1.2

Îãëàâëåíèå
ÎÃËÀÂËÅÍÈÅ
Ïðåäèñëîâèå .......................................................................................... 6
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ
è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ...................................................................... 11
1.1. Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè ................................................................... 11
1.2. Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû.
Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................. 18
1.3. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ................................... 29
1.4. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ôóíêöèè ïëîòíîñòè
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .............................................................................. 44
1.5. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.
Ôîðìóëà Áàéåñà ................................................................................... 53
1.6. Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå ............................................................. 62
Ãëàâà 2. Ýëåìåíòû êîìáèíàòîðíîãî àíàëèçà ............................... 64
2.1. Âûáîðêè ñ âîçâðàùåíèåì è áåç âîçâðàùåíèÿ,
ïåðåñòàíîâêè è êîìáèíàöèè ................................................................
2.2. Òðåóãîëüíèê Ïàñêàëÿ è áèíîì Íüþòîíà .....................................
2.3. Ôîðìóëà Áåðíóëëè ........................................................................
2.4. Òåîðåìû Ìóàâðà — Ëàïëàñà .......................................................
65
68
70
75
Ãëàâà 3. Íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ............................................... 79
3.1. Îïðåäåëåíèå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ................................ 79
3.2. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà. Ðàñïðåäåëåíèå
âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è âûáîðî÷íîãî îòíîøåíèÿ ......................... 85
3.3. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
äëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåç .......................................................................... 94
1
Îãëàâëåíèå
3.4. Ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. Îøèáêè ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà .............. 106
Ãëàâà 4. Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè ................................................... 113
4.1. Íåñìåùåííîñòü, ñîñòîÿòåëüíîñòü è ýôôåêòèâíîñòü
îöåíîê .................................................................................................. 113
4.2. Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ïîãðåøíîñòüþ, ðèñêîì
è ðàçìåðîì âûáîðêè. Äîâåðèòåëüíûå èíòåðâàëû ............................ 119
Ãëàâà 5. χ2-ðàñïðåäåëåíèå ............................................................... 127
5.1. Îïðåäåëåíèå χ2-ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................ 127
5.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñîîòâåòñòâèè íàáëþäåíèé
ïðåäïîëàãàåìîìó ðàñïðåäåëåíèþ âåðîÿòíîñòåé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................................... 130
5.3. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î íåçàâèñèìîñòè ïðèçíàêîâ
è ãèïîòåç îá îäíîðîäíîñòè .............................................................. 138
Ãëàâà 6. t-ðàñïðåäåëåíèå ................................................................. 144
6.1. Îïðåäåëåíèå t-ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................... 144
6.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ñðåäíåì çíà÷åíèè íîðìàëüíî
ðàñïðåäåëåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íåèçâåñòíîé
äèñïåðñèåé ......................................................................................... 149
6.3. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ðàâåíñòâå ñðåäíèõ çíà÷åíèé
äâóõ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .................... 154
Ãëàâà 7. F-ðàñïðåäåëåíèå ................................................................ 159
7.1. Îïðåäåëåíèå F-ðàñïðåäåëåíèÿ ................................................. 159
7.2. Ïðîâåðêà ãèïîòåç î ðàâåíñòâå äèñïåðñèé äâóõ
íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ............................ 162
7.3. Ýëåìåíòû äèñïåðñèîííîãî àíàëèçà .......................................... 164
Ãëàâà 8. Ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà .................................................. 169
8.1. Îïðåäåëåíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà .................................... 169
8.2. Ïóàññîíîâñêèé ïîòîê ñîáûòèé ................................................. 172
2
Îãëàâëåíèå
8.3. Ýêñïîíåíöèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå è âðåìÿ ìåæäó
ïîÿâëåíèåì äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ñîáûòèé
â ïóàññîíîâñêîì ïîòîêå ................................................................... 177
8.4. Àíàëèç ïðîñòåéøåé ñèñòåìû ìàññîâîãî îáñëóæèâàíèÿ ......... 179
8.5. Ñâÿçü ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà ñ èñïûòàíèÿìè Áåðíóëëè
è ñ íîðìàëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì ..................................................... 184
8.6. Îöåíêà ïàðàìåòðà ïóàññîíîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ................. 188
Ãëàâà 9. Ïðîñòàÿ ðåãðåññèÿ ............................................................ 191
9.1. Êîððåëÿöèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ .............................................. 192
9.2. Ïðîñòàÿ ðåãðåññèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ ................................. 196
9.3. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè ïðîñòîé ðåãðåññèè ................................ 201
Ãëàâà 10. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ ............................................ 207
10.1. Ìíîæåñòâåííàÿ ðåãðåññèÿ äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ .................. 208
10.2. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ
è çíà÷èìîñòè ìíîæåñòâåííîé ðåãðåññèè â öåëîì .......................... 210
10.3. Àëãåáðàè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ è ïðåîáðàçîâàíèÿ
òèïà ñäâèãîâ è ðàçíîñòåé. Ôèêòèâíûå ïåðåìåííûå ........................ 217
Ãëàâà 11. Ðàíãîâûå êîððåëÿöèè .................................................... 221
11.1. Ñðàâíåíèå äâóõ ïåðåñòàíîâîê ................................................. 221
11.2. Ïðîâåðêà çíà÷èìîñòè ðàíãîâîé êîððåëÿöèè .......................... 224
Ïðèëîæåíèÿ ...................................................................................... 229
Òàáëèöà äëÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ .......................................
Òàáëèöà äëÿ χ2- ðàñïðåäåëåíèÿ .........................................................
Òàáëèöà äëÿ t-ðàñïðåäåëåíèÿ ............................................................
Òàáëèöû äëÿ F-ðàñïðåäåëåíèÿ ..........................................................
229
231
233
235
Áèáëèîãðàôè÷åñêàÿ ñïðàâêà ......................................................... 242
Ëèòåðàòóðà ........................................................................................ 247
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü .................................................................... 250
3
Îãëàâëåíèå
ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé îòíîñèòñÿ ê òåì ðàçäåëàì ìàòåìàòèêè, êîòîðûå íàõîäÿò ñàìîå øèðîêîå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå. Îäíà èç îáëàñòåé, ãäå èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòè, — ýòî ñòàòèñòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ.
Çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü èíôîðìàöèè ïîñòóïàåò ê íàì â âèäå ÷èñåë.
Ñîáðàòü äàííûå è ïðåäñòàâèòü èõ â ôîðìå òàáëèö, ãðàôèêîâ, äèàãðàìì èëè êîìïüþòåðíûõ ôàéëîâ î÷åíü âàæíî. Ðèñóíêè è îòäåëüíûå
íàèáîëåå çíà÷èìûå ÷èñëà äàþò îòâåòû íà áîëüøèíñòâî âîïðîñîâ. Íî
ìíîãîå èç òîãî, ÷òî ñîäåðæèòñÿ â ÷èñëîâîé èíôîðìàöèè, îñòàåòñÿ ñêðûòûì è ìîæåò áûòü âûÿâëåíî òîëüêî ïðè ïîìîùè ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.
Äëÿ ÷åãî ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå? Êàê èçâëå÷ü èç íèõ íóæíóþ íàì èíôîðìàöèþ?
Ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ
è àíàëèçà ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû, ïîñòðîåíèÿ ïðîãíîçîâ è âûðàáîòêè ðåøåíèé. Åùå îäíî íàïðàâëåíèå — ýòî îöåíêà âîçìîæíîñòåé âûáîðà (îöåíêà îïöèîíîâ) íà ôèíàíñîâûõ ðûíêàõ.
Ãîâîðÿ î ïîñòðîåíèè ïðîãíîçîâ, ìû, â ïåðâóþ î÷åðåäü, èìååì â
âèäó êîëè÷åñòâåííûå, à íå êà÷åñòâåííûå ïðîãíîçû. Êà÷åñòâåííûå ïðîãíîçû — ýòî îòâåòû íà âîïðîñû, ïðîèçîéäåò ëèáî íåò òî èëè äðóãîå
ñîáûòèå, èëè êàêîé èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ îñóùåñòâèòñÿ. Êîëè÷åñòâåííûå ïðîãíîçû — ýòî ïðåäñêàçàíèÿ êàêèõ-òî ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ îïðåäåëåííûõ áóäóùèõ ìîìåíòîâ èëè îòðåçêîâ âðåìåíè.
Àíàëèç ÿâëÿåòñÿ íåîòúåìëåìîé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ ïðîãíîçà è â
òî æå âðåìÿ ïðåäñòàâëÿåò ñàìîñòîÿòåëüíûé èíòåðåñ. Â ýòîé êíèãå
ðå÷ü, â îñíîâíîì, ïîéäåò èìåííî î òðàäèöèîííûõ ìåòîäàõ ñòàòèñòè÷åñêîãî àíàëèçà. Ìåòîäû èñïîëüçîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè
äëÿ âûðàáîòêè ðåøåíèé î÷åíü ðàçíîîáðàçíû. Îäíàêî íàèáîëåå èíòåðåñíûå è âàæíûå ïîäõîäû ïî ñâîåé ñëîæíîñòè âûõîäÿò çà ïðåäåëû
4
Ïðåäèñëîâèå
ýòîé êíèãè è ïîòîìó â íåé íå îòðàæåíû. Íåêîòîðûå ïðèìåðû èñïîëüçîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ äëÿ âûðàáîòêè ðåøåíèé ïðèâåäåíû â
ïàðàãðàôå 3.4.
Ìíîãèå èäåè âûñøåé ìàòåìàòèêè ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ðàáîòå ñ
÷èñëîâîé ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Îíè ïðåâðàòèëèñü â èíñòðóìåíòû, ñ êîòîðûìè ïîëåçíî óìåòü îáðàùàòüñÿ ëþáîìó ýêîíîìèñòó.
Íèêòî íå ñïîðèò ñ òåì, ÷òî â æèçíè ýòè èíñòðóìåíòû íóæíû áèðæåâîìó àíàëèòèêó áîëüøå, ÷åì äèðåêòîðó ìàãàçèíà, ñïåöèàëèñòó ïî îïöèîíàì è ôüþ÷åðñàì — áîëüøå, ÷åì íàëîãîâîìó èíñïåêòîðó. Îäíàêî
ïðàêòè÷åñêè âñåì ýêîíîìèñòàì ïðèõîäèòñÿ ïîñòîÿííî èìåòü äåëî ñ
÷èñëîâîé èíôîðìàöèåé, è ïîíèìàíèå òîãî, ÷òî ìîæåò è ÷åãî íå ìîæåò äàòü ìàòåìàòèêà ïðè ðàáîòå ñî ñòàòèñòè÷åñêèìè äàííûìè, áåçóñëîâíî, ïîëåçíî. Øèðîêîå ðàñïðîñòðàíåíèå êîìïüþòåðîâ îáåñïå÷èëî
âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïðîãðàìì, â êîòîðûõ ðåàëèçîâàíû ìåòîäû
ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. È êîíå÷íî, òîëüêî îïûò ðàáîòû ìîæåò
íàó÷èòü, êàêîé èç ìåòîäîâ è êîãäà ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü.
Ïðèìåíåíèå èíñòðóìåíòîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ïîäðàçóìåâàåò, ÷òî â ðàñïîðÿæåíèè ìàñòåðà åñòü äîñòàòî÷íî áîëüøîé ÷èñëîâîé ìàòåðèàë, ò.å. íàáîð äàííûõ, âûðàæàþùèõ îäíó èëè íåñêîëüêî
õàðàêòåðèñòèê ýêîíîìè÷åñêîé ñèñòåìû äëÿ îäíîãî èëè íåñêîëüêèõ
ìîìåíòîâ èëè îòðåçêîâ âðåìåíè. Ýòî äåñÿòêè, ñîòíè, à èíîãäà è çíà÷èòåëüíî áîëüøèå ìàññèâû ÷èñåë.
Èíñòðóìåíòû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äîñòàòî÷íî ñèëüíî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà è ïî íàçíà÷åíèþ, è ïî ïðèíöèïàì äåéñòâèÿ.
Öåëü äàííîé êíèãè ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ðàññêàçàòü, íà ÷åì îñíîâàíû
ýòè èíñòðóìåíòû, è ïðèâåñòè íåêîòîðûå ïðèìåðû èõ èñïîëüçîâàíèÿ.
Ïî ïðåäàíèþ, îäèí êîðîëü ïîïðîñèë ñâîåãî ïðèäâîðíîãî ìóäðåöà îáó÷èòü åãî ìàòåìàòèêå.
— ß ÷óâñòâóþ, ÷òî çíàíèå ìàòåìàòèêè ìîæåò ïðèíåñòè ìíå
ïîëüçó, — ñêàçàë êîðîëü. — Íî òîëüêî ó ìåíÿ ñëèøêîì ìàëî ñâîáîäíîãî âðåìåíè, è ìíå õîòåëîñü áû óçíàòü âñå, ÷òî íóæíî, êàê-íèáóäü
ïîáûñòðåå.
— Âàøå âåëè÷åñòâî, — îòâåòèë ìóäðåö, — ê ñîæàëåíèþ, â ìàòåìàòèêå íå ñóùåñòâóåò êîðîëåâñêèõ ïóòåé.
5
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ôðàçà î òîì, ÷òî â ìàòåìàòèêå íå ñóùåñòâóåò êîðîëåâñêèõ ïóòåé, ñòàëà êðûëàòîé. Ìàòåìàòèêó íåëüçÿ âûó÷èòü íè çà äâà ÷àñà, íè
çà äâàäöàòü ÷àñîâ.
Ñòóäåíòû-ýêîíîìèñòû èíîãäà èñïûòûâàþò òàêîå æå æåëàíèå, êàê
òîò êîðîëü:
— Íàñ îêðóæàåò ìàññà ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè, è ìû ÷óâñòâóåì, ÷òî ìàòåìàòèêà ìîæåò ïîìî÷ü íàì êàê-òî ðàçîáðàòüñÿ âî âñåõ
ýòèõ ÷èñëàõ è íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ íèìè. Ïîæàëóéñòà, èçëîæèòå òîëüêî
ñàìóþ ñóòü, íå íàäî ëèøíèõ äåòàëåé.
Íî èìåííî ðàçáèðàÿñü â äåòàëÿõ, ÷åëîâåê ïðèîáðåòàåò ìàòåìàòè÷åñêóþ êóëüòóðó, è èìåííî ýòà êóëüòóðà, à íå õðàíÿùèéñÿ â ïàìÿòè
íàáîð ôîðìóëèðîâîê, äîëæíà ñòàòü îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì îáó÷åíèÿ.
Áåç íåå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ áóäåò ôîðìàëüíûì è ìàëîýôôåêòèâíûì.
Áîëüøèíñòâî ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, èñïîëüçóåìûõ ïðè ðàáîòå ñ ÷èñëîâîé ýêîíîìè÷åñêîé èíôîðìàöèåé, îòíîñèòñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, íàçûâàåìîé òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé. Ýòà òåîðèÿ âîçíèêëà â XVII â. â ðàáîòàõ ôðàíöóçñêèõ ìàòåìàòèêîâ Á. Ïàñêàëÿ è
Ï. Ôåðìà. Ìíîãèå âàæíûå ðåçóëüòàòû áûëè ïîëó÷åíû â XVIII è XIX ââ.
 ÷èñëî îñíîâàòåëåé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé âõîäÿò ß. Áåðíóëëè,
Ï. Ëàïëàñ, Ê. Ãàóññ, Ï.Ë. ×åáûøåâ. Íî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ ñîâåòñêèì ìàòåìàòèêîì À.Í. Êîëìîãîðîâûì, êîòîðûé ïðèìåíèë
èäåè ôðàíöóçñêîãî ìàòåìàòèêà À. Ëåáåãà, îòíîñÿùèåñÿ ê òåîðèè èíòåãðèðîâàíèÿ, äëÿ îáîñíîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîñëå ïîÿâëåíèÿ ðàáîò À.Í. Êîëìîãîðîâà ñòàëî ÿñíî, ÷òî èñïîëüçîâàâøèåñÿ ðàíåå
â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà ïîëóèíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòèÿ (è èìåþùèå ñâîè íàçâàíèÿ) ÿâëÿþòñÿ îáùåïðèíÿòûìè â ìàòåìàòèêå. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå äóáëèðîâàíèå òåðìèíîâ, èñïîëüçóåìûõ
â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è âî âñåé îñòàëüíîé ìàòåìàòèêå (îá ýòîì ìû
áóäåì ãîâîðèòü â ãëàâå 1). Â íàñòîÿùåå âðåìÿ â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
ïðèíÿòî èñïîëüçîâàòü ñòàðûå òðàäèöèîííûå òåðìèíû, óäîáíûå äëÿ
ïðèëîæåíèé, íî íàïîëíåííûå ñòðîãèì ìàòåìàòè÷åñêèì ñîäåðæàíèåì. Ê ñîæàëåíèþ, êîíñòðóêöèè À.Í. Êîëìîãîðîâà äîñòàòî÷íî ñëîæíû. Ñòóäåíòû-ìàòåìàòèêè èçó÷àþò èõ îáû÷íî íå ðàíüøå òðåòüåãî êóð6
Ïðåäèñëîâèå
ñà.  ýòîì ó÷åáíèêå, ïðåäíàçíà÷åííîì äëÿ ýêîíîìèñòîâ, îíè áóäóò
èçëîæåíû êîðîòêî è â î÷åíü óïðîùåííîì âèäå.
Ïîä ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêîé, ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêîâ,
ïîíèìàåòñÿ ïðèìåíåíèå ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïðè ðàáîòå ñî
ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå åñòü ìíîãî õîðîøèõ ó÷åáíèêîâ êàê äëÿ ñòóäåíòîâìàòåìàòèêîâ, òàê è äëÿ ñòóäåíòîâ-íåìàòåìàòèêîâ (ñì. ñïèñîê ëèòåðàòóðû â êîíöå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ). Íàñòîÿùåå ó÷åáíîå ïîñîáèå çàäóìûâàëîñü êàê àçáóêà. Îíî äîëæíî áûòü íàïèñàíî ïðîñòî è ïîíÿòíî, â
óùåðá îáùíîñòè è ïîëíîòå, ãîâîðÿ óñëîâíî, êðóïíûìè áóêâàìè ñ
êàðòèíêàìè, ãäå ýòî òîëüêî âîçìîæíî. Íî â òî æå âðåìÿ îíî äîëæíî
äàâàòü ôóíäàìåíò äëÿ ïîñëåäóþùåé ðàáîòû.
Îñíîâàì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, êîòîðûå íåîáõîäèìû äëÿ ïîíèìàíèÿ ó÷åáíîãî êóðñà, ïîñâÿùåíà ãëàâà 1. Íàèáîëåå âàæíûì çäåñü
ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íà êîòîðîì ñòðîèòñÿ âñå äàëüíåéøåå èçëîæåíèå.  ãëàâå 2 ðàçáèðàþòñÿ íåêîòîðûå çàäà÷è êîìáèíàòîðèêè, ïîìîãàþùèå ïîíÿòü, îòêóäà âîçíèêàåò çàêîí íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé — êðàåóãîëüíûé êàìåíü ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé çàíèìàåò îòíîñèòåëüíî íåáîëüøóþ
÷àñòü ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ — îñíîâíàÿ åãî ÷àñòü ïîñâÿùåíà ñòàòèñòè÷åñêèì ìåòîäàì. Ïîýòîìó îòáîð ìàòåðèàëà, îòíîñÿùåãîñÿ ê òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé, áûë ïðîèçâåäåí î÷åíü æåñòêî. Êàê è â ëþáûõ äðóãèõ
ðàçäåëàõ òåîðåòè÷åñêîé ìàòåìàòèêè, íåïîñðåäñòâåííî âûõîäÿùèõ íà
ïðèëîæåíèÿ, îäíè ïîíÿòèÿ è òåîðåìû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé èñïîëüçóþòñÿ â ïðèëîæåíèÿõ íåïîñðåäñòâåííî, à äðóãèå íóæíû äëÿ òîãî, ÷òîáû äîêàçàòü èñïîëüçóåìûå òåîðåìû. Ïðè îòáîðå ìàòåðèàëà íàìè áûë
ñäåëàí âûáîð â ïîëüçó ïîíÿòèé è òåîðåì ïåðâîãî âèäà. Ìû ñòðåìèëèñü ê òîìó, ÷òîáû, çàòðàòèâ ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, ÷èòàòåëü óñâîèë
îñíîâíûå ïðèíöèïû ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé äëÿ ðàáîòû ñî
ñòàòèñòè÷åñêîé èíôîðìàöèåé. Ñëàáîé ñòîðîíîé òàêîãî ñïîñîáà èçëîæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ìíîãèå âàæíûå òåîðåìû ïðèâåäåíû áåç äîêàçàòåëüñòâ. (Î òîì, ãäå ìîæíî íàéòè äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ òåîðåì, ñêàçàíî â áèáëèîãðàôè÷åñêîé ñïðàâêå.)
Ãëàâû 3 è 4 ïîñâÿùåíû îïðåäåëåíèþ íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ðàçëè÷íûì ïðèëîæåíèÿì íîðìàëüíîãî ðàñ7
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
ïðåäåëåíèÿ. Â äàëüíåéøåì ââîäÿòñÿ äðóãèå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòåé è ñðàçó æå äàþòñÿ ïðèìåðû èõ ïðèìåíåíèÿ: χ2-ðàñïðåäåëåíèå (ãëàâà 5), t-ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà (ãëàâà 6), F-ðàñïðåäåëåíèå Ôèøåðà (ãëàâà 7), ðàñïðåäåëåíèå Ïóàññîíà (ãëàâà 8). Âñå ýòè
ðàñïðåäåëåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà, ñòðîÿòñÿ íà
îñíîâå íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ãëàâû 9, 10 è 11 ïîñâÿùåíû äðóãîìó âàæíîìó ðàçäåëó ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè — ðåãðåññèè è êîððåëÿöèè. Äàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò íåîáõîäèì äëÿ èññëåäîâàíèÿ âçàèìíîãî âëèÿíèÿ è âçàèìíîé çàâèñèìîñòè äèíàìè÷åñêèõ ðÿäîâ è íàáîðîâ íàáëþäåíèé.
Èçëîæåíèå âåäåòñÿ ñîâñåì ïðîñòî â íà÷àëå êíèãè è ïîñòåïåííî
óñëîæíÿåòñÿ â ïîñëåäóþùåì. Íà÷èíàÿ ñ ïàðàãðàôà 1.3 ïðåäïîëàãàåòñÿ,
÷òî ÷èòàòåëü çíàêîì ñ îñíîâàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà.  ãëàâå 10
èñïîëüçóþòñÿ îïåðàöèè íàä ìàòðèöàìè.
Èçìåíåíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðâûì èçäàíèåì íîñÿò, â îñíîâíîì,
ðåäàêöèîííûé õàðàêòåð. Çàìåíåíû íåêîòîðûå ïðèìåðû. Íåñêîëüêî
ðàñøèðåíû ïàðàãðàôû, ïîñâÿùåííûå óñëîâíûì âåðîÿòíîñòÿì, ïðîâåðêå ãèïîòåç è äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëàì.
 îñíîâó ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîëîæåíû ëåêöèè, êîòîðûå àâòîð
÷èòàë ñòóäåíòàì Ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà — Âûñøåé øêîëû
ýêîíîìèêè â òå÷åíèå ðÿäà ëåò. Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî
äàííàÿ êíèãà îñòàåòñÿ âñå æå ó÷åáíûì ïîñîáèåì, ðÿä âàæíûõ ðàçäåëîâ
êóðñà â êíèãå íå ïðåäñòàâëåí. Àâòîð áëàãîäàðèò êîëëåêòèâ ÃÓ ÂØÝ çà
ïîìîùü â îðãàíèçàöèè êóðñà è âñåõ êîëëåã, âûñêàçàâøèõ àâòîðó ñâîè
êîíñòðóêòèâíûå è äîáðîæåëàòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Îòäåëüíî àâòîð âûðàæàåò áëàãîäàðíîñòü Ý.Á. Åðøîâó çà áîëüøîå ÷èñëî ïîëåçíûõ çàìå÷àíèé, ñäåëàííûõ ïðè ïîäãîòîâêå åùå ïåðâîãî èçäàíèÿ êíèãè.
8
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
1
ãëàâà
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß
ÒÅÎÐÈÈ ÌÍÎÆÅÑÒÂ
È ÒÅÎÐÈÈ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÅÉ
 ýòîé ãëàâå ââîäèòñÿ ïîñòîÿííî èñïîëüçóåìîå â äàëüíåéøåì
ïîíÿòèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Îïðåäåëÿþòñÿ òàêæå äðóãèå ïîíÿòèÿ:
ñîáûòèå, âåðîÿòíîñòü, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü, îæèäàåìîå çíà÷åíèå
(îæèäàíèå) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
1.1
Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè
Ñòðîãîñòü â ìàòåìàòèêå ÿâëÿåòñÿ íåïðåìåííûì óñëîâèåì. Âñå
èñïîëüçóåìûå ïîíÿòèÿ îïðåäåëÿþòñÿ, âñå óòâåðæäåíèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì àêñèîì, äîêàçûâàþòñÿ.  êàæäîì îïðåäåëåíèè íîâûå ïîíÿòèÿ
îïèðàþòñÿ íà ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå ðàíüøå. Íî åñëè òàê, òî êàê æå
áûòü ñ ñàìûìè ïåðâûìè îïðåäåëåíèÿìè? ×åðåç ÷òî îïðåäåëÿþòñÿ ââîäèìûå â íèõ ïîíÿòèÿ? Îòâåò íà ýòè âîïðîñû ìîæåò áûòü òîëüêî îäèí.
 ìàòåìàòèêå åñòü íåîïðåäåëèìûå ïîíÿòèÿ. Òàêèìè ïîíÿòèÿìè ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâî è ôóíêöèÿ.
Ïðåæäå ÷åì ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ìíîæåñòâî è
÷òî òàêîå ôóíêöèÿ, ïîä÷åðêíåì, ÷òî ðîëü ýòèõ ïîíÿòèé íå îãðàíè÷è9
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
âàåòñÿ òåì, ÷òî ÷åðåç íèõ îïðåäåëÿþòñÿ âñå îñòàëüíûå ïîíÿòèÿ ìàòåìàòèêè. Åùå áîëåå âàæíî òî, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðåìà —
ýòî åñòü íåêîòîðîå óòâåðæäåíèå î ìíîæåñòâàõ è (èëè) ôóíêöèÿõ.
Ìíîæåñòâî — ýòî ñîâîêóïíîñòü ýëåìåíòîâ, îáëàäàþùèõ
íåêîòîðûì ñâîéñòâîì.
ßñíî, ÷òî ýòî íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî “ñîâîêóïíîñòü” íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà “ìíîæåñòâî”. Ïðèìåðàìè ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü:
ìíîæåñòâî ëþäåé, æèâóùèõ â äîìå;
ìíîæåñòâî ÿáëîê, ëåæàùèõ â êîðçèíå;
ìíîæåñòâî òî÷åê íà ïëîñêîñòè.
Äëÿ äâóõ ìíîæåñòâ ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ñïåöèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ:
N — ìíîæåñòâî öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, ò.å. ìíîæåñòâî,
ñîñòîÿùåå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6 è ò.ä.;
R — ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, â êîòîðîå âõîäÿò âñå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà N, à òàêæå îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, äðîáíûå ÷èñëà è
èððàöèîíàëüíûå ÷èñëà, íàïðèìåð, òàêèå, êàê 2 , π è å.
Ââåäåì íåñêîëüêî ñèìâîëîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ìíîæåñòâàì, íåîáõîäèìûõ íàì äëÿ äàëüíåéøåãî.
x∈A
(ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À).
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â, åñëè
ëþáîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà À ÿâëÿåòñÿ Ýëåìåíòîì ìíîæåñòâà Â. Â ýòîì
ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî À — ïîäìíîæåñòâî Â.
À⊂Â
(ìíîæåñòâî À ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó Â; ñì. ðèñ. 1.1).
 ÷àñòíîñòè, À ⊂ À. Ïîäìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç îäíîãî ýëåìåíòà õ, îáîçíà÷àåòñÿ {õ}. Åñëè õ ∈ À, òî {x} ⊂ À. Ôèãóðíûå ñêîáêè
èñïîëüçóþòñÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû íàãëÿäíî ïîêàçàòü, èç êàêèõ ýëåìåíòîâ
ñîñòîèò ìíîæåñòâî. Íàïðèìåð,
N = {1, 2, 3, ...}.
10
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ðèñ. 1.1. Ïîäìíîæåñòâî À ìíîæåñòâà Â
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ìíîæåñòâ
À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò è ìíîæåñòâó À, è ìíîæåñòâó Â.
Ñ=A∩Â
(Ñ — ïåðåñå÷åíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.2).
Ðèñ. 1.2. Ìíîæåñòâî Ñ — ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ À è Â
11
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî Ñ íàçûâàåòñÿ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ
À è Â, åñëè ìíîæåñòâî Ñ ñîñòîèò èç òåõ è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò õîòÿ áû îäíîìó èç ìíîæåñòâ À èëè Â.
Ñ=A∪Â
(Ñ — îáúåäèíåíèå À è Â; ñì. ðèñ. 1.3).
Ðèñ. 1.3. Ìíîæåñòâî Ñ — îáúåäèíåíèå ìíîæåñòâ À è Â
Ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ êîíå÷íûì, åñëè îíî ñîäåðæèò êîíå÷íîå
÷èñëî ýëåìåíòîâ, è áåñêîíå÷íûì â ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 0, íî ìåíüøèõ 10, êîíå÷íî
(îíî ñîäåðæèò 9 ýëåìåíòîâ), à ìíîæåñòâà N è R áåñêîíå÷íû.
Ïðèìåð 1.1. Îáîçíà÷èì ÷åðåç [0,1] ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
õ ∈ R, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ
0 ≤ x ≤ 1.
Ìíîæåñòâî [0,1] áåñêîíå÷íî (õîòÿ è îãðàíè÷åíî).
Ïðè a ≤ b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî
a ≤ x ≤ b,
íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì. Ïðè à < b ìíîæåñòâî òî÷åê õ ∈ R òàêèõ, ÷òî
à < õ < b,
íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì.
12
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Äî ñèõ ïîð ìû ñ÷èòàëè, ÷òî ìíîæåñòâî — ýòî ñîâîêóïíîñòü íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ. Òåïåðü ïîíÿòèå ìíîæåñòâà íóæíî ðàñøèðèòü.  êîðçèíå ñ ÿáëîêàìè ìîæåò ëåæàòü îäíî ÿáëîêî, äâà, òðè è ò.ä. Íî ìîæåò
íå ëåæàòü íè îäíîãî. Òàê æå ìîæíî ðàññìîòðåòü ñîâîêóïíîñòü, â êîòîðîé íåò ýëåìåíòîâ. Ìíîæåñòâî, íå ñîäåðæàùåå íè îäíîãî ýëåìåíòà, íàçûâàåòñÿ ïóñòûì è îáîçíà÷àåòñÿ ñèìâîëîì
∅.
Ïóñòîå ìíîæåñòâî ñ÷èòàåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì (íî íå ýëåìåíòîì!)
ëþáîãî ìíîæåñòâà.
Ïîÿñíèì íà ïðèìåðå, ïî÷åìó ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿ ïîëåçíûì è äàæå íåîáõîäèìûì. Ïóñòü ìíîæåñòâî À ñîñòîèò èç
òðåõ ýëåìåíòîâ
a1, a2, a3.
Òîãäà ó ìíîæåñòâà À åñòü âîñåìü ïîäìíîæåñòâ:
∅, {a1}, {a2}, {a3}, {a1, a2}, {a1, a3}, {a2, a3}{a1, a2, a3}.
( ÷èñëî ïîäìíîæåñòâ âêëþ÷àþòñÿ ïóñòîå ìíîæåñòâî è ñàìî ìíîæåñòâî A.) Ðàññìîòðèì ïåðåñå÷åíèå ïîäìíîæåñòâ {a1, a2} è {a1, a3}:
{a1, a2} ∩ {a1, a3} = {a1}.
À ÷òî òàêîå ïåðåñå÷åíèå, íàïðèìåð, {a1, a2} è {a3}? Åñëè áû ìû
íå ââåëè ïîíÿòèå ïóñòîãî ìíîæåñòâà, òî äîëæíû áûëè áû ïðèçíàòü,
÷òî â äàííîì ñëó÷àå îïåðàöèÿ ïåðåñå÷åíèÿ íå îïðåäåëåíà, ÷òî î÷åíü
íåóäîáíî. Íî òåïåðü îòâåò íà ïîñòàâëåííûé âîïðîñ íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé:
{a1, a2} ∩ {a3} = ∅.
Òåïåðü ìîæíî ïåðåéòè ê îáñóæäåíèþ òîãî, ÷òî òàêîå ôóíêöèÿ.
Ôóíêöèÿ — ýòî îòîáðàæåíèå, êîòîðîå êàæäîìó ýëåìåíòó
îäíîãî ìíîæåñòâà ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå íåêîòîðûé ýëåìåíò
äðóãîãî ìíîæåñòâà.
ßñíî, ÷òî ýòî îïÿòü íå îïðåäåëåíèå, à ïîÿñíåíèå. Ñëîâî “îòîáðàæåíèå” íè÷åì íå ëó÷øå ñëîâà “ôóíêöèÿ”. Çàïèñü
f:A→B
13
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
îçíà÷àåò, ÷òî ôóíêöèÿ f ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À íåêîòîðûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è ÷èòàåòñÿ òàê: “ôóíêöèÿ f
îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå À è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå ”
èëè òàê: “f äåéñòâóåò èç À â ”. Íà ðèñ. 1.4 è 1.5 ïîêàçàíû äâå ôóíêöèè; ïðè ýòîì êàæäîå èç ìíîæåñòâ À è  ñîñòîèò èç òðåõ ýëåìåíòîâ.
Ðèñ. 1.4. Ïðèìåð âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè
Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 1.4, íàçûâàåòñÿ âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé: êàæäîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À ïîñòàâëåí â ñîîòâåòñòâèå
ñâîé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â, è êàæäûé ýëåìåíò ìíîæåñòâà Â ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À. Ôóíêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà
ðèñ. 1.5, âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé íå ÿâëÿåòñÿ.
Ðèñ. 1.5. Ïðèìåð íå âçàèìíî-îäíîçíà÷íîé ôóíêöèè
14
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ðèñ. 1.6. Ïðèìåð îòîáðàæåíèÿ, íå ÿâëÿþùåãîñÿ ôóíêöèåé
Îòîáðàæåíèå, ïîêàçàííîå íà ðèñ. 1.6, íå ÿâëÿåòñÿ; ôóíêöèåé
ñðàçó ïî äâóì ïðè÷èíàì. Âî-ïåðâûõ, îäíîìó èç ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà À ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå äâà ýëåìåíòà ìíîæåñòâà Â, è, âîâòîðûõ, äðóãîìó ýëåìåíòó ìíîæåñòâà À âîîáùå íè÷åãî íå ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå.
Åñëè ôóíêöèÿ f äåéñòâóåò èç À â Â, f : A → B, è ýëåìåíò õ ïðèíàäëåæèò ìíîæåñòâó À, õ ∈ À, òî ïîñòàâëåííûé â ñîîòâåòñòâèå õ ýëåìåíò ìíîæåñòâà  îáîçíà÷àåòñÿ f (õ). Òàêèì îáðàçîì, f (x) ∈ Â.
Îïðåäåëåíèå. Ìíîæåñòâî ïàð (õ, f (õ)), ãäå õ ∈ À, íàçûâàåòñÿ
ãðàôèêîì ôóíêöèè f.
Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà ÷åðåç f (õ) îáîçíà÷àåòñÿ ñàìà ôóíêöèÿ f, à
íå ýëåìåíò ìíîæåñòâà çíà÷åíèé. Êàê ïðàâèëî, ýòî íå ïðèâîäèò ê íåäîðàçóìåíèÿì, íî, âñòðåòèâ òàêîå âûðàæåíèå, íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî
èìååòñÿ â âèäó.
Ïðèìåð 1.2. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ
f : R → [–1, 1],
äåéñòâóþùóþ ïî ïðàâèëó f (x) = sin x. Ãðàôèê ýòîé ôóíêöèè (òî÷íåå, ÷àñòü
ãðàôèêà) èçîáðàæåí íà ðèñ. 1.7.
Åùå ðàç ïîä÷åðêíåì, ÷òî ãðàôèê ôóíêöèè — ýòî ìíîæåñòâî, à
íå ôóíêöèÿ. Íå ñëåäóåò ïóòàòü ôóíêöèþ ñ åå ãðàôèêîì.
15
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ðèñ. 1.7. Ãðàôèê ôóíêöèè f(x) = sin x
Åñëè ôóíêöèÿ f : A → R è ôóíêöèÿ g : A → R, òî ìîæíî îïðåäåëèòü ôóíêöèþ, ÿâëÿþùóþñÿ ñóììîé ýòèõ äâóõ ôóíêöèé è îáîçíà÷àåìóþ ( f + g)
( f + g) : A → R,
êîòîðàÿ êàæäîìó õ ∈ À ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî f (x) + g(x). Àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü è ïðîèçâåäåíèå ôóíêöèé. Åñëè ñ ∈ R, òî
ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ôóíêöèè cf è ( f + ñ). Ôóíêöèè, ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ â R, ìû áóäåì íàçûâàòü ÷èñëîâûìè ôóíêöèÿìè.
1.2
Ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé
è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Íåçàâèñèìîñòü
ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
 ïðåäèñëîâèè ìû ãîâîðèëè, ÷òî òîëüêî â XX â. òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé áûëà ïðåâðàùåíà â áåçóïðå÷íî ñòðîãóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ,
è îêàçàëîñü, ÷òî âñå èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿòèÿ àíàëîãè÷íû ïîíÿòèÿì èç äðóãèõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè. Ê ýòîìó âðåìåíè â
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëîæèëàñü ñâîÿ òåðìèíîëîãèÿ, êîòîðàÿ îñòàëàñü
îáùåïðèíÿòîé, õîòÿ ìîæíî áûëî áû çàìåíèòü ñóùåñòâóþùèå òåðìèíû
èõ îáùåìàòåìàòè÷åñêèìè àíàëîãàìè. Íî â ýòîì ñëó÷àå ÿçûê òåîðèè
âåðîÿòíîñòåé ñòàë áû ìåíåå ïîíÿòåí â ïðèëîæåíèÿõ. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îñíîâíûìè òåðìèíàìè ïðèâåäåíî â ñëåäóþùåé òàáëèöå.
16
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Îáùåìàòåìàòè÷åñêèé òåðìèí
Òåðìèí òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ìíîæåñòâî
ñîáûòèé
Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ
Ýëåìåíò
Ýëåìåíòàðíîå ñîáûòèå
Ïîäìíîæåñòâî
Ñîáûòèå
Äëèíà, ïëîùàäü, îáúåì
ïîäìíîæåñòâà
Âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ
×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
Ïðèâåäåííîå ñîîòâåòñòâèå íóæíî ïîíèìàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Òåðìèíîì “ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé” ìû áóäåì îáîçíà÷àòü íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, êîíå÷íîå èëè áåñêîíå÷íîå. Ýëåìåíòû
è ïîäìíîæåñòâà ýòîãî ìíîæåñòâà áóäåì íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî ýëåìåíòàðíûìè ñîáûòèÿìè è ñîáûòèÿìè.
Åñëè ïîäìíîæåñòâà ïëîñêîñòè èëè ïðîñòðàíñòâà ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìè, ôèãóðàìè èëè òåëàìè, òî äëÿ íèõ îïðåäåëåíû äëèíû, ïëîùàäè èëè îáúåìû. Àíàëîãè÷íî êàæäîìó ñîáûòèþ (ò.å. ïîäìíîæåñòâó
ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé) ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå ÷èñëî,
íàçûâàåìîå åãî âåðîÿòíîñòüþ. Ýòî ÷èñëî òàê æå, êàê äëèíà, ïëîùàäü
èëè îáúåì ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì, è åñëè ðàçäåëèòü íåêîòîðîå
ñîáûòèå íà äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ñîáûòèÿ, òî âåðîÿòíîñòü èñõîäíîãî ñîáûòèÿ áóäåò ðàâíà ñóììå âåðîÿòíîñòåé ïîëó÷åííûõ ÷àñòåé.
Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, è ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå R.
Ç à ì å ÷ à í è å. Òî, ÷òî íàçâàíèå ñòîëü âàæíîãî îáúåêòà ñîñòîèò
èç äâóõ ñëî⠓ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà”, à íå èç îäíîãî ñëîâà, î÷åíü íåõîðîøî. Íî íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ýòî íàçâàíèå ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì.
Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (ìíîæåñòâî) ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ãðå÷åñêîé áóêâîé Ω (îìåãà). Ñàìè ýëåìåíòàðíûå ñîáûòèÿ (ýëåìåíòû ìíîæåñòâà) îáîçíà÷àþòñÿ òîæå áóêâàìè “îìåãà”, íî íå ïðîïèñíûìè, à ñòðî÷íûìè:
ω1, ω2, ... .
17
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ñîáûòèÿ îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè À, Â, ... . Òî åñòü ω ∈ Ω, A ⊂ Ω.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ÷àùå âñåãî îáîçíà÷àþòñÿ áóêâàìè X, Y, ... . Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ
íà ìíîæåñòâå Ω, âåðíà çàïèñü
X : Ω → R.
Ìíîæåñòâî Ω ìîæåò áûòü êàê êîíå÷íûì (ò.å. ñîäåðæàòü êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ), òàê è áåñêîíå÷íûì. Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî Ω ñîäåðæèò êîíå÷íîå ÷èñëî ýëåìåíòîâ, ìû ïîñòðîèì òåîðèþ
ñîâåðøåííî ñòðîãî; äëÿ ñëó÷àÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü çíà÷èòåëüíî áîëåå ñëîæíûå ìàòåìàòè÷åñêèå êîíñòðóêöèè, ïîýòîìó ìû îãðàíè÷èìñÿ íåêîòîðûìè ïîÿñíåíèÿìè è íå áóäåì ïðèâîäèòü âñå íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ.
Èòàê, ïóñòü ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ:
Ω = {ω1, ω2, ..., ωN}.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäàíî N ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë
p1, p2, ..., pN ,
êàæäîå èç êîòîðûõ íå áîëüøå 1. Ïóñòü, êðîìå òîãî,
N
∑p
i =1
= 1.
i
( äàëüíåéøåì ìû ÷àñòî áóäåì èñïîëüçîâàòü ñèìâîë Σ, êîòîðûé
îáîçíà÷àåò ñóììó, â äàííîì ñëó÷àå, N ÷èñåë.) Èç ïåðå÷èñëåííûõ óñëîâèé ñëåäóåò, ÷òî åñëè N > 1, òî
0 < pi < 1, i = 1, ..., N.
×èñëî pi íàçîâåì âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ωi. Åñëè
ñîáûòèå A ⊂ Ω, òî âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À îïðåäåëèì, êàê
P ( A) =
∑p,
ωi ∈A
i
ãäå ñóììèðóþòñÿ âåðîÿòíîñòè òîëüêî òåõ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ωi,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïîäìíîæåñòâà À. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ
ÿñíî, ÷òî
P(Ω) = 1.
18
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ïóñòîìó ìíîæåñòâó ïðèïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòü 0:
P(∅) = 0.
Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî ñîáûòèÿ À
0 < Ð(À) < 1.
Ñëåäóåò ïðèçíàòü, ÷òî â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω àíàëîãèÿ ìåæäó âåðîÿòíîñòÿìè ñîáûòèé è äëèíàìè,
ïëîùàäÿìè, îáúåìàìè ïîäìíîæåñòâ ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî äàëåêîé. Íî
íàì íåîáõîäèìî áóäåò ðàññìàòðèâàòü è áåñêîíå÷íûå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, è òîãäà äàííàÿ àíàëîãèÿ áóäåò î÷åíü ïîëåçíà.
Ïðèìåð 1.3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìû äâà ðàçà áðîñàëè ìîíåòó è êàæäûé
ðàç ìîã âûïàñòü ëèáî ãåðá, ëèáî ðåøåòêà. Âîçìîæíû ñëåäóþùèå 4 èñõîäà:
ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, PP.
Êàæäûé èç èñõîäîâ íàçîâåì ýëåìåíòàðíûì ñîáûòèåì:
Ω = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ, ÐÐ}.
Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, òî âåðîÿòíîñòè âñåõ èñõîäîâ ðàâíû:
1
p1 = p2 = p3 = p4 = .
4
Ïóñòü ñîáûòèå À çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî õîòÿ áû îäèí ðàç âûïàë ãåðá, ò.å.
À = {ÃÃ, ÃÐ, ÐÃ}.
Òîãäà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À
P( A) =
∑p
ωi ∈A
i
=
1 1 1 3
+ + = .
4 4 4 4
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ñëåäóåò,
÷òî åñëè A ∩ B = ∅, òî
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Òî æå ñïðàâåäëèâî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñîáûòèé. Åñëè ñîáûòèÿ A1, A2, ...,
Ak ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, òî
k
P ( A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ak ) = ∑ P ( Ai ).
i =1
Äàííîå óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ òåîðåìîé î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé.
19
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Îñíîâîïîëàãàþùóþ ðîëü â äàëüíåéøåì áóäåò èãðàòü ñëåäóþùåå
îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ À è Â íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
P(A ∩ B) = P(A)P(B).
Îòìåòèì, èç îïðåäåëåíèÿ íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ñëåäóåò, ÷òî
ñîáûòèå, ÿâëÿþùååñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì, è ëþáîå äðóãîå ñîáûòèå
íåçàâèñèìû. Äàííîå îïðåäåëåíèå ìîæåò áûòü îáîáùåíî íà ëþáîå ÷èñëî
ñîáûòèé.
Îïðåäåëåíèå. Ñîáûòèÿ A1, A2, ..., Ak íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè,
åñëè
k  k
P  ∩ Ai  = ∏ P ( A1 ).
 i =1  i =1
Çäåñü ìû ââåëè ñðàçó äâà íîâûõ îáîçíà÷åíèÿ:
k
∩ — ïåðåñå÷åíèå k ìíîæåñòâ (ò.å. ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç òåõ
i =1
è òîëüêî òåõ ýëåìåíòîâ, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò êàæäîìó èç ïåðå÷èñëåííûõ ìíîæåñòâ);
k
∏ — ïðîèçâåäåíèå k ÷èñåë.
i =1
Ç à ì å ÷ à í è å 1. Èñïîëüçóåòñÿ òàêæå äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè k ñîáûòèé, êîãäà òðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïðè ëþáîì m < k ëþáûå m
ñîáûòèé èç A1, A2, ..., Ak áûëè íåçàâèñèìûìè. Òî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè k ñîáûòèé, êîòîðîå èñïîëüçóåòñÿ íàìè, ÿâëÿåòñÿ áîëåå øèðîêèì.
Ç à ì å ÷ à í è å 2. Íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé äëÿ áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.
Êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèé ïðèìåð, èç ïîïàðíîé íåçàâèñèìîñòè íåñêîëüêèõ ñîáûòèé íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü.
Ïðèìåð 1.4. Ïóñòü Ω ñîñòîèò èç 4 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé è âåðîÿòíîñòü êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ðàâíà
20
1
. Ïóñòü
4
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
A1 = {ω1, ω2}, A2 = {ω1, ω3}, A3 = {ω1, ω4}
Ðèñ. 1.8. Òðè ñîáûòèÿ, ëþáûå äâà èç êîòîðûõ íåçàâèñèìû,
à âñå âìåñòå îíè íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè
(ñì. ðèñ. 1.8). Òîãäà
P( A1 ) = P( A2 ) = P( A3 ) =
è
1
2
1
P( A1 ∩ A2 ) = P( A1 ∩ A3 ) = P( A2 ∩ A3 ) = P({ω1}) = ,
4
ò.å. ïîïàðíî ìåæäó ñîáîé ëþáûå äâà èç ýòèõ ñîáûòèé íåçàâèñèìû. Íî
P( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P({ω1}) =
1 1
≠ = P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ).
4 8
Òî åñòü ñîáûòèÿ A1, A2, A3 íå íåçàâèñèìû.
 äàëüíåéøåì íàì, â îñíîâíîì, áóäåò íóæíî íå ñàìî îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé, à ïîñòðîåííîå íà íåì îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
21
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
X:Ω→R
ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x1, x2, ..., xk è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
Y:Ω→R
ïðèíèìàåò l ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé y1, y2, ..., yl. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî Ω
êîíå÷íî è ñîäåðæèò âñåãî N ýëåìåíòîâ, òî
k ≤ N, l ≤ N.
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ðàâíà xi. Òàêèì îáðàçîì,
k
Ω = 7 Ai .
i =1
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Bj ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ðàâíà yj ,
l
Ω = 7B .
j
j =1
Îïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû, åñëè ïðè
ëþáûõ i è j (1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ l ) íåçàâèñèìû ñîáûòèÿ Ai è Bj.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ñîáûòèé è íåçàâèñèìîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí — ýòî ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Èñïîëüçîâàíèå â èõ íàçâàíèÿõ îäíîãî è òîãî æå ñëîâà íå ïîìîãàåò óñâîåíèþ ïðåäìåòà, íî ÿâëÿåòñÿ îáùåïðèíÿòûì.
Ïîñêîëüêó î íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî â
òîì ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâàìè îäíîãî è òîãî æå
ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, î íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ìîæíî ãîâîðèòü òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè, îïðåäåëåííûìè íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ
ñîáûòèé Ω.
Ïðèìåð 1.5. Äîïóñòèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç kl òî÷åê, ëåæàùèõ íà ïëîñêîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå 1 ≤ x ≤ k, 1 ≤ y ≤ l è èìåþùèõ öåëûå
êîîðäèíàòû (íà ðèñ. 1.9 èçîáðàæåíî ìíîæåñòâî Ω ïðè k = 7, l = 4). Áóäåì
22
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
1
. Îïðåkl
äåëèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X, êàê àáñöèññó òî÷êè, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Y —
êàê îðäèíàòó òî÷êè.
ñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êàæäîé òî÷êå, ðàâíà
Ðèñ. 1.9. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ñîñòîÿùåå èç 28 òî÷åê
Ðèñ. 1.10. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå
íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ
23
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Íà ðèñ. 1.10 èçîáðàæåíà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω íà ïîäìíîæåñòâà Ai, íà
êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X, à íà ðèñ. 1.11 èçîáðàæåíà ðàçáèâêà ìíîæåñòâà Ω, íà ïîäìíîæåñòâà Âj, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y.
Ðèñ. 1.11. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ðàçáèòîå
íà ïîäìíîæåñòâà, íà êàæäîì èç êîòîðûõ ïîñòîÿííà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y
Òîãäà ïðè ëþáîì i
P ( Ai ) =
1
k
è ïðè ëþáîì j
1
P( B j ) = .
l
Íî ìíîæåñòâî Ai ∩ Bj ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïîýòîìó
P ( Ai ∩ B j ) =
1 1 1
= × = P ( Ai ) P ( B j ).
kl k l
Òî åñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y íåçàâèñèìû.
Ðàçîáðàííûé ïðèìåð ìîæíî îáîáùèòü, çàäàâ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò àáñöèññû, à ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
24
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Y — êàê íåêîòîðóþ ôóíêöèþ îò îðäèíàòû. Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y ïî-ïðåæíåìó áóäóò íåçàâèñèìûìè, òàê êàê ìíîæåñòâà
Ai è Âj áóäóò ñòðîèòüñÿ àíàëîãè÷íî.
×òîáû äàòü ïðèìåð íå íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äîïóñòèì, ÷òî â ïðèìåðå 1.5 Õ ïî-ïðåæíåìó ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé òîëüêî îò
àáñöèññû òî÷êè, à Y ïðèíèìàåò âî âñåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ. Òîãäà ïðè ëþáîì j ìíîæåñòâî Bj ñîñòîèò èç îäíîé òî÷êè. Ïîýòîìó, íàïðèìåð, åñëè B1 — ýòî ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå ëåâóþ
íèæíþþ òî÷êó íà ðèñ. 1.9, òî
A1 ∩ B1 = B1
è
P(A1 ∩ B1) > P(A1)P(B1).
Ïðèìåð 1.6. Äâå ñòóäåíòêè, Àíÿ è Áåòòè, õîòÿò âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî
ïåðåðûâà ìåæäó çàíÿòèÿìè ïîçâîíèòü ïî òåëåôîíó ñâîèì çíàêîìûì. Ïóñòü
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè
ðàçãîâîðà Àíè, à ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y — äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Áåòòè. È òà, è äðóãàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðèíèìàåò öåëûå çíà÷åíèÿ îò 0 äî 10. Ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè?
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò èñïîëüçîâàòü òîëüêî îäèí òåëåôîí. Òîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íå ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè. Äåéñòâèòåëüíî,
P(X = 6) > 0,
P(Y = 6) > 0,
íî
P((X = 6) ∩ (Y = 6)) = 0.
Ïîñëåäíÿÿ âåðîÿòíîñòü ðàâíà 0, ïîñêîëüêó âî âðåìÿ 10-ìèíóòíîãî ïåðåðûâà ñ îäíîãî è òîãî æå òåëåôîíà íå ìîãóò áûòü ñäåëàíû äâà çâîíêà ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ 6 ìèíóò êàæäûé. À åñëè íàì óäàëîñü íàéòè õîòÿ áû îäíó ïàðó
÷èñåë x è y òàêóþ, ÷òî ñîáûòèÿ X = x è Y = y íå íåçàâèñèìû, òî íå íåçàâèñèìû è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y. Ñîáûòèÿ X = 6 è Y = 6 íå íåçàâèñèìû,
ïîñêîëüêó
P((X = 6) ∩ (Y = 6)) ≠ P(X = 6) P(Y = 6).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà Àíÿ è Áåòòè ìîãóò çâîíèòü ñ äâóõ ðàçíûõ òåëåôîíîâ. Òîãäà ïðèâåäåííûå âîçðàæåíèÿ ïðîòèâ òîãî, ÷òîáû ñ÷èòàòü
ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y íåçàâèñèìûìè, îòïàäàþò.
25
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Àâòîðó íåèçâåñòíû ðåàëüíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ
êîòîðûõ áûëî áû íóæíî ìîäåëèðîâàòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàçãîâîðà
ñòóäåíòîê ïî òåëåôîíó â ïåðåðûâå ìåæäó çàíÿòèÿìè ïðè ïîìîùè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Äàííûé ïðèìåð, êàê è ìíîãèå äðóãèå ïðèìåðû, ïðèâåäåííûå â ýòîé êíèãå, íîñèò ó÷åáíûé èëè ïîëóó÷åáíûé õàðàêòåð.
Íî ñóùåñòâóþò âàæíûå ïðèêëàäíûå çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òå
èëè èíûå ÷èñëîâûå ïîêàçàòåëè ìîäåëèðóþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Íàïðèìåð, ýòî çàäà÷è ðàñ÷åòà áåçàðáèòðàæíîé öåíû ôèíàíñîâîãî
èíñòðóìåíòà è îïðåäåëåíèÿ ñòðàòåãèè õåäæèðîâàíèÿ. Çäåñü ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè ìîäåëèðóþòñÿ öåíû îñíîâíûõ àêòèâîâ, ïðîöåíòíûå
ñòàâêè, çíà÷åíèÿ îáìåííûõ êóðñîâ. Äðóãîé ïðèìåð — ýòî ìàêðîýêîíîìè÷åñêèå çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ èçó÷åíèåì ðîñòà âàëîâîãî âíóòðåííåãî
ïðîäóêòà è âûÿâëåíèåì âëèÿíèÿ îòäåëüíûõ ôàêòîðîâ íà åãî èçìåíåíèå. Íî ñëîæíîñòü èñïîëüçóåìîãî äëÿ ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ àïïàðàòà
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íå ïîçâîëÿåò ñîåäèíèòü èçëîæåíèå íà÷àë äàííîãî
ðàçäåëà ìàòåìàòèêè ñ ðàññìîòðåíèåì ñåðüåçíûõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷.
Ïðèâåäåì äðóãîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,
ïðè÷åì íå òîëüêî äëÿ äâóõ, íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Îïðåäåëåíèå. Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1, X2, ..., Xk,
Xi : Ω → R, i = 1, 2, ..., k.
Ðàññìîòðèì íàáîð ÷èñåë ai, i = 1, 2, ..., k (äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû ai ïðè
íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå –∞) è íàáîð ÷èñåë bi, i = 1, 2, ..., k
(äîïóñêàåòñÿ, ÷òîáû bi ïðè íåêîòîðûõ i ïðèíèìàëî çíà÷åíèå ∞) òàêèå,
÷òî ïðè ëþáîì i, 1 ≤ i ≤ k,
–∞ ≤ ai ≤ bi ≤ ∞.
Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ Ai ⊂ Ω, i = 1, 2, ..., k, ãäå Ai ñîñòîèò èç òåõ è
òîëüêî òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ
ai ≤ Xi(ω) ≤ bi.
Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X1, X2, ..., Xk íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè
äëÿ ëþáûõ íàáîðîâ a1, a2, ..., ak è b1, b2, ..., bk, óäîâëåòâîðÿþùèõ
ïðèâåäåííûì âûøå óñëîâèÿì, ñîáûòèÿ A1, A2, ..., Ak íåçàâèñèìû.
26
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ç à ì å ÷ à í è å. Ïåðâîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè, äàííîå äëÿ
äâóõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, ìîæíî îáîáùèòü äëÿ ëþáîãî ÷èñëà
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1, X2, ..., Xk. Òîãäà ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ êîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ïåðâîå è âòîðîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ýêâèâàëåíòíû. Íî (ýòî
áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî) äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω äîïóñòèìî èñïîëüçîâàòü òîëüêî âòîðîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1,
X2, ..., Xk ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíûì. ×òîáû ëó÷øå ïîíÿòü åãî,
ìîæíî ïîðåêîìåíäîâàòü ÷èòàòåëþ îáîáùèòü ïðèìåð 1.6 äëÿ òðåõ ñòóäåíòîê è ðàññìîòðåòü ðàçëè÷íûå âàðèàíòû, ïðè êîòîðûõ ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû X1, X2, X3 ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè, è ïðè êîòîðûõ îíè íå
ìîãóò áûòü íåçàâèñèìûìè.
1.3
Îæèäàåìîå çíà÷åíèå
è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Íà÷íåì ñ ðàññìîòðåíèÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ìíîæåñòâî Ω êîíå÷íî è
ñîäåðæèò N ýëåìåíòîâ:
Ω = {ω1, ω2, ..., ωN}.
Íàïîìíèì, ÷òî âåðîÿòíîñòü ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ωi ìû îáîçíà÷àåì pi , ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ — ýòî ôóíêöèÿ
X : Ω → R.
Îïðåäåëåíèå. Îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ
íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî
N
E ( X ) = ∑ X ( ωi ) pi .
i =1
27
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ïðèìåð 1.7.  ðàçíûå äíè ñòóäåíò çàòðà÷èâàåò ðàçíîå âðåìÿ íà äîðîãó äî
óíèâåðñèòåòà. Ïóñòü Ω — ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç N äíåé, êàæäîìó ýëåìåíòàð1
, i = 1, 2, ..., N .
N
Ïóñòü Õ — ýòî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, êîòîðàÿ îçíà÷àåò âðåìÿ, çàòðà÷åííîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà â êàæäûé èç äíåé. Òîãäà ñðåäíåå
âðåìÿ, çàòðà÷èâàåìîå ñòóäåíòîì íà äîðîãó äî óíèâåðñèòåòà,
íîìó ñîáûòèþ, ò.å. êàæäîìó äíþ ïðèïèøåì âåðîÿòíîñòü pi =
E( X ) =
1
N
N
∑ X (ω ).
i
i =1
Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò åå ñðåäíèì çíà÷åíèåì, èëè îæèäàíèåì, èëè ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì.
Îïðåäåëåíèå. Äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ
îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
( X − E( X ))
2
,
êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ D(X). Äðóãèìè ñëîâàìè,
N
D ( X ) = ∑ ( X (ωi ) − E ( X ) ) pi .
2
i =1
Äèñïåðñèÿ õàðàêòåðèçóåò ðàçáðîñ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ò.å. íàñêîëüêî ñèëüíî â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà Ω ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
îòëè÷àåòñÿ îò ñðåäíåãî çíà÷åíèÿ. Òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïîñòîÿííà, åå äèñïåðñèÿ ðàâíà íóëþ. Âî âñåõ äðóãèõ
ñëó÷àÿõ (íàïîìíèì, ÷òî ðå÷ü èäåò î êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω) äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïîëîæèòåëüíà. ×àñòî âìåñòî äèñïåðñèè óäîáíî ðàññìàòðèâàòü äðóãóþ ìåðó ðàçáðîñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.
Îïðåäåëåíèå. Ñòàíäàðòíûì îòêëîíåíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íàçûâàþò êâàäðàòíûé êîðåíü èç åå äèñïåðñèè:
σ X = D( X )
(σ — ãðå÷åñêàÿ áóêâà ñèãìà).
28
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
 ðàññìîòðåííîì ïðèìåðå 1.7 ñòàíäàðòíîå îòêëîíåíèå èçìåðÿåòñÿ â ìèíóòàõ, êàê è ñðåäíåå çíà÷åíèå, à äèñïåðñèÿ — â ìèíóòàõ â
êâàäðàòå, ÷òî ìåíåå óäîáíî.
Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà — ýòî ÷èñëîâàÿ ôóíêöèÿ, òî, êàê
ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.1, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óìíîæàòü èõ íà êîíñòàíòû è ïðèáàâëÿòü
êîíñòàíòû (êîíñòàíòó òàêæå ìîæíî ñ÷èòàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé).
Íàïðèìåð, çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (X + Y) â òî÷êå ωi îïðåäåëÿåòñÿ êàê
X(ωi ) + Y(ωi ).
Ïðè ýòîì, êîíå÷íî, ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
Õ è Y îïðåäåëåíû íà îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ
ñîáûòèé Ω.
Íåïîñðåäñòâåííî èç îïðåäåëåíèé âèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà c ∈ R ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ðàâåíñòâà:
Å(ñÕ) = ñÅ(Õ),
Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ,
D(cX) = c 2D(X),
D(X + c) = D(X),
σcX = cσX,
σX + c = σX .
Îïðåäåëåíèå. Êîâàðèàöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî
Cov ( X , Y ) = E (( X − E ( X ) )(Y − E (Y ) )).
 ÷àñòíîñòè, Cov(X, X) =D(X).
To, ÷òî â ôîðìóëå äëÿ Cov (X, Y) òðèæäû èñïîëüçóåòñÿ ñèìâîë
ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ Å, íå äîëæíî âûçûâàòü çàòðóäíåíèé.
( X − E ( X ) )(Y − E (Y ) )
åñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëåííàÿ íà òîì æå ñàìîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω, ÷òî è ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y.
Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñòàíäàðòíûå îòêëîíåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y ïîëîæèòåëüíû, òî êîððåëÿöèåé Õ è Y íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå
÷èñëî:
29
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Cor( X , Y ) =
Cov( X , Y )
.
σ X σY
Ç à ì å ÷ à í è å. Èíîãäà âåëè÷èíó Cor(X, Y) íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì êîððåëÿöèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y.
Ò å î ð å ì à 1.1. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñóììû, ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ðàâíî ñóììå îæèäàåìûõ çíà÷åíèé
Å(Õ + Y) = Å(Õ) + E(Y).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î.
N
E ( X + Y ) = ∑ ( X ( ωi ) + Y (ùi ) ) pi =
i =1
N
N
i =1
i =1
= ∑ X ( ωi ) pi + ∑Y ( ωi ) pi = E ( X ) + E (Y ).

Çäåñü è äàëåå ñèìâîëîì  ìû áóäåì îáîçíà÷àòü êîíåö äîêàçàòåëüñòâà.
Ò å î ð å ì à 1.2. Îæèäàåìîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíî ïðîèçâåäåíèþ îæèäàåìûõ çíà÷åíèé
E(XY) = E(X)E(Y).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü êàê è ïðè îïðåäåëåíèè äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ ïðèíèìàåò çíà÷åíèå
õ1 íà ìíîæåñòâå A1, çíà÷åíèå õ2 — íà ìíîæåñòâå À2 , ..., çíà÷åíèå xk —
íà ìíîæåñòâå Àk ; ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ó1 íà
ìíîæåñòâå Â1, çíà÷åíèå ó2 — íà ìíîæåñòâå B2, ..., çíà÷åíèå ól — íà
ìíîæåñòâå Âl. Òîãäà íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî
k
l
E ( X ) = ∑ xi P( Ai ),
E (Y ) =∑ y j P ( B j ),
i =1
j =1
è
k
l
k
l
E ( X Y ) = ∑∑ xi y j P ( Ai ∩ B j ) = ∑∑ xi y j P ( Ai ) P ( B j ) =
i =1 j =1
i =1 j =1
30
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
k
l
i =1
j =1
= ∑ xi P ( Ai ) × ∑ y j P ( B j ).
Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y,
èç êîòîðîé ñëåäóåò, ÷òî
Ð(Ài ∩ Âj) = Ð(Ài )P(Âj ).

Ò å î ð å ì à 1.3. Äèñïåðñèÿ ñóììû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà ñóììå äèñïåðñèé
D(X + Y) = D(X) + D(Y).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Îáîçíà÷èì
µX = E(X), µY = E(Y).
(µ — ãðå÷åñêàÿ áóêâà “ìþ”). Ïîëüçóÿñü òåìè æå îáîçíà÷åíèÿìè, ÷òî è
ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.2, èìååì
D ( X + Y ) = ∑∑ ( xi + y j − µ X − µY ) P ( Ai ∩ B j ) =
k
l
2
i =1 j =1
= ∑∑ ( xi − µ X ) P ( Ai ∩ B j ) + ∑∑ ( y j − µY ) P ( Ai ∩ B j ) +
k
l
k
2
i =1 j =1
l
2
i =1 j =1
+ 2∑∑ ( xi − µ X ) ( y j − µY ) P ( Ai ∩ B j ).
k
l
i =1 j =1
Ïîñêîëüêó ïåðâàÿ ñóììà â ïîñëåäíåì âûðàæåíèè ðàâíà
k
∑(x
i
− µ X ) P ( Ai ) = D ( X )
∑( y
j
− µY ) P ( B j ) = D (Y ),
i =1
2
è âòîðàÿ ñóììà ðàâíà
l
j =1
2
ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî çàïèñàòü òàê:
D(X + Y ) = D(X ) + D(Y ) + 2Cov(X, Y ).
31
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Çàìåòèì, ÷òî äî ñèõ ïîð ìû íå ïîëüçîâàëèñü íåçàâèñèìîñòüþ
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y. Ñ ó÷åòîì íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y
k
l
Cov( X , Y ) = ∑ ( xi − µ X ) P( Ai ) × ∑ ( y j − µY ) P ( B j ) =
i =1
j =1



=  ∑ xi P ( Ai ) − µ X   ∑ y j P( B j ) − µY  = 0.
 i =1
  j =1

k
l

Ò å î ð å ì à 1.4. Êîâàðèàöèÿ äâóõ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ðàâíà 0.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î ýòîé òåîðåìû ñîäåðæèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå
òåîðåìû 1.3.
Èç òåîðåìû 1.4 ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Õ è Y
íåçàâèñèìû è σX > 0, σY > 0, òî
Ñîr(X, Y ) = 0.
Ò å î ð å ì à 1.5. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî
σX > 0, σY > 0
–1 ≤ Cor(X, Y ) ≤ 1.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.3 áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X* è Y*
D(X* + Y*) = D(X*) + D(Y*) + 2Cov(X*, Y*).
Ïîëîæèì
X* =
X − E( X )
Y − E (Y )
, Y* =
.
σX
σY
Òîãäà ñ ó÷åòîì òåîðåì 1.1 è 1.3 E(X*) = 0, E(Y*) = 0, D(X*) = 1, D(Y*) = 1 è
Cov(X*, Y*) = Cor(X, Y ).
Èç óñëîâèÿ (ïîñêîëüêó äèñïåðñèÿ ëþáîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåîòðèöàòåëüíà)
D(X* + Y*) ≥ 0
32
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
ïîëó÷àåì
èëè
2 + 2Cor(X, Y ) ≥ 0,
Cor(X, Y ) ≥ –1.
Àíàëîãè÷íî èç óñëîâèÿ
D(X* – Y*) ≥ 0
ïîëó÷àåì
Cor(X, Y ) ≥ 1.

Ò å î ð å ì à 1.6. Äëÿ ëþáûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Õ è Y òàêèõ, ÷òî
σX > 0, σY > 0, ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ðàâíîñèëüíû:
1) äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë à u b, à ≠ 0
X = aY + b;
2) Ñîr (X, Y) ðàâíà 1 èëè –1.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü Õ* è Y* îïðåäåëÿþòñÿ òàê æå, êàê è
ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 1.5. Òîãäà, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1),
X* =
ò.å.
è
X − E ( X ) aY + b − aE (Y ) − b a Y − E (Y ) a
=
=
= Y *,
σX
σY
a σY
a
a
X* = Y* ïðè a > 0
X* = –Y* ïðè a < 0.
Ïîýòîìó ïðè à > 0
0 = D(X* – Y*) = D(X*) + D(Y*) – 2Cov(X*, Y*) = 2(1 – Cor(X, Y )),
îòêóäà
Cor(X, Y ) = 1.
Àíàëîãè÷íî ïðè à < 0
Cor(X, Y ) = –1.
Òàêèì îáðàçîì, äîêàçàíî, ÷òî èç óñëîâèÿ (1) ñëåäóåò óñëîâèå
(2). Äîêàæåì, ÷òî èç óñëîâèÿ (2) ñëåäóåò óñëîâèå (1). Èç ïðèâåäåííûõ
âûêëàäîê ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèå
33
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Cor(X, Y ) = 1
âëå÷åò óñëîâèå
D(X* – Y*) = 0,
à óñëîâèå
Cor(X, Y ) = –1
âëå÷åò óñëîâèå
D(X* + Y*) = 0.
Èç ðàâåíñòâà íóëþ äèñïåðñèè ñëåäóåò, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà —
ïîñòîÿííàÿ ôóíêöèÿ (íàïîìíèì, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñëó÷àé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω). Ïîýòîìó â ïåðâîì ñëó÷àå
X* – Y* = c,
à âî âòîðîì ñëó÷àå
X* + Y* = c,
ãäå ñ — íåêîòîðîå ÷èñëî. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ
 σ

σX
Y +  − X E (Y ) + σ X c + E ( X ) 
σY
 σY

è äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ
X =
X =−
σ

σX
Y +  X E (Y ) + σ X c + E ( X )  .
σY
 σY


Ñóùåñòâóåò ñëó÷àé áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω, êîòîðûé ìîæåò
áûòü ðàññìîòðåí òàê æå, êàê è ñëó÷àé êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω. Ýòî
ñëó÷àé Ω = N. (Íàïîìíèì, ÷òî ÷åðåç N ìû îáîçíà÷àåì ìíîæåñòâî
N
öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, N = {1, 2, 3...}.) Âìåñòî ñóìì
∑
i =1
íàäî
∞
ðàññìàòðèâàòü ñóììû
∑
i =1
è íàêëàäûâàòü óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå
ñõîäèìîñòü ðÿäîâ, ÷òî âûçûâàåò òðóäíîñòè ëèøü òåõíè÷åñêîãî õàðàêòåðà. Ìû íå áóäåì ðàññìàòðèâàòü ýòîò ñëó÷àé âïëîòü äî ãëàâû 8, ãäå
34
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
îí îêàæåòñÿ íåîáõîäèì äëÿ èçó÷åíèÿ îäíîãî âàæíîãî êëàññà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Áîëåå èíòåðåñíûì ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé
(õîòÿ è íåäîñòàòî÷íûì äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðåàëüíûõ
ñèòóàöèé) ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà Ω = [0, 1]. Îòðåçîê [0, 1] — ýòî
òîæå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Íî çäåñü îêàçûâàåòñÿ, ÷òî íåëüçÿ â êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí áðàòü ëþáûå ôóíêöèè
Õ : [0, 1] → R,
à â êà÷åñòâå ñîáûòèé — ëþáûå ïîäìíîæåñòâà À ⊂ [0, 1].
Íàïðèìåð, ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ (åå êîíñòðóêöèÿ äîñòàòî÷íî
ñëîæíà)
Õ : [0, 1] → R,
îáëàäàþùàÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì. Äëÿ ëþáîãî îòðåçêà [à, b] ⊂ [0, 1],
ãäå à < b, è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñ ∈ R ñóùåñòâóåò òî÷êà z ∈ [à, b] òàêàÿ, ÷òî
X(z) = ñ.
Òî åñòü ýòà ôóíêöèÿ íà ëþáîì ñêîëü óãîäíî ìàëîì îòðåçêå ïðèíèìàåò
ëþáûå çíà÷åíèÿ. Êîíå÷íî, ýòà ôóíêöèÿ íå ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíîé. Èñïîëüçîâàíèå ïîäîáíûõ ôóíêöèé â êà÷åñòâå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèâåëî áû ê íåïðåîäîëèìûì òðóäíîñòÿì, íàïðèìåð îêàçàëîñü áû, ÷òî
äëÿ ñîáûòèé
{ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ c},
ãäå ñ — íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü âåðîÿòíîñòü. Íî â òî æå âðåìÿ ÷ðåçìåðíîå ñóæåíèå êëàññà ðàññìàòðèâàåìûõ
ôóíêöèé ïðèâîäèò ê íåâîçìîæíîñòè ïîñòðîèòü ñîäåðæàòåëüíóþ òåîðèþ.
Åùå îäíà íåïðèÿòíîñòü çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Åñëè ñîáûòèå ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì, ïðèíàäëåæàùèì [0, 1] (à òàêèå ñîáûòèÿ ðàññìàòðèâàòü ìîæíî), òî â êà÷åñòâå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ íàèáîëåå åñòåñòâåííî âçÿòü äëèíó îòðåçêà. Òîãäà âåðîÿòíîñòü îòäåëüíîé òî÷êè
ðàâíà íóëþ. Íî â òàêîì ñëó÷àå, êàêèì äîëæåí áûòü àíàëîã òåîðåìû î
ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé, âåäü îáúåäèíåíèå âñåõ òî÷åê ñîâïàäàåò ñ [0, 1]
è èìååò âåðîÿòíîñòü 1?
 ñëó÷àå áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω â êà÷åñòâå ñîáûòèé è ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðèõîäèòñÿ ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ïîäìíîæåñòâà è
÷èñëîâûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå îïðåäåëåííûì òðåáîâàíèÿì.
35
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ôîðìóëèðîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèé äîñòàòî÷íî ñëîæíû, è ìû
ïðèâîäèòü èõ íå áóäåì. Îòìåòèì òîëüêî, ÷òî ïðè Ω = [0, 1]
1) â ÷èñëî ñîáûòèé âõîäÿò ëþáûå îòðåçêè, ïðèíàäëåæàùèå [0, 1],
è îáúåäèíåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà òàêèõ îòðåçêîâ;
2) â ÷èñëî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âõîäÿò âñå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè
Õ : [0, 1] → R
è âñå êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå ôóíêöèè.
Ñíà÷àëà îïðåäåëèì îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé. Ïóñòü îòðåçîê [0, 1]
ðàçáèò íà N îòðåçêîâ äëèíîé p1, p2 , ..., pN, íå èìåþùèõ ïîïàðíî îáùèõ òî÷åê, êðîìå êîíöîâ. Òàêèì îáðàçîì,
N
∑p
i =1
i
= 1.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
Õ : Ω → R,
êîòîðàÿ ïîñòîÿííà âíóòðè êàæäîãî èç ýòèõ îòðåçêîâ è íåïðåðûâíà
ñïðàâà (ñì. ðèñ. 1.12).
Ðèñ. 1.12. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé
36
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, îáîçíà÷èì õ1, x2, ..., xN . Îæèäàåìîå çíà÷åíèå äàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
îïðåäåëèì ïî ôîðìóëå
N
E ( X ) = ∑ xi pi .
i =1
Çàìåòèì, ÷òî ýòî îïðåäåëåíèå î÷åíü ïîõîæå íà îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, äëÿ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.
Åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ωi ñåðåäèíó i-ãî îòðåçêà, à âåðîÿòíîñòüþ ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ ñ÷èòàòü äëèíó äàííîãî îòðåçêà, òî îïðåäåëåíèå
áóäåò ñîâïàäàòü â òî÷íîñòè.
Îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé íà [0, 1], ìîæíî çàïèñàòü è â
äðóãîì âèäå:
1
E ( X ) = ∫ X (ω)d ω.
0
Äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà è ñóììû ñîâïàäàþò. Íî ïðè ïîìîùè èíòåãðàëà îæèäàåìîå çíà÷åíèå ìîæíî îïðåäåëèòü íå òîëüêî äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ôóíêöèè Õ(ω), íî è äëÿ ôóíêöèé áîëåå îáùåãî âèäà, íàïðèìåð, êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ (ñì. ðèñ. 1.13).
Ïîñêîëüêó äëèíà îòðåçêà èíòåãðèðîâàíèÿ ðàâíà 1, òî òàê îïðåäåëåííîå îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X — ýòî â íåêîòîðîì
ñìûñëå ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè X íà îòðåçêå [0, 1].
Ðèñ. 1.13. Ãðàôèê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ÿâëÿþùåéñÿ
êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé
37
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Åñëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îïðåäåëåíî, òî
äèñïåðñèÿ, êîâàðèàöèÿ è êîððåëÿöèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ïî òåì æå ôîðìóëàì, ÷òî è â ñëó÷àå êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà Ω.
 êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà áåñêîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω âîçüìåì åäèíè÷íûé êâàäðàò (ñì. ðèñ. 1.14).
Ðèñ. 1.14. Ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω,
ÿâëÿþùååñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì, è ñîáûòèå À ⊂ Ω
" "!
Ðèñ. 1.15. Íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è  â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî
ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ÿâëÿåòñÿ åäèíè÷íûì êâàäðàòîì
38
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ðàññìîòðèì ñîáûòèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À —
ýòî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà.
Íà ðèñ. 1.15 èçîáðàæåíû íåçàâèñèìûå ñîáûòèÿ À è Â. Äåéñòâèòåëüíî, ïëîùàäü ìíîæåñòâà À ðàâíà à ´ 1 = a; ïëîùàäü ìíîæåñòâà Â
ðàâíà 1 ´ b = b; ïëîùàäü ìíîæåñòâà A ∩ B ðàâíà a ´ b, ò.å. óñëîâèå
íåçàâèñèìîñòè ñîáûòèé
Ð(À ∩ Â) = Ð(À) Ð(Â)
âûïîëíåíî.
Ðàññìàòðèâàÿ åäèíè÷íûé êâàäðàò Ω = [0, 1]2, ãäå
[0, 1]2 = {(x1, x2) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1},
â êà÷åñòâå ñîáûòèé ìû äî ñèõ ïîð áðàëè òîëüêî ïðÿìîóãîëüíèêè ñî
ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Íî ìîæíî â êà÷åñòâå ñîáûòèé ðàññìàòðèâàòü ëþáûå ïîäìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà, äëÿ
êîòîðûõ îïðåäåëåíà ïëîùàäü, è ïðèíèìàòü ýòó ïëîùàäü çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ. Òîãäà ñîáûòèÿìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, êðóãè, òðåóãîëüíèêè, ïàðàëëåëîãðàììû. Áîëåå òîãî, ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíåñòè è
íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ ïëîùàäü (â îáû÷íîì ñìûñëå) íå
îïðåäåëåíà. Ïðèìåðîì òàêîãî ìíîæåñòâà ìîæåò áûòü
∞
Ñ = ∪ Km ,
m =1
1 
1
 1
,
ãäå Km — êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå 
(ðà ðàäèóñà
3m( m + 1)
 2m 2m 
äèóñû âûáðàíû òàê, ÷òîáû êðóãè íå ïåðåñåêàëèñü). Âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ C ÿâëÿåòñÿ ñóììà ðÿäà, m-é ÷ëåí êîòîðîãî — ýòî ïëîùàäü êðóãà Km.
Åñëè ìíîæåñòâà A è B ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿìè, òî ñîáûòèåì ÿâëÿåòñÿ è îáúåäèíåíèå ýòèõ ìíîæåñòâ, ïðè÷åì äëÿ âåðîÿòíîñòè îáúåäèíåíèÿ èìååò ìåñòî âûðàæåíèå
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
Ïóñòü òåïåðü ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω — ýòî åäèíè÷íûé êóá
39
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
[0, 1]3 = {(x1, x2, x3) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, 0 ≤ x3 ≤ 1}.
Åñëè â êà÷åñòâå ñîáûòèÿ ðàññìîòðåòü ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà Ω,
ÿâëÿþùååñÿ ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò,
A = {(x1, x2, x3) : a1 ≤ x1 ≤ b1, a2 ≤ x2 ≤ b2, a3 ≤ x3 ≤ b3},
òî çà âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ A ìîæíî ïðèíÿòü îáúåì ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà
3
P( A) = ∏ (bi − ai ).
i =1
 êà÷åñòâå ñîáûòèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è äðóãèå ïîäìíîæåñòâà åäèíè÷íîãî êóáà, äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëåí îáúåì, íàïðèìåð øàðû, òåòðàýäðû, íåïðÿìîóãîëüíûå ïàðàëëåëåïèïåäû, è ïðèíèìàòü ýòîò îáúåì çà
âåðîÿòíîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîáûòèÿ. Ê ñîáûòèÿì âîçìîæíî îòíåñòè è íåêîòîðûå ìíîæåñòâà, äëÿ êîòîðûõ îáúåì (â îáû÷íîì ñìûñëå)
íå îïðåäåëåí, íàïðèìåð ìíîæåñòâà òîãî æå âèäà, ÷òî è ðàññìîòðåííîå âûøå ìíîæåñòâî C, òîëüêî ìíîæåñòâà Km òåïåðü íå êðóãè, à øàðû.
Àíàëîãè÷íî ïðè ëþáîì n ∈ N â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ìîæíî ðàññìîòðåòü Ω = [0, 1]n, ãäå
[0, 1]n = {(x1, x2, ..., xn) : 0 ≤ x1 ≤ 1, 0 ≤ x2 ≤ 1, ..., 0 ≤ xn ≤ 1}.
Òàêîå ìíîæåñòâî íàçûâàåòñÿ n-ìåðíûì åäèíè÷íûì êóáîì. Äàííîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω äîñòàòî÷íî äëÿ òåõ ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, êîòîðûå ðàññìàòðèâàþòñÿ â ýòîé êíèãå.  êà÷åñòâå ñîáûòèé ìîãóò áûòü âçÿòû, â ÷àñòíîñòè, n-ìåðíûå ïàðàëëåëåïèïåäû ñî ñòîðîíàìè ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò,
A = {(x1, x2, ..., xn) : a1 ≤ x1 ≤ b1, a2 ≤ x2 ≤ b2, an ≤ xn ≤ bn}.
Çà âåðîÿòíîñòü P(A) òàêîãî ñîáûòèÿ ïðèíèìàåòñÿ n-ìåðíûé îáúåì
ïàðàëëåëåïèïåäà
n
P( A) = ∏ (bi − ai ).
i =1
Íî òàêèìè ïàðàëëåëåïèïåäàìè, êàê ýòî âèäíî èç äâóìåðíîãî è
òðåõìåðíîãî ñëó÷àåâ, íå èñ÷åðïûâàåòñÿ íàáîð âñåõ ïîäìíîæåñòâ ìíîæåñòâà Ω = [0, 1]n, êîòîðûå âîçìîæíî îòíåñòè ê ñîáûòèÿì.
40
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ
X : [0, 1]n → R
íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, åñëè äëÿ ëþáîãî x ∈ R ìíîæåñòâî
A ⊂ [0, 1]n, ñîñòîÿùåå èç òåõ è òîëüêî òåõ ω ∈ [0, 1]n, äëÿ êîòîðûõ
X(ω) ≤ x,
ÿâëÿåòñÿ ñîáûòèåì. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáàÿ íåïðåðûâíàÿ íà [0, 1]n
ôóíêöèÿ X ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. (Çäåñü íåîáõîäèìî, ÷òîáû
÷èòàòåëü âåðíóëñÿ ê ñëó÷àþ n = 1, íàðèñîâàë ãðàôèê íåêîòîðîé ôóíêöèè X è ïîñìîòðåë, êàêèìè ïðè ðàçëè÷íûõ x ÿâëÿþòñÿ ñîáûòèÿ
A = {ω ∈ [0, 1] : X(ω) ≤ x}.
 äàëüíåéøåì òàêèå ñîáûòèÿ ÷àñòî áóäóò îáîçíà÷àòüñÿ ñîêðàùåííî
X ≤ x).
Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðàññìîòðåíèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
X : [0, 1] → R
îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëÿëîñü, êàê èíòåãðàë îò ýòîé ôóíêöèè ïî îòðåçêó [0, 1]. Àíàëîãè÷íî ïðè n = 2 îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ äâîéíîé èíòåãðàë
îò ôóíêöèè X(ω) ïî åäèíè÷íîìó êâàäðàòó [0, 1]2, ïðè n = 3 — òðîéíîé èíòåãðàë ïî åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]3. Ïðè ïðîèçâîëüíîì n îæèäàåìûì çíà÷åíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íàçûâàåòñÿ n-êðàòíûé èíòåãðàë îò ôóíêöèè X(ω) ïî n-ìåðíîìó åäèíè÷íîìó êóáó [0, 1]n.
Íî åñëè äëÿ êîíå÷íîãî ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω
ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
X:Ω→R
èìååò îæèäàåìîå çíà÷åíèå, òî äëÿ áåñêîíå÷íûõ ïðîñòðàíñòâ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω ñóùåñòâóþò ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ó êîòîðûõ íåò
îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ.
Åñëè âñå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ ñóùåñòâóþò, òî òåîðåìû 1.1—1.6
îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è â ñëó÷àå, êîãäà ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω áåñêîíå÷íî. Îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è ôîðìóëû
Å(ñÕ) = ñÅ(Õ), Å(Õ + ñ) = Å(Õ) + ñ,
à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû äëÿ äèñïåðñèé è ñòàíäàðòíûõ îòêëîíåíèé, ïðèâåäåííûå â íà÷àëå ïàðàãðàôà.
41
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
1.4
Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
è ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
Ïóñòü Ω — ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, êîíå÷íîå èëè
áåñêîíå÷íîå, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
X:Ω→R
è õ ∈ R. ×åðåç À îáîçíà÷èì ìíîæåñòâî ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω òàêèõ, ÷òî
X(ω) ≤ x.
Ïîëîæèì
F(x) = P(A).
Ôóíêöèÿ
F : R → [0, 1]
íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X.
Ç à ì å ÷ à í è å. Ïðàâèëüíåå (íî áîëåå ãðîìîçäêî) áûëî áû îáîçíà÷èòü ýòó ôóíêöèþ íå F(x), à FX (x), ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü åå ñâÿçü ñî
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X.
ßñíî, ÷òî F — íåóáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè õ1 < õ2,
òî äëÿ ìíîæåñòâ
À1 = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x1}
è
À2 = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x2}
èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå À1 ⊂ À2. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Ð(À1) ≤ Ð(À2)
è, çíà÷èò,
F(x1) ≤ F(x2).
Ïîñìîòðèì, êàê óñòðîåíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ â òîì ñëó÷àå,
êîãäà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω,
Ω = {ω1, ω2, ..., ωN},
è âåðîÿòíîñòè ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ðàâíû
p1, p2, ..., pN .
42
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ïóñòü X(ωi ) = xi , i = 1, 2, ..., N, ïðè÷åì
x1 < x2 < ... < xN .
Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ èìååò âèä,
ïîêàçàííûé íà ðèñ. 1.16; çíà÷åíèå ôóíêöèè F ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç
òî÷êó õi, âîçðàñòàåò íà pi.
Ðèñ. 1.16. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà
êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω
Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà Ω — êîíå÷íîå ìíîæåñòâî, F ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ñòóïåí÷àòîé ôóíêöèåé. Ïîëåçíî ñðàâíèòü ðèñ. 1.16 ñ ðèñ. 1.12.
Íà ðèñ. 1.12 îñü õ ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî, à íà ðèñ. 1.16 — ãîðèçîíòàëüíî. Ïî âåðòèêàëüíîé îñè íà ðèñ. 1.16 îòêëàäûâàåòñÿ ñóììà
äëèí îòðåçêîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 1.12, íà êîòîðûõ X(ω) ≤ õ.
Íåòðóäíî ïîíÿòü, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïðåäåëåííûå íà êîíå÷íûõ ìíîæåñòâàõ Ω , èìåþò îäèíàêîâûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ýòèõ ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ñîâïàäàþò. Äåéñòâèòåëüíî, ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò âñþ èíôîðìàöèþ î çíà÷åíèÿõ, ïðèíèìàåìûõ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, è î âåðîÿòíîñòÿõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîáûòèé.
Åñëè ìíîæåñòâî Ω áåñêîíå÷íî, òî ôóíêöèÿ F(x) ìîæåò áûòü êàê
íåïðåðûâíîé (è äàæå äèôôåðåíöèðóåìîé), òàê è ðàçðûâíîé.  ëþáîì ñëó÷àå îíà îñòàåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé (ñì. ðèñ.1.17).
43
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ðèñ. 1.17. Äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé
âåëè÷èíû (ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé áåñêîíå÷íî)
Ïðèìåð 1.8. Òðè ñòóäåíòà, Àíòîí, Áîðèñ è Âàëåðèé, ïî-ðàçíîìó èñïîëüçîâàëè 5-ìèíóòíûé ïåðåðûâ ìåæäó çàíÿòèÿìè. Àíòîí ïîçâîíèë ïî òåëåôîíó. Áîðèñ
ïîäîøåë ê ïðåïîäàâàòåëþ è ïîïðîñèë åùå ðàç îáúÿñíèòü íåïîíÿòûé èì ìàòåðèàë. Âàëåðèé ðåøèë ïîïèòü ÷àþ â áóôåòå. Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Àíòîíà ïî òåëåôîíó, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Y — äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîäîëæèòåëüíîñòè ðàçãîâîðà Áîðèñà
ñ ïðåïîäàâàòåëåì, ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Z — äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âðåìåíè, êîòîðîå Âàëåðèé ïðîâåë â áóôåòå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X, Y è Z
ïðèíèìàþò ëþáûå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ îò 0 ìèíóò äî 5 ìèíóò.
Ìîæíî ïðèíÿòü, íàïðèìåð, ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ âåðîÿòíîñòåé îòäåëüíûõ ñîáûòèé, ñâÿçàííûõ ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè X, Y è Z. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X
P(X ≤ 0) = 0; P(X ≤ 1) = 0,2; P(X ≤ 2) = 0,4;
P(X ≤ 3) = 0,6; P(X ≤ 4) = 0,8; P(X ≤ 5) = 1.
Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y
P(Y ≤ 0) = 0; P(Y ≤ 1) = 0,5; P(Y ≤ 2) = 0,8;
P(Y ≤ 3) = 0,9; P(Y ≤ 4) = 0,95; P(Y ≤ 5) = 1.
Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Z
P(Z ≤ 0) = 0; P(Z ≤ 1) = 0; P(Z ≤ 2) = 0,1;
P(Z ≤ 3) = 0,2; P(Z ≤ 4) = 0,5; P(Z ≤ 5) = 1.
44
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z òîãäà ìîãóò èìåòü âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ.1.18.
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñîäåðæèò â ñåáå çíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü èíôîðìàöèè î ïîâåäåíèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íî, çíàÿ îòäåëüíî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X è Y, íåëüçÿ îòâåòèòü, íàïðèìåð, íà âîïðîñ, áóäóò ëè ýòè ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû íåçàâèñèìûìè.
Åñëè ôóíêöèÿ F â êàæäîé òî÷êå x ∈ R èìååò ïðîèçâîäíóþ
F′(x) = f (x),
ãäå f — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òî ôóíêöèÿ f íàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé
ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X. Ïðè ëþáîì õ ∈ R
f (x) ≥ 0,
ïîñêîëüêó F (x) ÿâëÿåòñÿ íåóáûâàþùåé ôóíêöèåé. Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà — Ëåéáíèöà ïîëó÷àåì
b
F (b) − F (a ) = ∫ f ( x )dx
a
— âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ À, ñîñòîÿùåãî èç òåõ ýëåìåíòîâ ω ∈ Ω, äëÿ
êîòîðûõ
à ≤ Õ(ω) ≤ b.
Èç ñîîòíîøåíèé
lim F ( x ) = 0,
lim F ( x ) = 1
x →− ∞
x →∞
ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè f (õ)
∞
∫
f ( x )dx = 1
−∞
è
x
F ( x) =
∫
f ( y )dy.
−∞
Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè, òî, êîíå÷íî,
ýòà ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà áåñêîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, ïîñêîëüêó
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω, êàê ìû óñòàíîâèëè âûøå, ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé è, ñëåäîâàòåëüíî, íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé íà âñåé ïðÿìîé.
45
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
à) Ãðàôèê ôóíêöèè FX
á) Ãðàôèê ôóíêöèè FY
â) Ãðàôèê ôóíêöèè FZ
Ðèñ. 1.18. Ãðàôèêè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X, Y è Z
46
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ò å î ð å ì à 1.7. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f, òî îæèäàåìîå çíà÷åíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ
ñëåäóþùåé ôîðìóëîé
E( X ) =
∞
∫ u f (u)du.
−∞
 êîíöå ïàðàãðàôà 1.3 ìû îïðåäåëèëè îæèäàåìîå çíà÷åíèå äëÿ
êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
X : [0, 1] → R,
êàê
1
E ( X ) = ∫ X (ω)d ω.
0
Êàê óæå ãîâîðèëîñü â ïàðàãðàôå 1.3, îïðåäåëåíèå îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáùåãî âèäà ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì äàííîãî îïðåäåëåíèÿ.
Òåîðåìó 1.7 ìû ïðèìåì áåç äîêàçàòåëüñòâà: ýòî îäèí èç òðóäíûõ
ðåçóëüòàòîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.  äàëüíåéøåì, îïåðèðóÿ îæèäàåìûìè çíà÷åíèÿìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìû áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ëèáî
âûðàæåíèåì äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èç òåîðåìû 1.7 (åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè), ëèáî íåïîñðåäñòâåííî îïðåäåëåíèåì îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ (åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà îïðåäåëåíà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå Ω). Äðóãèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìû ðàññìàòðèâàòü íå áóäåì (çà èñêëþ÷åíèåì ãëàâû 8, ãäå ðàññìàòðèâàåòñÿ
ñëó÷àé, êîãäà Ω = N, íî ýòîò ñëó÷àé, êàê îòìå÷àëîñü âûøå, àíàëîãè÷åí ñëó÷àþ êîíå÷íûõ ìíîæåñòâ Ω ).
Ò å î ð å ì à 1.8. Åñëè ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f, òî äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ âûðàæàåòñÿ ñëåäóþùåé
ôîðìóëîé:
D( X ) =
∞
∫ (u − E ( X ) )
2
f (u )du.
−∞
Òåîðåìà 1.8 (êîòîðóþ ìû òàêæå íå áóäåì äîêàçûâàòü) è òåîðåìà
1.7 ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè îäíîé òåîðåìû îá îæèäàåìîì çíà÷å47
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
íèè ôóíêöèè îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íàïîìíèì, ÷òî D(X) = Å((Õ –
– Å(Õ))2)). Ìû îãðàíè÷èëèñü èçëîæåíèåì ýòèõ äâóõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ,
ïîñêîëüêó îáùèé ðåçóëüòàò â äàëüíåéøåì â ýòîé êíèãå íå ïîíàäîáèòñÿ.
Ç à ì å ÷ à í è å. ×òîáû áûòü ñòðîãèìè, â ôîðìóëèðîâêàõ òåîðåì
1.7 è 1.8 ñëåäîâàëî ïîòðåáîâàòü ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ èíòåãðàëîâ. Åñëè èíòåãðàë, ó÷àñòâóþùèé â îïðåäåëåíèè îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èëè äèñïåðñèè ðàñõîäèòñÿ, òî íåñìîòðÿ íà íàëè÷èå ôóíêöèè
ïëîòíîñòè, êîíå÷íîãî îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ èëè êîíå÷íîé äèñïåðñèè
ó ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåò. Ìû íå ñòàëè óïîìèíàòü îá ýòîì òðåáîâàíèè ðàíüøå, ÷òîáû íå óòÿæåëÿòü ôîðìóëèðîâêè òåîðåì.  äàëüíåéøåì, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå, èíòåãðàëû áóäåì ñ÷èòàòü ñõîäÿùèìèñÿ.
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî èç ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà
∞
∫
f ( x )dx,
−∞
âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñëåäóåò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëà
∞
∫ x f ( x )dx.
−∞
Ïóñòü, íàïðèìåð,
 0 ïðè x < 1

f ( x) =  1
 x 2 ïðè x ≥ 1.
Òîãäà
∞
∫
−∞
∞
f ( x )dx = ∫
1
1
dx = 1,
x2
íî
∞
∞
1
∫−∞ x f ( x )dx = ∫1 x dx = ∞.
48
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ôóíêöèè ïëîòíîñòè âàæåí äëÿ íàñ åùå
â îäíîì îòíîøåíèè. Ôóíêöèÿ
x
F ( x) =
∫
f ( y )dy
−∞
íå äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå x = 1. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ôîðìàëüíî ìû
íå èìåëè äàæå ïðàâà íàçûâàòü f ôóíêöèåé ïëîòíîñòè. Íî ýòî âîçðàæåíèå ëåãêî îáõîäèòñÿ, åñëè â îïðåäåëåíèè ôóíêöèè ïëîòíîñòè ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû f áûëà íå íåïðåðûâíà, à êóñî÷íî-íåïðåðûâíà, à ðàâåíñòâî
F ′( x ) = f ( x )
áûëî ñïðàâåäëèâî äëÿ òåõ òî÷åê x ∈ R, â êîòîðûõ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà.
Ïðè òàêîì îáîáùåíèè ïîíÿòèÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè ñîõðàíÿþòñÿ âñå åå ñâîéñòâà (ðàçóìååòñÿ, çà èñêëþ÷åíèåì íåïðåðûâíîñòè) è âñå
ïðèâåäåííûå âûøå ñîîòíîøåíèÿ.  ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ìû áóäåì
èñïîëüçîâàòü ýòî áîëåå îáùåå îïðåäåëåíèå ôóíêöèè ïëîòíîñòè áåç
ñïåöèàëüíûõ îãîâîðîê.
Ç à ì å ÷ à í è å. Íà èíòóèòèâíîì óðîâíå ïîíÿòü òåîðåìó 1.7 äîñòàòî÷íî ëåãêî. Âûáåðåì ÷èñëà a0 è ak òàê, ÷òî
∞
ak
−∞
a0
∫ x f ( x )dx ≈ ∫ x f ( x )dx.
 äàííîì ñëó÷àå ñèìâîë “≈” íå èìååò ñòðîãîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî
ñìûñëà è îçíà÷àåò ïðèáëèæåííîå ðàâåíñòâî. Ðàçîáüåì îòðåçîê [a0, ak ]
íà k ðàâíûõ ÷àñòåé òî÷êàìè a1, ..., ak–1;
a0 < a1 < a2 < ... < ak –1 < ak.
×åðåç Ai îáîçíà÷èì ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå èç òåõ ω ∈ Ω, äëÿ êîòîðûõ
ai–1 ≤ X(ω) < ai;
i = 1, 2, ..., k. Òîãäà
49
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
P( Ai ) =
ai
∫
f ( x )dx.
ai −1
Ïîëîæèì
xi =
Òîãäà
ak
k
∫ x f ( x )dx = ∑
a0
ai
∫
i =1 ai −1
ai −1 + ai
.
2
k
ai
i =1
a i −1
x f ( x )dx ≈∑ xi
∫
k
f ( x )dx = ∑ xi P ( Ai ),
i =1
÷òî àíàëîãè÷íî âûðàæåíèþ äëÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, îïðåäåëåííîé íà êîíå÷íîì ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω.
Èç òåîðåì 1.7 è 1.8 ñëåäóåò, ÷òî åñëè äâå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû èìåþò
îäèíàêîâûå äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, òî îíè èìåþò
îäèíàêîâûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåðñèè. Âûøå
ìû óñòàíîâèëè òàêîé æå ðåçóëüòàò äëÿ êóñî÷íî-ïîñòîÿííûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòîò ðåçóëüòàò îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì äëÿ ëþáûõ ôóíêöèé
ðàñïðåäåëåíèÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî: ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû
ìîãóò èìåòü îäèíàêîâûå îæèäàåìûå çíà÷åíèÿ è îäèíàêîâûå äèñïåðñèè, íî ñîâåðøåííî ðàçíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Èíîãäà âìåñòî ñëî⠓ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò çàäàííóþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ” ìû áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå èëè çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé.
Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ èìååò ôóíêöèþ ïëîòíîñòè f (õ).
Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü 0 < ð < 1. Òî÷êà xp íàçûâàåòñÿ êâàíòèëüþ
ïîðÿäêà ð ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X, åñëè
xp
∫
f ( y )dy = p.
−∞
Ïîíÿòèå êâàíòèëè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû áóäåò øèðîêî èñïîëüçîâàòüñÿ â äàëüíåéøåì ïðè ïðîâåðêå ðàçëè÷íûõ ãèïîòåç. Êâàíòèëü ïîðÿäêà 0,5 íàçûâàåòñÿ ìåäèàíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ.
50
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Îïðåäåëåíèå. Òî÷êà x0 íàçûâàåòñÿ ìîäîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
X, åñëè â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ f (õ) èìååò ëîêàëüíûé ìàêñèìóì.
Íà ðèñ. 1.19 ïîêàçàíû ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, êâàíòèëü ïîðÿäêà ð è ìîäà. Çäåñü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà èìååò îäíó
ìîäó; â ïðèíöèïå ìîä ìîæåò áûòü è áîëüøå. Îäíàêî ÷àùå èñïîëüçóþòñÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ îäíîé ìîäîé.
Ðèñ. 1.19. Ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû:
x0 — ìîäà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû;
xp — êâàíòèëü ïîðÿäêà ð;
ð — ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñëåâà îò ïðÿìîé x = xp;
(1 – p) — ïëîùàäü ôèãóðû, ëåæàùåé ñïðàâà îò ïðÿìîé x = xp
1.5
Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè.
Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè. Ôîðìóëà Áàéåñà
Ïóñòü ñîáûòèÿ À è Í ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó ýëåìåíòàðíûõ
ñîáûòèé Ω, ïðè÷åì Ð(Í) > 0.
Îïðåäåëåíèå. ×èñëî
51
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
P( A H ) =
P( A ∩ H )
P( H )
íàçûâàåòñÿ óñëîâíîé âåðîÿòíîñòüþ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í (ïðè
ãèïîòåçå Í).
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòî îïðåäåëåíèå äëÿ òðåõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ.
1) Åñëè À ∩ Í = ∅ (ðèñ. 1.20), òî
Ð(À | H) = 0.
Ðèñ. 1.20. Íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ À è Í
è
2) Åñëè H ⊂ A (ñì. ðèñ. 1.21), òî
À∩Í=Í
Ð(À | H) = 1.
Ñëó÷àè (1) è (2) ÿâëÿþòñÿ êðàéíèìè.  ñëó÷àå (1), åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå Í, òî ñîáûòèå À ïðîèçîéòè íå ìîæåò íèêàê, è âåðîÿòíîñòü A ïðè óñëîâèè H ðàâíà 0.  ñëó÷àå (2), åñëè ïðîèçîøëî ñîáûòèå Í, òî çàâåäîìî ïðîèçîøëî è À, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü À ïðè óñëîâèè Í ðàâíà 1. Âîîáùå æå
0 ≤ Ð(À | H) ≤ 1,
ïîñêîëüêó À ∩ Í ⊂ H. Óïîòðåáëÿÿ ñëîâîñî÷åòàíèå “ïðîèçîøëî ñîáûòèå”, ìû ãîâîðèì íà ïîâñåäíåâíîì ÿçûêå, ïîìîãàþùåì ïîíÿòü, îòêó52
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
äà âçÿëîñü îïðåäåëåíèå óñëîâíîé âåðîÿòíîñòè, à íå íà ÿçûêå ñòðîãîé
ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè.
Ðèñ. 1.21. Ñîáûòèå À ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ñîáûòèÿ Í
è
3) Åñëè ñîáûòèÿ À è Í íåçàâèñèìû, òî
P(À ∩ Í) = Ð(À) × Ð(H)
Ð(À | H) = Ð(À).
Ïðèìåð 1.9. Îäèíàêîâû ëè îòâåòû íà ñëåäóþùèå âîïðîñû.
1. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ?
2. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, ïðè óñëîâèè, ÷òî îí ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé?
Ïî-âèäèìîìó, âî âòîðîì ñëó÷àå âåðîÿòíîñòü âûøå.  äàííîì ñëó÷àå ñîáûòèå À ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîâàð áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ, à ñîáûòèå Í ñîñòîèò â òîì, ÷òî òîâàð ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé (ñì. ðèñ. 1.22).
 ñèòóàöèè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1.22, ñîáûòèå À ∩ Í (òîâàð ïðîäàåòñÿ ïî öåíå íà 20% íèæå ñðåäíåé è áóäåò ïðîäàí â òå÷åíèå äíÿ) ïî÷òè ÷òî
ñîâïàäàåò ñ ñîáûòèåì Í, ïîýòîìó âåðîÿòíîñòü
P( A H ) =
P( A ∩ H )
P( H )
áëèçêà ê 1.  òî æå âðåìÿ âåðîÿòíîñòü Ð(À) çíà÷èòåëüíî ìåíüøå 1.
53
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ðèñ. 1.22. Ñîáûòèÿ À è Í, îáëàäàþùèå òåì ñâîéñòâîì,
÷òî âåðîÿòíîñòü íàñòóïëåíèÿ ñîáûòèÿ À ïðè óñëîâèè Í áëèçêà ê 1
Ïóñòü ñîáûòèÿ H1, H2, ..., Hk ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è
k
7H
i =1
i
=Ω
(ñì. ðèñ. 1.23, ãäå k = 4). Äëÿ ëþáîãî ñîáûòèÿ A ⊂ Ω ñïðàâåäëèâà
ôîðìóëà
k
A = 7 ( A ∩ H i ).
i =1
Ïîñêîëüêó ñîáûòèÿ À ∩ Íi ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ, ïî òåîðåìå
î ñëîæåíèè âåðîÿòíîñòåé
k
P ( A) = ∑ P ( A ∩ H i ).
i =1
Âîñïîëüçîâàâøèñü òåì, ÷òî
Ð(À ∩ Íi) = Ð(À | Íi) Ð(Íi),
ïîëó÷àåì
k
P ( A) = ∑ P ( A H i ) P ( H i ).
i =1
Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ïîëíîé âåðîÿòíîñòè.
Ýòà ôîðìóëà îêàçûâàåòñÿ î÷åíü ïîëåçíîé â ðÿäå ñëó÷àåâ.
54
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
Ðèñ. 1.23. Ðàçáèâêà ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé Ω íà ïîïàðíî
íåñîâìåñòèìûå ñîáûòèÿ H1, H2, H3, H4
Ïðèìåð 1.10. Ïðè áðîñàíèè ìîíåòû ñ âåðîÿòíîñòüþ ð âûïàäàåò ãåðá è
ñ âåðîÿòíîñòüþ q = 1 – ð âûïàäàåò ðåøåòêà. Èãðîê, èìåþùèé ò ðóá., ïðè
êàæäîì áðîñêå ëèáî âûèãðûâàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ãåðá, ëèáî ïðîèãðûâàåò 1 ðóá., åñëè âûïàäàåò ðåøåòêà. Öåëü èãðîêà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû óâåëè÷èòü ñâîé êàïèòàë äî Ì ðóá. Èãðà ïðåêðàùàåòñÿ ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñîñòàâèò Ì ðóá. (èãðîê âûèãðàë), ëèáî êîãäà êàïèòàë èãðîêà ñîñòàâèò 0 ðóá. (èãðîê ïðîèãðàë). Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî èãðîê ïðîèãðàåò?
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
π (k) — âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî èìåÿ k ðóá., èãðîê ïðîèãðàåò (ãðå÷åñêàÿ
áóêâà “ïè”);
Í1 — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàë ãåðá;
Í2 — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ïðè ïåðâîì áðîñêå âûïàëà ðåøåòêà;
À — ñîáûòèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî èãðîê ïðîèãðàë.
Òîãäà
Ð(À | Í1) = π (ò + 1), Ð(À | Í2) = π (m – 1)
è ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè
π (m) = π (m + 1) p + π (m – 1)q.
Çàìåòèì, ÷òî
π (0) = 1, π (M) = 0.
55
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
1
, òî çàäà÷à äîïóñêàåò
2
òî÷íîå ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå π — ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ îò ò, òàê êàê òî÷êà (ò,
π (ò)) ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà ñ êîíöàìè â òî÷êàõ (ò — 1, π (ò — 1)) è
(ò + 1, π (m + 1)). Äåéñòâèòåëüíî,
Åñëè ìîíåòà äîáðîêà÷åñòâåííàÿ, ò.å. p = q =
è
1
1
m = ( m − 1) + ( m + 1)
2
2
1
1
π(m ) = π(m − 1) + π(m + 1) .
2
2
Ïîñêîëüêó çíà÷åíèÿ ôóíêöèè π íà êîíöàõ îòðåçêà [0, Ì] èçâåñòíû, íàõîäèì
m
.
M
Âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà íàéäåíà. Åñòåñòâåííî, ÷òî îíà òåì áîëüøå, ÷åì
ìåíüøå îòíîøåíèå ò ê Ì. Êàê ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà íàéäåííàÿ âåðîÿòíîñòü äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàèáîëåå âûãîäíîãî ðóáåæà M? Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ îçíà÷àåò âûèãðûø èãðîêà. Òîãäà íà ïîäìíîæåñòâå À ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïðèíèìàåò çíà÷åíèå (–ò), à íà îñòàâøåéñÿ ÷àñòè ïðîñòðàíñòâà ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé — çíà÷åíèå (Ì – ò). Îæèäàåìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà
π( m ) = 1 −
m
m

= 0.
E ( X ) = ( − m )  1 −  + ( M − m)
M
 M
Òî åñòü ïðè äîáðîêà÷åñòâåííîé ìîíåòå âûáîð ðóáåæà Ì íå âëèÿåò íà îæèäàåìîå çíà÷åíèå âûèãðûøà.
Ïóñòü òåïåðü ð íå îáÿçàòåëüíî ðàâíî q. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé
π( m − 1) q − π( m) + π( m + 1) p = 0, 0 < m < M

π(0) = 1, π( M ) = 0
ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì êîìïüþòåðà.
 ñëåäóþùåé òàáëèöå ïðèâåäåíû ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ âåðîÿòíîñòåé
ïðîèãðûøà π (m) ïðè M = 10, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîìó êàïèòàëó â ò ðóáëåé (0 ≤ ò ≤ 10) è âåðîÿòíîñòÿì âûïàäåíèÿ ãåðáà ð, ðàâíûì 0,6; 0,55; 0,52;
0,5; 0,48; 0,45; 0,4. Âñå âåðîÿòíîñòè ïðèâåäåíû ñ òî÷íîñòüþ äî äâóõ äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ.
56
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
p
m
0,60
0,55
0,52
0,50
0,48
0,45
0,40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
0,66
0,79
0,86
0,90
0,93
0,97
0,99
0,43
0,62
0,73
0,80
0,86
0,92
0,98
0,28
0,48
0,61
0,70
0,78
0,87
0,96
0,18
0,36
0,50
0,60
0,69
0,81
0,93
0,12
0,27
0,40
0,50
0,60
0,73
0,88
0,07
0,19
0,31
0,40
0,50
0,64
0,82
0,04
0,13
0,22
0,30
0,39
0,52
0,72
0,02
0,08
0,14
0,20
0,27
0,38
0,57
0,01
0,03
0,07
0,10
0,14
0,21
0,34
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,00
Åñòåñòâåííî, ÷òî ïðè ð = 0,5 ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ñîâïàäàþò ñ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè èç òî÷íîé ôîðìóëû
m
.
M
Èíòåðåñíî, ÷òî óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà âñåãî ñ ð =
= 0,52 äî ð = 0,48 óâåëè÷èâàåò âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà ïðè m = 9 ïðèìåðíî â
äâà ðàçà, à óìåíüøåíèå âåðîÿòíîñòè âûïàäåíèÿ ãåðáà ñ ð = 0,6 äî ð = 0,4 —
ïðèìåðíî â òðèäöàòü ðàç. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ïðè ð = 0,6 è ð = 0,55 âåðîÿòíîñòü ïðîèãðûøà ìåíüøå 0,5 äàæå ïðè ò = 2 è ò = 3 ñîîòâåòñòâåííî.
π( m ) = 1 −
Çàêîí÷èâ ñ ïðèìåðîì 1.10, ñíîâà âåðíåìñÿ ê ôîðìóëàì
P( A H i ) =
P( A ∩ H i )
,
P( H i )
ãäå ñîáûòèÿ H1, H2, ..., Ík ïîïàðíî íå ïåðåñåêàþòñÿ è ïðè îáúåäèíåíèè äàþò âñå ìíîæåñòâî Ω. Çàìåòèì, ÷òî åñëè Ð(À) > 0, òî
P( H i A) =
P( A ∩ H i )
.
P( A)
Òàê êàê P(À ∩ Íi ) = Ð(À | Íi)P(Hi), ïîëó÷àåì
P ( H i A) =
P( A H i ) P( H i )
.
P ( A)
Âûðàæàÿ P(A) ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè, ïîëó÷àåì
57
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
P ( H i A) =
P( A H i ) P( H i )
k
∑ P( A H
j =1
j
.
) P( H j )
Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Áàéåñà.
Ïðèìåð 1.11.  íà÷àëå ãîäà àíàëèòèê ðåêîìåíäîâàë íåêîòîðûå àêöèè
äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ. Ïî ðåçóëüòàòàì ãîäà îïðåäåëèëîñü, ÷òî äëÿ 40% îò îáùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü âûøå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó, à äëÿ
60% îò îáùåãî ÷èñëà àêöèé äîõîäíîñòü îêàçàëàñü íèæå, ÷åì ñðåäíÿÿ ïî ðûíêó.
Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ïåðâûå àêöèè àêöèÿìè ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ, à âòîðûå àêöèè — àêöèÿìè ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ. 20% èç ÷èñëà àêöèé ñ âûñîêîé
äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ è 5% èç
÷èñëà àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ áûëè ðåêîìåíäîâàíû àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü, ÷òî àêöèÿ, ðåêîìåíäîâàííàÿ àíàëèòèêîì äëÿ
ïðèîáðåòåíèÿ, îêàçàëàñü àêöèåé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ?
Ïóñòü
À — ìíîæåñòâî àêöèé, ðåêîìåíäîâàííûõ àíàëèòèêîì äëÿ ïðèîáðåòåíèÿ;
H1 — ìíîæåñòâî àêöèé ñ âûñîêîé äîõîäíîñòüþ;
H2 — ìíîæåñòâî àêöèé ñ íèçêîé äîõîäíîñòüþ.
Òîãäà
P(H1) = 0,4
P(H2) = 0,6,
P(A | H1) = 0,2
P(A | H2) = 0,05.
Ïîýòîìó
P( H1 A) =
P( A H1 ) P( H1 )
0, 2 × 0, 4
8
=
= .
P( A H1 ) P( H1 ) + P( A H 2 ) P( H 2 ) 0, 2 × 0, 4 + 0,5 × 0,6 11
Ïóñòü ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
X:Ω→R
ïðèíèìàåò k ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé x1, x2, ..., xk. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Ai
ïîäìíîæåñòâî Ω, íà êîòîðîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ðàâíà xi ;
k
Ω = 7 Ai .
i =1
Èç îïðåäåëåíèÿ îæèäàåìîãî çíà÷åíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû íåòðóäíî óâèäåòü, ÷òî
58
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
k
E ( X ) = ∑ xi P ( Ai ).
i =1
Ïóñòü H ⊂ Ω è P(H) > 0.
Îïðåäåëåíèå. Óñëîâíûì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè
çàäàííîì H íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùåå ÷èñëî
k
E ( X H ) = ∑ xi P ( Ai H ).
i =1
Ïðèìåð 1.12. Äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî –5%, ëèáî
20%. Äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ìîæåò áûòü ëèáî 0%, ëèáî 10%. Ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé äîõîäíîñòåé äâóõ àêòèâîâ ïðèâåäåíî â
ñëåäóþùåé òàáëèöå.
0%
10%
–5%
20%
0,1
0,4
0,3
0,2
Êàêîâà îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ïðè óñëîâèè, ÷òî äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%?
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñîáûòèÿ.
À1 — äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà –5%;
À2 — äîõîäíîñòü ïåðâîãî àêòèâà ðàâíà 20%;
H — äîõîäíîñòü âòîðîãî àêòèâà ðàâíà 0%.
Òîãäà, ïîñêîëüêó P(H) = P(A1 ∩ H) + P(A2 ∩ H) = 0,1 + 0,3 = 0,4, èìååì
P( A 1 H ) =
P( A 1 ∩ H ) 0,1
=
= 0, 25,
P( H )
0, 4
P( A 2 H ) =
P( A 2 ∩ H ) 0,3
=
= 0,75
P( H )
0, 4
è
E(X | H) = –5 × 0,25 + 20 × 0,75 = 13,75%.
 òî æå âðåìÿ
E(X) = –5 × 0,5 + 20 × 0,5 = 7,5%.
59
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
1.6
Çàäà÷à êàâàëåðà äå Ìåðå
Ýòà çàäà÷à çàñëóæèâàåò ïîäðîáíîãî èçëîæåíèÿ ïî äâóì ïðè÷èíàì.
Âî-ïåðâûõ, îíà âîøëà â èñòîðèþ ìàòåìàòèêè, êàê îäíà èç ïåðâûõ çàäà÷
òåîðèè âåðîÿòíîñòåé1. Âî-âòîðûõ, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèìåð ïðèìåíåíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîâñåì íåî÷åâèäíîé ïðèêëàäíîé çàäà÷è, õîòÿ è îòíîñÿùåéñÿ ê îáëàñòè àçàðòíûõ èãð.
Êàâàëåð äå Ìåðå íå áûë ìàòåìàòèêîì. Îí áûë çàÿäëûì èãðîêîì.
Åãî ëþáèìàÿ èãðà (íàçîâåì åå èãðîé ¹ 1) ñîñòîÿëà â ñëåäóþùåì.
Êàâàëåð äå Ìåðå è åãî ïàðòíåð áðîñàþò êîñòü 4 ðàçà. Åñëè õîòÿ áû îäèí
ðàç âûïàäàåò øåñòåðêà, âûèãðûâàåò êàâàëåð äå Ìåðå. Åñëè íåò — åãî
ïàðòíåð. Êàâàëåð äå Ìåðå íå ìîã îáúÿñíèòü â ÷åì äåëî, íî çíàë, ÷òî
ýòà èãðà (õîòÿ è íå î÷åíü çàìåòíî) èäåò íà ïîëüçó åãî êîøåëüêó. Îäíàêî ñî âðåìåíåì è äðóãèå èãðîêè çàìåòèëè, ÷òî ýòà èãðà èäåò íà ïîëüçó
êîøåëüêó êàâàëåðà äå Ìåðå áîëüøå, ÷åì èõ ñîáñòâåííûì, ïîýòîìó
íàõîäèëîñü âñå ìåíüøå æåëàþùèõ èãðàòü ñ íèì.
Òîãäà êàâàëåð äå Ìåðå ïðèäóìàë èãðó ¹ 2. Äâå êîñòè áðîñàþòñÿ
24 ðàçà, è åñëè õîòü ðàç âûïàäàþò äâå øåñòåðêè — ïîáåæäàåò êàâàëåð
äå Ìåðå, åñëè íåò — åãî ïàðòíåð. Óâåëè÷èâ ÷èñëî áðîñêîâ â øåñòü
ðàç, êàâàëåð äå Ìåðå ñ÷èòàë, ÷òî îí ïðîñòî èãðàåò â èãðó ¹ 1 øåñòü
ðàç ïîäðÿä. Îäíàêî ñèòóàöèÿ ñ êîøåëüêàìè èçìåíèëàñü íà ïðîòèâîïîëîæíóþ.
Ðàññòðîåííûé êàâàëåð äå Ìåðå îáðàòèëñÿ ê ìàòåìàòèêó Ïàñêàëþ çà ðàçúÿñíåíèÿìè. Ïàñêàëü ðåøèë ýòó çàäà÷ó è îáúÿñíèë, ïî÷åìó
âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà â ïåðâîé èãðå áîëüøå 1/2, à âåðîÿòíîñòü âûèãðûøà âî âòîðîé èãðå ìåíüøå 1/2, îáåññìåðòèâ òåì ñàìûì èìÿ äå
Ìåðå è ñäåëàâ âàæíûé øàã â ðàçâèòèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.
Èãðà ¹ 1. Ìíîæåñòâî Ω ñîñòîèò èç 64 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé:
(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 2), ...., (1, 1, 1, 6),
Ñì.: Íèêèôîðîâñêèé Â.À, Ôðåéìàí Ë.Ñ. Ðîæäåíèå íîâîé ìàòåìàòèêè. Ì.: Íàóêà,
1976. Ñ. 116—117.
1
60
Ãëàâà 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ìíîæåñòâ è òåîðèè âåðîÿòíîñòåé
(1, 1, 2, 1), ..., (6, 6, 6, 5), (6, 6, 6, 6),
ãäå äëÿ êàæäîãî ýëåìåíòàðíîãî ñîáûòèÿ íà ïåðâîì ìåñòå ñòîèò ðåçóëüòàò ïåðâîãî áðîñêà, íà âòîðîì — âòîðîãî, íà òðåòüåì — òðåòüåãî,
íà ÷åòâåðòîì — ÷åòâåðòîãî. Ïðè ýòîì ñîáûòèå À (êàâàëåð äå Ìåðå
ïðîèãðàë) ñîäåðæèò 54 ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé, òàê êàê íåáëàãîïðèÿòíûõ èñõîäîâ ïðè êàæäîì áðîñêå ìîæåò áûòü ïÿòü. Ïîýòîìó
54 625
1
=
≈ 0, 491 < .
4
6 1296
2
Èãðà ¹ 2. Èñõîäÿ èç òåõ æå ñîîáðàæåíèé, ÷òî è â èãðå ¹ 1, â
ýòîì ñëó÷àå
P( A) =
24
 35 
P ( A) =   .
 36 
×òîáû ñðàâíèòü ýòî ÷èñëî ñ 1/2, ñëåäóåò ïåðåéòè ê ëîãàðèôìàì. Îòâåò ñëåäóåò èç öåïî÷êè íåðàâåíñòâ
24
36
 36 
< 0,68 < ln 2,
ln   = 24ln
35
 35 
ïîýòîìó
24
 36 
  <2
 35 
è
1
P( A) > .
2
à èìåííî Ð(À) ≈ 0,509.
Ýòèì è îáúÿñíÿåòñÿ ïðè÷èíà íåóäà÷ êàâàëåðà äå Ìåðå.
61
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ø 34
Øâåäîâ, À. Ñ.
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà [Òåêñò] :
ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ âóçîâ / À. Ñ. Øâåäîâ; Ãîñ. óí-ò — Âûñøàÿ øêîëà
ýêîíîìèêè. — 2-å èçä., ïåðåðàá. è äîï. — Ì.: Èçä. äîì ÃÓ ÂØÝ,
2005. — 254, [I, II] ñ. — (Ó÷åáíèêè Âûñøåé øêîëû ýêîíîìèêè). —
Ëèòåðàò.: ñ. 247—249. — Ïðåäì. óêàç.: ñ. 250—253. — 3000 ýêç. —
ISBN 5-7598-0214-3 (â ïåð.).
Êíèãà ÿâëÿåòñÿ ó÷åáíûì ïîñîáèåì ïî êóðñó “Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ
ñòàòèñòèêà”. Èçëîæåíèå âåäåòñÿ â äîñòóïíîé ôîðìå, ïðè ýòîì ïîíÿòèÿ “ñîáûòèå”, “âåðîÿòíîñòü”,
“ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà” èñïîëüçóþòñÿ â òîì æå ñìûñëå, ÷òî è â íàó÷íûõ òðóäàõ ïî ìàòåìàòèêå.
 ïîñîáèå âêëþ÷åíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ïðèìåðîâ, ïîçâîëÿþùèõ ïîíÿòü ïðèíöèïû ïðèìåíåíèÿ ìíîãèõ ìåòîäîâ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè äëÿ ðåøåíèÿ ýêîíîìè÷åñêèõ è äðóãèõ çàäà÷.
Äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ ñïåöèàëüíîñòåé “Ýêîíîìèêà” è “Ìåíåäæìåíò”, äðóãèõ ýêîíîìè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé, à òàêæå äëÿ èíòåðåñóþùèõñÿ âîçìîæíîñòÿìè ïðèìåíåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â óñëîâèÿõ ðûíî÷íîé ýêîíîìèêè.
ÓÄÊ 519.2(075)
ÁÁÊ 22.17
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Øâåäîâ Àëåêñåé Ñåðãååâè÷
Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé
è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà
Ðåäàêòîð Å.À. Ðÿçàíöåâà
Õóäîæåñòâåííûé ðåäàêòîð À.Ì. Ïàâëîâ
Êîððåêòîð Å.Å. Àíäðååâà
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà è ãðàôèêà Í.Å. Ïóçàíîâà
ËÐ ¹ 020832 îò 15 îêòÿáðÿ 1993 ã. ïðîäëåíà äî 14 îêòÿáðÿ 2003 ã.
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 15.11.2004. Ôîðìàò 60×88 1/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.
Ãàðíèòóðà Times New Roman. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Òèðàæ 3000 ýêç. Óñë. ïå÷. ë. 15,46.
Ó÷.-èçä. ë. 7,57. Çàêàç ¹
. Èçä. ¹ 254
ÃÓ ÂØÝ. 125319, Ìîñêâà, Êî÷íîâñêèé ïðîåçä, 3
Òåë.: (095) 134-16-41; 134-08-77
Ôàêñ: (095) 134-08-31
62