Министерство образования и науки РФ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Алтайская государственная академия образования
имени В.М. Шукшина»
Кафедра математики и методики обучения математике
Е.И. Чупина
Введение в алгебру
Учебно-методическое пособие
для студентов педвузов
Бийск
АГАО им. В.М. Шукшина
2011
ББК
Ч
Печатается по решению
редакционно-издательского совета
Алтайской государственной академии образования
имени В.М. Шукшина
Научный редактор:
канд.физ.-мат. наук, доцент кафедры математики
и методики обучения математике АГАО им. В.М. Шукшина
Т.Д. Васильева.
Рецензенты:
канд. пед. наук, доцент кафедры математики
и методики обучения математике АГАО им. В.М. Шукшина
В.Г. Заворуева
канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики
и математической физики БТИ (филиал) ФГБОУ ВПО "Алтайский
государственный технический университет им. И.И. Ползунова"
Л.В. Китаева
Ч
Чупина Е.И.
Введение в алгебру. [Текст]: учебно-методическое пособие для студентов педвузов / Е.И. Чупина; Алтайская гос. академия обр-я им.
В. М. Шукшина. – Бийск: ФГБОУ ВПО «АГАО», 2011. - 72 с. Библиогр.: с. 70. – 50 экз.
В пособии излагается необходимый для самостоятельной работы студентов
материал теоретического и практического характера по первым двум разделам
курса алгебры: «Элементы теории множеств и логики», «Отношения. Отображения».
Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов математического профиля бакалавриата по направлению подготовки «Педагогическое образование».
© Чупина Е.И., 2011.
© ФГБОУ ВПО «АГАО», 2011.
Содержание
Содержание ...................................................................................................... 3
Введение ........................................................................................................... 5
1. Элементы теории множеств и логики ........................................................ 6
1.1. Высказывания ....................................................................................... 6
1.1.1. Понятие высказывания. Логические операции над
высказываниями ...................................................................................... 6
1.1.2. Формулы логики высказываний. Основные равносильности
логики высказываний .............................................................................. 9
1.1.3. Вопросы для самоконтроля ......................................................... 12
1.1.4. Задания для самостоятельной работы ........................................ 12
1.2. Множества ........................................................................................... 14
1.2.1. Понятие множества ..................................................................... 14
1.2.2. Подмножества .............................................................................. 16
1.2.3. Операции над множествами ....................................................... 17
1.2.4. Прямое (декартово) произведение множеств ............................ 20
1.2.5. Вопросы для самоконтроля ......................................................... 23
1.2.6. Задания для самостоятельной работы ........................................ 24
1.3. Предикаты ........................................................................................... 25
1.3.1. Понятие предиката....................................................................... 25
1.3.2. Логические операции над предикатами ..................................... 27
1.3.3. Кванторы ...................................................................................... 30
1.3.4. Запись математических утверждений на языке логики
предикатов .............................................................................................. 33
1.3.5. Обратная и противоположная теоремы. .................................... 35
1.3.6. Необходимое и достаточное условия ......................................... 37
1.3.7. Вопросы для самоконтроля......................................................... 39
1.3.8. Задания для самостоятельной работы ........................................ 40
2. Отношения. Отображения ......................................................................... 43
2.1. Бинарные отношения .......................................................................... 43
2.1.1. Понятие бинарного отношения. Способы задания бинарных
отношений .............................................................................................. 43
2.1.2. Свойства бинарных отношений на множестве ......................... 48
2.1.3. Отношение эквивалентности ...................................................... 53
2.1.4. Вопросы для самоконтроля......................................................... 58
2.1.5. Задания для самостоятельной работы ........................................ 58
2.2. Отображения ....................................................................................... 59
2.2.1. Отображение (функция). Виды отображений ........................... 59
2.2.2. Обратное отображение. Композиция отображений .................. 65
2.2.3. Вопросы для самоконтроля......................................................... 69
2.2.4. Задания для самостоятельной работы ........................................ 69
Список литературы ........................................................................................ 70
Приложения.................................................................................................... 71
3
Предисловие
Задачи курса алгебры на разных этапах ее изучения, при изучении
различных модулей и разделов могут варьироваться, но все они так или
иначе связаны с освоением студентами понятийного аппарата алгебры.
Преподавателю алгебры необходимо уделять пристальное внимание
преодолению у студентов возникающих при этом затруднений, связанных с причинами как объективного, так и субъективного характера.
К объективным следует отнести высокую степенью абстракции алгебраических понятий, о большинстве из которых в школе даже не упоминалось. Надо сказать, что по сравнению с геометрией и математическим
анализом, алгебра в этом смысле находится в наиболее невыгодном положении. На начальном этапе обучения алгебре студент знакомится с
рядом новых абстрактных понятий, с которыми без помощи педагога
сложно разобраться. Это негативно сказывается на мотивации к учению.
Положение дел осложняется тем, что изучение алгебры (равно как и
математического анализа и геометрии) приходится на первые два курса
обучения в педагогическом вузе. Преподаватель вынужден параллельно с
обучением предмету решать еще и задачи по адаптации студентов к вузовской системе образования, ориентированной на значительный объем
самостоятельной работы, к чему бывшие школьники в подавляющей массе совсем не готовы.
Все сказанное является обоснованием необходимости поиска различных методических средств, направленных на преодоление мотивационных, дидактических и организационно-методических затруднений,
возникающих у студентов первого курса при усвоении основных математических дисциплин. В алгебре это необходимо, прежде всего, при
изучении первых двух модулей, с которых традиционно начинается
курс: «Элементы теории множеств и логики», «Отношения. Отображения».
Данное учебно-методическое пособие призвано помочь первокурсникам организовать свою самостоятельную работу при изучении алгебры, а
также частично преодолеть затруднения, связанные с несформированностью умений конспектировать лекционный материал, отсутствием умений самостоятельного поиска необходимой информации в учебной и
научной литературе.
4
Введение
Изучение курса алгебры является частью теоретической и практической подготовки будущего учителя математики. Цели и задачи изучения
курса многогранны. Основная цель – формирование алгебраической (как
одной из составных частей математической) культуры, необходимой будущему учителю для глубокого понимания теоретических основ базового
и профильного школьных курсов математики и школьных элективных
курсов.
В разделе «Элементы теории множеств и математической логики» явно выделены многие вопросы, имеющие важное общематематическое
значение.
Основной задачей изучения элементов математической логики на
начальном этапе изучения алгебры является формирование умения определять и анализировать логическую структуру любых математических
предложений, знакомство с логическими законами, лежащими в основе
равносильных преобразований тех или иных утверждений.
В теории множеств исходным, определяющим является понятие множества. Без ясного понимания сущности этого понятия невозможно сознательное, глубокое усвоение основ математической теории.
Целью изучения раздела «Отношения. Отображения» в курсе алгебры
является возможность дать учащимся знание простейших элементов теории отношений и отображений, пронизывающих весь вузовский курс
математики; сформировать у них умения свободно ими оперировать.
Основная задача изучения данного раздела – от расплывчатого и привычного понятия «отношение», воспринимаемого на интуитивном
уровне, перейти к точно определённому математическому понятию «бинарное отношение».
В этом есть необходимость, поскольку бинарное отношение – одно из
базовых понятий в математике, через которое определяются многие основные понятия высшей алгебры. Особую роль в математике играют такие виды отношений, как отношения эквивалентности и порядка. На
понятие отношения опирается и понятие функции, являющееся фундаментальным в математике.
5
1. Элементы теории множеств и логики
1.1. Высказывания
1.1.1. Понятие высказывания. Логические операции
над высказываниями
Одним из основных понятий математической логики является понятие
высказывания. Оно первично и поэтому не определяется, а поясняется.
Под высказыванием в логике понимается повествовательное предложение, представляющее такое утверждение, о котором можно сказать,
что оно истинно или ложно.
Примеры высказываний:
а) «Волга впадает в Каспийское море»;
б) « sin 30 o 0,5 »;
в) «11 < 9»;
г) «40+12 = 52»;
д) «5 — четное число».
Истинностное значение высказываний а), б), г) — «истина», а высказываний в) и д) — «ложь».
Высказывания подчиняются двум законам:
1) закону противоречия: никакое высказывание не является одновременно истинными и ложным;
2) закону исключенного третьего: всякое высказывание либо истинно, либо ложно (третьего не дано).
Не являются высказываниями вопросительные, восклицательные
предложения и определения понятий. Например, предложение «Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами» — не является
высказыванием. Однако повествовательное предложение «Если у прямоугольника все стороны равны, то он квадрат» есть высказывание (истинное).
Высказывания будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, D, …
Значения истинного и ложного высказываний будем обозначать соответственно буквами И и Л.
Мы будем отвлекаться от смыслового содержания высказывания, для
нас важно лишь его значение истинности.
Высказывания подразделяются на элементарные и составные.
Элементарные высказывания – это те, которые нельзя расчленить
на другие высказывания, их внутренняя структура нас интересовать не
будет.
6
Если высказывание допускает расчленение, то оно называется составным.
Например, «7 – простое число и 6 – число четное» – составное высказывание, которое можно «раздробить» на 2 элементарных.
Составные высказывания образуются из элементарных при помощи
логических операций. В обычной речи им соответствует соединение
высказываний с помощью различных союзов и словосочетаний: «и»,
«или», «неверно, что …», «если …, то …», «тогда и только тогда, когда
…», которые называются логическими связками. На множестве всех
высказываний определены следующие логические операции: конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, импликация, эквиваленция.
Необходимо различать логическую операцию и ее результат. Если,
например, арифметические операции и их результат называют разными
терминами («сложение» – «сумма», «вычитание» – «разность», «умножение» – «произведение» и т.д.), то в математической логике логические
операции и высказывания, которые получаются в результате этих операций называют одинаково.
Сформулируем определения высказываний, полученные при одноименных логических операциях.
Определение 1. Конъюнкцией двух высказываний А и В называется
новое высказывание, обозначаемое А В (читается как «А и В»), истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.
Примером конъюнкции двух высказываний в математике является
любое двойное числовое неравенство. Например, высказывание «0<2<3»
– истинно, так как представляет из себя конъюнкцию двух истинных высказываний: «2>0» и «2<3».
Определение 2. Дизъюнкцией двух высказываний А и В называется
новое высказывание, обозначаемое А В (читается как «А или В»), ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.
Высказывание А В истинно в том и только в том случае, когда хотя
бы одно из высказываний истинно. Союз «или» в данном случае используется в неразделительном смысле (не в смысле «либо … — либо …),
поскольку высказывание А В истинно и когда оба высказывания истинны.
Примером дизъюнкции двух высказываний в математике является
любое нестрогое числовое неравенство. Например, 2 3, 2 2 – высказывания, представляющие дизъюнкции: «2 < 3 или 2 = 3» и «2 < 2 или 2 =
2». И поскольку в каждом случае одно из двух высказываний в дизъюнкции истинно, то эти нестрогие неравенства истинны.
7
Определение 3. Под отрицанием высказывания А понимается высказывание, обозначаемое А (читаемое «Не А» или «Неверно, что А»),
истинное, когда А – ложно и наоборот.
Примеры:
1. Пусть А – истинное высказывание: «11 – простое число», тогда
А : «Неверно, что 11 – простое число» – ложное высказывание.
2. Пусть «а < b» — высказывание (где а, b – некоторые действительные числа), тогда его отрицание – «Неверно, что а < b» можно записать как «а b» – поскольку для действительных чисел
справедлив закон трихотомии: «Для любых двух действительных
чисел а и b всегда имеет место точно одно из трех соотношений:
а = b, либо а > b, либо а < b».
Определение 4. Импликацией двух высказываний А и В называется
новое высказывание, обозначаемое А В (читается: «Если А, то В» или
«А влечет В»), ложное тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
В импликации А В А называется посылкой, а В – заключением.
Заметим, что в логике может рассматриваться импликация высказываний и с ложной посылкой, в отличие от обычной речи, где такие высказывания не имеют смысла. Более того, такие импликации согласно
определению будут истинными.
Например, «Если 5 – четное число, то 23 – число простое» – истинное
высказывание.
В повседневной речи обычно мы употребляем форму «если …, то …»
лишь в тех случаях, когда между высказываниями имеется какая-то причинная связь. Между посылкой и заключением в импликации могут отсутствовать причинно-следственные связи, то есть в обычном понимании
высказывание В не обязательно должно следовать из высказывания А.
Это свободное употребление импликации приводит иногда к результатам, которые могут показаться странными.
Например, когда высказывание, бессмысленное с точки зрения обычной речи, оказывается истинным: «Если у льва есть когти, то снег белый»
(И).
Чтобы верно определять значения истинности импликации достаточно запомнить следующие мнемонические правила: «Из истины следует
только истина», «Из лжи следует все, что угодно».
Определение 5. Эквиваленцией двух высказываний А и В называется новое высказывание, обозначаемое А В (читается «А тогда и только тогда, когда В», «А если и только если В», «А необходимо и
достаточно для В»), истинное в том и только в том случае, когда А и В
имеют одинаковое значение истинности.
8
Например, высказывание «2 2 = 5 тогда и только тогда, когда 3 > 7» –
истинно, как эквиваленция двух ложных высказываний.
С учетом сформулированных определений для всех логических операций составим общую таблицу истинности:
А
Л
Л
И
И
В
Л
И
Л
И
АВ
Л
Л
Л
И
АВ
Л
И
И
И
А
И
И
Л
Л
АВ
И
И
Л
И
АВ
И
Л
Л
И
Теперь по значению истинности элементарных высказываний мы можем установить значение истинности любого сложного высказывания,
составленного из них.
1.1.2. Формулы логики высказываний.
Основные равносильности логики высказываний
Для анализа логической структуры высказываний необходимо определить понятие формулы логики высказываний.
Понятие формулы связано с понятием переменной. В записи математических формул используются буквы, которые могут принимать произвольные значения из некоторой области. Эти буквы называют еще
свободными переменными, а саму область – областью допустимых
значений переменной.
Если допустимыми значениями свободной переменной являются
натуральные, целые, или действительные числа, то такая переменная
называется соответственно натуральной, или целочисленной, или действительной.
В формулах логики высказываний также используются свободные переменные. Ими являются символы (буквы), вместо которых можно подставлять конкретные элементарные высказывания. Такие переменные
называют высказывательными (или пропозициональными) переменными.
Для их обозначения будем использовать малые буквы конца латинского алфавита (с индексами и без индексов): p, q, r, s, t, …, x, y, z, …,
х1 , х2 , х3 , …
Сформулируем определение формулы логики высказываний:
Определение 6.
1. Высказывательная переменная, стоящая отдельно, есть формула
логики высказываний (элементарная или атом).
9
2. Если
F1 и F2 — формулы, то выражения
( F1 ), F1 F2 , F1 F2 , F1 F2 , F1 F2 также фор-
мулы логики высказываний.
3. Других формул, кроме построенных по правилам (1) и (2), нет.
Например, выражения p, q, x y z являются формулами
алгебры высказываний.
Число скобок в формуле можно сократить с учетом порядка действия
логических операций: , , , , . Так в формуле х y z t
скобки восстанавливаются так: x (( y)) z t .
Пусть F x1 , x2 ,..., xn — формула алгебры высказываний, содержащая
высказывательные переменные
x1 , x 2 ,..., xn и A1 , A2 ,..., An — некото-
рые конкретные элементарные высказывания. Подставив последние в
формулу вместо соответствующих переменных, мы получим составное
высказывание F A1 , A2 ,..., An . Значение истинности данного высказывания (И или Л) называют значением формулы
F x1 , x2 ,..., xn при
данном наборе значений ее переменных.
Чтобы определить значение формулы на любом наборе значений ее
переменных необходимо для этой формулы составить таблицу истинности.
Задача 1.
Составить
таблицу
истинности
для
формулы
p q q r p r .
Решение.
p
q
r
Л
Л
Л
Л
И
И
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
pq qr (pq)(qr)
И
И
И
И
И
И
И
Л
Л
И
И
И
Л
И
Л
Л
И
Л
И
Л
Л
И
И
И
pr
И
И
И
И
Л
И
Л
И
p q q r p r
И
И
И
И
И
И
И
И
Определение 7. Формулы F1 и F2 называются равносильными, если при любом наборе значений входящих в них высказывательных переменных, значения истинности формул F1 и F2 совпадают.
10
Запись F1 F2 означает, что формулы F1 и F2 равносильны.
Чтобы доказать равносильность двух формул достаточно составить
таблицы истинности для формул, стоящих в левой и правой частях этой
равносильности и сравнить построчно их столбцы значений.
Задача 2. Доказать равносильность: p q r p q r
Решение.
p
Л
Л
Л
Л
И
И
И
И
q
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
r
Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
qr
И
И
Л
И
И
И
Л
И
p (q r)
И
И
И
И
И
И
Л
И
pq
Л
Л
Л
Л
Л
Л
И
И
pqr
И
И
И
И
И
И
Л
И
Сравнив столбцы (5-й и 7-й) значений формул построчно, убеждаемся, что формулы равносильны.
Доказательство равносильности формул можно проводить и с помощью равносильных преобразований с использованием равносильностей
из указанного ниже списка.
Основные равносильности логики высказываний:
1) х х (закон двойного отрицания);
2) а) х у у х ; 2) б) х у у х (законы коммутативности);
3) а) х у z x y z ; б) x y z x y z (законы ассоциативности);
4) а) х у z x y x z ; б) х у z x y x z (законы дистрибутивности);
5) а) х у х у ; б) х у х у (законы де Моргана);
6) х у х у ;
7) х у у х (закон контрапозиции);
8) х у х у у х ;
9 а) х х х ; б) х х х (законы идемпотентности);
10 а) х х Л (закон противоречия);
10 б) х х И (закон исключенного третьего).
11 а) х ( х у ) х ; б) х ( х у ) х (законы поглощения).
11
В справедливости этих равносильностей можно убедиться с помощью
таблиц истинности. (Самостоятельно!)
Задача 3.
Доказать
равносильность
формул
с
помощью
основных
равносильностей
p q r ( p q) ( p r )
логики высказываний.
Решение. p q r 6 p q r 4 б
p q p r 6 p q p r .
1.1.3. Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение высказывания и приведите примеры.
2. Какие повествовательные предложения не являются высказываниями? Приведите примеры.
3. Какие логические операции можно определить над высказываниями?
4. Пусть А и В — высказывания. Как называются и как определяются
высказывания А, А В, А В, А В, А В ?
5. Составьте таблицы истинности высказываний: а)А В С;
б) A (B C ) .
6. Сформулируйте определение формулы логики высказываний; приведите примеры.
7. Какие формулы логики высказываний называются равносильными?
8. Перечислите основные равносильности логики высказываний.
9. Сформулируйте отрицания следующих высказываний: «Число 12
делится на 2 и на 3», «Четырехугольник АВСD не является ни прямоугольником, ни ромбом».
1.1.4. Задания для самостоятельной работы
1. Установите, какие из следующих предложений являются высказываниями:
a. Студент физико-математического факультета.
b. Да здравствует солнце!
c. Математика – интересный предмет.
d. 6 2 5 8 2 .
13
13
e. 5 2 3 3 .
3
4
f. Виктория – самый высокий водопад мира.
g. Москва – столица России.
12
2. Установите, какие из высказываний в следующих парах являются
отрицаниями друг друга:
a. 5<9 , 5>9.
b. 159, 15<9.
c. «Функция f – четна», «Функция f – нечетна».
d. «Число 28 делится на3», «Число 28 не делится на3».
e. «Прямые а и b пересекаются», «Прямые а и b совпадают».
f. «Натуральное число n четно», «Натуральное число n нечетно».
3. Определите, какие из следующих высказываний являются истинными:
a. Если 30 делится на 6, то 30 делится на 3.
b. Если 84 делится на 4, то 84 делится на 8.
c. 13 делится на 8 тогда и только тогда, когда 13 делится на 4.
4. Следующие составные высказывания расчлените на элементарные
и запишите символически, введя буквенные обозначения для их элементарных составляющих:
a. Неверно, что если 2 - не простое число, то 4 – простое число.
b. 14 –простое число тогда и только тогда, когда 2 и 7 – простые числа.
c. Из того, что 20 делится на 2 и на 5, следует, что 20 делится на 10.
d. 24 делится на 2 и на 3 тогда и только тогда, когда 24 делится на 6.
Определите значение истинности каждого высказывания.
5. Запишите в виде конъюнкции или дизъюнкции условие истинности
для следующих предложений:
a. a·b=0; a·b≠ 0.
b. а2 +b2 = 0; а2 +b2 ≠ 0.
c. a 3; a 3; a 3.
5. Удалите лишние скобки в следующих формулах:
a. ( p) (((q r) ( s)) (q r)).
b. (p q) (( (s t)) ((p q) t)).
c. ( p) (((q z) ( s)) s)) (q z)) ((z s) (q z)).
6. Составьте таблицы истинности для формул:
a. ((s t) t) t.
b. ((p q) q) ( p q).
c. ((p q) r) p .
8. Определите, какие из следующих формул являются тавтологиями:
a. (p q) p.
b. (p q) ( q p).
c. (p (p q)) ((p q) q).
9. С помощью основных равносильностей, докажите:
13
p q p r p q r.
1.2. Множества
1.2.1. Понятие множества
В обычной речи мы часто используем слова: набор, группа, семейство, система, компания, собрание и т.д., которые по смыслу означают
примерно одно и то же – некоторую совокупность объектов, которые по
какому-либо признаку сведены в одно целое. В математике вместо всех
этих слов используется термин «множество».
Понятие «множество» было введено в математику создателем теории
множеств немецким математиком Георгом Кантором (1845-1918гг.).
Согласно Кантору под «множеством» следует понимать любую, мыслимую как единое целое, совокупность каких-либо определённых и различимых между собой объектов (предметов, явлений), доступных
нашему воображению. Объекты, из которых составлено множество,
называются его элементами.
Понятие множества оказалось настолько удачным и продуктивным,
что математика была перестроена на теоретико-множественной основе.
Благодаря теории множеств, стало возможным бурное развитие современной алгебры, занимающейся изучением алгебраических систем (множеств с алгебраическими операциями над его элементами
и
отношениями между ними).
В математике понятие «множество» понимается как первичное,
неопределяемое понятие (как в геометрии понятия точки, прямой и плоскости) и не может быть определено через другие известные понятия. Его
можно только пояснить на примерах.
Можно говорить о множестве студентов некоторого вуза, о множестве
букв в указанной книге, о множестве теорем геометрии, о множестве
корней данного уравнения, о множестве всех действительных чисел и т.д.
Описание Кантора не накладывает никаких ограничений ни на природу предметов, входящих в множество, ни на их количество.
В то же время необходимо подчеркнуть, что мы рассматриваем сущность математического понятия «множество».
Математика же, как наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира, стремится развивать универсальные теории, которые были бы применимы в различных областях
науки и во многих сферах практической деятельности. Поэтому в ней
принято отвлекаться от конкретной природы изучаемых объектов и оперировать идеальными математическими объектами: числами, точками,
14
кривыми, многочленами, корнями какого-либо уравнения и т.д. В дальнейшем их мы и будем выбирать в качестве элементов множеств.
Возвращаясь к канторовскому толкованию множества, заметим, что
слова «различимые» и «определённые» следует понимать так:
а) для любых двух предметов, являющихся элементами некоторого
множества, имеется возможность решить, различны они или одинаковы;
б) если дано какое-либо множество и некоторый предмет, то всегда
можно (в принципе) определить, является этот предмет элементом этого
множества или нет.
Это означает, что множество полностью определяется своими элементами.
Множества и их элементы обозначают буквами латинского алфавита:
множества – прописными, а их элементы – строчными. Символ используется для обозначения принадлежности элемента множеству.
Таким образом, запись хА означает, что х является элементом множества А (принадлежит множеству А), аналогично, хА означает, что х не
является элементом множества А.
Для некоторых наиболее часто встречающихся числовых множеств приняты специальные обозначения:
N – для множества натуральных чисел;
Z – для множества целых чисел;
Q – для множества рациональных чисел;
J – для множества иррациональных чисел;
R – для множества действительных чисел;
C – для множества комплексных чисел.
Запись А={х1, х2, …, хn} означает, что множество А состоит в точности
из элементов х1, х2, …, хn. В частности, {х} – одноэлементное множество,
единственным элементом которого является х.
Таким образом, один из способов задания множеств – перечисление
всех его элементов. Употребляется этот способ задания только для конечных множеств, т.е. множеств, имеющих конечное число элементов.
Бесконечные множества, т.е. множества, не являющиеся конечными,
задать перечислением нельзя.
В этом случае используется другой способ задания множества, который состоит в указании характеристического свойства его элементов,
т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества
и только они.
Запись {х| (утверждение об х)} обозначает множество, элементами которого являются те и только те х, для которых справедливо утверждение
в круглых скобках. Например, множество действительных чисел отрезка
[a;b] = {x| xR и axb}.
15
Таким способом можно задать и конечное множество. Например,
{x| x2 – 3x + 2 = 0} – двухэлементное множество, состоящее из корней
данного уравнения. Множества {x| x2 – 3x +2 = 0} и {1,2} состоят из одинаковых элементов. Их называют равными.
Определение 1. Множества А и В называют равными и пишут А=В,
если А и В содержат одни и те же элементы.
Для удобства вводится множество, не имеющее ни одного элемента.
Его называют пустым множеством, оно единственное и его обозначают
символом .
1.2.2. Подмножества
Определение 2. Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.
Пишут А В и говорят ещё, что А включено в В. Символ – знак
включения.
Например: N R, Z Q и т.д.
Пустое множество является подмножеством любого множества.
Очевидно, что А=В тогда и только тогда, когда А В и В А. Этот
факт в дальнейшем будет нами использоваться при доказательстве равенства некоторых множеств.
Отношение включения обладает следующими свойствами:
1) А А;
2) если АВ и В А, то А=В;
3) если А В и В С, то А С; где А, В, С – произвольные множества.
Каждое непустое множество А имеет по крайней мере два подмножества: А и . Их называют несобственными подмножествами множества
А, остальные подмножества (если они есть) – собственные.
Обозначим множество всех подмножеств множества А через Р(А).
Например, если А={1,2,3}, то Р(А)={A,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},}.
Доказано, что если А – конечное множество, содержащее п элементов,
то Р(А) содержит 2n элементов.
Если все множества, рассматриваемые в ходе какого-либо рассуждения, являются подмножествами некоторого множества U, то это множество U называют универсальным множеством (для данного
рассуждения). Например, в планиметрии универсальным является множество всех точек плоскости, в теории чисел – множество Z и т.д.
Для графической иллюстрации отношений между подмножествами
какого-либо универсального множества U часто используют так называемые диаграммы Венна (круги Эйлера).
16
Диаграмма Венна представляет собой схематичное изображение множеств в виде точечных множеств: универсальное множество U изображается множеством точек некоторого прямоугольника, а его
подмножества – в виде кругов внутри этого прямоугольника.
Следующие диаграммы иллюстрируют отношения между множествами:
U
В
U
А
U
В
А
В
А
а)
б)
в)
Рис.1
а) АВ; б) А и В не имеют общих элементов;
в) А и В имеют общие элементы, т.е. «пересекаются».
1.2.3. Операции над множествами
В классе всех множеств можно определить операции объединения,
пересечения, разности и прямого произведения множеств.
Определим множества, которые можно получить из любых двух множеств с помощью этих операций.
Определение 3. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств.
Обозначается: АВ.
Таким образом, по определению: АВ={x|xA или хВ}. Здесь подразумевается неисключающий смысл слова «или» (как в дизъюнкции высказываний) и для произвольного х справедливо утверждение: хАВ
тогда и только тогда, когда хА или хВ (хАВ хАхВ). Соответственно, хАВ хА хВ.
Пример. Если A={1,2,4,5} и B={1,3,5}, то АВ={1,2,3,4,5}.
Определение 4. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В.
Обозначается: АВ.
17
По определению АВ={x|xA и хВ}, тогда хАВ хА хВ.
Следовательно, хАВ хА хВ.
Пример. Для указанных в предыдущем примере множеств
АВ={1,5}.
Пусть А и В – конечные множества. Обозначим через n(A) число элементов множества А, n(B) – число элементов множества В.
Очевидно, что АВ тоже конечное множество, причем
n(АВ) = n(A) + n(B) – n(AB).
Если АВ=, то множества А и В называются непересекающимися. В
этом случае имеет место следующее равенство: n(АВ) = n(A) + n(B) (при
условии, что А и В – конечные множества. Это равенство называют
«правилом суммы».
Определение 5. Разностью множеств А и В называется множество
всех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат
множеству В.
Обозначают: А\В. Таким образом, по определению А\В={x|xA и
хВ}.
Примеры:. 1. Если А={1,2,3,4,5} и B={1,3,5}, то А\В={2,4}.
2. R\Q=J.
Определение 6. Если В А, то А\В называется дополнением множества В до множества А и обозначается ВА.
Разность U \ В, где U – универсальное множество, называется дополнением (или абсолютным дополнением) множества В и обозначается В.
Пример. Если U=N и А={x| x=2n-1, nN}, то A={x| x=2n, nN}.
Изобразим на кругах Эйлера и диаграммах Венна определенные нами
новые множества заштрихованными областями:
18
Рис.2.
а) АВ; б) АВ; в) А\В ; г) В=U \В; д) ВА.
Операции объединения, пересечения и разности обладают рядом
свойств. Рассмотрим основные, наиболее важные свойства этих операций.
Теорема 1. Для любых множеств А, В и С имеют место следующие
равенства:
1а.
АА=А;
1б.
АА=А;
2а.
АВ=ВА;
2б.
АВ=ВА;
3а.
А(ВС)=(АВ)С;
3б.
А (ВС)=(АВ) С;
4а.
А(ВС)=(АВ)(АС);
4б.
А (ВС)=(АВ)(АС);
5а.
АА=U;
5б.
АА=;
6а.
А\(ВС)=(А\В)(А\С)=(А\В)\С;
6б.
А\(ВС)=(А\В)(А\С);
7а.
(ВС)=ВС;
7б.
(ВС)=ВС;
19
8а.
9.
8б.
Если АВ, то АВ=В;
в частности: АU=U; В=В;
Если АВ, то АВ=А;
в частности: АU=А; В=;
А=А.
Доказательство. Справедливость равенств 1, 2, 5, 8, 9 непосредственно следует из определений операций над множествами, а справедливость каждого из оставшихся равенств можно проверить, используя
определение равенства двух множеств.
В качестве примера докажем равенство 6а (1-ю часть). Следуя определению равенства двух множеств, необходимо доказать два включения:
А\ (ВС) (А\В)(А\С) и (А\В)(А\С) А\ (ВС).
I.Докажем сначала первое включение: А\ (ВС) (А\В)(А\С). Пусть
хА\ (ВС). По определению разности двух множеств это равносильно
тому, что хА и хВС. Отсюда по определению объединения получаем:
хА и (хВ и хС). Это можно записать так: (хА и хВ) и (хА и хС).
По определению разности получаем: хА\В и хА\С. Отсюда по определению пересечения имеем: х(А\В)(А\С). И первое включение доказано.
II.Докажем включение: (А\В)(А\С)А\(ВС). Пусть х(А\В)(А\С).
По определению пересечения это равносильно тому, что хА\В и хА\С.
Отсюда получаем: (хА и хВ) и (хА и хС). Это можно записать иначе: хА и (хВ и хС). По определению объединения двух множеств получаем, что хА и х(ВС), а это по определению разности означает:
хА\(ВС).
Задание 1. Докажите самостоятельно оставшиеся равенства из теоремы 1.
1.2.4. Прямое (декартово) произведение множеств
При задании какого-нибудь конечного множества с помощью перечисления его элементов, безразлично, в каком порядке перечисляются
элементы этого множества.
Например, двухэлементные множества {1,2} и {2,1} совпадают, т.к.
состоят из одних и тех же элементов. Двухэлементное множество {а,b}
называют неупорядоченной парой элементов а и b.
Однако часто приходится иметь дело с наборами из двух элементов
(быть может, одинаковых), для которых указан определённый порядок их
следования.
20
В геометрии, например, каждая точка плоскости однозначно определяется парой (х,у) чисел х и у, называемых координатами точки. Причём,
если ху, то (х,у)(у,х), т.к. эти пары соответствуют разным точкам.
В арифметике каждое двузначное число представляет из себя тоже
упорядоченную пару: первая цифра – цифра десятков, вторая – цифра
единиц.
Упорядоченную пару, первым элементом которой является х, а вторым – у, будем обозначать символом х,у (или (х,у) ).
Определение 7. Упорядоченные пары х,у и u,v называют равными и пишут х,у=u,v, тогда и только тогда, когда х=u, y=v.
В частности, пары х,у и у,х не совпадают, если ху.
Замечание. Понятию упорядоченной пары можно дать строгое математическое определение, рассматривая её как множество: х,у={{x},
{x,y}}. Однако подобная строгость на начальном этапе изучения высшей
математики является излишней.
Определение 8. Прямым (декартовым) произведением множеств А
и В, называется множество всевозможных упорядоченных пар х, y таких. что xA, yB.
Таким образом, по определению имеем: А B={х, y| xA, yB}.
Пример. Если А={1,2,3} и B={a, b}, то А B={1, a, 2, a, 3, a,
1, b, 2, b, 3, b}.
Если в качестве множеств А и В брать числовые множества (т.е. подмножества множества R), то АВ есть множество пар упорядоченных
чисел.
Если каждой паре х,у из множества АВ поставить в соответствие
точку М(х,у) с координатами х и у, то множество АВ можно изобразить
на координатной плоскости (с фиксированной системой координат) с
помощью точек.
Примеры: 1. Для множеств А={x| xN, 2x5} и В={y| yN, 3y<6} в
прямоугольной системе координат множество АВ изображается так:
21
Рис. 3
2. Для множеств А={x| xR, 2x5} и В={y| yR, 3y<6} множество
АВ в прямоугольной декартовой системе координат изображается на
рис.4 точками заштрихованной области:
Рис. 4
Теорема 2. Для любых множеств А, В и С справедливы следующие
утверждения:
1) АВ= А= или В=;
2) АВCD АC и ВD;
3) для непустых множеств А и В, если АВ, то АВВА;
4) А(ВС)=(АВ)(АС);
22
5)
6)
7)
А(ВС)=(АВ)(АС);
А(В\С)=(АВ) \ (АС);
n(AB)=n(A)n(B), где А и В – произвольные конечные множества.
Доказательство. В качестве примера докажем утверждение (4).
В данном случае необходимо доказать два включения:
А(ВС)(АВ)(АС) и (АВ)(АС) А(ВС).
I. Пусть х,уА(ВС), тогда по определению декартова произведения получаем: хА и уВС. Отсюда, по определению пересечения имеем: хА и (уВ и уС). Полученное предложение можно записать в виде:
(хА и уВ) и (хА и уС). По определению декартова произведения это
равносильно тому, что хАВ и хАС. По определению пересечения это
значит, что х(АВ)(АС). Первое включение доказано.
II. Второе включение можно доказать с использованием приведённых
выше рассуждений, но записанных в обратном порядке.
Задание 2. Докажите самостоятельно утверждения 2,3,5,6 теоремы 2.
Понятие прямого (декартова) произведения можно обобщить на случай n множеств.
Упорядоченный набор из n элементов a1, a2, …, an будем называть
упорядоченной n-кой элементов или кортежем длины n и обозначать
символом a1, a2, …, an.
Определение 9. Два кортежа a1, a2, …, am и b1, b2, …, bn называются равными, если имеют одинаковую длину (m=n) и a1=b1, a2=b2, …,
am=bn.
Определение 10. Прямым (декартовым) произведением множеств
А1, А2, …, An называется множество всевозможных кортежей х1, х2, …,
хn, где x1A1, x2A2, …, xnAn.
Таким образом, по определению
А1 А2…An={x1, x2, …, xn | xiAi, где i=1,2,…,n}.
Утверждение 7 теоремы 2 о числе элементов декартова произведения
двух множеств также можно обобщить на случай n множеств:
n(А1 А2…An) = n(А1) n(А2) … n(Аn).
Эти равенства называют ещё «правилом произведения» и «обобщённым правилом произведения».
1.2.5. Вопросы для самоконтроля
1. Приведите примеры конечного и бесконечного множеств.
2. Перечислите способы задания множеств. Приведите примеры.
3. Продолжите по определению: а) A B ...; б) A B ...
23
4. Сколько всего подмножеств у множества из 4-х элементов? Сколько из них собственных?
5. Как определяются множества: А В, А В, А \ В, BA , А В ?
6. Продолжите
по
определению:
а) x A B ... ;
б) x A B ... ; в) x A \ B ... ; г) x A B ...
7. Сформулируйте правила суммы и произведения.
1.2.6. Задания для самостоятельной работы
1. Укажите, какой из вариантов ответов правильно определяет отношение включения между данными множествами:
а) A={2x | xZ }, B={3x | xZ }, C={4x | xZ}, D={5x | x Z } ,
E={6x | x Z } .
Варианты ответа: а)E D C B A ; б)E C A, EB ; в)C A,
E B, E A.
б) A – множество всех треугольников; B – множество всех равнобедренных треугольников; C – множество всех равносторонних треугольников, D – множество всех прямоугольных треугольников на некоторой
плоскости.
Варианты ответа : а)D C B A ; б) D C A, C B ; в) C B A,
D A.
в) A – множество всех квадратов, B – множество всех ромбов, C –
множество всех прямоугольников, D – множество всех параллелограммов
на некоторой плоскости.
Варианты ответа: а) A B C D ;
б) A C D, A B D ;
в) A B C, A D.
2. Определите, какие из следующих утверждений являются верными:
а) 1/3 Z; б) 0,333… Q; в) {3, 4} {{3, 4}, 5}; г) {5} {{3, 4}, 5};
д) {5}{{3, 4}, 5}; е) {2, 5} {1, 2, 5, 6}; ж) {1, 2, 3}.
3. Даны два множества А={2k+1| kN, k<5} и B={2n| nN, n<6}.
Укажите характеристические свойства множеств:
а) AB; б) BN; в) A\B;
г) AВ.
4. Для данных множеств
А 2; 5 и В 3; 7 найдите
.
А В, А В, А \ В, В \ А
5. Продолжите равенство:
а) А (ВС)=…; б) А (ВС)=…; в) A\ (BC)=…; г) A\ (BC)=…;
д) (АВ)=…; е) (АВ)=… .
6. Найдите множество X, удовлетворяющее условию: А\ X=A, AX=U.
7. Докажите, что для любых множеств А, В и С выполняются следующие равенства:
а)(A\ B)\ C=(A\ C)\ (B\ C);
24
б) A(B\ C)=(AB) (AC).
8. Изобразите на координатной плоскости следующие множества:
а) 2; 5 3; 7 ; б) 1; 3(; 2) ; в) ; 2 2; 3 ;
г) 1, 2, 3 1; 2 ; д) 1; 2 1, 2 , 3.
1.3. Предикаты
1.3.1. Понятие предиката
Рассмотрим предложения: 1) 2>0; 2) 3=5; 3) x<3; 4) x+y=5. Первые два
их них являются высказываниями, а третье и четвёртое предложения таковыми не являются, т.к. о них нельзя сказать, истинны они или ложны.
Если подставим в эти предложения вместо свободных переменных их
значения из некоторого числового множества (например, из N или из R),
то получим высказывания, которые могут быть как истинными, так и
ложными: «2<3», «5,3<3», «3+2=5», «10+7=5», …
Аналогично, предложение «прямая х перпендикулярна прямой у» –
тоже не высказывание, но если из списка (бесконечного) всех прямых
некоторой плоскости подставить вместо х и у их конкретные значения, то
предложение станет высказыванием (истинным или ложным).
Определение 1. Предикатом, заданным на множестве М (или высказывательной формой) называется предложение, содержащее одну или
несколько свободных переменных, превращающееся в высказывание при
подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из
множества М.
По числу входящих в предикат свободных переменных различают одноместные, двухместные, … , n-местные предикаты.
Например, предикат (3) – одноместный, (4) – двухместный.
Обозначать предикаты будем большими буквами латинского алфавита
с указанием в скобках всех свободных переменных, входящих в этот предикат, и множества, на котором он задан.
Например, «Р(х), хМ» – обозначение в общем виде одноместного,
«Р(х,у), х,уМ» – двухместного, «Q(x1, x2, …, xn), x1, x2, …, xnМ» – nместного предикатов, заданных на множестве М.
Замечание. Вообще говоря, свободные переменные предиката могут
принимать значения из разных множеств: «Р(x1, x2, …, xn), x1М1, x2М2,
…, xnМn». В этом случае его называют n-местным предикатом, заданным на множествах М1, М2, …, Мn.
Например, о предикате «Многоугольник х имеет площадь у (см2)»
можно сказать, что он задан на двух множествах: множестве многоугольников плоскости и множестве неотрицательных действительных чисел.
25
Но мы пока остановимся на более простом случае, когда М1 = М2 = …
= Мn .
Высказывание, которое получается при подстановке в предикат «Р(х),
хМ» вместо переменной х некоторого значения а из множества М будем
обозначать Р(а). Например, если через А(х) мы обозначили предикат «х –
простое число, хN», то А(3) есть высказывание «3 – простое число».
Если В(х,у) – двухместный предикат, определённый на множестве N:
«2x+3y<7, x,yN», то выражение В(5,4) служит для обозначения высказывания 25+34<7 (ложного).
Высказывание, которое получается при подстановке в предикат Q(x1,
x2, …, xn) упорядоченного набора (кортежа) a1, a2, …, an элементов a1,
a2, …, an вместо его переменных будем обозначать Q(a1, a2, …, an). Это
высказывание является либо истинным, либо ложным.
Определение 2. Множество всех кортежей a1, a2, …, an , которые
обращают предикат Q(x1, x2, …, xn) в высказывание (истинное или ложное), называется областью определения этого предиката.
Для предиката «Q(x1, x2, …, xn), x1, x2, …, xnМ» область определения
совпадает с множеством М n, для двухместного предиката «Р(х,у), х,уМ»
– с множеством ММ=М 2, для одноместного предиката «Р(х), хМ» – с
множеством М.
Определение 3. Областью истинности n-местного предиката Q(x1,
x2, …, xn), заданного на множестве М, называется множество всех кортежей a1, a2, …, an из множества М n, для каждого из которых данный
предикат обращается в истинное высказывание.
Обозначим область истинности такого предиката через ТQ (или Т [Q]).
Из определения следует, что ТQ М n.
Примеры:. 1. Для предиката А(х): «x<3, xN», ТА ={1,2}.
2.
Для
предиката
В(х,у):
«х+у=5,
х,уN»,
ТВ
={1,4,
2,3,3,2,4,1}NN.
3. Для предиката С(х,у): « 1 3 , где xR, ТС={x,y|x,yR, у 1 х }.
х у
3
Всякое уравнение (неравенство) с одной или несколькими действительными переменными является предикатом, заданным на множествах
допустимых значений его переменных.
Областью истинности этого предиката является множество решений
уравнения (неравенства). Таким образом, уравнение (неравенство) тогда
и только тогда имеет решение, когда его область истинности содержит
хотя бы один элемент.
26
Очевидно, что уравнение с n неизвестными является тождеством
на некотором множестве М, если его область истинности Т совпадает
с множеством M n. Например, уравнение (х+у)2=х2+2ху+у2 на множестве
R является тождеством, т.к. для любой пары действительных чисел из
RR оно превращается в верное числовое равенство.
1.3.2. Логические операции над предикатами
На множестве предикатов, как и на множестве высказываний, можно
определять логические операции: дизъюнкцию, конъюнкцию, эквиваленцию, отрицание.
Сначала определим эти операции для одноместных предикатов, заданных на одном и том же множестве.
Определение 4. Конъюнкцией одноместных предикатов P(x) и Q(x),
заданных на множестве М, называют одноместный предикат P(x)Q(x),
заданный на множестве М, который обращается в истинное высказывание на тех и только тех значениях переменной из М, на которых в истинные высказывания обращаются одновременно оба предиката P(x) и Q(x).
Аналогично определяются предикаты P(x)Q(x), P(x)Q(x),
P(x)Q(x), Р(х), заданные на множестве М.
Пример. Пусть А(х) означает предикат «х делится на 4», В(х): «х делится на 8». Тогда А(х)В(х) будет одноместным предикатом на N. При
х=6 он обращается в ложное высказывание А(6)В(6), т.к. А(6) – «6 делится на 4» и В(6) – «6 делится на 8» – ложные высказывания; при х=20
высказывание А(20)В(20) истинное (т.к. высказывание А(20) – «20 делится на 4» – истинное, а В(20) – «20 делится на 8» – ложное).
Введённые таким образом логические операции имеют тесную связь с
операциями над множествами.
Теорема 1. Для предикатов P(x) и Q(x), заданных на множестве М,
имеют место следующие равенства:
а) Т [P(x)Q(x)]=Т [P(x)]Т [Q(x)];
б) Т [P(x)Q(x)]=Т [P(x)]Т [Q(x)];
в) Т [P(x)Q(x)]=(Т [P(x)])Т [Q(x)];
г) Т [P(x)]=(Т [P(x)]);
д) Т [P(x)Q(x)]=( (Т [P(x)])(Т [Q(x)]))( Т [P(x)]Т [Q(x)]).
(Диаграммы Венна на рис.5 иллюстрируют эти равенства)
27
Рис.5
а) Т [P(x)Q(x)]; б) Т [P(x)Q(x)]; в) Т [P(x)Q(x)]; г) Т [P(x)];
д) Т [P(x)Q(x)].
Доказательство.
Докажем
справедливость
равенства
(а):
Т [P(x)Q(x)]=Т [P(x)]Т [Q(x)], где P(x) и Q(x) – произвольные предикаты, заданные на множестве М.
Пусть аТ [P(x)Q(x)]. Тогда по определению области истинности
предикат P(x)Q(x) обращается в истинное высказывание P(а)Q(а). Отсюда, по определению конъюнкции высказываний, P(а) и Q(а) – также
28
истинные высказывания. Следовательно, а принадлежит областям истинности обоих предикатов: аТ [P(x)] и аТ [Q(x)], а это значит, что элемент а принадлежит их пересечению: аТ [P(x)]Т [Q(x)].
Обратно, пусть аТ [P(x)]Т [Q(x)]. По определению пересечения
множеств получаем, что аТ [P(x)] и аТ [Q(x)]; это означает, что высказывания P(а) и Q(а) – истинные. По определению конъюнкции высказываний P(а)Q(а) – тоже истинное высказывание, т.е. элемент а
принадлежит области истинности предиката P(x)Q(x): аТ [P(x)Q(x)].
Остальные равенства доказываются аналогично.
Задание 1. Доказать самостоятельно равенства б), в), г) и д).
Указание. Для доказательства воспользуйтесь определениями соответствующих логических операций над высказываниями и равносильностями 1, 8, 10
логики высказываний.
Логические операции над многоместными предикатами, заданными
на одном и том же множестве, определяются аналогично операциям над
одноместными предикатами.
Например, если P(x,у) и Q(x,у) – два двухместных предиката, заданных на множестве М, то их конъюнкция P(x,у)Q(x,у) – также двухместный предикат от переменных х и у, заданный на этом же множестве. На
наборе a,b значений переменных (a,bМ) он обращается в высказывание P(a,b)Q(a,b). Значение истинности этого высказывания определяется по таблице истинности для конъюнкции высказываний.
Очевидно, что и в этом случае ТPQ= ТP ТQ.
Примером конъюнкции n-местных предикатов является любая система уравнений или неравенств с n неизвестными, а примером дизъюнкции
n-местных предикатов – совокупность уравнений или неравенств.
Поэтому множество решений системы уравнений есть пересечение
множеств решений всех уравнений системы, а множество решений совокупности уравнений – объединение множеств решений. Аналогично для
систем и совокупностей неравенств.
Пусть P(x1,x2,…,xn) и Q(x1,x2,…,xn) – два n-местных предиката от одних
и тех же свободных переменных, имеющие одинаковые области определения.
Определение 5. Предикат Q(x1,x2,…,xn) является логическим следствием предиката P(x1,x2,…,xn), если на любом наборе значений переменных из области определения, обращающем предикат P(x1,x2,…,xn) в
истинное высказывание, предикат Q(x1,x2,…,xn) также обращается в истинное высказывание, т.е. TPTQ.
29
Очевидно, что в этом случае предикат P(x1,x2,…,xn)Q(x1,x2,…,xn) обращается в истинное высказывание на любом наборе значений его свободных переменных из области определения.
Определение 6. Предикаты P(x1,x2,…,xn) и Q(x1,x2,…,xn), имеющие одну и ту же область определения, называются равносильными, если их
области истинности совпадают: TP =TQ.
Пишут P(x1,x2,…,xn)Q(x1,x2,…,xn).
Примеры. 1. Предикат А(х): (х+1)(х-3)=х+1 является логическим
следствием предиката В(х): х-3=1, где х – целочисленная переменная.
Наоборот неверно, так как ТА={-1,4}, ТВ={4}.
2
2. Предикаты, заданные уравнениями 1 х 5 и х 14 х 12 0
х 1 3
3( х 1)
, где х и у – действительные переменные, равносильны.
Переход от предиката P(x1,x2,…,xn) к равносильному ему предикату
Q(x1,x2,…,xn) называется равносильным преобразованием предиката
P(x1,x2,…,xn). Такие преобразования мы выполняем, например, над уравнениями или неравенствами при поиске множества их решений. Если же
проделанные преобразования не являются равносильными, то вполне
возможно, что найденное решение не будет решением исходного уравнения или неравенства.
Следует обратить внимание на важное замечание.
Замечание. Два предиката могут быть равносильными, если они заданы на одном множестве, и не равносильными, если их рассматривать
на другом множестве. Например, предикаты (х+1)(х-3)=х+1 и х-3=1 равносильны на N и не равносильны на множестве Z.
1.3.3. Кванторы
Кроме рассмотренных в п.3.2. логических операций, для предикатов
определяются ещё две операции:
1) операция связывания квантором общности;
2) операция связывания квантором существования.
Пусть на множестве N предикаты А(х), В(х), С(х) соответственно
означают: «х1», «х – простое число», «х2-4х+3=0».
Рассмотрим предложения: 1) «Для любого натурального числа х выполняется неравенство х1»; 2) «Всякое натуральное число простое»; 3)
«Существует натуральное число х, такое, что х2-4х+3=0».
Эти предложения представляют собой определённые высказывания,
не зависящие от х (первое и третье – истинные, второе – ложное).
30
На языке символов их записывают так: 1) х А(х), хN. 2) х А(х),
хN. 3) х С(х), хN.
Символ х, приписанный слева к предикатам А(х) и В(х), называется
квантором общности по переменной х, а символ х – квантором существования по переменной х. Знаки и происходят от первых букв
английских слов All (всё, всякий, любой) и Exist (существовать).
Слово «квантор» в переводе с латинского языка – «сколько», поэтому
тот или иной квантор указывает, о скольких элементах идёт речь.
Квантор общности х ставит в соответствие каждому одноместному
предикату Р(х), хМ высказывание «х Р(х), хМ», которое читается так:
«Для всякого х из М имеет место Р(х)». Это высказывание истинно тогда
и только тогда, когда для любого значения переменной хМ предикат
Р(х) обращается в истинное высказывание, и ложно тогда и только тогда,
когда найдётся хотя бы одно значение аМ, для которого предикат Р(х)
обращается в ложное высказывание Р(а).
Таким образом, для доказательства истинности высказывания «х
Р(х), хМ» требуется убедиться в истинности предиката Р(х) при всех
хМ, а для доказательства ложности этого высказывания достаточно указать какой-нибудь один элемент аМ, для которого высказывание Р(а)
ложно. Такой элемент называется контрпримером для высказывания
х Р(х).
Пример. Высказывание х (х2 – 6х + 9 > 0, хR ) – ложно, так как при
х=3 неравенство х2 – 6х + 9 >0 обращается в ложное числовое неравенство
32– 63+9>0. Число 3 в этом случае является контрпримером.
Квантор существования х ставит в соответствие каждому одноместному предикату Р(х), хМ высказывание х Р(х), хМ, которое читается
так: «существует хМ, такое, что имеет место Р(х)». Это высказывание
ложно тогда и только тогда, когда для любого значения переменной хМ
предикат Р(х) обращается в ложное высказывание, и истинно тогда и
только тогда, когда найдётся хотя бы одно значение хМ, для которого
предикат Р(х) обращается в истинное высказывание.
Пример. Высказывание х (х2 – 2 = 0), хZ – ложное, а высказывание
х (х2 – 1 = 0), хZ – истинное.
Операции связывания квантором общности и квантором существования могут применяться и к предикатам нескольких переменных.
Пусть дан предикат Р(х,у), х,уМ от двух свободных переменных.
При замене свободной переменной у её некоторым значением bM, получим одноместный предикат Р(х,b), зависящий только от свободной пе-
31
ременной х. Тогда выражение х Р(х,b) есть высказывание и его значение
истинности определяется прежним правилом.
Таким образом, предикат х Р(х,у) становится высказыванием после
замены одной свободной переменной у её значением, значит от х этот
предикат не зависит, а поэтому он одноместный.
Аналогично, одноместным предикатом от свободной переменной у
является предикат х Р(х,у). В обоих случаях переменная х в предикатах
х Р(х,у) и х Р(х,у), от которой они не зависят, называется связанной
переменной, в отличие от у, которая осталась свободной.
Пусть на множестве N задан предикат А(х,у): x<y. Тогда предложение
х (x<y) – одноместный предикат, зависящий от у и не зависящий от х.
Например, при у=3 он обращается в истинное высказывание х (x<3).
При у=1 мы получаем ложное высказывание х (x<1), хN.
Аналогично применяются кванторы к любому предикату с большим
числом свободных переменных. В результате связывания квантором свободной переменной в n-местном предикате (n>0) получается (n-1)местный предикат.
К одному и тому же предикату можно применять кванторы несколько
раз, следя за тем, чтобы одна и та же переменная не была связана несколькими кванторами. Например, применив к одноместному предикату
х (x<у), х,уN, квантор общности или квантор существования по переменной у, мы получим высказывания:
у х (x<у), х,уN и у х (x<у), х,уN (первое – ложно, второе
– истинно).
С применением кванторов в логике предикатов связан ряд равносильностей. Укажем наиболее важные из них, оставив строгие доказательства
этих равносильностей для курса математической логики.
Первые две равносильности необходимо пока принять на веру и запомнить:
(1) х у Р(х,у) у х Р(х,у);
(2) х у Р(х,у) у х Р(х,у).
Это значит, что изменение порядка одноимённых кванторов не влияет
на смысл и значение истинности высказывания.
Однако разноимённые кванторы местами менять нельзя (!). Справедливость этого утверждения можно продемонстрировать на примере.
Пример. Рассмотрим два высказывания: 1) х у (x<у) и
2) у х (x<у), где х и у – натуральные переменные. Первое утверждает,
что «для любого натурального числа х существует большее его число у»,
а второе, что «существует такое натуральное число у, которое больше
32
любого натурального числа х» (т.е. «существует наибольшее натуральное
число»). Первое – истинно, второе – ложно.
На примере мы убедились, что изменение порядка разноименных
кванторов приводит к изменению смысла и, возможно, значения истинности высказывания.
Следующие равносильности легко объяснить, исходя из определения
кванторов.
Высказывания «Неверно, что всякий объект х удовлетворяет условию
Р(х)» и «Существует объект х, не удовлетворяющий условию Р(х)» имеют одинаковый смысл:
(3) (х Р(х) ) х (Р(х)).
Равносильность
(4) (х Р(х) ) х (Р(х))
означает, что высказывание «Неверно, что существует объект х, удовлетворяющий условию Р(х)» понимается в том же смысле, что и высказывание «Любой объект х не удовлетворяет условию Р(х)» (или «Ни один
объект х не удовлетворяет условию Р(х)»).
1.3.4. Запись математических утверждений
на языке логики предикатов
Среди всех утверждений, используемых в математике, можно выделить четыре наиболее используемых типа высказываний, в которых при
символической записи применяются кванторы.
В своё время они были выделены ещё мыслителем Древней Греции
Аристотелем (384-322гг. до н.э.) и названы категорическими суждениями:
А: «Все S суть Р»;
Е: «Никакое S не есть Р»;
I: «Некоторые S суть Р»;
О: «Некоторые S не суть Р».
Суждение А понимается так: каков бы ни был объект х, если он обладает свойством S, то он обладает свойством Р.
Примерами математических предложений, имеющих такое строение,
являются следующие высказывания: «Все прямоугольники – параллелограммы», «Все рациональные числа – действительные» и т.д.
Покажем на примере второго высказывания, как утверждения такого
типа записывают символически. Его можно сформулировать в виде импликации с квантором общности: «Для всякого х, если х – рациональное,
то оно действительное».
В этом высказывании фигурируют два одноместных предиката: «х –
рациональное число» (хQ) и «х – действительное число» (хR).
33
Если их обозначить соответственно Q(х) и R(х), то всё высказывание
на языке логики предикатов записывается так: х (Q(х) R(х)); или более конкретно: х (хQ хR). Эту запись можно упростить, если вместо квантора общности «для всякого х» применить ограниченный
квантор общности «для всякого х, принадлежащего Q», который обозначим символом хQ.
С ограниченным квантором наше высказывание запишется так:
(хQ)(хR).
Смысл суждения Е таков: «Каков бы ни был объект, если он обладает
свойством S, то он не обладает свойством Р».
Примерами высказываний, имеющих тип Е, являются высказывания:
1)«Никакое действительное число не является корнем уравнения х2+1=0»,
2) «Никакое натуральное число не является иррациональным», и т.д.
Как и высказывания первого типа, их можно записать в символах логики предикатов в виде импликации с квантором общности. Например,
второе высказывание можно записать так: х (хN xJ).
Примером математического утверждения типа I является высказывание: «Некоторые действительные числа являются рациональными».
Чтобы записать это высказывание в символах логики предикатов,
необходимо вычленить из него соответствующие одноместные предикаты и сформулировать исходное утверждение в виде конъюнкции с квантором существования.
Таким образом, предыдущее высказывание можно сформулировать
так: «Существует такое х, что х – действительное число и х – рациональное число». Если обозначить предикаты, входящие в высказывания, через
R(x) и Q(x), то оно символически запишется так: х (R(x) Q(x)) (или
х (xR xQ).
Вместо квантора существования можно применить ограниченный
квантор существования (хR)(xQ).
Представленное в общем виде суждение О: «Некоторые S не суть Р»
следует понимать так: существует такой объект х, который обладает
свойством S и не обладает свойством Р. Символически это можно записать следующим образом: x[ (S(x) P(x) ).
По своему строению к такому типу суждений относятся, например,
следующие высказывания: «Некоторые параллелограммы не являются
ромбами», «Некоторые действительные числа не являются рациональными» и т.д.
Рассмотрим в качестве примера высказывание: «Некоторые действительные числа не являются рациональными».
Введём следующие предикаты:
R(x) – «х – действительное число» (xR);
34
Q(x) – «х – рациональное число» (xQ).
С помощью этих предикатов высказывание запишется так:
х (R(x) Q(x)) или х (xR xQ).
А с ограниченным квантором – так: (xR)( xQ).
1.3.5. Обратная и противоположная теоремы.
Отвлечёмся от детального анализа строения теорем, проведённого в
логике предикатов, и вернёмся к более схематичному анализу их строения на языке логики высказываний.
Как мы выяснили в предыдущем пункте, многие теоремы математики
могут быть сформулированы в виде импликации.
Если импликация АВ выражает структуру некоторой конкретной
теоремы, то утверждение А называется условием теоремы, а утверждение В – её заключением.
Например, в теореме «Если четырехугольник – ромб, то его диагонали
взаимно перпендикулярны» условием является утверждение «четырехугольник – ромб» (А), а заключением – «диагонали четырёхугольника
взаимно перпендикулярны» (В). Символически эту теорему записываем
так: АВ. Для импликации АВ, которую назовём прямой, можно
сформулировать ещё три импликации:
a) обратную: В А;
b) противоположную: А В;
c) обратную противоположной (или контрапозитивную): В А.
Заметим, что в математике теоремами являются только истинные высказывания. А для теоремы, записанной в виде импликации АВ, обратное (В А) и противоположное (А В) утверждения могут быть как
истинными, так и ложными.
Пусть некоторая конкретная теорема имеет вид импликации А В.
В случае, когда утверждение В А истинно, его называют теоремой,
обратной для данной.
Если же истинно утверждение А В, то его называют теоремой,
противоположной данной.
Для теоремы «Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны» обратное и противоположное утверждения теоремами не являются, т.к. высказывания «Если диагонали четырехугольника
взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник – ромб» и «Если четырёхугольник не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны» –
ложны.
А для теоремы «Если в четырехугольнике его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм»
оба утверждения (и обратное, и противоположное) являются теоремами.
35
Отметим, что совпадение значений истинности обратного и противоположного утверждений для обеих теорем неслучайно.
Согласно закону контрапозиции, высказывания А В и В А
либо оба истинны, либо оба ложны. Аналогичное справедливо и для высказываний В А и А В.
Следует отметить, что с формулировкой обратного и противоположного утверждений не всё обстоит так просто.
Во многих случаях математические теоремы имеют вид импликаций,
в которых условие или заключение имеют сложную структуру и выражаются в виде конъюнкции, реже – дизъюнкции. Примером такой теоремы является теорема теории чисел: «Если аb делится на с и НОД(а;b) =1,
то b делится на с (а,b,сN)».
Логическая структура этой теоремы такова: (А1 А2) В. Можно показать с помощью таблиц истинности, что данная теорема имеет три равносильные формы:
(А1 А2) В А1 (А2 В) А2 (А1 В).
Для каждой из данных форм можно образовать своё обратное утверждение: В (А1 А2); (А2 В) А1; (А1 В) А2.
Кроме этого, для второй и третьей форм исходной теоремы можно
сформулировать ещё две обратных импликации, переставив в скобках
буквы и заменив полученное равносильными формами:
А1 (В А2) (А1 В) А2; А2 (В А1) (А2 В) А1.
В результате получили 5 форм обратных утверждений для данной
теоремы, которые попарно не равносильны друг другу (проверить с помощью таблиц истинности!):
В (А1 А2); (А2 В) А1; (А1 В) А2; (А1 В) А2; (А2 В) А1.
Из них лишь последнее утверждение истинно и поэтому является теоремой, обратной для данной: (А2 В) А1: «Если НОД(а;b) =1 и b делится на с, то аb делится на с».
Каждой формулировке обратной теоремы соответствует одна равносильная ей противоположная теорема; она получается из обратной по
правилу контрапозиции.
И поскольку в нашем случае обратная теорема – одна, то и противоположная тоже одна.
В нашем случае противоположная теорема будет иметь форму:
А1 (В А2) А1 (В А2).
Подробнее об этом читайте в [5], [9], [10].
36
1.3.6. Необходимое и достаточное условия
В формулировках математических утверждений часто используются
выражения «необходимое условие», «достаточное условие», необходимое и достаточное условие».
Уточним логический смысл этих выражений и логическую структуру
утверждений вида: «А – достаточное условие для В», «А – необходимое
условие для В», «А – необходимое и достаточное условие для В».
Пусть А и В – некоторые утверждения. Говорят, что А – достаточное
условие для В, если из выполнимости А следует выполнимость В, т.е.
утверждение АВ – истинное высказывание (теорема). Таким образом,
теорему АВ можно «переформулировать» равносильным образом так:
«Для того, чтобы В, достаточно, чтобы А».
Говорят также, что В – необходимое условие для А, если из невыполнимости В следует невыполнимость А, т.е. утверждение ВА –
истинное высказывание (теорема). Поскольку высказывание ВА
равносильно высказыванию АВ, то теорему АВ можно равносильным
образом сформулировать ещё и со словом «необходимо»: «Для того, чтобы А, необходимо, чтобы В».
Для запоминания, сведем все сказанное в таблицы:
Вид утверждения
Смысл утверждения
А – достаточное
условие для В
В – необходимое
условие для А
из выполнимости А следует
выполнимость В
из невыполнимости В следует
невыполнимость А
Символьная запись
утверждения
АВ
Символьная запись
утверждения
АВ
ВА или АВ
Равносильные формулировки
Если А, то В
А – достаточное
условие для В
В – необходимое
условие для А
Для того, чтобы В,
достаточно, чтобы А
Для того, чтобы А,
необходимо, чтобы В
Пример. Пусть дано истинное высказывание (теорема) «Если число
делится на 4, то оно делится на 2». Обозначим через А: «число делится на
4», через В: «число делится на 2». Тогда данную теорему можно сформулировать со словами «необходимо», «достаточно» следующим образом:
«Для того, чтобы число делилось на 2, достаточно, чтобы оно делилось
на 4», «Для того, чтобы число делилось на 4, необходимо, чтобы оно делилось на 2».
37
Пусть дана теорема АВ. Из сказанного выше следует, что в этом
случае А является для В достаточным условием, а В для А – необходимым.
Может оказаться, что обратное утверждение ВА тоже является теоремой (истинным высказыванием). Это значит, что А для В является ещё
и необходимым условием, а В для А – ещё и достаточным. В этом случае
теорему формулируют в виде: «А – необходимое и достаточное условие
для В».
Конъюнкция истинных высказываний АВ и ВА является истинным высказыванием, но высказывание (АВ)(ВА) равносильно эквиваленции АВ. Следовательно, утверждение «А необходимо и
достаточно для В» имеет тот же смысл, что и «А тогда и только тогда,
когда В».
Чтобы доказать теорему, имеющую такую формулировку, необходимо
доказать две импликации:
1) АВ (А достаточно для В);
2) ВА (А необходимо для В).
Условие, являющееся одновременно и необходимым, и достаточным,
в математике называют признаком.
Примеры:
1. Чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам (признак параллелограмма).
2. Чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3 (признак делимости на 3).
Из всего сказанного выше можно сделать вывод:
1. Для любой теоремы, имеющей вид импликации (АВ) можно
сформулировать два равносильных ей утверждения: со словом
«необходимо» и со словом «достаточно».
2. Утверждение со словами «необходимо и достаточно» можно
сформулировать только для теоремы, имеющей вид эквиваленции:
«А тогда и только тогда, когда В».
Замечание. Во избежание ошибок при формулировании утверждений
со словами «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно»
следует помнить, что все они должны быть истинными высказываниями.
Говоря о теоремах, следует остановиться на некоторых видах доказательств.
38
Прямое доказательство теоремы АВ можно заменить доказательством косвенным, когда доказательство истинности импликации АВ
сводится к доказательству того, что она не может быть ложной. Для этого
достаточно опровергнуть возможность того, что А – истинно, а В – ложно.
Приведем некоторые виды косвенных доказательств теоремы АВ
(доказательства методом от противного):
1) доказательство теоремы В А, называемой контрапозитивной для данной;
2) доказательство теоремы В А А (предположение о ложности
заключения привело к противоречию с условием теоремы);
3) доказательство теоремы В А В (получено противоречие с
предположением о ложности заключения);
4) доказательство теоремы В А С С («приведение к абсурду», т.е.получено логическое противоречие).
Справедливость подобной «замены» для перечисленных видов косвенных доказательств вытекает из равносильностей следующих формул
алгебры высказываний:
1)
2)
3)
4)
q p p q;
q p p p q;
q p q p q;
q p p q.
(Проверить!)
Существуют и другие методы математических доказательств, с которыми вы познакомитесь в дальнейшем.
1.3.7. Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение п-местного предиката, заданного на
множестве М; приведите примеры.
2. Что называют областью истинности п-местного предиката
Qx1 , ..., xn , xi M ?
3. На множестве N заданы предикаты: А(х) – «х делится на 5», В(х) –
«х – четное число», С(х) – «х — число простое», D(х) – «число х кратно
3». Изобразите при помощи диаграмм Эйлера-Венна множества истинности предикатов А( х), В( х), С ( х), D( х) и предикатов А( х) B ( x) ,
С ( х) D( х) , С ( х) А( х) , В( х) D( х) , ( А( х) C ( x)) D( x) .
4. Приведите пример предикатов A( x, y ) и B ( x, y ) x, y R , таких, чтобы
а) B ( x, y ) являлось логическим следствием A( x, y ) ;
39
б) A( x, y ) являлось логическим следствием B ( x, y ) ;
в) они были равносильны.
5. В каком случае высказывания хР( х), х М и хР( х), x M являются истинными? – ложными?
6. Приведите
пример,
подтверждающий,
что
х у Р( х, у ) ухР( х, у ) .
7. Для истинного высказывания, имеющего вид импликации АВ,
сформулируйте в общем виде равносильное ему высказывание со словами «необходимо», «достаточно».
8. В каком случае теорему, имеющую вид импликации АВ, можно
сформулировать со словами «необходимо и достаточно»?
1.3.8. Задания для самостоятельной работы
1. Определите, какие из следующих выражений являются предикатами:
а) «x2+2x+4, xR»; б) «x делится на 4, xN»; в) «cos(30°)=√2»;
г) «x<y, x, yZ».
2. Определите, для каких пар первый предикат является следствием
второго:
а) «x4=16», «x2=4» (x, yZ);
б) «x+5=1», «(x+4)(x+1)=0» (x, yZ);
в) «(x+4)(x+1)=0», «x+5=1» (x, yZ);
г) «x2+5x-6>0», «x+1=1+x» (x, yR).
3. Определите, какие пары предикатов равносильны:
а) «x2+5x+4>0», «(x<-4) (x>-1)», (x, yR);
б) «|x| < 3» , «-3 < x < 3» (x R);
в) «|x|=|y|», «x=y» (x, yZ);
4. Пусть предикат A(x, y) задан на R. Запишите высказывание A(a, b) и
определите его значение истинности, если
а) A(x, y): «x>y», a=3, b=-2;
б) A(x, y): «sin(x) =0 cos(y)=0», a=, b=/3.
5. Пусть A(x) одноместный предикат, заданный на множестве R.
С помощью кванторов общности и существования постройте высказывания (x)A(x), (x)A(x) и определите их значение истинности:
а) «x2+6x+9=(x+3)2»; б) «(x<0)(x=0)(x>0)»;
в) «(x–3<0)(x–5=0)(x–8>0)».
6. Изобразите на координатной прямой множества истинности одноместных предикатов, заданных на R:
a) «x2+6x-16 0»;
б) «|x-1| |2x+4|».
40
7. Изобразите на координатной плоскости множества истинности
двуместных предикатов, заданных на R:
а) «(x0) (y0)» ;
б) «(|x+y|<2) (|x-y|<3)»; в) « (y2+x<1)» .
8. Пусть R(x): «x – действительное число», Q(x): «x – рациональное
число», Z(x): «x – целое число”, N(x): «x – натуральное число», J(x) : «x –
иррациональное число». Установите соответствие между высказываниями и соответствующими им формулами логики предикатов из предложенного списка:
а) «Все натуральные числа являются действительными»;
б) «Ни одно иррациональное число не является рациональным»;
в) «Некоторые натуральные числа являются целыми»;
г) «Некоторые рациональные числа не являются натуральными»;
1) (x)(Q(x) N(x));
2) (x)(N(x) R(x));
3) (x)(N(x) Z(x));
4) (x)(N(x) R(x));
5) (x)(Q(x) N(x));
6) (x)( J(x) Q(x);
7) (x)( J(x) Q(x));
8) (x)(N(x) Z(x)).
9. Введите одноместные предикаты на соответствующих областях и
запишите следующие высказывания в виде формул логики предикатов:
а) «Всякое целое число, делящееся на 20, делится на 2, 4 и 5»;
б) «Студенты ВУЗов обязательно изучают французский или английский или немецкий языки»;
в) «Все птицы умеют летать».
10. Пусть E(x): «x – четное число”, D(x, y): «x делится на y». Переведите на русский язык следующие символические записи на языке логики
предикатов (x, yN):
а) (x)(D(х, 2) E(x)) ; б)( x)(E(x) D(x, 6)) ;
в) ( x)( E(x) D(2, y)) ; г)( x)(E(x) (y)(D(x, y) E(x)).
11. Постройте отрицание высказываний:
а) (х) 3х – 4 < х + 5, (x R);
б) ( х) х2 < 0 (x R);
в) «Все рациональные числа являются действительными»;
г) «Любое целое число делится на 2 или на 3».
Установите значения истинности данных высказываний и их отрицаний.
12 Для утверждения «Натуральное число, делящееся на 3, делится на
12»:
41
а) постройте равносильное ему утверждение, используя слова «Если…, то…»;
б) для данного утверждения постройте обратное, противоположное и
обратное противоположному утверждения; установите значение истинности каждого из них;
в) сформулируйте утверждения, равносильные данному, используя
слова «необходимо» и «достаточно».
42
2. Отношения. Отображения
2.1. Бинарные отношения
2.1.1. Понятие бинарного отношения.
Способы задания бинарных отношений
Термином «отношение» в математике пользуются для обозначения
какой-нибудь связи между элементами множеств или между понятиями.
Примерами отношений (бинарных) могут служить следующие связи
между элементами множеств:
«… меньше, чем …» между действительными числами;
«… коллинеарен …» между векторами пространства;
«… делится на ...» между целыми числами;
«… равносильна …» между формулами логики высказываний.
В каждом из примеров отношение связывает между собой элементы
некоторых упорядоченных пар.
В первом – пары действительных чисел, во втором – пары векторов
пространства, в третьем – пары целых чисел, в четвертом – пары формул
логики высказываний.
Значит, чтобы задать некоторое бинарное отношение между элементами одного или двух множеств, достаточно перечислить пары их элементов, связанных этим отношением.
Именно это обстоятельство и позволяет дать теоретикомножественную трактовку понятию «бинарное отношение».
Пусть А и В – произвольные множества.
Определение 1. Бинарным отношением между элементами множеств А и В (или на паре множеств А и В) называется любое подмножество декартова произведения АВ.
Из определения следует, что элементами бинарного отношения являются упорядоченные пары.
Если – бинарное отношение и х,у, то говорят, что х и у связаны отношением , или что элемент х находится в отношении с у.
При этом элемент у называется образом элемента х при отношении , а х
– прообразом элемента у при отношении . Вместо записи х,у часто
используют более простую: х у.
Если АВ, то А называют областью отправления отношения , а
В – его областью прибытия.
43
Определение 2. Множество всех первых элементов пар из называется областью определения отношения и обозначается Dom .
Таким образом, Dom ={xА | y x,y}.
(Dom – сокращение от французского слова «domain», означающего
«область», «район»).
Таким образом, Dom А и состоит из всех прообразов отношения .
Определение 3. Множество всех вторых элементов пар из называется областью значений отношения и обозначается Im :
Im = {yВ|xx,y}.
(Im – cокращение от французского слова «image» – образ, представление).
Im является подмножеством множества В и состоит из образов всех
элементов при отношении . Существует простой способ представления
бинарных отношений на конечных множествах с помощью графов.
Например, данный граф
Рис.6
наглядно представляет бинарное отношение на множествах
A={2,3,5} B={4,6,8,10}, такое, что х у «х делит у». По графу бинарного отношения можно определить это отношение в явном виде, т.е. перечислением пар. В нашем случае: ={2,4, 2,6, 2,8, 2,10, 3,6,
5,10}.
В случае, когда А и В – числовые множества, а – бинарное отношение между их элементами, каждую пару х,у можно изобразить точкой на координатной плоскости. Тогда множество всех таких точек
плоскости будет графиком данного отношения.
Определение 4. Графиком бинарного отношения на координатной
плоскости называется множество точек плоскости, координаты которых
образуют упорядоченные пары, принадлежащие данному отношению.
Например, графиком отношения из предыдущего примера будет множество из шести точек плоскости:
44
Рис.7
Задача 1. На паре множеств A={-1, 0, 1, 2, 3, 4} и B={-2, -1, 0, 1, 2, 3},
задано бинарное отношение : x y x=y2. Задайте бинарное отношение
перечислением пар, постройте граф и график этого отношения. Укажите область определения и область значения этого отношения.
Решение.
1) Изобразим граф данного отношения:
Рис.8
Заметим, что на графе стрелками соединяются только те элементы х и
у, которые находятся в отношении : элемент х из множества А является
квадратом элемента у из множества В.
2) Каждая стрелка графа соответствует одной паре элементов. Значит,
(как множество) состоит из пяти пар: = {0,0, 1,-1, 1,1, 4,-2,
4,2}.
3) Графиком данного отношения является множество из пяти точек,
координаты которых совпадают с элементами пар, входящих в .
45
Рис.9
Обобщая сказанное выше о способах задания бинарных отношений,
делаем вывод, что бинарное отношение на паре множеств А и В задано,
если выполняется хотя бы одно из перечисленных ниже условий:
указано множество всех его пар (для случая конечных
множеств);
изображен граф отношения (для случая конечных
множеств);
на плоскости построен график отношения (для случая
числовых множеств);
задан двухместный предикат на множествах А и В, определяющий зависимость между элементами в парах (например, «х
делит у, х,уN»).
Мы не указали ещё один из способов задания бинарного отношения –
табличный. Примером такого задания отношения являются, например,
таблица квадратов чисел, таблица значений тригонометрических функций для некоторых углов и т.д.
Определение 5. Если – отношение между элементами множеств А и
В, то обратным ему называется отношение -1 между элементами множеств В и А такое, что у –1х х у, хА, уВ.
Таким образом, –1= { y,x | x,y}.
Из определения следует: а) ( –1)-1=; б) Dom = Im –1; Im = Dom –1.
Пример. Найдём бинарное отношение –1, обратное для бинарного
отношения ={2,4, 2,6, 2,8, 2,10, 3,6, 5,10}.
По определению, –1= { y,x | x,y}, т.е. –1 получим, изменив
порядок элементов в каждой паре бинарного отношения :
–1={4,2, 6,2, 8,2, 10,2, 6,3, 10,5}.
Построим граф отношения –1.
46
Рис.10
Построим график отношения –1на том же чертеже, что и график отношения :
Рис.11
Рассмотренный пример позволяет сделать следующие выводы:
1. Если построен граф бинарного отношения на паре конечных
множеств, то чтобы получить граф бинарного отношения –1, следует обратить каждую стрелку графа отношения .
2. Графики отношений и –1симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.
Определение 6. Если А=В и АА, то называется бинарным отношением на множестве А.
Граф такого отношения отличается от графа бинарного отношения,
определенного на различных множествах.
Пример. Пусть А={2,4,6,8,10}. Построим графы отношений 1 и 2,
заданных следующим образом: х1у х=у+4; х2 у х⋮у.
47
Рис.11
Понятие бинарного отношения можно обобщить на случай n-арного
отношения (nN), рассматривая последнее как произвольное подмножество декартова произведения n множеств: А1А2An.
Поскольку в дальнейшем мы будем изучать большей частью бинарные отношения, прилагательное «бинарное» мы будем чаще всего опускать. В тех случаях, когда речь будет идти не о бинарных отношениях,
это будет оговорено специально.
2.1.2. Свойства бинарных отношений на множестве
Рассмотрим некоторые свойства отношений на множестве А, т.е. отношений, которые являются подмножествами прямого произведения
АА=А2 (декартова квадрата множества А).
Определение 7. Бинарное отношение на множестве А называется
рефлексивным на А, если (хА) х х, т.е. каждый элемент хА находится в отношении с самим собой.
Примеры.
1. Следующие бинарные отношения на множестве действительных
чисел являются рефлексивными: «..делится на …», , , .
2. Рефлексивными отношениями на множестве векторов пространства являются: отношение коллинеарности, отношение сонаправленности.
3. Не являются рефлексивными отношения: <, > на множестве R; ортогональности на множестве векторов; «выше», «старше» на множестве людей.
4. = {1,1, 2,1, 2,2, 3,1, 3,3} рефлексивно на А = {1,2,3}
и не рефлексивно на В = {1,2,3,4}.
Особенностью графа рефлексивного бинарного отношения на конечном множестве является наличие петли у каждой его вершины.
48
Так как пары вида х,х, хR, изображаются точками прямой у = х ,
то очевидно, что бинарное отношение на множестве R рефлексивно
тогда и только тогда, когда графику этого отношения принадлежат все
точки прямой у=х.
Определение 8. Бинарное отношение на множестве А называется
антирефлексивным на А, если (хА) х,х, то есть никакой элемент
хА не находится в отношении с самим собой.
Примеры:
1. Бинарные отношения <, > на любом числовом множестве антирефлексивны.
2. Отношение перпендикулярности на множестве всех прямых некоторой плоскости антирефлексивно.
3. Бинарное отношение = {1,1, 1,2, 1,3, 2,3} не является
ни антирефлексивным, ни рефлексивным.
Очевидно, что любое рефлексивное на множестве бинарное отношение не является антирефлексивным на нём и наоборот, никакое антирефлексивное на множестве отношение не является рефлексивным.
Задание 1. Сформулируйте признак графа антирефлексивного отношения на конечном множестве и признак графика антирефлексивного
отношения на множестве R.
Задание 2. Установите, рефлексивно или антирефлексивно бинарное
отношение: = {х,у| x,yR, x+y<2}.
Определение 9. Бинарное отношение на множестве А называется
симметричным на А, если для любых х,уА из х у, следует у х.
Наиболее простым примером симметричного отношения является отношение равенства на любом числовом множестве: из равенства а = b
всегда следует равенство b = а. Не является симметричным ни на каком
числовом множестве, содержащем более одного элемента, отношение < ,
так как из выполнимости неравенства a< b не следует выполнимость
неравенства b < a .
Примеры. Следующие бинарные отношения симметричны:
1. Отношение параллельности и отношение перпендикулярности на
множестве прямых некоторой плоскости.
2. Отношение подобия на множестве всех треугольников.
3. Отношение равносильности на множестве всех формул логики высказываний.
4. Отношения «быть родственником», «жить в одном городе» на
множестве людей.
49
5. = {1,1, 1,2, 2,1, 2,3, 3,2, 2,4, 4,2} на множестве
А={1,2,3,4}.
Особенностью графа симметричного отношения на конечном множестве является то, что все его стрелки двойные.
Чтобы сформулировать отличительное свойство графика симметричного отношения на множестве R, достаточно вспомнить, что точки (х,у) и
(у,х) на координатной плоскости располагаются симметрично относительно прямой у=х.
Поэтому график симметричного бинарного отношения на множестве
R представляет собой множество точек плоскости, расположенных симметрично относительно прямой у=х.
Определение 10. Бинарное отношение на множестве А называется
антисимметричным на А, если для любых х,уА из х у и у х следует
х=у.
Примером антисимметричного отношения является отношение на
множестве R , так как для любых действительных чисел а и b из того, что
а ≤ b и b ≤ а следует а = b.
Из определения следует, что антисимметричное отношение можно
определить еще и так:
df
антисимметрично на А (х,уА) (ху х,у у,х).
Следуя этому определению, очевидна антисимметричность отношения < на множестве R : если верно неравенство a< b, то неравенство
b < a – ложно.
Аналогично, антисимметричными на множестве R являются отношения > и ≥ .
Кроме указанных отношений, примерами антисимметричных отношений являются:
1) отношение делимости на N (но не на Z);
2) отношение на множестве Р(А) .
Задание 3 . Сформулируйте отличительное свойство графа антисимметричного отношения на конечном множестве.
Отличительное свойство графика антисимметричного отношения на
множестве R следует из второго определения этого отношения и основано на том, что точки (х,у) и (у,х) на координатной плоскости располагаются симметрично относительно прямой у = х. Поэтому, ни для какой
точки (х,у), принадлежащей графику антисимметричного отношения и
имеющей разные координаты, симметричная ей точка (у,х) не принадле-
50
жит этому графику; точки самой прямой у = х этому графику могут принадлежать.
Задание 4. Определите, симметричны или антисимметричны отношения: 1 = {х,у| x,yR, x+y < 2}, 2 = {х,у| x,yR, x-y 2}.
Определение 11. Бинарное отношение на множестве А называется
транзитивным на А, если для любых х,у,zА из того, что х у и у z,
следует х z.
Примеры. Транзитивными являются отношения: 1) =, <, >, , на
множестве R; 2) коллинеарности на множестве всех векторов пространства; 3) на множестве Р(А); 4) делимости на множестве N и Z.
Особенностью графа транзитивного отношения на конечном множестве является то, что в нём отсутствует любой из изображённых ниже
элементов (объясните почему!):
Задание 5. Сформулируйте отличительное свойство графика транзитивного отношения на R.
(Указание. Воспользуйтесь взаимным расположением точек плоскости (х,а), (а,у), (х,у). Подробнее смотрите в [11]).
Определение 12. Бинарное отношение называется связанным на А,
если для любых х,уА, из того, что х у следует, что х у у х, т.е. любые два различных элемента из А находятся в данном отношении .
Примеры. 1. Связанными отношениями являются: , , <, > на R..
2. Не являются связанными: отношение делимости на N, отношение
на Р(А) (если n(А)2).
Очевидно, что в графе связанного бинарного отношения на конечном
множестве любые две его вершины соединены хотя бы одним ребром.
Отличительная особенность графика связанного отношения на R : из
любых двух точек плоскости, симметричных относительно прямой у = х
и не лежащих на этой прямой, хотя бы одна точка принадлежит графику
отношения.
По тому, какими свойствами обладают бинарные отношения на множестве, определяют их вид.
Наиболее важными из них являются отношения эквивалентности и
порядка.
51
Определение13 . Бинарное отношение на множестве А называется
порядком, если оно антисимметрично и транзитивно на А.
Примерами отношения порядка являются следующие отношения:
1) , , >, < на множестве R;
2) на множестве N;
3) на множестве Р(А).
Определение 14. Отношение порядка на множестве А называется
строгим (нестрогим), если оно антирефлексивно (рефлексивно).
Таким образом,
нестрогий порядок =
антисимметричность+транзитивность+рефлексивность;
строгий порядок =
антисимметричность+транзитивность+антирефлексивность.
Замечание. Можно показать, что из антирефлексивности транзитивного отношения следует его антисимметричность. Отсюда получаем эквивалентное определение.
Определение 15. Бинарное отношение на множестве А называется
строгим порядком на А, если оно антирефлексивно и транзитивно на А.
Определение 16. Отношение порядка , заданное на множестве А,
называется линейным порядком на А, если оно связано на А.
В противном случае порядок– частичный.
Таким образом,
линейный порядок =
антисимметричность+транзитивность+связанность.
Примеры. 1.Отношение < (>) на множестве R – это строгий и линейный порядок.
2. Отношение делимости на множестве N – нестрогий и частичный
порядок.
Определение 17. Непустое множество с определённым на нём отношением порядка называется упорядоченным.
Одно и то же множество можно упорядочить различными отношениями порядка, поэтому упорядоченное множество принято обозначать парой с указанием множества и отношения, определяющего порядок на
нём.
Например, N,< – строго и линейно упорядоченное множество, а
N, – нестрого и частично упорядоченное множество;
52
R,< – строго и линейно упорядоченное множество, а R, – нестрого и линейно упорядоченное множество.
2.1.3. Отношение эквивалентности
В разговорной речи мы часто говорим об одинаковости, взаимозаменяемости, равноценности каких-то объектов (предметов), если хотим
подчеркнуть, что все они обладают (с некоторой точки зрения) одними и
теми же свойствами.
Понятно, что «… одинаков с …», «… взаимозаменим на …», «… равноценен …» – это всё примеры бинарных отношений на некоторых множествах.
В математике, при исследовании объектов какого-то класса, тоже возникает необходимость определить на нём бинарное отношение, которое
было бы обобщением вышеперечисленных отношений и «разбивало» бы
этот класс на части, состоящие из объектов, обладающих общими (с точки зрения исследователя) свойствами и признаками.
Это позволяет исследователю переходить от описания единичных
объектов к описанию классов, состоящих из «одинаковых» объектов, не
обращая внимания на их, может быть, разную природу. При этом появляется возможность оперировать такими классами, как элементами новых,
более сложных математических структур (фактор-множеств).
Такую роль в математике играют отношения эквивалентности.
Определение 18. Бинарное отношение на множестве А называется
отношением эквивалентности на А, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на А.
(Эквивалентный «aequivalens» – в переводе с латинского означает
равноценный, равнозначный).
Обозначают эквивалентность знаками: , или , или .
Примеры отношений эквивалентности:
1) Отношение эквиполлентности на множестве всех направленных
отрезков пространства (эквиполлентные направленные отрезки =
сонаправленные + имеющие одинаковую длину).
2) Отношение параллельности на множестве всех прямых (или на
множестве всех плоскостей) пространства.
3) Отношение подобия на множестве всех треугольников.
4) Отношение равносильности в классе всех формул логики высказываний.
5) Отношение = {a,b| a,bZ, (a-b) m, mN} называют отношением сравнения по модулю m (или отношением равноостаточности при делении на m); записывают так: a b (mod m).
53
6) а) «Быть однокурсником»; б) «учиться в одной группе» – на множестве студентов вуза.
Придадим точный математический смысл понятию «разбиение множества».
Определение 19. Совокупность подмножеств {A1, A2, A3, …} непустого множества А называется разбиением этого множества, если выполняются условия:
1) все подмножества разбиения непустые: Аi (iI);
2) любые два различных подмножества не пересекаются: Ai Aj =
(ij, i,jI);
3) объединение всех подмножеств есть данное множество:
А Ai .
iI
Здесь I – некоторое множество индексов, которое может быть как конечным, так и бесконечным.
Примеры:
1. Если А1 – множество всех чётных и А2 – множество всех нечётных
целых чисел, то {А1, А2} – разбиение множества Z.
2. Для множества М = {a1, a2, …, an} совокупность всех его одноэлементных подмножеств {{a1}, {a2}, …, {an}} – разбиение множества
М.
3. Для множества студентов вуза разбиениями являются:
а) совокупность всех факультетов вуза; б) совокупность всех студенческих групп и т.д.
4. Пусть Т1 – множество всех равносторонних треугольников, Т2 –
всех равнобедренных треугольников, а Т3 – множество треугольников с попарно различными сторонами. Тогда Т= Т1 Т2 Т3 является множеством всех треугольников. Но { Т1, Т2, Т3} не
является разбиением Т, так как Т1 Т2.
Между отношениями эквивалентности, заданными на множестве, и
разбиениями этого множества существует тесная взаимосвязь.
Остановимся на этом подробнее.
Пусть А – множество, на котором определено отношение эквивалентности .
Определение 20. Классом эквивалентности, порождённым элементом аА по отношению эквивалентности , называется множество
[a]={xА| x a}, т.е. множество всех элементов из А, которые находятся
в данном отношении с элементом а.
54
Пусть элементы х1 и х2 принадлежат одному классу эквивалентности
[a]. Тогда оп определению имеем: x1 a и x2 a. По симметричности отношения из x2 a следует, что а х2 , а по транзитивности отношения
из того, что x1 a и а х2, следует, что х1 х2.
Таким образом, на каждый класс эквивалентности можно смотреть
как на множество элементов из А, находящихся в отношении друг с
другом.
Более того, имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Если а b, то [a]=[b]. (Т.е. каждый класс эквивалентности однозначно определяется любым своим элементом.
Доказательство. Покажем, что имеют место два включения:
[a] [b] и [b] [a].
1. Пусть х[a] , тогда х а и так как по условию а b, то, используя
транзитивность , получаем: х b, т.е. х[b]..
2. Обратно: пусть х[b]. Тогда имеем: х b. Из а b по свойству
симметричности отношения следует, что b а. А так как транзитивно, то из х b и b а следует, что х а, т.е. х[a].
Из 1 и 2 следует, что [a]=[b]. ■
Укажем классы эквивалентности для отношений эквивалентности,
приведённых выше в качестве примеров.
Примеры:
1. В первом примере классами эквивалентности являются классы эквиполлентных направленных отрезков, т.е. векторы .
2. В примере 2 каждый класс эквивалентности есть множество всех
прямых пространства, параллельных друг другу (то же и для плоскостей).
3. В примере 3 каждый класс эквивалентности есть множество подобных треугольников.
4. В примере 4 классы эквивалентности – это классы равносильных
формул логики высказываний.
5. В примере 5 классы эквивалентности – это подмножества множества Z, определяемые равенствами:
А0 ={a| a=mk, kZ},
А1 ={a| a=mk+1, kZ},
А2 ={a| a=mk+2, kZ},
………………………
Аm ={a| a=mk+(m-1), kZ},
6. В примере 6 классы эквивалентности – это: а) множество студентов курса; б) множество студентов группы.
55
Классы эквивалентности можно рассматривать как элементы нового
множества.
Определение 21. Фактор-множеством множества А по отношению
эквивалентности называется множество всех классов эквивалентности
данного множества А по отношению эквивалентности .
Обозначается А/ (или А/ , Ā). Таким образом, элементами фактормножества А/ являются классы эквивалентности:
А/ =[a] a A.
Теорема 2. Пусть – отношение эквивалентности на непустом множестве А. Тогда фактор-множество А/ является разбиением множества А.
Доказательство. Покажем, что для классов эквивалентности выполняются все три условия из определения разбиения множества.
1. Так как – отношение эквивалентности, то (аА) а а и поэтому
а[a]. Значит, все классы эквивалентности – непустые множества.
2. Покажем, что если два класса эквивалентности имеют хотя бы один
общий элемент, то они равны.
Пусть х[a] [b]. Тогда по определению пересечения получаем:
х[а] и х[b]. Из определения класса эквивалентности следует, что
х а и х b. По симметричности отношения из х а следует а х, а по
транзитивности из а х и х b получаем, что а b.
По теореме 1 получаем: [a] =[b] .
Тем самым мы доказали, что любые 2 различных класса эквивалентности не пересекаются.
3. Докажем теперь, что объединение всех классов эквивалентности
совпадает с А: А [a] .
аА
Действительно, если аА, то а[a] и тогда
a [a] , т.е.
аА
A [a] .
аА
С другой стороны, каждый класс эквивалентности [a] – подмножество множества А, поэтому [a] А.
аА
Значит, равенство доказано. ■
Можно доказать и обратную теорему.
Теорема 3. Пусть S={A1, A2, A3, …, } – произвольное разбиение непустого множества А. Тогда существует такое отношение эквивалентности
на множестве А, что S=A/.
56
Доказательство. Определим на множестве А отношение следующим образом: для любых х,уА, х у «х и у принадлежат одному и
тому же подмножеству разбиения из семейства S».
Покажем, что – отношение эквивалентности на А.
1. Из определения разбиения следует, что для произвольного элемента х множества А найдётся подмножество разбиения Аi, что хАi.
Но тогда по определению отношения имеем: х х, т.е. рефлексивно на А.
2. Пусть х и у – произвольные элементы из А и х у. Тогда, по определению отношения , существует подмножество Аi, которому
принадлежат оба элемента х и у (а значит у и х), т.е у х. Поэтому
из х у следует у х , поэтому – симметрично.
3. Пусть x, y, z – произвольные элементы из А, причём х у и у z. Из
условия х у следует, что существует подмножество Ai разбиения
S, содержащее х и у: х,уAi. Из условия у z следует, что существует Aj, y,zAj. Мы получили, что уAi и yAj. Но так как различные
подмножества разбиения не пересекаются, то Ai=Aj и х, и z принадлежат одному и тому же подмножеству разбиения. Это означает,
что из х у и у z следует х z и отношение – транзитивно.
Из 1-3 следует, что – отношение эквивалентности, для которого
классами эквивалентности являются подмножества разбиения S: S= A/. ■
Таким образом, задание отношения эквивалентности на множестве
А равнозначно заданию некоторого разбиения S этого множества.
Отсюда можно вывести отличительное свойство графа отношения эквивалентности:
Граф отношения эквивалентности состоит из отдельных, не связанных друг с другом полных подграфов.
Пример. Пусть на множестве А={1,2,3,4,5,6} задано отношение эквивалентности :
={<1,1>, <2,2>, <1,2>,<2,1>, <3,3,>, <4,4>, <5,5>, <6,6>, <4,5>, <5,4>,
<4,6>, <6,4>, <6,5>, <5,6>}.
Построим его граф:
Рис.12
57
По графу видно, что это отношение задаёт разбиение множества А на
3 класса эквивалентности: {1,2}, {3}, {4, 5, 6}.
2.1.4. Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определение бинарного отношения. Приведите
примеры.
2. Что означает запись: х у ? x , y ?
3. Как определяются множества Dom , m ?Приведите примеры отношений, у которых
а) Dom совпадает с областью отправления отношения ;
б) Dom не совпадает с областью отправления отношения ;
в) m совпадает с областью прибытия отношения ;
г) m не совпадает с областью прибытия отношения .
4. Сформулируйте определения и приведите примеры рефлексивного, антирефлексивного, симметричного, антисимметричного, транзитивного и связного на множестве отношений.
5. Укажите отличительные свойства графов рефлексивного, антирефлексивного, симметричного, антисимметричного, транзитивного и связного отношений на конечном множестве.
6. Сформулируйте отличительные свойства графиков рефлексивного,
антирефлексивного, симметричного, антисимметричного, транзитивного
и связного отношений на R.
7. Сформулируйте определения и приведите примеры отношений частичного, линейного, строгого, нестрогого порядков.
8. Сформулируйте определение и приведите примеры фактормножества множества А по отношению эквивалентности .
9. Как связано отношение эквивалентности, заданное на множестве А
с разбиением этого множества.
10. Приведите пример отношения эквивалентности, задающего разбиение множества N на классы эквивалентности.
11. Как выглядит граф отношения эквивалентности? Приведите пример
графа
отношения
эквивалентности
на
множестве
А 1, 2, 3, 4, 5 .
2.1.5. Задания для самостоятельной работы
1. Бинарное отношение A B задайте в явном виде (перечислением входящих в него пар), постройте его граф и определите Dom и
m :
a) A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , B 2, 3, 4 ; x y x y ;
58
б ) A 1, 0, 1, 2, 3, 4 , B 2, 1, 0, 1, 2, 3 ; x y x y 2 .
2. Найдите область определения, область значений и постройте графики следующих бинарных отношений:
б ) x, y R R x
a ) x, y R R x 2 y 2 0 ;
2
y2 4 x 1 .
3. Определите свойства бинарного отношения , заданного на множестве А а, b, c, d , e:
а) а; b ,
б) а; b ,
a; e ,
b; e ,
c; e ,
c; d ,
a; e ,
b; e ,
a; c ,
a; d ,
d ; e ;
c; d .
4. Определите. какими свойствами обладают бинарные отношения,
заданные графами:
2)
1)
3)
а
а
4)
а
b
b
b
b
a
c
c
c
5. Какими из свойств: 1) рефлексивность; 2) антирефлексивность;
3) симметричность; 4) антисимметричность; 5) транзитивность;
6) связанность, – обладает отношение , заданное на множестве действительных чисел R:
a) x y x y 0 ;
б ) x y x 2 y 2 1 ;
в) x y y х ;
г ) x y x y 2 .
6. На множестве А 1, 2, 3, 4, 5 задайте отношение эквивалентно-
сти так, чтобы 1 2 и 2 3 .
2.2. Отображения
2.2.1. Отображение (функция). Виды отображений
Важным случаем бинарного отношения является отображение множеств.
Определение 1. Бинарное отношение называется частичным отображением множества А в множество В, если для каждого элемента х из
59
области определения этого отношения существует единственный образ в
В.
Таким образом,
df
– частичное отображение (хDom)( yB) x y.
ещё называют частичной функцией или отображением из А в В.
Пример. Бинарное отношение является частичным отображением
множества R в R, если x y у=log2x.
Определение 2. Бинарное отношение f называется отображением
множества А в множество В (или функцией на А со значениями в В),
если для каждого элемента х из множества А существует единственный
образ в В.
df
f – отображение А в В (хА)( yB) х f у.
Символ f: АВ означает, что f является отображением множества А в
В.
Образ элемента х при отображении f обозначают f(х), а сопоставление
элементу хА его образа уВ (y=f (x)) принято обозначать с помощью
ограниченной стрелки: f: х у.
Примеры. 1. При фиксированной системе координат сопоставление
каждой точке плоскости упорядоченной пары действительных чисел (её
координат) является отображением: f: R2.
2. Сопоставление каждому многоугольнику (на плоскости) его площади есть отображение множества Р всех многоугольников плоскости во
множество R.
3. Пусть А – произвольное высказывание, а (А) – его значение истинности. Тогда : А (А) есть отображение множества всех высказываний
на множество {И, Л}.
4. Если f ( x ) 1 , то f: R* R , (R*=R\{0}) есть отображение.
x
5. Сложение и умножение действительных чисел является отображением R2 R, так как при этом каждой паре действительных чисел соответствует единственное действительное число – результат операции
(сумма или произведение, соответственно).
6. Соответствие еХ: ХХ, переводящее каждый элемент хХ в себя
(еХ(х)=х), является отображением. Его называют единичным или тождественным отображением.
60
7. Пусть М – непустое множество, – некоторое отношение эквивалентности на нём, а М/ – фактор-множество множества М по отношению . Рассмотрим бинарное отношение f, при котором образом элемента
хМ является тот класс эквивалентности из М/ , которому принадлежит
х: f: x [x].
Так как для любого х такой класс существует, и он единственный, то
это бинарное отношение является отображением: f: М М/. Его называют единичным (или каноническим) отображением.
Функцию f: ХУ называют ещё функцией одной переменной х (или
одного аргумента).
Используя понятие отображения и введённое ранее понятие n-й декартовой степени Х n множества Х (Х n=Х Х … Х), можно дать следующее определение.
Определение 3. Отображение f: Х nУ, f: (x1, x2, …, xn) y есть
функция n переменных xi (i =1,2, …, n).
В курсе математического анализа вы более подробно остановитесь на
исследовании числовых функций и их свойств.
Для отображений числовых множеств, как и для бинарных отношений, можно определить понятие графика. По графику бинарного отношения можно определить, является ли оно отображением.
Отличительная особенность графиков отображений очевидным образом вытекает из определения отображения: для того, чтобы изображённый график бинарного отношения был графиком отображения множества
Х в У, необходимо и достаточно, чтобы каждая вертикаль, проведённая
через точку хХ (параллельно оси Оу), пересекала график точно в одной
точке.
Например, тот факт, что бинарное отношение «х у х= у2» не является отображением множества R+ в R (и тем более, R в R), легко понять
по виду графика этого отношения:
Рис.13
61
Задание 1. Измените область прибытия указанного выше бинарного
отношения так, чтобы стало отображением.
Среди всех отображений особый интерес представляют два вида
отображений – сюръективное и инъективное.
(surjection (фр). – наложение, «sur» означает «на»;
injection (фр.) – вложение, «in» означает «в»).
Определение 4. Отображение f множества А в В называется инъективным, если различные элементы из множества А имеют различные
образы, т.е. из того, что х1 х2, следует f(х1) f(х2) (а из f(х1) = f(х2) следует х1 = х2).
Очевидно, что отображение множества А в В инъективно, если каждый элемент уВ имеет не более одного прообраза в А.
Из определения отображения f множества А в множество В следует,
что область определения f совпадает с А (Dom f = A), но множество значений Im f может и не совпадать с В. Если же Im f = В, то говорят, что f
отображает А на В или, что f – сюръективное отображение.
Определение 5. Отображение f: АВ называется сюръективным, если любой элемент уВ является образом хотя бы одного элемента хА.
df
f: АВ сюръективно (уВ)(хА) у=f(x).
Определение 6. Отображение, являющееся инъективным и сюръективным одновременно, называется взаимно однозначным или биективным, а также биекцией.
Рассмотрим графы следующих бинарных отношений:
62
Рис.14
Среди всех отношений, перечисленных выше, бинарные отношения
3, 4, 5, 6, 7 являются частичными отображениями, или отображениями из А в В; бинарные отношения 4, 5, 6, 7 – отображения А в В; 5, 7
63
– сюръективные отображения; 6, 7 – инъективные отображения; 7 –
биективное отображение.
Задание 2. Сформулируйте особенности графов инъективного, сюръективного и биективного отображений конечных множеств.
В курсе математического анализа вы, в основном, будете иметь дело с
функциями (отображениями) на числовых множествах. Поэтому очень
важно научиться выделять отображения и виды отображений среди бинарных отношений на множестве R. По виду их графиков на координатной плоскости это сделать намного проще.
Задача 1. Определите виды указанных ниже отображений:
а) f1: RR,
f1: x 2x;
б) f2: RR0 ,
f2: x х2;
в) f3: R[-1;1],
f3: x sinx;
г) f4: R+R,
f4: x logax (a>0, a1).
Решение.
а)
Отображение
f1
инъективно,
т.к.
из
равенства
2 2 по свойству степени следует, что х1=х2.
х1
х2
Но f1 не сюръективно, т.к. ни для какого отрицательного действительного числа y не выполняется равенство у=2х.
б) Отображение f2 не является инъективным, т.к. для двух различных
действительных чисел х и (-х) их образы х и х совпадают (х 0).
В то же время f2 сюръективно, поскольку для любого неотрицательного действительного числа у существует действительное число х, такое,
2
2
что у=х2 ( х – прообраз у). Если у0, то таких прообразов два:
х1 у и
х2 у .
Виды отображений в) и г) определяются аналогично (определите их
самостоятельно!).
Рассмотренные выше примеры и задача позволяют сделать следующие
Выводы:
1. Чтобы установить неинъективность отображения, достаточно
найти хотя бы два элемента с равными образами.
64
2. Каждая горизонталь, проведенная на координатной плоскости через точку уУ, пересекает график инъективного отображения
f: XY не более чем в одной точке.
3. Чтобы установить, что отображение f: XY сюръективно, надо
показать, что всякий элемент множества У имеет прообраз; если в
У найден хотя бы один элемент, не имеющий прообраза, то f – несюръективно.
4. Проекция графика сюръективного отображения f: XY на ось ОУ
совпадает с областью прибытия У.
2.2.2. Обратное отображение. Композиция отображений
Пусть f – отображение Х в У. Бинарное отношение f - 1 , обратное f, может и не быть отображением У в Х.
Выясним, какими свойствами должно обладать отображение f: XY,
чтобы обратное ему бинарное отношение f - 1 было отображением У в Х.
Обратимся к графам бинарных отношений 1 – 7 из предыдущего
примера.
Найдем бинарные отношения, обратные для отображений 4, 5, 6, 7.
Из всех четырех отношений только
71 будет отображением множества
В в А. Но отображение 7: АВ является биекцией. Этот пример позволяет сделать предположение, что для обратимости отображения необходимо и достаточно, чтобы оно было взаимно однозначным (т.е. биекцией).
Теорема 1. Пусть f – отображение множества Х в множество У. Обратное ему бинарное отношение f – 1 будет отображением У в Х тогда и
только тогда, когда f биективно.
Доказательство. Пусть отношение f – 1 , обратное для f, является отображением У в Х. Докажем, что f – биективное отображение.
Для доказательства достаточно показать инъективность и сюръективность f.
Так как f – 1 : УХ – отображение, то (хУ)(!хХ) х = f – 1 (у). Но по
определению обратного отношения у f – 1 х х fу. Значит, из того, что
х = f – 1 (у), следует у=f(x).
Из существования такого х следует сюръективность f, а из его единственности – инъективность f.
Обратно, пусть отображение f: XY биективно.
Покажем, что бинарное отношение f – 1является отображением У в Х,
т.е. покажем, что (уУ)(!хХ) х =f – 1 ( у) .
Пусть уУ и хХ его прообраз при отображении f: y= f(x) (прообраз
существует у каждого элемента из У, т.к. f – сюръективное отображение
65
Х на У). Если бы существовал ещё и хХ, такой, что y= f(x) и х x, то
это бы противоречило инъективности f.
Следовательно, имеем
(уУ)(! хХ) у= f (x), что равнозначно тому, что х= f – 1 (у).
Замечание. Можно показать, что если отображение f: XY биективно, то f –1: УХ тоже биективно.
Со свойством биективности отображения связано понятие равномощности множества.
Определение 7. Множество Х называется равномощным множеству
У, если существует биективное отображение множества Х в множество У.
Очевидно, что для конечных множеств их равномощность равносильна их «равночисленности», т.е. равномощные конечные множества имеют одинаковое число элементов.
Для бесконечных множеств факт их равномощности установить гораздо сложнее.
Задача 2. Показать, что множества N и Z равномощны.
Решение. Зададим отображение f::NZ, такое, что
f:2n+1 -n, f:1 0. Наглядно его представить можно так:
Z:
N:
…
-n
…
… 2n+1 …
-3
7
-2
5
-1
3
0
1
1
2
2
4
3
6
4
8
…
…
f:2n n,
n
2n
…
…
Ясно, что это отображение является биективным, следовательно множества N и Z равномощны.
Равномощными являются также N и 2N (покажите!), N и Q, и т.д.
Определение 8. Множество, равномощное множеству N всех натуральных чисел, называется счётным.
Примеры. 1) Числовые множества N, 2N, Z, Q – счётные.
2) Множество R является несчётным (это будет вами установлено в
курсе математического анализа).
Над отображениями можно определить операцию композиции (произведения или последовательного выполнения).
Определение 9. Композицией двух отображений g: XУ и f: УZ
называется
отображение
fg:
XZ,
определённое
условием
(fg)(x)=f (g(x)), (xX).
Композицию отображений удобно представлять схемой:
66
Рис.15
Наглядно композиция изображается треугольной диаграммой:
Рис.16
Замечание. Композиция отображений определена не для любых
отображений f и g; fg является отображением только в том случае, если
Im g Dom f.
Композицию = fg двух функций называют также сложной функцией (или функцией от функции). При этом, так как (х)=f (g(x)), то g называется внутренней функцией, а f – внешней.
Пример. Пусть даны функции g: RR, где g(х)=х2 и f: RR, где
f(x)=sinx. Тогда функция (х)=sin(x2) есть композиция fg этих функций
(отображений), а функция ψ(х) =(sin x)2 есть композиция gf.
Пример показывает, что композиция отображений не коммутативна:
fg gf.
Но можно показать, что композиция отображений ассоциативна: если даны три отображения h: XУ, g: УZ, f: ZT, то f(gh) = (fg)h.
Для этого достаточно сравнить значения отображений для произвольного элемента хХ:
(f(gh)) (х) = f((gh)(х)) = f(g(h(х))) =( fg)(h(х)) =( (fg)h)(х).
Наглядно это можно продемонстрировать на диаграмме:
67
Рис.17
Теорема 2. Композиция двух биективных отображений g: XУ и
f: УZ есть биективное отображение fg: ХZ.
Доказательство. 1) Докажем инъективность fg. Для этого необходимо показать, что для произвольных элементов х1 , х2X из равенства
(fg)(x1) = (fg)(x2) следует равенство х1 = х2.
Действительно, по определению композиции имеем: f (g(x1)) = f (g(x2))
. Так как f инъективно, то из равенства f (g(x1))=f (g(x2)) следует, что
g(x1)=g(x2). Из последнего равенства в силу инъективности g следует, что
х1 = х2.
2) Чтобы доказать сюръективность отображения fg: ХZ, необходимо показать, что каждый элемент zZ имеет прообраз в Х при данном
отображении:
(zZ)(xX) (fg)(x) = z.
Пусть zZ. Тогда по сюръективности отображения f: УZ в У существует прообраз для элемента z. Обозначим этот прообраз через у:
z = f (y).
Из сюръективности отображения g: XУ получаем, что каждый элемент уУ имеет во множестве Х прообраз х при отображении g: g(x) = y.
Тогда имеем: z = f(y) = f(g(x)) = (fg)(x), т.е. элемент хХ является прообразом элемента хZ при отображении fg. Значит, отображение fg
сюръективно.
Из 1 и 2 следует, что отображение fg биективно. ▄
Следствие. Если для отображений g: XУ и f: УZ существуют обратные им отображения g –1 и f – 1 , то и для отображения fg тоже существует обратное отображение. В частности, (fg)–1=g –1 f – 1 .
Пример. Пусть Х=(0;1), У=(0;1), Z=(-;0). Определим отображение
g: XУ условием g(x)=x2, а отображение f: УZ условием f(y)=ln(y).
Тогда композиция fg есть функция : ХZ
(х)= f(g(x))= ln(x2).
Для всех указанных функций существуют обратные:
68
такая,
что
g –1: У Х, g –1(у) =
y ; f – 1 : Z У, f – 1 (z) = e z.
Тогда - –1: ZX есть отображение (функция) такое, что
–1(z) = (g –1f –1)(z)= g –1(f –1(z)) =
еz .
2.2.3. Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте определения отображения и частичного отображения. Приведите примеры частичного отображения; отображения; частичного отображения, не являющегося полным.
2. Сформулируйте определение инъективного (сюръективного) отображения f : A B .
3. Приведите примеры: а) инъективного отображения, не являющегося сюръективным; б) сюръективного отображения, не являющегося инъективным; в) отображения, не являющегося ни инъективным, ни
сюръективным; г) биективного отображения.
4. Пусть дано отображение вида f : R R . Как определить по графику, что оно является одним из тех, что перечислены в вопросе 3(а-г)?
5. Какое отображение вида f : A B имеет обратное?
6. Пусть дано отображение f : R R . Продолжите: «Чтобы данный
график был графиком обратимого отображения, необходимо и достаточно, чтобы…»
7. Для каких двух отображений f и g определена их композиция
f g?
8. Каким из свойств: ассоциативность, коммутативность – обладает
композиция отображений? Ответ проиллюстрируйте примерами.
2.2.4. Задания для самостоятельной работы
1. Докажите, что композиция отображений ассоциативна и не коммутативна.
2. Определите, является ли соответствие f частичным отображением,
отображением А в В (если да, то определите тип отображения):
а)
A B R, f ( x) sin x ;
б) А [ ; ] , B R, f ( x) sin x ;
2 2
в) А В R, f ( x) x 2 x 2 ;
г) A ; , B R,
2
2
f ( x) tgx .
69
3. Пусть
g:ВС.
f :AB,
Найдите
g f , Domg f , mg f . Определите, являются ли f, g, g f
инъективными, сюръективными, если:
а) А В С R, f ( x) 2 x , g ( x) x 2 1 ;
б) А С R, B R , f ( x) x 2 2 x 2, g ( x) 1 .
x
Список литературы
Основная
1. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры.
[Текст]: учебник для вузов. 2-е изд. испр./ А.И. Кострикин. – М.:
Физматлит, 2004. – 272 с.
2. Кострикин, А.И. Введение в алгебру. [Текст]: учебник для университетов / А.И. Кострикин.– М.: Наука, 1977. – 495 с.
3. Смолин, Ю.Н. Алгебра и теория чисел. [Текст]: учебное пособие /
Ю.Н. Смолин. – 3-е изд., испр. – М.: Флинта: Наука, 2006. – 464 с.
Дополнительная
4. Ван-дер-Варден, Б.Л. Алгебра [Текcт] / Б.Л. Ван-дер-Варден. – М.:
Наука, 1976. – 624 с.
5. Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов [Текcт]:
учебное пособие для вузов / В. И. Игошин. - 2-е изд., стер. – М.:
Академия, 2008. – 448 с.
6. Куликов, Л.Я. Алгебра и теория чисел. [Текст]: учебное пособие
для педагогических институтов/ Л.Я. Куликов. – М.: Высшая школа, 1979. – 559 с.
7. Кошелев, Ю.Г. Научные основы школьного курса математики при
изучении числовых систем. [Текст]: метод. указания / Ю.Г. Кошелев. – Новосибирск: НГПИ, 1980. – 64 с.
8. Мельников, О.В., Ремесленников В.Н. и др. Общая алгебра. Том 1.
[Текcт] / О.В. Мельников, В.Н. Ремесленников и др. – М.: Наука,
1990. – 592 с.
9. Столл, Р.С. Множества. Логика. Аксиоматические теории. [Текст]
/ Р.С. Столл. – М.: Просвещение, 1968. – 231с.
10. Столяр, А.А Логическое введение в математику [Текст] /А.А. Столяр. – Минск, 1971. – 224 с.
11. Шрейдер, Ю.А. Равенство, сходство, порядок [Текст] / Ю.А Шрейдер. – М.: Наука, 1971. – 256 с.
70
Приложения
Приложение 1
Примерный вариант контрольной работы
Контрольная работа №1 (Алгебра, 1 семестр)
Вариант № 0
1. Составьте
таблицу
истинности
для
формулы:
.
p q p q
2. Для данных множеств А и В найдите А В, А В, А \ В, В \ А и
изобразите
на
координатной
плоскости:
А В
А 2; 2, В 0; .
3. а. Теорему «Вертикальные углы равны» сформулируйте в виде
импликации «Если…, то…», выделив предварительно в ней условие и заключение.
б. Сформулируйте для построенной в пункте (а) импликации обратное, противоположное, обратное противоположному утверждения; определите их истинность.
в. Эту же теорему сформулируйте в терминах «необходимо», «достаточно».
4. Какими из свойств: 1) рефлексивность; 2) антирефлексивность; 3)
симметричность; 4)антисимметричность; 5) транзитивность; 6)
связанность – обладает отношение , заданное
а) на множестве А а, b, c, d , e;
а; b ,
a; e ,
b; e ,
a; c ,
a; d ,
c; d ;
б) на множестве действительных чисел R: xy x y .
Ответ поясните.
5. Покажите, что перечисленные ниже подмножества образуют разбиение множества А 1, 2, 3, 4, 5 ; задайте в явном виде
(множеством пар из А А ) отношение эквивалентности, соответствующее данному разбиению: А1 1 , А2 2; 3, А3 4; 5.
6. Определите, является ли бинарное отношение f частичным отображением R в R, отображением (если да, то определите тип отображения): x f y y 2 х .
71
Приложение 2
Программа коллоквиума
Вопросы к коллоквиуму №1 (Алгебра, 1 семестр)
1. Высказывания. Операции над высказываниями.
2. Формулы логики высказываний; равносильные формулы. Основные равносильности логики высказываний.
3. Множества. Операции над множествами и их свойства (теорема).
4. Определение предиката. Операции над предикатами. Область истинности предиката (теорема).
5. Логические операции связывания квантором общности и квантором существования на множестве предикатов. Равносильности логики предикатов, связанные с применением кванторов.
6. Запись математических утверждений на языке логики предикатов.
Обратная и противоположная теоремы. Необходимое и достаточное условия.
7. Бинарное отношение между элементами множеств А и В; способы
задания бинарных отношений. Отношение, обратное данному.
8. Бинарное отношение на множестве; свойства бинарных отношений.
9. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Теорема о
том, что каждый класс эквивалентности однозначно порождается
любым своим элементом. Фактор-множество.
10. Разбиение множества. Связь отношения эквивалентности, заданного на множестве, с разбиением этого множества (прямая и обратная теоремы).
11. Отношение порядка. Упорядоченные (строго, нестрого, частично,
линейно) множества.
12. Частичное отображение. Отображение; виды отображений (сюрьективное, инъективное, биективное).
13. Обратное отображение. Необходимое и достаточное условие обратимости отображений (теорема).
14. Композиция отображений и ее свойства (теорема).
72
Учебное издание
Екатерина Ивановна Чупина
Введение в алгебру
Учебно-методическое пособие
для студентов педвузов
Редактор
Технический редактор
Корректор
Сдано в набор 20.09.2011. Подписано в печать
.
Формат 60х90/16. Гарнитура Times. Бумага офсетная. Печать оперативная.
Усл. печ. л. ___. Тираж 50 экз.
Заказ
, с. (сп.)
.
Редакционно-издательский отдел ФГБОУ ВПО «АГАО» 659333, г. Бийск, ул. Короленко, 53.
Типография ФГБОУ ВПО «АГАО» - 659333, г. Бийск, ул. Короленко, 55/1.
