ГРАФЫ ► ЗАДАЧА: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причем на каждом мосту следовало побывать только один раз. ► Граф представляет собой непустое множество точек и множество отрезков, оба конца которых принадлежат заданному множеству точек ► Точки, изображающие элементы множества, называются вершинами графа; отрезки – ребрами графа. Обозначают вершины обычно заглавными буквами русского или латинского алфавитов и иногда числами. ► Таким образом, граф – это совокупность вершин, соединённых ребрами. Схема метро Обозначения, используемые в теории графов: ∙ G=(V, E), здесь G – граф, V – его вершины, а E – ребра; ∙ |V| – порядок - число вершин; ∙ |E| – размер графа - число рёбер. В нашем случае (рис. 1) |V|=5, |E|=10; Когда из любой вершины доступна любая другая вершина, то такой граф называется неориентированным связным графом (рис. 1). Если же граф связный, но это условие не выполняется, тогда такой граф называется ориентированным или орграфом (рис. 2). Степень вершины – это количество ребер, соединяющих ее с другими вершинами. Сумма всех степеней графа равна удвоенному количеству всех его ребер. Для рисунка 1 сумма всех степеней равна…… ? Третий тип графов – смешанные графы (рис. 3). Они имеют как направленные ребра, так и ненаправленные. В графе на рисунке 3 одни дуги направленные [(e, a), (e, c), (a, b), (c, a), (d, b)]. Запишите не направленные ребра? Изоморфные графы, т. е. обладающими тем свойством, что какая-либо вершина с определенным числом ребер в одном графе имеет тождественную вершину в другом. Путь – это последовательность вершин, каждая из которых соединена с последующей посредством ребра. Если первая и последняя вершины совпадают, то такой путь называется циклом. Длина пути определяется количеством составляющих его ребер. Одним росчерком. ► С теорией графов связаны также задачи на вычерчивание фигуры одним росчерком. ► Если степени всех вершин четные, то можно обойти все вершины графа без повторений, также можно обойти все вершины, если на графе только 2 нечетные вершины, если же нечетных вершин больше, то обойти все вершины графа не удастся. ► “Если на рисунке все точки четные, то такой рисунок можно нарисовать одной линией, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной линии; если на рисунке 2 нечетные точки (если есть одна нечетная точка, то обязательно есть и вторая), то такой рисунок также можно нарисовать одним росчерком, причем следует начинать с одной нечетной точки и заканчивать в другой нечетной точке; если же нечетных точек больше двух, то нарисовать такой рисунок одним росчерком не удастся.” Известен анекдот: некто давал миллион рублей каждому, кто начертит следующую фигуру. Но при вычерчивании ставилось одно условие. Требовалось, чтобы фигура эта была вычерчена одним непрерывным росчерком, т. е. не отнимая пера или карандаша от бумаги и не удваивая ни одной линии, другими словами, по раз проведенной линии нельзя уже было пройти второй раз. Задача о мостах. ► Бывший Кенигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города, где они изображены. ► Жители города предлагали приезжим следующую задачу: пройти по всем мостам и вернуться в начальный пункт, причем на каждом мосту следовало побывать только один раз. И никто не мог решить эту задачу, как и доказать обратное, что этого сделать невозможно. В задаче у Эйлера получился вот такой граф Из рисунка видно, что правило обхода не выполняется, потому что у нас имеются более двух нечетных вершин. Задачи ► Задача 1. Между девятью планетами Солнечной системы введено космическое сообщение. Ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий, Плутон – Венера, Земля – Плутон, Плутон – Меркурий, Меркурий – Венера, Уран – Нептун, Нептун – Сатурн, Сатурн – Юпитер, Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли добраться с Земли до Марса? ► Задача 2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, составленное из цифр-названий этих городов, делится на 3. Можно ли добраться из города 1 в город 9? ► Задача 3. В государстве 100 городов, и из каждого из них выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве? ► Задача 4..В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы было четыре телефона, каждый из которых соединен с тремя другими, восемь телефонов, каждый из которых соединен с шестью, и три телефона, каждый из которых соединен с пятью другими? ► Задача 5. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединён ровно с пятью другими? ► Задача 6. Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу? Решение Пронумеруем три квадрата, из которых состоит фигура. Начнём рисовать первый квадрат с любой его точки до тех пор, пока не дойдём до точки пересечения со вторым квадратом. Затем прерываем обход первого квадрата и рисуем второй до тех пор, пока не дойдём до его точки пересечения с третьим. Затем рисуем полностью третий квадрат, окончив дорисовываем второй, затем – первый. Каждый раз мы будем оканчивать рисовать квадрат в той же точке, в которой начинали, то есть в точке пересечения с предыдущим квадратом. Ответ: можно. ► Задача 7. Можно ли расположить на плоскости а) 4 точки так, чтобы каждая из них была соединена отрезками с тремя другими (без пересечений)? б) 6 точек и соединить их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка? ► Задача 8. Метро города Урюпинска состоит из трёх линий и имеет по крайней мере две конечные станции и по крайней мере два пересадочных узла, причём ни одна из конечных станций не является пересадочной. С каждой линии на любую из остальных можно перейти по крайней мере в двух местах. Нарисуйте пример такой схемы метро, если известно, что это можно сделать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя два раза один и тот же отрезок. Подсказка Не забудьте, что бывают кольцевые линии. ► Задача 9. На лесной опушке встретились заяц, белка, лиса, волк, медведь и куница. Каждый, здороваясь, пожал каждому лапу. Сколько всего лапкопожатий было сделано? ► Задача 10. Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехало за город, если всего было10 рукопожатий? ► Задача 11. В стране алфавит 8 городов: А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З и восемь непересекающихся дорог между городами А и Б, Е и Д, Б и Ж, З и А, В и Г, Г и Д, Ж и З, В и Е. Можно ли по этим дорогам проехать из А в Г? Решение: Построим по условию задачи граф, при этом все вершины графа сразу отмечать не будем. Начнем с построения ребер графа, учитывая то условие, что они не пересекаются. Построим отрезки АБ и ЕД, присоединим к отрезку АБ отрезки БЖ и ЗА. Построим отрезок ВГ, не пересекающий ни один из построенных отрезков и соединим точки Г и Д, Ж и З, В и Е (не обязательно отрезками, можно и кривыми линиями). По графу видно, что точки А и Г друг с другом не соединены, а значит, по указанным дорогам из города А в город Г проехать нельзя. ► Задача 12. В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Артем, Булат, Влад, Глеб, Егор и Дмитрий. По круговой системе- каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Артем сыграл с Булатом, Глебом и Егором; Булат, как уже говорилось, с Артемом и еще с Глебом; Влад- с Глебом, Дмитрием и Егором; Глеб - с Артемом и Булатом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось? Задача13. Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу?
