10 Практичне заняття – Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів 10.1 Знакозмінні ряди Означення 1. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від’ємних членів. Теорема 1 (Коші). Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто ∞ ∞ u − збіжний ∑ n ⇒ ∑ u n − збіжний . n =1 n =1 Означення2. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду. Означення 3. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається. Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів. Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від’ємних членів ряду. ∞ sin n Приклад. Дослідити на збіжність ряд ∑ 2 . n =1 n sin n Загальний член ряду u n = 2 залежно від n може бути як додатним, так і n ∞ sin n від’ємним. Отже, ряд ∑ 2 — знакозмінний. Побудуємо ряд із абсолютних n =1 n ∞ sin n sin n величин членів даного: ∑ 2 . Цей ряд буде знакододатним un = > 0, 2 n n =1 n так що для дослідження його на збіжність можна використати ознаки збіжності знакододатних рядів. Скористаємось ознакою порівняння рядів: ∞ sin n 1 1 ≤ = ⇒ un = v — ряд порівняння, він збігається, як ряд Діріхле, ∑ n 2 n2 n2 n =1 n ∞ sin n з p = 2 > 1. Отже, за ознакою порівняння ряд ∑ 2 збігається, а це означає, n n =1 ∞ sin n що за теоремою Коші збігається і ряд ∑ 2 , причому збігається абсолютно. n =1 n 10.2 Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца Означення 4. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд: ∞ a1 − a2 + a3 − a4 + K + (− 1) an + K = ∑ (− 1) an n −1 де загальний член ряду un = (− 1) an , і an > 0 . n −1 n −1 , n =1 Теорема 13 (Лейбніца). Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна n −1 an > an +1 > 0 ∞ записати так: ⇒ ∑ (− 1) an — збіжний . lim an = 0 n =1 n→∞ Наслідок 1. Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий само, як і знак першого члена ряду. Наслідок 2. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує першого члена ряду, тобто S < a1 . Наслідок 3. Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів. Наслідок 4. Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца lim an ≠ 0 , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності). n →∞ Приклад. Дослідити збіжність ряду Лейбніца ∞ n −1 ∑ (− 1) n =1 ⋅ 1 1 1 1 n −1 1 = 1 − + − + K + (− 1) +K n n 2 3 4 1 почергово змінює знак, отже, ряд n Лейбніца — знакопочерговий. Обидві умови теореми Лейбніца для цього ряду виконуються: 1 1 1 1 1 1) 1 > > > K > > > K; 2) lim un = lim = 0 . n →∞ n →∞ n 2 3 n n +1 Таким чином, ряд Лейбніца буде збіжним, але збіжність умовна, бо ряд із ∞ 1 абсолютних величин: ∑ — гармонічний ряд розбіжний. n =1 n Загальний член ряду u n = (− 1) n −1 ⋅ 10. Дослідити на збіжність знакозмінні ряди. У випадку збіжності вказати збігається ряд абсолютно чи умовно. ∞ ∞ 1 sin 2n n 1. а) ∑ (− 1) 1 − cos б) ∑ 2 . ; n n =1 n n =1 ∞ ∞ n n −1 n 3n + 1 2. а) ∑ (− 1) . ; б) ∑ (− 1) arctg ( + ) 2 n n 2 n + 1 т =1 n =1 3. а) ∞ ∑ (− 1) n +1 n =1 4. а) ∞ ∑ (− 1)n n= 2 5. а) ∞ ∑ n =1 n n ; 3n + 1 7. (− 1)n 3n + 1 ; n ( − 1) а) ∑ n = 3 n ln (ln n ) ⋅ ln n n ∞ ( − 1) ⋅ 2n 2 ; а) ; ∑ n4 − n2 + 1 n =1 10. а) ∞ ∑ n +1 2 n ; 2n + 1 ∞ (− 1)n−1 n =1 n n ∑ б) ∞ ∑ (− 1) n −1 n =1 б) ∞ ∑ (− 1) б) ∞ ∑ n −1 (n n =1 б) ∞ 2 б) ; n n ( − 1) а) ∑ n =1 n ⋅ ln (2n ) 3n . (2n + 1)! arcsin n +1 . 2n + 3 + 1)cos n . en ∑ (− 1) ∞ . n ln ∑ (− 1) n +1 n =1 n . 2n + 1 2n + 1 3n + 1 n −1 2n − 1 . б) ∑ (− 1) n +1 3 5 2 + ⋅ n =1 ∞ 15. n +1 ∞ π 12. а) ∑ (− 1) ⋅ sin ; 3n n =1 ∞ n n+3 13. а) ∑ (− 1) ; n 5 n =1 ∞ n sin n 14. а) ∑ (− 1) ; n! n =1 ∞ n −1 n =1 (− 1)n ⋅ sin π n =1 11. а) n(n + 1) . 4n ∑ (− 1) n =1 n ( − 1) а) ∑ ; + + ( ) ( ) n 2 ln n 2 n =1 n +1 ∞ ( − 1) а) ; ∑ ∞ arctg (− 1) б) ∑ n n+2 n =1 ∞ 9. . ∞ n =1 8. ∑ 2n − 1 n =1 ∞ 6. (− 1)n −1 n =1 б) ; ln n б) ∞ ; n ∞ 3n sin n . б) ∑ n n =1 4 + 5 ∞ n2 . б) ∑ (− 1) 2 3n + 1 n =1 ∞ n +1 n −1 б) ∑ (− 1) . n(3n + 2 ) n =1 б) ∞ ∑n n =1 n +1 cos n . n +1 . ∞ n 16. а) ∑ (− 1) ; + 3 1 n n =1 n б) (− 1)n ∑ 3n − 1 ; б) cos πn ; n2 б) ∞ ∑ n =1 20. а) б) ; n =1 21. а) ∑ 3.22. а) ; 3n ∑ 3 2n + ln n б) б) ; n =1 23. а) 24. а) ∞ (− 1)n −1 n =1 3n ∑ ∞ ∑ n =1 ; (n + 2 ) 3 б) ; n ∑ (− 1) n +1 n n =1 28. а) ∞ ∑ n =1 б) (− 1)n 5n − 1 3 1 n =1 n n n ∑ (− 1) ∞ ∑ (− 1) n +1 ln (n + 1) . n +1 n +1 n2 + 5 n 3 n2 . . ∞ n ∑ (− 1) n +1 ∞ ∑ (− 1) n −1 ∞ ∑ (− 1) n +1 n =1 ∞ ∑ (− 1) n −1 n =1 б) ; ∞ б) б) ; ∞ 2n + 1 . n + 2 3 n n! . nn 3n + 4n . 5n 2n 2 + 3 . ln 2n 2 (− 1)n +1 ∑ n2 + cos 2n . n =1 n ( − 1) n 2 а) ∑ 3 n +1 n =1 (3n + 1) ⋅ 2 30. а) n ∑ (− 1) n =1 ∞ 29. ∞ n =1 n ( − 1) ⋅ (n + 1) а) ∑ ; ( + ) ln 2 n n n =1 27. а) n −1 . 3n . б) ∑ (− 1) n ln (n + 1) n =1 (− 1)n −1 n ∑ (− 1) ∞ ∞ ∞ ∞ n−2 n +1 . 4n + 5 n +1 n =1 2 ∞ n 2n − 1 25. а) ∑ (− 1) ; 10n n =1 26. 3n − 1 n 5n + 2 ∑ (− 1) n =1 (− 1)n ∞ ∞ n =1 (− 1)n −1 (n + 2) n =1 ∑ (− 1) n +1 n =1 ∑ (3n − 1) ⋅ 2n ∞ ∞ n =1 (− 1)n ∞ n2 n −1 2n б) ∑ (− 1) . 2n + 1 n =1 n =1 19. а) n3 . 2n ∞ 1 n 17. а) ∑ (− 1) ⋅ tg ; n n =1 18. а) ∑ (− 1) n +1 n =1 ∞ ∞ ∞ ; ; πn sin . 6 n + 1 n =1 ∞ 1 n +1 б) ∑ (− 1) tg 2 . n =1 n +1 б) ∞ ∑ (− 1) n −1