«УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ БАЛКИ» Исходные данные и теоретические сведения Рассмотрим балку, защемленную одним концом и нагруженную сосредоточенным моментом (рис.1). Материал балки имеет предел текучести прочности , предел , модуль Юнга Е = 2 105 МПа, относительное удлинение при разрыве 10%. Размеры поперечного сечения: b = 3cм, h = 30cм. Требуется найти распределение напряжений и при максимальной нагрузке и после полной разгрузки. Рисунок 1 В начале решения задачи рассмотрим две диаграммы деформирования (рис.2). Диаграмма Прандтля Билинейная модель Рисунок 2. Аппроксимации диаграммы деформирования При бесконечно длинной площадке текучести получаем диаграмму Прандтля, соединяя прямой предел текучести и предел прочности получаем билинейную аппроксимацию. При чистом изгибе статически определимых балок касательные напряжениями τ отсутствуют. Балка испытывает линейное напряженное состояние. В теории пластичности принято, что закон распределения деформаций одинаковый для упругих и пластических деформаций. Гипотеза плоских сечений справедлива как при упругих, так и упругопластических деформациях балки. Это положение является основным при расчетах балок в упругопластической области. Без принятия гипотезы о распределении деформаций расчет оказывается невозможным. На основании этой гипотезы можно считать, что при изгибе по высоте сечения деформации распределены по линейному закону, как при упругой, так и при упругопластической деформации (рис. 3, а). Рисунок 3. Распределение деформаций и напряжений при упругопластическом изгибе балки Определение величины нагрузки Для определения напряжений при упругопластической деформации надо по диаграмме деформирования для заданного значения деформации ε определить, соответствующее ей значение напряжения σ . Величина этого напряжения будет зависеть от выбранного вида аппроксимации диаграммы деформирования (рис. 2). Будем постепенно увеличивать нагрузку на балку и соответственно изгибающий момент. При чисто упругой деформации напряжения в сечении распределены по линейному закону, пока на поверхности балки они не достигнут предела текучести Предельный изгибающий момент при упругой деформации определится как 3 · 302 6 5 MУ = 𝜎T · W = 4000 · = 4000 · 450 = 1,8 · 10 кгc · cm = 1,8 · 10 H · m 6 При дальнейшем увеличении нагрузки у поверхности балки появляется пластическая зона, которая увеличивается с ростом нагрузки. В центре балки сохраняется упругая зона (рис. 3, б). Далее зона упругопластической деформации растет, постепенно захватывая почти все сечение (рис. 3, в,г). Такое предельное состояние отвечает пластическому шарниру (состоянию, при котором балка превращается в пластический механизм, то есть деформация происходит при постоянной нагрузке). При постоянной нагрузке части балки слева и справа от сечения взаимно разворачиваются (балка представляет собой пластический механизм). Такого идеального случая в природе не бывает. При любых максимальных деформациях на нейтральной оси деформация равна нулю и в центре сечения остается, пусть и маленькая, упругая зона. При использовании диаграммы Прандтля напряжения во всех точках сечения равны пределу текучести. Найдем предельный изгибающий момент, возникающий в пластическом шарнире. Воспользуемся условием эквивалентности напряжений и внутренних усилий и возьмем сумму интегралов для сжатой и растянутой частей сечения. M =2∫ ℎ⁄ 2𝜎 · 𝑦 · 𝑏𝑑𝑦 = T 𝜎T 2 3 5 · 𝑏 · ℎ = 2 MУ = 2,7 · 10 H · m В условиях пластической деформации (без упрочнения) балка может выдержать в полтора раза большую нагрузку, чем при упругой деформации При билинейной модели деформирования (рис.3 г) при образовании пластического шарнира координата 𝑦T 0 ккк m mH c c и 𝜎 должны теоретически . Практически их значения ограничиваются предельными значениями и 𝜎 . к H H В этом случае M 𝐸* = (𝜎B 𝜎T) =2∫ 𝑚𝑎𝑥 ℎ⁄ 2(𝜎 T 0 + 𝐸* · s ) · 𝑦 · 𝑏𝑑𝑦 - касательный модуль, согласно гипотезе о линейном распределении 𝗌B деформаций по высоте балки ( c. 3 ) s Тогда M 𝑚𝑎𝑥 𝑚𝑎𝑥 =𝜎T ·𝑏· ℎ2 + (𝜎B 𝜎T) 4 𝑚𝑎𝑥 ·𝑏· = ℎ2 𝗌T yT · ℎ 2 = 2M = 3,6 · 105H · m У 6 После предварительных расчетов в качестве итоговой нагрузки принимаем M𝑚𝑎𝑥 =3 M У = 2,7 · 105H · m. 2 Аналитическое определение зон упругих и пластических деформаций, распределения напряжений. Суммарный изгибающий момент M𝑚𝑎𝑥 создает зону упругих деформаций (в этой зоне 𝜎 𝜎T, m H c к Hy yк ) зону пластических деформаций (в этой зоне 𝜎 𝜎T). h y yг c cк c к H yT ( c. 3 ). H Для дальнейших вычислений необходимо определить yT. M y ℎ⁄ 0 yT = 2(∫ T 𝐸s𝑦𝑏𝑑𝑦 + ∫ 2(𝜎 𝑚𝑎𝑥 C учетом s = yT M 𝑚𝑎𝑥 = 2𝑏(∫ 0 𝜎T yT T + 𝐸*(s − s ))𝑏𝑦𝑑𝑦) T (sT · y)⁄ yT и 𝜎T = 𝐸sTполучим ℎ⁄ 2 y2𝑑𝑦 + ∫ (𝜎 + 𝐸* T yT Окончательно, M𝑚𝑎𝑥 = sT y − 𝐸*s )𝑦𝑑𝑦 T yT y2 2𝑏(𝜎T T 3 1 ℎ2 + (𝜎T−𝐸*sT) ( 2 4 𝗌 T 1 ℎ3 − y 2) T + 𝐸* yT 3 ( 8 − yT3)) (1) Целесообразно искать yT численно, добиваясь близкой к нулю разницы между правой и левой частями последнего уравнения. Для принятых исходных данных: 𝜎T = 400 M , 𝜎B = 600 M , = 2 105 M , sT = 0,002, sB = 0,1, b = 3cм, h = 30cм. 𝜎T = 0,002 sT = 𝐸 yT=3,53 см (при этом относительная разница между правой и левой частью выражения (1) составила 0,3%). s𝑚𝑎𝑥 = sT ℎ · = 0,0085 yT 2 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎T + 𝐸*(s𝑚𝑎𝑥 − sT) = 413 M Распределение остаточных напряжений При определении остаточных напряжений следует учесть, что при нагрузке распределение напряжений упругопластическое, при разгрузке — чисто упругое. Пусть балку нагрузили моментом M𝑚𝑎𝑥. После разгрузки M = 0 . Состояние разгрузки можно представить как сумму моментов нагрузки и разгрузки, равную нулю Mнагр + Mразгр = 0 . Откуда Mразгр=- Mнагр=-M𝑚𝑎𝑥 При проходящей упруго разгрузке 𝜎𝑚i𝑛 = − M 𝖶 = −600 МПа Остаточные напряжения определяются как сумма напряжений нагрузки и разгрузки. Эпюры распределения деформаций и напряжений приведены на рис.4. Рисунок 4. Определение остаточных напряжение при упругопластическом изгибе балки Численное решение При решении задается билинейная модель диаграммы деформирования стали, соответствующая варианту исходных данных. (рис.5) Рисунок 5 Упругопластическая задача решается пошагово с табличным заданием изгибающего момента (MУ, M𝑚𝑎𝑥, 0) (рис.6). Рисунок 6 Рисунок 7. MУ Рисунок 8. Максимальная нагрузка Рисунок 9. Разгрузка Рисунок 10. MУ Рисунок 11. Максимальная нагрузка Рисунок 12. Разгрузка На рис.7-9 показано пошаговое изменение нормальных напряжений по всей балке, на рис.10-12 показано пошаговое изменение нормальных напряжений по высоте в средней части балки. В средней зоне балки численные и аналитические результаты достаточно точно соответствуют друг другу. Относительная разница между максимальными значениями остаточных напряжений (259 и 231 МПа) составляет 11%.
