Задача № 1-12 До какой температуры Т2 нужно нагреть воздух, содержащийся в открытой колбе при температуре t1 = 20o С, чтобы плотность воздуха уменьшилась в 2 раза? Дано: t1 = 20o С, Т1 = 293 К, ρ1/ρ2 = 2. Определить Т2 - ? Так как воздух находится в открытой колбе объёмом V, то в обоих случаях давление воздуха в колбе будет одно и тоже: р1 = р2 = р, а массы воздуха, заполняющие колбу m1 и m2, разные. Запишем для этих случаев два уравнения Клапейрона – Менделеева: Задача № 1-30 Из баллона объема V = 200 дм3, содержащего гелий при давлении р1 = 2·106 Па и температуре Т = 273 К, израсходовали часть газа, занявшего при нормальных условиях объем V1= 1 м3. При повторном измерении давления в баллоне получено значение р2 =1,4·106 Па. При какой температуре проведено это измерение? Дано: V = 0,2 м3, р1 = 2·106 Па, Т = 273 К, V1= 1 м3, р2 =1,4·106 Па. Определить Т2 ? В этой задаче будем трижды пользоваться уравнением Клапейрона – Менделеева. Сначала найдем массу гелия m в баллоне: Задача № 2-5 Баллон ёмкостью V1 = 2л, содержащий ν1 = 1 моль газа при температуре t1 = соединили с другим баллоном ёмкостью V2 = 4 л, содержащим ν2= 2 моля этого же газа при температуре t2 = 87оС. Определите давление и температуру газа после установления теплового равновесия. Теплообменом с окружающей средой пренебречь. 27оС, Дано: V1 = 2·10-3 м3, ν1 = 1 моль, Т1 = 300 К, V2 = 4·10-3 м3, ν2 = 2 моля, Т2 = 360 К. Определить Т - ? р - ? Для нахождения температуры газа после соединения баллонов воспользуемся законом сохранения энергии: Е = Е1 + Е2 (1). Здесь Е1 = N1 <εк1> и Е2 = N2 <εк2> внутренняя энергия газа в первом и во втором баллонах, соответственно. <εк1> и <εк2> средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа в первом и втором баллонах, N1 = ν1NА и N2 = ν2NА - число молекул в первом и во втором объёмах (NА = 6,02·1023 моль-1 – постоянная Авогадро) Задача № 2-11 Открытую стеклянную трубку длиной L = 1 м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку сверху закрывают и вынимают. Какой длины столбик ртути останется в трубке? Атмосферное давление ро = 750 мм рт. ст. Дано: L = 1 м, ро = 750 мм рт. ст. Определить х - ? Рис. 2.6. При подъёме трубки ртуть будет вытекать из нее до тех пор, пока разность сил давления воздуха снаружи и внутри трубки не уравновесит силу тяжести столбика ртути, оставшегося в трубке. В этом случае давление внутри трубки будет р = po - ρgx (1), где ρ – плотность ртути, х – длина оставшегося в трубке столбика ртути. Уравнение (1) имеет два неизвестных: р и х. Для решения задачи строим второе уравнение: воспользуемся законом Бойля - Мариотта, считая температуру и массу воздуха в трубке постоянными. Для этого рассмотрим два состояния воздуха в трубке. Первое состояние: объём воздуха V1 = ½L·S, исходное давление р1 = ро. Второе состояние : объём V2 = (L х)·S, конечное давление р2 = р = po - ρgx. Запишем уравнение закона Бойля - Мариотта: р1V1 = р2V2 => ½ро LS = р(L – х)S (2), где S – площадь поперечного сечения трубки. Решаем совместно уравнения (1) и (2). Подставим давление р из (1) в уравнение (2), получим: ½ро L = (ро – ρgх)(L – х) (3). Для упрощения решения уравнения (3) выразим атмосферное давление ро как ро = ρgН, где Н = 750 мм. После упрощения получим квадратное уравнение Второй корень этого уравнения превышает длину трубки и нам не подходит. Задача № 2-29 Цилиндрический сосуд длиной L =1,5 м, разделенный теплонепроницаемым легким поршнем, заполнен идеальным газом. В начальном состоянии объем левой части сосуда вдвое больше правой,. а температура в обоих частях одинакова На сколько переместится поршень, если температуру в правой части увеличить вдвое? Температура в левой части поддерживается постоянной. Дано: L =1,5 м, V1 = 2V2 , Т2 = 2Т1. Определить х - ? Рис. 14. Так как объём левой части цилиндра в 2 раза больше объёма правой части, то, соответственно, длина левой части цилиндра в два раза больше длины правой части (см рис.14): L1 =2L2. Вся длина цилиндра – L, следовательно, L1 = 2L/3 и L2 = L/3. Запишем два уравнения Клапейрона для газа в левой и правой частях цилиндра (рис.14): Задача № 1-3. Гелий нагревается при постоянном давлении. При этом ему сообщено Q = 20 кДж теплоты. Определить изменение внутренней энергии газа и совершенную им работу. Дано: Q = 20·103 Дж. Определить ΔU - ? A - ? Так как по условию задачи процесс изобарный (р = соnst), то совершаемая при этом работа газом будет А = νRΔT, где ν – число молей гелия, ΔT - изменение температуры гелия.. Гелий - одноатомный газ, формула расчета его внутренняя энергия будет U = 3νRT/2, а изменение энергии ΔU = 3νRΔT/2. Сравнивая формулу работы А и формулу изменения внутренней энергии ΔU, получаем, что ΔU = 3А/2. Тогда, на основании уравнения первого закона термодинамики Q = A + ΔU , получим Q = 3А/2 + А = 5А/2. Отсюда, работа газа А = 2Q/5 = 8 кДж, изменение внутренней энергии ΔU = 3А/2 = 12 кДж. Задача № 1-26 Один моль одноатомного идеального газа совершает процесс 1-2-3 ( рис. 5), где То = 100 К). На участке 2-3 к газу подводят Q23 = 2,5 кДж теплоты. Найдите отношение работы А, совершаемой газом в ходе процесса, к количеству поглощенной газом теплоты Q. Дано: ν = 1, Т1 = То = 100 К, Q23 = 2,5·103 Дж. Определить А/Q - ? Рис. 5. На графике приведен процесс, состоящий из двух частей: изохорического процесса (1-2) (прямая линия, продолжение линии проходит через начало координат) и изотермического процесса (2-3). В соответствии с первым законом термодинамики уравнение данного процесса: Q = A + ΔU (1), где А = А12 + А 23 и ΔU = ΔU12 + ΔU12. В изохорном процессе (1-2) работа А12 = 0, а в изотермическом процессе (2-3) ΔU23 = 0, следовательно, Q = А 23 + ΔU12, а работа А = А23 , а так как ΔU23 = 0, то А23 = Q23, откуда работа газа в процессе равна А = Q23 . Изменение внутренней энергии газа на участке 1-2: Тогда из уравнения (1) получаем: Q = Q23 + 3νRTо. Задача № 2-9 Над молем идеального газа совершают цикл (замкнутый процесс), состоящий из двух изохор и двух изобар (рис. 5). Температуры в точках 1 и З равны соответственно Т1 и Т3. Определить работу, совершенную газом за цикл, если точки 2 и 4 лежат на одной изотерме. Дано: Т1, Т3. Определить А - ? Рис. 5. Работа, совершаемая газом численно равна площади прямоугольника 1,2,3,4, изображающего цикл. Работа равна А = (p2 – p1)(V4 – V1) = p2V4 – p1V4 – p2V1 + p1V1 (1). Обозначим температуры точек 2 и 4 цикла Т2 = Т4 = Т. Запишем для каждой точки цикла уравнение состояния: р1V1 = RT1 (2), p2V2 = RT (3), p3V3 = RT3 (4), p4V4 = RT (5). Воспользуемся также законом Гей-Люссака для процессов 4-1 и 2-3: Рассмотрим по порядку слагаемые в правой части уравнения (1): Учитывая, что р2 = р3 и V4 =V3, получим p2V4 = p3V3 = RT3 . Учитывая, что р1 = р4 , получим p1V4 = p4V4 = RT. Учитывая, что V1 =V2, получим p2V1 = p2V2 = RT и последний член р1V1 = RT1. Задача № 2-16 В длинной закрытой трубке между двумя поршнями массой М каждый находится идеальный газ, масса которого много меньше массы поршней, в остальном пространстве трубы - вакуум. В начальный момент правый поршень имеет скорость 2u, левый - 4u. Найдите максимальную температуру газа, если стенки трубки и поршня теплонепроницаемы. Температура газа в начальный момент То. Внутренняя энергия массы газа U = CТ. Дано: М, 2u, 4u, То , U = CТ. Определить ТМ -? Рис. 2.9. Система, состоящая из трубки, двух поршней и некоторой массы идеального газа, теплоизолирована, трение отсутствует, то эту систему можно считать изолированной, а полную энергию системы считать постоянной E = const. Система в начальный момент времени обладает энергией, равной сумме кинетических энергий поршней и внутренней энергии газа СТо: Начальный импульс системы направлен вправо и его модуль равен Р1 = 4Mu + 2Mu = 6Mu (импульс газа не учитываем из-за малости его массы по сравнению с массами поршней). Так как начальная скорость левого поршня больше, чем правого, то газ между поршнями подвергается сжатию. При этом скорость правого поршня возрастает, а скорость левого - убывает. Так как система теплоизолирована, то сжатие газа приводит к росту его температуры. Температура перестает расти и достигает максимума Тм в тот момент, когда прекращается сжатие, а это соответствует равенству скоростей поршней. Обозначим равную скорость поршней в этот момент буквой V. Тогда импульс системы в этот момент будет Р2 = MV + MV = 2MV и также направлен вправо. По условию задачи данная система выполняется закон сохранения импульса: замкнутая, следовательно Р1 = Р2 => 6Mu = 2MV, откуда скорость поршней V = 3u. Энергия системы при равенстве скоростей: Задача № 2-30 С одноатомным идеальным газом происходит циклический процесс 1 – 2 – 3 , график которого в координатах P-V приведен на рисунке 2.18. Найти коэффициент полезного действия η этого процесса. Все необходимые величины даны на рисунке. Дано: процесс 1 – 2 – 3. Определить η - ? Рис. 2.18. КПД представленного цикла найдем с помощью формулы: η = A/Q1, где А – полезная работа газа за цикл, Q1 – количество теплоты, переданное газу нагревателем за цикл. Работа А численно равна площади треугольника Δ1,2,3 (рис. 2.18) Рассмотрим на каких участках цикла газ получает тепло. Участок (1-2) – линейная зависимость давления от объёма, объём уменьшается, газ тепло отдает; участок (2-3)– изобара, газ расширяется, приобретая тепло у нагревателя; участок (3-1) изохора, у газа уменьшается давление, газ тепло отдает охладителю. Следовательно, на участке (2-3) газ совершает работу А23 и у него увеличивается внутренняя энергия ΔU23 По первому закону термодинамики Q1 = А23 + ΔU23, где А23 = р2(V3 – V2) = 2poVo; Тогда количество теплоты, переданное газу, будет Q1 = 5 роVо. Коэффициент полезного действия этого цикла равен η = A/Q1 = 0,5 роVо/5 роVо = 0,10 или 10 %.
