Квантовая теория поля

Ôåäåðàëüíîå àãåíñòâî ïî îáðàçîâàíèþ Òîìñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò È.Ë. Áóõáèíäåð, Â.À. Êðûõòèí Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ Ó÷åáíîå ïîñîáèå Èçäàòåëüñòâî ÒÏÓ Òîìñê 2005 ÓÄÊ 530.145:530.12:531.18 Áóõáèíäåð È.Ë., Êðûõòèí Â.À. Êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ïîëÿ: ó÷åáíîå ïîñîáèå. - Òîìñê: Èçä. ÒÏÓ, 2005. - 76 ñ. Â íàñòîÿùåì ó÷åáíîì ïîñîáèè èçëîæåíû îñíîâíûå ñâîéñòâà ãðóïïû Ëîðåíöà è ãðóïïû Ïóàíêàðå, îïèñàíî ïîñòðîåíèå íåïðèâîäèìûõ ïðåäñòàâëåíèé ýòèõ ãðóïï íà ñïèíòåíçîðíûõ óíêöèÿõ. Ïîêàçàíî, ÷òî âñå ðåëÿòèâèñòñêèå âîëíîâûå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû íà îñíîâå àíàëèçà íåïðèâîäèìûõ óíèòàðíûõ ïðåäñòàâëåíèé ãðóïïû Ïóàíêàðå. Èçó÷åíû îñíîâíûå ñâîéñòâà óðàâíåíèé Êëåéíà- îðäîíà, Äèðàêà, Ìàêñâåëëà è Ïðîêà, à òàêæå ïðèâåäåí âûâîä óðàâíåíèÿ Ïàóëè-Ôèðöà. Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ðåêîìåíäóåòñÿ â êà÷åñòâå ââîäíîãî ðàçäåëà ïî êóðñó ñîâðåìåííîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ. Ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàåäðå âûñøåé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ÅÍÌÔ ÒÏÓ è ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ, îáó÷àþùèõñÿ ïî ìàãèñòåðñêîé ïðîãðàììå 510417 òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ èçèêà. åöåíçåíòû: ä..-ì.í., ïðîåññîð, çàâ. ëàá. ìàòåìàòè÷åñêîé èçèêè ÅÍÌÔ ÒÏÓ À.Â. àëàæèíñêèé ä..-ì.í., ïðîåññîð êà. êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ÔÔ Ò Ó Â.À. Áîðäîâèöèí Èçäàòåëüñòâî Òîìñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, 2004 Îãëàâëåíèå 1 2 3 Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ëàãðàíæåâ îðìàëèçì 4 1.1. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ . . . . . . . 1.2. ëîáàëüíûå ñèììåòðèè êëàññè÷åñêèõ ïîëåé . . . . . . 1.2.1. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå ñèììåòðèè . . . . 1.2.2. Âíóòðåííèå ñèììåòðèè . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Òåîðåìà Íåòåð . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Òåíçîð ìîìåíòà-èìïóëüñà . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Òîêè è çàðÿäû, îòâå÷àþùèå âíóòðåííèì ñèììåòðèÿì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 . 7 . 8 . 8 . 9 . 11 . 11 . 14 Ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. Ïîíÿòèå ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìîäåëè òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ëàãðàíæèàí ñïèíîðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìîäåëè âåêòîðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ìîäåëè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñêàëÿðíûõ, ñïèíîðíûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Êàëèáðîâî÷íàÿ îðìóëèðîâêà ãðàâèòàöèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñâîáîäíûõ ïîëåé 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 3.7. 3.8. Ïðèíöèïû êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . Ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ â òåîðèè ïîëÿ . . . . . . Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå âåùåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ . . . Ôîêîâñêèé áàçèñ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Îïåðàòîðû ýíåðãèè-èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà è èõ ñâîéñòâà Êâàíòîâàíèå êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . . . Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . Êâàíòîâàíèå ñïèíîðíîãî ïîëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1. Äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.2. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà . . . . . . . . . . . . . 3.8.3. Îðòîãîíàëüíîñòü è ïîëíîòà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Äèðàêà . 3.8.4. Êâàíòîâàíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Çàêëþ÷èòåëüíûå çàìå÷àíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 16 19 21 21 25 29 35 35 38 41 45 49 53 58 66 67 68 70 72 76 Ïðåäèñëîâèå Ïðåäëàãàåìîå ïîñîáèå îñíîâàííî íà ëåêöèÿõ, êîòîðûå îäèí èç àâòîðîâ (È.Ë.Á.) ÷èòàë â òå÷åíèè ìíîãèõ ëåò â ðàçëè÷íûõ îññèéñêèõ è çàðóáåæíûõ óíèâåðñèòåòàõ äëÿ ñòóäåíòîâ è àñïèðàíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ ïî òåîðåòè÷åñêîé èçèêå. Ñîäåðæàùèéñÿ çäåñü ìàòåðèàë ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì îáðàçîâàòåëüíûì ìèíèìóìîì, íåîáõîäèìûì íà÷èíàþùåìó èçèêó-òåîðåòèêó, íàìåðåâàþùåìóñÿ çàíèìàòüñÿ íàó÷íîé ðàáîòîé â îáëàñòè èçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé. Ïîñîáèå ïîñâÿùåíî, â îñíîâíîì, îáùèì ìåòîäàì êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ, êîòîðàÿ â òîé èëè èíîé ñòåïåíè èñïîëüçóåòñÿ â ñîâðåìåííûõ èññëåäîâàíèÿõ. àññìàòðèâàþòñÿ ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ, âêëþ÷àÿ ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà è ãðàâèòàöèþ. Ïîäðîáíî îáñóæäàåòñÿ êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñâîáîäíûõ òåîðèé, óíêöèîíàëüíûå ìåòîäû, ñïîíòàííîå íàðóøåíèå ñèììåòðèè, ïåðåíîðìèðîâêà è ðåíîðìàëèçàöèîííàÿ ãðóïïà. ×èòàòåëü, õîðîøî óñâîèâøèé ïðåäëàãàåìûé ìàòåðèàë, ïðåîáðåòàåò îñíîâó äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû â îáëàñòè ñóïåðñèììåòðè÷íîé òåîðèè ïîëÿ, òåîðèè ñóïåðñòðóí è êâàíòîâîé ãðàâèòàöèè. Ïîñîáèå ðàñ÷èòàíî íà ïåðâîíà÷àëüíîå çíàêîìñòâî ñ ïðåäìåòîì, ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííå çàìêíóòûì, âêëþ÷àåò âñå íåîáõîäèìûå ïîäðîáíîñòè è äåòàëè è íå òðåáóåò äëÿ ñâîåãî óñâîåíèÿ îáðàùåíèå ê äðóãîé ëèòåðàòóðå. Îíî ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè òåîðåòè÷åñêîé èçèêè. Óðîâåíü ïðåäâàðèòåëüíîé èçèêîìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè ÷èòàòåëåé íå âûõîäèò çà ðàìêè êóðñîâ ìàòåìàòèêè è òåîðåòè÷åñêîé èçèêè, ñòàíäàðòíûõ äëÿ ñòóäåíòîâ, îáó÷àþùèõñÿ íà èçè÷åñêèõ àêóëüòåòàõ óíèâåðñèòåòîâ. 3 ëàâà 1 Ëàãðàíæåâ îðìàëèçì 1.1. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ àññìîòðèì ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî ñ êîîðäèíàòàìè x è ìåòðèêîé ds2 = dx dx , ãäå = diag(1; 1; 1; 1). Ïîëåì íàçûâàåòñÿ óíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî èëè íà êàêîé-ëèáî åãî îáëàñòè. Áóäåì îáîçíà÷àòü ïîëå òàê: = (x); ; (x ). Ïðîèçâîäíûå ïîëÿ ïî êîîðäèíàòàì óñëîâèìñÿ çàïèñûâàòü â âèäå x 2 x x è ò.ä. Ïîëå ìîæåò áûòü âåùåñòâåííûì èëè êîìïëåêñíûì, ñêàëÿðíûì, òåí- x çîðíûì íåêîòîðîãî ðàíãà èëè ñïèíîðíûì. Ïîëå ìîæåò áûòü îäíîêîìïîíåíòíûì èëè ìíîãîêîìïîíåíòíûì. Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå îíî ñîäåðæèò èíäåêñ íóìåðóþùèé åãî êîìïîíåíòû. Ïîëå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê óíäàìåíòàëüíûé èçè÷åñêèé îáúåêò, õàðàêòåðèçóåìûé äåéñòâèåì, ÿâëÿþùèìñÿ óíêöèîíàëîì îò ïîëÿ S = S [℄. Ïîñòóëèðóåòñÿ, ÷òî äåéñòâèå èìååò ñëåäóþùèé âèä Z S = d4 x L: (1.1) Çäåñü íåêîòîðàÿ îáëàñòü â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî, îãðàíè÷åííàÿ äâóìÿ ïðîñòðàíñòâåííî ïîäîáíûìè ïîâåðõíîñòÿìè (x) = 1 è (x) = 2 . Îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì Ìèíêîâñêîãî, L âåùåñòâåííàÿ óíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ñêàëÿðîì ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ëîðåíöà. Ýòî ãàðàíòèðóåò, ÷òî äåéñòâèå áóäåò Ëîðåíö èíâàðèàíòíûì. îâîðÿò, ÷òî çàäàíà ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ èëè òåîðèÿ, åñëè óêàçàí ÿâíî íàáîð ïîëåé è ÿâíûé âèä óíêöèè L. Ôóíêöèÿ L, âõîäÿùàÿ â âûðàæåíèå äëÿ äåéñòâèÿ (1.1), íàçûâàåòñÿ ëàãðàíæèàíîì. Òåðìèíû äåéñòâèå è ëàãðàíæèàí âçÿòû èç êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. Çàìåòèì,÷òî äåéñòâèå (1.1) ìîæíî çàïèñàòü òàê (åñëè âñå ïðîñòðàíñòâî Ìèíêîâñêîãî) S= Z dt Z ãäå L= d3 xL = Z Z dtL; d3 L: Â ýòîì ñëó÷àå âèäíà àíàëîãèÿ ñ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé, à L ñëåäóåò íàçâàòü óíêöèåé Ëàãðàíæà. Ïîëå (x) ìîæíî ïîíèìàòü òàê: (x) = (t; ~x) = ~x (t). Îòñþäà âîçíèêàåò èíòåðïðåòàöèÿ ïîëÿ êàê ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè ~x (t), íóìåðóåìûìè âåêòîðàìè ~x. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëå ýòî ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ áåñêîíå÷íûì êîíòèíóàëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Äëÿ èçó÷åíèÿ òàêîé ñèñòåìû ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîäû êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè. 4 Îòíîñèòåëüíî ëàãðàíæèàíà L ïîñòóëèðóåòñÿ, ÷òî îí ÿâëÿåòñÿ óíêöèåé ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ ïî êîîðäèíàòàì äî íåêîòîðîãî ïîðÿäêà âçÿòûõ â îäíîé è òîé æå òî÷êå x L = L((x); (x); (x); : : : ; 1 2 : : : n (x)): Îáû÷íî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ëàãðàíæèàí ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå íå âûøå ïåðâîãî ïîðÿäêà, õîòÿ âñòðå÷àþòñÿ ìîäåëè, ãäå ýòî íå òàê. Òàêèå ìîäåëè íàçûâàþò òåîðèÿìè ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Äëÿ ñõîäèìîñòè èíòåãðàëà (1.1) íåîáõîäèìî, ÷òîáû L ! 0 ïðè ~x ! 1. Âî âñåõ èçâåñòíûõ ìîäåëÿõ äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñ÷èòàòü (x) ! 0 ïðè ~x ! 1. ×òîáû èíòåãðàë (1.1) ñõîäèëñÿ è â ñëó÷àå, êîãäà ñîâïàäàåò ñî âñåì ïðîñòðàíñòâîì Ìèíêîâñêîãî, íåîáõîäèìî, ÷òîáû (x) ! 0 ïðè x0 ! 1. Â ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê ñòàíäàðòíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (x) ! 0 ïðè x ! 1. Äèíàìèêà ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ èç ïðèíöèïà äåéñòâèÿ, ñîãëàñíî êîòîðîìó èçè÷åñêè äîïóñòèìûå ïîëÿ ñîîòâåòñòâóþò ýêñòðåìóìó äåéñòâèÿ. Ïóñòü (x) íåêîòîðîå ïîëå, à 0 (x) äðóãîå ïîëå. àçíîñòü Æ(x) = 0 (x) (x) íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé ïîëÿ. Çàìåòèì, ÷òî çäåñü â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ îäíè è òå æå àðãóìåíòû. àññìîòðèì ðàçíîñòü S [ + Æ℄ S [℄. Åñëè ýòó ðàçíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå S [ + Æ℄ S [℄ = Z d4 x A(x)Æ(x) + ; R ãäå ìíîãîòî÷èå îçíà÷àåò ÷ëåíû ñòåïåíè âûøå ïåðâîé ïî Æ, òî âûðàæåíèå d4 x A(x)Æ(x) íàçûâàåòñÿ âàðèàöèåé óíêöèîíàëà S [℄ è îáîçíà÷àåòñÿ ÆS . Ôóíêöèÿ A(x) íàçûâàåòñÿ âàðèàöèîííîé èëè óíêöèîíàëüíîé ïðîèçâîäíîé è îáîçíà÷àåòñÿ ÆS . Èòàê, ÆS = Z Æ(x) d4 x ÆS Æ(x): Æ(x) (1.2) Åñëè ïîëå (x) äîñòàâëÿåò óíêöèîíàëó S [℄ ýêñòðåìóì, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ âàðèàöèÿ ÆS = 0. Òàê êàê Æ(x) ïðîèçâîëüíà, òî èç (1.2) ïîëó÷àåì ÆS = 0: Æ(x) (1.3) Óðàâíåíèå (1.3) íàçûâàåòñÿ êëàññè÷åñêèì óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ èëè ïðîñòî óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ, èëè ïîëåâûì óðàâíåíèåì. Îíî îïðåäåëÿåò èçè÷åñêè äîïóñòèìóþ ýâîëþöèþ ïîëÿ. Âû÷èñëèì âàðèàöèîííóþ ïðîèçâîäíóþ îò óíêöèîíàëà S [℄ (1.1) S= Z d4 x L((x); (x); (x); : : : ; 1 2 : : : n (x)): (1.4) Ïóñòü (x)j1 = 1 (~x), (x)j2 = 2 (~x), ãäå (x) ïîëå, äîñòàâëÿþùåå óíêöèîíàëó S ýêñòðåìóì, è ïóñòü 0 (x) ïðîèçâîëüíîå ïîëå, óäîâëåòâîðÿþùåå òåì æå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì 0 (x)j1 = 1 (~x), 0 (x)j2 = 2 (~x). Ýòî çíà÷èò, ÷òî Æ(x)j1 = Æ(x)j2 = 0. Êðîìå òîãî, Æ(x) ! 0 ïðè ~x ! 1 â ñèëó ñòàíäàðòíûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé. àññìîòðèì S [ + Æ℄ S [℄ = Z d4 x n L( + Æ; ( + Æ); : : : ; : : : n ( + Æ)) 1 2 o L(; ; : : : ; : : : n ) : 1 2 (1.5) Æ(x) = 0 (x) (x) ñëåäóåò, ÷òî Æ(x) = 0 (x) (x) = Æ (x); 1 : : : n Æ(x) = 1 : : : n 0 (x) 1 : : : n (x) = Æ1 : : : n (x): Îïåðàöèÿ âàðüèðîâà- Çàìåòèì, ÷òî èç 5 íèÿ ïîëÿ ïåðåñòàâèìà ñ îïåðàöèåé åãî äèåðåíöèðîâàíèÿ. Â ñîîòíîøåíèè (1.5) èñïîëüçóåì ðàçëîæåíèå â ðÿä Òåéëîðà S [ + Æ℄ S [℄ = Z L(; ; : : : ; : : : n ) + L Æ L L : : : n Æ Æ + + + ( ) ( : : : ) n d4 x 1 2 1 + : L(; ; : : : ; : : : n ) 1 1 o n 2 Çäåñü îïóùåíû ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå Æ â ñòåïåíè âûøå ïåðâîé. Äàëåå ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà ëàãðàíæèàí çàâèñèò òîëüêî îò ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ïîëÿ. Òîãäà S [ + Æ℄ S [℄ = = = Z Z Z L Æ + L Æo + ( ) Z n L L o 4 Æ + d4 x dx d4 x n n L d4 x ( ) Z L o Æ + ( ) L Æ + ( ) L d Æ + : ( ) Çäåñü ãðàíèöà îáëàñòè . Òàê êàê Æ = 0 ïðè ~x ! 1, òî âêëàä â èíòåãðàë ïî äàþò òîëüêî äâå ïîâåðõíîñòè (x) = 1 è (x) = 2 . Íî Æ(x)j1 = Æ(x)j2 = 0. Îñòàåòñÿ ÆS = Z d4 x L L oÆ(x): ( ) n (1.6) Ìû âèäèì, ÷òî âàðèàöèÿ äåéñòâèÿ èìååò âèä (1.2). Ñëåäîâàòåëüíî, âàðèàöèîííàÿ ïðîèçâîäíàÿ äåéñòâèÿ â äàííîì ñëó÷àå ÆS L = Æ(x) L ( ) è êëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò âèä L (x) L = 0: ( (x)) (1.7) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äèåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèÿ (1.7) ìîæíî çàïèñàòü òàê L 2L 2L Èëè ( ) ( ) ( ) = 0: 2L ; ( ) C= A (x); (x) (x) + B (x); (x) (x) + C (x); (x) = 0; ãäå A = 2L ; ( ) ( ) B = L : Çàìåòèì, ÷òî ëàãðàíæèàí L îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî. Ê íåìó âñåãäà ìîæíî äîáàâèòü ÷ëåí R ((x)), ãäå R ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, çàâèñÿùèé îò . Ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (1.7) íå èçìåíÿòñÿ. 6 1.2. ëîáàëüíûå ñèììåòðèè êëàññè÷åñêèõ ïîëåé àññìîòðèì òåîðèþ ïîëåé i (x) ñ äåéñòâèåì S [℄ = Z d4 x L(; ): Áåñêîíå÷íî ìàëûå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò è ïîëåé x0 = x + Æx ; 0i (x0 ) = i (x) + i (x) (1.8) íàçûâàþòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëûì ïðåîáðàçîâàíèåì ñèììåòðèè, åñëè îíè îñòàâëÿþò äåéñòâèå èíâàðèàíòíûì S [℄ = S 0 [0 ℄: Èëè Z d4 x L((x); (x)) Z = 0 d4 x0 L0 (0 (x0 ); 0 0 (x0 )): (1.9) Çäåñü 0 îáëàñòü , âûðàæåííàÿ â ïåðåìåííûõ x0 , à 0 ïðîèçâîäíûå ïî ïåðåìåííûì x0 . àññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå ñîîòíîøåíèÿ (1.8). Èìååì 0i (x + Æx ) = i(x) + (x): Èëè 0i (x) + i (x)Æx = i (x) + i (x): Îòñþäà i (x) = 0i (x) Èëè ãäå Æi (x) âàðèàöèÿ ïîëÿ. i (x) + i (x)Æx : i (x) = Æi (x) + i (x)Æx ; Ìû áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.8) õàðàêòåðèçóþòñÿ íàáîðîì ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðîâ 1 , 2 , . . . , N â òîì ñìûñëå, ÷òî Æx = Xa (x) a ; Æi(x) = Yai (x; (x); (x)) a ; (1.10) ãäå a = 1; 2; : : : ; N . Ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.10) áóäåì íàçûâàòü N -ïàðàìåòðè÷åñêèìè, ãëîáàëüíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ïàðàìåòðû a îò êîîðäèíàò x íå çàâè- ñÿò. ×òîáû çàäàòü ÿâíî ãëîáàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè, íåîáõîäèìî óêàçàòü ÿâíûé âèä óíêöèé Xa (x) è Yai (x; (x); (x)). Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (1.10) ïðåîáðàçîâàíèÿ (1.8) ïðèíèìàþò âèä x0 = x + Æx ; 0i (x0 ) = i (x) + i (x); Æx = Xa(x) a ; (1.11) i (x) = Yai (x; (x); (x)) + i (x)Xa (x) a : ëîáàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà ïðîñòðàíñòâåííîâðåìåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è âíóòðåííèå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Âî âòîðîì ñëó÷àå Æx = 0, à Yai = Yai (). Òî åñòü âíóòðåííèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé ïðè èêñèðîâàííûõ êîîðäèíàòàõ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì ãîâîðÿò î ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèììåòðèÿõ è âíóòðåííèõ ñèììåòðèÿõ. àññìîòðèì èõ ïîñëåäîâàòåëüíî. 7 1.2.1. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå ñèììåòðèè Âàæíåéøåé èç ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèììåòðèé ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû Ïóàíêàðå. Ïðåîáðàçîâàíèÿ Ïóàíêàðå â áåñêîíå÷íî ìàëîé îðìå èìåþò âèä x0 = x + ! x + a : Òî åñòü Æx = ! x + a : (1.12) i 0A (x0 ) = A (x) + (M )A B B (x)! ; 2 (1.13) ! ïàðàìåòðû ëîðåíöåâûõ âðàùåíèé, a ïàðàìåòðû áåñêîíå÷íî ìàëûõ Çäåñü ! = ñäâèãîâ. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ ëàãðàíæèàí ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì, ïîñòðîåííûì èç ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûõ. Êàê âîîáùå ìîæíî ïîñòðîèòü ñêàëÿð? Ïðîñòåéøèé è íàèáîëåå åñòåñòâåííûé ïóòü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ñ÷èòàòü ïîëÿ íåêîòîðûìè ñïèí-òåíçîðàìè. Òîãäà ïîñòðîåíèå ñêàëÿðîâ íå ïðåäñòàâëÿåò òðóäà. Íàäî ïðîñòî ñâåðòûâàòü èíäåêñû. Â ðåçóëüòàòå, ìû ïðèõîäèì ê ïðåäïîëîæåíèþ: ïîëÿ (x) ÿâëÿþòñÿ ñïèí-òåíçîðàìè è, çíà÷èò, ïðåîáðàçóþòñÿ ïî íåêîòîðîìó ïðåäñòàâëåíèþ (ïðèâîäèìîìó èëè íåïðèâîäèìîìó) ãðóïïû Ïóàíêàðå ãäå x0 = x + ! x + a : Çäåñü (M )A B ìàòðèöû ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû Ëîðåíöà â äàííîì ïðåäñòàâëåíèè. Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ðîëü ïàðàìåòðîâ a èãðàþò ! è a . Ïðè ýòîì Æx = Xa (x) a = ! x + a ; i ÆA (x) = YAa (x; (x); (x)) a = (M )A B B (x)! A (x)a ; 2 = L + S , L = i( x x ). Ìû âèäèì, ÷òî èíäåêñû A, B (1.14) ãäå M ýòî èíäåêñû, îïðåäåëÿþùèå òèï è ðàíã ñïèí-òåíçîðà, òàêèå èíäåêñû íàçûâàþò ëîðåíöåâûìè. Ïîìèìî ñèììåòðèè, ñâÿçàííîé ñ ãðóïïîé Ïóàíêàðå ìîãóò ñóùåñòâîâàòü è äðóãèå ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûå ñèììåòðèè. Íàïðèìåð, ñèììåòðèÿ, ñâÿçàííàÿ ñ êîíîðìíîé ãðóïïîé. Ìû èõ êàñàòüñÿ íå áóäåì. 1.2.2. Âíóòðåííèå ñèììåòðèè Ïóñòü ïîëå ñ ëîðåíöåâñêèìè èíäåêñàìè A ÿâëÿåòñÿ âåêòîðîì â íåêîòîðîì n-ìåðíîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå, è çíà÷èò, èìååò n êîìïîíåíò IA , I = 1; 2; : : : ; n. Ïóñòü, êðîìå òîãî, â ýòîì ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå îïðåäåëåíî ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ëè ñ ïàðàìåòðàìè a è ãåíåðàòîðàìè (T a )IJ . Ýòî çíà÷èò, ÷òî çàäàíî ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå ÆA I = i(T a )IJ JA a ; (1.15) ãäå a ïàðàìåòðû. Çàìåòèì, ÷òî ëîðåíöåâñêèå èíäåêñû âîîáùå íå ïðåîáðàçóþòñÿ. åíåðàòîðû T a óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ h T a; T b i = if ab T ; ãäå f ab ñòðóêòóðíûå ïîñòîÿííûå äàííîé ãðóïïû Ëè. Ïóñòü äåéñòâèå S [℄ èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé (1.15). Â ýòîì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèå (1.15) íàçûâàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèÿìè âíóòðåííåé ñèììåòðèè. 8 1.3. Òåîðåìà Íåòåð Òåîðåìà Íåòåð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îáùèé ìåòîä íàõîæäåíèÿ ñîõðàíÿþùèõñÿ âåëè÷èí äëÿ ïðîèçâîëüíîé ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ. Îáû÷íî àääèòèâíûå ñîõðàíÿþùèåñÿ âåëè÷èíû íàçûâàþò äèíàìè÷åñêèìè èíâàðèàíòàìè. Ìû áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ ýòîé òåðìèíîëîãèè. Òåîðåìà. Êàæäîìó N -ïàðàìåòðè÷åñêîìó íåïðåðûâíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ñèììåòðèè ñîîòâåòñòâóåò N äèíàìè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ. Äîêàçàòåëüñòâî. àññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèììåòðèè Æx = Xa a ; Æi = Yai a ; (1.16) îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ äåéñòâèå èíâàðèàíòíî ÆS [℄ = 0. Âû÷èñëèì âàðèàöèþ äåéñòâèÿ ÆS [℄ = S [0 ℄ S [℄: Z 0 S [ ℄ = d4 x0 L0 (0 (x0 ); 0 0 (x0 )): 0 0 ýòî èñõîäíàÿ îáëàñòü , çàïèñàííàÿ â òåðìèíàõ êîîðäèíàò x0 . Ñîâåðøèì ïîä èíòåãðàëîì çàìåíó ïåðåìåííûõ x0 = x + Æx (x). Ïðè ýòîì 0 ïåðåéäåò â . ßêîáèàí ýòîé x0 çàìåíû åñòü det( x ) = det(Æ + Æx ) = 1 + Æx : Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì S [0 ℄ = Z x0 x0 = Æ ; òî x0 x x x x0 = Æ Æx : Ïîýòîìó x Òàê êàê S [0 ℄ = = = Z Z Z x d4 x (1 + Æx )L 0 (x + Æx); 0 (x + Æx) 0 : x ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê d4 x (1 + Æx )L + ; (Æ x0 . Íî x0 = Æ + Æx : Òîãäà x x Æx )( + ) o L i L i Æx ) L(; ) + L(; ) Æx + + ( i ( i ) n o L L d4 x L + L Æx + LÆx + Æi + Æi : d4 x n Çäåñü ìû èñïîëüçîâàëè i ( i ) Æ i = Æi : Òåïåðü ïðèìåì âî âíèìàíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ L L = : i ( i ) Â èòîãå S [0 ℄ = Z d4 x n L + (LÆx ) + ( Li) Æi : o Ïîýòîìó ÆS [℄ = S [0 ℄ S [℄ = = Z Z L i + LÆx Æ ( i ) L i + LX a : Y d4 x a ( i ) a d4 x 9 Òàê êàê ðàññìàòðèâàåìîå ïðåîáðàçîâàíèå ýòî ïðåîáðàçîâàíèå ñèììåòðèè, òî Ïîñêîëüêó ïàðàìåòðû a íåçàâèñèìû, òî ìû ïîëó÷àåì Z d4 x Îáîçíà÷èì Ïîñêîëüêó îáëàñòü L i Y + LXa = 0: ( i ) a Ja = L i : Y + L X a ( i ) a ÆS [℄ = 0. (1.17) (1.18) ïðîèçâîëüíà, òî ñîîòíîøåíèå (1.17) âåäåò ê óðàâíåíèþ Ja = 0; (1.19) êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ëîêàëüíûì çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ îáîáùåííîãî òîêà Ja . Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîìó èíòåãðàëó (1.17) è ïðåîáðàçóåì åãî ñ ïîìîùüþ òåîðåìû àóññà, ïîëó÷èì Z d Ja = 0: (1.20) Òàê êàê íà ïðîñòðàíñòâåííîé áåñêîíå÷íîñòè ïîëÿ è èõ ïðîèçâîäíûå îáðàùàþòñÿ â íîëü, òî èíòåãðàë (1.20) ñâîäèòñÿ Z Z 2 d Ja Ââåäåì óíêöèîíàëû ãèïåðïîâåðõíîñòè d Ja = 0: 1 (1.21) ïî ïðàâèëó Ca [ ℄ = Z d Ja : (1.22) Òîãäà óñëîâèå (1.21) âåäåò Ca [2 ℄ = Ca [1 ℄; a = 1; 2; : : : ; N: (1.23) Òî åñòü Ca [ ℄ íå çàâèñèò îò âûáîðà ãèïåðïîâåðõíîñòè , Ca [ ℄ = onst. Â ÷àñòíîñòè, åñëè â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòåé âûáðàòü ïîâåðõíîñòè ïîñòîÿííîãî âðåìåíè (x) = x0 , òî Ca [x02 ℄ = Ca [x01 ℄; ãäå Ca [x0 ℄ = Z x0 d3 x Ja0 : (1.24) Óñëîâèå Ca [ ℄ = onst îçíà÷àåò, ÷òî óíêöèîíàë Ca [ ℄ ÿâëÿåòñÿ äèíàìè÷åñêèì èíâàðèàíòîì. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîìó ïðåîáðàçîâàíèþ (1.16), îñòàâëÿþùåìó èíâàðèàíòíûì äåéñòâèå, ñîîòâåòñòâóåò N äèíàìè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ. Äîêàçàòåëüñòâî çàêîí÷åíî. Îáîáùåííûé òîê Ja îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî. Åñëè ê íåìó äîáàâèòü âûðàæåíèå âèäà fa , ãäå fa = fa è â îñòàëüíîì ïðîèçâîëüíî, òî ëîêàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ, è çíà÷èò äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû, íå èçìåíÿòñÿ. Ýòîò ïðîèçâîë èíîãäà ìîæíî èñïîëüçîâàòü, ÷òîáû íàëîæèòü íà òîê Ja äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. 10 1.4. Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà àññìîòðèì çàêîíû ñîõðàíåíèÿ, îòâå÷àþùèå êîíêðåòíûì ñèììåòðèÿì. Íà÷íåì ñ òðàíñëÿöèé. Â ýòîì ñëó÷àå Æx = a = Æ a : Òî åñòü Xa = Æ . Ïðè ýòîì Æi = i a è, çíà÷èò, Yai = îáîáùåííûé òîê îáîçíà÷àåòñÿ T , èìååò âèä T = L i ( i ) i. Ñîîòâåòñòâóþùèé LÆ è íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ýíåðãèè-èìïóëüñà. Ëîêàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ åñòü T = 0: Çàïèøåì äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû, îòâå÷àþùèå òåíçîðó ýíåðãèè-èìïóëüñà. Îíè îáîçíà÷àþòñÿ P è èìåþò âèä Z P = Â ÷àñòíîñòè, åñëè = x0 , òî P = Z d3 x T 0 = Çàäà÷à 1.1 Ïîêàçàòü, ÷òî åñëè R d3 x T 0 . Z d T : d3 x L i (0 i ) T 0 = T + f , Ìû âèäèì, ÷òî P0 = Z d3 x L i (0 i ) 0 ãäå LÆ0 : f = f , òî P0 = Z L d3 x i _ i = L: Ïî àíàëîãèè ñ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé îïðåäåëèì îáîáùåííûå èìïóëüñû Òîãäà R 3 d x T 00 i = L : (0 i ) = H; ãäå H êëàññè÷åñêàÿ óíêöèÿ àìèëüòîíà, òî åñòü ýíåðãèÿ. Çíà÷èò, P0 åñòü ýíåðãèÿ. Òîãäà â ñèëó ðåëÿòèâèñòñêîé èíâàðèàíòíîñòè 4-âåêòîð P èìååò ñìûñë âåêòîðà ýíåðãèèèìïóëüñà. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî îáúÿñíÿåò íàçâàíèå òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà. 1.5. Òåíçîð ìîìåíòà-èìïóëüñà Òåïåðü ðàññìîòðèì çàêîí ñîõðàíåíèÿ, îòâå÷àþùèé ëîðåíöåâûì âðàùåíèÿì. Çäåñü 1 Æx = ! x = ! (Æ 2 Òî åñòü 1 Xa = (Æ 2 11 Æ )x : Æ )x ; ãäå ! = ! . Êðîìå òîãî Æi = i i i j M ! : 2 j j i = i M Çíà÷èò, Y j , ãäå M = L + S . Ïîýòîìó ñîîòâåòñòâóþùèé òîê, íàçûâàå2 ìûé òåíçîðîì ïëîòíîñòè ìîìåíòà-èìïóëüñà, åñòü M = = = = 1 L i (M )ij j + L (Æ Æ )x i ( ) 2 2 L i (S )ij j ( i ) 2 1 L 1 i i ( x x ) + L( Æ Æ ) x ( i) 2 2 i L (S )ij j + 2 ( i ) 1 L L 1 i i + LÆ x LÆ x i i 2 ( ) 2 ( ) 1 i L T x T x (S )ij j : i 2 2 ( ) Òàêèì îáðàçîì M = 1 T x 2 T x i L (S )ij j : 2 ( i ) T x íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì îðáèòàëüíîãî Ïî îïðåäåëåíèþ, âûðàæåíèå 21 T x ìîìåíòà-èìïóëüñà. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ïîëå èìååò ëîðåíöåâñêèå èíäåêñû, òî òåíçîð ïëîòíîñòè ìîìåíòà-èìïóëüñà íå ñâîäèòñÿ òîëüêî ê îðáèòàëüíîìó ìîìåíòó-èìïóëüñà. Èìååòñÿ äîïîëíèòåëüíûé âêëàä, îòâåòñòâåííûé çà ñïèí. Ëîêàëüíûé çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìååò âèä M = 0: Äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû ñòðîÿòñÿ ïî îáùåìó ïðàâèëó M ßâíîå âûðàæåíèå äëÿ L S M 1 = 2 = Z i 2 = Z d M óêàçûâàåò, ÷òî d3 x (T 0 x Z d3 x = M Z d3 x M0 : = L + S , ãäå T 0 x ); L i j = i ( S ) j (0 i ) 2 Z d3 x i (S )ij j : Çäåñü S íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì ñïèíà ïîëÿ, à âåêòîð Sk = "kij Sij íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ñïèíà ïîëÿ. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî îáîáùåííûé òîê îïðåäåëåí íåîäíîçíà÷íî. Ýòî æå îòíîñèòñÿ è ê L i òåíçîðó-ýíåðãèè-èìïóëüñà. Ïóñòü T = i Æ L òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà, ( ) óäîâëåòâîðÿþùèé = 0. Ââåäåì T 0 = T + f , òîãäà, åñëè f = f , òî àâòîìàòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ T 0 = 0. Òàê êàê óíêöèÿ f â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè T 12 ïðîèçâîëüíà, òî íà òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ìîæíî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ. Çàìåòèì, ÷òî óíêöèÿ f âîîáùå íå âëèÿåò íà ãëîáàëüíûå äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû. Ïîñòðîèì òåíçîð ìîìåíòà-èìïóëüñà, îòâå÷àþùèé òåíçîðó ýíåðãèè-èìïóëüñà T 0 . Èìååì M ãäå i L 1 = T x T x (S )ij j i 2 2 ( ) 1 0 1 L 0 i j = T x T x + f f i (S )j + 2 2 ( i ) = 21 (f x f x ) = ; (1.25) : Çàäà÷à 1.2 Ïîëó÷èòü îðìóëó (1.25). Òàê êàê òåíçîð ìîìåíòà-èìïóëüñà îïðåäåëåí ñ òî÷íîñòüþ äî ÷ëåíîâ òèïà , òî äàííóþ äèâåðãåíöèþ ìîæíî îïóñòèòü. Âûáåðåì f èç óñëîâèÿ f Çàìåíÿÿ $ è $ f = i L (S )ij j : i ( ) (1.26) , ïîëó÷èì åùå äâà óñëîâèÿ f f f f L (S )ij j ; ( i ) L (S )ij j : = i ( i ) = i Ñëîæèì ïåðâîå ñî âòîðûì è âû÷òåì òðåòüå, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì f = i L L (S )ij j + (S )ij j i 2 ( ) ( i ) L )i j : ( S j ( i ) (1.27) Çàäà÷à 1.3 Âûâåñòè îðìóëó (1.27) èç (1.26). Â ðåçóëüòàòå M = ãäå T 0 = 1 0 T x 2 T 0 x ; (1.28) L i Æ L + f : ( i ) (1.29) Çàäà÷à 1.4 Ïîëó÷èòü îðìóëó (1.28). Èç ëîêàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ M èìååì 1 0 T x 2 T 0 x =0 + 1 0 T Æ 2 (1.30) T 0 Æ = 0: Çàäà÷à 1.5 Ïîêàçàòü, ÷òî èç óñëîâèÿ (1.30) ñëåäóåò, ÷òî òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà (1.29) ñèììåòðè÷åí. Â ñèëó ëîêàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ T T 0 âñåãäà ñèììåòðè÷åí T 0 = T 0 . 13 = 0 íàéäåì, ÷òî òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà 1.6. Òîêè è çàðÿäû, îòâå÷àþùèå âíóòðåííèì ñèììåòðèÿì àññìîòðèì äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû, ñîîòâåòñòâóþùèå âíóòðåííèì ñèììåòðèÿì. Â ýòîì ñëó÷àå Xa = 0, à YaI = i(T a )I J J . Òîê, îòâå÷àþùèé äàííîé ñèììåòðèè, èìååò âèä Ja = i L (T a )I J J ( I ) è óäîâëåòâîðÿåò ëîêàëüíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ Ja = 0: Äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû, ñâÿçàííûå ñ âíóòðåííèìè ñèììåòðèÿìè, ïðèíÿòî íàçûâàòü çàðÿäàìè. Çàðÿäû Qa ñîãëàñíî òåîðåìå Íåòåð çàïèñûâàþòñÿ òàê Qa = Z d Ja Èëè = Qa ãäå I = L (0 I ) Z d3 x Ja0 = = i Z i Z d3 x L (T a )IJ J : (0 I ) d3 x I (T a )IJ J ; èìïóëüñ, ñîïðÿæåííûé ïîëþ I . Îïðåäåëèì, ïî àíàëîãèè ñ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé ñêîáêó Ïóàññîíà ïî ïðàâèëó fA; B g= Z d3 x ÆB ÆA I Æ (t; ~x) ÆI (t; ~x) ÆA ÆB ; I ÆI (t; ~x) Æ (t; ~x) ãäå A, B óíêöèîíàëû îò I (t; ~x), I (t; ~x) è âàðèàöèîííûå ïðîèçâîäíûå, âû÷èñëÿþùèåñÿ ïðè èêñèðîâàííîì t. Òîãäà fQa ; Qbg = f ab Q : (1.31) Çàäà÷à 1.6 Ïîëó÷èòü îðìóëó (1.31). Åñëè ïðåîáðàçîâàòü çàðÿäû Qa = iQ~ a , òî fQ~ a; Q~ b g = if ab Q~ : Òî åñòü àëãåáðà çàðÿäîâ, ïîðîæäàåìàÿ ñêîáêîé Ïóàññîíà, ñîâïàäàåò ñ àëãåáðîé Ëè ãåíåðàòîðîâ ãðóïïû âíóòðåííèõ ñèììåòðèé. àññìîòðèì åùå f I (t; ~x); Q~ a g a = = ãäå Z d3 x0 (T a )JK fI (t; ~x); J (t; x~0 )g K (t; x~0 ) a = (T a )IJ J (t; ~x) a iÆI (t; ~x); ÆI = i(T a )IJ J a ïðåîáðàçîâàíèå âíóòðåííåé ñèììåòðèè. Òî åñòü ÆI = ifI ; Q~ a a g: Òàêèì îáðàçîì, ìû âèäèì, ÷òî ñêîáêà Ïóàññîíà ïîëÿ ñ çàðÿäîì âàíèÿ âíóòðåííåé ñèììåòðèè. 14 Q~ a ãåíåðèðóåò ïðåîáðàçî- ëàâà 2 Ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ 2.1. Ïîíÿòèå ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ àññìîòðèì òåîðèþ ñ íàáîðîì ïîëåé i è äåéñòâèåì S [℄ = Z d4 x L(; ): îâîðÿò, ÷òî çàäàíà ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ, åñëè ÿâíî óêàçàíû òèï è ÷èñëî ïîëåé i è âèä ëàãðàíæèàíà L. Îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïîëÿ i ïðåäñòàâëÿþò íàáîð ñïèí-òåíçîðîâ. Ïîýòîìó ìîæíî ãîâîðèòü î ìîäåëÿõ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, ñïèíîðíîãî ïîëÿ, âåêòîðíîãî ïîëÿ è ò.ä. Âîçìîæíû òàêæå ìîäåëè íåñêîëüêèõ òèïîâ ïîëåé. Îòíîñèòåëüíî ëàãðàíæèàíà îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî åãî âñåãäà ìîæíî ðàçáèòü íà ñóììó äâóõ ÷ëåíîâ L = L0 + Lint , ãäå L0 ýòî êâàäðàòè÷íàÿ îðìà ïî ïîëÿì è èõ ïðîèçâîäíûì, à Lint ñîäåðæèò ñòåïåíè ïîëåé è èõ ïðîèçâîäíûå âûøå âòîðîé. Ïðè ýòîì L0 íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì ëàãðàíæèàíîì, à Lint ëàãðàíæèàíîì âçàèìîäåéñòâèÿ. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ïîëíîãî ëàãðàíæèàíà L0 i L0 = ( i ) Lint i Lint : ( i ) (2.1) Òàê êàê L0 êâàäðàòè÷åí ïî ïîëÿì è èõ ïðîèçâîäíûì, òî ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2.1) âñåãäà ëèíåéíà ïî ïîëÿì. Ïîýòîìó, åñëè Lint = 0, òî ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áóäåò ëèíåéíûì. Ïðè Lint 6= 0 óðàâíåíèå (2.1) áóäåò óæå íåëèíåéíûì. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è îáúÿñíÿåò íàçâàíèÿ ñâîáîäíûé ëàãðàíæèàí è ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ. àññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ, îòâå÷àþùèå ñâîáîäíîìó ëàãðàíæèàíó. Ïîñêîëüêó äåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêè èíâàðèàíòíûì, òî ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áóäåò ëèíåéíûì Ïóàíêàðå-èíâàðèàíòíûì óðàâíåíèåì. Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ïîëå i , ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ïðåîáðàçîâàëîñü ïî íåïðèâîäèìîìó ïðåäñòàâëåíèþ ãðóïïû Ïóàíêàðå. Òîãäà ðàññìàòðèâàåìîå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ íå ìîæåò áûòü íè÷åì äðóãèì êðîìå êàê ðåëÿòèâèñòñêèì âîëíîâûì óðàâíåíèåì Lij ( )i = 0: Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü L0 i Îòñþäà Äåéñòâèòåëüíî, (2.2) âåùåñòâåííûì. Ñëåäîâàòåëüíî, L0 Lij ( )i: ( i ) L0 iLij ( )i: (2.3) Lij ( ) èìååò ñëåäóþùóþ îáùóþ ñòðóêòóðó Lij ( ) = A ij + Bij + Cij ; A Bij = Bji ; ij = Aji ; 15 Cij = Cji: ãäå A ij , Bij , Cij êîíñòàíòû. Ñëåäîâàòåëüíî, L0 = Aij i j + Bij i j + Cij ij ; ãäå îòáðîøåíà ïîëíàÿ äèâåðãåíöèÿ. L0 = Bij j + 2Cij j ; i L0 = ( i ) Çíà÷èò L0 i èëè Ïîòðåáóåì j j 2A ij + Bji : L0 j = Bij j + 2Cij j + 2A ij i ( ) 1 j A ij + 2 (Bij Bji j = 0 Bji ) j + Cij j = 0: Bij = Bji . Òîãäà L0 i L0 Lij ( )j : i ( ) Â ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèþ (2.3). Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé ëàãðàíæèàí äîëæåí èìåòü âèä L iLij ( )j + Lint : Ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Lij ( )j = Lint i Lint : ( i ) (2.4) Îñíîâíàÿ ïðîáëåìà ñîñòîèò â íàõîæäåíèè Lint . Åå ðåøåíèå òðåáóåò ïðèâëå÷åíèÿ äîïîëíèòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé è îïðåäåëåííîãî èñêóññòâà. Ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòü ðàçëè÷íûå îðìû Lint , êîíêðåòèçèðóÿ òèïû ïîëåé . 2.2. Ìîäåëè òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ àññìîòðèì âåùåñòâåííîå ñêàëÿðíîå ïîëå '(x). Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ýòî óðàâíåíèå Êëåéíà- îðäîíà ( + m2 )' = 0: Çäåñü îáîçíà÷åíî (2.5) = . Ñëåäîâàòåëüíî, ñâîáîäíûé ëàãðàíæèàí çàïèøåòñÿ â âèäå L0 '( + m2 )' = ' ' + m2'2 + ( ' '): Îïóñêàÿ ïîëíóþ äèâåðãåíöèþ, ïîëó÷èì îêîí÷àòåëüíî L0 = 21 ' ' 16 1 2 2 m': 2 (2.6) Êîýèöèåíò 1=2 âûáðàí èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà, îáùèé çíàê èç òðåáîâàíèÿ ïîëîæèòåëüíîñòè ýíåðãèè. Âêëþ÷åíèå âçàèìîäåéñòâèÿ äîñòèãàåòñÿ ïóòåì äîáàâëåíèÿ ê ëàãðàíæèàíó L0 (2.6) ñëàãàåìîãî V ('), ãäå V íåêîòîðàÿ óíêöèÿ îò ' (íî íå çàâèñèò îò ïðîèçâîäíûõ '). Â ðåçóëüòàòå ïîëíûé ëàãðàíæèàí åñòü L = 12 ' ' 1 2 2 m' 2 V ( ') : (2.7) Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ. Ñëàãàåìîå 12 ' ' íàçûâàåòñÿ êèíåòè÷åñêèì ÷ëåíîì, ñëàãàåìîå 12 m2 '2 ìàññîâûì ÷ëåíîì è ñëàãàåìîå V (') ïîòåíöèàëîì âçàèìîäåéñòâèÿ (èëè ñàìîäåéñòâèÿ). Âûðàæåíèå 12 m2 '2 + V (') U (') íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëîì èëè ïëîòíîñòüþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Â ðåçóëüòàòå ëàãðàíæèàí (2.7) èìååò ñòðóêòóðó, àíàëîãè÷íóþ ñòðóêòóðå óíêöèè Ëàãðàíæà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå, à èìåííî îí ðàâåí ðàçíîñòè êèíåòè÷åñêîé è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèé. Ïðîâåðèì, ÷òî ëàãðàíæèàí (2.7) äåéñòâèòåëüíî ïðèâîäèò ê ïîëîæèòåëüíîé ýíåðãèè. Íàéäåì ãàìèëüòîíèàí H = ãäå = L'_ = '_ . Òîãäà H= Z d3 x Z d3 x ( '_ L) ; 1 1 1 2 + (i ')2 + m2 '2 + V (') : 2 2 2 (2.8) Ìû âèäèì, ÷òî ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå V (') ãàìèëüòîíèàí âñåãäà íåîòðèöàòåëåí. Îáû÷íî ïîòåíöèàë V (') âûáèðàåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà ëþáîé êîíå÷íîé ñòåïåíè. Îäíàêî â ñèëó òàê íàçûâàåìîãî òðåáîâàíèÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè ñòåïåíü ýòîãî ïîëèíîìà íå ïðåâîñõîäèò ÷åòûðåõ. Ïðîñòåéøèé âûáîð åñòü V (') = 4!f '4 , ãäå êîíñòàíòà f íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé ñêàëÿðíîé ñâÿçè. Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ, îòâå÷àþùåå ëàãðàíæèàíó (2.7) åñòü ( + m2 )' = Â ÷àñòíîñòè ïðè V : ' V = 4!1 f'4 èìååì ( + m2 )' = 1 3 f' : 3! Çäåñü ÿâíî âèäíà íåëèíåéíîñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Îòòàëêèâàÿñü îò ëàãðàíæèàíà (2.5), ìîæíî ïîñòðîèòü áîëüøîå ÷èñëî ìîäåëåé ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ïóñòü, íàïðèìåð, ìû ðàññìàòðèâàåì êîìïëåêñíîå ñêàëÿðíîå ïîëå ' = p12 ('1 + i'2 ). Äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ïîëåé '1 , '2 ëàãðàíæèàí çàïèñûâàåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ (2.7) L = 12 '1 '1 1 2 2 1 m '1 + '2 '2 2 2 1 2 2 m '2 2 V ('1 ; '2 ); ïðè÷åì, ïîòåíöèàë V ('1 ; '2 ) äîëæåí áûòü âåùåñòâåííûì. Ïåðåéäåì îò ïîëåé ïîëÿì ' = p12 ('1 + i'2 ) è ' = p12 ('1 i'2 ). Òîãäà èç (2.9) ïîëó÷èì L = ' ' m2 '' V ('; '); 17 (2.9) '1 , '2 ê (2.10) V (' ; ') = V ('1 ; '2 )j'= p12 ('1 +i'2 ); ' = p12 ('1 i'2 ) : Òàê êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòü ëàãðàíæèàíà (2.10) èíâàðèàíòíà ïðè çàìåíàõ ' ! ', ' ! ' è ' ! ' , ' ! ', òî îáû÷íî ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî è V (' ; ') îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè. Òîãäà V = V (' '). ãäå ïîòåíöèàë àññìîòðèì ïîñòðîåíèå áîëåå ñëîæíîé ìîäåëè. Ïóñòü ìû èìååì ìíîãîêîìïîíåíòíîå ñêàëÿðíîå ïîëå 'i . Îòòàëêèâàÿñü îò ëàãðàíæèàíà (2.7), ìîæåì ñðàçó íàïèñàòü L = 21 Æij 'i 'j Èìåÿ ââèäó, ÷òî 1 2 i j m '' 2 ij V ('i ): (2.11) V ('i ) ïîëèíîì ñòåïåíè íå âûøå ÷åòûðåõ, ïîëó÷èì 1 1 V ('i ) = fijk 'i 'j 'k + fijkl 'i 'j 'k 'l : 3! 4! Êîíñòàíòû fijk , fijkl íàçûâàþòñÿ êîíñòàíòàìè ñêàëÿðíîé ñâÿçè, m2ij ìàññîâîé ìàòðèöåé. Òàê êàê ñâîáîäíàÿ ÷àñòü ëàãðàíæèàíà (2.11) èíâàðèàíòíà ïðè çàìåíå ' ! ', òî îáû÷íî (íî íå âñåãäà) òðåáóþò, ÷òîáû V (') òàêæå îáëàäàë ýòèì ñâîéñòâîì. Òîãäà fijk = 0. Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ áîëåå ñëîæíûõ ìîäåëåé. Ïóñòü ìû èìååì òåîðèþ n + k êîìïîíåíòíîãî ïîëÿ 'a ñ ëàãðàíæèàíîì L = 21 'a 'b Æab ; a = 1; 2; : : : ; n + k. Òî åñòü äàííàÿ êîìïîíåíòû 'a íàëîæåíî k ñâÿçåé òåîðèÿ áåçìàññîâàÿ è ñâîáîäíàÿ. Äîïóñòèì, ÷òî íà fI ('1 ; '2 ; : : : ; 'n+k ) = 0; I = 1; 2; : : : ; k: Ýòî çíà÷èò, ÷òî íà ìíîãîîáðàçèè ñ êîîðäèíàòàìè 'a çàäàíî k ïîâåðõíîñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò n íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò u1 ; u2 ; : : : ; un òàêèõ, ÷òî 'a = 'a (u) è óðàâíåíèÿ ñâÿçåé âûïîëíÿþòñÿ òîæäåñòâåííî. Òîãäà 'a 'a = 'a 'a i j u u: ui uj a a ' Èç äèåðåíöèàëüíîé ãåîìåòðèè èçâåñòíî, ÷òî gij (u) = ' ui uj ýòî èíäóöèðîâàííàÿ ìåòðèêà íà ìíîãîîáðàçèè åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà ñ êîîðäèíàòàìè u1 ; u2 ; : : : ; un . Â ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê ëàãðàíæèàíó L = 21 gij (u)ui uj : (2.12) Òåïåðü ìîæíî îòâëå÷üñÿ îò òåõ ñîîáðàæåíèé, êîòîðûå ïðèâåëè ê ëàãðàíæèàíó (2.12) è ïðîñòî ðàññìîòðåòü ìîäåëü ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ ýòèì ëàãðàíæèàíîì. Îòëè÷èòåëüíîé ÷åðãîé äàííîé ìîäåëè ÿâëÿåòñÿ åå ãåîìåòðè÷åñêèé õàðàêòåð. Ïîëÿ ui (x) ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîîðäèíàòû íåêîòîðîãî ìíîãîîáðàçèÿ ñ ðèìàíîâîé ìåòðèêîé gij (u). Òåîðèÿ ïîëÿ ñ îïèñûâàåìûìè ñâîéñòâàìè íàçûâàåòñÿ ñèãìà-ìîäåëüþ. Î÷åâèäíî, ÷òî ëàãðàíæèàí (2.12) èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê ðåïàðàìåòðèçàöèè êîîðäèíàò, òî åñòü ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì ui = ui (u0 ) ñ îäíîâðåìåííûì ïðåîáðàçîâàíèåì ìåòðèêè gij (u) = u0k u0l 0 0 g (u ): ui uj kl 18 Ëàãðàíæèàí (2.12) ìîæíî çàïèñàòü â ñòàíäàðòíîì âèäå L0 Lint L0 + Lint , ãäå 1 i i u u ; 2 1 = (gij (u) Æij ) ui uj ; 2 = íî òîãäà ãåîìåòðè÷åñêèé õàðàêòåð ìîäåëè ÿâíî íå ïðîÿâëÿåòñÿ â êàæäîì èç ëàãðàíæèàíîâ L0 è Lint. Íàéäåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ ñèãìà-ìîäåëè L 1 g = jki uj uk ; u 2 u L = gij (u) uk : i ( ' ) Çíà÷èò gij (u) uj Èëè 1 gjk j k u u = 0: 2 ui 1 gij gik gjk gij + + uj uk = 0: 2 uk uj ui Ïóñòü g ij (u) ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê gij (u), g ij gjk = Æki . Òîãäà uj ui + Âûðàæåíèå 1 il glj glk g + 2 uk uj gjk uj uk = 0: ul 1 il glj glk g + 2 uk uj gjk = ul i ; jk ãäå ijk ñèìâîëû Êðèñòîåëëÿ, îòâå÷àþùèå ìåòðèêå gij . Â ðåçóëüòàòå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ui + ijk uj uk = 0: (2.13) Òàêèì îáðàçîì, è ëàãðàíæèàí, è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëíîñòüþ îðìóëèðóþòñÿ â ãåîìåòðè÷åñêèõ òåðìèíàõ. Çàìåòèì, ÷òî ëàãðàíæèàí (2.12) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ïðÿìî êàê ðèìàíîâó ìåòðèêó, à óðàâíåíèÿ (2.13) êàê ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ ãåîäåçè÷åñêèõ. 2.3. Ëàãðàíæèàí ñïèíîðíîãî ïîëÿ àññìîòðèì ñïèíîðíîå ïîëå íèå ýòî óðàâíåíèå Äèðàêà (x). Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíå- i m = 0: (2.14) Ëàãðàíæèàí, îòâå÷àþùèé ýòîìó óðàâíåíèþ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå L = i m = i 19 m : (2.15) Çäåñü èñïîëüçóåòñÿ ñïèíîð = + 0 äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ëîðåíö-èíâàðèàíòíóþ áèëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè âñïîìíèòü äâóõêîìïîíåíòíûå îáîçíà÷åíèÿ, òî = 'a a_ = ; a ; 'a_ ; = 0 ~ 0 : Òîãäà = a ( )ab_ b_ + 'a_ (~ )a_ b 'b = a 'a + 'a_ a_ : Ëîðåíö èíâàðèàíòíîñòü ÿâíî âèäíà, êðîìå òîãî âèäíà âåùåñòâåííîñòü, òàê êàê 'a_ = 'a è a = a_ . Èç ëàãðàíæèàíà (2.15) èìååì L = L = 0; ( ) m ; è ìû ñðàçó ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ (2.14). Ìîæíî ðàññìîòðåòü òàêæå L = m ; Çíà÷èò, óðàâíåíèå äâèæåíèÿ L = i : ( ) i + m = 0: Ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Äèðàêà äëÿ äèðàêîâñêè ñîïðÿæåííîãî ñïèíîðà. Êàê âêëþ÷èòü âçàèìîäåéñòâèå? Ñëåäóÿ ïðèìåðó ñêàëÿðíîãî ïîëÿ, íàäî íàïèñàòü L = i m V ( ; ); ãäå V ( ; ) ïîòåíöèàë âçàèìîäåéñòâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèé âåùåñòâåííîñòü ëàãðàíæèàíà. Ïðîñòåéøèå âàðèàíòû äàþòñÿ ðàâåíñòâîì V ( ; ) = ( )2 , ãäå êîíñòàíòà è îïèñûâàåò òàê íàçûâàåìîå ÷åòûðåõåðìèîííîå âçàèìîäåéñòâèå. Áîëåå ñëîæíîå ÷åòûðåõåðìèîííîå âçàèìîäåéñòâèå èìååò âèä 1 ( )( ): Ìîæíî íàïèñàòü è åùå áîëåå ñëîæíûå êîíñòðóêöèè. Îäíàêî âñå âèäû ïîòåíöèàëà V ( ; ) íåïðèìåíèìû ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè è èíòåðåñíû òîëüêî åíîìåíîëîãè÷åñêè. Èìåÿ ââèäó äâà òèïà ïîëåé ñêàëÿðíîå è ñïèíîðíîå ìîæíî ïîñòðîèòü áîëüøîå ÷èñëî ðàçíîîáðàçíûõ ìîäåëåé. Íàïðèìåð, L = 21 ' ' 1 2 2 m' 2 1 f 4 ' + i 4! m2 h ': m1 , m2 ìàññû ñêàëÿðíîãî è ñïèíîðíîãî ïîëåé ñîîòâåòñòâåííî. Ïîòåíöèàë V ( ; ; ') = h ' íàçûâàåòñÿ þêàâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì, à êîíñòàíòà h êîíñòàíòîé þêàâñêîé ñâÿçè. Åñëè èìåþòñÿ íàáîðû ñïèíîðíûõ ïîëåé i è ñêàëÿðíûõ ïîëåé 'k , òî ìîæíî ïîñòðîèòü þêàâñêîå âçàèìîäåéñòâèå â îðìå hijk i j 'k , ãäå hijk êîíñòàíòû ãäå þêàâñêîé ñâÿçè. Ìîæíî ïîñòðîèòü è áîëåå ñëîæíûå ïîòåíöèàëû þêàâñêîé ñâÿçè, íàïðè~ ijk i 5 j 'k . ìåð, h Ïðè ðàññìîòðåíèè ðàçëè÷íûõ âîïðîñîâ åíîìåíîëîãèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö èñïîëüçîâàëèñü ìíîãî÷èñëåííûå ïîòåíöèàëû, íàïðèìåð, ig1 ig2 '; 5 '; ãäå g1 , g2 êîíñòàíòû ñâÿçè. Îäíàêî âñå îíè íåïðèåìëåìû ñ òî÷êè çðåíèÿ ïåðåíîðìèðóåìîñòè. Âîîáùå ãîâîðÿ, ìîæíî ïîñòðîèòü èç ñïèíîðîâ è ñêàëÿðîâ ëàãðàíæèàíû, ñîäåðæàùèå ÷åòûðåõåðìèîííîå âçàèìîäåéñòâèå è ÿâëÿþùèåñÿ ïåðåíîðìèðóåìûìè. Îäíàêî äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìà î÷åíü æåñòêàÿ ñèììåòðèÿ, íàçûâàåìàÿ ñóïåðñèììåòðèåé. 20 2.4. Ìîäåëè âåêòîðíîãî ïîëÿ Â ýòîì ðàçäåëå ìû ðàññìîòðèì ëàãðàíæèàíû äëÿ ñâîáîäíûõ âåêòîðíûõ ïîëåé. Íà÷íåì ñ áåçìàññîâîãî ñëó÷àÿ. Ñîîòâåòñòâóþùåå ðåëÿòèâèñòñêîå âîëíîâîå óðàâíåíèå ýòî óðàâíåíèå Ìàêñâåëëà F = 0; (2.16) ãäå F = A A . Ñëåäóÿ îáùåé ñõåìå, èìååì L0 A F = A F + A F 1 = F F + A F : 2 Îòáðàñûâàÿ íåñóùåñòâåííóþ äèâåðãåíöèþ, çàïèøåì îêîí÷àòåëüíî L0 = 1 F F : 4 (2.17) Êîýèöèåíò 1=4 âûáðàí èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà, îáùèé çíàê äèêòóåòñÿ óñëîâèåì ïîëîæèòåëüíîñòè ýíåðãèè. Ëàãðàíæèàí (2.17) ïðèíèìàåòñÿ êàê ñâîáîäíûé ëàãðàíæèàí áåçìàññîâîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî îí âåäåò ê óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà (2.16). Â ñèëó îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà F = A A ýòîò òåíçîð íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ A0 = A + (x); (2.18) íàçûâàåìûõ êàëèáðîâî÷íûìè. Ñêàëÿðíîå ïîëå (x) íàçûâàåòñÿ ïàðàìåòðîì êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ëàãðàíæèàí (2.17) èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (2.18). Ôèçè÷åñêèé ñìûñë òåîðèè ñ ëàãðàíæèàíîì (2.17) õîðîøî èçâåñòåí ýòî òåîðèÿ ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ìàêñâåëëîâñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. Ïðè ýòîì ïîëå A íàçûâàþò ïîòåíöèàëîì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. àññìîòðèì òåïåðü ìàññèâíûé ñëó÷àé. Ñîîòâåòñòâóþùåå âîëíîâîå ðåëÿòèâèñòñêîå óðàâíåíèå ýòî óðàâíåíèå Ïðîêà F + m2 A = 0: (2.19) Ëàãðàíæèàí, îòâå÷àþùèé ýòîìó óðàâíåíèþ ìîæíî íàïèñàòü â âèäå L0 A F + m2 A : Îòñþäà, îòáðàñûâàÿ äèâåðãåíöèþ, èìååì L0 = 1 1 F F + m2 A A : 4 2 (2.20) Ëàãðàíæèàí (2.20) íàçûâàåòñÿ ëàãðàíæèàí Ïðîêà è îïèñûâàåò ñâîáîäíîå ìàññèâíîå âåêòîðíîå ïîëå. 2.5. Ìîäåëè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ñêàëÿðíûõ, íûõ è ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé 21 ñïèíîð- àññìîòðèì ìîäåëü êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì L = ' ' m2' ' V (''): Çàìåòèì, ÷òî ëàãðàíæèàí íå èçìåíÿåòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ '0 = eie '; ' =e ie ' ; 0 (2.21) ãäå ïîñòîÿííûé âåùåñòâåííûé ïàðàìåòð ïðåîáðàçîâàíèÿ, e êîíñòàíòà, íàçûâàåìàÿ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðåîáðàçîâàíèÿ (2.21) îáðàçóþò ãðóïïó U (1) ' SO(2). Â áåñêîíå÷íî ìàëîé îðìå ïðåîáðàçîâàíèÿ (2.21) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå Æ' = ie' : Æ' = ie'; (2.22) Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Íåòåð èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé (2.22) îòâå÷àåò òîê j L L ie' ie' = ( ') ( ' ) $ = ie ' ' ' ' ie' ': Ýòîò òîê óäîâëåòâîðÿåò ëîêàëüíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ j = 0 è âåäåò ê ñîõðàíÿþùåìóñÿ çàðÿäó Q= Z d j = Z d3 x j 0 = ie Z $ d3 x ' 0 '; êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. àññìîòðèì òåïåðü ìîäåëü ñïèíîðíîãî ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì L = i m : Î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò ëàãðàíæèàí òàêæå èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé ãðóïïû U (1) 0 = eie ; 0 = e ie èëè â áåñêîíå÷íî ìàëîé îðìå Æ = ie : Æ = ie ; Îòñþäà, ïî òåîðåìå Íåòåð, íàõîäèì ñîîòâåòñòâóþùèé òîê j = L ie ( ) óäîâëåòâîðÿþùèé ëîêàëüíîìó çàêîíó ñîõðàíåíèÿ j = 0: 22 =e ; Ýòîìó òîêó îòâå÷àåò ñîõðàíÿþùèéñÿ çàðÿä Q= Z d3 x j 0 = e Z d3 x 0 = e Z d3 x + ; íàçûâàåìûé ýëåêòðè÷åñêèì çàðÿäîì ñïèíîðíîãî ïîëÿ. Òàêèì îáðàçîì, êîìïëåêñíûå ïîëÿ, ëàãðàíæèàíû êîòîðûõ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé èç ãðóïïû U (1), õàðàêòåðèçóþòñÿ ñîõðàíÿþùèìèñÿ çàðÿäàìè è ëîêàëüíî ñîõðàíÿþùèìèñÿ òîêàìè. Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå çàðÿäû ïîñòðîåíû ñ ïîìîùüþ èíâàðèàíòíûõ ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé, êîòîðûå ìû ðàíåå ââîäèëè äëÿ óðàâíåíèé Êëåéíà- îðäîíà è Äèðàêà. Êîìïëåêñíûå ïîëÿ èíîãäà íàçûâàþòñÿ çàðÿæåííûìè. Íàøà öåëü íàéòè ëàãðàíæèàíû âçàèìîäåéñòâèÿ ñïèíîðíîãî è ñêàëÿðíîãî ïîëåé ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå çàäàåòñÿ âåêòîðîì A , îïðåäåëåííûì ñ òî÷íîñòüþ äî ïðåîáðàçîâàíèÿ A0 = A + . Ëàãðàíæèàí ñàìîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Åñòåñòâåííî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ïîëíûé ëàãðàíæèàí òàêæå áûë èíâàðèàíòåí. Ïóñòü ìû èìååì ñíà÷àëà òîëüêî ñïèíîðíîå ïîëå. Åñòåñòâåííûé ïðåòåíäåíò íà ðîëü ëàãðàíæèàíà âçàèìîäåéñòâèÿ ýòî Lint = j A = e A : Åñëè äîáàâèòü òàêîé ÷ëåí ê äèðàêîâñêîìó ëàãðàíæèàíó, òî ïîëó÷èì L = i ( ieA ) m : (2.23) Ñîîòâåòñòâóþùåå óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áóäåò i ( ieA ) m = 0: Â íåðåëÿòèâèñòñêîì ïðèáëèæåíèè ýòî óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ Ïàóëè è, åñëè îòâëå÷üñÿ îò ñïèíà, òî ìîæíî óâèäåòü, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âõîäèò â óðàâíåíèå â ~ , êàê è äîëæíî áûòü â íåðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè. Ïîýòîìó ëàãðàíæèàí (2.23) âèäå p~ + e A íå ïðîòèâîðå÷èò íåðåëÿòèâèñòñêîé òåîðèè. Ñîâåðøèì â (2.23) ïðåîáðàçîâàíèå A0 = A + , ãäå (x) ïðîèçâîëüíîå ñêàëÿðíîå ïîëå. Ïîëó÷èì i ( ieA0 + ie ) m : Ñîâåðøèì åùå ïðåîáðàçîâàíèå 0 = eie (x) , 0 = e ie (x) èç ãðóïïû U (1), íî ñ ïàðàìåòðîì , çàâèñÿùèì îò òî÷êè. Çàìåòèì, ÷òî = ( 0 e ie ) = e ie ( 0 ie 0 ): Çíà÷èò, ( ieA0 + ie ) = 0 eie e ie ( 0 ie 0 + ie 0 ieA0 0 ) = 0 ( ieA0 ) 0 è ëàãðàíæèàí (2.23) íå èçìåíÿåòñÿ. Ýòî ðàññìîòðåíèå ïðåïîäíîñèò îïðåäåëåííûé óðîê. À èìåííî, ÷òîáû äîñòèãíóòü èíâàðèàíòíîñòè ëàãðàíæèàíà îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ A0 = A + , íàäî ïîòðåáîâàòü, ÷òîáû ñïèíîðíîå ïîëå ïðåîáðàçîâûâàëîñü ïî ãðóïïå U (1) ñ ëîêàëüíûì ïàðàìåòðîì ïðåîáðàçîâàíèÿ. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïîëå A âõîäèò â ëàãðàíæèàí (2.23) â êîìáèíàöèè D = ( ieA ) . Ïðè ýòîì, åñëè 0 = eie (x) è A0 = A + , òî D0 0 = eie(x) D . Òî åñòü âûðàæåíèå D ïðåîáðàçóåòñÿ òàêæå êàê èñõîäíîå ïîëå . Ïî ýòîé ïðè÷èíå D íàçûâàåòñÿ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ïîëÿ . Ïðè ýòîì îáû÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ òàêèì ñâîéñòâîì íå îáëàäàåò. Ïðåîáðàçîâàíèÿ 0 = eie (x) , 0 = e ie(x) íàçûâàþòñÿ êàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñïèíîðíîãî ïîëÿ. Ââåäåíèå âçàèìîäåéñòâèÿ ïóòåì çàìåíû îáû÷íîé ïðîèçâîäíîé íà êîâàðèàíòíóþ íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíûì âêëþ÷åíèåì âçàèìîäåéñòâèÿ. 23 Ïåðåéäåì òåïåðü ê ðàññìîòðåíèþ âçàèìîäåéñòâèÿ êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ó÷èòûâàÿ óðîê î ââåäåíèè âçàèìîäåéñòâèÿ â òåîðèè ñïèíîðíîãî ïîëÿ, ïîïûòàåìñÿ ïîñòðîèòü ëàãðàíæèàí, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ 0 ïðåîáðàçîâàíèé '0 = eie (x) ', ' = e ie (x) ' , A0 = A + (x). Ýòî ëåãêî îñóùåñòâëÿåòñÿ, åñëè îïðåäåëèòü êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå D ' = ' ieA '; (D ') = ' + ieA ' : Äåéñòâèòåëüíî, D0 '0 = ( ieA0 )'0 = ( ieA ie )eie (x) ' = eie (x) ( ieA ie + ie )' = eie(x) D ': Àíàëîãè÷íî (D0 '0 ) = e ie(x) (D ') . Îòñþäà ñëåäóåò åñòåñòâåííûé ïóòü ââåäåíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ýòî çàìåíà â ëàãðàíæèàíå êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ îáû÷íûõ ïðîèçâîäíûõ íà êîâàðèàíòíûå, â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì L = (D ') (D ') m2 ' ' V (' ') = ( + ieA )' ( ieA )' m2 ' ' V (' '): (2.24) Ïî ïîñòðîåíèþ ëàãðàíæèàí (2.24) èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ëîêàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç ãðóïïû U (1) è êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îáðàòèìñÿ åùå ðàç ê ëàãðàíæèàíàì (2.23), (2.24). Èõ ìîæíî çàïèñàòü òàê. Äëÿ ñïèíîðíîãî ïîëÿ L = L0 + Lint = i m + j A ; (2.25) ãäå j = e . Äëÿ ñêàëÿðíîãî ïîëÿ L = L0 + Lint = ' ' m2 '' + j A + e2 AA '' V (''); (2.26) $ ãäå j = ie' '. Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ëåãêî âèäåí ëàãðàíæèàí âçàèìîäåéñòâèÿ. Ê ëàãðàíæèàíàì (2.25), (2.26) íàäî åùå äîáàâèòü ëàãðàíæèàí ñâîáîäíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ 14 F F . Èíòåðåñíî îòìåòèòü, ÷òî òåíçîð F ìîæíî ïîëó÷èòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. àññìîòðèì êîììóòàòîð êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ h D ; D i = h ieA ; i ieA = ie A + ie A = ieF : Îòñþäà F = i ih D ; D : e Îêîí÷àòåëüíî, ïîëíûå ëàãðàíæèàíû, îïèñûâàþùèå âçàèìîäåéñòâèå ñêàëÿðíûõ è ñïèíîðíûõ ïîëåé ñ ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì, èìåþò âèä L = L = 1 F F + (D ') (D ') m2 ' ' V (' '); 4 1 F F + i D m : 4 (2.27) (2.28) Ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì (2.27) íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé ýëåêòðîäèíàìèêîé, ìîäåëü ñ ëàãðàíæèàíîì (2.28) ñïèíîðíîé ýëåêòðîäèíàìèêîé. 24 2.6. Ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà Îáùèé óðîê, êîòîðûé ìîæíî èçâëå÷ü ïðè ðàññìîòðåíèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âçàèìîäåéñòâèé, ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Òåîðèþ, èíâàðèàíòíóþ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ãëîáàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, îêàçàëîñü âîçìîæíûì ìîäèèöèðîâàòü òàê, ÷òîáû îíà ñòàëà èíâàðèàíòíîé îòíîñèòåëüíî òîé æå ãðóïïû, íî ñ ëîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè. Ïðè ýòîì â òåîðèè ïîÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå, îïðåäåëåííîå ñ òî÷íîñòüþ äî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Ââîäÿòñÿ êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå, è ëàãðàíæèàí ñàìîãî âåêòîðíîãî ïîëÿ ñòðîèòñÿ â òåðìèíàõ êîììóòàòîðà ïðîèçâîäíûõ. Â îáùåì ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëåé ñ ïàðàìåòðàìè, çàâèñÿùèìè îò òî÷êè x ïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãî, áóäåì íàçûâàòü êàëèáðîâî÷íûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè, à ñàìè ïàðàìåòðû êàëèáðîâî÷íûìè. Ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ, äåéñòâèå êîòîðîé èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé, áóäåì íàçûâàòü êàëèáðîâî÷íîé ìîäåëüþ (èëè êàëèáðîâî÷íîé òåîðèåé). Ïîëÿ, âõîäÿùèå â ýòó ìîäåëü, áóäåì íàçûâàòü êàëèáðîâî÷íûìè. Ñîðìóëèðóåì òàê íàçûâàåìûé êàëèáðîâî÷íûé ïðèíöèï: òåîðèþ èíâàðèàíòíóþ îòíîñèòåëüíî ãðóïïû ãëîáàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ïåðåîðìóëèðîâàòü òàê, ÷òî îíà áóäåò èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî òîé æå ãðóïïû, íî ñ ëîêàëüíûìè ïàðàìåòðàìè. Äëÿ ýòîãî â òåîðèþ ââîäèòñÿ âçàèìîäåéñòâèå ñ êàëèáðîâî÷íûì âåêòîðíûì ïîëåì. Òàêèì îáðàçîì, êàëèáðîâî÷íûé ïðèíöèï ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîä âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñ âåêòîðíûì ïîëåì. åàëèçàöèÿ êàëèáðîâî÷íîãî ïðèíöèïà áûëà ïåðâîíà÷àëüíî îñóùåñòâëåíà â 1954 ãîäó ßíãîì è Ìèëëñîì. Â 1956 ãîäó Óòèÿìà ðàçâèë îáùóþ ïðîöåäóðó. Âåêòîðíîå ïîëå, ââîäèìîå íà îñíîâå êàëèáðîâî÷íîãî ïðèíöèïà, ïðèíÿòî íàçûâàòü ïîëåì ßíãà-Ìèëëñà. Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ êàëèáðîâî÷íîãî ïðèíöèïà. Ïóñòü ìû èìååì íåêîòîðóþ ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ ñ íàáîðîì ïîëåé i è ëàãðàíæèàíîì L(i ; i ). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ïîëÿ i ïðåîáðàçóþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåíèþ íåêîòîðîé ïîëóïðîñòîé êîìïàêòíîé ãðóïïû Ëè (âîîáùå ãîâîðÿ, íåàáåëåâîé) ñ ïàðàìåòðàìè a . Ïàðàìåòðû a íå çàâèñÿò îò êîîðäèíàò, ïî ýòîé ïðè÷èíå ãðóïïà ïðåîáðàçîâàíèé íàçûâàåòñÿ ãëîáàëüíîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ëàãðàíæèàí L èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî äàííîé ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé. Òî åñòü ãäå 0i L(; ) = L(0; 0); = haij (a )j . Ìàòðèöû hij ( ) ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè ïðåäñòàâëåíèÿ ãðóïïû, ïðè÷åì, h( ) = eig T , ãäå ìàòðèöû T a áàçèñ ïðåäñòàâëåíèÿ ãåíåðàòîðîâ, g êîíñòàíòà, êîòîðàÿ ïîçäíåå áóäåò ïîíèìàòüñÿ êàê êîíñòàíòà ñâÿçè. àññìîòðèì ëîêàëüíûå èëè êàëèáðîâî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ 0i = hij ( )j ; a = a (x): (2.29) Î÷åâèäíî, ÷òî èñõîäíûé ëàãðàíæèàí L(; ) íå áóäåò èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèé (2.29), à èñòî÷íèêîì íåèíâàðèàíòíîñòè ÿâëÿåòñÿ òîëüêî ïðîèçâîäíàÿ . Äåéñòâèòåëüíî, 0 = h( + h 1 h), â òî âðåìÿ êàê äëÿ èíâàðèàíòíîñòè ëàãðàíæèàíà âòîðîé ÷ëåí â ñêîáêàõ äîëæåí îòñóòñòâîâàòü. Ââåäåì ïðîèçâîäíóþ D = igA : (2.30) Çäåñü A (x) âåêòîðíîå ïîëå, íàçûâàåìîå ïîëåì ßíãà-Ìèëëñà è ïî îïðåäåëåíèþ ïðèíàäëåæàùåå ïðåäñòàâëåíèþ àëãåáðû Ëè ñ áàçèñîì T a . Òî åñòü A = Aa T a , ãäå Aa íàáîð 25 âåêòîðíûõ ïîëåé, ÷èñëî êîòîðûõ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì êàëèáðîâî÷íûõ ïàðàìåòðîâ a . Ïîòðåáóåì, ÷òîáû ïðîèçâîäíàÿ D ïðåîáðàçîâûâàëàñü êîâàðèàíòíî D0 0 = hD : (2.31) Ñîîòíîøåíèå (2.31) ïðèâîäèò ê îïðåäåëåííîìó çàêîíó ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ ïîëåé Aa . Äåéñòâèòåëüíî 0 igA0 0 = h( igA ) h( + h 1 h) igA0 h = h ighA : Â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè íàõîäèì igA0 h = ighA + h; i A0 = hA h 1 hh 1 : g Èëè i A0 = hA h 1 + h h 1 : g (2.32) Ñîîòíîøåíèå (2.32) îïðåäåëÿåò êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîãî ïîëÿ ßíãàÌèëëñà. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé (2.29), (2.32) îáðàçóåò ãðóïïó, íàçûâàåìóþ ãðóïïîé êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü 1 1 i A(1) = h1 A h1 + g h1 h è (1) 1 i 1 1 1 i 1 1 i 1 A(2) = h2 A h2 + g h2 h2 = h2 h1 A h1 h2 + g h2 h1 ( h1 )h2 + g h2 h2 i = (h2 h1 )A (h2 h1 ) 1 + h2 h1 (h2 h1 ) 1 : g Òî åñòü ïîñëåäîâàòåëüíîå ïðèìåíåíèå äâóõ êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýòî ñíîâà êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå. Òåïåðü ìû â ñîñòîÿíèè ïîñòðîèòü ëàãðàíæèàí, èíâàðèàíòíûé îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé (2.29). Äëÿ ýòîãî íàäî â èñõîäíîì ëàãðàíæèàíå L(; ) çàìåíèòü îáû÷íóþ ïðîèçâîäíóþ íà êîâàðèàíòíóþ ïðîèçâîäíóþ D . Â ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê ëàãðàíæèàíó L(; D ), èíâàðèàíòíîìó ïî îòíîøåíèþ ê ñîâìåñòíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì (2.29), (2.32). Çàìåòèì, ÷òî ïåðåõîäÿ ê ëàãðàíæèàíó L(; D ), ìû ââåëè â òåîðèþ âçàèìîäåéñòâèå ïîëåé ñ ïîëåì ßíãà-Ìèëëñà. Òàêèì îáðàçîì, ïðèíöèï êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìåòîä âêëþ÷åíèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ. Íàéäåì a a áåñêîíå÷íî ìàëóþ îðìó ïðåîáðàçîâàíèé (2.29), (2.32). Åñëè 0i = (eigT )ij j è ïàðàìåòðû a áåñêîíå÷íî ìàëûå, òî Æi = ig (T a )ij j a : àññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå (2.32). Èìååì h = 1 + igT a a , h 1 = 1 igT a a . Òîãäà i A0a T a = (1 + igT b b )Ad T d (1 igT ) + (1 + igT b b )( ig )T a a : g Îòñþäà h i A0a T a = Aa T a + igA T b ; T b + T a a : 26 h i = if b a T a . Äëÿ ïîëóïðîñòûõ ãðóïï Ëè ñòðóêòóðíûå ïîñòîÿííûå ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ àíòèñèììåòðè÷íûìè è ìû áóäåì èõ ïèñàòü òàê: f b a = f ab . Çíà÷èò, Íî T b; T A0a = Aa + a Èëè gf ab bA : A0a = Aa + a + gf a b A b: Îáîçíà÷èì Dab = Æ ab + gf a bA : (2.33) Òîãäà áåñêîíå÷íî ìàëîå êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà èìååò âèä ÆAa = Dab b: (2.34) Ïîñêîëüêó â ðàññìîòðåíèå ââåäåíî íîâîå ïîëå A , òî íåîáõîäèìî íàéòè äëÿ íåãî ñîîòâåòñòâóþùèé ëàãðàíæèàí. Áóäåì ñëåäîâàòü àíàëîãèè ñ ýëåêòðîäèíàìèêîé. Âû÷èñëèì êîììóòàòîð êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ (2.30) h D ; D i = h = Îáîçíà÷èì igA ; ig A A G = A òîãäà h h i igA = ig A + ig A + ( ig )2 A ; A h i i ig A ; A : A h i ig A ; A ; (2.35) i D ; D = igG : Âûðàæåíèå G (2.35) íàçûâàåòñÿ òåíçîðîì íàïðÿæåííîñòè ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà. Âûÿñíèì êàê ïðåîáðàçóåòñÿ òåíçîð G ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. Èç ñîîòíîøåíèÿ D0 0 = hD ñëåäóåò D0 h = hD , îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè íàõîäèì D0 = hD h 1 : (2.36) àññìîòðèì ih 0 0i i D ; D = hD h 1 hD h 1 g g 1 = hG h : G0 = Òî åñòü i i h hD h 1 hD h 1 = h D ; D h 1 g G0 = hG h 1 : (2.37) àññìîòðèì åùå ðàç G = A = Îïðåäåëèì Aa A h i ig A ; A = Aa Aa T a h igAb A T b ; T i Aa + gf ab Ab A T a Ga = Aa Aa + gf ab Ab A ; 27 (2.38) òîãäà G = Ga T a è Ga = Ga . àññìîòðèì tr G0 G0 = tr hG G h 1 = tr G G : Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âûðàæåíèå tr tr G G êàëèáðîâî÷íîãî èíâàðèàíòíî. Êðîìå òîãî, G G = Ga Gb tr T a T b : Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ïîëóïðîñòûõ êîìïàêòíûõ ãðóïï Ëè âûïîëíåíî óñëîâèå íîðìèðîâêè ãåíåðàòîðîâ tr T a T b Æ ab . Ïîýòîìó tr G G Ga Ga . Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîñòóëèðóåòñÿ â êà÷åñòâå ëàãðàíæèàíà ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà LY M = 1 a a G G : 4 (2.39) Òàêèì îáðàçîì, ïîëíûé êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíûé ëàãðàíæèàí èñõîäíûõ ïîëåé i è ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà Aa èìååò âèä Lm (; D) + LY M : (2.40) Íàéäåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà LY M = gf ab Gb A ; Aa LY M = Ga : a ( A ) Îòñþäà gf ab Gb A = ÆSm : ÆAa Ga + gf a bA Gb = ÆSm : ÆAa Ga Èëè Ìû óæå ââîäèëè îáîçíà÷åíèå äëÿ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé (2.33) è ñ åå ïîìîùüþ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ äëÿ ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà ïðèíèìàþò âèä Dab Gb = Îáîçíà÷èì j a = ÆSm ; òîãäà ÆAa ÆSm : ÆAa (2.41) Dab Gb = j a : àññìîòðèì íåêîòîðîå ñâîéñòâî óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Â ñèëó êàëèáðîâî÷íîé èíâàðèàíòíîñòè äåéñòâèÿ ìîæíî çàïèñàòü S [ + Æ; A + ÆA℄ = S [; A℄; ãäå Æi = ig (T a )ij j a , ÆAa = Dab b . Îòñþäà Z Èëè Z d4 x d4 x ÆS i ÆS a Æ + a ÆA = 0: Æi ÆA ÆS ig (T a )ij j a Æi 28 ÆS Dab a a ÆA = 0: Îòñþäà â ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè a èìååì ig ÆS a i j (T )j Æi Dab Db G + j b = 0: Ïóñòü ñíà÷àëà ïîëÿ i îòñóòñòâóþò, òîãäà ïîëó÷àåì òîæäåñòâî Dab Db G = 0: (2.42) Ïóñòü òåïåðü ïîëÿ i ïðèñóòñòâóþò, íî äëÿ íèõ âûïîëíåíî êëàññè÷åñêîå óðàâíåíèå äâèÆS = 0. Îñòàåòñÿ æåíèÿ Æ i Dab Db G = Dab j b : Èñïîëüçóÿ (2.42), íàõîäèì Dab j b = 0: Ïóñòü èíäåêñ a ïðèíèìàåò n çíà÷åíèé. Òîãäà ÷èñëî óðàâíåíèé äëÿ ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà ðàâíî 4n. Íî ýòè óðàâíåíèÿ óäîâëåòâîðÿþò n òîæäåñòâàì Dab Db G + j b = 0: Ïîýòîìó ÷èñëî óíêöèîíàëüíî íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé ðàâíî 3n. Ñëåäîâàòåëüíî, èç íèõ íåëüçÿ îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü âñå 4n êîìïîíåíò ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà Aa , n êîìïîíåíò âñåãäà áóäóò ïðîèçâîëüíûìè. Ïîäîáíàÿ ñèòóàöèÿ íåóäèâèòåëüíà. Äîïóñòèì, ÷òî ìû ïåðâîíà÷àëüíî çàäàëè âñå 4n êîìïîíåíò ïîëÿ Aa . Ñîâåðøèì áåñêîíå÷íî ìàëîå êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå, ïîëó÷èì A0a = Aa + Dab b , ñîäåðæàùåå n-ïðîèçâîëüíûõ óíêöèé a (x). Ïîýòîìó n êîìïîíåíò ïîëÿ Aa âñåãäà ìîãóò áûòü ñäåëàíû ïðîèçâîëüíûìè. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ êàê ðàç è ó÷èòûâàþò ýòó ñèòóàöèþ. Â çàêëþ÷åíèå ïðèâåäåì äåéñòâèå, îïðåäåëÿþùåå ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ, ïðåîáðàçóþùååñÿ ïî óíäàìåíòàëüíîìó ïðåäñòàâëåíèþ ãðóïïû SU (3) S = Z d4 x n n f h 1 a a X i ki (Æij G G + 4 k=1 igAa (T a )ij ) kj mk ki i k io : Çäåñü k , k = 1; 2; : : : ; nf ýòî íàáîð ñïèíîðíûõ ïîëåé ñ ìàññàìè mk ñîîòâåòñòâåííî. Ýòè ïîëÿ îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ êâàðêàìè, ÷èñëî êâàðêîâ nf íàçûâàåòñÿ ÷èñëîì àðîìàòîâ. SU (3)-èíâàðèàíòíîñòü ëàãðàíæèàíà íàçûâàåòñÿ öâåòîâîé ñèììåòðèåé, à èíäåêñû i; j = 1; 2; 3 èíäåêñàìè öâåòà. Êàëèáðîâî÷íûå ïîëÿ Aa , a = 1; 2; : : : ; 8 îòîæäåñòâëÿþòñÿ ñ ãëþîíàìè. Ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ, îïèñûâàåìàÿ ðàññìàòðèâàåìûì äåéñòâèåì íàçûâàåòñÿ õðîìîäèíàìèêîé è îïèñûâàåò ñèëüíûå âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö. 2.7. Êàëèáðîâî÷íàÿ îðìóëèðîâêà ãðàâèòàöèè àññìîòðèì ñõåìàòè÷íî ïîñòðîåíèå ýéíøòåéíîâñêîé òåîðèè ãðàâèòàöèè, à çàòåì ïîïûòàåìñÿ èíòåðïðåòèðîâàòü åå â äóõå òåîðèè ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà. Â ýéíøòåéíîâñêîé ãðàâèòàöèè ïîñòóëèðóåòñÿ, ÷òî ïðîñòðàíñòâî-âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ ÷åòûðåõìåðíûì ðèìàíîâûì ìíîãîîáðàçèåì ñ ëîêàëüíûìè êîîðäèíàòàìè x è ìåòðèêîé ds2 = g (x)dx dx 29 ñ ëîðåíöåâñêîé ñèãíàòóðîé. Òî åñòü ëîêàëüíî g = diag (1; 1; 1; 1). Ïðè îáùåêîîðäèíàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ x0 = x0 (x) êîìïîíåíòû ìåòðèêè ïðåîáðàçóþòñÿ êàê x x g (x); x0 x0 ÷òî îáåñïå÷èâàåò èíâàðèàíòíîñòü âûðàæåíèÿ ds2 . 0 (x0 ) = g Ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû çàäàþòñÿ ñ ïîìîùüþ òåíçîðíûõ ïîëåé, êîìïîíåíòû êîòîðûõ 1 m (x) ïðåîáðàçóþòñÿ ïðè îáùåêîîðäèíàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ïî çàêîíó T 1 n T 01 n 1 m (x0 ) = x01 x 1 0n x x m T x x n x0 x0m 1 1 1 n 1 m (x): Î÷åâèäíî, ÷òî îáû÷íàÿ ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ òåíçîðíîãî ïîëÿ óæå íå áóäåò òåíçîðíûì ïîëåì. Îäíàêî, ýòèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò êîâàðèàíòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ r . Íàïðèìåð, äëÿ âåêòîðíîãî ïîëÿ rT = T + T ; r T = (Æ + ( ) )T ãäå êîýèöèåíòû íàçûâàþòñÿ êîýèöèåíòàìè ñâÿçíîñòè. Çàìåòèì, ÷òî ìîæíî çàïèñàòü : Îáîçíà÷èì ( ) . Òåïåðü ëåãêî çàìåòèòü àíàëîãèþ ýòîé êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé ñ êîâàðèàíòíîé ïðîèçâîäíîé â òåîðèè ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà. Ïîñòóëèðóåì r g = 0, âåäóùåå ê g g g = 0: Ýòî ñîîòíîøåíèå ïîçâîëÿåò âûðàçèòü êîýèöèåíòû ñâÿçíîñòè ÷åðåç êîìïîíåíòû ìåòðèêè 1 g + g g : (2.43) = g 2 Çàäà÷à 2.1 Ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå (2.43). Ñîîòíîøåíèå (2.43) îïðåäåëÿåò òàê íàçûâàåìûå ñèìâîëû Êðèñòîåëëÿ. g ìàòðèöà, îáðàòíàÿ ê g . Âû÷èñëèì êîììóòàòîð êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ íà âåêòîðíîì ïîëå, èìååì h ãäå R i r; r T = Çàäà÷à 2.2 Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ R =R + T ; : (2.44) (2.44). Âûðàæåíèÿ R ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè òåíçîðà ÷åòâåðòîãî ðàíãà, íàçûâàåìîãî òåíçîðîì êðèâèçíû èìàíà-Êðèñòîåëëÿ èëè òåíçîðîì íàïðÿæåííîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Òàê êàê ñèìâîëû Êðèñòîåëÿ çàâèñÿò òîëüêî îò êîìïîíåíò ìåòðèêè, òî è òåíçîð êðèâèçíû òîæå çàâèñèò òîëüêî îò êîìïîíåíò ìåòðèêè. Ïîñòðîèì ñêàëÿðíîå ïîëå R = g R = g R ; êîòîðîå íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé êðèâèçíîé. Îïðåäåëèì ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ ñ ïîìîùüþ äåéñòâèÿ 1 S [g ℄ = 22 Z p gR d4 x 30 ; (2.45) ãäå g = det g ; , êîíñòàíòû. Äåéñòâèå (2.45) èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî îáùåêîîðäèíàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîäåëü íàçûâàåòñÿ ýéíøòåéíîâñêîé ãðàâèòàöèåé. 2 íàçûâàåòñÿ êîíñòàíòîé ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, à êîñìîëîãè÷åñêîé ïîñòîÿííîé. Â ðàìêàõ òåõ æå èäåé ìîæíî ïîñòðîèòü è äðóãèå äåéñòâèÿ, íàïðèìåð, S [g ℄ = Z d4 x p g 1 (R 22 ) + aR R + bR2 ; (2.46) ãäå a, b íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Òàêàÿ ìîäåëü íàçûâàåòñÿ R2 -ãðàâèòàöèåé. Îíà îòëè÷àåòñÿ îò ýéíøòåéíîâñêîé ãðàâèòàöèè òåì, ÷òî óðàâíåíèÿ äàèæåíèÿ â ìîäåëè (2.45) âòîðîãî ïîðÿäêà, à â ìîäåëè (2.46) ÷åòâåðòîãî. Òàê ÷òî ìîäåëü (2.46) ýòî òåîðèÿ ñ âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè. Äëÿ äàëüíåéøåãî íàì ïîòðåáóåòñÿ áåñêîíå÷íî ìàëàÿ îðìà ïðåîáðàçîâàíèé êîìïîíåíò ìåòðèêè. Ïóñòü x0 = x + (x) áåñêîíå÷íî ìàëîå îáùåêîîðäèíàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå. Òîãäà x0 = Æ + : x x . Ïðåäñòàâèì x = Æ + C : Òîãäà x0 x = Æ ) (Æ + )(Æ + C ) = Æ ) Íàéäåì x 0 x0 x x0 x = Æ Æ + + C = Æ ) C = : Çíà÷èò, x : Çàïèøåì ïðåîáðàçîâàíèå 0 êîìïîíåíò ìåòðèêè Çíà÷èò, Îòñþäà 0 (x0 ) = g x x g (x): x0 x0 0 (x) + g (x) = (Æ g Æg (x) = g )(Æ g )g (x): g D : Ïîïûòàåìñÿ òåïåðü îòâåòèòü íà ñëåäóþùèé âîïðîñ. Ìîæíî ëè ïîñòðîèòü òåîðèþ ãðàâèòàöèè ñëåäóÿ îáùåé îðìóëèðîâêå òåîðèè ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà? Ìû ðàññìîòðèì îäèí èç ïðîñòåéøèõ âàðèàíòîâ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ. Ïðåæäå âñåãî, íåîáõîäèìî ââåñòè ãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé, êîòîðàÿ äîëæíà çàòåì áûòü ëîêàëèçîâàíà. Íà ñàìîì äåëå âàæíà íå ñòîëüêî ñàìà ãðóïïà, êàê åå àëãåáðà Ëè. Ïîñêîëüêó ãðàâèòàöèÿ ñâÿçàíà ñî ñâîéñòâàìè ïðîñòðàíñòâà-âðåìåíè, òî åñòåñòâåííî íà÷àòü ñ ãðóïïû ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà Ìèíêîâñêîãî, òî åñòü ñ ãðóïïû Ïóàíêàðå. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ àëãåáðà Ïóàíêàðå ñîäåðæèò 10 ãåíåðàòîðîâ: Pa è Mab ; a; b = 0; 1; 2; 3. Êàê èçâåñòíî, àëãåáðà Ëè ãåíåðàòîðîâ èìååò âèä h h h Pa ; Pb Mab ; P Mab ; M d i i i = 0; = i(b Pa a Pb ); = i(a Mbd + bd Ma (2.47) b Mad ad Mb ): Ââåäåì êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå D = iea Pa i ab ! M : 2 ab (2.48) Òåì ñàìûì, â òåîðèè ïîÿâëÿåòñÿ äåñÿòü âåêòîðíûõ ïîëåé ea è ! ab . Âû÷èñëèâ êîììóòàòîð êîâàðèàíòíûõ ïðîèçâîäíûõ, èìåÿ ââèäó àëãåáðó Ïóàíêàðå, ïîëó÷èì h i D ; D = R a Pa 31 i ab R M ; 2 ab (2.49) ãäå R a = ea ea + ! ab eb ! ab eb ; R ab = ! ab ! ab + ! a ! b ! a ! b : (2.50) Çàäà÷à 2.3 Ïîëó÷èòü îðìóëû (2.50) èç (2.48) è (2.49). a , R ab ìîæíî íàçâàòü òåíçîðàìè íàïðÿæåííîñòåé ïîëåé ea è ! ab ñîîòâåòÂåëè÷èíû R ñòâåííî èëè òåíçîðàìè êðèâèçíû, îòâå÷àþùèìè ãåíåðàòîðàì Pa è Mab . Íàéäåì áåñêîíå÷íî ìàëóþ îðìó êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé. àíåå áûëî ïîêàçàíî D0 = hD h 1 (2.36). Â äàííîì ñëó÷àå i ab Mab b h = eia Pb + 2 ! Çäåñü ab (x), i = 1 + iab Pb + ! ab Mab : 2 ! ab (x) ëîêàëüíûå ïàðàìåòðû ãðóïïû Ïóàíêàðå. Ñëåäîâàòåëüíî, D0 = (1 + iT )D (1 ãäå iT ) = D iT = iaa Pa + 2i ! ab Mab . Îáîçíà÷èì D = Îòñþäà i 0 = h i i Æ i , i i ; T = 0 h = i h i i D ; T ; D0 = i ; T i 0 . Òîãäà i T h i ; T : i : Èëè Æea Pa 1 1 + Æ ! ab Mab = aa Pa + ! ab Mab 2 2 h 1 d 1 kl i k i e P + ! M d ; e Pk + ! Mkl : 2 2 Âû÷èñëèâ êîììóòàòîð, ïîëó÷èì h 1 d 1 kl i k a ab P ab e P + ! M d ; e Pk + ! Mkl = i! b a i! eb Pa 2 2 i a b b a + ! ! Mab ! ! Mab : 2 Çàäà÷à 2.4 Âû÷èñëèòü êîììóòàòîð (2.51). Ñëåäîâàòåëüíî, 1 1 a ab P Æea Pa + Æ ! ab Mab = aa Pa + ! ab Mab + ! b a 2 2 1 + ! a ! b ! b ! a Mab : 2 Çíà÷èò a ab ; Æea = aa ! ab eb + ! b Æ ! ab = ! ab ! a ! b + ! b ! a: Ýòî è åñòü áåñêîíå÷íî ìàëîå ïðåîáðàçîâàíèå ïîëåé ea , ! ab . 32 ! ab eb Pa (2.51) Ââåäåì òåïåðü ïîëå g ïî ïðàâèëó g = ab ea eb = ea ea : Î÷åâèäíî, ÷òî g = g . Âû÷èñëèì êàê ïðåîáðàçóåòñÿ g âàíèÿõ Æg = ab Æea eb + ab ea Æeb a a ab e + e = aa ! ab eb + ! b a a a aa = ea + ea aa + ab a ea ! b a + ea ! b ïðè êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçî- a ab ! ab eb + ! b ! ab eb ea + eb ea : Çàìåòèì, ÷òî ! ab (eb ea + eb ea ) = 0: Ââåäåì ïàðàìåòðû = ea aa , ãäå ea ìàòðèöà îáðàòíàÿ ê e a , òî åñòü ea e b = ab . Òîãäà aa = ea , ãäå ea e a = g . Òàê êàê aa = ea ea ; ïîýòîìó ea ea ea ea ea ea a a b e ea ! b + ea ! b Æg = g = g Çíà÷èò Æg = g g ea ea a e +! a b ea ea + ea ea + (!b a b ea )e : a e +! a b ea ea + ea ea + (!b a b ea )e : Çàìåòèì, ÷òî ïàðàìåòðû ! ab â ýòè ïðåîáðàçîâàíèÿ íå âõîäÿò. a , R ab . Îíè âûðàæåíû â òåðìèíàõ êàëèáðîâî÷íûõ Âåðíåìñÿ ê òåíçîðàì êðèâèçíû R ab . Â ðåçóëüòàòå ìû èìååì òåîðèþ, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóþò ýòè ïîëÿ ea , ! ab . ïîëåé ea , ! Ìîæíî ëè ñóçèòü ÷èñëî ïîëåé? Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ýòîãî íàäî íàëîæèòü íà ïîëÿ íåêîòîðûå ñâÿçè. ×òîáû îáåñïå÷èòü êàëèáðîâî÷íóþ èíâàðèàíòíîñòü, ýòè ñâÿçè äîëæíû áûòü êàëèáðîâî÷íî èíâàðèàíòíû è, çíà÷èò, ïîñòðîåíû òîëüêî â òåðìèíàõ òåíçîðîâ êðèâèçíû. Ïðîñòåéøåé ñâÿçüþ ÿâëÿåòñÿ R a = 0; êîòîðóþ ìû è ïðèìåì. Â ðåçóëüòàòå èìååì ea ea + ! ab eb ! ab eb = 0: Ýòî óðàâíåíèå ïîçâîëÿåò âûðàçèòü ! ab â òåðìèíàõ ea . åøèì óêàçàííîå óðàâíåíèå. Îáîab a a çíà÷èì ! eb = ! , ! = e a ! . Òîãäà ïîëó÷èì ! Îòñþäà (ñäåëàâ çàìåíû ! , ! ! ! = ea ( ea ea ): ! , ! è ! , ! , ! ! = ea ( e a ea ); ! = ea ( ea e a ): ) Ñëîæèì ïåðâîå ñîîòíîøåíèå ñî âòîðûì, âû÷òåì òðåòüå è ïîëó÷èì ! ! (e a ) = 1 a e ( ea 2 ea ) + ea ( e 33 a ea ) ea ( ea e a ) : (2.52) Çàäà÷à 2.5 Ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå (2.52). àññìîòðèì ïðåîáðàçîâàíèå Æg = g Æg , êîòîðîå òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü òàê (ea ea + ea ea + ! + ! ): g Èñïîëüçóÿ ÿâíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ! = ! , èìååì ea ea + ea ea + ! + ! = g : (2.53) Çàäà÷à 2.6 Ïîëó÷èòü ðàâåíñòâî (2.53). Òî åñòü Æg (x) = g g g = D : Ìû ïîëó÷èëè êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå êîìïîíåíò ìåòðèêè â ýéíøòåéíîâñêîé ãðàâèòàöèè. Çíà÷èò îáúåêò g = ea ea ìîæíî îòîæäåñòâèòü ñ êîìïîíåíòàìè ìåòðèêè, à ñ ïàðàìåòðàìè îáùåêîîðäèíàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé. ab j! =! è ïîñòðîèì R ab ea eb . Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî àññìîòðèì âûðàæåíèå R ab = R ýòà âåëè÷èíà çàâèñèò òîëüêî îò g . Â ðåçóëüòàòå ìû âèäèì, ÷òî âñå îñíîâíûå îáúåêòû ýéíøòåéíîâñêîé ãðàâèòàöèè, à èìåííî ìåòðèêà è ñêàëÿðíàÿ êðèâèçíà, âîñïðîèçâîäÿòñÿ â ðàìêàõ êàëèáðîâî÷íîé òåîðèè ñ ëîêàëüíîé ãðóïïîé Ïóàíêàðå. 34 ëàâà 3 Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ñâîáîäíûõ ïîëåé 3.1. Ïðèíöèïû êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåäóðó, ïîçâîëÿþùóþ ïî äàííîé êëàññè÷åñêîé òåîðèè ïîñòðîèòü êâàíòîâóþ òåîðèþ. àññìîòðèì îñíîâíûå ýëåìåíòû ýòîé ïðîöåäóðû. Ïóñòü äàíà êëàññè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÷àñòèö ñ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè qi (i = 1; 2; : : : ; n) è äåéñòâèåì Z t2 S [q ℄ = t1 L(q; q_) dt; ãäå L(q; q_) óíêöèÿ Ëàãðàíæà. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âûòåêàþò èç ïðèíöèïà ñòàöèîíàðíîãî äåéñòâèÿ è èìåþò âèä óðàâíåíèé Ëàãðàíæà d L = 0: dt q_i L qi (3.1) Ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ ïðåäïîëàãàåò, ÷òî äëÿ äàííîé ñèñòåìû îñóùåñòâëåíà òàê íàçûâàåìàÿ êàíîíè÷åñêàÿ èëè ãàìèëüòîíîâà îðìóëèðîâêà. Íàïîìíèì åå îñíîâíûå ðàãìåíòû. Ââåäåì îáîáùåííûå èìïóëüñû pi , êàíîíè÷åñêè ñîïðÿæåííûå ê êîîðäèíàòàì qi , ïî ïðàâèëó pi = L : q_i Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìîæíî âûðàçèòü âñå ñêîðîñòè q_i ÷åðåç êîîðäèíàòû è èìïóëüñû â âèäå q_i = fi (q; p). Ýòî âîçìîæíî ïðè óñëîâèè det 2L 6 0; = q_i q_j êîòîðîå ìû ïðåäïîëàãàåì âûïîëíåíûì. Ïîñòðîèì óíêöèþ àìèëüòîíà H (q; p) = pi q_i L(q; q_) q_i =fi (q;p) : (3.2) Òîãäà óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (3.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â ãàìèëüòîíîâîé îðìå q_i = H ; pi p_i = H : qi (3.3) Óðàâíåíèÿ (3.3) ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü èç óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ãàìèëüòîíîâà äåéñòâèÿ SH [q; p℄ = Z t2 t1 pi q_i 35 H (q; p) dt: (3.4) Òîãäà ÆSH =0 Æqi (t) ÆSH =0 Æpi (t) H ; qi H q_i = : pi ) p_i = ) Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ãðàíèöàõ îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ çàêðåïëåíû òîëüêî êîîðäèíàòû Æqi (t)jt=t1 = 0. àìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîæíî çàïèñàòü â ñèììåòt=t2 ðè÷íîé îðìå, åñëè ââåñòè îáúåêò, íàçûâàåìûé ñêîáêîé Ïóàññîíà. Ïóñòü A(q; p), B (q; p) äâå ïðîèçâîëüíûå óíêöèè îò êîîðäèíàò è èìïóëüñîâ. Òîãäà ñêîáêîé Ïóàññîíà íàçûâàåòñÿ n o A; B = A B qi pi A B : pi qi (3.5) Â ðåçóëüòàòå ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå: n o n q_ = q; H ; o p_ = p; H : (3.6) Ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ îñíîâûâàåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ïîñòóëàòàõ: j i 1. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû çàäàåòñÿ ëó÷îì íåêîòîðîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. 2. Êîîðäèíàòàì qi è èìïóëüñàì pi â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñîïîñòàâëÿþòñÿ ýðìèòî- âû îïåðàòîðû qî , pî , äåéñòâóþùèå â ýòîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå è óäîâëåòâîðÿþùèå êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì h i qî ; q^j = 0; Êàæäîé âåùåñòâåííîé óíêöèè îïåðàòîð A^ = A(q; p) h i h pî ; p^j = 0; A(q; p) i qî ; p^j = i~Æij : (3.7) (èçè÷åñêîé âåëè÷èíå) ñîïîñòàâëÿåòñÿ ýðìèòîâ , äåéñòâóþùèé âî ââåäåííîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. q=^q;p=^p 3. Çàâèñèìîñòü ñîñòîÿíèé îò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà i~ ãäå H^ = H (q; p) j it ^ = Hj t . q=^q;p=^p 4. Ñðåäíåå çíà÷åíèå èçè÷åñêîé âåëè÷èíû it ; A(q; p) â ñîñòîÿíèè j it îïðåäåëÿåòñÿ êàê hAit = t h jA^j it: Àìïëèòóäà âåðîÿòíîñòè îáíàðóæèòü ñèñòåìó â ñîñòîÿíèè j 2 i â ìîìåíò âðåìåíè t2 ïðè óñëîâèè, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t1 îíà íàõîäèëàñü â ñîñòîÿíèè j 1 i îïðåäåëÿåòñÿ êàê h 2 j 1 it 2 Çäåñü = h 2 jU (t2 ; t1 )j 1 i: U (t2 ; t1 ) îïåðàòîð ýâîëþöèè, ïîä÷èíÿþùèéñÿ óðàâíåíèþ i~ Ïðè ýòîì îðìàëüíî U (t; t0 ) ^ = HU (t; t0 ); t i U (t2 ; t1 ) = e ~ (t2 t1 )H^ . 36 U (t; t) = 1: Ïîñòóëàòû 1 4 îïðåäåëÿþò ñòàíäàðòíóþ ïðîöåäóðó êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ, êîòîðàÿ ïðåêðàñíî çàðåêîìåíäîâàëà ñåáÿ ïðè ïîñòðîåíèè íåðåëÿòèâèñòñêîé êâàíòîâîé ìåõàíèêè. Ñäåëàåì îäíî çàìå÷àíèå. Ïóñòü A(q; p) èçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà. Êàê ñîïîñòàâèòü åé îïåðàòîð? Ìû çàïèøåì îðìàëüíî A^ = A(q; p) . Íî îïåðàòîðû q^, q=^q;p=^p p^ íå êîììóòè- ðóþò è âñòàåò âîïðîñ, â êàêîì ïîðÿäêå ðàññòàâèòü q^, p^ ïðè çàïèñè îïåðàòîðà A^. Îòâåò íà íåãî â îðìàëüíîì àïïàðàòå êâàíòîâîé ìåõàíèêå îòñóòñòâóåò. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñïîñîá ðàññòàíîâêè îïåðàòîðîâ q^, p^ äîëæåí áûòü âûáðàí èç óñëîâèÿ ýðìèòîâîñòè A^ è ñîãëàñèÿ ñ ýêñïåðèìåíòîì. Êàæäàÿ êîíêðåòíàÿ ðåàëèçàöèÿ ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà è êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé (3.7) íàçûâàåòñÿ â êâàíòîâîé ìåõàíèêå ïðåäñòàâëåíèåì. ×àùå âñåãî èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìîå êîîðäèíàòíîå è èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèÿ: à. êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå. èëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ðåàëèçîâàíî êàê êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî óíêöèé îò n ïåðåìåííûõ (q1 ; q2 ; : : : ; qn ) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì Z h 1j 2i = dq1 : : : dqn (q ; : : : ; q ) (q ; : : : ; q ): n 2 1 n 1 1 Îïåðàòîðû q^, p^ ðåàëèçîâàíû â âèäå qî (q1 ; : : : ; qn ) = qi (q1 ; : : : ; qn ); pî (q1 ; : : : ; qn ) = i~ (q ; : : : ; qn ): qi 1 (q1 ; : : : ; qn ) íàçûâàþòñÿ âîëíîâûìè óíêöèÿìè (â êîðäèíàòíîì Ïðè ýòîì ïðåäñòàâëåíèè), á. èìïóëüñíîå ïðåäñòàâëåíèå. èëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ðåàëèçîâàíî êàê êîìïëåêñíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî óíêöèé îò n ïåðåìåííûõ ~ (p1 ; p2 ; : : : ; pn ) ñî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì Z h ~ 1j ~ 2i = dp1 : : : dpn ~ 1 (p1; : : : ; pn) ~ 2 (p1; : : : ; pn): Îïðåàòîðû qî , pî ðåàëèçóþòñÿ â âèäå ~ (p ; : : : ; pn); pi 1 pî ~ (p1 ; : : : ; pn ) = pi ~ (p1 ; : : : ; pn): qî ~ (p1 ; : : : ; pn ) = i~ ~ (p1 ; : : : ; pn ) òàêæå íàçûâàþòñÿ âîëíîâûìè óíêöèÿìè (â èìïóëüñíîì ïðåäñòàâëåíèè). Ìåæäó âîëíîâûìè óíêöèÿìè â äâóõ ýòèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ ñóùåñòâóåò ïðîñòàÿ ñâÿçü (q1 ; : : : ; qn ) = Z dp1 : : : dpn ~i (q1 p1 +qn pn ) ~ e (p1 ; : : : ; pn): (2 ~)n=2 Ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ ïðèâîäèò ê êâàíòîâîé òåîðèè â òàê íàçûâàåìîé øðåäèíãåðîâñêîé êàðòèíå, ãäå îïåðàòîðû íå çàâèñÿò îò âðåìåíè. Ìîæíî ïåðåéòè ê ýêâèâàëåíòíîìó îïèñàíèþ, íàçûâàåìîìó ãåéçåíáåðãîâñêîé êàðòèíîé, ãäå ñîñòîÿíèÿ íå çàâèñÿò îò âðåìåíè, à äèíàìèêà îïåðàòîðîâ q^(t), p^(t) îïðåäåëÿåòñÿ ãåéçåíáåðãîâñêèìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ h i h i i~q^_ (t) = q^(t); H^ ; i~p^_ (t) = p^(t); H^ : Îòìåòèì çäåñü àíàëîãèþ ñ ãàìèëüòîíîâûìè óðàâíåíèÿìè. Ïåðåõîä îò êëàññè÷åñêèõ óðàâíåíèé ê êâàíòîâûì îçíà÷àåò îðìàëüíóþ çàìåíó f ; g ! i1~ [ ; ℄. Ìåæäó øðåäèíãåðîâñêîé è ãåéçåíáåðãîâñêîé êàðòèíàìè èìååòñÿ ïðîñòàÿ ñâÿçü 37 Øðåäèíãåðîâñêàÿ êàðòèíà åéçåáåðãîâñêàÿ êàðòèíà j i; j it; A^ j it = U (t; t0 )j i A^(t) ^ (t; t0 ) A^(t) = U + (t; t0 )AU Î÷åâèäíî, ÷òî ñðåäíåå çíà÷åíèå îäèíàêîâî â îáåèõ êàðòèíàõ t 3.2. Ïðîöåäóðà h jA^j it = h jA^(t)j i: êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ â òåîðèè ïîëÿ àññìîòðèì ìîäåëü òåîðèè ïîëÿ ñ íàáîðîì âåùåñòâåííûõ ïîëåé i è äåéñòâèåì S [℄ = Ïåðåïèøåì ýòî äåéñòâèå â âèäå Z S = Z L = Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî Z d4 x L(; ): dt L; d3 x L(; ): L ÿâëÿåòñÿ óíêöèîíàëîì îò i (t; ~x) è _ i (t; ~x), à S [℄ = Z t2 tt L[; _ ℄dt: (3.8) Âèäíà ïîëíàÿ àíàëîãèÿ ñ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêîé, ãäå ðîëü êîîðäèíàò qi (t) èãðàåò (t; ~x) = ~x (t). Ìû âèäèì, ÷òî ðîëü ~x ÿâëÿåòñÿ êàê áû èíäåêñîì, íóìåðóþùèì ÷èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî ïîëå ìîæíî òðàêòîâàòü êàê äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó ñ êîíòèíóàëüíûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâîáîäû. Ïåðåõîä ê êâàíòîâîé òåîðèè äîëæåí òåïåðü îñóùåñòâëÿòüñÿ ïî ñòàíäàðòíîé ñõåìå êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ. Òåîðèþ ñíà÷àëà íåîáõîäèìî ïðèâåñòè ê ãàìèëüòîíîâîé îðìå, êàê ãîâîðÿò, ïðîèçâåñòè ãàìèëüòîíèçàöèþ, à çàòåì èñïîëüçîâàòü ïîñòóëàòû êâàíòîâàíèÿ. Âûðàæåíèå äëÿ äåéñòâèÿ (3.8) ïîêàçûâàåò, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò ñëåäóþùèé âèä Çäåñü Æt Æ(t; ~x) Æt L Æ(t; ~x) èëè d Æt L = 0: dt Æ _ (t; ~x) (3.9) Æt îçíà÷àþò âàðèàöèè ïðè èêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà t. _ Æ (t; ~x) Ââåäåì îáîáùåííûé èìïóëüñ ÆL i (t; ~x) = _ t : Æ (t; ~x) (3.10) Ïîòðåáóåì, ÷òîáû èç óðàâíåíèÿ (3.10) ìîæíî áûëî âûðàçèòü f i ((t; ~x); (t; ~x)): Ïîñòðîèì óíêöèþ àìèëüòîíèàíà H= Z d3 x (t; ~x)_ i(t; ~x) i 38 L _ =f (;) : _ (t; ~x) â âèäå _ i (t; ~x) = Èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûå ðàññóæäåíèÿ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (3.9) çàïèñûâàþòñÿ â âèäå Æt H ; Æ i (t; ~x) _ i (t; ~x) = Æt H : (3.11) Æi (t; ~x) ïîëÿ. Ïóñòü A = A[; ℄, B = B [; ℄ _ i (t; ~x) = Ìû ïîëó÷èëè ãàìèëüòîíîâû óðàâíåíèÿ â òåîðèè äâå èçè÷åñêèå âåëè÷èíû. Îïðåäåëèì ñêîáêó Ïóàññîíà fA; B g= Z d3 x Æt A Æt B Æi (t; ~x) Æi (t; ~x) Òîãäà óðàâíåíèÿ (3.11) çàïèøóòñÿ â âèäå n o Æt A Æt B : Æi (t; ~x) Æi (t; ~x) n _ i (t; ~x) = i (t; ~x); H ; o _ i (t; ~x) = i (t; ~x); H : Óðàâíåíèÿ (3.11) ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå èç óñëîâèÿ ýêñòðåìóìà ãàìèëüòîíîâà äåéñòâèÿ SH = Z dt hZ d3 x (t; ~x)_ (t; ~x) i H ; SH = SH [; ℄: Èòàê, òåîðèÿ ïðèâåäåíà ê ãàìèëüòîíîâîé îðìå. Òåïåðü åñòü âîçìîæíîñòü ïåðåéòè ê êàíîíè÷åñêîìó êâàíòîâàíèþ. Ïîñòóëàòû êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ, ïðèìåíåííûå ê ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ, óòâåðæäàþò: 1. Ñîñòîÿíèå ñèñòåìû çàäàåòñÿ ëó÷îì j i íåêîòîðîãî ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. 2. Ïîëþ i (~ x) è ñîîòâåòñòâóþùåìó èìïóëüñó i (~x) ñîïîñòàâëÿþòñÿ ýðìèòîâû îïåðàòîïû î (~x), î (~x), óäîâëåòâîðÿþùèå ñëåäóþùèì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì h i î (~x); ^j (~y) = 0; h i î (~x); ^j (~y) = 0; h i î (~x); ^j (~y) = i~Æji Æ (~x ~y): 3. Äèíàìèêà ïîëÿ îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà i~ j it = H^ j it; t H^ = H [; ℄ =^;=^ : Íà êàæäîì ýòàïå âèäíà ïðÿìàÿ àíàëîãèÿ ñ êâàíòîâàíèåì ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ÷àñòèö. Ê ñîæàëåíèþ, îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà èìååò äâà íåäîñòàòêà. Âî-ïåðâûõ, ïðîöåäóðà ÿâíî íå êîâàðèàíòíà, âðåìÿ èãðàåò âûäåëåííóþ ðîëü. Ýòîò íåäîñòàòîê âîîáùå ïðèñóù ãàìèëüòîíîâîìó ïîäõîäó è êàíîíè÷åñêîìó êâàíòîâàíèþ. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïðåäïðèíèìàëèñü è ïðåäïðèíèìàþòñÿ ïîïûòêè ïîñòðîåíèÿ ÿâíî êîâàðèàíòíîé ïðîöåäóðû êâàíòîâàíèÿ, íå àïïåëèðóþùåé ê ãàìèëüòîíîâó îðìàëèçìó. Îäíàêî âî âñåõ òàêèõ ïîïûòêàõ òðåáóåòñÿ ñïåöèàëüíî îáñóæäàòü ñâÿçü ñî ñòàíäàðòíîé êâàíòîâîé ìåõàíèêîé, òàê ÷òî âñå ðàâíî ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî ìîæíî ïðîâåñòè è ñòàíäàðòíîå êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå. Ìû, â îñíîâíîì, íå áóäåì êàñàòüñÿ ýòèõ ïîäõîäîâ. Êðîìå òîãî, íà îïðåäåëåííîì ýòàïå áóäåò ïîñòðîåíà ÿâíî êîâàðèàíòíàÿ òåîðèÿ âîçìóùåíèé è ìîæíî ïðîñòî óòâåðæäàòü, ÷òî êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå ÿâëÿåòñÿ åå îáîñíîâàíèåì. Âòîðîé íåäîñòàòîê áîëåå ñóùåñòâåííûé. Îïèñàííàÿ âûøå ñõåìà ðåàëüíî ïðèìåíèìà òîëüêî ê ìîäåëÿì ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. àññìîòðèì íåñêîëüêî ïîäðîáíåå âîïðîñ î ââåäåíèè èìïóëüñîâ ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (3.10) â ðàçëè÷íûõ ìîäåëÿõ. 39 à). ìîäåëü ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå Z 1 L = d3 x _ 2 (t; ~x) i (t; ~x)i (t; ~x) + 2 ; ãäå îïóùåíû ÷ëåíû, íå ñîäåðæàùèå _ . Çíà÷èò, Æt L _ (t; ~x) = L : = Æ _ (t; ~x) _ Ïîýòîìó _ = , ñêîðîñòü ëåãêî âûðàæàåòñÿ ÷åðåç èìïóëüñ. Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ áóäåò è äëÿ êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Â ñèãìà-ìîäåëè Z 1 d3 x gij _ i (t; ~x)_ j (t; ~x) + ; 2 ãäå îïÿòü îïóùåíû ÷ëåíû, íå ñîäåðæàùèå _ . Òîãäà ÆL i = t _ i = gij ()_ j : Æ Îòñþäà _ i = g ij ()j , âñå ñêîðîñòè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç èìïóëüñû; L= á). ìîäåëè ñïèíîðíîãî ïîëÿ. Çäåñü Z L= d3 x i 0 _ + ; ãäå îïóùåíû ÷ëåíû, íå ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè. Òîãäà = Æt L 0 = i ; Æ_ ÆL = t _ = 0: Æ Âèäíî, ÷òî, âî-ïåðâûõ, = 0 è, âî-âòîðûõ, èç ýòèõ ñîîòíîøåíèé íåëüçÿ âûðàçèòü ñêîðîñòè ÷åðåç èìïóëüñû. Ñòàíäàðòíàÿ ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ íå ïðèìåíèìà; â). ýëåêòðîäèíàìèêà. Çäåñü L = = 1 2 1 4 Z Z d3 x F d3 x A_ i Z 1 = d3 x F00 F 00 2F0i F0i + Fij Fij 4 _ i A0 Ai i A0 + ; F îïÿòü îïóùåíû ÷ëåíû, íå ñîäåðæàùèå ïðîèçâîäíûõ ïî âðåìåíè. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî i = A_ i i A0 ; 0 = 0: 0 = 0, ñêîðîñòü A_ 0 âîîáùå Ìû âèäèì, ÷òî èìïóëüñû íå âõîäèò â ëàãðàíæèàí, õîòÿ êîîðäèíàòà A0 âõîäèò. Ñòàíäàðòíàÿ ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ íå ïðèìåíèìà. Òàêèì îáðàçîì, èìåþòñÿ ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ, ê êîòîðûì â áóêâàëüíîé îðìå ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ íå ïðèìåíèìà. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ê ÷èñëó òàêèõ ìîäåëåé îòíîñèòñÿ è òåîðèÿ ïîëÿ ßíãà-Ìèëëñà è ýéíøòåéíîâñêàÿ ãðàâèòàöèÿ è âîîáùå ïðàêòè÷åñêè âñå èçè÷åñêè èíòåðåñíûå è ïåðñïåêòèâíûå ìîäåëè. Òî åñòü óêàçàííàÿ ñèòóàöèÿ ÿâëÿåòñÿ òèïè÷íîé. Ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî íå âñå ñêîðîñòè ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç èìïóëüñû, áûëà ðàçðàáîòàíà Ï. Äèðàêîì â íà÷àëå øåñòèäåñÿòûõ ãîäîâ, çàòåì ðàçâèâàëàñü è îáîáùàëàñü ìíîãèìè àâòîðàìè. Ïðè êâàíòîâàíèè äîñòàòî÷íî ïðîñòûõ ìîäåëåé èñïîëüçîâàëèñü ðàçëè÷íûå ïîäõîäû, îñíîâàííûå íà èíòóèòèâíûõ ñîîáðàæåíèé è ðàññóæäåíèÿõ åñòåñòâåííîñòè. Âñå îíè ïîçäíåå áûëè îáîñíîâàííû â ðàìêàõ ìåòîäà Äèðàêà. 40 3.3. Êàíîíè÷åñêîå êâàíòîâàíèå âåùåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ àññìîòðèì òåîðèþ âåùåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ ñ ëàãðàíæèàíîì L = 21 1 2 2 m 2 V (): Ïîñòðîèì ñíà÷àëà ãàìèëüòîíîâó îðìóëèðîâêó. Ââåäåì óíêöèþ Ëàãðàíæà Z L = Z Æt L = Îòñþäà d3 x 1 1 2 i i _ 2 1 2 2 m 2 2 _ _ + i i Æ m2 Æ d3 x Æ V () ; V Æ : ÆL L (t; ~x) = _ t = _ (t; ~x) = _ : Æ (t; ~x) (t; ~x) Çàïèøåì óíêöèþ àìèëüòîíà H = = Òî åñòü Z Z H= Z d3 x _ L _ = 1 2 1 1 + i i + m2 2 + V () : 2 2 2 d3 x 2 1 1 1 2 2 2 3 d x + + m + V () : 2 i 2 i 2 Òåïåðü ââåäåì ïîñòóëàòû êâàíòîâàíèÿ: j i 1. Ñîñîÿíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ëó÷îì ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà. 2. Äèíàìè÷åñêèì ïåðåìåííûì â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñîîòâåòñâóþò îïåðàòîðû ^(t; ~x), ^ (t; ~x), óäîâëåòâîðÿþùèå êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì h i ^(~x); ^(~y) = 0; h i h i ^(~x); ^ (~y) = i~Æ (~x ~y): ^ (~x); ^ (~y) = 0; 3. Äèíàìèêà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà i~ ãäå H^ = Z j it ^ = Hj t it ; 1 1 ^ ^ 1 2 ^2 3 2 ^ d x ^ + i i + m + V () : 2 2 2 Çàìåòèì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà íåò ïðîáëåì ðàññòàíîâêè îïåðàòîðîâ ^ è ^. Èíòåðåñíî ðàññìîòðåòü, êàê âûãëÿäèò êîîðäèíàòíîå ïðåäñòàâëåíèå â òåîðèè ïîëÿ. Ñîñòîÿíèÿ ðåàëèçóþòñÿ â âèäå óíêöèîíàëîâ [℄, çàâèñÿùèõ îò (~x). Ïðè ýòîì îïåðàòîðû ðåàëèçàöóþòñÿ â âèäå ^(~x) [℄ = (~x) [℄; Æ [℄: ^ (~x) [℄ = i Æ(~x) 41 àìèëüòîíèàí â êîîðäèíàòíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååò âèä H^ = Z d3 x 1 Æ2 1 1 2 2 + + m + V ( ) : 2 Æ(~x)2 2 i i 2 àññìîòðèì ãåéçåíáåðãîâñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ââåäåì ^(x) = ^(t; ~x) = U + (t; 0)^(~x)U (t; 0) = eitH^ (~x)e itH^ ; ^ (x) = ^ (t; ~x) = eitH^ (~x)e itH^ : Çàïèøåì ãåéçåíáåðãîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ h i _ ^ ^ ^ i(~x) = ; H ; ^ ^ itH^ Òàê êàê eitH He h i i^_ (~x) = ^ ; H^ : ^ òî = H; h i i^_ (x) = eitH^ ^(~x); H^ e itH^ ; h i ^ it H _ ^ i^ (x) = e ^ (~x); H e itH^ : Èìååì h ^(~x); H^ i = = Z Z i h 1 ^ ^ 1 2 ^2 1 ^ + m + V ( ) d3 y ^(~x); ^ 2 (~y) + i 2 2 Zi 2 h i d3 y ^ (~y) ^(~x); ^ (~y) = i d3 y ^ (~y)Æ (~x ~y) = i^ (~x): Çíà÷èò, i^_ (x) = i (x): Òîãäà h ^ (~x); H^ i = = Z Z h i 1 1 1 d3 y ^ (~x); ^ 2 (~y) + i ^(~y)i ^(~y) + m2 ^2 + V (^) 2 2 2 h i h i 3 2 ^ ^ ^ ^ d y i i (~y) ^ (~x); (~y) + m (~y) ^ (~x); (~y) i V h + ^ ^ (~x); ^(~y) = i i i ^(~x) (~y) Çíà÷èò, i^_ (x) = i i i ^(~x) m2 ^(~x) m2 ^(~x) V : ^(~x) V : ^(~x) Îêîí÷àòåëüíî ãåéçåíáåðãîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò âèä ^_ (x) = ^ (x); ^_ (x) = i i ^(~x) m2 ^(~x) V : ^(~x) Çàäà÷à 3.1 Ïîëó÷èòü ãåéçåíáåðãîâñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ 42 ^ è ^ . Îòñþäà ^ = ^_ = i i ^ m2 ^ Èëè V : ^ V ^ i i ^ + m2 ^ + ^ = 0: Èëè ^(x) + m2 ^(x) + V ^ (x) = 0: Â ðåçóëüòàòå ìû âèäèì, ÷òî îïåðàòîðíûå ãåéçåíáåðãîâñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïî îðìå ñîâïàäàþò ñ êëàññè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ. Ýòî îáùåå ñâîéñòâî ëþáîé ìîäåëè òåîðèè ïîëÿ. Äàëåå ìû ðàññìîòðèì áîëåå äåòàëüíî ñâîáîäíóþ òåîðèþ. Â ýòîì ñëó÷àå ãåéçåíáåðãîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò âèä ^_ (x) = ^ (x); ^_ (x) = i i ^(x) m2 ^(x): Ïîñòàâèì ïåðåä ñîáîé öåëü íàéòè îáùåå ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé. Ïðåäñòàâèì ^(x) = ^ (x) = Z d3 p e (2 )3=2 d3 p e (2 )3=2 Z i~p~x ~(t; ~p); i~p~x ~ (t; ~p): (3.12) Òîãäà ~_ = ~ ; ~ ~_ = (p~ 2 + m2 ): p "(p~) = p~ 2 + m2 ýíåðãèÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ÷àñòèöû ñ èìïóëüñîì p~ è ìàññîé m. Òîãäà ~ = "2 (p~)~ è, ñëåäîâàòåëüíî, ~(t; ~p) = C1 (p~)e i"(p~)t + C2 (p~)ei"(p~)t ; Îáîçíà÷èì ~ (t; ~p) = i"(p~) C1 (p~)e i"(p~)t C2 (p~)ei"(p~)t : (3.13) Çäåñü C1 (p~), C2 (p~) íåêîòîðûå îïåðàòîðû. Èç âûðàæåíèé äëÿ ~(t; p~) è ~ (t; ~p) ñëåäóåò, ÷òî i i"(p~)t 1~ + ~ e ; 2 "(p~) 1~ i i"(p~)t C2 (p~) = ~ e : 2 "(p~) C1 (p~) = Èç ñîîòíîøåíèé (3.12) íàõîäèì ~(t; ~p) = ~ (t; ~p) = Z Z d3 x i~xp~ ~ e (t; ~x); (2 )3=2 d3 x i~xp~ e ~ (t; ~x): (2 )3=2 43 (3.14) ~ ~℄, [~ ; ~ ℄ è [; ~ ~ ℄. Î÷åâèäíî, ÷òî [~(t; p~); ~(t; ~p0 )℄ = Ýòî ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü êîììóòàòîðû [; 0, [~ (t; ~p); ~ (t; p~0 )℄ = 0. Íàéäåì Z d3 xd3 y i~p~x+i~p0~y e [(t; ~x); (t; ~y)℄ = (2 )3 Z d3 x i(p~+p~0) e = iÆ (p~ + ~p0 ): = i (2 )3 [~(t; p~); ~ (t; p~0 )℄ = Z d3 xd3 y i~p~x+i~p0 ~y e Æ (~x ~y) (2 )3 Èòàê, [~(t; ~p); ~ (t; ~p0 )℄ = iÆ (p~ + ~p0 ): Òåïåðü ìîæíî íàéòè êîììóòàòîðû C1 , C2 ìåæäó ñîáîé h i h C1 (p~); C1 (p~0 ) = 0; i h C2 (p~); C2 (p~0 ) = 0; i C1 (p~); C2 (p~0 ) = 1 Æ (p~ + p~0 ): 2"(p~) (3.15) Çàäà÷à 3.2 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.15). Ïîñêîëüêó ^(x), ^ (x) ýðìèòîâû îïåðàòîðû, òî èç ñîîòíîøåíèé (3.12) ñëåäóåò + ~ ~ (t; p~) = (t; p~) è ~ + (t; ~p) = ~ (t; p~). Íî òîãäà C1+ (p~) = C2 ( p~) è C2+ (p~) = C1 ( p~). Îáîçíà÷èì C1 (p~) = 1 a(p~); 2"(p~) p 1 a+ ( p~): 2"(p~) C2 (p~) = p (3.16) Îïåðàòîðû a(p~), a+ (p~) óäîâëåòâîðÿþò êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ áîçîííûõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Âåðíåìñÿ ñíîâà ê èñõîäíûì îïåðàòîðàì ^(x), ^ (x). Èñïîëüçóÿ ðàâåíñòâà (3.12), (3.13), (3.16), ïîëó÷èì ^(x) = ^ (x) = Çäåñü îáîçíà÷åíî p0 "(p~). Z d3 p ipx + a + (p~)eipx ; a ^ ( p ~ ) e ^ 2(2 )3 p0 Z d3 p ipx a + (p~)eipx : i p p a ^ ( p ~ ) e ^ 0 2(2 )3p0 p (3.17) Çàäà÷à 3.3 Ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ (3.17). H^ 0 â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ a(p~), a+ (p~). Èìååì Z 1 ^ i ^ + m2 ^2 ^ H0 = d3 x ^ 2 (~x) + i 2Z 1 3 + + = d p "(p~) a^ (p~)â(p~) + a^(p~)â (p~) : 2 Âûðàçèì ãàìèëüòîíèàí (3.18) Çàäà÷à 3.4 Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ãàìèëüòîíèàíà (3.18). P~ . Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåòåð Z Z L 3 Pi = d x i = d3 x i : Èìïóëüñó Pi äîëæåí ñîîòâåòñòâîâàòü îïåðàòîð Pî . Çäåñü ìû ðàññòàíîâêè. Îïðåäåëèì îïåðàòîð Pî ñëåäóþùèì îáðàçîì Z 1 d3 x ^ i ^ + i ^ ^ : Pî = 2 Ââåäåì èìïóëüñ ïîëÿ 44 âñòðå÷àåìñÿ ñ ïðîáëåìîé Âûðàçèì ýòîò îïåðàòîð â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ 1 P^~ = 2 Z a^(p~), a^+ (p~). Èìååì d3 p ~p a^(p~)â+ (p~) + a^+ (p~)â(p~) : (3.19) Çàäà÷à 3.5 Âû÷èñëèòü îïåðàòîð èìïóëüñà ïîëÿ â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ (3.19). Èñïîëüçóÿ êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ïåðåïèñàòü îïåðàòîðû H^ 0 è P^~ a^(p~)â+ (p~0 ) = a^+ (p~0 )â(p~) + Æ (p~ ~p0 ); ìû ìîæåì â îðìå H^ 0 = P^~ = Z Z d3 p "(p~) n^ (p~) + onst1 ; d3 p ~p n^ (p~) + onst2 ; R R ãäå n ^ (p~) = a^+ (p~)â(p~), onst1 = Æ (3) (0) 12 d3 p "(p~) è onst2 = Æ (3) (0) 21 d3 p ~p: Ìû âèäèì, ÷òî ýòè êîíñòàíòû îðìàëüíî íå îïðåäåëåíû. Èìååòñÿ ïðÿìîé ïóòü, ïîçâîëÿþùèé èçáåæàòü èõ ïîÿâëåíèÿ. Îí ñâÿçàí ñ îïðåäåëåííûì ïðîèçâîëîì ïðè ïîñòðîåíèè îïåðàòîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ êëàññè÷åñêèì èçè÷åñêèì âåëè÷èíàì. Èñïîëüçóåì ýòîò ïðîèçâîë ñëåäóþùèì ^ ^ 0 , P~ òàê, îáðàçîì. Ââåäåì ñíà÷àëà èçè÷åñêèå âåëè÷èíû H0 è P~ , îïðåäåëèì îïåðàòîðû H + + ÷òîáû ïîñëå ââåäåíèÿ îïåðàòîðîâ a ^ è a^ âñå a^ ñòîÿëè ñëåâà îò âñåõ a^. Òàêàÿ ïðîöåäóðà íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì óïîðÿäî÷åíèåì. Òîãäà, ïî îïðåäåëåíèþ Z H^ 0 = Z P^~ = d3 p "(p~) n^ (p~); d3 p ~p n^ (p~): (3.20) Íèêàêèå êîíå÷íûå èëè áåñêîíå÷íûå êîíñòàíòû çäåñü íå ïîÿâëÿþòñÿ âîîáùå. Èìåííî ñîîòíîøåíèÿ (3.20) ìû è ïðèìåì â êà÷åñòâå îïðåäåëåíèé ñâîáîäíîãî ãàìèëüòîíèàíà è èìïóëüñà ïîëÿ. 3.4. Ôîêîâñêèé áàçèñ àññìîòðèì âîïðîñ î íàõîæäåíèè ñïåêòðà ýíåðãèé êâàíòîâàííîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Êàê èçâåñòíî, äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ãàìèëüòîíèàíà H^ j ãäå E H^ = H^ 0 = i = E j E i; Z d3 p "(p~) n^ (p~): (3.21) (3.22) Ïîëó÷èì ñíà÷àëà íåêîòîðûå âñïîìîãàòåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ h h i a^(p~); n^ (p~ 0 ) i a^+ (p~); n^ (p~ 0 ) h i n^ (p~); n^ (p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 )â(p~); = = 0: 45 Æ (p~ p~ 0 )â+ (p~); (3.23a) (3.23b) (3.23 ) Çàäà÷à 3.6 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.23). Ïîëüçóÿñü îðìóëàìè (3.23) âû÷èñëèì h i P^~ ; H^ 0 = Z h i d3 p d3p0 "(p~ 0 )p~ n^ (p~); n^ (p~ 0 ) = 0: ^ ^ 0 è P~ êîììóòèðóþò, ïîýòîìó îíè èìåþò îáùóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîÎïåðàòîðû H ðîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñîñòîÿíèÿ ñâîáîäíîãî ïîëÿ ñ îïðåäåëåííîé ýíåðãèåé â òî æå âðåìÿ ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ñ îïðåäåëåííûì èìïóëüñîì. Îïðåäåëèì îïåðàòîð Z ^ N = d3 p n(p~): (3.24) h i h i ^ ^ ^ ^ ~ Î÷åâèäíî, ÷òî N; H0 = 0, N; P = 0. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå ^ çíà÷åíèÿ (3.21) äîñòàòî÷íî ðåøèòü çàäà÷ó íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îïåðàòîðà N N^ j i = j i: (3.25) Ïðèñòóïèì ê ðåøåíèþ çàäà÷è (3.25). Ââåäåì âåêòîð a^(p~)j0i = 0; è j0i êàê ðåøåíèå óðàâíåíèé 8p~ (3.26) h0j0i = 1. Ïîñòðîèì íàáîð âåêòîðîâ Cn a^+ (p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n )j0i; (3.27) ãäå Cn ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà. àññìîòðèì ñâîéñòâà âåêòîðîâ (3.26). Äëÿ ýòîãî ïîëó÷èì ðÿä âñïîìîãàòåëüíûõ ñîîòíîøåíèé, âûòåêàþùèõ èç êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé a^(p~)â+ (p~0 ) = a^+ (p~0 )â(p~) + Æ (p~ p~0 ) è îïðåäåëåíèÿ (3.26) à. a(p~)Cn a^+n(p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n)j0i = = Cn Æ (p~ p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n )j0i + Æ (p~ ~p2 )â+ (p~1 )â+ (p~3 ) : : : a^+ (p~n )j0i + + Æ (p~ á. o p~n )â+ (p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n 1 )j0i ; (3.28) n^ (p~)Cn a^+ (p~1 )ân+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n)j0i = = Cna^+ (p~) Æ (p~ p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n )j0i + + o + Æ (p~ ~pn )â+ (p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n 1 )j0i = Æ (p~ p~1 ) + Æ (p~ p~2 ) + + Æ (p~ p~n ) Cna^+ (p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n )j0i; â. h0ja^(p~1 ) a^(p~n)â+(~q1 ) : : : a^+ (~qm)j0i = Ænm X P Æ (p~1 ~q 1 ) Æ (p~n P îçíà÷àåò ñóììó ïî âñåì ïåðåñòàíîâêàì èíäåêñîâ 1 , 2 , . . . = 1 ; 2 ; : : : ; n. i ãäå ñóììà Çàäà÷à 3.7 Äîêàçàòü ñîîòíîøåíèå (3.29). 46 ~q n ); (3.29) n , à êàæäûé èç Ñîîòíîøåíèå (3.29) ïîçâîëÿåò íîðìèðîâàòü ñîñòîÿíèÿ (3.27). àâåíñòâî (3.29) óêàçûâàåò íà ïîäõîäÿùèé âûáîð êîíñòàíò Cn . Ââåäåì íîðìèðîâàííûå ñîñòîÿíèÿ jp~1; p~2 ; p~ni = p1 a^+(p~1 )â+(p~2) a^+(p~n)j0i; n = 1; 2; : : : : n! (3.30) Ïðè÷åì, êàê ìîæíî ó÷èäåòü èç (3.29), hp~1; ~p2 ~pnj~q1; ~qm i = Ænm n1! Çàïèøåì îïåðàòîð N^ N^ = Z d3 p n^ (p~) = X P Z Æ (p~1 ~q 1 ) Æ (p~n ~q n ): d3 p â+(p~)â(p~): (3.31) (3.32) àññìîòðèì N^ jp~1 ; : : : ~pn i = Z d3 p a^+ (p~)â(p~)jp~1 ; : : : p~n i 1 = p n! Z n d3 p a^+ (p~) Æ (p~ p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n )j0i + + o + Æ (p~ p~n )â+ (p~1 )â+ (p~2 ) : : : a^+ (p~n 1 )j0i 1 + + + + + + = p a^ (p~1 )â (p~2 ) : : : a^ (p~n )j0i + + a^ (p~1 )â (p~2 ) : : : a^ (p~n )j0i n! = njp~1 ; : : : ~pni: Òî åñòü N^ jp~1 ; : : : ~pn i = njp~1 ; : : : ~pn i: (3.33) ^ , ïðè÷åì ñîáñòâåíÂâåäåííûå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè îïåðàòîðà N íûå çíà÷åíèÿ ýòî öåëûå ÷èñëà. àññìîòðèì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (3.28) P^~ jp~1 ; : : : p~n i = = = Òî åñòü Z Z d3 p p~ n^ (p~)jp~1 ; : : : p~n i d3 p p~ Æ (p~ p~1 ) + Æ (p~ p~2 ) + + Æ (p~ ~pn ) jp~1 ; : : : ~pn i p~1 + p~2 + + ~pn jp~1 ; : : : p~n i: P^~ jp~1 ; : : : ~pni = ~p1 + p~2 + + p~n jp~1 ; : : : ~pn i: (3.34) Ñîñòîÿíèÿ jp~1 ; : : : ~pn i ÿâëÿþòñÿ ñîáñòâåííûìè ñîñòîÿíèÿìè îïåðàòîðà èìïóëüñà ïîëÿ ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè (p~1 + ~p2 + + ~pn ). àññìîòðèì, èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå (3.28) H^ 0 jp~1 ; : : : ~pn i = = Z d3 p "(p~) n^ (p~)jp~1 ; : : : ~pn i "(p~1 ) + "(p~2 ) + + "(p~n ) jp~1 ; : : : p~n i: 47 (3.35) Ñîîòíîøåíèÿ (3.33)(3.35) ñëóæàò îñíîâîé äëÿ èíòåðïðåòàöèè ñîñòîÿíèé êâàíòîâàí^ , ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè êîòîðîãî ÿâëÿíîãî ïîëÿ â òåðìèíàõ ÷àñòèö. Îïåðàòîð N þòñÿ öåëûå ÷èñëà, íàçûâàåòñÿ îïåðàòîðîì ÷èñëà ÷àñòèö. Ñîñòîÿíèå jp~1 ; : : : ~pn i íàçûâàåòñÿ n-÷àñòè÷íûì ñîñòîÿíèåì. Ñîîòíîøåíèÿ (3.34), (3.35) ïîêàçûâàþò, ÷òî n-÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå èìååò îïðåäåëåííûé èìïóëüñ p~ = ~p1 + + p~n è îïðåäåëåííóþ ýíåðãèþ E = "(p~1 ) + + "(p~n ). Ïîñëåäíèå ñîîòíîøåíèÿ îçíà÷àþò, ÷òî ñîñòîÿíèå jp~1 ; : : : ~pn i ýòî ñîñòîÿíèå, â êîòîðîì îäíà ÷àñòèöà èìååò èìïóëüñ p~1 è ýíåðãèþ "(p~1 ), äðóãàÿ èìïóëüñ p~2 è ýíåðãèþ "(p~2 ) è n-òàÿ ÷àñòèöà èìïóëüñ p~n è ýíåðãèþ "(p~n ). Ïðè ýòîì ïîëíûé èìïóëüñ ýòî ñóììà èìïóëüñîâ îòäåëüíûõ ÷àñòèö, ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñóììà ýíåðãèé îòäåëüíûõ ÷àñòèö, êàê è äîëæíî áûòü äëÿ íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Â ðåçóëüòàòå ìû âèäèì, ÷òî ñîñòîÿíèÿ jp~1 ; : : : ~pn i, n = 0; 1; 2; : : : ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (3.25). Ïðè ýòîì H^ 0 j0i = 0; P^~ j0i = 0; H^ 0 jp~i = "(p~)jp~i; P^~ jp~i = ~p jp~i; H^ 0 jp~1 ; p~2 i = ("(p~1 ) + "(p~2 ))jp~i; P^~ jp~1 ; p~2 i = (p~1 + ~p2 ) jp~i; ::::::::::::::::::::::::::: H^ 0 jp~1 ; : : : ~pn ijp~1; : : : p~n i = ("(p~1 ) + "(p~2 ) + + "(p~n))jp~1 ; : : : ~pn i; ::::::::::::::::::::::::::: Ìû âèäèì, ÷òî ñïåêòð ýíåðãèé ñâîáîäíîãî ïîëÿ îãðàíè÷åí ñíèçó. Ñîñòîÿíèå j0i ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé íàçûâàåòñÿ âàêóóìíûì ñîñòîÿíèåì èëè âàêóóìîì. Çàìåòèì, ÷òî èìïóëüñ âàêóóìà ðàâåí íóëþ, â íåì íåò ÷àñòèö. Ñîñòîÿíèå jp~i íàçûâàåòñÿ îäíî÷àñòè÷íûì, jp~1 ; ~p2 i äâó÷àñòè÷íûì è ò.ä. Ïîñêîëüêó ñîáñòâåííûå âåêòîðû ýðìèòîâà îïåðàòîðà îáðàçóþò áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, òî ñîñòîÿíèÿ jp~1 ; : : : p~n i ýòî áàçèñ. Â ðåçóëüòàòå ìû âèäèì, ÷òî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ñâîáîäíîãî êâàíòîâàííîãî ïîëÿ èìååòñÿ áàçèñ j 0i; jp~i = a^+(p~)j0i; jp~1; p~2i = p1 a^+(p~1 )â+(p~2)j0i; 2! ::::::::::::::::::::::::::: jp~1; : : : p~ni = p1 a^+ (p~1) a^+(p~n)j0i; n! ::::::::::::::::::::::::::: (3.36) Ýòî áàçèñ íàçûâàåòñÿ áàçèñîì Ôîêà èëè îêîâñêèì áàçèñîì. Ëþáîå ñîñòîÿíèå áûòü ðàçëîæåíî ïî áàçèñó j i= 1 Z X n=0 d3 p1 : : : d3 pn j ~1 ; : : : ; ~pn) p~1 ; : : : p~n n (p i: Â ÷àñòíîñòè, ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå îäíîé ÷àñòèöû j 1i = Z d3 p 1 (p~)jp~i = Z d3 p 1 (p~)â+ (p~)j0i: Ïðîèçâîëüíîå ñîñòîÿíèå äâóõ ÷àñòèö Z j 2i = d3p1 d3p2 2 (p~1 ; p~2 )jp~1 ; ~p2 i; 48 2 (p~1 ; ~p2 ) = 2 (p~2 ; ~p1 ) j i ìîæåò (3.37) è ò.ä. Îòëè÷èòåëüíîé ÷åðòîé êâàíòîâîé òåîðèè ïîëÿ ÿâëÿåòñÿ òîò àêò, ÷òî âîçìîæíû ñîñòîÿíèÿ ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ÷àñòèö. Îáû÷íî ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé êâàíòîâàííîãî ïîëÿ íàçûâàþò ïðîñòðàíñòâîì Ôîêà. 3.5. Îïåðàòîðû ýíåðãèè-èìïóëüñà è ìîìåíòà èìïóëüñà è èõ ñâîéñòâà àíåå ìû îòìå÷àëè, ÷òî ñóòü ðåëÿòèâèñòñêîé èíâàðèàíòíîñòè â êâàíòîâîé òåîðèè â òîì, ÷òî â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé äåéñòâóþò îïåðàòîðû, ðåàëèçóþùèå ïðåäñòàâëåíèå ãðóïïû Ïóàíêàðå. Ñåé÷àñ ìû ïîêàæåì, ÷òî áàçèñ ãåíåðàòîðîâ ýòîãî ïðåä^ , ïîñòðîåííûå êàê îïåðàòîðû, îòâå÷àþùèå äèñòàâëåíèÿ ñîñòàâëÿþò îïåðàòîðû P^ è M íàìè÷åñêèì èíâàðèàíòàì âåêòîðó ýíåðãèè-èìïóëüñà è òåíçîðó ìîìåíòà èìïóëüñà, âîçíèêàþùèì èç òåîðåìû Íåòåð. Âåêòîð ýíåðãèè-èìïóëüñà, âûòåêàþùèé èç òåîðåìû Íåòåð, P = Òî åñòü Z P0 = Z Pi = Z d3 x T0 : d3 x T00 H; d3 x T Z d3x P i: 0i Ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàòîðû ìû óæå ââåëè (3.20) Z H^ = Z Pî = d3 p "(p~)â+ (p~)â(p~) P^0 ; (3.38) d3 p pi a^+ (p~)â(p~): (3.39) Íàéäåì îïåðàòîð, îòâå÷àþùèé òåíçîðó ìîìåíòà-èìïóëüñà. Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåòåð ñîîòâåòñòâóþùèé äèíàìè÷åñêèé èíâàðèàíò M (Çàìåòèì, ÷òî = Z d3 x x T 0 x T 0 : M = 2M , ãäå M , áûëî ââåäåíî â 1.5., M M 0i = M ij Îòñþäà M0i = = Mij = = Z Z Z Z d3 x = x0 T0i Z Z d3 x x0 T 0i ij xj = xj T 0i : Z d3 x T0 j ik xk T0 i jk P i xj P j xi : 49 xk d3 x x0 T0i + T 00 xi d3 x xi H + x0 P i ; d3 x áîëåå óäîáíî). Èëè xi T 00 ; d3 x xi T 0j T 00 = Z d3 x T0 i xj T 0 xi j Çäåñü H = T 00 = 21 2 + k k + m2 2 ; P i = i : ^ 0i , M^ ij , èñïîëüçóÿ íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå îïåðàòîðîâ ðîÎïðåäåëèì îïåðàòîðû M æäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Ñíà÷àëà ââåäåì îïåðàòîðû P i = 12 ^ i^ + i ^^ : ^ k ^ + m2 ^2 ; H^ = 21 ^ 2 + k ^ 0i , M^ ij ÷åðåç a^(p~), a^+ (p~), à çàòåì ïîñòàâèì âñå a^+ (p~) ñëåâà îò Âûðàçèì M ^ 0i , M^ ij . îïðåäåëåíèå äëÿ M àññìîòðèì M^ ij Z 1 = 2Z i = 2 h d3 x (^ i ^ + i ^^ )xj n d3 p a^(p~) pi j pj a^(p~). Ýòî è áóäåò i (^ i ^ + i ^^ )xi = + a^ (p~) + a^+ (p~) pi pi j pj o a^(p~) : pi (3.40) Òåïåðü ñîâåðøèì íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ Z 3 + ^ a^(p~): (3.41) pj Mij = i d p a^ (p~) pi j pi Çàäà÷à 3.8 Ïîëó÷èòü îðìóëû (3.40) è (3.41). Òåïåðü ðàññìîòðèì M0i . Âû÷èñëèâ åãî â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ïîëó÷èì ïîñëå íîðìàëüíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ M^ 0i = i Z d3 p a^+ (p~)p0 a^(p~): pi (3.42) Çàäà÷à 3.9 Ïîëó÷èòå îðìóëó (3.42). Âû÷èñëèì òåïåðü êîììóòàòîðû îïåðàòîðîâ P^ íî, ÷òî h i h i ^ H^ = 0; H; Ïîýòîìó M^ (3.38), (3.39), (3.41), (3.42). Î÷åâèä- Pî ; P^j = 0; h i P^ ; P^ = 0: h i ^ Pî = 0: H; (3.43) àññìîòðèì h P^ ; M^ 0i i h i d3 p d3 p0 p n(p~); a^+ (p~0 )p00 0 a^(p~0 ) pi Z io nh i h 0 + 0 0 0 3 3 0 + 0 0 i d p d p p n(p~); a^ (p~ ) p0 0 a^(p~ ) + a^ (p~ ) p0 0 n(p~); a^(p~ ) pi pi Z n o 3 3 0 0 + 0 0 + 0 0 i d p d p p Æ (p~ ~p )â (p~)p0 a^(p~) a^ (p~ ) p0 0 Æ (p~ ~p )â(p~ ) pi pi Z o n i d3 p a^+ (p~)p p0 a^(p~) a^+ (p~)p0 (p a^(p~)) pi pi Z p i d3 p a^+ (p~)p0 a^(p~); pi = i = = = = Z 50 ãäå p = ("(p~); p~). Îòñþäà h P^j ; M^ 0i h P^0 ; M^ 0i i i Çíà÷èò, = i = i Z d3 p a^+ (p~) p0 Æij a^(p~) = iij P^0 ; Z h d3 p a^+ (p~) "(p~) i "(p~) a^(p~) = iPî : pi P^ ; M^ 0i = i 0 Pî i P^0 : (3.44) àññìîòðèì h P^ ; M^ ij i Z h d3 p d3 p0 p n^ (p~); a^+ (p~0 ) p0i 0 pj i p0j 0 a^(p~0 ) pi Z n = i d3 p d3 p0 p a^+ (p~)Æ (p~ ~p0 ) p0i 0 p0j 0 a^(p~0 ) pj pi o + 0 0 0 0 a^ (p~) pi 0 pi 0 Æ (p~ ~p )â(p~ ) pj pi Z n = i d3 p d3 p0 a^+ (p~)p pi a^(p~) pi pj pi o a^+ (p~) pi p a^(p~) pj pj pi Z p p = i d3 p pi pj a^+ (p~)â(p~) pj pi = i Îòñþäà h i h i P^0 ; M^ ij P^k ; M^ ij = = i i Z d3 p Z d3 p Â ðåçóëüòàòå h 1 pp "(p~) i j pi Æjk i pj pi a^+ (p~)â(p~) = 0; pj Æik a+ (p~)a(p~) = i P^ ; M^ ij = i j Pî jk Pî ik P^j : i P^j : (3.45) Ñîîòíîøåíèÿ (3.44), (3.45) êîìáèíèðóþòñÿ â h P^ ; M^ i = i P^ P^ : (3.46) Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿþòñÿ îñòàëüíûå êîììóòàòîðû h h M^ ij ; M^ kl M^ 0i ; M^ jk h M^ 0i ; M^ 0j i i i = i jl M^ ik + ik M^ jl = i ik M^ 0j jk M^ il il M^ jk ; ij M^ 0k ; = i00 M^ ij : (3.47) (3.48) (3.49) Çàäà÷à 3.10 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííîå ñîòíîøåíèå (3.47). Çàäà÷à 3.11 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííîå ñîòíîøåíèå (3.48). 51 Çàäà÷à 3.12 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííîå ñîòíîøåíèå (3.49). Ñîîòíîøåíèÿ (3.47)(3.49) êîìáèíèðóþòñÿ â h M^ ; M^ i = M^ + M^ M^ M^ : (3.50) Êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.43), (3.46), (3.50) ïîêàçûâàþò, ÷òî îïåðàòîðû (3.38) (3.41) ðåàëèçóþò ïðåäñòàâëåíèå àëãåáðû Ïóàíêàðå â ïðîñòðàíñòâå Ôîêà, ãäå ñêîáêà Ëè ðåàëèçîâàíà êàê êîììóòàòîð. Îïðåäåëèì îïåðàòîð ïðåäñòàâëåíèÿ. U^ +(a; !) = U^ 1 (a; !); ! . Ïóñòü ïàðàìåòðû a , ! áåñêîíå÷íî ìàëû. Òîãäà U^ (a; ! ) = 1 + i(a P^ + U^ (a; !) = eia P^ + i ! M^ ; 2 ãäå ! = 1 ! M ^ ): Âû÷èñëèì 2 U^ 1 (a; !)^(x)U^ (a; !) = Z 1 d3 p U^ (a; !)â(p~)U^ (a; !)e 3 2(2 ) "(p~) 1 + U^ (a; ! )â+(p~)U^ (a; ! )eipx : p ipx h i 1 = a^(p~) + i a^(p~); a P^ + ! M^ 2 = a^(p~) + ia P^ a^(p~) ! 0i "(p~) a^(p~) pi 1 ij pj a^(p~); ! pi 2 pj pi U^ 1(a; !)â+(p~)U^ (a; !) = a^+(p~) ia Pâ^+(p~) !0i"(p~) p a^+(p~) i 1 ij + a^ (p~): ! pi pj 2 pj pi U^ 1(a; !)â(p~)U^ (a; !) Çíà÷èò Z n d3 p a^(p~)e ipx + a^+ (p~)eipx 3 2(2 ) "(p~) a^(p~)e ipx + a^+ (p~)eipx + ia P (â(p~)e ipx + a^+ (p~)eipx ) ! 0i "(p~) pi pi h 1 ij + ipx io ipx a^(p~)e + pi a^ (p~)e ! pi pj pj 2 pj pi pj pi = ^(x) + a ^(x) + ! x ^(x) = ^(x + ! x + a ): U^ 1(a; !)^(x)U^ (a; !) = p (3.51) Çàäà÷à 3.13 Ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå (3.51). Ìû âèäèì, ÷òî îïåðàòîð ëÿðíîãî ïîëÿ. U^ (a; !) äåéñòâèòåëüíî ãåíåðèðóåò ïðåîáðàçîâàíèå Ïóàíêàðå ñêà- 52 3.6. Êâàíòîâàíèå êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ àññìîòðèì ñâîáîäíîå êîìïëåêñíîå ñêàëÿðíîå ïîëå ñ ëàãðàíæèàíîì L = m2 : Èìååòñÿ äâà íåçàâèñèìûõ ïîëÿ , . Ñîîòâåòñòâóþùèå èìïóëüñû ðàâíû L Æt L = _ = _ ; _ Æ (t; ~x) ÆL L _ = _ t = _ = : Æ (t; ~x) = Îòñþäà = ( ) . Ïîñòðîèì óíêöèþ àìèëüòîíà H = = Z Z d3 x _ + _ L _ = ; _ = d3 x + k k + m2 : Ïåðåéäåì ê êàíîíè÷åñêîìó êâàíòîâàíèþ. Òîãäà ïîëþ ñîîòâåòñòâóåò îïåðàòîð ^, ïîëþ îïåðàòîð ^ , ïîëþ îïåðàòîð ^+ , ïîëþ îïåðàòîð ^+ . Íàëîæèì êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ h i ^(~x); ^ (~x 0 ) = iÆ (~x ~x 0 ): Îòñþäà âûòåêàåò h i ^+ (~x); ^ + (~x 0 ) = iÆ (~x ~x 0 ): Ââåäåì êâàíòîâûé ãàìèëüòîíèàí H^ = Z d3 x ^ + ^ + k ^+ k ^ + m2 ^+ ^ : Çàïèøåì ãåéçåíáåðãîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ i^_ = i^_ + = Çíà÷èò, h h i ^ H^ = i^ + ; ; i ^ + ; H^ = i k k ^ m2 ^ : ^ + m2 ^ = 0; ^+ + m2^+ = 0: Ïîëó÷èëè óðàâíåíèÿ Êëåéíà- îðäîíà. Ïðåäñòàâèì ^(x) = ^+ (x) = Z d3 p a^(p~) e 2(2 )3 p0 d3 p ^b(p~) e p 3 2(2 ) p0 p Z 53 ipx + ^b+ (p ~) eipx ipx + a ^+ (p~) eipx ; : Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî ïîëÿ ^, ^+ ýðìèòîâî ñîïðÿæåíû äðóã ê äðóãó, ïîýòîìó â îòëè÷èå îò âåùåñòâåííîãî ñêàëÿðíîãî ^ è a^+ , à ÷åòûðå a^, a^+ , ^b, ^b+ . p ïîëÿ ïîÿâëÿþòñÿ íå äâà îïåðàòîðà a Êðîìå òîãî, p0 "(p~) = p~2 + m2 . Îòñþäà Z d3 p ^b(p~) e ipx a^+ (p~) eipx ; p ^ (x) = i p 0 3 ^ + (x) = i 2(2 ) "(p~) d3 p p p0 a^(p~) e 2(2 )3 "(p~) Z ^b+ (p~) eipx : ipx Âñïîìíèì, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Êëåéíà- îðäîíà ìîæíî ââåñòè èíâàðèàíòíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (1 ; 2 )t = (1 ; 2 ) = i = Z Z d3 x 1 2 d (x) 1 $ 2 (x) = i Z d3 x _ 1 2 _ 1 2 1 2 : Ïðè ýòîì (1 ; 2 ) = (2 ; 1 ). Ââåäåì óíêöèè p~(x) = ãäå p0 1 e 2(2 )3"(p~) p 1 eipx ; 3 2(2 ) "(p~) p~(x) = p ipx ; (3.52) = "(p~). àññìîòðèì Z d3 x 0x 0x ipx 0 ip ipx ip p e ( ip0 )e ip0 e e (p~ ; p~ 0 ) = i 2(2 )3 "(p~)"(p~ 0) Z 1 0 )x0 i ( p p 3 x (p0 + p )ei(p~ p~0)~x 0 0 p = e d 0 0 2(2 )3 "(p~)"(p~ 0 ) ei(p0 p00 )x0 0 ) (2 )3 Æ (p~ ~p 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ): p " ( p ~ ) + " ( p ~ = 2(2 )3 "(p~)"(p~ 0 ) Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü (p~ ; p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ); (p~ ; p~ 0 ) = 0: (3.53) (3.54) Çàäà÷à 3.14 Ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ (3.53) è (3.54). Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ââåäåíûõ óíêöèé (3.52) âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íîðìèðîâêè (p~ ; p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ); (p~ ; p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ); (p~; p~ 0 ) = 0: Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ (3.52), ìû ìîæåì ïåðåïèñàòü âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðîâ ^, ^+ , ^ , ^ + â âèäå ^(x) = ^+ (x) = ^ (x) = ^ + (x) = Z Z Z Z d3 p p~ a^(p~) + p~ ^b+ (p~) ; d3 p p~ ^b(p~) + p~ a^+ (p~) ; d3 p _ p~ ^b(p~) + _ p~ a^+ (p~) ; d3 p _ p~ a^(p~) + _ p~ ^b+ (p~) : 54 ^ = ^_ + , ^ + = ^_ , êðîìå òîãî, _ p~ (x) = ip0 p~, _ p~ (x) = ip0 p~ . Íàïîìíèì, ÷òî àññìîòðèì Z (~q; ^) = Z (~q; ^+) = d3 p (q~; p~ ) â(p~) + (~q; p~) ^b+ (p~) = Z d3 p Æ (p~ ~q) a^(p~) = a^(~q); d3 p (~q; p~ ) ^b(p~) + (~q; p~) a^+ (p~) = ^b(~q): Òàêèì îáðàçîì a^(p~) = (p~; ^); a^+ (p~) = (p~; ^+ ); ^b(p~) = (p~; ^+); ^b+ (p~) = (p~ ; ^): (3.55) Ñîîòíîøåíèÿ (3.55) ïîçâîëÿþò íàéòè êîììóòàöèîííûå ñîòíîøíåíèÿ ìåæäó îïåðàòîðàìè a ^, a^+ , ^b, ^b+ . Èìååì i h i h 0 ^ ^ 0 (3.56) a^(p~); a^(p~ ) = (p~; ); (p~ ; ) : Çàìåòèì, ÷òî èíâàðèàíòíîå ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå íå çàâèñèò îò âðåìåíè, ïîýòîìó åãî ìîæíî âû÷èñëèòü â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè âû÷èñëåíèè êîììóòàòîðîâ òèïà (3.56) áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàæäîå èç ñêàëÿðíûõ ïðîèçâåäåíèé âçÿòî â îäèí è òîò æå ìîìåíò âðåìåíè, íàïðèìåð, â íà÷àëüíûé ìîìåíò t = 0. Òîãäà h i a^(p~); â(p~ 0 ) = Z i h d3 x d3 x0 p~(~x)^ + (~x) _ p~ (~x)^(~x); p~0 (~x0 )^ + (~x0 ) _ p~0 (~x0 )^(~x0 ) = 0; ^ è ^ , ^+ òàê êàê íå êîììóòèðóþò òîëüêî êîììóòàòîðîâ h i h a^(p~); a^(p~ 0 ) = 0; h i ^ + . Àíàëîãè÷íî ìîæíî âû÷èñëèòü åùå ðÿä i h a^(p~); ^b(p~ 0 ) = 0; h a^+ (p~); a^+ (p~ 0 ) = 0; è i a^(p~); ^b+ (p~ 0 ) = 0; i h a^+ (p~); ^b+ (p~ 0 ) = 0; i a^+ (p~); ^b(p~ 0 ) = 0: (3.57) Çàäà÷à 3.15 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííûå ñîòíîøåíèÿ (3.57). àññìîòðèì h a^(p~); a^+ (p~0 ) i = = Z = i i2 Z Z d3 x d3 x0 (~x)^ + (~x) p~ _ p~ (~x)^(~x); p~0 (~x0 )^ (~x0 ) _ p~0 (~x0 )^+(~x0 ) h d3 x d3 x0 p~ (~x)_ p~0 (~x0 ) ^+(~x0 ); ^ + (~x) d3 x p~(~x)_ p~0 (~x) = Æ (p~ p~ 0 ): Àíàëîãè÷íî h h i h _ p~ (~x)p~0 (~x0 ) ^(~x); ^ (~x0 ) i i _ p~ (~x)p~0 (~x) = (p~; p~ 0 ) i ^b(p~); ^b+ (p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ): Çàäà÷à 3.16 Âû÷èñëèòü êîììóòàöèîííîå ñîòíîøåíèå (3.58). 55 (3.58) Â èòîãå èìååì h i h a^(p~); â+(p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ); i ^b(p~); ^b+ (p~ 0 ) = Æ (p~ p~ 0 ): (3.59) Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû a ^, a^+ , ^b, ^b+ óäîâëåòâîðÿþò ñòàíäàðòíûì êîììóòàöèîííûì ñîîòíîøåíèÿì äëÿ áîçåâñêèõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Çàìåòèì, ÷òî ýòè êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ (3.57), (3.59) ïðÿìîå ñëåäñòâèå êàíîíè÷åñêèõ êîììóòàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ^, ^+ , ^ , ^ + . Âûðàçèì ãàìèëüòîíèàí â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ. Èìååì Z H^ 0 = Z = d3 x ^ + (~x)^(~x) + i ^+(~x)i ^(~x) + m2 ^+ (~x)^(~x) d3 p 2 2" (p~) a^(p~)â+ (p~) + ^b+ (p~)^b(p~) : 2"(p~) Îïðåäåëèì ãàìèëüòîíèàí ñ ïîìîùüþ îïåðàöèè íîðìàëüíîãî óïîðÿäî÷åíèÿ. Òîãäà H^ 0 = Z d3 p "(p~) a^+ (p~)â(p~) + ^b+ (p~)^b(p~) : Ýòî è åñòü îêîí÷àòåëüíîå îïðåäåëåíèå ãàìèëüòîíèàíà ñâîáîäíîãî êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Îáîçíà÷èì n ^ + = a^+ (p~)â(p~) è n^ = ^b+ (p~)^b(p~). Òîãäà H^ 0 = Z d3 p "(p~) n^ + (p~) + n^ (p~) : (3.60) Íàéäåì òåïåðü îïåðàòîð èìïóëüñà ïîëÿ. Ïî òåîðåìå Íåòåð íàõîäèì Pi = Z d3 x T0i = Z d3 x L + L = Z d3x + : i i _ i _ i Ñîïîñòàâèì ýòîìó âûðàæåíèþ ýðìèòîâ îïåðàòîð 1 Pî = 2 Z d3 x ^ i ^ + i ^^ + ^ + i ^+ + i ^+ ^ + : Âûðàçèì ýòîò îïåðàòîð â òåìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, à çàòåì ñîâåðøèì íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïðèìåì êàê îïðåäåëåíèå îïåðàòîðà èìïóëüñà ïîëÿ. Èìååì 1 Pî = 2 Z d3 p a^(p~)â(p~)+ + a^(p~)+ a^(p~) + ^b(p~)^b(p~)+ + ^b(p~)+^b(p~) : (3.61) Çàäà÷à 3.17 Ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå (3.61). Òåïåðü ñîâåðøèì íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà èìïóëüñà P^~ = Z d3 p ~p n^ + (p~) + n^ (p~) : Î÷åâèäíî, ÷òî îïåðàòîðû (3.60), (3.62) êîììóòèðóþò, 56 h i H^ 0 ; P^~ = 0. (3.62) Ìû çíàåì, ÷òî êîìïëåêñíîå ïîëå õàðàêòåðèçóåòñÿ îäíèì äîïîëíèòåëüíûì, ïî ñðàâíåíèþ ñ âåùåñòâåííûì ïîëåì, äèíàìè÷åñêèì èíâàðèàíòîì çàðÿäîì. Ñîãëàñíî òåîðåìå Íåòåð çàðÿä èìååì Q = ie Z $ d3 x 0 = e(; ) = ie Z d3 x : Ýòîìó äèíàìè÷åñêîìó èíâàðèàíòó ñîïîñòàâèì îïåðàòîð ie Q^ = 2 Z d3 x ^ + ^+ + ^+ ^ + ^ ^ ^^ : Âûðàçèì åãî â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, à çàòåì èñïîëüçóåì íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå. Èìååì e Q^ = 2 Z d3 p a^(p~)â+ (p~) + a^+ (p~)â(p~) ^b(p~)^b+ (p~) ^b+ (p~)^b(p~) : (3.63) Çàäà÷à 3.18 Ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèå (3.63). Òåïåðü ñîâåðøèì íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê îêîí÷àòåëüíîìó îïðåäåëåíèþ îïåðàòîðà çàðÿäà Q^ = e Z d3 p ~p a^+ (p~)â(p~) ^b+ (p~)^b(p~) = e Z d3 p p~ n^ + (p~) n^ (p~) : (3.64) h i h i ^ ^ ^ ^ ~ Î÷åâèäíî, ÷òî Q; H0 = 0 è Q; P = 0. Ââåäåì îïåðàòîð N^ = Z d3 p n^ + (p~) + n^ (p~) N^+ + N^ : h i h i ^ = e (N^+ N^ ): Ïðè ýòîì çàìåòèì, ÷òî N^ ; H^ 0 = 0, N^ ; P^ = Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî Q h i 0, N^+ ; N^ = 0. Ïîýòîìó îïåðàòîðû H^ 0 , P^ , N^+ , N^ èìåþò îáùóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Â ðåçóëüòàòå ìû âèäèì, ÷òî òåîðèÿ êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ îïèñûâàåò äâà ñîðòà ÷àñòèö. Îäíè ÷àñòèöû ñâÿçàíû ñ îïåðàòîðàìè a ^(p~), a^+ (p~), à äðóãèå ñ îïåðàòîðàìè ^b(p~), ^b+ (p~). Ââåäåì ñîñòîÿíèÿ ñîäåðæàùèå n ÷àñòèö îäíîãî ñîðòà è m ÷àñòèö äðóãîãî ñîðòà jp~1; : : : p~n; ~q1; : : : ~qm i = p 1 a^+ (p~1) a^+ (p~n)^b+ (~q1 ) ^b+(~qm )j0i; n!m! ãäå âàêóóìíîå ñîñòîÿíèå (3.65) j0i îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ^b(p~)j0i = 0; a^(p~)j0i = 0; 8p~: Íå òðóäíî ïîêàçàòü, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, ÷òî H^ 0 jp~1 ; : : : p~n ; ~q1 ; : : : ~qm i = = "(p~1 ) + + "(p~n ) + "(~q1 ) + + "(~qm ) jp~1 ; : : : ~pn; ~q1 ; : : : ~qm i; P^~ jp~ ; : : : p~ ; ~q ; : : : ~q i = p + p + q + q jp~ ; : : : ~p ; ~q ; : : : ~q i; 1 n 1 m 1 1 n N^+ jp~1 ; : : : p~n ; ~q1 ; : : : ~qm i = njp~1 ; : : : p~n ; ~q1 ; : : : ~qm i; N^ jp~1 ; : : : p~n ; ~q1 ; : : : ~qm i = mjp~1 ; : : : p~n ; ~q1 ; : : : ~qm i; 57 m 1 n 1 m (3.66) Ñîîòíîøåíèÿ (3.66) ïîêàçûâàþò, ÷òî ñîñòîÿíèÿ (3.65) ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ñ îïðåäå^+ , N^ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îïåðàòîðû ÷èñëà ëåííîé ýíåðãèåé è èìïóëüñîì. Îïåðàòîðû N ÷àñòèö êàæäîãî èç ñîðòîâ. Íå òðóäíî óâèäåòü, ÷òî Q^ jp~1 ; : : : ~pn ; ~q1 ; : : : ~qm i = e (n m)jp~1 ; : : : ~pn ; ~q1 ; : : : ~qm i: (3.67) Ñîîòíîøåíèå (3.67) ïîêàçûâàåò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñîñòîÿíèÿìè ñ îïðåäåëåííûì çàðÿäîì e(n m), ïðè ýòîì n ÷àñòèö èìåþò çàðÿä e, à m ÷àñòèö çàðÿä e. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îïåðàòîðû a^(p~), a^+ (p~) ýòî îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ÷àñòèö ñ çàðÿäîì e, â òî âðåìÿ êàê ^b(p~), ^b+ (p~) îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ÷àñòèö ñ çàðÿäîì e. Áóäåì íàçûâàòü ïåðâûå ÷àñòèöàìè, à âòîðûå àíòè÷àñòèöàìè ^ j0i = 0 âàêóóì (ìîæíî áûëî áû íàçâàòü íàîáîðîò, ìû äîãîâîðèìñÿ òàê). Çàìåòèì, ÷òî Q íå çàðÿæåí. Òàêèì îáðàçîì, ñâîáîäíîå êîìïëåêñíîå ñêàëÿðíîå ïîëå îïèñûâàåò íåâçàèìîäåéñòâóþùèå ÷àñòèöû è àíòè÷àñòèöû. Òå è äðóãèå èìåþò îïðåäåëåííóþ (ïîëîæèòåëüíóþ) ýíåðãèþ è èìïóëüñ è îòëè÷àþòñÿ òîëüêî çíàêîì ýëåêòðè÷åñêîãî çàðÿäà. Ñîñòîÿíèÿ (3.65) îïðåäåëÿþò îêîâñêèé áàçèñ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. Ñîãëàñíî ïðîâåäåííîìó âûøå îáñóæäåíèþ âåêòîð jp~1 ; : : : p~n; ~q1 ; : : : ~qm i îïèñûâàåò ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâàííîãî ïîëÿ ñ n + m ÷àñòèöàìè ñ ýíåðãèåé "(p~1 ) + + "(p~n ) + "(~q1 ) + + "(~qm ), èìïóëüñîì p1 + pn + q1 + qm è çàðÿäîì e(n m). Ïðîèçâîëüíûé âåêòîð çàïèøåòñÿ â âèäå j i = 1 Z X n;m=0 d3 p1 : : : d3 pn q 3 q1 : : : d3 qm ~1 ; : : : ; p~n ; ~q1 : : : ; ~qm ) nm (p jp~1; : : : p~n; ~q1; : : : ~qm i: (3.68) Âåêòîðû âèäà (3.68) îïðåäåëÿþò ïðîñòðàíñòâî Ôîêà êîìïëåêñíîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿ. 3.7. Êâàíòîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ Ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå îïèñûâàåòñÿ ëàãðàíæèàíîì L= ãäå F = A 1 F F ; 4 (3.69) A . Ñîîòâåòñòâóþùèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ F = 0: Èëè A A = 0: (3.70) Ëàãðàíæèàí è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èíâàðèàíòíû îòíîñèòåëüíî êàëèáðîâî÷íûõ ïðåîáðàçîâàíèé A0 = A + (x). Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî äëÿ ëàãðàíæèàíà (3.69) âîçíèêàåò ïðîáëåìà ñ ãàìèëüòîíèçàöèåé è, çíà÷èò, ñ êàíîíè÷åñêèì êâàíòîâàíèåì, ïîñêîëüêó èìïóëüñ 0 , îòâå÷àþùèé êîìïîíåíòå A0 , ðàâåí íóëþ. Ïîñìîòðèì, ìîæíî ëè ìîäèèöèðîâàòü òåîðèþ, íå èçìåíèâ åå èçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå òàê, ÷òîáû èìïóëüñ 0 áûë îòëè÷åí îò íóëÿ. àññìîòðèì óðàâíåíèå A = 0: 58 (3.71) Îíî, êîíå÷íî, íåýêâèâàëåíòíî óðàâíåíèþ Ìàêñâåëëà (3.70), íî èç íåãî ñëåäóåò A = 0: Îáîçíà÷èì (x) = A (x), ïîëó÷àåì = 0: (3.72) Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ Òîãäà ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (3.72) áóäåò (x) = 0 (x)jt=0 = 0, _ (x)jt=0 = 0. A (x) = 0: èëè (3.73) Íî åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå (3.73), òî óðàâíåíèå (3.70) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ (3.71). Èòàê, åñëè ïîëå A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ A = 0, òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïðèíèìàåò âèä (3.71). È ýòî óñëîâèå ñîãëàñîâàíî ñ óñëîâèåì (3.71). Íàéäåì òåïåðü ëàãðàíæèàí íåïîñðåäñòâåííî âåäóùèé ê óðàâíåíèþ (3.71). Ýòî ìîæíî ñäåëàòü åñëè äîáàâèòü ê ëàãðàíæèàíó (3.69) ñëàãàåìîå 21 ( A )2 . Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì L~ = 1 F F 4 1 ( A )( A ): 2 (3.74) Äåéñòâèòåëüíî ëàãðàíæèàí (3.74), ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå L~ = = 1 1 A ( A A ) ( A )( A ) 2 2 1 1 1 A A + ( A )( A ) ( A )( A ) + äèâåðãåíöèÿ: 2 2 2 Îòáðàñûâàÿ íåñóùåñòâåííóþ äèâåðãåíöèþ, çàïèøåì ëàãðàíæèàí (3.74) â âèäå 1 A A : 2 L~ = (3.75) Î÷åâèäíî, ÷òî ëàãðàíæèàí (3.75) ïðèâîäèò ê óðàâíåíèþ (3.71). ×òîáû íå ïîòåðÿëàñü ýêâèâàëåíòíîñòü ñ óðàâíåíèåì Ìàêñâåëëà ìû äîëæíû ïîìèìî ëàãðàíæèàíà (3.75) èìåòü ââèäó åùå è óñëîâèå A = 0. Ëàãðàíæèàí (3.74) (èëè ÷òî òîæå ñàìîå (3.75)) ïðèíÿòî íàçûâàòü ëàãðàíæèàíîì Ôåðìè. Èìåííî åãî ìû áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðè êàíîíè÷åñêîì êâàíòîâàíèè. Ïðîàíàëèçèðóåì ñíà÷àëà ñâîéñòâà ïîëÿ, îïèñûâàåìîãî óðàâíåíèÿìè A Ïðåäñòàâèì A = 0; = 0: A â âèäå ÷åòûðåõìåðíîãî èíòåãðàëà Ôóðüå A (x) = Z d 4 k Æ (k 2 ) f (k ) e ikx : Æ (k2 ) êàê ðàç è îáåñïå÷èâàåò òîò àêò, ÷òî äàííîå âûðàæåíèå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ A = 0. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî Æ (k 2 ) = Æ (k0 j~kj) + Æ(k0 + j~kj) 2j~kj 59 è îáîçíà÷àÿ j~kj = !(~k), ïîëó÷èì A ( x) = Z d3 k n e 2! (~k) Âî âòîðîì èíòåãðàëå çàìåíèì ~k A (x) Z = i!(~k)x0 i~k~x f (! (~k); ~k ) + ei!(~k)x0 i~k~x f ( o ! (~k); ~k) : ! ~k. Òîãäà d3 k n e 2! (~k) o ikx f (! (~k); ~k ) + eikx f ( ! (~k); ~k) ; ãäå k0 = ! (~k). Îáîçíà÷èì 1 f (! (~k); ~k) = ~ 2! (k) q 1 (~k ); 2(2 )3 ! (~k) 1 1 (~k): ( ! (~k ); ~k ) = q f 2! (~k) 2(2 )3 ! (~k) Ïðåäñòàâèì (~k ) = e() (~k ) (~k ), (~k ) = e() (~k ) (~k ), ãäå e() (~k ) ÷åòûðå âåùåñòâåííûõ âåêòîðà ( = 0; 1; 2; 3), íàçûâàåìûõ âåêòîðàìè ïîëÿðèçàöèè. (~k ), (~k ) êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí. Òîãäà A (x) = Z d3 k () (~k) e e 2(2 )3 ! (~k) ikx (~k ) + e ikx Ìíîæèòåëü 2(2)13 !(~k) âûáðàí èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà. Çàìåòèì, ÷òî ìû åùå íå èñïîëüçîâàëè óñëîâèå A A (x) = i Z d3 k ( ) ~ k e (k) e 2(2 )3 ! (~k) (~k) : (3.76) = 0. Èìååì ikx ikx (~k ) : (~k ) e (3.77) Ïîòðåáóåì, ÷òîáû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðîâ ïîëÿðèçàöèè k e() = 0; e0() = 0; ïðè = 1; 2; (0) (3) k e = ! (~k); k e = ! (~k): (3.78) Ýòî, â ÷àñòíîñòè, îçíà÷àåò, ÷òî âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè e() ; = 1; 2 ÿâëÿþòñÿ òðåõìåðíî () kk () () ïîïåðå÷íûìè. Òî åñòü, ei (~k ) = Æij !2i(~kj) 'j (~k ); = 1; 2, ãäå 'j (~k ) ïðîèçâîëüíûå òðåõìåðíûå âåêòîðû. Äàëåå e(0) = Æ0 , î÷åâèäíî, ÷òî k e(0) = k0 = ! (~k). È, íàêîíåö, e0(3) = 0, ei(3) = !k(~ki ) . Òîãäà k e(3) = ki e(3) = !ki(k~ki) = ! (~k). Èòàê, âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè çàäàíû. Ïîñëå ýòîãî óñëîâèå (3.77) ïðèíèìàåò âèä e ikx ! (~k) 0 (~k) 3 (~k) eikx ! (~k) 0 (~k) (~k) = 0: 3 Èëè 0 (~k ) = 3 (~k ). Âûðàçèì ñâÿçü ìåæäó íóëåâîé è ïðîäîëüíîé êîìïîíåíòàìè àìïëèòóä. Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî óñëîâèå A = 0 íå îïðåäåëÿåò ïîòåíöèàë îäíîçíà÷íî. Ñîâåðøèì 60 êàëèáðîâî÷íîå ïðåîáðàçîâàíèå A0 = A + , ãäå = 0. Òîãäà, åñëè A = 0, òî è A0 = 0 è åñëè A = 0, òî è A0 = 0. Òàê êàê = 0, òî (x) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ( x) = Z d3 k q h 2(2 )3 ! (~k) ~(~k)e ikx + ~ (~k )eikx i k0 = ! (~k): ; (3.79) Ïóñòü ïîòåíöèàë A (x) èìååò âèä (3.76), ãäå âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè (3.78). Çàïèøåì Z d3 k 0 A (x) = q e() 0 (~k)e ikx + 0 (~k)eikx ; (3.80) 3 ~ 2(2 ) ! (k) () ãäå e òå æå âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè (3.78), à 0 (~k ) íîâûå àìïëèòóäû. Òîãäà ñîîòíîøåíèå A0 = A + äàåò A0 (x) = = Z q Z d3 k e() 0 (~k)e ikx + 2(2 )3 ! (~k) n d3 k ( ) q e (~k)e 2(2 )3 ! (~k) Îòñþäà e() 0 (~k) 0 (~k)eikx (~k)eikx ikx + ik ~(~k)e 0 (~k) e(0) 0 Ïóñòü Ïóñòü 0 (~k) e(0) 0 i (3) 0 (~k) + e (0) (3) Íî, ei (~k ) = 0, ei Îòñþäà 0 (~k) 3 (3) 0 (~k) 0 (~k) + ei 3 = !k(~ki ) . Çíà÷èò ki 0 ~ (k) ! (~k) 3 o : 3 (~k) = = 1; 2. Îñòàåòñÿ ik ~(~k): (3) = 0, âñïîìèâ, ÷òî e(0) 0 = 1, e0 = 0 ïîëó÷èì 0 (~k) = (~k) ik ~(~k): 0 0 0 = i, èìååì ~ (~k)eikx (~k ) = ik ~(~k ): ×òîáû óäîâëåòâîðèòü ýòî óðàâíåíèå, ïîëîæèì 0 (~k ) = (~k ) ïðè ikx (3.81) 3 (~k) = iki ~(~k): 3 (~k) = iki ~(~k): 0 (~k) = (~k) 3 3 ik0 ~(~k): (3.82) k) 3 (~ Ìû ïîêàçàëè, ÷òî 0 (~k ) = 3 (~k ). Âûáåðåì ~(~k ) = ik . Òîãäà 03 (~k ) = 0. Íî èç (3.81) ñëåäóåò, 0 ÷òî 00 (~k ) = 0 (~k ) 3 (~k) = 0. Èòàê, ïîñëå äîïóñòèìîãî êàëèáðîâî÷íîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ 0 (~k) = 0 (~k) = 0. Ñîîòâåòñòâóþùèé ïîòåíöèàë (3.80) ïðèíèìàåò âèä 0 3 Z n d3 k ikx + (~k )eikx 0 ~ q ( k ) e e(1) A (x) = 1 1 2(2 )3! (~k) + e(2) 2 (~k)e 61 ikx + (~k)eikx 2 o : Ìû âèäèì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ïîëå A0 èìååò äâå ñòåïåíè ñâîáîäû (â êàæäîé òî÷êå ~x) è, âî-âòîðûõ, âåêòîð A0 òðåõìåðíî ïîïåðå÷íûé. Çàìåòèì, ÷òî âñå ïðåäûäóùåå ðàññìîòðåíèå áûëî êëàññè÷åñêèì. Ïðîáëåìà ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû äàòü ñîîòâåòñòâóþùóþ êâàíòîâóþ îðìóëèðîâêó. Íà÷íåì ñ ëàãðàíæèàíà Ôåðìè L~ = = = = 1 1 A A = A A 2 2 1 00 0 A 0 A + ij i A j A 2 1 00 00 0 A0 0 A0 + 00 ij 0 Ai 0 Aj + ij 00 i A0 j A0 + ij lk i Ak j Al 2 1 _2 _ _ A0 Ai Ai i A0 i A0 + i Aj i Aj : 2 Òî åñòü ~L = 1 A_ i A_ i 2 Îòñþäà i = i Aj i Aj L = A_ i ; A_ i 1 _2 A 2 0 0 = i A0 i A0 : L = A_ 0 : A_ 0 (3.83) (3.84) Ñòðîèì óíêöèþ àìèëüòîíà H = = = Z d3 x i A_ i + 0 A_ 0 Z L 1 1 2 1 + A A + A A i i 2 i i 2 i j i j 2 0 i 0 i 0 1 o n1 i i + i Aj i Aj 02 + i A0 i A0 : d3 x 2 2 d3 x Z 02 Çäåñü ÿâíî âèäíî, ÷òî ýíåðãèÿ ìîæåò áûòü íå ïîëîæèòåëüíîé. Ïåðåéäåì ê êâàíòîâàíèþ. Íàëîæèì êàíîíè÷åñêèå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ h i h Aî (~x); ^j (~x0 ) = iÆ (~x ~x0 )Æij ; i A^0 (~x); ^0 (~x0 ) = iÆ (~x ~x0 ): (3.85) Çàïèøåì ãàìèëüòîíèàí H^ = Z d3 x 1 2 î î + i A^j i A^j 1 ^0 ^0 + i A^0 i A^0 : 2 àññìîòðèì ãåéçåíáåðãîâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ h i iA_î (x) = Aî (x); H^ = iî (x); i^_ i = ij j Aî (x): Èëè Aî j j Aî = 0 î (x) = A_î ; ) Aî (x) = 0: Àíàëîãè÷íî iA_^0 (x) = i^_ 0 = i^0 (x); ^0 (x) = A_^0 ; ij j A^0 (x): 62 (3.86) Èëè A^0 (x) = 0. Òî åñòü A^ = 0. åøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò Z A^ (x) = d3 k q 2(2 )3 ! (~k) e() ^ (~k)e ikx + ^+ (~k )eikx ; ~ ãäå ^ (~k ), ^+ (k ) îïåðàòîðû, êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîòîðûìè ïðåäñòîèò íàéòè. Òàê êàê î = A_î , ^0 = A_^0 , òî ñîîòíîøåíèÿ (3.85) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå h i A^ (x); A_^ (x0 ) Èëè Z = i Æ (~x ~x0 ): (3.87) d3 k d3 k0 0 q e() (~k) e( ) (~k0 ) ( ik00 ) 2(2 )3 ! (~k)! (k~0) h ikx + ^+ (~k )eikx ; ^ 0 (~k 0 )e ik0 x0 ^ (~k)e = i Æ (~x i h x0 =x00 ~x0 ): h 0 0 + ^+0 (~k0 )eik x i x0 =x00 i ^ (~k); ^0 (~k0 ) = 0; ^+ (~k); ^+0 (~k0 ) = 0: (Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, â ïðàâîé ÷àñòè ñîîòíîøåíÿ íå ïîëó÷èòñÿ Æ (~x ~x0 ).) Îñòàåòñÿ Îòñþäà i Z h i d3 k d3 k0 0 0 q ! (~k0) ^ (~k); ^+0 (~k0 ) e ikx+ik x 2(2 )3 ! (~k)! (~k0 ) h i 0 0 0 ^0 (~k0 ); ^+ (~k) e ik x +ikx e() (~k)e( ) (~k0 ) = i Æ (~x ~x0 ): åøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò Z h i ^ (~k); ^+0 (~k0 ) = 0 Æ (~k ~k0 ): Ñ ó÷åòîì ýòîãî èìååì d3 k () (~k)e(0 ) (~k0 ) e ik(x x0) + eik(x x0 ) 0 e 2(2 )3 x0 =x00 = Æ (~x ~x0 ): () (0 ) Íàëîæèì íà âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè óñëîâèå íîðìèðîâêè 0 e (~k )e (~k 0 ) = : Ýòî óñëî() âèå, â ÷àñòíîñòè, âûïîëíåíî ïðè íàøåì âûáîðå âåêòîðîâ e . Îñòàåòñÿ 1 2(2 )3 Z d3 k íî ýòî âûïîëíÿåòñÿ òîæäåñòâåííî. Â ðåçóëüòàòå, h e i~k(~x ~x0 ) 0 + ei~k(~x ~x ) i = Æ (~x ~x0 ); h i ^+ (~k); ^+0 (~k0 ) = 0; ^ (~k); ^0 (~k0 ) = 0; h i ^ (~k); ^+0 (~k0 ) = 0 Æ (~k ~k0 ): Ïîñëåäíèé êîììóòàòîð åñòü h h i î (~k); ^+j (~k0 ) = Æij Æ (~k ~k0 ); i ^0 (~k); ^+0 (~k0 ) = Æ (~k ~k0 ): 63 (3.88) + Äëÿ îïåðàòîðîâ ^0 , ^+ 0 â êîììóòàòîðå ñòîèò íåïðàâèëüíûé çíàê. Îïåðàòîðû î , î èìåþò ñòàíäàðòíûå êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ áîçåâñêèõ îïåðàòîðîâ óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ. Çàïèøåì òåïåðü ãàìèëüòîíèàí (3.86) â òåðìèíàõ îïåðàòîðîâ ^ , ^+ . Èìååì 1 H^ = 2 Z d3 k ! (~k) Çàäà÷à 3.19 Âû÷èñëèòü îïåðàòîð Áóäåì () ñ÷èòàòü, 0 e() (~k)e( ) (~k) ^+ (~k)^0 (~k) + ^ (~k)^+0 (~k) : (3.89) + àìèëüòîíà â òåðìèíàõ ^ , ^ (3.89). ÷òî âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ ïîëíîòû () Â ÷àñòíîñòè, ïðè íàøåì âûáîðå e ýòè óñëîâèÿ âûïîëíåíû. Ïðîèçâåäåì, êðîìå òîãî, íîðìàëüíîå óïîðÿäî÷åíèå. Â ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó îïðåäåëåíèþ ãàìèëüòîíèàíà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ 0 e (~k)e( ) (~k) = 0 : H^ = Èëè H^ = Z Z 0 d3 k ! (~k) ^+ (~k)^0 (~k): d3 k ! (~k) ^+i (~k)î (~k) ^+0 (~k)^0 (~k) : (3.90) Ìû âèäèì, ÷òî â òåîðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ âîçíèêàåò ïðîáëåìà íåïîëîæèòåëüíîñòè ýíåðãèè íà êâàíòîâîì óðîâíå. Ôîêîâñêèé áàçèñ ìîæíî ñòðîèòü îáû÷íûì îáðàçîì, îäíàêî è çäåñü âîçíèêàåò ïðîáëåìà. àññìîòðèì, íàïðèìåð, îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå âèäà j~k; 0i = ^+ 0 (~k)j0i è âû÷èñëèì åãî íîðìó h~k0; 0j~k; 0i = h0j^0(~k0 )^+0(~k)j0i = Æ(~k ~k0 ): R Ýòî çíà÷èò, ÷òî íîðìà âåêòîðà j i = d3 k (~k )j~k; 0i áóäåò h j i= Z d3 k d3 k0 (~k) (~k0 )h0j^0 (~k)^+0 (~k0 )j0i = Z d3 k j (~k)j2 0: Â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé åñòü âåêòîðû ñ îòðèöàòåëüíîé íîðìîé. Òåðÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíàÿ èíòåðïðåòàöèÿ. Ýòà òà öåíà, êîòîðóþ ïðèõîäèòñÿ ïëàòèòü çà ìîäèèêàöèþ ëàãðàíæèàíà. Îäíàêî ìû íèêàê ïîêà íå èñïîëüçîâàëè óñëîâèå A = 0. Òåïåðü A^ ýòî îïåðàòîð è ïåðâàÿ ìûñëü çàïèñàòü îïåðàòîðíîå ðàâåíñòâî A^ = 0 èëè ^0 + i Aî = 0. Íî òîãäà h A^0 (x0 ); ^0 (x) + i Aî (x) i x0 =x00 = 0: Íî èç êîììóòàòîðà (3.85) èìååì h i A^0 (x0 ); ^0 (x) + i Aî (x) x0 =x0 = iÆ (~x ~x0 ): 0 Âîçíèêëî ïðîòèâîðå÷èå, óêàçûâàþùåå, ÷òî îïåðàòîðíîå ðàâåíñòâî A^ = 0 íåâîçìîæíî. Îñëàáèì ýòî òðåáîâàíèå, ïóòåì îãðàíè÷åíèÿ êëàññà äîïóñòèìûõ âåêòîðîâ. Íàçîâåì èçè÷åñêèì òàêîå ñîñòîÿíèå jP hysi, ÷òî ñðåäíåå ïî ýòîìó ñîñòîÿíèþ îïåðàòîðà A^ îáðàùàåòñÿ â íîëü, òî åñòü (3.91) hP hysj A^ jP hysi = 0: 64 (+) ( ) (+) Òàê êàê A^ (x) = A^ (x) + A^ (x); ãäå A^ ñîäåðæèò òîëüêî îïåðàòîðû ^ (~k ), à ~ òîëüêî îïåðàòîðû ^+ (k ), òî óñëîâèå (3.91) ðàâíîñèëüíî A^(+) jP hysi = 0: A^( ) (3.92) Óñëîâèå (3.92) ýòî óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ âåêòîðîâ jP hysi. Çàìåòèì, êñòàòè, ÷òî âàêóóì j0i àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿåò (3.92), òî åñòü ÿâëÿåòñÿ èçè÷åñêèì ñîñòîÿíèåì. àññìîòðèì áîëåå ïîäðîáíî óñëîâèå (3.92). Èìååì A^(+) jP hysi = i Z d3 k q 2(2 )3 ! (~k) k e() (~k) ^(~k) e ikx jP hysi = 0: (3.93) Èñïîëüçóÿ óñëîâèå (3.78) íà âåêòîðû ïîëÿðèçàöèè, ïîëó÷èì ^0 (~k) ^3 (~k) jP hysi = 0: (3.94) Ýòî åñòü îñíîâíîå ñîîòíîøåíèå, îïðåäåëÿþùåå âåêòîðû jP hysi. Âû÷èñëèì ìàòðè÷íûé ýëåìåíò ãàìèëüòîíèàíà ïî èçè÷åñêèì ñîñòîÿíèÿì hP hys0jH^ jP hysi = Z d3 k ! (~k) hP hys0j^+1 (~k)^1 (~k) + ^+2 (~k)^2 (~k)jP hysi + hP hys0j^+3(~k)^3 (~k) ^+0 (~k)^0 (~k)jP hysi : 0 + Òàê êàê ^3 (~k )jP hysi = ^0 (~k )jP hysi è hP hys0 j^+ 3 (~k) = hP hys j^0 (~k), òî ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå íå äàåò âêëàä â äàííûé ìàòðè÷íûé ýëåìåíò. Òî åñòü hP hys0jH^ jP hysi = Z d3 k ! (~k)hP hys0j^+1 (~k)^1 (~k) + ^+2 (~k)^2 (~k)jP hysi; òî åñòü â ïðîñòðàíñòâå èçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä H^ = Z h i d3 k ! (~k) ^+1 (~k)^1 (~k) + ^+2 (~k)^2 (~k) : (3.95) Â ýòîì ïîäïðîñòðàíñòâå ýíåðãèÿ àâòîìàòè÷åñêè íåîòðèöàòåëüíà. Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåðìèíîëîãèÿ. ×àñòèöû, îïèñûâàåìûå îïåðàòîðàìè ~ ^ (k), ^+ (~k), íàçûâàþòñÿ îòîíàìè. Ïðè ýòîì îòîíû ñ = 1; 2 íàçûâàþòñÿ èçè÷åñêèìè, ñ = 3 ïðîäîëüíûìè è ñ = 0 âðåìåííûìè èëè ñêàëÿðíûìè. Óñëîâèå (3.94) óêàçûâàåò, ÷òî ñîñòîÿíèÿ jP hysi âêëþ÷àþò ïðîäîëüíûå è âðåìåííûå îòîíû ñïåöèàëüíûì îáðàçîì. Îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà âûäåëåíèÿ èçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé íàçûâàåòñÿ êâàíòîâàíèåì ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ïî óïòà-Áëåéëåðó. Ëþáîå ñîñòîÿíèå j i â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ, â òîì ÷èñëå è jP hysi, ðàñêëàäûâàåòñÿ â ðÿä ïî îêîâñêîìó áàçèñó. Ýòîò áàçèñ ïîëó÷à~ åòñÿ äåéñòâèåì íà âàêóóì îïåðàòîðâ ^+ (k ) ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ðàç. Åñëè ñîñòîÿíèå j i + + ñîäåðæèò òîëüêî îïåðàòîðû ^1 (~k ), ^2 (~k ), òî îíî àâòîìàòè÷åñêè èçè÷åñêîå. Ïðîèçâîëü^ (~k) = k A^(+) (~k) íîå èçè÷åñêîå ñîñòîÿíèå ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îáîçíà÷èì L ^ + (~k) = k A^( ) (~k). Ïóñòü j i ñîñòîÿíèå, íå ñîäåðæàùåå ïðîäîëüíûõ è âðåìåííûõ è L îòîíîâ. àññìîòðèì ji = 1 Z X n=0 d3 k1 : : : d3 kn '(~k1 ; : : : ; ~kn) L^ + (~k1 ) L^ + (~kn )j i: 65 (3.96) ^ (~k)ji. Çàìåòèì, ÷òî Âû÷èñëèì k A^(+) (~k )ji = L h L^ (~k); L^ + (~k0 ) i h i h k k0 e() (~k) e(0 ) (~k0) ^(~k); ^+0 (~k0 ) 0 = k k e() (~k) e ( ) (~k)Æ (~k ~k0 ) 0 = k k Æ (~k ~k0 ) = (k2 ~k2 )Æ (~k ~k0 ) = 0: = k k0 A^(+) (~k); A^( ) (~k0 ) i 0 Ïîýòîìó L^ (~k)ji = 1 Z X n=0 d3 k : : : d3 kn (~k1 ; : : : ; ~kn) L^ + (~k1 ) L^ + (~kn )L^ (~k)j i = 0: Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ëþáîå ñîñòîÿíèå jP hysi äîëæíî èìåòü âèä (3.96). Ïóñòü j1 i, j2 i äâà ñîñòîÿíèÿ âèäà (3.96) ïîñòðîåííûõ ïî ñîñòîÿíèÿì j 1 i, j 2 i èçè÷åñêèõ îòîíîâ. Òîãäà h1 j2i = = 1 Z X n1 ;n2 =0 h 1jL^ (~k1) L^ (~kn )L^ +(p~1 ) L^ + (p~n )j 2i h 1j 2i 1 + = d3 k1 : : : d3 kn1 d3 p1 : : : d3 pn2 n(1) (~k1 ; : : : ; ~kn1 )(2) ~1 ; : : : ; p~n2 ) n 2 (p 1 1 Z X n1 ;n2 =1 2 d3 k1 : : : d3 kn1 d3 p1 : : : d3 pn2 n(1) (~k1 ; : : : ; ~kn1 )(2) ~1 ; : : : ; ~pn2 ) n 2 (p 1 h 1jL^ (~k1) L^ (~kn )L^ +(p~1 ) L^ + (p~n )j 2i h 1 j 2 i: 1 2 Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ èçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì äâóõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñîñòîÿíèé, ñîäåðæàùèõ òîëüêî èçè÷åñêèå îòîíû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âñå ñîñòîÿíèÿ âèäà ji èçè÷åñêè íå îòëè÷èìû îò îäíîãî ñîîòâåòñòâóþùåãî ñîñòîÿíèÿ j i. Â ïðèíöèïå, ìû ìîãëè áû ðàáîòàòü òîëüêî ñ èçè÷åñêèìè ïîïåðå÷íûìè îòîíàìè è ñîñòîÿíèÿìè òèïà j i. Îäíàêî òîãäà íåò ÿâíîé ðåëÿòèâèñòñêîé èíâàðèàíòíîñòè (âìåñòî A èñïîëüçóåòñÿ A? i ). ßâíàÿ ðåëÿòèâèñòñêàÿ èíâàðèàíòíîñòü òðåáóåò, ÷òîáû ïðèñóòñòâîâàëè âñå ÷åòûðå îòîíà, íî òîãäà íåîáõîäèìî âûäåëèòü ïîäïðîñòðàíñòâî èçè÷åñêèõ ñîñòîÿíèé òèïà ji (3.96). 3.8. Êâàíòîâàíèå ñïèíîðíîãî ïîëÿ àññìîòðèì ñâîáîäíîå ñïèíîðíîå ïîëå ñ ëàãðàíæèàíîì L = i m : (3.97) Íàïîìíèì, ÷òî ýòî ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûé áèñïèíîð, ìàòðèöû Äèðàêà, óäîâëåòâîðÿþùèå ñîîòíîøåíèþ è = + 0. + 66 = 2 Íàïîìíèì òàêæå, ÷òî â äâóõêîìïîíåíòíîé îðìå ìàòðèöû Äèðàêà è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ èìåþò âèä = 0 0 ; i( )aa_ a_ m'a = 0; i( )aa_ ' ma_ = 0; ãäå 0 åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà 2 2, à i ìàòðèöû Ïàóëè. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî â áóêâàëüíîì ñìûñëå ãàìèëüòîíèçàöèÿ ïîëÿ Äèðàêà íåâîçìîæíà è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîöåäóðà êàíîíè÷åñêîãî êâàíòîâàíèÿ â áóêâàëüíîé îðìå íå ðàáîòàåò. Íå âäàâàÿñü â îáùèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ ýòîé ïðîáëåìû, îñíîâàííûé íà ãàìèëüòîíèçàöèè îñîáåííûõ òåîðèé, áóäåì äåéñòâîâàòü ñ ó÷åòîì óæå èìåþùåãîñÿ îïûòà. Ïðè êâàíòîâàíèè òåîðèé ñêàëÿðíîãî è ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëåé ãàìèëüòîíîâ îðìàëèçì áûë íåêîòîðîé èñõîäíîé ïîñûëêîé, à ðåçóëüòàòèâíî ìû ââåëè îïåðàòîðû ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ, çàïèñàëè ãàìèëüòîíèàí â èõ òåðìèíàõ, ïîñòðîèëè ïðîñòðàíñòâî Ôîêà è äàëè èíòåðïðåòàöèþ ñîñòîÿíèé ïîëÿ â òåðìèíàõ ÷àñòèö. Ïîïûòàåìñÿ ïðîâåñòè àíàëîãè÷íîå ðàññìîòðåíèå äëÿ ïîëÿ Äèðàêà. 3.8.1. Äèíàìè÷åñêèå èíâàðèàíòû Çàïèøåì, èñïîëüçóÿ òåîðåìó Íåòåð, òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà ñïèíîðíîãî ïîëÿ L L + LÆ ( ) ( ) (i = i m )Æ : T = Òåíçîð ýíåðãèè-èìïóëüñà âû÷èñëÿåòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî âûïîëíåíû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (i Ïîýòîìó m ) = 0: T = i : Îòñþäà íàõîäèì âåêòîð ýíåðãèè-èìïóëüñà P = Z d3 x T 0 = Ñîãëàñíî ñòàíäàðòíîé èíòåðïðåòàöèè H= Z Z d3 x i 0 : P0 ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê ýíåðãèþ ïîëÿ H . Òîãäà Z d3 x i 0 0 = d3 x i + _ : (3.98) Çàìåòèì, ÷òî îïðåäåëåíèþ ýíåðãèè ñïèíîðíîãî ïîëÿ â îðìå (3.98) îòâå÷àåò âûðàæåíèå H= ãäå Z d3 x _ L; = i 0 è ó÷òåíî, ÷òî = 0. Âåêòîð èìïóëüñà èìååò âèä Pj = Z d3 x i 0 j := 67 Z d3 x + ij : (3.99) Íàéäåì òåíçîð ïëîòíîñòè ìîìåíòà-èìïóëüñà. M i L 1 T x T x (S ) 2 2 ( ) 1 1 = T x T x + (S ) : (3.100) 2 2 ) ãåíåðàòîðû ëîðåíöåâñêèõ âðàùåíèé áèñïèíîðà. Âòîðîé = Çäåñü S = 2i ( ÷ëåí â ñîîòíîøåíèè (3.100), êàê èçâåñòíî, îòâåòñòâåíåí çà ñïèí. Çàïèøåì åùå âûðàæåíèå äëÿ çàðÿäà ïîëÿ. Îíî áûëî íàéäåíî â 2.5. è èìååò âèä Q=e 3.8.2. Z d3 x 0 : (3.101) Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà àññìîòðèì óðàâíåíèå Äèðàêà i ãäå m = 0; ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûé ñòîëáåö = 'a a_ ; ïðè÷åì, êàê áûëî ïîêàçàíî ðàíåå, êàæäûé äâóõêîìïîíåíòíûé ñïèíîð 'a , a_ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Êëåéíà- îðäîíà. Ïîýòîìó äèðàêîâñêèé ñïèíîð (x) òîæå óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ Êëåéíà- ãîðäîíà ( + m2 ) (x) = 0: Áóäåì èñêàòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà â âèäå ïëîñêèõ âîëí (x) e ipx : Òîãäà èç óðàâíåíèÿ Êëåéíà- îðäîíà ñëåäóåò, ÷òî p2 = m2 èëè p0 = "(p~), ãäå p p~2 + m2 . Ñëåäîâàòåëüíî, p0 = "(p~) è çíà÷èò åñòü äâà âèäà ðåøåíèé (+) (x) e i"(p~)x0 i~p~x , ( ) ei"(p~)x0 i~p~x. Çàïèøåì èõ â âèäå (+) = ( ) = "(p~) = e ipx = e i"(p~)t i~p~x wp~(+) ; ei"(p~)t i~p~x wp~( ) ; wp~(+) , wp~( ) íåêîòîðûå ÷åòûðåõêîìïîíåíòíûå ñïèíîðû. Ïîäñòàâèì äàííûå óíêöèè p~ (x) â èñõîäíîå óðàâíåíèå Äèðàêà, ïîëó÷èì äâå ñèñòåìû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ wp~() ãäå "(p~) 0 + pj Îáîçíà÷èì m wp~(+) = 0; j "(p~) 0 + pj j m wp~( ) = 0: "(p~) = p0 . Òîãäà èìååì äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé ( p m)wp~(+) = 0; ( p + m)w( p~) = 0: 68 4 4 ñëåäóþùåãî âèäà 0 1 j pj 0 S (p~) = 0 0 j pj : 2jp~j Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ìàòðèöà S (p~) êîììóòèðóåò ñ ìàòðèöàìè () ñïèíîðû wp~ ìîæíî âûáðàòü ñîáñòâåííûìè äëÿ S (p~) Ââåäåì ìàòðèöó p mè p + m. Ïîýòîìó S (p~)wp~ = wp~ : àññìîòðèì S 2 (p~)wp~ = S (p~)wp~ = 2 wp~ : Âû÷èñëèì 1 0 j pj 0 0 i pi 0 0 0 2 0 0 p 4jp~j j pj i i 0 1 i 0 j pi pj 0 = 0 0 2 0 i j pi pj 4jp~j 1 0 2 1 (i j + j i )pi pj 0 ( ) 2 = 0 ( 0 )2 21 (i j + j i )pi pj 4p~2 1 1 2 E 0 ~p 0 E = I; = 2 4p~ 4 ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà 2 2, I åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà 4 4. Ñëåäîâàòåëüíî, 1 () w = 2 wp~( ) : 4 p~ (+) (+) ( ) Îòñþäà = 1=2. Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíû ÷åòûðå áèñïèíîðà wp~;1=2 , wp~; 1=2 , wp~;1=2 , wp~( ; )1=2 , êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå Äèðàêà èìå- S 2 (p~) = åò ÷åòûðå ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ ðåøåíèÿ (+) (x) = e i"(p~)t i~p~x w(+) ; p~; p~; ( ) i"(p~)t i~p~x w ( ) ; p~; (x) = e p~; = 1=2: Îáùåå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ýòèõ ðåøåíèé. Ñëåäîâàòåëüíî îáùåå ðåøåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå (x) = X Z =1=2 d3 p n ( ) i"(p~)t i~p~x i"(p~)t i~p~x + a (p a1 (p~; )wp~(+) 2 ~; )wp~; e ; e o : Çäåñü a1 (p~; ), a1 (p~; ) ïðîèçâîëüíûå êîýèöèåíòû. Âî âòîðîì ñëàãàåìîì ñîâåðøèì çàìåíó ïåðåìåííûõ p~ ! p~. Òîãäà (x) = Âûðàæåíèå X Z =1=2 n i"(p~)t d3 p a1 (p~; )wp~(+) ; e "(p~)t + ~p~x = p x px; ãäå p0 = "(p~). Îáîçíà÷èì 1 wp~(+) up~; ; a1 (p~; ) = a(p~; ); ; = p (2 )3 "(p~)=m 1 w( p~); = p 3 vp~; ; a2 ( p~; ) = b (p~; ): (2 ) "(p~)=m 69 o ( ) i"(p~)t+i~p~x : 2 ( p~; )w p~; e i~p~x + a Òîãäà îêîí÷àòåëüíî ( x) = X Z =1=2 n d3 p a(p~; ) up~; e (2 )3 "(p~)=m p ipx + b (p ~; ) vp~; eipx o : Ñîâåðøàÿ ñîïðÿæåíèå, ïîëó÷èì (x) = X Z =1=2 n d3 p b(p~; ) vp~; e (2 )3 "(p~)=m p ãäå u = u+ 0 , v = v + 0 . Ñïèíîðû àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé up~; , vp~; ipx + a (p ~; ) up~; eipx o ; óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìàì ÷åòûðåõ ëèíåéíûõ ( p m)up~; = 0; ( p + m)vp~; = 0: Ýòè ñïèíîðû up~; , vp~; óäîâëåòâîðÿþò ðàçëè÷íûì ñîîòíîøåíèÿì, êîòîðûå âûâîäÿòñÿ èç óêàçàííûõ âûøå óðàâíåíèé. 3.8.3. Îðòîãîíàëüíîñòü è ïîëíîòà ðåøåíèé óðàâíåíèÿ Äèðàêà Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, óðàâíåíèå Äèðàêà èìååò äâà òèïà ðåøåíèé â âèäå ïëîñêèõ âîëí: ïîëîæèòåëüíî÷àñòîòíûå e ipx up~; è îòðèöàòåëüíî÷àñòîòíûå eipx vp~; , ãäå p0 = "(p~) = p p~2 + m2 . Ïàðàìåòð ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ 1=2. Ñàìè áèñïèíîðû óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì ( p m)up~; = 0; ( p + m)vp~; = 0: (3.102) Ïîñêîëüêó óðàâíåíèÿ (3.102) îïðåäåëÿþò u, íîðìèðîâàòü. Óäîáíî ýòî ñäåëàòü òàê v up~;up~;0 = u0; u0;0 ; up~; 0 v p~;0 = 0; Ïðè ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ, òî èõ ìîæíî vp~; vp~;0 = v0; v0;0 ; vp~; 0 u p~;0 = 0: p~ = 0 óðàâíåíèÿ (3.102) èìåþò âèä ( 0 Îòñþäà ( 0 + 1)v0;0 = 0: 1)u0;0 = 0; v0; 0 v0;0 = v0; v0;0 : u0; 0 u0;0 = u0;u0;0 ; Èëè u0;u0;0 = u+0;u0;0 ; v0; v0;0 = v0+; v0;0 : + Ïîòðåáóåì u+ 0;u0;0 = Æ0 , v0; v0;0 = Æ0 . Â ðåçóëüòàòå èìååì vp~; vp~;0 = Æ0 ; vp~; up~;0 = 0: up~; up~;0 = Æ0 ; up~; vp~;0 = 0; Çàïèøåì ( p up~; ( p m)up~;0 = 0; 70 m) = 0: (3.103) Îòñþäà up~; 0 ( p m)up~;0 + up~; ( p m) 0 up~;0 = 0; 0 0 0 up~; ( + )p 2 m up~;0 = 0: Èëè "(p~) "(p~) up~; 0 up~;0 = up~; up~;; = Æ 0: m m Àíàëîãè÷íî "(p~) "(p~) vp~; 0 vp~;0 = vp~; vp~;; = Æ 0: m m Êðîìå òîãî, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî u 0 v p~; p~;0 vp~; 0 u = 0; p~;0 = 0: Â èòîãå èìååì ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ up~; up~; 0 up~;0 = "(p~) Æ0 : m 0 v p~;0 = 0; vp~; vp~; 0 vp~;0 = "(p~) Æ0 ; m 0 u p~;0 = 0: (3.104) Ïåðåéäåì ê ðàññìîòðåíèþ óñëîâèé ïîëíîòû. Ïóñòü (x) ïðîèçâîëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Äèðàêà. Åãî ìîæíî ðàçëîæèòü ïî ëèíåéíî íåçàâèñèìûì ðåøåíèÿì â âèäå XZ d3 p ipx + b (p ipx ; p (3.105) a ( p ~ ; ) u e ~ ; ) v e (x) = p~; p~; (2 )3 "(p~)=m ãäå a(p~; ), b (p~; ) êîìïëåêñíûå àìïëèòóäû. Î÷åâèäíî, ÷òî (x) = (+) (x) + ( ) (x), ãäå (+) ïîëîæèòåëüíî-÷àñòîòíàÿ ÷àñòü, à ( ) îòðèöàòåëüíî-÷àñòîòíàÿ. Ïðåäñòàâèì () (x) = Çíà÷èò, X p Çíà÷èò, a(p~; ) = Ïîýòîìó (p~) = Çíà÷èò d3 p () (p~) eipx: 3 (2 ) p 1 ) a(p~; 0) up~;0 " ( p ~ ) =m 0 X 1 0 (+) (p~) = p a(p~; 0) up~; 0 up~;0 " ( p ~ ) =m 0 r 1 "(p~) " ( p ~ ) = p a(p~; 0 ) = a(p~; ); m m "(p~)=m Z d3 p p a(p~; )up~; e i"(p~)t + b+ ( p~; )v (x) = 3 (2 ) "(p~)=m (+) (p~) = up~; Z X =1=2 : 1 up~; ( 0 (+) (p~))ei"(p~)t : "(p~)=m p 1 u (u 0 ) (p~) + v "(p~)=m p~; p~; X n p~; ei"(p~)t up~;(up~; 0 ) + v 71 v p~; p~; ( v p~; ( 0 ~) p~; ) (p o 0 ) = "(p~) : m : (3.106) 3.8.4. Êâàíòîâàíèå Ïðè ïåðåõîäå ê êâàíòîâîé òåîðèè ñëåäóåò ñ÷èòàòü, ÷òî (x) è (x) ÿâëÿþòñÿ îïåðàòîðàìè, íî ïîñêîëüêó ìû íå ñëåäóåì êàíîíè÷åñêîìó êâàíòîâàíèþ, ìû íå èìååì îñíîâàíèé íàêëàäûâàòü êàêèå-ëèáî îïðåäåëåííûå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ. Ïðåäñòàâèì ^= Òàê êàê XZ d3 p a^(p~; )up~; e (2 )3 "(p~)=m p ipx + ^ b+ (p~; )vp~;eipx : (3.107) : (3.108) ^ îïåðàòîð, òî a^(p~; ), ^b+ (p~; ) òàêæå îïåðàòîðû. Îòñþäà ^ = X Z d3 p ^b(p~; )vp~; e p (2 )3 "(p~)=m ipx + a ^(p~; )+up~;eipx Â ðåçóëüòàòå ìû èìååì ÷åòûðå îïåðàòîðà a ^, a^+ , ^b, ^b+ . ^ êàê îïåðàòîð ïîëó÷àþùèéñÿ èç äèíàìè÷åñêîãî èíâàðèàíòà Îïðåäåëèì ãàìèëüòîíèàí H H (3.98) ïîäñòàíîâêîé âìåñòî è _ îïåðàòîðîâ ^ è _^. Íàéäåì ÿâíûé âèä H^ â òåðìèíàõ a^, a^+ , ^b, ^b+ . Èìååì H^ = = XZ Z d3 p d3 p0 0 p p00 d3 x a^+ (p~; )â(p~0 ; 0 )up~; 0 up~0 ;0 eix(p p ) 3 0 (2 ) "(p~)"(p~ )=m 0 0 + ^b+ (p~; )â(p~0 ; 0 )vp~; 0 up~0 ;0 e ix(p+p ) 0 a^+ (p~; )^b+ (p~0 ; 0 )up~; 0 vp~0 ;0 eix(p+p ) 0) ix ( p p + 0 0 0 ^b(p~; )^b (p~ ; )vp~; vp~0 ;0 e XZ 0 "(p~) d3 p p 2 " (p~)=m a^+ (p~; )â(p~; 0 )up~; 0 up~;0 + ^b+ (p~; )â( p~; 0 )vp~; 0 u p~;0 e 2ix "(p~) 0 a^+ (p~; )^b+ ( p~; 0 )up~; 0 v p~;0 e2ix "(p~) ^b(p~; )^b+ (p~; 0 )vp~; 0 vp~;0 0 Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (3.104), ïîëó÷èì H^ = XZ d3 p "(p~) a^+ (p~; )â(p~; ) ^b(p~; )^b+ (p~; ) : Ýòî âûðàæåíèå âî ìíîãîì íàïîìèíàåò ãàìèëüòîíèàí òåîðèè ñêàëÿðíîãî ïîëÿ è êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì ñ÷èòàòü a ^, a^+ è ^b ^b+ îïåðàòîðàìè óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ áîçîíîâ. Îäíàêî òîãäà âñòàåò âîïðîñ î ïîëîæèòåëüíîñòè ýíåðãèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè a ^ è ^b áîçåâñêèå îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ, òî îïðåäåëèâ âàêóóì êàê ðåøåíèÿ óðàâíåíèé a ^j0i = ^bj0i = 0 è + ^ ïîñòðîèâ îäíî÷àñòè÷íîå ñîñòîÿíèå b j0i, ïîëó÷èì H^ ^b+ j0i = = XZ 0 d3 p "(p~) ^b(p~0 ; 0 )^b+ (p~0 ; 0 )^b+ (p~; )j0i "(p~)^b+ (p~; )j0i + áåñêîíå÷íîñòü. 72 Ýíåðãèÿ ïîëÿ â ýòîì ñîñòîÿíèè îòðèöàòåëüíà. Ïîýòîìó ^b è ^b+ íå ìîãóò èìåòü áîçåâñêèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé. Îñòàåòñÿ âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü åðìèåâñêèå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ^b(p~; )^b+ (p~0 ; 0 ) + ^b+ (p~0 ; 0 )^b(p~; ) = Æ0 Æ (p~ ~p0 ): Òîãäà, ñ òî÷íîñòüþ äî áåñêîíå÷íîé êîíñòàíòû H^ = XZ d3 p "(p~) a^+ (p~; )â(p~; ) + ^b+ (p~; )^b(p~; ) : (3.109) Â ðåçóëüòàòå ìû ïðèõîäèì ê íåîáõîäèìîñòè ïîñòóëèðîâàòü ñëåäóþùèå ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ n o a^(p~; ); â+ (p~0 ; 0 ) = Æ0 Æ (p~ p~0 ); n o ^b(p~; ); ^b+ (p~0 ; 0 ) = Æ0 Æ (p~ p~0 ); n o n o o n o n n o n o a^; a^ = a^; ^b = a^; ^b+ = a^+ ; a^+ = ^b+ ; ^b+ = ^b; ^b = 0: (3.110) ^ (3.109) àâòîìàòè÷åñêè Òåïåðü âîïðîñ î ïîëîæèòåëüíîñòè ýíåðãèè íå âñòàåò. Îïåðàòîð H íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåí. Óñòàíîâèâ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (3.110), èíòåðåñíî âûÿñíèòü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëåé ^ è èìïóëüñîâ ^ . àññìîòðèì àíòèêîììóòàòîð n ^(x); ^ (x0 ) n o x0 =x00 =i XZ ;0 a^(p~; ); a^+ (p~0 ; 0 ) d3 p d3 p0 (2 )3 "(p~)"(p~0 )=m p o 0 ipx+ip0 x0 u ( p~; up~0 ;0 ) n o 0 0 + ^b+ (p~; ); ^b(p~0 ; 0) eipx ip x vp~; (vp~0 ;0 0 ) XZ d3 p i~p(~x ~x0 ) u ( 0 ) + ei~p(~x ~x0 ) v ( 0) e u v =i p~; p~; p~; p~; (2 )3 "(p~)=m Z d3 p 0) X i~ p ( ~ x ~ x 0 0 =i e up~; (up~; ) + v p~; (v p~; ) : (2 )3 "(p~)=m =1=2 e Èñïîëüçóåì ñîîòíîøåíèå (3.106) è â èòîãå ïîëó÷èì n Àíàëîãè÷íî Èòàê, n ^(x); ^(x0 ) ^(x); ^ (x0 ) o o x0 =x00 n = 0; 00 x0 =x n = iÆ (~x ~x0 ): ^ (x); ^ (x0 ) x0 =x00 = 0: o ^(~x); ^ (~x0 ) = iÆ (~x ~x0 ); n o ^(~x); ^(~x0 ) = 0; n o o ^ (~x); ^ (~x0 ) = 0: 73 (3.111) Èìåííî ýòè êîììóòàöèîííûå ñîîòíîøåíèÿ ÿâëÿþòñÿ àíàëîãîì êàíîíè÷åñêèõ ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ ñïèíîðíîãî ïîëÿ. Â ïåðåñòàíîâî÷íûõ ñîîòíîøåíèÿõ íàäî èñïîëüçîâàòü àíòèêîììóòàòîðû. Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî êëàññè÷åñêîå ñïèíîðíîå ïîëå îáÿçàíî áûòü àíòèêîììóòèðóþùèì. Èñïîëüçóÿ ^ = i ^ 0 = i ^+ èìååì n o ^(~x); ^+ (~x0 ) = Æ (~x ~x0 ): (3.112) Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê îïåðàòîðó çàðÿäà Q^ = e Z d3 x ^ 0 ^ = e XZ d3 p a^+ (p~; )â(p~; ) + ^b(p~; )^b+ (p~; ) : (3.113) Çàäà÷à 3.20 Ïîëó÷èòü âûðàæåíèÿ äëÿ îïåðàòîðà çàðÿäà åðìèîííîãî ïîëÿ (3.113). Èñïîëüçóÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ è îòáðàñûâàÿ íåñóùåñòâåííóþ (áåñêîíå÷íóþ) êîíñòàíòó, ïîëó÷èì Q^ = e XZ d3 p a^+ (p~; )â(p~; ) ^b+ (p~; )^b(p~; ) : (3.114) Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî è ãàìèëüòîíèàí (3.109) è çàðÿä (3.114) çàïèñàíû â íîðìàëüíîé ^ è Q^ . Çàìåòèì, ÷òî îðìå. Òàêàÿ çàïèñü âõîäèò êàê ýëåìåíò îïðåäåëåíèÿ îïåðàòîðîâ H ïðèâåäåíèå åðìè îïåðàòîðîâ ðîæäåíèÿ è óíè÷òîæåíèÿ ê íîðìàëüíîé îðìå ïðåäïîëàãàåò èçìåíåíèå çíàêà ïðè ïåðåñòàíîâêå ^b, ^b+ , a ^, a^+ . Íåòðóäíî íàéòè è îïåðàòîð èìïóëüñà. Èñïîëüçóÿ òå æå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è ïðè ^ 0 (3.109), ïîëó÷èì íàõîæäåíèè ãàìèëüòîíèàíà H X P^~ = Z d3 p p~ a^+ (p~; )â(p~; ) + ^b+ (p~; )^b(p~; ) : (3.115) Çàäà÷à 3.21 Ïîëó÷èòü âûðàæåíèå äëÿ îïåðàòîðà èìïóëüñà åðìèîííîãî ïîëÿ (3.115). Ââåäåì îïåðàòîðû n^ (p~; ) = ^b+ (p~; )^b(p~; ) n^ + (p~; ) = a^+ (p~; )â(p~; ); è N^ = N^+ + N^ = Òîãäà H^ = P^~ = XZ XZ XZ d3 p n^ + (p~; ) + n^ (p~; ) : d3 p "(p~) n^ + (p~; ) + n^ (p~; ) ; d3 p p~) n^ + (p~; ) + n^ (p~; ) ; Q^ = e N^+ + N^ : (3.116) Èñïîëüçóÿ ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (3.114) ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî h i h n^ + (p~; ); n^ +(p~0 ; 0) = 0; i n^ (p~; ); n^ (p~0 ; 0 ) = 0: 74 (3.117) Çàäà÷à 3.22 Ïîëó÷èòü ïåðåñòàíîâî÷íûå ñîîòíîøåíèÿ (3.117). Ýòî çíà÷èò, ÷òî h i h ^ P^~ = 0; H; h i i ^ N^ = 0; H; h ^ N^ = 0; Q; i ^ Q^ = 0; H; h i P^~ ; N^ = 0; h i P^~ ; Q^ = 0: ^ ^ , H^ , P~ , Q^ èìåþò îáùóþ ñèñòåìó ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû N Ôîêîâñêèé áàçèñ äëÿ ñïèíîðíîãî ïîëÿ ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ââåäåì âåêòîð j0i êàê ðåøåíèå óðàâíåíèé a^p~; j0i = 0; ^bp~; j0i = 0; 8p~; : Ïîñòðîèì âåêòîðû j n;m i = jp~1 ; 1 ; p~2 ; 2 ; : : : ; p~n ; n ; ~p01 ; 01 ; : : : ; ~p0m ; 0m i 1 = p a^+ (p~1 ; 1 ) a^+ (p~n ; n )^b+ (p~01 ; 01 ) ^b+ (p~0m ; 0m )j0i: n!m! (3.118) Íå òðóäíî ïðîâåðèòü. ÷òî N^+ j N^ j H^ j i n;m i n;m i P^~ j n;mi Q^ j n;mi n;m = nj n;m i; = mj n;m i; 0 0 = "(p~1 ) + + "(p~n) + "(p~1 ) + + "(p~m ) j = p~1 + + p~n + p~01 + + p~0m = e(n m)j n;m i: j n;m n;m i; i; (3.119) Çàäà÷à 3.23 Ïðîâåðèòü ñîîòíîøåíèÿ (3.119). Ñîîòíîøåíèÿ (3.118), (3.119) ñëóæàò îñíîâîé äëÿ èíòåðïðåòàöèè ñîñòîÿíèé ñïèíîðíîãî ïîëÿ â òåðìèíàõ ÷àñòèö. Ìû âèäèì, ÷òî âåêòîð j n;m i (3.118) îïèñûâàåò ñîñòîÿíèå êâàíòîâàííîãî ïîëÿ ñ n ÷àñòèöàìè çàðÿäà e è m ÷àñòèöàìè çàðÿäà e, ýíåðãèåé "(p~1 ) + + "(p~n) + "(p~01 ) + + "(p~0m ) è èìïóëüñîì ~p1 + + ~pn + ~p01 + + ~p0m . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî a ^(p~; ), a^+ (p~; ) îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ ÷àñòèö ñ çàðÿäîì e, à ^b(p~; ), ^b+ (p~; ) îïåðàòîðû óíè÷òîæåíèÿ è ðîæäåíèÿ àíòè÷àñòèö ñ çàðÿäîì e. Åñëè e çàðÿä ýëåêòðîíà, òî ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòèöû íàçûâàþòñÿ ýëåêòðîíàìè, à àíòè÷àñòèöû ïîçèòðîíàìè. Ìû âèäèì, ÷òî êîìïëåêñíîå ñïèíîðíîå ïîëå îïèñûâàåò äâà ñîðòà ÷àñòèö. Ïðîèçâîëüíûé âåêòîð ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿíèé èìååò âèä j i = 1 X X n;m=0 1 ;:::;n X Z 0 ;:::;0 1 d3 p1 : : : d3 pn d3 p01 : : : d3 p0m m n;m(p~1; 1; : : : ; ~pn; n; ~p01; 01; : : : ; ~p0m; 0m) jp~1; 1; : : : ; ~pn; n; ~p01; 01; : : : ; ~p0m; 0mi; (3.120) ãäå ~1 ; 1 ; : : : ; ~pn; n ; ~p01 ; 01 ; : : : ; ~p0m ; 0m ) êîìïëåêñíûå êîýèöèåíòû. Âåêòîðû n;m (p (3.120) îáðàçóþò ïðîñòðàíñòâî Ôîêà êîìïëåêñíîãî ñïèíîðíîãî ïîëÿ. 75 ^ ^+ j0i = 0, N^ j0i = 0, H^ j0i = 0, P~ j0i = 0, Q^ j0i = 0. Âàêóóì Îòìåòèì ñâîéñòâà âàêóóìà N ýòî ñîñòîÿíèå áåç ÷àñòèö è àíòè÷àñòèö ñ íàèìåíüøåé ýíåðãèåé, íóëåâûì èìïóëüñîì è íóëåâûì çàðÿäîì. Çàìåòèì, ÷òî ñïèíîðíîå ïîëå, â îòëè÷èå îò óðàâíåíèÿ Äèðàêà, îïèñûâàåò ñèñòåìó ñî ñêîëü óãîäíî áîëüøèì ÷èñëîì ÷àñòèö. Ïðè ýòîì âñå ïðîáëåìû, âîçíèêàþùèå ïðè ïîïûòêå îäíî÷àñòè÷íîé èíòåðïðåòàöèè, îòñóòñòâóþò àâòîìàòè÷åñêè. Ñäåëàåì îäíî îáùåå çàìå÷àíèå. Èñïîëüçîâàíèå êîììóòàòîðîâ èëè àíòèêîììóòàòîðîâ îçíà÷àåò, ÷òî ìû âûáèðàåì ëèáî áîçå- ëèáî åðìè-ñòàòèñòèêó äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷àñòèö. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ åðìè ÷àñòèö äîëæåí âûïîëíÿòñÿ ïðèíöèï Ïàóëè. Ìû âèäåëè, ÷òî ïîëÿ ñ öåëûìè ñïèíàìè êâàíòîâàëèñü ñ ïîìîùüþ êîììóòàòîðîâ, à ñ ïîëóöåëûì ñ ïîìîùüþ àíòèêîììóòàòîðîâ. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî åñòü ïðîÿâëåíèå îáùåé òåîðåìû î ñâÿçè ñïèíà è ñòàòèñòèêè, ñîãëàñíî êîòîðîé ëþáûå ïîëÿ ñ öåëûì ñïèíàìè äîëæíû êâàíòîâàòüñÿ êàê áîçîíû, à ñ ïîëóöåëûì ñïèíîì êàê åðìèîíû. Çàêëþ÷åíèå Òàêèì îáðàçîì, â äàííîì êóðñå ëåêöèé ìû ðàññìîòðåëè îñîáåííîñòè êâàíòîâàíèÿ ñâîáîäíûõ ïîëåé. Ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ íàèáîëüøèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ñëó÷àé âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé, êîòîðûå îïèñûâàþò ðàññåÿíèå ÷àñòèö. Âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ ïåðòóðáàòèâíîé êâàíòîâîé òåîðèè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîëåé, èçó÷åíèå ðàñõîäèìîñòåé è ïðîöåäóðà ïåðåíîðìèðîâêè áóäåò èçó÷åíà â ÷àñòè II íàñòîÿùåãî êóðñà. 76

Квантовая теория поля

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Квантовая теория поля

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib