ВСЕ СПОСОБЫ БЫСТРОГО СЧЕТА
При обработке статистических измерений иногда приходится
складывать числа, "скапливающиеся" около одного "корневого"
числа, на глаз близкого к среднему. Разумно провести такое
сложение в три приема:
1)найти сумму "корневых чисел";
2)найти сумму отклонений каждого числа от
"корневого";
3)полученную сумму алгебраически (с учетом знака)
прибавить к итогу пункта "1".
Пример:
37+34+33+35+34+33+34=34*7 +(3+0-1+1+0-1+0)=238+2=240
2)
Если каждое очередное складываемое число отличается от предыдущего на одно и то же (может
быть, отрицательное) число, то эти числа составляют арифметическую прогрессию (1, 4, 7, 10, 13,
16...).
Если число ее членов нечетно, то их сумма вычисляется произведением среднего числа на общее
количество чисел:
31+33+35=33*3=99
Для четного количества членов применяется формула:
Sn = (A1 + An)*n/2
(произведение полусуммы крайних членов на их количество - n)
Пример:
40+41+42+43=(40+43)*4/2=83*2=166
3)Использование изменения порядка счета?
При сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старших разрядов. Тогда
в ходе вычисления приходится помнить все более длинное число, но зато мы прибавляем к нему
каждый раз только число одно-двузначное. Это существенно облегчает устное вычисление.
Пример:
5827
+3458
+2451
_____
=?
Складываем старший разряд слагаемых: 5 + 3 + 2 = 10;
приписываем к полученной сумме "0": 10 -> 100;
продолжаем прибавлять цифры следующего разряда:
100 + 8 + 4 + 4 = 116;
опять приписываем 0 и прибавляем цифры третьего разряда:
1160 + 2 + 5 + = 1172;
приписываем последний раз 0 и завершаем вычисления:
11720 + 7 + 8 + 1 = 11736.
4)Соединение соседних разрядов?
При определенном навыке вычислительных работ человеку не представляет труда складывать
двузначные числа, сразу получая сумму. Поэтому при сложении и вычитании бывает удобно
соединять соседние 2, а иногда и больше разрядов.
Меньшие затраты здесь объясняются тем, что мы работаем с более крупными частями числа и
меньше времени и сил тратим на "накладные расходы" счета, как-то - привичные остановки
(передышки) после выполнения каждого простого (неделимого) действия, внутреннее
проговаривание его итогов (т.е. подключение к зрительному еще одного русла восприятия и
обработки) и т.д. и т.п. Иногда, особенно по началу, эти "костыли внимания" просто необходимы
(сосредоточенность удерживается всеми возможными средствами), и нам сложно обходить без
них. В дальнейшем скорость восприятия и обработки начинает определяться самым медленным
из используемых русел (обычно слуховым) и во много раз отстает от наших действительных
возможностей. Однако не надо стремиться достичь мастерских способов и результатов сразу.
Здесь (как и везде) действует формула ППП: постоянно, постепенно, последовательно.
Пример:
489618
+354896
+742811
_______
=?
Можно складывать сразу 2 младших разряда:
18 + 96 = 114; 114 + 11 = 125;
25 пишем, 1 запоминаем. Берем следующие 2 разряда: 1 + 96 + 48 = 145; 145 + 28 = 173; и т.д.
Подобным способом этот прием используется при вычитании.
5) Использование дополнения числа для
упрощения вычитания из чисел
Переход от вычитания к сложению?
Для этого достаточно к уменьшаемому числу прибавить дополнение вычитаемого до 10n и из
полученной суммы вычесть дополняемое число до 10n. При этом выраженное через дополнение
число, чтобы не забыть вычесть дополняемое - 10n, записывают так: сначала ставят "1" и
заключают ее в скобки (либо ставят над ней знак "минус" и т.п.), затем пишут само дополнение
числа. При таком способе число 7587 запишется как (1)2413; 98 - как (1)02.
Примеры:
Разность чисел 36742 - 9854 проще найти, сведя вычисления к нахождению суммы
36742
+(1)0146
________
26888
Вот так (через дополнение) записывать вычитаемое не обязательно: начиная со старшего разряда,
пишем сразу ответ, мысленно имея перед собой число в виде его дополнения или даже только тот
разряд, который сейчас вычисляется.
Вычитание из чисел вида (A*10n + z) сводится к вычитанию из (A*10n), а затем разность
увеличивается на (z):
300015
-298756
_______
001244
+
15
_______
1259
Более трех веков назад французский математик Рене Декарт показал, что многие алгебраические
задачи могут быть преобразованы и решены как геометрические и обратно - как удобнее
решающему. Оказывается, и вычитание можно, а в ряде случаев и нужно преобразовывать в
сложение. Для этого используется дополнение числа, т.е. разность между A*10n - числом, до
которого дополняют, и самим числом.
Примеры:
Дополнением числа 93 до 100 является 100 - 93 = 7.
Сначала научимся быстро находить дополнение до чисел вида A*10n (n > 1). Вычисления
дополнения начинают со старшего разряда:
а) из старшей цифры уменьшаемого (или из его нескольких первых цифр) вычитаем увеличенный
на 1 соответствующий разряд вычитаемого:
700
-238
7 - (2 + 1) = 4
____
4...
и
50000
-1273
50 - (1 + 1) = 48
_____
48...
б) каждый последующий разряд (кроме последнего) находится вычитанием соответствующей
цифры вычитаемого из 9:
700
-238
____
46...
9-3=6
и
50000
- 1273
9-2=7
9-7=2
______
4872...
в) последний знак находится вычитанием последней цифры вычитаемого из 10:
700 10 - 8 = 2
-238
_____
462
и
50000
- 1273
10 - 3 = 7
______
48727
Понятно, что небольшое отклонение (z) уменьшаемого от A*10n не помешает нам использовать
этот способ и в более общем случае. Вычислив дополнение обычным образом, мы сделаем
необходимую поправку в конце вычислений:
300011
-197785
_______
102215
+
11
_______
102226
6)Умножение "крестом"
В этом способе работа на каждом этапе осуществляется с цифрами, приводящими к результату
одного порядка.
Пример:
23*48 преобразуем как 24*102 + (2*8 + 3*4)*101 + + 3*8*100.
Вычисляем сначала произведение нулевого порядка (3*8 = 24); затем произведение первого
порядка ((2*8 + 3*4)*101 = 280) и складываем его, с учетом порядка, с предыдущим (280 + 24= 304);
затем дополняем текущую сумму произведением 2-го порядка (2*4*102 = 800) и получаем
окончательный итог: 800 + 304 = 1104. Графически это можно изобразить так:
где черточки " | ", "X" и т.д. связывают перемножаемые цифры.
Для трехзначных чисел схема аналогична:
При этом средний, наиболее объемный шаг вычислений в последнем примере целесообразно
выполнять как (2*4 + 3*7) + 5*1 = (8+21) + 5*1 =29 + 5*1 = 29 + 5 = 34, т.е. избегать запоминания
более двух промежуточных результатов одновременно, уменьшая тем самым пиковую сложность
вычислений. Со временем вы привыкнете к этому способу вычислений и найдете его весьма
удобным.
7)Умножение двузначных чисел,
оканчивающихся на "1"
оканчивающихся на "1", выполняется по формуле:
А1 * Е1 = А * Е * 100 + (А+Е) * 10 + 1.
Пример:
51 *31 =5*3* 100 + (5 + 3)* 10+1 = 1500 + 80+1 = 1581.
8)Умножение двузначных чисел в случаях, когда
оба числа начинаются или оканчиваются
цифрой пять или когда одно из чисел
полностью состоит из пятерок
Умножение двузначных чисел в случаях, когда оба числа начинаются
или оканчиваются цифрой пять или когда одно из чисел состоит из
одних пятерок,
выполняется по формуле:
АС * EG = (А*Е + Полусумма "не пятерок")*100 + C*G.
Примеры:
54*51= (5*5+(4+1):2)*100+4*1=(25+2,5)*100+4=2754;
35*75=(3*7+(3+7):2)*100+5*5=2600+25=2625
54 * 51 = (5*5 + (4+1 ):2)*100 + 4*1 = (25+2,5)*100 + 4 = 2754;
35 * 75 = (3*7 + (3+7):2)*100 + 5*5 = 2600 + 25 = 2625;
55* 93 = (5*9 + (9+3):2)*100 + 5*3 = 5100 + 15 = 5115.
9)Возведение в квадрат целого числа А, если
известен квадрат предыдущего (А - 1) или
последующего (А + 1) числа
Из выражения (А + 1)2 = А2 + 2*А + 1 получаем ряд удобных расчетных формул:
(А + 1)2 = А2 + А + (А + 1)
А2 = (А + 1)2 - 2*(А + 1) + 1, или
А2 = (А + 1)2 - (А + 1) - А
На практике это делается очень легко, о чем свидетельствуют приведенные ниже
примеры.
Примеры:
212 = 202 + 20 + 21 = 441;
462 = 452 + 45 + 46 = 2025 + 45 + 46 = 2116
(где квадрат 45 легко вычислить - см. выше);
392 = 402 - 40 -39 = 1521;
442 = 452 - 45 - 44 = 2025 - 45 - 44 = 1936.
При выполнении вычислений по способам из пунктов 3, 6 иногда возникает пожелание, сохранив
их преимущества, избавиться от необходимости "прыгать по крестам". Оказывается, для этого
достаточно развернуть один из сомножителей вокруг своей младшей цифры (переписать в
обратном порядке) и сдвигать их в таком виде друг относительно друга, находя суммы
перемножений соседей по вертикали. Этот способ так и называется — способ сдвига, а работает
он следующим образом.
Пример:
35 * 54 преобразуем как
53
* 54
Производим вычисления:
Не забудьте, что выбранный вами сомножитель обращают вокруг самой младшей цифры!
11) Возведение в квадрат чисел,
оканчивающихся на 25
Возведение в квадрат чисел, оканчивающихся на 25, выполняется по формуле:
(А25)2 = (А*А + А:2)*10000 + 625
Пример:
2252 = (2*2 + 2:2)*10000 + 625 = 50625;
12) Возведение в квадрат чисел,
оканчивающихся на 75?
{А75 * А75}. Возвести в квадрат оканчивающиеся на 75 числа удобно по формуле:
( А75 )2 = [(А || 5) * (А + 1)] || 625
Примеры:
1752 = (15 * (1 + 1)) || 625 = 30625;
3752 = (35 * (3 + 1)) || 625 = 140625;
11752 = (115 * (11 + 1)) || 625 = 1380625.
13)Умножение чисел, заключенных между 10 и
20
Умножение чисел, заключенных между 10 и 20, выполняется по формуле:
АС * EG = (АС + G) * 10 + C*G;
Пример:
17 * 14 = (17 + 4) * 10 + 7 * 4 = 210 + 28 = 238.
14)Умножение на 5
Чтобы умножить число на 5, достаточно
умножить число на 10 и разделить на 2
Пример:
23*5=23*10:2=230:2=115
15)Умножение на 11?
Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между
первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой
и второй цифры.
16)Умножение на 50?
ЗЕЛЕНЫЕ 7
ЖЕЛТЫЕ 6
КРАСНЫЕ 3