11160027 Domasnijpraktik (2)

Вид работы
Дисциплина
Год
индивидуальный Теория вероятностей и
2021
практикум
математическая статистика
Направление факультет
Экономика
Преподаватель
МШБиМЭ
Заполняется студентом
ФИО студента
Заполняется преподавателем
Задание
1
2
3
4
Отметка
Макс. балл 0,5 0,5 0,5 0,5
Набрано
студентом
группа
вариант №
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Сумма
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
7
Выполнение заданий (для удобства формулировки заданий рекомендуется выписывать на отдельный
лист после подстановки № своего варианта вместо k)
Решение.
Дано:
1) ̅
Р1 =1-0,37=0,63
̅2 =1-0,42=0,58
Р1 = 0,37
Р
̅
Р2 = 0,42
Р3 =1-0,32=0,68
Р3 = 0,32
̅1 *Р
̅2 *Р
̅3
Найти:
2) P=1- Р
Р (обратился с иском хотя бы 1 клиент) - ?
P=1- 0,63*0,58*0,68=0,7515 или 75,15%
Ответ: 0,7515 или 75,15%
2. В продажу поступают телевизоры от трех производителей: 40% от первого производителя, 34% – от
второго, остальные от третьего. При этом первый производитель выпускает 24% телевизоров со
скрытым дефектом, второй, соответственно, 23%, а третий – 23,5%. Какова вероятность приобрести
исправный телевизор в этом магазине? Если в телевизоре обнаружен дефект, то какой производитель,
скорее всего, изготовил этот телевизор?
Решение.
Рассмотрим событие А={покупка исправного телевизора}. Так как исправный телевизор может быть
сделан одним из трех заводов, то введем следующие гипотезы:
H1 – купленный телевизор от первого производителя;
H2 – купленный телевизор от второго производителя;
H3 – купленный телевизор от третьего производителя.
Тогда вероятность события А будет вычисляться по формуле полной вероятности вида
n
P( A)   P( H i )  P( A | H i ) ,
i 1
где
P(Hi) – в нашем случае, вероятность покупки телевизора, i-го производителя (всё равно
какого);
P(A|Hi) – вероятность того, что купленный i-го завода телевизор исправен.
Вероятность P(Hi) определяется долей телевизоров на рынке и дана по условию, т.е.
𝑃(𝐻1 ) = 0,4 ; 𝑃(𝐻2 ) = 0,34 ; 𝑃(𝐻3 ) = 0,26.
Вероятность P(A|Hi) определяется долей исправных телевизоров в партии, которую можно получить,
если из всей партии вычесть долю брака, т.е.
𝑃(𝐴|𝐻1 ) = 1 − 0,24 = 0,76 ; 𝑃(𝐴|𝐻2 ) = 1 − 0,23 = 0,77 ; 𝑃(𝐴|𝐻3 ) = 1 − 0,235 = 0,765.
Подставляя данные получим
𝑃(𝐴) = 0,4 ⋅ 0,76 + 0,34 ⋅ 0,77 + 0,26 ⋅ 0,765 = 0,765.
Так как гипотезы очевидно несовместны, то можно применить формулу Бейеса
P( H i )  P( A | H i )
P( H i | A)  n
,
 P( H i )  P( A | H i )
i 1
1
где
P(Hi|A) – в нашем случае, вероятность того, что купленный исправный телевизор
изготовлен i-ым заводом.
Таким образом,
0,4⋅0,24
0,34⋅0,23
0,26⋅0,235
𝑃(𝐻1 |𝐴) =
= 0,41 ; 𝑃(𝐻2 |𝐴) =
= 0,33 ; 𝑃(𝐻3 |𝐴) =
= 0,26.
1−0,765
1−0,765
1−0,765
Если в телевизоре обнаружен дефект, то, скорее всего, изготовил этот телевизор 1 производитель.
Ответ: 0.765, 1 производитель.
3. 82% импортных поставок внешнеторговой компании доставляется в срок. Найдите наивероятнейшее
число поставок, доставленных в срок из 410 отправленных, и вероятность этого события.
Решение.
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства:
np – q ≤ m0 ≤ np + p
причем:
а) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число m0.
б) если число np – q – целое, то существуют два наивероятнейших числа, а именно m0 и m0 + 1.
в) если число np – целое, то наивероятнейшее число m0 = np.
По условию, n = 410, p = 0,82, q = 0,18.
Найдем наивероятнейшее число из двойного неравенства:
410*0,82 – 0,18 ≤ m0 ≤ 410*0,82 + 0,82
336,02 ≤ m0 ≤ 337,02
Поскольку число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число m0 = 337
Подставляя, получим
337 − 410 ⋅ 0,82
1
⋅𝜙(
)=
⋅ 0,397 = 0,0510.
√410 ⋅ 0,18 ⋅ 0,82
√410 ⋅ 0,18 ⋅ 0,82
√410 ⋅ 0,18 ⋅ 0,82
Ответ:m0=337, P=0,0510
𝑃410 (337) ≈
1
4. Фирма-посредник разыскивает нужный ей товар, который может находиться у каждого из 4-х
доступных ей поставщиков с вероятностью 0,62, путем последовательной отправки запросов. Фирма
не отправляет новый запрос после получения от поставщика ответа о наличии у него нужного товара
или после того, как все поставщики один за другим сообщили об отсутствии у них товара,
необходимого фирме. Составьте закон распределения числа запросов фирмы к поставщикам. Найдите
математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Закон распределения
0
1
2
3
4
Xi
0,0209
0,1361
0,333
0,3626
0,1478
Pi
(лишние клетки оставляйте незаполненными)
Решение.
1) M(Х) = 0*0,0209 + 1*0,1361 + 2*0,333 + 3*0,3626 + 4*0,1478 = 2,4811
2) D(X)=∑(𝑥𝑖 − 𝑀(𝑋))2 ∗ 𝑝𝑖
D(X) = (0 − 2,4811)2*0,0209 +(1 − 2,4811)2 *0,1361 + (2 − 2,4811)2*0,333 + (3 − 2,4811)2 *0,3626 +
(4 − 2,4811)2 *0,1478 = 0,943
Ответ: закон распределения задан таблицей выше, M(X) = 2,48, D(X) = 0,942 D(X) = 0,943
5. Непрерывная случайная величина задана функцией плотности распределения:
0
при
𝑥 ≤ 0,
при 0 < 𝑥 ≤ 22/5,
𝑓(𝑥) = {Cx
1
при
𝑥 > 22/5.
Найдите: а) параметр С; б) функцию распределения; в) М(X); г) P(X22/10)
Ответы даются в целых числах или простых дробях/смешанных числах без округления
Решение.
Найдем параметр C из условия:
Для нашей функции:
2
22/5
22/5
∫
0
𝑥2
𝐶𝑥𝑑𝑥 = 1 → 𝐶 ⌋
2 0
222
25
=1→𝐶
=1→𝐶=
50
242
𝑥
0, 𝑥 ≤ 0,
2
25𝑥
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = {
, 0 < 𝑥 ≤ 22/5,
484
1, 𝑥 > 22/5,
−∞
22/5
𝑀(𝑋) = ∫
0
22/5
25 2
25 𝑥 3
𝑥 𝑑𝑥 =
⌋
242
242 3 0
=
25 484
44
=
11 3 ∙ 125 15
Вероятность того, что случайная величина Х примет значение из интервала [a,b] равна:
P(a < x < b) = F(b) - F(a)
484∙25
P(x>22/10) = 1 - F(22/5) =1 - 484∙100= 1-1/4=3/4
25𝑥 2
Ответ: а) C=25/242, б) F(X) =
, 0 < 𝑥 ≤ 22/5, в) M(X) = 44/15 г) P(X>22/10)=3/4
484
6. В нормально распределенной совокупности 27% значений X меньше 33 и 47% значений X больше
39. Найдите основные числовые характеристики этой совокупности.
Решение.
Используем формулу для нормально распределенной случайной величины
33 − a
−∞ − a
P(−∞ < X < 33) = Ф (
)− Ф(
) = 0,27
σ
σ
{
∞−a
39 − a
P(39 < X < ∞) = Ф (
) − Ф(
) = 0,47
σ
σ
33 − a
Ф(
) − Ф(−∞) = 0,27
σ
{
39 − a
Ф(∞) − Ф (
) = 0,47
σ
33 − a
Ф(
) + 0,5 = 0,27
σ
{
39 − a
0,5 − Ф (
) = 0,47
σ
33 − a
Ф(
) = −0,23
σ
{
39 − a
Ф(
) = 0,03
σ
𝑎−33
= 0,62
𝜎
39−𝑎
= 0,08
a-33=0,62𝜎; а=0,62𝜎+33
39-a = 0,08𝜎; 39-0,62𝜎- 33=0,08𝜎; 6=0,7𝜎 ; 𝜎 = 8,5714
62∗60
а=100∗7 +33=38,3143
𝜎 = 8,57
𝜎
a=38,31
Ответ: M(X) =a= 38,31, σ(X) = σ=8,57
3
7. По заданной таблице распределения заработной платы X работников предприятия (в у.е.) найдите x
и s.
332
364
396
428
460
Xmin 300
364
396
428
460
492
Xmax 332
10
20
30
25
10
5
m
Решение.
Таблица для расчета показателей.
𝑓𝑖 (нак.) |x-xср|·fi (x-xср)2·fi Относительная частота, fi/f
̅𝒊
̅𝒊 ∗ 𝒎
𝒙
m
𝒙
Группы
[300 – 332) 316 10 3160
10
704
49561.6
0.1
[332 – 364) 348
[364 – 396) 380
[396 – 428) 412
20
30
25
6960
11400
10300
30
60
85
768
192
640
29491.2
1228.8
16384
0.2
0.3
0.25
[428 – 460) 444
10
4440
95
576
33177.6
0.1
[460 – 492) 476
5
2380
100
448
40140.8
0.05
3328
169984
1
Итого
𝑥̅ =
100 38640
38640
= 386,4
100
s=√
169984
= 41,23
100
Ответ: x =386,4, s =41,23.
8. Для исследования среднего дохода (в усл. ден. ед.) на душу населения в регионе опрошено 100 семей.
Оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения составили: x =2620, σx=62.
Полагая среднедушевой доход в регионе нормально распределенной случайной величиной, определите
долю семей, чей среднедушевой доход лежит в пределах от 2300 до 2700.
Решение.
Вероятность попадания величины X в заданный интервал
(α ; β).
Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т.е. Ф(-x) = -Ф(x), получим:
Ответ: 0,9
9. Дневной объем экспорта 5 международных компаний (в тыс. у.е.) составил: 32, 37, 42, 39, x5.
Учитывая, что 𝑥̅ =38, найдите выборочную дисперсию s2.
Решение.
Уравнение относительно неизвестного X5:
38=(32+37+42+39+x5)/5
x5=40
Теперь найдем выборочную дисперсию
s2=(36+1+16+1+4)/4=14,5
Ответ: s2 = 14,5
4
10. По данным 16 сотрудников организации, где работает 420 человек, среднемесячный заработок
составил 520 у.е. со стандартным отклонением s=92 у.е. Каков минимальный размер фонда оплаты
труда должен быть заложен руководством организации, чтобы с вероятностью 0,98 гарантировать
начисление заработной платы всему персоналу?
Решение.
Найдем доверительный интервал для математического ожидания (средней зарплаты на одного
работника) по формуле:
𝟓𝟐𝟎 − 𝟐, 𝟑𝟑
𝟗𝟐
√𝟏 −
𝟏𝟔
𝟗𝟐
𝟏𝟔
√𝟏 −
< 𝒂 < 𝟓𝟐𝟎 + 𝟐, 𝟑𝟑
𝟒𝟐𝟎
𝟒𝟐𝟎
√𝟏𝟔
√𝟏𝟔
𝟒𝟔𝟕, 𝟒𝟒 < 𝒂 < 𝟓𝟕𝟐, 𝟓𝟔
t определяется по доверительной вероятности из Лапласа t(0, 98)  1(0, 98 / 2)  1(0, 49)  2,33
Тогда для всех сотрудников фонд заработной платы находится в пределах от 196325,1 у.е. до 240474,9
у.е. На счету должна быть сумма 240474,9 у.е., чтобы обеспечить выплату зарплаты всем сотрудникам
с вероятностью 0,98.
Ответ: 240474,9 y.e.
11. Компания, которая планирует размещение рекламы на канале N, провела опрос 620 телезрителей,
из которых данный канал смотрели 370 человек. С вероятностью 0,9 найдите максимальную долю
телезрителей, которые в случае просмотра канала могут быть охвачены рекламой.
Решение.
t =Ф-1(ϒ/2)= Ф-1(0,9/2)= Ф-1(0,450)=1,7
Подставим данные:
𝟑𝟕
𝟑𝟕
𝟑𝟕
𝟑𝟕
𝟑𝟕
√𝟔𝟐 (𝟏 − 𝟔𝟐)
√𝟑𝟕/𝟔𝟐(𝟏 − 𝟔𝟐)
− 𝟏, 𝟕
<р<
+ 𝟏, 𝟕
𝟔𝟐
𝟔𝟐𝟎
𝟔𝟐
𝟔𝟐𝟎
0,563 <p < 0,631.
Лучший вариант охвата телезрителей – 63,1% телезрителей.
Ответ: 63,1%
12. Согласно утверждению автоэксперта, автомобиль расходует на 100 км пробега 8 л бензина. По
результатам 10 испытаний установлено: средний расход бензина составил 10,5 л, а исправленное
стандартное отклонение – 3,2 л. Требуется проверить справедливость утверждения автоэксперта на
уровне значимости 0,05.
Решение.
Пусть a - средний расход бензина на 100 км пробега. Введем гипотезу H0: a = 8 при конкурирующей
гипотезе H1: a > 8 и проверим ее. Вычислим наблюдаемое значение критерия:
10,5−8
𝑈набл. = 3,2 √10 =2,47
Найдем критическую точку Uкр = 1,645.
Так как Uнабл. > Uкр., нулевую гипотезу следует отвергнуть при данном уровне значимости, данные
утверждения автоэксперта не соответствуют действительности.
Ответ (словами, вывод): данные утверждения автоэксперта не соответствуют действительности.
13. ТНК утверждает, что контролирует 40% мирового рынка товаров определенной категории.
Проверьте обоснованность этого утверждения на уровне значимости 0,05, если в результате
выборочного исследования установлено, что из 520 контрагентов 320 осуществляли поставки товаров
заданной категории от ТНК.
Решение.
Введем нулевую гипотезу H0: p=0,4 при конкурирующей гипотезе H1: p≠0,4 . Вычислим наблюдаемое
значение критерия по формуле:
𝑈набл. =
320
−0,4
520
√0,4∙0,6
√520 = −0,215 ∙ 46,55 = −10,03
Найдем критическую точку Uкр = 1,96.
Так как Uнабл.=10,03>1,96=Uкр, нулевую гипотезу следует отвергнуть при данном уровне значимости,
утверждение ТНК несправедливо.
5
Ответ (словами, вывод): утверждение ТНК несправедливо.
14. Студенты решили (171) задач по теории вероятностей из 266 задач, а из 366 задач по
математической статистике они решили 206 задач. Можно ли на уровне значимости 0,05 утверждать,
что оба раздела одинаково усвоены студентами?
Решение.
Пусть p1 - процент студентов, решающих теорию вероятности, p2 - процент студентов, решающих
математическую статистику. Введем нулевую гипотезу H0: p1=p2 при конкурирующей гипотезе H1:
p1≠ p2. Вычислим наблюдаемое значение критерия по формуле:
171 206
266 − 366
𝑈набл. =
= 2,02
171
+
206
171
+
206
1
1
√
√
266 + 366 (1 − 66 + 366 )(266 + 366)
Найдем критическую точку Uкр = 1,96.
Так как Uнабл.=2,02>1,96=Uкр, нулевую гипотезу следует отвергнуть на данном уровне значимости,
можно утверждать, что разделы усвоены неодинаково.
Ответ (словами, вывод): можно утверждать, что разделы усвоены неодинаково
Подпись студента, подтверждающая самостоятельное
выполнение заданий и знакомство с инструкцией практикума
√
6