МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ВОЗДЕЙСТВИЯ РАЗЛИЧНЫХ ПОРАЖАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ НА БЛА Дегтярев А.А., Лысенко Е.А., Шаховский В.В. ВВЕДЕНИЕ В настоящее время в различных областях человеческой деятельности все шире применяются беспилотные летательные аппараты (БЛА) [1], не исключением является сфера обороны и безопасности. Важным показателем эффективности применения БЛА является вероятность преодоления ими зон противовоздушной обороны (ПВО). Возможности отечественных средств ПВО, стоящих на вооружении, по противодействию малоразмерным БЛА были проанализированы на основе расчетных исследований и полевых испытаний, проведенных в Военной академии войсковой ПВО ВС РФ, и изложены в статье [2]. В информационном докладе НАТО [3] также отмечена необходимость использования инновационных тактических подходов и технологий для успешного противостояния угрозам, исходящим от малоразмерных БЛА. Одним из направлений повышения эффективности зенитно-артиллерийских комплексов ПВО признана разработка программируемых боеприпасов воздушного подрыва для малокалиберной артиллерии [4-6]. Эффективность применения осколочно-фугасных снарядов малого калибра определяется как техническими характеристиками самих снарядов, так и техническими характеристиками боевых систем, каковыми в большинстве случаев являются артиллерийские орудия. Наиболее дальнодействующим поражающим фактором у осколочно-фугасных боеприпасов являются осколки [7]. Баллистика осколков, закономерности формирования осколочного поля и их пробивная способность осколков изложены с разной степенью детализации в учебной литературе [7, 8] и монографии [9]. Для малоразмерных БЛА, которые рассматриваются нами в качестве объектов воздействия, характерно наличие тонкостенных преград из композитных материалов и алюминиевых сплавов (фюзеляж, крылья, хвостовое оперение), единичное пробитие которых само по себе не приводит к поражению БЛА. Особо уязвимо внутреннее оборудование: радиоэлектронные блоки, каналы системы энергоснабжения, кабельные сети, сервоприводы, топливные баки, двигатели. Практически все эти элементы имеют криволинейную форму и могут быть представлены прямоугольными параллелепипедами, которые являются весьма условной характеристикой с большой долей допущений. Нерегулярное заполнение уязвимых блоков требует применения методов стохастической гомогенизации при расчетах пробивания осколками блоков. Кроме того, в современных боеприпасах, наряду с заранее подготовленными мелкими осколками, может использоваться небольшое число крупных стреловидных элементов. В последнем случае вероятности наступления поражающих событий не будут подчиняться пуассоновскому распределению. Работы последних лет [3, 9] не затрагивали вопросы совершенствования математической модели формирования осколочного поля, воздействующего на объект, а были посвящены оценке влияния различных факторов (наличие боевого защитного комплекта, оптимизации угла доворота снаряда перед подрывом) на эффективность применения осколочных боеприпасов. В связи с вышеизложенным представляется целесообразным сформулировать математическую модель воздействия осколочных полей на БЛА с учетом их конструктивных особенностей и новых средств осколочного поражения. Для реализации математической модели поля поражающих элементов (ПЭ) необходимо определить закон распределения и уравнение переходной плотности. Закон распределения числа событий При определении случайного процесса формирования поля ПЭ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) будем рассматривать следующие физические процессы: торможение ПЭ в воздухе, прохождение и поглощение ПЭ в преградах и агрегатах. Ветвящиеся процессы, т.е. размножение ПЭ посредством дробления и образования вторичных осколков в настоящей работе не рассматриваются. Используя плотности вероятности 𝑓𝑖 (𝒙) для каждого из ПЭ, можно записать вероятность пересечения 𝑖 - ым ПЭ ориентированной элементарной площадки ∆𝜎 за все время (условно от 0 до ∞) действия осколочного поля: ∞ 𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝑑𝒙′ 𝑑𝜎 𝑑𝒗𝑑𝑡, (1.1) 𝝈∈∆𝜎,0 где 𝒏 – нормаль к элементарной площадке ∆𝜎, (𝒏 ∙ 𝒗) – скалярное произведение. Вероятность эффекта, характеризуемого попаданием на поверхность БЛА ПЭ с удельной энергией 𝐸уд = 𝑚𝑣 2 ⁄(2 ∙ 𝑆𝑚 ) больше критического значения 𝐸кр будет определяться соотношением: ∞ 𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂(𝐸уд − 𝐸кр )𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 , (1.2) 𝒓∈𝑆,0 где 𝑆 – внешняя поверхность объекта, 𝒏 – нормаль к элементу поверхности 𝑆 в точке 𝒓, 𝜂(∙) ступенчатая функция. Подобным образом определяются вероятности, характеризующие объемный эффект воздействия единичного ПЭ на выделенный агрегат цели. Когда критерием поражения является проникновение ПЭ внутрь агрегата, вероятность эффекта записывается в виде: ∞ 𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂 (ℎпред (𝒙) − ℎ(𝒓)) 𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 , ( 1.3) 𝒓∈𝑆,0 где ℎ – толщина преграды в точке 𝒓, ℎпред (𝑣, 𝒗⁄𝑣 ) – предельно пробиваемая толщина преграды осколками со скоростью 𝑣, падающими на преграду под углом к нормали 𝒏, равным 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(|(𝒏 ∙ 𝒗⁄𝑣 )|). В случае, когда критерием поражения является проникновение внутрь агрегата ПЭ с удельной энергией больше критического значения, вероятность эффекта записывается в виде: ∞ 𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂(𝐸уд − 𝐸кр )𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 , (1.4) 𝒓∈𝑉,0 где 𝑉 – внутренний объем агрегата. В общем случае все вероятности 𝑝𝑖 наступления событий, определенные формулами (1.1) – (1.4), различны. Тогда вероятность наступления 𝑘 событий будет определяться схемой Пуассона для независимых испытаний: 𝑃(𝑘 = 0) = 𝑞1 ∙ 𝑞2 … 𝑞𝑁 𝑃(𝑘 = 1) = 𝑝1 ∙ 𝑞2 … 𝑞𝑁 + 𝑞1 𝑝2 𝑞3 . . 𝑞𝑁 + ⋯ + 𝑞1 𝑞2 … 𝑞𝑁−1 𝑝𝑁 (1.5) 𝑃(𝑘 = 𝑁) = 𝑝1 ∙ 𝑝2 … 𝑝𝑁 , где 𝑁 – число ПЭ, 𝑞𝑖 = 1 − 𝑝𝑖 . По теореме Пуассона: 𝑁 |∑ 𝑃(𝑘) − ∑ П(𝑘, 𝜆)| ≤ ∑ 𝑝𝑖2 , 𝑘∈𝐵 𝑘∈𝐵 (1.6) 𝑖=1 где 𝐵 – числовое множество, 𝜆 = 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑁 . Такие испытания называются испытаниями Бернулли с переменными вероятностями, и посредством применения функций доказывается сходимость распределения 𝑃(𝑘) к распределению Пуассона [10]. Таким образом, при большом 𝑁 и не очень большом 𝜆 испытания Бернулли с переменными вероятностями аппроксимируются законом Пуассона и, соответственно, вероятность наступления 𝑘 событий, определенных формулами (1.1) – (1.4), выражается формулой: 𝑃(𝑘) ≈ П(𝑘, 𝜆) = где 𝜆𝑘 −𝜆 ∙𝑒 , 𝑘! 𝜆 = ∑𝑁 𝑖=1 𝑝𝑖 . (1.7) (1.8) При небольшом числе ПЭ или при большом значении вероятности наступления события от единичного ПЭ отличия распределений 𝑃(𝑘) и П(𝑘, 𝜆) весьма заметны. В модели поражения без накопления ущерба вероятность поражения агрегата есть вероятность попадания в него хотя бы одного ПЭ. В этом случае различие между значениями (1 − 𝑃(𝑘)) и (1 − 𝑒 −𝑁∙𝑝 ) невелико. В моделях поражения с накоплением ущерба следует проверять правомерность использования распределения Пуассона вместо биномиального распределения. В статике (боеприпас покоится) теоретические распределения fi (v; ri ) связаны с параметром 𝜆 в распределении Пуассона соотношением: 𝑁 𝜆 ≅ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) . (1.9) 𝑖=1 Анализ условий проведения стендовых экспериментов показывает, что число осколков, вылетающих в статике в интервал ∆𝒗, будет определяться распределением Пуассона с параметром 𝜆 равным: 𝜆 ≅ 𝑁 ∙ ∫ 𝑓э (𝒗) ∙ 𝑑𝒗 . (1.10) ∆𝒗 Использование соотношений (1.9) и (1.10) позволяет выразить в статике теоретические распределения 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) через экспериментально определяемые величины по формуле: 𝑁 1 𝑓э (𝒗) ≅ ∙ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) . 𝑁 (1.11) 𝑖=1 Переход к плотности распределения ПЭ по скоростям в динамике осуществляется следующим образом. Пусть 𝑓э′ (𝒗′ ) плотность распределения осколков по скорости в статике такая, что 𝑓э′ (𝒗′ ) 𝑑𝒗′ – число осколков в интервале скоростей 𝒗′ ÷ 𝒗′ + 𝑑𝒗′ . Плотность распределения осколков по скорости в динамике 𝑓э (𝒗) связана с 𝑓э′ (𝒗′ ) соотношением 𝑓э (𝒗)𝑑𝒗 = 𝑓э′ (𝒗′ )𝑑𝒗′ , (1.12) где 𝒗 = 𝒗′ + 𝒗0 , 𝒗0 - скорость изделия в лабораторной системе координат. В связи с тем, что якобиан преобразования скоростей при переходе от одной инерциальной системы к другой равен единице, плотность вероятности вылета 𝑖 - го ПЭ в динамике примет вид 𝑓𝑖 (𝒗 − 𝒗0 ; 𝒓𝑖 ), где 𝒗0 - скорость изделия в лабораторной системе координат. Тогда в динамике соотношение (1.12) будет иметь вид: 𝑁 1 𝑓э (𝒗 − 𝒗0 ) ≅ ∙ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗 − 𝒗0 ; 𝒓𝑖 ) . 𝑁 (1.13) 𝑖=1 Таким образом, математическое ожидание числа событий, определенных формулами (1.1) – (1.4), можно оценить, используя эмпирическую функцию распределения 𝑓э (𝒗 − 𝒗0 ) в динамике. Уравнение для переходной плотности вероятности Поскольку рассматриваемый случайный процесс формирования осколочного поля является марковским, переходная плотность подчиняется уравнению Колмогорова-Чепмена [10]: 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) = ∫ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙′′ , 𝑡 ′′ ) ∙ 𝐺(𝒙′′ , 𝑡 ′′ ; 𝒙, 𝑡)𝑑𝒙′′ , (1.14) где 𝒙 состояние ПЭ в момент времени 𝑡. Интегрально-дифференциальное уравнение в форме объединенного уравнения ФоккераПланка и Колмогорова-Феллера с использованием индексных обозначений можно записать в виде: 𝜕𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) 𝜕 𝑟 𝜕 [𝑎𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] + [𝑎𝑖𝑣 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] − + 𝜕𝑡 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑣𝑖 1 𝜕2 1 𝜕2 𝑣 𝑟 − 2 ∙ 𝜕𝑟 𝜕𝑟 [𝑏𝑖𝑗 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] − 2 ∙ 𝜕𝑣 𝜕𝑣 [𝑏𝑖𝑗 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] = 𝑖 𝑗 𝑖 𝑗 (1.15) = ∫ 𝑑𝒙′′ [𝑊(𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙′′ , 𝑡) − 𝑊(𝒙; 𝒙′′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)], 𝑣 𝑟 где 𝑎𝑖𝑟 , 𝑎𝑖𝑣 – вектора сноса (дрейфа); 𝑏𝑖𝑗 , 𝑏𝑖𝑗 – положительно определенные матрицы диффузии; 𝑊(𝒙′′ ; 𝒙) – вероятность скачкообразного перехода из состояния 𝒙′′ в состояние 𝒙. Коэффициенты сноса и диффузии в уравнении (1.15) при движении в воздухе определяются формулами: 𝑎𝑖𝑟 = 𝑣𝑖 ; 𝑎𝑖𝑣 = ̅𝑖 (𝒗) 𝐹 𝑣 𝑟 ; 𝑏𝑖𝑗 = 0; 𝑏𝑖𝑗 = 0. 𝑚 (1.16) При внедрении стальных и вольфрамовых поражающих элементов в низкоплотные преграды со скоростями до 1500 м/с, а также в преграды из алюминиевых сплавов со скоростями до 800 м/с реализуется аэродинамический механизм проникания [11]. Для БЛА представляется достаточным ограничиться рассмотрением только аэродинамического механизма проникания. Это позволит в единой манере описать торможение ПЭ в воздухе и преградах. Обозначим 𝛽(𝑣) = −𝐹(𝑣)⁄𝑚 ∙ 𝑣 – тормозную способность с размерностью обратного времени. Тормозная способность преграды для аэродинамического механизма определяется дифференцированием текущей скорости ПЭ, движущегося в преграде, по длине пройденного пути. Используя известные соотношения для зависимости предельно пробиваемой толщины ℎпр от модуля скорости поражающего элемента на внешней поверхности преграды 𝑣0 и угла подхода поражающего элемента к преграде можно получить искомую зависимость 𝛽пр (𝑣0 ) = 1 . 𝑑(ℎпр (𝑣0 , 𝜓)⁄sin 𝜓)⁄𝑑𝑣0 (1.17) Для придания физического содержания условной вероятности перехода 𝑊(𝒙; 𝒙′ ) обратимся к работам [8; 9]. Согласно введенным в этих работах определениям: 𝑊(𝒙) = ∫ 𝑊(𝒙; 𝒙′ ) ∙ 𝑑𝒙′ (1.18) есть вероятность скачкообразного изменения случайной величины 𝒙 в единицу времени. Поскольку все определенные выше коэффициенты уравнения (1.18) не зависят явно от времени, то описываемый ими случайный процесс является однородным, т.е. 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) = 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡 − 𝑡 ′ ). Кроме того в определения (1.1) – (1.4) вероятностей эффектов поражения входит плотность вероятности 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡), умноженная на 𝒗 и проинтегрированная по времени, т.е. функция: ∞ ′ 𝐺(𝒙 ; 𝒙) = ∫ 𝑣 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡)𝑑𝑡 . (1.19) 0 ′ Введенная функция 𝐺(𝒙 ; 𝒙) есть по терминологии [10] поток вероятности в координатном пространстве для стационарной задачи. Проинтегрировав уравнение (1.19) по времени с учетом определений и вводя вектор направления движения 𝝎 = 𝒗⁄𝑣 , получим уравнение для функции 𝐺(𝒙′ ; 𝒙), совпадающее по форме со стационарным уравнением Фоккера-Планка и Колмогорова-Феллера: 𝜕 𝜕 [𝜔𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] + [𝜔 ∙ 𝛽(𝒓, 𝑣) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] = 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑣𝑖 𝑖 (1.20) ̃ (𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙′′ ) − 𝑊 ̃ (𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) , = ∫ 𝑑𝒙′′ 𝑊 где 𝛽(𝒓, 𝑣) тормозная способность воздуха или преграды. ̃ (𝒙) = ∫ 𝑊 ̃ (𝒙; 𝒙′ ) ∙ 𝑑𝒙′ имеет размерность обратной В уравнении (1.20) вероятность 𝑊 длины и не равна нулю только на границах раздела воздух – преграда и на границе расчетной области. Поскольку при попадании на границы изменение состояния ПЭ происходит с вероятностью единица то правая часть уравнения (1.20) есть краевое условие для функции 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) на поверхности некой, в общем случае многосвязной области. Как правило, краевые условия для интегро-дифференциальных уравнений выражают через коэффициент отражения 𝑅(𝒗′ , 𝒗), связывая входящие и выходящие потоки вероятностей на поверхностях раздела воздух – преграда и на границе расчетной области соотношением: |(𝒏 ∙ 𝝎)| ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) = ∫|(𝒏 ∙ 𝝎′′ )| ∙ 𝑅(𝒗′′ , 𝒗) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙′′ ) 𝑑𝒗′′ , (1.21) где 𝒓 = 𝒓′′ ∈ 𝑆, (𝒏 ∙ 𝝎′′ ) < 0, (𝒏 ∙ 𝝎) > 0. где 𝒏 – внешняя нормаль к поверхности, ограничивающей преграду, или внутренняя нормаль к поверхности, ограничивающей расчетную область. Коэффициенты отражения 𝑅(𝒗′ , 𝒗) определяются в соответствии геометрической моделью цели материальным составом. Таким образом, уравнение (1.20) принимает вид однородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка: 𝜕 𝜕 [𝜔𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] + [𝜔 ∙ 𝛽(𝒓, 𝑣) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] = 0 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑣𝑖 𝑖 (1.22) Фундаментальное решение уравнения (1.22) для потока вероятности в соответствии с работами [11], [12] записывается в виде: 𝒓 − 𝒓′ 𝑣′ ) 1 ′ 1 𝑑𝑣 ′′ |𝒓 − 𝒓 | ′) ′| ∙ ∙ 𝛿(𝝎 − 𝝎 ∙ 2 ∙ 𝛿 (|𝒓 − 𝒓 − ∫ ). |𝒓 − 𝒓′ |2 𝛽(𝑣) 𝑣 𝛽(𝑣 ′′ ) 𝛿 (𝝎 − 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) = (1.23) 𝑣 Расчетные программы, реализующие определение потоков, основываются, как правило, на методе характеристик или методе статистических испытаний. ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ Предложенная математическая модель была реализована в виде макета программы численного моделирования в среде инженерного проектирования MATLAB. Для демонстрации работоспособности решалась задача оценки вероятности поражения упрощенной модели БЛА осколочным полем 35-мм боеприпаса PMD375 [6]. Для вычисления воздействия на БЛА осколочного поля для всех агрегатов была принята общая гипотеза: заполнение осколками не менее 20% общего объема и вывод из строя не менее 3-х агрегатов. На Рис. 1-2 продемонстрирована схема построения БЛА с помощью отдельных агрегатов с заданными характеристиками. На Рис. 3-4 продемонстрирован результат исследований на вероятность распределения осколков и поражения агрегатов в двухмерной системе координат. На Рис. 5-6 продемонстрирован результат исследований на вероятность поражения и коэффициента заполненности осколками в двухмерной системе координат. На Рис. 7-8 продемонстрирован результат исследований на вероятность распределения осколков и поражения агрегатов в трехмерной системе координат. Рис 1-2 Рис. 3-4 Рис. 5-6 Рис. 7-8 ВЫВОДЫ Основным итогом следует считать разработанную на основе теории случайных процессов вероятностную математическую модель формирования поля. На основе интегродифференциального уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова-Феллера сформулированы уравнения для потока вероятностей осколочного поля. Получено решение уравнения для потока вероятностей осколочного поля в рамках аэродинамического механизма замедления поражающих элементов в воздухе и преградах. Проведено макетирование программы расчета вероятностей поражающего действия осколочного поля в рамках среды программирования MATLAB. Показана работоспособность предложенной модели на примере оценки вероятностей поражения малоразмерного БЛА осколочным боеприпасом малого калибра с программируемым подрывом. Разработанная модель будет полезна при создании комплекса программных средств, предназначенных для оценки эффективности противовоздушной обороны противника. преодоления малоразмерными БЛА СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Многофункциональные комплексы беспилотных летательных аппаратов: монография/ А.В. Полтавский, А.А. Бурба, А.Е. Аверкин, В.В. Макаров, В.В. Маклаков: под ред. Е.Я. Рубиновича. – М.: ИПУ РАН, 2015. – 204 с. 2. Ерёмин Г.В., Гаврилов А.Д., Назарчук И.И., Малоразмерные беспилотники – новая проблема для ПВО. Журнал «Арсенал Отечества», февраль, 2015. –41 3. The NATO Industrial Advisory Group Study SG-170, The Engagement of Low, Slow and Small Aerial Targets by GBAD, July, 2013, – 22 с. 4. Гаврилов А.Д. Проблемы борьбы с современными средствами воздушного нападения. Известия Российской Академии ракетных и артиллерийских наук, 2018, № 3 (103), с. 15-20. 5. Зубов В.Н. Разработка в США программируемых боеприпасов воздушного подрыва для малокалиберной артиллерии. Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук, 2018, № 1. 6. Зубов В.Н. Перспективные европейские малокалиберные боеприпасы воздушного подрыва с программируемыми взрывателями. Известия Российской академии ракетных и артиллерийских наук, 2017, № 4. 7. Средства поражения и боеприпасы: учебник / А.В. Бабкин [и др.]; под ред. В.В. Селиванова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 984 с. 8. Знаменский Е.А. Действие средств поражения и боеприпасов: справочное пособие / Е .А. Знаменский. – СПб: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2010. – 95 с. 9. Физика взрыва / под ред. Л.П. Орленко. – 3-е изд., испр. – В 2 т. Т. 2. – 10. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций / Е.С. Вентцель. – М.: Изд-во “Советское радио”, 1964. – 390 c. 11. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров – изд. 4-е. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 512 с. 12. Кольчужкин А.М. Введение в теорию прохождения частиц через вещество / А.М. Кольчужкин, В.В. Учайкин – М.: Атомиздат, 1978. – 256 с.