Загрузил AProskurinA

дз

реклама
СТАРООСКОЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. А.А.УГАРОВА
(ФИЛИАЛ) ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО АВТОНОМНОГО
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»
Кафедра АИСУ
ДОМАШНЯЯ РАБОТА
по дисциплине «Организация эксперимента»
на тему: «Аппроксимация функций по методу наименьших квадратов»
Вариант 7
Выполнила: ст. гр. ЭТ-18-1д
Лазарева Ольга
Проверила: д.ф.-м.н., профессор
Половинкин И.П.
Старый Оскол, 2019
Задание №1
Аппроксимировать функцию, заданную таблицей, с помощью линейной модели
варианта по методу наименьших квадратов.
Данные эксперимента считывать из текстового файла, в котором значения
функции задаются в последнем столбце. Количество экспериментальных точек и
количество переменных подсчитывать программно. В соответствии с моделью
сформировать регрессионную матрицу и составить систему линейных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов. Решить систему уравнений методом
Гаусса. Вывести найденные коэффициенты модели, а также таблицу экспериментальных значений функции и значений вычисленных по модели.
Вариант 7
y  a0  a1  x1  a2  x2  a3  x
2
3
x1
5.00
5.20
5.30
5.50
5.70
6.00
6.20
6.50
6.60
6.80
7.00
7.50
x2
2.00
2.50
2.80
3.10
3.50
3.30
3.00
2.90
2.60
2.40
2.10
1.80
y
x3
1.00
0.80
0.70
0.50
0.40
0.20
0.10
0.30
0.60
0.90
1.10
1.50
8.556
8.360
8.817
8.654
9.189
7.860
6.964
6.720
6.860
8.040
8.640
11.520
Решение:
Метод наименьших квадратов (в англоязычной литературе Ordinary Least
Squares, OLS) - математический метод, основанный на определении аппроксимирующей функции, которая строится в ближайшей близости от точек из заданного массива экспериментальных данных. Близость исходной и аппроксимирующей функции F(x) определяется числовой мерой, а именно: сумма квадратов отклонений экспериментальных данных от аппроксимирующей кривой F(x) должна быть наименьшей.
Рис. 1 Аппроксимирующая кривая, построенная по методу наименьших квадратов
Аппроксимирующая функция по методу наименьших квадратов определяется из
условия минимума суммы квадратов отклонений ( i ) расчетной аппроксимирующей
функции от заданного массива экспериментальных данных. Данный критерий метода наименьших квадратов записывается в виде следующего выражения:
N
N
i 1
i 1
2
 i2   F ( xi )  yi   min
F ( xi ) - значения расчетной аппроксимирующей функции в узловых точках xi ,
yi - заданный массив экспериментальных данных в узловых точках xi .
Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.
В нашем случае задача заключается в нахождении коэффициентов a0 , a1 , a2 , a3 :
N

i 1
N
2
i
 S (a0 , a1 , a2 , a3 )   (( a0i  a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x32i )  yi ) 2
i 1
Необходимым условием существования минимума функции является равенство
нулю ее частных производных по неизвестным переменным a j (j=0,…,3).
S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a0

S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a1


S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a2

S (a0 , a1 , a2 , a3 )

a3
0
0
0
0
В результате получим следующую систему уравнений:
 N
2   (( a0i
 i 1
 N
2   (( a0i
 i 1
 N
2  (( a
0i
 
i 1
 N
2  (( a
0i
 
i 1
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  0
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  x1i  0
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  x2i  0
 a1i  x1i  a2i  x2i  a3i  x33i )  yi )  x32i  0
Преобразуем полученную линейную систему уравнений: раскроем скобки и
перенесем свободные слагаемые в правую часть выражения. В результате полученная система линейных алгебраических выражений будет записываться в следующем
виде:
N
N
N
N

2
a

N

a

x

a

x

a

x

yi




0
1
1
i
2
2
i
3
3
i

i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N

2
2
a

x

a

x

a

x

x

a

x

x

yi  x1i

1  1i
2  1i
2i
3  1i
3i
 0  1i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
a  x  a  x  x a  x 2  a  x  x 2 
yi  x2i

2i
1  1i
2i
2  2i
3  2i
3i
 0 
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
a  x 2  a  x  x 2 a  x  x 2  a  x 4 
yi  x32i

3i
1  1i
3i
2  2i
3i
3  3i
 0 
i 1
i 1
i 1
i 1
i 1
Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана
в матричном виде:
12a0  73,30  a1  32,00  a2  7,31  a3  100,18
73,30  a  454,61  a  193,77  a  47,33  a  613,80

0
1
2
3

32,00  a0  193,77  a1  88,42  a2  16,20  a3  264,02
7,31  a0  47,33  a1  16,20  a2  9,06  a3  68,21
Решим ее методом Гаусса в MathCad:
 12

73.3
A  
 32.00
 7.31



454.61 193.77 47.33 
193.77 88.42 16.2 

47.33 16.2 9.06 
73.3
32.0
 12

73.3
C  augment ( A b )  
 32.0
 7.31

 100.18 


613.80 

b 
 264.02 
 68.21 


7.31
73.3
32.0
7.31 100.18 


193.77 88.42 16.2 264.02 

47.33 16.2 9.06 68.21 
454.61 193.77 47.33 613.8
 1.0

0
D  rref ( C)  
0
0



1.0 0.0 0.0 0.55377843003612101954 
0 1.0 0.0 2.9071568716978356501 

0 0 1.0 3.9594134454256896872 
0.0 0.0 0.0
1.5666355617712615264
 1.5666355617712615264 


0.55377843003612101954 

a  submatrix( D 0 3 4 4) 
 2.9071568716978356501 
 3.9594134454256896872 


Отсюда, искомое уравнение имеет следующий вид:
y  1.567  0.554  x1  2.907 x2  3.959  x32
Y экспер
8.556
8.36
8.817
8.654
9.189
7.86
6.964
6.72
6.86
8.04
8.64
11.52
Y теор
8,57
8,49
8,71
8,52
9,22
8,00
6,89
6,75
6,90
7,99
8,59
11,55
Задание №2
Аппроксимировать функцию, заданную таблицей, с помощью нелинейной модели варианта по методу наименьших квадратов.
y  a0  x1a  x2a  x3a 3
1
2
x1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2,2
x2
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
y
x3
0,97
0,94
0,91
0,88
0,85
0,82
0,79
0,76
0,73
0,7
0,67
0,64
61,6
68,37
75,5
82,02
87,58
93,03
3,6
3,8
3,83
3,93
3,96
3,98
Решение:
Для применения метода наименьших квадратов степенная функция линеаризуется:
ln( y )  ln( a0 )  a1 ln( x1 )  a2 ln( x2 )  a3 ln( x3 )
Поиск неизвестных коэффициентов осуществляется по методу наименьших квадратов в соответствии со следующей системой уравнений.
N
N
N
N

ln(
a
)

N

a

ln(
x
)

a

ln(
x
)

a

ln(
x
)

ln( yi )




0
1
1i
2
2i
3
3i

i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N

2
ln(
a
)

ln(
x
)

a

ln(
x
)

a

ln(
x
)

ln(
x
)

a

ln(
x
)

ln(
x
)

 1i
 ln( yi )  ln( x1i )
0
1 
1i
2 
1i
2i
3 
1i
3i


i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
ln( a )   ln( x )  a   ln( x )  ln( x ) a   ln( x ) 2  a   ln( x )  ln( x )   ln( y )  ln( x )
0
2i
1
1i
2i
2
2i
3
2i
3i
i
2i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

N
N
N
N
N
ln( a )   ln( x )  a   ln( x )  ln( x ) a   ln( x )  ln( x )  a   ln( x ) 2   ln( y )  ln( x )
0
3i
1
1i
3i
2
2i
3i
3
3i
i
3i

i 1
i 1
i 1
i 1
i 1

Данная система линейных алгебраических выражений может быть переписана
в матричном виде:
12 ln( a0 )  5.736  a1  6.592  a2  2.704  a3  34.167
5.736  ln( a )  3.301  a  1.925  a  1.626  a  13,109

0
1
2
3

6.592  ln( a0 )  1.925  a1  7.242  a2  0.742  a3  28.654
 2.704  ln( a0 )  1,626  a1  0.742  a2  0.812  a3  5,731
Решим ее методом Гаусса в MathCad:
 12

5.736
A  
 6.592
 2.704

5.736
6.592
2.704 

3.301 1.925 1.626 
1.925 7.242 0.742 

1.626 0.742 0.812 
 12

5.736
C  augment( A B)  
 6.592
 2.704

 1.0

0
D  rref ( C)  
0
0

 34.167 


13.109 

B 
 28.654 
 5.731 


5.736
6.592 2.704 34.167 
3.301
1.925 1.626 13.109 
1.925

7.242 0.742 28.654 

1.626 0.742 0.812 5.731 
0.0 0.0 0.0 0.68088721986745274023 


0 1.0 0.0 2.9897138464612504478 

0 0 1.0 2.4403186142200655085 
1.0 0.0 0.0 2.2466494453572282602
 0.68088721986745274023 


2.2466494453572282602 

a  submatrix( D 0 3 4 4) 
 2.9897138464612504478 
 2.4403186142200655085 


ln( x)
0.68088721986745274023 solve  1.9756297728781127109
Отсюда, искомое уравнение имеет следующий вид:
y  1,976  x12, 247  x22,990  x32, 440
Y экспер
61,6
68,37
75,5
82,02
87,58
93,03
3,6
3,8
3,83
3,93
3,96
3,98
Y теор
60,65621
68,30893
75,54406
82,22049
88,21381
93,41701
3,661179
3,787569
3,876425
3,926488
3,937191
3,908649
Скачать