МОДЕЛИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В этом разделе рассматриваются два простых примера нахождения оптимального плана выпуска продукции, который обеспечивает максимальную прибыль при заданных ограничениях на ресурсы. Изучив материал раздела и реализовав описанные процедуры решения приведенных примеров на компьютере, вы • получите представление о том, как формулируются модели линейного программирования (ЛП) и вообще модели оптимизации при заданных ограничениях и что значит сам термин "линейное программирование"; • поймете, как конкретно записать целевую функцию и ограничения в ЛП-задаче; • научитесь организовывать данные на листе MS-Excel для решения ЛП-задач с помощью надстройки MS-Excel "Поиск решения". Если у вас хватит времени и терпения рассмотреть примеры для самостоятельного анализа, вы • расширите ваши представления о ситуациях, в которых применяются ЛП-модели; • закрепите навык решения ЛП-задач с помощью MS-Excel. Полученные знания и умение использовать "Поиск решения" наверняка пригодятся на практике, так как вы можете встретиться с проблемами линейной оптимизации, работая на производстве и в сфере услуг, в торговой, дистрибьюторной или транспортной фирме, в банке или инвестиционной компании. Область исследования операций, которая занимается оптимизацией, т.е. нахождением максимума (или минимума) целевой функции при заданных ограничениях, называется математическим программированием. С точки зрения современного русского языка этот термин не вполне удачен, поскольку сейчас под программированием однозначно понимается написание программ для компьютеров (людей, профессионально занимающихся этой работой, называют программистами). В английском языке значение слова programming определено не столь жестко и может означать планирование, выбор программы (плана) действий. Именно в этом контексте следует понимать и термин математическое программирование. Некоторым оправданием этому термину в русском переводе может служить то обстоятельство, что всякая реализация методов математического программирования в практике управления невозможна без использования компьютерных программ. Поэтому все эти методы являются фактически компьютерными алгоритмами. В зависимости от вида целевой функции различают линейное и нелинейное программирование. Линейное программирование имеет дело с оптимизацией моделей, в которых целевая функция линейно зависит от переменных решения и ограничения представляют собой линейные уравнения или неравенства относительно переменных решения. Фактически это означает, что целевая функция и ограничения могут представлять собой только суммы произведений постоянных коэффициентов на переменные решения в первой степени, т.е. выражения типа: Если целевая функция и ограничения содержат нелинейные выражения типа: то они относятся к моделям нелинейного программирования. Почему модели линейного программирования столь важны? В настоящем курсе рассматриваются модели только линейного программирования. Это связано с тем, что • очень много важных для практики проблем, относящихся к самым разным сферам деятельности, могут быть проанализированы с помощью моделей линейного программирования; • существуют эффективные и универсальные алгоритмы решения задач линейного программирования, реализованные в общедоступном программном обеспечении; • методы анализа моделей линейного программирования не просто позволяют получить оптимальное решение, но и дают информацию о том, как может изменяться это решение при изменении параметров модели. Именно эта информация, позволяющая получить ответы на вопросы типа "что, если...", представляет особую ценность для лица, принимающего решение. Применение методов линейного и целочисленного программирования в реальном бизнесе Ниже приведены переводы аннотаций статей из журнала "Interfaces". Журнал издается американским Институтом исследования операций и количественных методов в менеджменте (Institute for Operations Research and Management Science, аббревиатура института: INFORMS; сайт: www.informs.org). Цель журнала - обеспечить реальную связь между специалистами в области исследования операций и практическими менеджерами и пропагандировать применение методов исследования операций в реальном бизнесе. Optimizing restoration capacity in the AT&T Network Ken Ambs, Sebastian Cwilich, MeiDeng, David J.Houck, DavidF. Ж Lynch, and Dicky Yan, Interfaces, 30, #1, 2000 Оптимизация величины производственных мощностей для восстановления нарушений телефонной сети AT&T Для обеспечения высокой надежности телефонной сети AT&T использует два основных подхода: предотвращение нарушений сети и быстрая реакция в случае, если такое нарушение произошло. Для того чтобы быстро перенаправить трафик в случае нарушения сети, сеть должна обладать достаточной избыточной мощностью. Команда экспертов и менеджеров AT&T разработала метод для определения соответствующих величины и расположения этих исбыточных мощностей. Метод основан на модели линейного программирования для минимизации издержек, связанных с восстановлением трафика, и позволяет быстро сгенерировать наиболее эффективный обходной путь для трафика в случае повреждения сети. В течение 10 месяцев команда превратила развитую методологию в реальный инструмент для оптимизации распределения резервных мощностей для восстановления повреждений сети. Этот подход был впоследствии расширен для планирования восстановления связи и оптимизации работы восстановленной сети в случае выхода из строя коммутационных центров. Работа принесла сотни миллионов долларов экономии и способствовала существенному увеличению доходов компании. Using mixed-integer programming to reduce label changes in the I Coors Aluminum Can Plant, Elena Katok and Dennis Ott, Interfaces I 30, #2, 2000 Использование смешанного целочисленного программирования для уменьшения количества смены этикеток на заводе компании "Коорс" по производству алюминиевых пивных банок Завод "Коорс" - это крупнейший в мире завод по производству алюминиевых пивных банок. Завод располагается в г. Голден, штат Колорадо, и производит 4 млрд. банок в год на 6 производственных линиях. Пивоваренная компания "Коорс" производит 7 видов пива, каждое из которых требует своей этикетки. В работе используется модель с обычными и целочисленными переменными с пользовательским интерфейсом в виде электронных таблиц, которая помогает менеджерам завода "Коорс" планировать производство на неделю вперед с целью удовлетворения заказа пивоваренной компании и минимизации количества смены этикеток и соответствующих издержек. "Коорс" использует систему с октября 1998 г. и оценивает снижение прямых издержек (потери металла, трудовые и складские издержки) в размере более 150 тыс. в год. Locating and sizing plants for bottling propane in south India, Jayaram K. Sankaran andN.R. Srinivasa Raghavan, Interfaces 27, #6, 1997 Расположение и размер заводов по розливу сжиженного пропана в Южной Индии Shri Shakti LPG Ltd (SSLPG) импортирует, разливает и продает сжиженный пропан в Южной Индии. Сжиженный пропан продается в цилиндрических баллонах оптом и в розницу через сеть дилеров. Дилеры пополняют свои запасы с заводов по розливу пропана, которые, в свою очередь, получают пропан с одного из своих хранилищ, куда импортный пропан поступает в больших емкостях. В работе было применено целочисленное программирование дня определения мест расположения производственных мощностей заводов по розливу пропана. Предложенная конфигурация этих заводов обеспечила экономию более 1 млн. долл. по сравнению с первоначальным планом компании SSLPG. Далее приведена аннотация книги, в которой линейное программирование использовано для оптимизации финансовых портфелей банков. Цисаръ И.Ф., Чистов В.П., Лукьянов А.И. Оптимизация финансовых портфелей банков, страховых компаний, пенсионных фондов. М.: Дело, 1998. В книге приводится методика планирования оптимальной системы финансовых портфелей коммерческих банков. Рассматривается система привлечения кредитных ресурсов, размещения их И собственного капитала банка. Оптимальный план системы портфелей разрабатывается с помощью алгоритмов и компьютерной программы линейного программирования. Методика позволяет сформировать рентабельную систему портфелей, удовлетворяющую нормативам стабилизации Центрального банка России как основным критериям надежности банков. Дается оценка места методики в системе управления банком и опыта ее применения в банках РФ и ближнего зарубежья. Методика предназначена для управляющих банками, плановиков, финансовых менеджеров. Разработчики систем управления банками могут модифицировать методику и компьютерную программу, встраивать их в свои системы или использовать как прототип для постановки задачи при разработке своих подсистем поддержки управленческих решений.
