направление, что и некоторый простой замкнутый путь, имеющий след
Γ, то будем считать, что ориентация пути и обхода согласованы. К циклу отнесем все такие пути. Отметим, что согласованность обходов легко
проверяется для кусочно-гладких простых замкнутых путей, для этого
достаточно убедиться, что касательные вектора в точках их гладкости,
соответствующей одной и той же точке следа, сонаправлены. К циклу
противоположной ориентации отнесем все простые замкнутые пути, со
следом Γ, которые согласованы с противоположным обходом Γ.
3.2
Ориентация в пространстве Rn.
Определение 3.2.1. Переход от одного базиса к другому задается в Rn
матрицей перехода C, det C 6= 0. Будем говорить, что базисы одинаково ориентированы, если det C > 0, и противоположно ориентированы,
если det C < 0. Все базисы в Rn распадаются на два класса: в каждом
из них базисы одинаково ориентированы, т.е. матрица перехода между
этими базисами положительна, и между базисами разных классов матрица перехода отрицательна. Все базисы, которые находятся в классе с
каноническим базисом называются правыми. Остальные – левыми. Ориентация в Rn (а также любого множества в нем) по определению задается
выбором в нем базиса и, тем самым, класса базисов, которому он принадлежит. Существуют ровно две ориентации: правая и левая, которые
часто называют также соответственно положительной и отрицательной.
Замечание 3.2.1. Правый базис {e1 , e2 } в R2 характеризуется следующим свойством: обход плоскости от первого вектора ко второму по наименьшей дуге осуществляется против часовой стрелки. Правый базис
{e1 , e2 , e3 } в R3 характеризуется следующим свойством: обход плоскости от первого вектора ко второму по наименьшей дуге осуществляется
против часовой стрелки, если смотреть из конца третьего вектора на
плоскость, натянутую на первые два вектора.
Определение 3.2.2. Для каждого множества E ⊂ Rn можно задать
ориентацию правую или левую, зафиксировав ориентацию самого пространства Rn при помощи выбора какого-нибудь базиса в этом пространстве. Тем самым, можно определить интеграл Римана некоторой функции f ∈ R(E) по ориентированному иR измеримому по Жордану множеству E ⊂ Rn , положив его равным E f dx в случае
правой (положиR
тельной) ориентации множества E и равным − E f dx в случае левой
(отрицательной) ориентации множества E.
3.2 Ориентация в пространстве Rn .
73
Определение 3.2.3. Пусть D ⊂ Rn – область (замкнутая область, т.е.
→
замыкание области). Говорят, что вектор −
a в точке M ∈ ∂D направлен
во внутрь области D, если найдется число ε > 0, для которого выполня→
ется свойство M + t−
a ∈ int D для всех t ∈ (0, ε); если же, для некоторого
−
ε > 0 выполнено условие M + t→
a ∈ ext D для всех t ∈ (0, ε), то вектор
−
→
a считается направленным во внешность области D в точке M.
Определение 3.2.4. Множество D ⊂ R2 будем называть правильной
областью, если D – ограниченное множество, являющееся замыканием
области (открытого связного множества), граница которого представляет собой конечное число попарно непересекающихся следов кусочногладких простых контуров. На границе правильной области можно выбрать так называемую положительную и отрицательную ориентации следующим способом. Возьмем произвольный простой кусочно-гладкий замкнутый путь x : [a, b] → R2 , след которого – часть границы правильной
области. Рассмотрим произвольную точку гладкости этого пути x(u) и
касательный вектор e1 = |ẋ(u)
. В качестве вектора e2 возьмем вектор,
ẋ(u)|
перпендикулярный e1 , "направленный во внутрь области" D в точке
M = x(u). Здесь надо отметить, что для правильной области любой
вектор, с началом в точке гладкости M и не являющийся касательным,
направлен либо во внутренность, либо во внешность этой области. Если построенный базис {e1 , e2 } оказывается правым (левым), то говорят,
что кривая (простой кусочно-гладкий контур) или одномерный цикл, чей
представитель этот простой кусочно-гладкий замкнутый путь, имеет положительную (отрицательную) ориентацию. Говорят, что выбор кусочногладких контуров, положительной ориентации, для всех следов, составляющих границу области D, задает положительную ориентацию границы этой области, а выбор кусочно-гладких контуров, отрицательной
ориентации, для всех следов, составляющих границу области D, задает отрицательную ориентацию границы этой области. Тем самым, через
∂D+ (∂D− ) обозначим набор таких кусочно-гладких контуров, положительной (отрицательной) ориентации.
Определение 3.2.5. Замкнутая область D ⊂ R2 называется стандартной относительно оси OX, если D = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b], ϕ1 (x) 6 y 6
ϕ2 (x)}, для некоторых кусочно-гладких функций ϕi : [a, b] → R, которые,
конечно, являются функциями ограниченной вариации, а, следовательно, пути (x, ϕi (x)) : [a, b] → R2 – спрямляемы. Аналогично определяются
области стандартной относительно оси OY. Все стандартные области с
кусочно-гладкой границей, конечно, являются правильными.
Замечание 3.2.2. Отметим без доказательства, что любую правильную
область D ⊂ R2 можно разрезать на конечное число таких стандартных
областей относительно оси OX (OY ), что общие участки любых двух
из них (если они имеются) представляют собой следы простых кусочногладких кривых.
74
3 Элементы векторного анализа.
Замечание 3.2.3. В силу следствия 1.25 граница правильных областей
меры нуль Жордана, поэтому из их ограниченности вытекает их измеримость по Жордану.
3.3
Формула Грина.
2
Теорема 3.6 (формула Грина).
область,
H Пусть D ⊂ RRR– правильная
−
→
∂P
1
2
P dx + Qdy = ( ∂Q
a = (P, Q) ∈ C (D, R ). Тогда
−
)dxdy.
∂x
∂y
D
∂D+
H
Доказательство. Достаточно доказать, что выполняются формулы:
P dx =
∂D+
H
RR ∂P
RR ∂Q
dxdy. Докажем первую формулу (вто− ∂y dxdy и
Qdy =
∂x
D
D
∂D+
рая доказывается аналогично). Для этого разрежем правильную область
D на стандартные области {Di }N
i=1 относительно оси OX (OY соответственно) так, что для соседних стандартных областей, кусок их общей
границы представляет собой след простой кривой, и, при положительной
ориентации границы каждой соседней области, эта кривая имеет противоположную ориентацию, и, следовательно, криволинейные интегралы
N
H
P
P dx =
от функции P взаимно уничтожают друг друга. Поэтому
H
RR
i=1 (∂Di )+
RR
− ∂P
dxdy. Поэтому для того,
∂y
i=1 Di
D
∂D+
H
чтобы доказать первую формулу достаточно доказать, что
P dx =
(∂Di )+
RR ∂P
− ∂y dxdy для всех i = 1, N . Т.е. достаточно доказать формулу для
P dx. Кроме того,
− ∂P
dxdy =
∂y
N
P
Di
стандартной области. Итак, пусть Di = {(x, y) | x ∈ [a, b]; ϕ1 (x) 6 y 6
ϕ2 (x)}. Пусть кривые C1 , C2 , C3 , C4 порождены параметризациями (x, ϕ1 (x)) :
−−→
−−−−−−−−→
←−−
[a, b] → R2 , (b, y) : [ϕ1 (b), ϕ2 (b)] → R2 , (x, ϕ2 (x)) : [a, b] → R2 , (b, y) :
←−−−−−−−−−
[ϕ1 (a), ϕ2 (a)] → R2 соответственно. Кривая C = C1 t C2 t C3 t RC4 соответствует положительному обходу границы Di . Учитывая, что P dx =
Rb
R
Rb
R
R C1
P
(x,
ϕ
(x))dx
и
P
dx
=
−
P
(x,
ϕ
(x))dx,
а
P
dx
=
P dx = 0, и
1
2
a
a
C3
применяя теорему Фубини, получим, что
C2
RR
Di
dxdy =
− ∂P
∂y
C4
Rb
a
dx
ϕR
2 (x)
ϕ (x)
− ∂P
dy =
∂y
1
¯y=ϕ2 (x)
R
R
R
¯
b
b
dx = − a P (x, ϕ2 (x))dx+ a P (x, ϕ1 (x))dx = P (x, y)dx+
− a P (x, y)¯
y=ϕ1 (x)
R
R
R
R
R C3
P (x, y)dx = P (x, y)dx + P (x, y)dx + P (x, y)dx + P (x, y)dx =
C
C1
C2
C4
H1
H C3
P dx =
P dx. Отсюда вытекает утверждение теоремы.
Rb
C
(∂Di )+
3.4 Потенциальные векторные поля.
75
Следствие
3.7. Пусть
D ⊂ R2H– правильная область. Тогда ее площадь
H
H
равна
xdy = −
ydx = 21
(xdy − ydx).
∂D+
∂D+
∂D+
Доказательство.
Из формулы Грина вытекает, что эти интегралы равRR
ны
dxdy = m2 (D).
D
3.4
Потенциальные векторные поля. Критерии потенциальности.
→
a = (P1 , . . . , Pn ) :
Определение 3.4.1. Пусть D ⊂ Rn – область, поле −
n
D → R называется потенциальным, если существует такая дифферен−
цируемая функция u : D → R, называемая потенциалом, что →
a =
∂u
∂u
∂u
grad u = ( ∂x1 , . . . , ∂xn ), т.е. Pi = ∂xi (i = 1, n).
→
Замечание 3.4.1. Потенциал на области D для потенциального поля −
a :
n
D → R определяется с точностью до константы.
→
Доказательство. Действительно, если u1 и u2 – потенциалы поля −
a,
−
→
−
→
0
то (u − u ) = a − a ≡ 0, и в силу следствия 3.35 u − u ≡ const.
1
2
1
2
И наоборот, если функция u – потенциал, то и u + C, где C = const,
является потенциалом.
Обозначение 5. Для кривой γ и множества D ⊂ Rn будем писать, что
γ ⊂ D, если след γ содержится в D.
Теорема 3.8 (критерий потенциальности). Пусть D ⊂ Rn – об→
a = (P1 , . . . , Pn ) ∈ C(D, Rn ). Тогда следующие условия равноласть, −
сильны:
→
а). Поле −
a потенциально на D.
б). Для любой кусочно-гладкой кривой γA,B ⊂ D с началом в точке
R −
−
→
(→
a , dx) не зависит от кривой, а
A и концом в точке B интеграл
γA,B
зависит только от точек A и B. При этом верна формула
R
−
→
→
(−
a , dx) =
γA,B
→
u(B) − u(A), где u – потенциал поля −
a.
в). Для любого кусочно-гладкого контура γ ⊂ D выполняется равенR → −
→
ство (−
a , dx) = 0.
γ
г). Для любого кусочно-гладкого простого контура γ выполняется
R → −
→
a , dx) = 0.
равенство (−
γ
д). Для любой замкнутой ломаной γ ⊂ D выполняется равенство
R −
−
→
→
( a , dx) = 0.
γ
76
3 Элементы векторного анализа.
R
е). Для любой ломаной γA,B ⊂ D с началом A и концом B интеграл
−
→
→
(−
a , dx) не зависит от ломаной, а зависит только от точек A и B.
γA,B
Доказательство.
−
а) ⇒ б) Пусть →
a = (P1 , . . . , Pn ) = grad u, и x : [a, b] → Rn – кусочноR →
−
→
гладкий путь кривой γA,B . Тогда x(a) = A, x(b) = B, и
(−
a , dx) =
n
Rb P
n
Rb P
Rb
γA,B
= u(x(t))|ba =
i=1
i=1
R −
−
→
u(x(b))−u(x(a)) = u(B)−u(A). Отсюда вытекает, что интеграл
(→
a , dx)
a
Pi (x(t))ẋi (t)dt =
a
∂u(x(t))
ẋi (t)dt
∂xi
=
d
u(x(t))dt
a dt
γA,B
зависит только от точек A и B.
б) ⇒ в) Представим кусочно-гладкий контур γ в виде γA,B t γB,A , где
γA,B (γB,A ) – кривые с началом A(B) и концом B(A). Для этого рассмотрим кусочно-гладкий путь x : [c, d] → Rn кривой γ и выберем точку
произвольную точку b ∈ (c, d) (без потери общности, можно считать, что
c 6= d). Пути x
иx
зададут кривые γA,B и γB,A ), где A = x(c) =
[c,b]
[b,d]
R →
R −
R −
−
→
−
→
−
→
x(d), B = x(b). По условию
(−
a , dx) =
(→
a , dx) = −
(→
a , dx),
γA,B
−γB,A
γB,A
R →
R → −
R −
−
→
−
→
→
(−
a , dx) = 0.
(→
a , dx) +
следовательно, (−
a , dx) =
γ
γA,B
γB,A
в) ⇒ г) тривиально.
г) ⇒ д) Всякая замкнутая ломаная распадается на конечное число простых замкнутых ломаных (интегралы по ним равны нулю по условию) и
на общие участки некоторых звеньев, проходимых при обходе этой ломаной в противоположных направлениях, и, следовательно интегралы по
этим участкам в сумме равны нулю. Следовательно, и весь интеграл по
этой ломаной равен нулю.
д) ⇒ е) доказывается аналогично пункту б) ⇒ в) .
е) ⇒ а) Зафиксируем точку A ∈ D и определим функцию u(M ) =
R −
−
→
(→
a , dx), где γA,M ⊂ D – ломаная с началом A и концом M. ПоскольγA,M
ку интеграл по ломаной зависит только от точек A и M, то эта функ∂u
ция определена однозначно. Сосчитаем частную производную ∂x
(M ).
i
t
Для точек M = (x1 , . . . , xn ), M = (x1 , . . . , xi−1 , xi + t4xi , xi+1 , . . . , xn )
¡
R
R ¢−
−
→
выполняются равенства u(M 1 ) − u(M ) =
−
(→
a , dx) =
R
[M,M 1 ]
γA,M t[M,M 1 ]
γA,M
R1
−
→
−
(→
a , dx) = 0 Pi (M t )4xi dt = Pi (M ξ )4xi , где [M, M 1 ] – однозвенная
1
)−u(M )
ломаная, а ξ – некоторая точка из отрезка [0, 1]. Поэтому u(M 4x
=
i
−
→
∂u
ξ
0
Pi (M ) → Pi (M ) = Pi (M ), т.е. ∃ ∂xi (M ) = Pi (M ). Таким образом, a =
→
grad Pi , т.е. поле −
a – потенциально.
3.4 Потенциальные векторные поля.
77
Замечание 3.4.2. Аналогично доказательству пункта е) ⇒ а) предыдущей теоремы в случае, когда D – выпуклая область, можно показать,
R −
−
→
что функция u(M ) =
(→
a , dx) однозначно определена и является
[M,M 1 ]
потенциалом, если по любой замкнутой трехзвенной ломаной 4 (треR → −
→
угольнику) интегралы (−
a , dx) равны нулю.
4
Доказательство. Действительно, поскольку
¡ R
¡ R
R
R
R ¢−
−
→
−
→
→
+
(→
a , dx) =
(−
a , dx) =
+
+
4AM M 1
[A,M ]
0, то u(M 1 )−u(M ) =
¡
[M,M 1 ]
[M 1 ,A]
[A,M ]
R ¢→
−
→
−
(−
a , dx) =
R
[A,M ]t[M,M 1 ]
[A,M ]
R
R
[M,M 1 ]
−
R
¢−
−
→
(→
a , dx) =
[A,M 1 ]
−
→
→
(−
a , dx), и дока-
[M,M 1 ]
зательство далее осуществляется также, как в предыдущей теореме.
→
Теорема 3.9 (Пуанкаре). Пусть −
a = (P, Q) ∈ C 1 (D, R2 ), где D ⊂ R2
– выпуклая область. Тогда следующие условия равносильны:
→
а). Поле −
a – потенциально на D;
∂Q
∂P
б). ∂y = ∂x на D.
Доказательство.
→
а) ⇒ б) Пусть −
a = (P, Q) = grad u, т.е. P =
∂P
∂y
=
∂ 2 u ∂Q
,
∂x∂y ∂x
=
∂u
, Q = ∂u
∈
∂x
∂y
следовательно, ∂P
= ∂Q
на
∂y
∂x
∂2u
∈ C(D), и,
∂y∂x
∂P
= ∂Q
на D. Тогда
∂y
R∂x
б) ⇒ а) Пусть
ломаной γ интеграл
C 1 (D). Тогда
D.
для любой замкнутой трехзвенной
P dx + Qdy = 0. Действительно, если эта лома-
γ
ная образует вырожденный треугольник, то при обходе этой кривой мы
проходим общие участки звеньев в противоположных направлениях, и,
следовательно, интегралы в сумме по этим участкам обнуляются. Если ломаная образует невырожденный треугольник, то ее след является
границей правильной
RR ∂P ∂Q области H(треугольника) 4 ⊂ D. В силу формулы
Грина 0 = ( ∂y − ∂x )dxdy = P dx + Qdy. Из замечания 3.4.2 вытекает
4
γ
утверждение этого пункта.
Пример. Для невыпуклой области утверждение б) ⇒ а) предыдущей
y
x
теоремы, вообще говоря, неверно. Пусть P (x, y) = − x2 +y
2 , Q = x2 +y 2 , D =
R2 \ {(0, 0)}. Тогда P, Q ∈ C 1 (D) и ∂P
= ∂Q
на D. Вычислим интеграл по
∂y
∂x
параметризации
(x(t),
y(t)) = (R cos t, R sin t) : [0, 2π] → R2 окружности
R
R 2π
γ : γ P dx + Qdy = 0 {(− R1 (sin t) · R(− sin t)) + R1 (cos t) · R(cos t)}dt =
→
2π 6= 0. Тем самым, в силу критерия потенциальности поле −
a = (P, Q)
не является потенциальным на D. Однако, локально это поле является
потенциальным, и потенциал равен arg z + C, где z = x + iy = (x, y).
Далее мы покажем, что предыдущую теоремы можно распространить
на более широкий класс областей – на односвязные области.
78
3 Элементы векторного анализа.
Определение 3.4.2. Два пути xi : [0, 1] → Rn (i = 0, 1) с общим началом
A и общим концом B называются гомотопными в области D ⊂ Rn , если
существует непрерывная функция F : [0, 1]2 → D, для которой x0 (t) =
F (t, 0), x1 (t) = F (t, 1) и путь xu (t) = F (t, u) имеет начало в точке A и
конец в точке B, т.е. F (0, u) = A, F (1, u) = B (u ∈ [0, 1]). Две кривые γ0
и γ1 с общим началом A и общим концом B называются гомотопными в
области D ⊂ Rn , если их пути xi : [0, 1] → Rn (i = 0, 1) гомотопны в D.
Определение 3.4.3. Область D ⊂ Rn называется односвязной, если все
кривые γ0 , γ1 ⊂ D, с общим началом и с общим концом гомотопны в этой
области.
Лемма 3.4.1. Пусть D ⊂ Rn – некоторая область, и существует такое открытое покрытие G = {Gα } области D, что на каждом элементе Gα определены отображения fαβ : Gα → Y обладающие свойствами: 1) для всех индексов α, точек x ∈ Gα и любого значения y ∈ Y
существует функция fαβ , для которой fαβ (x) = y; 2) для всех точек
x ∈ Gα1 ∩Gα2 условие fα1 β1 (x) = fα2 β2 (x) влечет тождество fα1 β1 ≡ fα2 β2
на Gα1 ∩ Gα2 . Тогда для любого пути x : [0, 1] → D фиксированного значения y0 ∈ Y однозначно определена функция u : [0, 1] → Y, задаваемая
формулой u
= fαi βi (x(t)) на [ti , ti+1 ] (i = 0, N − 1), для некоторого
[ti ,ti+1 ]
N
разбиения T = {ti }N
i=0 и набора множеств J = {Gαi }i=1 из G, удовлетворяющих условию x([ti−1 , ti ]) ⊂ Gαi (i = 1, N ). При этом эта функция
не зависит от выбора пары (T, J ) и функций {fαi βi }.
Доказательство. Для пути x : [0, 1] → Rn и разбиения T = {ti }N
i=0 семейство открытых множеств J = {Gα } назовем согласованным (для пути
x) с разбиением T, если существует упорядоченный набор {Gαi }N
i=1 множеств из J , для которого x([ti−1 , ti ]) ⊂ Gαi . Нетрудно видеть, что для любого измельчения T 0 разбиения T оно также согласовано с J. Для согласованных разбиения T и семейства J рассмотрим точки {xi = x(ti )}N
i=0 .
Зафиксируем значение y0 ∈ X и функцию fα0 β0 : Gα1 → Y, fα0 β0 (x0 ) =
y0 , мы можем построить функцию u(t) = ux (t) : [0, 1] → Y, удовлетворяющую следующему свойству: u
= fαi βi (x(t)) на [ti , ti+1 ], и
[ti ,ti+1 ]
fαi−1 βi−1 (xi ) = fαi βi (xi ) = yi (i = 1, N ). Покажем, что функция u не
зависит от выбора функций {fαi βi } и множеств {Gαbi }N
i=1 , для которых
x([ti−1 , ti ]) ⊂ Gαbi . Действительно, если fαb0 βb0 : Gαb1 → Y, fαb0 βb0 (x0 ) = y0 ,
то fαb0 βb0 ≡ fα0 β0 на Gα1 ∩ Gαb1 , а, следовательно, fα0 β0 (x(t)) ≡ fαb0 βb0 (x(t))
на [t0 , t1 ]. Далее, по индукции, поскольку fαi−1 βi−1 (xi ) = fαi βi (xi ) = yi , то
fαbi−1 βbi−1 (xi ) = fαbi βbi (xi ) = yi , то fαbi βbi ≡ fαi βi на Gαi ∩Gαbi , а, следовательно,
fαi βi (x(t)) ≡ fαbi βbi (x(t)) на [ti , ti+1 ]. Таким образом, построенная для этого
b по формуле u
b
случая функция u
= fαbi βbi (x(t)) на [ti , ti+1 ], совпадает
[ti ,ti+1 ]
с u.
Функция u не зависит от разбиения T и согласованного с ним некоторого семейства. Действительно, пусть Tb и Jb согласованы. Тогда для
3.4 Потенциальные векторные поля.
79
измельчения T 0 разбиений T и Tb и некоторого согласованного с ним семейства построенная аналогичным образом функция, с одной стороны,
совпадает с функцией u, а, с другой стороны, с функцией u
b. Следовательно, u ≡ u
b, т.е. верно утверждение леммы.
Замечание 3.4.3. Функция u представляет собой выделение однозначной
ветви из многозначного отображения x 7→ {fαβ (x) | x ∈ Gα } вдоль пути
x(t) с начальным значением y0 . При этом значение u(1) называется завершающим значением этой ветви. На самом деле, если x
b : [a, b] → Rn –
путь, эквивалентный данному, т.е. x ∼ x
b, то можно аналогично выделить
τ
ветвь u
b : [a, b] → Y вдоль x
b. Тогда u ∼ u
b, и, следовательно, завершаюτ
щая точка u
b(b) совпадает с u(1). Кроме того, корректно определен класс
эквивалентных ветвей, порожденный классом эквивалентных путей, т.е.
кривой, определенной представителем x.
Замечание 3.4.4. Если для путей x : [0, 1] → D и x
b : [0, 1] → D, с общим
началом и концом, найдутся разбиения T = {ti } и Tb = {b
ti } отрезка
b
b
[0, 1] и набор {Gαi } с условием, что x([ti−1 , ti ]), x
b([ti−1 , ti ]) ⊂ Gαi для всех
индексов i, то завершающие значения однозначных ветвей совпадают
(начальные значения равны y0 .)
Доказательство. В этом случае, соответствующее семейство функций
{fαi βi } можно выбрать одинаковым для этих путей, т.к. условие fαi−1 βi−1 (x(ti )) =
fαi βi (x(ti )) = yi (i = 1, N ) влечет тождество fαi−1 βi−1 ≡ fαi βi на Gαi−1 ∩
Gαi 3 x
b(b
ti ), и, следовательно, выполняется равенство fαi−1 βi−1 (b
x(b
ti )) =
b
fαi βi (b
x(ti )) = ybi , и yN = ybN . Тем самым, завершающие значения выделенных однозначных ветвей будут равны.
Следствие 3.10. Если два пути x0 , x1 : [0, 1] → D, общим началом и
концом, гомотопны в D, то выделенные однозначные ветви вдоль их
путей, с одинаковым начальным значением, имеют одинаковые завершающие значения.
Доказательство. Существует непрерывная функция F : [0, 1]2 → D,
для которой x0 (t) = F (t, 0), x1 (t) = F (t, 1) и путь xu (t) = F (t, u) имеет
начало в некоторой точке A и конец в некоторой точке B. При доказательстве теоремы 2.52 (критерий компактности) на стр. 105 мы доказали, что функция ϕ(z) = sup %(z, Rn \ Gα ) непрерывна в каждой
α∈A
точке компакта K = F (Π) и положительна (или тождественна равна
+∞). Следовательно, r(z) = min{ϕ(z), 1} – положительная и непрерывная функция. Поэтому существует δ = min r(z) > 0. Пусть чисz∈K
ло N ∈ N таково, что ω(F, N2 ) < δ. Разобъем квадрат Π на квадраты
Πi,j = [ i−1
, i ] × [ j−1
, Nj ] (i, j = 1, N ), диаметр которых, как нетрудно виN N
N
деть, меньше N2 . Поэтому для каждого из этих квадратов Πi,j найдется
80
3 Элементы векторного анализа.
def
элемент покрытия Gα (α = αij ), содержащий Pi,j = F (Πi,j ). Поэтому для
путей x = xi = F (·, i−1
)иx
b = xi = F (·, i+1
) (i = 1, N ) в силу замечания
N
N
3.4.4 завершающие значения одинаковы. Следовательно, пути x0 = x0 и
x1 = x1 имеют одинаковые завершающие значения.
Замечание 3.4.5. Пусть x : [0, 1] → D – произвольный путь вместе с выделенной ветвью u : [0, 1] → Y вдоль него, I ⊂ [0, 1] – такой промежуток,что
множество x(I) содержится в некотором элементе Gα ∈ G, и для некоторых точки t ∈ I и отображения fαβ верно равенство fαβ (x(t)) = u(t).
Тогда выполняется тождество u ≡ fαβ ◦ x на промежутке I.
Доказательство. Рассмотрим разбиение T = {ti }N
i=0 и упорядоченный
набор {Gαi }N
множеств
из
G,
для
которого
x([t
,
t
=
i−1 i ]) ⊂ Gαi , и u
i=1
[ti ,ti+1 ]
fαi βi (x(t)) на [ti , ti+1 ] (i = 0, N − 1). В силу леммы 3.4.1, измельчая, если нужно, исходное разбиение, можно считать, что концы промежутка
и точка t находятся среди точек этого разбиения. Тогда для отрезка
разбиения [ti , ti+1 ], конец которого равен t = ti (ti+1 ), выполняется равенство u(t) = fαi βi (x(ti ))(= fαi+1 βi+1 (x(ti+1 ))) = fαβ (x(t)). И, следовательно,
fαβ ≡ fαi βi (≡ fαi+1 βi+1 ) на Gα ∩ Gαi (Gα ∩ Gαi+1 ). Поэтому u ≡ fαβ ◦ x
на отрезке [ti , ti+1 ]. Применяя те же рассуждения, к соседним отрезкам
разбиения, содержащимся в I, получим, что и на них функции u и fαβ ◦ x
совпадают и т.д. Тем самым, получим, что эти функции совпадают на
всем промежутке I.
Теорема 3.11 (о монодромии). Пусть G = {Gα }α∈A – открытое покрытие односвязной области D ⊂ Rn , F = {fαβ : Gα → Y } – семейство
отображений, обладающих следующими свойствами: 1) для всех индексов α, точек x ∈ Gα и любого значения y ∈ Y существует функция
fαβ , для которой fαβ (x) = y; 2) для всех точек x ∈ Gα1 ∩ Gα2 условие
fα1 β1 (x) = fα2 β2 (x) влечет тождество fα1 β1 ≡ fα2 β2 на Gα1 ∩ Gα2 . Тогда
существует однозначная ветвь на D, т.е. такая функция f : D → Y,
что в каждой точке области на некоторой ее окрестности она совпадает с одной из функций класса F. При этом, если потребовать для
произвольных точки x0 ∈ D и значения y0 ∈ Y, чтобы f (x0 ) = y0 , то
эта функция определяется однозначно.
Доказательство. Соединим фиксированную точку x0 ∈ D и произвольную точку x путем r : [0, 1] → D. Вдоль этого пути выделим ветвь u :
def
[0, 1] → Y с начальным значением y0 (в точке x0 ) и положим f (x) = u(1).
Такое определение функции f корректно, поскольку все пути с началом
x0 и концом x в односвязной области гомотопны. Возьмем произвольный элемент покрытия Gα , содержащий точку x. Найдется окрестность
O(x) ⊂ Gα ∩ D. Докажем, что f на этой окрестности совпадает с функцией fαβ ∈ F : fαβ (x) = f (x). Действительно, возьмем произвольную
3.4 Потенциальные векторные поля.
81
точку y ∈ O(x) и рассмотрим путь q : [0, 1] → D, составленный из пути q1 : [0, b] → D, с началом x0 и концом y, и однозвенной ломаной
q2 : [b, 1] → D, с началом y и концом x. В силу замечания 3.4.3, завершающая точка вдоль пути q1 равна f (y) = f (q(b)). В силу замечания 3.4.5,
выделенная ветвь вдоль пути q совпадает с fαβ ◦ q на отрезке [b, 1], следовательно, f (y) = f (q(b)) = fαβ (q(b)) = fαβ (y). Таким образом, f ≡ fαβ
на O(x).
Докажем, что если существует такая функция ϕ : D → Y, что в каждой точке области на некоторой ее окрестности она совпадает с одной
из функций класса F, и если в некоторой точке x0 ∈ D она принимает
заданное значение y0 ∈ Y, то эта функция определяется однозначно, и,
на самом деле, совпадает с построенной выше функцией f. Действительно, возьмем произвольный путь q : [0, 1] → D с началом x0 и концом
x, и выделим конечное подпокрытие {O(xi )} ⊂ D из семейства окрестностей, на которых ϕ совпадает с функциями класса F, для компакта
Γ = ϕ([0, 1]). Так же, как и в доказательстве следствия 3.10, функция
r(z) = min{sup %(z, Rn \ O(xi )), 1} непрерывна в каждой точке компакта
i
K = F (Π) и положительна. Следовательно, существует ε = min r(z) > 0.
z∈K
Выбирая разбиение T отрезка [0, 1], диаметра δ, так чтобы ω(q, δ) < ε, и
набор множеств J = {Gαi }, где O(xi ) ⊂ Gαi , получим, что T и J согласованы. Более того, нетрудно видеть, что выделенная ветвь u : [0, 1] → Y
вдоль пути q совпадает с функцией ϕ ◦ q на отрезке [0, 1]. Следовательно,
ϕ(x) = u(1) = f (x). Тем самым, ϕ ≡ f на D.
→
a : D → Rn , и
Теорема 3.12. Пусть D ⊂ Rn – односвязная область, −
существует такое открытое покрытие {Gα } области D, что на каж→
a . Тогда существует
дом элементе Gα определен потенциал uα поля −
потенциал на всей области D.
Доказательство. На каждом элементе покрытия можно рассмотреть семейство F, составленное из функций fαβ = uα + β. Это семейство удовлетворяет условиям предыдущей теоремы для Y = R. Следовательно,
существует такая функция f : D → R, что в каждой точке области на
некоторой ее окрестности она совпадает с некоторой функцией uα + β.
−
−
Поэтому grad f = grad (uα + β) = →
a на этой окрестности, т.е. grad f = →
a
на D.
−
Следствие 3.13. Пусть →
a = (P, Q) ∈ C 1 (D, R2 ), где D ⊂ R2 – односвязная область. Тогда следующие условия равносильны:
→
а). Поле −
a – потенциально на D;
∂Q
∂P
б). ∂y = ∂x на D.
Доказательство.
а) ⇒ б) Доказывается так же, как в теореме 3.9.
б) ⇒ а) В силу теоремы 3.9, поле потенциально на любой окрестности
82
3 Элементы векторного анализа.
из D любой точки области, и, в силу предыдущей теоремы, существует
→
потенциал на всей области, а, следовательно, поле −
a – потенциально
на D. Напомним, что, в силу замечания 3.4.1, потенциал определяется с
точностью до константы.
Замечание 3.4.6. Односвязность области D ⊂ R2 равносильно условию,
что для любого простого кусочно-гладкого контура γ ⊂ D существует
правильная область 4 ⊂ D, граница которого является следом контура γ, т.е. область D не имеет "дырок". В силу этого предыдущее
следствие для случая n = 2 можно доказать проще. Случай а) ⇒ б)
доказывается также, как и в теореме 3.9. Утверждение б) ⇒ а) вытекает
из теоремы
(считаем, что γ ориентируема положительно):
H
RRГрина
∂Q
∂P
P dx + Qdy = ( ∂x − ∂y )dxdy = 0, и пункта г) критерия потенциальγ
D
ности (теорема 3.8).
3.5
Понятие поверхности и гладкой поверхности.
Определение 3.5.1. Пусть D ⊂ Rk – такое множество, что его внутренность является областью (т.е. является связным непустым открытым
множеством). Непрерывная функция r : D → Rn называется параметризацией (точнее k-параметризацией), а D – областью параметризации.
Следом параметризации называется множество r(D) ⊂ Rn . Две параметризации rα : Dα → Rn и rβ : Dβ → Rn называют эквивалентными,
если существует гомеоморфизм τ : Dα → Dβ , для которого rα = rβ ◦ τ.
При этом гомеоморфизм τ часто называют функцией перепараметризации. Через rα ∼ rβ будем обозначать эквивалентные параметризации,
τ
связанные функцией перепараметризации τ. Класс эквивалентных параметризацией в Rn будем называть k-поверхностью σ в Rn . Ее следом
называют след любой из ее параметризаций.
Замечание 3.5.1. Замкнутой областью называется множество, являющееся замыканием области. Внутренность замкнутой области D является
непустым открытым связным множеством, т.е. областью.
Доказательство. Действительно, пусть D0 – область, замыкание которой является D. Если бы множество int D ⊃ D0 было несвязно, т.е. распадалось на два непустых открытых куска, то эти куски имели бы непустое
пересечение с D0 , которое в силу этого было бы несвязно.
3.5 Поверхность, гладкая поверхность.
83
Замечание 3.5.2. Если внутренность множества D ⊂ Rk (k > 2) является областью, то внутренность D \ E, где E – произвольное конечное
множество, также является областью (см упражнение 11 на стр. 117).
Замечание 3.5.3. Всякое множество D ⊂ Rn , внутренность которого является областью, будет связным множеством. В частности, замкнутая
область D является также связным множеством. Следовательно, след
любой параметризации также связное множество (как непрерывный образ связного множества).
Доказательство. Действительно, если бы множество D ⊂ Rn было бы
на
несвязным, то существовала бы непрерывная функция ϕ : D → {0, 1}.
Поскольку внутренность D0 = int D является областью, то D0 связно, и,
следовательно, ϕ
тождественно равна либо 1, либо 0. В силу непреD0
рывности ϕ на множестве D, являющимся замыканием D0 , эта функция
тождественно равна либо 1, либо 0, что противоречит построению этой
функции.
Определение 3.5.2. Параметризация r : D → Rn называется простой
параметризацией, если r : D → S = r(D) является гомеоморфизмом.
Замечание 3.5.4. Параметризации эквивалентные некоторой простой параметризации сами являются простыми.
Определение 3.5.3. Поверхность называется простой, если любая ее
параметризация простая.
Замечание 3.5.5. Если D – ограниченная замкнутая область, то, в силу
теоремы 1.23 о гомеоморфизме, инъективная параметризация r : D → Rn
является простой параметризацией.
Замечание 3.5.6. Если каждое ограниченное множество Dα , Dβ ⊂ R2 является областью или замкнутой областью, и две инъективные параметризации rα : Dα → Rn и rβ : Dβ → Rn имеют один и тот же след
S = rα (Dα ) = rβ (Dβ ), то эти параметризации эквивалентны.
def
Доказательство. Пусть τ = rβ−1 ◦rα . Если Dα – замкнутая область, то, в
силу предыдущего замечания, множество S замкнуто, и, следовательно,
область Dβ = rβ−1 (S) также замкнута. В силу предыдущего замечания,
обе параметризации являются гомеоморфизмами указанных областей и
их следа S. Следовательно, отображение τ является гомеоморфизмом
этих областей, и, поэтому rα ∼ rβ . Рассмотрим случай, когда Dα – обτ
ласть. Тогда для любой точки x ∈ Dα существует круг B(x, δ) ⊂ Dα и
его непрерывный образ M = rα (B(x, δ)) ⊂ S – компактное, а, следовательно, замкнутое множество. Отсюда τ (B(x, δ)) = rβ−1 (M ) – замкнутое
подмножество Dβ (вытекает из критерия непрерывности: прообраз замкнутого множества замкнут). Поскольку область Dβ ограничена, то
84
3 Элементы векторного анализа.
и множество τ (B(x, δ)) ограничено, а, следовательно, является компактом. В силу теоремы о гомеоморфизме, отображение τ является гомеоморфизмом между множествами B(x, δ) и τ (B(x, δ)), поэтому τ ∈ C(x).
Тем самым, мы доказали, что τ ∈ C(Dα ). Аналогично доказывается, что
τ −1 = rα−1 ◦ rβ ∈ C(Dβ ), т.е. τ – гомеоморфизм между областями Dα и
Dβ . Следовательно, rα ∼ rβ .
τ
Следствие 3.14. Две инъективные параметризации, области параметризаций которых ограничены и являются областью или замкнутой областью, эквивалентны тогда и только тогда, когда имеют одинаковый
след.
Определение 3.5.4. Параметризация r : D → Rn (D ⊂ Rk ) называется гладкой параметризацией в Rn (n > k), если r ∈ C 1 (D), и для
всех точек M ∈ D линейное отображение r0 (M )[·] имеет максимальный
ранг, т.е. r0 (M )[Rk ] – k-мерное подпространство в Rn , которое называется касательной плоскостью. В случае, когда k = 2, указанное свойство эквивалентно тому, что в каждой точке M = (u, v) ∈ D вектора
r0 (M )[e1 ] = ru0 (M ) и r0 (M )[e2 ] = rv0 (M ) неколлинеарны, что в случае
−
→
n = 3 равносильно условию ru0 (M ) × rv0 (M ) 6= 0 . Поверхность (точнее
k-поверхность) называется гладкой, если у нее имеется гладкая параметризация. На самом деле, для определения гладкой поверхности производят сужение класса эквивалентных параметризаций до класса гладких
параметризаций, эквивалентных друг другу при помощи функций перепараметризаций, являющихся диффеоморфизмами областей параметризаций (см теорему 3.15 в случае k = 2). При этом диффеоморфизм для
областей параметризаций определяется так же, как и для обычных областей, т.е. как биективное отображение класса C 1 , у которого обратное
отображение также класса C 1 .
Далее более подробно рассмотрим случай гладкой 2-поверхности.
Пример. Рассмотрим 2-поверхность, которая задается декартовой
параметризацией r(x, y) = (x, y, f (x, y)) : Ω → R3 относительно координатной плоскости OXY. Эта параметризация является гладкой в том и
только в том случае, когда f ∈ C 1 (Ω). При этом это простая параметризация при условии, что f ∈ C(Ω).
Доказательство. Вычислим векторное произведение касательных векторов rx0 (x, y) = (1, 0, fx0 (x, y)) и ry0 (x, y) = (0, 1, fy0 (x, y)) :
¯
¯ i j k
¯
0
0
(rx × ry )(x, y) = ¯¯ 1 0 fx0
¯ 0 1 fy0
¯
¯
¯
→
¯ (x, y) = (−fx0 (x, y), −fy0 (x, y), 1) 6= −
0.
¯
¯
3.5 Поверхность, гладкая поверхность.
85
Условие r ∈ C 1 (Ω) равносильно условию f ∈ C 1 (Ω), поэтому параметризация, а, следовательно, и поверхность гладкие. Нетрудно проверить,
что отображение r непрерывно и инъективно отображает область параметризации Ω на ее след S = r(Ω) в случае, когда f ∈ C(Ω). Отметим,
что инъективность этого отображения вытекает, из того, что параметризация однозначно определяется первыми двумя координатами (x, y) ∈ Ω.
Обратное отображение r−1 : S → Ω непрерывно в силу того, что является
сужением на множество S ортогональной проекции P : R3 → R2 , задаваемой формулой P(x, y, z) = (x, y). Тем самым, параметризация является
простой.
На самом деле, эту гладкую параметризацию можно расширить до
C -диффеоморфизма, заданном на множестве D = Ω × R.
1
Лемма 3.5.1. Отображение F (x, y, z) = (x, y, z + f (x, y)) : D → D
является C 1 -диффеоморфизмом, если f ∈ C 1 (Ω). При этом det JF ≡ 1
на D.


1 0 fx0
Доказательство. Поскольку матрица Якоби JF (x, y) равна  0 1 fy0  (x, y),
0 0 1
то det JF ≡ 1 на D. Кроме того, условие F (x1 , y1 , z1 ) = F (x2 , y2 , z2 ) эквивалентно условию: x1 = x2 , y1 = y2 , z1 = z2 , поэтому отображение F является инъективным. Учитывая, что любая точка M = (x, y, t) ∈ D имеет
прообраз N = (x, y, t − f (x, y)) при отображении F, получим, что это
отображение является биекцией. Условия F, F −1 ∈ C 1 (D) эквивалентны
условию f ∈ C 1 (Ω). Тем самым, является C 1 -диффеоморфизмом, если
f ∈ C 1 (Ω). При этом det JF ≡ 1 на D.
Лемма 3.5.2. Пусть r(u, v) : Ω → R3 – гладкая 2-параметризация.
Тогда для любой точки M = (u0 , v0 ) ∈ Ω найдется ее окрестность
O(M ) ⊂ R2 , такая, что для любого множества D ⊂ Ω ∩ O(M ) : M ∈ D,
внутренность которого область, отображение re = r представляD
ет собой параметризацию эквивалентную декартовой параметризации
относительно или OXY, или OXZ, или OY Z.
Доказательство. В силу леммы 1.5.3, для любой точки M = (u0 , v0 ) ∈ Ω
найдется ее окрестность O(M ) ⊂ R2 , на которой отображение r непрерывно. Кроме того,
¯
¯
¯ i j k ¯
¯ ¯
¯ ¯
¯¶
µ¯ 0
¯ yu zu0 ¯ ¯ zu0 x0u ¯ ¯ x0u yu0 ¯
¯ 0
¯
−
→
0
0
0 ¯
0
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
(ru ×rv )(M ) = ¯ xu yu zu ¯ (M ) = ¯ 0
0 ¯,¯ 0
0 ¯,¯ 0
0 ¯ (M ) 6= 0 .
yv zv
zv xv
xv y v
¯ x0v yv0 zv0 ¯
¯ 0
¯
¯ xu yu0 ¯
¯ (M ) 6= 0. Тем самым, отображение τ (u, v) =
Пусть, например, ¯¯ 0
xv yv0 ¯
(x(u, v), y(u, v)) удовлетворяет условиям теоремы 3.38 об обратном отображении найдутся окрестности U и V соответственно точек M и N =
86
3 Элементы векторного анализа.
τ (M ), на которых это отображение является гомеоморфизмом, т.е. существует обратное отображение ϕ = (u(x, y), v(x, y)) : V → U. При этом
ϕ ∈ C 1 (V ∩ τ (Ω)). Без потери общности можно считать, что U = O(M ) и
ϕ – липшицево отображение. Пусть D ⊂ Ω∩O(M ) – произвольное множество, содержащее точку M и внутренность которого является областью,
и ∆ = τ (D). Тогда отображение f (x, y) = z(ϕ(x, y)) ∈ C 1 (∆) задает гладкую декартову параметризацию (x, y, f (x, y)) : ∆ → R3 , эквивалентную
r при помощи функции перепараметризации τ.
D
Лемма 3.5.3. Пусть отображения rα : Dα → R3 и rβ : Dβ → R3 являются эквивалентными параметризациями с функцией перепараметри−
→
∂r
∂r
зации τ : Dα → Dβ , и rβ ∈ C 1 (N ), rα ∈ C 1 (M ), ( ∂uβ × ∂vβ )(N ) 6= 0 (M ∈
Dα , N = τ (M )). Тогда τ ∈ C 1 (M ).
Доказательство. Пусть rβ = (xβ , yβ , zβ ), rα = (xα , yα , zα ). Поскольку
−
→
∂r
∂r
( ∂uβ × ∂vβ )(N ) 6= 0 , то какая-то координата этого вектора отлична от
нуля в точке N. Без потери общности,
можно¯ считать, что это 3-я ко¯
¯ (xβ )0u (yβ )0u ¯
¯ (N ) 6= 0. По теореме об
ордината отлична от нуля, т.е. ¯¯
(xβ )0v (yβ )0v ¯
def
обратном отображении для отображения g = (xβ (u, v), yβ (u, v)) найдутся окрестность U точки L = g(N ) и топологическая окрестность V точки
на
N, для которых существует обратное отображение g −1 : U → V. При этом
def
g −1 ∈ C 1 (L). Положим f (u, v) = (xα (u, v), yα (u, v)), тогда f ∈ C 1 (M ), и
f = g ◦ τ. Поэтому τ = g −1 ◦ f, и, следовательно, τ ∈ C 1 (M ).
Теорема 3.15. Если отображения rα : Dα → R3 и rβ : Dβ → R3 являются эквивалентными гладкими 2-параметризациями, то их функция
перепараметризации τ : Dα → Dβ является C 1 -диффеоморфизмом.
Доказательство. В силу предыдущей леммы, отображения τ и τ −1 принадлежат классу C 1 в каждой точке соответственно областей Dα и Dβ ,
т.е. отображение τ является C 1 -диффеоморфизмом.
3.6
Понятие площади гладкой 2-поверхности.
Пример. Пусть D ∈ Ж2 и r(x, y) = (x, y, f (x, y)) : D → R3 – гладкая
параметризация. Рассмотрим отмеченное разбиение (T, Σ) множества D,
где T = {Di }N
i=1 , Σ = {ξi }. Для точки Mi = r(ξi ) в касательной плоскости
TMi в этой точке к графику функции f (x, y) возьмем множество Ωi , проекция которого на плоскость OXY равна множеству Di (i = 1, n). Тогда
m2 (Di )
двумерная мера множества Ωi в этой плоскости равна | cos
, где γ(Mi )
γ(Mi )|
– угол между плоскостями TMi и OXY. Величина угла γ(Mi ) равна величине угла между осью OZ и вектором N (Mi ) = (rx0 × ry0 )(ξi ), поэтому
3.6 Понятие площади поверхности.
cos γ(Mi ) = √
1
1+(fx0 )2 +(fy0 )2
ξi
87
. Поэтому сумма
N
P
m(Ωi ) представляет собой
i=1
сумму Римана S( | cos1 γ| , T, Σ), и, следовательно, стремится к интегралу
RR 0
RR dxdy
RR q
|rx × ry0 |2 dxdy. Этот предел
=
1 + (fx0 )2 + (fy0 )2 dxdy =
| cos γ|
D
D
D
естественно принять за площадь декартовой параметризации. В общей
ситуации для гладкой параметризации r = r(u, v) : D → R3 величину
RR
|ru0 × rv0 |2 dudv также естественно принять за площадь параметризации
D
r : D → R3 . Тем более, что множество параметризации D можно разбить
на измеримые куски {∆j }M
j=1 так, что параметризация r ∆ эквивалентj
на декартовой согласно лемме 3.5.2, площадь которой равна выражается
подобной формулой.
Теорема 3.16. Пусть ri : Di → R3 – гладкие 2-параметризации некона
торой гладкой поверхности σ, и (ξ, η) = τ (u, v) : D1 → D2 функция перепараметризации, связывающая их. Тогда для любых точек M1 ∈ D1
и M2 = τ (M1 ) ∈ D2 имеет место равенство:
³ ∂r
∂r1 ´
∂r2 ´
2
×
(M1 ) =
×
(M2 ) det Jτ (M2 ).
∂u
∂v
∂ξ
∂η
³ ∂r
1
Доказательство. В силу формул для дифференцирования сложных функций верны равенства:
∂r1
∂r2 ∂ξ ∂r2 ∂η ∂r1
∂r2 ∂ξ ∂r2 ∂η
=
+
и
=
+
.
∂u
∂ξ ∂u
∂η ∂u
∂v
∂ξ ∂v
∂η ∂v
Поэтому
³ ∂r
1
∂u
×
³ ∂r
∂r1 ´
∂r2 ´ ∂ξ ∂ξ ³ ∂r2 ∂r2 ´ ∂ξ ∂η
2
(M1 ) =
×
+
×
+
∂v
∂ξ
∂ξ ∂u ∂v
∂ξ
∂η ∂u ∂v
∂r2 ´ ∂η ∂ξ ³ ∂r2 ∂r2 ´ ∂η ∂η
+
×
=
∂η
∂ξ ∂u ∂v
∂η
∂η ∂u ∂v
³ ∂r
∂r2 ´³ ∂ξ ∂η ∂η ∂ξ ´ ³ ∂r2 ∂r2 ´
2
×
−
=
×
(M2 ) det Jτ (M2 ).
∂ξ
∂η
∂u ∂v ∂u ∂v
∂ξ
∂η
³ ∂r
2
×
Следствие 3.17. Выполняется равенство
¯
¯
ZZ ¯
ZZ ¯
ZZ
¯ ∂r1 ∂r1 ¯
¯ ∂r2 ∂r2 ¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∂u × ∂v ¯ dudv =
¯ ∂ξ × ∂η ¯ | det Jτ |dudv =
D1
D1
¯
¯
¯ ∂r2 ∂r2 ¯
¯
¯
¯ ∂ξ × ∂η ¯ dξdη,
D2
если хотя бы один из крайних интегралов существует в несобственном
смысле.
88
3 Элементы векторного анализа.
Определение 3.6.1. Пусть r : D → R3 – гладкая параметризация,
D – область параметризации, обладающая
исчерпанием,
¯
RR ¯ ∂r допустимым
¯ × ∂r ¯ dudv. В этом случае,
и существует несобственный интеграл
∂u
∂v
D
параметризация называется квадрируемой, а этот интеграл ее площадью. Квадрируемой поверхностью σ называется поверхность, содержащую гладкую квадрируемую параметризацию. Ее площадью называется
площадь любой из ее гладких параметризаций. Согласно следствию 3.17
все гладкие параметризации этой поверхности являются квадрируемыми
с одинаковой площадью.
¶
µ
(a, a) (a, b)
Замечание 3.6.1. Пусть M =
– матрица Грамма для
(b, a) (b, b)
пары векторов {a, b}. Тогда |a × b|2 = |a|2 |b|2 sin2 α = |a|2 |b|2 (1 − cos2 α) =
|a|2 |b|2 − |a|2 |b|2 cos2 α = |a|2 |b|2 − (a, b)2 = det M, где α – угол между
векторами a и b.
µ 0 0
¶
(ru , ru ) (ru0 , rv0 )
Замечание 3.6.2. Пусть M =
– матрица Грамма для
(rv0 , ru0 ) (rv0 , rv0 )
¯
¯
RR
RR √
¯ ∂r × ∂r ¯ dudv =
пары векторов {ru0 , rv0 }. Тогда
det M dudv, где
∂u
∂v
D
D
r : D → R3 – гладкая квадрируемая параметризация. Вводя
RR √ обозначения
0
0
0
0
0
0
E = (ru , ru ), F = (ru , rv ), G = (rv , rv ), получим, что
det M dudv =
D
RR √
EG − F 2 dudv.
D
3.7
Понятия k-объема гладкой k-поверхности
в Rn .
Определение 3.7.1. Пусть D ⊂ Rk – область параметризации (множество, внутренность которого является областью). Как мы уже определяли, отображение r ∈ C 1 (D, Rn ) (n > k) называется гладкой k-параметризацией,
если для всех точек M = (u1 , . . . , uk ) ∈ D ранг матрицы линейного
отображения r0 (M ) : Rk → Rn максимален, т.е. равен k. Квадратичная форма (dr, dr) называется 1-ой квадратичной формой. Поскольку
k
P
∂r
dui , то эта форма имеет вид:
dr =
∂ui
i=1


du1
¡ ∂r ∂r ¢


,
dui dvj = (du1 , . . . , duk )M  ...  ,
∂ui ∂vj
i,j=1
duk
k
X
где M =
³¡
∂r ∂r
,
∂ui ∂vj
¢´k,k
i,j=1
– матрица Грамма.
3.8 Ориентация гладкой поверхности.
89
Определение 3.7.2. Пусть Dα , Dβ ⊂ Rk – множества, внутренности которых является областями. Две гладкие параметризации rα : Dα → Rn и
rβ : Dβ → Rn называют эквивалентными, если существует диффеоморфизм τ : Dα → Dβ , для которого rα = rβ ◦ τ. При этом диффеоморфизм
τ часто называют функцией перепараметризации. Обозначение: rα ∼ rβ .
τ
k-поверхностью σ в Rn называют класс эквивалентных гладких параметризацией. Ее следом называют след любой из ее параметризацией.
Свойства матриц Грамма.
Пусть xm = (x1m , . . . , xkm ) ∈ Rm (m = 1, k) – вектора, записываемые в координатном виде относительно какого-нибудь ортонормированного базиса, и X – матрица, строки которых координаты этих векторов. Пусть вектора x
em = (e
x1m , . . . , x
ekm ) получены из старых при помощи
e – матриматрицы C следующим способом: x
em = xm C(m = 1, k), и X
e = XC и M
f=
ца, строки которых координаты этих векторов. Тогда X
¡
¢k
¡
¢
k
e ∗X
e = C ∗ X ∗ XC = C ∗ M C, где M = (xl , xm )
(e
xl , x
em ) l,m=1 = X
,
l,m=1
f = det M (det C ∗ )2 . Для двух эквивалентных паи, следовательно, det M
раметризаций rα ∼ rβ , принадлежащих одной k-поверхности, по теореτ
ме о дифференцировании сложной функции
где v = τ (u), т.е.
∂rα
(u)
∂ui
=
∂rβ
(v)Jτ∗ (u).
∂vj
∂rα
(u)
∂ui
=
k
P
j=1
∂rβ
∂τ
(v) ∂uji (u),
∂vj
Отсюда вытекает для матриц
∂r
α
(u)}ki=1 и { ∂vβj (v)}kj=1
Грамма Mα и Mβ , построенных по векторам { ∂r
∂ui
2
соответственно, RR
где√v = τ (u), верна формула
RR p det Mα = det Mβ (det Jτ ) .
Следовательно,
det Mα du1 . . . duk =
det Mβ | det Jτ |du1 . . . duk =
Dα
Dα
RR p
det Mβ dv1 . . . dvk .
Dβ
Определение 3.7.3. Пусть r : D → Rn – гладкая k-параметризация,
D ⊂ Rk – область параметризации, обладающая допустимым исчерпанием, и M – матрица Грамма, порожденная касательными
векторами
RR √
∂r
k
{ ∂u
(u)}
.
Тогда
значение
несобственного
интеграла
det
M
du1 . . . duk
i=1
i
D
называется k-мерным объемом параметризации r, и если этот объем конечен, то параметризация называется k-квадрируемой. Квадрируемой
поверхностью σ называется поверхность, содержащую гладкую квадрируемую параметризацию. Ее k-мерным объемом называется k-мерный
объем любой из ее гладких параметризаций.
3.8
Ориентация гладкой поверхности.
90
3 Элементы векторного анализа.
Определение 3.8.1. Пусть r : D → R3 – гладкая простая параметризация со следом S = r(D). Говорят, что на этой параметризации задана
ориентация (или выбрана сторона), если на следе S задано непрерывное
−
→
поле единичных нормалей →
n : S → R3 , т.е. −
n (s) ⊥ Ts , где Ts = r0 (M )[R2 ]
→
– касательная плоскость в точке s ∈ S и M = r−1 (s), и −
n ∈ C(S).
Замечание 3.8.1. Непрерывное поле единичных нормалей можно задать
−
→
следующим образом. Отображения N (u, v) = (ru0 × rv0 )(u, v) : D → R3 и
−
→
−
→
N
−1
m= −
: S → D непре→ непрерывны на D. Поскольку отображение r
|N |
−
→
→
−
рывно, то отображение n = m ◦ r−1 : S → R3 является непрерывным
−
полем единичных нормалей. При этом поле →
m является его параметризацией.
Замечание 3.8.2. На следе S существует ровно два непрерывных поля
→
→
единичных нормалей −
n и −−
n . Таким образом, для гладкой параметризации определено только две ориентации. Чтобы зафиксировать выбор
одной из ориентаций достаточно указать лишь один вектор соответствующего поля нормалей.
−
Доказательство. Пусть →
q – непрерывное поле единичных нормалей на
→
→
S. Тогда функция ϕ(s) = (−
q (s), −
n (s)) непрерывна на S и принимает
в каждой точке s ∈ S значения, равные 1 или −1. Поскольку след S
– непрерывный образ связного множества D, то это множество связно,
и, следовательно, непрерывная функция ϕ(s) тождественно равна 1 или
→
→
−
−
−1. Поэтому или −
q =−
n , или →
q = −→
n.
Замечание 3.8.3. Если rα : Dα → R3 и rβ : Dβ → R3 – гладкие параметризации гладкой простой 2-поверхности σ, и функция перепараметризации
τ : Dα → Dβ имеет положительный (отрицательный) якобиан, то порож→
→
даемое ими непрерывные поля единичных нормалей −
nα и−
n β совпадают
(противоположны по знаку).
−
→
∂r
∂r
α
α
Доказательство. Поскольку N α (u, v) = ∂r
× ∂r
= ∂ξβ × ∂ηβ det Jτ =
∂u
∂v
−
→
−
→
→
−
N β (ξ, η) det Jτ , то вектора N α (u, v) и N β (ξ, η) сонаправлены (противоположно направлены), где (ξ, η) = τ (u, v). Следовательно, в точке s =
→
→
rα (u, v) = rβ (ξ, η) ∈ S единичные нормали −
nα и −
n β совпадают (противоположны по знаку).
Замечание 3.8.4. Последнее замечание показывает, что у гладких простых и эквивалентных друг другу параметризаций их ориентации, задаваемые способом, указанным в замечании 3.8.1 совпадают тогда и только тогда, когда их функции перепараметризации имеют положительный
якобиан. При этом надо отметить, что поскольку якобиан непрерывная
ненулевая функция на связном множестве, то она сохраняет знак на всем
этом множестве.
3.8 Ориентация гладкой поверхности.
91
Тем самым, среди параметризаций гладкой простой поверхности можно выделить два различных класса, в каждом из которых параметризации одинаково ориентированы. При этом любые параметризации, взятые
из разных классов параметризаций ориентированы противоположно. На
самом деле, такие два класса можно выделить в классе произвольной
гладкой поверхности (необязательно простой).
Определение 3.8.2. Класс всех гладких параметризаций гладкой поверхности σ распадается на два класса эквивалентностей, в каждом из
которых параметризации связаны друг с другом функцией перепараметризации с положительным якобианом, а любые гладкие параметризации из разных классов связаны функцией перепараметризации с отрицательным якобианом. Эти классы обозначаются σ+ и σ− , и называются
сторонами поверхности σ. Задать (выбрать) ориентацию на σ означает
сузить классы эквивалентных гладких параметризаций до класса либо
σ+ , либо σ− . Тем самым, гладкая поверхность σ является ориентированной поверхностью (такие поверхности еще называют двусторонними, а
выбор ориентации называют также выбором стороны этой поверхности).
Выбор ориентации на σ сводится к выбору представителя из σ+ или σ−
соответственно. При этом однозначно определено непрерывное поле ба∂r
∂r
(m), ∂v
(m)} (m ∈ D),
зисов (точнее параметризованное поле базисов) { ∂u
лежащих в касательной плоскости TM (r(m) = M ) и порожденное этим
представителем r = r(u, v) : D → R3 . Отметим, что для представителей разных ориентаций соответствующие поля в каждой точке m имеют
противоположные ориентации в касательной плоскости TM (M = r(m))
независимо от того каким способом вводится ориентация в плоскости
TM , т.е. от того какой базис объявляется правым в этой плоскости.
Замечание 3.8.5. Отметим, что ориентация гладкой параметризации r :
D → R3 может быть изменена на противоположную путем изменения
ориентации области D. Фактически это означает выбор другой параметризации. Например, вместо упорядоченной пары переменных (u, v)
рассмотрим пару (v, u). Выбор левой вместо правой системы координат
и наоборот фактически означает замену переменных с отрицательным
якобианом, и, тем самым, переводит параметризацию в другой класс
ориентируемости поверхности σ, т.е. из σ+ в σ− или наоборот.
Замечание 3.8.6. Ориентацию гладкой простой поверхности можно однозначно задать, зафиксировав единичную нормаль в некоторой точке следа, т.к. непрерывное поле единичных нормалей, имеющее в той же точке
эту же нормаль, задается однозначно. В общем случае гладкой поверхности параметризации r : D → R3 можно однозначно навязать ориентацию, зафиксировав для некоторых гладкой параметризации r : D → R3
и точки m ∈ D в касательной плоскости TM (M = r(m)) некоторый
∂r
∂r
(m), ∂v
(m)} или пробазис, имеющий ту же ориентацию, что и базис { ∂u
92
3 Элементы векторного анализа.
тивоположную. Второй способ задания ориентации более универсален,
т.к. годится для поверхностей в Rn .
3.9
Понятие гладкой поверхности с краем.
Согласование ориентаций поверхности и
ее края.
Определение 3.9.1. Гладкая простая параметризация r : D → R3 , где
D ⊂ R2 – правильная область, называется гладкой параметризацией с
краем, а порождаемая этой параметризацией поверхность σ называется поверхностью с краем. Граница ∂D представляет собой следы попарно непересекающихся кусочно-гладких простых контуров γj = {xjα :
[aα , bα ] → R2 } (j = 1, M ), имеющих либо положительную, либо отрицательную ориентацию. Эти плоские кривые порождают пространственные кривые Γj , задаваемыми параметризациями {r ◦ xjα }, которые также
являются простыми кусочно-гладкими контурами в R3 , следы которых
также попарно не пересекаются. Этот набор кривых ∂σ = {Γj }M
j=1 называется краем гладкой поверхности с краем. Следом края называется
объединение следов этих кривых.
Определение 3.9.2. Пусть r : D → R3 – гладкая параметризация с краем, ориентацию параметризации определим полем единичных нормалей
−
→
−
→
n , сонаправленных с нормалями N = (ru0 × rv0 ) ◦ r−1 . Введем на области
D правую ориентацию, которая определяет положительную ориентацию
ее границы, а, следовательно, определяет ориентацию края поверхности.
В этом случае ориентация параметризации и ее края называют согласованными. Если вышеуказанная параметризация принадлежит классу с
фиксированной ориентацией поверхности σ+ (или классу σ− ), то в этом
классе мы получаем ориентацию ее края, которую считаем по определению согласованной с ориентацией этой поверхности.
Корректность определения согласования ориентаций поверхности и ее края.
Пусть ri : Di → R3 – гладкие параметризации с краем, принадлежащие σ+ (σ− ), т.е. поверхности с фиксированной ориентацией. Тогда r1 =
на
r2 ◦ τ, где функция перепараметризации τ : D1 → D2 является C 1 диффеоморфизмом с положительным якобианом. Как уже отмечалось
поля единичных нормалей, задающих ориентацию этих параметризаций,
одинаковы. Покажем, что ориентация их края одинакова. Пусть {xj }
и {e
xj } – замкнутые пути положительной (отрицательной) ориентации,
представляющие простые кусочно-гладкие контура, следы которых составляют границы областей D1 и D2 соответственно. Тогда для каждого
3.9 Гладкая поверхность с краем.
93
индекса j вектор e1 = ẋj (t0 ) является касательным в точке гладкости
M = xj (t0 ) ∈ ∂D1 . Рассмотрим вектор e2 , направленный во внутрь области D1 из той же точки. Тогда вектор ee1 = τ 0 (M )[e1 ] – касательный
вектор в точке N = τ (M ) границы ∂D2 , а вектор ee2 = τ 0 (M )[e2 ] направлен во внутрь области D2 . При этом {e1 , e2 } и {e
e1 , ee2 } – двойки одина0
0
ковой ориентации. Кроме того, r1 (M ) = r2 (N ) ◦ τ 0 (M ), следовательно,
r10 (M )[e1 ] = r20 (N ) ◦ τ 0 (M )[e1 ] = r20 (N )[e
e1 ], т.е. касательные вектора к
краю σ в точке V = r1 (M ) = r2 (N ) поверхности σ, порожденные параметризациями r1 и r2 , одинаковы. Таким образом, ориентации края,
порожденные путями r1 ◦ xj и r2 ◦ x
ej , одинаковы.
Замечание 3.9.1. Если параметризации гладкой поверхности с краем σ
принадлежат разным ее сторонам (ориентациям), то края этих параметризаций будут ориентированы противоположным образом.
Теорема 3.18. Пусть ri : Di → R3 (i = 1, 2) – гладкие параметризации поверхности σ+ (σ− ), связанные перепараметризациями τ, двойки
{e1 , e2 } и {e
e1 , ee2 } одинаковы ориентированы; M ∈ D1 , N = τ (M ) ∈ D2 .
Тогда двойки {f1 , f2 } и {fe1 , fe2 } в касательной плоскости TV к поверхноej ] (j =
сти σ в точке V = r1 (M ) = r2 (N ), где fj = r10 (M )[ej ], fej = r20 (N )[e
1, 2) одинаковы ориентированы.
Доказательство. Поскольку det Jτ > 0, то двойки {e1 , e2 } и {b
e1 = τ 0 (M )[e1 ],
eb2 = τ 0 (M )[e2 ]} одинаковы ориентированы, и их ориентация такая же,
как и у двойки {e
e1 , ee2 }. Линейное отображение r20 (N )[·] : R2 → TV ³ R2
можно считать отображением из R2 в R2 (оно невырождено). В этом
случае, ориентация образов двоек {e
e1 , ee2 } и {b
e1 , eb2 } при этом отображении одинакова. Учитывая, что r10 (M )[ej ] = r20 (N )[b
ej ] (j = 1, 2), получим,
что двойки {f1 , f2 } и {fe1 , fe2 } одинаково ориентированы в касательной
плоскости TV независимо от вводимой там ориентации.
Определение 3.9.3. Пусть r : D → R3 – гладкая параметризация гладкой поверхности с краем σ, и M ∈ D. Рассмотрим гладкую кривую
γ = {xα : [aα , bα ] → R2 } с началом в точке M, лежащую в D. Через
−
→
→
e обозначим касательный вектор к кривой γ, например, −
e = ẋα (aα ).
Тогда кривая r ◦ γ, определенная путем r ◦ xα , лежит в следе поверхно−
→
→
сти σ. И вектор f = dtd (r ◦ xα )|t=aα = r0 (M )[ẋα (aα )] = r0 (M )[−
e ] является
c = r(M ). Пусть теперь M – точка гладкасательным вектором в точке M
−
→
кости границы D, и вектор e направлен во внутрь области D. Тогда
−
→
→
e ] называется вектором, направленным во внутрь
вектор f = r0 (M )[−
поверхности σ.
Пусть {e1 , e2 } – единичные вектора, составляющие правый базис в
R2 , r : D → R3 – гладкая параметризация гладкой поверхности с краем
∂r
∂r
σ, и M ∈ D. Тогда ∂u
(M ) = r0 (M )[e1 ] и ∂v
= r0 (M )[e2 ] являются касательными векторами к поверхности σ. Ориентация поверхности σ зада−
→
∂r
∂r
ется направлением векторного поля N = ∂u
× ∂v
, которое однозначно
94
3 Элементы векторного анализа.
определяет непрерывное поле единичных нормалей на следе поверхности. Пусть точка M является точкой гладкости границы D и {e
e1 , ee2 } –
правая двойка, где ee1 – касательный вектор к краю области D, а ee2 – вектор, направленный во внутрь области. Тогда ориентация пар векторов
{f1 = ru0 (M )[e1 ], f2 = rv0 (M )[e2 ]} и {fe1 = ru0 (M )[e
e1 ], fe2 = rv0 (M )[e
e2 ]} одинакова в касательной плоскости TM к поверхности σ. А, следовательно,
−
→
−
→
тройки {f1 , f2 , N } и {fe1 , fe2 , N } имеют одинаковую ориентацию – правую.
Тем самым, согласование ориентации поверхности σ и ее края ∂σ определяется следующим образом: край ∂σ обходится так, чтобы поверхность σ оставалась слева, если смотреть из конца единичного вектора
нормали, определяющего ориентацию поверхности σ.
3.10
Понятие комплекса. Ориентируемые комплексы, выбор ориентации комплекса.
Согласование ориентаций комплекса и
его края.
Определение 3.10.1. Будем говорить, что гладкие поверхности с краем
σ1 и σ2 находятся в отношении соседства (или, просто, являются соседними), если в пересечении следов их краев содержится след некоторого
невырожденного простого пути x : [a, b] → Rn (a 6= b).
Комплексом K назовем такой конечный набор гладких поверхностей
с краем {σi }N
i=1 , что, во-первых, для для любых двух поверхностей σk
и σm , находящихся в отношении соседства, пересечение следов их краев представляет собой след некоторой кусочно-гладкой простой кривой
(эта кривую называют общим участком краев этих поверхностей), и,
во-вторых, для для любых двух поверхностей σk и σm , не являющихся
соседними, следы их краев могут пересекаются лишь в конечном числе
точек. Сами гладкие поверхности σi (i = 1, N ) называют гладкими кусками комплекса K. Каждый простой контур края куска σi (i = 1, N ) естественным образом представляется в виде объединения кусочно-гладких
кривых ∪ γα , участвующих в отношении соседства (т.е. эти кривые явα∈A
ляются общими участками этого куска и некоторого другого) и объединения кусочно-гладких кривых ∪ γβ , не участвующих в отношении соβ∈B
седства. Объединение последних (для всех контуров всех кусков) называют краем комплекса K и обозначают ∂K. Следом комплекса называется
объединение следов его гладких кусков.
Набор параметризаций {ri : Di → Rn }N
i=1 , где ri – гладкая параметризация поверхности σi (i = 1, N ), называется параметризацией комплекса
K = {σi }N
i=1 .
3.10 Комплексы.
95
Определение 3.10.2. Будем говорить, что ориентации гладких поверхностей с краем σ1 и σ2 , находящихся в отношении соседства, согласованы, если ориентация их краев ∂σ1 и ∂σ2 , согласованная с ориентацией
самих поверхностей, порождает на их общем участке противоположные
ориентации. Комплекс K = {σi }N
i=1 называется ориентируемым, если на
каждом куске этого комплекса можно выбрать такую ориентацию, что
ориентации любых соседних кусков будут согласованы. При этом задание
ориентации на комплексе K означает выбор таких ориентаций на гладких кусках, при которых ориентации всех соседей согласованы, т.е. ориентация комплекса в этом случае определяется набором ориентаций его
кусков. Ориентация же каждого куска порождает согласованную ориентацию кривых, составляющих край этого куска и край комплекса K (это
кривые, не участвующие в отношении соседства). Набор таких ориентированных кривых, по определению, задает ориентацию края комплекса,
согласованную с ориентацией комплекса.
Замечание 3.10.1. Если комплекс ориентируем, то вместе с некоторой
ориентацией, можно рассмотреть и противоположную, которая задается
выбором противоположной ориентации на всех кусках. В этом случае
согласование ориентаций на соседних кусках не нарушается. Тем самым
число ориентаций всегда четно.
Примеры.
1. Лист Мёбиуса, который можно задать как набор 3-х глаких кусков,
представляет собой пример неориентируемого комплекса.
2. Комплекс, у которого найдется три гладких куска, являющихся
попарно друг другу соседями, является неориентируемым.
3. Рассмотрим комплекс, состоящий из гладких кусков, следы которых если и пересекаются, то только по следам их краев, и след всего
комплекса представляет собой сферу S в R3 . Этот комплекс является
ориентированным. Его ориентированность вытекает из того, что сфера
является границей шара, представляющего собой замкнутую область, и
нормали сферы в каждой точке S являются либо внешними, либо внутренними, при этом поля внешних (внутренних) единичных нормалей являются непрерывными полями на S. Отсюда вытекает, что выбирая на
всех гладких кусках внешнюю (внутреннюю) ориентацию, автоматически получим согласование ориентаций для всех гладких кусков.
4. Комплекс, состоящий из N кусков, не связанных попарно отношениями соседства, является ориентированным. При этом число различных
ориентаций этого комплекса равно 2N , поскольку ориентацию каждого
куска можно выбирать двумя разными способами независимо от выбора
ориентаций на других кусках.
Определение 3.10.3. Ориентированный комплекс называется двусторонним, если для любых двух различных гладких кусков σk и σm комплекса K = {σi }N
i=1 найдется упорядоченный набор (цепочка соседей)
96
3 Элементы векторного анализа.
{σil }M
l=0 , для которого σi0 = σk , σiM = σm , и куски σil−1 и σil являются
соседними для всех l = 1, M .
Замечание 3.10.2. Возьмем какую-нибудь ориентацию двустороннего комплекса, и рассмотрим ориентацию, отличную от этой. В этом случае на
некотором куске эти ориентации противоположны, тогда для сохранения
согласования на соседних кусках там также ориентации должны быть
противоположными. Учитывая, что любые два куска можно соединить
пронумерованной цепочкой соседей, мы получим, что эти ориентации
противоположно ориентированы на всех кусках комплекса двустороннего комплекса. Действительно, если бы в этой цепочке остался бы кусок
с прежней ориентации, то нашелся бы кусок с прежней ориентацией и
минимального номера в этой цепочке, у которого сосед с предыдущим
номером должен был изменить ориентацию, и, следовательно, эти два соседа нарушили свою согласованность. Таким образом, на двустороннем
комплексе существует ровно две, противоположные друг другу ориентации. Выбор ориентации на таком комплексе называют часто выбором
стороны этого комплекса.
Определение 3.10.4. Пара, состоящая из ориентированного комплекса и фиксированной его ориентации, называется ориентированным комплексом (или, еще говорят, стороной комплекса). Тем самым ориентированный комплекс это набор ориентированных гладких кусков-поверхностей.
Набор параметризаций {ri : Di → Rn }N
i=1 , где ri – гладкая параметризация ориентированной поверхности σi (i = 1, N ), называется параметризацией ориентированного комплекса K = {σi }N
i=1 .
3.11
Понятие кусочно-гладкой поверхности с
краем. Согласование ориентаций поверхности и ее края. Площадь кусочно-гладкой
поверхности с краем и комплекса.
Определение 3.11.1. Пусть D ⊂ R2 – правильная область. Параметризация r : D → R3 называется кусочно-гладкой, если найдется такое разбиение области параметризации D на правильные области Di (i = 1, N ),
является параметризацией некоторочто набор сужений {ri = r }N
Di i=1
го комплекса K. В этом случае мы будем говорить, что параметризация
r порождает параметризацию комплекса K. Ориентированной кусочногладкой параметризацией r : D → R3 называется параметризация, порождающая параметризацию некоторого ориентированного комплекса.
3.11 Кусочно-гладкая поверхность с краем.
97
Замечание 3.11.1. Отметим, что требование, чтобы набор {ri = r }N
Di i=1
был параметризацией некоторого комплекса приводит к естественному
ограничению на разбиение T = {Di }N
i=1 области параметризации D, фигурирующее в предыдущем определении. Это разбиение должно быть
правильным, т.е. любые две различные области Dk и Dm либо пересекаются своими границами по множеству, представляющему собой след
некоторого некоторого невырожденного пути, либо пересекаются лишь
по конечному множеству. В первом случае такие области будем называть
соседними.
Определение 3.11.2. Совокупность всех параметризаций, порождающих параметризацию одного и того же комплекса K, будем называть
кусочно-гладкой поверхностью (2-поверхностью). В этом смысле кусочногладкая поверхность "составлена" из некоторого количества гладких поверхностей поверхностей σi (i = 1, N ), являющихся гладкими кусками
комплекса K, что обозначают следующим образом: σ =
Ǹ
σi . Краем
i=1
кусочно-гладкая поверхности будем называть край соответствующего ей
комплекса. Следом поверхности будем называть след комплекса. При
этом, если комплекс K будет ориентируемым, мы будем говорить, что
данная кусочно-гладкая поверхность является ориентируемой.
Ориентированной кусочно-гладкой поверхностью (т.е. поверхностью
с выбранной ориентацией) будем называть совокупность всех параметризаций, порождающих параметризацию ориентированного комплекса K.
В этом случае ориентация такой поверхности определяется ориентацией
всех кусков этого комплекса. Кроме того, согласование ориентаций поверхности и ее края определяется согласованием ориентаций этого комплекса и его края.
Замечание 3.11.2. Отметим, что всякой ориентируемой поверхности сопоставляется двусторонний комплекс. Поэтому часто ориентируемые поверхности также называют двусторонними. Выбор ориентации этой поверхности называют еще выбором стороны.
Доказательство. Напомним, что если из области выкинуть конечное
число точек, то полученное множество также будет областью (см упражнение 11 на стр. 117). Пусть r : D → R3 – кусочно-гладкая параметризация поверхности σ, и ri = r
(i = 1, N ) – ее гладкие куски, где
Di
T = {Di }N
i=1 – подходящее разбиение области параметризации. Для доказательства достаточно показать, что для любых элементов разбиения
Dk и Dm найдется цепочка элементов разбиения, связанная соотношением соседства с началом в элементе Dk и концом в элементе Dm , т.е. набор
элементов разбиения {Din }ln=1 таких, что Di1 = Dk , Dil = Dm , и Din и
Din+1 (n = 1, l − 1) – соседние области (отсюда следует, что rin и rin+1
98
3 Элементы векторного анализа.
– соседние параметризации). Действительно, пусть A – набор всех элементов разбиения, для которых найдется цепочка элементов разбиения,
связанная соотношением соседства с началом в элементе Dk и концом в
элементе Di . Нетрудно видеть, что любой элемент разбиения, имеющий
в качестве соседа какой-нибудь элемент из A, принадлежит A. Покажем,
что этот набор содержит элемент Dm . Действительно, если бы это было
не так, то множество A, являющееся объединением множеств из набора A, замкнуто и не пересекается с элементами, не принадлежащими A,
более, чем в конечном числе точек. В частности, эти множества или не
пересекаются с Dm , или имеют пересечение по конечному числу точек.
Пусть B – объединение элементов, не принадлежащих A, тогда множество N = A ∩ B конечно, а int D \ N связно и открыто. Кроме того, множества int A и int B непусты и непересекаются, и int D \ N = int A t int B,
что противоречит связности множества int D \ N.
Понятие площади комплекса и кусочно-гладкой поверхности.
Определение 3.11.3. Площадью комплекса K называют сумму площадей ее гладких кусков. Площадью кусочно-гладкой поверхности называют площадь соответствующего ей комплекса, т.е. также сумму площадей
ее гладких кусков. Таким образом, если набор {ri : Di → R3 }N
i=1 является параметризацией комплекса K, то его площадь это сумма площадей
N RR
P
|ru0 ×
его гладких кусков σi , параметризованных ri , (i = 1, N ), т.е.
RR i=1 Di
rv0 |dudv. Последнее выражение будем записывать короче:
dS.
K
Если параметризация r : D → R3 является кусочно-гладкой параметризацией кусочно-гладкой поверхности σ, то площадь этой поверхности это сумма площадей ее гладких кусков
RR 0
RR √ σi , параметризованных
r
(i = 1, N ), т.е. величина интеграла
EG − F 2 dudv =
|ru ×
∂Di
rv0 |dudv =
RR
dS =
N RR
P
i=1 Di
N RR
P
D
D
|ru0 × rv0 |dudv (эту величину будем обозначать короче:
dS). Здесь в первом интеграле для подынтегральной функ-
i=1 σi
σ
ции в качестве ее значений в общих точках границ соседних областей
можно выбирать любые значения, при которых подынтегральная функция остается ограниченной. В частности, можно брать значения в общих
точках границ равными значениям на одной из соседних областей. Здесь
N
S
мы пользуемся тем, что множество
∂Di меры нуль Жордана, а мноi=1
жество значений функции |ru0 × rv0 | ограничено на каждом Di . Удобно
также рассматривать площади отображений r , определив их интегра∆
RR √
EG − F 2 dudv.
лами
∆
3.12 Поверхностные интегралы.
3.12
99
Поверхностные интегралы 1-го и 2-го родов.
Определение 3.12.1. Пусть r : D → R3 – гладкая параметризация
некоторой гладкой поверхности σ, S – след параметризации r, и f : S →
R(C), (T, Σ) – отмеченное разбиение D, т.е. T = {Di }N
i=1 – разбиение множества D, Σ = {ξi }N
:
ξ
∈
D
(i
=
1,
N
).
Рассмотрим
интегральную сумi
i
i=1
N
RR √
P
му S(f, r, T, Σ) =
f (Mi )∆si , где Mi = r(ξi ) и ∆si =
EG − F 2 dudv
i=1
– площадь r
Di
Di
(i = 1, N ). Если существует предел lim S(f, r, T, Σ) ∈
λ(T )→0
R(C), то он называется
интегралом 1-го рода по параметризации r, и
RR
обозначается как
f dS. Для гладкой поверхности σ поверхностный инr
теграл 1-го рода определяется, как интеграл 1-го
RRрода от какой-нибудь
ее гладкой параметризации, и обозначается как
f dS.
σ
Корректность.
1. Пусть rα : Dα → R3 и rβ : Dβ → R3 – эквивалентные гладкие параметризации, τ : Dα → Dβ – их функция перепараметризации. Покажем,
что для любого измеримого по Жордану множества ∆ ⊂ Dα множество
τ (∆) также измеримо по Жордану. Для этого в силу критерия измеримости достаточно показать, что ∂τ (∆) – множество меры нуль Жордана,
последнее множество, в силу свойств гомеоморфизма, равно τ (∂∆). В
силу леммы 3.5.3, τ ∈ C 1 (∆) и поэтому, в силу леммы 1.5.3, τ (∂∆) – множество меры нуль Жордана (как липшицевый образ множества меры
нуль Жордана).
2. Для произвольного отмеченного разбиения (Tα , Σα ) множества Dα
рассмотрим отмеченное разбиение (Tβ = τ (Tα ), Σβ = τ (Σβ )) множества
Dβ . Тогда S(f, rα , Tα , Σα ) = S(f, rβ , Tβ , Σβ ). Следовательно, если существует предел lim S(f, rα , Tα , Σα ), то существует предел
λ(Tα )→0
lim S(f, rα , Tβ , Σβ ), и они равны.
λ(Tβ )→0
Замечание 3.12.1. Пусть r : D → R3 – гладкая параметризация гладкой поверхности σ, и правильное разбиение T = {Di }N
i=1 порождает при
помощи параметризаций r гладкие куски σi (i = 1, N ) поверхности σ.
Di
Ǹ
RR
f dS и
В этом случае σ =
σi . Тогда, если существуют интегралы:
RR
σi
i=1
f dS (i = 1, N ), то верно равенство
RR
σ
f dS =
N RR
P
σ
f dS.
i=1 σi
Доказательство. Действительно, пусть (Ti , Σi ) – отмеченное разбиение
100
3 Элементы векторного анализа.
множества Di (i = 1, N ), и T =
N
P
N
S
Ti , Σ =
i=1
N
S
Σi . Тогда S(f, r, T, Σ) =
i=1
S(f, r, Ti , Σi ). Устремляя λ(T ) → 0, мы получим, что
i=1
RR
f dS =
N RR
P
f dS.
i=1 σi
σ
Определение 3.12.2. Пусть σ (K) – кусочно-гладкая поверхность (комплекс), состоящая (состоящий) из гладких кусков σi (i = 1, N ), S – след
поверхности σ (комплекса K) и f : S → R(C). Интегралом 1-го рода по
поверхности σ (по комплексу K) назовем сумму интегралов 1-го рода по
N RR
RR
P
f dS, и будем обозначать как
f dS
гладким кускам, т.е. величину
i=1 σi
σ
RR
( f dS).
K
Определение 3.12.3. Пусть σ – кусочно-гладкая ориентированная поверхность с краем (K – ориентированный комплекс), ориентация которой
→
(которого) задается единичным полем −
n : Si → R3 нормалей на следе Si
каждого гладкого куска σi (i = 1, N ). Здесь действует договоренность,
что на следах общих участков краев этих кусков, значения поля берутся
произвольными единичными векторами, и эти вектора не используются
для определения ориентации гладкого куска. Интегралом 2-го рода наN RR
P
−
→
(→
a ,−
n )dS, т.е. интеграл 1-го рода по поверхности
зывается сумма
i=1 σi
RR −
→
→
→
a ,−
n ). Обозначение:
(→
a ,−
n )dS
σ (по комплексу K) от функции f = (−
σ
RR −
→
( (→
a ,−
n )dS).
K
Замечание 3.12.2. Пусть r : D → R3 – гладкая параметризация ориентированной гладкой поверхности σ, и правильное разбиение T = {Di }N
i=1
порождает при помощи параметризаций r гладкие орииентированные
Di
Ǹ
σi . Тогда
куски σi (i = 1, N ) поверхности σ. В этом случае σ =
RR i=1
−
→
в силу замечания 3.12.1, если существуют интегралы:
(→
a ,−
n )dS и
σ
N RR
RR →
RR → −
P
→
−
→
(−
a ,−
n )dS (i = 1, N ), то верно равенство (−
(→
a ,−
n )dS.
a ,→
n )dS =
σi
i=1 σi
σ
Теорема 3.19 (о существовании интеграла 1-го рода). Пусть σ –
кусочно-гладкая поверхность в R3 , f ◦ r ∈ R(D), где r : D → R3 – некоторая кусочно-гладкая параметризация поверхности σ (в частности,
достаточно условия f ∈ C(S), где RR
S – след поверхности
σ). Тогда суще√
RR
ствует поверхностный интеграл
f dS =
f (r(u, v)) EG − F 2 dudv.
σ
D
Доказательство. Рассмотрим сначала случай гладкой поверхности σ и
N
ее гладкой параметризации r : D → R3 . Пусть (T = {Di }N
i=1 , Σ = {ξi }i=1 )
3.12 Поверхностные интегралы.
101
– отмеченное
√ разбиение множества D и σ(f ◦ rg, T, Σ) – сумма Рима2
на,
RR где g = √EG − F . Поскольку g, f ◦ r ∈ R(D), то σ(f ◦ rg, T, Σ) →
f (r(u, v)) EG − F 2 dudv, Ω(g, T ) → 0 при λ(T ) → 0, и функция f ◦ r
D
ограничена, т.е. существует число C > 0,
¯ для которого |f ◦ r| 6 C на D.
¯
¯P
¯
RR
¯N
¯
Оценим |S(f, r, T, Σ) − σ(f ◦ rg, T, Σ)| = ¯ f (r(ξi ))( g(u, v)dudv − g(ξi )m(Di ))¯ =
¯i=1
¯
Di
¯
¯
¯P
¯
N
RR
RR
P
¯N
¯
ω(g, Di ) dudv = CΩ(g, T ) →
¯ f (r(ξi ))( (g(u, v) − g(ξi ))dudv ¯ 6 C
¯i=1
¯
i=1
Di
Di
0 (λ(T ) → 0). Отсюда вытекает, что существует предел lim S(f, r, T, Σ)
√ λ(T )→0
RR
и равен пределу lim σ(f ◦rg, T, Σ) =
f (r(u, v)) EG − F 2 dudv. Пусть
λ(T )→0
3
D
теперь r : D → R – некоторая кусочно-гладкая параметризация кусочногладкой поверхности σ =
Ǹ
σi , где σi – ее гладкие куски. В этом случае
i=1
существует правильное разбиение {Di }N
i=1 области параметризации D,
для которого отображения ri = r
являются гладкими параметризаDi
N RR
RR
P
циями гладких кусков σi (i = 1, N ). Поэтому
f dS =
f dS =
N RR
P
√
f (r(u, v)) EG − F 2 dudv =
i=1 Di
RR
√
σ
i=1 σi
f (r(u, v)) EG − F 2 dudv.
D
Следствие 3.20 (о существовании интеграла 2-го рода). Пусть
σ =
Ǹ
σi – кусочно-гладкая двусторонняя поверхность в R3 , ориен-
i=1
тация каждого куска σi (i = 1, N ) которой задается полем норма→
−
лей −
n, и →
a ∈RRC(S, R3 ). Тогда существует
поверхностный интеграл
√
RR
→
−
−
→
−
→
−
→
( a , n )dS = ( a (r(u, v)), n (r(u, v))) EG − F 2 dudv, где r : D → R3
σ
D
– некоторая кусочно-гладкая параметризация поверхности σ.
Доказательство. Пусть T = {Di }N
i=1 – такое разбиение правильной области D на правильные области, что r (i = 1, N ) – гладкие параметриDi
→
зации с краем. Векторное поле −
n ◦r – непрерывно на int Di (i = 1, N ), т.е.
→
→
почти всюду, и, следовательно, функция ϕ(u, v) = (−
a (r(u, v)), −
n (r(u, v)))
−
→
−
→
также непрерывна почти всюду. Кроме того, |( a (r(u, v)), n (r(u, v)))| 6
→
|−
a (r(u, v))| на D, и следовательно, функция ϕ ограничена. В силу критерия Лебега ϕ ∈ R(D), и по предыдущей
теореме существует интеграл
√
RR
RR −
→
−
−
→
→
−
( a , n )dS и равен интегралу Римана ( a (r(u, v)), →
n (r(u, v))) EG − F 2 dudv.
σ
D
Свойства интегралов 1-го и 2-го родов.
102
3 Элементы векторного анализа.
1. Интегралы 1-го и 2-го родов не зависят от выбора системы координат.
2. Интеграл 1-го рода даже для ориентированной поверхности не зависит от выбора параметризации. Интеграл 2-го рода меняет знак на
противоположный при изменении ориентации поверхности на противоположную.
C(S), то для
RR 3. а). Если f, g ∈ RR
RRвсех чисел α, β ∈ R(C) верно равенство
(αf + βg)dS = α
f dS + β
gdS, где σ – кусочно-гладкая поверхσ
σ
σ
ность, а S – ее след.
−
→
→
3. б). Если −
a , b ∈ C(S, R3 ), то для всех чисел α, β ∈ R(C) верно
RR →
RR → →
RR −
−
→ →
→ →
равенство (α−
a +β b ,−
n )dS = α (−
a ,−
n )dS + β ( b , −
n )dS, где σ –
σ
σ
σ
кусочно-гладкая ориентированная поверхность, ориентация которой за→
дается полем единичных нормалей −
n , и S – ее след. ¯ RR
¯
4. Для функции f ∈ C(S) : |f | 6 M верна оценка ¯
f dS ¯ 6 M s,
σ
−
где s – площадь поверхности σ. Аналогично,
a ∈
для
векторного
поля →
¯
¯
RR
→
→
→
C(S, R3 ) : |−
a | 6 M верна оценка ¯ (−
a ,−
n )dS ¯ 6 M s.
σ
Вид интеграла 2-го рода в проекциях.
Пример. Пусть σ – гладкая поверхность с краем в R3 , ориента→
ция которой задается непрерывные полем единичных нормалей −
n =
(cos α, cos β, cos γ) с положительными координатами, т.е. cos α, cos β, cos γ >
0. И пусть у этой поверхности σ есть гладкие декартовы параметризации
z = f1 (x, y), x = f2 (y, z), y = f3 (z, x). След этой поверхности S биективно
проецируется на свой образ при ортогональном проектировании на коор→
a = RR
(P, Q, R) ∈ C(S, R3 ).
динатные
OY Z, OXZ. Пусть −
RR плоскости OXY,
RR
Тогда
R cos γdS =
=
R(x, y, f1 (x, y)) cos γ | dxdy
R(x, y, f1 (x, y))dxdy.
cos γ|
σ
D
D
RR
R(x, y, z)dxdy (запись
Последний интеграл Римана записывают в виде
y
σ
y
σ подчеркивает, что интеграл берется по поверхности с некоторой
заданRR
R cos γdS в
ной ориентацией) и называют представлением интеграла
RR
RRσ
проекции на плоскость OXY. Аналогично,
P (x, y, z)dydz
P cos αdS =
y
σ
σ
RR
RR
и
Q cos βdS =
Q(x, y, z)dzdx. Тем самым, верно представление,
σ
y
σ
ZZ
σ
→
−
(−
a ,→
n )dS =
ZZ
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy.
y
σ
Отметим без доказательства, что каждую кусочно-гладкую ориентированную поверхность (с некоторой заданной на этой поверхности ориентацией) σ в R3 , измельчая подходящим способом ее гладкие куски,
3.13 Формула Гаусса-Остроградского.
103
можно разбить на гладкие куски σi (i = 1, N ), для каждого из которых
найдется своя декартова система координат, в которой этот кусок можно параметризовать функциями z = f1 (x, y), x = f2 (y, z), y = f3 (z, x).
ИRRв этих системах координат интеграл по каждому куску σi имеет вид
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy. Напомним, что интеy
σi
грал 2-го рода не зависит от выбора системы координат. По этой причине
интеграл 2-го
RR рода часто записывают в форме интеграла в проекциях,
т.е. в виде
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy.
y
σ
3.13
Формула Гаусса-Остроградского.
Определение 3.13.1. Область D ⊂ R3 называется стандартной для
фиксированной декартовой системы координат, если существуют правильные области Ωi ⊂ R2 и кусочно-гладкие функции ϕ1i , ϕ2i : Ωi → R :
ϕ1i 6 ϕ2i (i = 1, 3) такие, что D = {(x, y) ∈ Ω1 | z ∈ [ϕ11 (x, y), ϕ21 (x, y)]} =
{(z, x) ∈ Ω2 | y ∈ [ϕ12 (z, x), ϕ22 (z, x)]} = {(y, z) ∈ Ω3 | x ∈ [ϕ13 (y, z), ϕ23 (y, z)]},
и ϕ1i ≡ ϕ2i на ∂Ωi (i = 1, 3). При этом, функции ϕ1i , ϕ2i (i = 1, 3) определяют кусочно-гладкие декартовы параметризации границы множества
D.
Замечание 3.13.1. Любая стандартная область D ⊂ R3 является измеримой по Жордану.
Определение 3.13.2. Правильной областью D ⊂ R3 называется ограниченная замкнутая область, граница которой представляет собой конечное объединение попарно непересекающихся следов кусочно-гладких
двусторонних поверхностей σi (i = 1, N ). Дополнительно будем предполагать, что эту область можно разрезать на конечное число стандартных
областей, являющихся стандартными каждая для своей декартовой системы координат (отсюда вытекает, что D измеримо по Жордану). При
этом попарно эти области либо не пересекаются, либо пересекаются по
общей части границы, представляющей собой след кусочно-гладкой поверхности.
Будем говорить, что граница множества D ориентирована по внешним нормалям (внутренним), если ориентация каждой из вышеуказанных двусторонних кусочно-гладких поверхностей σi задана при помощи
внешних (внутренних) нормалей
по отношению
к множеству D. ОбознаRR −
RR
→
−
→
чение – ∂D+ (∂D− ). Через ( a , n )dS = (P cos α+Q cos β+R cos γ)dS =
∂D
∂D
RR
→
P dxdy + Qdzdx + Rdydz, где −
a = (P, Q, R) – некоторое векторное по∂D±
104
3 Элементы векторного анализа.
→
ле, а −
n = (cos α, cos β, cos γ) – поле внешних (внутренних) нормалей,
N RR
P
→
→
обозначим сумму интегралов
(−
a ,−
n )dS.
i=1 σi
на
Замечание 3.13.2. Отметим без доказательства, что если F : D → ∆ –
C 1 -диффеоморфизм правильной области D ⊂ R3 на замкнутую область
∆ ⊂ R3 , то ∆ также является правильной областью.
→
a = (P, Q, R) ∈ C 1 (D, R3 ) – векторное
Определение 3.13.3. Пусть −
def
→
поле, функция div −
a = ∂P
+ ∂Q
+ ∂R
называется дивергенцией (или
∂x
∂y
∂z
−
→
расходимостью) поля a .
→
Замечание 3.13.3. Нетрудно проверить, что div −
a = (∇P, i) + (∇Q, j) +
def
(∇R, k), где ∇F = grad F.
Замечание 3.13.4. Дивергенция векторного поля не зависит от выбора
декартовой системы координат, т.е. является геометрической величиной.
А, следовательно имеет такой же вид, что и в определении, в любой
другой декартовой системе координат.
→
Доказательство. Действительно, пусть векторное поле −
a ∈ C 1 (D, R3 )
b = {b
в декартовых базисах E = {ei }3i=1 и E
ei }3i=1 представляется в виде
b1 , A
b2 , A
b3 ) соответственно, и при этом M = {aij }3,3
(A1 , A2 , A3 ) и (A
i,j=1,1 –
3
bi = P aij Aj (i = 1, 3).
матрица перехода между этими базисами, т.е. A
j=1
Учитывая, что вектора градиенты ∇Aj не зависят от выбора декартовой
−
b предсистемы координат, получим, что дивергенция поля →
a в базисе E
3
3
3
3
3
P b
PP
P
P
ставляется в виде
(∇Ai , b
ei ) =
(aij ∇Aj , b
ei ) =
(∇Aj , aij b
ei ) =
i=1
3
P
i=1 j=1
j=1
i=1
(∇Aj , ej ). Таким образом, вычисленные в разных системах координат
j=1
дивергенции совпадают.
Теорема 3.21 (Гаусса-Остроградского). Пусть D ⊂ R3 – правильная область, граница которой ориентирована по внешним
нормалям
RR −
−
→
−
→
→
→
1
n = (cos α, cos β, cos γ); a = (P, Q, R) ∈ C (D). Тогда
( a ,−
n )dS =
∂D
RR
RR
RRR ¡ ∂P
+
(P cos α+Q cos β+R cos γ)dS =
P dxdy+Qdzdx+Rdydz =
∂x
D
∂D
∂D+
¢
RRR
∂Q
→
+ ∂R
dxdydz =
div −
a dxdydz.
∂y
∂z
D
Доказательство. Докажем сначала формулу для случая стандартной
области ∆ ⊂ R3 относительно некоторой декартовой системы координат
(все интегралы в формуле не зависят от выбора декартовойRRсистемы координат). Достаточно доказать, что имеют место формулы:
P cos αdS =
∂∆
3.14 Формула Стокса.
RRR
∆
∂P
dxdydz,
∂x
RR
105
Q cos βdS =
RRR
∆
∂∆
∂Q
dxdydz,
∂y
RR
R cos γdS =
RRR
∆
∂∆
∂R
dxdydz.
∂z
Докажем третье равенство (остальные доказываются аналогично). Область ∆ представляет собой множество {(x, y) ∈ Ω | z ∈ [ϕ1 (x, y), ϕ2 (x, y)]},
где Ω ⊂ R2 –правильная область, а функции ϕ1 , ϕ2 : Ω → R : ϕ1 6 ϕ2 задают кусочно-гладкую параметризацию, и ϕ1 ≡ ϕ2 на ∂Ω. Тогда по теореϕ2R
(x,y)
RR
RR
RRR ∂R
∂R
ме Фубини
dxdydz
=
dxdy
(x, y, z)dz =
R(x, y, ϕ2 (x, y))dxdy−
∂z
∂z
Ω
∆
ϕ1 (x,y)
RR
RR
RR Ω
1
R(x, y, ϕ (x, y))dxdy =
R(x, y, z)| cos γ|dS −
R(x, y, z)| cos γ|dS,
σ1
Ω
σ2
где σ1 (σ2 ) – верхняя (нижняя) часть поверхности, задающаяся параметризацией (x, y, ϕ2 (x, y)) (x, y, ϕ1 (x, y)). Учитывая, что cos γ > 0 (< 0) для
верхней (нижней) части поверхности, получим, что
ZZ
ZZ
R(x, y, z)| cos γ|dS −
R(x, y, z)| cos γ|dS =
σ1
ZZ
=
σ2
ZZ
R(x, y, z) cos γdS +
σ1
ZZ
R(x, y, z) cos γdS =
σ2
R(x, y, z) cos γdS.
∂∆
Для доказательства формулы Гаусса-Остроградского в общем случае
правильной области D разрежим ее на на конечное число правильных областей {Di }N
i=1 , являющихся стандартными каждая для своей декартовой
системы координат, так, чтобы соседние области в качестве общей части
границы имели след кусочно-гладкой поверхности. Отметим, что общие
участки соседних областей ориентированы противоположным образом,
и, следовательно, поверхностные интегралы 2-го рода по этим участкам
противоположны по знаку, и поэтому их сумма равна нулю. Участки
границ этих областей, не являющихся общими для соседних, составляют
N RR
RR → −
P
−
→
(→
a ,−
n )dS = (−
a ,→
n )dS.
границу правильной области D. Поэтому
Отсюда
RRR ¡ ∂P
D
∂x
i=1∂Di
+
∂Q
∂y
N RRR ¡
¢
P
∂P
+ ∂R
dxdydz
=
+
∂z
∂x
N RR
RR → −
P
→
→
(−
a ,−
n )dS = (−
a ,→
n )dS.
i=1 ∂Di
3.14
i=1
Di
∂D
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
¢
dxdydz =
∂D
Ротор векторного поля. Формула Стокса.
→
Определение 3.14.1. Пусть¯ −
a = (P, Q,¯R) ∈ C 1 (D, R3 ) – векторное
¯ i
j k ¯¯ ¡
¢
def ¯¯ ∂
∂
∂ ¯
∂Q ∂P
−
→
∂R
∂R ∂Q
∂P
поле, векторное поле rot a = ¯ ∂x ∂y ∂z
¯ = ∂y − ∂z , ∂z − ∂x , ∂x − ∂y
¯ P Q R ¯
106
3 Элементы векторного анализа.
→
называется ротором (или вихрем) поля −
a . Здесь {i, j, k} – канонический
3
(правый) базис в пространстве R .
→
Если −
v – линейная скорость, то величина угловой скорости равна
→
ω = 21 rot −
v , и угловая скорость направлена по оси вращения. Отсюда и
возникло название ротора.
→
Замечание 3.14.1. Нетрудно проверить, что rot −
a = ∇P × i + ∇Q × j +
def
∇R × k, где ∇F = grad F.
Замечание 3.14.2. Ротор векторного поля не зависит от выбора правой
декартовой системы координат, т.е. является геометрической величиной.
А, следовательно имеет такой же вид, что и в определении, в любой
другой правой декартовой системе координат.
→
Доказательство. Действительно, пусть векторное поле −
a ∈ C 1 (D, R3 )
b = {b
в правых декартовых базисах E = {ei }3i=1 и E
ei }3i=1 представляется в
b1 , A
b2 , A
b3 ) соответственно, и при этом M = {aij }3,3
виде (A1 , A2 , A3 ) и (A
i,j=1,1
3
P
bi =
– матрица перехода между этими базисами, т.е. A
aij Aj (i = 1, 3).
j=1
Учитывая, что вектора градиенты ∇Aj не зависят от выбора декартовой
→
b представлясистемы координат, получим, что ротор поля −
a в базисе E
³P
³
´
´
3
3
3
3
3
P
P
P
P
b
∇Aj ×
aij b
aij ∇Aj × b
ei =
ei =
ется в виде
∇A i × b
ei =
i=1
3
P
i=1
j=1
j=1
i=1
∇Aj × ej . Таким образом, вычисленные в разных системах координат
j=1
роторы совпадают.
Теорема 3.22 (Стокса). Пусть σ – кусочно-гладкая двусторонняя поверхность, ∂σ – ее край, представляющий собой конечное объединение
кусочно-гладких простых контуров, ориентация поверхности σ, задан→
→
ная полем нормалей −
n , согласована с ориентацией
края ∂σ;RRи ¡−
a =
RR
→
−
(P, Q, R) ∈ C 1 (S), где S – след σ. Тогда
(rot −
a ,→
n )dS =
{ ∂R
−
∂y
σ
σ
¢
¡
¢
¡
¢
¢
RR ¡ ∂R
∂Q
cos α + ∂P
− ∂R
cos β + ∂Q
− ∂P
cos γ}dS =
− ∂Q
dxdy +
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
∂y
∂z
y
σ
¡ ∂P
¢
¡ ∂Q ∂P ¢
H
∂R
−
dzdx
+
−
dydz
=
P
dx
+
Qdy
+
Rdz.
∂z
∂x
∂x
∂y
y
∂σ
Доказательство. Как мы уже отмечали, дробя подходящим образом
гладкие куски поверхности σ, мы построим представление этой поверхности кусочно-гладкими двусторонними поверхностями {σi }N
i=1 , край которых представляется в виде кусочно-гладкого простого контура, и таких, что отображения-проекции на все координатные плоскости в подходящей правой декартовой системе координат следа поверхности σi была бы взаимно однозначны, т.е. в подходящей системе координат поверхность σi можно параметризовать при помощи гладких функций: и
3.14 Формула Стокса.
107
z = f1 (x, y), и y = f2 (z, x), и x = f3 (y, z). При этом будем считать, что
→
каждая нормаль векторного поля −
n на следе поверхности σi составляет с координатными осями острые углы. Надо отметить, что согласно
→
→
замечанию 3.14.1 выражение (rot −
a ,−
n ) для σi может быть расписано
соответствующим образом относительно новой системы координат, связанной с этой поверхностью. Поскольку для соседних кусков σi и σj
ориентация общего участка их границы противоположна при согласоN H
H
P
P dx + Qdy + Rdz = P dx + Qdy + Rdz.
вании с этими кусками, то
i=1 ∂σ i
N RR
P
∂σ
RR
−
→
→
→
(rot →
a ,−
n )dS =
(rot −
a ,−
n )dS. Поэтому достаточно
i=1 σi
σ
¢
RR ¡ ∂P
H
RR ¡ ∂Q
доказать равенства:
cos β − ∂P
cos γ dS =
P dx,
cos γ −
∂z
∂y
∂x
σi
σi
∂σi
¢
¢
H
RR ¡ ∂R
H
∂Q
∂R
cos
α
dS
=
Qdy,
cos
α
−
cos
β
dS
=
Rdz (i = 1, N ). До∂z
∂y
∂x
Кроме того,
∂σi
σi
∂σi
кажем первое равенство. Пусть поверхность σi параметризована отображением (x, y, z(x, y)) : Ω → R3 . При этом ∂Ω – проекция следа кон→
тура ∂σi , а векторное поле нормалей вычисляется по формуле −
n =
0
√ 10 2 0 2 (−zx0 , −zy0 , 1) (т.к. cos γ > 0). Поэтому cos β = √ −z0 y2 0 2 , cos γ =
1+zx +zy
√ 10 2 0 2 .
1+zx +zy
ZZ µ
1+zx +zy
Следовательно,
¶
¶
ZZ µ
∂P
∂P
∂P 0
∂P
cos β −
cos γ dS = −
z −
cos γdS =
∂z
∂y
∂z y
∂y
σi
ZZ µ
−
σi
¶
ZZ
∂P
∂P
∂
0
(x, y, z(x, y))zy −
(x, y, z(x, y)) dxdy = −
P (x, y, z(x, y))dxdy.
∂z
∂y
∂y
Ω
Последний выражение в силу формулы Грина равно
H
Ω
P (x, y, z(x, y))dx,
∂Ω
а, учитывая, что край ∂σi параметризуется отображением (x, y, z(x, y)) ,
∂Ω
H
оно же равно криволинейному интегралу
P (x, y, z)dx. Остальные равенства доказываются аналогично.
∂σi
Теорема 3.23 (критерий потенциальности). Пусть D ⊂ R3 – од→
→
носвязная область, −
a = (P, Q, R) ∈ C 1 (D, R3 ). Тогда поле −
a является
−
→
−
→
потенциальным тогда и только тогда, когда rot a = 0 .
Доказательство.
→
⇒ Если −
a = grad u, где u : D → R – потенциал, то P = ∂u
,Q =
∂x
¯
¯
¯ i
¯
¯ ∂ ∂j k
¯ ¡ ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u
∂ ¯
−
→
∂u
∂u
¯
rot
a
=
,
R
=
.
Поэтому
∂y
∂z
¯ ∂x ∂y ∂z ¯ = ∂z∂y − ∂y∂z , ∂x∂z − ∂z∂x , ∂y∂x −
¯ P Q R ¯
¢
∂2u
= (0, 0, 0).
∂x∂y
108
3 Элементы векторного анализа.
⇐ В силу теоремы 3.12, достаточно доказать, что потенциал существует на любой окрестности O(M ) ⊂ D для произвольной точки M ∈ D.
Последнее утверждение, в силу замечания 3.4.2, выполняется, если для
любого треугольника ∆, т.е. простой гладкой поверхности, след которой является
H плоским треугольником лежащим в O(M ), криволинейный
интеграл
P dx + Qdy + Rdz равен нулю. А это вытекает из формулы
∂∆
H
RR
RR −
→ →
→
→
Стокса P dx + Qdy + Rdz = (rot −
a ,−
n )dS = ( 0 , −
n )dS = 0.
∆
∂∆
∆
Пример. Следующий пример аналогичен примеру на стр. 77 и пока→
зывает, без предположения об односвязности области из условия rot −
a =
−
→
0 , вообще говоря, не вытекает существования потенциала в этой обy
x
ласти. Пусть P (x, y, z) = − x2 +y
2 , Q(x, y, z) = x2 +y 2 , R(x, y, z) = 0, D =
→
R3 \ OZ. Тогда P, Q, R ∈ C 1 (D) и rot −
a = (0, 0, ∂Q
− ∂P
) = (0, 0, 0) на D.
∂x
∂y
Вычислим интеграл по параметризации
(x(t), y(t)) = (rRcos t, r sin t, 0) :
R
2π
3
[0, 2π] → R окружности γ : γ P dx + Qdy + Rdz = 0 {(− 1r (sin t) ·
r(− sin t)) + 1r (cos t) · r(cos t)}dt = 2π 6= 0. Тем самым, в силу критерия
→
потенциальности поле −
a = (P, Q, R) не является потенциальным на D.
3.15
Физический смысл поверхностных интегралов 1-го и 2-го родов, ротора и дивергенции.
Физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода
RR
f dS – это
σ
масса поверхности, если f – плотность этой поверхности (точнее
следа).
RR −
→
(→
a ,−
n )dS
Физический смысл поверхностного интеграла 2-го рода
σ
→
– это поток Π (−
a ) векторного поля через поверхность σ через одну из
σ
ее сторон (в направлении одной из ее ориентаций), задаваемой полем
→
нормалей −
n = (cos α, cos β, cos γ). Для иллюстрации этого факта рассмотрим следующий пример.
→
Пусть −
a – поле скоростей частиц жидкости, след поверхности σ –
мембрана, стоящая на пути потока жидкости.
В единицу времени через
RR −
→
−
→
мембрану проходит масса воды, равная ( a , n )dS.
σ
H − −
→
Физическая трактовка формулы Стокса. Равенство (→
a , dr) =
RR
σ
y
∂σ
→
→
→
a
(rot −
a ,−
n )dS можно трактовать следующим образом: работа поля −
по замкнутому контуру ∂σ равна потоку вихря этого поля через поверхность σ.
3.15 Физический смысл ротора и дивергенции.
109
→
Теорема 3.24. Пусть D ⊂ R3 – область, −
a ∈ C 1 (D). Тогда для произвольных точки M0 ∈ D и единичного вектора ` ∈ R3 верно равенство
¡ →
¢
H → −
→
a , dr), где γε – окружность радиуса ε > 0
rot −
a (M0 ), ` = lim πε12 (−
ε→0+
γε
с центром в точке M0 , плоскость которой перпендикулярна вектору
`, и обход окружности осуществляется против часовой стрелки, если
смотреть из конца вектора `.
Доказательство. Рассмотрим гладкую поверхность σε , след S которой
плоский круг радиуса ε с центром M0 , плоскость которого перпендикулярна вектору `. Пусть край этой поверхности, т.е. окружность γε ,
имеет согласованную ориентацию с поверхностью σε , ориентация кото→
рой задается постоянным полем −
n ≡ `. В плоскости круга рассмотрим
декартову систему координат, задающую параметризацию q(u, v) этой
поверхности с областью параметризации ∆ : u2 + v 2 6 ε2 . Тогда из
H → →
RR
−
−
→
формулы Стокса и теоремы о среднем (−
a , dr) =
(rot →
a ,−
n )dS =
γ
σ
ε
ε
RR
→
→
−
→
→
(rot −
a ,−
n )(q(u, v))dudv = (rot →
a ,−
n )(q(ξε ))πε2 = (rot −
a (Mε ), `)πε2 , где
∆
→
ξε – некоторая точка из круга ∆, и Mε = q(ξε ) ∈ S. Отсюда (rot −
a (M0 ), `) =
H
→
−
−
→
1
lim
( a , dr).
2
ε→0+ πε γ
ε
Физическая трактовка формулы Гаусса-Остроградского. Равенство
ZZ
ZZZ
→
−
−
→
→
( a , n )dS =
div −
a dxdydz,
D
∂D
→
где −
n – внешнее поле нормалей по отношению к правильной области D,
→
можно трактовать следующим образом: поток векторного поля −
a через
внешнюю сторону границы области D равен интегралу от дивергенции
этого поля по этой области.
→
−
Теорема 3.25. Пусть D ⊂ R3 – область, −
a ∈ C 1 (D). Тогда div →
a
представляет собой плотность источников (стоков).
Доказательство. Рассмотрим
произвольную
M0 ∈ D и шар Bε =
RR −
RRR точку
→
−
→
−
→
→
B(M0 , ε) (ε > 0). Тогда
( a , n )dS =
div a dxdydz, где −
n – внеш∂Bε
Bε
нее поле нормалей по отношению к области B. По теореме о среднем
→
последний интеграл равен div −
a (M ) 34 πε3 , где M – некоторая точка из
→
Π∂Bε (−
a)
→
Bε . Поэтому div −
a (M0 ) = lim m(B
, т.е. представляет собой плотность
ε)
ε→0+
источников (стоков).
Замечание 3.15.1. Когда внутри области нет ни источников, ни стоков,
т.е. дивергенция (плотность источников–стоков) поля равна нулю, то через внешнюю границу этой области поток этого поля равен нулю. Это
означает, что сколько вещества втекает во внутрь области, столько и
вытекает во вне.
110
3.16
3 Элементы векторного анализа.
Элементы векторного поля.
→
На множестве векторных полей −
a ∈ C 1 (D) рассматривают диффе∂
∂
∂
ренциальный оператор ∇ = ( ∂x
, ∂y
, ∂z
). Этот оператор часто рассматривают в следующих символических формулах:
→
→
→
div −
a = (∇, −
a ), rot = ∇ × −
a.
def
def
→
Определение 3.16.1. Поле −
a называется соленоидальным в области
−
→
−
D, если div a = 0 в D. Поле →
a называется безвихревым в области D,
−
→
→
−
−
→
если rot a = 0 в D. Поле a называется вихревым в области D, если
−
→
→
−
−
существует поле b , для которого →
a = rot b .
→
Теорема 3.26. Пусть −
a ∈ C 1 (D). Тогда
→
1). Если поле −
a потенциально, то оно безвихревое.
−
→
2). Если поле a вихревое, то оно соленоидальное.
Доказательство.
¯
¯
¯ i
j k ¯¯
¯
→
−
∂
∂
∂
−
−
1). Если →
a = grad u = ∇u, то rot →
a = ∇ × ∇u = ¯¯ ∂x ∂y ∂z ¯¯ = 0 .
¯ ∂u ∂u ∂u ¯
∂x
∂y
∂z
¡
→
−
−
→
−
→
→
−
−
→
−
2). Если a = rot b , то div a = div rot b = (∇, ∇ × b ) = div ∂R
∂y
¢
2
2
2
2
2
2
∂Q ∂P
∂ Q
∂ Q
∂ R
∂ P
∂ R
∂ P
,
− ∂R
, ∂Q − ∂P
= ∂y∂x
− ∂z∂x
+ ∂z∂y
− ∂x∂y
+ ∂x∂z
− ∂y∂z
= 0.
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
3.17
Полилинейные функции и кососимметричные формы.
Определение 3.17.1. Пусть X – линейное пространство над полем R.
Напомним, что отображение l : X
. . × X} → R называется полили| × .{z
n
нейной функцией порядка k (k-линейной формой), если она линейна по
каждой переменной в отдельности при фиксированных других. Через
Lk (X) обозначим линейное пространство всех таких отображений.
Замечание 3.17.1. При k = 1 соответствующая полилинейная функция
порядка 1 представляет собой обычную линейную функцию l : X → R.
Пример. Изучим множество Lk (X) в случае X = Rn . Обозначим через ei : Rn → R линейную функцию, сопоставляющую каждому вектору
x = (x1 , . . . , xn ) его i-ю координату, т.е. число xi . Как всякая линейная
3.17 Полилинейные функции и кососимметричные формы.
111
функция она однозначно определяется по значениям на элементах базиса в Rn , например, канонического базиса {ei = (0, . . . , 0, |{z}
1 , 0, . . . , 0)}.
i
½
1,
если
i
=
j
В этом случае ei (ej ) = δij =
. Примером полилинейной
0, если i 6= j
функции порядка k служит произведение ei1 (x1 )·ei2 (x2 )·. . .·eik (xk ), определенное на упорядоченном наборе векторов {xj = (xj1 , . . . , xjn )}kj=1 ⊂ Rn
и сопоставляющее этому набору число x1i1 · x2i2 · . . . · xkik (1 6 i1 , . . . , ik 6 n).
На самом деле, эти полилинейные функции ei1 ,...,ik = ei1 · ei2 · . . . · eik образуют базис в пространстве Lk (Rn ). Действительно, функции {ei1 ,...,ik }
линейноP
независимы, т.к. для любого набора чисел {αi1 ,...,ik } ⊂ Rn выражение
αi1 ,...,ik ei1 ,...,ik на упорядоченном наборе векторов {xj = eij }kj=1
i1 ,...,ik
равно числу αi1 ,...,ik . Поэтому эта линейная комбинация является нулевой k-линейной формой, если все числа αi1 ,...,ik = 0. Отсюда и вытекает
линейная независимость элементов ei1 ,...,ik . С другой стороны, для любой
функции l ∈ Lk (Rn ) имеет место формула:
X
X
¡ X 1 i1
¢
l(x1 , . . . , xk ) = l
xi 1 e , . . . ,
xkik eik =
l(ei1 , . . . , eik ) x1i1 ·x2i2 ·. . .·xkik =
i1
=
X
ik
i1 ,...,ik
αi1 ,...,ik ei1 ,...,ik (x1 , . . . , xk ), где αi1 ,...,ik = l(ei1 , . . . , eik ).
i1 ,...,ik
Тем самым, {ei1 ,...,ik } – базис в пространстве Lk (Rn ), и размерность этого
пространства равна nk .
Определение 3.17.2. Полилинейная функция l ∈ Lk (X) называется
кососимметричной (или k-формой), если при перестановке любых ее двух
аргументов местами ее значение меняется на противоположную по знаку,
т.е. l(x1 , . . . , xi , . . . , xj , . . . , xk ) = −l(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xk ).
Следствие 3.27. Пусть l является k-формой, где k > 2, и xi = xj для
некоторых различных индексов i, j. Тогда l(x1 , . . . , xj , . . . , xi , . . . , xk ) = 0.
Замечание 3.17.2. Множество всех кососимметричных функций порядка k (k-форм) образует линейное пространство Ωk (X), которое является
подпространством в Lk (X). По определению полагаем Ω1 (X) = L1 (X).
Пример. Введем операцию внешнего произведения (кососимметричного произведения). Пусть l1 , . . . , lk ∈ L1 (X) = Ω1 (X), по определению
полагаем
¯
¯
¯ l1 (x1 ) . . . lk (x1 ) ¯
¯
¯
l1 ∧ . . . ∧ lk (x1 , . . . , xk ) = ¯¯ . . . . . . . . . ¯¯ .
¯ l1 (xk ) . . . lk (xk ) ¯
Перестановка любых двух векторов местами меняет строки, и, следовательно, знак. Перестановка линейных функций меняет столбцы и, следовательно, также меняет знак.
112
3 Элементы векторного анализа.
Обозначение 6. В случае X = Rn положим
¯ 1
¯ xi
¯ 1
1
k
πi1 ,...,ik (x , . . . , x ) = ¯¯ . . .
¯ xki
1
πi1 ,...,ik = ei1 ∧ . . . ∧ eik , т.е.
¯
. . . x1ik ¯¯
. . . . . . ¯¯ .
. . . xkik ¯
Докажем, что k-формы {πi1 ,...,ik } (i1 < . . . < ik ) образуют базис в пространстве Ωk (Rn ). Прежде
что если полилинейная функP всего отметим,
ция l(x1 , . . . , xk ) =
αi1 ,...,ik ei1 ,...,ik (x1 , . . . , xk ) кососимметрична, тоi1 ,...,ik
гда αi1 ,...,ik = l(ei1 , . . . , eik ), и, следовательно, для любой перестановки
σ : 1, k → 1, k (биекции) верно равенство αiσ(1) , . . . , αiσ(k) = sign σ αi1 ,...,ik ,
где sign σ = −1, если σ – нечетная перестановка, и sign σ = 1, если σ –
четная перестановка.
Поэтому
P
P
l(x1 , . . . , xk ) =
αi1 ,...,ik ei1 ,...,ik (x1 , . . . , xk ) =
αi1 ,...,ik x1i1 · . . . · xkik =
i1 ,...,ik
i1 ,...,ik
¯
¯ 1
¯ xi . . . x1i ¯
k ¯
¯ 1
P
P
P
αi1 ,...,ik sign σ x1iσ(1) · . . . · xkiσ(k) =
αi1 ,...,ik ¯¯ . . . . . . . . . ¯¯ =
σ
i1 <...<ik
i1 <...<ik
¯ xki . . . xki ¯
1
k
P
P
1
k
αi1 ,...,ik ei1 ∧ . . . ∧ eik (x , . . . , x ) =
αi1 ,...,ik πi1 ,...,ik (x1 , . . . , xk ) =
i1 <...<ik
i1 <...<ik
P
1
1
k
α
π
(x
,
.
.
.
,
x
).
Последнее
равенство вытекает из равенi1 ,...,ik i1 ,...,ik
k!
i1 ,...,i
k
P
ства
αiσ(1) ,...,iσ(k) πiσ(1) ,...,iσ(k) = k!αi1 ,...,ik πi1 ,...,ik . Линейная независимость
σ
k-форм {πi1 ,...,ik }i1 <...<ik доказывается также, как и линейная независимость {ei1 ,...,ik }. Размерность Ωk (Rn ) равна числу элементов базиса {πi1 ,...,ik }i1 <...<ik ,
т.е. равна числу Cnk в случае n > k.
Определение 3.17.3. Доопределим внешнее произведение на кососимметричные формы, считая, что эта операция дистрибутивна, т.е. (l1 +
def
def
l2 ) ∧ l3 = l1 ∧ l3 + l2 ∧ l3 , где li ∈ Ωki (Rn ) (i =
P1, 3); и a ∧ l1 = a · l1
для всех чисел a ∈ R. Тогда для форм l1 =
αi1 ,...,ik πi1 ,...,ik и l2 =
i1 <...<ik
P
βj1 ,...,jm πj1 ,...,jm верно равенство
j1 <...<jm
l1 ∧ l2 =
X
αi1 ,...,ik βj1 ,...,jm πi1 ,...,ik ∧ πj1 ,...,jm ,
i1 <...<ik
j1 <...<jm
где πi1 ,...,ik ∧ πj1 ,...,jm = ei1 ∧ . . . ∧ eik ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejm (и равно нулю, если
хотя бы два индекса совпадают).
3.18
Дифференциальные формы.
3.18 Дифференциальные формы.
113
Определение 3.18.1. Пусть D ⊂ Rn – множество, внутренность которого является областью. Совокупность n-мерных векторов, приложенных к точке x0 ∈ D, называют касательным пространством в точке x0
и обозначают T Dx0 . В касательной плоскости T Dx0 можно рассмотреть
канонический базис, состоящий из векторов ei (x0 ), равных ei и приложенных к точке x0 . Пусть f ∈ C 1 (D). Тогда дифференциал df (x0 ) =
∂f
∂f
(x0 )dx1 +. . .+ ∂x
(x0 )dxn , определенный в каждой точке x0 ∈ D, явля∂x1
n
ется линейной формой (1-формой) от вектора h = (dx1 , . . . , dxn ). Таким
образом, функция f порождает поле линейных форм, определенных на
касательных пространствах T Dx (x ∈ D), изоморфных Rn .
на
Замечание 3.18.1. Пусть τ = (τ1 , . . . , τn ) : ∆ → D – C 1 -диффеоморфизм,
n
P
∂f
(x)dxi
и x = τ (t), тогда дифференциальная 1-форма ω = df (x) =
∂xi
переходит в дифференциальную форму
n
P
i=1
n
P
j=1
i=1
∂f
(τ (t))dtj ,
∂tj
где
∂f
(τ (t))
∂tj
=
∂f
∂τi
(x) ∂t
(t).
∂xi
j
Определение 3.18.2. Дифференциальной формой порядка k будем называть выражение ω(x), которое в каждой точке x ∈ D ⊂ Rn является
k-формой ω(x) : (T Dx )k → R, и, следовательно, представляется в виде
X
X
ai1 ,...,ik (x)ei1 ∧ . . . ∧ eik .
ai1 ,...,ik (x)πi1 ,...,ik =
ω(x) =
i1 <...<ik
i1 <...<ik
В дальнейшем будем обозначать линейную функцию ei через dxi , поскольку ei (dx) = dxi , где dx = (dx1 , . . . , dxn ). Поэтому
дифференциP
альная форма будет записываться в виде ω(x) =
ai1 ,...,ik (x)dxi1 ∧
i1 <...<ik
. . . ∧ dxik . Множество всех дифференциальных форм порядка k (потока k-форм) на D будем обозначать через Ωk (D). Через Ω0 (D) будем
обозначать множество всех функций
P f : D → R. Будем говорить, что
дифференциальная форма ω =
ai1 ,...,ik (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik принадi1 <...<ik
лежит классу C k (D), если ai1 ,...,ik ∈ C k (D) для всех наборов индексов
i1 < . . . < ik .
Замечание 3.18.2. Если n < k, то k-форма является нулевой. Это вытекает, например, из того, что набор из любых k векторов {x1 , . . . , xk } ⊂ Rn
является
линейно
зависимой системой, и поэтому πi1 ,...,ik (x1 , . . . , xk ) =
¯ 1
¯
1
¯ xi . . . x i ¯
k ¯
¯ 1
¯ . . . . . . . . . ¯ = 0, а, следовательно, ω ≡ 0.
¯ k
¯
¯ xi . . . xki ¯
1
k
Примеры дифференциальных форм.
114
3 Элементы векторного анализа.
→
1. Пусть −
a = (a1 , a2 , a3 ) : D → R3 (D ⊂ R3 ) – векторное силовое
поле. Тогда для вектора приращения h ∈ T Dx работа поля, отвечающая
−
→
−
перемещению на вектор h, равна (→
a , h ) = a1 π1 (h) + a2 π2 (h) + a3 π3 (h).
→
−
→
a , h ) = a1 dx +
Т.е. для вектора h = (dx, dy, dz) это выражение равно (−
a2 dy + a3 dz. Эту дифференциальную форму называют формой работы
→
векторного поля −
a.
1
i
i
2. Пусть h × h2 – векторноеµ¯
произведение
hi2 , hi3 ) ∈
¯ ¯ векторов
¯ ¯ h 1= (h1 1¯,¶
1
1
1
1
¯ h h ¯ ¯ h h ¯ ¯ h h ¯
R3 (i = 1, 2). Тогда h1 × h2 = ¯¯ 22 32 ¯¯ , ¯¯ 32 12 ¯¯ , ¯¯ 12 22 ¯¯ , и поh3 ¯h1
h1 h2
3
¯ 1 1 ¯ ¯ h2 h
1
1 ¯
¯
¯
¯
h h
π (h ) π3 (h ) ¯
этому π1 [h1 × h2 ] = ¯¯ 22 32 ¯¯ = ¯¯ 2 2
= π2 ∧ π3 (h1 , h2 ). Анаh2 h3
π2 (h ) π3 (h2 ) ¯
логично, π2 [h1 × h2 ] = π3 ∧ π1 (h1 , h2 ), π3 [h1 × h2 ] = π1 ∧ π2 (h1 , h2 ).
→
3. Пусть −
a = (a1 , a2 , a3 ) : D → R3 (D ⊂ R3 ) – поле скоростей жидко→
сти. Тогда для двух малых векторов h1 , h2 ∈ T Dx величина (−
a , h1 ×h2 ) =
→
h−
a , h1 , h2 i представляет собой объем жидкости, протекающей за единицу
времени через параллелограмм, натянутый на вектора h1 и h2 . Из преды→
дущего пункта вытекает, что (−
a , h1 × h2 ) = a1 π1 (h1 × h2 ) + a2 π2 (h1 × h2 ) +
a3 π3 (h1 × h2 ) = a1 π2 ∧ π3 (h1 , h2 ) + a2 π3 ∧ π1 (h1 , h2 ) + a3 π1 ∧ π2 (h1 , h2 ). Т.е.
→
выражение (−
a , h1 × h2 ) = a1 dy ∧ dz + a2 dz ∧ dx + a3 dx ∧ dy является
−
2-формой потока поля →
a.
3.19
Внешний дифференциал.
Определение 3.19.1. Внешним дифференциалом
k-дифференциальной
P
формы ω ∈ Ωk (D), имеющий вид ω(x) =
ai1 ,...,ik (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ,
i1 <...<ik
где ai1 ,...,ik ∈ C 1 (D), называется дифференциальная форма
def
dω =
X
dai1 ,...,ik (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∈ Ωk+1 (D),
i1 <...<ik
где dai1 ,...,ik (x) =
n
P
j=1
∂ai1 ,...,ik
dxj .
∂xj
Замечание 3.19.1. dω=
n
P
P
j=1 i1 <...<ik
∂ai1 ,...,ik
∂xj
dxj ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik .
Свойства внешнего дифференциала.
1). d(ω1 + ω2 ) = dω1 + dω2 (следует из определения).
2). d(ω1 ∧ ω2 ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 , где k – порядок дифференциальной формы ω1 .
3.19 Внешний дифференциал.
115
Доказательство. В силу свойства 1) достаточно доказать формулу для
случая ω1 = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik и ω2 = gdxj1 ∧ . . . ∧ dxjq . Тогда ω1 ∧ ω2 =
f gdxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjq и d(ω1 ∧ ω2 ) = (gdf + f dg) ∧ dxi1 ∧
. . . ∧ dxik ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjq = (df ∧ dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ) ∧ (gdxj1 ∧ . . . ∧ dxjq ) +
(f dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ) ∧ (−1)k (dg ∧ dxj1 ∧ . . . ∧ dxjq ) = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 .
В предпоследнем выражении во втором слагаемом мы переставляли 1форму dg с 1-формами dxim (m = 1, k), поэтому в силу свойств внешнего
произведения каждый раз изменялся знак выражения, и после k таких
перестановок он стал равен (−1)k .
3). Если ω =
P
i1 <...<ik
ai1 ,...,ik (x)dxi1 ∧ . . . ∧ dxik ∈ C 2 (D), т.е. ai1 ,...,ik ∈
C 2 (D), то d2 ω = d(dω) = 0.
Доказательство. В силу свойства 1) достаточно доказать утверждение
для дифференциальной формы вида ω = f (x) ∧ ω0 , где ω0 = dxi1 ∧
n
n P
n
¡P
¢
P
∂f
∂2f
. . . ∧ dxik . Тогда d(dω) = d
dx
∧
ω
=
dxj ∧ dxi ∧ ω0 .
i
0
∂xi
∂xi ∂xj
i=1
j=1 i=1
Учитывая, что dxj ∧ dxi = −dxi ∧ dxj , равенство можно переписать в
P ¡ ∂2f
2f ¢
виде: d(dω) =
− ∂x∂i ∂x
dxi ∧ dxj ∧ ω0 = 0.
∂xj ∂xi
j
i<j
Примеры:
→
1. Пусть D ⊂ R3 – область (замкнутая область), −
a = (P, Q, R) ∈
1
3
C
(D,
R
),
ω
=
P
dx
+
Qdy
+
Rdz.
Тогда
dω
=
dP
∧
dx
+
dQ
∧
dy + dR ∧ dz =
¡ ∂P
¢
¡ ∂Q
¢
¡ ∂R
∂Q
∂Q
∂P
∂P
dx + ∂y dy + ∂z dz ∧ dx + ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz ∧ dy + ∂x dx + ∂R
dy +
∂x ¢
¡ ∂R ∂Q ¢
¡ ∂P
¢
¡ ∂Q ∂P ¢ ∂y
∂R
∂R
dz ∧ dz = ∂y − ∂z dy ∧ dz + ∂z − ∂x dz ∧ dx + ∂x − ∂y dx ∧ dy.
∂z
2. Для дифференциальной ¡формы ω = P dy
¢ ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
∂Q
∂R
ее дифференциал равен dω = ∂P
+
+
dx ∧ dy ∧ dz.
∂x
∂y
∂z
Определение 3.19.2. Дифференциальная форма ω называется замкнутой в D, если dω = 0 в D. Дифференциальная форма ω называется точной в D, если ω = dω0 в D для некоторой дифференциальной формы
ω0 .
Следствие 3.28. Точная дифференциальная форма класса C 1 – замкнута.
Замечание 3.19.2. Если дифференциальная форма ω на D ⊂ Rn имеет
порядок k > n, то dω = 0 (т.к. ее порядок больше размерности области),
следовательно, эта дифференциальная форма ω замкнута на D.
Приведем без доказательства следующее утверждение.
Теорема 3.29 (Пуанкаре). Если дифференциальная форма ω замкнута в шаре пространства Rn , то она точна в нем.
116
3 Элементы векторного анализа.
3.20
Замена переменной. Перенос дифференциальных форм.
Определение 3.20.1. Пусть D ⊂ Rm , G ⊂ Rn , ϕ : D → G. Тогда
определено отображение ϕ∗ : Ω0 (G) → Ω0 (D), задающееся формулой
ϕ∗ (f )(x) = f (ϕ(x)) (x ∈ D). Если ϕ ∈ C 1 (D), то для каждой точки
x ∈ D определено отображение касательных пространств ϕ0 (x) : T Dx →
T Gy (y = ϕ(x)). Каждой дифференциальной k-форме ω, заданной на
def
G, можно сопоставить дифференциальную форму ϕ∗ (ω)(x)[h1 , . . . , hk ] =
ω(ϕ(x))[ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ϕ0 (x)[hk ]]. Тем самым, определено отображение ϕ∗ :
Ωk (G) → Ωk (D). Это отображение называют переносом форм с G на D.
Замечание 3.20.1. Если k > m, то ϕ∗ (ω) = 0.
def
Замечание 3.20.2. Для дифференциальной формы ω(y) = dyi = ei на
G верна следующая формула переноса ϕ∗ (ω)[h] = ei [ϕ0 (x)[h]] = dϕi (x) =
n
P
∂ϕi
(x)dxj , где ϕ : D → G – класса C 1 . И, следовательно, верна фор∂xj
j=1
мула ϕ∗ (dyi1 ∧ . . . ∧ dyik )[h1 , . . . , hk ] = dϕi1 (x) ∧ . . . ∧ dϕik (x)[h1 , . . . , hk ].
def
Доказательство. Поскольку ω(y)[η] = dyi [η] = ei [η], то ϕ∗ (ω)[h] = ω(ϕ(x))[ϕ0 (x)(h)] =
n
n
P
P
∂ϕi
∂ϕi
ei [ϕ0 (x)(h)] = ϕ0i (x)(h) =
(x)h
=
(x)dxj [h]. Таким образом,
j
∂xj
∂xj
ϕ∗ (ω) =
n
P
j=1
j=1
∂ϕi
(x)dxj
∂xj
j=1
= dϕi .
Свойства отображения переноса форм.
1. Для всех чисел α, β ∈ R и дифференциальных форм ω1 , ω2 ∈ Ωk (G)
выполняется равенство ϕ∗ (αω1 + βω2 ) = αϕ∗ (ω1 ) + βϕ∗ (ω2 ).
2. ϕ∗ (a(y) · ω) = a(ϕ(x))ϕ∗ (ω).
3. (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ , т.е. (ψ(ϕ))∗ = ϕ∗ (ψ ∗ ).
4. ϕ∗ (ω1 ∧ ω2 ) = ϕ∗ (ω1 ) ∧ ϕ∗ (ω2 ).
5. Пусть ϕ ∈ C 2 (D), тогда ϕ∗ (dω) = d(ϕ∗ (ω)).
P ∂(yi1 ...yik )
6. ϕ∗ (dyi1 ∧ . . . ∧ dyik ) =
dxj1 ∧ . . . ∧ dxjk , где y =
∂(xj ...xj )
j1 <...<jk
1
k
(y1 , . . . , yn ) = ϕ(x) = ϕ(x1 , . . . , xm ).
Доказательство.
1. ϕ∗ (αω1 +βω2 )(x)[h1 , . . . , hk ] = (αω1 +βω2 )(ϕ(x))[ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ϕ0 (x)[hk ]] =
αω1 (ϕ(x))[ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ϕ0 (x)[hk ]]+βω2 (ϕ(x))[ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ϕ0 (x)[hk ]] = {αϕ∗ (ω1 )+
βϕ∗ (ω2 )}(x)[h1 , . . . , hk ].
2. ϕ∗ (a(·)·ω)[h1 , . . . , hk ] = (a·ω)(ϕ(x))[ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ϕ0 (x)[hk ]] = a(ϕ(x))ϕ∗ (ω).
3.20 Перенос дифференциальных форм.
117
3. Пусть D ⊂ Rm , G ⊂ Rn , B ⊂ Rp – области (замкнутые области),
ϕ : D → G, ψ : G → B и ω – дифференциальная k-форма, определенная
на B. Тогда
(ψ◦ϕ)∗ (ω)(x)[h1 , . . . , hk ] = ω(ψ◦ϕ(x))[ψ 0 (ϕ(x))ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ψ 0 (ϕ(x))ϕ0 (x)[hk ]] =
= ω(ψ(y))[ψ 0 (y)[η 1 ], . . . , ψ 0 (y)[η k ]] = ψ ∗ (ω)(y)[η 1 , . . . , η k ] =
= ψ ∗ (ω)(ϕ(x))[ϕ0 (x)[h1 ], . . . , ϕ0 (x)[hk ]] = ϕ∗ (ψ ∗ (ω))(x)[h1 , . . . , hk ],
т.е. (ψ ◦ ϕ)∗ (ω) = ϕ∗ ◦ ψ ∗ (ω).
4. Пусть
P
P
ω1 =
ai1 ,...,ik (y)ei1 ∧ . . . ∧ eik и ω2 =
bj1 ,...,jq (y)ej1 ∧ . . . ∧ ejq .
i1 <...<ik
j1 <...<jk
P
Тогда ω1 ∧ ω2 =
ai1 ,...,ik (y)bj1 ,...,jq (y)ei1 ∧ . . . ∧ eik ∧ ej1 ∧ . . . ∧ ejq .
i1 <...<ik
j1 <...<jk
ϕ∗ (ω1 ∧
Следовательно,
P
ω2 ) =
i1 <...<ik
j1 <...<jk
ai1 ,...,ik (ϕ(x))bj1 ,...,jq (ϕ(x))dϕi1 (x) ∧
P
. . . ∧ dϕik (x) ∧ dϕj1 (x) ∧ . . . ∧ dϕjq (x) =
ai1 ,...,ik (ϕ(x))dϕi1 (x) ∧ . . . ∧
i
<...<i
1
k
P
dϕik (x) ∧
bj1 ,...,jq (ϕ(x))dϕj1 (x) ∧ . . . ∧ dϕjq (x) = ϕ∗ (ω1 ) ∧ ϕ∗ (ω2 ).
j1 <...<jk
5. Докажем равенство сначала для случая, когда порядок формы k =
n
P
∂f
dyi , ϕ∗ (ω) = f (ϕ(x)), dϕ∗ (ω)(x) =
0, т.е. ω(y) = f (y). Тогда dω =
∂yi
m
P
j=1
∗
∂
(f (ϕ(x)))dxj
∂xj
=
n
m P
P
j=1 i=1
i=1
∂f ∂ϕi
dxj
∂yi ∂xj
=
n
P
i=1
∂f
(ϕ(x))ϕ0 (x)[dx]
∂yi
= ϕ∗ (df ) =
ϕ (dω), где dx = (dx1 , . . . , dxm ).
Проведем доказательство в общем случае индукцией по порядку k
формы ω. Достаточно доказать для формы вида ω = fi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧
dyik . Для этой формы dω = dfi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik , и, по свойству 4,
ϕ∗ (dω) = ϕ∗ (dfi1 ,...,ik )∧ϕ∗ (dyi1 )∧. . .∧ϕ∗ (dyik ). С другой стороны, dϕ∗ (ω) =
d{ϕ∗ (fi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik )} = d{ϕ∗ (fi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik−1 ) ∧ ϕ∗ (dyik )} =
d{ϕ∗ (fi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik−1 )} ∧ ϕ∗ (dyik ) + (−1)k−1 ϕ∗ (fi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧
dyik−1 )∧dϕ∗ (dyik ). И поскольку ϕ∗ (dyik ) = dϕ∗ (yik ), то dϕ∗ (dyik ) = d2 ϕ∗ (yik ) =
0, то учитывая предположение индукции: dϕ∗ (fi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik−1 ) =
ϕ∗ (dfi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik−1 ), получим, что dϕ∗ (ω) = ϕ∗ (dfi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧
dyik−1 ) ∧ ϕ∗ (dyik ) = ϕ∗ (dfi1 ,...,ik dyi1 ∧ . . . ∧ dyik−1 ∧ dyik ) = ϕ∗ (dω).
¡ P ∂ϕi
¢
1
6. ϕ∗ (dyi1 ∧ . . . ∧ dyik ) = dϕi1 ∧ . . . ∧ dϕik =
dxj1 ∧ . . . ∧
∂xj1
j1
¡ P ∂ϕi
¢
P ∂(ϕi1 ,...,ϕik )
P ∂ϕi1
∂ϕik
k
·. . .· ∂xj dxj1 ∧. . .∧dxjk =
dxj1 =
dxj1 ∧
∂xj
∂xj
∂(xj ,...,xj )
j1
k
. . . ∧ dxjk .
j1 ,...,jk
1
k
j1 <...<jk
1
k
118
3 Элементы векторного анализа.
3.21
Интегрирование дифференциальных форм
по поверхности. Общая теорема Стокса.
Определение 3.21.1. Пусть D ⊂ Rn – измеримое по Жордану множество, чья внутренность является областью, и ω = f (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn .
Через D+ (D− ) обозначим положительно (отрицательно)
ориентированR
ное множество D. По определению положим
f (x)dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
D±
R
± f (x)dx1 . . . dxn .
D
Определение 3.21.2. Пусть D ⊂ Rn – измеримое по Жордану множество, чья внутренность является областью, ϕ : D → Rm – гладкая
параметризация, и след ϕ(D) ⊂ G ⊂ Rn . Пусть на области
G
R
R задана
дифференциальная форма ω. Положим по определению ω = ϕ∗ (ω).
ϕ
D
Определение 3.21.3. Пусть Di ⊂ Rn (i = 1, 2) – измеримые по Жордану множества, внутренность которых является областью, ориентированные положительно. Гладкие параметризации ϕi : Di → G ⊂ Rm (i = 1, 2)
называются эквивалентными, если существует функция перепараметризации τ : D1 → D2 такая, что ϕ1 ∼ ϕ2 , и τ – C 1 -диффеоморфизм с полоτ
жительным якобианом Jτ .
Теорема 3.30. Пусть Di ⊂ Rn (i = 1, 2) – измеримые по Жордану
множества, внутренность которых является областью, и ϕi : Di →
G ⊂ Rm (i = 1, 2) – гладкие эквивалентные друг другу параметризации,
R
ω – определенная на G дифференциальная форма порядка n. Тогда ω =
ϕ1
R
ω.
ϕ2
Доказательство. Итак, ϕ1 ∼ ϕ2 , где τ – C 1 -диффеоморфизм с положиτ
тельным якобианом Jτ . Поскольку для произвольной точки x ∈ D1 и y =
τ (x) верно равенство (ϕ1 )0 (x) = (ϕ2 )0 (y) ◦ τ 0 (x), то минор
∂(ϕ2i ,...,ϕ2in )
1
∂(y1 ,...,yn )
вен
P
i1 <...<in
∂(ϕ1i ,...,ϕ1in )
1
∂(x1 ,...,xn )
(x) ра-
(y) det Jτ (x). Отсюда для дифференциальной формы ω(z) =
fi1 ,...,in (z)dzi1 ∧ . . . ∧ dzin верны соотношения переноса
∗
ϕ1 (ω) =
X
fi1 ,...,in (ϕ1 (x))
i1 <...<in
=
X
i1 <...<in
fi1 ,...,in (ϕ2 (τ (x)))
∂(ϕ1i1 , . . . , ϕ1in )
dx1 ∧ . . . ∧ dxn =
∂(x1 , . . . , xn )
∂(ϕ2i1 , . . . , ϕ2in )
det Jτ dx1 ∧ . . . ∧ dxn
∂(y1 , . . . , yn )
3.21 Интегрирование дифференциальных форм.
P
∗
и ϕ2 (ω) =
i1 <...<in
fi1 ,...,in (ϕ2 (y))
∂(ϕ2i ,...,ϕ2in )
1
∂(y1 ,...,yn )
119
dy1 ∧ . . . ∧ dyn . Следовательно,
в силу теоремы о замене переменных в кратном интеграле Римана,
Z
Z
1∗
ω=
ϕ1
=
ϕ (ω) =
fi1 ,...,in (ϕ2 (τ (x)))
i1 <...<in D
D1
∂(ϕ2i1 , . . . , ϕ2in )
det Jτ dx1 ∧. . .∧dxn =
∂(y1 , . . . , yn )
1
X Z
i1 <...<in D
X Z
∂(ϕ2i1 , . . . , ϕ2in )
fi1 ,...,in (ϕ (y))
dy1 ∧ . . . ∧ dyn =
∂(y1 , . . . , yn )
Z
2
Z
2∗
2
ϕ (ω) =
D2
ω.
ϕ2
Определение 3.21.4. Пусть σ – гладкая n-поверхность, след которой
лежит в области G ⊂ Rm , дифференциальная
форма ω порядка n опреR
делена на G. Тогда интегралом ω называется интеграл по любой ее
σ
гладкой параметризации. Корректность этого определения вытекает из
предыдущей теоремы.
Ориентация кусочно-гладкой поверхности, согласование ориентаций поверхности и края.
Определим сначала так называемые противоположные ориентации
для симплексов. Рассмотрим симплекс S с заданным порядком следования вершин {Pi0 , Pi1 , . . . , Pin }, находящегося в общем положении в пространстве Rn . При этом считается, что вершины {P0 , P1 , . . . , Pn } изна−−→ −−→
−−−→
чально выбраны так, что базис векторов {P0 P1 , P0 P2 , . . . , P0 Pn } является правым в пространстве Rn . Ориентация этого симплекса задается
набором индексов i0 , i1 , . . . , in , которые определяют перестановку чисел
0, 1, . . . , n. Если перестановка – четная, то его ориентация называется
положительной (правой), если она нечетна, то его ориентация называется отрицательной (левой). Такое определение ориентации совпадает с
−−−→ −−−→
−−−→
ориентацией, задаваемой при помощи базиса {Pi0 Pi1 , Pi0 Pi2 , . . . , Pi0 Pin }.
Это позволяет сделать вывод, что все ориентированные симплексы (т.е.
симплексы с выделенной ориентацией) разбиваются на два класса: симплексы с правой и соответственно левой ориентацией. Ориентация его
(n − 1)-мерных граней, согласованная с ориентацией симплекса, определяется ориентацией симплекса, где не принадлежащая грани вершина
ставится на первое место. Легко проверить, что при изменении ориентации симплекса на противоположную меняются на противоположную и
ориентации его (n − 1)-мерных граней, а при измении порядка следования, сохраняющего ориентацию симплекса его грани также сохраняют
ориентацию. В качестве примера согласования рассмотрим симплекс с
вершинами {P0 , P1 , P2 }. Грань {P1 , P2 } имеет согласованную с исходным
120
3 Элементы векторного анализа.
симплексом ориентацию, т.к. симплекс {P0 , P1 , P2 } положительно ориентирован. Грань {P0 , P1 } имеет также согласованную с исходным симплексом ориентацию, т.к. симплекс {P2 , P0 , P1 } положительно ориентирован.
Грань {P0 , P2 } не согласована ориентацией с исходным симплексом, а
грань {P2 , P0 } согласована.
В дальнейшем будем говорить, что ориентация, задаваемая порядком следования образов {ψ(P1 ), . . . , ψ(Pl )}, индуцирована при помощи
(инъективного) отображения ψ ориентацией, задаваемой порядком следования во множестве {P1 , . . . , Pl }.
Определение 3.21.5. Обобщенным симплексом (в Rn ) называют образ при некотором диффеоморфизме τ некоторого симплекса S ⊂ Rn
с выделенными вершинами, являющимися образами вершин S. Гранями размерности k называют образы k-мерных граней симплекса S при
помощи этого гомеоморфизма. Ориентация этого симплекса и его граней также задается порядком следования его вершин {τ (Pi0 ), . . . , τ (Pin )}.
Нетрудно видеть, что ориентация этого симплекса определяется ори−−−→
ентацией базиса, состоящего из касательных векторов: {τ 0 (Pi0 )[Pi0 Pi1 ],
−−−→
−−−→
τ 0 (Pi0 )[Pi0 Pi2 ], . . . , τ 0 (Pi0 )[Pi0 Pin ]}. Отсюда вытекает, что одинаково ориентированные обобщенные симплексы связаны друг с другом диффеоморфизмом с положительным якобианом. Для любых обобщенных симплексов D1 и D2 , связанных между собой диффеоморфизмом τ, ориентации
(т.е. порядок следования вершин) обобщенного симплекса D1 и какой-то
его грани A1 при помощи отображения τ индуцируют ориентации обобщенного симплекса D2 = τ (D1 ) и его грани A2 = τ (A1 ). При этом, если
ориентации D1 и A1 согласованы, то индуцируемые гомеоморфизмом τ
ориентации D2 и A2 оказываются также согласованными.
Определение 3.21.6. Простейшей гладкой параметризацией называется простая гладкая параметризация ϕ : S → Rm , где S ⊂ Rn – некоторый
симплекс. Сужение ϕ , где G – k-мерная грань симплекса S, называется
G
k-мерной гранью этой простейшей параметризации.
Множество σ всех простых гладких параметризаций ψ : D → Rm ,
где D ⊂ Rn – обобщенный симплекс, эквивалентных простейшей параметризации ϕ (при помощи функции перепараметризации, являющейся
диффеоморфизмом), будем называть криволинейным симплексом (или
просто гладким куском) в пространстве Rm размерности n. Класс всех
простых гладких параметризаций χ : ∆ → Rm , где ∆ ⊂ Rk – обобщенный симплекс, эквивалентных параметризации ϕ , будем называть
G
k-мерной гранью σ. Вершинами криволинейного симплекса σ будем называть образы вершин обобщенного симплекса любой параметризации
из σ. Ориентация криволинейного симплекса и его граней задается порядком следования его вершин. В дальнейшем ориентацию криволинейного симплекса будем определять сужением класса его эквивалентных
параметризаций. Для этого удобно рассмотреть все такие его простые
3.21 Интегрирование дифференциальных форм.
121
гладкие параметризации ψ : D → Rm , где D ⊂ Rn – положительно ориентированный обобщенный симплекс, ориентация которого индуцирует
при помощи отображения ψ заданный порядок следования вершин этого
криволинейного симплекса.
Криволинейный симплекс с выбранный на нем ориентацией называют
ориентированным криволинейным симплексом.
Определение 3.21.7. Будем говорить, что два криволинейных симплекса σ1 и σ2 размерности n в пространстве Rm являются соседними,
если существуют такие (n − 1)-мерные грани S12 и S21 соответственно
криволинейных симплексов σ1 и σ2 , что следы этих симплексов пересекаются по следу граней S12 и S21 . При этом говорят, что грани S12 и S21
участвуют в отношении соседства этих криволинейных симплексов. В
случае, когда криволинейные симплексы σ1 и σ2 еще и ориентированы,
будем говорить, что их ориентации согласованы, если ориентации граней
S12 и S21 , согласованные соответственно с ориентациями σ1 и σ2 , противоположны. Отметим, что в этом
R случае
R для дифференциальной формы
порядка n − 1 верно равенство
ω + ω = 0.
S12
S21
Комплексом Φ назовем такой набор криволинейных симплексов {σi }N
i=1 ,
что любые два различных из них имеют либо непересекающиеся следы, либо их следы пересекаются по следу какой-то k-мерной грани, где
k 6 n−1. При этом будем говорить, что комплекс Φ составлен из гладких
кусков σi (i = 1, N ). Краем набора Φ назовем набор всех (n − 1)-мерных
граней криволинейных симплексов, не участвующих в отношении соседства. Этот набор обозначим символом ∂Φ.
Ориентированным комплексом Φ будем называть такой комплекс, у
которого соседние гладкие куски имеют согласованную ориентацию. В
этом случае ориентация комплекса определяется ориентацией гладких
кусков, которая при этом порождает согласованную ориентацию края
∂Φ, которая в свою очередь определяется ориентацией (n − 1)-мерных
граней криволинейных симплексов, не участвующих в отношении соседства. Набор параметризаций {ri : Di → Rm }N
i=1 , где ri – параметризация
гладкого куска σi (i = 1, N ), называется параметризацией комплекса
Φ = {σi }N
i=1 .
Замечание 3.21.1. Если комплекс ориентируем, то вместе с некоторой
ориентацией, можно рассмотреть и противоположную, которая задается
выбором противоположной ориентации на всех кусках. В этом случае
согласование ориентаций на соседних кусках не нарушается. Тем самым
число ориентаций всегда четно.
Определение 3.21.8. Рассмотрим теперь замкнутую область D ⊂ Rn ,
которую можно разбить на обобщенные симплексы {Di }N
i=1 так, что различные симплексы либо не пересекаются, либо пересекаются по грани
размерности 6 n − 1. Такие области D будем называть правильными.
122
3 Элементы векторного анализа.
Будем считать, что ориентация всех этих симплексов либо правая, либо
левая. Рассмотрим непрерывное отображение ϕ : D → Rm , для которого
набор {ϕi = ϕ }N
является параметризацией некоторого ориентироDi i=1
ванного комплекса, ориентация гладких кусков которых индуцирована
отображением ϕ и порядком следования вершин обобщенных симплексов
{Di } (i = 1, N ). В случае, когда ϕi ∈ C l (Di ) (i = 1, N ), будем говорить,
что ϕ является кусочно-гладкой параметризацией класса P C l . Совокупность всех параметризаций класса P C l , порождающих параметризацию
одного и того же комплекса Φ = {σi }N
i=1 , будем называть кусочно-гладкой
поверхностью σ (n-поверхностью) класса P C l . Тем самым, можно говорить, что поверхность σ составлена из гладких кусков σi (i = 1, N ). При
этом будем использовать обозначение σ =
Ǹ
σi .
i=1
Определение 3.21.9. Пусть σ =
Ǹ
σi – кусочно-гладкая n-поверхность,
i=1
состоящая из гладких кусков n-поверхностей {σi }N
i=1 . По определению
N R
R
P
полагаем ω =
ω.
σ
i=1 σi
Теорема 3.31 (Стокса). Пусть след ориентированной поверхности
σ ∈ P C 2 размерности n лежит в области G ⊂ Rm (m > n), ориентация поверхности σ и ее края ∂σ согласованы,
ωR– дифференциальная
R
1
форма на G порядка n − 1 класса C . Тогда ω = dω.
∂σ
σ
Доказательство. Доказательство формулы для поверхности σ сводится
к случаю ее гладкого куска, поэтому, без потери общности, можно полагать, что σ задается простейшей гладкой параметризацией ϕ : S → Rm
класса C 2 . Без потери общности, можно также считать, что оси координат выбраны вдоль ребер симплекса S, исходящих из одной из вершин. Делая, если необходимо, линейную деформацию (с положительным якобианом) и сдвиг (т.е. тем самым, выбирая эквивалентную параметризацию), можно считать эту систему осей канонической. Достаточно доказать формулу для случая ϕ∗ (ω) = f dxi1 ∧ . . . ∧ dxin−1 . Перенумеровывая, если необходимо, переменные, будем считать, что ϕ∗ (ω) =
f (x1 , . . . , xn )dx2 ∧. . .∧dxn , и P0 = (0, . . . , 0), Pi = (0, . . . , 0, |{z}
1 , . . . , 0) (i =
i
1, n) – порядок вершин симплекса S, задающих его ориентацию или
противоположную. Для определенности будем считать, что такое упорядочивание задает положительную ориентацию симплекса. Край ∂σ
состоит из кусков θi (i = 0, n), которые задаются параметризациями
ϕ ◦ ψi (i = 0, n), где ψi : ∆ → Si – параметризация грани Si (как поверхности в Rn ) симплекса S, противоположная вершине Pi . Здесь в качестве ∆ ⊂ Rn−1 можно взять неориентированный симплекс, совпадающий как множество с S1 . Поскольку грани Si (i = 2, n) лежат в плоскости
3.21 Интегрирование дифференциальных форм.
123
xi = 0, то (ϕ ◦ ψi )∗ (ω) = ψi∗ ◦ ϕ∗ (ω) = ψi∗ (f (x1 , . . . , xn )dx2 ∧ . . . ∧ dxn ) = 0,
n R
R
P
т.к. ψi∗ (dxi ) = dψi = 0 (i = 2, n). Отсюда следует, что ω =
ω =
R
R
n R
P
θ1
i=2 θi
ω+ ω+
θ0
ω=
R
θ0
R
n R
P
θ1
i=2 ∆
ω+ ω+
(ϕ ◦ ψi )∗ (ω) =
R
∂σ
R
i=0 θi
ω + ω. Ориентация
θ0
θ1
грани S0 , а, следовательно, и криволинейный симплекс θ0 , – положительны, а ориентации S1 и θ1 – отрицательны (соответствует ориентации
симплекса {P1 , P0 , P2 , . . . , Pn }). Зададим параметризации этих граней:
n
P
ψ1 (t) = (0, t) и ψ0 (t) = (τ (t), t), где t = (x2 , . . . , xn ) ∈ ∆, τ (t) = 1 −
xi .
i=2
R
R
R
R
Тогда ω = (ϕ◦ψ0 )∗ (ω) = ψ0∗ (f (x1 , . . . , xn )dx2 ∧. . .∧dxn = f (τ (t), t)dt
∆
∆
R θ0 R ∆
R
и ω = − ψ1∗ (f (x1 , . . . , xn )dx2 ∧ . . . ∧ dxn ) = − f (0, t)dt, следовательно,
θ1
∆
∆
n
¡P
¢
∂f
ω = (f (τ (t), t) − f (0, t))dt. С другой стороны, dϕ∗ (ω) =
dx
∧
i
∂xi
i=1
∆
∂σ
R
R
∂f
dx2 ∧ . . . ∧ dxn = ∂x
dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn . Поэтому dω = ϕ∗ (dω) =
1
S
R
R R τ (t) ∂f
R
Rσ
∗
dϕ (ω) = dt 0 ∂x1 dx1 = {f (τ, t) − f (0, t)}dt = ω.
R
R
S
∆
∆
∂σ
Примеры:
1. Пусть n = 1 и σ – гладкая (кусочно-гладкая) кривая в Rm с начаm
лом в точке A и концом в точке B, f ∈ C 1 (G),
R где GR ⊂ R – область,
содержащая след кривой σ. По теореме Стокса df = f = f (B)−f (A).
σ
∂σ
2. Пусть n = 2, m = 3, и σ – двумерная гладкая (кусочно-гладкая)
ориентированная поверхность в R3 , дифференциальная форма ω = P dx+
Qdy + Rdz, непрерывно дифференцируемая
R3 , содер¡ ∂R на
¢области G¡ ⊂
¢
∂Q
∂P
dz ∧
жащей след поверхности σ. Тогда dω = ∂y − ∂z dy ∧ dz + ∂z − ∂R
∂x
¡ ∂Q
¢
R
∂P
dx + ∂x − ∂y dx ∧ dy, и по теореме Стокса
P dx + Qdy + Rdz =
∂σ
¡
¢
¡
¢
R ¡ ∂R ∂Q ¢
− ∂z dy ∧ dz + ∂P
− ∂R
dz ∧ dx + ∂Q
− ∂P
dx ∧ dy.
∂y
∂z
∂x
∂x
∂y
σ
3. Пусть n = 3, m = 3, и σ – гладкая трехмерная поверхность в R3 ,
след которой – область в R3 . На этой области рассмотрим непрерывно
дифференцируемую
¡ ∂P
¢форму ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Тогда
∂Q
∂R
dω = ∂x + ∂y + ∂z dx ∧ dy ∧ dz, и, следовательно, по теореме Стокса
¢
R ¡ ∂P
R
∂Q
∂R
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy =
+
+
dx ∧ dy ∧ dz.
∂x
∂y
∂z
σ
∂σ
Теорема 3.32 (формула интегрирования по частям). Пусть след
ориентированной поверхности σ ∈ P C 2 размерности n лежит в области G ⊂ Rm (m > n), ориентация поверхности σ и ее края ∂σ согласованы; ω1 и ω1 – дифференциальные формы на
R G порядка kR и l соот1
ветственно, и k + l = n − 1 класса C . Тогда dω1 ∧ ω2 = ω1 ∧ ω2 −
σ
∂σ
R
(−1)k ω1 ∧ dω2 .
σ
124
3 Элементы векторного анализа.
Доказательство. Вытекает из формулы Стокса для дифференциальной
формы ω = ω1 ∧ ω2 и формулы dω = dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 .
3.22
Теорема Брауэра о неподвижной точке.
Теорема 3.33. Пусть B ⊂ Rn – единичный шар, f ∈ C(B, B). Тогда
существует неподвижная точка x0 ∈ B, т.е. f (x0 ) = x0 .
Доказательство. Предположим противное, что неподвижной точки нет.
Тогда непрерывная функция |x − f (x)| положительна на компакте B, и,
следовательно, найдется число δ > 0, для которого она больше 2δ. В силу
следствия 4.35, найдется такая функция ϕ ∈ C ∞ (B, B), что kf −ϕkB 6 δ.
Отсюда вытекает, что |x−ϕ(x)| > |x−f (x)|−|f (x)−ϕ(x)| > 2δ −δ = δ на
B, т.е. функция ϕ не имеет неподвижных точек на B. Построим непрерывно дифференцируемую функцию g ∈ C 1 (B, S), являющуюся ретракцией шара B на его границу S, т.е. g ≡ Id. Для этого из уравнения
S
|αy + x| = 1, где y = x − ϕ(x), определим неотрицательную непрерывно
дифференцируемую√функцию α = α(x) на множестве B. Имеет место
−(x,y)+
(x,y)2 +|y|2 (1−|x|2 )
формула α =
, которая вытекает из решения квад|y|2
2
ратного уравнения |αy+x| = 1, т.е. α2 |y|2 +2α(x, y)+|x|2 −1 = 0. Нетрудно видеть, что (x, y) = (x, x) − (x, ϕ(x)) > |x|2 − |x||ϕ(x)| = 1 − |ϕ(x)| > 0
для всех x ∈ S, и, следовательно, α(x) = 0 ⇔ |x| = 1. Тогда искомую функцию g(x) = (g1 (x), . . . , gn (x)) можно определить формулой
α(x)(x−ϕ(x))+x. Учитывая, что g(B) = S, получим, что g 0 (x)[Rn ] (x ∈ B)
содержится в гиперподпространстве, параллельном касательной гиперплоскости к единичной сфере в точке g(x), и, следовательно, g 0 (x) –
вырожденный линейный оператор, т.е. якобиан det Jg (x)R = 0. Применяя два раза формулу Стокса, получим равенства 0 = det g 0 (x)dx =
B
R
R
R
dg1 ∧ dg2 ∧ . . . ∧ dgn = d(g1 ∧ dg2 ∧ . . . ∧ dgn ) = g1 ∧ dg2 ∧ . . . ∧ dgn =
B
R
RB
RS
x1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn = d(x1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn ) = dx1 ∧ dx2 ∧ . . . ∧ dxn =
B
B
RS
dx = mn (B) > 0, противоречие. Следовательно верно утверждение теоB
ремы.
Теорема 3.34. Пусть D – метрический компакт, гомеоморфный единичному шару B ⊂ Rn и f ∈ C(D, D). Тогда существует неподвижная
точка x0 ∈ D, т.е. f (x0 ) = x0 .
на
Доказательство. Действительно, пусть ϕ : B → D – гомеоморфизм.
Тогда отображение ψ = ϕ−1 ◦f ◦ϕ ∈ C(B, B), и для этого отображения по
предыдущей теореме найдется неподвижная точка y0 ∈ B отображения
def
ψ. Поэтому x0 = ϕ(y0 ) = ϕ(ψ(y0 )) = f ◦ ϕ(y0 ) = f (x0 ).