Жуленев С.В. Стохастическая финансовая математика., М., 2001, 104 стр.

Ãëàâà I
Ýëåìåíòû äèñêðåòíîãî
ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
 íàñòîÿùåé ãëàâå ñîáðàí ìàòåìàòè÷åñêèé èíñòðóìåíòàðèé, ñ ïîìîùüþ
êîòîðîãî âåäåòñÿ èçëîæåíèå â ïîñëåäóþùåì. Ïðè ýòîì ñäåëàíà ïîïûòêà íå
òîëüêî êðàòêî, íî è äîñòóïíûì (äëÿ ïåðâîêóðñíèêîâ) ÿçûêîì ïðåäñòàâèòü
åñòåñòâåííî âîçíèêàþùèé ìèíèìàëüíûé êîìïëåêò íåîáõîäèìûõ äëÿ
ýòîãî ñâåäåíèé. Ïðàêòè÷åñêè âñåì óòâåðæäåíèÿì äàåòñÿ îáîñíîâàíèå.
Èñêëþ÷åíèå ñîñòàâëÿþò ëåììà Ôàòó, òåîðåìà Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé
ñõîäèìîñòè, òåîðåìû Äóáà î ñõîäèìîñòè ìàðòèíãàëà è îá îñòàíîâêå, à
òàêæå îäèí ðåçóëüòàò Íîâèêîâà. Íî èõ ôîðìóëèðîâêè ïðèâåäåíû â êîíöå
ãëàâû âìåñòå ñî ññûëêàìè íà ïðèÿòíûå äîêàçàòåëüñòâà.
2
1
1.1
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Òðè îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
Ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ
Ïðè æåëàíèè èçó÷àòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âìåñòî
âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà (Ω, F, P ) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü
ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ (Ω, F, F, P ),
ò.å. âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî ñ ôèëüòðàöèåé F = (Fn )n≥0 èëè
íåóáûâàþùèì ïîòîêîì σ− àëãåáð Fn ∈ F. Â ñàìîì äåëå, îáúÿñíèòü ýòî
íåñëîæíî. Âî-ïåðâûõ, äëÿ çàäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñ.â.) ïî-ïðåæíåìó
áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, P ), ãäå
Ω - ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω èëè ñîñòîÿíèé ðûíêà,
F - σ - àëãåðà ïîäìíîæåñòâ Ω èëè âîçìîæíûõ ñîáûòèé íà ðûíêå,
P - âåðîÿòíîñòü, ò.å. âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà F.
×òî æå êàñàåòñÿ ïîòîêà F = (Fn )n≥0 σ - àëãåáð, òàêèõ, ÷òî
(∅, Ω) = F0 ∈ F1 ∈ · · · ∈ · · · ∈ F,
òî îí ïðèçâàí îòðàæàòü ðàçâèòèå ôèíàíñîâûõ îïåðàöèé âî âðåìåíè
èëè â äèíàìèêå. Òî÷íåå ãîâîðÿ, σ - àëãåðà Fn êàê áû ïðåäñòàâëÿåò
ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé, íàáëþäàåìûõ äî ìîìåíòà n âêëþ÷èòåëüíî, èëè
äîñòóïíóþ íàëþäàòåëþ èíôîðìàöèþ î ñîñòîÿíèè ðûíêà. Èòàê, áàçîâîé
âåðîÿòíîñòíîé ìîäåëüþ áóäåò òàê íàçûâàåìîå
ôèëüòðîâàííîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî (Ω, F, F, P ),
èëè èíà÷å - ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ.
1.2
Äâà òèïà èñïîëüçóåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
 îñíîâíîì áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ
ñòîõàñòè÷åñêèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X = (Xn , Fn )n≥0 ,
ó êîòîðûõ âñå ñ.â. Xn ∈ Fn , ò.å. ÿâëÿþòñÿ Fn − èçìåðèìûìè, èëè
ïðåäñêàçóåìûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X = (Xn , Fn−1 )n≥0 ,
åñëè îïÿòü-òàêè âñå Xn ∈ Fn−1 . È îáúÿñíÿåòñÿ ýòî âî ìíîãîì òåì, ÷òî
àíàëèç ðàññìàòðèâàåìûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé áóäåò îïèðàòüñÿ íà êëàññ
ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, íàçûâàåìûõ ìàðòèíãàëàìè (ñì. ï.2).
Íî
ìíîãèå
ôèíàíñîâûå
ñäåëêè
è
îïåðàöèè
èìåþò
ñëó÷àéíóþ äëèòåëüíîñòü, èëè âàæíûå ðåøåíèÿ ïî íèì ïðèíèìàþòñÿ â
ñëó÷àéíûå ìîìåíòû âðåìåíè. Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò íåîõîäèìîñòü
ìàòåìàòè÷åñêè èíòåðïðåòèðîâàòü ñîîòâåòñòâóþùèå ñ.â., ïðè÷åì òàê,
÷òîáû ýòî áûëî åñòåñòâåííî ïðàêòè÷åñêè è íå ìåøàëî ñîçäàíèþ õîðîøåé
òåîðèè. Èìåííî ýòî è óäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìûõ ìàðêîâñêèõ
ìîìåíòîâ.
1
3
Òðè îñíîâíûå ïîíÿòèÿ
1.3
Ìàðêîâñêèå ìîìåíòû âðåìåíè
Ââîäèìîå íèæå ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà èãðàåò èñêëþ÷èòåëüíî
âàæíóþ ðîëü âî âñåé ðàññìàòðèâàåìîé äàëåå òåîðèè ìàðòèíãàëîâ è,
ñîîòâåòñòâåííî, â ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå.
Öåëî÷èñëåííàÿ ñ.â. τ, 0 ≤ τ ≤ ∞, íàçûâàåòñÿ
ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì (ÌÌ) îòíîñèòåëüíî ïîòîêà F = (Fn )n≥0 , åñëè
äëÿ êàæäîãî n ≥ 0
{τ = n} ∈ Fn .
(1)
Îïðåäåëåíèå 1.
Äðóãîå íàçâàíèå ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà ñ.â., íå çàâèñÿùàÿ îò áóäóùåãî.
Êðîìå òîãî, ñ.â. τ íàçûâàþò ìîìåíòîì îñòàíîâêè, åñëè P (τ < ∞) = 1.
Ïðèìåðû. 1. Ïóñòü X = (Xn , Fn )− íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è B ∈ B(R). Òîãäà ìîìåíò
τB = inf{n ≥ 0 : Xn ∈ B}
ïåðâîãî ïîïàäàíèÿ â ìíîæåñòî B (c τB = ∞, åñëè {·} = ∅ ) ÿâëÿåòñÿ
ìàðêîâñêèì, ïîñêîëüêó
{τ = n} = {X0 ∈
/ B, · · · , Xn−1 ∈
/ B, Xn ∈ B} ∈ Fn .
2. Âåëè÷èíà τ = n0 ÿâëÿåòñÿ ìîìåíòîì îñòàíîâêè, ïîñêîëüêó
Ω, n = n0 ,
{τ = n0 } =
∅, n 6= n0 .
Êàæäîìó ÌÌ τ ìîæíî ñîïîñòàâèòü σ - àëãåáðó ñîáûòèé Fτ , î
êîòîðîé ìîæíî ñêàçàòü, ïðîèçîøëè îíè äî ìîìåíòà τ èëè íåò.
Îïðåäåëåíèå 2.
Êëàññ âñåõ òàêèõ ñîáûòèé A ∈ F, ÷òî
A ∩ {τ = n} ∈ Fn
íàçûâàþò σ - àëãåáðîé Fτ , ïîðîæäåííîé ìàðêîâñêèì ìîìåíòîì τ.
Ââåäåííàÿ ñîâîêóïíîñòü Fτ ïîäìíîæåñòâ F äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ
σ -àëãåáðîé, ïîñêîëüêó 1) Ω ∈ Fτ ,
2) Fτ çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñ÷åòíîãî îáúåäèíåíèÿ è
3) åñëè A ∈ Fτ , òî Ā ∈ Fτ (òàê êàê Ā ∩ {τ = n} = {τ = n} \ A ∩ {τ = n}).
Ïóñòü X = (Xn , Fn )− íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
è τ − ÌÌ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (Fn ). Ñ íèìè åñòåñòâåííî ñâÿçàòü åùå
äâà îáúåêòà, êîòîðûå ÷àñòî áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ â íàøåì àíàëèçå. Ýòî
P
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xτ = ∞
0 Xn I{τ =n} (ω) è
îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X τ = (Xn∧τ )n≥0 .
4
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî äëÿ êàæäîãî B ∈ B(R)
{Xτ ∈ B} =
∞
X
{Xτ ∈ B, τ = n},
0
è, ñëåäîâàòåëüíî, Xτ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.
 äàííîì îïðåäåëåíèè ñ.â. Xτ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
Xτ = 0 íà ìíîæåñòâå {τ = ∞}. Èìåííî ýòî âûãëÿäèò åñòåñòâåííî, êîãäà
τ − ìîìåíò îñòàíîâêè. Íî ìîæíî áûëî áû ñ÷èòàòü, ÷òî
Çàìå÷àíèå 1.
Xτ =
∞
X
Xn I{τ =n} (ω) + X∞ I{τ =∞} (ω),
0
ãäå ñ.â. X∞ èçìåðèìà îòíîñèòåëüíî F∞ = σ(∪n≥0 Fn ). Íàïðèìåð,
ïîëîæèòü X∞ = limn→∞ Xn , åñëè ïðåäåë ñóùåñòâóåò •
Óêàæåì òàêæå íåêîòîðûå ñâîéñòâà âñåõ ââåäåííûõ îáúåêòîâ (èõ 4),
îòìåòèâ ÷òî âêëþ÷åíèå (1) â îïðåäåëåíèè 1 ìîæíî çàìåíèòü íà
{τ ≤ n} ∈ Fn .
(2)
1. τ1 < τ2 ⇒ Fτ1 ∈ Fτ2 .
 ñàìîì äåëå, ïóñòü A ∈ Fτ1 . Òîãäà A ∩ {τ1 ≤ n} ∈ Fn . Ïîýòîìó
A ∩ {τ2 ≤ n} = A ∩ {τ1 ≤ n} ∩ {τ2 ≤ n} ∈ Fn , òàê êàê {τ2 ≤ n} ∈ {τ1 ≤ n}.
2. τ1 ∨ τ2 , τ1 ∧ τ2 , a òàêæå τ1 + τ2 ÿâëÿþòñÿ ÌÌ, åñëè τi − ÌÌ.
Äåéñòâèòåëüíî, ëåãêî âèäåòü, ÷òî
Ñâîéñòâà.
{τ1 ∨ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∩ {τ2 ≤ n},
{τ1 + τ2 = n} =
n
X
{τ1 ∧ τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∪ {τ2 ≤ n},
{τ1 = k, τ2 = n − k}.
0
3. Äëÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè X = (Xn , Fn )
Xτ ∈ Fτ , ò.å. Fτ -èçìåðèìà, è
îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàêæå ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé.
 ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè {Xτ ∈ B} ∩ {τ = n} = {Xn ∈ B} ∈ Fn è
ïîòîìó Xτ ∈ Fτ . Êðîìå òîãî, èç ðàâåíñòâà
Xn∧τ =
n−1
X
Xm I{τ =m} + Xn I{τ ≥n}
0
ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò Fn − èçìåðèìîñòü ñ.â. Xn∧τ .
4. Àíàëîãè÷íî, îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X τ ÿâëÿåòñÿ
ïðåäñêàçóåìîé, åñëè ïðåäñêàçóåìû èñõîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X è ÌÌ
τ.
2
5
Ìàðòèíãàëû
2
2.1
Ìàðòèíãàëû
Îòíîøåíèå ê æèçíè è ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå
Êëàññ ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, íàçûâàåìûõ ìàðòèíãàëàìè,
èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê îêðóæàþùåé íàñ äåéñòâèòåëüíîñòè ïî ìåíüøåé
ìåðå ïî äâóì ïðè÷èíàì. Òàê, â àçàðòíûõ èãðàõ, ñêàæåì, äâóõ èãðîêîâ
åñòåñòâåííî âûäåëèòü áåçîáèäíóþ èëè ñïðàâåäëèâóþ èãðó êàê òàêóþ, â
êîòîðûõ ÓÌÎ âûèãðûøà êîíêðåòíîãî èãðîêà â ñëåäóþùåé ïàðòèè ïðè
óñëîâèè ëþáûõ èñõîäîâ ïðåäûäóùèõ èãð íå çàâèñèò îò íèõ è ðàâíÿåòñÿ
íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå ìàðòèíãàëîì áóäåò ñóììàðíûé âûèãðûø íàøåãî
èãðîêà êàê ôóíêöèÿ ÷èñëà èãð.
Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ è òàê íàçûâàåìàÿ áëàãîïðèÿòíàÿ èãðà, êàê
äëÿ íàøåãî èãðîêà, òàê è äëÿ åãî ïðîòèâíèêà, ò.å. íåáëàãîïðèÿòíàÿ äëÿ
íàøåãî èãðîêà. ×òî æå êàñàåòñÿ ñâÿçè ñ ïðàêòè÷åñêîé æèçíüþ ýòèõ èãð,
òî çàìåòèì, ÷òî ëþáóþ àçàðòíóþ èãðó ìîæíî ñ÷èòàòü èíòåðïðåòàöèåé,
ñêàæåì, êàêîé-ëèáî ôèíàíñîâîé ñäåëêè èëè îïåðàöèè.
Äðóãîé ìîìåíò îòðàæàåò äåéñòâèòåëüíîñòü, ïîñêîëüêó ìàòåìàòèêà
âñå æå ïðèçíàåòñÿ ïîëåçíîé äëÿ îáùåñòâà. Ñîîòâåòñòâåííî, æåëàíèå
îáîáùèòü ïðîñòîé ôàêò, èçâåñòíûé êàæäîìó øêîëüíèêó, íà êàê
ìîæíî áîëåå øèðîêèé êëàññ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, äîëæíî ïðèíåñòè è
ïðèíîñèò äèâèäåíäû. Ðå÷ü èäåò î òîì, ÷òî ëþáàÿ ÷èñëîâàÿ ìîíîòîííàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñõîäèòñÿ. À ñóùåñòâóþùèå òðè òèïà ìàðòèíãàëîâ
êàê ðàç è ìîæíî ñ÷èòàòü ñîîòâåòñòâóþùèìè îáîáùåíèÿìè òðåõ òèïîâ
ìîíîòîííûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé:
òèï ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ïîñòîÿííûå
êëàññ ïðîöåññîâ
ìàðòèíãàëû
ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèå
ìîíîòîííî óáûâàþùèå
ñóáìàðòèíãàëû
ñóïåðìàðòèíãàëû
Îïðåäåëåíèå 1. Ñòîõàñòè÷åñêàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ( E|Xn | < ∞ )
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )n≥0 íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàëîì, åñëè
P − ï.í.
E(Xn+1 |Fn ) = Xn , n ≥ 0,
(1)
èëè ñóáìàðòèíãàëîì (ñóïåðìàðòèíãàëîì), åñëè P − ï.í.
E(Xn+1 |Fn ) ≥ Xn ,
n ≥ 0 (E(Xn+1 |Fn ) ≤ Xn ).
Òàêèì îáðàçîì, ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn )n≥0 ÿâëÿåòñÿ
ìàðòèíãàëîì, åñëè âûïîëíåíû òðè óñëîâèÿ. Ïðåæäå âñåãî ýòî îñíîâíîå
óñëîâèå (1), îïðåäåëÿþùåå âçàèìîîòíîøåíèÿ ñîñåäíèõ, à, çíà÷èò, è ëþáûõ
÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåæäó ñîáîé, à òàêæå äâà óñëîâèÿ, êîòîðûì
6
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ëþáàÿ ñ.â. Xn . À èìåííî, áûòü èíòåãðèðóåìîé, à
òàêæå Fn -èçìåðèìîé ñ.â.
 òåîðåòè÷åñêèõ ðàññóæäåíèÿõ óñëîâèå (1) ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â
íåñêîëüêî èíîé ôîðìå äëÿ èõ óïðîùåíèÿ: ïðè ëþáûõ n ≥ 0, A ∈ Fn
Z
Z
Xn+1 dP =
Xn dP.
(2)
A
A
Ýêâèâàëåíòíîñòü æå (1) è (2) ëåãêî âûòåêàåò èç ñâîéñòâ ÓÌÎ.
2.2
Ïðèìåðû è óïðàæíåíèÿ
1. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(ξn )n≥0 íåçàâèñèìûõ ñ.â. ñ Eξn = 0
Pn
è ïóñòü Xn =
1 ξk , Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ). Òîãäà X = (Xn , Fn )n≥0 −
ìàðòèíãàë, ïîñêîëüêó E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 + E(ξn |Fn−1 ) = Xn−1 .
2. Äàíà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(ξn )n≥0 íåçàâèñèìûõ ñ.â. ñ Eξn = 1
Qn
è ïóñòü Xn =
1 ξk , Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ). Òîãäà X = (Xn , Fn )n≥0 −
ìàðòèíãàë, ïîñêîëüêó E(Xn |Fn−1 ) = Xn−1 · E(ξn |Fn−1 ) = Xn−1 .
3. Ïóñòü ξ− ïðîèçâîëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñ.â., ò.å. E|ξ| < ∞, a
Xn = E(ξ|Fn ), ãäå (Fn )n≥1 − íåóáûâàþùèé ïîòîê σ− àëãåáð. Òîãäà
X = (Xn , Fn )n≥1 − ìàðòèíãàë: E(Xn+1 |Fn ) = E(E(ξ|Fn+1 |Fn ) = Xn , à
äâà äðóãèå ñâîéñòâà òàêæå î÷åâèäíû
4. Ïóñòü ôóíêöèÿ g(x) ïðåîáðàçóåò îäíó ñòîõàñòè÷åñêóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )n≥0 â äðóãóþ Y = (g(Xn ), Fn )n≥0 ,
òàêóþ, ÷òî E|g(Xn )| < ∞, n ≥ 0. Òîãäà Y − ñóáìàðòèíãàë, åñëè
à. X− ìàðòèíãàë, à g(x)− âûïóêëàÿ âíèç ôóíêöèÿ, à òàêæå, åñëè
á. X− ñóáìàðòèíãàë, à g(x)− âûïóêëà âíèç è íåóáûâàåò.
5. Ïóñòü P è Q− äâå âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà (Ω, F ), P Q è
Xn = dPn /dQn − ïðîèçâîäíàÿ Ðàäîíà-Íèêîäèìà ñóæåíèÿ Pn ìåðû P íà
Fn îòíîñèòåëüíî ñóæåíèÿ Qn ìåðû Q. Òîãäà (Xn , Fn , Q)− ìàðòèíãàë,
åñëè (Fn )n≥1 − íåóáûâàþùèé ïîòîê σ− àëãåáð èç F.
2.3
Ìàðòèíãàë-ðàçíîñòü
Ïîíÿòèþ ìàðòèíãàëà åñòåñòâåííî ñîïîñòàâèòü ýêâèâàëåíòíîå ïîíÿòèå
ìàðòèíãàë-ðàçíîñòè, êîòîðûì çà÷àñòóþ óäîáíåå ïîëüçîâàòüñÿ.
Îïðåäåëåíèå
2.
Èíòåãðèðóåìàÿ
ñòîõàñòè÷åñêàÿ
ïîcëåäîâàòåëüíîñòü ξ = (ξn , Fn )n≥1 íàçûâàåòñÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ,
åñëè
E(ξn |Fn−1 ) = 0, n ≥ 0.
(3)
Pn
Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè Xn = 1 ξk , òî ξn = ∆Xn è íàîáîðîò. Ïîýòîìó äëÿ
X = (Xn , Fn ), ∆X = (∆Xn , Fn ) ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü:
X − ìàðòèíãàë ⇔ ∆X − ìàðòèíãàë-ðàçíîñòü.
2
7
Ìàðòèíãàëû
 íåé (ïî îïðåäåëåíèþ Xn âûøå) X0 = 0, à X = (Xn , Fn )n≥0 .
2.4
Ðàçëîæåíèå Äóáà
Ïðîèçâîëüíàÿ èíòåãðèðóåìàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X =
(Xn , Fn )n≥0 ñ X0 = 0 ìîæåò áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðåäñòàâëåíà
â âèäå ñóììû äâóõ ÷àñòåé, ìàðòèíãàëà M = (Mn , Fn ) è ïðåäñêàçóåìîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè A = (An , Fn−1 ) :
n ≥ 0,
X n = An + M n ,
ãäå
An =
n
X
E(∆Xk |Fk−1 ),
Mn =
n
X
1
(∆Xk − E(∆Xk |Fk−1 )).
(4)
(5)
1
Åäèíñòâåííîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (4) î÷åâèäíà.  ñàìîì äåëå, ïóñòü Xn =
A0n + Mn0 , ãäå A0 = (A0n , Fn−1 )− ïðåäñêàçóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à
M 0 = (Mn0 , Fn )− ìàðòèíãàë. Òîãäà, åñëè îò îáåèõ ÷àñòåé ðàâåíñòâà
0
A0n+1 − A0n + (Mn+1
− Mn0 ) = An+1 − An + (Mn+1 − Mn )
âçÿòü ÓÌÎ, òî ïîëó÷èì A0n+1 − A0n = An+1 − An . Íî A00 = A0 = 0, M00 =
M0 = 0 â ñèëó (5). Ïîýòîìó A0n = An , Mn0 = Mn ïðè âñåõ n ≥ 0.
Pn
Ïðèìåð. Ïóñòü Xn =
1 ξk , ãäå ξn − í.î.ð. áåðíóëëèåâñêèå ñ.â. ñ
P (ξ1 = 1) = P (ξ1 = −1) = 1/2. Òîãäà â ðàçëîæåíèè Äóáà (4) äëÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîäóëåé (|Xn |) âûðàæåíèÿ (5) èìåþò ñëåäóþùèé
âèä:
n
X
An = Ln (0), Mn =
(sgnXk−1 )∆Xk ,
1
ãäå Ln (0) = N (0 ≤ k ≤ n − 1 : Xk = 0)− ÷èñëî íóëåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(Xn ) íà èíòåðâàëå [0, n − 1].
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ∆|Xn | = |Xn−1 + ξn | − |Xn−1 |, òî
∆Mn = |Xn−1 + ξn | − E(|Xn−1 + ξn ||Fn−1 ) = (sgnXn−1 )ξn .
P
Òàêèì îáðàçîì, Mn = n1 (sgnXk−1 )∆Xk .
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, E(∆|Xn ||Fn−1 ) = E(|Xn−1 + ξn ||Fn−1 ) − |Xn−1 |
è ÿñíî, ÷òî íà ìíîæåñòâå {ω : Xn−1 = i} ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî
ðàâåíñòâà îáðàùàåòñÿ â 0 ïðè i 6= 0, ëèáî 1 ïðè i = 0. Ïîýòîìó
An =
n
X
E(∆Xk |Fk−1 ) = N (0 ≤ k ≤ n − 1 : Xk = 0)
1
è, ñëåäîâàòåëüíî, |Xn | = Ln (0) +
Pn
1 (sgnXk−1 )∆Xk •
8
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì àíàëîãîì èçâåñòíîé
ôîðìóëû Òàíàêà äëÿ ìîäóëÿ Áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ. Êðîìå òîãî, èç íåãî
âûòåêàåò, ÷òî
p
ELn (0) = E|Xn | ∼ 2n/π, n → ∞,
√
ïîñêîëüêó Xn / n ∼ N (0, 1) è, ñëåäîâàòåëüíî,
√ Z ∞
n
2
E|Xn | ∼ 2 √
xe−x /2 dx.
2π 0
À ýòà ýêâèâàëåíòíîñòü èçâåñòíûé ðåçóëüòàò î ñðåäíåì ÷èñëå íóëåé â
ñèììåòðè÷íîì ñëó÷àéíîì áëóæäàíèè.
Òåîðåìà 1. (Ðàçëîæåíèå Äóáà äëÿ ñóáìàðòèíãàëà)
Ïóñòü X = (Xn , Fn )− ñóáìàðòèíãàë. Òîãäà íàéäóòñÿ ìàðòèíãàë
M = (Mn , Fn ) è ïðåäñêàçóåìàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
A = (An , Fn−1 ) òàêèå, ÷òî äëÿ êàæäîãî n ≥ 0
X n = An + M n ,
(6)
ãäå (ïîëàãàåì, ÷òî M0 = X0 , A0 = 0)
An =
n−1
X
0
(E(Xl+1 |Fl ) − Xl ),
M n = M0 +
n−1
X
(Xl+1 − E(Xl+1 |Fl )).
(7)
0
Ïðèâåäåííîå óòâåðæäåíèå âåñüìà ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â ðàññóæäåíèÿõ.
Îäíàêî
îíî
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé
ëèøü ÷àñòíûé ñëó÷àé îïðåäåëåííîãî âûøå ðàçëîæåíèÿ Äóáà. Íîâîãî â
íåì ëèøü òî, ÷òî âûðàæåíèÿ (7) ïðåäñòàâëÿþò äðóãóþ, ýêâèâàëåíòíóþ
ôîðìó ðàâåíñòâ (5), îòëè÷àþùóþñÿ òåì, ÷òî â (5) X0 = 0, à çäåñü
ïðîèçâîëüíî. Êðîìå òîãî, åñòåñòâåííî ãîâîðèòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
A = (An , Fn−1 ) êîìïåíñèðóåò X = (Xn , Fn ) äî ìàðòèíãàëà è òåì ñàìûì
îïðàâäûâàåò
Îïðåäåëåíèå 3. Ïðåäñêàçóåìàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
A = (An , Fn−1 ) èç ðàçëîæåíèÿ Äóáà (6) íàçûâàåòñÿ
êîìïåíñàòîðîì ñóáìàðòèíãàëà X.
2.5
Êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìûå ìàðòèíãàëû
Ðàçëîæåíèå Äóáà èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü ïðè èññëåäîâàíèè êâàäðàòè÷íîèíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëîâ M = (Mn , Fn )n≥0 , , ò.å. ìàðòèíãàëîâ, äëÿ
êîòîðûõ EMn2 < ∞, n ≥ 0. Êàê èçâåñòíî (ñì. ïðèì.4a âûøå), â ýòîì
ñëó÷àå M 2 = (Mn2 , Fn )− ñóáìàðòèíãàë è ïî òåîðåìå 1
Mn2 = mn + < M >n ,
ãäå m = (mn , Fn )− ìàðòèíãàë, à < M >= (< M >n , Fn−1 )−
ïðåäñêàçóåìàÿ âîçðàñòàþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, êîòîðóþ íàçûâàþò
2
9
Ìàðòèíãàëû
êâàäðàòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêîé ìàðòèíãàëà M.
 ñèëó (5), (7) ìîæíî çàïèñàòü äâà ðàçëè÷íûå âûðàæåíèÿ êàê äëÿ
ìàðòèíãàëà m, òàê è äëÿ êâàäðàòè÷åñêîé õàðàêòåðèñòèêè < M >:
mn = M02 +
n
X
(∆Ml2 − E(∆Ml2 |Fl−1 )) = M02 +
1
n−1
X
2
2
(Ml+1
− E(Ml+1
|Fl )),
0
< M >n =
n
X
1
E(∆Ml2 |Fl−1 )
=
n−1
X
2
(E(Ml+1
|Fl ) − Ml2 ).
0
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, çàìåòèì, ÷òî åñëè M = (Mn )− ìàðòèíãàë, òî
E(∆Ml2 |Fl−1 ) = E((∆Ml )2 |Fl−1 ).
È ýòî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó êâàäðàòè÷åñêóþ õàðàêòåðèñòèêó < M >
íàçûâàþò òàêæå
ïðåäñêàçóåìîé êâàäðàòè÷åñêîé âàðèàöèåé
êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìîãî ìàðòèíãàëà. Ïðè ýòîì òåðìèí
êâàäðàòè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ
ðåçåðâèðóåòñÿ äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè [M ] = ([M ]n ) ñî çíà÷åíèÿìè
P
[M ]n = n1 (∆Mk )2 ,
êîòîðàÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, íåïðåäñêàçóåìà.
Äàëåå, åñëè M è N − äâà êâàäðàòè÷íî-èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëà,
òî îïðåäåëåíà èõ âçàèìíàÿ êâàäðàòè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà
1
< M, N >n = (< M + N >n − < M − N >n )
4
è ÿñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
(Mn Nn − < M, N >n )n≥0 − ìàðòèíãàë.
Êðîìå òîãî, òàêèå ìàðòèíãàëû íàçûâàþò îðòîãîíàëüíûìè, åñëè
< M, N >n = 0.
Ôèêñèðóÿ
M
è
ðàññìàòðèâàÿ
âñåâîçìîæíûå
îðòîãîíàëüíûå M ìàðòèíãàëû N, ìîæíî ïîñòðîèòü öåëîå ñåìåéñòâî
êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëîâ Xn = Mn + Nn . Âåðíî è
îáðàòíîå, ò.å. ëþáîé êâàäðàòè÷íî èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë ïðåäñòàâèì
â óêàçàííîì âèäå, íàçûâàåìîì ðàçëîæåíèåì Êóíèòà-Âàòàíàáå.
Óïðàæíåíèe.
1. Ïóñòü
(ξn )n≥1 − íåçàâèñìûe ñ.â. ñ Eξn =P
0, Dξn < ∞, è
P
Mn = n1 ξk . Ïîêàçàòü, ÷òî < M >n = EMn2 = n1 Dξk .
10
I
2.6
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Óïðàæíåíèÿ
1. Ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ìàðòèíãàëà X = (Xn , Fn )n≥0
cov (Xn − Xm , Xl − Xk ) = 0,
0 ≤ k < l < m < n,
ò.å. åãî ïðèðàùåíèÿ íåêîððåëèðîâàíû.
2. Ïóñòü X = (Xn ) è Y = (Yn ) - äâà ìàðòèíãàëà ñ X1 = Y1 = 0.
Äîêàçàòü, ÷òî
EXn Yn =
n
X
E∆Xk ∆Yk , è, â ÷àñòíîñòè, EXn2 =
n
X
2
(∆Xk )2 .
2
3. Ïóñòü
(ξn )n≥1 - í.î.ð.ñ.â. ñ Eξn = 0, Dξ < ∞, a Sn =
Pn
1 ξk . Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn ) ÿâëÿeòñÿ
ìàðòèíãàëîì, åñëè
Xn = Sn2 − nDξ, èëè Xn = (E exp aξ1 )−n exp(aSn ).
4. Ïóñòü (ξn )n≥1 - í.î.ð.ñ.â., ïðèíèìàþùèå çíà÷åíèÿ èç êîíå÷íîãî
ìíîæåñòâà Y. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî f0 (y) = P (ξ1 = y), f1 (y) =
P (η = y), y ∈ Y, ãäå η− íåêîòîðàÿ äðóãàÿ c.â. Ïîêàçàòü, ÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn ) ÿâëÿeòñÿ ìàðòèíãàëîì, åñëè
Xn =
f1 (ξ1 ) · · · f1 (ξn )
,
f0 (ξ1 ) · · · f0 (ξn )
a Fn = σ(ξ1 , · · · , ξn ).
Âåëè÷èíû Xn íàçûâàþò îòíîøåíèÿìè ïðàâäîïîäîáèÿ. Îíè èãðàþò
èñêëþ÷èòåëüíî âàæíóþ ðîëü â ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå.
5. Còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (Xn , Fn )1≤n≤N ÿâëÿåòñÿ
ìàðòèíãàëîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà EXτ = EX1 äëÿ
ëþáîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τ îòíîñèòåëüíî (Fn ). Ïîêàçàòü, ÷òî ýòî
óòâåðæäåíèå âåðíî è äëÿ ìîìåíòîâ îñòàíîâêè ñ äâóìÿ çíà÷åíèÿìè.
6. Ïîêàçàòü, ÷òî, åñëè X = (Xn , Fn )1≤n≤N − ìàðòèíãàë è τ − ìîìåíò
îñòàíîâêè, òî äëÿ ëþáîãî n
E[XN I{τ =n} ] = E[Xn I{τ =n} ].
7. Ïóñòü F1 ⊇ F2 ⊇ · · · − íåâîçðàñòàþùåå ñåìåéñòâî σ− àëãåáð è
ξ− èíòåãðèðóåìàÿ ñ.â. Ïîêàçàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn )n≥1
ñ Xn = E(ξ|Fn ) îáðàçóåò îáðàùåííûé ìàðòèíãàë, ò.å.
E(Xn |Xn+1 , Xn+2 , · · ·) = Xn+1 ,
n ≥ 1.
3
Îáîáùåíèå êëàññà ìàðòèíãàëîâ
11
Qn
8. Ðàññìîòðèì ìàðòèíãàë Xn =
1 ξk â ñèòóàöèè, êîãäà (ξn )−
í.î.ð.ñ.â. ñ P (ξ1 = 0) = P (ξ1 = 2) = 1/2. Ïîêàçàòü, ÷òî íå
ñóùåñòâóåò òàêîé èíòåãðèðóåìîé ñ.â. ξ è íåóáûâàþùåãî ñåìåéñòâà
σ− àëãåáð (Fn ), ÷òî Xn = E(ξ|Fn ). Ýòîò ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî
íå âñÿêèé ìàðòèíãàë (Xn , Fn )n≥1 ïðåäñòàâèì â âèäå (E(ξ|Fn ))n≥1 .
3
Ëîêàëüíûå è îáîáùåííûå ìàðòèíãàëû,
ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå
Ñóùåñòâóþò 3 îáîáùåíèÿ êëàññà ìàðòèíãàëîâ, êîòîðûå îêàçûâàþòñÿ íå
òîëüêî ýêâèâàëåíòíûìè, íî è âåñüìà óäîáíûìè â îáðàùåíèè.
3.1
Êðàòêàÿ õàðàêòåðèñòèêà íîâûõ ïîíÿòèé
Èñïîëüçîâàííîå â Îïðåäåëåíèè 1 ïðåäïîëîæåíèå èíòåãðèðóåìîñòè
ãàðàíòèðîâàëî ñóùåñòâîâàíèå ÓÌÎ E(Xn+1 |Fn ), n ≥ 0. Îäíàêî ýòè ÓÌÎ
ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è áåç òàêîãî ïðåäïîëîæåíèÿ.
 ñàìîì äåëå, ÓÌÎ E(ξ|Fn ) îïðåäåëåíî ïðè ëþáîé íåîòðèöàòåëüíîé
ñ.â. ξ. Ïîýòîìó î÷åâèäíîå ðàâåíñòâî
−
+
|Fn )
E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn+1
|Fn ) − E(Xn+1
(1)
åñòåñòâåííî âçÿòü çà îïðåäåëåíèå ÓÌÎ E(Xn+1 |Fn ), åñëè ãàðàíòèðîâàòü
îòñóòñòâèå áåcñìûñëåííîãî âûðàæåíèÿ (∞ −∞) ñïðàâà. Èíûìè ñëîâàìè,
åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïðè ëþáîì ω ∈ Ω õîòÿ áû îäíî èç äâóõ ñëàãàåìûõ
ñïðàâà êîíå÷íî, ò.å. P ï.í.
−
+
|Fn ) < ∞) = Ω,
(ω : E(Xn+1
|Fn ) < ∞) ∪ (ω : E(Xn+1
(2)
Cîîòâåòñòâåííî, âîçíèêàåò
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn , Fn )
íàçûâàåòñÿ îáîáùåííûì ìàðòèíãàëîì, åñëè äëÿ êàæäîãî n ≥ 0
îïðåäåëåíû óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ E(Xn+1 |Fn ) è P − ï.í.
Îïðåäåëåíèå 4.
E(Xn+1 |Fn ) = Xn .
(3)
Çàìå÷àíèå 1. Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî äëÿ îáîáùåííîãî
ìàðòèíãàëà E(|Xn+1 ||Fn ) < ∞ ïðè âñåõ n. Ïîñêîëüêó â ðàâåíñòâå (1),
îïðåäåëÿþùåì ÓÌÎ E(Xn+1 |Fn ), â ñèëó (2) òîëüêî îäíî ñëàãàåìîå ìîæåò
íå áûòü êîíå÷íûì, íî åñëè òàê áóäåò, òî â ñèëó (3) áåñêîíå÷íûå çíà÷åíèÿ
âîçìîæíû è ó Xn •
 ñîâðåìåííîì ñòîõàñòè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè, ïîæàëóé, áîëåå âàæíóþ
ðîëü èãðàåò íå ìàðòèíãàë, à ñëåäóþùàÿ ýêçîòè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ.
12
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn , Fn )
íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì, åñëè íàéäåòñÿ òàêàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü τ = (τk )k≥1 êîíå÷íûõ ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ, ÷òî
P − ï.í.
τk ≤ τk+1 , τk ↑ ∞, k → ∞,
Îïðåäåëåíèå 5.
è êàæäàÿ îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X τk = (Xτk ∧n , Fn )
ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì.
Çàìå÷àíèÿ. 2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü τ íàçûâàåòñÿ ëîêàëèçóþùåé.
3. Èíîãäà, æåëàÿ ðàññìàòðèâàòü òàêèå X, äëÿ êîòîðûõ X0 íå
èíòåãðèðóåìà, îñòàíîâëåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿþò íåñêîëüêî
èíà÷å:
X τk = (Xτk ∧n I(τk > 0), Fn ).
4. Äëÿ êëàññà ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ èñïîëüçóåòñÿ îáîçíà÷åíèå Mloc .
Èç îïðåäåëåíèÿ 5 ñëåäóåò, ÷òî âñÿêèé ìàðòèíãàë ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì
ìàðòèíãàëîì, ò.å. ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìàðòèíãàëîâ M ∈ Mloc •
P
Ïóñòü ñåìåéñòâî ñ.â.
= {Xτ : τ − êîíå÷íûé ìîìåíò îñòàíîâêè}
ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìî, ò.å.
supXτ ∈P E(|Xτ |I(|Xτ | > C)) → 0, → ∞.
Òîãäà, åñëè X ∈ Mloc , òî X ∈ M. Áîëåå òîãî, X ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì
Ëåâè: ñóùåñòâóåò èíòåãðèðóåìàÿ Fn − èçìåðèìàÿ ñ.â. X∞ òàêàÿ, ÷òî
Xn = E(X∞ |Fn ). È òåì ñàìûì X ∈ MU I (ìíîæåñòâó ðàâíîìåðíî
èíòåãðèðóåìûõ ìàðòèíãàëîâ).
Îïðåäåëåíèå
6.
Ïóñòü M = (Mn , Fn )− ñòîõàñòè÷åñêàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, à Y
= (Yn , Fn−1 )− ïðåäñêàçóåìàÿ. Òîãäà
ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y · M, ãäå
(Y · M )n = Y0 M0 +
n
X
Yk ∆Mk ,
1
íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì M ñ ïîìîùüþ Y. Åñëè ê òîìó æå
M − ìàðòèíãàë, òî ãîâîðÿò, ÷òî
X = Y · M åñòü ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå
(ìàðòèíãàëà M ñ ïîìîùüþ ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Y ).
3
13
Îáîáùåíèå êëàññà ìàðòèíãàëîâ
3.2
Ýêâèâàëåíòíîñòü
Ñëåäóþùàÿ òåîðåìà óñòàíàâëèâàåò, ÷òî â ñëó÷àå äèñêðåòíîãî âðåìåíè
îáúåêòû, ââåäåííûå â îïðåäåëåíèÿõ 4-6, ðîäñòâåííû ìåæäó ñîáîé.
Òåîðåìà
1.
Ïóñòü
X
=
(Xn ,
Fn )−
còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü c E|X0 | < ∞. Òîãäà ñëåäóþùèå
óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
a.
b.
c.
X−ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë (X ∈ Mloc );
X−îáîáùåííûé ìàðòèíãàë (X ∈ GM);
X−ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå (X ∈ MT ), ò.å.
X = Y · M ñ íåêîòîðîé ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
Y = (Yn , Fn−1 ) è íåêîòîðûì ìàðòèíãàëîì M = (Mn , Fn ).
Äîêàçàòåëüñòâî. c. ⇒ a. Ïóñòü X ∈ MT è
Xn = X0 +
n
X
Yk ∆Mk ,
(4)
1
ãäå Y − ïðåäñêàçóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü è M − ìàðòèíãàë. Òîãäà, åñëè
|Yk | ≤ C, k ≥ 1, òî X, î÷åâèäíî, ìàðòèíãàë.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå
ïîëîæèì τj = inf(n − 1 : |Yn | > j). Ïîñêîëüêó Yn − Fn−1 − èçìåðèìà,
òî (τj = n) = (|Y1 | ≤ j, · · · , |Yn | ≤ j, |Yn+1 | > j) ∈ Fn . Ñëåäîâàòåëüíî, τj
åñòü ÌÌ, à, çíà÷èò, è ìîìåíò îñòàíîâêè (ïîñêîëüêó Yk − îáû÷íàÿ ñ.â.) ñî
ñâîéñòâîì τj ↑ ∞, j → ∞. Ïîýòîìó îñòàíîâëåííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
τ
ñíîâà èìååò âèä (4) ñ îãðàíè÷åííûìè Yk j = Yk∧τj è, çíà÷èò, X ∈ Mloc .
a. ⇒ b. Ïóñòü X
∈ Mloc è (τk )− åãî ëîêàëèçóþùàÿ
τk
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Òîãäà E|Xnτk | < ∞ è E(|Xn+1 ||Fn ) = E(|Xn+1
||Fn )
íà ìíîæåñòâå (τk > n) ∈ Fn . Ïîýòîìó E(|Xn+1 ||Fn ) < ∞, P − ï.í.
Àíàëîãè÷íî íà ýòîì ìíîæåñòâå (τk > n)
τk
E(Xn+1 |Fn ) = E(Xn+1
|Fn ) = Xnτk = Xn .
Îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî ïðè ëþáîì n ìíîæåñòâî (τk > n) ñõîäèòñÿ ê Ω
ïðè k → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, X ∈ GM.
P
b. ⇒ c. Ïóñòü X ∈ GM. Ïîëîæèì M0 = 0, Mn = n1 Zk ∆Xk , ãäå
Zn =
Yn−1 , åñëè Yn ≡ E(|∆Xn ||Fn−1 ) 6= 0,
0,
åñëè Yn = 0.
Òîãäà ÿñíî, ÷òî E(|∆Mn ||Fn−1 ) ≤ 1, E(∆Mn |Fn−1 ) = 0 è, ñëåäîâàòåëüíî,
M = (Mn , Fn )− ìàðòèíãàë. Íî X0 = Z0 · M0 = 0 è ∆(Y · M )n = ∆Xn .
Ïîýòîìó X = Y · M. Òåîðåìà äîêàçàíà.
14
I
3.3
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Î ðàçíèöå ëîêàëüíîãî ìàðòèíãàëà è ìàðòèíãàëà
Âàæíîñòü ïîíÿòèé ëîêàëüíîãî è îáîáùåííîãî ìàðòèíãàëà, à òàêæå
ìàðòèíãàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ â ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêå â ïîëíîé ìåðå
áóäåò ïðîèëëþñòðèðîâàíà íèæå, â ãë.Ï. Íî ýòè ïîíÿòèÿ èãðàþò çàìåòíóþ
ðîëü è â ñòîõàñòè÷åñêîì èñ÷èñëåíèè. Ïîýòîìó çäåñü ìû ïðèâåäåì îäèí
ïðîñòîé, íî ïîëåçíûé ðåçóëüòàò, ïðåäëàãàþùèé äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ,
ïðè êîòîðûõ ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë â äåéñòâèòåëüíîñòè åñòü ïðîñòî
ìàðòèíãàë.
Ëåììà 1.
1. Ïóñòü X = (Xn , Fn )n≥0 − ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ñ E|X0 | < ∞, òàêîé,
÷òî ëèáî
EXn− < ∞, n ≥ 0,
(5)
ëèáî
EXn+ < ∞,
n ≥ 0.
(6)
Òîãäà X− ìàðòèíãàë.
2. Ïóñòü X = (Xn , Fn )n≤N − ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ñ N ∨ E|X0 | < ∞,
−
+
òàêîé, ÷òî ëèáî EXN
< ∞, ëèáî EXN
< ∞. Òîãäà ïðè ëþáîì n ≤ N
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (5) èëè (6) è, ñëåäîâàòåëüíî, X− ìàðòèíãàë.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ëþáîå èç óñëîâèé (5) èëè (6)
âëå÷åò âûïîëíåíèå äðóãîãî, à, çíà÷èò, E|Xn | < ∞, n ≥ 0.  ñàìîì äåëå,
åñëè âûïîëíåíî (5), òî ïî ëåììå Ôàòó (ñì. ï.6.2)
+
+
−
EXn+ = Elimk Xn∧τ
≤ limk EXn∧τ
= limk [EXn∧τk + EXn∧τ
]=
k
k
k
= EX0 +
−
limk EXn∧τ
k
≤ |EX0 | +
n
X
EXk− < ∞.
0
Pn+1
P
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, |X(n+1)∧τk | ≤
|Xk |, ïðè÷åì E n+1
|Xk | <
0
0
∞. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè (ñì. ï.6.2)
âîçìîæåí ïðåäåëüíûé ïåðåõîä (ïðè k → ∞ ) â ñîîòíîøåíèè
E(X(n+1)∧τk |Fn ) = Xn∧τk ,
êîòîðûé è ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó E(Xn+1 |Fn ) = Xn , n ≥ 0.
−
2. Çàìåòèì, ÷òî EXN
< ∞ ⇒ EXn− < ∞, n ≤ N. Äåéñòâèòåëüíî,
ïîñêîëüêó ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ÿâëÿåòñÿ îáîáùåííûì, òî E(Xn+1 |Fn ) =
−
−
Xn , n ≥ 0, îòêóäà E(Xn+1
|Fn ) ≥ Xn− è, ñëåäîâòåëüíî, EXn− ≤ EXn+1
ïðè âñåõ n ≤ N. Òåì ñàìûì X− ìàðòèíãàë â ñèëó ï.1 •
Âñÿêèé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë, îãðàíè÷åííûé ñíèçó
( inf n Xn ≥ C > −∞ ï.í.) èëè ñâåðõó, ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì.
Ñëåäñòâèå 1.
4
4
15
Ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ýêñïîíåíòû
Ñòîõàñòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è ýêñïîíåíòû
Ïóñòü U = (Un )n≥0 − còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, U0 = 0.
Îïðåäåëåíèå 1.
1.
Äèñêðåòíûì
ëèíåéíûì
ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì äëÿ X îòíîñèòåëüíî
çàäàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè U íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, çàïèñûâàåìîå â
ðàçíîñòíîé
∆Xn = Xn−1 ∆Un , n ≥ 1 (X0 = 1),
(1)
èëè èíòåãðàëüíîé ôîðìå
Xn = 1 +
n
X
Xk−1 ∆Uk ,
n ≥ 1.
(10 )
1
2. Äèñêðåòíîé ñòîõàñòè÷åñêîé ýêñïîíåíòîé (îòíîñèòåëüíî U )
íàçûâàåòñÿ còîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ε(U ) = (εn (U )), ãäå
n
Y
εn (U ) =
(1 + ∆Uk ), n ≥ 1 (ε0 (U ) = 1).
(2)
1
Íåòðóäíî ïî èíäóêöèè óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòà ýêñïîíåíòà ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (1), ò.å. Xn = εn (U ), n ≥ 0. Èç ôîðìóëû (2) ñëåäóåò
òàêæå, ÷òî ýòî ðåøåíèå ïîëîæèòåëüíî, åñëè ∆Un > −1, n ≥ 1.
Íàðÿäó ñ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì (1) ðàññìàòðèâàþò è íåîäíîðîäíîå.
Ñâÿçü åãî ðàçíîñòíîé
∆Xn = ∆Nn + Xn−1 ∆Un ,
n ≥ 1 (X0 = N0 ),
(3)
è èíòåãðàëüíîé ôîðìû çàïèñè
Xn = εn (U ){N0 +
n
X
ε−1
k (U )∆Nk },
n≥1
(30 )
1
(â ÷àñòíîñòè, ïðè Nn ≡ X0 = N0 èìååì Xn = X0 εn (U ) ) óæå íå òàê
î÷åâèäíà. Ïðèâåäåì åå îáîñíîâàíèå ïî ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.
Ïóñòü ñíà÷àëà n = 1. Òîãäà èç (3') âûòåêàåò, ÷òî
X1 = ε1 (U )N0 + ∆N1 = (1 + ∆U1 )N0 + ∆N1 = N1 + N0 ∆U1 . Íî èìåííî
ýòî è ïðèâîäèò ê (3), ïîñêîëüêó X0 = N0 . Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî (3')
èìååò ìåñòî ïðè n − 1 âìåñòî n. Òîãäà â ñèëó (3) è (2) ïîëó÷àåì, ÷òî
Xn = Xn−1 (1 + ∆Un ) + ∆Nn =
= (1 + ∆Un )εn−1 (U ){N0 +
n−1
X
1
ε−1
k (U )∆Nk } + ∆Nn =
16
I
= εn (U ){N0 +
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
n
X
ε−1
k (U )∆Nk }.
1
Òåì ñàìûì èñêîìàÿ ôîðìóëà (3) äîêàçàíà.
Ïðèâåäåì
ñâîéñòâà
ñòîõàñòè÷åñêîé
ýêñïîíåíòû
â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè, ãäå U è V − äâå çàäàííûå ñòîõàñòè÷åñêèå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òåîðåìà 1.
Ñòîõàñòè÷åñêàÿ ýêñïîíåíòà ε(U ) èìååò ñëåäóþùèå ñâîéñòâà.
1. Ïðàâèëî óìíîæåíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõ ýêñïîíåíò:
εn (U )εn (V ) = εn (U + V + [U, V ]),
Pn
ãäå [U, V ]n = 1 ∆Uk ∆Vk , ([U, V ]− êâàäðàòè÷åñêàÿ âàðèàöèÿ U, V ).
Êðîìå òîãî, åñëè εn (U ) 6= 0, (èëè ∆Un > −1), n ≥ 1, òî
(∆Un )2
;
1 + ∆Un
3. ε(U )− ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë ⇔ U − ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë.
Äîêàçàòåëüñòâî.
1. ∆(εn (U )εn (V )) = εn−1 (U )εn−1 (V )[(1 + ∆Un )(1 + ∆Vn ) − 1] =
= εn−1 (U )εn−1 (V ) [(∆Un + ∆Vn + ∆Un ∆Vn ].
Íî èç ýòîãî ðàâåíñòâà âûòåêàåò, ÷òî εn (U )εn (V ) óäîâëåòâîðÿåò
óðàâíåíèþ (1), â êîòîðîì U çàìåíåíî íà (U + V + [U, V ]).
2. Ýòî óòâåðæäåíèå âûòåêàåò èç ïðàâèëà óìíîæåíèÿ. Â ñàìîì äåëå,
εn (U )εn (−U ∗ ) = εn (U − U ∗ − [U, U ∗ ]) = εn (0) = 1, ïîñêîëüêó
∗
∗
2. ε−1
n (U ) = εn (−U ), ãäå ∆Un = ∆Un −
Un −Un∗ −[U, U ∗ ]n = Un −Un +
n
n
n
X
X
(∆Uk )2 X
(∆Uk )3
−
(∆Uk )2 +
= 0.
1 + ∆Uk
1 + ∆Uk
1
1
1
3.  ñèëó òåîðåìû 3.1 (ýêâèâàëåíòíîñòè) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî
ε(U ) èëè U − îáîáùåííûé ìàðòèíãàë.
⇐ . Èç (1') è (1) âûòåêàåò, ÷òî
E(|εn (U )||Fn ) ≤ 1 +
n
X
|εk−1 (U )|E(|∆Uk ||Fk−1 ) < ∞,
1
E(∆εn (U )|Fn−1 ) = E(εn−1 (U )∆Un |Fn−1 ) = εn−1 (U )E(∆Un |Fn−1 ) = 0.
(4)
Ïîýòîìó ∆ε(U )− îáîáùåííàÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòü, à ε(U )− ìàðòèíãàë.
⇒ . Ïîñêîëüêó εn (U ) 6= 0, òî èç (2) è ïðåäïîëîæåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî
E(|∆Un |Fn−1 ) = |ε−1
n−1 (U )|E(|∆εn (U )||Fn−1 ) < ∞
è ïîòîìó èìïëèêàöèÿ îïÿòü âåðíà â ñèëó (4) •
5
17
Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð
5
Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð
5.1
Ïðîñòåéøàÿ ñèòóàöèÿ
 ýòîì ðàçäåëå ñíà÷àëà ðå÷ü ïîéäåò î ïîñòðîåíèè ñåìåéñòâà íîâûõ ìåð
èç äàííîé ìåðû ñ ïîìîùüþ òàê íàçûâàåìîé àáñîëþòíî-íåïðåðûâíîé
çàìåíû. Ïîñëå ÷åãî óòî÷íèì, ïî÷åìó îäíà èç íîâûõ ìåð ìîæåò íàçûâàòüñÿ
ìàðòèíãàëüíîé è ïðè êàêîì óñëîâèè åå ïîñòðîåíèå íàñ èíòåðåñóåò.
Íî ïðåæäå îáðàòèì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ, ÷òî â ýòîì ïóíêòå ÷åðåç P, Q
è ò.ä. óäîáíî îáîçíà÷àòü âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íå èç îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ
ñ.â. (ñêàæåì, èç ñòîõàñòè÷åñêîãî áàçèñà (Ω, F, F, P ) ), à èç îáëàñòè åå
çíà÷åíèé. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî èíòåãðèðîâàíèå ïî ìåðå P îáîçíà÷àåòñÿ
÷åðåç E, ïî ìåðå P ∗ − ÷åðåç E ∗ , è ò.ä.
Ëåììà 1.
Ïóñòü X− ÷èñëîâàÿ ñ.â. ñ ðàñïðåäåëåíèåì P íà (R, B(R)) òàêàÿ, ÷òî
P (X > 0) > 0,
P (X < 0) > 0.
(1)
Òîãäà ñóùåñòâóåò ìåðà P ∗ ∼ P, äëÿ êîòîðîé ∀a ∈ R
E ∗ eaX < ∞,
è, â ÷àñòíîñòè, E ∗ |X| < ∞, à òàêæå
E ∗ X = 0.
(2)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì íîâóþ ìåðó Q ðàâåíñòâîì
2
Q(dx) = ce−x P (dx),
x ∈ R,
2
ãäå c− íîðìèðóþùàÿ ïîñòîÿííàÿ, c−1 = Ee−X . ßñíî, ÷òî Q ∼ P è
êîíñòðóêöèÿ ýòîé ìåðû òàêîâà, ÷òî ôóíêöèÿ
ϕ(a) = EQ eaX
îïðåäåëåíà (ò.å. ϕ(a) < ∞ ) ïðè âñåõ a ∈ R è ϕ(a) > 0. Êðîìå òîãî, ÿñíî,
÷òî ïðè ëþáîì a ôóíêöèÿ
Za (x) =
eax
>0
ϕ(a)
(3)
è EQ Za (X) = 1. Íî ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâîì
Pa (dx) = Za (x)Q(dx),
îïðåäåëÿåòñÿ ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ìåð {Pa , a ∈ R}, äëÿ êàæäîé èç
êîòîðûõ Pa ∼ Q ∼ P.
18
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Çàìåòèì äàëåå, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ(a) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé âíèç, ïîñêîëüêó
= EQ (X 2 eaX ) > 0. È ïîëîæèì ϕ∗ = inf(ϕ(a) : a ∈ R). Òîãäà
âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:
1) ñóùåñòâóåò êîíå÷íîå a∗ òàêîå, ÷òî ϕ∗ = ϕ(a∗ ), èëè
2) òàêîãî a∗ íåò.
 ïåðâîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, ϕ0 (a∗ ) = 0 è
ϕ00 (a)
EPa∗ X = EQ XZa∗ (X) = ϕ0 (a∗ )/ϕ(a∗ ) = 0.
Ïîýòîìó â êà÷åñòâå èñêîìîé ìåðû P ∗ íàïðàøèâàåòñÿ âçÿòü ìåðó Pa∗
(÷òîáû èìåòü ñâîéñòâî (2)). Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, îäíàêî, ÷òî ñ íåé
âûïîëíÿþòñÿ è îñòàëüíûå äâà ñâîéñòâà.  ñàìîì äåëå, î÷åâèäíî,
2
E ∗ eaX = EQ eaX Za∗ (X) = ( ϕ(a∗ ))−1 Ee(a+a∗ )X−X < ∞,
à, ñëåäîâàòåëüíî, E ∗ |X| < ∞, ïîñêîëüêó, ñêàæåì, |x| < ex ∨ e−x .
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî âòîðàÿ âîçìîæíîñòü èñêëþ÷àåòñÿ óñëîâèåì
(1). Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (an ) ìîæíî âûáðàòü
ìîíîòîííîé è òàê, ÷òîáû ϕ∗ < ϕ(an ) ↓ ϕ∗ , lim an = ±∞ (â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå ìû îêàæåìñÿ â ñëó÷àå 1). Ñ äðóãîé æå ñòîðîíû, â ñèëó âûáîðà Q
è (1)
Q(uX > 0) > 0, u = ±1.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî íàéòè òàêîå δ > 0, ÷òî Q(uX > δ) > ε ïðè
íåêîòîðîì ε > 0. Ïîýòîìó Q(an X > δ|an |) = Q(un X > δ) > ε ïðè
n → ∞ (un = an /|an |), è, çíà÷èò, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ n
ϕ(an ) = EQ ean X ≥ EQ (ean X I(an X > δ|an |)) > ε eδ|an | → ∞.
À ýòî ïðîòèâîðå÷èò òîìó, ÷òî ϕ∗ ≤ 1. Ëåììà äîêàçàíà •
5
19
Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð
5.2
Ïðîöåññ ïëîòíîñòè è åãî ñâîéñòâà
Ïóñòü (Ω, F, (Fn ), P )− íàø ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ è íà (Ω, F) çàäàíà
äðóãàÿ ìåðà P ∗ . Íàïîìíèì, ÷òî ýòà ìåðà P ∗ íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíî
loc
àáñîëþòíî-íåïðåðûâíîé îòíîñèòåëüíî P (îáîçíà÷åíèå P ∗ P ), åñëè
Pn∗ Pn ,
n ≥ 1,
ãäå Pn = P |Fn − ñóæåíèå ìåðû P íà Fn è, àíàëîãè÷íî, Pn∗ = P ∗ |Fn .
loc
loc
Åñëè æå P ∗ P è P P ∗ , òî P è P ∗ íàçûâàþòñÿ ëîêàëüíîloc
ýêâèâàëåíòíûìè (îáîçíà÷åíèå P ∗ ∼ P ).
Åñëè
Ω = R∞ , ò.å. èìååòñÿ êîîðäèíàòíîå ïðîñòðàíñòâî ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
ω = (x1 , x2 , · · ·), Fn = σ(ω; x1 , · · · , xn )− àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ ïåðâûìè
n êîîðäèíàòàìè, F = B(R∞ ) è P, P ∗ − âåðîÿòíîñòíûå ìåðû íà (Ω, F),
loc
òî ëîêàëüíàÿ àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü P ∗ P åñòü àáñîëþòíàÿ
íåïðåðûâíîñòü èõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.
Ïîíÿòèÿ ëîêàëüíîé àáñîëþòíîé íåïðåðûâíîñòè è àáñîëþòíîé
íåïðåðûâíîñòè ñîâïàäàþò, åñëè n ≤ N < ∞. Òàê ÷òî ââåäåíèå ïîíÿòèÿ
ëîêàëüíîñòè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ, ëèøü êîãäà n ∈ N = (1, 2, · · ·).
loc
Ïóñòü äàëåå P ∗ P. Òîãäà ïðè êàæäîì n ∈ N, ïîñêîëüêó Pn∗ Pn ,
òî ñóùåñòâóþò ïðîèçâîäíûå Ðàäîíà-Íèêîäèìà, îáîçíà÷àåìûå dPn∗ /dPn è
îïðåäåëÿåìûå êàê òàêèå Fn − èçìåðèìûå ôóíêöèè Zn = Zn (ω), ÷òî
Z
∗
Pn (A) =
Zn (ω)Pn (dω), A ∈ Fn .
(4)
A
Ïðè ýòîì âåðñèþ ôóíêöèè Zn âñåãäà ìîæíî âûáðàòü íå òîëüêî òàêîé,
÷òî P (Zn (ω) ≥ 0) = 1, íî è òàêîé, ÷òî Zn (ω) ≥ 0 äëÿ âñåõ ω è
n ≥ 1. Èìåííî ïîýòîìó ïîñëåäíåå ñâîéñòâî îáû÷íî ïðîñòî âêëþ÷àþò â
îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé Ðàäîíà-Íèêîäèìà âåðîÿòíîñòíûõ ìåð.
 äàëüíåéøåì ïðîöåññ
Z = (Zn )n≥1
íàçîâåì ïðîöåññîì ïëîòíîñòè (ìåð Pn∗ îòíîñèòåëüíî Pn , n ≥ 1, èëè
loc
ìåðû P ∗ îòíîñèòåëüíî P òàêîé, ÷òî P ∗ P ). Îñíîâíûå ñâîéñòâà ýòîãî
ïðîöåññà ñîáðàíû â ñëåäóþùåì óòâåðæäåíèè.
loc
Ïóñòü P ∗ P. Òîãäà
1. ïðîöåññ ïëîòíîñòè Z = (Zn ) ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíûì
(P, (Fn ))− ìàðòèíãàëîì ñ EZn = 1, n ≥ 1.
2. Åñëè, êðîìå òîãî, F = ∨Fn , òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû:
a. P ∗ P ;
b. ïðîöåññ Z ÿâëÿåòñÿ ðàâíîìåðíî èíòåãðèðóåìûì ìàðòèíãàëîì;
Òåîðåìà 1.
20
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
c. P ∗ (supn Zn < ∞) = 1.
3. Ïóñòü τ = inf(n ≥ 1 : Zn = 0)− ìîìåíò ïåðâîãî îáðàùåíèÿ
ïðîöåññà ïëîòíîñòè â íîëü. Òîãäà è äëÿ âñåõ ïîñëåäóþùèõ
ìîìåíòîâ ýòîò ïðîöåññ îñòàåòñÿ â íóëå, ò.å.
P (∃n ≥ τ, äëÿ êîòîðîãî Zn 6= 0) = 0.
4. Ïóñòü τ − ìîìåíò îñòàíîâêè. Òîãäà íà ìíîæåñòâå (τ < ∞)
ñóæåíèÿ Pτ∗ = P ∗ |Fτ , Pτ = P |Fτ íà σ− àëãåáðó Fτ òàêîâû, ÷òî
Pτ∗ Pτ ,
Zτ = dPτ∗ /dPτ .
(5)
5. Èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî
P ∗ (inf Zn > 0) = 1.
(6)
n
loc
loc
6. Åñëè P (Zn > 0) = 1 ïðè êàæäîì n ≥ 1, òî P P ∗ è P ∗ ∼ P.
∗ (A) äëÿ A ∈ F , òî â
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ïîñêîëüêó Pn∗ (A) = Pn+1
n
ñèëó (1) EIA Zn = EIA Zn+1 è, ñëåäîâàòåëüíî, E(Zn+1 |Fn ) = Zn , n ≥ 1.
ßñíî òàêæå, ÷òî EZn = Pn∗ (Ω) = 1.
2. a. ⇒ c. Ïîñêîëüêó Zn ≥ 0, òî â ñèëó òåîðåìû Äóáà î cõîäèìîñòè
(ñì. ï.6.1) ñóùåñòâóåò limn Zn . Íî P ∗ P, ïîýòîìó ýòîò ïðåäåë
ñóùåñòâóåò è êîíå÷åí è ïî ìåðå P ∗ .
c. ⇒ b. Ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ñ.â. (ξn ) îçíà÷àåò, ÷òî
lim sup E(|ξn |I(|ξn | > N )) = 0.
N
n
Íî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ( ξn = Zn ) èç c. âûòåêàåò, ÷òî
E(Zn I(Zn > N )) = P ∗ (Zn > N ) ≤ P ∗ (supn Zn > N ) → 0, N → ∞.
b. ⇒ a. Ïî òåîðåìå Äóáà Zn
→ Z∞ P − ï.í. Íî
ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ñåìåéñòâà (Zn ) îáåñïå÷èâàåò è ñõîäèìîñòü
â L1 (Ω, F, P ), ò.å. E|Zn − Z∞ | → 0, n → ∞. Ïîýòîìó è òàê êàê
P ∗ (A) = EZm IA = EZn IA äëÿ A ∈ Fm è n ≥ m, òî P ∗ (A) =
EZ∞ IA , A ∈ Fm . Ïðèìåíÿÿ äàëåå îáû÷íóþ òåõíèêó ìîíîòîííûõ êëàññîâ
(ñì. ï.6.3) îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî ñîõðàíÿåòñÿ íà ∪Fn
è íà F = σ(∪Fn ) = ∧Fn . Òàêèì îáðàçîì, P ∗ P, è, áîëåå òîãî,
dP ∗ /dP = Z∞ , ãäå Z∞ = lim Zn .
3. Íàðÿäó ñ τ ââåäåì ìîìåíòû σm = inf(n ≥ 1 : Zn > 1/m). Íåòðóäíî
óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî τ è σm ÿâëÿþòñÿ ÌÌ, ò.å. ìíîæåñòâà (τ ≤ n è
σm ≤ n ïðèíàäëåæàò Fn ïðè âñåõ n ≥ 1 è m ≥ 1 ( íàïîìíèì, ÷òî
τ = ∞, åñëè Zn > 0 ïðè âñåõ n ≥ 1 ).
Ïî òåîðåìå Äóáà îá îñòàíîâêå (ï.6.1) E(Zσm |Fτ ) ≤ Zτ = 0 íà
ìíîæåñòâå (τ ≤ σm ). Çíà÷èò, Zσm I(τ ≤ σm ) = 0, è ïîòîìó P (τ ≤ σm ) = 0
ïðè âñåõ m ≥ 1. À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî P (∃n ≥ τ c Zn 6= 0) = 0.
5
21
Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð
4. Ïóñòü A ∈ Fτ , ò.å. A ∩ (τ = n) ∈ Fn , n ≥ 1. Òîãäà
E(IA I(τ <∞) Zτ ) =
∞
X
E(IA I(τ =n) Zn ) =
1
∞
X
P ∗ (A∩(τ = n)) = P ∗ (A∩(τ < ∞))
1
è, ñëåäîâàòåëüíî, P ∗ (A) = E(IA Zτ ), ïîñêîëüêó P (τ < ∞) = 1. Íî
ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî è äîêàçûâàåò îáà óòâåðæäåíèÿ.
5. Îáîçíà÷èì τm = inf(n ≥ 1 : Zn < 1/m). Òîãäà τ − ÌÌ è ïîòîìó
P ∗ (τm = n) = E(Zn Iτm =n ), ò.å. P ∗ (τm < ∞) = E(Zτm Iτm <∞ ) < 1/m.
Òàêèì îáðàçîì, P ∗ (∪m (τm < ∞)) = 0, à ýòî îçíà÷àåò, ÷òî P ∗ (inf n Zn >
0) = 1.
loc
6. Åñëè P ∗ P è P (Zn > 0) = 1, n ≥ 1, òî è P ∗ (Zn > 0) = 1, n ≥ 1.
Ïîëîæèì Qn (A) = E ∗ (Zn−1 IA ) äëÿ A ∈ Fn . Òîãäà, ïîñêîëüêó Pn∗ (dω) =
Zn dP (dω), òî Qn (A) = E(Zn−1 Zn IA ) = Pn (A), n ≥ 1, è òåì ñàìûì
loc
Pn (A) = E ∗ (Zn−1 IA ). À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî P P ∗ . Òåîðåìà äîêàçàíà.
5.3
Ëåììà î ïåðåñ÷åòå
Ñëåäóþùàÿ òåõíè÷åñêàÿ ëåììà ïîëåçíà ïðè ïåðåñ÷åòå ÓÌÎ ïî ðàçíûì
ìåðàì. Â äàëüíåéøåì îíà áóäåò íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàòüñÿ. Íàçûâàþò
åå òàêæå ôîðìóëîé Áàéåñà èëè îáîáùåííîé ôîðìóëîé Áàéåñà.
∗
Ëåììà 2. Ïóñòü P P, à Y − îãðàíè÷åííàÿ èëè
P ∗ − èíòåãðèðóåìàÿ Fn − èçìåðèìàÿ ñ.â. Òîãäà ïðè ëþáûõ m ≤ n
−1
E ∗ (Y |Fm ) = Zm
E(Y Zn |Fm ),
P ∗ ï.í.
(7)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî â ñèëó óòâåðæäåíèÿ 5
òåîðåìû 1 P ∗ (Zm > 0) = 1. Êðîìå òîãî, íà ìíîæåñòâå (Zm = 0) òàêæå
è Zn = 0, P ï.í. Ïîýòîìó ïðàâóþ ÷àñòü â (7) ìîæåì è áóäåì ñ÷èòàòü íà
ýòîì ìíîæåñòâå ðàâíîé 0.
Ïî îïðåäåëåíèþ E ∗ (Y |Fm ) ÿâëÿåòñÿ òàêîé Fm − èçìåðèìîé ñ.â., ÷òî
E ∗ (IA E ∗ (Y |Fm )) = E ∗ (IA Y ),
A ∈ Fm .
Òàê ÷òî íàäî ëèøü ïðîâåðèòü, ÷òî
−1 E(Y Z |F )) = E ∗ (I Y ),
E ∗ (IA · Zm
n m
A
A ∈ Fm .
Íî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê, ïîñêîëüêó äëÿ A ∈ Fm
−1 E(Y Z |F )) = E(I · Z −1 E(Y Z |F )Z ) =
E ∗ (IA · Zm
n m
n m
m
A
m
(α)
(β)
= E(IA · E(Y Zn |Fm )) = E(IA Y Zn ) = E ∗ (IA Y );
çäåñü ðàâåíñòâî (α) ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ÓÌÎ E(Y Zn |Fm ), à (β)
ñïðàâåäëèâî,
ïîñêîëüêó
Zn dPn = dPn∗ è, ñëåäîâàòåëüíî, E(IA Y Zn ) =
R
R
∗
∗
A Y Zn dPn = A Y dPn = E (IA Y )•
22
5.4
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Äèñêðåòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà.
I. Óñëîâíî-ãàóññîâñêèé ñëó÷àé
1.
Ðàññìîòðåíèå
îáùèõ âîïðîñîâ ïîñòðîåíèÿ ò.í. ìàðòèíãàëüíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ìåð
P ∗ , àáñîëþòíî-íåïðåðûâíûõ îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé áàçèñíîé ìåðû
P èç ôèëüòðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà (Ω, F, (Fn ), P ) öåëåñîîáðàçíî
íà÷àòü ñ äèñêðåòíîãî âàðèàíòà òåîðåìû Ãèðñàíîâà äëÿ ïðîöåññîâ
äèôôóçèîííîãî òèïà, ïîñëóæèâøåé ïðîòîòèïîì ðàçíîîáðàçíûõ òåîðåì
äëÿ ìàðòèíãàëîâ, ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ, ñëó÷àéíûõ ìåð è ò.ä.
Åñëè æå êîíêðåòíåå, òî â ýòîì ïóíêòå ðå÷ü ïîéäåò î ïîñòðîåíèè
ìåðû P ∗ , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü óñëîâíîãàóññîâñêèõ ñ.â.
h = (hn )n≥1
îêàæåòñÿ ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ, íå áóäó÷è òàêîâîé îòíîñèòåëüíî èñõîäíîé
ìåðû P.
Ïóñòü ìåðà P îïðåäåëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ε = (εn )n≥1
íåçàâèñèìûõ ñòàíäàðòíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí
εn = N (0, 1),
n ≥ 1.
(8)
Òî÷íåå ãîâîðÿ, íèæå áóäóò èñïîëüçîâàíû äâà âàðèàíòà, êîãäà ìåðà
çàäàåòñÿ êîíå÷íûì îòðåçêîì ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (1 ≤ n ≤ N ), èëè
âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ε. Ââåäåì òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.â. h,
ïîëàãàÿ
hn = µn + σn εn , n ≥ 1,
(9)
è ñ÷èòàÿ, ÷òî âåëè÷èíû µn , σn ÿâëÿþòñÿ Fn−1 − èçìåðèìûìè ñ.â. Èíûìè
ñëîâàìè, èç (8) ñëåäóåò, ÷òî ðåãóëÿðíîå óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå hn
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
P (hn ≤ x|Fn−1 ) =
1
√
σn 2π
Z
x
−
e
(y−µn )2
2
2σn
dy,
−∞
èëè â ñèìâîëè÷åñêîé ôîðìå
Law(hn |Fn−1 ; P ) = N (µn , σn2 ),
÷òî äàåò îñíîâàíèÿ íàçûâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h óñëîâíî-ãàóññîâñêîé
(ïî ìåðå P ).
Pn
Pn
Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü Wn =
1 εk , Hn =
1 hk , ∆ = 1. Òîãäà (9)
ìîæíî ïåðåïèñàòü â ðàçíîñòíîé ôîðìå
∆Hn = µn ∆ + σn ∆Wn ,
5
23
Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð
÷òî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü äèñêðåòíûì àíàëîãîì
Ãèðñàíîâûì ñòîõàñòè÷åñêîãî äèôôåðåíöèàëà
ðàññìàòðèâàåìîãî
dHt = µt dt + σt dWt
íåêîòîðîãî ïðîöåññà Èòî H = (Ht )t≥0 , ïîðîæäåííîãî âèíåðîâñêèì
ïðîöåññîì W = (Wt )t≥0 ñ ëîêàëüíûì ñíîñîì (µt )t≥0 è ëîêàëüíîé
âîëàòèëüíîñòüþ (σt )t≥0 •
2.
Ïðè
êîíñòðóèðîâàíèè
ìåðû
P∗
êëþ÷åâóþ
ðîëü
èãðàåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Z = (Zn ), ñîñòàâëåííàÿ èç ïîëîæèòåëüíûõ
ñ.â.
)
( n
n
X µk
1 X µk 2
Zn = exp −
εk −
( ) , n ≥ 1.
(10)
σk
2
σk
1
Ëåììà 3.
1
1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Z = (Zn )n≥1 ÿâëÿåòñÿ
(P, (Fn ))− ìàðòèíãàëîì ñ EZn = 1, n ≥ 1.
2. Ïóñòü F = ∨Fn è âûïîëíåíî óñëîâèå (îñëàáëåííîå óñëîâèå Íîâèêîâà)
∞
∃δ > 0 :
X µk
1
E exp{( + δ)
( )2 } < ∞.
2
σk
(11)
1
Òîãäà
Z− ðàâíîìåðíî-èíòåãðèðóåìûé ìàðòèíãàë ñ ïðåäåëüíûì
çíà÷åíèåì Z∞ = lim Zn òàêèì, ÷òî
( ∞
)
∞
X µk
1 X µk 2
Z∞ = exp −
εk −
( ) , n ≥ 1,
(12)
σk
2
σk
1
1
è Zn = E(Z∞ |Fn ). Ccûëêó íà ðåçóëüòàò Íîâèêîâà ñì. â [1], ñ.564.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Åñëè η = N (0, 1), òî ïðè ôèêñèðîâàííîì t
Z
Z
1
1
2
tη−t2 /2
tx−t2 /2−x2 /2
Ee
=√
e
dx = √
e−(t−x) /2 dx = 1.
2π
2π
(13)
Ïîýòîìó E(exp{± µσkk εk − 12 ( µσkk )2 }|Fk−1 ) = 1; çäåñü t = ±(µk /σk ). À ýòî è
îçíà÷àåò, ÷òî Z− ìàðòèíãàë.
2. Îáîñíîâàòü ðàâíîìåðíóþ èíòåãðèðóåìîñòü ñåìåéñòâà ïðè óñëîâèè
Íîâèêîâà ( δ = 0 â (11)) äîñòàòî÷íî ñëîæíî.  ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè
óñòàíîâëåíèå ýòîãî ôàêòà ïðîñòîå, íî ãðîìîçäêîå ([1], ñ.568-69) è â íåì íåò
ïðèíöèïèàëüíûõ ìîìåíòîâ. Ïîýòîìó åãî åñòåñòâåííî îïóñòèòü. Çàìåòèì,
êðîìå òîãî, ÷òî ðàâíîìåðíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ìàðòèíãàëà Z èãðàåò
âñïîìîãàòåëüíóþ ðîëü. Îíà íóæíà äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñ.â. Z∞ = lim Zn
è ñâîéñòâà Zn = E(Z∞ |Fn )•
24
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
3. Ââåäåì äàëåå äâà âàðèàíòà ìåð P è ñîîòâåòñòâóþùèõ èì ìåð P ∗ ,
îïðåäåëÿåìûõ ðàâåíñòâàìè
a. dP ∗ (ω) = ZN (ω) dP (ω),
b. dP ∗ (ω) = Z∞ (ω) dP (ω),
(14)
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ìåðà P âñåãäà îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàñïðåäåëåíèå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ε, íî ëèáî êîíå÷íîãî åå îòðåçêà, ëèáî âñåé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à ìåðà P ∗ èç (14). Òî÷íåå ãîâîðÿ, â ñëó÷àå (14à)
ìåðà P ∗ çàäàåòñÿ ñëó÷àéíûì âåêòîðîì ε = (εn )1≤n≤N è ôîðìóëîé (10),
à â ñëó÷àå (14b) âñåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ ε è ðàâåíñòâoì (12).
Óñòàíîâèì ñëåäóþùèé äèñêðåòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà.
1. Ïóñòü h = (hn )1≤n≤N òàêàÿ óñëîâíî-ãàóññîâñêàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî
Òåîðåìà 2
Law(hn |Fn−1 ; P ) = N (µn , σn2 ),
1 ≤ n ≤ N,
F = FN è ìåðà P ∗ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèÿìè (14à) è (10). Òîãäà
a. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h = (hn )1≤n≤N îòíîñèòåëüíî ìåðû P ∗
ÿâëÿåòñÿ óñëîâíî-ãàóññîâñêîé ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ ñ
Law(hn |Fn−1 ; P ∗ ) = N (0, σn2 ),
1 ≤ n ≤ N;
b. åñëè, êðîìå òîãî, σn2 (ω) = σn2 , ò.å. íå çàâèñèò îò ω, òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h ïî ìåðå P ∗ ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ
íåçàâèñèìûõ è íåñìåùåííûõ ãàóññîâñêèõ âåëè÷èí N (0, σn2 ).
2.
Ïóñòü
h
=
(hn )n≥1
òàêàÿ
óñëîâíî-ãàóññîâñêàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ÷òî
Law(hn |Fn−1 ; P ) = N (µn , σn2 ),
n ≥ 1,
F = ∨Fn è âûïîëíåíî óñëîâèå (11). Òîãäà îáà âûøåóêàçàííûõ ñâîéñòâà
a., b. îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè äëÿ âñåõ n ≥ 1, ñ ìåðîé P ∗ èç (14b) è
(12).
Äîêàçàòåëüñòâî. 1.a Ïî ôîðìóëå Áàéåñà (ñì. ï.5.3) è â ñèëó (13)
µn
1 µn 2
E ∗ (eiλhn |Fn−1 ) = E(e(iλσn − σn )εn +iλµn − 2 ( σn ) |Fn−1 ) =
µn
µn 2 1
n )2 +iλµ − 1 ( µn )2
+ 2 (iλσn − µ
n 2 σ
σn
n
1
E(e(iλσn − σn )εn − 2 (iλσn − σn )
|Fn−1 ) = e−
ïðè ëþáûõ n ≤ N, λ ∈ R. Òàêèì îáðàçîì,
Law(hn |Fn−1 ; P ∗ ) = N (0, σn2 ),
n ≤ N.
1.b Åñëè σn2 (ω) íå çàâèñÿò îò ω, òî â ñèëó (8)
E ∗ (ei
PN
1
λk hk
) = E ∗ (ei
PN −1
1
λk hk
E ∗ (eiλN hN |FN −1 )) =
2
λ2 σ n
2
(15)
5
25
Êîíñòðóêöèÿ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð
−
=e
2
λ2
N σN
2
E ∗ (ei
PN −1
1
λk hk
1
) = · · · = e− 2
PN
1
λ2k σk2
.
(16)
Òåì ñàìûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h îòíîñèòåëüíî ìåðû
ÿâëÿåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ íåçàâèñèìûõ è íåñìåùåííûõ ãàóññîâñêèõ âåëè÷èí
N (0, σn2 ).
2.  ýòîì ñëó÷àå, ñ îäíîé ñòîðîíû, ìåðà P ∗ , îïðåäåëÿåìàÿ
ðàâåíñòâàìè (14), ñóùåñòâóåò ïî ëåììå 3, à ñ äðóãîé ñàìè ñâîéñòâà à.
è b. âåðíû, ïîñêîëüêó ñîîòíîøåíèÿ (15) è (16) ñïðàâåäëèâû ïðè ëþáîì
N < ∞.
Çàìå÷àíèå 3. Î ñâÿçè ïðåîáðàçîâàíèé Ãèðñàíîâà è Ýøåðà.
Åñëè ââåñòè ïðîöåññ ïëîòíîñòè ðàâåíñòâîì
P∗
Zn(b)
= exp{−
n
X
1
n
1X 2
bk ε k −
bk }
2
1
c Fk−1 − èçìåðèìûìè ñ.â. bk è îïðåäåëèòü ìåðó P b ñîîòíîøåíèåì,
(b)
P b (dω) = ZN P (dω),
òî ïoëó÷èì
E b (hn |Fn−1 ) = µn − σn bn .
 ñàìîì äåëå, ïî ëåììå î ïåðåñ÷åòå (ñì. ï.5.3)
1
E b (hn |Fn−1 ) = E((µn + σn εn ) exp(−bn εn − b2n )|Fn−1 ).
2
Íî E(µn exp(−bn εn − 12 b2n )|Fn−1 ) = µn â ñèëó (13), à
Z
1 2
1
σn
2
E(σn εn exp(−bn εn − b2n )|Fn−1 ) = √
xe−bn x− 2 (bn +x ) dx =
2
2π
Z
y2
σn
=√
(y − bn )e− 2 dy = −σn bn .
(17)
2π
Òåì ñàìûì ÿñíî, ÷òî âûáîð çíà÷åíèÿ bn = µn /σn â òåîðåìå Ãèðñàíîâà
äèêòóåòñÿ òåì, ÷òî èìåííî ïðè òàêîì âûáîðå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü h
ñòàíîâèòñÿ ëîêàëüíîé ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ. Äàëåå, åñëè Xn = µn + εn ,
òî ôóíêöèÿ
1 2
ϕn (a; ω) ≡ E(eaXn |Fn−1 ) = eaµn + 2 a .
Îòñþäà âèäíî, ÷òî
inf ϕn (a; ω) = ϕn (an ; ω),
a
ãäå an (ω) = −µn , n ≤ N. Èìåííî ýòè ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ an è áûëè
èñïîëüçîâàíû â ëåììå 2 ïðè ïîñòðîåíèè ìåðû ñ ïîìîùüþ ïðåîáðàçîâàíèÿ
Ýøåðà (3), îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Xn ) ñòàíîâèëàñü
ìàðòèíãàë-ðàçíîñòüþ.
26
I
5.5
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
Äèñêðåòíûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà.
Ï. Îáùèé ñëó÷àé
Äëÿ ëó÷øåãî ïîíèìàíèÿ ïðèâåäåííîãî äàëåå îáîáùåíèÿ òåîðåìû
Ãèðñàíîâà öåëåñîîáðàçíî íåñêîëüêî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ïðèâåäåííóþ
âûøå òåîðåìó 2. Ïîëîæèì äëÿ ýòîãî
αn =
Òîãäà
Zn
I(Zn−1 > 0).
Zn−1
1 µn
µn
αn = exp − εn − ( )2
σn
2 σn
è åñëè Mn =
Pn
1
σk εk , òî M = (Mn ) ∈ Mloc (P ) è â ñèëó (17)
E(αn ∆Mn |Fn−1 ) = −µn .
Òåì ñàìûì, íå çàòðàãèâàÿ ñåé÷àñ âîïðîñîâ èíòåãðèðóåìîñòè, ìû ìîæåì
ðåçóëüòàò òåîðåìû 2 ïðåäñòàâèòü â ñëåäóþùåì âèäå
M ∈ Mloc (P ) ⇒ M ∗ ∈ Mloc (P ∗ ),
ãäå
Mn∗
= Mn −
n
X
E(αk ∆Mk |Fk−1 ).
(18)
(19)
1
 ñàìîì äåëå, ïðè ëþáûõ n ≤ N
M ∈ Mloc (P ) ⇔ E(σn εn |Fn−1 ) = 0 ⇔ E(hn |Fn−1 ) = µn
⇒ E ∗ (hn |Fn−1 ) = 0
⇔ E ∗ (µn + ∆Mn |Fn−1 ) = 0 ⇔ E ∗ (∆Mn − E(αn ∆Mn |Fn−1 )|Fn−1 ) = 0.
Èçëîæåííûé âçãëÿä íà ïåðâûé âàðèàíò òåîðåìû Ãèðñàíîâà äàåò
âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ñëåäóþùèé îáùèé
P ðåçóëüòàò
äëÿ ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ, íå êîíêðåòèçèðóÿ, ÷òî Mn = n1 σk εk .
Òåîðåìà 3
1. Ïóñòü M ∈ Mloc (P ) è M0 = 0. Ïðåäïîëîæèì
loc
òàêæå, ÷òî P ∗ P ñ ïëîòíîñòÿìè Zn = dPn∗ /dPn , n ≥ 1, è ïóñòü
n
αn = ZZn−1
I(Zn−1 > 0) c Z0 ≡ 1, à
E(αn |∆Mn ||Fn−1 ) < ∞, n ≥ 1.
(20)
Òîãäà îïðåäåëåííûé â (19) ïðîöåññ M ∗ = (Mn∗ ) ∈ Mloc (P ∗ ), ò.å. ÿâëÿåòñÿ
ëîêàëüíûì P ∗ − ìàðòèíãàëîì è èìïëèêàöèÿ (18) äëÿ íåãî èìååò ìåñòî.
6
Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû
27
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ôîðìóëå Áàéåñà
E ∗ (Mn |Fn−1 ) = E(αn Mn |Fn−1 )
= E(αn (Mn − Mn−1 )|Fn−1 ) + E(αn Mn−1 )|Fn−1 )
= E(αn ∆Mn |Fn−1 ) + Mn−1 .
(21)
Îòñþäà è â ñèëó (20) E ∗ (|Mn ||Fn−1 ) ≤ E(αn |∆Mn ||Fn−1 ) + |Mn−1 | < ∞.
Ïîýòîìó E ∗ (|Mn∗ ||Fn−1 ) < ∞. Ñ äðóãîé æå ñòîðîíû, â ñèëó (19), (21)
∗
E ∗ (Mn∗ |Fn−1 ) = Mn−1
,
ò.å. M ∗ − îáîáùåííûé, à, çíà÷èò, è ëîêàëüíûé P ∗ − ìàðòèíãàë •
6
Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû
6.1
Òåîðåìû Äóáà
Ïóñòü X = (Xn , Fn )− ñóïåðìàðòèíãàë è ñóùåñòâóåò èíòåãðèðóåìàÿ ñ.â.
Y, òàêàÿ, ÷òî
Xn ≥ E(Y |Fn ), n ≥ 1.
(1)
Òîãäà èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû.
Òåîðåìà 1. Î ñõîäèìîñòè ï.í. (ñì. [1], ñ. 557).
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), òî Xn ñõîäèòñÿ P − ï.í. ê êîíå÷íîìó
ïðåäåëó X∞ :
lim Xn = X∞ .
Îá îñòàíîâêå (ñì. [1], ñ. 558).
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (1), òî äëÿ ëþáûõ äâóõ ÌÌ σ è τ ñ.â. Xσ è
Xτ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè, è íà ìíîæåñòâå {σ ≤ τ }
Òåîðåìà 2.
E(Xτ | Fσ ) ≤ Xσ .
Çàìå÷àíèå 1. Íà ìíîæåñòâå {τ = ∞} çíà÷åíèå Xτ = X∞ = lim Xn
ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìå Äóáà î ñõîäèìîñòè •
6.2
Îñíîâíûå òåîðåìû î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå
Âûäåëèì òðè îñíîâíûå ðåçóëüòàòà î ïðåäåëüíîì ïåðåõîäå ïîä
çíàêîì èíòåãðàëà. Îíè äîâîëüíî ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïðè îáîñíîâàíèè
ïðåäåëüíûõ ñîîòíîøåíèé. Èõ äîêàçàòåëüñòâà ïðèâåäåíû â [2]. Âñþäó íèæå
n → ∞.
î ìîíîòîííîé ñõîäèìîñòè ([2], ñ. 202).
Ïóñòü η, ξ, ξ1 , ξ2 , · · · − ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Òîãäà,
Òåîðåìà
28
I
Ýëåìåíòû ñòîõàñòè÷åñêîãî àíàëèçà
1. åñëè ξn ≥ η, n ≥ 1, Eη > −∞ è ξn ↑ ξ, òî Eξn ↑ Eξ;
2. åñëè ξn ≤ η, n ≥ 1, Eη < ∞ è ξn ↓ ξ, òî Eξn ↓ Eξ;
Ëåììà Ôàòó ([2], ñ. 203).
Ïóñòü η, ξ1 , ξ2 , · · · − ïðîèçâîëüíûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Òîãäà,
1. åñëè ξn ≥ η, n ≥ 1 è Eη > −∞, òî Elimξn ≤ limEξn ;
2. åñëè ξn ≤ η, n ≥ 1 è Eη < ∞, òî limEξn ≤ Elimξn ;
3. åñëè |ξn | ≤ η, n ≥ 1 è Eη < ∞, òî
Elimξn ≤ limEξn ≤ limEξn ≤ Elimξn .
Òåîðåìà Ëåáåãà î ìàæîðèðóåìîé ñõîäèìîñòè ([2], ñ. 204).
Ïóñòü η, ξ, ξ1 , ξ2 , · · · − òàêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ÷òî |ξn | ≤ η, n ≥
1, Eη < ∞, è ξn → ξ ï.í. Òîãäà, E|ξ| < ∞, Eξn → Eξ è E|ξn − ξ| → 0.
6.3
Òåõíèêà ìîíîòîííûõ êëàññîâ
Òàê
íàçûâàåòñÿ
ðàññóæäåíèå,
ïîçâîëÿþùåå
ðàñøèðèòü
îáëàñòü âûïîëíåíèÿ íåêîòîðîãî ñâîéñòâà. Îáû÷íî ýòî êàñàåòñÿ ñâîéñòâà,
ñïðàâåäëèâîãî äëÿ êàæäîé σ− àëãåáðû èç íåêîòîðîãî ïîòîêà σ− àëãåáð, è
òðåáóåòñÿ óñòàíîâèòü ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî æå ñâîéñòâà äëÿ ìèíèìàëüíîé
σ− àëåáðû, ïîðîæäåííîé ýòèì ïîòîêîì. Â îñíîâå ïîäîáíîãî ðàññóæäåíèÿ
ëåæàò íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé è ôàêòîâ ([2], c. 153-54).
Îïðåäåëåíèå
1. Ñèñòåìà
M ïîäìíîæåñòâ Ω íàçûâàåòñÿ
ìîíîòîííûì êëàññîì, åñëè èç òîãî, ÷òî An ∈ M, n ≥ 1, è An ↑ A
èëè An ↓ A ñëåäóåò, ÷òî A ∈ M.
Ïóñòü äàëåå E− íåêîòîðàÿ ñèñòåìà ìíîæåñòâ. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
µ(E) íàèìåíüøèé ìîíîòîííûé êëàññ, ñîäåðæàùèé E,
σ(E) íàèìåíüøóþ σ− àëåáðó, ñîäåðæàùóþ E.
Ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ êëàññîâ ìîòèâèðóåòñÿ â ëåììå 1 ([2], ñ.153).
Ïóñòü A− àëãåáðà. Òîãäà µ(A) = σ(A).
Ïðèìåð. Â òåîðåìå 5.1 ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâà 2. (ii) ⇒ (i) áûëî
óñòàíîâëåíî ðàâåíñòâî (ñâîéñòâî (*)) P ∗ (A) = EZ∞ IA ïðè A ∈ Fm , m ≥
1. Íóæíî æå áûëî äîêàçàòü ñâîéñòâî P ∗ P, èëè äàæå áîëåå òîãî,
÷òî dP ∗ /dP = Z∞ , ãäå Z∞ = lim Zn . Äëÿ ÷åãî äîñòàòî÷íî áûëî ëèøü
ïîêàçàòü ñïðàâåäëèâîñòü (*) ïðè A ∈ F = σ(∪Fn ) = ∧Fn .
Òåõíèêà ìîíîòîííûõ êëàññîâ ïîçâîëÿåò óáåäèòüñÿ â ýòîì, çàìåòèâ,
÷òî, î÷åâèäíî, câîéñòâî (*) ñïðàâåäëèâî äëÿ 1) A ∈ ∪Fn è 2) ëþáîãî
ìîíîòîííîãî ïåðåõîäà. Èíûìè ñëîâàìè, åñëè (*) èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ
÷ëåíîâ ìîíîòîííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìíîæåñòâ (An ), òî îíî îñòàåòñÿ â
ñèëå è äëÿ åå ïðåäåëà A = lim An (ýòî âûòåêàåò èç òåîðåìû î ìîíîòîííîé
ñõîäèìîñòè; ñì. ï.6.2). À, ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå ðàñøèðåíèå ñâîéñòâà (*)
äàåò òåîðåìà 3.
Òåîðåìà 3.
6
29
Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû
6.4
Ìàðêîâñêèå ñëó÷àéíûå ïðîöåññû
Ïðèâåäåì îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ñâîéñòâà ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ ñ
äèñêðåòíûì âðåìåíåì è â îáúåìå, â êîòîðîì îíè íàì ïîíaäîáÿòñÿ äëÿ
çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå.
Ïóñòü äàëåå (xt , Ft ), t ∈ Z = {0, 1, · · ·}, − ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñî
çíà÷åíèÿìè â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (E, B) è ïóñòü äëÿ êàæäîãî x ∈ E
íà σ− àëãåáðå F çàäàíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà Px .
Îïðåäåëåíèå 1. Ñèñòåìà X = (xt , Ft , Px ) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì,
íåîáðûâàþùèìñÿ ìàðêîâñêèì ïðîöåññîì c äèñêðåòíûì âðåìåíåì è ñî
çíà÷åíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå (E, B) (à òàêæå ìàðêîâñêîé öåïüþ èëè
ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ), åñëè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) äëÿ êàæäîãî A ∈ F, Px (A) ÿâëÿåòñÿ B− èçìåðèìîé ôóíêöèåé x;
2) äëÿ âñåõ x ∈ E, B ∈ B, s, t ∈ Z
Px (xt+s ∈ B| Ft ) = Pxt (xs ∈ B),
Px (x0 = x) = 1,
(Px − ï.í.);
(2)
x ∈ E;
3) äëÿ êàæäûõ t ∈ Z è ω ∈ Ω íàéäåòñÿ è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ω 0 ∈ Ω
òàêîå, ÷òî
xs (ω 0 ) = xs+t (ω)
(3)
äëÿ âñåõ s ∈ Z.
Óñëîâèå (2) âûðàæàåò ìàðêîâñêèé ïðèíöèï íåçàâèñèìîñòè áóäóùåãî
îò ïðîøëîãî ïðè ôèêñèðîâàííîì íàñòîÿùåì. À óñëîâèå (3) îçíà÷àåò, ÷òî
èñõîäíîå ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé (èñõîäîâ) Ω äîëæíî áûòü
äîñòàòî÷íî áîãàòûì è ÷òî ìíîæåñòâî òðàåêòîðèé îáëàäàåò íåêîòîðîé
îäíîðîäíîñòüþ. Ýòî æå óñëîâèå (3) ïîçâîëÿåò ââåñòè îïåðàòîð θt ,
êîòîðûé äëÿ äàííîãî t ëþáîìó ýëåìåíòó ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå
åäèíñòâåííûé ýëåìåíò ω 0 . Òàêèì îáðàçîì, ω 0 = θt ω è
xs (θt ω) = xs+t (ω),
ò.å. îïåðàòîð θt ñäâèãàåò òðàåêòîðèþ {xs (ω), s ∈ Z} âëåâî íà t.
Òàê
îïðåäåëåííûé
îïåðàòîð
θt äåéñòâóåò â ïðîñòðàíñòâå ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω. Íî îêàçûâàåòñÿ
ïîëåçíûì îïðåäåëèòü òàêæå îïåðàòîð ñäâèãà, äåéñòâóþùèé íà ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû. À èìåííî, åñëè η = η(ω)− ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, òî ÷åðåç
θt η = θt η(ω)− îáîçíà÷èì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëåííóþ ðàâåíñòâîì
θt η(ω) = η(θt ω). Òàê, åñëè η(ω) = xu (ω), òî θt xu (ω) = xu (θt ω) = xu+t (ω).
Åñëè æå èíäåêñîì ÿâëÿåòñÿ íåêîòîðàÿ ñ.â. τ = τ (ω), òî
θs xτ (ω) (ω) = xτ (θs ω) (θs ω) = xθs τ (ω) (θs ω) = xs+θs τ (ω) (ω).
(4)
Èçâåñòíî, ÷òî ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì âñåãäà
ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî ìàðêîâñêèì, ò.å. òàêèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî
6
31
Íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ðåçóëüòàòû
ìîìåíòà âðåìåíè τ îòíîñèòåëüíî ïîòîêà F
ñëåäóþùåå óñèëåíèå óñëîâèÿ (2):
2') äëÿ âñåõ x ∈ E, B ∈ B, s, t ∈ Z
Px (xτ +s ∈ B| Fτ ) = Pxτ (xs ∈ B),
= (Fn ) âûïîëíÿåòñÿ
(Px − ï.í.).
(5)
Ïîýòîìó æåëàòåëüíî îáîáùèòü ââåäåííûé âûøå îïåðàòîð íà ñëó÷àé,
êîãäà âìåñòî t ∈ Z èìååì ñ.â. τ (ω) ñî çíà÷åíèÿìè èç Z. Ïîëîæèì ïî
îïðåäåëåíèþ:
θτ (ω) = θτ (ω) (ω), ω ∈ Ω.
(6)
C ïîìîùüþ ââåäåííîãî îïåðàòîðà θτ ñòðîãî ìàðêîâñêîå ñâîéñòâî (5)
ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåé ýêâèâàëåíòíîé ôîðìå
Ex (θτ η|Fτ ) = Exτ η,
x ∈ E,
(7)
åñëè, êîíå÷íî, η = η(ω) èíòåãðèðóåìàÿ F x − èçìåðèìàÿ ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà, F x = σ{ω : xs , s ≤ ∞}.
Ãëàâà II
Còîõàñòè÷åñêàÿ ìîäåëü
ôèíàíñîâîãî ðûíêà.
Àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Îñíîâíîé öåëüþ ýòîé ãëàâû ÿâëÿåòñÿ ïåðâûé ýòàï çíàêîìñòâà ñî
ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêîé. À ñîñòîèò îí èç òðåõ ÷àñòåé.
Ñíà÷àëà ÷èòàòåëü äîëæåí ïîçíàêîìèòüñÿ ñ èçâåñòíîé è, ôàêòè÷åñêè,
åäèíñòâåííîé îáùåóïîòðåáèòåëüíîé ìîäåëüþ ôèíàíñîâîãî ðûíêà. À
çàòåì ñ ìàòåìàòè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèåé äâóõ âàæíûõ ÷åðò ïðàêòè÷åñêîãî
ôèíàíñîâîãî ðûíêà, êîòîðûå íàçûâàþòñÿ
àðáèòðàæ è ïîëíîòà
è îëèöåòâîðÿþò â ñåáå íàøå ïðåäñòàâëåíèå î ñïðàâåäëèâî óñòðîåííîì
ðûíêå. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî èíòåðïðåòàöèÿ îêàçàëàñü äîñòàòî÷íî óäà÷íîé,
ïîñêîëüêó ïðèâåëà ê îáùåïðèçíàííî ïîëåçíûì âûâîäàì.
1
33
Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ
1
Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ
1.1
Êðàòêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðûíêà
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äâóõ äèñêðåòíûõ ñòîõàñòè÷åñêèõ óðàâíåíèé
∆Bn = rn Bn−1 ,
∆Sn = ρn Sn−1 ,
(1)
êîòîðûå, î÷åâèäíî, ýêâèâàëåíòíû ñîîòíîøåíèÿì (∆an = an − an−1 )
Bn = (1 + rn )Bn−1 ,
(10 )
Sn = (1 + ρn )Sn−1 .
È áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî îíè îïèñûâàþò ñòîèìîñòü íåêîòîðûõ àêòèâîâ
- áåçðèñêîâîãî (Bn ) è ðèñêîâîãî (Sn ) â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè n è íà èíòåðâàëå 0 ≤ n ≤ N. Ãîâîðèòü æå îá
ýòîì áóäåì òàê: óðàâíåíèÿ (1) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìîäåëü èçìåíåíèÿ öåí
îñíîâíûõ öåííûõ áóìàã íà ôèíàíñîâîì ðûíêå èëè, äðóãèìè ñëîâàìè,
ñòîõàñòè÷åñêóþ ìîäåëü ôèíàíñîâîãî ðûíêà.
Óðàâíåíèÿ (1) ìîãóò áûòü çàïèñàíû â îáû÷íîé, ðàçíîñòíîé ôîðìå
∆Bn = Bn−1 ∆Un ,
∆Sn = Sn−1 ∆Vn
(2)
(ñì. (I.4.1)), åñëè ââåñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ.â. U = (Un ), V = (Vn ) ñ
Un =
n
X
rk ,
Vn =
n
X
0
ρk ,
0 ≤ n ≤ N ≤ ∞,
0
èëè, â ñîîòâåòñòâèè ñ ï.4, ãë.I, ñ ïîìîùüþ ñòîõàñòè÷åñêèõ ýêñïîíåíò
n
Y
Bn = B0 εn (U ) = B0 (1 + rk ),
n
Y
Sn = S0 εn (V ) = S0 (1 + ρk ).
1
(20 )
1
Ïðè ýòîì, êàê è îáû÷íî, âñå ñ.â. îïðåäåëåíû íà ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå
(Ω, F, (Fn ), P ). Ïðè ýòîì âåëè÷èíû Vn ñ÷èòàþòñÿ Fn − èçìåðèìûìè, à
Un − Fn−1 -èçìåðèìûìè. Ôèíàíñîâûé ðûíîê, îïðåäåëåííûé óðàâíåíèÿìè
(1) èëè ôîðìóëàìè (2), ïðèíÿòî íàçûâàòü
(B, S)− ðûíêîì.
34
1.2
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Óòî÷íåíèå ïîíÿòèÿ ôèíàíñîâûé ðûíîê
Îòìåòèì äâà ìîìåíòà.
I.
Îáùèå
ñîîáðàæåíèÿ.
Ìû
ïðåäïîëàãàåì,
÷òî èíòåðåñóþùèé íàñ ðûíîê öåííûõ áóìàã ôóíêöèîíèðóåò â óñëîâèÿõ
íåîïðåäåëåííîñòåé, äëÿ âåðîÿòíîñòíî-ñòàòèñòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ êîòîðûõ
ââîäèòñÿ ñòîõàñòè÷åñêèé áàçèñ
(Ω, F, (Fn )n≥0 , P ).
Ïîòîê σ− àëãåáð F = (Fn ) èíòåðïðåòèðóåòñÿ êàê ïîòîê èíôîðìàöèé Fn ,
äîñòóïíûõ âñåì ó÷àñòíèêàì ðûíêà ê ìîìåíòó âðåìåíè n âêëþ÷èòåëüíî,
n ≥ 0. Ðàññìàòðèâàåìûé æå (B, S) ðûíîê, âîîáùå ãîâîðÿ, ñîñòîèò èç
d + 1 àêòèâa (õîòÿ ÷àñòî ñ÷èòàåì, ÷òî d = 1 ):
áàíêîâñêîãî ñ÷åòà (áåçðèñêîâûé àêòèâ) B,
d àêöèé (ðèñêîâûå àêòèâû) ñ öåíàìè S = (S 1 , · · · , S d ).
Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äèíàìèêà áàíêîâñêîãî ñ÷åòà è öåí àêöèé
âñåãäà îïèñûâàåòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè, íî
áàíêîâñêîãî ñ÷åòà ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ B = (Bn ), à
i− ãî òèïà àêöèè ñòîõàñòè÷åñêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ S i = (Sni ).
Âûøåñêàçàííîå
ïîä÷åðêèâàåò
ïðèíöèïèàëüíóþ
ðàçíèöó
ìåæäó áàíêîâñêèì ñ÷åòîì è àêöèÿìè.  ñàìîì äåëå. Fn−1 − èçìåðèìîñòü
Bn îçíà÷àåò, ÷òî çíà÷åíèå áàíêîâñêîãî ñ÷åòà Bn â ìîìåíò n ñòàíîâèòñÿ
ïîëíîñòüþ èçâåñòíûì â ìîìåíò âðåìåíè n − 1
è â ýòîì ñìûñëå ÿâëÿåòñÿ ïðåäñêàçóåìûì.  îòëè÷èå îò öåí àêöèé, Fn −
èçìåðèìîñòü êîòîðûõ îçíà÷àåò, ÷òî èõ çíà÷åíèÿ ñòàíîâÿòñÿ èçâåñòíûìè
òîëüêî ïðè ïîëó÷åíèè âñåé èíôîðìàöèè Fn â ìîìåíò n. Ýòî, êñòàòè,
îáúÿñíÿåò è ñîãëàñóåòñÿ ñ òåì, ïî÷åìó áàíêîâñêèé ñ÷åò íàçûâàåòñÿ
áåçðèñêîâûì, à àêöèè ðèñêîâûìè àêòèâàìè.
Ï. Äâà ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ öåí àêöèé. Åñòü äâà íàèáîëåå
óïîòðåáèòåëüíûõ ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ öåí
S = (Sn )n≥1 .
Ïåðâûé èñõîäèò èç âûðàæåíèÿ
Sn = S0 eHn ,
n ≥ 1,
(4)
â êîòîðîì Hn = h0 + · · · + hn , h0 = 0, n ≥ 0. Ñìûñë ýòèõ Fn − èçìåðèìûõ
ñ.â. îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâàìè
Hn = ln
Sn
,
S0
hn = ln
Sn
∆Sn
= ln(1 +
).
Sn−1
Sn−1
1
35
Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ
Âòîðîé èñïîëüçóåò ýêâèâàëåíòíóþ ôîðìóëó
Sn = S0
n
n
Y
Y
(1 + ∆Ĥk ) = S0 (1 + ĥk ),
1
n ≥ 1,
(5)
1
P
ïîñêîëüêó ĥn = ∆Sn /Sn−1 , Ĥn = n1 ĥk . Ïðè ýòîì ÿñíî, âî-ïåðâûõ, ÷òî
ĥn = ∆Ĥn > −1 â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ Sn > 0. È, âî-âòîðûõ, ÷òî âûøå
â êà÷åñòâå ρn ìû èñïîëüçîâàëè ĥn .
Çàìå÷àíèÿ. 1. Ñâÿçü hn = ln(1 + ĥn ) îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ĥn = i,
ò.å. ÿâëÿåòñÿ ñòàâêîé ïðîöåíòà ðàññìàòðèâàåìîãî ïåðèîäà, òî hn åñòü
δ = ln(1 + i), ò.å. ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñòàâêó íåïðåðûâíîãî íà÷èñëåíèÿ
ïðîöåíòîâ, ýêâèâàëåíòíóþ i. Îáå ñòàâêè, êàê i, òàê è δ, ÿâëÿþòñÿ
ñòàâêàìè ñëîæíûõ ïðîöåíòîâ, îòëè÷àþùèìèñÿ ëèøü ÷àñòîòîé íà÷èñëåíèÿ
ïðîöåíòîâ.
2. Âûøåóêàçàííàÿ ñâÿçü ìîæåò áûòü çàïèñàíà òàêæå â âèäå
ĥn = ehn − 1,
èç êîòîðîãî âûòåêàåò, ÷òî ïðè ìàëûõ çíà÷åíèÿõ hn
ĥn ∼ hn ,
ïîñêîëüêó ĥn − hn =
+ (1/6)h3n + · · · •
Åñëè îáîçíà÷èòü âûðàæåíèå â öåíòðå (5) ÷åðåç
(1/2)h2n
ε(Ĥ)n =
n
Y
(1 + ∆Ĥk ),
(6)
1
òî ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ε(Ĥ) = (ε(Ĥ)n )n≥0 , ε(Ĥ)0 = 1,
îïðåäåëÿåìàÿ èì, íàçûâàåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé ýêñïîíåíòîé, ïîðîæäåííîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ Ĥ = (Ĥn )n≥0 , Ĥ0 = 1, èëè
ýêñïîíåíòîé Äîëåàí.
Èòàê, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ïåðâûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ öåí, êîòîðûé â
àíãëîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå íàçûâàåòñÿ compound return, èñïîëüçóåò
îáû÷íóþ ýêñïîíåíòó
Sn = S0 eHn , n ≥ 1.
Âòîðîé æå, íàçûâàåìûé simple return, äëÿ ñâîåãî îïèñàíèÿ èñïîëüçóåò
ñòîõàñòè÷åñêóþ ýêñïîíåíòó
Sn = S0 ε(Ĥ)n ,
n ≥ 1.
Ïîëåçíî îòìåòèòü, ÷òî ïîñëåäíÿÿ óäîâëåòâîðÿåò ñòîõàñòè÷åñêîìó
ðàçíîñòíîìó óðàâíåíèþ
∆ε(Ĥ)n = ε(Ĥ)n−1 ∆Ĥn ,
÷òî íåïîñðåäñòâåííî ñëåäóåò èç (6) (cì. òàêæå #4 ãë. 1).
36
II
1.3
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Èíâåñòèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ èëè ïîðòôåëü
1. Äàâàÿ âûøå îïðåäåëåíèå (B, S)− ðûíêà, ìû ââåëè ôàêòè÷åñêè
ëèøü ïðîöåññ èçìåíåíèÿ ñòîèìîñòè àêòèâîâ äâóõ (èëè d + 1 ) òèïîâ
è íå îáóñëîâèëè åãî êàêèìè-ëèáî îãðàíè÷åíèÿìè.  îòíîøåíèè ïðàâ è
îáÿçàííîñòåé èíâåñòîðà, äåéñòâóþùåãî íà ýòîì ðûíêå. Äåéñòâèòåëüíî,
áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàø èíâåñòîð èìååò âîçìîæíîñòü
• ðàçìåùàòü ñðåäñòâà íà áàíêîâñêèé ñ÷åò è áðàòü ñ íåãî â äîëã;
• ïîêóïàòü è ïðîäàâàòü àêöèè.
Ïðè÷åì âñå ýòî â íåîãðàíè÷åííîì êîëè÷åñòâå è â èäåàëüíîé ñèòóàöèè.
Òî÷íåå ãîâîðÿ, íà ïåðâîì ýòàïå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îòñóòñòâóþò
îïåðàöèîííûå èçäåðæêè, ñâÿçàííûå ñ ïåðåâîäîì ñðåäñòâ ñ îäíîãî àêòèâà
íà äðóãîé, à ñàìè àêòèâû ÿâëÿþòñÿ áåçãðàíè÷íî äåëèìûìè â òîì ñìûñëå,
÷òî ìîæíî êóïèòü èëè ïðîäàòü ëþáóþ ÷àñòü àêöèè è ïîëîæèòü ía
áàíêîâñêèé ñ÷åò èëè âçÿòü ñ íåãî ëþáóþ ñóììó.
Äàëåå, êàê ñàì (B, S)− ðûíîê, òàê è óñëîâèÿ åãî ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
èíòåðåñóþò íàñ íå ñàìè ïî ñåáå, à ïî îäíîé ïðè÷èíå. Ìû õîòèì
îïèñàòü äåéñòâèÿ ñïåêóëÿíòà íà ýòîì ðûíêå, à òàêæå ïîíÿòü è îöåíèòü
ïåðñïåêòèâû äîáèòüñÿ åìó óñïåõà â ðåçóëüòàòå ýòèõ äåéñòâèé. Òî÷íåå
ãîâîðÿ, íàñ èíòåðåñóåò ÷åëîâåê èëè þðèäè÷åñêîå ëèöî, èìåþùèé â
îïðåäåëåííûé ìîìåíò âðåìåíè íåêîòîðûé êàïèòàë è æåëàþùèé åãî
ïðèóìíîæèòü íà êàêîì-òî îòðåçêå âðåìåíè çà ñ÷åò óäà÷íîé èãðû íà íàøåì
ðûíêå. Áóäåì íàçûâàòü ýòîãî èãðîêà äëÿ êðàòêîñòè èíâåñòîð è ïîïðîáóåì
îïèñàòü åãî ïîâåäåíèå è ñóòü èãðû íà ìàòåìàòè÷åñêîì ÿçûêå.
Íî ïåðåä ýòèì îáðàòèì âíèìàíèå ÷èòàòåëÿ, âèäèìî, íà ñàìûé
ñóùåñòâåííûé ìîìåíò. Êîíå÷íî, íà ðûíêå äîñòàòî÷íî ëþäåé, æåëàþùèõ
ïðèóìíîæèòü ñâîé êàïèòàë. Íî ìû íå ñîáèðàåìñÿ äàâàòü ÷åòêèõ
ðåêîìåíäàöèé ïî åãî ïðèóìíîæåíèþ, êîòîðûå ãàðàíòèðîâàííî èëè ñ
ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïðèâåäóò ê óñïåõó. Ïîñêîëüêó ñ÷èòàåì, ÷òî
ýòî íåâîçìîæíî. Ïî êðàéíåé ìåðå, â òîé îáùåé ïîñòàíîâêå, êîòîðàÿ
áóäåò ðàññìàòðèâàòüñÿ. Îäíàêî ìû ñòàâèì öåëü ïðåäëîæèòü ðåêîìåäàöèè,
ïîçâîëÿþùèå ãàðàíòèðîâàííî îñòàòüñÿ â íóëÿõ, è òåì ñàìûì êîñâåííî
ñïîñîáñòâóþùèõ îñóùåñòâëåíèþ æåëàíèÿ ïðèóìíîæèòü êàïèòàë. Âåäü
åñëè èçâåñòåí íóëåâîé âàðèàíò, òî âî ìíîãèõ ñèòóàöèÿõ èíâåñòîð ñìîæåò
ëó÷øå ïðåäñòàâèòü ðèñê, êîòîðûé áóäåò ñâÿçàí ñ êîíêðåòíûì íàìåðåíèåì,
ñêàæåì, â äâà ðàçà óâåëè÷èòü ñâîé êàïèòàë çà ïÿòü ëåò.
2. Ïîâåäåíèå èíâåñòîðà è ïðàâèëà èãðû îïðåäåëÿþò òðè ïîíÿòèÿ:
êàïèòàë ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã,
èíâåñòèöèîííàÿ ñòðàòåãèÿ èëè ïîðòôåëü,
ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü.
1
37
Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ
Âñå îíè òåñíî ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Íî íà÷íåì ñ ïåðâûõ äâóõ.
Îïðåäåëåíèå 1. Êàïèòàëîì ïîðòôåëÿ öåííûõ áóìàã íàçûâàåòñÿ
ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
X π = (Xnπ )n≥0 ,
â êîòîðîé
Xnπ = βn Bn + γn Sn ≡ βn Bn +
d
X
γni Sni .
(7)
1
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, òàêèì îáðàçîì, ÷òî èìåþùèéñÿ ó èíâåñòîðà â ìîìåíò
âðåìåíè n êàïèòàë Xnπ ðàñïðåäåëÿåòñÿ ïî àêòèâàì â cîîòâåòñòâèè ñ (7),
èëè, êàê åùå ãîâîðÿò, â ïîðòôåëå åñòü:
• γni àêöèé i− ãî òèïà ñòîèìîñòüþ Sni äåíåæíûõ åäèíèö çà îäíó
àêöèþ, à òàêæå
• βn ÷àñòåé áàíêîâñêîãî ñ÷åòà ñòîèìîñòüþ Bn äåíåæíûõ åäèíèö çà
êàæäóþ ÷àñòü.
Ïðè ýòîì íàñ íå áóäåò èíòåðåñîâàòü, ÷òî èìåííî ïîíèìàåòñÿ ïîä
÷àñòüþ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà. Ñêàæåì, âûáðàííàÿ åäèíèöà èçìåðåíèÿ äåíåã
âêëàäà (ñîòíè, òûñÿ÷è èëè ìèëëèîíû èìåþùèõñÿ äåíåæíûõ åäèíèö),
ñòîèìîñòü îäíîé èëè íåñêîëüêèõ îáëèãàöèé, êóïëåííûõ â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè 0 èëè ÷òî-òî äðóãîå. Îñíîâíîé æå öåëüþ áóäåò ñóäüáà
íà÷àëüíîãî êàïèòàëà X0π . Äîïóñòèì, âîçìîæíî ëè áóäåò ñ åãî ïîìîùüþ
èíâåñòîðó èñïîëíèòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè N â áóäóùåì âçÿòîå
íà ñåáÿ îáÿçàòåëüñòâî âíà÷àëå?
Íî â îïðåäåëåíèè 1 ìû äàëè î÷åíü ãðóáîå îïèñàíèå èçìåíåíèÿ
êàïèòàëà.  íåì íå õâàòàåò óòî÷íåíèÿ òîãî, êîãäà è êàê ìåíÿþòñÿ âñå
ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ (7), à òàêæå ìîæåò ëè èíâåñòîð óïðàâëÿòü
ýòèì èçìåíåíèåì è êàê. Òðåáóåòñÿ îáúÿñíèòü ïðèñóòñòâèå èíäåêñà â
îáîçíà÷åíèè êàïèòàëà, à òàêæå êîå-÷òî äðóãîå. Îäíàêî îá ýòîì ÷óòü
íèæå, à ïîêà è ÷òîáû óïðîñòèòü â äàëüíåéøåì èçëîæåíèå äîãîâîðèìñÿ
ïðèäåðæèâàòüñÿ áåñêîîðäèíàòíîé çàïèñè, îáîçíà÷àÿ äëÿ âåêòîðîâ γn =
(γn1 , · · · , γnd ) è Sn = (Sn1 , · · · , Snd ) ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå
(γn , Sn ) ≡
d
X
γni Sni
1
÷åðåç γn Sn . Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü â ñëó÷àå
ïðîèçâîëüíîãî êîíå÷íîãî ÷èñëà àêöèé d ≥ 1 çàïèñûâàòü êàïèòàë
ïîðòôåëÿ è ãîâîðèòü î íåì òàê, êàê áóäòî ÷èñëî ýòèõ àêöèé d = 1.
38
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Èíûìè ñëîâàìè, îñíîâíîé ôîðìîé çàïèñè êàïèòàëà áóäåì ñ÷èòàòü ïåðâîå
ðàâåíñòâî â (7)
Xnπ = βn Bn + γn Sn .
(70 )
Îïðåäåëåíèå 2.
Ïðåäñêàçóåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü π = (β, γ) ñ
β = (βn )n≥0 ,
γ = (γn )n≥0 ,
γn = (γn1 , · · · , γnd ),
(8)
íàçûâàåòñÿ èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèåé èíâåñòîðà èëè åãî ïîðòôåëåì
öåííûõ áóìàã íà (B, S)− ðûíêå (â äèíàìèêå). Òàêèì îáðàçîì,
êîìïîíåíòû ñòðàòåãèè èëè ïîðòôåëÿ βn , γni , ïî îïðåäåëåíèþ äîëæíû
áûòü Fn−1 − èçìåðèìûìè ñ.â. ïðè âñåõ n ≥ 0, i = 1, · · · , d (F−1 = F0 ).
Êîíå÷íî, ïîðòôåëåì åñòåñòâåííî íàçûâàòü íàáîð πn = (βn , γn )
äîëåé êàïèòàëà, ðàñïðåäåëåííûõ ìåæäó âñåìè èìåþùèìèñÿ àêòèâàìè â
êîíêðåòíûé ìîìåíò âðåìåíè n. Îäíàêî ñëåäóåò èìåòü ââèäó ñëåäóþùåå.
 òàê íàçûâàåìîé ïîðòôåëüíîé òåîðèè Ìàðêîâèöà
ïîðòôåëåì òàêæå íàçûâàåòñÿ âåêòîð x = (x1 , · · · , xm ) èç äîëåé êàïèòàëà,
ðàñïðåäåëåííûõ ìåæäó èìåþùèìèñÿ â íåì àêòèâàìè. Íî òàì êîìïîíåíòû
ïîðòôåëÿ xj ÿâëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíûìè äîëÿìè,
Pm à íå àáñîëþòíûìè êàê
ó íàñ, ïîñêîëüêó îíè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ
1 xj = 1•
Çàìå÷àíèå 1.
Óòî÷íèì òåïåðü, êîãäà è êàê ìåíÿþòñÿ âñå ýëåìåíòû ïðåäñòàâëåíèÿ
(7'). Cðàâíèì äëÿ ýòîãî ðàñïðåäåëåíèå êàïèòàëà â ìîìåíòû n − 1 è n :
π
Xn−1
= βn−1 Bn−1 + γn−1 Sn−1 ,
Xnπ = βn Bn + γn Sn .
Êàê èçâåñòíî, ñ.â. Bn , βn , γn ïðåäïîëîæåíû Fn−1 − èçìåðèìûìè.
Ïîýòîìó ÿñíî, ÷òî â ìîìåíò n−1 èç âñåõ 8 ýëåìåíòîâ ýòèõ ïðåäñòàâëåíèé
èíâåñòîðó (âëàäåëüöó êàïèòàëà) èçâåñòíû ñåìü íåèçâåñòíà ëèøü öåíà
àêöèé Sn , êîòîðàÿ ñòàíåò èçâåñòíîé òîëüêî â ìîìåíò n. Ïðè ýòîì,
ïîñêîëüêó ìû ñ÷èòàåì, ÷òî ñàìî çíà÷åíèå öåíû Sn îò íåãî íå çàâèñèò,
òî åãî âîçìîæíîñòè óïðàâëÿòü èçìåíåíèåì êàïèòàëà â ìîìåíò n − 1,
î÷åâèäíî, ñâîäÿòñÿ ê ïåðåáðîñêå ÷àñòè êàïèòàëà ñ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà â
àêöèè è íàîáîðîò. Ïðè÷åì ñàìà ïåðåáðîñêà äîëæíà ïðîèñõîäèòü õîòÿ è
â ìîìåíò n − 1, íî ïîñëå òîãî, êàê ñòàíåò èçâåñòíîé öåíà Sn−1 , òàê
êàê âåëè÷èíû βn , γn ïî îïðåäåëåíèþ ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè Sn−1 è,
çíà÷èò, ñòàíîâÿòñÿ èçâåñòíûìè òîëüêî ïîñëå îáíàðîäîâàíèÿ Sn−1 (çäåñü
ñëåäóåò èìåòü ââèäó, ÷òî ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè â òåîðèè â
äåéñòâèòåëüíîñòè ìîæåò ðàñòÿãèâàòüñÿ íà ÷àñû, äåíü, ñóòêè è ò.ä.).
Èòàê, ïåðåáðîñêà êàïèòàëà ñ îäíîãî àêòèâà íà äðóãîé â ìîìåíò
âðåìåíè n − 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåõîä îò îäíîãî ýëåìåíòà ñòðàòåãèè
ê äðóãîìó:
πn−1 = (βn−1 , γn−1 ) ⇒ πn = (βn , γn ).
1
39
Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ
Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ èíâåñòîðà ýòà ïåðåáðîñêà ìîæåò îêàçàòüñÿ âûãîäíîé.
Ñêàæåì, åñëè ñâîè ñîîáðàæåíèÿ ïî ïåðåâîäó äåíåã îí áóäåò îñíîâûâàòü
íà êà÷åñòâåííîì ïðîãíîçå áóäóùåé öåíû Sn . Îäíàêî ìû çíàåì, âîîáùå
ãîâîðÿ, ÷òî çà ïåðåâîä äåíåã ïîëàãàåòñÿ ïëàòèòü êîìèññèîííûå, à
ïðè ïîêóïêå-ïðîäàæå àêöèé ñóùåñòâóþò òàê íàçûâàåìûå îïåðàöèîííûå
èçäåðæêè. Ïîýòîìó îñòàåòñÿ âîïðîñ: à ÷òî æå ó íàñ?
Ó íàñ áóäåò èäåàëüíûé ñëó÷àé. Èíûìè ñëîâàìè, ìû âûäåëèì ïîäêëàññ
SF òàê íàçûâàåìûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé π, â êîòîðûõ áóäóò
îòñóòñòâîâàòü êàê îïåðàöèîííûå èçäåðæêè, êîìèññèîííûå, òàê è äðóãèå
óñëîæíÿþùèå òåîðèþ ìîìåíòû (ñì. Çàìå÷àíèå 2).
Îïðåäåëåíèå 3. Ïîðòôåëü öåííûõ áóìàã π íàçûâàåòñÿ
ñàìîôèíàíñèðóåìûì,
åñëè ñîîòâåòñòâóþùèé êàïèòàë X π ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå
Xnπ = X0π +
n
X
(βk ∆Bk + γk ∆Sk ),
n ≥ 0,
(9)
1
èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî, åñëè
Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,
n ≥ 1.
(10)
Ñìûñë óñëîâèÿ (10) ïîíÿòåí: èçìåíåíèå êàïèòàëà (Bn−1 ∆βn ) çà ñ÷åò
èçìåíåíèÿ ñîñòàâà áàíêîâñêîãî ñ÷åòà ìîæåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ëèøü çà
ñ÷åò èçìåíåíèÿ Sn−1 ∆γn â ñîñòàâå ïàêåòà àêöèé è íàîáîðîò. È ýòî â
îïðåäåëåííîé ñòåïåíè îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ó íàñ èäåàëüíûé ñëó÷àé. Íî
ïî÷åìó ýêâèâàëåíòíû âûøåóêàçàííûå óñëîâèÿ (9), (10)?
 ýòîì íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëîé
äèñêðåòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ
∆(an bn ) = an ∆bn + bn−1 ∆an
(11)
äëÿ ëþáûõ ÷èñëîâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé a = (an )n≥0 , b = (bn )n≥0 . Â
ñàìîì äåëå, ïðèìåíÿÿ åå ê ïðàâîé ÷àñòè (7) íàõîäèì, ÷òî
∆Xnπ = [βn ∆Bn + γn ∆Sn ] + [Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn ].
Òåì ñàìûì, äåéñòâèòåëüíî, (9) ⇔ (10).
π íà
Çàìå÷àíèå 2. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýâîëþöèÿ êàïèòàëà X
(B, S)− ðûíêå â ïðèíöèïå ìîæåò çàâèñåòü îò äâóõ ôàêòîðîâ: ïðàâèë,
îïðåäåëÿþùèõ ïåðåáðîñêó êàïèòàëà ñ îäíîãî âèäà àêòèâà íà äðóãîé,
à òàêæå óñëîâèé, îáîáùàþùèõ èëè ìîäèôèöèðóþùèõ ñâÿçü êàïèòàëà ñ
(B, S)− ðûíêîì, ò.å. óðàâíåíèå (7).
 èçëîæåííîì âûøå ñëó÷àå ïåðâûé ôàêòîð îïðåäåëÿåò ïîäêëàññ
SF òàê íàçûâàåìûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé, à âòîðîé ôàêòîð
40
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
îòñóòñòâóåò. Òåì ñàìûì ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîñòåéøàÿ ñèòóàöèÿ óðàâíåíèÿ
(7), êîãäà íå ó÷èòûâàþòñÿ âîçìîæíûå êîìèññèîííûå (âîçíèêàþùèå ïðè
ïîêóïêå-ïðîäàæå àêöèé, çàéìå äåíåã ñî ñ÷åòà, ãäå ñòàâêà ïî êðåäèòó
ìåíüøå, ÷åì ïî çàéìó ... è ò.ä.). Îäíàêî, âîîáùå ãîâîðÿ, âìåñòî (7) ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü äðóãèå óðàâíåíèÿ, â êîòîðûõ áóäóò ó÷òåíû äèâèäåíäû ñ
àêöèé, îòòîê è ïðèòîê êàïèòàëà, ò.å. äîïîëíèòåëüíîå èíâåñòèðîâàíèå èëè
ðàñõîäû íà ïîòðåáëåíèå è ò.ä. Ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè àíàëîãàìè óðàâíåíèÿ
(7) ìîæíî ïîçíàêîìèòüñÿ â [1], ñ.499-503 •
3. Âïîëíå ïîíÿòíî, ÷òî ïðè îïåðèðîâàíèè ïîðòôåëåì öåííûõ áóìàã
π æåëàòåëüíî áûëî áû ðåäóöèðîâàòü ÷èñëî âõîäÿùèõ â ýòîò ïîðòôåëü
àêòèâîâ, íå ìåíÿÿ ñóòè äåëà. Îäèí òàêîé ïîäõîä, êñòàòè, èìåþùèé
î÷åâèäíóþ ïðàêòè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ, äîâîëüíî óäîáåí è ïîòîìó
÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â òåîðèè. Ìû òàêæå áóäåì íà íåãî îïèðàòüñÿ.
Ðàññìîòðèì íàðÿäó ñ (B, S)− ðûíêîì íîâûé (B̄, S̄)− ðûíîê ñ
B̄n ≡ 1,
B̄ = (B̄n )n≥0 ,
S̄ = (S̄n )n≥0 ,
S̄n =
Sn
.
Bn
Ñìûñë íîâîé çàïèñè ñòàðîãî (B, S)− ðûíêà ñòàíîâèòñÿ ñîâñåì
ïðîçðà÷íûì, åñëè çàìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà 1 + rk ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ
êàê ñòîèìîñòü îäíîé äåíåæíîé åäèíèöû ìîìåíòà k − 1 ÷åðåç ïåðèîä, ò.å.
â ìîìåíò k, åñëè rk ñ÷èòàòü ñòàâêîé
Qn ïðîöåíòà k− ãî ïåðèîäà [k − 1, k).
Ñîîòâåòñòâåííî, òîãäà âåëè÷èíó
1 (1 + rk ) åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü
êàê ñòîèìîñòü îäíîé äåíåæíîé åäèíèöû ìîìåíòà 0 â ìîìåíò n. Òàêèì
îáðàçîì, âåëè÷èíû
Bn = B0
n
Y
(1 + rk ),
S̄n =
1
Sn
,
Bn
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñòîèìîñòü B0 äåíåæíûõ åäèíèö ìîìåíòà 0
(ëåæàùèõ íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó) â ìîìåíò n, ñîîòâåòñòâåííî, ñòîèìîñòü
àêöèè â ìîìåíò n â óñëîâíûõ äåíåæíûõ åäèíèöàõ ìîìåíòà 0 (îäíîé
òàêîé åäèíèöåé ÿâëÿþòñÿ B0 äåíåæíûõ åäèíèö ìîìåíòà 0 ).
Ïðè òàêîì ïåðåõîäå îò (B, S)− ðûíêà ê (B̄, S̄)− ðûíêó êàïèòàë
íàøåãî èíâåñòîðà, ñîîòâåòñòâóþùèé åãî èíâåñòèöèîííîé ñòðàòåãèè π
ïðåâðàòèòñÿ â íîðìèðîâàííûé êàïèòàë X̄ π = (X̄nπ )n≥0 c
X̄nπ = βn B̄n + γn S̄n = βn + γn S̄n =
1
Xπ
(βn Bn + γn Sn ) = n .
Bn
Bn
(12)
Ïðè ýòîì â ñîîòâåòñòâèè ñ (9) è ïîñêîëüêó ∆B̄k ≡ 0, äëÿ π ∈ SF
X̄nπ
=
X̄0π
+
n
X
1
γk ∆S̄k ,
n ≥ 0,
(13)
1
41
Ìîäåëè ðûíêà è ïîðòôåëÿ
èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî,
π
Sn
Xn
= γn ∆
,
∆
Bn
Bn
n ≥ 1.
(130 )
Ýòî ñîîòíîøåíèå, íåñìîòðÿ íà åãî ïðîñòîòó èãðàåò êëþ÷åâóþ ðîëü âî
ìíîãèõ ïîñëåäóþùèõ ðàñ÷åòàõ, îïèðàþùèõñÿ íà êîíöåïöèþ àðáèòðàæà.
42
II
2
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Ìàðòèíãàëüíûé êðèòåðèé
îòñóòñòâèÿ àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé.
Ïðåæäå âñåãî óòî÷íèì, ÷òî ñåé÷àñ íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü êàïèòàë
Xπ
=
(Xnπ )0≤n≤N
íåêîòîðîãî
èíâåñòîðà,
èñïîëüçóþùåãî
ñàìîôèíàíñèðóåìóþ ñòðàòåãèþ π è äåéñòâóþùåãî â èíòåðâàëå âðåìåíè
0 ≤ n ≤ N íà íåêîòîðîì (B, S)− ðûíêå, ñîñòîÿùåì èç áàíêîâñêîãî ñ÷åòà
B = (Bn ), óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèþ
0 ≤ n ≤ N,
Bn > 0,
(1)
à òàêæå êîíå÷íîãî ÷èñëà d àêòèâîâ S = (S 1 , · · · , S d ), S i = (Sni ), è ïóñòü
1 ≤ d < ∞, 1 ≤ N < ∞. Åñòåñòâåííî, âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû óêàçàííûõ
îáúåêòîâ çàäàíû íà íàøåì ôèëüòðîâàííîì âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå
(Ω, F, (Fn )n≥0 , P ), ïðè÷åì F0 = (∅, Ω), à F = FN .
2.1
Êîíöåïöèÿ àðáèòðàæà
Ïóñòü àðáèòðàæ ýòî âûèãðûø èç íè÷åãî â ñëåäóþùåì ñìûñëå.
Ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ π ðåàëèçóåò
àðáèòðàæíóþ âîçìîæíîñòü (â ìîìåíò N ), åñëè ïðè íóëåâîì
íà÷àëüíîì êàïèòàëå åå êàïèòàë â ìîìåíò N íåîòðèöàòåëåí è ñ
ïîëîæèòåëüíîé âåðîÿòíîñòüþ ïîëîæèòåëåí, ò.å.
Îïðåäåëåíèå
1.
X0π = 0
⇒
π
π
P (XN
≥ 0) = 1, P (XN
> 0) > 0.
Cðåäè âñåõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé íàðÿäó ñ àðáèòðàæíûìè
âûäåëèì è íåðàçóìíûå ñòðàòåãèè, äëÿ êîòîðûõ
X0π = 0
⇒
π
P (XN
≤ 0) = 1,
π
P (XN
< 0) > 0.
(2)
Ñîîòâåòñòâåííî, êëaññ àðáèòðàæíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé
îáîçíà÷èì SFarb , à êëàññ íåðàçóìíûõ SFsil . Êàê âèäèì, ïîñëåäíèé
ñèììåòðè÷åí êëàññó àðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé.
Îïðåäåëåíèå 2. Ãîâîðÿò, ÷òî íà (B, S)− ðûíêå îòñóòñòâóþò
àðáèòðàæíûå âîçìîæíîñòè èëè ÷òî ðûíîê ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì,
åñëè SFarb = ∅ = SFsil . Èíà÷å ãîâîðÿ, íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå âñÿêàÿ
íåòðèâèàëüíàÿ ñòðàòåãèè π, ò.å. òàêàÿ, ÷òî
X0π = 0,
π
P (XN
6= 0) > 0,
ÿâëÿåòñÿ ðèñêîâîé â òîì ñìûñëå, ÷òî
π
P (XN
> 0) > 0,
π
P (XN
< 0) > 0.
(3)
2
43
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ
π 6= 0) óõîäèò â
 ñàìîì äåëå, åñëè âñÿ âåðîÿòíîñòü α = P (XN
π > 0), òî ìû èìååì àðáèòðàæíóþ ñèòóàöèþ.
ïëþñ, ò.å. α = P (XN
π < 0), òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñòðàòåãèÿ π
Òî÷íî òàê æå, åñëè α = P (XN
îêàçûâàåòñÿ íåðàçóìíîé. Êðîìå òîãî, ÿñíî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ (2) â
êëàññ áåçàðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé âõîäèò è òðèâèàëüíàÿ ñòðàòåãèÿ, äëÿ
êîòîðîé
π
X0π = 0, P (XN
= 0) = 1.
Íî, î÷åâèäíî, òàêóþ ñòðàòåãèþ ìîæíî ñ÷èòàòü âûðîæäåííûì ñëó÷àåì.
Ïîýòîìó êëàññ áåçàðáèòðàæíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé
îáîçíà÷èì SFrisk è, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå
SF = SFarb ∪ SFsil ∪ SFrisk .
6
0
*
1
P
HP
HP
HP
HPPP
HH P
q
H
j
H
π > 0) > 0
P (XN
π =0
XN
N
π < 0) > 0
P (XN
Ðèñ. 1.1 Òèïè÷íàÿ êàðòèíà ïåðåõîäîâ íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå
Êîíå÷íî,
áåçàðáèòðàæíûå
ñòðàòåãèè
ñëåäîâàëî áû íàçûâàòü áåçàðáèòðàæíûìè è ðàçóìíûìè. Îäíàêî ìû
ïðåäëàãàåì âòîðóþ ïîëîâèíó ýòîãî íàçâàíèÿ ñ÷èòàòü ïîäðàçóìåâàþùåéñÿ.
Êðîìå òîãî, íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå ïðè óñëîâèè X0π = 0 äèàãðàììà
ïåðåõîäîâ äîëæíà èìåòü âèä, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ.1. Òî÷íåå ãîâîðÿ, âñÿ
ñîâîêóïíîñòü ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé â òàêîì ðûíêå ðàçáèâàåòñÿ
íà äâå ÷àñòè. Äëÿ ïåðâîé èç íèõ âñå âîçìîæíûå ïåðåõîäû ïðåäñòàâëÿþò
π = 0) = 1.
ñîáîé ñåìåéñòâî òðèâèàëüíûõ òðàåêòîðèé, äëÿ êîòîðûõ P (XN
Íî â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì íåèíòåðåñíûé, âûðîæäåííûé ðûíîê. Ïîýòîìó
îñíîâíîé åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü ñèòóàöèþ íà ðûíêå, êîòîðóþ ïðåäñòàâëÿåò
âòîðàÿ ÷àñòü ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé, êîãäà ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé
π
îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì P (XN
= 0) < 1. À â òàêîì ñåìåéñòâå
π > 0) > 0,
òðàåêòîðèé íàðÿäó ñ âûèãðûøàìè, ò.å. òðàåêòîðèÿìè ñ P (XN
π < 0) > 0.
íåìèíóåìî äîëæíû áûòü è ïðîèãðûøè ñ P (XN
Çàìå÷àíèå 1. Îòìåòèì, ÷òî äàííûå âûøå îïðåäåëåíèÿ îïåðèðîâàëè
ñ ñîáûòèÿìè âèäà {Xnπ > 0}, {Xnπ ≥ 0}, êîòîðûå ñîâïàäàþò ñ ñîáûòèÿìè
{X̄nπ > 0}, {X̄nπ ≥ 0}, ñîîòâåòñòâåííî, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1).
Ýòî îáúÿñíÿåò, ïî÷åìó ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñîâ î íàëè÷èè
àðáèòðàæà èëè î åãî îòñóòñòâèèè íà (B, S)− ðûíêå ìîæíî ñðàçó
îïåðèðîâàòü ñ (B̄, S̄)− ðûíêîì, ãäå B̄n ≡ 1 è S̄n = Sn /Bn . Èíà÷å ãîâîðÿ,
ïðè óñëîâèè (1) ìîæíî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ïîëàãàòü, ÷òî Bn ≡ 1•
44
2.2
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Ïåðâàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà
ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè
 ðàññìàòðèâàåìîì íàìè ñëó÷àå äèñêðåòíîãî âðåìåíè èìååò ìåñòî
ñëåäóþùàÿ çàìå÷àòåëüíàÿ òåîðåìà, êîòîðóþ, ââèäó åå âàæíîñòè
íàçûâàþò
Ïåðâàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà â òåîðèè îöåíêè ñòîèìîñòè
ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ
(The rst Fundamental Asset Pricing Theorem).
Èñïîëüçóåìàÿ â íåé ìåðà P ∗ íàçûâàåòñÿ
ìàðòèíãàëüíîé èëè ðèñê-íåéòðàëüíîé.
Òåîðåìà 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé
óñëîâèþ (1), áûë áåçàðáèòðàæíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
íàøëàñü õîòÿ áû îäíà ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî
êîòîðîé d− ìåðíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
S/B = (Sn /Bn )
ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì. Èíûìè ñëîâàìè,
E∗
E∗
Sni
< ∞,
Bn
Sni
|Fn−1
Bn
=
i = 1, · · · , d, n = 0, 1 · · · , N,
i
Sn−1
,
Bn−1
n = 1 · · · , N (P ∗ ï.í.).
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ýòîé ãëàâå ìû ðàññìàòðèâàåì (B, S)− ðûíîê,
óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ (1). Ïîýòîìó â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 1
ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ≡ 1 è ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ S âìåñòî S/B.
1. Äîñòàòî÷íîñòü: åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S ÿâëÿåòñÿ P ∗ −
π =
ìàðòèíãàëîì, òî SFarb = ∅ = SFsil . Ïîêàæåì äëÿ ýòîãî, ÷òî P (XN
π
π
π
π
0) = 1, åñëè X0 = 0, P (XN ≥ 0) = 1, èëè X0 = 0, P (XN ≤ 0) = 1.
 ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ( X0π = 0 ) äëÿ êàïèòàëà X = (Xnπ ) èìååò
ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (ñì. (1.13'); íàïîìèíàåì, ÷òî 1 ≤ d < ∞ )
Xnπ =
n
X
γk ∆Sk ,
n = 0, · · · , N.
(4)
1
Ïîýòîìó îòíîñèòåëüíî ìåðû P ∗ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X π = (Xnπ )
ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì è, ñëåäîâàòåëüíî, ëîêàëüíûì
π ≥ 0) = 1 (èëè
ìàðòèíãàëîì ïî òåîðåìå 1.3.1. Òàêèì îáðàçîì, åñëè P (XN
π ≤ 0) = 1 ), òî ïî ëåììå 1.3.1 íàø êàïèòàë ÿâëÿåòñÿ íà ñàìîì äåëå
P (XN
2
45
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ
π = X π = 0. À ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî
P ∗ − ìàðòèíãàëîì è òåì ñàìûì E ∗ XN
0
π = 0) = 1.
P (XN
2. Íåîáõîäèìîñòü: åñëè SFarb = ∅ = SFsil , òî cóùåñòâóåò ìåðà
P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S
ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì. Ðàçîáúåì îáîñíîâàíèå ýòîãî óòâåðæäåíèÿ íà
äâå ÷àñòè, â êîòîðûõ d è N íåêîòîðûå ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà:
1) d = 1, 1 ≤ N < ∞, 2) 1 ≤ d < ∞, 1 ≤ N < ∞.
1. d = 1. Åñëè êëàññ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé íå ñîäåðæèò
íåðàçóìíûõ è àðáèòðàæíûõ ñòðàòåãèé, òî äëÿ ëþáîé èç åãî ñòðàòåãèé
π â ïðåäïîëîæåíèè X0π = 0 ñïðàâåäëèâî îäíî èç äâóõ:
π
a. P (XN
= 0) = 1,
π
b. P (XN
> 0) > 0,
π
P (XN
< 0) > 0.
(5)
Ïðè÷åì â ñëó÷àå (5b) ïî ëåììå 1.5.1 cóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà P ∗ ,
ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, äëÿ êîòîðîé
π
a. E ∗ |XN
| < ∞,
π
b. E ∗ XN
= 0.
(6)
À â ñëó÷àå (5à), î÷åâèäíî, ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ èìåþò ìåñòî ïðè
P ∗ = P. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëþáîé ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè ìîæíî
íàéòè ìåðó P ∗ cî ñâîéñòâàìè (6), ýêâèâàëåíòíóþ ìåðå P.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû èçâåñòíî (ñì. óïð. 5), ÷òî ñåìåéñòâî èíòåãðèðóåìûõ
c.â. S = (Sn )0≤n≤N ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì, åñëè
E ∗ Sτ = E ∗ S 0
(7)
äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà τ (îòíîñèòåëüíî ïîòîêà (Fn )0≤n≤N ).
Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî èç (6) âûòåêàåò íå òîëüêî
èíòåãðèðóåìîñòü S, íî è ñâîéñòâî (7).
Ââåäåì äëÿ ýòîãî äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ.â. β = (βn ), γ = (γn ),
βn = Sτ I(n>τ ) − S0 ,
γn = I(n≤τ ) ,
(8)
â êîòîðûõ τ − ïðîèçâîëüíûé ìàðêîâñêèé ìîìåíò, è çàìåòèì, ÷òî èìåííî
ïîýòîìó ýòè ñ.â. Fn−1 − èçìåðèìû. À òåì ñàìûì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü π =
(β, γ) ÿâëÿåòñÿ ïîðòôåëåì. Íî
βn + γn Sn = Sτ I(n>τ ) + Sn I(n≤τ ) − S0 ,
βn+1 + γn+1 Sn = Sτ I(n+1>τ ) + Sn I(n+1≤τ ) − S0 .
Ñëåäîâàòåëüíî, ∆βn+1 + Sn ∆γn+1 = Sτ I(τ =n) − Sn I(τ =n) = 0. Ïîýòîìó
òàêàÿ ñòðàòåãèÿ π ÿâëÿåòñÿ è ñàìîôèíàíñèðóåìîé, ïðè÷åì äëÿ íåå
π
Sτ − S0 = (Sτ I(τ <N ) − S0 ) + SN I(τ =N ) = βN + γN SN = XN
.
(9)
46
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
È ýòî îçíà÷àåò, ÷òî (6b) → (7), à èç (6à) âûòåêàåò èíòåãðèðóåìîñòü
cåìåéñòâà S, ïîñêîëüêó ïðè ëþáîì n ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî E ∗ |Sn | < ∞,
åñëè ïîëîæèì τ ≡ n è ó÷òåì, ÷òî S0 = const.
2.
d
≥
1.
Â
ýòîì
ñëó÷àå,
êàê
è
ðàíåå,
ïðåäïîëîæåíèå î áåçàðáèòðàæíîñòè ðûíêà ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òî äëÿ
ëþáîé ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè π ñîîòíîøåíèÿ (6) ñïðàâåäëèâû
ïðè íåêîòîðîé ìåðå P ∗ , ýêâèâàëåíòíîé ìåðå P. Ïðè÷åì èñïîëüçóåòñÿ òà
æå ëåììà. Îñòàâøàÿñÿ æå ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà íå ìåíÿåòñÿ ïî ñóùåñòâó,
íî òðåáóåò óòî÷íåíèÿ.
Äåëî â òîì, ÷òî êîìïîíåíòà βn èñïîëüçóåìîé âûøå âñïîìîãàòåëüíîé
ñòðàòåãèè π ïî-ïðåæíåìó ÷èñëî, à çíà÷åíèå öåíû Sn , ÷åðåç êîòîðóþ
îíà îïðåäåëÿåòñÿ, òåïåðü âåêòîð. Îäíàêî îïðåäåëåíèå (8) ýòîé ñòðàòåãèè
ìîæíî è îñòàâèòü, åñëè ïîíèìàòü åãî â ñëåäóþùåì ñìûñëå:
βn = (Sτ , I(n>τ ) ) − (S0 , e) =
d
X
(Sτii I(n>τi ) − S0i ),
γni = I(n≤τi ) ,
(80 )
1
ò.å. ñ÷èòàòü, ÷òî Sτ = (Sτ11 , · · · , Sτdd ), I(n>τ ) = (I(n>τ1 ) , · · · , I(n>τd ) ),
e = (1, · · · , 1).  ýòîì ñëó÷àå ðàâåíñòâà (7) è (9) ëó÷øå çàïèñàòü â âèäå
E ∗ Sτii = E ∗ S0i , 1 ≤ i ≤ d,
(Sτ − S0 , e) =
d
X
π
(Sτii − S0i ) = XN
.
(70 )
(90 )
1
Òîãäà ëîãèêà îáîñíîâàíèÿ ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèòñÿ •
2.3
Äðóãîé âàðèàíò àðáèòðàæà
è åãî ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà
Íàðÿäó ñ èñïîëüçîâàííûì âûøå ïîíÿòèåì áåçàðáèòðàæíîñòè â
ôèíàíñîâîé ëèòåðàòóðå îáðàùàþòñÿ è ê äðóãèì òî÷êàì çðåíèÿ.
Ðàññìîòðèì â ýòîì ïóíêòå òàê íàçûâàåìóþ áåçàðáèòðàæíîñòü â ñëàáîì
ñìûñëå.
Îïðåäåëåíèå
3. Ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ
π ðåàëèçóåò
àðáèòðàæíóþ âîçìîæíîñòü (â ìîìåíò N ), åñëè èçìåíåíèå åå
êàïèòàëà õàðàêòåðèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
X0π = 0
⇒
π
P (Xnπ ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N, P (XN
> 0) > 0.
Íà ýòîò ðàç êëàññ íåðàçóìíûõ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé
åñòåñòâåííî íå âûäåëÿòü, à âêëþ÷èòü â êëàññ áåçàðáèòðàæíûõ
ñòðàòåãèé SF \SFarb , ïî-ïðåæíåìó îáîçíà÷àÿ êëaññ àðáèòðàæíûõ
ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé ÷åðåç SFarb . Òàêèì îáðàçîì, êàê áû
2
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ
47
ïðèíèìàåòñÿ òî÷êà çðåíèÿ, ïðè êîòîðîé ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íåðàçóìíóþ
ñòðàòåãèþ èíâåñòîð íå ïðåäïðèìåò è ïîòîìó ðàññìàòðèâàòü åå íå èìååò
ñìûñëà.
(B, S)− ðûíîê íàçûâàåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì â
ñëàáîì ñìûñëå, åñëè äëÿ êàæäîé ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè π ñ
π = 0) = 1, ò.å.
X0π = 0 è P (Xnπ ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N, èìååì P (XN
Îïðåäåëåíèå
4.
SFarb = ∅.
Ñîîòâåòñòâóþùèé
íîâîìó
ïîíÿòèþ
ìàðòèíãàëüíûé êðèòåðèé îòñóòñòâèÿ àðáèòðàæíûõ âîçìîæíîñòåé óäàåòñÿ
äîêàçàòü â ïðåäïîëîæåíèè
|Ω| = k < ∞.
(10)
Èíûìè ñëîâàìè, âñå ðàññìàòðèâàåìûå íà íàøåì ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå
ñ.â. ÿâëÿþòñÿ äèñêðåòíûìè è ïðèíèìàþùèìè êîíå÷íîå ÷èñëî çíà÷åíèé.
Îäíàêî ïîìèìî ýòîãî æåñòêîãî óñëîâèÿ íè÷åãî íå ìåíÿåòñÿ. Ìû
ïî-ïðåæíåìó ðàññìàòðèâàåì (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé òàêæå
óñëîâèþ (1), à êîëè÷åñòâî ðèñêîâàííûõ àêòèâîâ d è òåðìèíàëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè N êîíå÷íû è ïðîèçâîëüíû: 1 ≤ d < ∞, 1 ≤ N < ∞.
Ïðè ýòîì îáîñíîâàíèå íîâîãî êðèòåðèÿ õîòÿ è îêàæåòñÿ áîëåå
ãðîìîçäêèì, ÷åì â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå òåîðåìû 1, íî ïî ñóùåñòâó áóäåò
ìàëî îòëè÷àþùèìñÿ îò íåãî. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðàêòè÷åñêè íå èçìåíèòñÿ íå
òîëüêî óñòàíîâëåíèå äîñòàòî÷íîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ìàðòèíãàëüíîé ìåðû
äëÿ áåçàðáèòðàæíîñòè ðûíêà, íî è ÷àñòü, ñâÿçàííàÿ ñ íåîáõîäèìîñòüþ,
êîãäà âûáîð èñêîìîé ìàðòèíãàëüíîé ìåðû ïðèâåäåò ê ñîîòíîøåíèÿì (6)
è íóæíî áóäåò óñòàíîâèòü ñ èõ ïîìîùüþ ìàðòèíãàëüíîñòü ñåìåéñòâà S
îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé ìåðû. Òàê ÷òî åäèíñòâåííîå îòëè÷èå ñâÿçàíî
ñ âûáîðîì ìåðû P ∗ . Ðàíåå ýòî áûëî ñäåëàíî ññûëêîé íà ëåììó 1.5.1,
à òåïåðü ñàìó âîçìîæíîñòü âûáîðà ïðèäåòñÿ îáîñíîâûâàòü îòäåëüíî, ñ
èñïîëüçîâàíèåì òàê íàçûâàåìîé òåîðåìû îòäåëèìîñòè.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû (B, S)− ðûíîê, óäîâëåòâîðÿþùèé
óñëîâèÿì (1) è (10), áûë áåçàðáèòðàæíûì, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî,
÷òîáû íàøëàñü õîòÿ áû îäíà ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P,
îòíîñèòåëüíî êîòîðîé d− ìåðíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
Òåîðåìà
2.
S/B = (Sn /Bn )
ÿâëÿåòñÿ (P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì.
Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê è ðàíåå, â ñîîòâåòñòâèè ñ çàìå÷àíèåì 1 áóäåì
ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ≡ 1 è ðàññìàòðèâàòü ïðîöåññ S âìåñòî S/B. Êðîìå
òîãî, âñå îáîñíîâàíèå ïðîâåäåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî d = 1, ïîñêîëüêó
ñëó÷àé d ≥ 1 áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò íåãî òî÷íî òàê æå, êàê â òåîðåìå 1.
48
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
1. Äîñòàòî÷íîñòü: åñëè ñåìåéñòâî S ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì, òî
π = 0) = 1, åñëè
SFarb = ∅. Íà ýòîò ðàç òðåáóåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî P (XN
π
π
X0 = 0, P (Xn ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N. Òåì íå ìåíåå îáîñíîâàíèå
äîñòàòî÷íîñòè òåîðåìû 1 ìîæíî îñòàâèòü áåç èçìåíåíèé. Ïðè÷åì ëåììà
1.3.1 òåïåðü áóäåò èñïîëüçîâàíà íàïîëîâèíó.
2. Íåîáõîäèìîñòü: åñëè SFarb = ∅, òî cóùåñòâóåò ìåðà P ∗ ,
ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S
ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì. Ýòà ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà, êàê áû â îòìåñòêó
ïðåäûäóùåé, çàìåòíî òðóäíåå è äàæå èñïîëüçóåò òåîðåìó îá îòäåëèìîñòè.
×òîáû òî÷íåå ïðåäñòàâèòü åå ñõåìó îáîñíîâàíèÿ, ââåäåì äâà íåïóñòûõ
ìíîæåñòâà îäíîìåðíûõ ñ.â. ξ íà (Ω, F ) :
π
Σ0 = {ξ : ∃π ∈ SF òàêàÿ, ÷òî X0π = 0, XN
= ξ}, Σ1 = {ξ ≥ 0 : Eξ ≥ 1}.
Òåïåðü ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ìû ïîñëåäîâàòåëüíî óñòàíîâèì 2 èìïëèêàöèè
1
2
{SFarb = ∅} ⇒ {Σ0 ∩ Σ1 = ∅} ⇒ {∃P ∗ · · ·}.
1
2.1 ⇒ . Äåéñòâóåì îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî Σ0 ∩ Σ1 6= ∅,
è çàìå÷àÿ, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ π, äëÿ êîòîðîé
π
π
X0π = 0, P (XN
≥ 0) = 1 è P (XN
> 0) > 0.
Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà SFarb 6= ∅ â ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðåäïîëîæåíèåì.
Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî Xnπ ≥ 0 ïðè âñåõ 0 ≤ n ≤ N, òî èñêîìóþ
àðáèòðàæíóþ ñòðàòåãèþ íå íóæíî èñêàòü ýòî π. Òàê ÷òî ïðåäïîëîæèì,
π < 0) > 0,
÷òî â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè m ≥ 1 â ïîñëåäíèé ðàç P (Xm
π
ò.å. P (Xn ≥ 0) = 1, n > m. È ââåäåì íîâóþ ñòðàòåãèþ π̄ = (β̄n , γ̄n ),
ñâÿçàííóþ ñî ñòðàòåãèåé π = (βn , γn ) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
π
β̄n = [βn − Xm
]IA∩(n>m) ,
γ̄n = γn IA∩(n>m) ,
1 ≤ n ≤ N,
π < 0). Ïîêàæåì, ÷òî îíà äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ
ïîëàãàÿ A = (ω : Xm
ñàìîôèíàíñèðóåìûì àðáèòðàæíûì ïîðòôåëåì.
 ñàìîì äåëå, Fn−1 − èçìåðèìîñòü ýëåìåíòîâ π̄n î÷åâèäíà, ïîñêîëüêó
ïðè n ≤ m èëè ω ∈
/ A îíè îáíóëÿþòñÿ, à ïðè n > m, ω ∈ A, èìåþò
èçìåðèìîñòü ýëåìåíòîâ πn . Äàëåå, ñàìîôèíàíñèðóåìîñòü π̄ âûòåêàåò èç
òîãî, ÷òî ïðè n > m, ω ∈ A
π ),
∆β̄m+1 = ∆βm+1 + (βm − Xm
∆β̄n = ∆βn , n > m + 1,
∆γ̄m+1 = ∆γm+1 + γm , ∆γ̄n = ∆γn , n > m + 1.
À, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ω ∈ A è n = m + 1
π ) = 0,
∆β̄m+1 + Sm ∆γ̄m+1 = (∆βm+1 + Sm ∆γm+1 ) + (βm + Sm γm − Xm
n > m + 1 : ∆β̄n + Sn−1 ∆γ̄n = ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0.
2
49
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è àðáèòðàæ
Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî P (X0π̄ = 0) = 1, P (Xnπ̄ ≥ 0) = 1, 1 ≤ n ≤ N,
π̄ > 0) > 0. Ðàññìàòðèâàÿ, åñòåñòâåííî, ëèøü ÷àñòü òðàåêòîðèé ñ
è P (XN
n > m, ω ∈ A. Íî ïðè òàêèõ n è ω
π
π
Xnπ̄ = β̄n + γ̄n Sn = βn + γn Sn − Xm
= Xnπ − Xm
> 0,
π < 0. Íî P (A) > 0 è ïîòîìó, â ÷àñòíîñòè,
ïîñêîëüêó Xnπ ≥ 0, à Xm
π̄
P (XN > 0) > 0. Èòàê, ïåðâàÿ èìïëèêàöèÿ äîêàçàíà è, çíà÷èò, ìíîæåñòâà
Σ0 , Σ1 íå èìåþò îáùèõ òî÷åê.
2
2.2 ⇒ . Ðàçîáúåì îáîñíîâàíèå âòîðîé èìïëèêàöèè íà 2 ÷àñòè.
à) Îïðåäåëåíèå ìàðòèíãàëüíîé ìåðû P ∗ . Óñëîâèå (10) îçíà÷àåò, ÷òî
êàæäóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ, çàäàííóþ íà Ω, ìîæíî îòîæäåñòâèòü
ñ âåêòîðîì x = (x1 , · · · , xk ) ∈ Rk , xi = ξ(ωi ). Ïîñêîëüêó âåðîÿòíîñòè
P (ωi ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ èñõîäíîé ìåðîé P. Ïîýòîìó ìíîæåñòâà
Σ0 , Σ1 , ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà
â êîíå÷íîìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå Rk . Ïðè ýòîì ÿñíî, ÷òî
Σ1 − âûïóêëî, Σ0 − ëèíåéíî (ñì. çàìå÷. 2) è ïî òåîðåìå îá îòäåëèìîñòè
íàéäåòñÿ òàêîé ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë l = l(x), x ∈ Rk , ÷òî
l(x) = 0, x ∈ Σ0 ,
l(x) > 0, x ∈ Σ1 .
Êàê èçâåñòíî, â Rk ýòîò ëèíåéíûé ôóíêöèîíàë l ìîæíî çàïèñûâàòü
â âèäå ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ ñ íåêîòîðûì ôèêñèðîâàííûì âåêòîðîì
q = (q1 , · · · , qk ) : l(x) = (x, q) ≡
k
X
xi qi ,
1
êîìïîíåíòû êîòîðîãî â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ïîëîæèòåëüíû, òàê
−1
−1
êàê âåêòîðû (p−1
1 , 0, · · · , 0), (0, p2 , 0, · · · , 0), · · · , (0, · · · , 0, pk ), î÷åâèäíî,
ïðèíàäëåæàò Σ1 , åñëè pi = P (ωi ) >
Pk0. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð q ìîæíî
ñ÷èòàòü òàêæå è íîðìèðîâàííûì ( 1 qi = 1 ). Èìåííî êîìïîíåíòû ýòîãî
âåêòîðà ïóñòü è îïðåäåëÿþò èñêîìóþ ìåðó P ∗ :
P ∗ (ωi ) = qi ,
i = 1, · · · , k.
b) Äîêàçàòåëüñòâî ìàðòèíãàëüíîñòè P ∗ . Èñïîëüçóÿ âòîðîå ñâîéñòâî
íàøåãî ôóíêöèîíàëà ( (x, q) = 0, x ∈ Σ0 ) è îïðåäåëåíèå ìíîæåñòâà Σ0 ,
íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè π ∈ SF è X0π = 0, òî
π
E ∗ XN
= 0.
È
äàëåå
òîò
ôàêò,
÷òî
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
S
ÿâëÿåòñÿ
(P ∗ , (Fn ))− ìàðòèíãàëîì, âûâîäèòñÿ èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ ïî àíàëîãèè ñ
äîêàçàòåëüñòâîì òåîðåìû 1 (óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâåíñòâî (7)). Ïîä÷åðêíåì
50
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
ëèøü òî, ÷òî èíòåãðèðóåìîñòü ñåìåéñòâà S íà ýòîò ðàç äîêàçûâàòü íå
íóæíî. Îíà âûòåêàåò èç óñëîâèÿ (10) •
Çàìå÷àíèå 2.
Ìíîæåñòâî Σ1 çàäàåòñÿ êîíñòðóêòèâíî, ò.å.
Σ1 = {x ∈ Rk : (x, p) =
k
X
xi pi ≥ 1, x ≥ 0}.
1
Èíûìè ñëîâàìè, Σ1 − ýòî ïåðåñå÷åíèå ïîëîæèòåëüíîãî îðòàíòà è
ïîëóïðîñòðàíñòâà ñ ãðàíèöåé-ãèïåðïëîñêîñòüþ, îðòîãîíàëüíîé âåêòîðó
p = (p1 , · · · , pk ), pi = P (ωi ), è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó x = (1, · · · , 1).
 îòíîøåíèè Σ0 èçâåñòíî, ÷òî â òî÷êàõ x ∈ Σ0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
(x, q) = 0. Òàêèì îáðàçîì, Σ0 ïðèíàäëåæèò ãèïåðïëîñêîñòè â Rk ,
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò è îðòîãîíàëüíîé âåêòîðó q •
3
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
3
51
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
Åùå îäíî ñâîéñòâî èäåàëüíî óñòðîåííîãî ðûíêà óäàåòñÿ íåïëîõî îïèñàòü
ìàòåìàòè÷åñêè. Èíûìè ñëîâàìè, íå òîëüêî îïðåäåëèòü, íî è ïåðå÷èñëèòü
óñëîâèÿ íà ñòðóêòóðó òàêîãî ðûíêà, ïðè êîòîðûõ îíî èìååò ìåñòî.
3.1
Õåäæèðîâàíèå è åãî öåíà.
Ïîëíûå è íåïîëíûå ðûíêè
Êàê è ðàíåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôèíàíñîâàÿ àêòèâíîñòü ïðîäàâöîâ
è ïîêóïàòåëåé íà íàøåì (B, S)− ðûíêå îòíîñèòñÿ ê ìîìåíòàì âðåìåíè
0, 1, · · · , N. È ïóñòü fN − íåêîòîðàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ FN − èçìåðèìàÿ
ñ.â., èìåþùàÿ ñìûñë ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà ïðîäàâöà.
Îïðåäåëåíèå 1.
Càìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü ÖÁ π íàçûâàåòñÿ
âåðõíèì (x, fN )− õåäæåì (èëè íèæíèì)
π ≥ f
π
åñëè X0π ≡ x ≥ 0 è XN
N (ñîîòâåòñòâåííî XN ≤ fN ). Ãîâîðÿò
π = f , òî
òàêæå, ÷òî åñëè X0π ≡ x ≥ 0 è XN
N
(x, fN )− õåäæ π ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì.
Ïîíÿòèå õåäæà (hedge çàáîð) èãðàåò çàìåòíóþ ðîëü â ôèíàíñîâîé
ìàòåìàòèêå, ïîñêîëüêó â îïðåäåëåííîé ñòåïåíè ïðåäñòàâëÿåò ðàçëè÷íûå
èíñòðóìåíòû
çàùèòû
èëè
ñòðàõîâàíèÿ
êàïèòàëîâëîæåíèé
â
ôèíàíñîâîé ïðàêòèêå. Ñëåäóþùåå îïðåäåëåíèå ïîçâîëèò â äàëüíåéøåì
ôîðìàëèçîâàòü äåéñòâèÿ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî ðåàëèçîâàòü òàêóþ
çàùèòó, ñêàæåì, äîáèòüñÿ ïîëó÷åíèÿ ãàðàíòèðîâàííîãî êàïèòàëà.
×òîáû åãî ñôîðìóëèðîâàòü, ââåäåì äâà ìíîæåñòâà ïîðòôåëåé:
π ≥f }
H ∗ (x, fN ; P ) = {π : X0π = x, XN
N
êëàññ âåðõíèõ (x, fN )− õåäæåé, è
π ≤f }
H∗ (x, fN ; P ) = {π : X0π = x, XN
N
êëàññ íèæíèõ (x, fN )− õåäæåé.
Îïðåäåëåíèå 2.
âåëè÷èíà
Ïóñòü fN åñòü ïëàòåæíîå îáÿçàòåëüñòâî. Òîãäà
C ∗ (fN , P ) = inf{x ≥ 0 : H ∗ (x, fN ; P ) 6= ∅}
íàçûâàåòñÿ âåðõíåé öåíîé (õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà),
à âåëè÷èíà
C∗ (fN , P ) = sup{x ≥ 0 : H∗ (x, fN ; P ) 6= ∅}
íèæíåé öåíîé.
52
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Íåìíîãî î ñîäåðæàòåëüíîé ñòîðîíå ââåäåííûõ ïîíÿòèé. Åñëè Âû
ïðîäàåòå êîíòðàêò, òî, åñòåñòâåííî, õîòèòå ïðîäàòü åãî ïîäîðîæå. Íî,
ñ äðóãîé ñòîðîíû, Âû ïîíèìàåòå, ÷òî è ïîêóïàòåëü æåëàåò êóïèòü
íàäåæíûé êîíòðàêò ïî íèçêîé öåíå. Ó÷èòûâàÿ ïðîòèâîïîëîæíîñòü
ýòèõ èíòåðåñîâ Âû, êàê ïðîäàâåö, äîëæíû îïðåäåëèòü äëÿ ñåáÿ òó
ìèíèìàëüíî äîïóñòèìóþ öåíó ïðîäàæè, ïðè êîòîðîé ñìîæåòå âûïîëíèòü
óñëîâèÿ êîíòðàêòà (âûïëàòèòü ñóììó fN â ìîìåíò N ), è íå áóäåòå
èìåòü áåçðèñêîâîãî äîõîäà (êàê ãîâîðÿò àìåðèêàíöû, èìåòü free lunch áåñïëàòíûé îáåä). Òî÷íî òàê æå, åñëè Âû ïîêóïàåòå êîíòðàêò, òî äîëæíû
âûÿñíèòü òó ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìóþ öåíó ïîêóïêè, ïðè êîòîðîé
óñëîâèÿ êîíòðàêòà ìîæíî âûïîëíèòü, íî ðàñ÷èòûâàòü íà áåçðèñêîâûé
äîõîä íåëüçÿ.
Ââåäåííûå âûøå öåíû C ∗ (fN , P ), C∗ (fN , P ) êàê ðàç è îïðåäåëÿþò
ýòè ãðàíèöû, êîòîðûå, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñîâïàäàþò (ïðèìåð ñì. â [1],
ñ.513-20). Òàê âîò, åñëè öåíà âûáðàíà èç èíòåðâàëà [0, C∗ (fN , P )), òî ýòî
ïðåäïî÷òèòåëüíî äëÿ ïîêóïàòåëÿ, à åñëè èç èíòåðâàëà (C ∗ (fN , P ), ∞),
òî äëÿ ïðîäàâöà, ïîñêîëüêó ïðè òàêèõ öåíàõ îíè ñìîãóò èìåòü
áåçðèñêîâûé äîõîä (ýòî îáúÿñíÿåòñÿ, íàïðèìåð, â [1], ñ.509). Îñòàâøèéñÿ
æå èíòåðâàë öåí [C∗ (fN , P ), C ∗ (fN , P )] åñòåñòâåííî íàçâàòü îáëàñòüþ
âçàèìîïðèåìëåìûõ öåí. Ïðè ëþáîé òàêîé öåíå íè ïîêóïàòåëü, íè
ïðîäàâåö íå èìåþò áåçðèñêîâîãî äîõîäà. Êàæäûé èç íèõ ìîæåò êàê
âûèãðàòü, òàê è ïðîèãðàòü. Íó à åñëè âûèãðûø c÷èòàòü êîìïåíñàöèåé çà
âîçìîæíûé ïðîèãðûø, òî öåíó èìååò ñìûñë íàçûâàòü âçàèìîïðèåìëåìîé.
Íèæå íàñ áóäåò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àé, êîãäà âñÿêîå ïëàòåæíîå
îáÿçàòåëüñòâî ïðè íåêîòîðîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè êàïèòàëà äîñòèæèìî.
Èíûìè ñëîâàìè, êîãäà êëàññû H∗ (x, fN ; P ), H ∗ (x, fN ; P ) ñîâïàäàþò,
à èíòåðâàë ïðèåìëåìûõ öåí ñâîäèòñÿ ê îäíîé, ò.í. ñïðàâåäëèâîé öåíå
C(fN , P ) = C ∗ (fN , P ) = C∗ (fN , P ).
(B, S)− ðûíîê öåííûõ áóìàã íàçûâàåòñÿ ïîëíûì
èëè ñîâåðøåííûì, åñëè âñÿêîå FN − èçìåðèìîå è êîíå÷íîçíà÷íîå
ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå äîñòèæèìî èëè âîñïðîèçâîäèìî, ò.å. ïðè
íåêîòîðîì x íàéäåòñÿ ñîâåðøåííûé (x, fN )− õåäæ π, äëÿ êîòîðîãî
Îïðåäåëåíèå 3.
X0π = x,
π
XN
= fN .
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ðûíîê íàçûâàåòñÿ íåñîâåðøåííûì èëè íåïîëíûì
(ïî îòíîøåíèþ ê ìîìåíòó âðåìåíè N ).
Ñôîðìóëèðîâàííîå óñëîâèå ïîëíîòû íàêëàäûâàåò âåñüìà æåñòêèå
îãðàíè÷åíèÿ íà ñòðóêòóðó íàøåãî ðûíêà. Îäíàêî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íåò
íàäîáíîñòè îïåðèðîâàòü ñ ïðîèçâîëüíûìè FN − èçìåðèìûìè ôóíêöèÿìè
fN , à äîñòàòî÷íî èìåòü äåëî, ñêàæåì, ñ îãðàíè÷åííûìè ôóíêöèÿìè.
3
53
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
(B, S)− ðûíîê öåííûõ áóìàã íàçûâàåòñÿ
ïîëíûì èëè cîâåðøåííûì, åñëè âñÿêîå FN − èçìåðèìîå è îãðàíè÷åííîå
ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå ( |fN | ≤ C < ∞ ) äîñòèæèìî èëè âîñïðîèçâîäèìî.
Îïðåäåëåíèå
3.2
4.
S− ïðåäñòàâèìîñòü ëîêàëüíûõ ìàðòèíãàëîâ
 ýòîì ïóíêòå ìû äîëæíû ïîäãîòîâèòüñÿ ê îáñóæäåíèþ êðèòåðèåâ
ïîëíîòû íàøåãî (B, S)− ðûíêà â äâóõ âàðèàíòàõ åãî áåçàðáèòðàæíîñòè,
ðàññìîòðåííûõ ðàíåå. Íî ñ òî÷êè çðåíèÿ îáùåé òåîðèè ìàðòèíãàëîâ
è ñòîõàñòè÷åñêîãî èñ÷èñëåíèÿ ïðåäïîëîæåíèå ïîëíîòû, â ñóùíîñòè,
ðàâíîñèëüíî òàê íàçûâàåìîìó ñâîéñòâó S− ïðåäñòàâèìîñòè ëîêàëüíûõ
ìàðòèíãàëîâ. Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ñíà÷àëà äàòü îïðåäåëåíèå ýòîãî
ñâîéñòâà, çàòåì ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü óòâåðæäåíèå î åãî
ýêâèâàëåíòíîñòè ïîëíîòå, à òàêæå ïðèâåñòè ïðèìåð S− ïðåäñòàâèìîñòè
â ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè. Íó à ïîñêîëüêó S− ïðåäñòàâèìîñòü ÷àñòî
êàñàåòñÿ íîðìèðîâàííîãî êàïèòàëà S/B íåêîòîðîé ñòðàòåãèè π, òî
âñå-òàêè è ñôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå î ñâÿçè ìàðòèíãàëüíîñòè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåí S/B ñ ìàðòèíãàëüíîñòüþ ñåìåéñòâà ñòàâîê V −
U.
1. Ïóñòü íà ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P ) çàäàíû
d− ìåðíûé áàçèñíûé ìàðòèíãàë S = (Sn , Fn , P ) è
îäíîìåðíûé ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë X = (Xn , Fn , P ).
Îïðåäåëåíèå 5. Ëîêàëüíûé ìàðòèíãàë X äîïóñêàåò íà íàøåì
áàçèñå S− ïðåäñòàâëåíèå, èëè ïðåäñòàâëåíèå îòíîñèòåëüíî ìàðòèíãàëà
S, åñëè íàéäóòñÿ òàêèå ïðåäñêàçóåìûå γ = (γn ), ÷òî P − ï.í.
Xn = X0 +
n
X
γk ∆Sk ,
n ≥ 1 (γn = (γn1 , · · · , γnd )).
(1)
1
Èíûìè ñëîâàìè, X åñòü ìàðòèíãàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷åííîå
èç
P − ìàðòèíãàëà
S
èíòåãðèðîâàíèåì
ïðåäñêàçóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ. Ïîä÷åðêíåì òàêæå, ÷òî â äàííîì
îïðåäåëåíèè ìàðòèíãàë S íå îáÿçàí áûòü ñåìåéñòâîì öåí íàøåãî ðûíêà,
à ìàðòèíãàë X− êàïèòàëîì íåêîòîðîãî ïîðòôåëÿ, äëÿ êîòîðîãî èìååò
ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (1), åñëè îí ñàìîôèíàíñèðóåì è Bn ≡ 1 (ñì. (1.13)).
Íî ðàññìîòðèì äàëåå (B, S)− ðûíîê, îõàðàêòåðèçîâàííûé â íà÷àëå
ï.2, ñ öåíàìè àêöèé S, Bn ≡ 1, è áåçàðáèòðàæíûé â ñìûñëå ï.2.1. È
ïóñòü P(P )− ñåìåéñòâî ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P ∗ , ýêâèâàëåíòíûõ ìåðå P
(è ñóùåñòâóþùèõ ïî òåîðåìå 2.1), îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ
ñåìåéñòâî öåí S = (Sn )n≥0 ÿâëÿåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì.
54
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Áóäåì òàêæå íèæå ïîëíîòó ïîíèìàòü â ñìûñëå îïðåäåëåíèÿ 4.
Ëåììà 1. Äëÿ òîãî, ÷òîáû ðàññìàòðèâàåìûé ðûíîê áûë ïîëíûì,
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû íàøëàñü òàêàÿ ìåðà P ∗ ∈ P(P ), äëÿ
êîòîðîé âñÿêèé îãðàíè÷åííûé ìàðòèíãàë X = (Xn , Fn , P ∗ ), (|Xn | ≤
C < ∞) äîïóñêàåò S− ïðåäñòàâëåíèå.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Íåîáõîäèìîñòü. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàø ðûíîê
ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíî ïîëíûì, è â êà÷åñòâå èñêîìîé ìåðû P ∗ âîçüìåì
ïðîèçâîëüíóþ ìåðó èç P(P ). Íàïîìíèì, ÷òî òàêàÿ ñóùåñòâóåò ïî òåîðåìå
2.1. È ïóñòü X− íåêîòîðûé îãðàíè÷åííûé ìàðòèíãàë.
Ïðåäïîëîæåíèå
ïîëíîòû
îçíà÷àåò,
÷òî
ñóùåñòâóåò
ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü π è íà÷àëüíûé êàïèòàë x òàêèå, ÷òî
π = f .
äëÿ X π (cì. (1.13)) âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (1) è X0π = x, XN
N
π
Îòñþäà, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî X ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì,
ïîñêîëüêó S− ìàðòèíãàë. Ïîëîæèì fN = XN è çàìåòèì, ÷òî |Xn | ≤
C ïî ïðåäïîëîæåíèþ è ïîòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X π = (Xnπ )n≤N
îêàçûâàåòñÿ P ∗ − ìàðòèíãàëîì ïî ëåììå 1.3.1. Íî äâà ìàðòèíãàëà ñ
îäíèì è òåì æå òåðìèíàëüíûì çíà÷åíèåì äîëæíû ñîâïàäàòü. Ïîýòîìó
ñåìåéñòâà X π è X ñîâïàäàþò. Òåì ñàìûì ìàðòèíãàë X äîïóñêàåò
S− ïðåäñòàâëåíèå.
2. Äîñòàòî÷íîñòü. Ïóñòü òåïåðü ñóùåñòâóåò ìåðà P ∗ ∈ P(P ),
îòíîñèòåëüíî êîòîðîé âñÿêèé îãðàíè÷åííûé P ∗ − ìàðòèíãàë äîïóñêàåò
S− ïðåäñòàâëåíèå. È íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ëþáîå FN − èçìåðèìîå è
îãðàíè÷åííîå ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå fN äîñòèæèìî.
Âîçüìåì ìàðòèíãàë X = (Xn ), Xn = E ∗ (fN |Fn ). Òîãäà ïîñêîëüêó
|fN | ≤ C, òî X− ýòî îãðàíè÷åííûé ìàðòèíãàë Ëåâè è äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò
ïðåäñòàâëåíèå (1) ñ íåêîòîðûìè Fn−1 − èçìåðèìûìè âåëè÷èíàìè γn .
Ïîñòðîèì ïî íèì òàêîé ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü π ∗ , ÷òî ïðè
π∗ = X = f .
íåêîòîðîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè X0 áóäåì èìåòü XN
N
N
Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîëîæèòü γ ∗ = γ, βn∗ = Xn − γn Sn .  ñàìîì
äåëå, òîãäà èç (1) âûòåêàåò, ÷òî βn∗ ÿâëÿþòñÿ Fn−1 − èçìåðèìûìè è
∆βn∗ + Sn−1 ∆γn∗ = (∆Xn − ∆(γn Sn )) + Sn−1 ∆γn =
γn ∆Sn − ∆(γn Sn ) + Sn−1 ∆γn = 0
(èñïîëüçóåòñÿ (1.11)). Òåì ñàìûì π ∗ − ñàìîôèíàíñèðóåìûé ïîðòôåëü, äëÿ
∗
π∗ = X =
êîòîðîãî Xnπ = βn∗ + γn Sn = Xn , 1 ≤ n ≤ N, è, â ÷àñòíîñòè, XN
N
fN . Èòàê, íàø ðûíîê ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì •
2. Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ðîëü áàçèñíîãî ìàðòèíãàëà S èñïîëíÿåò
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêîíòèðîâàííûõ öåí S̄ = S/B è âåðíåìñÿ ê
óñëîâèþ (2.1). Òîãäà S− ïðåäñòàâëåíèå (1) äëÿ âñÿêîãî ëîêàëüíîãî
ìàðòèíãàëà X ìîæíî çàïèñàòü åùå îäíèì ñïîñîáîì
Xn = X0 +
n
X
1
γk ∆S̄k = X0 +
n
X
1
γk0 (ρk − rk ),
n ≥ 1.
(2)
3
55
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
Ïðè d = 1 åãî ýêâèâàëåíòíîñòü îáúÿñíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
Sn−1 ρn − rn
Sn
∆
=
,
Bn
Bn−1 1 + rn
(3)
à òàêæå åñòåñòâåííî âîçíèêàþùåé ôîðìóëîé (ñì. ï.1.1)
γn0 =
Sn−1
γn
·
.
Bn−1 1 + rn
(4)
Áîëåå òîãî, ïðè d = 1 ïðåäñòàâëåíèÿ (2) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∆Xn = γn ∆S̄n = γn0 (ρn − rn ),
n ≥ 1,
(5)
è ÿñíî, ÷òî γn0 ÿâëÿåòñÿ Fn−1 − èçìåðèìîé ñ.â., êàê è γn . Íî ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ïðè óñëîâèè 1+rn > 0, n ≥ 1, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêîíòèðîâàííûõ
öåí S/B ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìàðòèíãàëîì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ëîêàëüíûì
ìàðòèíãàëîì
îêàçûâàåòñÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
P
n
äèñêîíòèðóþùèõ ñòàâîê V − U = ( 1 (ρk − rk )). Òàêèì îáðàçîì, âåðíà
Ëåììà 2.
Äëÿ (B, S)− ðûíêà èç ï.2 c d = 1, Bn > 0, n ≥ 1,
S/B ∈ Mloc (P ) ⇔ V − U ∈ Mloc (P ).
3. À òåïåðü ïðèâåäåì ïðèìåð ïîëó÷åíèÿ S− ïðåäñòàâëåíèÿ, ò.å.
âåëè÷èí γn è γn0 èç (2), â îäíîì î÷åíü ÷àñòíîì ñëó÷àå è òàêæå ïðè
d = 1 . Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî σ− àëãåáðû Fn ñîâïàäàþò
ñ σ− àëãåáðàìè FnS = σ(S1 , · · · , Sn ) è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëîêàëüíîãî
ìàðòèíãàëà X = (Xn , Fn , P ∗ ) èìååò ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå
Xn = gn (ρ1 , · · · , ρn ),
n ≥ 1,
(6)
ñ íåêîòîðîé áîðåëåâñêîé ôóíêöèåé gn = gn (x1 , · · · , xn ). Êðîìå òîãî,
ïðåäïîëîæèì,
÷òî
ðàñïðåäåëåíèÿ
âåëè÷èí
ρn
ÿâëÿþòñÿ óñëîâíî äâóòî÷å÷íûìè, ò.å. íàéäóòñÿ äâå òàêèå ïðåäñêàçóåìûå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè a = (an ), b = (bn ), ñ.â. an = an (ω), bn = bn (ω), ÷òî
p∗n + qn∗ = 1,
p∗n = P ∗ (ρn = bn |Fn−1 )(ω), qn∗ = P ∗ (ρn = an |Fn−1 )(ω), (7)
è an ≤ rn ≤ bn ïðè âñåõ ω ∈ Ω, n ≥ 1.
Åñëè ê óñëîâèÿì ëåììû 2 äîáàâèòü è óñëîâèÿ (6), (7),
òî â íåâûðîæäåííîì ñëó÷àå ( an < rn < bn ) äëÿ ëþáîãî ëîêàëüíîãî
ìàðòèíãàëà X áóäåò èìåòü ìåñòî ïðåäñòàâëåíèå (2) ñ γ 0 èç (9).
Ëåììà 3.
Äîêàçàòåëüñòâî.
Åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîé ìåðû P ∗ ∼ P, òî
56
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
â ñèëó ëåììû 2 ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî E ∗ (ρn |Fn−1 ) = bn p∗n + an qn∗ = rn ,
ïðèâîäÿùåå âìåñòå ñ óñëîâèåì íîðìèðîâêè (7) ê çíà÷åíèÿì
p∗n =
rn − an
,
bn − an
qn∗ =
bn − r n
.
bn − an
(8)
C äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ îïðåäåëåíèÿ γn0 â ñèëó (5) èìååì ðàâåíñòâî
∆Xn = gn (ρ1 , · · · , ρn ) − gn−1 (ρ1 , · · · , ρn−1 ) = γn0 (ρn − rn ).
Èç íåãî âûòåêàåò, ÷òî γn0 ïðèíèìàåò îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé:
γn0 =
gn (ρ1 , · · · , bn ) − Xn−1
gn (ρ1 , · · · , an ) − Xn−1
I(ρn =bn ) +
I(ρn =an ) .
bn − rn
an − rn
(9)
È ýòè çíà÷åíèÿ ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó óñëîâèå E ∗ (∆Xn |Fn−1 ) = 0 ⇒
rn − an
bn − r n
[gn (ρ1 , · · · , bn ) − Xn−1 ] +
[gn (ρ1 , · · · , an ) − Xn−1 ] = 0 •
bn − an
bn − an
 îòëè÷èå îò äîêàçàííîé ëåììû ïðåäûäóùàÿ ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà
ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî àêöèé, ò.å. ñëó÷àé d ≥ 1.  ñàìîì äåëå, â ýòîì ñëó÷àå
ïî àíàëîãèè ñ ï.1.1 ìîæíî ïîëîæèòü
Sni
= (1 +
i
ρin )Sn−1
,
Vni
=
n
X
ρik ,
1 ≤ i ≤ d,
1
è ýêâèâàëåíòíîñòü â (2) áóäåò îáúÿñíÿòüñÿ ðàâåíñòâàìè
∆
Sni
Bn
=
i
Sn−1
Bn−1
ρin − rn
1 + rn
,
γn0i =
i
Sn−1
γni
·
.
Bn−1 1 + rn
Îñòàëüíûå æå ñîîáðàæåíèÿ îñòàþòñÿ â ñèëå è ïîòîìó èìååò ìåñòî
Ëåììà 4.
Äëÿ (B, S)− ðûíêà èç ï.2 c d ≥ 1, Bn > 0, n ≥ 1,
S i /B ∈ Mloc (P ) ⇔ V i − U ∈ Mloc (P ),
3.3
1 ≤ i ≤ d.
Âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà.
Ïåðâûé âàðèàíò àðáèòðàæà
Ïåðåõîäèì òåïåðü ê çíàêîìñòâó ñ åùå îäíîé çàìå÷àòåëüíîé òåîðåìîé
ñòîõàñòè÷åñêîé ôèíàíñîâîé ìàòåìàòèêè, êîòîðàÿ çàñëóæåííî íàçûâàåòñÿ
Âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà â òåîðèè îöåíêè ñòîèìîñòè
ôèíàíñîâûõ àêòèâîâ
(The second Fundamental Asset Pricing Theorem).
3
57
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
Ðå÷ü â íåé ïîéäåò î ñâîéñòâå ïîëíîòû íàøåãî (B, S)− ðûíêà. Îäíàêî
ïîêà ýòî ñâîéñòâî óäàåòñÿ ïîëåçíî îõàðàêòåðèçîâàòü ëèøü â ñëó÷àå
áåçàðáèòðàæíîãî ðûíêà. Èìåííî ýòî ìû ïîïûòàåìñÿ ñäåëàòü äëÿ äâóõ
âàðèàíòîâ áåçàðáèòðàæíîñòè, ðàññìîòðåíûõ ðàíåå. È íà÷íåì ñ âàðèàíòà,
ââåäåííîãî â ï.2.1. Ïîä÷åðêíåì è åùå îäíó îñîáåííîñòü. Ñàìà òåîðåìà
äîêàçàíà â óñëîâèÿõ ðûíêà èç ï.2 (â íà÷àëå). Îäíàêî ìû ðàññìîòðèì åãî
÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà d = 1, ÷òîáû çàìåòíî óïðîñòèòü åå îáîñíîâàíèå.
Íàïîìèíàåì, ÷òî ïîëíîòà íàìè áóäåò ïîíèìàòüñÿ â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 4, à âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P,
íàçûâàåòñÿ
ìàðòèíãàëüíîé èëè ðèñê-íåéòðàëüíîé,
åñëè ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì
îòíîñèòåëüíî P ∗ . Äëÿ íàøåãî áåçàðáèòðàæíîãî ðûíêà òàêèå ìåðû
ñóùåñòâóþò ïî òåîðåìå 2.1 è êëàññ âñåõ òàêèõ ìåð îáîçíà÷àåòñÿ P =
P(P ).
Ñ ïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ ñâîéñòâî ïîëíîòû îáåñïå÷èâàåò
äîñòóïíîñòü âñåõ ôèãóðèðóþùèõ íà ðûíêå àêòèâîâ è
îòñóòñòâèå îãðàíè÷åíèé äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ.
Ñ ìàòåìàòè÷åñêîé æå òî÷êè çðåíèÿ åãî áóäåò õàðàêòåðèçîâàòü ñëåäóþùèé
íåñêîëüêî ðàñøèðåííûé âàðèàíò âòîðîé ôóíäàìåíòàëüíîé òåîðåìû. Ñàìà
æå îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýêâèâàëåíòíîñòü ïåðâûõ äâóõ ñâîéñòâ.
Òåîðåìà 1. Ïóñòü ìíîæåñòâî ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P íåïóñòî è
∗
P ∈ P. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
1.
2.
3.
(B, S)−ðûíîê ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì;
ìåðà P ∗ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì â P ;
â ìíîæåñòâå P ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà P ∗ , ÷òî ëþáîé
ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn , P ∗ )n≤N äîïóñêàåò S̄−ïðåäñòàâëåíèå
Mn = M0 +
n
X
γk ∆S̄k ,
n ≤ N.
1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ëåììà 1 óòâåðæäàåò, ÷òî 1. ⇔ 3. Ïîýòîìó íàì
äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü. ÷òî 1. ⇒ 2. ⇒ 3. Ïðè ýòîì äëÿ óïðîùåíèÿ
èçëîæåíèÿ, íî íå ñíèæàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî Bn ≡ 1.
1. ⇒ 2. Âîçüìåì ìíîæåñòâî A ∈ FN è ïîëîæèì fN = IA (ω).
 ñîîòâåòñòâèè ñ ïðåäïîëîæåíèåì ñóùåñòâóþò ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ
π = f ,
ñòðàòåãèÿ π è íà÷àëüíûé êàïèòàë x òàêèå, ÷òî X0π = x, XN
N
è, ïîñêîëüêó π ∈ SF, òî
Xnπ
=
X0π
+
n
X
1
γk ∆Sk ,
n ≤ N.
58
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
Äîïóñòèì, ÷òî â ñåìåéñòâå P åñòü õîòÿ áû äâå ìàðòèíãàëüíûå
ìåðû P1 , P2 . Òîãäà, ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X π ÿâëÿåòñÿ
ìàðòèíãàëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì ìàðòèíãàëà S (ïî êàæäîé èç ìåð
π = I , òî ïî ëåììå 1.3.1 ñåìåéñòâî X π íà ñàìîì äåëå
P1 , P2 ) è XN
A
ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì ïî îáåèì ìåðàì. Íî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
π
x = X0π = EPi (XN
|F0 ) = EPi (IA ) = Pi (A),
i = 1, 2,
è, ñëåäîâàòåëüíî, P1 (A) = P2 (A), A ∈ FN . Òåì ñàìûì ìåðû P1 , P2 íà
ñàìîì äåëå ñîâïàäàþò, ÷òî è äîêàçûâàåò íàøó èìïëèêàöèþ.
2. ⇒ 3. Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé 3, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðîé íàì
äîñòàòî÷íî áóäåò óñòàíîâèòü, ÷òî åäèíñòâåííîñòü ìàðòèíãàëüíîé ìåðû
âëå÷åò çà ñîáîé óñëîâíîå äâóòî÷èå è ðàâåíñòâà Fn = FnS , n ≤ N.
à) 2. ⇒ óñëîâíîå äâóòî÷èå. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî ñ ðåãóëÿðíûìè
óñëîâíûìè âåðîÿòíîñòÿìè P ∗ (ρn ∈ ·|Fn−1 )(ω) èç óñëîâèÿ (7) ìîæíî
îïåðèðîâàòü (äëÿ êàæäîãî ω ∈ Ω ) êàê ñ îáû÷íûìè âåðîÿòíîñòÿìè, òî
òðåáóåìîå óòâåðæäåíèå îá óñëîâíîì äâóòî÷èè, èñïîëüçîâàííîå â ëåììå 3,
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Ïóñòü P− ñåìåéñòâî âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé Q = Q(dx) íà
(R, B(R)) ýêâèâàëåíòíûõ ìåæäó ñîáîé è òàêèõ, ÷òî
Z
Z
|x|Q(dx) < ∞,
xQ(dx) = 0
(10)
R
R
(ìàðòèíãàëüíîå ñâîéñòâî). Òîãäà, åñëè ýòî ñåìåéñòâî ñîñòîèò ëèøü èç
îäíîé ìåðû Q, òî ýòà ìåðà äîëæíà áûòü äâóòî÷å÷íîé. Èíûìè ñëîâàìè,
äîëæíû ñóùåñòâîâàòü a < 0 è b > 0 òàêèå, ÷òî Q({a}) + Q({b}) = 1,
åñëè îòáðîñèòü âûðîæäåííûé ñëó÷àé ( a = b = 0 ).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ñíà÷àëà íàïîìíèì îäèí ôàêò.
Êàê èçâåñòíî, ëþáîå ðàñïðåäåëåíèå âåðîÿòíîñòåé Q = Q(dx) íà
(R, B(R)) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñìåñè
Q = c1 Q1 + c2 Q2 + c3 Q3 ,
c1 + c2 + c3 = 1,
ci ≥ 0,
òðåõ ðàñïðåäåëåíèé: ÷èñòî äèñêðåòíîãî Q1 , àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî
Q2 è ñèíãóëÿðíîãî Q3 . À çàòåì çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ëþáîãî
àáñîëþòíî íåïðåðûâíîãî èëè ñèíãóëÿðíîãî ðàñïðåäåëåíèé, à òàêæå
ëþáîãî äèñêðåòíîãî ñ íîñèòåëåì èç òðåõ è áîëåå òî÷åê ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ
âîçìîæíîñòü áåñêîíå÷íî ìíîãèìè ñïîñîáàìè èçìåíèòü ðàñïðåäåëåíèå, íå
ìåíÿÿ íîñèòåëÿ (÷òîáû íîâîå ðàñïðåäåëåíèå îñòàâàëîñü ýêâèâàëåíòíûì
ñòàðîìó).
Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòó èäåþ ïåðåêà÷èâàíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìàññû
èç îäíîãî ìåñòà â äðóãîå íà ïðèìåðå ÷èñòî äèñêðåòíîé ìåðû,
ñîñðåäîòî÷åííîé â òðåõ òî÷êàõ. Ñêàæåì, ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå Q
ñîâïàäàåò ñ ðàñïðåäåëåíèåì ñ.â. ξ, äëÿ êîòîðîé P (ξ = xi ) = pi , i =
3
59
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
1, 2, 3, p1 + p2 + p3 = 1, pi > 0, x1 < x2 < x3 . È, ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (10), òî x1 < 0, x3 > 0, à x2 ìîæåò èìåòü
ëþáîé çíàê èëè áûòü ðàâíûì 0.
 ýòîì ñëó÷àå ëåãêî ïîñòðîèòü áåñêîíå÷íîå ñåìåéñòâî ðàñïðåäåëåíèé ñ
òåìè æå çíà÷åíèÿìè xi è, ñêàæåì, çàâèñÿùåå îò íåïðåðûâíîãî ïàðàìåòðà
p ∈ (0, p2 ).  ñàìîì äåëå, äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïåðåäàòü ÷àñòü p
âåðîÿòíîñòíîé ìàññû p2 , ñèäÿùåé â òî÷êå x2 , òî÷êàì x1 , x3 . Êîíå÷íî, â
îïðåäåëåííîé ïðîïîðöèè, ÷òîáû äëÿ êàæäîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûïîëíÿëîñü
óñëîâèå (10). Âîîáùåì, åñëè ñåìåéñòâî ïðåäñòàâëÿþò ñ.â. η = ηp , òî
äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâà ( α = (x3 − x2 )/(x3 − x1 ) )
P (η = x2 ) = p2 − p, P (η = x1 ) = p1 + αp, P (η = x3 ) = p3 + (1 − α)p.
b) 2. ⇒ ðàâåíñòâà Fn = FnS , n ≤ N. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî â
ñëó÷àå åäèíñòâåííîñòè ìàðòèíãàëüíîé ìåðû σ− àëãåáðû Fn äîëæíû
áûòü ïîðîæäåíû öåíàìè S : Fn = FnS ≡ σ(S0 , · · · , Sn ), n ≤ N.
Áóäåì âåñòè äîêàçàòåëüñòâî ïî èíäóêöèè, äëÿ ÷åãî çàìåòèì, ÷òî
σ− àëãåáðû F0 è F0S ñîâïàäàþò, ïîñêîëüêó ïî ïðåäïîëîæåíèþ F0 =
(∅, Ω) è S0 ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé. Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî S = (Sn ), Sn =
(Sn1 , · · · , Snd ), − ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí àêöèé, îïðåäåëåííûõ íà íàøåì
áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P )n≤N . È ïóñòü äëÿ ïðîñòîòû (÷òîáû íå ââîäèòü
íîâûõ îáîçíà÷åíèé) ìàðòèíãàëüíîé ìåðîé ÿâëÿåòñÿ èñõîäíàÿ ìåðà P.
Èòàê, íàì îcòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî Fn = FnS , åñëè Fi = FiS , i < n, ïðè
ëþáîì n, 1 ≤ n ≤ N. Ðàññìîòðèì äëÿ ýòîãî ìíîæåñòâî A ∈ Fn è ââåäåì
ñ.â.
1
z = 1 + (IA − E(IA |FnS )).
(11)
2
ßñíî, ÷òî 21 ≤ z ≤ 32 è Ez = 1. Ïîýòîìó ìåðà P 0 ñ P 0 (dω) = z(ω)P (dω)
ÿâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé, ïðè÷åì P 0 ∼ P. Ïóñòü zi = E(z|Fi ). Òîãäà
ïî ôîðìóëå Áàéåñà (ñì. ëåììó 1.5.2)
0
E (∆Si |Fi−1 ) = E
zi
zi−1
∆Si |Fi−1 .
(12)
S , i ≥ 1, òî èç (11) âûòåêàåò, ÷òî z
Äàëåå, ïîñêîëüêó Fn−i = Fn−i
n−i =
1, i ≥ 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, z ÿâëÿåòñÿ Fn − èçìåðèìîé ñ.â. è ïîòîìó
zn+i = zn , i ≥ 1. Òåì ñàìûì zi /zi−1 = 1, i 6= n, è, çíà÷èò, â ñèëó (12)
E 0 (∆Si |Fi−1 ) = 0 ïðè âñåõ i 6= n. Íî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûòåêàåò èç
(12) è ïðè i = n. Â ñàìîì äåëå,
S
E 0 (∆Sn |Fn−1 ) = E(z∆Sn |Fn−1 ) = E(z∆Sn |Fn−1
)=
S
S
S
E(E(z∆Sn |FnS )|Fn−1
) = E(∆Sn E(z|FnS )|Fn−1
) = E(∆Sn |Fn−1
) = 0,
60
II
Ðûíîê, àðáèòðàæ è ïîëíîòà
åñëè èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèå ìåðû P 0 , âñïîìíèòü ïðåäïîëîæåíèå,
âîñïîëüçîâàòüñÿ òåëåñêîïè÷åñêèì ñâîéñòâîì ÓÌÎ, FnS − èçìåðèìîñòüþ
∆Sn è òåì, ÷òî E(z|FnS ) = 1 â ñèëó (11).
Òàêèì îáðàçîì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí S ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì è
îòíîñèòåëüíî P 0 . À â ïðåäïîëîæåíèè åäèíñòâåííîñòè ìàðòèíãàëüíîé
ìåðû ýòî îçíà÷àåò, ÷òî z = 1 è, ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó (11) IA = E(IA |FnS )
äëÿ âñÿêîãî A ∈ Fn . Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî Fn = FnS ñ òî÷íîñòüþ äî
ìíîæåñòâ P − ìåðû íóëü. ×òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü •
3
61
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
3.4
Âòîðàÿ ôóíäàìåíòàëüíàÿ òåîðåìà.
Áåçàðáèòðàæíîñòü â ñëàáîì ñìûñëå
Ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåïåðü åùå îäèí êðèòåðèé ïîëíîòû íàøåãî
(B, S)− ðûíêà. Ïðè÷åì ãîâîðèòü òàê ìîæíî, õîòÿ ñàìà åãî ôîðìóëèðîâêà
íè÷åì íå áóäåò îòëè÷àòüñÿ îò òåîðåìû 1. Äåëî â òîì, ÷òî îòíîñèòñÿ
îíî áóäåò ê ðûíêó, áåçàðáèòðàæíîìó â ñëàáîì ñìûñëå, äëÿ êîòîðîãî
âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îïðåäåëåíèÿ 2.4, à íå 2.2. Ïîä÷åðêíåì òàêæå,
÷òî ïî-ïðåæíåìó ðàññìàòðèâàåòñÿ ðûíîê èç ï.2 (îõàðàêòåðèçîâàííûé
â íà÷àëå), óäîâëåòâîðÿþùèé åñòåñòâåííîìó óñëîâèþ (2.1) è æåñòêîìó
óñëîâèþ (2.10) èç ï.2.3. Êàê è ðàíåå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÷àñòíûé ñëó÷àé
d = 1, ÷òîáû óïðîñòèòü îáîñíîâàíèå.
Íàïîìèíàåì, ÷òî ïîëíîòà íàìè áóäåò ïîíèìàòüñÿ â ñìûñëå
îïðåäåëåíèÿ 1.4, à âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P,
íàçûâàåòñÿ
ìàðòèíãàëüíîé èëè ðèñê-íåéòðàëüíîé,
åñëè ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì
îòíîñèòåëüíî P ∗ . Äëÿ íàøåãî áåçàðáèòðàæíîãî ðûíêà òàêèå ìåðû
ñóùåñòâóþò ïî òåîðåìå 2.2 è êëàññ âñåõ òàêèõ ìåð îáîçíà÷àåòñÿ P.
Òåîðåìà 2. Ïóñòü ìíîæåñòâî ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P íåïóñòî è
P ∗ ∈ P. Òîãäà ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
1.
2.
3.
(B, S)−ðûíîê ÿâëÿåòñÿ ïîëíûì;
ìåðà P ∗ ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì â P ;
â ìíîæåñòâå P ñóùåñòâóåò òàêàÿ ìåðà P ∗ , ÷òî ëþáîé
ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn , P ∗ )n≤N äîïóñêàåò S̄−ïðåäñòàâëåíèå
Mn = M0 +
n
X
γk ∆S̄k ,
n ≤ N.
1
Äîêàçàòåëüñòâî. Ýêâèâàëåíòíîñòü 1. ⇔ 3. óñòàíîâëåííóþ â ëåììå
1 ïðè d ≥ 1, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è ñåé÷àñ. Êðîìå òîãî, îñòàåòñÿ
â ñèëå è îáîñíîâàíèå èìïëèêàöèè 1. ⇒ 2. èç òåîðåìû 1. Ïîýòîìó
òåïåðü äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî 2. ⇒ 1., ðàññìàòðèâàÿ äëÿ óïðîùåíèÿ
èçëîæåíèÿ, êàê è ðàíåå, ñëó÷àé Bn ≡ 1.
2. ⇒ 1. ×òîáû îõàðàêòåðèçîâàòü ñõåìó äîêàçàòåëüñòâà ýòîé ÷àñòè,
â äîïîëíåíèå ê ìíîæåñòâó Σ0 ñ.â. ξ íà (Ω, F ) èç òåîðåìû 2.2 ââåäåì
è ìíîæåñòâî Σ2 = (ξ : E ∗ ξ = 0). Çàìåòèì, ÷òî âêëþ÷åíèå Σ0 ⊂ Σ2
î÷åâèäíî, ïîñêîëüêó äëÿ ñ.â. ξ ∈ Σ0 è ìåðû P ∗ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
E ∗ ξ = 0 (ñì. äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2.2). È ðàçîáúåì îáîñíîâàíèå íàøåé
èìïëèêàöèè íà ñëåäóþùèå äâå ÷àñòè
1
2. ⇒
{Σ0 = Σ2 }
2
⇒ 1.
3
59
Ìàðòèíãàëüíûå ìåðû è ïîëíîòà
1
a) ⇒ . Äåéñòâóÿ îò ïðîòèâíîãî, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìåðà P ∗ îäíà,
íî Σ0 6= Σ2 . Òîãäà, ïîñêîëüêó Σ0 ⊂ Σ2 , òî íàéäåòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð
x̄ ∈ Σ2 , îðòîãîíàëüíûé ìíîæåñòâó Σ0 , ò.å.
(x̄, x) =
k
X
x ∈ Σ0
x̄i xi = 0,
1
(äåëî â òîì, ÷òî Σ0 è Σ2 ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè ïîäïðîñòðàíñòâàìè Rk
è åñëè Σ0 6= Σ2 , òî ðàçìåðíîñòü Σ0 ìåíüøå ðàçìåðíîñòè Σ2 !).
Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî âåêòîð q = (q1 , · · · qk ) ïðåäñòàâëÿåò ìåðó
P ∗ : P ∗ (ωi ) = qi , i = 1, · · · , k. È ïîäáåðåì ε > 0 òàê, ÷òîáû
q̄i = qi − εx̄i > 0,
i = 1, · · · , k.
(ýòî âîçìîæíî, ïîñêîëüêó âñå qi > 0 !). Òîãäà ëåãêî âèäåòü, ÷òî
(q̄, x) = (q, x) = 0,
x ∈ Σ0 ,
(13)
è, ñëåäîâàòåëüíî, ýòî æå ñâîéñòâî èìååò è ìåðà P̄ , îïðåäåëÿåìàÿ
ðàâåíñòâîì P̄ (ωi ) = δ q̄i , δ = (q̄1 + · · · + q̄1 )−1 . Êàê è ïðè äîêàçàòåëüñòâå
òåîðåìû 2.2, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìåðà P̄ ñî ñâîéñòâîì (13) ÿâëÿåòñÿ
ìàðòèíãàëüíîé. Íî òîãäà â ñèëó åäèíñòâåííîñòè òàêîé ìåðû P̄ = P ∗ . À
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî q = δ q̄ = δq − εδ x̄ è
(1 − δ)q = −εδ x̄.
(14)
Íî q ìîæíî ñ÷èòàòü âûáðàííûì òàê, ÷òî (q, x) = 0, x ∈ Σ2 (õîòÿ
ðàíåå, â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2.2 ïèñàëè x ∈ Σ0 ). Ïîýòîìó x̄ è q
îðòîãîíàëüíû è, ñëåäîâàòåëüíî, (14) âîçìîæíî ëèøü ïðè δ = 1 è íóëåâîì
x̄. Ïîëó÷èëè èñêîìîå ïðîòèâîðå÷èå.
2
b)
⇒ . Ïóñòü f − íåêîòîðàÿ F − èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà,
ïîñêîëüêó Σ0 = Σ2 , òî ñ.â. ξ = f − E ∗ f ∈ Σ0 . Ïîýòîìó ∃π ∈ SF,
π = ξ. Íî â ýòîì ñëó÷àå ñòðàòåãèÿ π̃, â êîòîðîé γ̃ =
òàêàÿ, ÷òî XN
n
γn , β̃n = E ∗ f + βn , âî-ïåðâûõ, ÿâëÿåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé, ïîñêîëüêó
π̃ = f, òàê êàê
π ∈ SF, ∆γ̃n = ∆γn , ∆β̃n = ∆βn , è äëÿ íåå XN
π̃
π
∗
XN = XN + E f •
Èç äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 1 âûòåêàåò, ÷òî äèñêðåòíûé
ïî âðåìåíè è ïîëíûé áåçàðáèòðàæíûé ðûíîê íà ñàìîì äåëå ÿâëÿåòñÿ
äèñêðåòíûì è ïî ôàçîâîé ïåðåìåííîé â òîì ñìûñëå, ÷òî σ− àëãåáðà FN
ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî àòîìèñòè÷åñêîé, ò.å. ñîñòîÿùåé íå áîëåå ÷åì èç 2N àòîìîâ
(ïðè d ≥ 1 èç (d + 1)N àòîìîâ). È ýòî ÿâëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííûì
ñëåäñòâèåì óñëîâíîãî äâóòî÷èÿ. Îäíàêî â ñèòóàöèè òåîðåìû 2 ýòîãî ìû
óæå óòâåðæäàòü íå ìîæåì •
Çàìå÷àíèå 1.
Ãëàâà III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
íà áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ
Îñíîâíàÿ öåëü äàííîé ãëàâû ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îïèñàòü
ïðîáëåìó õåäæèðîâàíèÿ îïöèîíîâ åâðîïåéñêîãî è àìåðèêàíñêîãî òèïîâ
íà ïðîñòåéøåì áèíîìèàëüíîì (B, S)− ðûíêå, ò.å. â ìîäåëè Êîêñà-ÐîññàÐóáèíøòåéíà. Ðå÷ü ïîéäåò íå òîëüêî ñîáñòâåííî î òåîðèè ðàñ÷åòîâ,
íî è î åå ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè. Ïðè÷åì áóäóò íå òîëüêî
ðàññìîòðåíû êîíêðåòíûå ïðèìåðû, íî è ñäåëàíà ïîïûòêà îáúÿñíèòü, ÷òî
æå ïîëó÷àþò â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè îò èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè îáà
äåéñòâóþùèõ ëèöà, ò.å. ïðîäàâåö è âëàäåëåö îïöèîíà. Ïðàâäà, ïîêà îíà
áóäåò îòíîñèòåëüíî äîâåäåíà äî ëîãè÷åñêîãî çàâåðøåíèÿ ëèøü â ñëó÷àå
Åâðîïåéñêîãî îïöèîíà êîëë (ï.4.5).
Ñòðóêòóðà ýòîé ãëàâû ïðîñòà. Ñíà÷àëà èçëàãàåòñÿ îáùàÿ òåîðèÿ
ðàñ÷åòîâ: åâðîïåéñêîãî òèïà â ï.1 è àìåðèêàíñêîãî â ï.2. Çàòåì â
ï.3 äàåòñÿ êðàòêîå ââåäåíèå â ïðîáëåìàòèêó îïöèîíîâ, êàê íàèáîëåå
èçâåñòíîé ïðîèçâîäíîé öåííîé áóìàãè. Íàêîíåö â çàêëþ÷èòåëüíûõ
ïóíêòàõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ñíà÷àëà ïðèìåíåíèå èçëîæåííîé âûøå òåîðèè
ê åâðîïåéñêîìó îïöèîíó êîëë (ï.4), à çàòåì ê àìåðèêàíñêîìó (ï.5).
Åñòåñòâåííî, âìåñòå ñ êîíêðåòíûìè ïðèìåðàìè.
1
61
Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà
1
Ðàñ÷åòû, ñâÿçàííûå ñ õåäæèðîâàíèåì
Åâðîïåéñêîãî òèïà
1.1
Ïîëíûå ðûíêè
Ïîíÿòèå õåäæèðîâàíèÿ çàäàííîãî ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà fN
íà ïîëíîì è áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå âêëþ÷àåò â ñåáÿ òðè îáúåêòà:
ñïðàâåäëèâóþ öåíó õåäæèðîâàíèÿ C(fN ; P ),
ñàìîôèíàíñèðóåìûé (x, fN )− õåäæ π ∗ , x = C(fN ; P ), à òàêæå
∗
äèíàìèêó èçìåíåíèÿ êàïèòàëà Xnπ , 0 ≤ n ≤ N,
∗
∗
∗
π
ò.å. òàêóþ ôîðìóëó äëÿ Xnπ , ÷òî X0π = x, XN
= fN . Âñå îíè
ôàêòè÷åñêè áûëè âûÿñíåíû â ïðåäûäóùåé ãëàâå. È çäåñü ìû ëèøü
ñîáåðåì èõ â îäíîì óòâåðæäåíèè. Ïðè÷åì ñäåëàåì ýòî íå òîëüêî, ÷òîáû
ñòàëî áîëåå óäîáíûì èõ èñïîëüçîâàíèå ïðè êîíêðåòíûõ ðàñ÷åòàõ. Âåäü
æåëàòåëüíî ïðîÿñíèòü, ÷òî è êàê íàäî èñïîëüçîâàòü, à òàêæå ïî êàêîé
ïðè÷èíå. Íî ñíà÷àëà íàïîìíèì ïîíÿòèå öåíû õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíîãî
ïîðó÷åíèÿ fN åâðîïåéñêîãî òèïà èç ï.2.3.1.
Îïðåäåëåíèå 1. Öåíîé ñîâåðøåííîãî õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî
òèïà FN − èçìåðèìîãî ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
π
C(fN ; P ) = inf{x : ∃ π ∈ SF c X0π = x, XN
= fN (P − ï.í.)}.
(1)
Îòìåòèì òàêæå, ÷òî ÷åðåç P ∗ â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû îáîçíà÷åíà
åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà, ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ìåðå P.
Òåîðåìà 1. Íà áåçàðáèòðàæíûõ è ïîëíûõ ðûíêàõ
1. öåíà ñîâåðøåííîãî õåäæèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé
C(fN ; P ) = B0 E ∗
fN
;
BN
2. ïðè ëþáûõ äîïóñòèìûõ fN ñóùåñòâóåò ñàìîôèíàíñèðóåìûé
(x, fN )− õåäæ π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ) c x = C(fN ; P ), ÷üè êîìïîíåíòû
γ ∗ = (γn∗ ) îïðåäåëÿþòñÿ èç S/B− ïðåäñòàâëåíèÿ
n
X
Sk
fN
∗
∗ fN
∗
E
|Fn = E
+
γk ∆
, 1 ≤ n ≤ N,
BN
BN
Bk
1
(2)
(3)
à êîìïîíåíòû β ∗ = (βn∗ )− èç óñëîâèÿ
∗
Xnπ = βn∗ Bn + γn∗ Sn ,
1 ≤ n ≤ N;
3. äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëàìè
fN
π∗
∗
Xn = Bn E
|Fn , 0 ≤ n ≤ N.
BN
(4)
(5)
62
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Äîêàçàòåëüñòâî.
Ïîñêîëüêó
ðàññìàòðèâàåìûé ðûíîê ÿâëÿåòñÿ áåçàðáèòðàæíûì, òî ïî òåîðåìå 2.2.1
ñóùåñòâóåò ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ìåðå P è òàêàÿ,
÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S/B ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì. Ïîëíîòà æå ðûíêà
ïî òåîðåìå 2.3.1 îçíà÷àåò, ÷òî ýòà ìåðà ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííîé, âñÿêîå
ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå fN âîñïðîèçâîäèìî, ò.å. íàéäåòñÿ ñîâåðøåííûé
(x, fN )− õåäæ π, à òàêæå, ÷òî ëþáîé ìàðòèíãàë M = (Mn , Fn , P ∗ )
èìååò S/B− ïðåäñòàâëåíèå.
1. Åñëè π ÿâëÿåòñÿ ñîâåðøåííûì (x, fN )− õåäæåì, òî
N
X
Xπ
fN
x
= N =
+
γk ∆
BN
BN
B0
1
Sk
Bk
ïîñêîëüêó π ∈ SF è äëÿ íåãî âûïîëíÿåòñÿ êëþ÷åâîå ñîîòíîøåíèå
(2.1.13'). Ïîýòîìó ïðèõîäèì ê èñêîìîé öåíå, òàê êàê, â ÷àñòíîñòè,
E ∗ BfNN = Bx0 .
2,
3. Ñòàíäàðòíûé ïðèåì îòûñêàíèÿ èñêîìîãî õåäæà ñîñòîèò â ñëåäóþùåì.
 ñèëó ïîñëåäíåãî ñâîéñòâà, óêàçàííîãî âûøå, äëÿ ìàðòèíãàëà Ëåâè M
c Mn = E ∗ (fN /BN |Fn ) èìååò ìåñòî S/B− ïðåäñòàâëåíèå
Mn = M0 +
n
X
γk ∆
1
Sk
Bk
(6)
Ïîëîæèì π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ) ñ γ ∗ = γ èç (6) è βn∗ = Mn − γn Sn /Bn . Òîãäà
íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ýòîò ïîðòôåëü ÿâëÿåòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìûì.
Êðîìå òîãî, åñëè îïðåäåëèòü ñîîòâåòñòâóþùèé åìó êàïèòàë ïî ôîðìóëå
∗
Xnπ = Bn Mn ,
(7)
òî, ñ îäíîé ñòîðîíû, áóäóò âûïîëíåíû ñîîòíîøåíèÿ (3) (5) ( (6) ⇒ (3)
è ò.ä.), à, ñ äðóãîé, ñàì π ∗ îêàæåòñÿ (x, fN )− õåäæåì, ïîñêîëüêó
∗
∗
π
X0π = B0 E ∗ (fN /BN ) = x = C(fN ; P ), XN
= BN E ∗ (fN /BN |FN ) = fN •
1
63
Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà
1.2
Íåïîëíûå ðûíêè
Ïðîáëåìà õåäæèðîâàíèÿ âîçíèêàåò, ðàçóìååòñÿ, è â íåïîëíûõ ðûíêàõ. Íî
â ýòîì ñëó÷àå ñîâåðøåííûé õåäæ äëÿ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé óæå
ìîæåò è íå ñóùåñòâîâàòü. Ïîýòîìó äëÿ åãî ïîëó÷åíèÿ ïðèõîäèòñÿ
ðàñøèðÿòü êëàññ ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé, è, ñîîòâåòñòâåííî,
âèäîèçìåíÿòü îïðåäåëåíèå ñòîèìîñòè õåäæèðîâàíèÿ.
1. Ðàíåå êàïèòàë X π = (Xnπ ) ïîðòôåëÿ π îïðåäåëÿëñÿ âûðàæåíèåì
Xnπ = βn Bn + γn Sn ,
0 ≤ n ≤ N,
(8)
åñëè ýòîò ïîðòôåëü ïðîèçâîëåí, ëèáî ñîîòíîøåíèåì
Xnπ = X0π +
n
X
(βk ∆Bk + γk ∆Sk ),
0 ≤ n ≤ N,
(9)
1
åñëè ñàìîôèíàíñèðóåì (ñì. ï.2.1.9). Ïðè ýòîì ðàâåíñòâî (9) èìåëî åùå
äâå ýêâèâàëåíòíûå ôîðìû. Åãî ìû çàïèñûâàëè â âèäå
∆Xnπ = βn ∆Bn + γn ∆Sn ,
1 ≤ n ≤ N,
(10)
íàãëÿäíî èëëþñòðèðóþùåì äèíàìèêó îáðàçîâàíèÿ êàïèòàëà èç åãî
íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ X0π , à òàêæå êàê óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè
Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = 0,
1 ≤ n ≤ N,
(11)
ïîðòôåëÿ ïðè äàííîì íà÷àëüíîì çíà÷åíèè X0π .
Ïðîáëåìó ïîñòðîåíèÿ ñîâåðøåííîãî õåäæà íà íåïîëíûõ ðûíêàõ âñåòàêè óäàåòñÿ ðåøèòü. Îá ýòîì è ïîéäåò ðå÷ü ñåé÷àñ. Íî ñðàçó îòìåòèì,
÷òî ïîêà äëÿ ýòîãî íàðÿäó ñ ïîðòôåëåì π = (β, γ) òðåáóåòñÿ òàêæå
ââîäèòü ïðîöåññ ïîòðåáëåíèÿ C = (Cn ), ÿâëÿþùèéñÿ íåîòðèöàòåëüíûì
íåóáûâàþùèì ïðîöåññîì ñ Fn − èçìåðèìûìè êîìïîíåíòàìè Cn è
íà÷èíàþùèéñÿ ñ íóëÿ ( C0 = 0 ). Èíûìè ñëîâàìè, ïîòðåáóåòñÿ èçìåíèòü
ïîíÿòèå ñòðàòåãèè. Åñëè ðàíüøå îíà ñîâïàäàëà ñ ïîðòôåëåì, òî òåïåðü
ñòðàòåãèåé öåëåñîîáðàçíî áóäåò íàçâàòü ïàðó (π, C). Ñîîòâåòñòâåííî,
êàïèòàë, îòâå÷àþùèé ýòîé ñòðàòåãèè, áóäåì îáîçíà÷àòü X π, C .
Åñëè îïðåäåëÿòü ýòîò êàïèòàë X π, C ïî-ïðåæíåìó, ò.å. ðàâåíñòâîì
Xnπ, C = βn Bn + γn Sn ,
0 ≤ n ≤ N,
(80 )
òî óñëîâèå (11) ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè ïîðòôåëÿ, êîòîðîå õàðàêòåðèçóåò
ïåðåáðîñêó ñðåäñòâ ñ áàíêîâñêîãî ñ÷åòà â àêöèè è íàîáîðîò, ñëåäóåò
èçìåíèòü. À åñëè ýòî ñäåëàòü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà ñìåíó
64
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
ïðåäñòàâëåíèÿì (9), (10) äëÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè ïðèõîäèëè
âûðàæåíèÿ
Xnπ, C = X0π, C +
n
X
(βk ∆Bk + γk ∆Sk ) − Cn ,
(90 )
0 ≤ n ≤ N,
1
∆Xnπ, C = βn ∆Bn + γn ∆Sn − ∆Cn ,
1 ≤ n ≤ N,
(100 )
òî íîâîå óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè ñòðàòåãèè äîëæíî èìåòü âèä
Bn−1 ∆βn + Sn−1 ∆γn = −∆Cn ,
1 ≤ n ≤ N.
Äëÿ íîðìèðîâàííîãî æå êàïèòàëà âìåñòî ïðåæíåãî âûðàæåíèÿ
π
Xn
Sn
∆
= γn ∆
, 1 ≤ n ≤ N,
Bn
Bn
(ñì. (Ï.1.13')) áóäåì èìåòü íîâîå êëþ÷åâîå ñîîòíîøåíèå
!
Xnπ, C
Sn
∆Cn
∆
= γn ∆
−
, 1 ≤ n ≤ N,
Bn
Bn
Bn−1
(110 )
(12)
(120 )
ïîñêîëüêó (ñì. (11) â ï.2.1.3) â ñèëó (8'), (11')
!
Xnπ, C
Sn
Sn−1
Sn−1
∆Cn
∆
= ∆βn + γn ∆
+
∆γn , ∆βn +
∆γn = −
.
Bn
Bn
Bn−1
Bn−1
Bn−1
2. Êàê ñòàíåò ÿñíî èç äîêàçàòåëüñòâà ïðèâîäèìîé íèæå òåîðåìû
ââåäåíèå ïîòðåáëåíèÿ ïîçâîëÿåò íàéòè ñòðàòåãèþ (π, C), äëÿ êîòîðîé
π, C
XN
= fN . Ýòî è åñòü îäíà èç òåõíè÷åñêèõ ïðè÷èí ââåäåíèÿ íàðÿäó ñ
ïîðòôåëåì π òàêæå è ïîòðåáëåíèÿ C.
Îïðåäåëåíèå 2. Ñïðàâåäëèâîé öåíîé õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî
òèïà FN − èçìåðèìîãî ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
π, C
C(fN ; P ) = inf{x : ∃(π ∈ SF, C) ñ X0π, C = x, XN
= fN (P − ï.í.)}. (13)
Ïóñòü
P(P )− ñîâîêóïíîñòü âñåõ ìàðòèíãàëüíûõ ìåð P ∗ , ýêâèâàëåíòíûõ P. Êàê
èçâåñòíî, íà áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ P(P ) 6= ∅ è ïîòîìó ñóùåñòâóåò
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn ) ñóùåñòâåííûõ ñóïðåìóìîâ
fN
∗
Yn = ess sup E
|Fn ,
(14)
BN
P ∗ ∈P(P )
ÿâëÿþùèõñÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, òàêèìè Fn − èçìåðèìûìè ñ.â., êîòîðûå
1) ïðè ëþáîé ìåðå P ∗ ∈ P(P ) óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâó
fN
∗
Yn ≥ E
|Fn
(15)
BN
1
65
Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà
è 2) îáëàäàþò ñâîéñòâîì ìèíèìàëüíîñòè â òîì ñìûñëå, ÷òî åñëè åñòü
äðóãàÿ ñ.â. Ȳn , òàêæå ìàæîðèðóþùàÿ ïðàâóþ ÷àñòü â (15), òî Yn ≤ Ȳn .
Ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ (äîêàçàòåëüñòâî ñì. â [1], ñ. 674; â èäåéíîì
îòíîøåíèè îíî íå îòëè÷àåòñÿ îò äîêàçàòåëüñòâà ñë. 2 èç ï.2.2), ÷òî
A) ââåäåííàÿ âûøå â (14) ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn ) ÿâëÿåòñÿ
ñóïåðìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Q ∈ P(P ), ò.å.
EQ (Yn+1 |Fn ) ≤ Yn
(Q ï.í. ).
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íàïîìíèì çàìå÷àòåëüíûé ôàêò, ñîñòîÿùèé â òîì, ÷òî
B) åñëè íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn , Fn )
ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Q ∈ P(P ), òî
äëÿ íåå èìååò ìåñòî òàê íàçûâàåìîå îïöèîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (åãî
ñóùåñòâîâàíèå óñòàíàâëèâàåòñÿ â [1], ñ.686). Èíûìè ñëîâàìè, äëÿ Y
ñïðàâåäëèâî (íå çàâèñÿùåå îò Q ) ðàçëîæåíèå
Yn = Y0 + Mn − Cn
(16)
â êîòîðîì M = (Mn )− åñòü ìàðòèíãàë îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Q ∈
P(P ), à C = (Cn )− íåêîòîðûé íåóáûâàþùèé ïðîöåññ, C0 = 0.
3. Èñïîëüçóÿ ýòè äâà ñâîéñòâà A è B, óñòàíîâèì ñëåäóþùèé
öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò íà íåïîëíûõ è áåçàðáèòðàæíûõ ðûíêàõ.
Òåîðåìà
2.
Ïóñòü fN − íåîòðèöàòåëüíàÿ FN − èçìåðèìàÿ è
îãðàíè÷åííàÿ ôóíêöèÿ. Òîãäà íà áåçàðáèòðàæíîì ðûíêå ñóùåñòâóåò
ñòðàòåãèÿ (π ∗ , C ∗ ), ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ â ñìûñëå (12'), ïðè êîòîðîé
1) ñïðàâåäëèâàÿ öåíà ñîâåðøåííîãî õåäæèðîâàíèÿ èìååò âèä
C(fN ; P ) = B0
sup
E∗
P ∗ ∈P(P )
fN
,
BN
2) à äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì
fN
π∗ , C ∗
∗
Xn
= Bn ess sup E
|Fn .
BN
P ∗ ∈P(P )
(17)
(18)
3) Êîìïîíåíòû æå β ∗ = (βn∗ ), γ ∗ = (γn∗ ) è C ∗ = (Cn∗ ) ýòîé ñòðàòåãèè
îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè
γn∗
= γn ,
βn∗
= Yn −
γn∗
Sn
,
Bn
Cn∗
=
n
X
Bk−1 ∆Ck ,
(19)
1
ýëåìåíòû γn è Cn êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ èç îïöèîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ
(16) è ïðåäñòàâëåíèÿ åãî ìàðòèíãàëà M = (Mn ) â âèäå
n
X
Sk
Mn =
γk ∆
.
(20)
Bk
1
66
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Äîêàçàòåëüñòâî. 1) Äëÿ îáîñíîâàíèÿ èñêîìîãî ðàâåíñòâà (17)
óñòàíîâèì äâà ïðîòèâîïîëîæíûå íåðàâåíñòâà. ×òîáû ïîëó÷èòü ïåðâîå èç
íèõ ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòðàòåãèÿ (π, C) ñàìîôèíàíñèðóåìà è, êðîìå òîãî,
π, C
ÿâëÿåòñÿ (x, fN )− õåäæåì, ò.å. X0π, C = x, XN
≥ fN .
Òîãäà, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî (12'), òî
N
X
X π, C
fN
x
0≤
≤ N =
+
(γn ∆
BN
BN
B0
1
N
X
x
+
γn ∆
B0
1
Sn
Bn
Sn
Bn
−
∆Cn
)≤
Bn−1
.
(21)
Sn
C äðóãîé ñòîðîíû, ïî òåîðåìå 2.2.1 íîðìèðîâàííûé êàïèòàë ( B
)
n
∗
∗
ÿâëÿåòñÿ P − ìàðòèíãàëîì ïðè ëþáîé ìåðå P ∈ P(P ). Ïîýòîìó
P
Sk
ïî òåîðåìå 1.3.1 è ëåììå 1.3.1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( n1 γk ∆ B
)
k
∗
îêàçûâàåòñÿ
P − ìàðòèíãàëîì, åñëè ó÷åñòü, ÷òî â ñèëó (21)
PN
Sn
≥ − Bx0 . Òàêèì îáðàçîì, B0 E ∗ BfNN ≤ x ïðè ëþáîé ìåðå
1 γn ∆ Bn
P ∗ ∈ P(P ) è, ñëåäîâàòåëüíî,
B0
sup
P ∗ ∈P(P )
E∗
fN
≤ C(fN , P ).
BN
(22)
×òîáû îáîñíîâàòü ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî, âîñïîëüçóåìñÿ
îïöèîíàëüíûì ðàçëîæåíèåì (16) äëÿ íàøåãî ñóïåðìàðòèíãàëà èç (14)
è ó÷òåì, ÷òî åãî ìàðòèíãàë M ïðè ëþáîé ìåðå P ∗ ∈ P(P ) ìîæåò
áûòü åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàçëîæåí ïî áàçîâîìó ìàðòèíãàëó (S/B) ñ
Fn−1 − èçìåðèìûìè γn â âèäå (20).
Äëÿ ýòîãî ïî Y0 è ïðîöåññàì γ, C, îïðåäåëÿåìûì â (16) è (20),
ïîñòðîèì ïîðòôåëü π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ) è ïðîöåññ ïîòðåáëåíèÿ C ∗ ñ òàêèìè
ñâîéñòâàìè, ÷òî äëÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî èì êàïèòàëà áóäóò ñïðàâåäëèâû
ðàâåíñòâà
∗
∗
fN
π∗ , C ∗
X0π , C = B0 sup E ∗
,
XN
= fN .
(23)
BN
P ∗ ∈P(P )
Åñòåñòâåííî, îòñþäà áóäåò âûòåêàòü ïðîòèâîïîëîæíîå íåðàâåíñòâî
C(fN , P ) ≤ X0π
∗, C∗
= B0
sup
E∗
P ∗ ∈P(P )
fN
,
BN
(24)
÷òî âìåñòå ñ (22) è ïðèâåäåò ê èñêîìîìó ðàâåíñòâó (17).
2,3). Òðåáóåìûé ïîðòôåëü π ∗ = (β ∗ , γ ∗ ), ïðîöåññ ïîòðåáëåíèÿ C ∗ è
∗
∗
êàïèòàë Xnπ , C îïðåäåëèì ñîîòíîøåíèÿìè (19) è
Xnπ
∗, C∗
= Bn Yn = βn∗ Bn + γn∗ Sn ,
(25)
1
Õåäæèðîâàíèå åâðîïåéñêîãî òèïà
67
â êîòîðûõ ýëåìåíòû ïðîöåññîâ γ è C, êàê âûøå áûëî îòìå÷åíî, áåðóòñÿ
èç îïöèîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ (16) äëÿ ñóïåðìàðòèíãàëà èç (14), à òàêæå
ïðåäñòàâëåíèÿ (20) äëÿ ìàðòèíãàëà M èç òîãî æå ðàçëîæåíèÿ (16).
 ýòîì ñëó÷àå î÷åâèäíî, ÷òî (25) ⇒ (18) ⇒ (23). Òåì ñàìûì íå
òîëüêî óñòàíàâëèâàåòñÿ ôîðìóëà (18), îïèñûâàþùàÿ èçìåíåíèå êàïèòàëà
ïðè èñïîëüçóåìîé ñòðàòåãèè, íî è äëÿ îáîñíîâàíèÿ âñåõ ïï.1)3) îñòàåòñÿ
ëèøü óáåäèòüñÿ â ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè âûáðàííîé ñòðàòåãèè (π ∗ , C ∗ ) â
ñìûñëå (12') (èëè, ÷òî ýêâèâàëåíòíî, (10') èëè (11')). Íî
!
∗
∗
Sn
Sn
∆Cn∗
Xnπ , C
(25)
(16),(20)
(19)
= ∆Yn = γn ∆
− ∆Cn = γn ∆
−
.
∆
Bn
Bn
Bn
Bn−1
Òàêèì îáðàçîì, ñàìîôèíàíñèðóåìîñòü ñòðàòåãèè (π ∗ , C ∗ ) â ñìûñëå (12'),
à âìåñòå ñ íåé è cïðàâåäëèâîñòü òåîðåìû óñòàíîâëåíà •
1. Êëþ÷åâûì ìîìåíòîì â äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2
ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîå îïöèîíàëüíîå ðàçëîæåíèå (16). Åãî ïîëíîå
äîêàçàòåëüñòâî â òåõíè÷åñêîì îòíîøåíèè äîâîëüíî ñëîæíî. Ïîýòîìó ìû
ïîêà ññûëàåìñÿ íà [1], c. 686. Íàïîìíèì, êðîìå òîãî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ
êëàññè÷åñêèì ðàçëîæåíèåì Äóáà äëÿ ñóïåðìàðòèíãàëà Y = (Yn ) è ëþáîé
ìåðû Q ∈ P(P ) èìååò ìåñòî àíàëîãè÷íîå ïðåäñòàâëåíèå
Çàìå÷àíèÿ.
Yn = Y0 + MnQ − AQ
n,
(160 )
ñ íåêîòîðûì ìàðòèíãàëîì M Q = (MnQ ) è ïðåäñêàçóåìûì íåóáûâàþùèì
Q
Q
ïðîöåññîì AQ = (AQ
n ), A0 = M0 = 0.
Ïîä÷åðêíåì ðàçíèöó ýòèõ äâóõ ïðåäñòàâëåíèé.  (16) ìàðòèíãàë
íå çàâèñèò îò ìåð ñåìåéñòâà P(P ), à â (16') ìîæåò çàâèñåòü.
Íî ãëàâíîå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü AQ = (AQ
n)
ïðåäñêàçóåìà, à C = (Cn ) ÿâëÿåòñÿ ñòîõàñòè÷åñêîé, ò.å. âñå âåëè÷èíû
Cn ÿâëÿþòñÿ Fn − èçìåðèìûìè c.â. Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
óíèâåðñàëüíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ (16) îïëà÷èâàåòñÿ áîëüøåé ðàçìûòîñòüþ
íåìàðòèíãàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé.
2. Îòìåòèì è ïðè÷èíó, ïî êîòîðîé ïðîöåññû ïîòðåáëåíèÿ C = (Cn )
èç îïöèîíàëüíîãî ðàçëîæåíèÿ (16) è ïðåäñòàâëåíèÿ (9') îòëè÷àþòñÿ.
Äåëî â òîì, ÷òî â ñèëó (25) ïðîöåññ Y = (Yn ) â (16) ñîâïàäàåò ñ
íîðìèðîâàííûì êàïèòàëîì Xnπ, C /Bn , à ñîîòíîøåíèå (9') îïèñûâàåò ñàì
êàïèòàë Xnπ, C . Ïîýòîìó âìåñòî (9') äëÿ îïèñàíèÿ ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè
ñòðàòåãèè ñëåäóåò áðàòü ñîîòíîøåíèå (12').
68
2
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Ðàñ÷åòû, ñâÿçàííûå ñ õåäæèðîâàíèåì
Àìåðèêàíñêîãî òèïà
2.1
Çàäà÷à îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå.
Îáùèé ñëó÷àé
Íà÷íåì ñ íàèáîëåå îáùåé ïîñòàíîâêè ïðîáëåìû îïòèìàëüíîé îñòàíîâêè
ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à òàêæå ïðèâåäåì íàèáîëåå îáùèé
ðåçóëüòàò â ýòîé ïðîáëåìàòèêå, êîòîðûé íàì ïîòðåáóåòñÿ â äàëüíåéøåì.
1.
Ïðåäïîëîæèì,
÷òî
f = (fn )n≤N − íåêîòîðàÿ ñòîõàñòè÷åñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íà íàøåì
ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn )0≤n≤N , P ),
F0 = (∅, Ω), FN = F. È ïóñòü E|fn | < ∞, n ≤ N < ∞.
Ðàññìîòðèì ñîâîêóïíîñòü îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷
VnN = sup Efτ ,
0 ≤ n ≤ N,
(1)
τ ∈WnN
ãäå sup áåðåòñÿ ïî êëàññó WnN âñåõ ìîìåíòîâ îñòàíîâêè τ òàêèõ, ÷òî
n ≤ τ ≤ N, ïî îòûñêàíèþ 1) ôóíêöèé (öåí) VnN , à òàêæå 2) îïòèìàëüíîãî
ìîìåíòà îñòàíîâêè τ, êîòîðûé â äàííîé ñèòóàöèè ñóùåñòâóåò.
Ñôîðìóëèðîâàííàÿ çàäà÷à îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå (1) äàåòñÿ íå â
ñàìîì îáùåì ñëó÷àå, êîãäà N ≤ ∞. Îñíîâíàÿ ïðè÷èíà âûáîðà êîíå÷íîãî
N ñîñòîèò â òîì, ÷òî ýòîò ñëó÷àé ðàçáèðàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî è
â íåì ðàáîòàåò ìåòîä èíäóêöèè íàçàä, ÿâëÿþùèéñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ
ïðèåìîâ îòûñêàíèÿ êàê öåí VnN , òàê è ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòîâ
îñòàíîâêè τnN . Êðîìå òîãî, èíòåðåñóþùåå íàñ äàëåå ñóïåðìàðòèíãàëüíîå
ñâîéñòâî åñòü íå ÷òî èíîå, êàê îäíî èç óòâåðæäåíèé øèðîêî
èçâåñòíîãî ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè äëÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà â çàäà÷àõ
äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.
2. Ââåäåì âñïîìîãàòåëüíóþ ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.â.
γ N = (γnN )0≤n≤N ,
îïðåäåëèâ åå ñëåäóþùèì ðåêóððåíòíûì îáðàçîì
N
γN
= fN ,
N
γnN = max{fn , E(γn+1
|Fn )},
0 ≤ n < N,
(2)
à òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ
τnN = min{n ≤ i ≤ N : fi = γiN },
0 ≤ n ≤ N,
êîòîðûå è îêàæóòñÿ îïòèìàëüíûìè ìîìåíòàìè îñòàíîâêè â çàäà÷å (1).
2
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
69
Îäíèì èç öåíòðàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ â òåîðèè çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé
îñòàíîâêå íà êîíå÷íîì âðåìåííîì èíòåðâàëå ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå
óòâåðæäåíèå. Äëÿ óïðîùåíèÿ çàïèñè â íåì è äî êîíöà ïóíêòà áóäåì âñþäó
îïóñêàòü âåðõíèé èíäåêñ N ó èñïîëüçóåìûõ ñ.â. è ìíîæåñòâ ìîìåíòîâ
îñòàíîâêè, îáîçíà÷àÿ, ñêàæåì, γnN ÷åðåç γn , WnN ÷åðåç Wn è ò.ä.
70
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ, îïðåäåëÿåìàÿ ðåêóððåíòíûìè
ñîîòíîøåíèÿìè (2), è ìîìåíòû τn îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:
Òåîðåìà 1.
1. E(fτ |Fn ) ≤ E(fτn |Fn ) = γn ;
2. γn = ess supτ ∈Wn E(fτ |Fn ), â ÷àñòíîñòè, γ0 = ess supτ ∈W0 Efτ = Efτ0 ;
3. Vn = Eγn .
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Ýòè ñâîéñòâà ïðè n = N î÷åâèäíû. Ïîýòîìó,
èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ íàçàä ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíè óæå óñòàíîâëåíû äëÿ
n = N, · · · , k, è óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî òîãäà îíè âûïîëíåíû è äëÿ n = k −1.
Ïóñòü τ ∈ Wk−1 , A ∈ Fk−1 . Òîãäà, ïîñêîëüêó τ̄ = max(τ, k) ∈ Wk è
{τ ≥ k} ∈ Fk−1 , èìååì
E[IA fτ ] = E[IA∩{τ =k−1} fk−1 ] + E[IA∩{τ ≥k} fτ ],
E[IA∩{τ ≥k} fτ ] = E[IA∩{τ ≥k} E(fτ |Fk−1 )] =
= E[IA∩{τ ≥k} E(E(fτ̄ |Fk )|Fk−1 )] ≤ E[IA∩{τ ≥k} E(γk |Fk−1 )],
E[IA fτ ] ≤ E[IA∩{τ =k−1} fk−1 ] + E[IA∩{τ ≥k} E(γk |Fk−1 )] ≤ E[IA γk−1 ].
(3)
Çàìåòèì, ÷òî ïðàâîå íåðàâåíñòâî â (3) âûòåêàåò èç (2), à ðàíåå ìû
èñïîëüçîâàëè òåëåñêîïè÷åñêîå ñâîéñòâî ÓÌÎ, òîò ôàêò, ÷òî τ̄ = τ íà
ìíîæåñòâå {τ ≥ k}, è íåðàâåíñòâî E(fτ̄ |Fk ) ≤ γk , ñïðàâåäëèâîå ïî
ïðåäïîëîæåíèþ. Òåì ñàìûì E(fτ |Fk−1 ) ≤ γk−1 è òðåáóåìûå ñâîéñòâà
â 1. áóäóò óñòàíîâëåíû äëÿ n = k − 1, åñëè ïîêàçàòü, ÷òî
E(fτk−1 |Fk−1 ) = γk−1 .
Íî â ïðèâåäåííîé âûøå öåïî÷êå ëèøü äâà íåðàâåíñòâà. Ïîêàæåì, ÷òî
ïðè τ = τk−1 íà ñàìîì äåëå â íèõ ðàâåíñòâà. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó
τk−1 = τk íà ìíîæåñòâå {τk−1 ≥ k} ïî îïðåäåëåíèþ τk−1 , òî ìîæíî τ̄
çàìåíèòü íà τk è äëÿ ëèêâèäàöèè ïåðâîãî íåðàâåíñòâà èñïîëüçîâàòü, ÷òî
E(fτk |Fk ) = γk ïî ïðåäïîëîæåíèþ èíäóêöèè. Ïîñëåäíåå æå íåðàâåíñòâî
â (3) ïðåâðàùàåòñÿ â ðàâåíñòâî ïîòîìó, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ γk−1 =
max{fk−1 , E(γk |Fk−1 )}. Âåäü ýòî îçíà÷àåò, ÷òî γk−1 = fk−1 íà ìíîæåñòâå
τk−1 = k − 1, à íà ìíîæåñòâå τk−1 > k − 1 èìååì fk−1 < γk−1 è,
ñëåäîâàòåëüíî, íà íåì γk−1 = E(γk |Fk−1 ).
Èòàê, ñâîéñòâà 1. äîêàçàíû, à, çíà÷èò, äîêàçàíî è ñâîéñòâî 2.
3. Íàêîíåö, äëÿ âñÿêîãî τ ∈ Wn , 0 ≤ n < N, â ñèëó 1.
Efτ ≤ Efτn = Eγn ,
ò.å. Vn = supτ ∈Wn Efτ = Efτn = Eγn , è ñïðàâåäëèâî òàêæå ñâîéñòâî 3 •
Îòìåòèì òàêæå î÷åâèäíîå
Ñëåäñòâèå 1. Ìîìåíò τ0 = min{0 ≤ i ≤ N : fi = γi } ÿâëÿåòñÿ
îïòèìàëüíûì ìîìåíòîì îñòàíîâêè â êëàññå W0 , ïîñêîëüêó
V0 = sup Efτ = Efτ0 (= γ0 ).
τ ∈W0
2
71
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
2.2
Ñóïåðìàðòèíãàëüíàÿ õàðàêòåðèçàöèÿ
Èç ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé (2) ñëåäóåò, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ
ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì, ìàæîðèðóþùèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f. Ïðè
ýòîì γ− íàèìåíüøèé èç âñåõ òàêèõ ñóïåðìàðòèíãàëîâ γ̃ â òîì ñìûñëå,
÷òî åñëè γ̃n ≥ fn ïðè âñåõ n ≤ N, òî è γn ≤ γ̃n , n ≤ N.
 ñàìîì äåëå, ïðè n = N ýòî íå íóæíî äîêàçûâàòü, ïîñêîëüêó γN =
fN ≤ γ̃N . Åñëè æå n < N, òî òðåáóåìûå íåðàâåíñòâà ëåãêî âûâåñòè èç
óêàçàííûõ ñîîòíîøåíèé è ïðåäïîëîæåíèé, ñîãëàñíî êîòîðûì
γ̃n ≥ max(fn , E(γ̃n+1 |Fn )),
n < N.
(4)
Ñêàæåì, ïðè n = N − 1 èç (4) âûòåêàåò, ÷òî
γ̃N −1 ≥ max(fN −1 , E(γ̃N |FN −1 )) ≥ max(fN −1 , E(γN |FN −1 )) = γN −1 .
Íî ÿñíî, ÷òî àíàëîãè÷íî ìîæíî äåéñòâîâàòü è ïðè ëþáîì n < N − 1.
Òåïåðü óñòàíîâëåííûé âûøå ôàêò ñóùåñòâîâàíèÿ íàèìåíüøåãî
ñóïåðìàðòèíãàëà γ = (γn )0≤n≤N , ìàæîðèðóþùåãî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
f = (fn )0≤n≤N , èñïîëüçóåì äëÿ îáîñíîâàíèÿ ñóïåðìàðòèíãàëüíîñòè
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
YnN = ess sup E(fτ |Fn ),
0 ≤ n ≤ N.
(5)
τ ∈WnN
Ñäåëàòü ýòî óäîáíî èìåííî ñåé÷àñ, ïîñêîëüêó ðåøåíèå ýòîé ïðîáëåìû
ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî, à ñàì ôàêò ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýëåìåíòîâ
äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 5.2. Óòî÷íèì ëèøü, ÷òî ìû ïî-ïðåæíåìó
ðàññìàòðèâàåì ñòîõàñòè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f = (fn )0≤n≤N èç
ï.2.1, à èíòåãðèðîâàíèå ïðîèçâîäèòñÿ ïî ìåðå P èç íàøåãî áàçèñà.
Ñëåäñòâèå
2.
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
N
Y
èç (5) ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì ñóïåðìàðòèíãàëîì, ìàæîðèðóþùèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü f.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ìèíèìàëüíîñòü íèæå íå ïîòðåáóåòñÿ, à
åå îáîñíîâàíèå ìîæíî ïðîâåñòè ïî àíàëîãèè ñ âûøåñêàçàííûì, òî ìû
ïîêàæåì ëèøü, ÷òî Y N − ñóïåðìàðòèãàë, ìàæîðèðóþùèé f, äëÿ ÷åãî
ïðîâåðèì, ÷òî Y N óäîâëåòâîðÿåò ðåêóððåíòíîìó ñîîòíîøåíèþ òèïà (2).
 ñàìîì äåëå, íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî YNN = fN , à ïðè n < N, τ ∈ WnN ,
E(fτ |Fn ) = fn I(τ = n) + E(fτ ∨(n+1) |Fn )I(τ > n).
N , a (τ > n) ∈ F ïðè ëþáîì τ ∈ W N . Ïîýòîìó
Íî τ ∨ (n + 1) ∈ Wn+1
n
n
YnN = ess sup [fn I(τ = n) + E(E(fτ ∨(n+1) |Fn+1 )|Fn )I(τ > n)] =
τ ∈WnN
= max(fn , E(ess
sup
E(fτ 0 |Fn+1 )|Fn ),
N
τ 0 ∈Wn+1
N
YnN = max(fn , E(Yn+1
|Fn )),
n < N (YNN = fN ) •
(6)
72
III
2.3
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Îïòèìàëüíàÿ îñòàíîâêà
ìàðêîâñêèõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Òåõíèêà ðåøåíèÿ çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé îñòàíîâêå íàèáîëåå ðàçâèòà
èìåííî â ìàðêîâñêîì ñëó÷àå. Ìû ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ÷àñòíûé ñëó÷àé
ïîñòàíîâêè ï.2.1, êîãäà ñåìåéñòâî ïëàòåæíûõ ôóíêöèé f îïðåäåëÿåòñÿ
ðàâåíñòâîì
fn = g(xn ),
â êîòîðîì g(·)− íåêîòîðàÿ ôèêñèðîâàííàÿ ôóíêöèÿ, à xn − ýëåìåíò
ìàðêîâñêîé ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè.
Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé
ïðîöåññ X = (xn , Fn , Px ) ñ äèñêðåòíûì âðåìåíåì n = 0, 1, · · · ,
ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (E, B) è ñåìåéñòâîì
âåðîÿòíîñòíûõ ìåð Px íà F = ∨Fn , ñåìåéñòâîì ïî íà÷àëüíîìó
ñîñòîÿíèþ x0 = x ∈ E. È ðàññìîòðèì íåñêîëüêî èíóþ ñîâîêóïíîñòü çàäà÷
sn (x) = sup Ex g(xτ ),
0 ≤ n ≤ N,
(5)
τ ∈Wn
ãäå sup áåðåòñÿ ïî êëàññó Wn ìîìåíòîâ îñòàíîâêè τ, 0 ≤ τ ≤ n,
à B− èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ g(x) : E → R óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ,
îáåñïå÷èâàþùåìó ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ â (5):
Ex |g(xn )| < ∞,
x ∈ E, n ≤ N.
(6)
Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ó íàñ ïî-ïðåæíåìó N < ∞ è, êàê è ðàíåå, ìû
èíòåðåñóåìñÿ çàäà÷åé (5) ñ n = N. Èíûìè ñëîâàìè, íàøà öåëü îïðåäåëèòü öåíó sN (x) è îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè τN . Ïðè ýòîì
òåïåðü ìû íåñêîëüêî èçìåíèì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìàðêîâñêèõ ìîìåíòîâ è
èõ êëàññîâ: âìåñòî W0n áóäåì ïèñàòü Wn è ñîîòâåòñòâåííî ïîìåíÿåì τ0n
íà τn . Íî åùå áîëåå âàæíî äðóãîå. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû 2 ìû
áóäåì îïèðàòüñÿ íà cëåäóþùèå äâà ñâîéñòâà ìàðêîâñêèõ ïðîöåññîâ (ñì.
ï. 1.6.4):
• äëÿ âñåõ x ∈ E, B ∈ B, s, t ∈ Z = {0, 1, · · ·}
Px (xt+s ∈ B| Ft ) = Pxt (xs ∈ B),
(Px − ï.í.);
(7)
• äëÿ êàæäûõ t ∈ Z è ω ∈ Ω íàéäåòñÿ è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ω 0 ∈ Ω
òàêîå, ÷òî äëÿ âñåõ s ∈ Z
xs (ω 0 ) = xs+t (ω).
2
73
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
Ïîñëåäíåå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò ââåñòè îïåðàòîð θt , êîòîðûé äëÿ äàííîãî
t ëþáîìó ýëåìåíòó ω ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííûé ýëåìåíò ω 0 .
Òàêèì îáðàçîì, ω 0 = θt ω è
xs (θt ω) = xs+t (ω),
(8)
Áîëåå òîãî, ââåäåííûé âûøå îïåðàòîð θt , äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω, åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü è îïðåäåëÿþùèì íîâóþ
ñ.â. θt η ïî ôîðìóëå
θt η(ω) = η(θt ω),
(80 )
êîòîðóþ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå ïðîèçâîëüíîé F− èçìåðèìîé ñ.â. η.
Áóäåì èñïîëüçîâàòü íèæå è î÷åâèäíîå ñëåäñòâèå ðàâåíñòâà (7):
Ex (θt η|Ft ) = Ext η,
x ∈ E,
(70 )
Ââåäåì îïåðàòîðû T, Q, äåéñòâóþùèe íà ôóíêöèè g ïî ôîðìóëàì
Qg(x) = max{g(x), T g(x)},
(9)
T g(x) = Ex g(x1 ),
(10)
è ðàññìîòðèì öåíòðàëüíûé ðåçóëüòàò ýòîãî ïóíêòà, â êîòîðîì íå òîëüêî
îïèñûâàåòñÿ ñòðóêòóðà öåí è ïðåäëàãàåòñÿ ñïîñîá èõ îòûñêàíèÿ, íî è
äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî èñêîìûé îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè èìååò âèä:
τn = min{0 ≤ k ≤ n : Qn−k g(xk ) = g(xk )}.
(11)
Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (6), â êîòîðîì X íåêîòîðûé
îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Òîãäà äëÿ ñåìåéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ
çàäà÷ (5) ïðè ëþáûõ x ∈ E, 1 ≤ n ≤ N, èìåþò ìåñòî ñâîéñòâà:
1.
2.
3.
4.
5.
Qn g(x) = max{g(x), T Qn−1 g(x)}
Ex g(xτ ) ≤ Qn g(x),
τn = 1 + θ1 τn−1 ,
Ex g(xτn ) = Qn g(x) = sn (x).
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ N = (γnN , Fn )n≤N ,
îáðàçóåò ñóïåðìàðòèíãàë ïðè êàæäîì
(Q0 g(x) = g(x));
τ ∈ Wn ;
åñëè Px (τn ≥ 1) = 1;
Êðîìå òîãî,
γnN = sN −n (xn ),
N ≥ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Èñêîìîå ðàâåíñòâî ïðåâðàùàåòñÿ â îïðåäåëåíèå
îïåðàòîðà Q ïðè n = 1. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ, ïðåäïîëîæèì,
ñêàæåì, ÷òî ýòî ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, ò.å. âûïîëíåíî ïðè ñòåïåíè n
îïåðàòîðà Q ñëåâà, è ïîêàæåì åãî ñïðàâåäëèâîñòü ïðè ñòåïåíè n + 1. Íî
ïðè ëþáîì n
T Qn g = T max (Qn−1 g, T Qn−1 g) ≥ T Qn−1 g
74
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
è ïîòîìó òðåáóåìàÿ ôîðìóëà âûòåêàåò èç öåïî÷êè ñîîòíîøåíèé
Qn+1 g = max{Qn g, T Qn g} =
= max{max[g, T Qn−1 g], T Qn g} = max{g, T Qn g}.
P
2. Ïîñêîëüêó A = {τ = n} = Ω \ n−1
k=0 {τ = k} ∈ Fn−1 , òî
Ex g(xτ ) = Ex IĀ g(xτ ) + Ex IA g(xτ ) = Ex IĀ g(xτ ∧(n−1) ) + Ex IA g(xn ),
Ex IA g(xn ) = Ex IA Ex (g(xn )|Fn−1 )
(8),(80 )
=
(70 )
Ex IA Ex (θn−1 g(x1 )|Fn−1 ) = Ex IA Exn−1 g(x1 ) = Ex IA Exτ ∧(n−1) g(x1 ).
Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì
Ex g(xτ ) ≤ Ex max [g(xτ ∧(n−1) ), Exτ ∧(n−1) g(x1 )]
(9),(10)
=
Ex Qg(xτ ∧(n−1) ) ≤
Ex Q2 g(xτ ∧(n−2) ) ≤ · · · ≤ Ex Qn g(xτ ∧0 ) = Qn g(x).
3. Â ñèëó (8), (8') ÿñíî, ÷òî θ1 g(xk (ω)) = g(xk (θ1 ω)) = g(xk+1 (ω)),
θ1 Qm−k g(xk (ω)) = Qm−k g(xk (θ1 ω)) = Qm−k g(xk+1 (ω)). Ïîýòîìó
θ1 τn−1 = θ1 min{0 ≤ k ≤ n − 1 : Qn−1−k g(xk (ω)) = g(xk (ω))} =
= min{0 ≤ k ≤ n − 1 : Qn−(k+1) g(xk+1 (ω)) = g(xk+1 (ω))},
1 + θ1 τn−1 = min{1 ≤ k + 1 ≤ n : Qn−(k+1) g(xk+1 (ω)) = g(xk+1 (ω))} =
= min{1 ≤ l ≤ n : Qn−l g(xl (ω)) = g(xl (ω))} = τn ,
à ýòî âûòåêàåò èç îïðåäåëåíèÿ τn è ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî Px (τn ≥ 1) = 1.
4. Ïðè n = 0 ïåðâîå ðàâåíñòâî î÷åâèäíî. Ïîýòîìó, îïÿòü
èñïîëüçóÿ èíäóêöèþ ïîêàæåì, ÷òî îíî áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè îêàæåòñÿ
ñïðàâåäëèâûì â ôîðìå ñ n − 1 âìåñòî n. Âòîðîå æå ñëåäñòâèå ïåðâîãî
è ï.2.
Âûáåðåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó x ∈ E è ïðåäïîëîæèì ñíà÷àëà, ÷òî
Px (τn = 0) = 1. Òîãäà â ñèëó oïðåäåëåíèÿ (11) ñ.â. τn
Px (Qn g(x0 ) = g(x0 )) = 1
è, ñëåäîâàòåëüíî,
Ex g(xτn ) = g(x) = Qn g(x).
Ïóñòü äàëåå Px (τn = 0) < 1. Òîãäà, ïîñêîëüêó {τn = 0} ∈ F0 = (∅, Ω),
òî Px (τn = 0) = 0 èëè Px (τn ≥ 1) = 1. Íî â ýòîì ñëó÷àå èìååò ìåñòî
ñâîéñòâî 3., à èç (11) âûòåêàåò, ÷òî Qn g(x) > g(x). Èñïîëüçóÿ ýòî âìåñòå ñ
2
75
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
ðàâåíñòâîì Ex1 g(xτn−1 ) = Ex (θ1 g(xτn−1 )|F1 ) (ñì. (7')) è ïðåäïîëîæåíèåì
èíäóêöèè, ïîëó÷àåì (íà÷èíàÿ ñ ï.1. è (10)):
Qn g(x) = max{g(x), Ex Qn−1 g(x1 )} = Ex Qn−1 g(x1 ) = Ex Ex1 g(xτn−1 ) =
= Ex θ1 g(xτn−1 ) = Ex g(x1+θ1 τn−1 ) = Ex g(xτn );
ó íàñ θ1 xτn−1 (ω) (ω) = xτn−1 (θ1 ω) (θ1 ω) = xθ1 τn−1 (ω) (θ1 ω) = x1+θ1 τn−1 (ω) (ω).
5. Èç îïðåäåëåíèÿ (10) è ñâîéñòâ 1., 4. âûòåêàåò, ÷òî
Ex sn−1 (x1 ) ≤ sn (x) = Qn g(x).
(12)
Èñïîëüçóÿ (12), à òàêæå ñâîéñòâà (8), (7'), (8'), îáúÿñíÿþùèå ðàâåíñòâà
íèæå, ëåãêî ïðèõîäèì ê èñêîìîìó íåðàâåíñòâó (η = sN −m (x1 )) :
Ex (sN −m (xm )|Fm−1 )
(8),(80 )
=
(70 )
Ex (θm−1 sN −m (x1 )|Fm−1 ) = Exm−1 sN −m (x1 ),
(12)
N
N
Ex (γm
| Fm−1 ) = Ex (sN −m (xm )|Fm−1 ) ≤ sN −m+1 (xm−1 ) = γm−1
•
Ôîðìóëèðîâêà äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ íà ïåðâûé âçãëÿä ìàëî
ñâÿçàíà ñ èíòåðåñóþùåé íàñ êðàéíåé çàäà÷åé â (5) (ñëó÷àé n = N ).
Õîòÿ, êîíå÷íî, â ïðîöåññå åãî äîêàçàòåëüñòâà âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî òåîðåìà
îòâå÷àåò íà äâà îñíîâíûå âîïðîñà: â (12) ïðèâîäèòñÿ âûðàæåíèå äëÿ öåíû
sN (x), à â ñîîòâåòñòâèè ñî ñâîéñòâîì 4. îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îïòèìàëüíûé
ìîìåíò îñòàíîâêè τN ìîæíî çàïèñûâàòü â âèäå (11). À äåëî â òîì, ÷òî
ïðîâåäåííûé àíàëèç ñåìåéñòâà ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ (5) ñîäåðæèò ìíîãî
ïîëåçíîé èíôîðìàöèè î íåì è ïîòîìó åñòåñòâåííî áûëî ïîïûòàòüñÿ íàéòè
êðàò÷àéøóþ ôîðìó äëÿ åå ïîäà÷è. Íî òåïåðü ñëåäóåò õîòÿ áû ÷àñòü èç
ïîëó÷åííûõ ñâåäåíèé è õîòÿ áû êðàòêî îõàðàêòåðèçîâàòü.
Ïðåæäå âñåãî, â ñèëó (9), (12) ÿñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåí
s = (sn (x))0≤n≤N :
sn−1 (x) ≤ sn (x),
(13)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåóáûâàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ôóíêöèé,
îïðåäåëåííûõ íà ìíîæåñòâå E. Ïðè÷åì äëÿ ïðîèçâîëüíîé äîïóñòèìîé
ôóíêöèè g(x), î÷åâèäíî, ñîâïàäàþùåé ñ s0 (x) âñþäó â E. Cëåäóþùàÿ
öåíà s1 (x) â ñèëó (9) ñîâïàäàåò ñ g(x) óæå â íåêîòîðîé ïîäîáëàñòè E,
öåíà s2 (x) ñîâïàäàåò ñ g(x) â íåêîòîðîé ÷àñòè ïðåäûäóùåé ïîäîáëàñòè
E, è ò.ä. Êîíå÷íî, â îñòàëüíûõ òî÷êàõ öåíû âûøå ôóíêöèè g(x).
Ââåäåì äëÿ óêàçàííûõ îáëàñòåé îáîçíà÷åíèÿ
DnN = {x ∈ E : sN −n (x) = g(x)},
CnN = E \ DnN ,
0 ≤ n ≤ N,
(14)
è îòìåòèì òî, ÷òî óæå âûÿñíèëè:
N
D0N ⊆ D1N ⊆ · · · ⊆ DN
= E,
N
C0N ⊇ C1N ⊇ · · · ⊇ CN
= ∅.
(15)
76
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Òàê âîò, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî îáëàñòè DnN åñòåñòâåííî íàçâàòü îáëàñòÿìè
îñòàíîâêè íàáëþäåíèé, à CnN − îáëàñòÿìè ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé,
ïîñêîëüêó îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè (11) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
τN = min{0 ≤ n ≤ N : xn ∈ DnN }.
(110 )
Íî òåì ñàìûì ÿñíî, ÷òî äëÿ îòûñêàíèÿ ýòîãî ìîìåíòà íåîáõîäèìî çíàòü
âñå öåíû sn (x), ò.å. îïðåäåëèòü âñå N èòåðàöèé îïåðàòîðà Q.
2
77
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
2.4
Ìàðêîâñêèé ñëó÷àé. Åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå
Ðàññìîòðèì òåïåðü íåñêîëüêî áîëåå îáùåå ñåìåéñòâî ïëàòåæíûõ ôóíêöèé
f, ÷åì â ï.2.3. À èìåííî, ïóñòü îíî îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
fn = v n g(xn ),
â êîòîðîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X = (xn ) è ôóíêöèÿ g(x) îñòàþòñÿ
ïðåæíèìè, à v > 0 − ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Íèæå ìû
óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ýòî ðàñøèðåíèå êëàññà ïëàòåæíûõ ôóíêöèé âïîëíå
åñòåñòâåííî ïðè îáñóæäåíèè ïðîáëåì îïöèîíîâ. Ñåé÷àñ æå ïîñòàðàåìñÿ
ïîä÷åðêíóòü ðàçíèöó ýòèõ äâóõ ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûõ ñèòóàöèé.
Êîíå÷íî, ñîîòâåòñòâåííî èçìåíèòñÿ ñåìåéñòâî ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷
sn (x) = sup Ex v τ g(xτ ),
0 ≤ n ≤ N,
(50 )
τ ∈Wn
íî âñå îáîçíà÷åíèÿ â íåì îñòàþòñÿ ïðåæíèìè, çà èñêëþ÷åíèåì ÷èñëà
v. Ïðè ýòîì ìû îñòàâëÿåì ñòàðîå îáîçíà÷åíèå sn (x) äëÿ íîâîé öåíû,
à òàêæå íå ìåíÿåì îáîçíà÷åíèå äëÿ îïåðàòîðà Q, õîòÿ ïîëàãàåì
Qg(x) = max{g(x), vT g(x)}.
(90 )
Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî åñëè áîëüøå íè÷åãî íå ìåíÿòü, òî òåîðåìó 2 çàìåíèò
Ïóñòü âûïîëíåíî óñëîâèå (6), â êîòîðîì X
íåêîòîðûé îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ. Òîãäà äëÿ ñåìåéñòâà
ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ (5') ïðè ëþáûõ x ∈ E, 1 ≤ n ≤ N, ñïðàâåäëèâû
ñâîéñòâà:
Ñëåäñòâèå
1.
2.
3.
4.
5.
3.
Qn g(x) = max{g(x), vT Qn−1 g(x)}
Ex v τ g(xτ ) ≤ Qn g(x),
τn = 1 + θ1 τn−1 ,
Ex v τn g(xτn ) = Qn g(x) = sn (x).
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü γ N = (γnN , Fn )n≤N ,
îáðàçóåò ñóïåðìàðòèíãàë ïðè êàæäîì
(Q0 g(x) = g(x));
τ ∈ Wn ;
åñëè Px (τn ≥ 1) = 1;
Êðîìå òîãî,
γnN = v −(N −n) sN −n (xn ),
N ≥ 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîñíîâàíèå òåîðåìû 2 ôàêòè÷åñêè îñòàåòñÿ â ñèëå.
Îñîáåííî ýòî îòíîñèòñÿ ê ï.3, â êîòîðîì íè÷åãî íå íóæíî è òðîãàòü,
à òàêæå ê ï.1, ãäå èçìåíåíèÿ î÷åâèäíû. Íî â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ
ïðåäñòàâëÿåòñÿ ïîëåçíûì óòî÷íèòü íåêîòîðûå äåòàëè.
2. Èçìåíåíèÿ ñâÿçàíû ñ ïîÿâëåíèåì v τ . Òåïåðü áóäåì èìåòü
Ex v τ g(xτ ) = Ex IĀ v τ ∧(n−1) g(xτ ∧(n−1) ) + vEx IA v n−1 g(xn ),
Ex IA v n−1 g(xn ) = Ex IA v τ ∧(n−1) Exτ ∧(n−1) g(x1 ),
Ex v τ g(xτ ) ≤ Ex v τ ∧(n−1) max[g(xτ ∧(n−1) ), vExτ ∧(n−1) g(x1 )] =
78
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Ex v τ ∧(n−1) Qg(xτ ∧(n−1) ) ≤ Ex v τ ∧(n−2) Q2 g(xτ ∧(n−2) ) ≤ · · · = Qn g(x).
4.
Âñå
îñòàåòñÿ
ïðàêòè÷åñêè
áåç
èçìåíåíèé äî ïîñëåäíåãî ïðåäëîæåíèÿ. Íî â íåì êàê ðàâåíñòâî, òàê è
öåïî÷êà ñîîòíîøåíèé ìåíÿþòñÿ:
Ex1 v τn−1 g(xτn−1 ) = Ex (θ1 v τn−1 g(xτn−1 )|F1 ),
Qn g(x) = max{g(x), vEx Qn−1 g(x1 )} = vEx Ex1 v τn−1 g(xτn−1 ) =
= vEx θ1 v τn−1 g(xτn−1 ) = Ex v 1+θτn−1 g(x1+θ1 τn−1 ) = Ex v τn g(xτn ).
5. Çäåñü èçìåíåíèÿ êàñàþòñÿ ëèøü íåðàâåíñòâ, ò.å. èìååì
vEx sn−1 (x1 ) ≤ sn (x) = Qn g(x),
(120 )
Ex (v −(N −m) sN −m (xm )|Fm−1 ) ≤ v −(N −m+1) sN −m+1 (xm−1 ) •
Îòìåòèì
â
çàêëþ÷åíèå
ïóíêòà
äâà ìîìåíòà. Âî-ïåðâûõ, ïðåäñòàâëÿåòñÿ èíòåðåñíûì, ÷òî íîâûå öåíû ïîïðåæíåìó ìîíîòîííû, ò.å. äëÿ íèõ òàêæå âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (13).
Ïðè÷åì âûòåêàåò ýòî èç (12') ïîòîìó, ÷òî â ñèëó (9'), êàê è ðàíåå â ñèëó
(9), èìååì
g(x) ≤ Qg(x) ≤ · · · ≤ Qn g(x) ≤ · · · ≤ QN g(x).
Òàêèì îáðàçîì, âçàèìîîòíîøåíèÿ öåí â íîâîé ñèòóàöèè ñîõðÿíÿþòñÿ.
Ïîíÿòíî, ÷òî ýòî èìååò ìåñòî çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ îïåðàòîðà Q.
Áîëåå òîãî, ïðè òàêîì èçìåíåíèè ñîõðàíÿåòñÿ è âîçìîæíîñòü
èñïîëüçîâàòü ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ (14) äëÿ îáëàñòåé îñòàíîâêè è
ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé. Åñòåñòâåííî, ñ ñîõðàíåíèåì âêëþ÷åíèé (15).
Íî ýòî îáúÿñíÿåòñÿ åùå è òåì, ÷òî ôîðìà çàïèñè (11) îïòèìàëüíîãî
ìîìåíòà îñòàíîâêè, êàê è (11'), â íîâîé ñèòóàöèè íå èçìåíèëàñü.
E
6
6
D510
x2
x1 r
x
x9 (ω2 )
r
r
r
r
x7 (ω2 )
r
r
r
x6
r
C210
D510
r
r
x7 (ω1 )
τ10 (ω1 )
τ10 (ω2 )
0
1
2
5
7
9
10
Ðèñ. 2.1 Ñìûñë îïòèìàëüíîé îñòàíîâêè ïðîöåññà X
2
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
79
Âî-âòîðûõ, ïîëó÷åííàÿ èíôîðìàöèÿ ïîçâîëÿåò îò÷åòëèâî ïðåäñòàâèòü
ïðîöåññ íàáëþäåíèé çà ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ X è ñìûñë äåéñòâèé
â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τN .
Ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç âûøåñêàçàííîãî, âñå áóäåò îäèíàêîâûì äëÿ îáåèõ
çàäà÷ (5) è (5'), à âûãëÿäåòü ïðèìåðíî òàê, êàê íà ðèñ.2.1, ãäå ðàññìîòðåíà
ñèòóàöèÿ E = [0, ∞), N = 10.
2.5
Îñíîâíûå ôîðìóëû íà ïîëíûõ ðûíêàõ
Òåïåðü ìû ãîòîâû ïðèâåñòè è îáîñíîâàòü ôîðìóëû, ñâÿçàííûå ñ
õåäæèðîâàíèåì àìåðèêàíñêîãî òèïà íà ïîëíûõ è áåçàðáèòðàæíûõ
ðûíêàõ. Èíûìè ñëîâàìè, ñôîðìóëèðîâàòü è äîêàçàòü ðåçóëüòàòû,
àíàëîãè÷íûå èçëîæåííûì â ï.1.1 äëÿ õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî òèïà.
Íî ñíà÷àëà ïîä÷åðêíåì ðàçíèöó ýòèõ äâóõ ñëó÷àåâ è îáúÿñíèì ñõåìó
âûõîäà íà èñêîìûå ôîðìóëû.
 ïîíÿòèå àìåðèêàíñêîãî õåäæèðîâàíèÿ òàêæå âõîäÿò òðè îáúåêòà:
ñïðàâåäëèâàÿ öåíà õåäæèðîâàíèÿ C(f ; P ),
îïòèìàëüíàÿ ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ (π, C) , ñ
ìèíèìàëüíûì (x, f, N )− õåäæåì π, à òàêæå
äèíàìèêà èçìåíåíèÿ êàïèòàëà Xnπ, C , 0 ≤ n ≤ N.
Îäíàêî âñå îíè çàìåòíî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîèõ åâðîïåéñêèõ êîëëåã. È,
êðîìå òîãî, ïîÿâëÿåòñÿ íîâûé ýëåìåíò, òàê íàçûâàåìûé
îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè íàáëþäåíèé τ0N
(çà ïðîöåññîì èçìåíåíèÿ öåí (Sn ) ). Èìåííî ïðè òàêîì âûáîðå ìîìåíòà
ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ è äîñòèãàåòñÿ ñïðàâåäëèâàÿ öåíà
îïöèîíà, è êàê åãî ïðîäàâåö, òàê è âëàäåëåö îêàçûâàþòñÿ â íóëÿõ.
Íàïîìíèì äàëåå, â ÷åì ñîñòîèò çàäà÷à ïî õåäæèðîâàíèþ ïëàòåæíîãî
ïîðó÷åíèÿ àìåðèêàíñêîãî òèïà è ÷åì îíà îòëè÷àåòñÿ åâðîïåéñêîãî
âàðèàíòà. Ñ îäíîé ñòîðîíû, îíà ïðåæíÿÿ, ïîñêîëüêó â íåé
òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü ñïðàâåäëèâóþ ñòîèìîñòü öåííîé áóìàãè, èëè
íà÷àëüíûé êàïèòàë åå ïðîäàâöà, êîòîðûé ïîçâîëèò åìó
âûïîëíèòü ñâîè îáÿçàòåëüñòâà ïåðåä ïîêóïàòåëåì, à òàêæå
ïîíÿòü, êàê ñëåäóåò óïðàâëÿòü ýòèì êàïèòàëîì äëÿ ýòîãî.
Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íà ýòîò ðàç âìåñòî îäíîãî ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ fN
èìååì ñåìåéñòâî f = (fn )1≤n≤N Fn − èçìåðèìûõ ïëàòåæíûõ ïîðó÷åíèé
fn . È ýòî ïðèâîäèò ê äîïîëíèòåëüíîé çàäà÷å îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî
ìîìåíòà îñòàíîâêè, ò.å. ìîìåíòà èñïîëíåíèÿ ïëàòåæíîãî ïîðó÷åíèÿ, ïðè
êîòîðîì òîëüêî è ïîëó÷àåòñÿ èñêîìàÿ ñïðàâåäëèâàÿ öåíà.
80
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
 íîâîé ñèòóàöèè íàïðàøèâàåòñÿ ââåñòè ïîíÿòèå (x, f, N )− õåäæà,
êàê ñàìîôèíàíñèðóåìîãî ïîðòôåëÿ π, äëÿ êîòîðîãî
X0π = x,
Xnπ ≥ fn ,
n ≤ N.
Åñòåñòâåííî, òàêîé õåäæ ïîçâîëÿåò ïðè ëþáîì äîïóñòèìîì ìàðêîâñêîì
ìîìåíòå îñòàíîâêè τ âûïîëíèòü ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå, ò.å. èìåòü
Xτπ ≥ fτ . Íî ïðè ïîïûòêå ïîëó÷èòü ìèíèìàëüíûé èëè ñîâåðøåííûé
(x, f, N )− õåäæ, äëÿ êîòîðîãî íàðÿäó ñ âûøåóêàçàííûì ñâîéñòâîì
∃τ ∗ : Xτπ∗ = fτ ∗ , âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî â ïðåæíåì ïîäõîäå îí ìîæåò
è íå ñóùåñòâîâàòü. Îêàçûâàåòñÿ, îäíàêî, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ïîíÿòèÿ
ñàìîôèíàíñèðóåìîé ñòðàòåãèè â ñìûñëå ï.1.2, âûïîëíåíèå ïîñëåäíåãî
ñâîéñòâà ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì. È íèæå èñïîëüçóåòñÿ èìåííî ýòî.
Èòàê, âìåñòî ñàìîôèíàíñèðóåìîãî ïîðòôåëÿ π áóäåì ðàññìàòðèâàòü
ñàìîôèíàíñèðóåìóþ
ñòðàòåãèþ
(π,
C)
ñ
ïîòðåáëåíèåì
è
ñîîòâåòñòâóþùèé åé êàïèòàë îáîçíà÷àòü ÷åðåç Xnπ, C . Ñîîòâåòñòâåííî,
ââåäåì
Îïðåäåëåíèå 1. Ñïðàâåäëèâîé öåíîé õåäæèðîâàíèÿ Àìåðèêàíñêîãî
òèïà (ñèñòåìû ïëàòåæíûõ ôóíêöèé f ) íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà
!
Xτπ, C ≥ fτ , ∀τ
π, C
=xè
∈ W0N }
C(f, P ) = inf{x : ∃(π, C) c X0
Xτπ,∗ C = fτ ∗ , ∃τ ∗
Òåì ñàìûì âñå òðè âûøåóêàçàííûõ îáúåêòà õåäæèðîâàíèÿ ïðîÿñíÿþòñÿ è
íàì îñòàåòñÿ ëèøü ðàçîáðàòüñÿ â ïðîáëåìå ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà
îñòàíîâêè è îáúÿñíèòü ïðè÷èíó ïîÿâëåíèÿ ïîòðåáëåíèÿ.
Â
åâðîïåéñêîì
õåäæèðîâàíèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ êàïèòàëà Xnπ , îòâå÷àþùåãî îïòèìàëüíîìó
ïîðòôåëþ, ñíà÷àëà âûÿâëÿëñÿ ñîîòâåòñòâóþùèé åìó íîðìèðîâàííûé
êàïèòàë Xnπ /Bn , ïðè÷åì ïðîñòî òåì, ÷òî ïðèðàâíèâàëñÿ ìàðòèíãàëó
Ëåâè M = (Mn ), Mn = E(fN /BN |Fn ). Íà ýòîò ðàç ïîäõîä òîò æå,
ïîñêîëüêó ñíà÷àëà òàêæå îïðåäåëÿåòñÿ íîðìèðîâàííûé êàïèòàë Xnπ, /Bn .
Îäíàêî òåïåðü âìåñòî M åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü ñòîõàñòè÷åñêóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y = (Yn )0≤n≤N , ãäå
fτ
Yn = ess sup E
|Fn .
(18)
Bτ
τ ∈WnN
À ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ñóïåðìàðòèíãàëîì (ñì. Ñëåäñòâèå 2).
È èìåííî ýòî è ïðèâîäèò ê ïîòðåáëåíèþ C = (Cn ), êîòîðîå âîçíèêàåò èç
ðàçëîæåíèÿ Äóáà (ñì. òåîðåìó 1.2.1 è ôîðìóëó (24) íèæå)
Yn = Mn − Ln ,
â êîòîðîì Y0 = M0 , L0 = 0 è Fn−1 − èçìåðèìûå ∆Ln ≥ 0.
(19)
2
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
81
Ïðåäïîëîæèì
äëÿ óïðîùåíèÿ îáîçíà÷åíèé, ÷òî åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà,
ýêâèâàëåíòíàÿ èñõîäíîé ìåðå P, êàê ðàç è ÿâëÿåòñÿ ìåðîé P. Êðîìå òîãî,
áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåîòðèöàòåëüíûõ ïëàòåæíûõ
ôóíêöèé f = (fn )1≤n≤N óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
EBn−1 fn < ∞, n ≤ N.
(20)
È äîêàæåì ñíà÷àëà óòâåðæäåíèå, â êîòîðîì ñîäåðæàòñÿ âñå ýëåìåíòû
àìåðèêàíñêîãî õåäæèðîâàíèÿ, à çàòåì ñëåäñòâèå, óòî÷íÿþùåå çàïèñü òðåõ
èç íèõ â ìàðêîâñêîì ñëó÷àå.
82
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Íà áåçàðáèòðàæíûõ è ïîëíûõ ðûíêàõ ïðè óñëîâèè (20)
1. ñïðàâåäëèâàÿ öåíà àìåðèêàíñêîãî õåäæèðîâàíèÿ èìååò âèä
Òåîðåìà 3.
C(f ; P ) = B0 sup Efτ Bτ−1 ;
(21)
τ ∈W0N
2. ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñàìîôèíàíñèðóåìàÿ ñòðàòåãèÿ (π, C),
êàïèòàë êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ
fτ
π,
Xn = Bn ess sup E
|Fn , 0 ≤ n ≤ N,
(22)
Bτ
τ ∈WnN
Xτπ, ≥ fτ ,
∀τ ∈ WnN ;
(23)
3. åå êîìïîíåíòû C = (Cn ) è γ = (γn ) îïðåäåëÿþòñÿ èç ðàâåíñòâà
Cn =
n
X
Bk−1 ∆Lk ,
(24)
1
ãäå Ln âçÿòû èç ðàçëîæåíèÿ Äóáà (19), è S/B− ïðåäñòàâëåíèÿ äëÿ
ìàðòèíãàëà M â íåì ( M0 = Y0 )
n
X
Sk
γk ∆
Mn = M0 +
, 0 ≤ n ≤ N,
(25)
Bk
1
à êîìïîíåíòû β = (βn )− èç óñëîâèÿ
Xnπ,
C
= βn Bn + γn Sn ,
1 ≤ n ≤ N;
(26)
4. îïòèìàëüíûì ìîìåíòîì îñòàíîâêè â çàäà÷å (21) ÿâëÿåòñÿ ñ.â.
τ ∗ = min{0 ≤ n ≤ N : Yn = fn /Bn }
ñî ñâîéñòâîì
Xτπ,∗
C
= fτ ∗ .
(27)
(28)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëîæèì Xnπ, C = Bn Yn , ãäå Yn èç (18). Èíûìè
ñëîâàìè, îïðåäåëèì êàïèòàë ðàâåíñòâîì (22) è áóäåì äåéñòâîâàòü ïî
àíàëîãèè ñ îáîñíîâàíèåì òåîðåìû 1.2.
1. Óñòàíîâèì ñíà÷àëà ïðàâîå íåðàâåíñòâî â öåïî÷êå
(f, P ) ≤ sup B0 Efτ Bτ−1 ≤ (f, P ).
(29)
τ ∈W0N
Åñëè ìíîæåñòâî ñòðàòåãèé (π, C) ïóñòî, òî (f, P ) = ∞ (ïî
îïðåäåëåíèþ 1) è ýòî íåðàâåíñòâî î÷åâèäíî. Ïóñòü ïîýòîìó π− íåêîòîðûé
ñàìîôèíàíñèðóåìûé õåäæ ñ ïîòðåáëåíèåì òàêîé, ÷òî X0π, C = x < ∞.
2
Õåäæèðîâàíèå àìåðèêàíñêîãî òèïà
83
Çàìåòèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî äëÿ Yn èç (18) â ñèëó ñëåäñòâèÿ 2 èìååì
Yn = max(fn /Bn , E(Yn+1 |Fn )),
0 ≤ n < N (YN = fN /BN ).
(30)
Èñïîëüçóÿ ýòî, à òàêæå òåîðåìó Äóáà îá îñòàíîâêå (òåîðåìà 1.6.2),
ïîëó÷àåì, ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå êàïèòàëà, ÷òî äëÿ âñÿêîãî τ ∈ W0N
X0π, C
x
fτ
≤ EYτ ≤ Y0 =
=
E
Bτ
B0
B0
è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâîå íåðàâåíñòâî â (29) èìååò ìåñòî.
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ ëåâîãî íåðàâåíñòâà, à, ñëåäîâàòåëüíî, è ïîëó÷åíèÿ
èñêîìîãî ðàâåíñòâà (21), äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ñòðàòåãèÿ
(π, C) (à íå ïðåäïîëîæèòü, êàê ðàíåå), äëÿ êîòîðîé
X0π, = B0 sup Efτ Bτ−1 .
τ ∈W0N
Ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå áóäåì èìåòü C(f, P ) ≤ X0π, .
2-4. Íî ìû ïîêàæåì íåñêîëüêî áîëüøå. À èìåííî, óêàæåì êîíêðåòíóþ
ñòðàòåãèþ (π, C), äëÿ êîòîðîé íå òîëüêî âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (22),
íî è ñâîéñòâà (23) è (28). Åå ìû è íàçâàëè îïòèìàëüíîé.
Ïðåæäå âñåãî, ôàêòè÷åñêè ìû óæå ñêàçàëè â ôîðìóëèðîâêå òåîðåìû î
òîì, êàê îïðåäåëÿåòñÿ ýòà ñòðàòåãèÿ. È îáúÿñíèòü íóæíî ëèøü ñâÿçü (24)
ïîòðåáëåíèÿ C ñ ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ L èç (19). Äëÿ ýòîãî íàïîìíèì
(ñì. ï.1.2), ÷òî åñëè îïðåäåëÿòü êàïèòàë Xnπ, , ñîîòâåòñòâóþùèé
ñòðàòåãèè (π, C) ðàâåíñòâîì (26), ò.å. ïî àíàëîãèè ñ êàïèòàëîì Xnπ , òî
ïðåæíåå óñëîâèå ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè (1.12) ìåíÿåòñÿ íà (1.12'):
π, Sn
∆Cn
Xn
= γn ∆
−
.
∆
Bn
Bn
Bn−1
Íî èç (19), (22) è (25) âûòåêàåò, ÷òî
π, Sn
Xn
∆Yn = ∆
= γn ∆
− ∆Ln .
Bn
Bn
À ýòî è ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó ∆Cn /Bn−1 = ∆Ln , ýêâèâàëåíòíîìó (24).
Îñòàåòñÿ îáúÿñíèòü ñóùåñòâîâàíèå îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè
(27)
è
ñâîéñòâ
(23)
è
(28).
Äëÿ
ýòîãî
ïðèìåíèì òåîðåìó 1 ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f /B âìåñòî f. ßñíî, ÷òî â
ñèëó (30) ðîëü âñïîìîãàòåëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè γ N ìîæåò èñïîëíÿòü
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Y, à îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τnN ñ.â. (27).
Íî ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò ìîìåíò τ ∗ ñî ñâîéñòâîì (28). ×òî æå
êàñàåòñÿ ñâîéñòâà (23), òî îíî âûòåêàåò èç (30) •
84
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ñòàâêà íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó ïîñòîÿííà, ò.å.
Bn = B0 (1 + r)n ,
0 ≤ n ≤ N,
(31)
à ñèñòåìà ïëàòåæíûõ ôóêíöèé f = (fn ) îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì
fn = β n g(xn ),
0 ≤ n ≤ N,
(32)
â êîòîðîì β > 0, a ôóíêöèÿ g : E → R è ìàðêîâñêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
X = (xn ) âçÿòû èç ï.2.3, 2.4. Èìåííî â ýòîì ÷àñòíîì ñëó÷àå ðåçóëüòàòû
òåîðåìû 3 íàì ïîíàäîáÿòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè àìåðèêàíñêîãî îïöèîíàêîëë â ï.5. Óòî÷íèì ïîýòîìó íåêîòîðûå åå äåòàëè, îïèðàÿñü íà ñëåäñòâèå
3 è ïîëàãàÿ, ÷òî v = (1 + r)−1 , à P = Px − åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ
ìåðà, ∀x ∈ E. Êîíêðåòíåå î òîì, ÷òî ýòî òàêîå, ñì. ï.5.
Ñëåäñòâèå 4. Â óñëîâèÿõ (6), (20), (31) è (32) cïðàâåäëèâóþ öåíó,
êàïèòàë è îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
C(f, P ) = sN (x) ≡ sup Ex (βv)τ g(xτ ) = QN g(x),
(33)
τ ∈W0N
Xnπ,
C
= β n sN −n (xn ),
0 ≤ n ≤ N,
(34)
τ ∗ = min(0 ≤ n ≤ N : QN −n g(xn ) = g(xn )),
(35)
ãäå
Qg(x) = max(g(x), βvT g(x)),
T g(x) = Ex g(x1 ).
(36)
Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ ñëåäñòâèå 3 ñ βv âìåñòî v, ïîëó÷àåì
sn (x) ≡ sup Ex (βv)τ g(xτ ) = Qn g(x),
0 ≤ n ≤ N.
(37)
τ ∈W0n
Òåì ñàìûì ïðàâîå ðàâåíñòâî â (33) îêàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì (37).
Ëåâîå æå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåñêîëüêî èíóþ çàïèñü ôîðìóëû (21). Íî
÷òîáû óáåäèòüñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè (34) è (35) äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî
ýëåìåíòû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Y èç (18) îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâîì
Yn B0 = (βv)n sN −n (xn ).
(38)
τ0
τ0
Ïîñêîëüêó xn+τ 0 (ω) = xτ 0 (θn ω), (βv) g(xτ 0 (θn ω)) = θn (βv) g(xτ 0 (ω))
â ñèëó (8) è (8'), òî, èñïîëüçóÿ åùå è (7'), ïîëó÷àåì èç (18):
Yn B0 = sup Ex ((βv)τ g(xτ )|Fn ) =
sup
τ 0 ∈W0N −n
0
Ex ((βv)n+τ g(xn+τ 0 )|Fn ) =
τ 0 ∈W0N −n
τ ∈WnN
=
sup
0
(βv)n Ex (θn (βv)τ g(xτ 0 )|Fn ) = (βv)n
sup
τ 0 ∈W0N −n
0
Exn (βv)τ g(xτ 0 ).
Íî â ñèëó (37) ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî (38) äåéñòâèòåëüíî èìååò ìåñòî.
À ýòî ðàâåíñòâî áûñòðî ïðèâîäèò ê öåëè. Âî-ïåðâûõ, (34) ïðîñòî
âûòåêàåò èç (38), ïîñêîëüêó Xnπ, C = Yn Bn . Âî-âòîðûõ, ëåãêî âèäåòü,
÷òî â ñèëó (37) è (38) ðàâåíñòâà èç (27) è (35) ñîâïàäàþò •
3
×òî òàêîå îïöèîíû?
3
3.1
85
×òî òàêîå îïöèîíû?
Îáùèå ñîîáðàæåíèÿ
 ñîâðåìåííîì ìèðå ñóùåñòâóþò äâà âèäà èíâåñòèðîâàíèÿ, êîòîðûå
ïðèíÿòî íàçûâàòü îñíîâíûìè ýòî äîëåâîå è äîëãîâîå èíâåñòèðîâàíèå.
Äîëåâîå
èíâåñòèðîâàíèå
îçíà÷àåò
ïðèîáðåòåíèå
íåêîòîðîé äîëè ñîáñòâåííîãî êàïèòàëà îïðåäåëåííîé êîìïàíèè. Íàèáîëåå
èçâåñòíûì ïðèìåðîì ÿâëÿåòñÿ ïîêóïêà àêöèé, êîòîðûå ôàêòè÷åñêè
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòü ñîáñòâåííîãî êàïèòàëà. Èíûìè ñëîâàìè, ÷àñòü
èìåþùèõñÿ äåíåæíûõ ñðåäñòâ â âèäå îáîðîòíîãî êàïèòàëà, íåäâèæèìîé
ñîáñòâåííîñòè ýòîé êîìïàíèè è ò.ä.
Ïîä äîëãîâûì èíâåñòèðîâàíèåì ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðåäîñòàâëåíèå
êàêîé-ëèáî êîìïàíèè ññóäû. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé åãî ôîðìîé
ÿâëÿåòñÿ ïðèîáðåòåíèå îáëèãàöèé. Ê ôèíàíñèðîâàíèþ ñâîèõ ðàñõîäîâ
ïóòåì âûïóñêà îáëèãàöèé ïðèáåãàþò ôèðìû, îòäåëüíûå ãîðîäà è øòàòû, à
òàêæå ãîñóäàðñòâî. Òîò, êòî èíâåñòèðóåò â ýòè îáëèãàöèè, ññóæàåò äåíüãè
èõ ýìèòåíòó.
Êóïëåííûå àêöèè ýòî îñÿçàåìàÿ, ðåàëüíàÿ öåííîñòü, íàõîäÿùàÿñÿ
â Âàøåì ðàñïîðÿæåíèè, òàê êàê îíè ÿâëÿþòñÿ äîëåé â ñîáñòâåííîñòè
êîìïàíèè, ìîãóò áûòü ïðîäàíû äðóãèì ëþäÿì, èñïîëüçîâàíû êàê
îáåñïå÷åíèå ïðè çàéìàõ è ò.ä. Âëàäåÿ îáëèãàöèåé, Âû òàêæå îáëàäàåò
ðåàëüíîé öåííîñòüþ. Âåäü àêöèÿ ýòî êîíòðàêò, ñîãëàñíî êîòîðîìó Âû
ïîëó÷èòå áîëüøå, ÷åì äàëè, õîòÿ îáû÷íî è ÷åðåç çàìåòíûé ïðîìåæóòîê
âðåìåíè.
Âåñüìà áîëüøîé ÷àñòè èíâåñòîðîâ î÷åíü íðàâèòñÿ, ÷òî àêöèè è
îáëèãàöèè ñâÿçàíû ñ ðåàëüíûìè öåííîñòÿìè, ÷òî îíè íå òîëüêî
ïðèíîñÿò äèâèäåíäû èëè ïðîöåíòû, íî è íå òåðÿþò âäðóã, ïî
èñòå÷åíèè îïðåäåëåííîãî (è êîðîòêîãî) ñðîêà ñâîåé öåííîñòè. Ïîýòîìó
äëÿ äèëåòàíòà íà ðûíêå ìîãóò ïîêàçàòüñÿ àáñóðäíûìè èíâåñòèöèè
â íåîñÿçàåìûå, íåðåàëüíûå àêòèâû, êîòîðûå àáñîëþòíî òåðÿþò ñâîþ
öåííîñòü, ìîæíî ñêàçàòü, èñïàðÿþòñÿ ïîñëå îïðåäåëåííîãî è êîðîòêîãî
ñðîêà. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, íàïðèìåð, ÷òî Âàøè èíâåñòèöèè ìåíåå, ÷åì
÷åðåç ãîä ãàðàíòèðîâàííî îáåñöåíÿòñÿ. À äëÿ áîëüøåé çàíÿòíîñòè
ïðåäïîëîæèòå, ÷òî è ñòîèìîñòü ïîäîáíûõ âëîæåíèé âñå ýòî âðåìÿ áóäåò
íåóêëîííî ñíèæàòüñÿ.
Âûøåïåðå÷èñëåííûå
îñîáåííîñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèøü íåêîòîðûå èç îñíîâíûõ ïðèìåò
îïöèîíîâ. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ òàêæå, ÷òî ýòè
íåîñÿçàåìûå èíâåñòèöèè è ñëèøêîì ðèñêîâàííû. Îäíàêî íå ñïåøèòå ñ
âûâîäàìè. Äàëåêî íå âñå ñïîñîáû âëîæåíèÿ äåíåã â îïöèîíû íàñòîëüêî
ðèñêîâàííû, êàê ýòî ìîæåò ñðàçó ïîêàçàòüñÿ. Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóåò
ìíîãî èíòåðåñíûõ ïóòåé èñïîëüçîâàíèÿ îïöèîíîâ, à ïðè èñïîëüçîâàíèè
86
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
âîçíèêàåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ âàðèàíòîâ, ïðåâðàùàþùèõ îïöèîí â
èíòåðåñíåéøèé èíñòðóìåíò äëÿ èíâåñòèðîâàíèÿ.
3.2
Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå ÷åðòû
Îïöèîí ýòî êîíòðàêò, íàäåëÿþùèé åãî âëàäåëüöà
ïðàâîì îñóùåñòâèòü ïåðåäà÷ó öåííûõ áóìàã ïî îãîâîðåííîé öåíå.
Íàïðèìåð, ýòî ìîæåò áûòü ïðàâî êóïèòü â îïðåäåëåííûé ìîìåíò â
áóäóùåì 100 (êàê ïðàâèëî) àêöèé ïî çàôèêñèðîâàííîé öåíå. Ïðè÷åì,
ïîñêîëüêó Âû è òàê ñìîæåòå êóïèòü ýòè àêöèè, òî ÿñíî, ÷òî âñå äåëî
â òîì, ÷òî îïöèîí çàðàíåå ôèêñèðóåò öåíó. Áîëåå òîãî, ÿñíî, ÷òî ïîéäåò
íà òàêóþ ñäåëêó ëèøü òîò, êòî âåðèò â ïîâûøåíèå êóðñà äàííûõ àêöèé,
äà åùå è ïðè óñëîâèè, ÷òî åìó ïîïàäåòñÿ òîò, êòî óâåðåí â îáðàòíîì.
Íî ïîñëåäíåå íà áîëüøîì è ýôôåêòèâíî óñòðîåííîì ðûíêå îáû÷íî íå
ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìîé.
Óïîìÿíóòûé âûøå îïöèîí ïðèíÿòî íàçûâàòü Åâðîïåéñêèì îïöèîíîì
êîëë, çàèìñòâóÿ ÷àñòü íàçâàíèÿ îò àíãëèéñêîãî àíàëîãà call option. Êàê è
ó âñåõ îïöèîíîâ, ó íåãî åñòü ñëåäóþùèå 4 îñíîâíûå ïàðàìåòðà:
St − ñòîèìîñòü 1 àêöèè, ò.å. áàçîâîãî àêòèâà íà ìîìåíò t, S0 = S;
Ct − ñòîèìîñòü îïöèîíà êîëë íà ìîìåíò t, C0 = C;
N − ìîìåíò ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ;
K− öåíà èñïîëíåíèÿ, ò.å. öåíà àêöèè,
ïî êîòîðîé âëàäåëåö îïöèîíà èìååò ïðàâî åå êóïèòü â ìîìåíò N. Íî ïî
ñóùåñòâó ëþáîé îïöèîí îïðåäåëÿåò äðóãàÿ õàðàêòåðèñòèêà. Åå íàçûâàþò
ïëàòåæíûì îáÿçàòåëüñòâîì ïðîäàâöà fN , ñòîèìîñòüþ îïöèîíà â ìîìåíò
N èëè âûãîäîé, êîòîðóþ ìîæåò èìåòü ïîêóïàòåëü â ýòîò ìîìåíò. Äëÿ
âûøåóêàçàííîãî îïöèîíà (è ïðè 1 àêöèè) ýòî âåëè÷èíà
fN = (SN − K)+ .
(1)
Íàêîíåö, ñòîèìîñòü îïöèîíà ïðè ïîêóïêå ÷àñòî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü
ïðèâåäåííûì çíà÷åíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûãîäû ïîêóïàòåëÿ
â ìîìåíò N íà ìîìåíò ïîêóïêè, ò.å. îïðåäåëÿòü ðàâåíñòâîì
C = v N EfN ,
(2)
åñëè èçâåñòíà ñòàâêà íà÷èñëåíèÿ ïðîöåíòîâ i, êîòîðóþ óìåñòíî
èñïîëüçîâàòü â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè ( v = (1 + i)−1 ) è
ïîäðàçóìåâàåòñÿ ñòîèìîñòü îïöèîíà â ðàñ÷åòå íà 1 áàçîâîãî àêòèâà.
Ìîòèâàöèÿ ïðè ïîêóïêå èëè ïðîäàæå îïöèîíà äâóõ òèïîâ:
1. ñïåêóëÿòèâíàÿ, 2. óìåíüøåíèå ðèñêà êàïèòàëîâëîæåíèé.
3
×òî òàêîå îïöèîíû?
87
Ïðèìåð âòîðîãî òèïà ðàññìîòðåí â ï.4.5. ×òî æå êàñàåòñÿ ñïåêóëÿòèâíîãî
àñïåêòà, òî, åñòåñòâåííî, â íåì íèêòî è íå ñîìíåâàåòñÿ. Íî ìû âñå
æå äàäèì ïðèìåð è íà íåãî, ïîñêîëüêó ñïåêóëÿöèè íà îïöèîíàõ
ïðèâëåêàòåëüíû â ñâÿçè ñ òàê íàçûâàåìûì ýôôåêòîì ðû÷àãà.
Äîïóñòèì, ÷òî â íàñòîÿùèé ìîìåíò àêöèÿ ñòîèò 50, à îïöèîí 5 çà
ïðàâî êóïèòü åå ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïî öåíå 45. Ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî åñëè
àêöèÿ ïîäíèìåòñÿ â öåíå íà 10 %, ò.å. åå öåíà ñòàíåò ðàâíîé 55, òî
ïîêóïàòåëþ îïöèîíà ýòî ïðèíåñåò 10, ò.å. (ñ ó÷åòîì óïëà÷åííîé ñòîèìîñòè
îïöèîíà) 100 % óâåëè÷åíèå âëîæåííûõ äåíåã äëÿ íåãî èëè äåñÿòèêðàòíîå,
ïî ñðàâíåíèþ ñ âëàäåëüöåì àêöèé. Ýòî è åñòü ýôôåêò ðû÷àãà.
Îïðåäåëèòü ñòîèìîñòü ïîêóïêè íàøåãî îïöèîíà ìîæíî è íå îáðàùàÿñü
ê âûñîêîé òåîðèè. Ïîçíàêîìèì ÷èòàòåëÿ ñ äâóìÿ òàêèìè ïîäõîäàìè.
Ïðèìåð 1. Äîïóñòèì, ÷òî òåêóùàÿ ñòîèìîñòü àêöèè 70, íî ÷åðåç ãîä
åå öåíà ìîæåò ñòàòü ðàâíîé 55 èëè 95. Êàêîâà ñïðàâåäëèâàÿ öåíà îïöèîíà
êîëë íà ýòó àêöèþ, åñëè åãî öåíà èñïîëíåíèÿ íà ýòîò ìîìåíò ðàâíà 75, à
åæåãîäíàÿ ñòàâêà ïðîöåíòà i = 0.1?
1. Ðåøåíèå ñ ïîìîùüþ âñïîìîãàòåëüíîé ñäåëêè.
Åñëè ïîêóïàåòñÿ îïöèîí-êîëë â íàøåé ñèòóàöèè, òî çà öåíó x åãî
âëàäåëåö ÷åðåç ãîä ëèáî íè÷åãî íå ïîëó÷èò (åñëè S1 = 55 ), ëèáî
ïîëó÷èò 20 (åñëè S1 = 95 ). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìîæíî ðàññìîòðåòü
âñïîìîãàòåëüíóþ ñäåëêó, ïðè êîòîðîé èíâåñòîð âêëàäûâàåò 20: áåðåò â
äîëã íà ãîä 50 è ïîêóïàåò çà 70 àêöèþ.  ýòîì ñëó÷àå èñõîäàìè áóäóò
0 (åñëè S1 = 55, òî ïðîäàåòñÿ àêöèÿ è âîçâðàùàåòñÿ äîëã, ðàâíûé
55 = 50 · 1, 1 ), ëèáî 40 (95 − 55). Èòàê, 2x = 20, x = 10, ïîñêîëüêó
èñõîäû â ñäåëêå ñîâïàäàþò ñ èñõîäàìè äâóõ îïöèîíîâ, íåçàâèñèìî îò èõ
âåðîÿòíîñòåé.
2. Ðåøåíèå äëÿ èíâåñòîðîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ðèñêó áåçðàçëè÷íî.
 ýòîì ñëó÷àå îæèäàåìàÿ äîõîäíîñòü íà àêöèþ äîëæíà áûòü ðàâíà
0,1 (áåçðèñêîâîé ñòàâêå). Íî åå ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ñðåäíåå,
ò.å. ìàòîæèäàíèå äîõîäíîñòåé äëÿ âëàäåëüöà îïöèîíà. Ïîýòîìó, åñëè
äèâèäåíäû ïî àêöèè ïî-ïðåæíåìó íå âûïëà÷èâàþòñÿ, òî èìååì óðàâíåíèå
[(95 − 70)/70]p + [(55 − 70)/70](1 − p) = 0.1,
ãäå p− âåðîÿòíîñòü ïîâûøåíèÿ êóðñà. Èç íåãî íàõîäèì ñíà÷àëà, ÷òî p =
0.55, à çàòåì è öåíó, êàê ïðèâåäåííîå çíà÷åíèå ìàòîæèäàíèÿ âûãîäû:
(20 · 0.55 + 0 · 0.45)/1.1 = 10.
Îòìåòèì â çàêëþ÷åíèå, ÷òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ îïöèîíû íàñòîëüêî
ìíîãîîáðàçíû, ÷òî èõ ïîëíîå ïðåäñòàâëåíèå ñòàíîâèòñÿ íåóìåñòíûì (ñ÷åò
èäåò íà ñîòíè, íî, âîçìîæíî èõ áîëüøå òûñÿ÷è). Îäíàêî ê ñòàíäàðòíûì
âñå æå ïî-ïðåæíåìó îòíîñÿò âñåãî 4 âèäà. Ïðåæäå âñåãî íàðÿäó ñ ïðàâîì
ïîêóïêè åñòåñòâåííî ðàññìàòðèâàòü è ïðàâî ïðîäàæè, ÷òî ïðèâîäèò ê
îïöèîíàì ïðîäàæè èëè îïöèîíàì ïóò (put option). Âî-âòîðûõ, èñïîëíÿòü
88
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
îïöèîí ìîæíî íå òîëüêî â íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò N â
áóäóùåì, íî è â ëþáîé ìîìåíò n ≤ N.  ýòîì ïîñëåäíåì ñëó÷àå îïöèîí
íàçûâàåòñÿ Àìåðèêàíñêèì.
4
Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà
íà áèíîìèàëüíîì
4.1
(B, S)− ðûíêå
Ìîäåëü Êîêñà-Ðîññà-Ðóáèíøòåéíà (CRR-ìîäåëü)
Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîáëåìó õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíûõ îáÿçàòåëüñòâ
áîëåå äåòàëüíî. È ñ ýòîé öåëüþ îáðàòèìñÿ ê îïöèîíàì, èñïîëüçóÿ
ïðîñòåéøèé âàðèàíò (B, S)− ðûíêà, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâàìè
∆Bn = r Bn−1 ,
∆Sn = ρn Sn−1 ,
1 ≤ n ≤ N,
(1)
â êîòîðûõ ρ = (ρn )− ïîñëåäîâàòåëüíîñòü í.î.ð.ñ.â., ïðèíèìàþùèõ äâà
çíà÷åíèÿ a è b, à r− ïðîöåíòíàÿ ñòàâêà íà áàíêîâñêîì ñ÷åòó,
−1 < a < r < b.
Íàçûâàåòñÿ ýòîò âàðèàíò ìîäåëüþ Êîêñà-Ðîññà-Ðóáèíøòåéíà (1979). Â
íåì d = 1 è, êàê ìû âèäèì, êîíå÷íûé ãîðèçîíò 0 ≤ n ≤ N.
Â
ýòîé
ìîäåëè
âñÿ
ñëó÷àéíîñòü,
îáðàçíî
ãîâîðÿ, âõîäèò ÷åðåç âåëè÷èíû ρn . Õîòÿ, êîíå÷íî, îíà âûðîæäåííàÿ,
ïîñêîëüêó ôèêñèðîâàííîé ÿâëÿåòñÿ íå òîëüêî ñòàâêà r, íî è ñàìè ñ.â.
ρn . Âåäü èõ ðàñïðåäåëåíèÿ îäèíàêîâû. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïðîñòðàíñòâà
ýëåìåíòàðíûõ èñõîäîâ Ω ìîæíî âûáðàòü ïðîñòðàíñòâî ΩN = {a, b}N ,
ò.å. ïðîñòðàíñòâî êîíå÷íûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé x = (x1 , · · · , xN ) ñ xn =
a èëè b.  òî æå âðåìÿ, êàê è âñåãäà, èõ ñëåäóåò ñ÷èòàòü ôóíêöèÿìè,
îïðåäåëåííûìè íà èñõîäíîì ñòîõàñòè÷åñêîì áàçèñå (Ω, F, (Fn ), P ). È,
â ñîîòâåòñòâèè ñ âûøåñêàçàííûì, èìåþùèìè ðàñïðåäåëåíèå
P (ρn = b) = p,
P (ρn = a) = q,
(2)
ñ íåêîòîðûìè òàêèìè p, q, ÷òî p + q = 1, 0 < p < 1.
Íî ñ.â. ρn íå òîëüêî îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Îíè è íåçàâèñèìû.
Ïîýòîìó êàê ôóíêöèè îò ω = x îíè ïîñòîÿííû òàì, ãäå äðóãèå ñ.â.
ρm , m 6= n, ïðèíèìàþò ðàçíûå çíà÷åíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, ρn (x) =
xn , åñëè Ω = ΩN (÷òî ìû è áóäåì ïðåäïîëàãàòü â äàëüíåéøåì).
Òàêèì îáðàçîì, ëþáàÿ ìåðà P èç ñåìåéñòâà (2) (ïàðàìåòðà p ) ìîæåò
ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ρ T
= (ρ1 , · · · , ρN ), èëè, ÷òî
òî æå ñàìîå, êàê ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå P = N
1 Qn îäíîìåðíûõ ìåð
Qn , ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ðàñïðåäåëåíèå ñ.â. xn − ïðîåêöèè ρn íà n− þ
êîîðäèíàòíóþ îñü ïðîñòðàíñòâà RN , â êîòîðîì ëåæèò ìíîæåñòâî ΩN .
4
89
Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà
Èíûìè ñëîâàìè, âñå ìåðû Qn îäèíàêîâû â òîì ñìûñëå, ÷òî ïðè ëþáîì
n
Qn (xn = b) = p, Qn (xn = a) = q.
È îòëè÷àþòñÿ ëèøü òåì, ÷òî ðàñïîëîæåíû â ðàçíûõ ïðîñòðàíñòâàõ, â
îòëè÷èå îò ðàñïðåäåëåíèÿ èç (2), êîòîðîå ïðè ëþáûõ n îñòàåòñÿ çàäàííûì
â îäíîì è òîì æå ïðîñòðàíñòâå ΩN .
4.2
Ñëó÷àé ìàðêîâñêèõ ïëàòåæíûõ ôóíêöèé
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ïëàòåæíîé ôóíêöèè ìàðêîâñêîãî âèäà
fN = f (SN ),
(3)
ñ íåêîòîðîé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèåé f (x), x ≥ 0. Â íåì óæå óäàåòñÿ
ïîëó÷èòü êîíêðåòíûå âûðàæåíèÿ äëÿ âñåõ òðåõ ýëåìåíòîâ õåäæèðîâàíèÿ
(ñì. íà÷àëî ï.1.1). Èìåííî ýòî è ÿâëÿåòñÿ çäåñü íàøåé öåëüþ.
×òîáû åå ðåàëèçîâàòü, íàïîìíèì ïðåæäå âñåãî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè
ñ ïåðâîé è âòîðîé ôóíäàìåíòàëüíûìè òåîðåìàìè ñóùåñòâóåò è ïðèòîì
åäèíñòâåííàÿ ìàðòèíãàëüíàÿ ìåðà P ∗ , ýêâèâàëåíòíàÿ ëþáîé ìåðå P èç
(2). Â ðàññìàòðèâàåìîé ñèòóàöèè îíà îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì E ∗ ρn = r,
èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, âåðîÿòíîñòÿìè (ñì. (2.3.8))
p∗ =
r−a
,
b−a
q∗ =
b−r
,
b−a
(4)
è òàêæå èìååò ñòðóêòóðó ïðÿìîãî ïðîèçâåäåíèÿ. Íî òåïåðü åå ïðîùå
ñ÷èòàòü çàäàííîé íà ìíîæåñòâå Ω = {0, 1}N . Èíûìè ñëîâàìè, ñ÷èòàòü,
÷òî ïîòîê σ− àëãåáð (Fn ) ïîðîæäàåòñÿ íå ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìè (Sn )
èëè ρ = (ρn ), à òàêîé æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ í.î.ð.ñ.â. δ = (δn ), ãäå
δn =
ρn − a
.
b−a
Ïîíÿòíî, ÷òî ïðè ýòîì Sn = S0 (1 + b)∆n (1 + a)n−∆n , ãäå ∆n =
Pn
1
δk , à
P ∗ (ρn = b) = p∗ = P ∗ (δn = 1),
P ∗ (ρn = a) = q ∗ = P ∗ (δn = 0),
ïðè÷åì Fn = σ(S1 , · · · , Sn ) = σ(ρ1 , · · · , ρn ) = σ(δ1 , · · · , δn ).
Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî ïðè çàäàííîì ïëàòåæíîì ïîðó÷åíèè fN
ýëåìåíòû ñîâåðøåííîãî õåäæà π ∗ = (βn∗ , γn∗ ) è ñîîòâåòñòâóþùèé åìó
∗
êàïèòàë X π îïðåäåëÿþòñÿ ïî ìàðòèíãàëó M = (Mn ) ñ
−1
Mn = E ∗ (BN
fN |Fn ).
(5)
90
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Òî÷íåå ãîâîðÿ, âåëè÷èíû γn∗ îïðåäåëÿþòñÿ ïî S̄− ïðåäñòàâëåíèþ
Mn = M0 +
n
X
γk∗ ∆(Sk /Bk ),
(6)
1
∗
à êàïèòàë X π è êîìïîíåíòû βn∗ èç ðàâåíñòâ (ñì. òåîðåìó 1.1)
∗
Xnπ = Bn Mn = βn∗ Bn + γn∗ Sn .
(7)
Ïóñòü äàëåå v = (1 + r)−1 , ò.å. ñêàæåì, Bn = v N −n BN , è
Fn (x; p) = E(f (Sn )|S0 = x) =
n
X
f (x(1+b)k (1+a)n−k )Cnk pk (1−p)n−k . (8)
0
Ïîêàæåì, ÷òî òîãäà èìååò ìåñòî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. Â CRR-ìîäåëè ñ ìàðêîâñêîé ïëàòåæíîé ôóíêöèåé (3)
1. ñïðàâåäëèâóþ ñòîèìîñòü îïöèîíà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
∗
C(fN ; P ) ≡ X0π = v N FN (S0 ; p∗ );
(9)
2. äëÿ êàïèòàëà æå ñîâåðøåííîãî õåäæà π ∗ èìååò ìåñòî âûðàæåíèå
∗
Xnπ = v N −n FN −n (Sn ; p∗ ),
1 ≤ n ≤ N,
(10)
3. à åãî êîìïîíåíòû îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëàìè, 1 ≤ n ≤ N :
γn∗ =
FN −n (Sn−1 (1 + b); p∗ ) − FN −n (Sn−1 (1 + a); p∗ ) N −n
v
,
Sn−1 (b − a)
βn∗ =
−
1+r
b−a
(11)
FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ )
−
BN
FN −n (Sn−1 (1 + b); p∗ ) − FN −n (Sn−1 (1 + a); p∗ )
.
BN
(12)
Äîêàçàòåëüñòâî. 1, 2. Öåíà îïöèîíà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì çíà÷åíèåì
êàïèòàëà. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ôîðìóëó (10). Íî îíà ñ
î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò èç (5), (7) è (3), ïîñêîëüêó
∗
−1
Xnπ = Bn E ∗ (BN
f (SN )|Fn ) = v N −n FN −n (Sn ; p∗ ).
3. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ γn∗ èç (11) ñîîòíîøåíèå ∆Mn = γn∗ ∆(Sn /Bn ),
ýêâèâàëåíòíîå (6), äîñòàòî÷íî ïðåîáðàçîâàòü ñ ïîìîùüþ (10) è ïåðâîãî
ðàâåíñòâà èç (7) â ïðåäñòàâëåíèå
π∗ FN −n (Sn ; p∗ ) − FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ )
ρn − r
Xn
∗ Sn−1
∆
=
= γn
,
Bn
BN
Bn−1 1 + r
4
91
Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà
à çàòåì ñíà÷àëà çàïèñàòü åãî äëÿ äâóõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé âåëè÷èíû ρn
(ïîëàãàÿ Sn = Sn−1 (1 + b) èëè Sn−1 (1 + a) ), ïîòîì ïåðåéòè ê ðàçíèöå
ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé è ðåøèòü ïîñëåäíåå óðàâíåíèå.
Âûðàæåíèå äëÿ βn∗ ïîëó÷èòü ìîæíî èç ïðàâîãî ðàâåíñòâà â (7). Íî
π∗ = β ∗ B
∗
ëó÷øå îáðàòèòüñÿ ê ðàâåíñòâó Xn−1
n n−1 + γn Sn−1 , ýêâèâàëåíòíîìó
∗
∗
π
åìó â ñèëó ñàìîôèíàíñèðóåìîñòè π (∆Xn = βn∗ ∆Bn + γn∗ ∆Sn ) è
èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèÿ (10) è (11):
∗
βn∗
X π − γn∗ Sn−1
v N −n+1 FN −n+1 (Sn−1 ; p∗ )
= n−1
=
−
Bn−1
Bn−1
(120 )
v N −n (FN −n (Sn−1 (1 + b); p∗ ) − FN −n (Sn−1 (1 + a); p∗ ))
•
Bn−1 (b − a)
4.3
Ñòàíäàðòíûå îïöèîíû ïîêóïàòåëÿ è ïðîäàâöà
Äëÿ ñòàíäàðòíîãî îïöèîíà ïîêóïàòåëÿ ïëàòåæíîå ïîðó÷åíèå
f (SN ) = (SN − K)+ ,
(13)
ãäå N − ìîìåíò èñïîëíåíèÿ è K− öåíà èñïîëíåíèÿ. Ïîëó÷åííûå ðàíåå
ôîðìóëû äëÿ âñåõ ýëåìåíòîâ õåäæèðîâàíèÿ ýòîãî ïîðó÷åíèÿ, åñòåñòâåííî,
ìîæíî óïðîñòèòü. Íî ìû ïðèâåäåì ëèøü èçâåñòíûé ðåçóëüòàò ÊîêñàÐîññà-Ðóáèíøòåéíà äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû CN = C(fN ; p∗ ), èñïîëüçóÿ
íåñêîëüêî íîâûõ îáîçíà÷åíèé (íàïîìíèì, v = (1 + r)−1 ):
P
1+b ∗
p̄ = 1+r
p , Bn (j, p) = nj Cnk pk (1 − p)n−k , B(j, p) = BN (j, p),
K
1+b
n0 = 1 + ln
/ ln
≥ 1,
x(1 + a)N
1+a
K ≥ x(1 + a)N ,
x = S0 .
(14)
Äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû ñòàíäàðòíîãî îïöèîíà êîëë
ñ ôóíêöèåé âûïëàò (13) èìååò ìåñòî âûðàæåíèå

K ≥ x(1 + b)N ,
 0,
N
∗
xB(n0 , p̄) − Kv B(n0 , p ), x(1 + a)N < K < x(1 + b)N ,
CN =

xB(0, p̄) − Kv N B(0, p∗ ),
K ≤ x(1 + a)N .
Òåîðåìà 2
Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó (9) â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå
CN = v N FN (x; p∗ ) =
v
N
N
X
0
N
(x(1 + a)
1+b
1+a
n
n ∗ n
− K)+ CN
(p ) (1 − p∗ )N −n .
(15)
92
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
n
1+b
Íî ôóíêöèÿ 1+a
, î÷åâèäíî, âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè n îò 0 äî
N, ïîñêîëüêó −1 < a < b. Òàêèì îáðàçîì, â ñóììå èç (15) âñå ñëàãàåìûå
ïîëîæèòåëüíû ïðè K ≤ x(1 + a)N (êðîìå ïåðâîãî, ðàâíîãî 0 ïðè K =
x(1+a)N ), è âñå íóëè ïðè K ≥ S0 (1+b)N . Ïðè÷åì ýòó ñóììó åñòåñòâåííî
â ëþáîì ñëó÷àå ðàçáèòü íà äâà ñëàãàåìûå (ñ x è K ). Çíà÷èò, îñòàåòñÿ
ëèøü ïîíÿòü ïî÷åìó â îñòàâøåìñÿ äèàïàçîíå çíà÷åíèé K 1) íåíóëåâûå
ñëàãàåìûå íà÷èíàþòñÿ ñ èíäåêñà n0 èç (14), è 2) ñóììà ñ x çàïèñàíà ñ
ïîìîùüþ ïàðàìåòðà p̄, à íå p∗ ?
Íî ïåðâîå ñòàíîâèòñÿ ÿñíûì ïîòîìó, ÷òî
n
1+b
> K}.
n0 = min{n : x(1 + a)N 1+a
×òî æå êàñàåòñÿ ñóììû ñ x, òî (1 − p∗ ) 1+a
1+r = 1 − p̄ è ïîòîìó â íåé
v N (p∗ )n (1 − p∗ )N −n (1 + b)n (1 + a)N −n = p̄n (1 − p̄)N −n •
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî (K − Sn )+ = (Sn − K)+ − (Sn − K). Ïîýòîìó
äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû PN îïöèîíà ïóò èìååò ìåñòî âûðàæåíèå
PN = E ∗ v N (K − SN )+ = CN − v N E ∗ (SN − K).
Íî v N E ∗ SN = S0 . Ïîýòîìó ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå òîæäåñòâî,
íàçûâàåìîå ïàðèòåòîì ïóò-êîëë:
PN = CN − S0 + Kv N .
4.4
(16)
Èñïîëüçîâàíèå òåîðèè â ïðîñòåéøåé ñèòóàöèè
Òåïåðü íàñòàëî âðåìÿ ïîíÿòü, à ÷òî æå äàåò âûøåóêàçàííàÿ ñòðîéíàÿ
òåîðèÿ ïðàêòè÷åñêè. È, â ÷àñòíîñòè, êàê äîëæåí âåñòè ñåáÿ ïðîäàâåö
îïöèîíà êîëë, åñëè îí õî÷åò ýòî äåëàòü â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåêîìåíäàöèÿìè,
âûòåêàþùèìè èç íàéäåííûõ ýëåìåíòîâ õåäæèðîâàíèÿ ïëàòåæíîãî
îáÿçàòåëüñòâà. Ðàññìîòðèì äëÿ ýòîãî ïðîñòåéøèé ïðèìåð. À â
çàêëþ÷åíèå, èñïîëüçóÿ åãî, ïîïûòàåìñÿ îòâåòèòü íà ïîñòàâëåííûå âûøå
ðèòîðè÷åñêèå âîïðîñû.
1. Äîïóñòèì, ÷òî ìû õîòèì çàñòðàõîâàòü ñåáÿ îò ñëèøêîì ñèëüíîãî
ïàäåíèÿ êóðñà ñòîèìîñòè èìåþùåéñÿ ó íàñ âàëþòû A â åäèíèöàõ âàëþòû
B ñòðàíû, â êîòîðîé ïðèõîäèòñÿ âåñòè ñâîè äåëà. È ðåøèëè ñäåëàòü ýòî
ïîêóïêîé îïöèîíà êîëë. Òî÷íåå ãîâîðÿ, ïóñòü Sn − ñòîèìîñòü 100 åäèíèö
âàëþòû A â åäèíèöàõ âàëþòû B, ïðè÷åì n = 0, 1 = N. Êðîìå òîãî,
ïóñòü B0 = 1, a áåçðèñêîâàÿ ñòàâêà áàíêîâñêîãî ñ÷åòà r = 0, ò.å. äëÿ
ïðîñòîòû ðàñ÷åòîâ ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîìåùåíèå ñðåäñòâ íà áàíêîâñêèé
ñ÷åò íå ïðèíîñèò ïðèáûëè, íî è âçÿòèå çàéìà íå îáëàãàåòñÿ ïðîöåíòàìè
ïðè åãî âîçâðàòå. Íàêîíåö, ïóñòü öåíà èñïîëíåíèÿ îïöèîíà-êîëë K =
150(B) = S0 , ò.å. K = 150 åäèíèöàì âàëþòû B , à âåëè÷èíà S1 ìîæåò
4
93
Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà
ñòàòü ðàâíîé 180(B) â ñëó÷àå ïîâûøåíèÿ êóðñà âàëþòû A èëè 90(B) â
ñëó÷àå åãî ïîíèæåíèÿ.
2. Ïîïðîáóåì ñíà÷àëà âûÿñíèòü âñå ýëåìåíòû õåäæèðîâàíèÿ íàøåãî
ïëàòåæíîãî îáÿçàòåëüñòâà f (S1 ) = (S1 − K)+ . È íà÷íåì ñ îïðåäåëåíèÿ
âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ñ.â. ρ1 èç ðàâåíñòâà S1 = S0 (1+ρ1 ). Ëåãêî íàõîäèì,
÷òî ρ1 ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ b = 1/5 è a = −2/5. Êîíå÷íî, òåì ñàìûì
ëåãêî îïðåäåëÿåòñÿ è òàê íàçûâàåìàÿ ðèñê-íåéòðàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü
p∗ =
r−a
0 + 2/5
2
=
= ,
b−a
1/5 + 2/5
3
êîòîðàÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, çàäàåò ìàðòèíãàëüíóþ ìåðó P ∗ , à ñ äðóãîé
ôàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ýëåìåíòîì âñåãî èñêîìîãî êîìïëåêòà
âåëè÷èí, îñîçíàíèå ñâÿçè ñ ïðàêòèêîé êîòîðîãî è ïîçâîëèò îòâåòèòü íà
ïîñòàâëåííûå âîïðîñû.
Ñïðàâåäëèâóþ öåíó îïöèîíà îïðåäåëèì ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 2. Äëÿ
÷åãî ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëó÷èì: n0 = 1 + [ln(150/90)/ ln(6/3)] = 1, p̄ =
(1 + b)p∗ = 4/5, v N = 1, B(n0 , p) = p,
∗
C1 = X0π = S0 p∗ (1 + b) − Kp∗ = 150(2/3)(1/5) = 20.
Äàëåå, ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1 îïðåäåëÿåì ýëåìåíòû õåäæà π ∗ . Ñíà÷àëà
ïî ôîðìóëå (11) γ1∗ , à çàòåì β1∗ . Íî çäåñü áîëüøå ïîäõîäèò ôîðìóëà (12')
π ∗ ):
(åñëè èçâåñòíî çíà÷åíèå Xn−1
F0 (S0 (1 + b); p∗ ) = f (S0 (1 + b)) = (S0 (1 + b) − K)+ ,
γ1∗ =
(S0 (1 + b) − K)+
b
1
=
= ,
S0 (b − a)
b−a
3
F0 (S0 (1 + a); p∗ ) = 0,
∗
β1∗ = X0π − γ1∗ S0 = −30.
∗
3. À òåïåðü îáúÿñíèì, ïî÷åìó ïðè âûáîðå íà÷àëüíîãî êàïèòàëà X0π =
20(B) = C1 , ò.å. ïðè ïîëó÷åíèè òàêîé ïðåìèè è ðàñïðåäåëåíèè åå ïî
àêòèâàì â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðàòåãèåé
π1∗ = (β1∗ , γ1∗ ) = (−30(B), 1/3),
(17)
ïðîäàâåö ïðè ëþáîì ðàçâèòèè ñîáûòèé, ò.å. ïðè ëþáîì âîçìîæíîì
çíà÷åíèè êàïèòàëà (â ìîìåíò 0 îíî íåèçâåñòíî! ñì. (12))
∗
X1π = F0 (S1 ; p∗ ) = f (S1 ) = (S1 − K)+ (B),
îñòàíåòñÿ â íóëÿõ. Ïðè ýòîì ïîêóïàòåëü òàêæå îêàæåòñÿ â íóëÿõ, íî
òîëüêî â ñðåäíåì ïî ìàðòèíãàëüíîé ìåðå P ∗ .
 ñàìîì äåëå, còðàòåãèÿ (17) îçíà÷àåò, ÷òî ïðîäàâåö îïöèîíà âçÿë ñ
áàíêîâñêîãî ñ÷åòà â äîëã 30(B) è êóïèë 13 100(A) çà 50(B). Ïðè÷åì ñìîã
îí ýòî ñäåëàòü, èñïîëüçóÿ ïðåìèþ â 20(B) çà ïðîäàííûé îïöèîí.
94
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
∗
Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî S1 = 180(B), ò.å. X1π = 30(B), è,
ñëåäîâàòåëüíî, ïðîäàâåö äîëæåí îïëàòèòü ïîêóïàòåëþ ñóììó â 30B.
Íî ïðè òàêîé öåíå 31 100(A) = 60(B). Ïîýòîìó îí ñìîæåò íå òîëüêî
âûïîëíèòü îáÿçàòåëüñòâî ïåðåä ïîêóïàòåëåì, çàïëàòèâ åìó 30(B), íî è
âåðíóòü äîëã áàíêîâñêîìó ñ÷åòó íà òàêóþ æå ñóììó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå,
ò.å. ïðè öåíå S1 = 90(B), ïðîäàâåö äîëæåí ëèøü âåðíóòü äîëã â 30(B) íà
áàíêîâñêèé ñ÷åò. È ýòî åìó òàêæå óäàåòñÿ, ïîñêîëüêó èìåþùàÿñÿ ó íåãî
âàëþòà A êàê ðàç ñòîëüêî è ñòîèò: 13 100(A) = 30(B).
Èòàê, ïðîäàâåö äåéñòâèòåëüíî îêàçûâàåòñÿ â íóëÿõ ïðè ëþáîì
ðàçâèòèè ñîáûòèé. À ÷òî æå ïîêóïàòåëü? ßñíî, ÷òî ïðè ïîâûøåíèè
êóðñà âàëþòû A îí ïîëó÷àåò îò ïðîäàâöà 30(B), à ïðè ïîíèæåíèè íè÷åãî. Ñëåäîâàòåëüíî, â ñðåäíåì ïî ìåðå P ∗ â ìîìåíò 1 îí èìååò 20(B),
ïîñêîëüêó 30 · p∗ + 0 · q ∗ = 30 · 32 = 20(B), à â ñóììå îêàçûâàåòñÿ â íóëÿõ,
åñëè ó÷åñòü çàïëà÷åííóþ èì ïðåìèþ (íàïîìèíàåì, ÷òî áåçðèñêîâàÿ ñòàâêà
r = 0 ).
4. Õîòÿ êîå-÷òî ìû è âûÿñíèëè, íî ñâÿçü ñ ïðàêòèêîé ïîêà ïîä
âîïðîñîì. Â ñàìîì äåëå, ìû âûÿñíèëè, ÷òî åñëè ïðîäàâåö áóäåò çíàòü
ìàðòèíãàëüíóþ ìåðó P ∗ , ò.å. âåðîÿòíîñòü p∗ è âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ
íîñèòåëÿ a, b (â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè), òî îí ñìîæåò
• îïðåäåëèòü ñïðàâåäëèâóþ öåíó, à òàêæå
• ñîâåðøåííûé õåäæ è ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó
• äèíàìèêó êàïèòàëà.
Áîëåå òîãî, ìû âûÿñíèëè, ÷òî åñëè îïöèîí áóäåò ïðîäàí ïî ñïðàâåäëèâîé
öåíå, òî ïðîäàâåö ìîæåò ãàðàíòèðîâàííî, ò.å. íåçàâèñèìî îò ðàçâèòèÿ
ñîáûòèé îñòàòüñÿ â íóëÿõ, åñëè âîñïîëüçóåòñÿ ðåêîìåíäàöèÿìè òåîðèè,
à ïîêóïàòåëü ïðè ýòîì îñòàíåòñÿ â íóëÿõ â ñðåäíåì ïî ìàðòèíãàëüíîé
ìåðå P ∗ . Êñòàòè, ýòî æå îçíà÷àåò, ÷òî åñëè ïðîäàâåö ïðîäàåò ñâîé îïöèîí
äîðîæå ñïðàâåäëèâîé öåíû, òî äåéñòâóÿ àíàëîãè÷íî, îí ñìîæåò ðàçíèöó
öåí ãàðàíòèðîâàííî îñòàâèòü â ñâîåì êàðìàíå. Ñîîòâåòñòâåííî, âëàäåëåö
îïöèîíà ïîòåðÿåò ýòó ðàçíèöó â ñðåäíåì.
Íà ïåðâûé âçãëÿä ïðåäñòàâëÿåòñÿ, ÷òî òàêîé âûâîä óæå îçíà÷àåò, ÷òî
ïðåäëîæåííàÿ òåîðèÿ ïðàêòè÷åñêè ïîëåçíà. Îäíàêî íà ñàìîì äåëå âñå
íå òàê ïðîñòî. Ñêàæåì, ÷òî îçíà÷àåò ñàìà ôðàçà ïðîäàâåö çíàåò P ∗ ? È
ïî÷åìó ðàññìîòðåííóþ òåîðèþ ìîæíî ñ÷èòàòü ïîëåçíîé íå òîëüêî äëÿ
ïðîäàâöà, íî è äàæå äëÿ ïîêóïàòåëÿ? Ïðàâäà, çà íåèìåíèåì ìåñòà ïðè
îòâåòå îãðàíè÷èìñÿ ëèøü ñàìûìè îáùèìè ñîîáðàæåíèÿìè.
Â
ñâÿçè
ñ
ïåðâûì
âîïðîñîì
óìåñòíî ïðåæäå âñåãî êàê-òî îõàðàêòåðèçîâàòü ýòó ìåðó P ∗ ïðàêòè÷åñêè.
Òåì áîëåå, ÷òî ñäåëàòü ýòî íåòðóäíî. Åñòåñòâåííî îïðåäåëèòü åå êàê òàêîå
ðàçâèòèå ñîáûòèé, ïðè êîòîðîì äîõîäíîñòü, êàê ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñ.â.,
4
Îïöèîíû åâðîïåéñêîãî òèïà
95
ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïî-ðàçíîìó, íî â ñðåäíåì îñòàåòñÿ
áåçðèñêîâîé. Ñóùåñòâóåò äàæå ñïåöèàëüíûé òåðìèí ðèñê-íåéòðàëüíûé
èíâåñòîð, ò.å. ñïîêîéíî îòíîñÿùèéñÿ ê ñëó÷àéíûì êîëåáàíèÿì äîõîäíîñòè
ñâîèõ ôèíàíñîâûõ ñäåëîê, åñëè îíà â ñðåäíåì ñîâïàäàåò ñ áåçðèñêîâîé
äîõîäíîñòüþ.
Âòîðîé âîïðîñ, âîçìîæíî, ÿâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì, ïîñêîëüêó åñëè
èíâåñòîð ïðåäñòàâëÿåò íóëåâîé âàðèàíò, ïðè÷åì íå âàæíî, êòî îí,
ïðîäàâåö èëè ïîêóïàòåëü, òî åìó çíà÷èòåëüíî ïðîùå, ñêàæåì, ñòðîèòü
ðèñêîâàííûå ñòðàòåãèè, ðàññ÷èòàííûå íà êàêîé-òî âûèãðûø. À ýòîãî
âïîëíå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîñòàâèòü ðàçðàáîòàííîé òåîðèè õîðîøî! ×òî
æå êàñàåòñÿ ïåðâîãî âîïðîñà, òî ëþáîå ðàçâèòèå ñîáûòèé â ïðèíöèïå
ÿâëÿåòñÿ ýêâèâàëåíòíûì â ñðåäíåì íåêîòîðîé ôèêñèðîâàííîé ñòàâêå.
Îñòàåòñÿ ëèøü ïðàâèëüíî ñïðîãíîçèðîâàòü êàê ìåðó, ïî êîòîðîé ñëåäóåò
óñðåäíÿòü, òàê è ñâÿçü ýòîé ôèêñèðîâàííîé ñðåäíåé ñòàâêè ñ èìåþùåéñÿ
áåçðèñêîâîé.
96
5
III
Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà
íà áèíîìèàëüíîì
5.1
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
(B, S)− ðûíêå
Ñïåöèôèêà ðàñ÷åòà îïöèîíîâ
Àìåðèêàíñêîãî òèïà
1. Íàïîìíèì ðÿä ìîìåíòîâ, îòëè÷àþùèõ ðàññìîòðåíèå îïöèîíîâ
àìåðèêàíñêîãî òèïà îò âûøåèçëîæåííîé òåîðèè åâðî-îïöèîíîâ. Ïðåæäå
âñåãî, ê òðåì ýëåìåíòàì õåäæèðîâàíèÿ åâðîïåéñêîãî ïëàòåæíîãî
îáÿçàòåëüñòâà
ñïðàâåäëèâîé öåíå õåäæèðîâàíèÿ CN (f, P ),
îïòèìàëüíîé õåäæèðóþùåé ñòðàòåãèè π ïðîäàâöà îïöèîíà è
äèíàìèêå èçìåíåíèÿ åãî êàïèòàëà Xnπ, C , äîáàâëÿåòñÿ è ÷åòâåðòûé:
îïòèìàëüíûé ìîìåíò τ0N
ïðåäúÿâëåíèÿ ïîêóïàòåëåì îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ.
Áîëåå òîãî, äâà ýëåìåíòà èç ïåðâûõ òðåõ ñóùåñòâåííî ìåíÿþòñÿ.
Òàê, îïðåäåëÿåòñÿ íåñêîëüêî èíà÷å öåíà (äåëàåòñÿ ýòî ïî àíàëîãèè ñ
îïðåäåëåíèåì âåðõíåé öåíû åâðî-îïöèîíà). È çàìåòíî ðàñøèðÿåòñÿ êëàññ
äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé. Òåïåðü âìåñòî ñàìîôèíàíñèðóåìûõ ñòðàòåãèé
ðàññìàòðèâàþòñÿ ñàìîôèíàíñèðóåìûå ñ ïîòðåáëåíèåì è ñîîòâåòñòâåííî
ìåíÿåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ êàïèòàëà äàííîé ñòðàòåãèè.
 íàñòîÿùåé ãëàâå îñíîâíîå âíèìàíèå áóäåò óäåëåíî ïåðâîìó
è ïîñëåäíåìó ýëåìåíòàì, ò.å. ïîëó÷åíèþ ñïðàâåäëèâîé ñòîèìîñòè
îïöèîííîãî êîíòðàêòà ñ çàäàííîé ñèñòåìîé ïëàòåæíûõ ôóíêöèé
f = (fn )0≤n≤N
(1)
è ðàöèîíàëüíîãî èëè îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà ïðåäúÿâëåíèÿ ïîêóïàòåëåì
îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ. Â ïðèíöèïèàëüíîì îòíîøåíèè ðåøåíèå âñåõ
âîïðîñîâ, â òîì ÷èñëå è îñòàëüíûõ äâóõ (îïèñàíèå îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè
è ñîîòâåòñòâóþùåãî åé êàïèòàëà) áûëî äàíî ðàíåå, â ò.2.3 è ñë.2.4.
Ïðè ýòîì ðàññìîòðåíèå óêàçàííûõ äâóõ âîïðîñîâ áóäåò ïðîâåäåíî äëÿ
÷àñòíîãî ñëó÷àÿ CRR− ìîäåëè (B, S)− ðûíêà, ââåäåííîé â ï.4.1.
2. Íàïîìíèì, â ýòîé CRR− ìîäåëè ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
∆Bn = rBn−1 ,
∆Sn = ρn Sn−1 ,
ãäå ρ = (ρn )− òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü í.î.ð.ñ.â. ñ 2 çíà÷åíèÿìè, ÷òî
P (ρn = b) = p, P (ρn = a) = q, −1 < a < r < b, p + q = 1, 0 < p < 1.
5
97
Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà
À íàø ÷àñòíûé ñëó÷àé, ïîçâîëÿþùèé ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü
äàëüíåéøèé àíàëèç, ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè íåêîòîðîì λ > 1
b = λ − 1,
a = λ−1 − 1.
(2)
Òåì ñàìûì âìåñòî äâóõ ïàðàìåòðîâ, a è b, ïðîöåññ èçìåíåíèÿ öåí
S = (Sn ) áóäåò îïðåäåëÿòü âñåãî ëèøü îäèí ïàðàìåòð λ. Ñîîòâåòñòâåííî,
ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî
Sn = S0 λε1 +···+εn ,
1 ≤ n ≤ N,
(3)
ãäå P (εn = 1) = P (ρn = b) = p, P (εn = −1) = P (ρn = a) = q, à
ε = (εn )− íåêîòîðàÿ äðóãàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü í.î.ð.ñ.â.
Ñåìåéñòâî öåí (3) îáû÷íî ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî S0 ∈
E = {λk , k = 0, ±1, · · ·}, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, ñîñòîÿíèÿ
Sn ïðè ëþáîì n ≥ 1 áóäóò ïðèíàäëåæàòü òîìó æå ñàìîìó ìíîæåñòâó E.
Íàçûâàåòñÿ îíî
ãåîìåòðè÷åñêèì ñëó÷àéíûì áëóæäàíèåì ïî ìíîæåñòâó ñîñòîÿíèé E.
Êðîìå òîãî, âìåñòî ìåðû P ãîâîðÿò î ðàñïðåäåëåíèè Px
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè S = (Sn ) èç (3) îòíîñèòåëüíî ìåðû P â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî S0 = x :
Px = Law((Sn )1≤n≤N |P, S0 = x).
 ñîîòâåòñòâèè æå ñî ñòàíäàðòíîé òåðìèíîëîãèåé òåîðèè ñëó÷àéíûõ
ïðîöåññîâ ðàññìàòðèâàåìàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü S îáðàçóåò
îäíîðîäíîå ìàðêîâñêîå ñëó÷àéíîå áëóæäàíèå èëè
îäíîðîäíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ ñ ñåìåéñòâîì âåðîÿòíîñòåé Px , x ∈ E.
Ïðè ýòîì åãî îïåðàòîð ïåðåõîäà çà îäèí øàã T, îïðåäåëÿåìûé äëÿ
ôóíêöèé g = g(y), y ∈ E, èìååò âèä
T g(x) = Ex g(S1 ) = pg(xλ) + (1 − p)g(xλ−1 ).
(4)
ãäå Ex − óñðåäíåíèå ïî ìåðå Px .
3.
Êàê èçâåñòíî, (B, S)− ðûíîê, îïèñûâàåìûé CRR− ìîäåëüþ, ÿâëÿåòñÿ
áåçàðáèòðàæíûì è ïîëíûì. Ïðè ýòîì åäèíñòâåííîé ìàðòèíãàëüíîé ìåðîé
ÿâëÿåòñÿ ìåðà P ∗ , îïðåäåëÿåìàÿ âåðîÿòíîñòÿìè (4.4). Èçâåñòíî è òî, ÷òî
âñå âåðîÿòíîñòíûå ðàñ÷åòû äîëæíû ïðîèçâîäèòüñÿ îòíîñèòåëüíî èìåííî
ýòîé ìåðû. Íî, ÷òîáû íå ââîäèòü íîâûõ îáîçíà÷åíèé, ñ ñàìîãî íà÷àëà
ïðåäïîëîæèì, ÷òî P = P ∗ , è, çíà÷èò,
p=
r−a
u−µ
=
,
b−a
λ−µ
q=
b−r
λ−u
=
,
b−a
λ−µ
ãäå u = 1 + r, µ = λ−1 . È ïóñòü v = (1 + r)−1 , à λ > u ≥ 1.
(5)
98
5.2
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
Ñòàíäàðòíûé îïöèîí ïîêóïàòåëÿ
1. Ðàññìîòðèì Àìåðèêàíñêèé îïöèîí êîëë ñ ñèñòåìîé ïëàòåæíûõ âûïëàò
(1), â êîòîðîé
fn = β n g(Sn ),
g(y) = (y − K)+ ,
y ∈ E,
(6)
è 0 < β ≤ 1, λ > u ≥ 1. Îò îáû÷íîãî ñòàíäàðòíîãî îïöèîíà êîëë, äëÿ
êîòîðîãî β = 1, îí îòëè÷àåòñÿ ñîâñåì íåìíîãî. Íî õàðàêòåð èçëîæåííûõ
íèæå âûâîäîâ â îòíîøåíèè ñëó÷àÿ β = 1 çàñòàâëÿþò ïåðåñìîòðåòü
ïðåæíåå ïîíèìàíèå ñòàíäàðòíîãî Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë è íàçâàòü
òàê èìåííî ñëó÷àé ïëàòåæíûõ ôóíêöèé (6) ñ 0 < β ≤ 1.
Íà÷íåì ñ òîãî, ÷òî ïîïûòàåìñÿ â äâóõ ñëîâàõ îáúÿñíèòü: ñïðàâåäëèâóþ
öåíó Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë ìîæíî ïîëó÷èòü èíòóèòèâíî è òàê
æå ïðîñòî, êàê è äëÿ Åâðîïåéñêîãî. È äëÿ ýòîãî âîâñå íå îáÿçàòåëüíî
ïîëüçîâàòüñÿ äîêàçàíûìè âûøå òåîðåìàìè. Íàïîìíèì äëÿ ýòîãî, ÷òî
âëàäåëåö èëè ïîêóïàòåëü Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà êîëë ñî ñðîêîì æèçíè
N ìîæåò ïðåäúÿâèòü ñâîé îïöèîí ê èñïîëíåíèþ â ëþáîé öåëî÷èñëåííûé
ìîìåíò âðåìåíè n, 0 ≤ n ≤ N. È åãî âûáîð áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ
ëèøü æåëàíèåì ìàêñèìèçèðîâàòü âûïëàòó ýòîãî ìîìåíòà β n (Sn − K)+
â îïðåäåëåííîì ñìûñëå. Îäíàêî, õîòÿ òàê ñêàçàòü è ìîæíî, íî ýòîãî
ñëèøêîì ìàëî äëÿ ïðàâèëüíîãî ïîíèìàíèÿ íàøèõ ïðîáëåì è èõ ðåøåíèé.
Äåëî â òîì, ÷òî â æèçíè ñèòóàöèÿ âëàäåëüöà íàïîìèíàåò, ñêàæåì,
ñîðåâíîâàíèÿ êîâáîåâ, çà èñêëþ÷åíèåì îäíîãî ìîìåíòà. Ìû èìååì
ââèäó òàêèå ñîðåâíîâàíèÿ, êîãäà êàæäîìó êîâáîþ-ó÷àñòíèêó äàþò
íåîáúåçæåííîãî áûêà è âûèãðûâàåò òîò, êîìó óäàåòñÿ ïðîäåðæàòüñÿ
íà áûêå äîëüøå âñåõ. Òàê âîò âëàäåëüöó íå âàæíî, êòî âûèãðûâàåò
ñîðåâíîâàíèÿ, åìó ïðîñòî íóæíî ïðåäñòàâëÿòü, ñêîëüêî âðåìåíè áûê
òåðïåë êàæäîãî èç íèõ. À òî÷íåå, ïðåäñòàâëÿòü ìîìåíò, êîãäà êîíêðåòíûé
áûê ñáðàñûâàåò ñâîåãî êîâáîÿ. Ýòîò ìîìåíò è åñòü âîçìîæíûé ìîìåíò
ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ. È òàêèõ ìîìåíòîâ ñòîëüêî,
ñêîëüêî â ñîðåâíîâàíèÿõ ó÷àñòâóåò ïàð êîâáîé-áûê. Ïî÷åìó æå òàêàÿ
èíòåðïðåòàöèÿ ëó÷øå îòðàæàåò ñóòü äåëà, ÷åì ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå?
Âñå ïðîñòî. Ïîñêîëüêó ðåøåíèå î ïðåäúÿâëåíèè îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ
ïðèíèìàåòñÿ íà îñíîâàíèè êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
öåí S0 (ω), S1 (ω), · · · , SN (ω), à ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îïðåäåëÿåòñÿ
âûáîðîì ýëåìåíòàðíîãî èñõîäà ω ∈ Ω, òî ëó÷øå íàçâàòü ýòîò ìîìåíò
ïðåäúÿâëåíèÿ ñ.â. τ = τ (ω) ñ âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè n, 0 ≤ n ≤ N. Íå
áóäåì ãîâîðèòü î òîì, ïî÷åìó ýòîò ìîìåíò ìîæíî ñ÷èòàòü ìàðêîâñêèì
(äåéñòâèòåëüíî, ïî÷åìó?). Ëèøü çàìåòèì, ÷òî â ñèëó âûøåñêàçàííîãî
èíòóèòèâíî íå òîëüêî íàïðàøèâàåòñÿ ââåñòè âåëè÷èíó
V0N (x) = sup Ex (βv)τ (Sτ − K)+ ,
τ ∈W0N
(7)
5
Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà
99
íî è, áîëåå òîãî, íàçâàòü åå ñïðàâåäëèâîé öåíîé.
 ñàìîì äåëå, âî-ïåðâûõ, åñëè ìîìåíòîì èñïîëíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ñ.â. τ, òî âûïëàòà, êîòîðóþ ñëåäóåò ìàêñèìèçèðîâàòü, ïðåäñòàâëÿåòñÿ
âûðàæåíèåì (Sτ − K)+ . Âî-âòîðûõ, âñå ýòè ñóììû îòíîñÿòñÿ ê ðàçíûì
ìîìåíòàì âðåìåíè è ïîòîìó ñðàâíèâàòü èõ ëó÷øå ïîñëå ïðèâåäåíèÿ
èõ ñòîèìîñòè ê êàêîìó-ëèáî îáùåìó ìîìåíòó âðåìåíè. Êîíå÷íî, äëÿ
ýòèõ öåëåé ïîäõîäèò ìîìåíò 0 è â ýòîì ñëó÷àå, åñëè åùå ó÷åñòü,
÷òî ñðàâíèâàòü ïðîùå íå ñ.â., à èõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, òî
åñòåñòâåííî ìàêñèìèçèðîâàòü âûðàæåíèÿ Ex (βv)τ (Sτ − K)+ , ïðè÷åì ïî
ìíîæåñòâó èç (7). Èòàê, âåëè÷èíà â (7), ñ îäíîé ñòîðîíû, ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ìàêñèìàëüíûé óùåðá, êîòîðûé âëàäåëåö îïöèîíà ìîæåò íàíåñòè
â ñðåäíåì ïðîäàâöó. À, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ìèíèìàëüíîé öåíîé,
çà êîòîðóþ ïðîäàâåö ìîæåò ïðîäàòü îïöèîí è âåðèòü â òî, ÷òî
ýòîãî îêàæåòñÿ äîñòàòî÷íî äëÿ âûïîëíåíèÿ ñâîèõ îáÿçàòåëüñòâ. Èíûìè
ñëîâàìè, ýòî âûðàæåíèå è åñòü ñïðàâåäëèâàÿ öåíà Àìåðèêàíñêîãî îïöèîíà
êîëë.
×òî æå êàñàåòñÿ ñòðîãîãî îáîñíîâàíèÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû CN (f, P ),
òî âûðàæåíèå äëÿ íåå áûëî óñòàíîâëåíî â òåîðåìå 2.3 è äëÿ íàøåãî
ñëó÷àÿ ïîñòîÿííîé áåçðèñêîâîé ñòàâêè è ïëàòåæíîé ôóíêöèè (ñì. óñëîâèÿ
(2.31) è (2.32)) áûëî óòî÷íåíî â ñëåäñòâèè 2.4 âìåñòå ñ âûðàæåíèåì äëÿ
îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè. Èìåííî â ñîîòâåòñòâèè ñî ñëåäñòâèåì
2.4 (è â ïðåäïîëîæåíèè S0 = x ) äëÿ ñïðàâåäëèâîé öåíû èìååò ìåñòî
ïðåäñòàâëåíèå
CN (f, P ) = V0N (x) = QN g(x),
(8)
ãäå g(y) = (y − K)+ è
Qg(y) = max (g(y), βvT g(y)),
(9)
à äëÿ îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè τ0N èç êëàññà W0N èìååò ìåñòî
âûðàæåíèå
τ0N = min{0 ≤ n ≤ N : QN −n (Sn ) = g(Sn )}.
(10)
2. Ïîêàæåì ñíà÷àëà, ÷òî ñëó÷àé β = 1 ðàññìàòðèâàåòñÿ ýëåìåíòàðíî,
ïîñêîëüêó â íåì îïòèìàëüíûé ìîìåíò îñòàíîâêè ïðàêòè÷åñêè î÷åâèäåí è
îí òàêîé, ÷òî íå íóæíû íè îáëàñòè îñòàíîâêè, íè îáëàñòè ïðîäîëæåíèÿ
íàáëþäåíèé.
 ñàìîì äåëå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v n Sn ) ÿâëÿåòñÿ ìàðòèíãàëîì
îòíîñèòåëüíî ëþáîé ìåðû Px , x ∈ E, ïîñêîëüêó P − ìàðòèíãàëîì
ÿâëÿåòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (Sn /Bn ) (íàïîìèíàåì, ó íàñ Bn = B0 (1 +
r)n , v = (1 + r)−1 ). Ïîýòîìó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v n (Sn − K)) áóäåò
ñóáìàðòèíãàëîì ïðè K ≥ 0, r ≥ 0. Ñîîòâåòñòâåííî, â ñèëó íåðàâåíñòâà
Éåíñåíà (ñì. òàêæå óïð. 4 èç ï.1.2.2), ïîñëåäîâàòåëüíîñòü (v n (Sn − K))+
100
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
òàêæå åñòü ñóáìàðòèíãàë è, çíà÷èò, ïî òåîðåìå Äóáà îá îñòàíîâêå (ñì.
ï.I.6.1; òîëüêî èñïîëüçîâàòü åå íàäî â ôîðìå äëÿ ñóáìàðòèíãàëà, à íå
ñóïåðìàðòèíãàëà) äëÿ ëþáîãî ìàðêîâñêîãî ìîìåíòà 0 ≤ τ ≤ N
Ex v τ (Sτ − K)+ ≤ Ex v N (SN − K)+ .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â êà÷åñòâå îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè â
ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ìîæíî âçÿòü ìîìåíò τ0N = N, è, çíà÷èò, åñëè
S0 = x, òî
CN (f, P ) = V0N (x) = Ex v N (SN − K)+ .
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò Ìåðòîíà (ñì [1]):
åñëè äèñêîíòèðóþùèé ôàêòîð β = 1, òî ñòàíäàðòíûå
îïöèîíû êîëë Àìåðèêàíñêîãî è Åâðîïåéñêîãî òèïîâ ñîâïàäàþò.
Ïðè ýòîì çíà÷åíèå V0N (x) ìîæíî áðàòü è â òåîðåìå 4.4.
3. Ðàññìîòðèì òåïåðü áîëåå èíòåðåñíûé ñëó÷àé 0 < β < 1, â
êîòîðîì íåòðóäíî êà÷åñòâåííûì îáðàçîì îïèñàòü ñòðóêòóðó ìíîæåñòâ
DnN îñòàíîâêè è CnN ïðîäîëæåíèÿ íàáëþäåíèé (ñì. ï.2.2), 0 ≤ n ≤ N, è
òåì ñàìûì îïèñàòü ñòðàòåãèþ ïîêóïàòåëÿ îòíîñèòåëüíî âûáîðà ìîìåíòà
ïðåäúÿâëåíèÿ îïöèîíà ê èñïîëíåíèþ. Ïðè ýòîì, íå îñîáåííî òåðÿÿ
â îáùíîñòè, ñóùåñòâåííî óïðîñòèì àíàëèç òåì, ÷òî âûáåðåì óäîáíûå
çíà÷åíèÿ öåíû èñïîëíåíèÿ K è íà÷àëüíîé öåíû àêöèè S0 = x.
Òåîðåìà 1.
Ïóñòü 0 < β < 1, K = x = 1. Òîãäà îêàçûâàåòñÿ, ÷òî
C0n ≡ {y ∈ E : Qn g(y) > g(y)} = {y ∈ E : µn−1 ≤ y ≤ λd }, n ≥ 1, (11)
ãäå
d = kβ ≡ max {k ∈ Z : ρk < β};
(12)
çäåñü è íèæå ρk = (λk − 1)/(λk − v). Òåì ñàìûì ïðîáëåìà ïîèñêà
îïòèìàëüíîãî ìîìåíòà îñòàíîâêè ðåøàåòñÿ ïîëíîñòüþ, ïîñêîëüêó (ñì.
(2.14), (2.15) è ñëåäñòâèå 2.3)
DnN = {y ∈ E : QN −n g(y) = g(y)},
CnN = E \ DnN = {y ∈ E : QN −n g(y) > g(y)} = C0N −n ,
τ0N
= min{0 ≤ n ≤ N : Sn ∈
(13)
DnN )}.
Ñïðàâåäëèâàÿ æå öåíà îïöèîíà, ñêàæåì, ïðè x =
îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
V0N (x) = β c (λk − v c ),
(14)
λk ,
k
≥ 1,
(15)
ãäå
c = min (lβ , N ),
lβ ≡ max {l ∈ Z : ρkl < β},
(16)
5
101
Îïöèîíû àìåðèêàíñêîãî òèïà
à ρkl = (λk − v l−1 )/(λk − v l ), l ≥ 1, ρk0 = 0.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç îïðåäåëåíèé (9) è (4) âûòåêàåò, ÷òî â
ðàññìàòðèâàåìîé íàìè ñèòóàöèè ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ
(n ≥ 1) :
Qn g(y) = max{(βv)k T k g(y) : 0 ≤ k ≤ n},
(17)
T k g(y) =
k
X
Ckl pk−l q l g(λk−2l y),
q = 1 − p.
(18)
l=0
Íåòðóäíî âèäåòü òàêæå, ÷òî T k g(µs ) = 0 ïðè ëþáîì s ≥ k ≥ 0,
ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå âñå ñëàãàåìûå â (18) ðàâíû íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî Qn g(µs ) = 0 = g(µs ) ïðè s ≥ n. Íî åñëè 0 ≤ s < n, òî ñóììà â (18)
ïðè y = µs ÿâëÿåòñÿ íåíóëåâîé ïðè s < k ≤ n è ïîòîìó
Qn g(µs ) = max{(βv)k T k g(µs ) : s < k ≤ n} > g(µs ) = 0.
Èíûìè ñëîâàìè, ìû äîêàçàëè íåðàâåíñòâî Qn g(y) > g(y) ïðè y = µs ,
0 ≤ s ≤ n − 1 è íàì îñòàëîñü ïîíÿòü, ïðè êàêèõ s ≥ 1 îíî âåðíî ïðè
y = λs . Òî÷íåå ãîâîðÿ, îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî îíî âåðíî ïðè s ≤ d.
Óáåäèìñÿ äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà â òîì, ÷òî ïðè s ≥ 1
Qn g(λs ) = max {λs − 1, β(λs − v), β 2 (λs − v 2 ), · · · , β n (λs − v n )}.
(19)
Äëÿ ÷åãî äîñòàòî÷íî îáîñíîâàòü òîò ôàêò, ÷òî
T l g(λs ) = λs ul − 1, l ≥ 1, è, ñëåäîâàòåëüíî, v l T l g(λs ) = λs − v l ,
(20)
ïîñêîëüêó
òîãäà,
î÷åâèäíî,
(19)
âûòåêàåò
èç
(17).
Ñïðàâåäëèâîñòü æå ïîñëåäíèõ ôîðìóë (20) ëåãêî óñòàíîâèòü, èñïîëüçóÿ
ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè.  ñàìîì äåëå,
T g(λs ) = λs [pλ + (1 − p)µ] − 1 = λs u − 1,
T l g(λs ) = T (T l−1 g(λs )) = T (λs ul−1 − 1)
= p(λs+1 ul−1 −1)+(1−p)(λs−1 ul−1 −1) = λs ul−1 [pλ+(1−p)µ]−1 = λs ul −1.
Òåïåðü
îñòàåòñÿ
îòìåòèòü
ëèøü
äâà
ìîìåíòà. Âî-ïåðâûõ, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ( ρk ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò ïî
k, ïðè÷åì limk→∞ ρk = 1, a ρ0 = 0. Ïîýòîìó îïðåäåëåíèå (12) âåëè÷èíû
kβ êîððåêòíî, ïîñêîëüêó ïðè ëþáîì β < 1 îïðåäåëÿåò åå îäíîçíà÷íî.
Áîëåå òîãî, åñëè kβ = k, òî ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà
ρk < β ≤ ρk+1 .
(21)
Âî-âòîðûõ, ÷èñëà ρkl = (λk − v l−1 )/(λk − v l ) òàêæå ìîíîòîííî âîçðàñòàþò
ïðè óâåëè÷åíèè l äëÿ ëþáûõ k ≥ 1. Ïîýòîìó, åñëè âûïîëíÿåòñÿ ïðàâîå
102
III
Òåîðèÿ ðàñ÷åòîâ
íåðàâåíñòâî â (21), ò.å. β ≤ ρ(k+1)1 = ρk+1 , òî β < ρ(k+1)l è ïðè âñåõ
îñòàëüíûõ l > 1. À, çíà÷èò, âñå ÷èñëà âíóòðè ôèãóðíûõ ñêîáîê èç (19)
óáûâàþò ñëåâà íàïðàâî ïðè s = k+1 (ðàâíûìè ìîãóò áûòü òîëüêî ïåðâûå
äâà) è òåì áîëåå ïðè s > k + 1, ïîcêîëüêó β < ρk+l ïðè âñåõ l > 1.
Èíûìè ñëîâàìè, Qn g(λs ) = g(λs ) ïðè âñåõ s ≥ k + 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû,
åñëè âûïîëíÿåòñÿ ëåâîå íàðàâåíñòâî â (21), ò.å. β > ρk1 = ρk , è, çíà÷èò,
β > ρs1 = ρs ïðè ëþáîì s ≤ k, òî ïðè âñåõ òàêèõ s âòîðîé ýëåìåíò
èç (19) à îí ïðèñóòñòâóåò ïðè âñåõ n ≥ 1 áîëüøå ïåðâîãî è ïîòîìó
Qn g(λs ) > g(λs ). Íî òåì ñàìûì ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî óòâåðæäåíèå (11) ñ
âåëè÷èíîé d èç (12) óñòàíîâëåíî.
Äëÿ îáîñíîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (15) óäîáíûì òàêæå îêàçûâàåòñÿ
ïðåäñòàâëåíèå (19) è ìû ìîæåì åãî âçÿòü â ñèëó (8). Ïðè÷åì íà ýòîò
ðàç ïîìèìî ñâîéñòâ ìîíîòîííîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( ρkl ) ïî l ïðè
ëþáîì k ≥ 0 è åäèíñòâåííîcòè òî÷êè íàêîïëåíèÿ 1, ïîçâîëÿþùèõ ñ÷èòàòü
îïðåäåëåíèå âåëè÷èíû lβ â (16) êîððåêòíûì, èñïîëüçóåì è òîò ôàêò, ÷òî
èç ðàâåíñòâà lβ = l âûòåêàþò íåðàâåíñòâà
ρkl < β ≤ ρk(l+1) .
(22)
Äåëî çäåñü ïðîñòî â òîì, ÷òî òî÷êè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( ρkl ) ïî l äåëÿò
îòðåçîê (0, 1) íà áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ÷àñòåé. Ïðè ýòîì, åñëè çíà÷åíèå β
ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó èç (22), ò.å. ïðèíàäëåæèò (l + 1)− ìó èç íèõ, òî
ìàêñèìóì ñîîòâåòñòâóþùåé áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(β m (λs − v m ))m≥0
(23)
ïðè s = k äîñòèãàåòñÿ ïðè m = l, ò.å. òàêæå íà (l + 1)− ì ýëåìåíòå
ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè. Óáåäèòüñÿ æå â ýòîì íåñëîæíî ïî àíàëîãèè ñ
âûøåñêàçàííûì.
 ñàìîì äåëå, â ñèëó (22) è ìîíîòîííîñòè (ρkl ) èìååì íåðàâåíñòâà
λk − 1
λk − v l−1
λk − v l
λk − v l+1
<
·
·
·
<
<
β
≤
<
< ···,
λk − v
λk − v l
λk − v l+1
λk − v l+2
êîòîðûå ïðè s = k è ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî íàì íóæíî:
λs − 1 < β(λs − v) < · · · < β l−1 (λs − v l−1 ) <
< β l (λs − v l ) ≥ β l+1 (λs − v l+1 ) > β l+2 (λs − v l+2 ) > · · ·
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ôîðìóëû (15) îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî
ýëåìåíòû âíóòðè ôèãóðíûõ ñêîáîê èç (19) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïåðâûå
n + 1 ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (23). Òåîðåìà äîêàçàíà.