Министерство образования и науки Российской Федерации ФГБОУ ВО Ивановский государственный химико-технологический университет Кафедра высшей и прикладной математики ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА По дисциплине: «Численные методы и программирование» Выполнил: студент группы 2/31 МАХП Шилов Н.М. Проверил: доцент Кокурина Г.Н. Иваново 2017 Лабораторная работа №3 Построение интерполяционных многочленов Задание (Вариант 13) Для функции y=√𝑥 + sin(𝑥) ∗ cos(𝑥) заданной таблицей построить интерполяционный многочлен. Оценить погрешность интерполирования. Теоретическое введение Интерполяционные формулы, формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами. Интерполяционная формула Лагранжа Ошибка, совершенная при замене функции превышает по абсолютной величине выражением где — — максимум абсолютной величины функции на отрезке . -й производной Интерполяционная формула Ньютона Если точки (здесь расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так: ,а — разности k-ого порядка: , не Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . При интерполировании функций для значений , близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя). Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона). Ход работы y( x) x cos ( x) sin( x) y( 5.5) 1.845 y( 4) 2.495 y( 5) 1.964 y( 6) 2.181 y( 7) 3.141 L( x) 2.495 F F 10 ( x 5) ( x 6) ( x 7) ( 4 5) ( 4 6) ( 4 7) y( 5) y( 4) 54 F 20 11 F 1.964 11 F F 21 F 65 10 2.181 ( 5 4) ( 5 6) ( 5 7) y( 6) y( 5) F 64 ( x 4) ( x 6) ( x 7) 12 12 F 30 ( x 4) ( x 5) ( x 6) ( 7 4) ( 7 5) ( 7 6) 76 11 75 ( 6 4) ( 6 5) ( 6 7) 3.141 y( 7) y( 6) F F ( x 4) ( x 5) ( x 7) 21 F 20 74 N( x) y( 4) F ( x 4) F ( x 4) ( x 5) F ( x 4) ( x 5) ( x 6) 10 20 L( 4) 2.495 L( 5) 1.964 L( 6) 2.181 N( 4) 2.495 N( 5) 1.964 N( 6) 2.181 30 L( 7) 3.141 N( 7) 3.141 L( 5.5) 1.979 N( 5.5) 1.979 Находим погрешность интерполирования |𝑅𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛+1(𝑛+1)!|Π𝑛+1(𝑥)| 𝑀𝑛+1=max𝑎≤𝑥≤𝑏|𝑓(𝑛+1)(𝑥)|=max4≤𝑥≤7|−1516√𝑥7−8cos2𝑥|≈7,891118 Для n=3 max𝑎≤𝑥≤𝑏|Π𝑛+1(𝑥)|=ℎ4=1 |𝑅𝑛(𝑥)|≤𝑀𝑛+1(𝑛+1)!|Π𝑛+1(𝑥)|=7,8911184!=0,328797 3.5 3 y ( x) L( x) 2.5 N( x) 2 1.5 4 5 6 7 x Вывод: Интерполяция дала приближение функции с погрешностью 0.32.Из графика мы видим что в узлах полиномы принимаю то же значение что и функция но между узлами функции не совпадают, поэтому для повышения точности необходимо повышение количества узлов интерполирования. Математическая обработка экспериментальных данных Цель работы: Для функции, заданной таблично, подобрать эмпирическую зависимость и найти параметры приближающей функции методом наименьших квадратов. Задание: вариант 13 Найти параметры приближающей функции y=√𝑥 + sin(𝑥) ∗ cos(𝑥) методом наименьших квадратов. Теоретическое введение А. Нахождение параметров линейной функции Пусть экспериментальные данные надо представить линейной функцией 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Требуется подобрать такие значения a и b , для которых функция 𝑛 𝑛 2 𝑄(𝑎, 𝑏) = ∑(𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏)) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)2 (1) 𝑖=1 𝑖=1 будет минимальной. Необходимые условия минимума функции (1) сводятся к системе уравнений 𝑛 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(−𝑥𝑖 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)𝑥𝑖 = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 ) = 0 𝜕𝑎 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏)(−1) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏) = 0 { 𝜕𝑏 𝑖=1 𝑖=1 После преобразований получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными 𝑛 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1 𝑛 𝑛 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑏𝑛 = ∑ 𝑦𝑖 { 𝑖=1 𝑖=1 решая эту систему, находим искомые значения параметров a и b . Б. нахождение параметров квадратичной функции. Если аппроксимирующей функцией является квадратичная зависимость 𝑦 = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, то её параметры a, b, c находят из условия минимума функции 𝑛 𝑛 2 𝑄(𝑎, 𝑏) = ∑ (𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖2 + 𝑏𝑥𝑖 + 𝑐)) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)2 (2) 𝑖=1 𝑖=1 Условия минимума функции (2) сводятся к системе уравнений 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)(−𝑥𝑖2 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖2 − 𝑎𝑥𝑖4 − 𝑏𝑥𝑖3 − 𝑐𝑥𝑖2 ) = 0 𝜕𝑎 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)(−𝑥𝑖 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 ) = 0 𝜕𝑏 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐)(−1) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖2 − 𝑏𝑥𝑖 − 𝑐) = 0 𝜕𝑐 { 𝑖=1 𝑖=1 После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖4 𝑖=1 𝑛 𝑛 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖3 𝑖=1 𝑛 𝑛 + 𝑛 𝑐 ∑ 𝑥𝑖2 𝑖=1 𝑛 = ∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑎 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑐𝑛 = ∑ 𝑦𝑖 { 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 При решении этой системы находим искомые значения параметров a, b и c . Б. нахождение параметров кубической функции. Если аппроксимирующей функцией является кубическая зависимость 𝑦 = 𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, то её параметры a,b,c,d находят из условия минимума функции 𝑛 𝑄(𝑎, 𝑏) = ∑ (𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖3 + 𝑏𝑥𝑖2 2 𝑛 + 𝑐𝑥𝑖 + 𝑑)) = ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)2 (1) 𝑖=1 𝑖=1 Условия минимума функции (1) сводятся к системе уравнений 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−𝑥𝑖3 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖3 − 𝑎𝑥𝑖6 − 𝑏𝑥𝑖5 − 𝑐𝑥𝑖4 − 𝑑𝑥𝑖3 ) = 0 𝜕𝑎 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−𝑥𝑖2 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖2 − 𝑎𝑥𝑖5 − 𝑏𝑥𝑖4 − 𝑐𝑥𝑖3 − 𝑑𝑥𝑖2 ) = 0 𝜕𝑏 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−𝑥𝑖 ) = −2 ∑(𝑦𝑖 𝑥𝑖 − 𝑎𝑥𝑖4 − 𝑏𝑥𝑖3 − 𝑐𝑥𝑖2 − 𝑑𝑥𝑖 ) = 0 𝜕𝑐 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝜕𝑄 = 2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑)(−1) = −2 ∑(𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖3 − 𝑏𝑥𝑖2 − 𝑐𝑥𝑖 − 𝑑) = 0 𝜕𝑐 { 𝑖=1 𝑖=1 После преобразований получаем систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖6 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖5 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑑 ∑ 𝑥𝑖3 = ∑ 𝑥𝑖3 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖5 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑑 ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑥𝑖2 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑎 ∑ 𝑥𝑖4 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑑 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑖=1 𝑛 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖3 + 𝑏 ∑ 𝑥𝑖2 + 𝑐 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑛𝑑 = ∑ 𝑦𝑖 { 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 𝑖=1 При решении этой системы находим искомые значения параметров a,b,c и d. Ход работы Нахождение параметров линейной функции i x y x^2 x*y Yв. Yв.-Yф. (Yв.-Yф.)^2 1 2 2 3 2,241035 1,751966 4 9 4,482071 5,255897 1,895665 2,252114 -0,34537 0,500148 0,119281 0,2501484 3 4 4 5 2,57275 3,155604 16 25 10,291 15,77802 2,608564 2,965013 0,035813 -0,19059 0,0012826 0,0363248 невязка 0,4070368 14 матр.Коэфф. Лин. Систем 54 14 14 4 9,721355 свободные коэффициенты 35,80699 9,721355 54 35,80699 Обратная матрица 0,2 -0,7 коэффициенты полинома а= 0,356449 b= 1,182766 -0,7 2,7 Ответ: Аппроксимировали экспериментальные данные линейной зависимостью 𝑦 = 0,356449𝑥 + 1.182766 с невязкой 𝑄 = 0,4070368 Нахождение параметров квадратичной функции i x y x^4 x^3 x^2 x^2*y x*y 1 2 2,24 16 8 4 8,96 4,48 2 3 1,752 81 27 9 15,768 3 4 2,573 256 64 16 4 5 3,1056 625 125 14 9,6706 978 224 Yф.-YМНК. (Yф.-YМН 2,16013 -0,07987 0,006 5,256 1,99161 0,23961 0,057 41,168 10,292 2,33339 -0,23961 0,057 25 77,64 15,528 3,18547 0,07987 0,006 54 143,536 35,556 матр. Коэфф. Лин. Системы YМНК. невязка Свободные коэфф. 978 224 54 143,54 224 54 14 35,556 54 14 4 9,6706 Обратная матрица коэффициенты полинома 0,25 -1,75 2,75 а= 0,25515 -1,75 12,45 -19,95 b= -1,44427 2,75 -19,95 32,95 c= 4,02807 Ответ: Аппроксимировали экспериментальные данные квадратичной зависимостью 𝑦 = 0,25515𝑥 2 − 1,44427𝑥 + 4,02807 с невязкой 𝑄 = 0,127584338. 0,127 Нахождение параметров кубической функции i 1 2 3 4 x 2 3 4 5 y x^6 2,24 64 1,752 729 2,573 4096 3,1056 15625 x^5 32 243 1024 3125 x^4 16 81 256 625 x^3 8 27 64 125 x^2 4 9 16 25 y*x^3 17,92 47,304 164,672 388,2 14 9,6706 20514 4424 978 224 54 618,096 143,536 35,556 Q= Матрица коэфф. Линейной системы 20514 4424 978 224 19,27778 -19,8333 y*x YМНК 4,48 2,24 5,256 1,752 10,292 2,573 15,528 3,1056 Свободные коэфф. 4424 978 224 54 978 224 54 14 224 54 14 4 обратная матрица 0,555556 -5,83333 y*x^2 8,96 15,768 41,168 77,64 618,096 143,536 35,556 9,6706 коэфф.полинома 5,83333 19,27778 61,5 -204,167 204,167 681,3889 211 -708,167 19,8333 211 708,167 741 a= b= c= d= 0,26623 3,0506 10,6826 13,5326 Ответ: Аппроксимировали экспериментальные данные кубической зависимостью 𝑦 = 0,26623𝑥 3 + 3,0506𝑥 2 + 10,6826𝑥 + 13,5326 с невязкой 𝑄 = 0,00000000017. (YМНК ция) -2,2 -3,8 -5,2 -5,8 0,0000