Домашнее задание к занятию 11.05.2022 Каждая из задач без звездочек (1-5) оценивается в 1 балл. Задачи со звездочкой(ами) к решению не обязательны. Задача 1 Пусть 𝑎, 𝑏 > 0. Найдите асимптотическое выражение для следующего интеграла: ∞ ∫︁ 𝐼(𝑎, 𝑏) = 𝑒−𝑎𝑥 0 sin2 (𝑏𝑥) 𝑑𝑥 𝑥2 при a) 𝑎 ≫ 𝑏 и б) 𝑎 ≪ 𝑏. Задача 2 Найдите асимптотическое выражение для следующего интеграла: ∫︁ ∞ 1 1 · 𝑑𝑥 2 2 𝑥 + 𝑎 (𝑥 − 1)2 + 𝑏2 0 при а) 𝑎 ≪ 1, 𝑏 ∼ 1 и б) 𝑎 = 𝑏 ≫ 1. Задача 3. При 𝜆 → +∞ методом перевала приближённо вычислите интеграл ∫︁1 (︂ exp 𝐼(𝜆) = −1 𝜆 cosh2 𝑥 )︂ 𝑑𝑥. Задача 4. При 𝜆 → +∞ методом перевала приближённо вычислите интеграл +∞ ∫︁ 2 2 𝐼(𝜆) = 𝑒−𝜆(𝑥−1) (𝑥−2) 𝑑𝑥. 0 Задача 5. При 𝜆 → +∞ методом перевала приближённо вычислите интеграл +∞(︂ ∫︁ 𝐼(𝜆) = 1 1 ln 𝑥 𝑥 )︂𝜆 𝑑𝑥.