Министерство Путей Сообщения Российской Федерации Омский Государственный Университет Путей Сообщения Допускается к защите Проект защищен с оценкой (с исправлениями, без исправлений) (подпись) « » (подпись, фамилия) (подпись) (фамилия) 20 г. « » (фамилия) 20 Расчетно-пояснительная записка к курсовому проекту По дисциплине “Теория линейных электрических цепей” «Исследование и расчёт характеристик двухполюсников и четырёхполюсников» Консультанты: Разработчик: Студент группы (подпись) (фамилия) (подпись) (фамилия) (подпись) Омск 2000 (фамилия) г. 2 УДК 621.372 РЕФЕРАТ Курсовой проект содержит 49 страниц, 9 графиков, 7 таблиц, использовано 5 источников. ДВУХПОЛЮСНИК ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИК ХОЛОСТОЙ ХОД КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ОБРАТНЫЙ ХОЛОСТОЙ ХОД ОБРАТНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ВХОДНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИВЕДЁННОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ СИСТЕМНАЯ ФУНКЦИЯ АКТИВНЫЙ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИК Курсовая работа содержит расчет и исследование характеристик пассивных двухполюсников и четырехполюсников, математические выражения и расчет для собственных, повторных и рабочих параметров схем, расчет параметров активного четырехполюсника. 3 СОДЕРЖАНИЕ Введение .................................................................................................................................... 4 Задание на курсовую работу .................................................................................................... 5 1. Синтез схем реактивных двухполюсников ........................................................................ 6 1.1. Выявление необходимых и достаточных условий для физической реализации схемы .......................................................................................................................................... 6 1.2. Расчет элементов схем Фостера и Кауэра методом разложения на простые и непрерывные дроби ……………………………………………………………………… 1.3. Определение класса, расчет резонансных чатот и построение графиков Z1() и Z2(ω). ........................................................................................................................................ 13 2. Расчёт входных сопротивлений четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания .............................................................................................................. 18 2.1. Режим холостого хода при прямом включении .................................................. 18 2.2. Режим короткого замыкания при прямом включении........................................ 19 2.3. Режим холостого хода при обратном включении ............................................... 22 2.4. Режим короткого замыкания при обратном включении .................................... 24 3. Нахождение основной матрицы A и системной функции исследуемого четырёхполюсника.................................................................................................................. 26 3.1. Нахождение основной матрицы типа A исследуемого четырёхполюсника..... 26 3.2. Системная функция исследуемого четырёхполюсника ..................................... 28 4. Расчёт характеристических, повторных и рабочих параметров четырёхполюсника .. 29 4.1. Расчёт характеристических параметров четырёхполюсника ............................. 29 4.2. Расчет повторных параметров четырёхполюсника............................................. 36 4.3. Расчёт рабочих параметров четырёхполюсника ................................................. 37 5. Экспериментальная проверка результатов теоретических расчётов ............................. 39 6. Расчёт элементов эквивалентного активного четырёхполюсника ................................ 42 6.1. Расчёт эквивалентного четырёхполюсника ......................................................... 42 6.2. Расчет элементов эквивалентного активного четырёхполюсника .................... 42 Заключение .............................................................................................................................. 48 Библиографический список 4 ВВЕДЕНИЕ В современной технике решается широкий круг задач, связанных с использованием электрических явлений для передачи и обработки информации. В общем случае электрическая цепь состоит из источников электрической энергии, приемников и промежуточных звеньев, связывающих источники с приемниками. При выполнении курсового проекта необходимо провести анализ и синтез этих основных промежуточных элементов: двухполюсников (ДП) и четырехполюсников (ЧП), а также выполняется расчет входных сопротивлений ЧП в режимах холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), нахождение основной матрицы типа А и системной функции исследуемого ЧП, расчет характеристических, повторных и рабочих параметров ЧП, экспериментальная проверка зависимости Z2(p) методом двухполюсника, расчет элементов эквивалентного активного и пассивного ЧП. Анализ и синтез электрических цепей взаимосвязаны. Методы синтеза базируются на использовании общих свойств характеристик различных классов цепей, которые изучаются в процессе анализа. В заданном курсовом проекте указана схема синтезируемого ЧП, составными элементами которого являются ДП с известной частотной зависимостью сопротивления в символической и операторной форме. Примечание: все формулы разделов 1 5 взяты из №1 и №2 библиографического списка, а формулы раздела 6 взяты из №4 библиографического списка. 5 Задание на курсовую работу 6 1.СИНТЕЗ СХЕМ РЕАКТИВНЫХ ДВУХПОЛЮСНИКОВ, ВХОДЯЩИХ В СОСТАВ ИССЛЕДУЕМОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА 1.1. Выявление необходимых и достаточных условий для физической реализации схемы Если по операторной функции Z(p) – зависимости входного сопротивления двухполюсника от параметра p (или от частоты) можно построить соответствующую электрическую цепь, то такую функцию называют физически реализуемой. Для реактивного двухполюсника функция Z(p) физически реализуема, если: 1) она положительна и действительна, все коэффициенты при операторе p – только вещественные и положительные числа; 2) высшая степень оператора p равна числу элементов в схеме; 3) высшие и низшие степени многочленов числителя и знаменателя функции Z(p) могут отличаться не более чем на единицу; 4) её нули и полюсы расположены на мнимой оси, при этом они являются комплексносопряженными, нули и полюсы чередуются, кратных (одинаковых) корней не бывает; 5) в числителе (знаменателе) функции стоят только нечётные степени, а в знаменателе (числителе) стоят только четные степени оператора p. 1.2. Расчет элементов схем Фостера и Кауэра методом разложения на простые и непрерывные дроби Схема замещения исследуемого ЧП приведена на рис. 1.1 Схема замещения исследуемого ЧП 1 Z1 2 Z2 1` 2` Рис. 1.1 Согласно заданию операторное сопротивление двухполюсника Z1 определяется по формуле 0,05 ( p 2 2 108 ) Z1 ( p ) . (1.1) p Z 1 0,05 p 1 10 7 p pL1 1 pC1 (1.2) 7 Запишем выражение (1.1) следующим образом: Из выражения (1.2) видно, что ДП с операторным сопротивлением Z1(p) состоит из катушки индуктивности L1 = 50 мГн и конденсатора емкостью C1 = 0,1 мкФ, соединенных последовательно. Схемы Фостера и Кауэра для этой схемы будут одинаковы. Операторное сопротивление Z1(p) соответствует схеме, приведенной на рис. 1.2. Элементная схема операторного сопротивления Z1(p) L1 50 мГн С1 0,1мкФ Рис. 1.2 График для функции сопротивления Z1( j ) приведен на рис.1.13. Согласно заданию операторное сопротивление двухполюсника Z2 определяется по формуле: Z 2 ( p) 0,02 ( p 2 0,974 108 ) ( p 2 6,855 108 ) . p ( p 2 2 108 ) (1.3) Этот ДП состоит из четырех реактивных элементов, т.к. высшая степень оператора p равна четырем. В схеме происходит три резонанса. Первый из них резонанс напряжений, т.к. постоянный ток через схему не проходит. Есть четыре вида канонических схем, в которых можно реализовать функцию заданного ДП. Рассмотрим каждую из четырех схем, определим значения элементов, а затем выберем наиболее оптимальную, которую будем использовать в дальнейших расчетах. а) Схема Фостера 1-ого рода. Схема Фостера 1-ого рода, имеющая класс ” ” в общем виде изображена на рис.1.3. а) Схема Фостера 1-ого рода. C2n+1 C1 C3 C2n-1 L2n+1 L1 L3 Рис.1.3 L2n-1 8 Синтез данного пассивного ЧП будем проводить с помощью метода разложения на простые дроби функции сопротивления (Z(p)). В общем виде сопротивление ДП записывается следующим образом Z ( p) A p n A0 A p 2 2i 1 2 , p i 1 p 2i (1.4) где A p - полюс при p , A0 - полюс при p 0 , p A2i 1 p - пары мнимых полюсов при p j 2i . p 2 22i Используя понятие предела, найдем значения коэффициентов соответственно по (1,5), (1,6), (1,7) Z ( p) , A L2i 1 lim p p 1 A0 lim p Z ( p) , C 2i 1 p A2i 1 1 C2i 1 2lim p 22i A , A0 , A2i 1 p 2 22i Z ( p) . p (1.5) (1.6) (1.7) Резонансная частота i-ого контура определяется по (1.8) 2i 1 L2i 1 C 2i 1 , (1.8) где L2i 1 - индуктивность i-ого контура, Гн; С 2i 1 - емкость i-ого, Ф. Для нашего случая, когда класс ДП “ ” и он имеет четыре элемента, схема Фостера 1-ого рода будет иметь вид, изображенный на рисунке 1.4. В общем виде сопротивление заданного ДП Z2(p) запишем в виде: A0 Ap 2 1 . p p 2 10 8 Значение частоты при которой возникает резонанс токов, взято из (1.3). Z 2 ( p) A p Схема Фостера 1-ого рода C1 C3 L3 L1 Рис. 1.4 (1.9) 9 Затем, используя (1.5), (1.6), (1.7), (1.8) получим: 0.02 p 2 0.974 10 8 p 2 6.855 10 8 A lim 20 мГн L3 ; p p 2 p 2 2 10 8 0.02 p p 0.974 10 p 2 6.855 10 8 A0 lim 6.677 10 6 ; 2 8 p 0 p p 2 10 p 2 8 2 10 0.02 p 0.974 10 8 p 2 6.855 10 8 A1 lim 8 2.49 10 8 ; 2 2 8 p 210 p p 2 10 1 1 C3 149.76нФ ; C1 200.8нФ ; A0 A1 1 1 L1 2 25 мГн . 8 C1 2 10 200.8 10 9 2 8 2 Полученные результаты расчетов сведем в табл.1.1. б) Схема Фостера 2-ого рода. Схема Фостера 2-ого рода, имеющая класс “ ”, в общем виде изображена на рис.1.5. Схема Фостера 2-ого рода L1 C1 L3 C3 L5 C5 L2n-1 C2n-1 Рис.1.5 Синтез этого пассивного ДП будем осуществлять с помощью метода разложения на простые дроби функции проводимости Y(p). В общем виде проводимость ДП записывается следующим образом n Y ( p) i 1 где A2i 1 p , p 2 22i (1.10) A2i 1 p - пары мнимых нулей. p 2 22i Значения коэффициентов A2i 1 (величина, обратная индуктивности) в этом случае определяются по (1.11). A2i 1 где 1 L2i 1 2lim p 22i p 2 22i 1 Y ( p) , p 2i 1 - частота, при которой наступает резонанс напряжений. (1.11) 10 Резонансная частота для i-ой ветви определяется по (1.12). 2i 1 1 L2i 1 C 2i 1 , (1.12) где L2i 1 - индуктивность i-ой ветви, Гн; С 2i 1 - емкость i- ой ветви, Ф. В нашем случае, схема Фостера 2-ого рода будет иметь вид, изображенный на рис1.6. L1 C1 L3 C3 Рис.1.6 Из выражения (1.3) запишем проводимость. Y2 ( p ) p ( p 2 2 10 8 ) . 0,02 ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) (1.13) Теперь запишем для нашего случая общий вид проводимости через простые дроби. Y p A3 p A1 p 2 . 8 ( p 0,974 10 ) ( p 6,855 10 8 ) 2 (1.14) Очевидно, что в знаменателе выражения (1.13) записаны частоты, при которых наступает резонанс напряжений и их можно найти, приравняв его к нулю. 0,02 ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) 0 (1.15) Откуда следует, что 1 0,974 10 8 с-1 и 3 6,855 10 8 с-1. Используя выражение (1.10), найдем значения неизвестных коэффициентов A1 и A3, с помощью которых определим индуктивности L1 и L3. A1 1 L1 lim p 2 0.974 10 8 p p p 0.02 p 6.855 10 p 2 10 24.2 мГн ; 0.974 10 p 6.855 10 p p 2 0.974 10 8 p 2 2 10 8 114 мГн ; p 0.02 p 2 0.974 10 8 p 2 6.855 10 8 2 8 2 8 1 2 lim 8 2 8 2 8 L3 p 6.85510 1 1 1 1 C3 2 60нФ ; C1 2 90нФ ; 8 3 8 3 6.855 10 24.2 10 1 0.974 10 114 10 3 A3 Полученные результаты расчетов сведены в табл.1.1. 11 в) Схема Кауэра 1-ого рода. Схема Кауэра 1-ого рода, имеющая класс “ ”, в общем виде изображена на рис.1.7. Схема Кауэра 1-ого рода L2 L4 L2n C2 C4 C2n-2 C2n Рис.1.7 Синтез такого пассивного ДП будем осуществлять методом разложения в непрерывную (цепную) дробь функции сопротивления. Z ( p) pL2 1 pC 2 . 1 pL4 (1.16) 1 pC 4 1 pL6 В нашем случае, когда класс ДП “ ” и он имеет четыре элемента, схема Кауэра 1-ого рода будет иметь вид, изображенный на рис.1.8. Разложим в непрерывную дробь выражение (1.3) и найдем тем самым значения элементов данной схемы (см. рис.1.8). Схема Кауэра 1-ого рода L2 L4 C2 C4 Рис.1.8 0,02p4 + 1,5658 107 p2 + 1.3353 1015 p3 + 2 108 p 0.02p4 + 4 106 p2 0.02p pL2 ; 1.1658 107 p2 + 1.3353 1015 p3 + 2 108 p p3 + 1,1454 108 p 8.5457 107 p 1.1658 107 p2 + 1.3353 1015 85.78 10-9 p pC2 ; 1.1658 107 p2 + 1.3353 1015 1.1658 107 p2 1.3353 1015 8.5457 107 p 136.4 10-3 p pL4 ; 12 8.5457 107 p 8.5457 107 p 0 1.3353 1015 64 10-9 p pC4 . Полученные результаты расчетов сведем в табл.1.1. г) Схема Кауэра 2-ого рода. Схема Кауэра 2-ого рода, имеющая класс “ ”, в общем виде изображена на рис.1.9. Схема Кауэра 2-ого рода C2 C4 C2n L2 L4 L2n-2 L2n Рис.1.9 Синтез этого пассивного ДП будем осуществлять методом разложения в непрерывную дробь функции проводимости по восходящей степени оператора p. 1 1 Y ( p) pC 2 . (1.17) 1 1 pL2 1 1 1 1 pC 4 pL4 В нашем случае, когда класс ДП “ ” и он имеет четыре элемента, схема Кауэра 2-ого рода будет иметь вид, изображенный на рис.1.10. Схема Кауэра 2-ого рода C2 C4 L2 L4 Рис.1.10 13 Разложим в непрерывную дробь выражение (1.13) по восходящей степени оператора p и получим значения элементов схемы Кауэра 2-ого рода (см. рис.1.10). 1.3353 1015 + 1,5658 107 p2 + 0,02p4 2 108 p + p3 1 1 1.3353 1015 + 6.67677 106 p2 ; 9 pC 2 149.8 10 p 8.98123 106 p2 + 0,02p4 2 108 p + p3 2 108 p + 0.4454 108 p3 8.98123 106 p2 + 0,02p4 1 1 3 pL2 50 10 p ; 0.5546 p3 8.98123 106 p2 + 0,02p4 8.98123 106 p2 0.5546 p3 1 1 9 pC 4 61,75 10 p ; 0,02p4 0.5546 p3 0,02p4 1 1 . 3 pL4 36 10 p 0.5546 p3 0 Полученные результаты расчетов сведем в табл.1.1. Таблица1.1 Вид схемы Фостер 1-ого рода Фостер 2-ого рода Кауэр 1-ого рода Кауэр 2-ого рода Результаты расчетов схем Фостера и Кауэра Элементы схемы ДП L1, мГн C1, нФ L2, мГн C2, нФ 25 200.8 20 150 114 90 24.2 60 20 85.78 136.4 64 50 150 36 61.75 Проанализировав полученные значения элементов для каждой схемы (см. табл.1.1), можно сделать вывод о том, что наиболее оптимальная из схем – это схема Фостера 1-ого рода. Если сложить индуктивности каждой из схем в отдельности, то получиться, что общее значение индуктивности для схемы Фостера 1-ого рода будет наименьшим, что более выгодно с практической точки зрения. График для функции сопротивления Z2( j ) приведен на рис.1.14. 1.3. Определение класса, расчет резонансных чатот и построение графиков Z1(p) и Z2(p). Найдем нули и полюсы двухполюсников, входящих в состав исследуемого ЧП. 14 Согласно заданию операторное сопротивление двухполюсника Z1 определяется по формуле: Z 1 ( p) 0,05 ( p 2 2 10 8 ) . p Приравняв к нулю числитель Z1(p), получим нули функции: р 02 2 10 8 0 , р 02 2 10 8 . Считая, что p j , получаем: p01, 2 j j 1,4142135 10 4 . Приравняв к нулю знаменатель Z1(p), получим полюсы функции: px 0 , p x j 0 . Определим значения сопротивления внешних нулей и полюсов: Z1 ( j ) Z1 ( j 0) - полюс функции Z1(p), Z1 ( j ) Z1 ( j) - полюс функции Z1(p). Полюсно-нулевое изображение Z1(p) представлено на рис.1.11 Полюсно-нулевое изображение Z1(р) j j14142,135 - j14142,135 -j Рис. 1.11 Согласно заданию операторное сопротивление ДП Z2 определяется по формуле: 0,02 ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) Z 2 ( p) . p ( p 2 2 10 8 ) Приравняв к нулю числитель Z2(p) (см. (1.15)), получим нули функции: p01, 2 j1 j 9.87 10 3 , p03, 4 j 3 j 2.62 10 4 . Приравняв к нулю знаменатель Z2(p), получим полюсы функции: p p 2 2 10 8 0 , p x1 0 , p x2, 3 j 2 j 1.4142 10 4 . Определим значения сопротивления внешних нулей и полюсов: Z 2 ( j ) Z 2 ( j 0) - полюс функции Z2(p), 15 Z 2 ( j ) Z 2 ( j) - полюс функции Z2(p). Полюсно-нулевое изображение Z2(p) представлено на рис.1.12 Полюсно-нулевое изображение Z2 j j2,6182104 j14142,135 j9869,14 - j9869,14 - j14142,135 - j2,6182104 -j Рис. 1.12 Из полюсно-нулевого изображения (см. рис.1.11) определим класс и резонансную частоту сопротивления Z1(p): Z1 ( j) . Z 1 ( j 0) , Через ДП Z1 постоянный ток и ток сверхвысокой частоты не проходят следовательно, класс ДП “ ”. Данный ДП имеет один резонанс напряжений на частоте 14142,135 10 4 с 1 . Из полюсно-нулевого изображения (см. рис.1.12) определим класс и резонансную частоту ДП Z2(р): Z 2 ( j) . Z 2 ( j 0) , Через ДП Z2 постоянный ток и ток сверхвысокой частоты не проходят, следовательно, класс ДП “ ”. Данный ДП имеет два резонанса напряжений на частотах 9869,14 10 3 с 1 и 26182с 1 , а также один резонанс токов на 14142с 1 . Для построения графиков необходимо в заданную формулу подставить определенное значение контрольной частоты. Зависимость сопротивления от частоты оформляем в виде табл.1.2. Произведём расчёт Z 1 ( j) и Z 2 ( j) на контрольной частоте = 7000 рад/с. Z 1 ( ) 1 5 10 9 7000 2 j1,078 10 3 Ом . 7 j 7000 10 0.02 (0.974 10 8 2 ) (6.855 10 8 2 ) j 582.906 Ом. j (2 10 8 2 ) Значения сопротивлений двухполюсников Z1 и Z 2 на различных частотах приведены в табл. 1.2. Z 2 ( j ) 16 Таблица 1.2 Зависимости сопротивлений Z1 и Z2 от частоты Угловая частота , рад/с 0 2000 4000 6000 8000 9869,14 10000 12000 14000 14142,135 16000 18000 20000 22000 24000 26000 26182 28000 30000 Частота f, Гц 0 318 636,62 954,93 1273 1571 1592 1910 2228 2251 2546 2865 3183 3501 3820 4138 4167 4456 4775 Сопротивление Z1(), Ом Сопротивление Z2(), Ом 4900 ej90 2300ej90 1367ej90 850ej90 519,803ej90 500ej90 233,333ej90 14,286ej90 0 175ej90 344,444ej90 500ej90 645,455ej90 783,333ej90 915,385ej90 927,158ej90 1043ej90 ej90 3248ej90 1481ej90 810,555ej90 381,583ej90 30,446ej90 751,009ej90 17240ej90 1521ej90 734,013ej90 431,962ej90 249,359ej90 116,15ej90 8,883ej90 82,718ej90 163,96ej90 Графики зависимости Z1(j), Z2(j) приведены на рис. 1.13, рис. 1.14 соответственно. 17 График зависимости Z1(j) 2000 1071.43 Ом 142.86 0 2000 4000 6000 1 10 1.2 10 4 8000 1.4 10 4 1.6 10 4 4 4 2 10 4 1.8 10 Рад/с 785.71 Z 1 ( p) j 1714.29 2642.86 3571.43 4500 Рис. 1.13 График зависимости Z2(j) 1 .5 1 0 4 1 .2 9 1 0 Ом 4 1 .0 8 1 0 4 8 70 0 6 60 0 Z 2 ( p) j 4 50 0 2 40 0 3 00 0 4 00 0 8 00 0 1 .2 1 0 4 1 .6 1 0 4 2 1 0 4 1 80 0 3 90 0 6 00 0 Рис. 1.14 2 .4 1 0 4 2 .8 1 0 4 3 .2 1 0 4 3Рад/с .6 1 0 4 4 1 0 4 18 2. РАСЧЕТ ВХОДНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ ХОЛОСТОГО ХОДА И КОРОТКОГО ЗАМЫКАНИЯ ЧП В РЕЖИМАХ Входным сопротивлением четырёхполюсника называется то полное сопротивление четырёхполюсника переменному току, которое может быть измерено со стороны его входных зажимов при условии замыкания его входных зажимов на заранее заданное сопротивление. При прямом направлении передачи U A Z A12 Z ВХ 1 1 11 H . (2.1) I 1 A21 Z H A22 При обратном направлении передачи Z ВХ 2 U2 A22 Z H A12 / . (2.2) / / I2 A21 Z H A11 Входное сопротивление четырёхполюсника относится к числу его внешних (рабочих) параметров, зависит от направления передачи, нагрузки и собственных параметров. На практике часто применяются значения ZВХ при холостом ходе и коротком замыкании на выходе четырёхполюсника. Элементная схема прямого Г-образного четырёхполюсника L1 50 мГн C1 0,1мкФ L3 20 мГн С3 0,2 мкФ L2 25 мГн С2 0,15 мкФ Рис. 2.1 2.1. Режим холостого хода при прямом включении Схема исследуемого четырёхполюсника в режиме холостого хода при прямом направлении передачи приведена на рис. 2.2. 19 1 L3 20 мГн С3 0,2 мкФ С2 0,15 мкФ L2 25 мГн 1/ Рис. 2.2 Z XX ( p) Z 2 ( p) Подставляя в (2.3) сопротивление двухполюсника (1.3), получим Z XX ( p) 0,02 ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) . p ( p 2 2 10 8 ) (2.3) (2.4) ZХХ при прямом направлении передачи равно Z2(p), рассмотренному в пункте 1.3, а его полюсно-нулевое изображение приведено на рис.1.12. Проведём контрольный расчет ZХХ на частоте = 7000 рад/с. 0.02 (0.974 10 8 2 ) (6.855 10 8 2 ) Z хх ( ) j 582.906 Ом. j (2 10 8 2 ) Остальные значения сопротивлений ZХХ на других частотах приведены в табл. 2.1. 2.2 Режим короткого замыкания при прямом включении Схема включения четырёхполюсника для нахождения ZВХ в режиме короткого замыкания при прямом включении показана на рис. 2.3. L1 50 мГн C1 0,1мкФ L3 20 мГн С3 0,2 мкФ L2 25 мГн Рис. 2.3 С2 0,15 мкФ 20 Z 1 ( p) Z 2 ( p) . (2.5) Z 1 ( p) Z 2 ( p) Подставляя в выражение (2.4) сопротивления двухполюсников (1.1) и (1.3), получим 10 3 p 2 2 10 8 p 2 0,974 10 8 p 2 6,855 10 8 Z КЗ ( p) . (2.6) 0,05 р p 2 2 10 8 0,02 р p 2 0,974 10 8 p 2 6,855 10 8 Z КЗ ( p) Приравнивая поочерёдно числитель и знаменатель выражения (2.6) к нулю, находим корни, которые являются соответственно нулями и полюсами операторного сопротивления Z(p). Нули: Полюсы: 1 = 9869,1438, = 14142,135 и = 26182 рад/с 11113, = 19647 рад/с. Тогда выражение (2.6) можно записать в виде Z КЗ ( j ) 10 3 2 10 8 2 0,974 10 8 2 6,855 10 8 2 0,05 j 2 10 8 2 2 0,02 j 0,974 10 8 2 6,855 10 8 2 . (2.7) Полюсно-нулевое изображение ZКЗ j j26182 j19647 j14142,1356 j11113 j9869,1438 - j9869,1438 - j11113 - j14142,1356 -j σ - j19647 -j26182 Рис. 2.4 Из полюсно-нулевого изображения (рис. 2.4) видно, что этот двухполюсник в режиме короткого замыкания при прямом включении имеет класс “ ”. Проведём контрольный расчет ZКЗ на частоте = 7000 рад/с. Z КЗ ( j ) 10 3 2 10 8 7000 2 0,974 10 8 7000 2 6,855 10 8 7000 2 0,05 j 7000 2 10 7000 8 2 2 Z кз ( j7000) j378.402 378.402 e 90 Ом. 0 0,02 j 7000 0,974 10 7000 6,855 10 7000 8 2 8 2 . 21 Остальные значения сопротивлений ZКЗ на других частотах приведены в табл. 2.1. Таблица 2.1 Зависимости сопротивлений ZХХ и ZКЗ при прямой передаче от частоты Угловая частота Сопротивление Сопротивление f, Гц ZХХ, Ом ZКЗ, Ом рад/сек 0 0 j90 318 2000 1953ej90 3248e j90 636,62 4000 1481e 900,864ej90 954,93 6000 810,555ej90 508,794ej90 1273 8000 381,583ej90 263,356ej90 1571 9869,1438 j90 1592 10000 30,446e 32,42ej90 1769 11113 751,009ej90 j90 1910 12000 17240e 338,504ej90 2228 14000 17240ej90 14,298ej90 2251 14142,135 j90 2546 16000 1521e 197,761ej90 2865 18000 734,013ej90 648,991ej90 3127 19647 473,046ej90 j90 3183 20000 431,962e 3174ej90 22000 3501 249,359ej90 406,342ej90 24000 3820 116,15ej90 136,37ej90 j90 26000 4138 8,883e 8,97ej90 26182 4167 j90 28000 4456 82,718e 76,639ej90 30000 4775 163,96ej90 143,757ej90 Графики частотной зависимости входных сопротивлений исследуемого четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом направлении передачи сигнала приведены на рис. 2.5. 22 Частотная зависимость входных сопротивлений исследуемого четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при прямом направлении передачи сигнала 8000 6400 Ом 4800 3200 1600 0 Z j 1600 3200 4800 6400 8000 0 3000 6000 9000 1.2 10 4 1.5 10 4 1.8 10 2.1 10 4 4 2.4 10 4 4 2.7 10 Рад/с 3 10 4 ω - частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме холостого хода при прямом направлении передачи. - частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме короткого замыкания при прямом направлении передачи. Рис. 2.5 2.3. Режим холостого хода при обратном включении Схема включения четырёхполюсника для нахождения ZВХ в режиме холостого хода при обратном включении L1 50 мГн C1 0,1мкФ 2 L3 20 мГн С3 0,2 мкФ L2 25 мГн С2 0,15 мкФ 2` Рис. 2.6 23 Z / ХХ ( p) Z 1 ( p) Z 2 ( p). (2.8) Подставляя в выражение (2.8) сопротивления двухполюсников (1.1), (1.3), получим Z / ХХ ( p) 0,05 ( p 2 2 10 8 ) 0,02 ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) p p ( p 2 2 10 8 ) (2.9) Приравнивая поочерёдно числитель и знаменатель выражения (2.9) к нулю, находим корни, которые являются нулями и полюсами операторного сопротивления Z/хх(p). Нули: = 11111,21, 3 = 19645,37 рад/с. Полюсы: = 14142,135 рад/с. Тогда выражение (2.9) можно переписать в виде 0,05 (2 10 8 2 ) 0,02 (0,974 10 8 2 ) (6,855 10 8 2 ) Z ХХ ( p) j j (2 10 8 2 ) / (2.10) Полюсно-нулевое изображение Z’хх j j19645,37 j14142,135 j11111,21 σ - j11111,21 - j14142,135 - j19645,37 -j Рис. 2.7 Из полюсно-нулевого изображения (рис. 2.7) видно, что этот двухполюсник в режиме холостого хода при обратном включении имеет класс “ ”. Проведём контрольный расчет ZХХ на частоте = 7000 рад/с. Z / ХХ ( p) 0,05 (2 10 8 7000 2 ) 0,02 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) . j 7000 j 7000 (2 10 8 7000 2 ) Z / ХХ ( p) 1661 e 90 . 0 Остальные значения сопротивлений ZХХ на других частотах приведены в табл. 2.2. 24 2.4. Режим короткого замыкания при обратном включении Схема включения четырёхполюсника для нахождения ZВХ в режиме короткого замыкания при обратном включении L1 C1 0,1мкФ 50 мГн 2 2` Рис. 2.8 / Z КЗ ( p) Z 1 ( p). (2.11) Подставляя в выражение (2.11) сопротивление двухполюсника (1.1), получим 0,05 ( p 2 2 10 8 ) . p Подробно этот двухполюсник рассмотрен в п.1.2 и п.1.3. / Z КЗ (2.12) Из полюсно-нулевого изображения (рис. 1.11) видно, что этот двухполюсник в режиме короткого замыкания при обратном включении имеет класс “ ”. Проведём контрольный расчет ZКЗ на частоте = 7000 рад/сек. 0,05 (2 10 8 7000 2 ) j1,078 10 3 Ом j 7000 Остальные значения сопротивлений Z/КЗ на других частотах приведены в табл. 2.2. / Z КЗ Угловая частота рад/сек 0 2000 4000 6000 8000 10000 11111,21 12000 Таблица 2.2 Зависимости Z’ХХ и Z’КЗ от (j) Сопротивление Z/ХХ, Сопротивление Z/КЗ, f, Гц Ом Ом 0 0 0 j90 318 8148e 4900 ej90 636,62 3781ej90 2300ej90 954,93 2177ej90 1367ej90 1273 1232ej90 850ej90 1592 496,55ej90 30,446ej90 1768 0 344,341ej90 j90 1910 517,676e 751,009ej90 25 Угловая частота рад/сек 14000 14142,135 16000 18000 19645,37 20000 22000 24000 26000 28000 30000 Продолжение табл. 2.2 Сопротивление Z/ХХ, Сопротивление Z/КЗ, Ом Ом j90 17220e 17240ej90 0 j90 1346e 1521ej90 389,569ej90 734,013ej90 0 473,243ej90 68,038ej90 431,962ej90 396,095ej90 249,359ej90 667,184ej90 116,15ej90 906,502ej90 8,883ej90 j90 1126e 82,718ej90 1331ej90 163,96ej90 f, Гц 2228 2251 2546 2865 3127 3183 3501 3820 4138 4456 4775 Графики частотной зависимости входных сопротивлений исследуемого четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном направлении передачи сигнала приведены на рис. 2.9. Частотная зависимость входных сопротивлений исследуемого четырёхполюсника в режимах холостого хода и короткого замыкания при обратном направлении передачи сигнала 5 00 0 4 00 0 Ом 3 00 0 2 00 0 1 00 0 Z j 0 1 00 0 2 00 0 3 00 0 4 00 0 5 00 0 0 3 00 0 6 00 0 9 00 0 1 .2 1 0 4 1 .5 1 0 4 1 .8 1 0 4 2 .1 1 0 4 2 .4 1 0 4 4 2 .7 1 0 рад/с 3 1 0 4 - частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме холостого хода при обратном направлении передачи. - частотная зависимость сопротивления четырёхполюсника в режиме короткого замыкания при обратном направлении передачи. Рис. 2.9 26 3. НАХОЖДЕНИЕ ОСНОВНОЙ МАТРИЦЫ ТИПА A И СИСТЕМНОЙ ФУНКЦИИ ИССЛЕДУЕМОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА 3.1. Нахождение основной матрицы типа A исследуемого четырёхполюсника В данной курсовой работе рассматривается четырёхполюсник, собранный из оптимально выбранных двухполюсников в соответствии со схемой замещения, указанной в задании. Теория четырёхполюсников позволяет, применяя некоторые обобщённые параметры, связать между собой напряжения и токи на входе и выходе, не производя расчётов этих величин в схеме самого четырёхполюсника. К таким обобщённым параметрам относятся собственные параметры четырёхполюсников, которые определяются без учета влияний внешних подключений (генератора и нагрузки). Параметры-коэффициенты A (а также B, Z, Y, H, G) относятся к собственным параметрам. Четырёхполюсную цепь (рис.3.1), имеющую вход и выход, следует характеризовать связями между двумя напряжениями U1 и U2 и двумя токами I1 и I2. I1 I2 ZГ U1 (A) U2 ZН E S1 S2 Рис. 3.1 Если за функции принять U1 и I1, а за аргументы U2 и I2, то получим основную систему уравнений четырёхполюсника в виде: U 1 A11 U 2 A12 I 2 (3.1) I 1 A21 U 2 A22 I 2 Такую систему уравнений для любых заданных условий включения четырёхполюсника можно дополнить ещё двумя уравнениями: уравнением генератора E Г I1 Z Г U Г (3.2) и уравнением приёмника U2 I2 ZН . (3.3) Матрица А имеет вид: А12 А . A 11 А21 А22 Для пассивных четырёхполюсников определитель, коэффициентов A, равен единице. А А11 А22 А12 А21 1. (3.4) составленный из (3.5) Коэффициенты A для заданной прямой Г-образной схемы имеют следующий вид: 27 А11 1. A12 Z 1Ом. 1 A21 См. Z2 Z А22 1 1 . Z2 (3.6) (3.7) (3.8) (3.9) Чтобы убедиться в правильности выбора коэффициентов A-матрицы, подставим выражения (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9) в выражение (3.5). A 1 Z1 Z1 1 Z2 Z2 Следовательно, выражения (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9) верны. Подставляя в выражения (3.6), (3.7), (3.8) и (3.9) сопротивления двухполюсников (1.1) и (1.3) в виде Z = (j) и произведя различные математические преобразования, получим А11 1, A12 (3.10) 0,05 (2 10 j ) , j 8 2 (3.11) j (2 10 8 2 ) A21 , 0,02 (0,974 10 8 2 ) (6,855 10 8 2 ) (3.12) (0,974 10 8 2 ) (6,855 10 8 2 ) 2,5 (2 10 8 2 ) 2 А22 . (0,974 10 8 2 ) (6,855 10 8 2 ) (3.13) Проведём контрольный расчет A-параметров на частоте = 7000 рад/с. А11 1, A12 A21 0 0,05 (2 10 7000 2 ) j1,078 10 3 1078e j 90 , j 7000 8 j (2 10 8 7000 2 ) 3 3 j 90 0 j 1 , 716 10 1 , 716 10 e , 0,02 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) А22 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 2,5 (2 10 8 7000 2 ) 2 2,85. (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) Проверим достоверность найденных коэффициентов, используя (3.5). 1 2,85 j1,078 10 3 j1,716 10 3 2,85 1,85 1. Так как уравнение выполнилось, то коэффициенты найдены верно. 28 3.2. Системная функция исследуемого четырёхполюсника Запишем системную функцию H(S) через A-параметры. ZН H (S ) . (3.14) А11 Z Н А12 А21 Z Н Z Г А22 Z Г Подставив в выражение (3.14) полученные ранее выражения (3.10), (3.11), (3.12) и (3.13) и проведя некоторые математические преобразования, получим: 9 p ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) H ( s) 3 6 10 p 18 p 5 1,38790910 6 p 4 1,4092210 10 p 3 3,043547510 14 p 2 1,201818610 18 p 1,33541410 22 (3.15) Проведём контрольный расчет системной функции H(S) на частоте = 7000 рад/с. 9 j (0,974 10 8 2 ) (6,855 10 8 2 ) H ( s ) 3 6 10 j18 5 1,38790910 6 4 j1,4092210 10 3 3,043547510 14 2 j1,201818610 18 1,33541410 22 H ( s) 0,022 j 0,052 0,056e j1,171 . В дальнейшем мы используем системную функцию для расчета активного четырехполюсника (см. п.6.2). 29 4. РАСЧЕТ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ, ПОВТОРНЫХ И РАБОЧИХ ПАРАМЕТРОВ ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА 4.1. Расчёт характеристических параметров четырёхполюсника При исследовании работы четырёхполюсника в качестве различных устройств автоматики, телемеханик и связи удобно пользоваться характеристическими параметрами ZC1, ZC2 и gC. Они зависят только от схемы замещения, то есть являются собственными параметрами. Характеристическое сопротивление – это такое входное сопротивление четырёхполюсника, в котором в качестве нагрузки используется другое характеристическое сопротивление. Характеристическое сопротивление – это среднее геометрическое входных сопротивлений холостого хода и короткого замыкания. При прямом направлении передачи энергии A11 A12 Z C1 Z ХХ Z КЗ (4.1) A21 A22 и при обратном направлении передачи энергии A22 A12 / / . Z C 2 Z ХХ Z КЗ (4.2) A21 A11 Подставим выражения (3.10), (3.11), (3.12) и (3.13) в выражение (4.1) и проведем некоторые математические преобразования. В итоге получим, что: Z с1 0,05 р p p 6,855 10 0,02 0,02 р p 0,974 10 p 6,855 10 р p 2 2 10 8 2 2 Перезапишем выражение (4.3) в виде: Z с1 2 10 3 p 2 2 10 8 p 2 0,974 10 8 8 8 2 2 0,02 j 0,974 10 8 2 8 2 2 10 8 6,855 10 0,02 6,855 10 j 2 10 10 3 2 10 8 2 0,974 10 8 2 0,05 j 2 10 8 2 2 2 . (4.3) 2 2 8 2 8 2 8 2 . (4.4) Проведём контрольный расчет характеристического сопротивления ZC1 на частоте = 7000 рад/с. Z c1 j 220500 j 469,562 Ом. Остальные значения характеристического сопротивления на различных частотах приведены в табл. 4.1. Подставим выражения (3.10), (3.11), (3.12) и (3.13) в выражение (4.2) и проведем некоторые математические преобразования. В итоге получим, что: Z C2 0,05 ( p 2 2 10 8 ) 2 0,02 ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) 0,05 . p3 (4.5) Перезапишем выражение (4.5) в виде: Z C2 0,05 (2 10 8 2 ) 2 0,02 (0,974 10 8 2 ) (6,855 10 8 2 ) 0,05 . j 3 (4.6) 30 Проведём контрольный расчет характеристического сопротивления ZC2 на частоте = 7000 рад/с. Z C2 0,05 (2 10 8 7000 2 ) 2 0,02 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 0,05 j 7000 3 j 1793000 j1339 Ом. Остальные значения характеристического сопротивления на различных частотах приведены в табл. 4.1. Таблица 4.1 Зависимость характеристических сопротивлений от частоты Характеристическое Характеристическое Угловая частота f, Гц сопротивление сопротивление рад/с. ZC1, Ом ZC2, Ом 0 0 - - 318 2000 2518ej90 6318ej90 636,62 4000 1155ej90 2949ej90 954,93 6000 642,188ej90 1725ej90 1273 8000 317,005ej90 1023ej90 1571 9869,1438 0 519,803ej90 1592 10000 31,418ej90 484,538ej90 1769 11111,21 0 12000 1910 504,202 347,55 14000 2228 496,44 496,029 14142,135 2251 499,058 499,058 16000 2546 548,358 485,246 18000 2865 690,194 366,313 3127 19645,37 0 j90 3183 20000 1171e 184,443ej90 j90 22000 3501 318,316e 505,63ej90 24000 3820 125,854ej90 722,93ej90 26000 4138 8,926ej90 910,932ej90 26182 4167 0 927,157ej90 28000 4456 79,62ej90 1083ej90 30000 4775 153,526ej90 1246ej90 Графики частотной зависимости характеристических сопротивлений ZC1 и ZC2 исследуемого четырёхполюсника приведены на рис. 4.1 и рис.4.2 соответственно. 31 Частотная зависимость характеристического сопротивления ZC1 3000 2400 Ом 1800 1200 600 0 Z C1 j 600 1200 1800 2400 3000 0 3000 6000 9000 1.2 10 4 1.5 10 1.8 10 4 2.1 10 4 10 2.7 рад/с 2.4 10 4 4 4 3 10 4 Рис. 4.1 Частотная зависимость характеристического сопротивления ZC2 7000 5600 Ом 4200 2800 1400 0 ZC2 j 1400 2800 4200 5600 7000 0 3000 6000 9000 1.2 10 4 1.5 10 Рис. 4.2 4 1.8 10 4 2.1 10 4 2.4 10 4 4 рад/с 2.7 10 3 10 4 32 Характеристическая постоянная передачи gC оценивает потери мощности в четырёхполюснике, не зависит от направления передачи энергии через четырёхполюсник. Характеристическая постоянная передачи через A-параметры записывается в виде: g C ln( A11 A22 A12 A21 ). (4.7) Подставим в выражение (4.7) полученные ранее выражения для A-параметров ((3.10), (3.11), (3.12) и (3.13)). (0,974 108 2 ) (6,855 108 2 ) 2,5 (2 108 2 ) 2 0,05 (2 108 2 ) 2 gC ln 8 2 8 2 8 2 8 2 ( 0 , 974 10 ) ( 6 , 855 10 ) 0 , 02 ( 0 , 974 10 ) ( 6 , 855 10 ) Характеристическая постоянная также записывается в виде: g C a C jbC , (4.8) где a C ln и A11 A22 A12 A21 , Нп bC arg A11 A22 A12 A21 , град. (4.9) (4.10) aс это постоянная затухания, которая показывает степень потери мощности в четырёхполюснике или степень уменьшения амплитуды тока (напряжения) на выходе четырёхполюсника по сравнению с этими величинами на входе. bc это фазовая постоянная, которая показывает смещение по фазе между токами и напряжениями на входе и выходе четырёхполюсника. Проведём контрольный расчёт gC, aC и bC по (4.7), (4.9) и (4.10), соответственно, на частоте = 7000 рад/с. (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 2,5 (2 10 8 7000 2 ) 2 g C ln( (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 0,05 (2 10 8 7000 2 ) 2 ) ln(1,688 1,36) 1,115 0,02 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) aC ln 0,05 (2 10 8 7000 2 ) 2 ln 1,688 1,36 1,115, Нп. 0,02 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) bC arg( (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 2,5 (2 10 8 7000 2 ) 2 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 2,5 (2 10 8 7000 2 ) 2 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) 0,05 (2 10 8 7000 2 ) 2 ) arg(1,688 1,36) 0, град. 0,02 (0,974 10 8 7000 2 ) (6,855 10 8 7000 2 ) Аналогичный результат даёт расчёт ac и bc через входные сопротивления холостого хода и короткого замыкания. 33 Обозначив: Z КЗ Z / КЗ , th( g C ) x jy Z ХХ Z / ХХ (4.11) aC 10 lg N , дБ (4.12) получим и bC 2 , град , (4.13) где 1 x jy . (4.14) 1 x jy Подставив выражения (2.5) и (2.8) в (4.11) и проведя некоторые математические преобразования, получим: N N e j x jy 6,855 10 0,02 j 0,974 10 6,855 10 0,02 10 3 0,974 10 8 2 2 j 0,05 j 2 10 8 2 Подставляя выражение (4.15) в (4.14), получим: 1 N 1 2 2 2 8 8 2 6,855 10 j 0,05 j 2 10 0,02 j 0,974 10 6,855 10 0,02 10 0,974 10 6,855 10 j 0,05 j 2 10 0,02 j 0,974 10 6,855 10 0,02 10 3 0,974 10 8 2 2 2 2 8 8 3 8 2 2 2 8 8 2 8 2 2 N e 2 2 2 8 2 2 8 2 2 8 8 . (4.15) j . (4.16) Беря из выражения (4.16) N и подставляя его в выражение (4.12) можем определить постоянную затухания aС. Беря аналогичным образом из выражения (4.16) и подставляя его в выражение (4.12) можем определить фазовую постоянную bС. Проведём контрольный расчёт gC, aC и bC по (4.12) (4.16) на частоте = 15000 рад/с. x jy 6,855 10 0,02 j 0,974 10 6,855 10 0,02 10 3 0,974 10 8 2 j 0,05 j 2 10 8 2 2 2 2 2 8 8 2 8 2 0,806. 1 0,806 9,294 9,294 e j 0 , 1 0,806 то есть, получаем, что N = 9,294 и = 0. N aC 10 lg 9,294 9,682, дБ , 0 bC 0, град . 2 Остальные значения характеристической постоянной передачи gC, постоянной затухания aC и фазовой постоянной bC на различных частотах приведены в табл. 4.2. 34 Таблица 4.2 Значения характеристической постоянной передачи Характеристиче Постоянная Фазовая Угловая частота f, Гц ская постоянная затухания постоянная , рад/с gC aC, дБ bC, град 0 8.956 0 0 0 2000 318 1.034 8.981 0 4000 636,62 1.045 9.079 0 6000 954,93 1.078 9.359 0 8000 1273 1.191 10.341 0 9869,1438 1571 7,338 63,74 90 1592 10000 18.04 90 2,604ej37,103 j90 1769 11113 0 90 1,521e j90 1910 12000 0 0 0,591e j90 2228 14000 0 0 0,029e 14142,135 2251 0 0 0 2546 16000 0 0 0,346ej90 j90 2865 18000 0 0 0,755e j89,052 3127 19647 0 90 1,571e j76,161 3183 20000 3.363 90 1,618e j56,142 22000 3501 9.155 90 1,892e j44,333 24000 3820 13.968 90 2,248e j27,577 26000 4138 26.13 90 3,394e j90 26182 4167 61,441 90 1,571e 28000 4456 1,98 17.194 0 30000 4775 1,708 14.833 0 Графики частотной зависимости постоянной затухания и фазовой постоянной показаны на рис 4.1 и рис 4.2 соответственно. 35 График частотной зависимости постоянной затухания 30 27 дБ 24 21 18 15 aC 12 9 6 3 0 3000 6000 9000 1.2 1 0 1.5 1 0 4 4 1.8 1 0 4 2.1 1 0 4 2.4 1 0 4 1 0 2.7рад/с 3 1 0 4 4 Рис 4.3 График зависимости фазовой постоянной 2 1.8 рад 1.6 1.4 1.2 1 bC 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 3000 6000 9000 1.2 10 4 1.5 10 4 1.8 10 Рис. 4.4 4 2.1 10 4 2.4 10 4 2.7 10 рад/с 4 3 10 4 36 4.2. Расчет повторных параметров четырёхполюсника При включении несимметричных четырёхполюсников, особенно для коррекции амплитудных искажения, бывает выгодно пользоваться повторными параметрами Zп1, Zп2, gп. Повторным сопротивлением называется такое, при подключении которого в качестве нагрузки входное сопротивление становится равным нагрузочному. Для прямого направления передачи Z ПОВТ 1 A11 A22 ( A11 A22 ) 2 4 (4.17) 2 A21 и для обратного Z ПОВТ 2 A22 A11 ( A11 A22 ) 2 4 (4.18) . 2 A21 Повторная постоянная передачи характеризует соотношения между входными и выходными токами, напряжениями и мощностями в режиме, при котором четырёхполюсник нагружен на соответствующее выбранному направлению передачи повторное сопротивление. A A ( A11 A22 ) 2 22 g П ln 11 1 . (4.19) 2 4 Проведём расчет выражений (4.17), (4.18) и (4.19) на частоте = 7000 рад/с, используя рассчитанные ранее A-параметры. Z ПОВТ 1 Z ПОВТ 2 A11 A22 ( A11 A22 ) 2 4 2 A21 A22 A11 ( A11 A22 ) 2 4 2 A21 1 2,85 (1 2,85) 2 4 2 j1,716 10 3 2,85 1 (1 2,85) 2 4 2 j1,716 10 3 j 419,638 j1498 Ом. Ом. A A 1 2,85 ( A11 A22 ) 2 (1 2,85) 2 22 g П ln 11 1 ln 1 1,273. 2 2 4 4 Таким образом видно, что значение g П очень близко к значению g С . 4.3. Расчёт рабочих параметров четырёхполюсника Входным сопротивлением четырёхполюсника называется то полное сопротивление четырёхполюсника переменному току, которое может быть измерено со стороны его входных зажимов при условии замыкания его выходных зажимов на заранее заданное сопротивление. При прямом направлении передачи: A Z A12 Z ВХ 1 11 H . (4.20) A21 Z H A22 При обратном направлении передачи: A22 Z H A12 / Z ВХ 2 A21 Z H A11 / . (4.21) Проведём расчет выражений (4.20) и (4.21) на частоте = 7000 рад/с, используя рассчитанные ранее A-параметры и ZН = 450 Ом. 37 Z ВХ ! Z ВХ 2 A11 Z Н A12 1 450 j1079 395,7567e j 82,51 51,603 j 392,378 Ом, A21 Z Н A22 j 0,001716 450 2,85 A22 Z / Н A12 2,85 450 j1079 1326,31704e j 77 , 73 281,959 j1296 Ом. / j 0,001716 450 1 A21 Z Н A11 Сопротивление передачи – это отношение входного напряжения к выходному току. При прямом направлении передачи: Z ПЕР1 A11 Z Н A12 , (4.22) и при обратном направлении передачи: Z ПЕР 2 A22 Z Н A12 . (4.23) В ряде случаев при определении условий передачи энергии от входа к выходу четырёхполюсника требуется учитывать ZГ. Тогда используют приведённое сопротивление четырёхполюсника – отношение ЭДС генератора к току в нагрузке. e g C ( Z Н Z C 2 )(Z Г Z C1 ) Z ПРИВ1 (1 Н Г e 2 g C ) , Ом, (4.24) 2 Z С1 Z C 2 где Z ZС2 Н Н коэффициент несогласованности нагрузки с характеристическим Z Н ZС2 сопротивлением четырёхполюсника ZC2 (на выходе); Z Z С1 Г Г коэффициент несогласованности внутреннего сопротивления Z Г Z С1 генератора с характеристическим сопротивлением четырёхполюсника ZC1 (на входе). При обратном направлении передачи энергии через четырёхполюсник: e g C ( Z Г Z C 2 )(Z / Н Z C1 ) Z ПРИВ 2 (1 / Г / Н e 2 g C ) , Ом, (4.25) 2 Z С1 Z C 2 где Z ZС2 Z / Н Z С1 / Н / и /Г Г коэффициенты несогласованности на выходе и Z Г ZС2 Z Н Z С1 входе четырёхполюсника соответственно. Проведём расчет выражений (4.24) и (4.25) на частоте = 7000 рад/с, используя рассчитанные ранее характеристические сопротивления. 450 j1339 Н 0,797 j 0,604 1 e j 37 ,156 , 450 j1339 900 j 469,652 Г 0,572 j 0,82 1 e j 55,10 , 900 j 469,652 Z ПРИВ1 e1,115 (450 j1339) (450 j 469,652) 2 j1339 j 469,652 3015 j 383,777 3039,327e j 7 , 25 Ом. (1 e j 37 ,136 e j 55,10 e 21,115 ) 38 450 j 469,652 0,043 j 0,999 1 e j 87 ,535 , 450 j 469,652 900 j1339 Г 0,377 j 0,926 1 e j 67 ,847 , 900 j1339 Н Z ПРИВ1 e1,115 (900 j1339) (450 j 469,652) 2 j1339 j 469,652 (1 e j 87 ,535 e j 67 ,847 e 21,115 ) 2183 j 383,777 2116,477e j 9,971 Ом. Для характеристики условий передачи мощности сигнала через четырёхполюсник используют логарифмическую меру рабочего коэффициента передачи по мощности четырёхполюсника рабочую постоянную передачи. Z Z Z Z g P g C ln Г C1 ln Н C 2 ln 1 Н Г e 2 g C , (4.26) 2 Z Z 2 Z Z Г C1 Н C2 где gC собственная постоянная передачи по мощности. Проведём расчет выражения (4.26) на частоте = 7000 рад/с, используя рассчитанные ранее характеристические сопротивления. 900 j 469,652 ln 450 j1339 ln 1 e j 37 ,136 e j 55,10 e 21,115 g P 1,115 ln 2 900 j 469,652 2 450 j1339 j 7 , 621 0,867 j 0,116 0,875 e . Отсюда видно, что значение g Р очень схоже с g ВН . Практическое применение имеет рабочее затухание – вещественная часть gР. a P a C 20 lg Z Г Z C1 2 Z Г Z C1 20 lg Z Н Z C 2 2 Z Н ZC2 20 lg 1 Н Г e 2 g C , дБ . (4.27) При этом в выражении e 2 g C величину gC надо подставлять в неперах. Рабочее затухание оценивает существующие условия передачи энергии по сравнению с оптимальными условиями выделения максимальной мощности на нагрузке. Рабочее затухание принято в качестве эксплуатационного измерителя. Проведём расчет выражения (4.27) на частоте = 7000 рад/с, используя рассчитанные ранее характеристические сопротивления. a P 9,682 20 lg 900 j 469,652 2 900 j 469,652 20 lg 450 j1339 2 450 j1339 20 lg 1 e j 37 ,136 e j 55,10 e 21,115 7,529, дБ. Вносимая постоянная передачи gВН отличается от gР на величину, учитывающую разницу между ZН и ZГ, то есть величину несогласованности генератора с нагрузкой. Z ZГ . g ВН g Р ln Н (4.28) 2 Z Z Н Г Проведём расчет выражения (4.28) на частоте = 7000 рад/с, используя рассчитанную ранее рабочую постоянную передачи. 900 450 0,808 j 0,116 0,816e j 8,17 . g ВН 0,867 j 0,116 ln 2 900 450 39 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА РЕЗУЛЬТАТОВ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ РАСЧЁТОВ В задании на курсовой проект предлагается экспериментально в лаборатории ТЛЭЦ проверить зависимость Z2(р) от частоты методом двухполюсника. Схема измерений Индикатор И Генератор “Инд” “М” G 2 “RЭ” ”CЭ” 1 1/ ЧП 2/ Рис. 5.1 Проверку будем произвдить с помощью ЭВМ. Для этого мы выделяем ряд частот (по три частоты в каждом диапазоне между резонансными частотами) для проведения измерений сопротивлений. При измерении необходимо уравновешивать МПТ с помощью подбора эквивалентного резистора магазином сопротивлений и эквивалентного конденсатора на магазине ёмкостей. Результаты экспериментальных исследований приведены в табл. 5.2. Для расчёта экспериментальных значений Z2(р) воспользуемся выражениями (5.1) при ёмкостном характере сопротивления и (5.2) при индуктивном. 1 Z X R jX RЭ , (5.1) jC Э 10 5 j10 5 C Э . (5.2) RЭ Проведём контрольный расчёт любого из сопротивлений, например, Z2(р) на частоте f = 1000 Гц. На этой частоте Z2(р) имеет индуктивный характер, поэтому воспользуемся выражением (5.1). 1 Z 2 р RЭ 1 j 740,277 740,277e j 90 , Ом. jC Э Остальные результаты расчётов сопротивлений Z2(р) на других частотах заносим в табл. 5.2. Z X R jX 40 Угловая частота , рад/с 0 1571 3142 4713 6284 7855 9426 9869,14 11000 12570 14140 14142,135 15710 17280 18850 20420 21990 23560 25130 26182 26700 28270 29850 Частота f, Гц 0 250 500 750 1000 1250 1500 1571 1750 2000 2250 2251 2500 2750 3000 3250 3500 3750 4000 4167 4250 4500 4750 Сопротивление Z2()теор. , Ом 4179ej90 1980ej90 1190ej90 741.809ej90 409.982ej90 97.388ej90 305.616ej90 1209ej90 794000ej90 1783ej90 913.482ej90 581.423ej90 387.06ej90 249.816ej90 142.402ej90 52.861ej90 24.948ej90 94.544ej90 158.11ej90 Таблица 5.1 Сопротивление Z2()эксп. , Ом 4177ej90 1976,68ej90 1188ej90 739,7ej90 407,7ej90 95,04ej90 308,446ej90 1213,34ej90 794013ej90 1791,1ej90 915,2ej90 583,625ej90 389,7ej90 251,08ej90 144,7ej90 53,76 ej90 23,51ej90 93,82ej90 156,54ej90 41 Экспериментальный и теоретический графики зависимости характеристического сопротивления Z2 от частоты. 1.5 10 4 Ом4 1.29 10 1.08 10 4 8700 Z2 j 6600 4500 2400 300 0 4000 8000 1.2 10 4 1.6 10 4 2 10 4 2.4 10 1800 3900 6000 Рис. 5.2 4 2.8 10 4 3.2 10 4 3.6 10 рад/с 4 4 10 4 42 6. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЭКВИВАЛЕНТНОГО ПАССИВНОГО ЧЕТЫРЁХПОЛЮСНИКА АКТИВНОГО И 6.1. Расчёт эквивалентного четырёхполюсника Согласно заданию нам дан эквивалентный четырёхполюсник (рис. 6.1), у которого необходимо определить элементы сопротивлений Z1, Z2, Z3 и Z4 и их значения. Z/1 Z/2 Z/3 Z/4 Рис. 6.1 Для определения Z/1, Z/2, Z/3 и Z/4 воспользуемся A-параметрами исследуемого четырёхполюсника ((3.6) (3.9)) и эквивалентного четырёхполюсников ((6.1) – (6.4)), а также выражением (6.5). (Z / 1 Z / 4 ) (Z / 2 Z / 3 ) А11 , (6.1) Z / 2 Z / 4 Z /1Z / 3 Z / 1 Z / 2 (Z / 3 Z / 4 ) Z / 3 Z / 4 (Z / 1 Z / 2 ) A12 Ом, Z / 2 Z / 4 Z /1Z / 3 (6.2) Z /1 Z / 2 Z / 3 Z / 4 A21 См, Z / 2 Z / 4 Z /1Z / 3 (6.3) (Z / 1 Z / 2 ) (Z / 3 Z / 3 ) . Z / 2 Z / 4 Z /1Z / 3 (6.4) А22 АТ ij А М ij , (6.5) где i и j – это индексы A-параметров. Уже из выражений A-параметров, записанных для мостового четырёхполюсника, видно, что не имеет смысла проводить определение и расчёт элементов для эквивалентного четырёхполюсника, указанного в задании, поскольку (судя по выражениям (6.1) (6.4)) он будет иметь большее количество элементов, чем исследуемый. 6.2. Расчет элементов эквивалентного активного четырёхполюсника Существует несколько путей построения активного четырёхполюсника: 1) замена ёмкостей на частотно-зависимые отрицательные сопротивления; 2) замена индуктивностей на гираторы (их входное сопротивление обратно сопротивлению нагрузки); 43 3) каскадное соединение простых четырёхполюсников. Построим эквивалентный активный четырёхполюсник из каскадного соединения более простых. Для этого воспользуемся системной функцией H(S) (3.15) и рассмотрим её как передаточную функцию H(p). 9 p ( p 2 0,974 10 8 ) ( p 2 6,855 10 8 ) H ( s) 3 6 10 p 18 p 5 1,38790910 6 p 4 1,4092210 10 p 3 3,043547510 14 p 2 1,201818610 18 p 1,33541410 22 (6.6) Найдём корни знаменателя выражения (6.6) и записываем передаточную функцию H(p) в виде: 9p ( p 2 6,855 10 8 ) ( p 2 0,974 10 8 ) H ( p) 2 (6.7) ( p 2824 p 7,11 10 7 ) ( p 2 7244 p 1,02 10 9 ) ( p 2 7932 p 1,837 10 8 ) Или H ( p) H 1 ( p) H 2 ( p) H 3 ( p) (6.8) Первый сомножитель: ( p 2 6,855 10 8 ) H 1 ( p) 2 . ( p 7244 p 1,02 10 9 ) Нормируем H1(p) на коэффициент 1,02 10 9 , в результате получим G ( p 2 0,67) G1 ( p 2 a) , ( p 2 0,23 p 1) ( p 2 bp 1) где а = 0,67 и b = 0,23. Это заграждающий фильтр. Принципиальная схема такого фильтра показана на рис. 6.2. H1 ( p ) Заграждающий фильтр С1 R1 C3 R2 C3 R3 C2 R4 R6 R5 Рис. 6.2 Расчёт заграждающего фильтра проводится по следующей последовательности: (6.9) 1) выбираем С1 = , 2) установить С3 = С4 = , (6.10) 2 (6.11) 3) вычислить = a , 44 4) установить R3 = 1 и R1 = R2 = 2R3, (6.12) [ (a 1)] , (ёмкость С2 может быть равна нулю), 4 4 a 6) вычислить R4 , (1 a) 4 C 2 5) выбрать C 2 7) вычислить k 2 8) определить G 2 C2 b 2 a k 1 b C 2 , a R4 2 . 4 C2 Придерживаясь вышеприведённой последовательности, элементов первого каскада. 1. Выберем С1 = 2 Ф. 2 2. Тогда С3 = С4 = 1 Ф . 2 3. Вычислим = 2 0,67 1,64 . 1 4. Тогда R3 = 0,61 Ом и R1 = R2 = 20,61 = 1,22 Ом. 1,64 [2(0,67 1)] 0,165 . Значит выбираем С2 = 0 Ф. 5. C 2 4 4 0,67 6. Вычислим R4 4,97 Ом. 2 (1 0,67) 4 0 7. Вычислим k 2 0 0,23 (6.13) (6.14) (6.15) (6.16) проведём расчёт 1 0 2,105 . 2 0,67 4,97 2 2 0,67 2 2,105 2,105 . 8. Определим G1 02 Таким образом, имеем следующие величины: С1 = 2 Ф, С2 = 0,1 Ф, С3 = 1 Ф, R1 = R2 = 1,22 Ом, R3 = 0,61 Ом, R4 = 4,97 Ом. Денормируем ёмкости по частоте на коэффициент 1,02 10 9 , в результате чего получим, что: С1 = 62,5 мкФ, С2 = 0 мкФ, С3 = С4 = 31,25 мкФ. Денормируем теперь все элементы на коэффициент 10000, в результате чего получим, что: С1 = 6,25 нФ, С2 = 0 нФ, С3 = С4 = 3,125 нФ, R1 = R2 = 12,2 кОм, R3 = 6,1 кОм, R4=21,05 кОм. Для реализации коэффициента k = 2,105 воспользуемся схемой неинтвертирующего усилителя, для чего рассчитаем R5 и R6 по (6.17). R k 1 5 (6.17) R6 где R5 , R6 - делитель напряжения на выходе операционного усилителя. Выберем R6 = 10 кОм, тогда R5 = 11,05 кОм. 45 Схема первого каскада 6,25нФ 12,2кОм 12,2кОм 3,125нФ 3,125нФ 6,1кОм 21,05кОм 10кОм 11,05кОм Рис. 6.3 Второй сомножитель: ( p 2 0,974 10 8 ) H 2 ( p) 2 ( p 7,932 10 3 p 1,837 10 8 ) Нормируем H1(p) на коэффициент 1,837 10 8 , в результате получим G 2 ( p 2 a) G ( p 2 0,53) H 2 ( p) 2 , ( p 0,585 p 1) ( p 2 bp 1) где а = 0,53 и b = 0,585. Это заграждающий фильтр. Принципиальная схема такого фильтра показана на рис. 6.2. Придерживаясь вышеприведённой последовательности выражений (6.9) (6.16), проведём расчёт элементов второго каскада. 1. Выберем С1 = 2 Ф. 2 2. Тогда С3 = С4 = 1 Ф . 2 3. Вычислим = 2 0,53 1,46 . 1 4. Тогда R3 = 0,685 Ом и R1 = R2 = 20,685 = 1,37 Ом. 1,46 [2(0,53 1)] 0,235 . Значит выбираем С2 = 0 Ф. 5. C 2 4 4 0,53 6. Вычислим R4 3,1 Ом. 2 (1 0,53) 4 0 20 0,585 2 1 0,585 0 2,04 . 2 2 0,53 2 0,53 3,1 2 2,04 2,04 . 8. Определим G1 40 2 Таким образом, имеем следующие величины: С1 = 2 Ф, С2 = 0 Ф, С3 = 1 Ф, R1 = R2 = 1,37 Ом, R3 = 0,685 Ом, R4 = 3,1 Ом. 7. Вычислим k 2 Денормируем ёмкости по частоте на коэффициент получим, что: С1 = 147,6 мкФ, С2 = 0 мкФ, С3 = С4 = 73,8 мкФ. 0,974 10 8 , в результате чего 46 Денормируем теперь все элементы на коэффициент 10000, в результате чего получим, что: С1 = 14,76 нФ, С2 = 0 нФ, С3 = С4 = 7,38 нФ, R1 = R2 = 13,7 кОм, R3 = 6,85 кОм, R4=31кОм. Для реализации коэффициента k = 2,04 воспользуемся схемой неинтвертирующего усилителя, для чего рассчитаем R5 и R6 по (6.17) Выберем R6 = 10 кОм, тогда R5 = 10,4 кОм. Схема второго каскада 14,76нФ 13,7кОм 7,38нФ 6,85кОм 13,7кОм 7,38нФ 31кОм 10кОм 10,4кОм Рис. 6.4 Третий сомножитель: 9 p G1 G 2 9p H 3 ( p) 2 2 7 ( p 2824 p 7,11 10 ) ( p 2824 p 7,11 10 7 ) Нормируем H1(p) на коэффициент 7,11 10 7 , в результате получим 9 p G p G1 G 2 0,97 p H 2 ( p) 2 2 2 3 , ( p 0,335 p 1) ( p 0,335 p 1) ( p bp 1) где b = 0,335. Это фильтр, принципиальная схема которого показана на рис 6.5. Схема третьего каскада C1 R1 C2 R2 R4 R3 Рис. 6.5 47 Такая цепь рассчитывается следующим образом. C1C 2 R1 R2 1 k 1 , (6.18) C1 R1 C 2 R2 C 2 R1 b , (6.19) G kC2 R2 . (6.20) Выбрав значения элементов С1, С2 и R2 ,подставив их в формулы (6.18) (6.20) и проведя необходимые математические преобразования, мы получим значения элементов схемы (см. рис.6.5). 1. Выберем С1 = С2 = 1Ф . 2. Тогда 3. Вычислим 4. Тогда C1 R1 C2 R2 R4 R3 Рис.6.6 48 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе проведённой курсовой работы были получены характеристики и параметры двухполюсников и четырёхполюсника, приведены математические выражения для расчёта их параметров, построены графические зависимости сопротивлений двухполюсников и четырёхполюсника а также характеристическое ослабление и фазовая постоянная для четырёхполюсника. В работе произведён расчёт элементов активного эквивалентного четырёхполюсника на операционных усилителях. Выполнение настоящей курсовой работы способствовало закреплению теоретических знаний по разделам курса теории линейных электрических цепей ”Двухполюсники” и “Четырёхполюсники” и появлению практических навыков, необходимых при эксплуатации, проектировании, разработке и усовершенствовании устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи. 49 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Карпова Л. А., Полунин В. Т. и др. «Исследование и расчет характеристик двухполюсников и четырехполюсников» /Омский ин-т инж. ж.-д. трансп.— Омск, 1991. — 41 с. 2. Шебес. М.Р. «Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное пособие для электротехнических, радиотехнических специальностей вузов.»- М.: Высшая школа, 1990.-544 с. 3. Лосев А.К. «Теория линейных электрических цепей: Учебник для вузов.» — М.: Высшая школа, 1987.-512 с. 4. Лэм Г. «Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация.» М: Мир, 1982.592 с. 5. Стандарт предприятия. Курсовой и дипломный проекты. Требования к оформлению. СТП ОмИИТ-15-94.— Омск: ОмИИТ, 1990.