Н.Б. ИСТОМИНА-КАСТРОВСКАЯ И.Ю. ИВАНОВА З.Б. РЕДЬКО Т.В. СМОЛЕУСОВА Н.Б. ТИХОНОВА МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ УЧЕБНИК 2-е издание, переработанное и дополненное Москва ИНФРА-М 2019 УДК 373.31(075.8) ББК 74.262.21я73 И89 Р е ц е н з е н т ы: И.Г. Липатникова, доктор педагогических наук, профессор Свердловского областного педагогического колледжа; Т.А. Кондрашенкова, кандидат педагогических наук, доцент кафедры теории и методики начального образования Смоленского государственного университета И89 Истомина-Кастровская Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе : учебник / Н.Б. Истомина-Кастровская, И.Ю. Иванова, З.Б. Редько, Т.В. Смолеусова, Н.Б. Тихонова. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. : ИНФРА-М, 2019. — 301 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — www. dx. doi. org/10.12737/textbook_5beafd8e271b34.71707438. ISBN 978-5-16-014058-2 (print) ISBN 978-5-16-106601-0 (online) Цель учебника — сформировать у будущего учителя методические знания, умения и опыт творческой деятельности, развить методическое мышление студентов, умение применять математические, педагогические, психологические и методические знания для организации деятельности учащихся начальных классов в процессе обучения математике. Дополнением к учебнику является пособие «Методика обучения математике в начальной школе. Практикум». В нем предлагаются методические задачи, задания для самостоятельной работы студентов, различные ситуации, возникающие в практике обучения младших школьников математике, конспекты уроков, обсуждение которых помогает студентам подготовиться к педагогической практике и методической деятельности в современной начальной школе. Соответствует требованиям Федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования последнего поколения. Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Педагогическое образование» (квалификация «бакалавр», профиль «начальное образование»). Также будет полезен учителям начальных классов, методистам институтов развития образования (повышения квалификации и переподготовки педагогических кадров), магистрантам и аспирантам, преподавателям педагогических колледжей и вузов. УДК 373.31(075.8) ББК 74.262.21я73 ISBN 978-5-16-014058-2 (print) ISBN 978-5-16-106601-0 (online) © Истомина-Кастровская Н.Б., Ива нова И.Ю., Редько З.Б., Смолеусова Т.В., Тихонова Н.Б., 2019 Авторский коллектив Наталия Борисовна Истомина-Кастровская, доктор педагогических наук, профессор (предисловие; гл. 1: 1.1–1.3, 1.4 (совместно с Т.В. Смолеусовой); гл. 2; гл. 3: 3.1–3.17, 3.18 (совместно с З.Б. Редько); гл. 4; гл. 5: 5.1, 5.2 (совместно с Н.Б. Тихоновой и Т.В. Смолеусовой), 5.3–5.6; гл. 6: 6.1, 6.2 (совместно с И.Ю. Ивановой), 6.3, 6.4, 6.5 (совместно с З.Б. Редько и Н.Б. Тихоновой)); Ирина Юрьевна Иванова, доцент кафедры педагогики и методики начального образования Смоленского областного института развития образования (гл. 6: 6.2 (совместно с Н.Б. Истоминой-Кастровской)); Зоя Борисовна Редько, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры математики и информатики в начальной школе факультета начального образования Института детства Московского педагогического государственного университета (гл. 3: 3.18 (совместно с Н.Б. Истоминой-Кастровской); гл. 6: 6.5 (совместно с Н.Б. Истоминой-Кастровской и Н.Б. Тихоновой)); Татьяна Викторовна Смолеусова, кандидат педагогических наук, доцент, профессор кафедры начального образования Новосибирского института повышения квалификации и переподготовки работников образования (гл. 1: 1.4 (совместно с Н.Б. ИстоминойКастровской); гл. 5: 5.2 (совместно с Н.Б. Истоминой-Кастровской и Н.Б. Тихоновой)); Наталья Борисовна Тихонова, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры «Теория и методика дошкольного и начального образования» Педагогического института имени В.Г. Белинского Пензенского государственного университета (гл. 5: 5.2 (совместно с Н.Б. Истоминой-Кастровской и Т.В. Смолеусовой); гл. 6: 6.5 (совместно с Н.Б. Истоминой-Кастровской и З.Б. Редько)). Предисловие В соответствии с Федеральным государственным образовательным стандартом начального общего образования (ФГОС НОО) 2010 г. основными задачами реализации содержания предметной области «Математика и информатика» являются «развитие математической речи, логического и алгоритмического мышления, воображения, обеспечение первоначальных представлений о компьютерной грамотности»1. При построении учебника авторы старались учесть сам процесс организации деятельности студентов по усвоению методических знаний и умений, а также связь методического курса с курсами математики, педагогики и психологии. Глава 1 призвана сформировать у будущего учителя представления о методике обучения математике как педагогической науке (параграф 1.1), развитии начального математического образования (параграф 1.2), методической деятельности учителя в процессе обучения младших школьников математике (параграф 1.3) и познакомить студентов с требованиями ФГОС НОО (параграф 1.4). В главе 2 предлагается методическая интерпретация основных компонентов понятия «учебная деятельность» и способов ее организации при обучении математике в начальной школе (параграф 2.1), рассмотрены способы постановки учебных задач на уроках математики и виды учебной деятельности младших школьников (параграф 2.2), дается краткая характеристика таких приемов умственной деятельности, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение, которые можно рассматривать как способы: 1) организации учебной деятельности школьников; 2) познания, становящиеся достоянием ребенка и характеризующие его интеллектуальный потенциал и способности к усвоению знаний, умений и навыков; 3) включения в процесс познания различных психических функций — эмоций, воли, чувств, внимания, памяти. В результате интеллектуальная деятельность ребенка входит в различные соотношения с другими сторонами его личности, прежде всего с направленностью, мотивацией, интересами, уровнем притязаний, т.е. характеризуется возрастающей активностью личности (параграф 2.3). 1 4 Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. М., 2010. С. 19. В этой же главе описываются различные способы обоснования истинности суждений младшими школьниками (индуктивные и дедуктивные рассуждения, эксперимент, вычисления, измерения (параграф 2.4)). В главе 3 рассматриваются основные понятия начального курса математики и различные виды учебных заданий, в процессе выполнения которых дети овладевают не только предметными (математическими) и метапредметными (регулятивными, познавательными и коммутативными) знаниями, умениями и навыками, но и личностными. В результате изучения этой главы студенты научаются ориентироваться в предметном содержании начального курса математики и отвечать на вопросы: • «Какие математические понятия, законы, свойства и способы действий нашли отражение в начальном курсе математики?»; • «В каком виде они предлагаются младшим школьникам?»; • «В какой последовательности они изучаются?»; • «В какой последовательности могут изучаться?» Глава 4 посвящена методике организации вычислительной деятельности младших школьников в развивающем курсе начальной математики. В главе 5 дается краткая характеристика различных методических подходов к обучению младших школьников решению текстовых задач и подробно раскрывается методика формирования обобщенных умений решения задач, в основе которой лежат различные методические приемы: выбор схемы, выражений, условия, переформулировка вопроса задачи, постановка вопросов к данному условию и др. В главе 6 дается характеристика различных подходов к построению урока математики в начальных классах и рекомендации к планированию и анализу уроков математики (параграфы 6.1, 6.3, 6.4); описаны особенности дифференцированного обучения математике в начальной школе в условиях системно-деятельностного подхода (параграф 6.2). Завершает главу материал, посвященный внеурочной деятельности по математике в рамках общеинтеллектуального и общекультурного направлений (параграф 6.5). Авторы надеются, что предложенная структура учебника будет способствовать улучшению качества учебного процесса и поможет преподавателю и студенту в их совместной работе. Вместе с учебным пособием Н.Б. Истоминой и Ю.С. Заяц «Методика обучения математике в начальной школе. Практикум» этот учебник составляет учебно-методический комплекс (УМК) дисциплины «Методика обучения математике в начальной школе», 5 изучаемой студентами, обучающимися по направлению «Педагогическое образование» (квалификация «бакалавр»). Цель УМК — развить методическое мышление студентов, сформировать у них умение применять математические, педагогические, психологические и методические знания для организации деятельности учащихся начальных классов в процессе обучения математике. «Практикум по методике обучения математике в начальной школе» окажет помощь преподавателям методики обучения математике в вузе при подготовке к лекциям и практическим занятиям, а также будет полезен методистам институтов повышения квалификации учителей, магистрам, аспирантам и учителям-практикам. При написании учебника «Методика обучения математике в начальной школе» и практикума использованы учебные задания учебников математики для четырехлетней начальной школы1;2, так как работа по этим учебникам в школе позволяет: • включить младшего школьника в активную познавательную деятельность, направленную на усвоение системы математических понятий и общих способов действий; • создать методические условия для формирования учебной деятельности, развития эмпирического и теоретического мышления, эмоций и чувств ребенка; • сформировать умение общаться в процессе обсуждения способов решения математических задач, обосновывать свои действия и критически оценивать их; • повысить качество усвоения математических знаний, умений и навыков; • обеспечить преемственность между начальным и основным уровнями обучения, подготовив учащихся начальных классов к активной мыслительной деятельности; • развить творческий методический потенциал учителя начальных классов, стимулируя его к самостоятельному составлению учебных заданий, выбору средств и форм организации деятельности школьников. 1 2 6 См.: Истомина Н.Б. Математика. 1 класс. Ч. 1, 2. Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2015; Истомина Н.Б. Математика. 2 класс. Ч. 1, 2. Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2015; Истомина Н.Б. Математика. 3 класс. Ч. 1, 2. Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2015; Истомина Н.Б. Математика. 4 класс. Ч. 1, 2. Смоленск: Ассоциация ХХI век, 2015. За создание учебно-методического комплекта по математике для четырехлетней начальной школы доктор педагогических наук, профессор Наталия Борисовна Истомина-Кастровская удостоена премии Правительства Российской Федерации. Глава 1. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ КАК НАУКА И КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ 1.1. НАУКА ОБ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ Обучение — это целенаправленная, специально организованная и управляемая учителем деятельность учащихся, в ходе которой они усваивают знания, развиваются и воспитываются. В обучении, как и в любом другом процессе, проявляются определенные закономерности, которые выражают существующие связи между педагогическими явлениями, при этом изменение одних явлений влечет за собой изменение других. Например, цели обучения, отражающие потребности общества, оказывают влияние на содержание и способы организации деятельности учащихся, направленной на усвоение материала. Результаты обучения зависят от характера деятельности, в которую на том или ином этапе своего развития включается ученик. Если приоритет отдается, например, репродуктивной деятельности, то остаются невостребованными личностный потенциал школьников, их творческое отношение к учению, самостоятельность мышления. Экспериментально доказано, что творчество детей находится в прямой зависимости от творчества педагогов, которые вовлекают учащихся в процесс совместного решения различных учебных задач. Стратегию обучения определяют дидактические принципы. Но они носят общий характер и не учитывают в полной мере специфики тех проблем, которые возникают при обучении математике. Взятые в абстрактном виде, в отрыве от математической сути, дидактические принципы не могут непосредственно служить теоретическими основами методики, так как остается неясным, как же, опираясь на них, выстраивать обучение конкретному содержанию. Например, в дидактике разработана теория проблемного обучения: определена сущность основных понятий, обоснованы необходимость и эффективность их применения в учебном процессе, раскрыт ряд способов организации и управления самостоятельной деятельностью учащихся, выявлены важнейшие дидакти7 ческие условия реализации такого типа обучения. Однако решение вопроса о возможности создания проблемных ситуаций при обучении младших школьников математике остается за методикой. И пока этот вопрос не будет представлен на методическом уровне, теория проблемного обучения не станет достоянием практики работы учителей начальных классов. Задачей методики обучения математике является разработка не только проблемных заданий, но и общих подходов к их использованию, в которых бы учитывались специфика математического содержания и особенности его усвоения учащимися. Так, например, одним из средств создания проблемных ситуаций при обучении математике являются нестандартные задачи. Однако нестандартную задачу можно назвать проблемным заданием только в том случае, если она создает проблемную ситуацию, основными компонентами которой являются: неизвестное, потребность ученика найти это неизвестное и его возможности анализа условий и «открытий» нового. В начальном курсе математики для создания проблемных ситуаций целесообразно использовать задачи практического характера, при решении которых дети могут опираться на свой жизненный опыт и практические действия. Например, приступая к знакомству с понятием длины, учитель предлагает классу две полоски (красную и синюю) и спрашивает: «Как можно определить, какая из них длиннее?» Для младшего школьника возникает проблемная ситуация, способ решения которой ему предложено найти самостоятельно. Доступность в данном случае обеспечивается тем, что при нахождении способа сравнения длин полосок учащийся может опираться на свой жизненный опыт и практические действия. Эту проблемную ситуацию можно усложнить, предложив вопрос: «Можно ли сравнить длины данных полосок с помощью третьей?». Ответ на него также связан с нахождением нового способа действия и требует от младшего школьника решения новой проблемной ситуации. Аналогично можно проиллюстрировать и другие положения дидактики, которые становятся теоретическими основами методики обучения математике только после их переработки в связи с конкретным содержанием изучаемого математического материала. Например, принцип доступности обучения в дидактике понимается как требование представить учащимся материал такой сложности, которую они могли бы преодолеть самостоятельно или с помощью учителя. Но как это сделать, допустим, при изучении деления многозначного числа на однозначное? Ответ 8 может дать только методика обучения математике. Руководствуясь алгоритмом письменного деления и принципом построения десятичной системы счисления, а также учитывая психологические особенности восприятия и мышления младших школьников, методика обучения математике формулирует общие положения, которыми учитель может руководствоваться при формировании у детей навыков письменного деления. Например, знакомству учащихся с алгоритмом письменного деления должны предшествовать упражнения, которые подготовят их к восприятию и пониманию операций, входящих в данный алгоритм. Это и определение количества десятков, сотен, тысяч в многозначном числе, и выполнение деления с остатком, и проверка деления умножением, и т.д. Следование этому методическому положению обеспечивает доступность нового способа действия и дает простор большей самостоятельности учащихся в процессе его усвоения. При изучении алгоритма письменного деления следует иметь в виду и такое положение: при выполнении записи письменного деления необходимо подробно (развернуто) комментировать производимые операции, так как это позволяет учителю контролировать правильность не только конечного результата, но и процесса его вычисления и тем самым своевременно корректировать деятельность учащихся по использованию алгоритма. В приведенной методической рекомендации учитывается одна из психологических закономерностей, состоящая в том, что внешняя деятельность не всегда совпадает с внутренней. Это означает, что внешне дети могут выполнять правильные действия, а в уме в это время рассуждать неверно. Таким образом, рекомендация использовать прием комментирования является обобщенной (в данном случае по отношению к изучению определенного вопроса), теоретически обоснованной (психологическим положением) и может быть применена при изучении других вопросов содержания. Ее целесообразность подтверждается практикой обучения. Нельзя не учитывать, что особенность использования теоретических положений дидактики при обучении конкретному предмету заключается в том, что они становятся действенными, только вступая во взаимосвязь с психологическими закономерностями, которые так же, как и дидактические, обычно высказываются обобщенно, в отрыве от конкретного содержания. Таким образом, процесс усвоения детьми различного содержания, подчиняясь общим закономерностям, имеет свою специфику, которая должна найти выражение в теоретических положениях, отражающих особенности обучения конкретному предмету. 9 Разработка теории обучения с учетом специфики содержания и есть необходимое условие успешного развития определенного раздела методики обучения конкретной учебной дисциплине. Каким же требованиям должны отвечать теоретические основы методики обучения математике? Они должны: а) опираться на определенную теорию (психологическую, педагогическую, математическую), используя ее применительно к конкретному содержанию обучения; б) являться обобщенными положениями, отражающими не отдельный случай, а общие подходы к процессу обучения математике (в частности, в начальных классах), решению некоторой совокупности вопросов в нем; в) отражать устойчивые особенности процесса обучения математике, т.е. закономерности этого процесса или важные его аспекты; г) подтверждаться на практике экспериментами или опытом работы учителей. Следовательно, теоретические основы методики обучения математике — это система положений, лежащих в основе построения процесса обучения математике, которые теоретически обосновываются и характеризуют общие методические подходы к организации этого процесса. Рассматривая методику обучения математике в начальных классах как науку, выделим круг проблем, которые она призвана решать, и определим объект и предмет ее исследования. Все многообразие проблем частных методик, в том числе и методики обучения математике в начальных классах, можно сформулировать в виде вопросов: • «Зачем обучать? То есть с какой целью обучать детей математике?»; • «Чему обучать? То есть каким должно быть содержание математического образования в соответствии с поставленными целями?»; • «Как обучать? То есть: а) в какой последовательности расположить вопросы содержания, чтобы все учащиеся могли сознательно усваивать их, продвигаясь в своем развитии; б) какие способы организации деятельности учеников (методы, приемы, средства и формы обучения) следует применять для этого; в) как обучать детей с учетом их психологических особенностей (как в процессе обучения математике наиболее полно и правильно использовать закономерности восприятия, памяти, мышления, внимания младших школьников)?» 10 Не менее важен ответ на вопрос: «Кого обучать?». Ответ на него поможет учесть возрастные и индивидуальные особенности учащихся. Таким образом, методика обучения математике как наука, с одной стороны, обращена к конкретному содержанию, отбору и упорядочиванию его в соответствии с поставленными целями обучения, с другой — к человеческой деятельности (учителя и ученика), процессу усвоения этого содержания, управление которым осуществляет учитель. Объект исследования методики обучения математике — процесс обучения математике, в котором можно выделить четыре основных компонента: цель, содержание, деятельность учителя и деятельность учащихся. Перечисленные компоненты находятся во взаимосвязи и взаимообусловленности, т.е. образуют систему, в которой изменение одного из компонентов вызывает изменение других. Предметом исследования может являться каждый из компонентов этой системы, а также те взаимосвязи и отношения, которые существуют между ними. Методические проблемы решаются с помощью методов педагогических исследований, к которым относятся: наблюдение, беседа, анкетирование, обобщение передового опыта работы учителей, лабораторный и естественный эксперименты. Различные тесты и психологические методики дают возможность выявить влияние разных способов обучения на усвоение знаний, умений и навыков, общее развитие детей и установить определенные закономерности процесса обучения математике. Задание 1.1. С какими концепциями обучения младших школьников вы познакомились в курсе педагогики и психологии? Раскройте содержание этих концепций. 1.2. ХАРАКТЕРИСТИКА РАЗВИТИЯ НАЧАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ На каждом этапе развития начального образования методическая наука по-разному отвечала на вопросы «Зачем учить?», «Чему учить?», «Как учить?». До 1949 г. приоритетом в начальном образовании были практические цели. Это обусловливалось тем, что до введения общего обязательного семилетнего образования начальная школа представляла замкнутый этап. Основным содержанием начального курса математики являлись изучение четырех арифметических действий, решение задач ариф11 метическим методом и знакомство с геометрическим материалом, который был подчинен решению практических задач (размечать земельные участки прямоугольной формы, измерять их длину и ширину, вычислять по формулам площадь и периметр прямоугольника и др.). В конце четвертого года обучения предполагалось обобщение изученного материала и ознакомление с отдельными элементами теории (связи между действиями, компонентами и результатами действий, некоторые свойства действий). Методы обучения учитывали те особенности возраста младших школьников, которые отмечала психологическая наука: образность, преобладание механической памяти над смысловой, легкость и прочность усвоения многочисленных фактов. Например, в расчете на механическую память детям предписывалось запомнить четыре таблицы (две таблицы умножения и соответствующие случаи деления), каждая из которых включала по 100 примеров. Такой подход к обучению математике в начальных классах обосновывался данными возрастной психологии, которая считала необходимым приспосабливать содержание и методы обучения к реальным познавательным возможностям младших школьников и особенностям их психического развития. Однако в работах отечественного психолога Л.С. Выготского еще в начале 30-х гг. ХХ в. отмечалась ошибочность этой позиции даже по отношению к детям, которые отставали в умственном развитии. Он утверждал, что обучение, которое ориентируется на уже завершенные циклы развития, не ведет за собой процесс развития, а само плетется у него в хвосте. Только то обучение является хорошим, которое забегает вперед развития. Следует отметить, что 1930–1940-е гг. знаменуются совместными исследованиями психологов и методистов по вопросам методики преподавания отдельных предметов. По поводу направлений этих исследований психолог Н.А. Менчинская подчеркивала, что для того «чтобы психология могла прямо ответить на запросы практики обучения, необходимо подвергать изучению конкретные виды учебной деятельности»1 и исследовать их в зависимости от педагогических воздействий. В русле этого направления изучались пути усвоения детьми понятия числа и арифметических действий, особенности овладения процессом счета и формирования вычислительных навыков, умение решать текстовые арифметические задачи. При этом большое вни1 12 Менчинская Н.А. Психология обучения арифметике. М., 1955. С. 6. мание уделялось изучению роли анализа и синтеза, конкретизации, абстрагирования и обобщений. Результаты этих исследований сыграли определенную роль в развитии методической науки. Говоря о недостатках методики обучения арифметике, А.С. Пчёлко (автор учебника арифметики для начальных классов) сетовал на то, что основное внимание методистов сосредоточено на учителе, методах и приемах, которым он обучает детей, и совсем не освещаются вопросы того, как учащиеся воспринимают объяснения учителя, какие затруднения возникают у них при усвоении того или иного раздела арифметики, в чем причина этих затруднений и как их можно предупредить. В 1940–1950-е гг. появляются методические работы, построенные на исследовательском, экспериментальном материале (Н.Н. Никитин, Г.Б. Поляк, М.Н. Скаткин, А.С. Пчёлко), и возникает необходимость в пересмотре содержания обучения арифметике в начальных классах. Однако изменения, внесенные в программу курса арифметики, которая была введена в 1960 г., не коснулись ее сущности. Они сводились к незначительным поправкам, направленным в основном на дальнейшее упрощение курса. Новые веяния, вызванные к жизни исследованиями в области методики и психологии, нашли отражение только в объяснительной записке программы. В ней подчеркивалась необходимость обучения младших школьников общим приемам работы над задачей, важность формирования у детей правильных обобщений и организации различных видов самостоятельной работы. В 1965 г. выходит книга М.И. Моро и Н.А. Менчинской «Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах»1. Целый ряд положений, сформулированных в этой книге, остается актуальными сегодня, являясь основой для разработки новых методических подходов к усвоению младшими школьниками математического содержания. Приведем некоторые из них. • «Для того чтобы младший школьник мог быть активным в процессе учения, необходимо: во-первых, обеспечить ему широкую возможность для проявления самостоятельности в учебной работе; во-вторых, научить его приемам и методам самостоятельной работы; в-третьих, пробудить в нем стремление к самостоятельности, создав у него соответствующую мотивацию, т.е. 1 См.: Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. М., 1965. 223 с. 13 сделать для него самого жизненно важным его самостоятельный творческий подход к решению учебных задач»1. • «Следует избегать не только чрезмерно трудного, но и чрезмерно легкого для усвоения учеником материала, когда для ученика все ясно с самого начала, когда в процессе усвоения для него не возникает никаких проблем или задач, требующих умственных усилий»2. В книге не только отмечена роль сравнений и противопоставлений как смешиваемых детьми понятий, но и предложены основные пути их применения в процессе обучения математике. Это противопоставление одновременное, когда оба понятия или правила вводятся на одном уроке в сопоставлении друг с другом, и последовательное, когда сначала изучается одно из сравниваемых понятий, а второе вводится на основе противопоставления первому, только когда первое уже усвоено. Большой вклад в развитие методики начального обучения математике внес П.М. Эрдниев. Под его руководством было проведено экспериментальное исследование с целью обоснования идеи укрупнения дидактических единиц в процессе обучения детей математике (метод УДЕ — укрупнение дидактических единиц). Обучение, построенное в соответствии с этой идеей, оказывается эффективным для повышения качества знаний учащихся при значительной экономии времени, расходуемого на изучение курса математики. Для реализации идеи УДЕ автор использует конкретные методические приемы: а) одновременное изучение сходных понятий; б) одновременное изучение взаимно обратных действий; в) преобразование математических упражнений; г) составление задач школьниками; д) использование деформированных примеров и др. В числе исследований, которые сыграли неоценимую роль в развитии методики начального обучения, следует назвать два: одно — под руководством Л.В. Занкова (1957), другое — под руководством Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова (1959). И хотя объектом экспериментального исследования Л.В. Занкова являлись не отдельные учебные предметы, а дидактическая система, охватывающая все начальное обучение, тем не менее разработанные в лаборатории 1 2 14 Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметике в начальных классах. С. 14. Там же. С. 15. дидактические принципы (обучение на высоком уровне трудности, изучение программного материала быстрым темпом, ведущая роль теоретических знаний; осознание школьниками процесса учения; целенаправленная и систематическая работа над развитием всех учащихся класса, в том числе и наиболее слабых) могли служить действенной основой для совершенствования методики обучения математике. Широкомасштабный эксперимент, проведенный под руководством Л.В. Занкова, привел к теоретическому осмыслению типических свойств методической системы начального обучения. В качестве таких свойств ученый называл многогранность, коллизии, процессуальность. Разработку методической системы Л.В. Занков считал особенно актуальной. В исследовании под руководством Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова были выделены те новообразования, формирование которых у учащихся начальных классов оказалось возможным при определенном построении процесса обучения. В качестве таких новообразований были названы учебная деятельность, теоретическое мышление и произвольное управление поведением (рефлексия). Параллельно с психолого-педагогическими проводились исследования методического характера, нацеленные на подготовку реформы начального образования. Разрабатывались варианты программ, создавались экспериментальные учебники. Огромный вклад в подготовку реформы математического образования на этом этапе внесли ученые-методисты М.И. Моро, А.С. Пчёлко, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, Н.В. Меленцова, Е.М. Семенов, П.М. Эрдниев, И.К. Андронов и Ю.М. Колягин. В подготовке реформы начального образования активно участвовали психологи Н.А. Менчинская и А.А. Люблинская. В результате проведенных исследований были сделаны выводы о необходимости обогащения содержания начального курса математики, усиления в нем роли теории и включения в содержание курса элементов алгебры и геометрии. В 1969 г. курс арифметики для начальной школы был заменен на курс математики. Новое содержание нашло отражение в стабильных учебниках математики (М.И. Моро и др.), по которым начальная школа начала работать с 1969 г. Модернизация предметного содержания начального математического образования сопровождалась указаниями: «Одна из важных воспитательных задач, связанных с изучением курса математики, — развитие познавательных способностей учащихся»; «Занятия ма15 тематикой должны способствовать воспитанию у детей самостоятельности, инициативы, творчества, культуры труда»; «Обучение и развитие при изучении математического материала должны осуществляться в неразрывной связи друг с другом»1. Однако реализация этих указаний в школьной практике оказалась, пожалуй, еще более сложной задачей, нежели внедрение нового содержания единого начального курса математики. «Учителя получили новые программы и приступили к их осуществлению, понятия не имея о новой методике», — пишет Ш.А. Амонашвили. И далее: «Вскоре выяснилось, что детям трудно учиться по этой системе. И вместо того чтобы знакомить учителя с новыми подходами к ребенку и к обучению, начали выхолащивать программы»2. Задача развития ребенка в процессе обучения так и осталась нерешенной в стабильном курсе математики (М.И. Моро и др.). Несмотря на его содержательное обогащение по сравнению с курсом арифметики и нацеленностью на повышение уровня теоретических знаний младших школьников, ведущими методами оставались показ образца, его закрепление и тренировочные упражнения. Учебные задания были однообразны, а задания, требующие активизации мыслительной деятельности школьников, классифицировались как материал «повышенной трудности» и доставались только способным к математике детям. Основной же задачей для всех учащихся по-прежнему оставалось формирование вычислительных умений, навыков и умения решать определенные типы задач. Между тем поиски способов организации учебной деятельности младших школьников продолжались как в теории, так и в практике обучения. В 1970–1980-е гг. тысячи школьников обучались по системе Л.В. Занкова, продолжался эксперимент по системе Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова, активно внедрялась в школьную практику система УДЕ, проводился эксперимент А.М. Пышкало и К.И. Нешкова, в котором проверялась возможность построения начального курса математики на теоретико-множественной основе. 1990-е гг. знаменуются внедрением в школьную практику вариативности образовательных систем. Массовая апробация с 1991/92 учебного года в начальном образовании систем обучения Л.В. Зан1 2 16 Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. М., 1977. С. 55. Амонашвили Ш.А. Педагогические идеи Л.В. Занкова и школьная практика // Новое время — новая дидактика: сб. статей. М.; Самара, 2000. С. 35. кова и Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова обусловлена наибольшей степенью соответствия их содержания новым целям развивающего обучения. С 1995/96 учебного года обе экспериментальные системы введены в практику работы общеобразовательных учреждений как вариативные наряду с традиционной системой обучения (М.И. Моро и др.). На волне этого инновационного движения в 1990-е гг. «российское начальное образование постепенно приобретает развивающий характер»1. На передний план выдвигаются задачи формирования у ребенка интереса к учению, учебной самостоятельности и необходимых для нее умений, связанных с осознанием учебной задачи, поиском ее решения, выполнением различных мыслительных операций (анализа, синтеза, сравнения, классификации, обобщения), организацией контроля за своими действиями и их оценкой. В начале ХХI в. существовало шесть комплектов учебников математики для начальных классов: • «Гармония» под руководством профессора Н.Б. Истоминой, автор учебников математики — Н.Б. Истомина; • «Начальная школа ХХI века» под руководством профессора Н.Ф. Виноградовой, автор учебников математики — В.Н. Рудницкая; • «Школа 2000…» — «Школа 2100» под руководством профессора, академика А.А. Леонтьева; автор учебников математики — Л.Г. Петерсон; • «Школа России» под руководством А.А. Плешакова; авторы учебников математики — М.И. Моро и другие; • комплект учебников по системе Л.В. Занкова; авторы учебников математики — И.И. Аргинская и другие; • комплект учебников по системе Д.Б. Эльконина — В.В. Давыдова; автор учебников математики — Э.И. Александрова. Главными характеристиками начального образования на этапе конца 1990-х и начала 2000-х гг. можно считать стандартизацию, вариативность и переход на четырехлетнее начальное образование. Таким образом, в 1990-е гг. было положено начало вариативности образования — новому принципу и направлению «развития современной системы образования России; следствие осознания государством, обществом, образовательным сообществом необ1 Давыдов В.В. Концепция гуманизации российского начального образования // Начальное образование в России: сб. М., 1994. С. 16. 17 ходимости преодоления господствовавшей в школе до конца 80-х годов унификации и единообразия учебников»1. Учителям нужно было научиться анализировать различные варианты учебников, выявлять отличия в логике построения их содержания, системе заданий и их формулировках, организации учебной деятельности младших школьников. 1.3. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ КАК УЧЕБНЫЙ ПРЕДМЕТ Вы приступаете к изучению курса, основная цель которого — подготовить вас к обучению, воспитанию и развитию младших школьников в процессе изучения математики. Как известно, для выполнения любой деятельности необходимо овладеть определенными знаниями и умениями. Особенность методических знаний и умений заключается в том, что они тесно связаны с психологическими и специальными (в частности, математическими) знаниями. Чем лучше учитель осознает эту взаимосвязь, тем выше уровень его методической подготовки, тем шире его возможности в осуществлении творческой методической деятельности. Таким образом, основная задача курса «Методика обучения математике в начальных классах» в вузе — это подготовка студентов к профессиональной методической деятельности, направленной на воспитание личности ребенка, развитие его мышления, формирование у него умения и желания учиться, приобретение опыта общения и сотрудничества в процессе усвоения математического содержания. Определенный вклад в решение этой задачи вносят курсы математики, психологии, возрастной психологии, дидактики и др. В процессе изучения методического курса студенты учатся применять эти знания при обучении детей математике. Следовательно, методическая деятельность учителя носит интегративный характер. Сложный механизм этой интеграции обусловлен тем, что методические знания, представленные в виде идей, положений, рекомендаций, приемов, видов учебных заданий, включают в себя: • содержание математических понятий, свойств, способов действий; • закономерности процессов обучения и воспитания; • психологические особенности развития ребенка и усвоения им знаний, умений и навыков. 1 18 Бим-Бад Б.М. Вариативность в образовании // Педагогический энциклопедический словарь. М., 2002. С. 31. Чтобы лучше представить сложный механизм методической деятельности учителя в процессе обучения младших школьников математике, рассмотрим типичную ситуацию, с которой учитель начальных классов довольно часто имеет дело на практике. Представьте, что вы предложили детям задание: «Сравни числа 6 и 8» или «Поставь между числами 6 и 8 знак <, > или =, чтобы получилась верная запись». Предположим, что ученик дал неверный ответ, т.е. выполнил запись 6 > 8. Как вы поступите? Обратитесь к другому ученику, который даст вам верный ответ или попытаетесь разобраться в причинах допущенной ошибки? Другими словами, как вы решите эту методическую задачу? Выбор методических действий в этом случае может быть обусловлен целым рядом психолого-педагогических факторов: личностью ученика, уровнем его математической подготовки, целью, с которой предлагалось данное задание, и т.д. Допустим, вы выбрали второй путь, т.е. решили попытаться разобраться в причинах ошибки. Но как это сделать? Прежде всего надо предложить прочитать выполненную запись. Если ученик читает ее как «шесть меньше восьми», значит, причина ошибки в том, что не усвоен математический символ. Дети одновременно знакомятся со знаками < и >, поэтому могут путать их значения. Установив таким образом причину, можно продолжить работу. Но при этом нужно учитывать особенности восприятия младшего школьника. Так как оно имеет наглядно-образный характер, учитель использует прием сравнения знака с конкретным (для ребенка) образом, например, с «клювиком», который раскрыт к большему числу и закрыт к меньшему (5 < 8, 8 > 5). Такое сравнение поможет ребенку запомнить математическую символику. Но если ученик прочитал запись «6 > 8» как «шесть больше восьми», то ошибка обусловлена уже другой причиной. Как поступить в этом случае? Здесь учителю не обойтись без знания таких математических понятий, как «количественное число», «установление взаимно однозначного соответствия», отношений «больше», «меньше», «столько же». Это позволит ему правильно выбрать способ организации деятельности учащихся, связанный с выполнением данного задания. Учитывая наглядно-действенный характер мышления младших школьников, учитель организует работу в парах: предлагает одному ученику выложить на парте 6 предметов, а другому — 8 и подумать, как можно расположить их, чтобы выяснить, у кого больше предметов, а у кого меньше. 19 Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок может самостоятельно предложить способ действий или найти его с помощью других учеников или учителя, т.е. установить взаимно однозначное соответствие между элементами данных предметных множеств. Теперь представим, что ученик успешно справляется с выполнением задания на сравнение чисел. В этом случае важно установить, насколько осознанны его действия, т.е. может ли он обосновать их, высказав при этом необходимые рассуждения, которые связаны с ответом на вопрос: «Почему 6 меньше 8?». Для решения этой задачи учителю понадобится знание таких математических понятий, как «счет» и «натуральный ряд чисел», так как именно они лежат в основе того обоснования, которое может привести младший школьник: «Число, которое называется при счете раньше, всегда меньше любого числа, следующего за ним». Чтобы это обоснование стало понятно всем детям, полезно обратиться к отрезку натурального ряда (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и предложить подчеркнуть в нем числа 6 и 8 или обозначить точками данные числа на числовом луче. Таким образом, процесс выполнения учеником довольно несложного задания потребовал от учителя решения нескольких методических задач и применения математических, психологических и методических знаний. Рассмотрим другую ситуацию, связанную с письменным делением многозначного числа на однозначное. Например, 8463 : 7. Каждый из вас, конечно, легко справится с этим заданием. – 8463 7 7 1209 14 63 Но предположим, что ученик получил в ответе не 1209, а 129, т.е. он пропустил в частном нуль (это типичная ошибка). Причиной такой ошибки может быть либо невнимательность, либо отсутствие необходимых математических знаний и умений. Как же это выяснить? Наверное, по аналогии с рассмотренной ситуацией вы уже сможете ответить на этот вопрос: «Нужно, чтобы ученик проговорил те действия, которые он выполнял». В методике 20 этот прием носит название «комментирование». Применение данного приема позволяет учителю проконтролировать правильность не только конечного результата, но и процесса его получения и тем самым скорректировать деятельность школьников по использованию алгоритма. Но для того чтобы научить детей осознанно комментировать последовательность операций, которые входят в алгоритм письменного деления, учитель должен сам владеть необходимыми математическими понятиями. Только при этом условии он сможет доступно разъяснить детям математическую суть выполняемых операций. Например, для случая 8463 : 7 появление нуля в частном обычно комментируется так: «6 на 7 не делится — ставим нуль». Это формальное объяснение может быть более обоснованным, если опираться на понятие деления с остатком. Вспомните, как определялось это понятие в курсе математики: разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число b значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, чтобы а = b · q + r и 0 ≤ r < b. Понимание того, что данное определение является основой действий учащихся при выполнении деления с остатком, позволит учителю методически правильно организовать их деятельность. Например, выполняя деление для случая 29 : 4, ученики сначала находят самое большое число до 29, которое без остатка делится на 4 (эта операция требует прочного усвоения случаев деления, соответствующих табличным случаям умножения): 28 : 4 = 7. Остаток находится вычитанием: 29 – 28 = 1. Конечный результат: 29 : 4 = 7 (ост. 1). Перенесем теперь эти же рассуждения на случай 6 : 7. Самое большое число до 6, которое делится без остатка на 7, это 0 (0 : 7 = 0). Находим остаток вычитанием: 6 – 0 = 6. Конечный результат: 6 : 7 = 0 (ост. 6). Так знание математических понятий помогает учителю найти обоснованные способы объяснения учащимся тех действий, которые они выполняют. Математические знания необходимы учителю для того, чтобы правильно организовать знакомство младших школьников с новыми понятиями. Например, некоторые учителя пытаются объяснить случаи умножения на 1 так: «Число повторили один раз, поэтому оно и осталось». При изучении случая деления на 1 они обращаются к конкретному примеру: «Представьте, что у маль21 чика 5 яблок. Он оставил их все себе, т.е. разделил их на 1, поэтому и получил 5 яблок». Казалось бы, методические действия педагога учитывают психологические особенности детей, и он стремится обеспечить доступное для них введение нового понятия. Однако в его действиях отсутствует та математическая основа, без которой не могут быть сформированы правильные математические представления и понятия, поэтому приведенное выше объяснение неприемлемо. Таким образом, методические действия учителя при обучении младших школьников математике во многом зависят от уровня его математической подготовки, которая оказывает положительное влияние на четкость его речи, правильность использования терминологии и обоснованность подбора методических приемов, связанных с изучением математических понятий. Задание 1.2. Объясните, на какие математические знания должен опираться учитель при знакомстве учащихся со случаями умножения и деления на 1. Деятельность, направленная на воспитание и развитие младшего школьника в процессе обучения математике, требует от педагога овладения не только частными, но и общими методическими умениями. Их называют дидактическими, так как они могут быть использованы учителем при обучении не только математике, но и другим предметам (русский язык, чтение, окружающий мир и т.д.). Например, умение целенаправленно применять различные способы организации внимания детей также является компонентом методической деятельности учителя. Отсутствие у него психологических знаний особенностей внимания младших школьников приводит к тому, что он пользуется, как правило, только приемом установки, т.е. говорит: «Будьте внимательны». Если же эта установка не действует, учитель прибегает к различным мерам наказания. Но достаточно разобраться в психологической сути таких его действий, чтобы понять их ошибочность. А именно: установка «будьте внимательны» рассчитана в основном на произвольное внимание детей. Этот вид внимания требует волевых усилий и быстро их утомляет. Поэтому действенность данной установки очень кратковременна. Пытаясь усилить ее, некоторые учителя, задавая вопрос всему классу, спрашивают именно того ученика, который в данный момент отвлекся. Естественно, он не может ответить. Учитель начинает стыдить его, делает замечания. Но это только увеличивает психическую нагрузку и вызывает у ребенка отрицательные эмоции — чувство страха, неуверенности, тревожности. 22 Как же избежать этого? Знание психологических закономерностей поможет педагогу найти верное решение. В психологии, например, установлена такая закономерность: внимание учеников активизируется, если: а) мыслительная деятельность сопровождается моторной; б) объекты, которыми оперирует ученик, воспринимаются зрительно. Помимо закономерностей, в психологической науке выделены условия, под влиянием которых поддерживается внимание. К ним относятся: а) интенсивность, новизна, неожиданность появления раздражителей и контраст между ними; б) ожидание конкретного события; в) положительные эмоции, интерес; Здесь учителю помогут различные методические приемы, реализующие эти закономерности: • дидактические игры, связанные с конкретным математическим содержанием; • использование предметной наглядности; • приемы наблюдения, сравнения; • обращение к опыту ребенка; • возможность выбора способов действий. Применение различных методических приемов позволяет организовать деятельность учащихся на основе послепроизвольного внимания, т.е. в соответствии с поставленной целью, но без волевых усилий. Это играет большую роль в построении обучения, так как открывает перед учителем перспективу целенаправленного управления вниманием детей. Вполне возможны и такие ситуации, когда даже проверенные методические приемы оказываются недостаточными. В этом случае необходимы меры педагогического воздействия. Например, можно обратиться к невнимательному ученику с таким предложением: «А теперь задания, которые выписаны на карточках, вам предложит Коля. Он будет контролировать и правильность их решения». В результате Коля включается в работу, испытывая положительные эмоции, вызванные тем доверием, которое оказал ему учитель. В приведенных примерах учитель решает оперативные методические задачи, т.е. он должен быстро реагировать на те обстоятельства, которые возникают в процессе урока. Помимо этого, методическая деятельность педагога связана с решением проектировочных задач, которые он продумывает при подготовке к уроку, выбирая способ постановки учебной задачи, подбирая учебные задания для ее решения. 23 Как видите, методическая деятельность учителя связана с решением различных методических задач. Формирование умения выявлять, ставить и решать их — одна из наиболее важных задач методического курса. Задание 1.3. Приведите примеры методических задач, решение которых вы наблюдали на педагогической практике. Можете ли вы, используя свои психолого-педагогические и математические знания, предложить другие варианты действий на уроке? 1.4. ЦЕЛИ И ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СОВРЕМЕННОГО НАЧАЛЬНОГО МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Современные цели и парадигма начального математического образования нашли отражение в документах: Федеральный закон от 29 декабря 2012 г. «Об образовании в Российской Федерации», ФГОС НОО (Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования, 2009 г.)1, представляющий совокупность требований «обязательных при реализации основной образовательной программы начального общего образования»2. Требования ФГОС НОО направлены на внедрение в массовую практику начального образования системно-деятельностного подхода, при котором знание не передается обучающимся в готовом виде, а постигается ими в процессе активной деятельности, связанной с наблюдением, исследованием, моделированием, рассуждениями, самостоятельным поиском ответов на возникшие у учащихся вопросы. В ФГОС НОО в общем виде представлены личностные, метапредметные и предметные результаты освоения основной образовательной программы (ООП) — документа, в котором отражены содержание и организация образовательной деятельности. Требования к личностным результатам включают мотивацию обучающихся к обучению и познанию, готовность и способность к саморазвитию, ценностно-смысловые установки, личностные качества. Требования к метапредметным результатам включают освоение обучающимися универсальных учебных действий: • регулятивных (умение планировать, контролировать и оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей 1 2 24 Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. М.: Просвещение, 2010. 31 с. Там же. и условиями ее реализации, понимать причины успеха или неуспеха учебной деятельности); • познавательных (использование знаково-символических средств представления информации для создания моделей изучаемых объектов и процессов, схем решения учебных и практических задач, действия анализа, синтеза, сравнения, обобщения, классификации, установление аналогий и причинно-следственных связей, построения рассуждений); • коммуникативных (готовность слушать собеседника и вести диалог, признавать возможность существования различных точек зрения, договариваться о распределении функций и ролей в совместной деятельности, излагать свое мнение и аргументировать свою точку зрения), составляющих основу умения учиться. Предметные результаты освоения программы конкретизированы с учетом специфики математики и должны отражать следующее. 1. «…использование начальных математических знаний для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и пространственных отношений»1 (12.2). Для начального курса математики важными являются основы появления математического знания из реальной жизни, вычленение реальных математических характеристик: • разнообразных предметов, сделанных человеком, и объектов, созданных природой (их размер, количество, форма, масса, цена, отношения «больше» и «меньше» между объектами по определенным свойствам, количество и др.); • процессов (движение и его скорость, время, расстояние, зависимость между данными величинами; производство и его производительность, процесс купли-продажи с ценой, количеством и стоимостью и др.); • явлений (дождь, ветер, снег и их скорость, форма и размер снежинки и др.). 2. «…овладение основами логического и алгоритмического мышления, пространственного воображения и математической речи, измерения, пересчета, прикидки и оценки, наглядного представления данных и процессов, записи и выполнения алгоритмов»2 (12.2). Логическое решение связано с логическими выводами (анализ, синтез, классификация, обобщение при решении мате1 2 Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. С. 11. Там же. 25 матических задач), решением логических задач и обучением их решению. Алгоритмическое мышление — практическое — связано с работой по плану, алгоритму (составление плана решения задач, восстановление плана решения задачи, работа по готовому плану и др.). 3. «…приобретение начального опыта применения математических знаний для решения учебно-познавательных и учебнопрактических задач»1 (12.2). • Учебно-познавательные задачи — учебные задания, предполагающее поиск новых знаний и способов действий. К ним можно отнести проблемные ситуации, исследовательские и проектные задачи. • Учебно-практические задачи — реальные жизненные задачи, для решения которых необходимо применить математические знания. К ним можно отнести математические задачи из серии «Хватит ли…», «В какое время надо выйти, чтобы…», «Успеет ли за это время…», связанные с умением планировать свое время, рассчитать его. Например: «Успеет ли Коля прийти на встречу с другом к 15.00, если его тренировка заканчивается в 13.40 и на дорогу ему потребуется 20 минут?»; «После встречи молодежи с ветеранами организаторы решили вызвать такси для того, чтобы отвезти ветеранов домой. Сколько необходимо вызвать легковых автомобилей, если на встрече было 26 ветеранов?». Или задачи такого вида: «Каких размеров может быть длина шага четвероклассника? Выбери: а) 70 мм; б) 70 см; в) 70 дм». 4. «…умение выполнять устно и письменно арифметические действия с числами и числовыми выражениями, решать текстовые задачи, умение действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные» 2 (12.2). Связано с основным содержанием математического образования. 5. Приобретение первоначальных представлений о компьютерной грамотности. Основные задачи реализации математического образования (19.3) подчеркивают его развивающий характер: 1 2 26 Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. С. 11. Там же. С. 12. • • • • • развитие математической речи; развитие логического мышления; развитие алгоритмического мышления; развитие воображения; обеспечение первоначальных представлений о компьютерной грамотности1. 1 См.: Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. С. 19. Глава 2. УЧЕБНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШЕГО ШКОЛЬНИКА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 2.1. ПОНЯТИЕ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ЕЕ СТРУКТУРА Деятельность — это форма активного отношения человека к окружающей действительности. Она, прежде всего, характеризуется наличием цели и вызывается различными потребностями и интересами (мотивами). Учебная деятельность направлена непосредственно на усвоение знаний, умений и навыков, ее содержанием являются научные понятия и общие способы решения практических задач. Будучи ведущей для учащихся начальных классов, она стимулирует появление центральных психических новообразований данного возраста, развитие психики и личности школьника. «Под возрастными новообразованиями следует понимать тот новый тип строения личности и ее деятельности, те психические и социальные изменения, которые впервые возникают на данной ступени и которые в самом главном и основном определяют сознание ребенка, его отношение к среде, его внутреннюю и внешнюю жизнь, весь ход его развития в данный период»1. Структура учебной деятельности включает следующие компоненты: • мотивы; • учебные задачи, способы действий; • самоконтроль и самооценка. Взаимосвязь этих компонентов обеспечивает целостность учебной деятельности. Мотив — побудительная сила деятельности, то, ради чего она осуществляется. Мотивы учебной деятельности динамичны и изменяются в зависимости от социальных установок личности. Вначале они формируются под влиянием внешних по отношению к учебной деятельности факторов, не связанных с ее содержанием. С помощью мышления учащийся оценивает разные побуждения, сопо1 28 Выготский Л.С. Собрание сочинений: в 6 т. / под ред. Д.Б. Эльконина. Т. 4. Детская психология. М.: Педагогика, 1984. С. 248. ставляет их, соотносит с имеющимися у него убеждениями и стремлениями и после эмоциональной оценки этих побуждений приступает к учебным действиям, осознавая их необходимость. Поэтому процесс учения должен быть построен так, чтобы задачи, которые ставятся перед учащимся, были не только ему понятны, но и внутренне приняты, чтобы они приобрели для школьника значимость. Другими словами, необходимо сформировать познавательную мотивацию, тесно связанную с содержанием и способами обучения. Мотивация (т.е. направленность школьника на учебные действия) чаще всего возникает при постановке учебной задачи. Но в некоторых случаях она может появиться и в процессе самой деятельности, ее контроля и самооценки. Этому обычно способствует успешное выполнение школьником тех учебных заданий, которые учитель предлагает как в процессе решения учебной задачи, так и на этапе самоконтроля. 2.2. УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА — КЛЮЧЕВОЙ КОМПОНЕНТ УЧЕБНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ Учебная задача, с одной стороны, уточняет общие цели обучения, конкретизирует познавательные мотивы, с другой — помогает сделать осмысленным сам процесс действий, направленных на ее решение. В большинстве случаев средством решения учебных задач в математике являются математические задания (упражнения, задачи). Например, овладение алгоритмом письменного умножения составляет учебную задачу, которая решается в процессе выполнения определенной системы учебных заданий (упражнений). Очевидно, что для решения одной учебной задачи может быть использовано несколько математических заданий (упражнений). В то же время в процессе выполнения одного математического задания (упражнения) может решаться несколько учебных задач. Даны числа: 18, 81, 881, 42, 442, 818. По какому признаку можно разбить эти числа на две группы? Такое задание нацелено как на усвоение разрядного состава числа, понятий «однозначное», «двузначное», «трехзначное» числа, так и на формирование умения классифицировать объекты. Учебные задачи могут быть различных видов. • Частные. Их цель — научить школьников чему-то применительно к конкретному объекту (например, писать цифру 2, умножать 3 на 4). 29 • Локальные. Решаются в пределах одной темы или одного раздела (например, научить детей находить периметр и площадь прямоугольника, составлять таблицу умножения). • Общие. Их решение направлено на формирование таких способов действий, которые распространяются на значительную часть разделов учебного предмета (например, арифметические действия и их свойства, величины и их преобразования) и т.д.). • Перспективные. Их решение начинается в начальных классах, а заканчивается в старших (например, задачи, связанные с развитием логического мышления, усвоением функциональной зависимости, преобразованием математических выражений). Все виды учебных задач в процессе обучения взаимосвязаны: решение локальных и частных задач обычно сопровождается решением общих и перспективных. Например, при изучении умножения двузначного числа на однозначное решаются локальные учебные задачи овладения способом представления числа в виде суммы двух слагаемых, приемом умножения двузначного числа на однозначное. Одновременно решаются и общие учебные задачи — распознавание математических объектов, формирование приемов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение, обобщение) — и перспективные — преобразование математических выражений. В обучении одна и та же общая учебная задача может решаться в течение длительного времени, поэтапно, и важно не упустить ее из виду. В противном случае частности могут заслонить общее. Кроме того, большое значение имеет взаимосвязь между различными этапами решения этой учебной задачи. Если ее нет, то это мешает достижению общей цели. Примером может служить овладение учащимися таким общим способом действия, как моделирование. Вместе с тем не исключены и такие случаи, когда решение учебной задачи осуществляется обобщенно, без разбиения на этапы. Например, в некоторых учебниках для начальных классов прибавление числа к сумме и суммы к числу рассматриваются как отдельные этапы, т.е. решаются две разные учебные задачи. Такой способ требует дополнительной работы по их обобщению, чего обычно не делается. Вместо этого можно сразу решать общую учебную задачу овладения сочетательным свойством сложения. Четкое выделение учебных задач, их соотнесение с конкретным материалом способствуют лучшей организации целенаправленных учебных действий школьников. 30 Задание 2.1. Приведите примеры учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся решают несколько учебных задач. При постановке учебной задачи необходимо выполнение следующих требований. 1. Учебная задача должна ориентировать школьников на поиск нового способа действия, мотивировать их познавательную деятельность. 2. В процессе ее решения учащиеся должны осознать необходимость и рациональность нового знания (понятия, способа действия). В практике обучения постановка учебной задачи часто отождествляется с сообщением темы или цели урока. Например, цель урока — научиться складывать любые однозначные числа. Сформулировав ее в начале урока и считая, что учебная задача поставлена, учитель приступает к актуализации необходимых знаний, умений и навыков и затем разъясняет новый способ действия (в данном случае — вычислительный прием). Такой подход не отвечает требованиям к постановке учебной задачи, так как только сообщение цели урока почти не оказывает влияния на мотивацию познавательной деятельности школьников и не нацеливает их на поиск способа действия. Учебная задача может возникнуть в результате анализа ситуации, которая, с одной стороны, содержит новизну, а с другой — может быть решена с помощью творческого применения известных способов действий или имеющегося опыта. Эти два условия способствуют появлению познавательных мотивов и активизируют учебные действия школьников. Направляя эти действия вопросами, специальными заданиями, преподаватель подводит учеников к новому знанию. Рассмотрим возможность постановки учебной задачи на примере сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд. В начале урока педагог может предложить детям самостоятельную работу, при выполнении которой они должны будут найти значения выражений. Содержание работы включает как известные детям случаи сложения и вычитания, так и новые случаи сложения, соответствующие теме урока. Например: 7 + 2; 9 – 5; 6 + 3; 8 – 6; 36 – 4; 42 + 6; 78 – 40; 37 + 20; 8 + 9; 6 + 8; 7 + 6; 4 + 7. Наблюдая за работой школьников, учитель отмечает (для себя), что вычисление значения выражения 8 + 9 и далее у большинства детей вызвало затруднения. Это вполне оправданно, так как способ 31 действия (вычислительный прием) им пока неизвестен. Теперь важно обсудить способ действия. Скорее всего, это будет присчитывание по одному, потому что этим способом дети уже овладели. Далее полезно выяснить, как действовали ученики при нахождении значений первых восьми выражений. (Первые четыре выражения — это табличные случаи, здесь сразу дается ответ; при нахождении значений следующих четырех выражений дети складывают (вычитают) единицы с единицами, десятки с десятками.) При обсуждении способа вычисления значений последних четырех выражений следует выяснить, чем они все похожи. (Складываются однозначные числа, а в результате получается двузначное число.) «При нахождении значений этих выражений, — говорит учитель, — вы воспользовались присчитыванием по единице, но существует более рациональный (быстрый, лучший) способ действия. Ваша задача — “открыть”этот способ, а я вам помогу». Теперь учебная задача поставлена, а способом ее решения будут те учебные задания, с большинством из которых учащиеся справятся самостоятельно. Например, можно предложить такие задания. • Какому рисунку соответствует каждое выражение? ж ж ж ж ж ж к к к к к к з з з з з з ж ж ж ж ж ж ж з с с с с с с к к к к к к к к к к з з з з з з с с 7+3+3 8+2+2 6+4+1 6+4+2 Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? 8+6 6+6 7+8 8+2+4 6+4+2 7+3+5 8+7 7+6 9+5 8+2+5 7+3+3 9+1+4 В результате выполнения этих заданий учащиеся самостоятельно формулируют новый способ действия. (Сначала дополним первое слагаемое до 10, а затем к десяти добавим оставшиеся единицы.) 32 В качестве средства самоконтроля выступают модели десятков (треугольник, в котором 10 кругов) и единиц (круги), а также изображение сложения на числовом луче. Запись способа действия можно представить так: 9 + 6 = 15 8 + 6 = 14 7 + 4 = 11 /\ /\ /\ 1 5 2 4 3 1 Новый способ действия (вычислительный прием) полезно сравнить с уже известным способом (прибавление по единице) и сделать соответствующие выводы о рациональности такого «открытия». Результат решения поставленной учебной задачи выявляется в процессе проверочной самостоятельной работы, качество выполнения которой оценивается как учителем, так и самими учащимися. Это позволяет учителю целенаправленно организовать последующую работу, а ученикам — осознать ее необходимость. Для выявления результатов решения учебной задачи можно организовать взаимоконтроль. Проблемное задание, используемое для постановки учебной задачи, может быть связано и с выполнением практических действий. Рассмотрим возможную проблемную ситуацию при формировании понятия «больше на…» («увеличить на…»). На столе две одинаковые стеклянные банки, причем одна из них загораживается (экранируется) и в нее наливается немного воды, уровень которой учащимся не виден. Задается вопрос: «Как сделать так, чтобы во второй банке воды было больше, чем в первой?». Причем больше на столько, сколько воды в кружке, предлагаемой учителем. Поставленная в таком виде учебная задача позволяет учащимся самостоятельно открыть новый способ действия: сначала во вторую банку нужно налить столько же воды, сколько ее налито в первой банке, а затем долить в нее еще одну кружку. Действие выполняется. В данном случае планирование действия и само действие были не иллюстрацией, а реальным (не условным) способом решения учебной задачи, при этом учащиеся опирались только на свой опыт. Таким образом, создание проблемной ситуации — один из способов постановки учебной задачи. В психологических исследованиях (Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская, А.А. Люблинская, Г.С. Костюк, В.В. Давыдов и другие) было установлено, что закономерности процесса мышления и закономерности процесса усвоения новых знаний в значительной степени совпадают. Результаты исследований показали, что одним из главных условий, обеспечивающих развитие мышления 33 детей, является постановка заданий, вызывающих проблемные ситуации, которые активизируют мыслительную деятельность учащихся. Следует иметь в виду, что понятия «проблемное задание» и «проблемная ситуация» не тождественны, так как проблемная ситуация характеризует, прежде всего, психическое состояние учащегося, а не само учебное задание. В то же время психическое состояние учащегося, связанное с активизацией мышления, возникает под воздействием определенного вопроса или задания. При разработке проблемных заданий необходимо ориентироваться на основные компоненты (элементы) проблемных ситуаций. В числе таких компонентов А.М. Матюшкин называет: «а) необходимость выполнения такого действия, при котором возникает познавательная потребность в новом, неизвестном отношении, способе или условии действия; б) неизвестное, которое должно быть раскрыто в возникшей проблемной ситуации; в) возможности учащегося в выполнении поставленного задания, в анализе условий и открытии неизвестного»1. Характеризуя процесс поиска нового в проблемной ситуации, важно отметить, что в нем проявляются не только закономерности логических преобразований, но и закономерности интуитивного мышления человека. Значимой особенностью неизвестного как элемента проблемной ситуации, по мнению А.М. Матюшкина, является его обобщенность. То есть, несмотря на конкретность проблемного задания, неизвестное, которое должно быть раскрыто в ходе его выполнения, всегда содержит общее, относящееся к целому классу заданий. Главный механизм «открытия», которое делает ученик при выполнении проблемного задания, — образование новых связей, так как новое, неизвестное ученику отношение (свойство, закономерность, неизвестный способ действия) раскрывается только через установление новых связей с уже известным. Поиск неизвестного — это постоянное включение объекта во все новые системы связей (А.М. Матюшкин). Важным методическим условием осуществления этих связей является целенаправленное и систематическое включение в учебный процесс последовательности проблемных заданий, при выпол1 34 Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М.: Педагогика, 1972. С. 34. нении которых ученик повторяет ранее изученный материал, активно мыслит, самостоятельно формулирует стоящую перед ним учебную задачу и решает ее сам или с помощью учителя. В практике обучения, к сожалению, проблемные задания включаются в изучение нового крайне редко, поэтому у ребят складывается отношение к школьному знанию как к чему-то условно привносимому в реальность. При введении нового способа действия важно донести до сознания учащихся суть его новизны. Если этот способ замещает собой другой, менее рациональный, то их нужно противопоставить и показать ребенку преимущество нового способа перед старым, тем самым помочь ему осознать свое продвижение в овладении математикой. Например, при знакомстве с умножением следует так организовать работу, чтобы дети поняли необходимость выделения в заданной совокупности одинаковых слагаемых. Для этого на магнитной доске выставляется в один ряд довольно большое количество (например, 25) предметных картинок. Классу предлагается сосчитать их. Дети убеждаются в том, что это требует много времени. Тогда учитель жестом отделяет один пяток картинок от другого. После этого ученики считают картинки сразу пятками. Затем они отвечают на вопросы: «Почему стало легко считать?»; «Что для этого сделал учитель?»; «Как теперь расположены на доске картинки?». Подобная учебная ситуация позволяет учащимся обнаружить практический смысл образования равных слагаемых. Последнее обстоятельство способствует не только принятию данной учебной задачи, но и развитию учебной мотивации вообще. Мы выяснили, что проблемное задание — необходимый компонент процесса обучения, целью которого является развитие мышления учащихся. Однако использование проблемных заданий требует от учителя определенного отношения к сущности процесса усвоения знаний, что связано с ответом на принципиальные вопросы. • Как предлагать ученику знания, которые он должен усвоить? • Что ученик должен сделать, чтобы усвоить знания? В зависимости от ответа на эти вопросы можно выделить две позиции. В одном случае знания (факты, правила, определения, способы действий) предлагаются классу в виде известного учителю образца, который дети должны запомнить и воспроизвести, затем во время тренировочных упражнений «отработать» соответствующие умения (навыки). В другом случае ученик сначала 35 включается в деятельность, в процессе которой у него возникают потребности в усвоении новых знаний, и он сам или с помощью учителя «открывает» их. Задание 2.2. Какую вы выбираете позицию? Почему? Постарайтесь обосновать свой ответ. В зависимости от того, какие учебные задачи должны быть решены в процессе обучения математике и какие учебные действия выполняют учащиеся, можно говорить о различных видах учебной деятельности — внешних или внутренних, практических или интеллектуальных. Такое деление условно, так как эти виды деятельности тесно связаны. Например, поиск способа решения является интеллектуальной деятельностью, которая может осуществляться не только во внутреннем плане действий (анализ через синтез, сравнение, абстрагирование, установление связей между данными и искомым), но и во внешнем (схема, таблица, словесные рассуждения, запись решения). Практическая деятельность школьников, связанная с измерением, изготовлением наглядных пособий, выполнением рисунка, не может проходить без включения интеллектуальной (познавательной) деятельности. Если ученики выполняют воспроизводящие действия, то их деятельность называют репродуктивной (например, воспроизведение определения, правила, способа действия, алгоритма, табличных случаев сложения и умножения, соотношения между единицами величин). Если учебные действия выполняются в варьирующихся, т.е. видоизмененных условиях, то такую деятельность можно назвать вариативно-воспроизводящей. Она наиболее характерна для обучения младших школьников математике, так как ее усвоение связано с применением правил, способов действия, алгоритмов для решения различных задач. Деятельность, направленная на поиск новых знаний, нахождение новых способов действий, называется продуктивной (творческой или эвристической). Творческая деятельность востребована в нестандартных условиях, когда необходим поиск, в результате которого появляется нечто новое (знание, способ действия). Если ученики находят этот способ действия самостоятельно, опираясь на имеющиеся у них знания, то такую деятельность можно назвать исследовательской. 36 В том случае, когда учащимся помогает учитель, направляет их действия, творческая деятельность носит частично поисковый характер. Следовательно, творческая деятельность может осуществляться на разных уровнях (частично поисковом и исследовательском), каждый уровень характеризуется степенью самостоятельности выполнения различных действий (операций). На становление творческой деятельности школьников существенное влияние оказывает характер обучения. Оно во многом определяется постановкой учебных задач, способствующих мотивации учения, и видом предлагаемых заданий, выполнение которых требует разнообразных практических и интеллектуальных действий. Задание 2.3. Проанализируйте свой опыт обучения в вузе и приведите примеры репродуктивной, вариативно-воспроизводящей и творческой деятельности в процессе усвоения различного содержания. Проанализируйте, какие действия (операции) входят в состав каждого вида деятельности. 2.3. ПРИЕМЫ УМСТВЕННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И ИХ ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в психолого-педагогической литературе принято называть логическими приемами, или приемами умственной деятельности. Включение подобных операций в процесс усвоения математического содержания — одно из наиболее важных условий построения развивающего обучения математике, так как продуктивная деятельность оказывает влияние на развитие всех психических функций. 1. Анализ и синтез. В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, так как анализ осуществляется через синтез, синтез — через анализ. Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, видеть их новые функции. 37 Формированию этих умений может способствовать: а) рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий; б) постановка различных заданий к данному математическому объекту. Для рассмотрения данного объекта с точки зрения различных понятий младшим школьникам при обучении математике обычно предлагаются такие задания. • Прочитай по-разному выражение 16 – 5. (16 уменьшили на 5; разность чисел 16 и 5; из 16 вычесть 5.) • Прочитай по-разному равенство 15 – 5 = 10. (15 уменьшить на 5, получим 10; 15 больше 10 на 5; разность чисел 15 и 5 равна 10; 15 — уменьшаемое, 5 — вычитаемое, 10 — разность; число 5 меньше 15 на 10, число 10 меньше 15 на 5.) • Как по-разному можно назвать квадрат? (Прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.) • Расскажи все, что ты знаешь, о числе 325. (Это трехзначное число; оно записано цифрами 3, 2, 5; в нем 325 единиц, 32 десятка и 5 единиц, 3 сотни, 2 десятка и 5 единиц; его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых так: 300 + 20 + 5; оно на единицу больше числа 324 и на 1 единицу меньше числа 326; его можно представить в виде суммы двух слагаемых, трех, четырех и т.д.) Конечно, не следует стремиться к тому, чтобы каждый ученик произносил этот монолог, но, ориентируясь на него, можно предлагать детям вопросы и задания, при выполнении которых они будут рассматривать данный объект с различных точек зрения. Чаще всего это задания на классификацию или на выявление различных закономерностей (правил). По каким признакам можно разложить пуговицы в две коробки? Анализируя рисунок с точки зрения разных признаков (цвет, форма, размер пуговиц, количество дырочек в них), дети предлагают варианты разбиения на две группы. 38 Найди правило, по которому составлена таблица, и заполни пропущенные клетки. 4 6 9 3 5 7 8 2 8 6 5 2 3 Увидев, что в данной таблице две строки, учащиеся пытаются выявить определенное правило в каждой из них и обычно выясняют, на сколько одно число меньше (больше) другого. Для этого дети выполняют сложение или вычитание. Не обнаружив закономерности ни в верхней, ни в нижней строке, пробуют анализировать данную таблицу с другой точки зрения, сравнивая каждое число верхней строки с соответствующим (стоящим под ним) числом нижней строки. Получают: 4 < 5 на 1; 6 < 7 на 1; 9 > 8 на 1; 3 > 2 на 1. Если под числом 8 записать число 9, а под числом 6 — число 7, то имеем: 8 < 9 на 1; 6 < 7 на 1, значит, под числом 5 надо записать 4 (5 > 4 на 1), а над числом 3 надо записать 4 (4 > 3 на 1). Аналогично можно сравнивать каждое число нижней строки с соответствующим (стоящим над ним) числом верхней строки. Рассмотрение данного объекта с различных точек зрения возможно и при выполнении геометрических заданий. • Найди отрезок ВС. Что ты можешь рассказать о нем? (ВС — сторона треугольника ВСЕ; ВС — сторона треугольника DВС; ВС меньше, чем DС; ВС меньше, чем АВ; ВС — сторона угла ВСD и угла ВСЕ и т.д.) А В D Е С • Сколько отрезков на данном чертеже? Сколько треугольников? Сколько многоугольников? С В О D А М 39 Задание 2.4. Придумайте задания, в процессе выполнения которых учащиеся будут рассматривать данные в них объекты с различных точек зрения. 2. Прием сравнения. Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе обучения математике играет прием сравнения. Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы: • выделение признаков или свойств одного объекта; • установление сходства и различия между признаками двух объектов; • выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов. Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов, хорошо знакомых детям, в которых они могут выделить те или иные признаки, опираясь на уже имеющиеся представления. Для выявления признаков или свойств какого-то предмета преподаватель обычно обращается к классу с вопросами. • В чем сходство и различие этих предметов? • Что изменилось? При обсуждении задания можно использовать термин «признак». («Назови признаки предмета», «Назови сходные и различные признаки предметов».) Задание 2.5. Подберите различные пары предметов и изображений, которые вы можете предложить первоклассникам, чтобы они установили сходство и различие между ними. Придумайте иллюстрации к заданию «Что изменилось?». Умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносят на математические объекты. Назови признаки выражения: • 3 + 2 (числа 3, 2 и знак «+»); • 6 – 1 (числа 6, 1 и знак «–»). По этим внешним признакам, доступным для восприятия, дети могут устанавливать сходство и различие между математическими 40 объектами и осмысливать эти признаки с точки зрения различных понятий. В чем сходство и различие: • выражений: 6 + 2 и 6 – 2; 9 · 4 и 9 · 5; 6 + (7 + 3) и (6 + 7) + 3; • чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12; 111 и 11; 112 и 12 и т.д.; • равенств: 4 + 5 = 9 и 5 + 4 = 9; 3 · 8 = 24 и 8 · 3 = 24; 4 · (5 + 3) = 32 и 4 · 5 + 4 · 3 = 32; 3 · (7 · 10) = 210 и (3 · 7) ·10 = 210; • текстов задач: а) «Коля поймал 2 рыбки, Петя — 6. На сколько больше рыбок поймал Петя, чем Коля?»; б) «Коля поймал 2 рыбки, Петя — 6. Во сколько раз больше поймал рыбок Петя, чем Коля?» Прием сравнения можно использовать при знакомстве учеников с новыми понятиями. Чем похожи между собой: • числа: 50, 70, 20, 10, 90 (разрядные десятки); • геометрические фигуры (четырехугольники); • математические записи: 3 + 2; 13 + 7; 12 + 25 (выражения, которые называются суммой). Задание 2.6. Составьте из данных математических выражений: 9 + 4; 520 – 1; 9 · 4; 4 + 9; 371; 520 · 1; 33; 13 · 1; 520 : 1; 333; 173; 9 + 1; 520 + 1; 222; 13 : 1 различные пары, в которых дети могут выявить признаки сходства и различия. В обучении младших школьников значительная роль отводится упражнениям, которые связаны с переводом предметных моделей в символические и наоборот. • Какому рисунку соответствует запись: а) 2 · 3; б) 2 + 3? 41 • Какой рисунок соответствует записи 3 · 5? Если такого рисунка нет, нарисуй его в тетради. Задание 2.7. Придумайте различные упражнения на соотнесение предметных и символических моделей. Показатель сформированности приема сравнения — умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач без указаний «сравни…», «укажи признаки…», «в чем сходство и различие…». Приведем конкретные примеры таких заданий. • Расположи числа в порядке возрастания: 12, 9, 7, 15, 24, 2. (Для выполнения этого задания ученики должны выявить признаки различия данных чисел.) • Сумма чисел в первом столбце равна 74. Как, не выполняя сложения во втором и третьем столбцах, найти суммы чисел: 21 30 11 12 74 22 31 12 13 23 32 13 14 • Продолжи ряды чисел: а) 2, 4, 6, 8, … б) 1, 5, 9, 13, … (Основа установления закономерности (правила) записи чисел — также операция сравнения.) Задание 2.8. Придумайте задания, при выполнении которых нужно использовать прием сравнения, при этом в содержании задания на это нет специальных указаний. 42 3. Прием классификации. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие — основа приема классификации. Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: а) ни одно из подмножеств не пусто; б) подмножества попарно не пересекаются; в) объединение всех подмножеств составляет данное множество. Предлагая детям задания на классификацию, эти условия следует учитывать. Так же, как при формировании приема сравнения, дети сначала выполняют задания на классификацию хорошо знакомых предметов. • Разложи листочки на две группы: а) по цвету; б) размеру; в) форме. з з з ж з з ж з з • По какому признаку расставили чашки на две полки? ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж с ж ж с с ж ж ж с ж Что могут обозначать равенства: 3 + 2 = 5; 4 + 1 = 5? Задание 2.9. Придумайте задания на классификацию предметов по различным основаниям. 43 Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Например, для упражнений в счете им часто предлагаются иллюстрации, к которым можно поставить вопросы, начинающиеся со слова «сколько». Рассмотрим рисунок, к которому можно поставить следующие вопросы: «Сколько больших кругов? Маленьких? Синих? Красных? Больших красных? Маленьких синих?». С К С К К К С Выполняя задание, учащиеся сначала выделяют предметы, обладающие названными в нем признаками, затем упражняются в счете. Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в таком виде: «Разбейте (разложите) все круги на две группы по какому-то признаку». Большинство детей успешно справляются с этим, ориентируясь на такие признаки, как цвет и размер. По мере изучения различных понятий задания на классификацию могут включать числа, выражения, равенства, уравнения, геометрические фигуры. Например, при изучении нумерации чисел в пределах 100 можно предложить такое задание. По какому признаку можно разбить данные числа на две группы: • 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну группу входят числа, записанные двумя одинаковыми цифрами, в другую — различными); • 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85 (основание классификации — количество десятков: в одной группе чисел оно равно 8, в другой — 9)? Если в задании не указано количество групп разбиения, то возможны различные варианты. Например: 37, 61, 67, 34, 31, 64 (данные числа можно разбить на три группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде единиц, и на две группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде десятков. Возможны и другие варианты). Задание 2.10. Составьте аналогичные рассмотренным ранее упражнения на классификацию с пятизначными и шестизначными числами. 44 В качестве основания для разбиения выражений на группы может выступать и вычислительный прием. С этой целью можно использовать задание такого типа. По какому признаку можно разбить данные выражения на две группы: 57 + 4; 23 + 4; 36 + 2; 75 + 2; 68 + 4; 52 + 7; 76 + 7; 44 + 3; 88 + 6; 82 + 6? Если учащиеся не сумеют увидеть нужное основание для классификации, то учитель помогает им следующим образом: «В одну группу я запишу такое выражение: 57 + 4, — говорит он, — в другую — 23 + 4. В какую группу вы запишете выражение 36 + 2?» Если и в этом случае дети затрудняются, то педагог может подсказать им основание: «Каким вычислительным приемом вы пользуетесь для нахождения значения каждого выражения?». Задания на классификацию стоит предлагать не только на этапе закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве с новыми понятиями. Например, для определения понятия «прямоугольник» к множеству геометрических фигур, расположенных на доске, можно предложить такую последовательность заданий и вопросов. 6 3 1 2 8 5 4 7 10 9 • Убери «лишнюю» фигуру. (Дети убирают треугольник и фактически разбивают множество фигур на две группы, ориентируясь на количество сторон и углов в каждой фигуре.) • Чем похожи все остальные фигуры? (У них 4 угла и 4 стороны.) • Как можно назвать все эти фигуры? (Четырехугольники.) • Покажи четырехугольники с одним прямым углом (6 и 5). (Для проверки своего предположения ученики используют модель прямого угла, соответствующим образом прикладывая его к указанной фигуре.) • Покажи четырехугольники: а) с двумя прямыми углами (3 и 10); б) с тремя прямыми углами (таких нет); в) с четырьмя прямыми углами (2, 4, 7, 8, 9). • Разбей четырехугольники на группы по количеству прямых углов (1-я группа — 5 и 6; 2-я группа — 3 и 10; 3-я группа — 2, 4, 7, 8, 9). 45 Четырехугольники соответствующим образом раскладываются на доске. В третью группу входят четырехугольники, у которых все углы прямые. Это прямоугольники. Таким образом, при обучении математике можно использовать задания на классификацию различных видов. 1. Подготовительные задания. К ним относятся: «Убери (назови) “лишний” предмет», «Нарисуй предметы такого же цвета (формы, размера)», «Дай название группе предметов». Сюда же можно отнести задания на развитие внимания и наблюдательности: «Какой предмет убрали?» и «Что изменилось?». 2. Задания, в которых на основание классификации указывает учитель. 3. Задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание классификации. Задание 2.11. Составьте различные виды заданий на классификацию предметов, чисел, выражений, геометрических фигур. 4. Прием аналогии. Аналогия (от греч. analogia — сходство, соответствие) — сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. В процессе обучения математике учитель довольно часто говорит детям: «Сделайте по аналогии»; «Это аналогичное задание». Обычно такие указания следуют за показом образца действий. Тогда в аналогичном задании будут только другие числа, а способ выполнения останется тем же. Но возможен и другой вариант, когда, используя аналогию, ученики находят новые способы действий. В этом случае они сами должны увидеть сходство между объектами в некоторых отношениях и самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, т.е. сделать заключение по аналогии. Но для того чтобы учащиеся смогли высказать догадку, необходимо определенным образом организовать их деятельность. Например, школьники усвоили алгоритм письменного умножения на однозначное число. Переходя к письменному умножению на двузначное число, учитель предлагает им сравнить две записи: × 375 × 375 4 24 1500 1500 + 750 9000 После этого спрашивает: «Кто догадается, как нужно рассуждать, чтобы выполнить запись справа?» Выявив различия в записях, уче46 ники проверяют свою догадку, умножив 375 на 2. Получив в результате число 750, они высказывают свое предположение. Теперь остается только понять, почему запись числа 750 сместилась влево на одну цифру. Умозаключение по аналогии можно использовать при изучении свойств арифметических действий, в частности переместительного свойства умножения. Для этой цели учащимся сначала предлагается найти значения выражений: 3+6 6+3 4+7 7+4 4+8 8+4 Учитель спрашивает: — Каким свойством вы воспользовались при выполнении задания? (Переместительным свойством сложения.) — А будет ли выполняться переместительное свойство для умножения? Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и находят значение каждого, заменяя произведение суммой. Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить существенные признаки объектов, в противном случае вывод может оказаться неверным. Например, некоторые дети пытаются применить способ умножения числа на сумму при умножении числа на произведение. Это говорит о том, что существенное свойство данного выражения — умножение на сумму — оказалось вне их поля зрения. Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, педагог должен иметь в виду следующее. • Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними. • Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по какимлибо признакам. • То есть применение приема аналогии способствует повторению изученного материала и систематизации знаний и умений. • Для ориентации школьников на использование аналогии следует в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив известный способ действий и проанализировав новое задание. 47 • Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. Иначе вывод может быть ошибочным. Задание 2.12. Приведите примеры умозаключений по аналогии, которые возможно использовать при письменном умножении на трехзначное число, при изучении сочетательного свойства умножения. 5. Прием обобщения. Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений — основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение. Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения — теоретическом и эмпирическом. В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений). Используя индуктивные (от лат. inductio — выведение, наведение) умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются. Для организации индуктивных обобщений необходимо: • продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения; • рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить; • варьировать виды частных объектов, т.е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность; • помогать детям словесно оформлять наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают. Рассмотрим на конкретном примере, как можно реализовать приведенные рекомендации. Для того чтобы подвести учащихся к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает им такие задания. 48 Рассмотрите рисунок и попробуйте быстро подсчитать, сколько окон в доме. Дети могут предложить следующие способы: 3 + 3 + 3 + 3; 4 + 4 + 4 или 3 · 4 = 12; 4 · 3 = 12. Учитель предлагает сравнить полученные равенства, т.е. выявить их сходство и различие. Отмечается, что множители переставлены, а результаты одинаковые. Аналогичное задание учащиеся выполняют с прямоугольником, который разбит на квадраты. В результате получают 9 · 3 = 27; 3 · 9 = 27 и словесно описывают те сходства и различия, которые существуют между записанными равенствами. Ученикам предлагается самостоятельная работа: найти значения следующих выражений, заменив умножение сложением: 3·2 4·2 3·6 4·5 5·3 8·4 2·3 2·4 6·3 5·4 3·5 4·8 Выясняется, чем похожи и чем отличаются равенства в каждой паре. Ответы могут быть такими: «Множители одинаковы, но они переставлены», «Произведения одинаковы» или «Множители одинаковы, но они переставлены, произведения одинаковы». Учитель помогает сформулировать свойство с помощью наводящего вопроса: «Если множители переставить, то что можно сказать о значении произведения?». Вывод: «Если множители переставить, то значение произведения не изменится» или «От перестановки множителей значение произведения не изменится». 49 Задание 2.13. Подберите последовательность заданий, которые можно использовать для выполнения индуктивных умозаключений при изучении: а) переместительного свойства сложения; б) принципа образования натурального ряда чисел (если к числу прибавить единицу, то получим следующее при счете число; если вычесть единицу, то получим предыдущее число); в) закономерностей: «сумма двух последовательных чисел есть число нечетное»; «если из последующего числа вычесть предыдущее, то получится 1»; «произведение двух последовательных чисел делится на 2»; «если к любому числу прибавить, а затем вычесть из него одно и то же число, то получим первоначальное число». Формируя у младших школьников умение обобщать наблюдаемые факты индуктивным способом, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверные обобщения. Рассмотрим несколько таких примеров. Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы: 2+3…2·3 4+5…4·5 3+4…3·4 5+6…5·6 Сравнив данные выражения и отметив закономерности: «Слева записана сумма, справа — произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения», — большинство детей делают вывод: «Сумма двух последовательных чисел всегда меньше их произведения». Но высказанное обобщение ошибочно, так как не учтены случаи: 0+1…0·1 1+2…1·2 Можно попытаться сделать правильное обобщение, в котором будут учтены определенные условия: «Сумма двух последовательных чисел, начиная с числа 2, всегда меньше произведения таких же чисел». Найди сумму. Сравни ее с каждым слагаемым. Сделай соответствующий вывод. Слагаемое 1 2 3 4 5 6 Слагаемое 4 4 4 4 4 4 Сумма На основе анализа рассмотренных частных случаев учащиеся приходят к выводу, что «сумма всегда больше каждого из слагаемых». Но его можно опровергнуть, так как: 1 + 0 = 1, 2 + 0 = 2. В этих случаях сумма равна одному из слагаемых. 50 Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на число 2, и сделай вывод. (2 + 4) : 2 = 3 (6 + 8) : 2 = 7 (4 + 4) : 2 = 4 (8 + 10) : 2 = 9 (6 + 2) : 2 = 4 (6 + 4) : 2 = 5 Анализируя предложенные частные случаи, дети могут прийти к заключению: «Если сумма чисел делится на 2, то каждое слагаемое этой суммы делится на 2». Но этот вывод ошибочный, его можно опровергнуть: (1 + 3) : 2. Здесь сумма делится на 2, а каждое слагаемое не делится. Задание 2.14. Придумайте задания, при выполнении которых можно сделать неверные индуктивные заключения. Большинство психологов, педагогов и методистов считают, что эмпирическое обобщение, в основе которого лежит действие сравнения, для младших школьников наиболее доступно. Этим, собственно, и обусловлено то, что при формировании понятий в начальном курсе математики используются индуктивные рассуждения. Сравнивая математические объекты или способы действий, ребенок выделяет их внешние общие свойства, которые могут стать содержанием понятия. Тем не менее ориентир на внешние, доступные для восприятия свойства сравниваемых математических объектов не всегда позволяет раскрыть сущность изучаемого понятия или усвоить общий способ действий. При эмпирическом обобщении учащиеся часто сосредоточиваются на несущественных свойствах объектов и на конкретных ситуациях. Это отрицательно сказывается на формировании понятий и общих способов действий. Например, формируя понятие «больше на…», учитель обычно предлагает серию конкретных ситуаций, отличающихся друг от друга лишь числовыми характеристиками. На практике это выглядит так: детям предлагают положить в ряд три красных кружка, под ними положить столько же синих, затем выясняют, как сделать так, чтобы в нижнем ряду кружков стало больше на 2 (добавить 2 кружка). Затем учитель предлагает положить в первый ряд 5 (4, 6, 7, …) кружков, во второй ряд — на 3 (2, 5, 4, …) больше. Предполагается, что в результате выполнения таких заданий у ребенка сформируется понятие «больше на…», которое найдет свое выражение в способе действий «взять столько же и еще…». 51 Но, как показывает практика, в центре внимания учащихся в этом случае, прежде всего, остаются различные числовые характеристики, а не сам общий способ действия. На самом деле, выполнив первое задание, ученик может сделать вывод только о том, как «сделать больше на 2», выполнив следующие задания, — «как сделать больше на 3 (4, 5)» и т.д. В итоге обобщенная словесная формулировка способа действия: «Нужно взять столько же и еще», — дается учителем, и большинство детей усваивают понятие «больше на…» только в результате выполнения однообразных тренировочных упражнений. Поэтому они способны выполнять те или иные рассуждения только в рамках данной конкретной ситуации и на ограниченной области чисел. Теоретическое обобщение, в отличие от эмпирического, осуществляется путем анализа данных о каком-либо одном объекте или ситуации с целью выявления существенных внутренних связей. Эти связи сразу фиксируются абстрактно (с помощью слова, знаков, схем) и становятся той основой, на которой в дальнейшем выполняются частные (конкретные) действия. Необходимое условие формирования у младших школьников способности к теоретическому обобщению — направленность обучения на формирование общих способов деятельности. Для выполнения этого условия нужно продумать такие действия с математическими объектами, в результате которых дети смогут сами «открывать» существенные свойства изучаемых понятий и общих способов действий с ними. Разработка данного вопроса на методическом уровне представляет определенную сложность. В настоящее время это одна из самых актуальных проблем начального обучения математике, решение которой связано как с преобразованием содержания, так и с модификацией учебной деятельности младших школьников, направленной на усвоение материала. Например, в курс начальной математики (В.В. Давыдов), целью которого является развитие у детей способности к теоретическому обобщению, внесены существенные изменения. Они касаются и его содержания, и способов организации деятельности. Основу теоретических обобщений в этом курсе составляют предметные действия с величинами (длина, объем), а также различные приемы моделирования этих действий с помощью геометрических фигур и символов. Но это лишь один из возможных вариантов построения начального курса математики. Ту же задачу можно решать, выполняя раз52 личные действия и с предметами. Примеры таких ситуаций нашли отражение в статье Г.Г. Микулиной1. Автор советует для формирования понятия «больше на…» использовать такую ситуацию: детям предлагается пачка красных карточек. Нужно сложить пачку из зеленых карточек так, чтобы в ней было вот на столько (показывается пачка синих карточек) больше, чем в пачке красных. Условие: карточки пересчитывать нельзя. Наряду с эмпирическим и теоретическим обобщением, в курсе математики имеют место обобщения-соглашения. Примерами могут служить правила умножения на 1 и 0, справедливые для любого числа. Их обычно сопровождают пояснениями: «В математике договорились…», «В математике принято считать…». Задание 2.15. Придумайте ситуации для теоретического и эмпирического обобщения при изучении какого-либо понятия, свойства или способа действия. 2.4. СПОСОБЫ ОБОСНОВАНИЯ ИСТИННОСТИ СУЖДЕНИЙ Непременным условием развивающего обучения является формирование у детей способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике преподавания эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения. Суждения бывают единичными: в них что-то утверждается или отрицается относительно одного объекта. Например: «Квадрат АВСD не имеет острых углов»; «В числе 104 десять десятков». Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных суждениях что-то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности объектов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества. Например: «Чтобы найти сумму чисел 8 и 5, нужно представить число 5 в виде суммы двух слагаемых: 2 + 3. Сначала к 8 прибавить 2 и получить 10, а затем прибавить 3». В этом суждении речь идет о сложении однозначных чисел с переходом в другой разряд. В общих суждениях что-то утверждается или отрицается относительно всех объектов данной совокупности. Например: «В прямоугольнике противоположные стороны равны». Здесь речь идет 1 См.: Микулина Г.Г. Действия с предметами как основа усвоения математических понятий // Начальная школа. 1983. № 9. С. 41. 53 о любом прямоугольнике, т.е. обо всех прямоугольниках. Поэтому суждение является общим, хотя в данном предложении слово «всех» отсутствует. «Любое уравнение в начальных классах решается на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий». Это тоже общее суждение, так как охватывает всевозможные уравнения, встречающиеся в курсе математики начальных классов. Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными (например: «Если число оканчивается нулем, то оно делится на 10»). Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение — частной посылкой, новое единичное суждение — заключением. Пусть, например, требуется решить уравнение: 7 · х = 14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)». Это правило (общее суждение) — общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка. Заключение: «Нужно 14 разделить на 7, получим 2». Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т.е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению. Поэтому, собственно, и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения отсутствуют в курсе математики начальных классов. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является такое рассуждение: «4 < 5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5». В данном случае общая посылка: «Если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше». Частная посылка: «4 при счете называют раньше, чем 5»; заключение: «4 < 5». Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при работе со значительно более сложными выражениями. В качестве общей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки — конкретное 54 числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся и руководствуются правилом порядка выполнения действий. Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых школьники используют различные способы. Покажем это на примере заданий. Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства: : 6 = 27 054; : 7 = 4083 (ост. 4). Учащиеся высказывают общее суждение: «Если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «Значение частного — 27 054, делитель — 6». Заключение: «27 054 · 6». Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умножения, находится результат: 162 324. Высказывается суждение: «162 324 : 6 = 27 054». Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление «уголком» или воспользовавшись калькулятором. Аналогично поступают со второй записью. Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56. Учащиеся высказывают суждения: • 6 · 8 = 48 (обоснование — вычисления); • 56 – 48 = 8 (обоснование — вычисления); • 8 · 6 = 48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «От перестановки множителей значение произведения не изменится»); • 48 : 8 = 6 (тоже возможна общая посылка и т.д.). Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирования у ребят умений рассуждать не всегда используются все методические возможности. Например, при выполнении задания: «Сравни выражения, поставь знак <, > или =, чтобы получилась верная запись 6+26+3 6 + 4 4 + 6» учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями: «6 + 2 < 6 + 3, потому что 8 < 9». Этим ответ ограничивается, так как суждение «8 < 9» чаще всего не обосновывается. Однако при выполнении данного задания они могли бы сравнить слагаемые 55 в суммах и сделать умозаключение о том, какой следует поставить знак, не прибегая при этом к вычислениям. Для формирования у детей умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными; б) неверными; в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания рассматривается как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств. Например, при изучении темы «Единицы площади» классу предлагается такое задание. Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше площади прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством. А D В К M С О Е Маша записала такие равенства: 15 : 3 = 5; 30 : 6 = 5. Миша — такое равенство: 60 : 12 = 5. Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша? Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся используют имеющиеся у них представления об измерении площади и выбирают мерку, соответствующую равенству. Затем применяют способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел (чтобы узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого, надо большее число разделить на меньшее). Предлагая способ решения задачи, дети также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задачи. • Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 часов? 56 Миша записал решение задачи так: 1) 18 : 9 = 2 (км/ч); 2) 27 : 9 = 3 (км/ч); 3) 2 + 3 = 5 (км/ч). Маша — так: 1) 18 + 27 = 45 (км); 2) 45 : 9 = 5 (км/ч). Кто прав: Миша или Маша? • Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех — по 9, с шести — по 8, а с семи — по 4 картофелины? Маша решила задачу так: 1) 7 · 3 = 21 (к.); 2) 4 · 7 = 28 (к.); 3) 21 + 28 = 49 (к.). Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов. А Миша решил задачу так: 1) 9 · 4 = 36 (к.); 2) 8 · 6 = 48 (к.); 3) 36 + 48 = 84 (к.). Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов. Кто из ребят прав? (Оба правы, так как в условии не сказано, о каких 10 кустах идет речь.) Таким образом, для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям, дедуктивным рассуждениям, измерениям и эксперименту. Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала. Например, суждения «Синий отрезок длиннее красного», «Стороны четырехугольника равны», «Одна сторона прямоугольника больше другой» дети могут обосновать, используя для сравнения длин циркуль. Задание 2.16. Опишите способы обоснований истинности суждений, высказанных учащимися при выполнении следующих заданий. • Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбце одинаковы: 9·7+9+5 8·6+8+3 7·9+9+5 8·7+3 9·8+5 7 · 8 + 3? • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы: 12 · 5 16 · 4 (8 + 4) · 5 (8 + 8) · 4 (7 + 5) · 5 (9 + 7) · 4 (10 + 2) · 5 (10 + 6) · 4? • Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи: (14 + 8) · 3 14 · 3 + 8 · 3 (27 + 8) · 6 27 · 6 + 8 (36 + 4) · 18 40 · 18. 57 Глава 3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ НАЧАЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ И ОСОБЕННОСТИ ИХ УСВОЕНИЯ МЛАДШИМИ ШКОЛЬНИКАМИ 3.1. НАТУРАЛЬНОЕ ЧИСЛО. СЧЕТ. ВЗАИМОСВЯЗЬ КОЛИЧЕСТВЕННЫХ И ПОРЯДКОВЫХ ЧИСЕЛ. ЦИФРА В методике формирования понятия натурального числа у младших школьников находят отражение как исторический путь возникновения и развития данного понятия, так и его трактовка в математической науке. Первый этап в развитии понятия числа характеризовался тем, что численность группы предметов устанавливалась в результате соотнесения обозримых множеств. Например, о численности группы из пяти предметов говорили: «Столько же, сколько пальцев на руке», — о множестве из двадцати предметов: «Столько же, сколько пальцев у человека». Второй этап в развитии понятия натуральных чисел характеризуется тем, что для сравнения множеств стали применять множествапосредники: мелкие камешки, раковины, пальцы. Эти множествапосредники уже представляли собой задатки понятия натурального числа, хотя пока еще число не отделялось от предметов: речь шла о пяти камешках, пяти пальцах, а не о числе вообще. Важнейшим этапом в развитии понятия числа является отвлечение от конкретных множеств предметов: появляется необходимость в строгом логическом обосновании понятия натурального числа, систематизации знаний о нем. В связи с этим возникают разные подходы к определению понятия натурального числа и нуля и к введению отношений на множестве целых неотрицательных чисел. Теоретическая наука, изучающая числа и действия над ними, получила название «арифметика». Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте. Накопленные в этих странах математические знания были развиты и продолжены учеными Древней Греции. В Средние века большой вклад в развитие арифметики внесли математики Индии, стран арабского мира и Средней Азии, а начиная с XIII в. — европейские ученые. 58 Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый и государственный деятель А. Боэций (ок. 480–524). Первые шаги в формировании понятия числа у младших школьников связаны с выполнением определенных действий с предметными совокупностями. В основе такого подхода лежит положение психологии о том, что представление о предметах, явлениях начинается с выполнения действий над ними с целью их изменения, рассмотрения их состава. Качества внутренних умственных операций во многом зависят от того, как они сформировались на внешнем предметном уровне. Кроме того, действия, выполняемые с предметами, в силу своей наглядности легко поддаются контролю и исправлению, что позволяет заложить фундамент для правильных умственных действий. Выполняемые предметные действия кодируются знаками, осмысливаются в общих терминах и формулируются в общем виде. После этого ученик может действовать не с самими предметами, а со знаками (символами). Это особенно важно учитывать при обучении математике шестилетних и семилетних детей, у которых наиболее развитой формой усвоения является наглядно-действенная, т.е. учащиеся 6–7 лет лучше усваивают то, с чем они могут непосредственно действовать. Основные характеристики понятия числа — количественная и порядковая — осознаются ребенком уже при изучении однозначных чисел. Это происходит в процессе счета предметов. Для выполнения подобной операции ученик должен не только запомнить определенный порядок слов-числительных, но и осознать: а) необходимость ставить в соответствие каждому предмету только одно слово-числительное (нельзя пропускать предметы при счете и дважды указывать на один и тот же предмет); б) возможность пересчитывания предметов данной совокупности в любом порядке; в) взаимосвязь между количественным и порядковым числом (названное при счете число указывает на порядок предмета в совокупности и характеризует количество пересчитанных предметов). Пока школьник не овладел операцией счета, число выступает для него как характеристика численности предметных групп (числовых фигур). В этом случае ответ на вопрос «Сколько?» он может дать, опираясь на целостное восприятие (узнавание) данной числовой фигуры. Не прибегая к операции счета, ребенок в состоянии ответить и на такие вопросы, как «Больше?», «Меньше?», «Столько 59 же?», устанавливая взаимно однозначное соответствие между элементами различных множеств. Но постепенно в процессе обучения происходит перестройка системы связей, лежащих в основе определения количества, т.е. устанавливается связь между словом «сколько» и названием последовательности числительных, последнее из которых и будет ответом на данный вопрос. Осознание единства количественной и порядковой характеристик числа важно для выполнения операций присчитывания и отсчитывания, овладение которыми служит подготовкой к выполнению арифметических действий. Особенность этих операций заключается в том, что одна из совокупностей представляется не конкретными элементами, а числом, поэтому ученик должен узнать сумму или остаток не пересчетом элементов, а продолжая счет от заданного числа, называя числа в прямом или обратном порядке. Огромная роль числа в жизни людей обусловливает довольно раннее формирование числовых представлений у ребенка. Уже в 2–3 года, отвечая на вопрос, сколько ему лет, малыш показывает два или три пальчика и называет соответствующее слово-числительное, обозначающее количество пальцев (предметов). В общении со взрослыми и в игре у него расширяется запас числовых представлений. В его речи появляются новые слова-числительные, которые он соотносит с определенными образами (два глаза, два уха, один нос, пять пальцев и т.д.). Натуральное число выступает для ребенка на этом этапе как целостный наглядный образ, в котором он не выделяет единичных предметов. Наглядный образ числа находит свое выражение в «числовых фигурах», каждую из которых малыш соотносит с определенным словом-числительным. Уже в 4 года он может легко усвоить правила игры в «домино», ориентируясь на числовые фигуры, и непроизвольно запомнить их названия, закодировав тем самым каждый образ словом, обозначающим число. 60 один три пять два четыре шесть Итак, первые представления детей о числе связаны с его количественной характеристикой, и они могут, не владея операцией счета, отвечать на вопрос «Сколько?». Количественная характеристика предметных групп осознается ребенком и в процессе установления взаимно однозначного соответствия между предметными множествами. В этом случае количественная характеристика числа находит выражение в понятиях «столько же», «больше», «меньше». Для установления взаимно однозначного соответствия между предметными совокупностями можно использовать: 1) наложение предметов одного множества на предметы другого: а) б) 2) расположение предметов одного множества под предметами другого: а) б) 3) образование пар, т.е. соединение каждого предмета одного множества с предметом другого: а) б) Анализируя каждую модель, ученики выясняют, что: а) треугольников столько же, сколько кружков; б) треугольников больше, чем кружков; кружков меньше, чем треугольников. Установление взаимно однозначного соответствия между предметными множествами связано с вычленением отдельных элементов и подготавливает детей к сознательному овладению операцией счета. 61 На первом этапе счет выступает для ребенка как установление взаимно однозначного соответствия между предметной совокупностью и совокупностью слов-числительных, расположенных в определенном порядке. один два три четыре пять шесть семь восемь девять Поэтому для овладения операцией счета прежде всего необходимо запомнить порядок слов-числительных, которым договорились пользоваться при счете. Деятельность, связанная с усвоением порядка слов-числительных, естественно, выполняется по образцу и закрепляется в процессе однотипных упражнений, начинающихся со слова «Сколько?». Приступать к выполнению этих упражнений полезно как можно раньше (с 3–4 лет), постепенно увеличивая количество пересчитываемых предметов. В этом случае ребенок сможет непроизвольно запомнить последовательность слов-числительных. Большинство детей шестилетнего и семилетнего возраста, поступающих в школу, уже владеют этим навыком, хотя ошибки возможны. Например, после числа 7 называется число 9, после 3 называется 5 и т.д. Этот факт, конечно, необходимо учитывать, организуя процесс обучения в школе. Но для этого надо не только использовать упражнения, начинающиеся со слова «сколько», но и включать учащихся в разнообразную деятельность, связанную с осознанием операции счета и с введением математических символов (цифр). Для усвоения и уточнения порядка слов-числительных при счете можно предлагать различные формулировки заданий. Что изменилось? Что не изменилось? Анализируя рисунки, дети указывают на разное количество больших и маленьких рыбок в одном и в другом аквариуме, разное направление их движения, разную форму аквариумов, а также от62 мечают, что количество (число) рыбок в одном и другом аквариуме одинаковое (7), т.е. количество рыбок не изменилось. Чем похожи рисунки? Чем отличаются? | В качестве признака сходства выступает количественная характеристика. (Число предметов на одном и другом рисунке — 4.) Изменился их порядок. Для характеристики этого изменения дети могут применять не только понятия «за», «перед», «между», но и порядковые числительные (ножницы на левом рисунке — первые, а на правом — третьи). Хватит ли белочкам орехов, если: • каждой белочке дать по одному ореху; • каждой белочке дать по два ореха; • каждой белочке дать по три ореха? Чтобы выполнить задание, дети устанавливают соответствие между каждой белочкой и определенным количеством орехов (один, два, три). Для этого удобны магнитная доска, с которой ученики могут одновременно снимать белочку и соответствующее число орехов (или интерактивная доска). • По какому признаку подобраны пары картинок? 63 • Закрой «лишнюю» картинку (з — зеленый; ж — желтый): з ж з з з Анализируя картинки с точки зрения различных признаков (форма, цвет, количество изображений), учащиеся упражняются в счете. В процессе выполнения приведенных упражнений уточняется порядок слов-числительных, используемых при счете. Все дети могут принимать активное участие работе, в том числе и те, кто еще не усвоил порядок слов-числительных до школы или допускает в нем ошибки. Таким образом, операция счета сводится к нумерации данных объектов в определенной последовательности. Речь идет об устной нумерации, т.е. установлении взаимно однозначного соответствия между каждым объектом данной совокупности и словами-числительными, которые называются в определенном порядке. Усвоение детьми последовательности слов-числительных позволяет учителю перейти к формированию операции счета и к знакомству учащихся с символическим обозначением каждого числа (цифрами). При этом, если перейти от счета предметов к обозначению их количества цифрой, необязательно ориентироваться на порядок чисел в натуральном ряду. Можно сначала научиться писать цифру 1, затем 7, затем 4 и т.д., т.е. ориентироваться на сложность графического написания. Осознание различия между числом и цифрой при изучении однозначных чисел является довольно сложной задачей для ребенка, да и сам учитель в некоторых случаях испытывает затруднения, связанные с употреблением этих терминов. Например, на доске написано: 5. Что это — цифра или число? При такой постановке вопроса трудно ответить однозначно, так как это может быть и число «пять», если речь идет о пяти каких-то предметах, но может быть и цифра, обозначающая число «пять». Но если учитель предлагает такие задания, как «Запиши цифры от 1 до 10» или «Запиши данные цифры по порядку», это уже грубая ошибка с его стороны. Установление соответствия между числовой фигурой (предметная модель), словом-числительным (вербальная модель) и знаком-цифрой (символическая модель) поможет детям 64 понять, что цифра — это знак, которым обозначается количество (число) различных предметов. три 3 Так как каждому предмету группы ребенок ставит в соответствие определенное слово-числительное, то в процессе счета он легко осознает порядковую характеристику числа, которая находит свое выражение в словах «первый», «второй», «третий»… Гораздо труднее довести до его сознания тот факт, что каждое число, названное при счете, является одновременно и порядковым, так как указывает на порядок предмета при счете, и количественным, так как указывает на количество всех перечисленных предметов. Для осознания взаимосвязи между количественным и порядковым числом полезны специальные практические упражнения. Например, учитель показывает детям полоску с кружками и, указывая на последний, говорит: — Это пятый кружок. — Кто может сказать, сколько кружков нарисовано на полоске? (Пять.) Полоска появляется на доске, и к ней добавляется еще несколько кружков. — Сколько теперь кружков? — спрашивает учитель. Действия ребенка сводятся к следующему: он показывает начало и конец полоски, содержащей пять кружков. — Это пять кружков, — говорит он. Затем, не отрывая левой руки, учитель перемещает правую на один кружок и называет число «шесть», затем, опять же не отрывая левой руки, передвигает правую еще на один кружок и называет число «семь» и т.д. Не менее важно с математической точки зрения, чтобы в процессе выполнения практических упражнений дети осознали и тот факт, что, как бы мы ни нумеровали предметы данной совокупности, ответ на вопрос «Сколько?» всегда будет однозначным, надо только начинать нумерацию с числа 1, не пропускать ни одного предмета и не указывать на один предмет дважды. 65 Для этого, например работая с приведенным ниже рисунком, учитель может предложить детям следующие вопросы. к с з ж — Посчитайте, сколько кругов на рисунке. (Так как слово-числительное «один» можно поставить в соответствие любому кругу, то, естественно, «четвертым» может также оказаться любой круг.) — Какой круг по счету четвертый? (Большинство уверенно показывает на какой-то определенный круг.) Тогда учитель задает наводящие вопросы: — Может ли синий круг быть четвертым? Красный? Желтый? (Ответы проверяются счетом.) — Какой круг может быть четвертым, если первый — зеленый, второй — желтый? (Ответы проверяются счетом.) — Какой круг может быть четвертым, если первый синий? (Ответы проверяются счетом.) — Какое число мы назвали последним, отвечая на вопрос «Сколько?» Задание можно усложнить, предложив учащимся большее число кругов, расположенных так, как показано на рисунке (с — синий; к — красный; з — зеленый). з с к Счет кругов при таком расположении создает определенные трудности для некоторых детей. Поэтому ответ на вопрос «Сколько?» может быть различным. Для проверки лучше вызвать ученика, владеющего последовательностью слов-числительных, и при этом сделать задачу более интересной: — Считай круги так, чтобы красный круг был четвертым. — Теперь сосчитай круги так, чтобы красный круг был третьим, синий — пятым, зеленый — восьмым. Пересчитав различными способами все круги, дети убеждаются в том, что число кругов остается постоянным, а следовательно, одному и тому же конечному множеству может соответствовать лишь одно натуральное число. (Данный термин, конечно, не стоит использовать в начальном курсе математики.) 66 Таким образом, в основе формирования понятия числа, с одной стороны, лежит счет предметов, который служит для определения их количества. Число выступает как результат счета и характеризует количество предметов данной совокупности («количественное число»). С другой стороны, число как общая характеристика класса равномощных множеств осознается ребенком в процессе установления взаимно однозначного соответствия между элементами различных множеств. Ответы на вопросы «Больше?», «Меньше?», «Столько же?» могут быть получены как способом пересчитывания, так и способом установления взаимно однозначного соответствия. Эти способы используются параллельно, дополняя друг друга. Каждое число, называемое в процессе счета, ставится в соответствие одному из пересчитываемых предметов, характеризуя его порядок при счете («порядковое число»). Порядковая и количественная характеристики числа тесно связаны. Задание 3.1. Найдите в учебниках математики для 1 класса задания, которые можно использовать для формирования у учащихся представлений: а) о количественном числе; б) порядковом числе; в) взаимосвязи между количественным и порядковым числами. Ответьте на вопрос: «Почему установление взаимно однозначного соответствия между элементами предметных множеств подготавливает ребенка к овладению счетом?». 3.2. ОТРЕЗОК НАТУРАЛЬНОГО РЯДА. ПРИСЧИТЫВАНИЕ И ОТСЧИТЫВАНИЕ ПО 1 Понятие счета тесно связано с понятиями «отрезок натурального ряда чисел» и конечного множества. Отрезком Na натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а. Множество А называется конечным, если существует взаимно однозначное соответствие между этим множеством и отрезком натурального ряда чисел. Установление этого взаимно однозначного соответствия есть счет элементов множества А. Число а называют числом элементов в множестве А и пишут: а = n (A). Это число единственное, является количественным натуральным числом. Таким образом, при пересчете не только расставляются в определенном порядке элементы конечного множества (при этом используются порядковые натуральные числа, выражаемые числительными «первый», «второй», «третий» и т.д.), но и устанавливается также, сколько элементов содержит 67 множество А (при этом используются количественные натуральные числа, выражаемые числительными «один», «два», «три» и т.д.). Замена слов-числительных (один, два, три и т.д.), названных в определенной последовательности, математическими знаками (цифрами 1, 2, 3, 4 и т.д.) позволяет познакомить школьников с отрезком натурального ряда. Изучение этого понятия в начальных классах сводится к усвоению учащимися той закономерности, которая лежит в основе построения натурального ряда: каждое число в натуральном ряду больше предшествующего и меньше следующего на 1. Для получения отрезка натурального ряда чисел дети пересчитывают предметы, заменяя названия чисел соответствующими символами (знаками-цифрами), другими словами нумеруют предметы в определенной последовательности. Учитель предлагает детям задания. • Посчитай жуков. Запиши цифрами числа, которые ты называешь. • Проверь, получился ли у тебя такой ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • Подумай, как ты получил каждое следующее число. Ответы детей могут быть различными: «Я считал жуков», «Один жук, еще один — два жука, еще один — три жука; еще один жук — четыре жука и т.д.». Так, нумеруя жуков, дети получают отрезок натурального ряда чисел. Но этот термин вводить не следует. Записанный ряд чисел воспринимается ребенком как ряд, с помощью которого можно посчитать предметы. Приведенная характеристика получения следующего числа (еще один, еще один, еще один, еще один…) отражает на предметном уровне то существенное, что связано с построением натурального ряда чисел. Для усвоения натурального ряда чисел и принципа его образования необходимо постоянно обращаться к действиям с предметами, рассматривая различные ситуации. Например, на доске изображена туча. Она скрывает звезды на небе, и дети сначала их не видят. Но вот подул ветер, и туча начала двигаться. На небе появилась первая звездочка. 68 — Сколько звездочек на небе? (Одна.) — Какой цифрой обозначается это число? (Ученики поднимают карточку с цифрой 1.) — А теперь на небе сколько звездочек? (Две.) — Какой цифрой обозначается это число? (Учащиеся поднимают карточку с цифрой 2.) Затем появляется еще одна звездочка, затем еще одна и т.д. Учитель каждый раз выясняет, сколько звездочек стало видно на небе и какой цифрой обозначается их число. Выкладывая на парте карточки, ученики получают ряд чисел: 1 2 3 4 5 — Кто обратил внимание на то, как появились звездочки на небе? (Сначала одна, потом еще одна.) — Сколько получилось? (Две.) — А как стало 3 звездочки? (Было две, затем появилась еще одна.) — А как стало 4? (Было три, потом появилась еще одна.) В результате дети усваивают принцип получения каждого следующего числа натурального ряда. Для демонстрации построения натурального ряда чисел можно использовать пирамидку, на которую последовательно набрасываются кольца. Учитель предлагает ученикам задание: «Я буду надевать кольца на пирамидку, а вы выкладывайте карточки с цифрами, которые будут обозначать число колец». Опираясь на имеющиеся у них представления о количественном числе и на свой жизненный опыт, учащиеся выполняют действия с предметными множествами, под руководством учителя переводят их на язык математических символов и осмысливают в общих терминах: «предыдущее число», «последующее число», «следует за числом…», «предшествует числу…». 69 Полезны и такие задания. • Что изменяется? • Выбери ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов: а) 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 9, 8; б) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1; в) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; г) 1, 3, 2, 5, 4, 7, 6, 9, 8. Для обобщения принципа образования натурального ряда чисел можно использовать на уроке игровую ситуацию, которая переносит детей в сказочную школу, где все числа, кроме 1, обозначаются необычными знаками, но принцип получения каждого следующего числа в ряду остается таким же, как в натуральном1. Свой рассказ учитель начинает так: «Приснился мне однажды сон, будто попал(а) я в сказочную школу. Иду и вдруг нахожу полоску бумаги, на которой написаны какие-то непонятные знаки: Подхожу я к сказочному мальчику и спрашиваю: — Что это такое? А он мне отвечает: — Это числа, написанные по порядку. — Как это — по порядку? — А вот так: каждое число в этом ряду на 1 больше предыдущего и на 1 меньше следующего. Решил(а) я посмотреть, какие же задания предлагает учитель детям в сказочной школе. Может быть, и вы, ребята, справитесь с этими заданиями?» Учитель выставляет на наборное полотно карточки со «сказочными цифрами» и предлагает такие задания. 1 70 См.: Микулина Г.Г. Психологические особенности усвоения смысла вычитания // Начальная школа. 1982. № 9. С. 41. • Пошли два гномика в лес за грибами. Гномик в красной шапочке нашел «вот столько» грибов, в синей шапочке — «вот столько». (Над двумя числами сказочного ряда выставляются картинки с гномиками в разных шапочках.) — Как вы думаете, кто из них нашел грибов больше и на сколько? • Шла я по сказочному лесу и нашла «вот столько» грибов. (Над одним из чисел сказочного ряда помещается карточка со стрелкой.) Иду домой, навстречу мне гномик. Посмотрел он в мою корзинку и подарил мне еще один белый гриб. Сколько же грибов у меня стало? • Отправилась Красная Шапочка в гости к бабушке и понесла ей «вот столько» пирожков. Встретился ей ежик по дороге. Красная Шапочка была доброй девочкой и угостила ежика пирожками. А бабушке она принесла «вот столько» пирожков. — Как вы думаете, сколько пирожков она дала ежику? Отвечая на поставленные вопросы и двигаясь в зависимости от ситуации то вправо, то влево по отрезку сказочного ряда чисел, дети осознают в общем виде принцип его построения, учатся рассуждать и обосновывать свой ответ. Задание 3.2. Найдите в учебниках математики для начальных классов задания, которые можно использовать для разъяснения учащимся принципа образования натурального ряда чисел. Придумайте сами ситуации с интересными сюжетами для обобщения принципа построения натурального ряда чисел. Осознание принципа построения натурального ряда чисел позволяет детям выполнять присчитывание и отсчитывание по единице. В отличие от счета особенность этих операций заключается в том, что одно из предметных множеств представлено натуральным числом. Переход от счета к присчитыванию или отсчитыванию представляет для многих учеников определенную трудность — и не в силу сложности самой операции, а в силу того, что известные, усвоенные способы действий (в данном случае счет) имеют тенденцию сохраняться. Для преодоления этой трудности нужно в обучении сопоставить два способа — пересчет и присчитывание (отсчитывание). Конечно, словесное сопоставление доступно не всем первоклассникам, поэтому необходимо и здесь опираться на предметные действия. Так, учитель, выставив на доске 5 грибов (ученики путем 71 пересчитывания убеждаются в этом), добавляет еще 3 гриба и обращается к классу с вопросом: «Сколько всего грибов на доске?». Для ответа на этот вопрос большинство ребят будет обращаться к пересчитыванию, но учитель закрывает 5 грибов листом бумаги, на котором написано число 5, и спрашивает: «Как можно действовать в этом случае?» Такая ситуация может рассматриваться как проблемная, так как ее решение требует от учеников поиска нового способа действия. Для овладения операцией присчитывания и отсчитывания полезны разные упражнения. Например, такие. Сколько всего грибов на картинке? ? Выполняя данное упражнение, дети заключают корзинку между ладошками, затем отодвигают правую руку вправо на один гриб, называя число, которое следует за числом 7, потом опять отодвигают правую руку вправо еще на один гриб и называют число, которое следует за числом 8. После проделанных действий они дают ответ: на рисунке 9 грибов. Прием отсчитывания требует работы с аналогичными упражнениями. Только теперь между ладошками заключается весь рисунок, а правая рука отодвигается на один предмет влево и при этом называется предыдущее число. • Сколько кубиков в коробке? ? ? 4 6 • Сколько лампочек закрыли? ? 8 72 Операция присчитывания осваивается детьми значительно легче, чем операция отсчитывания. В этом немаловажную роль играет усвоение порядка чисел при счете. И дело не только в том, что дети больше упражняются в назывании слов-числительных отрезка натурального ряда и многие из них уже приходят в школу, владея этим умением. Гораздо важнее то, что с помощью отрезка натурального ряда они определяют количество предметов, сравнивают их, строят новую совокупность предметов и т.д. Другими словами, последовательность чисел натурального ряда применяется учениками для решения практических задач, что способствует лучшему усвоению самого числового ряда. Иначе обстоит дело с обратной последовательностью чисел: 9, 8, 7, …, 1, в основе которой лежит отсчитывание по 1. Здесь учащиеся, как правило, упражняются только в воспроизведении последовательности числительных, что никак не связано с решением какихлибо практических задач. Поэтому цепочка слов-числительных «девять, восемь…» запоминается ими формально, что не способствует овладению операцией отсчитывания. Для того чтобы младшие школьники осознали практическую значимость этого умения, полезно использовать ситуации, особенности которых связаны с движением от большего числа к меньшему. Здесь возможны различные варианты. Первый — это когда ученик должен двигаться от большего числа к меньшему. При этом все предметы находятся перед ним, и он может воспользоваться счетом, т.е. проверить свое решение. Например, на доске — 9 домиков. Каждому из них нужно дать номер. Учитель обыгрывает ситуацию. Зайцу-почтальону нужно отнести письмо в дом № 8. Как он может попасть в этот дом? Выясняется, что он может прибежать к началу улицы и посчитать дома от первого, но может называть номера домов и с конца улицы. Конечно, второй вариант рациональнее. В другой ситуации часть предметов скрыта от глаз, поэтому счет осуществить невозможно. Например, таких ситуаций. 1. У доски несколько учеников выстраиваются по росту. Их пересчитывают (от большого к маленькому). Каждому (на карточке) дается порядковый номер, и они садятся на место. Теперь нужно снова построиться, но так, чтобы карточки с числами были расположены в обратном порядке (от маленького к большому). 2. На доске нарисованы спинки стульев. Часть ряда спрятана за шторкой. Представим себе, что мы в кинотеатре, где уже погасили свет, и начала ряда не видно. Мы стоим у девятого места, нам нужно шестое. Как быстро найти его? 73 Задание 3.3. Ориентируясь на описанные выше ситуации, составьте учебные задания, в процессе выполнения которых у детей формируются навыки присчитывания и отсчитывания по единице. 3.3. СРАВНЕНИЕ ЧИСЕЛ Для установления между числами отношений «больше», «меньше», «равно» младшие школьники могут использовать предметные, графические и символические модели. Предметные модели удобны для определения взаимно однозначного соответствия, когда каждый предмет одной совокупности соединяется с одним предметом другой совокупности (образование пар). Функции графической модели выполняет числовой луч, с которым учащихся целесообразно познакомить в первом классе. Естественно, что введению числового луча должно предшествовать знакомство с лучом и отрезком. Построение числового луча полезно выполнять не только в тетрадях, где, выбирая единичный отрезок (мерку), первоклассники ориентируются на клетки, но и на белом листе бумаги, располагая по-разному луч и выбирая различные мерки (единичные отрезки). В этом случае дети пользуются циркулем. Нумеруя на числовом луче отложенные отрезки (мерки) и соотнося конец каждого с определенным числом, ребята убеждаются, что если двигаться вправо по числовому лучу, то числа увеличиваются, а если двигаться влево, то числа уменьшаются. Следовательно, числовой луч можно использовать и для сравнения чисел. Чтобы ученики могли записывать отношения между числами, учитель знакомит их со знаками > (больше), < (меньше), = (равно) и с математическими записями, которые называются равенствами и неравенствами (5 < 9; 9 > 5; 5 = 5). В качестве символической модели используется отрезок натурального ряда (ряд чисел, которым можно пользоваться при счете предметов): «5 < 9, так как число 5 называется при счете раньше, чем число 9». Графической моделью служит числовой луч, на котором дети отмечают точки, соответствующие натуральным числам. Задание 3.4. Найдите в учебнике для 1 класса различные виды заданий, которые можно предложить детям для усвоения ими отношений «больше», «меньше», «равно» между однозначными числами. Составьте подобные задания сами. 74 3.4. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЙ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В основе разъяснения смысла действия сложения лежит определение суммы в количественной теории числа: суммой целых неотрицательных чисел а и b называется число элементов n в объединении непересекающихся множеств А и В — таких, что а = n (А); b = n (В). Возможность перевода этого определения на язык предметных действий позволяет организовать восприятие школьниками предметного смысла сложения, опираясь при этом на жизненный опыт детей, их самостоятельную деятельность и учитывая психологические особенности данного возраста. Наблюдая или выполняя предметные действия, суть которых сводится к объединению двух совокупностей предметов, ребята интерпретируют эти действия на числовом луче (графическая модель) и переводят их на язык математики, записывая числовые выражения или равенства (символическая модель). Таким образом, для разъяснения ученикам смысла действия сложения используются предметные, вербальные, графические и символические модели, между которыми устанавливается соответствие и осуществляется переход от одного вида модели к другому. Например, детям предлагается картинка, на которой Миша и Маша запускают рыбок в один аквариум, и задание: «Расскажи, что делают Миша и Маша». Организуя деятельность учащихся с этой картинкой, педагог ориентируется на такую последовательность в работе. 1. Дети разглядывают картинку, которая служит предметной моделью. 2. Выполняют задание, выражая свои наблюдения в словах (вербальная модель, соответствующая картинке). Ответы учеников обычно выглядят так: «Запускают рыбок в один аквариум; запускают рыбок вместе в аквариум, объединяют рыбок; Миша запускает в аквариум 2 рыбки, Маша — 3». Ответы могут быть разными, важно обратить внимание детей на то, сколько рыбок запускает в аквариум Миша, а сколько — Маша и что рыбки Миши и Маши объединяются вместе в одном аквариуме. 3. Затем учитель обращает внимание первоклассников на записи под картинками (это числовые выражения) и предлагает им найти ту запись, которая, по их мнению, подойдет к картинке. Анализируя выражения и ориентируясь на числа, имеющиеся в них, дети выполняют задание (2 + 3 и 3 + 2). 75 4. Выясняется, чем похожи эти выражения (в каждом два числа и знак «+») и как можно прочитать их по-разному (2 плюс 3, к двум прибавить три, сложить числа 2 и 3). Дети упражняются в чтении выражений. 5. Помимо выражений, к рассматриваемой картинке можно поставить в соответствие определенное число. (Об этом ученики также могут догадаться, пересчитав предметы на ней.) В результате проведенной работы дети записывают равенства, а также знакомятся с названиями результата сложения и его компонентов. 6. После этого числовые равенства интерпретируются на числовом луче. Можно условно выделить три вида ситуаций, связанных с операцией объединения: 1) составление одной предметной совокупности из двух данных. Такая ситуация рассмотрена выше; 2) увеличение данной предметной совокупности на несколько предметов; 3) увеличение на несколько предметов совокупности, равночисленной данной. Указанием к выполнению предметных действий в этих случаях может стать задание «Покажи…». Например, учитель предлагает задание: «У Коли было 4 марки. Ему подарили еще 2. Покажи, сколько марок стало у Коли». Дети выкладывают 4 марки (круга, квадрата, треугольника) и движением руки показывают, сколько марок было у Коли. Затем добавляют 2 марки и движением руки показывают, сколько марок стало у Коли. Далее выясняется, как можно записать выполненное предметное действие математическими знаками, используя для этой цели цифры, а также знаки «+» и «=» (4 + 2 = 6). Целесообразно уже на этом этапе употреблять термины «выражение» и «равенство». Ситуации этого вида фактически можно свести к ситуациям вида 1), рассматривая марки, которые были у Коли, как одно предметное множество, а марки, которые ему подарили, — как другое предметное множество. Для разъяснения смысла сложения можно также опираться на представления детей о соотношении целого и его частей. В данной ситуации все марки Коли (целое) будут состоять из двух частей: марки, которые у него были, и марки, которые ему подарили. Обозначая части их числовыми значениями, дети получают выражение (4 + 2) или целое, значение которого равно 6 (4 + 2 = 6). 76 В случае 3) деятельность учащихся можно так же, как при увеличении данной предметной совокупности, организовать с помощью задания «Покажи…». Например: «На одной тарелке 5 яблок, а на другой — на 3 яблока больше. Покажи, сколько яблок на второй тарелке». В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуациям вида 3), у школьников формируется понятие «больше на…» («увеличить на…»), представления о котором связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее увеличением на несколько предметов («и еще»), т.е. объединением совокупностей «столько же» и «еще». Задание 3.5. Продумайте необходимые предметные действия и объясните, почему приведенные ниже ситуации можно использовать при формировании у учащихся представлений о смысле действия сложения. • С дерева сначала улетели 5 синиц, затем еще 3. Покажи, сколько синиц улетело с дерева. • Маша съела утром 3 яблока, вечером еще 2. Покажи, сколько всего яблок съела Маша. • У Коли было 4 марки, у Пети — на две марки больше. Покажи, сколько марок у Пети. • С одного дерева улетели 5 синиц, с другого — на 3 больше. Покажи, сколько синиц улетело со второго дерева. • У Коли было 4 марки, у Пети — 2. Покажи, сколько марок было у них вместе. • В гараже стояли грузовые и легковые машины. После того как 3 грузовые машины уехали, остались 4 легковые. Покажи, сколько всего машин стояло в гараже. Задание 3.6. Придумайте интересные ситуации, которые вы могли бы предложить детям для усвоения ими смысла действия сложения. Опишите, как они будут выполнять задания, опираясь на представления о соотношении целого и его частей. При формировании у первоклассников представлений о вычитании можно условно ориентироваться на предметные ситуации: 1) уменьшение данной предметной совокупности на несколько предметов (предметы удаляются, зачеркиваются); 2) уменьшение предметной совокупности, равночисленной данной, на несколько предметов; 3) сравнение двух предметных совокупностей и ответ на вопрос «На сколько больше (меньше) предметов в одной совокупности, чем в другой?». 77 Рассмотрим конкретный пример первой ситуации: «У Маши было 6 шаров. Два она подарила Тане. Покажи шары, которые у нее остались». Дети рисуют 6 шаров, зачеркивают 2 из них и показывают движением руки те шары, которые остались у Маши. Для разъяснения смысла вычитания так же, как и сложения, можно использовать представления детей о соотношении целого и его частей. В этом случае шары, которые были у Маши (целое), состоят из двух частей: «шары, которые она подарила» и «шары, которые у нее остались». Часть меньше целого, поэтому нахождение части связано с вычитанием. Обозначая целое и части их числовыми значениями, дети получают выражение (6 – 2) или равенство (6 – 2 = 4). В процессе выполнения предметных действий, соответствующих ситуации 2), у детей формируются представления об отношении «меньше на…» («уменьшить на…»), которые связаны с построением совокупности, равночисленной данной («взять столько же»), и ее уменьшением на несколько предметов («без»). В этом случае совокупность, обозначаемая термином «без», включается в совокупность, обозначаемую термином «столько же». Совокупность, полученная в результате вычитания, является дополнением совокупности, обозначаемой термином «без», до совокупности предметов, обозначаемой термином «столько же». Для усвоения понятий «больше на…», «меньше на…» также следует использовать прием соотнесения предметных и символических моделей. Приведем примеры возможных заданий. • Сравни картинки. Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево? Что обозначают выражения, записанные под картинками? 5+2 • Что изменяется? Разгадай правило. 78 7–2 • Выбери ряд числовых выражений, который соответствует данному рисунку: 1) 8; 8 – 2; 6 – 2; 4 – 2; 2) 9; 9 – 1; 8 – 1; 7 – 1; 3) 9; 9 – 2; 7 – 2; 5 – 2. В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о вычитании как о действии, которое связано с уменьшением количества предметов. При рассмотрении ситуации 3) в практике обучения обычно учащимся предлагается иллюстрация, по которой проводится следующая беседа. Учитель задает вопроса: — В каком ряду кругов больше? (Вопрос почти никогда не вызывает затруднений.) — На сколько в верхнем ряду предметов больше, чем в нижнем? (Вопрос также не вызывает затруднений, потому что дети ориентируются на количество предметов, оставшихся без пары.) Однако свой ответ первоклассники никак не связывают с выполнением вычитания, так как никаких действий с предметами они не выполняют. Для того чтобы ребята могли осознать связь вопроса «На сколько больше (меньше)?» с вычитанием, нужно направить их деятельность на решение этой задачи. Опишем возможный вариант организации деятельности учащихся. К доске вызываются два ученика. Каждому из них дается конверт с кругами. У одного из мальчиков (Вити) 7 кругов, у другого (Коли) — 5 кругов. Учитель обращается к классу: — Никто не знает, сколько кругов у каждого ученика в конверте, и не может пока ответить на вопрос, у кого их больше или меньше. Поступим так: мальчики, стоящие у доски, будут одновременно вынимать по одному кругу из конверта и класть его на стол. Может быть, выполнение этого действия поможет ответить на поставленный вопрос. Дети приступают к выполнению задания. Наступает момент, когда один из мальчиков говорит: — У меня нет больше кругов. — А у тебя еще остались круги? — спрашивает учитель у другого. (Да.) 79 Учитель обращается к классу: — Может быть, теперь кто-нибудь догадался, у кого кругов больше, у кого меньше? — Как ты догадался? (У кого круги остались, у того больше.) — А вот сколько кругов осталось, мы не знаем. Но я вам скажу, сколько кругов было у Вити. Может быть, тогда вы догадаетесь, какое нужно выполнить действие, чтобы ответить на вопрос: «На сколько больше кругов у Вити, чем у Коли?» (Дети в раздумье…) — Хорошо, давайте посчитаем, сколько кругов мне дал Коля, а сколько — Витя. (Одинаково. Коля — 5 и Витя — 5.) — А если я вам скажу, что у Вити было 7 кругов, тогда вы сможете ответить на вопрос: «Сколько кругов у него осталось?» или «На сколько у Вити кругов больше, чем у Коли?». (Нужно из 7 вычесть 5.) В истинности ответа учащиеся могут убедиться, проанализировав рисунки. Какие числовые равенства нужно записать, чтобы ответить на вопрос под каждой картинкой? На сколько больше цыплят, чем яиц? На сколько больше черепах, чем листочков? В результате у первоклассников формируется представление о разностном сравнении чисел, которое можно обобщить в виде правила: «Чтобы узнать, на сколько одно число больше (меньше) другого, нужно из большего числа вычесть меньшее». При сравнении совокупностей двух предметных множеств также можно опираться на представления детей о соотношении целого и его частей. Для этого необходимо обратить их внимание на то, что для ответа на вопрос «На сколько больше (меньше)…?» мы выделяем в большей совокупности такую часть предметов, которая равночисленна другой данной совокупности, и находим другую часть большей совокупности, т.е. выполняем вычитание. 80 Задание 3.7. Придумайте необходимые предметные действия и объясните, почему нижеприведенные ситуации можно использовать при формировании у детей представлений о смысле вычитания. • В гараже стояло 6 машин. После того как несколько машин выехало, осталось две машины. Покажи, сколько машин выехало из гаража. • Зайчику дали 5 морковок. Две он съел. Покажи, сколько морковок осталось у зайчика. • В одной вазе — 6 апельсинов, в другой — на 2 меньше. Покажи, сколько апельсинов в другой вазе. • В одной коробке — 10 карандашей, в другой — 6. Покажи, на сколько карандашей в одной коробке больше (меньше), чем в другой. • Коля съел 6 пирожков. Из них с капустой — 4, а остальные — с мясом. Покажи, сколько пирожков с мясом съел Коля. Для упражнений в переводе реальных ситуаций на язык математических знаков можно использовать также пары рисунков. Например: В этом случае детям целесообразно предложить следующее задание. — Рассмотрите картинку слева. (Три цветочка.) — А теперь скажите, что изменилось на картинке справа по сравнению с картинкой слева. Этот вопрос можно сформулировать короче так: «Что изменилось слева направо?». (Справа цветков больше. Слева — 3 цветка, справа — 5. Справа — на 2 цветочка больше.) Учитель предлагает детям записать это изменение на языке математики: (3 + 2 = 5). Затем можно взять пары картинок с разными предметами. В этом случае на вопрос: «Что изменилось слева направо?» — дети могут ответить: «Слева — телефоны, справа — флажки», «Справа флажков больше, чем телефонов слева». 81 — А можно ли ответить на вопрос так: «Справа количество предметов на три больше, чем слева»? — спрашивает учитель. — Давайте опишем изменения с точки зрения количества предметов. Предлагая такое задание, учитель задает признак, по которому нужно проанализировать изменение, произошедшее при переходе слева направо. С этой же целью полезно выполнить такое задание: «Пользуясь рисунком, впиши числа в “окошки”». += При работе с этим рисунком знак «+» служит ориентиром для описания картинки: «Слева — 3 гриба, справа — 1. Всего на рисунке 4 гриба». Названные числа расставляют в «окошки», и получается равенство 3 + 1 = 4. Возможно, некоторые дети опишут данную картинку иначе: «Справа один гриб, а слева на два больше». Тогда в «окошки» нужно вставить другие числа: 1 + 2 = 3. Если к этому же рисунку предложена запись: – = , то описание картинки будет другим: «Слева три гриба, а справа на два гриба меньше». Математическая запись этого описания будет выглядеть так: 3 – 2 = 1. Задание 3.8. Найдите в учебниках математики для первого класса задания, при выполнении которых дети соотносят: • предметные действия с математическими записями; • математические записи с графическими моделями; • вербальную модель с предметной; • вербальную модель с предметной и графической. 3.5. СВОЙСТВА СЛОЖЕНИЯ Из курса математики вам известно, что при сложении целых неотрицательных чисел выполняются коммутативное и ассоциативное свойства. С коммутативным свойством сложения учащиеся знакомятся в первом классе и называют его «переместительное свойство сложения», или «перестановка слагаемых». Ассоциативное свойство сложения представлено в курсе математики начальных классов как сочетательное свойство сложения. 82 Понимание первоклассниками формулировки переместительного свойства сложения: «От перестановки слагаемых значение суммы не меняется», — требует специальной подготовительной работы, которая включает различные действия с предметными моделями, анализ и сравнение рисунков, а также усвоение необходимой терминологии. Поэтому при формировании у детей представлений о смысле сложения полезно предлагать им такие ситуации для предметных действий, при выполнении которых они сами подмечают закономерность, связанную с переместительным свойством сложения. На левой тарелке — 4 апельсина, на правой — 3. Покажи, сколько апельсинов на двух тарелках. Ученики выполняют схематический рисунок и записывают равенство, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках. 4+3=7 Теперь на левой тарелке — 3 апельсина, на правой – 4. Покажи, сколько апельсинов на двух тарелках. Ученики выполняют схематический рисунок и записывают равенство, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках. 4+3=7 3+4=7 Сравнивая рисунки (в чем их сходство и различие), дети убеждаются в том, что количество апельсинов на двух тарелках не изменилось. Анализ предметных моделей и их соотнесение с математическими записями — важное условие для понимания учащимися формулировки переместительного свойства сложения. Для усвоения данного вопроса могут быть предложены следующие задания. • Чем похожи рисунки, чем отличаются? 83 • Запиши равенства, соответствующие рисункам. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 • Выбери равенства, которые соответствуют рисунку: 4 + 3 = 7; 5 + 2 = 7; 1 + 6 = 7; 3 + 4 = 7. С сочетательным свойством сложения младших школьников целесообразно познакомить при изучении табличных случаев сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд (7 + 6; 9 + 5; 8 + 4 и т.д.). Если действия с сочетательным свойством сложения предшествуют составлению таблицы сложения в пределах 20, то необходимо так же, как и при работе с переместительным свойством сложения, использовать соотнесение предметных и символических моделей. В этом случае сочетательное свойство сложения послужит теоретической основой вычислительного приема при сложении однозначных чисел с переходом в другой разряд. Однако обращение к теоретическим основам того или иного вычислительного приема для большинства младших школьников представляет определенную трудность, преодоление которой требует воспроизводящей деятельности и заучивания образцов. Использование же предметных моделей (десятков и единиц) позволяет детям «открыть» тот или иной вычислительный прием самостоятельно. В этом случае знакомство с сочетательным свойством сложения выступает как содержательный материал для развития мышления учащихся. Дети сами «открывают» сочетательное свойство сложения, выполняя действия анализа и синтеза, сравнения и обобщения. Для этой цели можно воспользоваться, например, такими заданиями. 84 • Найди правило, по которому составлены столбцы выражений: 1) 9 + 3 + 4 2) 8 + 4 + 5 3) 7 + 6 + 4 12 + 4 12 + 5 13 + 4 9+7 8+9 7 + 10 • Покажи с помощью скобок, какие два слагаемых ты заменишь значением их суммы, чтобы найти значение каждого выражения: 1) 54 + 6 + 9; 2) 27 + 4 + 6; 3) 18 + 2 + 54. 3.6. ВЗАИМОСВЯЗЬ КОМПОНЕНТОВ И РЕЗУЛЬТАТОВ ДЕЙСТВИЙ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В основе усвоения взаимосвязи между компонентами и результатами сложения и вычитания лежит осознание учащимися предметного смысла этих действий. При этом следует учитывать, что особую трудность для некоторых детей представляет выполнение тех предметных действий, которые связаны со смыслом вычитания. В исследовании Г.Г. Микулиной1 были выявлены интересные факты, которые необходимо учитывать при изучении смысла действия вычитания. Ею было установлено, что значительная часть учащихся при выполнении предметных действий, связанных с вычитанием, фиксирует, скорее, пространственное отделение, разъединение двух предметных совокупностей, чем вычленение и удаление части из целого. Такой вывод был получен на основе анализа результатов выполнения ряда заданий, предложенных ученикам. Приведем их. • На столе — кубики (11 шт.). Детям это не сообщается. Учитель говорит, что он сейчас произведет с кубиками действие, и нужно определить, какое оно: сложение или вычитание. Отодвигает в сторону 3 кубика. — Какое действие выполнено? (Вычитание.) — Какое число вычитали? (3.) Учитель фиксирует это записью на доске — 3 и предлагает в «окошко» вписать нужное число кубиков. Значительная часть класса, посчитав оставшиеся на столе кубики, записывает в «окошко» число 8, и вместо правильной записи 11 – 3 получается запись 8 – 3. • Школьникам выдаются карточки или кружки (больше 10), с помощью которых предлагается проиллюстрировать выражение 6 – 2. 1 См.: Микулина Г.Г. Психологические особенности усвоения смысла вычитания // Начальная школа. 1982. № 9. С. 32. 85 («Покажи на карточках это выражение».) И в этом случае некоторые ребята берут из стопки сначала 6 карточек, затем 2 и отодвигают эти 2 карточки от 6. Происхождение подобных ошибок можно объяснить так. В психологии установлено, что дошкольникам свойственно не удерживать одновременно во внимании целое и его части: когда они оперируют частями, то уже не видят перед собой целого, и наоборот. Преодоление таких ошибок происходит постепенно и обычно в возрасте 7–8 лет. Поэтому так важно продумать психологический аспект изучения этого вопроса. Рассмотрим некоторые методические приемы, в которых учитываются описанные выше психологические особенности младших школьников. 1. Работая у доски с рисунками и дидактическими пособиями, полезно сначала предложить ученику показать предметные совокупности, с которыми он действует, а затем уже назвать число предметов в них. Например, на доске — 3 гриба, из них вычленяется и отодвигается 1. Ученикам предлагаются задания: «Покажи: а) сколько сначала было грибов; б) те грибы, которые отодвинули, и в) те, которые остались». При этом жест, указывающий на целое, должен быть особенным. (Он делается двумя руками и таким образом как бы объединяет пространственно разделенные при вычитании части.) Демонстрация такого жеста (без упоминания числа предметов) позволяет быстро и наглядно прийти к нужному обобщению. 2. Выполняя задания с рисунками, к которым дана запись вида – = , рекомендуется заполнять «окошки» не только в прямом порядке, но и начиная с любого. Например, учитель помещает на доске 8 птичек. Затем 3 убирает и спрашивает: «Какое число нужно записать после знака минус? После знака равенства? Какое число нужно записать в первом “окошке”?» 3. Можно предложить комплексное задание с карточками и записью. Например, на доске дана запись – = . Учитель производит действие с пачками карточек, убирая их часть, а затем указывая на карточки (допустим, оставшиеся) и предлагает найти для их числа место в записи. Затем находится место для числа тех карточек, которые вычитали, и запись принимает такой вид: – 5 = 3. Учитель выражает удивление, обращая внимание учеников на то, что в записи одно «окошко» осталось незаполненным, хотя карточек больше нет. Показывая жестом все целое, учащиеся называют учителю то значение, которого недостает. 86 Разрешение таких «противоречий» в игровой форме помогает ребятам усвоить взаимосвязь между компонентами и результатами действий сложения и вычитания. Однако, осознавая «предметную» взаимосвязь компонентов и результатов действий, не все школьники могут описать ее, пользуясь математической терминологией: слагаемые, значение суммы, уменьшаемое, вычитаемое, значение разности. В этом случае целесообразно использовать понятия целого и его частей и соотношение между ними (часть меньше целого; если убрать одну часть, то останется другая). Понятие целого и части позволяет «материализовать» такие термины, как слагаемые, уменьшаемое, вычитаемое. Например, устанавливая соответствие между рисунком и математической записью, первоклассники рассматривают значение суммы как целое, а слагаемые — как его части. 5+3=8 3+5=8 8–5=3 8–3=5 Отсюда: а) если из значения суммы вычесть одно слагаемое, то получим другое слагаемое; б) если к значению разности (часть) прибавить вычитаемое (часть), то получим уменьшаемое (целое); в) если из уменьшаемого (целое) вычесть значение разности (часть), то получим вычитаемое (часть). Для более глубокого понимания взаимосвязи между сложением и вычитанием полезно также использовать соотнесение предметных, вербальных, графических и схематических моделей, предложив такие задания. • По какому признаку фигуры разбиты на две группы? Объясни, что обозначают записанные равенства. Какие числа обозначают в каждом равенстве целое, а какие — его части? 5+3=8 3+5=8 8–5=3 8–3=5 • Пользуясь словами «целое» и «части», объясни, что обозначают на рисунке данные равенства: 87 А К М 6+3=9 9–3=6 9–6=3 • Подумай, какие равенства можно записать к рисунку: • Маша составила по рисунку выражения: 8–6 6+3 8–2 2+6 Какое выражение «лишнее»? • Запиши к каждому рисунку четыре верных равенства. а) б) Задание 3.9. Найдите в учебниках математики для начальных классов упражнения, в процессе выполнения которых дети усваивают взаимосвязь между компонентами и результатами сложения и вычитания. Придумайте сами задания, которые вы могли бы предложить первоклассникам с этой целью. 3.7. ЧИСЛО И ЦИФРА 0 Число «нуль» является характеристикой пустого множества, т.е. множества, не содержащего ни одного элемента. Первые представления о таком множестве могут возникнуть у детей уже на этапе использования «числовых фигур», когда они устанавливают соответствие между «числовой фигурой» и цифрой, обозначающей количество предметов. 1 2 3 4 0 Воспользовавшись этим, советуем познакомить первоклассников с числом и цифрой «нуль» до изучения арифметических действий. Переходя к арифметическим действиям, учитель показывает, что число «нуль» можно рассматривать как результат вычитания, 88 опираясь на действия с предметами. Для этой цели учащимся предлагаются предметные ситуации, которые они сначала описывают (рассказывают, что нарисовано на картинке), а затем записывают свой рассказ числовыми равенствами. Например, можно рассмотреть три рисунка. На первом нарисована веточка с тремя листочками. На втором рисунке — на веточке два листочка, а на третьем — один. Ученики комментируют рисунок: «На веточке три листочка. Один листочек сорвали, осталось: 3 – 1 = 2. Затем сорвали еще один листочек, осталось: 2 – 1 = 1. Еще один листочек сорвали, осталось: 1 – 1». Для записи полученного результата в математике используется число 0: 1 – 1 = 0. Однако при таком введении числа «нуль» у школьников могут сложиться неправильные представления об этом числе как о результате вычитания, а именно: нуль получается только в том случае, если из числа 1 вычитается число 1. Чтобы этого не случилось, необходимо рассмотреть как можно больше различных ситуаций, в которых нуль является результатом и таких действий: 2 – 2; 3 – 3; 4 – 4 и т.д. Возможны такие задания. • На тарелке — 2 яблока. Нина и Таня съели их. Сколько яблок осталось на тарелке? • Объясни, что обозначают равенства, записанные под каждой парой картинок. 3–3=0 4–4=0 • Что изменилось? Дети обычно отвечают: «Ничего не изменилось». — Может быть, кто-нибудь догадается, какую математическую запись можно сделать в этом случае? — спрашивает учитель. Обычно ребята сами предлагают записать равенства: 5 + 0 = 5; 5 – 0 = 5. 89 Для введения числа «нуль» можно придумать и другие ситуации, связанные с изменением количества предметов. Например, на магнитной доске — 3 зайца. Ученики закрывают глаза, учитель в это время изменяет количество зайцев (добавляя одного). Математическая запись выполненного предметного действия выглядит так: 3 + 1 = 4. Затем рассматриваются ситуации, соответствующие записям: 4 + 2 = 6, 4 + 3 = 7 и т.д. Наконец, дети закрывают глаза, а учитель оставляет картинку без изменения. Возникает вопрос: как записать такое «изменение» математическими знаками? Для этой цели можно использовать число «нуль»: 4 + 0 = 4; 4 – 0 = 4. 3.8. ДЕСЯТИЧНАЯ СИСТЕМА СЧИСЛЕНИЯ. НУМЕРАЦИЯ ЧИСЕЛ Из курса математики вам известно, что системой счисления называют язык для наименования чисел, их записи и выполнения действий с ними. Различают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах один и тот же знак (из принятых в данной системе) может иметь разное значение в зависимости от места (позиции), занимаемого этим знаком в записи числа. В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 цифр (знаков): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образуют конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 2745 является краткой записью числа: 2 · 103 + 7 · 102 + 4 · 101 + 5 · 100. Числа 100 = 1; 101, 102, 103, …, 10n называют разрядными единицами первого, второго, третьего, …, (n + 1)-го разряда. При этом 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10. Умения, а затем навыки читать и записывать числа в десятичной системе счисления формируются у младших школьников поэтапно и тесно связаны с такими понятиями, как «число», «цифра», «разряд», «класс», «разрядные единицы», «разрядные десятки», «разрядные сотни» и т.д., «разрядные слагаемые». В качестве таких этапов традиционно выделяли концентры: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. Но это не совсем корректно, так как к многозначным относятся числа, в которых более одного знака. Поэтому целесообразно выделить темы: «Однозначные числа», «Двузначные числа», «Трехзначные числа», «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа». Такие названия 90 более полно отражают содержание, при изучении которого школьники учатся читать и записывать числа, содержащие один, два, три и т.д. знаков, а также лучше понимают различия между цифрой (знаком) и числом. В теме «Однозначные числа» первоклассники овладевают навыками счета, у них формируются представления о количественном и порядковом числах, они знакомятся с цифрами, которые используются для записи чисел, и с принципом построения отрезка натурального ряда однозначных чисел. Затем усваивают смысл сложения и вычитания, понятий «увеличить на…», «уменьшить на…», разностного сравнения и состав однозначных чисел. Запись числа «десять» и его представление в виде суммы двух слагаемых целесообразно включить в тему «Двузначные числа». На первом уроке по теме «Двузначные числа» учащимся предлагаются картинки, на которых предметы расположены по десять в каждом ряду. Сколько предметов на каждой картинке? Если предоставить ученикам возможность самостоятельно ответить на этот вопрос, то возникшую ситуацию можно назвать проблемной. Некоторые дети уверенно принимаются за дело (особенно те, кто владеет счетом) и начинают считать яблоки в первом столбце. Но где-то на третьем-четвертом столбце они приостанавливают свою деятельность. Другими словами, ребята не могут выполнить задание известным им способом. Большинство первоклассников самостоятельно находят способ действия — счет десятками — и приходят к выводу, что считать десятками можно так же, как единицами. 1 ед., 2 ед., 3 ед., 4 ед., … 1 дес., 2 дес., 3 дес., 4 дес., … Пользуясь десятком как счетной единицей, учащиеся легко определяют количество предметов на других картинках и осмысливают записи: 4 дес. 3 ед.; 3 дес. 4 ед. 91 Таким образом вводятся числа, для записи которых нужно использовать два знака (двузначные числа). Учебная задача поставлена — научиться читать и записывать эти числа. Усвоение нумерации двузначных чисел начинается с осознания того, что двузначное число состоит из десятков и единиц. Для этой цели используется модель десятка — треугольник, в котором нарисованы 10 кружков. Каждый кружок является предметной моделью единицы: В качестве наглядных пособий при изучении двузначных чисел в практике часто используют 10 палочек, связанных в пучок (модель десятка) и отдельные палочки; счеты; абак — таблицу с двумя рядами карманов: один ряд — для палочек, другой — для разрезных цифр, — а также пособие с выдвижными пластинками, в котором единицы и десятки обозначены кругами разного цвета. Десятки Единицы 1 3 Однако модель десятка в виде треугольника, наполненного десятью кругами, каждый из которых обозначает одну единицу, является более эффективной как для осознания детьми структуры двузначного числа, так и для усвоения соотношения разрядных единиц. Преимущество этой предметной модели в том, что она удобна для восприятия. Расположение кругов в треугольнике (один — в верхнем ряду, ниже — 2, 3 и 4) позволяет ученикам быстро определить полное количество кругов (их 10) или отсутствие какого-то количества кругов. Последующая работа, направленная на усвоение десятичной системы счисления и на формирование навыка читать и записывать двузначные числа, связана с установлением соответствия 92 между предметной моделью двузначного числа (треугольник, в котором 10 кругов, и отдельные круги, обозначающие единицы) и его символической записью (запись двузначного числа цифрами). Для этой цели предлагаются задания. • Запиши цифрами числа, которые соответствуют каждому рисунку. Чем похожи рисунки? Чем различаются? Чем похожи числа? Чем отличаются? • Увеличь число 30 на 2 дес., на 5 дес., на 3 дес. (Дети работают с моделями десятков и записывают числовые выражения и равенства.) Понаблюдай, какая цифра изменяется в записи числа 30. Какие еще числа можно прибавить к числу 30, чтобы в его записи изменилась только цифра в разряде десятков? Важный способ усвоения устной и письменной нумерации двузначных чисел — это анализ их названий, выявление сходства и различия в их записи, обобщение установленных в результате наблюдений закономерностей. • Для названий чисел, в которых 1 десяток, существует свое правило. Попробуй его разгадать: — 1 дес. — десять; — 1 дес. 1 ед. — одиннадцать; — 1 дес. 2 ед. — двенадцать; — 1 дес. 3 ед. — тринадцать; — 1 дес. 4 ед. — четырнадцать; — 1 дес. 5 ед. — пятнадцать; 93 — 1 дес. 6 ед. — шестнадцать; — 1 дес. 7 ед. — семнадцать; — 1 дес. 8 ед. — восемнадцать; — 1 дес. 9 ед. — девятнадцать. • Сравни названия чисел слева и справа: — 1 дес. — десять; — 2 дес. — двадцать; — 3 дес. — тридцать; — 4 дес. — сорок*; — 5 дес. — пятьдесят; — 6 дес. — шестьдесят; — 7 дес. — семьдесят; — 8 дес. — восемьдесят; — 9 дес. — девяносто*. Как ты думаешь, почему названия двух чисел отмечены звездочкой? При изучении нумерации двузначных чисел учащиеся узнают о том, что любое двузначное число состоит из двух разрядов. Разряд единиц называют первым разрядом, а разряд десятков — вторым. Пользуясь этими знаниями, ученики овладевают умением записывать двузначные числа в виде суммы разрядных слагаемых (72 = = 70 + 2; 24 = 20 + 4). Формирование умения читать и записывать двузначные числа тесно связано с повторением ранее изученного материала. • Запиши каждое число в виде суммы разрядных слагаемых и сравни выражения: 1) 71 и 79; 2) 56 и 52; 3) 64 и 68. • Найди значения выражений: 1) 80 + 3 2) 70 + 2 3) 50 + 7 30 + 8 20 + 7 70 + 5 Найди правило, по которому составлены пары выражений, и запиши по тому же правилу выражения с другими числами. При изучении нумерации трехзначных чисел используется аналогичный методический подход. Для постановки учебной задачи на первом уроке по теме «Трехзначные числа» детям предлагается задание: «Назови “лишнее”число: 83, 54, 49, 309, 39, 23, 94». Ориентируясь на внешние признаки, все ученики самостоятельно выполняют задание. Но назвать число могут обычно не все. «Этому надо учиться», — говорит 94 учитель. Учебная задача поставлена — научиться читать и записывать числа, в которых три знака (цифры). Знакомство с новым разрядом можно начать с похожего задания, но вместо числа 309 записать число 100, которое большинство учеников смогут прочитать, опираясь на свой опыт, и высказать предположение о названии нового разряда. Выявление сходства и различия в специально подобранных парах двузначных и трехзначных чисел позволит детям самостоятельно прочитать трехзначные числа. Чем похожи и чем различаются числа в каждой паре: 32 и 132; 48 и 148; 54 и 154; 99 и 199? Для усвоения соотношения разрядных единиц в трехзначном числе полезно обратиться к предметным моделям сотни, десятка, единицы, предложив, например, такое задание: Рассмотри рисунок. Сколько единиц в 1 десятке? Сколько десятков в 1 сотне? Сколько единиц в 1 сотне? 1 сотня 1 дес. 1 ед. Устную и письменную нумерацию трехзначных чисел так же, как и двузначных, лучше осваивать одновременно, выполняя задания на соотнесение предметных, вербальных и символических моделей. • Учитель выставляет на доске предметные модели — 2 сотни, 4 десятка, 5 единиц — и просит детей назвать количество кружков на рисунке, указывая разряды (сотни, десятки, единицы). Затем выясняется, как по-другому называют 2 сотни (двести), 4 десятка (сорок), 5 единиц (пять). После этого ученики записывают число, которое соответствует данной предметной модели. • Учитель записывает на доске число 402. Школьники выставляют модели: 4 сотни и 2 единицы. Заменяют названия разрядов названиями чисел, получают число 402. Работу с разрядным составом числа делает более интересной и результативной применение калькулятора. 95 Набери на калькуляторе 1 сотню. Какие клавиши ты нажимал? Проверь: на экране должно быть число 100. Прибавь к этому числу 1 сотню, еще 1 сотню, еще 1 сотню. Наблюдай, что происходит на экране. Полезным окажется калькулятор и для повторения принципа образования натурального ряда чисел. Для этой цели учитель предлагает детям такое задание. Наберите на калькуляторе число 200. Какое следует за ним число? (201.) Проверьте свой ответ на калькуляторе. (Для получения следующего числа надо прибавить 1.) Подобные задания оказываются особенно эффективными при работе с числами, название и запись которых вызывают у детей затруднения. Речь идет о числах, следующих за трехзначным числом, у которого в разряде единиц цифра 9 (299, 209, 159, 829). Для записи трехзначного числа в виде суммы разрядных слагаемых в практике используют карточки, на которых изображены: однозначные числа (0, 1, 2, 3, …, 9), «круглые» двузначные (10, 20, 30, 40, …, 90) и трехзначные, в разряде единиц и десятков которых цифра 0 (100, 200, 300, 400, …, 900). Записывая, например, число 543, ученики берут карточку с числом 500, затем накладывают на нее карточку с числом 40 (ориентируясь на соответствующие разряды), а поверх разряда единиц — карточку с числом 3. После этого, разложив карточки в ряд и поставив между числами знак «+», получают запись трехзначного числа в виде суммы разрядных слагаемых. 543 = 500 + 40 + 3 При изучении трехзначных чисел так же, как и при изучении двузначных, полезны следующие виды заданий. 1. На выявление признаков сходства и различия двузначных и трехзначных чисел. Чем похожи и чем отличаются числа в каждой паре: 32 и 132; 54 и 154; 48 и 148; 99 и 199? 2. На запись трехзначных чисел определенными цифрами. Запиши цифрами 4 и 7 различные трехзначные числа. Сколько таких чисел можно записать? 3. На сравнение чисел. 96 Какие цифры можно вписать в «окошки», чтобы получились верные неравенства: 35 > 335 2 > 26 > 547 <47 4. На классификацию. По какому признаку можно разбить числа на две группы: 581, 685, 584, 681, 589, 686, 582? Какими числами можно дополнить каждую группу? 5. На выявление правила (закономерности) построения ряда чисел. По какому правилу записан каждый ряд чисел: а) 123, 125, 127, 129, 131, … б) 389, 388, 387, 386, 385, …? Перечисленные виды заданий используются и при изучении тем «Четырехзначные числа», «Пятизначные и шестизначные числа». Для усвоения детьми математической терминологии необходимо систематически включать ее в формулировки заданий, а учителю важно следить за своей речью и не допускать ошибок в использовании терминов «число» и «цифра», а также обратить особое внимание на четкость вопросов, предметом которых являются либо единицы определенного разряда, либо все число. Например, по отношению к числу 248 можно задать два вопроса. • Сколько десятков содержится в разряде десятков? (4.) • Сколько десятков содержится в числе 248? (24 десятка.) Некорректно также утверждать, что цифра 0 обозначает отсутствие разряда. Например, нельзя говорить, что в числе 209 отсутствует разряд десятков. Следует сказать, что в числе 209 отсутствуют разрядные десятки. Но так как 2 сотни — это 20 десятков, то в числе 209 содержится 20 десятков. В теме «Четырехзначные числа» учащиеся знакомятся с новым разрядом: «единицы тысяч». Им предлагается следующее задание. По какому правилу записан ряд чисел: 991, 992, 993, 994, …? Продолжи ряд, записав в нем еще 8 чисел. Если возникнет затруднение, воспользуйся калькулятором. По какому признаку можно разбить числа, записанные в ряду, на две группы? Знаешь ли ты, как называется самое маленькое четырехзначное число? 97 Дети самостоятельно записывают первые пять чисел: 995, 996, 997, 998, 999. Проблема может возникнуть при записи следующего числа. В этом случае число 999 набирается на калькуляторе, и, пользуясь принципом образования натурального ряда чисел (прибавив 1), ученики получают на экране число 1000. Выясняется, чем отличается это число от всех предыдущих (4 цифры, новый разряд). Многие дети узнают это число, называют его и высказывают догадку о названии нового разряда. Полезно выяснить, как можно назвать это число по-другому (сто десятков, десять сотен). Вполне вероятно, что ребята смогут самостоятельно ответить на этот вопрос, используя соотношение разрядных единиц. Так же, как и в теме «Трехзначные числа», допустимо обратиться к калькулятору и выполнить такое задание. Набери на калькуляторе 1 тысячу. Какие клавиши ты нажимал? Проверь, на экране должно быть число: 1000. Прибавь к этому числу 1 тысячу, еще 1 тысячу, затем еще 1 тысячу… Наблюдай, что происходит на экране. Запиши в ряд числа, которые ты получал на экране калькулятора. Чем похожи все эти числа? Догадайся, как называется новый разряд, который стоит на четвертом месте справа? Использование предметной модели при изучении нумерации четырехзначных чисел вряд ли возможно. Поэтому основным способом усвоения нумерации являются задания на анализ, сравнение, классификацию, в которых тщательно подбираются числа. При выполнении этих заданий дети могут применять уже известный им материал. • По какому правилу составлен каждый ряд чисел? Продолжи ряды, записав в каждом еще шесть чисел. Прочитай по-разному каждое число: а) 10, 20, 30, 40, …; б) 100, 200, 300, 400, …; в) 1000, 2000, 3000, 4000, …; г) 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, … • Чем похожи и чем отличаются числа в каждой паре? Прочитай каждое число: а) 4 и 54 б) 52 и 352 в) 375 и 4375 4 и 504 52 и 305 2808 и 4808 г) 8 и 68 д) 91 и 391 е) 672 и 9672 8 и 608 91 и 309 1501 и 7501 98 • Найди правило, по которому записаны числа в каждом столбце, и запиши пропущенные числа. а) 1200 1020 1002 б) 5400 5040 5004 в) 6 8 0 0 60 08 г) 7 9 0 0 • Чем отличаются друг от друга числа в каждой паре: а) 378 и 2378; б) 9 и 8009; в) 507 и 8507; г) 7 и 5007; д) 620 и 8620; е) 78 и 2078? В теме «Четырехзначные числа» целесообразно познакомить учащихся с правилом умножения числа на 100, которое они могут «открыть» самостоятельно в результате выполнения заданий. 1. Не вычисляя значений выражений, поставь знаки <, >, =, чтобы получились верные равенства: а) 4 · 100 100 + 100 + 100 + 100 + 100; б) 6 · 100 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100; в) 8 · 100 100 + 100 + 100 + 100. Сделай вывод, каким правилом можно пользоваться при умножении любого числа на 100. Проверь свой вывод на калькуляторе. Запиши, чему равны значения произведений: 3 · 100; 10 · 100; 12 · 100; 25 · 100; 47 · 100. Проверь свои ответы на калькуляторе. Используя только что выведенное правило, можно повторить ранее изученные вопросы, решая при этом новую учебную задачу — овладеть нумерацией четырехзначных чисел. Не вычисляя значений произведений, поставь знаки >, <, =, чтобы получились верные записи: а) 27 · 100 100 · 32 б) 10 · 13 12 · 10 34 · 100 100 · 34 52 · 100 100 · 48 100 · 10 9 · 100 3 · 1000 1000 · 4. Здесь повторяются переместительное свойство умножения и смысл действия умножения. Можно повторить понятия «увеличить в…», «уменьшить в…», предложив соответствующее задание. 99 Запиши числовые равенства: а) 9 сотен увеличить в 3 раза; б) 8 сотен увеличить в 5 раз; в) 5 сотен увеличить в 7 раз; г) 60 сотен уменьшить в 10 раз. Дети учатся по-разному читать четырехзначные числа: 9 сотен увеличить в 3 раза — получим 27 сотен, или 2700. Переместительное свойство умножения можно повторить при выполнении такого задания. Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства: а) 75 · = 7500 б) 46 · = 460 83 · = 8300 27 · = 270 · 100 = 5400 · 100 = 3400 680 · = 6800 · 19 = 9200 92 · = 9200 · 100 = 5400 Сочетательное и переместительное свойства умножения, а также понятие «увеличить в…» находят применение в следующем задании. Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? Ответить на вопрос нужно, не выполняя вычисления: а) 9 · (8 · 100) б) 800 · 7 в) 500 · 6 (9 · 8) · 100 (8 · 7) · 100 (5 · 6) · 100 (9 · 100) · 88 · (7 · 100) (5 · 100) · 6 9 · 8008 · 7005 · 600 72 · 10 056 · 10 030 · 100 В этом же упражнении повторяется таблица умножения. Для повторения ранее изученных вопросов целесообразно использовать калькулятор. • Набери на калькуляторе любое число, в котором есть 8 тысяч. На сколько можно уменьшить это число, чтобы в его записи изменилась цифра в разряде единиц тысяч, а цифры в разряде единиц, десятков и сотен не изменились? Проверь свои предположения на различных числах. Запиши числовые равенства. Чем эти равенства похожи? • Какое действие нужно выполнить на калькуляторе, чтобы узнать, на сколько: а) 5078 меньше 6394; б) 8124 больше 7028; в) 4002 больше 2027; г) 6037 меньше 8108? Выполни действия на калькуляторе и запиши ответы числовыми равенствами. 100 Умение называть количество единиц, десятков, сотен, тысяч в числе требует как усвоения разрядного состава числа, так и осознания того, что каждая разрядная единица в числе (за исключением первого разряда единиц) содержит 10 единиц низшего разряда, т.е. 1 дес. = 10 ед.; 1 сотня = 10 дес. = 100 ед.; 1 тыс. = 10 сот. = 100 дес. = 1000 ед. Следует заметить, что именно такое рассуждение оказывается более доступным для младших школьников, чем то, что 10 единиц каждого разряда составляют 1 единицу высшего разряда. Например: число 5843 содержит 5843 единицы, так как в разряде единиц — 3 единицы, в разряде десятков — 40 единиц (1 дес. = 10 ед., 4 дес. = 40 ед.); в разряде сотен — 8 сотен — это 80 десятков, или 800 единиц, в разряде единиц тысяч — 5 тысяч единиц. Таким образом: 5843 = 5000 + 800 + 40 + 3. Число 5843 содержит 584 дес., так как в разряде десятков — 4 десятка, в разряде сотен — 8 сотен, или 80 десятков, в разряде тысяч — 5 тысяч, или 500 десятков. Приведенные рассуждения могут быть впоследствии обобщены в виде приема: для того чтобы определить количество десятков в числе, нужно закрыть цифры, стоящие в разряде единиц: 345 (34 дес.), 8754 (875 дес.). Для того чтобы определить количество сотен в числе, нужно закрыть цифры, стоящие в разрядах единиц и десятков: 9456 (94 сот.), 81 506 (815 сот.). Аналогично определяется количество тысяч, десятков тысяч и т.д. в любом числе. При изучении темы «Пятизначные и шестизначные числа» учащиеся знакомятся с понятием «класс». Для введения пятизначных чисел можно воспользоваться заданием, при выполнении которого ученики выполняют действия анализа, сравнения и аналогии. Найди правило, по которому составлен ряд чисел: 1285, 2285, 3285, 4285, … Запиши в этом ряду еще семь чисел по тому же правилу. Догадайся, как прочитать пятизначные числа. Какой новый разряд появился в пятизначных числах? Анализируя записанные числа, дети самостоятельно называют правило (изменяется цифра, стоящая в разряде единиц тысяч). Каждое следующее число увеличивается на одну тысячу. Продолжая 101 ряд, ученики самостоятельно доходят в записи до числа 9285. Увеличивая это число на 1 тысячу, они получают 10 тысяч 285. Это позволяет им высказать предположение о появлении нового разряда, название которого угадать легко (десятки тысяч). Запись последующих чисел данного ряда, как правило, не вызывает затруднений. В школе обычно широко используется таблица разрядов и классов, в которую учащиеся записывают различные числа, выполняя задания такого вида. • Запиши число, в котором 5 сотен тысяч, 3 десятка тысяч, 2 единицы тысяч, 8 десятков и 1 единица. • Запиши число, в котором 35 единиц второго класса и 2 единицы первого класса. При этом ученики ориентируются на названия разрядов и классов, данные в таблице. Однако такая работа, как показывает практика, оказывается малоэффективной для самостоятельной записи чисел без опоры на таблицу. Гораздо продуктивнее прием определения цифр в записи числа. В этом случае таблица может присутствовать в таком виде и выполнять функцию контроля. Класс тысяч (второй класс) сотни десятки Класс единиц (первый класс) единицы сотни десятки единицы трехзначные числа четырехзначные числа пятизначные числа шестизначные числа Например, детям предлагается задание: «Запиши число 204 тысячи 7». Ученик рассуждает так: «Если в числе — 204 тысячи, значит, в записи этого числа обязательно есть разряды сотен тысяч, десятков тысяч и единиц тысяч, следовательно, в числе — 6 знаков». Он пишет «204» и ставит еще три точки: «204 …». Но в числе — еще 7 единиц. (Записывает в разряде единиц цифру 7.) Делает вывод — в числе отсутствуют разрядные десятки и сотни. Пишет в этих разрядах нули. Получаем число 204 007. 102 Полезно продолжить работу, предложив ученикам записать еще три числа, в которых содержится 204 тысячи. (Дети записывают разные числа.) Аналогично: «Запиши число 21 тысяча 20» (21…). Так же, как при изучении четырехзначных чисел, дети самостоятельно «открывают» правило умножения на 1000. Поставь знаки <, >, =, чтобы получились верные записи: а) 3 · 1000 1000 + 1000 + 1000; б) 5 · 1000 1000 + 1000 + 1000 + 1000; в) 2 · 1000 1000 + 1000 + 1000. Основной способ усвоения нумерации пятизначных и шестизначных чисел (как и четырехзначных) — это выполнение заданий на анализ, сравнение, классификацию специально подобранных чисел. Задание 3.10. Ориентируясь на методику изучения трехзначных и четырехзначных чисел, подберите различные виды заданий для усвоения детьми нумерации пятизначных и шестизначных чисел. 3.9. ВЕЛИЧИНЫ Формирование у младших школьников представлений о числе и десятичной системе счисления тесно связано с изучением величин. При знакомстве учащихся с конкретными величинами важно, чтобы у них сложилось определенное представление о том, что такое величина вообще и как ее измерять. Не менее важно, чтобы представление о величинах связывалось у ребенка с предметами и явлениями окружающего мира и так же, как и понятие числа, понятие величины приобрело для него практическую значимость. В математике существуют различные подходы к раскрытию понятия величины, но ни одним из них нельзя прямо руководствоваться в начальной школе, так как все они обладают высоким уровнем абстракции. В начальных классах у детей имеются некоторые интуитивные представления о величинах и об их измерении. Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. Процесс сравнения зависит от рода рассматриваемых величин: для длины он один, для площади — другой, для массы — третий 103 и т.д. Но каким бы ни был этот процесс, в результате измерения величина получает определенное числовое значение при выбранной единице измерения. Если имеется величина а, которую надо измерить, а единицей измерения выбрана величина е, то путем измерения а находят число х (а = хе). Число х называют числовым значением величины а при единице величины е. Результатом измерения является числовое значение величины. Современная математика различает такие понятия, как «число» и «величина». Хотя эти понятия и являются тесно связанными, но операции счета и измерения различны по своей сути. Отмеряя, например, кусок проволоки и пользуясь меркой — дециметром, ученик отсчитывает 1 дм, 2 дм, 3 дм, …, 20 дм. На самом же деле последовательно откладывается данная мерка — дециметр — по длине измеряемой проволоки, поэтому и результат записывается с соответствующим наименованием: 20 дм. Это уже не число, а величина. Если же длину данной проволоки измерить сантиметром, то результат должен быть записан с другим наименованием — 200 см, а если единицей измерения будет метр, то получим 2 м. Не случайно в методике начального обучения арифметике использовался термин «именованные числа». Действия с величинами и их отношения равносильны аналогичным действиям и отношениям с их числовыми значениями. Если величины а и b измерены при помощи одной и той же единицы, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их числовыми значениями, и наоборот. Например, если массы двух предметов таковы, что а = 5 кг, b = 3 кг, то а > b, так как 5 > 3. Если величины а и b измерены при помощи одной и той же единицы, то, чтобы найти числовое значение суммы а + b, достаточно сложить числовые значения величин а и b. Справедливо и обратное утверждение. Так, если а = 5 кг, b = 12 кг, то а + b = 15 кг + 12 кг = = 27 кг. Если величины а и b таковы, что b = ах, где х — число, то, чтобы найти числовое значение величины b, достаточно числовое значение величины а умножить на число х. Например, если масса b в 3 раза больше массы а и а = 2 кг, то b = 2 кг · 3 = 6 кг. В курсе математики начальных классов дети знакомятся с различными величинами — длиной, массой, объемом (вместимостью), временем, площадью. 104 При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определенные этапы, в которых нашли отражение математическая трактовка данного понятия, его взаимосвязь с изучением других вопросов начального курса математики, а также психологические особенности младших школьников. • Этап 1. Выяснение и уточнение представлений детей о данной величине (обращение к опыту ребенка). • Этап 2. Сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путем использования различных мерок). • Этап 3. Знакомство с единицей данной величины и измерительным прибором. • Этап 4. Формирование измерительных умений и навыков. • Этап 5. Сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования. • Этап 6. Знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот. • Этап 7. Сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований. • Этап 8. Умножение и деление величин на число. Рассмотрим некоторые конкретные величины. Длиной отрезка называется некоторая положительная величина, определенная для каждого отрезка так, что: а) равные отрезки имеют равные длины; б) если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме их длин. В математике доказано, что при выбранной единице измерения длина любого отрезка выражается действительным числом и для каждого положительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом. Основная единица длины — метр. Из этой единицы образуются другие единицы длины: сантиметр, дециметр, миллиметр, километр. В начальном курсе математики длины отрезков выражаются натуральным числом, при этом оно выступает в новом качестве: показывает, из скольких выбранных единичных отрезков состоит данный отрезок. При выбранной единице длины для заданного отрезка это число единственное. 105 Новый смысл приобретают и действия с натуральными числами — результатами измерения длин отрезков. Так, если натуральное число n — значение длины отрезка АВ при единице длины е, а натуральное число m — значение длины отрезка СD при той же единице, то сумма m + n есть числовое значение длины отрезка АD при единице длины е. Длина При знакомстве с понятием «длина» можно предложить детям различные картинки, а ученики расскажут, что на них нарисовано, используя слова: «длиннее — короче», «шире — у^же», «выше — ниже», «ближе — дальше». Имеющийся у первоклассников жизненный опыт позволяет им самостоятельно выполнить задание, а затем с помощью учителя перевести свой ответ на язык математики. В данном случае: «длина больше…», «длина меньше…», «длина одинаковая». Важную роль в осознании детьми процесса измерения играют различные ситуации проблемного характера. Например, на доске изображены два отрезка (90 см и 120 см). Учитель обращается к классу с вопросом: «Как вы думаете, длина какого отрезка больше?» Ученики могут высказать правильное предположение, но его нужно обосновать. Сначала они предлагают известный им способ действия (наложить полоски одну на другую). Но учитель поясняет: отрезки передвигать нельзя. Отыскивая новый способ действия, учащиеся предлагают использовать для этой цели карандаши, ручки, веревочки и т.д. Учитель, в свою очередь, предлагает им воспользоваться для обоснования ответа планками различных цветов и размеров: красная — 30 см, синяя — 15 см. Укладывая красную планку по длине первого отрезка, дети, пока еще не осознавая этого, проводят измерение. В результате измерения первого отрезка они получают число 4, а второго — 3 и самостоятельно приходят к выводу, что 4 > 3, и, значит, длина первого отрезка больше длины второго. 106 Можно подкрепить вывод, используя планку другого цвета (например, синюю — 15 см). Для создания проблемной ситуации учитель действует сам: «А теперь я попробую выяснить с помощью планок (мерок), какой отрезок длиннее». Ученики внимательно следят за действиями педагога, так как они не сопровождаются какими-либо пояснениями. Учитель берет красную планку (30 см) и укладывает ее по длине отрезка 120 см (получает число 4), затем берет синюю планку (15 см) и укладывает ее по длине отрезка 90 см (получает число 6). «У меня получилось, что 4 < 6, — говорит учитель, — значит, длина первого отрезка меньше длины второго. Кто же прав, я или вы?» Учащиеся находят причину ошибки и делают вывод: для сравнения длин отрезков необходимо пользоваться одной меркой; числовое значение величины зависит от выбранной единицы длины. Этот вывод усваивается в процессе выполнения различных учебных заданий. Например, используя групповую форму организации деятельности учащихся, можно провести на уроке такую практическую работу. На каждую парту кладется полоска и две мерки: одна красная, другая синяя. Один ученик измеряет полоску красной меркой, другой — синей. Естественно, получаются разные числовые значения, что позволяет организовать обсуждение следующих вопросов: «Разве может быть так: измерялась одна и та же полоска, а числа получились разные? В чем дело? Может быть, допущена ошибка?». Можно предложить и такие задания. • На клетчатой бумаге начерчен отрезок. Учитель описывает ситуацию: трое учеников измеряли этот отрезок, один получил число 8, другой — 4, а третий — 2. Кто из них прав? • Братья Коля и Петя измерили шагами расстояние от их дачи до реки. У Коли получилось шагов меньше, чем у Пети. У кого из мальчиков длина шага больше: у Коли или у Пети? Чем больше будет рассмотрено практических ситуаций, тем активнее учащиеся будут постигать понятие величины. Большой интерес вызывает у детей ситуация из мультфильма, в котором измеряли длину удава попугаями, мартышками, слонами, но так и не смогли решить, какой же он длины. Для сравнения длин отрезков различными мерками целесообразно познакомить учащихся с циркулем. С помощью этого инструмента дети могут выполнять, например, такие задания. 107 • Сравни длины отрезков, пользуясь мерками. а) В А М К б) А D Е К Верно ли утверждение, что длины отрезков АD и ЕK одинаковы? • Начерти в тетради отрезки такой же длины. А D К В М Е Дети проводят луч и циркулем откладывают на нем данные отрезки. В результате практической деятельности они сами делают вывод о необходимости введения единицы длины. Тогда учитель знакомит их с сантиметром и дециметром, а также с линейкой — инструментом для измерения длины. Для того чтобы учащиеся лучше осознали взаимосвязь между числом и величиной, т.е. поняли, что в результате измерения они получают числа, которые можно складывать и вычитать, полезно в качестве наглядного пособия для сложения и вычитания чисел использовать ту же линейку. Например, ученикам дается полоска. Требуется с помощью линейки определить ее длину. Линейка прикладывается так, чтобы 0 совпал с началом полоски. Конец полоски совпадает с числом 3. Затем учитель предлагает вопросы: «А если приложить линейку так, чтобы начало полоски совпадало с числом 2, с каким числом на линейке тогда совпадет конец полоски? Почему?» Некоторые учащиеся сразу называют число 5, объясняя, что 2 + 3 = 5. Тот, кто затрудняется, прибегает к практическому действию, в процессе которого закрепляет вычислительные навыки и приобретает умение пользоваться линейкой для вычислений. Возможны аналогичные упражнения с линейкой и на обратное действие (вычитание). Для этого ученики сначала определяют длину предложенной им полоски (например, 4 см), а затем учи108 тель спрашивает: «Если конец полоски совпадает с числом 9 на линейке, то с каким числом совпадает начало полоски?» (5; 9 – 4 = 5.) Знакомство с каждой новой единицей длины также связано с практическими действиями школьников. Например, при введении новой единицы измерения — дециметра — учитель строит изучение материала так, чтобы дети прежде всего осознали ее необходимость. Для этого можно снова вернуться к сравнению длин полосок, например 50 см и 70 см, предложив мерки в 1 см и 1 дм (поначалу можно не сообщать длину этих мерок), и выполнить задание — сравнить длины полосок с помощью этих мерок. Учащиеся на практике убеждаются в том, что пользоваться меркой в 1 см неудобно: это требует значительного времени. Использование же второй мерки позволяет справиться с заданием гораздо быстрее. Учитель сообщает, что длина второй мерки — 10 см и ее называют дециметром. После чего ученики находят на линейке 1 дм. Установив соотношение между единицами длины (1 дм = 10 см), первоклассники могут выполнять различные упражнения, связанные с переводом единиц одних наименований в другие, и даже рассматривать длины, выраженные в единицах двух наименований. • Вера купила ленту длиной 70 см, а Маша — длиной 8 дм. У кого лента короче? • Что ты можешь рассказать об этих отрезках? А К М Е К D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 • Поставь знаки >, < или =, чтобы получились верные записи: 1) 4 дм 8 см 4 дм 6 см 2) 62 см 6 дм 4 см 34 см 3 дм 2 см 8 дм 3 см 83 см 6 дм 7 см 7 дм 50 см 5 дм • Пользуясь рисунком, вставь пропущенные в тексте числа: «Длина отрезка АВ — см. Он короче отрезка МK на см. Длина отрезка CD — см. Он длиннее отрезка ВЕ на см. Отрезок ВЕ длиннее отрезка АВ на см». А В М К В Е D С 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 109 Запиши числовым выражением сумму длин отрезков АВ и ВЕ; разность длин отрезков CD и АВ. При выполнении упражнений типа «Вставь пропущенные числа: 1 дм 5 см = см; 18 см = дм см» полезно обращаться к практическим действиям, потому что у детей не сразу формируется четкое представление о возможности выражения длины в виде чисел с единицами двух наименований, и запись 2 дм 6 см некоторые относят к двум различным полоскам — одна 2 дм, другая 6 см. Чтобы помочь ученикам разобраться в этом вопросе, можно организовать такую работу. Детям предлагается, например, полоска длиной 85 см. Для ее измерения сначала используется мерка в 1 дм. Она укладывается в полоске 8 раз, и остается еще маленький кусочек, в который эта мерка не укладывается. Можно, конечно, приложить линейку и ею измерить оставшийся кусочек, но из методических соображений этого делать не следует, так как задача заключается в том, чтобы измерить полоску с помощью различных мерок. Поэтому в оставшийся кусочек пять раз укладывается мерка в 1 см. Таким образом, в полоске уложилось 8 дм и 5 см. В этом случае говорят, что длина полоски — 8 дм 5 см. После введения 1 м можно измерить длину полоски, используя единицы трех наименований. Например, 2 м 3 дм 5 см. С единицей длины — метром — учащихся целесообразно познакомить после того, как они научатся читать и записывать трехзначные числа. Тогда они смогут пользоваться соотношениями: 1 м = 10 дм и 1 м = 100 см для выполнения различных упражнений. С единицей длины — километром — лучше познакомить учеников в теме «Четырехзначные числа», так как только в этом случае учащиеся смогут для выполнения различных упражнений пользоваться отношением: 1 км = 1000 м. Единица длины — миллиметр — будет востребована после того, как дети научатся читать и записывать пятизначные числа. В этом случае они смогут выразить в миллиметрах не только, например, 40 см (40 см = 400 мм), но и 40 м (40 м = 40 000 мм). Задание 3.11. Подберите или составьте сами различные учебные задания, в процессе выполнения которых у младших школьников формируются представления о длине, ее единицах и их соотношениях. Масса Так же поэтапно проводится работа по формированию представлений о массе, объеме (вместимости), времени. Например, 110 на первом этапе знакомства с массой можно использовать такие ситуации. Ситуация 1. На столе учителя стоят два одинаковых по форме, цвету, размеру предмета (кубики, портфели и др.). Причем один из них пустой, а другой с грузом. Учитель обращается к детям с вопросом: «В чем сходство и различие этих предметов?» Быстро назвав различные признаки сходства, учащиеся, естественно, затрудняются указать признаки различия до тех пор, пока учитель не предложит им взять предметы в руки или кто-то из класса не проявит инициативу сам. Ребенок, участвующий в опыте, обычно непроизвольно восклицает: «Какой тяжелый!» Оказывается, окружающие нас предметы могут не только различаться по форме, цвету или размеру, но и быть легче или тяжелее. Таким образом вводится понятие массы. Ситуация 2. Учитель показывает ученикам два яблока, которые очень незначительно отличаются по массе, и спрашивает, какое яблоко легче, какое тяжелее. В данном случае его задача заключается в том, чтобы мнения учащихся были различными. Учитель создает разногласия для того, чтобы дети убедились в необходимости использования весов. Положив яблоки на чашечные весы, одно — на одну чашку, другое — на другую, ребята приходят к единому мнению. Ситуация 3 носит проблемный характер, и ее решение связано с введением единицы массы. На столе — три предмета: гиря в 1 кг и два пакета, массой очень незначительно отличающиеся от гири (например, 990 г). Учитель предлагает детям, не пользуясь весами, ответить на вопросы: «Масса какого предмета самая маленькая? Самая большая?». Как правило, мнения учащихся опять разделяются, и они приходят к выводу, что для ответа на эти вопросы необходимо использовать весы. В данном случае неважно, как будет решаться эта задача, самостоятельно или с помощью учителя. Важно, чтобы в процессе ее решения дети поняли, что в качестве меры можно выбрать любой из предметов. Здесь, как и при измерении длины, нужно договориться о том, какой единицей пользоваться. (Единица массы — килограмм.) Вполне доступны для первоклассников и задания, связанные с анализом рисунков. • Какова масса каждого мешка с мукой? Запиши свой ответ равенствами. 111 • Какова масса каждого арбуза? Запиши свой ответ равенствами. • Как уравновесить чашки весов? Запиши свой ответ равенствами. Возможны и такие задания. У Лены — 3 конфеты: красная (к), зеленая (з), синяя (с). к з с Одна из этих конфет с орешком, поэтому она тяжелее двух других. с к Какая конфета с орешком? Задание 3.12. Ориентируясь на этапы формирования представлений о величинах, найдите в учебниках математики для начальных классов или придумайте сами задания, которые можно использовать для формирования у младших школьников представлений о величинах: объеме (вместимости), времени. 112 Площадь фигуры Знакомство учащихся с понятием «площадь фигуры» так же, как и знакомство с величинами «длина», «масса», «объем (вместимость)», «время», начинается с уточнения имеющихся у ребят представлений о данной величине. Исходя из своего жизненного опыта, дети легко воспринимают такое свойство объектов, как размер, выражая его в понятиях «большая» или «маленькая» фигура и устанавливая между ними отношения «больше», «меньше», «равно». Используя эти представления, можно познакомить учеников с понятием «площадь», выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в другой. «В этом случае, — сообщает учитель, — в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой». Когда же фигуры при наложении совпадают, их площади равны, или одинаковы. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника, один из которых — квадрат. В этом случае после безуспешных попыток наложить один прямоугольник на другой так, чтобы они совпали, учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой — 9 таких же квадратиков. м1 м2 м3 м4 м Оказывается, для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин, можно воспользоваться меркой. Для учеников вместо обозначений М1, М2, … мерки закрашиваются в разные цвета. 113 Возникает вопрос: «Какая фигура может послужить меркой для сравнения площадей?». Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник, равный половине площади мерки М (М1), или прямоугольник, равный половине площади мерки М (М2), или квадрат М3, или треугольник М4, равные 1/4 площади мерки М. Учащиеся укладывают в прямоугольники различные мерки и подсчитывают их число в каждом. Так, пользуясь меркой М1, они получают: 20М1 и 18 М1. Измерение меркой М2 дает 20М2 и 18М2. Использование мерки М3 – 40М3 и 36М3. Измеряя прямоугольники меркой М4, получаем 40М4 и 36М4. В процессе этой работы полезно обсудить такие вопросы: как зависит количество мерок, которые укладываются в прямоугольнике, от величины самой мерки; почему совпадают числовые результаты при измерении мерками М1 и М2 (оказывается, формы мерок могут быть разными, а площади их — одинаковыми). Учитель может предложить измерить площадь одного прямоугольника меркой М1, а площадь другого (квадрата) —меркой М3. В результате выясняется, что площадь прямоугольника равна 20 меркам, а площадь квадрата — 36 меркам. «Как же так, — говорит учитель, — получается, что в прямоугольнике уложилось мерок меньше, чем в квадрате? Может быть, вывод, который мы сделали раньше о том, что площадь прямоугольника больше площади квадрата, неверен?» Поставленный вопрос помогает акцентировать внимание детей на том, что для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин, необходимо пользоваться одной меркой. Учитель может предложить выложить на магнитной или интерактивной доске разные фигуры из четырех квадратов или нарисовать их в тетради, обозначая квадрат клеткой. После того как задание выполнено, нужно выяснить: — Чем построенные фигуры похожи? (Они состоят из четырех одинаковых квадратов.) — Можно ли утверждать, что площади всех фигур одинаковы? (Дети могут проверить свой ответ, наложив квадраты одной фигуры на квадраты других фигур.) 114 Перед знакомством школьников с единицей площади полезно провести практическую работу, связанную с измерением площади данной фигуры различными мерками. Например, измеряя площадь прямоугольника квадратом, получаем число 10. Измеряя площадь прямоугольника меркой из двух таких же квадратов, получаем число 5. Если мерка равна половине квадрата, то получаем, что площадь квадрата равна 20 таким меркам. Если же мерка составляет четверть квадрата, получаем число 40. Чтобы проследить зависимость числового значения величины от величины мерки, следует расположить их в возрастающей последовательности и под ними записать числовые значения площади. Сначала располагается мерка, равная четверти квадрата (под ней пишем 40); затем мерка, равная половине квадрата (20), потом мерка, равная квадрату (под ней пишем 10), и мерка, состоящая из двух таких же квадратов (5). Дети подмечают, что каждая следующая мерка состоит из двух предыдущих (т.е. ее площадь больше площади предыдущей мерки в 2 раза). Отсюда некоторые дети самостоятельно могут сделать вывод: во сколько раз увеличилась площадь мерки, во столько же раз уменьшилось числовое значение площади данной фигуры. С этой же целью можно предложить детям такую ситуацию: «Трое учеников измеряли площадь одной и той же фигуры. (Фигура предварительно чертится в тетрадях или на листочках.) В результате первый из них получил в ответе 8, второй — 4, а третий — 2. Кто из них прав?». (Учащиеся догадываются, что полученные числовые результаты зависят от той мерки, которой пользовался каждый ученик.) Задания такого вида подводят к осознанию необходимости введения общепринятой единицы площади — 1 см2 (площадь квадрата со стороной 1 см). Модель 1 см 2 вырезается из плотной бумаги. С ее помощью измеряются площади различных фигур. В этом случае учащиеся сами придут к выводу, что измерить площадь фигуры — значит узнать, сколько квадратных сантиметров она содержит. Измеряя площадь фигуры с помощью модели квадратного сантиметра, школьники убеждаются в том, что укладывать 1 см 2 в фигуре неудобно, так как это требует много времени. Гораздо удобнее использовать прозрачную пластинку, на которую нанесена сетка из квадратных сантиметров. Она называется палеткой. 115 b a Наложив палетку на прямоугольник, дети легко находят его площадь. Для этого они подсчитывают число квадратных сантиметров в одном ряду, потом считают число рядов и перемножают полученные числа: а · b (см 2). Измерив линейкой длину и ширину прямоугольника, учащиеся замечают или учитель обращает их внимание на то, что число прямоугольников, которые укладываются по длине, равно числовому значению длины прямоугольника (а см), а число строк совпадает с числовым значением ширины (b см). После того как учащиеся убедятся в этом экспериментально на нескольких прямоугольниках, учитель может познакомить их с правилом вычисления площади прямоугольника: чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно знать его длину и ширину и перемножить эти величины. Впоследствии правило формулируется более кратко: площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. При этом длина и ширина должны быть выражены в единицах одного наименования. Полезно познакомить детей с правилами пользования палеткой при измерении площади произвольной фигуры. Подсчитывается число полных квадратных сантиметров (пусть оно равно а). Затем подсчитывается число неполных квадратных сантиметров (пусть оно будет равно b) и делится на 2 (b/2). Площадь фигуры приблизительно равна а + b/2 (см 2). 116 Одновременно с понятием «площадь прямоугольника» следует рассмотреть понятие «периметр прямоугольника». Как показала практика, в этом случае ученики делают меньше ошибок при записи наименований в полученных результатах. После введения определения понятия периметра прямоугольника дети самостоятельно «открывают» возможные способы его вычисления. Если возникнут затруднения, можно воспользоваться таким заданием. Чему равен периметр прямоугольника? Маша ответила на вопрос так: 8 + 8 + 2 + 2 = 20 (см). Миша — так: 8 · 2 + 2 · 2 = 20 (см). Объясни, как рассуждали Маша и Миша. Возможен и третий способ вычисления: (8 + 2) · 2 = 20 (см). При знакомстве учащихся с периметром прямоугольника можно ввести термин «половина периметра», или «полупериметр» (сумма длины и ширины). При решении задач на вычисление площади и периметра прямоугольника советуем ввести обозначения площади (S) и периметра (P), но не стоит вводить формулы S = a · b; P = (a + b) · 2, так как понятие «формула» детям пока неизвестно. Для усвоения структуры двузначных чисел можно использовать модели единиц длины: 1 дм и 1 см (1 дм = 10 см, 1 дес. = 10 ед.). А для усвоения структуры трехзначного числа — модели 1 м, 1 дм, 1 см. Это позволит учителю наглядно интерпретировать отношения между разрядными единицами, десятками, сотнями, а детям — легче усвоить отношения между единицами величин. Задание 3.13. Подберите или составьте задания, связанные с переводом величин из одних единиц в другие. Приведите рассуждения учащихся при выполнении этих заданий. Задание 3.14. Подберите или составьте сами задания, которые можно предложить учащимся с целью формирования у них представлений: 117 а) о площади фигур; б) способах сравнения площадей фигур; в) единицах площади. Задание 3.15. Подберите или составьте задания, в процессе выполнения которых у учащихся вырабатываются умения вычислять площадь и периметр прямоугольника. Таким образом, формирование у младших школьников представлений о величинах распределено во времени и тесно связано с изучением различных вопросов курса математики начальных классов. На протяжении четырех лет обучения математике дети знакомятся с различными единицами величин: • длины — 1 см, 1 дм, 1 м, 1 км, 1 мм; • массы — 1 кг, 1 г, 1 т, 1 ц; • площади — 1 см 2, 1 дм 2, 1 м 2, 1 км 2, 1 ар, 1 га; • времени — 1 с, 1 мин, 1 ч, 1 сут., 1 неделя, 1 год, 1 век; • объема — 1 л (1 дм 3), а также соотношениями между ними, складывают и вычитают однородные величины, выраженные в единицах одного или двух наименований, умножают и делят величины на число. Действия с величинами, выраженными единицами одного наименования, обычно не вызывают у школьников затруднений, так как они сводятся к выполнению действий с числовыми значениями величин. Но некоторые учащиеся все же испытывают трудности при переводе однородных величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие, а также при выполнении действий с однородными величинами, выраженными в единицах различных наименований. Эти трудности обусловливаются разными причинами: а) недостаточной работой по формированию представлений о той или иной величине; б) недостатком практических упражнений, целью которых является измерение величин; в) формальным введением единиц величин и соотношений между ними (см. этапы формирования представлений о величинах); г) однообразием упражнений, связанных с переводом однородных величин одних наименований в другие. Задание 3.16. Как вы понимаете выражение «формальное введение единиц величин»? В 4 классе знания о величинах целесообразно обобщить в теме «Действия с величинами». 118 Одной из задач этой темы является формирование умения переводить однородные величины, выраженные в единицах одних наименований, в другие единицы. Для этого, прежде всего, необходимо, чтобы учащиеся знали, какими единицами нужно пользоваться при измерении каждой величины. С этой целью им предлагаются такие задания. • На какие группы можно разбить единицы величин: а) 1 ч, 1 т, 1 мин, 1 с, 1 ц, 1 кг; б) 1 м 2, 1 дм, 1 км, 1 см 2, 1 мм, 1 т, 1 кг? • Какая величина «лишняя» в каждой строке: а) 3080 см, 5407 км, 6027 дм, 4078 кг, 18 009 м; б) 120 см, 12 дм, 1 м 2 дм, 1 м 20 см, 1 м 2 см? Выполняя второе задание в строке а), ученики соотносят единицы измерения с определенной величиной и называют в качестве «лишней» — 4078 кг (масса). После удаления этой величины в ряду останутся только длины. При определении «лишней» величины в строке б) следует искать другой признак — числовое значение величин. Для этого нужно все величины выразить в единицах одного наименования: 12 дм = 120 см; 1 м 2 дм = 12 дм = 120 см; 1 м 20 см = 120 см; 1 м 2 см = 102 см. Усвоению соотношения единиц величин способствуют и такие задания. • Запиши величины в порядке возрастания: 5085 дм, 5085 см, 5085 км, 5085 м. • По какому правилу записаны величины в каждом столбце: 1) 74 м 2) 8 т 740 дм 80 ц 7400 см 8000 кг 74000 мм 8000000 г? Составь по этому правилу столбцы для величин: 9 км, 1 сут., 6 м 2. • По какому правилу составлена первая строка таблицы? Пользуясь этим правилом, впиши пропущенные числовые значения величин. 7 кг 70 кг 7ц 7т 70 т 4 мм 4 см ... дм ... м ... м ... г 5 кг ... кг ... ц ... т ... мм ... см ... дм 900 м 9 км 119 Упражнения на сложение и вычитание величин можно предложить в разных формулировках. • Найди закономерность и продолжи каждый ряд: а) 93 см, 8 дм 6 см, 79 см, 7 дм 2 см, 65 см, …; б) 2 м 8 дм, 3 м 6 дм, 4 м 4 дм, 5 м 2 дм, … • Дополни каждую величину до 3 км: 1781 м; 2503 м; 2073 м; 2909 м. • Вставь пропущенные числа и запиши верные равенства: 7 дм 2 см + 4 см = см; 7 т 2 ц + 4 ц = ц; 18 мин – 15 с = мин с. Важно, чтобы учащиеся понимали: складывать, вычитать и сравнивать можно только однородные величины. Выбери величины, которые можно сложить: 3084 м + 285 дм 813 м 2 + 545 дм 2 840 м – 120 м 2 703 дм + 102 ц Не менее важно, чтобы учащиеся могли осознанно использовать различные единицы величин для практических измерений. Какими единицами пользовались при измерении? Заполни пропуски: • расстояние между городами — 1260 ; • высота полета самолета — 10 400 ; • масса курицы — 6 ; • высота дома — 33 ; • ширина стола — 2 ; • рост человека — 185 . Задание 3.17. Подберите или составьте сами различные задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают соотношения между единицами массы (времени) и учатся складывать эти величины. 3.10. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЯ УМНОЖЕНИЯ Из курса математики вам известно, что если а и b — целые неотрицательные числа, то: а) а · b = а + а + а + … + а, при b > 1; b слагаемых 120 б) а · b = а, при b = 1; в) а · b = 0, при b = 0. В основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения лежит теоретико-множественная трактовка этого определения. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет при усвоении нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия полезно придумать (подготовить) реальные ситуации. Например: требуется посчитать количество кафельных плиток для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника, разбитого на квадраты. Посчитав квадраты в одном ряду и убедившись в том, что их количество во всех рядах одинаково, ученики записывают сумму одних и тех же слагаемых. Другой пример: учащимся предлагается схематичный рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты). Нужно посчитать, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11 + 11 + 11 + 11). Затем можно ввести запись 11 · 4 = 44. В результате сопоставления двух записей выясняется, что обозначают во втором равенстве первый множитель (какие слагаемые складываются) и второй множитель (сколько таких слагаемых). Это помогает детям лучше усвоить чтение выражений вида: 11 · 4, 7 · 6, 28 · 4, 57 · 3 (57 взять 3 раза, 57 повторить 3 раза, 57 умножить на 3). Возможен и другой подход к разъяснению смысла умножения, когда детям дается такое задание. • По каким признакам можно разбить выражения каждого столбца на две группы? 9+9+9+9+9 12 + 12 + 12 + 12 5+5+9+5+8 34 + 34 + 34 + 34 7+7+7+7+7+7 28 + 28 + 28 8+7+5+8+8+8 32 + 32 + 32 121 8+8+8+8+8 6+6+6+3+3 18 + 18 + 28 + 27 24 + 24 + 24 + 21 В качестве оснований для разбиения учащиеся могут выбрать: а) количество слагаемых; б) одинаковые или неодинаковые слагаемые. Затем дети самостоятельно выписывают все суммы с одинаковыми слагаемыми: 9+9+9+9+9 7+7+7+7+7+7 8 + 8 + 8 + 8 + 8 и т.д. Учитель сообщает, что сложение одинаковых слагаемых в математике называют умножением. И показывает запись, которую используют в математике для сложения одинаковых слагаемых. Например: 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 9 · 5; 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 7 · 6. — Как вы думаете, что обозначают в записях справа первое и второе числа? — выясняет учитель. Ответ на вопрос требует выполнения действий анализа и синтеза, сравнения и обобщения. (Первое число показывает, какие слагаемые складывают, второе — сколько таких слагаемых.) Для усвоения смысла умножения предлагаются различные виды заданий, при выполнении которых необходимо выполнять действия сравнения, выбора, преобразования и конструирования. 1. Задания на соотнесение рисунка и математической записи. Прочитай относящиеся к рисункам выражения. Что означают в каждом произведении первый и второй множители? 4·3 3·4 2·7 7·2 6·5 5·6 2. Задания на выбор рисунка, соответствующего данной записи. Выбери рисунок, который соответствует записи 2 · 6. 122 3. Задания на выбор записи, соответствующей данному рисунку. Выбери запись, соответствующую рисунку. а) 2 · 7; б) 2 · 5; в) 2 · 4; г) 2 · 6. 4. Задания на преобразование рисунка в соответствии с математической записью. Какие изменения нужно внести в данные рисунки, чтобы они соответствовали записи 2 · 6? а) б) в) 5. Задания на смысл умножения. • Не вычисляя значений произведений, поставь знаки > или <, чтобы получились верные неравенства: 1) 12 · 9 12 · 11; 2) 24 · 7 24 · 5. • Можно ли, не вычисляя значений выражений, ответить на вопрос: «На сколько в каждой паре значение первого произведения меньше значения второго произведения?» 6·4 5·3 7·8 6·3 7·2 6·5 5·4 7·9 6·5 7·4 • Не выполняя вычислений, найди в каждом столбце «лишнее» выражение: 9·5 8·4 7·4 9·6–6 8·5–4 7·3+3 9·4+9 8·3+8 7·3+7 9·6–9 8·5–8 7·5–7 123 6. Задания на замену произведения суммой и суммы — произведением. • Замени там, где можно, сложение умножением и запиши, чему равно значение каждого выражения. 13 + 31 + 9 3+3+3+3+3+4 1+1+1+1+1 4+4+4+4+4 0+0+0+0+0 19 + 19 + 119 • Запиши каждое произведение в виде суммы одинаковых слагаемых. (19 – 3) · 4 = + + + (56 – 8) · 6 = + + + + + 7. Задания на классификацию. Найди «лишнее» выражение: 104 + 104 + 104 + 104; 208 + 208 + 208 + 208; 306 + 306 + 306; 120 + 120 + 120 + 120. 8. Задания на сравнение двух произведений, значение одного из которых известно. Вычисли значения произведений в каждом столбце, пользуясь данным равенством. 9 · 5 = 45 8 · 7 = 56 7 · 6 = 42 9·4 8·6 7·5 9·6 8·8 7·7 Задание 3.18. Ориентируясь на виды приведенных заданий, составьте сами различные учебные задания, в процессе выполнения которых учащиеся будут усваивать смысл умножения. При изучении данной темы необходимо рассмотреть случаи умножения на нуль и на единицу. Для этой цели можно воспользоваться таким заданием. Вычисли значения произведений, заменив умножение сложением. Догадайся, почему некоторые выражения записаны в рамках: 124 8·2 5·3 12 · 1 7·4 6·1 13 · 4 8·0 9·3 15 · 0 Важно, чтобы при выполнении данного задания все дети поняли, что умножение на 0 и 1 нельзя заменить сложением. Эти случаи нужно запомнить, так как математики договорились, что при умножении любого числа на 1 мы получаем это же число. При умножении любого числа на нуль мы получаем нуль. Большинство детей в классе, высказывая догадки относительно того, почему некоторые выражения выделены в рамке, только отмечают как факт, что в этих выражениях умножают на 0 и на 1, но некоторые способны, сославшись на определение умножения, высказать суждение о том, что в этих случаях мы не можем умножение заменить сложением. Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Поэтому надо разъяснить ребятам, что запись 2 · 5 можно прочитать по-разному: «2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5» и «2 увеличить в 5 раз». Понятие «увеличить в…» целесообразно ввести сразу после знакомства со смыслом умножения, предложив задание, с которым учащиеся смогут справиться самостоятельно. Сравни рисунки. Что изменилось слева направо? Что обозначают записанные выражения? 3+9 3·4 Одновременное использование в одном задании понятий «увеличить на…» и «увеличить в…» позволит ученикам дифференцировать их и допускать меньше ошибок, применяя эти понятия к решению различных задач. В основе выполнения задания лежит способ соотнесения рисунка и математической записи. Выражение 3 + 9 обозначает те круги, которые нарисованы справа. Учащиеся обычно так комментируют это выражение: «Слева нарисовано 3 круга, а справа — 3 и еще 9, значит, справа нарисовано 3 + 9 кругов». Таким образом, с записью 3 + 9 соотносятся высказывания: «Справа на 9 кругов больше, чем слева»; «Число кругов увеличилось слева направо на 9». Выражение 3 · 4 также обозначает круги, которые нарисованы справа. В этом случае комментарии детей выглядят так: «Слева — 3 круга, а справа 3 круга повторяются 4 раза, значит, справа нарисовано 3 · 4 кругов». 125 Естественно, возникает вопрос, как увеличивается число 3, если его повторять слагаемым 4 раза. «В этом случае говорят, что 3 увеличили в 4 раза», — сообщает учитель. После этого предлагаются различные задания на соотнесение рисунка и математической записи (выражения); на запись и на выбор выражений, соответствующих паре рисунков. • Объясни, что обозначают записанные выражения, и по-разному прочитай их. 4 + 12 4·4 2 + 10 2·6 • Какими числовыми выражениями можно записать изменения слева направо? • Выполни рисунок: а) в одном ряду — 2 треугольника, а в другом ряду — на 5 треугольников больше; запиши выражением, сколько треугольников во втором ряду; б) в одном ряду — 2 треугольника, а в другом — в 5 раз больше; запиши выражением, сколько треугольников во втором ряду. • Выбери выражения, которые соответствуют каждой паре рисунков: 126 6·3 4·7 7+4 3+8 3·4 3+8 6 + 12 4 + 24 Предметные совокупности можно заменить схемами. Для этой цели используются отрезки. • Начерти отрезок, длина которого в 4 раза больше данного. • Выбери отрезок, длина которого в 6 раз больше отрезка АK. А 1) 2) А А К F М 3) А О Задание 3.19. Подберите или составьте задания, которые вы предложили бы учащимся при изучении понятия «увеличить в…». 3.11. СВОЙСТВА УМНОЖЕНИЯ Переместительное свойство умножения В начальном курсе математики нашли отражение все свойства умножения: коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное. Коммутативность умножения представлена в начальных классах как переместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. При знакомстве с этим свойством умножения учащиеся выполняют задания на соотнесение рисунка с математической записью и на сравнение числовых выражений, в которых переставлены множители. Усвоение формулировки переместительного свойства умножения обычно не вызывает затруднений, хотя многие дети ошибаются, называя множители слагаемыми, а произведение — суммой. Эти ошибки могут возникнуть по разным причинам. Во-первых, сам учитель редко использует в своей речи математическую терминологию, во-вторых, ученики больше нацелены на заучивание таблицы, нежели на усвоение смысла умножения, в-третьих, вербальная формулировка переместительного свойства умножения не соотносилась с предметными моделями, иллюстрирующими это свойство. Следствием формального подхода к изучению данного свойства является и то, что многие учащиеся путают значения первого и вто127 рого множителей в записи произведения. Чтобы предупредить эту ошибку, полезно предлагать задания на выполнение рисунков, соответствующих той или иной конкретной ситуации. Например: «На каждую тарелку положили по 2 яблока. Покажи, сколько яблок на шести тарелках». Большинство детей выполнят такой рисунок: и запишут 2 · 6 = 12. Стоит сразу же выяснить, можно ли к данному рисунку сделать такую запись: 6 · 2 = 12. При обсуждении предлагается заменить произведение суммой и найти результат. Выясняется, что означают в этом случае числа 6, 2 и 12. Делается вывод, что выражение 6 · 2 к данной ситуации не подходит. Учитель предлагает иначе разложить яблоки на тарелки в соответствии с записью 6 · 2 = 12. Получается, что переместительное свойство умножения в любом случае справедливо только для выражений (3 · 4 = 4 · 3; 5 · 8 = 8 · 5), не имеющих предметного смысла. Если же речь идет о предметной ситуации, то необходимо учитывать, что обозначает каждое число в записи произведения. Выполнение таких упражнений оказывается полезным в дальнейшем при решении текстовых задач на умножение, в которых даны не отвлеченные числа, а числовые значения величин, поэтому при перестановке множителей произведение может не иметь смысла, соответствующего сюжету задачи. Рассмотрим, например, такую задачу: «От мотка проволоки длиной 82 м отрезали 4 куска по 8 м каждый. Сколько метров проволоки осталось в мотке?». Приведем два варианта записи решения: Первый вариант Второй вариант 1) 8 · 4 = 32 (м); 1) 4 · 8 = 32 (м); 2) 82 – 32 = 50 (м). 2) 82 – 32 = 50 (м). В практике начального обучения обычно второй вариант записи решения задачи считается ошибочным. Это объясняется тем, что, комментируя решение задачи, дети (да и сам учитель) говорят: «Я 8 метров умножу на 4, т.е. повторю 8 метров 4 раза». Если так же прочитать запись, которая дана справа: «Я 4 куска умножу на 8», — то, конечно, это не будет иметь смысла. Но если в записи решения наименования даны только в скобках, то обе записи первого действия можно считать верными, так как предметный смысл произведения находит отражение в том наименовании, которое записано в скобках, а умножение выполняется с числами. Однако эта условность воспринимается с трудом, и не столько учениками, сколько учителями начальных классов, 128 так как в курсе арифметики запись первого действия в первом варианте выполнялась так: 8 м · 4 = 32 м. Знание переместительного свойства умножения позволяет учащимся выполнять задания, в которых они используют и определение умножения, и его переместительное свойство. • Можно ли, не вычисляя значений выражений, вставить в «окошки» знаки <, >, =, чтобы получились верные записи: 9 + 9 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2; 7 + 7 2 + 2 + 2 + 2 + 2; 2 + 2 + 2 + 2 + 2 6 + 6. • Какие числа можно вставить в «окошки», чтобы получились верные записи? 9·8+>8·9+ 9·7>·9+9 • По какому правилу составлены равенства: 2 · 9 = 9 + 9; 3 · 9 = 9 + 9 + 9; 4 · 9 = 9 + 9 + 9 + 9? Пользуясь этим правилом, найди значения выражений. Задание 3.20. Подберите или составьте задания, которые вы могли бы предложить учащимся при изучении переместительного свойства умножения. Сочетательное свойство умножения С сочетательным свойством умножения учащихся целесообразно познакомить после изучения таблицы умножения. Для этой цели можно использовать как прием аналогии, так и соотнесение предметных и символических моделей. В первом случае следует вспомнить, какие свойства арифметических действий уже известны детям. Уместно будет предложить задания на сравнение числовых выражений, при выполнении которых школьникам предстоит пользоваться тем или иным свойством сложения. Верно ли утверждение, что значения выражений в данном столбце одинаковы? 875 + (78 + 284) (875 + 78) + 284 875 + (284 + 78) (875 + 284) + 78 129 Вполне возможно, что не все дети смогут сформулировать сочетательное и переместительное свойства сложения, но все обратят внимание на то, что в предложенных выражениях даны одинаковые числа, только по-разному расставлены скобки и переставлены слагаемые. А это значит, что школьники будут анализировать выражения, искать в них признаки сходства и различия, рассуждать и делать выводы. Имеет смысл предложить выражения, значения которых ученики вычислить не могут. В этом случае они будут вынуждены сделать вывод на основе рассуждений. Сравнивая, например, первое и второе выражения, они отмечают их сходство и различие, вспоминают сочетательное свойство сложения и делают вывод, что значения выражений будут одинаковыми. Третье выражение целесообразно сравнить с первым и, используя переместительное свойство сложения, сделать вывод. Четвертое выражение сравнивается со вторым. — А кто догадается, как записать сочетательное свойство умножения? — спрашивает учитель. (Дети могут самостоятельно придумать различные выражения, чтобы высказать то или иное предположение.) Например: (2 · 3) · 4 и 2 · (3 · 4). При знакомстве с сочетательным свойством умножения можно также использовать соотнесение предметных и символических моделей. Для этого учитель предлагает ученикам задание. Найди на рисунке число таких квадратов . Учащиеся предлагают различные способы действий. Записав каждый способ в виде выражений: (6 · 4) · 2 и 6 · (4 · 2), учитель просит детей объяснить, как они действовали в каждом случае, и найти значение каждого выражения. В результате обсуждения ученики записывают равенство (6 · 4) · 2 = 6 · (4 · 2) и знакомятся с формулировкой сочетательного свойства умножения: «Чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел». 130 Сочетательное свойство умножения можно использовать, вычисляя значения произведений однозначных чисел на «круглые» десятки: 4 · 90 = 4 · (9 · 10) = (4 · 9) · 10 = 36 · 10 = 360. Задание 3.21. Подумайте, можно ли сразу после изучения переместительного свойства умножения познакомить учащихся с сочетательным свойством умножения и использовать его при составлении таблиц умножения. Распределительное свойство умножения При изучении распределительного свойства умножения также целесообразно использовать прием соотнесения предметных и символических моделей, что создает условия для анализа, сравнения, обобщения и понимания детьми формулировки данного свойства. • Объясни, что обозначают выражения, записанные под каждым рисунком. Чем они похожи? Чем отличаются? Вычисли их значения. а) б) 5·3+2·3 (5 + 2) · 3 (6 + 3) · 4 6·4+3·4 • Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи: (14 + 8) · 3 14 · 3 + 8 · 3; (27 + 8) · 6 27 · 6 + 8; (36 + 4) · 18 40 · 18. Для усвоения распределительного свойства умножения полезно выполнить следующие задания. • Сколько всего квадратов в красном и синем прямоугольниках? —к —с Маша ответила на вопрос так: 6 · 4 + 3 · 4 = 36 (кв.). 131 Миша — так: (6 + 3) · 4 = 36 (кв.). Как рассуждали Маша и Миша? Кто из них прав? • Вставь пропущенные числа, чтобы равенства были верными: а) (8 + …) · 3 = + 4 · 3 б) ( + ) · 5 = 35 + 45 (6 + ) · 7 = 6 · 7 + 49 ( + ) · = 63 + 72 (5 + ) · = 5 · 8 + 32 (6 + 9) · = 36 + • Запиши пропущенные числа и цифры, чтобы равенства были верными: а) (7 + 6) · = 3 + 3 б) ( + ) · 4 = 3 + 2 (8 + ) · = 6 + 2 ( + ) · = 42 + 6 Знакомство школьников с распределительным свойством умножения позволяет им самостоятельно «открыть» рациональный вычислительный прием устного умножения двузначного числа на однозначное, проверить результаты вычислений, используя различные способы, а также научиться решать текстовые задачи различными способами. 3.12. СМЫСЛ ДЕЙСТВИЯ ДЕЛЕНИЯ Основой формирования у младших школьников представлений о смысле деления является теоретико-множественный подход к трактовке частного, суть которого сводится к разбиению конечных множеств на равночисленные подмножества, не имеющие общих элементов. Выбор этого подхода обусловлен тем, что он позволяет опираться на жизненный опыт детей при введении новой терминологии и математической записи. Действительно, большинство учащихся легко справляются с таким практическим заданием: «Раздай 10 яблок по 2 каждой девочке». Наглядное изображение выполняемых действий помогает ребенку осознать их математический смысл. Он сводится к разбиению конечного множества яблок на равночисленные подмножества (по 2 яблока). В результате получаем число частей в этом разбиении. На языке, доступном младшему школьнику, это означает, что он разделил все яблоки на части, по 2 яблока в каждой, т.е. узнал, «сколько раз по 2 содержится в 10». Выполненные действия в математике принято записывать так: 10 : 2 = 5 (десять разделить на 2 — получится 5). 132 Доступно детям и такое задание: «Раздай 10 яблок поровну двум девочкам». В данной ситуации учащиеся могут действовать по-разному: • одни будут брать по одному яблоку и раздавать их девочкам по очереди (сначала одной девочке, потом другой), пока не раздадут все; • другие могут сразу взять два яблока, так как девочек две, и разделить между ними эти яблоки, затем так же поступить со второй парой яблок, с третьей и т.д., пока не раздадут все яблоки. В результате выполнения описанных действий множество всех яблок будет разделено на две равные части, численность каждой из которых равна пяти. Процесс деления на равные части довольно трудно изобразить на рисунке, но когда деление выполнено практически и определена численность каждой части, рисунок можно использовать для осознания учащимися результата выполненного предметного действия: Таким образом, число 5 может обозначать число частей, на которые разделили 10 яблок (при этом делили поровну, по 2 яблока в каждой части). Этот случай деления в методике математики стали называть «делением по содержанию». Но число 5 может обозначать и количество яблок в каждой части (при этом делили опять же поровну, но на 2 равные части). Этот случай стали называть в методике начальной математики делением на равные части. В практике начального обучения традиционно принято сначала рассматривать ситуации, связанные только с первым случаем деления, а затем со вторым. Некоторые учителя вводят даже термины «деление по содержанию» и «деление на равные части», требуя от школьников узнавания каждого случая деления и воспроизведения его названия. При этом, когда выполняется деление «по содержанию», нужно говорить, что «10 (десять) разделили по два», а когда выполнено «деление на части», то «10 (десять) разделили на два». Однако в математике числовые равенства (10 : 2 = 5; 8 : 4 = 2) принято читать так: «10 разделить на 2; 8 разделить на 4», — независимо от тех конкретных ситуаций, которые им соответствуют. Термин «разделить по…» употребляется лишь в том случае, когда речь идет о конкретных предметах, что связано с особенностями русского языка. Например, по-русски не говорят: «10 яблок разделить на 2 яблока», — а говорят так: «10 яблок разделить по 2 яблока». При чтении же числового равенства мы не называем предметы, по133 этому можно сказать: «10 разделить на 2 — получим 5». Отсюда следует, что термины «деление по содержанию» и «деление на равные части» вводить не нужно, так как числовые равенства вида 10 : 2 = 5 могут соответствовать предметной ситуации, связанной как с «делением по содержанию», так и с «делением на равные части». Рассмотрим, как можно организовать деятельность учащихся при знакомстве их со смыслом деления. Для постановки учебной задачи учитель сначала выясняет, какие представления имеются у детей о делении. Эту работу можно организовать, задав классу вопрос: «Что вам известно о делении?» (Ученики приводят примеры житейских ситуаций, некоторые знают, каким знаком обозначаетсяв математике действие деление (две точки) и т.д.) После этого учитель призывает всех ребят внимательно наблюдать за его действиями, чтобы потом суметь рассказать о том, что он делал. В руках у педагога — 12 конфет (макеты). Он выкладывает их на доске в таком виде: 1) 2) Выясняет, чем похожи и чем отличаются данные картинки. Школьники называют различные признаки. На одной картинке — 12 конфет, на другой — тоже 12. На первой картинке в каждой части число конфет одинаково, на второй картинке тоже. Конфеты разделили поровну и т.д. Если никто не сможет в обобщенном виде указать существенный признак сходства (одинаковое количество конфет в каждой части), то следует адресовать этот же вопрос к такой паре картинок: 3) 4) Дети сразу замечают, что на одной паре картинок в каждой части одинаковое количество конфет, а на другой — разное. Это позволяет им самостоятельно выполнить рисунки других способов деления 12 конфет на равные части: 134 5) 6) 7) Последующая работа сводится либо к объяснению выражений и равенств, записанных под каждым рисунком, либо к выбору выражений, соответствующих каждому рисунку. Например, к рис. 1 и 2 учитель выполняет запись 12 : 4 = 3, а ученики поясняют, что число 12 обозначает количество конфет на одном и на другом рисунках. Число 4 на рис. 1 обозначает количество конфет в каждой части, а на рис. 2 — количество равных частей, на которые разделили конфеты. Поэтому число 3 в одном случае обозначает количество частей, а в другом — количество конфет в каждой части. Такое комментирование требует содержательного анализа каждого рисунка, и в то же время оно доступно и понятно всем детям. Подобная работа является хорошей подготовкой к решению задач, где нужно будет вербальную модель переводить в символическую. Важно обратить внимание учеников на то, что деление конфет на рис. 4 нельзя записать на языке математики с помощью действия деления. Итак, основная задача учителя при знакомстве младших школьников со смыслом деления — организовать работу таким образом, чтобы учащиеся, опираясь на свой опыт, анализировали конкретные ситуации и выбирали соответствующие им математические записи. С этой целью предлагаются задания следующих видов. • Сравни рисунки в каждой паре и объясни, что обозначает каждое число в данных равенствах. 28 : 4 = 7 20 : 5 = 4 135 • Выбери рисунок, которому соответствуют выражения: а) 12 · 2; 24 : 12; 24 : 2; б) 4 · 5; 20 : 5; 20 : 4. 1) 2) 3) Найди значения выражений. Что обозначает каждое число в полученных равенствах? • Что обозначают выражения, записанные под каждой картинкой? Прочитай выражения по-разному. 1) 2) 4·3 12 : 3 12 : 4 3·6 18 : 6 18 : 3 • Выбери рисунок, которому соответствуют три выражения. Какие три равенства можно записать к другим рисункам? 7⋅3 21 : 3 21 : 7 1 2 3 4 В процессе выполнения приведенных выше заданий дети осознают связь действий умножения и деления, которая обобщается в виде правил, отражающих взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления. 136 Эти правила формулируются так. • Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель. • Если делитель умножить на значение частного, то получим делимое. • Если делимое разделить на значение частного, то получим делитель. Задание 3.22. Подберите или составьте различные учебные задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают правила взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления. Формирование представлений о смысле деления связано с введением понятия «уменьшить в несколько раз» («меньше в…»). Для знакомства учеников с этим понятием можно предложить такое задание. • Сравни рисунки. Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево? Что обозначают записанные выражения? 3+9 12 – 9 3·4 12 : 4 Ориентируясь на известные понятия «увеличить на…» и «увеличить в…», которые относятся к выражениям 3 + 9 и 3 · 4, учащиеся высказывают предположение о том, что выражение 12 : 4 связано с понятием «уменьшить в…». Обоснованием этого предположения является анализ рисунка. (Слева — 3 круга, справа 3 круга повторяются 4 раза. Это означает, что количество кругов увеличили в 4 раза. Справа — 12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим кругов в 4 раза меньше.) Для усвоения понятия «уменьшить в…» предлагаются следующие задания. • Запиши к каждой паре рисунков соответствующие выражения. 1) 2) 137 3) 4) • Что ты можешь сказать о длине отрезков в каждой паре? 1) 2) А М А М В К В К Пользуясь циркулем и линейкой, дети отвечают на поставленный вопрос, используя понятия «больше в…», «меньше в…», «больше на…», «меньше на…». • Выбери фигуру, площадь которой в 2 раза меньше площади квадрата. 1 2 3 Овладев понятиями «увеличить в…» («больше в…»), «уменьшить в…» («меньше в…»), дети получают возможность познакомиться с кратным сравнением: «Во сколько раз меньше? Во сколько раз больше?». Для осознания предметного смысла кратного сравнения можно использовать представления детей о площади фигуры и ее измерении с помощью мерок, предложив классу задание. Верно ли утверждение, что площадь прямоугольника в 6 раз больше площади квадрата, а площадь квадрата в 6 раз меньше площади прямоугольника? Как это проверить? 138 При этом желательно, чтобы у каждого ученика были модели фигур, которые даны на рисунке. Дети накладывают квадрат на прямоугольник и определяют, сколько квадратов в нем уложилось. Затем самостоятельно выясняют, сколько клеток: • в прямоугольнике (54); • квадрате (9). Учитель уточняет: • «Чему равна площадь прямоугольника?» (54 клетки); • «Чему равна площадь квадрата?» (9 клеток). Так, размещая должным образом квадрат в прямоугольнике, мы выясняем, сколько раз площадь квадрата укладывается в площади прямоугольника, или сколько раз 9 клеток укладываются в 54 клетках. Данный вывод записывается на языке математики в виде равенства 54 : 9 = 6 (раз). Для усвоения понятия кратного сравнения учащиеся выполняют различные задания. • Сравни рисунки. Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево? Объясни, что обозначают равенства, записанные под рисунками. 3 · 6 = 18 18 : 6 = 3 18 : 3 = 6 • Во сколько раз площадь фигуры слева больше площади фигуры справа? Запиши ответ числовым равенством. 1) 2) 3) • Какой меркой измеряли площадь прямоугольника, если она равна: 7 · 3 (м.) 7 · 6 (м.) 7 · 12 (м.) 139 к с ж Во сколько раз: а) мерка желтого цвета больше мерки синего цвета; б) мерка желтого цвета больше мерки красного цвета; в) мерка красного цвета меньше мерки синего цвета? 3.13. ДЕЛЕНИЕ СУММЫ НА ЧИСЛО Изучая тему «Делимость целых неотрицательных чисел» в курсе математики, вы доказывали две теоремы. 1. Если каждое слагаемое делится на натуральное число n, то их сумма делится на это число. 2. Если в сумме одно слагаемое не делится на данное число m, а все остальные слагаемые делятся на число m, то сумма на число m не делится. В начальном курсе математики теоремы о делимости суммы представлены в виде свойства «деление суммы на число». Пользуясь этим свойством, можно делимое записать в виде суммы двух чисел, каждое из которых делится на данное число; разделить на это число сначала первое слагаемое, затем второе и полученные результаты сложить. Учащиеся могут самостоятельно «открыть» новый способ действия при выполнении такого задания. • По какому правилу записаны выражения в каждом столбце? Вычисли их значения: а) 54 : 9 б) 63 : 7 в) 42 : 7 (36 + 18) : 9 (49 + 14) : 7 (21 + 21) : 7 36 : 9 + 18 : 9 49 : 7 + 14 : 7 21 : 7 + 21 : 7 Анализируя выражения каждого столбца, дети обнаруживают, что сначала дано частное двух чисел. Его значение легко найти, пользуясь таблицей умножения. Затем дано выражение, где делимое представлено в виде суммы двух слагаемых. Поэтому значения первого и второго выражений во всех столбцах одинаковы. В третьем выражении каждого столбца учащиеся замечают, что каждое слагаемое суммы, записанной в скобках во втором выра140 жении, делят на то же число. Пользуясь правилом порядка выполнения действий, школьники находят значение третьего выражения. Оно такое же, как значения первого и второго выражений. По аналогии дети составляют такие же столбцы выражений для частных 36 : 4; 48 : 4; 27 : 3; 45 : 9. Остается только описать выполняемый способ действий. (Если представить делимое в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число, то можно на это число разделить сначала первое слагаемое, затем второе и результаты сложить.) Для усвоения нового способа действия выполняются различные задания. Так как выражения, используемые в заданиях, включают только табличные случаи деления, дети не испытывают затруднений в вычислении их значений. • Представь числа 81, 72, 45 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 9. Запиши выражения и вычисли их значения. • Чем похожи выражения в каждой паре? Чем различаются? а) (24 + 48) : 8 б) (42 + 14) : 7 в) (35 + 30) : 5 (22 + 50) : 8 (40 + 16) : 7 (33 + 32) : 5 Для выполнения данного задания ученики выполняют действия анализа и синтеза, сравнения, обобщения. Они отмечают, что первое выражение в каждой паре составлено так, что каждое слагаемое в скобках делится на данное число, а во втором выражении ни одно из слагаемых в скобках не делится на данное число. Однако сумма чисел в скобках каждого выражения на данное число делится. Обобщая свои наблюдения, ученики делают вывод, что каждое слагаемое может не делиться на данное число, а сумма разделится. В этом случае для вычисления результата следует воспользоваться правилом порядка выполнения действий, т.е. сначала найти значение суммы в скобках, а потом выполнить деление. • Какие из чисел 36, 48, 52, 6, 24, 38, 56, 54, 28 можно записать в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 6? • Вставь пропущенные числа, чтобы получились верные равенства: а) (30 + ) : 3 = 30 : 3 + : 3; б) ( + ) : 5 = : 5 + : 5; в) (32 + 16) : = 32 : + 16 : . Задание 3.23. Подберите или придумайте задания, которые вы можете предложить учащимся при изучении свойства деления суммы на число. 141 3.14. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ДЕЙСТВИЙ В ВЫРАЖЕНИЯХ Основная цель изучения данной темы — знакомство учащихся с правилами порядка выполнения действий в выражениях и формирование у школьников умения пользоваться ими. В начальных классах эти правила обычно формулируются в таком виде. Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или только умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны: слева направо. Правило 2. В выражениях без скобок сначала слева направо выполняются по порядку умножение или деление, а потом сложение или вычитание. Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значение выражений в скобках. Затем слева направо по порядку выполняются умножение или деление, а потом — сложение или вычитание. Анализ приведенных правил позволяет выделить те основные признаки выражений, на которые учащиеся будут ориентироваться при вычислении их значений. А именно: выражения без скобок и со скобками; содержащие только сложение и вычитание или умножение и деление; выражения, обладающие признаками: наличие скобок и все четыре арифметических действия. Приступая к изучению данной темы, следует иметь в виду, что уже до знакомства с правилами порядка выполнения действий учащиеся вычисляли значения выражений, содержащих либо только сложение и вычитание, либо только умножение и деление, т.е. действовали в соответствии с правилом 1. Кроме того, они знакомы с тем, что действие, записанное в скобках, выполняется первым. Необходимость введения этого правила возникла при изучении сочетательного свойства сложения, а затем оно использовалось при изучении сочетательного и распределительного свойств умножения и при делении суммы на число. Однако дети воспринимали это правило скорее как один из способов вычисления определенных выражений, нежели как общий способ действий. Для подготовки учащихся к восприятию правил порядка выполнения действий в выражениях как общего способа действий нужно, прежде всего, акцентировать внимание детей на необходимости анализа различных числовых выражений с точки зрения тех признаков, на которые сориентировано каждое правило. 142 Для этого до знакомства с правилами целесообразно выполнить такие задания. • Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи первые выражения в каждой паре? 72 – 9 – 3 + 6 48 – 6 + 7 + 8 27 – 3 + 2 – 7 72 : 9 · 3 : 6 48 : 6 · 7 : 8 27 : 3 · 2 : 6 • Чем отличаются друг от друга выражения в каждом столбце? 56 – (8 + 9) – 7 72 : 9 · 3 : 6 : 2 56 – 8 – 9 – 7 + 24 72 : 9 · 3 : (6 : 2) · 7 56 – 8 – 9 – (7 + 24) 72 : 9 · 3 : 6 : 2 · 7 Анализ и сравнение предложенных пар выражений акцентируют внимание учащихся на количестве арифметических действий, которые даны в каждом выражении, на числах, с которыми эти действия выполняются, и подготавливает школьников к пониманию смысла каждого правила. Дальнейшая работа направлена на формирование умения соотносить данное выражение с определенным правилом, которым следует руководствоваться при вычислении его значения. В этом случае целесообразно по отношению к приведенным выше выражениям выполнить следующее задание. • Выпиши выражения, при нахождении значения которых ты будешь пользоваться: а) правилом 1; б) правилом 2; в) правилом 3. С этой же целью можно предложить и такие задания. • По какому признаку записаны выражения в каждом столбце? 29 – 8 + 24 72 : 9 · 3 84 – 9 · 8 32 + 9 – 7 + 14 48 : 6 · 7 : 8 54 + 6 · 3 – 72 64 – 7 + 16 – 8 27 : 3 · 2 : 6 · 9 8 + 7 · 8 + 63 : 9 Расставь порядок выполнения действий и вычисли значения выражений. • Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства? 24 + 4 · 3 = + 24 36 : 6 – = – 5 72 – 5 · 3 = 8 · 9 – (4 + 2) · 7 = 6 · 2 + (40 – 4) : 9 = + 4 : (9 – 3) · = 48 : · 7 143 При выполнении данного задания учащиеся не только применяют правила порядка выполнения действий, но и упражняются в вычислениях. Следует иметь в виду, что при вычислении значений выражений некоторые учащиеся, правильно расставив порядок выполнения действий, допускают ошибки, связанные с выбором чисел, с которыми эти действия нужно произвести. Например, в выражении 42 – 21 : 3 + 8 ученик, правильно расставляет порядок действий, но далее записывает: 1) 21 : 3 = 7; 2) 42 – 21 = 21; 3) 3 + 8 = 11. Для предупреждения этой ошибки полезно использовать такой методический прием. Выражения (карточки с числами и знаками действий) выкладываются на магнитной доске. 42 – 21 : 3 + 8 После того как дети расставят в выражении порядок действий и выполнят первое действие, полученный результат сразу вставляется в выражение. 42 – 7 + 8 Аналогично следует поступить после второго действия. 35 + 8 Полезно использовать и такой прием: 1) 42 – 21 : 3 + 8 7 35 2) 64 : 8 + 9 · 5 8 45 53 43 В процессе усвоения правил порядка выполнения действий в выражениях учащиеся совершенствуют вычислительные умения и навыки, а также повторяют ранее изученный материал. Для этой цели можно предлагать не только упражнения на вычисление значений выражений, но и задания с различными способами решений, требующие выполнения рассуждений. • Вставь пропущенные знаки действий, чтобы равенства были верными: 1) 7 · 4 8 2 = 32; 2) 7 + 4 8 – 2 = 37; 3) (7 – 4) 8 2 = 22; 4) 7 4 – 8 : 2 = 7. 144 • Какие числа можно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства? 1) – · + = 72 56 2) ( – ) · + = 100 9 65 54 72 100 • Найди значение выражения: 24 + 40 : 8 – 3 · 9. Поставь скобки в данном выражении так, чтобы его значение было равно 96. • Чем похожи выражения? Чем отличаются? 98 – (6 · 9 + 8 · 3) и 98 – 6 · 9 + 8 · 3 Объясни, какими правилами порядка выполнения действий ты будешь пользоваться при вычислении их значений. • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? 17 + (4 · 3) · 2 – 8 8 · (4 + 3) + 6 – 4 17 + 4 · (3 · 2) – 8 8 · 4 + (3 + 6) – 4 Задание 3.24. Из приведенных выше заданий выделите те, при выполнении которых учащиеся повторяют: а) взаимосвязь между компонентами и результатами действий; б) свойства умножения. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения которых повторение ранее изученных вопросов связано с усвоением правил порядка действий в выражениях. 3.15. ДЕЛЕНИЕ С ОСТАТКОМ Из курса математики вам известно, что «разделить с остатком целое неотрицательное число а на натуральное число b — значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, чтобы а = b · q + r и 0 ≤ r < b». Методика формирования понятия «деление с остатком» во многом зависит от ответа на вопрос: «С какой целью вводится данное понятие в начальный курс математики?». В числе этих целей можно назвать: а) расширение представлений учащихся о делении; б) усвоение существенного признака деления с остатком (остаток должен быть меньше делителя); 145 в) овладение способами деления с остатком (подбор делимого или подбор частного); г) совершенствование вычислительных навыков (табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления); д) использование данного понятия для выполнения письменных вычислений (алгоритма письменного деления). Все названные цели взаимосвязаны. Однако приоритетной является цель, названная последней. Во-первых, она включает в себя все предыдущие цели, во-вторых, определяет перспективу практического использования данного понятия, что позволяет в процессе его усвоения провести подготовительную работу к изучению алгоритма письменного деления. Ориентируясь на математическое определение деления с остатком, основную цель изучения данного понятия и особенности усвоения понятий младшими школьниками, выделим в методике изучения темы «Деление с остатком» следующие этапы. Этап 1. Постановка учебной задачи. Разъяснение предметного смысла деления с остатком. Знакомство с новой формой записи и с новыми терминами. Для постановки учебной задачи учитель опирается на знания детей о смысле действия деления и предлагает им задание. Объясни, что обозначают записи под каждым рисунком: 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 13 : 3 = 4 (ост. 1) 13 : 4 = 3 (ост. 1) 14 : 3 = 4 (ост. 2) 14 : 4 = 3 (ост. 2) Ученики самостоятельно комментируют записи, данные под верхним рисунком, используя знания о смысле деления. Рассматривая второй рисунок и пользуясь известным способом действия, они называют количество кругов в каждой части (3, 3, 3, 3) и обычно заканчивают свой ответ так: «А один круг остался». Поэтому комментирование записей под этим рисунком также не вызывает затруднений (первая запись означает, что 13 кругов делили на части по 3 круга в каждой, получили 4 равные части и один круг остался; 146 вторая запись означает, что 13 кругов разделили на 4 равные части, получили в каждой части по 3 круга и один круг остался). Аналогично комментируются записи под третьим рисунком. Для подведения учащихся к выводу о том, что остаток при делении должен быть меньше делителя, полезно обсудить следующие вопросы: а) «Можно ли к первому рисунку выполнить такую запись: 12 : 3 = 3 (ост. 3)?» (Нет, так как имеем 4 равные части, в каждой из которых по 3 круга.); б) «Можно ли ко второму рисунку сделать такую запись: 13 : 3 = 3 (ост. 4)?». Различные упражнения с предметными моделями помогают ученикам самостоятельно высказать предположение о том, что остаток должен быть меньше делителя, или сам учитель сообщает об этом, а дети проверяют справедливость данного утверждения на различных моделях. Этап 2. Усвоение смысла деления с остатком. Взаимосвязь различных форм записи деления с остатком. Средством организации деятельности учащихся на этом этапе являются учебные задания: • на выполнение рисунка по данной записи (лучше, если в этом случае учитель будет использовать как деление без остатка, так и деление с остатком); • выполнение записи по данным рисункам; • выбор рисунков, соответствующих данной записи; • выбор записи, соответствующей данному рисунку. Выполни рисунки, которые соответствуют записям: 3 · 2 + 1 = 7; 7 : 3 = 2 (ост. 1); 7 : 2 = 3 (ост. 1). Дети сначала рисуют круги, соответствующие первой записи: Затем, опираясь на сделанный рисунок, комментируют записи: 7 : 3 = 2 (ост. 1) – 7 кругов разделили на части, по 3 круга в каждой. Получили 2 части, и 1 круг остался; 7 : 2 = 3 (ост. 1) – 7 кругов разделили на 2 равные части, получили по 3 круга в каждой, и 1 круг остался. Аналогично нужно действовать и при выполнении такого задания. 147 Выбери рисунок, которому соответствуют все три записи. 3 · 4 + 2 = 14 14 : 3 = 4 (ост. 2) 14 : 4 = 3 (ост. 2) 1) 4) 2) 3) 5) 6) При выборе рисунка следует ориентироваться на запись 3 · 4 + 2 = = 14 (на рис. 6 три круга повторяются 4 раза и еще 2 круга). В процессе выполнения таких заданий учащиеся осознают взаимосвязь между делимым, делителем, неполным частным и остатком. Этап 3. Овладение способами деления с остатком. Возможны два способа деления с остатком. Один можно условно назвать подбором делимого, другой способ — подбором неполного частного. Используя способ подбора делимого, учащиеся рассуждают: «28 : 5. Делимое 28 не делится на 5. Самое большое число до 28, которое делится на 5, — это 25. Разделим 25 на 5 — получится 5. Вычтем из 28 число 25, получится остаток 3. 28 : 5 = 5 (ост. 3). Остаток 3 меньше, чем делитель 5». Успешное проведение таких рассуждений во многом зависит от сформированности табличных навыков умножения и соответствующих случаев деления, так как начать свой ответ с фразы «28 не делится на 5» ученик сможет в том случае, если быстро вспомнит нужный случай из таблицы умножения, что и является показателем прочных и автоматизированных вычислительных навыков. Но следует заметить, что ориентировка на данный способ действия при делении с остатком не нацеливает детей на осознание той взаимосвязи, которая существует между делимым, делителем, неполным частным и остатком. В результате многие не понимают, что для нахождения остатка нужно из делимого вычесть произведение неполного частного и делителя, а для того чтобы найти делимое, нужно неполное частное умножить на делитель и прибавить остаток. 148 Для усвоения этих взаимосвязей более эффективным является выполнение деления способом подбора частного. Ориентировка на него предполагает знание таблицы умножения, что более доступно большинству учащихся. Подбор частного требует применения операций, способствующих осознанию математического смысла деления с остатком. Например, при делении 57 : 6 ученик может начать свои действия с подбора частного. Он вспоминает таблицу умножения на 6: 6 · 8 = 48; 57 – 48 = 9; 9 > 6. Так как остаток не может быть больше делителя, то число 8 не подходит. Проверим число 9: 6 · 9 = 54; 57 – 54 = 3; 3 < 6. Остаток меньше делителя, следовательно, 57 : 6 = 9 (ост. 3). Целесообразно познакомить учащихся с обоими способами деления с остатком. Однако в качестве приоритетного следует всетаки ориентироваться на способ подбора частного, так как он позволяет детям осознать взаимосвязь делимого, делителя, неполного частного и остатка. Для этой цели полезно выполнить задания такого вида. • Какие действия нужно выполнить, чтобы найти остаток? 26 : 8 = 3 (ост. ) Выяснив последовательность действий для ответа на поставленный вопрос, можно приступить к выполнению заданий. • Вставь пропущенное делимое, чтобы получились верные записи: а) : 6 – 12 (ост. 3) б) : 9 – 8 (ост. 7) : 5 = 9 (ост. 4) : 7 = 14 (ост. 3) : 7 = 8 (ост. 2) : 4 = 15 (ост. 2) • Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, в какой паре записей делимые одинаковы? а) : 7 = 5804 (ост. 3) б) : 8 = 607 (ост. 1) : 5804 = 7 (ост. 3) : 8 = 607 (ост. 2) Проверь свой ответ, выполнив вычисления. • Найди пропущенный делитель. 86 : = 9 (ост. 5) Усвоение учащимися способа подбора частного позволяет им самостоятельно выполнить деление трехзначного числа на двузначное, четырехзначного числа — на трехзначное, пятизначного — на четырехзначное (при условии получения в частном однозначного числа) до знакомства их с алгоритмом письменного деления. 149 Например, 107 : 17. Подобрать число, меньшее 107, которое без остатка делится на 17, смогут не все учащиеся. Если же воспользоваться способом подбора частного, то можно проверить числа 4, 5, 6, что послужит упражнением в вычислениях. При этом в каждом из случаев надо проверять, каким будет остаток (он должен быть меньше делителя). На этом же этапе учащихся следует познакомить еще с одной формой записи деления с остатком — «уголком». Для этой цели можно воспользоваться таким заданием. Сравни записи: 34 : 8 = 4 (ост. 2) – 34 8 32 4 2 ост. Чем они похожи? Чем отличаются? Догадайся, что обозначает знак «уголок» в записи справа? В чем преимущество записи, которая выполнена справа? и Учащиеся обычно отвечают так: «В этой записи, помимо делимого, делителя, неполного частного и остатка, записывается еще число, которое делится без остатка на данный делитель». «Еще в этой записи хорошо видно, как получается остаток». Ученики выполняют деление: 27 : 8; 31 : 5; 58 : 9, используя знак «уголок». Если тема «Умножение многозначного числа на однозначное» предшествует теме «Деление с остатком», то учащиеся могут выполнить деление четырехзначных чисел на трехзначные. – 3581 403 – 1384 275 1375 5 3224 8 9 ост. 357 ост. 9 < 275 357 < 403 Этап 4. Деление с остатком меньшего числа на большее. Для обобщения способов деления с остатком целесообразно рассмотреть случаи деления меньшего числа на большее. Например, 7 : 15. Пользуясь способом подбора делимого, ученики рассуждают: «Найдем число, которое было бы меньше 7 и без остатка делилось на 15. Это число нуль. 0 : 15 = 0. Теперь найдем остаток: 7 – 0 = 7. Получаем 7 : 15 = 0 (ост. 7); 7 меньше 15». Пользуясь способом подбора частного, многие дети могут оказаться в затруднении: «Какое число “попробуем” первым?» Учитель сам может предложить: «Давайте попробуем число 1». Но если 1 · 15, то получим 15. Это число уже больше делимого. Ясно, что 150 число 2 «пробовать» не имеет смысла. Остается единственная возможность — число 0. В результате проведенных рассуждений учащиеся делают вывод: если меньшее число разделить на большее, неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. Этап 5. На этом этапе следует рассмотреть случаи деления с остатком на 10, 100, 1000 (65 : 10; 365 : 100; 5365 : 1000). Пользуясь различными способами деления с остатком (подбор делимого и подбор частного), а также выделяя в делимом количество десятков, сотен или тысяч, дети получают неполное частное и остаток. В первом случае остаток — 5, во втором — 65, в третьем — 365. Задание 3.25. Подберите или составьте сами задания, которые вы можете предложить учащимся на различных этапах изучения темы «Деление с остатком». Таким образом, методические особенности формирования понятия деления с остатком заключаются в следующем. 1. Учащихся целесообразно познакомить с понятием «Деление с остатком» после того, как изучены темы «Пятизначные и шестизначные числа», «Сложение и вычитание многозначных чисел» и усвоен алгоритм письменного умножения на однозначное число. Это позволяет, во-первых, активно привлекать при изучении деления с остатком ранее усвоенные знания, умения и навыки, во-вторых, целенаправленно готовить детей к изучению алгоритма письменного деления. 2. Наиболее эффективным способом деятельности учеников, направленной на усвоение смысла деления с остатком, является установление соответствия между предметными моделями (рисунками) и математической записью. Вариативность способов деятельности обеспечивается применением действий сравнения, выбора, преобразования и конструирования. Задание 3.26. Подберите или составьте задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают предметный смысл деления с остатком, используя при этом действия сравнения, выбора, преобразования и конструирования. 3. Основным способом действия при делении с остатком (еще раз обратим на это внимание) является подбор частного, так как: • он позволяет учащимся осознать смысл новой записи с точки зрения взаимосвязи компонентов и результата действия; 151 • его можно использовать при делении трехзначного числа на двузначное, а также в дальнейшем при выполнении письменного деления. 4. В теме «Деление с остатком» детей целесообразно познакомить с формой записи деления «уголком» и обсудить ее преимущества. Задание 3.27. Составьте различные задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают: а) способ подбора частного при делении с остатком; б) условие, которое необходимо выполнять при делении с остатком; в) взаимосвязь компонентов и результата при делении с остатком. 5. В теме «Деление с остатком» целесообразно рассмотреть случай деления меньшего числа на большее. Для вычисления результата школьники могут использовать как способ подбора частного, так и способ подбора делимого. 3.16. УРАВНЕНИЕ Ответ на вопрос, когда (в каком классе) целесообразно знакомить младших школьников с уравнением, неоднозначен. Одна точка зрения — познакомить с уравнениями как можно раньше и в процессе их решения усваивать правила о взаимосвязи компонентов и результатов действий. Другая точка зрения — приступать к решению уравнений после того, как учащиеся усвоят необходимую терминологию и те правила, которыми они будут пользоваться для их решения. Авторы данного учебника разделяют вторую точку зрения, так как ее реализация создает дидактические условия для осознанного и самостоятельного решения уравнений младшими школьниками и применения ранее усвоенных знаний, умений и навыков. Реализуя первую точку зрения, мы вынуждены идти путем действий по образцу, сопровождая их большим количеством тренировочных однообразных упражнений. Это может привести к тому, что, решая уравнения, учащиеся будут руководствоваться не общим способом действия (правилом), а внешними признаками. Например, предложив детям решить уравнение 8 + х = 6, мы можем получить ответ: х = 8 – 6, который ребята обосновывают так: «Здесь знак “+”, значит, надо вычитать, я из большего числа вычитаю меньшее». Ясно, что дети ориентируются не на существенные признаки данного равенства, а на числа 8 и 6. А так как младший 152 школьник может вычитать только меньшее число из большего, то он и оценивает данное равенство с этой точки зрения, не пытаясь осознать взаимосвязь, которая существует между слагаемыми и значением суммы. Более позднее изучение уравнений позволяет получить следующие результаты. 1. Использовать в уравнениях многозначные числа и ранее изученные понятия. Запиши каждое предложение уравнением и реши его: а) неизвестное число уменьшили на 708 и получили 1200; б) число 1208 уменьшили в несколько раз и получили 302; в) неизвестное число увеличили в 7 раз и получили 1449. Запись таких предложений в виде уравнений обычно не вызывает у детей затруднений, а их решение позволяет повторить не только знания о взаимосвязи компонентов и результатов действий, но и поупражняться в вычислениях. 2. Познакомить учащихся с усложненными уравнениями, в которых неизвестный компонент представлен в виде буквенного выражения: а) 5 · х – 10 = 290; б) 5 · (х – 10) = 290; в) (10 838 – х) : 342 = 31; г) 150 – х : 2 = 140. При решении усложненных уравнений следует опираться на правила порядка выполнения действий, так как не все ученики могут овладеть способом действия при отсутствии четких ориентиров. Порядок действий расставляется в той части уравнения, где содержится неизвестное х. Например, в уравнении 5 · х – 10 = 290 следует сначала определить порядок выполнения действий в левой части уравнения: 1 2 5 · х – 10 = 290. Расставив порядок выполнения действий, учащиеся выделяют компоненты, относящиеся ко второму действию (в данном случае вычитанию). Неизвестное число находится в уменьшаемом, поэтому для решения уравнения применяем правило: «Если к значению разности прибавить вычитаемое, то получим уменьшаемое». Значит, 5 · х = 290 + 10. Заменяем числовые выражения их значениями (в данном случае 290 + 10). 153 Получаем 5 · х = 300. Применяем правило: «Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель». Записываем: х = 300 : 5; х = 60. 3. Познакомить детей с решением задач алгебраическим методом (с помощью составления уравнений). При этом можно возвращаться к тем задачам, которые они решали ранее арифметическим методом. Например, учитель называет номер, и ребята находят в учебнике задачу, которую они уже решали. На 9 машинах доставили 47 700 кг зерна. Сколько килограммов зерна могут перевезти 12 таких же машин? Учащимся предлагается задание: «Объясни, как рассуждала Маша, записав решение этой задачи уравнением: х : 12 = 47 700 : 9». Аналогично организуется деятельность класса с таким заданием. Вычисли остаток: 322 : 37 = 8 (ост. ); 327 : 47 = 6 (ост. ). Обозначь остатки буквой х. Запиши уравнения и объясни, как рассуждали Миша и Маша, записав такие уравнения: Миша: Маша: 8 · 37 + х = 322 6 · 47 + х = 327 (322 – х) : 37 = 8 (327 – х) : 47 = 6 (322 – х) : 8 = 37 (327 – х) : 6 = 47 Для подготовки учащихся к решению задач способом составления уравнений полезны задания на соотнесение вербальных, предметных, схематических и символических моделей. • На одной чашке весов — дыня и гиря массой 2 кг. На другой — гири массой 10 кг и 5 кг. Весы находятся в равновесии. Какое уравнение можно составить по данному рисунку, если масса дыни — х кг? (х + 2 = 10 + 5) 154 • Объясни, почему по данной схеме можно составить уравнение х + 40 = 56 + 32. Найди корень уравнения. 56 32 x 40 • В классе — 34 ученика. 12 детей изучают английский язык, а остальные — немецкий. Сколько детей изучают немецкий язык? Рассмотри схему и выбери уравнения, которые соответствуют данной задаче. х уч. 12 уч. 34 уч. а) б) в) г) х + 12 = 34 12 – х = 34 х – 12 = 34 34 – х = 12 • Выбери задачи, которым соответствует данная схема, и составь уравнения. 342 ч 285 ч хч 1. В одном пансионате отдыхали 342 человека, в другом — 285. Сколько было отдыхающих в двух пансионатах? 2. В одном пансионате 285 человек, в другом — на 342 человека больше. Сколько человек отдыхает во втором пансионате? 3. В июне в пансионате отдыхали 285 человек, а в июле — 342. На сколько меньше отдыхающих было в июне, чем в июле? 4. В двух пансионатах отдыхали 342 человека. Сколько человек отдыхало во втором пансионате, если в первом было 285 человек? 5. В июне в пансионате отдыхали 342 человека. Из них 285 взрослых, остальные — дети. Сколько детей было в пансионате? 3.17. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ Способность к восприятию формы позволяет ребенку узнавать, различать и изображать разные геометрические фигуры: точку, линии (прямые, кривые, ломаные), отрезок, луч, угол, многоугольник, квадрат, прямоугольник и т.д. Для этого достаточно показать ему ту или иную геометрическую фигуру и назвать ее соот155 ветствующим термином. Например: это отрезки (рис. 1), квадраты (рис. 2), круги (рис. 3), прямоугольники (рис. 4). Аналогично можно поступить с геометрическими телами, показав их модели: это цилиндр (куб, шар и т.д.). 1) 2) 3) 4) Такое знакомство учащихся с геометрическими фигурами позволяет воспринимать их как целостный образ. Однако если изменить расположение или размер тех фигур, которые были предложены в качестве образца, дети могут допускать ошибки. Например, в фигурах, изображенных на рис. 5, ученик может не узнать квадраты, в фигурах на рис. 6 — прямоугольники. А фигуры на рис. 7 он может назвать прямоугольниками, на рис. 8 — треугольниками. 5) 6) 7) 8) Восприятие геометрической фигуры как целостного образа — лишь первый этап в формировании геометрических представлений ребенка. В дальнейшем необходимо сосредоточить его внимание на свойствах геометрических фигур и на выделении тех элементов, из которых они состоят. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с их моделями различные практические действия. Рассмотрим возможный вариант такого изучения. Элементарная геометрическая фигура — точка. Любую другую геометрическую фигуру можно рассматривать как множество точек. Через точку можно провести различные линии. Опираясь на свой жизненный опыт, ребенок самостоятельно справляется с задачей проведения линий через данную точку и даже сам может их назвать соответствующими терминами: «кривая» и «прямая» линии. 156 При этом прямые линии целесообразно не только изображать на листе бумаги. Используя в качестве модели плоскости тот же лист, можно получить, например, прямую линию, сгибая его так, чтобы линия сгиба проходила через данную точку. Аналогично следует действовать при проведении прямой линии через две точки. Дети могут самостоятельно справиться с решением задачи, перегибая лист бумаги так, чтобы линия сгиба проходила через указанные точки. Это позволит учащимся практически убедиться в том, что через две точки можно провести только одну прямую. Для проведения прямых линий необходимо пользоваться линейкой. Ученики сами могут проверить это на практике. Если расположить на доске две точки на большом расстоянии друг от друга и предложить ребятам провести через эти точки прямую линию, то вряд ли кто-либо из них сможет это сделать, не воспользовавшись линейкой. Полезно, чтобы в процессе выполнения различных упражнений дети научились различать такие понятия, как «точка пересечения двух линий», «линия проходит через точку», «линия соединяет две точки», «точка принадлежит линии». • Проведи прямые линии через точку K и через точку В так, чтобы они пересеклись в точке О. К О В • Проведи прямую через точку K так, чтобы точка О лежала на прямой, а точка В — вне прямой. В К О • Проведи разные кривые линии через данные точки. В К О • Проведи прямую линию так, чтобы она пересекала кривую: а) в одной точке; б) двух точках; в) трех точках. 157 • Проведи кривую линию так, чтобы она пересекала данную прямую: а) в одной точке; б) двух точках и т.д. Учащиеся могут находить (узнавать) прямые и кривые линии на различных геометрических фигурах, как на плоских (круг, квадрат, многоугольник), так и на объемных (куб, конус, цилиндр, шар). В процессе такой деятельности у них формируются обобщенные образы понятий прямой и кривой линий. Кривые линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Ученики легко усваивают эти понятия, если они ассоциируются у них с различными жизненными и игровыми ситуациями. Для этой цели, например, можно использовать приведенный ниже рисунок, где М1, …, М4 — мышки, и поставить к нему следующие вопросы: а) «Какие мышки могут пробежать в домик, не перепрыгивая через линию?»; б) «Сделай так, чтобы первая и третья мышки не смогли прибежать в домик, не перепрыгивая через линию». М2 М1 М4 М3 При знакомстве с отрезком следует выделить такие его признаки, ориентируясь на которые школьники могли бы легко узнавать эту геометрическую фигуру. Для этого прежде всего нужно обратить их внимание на то, что отрезок имеет два конца и его (отрезок) следует проводить по линейке. Если учеников познакомить с отрезком после введения понятия «длина», то, помимо названных признаков данного понятия, следует отметить, что у любого отрезка можно измерить длину. Дети могут самостоятельно прийти к выводу, что те прямые линии, ко158 торые ими выделены на различных фигурах, по сути дела, являются отрезками, так как в них фиксируются два конца. Ориентируясь на рассмотренные признаки отрезков, учащиеся находят их на различных геометрических фигурах — плоскостных и объемных. Надо также обратить внимание класса на условность изображений прямой и отрезка. А именно: изображая отрезок, мы обязательно фиксируем две точки — концы отрезка, при изображении прямой линии эти точки не фиксируются. Если из данной точки провести по линейке прямую линию, то получим геометрическую фигуру, называемую лучом. Если провести два луча из одной точки, то получим геометрическую фигуру, называемую углом. В этом случае угол рассматривается как фигура, которая состоит из двух лучей с общим началом. Дети легко справляются с построением такой геометрической фигуры. Однако этого недостаточно, так как дальнейшая их деятельность связана с определением угла как части плоскости, заключенной между двумя лучами. Для формирования представления об угле, в основе которого лежит данное определение, можно воспользоваться моделями угла или соответствующими рисунками. Модель прямого угла дети получают, выполняя практическую работу. Каждому из них даются листы бумаги разных размеров с неровными краями. В середине листа ставится точка. Ученики должны сложить лист так, чтобы линия сгиба прошла через эту точку. Затем они еще раз складывают лист так, чтобы части линии сгиба совместились. 159 Следуя инструкции педагога, ученики в результате получают модель прямого угла. Модели, изготовленные детьми, накладываются друг на друга, и делается вывод, что все прямые углы равны между собой. Сознательное выполнение этого действия требует правильных представлений о величине угла. Так как в начальных классах дети не знакомятся c единицей измерения углов, то можно воспользоваться только приемом наложения и их представлениями о луче. Например, если школьникам предложить два рисунка и спросить, какой угол больше — слева или справа — то возможны неверные ответы детей. В этом случае следует обратить их внимание на то, что стороны угла — это лучи, а значит, их можно продолжить. Поэтому, если стороны углов при наложении совпадают, значит, эти углы одинаковые (имеется в виду понятие плоского угла). При знакомстве с острыми и тупыми углами используются модели трех видов. А именно: если на модель прямого угла накладывается модель острого угла так, чтобы одна сторона этих моделей совместилась, то другая сторона острого угла пройдет внутри прямого (рис. 1); а в случае наложения тупого угла его другая сторона пройдет вне данного прямого угла (рис. 2). 1) 2) Прямые, острые и тупые углы ученики выделяют на различных фигурах, пользуясь для этого заранее заготовленными моделями. 160 При этом рассуждения можно построить по отношению к прямому углу. Например, если наложить модель прямого угла на углы данного четырехугольника, то в случае а одна сторона прямого угла совпадет со стороной четырехугольника, другая пройдет внутри. Это значит, что данный угол четырехугольника тупой. в г а б В случае б одна сторона прямого угла совпадет со стороной четырех угольника, другая пройдет вне, это значит, что угол четырехугольника острый. В случаях в и г стороны углов четырехугольника и модели прямого угла совпадут, следовательно, эти углы прямые. Имея представление о точке, отрезке и угле, школьники могут находить эти геометрические фигуры в треугольниках, четырехугольниках, прямоугольниках и квадратах, выделяя в качестве их элементов вершины (точки), стороны (отрезки) и углы. Ориентируясь на эти элементы, дети сумеют распознавать треугольники, четырехугольники, пятиугольники и т.д., называя все эти фигуры многоугольниками. Для упражнений в распознавании многоугольников можно применять не только плоские фигуры, но и объемные тела — призмы, пирамиды. Оперируя с объемными телами, учащиеся легко усваивают такие термины, как «грань» (многоугольник), «ребро» (отрезок), «вершина» (точка). Если конец одного отрезка является началом другого, конец второго — началом третьего и каждые два отрезка образуют между собой угол, то мы имеем ломаную линию, которая может быть так же, как и кривая, незамкнутой и замкнутой (многоугольник). Определенную трудность для младших школьников представляет осознание того, что любой квадрат является прямоугольником. Причина в том, что целостный образ квадрата и прямоугольника уже сложился у большинства детей, а умением выделять существенные 161 признаки фигуры они еще не овладели. Поэтому очень важно продумать последовательность вопросов, направленных на выделение существенных признаков прямоугольника и квадрата. Учитель располагает на доске различные фигуры. Сначала следует выяснить, как можно их назвать (многоугольники). Затем предлагает учащимся показать и назвать многоугольники, у которых три угла и три стороны; четыре угла и четыре стороны; пять углов и пять сторон и т.д. После этого педагог просит оставить на доске только четырехугольники и выделить из них те, у которых один, два, три, четыре прямых угла (после нескольких попыток некоторые ученики догадываются, что четырехугольников с тремя прямыми углами вообще быть не может). Дети выполняют задание учителя, сначала прикидывая «на глаз», какие углы могут быть прямыми, затем проверяют свое предположение с помощью модели прямого угла. В результате выделяются четырехугольники, у которых все углы прямые. Их называют прямоугольниками. Среди прямоугольников можно выделить такие, у которых все стороны равны. Это квадраты. Отношения между понятиями «многоугольник», «четырехугольник», «прямоугольник», «квадрат» представлены схематически: квадраты прямоугольники четырехугольники многоугольники Схему можно использовать для проведения различных игр, например игры «Где мое место?». Двум ученикам дается одинаковое количество различных многоугольников (одному — синего, другому — красного цвета). Побеждает тот, кто правильно и быстро заполнит схему фигурами. Можно игру провести иначе. Один ученик получает несколько геометрических фигур. Сначала он рассматривает каждую фигуру 162 так, чтобы ее видел весь класс, но не видел партнер по игре. Затем описывает фигуру, называя ее признаки. Партнер угадывает название и помещает ее на схеме. Основное условие игры: фигуру нужно описать так, чтобы выбор ее места был однозначным. Например, ребенок описывает фигуру так: «Пять сторон и пять углов» (выбор однозначен — это пятиугольник, он помещается в области «многоугольники»). Далее он предлагает такое описание: «Четыре стороны и четыре угла». В этом случае выбор не однозначен. Это может быть либо четырехугольник, либо прямоугольник, либо квадрат. Или такое описание: «Четыре стороны и все равны» (выбор также не однозначен). Это может быть квадрат или ромб, который можно будет поместить в область «четырехугольники». В процессе такой игры дети начинают осознавать, что такое существенные признаки геометрической фигуры. Возможна и игра «Кто придумает больше имен». На магнитной доске помещается фигура. Дети дают ей названия: «многоугольник», «четырехугольник», «трапеция». Затем помещается другая фигура. Ее можно назвать «многоугольник», «четырехугольник», «прямоугольник», «квадрат». Третью фигуру на рисунке можно назвать «многоугольник», «четырехугольник», «параллелограмм», «ромб». Задание 3.28. Придумайте игры, которые вы могли бы предложить детям для выяснения отношений между геометрическими фигурами, определения их существенных свойств и усвоения названий. Младшие школьники проявляют большой интерес к изучению геометрического материала, легко запоминают названия геометрических фигур и выделяют их свойства в процессе выполнения практических действий с ними. Поэтому перечень геометрических понятий, с которыми они знакомятся, можно расширить, включив в программу такие понятия, как «шар», «круг», «окружность». Это положительно скажется как на развитии пространственного мышления ребенка, так и на формировании навыков работы с линейкой, угольником, циркулем. При изучении окружности и круга можно предложить такие задания. 163 Чем похожи и чем отличаются рисунки слева и справа? А А В О В О D С D С Дети анализируют рисунки и выделяют признаки сходства: слева и справа нарисованы замкнутые кривые линии. На каждой из них отмечены 4 точки. Точка О находится внутри замкнутой линии на левом и на правом рисунке. Затем выделяют признак различия: на левом рисунке все точки, которые отмечены на замкнутой кривой, находятся на одинаковом расстоянии от точки О, а на правом рисунке это условие не выполняется. • Наложи на страницу учебника прозрачный лист бумаги и обведи на нем замкнутую кривую линию. Проверь! Можно ли назвать эту линию окружностью? Вырежи фигуру, ограниченную кривой линией. У тебя получился круг. • Можно ли провести окружность с центром в точке О так, чтобы она проходила через точки А, В, С, D? а) В А C В в) В О О C А б) D C О D D А • Подумай, через какие точки будет проходить окружность: а) с центром в точке О; б) с центром в точке С; в) с центром в точке D. 164 А C Е О В D Проверь себя с помощью циркуля. Развитию пространственного мышления детей способствуют упражнения, где требуется проделать определенные действия. 1. Составить новые геометрические фигуры из данных. • Выбери две фигуры, из которых можно составить прямоугольник. 1) 2) 3) 4) • Выбери пары фигур, из которых можно составить круг. 1) 2) 3) 4) 5) 2. Выделить фигуры на рисунке. • Сколько на рисунке отрезков? А К М • Сколько на каждом рисунке прямоугольников? Сколько квадратов? 1) А Е А1 К О К1 М О 2) А А1 О О1 Е Е1 К К1 М1 165 3. Выделить элементы объемных тел. • Запиши число граней, ребер, вершин в каждом многограннике. 1) 2) 3) • Верно ли утверждение, что у этих многогранников одинаковое число граней, ребер, вершин? 1) 2) 4. Определить взаимное расположение предметов. Укажи порядок расположения карандашей снизу вверх (ж — желтый, с — синий, к — красный, з — зеленый). з к ж с 5. Распознать в простейших случаях проекции предметов на плоскость. • Назови номера передней, верхней и левой граней куба. 1) 3) 166 4) 2) 5) 6) • Выбери для каждого многогранника вид сверху. 1) 2) 3) 4) 5) 6) а) б) г) в) д) е) • Из большого синего куба вырезали пять маленьких кубиков. Какой из данных рисунков является для получившейся фигуры видом сверху? Спереди? Снизу? Справа? Слева? Сзади? 1) 2) 3) 4) 5) 6) Задание 3.29. Подберите или придумайте сами различные упражнения на составление геометрических фигур и нахождение геометрических фигур на чертеже. 3.18. ДОЛИ И ДРОБИ Включение тем «Доли» и «Дроби» в учебники математики для начальных классов обусловлено целями современного математического образования — повысить математический кругозор школьников, подготовить их к дальнейшему обучению в средней школе, решению многих жизненных задач. 167 1 Ребята знакомятся с понятием доли (дроби вида , где n ≠ 0) через n практические действия с реальными объектами, величинами и описанием этих действий на языке специальных символов (правильных дробей, в которых числитель меньше знаменателя), учатся сравнивать дроби на основе использования предметных моделей и решать арифметические задачи (нахождение дроби от числа и нахождение числа по его дроби). Для формирования представлений о долях (дробях) целесообразно использовать разнообразные наглядные пособия. Наиболее удобными являются геометрические фигуры, вырезанные из бумаги. Очень важно, чтобы пособия были не только у учителя, но и у каждого ученика. Например, учитель предлагает ученикам взять круг в руки и, совмещая его края, согнуть пополам, затем развернуть и посмотреть, на сколько частей разделили круг (на две). Потом, согнув круг на две части, согнуть еще пополам, опять совмещая края. Развернуть и посмотреть, на сколько частей разделили круг теперь (на четыре). После проделанных упражнений учитель сообщает, что одна часть из всех равных частей — это доля. Затем показывает запись доли (1/2, 1/4, 1/8 и т.д.). В первом случае, когда делили круг пополам, получились две доли. Можно предложить закрасить одну часть и обозначить ее 1/2 и т.д. Сформированность представлений о дробях отражается в умении выполнять следующие операции: 1) записывать дробь, ориентируясь на объект или рисунок; 2) находить «дробь от числа» (делением числа или величины на равные части); 3) восстанавливать число или величину по известной его дроби (обратная операция). Первые представления о долях и дробях школьники получают в ходе самостоятельной познавательной деятельности, в которую их включает учитель, опираясь на опыт детей, их интуицию и умение анализировать, сравнивать и обобщать, используя при этом предметные и графические модели. • Какая часть прямоугольника закрашена на каждом рисунке? 1) 4) 168 2) 5) 3) 6) • Начерти квадрат со стороной 3 см. Закрась на рисунке в разные цвета 1/2 площади квадрата, 1/4 и 1/16 его площади. • Начерти отрезок длиной 8 см. Запиши дробью, какую часть этого отрезка составляет отрезок длиной: 1) 1 см; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 7 см. В результате учащиеся знакомятся со способом чтения записи m вида , смыслом каждого ее элемента (число, записанное под n чертой, показывает, на сколько равных частей разделено целое число; число, записанное над чертой, показывает, сколько взято таких частей) и терминами «числитель» и «знаменатель». Усвоение способа действия при нахождении доли (дроби) от целого осуществляется в процессе выполнения заданий. • Начерти отрезок, который составляет: 1) 1/5 ч; 2) 1/2 ч; 3) 1/4 ч; 4) 1/10 ч, если отрезком АВ обозначен 1 час. А В Сколько минут в 1/5 ч, 1/2 ч, 1/4 ч, 1/10 ч? • От города до деревни — 20 км. Асфальтом покрыто 4/5 этого расстояния. Выбери схему, которая соответствует данному условию. 1) 2) 20 км 3) 20 км 4) 20 км 20 км Знакомство со способом действия при нахождении целого по его части осуществляется на основе схематического моделирования. 169 • Найди площадь прямоугольника, если известно, что 1/5 часть его площади равна 8 см 2. • Найди длину отрезка АВ, если 1/7 его длины равна 30 см. 30 см А В • В книге — 80 страниц. Маша прочитала 3/4 книги. 80 с. Пользуясь схемой, ответь на вопросы. 1. Сколько страниц прочитала Маша? 2. Какую часть книги ей осталось прочитать? 3. Во сколько раз число страниц, прочитанных Машей, больше тех, которые она не прочитала? 4. Какую часть составляет число непрочитанных страниц от числа прочитанных? Задачи на нахождение дроби (части) от числа и числа по его дроби (части) желательно предлагать и для устного, и для письменного решения. Далее этот вид заданий органично включается в процесс изучения других программных вопросов начального курса математики. Глава 4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ 4.1. УСТНЫЕ И ПИСЬМЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Усвоение основных математических понятий, свойств арифметических действий и правил в начальном курсе математики всегда сопровождается вычислительной деятельностью учащихся. В методике начального обучения математике традиционно выделяют устные и письменные вычисления. Обычно к письменным вычислениям относят те записи, которые выполняются в столбик (сложение, вычитание, умножение). По отношению к письменному делению используется либо тот же термин, либо говорят о делении «уголком». Следуя этому критерию, запись + 9 6 15 можно отнести к письменным вычислениям, а запись 9 + 6 = 15 — к устным. Однако это не совсем верно, так как и в том и в другом случае выполняются одни и те же действия. Это либо автоматизированный навык, когда ученик, не производя промежуточных операций, записывает результат; либо записанное значение суммы является результатом нескольких операций: дополнение числа 9 до числа 10, а затем сложение полученного результата с числом 5. Поэтому в данном случае запись однозначных чисел в столбик следует рассматривать как удачный методический прием, наглядно отражающий переход 10 единиц в разряд десятков. Другой взгляд на различие устных и письменных вычислений связан с выделением той области натуральных чисел, в которой они выполняются. Например: «К устным относят все приемы вычислений в пределах 100, а также сводящиеся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100, к которым можно применить приемы устных вычислений (например, прием для случая 171 900 · 7 = 9 сот. · 7 = 63 сот. = 6300), к письменным относятся приемы для всех других случаев вычислений над числами, бо^льшими 100»1. Для характеристики устных и письменных вычислений используют понятия «умение» и «навык». Вычислительное умение — это развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознается и контролируется. Вычислительное умение предполагает усвоение учеником того или иного вычислительного приема, который можно представить в виде последовательности операций, связанных с определенными математическими понятиями или свойствами. В отличие от умения навыки характеризуются свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат. Говоря об устных вычислениях, следует иметь в виду либо вычислительный навык, когда результат того или иного арифметического действия ученик запоминает и воспроизводит его механически, не выполняя никаких промежуточных операций, либо вычислительное умение — развернутое осуществление операций (одна за другой), сопровождающееся осознанием цели, способа действий и условий их выполнения. В этом случае можно говорить как об устных, так и о письменных вычислениях. Русская школа всегда отдавала приоритет устным вычислениям, так как они открывают более широкие возможности для развития у детей внимания, памяти, находчивости, сообразительности. Известный русский математик и методист А.И. Гольденберг в своих «Беседах по счислению» отмечал, что устное вычисление творческое, а письменное — скованное. В методике формирования вычислительных умений и навыков можно выделить два подхода, принципиальное различие которых заключается в организации деятельности учащихся, направленной на овладение вычислительными умениями и навыками. В основе одного подхода лежит показ образца способа действия (вычислительного приема), конечной целью которого является нахождение результата того или иного типа выражения. В основе другого подхода — «открытие» способа действия самими учащимися в результате выполнения различных учебных заданий, наблюдения и анализа специально подобранных выражений, выявления в них сходства и различия, что позволяет детям высказывать те или иные предположения о возможном способе действия (вычислительном приеме). 1 172 Бантова М.А., Бельтюкова Г.В. Методика преподавания математики в начальных классах. М., 1984. С. 163. Конкретизируем один и другой подход на примере сложения и вычитания двузначных разрядных чисел — «круглых» десятков (30 + 40; 50 – 20). При одном подходе учитель сообщает учащимся способ действия, сопровождая свое объяснение иллюстрацией и образцом записи: 30 + 40 50 – 20 3 дес. + 4 дес. = 7 дес. 5 дес. – 2 дес. = 3 дес. 30 + 40 = 70 50 – 20 = 30 Ученики проговаривают объяснение вслух, а затем про себя. В результате тренировочных упражнений у детей постепенно вырабатывается навык. Как видим, учитель объясняет способ действия, используя образец записи, затем учащиеся воспроизводят этот образец, выполняя однотипные упражнения. Другой подход включает детей в познавательную деятельность. Для этой цели используется специальный подбор заданий, в результате выполнения которых ученики сами «открывают» новый способ действия. К таким заданиям можно отнести следующие. • Используя модели десятков и единиц, увеличь число 40 на 2 дес., 3 дес., 5 дес. и запиши равенства. • Какие числа можно вычесть из числа 80, чтобы в его записи изменилась только цифра в разряде десятков? Запиши эти числа. Проверь себя с помощью калькулятора. • Набери на калькуляторе число 20. Увеличивай число 20 на 3 дес., 5 дес., 7 дес. Наблюдай! Какая цифра изменяется в записи числа 20? Запиши равенства. • Чем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре? Найди значения выражений: 9–2 6–3 8–6 7–5 90 – 20 60 – 30 80 – 60 70 – 50 Составь по этому же правилу выражения с другими числами. • Составь верные равенства, используя числа: а) 3; 5; 9; 4; 8; б) 30; 50; 90; 40; 80. В результате выполнения приведенных заданий учащиеся активно используют регулятивные, познавательные и коммуникативные действия и самостоятельно делают вывод о том, что десятки можно складывать и вычитать так же, как единицы. Задание 4.1. Приведите рассуждения учащихся при выполнении данных выше заданий. 173 4.2. ТАБЛИЦА СЛОЖЕНИЯ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ В ПРЕДЕЛАХ ДЕСЯТИ К таблице сложения в математике относят все случаи сложения однозначных чисел. Они должны быть усвоены детьми на уровне навыка, т.е. доведены до автоматизма. В противном случае ученики будут испытывать трудности, пользуясь вычислительными приемами, в каждый из которых в качестве операций входят вычислительные навыки. Следует иметь в виду, что в математике существует только таблица сложения, на основании которой составляются случаи вычитания, соответствующие табличным случаям сложения. В практике обучения младших школьников математике существуют различные подходы к формированию табличных навыков сложения и соответствующих случаев вычитания как по содержанию, так и по способам организации деятельности младших школьников. По содержанию можно выделить два подхода. 1. Учащиеся усваивают сразу всю таблицу сложения однозначных чисел (в пределах 20)1. 2. Учащиеся усваивают таблицу сложения в два этапа: сначала в пределах 10, а затем в пределах 20 (случаи сложения с переходом в другой разряд). Этот подход нашел отражение в большинстве современных учебников математики для начальных классов. При каждом из этих подходов возможны разные способы организации учебной деятельности детей. 1. Можно выучить (вызубрить) таблицы сложения и соответствующих случаев вычитания и проверить результаты «зубрежки» в процессе решения примеров на воспроизведение табличных случаев сложения и соответствующих им случаев вычитания в различном порядке, что является показателем того, выучена учеником таблица или нет, так как сами примеры представляют собой случаи из таблицы, расположенные в другом порядке. В практике к способу «зубрежки» прибегают те, кто работает под лозунгом «Математику надо выучить!». Но в этом случае процесс усвоения таблицы сложения не создает условий для творческого использования табличных навыков в дальнейшей вычислительной деятельности учащихся, и они продолжают успешно выполнять только задания определенного вида, т.е. те, в которых можно действовать по известному им образцу. 1 174 См.: Нешков К.И., Пышкало А.М. Математика в начальных классах / под ред. и с предисл. проф. А.И. Маркушевича. Ч. 1. М.: Просвещение, 1968. 2. Можно познакомить детей с различными вычислительными приемами (присчитывание и отсчитывание по 1, 2, 3, по частям). В этом случае младшие школьники могут самостоятельно составить таблицы и запомнить их, выполняя различные тренировочные вычислительные упражнения. Составление таблиц первый группы ( + 1; – 1) не вызывает у учащихся затруднений, так как навык присчитывания и отсчитывания по единице у многих детей уже имеется до школы. При формировании вычислительных навыков для случаев сложения и вычитания: + 2, –2; + 3, –3 и т.д., представленных во второй, третьей и четвертой группах, работа организуется по этапам: • этап 1 — подготовка к знакомству с вычислительным приемом; • этап 2 — ознакомление с вычислительным приемом (образец действия); • этап 3 — составление таблиц с помощью вычислительных приемов; • этап 4 — установка на запоминание таблиц; • этап 5 — закрепление таблиц в процессе тренировочных упражнений. Обучая, например, навыкам табличного сложения случая « + 2», учитель сначала фиксирует внимание детей на вычислительном приеме, включающем операции, которые у большинства сформированы на уровне вычислительного навыка (6 + 1 + 1; 7 + 1 + 1). Параллельно ведется аналогичная работа со случаем « – 2». Затем составляются две таблицы: 1 + 2; 2 + 2; 3 + 2 и т.д. и 3 – 2; 4 – 2; 5 – 2 и т.д. Учитель дает задание выучить таблицу, т.е. запомнить 16 случаев. Но, как известно из психологии, материал большого объема запоминается неохотно, так как требует значительных волевых усилий. Кроме того, присчитывание и отсчитывание по единице для случаев + 2 и – 2 позволяет довольно быстро найти результат, поэтому необходимость запоминания таблицы мотивирована недостаточно. В итоге многие ученики предпочитают пользоваться приемами присчитывания и отсчитывания по единице и не стараются запомнить таблицу. Вследствие этого не все случаи + 2 и – 2 оказываются доведенными до уровня навыка. Это осложняет усвоение следующих таблиц — + 3 и – 3, при составлении которых ученики также предпочитают пользоваться приемами присчитывания и отсчитывания по единице. Аналогичная ситуация возникает с таблицами + 4 и – 4. Несформированность навыка для случаев + 2, + 3, + 4 создает трудности при нахождении значений выражений, 175 в которых второе слагаемое больше первого. Например, для вычисления значения выражения 3 + 5 учащиеся используют переместительное свойство сложения (5 + 3). Но если этот табличный случай не усвоен, они опять же вынуждены пользоваться присчитыванием и отсчитыванием по единице или по частям. Таким образом, подход, связанный с последовательным составлением каждой группы таблиц сложения и соответствующих случаев вычитания на практике не всегда оказывается эффективным для формирования автоматизированных навыков сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 10. 3. Можно составлять таблицу сложения однозначных чисел, ориентируясь на результат, т.е. представлять каждое однозначное число в виде суммы двух слагаемых и соответственно давать ученикам установку на запоминание этих случаев, т.е. на запоминание состава каждого однозначного числа. Какой из подходов наиболее эффективен? Какой из них может обеспечить в более короткие сроки сформированность прочных (доведенных до автоматизма) вычислительных навыков? На этот вопрос очень трудно ответить однозначно, так как результат зависит от множества факторов: и от подготовки детей к школе, и от индивидуальных особенностей памяти и внимания младшего школьника. Поэтому описанный выше подход 2 учителя обычно дополняют подходом 3, при котором каждое однозначное число представляется в виде различных сумм двух слагаемых. Не менее важно, что к формированию навыков табличного сложения следует приступать только после того, как дети познакомятся со смыслом этого действия, с понятиями «выражение», «равенство», названиями компонентов и результата действия сложения. Работу, связанную с усвоением состава каждого числа, можно организовать и по-другому, ориентируясь на такие этапы. Этап 1. Непроизвольное запоминание состава числа. На этом этапе предлагаются задания на классификацию, соотнесение предметных и символических моделей, выбор рисунка, соответствующего предложенной записи (выражению, равенству), и, наоборот, выражения, равенства, соответствующего данному рисунку. Основная цель работы на этом этапе — усвоение детьми смысла действия сложения как объединения предметных совокупностей и приобретение навыка записи всех возможных случаев представления данного числа в виде суммы двух слагаемых. 176 • По каким признакам можно разложить фрукты на две тарелки? ж к ж ж ж к к ж Пользуясь рисунком, найди значения выражений и объясни, что обозначает кажое число. 5+3 1+7 6+2 4+4 3+5 7+1 2+6 Чем похожи рисунки? • Запиши равенство, соответствующее каждому рисунку. 1) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2) Чем похожи эти равенства? • Выбери равенства, которые соответствуют данным рисункам. Объясни, что обозначает каждое число в этих равенствах. 3+2=5 4+2=6 2+4=6 5+1=6 3+3=6 4+1=5 • Выполни рисунок к каждому равенству: 1) 1 + 3 = 4; 2) 3 + 1 = 4; 3) 2 + 2 = 4? Наглядные, разнообразные и вариативные задания на классификацию создают благоприятные условия для включения в работу 177 всех учеников. Они с интересом слушают ответы друг друга, дополняют их, и уже на этом этапе многие дети непроизвольно запоминают некоторые табличные случаи сложения (состав каждого однозначного числа). Этап 2. Здесь дается установка на запоминание состава каждого числа (например, числа 5). Постарайся запомнить! 4+1=5 1+4=5 3+2=5 2+3=5 Данная установка сопровождается изготовлением карточек для самоконтроля (взаимоконтроля). На одной стороне карточки записывается выражение (например, 3 + 2), на другой — значение суммы (5). Этап 3. Самоконтроль и взаимоконтроль. Дети выполняют различные упражнения, которые помогают им усвоить (запомнить) состав данного числа, а также проверяют друг у друга результаты усвоения табличных случаев. Игра «Соревнуюсь с калькулятором» оказывает положительное влияние на формирование вычислительных навыков. Она проводится так. К доске вызываются два ученика. Сидящие за партами называют различные суммы. Один ученик произносит результат на память, другой — после того как итог появится на экране калькулятора. Желание обыграть калькулятор активизирует память учащихся и является определенным стимулом для усвоения табличных случаев сложения. Этап 4. Контроль усвоения таблицы сложения (состава каждого однозначного числа). Учитель предлагает учащимся различные суммы (лучше, если для этой цели используются перфокарты), а ученики записывают их значения. Работа по формированию табличных навыков сложения и соответствующих им случаев вычитания продолжается после знакомства со смыслом действия вычитания, а также в процессе усвоения понятий «увеличить на…», «уменьшить на…» и разностного сравнения. Аналогичная методика используется для усвоения состава числа 10 после того, как дети начнут изучение двузначных чисел. Задание 4.2. Подберите или составьте сами различные учебные задания, которые можно использовать для формирования табличных навыков сложения и соответствующих им случаев вычитания в пределах 10. 178 Знакомство учащихся с нумерацией двузначных чисел, изучение таблицы сложения (в пределах 10) и соответствующих ей случаев вычитания позволяет организовать работу по усвоению таблицы сложения однозначных чисел (с переходом в разряд десятков) и соответствующих ей случаев вычитания. Однако возникает вопрос: «Когда это целесообразнее сделать?». После того как дети познакомятся с нумерацией чисел в пределах 20 и научатся записывать эти числа в виде суммы разрядных слагаемых или после того как они рассмотрят приемы устного сложения и вычитания в пределах 100 без перехода в другой разряд? Анализ практики показывает, что у большинства первоклассников к моменту изучения нумерации двузначных чисел навыки табличного сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 10 не доведены до автоматизма. Поэтому необходимо продолжить работу в этом направлении. Если ориентироваться только на формирование вычислительных умений и навыков, то можно пойти по любому пути, т.е. либо изучать таблицу сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд, либо овладевать приемами устного сложения и вычитания в пределах 100 без перехода в другой разряд. Но если речь идет о развивающем курсе математики, в котором приоритетной целью является развитие самостоятельности и мышления ребенка, выполнения познавательных действий — анализа и синтеза, сравнения, аналогии и обобщения, то более целесообразен второй вариант. Тогда, во-первых, не придется разбивать изучение нумерации двузначных чисел на два этапа: от 11 до 20 и от 21 до 100. Вовторых, при овладении приемами устного сложения и вычитания в пределах 100 (без перехода в другой разряд) возможно использование приема сравнения новых способов действий с табличными случаями сложения и соответствующих случаев вычитания, что создаст более благоприятные условия для совершенствования навыков табличного сложения в пределах 10. Итак, к изучению табличных случаев сложения однозначных чисел (с переходом в разряд десятков) и соответствующих случаев вычитания целесообразно приступать тогда, когда дети уже овладели табличными навыками сложения однозначных чисел в пределах 10 на уровне автоматизированного навыка и научились представлять дву значные числа в виде суммы разрядных слагаемых. 179 4.3. СЛОЖЕНИЕ ОДНОЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ С ПЕРЕХОДОМ В ДРУГОЙ РАЗРЯД И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛУЧАИ ВЫЧИТАНИЯ (ПРОДОЛЖЕНИЕ ТАБЛИЦЫ СЛОЖЕНИЯ) Основная цель работы по этой теме — прочное усвоение детьми табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 20. Достижение этой цели во многом зависит от того, как младшие школьники усвоили состав числа 10, состав однозначных чисел в пределах 10 и разрядный состав двузначных чисел (единицы и десятки). Первая учебная задача связана с «открытием» и усвоением способа действия, которым можно пользоваться при сложении однозначных чисел (с переходом в разряд десятков). Вторая учебная задача связана с усвоением таблицы сложения в пределах 20. Способ действий при сложении двух однозначных чисел с переходом в другой разряд состоит из трех операций: 1) определить число, которым нужно дополнить первое слагаемое до 10 (для этого необходимо знать состав числа 10); 2) представить второе слагаемое в виде суммы двух чисел, одним их которых будет число, дополняющее первое слагаемое до 10 (для этого необходимо знать таблицу сложения в пределах 10 или состав однозначных чисел в пределах 10); 3) составить число из десятков и единиц (знание разрядного состава двузначных чисел). Начать можно с такого задания. Сколько кругов нужно добавить в каждый треугольник, чтобы получить 1 десяток? Запиши числовые равенства. При его выполнении отрабатывается одна из операций, которая входит в вычислительный прием. Основой этой операции является знание состава числа 10. Конечно, учащимся можно предложить и такой вопрос: «На сколько нужно увеличить числа 9, 8, 7, 6, чтобы получить число 10?». У большинства ответ на него не вызывает затруднений, дети самостоятельно смогут записать равенства: 9 + 1 = 10; 8 + 2 = 10; 7 + 3 = 10; 6 + 4 = 10. Тем не менее на данном этапе не следует отказываться от наглядности: она оказывает поло180 жительное влияние на запоминание табличных случаев сложения в пределах 20. Для организации деятельности учащихся, направленной на решение первой учебной задачи, целесообразно использовать прием установления соответствия между предметными и символическими моделями. Дополни темные круги светлыми до десяти. Объясни, что обозначают выражения: 8 + 2 + 3; 8 + 5. Верно ли утверждение, что значения этих выражений одинаковы? При выполнении этого задания ученики соотносят наглядность с двумя числовыми выражениями, в результате осознают взаимосвязь между ними и возможность замены в первом выражении суммы двух чисел (2 и 3) числом 5. Таким образом, выполняя действия с предметными моделями, ученики выделяют две основные операции, которые входят в вычислительный прием. Важно, чтобы на этом этапе проговаривались действия. Например, комментируя данные в задании выражения, они обращаются к рисунку: «Число 8 обозначает количество кругов в первом ряду. К этим кругам добавили сначала 2 круга из второго ряда (дети показывают это на рисунке). Затем объединили 10 кругов первого ряда и 3 круга второго ряда (показывают движением руки). Второе выражение означает, что объединили 8 кругов первого ряда и 5 кругов второго ряда». Наглядная интерпретация результата выполненных действий позволяет ребенку осознать, что объединять круги первого и второго рядов можно различными способами. Для осмысления этого факта полезно на предметном уровне рассмотреть другие варианты и зафиксировать их в математической записи: 8 + 1 + 4; 8 + 3 + 2; 8 + 4 + 1 и т.д. Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства: 8 + + 3 = 13 9 + + 4 = 14 7 + + 2 = 12 6 + + 7 = 17 2 + + 6 = 16 4 + + 5 = 15 9 + + 3 = 13 3 + + 8 = 18 Чем похожи эти равенства? 181 Анализируя предложенные записи, дети самостоятельно или с помощью учителя должны прежде всего обратить внимание на то, что третье слагаемое во всех записях равно числу разрядных единиц в двузначном числе. Поэтому сумма первого и второго слагаемых должна равняться числу 10 (8 + + 3 = 13). Опираясь на знание состава числа 10, учащиеся проверяют это предположение. В зависимости от состава класса учитель в большей или меньшей мере обращается к моделям десятков и единиц или привлекает к активной деятельности с ними тех учащихся, которые испытывают затруднения. Дополни до 1 десятка. Чем похожи рисунки слева? Чем похожи рисунки справа? Найди значения сумм: 9+6 8+6 9+5 8+5 Дети сначала выполняют и анализируют действия с моделями, выявляя в них то общее (существенное), что является основой вычислительного приема. Затем переносят эти действия на числовой материал. Важно акцентировать внимание учащихся не только на составе числа 10, но и на количестве тех кругов, которые даны на рисунках вне треугольников. Дополнив число кругов в треугольнике до 10, младшие школьники получают предметную модель разрядного состава двузначного числа. На верхних рисунках это 1 дес. 5 ед. и 1 дес. 4 ед. После того как дети проанализировали таким образом каждый рисунок, можно предложить им найти значения сумм: 9 + 6; 9 + 5; 8 + 6; 8 + 5. Если возникнут трудности, необходимо каждое выражение соотнести с соответствующим рисунком. 182 Затем выявляются сходство и различие рисунков слева и справа. (Рисунки слева похожи тем, что и в верхнем, и в нижнем треугольниках — по 9 кругов, т.е. к 9 прибавляется 1. Различие — в количестве кругов вне треугольника. Поэтому верхнему рисунку соответствует число 15, а нижнему — 14.) Сравнивая суммы, можно обратить внимание учащихся на слагаемые. В выражениях 9 + 6 и 9 + 5 первые слагаемые одинаковы, а второе слагаемое в первой сумме больше, значит, и сумма будет больше: 9 + 6 > 9 + 5. На сколько 6 больше 5, на столько и первая сумма больше второй (15 и 14). Это хорошо видно на рисунках. Объясни, что обозначают на рисунках выражения каждого столбца: 7+3 7+3+2 7+5 9+1 9+1+4 9+5 8+2 8+2+3 8+5 6+4 6+4+1 6+5 В этом задании нужно провести более глубокий анализ, сопоставляя рисунки и математические записи. А именно: выражения первого столбца означают дополнение кругов в треугольниках до 10. Первое выражение соответствует верхнему рисунку слева, второе — верхнему рисунку справа и т.д. Результаты сопоставления выражений и иллюстраций можно сформулировать иначе: выражения первого столбца означают, что объединили круги, помещенные в треугольнике, и часть кругов вне треугольника так, чтобы в треугольнике их получилось 10. Выражения второго столбца означают, что сначала добавили в треугольник столько кругов, чтобы их стало 10, а потом добавили остальные. Выражения третьего столбца означают, что объединили (дети, вероятнее всего, будут говорить «сложили») круги внутри треугольника и вне его. После того как ученики выскажут 183 свои догадки, полезно выяснить, как связаны между собой все три столбца выражений. (Во втором столбце использованы выражения первого столбца, а в третьем сумму второго и третьего чисел среднего столбца заменяют ее значением.) Если учащиеся будут испытывать затруднения, то им следует помочь наводящими вопросами. • Чем похожи выражения: 7 + 3; 7 + 3 + 2; 7 + 5? • Почему в третьем столбце второе слагаемое во всех выражениях равно 5? (3 и 2 — это 5; 4 и 1 — это 5 и т.д.) • В каких столбцах значения сумм будут одинаковыми? (В первом все суммы равны 10; во втором и третьем столбцах суммы равны в соответствующих строчках.) При выполнении задания дети записывают выражения, соответствующие каждому рисунку, вычисляют их значения. После этого имеет смысл заменить в каждом выражении сумму второго и третьего слагаемых одним числом (например: 7 + 3 + 2 = 7 + 5), показать новое выражение на луче и объяснить, как можно действовать при вычислении результата. В процессе выполнения приведенных выше упражнений учащиеся овладевают общим способом действия. Затем последовательно рассматривается состав каждого двузначного числа от 11 до 19. Для решения второй учебной задачи предлагаются обучающие задания (с моделями десятков и единиц, числовым лучом, наглядным материалом) и дается установка на запоминание: «Постарайся запомнить!». Так же, как при изучении табличных случаев сложения в пределах 10, дети изготовляют карточки для самоконтроля. Аналогично организуется деятельность учащихся, направленная на «открытие» общих способов действий (вычислительных приемов) при вычитании (случаи, соответствующие таблице сложения). Таких способов два. Первый связан с вычитанием по частям. Он описывается детьми так: «Вычитаем по частям. Сначала вычитаем столько единиц, чтобы получилось 10, а потом вычитаем из 10 оставшиеся единицы». Для описания способа действия с конкретными выражениями можно использовать записи: 16 – 8 = 16 – 6 – 2 = 8 /\ 6 2 184 12 – 5 = 12 – 2 – 3 = 7 /\ 2 3 Как видно, в основе этого способа действия лежит знание состава однозначных чисел, числа 10 и разрядного состава двузначного числа. В основе другого способа — усвоение взаимосвязи компонентов и результатов действий, а также прочное знание состава двузначных чисел в пределах 20. Если, например, дано выражение 12 – 5, то 12 — это 5 и 7; если 12 – 3, то 12 — это 3 и 9 и т.д. Уменьшаемое представляется в виде суммы двух слагаемых, одно из которых равно вычитаемому. Это также можно представить в виде схемы: 12 – 5 12 – 3 и т.д. /\ /\ 7 5 9 3 Табличные навыки сложения в пределах 20 и соответствующие случаи вычитания должны быть сформированы на уровне автоматизированного навыка. Это требует систематической и кропотливой работы, которую нельзя заменять так называемым этапом устного счета в начале урока, выполняющим скорее контролирующую функцию, нежели обучающую. Задача учителя — помочь детям запомнить эту таблицу. Здесь опять можно использовать карточки для самоконтроля. На них должны быть выписаны все случаи сложения и вычитания: 9+2 8+3 7+4 6+5 11 – 2 11 – 9 11 – 3 11 – 8 11 – 4 11 – 7 11 – 5 11 – 6 9+3 8+4 7+5 6+6 12 – 3 12 – 9 12 – 4 12 – 8 12 – 7 12 – 5 12 – 6 9+4 8+5 7+6 9+5 8+6 9+6 8+7 9+7 8+8 9+8 9+9 13 – 9 13 – 4 13 – 8 13 – 5 13 – 6 13 – 7 14 – 5 14 – 9 14 – 6 14 – 8 15–9 15 – 6 15 – 8 15 – 7 16 – 9 16 – 7 16 – 8 17 – 9 17 – 8 18 – 9 На обороте карточки записывается значение данного выражения. Естественно, процесс усвоения табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания зависит от типа памяти ребенка. Поэтому работа с карточками должна дополняться различными видами упражнений: с предметами, рисунками, отрезками, схемами. 185 Задание 4.3. Подберите или составьте задания, которые помогут учащимся запомнить таблицу сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах 20. 4.4. ПРИЕМЫ УСТНОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ ЧИСЕЛ В ПРЕДЕЛАХ 100 Усвоение учащимися смысла сложения и вычитания, разрядного состава двузначных чисел, табличных случаев сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 10 позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на «открытие» и овладение приемами устного сложения и вычитания чисел в пределах 100. Содержанием этой деятельности являются: • сложение и вычитание «круглых» десятков (30 + 20; 50 – 30); • сложение и вычитание двузначных и однозначных чисел без перехода в другой разряд (75 + 4; 75 – 4); • сложение и вычитание двузначных чисел и круглых десятков (46 + 30; 46 – 30); • дополнение любого двузначного числа до «круглых» десятков (28 + 2; 43 + 7); • вычитание однозначного числа из «круглых» десятков (30 – 4; 60 – 7); • сложение и вычитание однозначных и двузначных чисел с переходом в другой разряд (29 + 7; 23 – 6); • сложение и вычитание двузначных чисел с переходом в другой разряд (38 + 27; 34 – 29). Два последних случая сложения и вычитания рассматриваются после изучения таблицы сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд в пределах 20 и соответствующих случаев вычитания. Для формирования вычислительных умений целесообразно использовать подход, в основу которого положены действия с предметными моделями и перевод их на язык математики (символическая модель). Средством организации этой работы являются учебные задания, в процессе выполнения которых учащиеся наблюдают изменения в записи чисел, выявляют сходства и различия выражений, классифицируют их, обобщают результаты наблюдений. В итоге они самостоятельно «открывают» способы действий (вычислительные приемы) и затем используют их для вычисления значений различных выражений. 186 При выполнении названных выше видов заданий ученики опираются на знания разрядного состава двузначных чисел, таблицы сложения и соответствующие случаи вычитания. Например, при изучении приема сложения двузначных и однозначных чисел без перехода в другой разряд учащимся предлагаются такие задания. Увеличь число 32 на 1, 2, 3, 4, 5. Наблюдай, какая цифра изменяется в записи числа 32. Какие другие числа можно прибавить к числу 32, чтобы изменилась цифра только в разряде единиц? Запиши равенства. Помимо моделей десятков и единиц, можно использовать калькулятор. • Набери на калькуляторе число 53. Подумай, на сколько можно увеличить это число, чтобы в его записи изменилась только цифра в разряде единиц, а цифра, обозначающая десятки, осталась без изменения. • На сколько можно увеличить числа 72, 86, 58, 33, 57, чтобы изменилась только цифра в разряде единиц? Проверь себя с помощью калькулятора и запиши равенства. Обобщая результаты наблюдений и анализируя записанные равенства, дети самостоятельно делают вывод о том, как нужно действовать при сложении однозначных и двузначных чисел (единицы нужно складывать с единицами, оставив данное количество десятков без изменения). Аналогично организуется работа при изучении приема сложения двузначного числа с «круглыми» десятками. Выполняются такие задания. • По какому правилу составлены суммы во всех парах? Составь три пары выражений по тому же правилу. Найди значения всех выражений. 66 + 3 44 + 5 22 + 6 33 + 4 66 + 30 44 + 50 22 + 60 33 + 40 187 • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? 26 + 3 52 + 7 32 + 6 66 + 3 23 + 6 57 + 2 36 + 2 63 + 6 Задание 4.4. Подберите или составьте сами задания, которые можно использовать для формирования умения складывать и вычитать однозначные и двузначные числа без перехода в другой разряд. Овладев приемом сложения и вычитания двузначных и однозначных чисел без перехода в другой разряд, учащиеся легко справляются с дополнением двузначных чисел до «круглых» десятков и с вычитанием однозначных чисел из «круглых» десятков. В случае затруднений они обращаются к моделям десятков и единиц. Специальный подбор чисел и выражений в заданиях, их анализ, сравнение, классификация и обобщение позволяют детям самостоятельно высказывать предположения о способе действия. Например, при рассмотрении дополнения двузначных чисел до «круглых» десятков ребята выполняют такие задания. • На сколько можно увеличить каждое число, чтобы в его записи изменилась только цифра, обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки, осталась та же: 38, 17, 68, 79, 46, 57, 48, 29, 56? • Догадайся, по какому признаку сгруппированы числа: а) 29, 79; б) 38, 68, 48; в) 17, 57; г) 46, 56. Дети называют числа, удовлетворяющие условию задания, обосновывают свой ответ на предметных моделях и подмечают определенную закономерность: если в разряде единиц записана цифра 9, то нельзя назвать ни одного числа, которое удовлетворяет условию задания; если в разряде единиц записана цифра 8, то условию задания удовлетворяет только число 1 и т.д. Эта закономерность проверяется при выполнении последующих заданий. • Сравни выражения в каждом столбце. Чем они похожи? Чем отличаются? 7+3 6+4 8+2 9+1 37 + 3 56 + 4 48 + 2 29 + 1 67 + 3 26 + 4 38 + 2 79 + 1 47 + 3 86 + 4 68 + 2 19 + 1 • Какое выражение соответствует данному рисунку? Найди его значение. 188 Можешь ли ты найти значения всех выражений, не делая рисунков? Работая с этим заданием, ученики сами обращают внимание на то, что цифры, обозначающие в первом слагаемом и десятки и единицы, в значении суммы изменяются. Полезно также выяснить, на сколько можно увеличить каждое слагаемое, чтобы в его записи изменились только цифры, обозначающие единицы, а цифры, обозначающие десятки, не изменились. Для усвоения приема дополнения дву значного числа до «круглых» десятков полезны такие задания. • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? 53 + 7 62 + 8 84 + 6 49 + 1 57 + 3 68 + 2 86 + 4 41 + 9 Проверь себя, используя модели десятков и единиц. • Какие цифры нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства? 37 + 3 = 4 54 + 6 = 6 32 + 8 = 4 29 + 1 = 3 56 + 4 = 6 78 + 2 = 8 Что ты заметил? При вычитании однозначных чисел из «круглых» десятков также можно не давать образец способа действия. Учащиеся смогут «открыть» прием сами, если использовать соотнесение предметных и символических моделей. Запиши выражения, которые соответствуют каждому рисунку. Чем похожи эти выражения? Найди их значения, пользуясь рисунком. 1) 2) 3) 189 Дети описывают сходство и различие данных рисунков. (Везде только треугольники — модели десятков; на каждом рисунке в последнем треугольнике зачеркнуты круги (единицы): на первом рисунке — два круга, на втором — четыре, на третьем — три.) В тетрадях учащиеся выполняют записи, соответствующие рисункам: 30 – 2 = 28 40 – 4 = 36 60 – 3 = 57 Полезно обратить внимание детей на те цифры, которыми записан результат, и сравнить их с цифрами, которыми записано уменьшаемое, а также на то, что во всех случаях число десятков в значении разности меньше, чем число десятков в уменьшаемом, на 1 десяток. Полезно также обсудить такой вопрос: «Какое равенство можно будет записать к каждому рисунку, если круги (модели единиц) зачеркнуть не в последнем треугольнике, а в первом или во втором?». (Те же равенства.) Пользуясь рисунками, можно обсудить и такие выражения: 30 – 3 40 – 1 60 – 3 60 – 1 30 – 6 40 – 9 60 – 6 60 – 9 30 – 7 40 – 8 60 – 7 60 – 8 30 – 2 40 – 5 60 – 2 60 – 5 В этом случае следует сравнить выражения первого и третьего, второго и четвертого столбцов. В результате выполнения этих заданий дети приходят к обобщению: «Если мы вычитаем однозначное число из “круглых” десятков, то количество десятков в результате всегда уменьшается на один, а чтобы определить количество разрядных единиц, нужно вычесть это однозначное число из 10». Учащиеся могут «открыть» сами и другой способ вычитания однозначного числа из «круглых» десятков, если им предложить такое задание. Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? 30 – 1 – 3 60 – 1 – 5 80 – 1 – 6 30 – 4 60 – 6 80 – 7 Выполняя последовательно действия, например в первом выражении (30 – 1 – 3), и фиксируя их на предметных моделях, ученики убеждаются в том, что число 30 уменьшили на 4 единицы. Следовательно, значения выражений 30 – 1 – 3 и 30 – 4 одинаковы. Подобным образом анализируются другие пары выражений. 190 Проделав такой анализ по отношению к каждой паре, дети смогут ответить на вопрос, чем похожи все пары. Здесь важно обратить внимание на то, что число «круглых» десятков в первом выражении каждой пары уменьшается на 1. В результате сравнения выражений учащиеся делают вывод, что однозначное число можно вычитать из «круглых» десятков «по частям»: сначала вычесть 1, а затем оставшиеся единицы вычитаемого. После этого учитель записывает на доске выражения: 40 – 5; 50 – 7; 70 – 3, а ученики фиксируют в тетрадях способ нахождения их значений: 40 – 1 – 4; 50 – 1 – 6; 70 – 1 – 2. Преимущество данного способа вычислений заключается в том, что, вычитая единицу, дети легко находят предыдущее число и тем самым получают случай вычитания, где нужно из двузначного числа вычесть однозначное без перехода в другой разряд, который был рассмотрен ранее. Усвоение табличного сложения и соответствующих случаев вычитания в пределах 20 позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на «открытие» способа действия (вычислительного приема) при сложении (вычитании) двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд. Для этой цели классу предлагаются задания, при выполнении которых следует использовать ранее изученные понятия, способы действий и вычислительные навыки. • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? 68 + 2 + 5 87 + 3 + 6 36 + 4 + 2 68 + 7 87 + 9 36 + 6 • Найди значения выражений: 29 + 1 + 8 46 + 4 + 5 34 + 6 + 1 57 + 3 + 4 45 + 5 + 4 58 + 2 + 3 58 + 2 + 7 29 + 1 + 7 46 + 4 + 4 34 + 6 + 2 57 + 3 + 6 45 + 5 + 2 Подумай, какие равенства ты можешь использовать для вычисления значений выражений: 58 + 5 34 + 8 45 + 7 57 + 9 29 + 8 46 + 8 • Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? 62 – 2 – 3 83 – 3 – 5 74 – 4 – 5 62 – 5 83 – 8 74 – 9 46 – 6 – 2 25 – 5 – 4 37 – 7 – 1 46 – 8 25 – 9 37 – 8 191 Задание 4.5. Опишите рассуждения учащихся при выполнении приведенных выше заданий. Для обобщения и дифференциации приемов устного сложения (вычитания) полезны задания на анализ выражений и выявление в них сходства и различия, классификацию выражений, нахождение правила (закономерности). • Найди правила, по которым составлены ряды чисел. Запиши в каждом ряду еще 4 числа: а) 19, 23, 27, 31, … б) 83, 78, 73, 68, … в) 54, 50, 46, 42, 38, … • Сравни выражения в каждом столбце. Чем они похожи? Чем похожи выражения первого и второго столбцов? Чем они отличаются? 76 – 5 76 – 7 87 – 4 87 – 9 98 – 6 98 – 9 43 – 2 43 – 5 • Сравни выражения в каждом столбце. Чем они похожи? Чем отличаются? 9+8 7+6 8+4 19 + 8 27 + 6 28 + 4 29 + 8 47 + 6 48 + 4 Запиши в каждом столбце выражения с другими числами по тому же правилу. Приемы сложения и вычитания двузначных чисел с переходом в другой разряд включают в себя уже известные детям вычислительные приемы сложения (вычитания) двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд и сложения (вычитания) двузначных чисел и «круглых» десятков. Для закрепления материала можно предложить такие задания. • Сравни выражения, не выполняя вычислений. Какое свойство сложения ты использовал? (28 + 8) + 10 … 28 + (8 + 10) (36 + 7) + 30 … 36 + (7 + 30) Запиши каждое выражение в виде суммы двух слагаемых и найди их значения. Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства: (37 + 4) + 50 = + 50; (68 + 5) + 20 = + 20; (46 + 5) + 30 = + 30. 192 • Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства? 74 + 23 = 74 + + 3 77 + 16 = 77 + + 10 88 + 11 = 88 ++ 1 29 + 43 = 29 + + 40 56 + 24 = 56 + + 4 36 + 58 = 36 + + 50 Задание 4.6. Подберите или составьте сами задания, которые можно использовать для формирования у учащихся умения складывать (вычитать) двузначные числа с переходом в другой разряд. Усвоение структуры трехзначного числа в десятичной системе счисления может являться основой устного сложения и вычитания выражений с трехзначными числами. Для этого полезно выполнить следующие задания. • Запиши все трехзначные числа, у которых в разряде единиц стоит цифра 8, а в разряде сотен — цифра 1. Назови эти числа. Запиши их в порядке возрастания. Чему равна разность двух соседних чисел в этом ряду? • На сколько можно увеличивать число 308, чтобы в его записи изменилась только цифра, стоящая в разряде десятков? • На сколько можно уменьшать число 529, чтобы в его записи изменилась только цифра, стоящая в разряде единиц? • По какому правилу записан каждый ряд чисел: а) 123, 125, 127, 129, 131, … б) 812, 822, 832, 842, 852, … • Увеличивай число 372 на 1, 2, 3, 4. Наблюдай, какая цифра изменяется в записи числа 372. Какие еще числа можно прибавить к числу 372, чтобы в его записи изменилась только цифра, обозначающая единицы? • Увеличивай число 827 на 1 дес., 2 дес., 3 дес., 4 дес. Наблюдай, какая цифра изменяется в записи числа 827. Какие еще числа можно прибавить к числу 827, чтобы в его записи изменилась только цифра, обозначающая десятки? • Уменьшай число 693 на 1 дес., 2 дес., 3 дес., 4 дес. Наблюдай, какая цифра изменяется в записи числа 693. Какие еще числа можно вычесть из числа 693, чтобы в его записи изменилась только цифра, обозначающая десятки? Для нахождения значений выражений 900 – 600, 500 + 400 дети пользуются выводом, который был сделан ими при изучении нумерации трехзначных чисел (считать сотнями можно так же, как единицами и десятками). Аналогичные задания они могут выполнять и в области четырехзначных, пятизначных и шестизначных натуральных чисел. Обобщим изложенное. 193 • Процесс формирования вычислительных умений целесообразно ориентировать на усвоение общего способа действий, в основе которого лежит осознание детьми записи чисел в десятичной системе счисления (разрядный состав числа) и смысла действий сложения и вычитания. • Основным способом введения нового вычислительного приема является не показ образца действия, а выполнение учащимися действий с моделями десятков и единиц (см. раздел «Десятичная система счисления. Нумерация чисел») и соотнесение этих действий с математической записью. В процессе такой деятельности ученики наблюдают изменение цифр, обозначающих в записи числа десятки (единицы), при увеличении (уменьшении) числа на несколько десятков (единиц). • Наблюдение за изменением в записи чисел сопровождается активным использованием приемов анализа и синтеза, сравнения, классификации, обобщения. Средством организации этой деятельности является система учебных заданий, в процессе выполнения которых учащиеся сами «открывают» способ действия и овладевают вычислительными умениями. Задание 4.7. Подберите или сами составьте задания для упражнений в устных вычислениях в области трехзначных чисел. 4.5. ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ (СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СЛУЧАИ ДЕЛЕНИЯ) Табличные случаи умножения и соответствующие им случаи деления, как уже было сказано, учащиеся должны усвоить на уровне навыка. Это сложный и длительный процесс, в котором можно выделить два основных этапа. Первый этап связан с составлением таблиц, второй — с их усвоением, т.е. прочным запоминанием. Так как в современной начальной школе речь идет о формировании сознательных вычислительных навыков, то составлению таблиц умножения и соответствующих случаев деления предшествует изучение теоретических вопросов, являющихся основой тех вычислительных приемов, которыми дети будут пользоваться при составлении этих таблиц. В число таких вопросов входят: смысл действия умножения как сложения одинаковых слагаемых, переместительное свойство умножения, взаимосвязь компонентов и результата умножения. Однако последовательность составления таблиц и организация деятельности учеников, направленной на их усвоение, может быть различной. 194 Например, можно сначала изучить все теоретические вопросы (смысл действий умножения и деления, переместительное свойство умножения, взаимосвязь между компонентами и результатом умножения) и после этого приступить к одновременному составлению таблиц умножения и соответствующих случаев деления. В этом случае таблица умножения и соответствующих случаев деления, например с числом 2, будет иметь такой вид: 2·2=4 2·3=6 3·2=6 6:2=3 6:3=2 2·4=8 4·2=8 8:2=4 8:4=2 2 · 5 = 10 5 · 2 = 10 10 : 2 = 5 10 : 5 = 2 2 · 6 = 12 6 · 2 = 12 12 : 2 = 6 12 : 6 = 2 2 · 7 = 14 7 · 2 = 14 14 : 2 = 7 14 : 7 = 2 2 · 8 = 16 8 · 2 = 16 16 : 2 = 8 16 : 8 = 2 2 · 9 = 18 9 · 2 = 18 18 : 2 = 9 18 : 9 = 2 При вычислении результатов в первом столбце учащиеся используют определение умножения, т.е. заменяют произведение суммой одинаковых слагаемых и вычисляют результат. Можно для вычисления каждого произведения, начиная со второго, использовать предыдущее равенство. Значения произведений второго столбца школьники находят, пользуясь переместительным свойством умножения. Результаты деления в третьем и четвертом столбцах находятся с помощью правила: «Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель». Предполагается, что запомнить (довести до автоматизма) нужно только первый столбец, так как результаты второго столбца можно найти, применив к каждому равенству первого столбца переместительное свойство умножения, а для получения результатов третьего и четвертого столбцов — воспользоваться знанием о взаимосвязи компонентов и результата умножения. Такой же подход используется к составлению таблиц умножения и деления с числом 3. В связи с тем что случай 3 · 2 уже рассматривался во втором столбце таблицы умножения с числом 2, он не включается в таблицу умножения с числом 3, поэтому она начинается с произведения, в котором одинаковые множители, т.е. количество табличных равенств в первом столбце этой таблицы уменьшается. Соответственно уменьшается и количество табличных равенств во втором, третьем и четвертом столбцах. 3·3=9 3 · 4 = 12 4 · 3 = 12 12 : 3 = 4 12 : 4 = 3 3 · 5 = 15 5 · 3 = 15 15 : 3 = 5 15 : 5 = 3 195 3 · 6 = 18 6 · 3 = 18 18 : 3 = 6 18 : 6 = 3 3 · 7 = 21 7 · 3 = 21 21 : 3 = 7 21 : 7 = 3 3 · 8 = 24 8 · 3 = 24 24 : 3 = 8 24 : 8 = 3 3 · 9 = 27 9 · 3 = 27 27 : 3 = 9 27 : 9 = 3 Аналогично составляются таблицы умножения и деления с числами 4, 5, 6, 7, 8, 9. Задание 4.8. Составьте таблицы умножения и соответствующих случаев деления с числами 7, 8, 9. Сколько случаев табличного умножения содержит каждая из этих таблиц? Составление таких таблиц обычно не вызывает у детей затруднений, так как одни и те же действия многократно повторяются. Однако их усвоение на уровне автоматизированного навыка представляет для многих большую проблему. Во-первых, не все дети, в силу своих индивидуальных особенностей, могут за отведенное программой время усвоить на уровне навыка первый столбец каждой таблицы. Это, естественно, создает трудности для запоминания второго, третьего и четвертого столбцов. Во-вторых, не все дети могут в свернутом виде (т.е. на уровне навыка) выполнить операции, которые связаны с применением переместительного свойства умножения и правила о взаимосвязи множителей и произведения. В-третьих, не все дети могут осознать взаимосвязь между составленными таблицами. Например, таблица умножения (деления) с числом 9 содержит один случай: 9 · 9 (81 : 9), так как случай 9 · 8 имеет место в предшествующей таблице, 9 · 7 — в таблице умножения (деления) с числом 7 и т.д., а случай 9 · 2 — в таблице умножения (деления) с числом 2. Наконец, каждая таблица умножения (деления), особенно для чисел 2, 3, 4, имеет большой объем, поэтому установка на запоминание всех столбцов каждой таблицы также оказывается неэффективной. В связи с вышесказанным установка на одновременное запоминание четырех столбцов таблицы для определенного случая умножения превращается для многих детей в зубрежку и выполнение большого количества однообразных тренировочных упражнений. Задача методики — найти такие способы организации деятельности учащихся, которые позволили бы учесть или устранить названные трудности, создав тем самым необходимые дидактические 196 условия для эффективного формирования табличных навыков умножения и деления. Например, после усвоения учениками смысла умножения составить только первый столбец таблицы умножения с числом 2 и дать установку на его запоминание. Затем, познакомив детей с переместительным свойством умножения, составить второй столбец и применить для этой цели знание вышеназванного свойства. На усвоение этих двух столбцов отвести определенное время. В этот период учащиеся рассматривают такие вопросы, как смысл деления, взаимосвязь множителей и произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвертый столбцы таблицы деления. Таким образом, усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. И тем самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков. Но возможен и другой вариант. Например, сначала составляется и усваивается, распределяясь во времени, только таблица умножения, а со смыслом деления дети знакомятся после того, как рассмотрены все случаи табличного умножения. Целесообразность такой последовательности оправдана с различных точек зрения: 1) в математике нет таблицы деления, а есть таблица умножения и соответствующие случаи деления; 2) с методической точки зрения ребенок может вычислить результат деления, опираясь только на таблицу умножения; 3) с психолого-методической точки зрения (учет индивидуальных особенностей учащихся) некоторые дети не могут усвоить табличные случаи умножения за отведенное программой время. Работа по совершенствованию навыков табличного умножения продолжается в процессе изучения темы «Деление», где учащиеся в большей мере могут осознать необходимость усвоения табличных случаев умножения (мотивация — вычисление результата деления) и взаимосвязь умножения и деления. Рассмотрим один из возможных вариантов, при котором усвоение табличных случаев умножения и соответствующих случаев деления распределяется во времени и органически включается в содержательную (понятийную) линию курса. В отличие от традиционного подхода, когда первый столбец таблицы включает случаи табличного умножения с числом 2, в предлагаемом варианте составление таблицы умножения начинается со случаев умножения числа 9 и распределяется во времени: 197 сначала это равенства 9 · 5; 9 · 6; 9 · 7, где в качестве опорного выступает случай 9 · 6. Ориентировка на него позволяет детям быстро найти значения произведений 9 · 5 = 9 · 6 – 9; 9 · 7 = 9 · 6 + 9. Затем находятся значения выражений 9 · 2; 9 · 3; 9 · 4, где в качестве опорного выступает случай 9 · 3, и, наконец, случаи 9 · 8 и 9 · 9, где в качестве опорного выступает случай 9 · 7, который к этому времени большинством учащихся уже усвоен. Установка на запоминание таблицы также распределяется во времени: сначала дается установка на запоминание трех табличных случаев, затем еще трех и затем еще двух табличных равенств. Специальный подбор учебных заданий способствует не только усвоению случаев табличного умножения с числом 9, но и формированию регулятивных, познавательных и коммутативных умений учащихся. Приведем примеры таких заданий. • В огороде — 6 грядок. С пяти грядок мама собрала по 9 огурцов, а с одной — 8. Сколько всего огурцов она собрала? Выбери и выпиши в тетрадь выражения, которые могут быть решением этой задачи: 9+9+9+9+9+9+8 9·6 9+9+9+9+9+8 9·5+8 9·4+9+8 9·6–1 • Какому рисунку соответствует каждое выражение? 9⋅3 9⋅4 9⋅2 3⋅9 4⋅9 • Поставь знаки <, >, = так, чтобы получились верные записи: 9·39+9+9 9·49+9+9+9 9·29·3 198 2⋅9 9·4–99·3 9·3+99·6–9 • Не выполняя вычислений, найди «лишнее» выражение: 9·5 9·6–6 9·4+9 9·6–9 • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? 9·7+9 9 · 7 + 18 9 · 6 + 18 9·9 9 · (5 + 3) (15 – 6) · 9 9·8 9·5+9+9+9+9 • Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства: 97=969 17 4 = 70 2 84=858 Использование приемов умственной деятельности при выполнении вышеприведенных упражнений (анализ, сравнение) активизирует смысловую память учащихся, что создает условия для запоминания табличных случаев. Помимо этого, так же, как при усвоении случаев табличного сложения, находят применение карточки для самоконтроля и взаимоконтроля. Случаи табличного умножения числа 8 усваиваются учащимися в процессе изучения переместительного свойства умножения и понятия «увеличить в несколько раз». Для этой цели предлагаются следующие задания. • Не выполняя вычислений, вставь в «окошки» знаки <, >, = так, чтобы получились верные записи: 8·33+3+3+3+3+3+3 8·66+6+6+6+6+6+6+6 8·68·5 8·98·7 8·48+8+8+8+8 8·55·8 • Найди правила, по которым записаны ряды чисел, и продолжи каждый ряд. Чем похожи и чем отличаются числовые ряды? 16, 24, 32, ... 8 · 2; 8 · 3; 8 · 4, ... 2 · 8; 3 · 8; 4 · 8, ... 199 • Прочитай выражения, используя понятия: «увеличить в…», «уменьшить на…», «увеличить на…». Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? 8·4 8·6 8·8 8·5–8 6·8 8·9–8 (13 – 9) · 8 8·7–8 8·7+8 4·8 8·5+8 5 · 9 + 19 8 · 9 – 40 9 · 8 – 24 9·7+1 9·4–4 9·6–6 9 · 9 – 17 • Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства. 8 · 6 = 8 + 8 + 8 + + 8·8=8·–8 8 · 7 = 8 · 6 + 8·3=8+8+ 8 · 9 = 9 · 9 – 8·5=8·+8 5·8=·5 8·5=8·–8 Установка на запоминание табличных случаев с числом 8 также распределяется во времени и предлагается детям в таком виде. • Вычисли значения произведений в каждом столбце, пользуясь данным равенством. 8 · 3 = 24 8 · 5 = 40 8 · 7 = 56 8·2 8·6 8·8 8·4 5·8 7·8 8 ⋅ 3 = 24 3 ⋅ 8 = 24 Постарайся запомнить! 8 ⋅ 5 = 40 8 ⋅ 7 = 56 5 ⋅ 8 = 40 7 ⋅ 8 = 56 • Вычисли значения произведений в каждом столбце, пользуясь данным равенством. 8 · 2 = 16 8 · 4 = 32 8 · 6 = 48 8 · 8 = 64 8·3 8·5 8·7 8·9 8·4 8·6 8·5 8·5 8·5 8·8 8·4 8·6 8 ⋅ 2 = 16 2 ⋅ 8 = 16 200 Постарайся запомнить! 8 ⋅ 4 = 32 8 ⋅ 6 = 48 4 ⋅ 8 = 32 6 ⋅ 8 = 48 8 ⋅ 8 = 64 Таблица умножения с числами 7, 6 и 5 составляется и усваивается детьми в процессе изучения темы «Площадь фигуры». Знакомство с переместительным свойством умножения и его использование при составлении таблиц умножения сокращает объем каждой следующей таблицы, поэтому таблица умножения с числом 2 содержит всего один случай (2 · 2 = 4). Два случая — в таблице умножения числа 3 (3 · 3; 3 · 2). Таблица умножения числа 4 содержит случаи: 4 · 4; 4 · 3; 4 · 2. Их запоминание не вызывает у детей затруднений. Если же учащиеся затрудняются при вычислении значений произведений 2 · 6; 2 · 7; 2 · 8, то, используя переместительное свойство умножения, они получают произведения, которые были включены в установку на запоминание: 6 · 2; 7 · 2; 8 · 2. После составления и усвоения таблицы умножения целесообразно познакомить школьников с сочетательным свойством умножения и правилом умножения числа на 10, так как изучение этих вопросов создает новые условия для совершенствования навыков табличного умножения и упражнений в записи и чтении трехзначных чисел. Например, можно предложить такие задания. • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? а) 4 · 70 б) 7 · 90 в) 8 · 20 4 · (7 · 10) 7 · (9 · 10) 8 · (2 · 10) (4 · 7) · 10 (7 · 9) · 10 (8 · 2) · 10 • Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, запиши каждое выражение в виде произведения двух чисел. а) 6 · 10 · 6 б) 10 · 7 · 7 в) 8 · 10 · 9 4 · 2 · 10 6 · 3 · 10 3 · 7 · 10 5 · 10 · 4 6 · 10 · 5 4 · 10 · 4 • Верно ли утверждение, что значения произведений в каждой паре одинаковы? а) 45 · 10 9 · 50 д) 81 · 10 90 · 9 б) 21 · 10 3 · 70 е) 54 · 10 60 · 9 в) 36 · 10 9 · 40 ж) 32 · 10 8 · 40 г) 56 · 10 7 · 80 з) 42 · 10 6 · 70 Для проверки сформированности навыков табличного умножения используется таблица. 201 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 35 8 9 Усвоение случаев деления, соответствующих табличным случаям умножения, должно быть также распределено во времени и органически включаться в содержательную линию курса. Для этой цели в процесс усвоения смысла деления, правил о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления, понятий «уменьшить в несколько раз» и кратного сравнения включены задания на деление чисел, при выполнении которых необходимо знание таблицы умножения. Задание 4.9. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения которых учащиеся усваивают взаимосвязь умножения и деления. 4.6. ПРИЕМЫ УСТНОГО УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ При выполнении устного умножения и деления так же, как при сложении и вычитании, используются различные вычислительные приемы. Овладение этими приемами предполагает усвоение нумерации чисел в пределах 100 (разрядного состава двузначного числа), табличных случаев сложения (вычитания), умножения (деления), переместительного, сочетательного и распределительного свойств умножения, а также свойства деления суммы на число. В начальном курсе математики приемы устного умножения и деления используются при умножении двузначного числа на однозначное, при делении двузначного числа на однозначное и при делении двузначного числа на двузначное. Усвоение распределительного свойства умножения позволяет детям самостоятельно или в сотрудничестве с другими учениками 202 и учителем «открыть» способ действий при умножении двузначного числа на однозначное при обсуждении задания. • Подумай, как можно рассуждать, вычисляя значения произведений: 37 · 2 38 · 2 Предложения учеников могут быть различными. Например: — Я буду рассуждать так: 37 · 2 = 37 + 37 = 74, тогда 38 · 2 = 76 и 39 · 2 = 78. — А я — так: 37 · 2 = (30 + 7) · 2 = 30 · 2 + 7 · 2 = 60 + 14 = 74; 38 · 2 = (30 + 8) · 2 = 30 · 2 + 8 · 2 = 60 + 16 = 76. Вычисли значение произведения 13 · 7. Полезно обсудить оба варианта: 6 · 7 + 7 · 7 = 42 + 49 = 91; 10 · 7 + 3 · 7 = 70 + 21 = 91. • По какому правилу составлены пары выражений? Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? а) 21 · 5 б) 39 · 2 в) 29 · 3 (20 + 1) · 5 (30 + 9) · 2 (20 + 9) · 3 • Какое выражение «лишнее» в каждом столбце? а) (8 + 6) · 4 б) 2 · (37 + 24) 4 · (8 + 6) (37 + 24) · 2 4·8+8 37 · 2 + 24 · 2 8·4+6·4 (37 + 24) + (37 + 24) • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждом столбце одинаковы? Ответь на вопрос, не вычисляя значений выражений. а) (7 + 5) · 3 б) 7 · 3 + 5 · 3 в) 3 · 7 + 3 · 5 (5 + 7) · 3 3 · (7 + 5) 7 · (5 + 3) 7·3+5·3 7 · (5 + 3) (7 + 5) · 3 В результате выполнения обсуждения вышеприведенных заданий школьники делают вывод: «При умножении двузначного числа на однозначное можно представить двузначное число в виде суммы разрядных слагаемых и воспользоваться распределительным свойством умножения». 203 Задание 4.10. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения которых учащиеся овладевают умением умножать двузначное число на однозначное. В основе вычислительного приема при делении двузначного числа на однозначное лежит свойство деления суммы на число. Процесс формирования данного приема целесообразно сориентировать на усвоение учащимися общего способа действий, при котором делимое представляется в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число. Овладев этим способом, ребята смогут выполнять вычисления различных случаев деления двузначного числа на однозначное. Для организации деятельности учащихся можно использовать учебные задания. Вычисли значение выражения 52 : 4. Можно представить 52 в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 4. В этом случае можно разделить на 4 каждое слагаемое и полученные результаты сложить. (28 + 24) : 4 = 28 : 4 + 24 : 4 = 7 + 6 = 13 (20 + 32) : 4 = 20 : 4 + 32 : 4 = 5 + 8 = 13 • Какие еще выражения можно составить, пользуясь этим правилом? • Какие числа нужно вставить в «окошки», чтобы получились верные равенства? (30 + ) : 3 = 30 : 3 + : 3 ( + ) : 5 = : 5 + : 5 ( + ) : 6 = : 6 + : (32 + 16) : = 32 : + 16 : • Запиши выражения в виде частного двух чисел. Найди значения всех выражений. а) (30 + 15) : 3 б) (30 + 9) : 3 в) (30 + 36) : 6 (40 + 24) : 4 (40 + 8) : 4 (40 + 28) : 4 (60 + 24) : 6 (50 + 5) : 5 (50 + 15) : 5 (60 + 36) : 6 (60 + 6) : 6 (60 + 12) : 6 Задание 4.11. Приведите рассуждения учащихся при выполнении вышеприведенных заданий. Составьте свои задания, которые можно использовать для формирования у детей умения делить двузначное число на однозначное. При делении двузначного числа на двузначное учащиеся пользуются приемом подбора частного. В основе этого приема лежит взаимосвязь компонентов и результатов действий умножения и деления. 204 Для организации деятельности класса, направленной на «открытие» и усвоение приема деления двузначного числа на двузначное, можно предложить задание «Составь верные равенства, используя данные числа: 96, 6, 16». Для его выполнения учащиеся могут воспользоваться уже известными им вычислительными приемами и правилами о взаимосвязи компонентов и результатов действий умножения и деления. Возможны два способа действия. 1. Умножить меньшее двузначное число на однозначное и получить равенство 16 · 6 = 96. Пользуясь переместительным свойством умножения, записать второе равенство 6 · 16 = 96. Теперь можно воспользоваться правилом: «Если значение произведения разделить на один множитель, то получим другой множитель», — и записать еще два равенства, удовлетворяющих условию задания: 96 : 6 = 16; 96 : 16 = 6. 2. Разделить двузначное число на однозначное, пользуясь правилом деления суммы на число, и записать равенство 96 : 6 = 16. Теперь можно воспользоваться правилами: «Если значение частного умножить на делитель, то получим делимое»; «Если делимое разделить на значение частного, то получим делитель», — и записать равенства: 16 · 6 = 96; 96 : 16 = 6. В процессе обсуждения приведенных выше способов выполнения задания дети приходят к выводу, что при делении двузначного числа на двузначное целесообразно пользоваться приемом подбора частного. При умножении разрядных десятков (сотен, тысяч) на однозначное число (90 · 4; 70 · 8; 800 · 4) и при делении разрядных десятков (60 : 20; 80 : 40; 90 : 30) также используются приемы устного умножения и деления. Вычисление результата в первом случае сопровождается рассуждением: 9 дес. · 4 = 36 дес.; 8 сот. · 4 = 32 сот. Вычисление результата во втором случае объясняется так: нужно узнать, сколько раз 2 дес. содержится в 6 дес. В более сложных случаях (560 : 80) ученики, пользуясь таблицей умножения или соответствующими случаями деления, подбирают частное. Задание 4.12. Подберите или составьте сами задания, в процессе выполнения которых учащиеся овладевают умением делить двузначное число на двузначное. 205 4.7. АЛГОРИТМЫ ПИСЬМЕННОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ В вузовском курсе математики вы рассмотрели в общем виде алгоритмы сложения и вычитания натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления1. Безусловно, младшие школьники не могут усвоить алгоритмы письменного сложения и вычитания в общем виде. Но учителю знать их необходимо. Это позволит ему: а) при ознакомлении учащихся с алгоритмом правильно организовать подготовительную работу; б) управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма; в) подбирать и составлять различные задания, нацеленные на усвоение операций, входящих в алгоритмы письменного сложения и вычитания. Общие описания алгоритмов даются учащимся начальных классов в упрощенном виде, где фиксируются только основные моменты: • второе слагаемое (вычитаемое) нужно записать под первым (под уменьшаемым) так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом; • сложение (вычитание) следует начинать с низшего разряда, т.е. складывать (вычитать) сначала единицы. Другие операции, входящие в алгоритмы, либо разъясняются младшим школьникам на конкретных примерах, либо осознаются ими в процессе выполнения специально подобранных упражнений. Для формирования общего способа действий целесообразно познакомить учеников начальных классов с алгоритмами письменного сложения и вычитания после того, как они познакомятся с пятизначными и шестизначными числами. При этом их деятельность должна быть направлена не на отработку частных случаев сложения и вычитания, а на осознание тех операций, которые входят в алгоритмы. Для этого уже при изучении нумерации полезно обратить внимание детей на то, как изменяется цифра, стоящая в определенном разряде данного числа при его увеличении (уменьшении) на разрядные единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. В процессе этих упражнений учащиеся осознают соотношение разрядов, их «переполнение» и значение каждой цифры в записи числа. Это способствует сознательному усвоению механизма письменного сложения и вычитания. 1 206 См.: Стойлова Л.П. Математика. М.: Академия, 2012. С. 317, 320. Приступая к изучению алгоритмов письменного сложения, учащимся полезно предложить следующие задания. На сколько можно увеличить число 308287, чтобы в его записи изменились цифры, стоящие в разрядах единиц и десятков, а цифры в других разрядах остались те же? Ответы учащихся могут быть различными. Например: +308287 +308287 11 12 308298 308299 Следует обсудить: 1) на сколько увеличено в каждом случае шестизначное число; 2) возможны ли другие варианты ответа на поставленный вопрос. Сколько однозначных чисел можно прибавить к числу 235438, чтобы в его записи изменились только цифры, стоящие в разряде единиц и десятков? Запиши ответы числовыми равенствами. В результате обсуждения этих заданий дети самостоятельно делают вывод: если получаем в соответствующем разряде 10 единиц или больше 10 единиц, то изменяется цифра следующего высшего разряда. Этот вывод позволяет учащимся выполнить такое задание. • Вычисли значение суммы 3502 + 121346. Маша выполнила задание так: 121346 + 3502 124848 Миша так: 121346 + 3502 471546 Кто допустил ошибку и в чем ее причина? Цифры, обозначающие число десятков, сотен, тысяч и т.д., переносимые в высший разряд, можно фиксировать в записи сложения над соответствующим разрядом: 111 +3875 1968 5843 207 Вряд ли целесообразно знакомить детей одновременно с алгоритмами письменного сложения и письменного вычитания, используя для этой цели взаимосвязь сложения и вычитания. Например: 11 1 +2156 –6031 –6031 3875 3875 2156 6031 2156 3875 В данном случае важно решить другую учебную задачу, а именно: помочь детям овладеть сначала одним способом действия — алгоритмом письменного сложения, а затем другим способом действия — алгоритмом письменного вычитания. Поэтому к знакомству со вторым алгоритмом следует приступить только после того, как будет усвоен первый алгоритм. При знакомстве учащихся с алгоритмом письменного вычитания, так же как и письменного сложения, полезно предложить такие задания. • Выбери верную запись и найди значение разности 987654 – 73521. а) 987654 б) 987654 – – 73521 73521 • В случае перехода в другой разряд использовать такие записи: 1 т.1 с. 1 д. 1) 37418 2) 37418 – 5579 5579 31839 31839 • На сколько можно уменьшить число 28746, чтобы в его записи изменились цифры, стоящие в разряде единиц и десятков, а цифры в других разрядах остались те же? Маша выполнила задание так: 28746 28746 – – 12 32 28739 28738 А Миша — так: 28746 28746 – – 7 8 28739 28738 Кто верно выполнил задание: Маша или Миша? Можно ли выполнить это задание по-другому? Объясни, почему Миша записал в разряде десятков цифру 3. Сравни свое объяснение с рассуждениями Маши и Миши. Маша. Он вычитал единицы из числа 16. Это 1 десяток и 6 единиц. 208 – Миша. Верно. Я «взял» 1 десяток из разряда десятков, так как не мог из 6 вычесть 8. Для повторения ранее изученных понятий следует варьировать формулировки заданий, при выполнении которых дети будут упражняться в письменных вычислениях. • Увеличь число 30875 в 3 раза и догадайся, как найти значение произведения. • Уменьши число 95004 на 4273. Верно ли утверждение, что значение разности будет больше, чем 90000? Проверь ответ, выполнив вычитание в столбик. • Не вычисляя значений выражений, поставь знаки < или >, чтобы получились верные неравенства: а) 9999 + 9999 63003 + 13004; б) 384 + 1987 999 + 998; в) 18007 + 270018 100004 + 180007; г) 6002 – 5999 6002 – 599; д) 80000 – 9999 800000 – 9999. Проверь ответы, выполнив вычисления в столбик. • Запиши пять чисел, в которых 80 тысяч. Увеличь каждое на 8739. Вычисли значения сумм в столбик. Как ты можешь проверить свой ответ? Задание 4.13. Подберите или составьте сами задания, при выполнении которых дети повторяют ранее изученные вопросы в процессе усвоения алгоритмов письменного сложения и вычитания. 4.8. АЛГОРИТМ ПИСЬМЕННОГО УМНОЖЕНИЯ Из курса математики вам известно, что письменное умножение опирается: • на запись числа в десятичной системе счисления; • таблицу умножения однозначных чисел; • законы сложения и умножения; • таблицу сложения однозначных чисел. Поэтому младшие школьники знакомятся с алгоритмом письменного умножения после изучения всех названных понятий. Применяя знание разрядного состава числа и свойство умножения суммы на число, они могут умножать любое многозначное число на однозначное с помощью устных вычислений. Но большинство из них легко справляются с этой задачей только в том случае, если нет перехода в другой разряд: 324 · 2; 1233 · 3; 4232 · 2 и т.д. 209 При выполнении вычислений для случая с переходом в другой разряд возникает необходимость фиксировать промежуточные результаты в том или ином виде: а) 426 · 3 = (400 + 20 + 6) · 3 = 1200 + 60 + 18; б) 426 · 3 = 1200 + 60 + 18 = 1278. Для сложения промежуточных результатов иногда приходится пользоваться алгоритмом письменного сложения: 9347 · 8 = 9000 · 8 + 300 · 8 + 40 · 8 + 7 · 8 72000 + 2400 320 56 74776 Это затрудняет решение вычислительной задачи, поэтому возникает необходимость познакомить детей с алгоритмом письменного умножения, или умножением в столбик. Практика показывает, что для освоения учащимися алгоритма письменного умножения полезно сопоставить устные и письменные вычисления. 284 · 4 = (200 + 80 + 4) · 4 = 200 · 4 + 80 · 4 + 4 · 4 = 800 + 320 + + 16 = 1136 31 +800 ×284 320 4 16 1136 1136 Обучая ребят записи умножения в столбик, надо обратить их внимание на то, что при умножении, так же как при сложении, второе число (множитель) записывается под первым так, чтобы его разряды были под соответствующими разрядами первого множителя. ×375 ×375 ×375 3 31 284 Объясняя детям механизм умножения в столбик, следует подчеркнуть, что: 1) умножение, так же как и сложение, начинаем с единиц низшего (первого) разряда; 2) записывая полученный результат, следим за тем, чтобы каждый разряд числа, полученного в значении произведения, записывался под соответствующим ему разрядом. 210 Например, приступая к умножению чисел 426 · 3, важно прежде всего выполнить правильную запись в столбик. (Второй множитель содержит 3 единицы, значит, цифру 3 нужно записать под разрядом единиц первого множителя.) 1 ×426 3 1278 Затем следует обратить внимание на то, что умножение начинаем с единиц низшего разряда: 6 · 3 = 18; 18 — это 1 дес. и 8 ед. Но так как в разряде единиц можно записать только цифру, обозначающую единицы, то пишем в разряде единиц 8, а 1 дес. запоминаем. Ученики легко справляются с этими операциями, так как они уже выполняли их при сложении чисел в столбик. Тем не менее возможно появление такой ошибки: дети сначала прибавляют к 2 дес. первого множителя 1 дес., который они запомнили, а после этого выполняют умножение десятков. Причиной такой ошибки может быть та последовательность операций, которая имела место при сложении чисел в столбик. А именно: некоторые учителя при сложении в столбик рекомендуют детям сразу прибавить ту разрядную единицу, которую запомнили, к соответствующей разрядной единице первого слагаемого, а затем уже к полученному результату прибавить единицы соответствующего разряда второго слагаемого. Обосновывается такая последовательность операций тем, что маленькие ученики могут забыть число, которое запоминали, поэтому лучше его прибавить сразу. Это не совсем верно. Лучше ориентировать их на такую последовательность операций: сначала складываем разрядные единицы первого и второго слагаемых, затем прибавляем то число, которое запомнили. Это поможет уменьшить количество ошибок при умножении в столбик. После знакомства учащихся с алгоритмом умножения на однозначное число не следует сразу приступать к выполнению умножения в столбик, отрабатывая различные частные случаи умножения на однозначное число, т.е. умножение трехзначного числа на однозначное, четырехзначного числа на однозначное, случай, когда в первом множителе отсутствуют разрядные единицы (408 · 7; 40016 · 5). Гораздо важнее, чтобы дети осознанно усвоили последовательность операций, входящих в алгоритм. Для этой цели полезно предлагать такие задания. 211 • Объясни, как выполнено умножение «в столбик». 38514 30214 × × 7 5 269598 151070 • Вставь пропущенные цифры, чтобы запись была верной. 4008 57012 × × 8 6 3264 422 • Не вычисляя значений выражений, записанных слева, выбери правильный ответ из чисел, записанных справа, если для каждого выражения из столбца слева есть его значение в столбце справа. 3907 · 7 7904 5429 · 8 64840 2078 · 7 14546 8105 · 8 43432 1976 · 4 27349 Так как умножение начинается с единиц низшего разряда, то для получения ответа достаточно проверить последнюю цифру, т.е. выполнить только умножение единиц (табличное умножение). При составлении таких заданий необходимо соответствующим образом подбирать выражения (в результате не должно получаться чисел, оканчивающихся одинаковой цифрой). • Найди ошибку в вычислениях. (Причина ошибки может быть связана с незнанием таблицы умножения, умножением числа на нуль или с тем, что ученик не прибавил число, которое запомнил.) 5006 5006 5006 × × × 7 7 7 35742 35002 35812 • Подумай, сколько знаков будет содержать значение каждого произведения. Проверь себя, выполнив умножение «в столбик». 724 · 3 9875 · 5 1428 · 4 44381 · 9 2095 · 6 6321 · 2 Учащиеся могут рассуждать так: в числе 724 содержится 7 сот. Если 7 сот. умножить на 3, то получится 21 сот., а это четырехзначное число. Следовательно, в значении первого произведения содержится четыре знака. Не менее важно, чтобы дети понимали, что способ записи, с которым они познакомились на первом уроке изучения алгоритма, 212 правомерен и для случая умножения чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число: ×720 ×3700 6 6 Но для того чтобы не выполнять лишних операций, которые связаны с умножением нуля на число, принято делать такую запись: ×720 ×3700 6 6 Она позволяет перенести в ответ нули, стоящие на конце первого множителя. Для осознания этого факта целесообразно предложить задание. Сравни записи в каждой паре и найди значение первого произведения. 130 ⋅ 5 2300 ⋅ 4 13 дес. ⋅ 5 23 сот. ⋅ 4 Знание переместительного свойства умножения позволяет учащимся применять алгоритм умножения на однозначное число и для нахождения произведения, в котором первый множитель — число однозначное, а второй — многозначное. Для этого нужно только переставить множители и воспользоваться для вычисления результата алгоритмом умножения на однозначное число. Знание сочетательного свойства умножения позволяет пользоваться алгоритмом письменного умножения на однозначное число и в том случае, когда второй множитель можно представить в виде произведения однозначного числа и числа, записанного единицей с нулями: 375 · 50 = 375 · (5 · 10) = (375 · 5) · 10 375 · 500 = 375 · (5 · 100) = (375 · 5) · 100 375 · 5000 = 375 · (5 · 1000) = (375 · 5) · 1000 Для письменных вычислений в этом случае используется запись: ×375 ×375 ×375 50 500 5000 Алгоритм умножения на однозначное число можно также применить при вычислении произведения, в котором первый множитель — любое число, оканчивающееся нулями, а второй множитель — число, которое можно представить в виде произведения однозначного числа и числа, записанного единицей с нулями: ×375000 700 213 Алгоритм письменного умножения на однозначное число — основа овладения учащимися алгоритмом письменного умножения на двузначное и трехзначное числа. Это необходимо показать детям. Для этой цели второй множитель (двузначное число) представляется в виде суммы разрядных слагаемых: 62 · 47 = 62 · (40 + 7) = 62 · 40 + 62 · 7 Пользуясь алгоритмом умножения на однозначное число, ученики вычисляют первое и второе произведения, затем складывают полученные результаты. После этого учителю нужно только показать более компактную запись выполненных операций. Можно предложить классу записи в столбик умножения на двузначное число, а дети сами попробуют объяснить выполненные действия. В этом случае целесообразно подобрать пары записей и выяснить сначала, в чем их сходство и различие. ×3785 ×3785 ×26 ×126 3 13 16 16 11355 11355 156 756 + + + 3785 26 126 49205 416 2016 Комментируя действия, связанные с выполнением записи в столбик, следует ввести понятия «первое неполное произведение» (оно получается при умножении данного числа на число, обозначенное цифрой, стоящей в разряде единиц второго множителя), «второе неполное произведение» (оно получается при умножении данного числа на число, которое обозначается цифрой, стоящей в разряде десятков второго множителя). Для осознанного усвоения операций, входящих в алгоритм умножения на двузначное число, полезно предложить детям сравнить и проанализировать следующие записи: ×62 ×62 ×62 47 47 47 434 434 434 + + + 2480 248 248 2914 2914 682 В результате проведенного анализа учащиеся сами делают вывод, какая запись неверная, какая — верная и какой из верных записей удобнее пользоваться. Алгоритм умножения на трехзначное число целесообразно рассматривать в сравнении с алгоритмом умножения на двузначное число. 214 При знакомстве с умножением на трехзначное число можно также использовать анализ выполненных действий в следующих заданиях. • Объясни, как вычислено значение произведения слева и справа. 375 24 1500 + 750 9000 × 24 × 375 120 168 + 72 9000 • Догадайся, почему второе неполное произведение записано начиная с разряда сотен. 234 402 468 + 936 94068 × 507 × 304 2028 + 1521 154128 • Подумай, как удобнее записать вычисления «в столбик». Найди значения произведений. 4 · 9375 640 · 7 6380 · 26 80 · 1401 • Используя запись умножения в столбик, найди значения выражений. 38 57 266 + 190 2166 × 38 ⋅ 7 38 ⋅ 50 266 + 1900 2166 – 1900 2166 – 266 Задание 4.14. Подберите или сами составьте задания, которые вы предложите учащимся при изучении алгоритма письменного умножения. 4.9. АЛГОРИТМ ПИСЬМЕННОГО ДЕЛЕНИЯ Из курса математики вам известно, что письменное деление рассматривается как действие деления с остатком. Поэтому сознательное овладение алгоритмом письменного деления во многом зависит от умения находить остаток при делении одного числа на другое. Основой этого умения является усвоение взаимосвязи между делимым, делителем, неполным частным и остатком, ко215 торая находит выражение в равенствах: a = b · q + r; r = a – b · q, где a — делимое; b — делитель; q — неполное частное; r — остаток. Помимо деления с остатком для успешного овладения алгоритмом письменного деления ученики должны усвоить разрядный и десятичный состав числа и взаимосвязь компонентов и результатов умножения и деления. Однако формирование у младших школьников навыков письменного деления зависит не только от усвоения ими математических понятий и способов действий, лежащих в основе алгоритма, но и от того, как будет построен процесс усвоения нового действия, т.е. алгоритма письменного деления. В методике начального обучения математике нашли отражение различные подходы к организации деятельности учащихся, нацеленной на овладение алгоритмом письменного деления. Возможен, например, подход, при котором последовательно рассматриваются различные частные случаи деления чисел. Так, при делении на однозначное число сначала рассматривается случай, когда первое неполное делимое выражается однозначным числом, обозначающим количество сотен: 794 : 2; 984 : 4; 985 : 5; 681 : 3, затем отрабатывается умение делить числа для случая, когда первое неполное делимое — двузначное число, обозначающее количество десятков (376 : 4) или сотен (1984 : 8). Далее отрабатывается умение делить числа для случаев, когда в частном отсутствуют единицы какого-либо разряда: 4680 : 3, 432 : 4. После этого — случай деления с остатком, затем случай деления чисел, оканчивающихся нулями: 5130 : 90; 2580 : 30; 46800 : 600; 37600 : 400. Отдельно отрабатывается умение делить на двузначные и трехзначные числа. При этом сначала рассматривается случай, когда в частном получается однозначное число; затем — когда в частном получается двузначное число; потом случай деления на двузначное число с остатком; затем деление на дву значное число, когда в частном получается трехзначное число, в котором отсутствуют единицы одного разряда. При делении на трехзначное число сначала рассматривается случай, когда в частном получается однозначное число, затем — когда в частном получается двузначное число. Таким образом, при данном подходе выделяются 12 частных случаев, каждый из которых рассматривается по определенному плану. 1. Комментируется (объясняется) образец записи деления. 2. Пользуясь образцом, учащиеся решают аналогичные примеры (закрепляют данный случай деления). 216 3. Выполняются упражнения, включающие решение примеров как нового случая деления, так и ранее рассмотренных. Вряд ли целесообразно использовать описанный выше подход в системе развивающего обучения математике, основной целью которого является овладение школьниками общими способами действий (в том числе и метаумениями) и формирование умения самостоятельно и осознанно использовать их в различных частных случаях. Поэтому рассмотрим подробнее другой подход к изучению алгоритма письменного деления, который сориентирован не на «отработку» частных знаний, умений и навыков, а на развитие мышления детей и усвоение ими общего способа действия. Одна из особенностей этого подхода заключается в том, что подготовительная работа к изучению алгоритма письменного деления начинается в теме «Деление с остатком». В ней ученики знакомятся с записью деления «уголком», используют при делении с остатком способ подбора частного, позволяющий сконцентрировать их внимание на взаимосвязи умножения и деления, на способе нахождения остатка и на том, что остаток должен быть меньше делителя. Подготовительная работа к знакомству с алгоритмом письменного деления, проводимая в теме «Деление с остатком», позволяет для постановки новой учебной задачи и актуализации знаний, умений и навыков, необходимых для осознания и усвоения нового способа действия, использовать такое задание. Сможешь ли ты без калькулятора проверить, какие записи верные, а какие неверные? а) 972 : 27 = 36 б) 324 : 62 = 5 (ост. 12) 581 : 7 = 83 526 : 74 = 7 (ост. 8) 482 : 123 = 4 789 : 56 = 14 (ост. 5) 384 : 4 = 97 257 : 8 = 31 (ост. 9) Используя знания о взаимосвязи компонентов и результатов деления (без остатка и с остатком), ученики находят неверные равенства в столбце а) и неверные записи в столбце б). При этом в некоторых случаях они могут сделать вывод, не выполняя умножения в столбик. Например, в равенстве 384 : 4 = 97 достаточно умножить 7 · 4 = 28, чтобы сделать вывод, что данное равенство неверное, так как в разряде единиц делимого должна стоять цифра 8. Проверяя другие равенства этого столбца, дети повторяют алгоритм письменного умножения. Аналогичная ситуация в записи 324 : 62 = 5 (ост. 12). Умножив 2 на 5 и прибавив к полученному 217 результату остаток 12, они получают в разряде единиц делимого цифру 2, а в записи дана цифра 4. Поэтому, не выполняя вычислений в столбик, можно утверждать, что эта запись неверная. Анализируя запись 257 : 8 = 31 (ост. 9), ученики отмечают, что остаток не может быть больше делителя. Учащимся также можно предложить составить верные равенства на деление, в которых делитель — однозначное число, а значение частного — число четырехзначное. Используя знания о взаимосвязи умножения и деления, дети придумывают любое четырехзначное число и умножают его на однозначное. В результате получают равенство, соответствующее данному заданию. Для постановки учебной задачи в этом случае достаточно вопроса: «А сможете ли вы найти значение частного, если делимое — четырехзначное число, а делитель — однозначное?». (Этому нужно научиться. Учебная задача поставлена.) Особенно важно уделить внимание соотнесению записи деления «уголком» с приемом устного деления, в основе которого лежит свойство деления суммы на число. Главное, чтобы ученики поняли: делимое нужно представить в виде суммы двух или трех слагаемых, каждое из которых делится на делитель. Рекомендуем сначала фронтально обсудить возможные варианты представления делимого в виде суммы двух или трех слагаемых и сделать на доске записи. Например: 275 : 5 = (250 + 25) : 5; 378 : 6 = (360 + 18) : 6; 465 : 5 = (450 + 15) : 5; 3792 : 6 = (3600 + 180 + 12) : 6. Применяя правило деления суммы на число, дети вычисляют значения выражений самостоятельно, выполняя записи в тетрадях, и сравнивают их с записями деления «уголком». –378 6 –465 5 –3792 6 –275 5 25 55 36 63 45 93 36 632 25 18 15 19 – 18 12 Полученные результаты полезно проверить, выполнив в тетрадях умножение в столбик: ×55 ×63 ×632 5 6 6 218 Задания предоставляют учащимся возможность не только упражняться в устных и письменных вычислениях, но и перенести известный им способ действия деления двузначного числа на однозначное на случаи деления трехзначных и четырехзначных чисел на однозначное число. Естественно, большинство ребят не смогут самостоятельно справиться с этой задачей, поэтому возникает необходимость (так же как при сложении, вычитании и умножении многозначных чисел) познакомить детей с новым способом действия (алгоритмом деления многозначного числа на однозначное). Усвоение нового способа действия и является той учебной задачей, которую ученики решают с помощью учителя. Приведем фрагмент урока, ориентируясь на который учитель может организовать деятельность класса при знакомстве с алгоритмом письменного деления. На доске записано выражение: 384512 : 8. 1. Начиная с высшего разряда, выдели в записи делимого такое число, при делении которого на данный делитель ты получишь однозначное число, не равное нулю. Это число называется «первое неполное делимое». Определи, какие разрядные единицы оно обозначает. Миша. Я понял! Число 3 не подходит, так как 3 : 8 = 0 (ост. 3), а с нуля запись чисел не может начинаться. Значит, первое неполное делимое 38. Оно обозначает десятки тысяч. 2. Определи количество цифр в значении частного. Это поможет тебе контролировать свои действия. Можешь обозначить эти цифры точками. Маша. В частном получится число, в котором 5 цифр, так как первое неполное делимое обозначает десятки тысяч. Поэтому первая цифра в частном будет тоже обозначать десятки тысяч. Если в числе есть десятки тысяч, значит, оно содержит и разряды тысяч, сотен, десятков и единиц. Я выполню такую запись: 384512 8 – ..... 3. Подбирай первую цифру частного, т.е. дели 38 на 8 и находи остаток. Помни, что остаток должен быть меньше делителя. Маша. Это просто! 38 : 8 = 4 (ост. 6); 6 < 8. Я запишу это «уголком» так: 384512 8 – 32 4.... 6 4. Запиши цифру следующего разряда рядом с остатком. Вот так: 219 384512 8 32 4.... 64 – У тебя получилось число 64. Это второе неполное делимое. Оно обозначает тысячи и состоит из остатка и единиц следующего низшего разряда. Выполни со вторым неполным делимым те же операции 3 и 4, что и с первым неполным делимым. Миша. Нужно разделить 64 на 8 и найти остаток. Остаток равен нулю. Записываю рядом с остатком единицы следующего разряда. Получаю 05. Так как начиная с нуля число не записывают, то цифру нуль в остатке можно не писать. Третье неполное делимое равно числу 5. Оно обозначает сотни. Я запишу это так: 384512 8 32 48... 64 – 64 05 Выполни с третьим неполным делимым такие же операции, как с первым и со вторым неполными делимыми. Маша. Делю 5 на 8. Получаю 0 и в остатке 5. Записываю это так: – 384512 8 32 480.. 64 – 64 5 – 0 5 – Миша. Теперь нужно записать цифру следующего низшего разряда рядом с остатком. Получим четвертое неполное делимое. Оно обозначает десятки. Его опять делим на 8 и находим остаток: 384512 8 32 4806. 64 – 64 5 – 0 51 – 48 3 – Маша. Последнее неполное делимое — 32. Оно обозначает единицы. Опять выполняю с ним операции 3 и 4. Я запишу это так: 220 384512 8 32 48064 64 – 64 5 – 0 51 – 48 32 – 32 0 – В остатке 0. Деление закончено. Можно записать равенство: 384 512 : 8 = 48 064 Проверим умножением, верно ли вычислено значение частного: 48 064 · 8 = 384 512 Результаты проведенной работы можно обобщить в памятке. 1. Выделяю первое неполное делимое и объясняю, какие разрядные единицы оно обозначает. 2. Определяю количество цифр в значении частного. 3. Подбираю первую цифру в значении частного. 4. Умножаю число, записанное этой цифрой, на делитель. 5. Вычитаю полученный результат из неполного делимого и нахожу остаток. 6. Записываю цифру следующего разряда делимого рядом с остатком. Получаю второе неполное делимое и повторяю пункты 3–6. При усвоении общего способа действия (алгоритма письменного деления) учащиеся рассматривают различные случаи деления. Важно, чтобы задания были направлены не только на получение результата, но и на анализ предлагаемых выражений с точки зрения тех операций, которые входят в алгоритм письменного деления. • Выпиши выражения, значения которых содержат: а) две цифры; б) три цифры; в) четыре цифры. 125 : 5 6123 : 3 1635 : 5 2712 : 4 75 : 5 413 : 7 21007 : 7 1089 : 9 24516 : 9 Проверь свои ответы, выполнив вычисления. Для определения количества цифр в частном школьники выделяют первое неполное делимое и, пользуясь знанием десятичного 221 состава числа, называют количество цифр в частном. (125 : 5. Первое неполное делимое — 12 дес., значит, первая цифра в частном обозначает десятки. Частное содержит две цифры.) Только после выполнения первой части задания ученики приступают ко второй его части — вычислению результата способом деления «уголком». • Объясни, почему при делении одного и того же числа на однозначное число в одном случае получается шестизначное число, а в другом — пятизначное. Выполни деление «уголком». 357 675 : 3 = 119 225 357 675 : 5 = 71 535 Последующие задания также требуют от детей, прежде всего, осмысления операций, входящих в алгоритм, а затем уже выполнения вычислений. • Выполни деление: 1534 : 9. Маша действовала так: 1534 9 9 17 63 – 63 4 ост. – Миша — так: 1534 9 9 170 63 – 63 4 ост. – Кто прав: Миша или Маша? • Запиши значение каждого выражения, не выполняя деления «уголком». Проверь себя, выполнив деление «уголком». 926 926 : 926 574 574 : 574 302 302 : 302 565 656 : 56 13 451 345 : 1345 18 181 818 : 18 • Не вычисляя значений выражений, разбей их на две группы. 18 144 : 756 19 920 : 83 10 116 : 12 52 140 : 395 93 177 : 609 27 744 : 68 24 660 : 548 11 999 : 13 • Не вычисляя значений выражений, поставь знаки < или >, чтобы получились верные неравенства. 77 875 : 35 89 936 : 73 222 136 576 : 44 254 877 : 53 77 875 : 35 254 877 : 53 136 576 : 44 89 936 : 73 • Пользуясь записью слева, найди значения выражений справа. 34 ⋅ 700 25623 34 – 238 753 34 ⋅ 50 182 34 ⋅ 3 + 21 – 170 25 623 : 753 123 – 102 21 Задание 4.15. Подберите или составьте сами задания, которые вы можете предложить детям для овладения алгоритмом письменного деления. Глава 5. ОБУЧЕНИЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ 5.1. ПОНЯТИЕ «ЗАДАЧА» В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие, т.е. ту часть, где содержатся сведения об известных и неизвестных числах или значениях величин, об отношениях между ними, и требование, т.е. указание на то, что нужно найти. Рассмотрим примеры математических заданий из курса начальных классов, которые, ориентируясь на структуру, можно назвать задачами. Поставь знаки <, >, =, чтобы получились верные записи: 3 5; 8 4. Условие задачи — числа 3 и 5, 8 и 4. Требование — сравнить эти числа. Реши уравнение: x + 4 = 9. В условии дано уравнение. Требование — решить его, т.е. подставить вместо х или, пользуясь правилом о взаимосвязи значения суммы и слагаемых, найти такое число, чтобы при его подстановке в уравнение вместо х получилось истинное равенство. Выбери из данных фигур те, из которых можно сложить прямоугольник. Здесь в условии даны треугольники. Требование — сложить прямоугольник. Для выполнения каждого требования применяется определенный метод или способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на построение, доказательство, преобразование, комбинаторные задачи, логические, арифметические и т.д. Традиционно в начальном курсе математики понятие «задача» используется, когда речь идет об арифметических задачах. Они 224 формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют текстовыми, сюжетными, вычислительными, а для их решения выполняют арифметические действия. При обучении младших школьников математике решению этих задач уделяется большое внимание, что обусловлено следующим. 1. В сюжетах арифметических задач находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребенка. Это помогает ему осознать реальные количественные отношения и зависимости между различными объектами (величинами) и тем самым углубить и расширить свои представления о реальной действительности. 2. Решение арифметических задач позволяет ребенку осознать практическую значимость тех математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе математики. 3. В процессе их решения у ребенка формируются общеучебные умения: — выделять данные и искомое, условие и вопрос; — устанавливать взаимосвязь между ними, строить умозаключения; — моделировать; — проверять полученный результат. 5.2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В НАЧАЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Понятие «решение задачи» можно рассматривать с различных точек зрения: решение как результат, т.е. как ответ на вопрос (требование) задачи, и решение как процесс нахождения этого результата. С точки зрения методики обучения решению задач на первый план выступает процесс нахождения результата, который, в свою очередь, тоже можно рассматривать с различных точек зрения. Во-первых, как метод нахождения результата (практический, арифметический, графический, алгебраический, схематический, геометрический, логический, комбинаторный, табличный и т.д.) и, во-вторых, как последовательность тех действий, которые входят в тот или иной метод. Рассмотрим, например, какими методами нахождения результата могут воспользоваться ученики начальной школы, решая простую задачу. Восемь яблок разложили по 2 на несколько тарелок. Сколько понадобилось тарелок? 225 Учащиеся могут решить эту задачу, не имея никакого представления о делении и о записи этого действия, а только опираясь на свой жизненный опыт и владея счетом от 1 до 8. Для этого они отсчитают 8 яблок, положат 2 на одну тарелку, затем 2 — на другую и т.д., пока не разложат все. Посчитав количество тарелок, ученики ответят на поставленный вопрос. Такой метод решения можно назвать практическим, или предметным. Его возможности ограничены, так как дети могут выполнить предметные действия только с небольшими количествами объектов. Усвоив смысл действия деления и его запись, можно решить эту задачу уже не практическим, а арифметическим методом, записав равенство: 8 : 2 = 4 (т.). Решить эту же задачу можно алгебраическим методом, рассуждая так: «Число тарелок неизвестно, обозначим их буквой х. На каждой тарелке — 2 яблока, значит, число всех яблок — это 2 · х. Так как из условия известно, что число всех яблок 8, то можно записать уравнение 2 · х = 8 и решить его: х = 8 : 2; х = 4». Ту же задачу можно решить графическим методом, изобразив каждое яблоко отрезком. Этот метод решения близок к практическому, но носит более абстрактный характер и требует специального разъяснения. Если для ответа на вопрос задачи нужно выполнить два и более действия, то такие задачи называют составными. Их так же, как и простые задачи, можно решить, используя различные методы. Рыбак поймал 10 рыб. Из них 3 леща, 4 пескаря, остальные — щуки. Сколько щук поймал рыбак? Практический метод. Обозначим каждую рыбу кругом. Нарисуем 10 кругов и обозначим пойманных рыб: л — лещи, п — пескари. л л л п п п п Для ответа на вопрос задачи можно не выполнять арифметические действия, так как количество пойманных щук соответствует тем кругам, которые не обозначены (их 3). Арифметический метод: 1) 3 + 4 = 7 (р.) — всего лещей и пескарей. 2) 10 – 7 = 3 (р.) — щуки. Для ответа на вопрос задачи выполнено два действия. 226 Алгебраический метод. Пусть х — пойманные щуки. Тогда количество всех рыб можно записать выражением: 3 + 4 + х — все рыбы. По условию задачи известно, что рыбак поймал всего 10 рыб. Значит: 3 + 4 + х = 10. Решив это уравнение, мы ответим на вопрос задачи. Графический метод. лещи пескари щуки Этот метод, так же как и практический, позволяет ответить на вопрос задачи, не выполняя арифметических действий. В числе методов решения задач можно назвать схематическое моделирование. В отличие от графического метода решения, который позволяет ответить на вопрос задачи, используя счет и присчитывание, схема моделирует только связи и отношения между данными и искомыми. Эти отношения не всегда возможно, а порой даже нецелесообразно представлять в виде символической модели (выражения, равенства). В этом случае для ответа на вопрос задачи достаточно смоделировать текст задачи в виде схемы. Покажем это на примере таких задач. В двух вагонах ехали пассажиры, по 36 человек в каждом вагоне. На станции из первого вагона вышло несколько человек, а из второго вагона вышло столько, сколько осталось в первом. Сколько всего пассажиров осталось в двух вагонах? В данном случае схема выступает как метод решения задачи и как форма ее записи. Вышло Осталось Осталось Вышло Ответ: в двух вагонах осталось 36 человек. Если цену учебника уменьшить в 3 раза, то получим цену блокнота. Блокнот в 3 раза дороже тетради. Краски в 9 раз дороже тетради. Хватит ли денег, которые мама дала для покупки учебника, на покупку красок? Ответ на вопрос задачи можно получить, если с помощью отрезков смоделировать данные в задаче отношения. 227 У. Б. Т. К. Ответ: денег на покупку красок хватит. Применяя знания о математических отношениях, школьники с удовольствием решают такие задачи. Возможен и комбинированный метод решения задач, при котором используются различные методы. При этом одни из них выполняют вспомогательную функцию, а другие или другой — основную. В этом случае для записи решения задачи арифметическим методом изображение схемы является методом вспомогательным, результаты анализа которого помогают записать решение задачи в виде числовых равенств. То есть для решения задачи сначала используется схематический метод, а затем — арифметический. Когда из гаража выехало 18 машин, в нем их осталось в 3 раза меньше, чем было. Сколько машин было в гараже? Решить эту задачу арифметическим методом сможет не каждый ребенок. Но если начертить схему, то от нее легко перейти к записи арифметического действия, результатом которого будет количество оставшихся машин. Осталось Было 18 м. Решение этой задачи арифметическим методом будет иметь вид: 1) 18 : 2 = 9 (м.) 2) 9 · 3 = 27 (м.) Ответ: 27 машин было в гараже. Пользуясь комбинированным методом, можно решить и такую задачу. В альбоме для раскрашивания — 48 листов. Часть альбома Коля раскрасил. Сколько листов осталось нераскрашенными, если Коля раскрасил в 2 раза больше, чем ему осталось? Если начертить схему, соответствующую задаче, то, используя затем арифметический метод, данную задачу можно решить в одно действие. 228 Раскрасил Осталось 48 : 3 = 16 (л.) Ответ: 16 листов. Если процесс решения задачи опирается на этапы исследовательской деятельности, то метод решения такой задачи можно назвать исследовательским, а саму задачу — исследовательской. В этих задачах сначала выдвигаются предположения (гипотезы) о возможных числовых значениях искомых данных, они проверяются с помощью вычислений, затем полученные результаты анализируются и выдвигаются новые предположения с учетом полученных результатов. То есть процесс решения задачи осуществляется по алгоритму. Начало Выдвигаем предположение (гипотезу) Проверяем предположение (гипотезу) Нет Гипотеза подтвердилась? Да Конец Исследовательский метод для большинства задач является комбинированным, так как он может состоять из различных вспомогательных методов. Приведем примеры задач, которые решаются исследовательским методом. Олеся, Надя и Юра бросали баскетбольный мяч в корзину. Каждый сделал 6 бросков. Все попали мячом в корзину разное число раз, а всего оказалось 13 попаданий. Надя попадала мячом в корзину чаще всех. Сколько раз попала мячом в корзину Надя? Решение задачи начинается с анализа условия и выдвижения предположения: «Так как Надя попадала мячом в корзину чаще 229 всех, а каждый сделал по 6 бросков, значит, самое большое число попаданий Нади может быть 6». Предположим, что Надя попала 6 раз, тогда Олеся и Юра вместе попали 13 – 6 = 7 раз. Рассуждения по поводу попаданий Олеси и Юры удобно оформить в таблице. Олеся Юра 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 Варианты 6 + 1 и 1 + 6 не подходят по условию задачи: «Надя попадала мячом в корзину чаще всех». Значит, возможны варианты 5 + 2; 4 + 3; 3 + 4 и 2 + 5. Предположим, что Надя попала 5 раз, тогда Олеся и Юра вместе попали 13 – 5 = 8 раз. По 4 раза они не могли попасть, так как это противоречит условию: «Все попали мячом в корзину разное число раз», а 5 + 3 и другие варианты невозможны по условию, потому что «Надя попадала мячом в корзину чаще всех». Значит, предположение, что Надя попала 5 раз неверно, т.е. Надя попала 6 раз. Для подарков кондитер Ольга Ивановна делает конфеты ручной работы двух видов. «Сладкоежка» «Бим-Бом» Сколько конфет каждого вида сделала Ольга Ивановна, если она перекрутила фантики 18 раз, а всего конфет получилось 13? Для решения данной задачи тоже подходит исследовательский метод, который начинается анализом условия и выдвижением предположений. Предположим, что все 13 конфет были «Бим-Бом», тогда кондитер Ольга Ивановна перекрутила бы фантики 13 раз, а по условию она их перекрутила 18 раз, т.е. на 5 раз больше. Таким образом, 5 конфет Ольга Ивановна перекрутила по 2 раза, значит, конфет «Сладкоежка» было 5, а «Бим-Бом» — 13 – 5 = 8. Аналогично можно построить рассуждения на основе другой гипотезы. Предположим, что все 13 конфет были «Сладкоежка», тогда кондитер Ольга Ивановна перекрутила бы фантики 13 · 2 = 26 раз, а по условию она их перекрутила 18 раз, т.е. на 26 – 18 = 8 раз больше. 230 Таким образом, 8 конфет Ольга Ивановна перекрутила по 1 разу, значит, конфет «Бим-Бом» было 8, а «Сладкоежка» — 13 – 8 = 5. 5.3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АРИФМЕТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ Начальный курс математики ставит своей основной целью научить младших школьников решать задачи арифметическим методом, который сводится к выбору арифметических действий, моделирующих связи между данными и искомыми величинами. В начальных классах используются различные формы записи решения задач арифметическим методом: • по действиям; • по действиям с пояснением; • с вопросами; • выражением. У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 — на вторую, остальные — на третью. Сколько книг на третьей полке? 1. Решение по действиям: 1) 28 + 12 = 40 (к.) 2) 90 – 40 = 50 (к.) Ответ: 50 книг на третьей полке. 2. По действиям с пояснением: 1) 28 + 12 = 40 (к.) — на первой и второй полках вместе. 2) 90 – 40 = 50 (к.) — на третьей полке. Ответ: 50 книг. 3. С вопросами: 1) Сколько книг на первой и второй полках вместе? 28 + 12 = = 40 (к.) 2) Сколько книг на третьей полке? 90 – 40 = 50 (к.) Ответ: 50 книг на третьей полке. 4. Выражением: 90 – (28 + 12). При записи решения задачи выражением можно вычислить его значение. Тогда запись решения задачи будет выглядеть так: 90 – (28 + 12) = 50 (к.). Ответ: 50 книг на третьей полке. Не следует путать такие понятия, как «решение задачи различными методами» (практический, арифметический, графический, алгебраический), «различные формы записи того или иного метода решения задачи», например арифметического метода решения задачи (по действиям, выражением, по действиям с пояснением, с вопросами) и «решение задачи различными арифметическими 231 способами». В последнем случае речь идет о возможности установления различных связей между данными и искомыми, а следовательно, о выборе других действий или другой их последовательности для ответа на вопрос задачи. Например, рассмотренную выше задачу можно решить другим арифметическим способом: 1) 90 – 28 = 62 (к.) — на второй и третьей полках. 2) 62 – 12 = 50 (к.) — на третьей полке. Ответ: 50 книг на третьей полке. В качестве другого арифметического способа можно рассматривать и такое решение этой задачи: 1) 90 – 12 = 78 (к.) — на первой и третьей полках. 2) 78 – 28 = 50 (к.) — на третьей полке. Ответ: 50 книг на третьей полке. Задание 5.1. Пользуясь понятиями «способы» и «формы записи» решения задач арифметическим методом, рассмотрите два варианта решения задачи разными способами. Какой вы считаете верным? • Из двух городов, расстояние между которыми 520 км, вышли навстречу друг другу два поезда и встретились через 4 часа. Один поезд шел со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью шел второй поезд? Вариант 1 Способ 1 Способ 2 1) 60 · 4 = 240 (км) (520 – 60 · 4) : 4 2) 520 – 240 = 280 (км) 3) 280 : 4 = 70 (км/ч) Вариант 2 Способ 1 Способ 2 1) 60 · 4 = 240 (км) 520 : 4 – 60 2) 520 – 240 = 280 (км) 3) 280 : 4 = 70 (км/ч) Выполните задание 5.1 по отношению к следующей задаче. • У одной закройщицы было 15 м ткани, у другой — 12 м. Из всей ткани они скроили платья, расходуя на каждое по 3 м. Сколько всего платьев они скроили? Вариант 1 Способ 1 Способ 2 1) 15 + 12 = 27 (м) 15 : 3 + 12 : 3 2) 27 : 3 = 9 (п.) Ответ: 9 платьев скроили. Вариант 2 Способ 1 Способ 2 1) 15 : 3 = 5 (п.) 15 : 3 + 12 : 3 2) 12 : 3 = 4 (п.) 3) 5 + 4 = 9 (п.) Ответ: 9 платьев скроили. 232 Задание 5.2. Подберите 2–3 задачи, которые можно решить различными арифметическими способами. 5.4. РАЗЛИЧНЫЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОДХОДЫ К ОБУЧЕНИЮ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Все многообразие методических рекомендаций, связанных с обучением младших школьников решению задач, целесообразно рассматривать с точки зрения двух принципиально отличающихся друг от друга подходов. Один подход нацелен на формирование у детей умения решать определенные типы задач, сначала простых, а затем составных. В русле этого подхода простая задача является основным средством формирования представлений младших школьников о смысле понятий «сложение» и «вычитание», «увеличить на…», «уменьшить на…», «разностное сравнение» и далее «умножение», «увеличить в…», «деление», «уменьшить в…» и «кратное сравнение». В соответствии с этим подходом к решению арифметических задач действиями сложения или вычитания ребята приступают в первом классе. На этом этапе арифметический метод решения задач, связанный с выбором и записью арифметического действия, обычно дополняется практическим методом решения задачи, при котором используются предметы, рисунки, прием драматизации задачного сюжета или условные обозначения объектов задачи. Поэтому можно сказать, что простые задачи на этом этапе решаются практическим методом, а оформление решения задачи арифметическим методом осуществляется формально и необходимости в нем фактически нет, так как ответ на вопрос задачи уже получен. Следует отметить и другую противоречивую особенность данного подхода: знакомя первоклассников со структурой задачи (условие, вопрос), обычно используют однообразные текстовые конструкции, которые всегда начинаются с условия, содержащего данные или известные, затем всегда следует вопрос, содержащий слово «сколько». Получается, что в основе механизма решения простых задач лежит опознание ребенком образцов условий уже известных ему типов задач. Деятельность по решению простой задачи в таком случае носит репродуктивный характер. Отсюда не случайно появление в методике такого термина, как «навык решения задач». Преобладающим методом обучения решению составных задач также является «показ способов решения определенных видов 233 задач и значительная, порой изнурительная практика по овладению ими»1. Поэтому многие школьники решают задачи лишь по образцу. А встретившись с задачей незнакомого типа (вида), заявляют: «А мы такие задачи не решали». Цель другого подхода — научить детей выполнять семантический и математический анализ текстовых задач, выявлять взаимосвязи между условием и вопросом, данными и искомыми. Этот подход сориентирован на формирование обобщенных умений: читать задачу, выделять условие и вопрос, устанавливать взаимосвязь между ними, осознанно использовать математические понятия при выборе арифметических действий для ответа на вопрос задачи. Процесс решения задач (простых и составных) рассматривается при этом подходе как переход от словесной модели к модели схематической, или символической. Естественно, учащиеся должны быть подготовлены к такой деятельности. Отсюда следует, что знакомству с текстовой задачей должна предшествовать специальная работа по формированию математических понятий и отношений, которые будут использоваться при решении текстовых задач. Так как процесс решения задач связан с выделением посылок и построением умозаключений, необходимо научить младших школьников (до знакомства с задачей) логическим приемам мышления (анализ и синтез, сравнение, обобщение), которые они будут использовать в процессе обучения решению задач. Не менее важно для учащихся к этому времени приобрести определенный опыт в соотнесении предметных, текстовых, схематических и символических моделей. Таким образом, готовность школьников к знакомству с текстовой задачей предполагает сформированность: а) навыков чтения; б) представлений о смысле действий сложения и вычитания, их взаимосвязи, понятий «увеличить (уменьшить) на…», «разностного сравнения» (для этой цели целесообразно использовать не решение простых типовых задач, а соотнесение предметных, вербальных, графических, схематических и символических моделей); в) умений понимать и удерживать цель задания, действовать по инструкции, находить ошибки и корректировать их, высказывать и обосновывать свою точку зрения, строить понятные высказывания, участвовать в диалоге, описывать предметные ситуации и переводить их на язык схем и математических символов, чертить, складывать и вычитать отрезки, переводить текстовые ситуации в предметные и схематические модели. Другими словами, до зна1 234 Фридман Л.М., Турецкий Е.И. Как научиться решать задачи. М., 1989. С. 3. комства с задачей ученикам полезно овладеть не только предметными (математическими) знаниями и умениями, но метапредметными (познавательными, регулятивными и коммуникативными), которые необходимы для формирования умения решать задачи. 5.5. МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ОБУЧЕНИЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ Работа, проведенная на подготовительном этапе до знакомства с текстовой задачей, позволяет организовать деятельность учащихся, направленную на умение читать задачу, усвоение ее структуры и осознание процесса решения. При этом существенным является не отработка умения решать определенные типы (виды) текстовых задач, а приобретение опыта в семантическом и математическом анализе различных текстовых конструкций задач и формирование умения представлять их в виде схематических и символических моделей. Средствами организации этой деятельности являются специальные обучающие задания, включающие методические приемы сравнения, выбора, преобразования и конструирования. Освоению структуры задачи и овладению умением ее читать способствуют прием сравнения текстов задач и постановка различных вопросов к ее условию. Для этой цели предлагаются задания. • Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? 1. Возле дома — 7 яблонь и 3 вишни. Сколько фруктовых деревьев возле дома? 2. Возле дома — 7 яблонь, 3 вишни и 2 березы. Сколько фруктовых деревьев возле дома? Верно ли утверждение, что решения этих задач одинаковы? Выбери вопросы, на которые ты можешь ответить, пользуясь условием одной или другой задачи. 1. На сколько больше яблонь, чем вишен? 2. Сколько всего деревьев возле дома? 3. Сколько елок возле дома? • Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? 1. Из бочки взяли 10 ведер воды. Сколько ведер воды осталось в бочке? 2. В бочке — 40 ведер воды. Сколько ведер воды осталось в бочке? • Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? 1. В букете — 7 ромашек и васильки. Сколько цветов в букете? 2. В букете — 7 ромашек и 6 васильков. Сколько цветов в букете? 3. В букете — 7 ромашек и столько же васильков. Сколько цветов в букете? 235 В приведенных примерах использованы тексты задач: а) с недостающими и лишними данными; б) противоречивым условием и вопросом; в) вопросом, в котором спрашивается о том, что уже известно. Эти задания позволяют школьникам сделать первые шаги в осмыслении структуры задачи. Задание 5.3. Подберите или сами составьте задания, в процессе выполнения которых дети учатся анализировать текст задачи. С целью формирования умения выбирать арифметические действия для решения задач предлагаются задания, в которых используются следующие приемы. 1. Выбор схемы. • В портфеле — 14 тетрадей. Из них 9 — в клетку, остальные — в линейку. Сколько тетрадей в линейку лежит в портфеле? Маша нарисовала к задаче такую схему: 14 т. 9 т. ? т. Миша — такую: ? т. 14 т. 9 т. Кто из них невнимательно читал текст задачи? 2. Выбор вопросов. • От проволоки длиной 15 дм отрезали сначала 2 дм, потом еще 4 дм. Подумай, на какие вопросы можно ответить, пользуясь этим условием. 1. Сколько всего дециметров проволоки отрезали? 2. На сколько дециметров меньше отрезали в первый раз, чем во второй? 3. На сколько дециметров проволока стала длиннее? 4. Сколько дециметров проволоки осталось? 236 3. Выбор выражений. • На велогонках стартовало 70 спортсменов. На первом этапе с трассы сошли 4 велосипедиста, на втором — 6. Сколько спортсменов пришло к финишу? Выбери выражения, которые являются решением задачи: 6+4 6–4 70 – 6 70 – 6 – 4 70 — (6 + 4) 70 – 4 4. Выбор условия к данному вопросу. • Подбери условия к данному вопросу и реши задачу. Сколько всего детей занимается в студии? 1. В студии — 30 детей, из них 16 мальчиков. 2. В студии — мальчики и девочки. Мальчиков на 7 меньше, чем девочек. 3. В студии — 8 мальчиков и 20 девочек. 4. В студии — 8 мальчиков, а девочек — на 2 больше. 5. В студии — занимаются 8 мальчиков, а девочек — на 2 меньше. 5. Выбор данных, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на ее вопрос. • На аэродроме было 75 самолетов. Сколько самолетов осталось? Выбери данные, которыми можно дополнить условие задачи, чтобы ответить на поставленный в ней вопрос. 1. Утром прилетело 10 самолетов, а вечером улетело 30. 2. Улетело на 20 самолетов больше, чем было. 3. Улетело сначала 30 самолетов, а потом 20. 6. Изменение текста задачи в соответствии с данным решением. • Подумай, что нужно изменить в текстах задач, чтобы выражение 9–6 было решением каждой. 1. На двух скамейках сидели 6 девочек. На одной из них — 9. Сколько девочек сидело на второй скамейке? 2. В саду — 9 кустов красной смородины, а кустов черной смородины — на 6 больше. Сколько кустов черной смородины в саду? 3. В гараже — 9 легковых машин и 6 грузовых. Сколько всего машин в гараже? 7. Постановка вопроса, соответствующего данной схеме. • Коля выше Пети на 20 см, а Петя выше Вовы на 7 см. Рассмотри схему и подумай, на какой вопрос можно ответить, пользуясь данным условием. 237 К. 20 см П. 7 см В. 8. Объяснение выражений, составленных по данному условию. • Фермер отправил в магазин 45 кг укропа, петрушки — на 4 кг больше, чем укропа, и 19 кг сельдерея. Сколько всего килограммов зелени отправил фермер в магазин? Что обозначают выражения, составленные по условию задачи? 45 – 19 45 + 19 45 + 4 45 – 4 9. Выбор решения задачи. • Курица легче зайца на 4 кг, а заяц легче собаки на 8 кг. На сколько собака тяжелее курицы? На сколько курица легче собаки? Маша решила эту задачу так: 8 + 4 = 12 (кг). Миша — так: 8 – 4 = 4 (кг). Кто прав: Миша или Маша? К. З. С. Для самостоятельной работы учащихся можно использовать карточки с заданиями1, при выполнении которых у детей формируются умения анализировать условие задачи, устанавливать взаимосвязь между условием и вопросом и соотносить различные виды моделей. Например. Карточка 1 А. Прочитай условие задачи. В букете — 3 красные розы, 4 белые и 2 желтые. Б. Используя данное условие, запиши выражением ответ на каждый вопрос. 1 238 См.: Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 1, 2, 3, 4 классы. М.: ЛинкаПресс, 2015. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Сколько красных и желтых роз в букете? ____________________ Сколько красных и белых роз в букете? _____________________ Сколько белых и желтых роз в букете? ______________________ На сколько меньше красных роз, чем белых? _________________ На сколько больше красных роз, чем желтых? ________________ На сколько больше белых роз, чем желтых? __________________ На сколько меньше желтых роз, чем красных? _______________ Сколько всего роз в букете? ______________________________ Карточка 2 А. Рассмотри схему. 20 д. ? д. 1 д. Б. Используя данную схему, вставь пропущенные в задаче слова и числа. На одной стороне улицы — домов, а на другой — на дом ____. Сколько всего домов на улице? В. Запиши решение задачи: _______________________________ Карточка 3 А. Рассмотри схему: 12 м. 8 м. ? м. 36 м. Б. Используя схему, вставь пропущенные в тексте задачи слова и числа. В автобусе — мест. Детьми занято мест. Взрослыми занято 8 мест. Сколько свободных мест в автобусе? В. Закончи решение задачи разными способами: Способ 1 Способ 2 Способ 3 1) 12 + 8 = 1) 36 – 12 = 1) 36 – 8 = __________ __________ _________ __________ __________ _________ ______________________________________ Г. Используя условие данной задачи, ответь на вопросы. 1. Кого в автобусе больше — детей или взрослых — и на сколько? 2. На сколько свободных мест больше, чем мест, занятых детьми? 3. На сколько свободных мест больше, чем мест, занятых взрослыми? 239 Карточка 4 Вставь пропущенные в текстах задач числа, чтобы выражение 7 – 5 являлось решением каждой задачи. 1. В вазе — яблок и груш. На сколько больше в вазе яблок, чем груш? 2. В вазе — яблок. Из них красных, остальные зеленые. Сколько зеленых яблок в вазе? 3. В вазе — яблок и груш. За обедом съели все груши и яблок. Сколько фруктов осталось в вазе? Карточка 5 А. Прочитай задачу. Собака пробежала от колодца до дома 40 м, а потом в противоположном направлении пробежала 65 м. На каком расстоянии от колодца находится собака? Б. Обозначь на схеме известные и искомые величины. К. Д. В. Запиши решение задачи: _____________________________________________________ Карточка 6 Вставь пропущенные в тексте числа и слова, используя решение данной задачи: 1) 30 + 12 = 42 (д.); 2) 42 + 30 = 72 (д.). Лесник посадил дубков, а елей — на ________. Сколько всего деревьев посадил лесник? Карточка 7 А. Вставь пропущенные в задаче слова и числа, чтобы она соответствовала схеме. Ч. 2 к. С. 7 к. Б. В хозяйстве у дедушки — белые, серые и черные кролики. Черных кроликов — на ___________, чем серых, и на ____________________, чем белых. На сколько больше белых кроликов, чем серых? Б. Запиши решение задачи. ______________________________________________________ 240 Задание 5.4. Подберите или составьте сами задания для самостоятельной работы учащихся, в которых используются различные методические приемы обучения решению задач. Предлагая для самостоятельной работы на уроке решение задач, учитель может воспользоваться различными сочетаниями методических приемов. Например, детям нужно самостоятельно решить такую задачу. За лето первоклассники собрали 8 кг лекарственных трав, второклассники — на 4 кг больше первоклассников, а третьеклассники — на 3 кг меньше второклассников. Сколько килограммов лекарственных трав собрали третьеклассники? Прочитав задачу (это делает учитель или кто-то из детей), учащиеся приступают к ее решению. Учитель может ограничиться только одной рекомендацией: «Если вы нарисуете схему, соответствующую данной задаче, то это поможет вам решить ее». На самостоятельное решение задачи отводится время (7–10 мин). Учитель только наблюдает за деятельностью класса, не давая при этом никаких указаний и советов. После того как истечет время самостоятельной работы, педагог говорит детям: «Я наблюдала за вашей работой. Некоторые из вас нарисовали схемы, другие сразу записали решения. Давайте обсудим их». Учитель или ученики рисуют на доске схемы. Среди них могут быть как верные, так и неверные; все верные или все неверные. Учащиеся анализируют каждую схему, отвергают или принимают ее, обозначая на ней данные, соответствующие условию задачи. Можно записать на доске различные решения. А: 1) 8 + 4 = 12 (кг) Б: 1) 8 – 4 = 4 (кг) В: 1) 8 + 4 = 12 (кг) 2) 4 – 3 = 1 (кг) 2) 12 + 3 = 15 (кг) Г: 1) 8 + 4 = 12 (кг) Д: 1) 8 + 4 = 12 (кг) 2) 12 – 3 = 9 (кг) 2) 8 – 3 = 5 (кг) Анализируя каждое решение, дети выявляют допущенные ошибки. Работу с задачей можно продолжить, используя для этой цели другие методические приемы: выбор и постановку вопросов к данному условию, изменение условия в соответствии с данным решением. В одном случае учитель предлагает выбрать вопросы, на которые можно ответить, используя данное условие. 241 1. Сколько килограммов лекарственных трав собрали первоклассники и второклассники? 2. Сколько килограммов лекарственных трав собрали все классы? 3. На сколько меньше килограммов лекарственных трав собрали первоклассники, чем второклассники? (На вопрос можно ответить, не выполняя арифметического действия.) 4. На сколько больше килограммов лекарственных трав собрали второклассники, чем первоклассники? 5. Сколько килограммов лекарственных трав собрал первый класс? И т.д. В другом случае дети формулируют эти вопросы сами. Учитель может предложить изменить условие задачи, чтобы она решалась, например, так. А: 1) 8 – 4 = 4 (кг) Б: 1) 8 + 4 = 12 (кг) В: 1) 8 – 4 = 4 (кг) 2) 4 + 3 = 7 (кг) 2) 12 + 3 = 15 (кг) 2) 4 – 3 = 1 (кг) Рассмотрим на конкретном примере, как можно организовать самостоятельное решение задачи с последующим обсуждением. В кинотеатре — 300 мест. Сколько мест остались свободными, если для взрослых продано 90 билетов, а для детей — в 2 раза больше? После чтения задачи вслух учащиеся приступают к ее самостоятельному решению, на которое отводится по меньшей мере 8–10 мин. Учитель наблюдает за работой, выписывая на доске те способы решений, которые обнаружил в тетрадях. Хотя в некоторых случаях целесообразно записать и те способы (или способ), которых в тетрадях не оказалось, но при этом сказать классу: «Давайте обсудим решения, которые я увидела в ваших тетрадях». Например, на доске запись: 1) 90 · 2 = 180 (б.) 2) 300 – 180 = 120 (б.) Обсуждая этот способ решения, дети комментируют каждое действие, и большинство из них обнаруживает, что в решении не нашла отражения продажа еще 90 билетов для взрослых. Учащиеся заканчивают решение задачи, выполняя третье действие: 1) 90 · 2 = 180 (б.) 2) 300 – 180 = 120 (б.) 3) 120 – 90 = 30 (б.) 242 Затем обсуждаются еще три способа решения (при этом учитель старается привлекать тех детей, которые испытывали затруднение при самостоятельном решении задачи): 1) 90 · 2 = 180 (б.) 1) 300 – 90 = 210 (б.) 1) 90 · 3 = 270 (б.) 2) 180 + 90 = 270 (б.) 2) 90 · 2 = 180 (б.) 2) 300 – 270 = 30 (б.) 3) 300 – 270 = 30 (б.) 3) 210 – 180 = 30 (б.) Для обоснования последнего способа необходимо начертить схему: 90 б. В. Д. Используя ее, можно узнать, сколько продали взрослых и детских билетов: 90 · 3 = 270 (б.) Постановка различных заданий, в процессе выполнения которых ученики приобретают опыт анализа текста задачи, его преобразования и конструирования, оказывает положительное влияние на формирование умения решать задачи. Тем не менее это не исключает возможности использования в некоторых случаях аналитического, синтетического и аналитико-синтетического способов разбора, краткой записи или интерпретации задачи в виде таблицы. Но каждый раз следует вдумчиво подходить к тому, какой методический прием лучше применить, организуя деятельность учащихся, направленную на поиск решения задачи. Рассмотрим задачу. В коробке было 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки? Вряд ли целесообразно использовать аналитический способ разбора при решении этой задачи, так как в данном случае вам придется начать с вопроса: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» — и дети будут вынуждены только воспроизвести ее условие. То же можно сказать и относительно синтетического способа разбора, который связан с постановкой вопросов: «Что обозначает число 12? Число 20? Число 4?». Ребята легко ответят на вопросы, но это не поможет им в выборе действия. 243 Наверное, более эффективным окажется прием сравнения двух текстов, одним из которых является данный текст, а другой отличается от него вопросом. «В коробке было 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили зеленые хлопушки, а сколько — красные?» Сравнение текстов поможет детям правильно сориентироваться в ситуации, описанной в задаче, и выбрать арифметическое действие для ее решения. С этой же целью можно использовать прием преобразования текста, предложив ученикам такой вопрос: «Как нужно изменить условие данной задачи, чтобы ее решением было равенство 32 : 4 = 8?». Задание 5.5. Опишите подробно возможные варианты организации деятельности учащихся в процессе работы над задачами. • Люда собрала кленовых листьев в 6 раз больше, чем Аня, а Надя собрала листьев столько же, сколько Люда и Аня вместе. Сколько листьев собрала Аня, если Надя собрала 56 листьев? Сколько листьев собрала Люда? • В библиотеку привезли 9 пачек книг, по 5 штук в каждой. На одну полку поставили 15 книг, на вторую — 6, а оставшиеся книги расставили поровну еще на три полки. Сколько книг поставили на четвертую полку? • В соревнованиях по гребле участвовало 7 команд, по 5 человек в каждой, а в соревнованиях по стрельбе — 6 команд, по 9 человек в каждой. В каких соревнованиях было участников больше и на сколько? Приоритет обучающих заданий ни в коей мере не снижает контролирующую функцию. Но контроль следует организовать таким образом, чтобы он не вызывал у детей негативных эмоций и не создавал стрессовых ситуаций. Для этого со стороны учителя достаточно одной фразы типа: «Я соберу тетради и посмотрю, в каких вопросах нам необходимо еще разобраться». Аналогично организуется работа с задачами, математическое содержание которых связано с новыми понятиями и отношениями. В соответствии с курсом начальной математики это понятия умножения и деления, «увеличить (уменьшить) в…» и кратного сравнения. Для их усвоения также целесообразно использовать не простые задачи, а способ установления соответствия между предметными, схематическими и символическими моделями. Тем не менее нельзя не учитывать, что, приступая к изучению нового блока понятий, дети уже знакомы со структурой задачи, с ее решением, приобрели некоторый опыт в анализе ее текста и его интерпретации в виде схематической и символической моделей. 244 Поэтому в процессе усвоения новых понятий им предлагаются обучающие задания, связанные с решением задач, в которых используются различные методические приемы. Например, после изучения переместительного свойства умножения можно дать такое задание. • Вера и Надя сажали тюльпаны. Вера посадила 8 рядов, по 9 тюльпанов в каждом, а Надя — 9 рядов, по 8 тюльпанов. Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что Вера посадила столько же тюльпанов, сколько Надя? Пользуясь данным условием, объясни, что обозначают выражения: 72 + 72; 72 · 2; 8 · 9 – 8; 8 · 7; 9 · 5; 9 · 6 – 9. В процессе усвоения смысла умножения и понятия «увеличить в несколько раз» можно предложить учащимся решить задачи, используя для организации их деятельности различные методические приемы. • Тане 9 лет. Бабушка старше Тани в 7 раз. Сколько лет маме, если она моложе бабушки на 36 лет? Выбери схему, которая соответствует условию этой задачи: а) Т. Б. М. б) Т. Б. М. в) Т. Б. М. Используя правильную схему, объясни разные способы решения данной задачи: Способ 1 Способ 2 9 · 3 = 27 (л.) 1) 9 · 7 = 63 (г.) 2) 63 – 36 = 27 (л.) При изучении смысла деления, понятий «уменьшить в…» и кратного сравнения возможно выполнение таких заданий. • В зоомагазине рассадили хомяков и кроликов по клеткам. Для хомяков понадобилось столько клеток: 21 : 7, а для кроликов — 54 : 9. 245 Сможешь ли ты, пользуясь этими выражениями, ответить на вопросы. 1. Сколько хомяков было в магазине? 2. Сколько хомяков посадили в одну клетку? 3. Сколько кроликов было в магазине? 4. Сколько кроликов посадили в одну клетку? 5. На сколько больше было кроликов, чем хомяков? На какие еще вопросы ты можешь ответить, используя эти выражения? • Папа нашел в лесу 56 опят. Лисичек — в 8 раз меньше, чем опят. Подосиновиков — в 6 раз больше, чем лисичек, а белых — на 12 меньше, чем подосиновиков. На какие вопросы ты можешь ответить, не выполняя арифметических действий, а на какие — выполнив арифметические действия? 1. Во сколько раз опят больше, чем лисичек? 2. Сколько лисичек нашел папа? 3. Сколько подосиновиков нашел папа? 4. На сколько больше подосиновиков, чем лисичек? 5. Сколько опят и лисичек нашел папа? 6. Сколько всего подосиновиков и белых грибов? • Дети собирали грибы. Коля нашел 24 белых гриба, Вова — 8, а Маша — 4. На какие вопросы ты ответишь, выполнив следующие действия: 24 : 8; 24 – 4; 24 : 4; 8 – 4; 8 + 24; 8 + 4; 24 + 8 + 4; 8 : 4. • У Люды 5 значков. У Тани — в 3 раза больше, чем у Люды. У Кати значков столько, сколько их у Люды и у Тани вместе. Во сколько раз больше значков у Кати, чем у Люды? Выбери схему, соответствующую условию, и ответь на вопрос задачи. 1) Л. Т. К. 3) Л. Т. К. 2) Л. Т. К. 4) Л. Т. К. При изучении правила порядка выполнения действий целесообразно предложить такие задания. • В киоске до обеда было продано 57 журналов, по 45 рублей каждый, а после обеда 17 таких же журналов. Сколько денег было получено от продажи журналов? Запиши решение задачи выражением. 246 Миша выполнил задание так: 45 · 57 + 17. Маша — так: 45 · (57 + 17). Кто прав: Миша или Маша? Задание 5.6. Подберите или сами составьте задачи, которые целесообразно использовать при усвоении детьми смысла деления, понятий «уменьшить в несколько раз», «кратное сравнение», распределительного свойства умножения, деления суммы на число, и определите методические приемы работы с ними. 5.6. ОРГАНИЗАЦИЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ УЧАЩИХСЯ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ С ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ Особую сложность для младших школьников представляют задачи с пропорциональными величинами. Одна из причин возникающих у детей трудностей в процессе решения этих задач заключается в том, что понятие «пропорциональная зависимость» не является предметом специального изучения и усвоения в начальных классах. Связи между пропорцио нальными величинами раскрываются с помощью решения задач на нахождение одной из величин по данным, соответствующим значениям двух других величин (например, задача на нахождение стоимости по известным цене и количеству). Поэтому при решении задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать как уже рассмотренные методические приемы, так и те, которые способствуют формированию представлений о пропорциональной зависимости величин. В числе этих приемов можно назвать: а) изменение одного из данных задачи; б) сравнение результатов решения задач, в которых изменяется одно из данных; в) интерпретацию задачи в виде схемы, запись задачи в таблице; г) анализ текстов задач с недостающими и лишними данными. Например, учащимся можно предложить задачи с недостающими данными, при анализе которых они, пользуясь житейскими представлениями, сами употребляют термин «зависит». • Миша купил на 100 руб. кисточки и на 50 руб. — карандаши. Чего Миша купил больше: карандашей или кисточек? • Маша купила 5 тетрадей в клетку и 2 блокнота. За что она заплатила денег больше: за тетради или за блокноты? 247 Проанализировав тексты этих задач и поняв, что в них не хватает данных и что ответы на вопросы, поставленные в задачах, зависят от цены предметов, дети отвечают: «Это зависит от того, сколько стоит 1 блокнот, 1 тетрадь» и т.д. Чтобы разъяснить учащимся математический смысл понятия «зависит», необходимо проследить, как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой при постоянной третьей. Для этой цели можно воспользоваться приведенными задачами, дополнив их условие, или рассмотреть, например, простую задачу с недостающими данными. В палатку привезли 6 ящиков апельсинов. Сколько килограммов апельсинов привезли в палатку? Ученики сами обнаруживают, что ответить на вопрос задачи нельзя, так как неизвестна масса апельсинов в одном ящике. Выделенные величины полезно зафиксировать в таблице. Масса апельсинов в одном ящике (кг) Количество ящиков (ящ.) Общая масса апельсинов (кг) 6 ? Дети дополняют условие и решают задачу. Затем надо проследить, как будет изменяться общая масса в зависимости от изменения массы апельсинов в одном ящике при постоянном количестве ящиков или в зависимости от изменения количества ящиков при постоянной массе апельсинов в одном ящике. Для этого также целесообразно использовать таблицу. Масса апельсинов в одном ящике (кг) Количество ящиков (ящ.) Общая масса апельсинов (кг) 3 6 18 6 6 36 9 6 54 12 6 72 Анализ таблицы направляется вопросами. 1. Какая величина не изменяется? 2. Какие величины изменяются? 3. Во сколько раз масса апельсинов в 6 ящиках больше, чем масса апельсинов в 2 ящиках? Почему? 4. Во сколько раз масса апельсинов в 4 ящиках меньше, чем масса апельсинов в 12 ящиках? 248 Аналогичные наблюдения следует провести при условии изменения количества ящиков, но при постоянной массе апельсинов в одном ящике. Затем полезно рассмотреть обратную ситуацию, предложив школьникам такую задачу. • 24 кг помидоров разложили в 2 ящика, в 4 ящика, в 6 ящиков, в 3 ящика, в 8 ящиков. Сколько килограммов помидоров в одном ящике? Масса помидоров в одном ящике (кг) Количество ящиков (ящ.) Общая масса (кг) ? 2 24 ? 4 24 ? 6 24 ? 3 24 ? 8 24 При анализе данной таблицы выясняется: 1) какая величина не изменяется; 2) какие величины изменяются; 3) как они изменяются. Зависимость между количеством ящиков и массой помидоров в одном ящике при постоянной общей массе можно смоделировать с помощью схемы. Для этого в тетради ученики изображают пять отрезков по 24 клетки, каждый из которых соответственно делится на 2, 4, 6, 3, 8 одинаковых частей. Анализ схемы позволяет детям осознать зависимость между количеством ящиков и массой помидоров в одном ящике при постоянной общей массе. Использование названных методических приемов при решении простых задач подготавливает учащихся к решению составных задач с пропорциональными величинами. Для того чтобы дети не подходили формально к решению этих задач, необходимо варьировать в их сюжетах постоянную величину. Тогда запись задачи в таблице и ее схематическая интерпретация будут восприниматься ребенком в качестве необходимых операций и активизировать его мыслительную деятельность. В противном случае он будет ориентироваться на образец. Естественно, такой подход к решению задачи с пропорциональными величинами возможен в том случае, если с самого начала 249 знакомства с задачей велась целенаправленная работа по формированию умений анализировать текст задачи, выявлять в нем математические отношения, устанавливать взаимосвязь между данными и искомыми величинами и соотносить текстовую и схематическую модели задачи. Для выделения в тексте задачи пропорциональных величин удобно использовать таблицу, в которой верхняя часть может заменяться карточками с названиями различных величин. Например, длина одного куска проволоки, количество кусков проволоки, общая длина; скорость, время, расстояние; время чтения одной страницы, количество прочитанных страниц, общее время; масса одного ящика, количество ящиков и т.д. Цена (р.) Количество (шт.) Стоимость (р.) Если такие карточки заготовлены заранее, то учащиеся могут сами выбрать те из них, названия которых соответствуют величинам, рассматриваемым в задаче, и приготовить таблицу к работе, а затем самостоятельно заполнить ее. (Конкретные величины, представленные в задаче, записываются на доске мелом.) Покажем возможность варьирования постоянной величины в задачах, которые в методике обучения математике принято называть задачами на нахождение четвертого пропорционального. • Из 24 м ситца сшили 8 наволочек. Сколько таких же наволочек можно сшить из 15 м ситца? Расход ситца на 1 наволочку (м) Количество наволочек (шт.) Общий расход материала(м) Одинаково 8 24 Одинаково 7 15 Работая с таблицей, учителя часто ориентируют детей на внешние признаки: в верхней строке — две величины, находим третью. Теперь в нижней строке — две величины, находим третью. Это не совсем верно. Особенно в том случае, когда учащиеся решают большое количество однотипных задач. Некоторые из детей в этих случаях выполняют действия, «узнавая» расположение чисел в таблице, и не уделяют должного внимания анализу текста задачи. Поэтому при решении задач с пропорциональными величинами целесообразно использовать схемы. 250 Обозначаем отрезками общий расход ткани — 24 м и 15 м (не нужно соблюдать какой-либо масштаб, важно только, чтобы ребята понимали, что длина одного отрезка должна быть больше другого). Далее обозначаем маленькими одинаковыми отрезками расход ткани на одну наволочку. 24 м ... ... 15 м ... Анализируя схему, надо обратить внимание учащихся на то, что один и тот же отрезок одновременно обозначает и количество метров, и количество наволочек. (Чем больше ткани, тем больше наволочек; чем меньше ткани, тем меньше наволочек.) Теперь можно проверить эти рассуждения вычислениями: 1) 24 : 8 = 3 (м); 2) 15 : 3 = 5 (н.). Особое значение схематические модели имеют при решении задач с обратной пропорциональностью величин. Рассмотрим в качестве примера такую задачу. На чтение 5 страниц Андрей тратит столько же времени, сколько папа — на чтение 8 страниц. Сколько минут Андрей читает одну страницу, если папа прочитывает одну страницу за 5 минут? При анализе текста задачи полезно сначала задать детям вопросы. 1. Кто быстрее читает — папа или Андрей? Почему вы так думаете? 2. Кто больше (меньше) времени тратит на чтение одной страницы? 3. Кто быстрее прочитает книгу в 9, 15, 20 страниц — папа или Андрей? 4. Можно ли, пользуясь условием данной задачи, ответить на вопрос, сколько времени папа будет читать 8 страниц? (Если на чтение одной страницы он тратит 5 минут, то на чтение 8 страниц времени уйдет в 8 раз больше.) Если схема к задаче не дана в готовом виде, то необходимо обсудить с учащимися ее построение. В данном случае целесообразно обозначить отрезком одну страницу и зафиксировать над этим отрезком то время, за которое папа ее прочитает. 5 мин 251 Повторив этот отрезок 8 раз, мы построим отрезок, который будет обозначать 8 страниц и то время, которое папа тратит на их чтение. П. 5 мин Теперь можно обозначить страницы, которые прочитал Андрей. — Какие есть варианты? — спрашивает учитель. Важно обсудить все варианты, предлагаемые детьми, а если их не будет, то предложить несколько своих: начертить отрезок длиннее или короче данного, а школьники должны обосновать, почему эти варианты не подходят. Например: а) А. б) А. 5 мин 5 мин П. П. в) А. 5 мин П. Учащиеся выбирают схему в), так как данные отрезки обозначают время, которое тратит папа на чтение 8 страниц и Андрей — на чтение 5 страниц. Время одно и то же, поэтому отрезки — одинаковой длины. Теперь нужно на верхнем отрезке условно обозначить время, которое Андрей тратит на чтение одной страницы (отрезок должен быть длиннее нижнего маленького отрезка, так как за одно и то же время папа читает 8 страниц, а Андрей — только 5). Следует обсудить с детьми и такой вопрос: «На сколько частей надо разделить отрезок, чтобы показать на нем то время, за которое Андрей читал одну страницу?». (При этом не обязательно делить отрезок на 5 равных частей, важно только выяснить, длиннее он будет или короче, чем тот отрезок, который обозначает время, за которое папа читает одну страницу.) Только после проведенной работы можно заполнить таблицу, чтобы дети выделили те величины, которые рассматриваются в задаче. Время чтения Величины одной страницы Отец и сын (мин) Количество страниц (с) Общее время (мин) Папа 5 8 Одинаковое Андрей ? 5 Одинаковое 252 Задание 5.7. Опишите организацию деятельности учащихся при решении следующих задач. • Масса трех одинаковых коробок пряников равна 18 кг. Коробка зефира — на 2 кг легче коробки пряников. Чему равна масса 6 коробок зефира? • В 3 корзинах — столько же килограммов огурцов, сколько килограммов помидоров в пяти ящиках. Сколько килограммов огурцов — в одной корзине, если в одном ящике — 12 кг помидоров? Задание 5.8. Подберите или сами составьте задачи на нахождение четвертого пропорционального с различными величинами. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач. Использование схем при решении задач на нахождение четвертого пропорционального поможет учащимся самостоятельно найти способ решения таких видов задач с пропорциональными величинами, как задачи на пропорциональное деление и задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. • На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй — 40 л такого же бензина. Сколько заплатил за бензин каждый водитель, если вместе они заплатили 682 руб. 50 коп.? • На автозаправочной станции первый водитель залил в бак 25 л бензина, второй — 40 л такого же бензина. Первый заплатил на 157 руб. 50 коп. меньше, чем второй. Сколько заплатил за бензин каждый водитель? При решении этих задач так же, как и при решении задач на нахождение четвертого пропорционального, целесообразно использовать схему. Предложив, например, две вышеприведенные задачи, учитель рисует на доске три схемы и рекомендует учащимся самостоятельно выбрать ту задачу, которой соответствует каждая из них. Обосновав свой выбор, дети «оживляют» схему, т.е. обозначают на ней известные и искомые величины. а) б) в) 253 Для продуктивного анализа схем важно понять, что один и тот же отрезок обозначает на схеме и количество литров бензина, и количество денег, которые за него заплатили. Обозначив на схеме данные в задаче величины, получаем: 25 л 25 л 40 л 682 руб. 50 коп. 25 л 40 л 157 руб. 50 коп. 40 л 682 руб. 50 коп. Теперь необходимо обсудить с классом такие вопросы. 1. Кто заплатил денег больше? Почему? 2. Что обозначают выражения: а) 68 250 : 25; 68 250 : 40 (Эти выражения не имеют смысла.); б) 68 250: (25 + 40)? По отношению ко второй задаче можно обсудить выражения: 15 750 : 40; 15 750 : 25; 15 750 : (40 + 25); 15 750 : (40 – 25). Для организации самостоятельной работы с рассмотренными видами задач можно использовать карточки1. Карточка 1 А. Прочитай задачу. Туристы взяли в поход 42 банки консервов. Первые три дня они съедали по 4 банки консервов, а в остальные дни — по 6 банок. Сколько дней туристы были в походе? Б. Заполни таблицу. Расходовали в 1 день Количество дней Всего израсходовали В. Запиши решение задачи по вопросам. 1. Сколько банок консервов съели туристы за три дня? 2. Сколько банок осталось у туристов на остальные дни похода? 3. Сколько дней туристы съедали по 6 банок консервов? 4. Сколько дней туристы были в походе? 1 254 См.: Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 3 класс. Тетрадь по математике для общеобразовательных организаций. М.: Линка-Пресс, 2015. Карточка 2 А. Прочитай задачу. Шапка и шарф стоят 180 руб. Шарф дешевле шапки в 2 раза. Сколько стоит шапка? Б. Выбери схему, соответствующую данному условию. а) 180 руб. 180 руб. б) в) 180 руб. В. Используя схему, запиши решение задачи. Карточка 3 А. Прочитай условие задачи. В 4 одинаковых ящика разложили поровну 36 кг винограда. Б. Вставь пропущенные числа, исходя из условия задачи: 1) в одном ящике — кг винограда; 2) масса винограда в двух ящиках — кг; 3) чтобы разложить 72 кг винограда, потребуется ящиков; 4) в двух ящиках — на кг винограда меньше, чем в трех; 5) масса винограда в пяти ящиках — кг. Карточка 4 А. Вставь пропущенные в задаче числа, используя ее решение: (23 – 3) : 5 = 4 Сколько метров ткани идет на один костюм, если из куска ткани длиной м сшили одинаковых костюмов и еще осталось м ткани? Б. Проверь, хватит ли этого куска ткани на пошив 8 платьев, если на каждое расходовали бы по 3 м? Ответ: _______________________________________________ Карточка 5 А. Используя данную схему, вставь пропущенные в условии задачи числа и сформулируй вопрос задачи. 9м 9м 9м ?м 32 В куске — м ткани. Из этой ткани сшили одинаковых чехла для кресел, расходуя на каждый по м. 255 Б. Подумай, как по-другому можно сформулировать тот же вопрос задачи. Карточка 6 Пользуясь данным решением, вставь пропущенные в задаче слова и числа: 1) 33 – 22 = 11 (п.) 2) 33 : 11 = 3 (раза) За месяц в ателье сшили женских платья, а детских — на _______. Во сколько раз __________ сшили женских платьев, чем детских? Карточка 7 А. Прочитай задачу. В 6 ящиках — столько же килограммов груш, сколько килограммов яблок в трех ящиках. Какова масса яблок в одном ящике, если масса груш в одном ящике — 8 кг? Б. Дорисуй схему так, чтобы она соответствовала данной задаче, и обозначь на ней известные и искомые величины. Г. Я. В. Запиши решение задачи по действиям с пояснениями. Г. Догадайся, как, используя схему, можно записать решение задачи, выполнив одно действие. Д. Запиши к данному условию вопросы, на которые ты можешь ответить, выполнив арифметические действия. Карточка 8 А. Прочитай условие задачи. Ширина прямоугольника — 4 см, длина — в 3 раза больше. Б. Дорисуй схему, если ширина прямоугольника обозначена отрезком АВ. Ш. А Д. В В. Запиши пояснение к каждому выражению: 4·3 (4 · 3 + 4) · 2 4·2 4·3·2 4·2+4·3·2 Карточка 9 Заполни пустые клетки таблицы. 256 Длина Ширина Периметр Площадь прямоугольника 15 см 10 см 35 дм2 5 дм (9 + 6) ⋅ 2 см 3 см 27 см2 Задание 5.9. Продумайте и опишите организацию деятельности учащихся в процессе работы над задачами. Какие методические приемы вы используете? • В прямоугольнике одна сторона на 8 м больше другой. Найди площадь прямоугольника, если его периметр равен 28 м. • Света купила 6 м 50 см тесьмы, а Настя — на 4 м меньше. Сколько денег заплатила каждая девочка, если вместе они потратили на покупку 180 руб.? • Мастер может отштамповать 480 деталей за 4 часа. А ученику на выполнение этой работы потребуется времени в 3 раза больше. За сколько часов могут отштамповать 480 деталей мастер и ученик при совместной работе? • Макароны упаковали в одинаковые коробки. Масса 17 коробок на 32 кг больше, чем масса 9 коробок. Хватит ли 214 коробок для упаковки 970 кг макарон? Задание 5.10. Подберите или сами составьте задачи на пропорциональное деление с различными величинами. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач. Задание 5.11. Подберите или составьте сами задачи на нахождение неизвестного по двум разностям. Опишите организацию деятельности учащихся при решении этих задач. Традиционно сложилось так, что задачи с пропорциональными величинами, связанные с движением тел, выделяются в специальную тему: «Скорость. Время. Расстояние». Особенность этих задач в том, что при их решении используются схемы, которые отражают не отношения между величинами, а процесс движения. Опираясь на опыт ребенка при разъяснении понятия «скорость движения», следует иметь в виду, что, употребляя в своей речи слова «быстрее» и «медленнее», дети связывают их смысл с такой величиной, как время. Поэтому знакомство с понятием «скорость движения» можно начать с вопроса: «Как вы понимаете такую 257 фразу: “Автомобилист едет быстрее, чем велосипедист; пешеход идет медленнее, чем лыжник”?». Возможно, отвечая на этот вопрос, некоторые ребята используют понятие «скорость», но, разъясняя его смысл, они так или иначе обратятся к словам «быстрее — медленнее». (У одного скорость больше — он идет быстрее, у другого меньше — он идет медленнее.) В этом случае следует обсудить, что значит «быстрее» и «медленнее». Дети обычно объясняют это так: «быстрее» значит меньше времени; «медленнее» значит больше времени. В этом случае целесообразно предложить им проблемное задание. Боря идет до школы 10 минут, а Лена — 15. Подумайте, на какой вопрос вы можете ответить, а на какой — нет: 1. Кто тратит на дорогу времени больше (меньше)? 2. Кто идет быстрее, а кто медленнее? В процессе обсуждения выясняется, что ответить можно только на первый вопрос. Для ответа на второй вопрос необходимо знать расстояние, которое проходят Боря и Лена. Учитель дополняет условие: «Боря проходит расстояние 1 км, а Лена –1500 м». Важно, чтобы дети осознали обобщенную характеристику скорости как расстояния, пройденного за единицу времени, и в процессе решения задач использовали различные единицы скорости. Так, в данном случае нужно 1 км выразить в метрах и после этого найти скорость, с которой идет Боря: 1000 : 10 = 100 (м/мин), а затем скорость движения Лены: 1500 : 15 = 100 (м/мин). Получается, что Лена и Боря идут в школу с одинаковой скоростью. Дальнейшая работа связана с анализом конкретных ситуаций и их наглядной интерпретацией. Каждый час велосипедист проезжает 12 км, а пешеход проходит 4 км. 12 км В. П. 4 км 4 км 258 12 км 12 км 12 км За сколько времени велосипедист преодолеет данное расстояние? За какое время пройдет это расстояние пешеход? Подготавливая детей к решению задач, связанных с движением, необходимо повторить: • единицы длины — 1 км, 1 м, 1 дм, 1 см, 1 мм; • единицы времени — 1 ч, 1 мин, 1 с. После этого познакомить с различными единицами скорости: 1 км/ч, 1 км/мин, 1 м/мин, 1 см/мин. Так как задачи, связанные с движением, — это задачи с пропорциональными величинами, внимание ребенка необходимо акцентировать на зависимости между величинами «скорость», «время», «расстояние». Для этой цели можно нарисовать в тетради три отрезка, каждый длиною в 12 клеток. Один отрезок разделить на 2 части, другой — на 3, третий — на 4 и использовать данную модель для анализа конкретной ситуации. Один пешеход проходит расстояние 12 км за 2 ч, другой — за 3 ч, третий — за 4 ч. Покажите отрезок, который обозначает скорость каждого пешехода. Зафиксировав величины в таблице, можно проследить, как изменяется скорость в зависимости от изменения времени при постоянном расстоянии: Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км) 6 2 12 4 3 12 3 4 12 Анализируя таблицу, нужно обратить внимание детей на два момента: а) как связаны между собой величины, т.е. как, зная числовые значения двух величин, найти третью; б) как изменяется одна величина в зависимости от изменения другой, если третья величина постоянная (не изменяется). 259 Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км) 8 2 16 16 2 32 32 2 64 64 2 128 Скорость (км/ч) Время (ч) Расстояние (км) 40 2 80 40 4 160 40 6 240 40 8 320 Использование формул s = v · t; v = s : t; t = s : v на данном этапе нежелательно, так как оно носит формальный характер. Но при этом детям можно сказать, что скорость, время и расстояние условились обозначать специальными буквами. С первых уроков изучения данной темы, основной целью которой является формирование у учащихся умения решать задачи с пропорциональными величинами (скорость, время, расстояние), полезно включать задания (задачи), требующие перевода одних единиц скорости в другие. Скорость одного пешехода — 50 м/мин, а другого — 4 км/ч. За какое время первый пешеход пройдет 12 км? За какое время это расстояние пройдет второй пешеход? Выделив имеющиеся в задаче величины (расстояние, скорость) и искомую (время), необходимо обратить внимание на единицы, в которых выражена каждая величина. В связи с тем что расстояние выражено в километрах, единицы скорости нужно преобразовать. Выполнение таких преобразований позволяет учащимся активно использовать ранее усвоенные знания. А именно: если сказано, что за 1 мин пешеход проходит 50 м, то выразить данную величину в километрах младший школьник не может, поэтому он сначала выясняет, сколько метров пройдет пешеход за 1 ч. Так как 1 ч — это 60 мин, а за 1 мин пешеход проходит 50 м, значит, за 60 мин он пройдет расстояние в 60 раз больше: 50 · 60 = 3000 (м). 260 Имеем скорость 3000 м/ч. Теперь можно расстояние выразить в километрах: 3000 м = 3 км. Получаем: 50 м/мин = 3 км/ч. Для формирования у ребят представлений о скорости полезно предлагать задачи, в которых ответ на вопрос не нуждается в вычислениях. • Мальчики соревновались в беге на 100 м. Коля пробежал дистанцию за 16 с, Боря — за 15 с, а Вова — за 18 с. Кто бежал с большей скоростью? • Таня и Лена живут на одной улице. Они одновременно выходят в школу. Т. Л. Шк. 1. Догонит ли Таня Лену, если Таня идет со скоростью 4 км/ч, а Лена — 5 км/ч? 2. Догонит ли Таня Лену, если они идут с одинаковой скоростью? • Скорость полета сокола — 23 м/с, а орла — 1800 м/мин. Сможет ли орел догнать сокола, если между ними 15 м, 20 м, 10 м? Каждая из приведенных задач решается устно и фронтально обсуждается на уроке. В последней задаче скорости нужно выразить в единицах одного наименования. Решение задачи можно оформить в тетради в таком виде: 1 мин = 60 с; 23 · 60 = 1380 (м/мин); 1380 м/мин < 1800 м/мин. Ответ: у орла скорость больше, значит, он догонит сокола. Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли две машины. На каком расстоянии от одного и от другого города машины встретятся, если они едут с одинаковой скоростью? При решении задач на движение используются также схемы, отражающие как отношения между величинами, так и процесс движения. • Два пешехода двигались с одинаковой скоростью. Первый прошел 20 км, а второй — 12 км. С какой скоростью шли пешеходы, если один затратил на дорогу на 2 ч больше, чем другой? 20 км 12 км за 2 ч 261 • Два велосипедиста выехали навстречу друг другу в 10 ч утра и встретились в 13 ч. Сколько времени был в пути каждый велосипедист? Какое расстояние было между ними первоначально, если один ехал со скоростью 16 км/ч, а другой — 18 км/ч? 16 км/ч 18 км/ч 13 ч Помимо схем, целесообразно при решении задач на движение использовать различные сочетания методических приемов: сравнения, выбора, преобразования, конструирования. Для самостоятельной работы учащимся можно предложить задания на карточках1. Карточка 1 А. Прочитай условие задачи. Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через 3 часа. Скорость одного поезда — 65 км/ч, скорость другого — 53 км/ч. Б. Выбери схему, соответствующую данному условию, обозначь на ней известные и неизвестные в задаче величины. 1) А В С D 2) А В С D В. Запиши, что обозначают на схеме отрезки. АВ — _________________________________________________. СD — _________________________________________________. Г. Ответь на вопросы, выполнив арифметические действия. 1. Какое расстояние прошел до встречи первый поезд? 2. Какое расстояние прошел до встречи второй поезд? Карточка 2 А. Прочитай условие задачи. Из кинотеатра одновременно в противоположных направлениях вышли Света и Никита. Скорость Светы — 90 м/мин, Никиты — на 20 м/мин меньше. Б. Выбери схему, которая соответствует данному условию, и обозначь на ней известные величины. 1 262 См.: Истомина Н.Б. Учимся решать задачи. 4 класс. М.: Линка-Пресс, 2015. 1) 2) В. Ответь на вопросы, выполнив арифметические действия. 1. На каком расстоянии друг от друга окажутся Света и Никита через 1 минуту? 2. На каком расстоянии друг от друга окажутся Света и Никита через 6 минут? Г. Запиши условие задачи, соответствующее схеме, если скорости движения Светы и Никиты не изменятся. Д. Используя данное условие, ответь на вопрос: «На каком расстоянии друг от друга окажутся Света и Никита через 10 мин?». Способ 1 Способ 2 Карточка 3 А. Прочитай условие задачи. От городской площади одновременно отправились в одном направлении два мотоциклиста, один — со скоростью 60 км/ч, другой — 50 км/ч. Б. Используя условие данной задачи, вставь в предложения пропущенные числа: 1. Скорость первого мотоциклиста на ___ км/ч больше скорости второго мотоциклиста. 2. Через один час расстояние между мотоциклистами будет равно __ км. 3. Через три часа расстояние между мотоциклистами будет равно __ км. В. Используя данное условие, ответь на вопрос, выполнив арифметические действия: «Какое расстояние будет между мотоциклистами, когда первый проедет 300 км?». Задание 5.12. Подберите или сами составьте задачи с величинами «скорость», «время», «расстояние» на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, нахождение неизвестного по двум разностям. Опишите возможные варианты работы с этими задачами. Глава 6. УРОК МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ 6.1. РАЗЛИЧНЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ УРОКА МАТЕМАТИКИ В курсе дидактики вы познакомились с основными требованиями к современному уроку, типами уроков и их структурой. В методике конкретного предмета, в частности в методике начального обучения математике, все обстоит значительно сложнее, особенно со структурой урока. Это обусловлено тем, что при построении конкретного урока необходимо учитывать не только определенные этапы обучения, такие как актуализация знаний, изучение нового, закрепление, контроль, повторение, не только специфику математического содержания, но и основную цель курса, его логику и, соответственно, те методические подходы и приемы, которые способствуют ее достижению и находят отражение в школьных учебниках математики. Характеризуя урок с методической точки зрения, необходимо иметь в виду не только его внешнюю, но и внутреннюю структуру. Поясним различие между этими понятиями. Когда в дидактике говорят, что структура урока может быть различной, то имеется в виду его внешняя структура, т.е. этапы урока, на которых решаются те или иные дидактические задачи. Например, один и тот же тип урока «изучение нового» может иметь различную внешнюю структуру. • Первый вариант: а) проверка домашнего задания (подготовка к изучению нового); б) работа над новым материалом; в) закрепление нового материала; г) проверка прочности ранее усвоенных знаний, умений и навыков. • Второй вариант: а) проверка домашнего задания (повторение пройденного); б) изучение нового материала; в) закрепление нового материала; г) проверка результатов усвоения темы. 264 • Третий вариант: а) устный счет; б) изучение нового; в) проверка домашней работы; г) подготовка к выполнению домашней работы. Внутренняя же структура урока математики определяется содержанием и последовательностью учебных заданий, взаимосвязью между ними, отражает процесс усвоения учащимися математического содержания и характер их деятельности. С точки зрения внутренней структуры каждый урок — это определенная система заданий, в процессе выполнения которых ученик овладевает знаниями, умениями, навыками, продвигаясь в своем развитии. От того, какие задания подбирает учитель для данного урока, в какой последовательности их выстраивает, как организует деятельность класса, зависят достижение целей обучения, степень активности и самостоятельности учащихся. Учебные задания являются основным средством организации учебной деятельности школьников в процессе обучения математике. В них находят отражение цели, содержание, методы (приемы) и формы обучения. Через учебные задания реализуются мотивационные, развивающие, дидактические и контролирующие функции обучения. В дидактике учебные задания классифицируют по различным основаниям. В зависимости от этапов обучения выделяют задания: • на актуализацию знаний, умений и навыков; • связанные с изучением нового материала; • на закрепление знаний, умений, навыков; • применение знаний, умений, навыков; • повторение. В зависимости от характера познавательной деятельности школьников задания подразделяются: • на репродуктивные; • тренировочные; • частично-поисковые; • творческие. В зависимости от содержания материала задания могут включать: • решение задач; • вычисление значений выражений; • сравнение выражений; • решение уравнений и т.д. 265 В зависимости от той функции, которую выполняют задания в процессе обучения, их можно разделить на два вида: • обучающие; • контролирующие. В русле обучения, направленного на отработку знаний, умений и навыков, где процесс усвоения материала строится по схеме «объяснение (показ образца) — закрепление — применение — контроль», приоритет обычно отдается контролирующим заданиям. Они предлагаются учащимся обычно сразу после объяснения нового материала. Эти задания включаются в этапы закрепления, применения, повторения. Приоритет контролирующих заданий создает дискомфорт для тех детей, которые по тем или иным причинам не включились в этап объяснения или не поняли то, что говорил учитель. Такой же результат можно наблюдать и на этапе актуализации знаний, когда учитель предлагает так называемые задания на повторение. В большинстве случаев они носят репродуктивный характер и выполняют опять же контролирующую функцию. Тем самым процесс усвоения знаний, умений и навыков превращается фактически в контроль. Это оказывает негативное воздействие на мотивационную сферу учащихся. Познавательная мотивация отступает на второй план, а на первый план выдвигаются позиционные мотивы (мотивация благополучия или престижа), что отрицательно влияет на развивающий эффект обучения. В зависимости от характера познавательной деятельности учебные задания в этом случае выстраиваются на уроке обычно в такой последовательности: 1) задания на подражание, когда учитель дает образец выполнения, сопровождая свои действия необходимыми пояснениями, а ученики следят за показом этого образца и затем воспроизводят его, стремясь при этом достичь наибольшего сходства с ним; 2) тренировочные задания, требующие от школьников самостоятельного применения знаний, умений и навыков, приобретенных под руководством учителя, в условиях, аналогичных тем, в которых они формировались; 3) тренировочные задания, требующие от учащихся применения ранее приобретенных знаний (умений, навыков) в условиях, в большей или меньшей степени отличающихся от тех, которые имели место при их формировании; 4) частично поисковые или творческие задания, требующие от школьников активной мыслительной деятельности и самостоятельности в выборе способа действий. 266 Если соотнести эти виды заданий с этапами обучения, то объяснение нового в начальном курсе математики обычно связано с показом образца действий, закрепление — с выполнением тренировочных заданий второго типа, этап применения — с тренировочными заданиями третьего типа. На этом же этапе иногда включаются творческие (их называют нестандартными) задания, которые обычно предлагаются некоторым учащимся для самостоятельной работы или выполняются фронтально. Критерии оценки таких уроков в школьной практике: • количество решенных примеров и задач; • объем записей, выполненных учащимися в тетрадях; • правильные и быстрые ответы детей на вопросы, которые задает учитель; • разнообразие средств наглядности, дидактических игр и форм обучения. В развивающем курсе математики типы заданий, связанные с познавательной деятельностью учащихся, выстраиваются, можно сказать, в обратной последовательности, т.е. частично поисковые и творческие задания предлагаются детям на этапе введения новых понятий и способов действий (этап объяснения). Они выполняются в совместной деятельности учителя и учащихся, которая направлена на обсуждение возможных способов действий, выделение существенных признаков изучаемого понятия, осознание его взаимосвязи с ранее изученными вопросами. Результатом выполнения этих заданий является постановка новой учебной задачи, ее принятие и осознание школьниками. Затем предлагаются задания, которые нацелены на решение поставленной учебной задачи. В этом случае вряд ли можно говорить о тех тренировочных заданиях, которые описаны выше, так как при закреплении нового материала дети ориентируются не на образец, данный учителем, а на те существенные признаки и способы действий, которые они «открыли» в совместной деятельности. Это тоже частично поисковые задания. Ученики могут выполнить их самостоятельно или с помощью учителя, но каждое из них создает условия для активной мыслительной деятельности школьников и способствует пониманию учащимися нового вопроса. Тренировочные задания в развивающем курсе математики характеризуются вариативностью формулировок. Это могут быть задания: а) на сравнение (выделение признаков сходства и различия); б) классификацию; 267 в) выявление закономерности; г) установление причинно-следственных связей; д) соотнесение различных видов моделей. В вычислительных заданиях специально подбираются числовые выражения, при анализе которых дети активно используют математические понятия и приемы умственной деятельности. Задания на этапах постановки и решения учебной задачи носят обучающий характер. Их цель — создать методические условия не только для понимания и усвоения нового материала, но и для повторения ранее изученных вопросов. Основным средством, обеспечивающим эти условия, являются различные методические приемы: • неверный способ выполнения задания, который коллективно обсуждается; • сравнение данного задания с другим; • выбор способа действия, который соответствует данному условию, и др. Обучающие задания можно предложить детям и для самостоятельной работы с последующим обсуждением ее результатов. Для этого учитель (или дети) выписывает на доске различные варианты выполнения задания, которые педагог выявил в процессе наблюдения за самостоятельной работой учащихся. Эти варианты обсуждаются, отклоняются или принимаются. В результате делается вывод о правильном способе действия. Даже в том случае, если все ребята справятся с обучающим заданием, учитель не должен отказываться от его обсуждения. Он может написать на доске неверный вариант выполнения задания. В этом случае дети, сравнив этот вариант со своим, находят допущенную ошибку. В развивающей системе обучения на этапах постановки и решения учебной задачи используются обучающие задания, в которых: а) на первый план выдвигается их познавательная, развивающая и дидактическая функции; б) учитываются особенности восприятия младшего школьника (использование элементов игры, догадки, занимательности, «ловушки»); в) имеется возможность выполнять задания различными способами; г) максимально включаются в процесс выполнения заданий ранее изученные понятия и способы действий, что позволяет не заниматься повторением ранее пройденного материала в виде специального этапа обучения. 268 Структура развивающих уроков может быть различной. Вполне возможны такие уроки, на которых учебная задача будет только поставлена, а решение ее станет целью последующих уроков (двух, трех, а может быть, и более). Например, приступая к изучению нумерации четырехзначных чисел, учитель предлагает детям задания. • По какому признаку можно разбить числа на две группы: а) 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53; б) 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85; в) 45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72? Чем похожи числа во всех трех рядах? Увеличь каждое число первого ряда на 2 сотни и запиши полученные числа в порядке возрастания. Увеличь каждое число второго ряда на 7 сотен и запиши полученные числа в порядке убывания. Увеличь каждое число последнего ряда на 9 сотен и запиши числа в порядке возрастания. • По какому правилу записан ряд чисел? 991, 992, 993, 994, … Продолжи ряд, записав в нем еще 8 чисел. Если возникнет затруднение, воспользуйся калькулятором. По какому признаку можно разбить числа, записанные в ряду, на две группы? • Знаешь ли ты, как называется самое маленькое четырехзначное число? Набери на калькуляторе 1 тысячу. Какие клавиши ты нажимал(а)? Проверь: на экране должно быть число 1000. Прибавь к этому числу 1 тысячу, еще 1 тысячу, затем еще 1 тысячу… Наблюдай, что происходит на экране. Запиши в ряд числа, которые ты получал(а) на экране калькулятора. Чем похожи все эти числа? Догадайся: как называется новый разряд, который стоит на четвертом месте справа? • По какому правилу составлен каждый ряд чисел? Продолжи ряды, записав в каждом еще шесть чисел. Прочитай по-разному каждое число: а) 10, 20, 30, 40, … б) 100, 200, 300, 400, … в) 1000, 2000, 3000, 4000, … г) 1001, 1002, 1003, 1004, 1005, … В результате выполнения заданий учащиеся осознают новую учебную задачу — научиться читать и записывать четырехзначные числа. Но к ее решению они приступят только на следующем уроке. Возможны уроки и с такой структурой: на первом этапе учитель подготавливает своих учеников к восприятию новой учебной за269 дачи, на втором — ставит учебную задачу, а на третьем этапе дети приступают к ее решению, продолжая эту деятельность на последующих уроках. Наконец, возможны уроки, на которых учебная задача будет поставлена и решена. Таким образом, структура урока математики определяется: • целями обучения; • содержанием того материала, который учащиеся должны усвоить; • способами организации их деятельности, которыми владеет учитель. В развивающем курсе математики начальных классов урок сориентирован на внутреннюю структуру. Ее основные компоненты — учебные задачи и те учебные задания, которые способствуют их решению. Они носят частично поисковый характер и выполняют, прежде всего, обучающую и развивающую функции. Критериями оценки развивающих уроков являются логика их построения, направленная на решение учебной задачи, вариативность предлагаемых заданий и взаимосвязь между ними, продуктивная мыслительная деятельность учащихся, активное высказывание детьми самостоятельных суждений и способов их обоснования. 6.2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННОЕ ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ В УСЛОВИЯХ СИСТЕМНО-ДЕЯТЕЛЬНОСТНОГО ПОДХОДА Организация в школе дифференцированного обучения и его методическое обеспечение определяются целями образования и теми реальными условиями, в которых они реализуются. В педагогической литературе понятие «дифференцированное обучение» определяется как: «1) форма организации учебного процесса, при которой учитель работает с группой учащихся, составленной с учетом наличия у них каких-либо значимых для учебного процесса общих качеств; 2) часть общей дидактической системы, которая обеспечивает специализацию учебного процесса для различных групп учащихся»1. Методические исследования различных аспектов дифференцированного обучения математике в начальных классах стали проводиться в знаниевой парадигме сравнительно недавно, после того 1 270 Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: учеб. пособие. М.: Народное образование, 1998. С. 78. как в 1969 г. курс арифметики для начальных классов был заменен на курс математики. Современная нацеленность начальной школы на реализацию в практике системно-деятельностного подхода, ориентированного на «развитие личности обучающегося на основе усвоения универсальных учебных действий, познания и освоение мира… составляет цель и основной результат образования»1. При системно-деятельностном подходе к процессу обучения школьник является субъектом учебной деятельности. Учитель не сообщает готовых знаний, а помогает ученику добыть их, т.е. учит учиться. В условиях деятельностного подхода учитель — это организатор, исследователь, консультант. Его задача — создание условий, инициирующих самостоятельную учебную деятельность школьников. Таким образом, знаниевый и системно-деятельностный подходы к организации учебной деятельности учащихся имеют существенные различия, которые не могут не оказать влияние на обеспечение «специализации учебного процесса для различных групп учащихся»2 и каждого ученика. В исследованиях по проблемам дифференциации младших школьников в качестве критериев деления учеников на группы в знаниевой парадигме обычно использовались различные уровни (например, низкий, средний, высокий) тех или иных личностных качеств обучающихся: общих умственных и специальных способностей, интересов, склонностей, работоспособности, обучаемости, обученности, модальности и др. Для выявления уровней названных качеств применялись психологические методики. В массовой школьной практике учителю начальных классов трудно (даже с помощью психолога) объективно выявить уровни личностных качеств учащихся, так как для этого необходимы длительные наблюдения за детьми в различных учебных ситуациях. Поэтому в школьной практике при дифференциации учеников педагог ориентировался на результаты, т.е. на отметки тех работ, которые учащиеся выполняли самостоятельно. По аналогии с низким, средним и высоким уровнями в практике появились термины «слабые», «средние» и «сильные» ученики. На такие группы ученики делились уже в первом классе в результате проведения входной диагностики, целями которой являлись выявление особенностей их личностного развития и определение общего 1 2 Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. М.: Просвещение, 2016. С. 13. Селевко Г.К. Современные образовательные технологии: учеб. пособие. С. 78. 271 уровня готовности к школьному обучению. Дальнейшая организация дифференцированного обучения сводилась к тому, что «слабые» ученики работали в основном с тренировочными заданиями, ориентируясь на образец. Задания для «средних» учащихся сопровождались элементами помощи, которые могли быть общими или конкретными в зависимости от предметного содержания. «Сильным» младшим школьникам предлагались усложненные задания, в которых увеличивалось количество операций, выполняемых учащимися, или школьники должны были проявить самостоятельность в выборе способов действий, или им предлагались нестандартные инструкции и проч. Как видим, организованное таким образом дифференцированное обучение носило уровневый характер. Однако применение уровневой технологии дифференцированного обучения математике в начальных классах преждевременно по целому ряду причин. Во-первых, у большинства младших школьников только формируется интерес к математическому содержанию и процессу его изучения. Они не готовы самостоятельно выбирать уровень заданий, соответствующий их возможностям. Вовторых, выявление личностных особенностей младшего школьника требует от учителя не только владения психологическими диагностиками, но и длительных наблюдений. В противном случае вероятность ошибки определения группы, в которой способен работать ученик, достаточно высока. Это может негативно сказаться на его дальнейшей судьбе. В-третьих, переход из одной группы в другую теоретически возможен, но практически в «сильную» и даже «среднюю» группу «слабый» учащийся вряд ли перейдет, так как к выполнению более сложных заданий его почти не привлекают. Тем не менее в ходе успешного выполнения более сложного задания у школьника может возникнуть познавательная мотивация, и его учебная деятельность кардинально изменится. Особенностью знаниевой парадигмы является ее ориентация на высокий уровень усвоения содержания каждого учебного предмета, которая доступна не всем ученикам. В итоге обучающиеся из группы «слабых» редко достигают успеха. У них появляется неприязнь к изучению определенного учебного предмета. В результате ученики из «слабой» и «средней» групп превращаются в посредственных и неуспевающих школьников с комплексом неполноценности по отношению к учению, а отсутствие учебного успеха в дальнейшем приводит к полному нежеланию учиться. Ориентация большинства учащихся на обязательные (базисные) результаты дает возможность каждому ученику испытать учебный успех. Известно, что через заинтересованность в успешном резуль272 тате возникают интерес к предмету и желание школьника овладеть им на более высоком уровне. Поэтому так важно уделять внимание прежде всего мотивации обучения и интересу учащегося к тому или иному учебному предмету. Важно определить нижнюю границу результата полноценного и качественного школьного образования. При этом речь должна идти не об упрощении и выхолащивании программ, а о продуманной организации учебной деятельности младших школьников, развитии их мышления, самостоятельности и умения учиться. В качестве критериев дифференциации учащихся при системнодеятельностном подходе целесообразно выбрать: готовность первоклассника к школе, интерес к учебному предмету, степень самостоятельности при выполнении заданий базового и повышенного уровней. В ходе проведения уроков математики в первом классе учителю необходимо знать степень готовности учащихся к обучению, так как это позволит ему создать комфортные условия для формирования коммуникативных, познавательных и регулятивных учебных действий в процессе усвоения математического содержания, включения школьников в учебную деятельность, опираясь прежде всего на их жизненный опыт и те математические представления, которыми они овладели до школы. Данный критерий включает в себя достаточно широкий диапазон особенностей личностного развития учащихся и общего уровня их готовности к школьному обучению. Речь идет об особенностях внимания, памяти, мышления, моторики, эмоциональной готовности, развития речи, фонематического слуха, пространственной ориентации, работоспособности, умении вести счет в пределах 10, использовать порядковые и количественные числительные, сравнивать числа и предметы по величине и др. Главным методическим средством организации процесса дифференцированного обучения в адаптационный период являются учебные задания, правильное выполнение которых предполагает несколько верных ответов. Как показывает практика, они создают дидактические условия для активной работы всех первоклассников, различающихся математической подготовкой, умственным развитием и т.п. Обсуждение вариантов ответов, предложенных учениками, создает условия для работы в зоне ближайшего развития. Такая организация деятельности позволяет разделить учащихся на группы, создавая условия для дифференцированного обучения, основанного на сотрудничестве учащихся не только с учителем, но и между собой. При этом ученики, предложившие разные от273 веты, обосновывают их и доводят до понимания одноклассников. Нахождение максимального количества верных ответов связано с опытом первоклассника, умением рассматривать объект с различных точек зрения и наблюдать одни признаки, абстрагируясь от других. Приведем пример такого задания: «Чем похожи объекты? Чем отличаются?». Первоклассники выделяют у божьих коровок следующие признаки сходства и различия: а) цвет (обе божьи коровки красного цвета); б) размер (одна большая, другая маленькая); в) количество пятнышек (ножек, усиков, глаз). Таким образом, выполняя анализ и сравнение (познавательные метаумения), ученики усваивают предметные знания (цвет, размер, расположение, счет). В процессе обсуждения они знакомятся со всеми возможными вариантами верных ответов. По мере адаптации первоклассника к школе целесообразно ориентироваться на другой критерий дифференциации учащихся — интерес к учебным предметам, а также к обучению в целом. Продумывая методику дифференцированного обучения, целесообразно выделять учащихся, проявляющих интерес к урокам математики, и школьников, у которых такой интерес отсутствует, и они нуждаются в мотивации. Наличие у учащихся интереса к предмету можно выявить с помощью наблюдений, в ходе которых учитель определяет наиболее характерные особенности поведения каждого ученика при решении учебных задач. Отсутствие интереса характеризуется безразличным отношением к решению любых учебных задач, ученик более охотно выполняет знакомые действия, чем осваивает новые, не проявляет длительной устойчивой активности. При наличии интереса к предмету школьник ищет новые способы решения учебной задачи, стремится получить дополнительную информацию, проявляет желание участвовать в конкурсах и олимпиадах, посещать кружки и факультативы по предмету. 274 Наличие или отсутствие интереса к предмету можно выявить с помощью анкетирования и бесед с родителями, в ходе которых можно узнать, сколько времени тратит ученик на выполнение домашнего задания во 2–4 классах, часто ли обращается за помощью, выполняет сложные задания с удовольствием, ищет дополнительную информацию и т.п. Названные критерии дифференциации дополняются третьим — степенью самостоятельности учащихся при выполнении заданий базового и повышенного уровней. Приведем пример задания, которое можно предложить второклассникам при изучении приемов сложения однозначных чисел с переходом в другой разряд на этапе постановки учебной задачи: «Выбери выражения, значения которых ты можешь вычислить, и запиши равенства»: 1) 9 + 1; 2) 6 + 3; 3) 9 + 6; 4) 30 + 40; 5) 9 + 5; 6) 6 + 5; 7) 8 + 7; 8) 23 + 7; 9) 52 + 4. Всем ученикам в классе предлагается самостоятельно выполнить задание базового уровня на анализ числовых выражений. Учитель наблюдает за работой школьников и фиксирует для себя, кто выполнил задание верно или неверно. Учащиеся должны выписать выражения 1), 2), 4), 8), 9) и найти их значения, так как эти случаи сложения ими уже усвоены. В результате самостоятельной работы происходит самодифференциация младших школьников и образуются три неравночисленные группы: • первая включает тех учеников, которые полностью справились с заданием; • ученики второй группы выполнили задание частично; • учащиеся третьей группы ошиблись в вычислениях. Для выявления ошибок учитель приглашает к доске двух-трех учеников из второй и третьей групп. Они записывают на доске выражения, значения которых нашли. Сидящие за партами анализируют и корректируют их ответы. Учащиеся из первой группы называют значения оставшихся выражений и объясняют свои действия. В отличие от знаниевой парадигмы, где ученики дифференцируются на «слабых», «средних» и «сильных», в условиях системно-деятельностного подхода к организации учебного процесса ученики делятся на группы разной численности не по итогам диагностики, а на протяжении всего обучения. При этом группы учеников и их состав не являются постоянными. Они изменяются в зависимости от содержания курса и сложности дифференцированных заданий, тех индивидуальных особенностей младших школьников, которые 275 оказывают влияние на деятельность детей, их желание и умение самостоятельно работать. Рассматривая дифференциацию обучения как процесс и как результат, целесообразно различать ее обучающую и контролирующую цели, так как организация дифференцированного обучения при них различна. Обучающая цель дифференциации реализуется в процессе освоения учениками содержания учебного предмета (темы, понятия, способа действия, операции, метапредметного умения), а контролирующая связана с проверкой и оценкой результатов усвоения учебного предмета и овладения универсальными учебными действиями. Контроль как при знаниевом, так и при системно-деятельностном подходе обучения математике в начальных классах носит уровневый характер. В знаниевой парадигме проверочные работы составляются таким образом, что все задания в них ориентированы на «пятерочный» уровень и каждое проверяет применение целой совокупности умений. Система оценивания строится по методу «вычитания», где точкой отсчета является отметка «5». Она снижается в зависимости от недочетов и ошибок, допущенных учеником. Например, отметка «3» у двух учеников не означает, что они имеют одинаковую подготовку. Она свидетельствует лишь о том, что у них есть довольно существенные пробелы по сравнению с «пятерочным» уровнем, причем, возможно, разные. Такое оценивание порождает значительные эмоциональные и психологические издержки для многих школьников, не справляющихся с «пятерочным» уровнем. Отметка в этом случае является наказанием, а не средством поощрения и свидетельством достижений ученика. Альтернативой рассмотренному является оценка методом «сложения», в основу которой кладется минимальный (базисный) уровень образовательной подготовки. Его достижение требуется от каждого учащегося в обязательном порядке. В отличие от знаниевой парадигмы, при системно-деятельностном подходе базис включает задания, которые позволяют проверить и оценить способность учащихся начальных классов использовать не только предметные, но и метапредметные знания и умения при решении учебных и практических задач. В этом случае объектом оценки являются действия, выполняемые учениками с предметным содержанием. Выделим условия, которые создает системно-деятельностный подход для реализации методики дифференцированного обучения математике в начальных классах. 276 1. Наличие у большинства учащихся познавательной мотивации (желание узнать, открыть, научиться) и понимание того, что нужно освоить (учебная цель), чему способствует постановка учебных задач — ключевого компонента учебной деятельности, когда используются проблемные, поисковые, исследовательские ситуации, а ученики самостоятельно или с помощью учителя открывают новые знания и способы действий. 2. Обязательное выполнение учащимися определенных действий для овладения новыми знаниями с последующим коллективным обсуждением результатов этих действий. Этому способствуют различные инструкции к учебным заданиям: объясни, проверь, оцени, выбери, сравни, найди закономерность, понаблюдай, сделай вывод и т.д. Выполнение соответствующих заданий требует от учащихся не только предметных, но и метапредметных действий. Это создает условия для активной работы школьников, различающихся жизненным опытом, математической подготовкой, умственным развитием и др. Организация работы по обсуждению ответов — основа дифференцированного обучения, основанного на сотрудничестве не только с учителем, но и между собой. 3. Умение контролировать и оценивать свои действия как после их завершения, так и по ходу выполнения. Самоконтроль и самооценка результатов деятельности могут осуществляться в ходе фронтального обсуждения. Каждый ученик имеет возможность высказаться, получить подтверждение правильности или опровержение результатов своих действий. К приемам самоконтроля относят сопоставление собственного решения с образцом в учебнике или на доске, проверку вычислений (в пределах 10) с помощью числового луча, рассуждение, измерение, обсуждение неверных ответов и их коррекцию. В качестве инструментов для самоконтроля в начальных классах используются предметные модели, линейка, угольник, таблицы, схемы и др. Вариативность дифференцированных заданий, их опора на опыт ученика, включение в процесс обучения математике содержательных игровых ситуаций для овладения учащимися универсальными и предметными способами действий, коллективное обсуждение результатов самостоятельно выполненных учениками заданий оказывает положительное влияние на развитие познавательных интересов учащихся и способствует формированию у них положительного отношения к школе и процессу познания. 277 6.3. ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ УЧИТЕЛЯ ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ УРОКА В результате изучения методического курса вы должны научиться планировать, проводить и анализировать уроки математики. Для этого необходимо: • усвоить те темы, которые рассматривались в предшествующих главах данного учебника; • приобрести умение ориентироваться в учебниках математики для начальных классов, научиться видеть за их иллюстрациями, упражнениями, задачами математические понятия и взаимосвязь между ними, «переводить» эти понятия на язык, доступный, понятный и интересный младшему школьнику; • разобраться в том, что такое развивающее обучение математике, и научиться организовывать познавательную деятельность учащихся с помощью таких логических приемов, как сравнение, анализ и синтез, классификация, аналогия, обобщение; • овладеть развивающим подходом к обучению решению задач и умением использовать различные методические приемы, активизирующие мыслительную деятельность учащихся. Готовясь к своим первым урокам, вы, конечно, будете советоваться с учителями, работающими в классе, и ориентироваться на тот учебник математики, по которому учатся дети. Ведь именно в учебнике находят отражение логика построения курса и методические подходы к изучению младшими школьниками математических понятий, свойств и способов действий. Тем не менее независимо от программы, учебника, особенностей класса и учителя вы можете ориентироваться на общий способ деятельности, который позволит вам обдумать логику предстоящего урока на основе знаний, умений и навыков, приобретенных в процессе изучения методического курса. Этот общий способ деятельности, связанный с планированием урока, можно представить в виде следующей последовательности вопросов, на которые учитель должен ответить при планировании урока. 1. Какие понятия, свойства, правила, вычислительные приемы рассматриваются на данном уроке? 2. Что я о них знаю? 3. С какими из них дети знакомятся впервые? С какими уже знакомы? Когда они познакомились с ними? (Найдите соответствующие страницы в учебниках и изучите содержание тех заданий, которые учащиеся выполняли после знакомства с этими понятиями, свойствами, способами действий.) 278 4. Какова функция учебных заданий данного урока (обучающая, развивающая, контролирующая)? Как учащиеся могут рассуждать при выполнении этих заданий? 5. Какова дидактическая цель данного урока? 6. Какие задания, предложенные в учебнике, по вашему мнению, можно исключить из урока? Какими заданиями можно его дополнить? Какие задания преобразовать? 7. Как можно организовать продуктивную деятельность школьников, направленную на восприятие нового материала, его осознание и усвоение? Какие методические приемы и формы организации деятельности учащихся, известные вам из курса педагогики, можно для этого использовать? 8. Какие трудности могут возникнуть у детей при выполнении каждого задания, какие ошибки они могут допустить в процессе их выполнения? Как вы организуете деятельность класса по предупреждению или исправлению ошибок? Возможно, ответы на эти вопросы потребуют от вас много времени, так как придется возвращаться к материалам предыдущих глав учебника, лекциям по математике (например, для ответа на второй вопрос), статьям в журнале «Начальная школа» и другим методическим материалам, анализу учебников математики для начальных классов. Но, ориентируясь на данные вопросы, вы сможете научиться планировать содержательные, выстроенные в определенной логике уроки, и ваша деятельность, направленная на развитие младших школьников в процессе обучения математике, будет осознанной, обоснованной и творческой. Исходя из содержания урока, вы можете не отвечать развернуто на некоторые вопросы, например на второй. Вы можете также изменить их последовательность или, обдумывая урок, объединить некоторые вопросы, например первый и третий, первый и четвертый. Планируя урок, необходимо продумать и такие вопросы: • что вы заранее напишете на доске; • что будете писать на доске вы, а что — дети в процессе обсуждения заданий; • какую работу на уроке вы организуете фронтально, какую — индивидуально; • какие задания дети будут выполнять самостоятельно, а какие — с вашей помощью; • как вы организуете обсуждение самостоятельной работы; • какие вопросы вы зададите детям, если они допустят ошибки в вычислениях; 279 • какие наглядные пособия используете на уроке. Оформляя конспект урока, вы записываете его тему, цель, содержание всех заданий и организацию деятельности учащихся в процессе их выполнения, а также предполагаемые ответы детей. Приведем примерные варианты конспектов уроков. Урок 1 (2 класс) Тема. Сложение двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд. Цель. Познакомить детей с приемом сложения двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд. (Постановка учебной задачи и овладение способом ее решения.) 1. Постановка учебной задачи. На доске записано название темы: «Сложение двузначных и однозначных чисел». — Посмотрите, дети, как называется тема нашего урока (ребята читают название темы). — Придумайте выражения, в которых складываются однозначные и двузначные числа. Дети приводят примеры выражений. Я записываю их на доске. Если некоторые ученики будут ошибаться, то другие их поправят. (Предполагаю, что выражения будут как на нахождение суммы без перехода в другой разряд, так и с переходом.) Записываю на доске 10–12 выражений. Например: 32 + 4; 64 + 9; 37 + 5; 42 + 6; 64 + 3 и т.д. Слежу за тем, какие выражения предлагают дети. Если их предложения включают только случаи без перехода в другой разряд (а такое вполне возможно, так как они эти случаи уже изучили), то говорю: «А можно я тоже придумаю выражение?» — и предлагаю выражения на сложение двузначных и однозначных чисел с переходом в другой разряд. — Значения каких выражений вы могли бы вычислить? Предполагаю, что со сложением без перехода в другой разряд большинство второклассников должно справиться. По мере того как дети вычисляют значения выражений, я записываю их на доске в два столбца (в один — случаи без перехода в другой разряд, в другой — с переходом): 32 + 4 64 + 9 42 + 6 37 + 5 64 + 3 и т.д. Вполне возможно, что некоторые смогут найти значения выражений и во втором столбце. Я записываю ответы. 280 При вычислении спрашиваю каждый раз: «У кого другое мнение?» Если есть другое мнение, предлагаю его обосновать. Затем обращаюсь к классу с вопросом: — Может быть, кто-нибудь догадался, почему я записала равенства в два столбца? Обсуждаем высказывания детей. Все зависит от того, как они справятся с вычислением выражений. • Если значения выражений во втором столбце никто не сможет найти, то итог обсуждения может быть таким: «В первом столбце я записала выражения, значения которых вы все быстро вычислили. Выражения второго столбца вызвали у вас затруднения. Вот мы и будем учиться вычислять значения таких выражений. Это наша учебная задача». • Если дети (некоторые) вычислят значения выражений второго столбца, то попробую выяснить, как им удалось это сделать (наверное, возможны варианты): 64 + 9 = 64 + (6 + 3) = (64 + 6) + 3 = 73; 64 + 9 = (60 + 4) + 9 = 60 + (4 + 9) = 60 + 13 = 73. Эти записи не выполняются, учащиеся объясняют способ действия устно. В этом случае обращаю внимание на то, что в первом столбце изменилась только цифра, обозначающая единицы, а цифра, обозначающая десятки, не изменилась (32 + 4 = 36); во втором случае изменились цифры, обозначающие единицы и десятки (64 + 9 = 73). Опять предлагаю детям попытаться объяснить, почему так происходит (возможно обращение к моделям десятков и единиц). Подвожу итог первому этапу: «Ну что ж, давайте будем все вместе разбираться в этом вопросе». 2. Решение учебной задачи. (Все задания включаются в конспект, и даются предполагаемые ответы детей.) Предлагаю задания из учебника. • Верно ли утверждение, что значения выражений в каждой паре одинаковы? 29 + 1 + 6 46 + 4 + 5 57 + 3 + 5 29 + 7 46 + 9 57 + 8 68 + 2 + 5 87 + 3 + 6 36 + 4 + 2 68 + 7 87 + 9 36 + 6 Какое свойство сложения ты можешь использовать для обоснования своего ответа? • Найди значения выражений: 29 + 1 + 8 46 + 4 + 5 34 + 6 + 1 281 57 + 3 + 4 45 + 5 + 4 58 + 2 + 3 58 + 2 + 7 29 + 1 + 7 46 + 4 + 4 34 + 6 + 2 57 + 3 + 6 45 + 5 + 2 Подумай, какие равенства ты можешь использовать для вычисления значений выражений. 58 + 5 34 + 8 45 + 7 57 + 9 29 + 8 46 + 8 В случае необходимости использую наглядные модели десятков (красный треугольник с десятью желтыми кружками) и единиц (желтый кружок), а также задание: «Дополни до разрядных десятков числа: 39, 45, 78, 24 и т.д.». Делаем вывод о том, как прибавлять однозначное число к двузначному с переходом в другой разряд. Чтобы дети лучше поняли новый прием (прибавление по частям) и его взаимосвязь с ранее изученными приемами, предлагаю им устно найти значения выражений: 36 + 3 47 + 1 54 + 3 36 + 4 47 + 2 54 + 5 36 + 5 47 + 3 54 + 6 36 + 6 47 + 4 54 + 7 Дети выполняют самостоятельно в тетрадях с печатной основой следующее задание. • Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства. 17 + 8 = 17 + (3 + ) 56 + 9 = 56 + (4 + ) 84 + 9 = 84 + (6 + ) 72 + 9 = 72 + (8 + ) 69 + 4 = 69 + (1 + ) 83 + 8 = 83 + (7 + ) 38 + 7 = 38 + (2 + ) 48 + 6 = 48 + (2 + ) Обсуждаем результаты самостоятельной работы. Предлагаю учащимся самостоятельно (с последующим обсуждением) выполнить такое задание. • Найди правила, по которым составлены ряды чисел. Запиши в каждом ряду еще 4 числа по тому же правилу: а) 19, 23, 27, 31, … б) 83, 78, 73, 68, … в) 54, 50, 46, 42, 38, … Подвожу итог урока и записываю на доске номера домашнего задания. 282 Урок 2 (3 класс) Тема. Порядок выполнения действий в выражениях (первый урок по теме). Цель. Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий в выражениях. На доске заранее записаны выражения: 3 · 7 + (5 + 8) – 4; 3 + 7 · (5 + 8) + 4; (3 + 7) · 5 + 8 · 4. — Сравните выражения. Чем они похожи? Чем отличаются друг от друга? (Числа одинаковые во всех выражениях, а действия с этими числами выполняются разные.) — Сегодня в центре нашего внимания будут те арифметические действия, которые выполняются с числами. Думаю, вы сможете ответить, сколько действий выполняется в каждом выражении. (4! Этим тоже выражения похожи!) — Думаю, что вы сможете ответить и на такой вопрос: «Какое действие нужно выполнять в каждом выражении первым?». (То, которое записано в скобках.) — Верно. Но вот какое действие нужно выполнять в каждом выражении вторым, третьим, четвертым — это как раз тот вопрос, на который мы должны ответить в конце урока. — Итак, цель нашего урока — ответить на вопрос: «В каком порядке надо выполнять действия в данных выражениях?». Пока я закрою эти выражения шторкой. Выполняем устно задания из учебника. • Сравни выражения в каждой паре. Чем они похожи? Чем отличаются? Чем похожи все вторые выражения в каждой паре? Чем похожи первые выражения в каждой паре? а) 72 – 9 – 3 + 6 б) 48 – 6 + 7 + 8 в) 27 – 3 + 2 – 7 72 : 9 · 3 : 6 48 : 6 · 7 : 82 7:3·2:6 • Чем отличаются друг от друга выражения в каждом столбце? а) 56 – (8 + 9) – 7 б) 72 : 9 · 3 : 6 : 2 56 – 8 – 9 – 7 + 24 72 : 9 · 3 : (6 : 2) · 7 56 – 8 – 9 – (7 + 24) 72 : 9 · 3 : 6 : 2 · 7 • Чем похожи и чем отличаются выражения в каждой паре? а) 35 : 7 + 8 б) 18 + 24 : 8 – 2 в) 63 : 7 + 8 · 4 35 : 7 · 8 18 + 24 : (8 – 2) 63 + 7 – 8 + 4 Цель этих заданий — акцентировать внимание детей на количестве действий в каждом выражении и на самих арифметических действиях. 283 Подвожу итог: — Молодцы! Вы очень зоркие. Думаю, что теперь мы можем перейти к самому главному. Дело в том, что в математике существуют правила, которые определяют порядок выполнения действий в выражениях. Давайте прочитаем первое правило. Читаем правило вслух: «Правило 1. В выражениях без скобок, содержащих только сложение и вычитание или только умножение и деление, действия выполняются в том порядке, как они записаны слева направо». А теперь откройте тетради и выпишите из заданий, которые мы выполняли, три выражения, соответствующих этому правилу. Можете выбрать их из любого номера. Дети работают самостоятельно. Я хожу по классу и наблюдаю за ними. Некоторых вызываю к доске, чтобы они перенесли на нее те выражения, которые записали в тетради. (Буду вызывать тех, кто допустит ошибки.) Если ученики не допустят ошибок, сама запишу на доске выражение: 72 : 9 · 3 : (6 : 2) · 7. (Оно неверное, так как в правиле 1 речь идет о выражениях без скобок.) После обсуждения этого выражения и проверки самостоятельной работы переходим к чтению второго правила (в учебнике): «Правило 2. В выражениях без скобок сначала слева направо выполняются по порядку умножение или деление, а потом — сложение или вычитание». Дети опять самостоятельно выписывают выражения, которые соответствуют этому правилу. Я хожу по классу и помогаю тем, кто испытывает затруднения. Предлагаю самостоятельно расставить порядок действий в каждом выражении так, как это сделано в образце, который дан в учебнике. Пока дети выполняют задание, записываю на доске те выражения, с которыми они работают: 35 : 7 + 8 18 + 24 : 8 – 2 63 : 7 + 8 – 4 Вызываю к доске троих учеников, чтобы они расставили порядок выполнения действий, остальные проверяют, верно ли они справляются с заданием. Предлагаю вычислить самостоятельно значения выражений. Наблюдаю за работой класса. Вызову к доске тех, кто допустит ошибки. 284 Познакомлю детей с записью: 18 + 24 : 8 – 2 3 21 19 Читаем следующее правило: «Правило 3. В выражениях со скобками сначала вычисляют значения выражений в скобках. Затем слева направо по порядку выполняется умножение или деление, а потом — сложение или вычитание». Выписываем выражения, вычисляем их значения. — А теперь вернемся к тому, с чего мы начали наш урок. Кто помнит, какую цель мы ставили? (Открываю шторку, за которой скрыты выражения, записанные в начале урока.) Ребята по очереди выходят к доске, расставляют порядок действий в выражениях и вычисляют их значения. Затем выполняю на доске записи: + · + · ( – ) : + : — Представьте, что вместо «окошек» стоят числа, и вы должны выбрать правило порядка выполнения действий, которое соответствует данной записи. Вызываю к доске желающих, они расставляют порядок действий, затем обсуждаем всем классом результаты их работы. Самостоятельная работа. (Задания из тетради с печатной основой.) Задание на дом. Урок 3 (4 класс) Тема. Деление многозначных чисел (четвертый урок по теме). Цель. Проверить усвоение учащимися алгоритма письменного деления. Совершенствовать навыки письменного деления «уголком». 1. На доске записаны равенства: 1) 7248 : 4 = 1812; 2) 87975 : 9 = 9774; 3) 305053 : 7 = 43579; 4) 292675 : 5 = 58535. Работаем фронтально. — Как проверить, какие равенства верные, а какие неверные? (Предполагаемые ответы: надо разделить «уголком»; значение 285 частного умножить на делитель, если получим число, записанное в делимом, значит, деление выполнено верно; второе равенство неверное, так как при умножении 9774 на 9 в разряде единиц должно получится число 6, а в числе 87975 в разряде единиц записана цифра 5.) Если третьего варианта ответа не будет, выясняю, кто может найти неверное равенство, не выполняя письменных вычислений. Если ученики затрудняются ответить, обращаю их внимание на второе равенство и выясняю, как они будут выполнять умножение 9774 на 9. Дети находят ошибку (4 · 9 = 36, а в числе 87975 в разряде единиц записана цифра 5). Предлагаю проверить также другие равенства. Ученики выполняют устные вычисления: 2 · 4 = 8; 9 · 7 = 63; 5 · 5 = 25. Делаем вывод, что для проверки первого, третьего и четвертого равенств надо выполнить письменное умножение или деление. Предлагаю выполнить проверку в рабочих тетрадях, выбрав любой способ. Это позволит выяснить, кто из детей уже усвоил алгоритм письменного деления и может пользоваться им для вычисления результата. К доске вызываю четверых учеников. Одна пара проверяет равенство 3), другая — равенство 4). В каждой паре один ученик выполняет деление, другой — умножение. Наблюдаю за самостоятельной работой детей, осуществляющих в тетради проверку равенства 1), и за теми записями, которые выполняются на доске. Помогаю тем, кто затрудняется или допускает ошибки. Для проверки самостоятельной работы открываю заранее записанные на доске верные записи (1812 · 4; 7248 : 4) и предлагаю детям объяснить их. Аналогично комментируются записи умножения и деления для равенств 3) и 4). 2. Работа в тетрадях с печатной основой. Ученики самостоятельно выполняют задание «Восстанови запись деления “уголком”». Затем обмениваются тетрадями и проверяют результаты самостоятельной работы друг у друга. 3. Работа с учебником. В задании даны выражения: 125 : 5 6123 : 3 1635 : 5 2712 : 4 75 : 5 413 : 7 210067 : 7 1089 : 9 24516 : 9 Предлагаю ученикам самостоятельно найти выражения, значения которых содержат две цифры. Наблюдаю за самостоятельной 286 работой и предлагаю 5–6 ученикам записать выбранные выражения на доске. Если все записи будут верными, сама записываю на доске неверные выражения, например: 1089 : 9; 1635 : 5. Дети обосновывают свой выбор и объясняют, почему выражения, которые я записала, не соответствуют заданию. 4. Предлагаю записать в тетрадях выражения, значения которых содержат 4 цифры (21007 : 7 и 24516 : 9). Выясняю, значения каких выражений дети могут вычислить устно. Запись письменного деления ученики выполняют самостоятельно в тетрадях и проверяют работы друг у друга. Записи, в которых допущены ошибки, выполняются на доске. (Вызываю тех, кто допустил ошибки.) 5. Работа в тетрадях с печатной основой. • Подчеркни первое неполное делимое и определи количество цифр в значении частного: 2088 : 6 = 8336 : 4 = 51048 : 6 = 3680 : 5 = • Сравни выражения, не вычисляя их значений: 36972 : 4 56096 : 8 4344 : 6 1180 : 5 3500 : 4 40510 : 5 4928 : 4 3872 : 4 Результаты работы обсуждаем фронтально. Дети обосновывают ответы. (36972 : 4 и 56096 : 8. Слева и справа в значении частного будет 4 цифры. Но слева в разряде единиц тысяч будет цифра 9 (36 : 4 = 9), а справа — 7 (56 : 8 = 7). Поэтому значение выражения слева больше, чем значение выражения справа.) Аналогично обосновываются все записанные неравенства. Дома ученики выполнят деление письменно. 6. Работа с учебником. • Вычисли значения первого выражения в каждой паре. Догадайся, как найти значения второго выражения, не выполняя деления. 1) 86208 : 3 2) 1836 : 4 3) 3906 : 6 86211 : 3 1844 : 4 3918 : 6 Деление выполняется в рабочих тетрадях. Способ нахождения значений числовых выражений обсуждается фронтально. 7. Фронтальная работа. В заключение урока записываю на доске число: 720 459 817 408. 287 Предлагаю детям прочитать его. (Вряд ли ученики справятся с этим заданием.) Тогда предлагаю подчеркнуть класс единиц, класс тысяч. (Возможно, кто-то из детей назовет класс миллионов и миллиардов.) Читаю сама записанное число и подвожу итог: «Пока мы не умеем читать такие числа, но я уверена, что вы можете догадаться, сколько цифр получится в частном, если это число разделить на 4». Если никто из детей не сможет выполнить мое задание, то сообщаю сама, что в значении частного будет 12 цифр. Выполняю на доске запись: 720 459 817 408 4 .. ... ... ... . Предлагаю выполнить деление на доске. Дети выделяют первое неполное делимое, подбирают цифру в частном, находят остаток и образуют новое (второе, третье, четвертое и т.д.) неполное делимое. В работе принимает участие весь класс. Желающие выходят к доске, и каждый выполняет все операции с новым неполным делимым. Остальные ученики внимательно следят за тем, чтобы записи на доске были верными. Я тоже участвую в работе, корректируя действия учащихся, если это необходимо. 6.4. МЕТОДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УРОКА МАТЕМАТИКИ С понятием «анализ урока» вы познакомились в курсе педагогики. Методический анализ урока, включая в себя все компоненты педагогического анализа, имеет свою специфику, которая, прежде всего, обусловливается содержанием предмета. На каких же аспектах урока следует сосредоточить внимание, анализируя его с методической точки зрения? Особенность методического анализа заключается в том, что он должен проводиться в два этапа. На первом этапе учитель сам оценивает, удалось ли ему реализовать намеченный план на практике. Для этого он формулирует цель урока и обосновывает логику своих действий, которые спланировал для достижения этой цели. Затем сравнивает логику запланированных действий с логикой проведения реального урока. Для этого целесообразно остановиться на следующих вопросах. 1. Какие моменты урока оказались для учителя неожиданными? 2. Чего он не смог учесть при планировании урока? 3. На какие ответы учащихся не смог отреагировать? 4. Пришлось ли ему отступить от запланированных действий и почему? 288 5. Заметил ли он свои речевые ошибки, недочеты, неудачно сформулированные вопросы? 6. Считает ли учитель, что урок достиг поставленной цели? Что является критерием этой оценки? (Активная работа школьников, их интерес к уроку, успешное выполнение самостоятельной работы и т.д.) На втором этапе все эти вопросы — предмет дальнейшего обсуждения урока коллегами (методистом, студентами), присутствовавшими на уроке. План этого обсуждения можно представить в виде последовательности вопросов. 1. Соответствует ли логика урока его цели? (При обсуждении данного вопроса полезно остановиться не только на реальном уроке, но и на той логике, которая лежала в основе его планирования.) 2. Какие виды учебных заданий использовал учитель на уроке: тренировочные, частично-поисковые, творческие? Какие из них заслуживают положительной оценки? Почему? 3. Соответствуют ли учебные задания, подобранные учителем, цели урока? 4. Какие функции выполняли задания, предложенные учителем: обучающую, развивающую, контролирующую? Что заслуживает положительной оценки? 5. Грамотно ли учитель использовал математическую терминологию, предлагая учащимся вопросы и задания? 6. Какие методические приемы, используемые учителем на уроке, заслуживают положительной оценки — при работе над отдельными заданиями, изучении нового, закреплении материала, проверке? 7. Какие формы организации деятельности учащихся (индивидуальная, фронтальная, групповая), применяемые учителем на уроке, заслуживают положительной оценки? 8. Удалось ли учителю установить контакт с детьми (обратная связь), успешно осуществить коррекцию их действий, создавая ситуации успеха, реализовать идею сотрудничества? Какие момен ты урока заслуживают положительной оценки с этой точки зрения? Если ваш урок будет соответствовать поставленной цели, если вы сможете обосновать его логику, если дети будут активно работать на вашем уроке, а вы получите запланированный результат, то можете быть уверенными в правильности своих действий! 289 6.5. ВНЕУРОЧНАЯ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ (ОБЩЕИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ) На современном этапе начального образования внеурочная деятельность в соответствии с ФГОС НОО организуется по направлениям развития личности: спортивно-оздоровительному, духовнонравственному, социальному, общеинтеллектуальному и общекультурному. Для общеинтеллектуального направления внеурочной деятельности наиболее плодотворным является математический материал, в частности математические задачи — арифметические, логические, комбинаторные, геометрические. Овладение различными методами решения математических задач не только способствует развитию логического, алгоритмического мышления и воображения учащихся, но и эффективно в плане формирования универсальных учебных действий (УДД). В современном начальном математическом образовании роль логических и комбинаторных задач, а также задач на развитие воображения постоянно возрастает, так как в них заложены большие возможности не только для формирования УУД и развития мышления младших школьников, но и для их подготовки к решению проблем, возникающих в повседневной жизни. В настоящее время издано большое количество сборников логических и комбинаторных задач для начальной и основной школы, много таких задач и в интернете. Но большинство пособий реализует объяснительно-иллюстративный подход, т.е. пособия включают тексты задач и ответы или, в лучшем случае, готовые решения. Методика же обучения младших школьников решению логических и комбинаторных задач должна строиться на деятельностном подходе, т.е. через включение учащихся в процесс решения задач и оказание им необходимой методической помощи. Такой подход находит отражение в тетрадях с печатной основой. 1. «Учимся решать логические задачи» для 1–2, 3 и 4 классов1. Тетради используются в школьной практике с 2010 г. 1 290 См.: Истомина Н.Б., Тихонова Н.Б. Учимся решать логические задачи. Математика и информатика. Тетрадь для 1–2 классов общеобразовательных организаций. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2017; Истомина Н.Б., Тихонова Н.Б. Учимся решать логические задачи. Математика и информатика. Тетрадь для 3 класса общеобразовательных организаций. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2014; Истомина Н.Б., Тихонова Н.Б. Учимся решать логические задачи. Математика и информатика. Тетрадь для 4 класса общеобразовательных организаций. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2014. 2. «Учимся решать комбинаторные задачи» для 1–2, 3 и 4 классов. Тетради используются в школьной практике с 2003 г.1 В этих тетрадях тексты задач сопровождаются либо системой заданий в виде дополнительных вопросов, моделей, схем, либо различными методическими приемами: сравнения, выбора, преобразования, конструирования, построения умозаключений по предложенной схеме, оценивания истинности и ложности высказываний, нахождения ошибок в рассуждениях, анализа различных вариантов действий с целью выбора оптимального, выдвижения и анализа всевозможных гипотез и т.д. В результате ученик овладевает умением искать и выделять необходимую информацию, приобретает опыт смыслового чтения и анализа объектов с целью выделения существенных и несущественных признаков, учится устанавливать причинно-следственные связи, строить логические цепочки рассуждений, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий. Приоритетной формой организации деятельности младших школьников на внеурочных занятиях «Учимся решать логические задачи» и «Учимся решать комбинаторные задачи» являются самостоятельная работа и обязательное коллективное обсуждение полученных решений, как верных, так и неверных. В этом случае каждый ученик может высказать свое мнение и обосновать его, а одноклассники, как эксперты, принимают или отвергают это мнение. Все записи в тетрадях ученики выполняют простым карандашом, чтобы после обсуждения решения внести в них необходимые коррективы. Тем самым на первый план выходит обучающая функция данных тетрадей, когда каждый ребенок работает на своем уровне (с учетом своей подготовки) и имеет возможность корректировать свои результаты (убирать неверные, вносить изменения в записи и т.д.). Опыт работы в начальных классах по этим тетрадям обобщен в пособиях для учителя2. Пособия содержат программу факульта1 2 См.: Истомина Н.Б., Редько З.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 1–2 классов общеобразовательных организаций. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015; Истомина Н.Б., Редько З.Б., Виноградова Е.П. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 3 класса общеобразовательных организаций. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015; Истомина Н.Б., Редько З.Б., Виноградова Е.П., Тихонова Н.Б. Учимся решать комбинаторные задачи. Тетрадь для 4 класса общеобразовательных организаций. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015. См.: Истомина Н.Б., Тихонова Н.Б. Учимся решать логические задачи. Математика и информатика. Внеурочная деятельность. Общеинтеллектуальное направление. 1–4 классы: пособие для учителя. Смоленск: 291 тивов, примерное планирование занятий и методические рекомендации по организации деятельности учащихся. Содержание тетради «Учимся решать логические задачи» (1–2 классы) включает: понятия «ложно», «истинно», «верно», «неверно»; операцию отрицания; различные способы решения логических задач — табличный, графический; построение умозаключений по предложенной схеме; оценивание истинности и ложности высказываний; нахождение ошибок в рассуждениях. Содержание тетради «Учимся решать логические задачи» (3 класс) включает: построение цепочки умозаключений, рассуждений, истинных высказываний; решение логических задач табличным способом, исследовательским методом; задачи на перевозки и способы их решения; описание процесса перевозок табличным способом; анализ различных вариантов действий с целью выбора оптимального; способ решения логических задач на основе выдвижения и анализа всевозможных гипотез; представление процесса анализа гипотез в табличной форме; работу по плану. Тетрадь «Учимся решать логические задачи» (4 класс) состоит из четырех разделов. 1. Проверь, чему ты научился в 1–3 классах. 2. Задачи на переливание. 3. Задачи на составление вопросов (про честных и лжецов). 4. Задачи на взвешивание. Содержание тетрадей «Учимся решать комбинаторные задачи» (1–2 классы) включает следующие вопросы: правила суммы и произведения; простейшие комбинации, выполняемые на предметном материале (перестановки, размещения и сочетания). Хаотичный выбор двух различных предметов из данных трех и все возможные варианты их расположения. Выбор всех возможных вариантов двух и трех различных предметов из данных четырех предметов. Знакомство со способом решения комбинаторных задач системным перебором. Составление таблиц по инструкции. Решение комбинаторных задач способами установления соответствия, составления и анализа таблиц. Содержание тетрадей «Учимся решать комбинаторные задачи» (3 класс) включает: установление соответствия, заполнение таблицы и дерева возможных вариантов; заполнение дерева возможных вариантов по частям, анализ заполненных частей, вывод на основе объединения частей в целое; сравнение схем, выявление Ассоциация XXI век, 2017; Истомина Н.Б., Редько З.Б., Тихонова Н.Б. Математика и информатика. Внеурочная деятельность. Общеинтеллектуальное направление. Учимся решать комбинаторные задачи: 1, 2, 3, 4 классы: пособие для учителя. Смоленск: Ассоциация XXI век, 2015. 292 их сходства и различий; построение схемы дерева возможных вариантов на основе анализа текста. Содержание тетрадей «Учимся решать комбинаторные задачи» (4 класс) включает: простейшие комбинации, выполняемые как на предметном, так и на числовом материале (перестановки, сочетания, размещения, размещения с повторениями); составление таблиц и их анализ, способы решения комбинаторных задач — системный перебор, установление соответствия между элементами двух множеств, построение дерева возможных вариантов; чтение и построение ориентированного графа, соответствующего данному условию; выбор графа, соответствующего данному условию и моделям дерева возможных вариантов; анализ графа с целью выделения необходимой информации для ответа на вопросы; использование графа с целью проверки; использование комбинаторных умений для работы с заданиями на порядок выполнения действий в выражениях. Помимо логических и комбинаторных задач, на современном этапе развития начального образования возросла роль геометрического материала, основными целями изучения которого являются развитие пространственного мышления ребенка как разновидности образного и возможность познания младшим школьником окружающего мира с точки зрения геометрии (создание геометрической картины мира). Помимо формирования умений распознавать и изображать геометрические фигуры, использовать чертежные инструменты для выполнения построений, учащиеся начальных классов получили возможность научиться выделять в окружающем мире геометрические тела — куб, шар, параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус. Реализация этих требований осуществляется в ходе практических работ с моделями геометрических фигур (конструирование из бумаги, лепка, сравнение и классификация моделей геометрических объектов и т.д.), что способствует формированию познавательной мотивации каждого ребенка. Именно поэтому в практике начальной школы востребованы учебно-методические комплекты, включающие геометрический материал, работа с которым способствует развитию у детей пространственных представлений и овладению умениями конструировать и моделировать. Приведем в качестве примера комплект «Наглядная геометрия», который используется в школьной практике с 2000 г.1 1 См.: Истомина Н.Б., Редько З.Б. Наглядная геометрия. Тетрадь по математике. 1 класс. М., 2015; Истомина Н.Б. Наглядная геометрия. Тетрадь по математике. 2 класс. М., 2018; Истомина Н.Б., Редько З.Б. Наглядная геометрия. Тетрадь по математике. 3 класс. М., 2017; Истомина Н.Б., Редько З.Б. Наглядная геометрия. Тетрадь по математике. 4 класс. М., 2017. 293 Комплект включает тетради с печатной основой и методические рекомендации для учителя, содержащие примерное тематическое планирование занятий кружка (факультатива) и детальное описание организации деятельности младших школьников с указанием цели каждого занятия1. Методическое сопровождение также включает: характеристику содержания тетрадей по годам обучения, описание работы с каждым из заданий тетради, формы проверки полученных результатов, дополнительные упражнения; теоретические сведения, которые содействуют корректному с математической точки зрения восприятию содержания тетрадей младшими школьниками. Тетради «Наглядная геометрия» для 1–4 классов содержат классические темы, как уточняющие уже имеющиеся у детей знания, так и расширяющие кругозор учащихся, корректирующие их бытовые знания об окружающем мире, который насыщен пространственными образами геометрических фигур. Содержание тетради 1 класса представлено следующими темами. 1. Взаимное положение предметов. 2. Целое и части. 3. Поверхности. Линии. Точки. В первой теме уточняются представления детей о пространственных отношениях («справа — слева», «перед — за», «между», «над — под» и т.д.), во второй — расширяются представления младших школьников о способах конструирования геометрических фигур (геометрическая фигура рассматривается как целое, которое можно составить из нескольких других фигур, ее частей). В теме «Поверхности. Линии. Точки» у школьников формируются первые представления о кривой и плоской поверхностях, умения проводить на них линии и изображать их на рисунке. Представление о понятии «поверхность» осуществляется на основе практических действий (целесообразно использование различных предметов окружающей обстановки). Распознавая вид поверхности предмета, ученик проводит по ней ладонью. Если направление движения руки меняется, поверхность определяется как кривая. Младшие школьники наблюдают, анализируют, сравнивают и делают выводы, продвигаясь путем эмпирических исследований. Постепенно практические действия переходят во внутренний план, и ученик обретает способность представлять подобное движение руки по поверхности как реального, так и нарисованного 1 294 См.: Истомина Н.Б., Редько З.Б. Методические рекомендации к тетрадям «Наглядная геометрия» для 1–4 классов. М.: Линка-Пресс, 2017. объекта. Со временем потребность практических действий с предметами используется лишь на этапе проверки. Тетрадь для 2 класса начинается с повторения уже освоенного материала (тема «Поверхности. Линии. Точки»): учащиеся применяют сформированные в 1 классе представления о точке, линиях и поверхностях при выполнении различных заданий с геометрическими фигурами (кривая, прямая, луч, отрезок, ломаная). В теме «Углы. Многоугольники. Многогранники» уточняются представления младших школьников об углах и многоугольниках. Второклассники знакомятся с многогранником на основе имеющихся у них представлений о плоской поверхности (многогранник — геометрическая фигура, ограниченная только плоскими поверхностями). Знакомство с многогранником происходит на основе моделей куба и их разверток, а также в результате наблюдения, анализа, сравнения и классификации данных объектов. Приоритетный способ работы школьников — соотнесение и (или) сопоставление реальных и воображаемых объектов. Модель многогранника можно изготовить из бумаги (дерева, пластилина), взять в руки, развернуть и т.д. Содержание тетради «Наглядная геометрия» (3 класс) представлено следующими темами. 1. Кривые и плоские поверхности. 2. Пересечение фигур. 3. Шар. Сфера. Круг. Окружность. Наглядно-образное восприятие детьми графической информации обусловливает появление заданий, в которых присутствует «живой» персонаж — жук. Он может находиться на видимой (невидимой) грани геометрической фигуры или передвигаться (ползти) по ее граням. В рамках изучения второй темы у детей формируется «образ пересечения» в ходе практической деятельности, когда создаются условия для усвоения ими математического смысла понятия «пересечение геометрических фигур». Дело в том, что житейские представления младших школьников о пересечении фигур не всегда совпадают с тем смыслом, который вкладывает в это понятие математика. Например, с житейской точки зрения ученику трудно представить пересечение луча и отрезка, лежащих на одной прямой. Имеющегося у него опыта недостаточно для понимания математической сути этого явления (ведь до этого никто не называл пересекающимися дорожки, идущие «одна по другой»). Третьеклассники не всегда корректно воспринимают факт пересечения двух 295 плоских фигур, одна из которых лежит внутри другой: их бытовой (житейский) опыт подчас оказывается более весомым аргументом, понимание приходит постепенно. Однако опора на практические работы, в которых формируется умение читать графическую информацию, и использование моделей многогранников позволяют учащимся осознать смысл пересечения геометрических фигур на плоскости и в пространстве. В 4 классе продолжается работа по формированию у детей представлений о взаимосвязи плоских и объемных геометрических фигур. Цилиндр, конус и шар рассматриваются как тела вращения плоской фигуры вокруг оси. Устанавливая соответствие новых геометрических форм со знакомыми учащимся предметами окружающего мира, дети учатся видеть и выделять геометрию вокруг себя. Выполняя задания тетрадей «Наглядная геометрия» для 1–4 классов, учащиеся занимаются сравнением, группировкой и классификацией объектов; ведут поиск информации и выполняют ее преобразование; учатся строить рассуждения в форме связи простых суждений, обосновывать истинность высказываний, выполнять индуктивные и дедуктивные умозаключения и т.д. Список рекомендуемой литературы 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах [Текст] / под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. — М.: Педагогика, 1977. — 247 с. Алексеенко М.А. Компетентностный и деятельностный подходы в проектировании урока математики [Текст] / М.А. Алексеенко // Начальная школа. — 2013. — № 2. — С. 11–17. Амонашвили Ш.А. Размышления о гуманной педагогике [Текст] / Ш.А. Амонашвили. — М.: ИД Шалвы Амонашвили, 1996. — 494 с. Артемов А.К. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах [Текст] / А.К. Артемов, Н.Б. Истомина. — М.; Воронеж: МОДЭК, 1996. — 224 с. Виситаева М.Б. Формирование универсальных учебных действий при оперировании объемными телами [Текст] / М.Б. Виситаева // Начальная школа. — 2013. — № 7. — С. 39–45. Выготский Л.С. Педагогическая психология [Текст] / Л.С. Выготский. — М.: Педагогика, 1991. — 480 с. Горина О.П. Тестовые задания в начальном курсе математики [Текст] / О.П. Горина, Н.Н. Проскуряков // Начальная школа. — 2008. — № 10. — С. 49–55. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения [Текст] / В.В. Давыдов. — М.: Педагогика, 1986. — 240 с. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Развивающее обучение [Текст] / Н.Б. Истомина. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2009. — 288 с. Истомина Н.Б. Практикум по методике обучения математике в начальной школе: Развивающее обучение [Текст] / Н.Б. Истомина, Ю.С. Заяц. — Смоленск: Ассоциация XXI век, 2009. — 144 с. Истомина Н.Б. Развитие универсальных учебных действий у младших школьников в процессе решения логических задач [Текст] / Н.Б. Истомина, Н.Б. Тихонова // Начальная школа. — 2011. — № 6. — С. 30–34. Истомина Н.Б. Формирование умения рассуждать в процессе решения логических задач [Текст] / Н.Б. Истомина, Н.Б. Тихонова // Начальная школа. — 2014. — № 7. — С. 87–91. Как проектировать универсальные учебные действия в начальной школе. От действия к мысли [Текст]: пособие для учителя / под ред. А.Г. Асмолова. — М.: Просвещение, 2010. — 151 с. Калинина Л.В. Работа с таблицами и диаграммами [Текст] / Л.В. Калинина, Г.В. Воителева // Начальная школа. — 2014. — № 7. — С. 92–96. Кожевникова Е.Н. Оригинальная форма проведения внеурочных занятий по математике [Текст] / Е.Н. Кожевникова // Начальная школа. — 2015. — № 9. — С. 73. 297 16. Менчинская Н.А. Проблемы обучения, воспитания и психического развития ребенка [Текст] / Н.А. Менчинская. — М.: Изд-во МПСИ; Воронеж: Модэк, 2004. — 512 с. 17. Овчинникова В.С. Как и почему надо развивать математическую речь учащихся? [Текст] / В.С. Овчинникова // Начальная школа. — 2009. — № 10. — С. 39–41. 18. Овчинникова В.С. Как создать проблемные ситуации при формировании математических понятий [Текст] / В.С. Овчинникова // Начальная школа. — 2011. — № 10. — С. 27–34. 19. Овчинникова В.С. О структуре современного урока математики [Текст] / В.С. Овчинникова // Начальная школа. — 2015. — № 1. — С. 35–38. 20. Подходова Н.С. Моделирование как универсальное учебное действие при изучении математики [Текст] / Н.С. Подходова // Начальная школа. — 2011. — № 9. — С. 34–41. 21. Селькина Л.В. Механизмы достижения личностных результатов в процессе обучения математике [Текст] / Л.В. Селькина // Начальная школа. — 2014. — № 4. — С. 40–46. 22. Стойлова Л.П. Математика [Текст]: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования / Л.П. Стойлова. — 5-е изд., стереотип. — М.: Академия, 2015. — 464 с. 23. Стойлова Л.П. Математика: Сборник задач [Текст]: учеб. пособие для студ. учреждений высш. проф. образования / Л.П. Стойлова [и др.]; под ред. Л.П. Стойловой. — М.: Академия, 2013. — 240 с. 24. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования [Текст], утв. приказом Минобрнауки России 6 октября 2009 г., зарегистрирован в Минюсте России 22 декабря 2009 г., рег. № 17785. — М.: Просвещение, 2016. — 31 с. 25. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике [Текст]: учеб. пособие / Л.М. Фридман. — М.: ЛИБРОКОМ, 2014. — 248 с. 26. Царева С.Е. Методика преподавания математики в начальной школе [Текст]: учебник для студ. учреждений высш. образования / С.Е. Царева. — М.: Академия, 2014. — 496 с. Оглавление Авторский коллектив............................................................................................3 Предисловие...........................................................................................................4 Глава 1. Методика обучения математике в начальных классах как наука и как учебный предмет ......................................................................7 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Наука об обучении математике .......................................................................................................... 7 Характеристика развития начального математического образования ........................11 Методика обучения математике как учебный предмет ........................................................18 Цели и основные задачи современного начального математического образования ...............................................................................................................................................24 Глава 2. Учебная деятельность младшего школьника в процессе обучения математике ........................................................................................ 28 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. Понятие учебной деятельности и ее структура ........................................................................28 Учебная задача — ключевой компонент учебной деятельности.....................................29 Приемы умственной деятельности и их формирование у младших школьников при обучении математике ................................................................37 Способы обоснования истинности суждений............................................................................53 Глава 3. Основные понятия начального курса математики и особенности их усвоения младшими школьниками ................................ 58 3.1. 3.7. 3.8. 3.9. 3.10. 3.11. 3.12. 3.13. Натуральное число. Счет. Взаимосвязь количественных и порядковых чисел. Цифра ...............................................................................................................58 Отрезок натурального ряда. Присчитывание и отсчитывание по 1 ...............................67 Сравнение чисел ......................................................................................................................................74 Смысл действий сложения и вычитания ......................................................................................75 Свойства сложения .................................................................................................................................82 Взаимосвязь компонентов и результатов действий сложения и вычитания ................................................................................................................................................85 Число и цифра 0 .......................................................................................................................................88 Десятичная система счисления. Нумерация чисел .................................................................90 Величины .................................................................................................................................................. 103 Смысл действия умножения ............................................................................................................ 120 Свойства умножения ........................................................................................................................... 127 Смысл действия деления................................................................................................................... 132 Деление суммы на число................................................................................................................... 140 3.14. 3.15. 3.16. 3.17. 3.18. Порядок выполнения действий в выражениях ...................................................................... 142 Деление с остатком .............................................................................................................................. 145 Уравнение ................................................................................................................................................. 152 Геометрические фигуры .................................................................................................................... 155 Доли и дроби .......................................................................................................................................... 167 3.2. 3.3. 3.4. 3.5. 3.6. 299 Глава 4. Вычислительная деятельность младших школьников в процессе обучения математике ................................................................. 171 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. Устные и письменные вычисления в начальном курсе математики ........................... 171 Таблица сложения и соответствующие случаи вычитания в пределах десяти ................................................................................................................................. 174 Сложение однозначных чисел с переходом в другой разряд и соответствующие случаи вычитания (продолжение таблицы сложения) ............. 180 Приемы устного сложения и вычитания чисел в пределах 100 .................................... 186 Таблица умножения (соответствующие случаи деления) ................................................. 194 Приемы устного умножения и деления ..................................................................................... 202 Алгоритмы письменного сложения и вычитания ................................................................. 206 Алгоритм письменного умножения ............................................................................................. 209 Алгоритм письменного деления ................................................................................................... 215 Глава 5. Обучение младших школьников решению задач....................... 224 5.1. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. Понятие «задача» в начальном курсе математики ............................................................... 224 Методы решения задач в начальном курсе математики................................................... 225 Решение задач арифметическим методом ............................................................................... 231 Различные методические подходы к обучению младших школьников решению задач....................................................................................................................................... 233 Методические приемы обучения младших школьников решению задач ................ 235 Организация деятельности учащихся при обучении решению задач с пропорциональными величинами............................................................................................ 247 Глава 6. Урок математики в начальных классах ........................................ 264 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. Различные подходы к построению урока математики....................................................... 264 Дифференцированное обучение математике в условиях системно-деятельностного подхода............................................................................................ 270 Деятельность учителя при планировании урока .................................................................. 278 Методический анализ урока математики ................................................................................. 288 Внеурочная деятельность младших школьников по математике (общеинтеллектуальное направление) ...................................................................................... 290 Список рекомендуемой литературы ............................................................ 297 По вопросам приобретения книг обращайтесь: Отдел продаж «ИНФРА-М» (оптовая продажа): 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел. (495) 280-15-96; факс (495) 280-36-29 E-mail: books@infra-m.ru • Отдел «Книга–почтой»: тел. (495) 280-15-96 (доб. 246) ФЗ № 436-ФЗ Издание не подлежит маркировке в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11 Учебное издание Истомина-Кастровская Наталия Борисовна, Иванова Ирина Юрьевна, Редько Зоя Борисовна, Смолеусова Татьяна Викторовна, Тихонова Наталья Борисовна МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ УЧЕБНИК Оригинал-макет подготовлен в НИЦ ИНФРА-М ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29 E-mail: books@infra-m. ru http://www. infra-m. ru Подписано в печать 13.11.2018. Формат 60×90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Newton. Печать цифровая. Усл. печ. л. 18,81. Тираж 500 экз. (I — 50). Заказ № 00000 ТК 666517-965277-131118 Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127282, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1 Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
