Загрузил ulan.ashyrbaev

Практическая работа №1

реклама
Практическая работа №1
Тема: Построение и анализ простых математических моделей
Цель работы: Освоить навыки построения простых математических
моделей и использовать их для проведения исследований.
1. Теоретические сведения
Модель динамики популяций
Один из вопросов, который очень часто возникает в современной экологии,
состоит в следующем: как определить численность той или иной популяции
через определенное время? Ответ на него представляет не только теоретический
интерес, но и имеет большое практическое значение. Действительно, не зная
этого, нельзя правильно планировать эксплуатацию различных возобновляемых
природных ресурсов — промысловых рыб, охотничьих угодий и т. п. Может ли
в решении этого вопроса помочь математика? Оказывается, да.
Пусть некоторая популяция (сообщество особей одного вида) имеет в момент t0
биомассу х0. Предположим, что в каждый момент времени скорость увеличения
биомассы пропорциональна уже имеющейся биомассе, а возникающие явления
самоотравления снижают биомассу пропорционально квадрату наличной
биомассы. Если обозначить биомассу в момент t через x(t), а изменение ее за
время ∆t через ∆x, то можно записать следующее приближенное равенство:
где α и k— постоянные.
В дифференциальной форме это же соотношение имеет вид:
(1)
Оно и представляет собой математическую модель процесса изменения
биомассы популяций.
Это весьма упрощенная модель, так как предполагалось, что популяция не
взаимодействует ни с какими другими популяциями, учет же этого
обстоятельства, конечно, значительно усложняет модель.
Если поставить теперь вопрос о том, какова же будет биомасса в любой заданный
момент времени Т, то для отыскания ответа на него можно указать два пути: либо
дождаться этого момента и непосредственным измерением определить биомассу
(может статься, что эта задача физически неосуществима, например, как
измерить биомассу популяции китов в океане?), либо воспользоваться
математической моделью. Естественно, мы изберем последний путь.
Разделяя переменные в уравнении (1) и интегрируя его при условии x(t0)=x0,
находим следующее решение:
Отсюда уже можно определить биомассу в момент Т:
(2)
Рис. 1. Зависимость биомассы от времени при различных начальных значениях
х0.
2. Задание по практической работе
2.1. Составить программу (на любом языке программирования) и рассчитать
значение биомассы от времени на интервале [0,2] с шагом 0,01 по формуле (2).
Построить график и дать пояснения. Значения параметров заданы в таблице.
Номер варианта – номер студента по списку в журнале.
Вариант
x0
k
a
1
0,1
1
0,1
2
0,4
2
0,2
3
0,6
3
0,3
4
0,8
4
0,4
5
1
5
0,5
6
1,2
6
0,6
7
3
7
0,7
8
4
8
0,8
9
5
9
0,9
2.2. Составить программу (на любом языке программирования) и рассчитать
значение биомассы от времени на интервале [0,2] с шагом 0,01 по формуле (1).
Для этого использовать одним из любых известных методов численного
интегрирования (Эйлера, Ньютона, Рунге-Кутта и др.). Построить график,
сравнить с графиком из предыдущего расчета и дать пояснения.
2.3. Оформить отчет, включающий:
- титульный лист;
- задание;
- результаты выполнения по пунктам (с пояснениями);
3. Литература
3.1. Горстко А. Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. — М.:
Знание, 1991. — 160 с.
3.2. Хакимзянов Г.С. 162 Математическое моделирование : учеб, пособие / Г. С.
Хакимзянов, Л. Б. Чубаров, П. В. Воронина ; Новосиб. гос. ун-т. — Новосибирск:
РИЦ НГУ, 2014. - 263 с.
3.3. Аверченков В.И. Основы математического моделирования технических
систем : учеб. пособие [электронный ресурс] / В.И. Аверченков, В.П. Федоров,
М.Л. Хейфец. – 2-е изд., стереотип. – М. : ФЛИНТА, 2011. – 271с.
Скачать