Физика

1. Физика - наука, изучающая простейшие и вместе с тем наиболее общие закономерности
явлений природы, свойства и строение материи, а также законы ее движения. Методами
физических исследований являются: опыт, гипотеза, теория, эксперимент. Опыт - основной
метод исследования в физике. Опыт - это наблюдение исследуемого явления в точно
контролируемых условиях, позволяющих следить за ходом явления и воссоздать его каждый
раз при повторении этих условий. Гипотеза - научное предположение, выдвигаемое для
объяснения какого-либо факта или явления. Гипотеза подтверждается опытом. Эксперимент научно поставленный опыт с целью проверки гипотезы. Физическая теория - система основных
идей, обобщающих опытные данные и отражающих объективные закономерности природы.
Физическая теория дает объяснение целой области явлений природы с единой точки зрения.
Теория — учение, система идей или принципов. Является совокупностью обобщенных
положений, образующих науку или ее раздел. Эксперимент, также опыт, в научном методе —
метод исследования некоторого явления в управляемых условиях. Отличается от наблюдения
активным взаимодействием с изучаемым объектом. Техника в свою очередь создает более
совершенные приборы, позволяющие физике проникать в неразгаданные тайны природы,
открывать новые явления. Материя— объективная реальность, содержимое пространства,
одна из основных категорий науки и философии, объект изучения физики. Пространство и
время в физике определяются в общем виде как фундамент структуры координации
материальных объектов и их состояний: система отношений, отображающая координацию
сосуществующих объектов.
2. Механика — раздел физики, изучающий закономерности механического движения и
причины, вызывающие и изменяющие это движение. 2) Физические модели - модели,
применяемые в механике для описания движения тел (изменения с течением времени
взаимного расположения тел или их частей) в зависимости от условий конкретных задач. 3)
Виды механического движения. Простейшими видами механического движения
материальной точки являются равномерное и прямолинейное движения. Движение
называется равномерным, если модуль вектора скорости остаётся постоянным (направление
скорости при этом может меняться). Движение называется прямолинейным, если
направление вектора скорости остаётся постоянным (а величина скорости при этом может
меняться. 4) Система отсчёта — это совокупность неподвижных относительно друг друга тел
(тело отсчёта), по отношению к которым рассматривается движение (в связанной с ними
системе координат), и отсчитывающих время часов (системы отсчёта времени), по отношению
к которой рассматривается движение каких-либо тел 5) Способы задания движений: 1.
Координатный способ задания движения. 2. Естественный способ задания движения точки.
3.Поступательное движение твёрдого тела. 4. Вращательное движение твердого тела.
3.
4.
5. Вращательное движение твёрдого тела называется такое движение, при котором все
его точки описывают окружности, лежащие в параллельных плоскостях с центрами на 1
прямой и эту прямую называют осью вращения.
Кинематические характеристики
Вращение характеризуется углом φ, измеряющимся в градусах или в радианах, угловой
скоростью ω=dφ/dt (измеряется в рад/с) и угловым ускорением ɛ=d²φ/dt² (единица измерения
рад/с²)
При равномерном вращении (T - период вращения).
• Частота вращения - число оборотов в единицу времени.
= 1/T=ω/2π
•Период вращения - время одного полного оборота. Период вращения T и его частота
связаны соотношением T=1/ .
•Линейная скорость точки, находящаяся на расстоянии R от оси вращения
= 2π R=2πR/T
• Угловая скорость вращения тела - аксиальный вектор (псевдовектор)
ω=2π =2π/T
Вращательное движение. Угловое перемещение
•
•
•
Вращательным называется движение, при котором все точки тела движутся по
окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Угловое перемещение - поворот тела на некоторый угол [φ]-[рад.]
3,14 радиан равны 180°
V=ω×r - формула Эйлера, т. е. вектор скорости любой точки вращающегося тела на
радиус-вектор этой точки.
6. Инерциальные системы отсчета – это покоящиеся система отсчета либо двигающееся
относительно покоящегося прямолинейно и равномерно. Принцип относительности Галилея.
Уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой
формулируются одинаково. Принцип относительности Галилея – это принцип физического
равноправия инерциальных систем отсчёта в классической механике, проявляющегося в том,
что законы механики во всех таких системах одинаковы. Отсюда следует, что никакими
механическими опытами, проводящимися в какой-либо инерциальной системе, нельзя
определить, покоится ли данная система или движется равномерно и прямолинейно.
Преобразова́ния Галиле́я — в классической механике (механике Ньютона) преобразования
координат и скорости при переходе от одной инерциальной системы отсчёта (ИСО) к другой.
Термин был предложен Филиппом Франком в 1909 году. Преобразования Галилея опираются
на принцип относительности Галилея, который подразумевает одинаковость времени во всех
системах отсчёта («абсолютное время»).
Преобразования Галилея.
•
И формулы преобразования координат будут выглядеть следующим образом
•
•
x= t + x’, y=y’, z=z’.
Эти формулы носят название формул преобразования координат Галилея.
7.
8.
9. I постулат: все законы природы имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах
отсчета.
II постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Она не
зависит ни от скорости источника, ни от скорости приемника светового сигнала. Закон сложения
скоростей в СТО записывается так:
где v – скорость тела относительно неподвижной системы отсчета, v′ – скорость тела
относительно подвижной системы отсчета, u – скорость подвижной системы отсчета
относительно неподвижной, c – скорость света.
При скоростях движения, много меньших скорости света, релятивистский закон сложения
скоростей переходит в классический, а длина тела и интервал времени становятся одинаковыми
в неподвижной и движущейся системах отсчета (принцип соответствия).
10.
Полная энергия E тела в состоянии движения называется релятивистской энергией тела:
Полная энергия, масса и импульс тела связаны друг с другом – они не могут меняться
независимо.
Закон пропорциональности массы и энергии – один из самых важных выводов СТО. Масса и
энергия являются различными свойствами материи. Масса тела характеризует его инертность,
а также способность тела вступать в гравитационное взаимодействие с другими телами.
Важно!
Важнейшим свойством энергии является ее способность превращаться из одной формы в
другую в эквивалентных количествах при различных физических процессах – в этом заключается
содержание закона сохранения энергии. Пропорциональность массы и энергии является
выражением внутренней сущности материи.
Наименьшей энергией E0 тело обладает в системе отсчета, относительно которой оно покоится.
Эта энергия называется энергией покоя:
Энергия покоя является внутренней энергией тела.
В СТО масса системы взаимодействующих тел не равна сумме масс тел, входящих в систему.
Разность суммы масс свободных тел и массы системы взаимодействующих тел называется
дефектом масс – Δm. Дефект масс положителен, если тела притягиваются друг к другу.
Изменение собственной энергии системы, т. е. при любых взаимодействиях этих тел внутри нее,
равно произведению дефекта масс на квадрат скорости света в вакууме:
ΔE=Δmc2
Экспериментальное подтверждение связи массы с энергией было получено при сравнении
энергии, высвобождающейся при радиоактивном распаде, с разностью масс исходного ядра и
конечных продуктов. Это утверждение имеет разнообразные практические применения,
включая использование ядерной энергии. Если масса частицы или системы частиц уменьшилась
на Δm, то при этом должна выделиться энергия ΔE=Δm⋅c2.
Кинетическая энергия тела (частицы) равна:
Ek=E−E0
Важно!
В классической механике энергия покоя равна нулю.
С помощью теории относительности Эйнштейн вывел формулу связи массы и энергии.
Энергия тела или системы тел равна массе, умноженной на квадрат скорости света.
Таким образом, изменение энергии системы приводит к изменению массы системы.
Важно отметить, что небольшие изменения энергии влекут за собой такие же малые изменения
массы.
11. Массой m тела называют физическую величину (это число), которое численно
характеризирует свойство инертности тела.
Импульсом тела → p называют векторную величину, равную произведению массы m этого тела
на его вектор скорости
1 закон: Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, в которых тела
движутся равномерно и прямолинейно, если на них не действуют никакие силы или действие
других сил скомпенсировано.
2 закон: Ускорение тела (материальной точки) в инерциальной системе отсчета прямо
пропорционально приложенной к нему силе и обратно пропорционально массе.
3 закон: Два тела воздействуют друг на друга с силами, противоположными по направлению, но
равными по модулю.
12. Импульс – векторная величина, направлен он всегда в ту сторону, в которую направлена
скорость.
Закон сохранения импульса - суммарный импульс системы тел до взаимодействия равен
суммарному импульсу этой системы тел после взаимодействия.
13.Движение тела переменной массы называется реактивным движением.
(10.1) Второе слагаемое в правой части
(10.1) называют реактивной силой Fp . Если и противоположен v по направлению, то ракета
ускоряется, а если совпадает с v, то тормозится. Таким образом, мы получили уравнение
движения тела переменной массы
(10.2)
Формула Циолковского
14. Закон всемирного тяготения.
Ускорение свободного падения
Сила тяжести– это сила, действующая на тело со стороны Земли и сообщающая ему ускорение
свободного падения.
Сила тяжести на поверхности земли
Сила тяжести на высоте
Вес тела и что такое невесомость
15. Силы трения
Сила трения препятствует скольжению соприкасающихся тел относительно друг друга. Силы
трения зависят от относительных скоростей тел в результате их действия механическая энергия
всегда превращается во внутреннюю энергию соприкасающихся тел, т.е. в энергию теплового
движения частиц.
Различают внешние (сухие) и внутреннее (жидкое и вязкое) трение.
Внешним трением называют трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся
тел при относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны относительно
друг друга, то говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих
тел, то говорят о трении скольжения, качания или верчения.
Внутренним трением называют трение между частицами одного и того же тела, например
между различными слоями газа или жидкости, скорости которых меняются от слоя к слою. В
отличие от внешнего трения, здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительно
друг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости(смазки), то говорят о
гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина
смазочной прослойки составляет около 0,1 мкм и менее).
Рассмотрим лежачее тело на плоскости, к которому приложена горизонтальная сила F. Тело
придёт в движение лишь тогда, когда приложенная сила F будет больше силы трения.
Французские физики Г.Амонтон и Ш.Кулон опытным путём установили следующий закон: сила
трения скольжения пропорциональна силе нормального давления, с которой одно тело
действует на другое: Ϝтр = 𝑓𝑁 где 𝑓 -коэффициент трения скольжения, зависящий от свойств
соприкасающихся поверхностей
Значение коэффициента трения при наклонной плоскости 𝑃 sin 𝛼 = 𝑓𝑃 cos 𝛼, откуда 𝑓 = tan 𝛼.
Таким образом, коэффициент трения равен тангенсу угла, при котором начинается скольжение
тела по наклонной плоскости.
Для гладких поверхностей определенную роль начинает играть межмолекулярное притяжение.
Для них применяется закон трения скольжения 𝐹тр = 𝑓ист(𝑁 + 𝑆𝑃0), где 𝑓ист- истинный
коэффициент трения скольжения, S-площадь контакта между телами, 𝑃0-добавочное давление,
обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которые быстро уменьшается с
увеличением расстояния между частицами.
Сила трения качения определяется по закону, установленному Кулоном: 𝐹тр = 𝑓к 𝑁/𝑟, где 𝑓к коэффициент трения качения, имеющий размерность 𝑑𝑖𝑚𝑓к = 𝐿, r-радиус крутящегося тела
16. Деформация твердого тела и её виды. Сила упругости. Закон Гука. Модуль Юнга. 43
страница Трофимовой
В природе абсолютно твёрдых тел нет, так как все реальные тела под действием сил изменяют
свою форму и размеры, т.е. деформируются.
Деформация называется упругой если после прекращения действия внешних сил тело
принимает первоначальную форму и размеры. Деформации, которые сохраняются в теле после
прекращения действия внешних сил называются пластическими (или остаточными).
Деформации реального тела всегда пластические, так как они после прекращения действия
внешних сил никогда полностью не исчезают. Однако если деформации малы, то ими можно
пренебречь.
При деформации тела возникают силы упругости. Физ. величина, определяемая модулем силы
упругости, действующей на единицу площади поперечного сечения тела, называется
напряжением: 𝜎 = 𝐹/𝑆
Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называется нормальным, если
же по касательной к поверхности – тангенциальным
Количественной мерой, характеризующей степень деформации, испытываемой телом, является
его относительная деформация. Так, относительное изменение длины стержня (продольная
деформация) 𝜀 = ∆𝑙/𝑙, относительное поперечное растяжение(сжатие) 𝜀, = ∆𝑑/𝑑, где d-диаметр
стержня.
Деформация 𝜀 и 𝜀, всегда имеют разные знаки (при растяжении ∆𝑙 положительно, а ∆𝑑
отрицательно. При сжатии ∆𝑙 отрицательно, а ∆𝑑 положительно). Из опыта вытекает
взаимосвязь 𝜀 и 𝜀’: 𝜀, = −𝜇𝜀, где 𝜇-положительный коэффициент, зависящий от свойств
материала и называемый коэффициентом Пауссона.
Р. Гук установил, что для малых деформаций относительное удлинение 𝜀 и напряжение 𝜎
пропорциональны друг другу 𝜎 = 𝐸𝜀 где E-коэффициент пропорциональности, называемый
модулем Юнга (Т.Юнг-английский учёный). Из выражения видно, что модуль Юнга
определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице 𝜀 = ∆/ 𝑙 =
𝜎/E = 𝐹/𝐸𝑆 или 𝐹 = 𝐸𝑆/𝑙 ∆𝑙 = 𝑘∆𝑙 где k-коэффициент упругости
Закон Гука: деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т.
п.), пропорциональна приложенной к этому телу силе
17. Энергия-универсальная мера различных форм движения и взаимодействия.
Работа силы-количественная
взаимодействующими телами.
характеристика
процесса
обмена
энергией
между
Элементарной работой силы 𝐹 на перемещение 𝑑𝑟 называется скалярная величина, где 𝛼угол между векторами 𝐹 и 𝑑𝑟 ;
Единица работы-джоуль
Мощность-скорость совершения работы.
𝑁 = 𝑑𝐴/𝑑𝑡
𝑁 = 𝐹 𝑑𝑟 /𝑑𝑡 = 𝐹 𝑈⃗⃗
N-скалярная величина
Единица мощности-ватт
18. Консервативные силы, силы, работа которых зависит только от начального и конечного
положений точки их приложения и не зависит ни от вида траектории этой точки, ни от закона её
движения.
Потенциальная энергия- механическая энергия системы тел, определяемых их взаимным
расположением и характером сил взаимодействия между ними.
При изменении положения тела изменяется его потенциальная энергия. Таким образом, работа
силы тяжести равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным
знаком.
𝐴 = −𝑚𝑔ℎ
По третьему закону Ньютона, деформирующая сила равна по модулю силе упругости и
направлена противоположно ей.
Элементарная работа 𝑑𝐴, совершаемая силой 𝐹𝑥 при бесконечно малой деформации 𝑑𝑥.
𝑑𝐴 = 𝐹𝑥𝑑𝑥 = 𝑘𝑥𝑑𝑥
А полная работа
Идет на увеличение потенциальной энергии пружины. Таким образом, потенциальная энергия
упругодеформированного тела
Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли
П = 𝑚𝑔ℎ
19.
2) Полная механическая энергия в физике характеризуется суммой кинетической и
потенциальной энергии, присутствующих в компонентах механической системы. Этот вид
энергии связан с движением объектов или его определенным положением, его способностью
совершать механическую работу
3) Механическая энергия — это энергия, связанная с движением объекта или его положением,
способность совершать механическую работу. Она представляет собой совокупность
кинетической и потенциальной энергии. Кинетическая энергия — это энергия действия.
Потенциальная — ожидания действия
20. Гармонические колебания. Уравнение и характеристики свободных незатухающих
колебаний. Энергия тела, совершающего гармонические колебания.
Гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со
временем по закону синуса (косинуса). Свободные незатухающие колебания описываются
уравнением
𝑥 = 𝐴 cos( 𝜔₀ 𝑡 + 𝜑)
где А — максимальное значение колеблющейся величины, называемое амплитудой колебания;
𝜔0 — круговая (циклическая) частота. Периодически изменяющийся аргумент косинуса (𝜔₀𝑡 +
𝜑) называется фазой колебания. Она определяет смещение колеблющейся величины от
положения равновесия в данный момент времени t. Величина 𝜑 в уравнении гармонических
колебаний называется начальной фазой. Она определяет смещение колеблющейся величины
от положения равновесия в начальный момент времени (t = 0).
Определенные состояния системы, совершающей гармонические колебания, повторяются
через промежуток времени Т, называемый периодом колебания, за который фаза колебания
получает приращение 2π, т. е.
𝜔₀(𝑡+ 𝑇) +𝜑 = (𝜔0𝑡 + 𝜑) + 2 𝜋
Откуда,
Частота колебаний - число полных колебаний, совершаемых в единицу времени. Единица
частоты — герц (Гц)
Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические
колебания, равна
или
Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под
действием упругой силы F, равна
Формулу для полной энергии:
Полная энергия остается постоянной, так как при гармонических колебаниях справедлив закон
сохранения механической энергии, поскольку упругая сила консервативна.
21. Пружинный, математический и физический маятники.
1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругойпружинеи
совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F —кх, где к — жесткость
пружины.
Пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону 𝑥 = 𝐴 cos(𝜔₀𝑡 + 𝜑) с
циклической частотой:
и периодом
Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука,
т.е. когда масса пружины мала по сравнению с массой тела.
Потенциальная энергия пружинного маятника
2.Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести
колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не
совпадающую с центром масс. Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый
угол а, то в соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела в
отсутствие сил трения вращающий момент М можно записать в виде
где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подвеса О; l —
расстояние между ней и центром масс маятника.
Вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия и в этом отношении
аналогичен упругой силе. Поэтому так же, как смещению и упругой силе, моменту М и угловому
смещению а приписывают противоположные знаки.
При малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с
циклической частотой 𝜔₀
и периодом
где L = 𝐽/𝑚𝑙 приведенная длина физического маятника Точка О’на продолжении прямой ОС,
отстоящая от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называется
центром качаний физического маятника. Применяя теорему Штейнера, получим
т.е. 00' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством
взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О
подвеса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маятника не
изменится.
3. Математический маятник —это идеализированная система, состоящая из материальной
точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под
действием силы тяжести. Момент инерции математического маятника
𝐽 = 𝑚𝑙²
где l — длина маятника. Так как математический маятник можно представить как частный
случай физического маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке —
центре масс, то получим выражение для периода малых колебаний математического маятника
Если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то
периоды колебаний этих маятников одинаковы. Следовательно, приведенная длина
физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний
которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
22. Затухающие колебания – это колебания, энергия которых уменьшается со временем.
Амплитуда затухающих колебаний уменьшается со временем в зависимости от коэффициента
затухания Ϭ.
Данный вид колебаний является непериодическим, т.к. в них никогда не повторяется значения
физических величин.
Периодом данных колебаний называется промежуток времени, через который физические
величины принимают аналогичные значения.
Циклическая частота затухающих колебаний показывает, сколько раз за Пи секунд маятник
приходит в положение равновесия.
23. Вынужденные колебания — колебания, происходящие под воздействием внешних
периодических сил
гле, F-мгновенное значение силы (в момент времени t)
F0 – Амплитуда силы
ω - частота вынуждающей силы
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
Решением данного уравнения будет равно сумме общего решения однородного уравнения
-НАЧАЛЬНАЯ СТАДИЯ (УСТАНОВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ)
И частотного решения неоднородного уравнения
- УСТАНОВИВШЕЙСЯ РЕЖИМ
ГРАФИК
1) – Амплитуда в установившемся режиме
2) Начальная фаза.
АВТОКОЛЕБАНИЯ
24. Сложение колебаний с одинаковыми частотами
Общие решения складываемых гармонических колебаний имеют вид:
где x1, x2 — переменные, описывающие колебания, A1, A2 — их амплитуды, в
начальные фазы.
Представление обоих колебаний с помощью векторов А1 и А2. Векторная сумма
—
Рис. 1.13. Векторная диаграмма для сложения одинаково направленных колебаний
одинаковой частоты
Проекция вектора А1 на ось 0x равна сумме проекций соответствующих векторов.
Таким образом, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор
вращается с той же угловой скоростью ω₀, так что результирующее движение будет
гармоническим колебанием с частотой ω₀, амплитудой A и начальной фазой a. Согласно
теореме косинусов:
В частности, если фазы складываемых колебаний равны или отличаются на величину, кратную
2π (то есть
), то амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд
Если же складываемые колебания находятся в противофазе (то есть
), то
Биения — это периодическое изменение амплитуды колебаний, возникающее при сложении
двух гармонических колебаний с близкими частотами.
Случай, когда амплитуды складываемых колебаний равны A, а начальные фазы обоих
колебаний равны нулю. Частоты складываемых колебаний равны, соответственно, ω и ω+Δω .
Итак,
Складываем эти выражения и учитываем известную формулу тригонометрии:
Если
то в аргументе второго косинуса мы можем пренебречь сдвигом частоты:
Кроме того, множитель в скобках меняется медленно по сравнению с cosωt . Поэтому
результирующее колебание x можно рассматривать как модулированное гармоническое
колебание с частотой w, эффективная амплитуда A которого изменяется со временем по
закону
Подчеркнем, что в строгом смысле такое колебание не является гармоническим, и еще раз
напомним, что, согласно определению, колебание гармоническое, если оно происходит по
закону Acos(ωt+α), причем все три его параметра: A, ω, α строго постоянны во времени.
Частота пульсаций амплитуды (ее называют частотой биений) равна разности частот
складываемых колебаний.
Период биений равен
25. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Рассмотрим результат сложения двух гармонических колебаний одинаковой частоты ω,
происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y. Для простоты
начало отсчета выберем так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю, и
запишем
Где α - разность фаз обоих колебаний, А и В - амплитуды складываемых колебаний.
Уравнение траектории результирующего колебания находится исключением из выражений
(145.1) параметра t. Записывая складываемые колебания в виде
И заменяя во втором уравнении cosωt на x/A и sinωt на √(1-(x/A)²), получим после несложных
преобразований уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных
осей произвольно:
Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания
называют эллиптически поляризованными.
Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и
разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:
1) α=mπ (m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой
у=±(В/А)х
(145.3)
где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис. 205, б).
Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой ω и амплитудой
√(А²+В²), совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью x угол
φ
В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;
2) α=(2m+1)π/2 (m=0, ±1, ±2, …). В данном случае уравнение примет вид:
Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны
соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если A=B, то эллипс (145.4) вырождается
в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризованными колебания или
колебаниями, поляризованными по кругу.
Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая
траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории,
прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных
колебания, называются фигурами Лиссажу. Вид этих кривых зависит от соотношения
амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры
Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху;
разность фаз принимается равной φ).
Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пересечений фигур
Лиссажу с прямым, параллельными осям координат. По виду фигур можно определить
неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых
колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу - широко используемый метод исследования
соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.
26. Центр масс системы материальных точек и закономерности его движения.
В механике Галилея—Ньютона из-за независимости массы от скорости импульс системы
может быть выражен через скорость ее центра масс. Центром масс (или центром инерции)
системы материальных точек называется воображаемая точка С, положение которой
характеризует распределение массы этой системы. Ее ра­диус-вектор равен
где mi и ri — соответственно масса и радиус-вектор i-й материальной точки; n — число
материальных точек в системе; – масса системы. Скорость центра масс
Учитывая, что pi = mivi , a есть импульс р системы, можно написать
(9.2)
т. е. импульс системы равен произведению массы системы на скорость ее центра масс.
Подставив выражение (9.2) в уравнение (9.1), получим
(9.3)
т. е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса
всей системы и на которую действует сила, равная геометрической сумме всех внешних сил,
приложенных к системе. Выражение (9.3) представляет собой закон движения центра масс.
В соответствии с (9.2) из закона сохранения импульса вытекает, что центр масс замкнутой
системы либо движется прямолинейно и равномерно, либо остается непо­движным.
27. Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно
неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным
произведением:
Где r — радиус-вектор, проведенный из точки O в точку A: р =mv — импульс материальной точки
L — псевдовектор (см. § 4), его направление совпадает с направлением поступательного
движения правого винта при его вращении от
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных
частиц:
Используя формулу (17.1) получим
Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению
момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.
Продифференцируем уравнение по времени:
Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого
тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела
относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.
Можно показать, что имеет место векторное равенство
В замкнутой системе момент внешних сил М = 0 откуда L = const.
Выражение представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса
замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Различают моменты силы относительно неподвижной точки и относительно неподвижной оси.
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М,
определяемая векторным произведением радиуса-вектора г, проведенного из точки О в точку
Л приложения силы, на силу F
где М-псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного
движения правого винта при его вращении от к F. Модуль момента силы:
|𝑀| = |𝑟||𝐹| ∗ sin 𝛼 = 𝐹𝑙
|𝑀| = |𝐹| ∗ ℎ
где а — угол между г и F; r sin а — кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой
О — плечо силы.
28. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая
величина, равная сумме произведений масс п материальных то-чек системы на квадраты их
расстоянии до рассматриваемой оси:
Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то
момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой
Штейнера момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции
относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с
произведением массы на квадрат расстояния а между осями:
𝐽 = 𝐽𝑐 + 𝑚𝑎²
29.
30.
31. Закон всемирного тяготения Ньютона обычно гласит, что каждая частица притягивает
каждую другую частицу во Вселенной с силой, которая прямо пропорциональна произведению
их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.
Публикация теории стала известна как «первое великое объединение», поскольку она
ознаменовала объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известным
астрономическим поведением.
Если M и m — массы двух тел, а D — расстояние между ними, тогда сила F взаимного
гравитационного притяжения между ними равна: F = GMm/D²
где G — гравитационная константа, определяемая экспериментально. В единицах СИ ее
значение составляет приблизительно 6,67 × 10¯¹¹.
32. Гравитационное поле — (поле тяготения), один из видов поля физического, посредством
которого осуществляется гравитационное взаимодействие (притяжение) тел, например Солнца
и планет Солнечной системы, планет и их спутников, Земли и находящихся на ней или вблизи
нее тел.
Тяготение проявляется между телами, удаленными друг от друга. Причем сила тяготения не
зависит от того, в какой среде эти тела находятся. Тяготение существует и в вакууме.
Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помощью поля тяготения
(гравитационного поля).
Поле – это объективная реальность, посредством которой передаётся взаимодействие. Поле,
наряду с веществом, является одним из видов материи.
Итак, гравитационное поле порождается телами и, так же как вещество и другие физические
поля (например, электромагнитное), является одной из форм материи.
Основное свойство поля тяготения, которое отличает его от других полей, состоит в том, что на
любую материальную точку массой m, внесенную в это поле, действует сила притяжения F,
пропорциональная m:
. Отсюда
где G– вектор, не зависящий от m и названный напряженностью поля тяготения.
Вектор напряженности численно равен силе, действующей со стороны поля на материальную
точку единичной массы, и совпадает с этой силой по направлению
33. Работа в поле тяготения. Потенциал поля тяготения.
Силы тяготения являются консервативными. Это значит, что работа в поле этих сил
пропорциональна произведению масс m и M материальных точек и зависит только от
начального и конечного положения этих точек. Покажем это на простом примере:
Определим работу, совершенную силами поля тяготения при перемещении в нём
материальной точки массой m (работу по удалению материальной точки массой m от Земли
массой M на расстояние r).
На данную точку в положении 1 действует сила
При перемещении этой точки на расстояние dr, совершается работа
(знак минус показывает, что сила и перемещение противоположны). Тогда общая работа
Эта формула показывает, что затраченная работа не зависит от траектории, а зависит лишь от
координат точки. Следовательно, работа консервативных сил при перемещении точки m вдоль
произвольного замкнутого контура L тождественно равна нулю:
Эти интегралы называются циркуляцией соответствующих векторов F и G вдоль замкнутого
контура. Равенство нулю этих циркулирующих векторов является необходимым и достаточным
признаком консервативности силового поля F.
Из
следует, что работа А, совершенная
консервативными силами, равна уменьшению потенциальной энергии системы.
В нашем случае работа равна уменьшению потенциальной энергии U материальной точки,
перемещающейся в поле тяготения.
A12 = –ΔU = U1 – U2 или dA = – dU.
В случае поля тяготения, создаваемого материальной точкой с массой M
При рассмотрении гравитационного поля Земли формулу (7.3.4) можно переписать в виде:
На рисунке показана зависимость гравитационной потенциальной энергии от расстояния до
центра Земли.
Принято считать, что потенциальная энергия на поверхности Земли равна нулю. Штрихованной
линией показана потенциальная энергия внутри Земли. При r = 0 в центре Земли
Если условиться считать, что потенциальная энергия точки m стремится к нулю при
неограниченном удалении этой точки от источника поля точки M, тогда
Величину U называют взаимной потенциальной энергией обеих точек.
Величина φ, равная отношению потенциальной энергии материальной точки в поле тяготения к
массе m,
является энергетической характеристикой самого поля тяготения и называется потенциалом
поля тяготения.
По аналогии с электростатическим полем, роль заряда здесь выполняет масса m.
Потенциал поля тяготения, создаваемый одной материальной точкой с массой M,
равен
где r – расстояние от этой точки до рассматриваемой точки поля.
Из сопоставления двух последних соотношений следует
т.е. потенциал в некоторых точках поля, являющегося результатом наложения полей, равен
сумме потенциалов в этой точке, соответствующих каждому из полей в отдельности (принцип
суперпозиции).
Между двумя характеристиками поля тяготения – напряженностью и потенциалом – существует
взаимосвязь.
Вектор напряженности
гравитационного потенциала φ:
может быть выражен как градиент скалярной функции
Знак минус показывает, что в каждой точке поля тяготения вектор напряженности G направлен
в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.
Здесь
Гравитационное поле можно изобразить с помощью силовых линий и эквипотенциальных
поверхностей (рис. 7.4).
Эквипотенциальные поверхности – геометрическое место точек с одинаковым потенциалом.
Линии напряженности G (силовые линии поля) всегда перпендикулярны эквипотенциальным
поверхностям.
Графическая зависимость напряженности гравитационного поля Земли (и ускорения а) от
расстояния до центра Земли изображена на рисунке 7.5.
Из рисунка видно, что внутри Земли G растет пропорционально r, а вне Земли убывает
.
Так же и ускорение
– внутри Земли;
– вне Земли. Закон всемирного
тяготения и механика Ньютона явились величайшим достижением естествознания. Они с
большой точностью описывают обширный круг явлений, в том числе движение в иных системах
небесных тел – двойных звезд в звездных скоплениях, галактиках. На основе теории тяготения
Ньютона было предсказано существование планеты Нептун, спутников Сириуса и др. В
астрономии закон тяготения Ньютона является фундаментом, на основе которого вычисляются
движение, строение и эволюция небесных тел. Однако, в некоторых случаях, поле тяготения и
движение физических объектов в полях тяготения не может быть описано законами Ньютона.
Сильные гравитационные поля и движение в них с большими скоростями
в общей теории относительности (ОТО), созданной А. Эйнштейном.
описываются
34. Законы Кеплера. Космические скорости.
Закон всемирного тяготения был открыт Ньютоном на основе трех законов Кеплера.
Первый закон Кеплера. Все планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которого
находится Солнце
Второй закон Кеплера. Радиус-вектор планеты описывает в равные времена равные площади
Третий закон Кеплера. Квадраты времен обращения планет относятся как кубы больших
полуосей их орбит.
Как нам уже известно, гравитационные силы являются силами консервативными. При
перемещении тела в гравитационном поле консервативных сил по замкнутой траектории
работа равна нулю.
Свойство консервативности гравитационных сил позволило нам ввести понятие потенциальной
энергии.
Потенциальная энергия тела массы m, расположенного на расстоянии r от большого тела массы
М, есть
Здесь знак минус указывает, что гравитационные силы являются силами притяжения.
Если тело находится в гравитационном поле на некотором расстоянии r от центра тяготения и
имеет некоторую скорость υ, его полная механическая энергия равна:
Таким образом, в соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в
гравитационном поле остается неизменной.
Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак
полной энергии определяет характер движения небесного тела.
При E < 0 тело не может удалиться от центра притяжения на расстояние r0 < rmax . В этом случае
небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы)
Первой космической скоростью называется скорость движения тела по круговой орбите вблизи
поверхности Земли. Для этого, как следует из второго закона Ньютона, центробежная сила
должна уравновешиваться гравитационной силой:
Отсюда:
Второй космической скоростью называется скорость движе-ния тела по параболической
траектории. Она равна минимальной скорости, которую нужно сообщить телу на поверхности
Земли, чтобы оно, преодолев земное притяжение, стало искусственным спутником Солнца
(искусственная планета). Для этого необходимо, чтобы кинетическая энергия была не меньше
работы по преодолению тяготения Земли:
Отсюда:
Третья космическая скорость – скорость движения, при которой тело может покинуть пределы
Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца:
υ₃ = 16,7·10³ м/c.
35. Свободные оси вращения. Гороскоп.
Ось вращения, положение которой в пространстве сохраняется без действия на нее каких-либо
сил извне, называется свободной осью тела. Гироско́п — устройство, способное реагировать на
изменение углов ориентации тела, на котором оно установлено, относительно инерциальной
системы отсчёта.
36. Неинерциальные системы отсчета. Силы инерции.
Неинерциа́льная систе́ма отсчёта — система отсчёта, движущаяся с ускорением относительно
инерциальной. Простейшими НСО являются системы, движущиеся ускоренно прямолинейно, и
вращающиеся системы. Более сложные варианты являются комбинациями двух названных.
Возьмем уединенное тело, не подверженное воздействию других тел. Если следить за ним из
неинерциальной системы отсчета, то, подобно пассажирам автобуса, оно не будет оставаться в
покое или двигаться прямолинейно и равномерно. А раз его скорость меняется, то отлично от
нуля ускорение тела. Значит, умножив ускорение на массу, мы можем по второму закону
Ньютона найти действующую на тело силу. Такого рода силы не совсем обычны в том смысле,
что мы не можем указать тела, со стороны которых они действуют. В остальном они ничем не
отличаются от прочих сил, с которыми мы уже знакомы.
Силы, действующие на тела в неинерциальных системах отсчета, и не обусловленные
взаимодействием этих тел с другими телами, называются силами инерции.
37. Линии и трубки тока. Стационарное течение жидкости. Уравнение неразрывности.
Линии и трубки тока
Гидродинамика – раздел физики жидкости, в котором изучается движение несжимаемых
жидкостей и их взаимодействие с твёрдыми телами.
Существуют два метода описания движения жидкостей:
- метод Лагранжа, который связан с описанием каждой частицы жидкости с помощью функций
времени;
- метод Эйлера, который связан с наблюдением отдельных точек пространства, заполненных
жидкостью и фиксацией скорости прохождения через данные точки пространства отдельных
частиц жидкости.
Состояние жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости
. Совокупность этих векторов образуют поле вектора
. Касательная, проведённая из
точек начала векторов и совпадающая с вектором, называется линией тока (рисунок 5.1).
Рисунок 5.1 – Трубка тока с линиями тока
Количеством линий
, проходящих через площадку
, определяется густота линий
тока. Будем считать, что густота линий тока пропорциональна величине скорости течения ν, т.е.
там, где скорость течения жидкости больше, там больше густота линий тока. При условии
ν=const течение называется установившемся или стационарным.
Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой тока.
Пусть через сечение S течёт жидкость в течение времени Δt. Тогда за время Δt через данное
сечение проходит объём жидкости равный S*ν*Δt. Если взять два разных сечения, имеющие
площади S₁ и S₂, будет наблюдаться следующее.
Поскольку жидкость несжимаема и её плотность постоянна во всех точках, то в единицу
времени через оба сечения пройдёт одинаковое количество жидкости по объёму, т.е.
Таким образом, для несжимаемой жидкости выполняется условие: .
Выражение (5.2) является аналитической записью теоремы о неразрывности струи (рисунок 5.2).
а) б)
Рисунок 5.2 – Прохождение жидкости через а) сечение S за время Δt; б) разные сечения S₁ и S₂
При изменении площади сечения частицы несжимаемой жидкости движутся с ускорением. Если
взять трубку тока, то данное ускорение вызвано только непостоянством давления вдоль оси
трубки. Там, где скорость частиц меньше, давление должно быть больше и наоборот.
5.2 Уравнение Бернулли
Жидкость, в которой нет внутреннего трения, называется идеальной.
В силу неразрывности струи, заштрихованные объёмы ΔV₁ и ΔV₂ будут равны ΔV₁=ΔV₂=ΔV. Если
выполняются условия S→0 и V→0, то выражение для приращения энергии струи будет иметь
вид:
38. Стационарное течение жидкости. Уравнение Бернулли.
Рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости. Выделим в стационарно текущей
идеальной жидкости трубку тока малого сечения. Рассмотрим объём жидкости V, ограниченный
стенками трубки токаи и перпендикулярными к линиям тока сечениями S₁ и S₂. За время Δt этот
объём переместится. В силу непрерывности струи:
ΔV1 = ΔV2 = ΔV
Энергия каждой частицы жидкости складывается из её кинетической и потенциальной энергии.
Вследствие стационарности течения приращение энергии ΔЕ всего рассматриваемого объёма V
можно вычислить как разность энергий заштрихованных объёмов ΔV1 и ΔV2.
где ρ – плотность жидкости.
В идеальной жидкости приращение энергии должно равняться работе, совершаемой над
выделенным объёмом силами давления:
ΔЕ = А (1)
А = P1S1Δl1 – P2S2Δl2 = (P1 – P2)ΔV.
Подставляя в (1) и сократив ΔV, получим:
Поскольку сечения S1 и S2 произвольные, то это справедливо в любом сечении трубки тока. В
стационарно текущей идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется условие:
– уравнение Бернулли. Для горизонтальной линии тока
уравнение Бернулли примет вид:
т.е. давление оказывается меньшим в тех точках, где скорость больше.
Явление уменьшения давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу
действия водоструйного насоса.
39.
40.
41. Статистический (молекулярно-кинетический) и термодинамический методы изучения
макроскопических явлений. Основные положения МКТ. Основные понятия молекулярной
физики и термодинамики.
Изучая механику, мы с вами не затрагивали вопросов, как устроены различные тела, какие
процессы в них протекают, чем обусловлены превращения этих тел, которые мы наблюдаем на
опыте. Все эти вопросы рассматриваются в разделах физики, которые называются
термодинамика и молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика взаимно
дополняют друг друга, отличаясь различными методами исследования.
Молекулярная
физика
изучает строение и
свойства вещества исходя
из
молекулярнокинетических представлений. В основе этого подхода лежат три положения,
которые сформулированы как результат обобщения многочисленных опытных данных.
Основные положения молекулярно-кинетической теории (МКТ) сводятся к следующему:
1 Все тела состоят из атомов или молекул.
2 Атомы (молекулы) хаотически движутся. (Интенсивность этого движения зависит от
температуры, поэтому хаотическое движение атомов (молекул) называют тепловым.)
3 Атомы (молекулы) взаимодействуют между собой с силами притяжения и отталкивания.
Основная задача молекулярной физики – объяснение наблюдаемых на опыте свойств
макроскопических тел как суммарный результат действия большого количества молекул.
Поскольку молекул очень много, то МКТ использует статистический метод. В рамках этого
метода описание систем, состоящих из большого числа частиц, проводится с помощью
усредненных по всему ансамблю характеристик, таких как средняя скорость движения, средняя
энергия и т.д. Необходимость использования усредненных величин обусловлена не только тем,
что невозможно проследить за движением отдельной молекулы, но и тем, что большая
совокупность молекул обнаруживает новые свойства, отсутствующие у одной отдельно взятой
молекулы. Например, не имеет смысла говорить о давлении, оказываемом одной молекулой
на стенки сосуда. В то же время большое количество молекул, образующих газ, характеризуется
давлением, которое оказывает этот газ на стенки сосуда. Можно сказать, что здесь мы
наблюдаем проявление известного философского закона о переходе количества в новое
качество.
Термодинамика изучает общие свойства макроскопических тел, находящихся в состоянии
равновесия, и процессы перехода между этими состояниями безотносительно к внутреннему
микроскопическому строению вещества. Благодаря этому область применения термодинамики
значительно шире, чем молекулярно-кинетической теории. Термодинамика основана на двух
опытных законах, которые называются началами термодинамики.
Совокупность макроскопических тел, которые взаимодействуют и обмениваются энергией, как
между собой, так и окружающей средой, называют термодинамической системой. Описание
свойств макроскопических тел в термодинамике ведется с помощью термодинамических
параметров, таких как давление P, объём V, температура T и т.д. Термодинамические
параметры состояния характеризуют систему в положении равновесия, когда с течением
времени эти параметры не изменяются. Такое состояние системы называется равновесным.
Равновесное состояние системы можно изобразить точкой на графике, по осям которого
отложены параметры системы, например давление и объём. Если система не находится в
равновесии, то какой-либо из термодинамических параметров не определен для всей системы.
Например, если быстро сжать газ в цилиндре с поршнем, то в разных точках цилиндра давление
будет разным – большим вблизи поршня и меньшим у противоположной стенки цилиндра.
Такое состояние уже нельзя изобразить точкой на диаграмме. Однако с течением времени
система вернется в положение равновесия, и её снова можно будет описывать параметрами
состояния. Переход системы из неравновесного состояния в равновесное называется
релаксацией.
Всякий процесс, т.е. переход системы из одного равновесного состояния в другое, связан с
нарушением равновесия системы. Однако если переход между состояниями делать очень
медленно, то можно считать, что в каждый момент времени система находится в равновесном
состоянии. Такой процесс называется равновесным или квазистатическим. Равновесный
процесс можно провести в обратном направлении, причём система будет проходить через те
же равновесные состояния. Поэтому равновесные процессы называются обратимыми.
42. Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеальных газов.
Связь средней кинетической энергии движения молекул и термодинамической температуры.
Идеальным принято считать газ, если:
а) между молекулами отсутствуют силы притяжения, т. е. молекулы ведут себя как абсолютно
упругие тела;
б) газ очень разряжен, т. е. расстояние между молекулами намного больше размеров самих
молекул;
в) тепловое равновесие по всему объему достигается мгновенно.
Основными параметрами идеального газа являются давление, объем и температура.
Основное уравнение МКТ идеального газа, которое выглядит так: р = 1/3m₀nν²
Здесь р — давление идеального газа, m₀ — масса молекулы, п — концентрация молекул, v² —
средний квадрат скорости молекул.
Обозначив среднее значение кинетической энергии поступательного движения молекул
идеального газа Е получим основное уравнение МКТ идеального газа в виде: р = 2/3nЕ.
Для нахождения микроскопических параметров газа нужно измерение какой-то еще
физической величины, связанной со средней кинетической энергией молекул. Такой величиной
в физике является температура.Температура — скалярная физическая величина, описывающая
состояние термодинамического равновесия (состояния, при котором не происходит изменения
микроскопических параметров). Температура характеризует тепловое состояние системы.
Ek = 3/2 kT, где k = 1,38 • 10¯²³ Дж/К и называется постоянной Больцмана.
Существует абсолютная термодинамическая шкала (шкала Кельвина)
Единица температуры по абсолютной шкале называется Кельвином и выбрана равной одному
градусу по шкале Цельсия 1 К = 1 °С. В шкале Кельвина за ноль принят абсолютный ноль
температур, т. е. Вычисления дают результат, что абсолютный ноль температуры равен -273 °С.
между абсолютной шкалой температур и шкалой Цельсия существует связь Т = t°С + 273.
Абсолютный ноль температур недостижим, так как любое охлаждение основано на испарении
молекул с поверхности, а при приближении к абсолютному нулю скорость поступательного
движения молекул настолько замедляется, что испарение практически прекращается.
Распределение Максвелла Физика. Температура кипения газов при давлении Температура
кипения газов. Шкала Кельвина Модель идеального газа считается самой простейшей
относительно основных положений МКТ. Кинетическая модель идеального газа молекул
говорит о том, что при взаимодействии между собой, шарики рассматриваются в качестве
идеально упругих. Суммарный объем всех молекул достаточно мал по сравнению с объемом
сосуда, в котором находится данный газ. Модель необходима для описания его поведения при
различных давлениях и температурах. Определение 1 Цель молекулярно-кинетической теории
– установка связи между макроскопическими и макроскопическими параметрами. После
соударения молекул между собой и стенками сосуда происходит изменение направления
движения и времени между интервалами столкновений. Модель идеального газа основывается
на законах механики Ньютона, то тесть столкновения соответствуют закону упругого удара.
Чтобы определить давление газа на стенку сосуда, учитывается модель идеального газа. Исходя
из этого, происходит возникновение сил, которые подчиняются 3 3 закону Ньютона. Отсюда
получим, что проекция скорости υ x перпендикулярна относительно стенки, а знак меняется на
противоположный. Проекция υ y параллельна и постоянна. Это показано на рисунке 3.2.1.
Рисунок 3.2.1. Упругое столкновение молекулы со стенкой. Отсюда следует, что изменение
импульса можно записать в виде 2 m 0 υ x 2m0υx с массой молекулы, равной m 0 m0.
Необходимо выделить площадь S, как показано на рисунке 3.2.2. По прошествии времени Δ t Δt
с S поверхностью столкнутся молекулы с проекциями скорости υ x, которая направлена в
сторону стены, и основанием цилиндра S с высотой υxΔt. Рисунок 3.2.2. Определение числа
столкновений молекул с поверхностью S. Если за единицу объема брать сосуд с n-ым
количеством молекул, тогда их число в объеме цилиндра нужно обозначить, как nSυxΔt.
Очевидно, что происходит столкновение только половины имеющихся молекул. Тогда
количество ударов о S за время Δ t Δt равняется 12nSvx∆t. При столкновении происходит
изменение импульса 2 m 0 υ x 2m0υx. Тогда формула n m 0 v 2 x S Δ t nm0vx2S∆t говорит о полном
его изменении за определенный промежуток времени. Исходя из закона механики, изменение
импульса всех молекул записывается как FΔt. Силой F обозначается средняя сила, которая
действует на молекулы. Но 3 3 закон Ньютона говорит о том, что аналогичная сила по модулю
оказывает действие на поверхность S. Данное утверждение можно зафиксировать
F∆t=nm0vx2S∆t. Далее для упрощения следует разделить равенство на выражение SΔt. Формула
примет вид p=FS=nm0vx2 со значением р р, обозначаемым в качестве давления газа на стенку
сосуда. Все молекулы, находящиеся в сосуде на единицу объема, имеют разные проекции
скоростей на ось О х Ох. При столкновениях прослеживалось статистическое их распределение
по скоростям, причем с разными направлениями векторов их скоростей. Определение 2
Распределением Максвелла называют распределение молекул газа по модулю скоростей. Еще
в 1860 г Дж. Максвелл вывел закон распределения молекул газа по скоростям, основываясь на
основных положениях молекулярнокинетической теории молекулы. Рисунок 3.2.3. наглядно
показывает распределения молекул по скоростям с помощью кривых. На оси О х Ох
располагается модуль скорости, а на О у Оу – количество молекул, находящихся на интервале
от υ до υ+Δυ. На рисунке 3.2.3. данное значение выделено в виде столбика. Рисунок 3.2.3.
Распределение молекул по скоростям. T 2 > T 1 T2>T1. Определение 3 Характерные параметры
распределения Максвелла – это вероятная скорость υв, которая соответствует кривой
распределения, и среднеквадратичная скорость υкв=υ2→, где υ2→обозначающие среднее
значение квадрата скорости. Если растет температура, тогда максимум кривой будет смещен в
сторону больших скоростей, то есть υв и увеличатся. Распределение Максвелла Для записи
формулы давления газа необходимо предположить, что все молекулы разделены на n 1 , n 2 , n
3 n1, n2, n3группы с проекциями υ x 1 , υ x 2 , υ x 3 υx1, υx2, υx3. Иначе говоря, записываем ∑ i n
i = n ∑ini=n. Можно зафиксировать, как n i m 0 v 2 x i nim0vxi2. Тогда суммарное давление примет
вид p = m 0 ∑ i n i v 2 x i p=m0∑inivxi2. Данная сумма является суммой квадратов проекций υ x υx
всех n n молекул на единичном объеме газа. При делении выражения на n n получим среднее
значение квадратичной скорости проекции υ x υx. Запишем в виде 1 n ∑ n i υ 2 x i = → v 2 x i
1n∑niυxi2=vx2→i. Другая интерпретация формулы давления газа p = n m 0 → v 2 x p=nm0vx2→.
Все направления векторов различные, потому среднее значение квадратов проекций на
координатные оси равняется → v 2 x = → v 2 y = → v 2 z = 1 3 → v 2 vx2→=vy2→=vz2→=13v2→.
Формула для среднего давления газа на стенку сосуда обозначим, как p = → p = 1 3 n m 0 → v 2
= 2 3 n m 0 → v 2 2 = 2 3 n −→ E k p=p→=13nm0v2→=23nm0v2→2=23nEk→. Определение 4 Из
уравнения видна связь между р р и m 0 m0и количеством молекул n n, средней квадратичной
скоростью → v 2 v2→ и средней кинетической энергией −→ E k Ek→ молекул. Такое уравнение
получило название уравнения молекулярно-кинетической уравнения теории газов. Отсюда
следует, что давление газа – это две трети средней кинетической энергии, которое имеется в
единице объема. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов или строения
вещества содержит произведение количества молекул n на −→ E k Ek→. Предположительно
сосуд имеет газ неизменного объема V, тогда n = N V = c o n s t n=NV=const ( N - число молекул в
сосуде). Изменение давления происходит пропорционально изменению кинетической энергии.
Физика. Температура Определение 5 Температура связана с понятием теплового равновесия.
При контакте тела обмениваются энергией, которая передается и получает название количества
теплоты. Тепловым равновесием называют состояние системы тел, которые находятся в
тепловом контакте с теплопередачей и с постоянными макроскопическими параметрами.
Температура - физический параметр, который находится в тепловом равновесии. Введение
понятия температуры идет из нулевого закона термодинамики. Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут! Описать задание Температура измеряется с
помощью термометра. Для его создания выбирается термометрическое вещество и величину,
которая его характеризует. Разные конструкции подразумевают отличия в их свойствах. Каждый
термометр должен быть откалиброван. Использование природных систем с неизменной
температурой необходимо для хорошего теплообмена. Температура плавления льда равняется
0 0 градусов Цельсия, а точка кипения воды – 100 100 градусов. Одно маленькое деление из
шкалы равняется 1 1 градусу. Существует обозначение замерзания воды по Фаренгейту, то есть
32 ° F 32 °F. Получаем, что формула примет вид T F = 9 5 T C + 32 TF=95TC+32 или T C = 5 9 ( T F −
32 ) TC=59(TF-32). На рисунке 3.2.4. изображен газовый термометр, который чаще всего
заполняют разряженным гелием, воздухом с неизменным объемом, обозначаемым V = c o n s t
V = const, и давлением р р. Из опыта видно, что возрастание давления идет с повышением
температуры по Цельсию. Рисунок 3.2.4. Газовый термометр с постоянным объемом.
Температура кипения газов при давле 3.2.4. Газовый термометр с постоянным объемом.
Температура кипения газов при давлении. Чтобы произвести калибровку газового термометра,
следует выполнить измерение состояния молекул при 0 0 и 100 100 градусах. Для этого мы
наносим точки p 0 p0 и p 100 p100на график, после чего проводим прямую линию, как
изображено на рисунке 3.2.5. Получившийся калибровочный график способен определить
температуру с разными значениями давления. При низких температурах возможно нахождение
ее «гипотетической». Из опыта видно, что на свойства газа не влияет температура в − 273, 15 ° С
- 273,15 °С. При понижении температур газ переходит в жидкое или твердое состояние, поэтому
получение охлажденного газа невозможно. Рисунок 3.2.5. Зависимость давления газа от
температуры при V = c o n s t V = const. В 1848 1848 году У. Кельвин предлагает использовать
точку нулевого давления газа для составления шкалы. Отличие от измерений температуры в
Цельсиях в том, что нулевая точка сдвинута на T К = T С + 273, 15 TК =TС+273,15. По системе С И
СИ температура измеряется по Кельвину и обозначается К. Тогда комнатная температура
запишется T С = 20 ° С TС=20 °С, а по Кельвину – T К = 293 , 15 К TК=293,15 К. Температура кипения
газов. Шкала Кельвина Определение 6 Температурная шкала Кельвина считается абсолютной.
Она наиболее приемлема для обозначения физических теорий. Шкала Кельвина может быть не
привязана двумя фиксированными точками, а именно: точка плавления льда и кипения воды с
нормальным атмосферным давлением. Определение 7 Нулевое давление называется
абсолютным нулем температуры. Шкала Кельвина имеет точку, в которой лед, вода и пар будут
находиться в тепловом равновесии. Для калибровки других термометров применяют газовые,
так как для практики они не подходят в виду своих больших размеров. Отсюда следует, что
давление разреженного газа в сосуде постоянного объема V изменяется прямо
пропорционально его абсолютной температуре, то есть p ~ T p~T. Из опыта видно, что
неизменный объем V V и температура давления T прямо пропорциональны количеству
вещества в сосуде к его объему: p ~ υ V = N A V = n A ~ n p~υV=NNAV=nNA~n, где N принимает
обозначение числа молекул в сосуде, а N А NА – постоянная Авогадро, n = N V n=NV –
концентрации молекул. После объединения соотношений получим, что запись примет вид
p=nkT, где k считается универсальной постоянной величиной для всех газов, иначе говоря,
постоянная Больцмана. Этот ученый являлся одним из создателей опытного обоснования
основных положений молекулярно-кинетической теории. Ее обозначение в системе С И СИ k =
1, 38 ċ 10 – 23 Д ж / К k=1,38ċ10–23 Дж/К. При сравнении соотношения p = n k T p=nkT с
уравнением МКТ газов, получим −−→ E K EK→. Определение 8 Средняя кинетическая энергия
беспорядочного движения молекул газа прямо пропорциональна абсолютной температуре.
Температура является мерой для кинетической энергии молекул, которая не зависит от ее
величины. Броуновская частица из жидкости и газа обладает аналогичной средней
кинетической энергией, как и другая отдельная молекула. Это суждение верно для
разномассовых молекул, находящихся в одном сосуде. Состояние равновесия говорит о том, что
на них действуют одинаковые средние кинетические энергии, которые определяются
температурой смеси. Запись давления смеси газов запишется как сумма парциальных давлений
каждого из них: p = p 1 + p 2 + p 3 + … = ( n 1 + n 2 + n 3 + … ) k T p=p1+p2+p3+…=(n1+n2+n3+ …)kT.
Отсюда видно, что n1, n2, n3,… является концентрацией молекул газов в смеси. Выражение
относят к молекулярнокинетической теории, установленной Дальтоном: давление в смеси
химически невзаимодействующих газов равняется сумме их парциальных давлений.
43.
44.
45. Распределение Больцмана. Барометрическая формула.
Выражение называется раcпределением Больцмана для внешнего
потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа больше
там, где меньше потенциальная энергия его молекул. Если частицы имеют одинаковую массу и
находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана
справедливо любом внешнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.
Выражение (45.2) называется
барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от
высоты или, измерив давление, найти высоту. Так как высоты обозначаются относительно
уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение может быть записано в виде,
где р — давление на высоте прибор для определения высоты над земной поверхностью
называется высотомером (или альтиметром). Его работа основана на использовании формулы.
Из этой формулы следует, что давление с высотой убывает тем быстрее, чем тяжелее газ.
46. Закон о распределении молекул идеального газа по скоростям (распределение
Максвелла). Характерные скорости газовых молекул. Опыт Штерна.
Применяя методы теории вероятностей, Максвелл нашел функцию f(v) —закон распределения
молекул идеального газа по скоростям:
Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от
параметра состояния (от температуры Т).
Из (44.1) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от
параметра состояния (от температуры Т). График функции (44.1) приведен на рис. 67. Так как при
возрастании v множитель
уменьшается быстрее чем растет множитель v₂, то
функция f(v), начинаясь от нуля, достигает максимума при v и затем асимптотически стремится
к нулю. Кривая несимметрична относительно v.
В 1920 г. О. Штерн разработал метод атомных (молекулярных) пучков и с его помощью
экспериментально измерил скорость теплового движения молекул газа, а также проверил
распределение Максвелла. Установка Штерна состояла из двух коаксиальных цилиндров, на оси
которых находилась платиновая проволока, покрытая слоем серебра. (рис. 1). В приборе
создавался высокий вакуум. При пропускании по проволоке тока она раскалялась и с ее
поверхности испарялись атомы серебра, которые вылетали через узкую щель, проделанную во
внутреннем цилиндре, и достигали стенки наружного цилиндра (в точке A на рис. 1).
В результате образовывалась узкая серебряная полоска, являющаяся изображением щели.
Затем весь прибор приводился во вращение вокруг оси цилиндров с постоянной угловой
скоростью, при этом полоска смещалась в сторону противоположную вращению на величину
=AA'. Смещение возникало, потому что за время t пролета атомом серебра расстояния R-r
цилиндр успевал повернуться на угол φ=Δ/R =ωt. Откуда определялось время t =Δ/ωR, знание
которого позволяло найти скорость атома серебра через измеримые параметры опыта:
Как следовало ожидать, полоска серебра в положении А' оказывалась размытой из-за того, что
атомы серебра имеют разные скорости: более быстрым атомам соответствуют меньшие, а
более медленным – большие смещения Δ. Исследуя зависимость плотности серебра в размытой
части от расстояния до точки A, нетрудно оценить распределение атомов серебра по скоростям.
Полученное распределение хорошо согласовывалось со значениями, вычисленными по
формуле
.
Более совершенный метод по проверке закона Максвелла был реализован в 1929 г. Ламертом.
В высоком вакууме вращаются, насаженные на общую ось, два круглых диска 1 и 2 с
радиальными узкими прорезями (рис. 2), смещенными друг относительно друга на угол φ.
Напротив прорези диска 1 находилась тигельная печь 3 с исследуемым веществом и диафрагма
4. Вся установка приводилась во вращение с постоянной угловой скоростью. Очевидно, атомы,
вылетевшие со скоростью v из печи, достигают мишени 5, если время их пролета расстояния
между дисками t1 = l/v совпадает со временем t2 поворота диска 2 на угол φ, т.е. t₂ = φ/ω. Из
условия t1 = t2 находим v = lω/φ. Меняя угловую скорость вращения ω, можно выделить атомы
с различными скоростями. Улавливая атомы, движущиеся с различными скоростями в течение
равных промежутков времени, можно по толщине (плотности) осадка на мишени определить
их относительное количество в пучке и тем самым проверить закон распределения Максвелла.
Обработка экспериментальных результатов, полученных на установке Ламерта, показала
полное согласие их с законом Максвелла.
47. Физическая кинетика. Явления переноса. Средняя длина свободного пробега. Среднее
число столкновений.
Статистическая физика имеет дело с равновесными состояниями тел и с обратимыми
процессами (т. е. процессами, при которых система проходит через последовательность
равновесных состояний).
Выведенная из состояния равновесия, любая макросистема стремится вернуться в равновесное
состояние. В кинетической теории газов рассматриваются газы, находящиеся в состоянии
равновесия. Однако беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные
столкновения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их
скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности,
температуры при скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то происходит
самопроизвольное выравнивание этих неоднородностей. В газе возникают потоки энергии,
вещества, а также импульса упорядоченного движения частиц. Эти потоки, характерные для
неравновесных состояний газа являются физической основой особых процессов, объединенных
общим названием - явления переноса.
Наука, изучающая процессы, возникающие при нарушениях равновесия, носит название
физической кинетики. А соответствующие процессы носят название явлений переноса.
Явления переноса представляют собой необратимые процессы.
1) Рассмотрим три явления переноса
- внутреннее трение или вязкость,
- теплопроводность,
- диффузию,
2) напишем эмпирические уравнения этих процессов, применимые к любым средам (твердым,
жидким и газообразным).
Любое явление переноса связано с неодинаковостью в пространстве некоторой величины.
Например, поток тепла возникает в случае неодинаковости температуры в разных точках среды.
В дальнейшем придется использовать понятие потока той или иной физической величины через
интересующую нас поверхность S.
Поток — величина скалярная и алгебраическая. Его знак зависит от выбора положительного
«направления»: с одной стороны поверхности S к другой или наоборот. Положительное
направление обычно выбирают произвольно (за исключением замкнутых поверхностей, где по
соглашению его выбирают наружу области, ограниченной этой поверхностью). Мы будем
рассматривать потоки в основном через плоские поверхности S, перпендикулярные оси X,
выбирая положительное «направление» поверхности S совпадающим с ортом оси X. Если
физическая величина будет переноситься через S в направлении оси X, будем считать
соответствующий поток положительным, если же в обратном направлении, то —
отрицательным.
Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с
другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый
путь l, который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между
последовательными столкновениями различна, но так как мы имеем дело с огромным числом
молекул, и они находятся в беспорядочном движении, то можно говорить о средней длине
свободного пробега молекул <l> . Минимальное расстояние, на которое сближаются при
столкновении центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d (рис. 68).
Так как за 1 с молекула проходит в среднем путь, равный средней арифметической скорости
<ν>, и если <z>— среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой газа за 1 с, то
средняя длина свободного пробега
Для определения представим себе молекулу в виде шарика диаметром d, которая движется
среди других «застывших» молекул. Эта молекула столкнется только с теми молекулами,
центры которых находятся на расстояниях, равных или меньших d, т. е. лежат внутри
«ломаного» цилиндра радиусом d (рис. 69).
Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «ломаного» цилиндра:
где п — концентрация молекул, V = πd²<ν>— средняя скорость молекулы или путь, пройденным
ею за 1 с). Таким образом, среднее число столкновений
Расчеты показывают, что при учете движения других молекул
Тогда средняя длина свободного пробега
т. е. <l> обратно пропорциональна концентрации n молекул. С другой стороны, из (42.6) следует,
что при постоянной температуре n пропорциональна давлению р. Следовательно,
48. Теплопроводность. Закон Фурье. Коэффициент теплопроводности.
Теплопроводность представляет собой форму передачи теплоты путем непосредственного
соприкосновения отдельных частиц тела, имеющих различную температуру. При этом процесс
теплообмена происходит вследствие передачи энергии микродвижения одних элементарных
частиц другим.
Согласно закону Фурье, количество теплоты проходящей через элемент изотермической
поверхности dF за промежуток времени dt, пропорционально температурному градиенту
, где λ–коэффициент теплопроводности, –
элементарная площадь поверхности, м2; – время передачи теплоты, Количество теплоты,
проходящее в единицу времени через единицу площади изотермической поверхности,
называется плотностью теплового потока.
Количества теплоты Q, проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность F,
называется тепловым потоком (Дж/с =Вт):
Величина теплового потока и плотность теплового потока q являются векторами, за
положительное направление которых принимают направление по нормали к изотермической
поверхности в сторону уменьшения температуры.
Скалярная величина вектора плотности теплового потока будет равна:
Скалярная величина вектора теплового потока будет равна:
Знак минус в правой части уравнений указывает на то, что тепловой поток и температурный
градиент как векторы имеют противоположные направления. Коэффициент теплопроводности
- тепловой поток, передаваемый через единичную поверхность при единичном значении
температурного градиента
Для каждого тела λ имеет свое численное значение и, зависит от природы, пористости,
влажности, давления, температуры и других параметров. Численное значение определяется
опытным путем (в справочных таблицах). При выводе уравнения принято, что не зависит от
температуры. Как показывают опыты, для многих материалов, зависимость коэффициента
теплопроводности от температуры можно принять линейной во всем рассматриваемом
интервале т-р:
где λ – коэффициент теплопроводности при температуре t₀(0°C); b – постоянная,
характеризующая приращение (уменьшение) материала при повышении его температуры на
1°C.
49. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам.
В равновесных процессах изменяются параметры состояния системы. Состояние газа
определяется тремя параметрами, например, температурой Т, объемом V и давлением р.
Однако изучать процессы при изменении всех трех параметров состояния не удобно. Удобнее
изучать изменение состояния, поддерживая один из параметров состояния, например, объем
постоянным, и изучать связь между оставшимися двумя параметрами. Такие процессы
называют изопроцессами – изохорический (V=const), изотермический (T=const) и
изобарический (p=const). 1. Изохорный процесс. На рис.11 показана диаграмма изохорного
процесса на осях р и V. Работа, совершаемая при изохорном процессе равна нулю
Из первого начала термодинамики следует, что вся теплота, сообщаемая газу, идет на
изменение его внутренней энергии
или
(2.59)
2. Изобарный процесс. На рис. 12 показана диаграмма изобарного процесса на осях р и V.
Работа, совершаемая при изобарном процессе равна
И изображается площадью заштрихованного прямоугольника (рис. 11тр). Пользуясь
уравнением Клапейрона-Менделеева
разность температур
формулу работы можно выразить через
При сообщении газу количество теплоты при изобарном процессе
Его внутренняя энергия изменяется на величину
и газ совершает работу
3.Изотермический процесс. На рис.13 показана диаграмма изобарного процесса на осях р и V.
Из уравнения Клапейрона-Менделеева следует уравнение изотермического процесса
Работу, совершаемую газом при изотермическом процессе, находим из выражения (2.48)
При изотермическом процессе внутренняя энергия газа остается неизменной
И все сообщаемое газу тепло превращается в работу
50. Внутреннее трение (вязкость). Закон Ньютона. Коэффициент вязкости.
Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальных жидкостей оказывать сопротивление
перемещению одной части жидкости относительно другой. При перемещении одних слоев
реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные
по касательной к поверхности слоев. Действие этих сил проявляется в том, что со стороны слоя,
движущегося быстрее, на слой, движущегося медленнее, действует ускоряющая сила. Со
стороны же слоя, движущегося медленнее, на слой, движущийся быстрее, действует
тормозящая сила.
Закон Ньютона для внутреннего трения в жидкостях существенно отличается от законов трения
в твердых телах. В твердых телах существует трение покоя. Кроме того, сила трения
пропорциональна нормальному давлению и мало зависит от относительной скорости
движения. В жидкости, подчиняющейся закону Ньютона, при отсутствии относительной
скорости движения слоев сила трения отсутствует. Сила трения не зависит от давления
(нормального напряжения), а зависит от относительной скорости перемещения слоев.
Жидкости, подчиняющиеся закону Ньютона, называются ньютоновскими. Однако существуют
жидкости, которые не подчиняются этому закону (аномальные жидкости). К их числу относятся
различного вида эмульсии, коллоидные растворы, представляющие собой неоднородные тела,
состоящие из двух фаз (твердой и жидкой).
Коэффициент вязкости
𝜐 = ղ/ρ
51. Первое начало термодинамики – закон сохранения и превращения энергии
применительно к термодинамическим процессам.
Количеством теплоты называют количественную меру изменения внутренней энергии тела при
теплообмене.
52. Теплоемкость идеального газа. Уравнение Майера
Теплоёмкость тела характеризуется количеством теплоты, необходимой для нагревания этого
тела на один градус:
(4.2.1)
Размерность теплоемкости: [C] = Дж/К.
Однако, теплоёмкость – величина неопределённая, поэтому пользуются понятиями удельной и
молярной теплоёмкости.
Удельная теплоёмкость (С) есть количество теплоты, необходимое для нагревания единицы
массы вещества на 1 градус [C] = Дж/К.
Для газов удобно пользоваться молярной теплоемкостью Cμ- количество теплоты, необходимое
для нагревания 1 моля газа на 1 градус:
(4.2.2)
[Cμ] = Дж/(моль×К).
Из п. 1.2 известно, что молярная масса – масса одного моля:
где А – атомная масса; m - атомная единица массы; N - число Авогадро; моль μ – количество
вещества, в котором содержится число молекул, равное числу атомов в 12 г изотопа углерода
¹²С.
Теплоёмкость термодинамической системы зависит от того, как изменяется состояние системы
при нагревании.
Если газ нагревать при постоянном объёме, то всё подводимое тепло идёт на нагревание газа,
то есть изменение его внутренней энергии. Теплоёмкость при этом обозначается С.
С – теплоемкость при постоянном давлении. Если нагревать газ при постоянном давлении Р в
сосуде с поршнем, то поршень поднимется на некоторую высоту h, то есть газ совершит работу
(рис. 4.2).
Следовательно, проводимое тепло затрачивается и на нагревание и на совершение работы.
Отсюда ясно, что
.
Итак, проводимое тепло и теплоёмкость зависят от того, каким путём осуществляется
передача тепла. Значит, Q и С не являются функциями состояния.
Величины С и С оказываются связанными простыми соотношениями. Найдём их.
Пусть мы нагреваем один моль идеального газа при постоянном объёме(dA = 0). Тогда первое
начало термодинамики запишем в виде:
т.е. бесконечно малое приращение количества теплоты dQ равно приращению внутренней
энергии dU.
Теплоемкость при постоянном объёме будет равна:
В общем случае
так как U может зависеть не только от температуры. Но в случае идеального газа справедлива
формула (4.2.4).
Из (4.2.4) следует, что
Внутренняя энергия идеального газа является только функцией температуры (и не зависит от
V, Р и тому подобных), поэтому формула (4.2.5) справедлива для любого процесса.
Для произвольной идеальной массы газа:
При изобарическом процессе, кроме увеличения внутренней энергии, происходит совершение
работы газом:
Из основного уравнения молекулярно-кинетической теории
процессе Р = const. Следовательно, из (4.2.7) получим:
. При изобарическом
Это уравнение Майера для одного моля газа.
Из этого следует, что физический смысл универсальной газовой постоянной в том, что R –
численно равна работе, совершаемой одним молем газа при нагревании на один градус в
изобарическом процессе.
Используя это соотношение, Роберт Майер в 1842 г. вычислил механический эквивалент
теплоты: 1 кал = 4,19 Дж.
Полезно знать формулу Майера для удельных теплоёмкостей:
53.
54. Адиабатный процесс. Уравнение Пуассона. Политропный процесс. Уравнение политропы.
Адиабатным (адиабатическим) процессом называется процесс, идущий без теплообмена с
окружающей средой.
Адиабатный процесс можно осуществить двумя способами:
1 осуществить хорошую теплоизоляцию, что практически довольно трудно сделать;
2 провести процесс настолько быстро, чтобы не успел произойти теплообмен с окружающей
средой.
Согласно первому началу термодинамики:
ΔQ = ΔU + ΔA
ΔQ = 0
ΔA= −ΔU
Уравнение для адиабатического процесса 𝑝𝑉γ = const (Уравнение Пуассона).
Коэффициент γ= Сp/Сv называется показателем адиабаты (или коэффициентом Пуассона).
Для идеального газа γ = i+2/i
Политропным называется процесс изменения состояния термодинамической системы, при
котором сохраняется постоянной её теплоёмкость. На термодинамической диаграмме
политропный процесс изображается кривой, называемой политропой.
Политропный процесс, происходящий в идеальном газе, описывается уравнением
где Р - давление,
V- объём идеального газа,
п - безразмерная постоянная величина, называемая показателем политропы,
Показатель политропы п определяет конкретный характер процесса. Величина п изменяется от
0 до со.
Работа А идеального газа против внешнего давления в политропном процессе определяется
формулой
где индексами 1,2 обозначены начальное и конечное состояния идеального газа при
политропном процессе.
Множество процессов изменения состояния газа можно описать уравнением (7.42). Уравнение
политропы, используя уравнение состояния идеального газа, можно записать в виде
Политропный процесс можно рассматривать, как обобщение всех рассмотренных выше
процессов изменения состояния идеального газа. Уравнение политропного процесса включает,
как частные случаи:
• (.Уравнение адиабаты Р -V r =const,n = y, описывает адиабатный процесс.
• 2.Уравнение изобары Р = const,п= 0 описывает изобарный процесс.
• 3. Уравнение изотермы P-V = const,п=1 справедливо для изотермического процесса.
• 4. Уравнение изохоры имеет вид V -const,п = оо, так как при этом Р ? V” = const, отсюда для
изохорного процесса, происходящего при постоянном объёме газа.
55. Обратимые и необратимые процессы. Круговой процесс (цикл). Тепловые двигатели и
холодильные машины. Второе начало термодинамики.
Обратимыми называются такие термодинамические процессы, которые удовлетворяют
следующим условиям.
1. После прохождения этих процессов и возвращения термодинамической системы в исходное
состояние в окружающей среде не должно остаться никаких изменений.
2. Процесс может самопроизвольно протекать как в прямом, так и в обратном направлениях.
Необходимое и достаточное условие обратимости процесса – его равновесность, т.е.
обратимый термодинамический процесс представляет собой бесконечную последовательность
равновесных состояний.
Примерами обратимых процессов служат все механические процессы, в которых выполняются
законы сохранения энергии, импульса и момента импульса – абсолютно упругий удар,
незатухающие механические колебания и т.д.
Необратимыми называются такие процессы, после прохождения которых термодинамическая
система не может самопроизвольно вернуться в исходное состояние. Вернуть систему в
исходное состояние можно лишь с помощью внешнего вынуждающего процесса, однако при
этом в окружающей среде обязательно произойдут те или иные изменения. Каждый
необратимый процесс в одном направлении протекает самопроизвольно, а в обратном – лишь
с помощью внешнего, компенсирующего процесса.
Примерами необратимых процессов являются такие механические процессы, как неупругие
соударения или затухающие механические колебания. Последний процесс всегда
самопроизвольно идет в направлении убыли амплитуды и механической энергии системы.
Необратимым является также процесс передачи теплоты от горячего тела к холодному.
Результат такого процесса – выравнивание температур различных частей термодинамической
системы. После выравнивания температур система не может самопроизвольно вернуться в
исходное состояние, в котором температуры отдельных ее частей различны.
Циклическим процессом (или циклом) называется такой термодинамический процесс, в
котором система возвращается в исходное состояние, проходя через разные промежуточные
состояния в прямом и обратном процессах. В координатах P, V цикл изображается замкнутой
кривой (рис. 9.6).
Поскольку внутренняя энергия термодинамической системы однозначная функция ее
состояния, то в циклическом процессе ее значения в начальном и конечном состояниях
совпадают, поэтому DU=0. Тогда согласно первому началу термодинамики для циклического
процесса можно записать
где
– суммарные значения переданной теплоты и совершенной
работы на различных стадиях циклического процесса.
Тепловыми машинами называются устройства, с помощью которых тепловая энергия может
превращаться в механическую работу. Любая тепловая машина в процессе своей работы
должна периодически возвращаться в исходное состояние, т.е. в ней должны происходить
циклические процессы.
Рабочим телом называется термодинамическая система, совершающая процессы, в результате
которых тепловая энергия превращается в механическую работу.
Нагревателем называется термодинамическая система, сообщающая рабочему телу тепловую
энергию.
Холодильником называется термодинамическая система, получающая от рабочего тела часть
тепловой энергии.
В прямом цикле рабочее тело совершает положительную механическую работу и переносит
теплоту от нагревателя к холодильнику (рис. 9.7, а). На P-V – диаграмме прямой цикл
соответствует движению по часовой стреле.
В обратном цикле рабочее тело совершает отрицательную работу и переносит теплоту от
холодильника к нагревателю (рис. 9.7, б).
Термический КПД тепловой машины
где A – механическая работа,
выполненная за один цикл; Q1 – теплота, полученная рабочим телом от нагревателя; Q2 –
теплота, отданная холодильнику.
Первое начало термодинамики, выражая закон сохранения и превращения энергии, не
позволяет установить направление протекания термодинамических процессов. Кроме того,
можно представить множество процессов, не противоречащих первому началу, в которых
энергия сохраняется, а в природе они не осуществляются. Появление второго начала
термодинамики— необходимость дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны,
а какие нет—определяет направление развития процессов.
Используя понятие энтропии и неравенство Клаузиуса, второе начало термодинамики можно
сформулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при необратимых
процессах: любой необратимый процесс в замкнутой системе происходит так, что энтропия
системы при этом возрастает.
Можно дать более краткую формулировку второго начала термодинамики:
В процессах, происходящих в замкнутой системе, энтропия не убывает. Здесь существенно,
что речь идет о замкнутых системах, так как в незамкнутых системах энтропия может вести себя
любым образом (убывать, возрастать, оставаться постоянной). Кроме того, отметим еще раз, что
энтропия остается постоянной в замкнутой системе только при обратимых процессах. При
необратимых процессах в замкнутой системе энтропия всегда возрастает.
Формула Больцмана
позволяет объяснить постулируемое
вторым началом термодинамики возрастание энтропии в замкнутой системе при необратимых
процессах: возрастание энтропии означает переход системы из менее вероятных в более
вероятные состояния. Таким образом, формула Больцмана позволяет дать статистическое
толкование второго начала термодинамики. Оно, являясь статистическим законом, описывает
закономерности хаотического движения большого числа частиц, составляющих замкнутую
систему.
Укажем еще две формулировки второго начала термодинамики:
1) по Кельвину: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является
превращение теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;
2) по Клаузиусу: невозможен круговой процесс, единственным результатом которого является
передача теплоты от менее нагретого тела к более нагретому.
Можно довольно просто доказать (предоставим это читателю) эквивалентность формулировок
Кельвина и Клаузиуса. Кроме того, показано, что если в замкнутой системе провести
воображаемый процесс, противоречащий второму началу термодинамики в формулировке
Клаузиуса, то он сопровождается уменьшением энтропии. Это же доказывает эквивалентность
формулировки Клаузиуса (а следовательно, и Кельвина) и статистической формулировки,
согласно которой энтропия замкнутой системы не может убывать.
В середине XIX в. возникла проблема так называемой тепловой смерти Вселенной.
Рассматривая Вселенную как замкнутую систему и применяя к ней второе начало
термодинамики, Клаузиус свел его содержание к утверждению, что энтропия Вселенной
должна достигнуть своего максимума. Это означает, что со временем все формы движения
должны перейти в тепловую.
Переход же теплоты от горячих тел к холодным приведет к тому, что температура всех тел во
Вселенной сравняется, т.е. наступит полное тепловое равновесие и все процессы во Вселенной
прекратятся — наступит тепловая смерть Вселенной. Ошибочность вывода о тепловой смерти
заключается в том, что бессмысленно применять второе начало термодинамики к незамкнутым
системам, например к такой безграничной и бесконечно развивающейся системе, как
Вселенная. На несостоятельность вывода о тепловой смерти указывал также Ф. Энгельс в работе
«Диалектика природы».
Первые два начала термодинамики дают недостаточно сведений о поведении
термодинамических систем при нуле Кельвина. Они дополняются третьим началом
термодинамики, или теоремой Нернста (В. Ф. Г. Нернст (1864-1941) — немецкий физик и
физикохимик) — Планка: энтропия всех тел в состоянии равновесия стремится к нулю по мере
приближения температуры к нулю Кельвина:
Так как энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной, то эту постоянную
удобно взять равной нулю (отметим, однако, что это произвольное допущение, поскольку
энтропия по своей сущности всегда определяется с точностью до аддитивной постоянной). Из
теоремы Нернста-Планка следует, что теплоемкости Ср и С при 0К равны нулю.
56. Тепловой двигатель. Цикл Карно и его КПД для идеального газа.
56.1 Тепловой двигатель или тепловая машина – это циклическое действующее устройство,
превращающее теплоту в работу.
Q1 - тепло, получаемое РТ от нагревателя,
Q2 - тепло, получаемое РТ холодильнику,
A – полезная работа (работа, совершаемая РТ при передаче тепла).
56.2 Цикл Карно из всех периодически действующих тепловых машин, имеющих одинаковые
температуры нагревателей и холодильников, наибольшим КПД обладают обратимые машины.
Причем КПД обратимых машин, работающих при одинаковых температурах нагревателей и
холодильников, равны друг другу и не зависят от конструкции машины. При этом КПД меньше
единицы.
Процесс 1-2 – Изотермическое расширение
Процесс 2-3 – адиабатическое расширение
Процесс 3-4 – изотермическое сжатие
Процесс 4-1 – адиабатическое сжатие
Если Т₂=0, то η = 1, что невозможно, т.к. абсолютный нуль температуры не существует.
Если T₁= ∞, то η = 1, что невозможно, т.к. бесконечная температура не достижима.
56.3 η ˂ 1 и зависит от разности температур между нагревателем и холодильником (и не зависит
от конструкции машины и рода рабочего тела).
При изотермических процессах температура остается постоянной, при адиабатических
отсутствует теплообмен, а значит сохраняется теплообмен, а значит сохраняется энтропия:
Поэтому цикл Карно удобно представить в координатах T и S (температура и энтропия).
Особенностью T-S координат является то, что площадь под линией процесса соответствует
количеству энергии отданной или полученной рабочим телом.
Цикл Карно состоит из четырех стадий:
1. Изотермическое расширение (1 – 2). В начале процесса рабочее тело имеет температуру
нагревателя. Затем тело приводится в контакт с нагревателем, который изотермически (при
t=const) передает ему количество теплоты. При этом объем рабочего тела увеличивается.
2. Адиабатическое (изоэнтропическое) расширение (2 – 3). Рабочее тело отсоединяется от
нагревателя и продолжает расширяться без теплообмена с окружающей средой. При этом его
температура уменьшается до температуры холодильника.
3. Изотермическое сжатие (3 – 4). Рабочее тело, имеющее к тому времени температуру,
приводится в контакт с холодильником и начинает изотермически сжиматься, отдавая
холодильнику количество теплоты.
4. Адиабатическое (изоэнтропическое) сжатие (4 – 1). Рабочее тело отсоединяется от
холодильника и сжимается без теплообмена с окружающей средой. При этом его температура
увеличивается до температуры нагревателя.
КПД η обратимой идеальной тепловой машины Карно не зависит от рабочего вещества.
КПД необратимой машины Карно не может быть больше КПД обратимой машины Карно.
57.