МБОУ Школа “КвантУм” Творческий проект по теме: “Различные способы доказательств Теоремы Пифагора” Выполнил: Чупинский Степан Иванович Ученик 9”В” Класса Руководитель: Денисова Екатерина Сергеевна Звенигород 2022 1 Содержание: ЦЕЛИ ПРОЕКТА: ........................................................................................................................................ 3 ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................. 4 ИСТОРИЯ ..................................................................................................................................................... 5 1.1 Доказательство методом площадей (школьный метод): .......................................................... 8 1.2 Доказательство Басхари «Смотри!»: .......................................................................................... 9 2.1 Доказательство через равнобедренные треугольники: ............................................................. 9 2.2 Доказательство древних индусов: ............................................................................................ 10 2.3 Доказательство методом вычитания: ....................................................................................... 10 2.4 Доказательство Леонардо да Винчи: ........................................................................................ 11 2.5 Доказательство Эйнштейна: ...................................................................................................... 12 2.6 Доказательство Евклида:........................................................................................................... 12 2.7 Доказательство методом Гофмана:........................................................................................... 13 2.7 Доказательство, основанное на разрезании квадратов («колесо с лопастями» - Перигаль): 13 3.1 Доказательство через подобие треугольников ......................................................................... 14 2 Теорема Пифагора является одной из важнейших теорем курса геометрии 9 класса. Она возникла из потребности человека выполнять измерения на местности, применяется при доказательстве других теорем, решении многих задач. Теорема известна с древнейших времен. На уроке мы рассмотрели один из способов ее доказательства. От учителя я узнал, что существует более 300 способов доказательства. Я заинтересовался и решил найти уже известные способы доказательства этой уникальной теоремы. ЦЕЛИ ПРОЕКТА: 1. Расширить свои знания по истории математики. 2. Узнать больше информации, легенд, мифов о Пифагоре и о его теореме. 3. Познакомиться с различными способами доказательства теоремы Пифагора. 4. Найти ответ на вопрос: «В чем уникальность теоремы Пифагора?» 5. Овладеть навыками применения ИКТ. 3 ВВЕДЕНИЕ «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора...» Иоганн Кеплер. Теорема Пифагора издавна широко применялась в разных областях науки, техники и практической жизни. О ней писали свои произведения великие писатели всего мира. О ней складывалось множество легенд и мифов. Вокруг теоремы ходит много споров: Кто же ее открыл? Актуальность темы: 1. Мне стала интересна история теоремы, способы доказательства. Я решил найти информацию о теореме и ее открытии. 2. В школьном курсе я нашёл 3 способа доказательства. А их известно более 300, как я узнал от учителя. Я решил найти и другие способы. Объект Пифагора. исследования: теорема Предмет исследования: способы доказательства теоремы Пифагора. Методы исследования: 1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами интернета. 2. Наблюдение, сравнение, анализ. 3. Решение задач. 4 ИСТОРИЯ Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя матери Парфениса. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив. Мнесарх, как всякий отец, мечтал, что сын будет продолжать его дело — ремесло золотых дел мастера. Жизнь рассудила иначе. Будущий великий математик и философ уже в детстве обнаружил большие способности к наукам. У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Для упражнения памяти Гермодамас заставлял его учить песни из «Одиссеи» и «Илиады». Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. Вскоре, неугомонному воображению юного Пифагора стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым Фалесом. Затем отправляется в путешествие и попадает в плен к вавилонскому царю Киру. В 530 г. до н.э. Кир двинулся в поход против племен в Средней Азии. И, пользуясь переполохом в городе, Пифагор сбежал на родину. А на Самосе в то время царствовал тиран Поликрат. После нескольких месяцев притязаний со стороны Поликрата, Пифагор переселяется в Кротон. В Кротоне Пифагор учредил нечто вроде религиозно-этического братства или тайного монашеского ордена ("пифагорейцы"), члены которого обязывались вести такназываемый пифагорейский образ жизни. 5 ИСТОРИЯ ТЕОРЕМЫ Измеряй свои желания, взвешивай свои мысли, исчисляй свои слова. Пифагор Древний Китай В древнекитайской книге Чу-пей говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. Древний Вавилон: Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, то есть к 2000 году до н. э., приводится приближённое вычисление гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Отсюда можно сделать вывод, что в Двуречье умели производить вычисления с прямоугольными треугольниками, по крайней мере, в некоторых случаях. Древняя Индия: Геометрия у индусов, как и у египтян и вавилонян, была тесно связана с культом. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. Древний Египет: Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство: 3² + 4² = 5² было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I. По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. 6 Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12м и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3м от одного конца и 4м от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра. Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Также о гипнотических способностях учёного ходили легенды: будто он одним своим взглядом мог менять направление полёта птиц. А ещё рассказывали, что этого удивительного человека одновременно видели в разных городах, между которыми было несколько дней пути. И что ему якобы принадлежало «колесо фортуны», вращая которое, он не только предсказывал будущее, но и вмешивался, если это было необходимо, в ход событий. ФОРМУЛИРОВКИ ТЕОРЕМЫ. Геометрическая формулировка: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах. Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Формулировка, известная с древности(около 1400 г. до н.э.), в переводе читается так: " площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". СПОСОБЫ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА. На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы, она занесена в книгу рекордов Гиннеса. Самые известные методы 7 доказательства: методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства. Существует несколько основных приемов доказательства теоремы Пифагора: 1. Алгебраический метод. 2. Метод площадей. 3. Подобие треугольников. 4. Тригонометрический. 1.1 Доказательство методом площадей (школьный метод): Достроим ΔАВС до квадрата со сторонойа+b S = 4SΔ+ S□ S = (a+b)2 SΔ= 1ab 2 ∟1 + ∟2 = 90° (по свойству прямоугольного треугольника) ∟1 + ∟2 + ∟3 = 180° (развернутый угол) ∟3 = 90° Аналогично можно доказать, что все остальные углы ромба равны 90°. Таким образом, внутри - квадрат со стороной с. (а+b)2 = 4 ·1аb + с2 2 а2+ 2аb +b2 = 2аb + с2 а2+ b2 = с2 8 1.2Доказательство Басхари «Смотри!»: Доказательство великого индийского математика Басхари сопровождало лишь одно слово: СМОТРИ! Внутри – квадрат со сторонойb–a. (b - a)2 = c2 - 4 · 1аb 2 b2 - 2ab + a2 = c2 – 2ab b2 + a2 = c2 2.1 Доказательство через равнобедренные треугольники: Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник.На его сторонах строят квадраты. Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник. На его сторонах строят квадраты. Квадраты, построенные на катетах исходного треугольника, содержит по 2 таких треугольника. Квадрат, построенный на гипотенузе исходного треугольника, содержит четыре таких треугольника. Получим, что квадрат, построенный на гипотенузе, равен сумме квадратов, построенных на катетах: с2 = a2 + b2 9 2.2 Доказательство древних индусов: На рисунке изображено два разных квадрата со сторонами а+b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из прямоугольных треугольников и квадратов. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b, то останутся равные площади, т. е. с 2= а2+ b2 2.3 Доказательство методом вычитания: Знакомый чертеж Пифагора заключим в прямоугольную рамку, направление сторон которой совпадает с направлением катетов прямоугольника. Продолжим некоторые из отрезков фигуры так, как указано на рисунке, при этом прямоугольник разделится на несколько треугольников, прямоугольников и квадратов. Выбросим сначала несколько частей так, чтобы остался лишь квадрат, построенный на гипотенузе. Эти части следующие части: 10 1. 2. 3. 4. Треугольники 1, 2, 3, 4. Прямоугольник 5. Прямоугольник 6 и квадрат 8. Прямоугольник 7 и квадрат 9. Затем выбросим из прямоугольника части так, чтобы остались только квадраты, построенные на катетах. Эти части будут: 1. 2. 3. 4. Прямоугольники 6 и 7. Прямоугольник 5. Прямоугольник 1. Прямоугольник 2. Из рисунков ясно, что: 1. 2. 3. 4. Прямоугольник 5 равен самому себе. Треугольники 1, 2, 3, 4 равны прямоугольникам 6 и 7. Прямоугольник 6 и квадрат 8 (вместе) равновелики прямоугольнику 1. Прямоугольник 7 и квадрат 9 (вместе) равновелики прямоугольнику 2 2.4 Доказательство Леонардо да Винчи: Рассмотрим чертеж, как видно из симметрии, отрезок CI рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части(т.к. ΔABC = ΔIHJ по построению). Пользуясь поворотами вокруг точки А на 90° мы устраиваем равенство фигур CAJI и DABG. Площадь закрашенной фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов(построенных на катетах) и площади исходного треугольника ABC. Так же она равна половине площади большого квадрата(построенного на гипотенузе) плюс площади исходного треугольника ABC. Таким образом, половина суммы меньших квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадратов, построенных на гипотенузе, т.е. 𝑎2 2 𝑎2 2 + 𝑏2 2 + S∆ = + 𝑏2 2 𝑐2 =2 𝑐2 2 + S∆ 11 𝑎2+ b2 = c2 2.5 Доказательство Эйнштейна: Точки Е, С, F лежат на одной прямой, это следует из нескольких несложных расчетов градусной меры угла ECF(он развернутый). Проведем CD⟘EF. Продолжим вверх левую и правую стороны квадрата, построенного на гипотенузе, до пересечения с EF. Продолжим сторону ЕА до пересечения с CD. Соответственно равны треугольники одинаково пронумерованные. (1+2+3+4)+(5+6+7+8)= (1+2+3+4+5+6+7+8) b2 + а2 = с2, т.е. а2 + b2 = с2 2.6 Доказательство Евклида: 1. Рассмотрим ΔАВС: ˪С=90° АВ = с, ВС = а, АС = b. СН = h, АН = bс – проекция катета b на гипотенузу. ВН = ас – проекция катета a на гипотенузу. 1. На сторонах ΔABC построим квадраты со сторонами а, b, с. 2. Проведем луч СН⟘ АВ – гипотенузе. Луч СН делит квадрат ABJK на два прямоугольника AHTK и BJTH. Очевидно, что S□ = S□+ S□ = S□b+ S□а 3. Рассмотрим вспомогательные треугольники: ΔACK и ΔABD AK = AB = c AC = AD = b ∟CAK = 90° + ∟CAB = ∟DAB ΔACK = ΔABD (по двум сторонам и углу между ними). SΔACK = S∆ABD 1 c·bс = 1b·b 2 2 1 1 2 S□ = b 12 2 1 2 S□ = 1S□b 2 2 S□= S□b 4. Аналогично можно чтоS□ = S□a 5. S□c = S□ + S□ S□c = S□a +S□b доказать, с2 = a2 + b2 2.7 Доказательство методом Гофмана: Построим ΔАВС с ∟С=90° Построим BF=CB, BF⟘CB BE=AB, BE⟘AB AD=AC, AD⟘AC Получили равнобедренные прямоугольные треугольники, острые углы в них по 45̊. Тогда точкиF, C, D принадлежат одной прямой, т.к. образуется развернутый угол DCF. Четырехугольники ADFB и ACBE равновелики, т. к. ΔABF = ΔBCE (по двум сторонам и углу между ними). Отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них ΔАВС, получим: SACD+ SBCF =SABE, т.е. а + 1b2 = 1с2. 1 2 2 2 2 Соответственно: a2 + b2 = с2 2.7 Доказательство, основанное на разрезании квадратов («колесо с лопастями» - Перигаль): Этот метод основан на 13 разрезании квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе. О – центр квадрата, построенного на большем катете (см. рис.) Через т. О проводят прямую, параллельную гипотенузе перпендикулярную гипотенузе. и прямую, Квадрат разрезают. Его части и второй квадрат укладывают на квадрат, построенный на гипотенузе. 3.1 Доказательство через подобие треугольников: В ΔАВС ∟С = 90° 1. Проведем высоту СН 2. Рассмотрим ΔАСН и ΔАВС ΔАСН~ΔАВС (по двум углам) 𝑏 с ℎ а = = АН 𝑏 3. Рассмотрим ΔВСН и ΔАВС ΔВСН ~ ΔАВС (по двум углам) а с = 4. а = с ℎ = 𝑏 ВН а ; ВН (по определению). а b с ВН; АН = b а2 = с ∙ b2 = с ∙ АН а2 + b2 = с ∙ ВН + с ∙ АН а2 + b2 = с ∙ (ВН + АН) а2 + b2 = с2 14 4.1 Доказательство по косинусу: Cos A = прилежащий катет гипотенуза 1. В ΔАВС: ∟С = 90°. Проведем высоту СН = h. 2. ΔАСН: ∟Н = 90° bc АН cos А = = 𝑏 АС 3. ΔАВС: ∟С = 90° 𝑏 АС cos А = = с АВ АН АС 4. = АС АВ АС2= АН + АВ b2 = bс + с 5. ΔВСН: ∟Н = 90° 𝑎𝑐 𝐵𝐻 cos В = = а 𝐵𝐶 6. ΔАВС: ∟С = 90° а ВС cos В = = с АВ 𝐵𝐷 𝐵𝐶 7. = 𝐵𝐶 𝐴𝐵 15 BC2 = BD ∙ AB a2 = ac ∙ c а2 + b2 = bc ∙ с + ас ∙ с а2 + b2 = с ( bc + ас) а2 + b2 = с2 Теорема Пифагора получила много различных названий: «теорема бабочки», «теорема невесты», теорема «100 быков», «бегство убогих», «ветреная мельница», «мост ослов». Думаю, только по количеству названий, теорему можно считать уникальной! 16 УЧЕНИЧЕСКИЕ ШАРЖИ. В средневековье для легкого запоминания теоремы Пифагора было придумано много стихов, рисовались шаржи. Отрубил Иван-царевич дракону голову, а у него две новые выросли. На математическом языке это означает: провели в Δ АВС высоту CD, и образовалось два новых прямоугольных треугольника ADC и BDC. О теореме Пифагора И. Дырченко Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим — И таким простым путем К результату мы придем. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ. Теорема Пифагора находит применение не только в математике, но и в астрономии и даже литературе. В математике теорему используют для решения задач, для доказательства других теорем. Что касается литературы, то теорема Пифагора вдохновляла писателей со времен античности и продолжает это делать в наше время. А в двадцатом веке советский писатель Евгений Велтистов в книге «Приключения Электроника» доказательствам теоремы Пифагора отвел целую главу. И еще полглавы рассказу о двухмерном 17 мире, какой мог бы существовать, если бы теорема Пифагора стала основополагающим законом и даже религией для отдельно взятого мира. Жить в нем было бы гораздо проще, но и гораздо скучнее: например, там никто не понимает значения слов «круглый» и «пушистый». А еще в книге «Приключения Электроника» автор устами учителя математики Таратара говорит: «Главное в математике – движение мысли, новые идеи». Именно этот творческий полет мысли порождает теорема Пифагора – не зря у нее столько разнообразных доказательств. Она помогает выйти за границы привычного, и на знакомые вещи посмотреть по-новому. Задача №1 Дано: ΔАВС ∟С = 90° АС = 8 см ВС = 6 см Найти: АВ Решение: а2 + b2 = с2 ВС2 + АС2 = АВ2 62 + 82 = АВ2 36 + 64 = АВ2 АВ2 = 100 Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АВ = ± 10. АВ = – 10 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АВ = 10. АВ = 10 см. Ответ: 10 см 18 Задача 2 Дано: ΔАВС ∟С = 90° АВ =13 см ВС = 12 см Найти: АС Решение: а2 + b2 = с2 ВС2 + АС2 = АВ2 122 +АС2 = 132 144 +АС2 = 1692 АС2 = 25 АС = 5 Из курса алгебры известно, что уравнение АВ2 = 100 имеет два корня: АС = ± 5. АС = – 5 не удовлетворяет условию задачи, так как длина стороны треугольника всегда положительна. Значит, АС= 5 Ответ: АС = 5 см. 19 ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Теорема Пифагора – одна из главных теорем в геометрии. Значение ее в том, что с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии, например: в стереометрии (10 класс) при доказательстве теоремы о трех перпендикулярах, при доказательстве теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда. Она замечательна еще тем, что сама по себе она вовсе не является очевидной. Например, свойства равнобедренного треугольника, ромба можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Теорема Пифагора популярна по трем причинам: 1. простота; 2. красота; 3. значимость. 20
