Osnova predmetu Optimalizačné metódy/Operačná analýza/Operačné a dispečerské riadenie 1. Definícia optimalizácie (vo všeobecnosti, lineárnej). Formulácia úloh lineárneho programovania (LP), typy riešenia lineárnych optimalizačných modelov (LOM), grafické riešenie úlohy LP. 2. Formulácia maximalizačného LOM a jeho riešenie pomocou Simplexovho algoritmu. 3. Formulácia minimalizačného LOM a jeho riešenie pomocou Simplexovho algoritmu (dvojetapový postup riešenia, zavedenie pomocných premenných a pomocnej účelovej funkcie). 4. Dualita, vysvetliť princíp duality, silná a slabá veta o dualite, vzťah primárneho a duálneho modelu. 5. Formulácia zmiešaného LOM a jeho riešenie pomocou duálneho Simplexovho algoritmu. Osnova predmetu Optimalizačné metódy/Operačná analýza/Operačné a dispečerské riadenie 6. Analýza citlivosti riešenia LOM – diskrétna a spojitá analýza, riešenie diskrétnej zmeny vo vektore b, c, x. 7. Formulácia dopravných modelov. 8. Dopravné modely – metóda SZ rohu, indexova metóda, Vogelova aproximačná metóda. 9. Dopravné modely ‐ metóda potenciálov, Dantzigova metóda. 10. Sieťová analýza – sieťový diagram, incidenčná matica, Ganntov úsečkový diagram. 11. Sieťová analýza – histogram požiadaviek na zdroje, vyrovnanie zdrojov v čase. 12. Sieťová analýza – rozvrh obmedzených zdrojov. Formulácia úloh lineárneho programovania (LOM) Ciele prednášky: • • • • Definovať pojem optimalizácia. Formulovať úlohu lineárneho programovania. Klasifikovať typy riešenia LOM. Grafické riešenie úlohy lineárneho programovania (LP). 1. Optimalizácia Optimalizácia je stanovovanie extrému danej funkcie f(x) na danej množine M. Funkcia, pre ktorú sa má stanoviť extrém, sa nazýva účelová funkcia a množina, na ktorej sa extrém hľadá, sa nazýva množina prípustných riešení a býva opísaná nejakými obmedzeniami v tvare rovníc a nerovníc. / Lineárna optimalizácia predpokladá, že všetky podmienky resp. obmedzenia, ale aj všetky získané riešenia sú vyjadrené v lineárnom tvare. 1. Optimalizácia Úlohou metód lineárnej optimalizácie je potrebné nájsť extrém (MIN/MAX) lineárnej formy viacerých premenných pri existencii podmienok, vyjadrenými lineárnymi rovnicami resp. nerovnicami. Úlohou je teda nájsť vektor optimálneho riešenia x, ktorý extremalizuje lineárnu účelovú funkciu f(x) a vyhovuje obmedzeniam v lineárnom tvare. 2. Formulácia lineárneho optimalizačného modelu Lineárny optimalizačný model (LOM) pozostáva z troch častí: • Podmienka nezápornosti – vyjadruje požiadavku, aby premenné zastupujúce reálne procesy boli nezáporné. 0 • Vlastné obmedzenia – tvoria jadro LOM a charakterizujú štruktúru činností, ktoré sú v úlohe modelované. • Účelová funkcia – lineárna funkcia vektora x vyjadrená pomocou vektora cien c. 2. Formulácia lineárneho optimalizačného modelu Príklad: Je potrebné navrhnúť taký výrobný program, ktorý zabezpečí maximálny zisk z výroby a predaja výrobkov V1 a V2 pri obmedzenom disponibilnom množstve suroviny S (24 000 kg), pri obmedzenom využiteľnom časovom fonde výrobného zariadenia K (32 000 hodín) a pri obmedzenom počte pracovníkov P (disponibilný časový fond je 12 000 hodín). Norma spotreby suroviny S činí 6 kg na 1 výrobok V1, 4 kg na 1 výrobok V2. Na zariadení K je jeden výrobok V1 spracovávaný 4 hodiny a jeden výrobok V2 8 hodín. Súhrnná norma času pracovníkov P na zhotovení jedného výrobku V1 aj V2 je 2 hod. Zisk z jedného výrobku V1 je 8 finančných jednotiek a z jedného výrobku V2 je to 10 finančných jednotiek. Podmienka nezápornosti 0 x1 0 x2 0 Účelová funkcia Vlastné obmedzenia A 6 x1 4 x1 2 x1 f max 8 x1 10 x2 b 4x2 8x2 2x2 24000 32000 12000 3. Typy riešenia LOM • Optimálne riešenie LOMjeje jevektor také bázické riešenie, vx,ktorom hodnota Bázické riešenie LOM riešenia x, ktorého prvky tvoria Prípustné riešenie LOM každý vektor riešenia ktorý vyhovuje účelovej dosahuje extrém. lineárne funkcie nezávislú sústavu. V grafickom zobrazení sú to vrcholy vlastným obmedzeniam a podmienke nezápornosti. konvexného mnohouholníka. x2 bázické riešenie optimálne riešenie prípustné riešenie f x1 podmienka nezápornosti vlastné obmedzenia 3. Typy riešenia LOM Existujú aj množiny prípustných riešení, ktoré nie sú uzavreté. Môžu byť prázdne alebo otvorené zhora alebo zdola. a) Prázdna množina prípustných riešení. b) Na ohraničenej množine prípustných riešení v bode x1opt dosahuje „z“ minimum a v bode x2opt maximum. c) Redundantné optimálne riešenie pre zmin (xopt je nekonečne veľa). 3. Typy riešenia LOM d) Na zhora otvorenej množine prípustných riešení v bode xopt dosahuje „z“ minimum. e) Na zhora otvorenej množine prípustných riešení zmax neobmedzene rastie. f) Na zdola otvorenej množine prípustných riešení v bode xopt dosahuje „z“ maximum. g) Na zdola otvorenej množine prípustných riešení zmin neexistuje (resp. zmin = 0, ak platí podmienka nezápornosti). 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 1 Matematický model: 3xZ+2xV ≤ 6 xZ+2xV ≤ 5 xZ,xV ≥ 0 Zmax = 5xZ+2xV → max Podmienky nezápornosti: riešenie v prvom kvadrante 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 1 Prvé ohraničenie: 3xZ+2xV ≤ 6 Hraničná priamka obsahuje body (2,0) a (0,3) Nerovnici vyhovujú body vľavo od hraničnej priamky 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 1 Druhé ohraničenie: xZ+2xV ≤ 5 Hraničná priamka obsahuje body (5,0) a (0,2.5) Nerovnici vyhovujú body pod hraničnou priamkou 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 1 Množina prípustných riešení: prienik •prvého kvadrantu •ružového trojuholníka •modrého trojuholníka 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 1 Body s tou istou hodnotou účelovej fcie Z ležia na priamke p: 5xZ+2xV = konst Keď sa mení Z, priamka p sa posúva rovnobežne Optimálne riešenie: tam, kde je posledný prienik priamky p s prípustnou množinou Optimálne riešenie: xopt = (2,0), Zmax = 5.2+2.0 = 10 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 2 Ako ilustračný príklad použijeme úlohu o optimálnom využití výrobných prostriedkov: Podnik vyrába dva druhy výrobkov V1 a V2. Oba druhy sa vyrábajú zo surovín S1 a S2. Na výrobu 1 ks výrobku V1 sa spotrebuje 1 kg suroviny S1 a rovnaké množstvo suroviny S2. Na výrobu 1 ks V2 sú potrebné 2 kg S1 a 1 kg S2. Podnik má k dispozícii 10 kg suroviny S1 a 7 kg suroviny S2. Zisk z predaja výrobku 1 ks V1 je 2 f.j. a z predaja 1 ks V2 3 f.j. Aké množstvo výrobkov V1 a V2 má podnik vyrobiť, aby dosiahol maximálny zisk? Matematický model: 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 2 Pozrieme sa bližšie na obmedzujúce podmienky. Každú z nich môžeme zobraziť v rovine súradníc. Podmienky nezápornosti, znamenajú, že sa budeme pohybovať len v prvom kvadrante. Ostatné obmedzujúce podmienky môžeme zobraziť ako prienik polroviny určenej obmedzujúcou podmienkou a prvým kvadrantom. Zobrazili sme ich na nasledujúcom obrázku. Oblasť prípustných riešení tvorí štvoruholník, ktorý je vyšrafovaný. 4. Grafické riešenie úlohy LP – Príklad 2 Hľadajme teraz hodnoty x1 a x2, pre ktoré účelová funkcia nadobúda maximálnu hodnotu. Na tejto priamke ležia všetky body so súradnicami (x1, x2), pre ktoré nadobúda účelová funkcia rovnakú hodnotu