Первый курс АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ Векторы для чайников. Действия с векторами. Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости. Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу: 1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом. 2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь. Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени. Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам) А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторови Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания. Более того, по материалам сайта создана книга! …да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта. Понятие вектора. Свободный вектор Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленныйотрезок, для которого указано его начало и конец: В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи. Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором совпадают. . У такого вектора конец и начало !!! Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства. Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор. То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов: 1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами: и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора. 2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами: В частности, наш вектор маленькой латинской буквой . можно для краткости переобозначить Длиной или модулем ненулевого вектора Длина нулевого вектора называется длина отрезка . равна нулю. Логично. Длина вектора обозначается знаком модуля: , Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже. То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор. Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки: Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =) Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства. Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда ). Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах. Действия с векторами. Коллинеарность векторов В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др.Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии. Правило сложения векторов по правилу треугольников Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и : Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора : Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы. Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов. Умножение вектора на число Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные». Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены. Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: сонаправлены) или , при этом возможна детализация: (векторы (векторы направлены противоположно). Произведением ненулевого вектора на число длина которого равна , причём векторы противоположно направлены при . является такой вектор и , сонаправлены при и Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка: Разбираемся более детально: 1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное. 2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз. 3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор. 4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы. Какие векторы являются равными? Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину». С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе. Координаты вектора на плоскости и в пространстве Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и : Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность. Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: . Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь. Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице. Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами. Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде: , где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису . Ужин подан: ! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ! Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные: 1) правило умножения вектора на число: и 2) сложение векторов по правилу треугольника: А теперь мысленно отложите вектор ; . от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте. Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор вектор сонаправлен с базисным вектором , направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так: А базисные векторы, к слову, так: выражаются сами через себя). (по сути, они И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника. Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант: Или со знаком равенства: Сами базисные векторы записываются так: и То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи. Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору Действительно, и . – это ведь два разных вектора. С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат: Перед вами ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны: и . Ось наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций. Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису , где – координаты вектора : (числа) в данном базисе. Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ). Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём». Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: . либо Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры: вектор (дотошно ) – запишем ; вектор (дотошно ) – запишем ; вектор (дотошно ) – запишем . Базисные векторы записываются следующим образом: Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну. А мы переходим к практической части: Простейшие задачи аналитической геометрии. Действия с векторами в координатах Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы. Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите. Как найти вектор по двум точкам? Если даны две точки плоскости следующие координаты: Если даны две точки пространства имеет следующие координаты: и , то вектор и имеет , то вектор То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора. Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока. Пример 1 Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора Решение: по соответствующей формуле: Как вариант, можно было использовать следующую запись: Эстеты решат и так: Лично я привык к первой версии записи. Ответ: По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь: Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов: Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя. Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через ). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости . Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства. Дамы и господа, набиваем руку: Пример 2 а) Даны точки и . Найти векторы б) Даны точки и в) Даны точки и и . . Найти векторы и . Найти векторы г) Даны точки и . . . Найти векторы . Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока. Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =) Как найти длину отрезка? Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля. Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле Если даны две точки пространства отрезка и , то длину можно вычислить по формуле Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант Пример 3 Даны точки и . Найти длину отрезка Решение: по соответствующей формуле: Ответ: . Для наглядности выполню чертёж Отрезок – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка. Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить: Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.». Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи: Читаем!!! Обратите внимание на важный технический приём – вынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя. Вот другие распространенные случаи: Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: .А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате: Готово. Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д. В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя. Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени: Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно. Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве: Пример 4 Даны точки и . Найти длину отрезка . Решение и ответ в конце урока. Как найти длину вектора? Если дан вектор плоскости формуле . Если дан вектор пространства формуле , то его длина вычисляется по . , то его длина вычисляется по Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора. Пример 5 Даны точки и . Найти длину вектора . Я взял те же точки, что и в Примере 3. Решение: Сначала найдём вектор По формуле : вычислим длину вектора: Ответ: Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой. Выполним чертеж к задаче: В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через . А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу: Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки и . Найти длину отрезка . Вместо применения формулы , поступаем так: 1) Находим вектор . 2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка равна длине вектора : Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии. Вышесказанное справедливо и для пространственного случая Для тренировки: Пример 6 а) Даны точки б) Даны векторы длины. и . Найти длину вектора , , . и . Найти их Решения и ответы в конце урока. Действия с векторами в координатах В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиальнографической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов: 4) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор найдём сумму трёх векторов: Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор . 2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число вектора умножить на число : , нужно каждую координату данного . Для пространственного вектора правило такое же: Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии. и Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов , но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Пример 7 Даны векторы и . Найти и Решение чисто аналитическое: Ответ: Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе таким: , то графическое решение задачи будет Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =) Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости. Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо): Пример 8 Даны векторы и . Найти и Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем: Ответ: И в заключение занятный пример с векторами на плоскости: Пример 9 Даны векторы . Найти и Это задача для самостоятельного решения. Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки: !!! Скалярное произведение векторов Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов Векторное и смешанное произведение векторов Это, так скажем, вектор-минимум студента =) Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Задание: Пример 2: Решение: а) б) в) , г) Пример 4: Решение: По соответствующей формуле: и Ответ: Пример 6: и а) Решение: найдём вектор : Вычислим длину вектора: Ответ: б) Решение: Вычислим длины векторов: Пример 9: Решение: Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки: Ответ: Скалярное произведение векторов Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие. Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии. Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов. Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =) Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга…. Определение скалярного произведения векторов. Свойства скалярного произведения. Типовые задачи Понятие скалярного произведения Сначала про угол между векторами. Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно: Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений. Угол между векторами может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: В литературе значок угла либо (в радианах). часто пропускают и пишут просто . Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: Вот это вот уже вполне строгое определение. Акцентируем внимание на существенной информации: Обозначение: скалярное произведение обозначается через просто или . Результат операции является ЧИСЛОМ: Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом. Сразу пара разминочных примеров: Пример 1 Найти скалярное произведение векторов если – это числа, и , Решение: Используем формулу . В данном случае: Ответ: Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице. Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз. Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, . Пример 2 Найти , если , а угол между векторами равен . Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока. Угол между векторами и значение скалярного произведения В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: ненулевых векторов всегда положительны: зависеть только от значения косинуса. . Длины , поэтому знак может Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции. Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке . Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи: 1) Если угол между векторами острый: (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным: Особый случай: если векторы сонаправлены, то угол между ними считается нулевым Поскольку , и скалярное произведение также будет положительным. , то формула упрощается: . . 2) Если угол между векторами тупой: то отрицательно: (от 90 до 180 градусов), , и, соответственно, скалярное произведение . Особый случай: если векторы направлены противоположно, то угол между ними считается развёрнутым: градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как (180 Справедливы и обратные утверждения: 1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены. 2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно. Но особый интерес представляет третий случай: 3) Если угол между векторами прямой: и скалярное произведение равно нулю: (90 градусов), то . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны. Короткая математическая запись: ! Примечание: повторим основы математической логики: двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то, что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что сделали вывод, что векторы ортогональны: будет корректной, и даже более уместной, чем и – такая запись . Третий случай имеет большую практическую значимость, поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока. Скалярный квадрат вектора Свойства скалярного произведения Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены. В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: . А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой: Или: Число как называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся . Таким образом, скалярный квадрат вектора данного вектора: равен квадрату длины Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора: Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения. Для произвольных векторов свойства: и любого числа справедливы следующие 1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения. 2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки. 3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения. Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц. Неверно оно и для векторного произведения векторов. Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя. Пример 3 Найти скалярное произведение векторов что . и , если известно, Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников. Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и . Итак, по условию требуется найти скалярное произведение применить рабочую формулу неизвестны длины векторов . По идее, нужно , но беда в том, что нам и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём: (1) Подставляем выражения векторов . (2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции. Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право. (3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: (4) Приводим подобные слагаемые: . . (5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата ,о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: стандартной формуле . Второе слагаемое раскладываем по . (6) Подставляем данные условия ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления. Ответ: ,и Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым. Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения: Пример 4 Найти скалярное произведение векторов и известно, что , если . Краткое решение и ответ в конце урока. Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой: Пример 5 Найти длину вектора , если . Решение будет следующим: (1) Поставляем выражение вектора . (2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение . (3) Используем школьную формулу квадрата суммы Обратите внимание, как она здесь любопытно . работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: самое с точностью до перестановки слагаемых. – получилось то же (4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач. Ответ: Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы». Пример 6 Найти длину вектора , если . Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Угол между векторами Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части: А части поменяем местами: В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол. Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов числа? Числа. Значит, дробь – тоже является некоторым числом если известен косинус угла: .А , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: . Пример 7 Найти угол между векторами что и , если известно, . Решение: Используем формулу: На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на Итак, если . , то: Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице. Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим. Ответ: Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах). Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием: Пример 7* Даны – длины векторов и угол между ними , Найти угол между векторами , . . Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое. Разберём алгоритм решения: 1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу . 2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4). 3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6). 4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол: Краткое решение и ответ в конце урока. Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части. Скалярное произведение векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе На уроке Векторы для чайников мы рассматривали два случая: векторы на плоскости и векторы в трехмерном пространстве, при этом «плоские» и «пространственные» формулы были весьма похожи. Для скалярного произведения векторов всё точно так же! Прежде чем продолжать дальше, скажу, что все рассмотренные выше утверждения, теоремы и задачи (первого раздела данной статьи) справедливы как для плоскости, так и для пространства. Второе важное замечание касается базиса. В данном разделе рассматриваются только ортонормированные базисы плоскости и пространства. Повествование опять пойдёт параллельно – и для векторов плоскости и для пространственных векторов. Скалярное произведение в координатах Скалярное произведение векторов ортонормированном базисе и , заданных в , выражается формулой Скалярное произведение векторов ортонормированном базисе , заданных в , выражается формулой То есть, скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов. Пример 8 Найти скалярное произведение векторов: а) б) и и , если даны точки Решение: а) Здесь даны векторы плоскости. По формуле : К слову: скалярное произведение получилось отрицательным, значит, угол между данными векторами является тупым. Пытливые умы могут отложить на плоскости векторы от одной точки, и убедиться, что это действительно так. Б) А тут речь идёт о точках и векторах пространства. Сначала найдём векторы: Надеюсь, эта простейшая задача у вас уже отработана. По формуле вычислим скалярное произведение: К слову: скалярное произведение положительно, значит, угол между пространственными векторами является острым. Ответ: При некотором опыте скалярное произведение можно приноровиться считать устно. Проверка векторов на ортогональность с помощью скалярного произведения Вернёмся к важному случаю, когда векторы являются ортогональными. Напоминаю: векторы и ортогональны тогда и только тогда, когда В координатах данный факт запишется следующим образом: . (для векторов плоскости); (для векторов пространства). Пример 9 а) Проверить ортогональность векторов: и б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки и , если Решение: а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: , следовательно, б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости (в чём сходство и различия вектора и отрезка, я очень подробно разъяснил на первом уроке). Речь идёт об обычных отрезках, а задача всё равно решается через векторы. Найдём векторы: Вычислим их скалярное произведение: , значит, отрезки и не перпендикулярны. Обратите внимание на два существенных момента: – В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю. – В окончательном выводе «между строк» подразумевается: «если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными». Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках: «значит, отрезки и не перпендикулярны». Ответ: а) , б) отрезки не перпендикулярны. Пример 10 Даны четыре точки пространства ли перпендикулярными следующие прямые: а) ; б) . . Выяснить будут Это задача для самостоятельного решения. В условии требуется проверить перпендикулярность прямых. А решается задача снова через векторы по полной аналогии с предыдущим примером. Геометрически тоже всё очевидно – если удастся доказать перпендикулярность векторов, то из этого автоматически будет следовать перпендикулярность соответствующих прямых. Четыре вектора, которые вы найдёте, называют направляющими векторами прямых. Полное решение и ответ в конце урока. Мощь аналитической геометрии – в векторах. Так, в рассмотренных примерах, с помощью скалярного произведения можно установить не только ортогональность векторов самих по себе, но и перпендикулярность отрезков, прямых. И это приоткрылась только малая часть красоты предмета. Завершая разговор об ортогональности, разберу ещё одну небольшую задачу, которая время от времени встречается на практике: Пример 11 При каком значении векторы будут ортогональны? Решение: По условию требуется найти такое значение параметра данные векторы были ортогональны. Два вектора пространства , чтобы ортогональны тогда и только тогда, когда . Дело за малым, составим уравнение: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: Решаем простейшее линейное уравнение: Ответ: при В рассмотренной задаче легко выполнить проверку, в исходные векторы параметра подставляем полученное значение : И находим скалярное произведение: – да, действительно, при векторы ортогональны, что и требовалось проверить. Пример 12 При каком значении равно –2? скалярное произведение векторов Это простенький пример с векторами плоскости. Для самостоятельного решения. будет Немного усложним задачу: Скалярное произведение в координатах, если векторы заданы суммами векторов Пример 13 Найти скалярное произведение векторов , если Решение: напрашивается трафаретный путь предыдущего раздела, где мы раскрывали скобки: более лаконичное решение: Найдём вектор : Найдём вектор : . Но зачем? Есть Проделаны элементарные действия с векторами, которые рассмотрены в конце урока Векторы для чайников. Вычислим скалярное произведение: Ответ: Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее. Пример 14 Найти скалярное произведение векторов и , если Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать ,а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока. В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора: Пример 15 Найти длины векторов , если Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: дорога: Найдём вектор , но существует и другая : И его длину по тривиальной формуле : Скалярное произведение здесь вообще не при делах! Как не при делах оно и при вычислении длины вектора : Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора произведению модуля числа на длину вектора : – знак модуля «съедает» возможный минус числа равна . Таким образом: Ответ: Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами векторов : выразить через координаты Косинус угла между векторами плоскости ортонормированном базисе и , заданными в , выражается формулой: . Косинус угла между векторами пространства заданными в ортонормированном базисе , , выражается формулой: Пример 16 Даны три вершины треугольника при вершине ). . Найти (угол Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки: Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто . Из чертежа совершенно очевидно, что угол углом между векторами и треугольника совпадает с , иными словами: Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно. Найдём векторы: Вычислим скалярное произведение: И длины векторов: Косинус угла: . Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»: Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе. Найдём сам угол: Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =) Ответ: В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: приближенное значение угла: калькулятора. и , найденное с помощью Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы убедиться в справедливости канонического равенства ,и Пример 17 В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение: Проекция вектора на вектор. Проекции вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора Вектор можно проецировать под разными углами, но чаще всего (и по умолчанию) под проекцией подразумевают ортогональную проекцию. Рассмотрим векторы и : Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО. является ДЛИНА отрезка . То есть, Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют. Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»». Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ», попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ». Если угол между векторами острый (как на рисунке), то Если векторы ортогональны, то размеры которой считаются нулевыми). Если угол между векторами стрелочку вектора ), то (проекцией является точка, тупой (на рисунке мысленно переставьте (та же длина, но взятая со знаком минус). Отложим данные векторы от одной точки: Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется Вспомним школу. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае: С другой стороны, у нас уже получена формула косинуса угла между векторами: Таким образом: Сокращаем знаменатели обеих частей на вычисления проекции: и получаем формулу для Формула выведена, распишем её в координатах: Если векторы плоскости базисе , то проекция вектора и , заданы в ортонормированном на вектор выражается формулой: . Если векторы пространства ортонормированном базисе выражается формулой: , заданы в , то проекция вектора на вектор Пример 18 Найти проекцию вектора на вектор Решение в одну строчку: Ответ: Проекция – это ДЛИНА, поэтому обязательно указываем размерность. Длина, конечно, своеобразная, в случае тупизны угла между векторами к ней добавляется знак «минус». В задачах приходится находить не только проекцию вектора на вектор, но и проекцию отрезка на отрезок, отрезка на прямую и т.д. Но, так или иначе, в решении используются векторы! Пример 19 Треугольник задан своими вершинами а) проекцию стороны на сторону б) проекцию стороны на сторону . Найти: ; . Это задача для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Выясним геометрический смысл координат векторов в ортонормированном базисе: Проекции вектора на координатные оси. Направляющие косинусы вектора Рассмотрим вектор плоскости ортонормированном базисе координат: Проекцией вектора координата: , заданный своими координатами в . Для удобства я отложу его от начала на координатную ось является в точности его первая (красная черта). Обозначим через и координатным вектором угол между вектором (красная дуга). Тогда: : (определение косинуса в прямоугольном треугольнике недавно упоминалось). Аналогично со второй координатой: проекцией вектора ось через является его вторая координата: угол между вектором на координатную (малиновая черта). Обозначим и координатным вектором : (двойная малиновая дуга). Тогда: Косинусы называются направляющими косинусами вектора. Причём, для любого ненулевого вектора справедливо равенство . Проверим его справедливость для рассматриваемого вектора: , что и требовалось проверить. Заметьте, что приведённые выше выкладки не изменятся, если вектор отложить от любой другой точки плоскости. Итак, координаты вектора в ортонормированном базисе – это его проекции на направления соответствующих координатных векторов (координатные оси). Направляющие косинусы ненулевого вектора , заданного в ортонормированном базисе , выражаются формулами , а сами координаты вектора можно выразить через его длину и данные косинусы: есть: , то . Кроме того, вектор с координатами из соответствующих направляющих косинусов: – коллинеарен исходному вектору «вэ»; – его длина равна единице (так называемый единичный вектор). С пространственными векторами, заданными в ортонормированном базисе , разборки точно такие же. Рассмотрим произвольный ненулевой вектор вектора на оси . Его координаты представляют собой проекции соответственно. Обозначим углы данного вектора с ортами через: . Тогда направляющие косинусы вектора выражаются формулами: справедливым является равенство ,и . В практических задачах чаще всего требуется найти направляющие косинусы вектора, заключительный пример урока: Пример 20 Найти направляющие косинусы векторов: а) б) , проверить, что ; , проверить, что . Простая задача для самостоятельного решения. Фактически, она состоит в том, чтобы найти длину векторов и составить эти самые направляющие косинусы. Однако не забывайте, что вместе с направляющими косинусами нам автоматически становятся известными единичные векторы, которые коллинеарны векторам «а» и «бэ». К слову, практическая задача на нахождения единичного вектора рассмотрена в Примере № 5 урокаУравнение плоскости. Ну а здесь решение и ответ совсем близко. После изучения данного урока, у вас уже весьма приличная подготовка по аналитической геометрии. Чтобы паззл сложился окончательно, читайте статьи Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Ответ: Пример 4: Решение: Ответ: Пример 6: Решение: Ответ: Пример 7*: Решение: Используем формулу Найдём скалярное произведение: Найдём длину вектора : . Найдём длину вектора : Таким образом: Ответ: Пример 10: Решение: а) Найдем векторы: Вычислим скалярное произведение: , значит, прямые перпендикулярны. б) Найдем векторы: Вычислим скалярное произведение: , значит, прямые перпендикулярны. Ответ: а) прямые не перпендикулярны, б) Пример 12: Решение: Составим и решим уравнение: Ответ: при Пример 14: Решение: Ответ: не Пример 17: Решение: Найдем векторы Вычислим косинус угла: Угол: Ответ: Пример 19: Решение: Найдём векторы: Ответ: Пример 20: Решение: а) Найдём длину вектора: . Направляющие косинусы: . Проверка: проверить. б) Найдём длину вектора: , что и требовалось . Направляющие косинусы: . Проверка: требовалось проверить. Ответ: , что и Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Базис векторов. Аффинная система координат В аудитории находится тележка с шоколадками, и каждому посетителю сегодня достанется сладкая парочка – аналитическая геометрия с линейной алгеброй. В данной статье будут затронуты сразу два раздела высшей математики, и мы посмотрим, как они уживаются в одной обёртке. Сделай паузу, скушай «Твикс»! …блин, ну и чушь спорол. Хотя ладно, забивать не буду, в конце концов, на учёбу должен быть позитивный настрой. Линейная зависимость векторов, линейная независимость векторов, базис векторови др. термины имеют не только геометрическую интерпретацию, но, прежде всего,алгебраический смысл. Само понятие «вектор» с точки зрения линейной алгебры – это далеко не всегда тот «обычный» вектор, который мы можем изобразить на плоскости или в пространстве. За доказательством далеко ходить не нужно, попробуйте нарисовать вектор пятимерного пространства . Или вектор погоды, за которым я только что сходил на Гисметео: – температура и атмосферное давление соответственно. Пример, конечно, некорректен с точки зрения свойств векторного пространства, но, тем не менее, никто не запрещает формализовать данные параметры вектором. Дыхание осени…. Нет, я не собираюсь грузить вас теорией, линейными векторными пространствами, задача состоит в том, чтобы понять определения и теоремы. Новые термины (линейная зависимость, независимость, линейная комбинация, базис и т.д.) приложимы ко всем векторам с алгебраической точки зрения, но примеры будут даны геометрические. Таким образом, всё просто, доступно и наглядно. Помимо задач аналитической геометрии мы рассмотрим и некоторые типовые задания алгебры. Для освоения материала желательно ознакомиться с уроками Векторы для чайников и Как вычислить определитель? Линейная зависимость и независимость векторов плоскости. Базис плоскости и аффинная система координат Рассмотрим плоскость вашего компьютерного стола (просто стола, тумбочки, пола, потолка, кому что нравится). Задача будет состоять в следующих действиях: 1) Выбрать базис плоскости. Грубо говоря, у столешницы есть длина и ширина, поэтому интуитивно понятно, что для построения базиса потребуется два вектора. Одного вектора явно мало, три вектора – лишка. 2) На основе выбранного базиса задать систему координат (координатную сетку), чтобы присвоить координаты всем находящимся на столе предметам. Не удивляйтесь, сначала объяснения будут на пальцах. Причём, на ваших. Пожалуйста, поместите указательный палец левой руки на край столешницы так, чтобы он смотрел в монитор. Это будет вектор . Теперь поместите мизинец правой руки на край стола точно так же – чтобы он был направлен на экран монитора. Это будет вектор . Улыбнитесь, вы замечательно выглядите! Что можно сказать о векторах ? Данные векторы коллинеарны, а значит, линейно выражаются друг через друга: , ну, или наоборот: , где – некоторое число, отличное от нуля. Картинку сего действа можно посмотреть на уроке Векторы для чайников, где я объяснял правило умножения вектора на число. Будут ли ваши пальчики задавать базис на плоскости компьютерного стола? Очевидно, что нет. Коллинеарные векторы путешествуют туда-сюда по одномунаправлению, а у плоскости есть длина и ширина. Такие векторы называют линейно зависимыми. Справка: Слова «линейный», «линейно» обозначают тот факт, что в математических уравнениях, выражениях нет квадратов, кубов, других степеней, логарифмов, синусов и т.д. Есть только линейные (1-й степени) выражения и зависимости. Два вектора плоскости линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Скрестите пальцы на столе, чтобы между ними был любой угол, кроме 0 или 180 градусов. Два вектора плоскости линейно независимы в том и только том случае, если они не коллинеарны. Итак, базис получен. Не нужно смущаться, что базис получился «косым» с неперпендикулярными векторами различной длины. Очень скоро мы увидим, что для его построения пригоден не только угол в 90 градусов, и не только единичные, равные по длине векторы Любой вектор плоскости базису единственным образом раскладывается по : , где – действительные числа. Числа называют координатами вектора в данном базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов. То есть, выражение называют разложением вектора комбинацией базисных векторов. по базису Например, можно сказать, что вектор ортонормированному базису плоскости или линейной разложен по , а можно сказать, что он представлен в виде линейной комбинации векторов . Сформулируем определение базиса формально: Базисом плоскости называется пара линейно независимых (неколлинеарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор плоскости является линейной комбинацией базисных векторов. Существенным моментом определения является тот факт, что векторы взяты в определённом порядке. Базисы – это два совершенно разных базиса! Как говорится, мизинец левой руки не переставишь на место мизинца правой руки. С базисом разобрались, но его недостаточно, чтобы задать координатную сетку и присвоить координаты каждому предмету вашего компьютерного стола. Почему недостаточно? Векторы являются свободными и блуждают по всей плоскости. Так как же присвоить координаты тем маленьким грязным точкам стола, которые остались после бурных выходных? Необходим отправной ориентир. И таким ориентиром является знакомая всем точка – начало координат. Разбираемся с системой координат: Начну со «школьной» системы. Уже на вступительном уроке Векторы для чайников я выделял некоторые различия между прямоугольной системой координат и ортонормированным базисом . Вот стандартная картина: Когда говорят о прямоугольной системе координат, то чаще всего имеют в виду начало координат, координатные оси и масштаб по осям. Попробуйте набрать в поисковике «прямоугольная система координат», и вы увидите, что многие источники вам будут рассказывать про знакомые с 5-6-го класса координатные оси и о том, как откладывать точки на плоскости. С другой стороны, создается впечатление, что прямоугольную систему координат вполне можно определить через ортонормированный базис это почти так. Формулировка звучит следующим образом: Точка .И плоскости, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат плоскости. То есть, прямоугольная система координат однозначно определяется единственной точкой и двумя единичными ортогональными векторами . Именно поэтому, вы видите чертёж, который я привёл выше – в геометрических задачах часто (но далеко не всегда) рисуют и векторы, и координатные оси. Думаю, всем понятно, что с помощью точки (начала координат) и ортонормированного базиса ЛЮБОЙ ТОЧКЕ плоскости и ЛЮБОМУ ВЕКТОРУ плоскости можно присвоить координаты. Образно говоря, «на плоскости всё можно пронумеровать». Обязаны ли координатные векторы быть единичными? Нет, они могут иметь произвольную ненулевую длину. Рассмотрим точку и два ортогональных вектора произвольной ненулевой длины: Такой базис называется ортогональным. Начало координат с векторами задают координатную сетку, и любая точка плоскости, любой вектор имеют свои координаты в данном базисе. Например, или . Очевидное неудобство состоит в том, что координатные векторы в общем случае имеют различные длины, отличные от единицы. Если длины равняются единице, то получается привычный ортонормированный базис. ! Примечание: в ортогональном базисе, а также ниже в аффинных базисах плоскости и пространства единицы по осям считаются УСЛОВНЫМИ. Например, в одной единице по оси абсцисс содержится 4 см, в одной единице по оси ординат 2 см. Данной информации достаточно, чтобы при необходимости перевести «нестандартные» координаты в «наши обычные сантиметры». И второй вопрос, на который уже на самом деле дан ответ – обязательно ли угол между базисными векторами должен равняться 90 градусам? Нет! Как гласит определение, базисные векторы должны быть лишь неколлинеарными. Соответственно угол может быть любым, кроме 0 и 180 градусов. Точка плоскости, которая называется началом координат, и неколлинеарные векторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат плоскости: Иногда такую систему координат называют косоугольной системой. В качестве примеров на чертеже изображены точки и векторы: Как понимаете, аффинная система координат ещё менее удобна, в ней не работают формулы длин векторов и отрезков, которые мы рассматривали во второй части урока Векторы для чайников, многие вкусные формулы, связанные со скалярным произведением векторов. Зато справедливы правила сложения векторов и умножения вектора на число, формулы деления отрезка в данном отношении, а также ещё некоторые типы задач, которые мы скоро рассмотрим. А вывод таков, что наиболее удобным частным случаем аффинной системы координат является декартова прямоугольная система. Поэтому её, родную, чаще всего и приходится лицезреть. …Впрочем, всё в этой жизни относительно – существует немало ситуаций, в которых уместна именно косоугольная (или какая-набудь другая, например, полярная) система координат. Да и гуманоидам такие системы могут прийтись по вкусу =) Переходим к практической части. Все задачи данного урока справедливы как для прямоугольной системы координат, так и для общего аффинного случая. Сложного здесь ничего нет, весь материал доступен даже школьнику. Как определить коллинеарность векторов плоскости? Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения . Пример 1 а) Проверить, коллинеарны ли векторы б) Образуют ли базис векторы . ? Решение: а) Выясним, существует ли для векторов пропорциональности коэффициент , такой, чтобы выполнялись равенства : , значит, данные векторы коллинеарны. Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной: Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов: Сокращаем: , таким образом, соответствующие координаты пропорциональны, следовательно, Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант: Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами: б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему: Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны. Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис. Упрощённая версия решения выглядит так: Составим пропорцию из соответствующих координат векторов : , значит, данные векторы линейно независимы и образуют базис. Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским». Ответ: а) , б) образуют. Небольшой творческий пример для самостоятельного решения: Пример 2 При каком значении параметра векторы В образце решения параметр найден через пропорцию будут коллинеарны? . Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его: Для двух векторов плоскости эквивалентны следующие утверждения: 1) векторы линейно независимы; 2) векторы образуют базис; 3) векторы не коллинеарны; 4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля. Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения: 1) векторы линейно зависимы; 2) векторы не образуют базиса; 3) векторы коллинеарны; 4) векторы можно линейно выразить друг через друга; + 5) определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю. Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения. Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители. Решим Пример 1 вторым способом: а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, данные векторы коллинеарны. Б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, векторы линейно независимы и образуют базис. Ответ: а) , б) образуют. Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями. Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов. С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами. Пример 3 Даны вершины четырёхугольника четырёхугольник является параллелограммом. . Доказать, что Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма: Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Таким образом, нужно доказать: 1) параллельность противоположных сторон 2) параллельность противоположных сторон и и ; . Доказываем: 4) Найдём векторы: Вычислим определитель, составленный из координат векторов , значит, данные векторы коллинеарны, и : . 2) Найдём векторы: Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, данные векторы коллинеарны, и . Вывод: Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать. Больше фигур хороших и разных: Пример 4 Даны вершины четырёхугольника что четырёхугольник является трапецией. . Доказать, Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит. Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока. А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство: Как определить коллинеарность векторов пространства? Правило очень похоже. Для того чтобы два вектора пространства были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . Пример 5 Выяснить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) ; б) в) Решение: а) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов: Система не имеет решения, значит, векторы «Упрощёнка» оформляется проверкой пропорции случае: не коллинеарны. . В данном – соответствующие координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны. Ответ: векторы не коллинеарны. Б-в) Это пункты для самостоятельного решения. Попробуйте его оформить двумя способами. Существует метод проверки пространственных векторов на коллинеарность и через определитель третьего порядка, данный способ освещен в статье Векторное произведение векторов. Аналогично плоскому случаю, рассмотренный инструментарий может применяться в целях исследования параллельности пространственных отрезков и прямых. Добро пожаловать во второй раздел: Линейная зависимость и независимость векторов трехмерного пространства. Пространственный базис и аффинная система координат Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства. Я постарался минимизировать конспект по теории, поскольку львиная доля информации уже разжёвана. Тем не менее, рекомендую внимательно прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия. Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний. И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов! Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =) Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола. Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными и, совершенно очевидно, что базиса трёхмерного пространства не создают. Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)). Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны. Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно выразить через любой вектор. Во втором случае, если, например, векторы коллинеарны, то третий вектор выражается через них единственным не образом: (а почему – легко догадаться по материалам предыдущего раздела). Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга. И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства. Определение: Базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов , взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису координаты вектора в данном базисе Напоминаю, также можно сказать, что вектор комбинациибазисных векторов. , где – представлен в виде линейной Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки и любых трёх линейно независимых векторов: Точка пространства, которая называется началом координат, и некомпланарныевекторы , взятые в определённом порядке, задают аффинную систему координат трёхмерного пространства: Конечно, координатная сетка «косая» и малоудобная, но, тем не менее, построенная система координат позволяет нам однозначно определить координаты любого вектора и координаты любой точки пространства. Аналогично плоскости, в аффинной системе координат пространства не будут работать некоторые формулы, о которых я уже упоминал. Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координат, как все догадываются, является прямоугольная система координат пространства: Точка пространства, которая называется началом координат, и ортонормированный базис задают декартову прямоугольную систему координат пространства. Знакомая картинка: Перед тем, как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем информацию: Для трёх векторов пространства эквивалентны следующие утверждения: 1) векторы линейно независимы; 2) векторы образуют базис; 3) векторы не компланарны; 4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга; 5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля. Противоположные высказывания, думаю, понятны. Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5). Оставшиеся практические задания будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Пора повесить на гвоздь геометрическую клюшку и орудовать бейсбольной битой линейной алгебры: Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (значение определителя от этого не изменится – см. свойства определителей). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач. Тем читателям, которые немножко позабыли методы расчета определителей, а может и вообще слабо в них ориентируются, рекомендую один из моих самых старых уроков: Как вычислить определитель? Пример 6 Проверить, образуют ли базис трёхмерного пространства следующие векторы: а) б) Решение: Фактически всё решение сводится к вычислению определителя. А) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке): , значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства. Ответ: данные векторы образуют базис б) Это пункт для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Встречаются и творческие задачи: Пример 7 При каком значении параметра компланарны? векторы будут Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен нулю: По существу, требуется решить уравнение с определителем. Налетаем на нули как коршуны на тушканчиков – определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке и сразу же избавиться от минусов: Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению: Ответ: при Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что раскрыв его заново. , В заключение рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая носит больше алгебраический характер и традиционно включается в курс линейной алгебры. Она настолько распространена, что заслуживает отдельного топика: Доказать, что 3 вектора образуют базис трёхмерного пространства и найти координаты 4-го вектора в данном базисе Пример 8 Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе. Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе. Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать новый базис. И первый этап полностью совпадает с решением Примера 6, необходимо проверить, действительно ли векторы линейно независимы: Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства. ! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцыопределителя, а не в строки. Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения. Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: базисе , где – координаты вектора в . Поскольку наши векторы (это уже доказано), то вектор данному базису: , где образуют базис трёхмерного пространства можно единственным образом разложить по – координаты вектора в базисе . По условию и требуется найти координаты . Для удобства объяснения поменяю части местами: нахождения . В целях следует расписать данное равенство покоординатно: По какому принципу расставлены коэффициенты? Все коэффициенты левой части в точности перенесены из определителя записаны координаты вектора , в правую часть . Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое требование. Главный определитель системы уже найден: , значит, система имеет единственное решение. Дальнейшее – дело техники: Таким образом: – разложение вектора базису по . Ответ: Более подготовленные читатели могут ознакомиться с уроком Переход к новому базису, и окончательно уяснить смысл прорешанной задачи. Кстати, с содержательной точки зрения использовать метод Крамера здесь – совсем не айс ;-) И, как я уже отмечал, задание носит алгебраический характер. Векторы, которые были рассмотрены – это не обязательно те векторы, которые можно нарисовать в пространстве, а, в первую очередь, произвольные векторы курса линейной алгебры. Для случая двумерных векторов можно сформулировать и решить аналогичную задачу – решение будет технически намного проще, и поэтому я прошёл мимо него в предыдущем параграфе. Такая же задача с трёхмерными векторами для самостоятельного решения: Пример 9 Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора Систему линейных уравнений решить методом Крамера. в этом базисе. Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце урока. Аналогично можно рассмотреть четырёхмерное, пятимерное и т.д. векторные пространства, где у векторов соответственно 4, 5 и более координат. Для данных векторных пространств тоже существует понятие линейной зависимости, линейной независимости векторов, существует базис, в том числе, ортонормированный, разложение вектора по базису. Да, такие пространства невозможно нарисовать геометрически, но в них работают все правила, свойства и теоремы двух и трех мерных случаев – чистая алгебра.…Хотя, кто его знает, может быть и не чистая…, однако закругляемся – о философских вопросах меня уже пробивало поговорить в статье Частные производные функции трёх переменных, которая появилась раньше данного урока. Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Пример 2: Решение: составим пропорцию из соответствующих координат векторов: Ответ: при Пример 4: Доказательство: трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. 1) Проверим параллельность противоположных сторон и . Найдём векторы: Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, данные векторы не коллинеарны и стороны не параллельны. 2) Проверим параллельность противоположных сторон Найдём векторы: и . Вычислим определитель, составленный из координат векторов : , значит, данные векторы коллинеарны и . Вывод: Две стороны четырёхугольника параллельны, а две другие стороны не параллельны, значит, он является трапецией по определению. Что и требовалось доказать. Пример 5: Решение: б) Проверим, существует ли коэффициент пропорциональности для соответствующих координат векторов: Система не имеет решения, значит, векторы Более простое оформление: не коллинеарны. – вторая и третья координаты не пропорциональны, значит, векторы не коллинеарны. Ответ: векторы не коллинеарны. в) Исследуем на коллинеарность векторы систему: . Составим Соответствующие координаты векторов пропорциональны, значит Вот здесь как раз не проходит «пижонский» метод оформления. Ответ: Пример 6: Решение: б) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке): , значит, векторы зависимы и не образуют базиса трёхмерного пространства. Ответ: данные векторы не образуют базиса линейно Пример 9: Решение: Вычислим определитель, составленный из координат векторов : Таким образом, векторы Представим вектор линейно независимы и образуют базис. в виде линейной комбинации базисных векторов: Покоординатно: Систему решим по формулам Крамера: , значит, система имеет единственное решение. Ответ: Векторы образуют базис, Переход к новому базису и к новой системе координат Эта небольшая статья появилась на свет значительно позже большинства моих уроков по аналитической геометрии, и предназначена она для более или менее подготовленных читателей, которые знакомы с векторами, матрицами и обладают навыками решения основных тематических задач. Впрочем, что означает «более или менее подготовленных»? …Если Вы понимаете, чем отличается базис от системы координат – тогда смело читайте дальше! Потому что будет очень интересно – сегодня мы станем очевидцами самой настоящей революции в мире векторов! Такие эпохальные события происходят не каждый день, и поэтому нет ничего удивительного в том, что задачи перехода к новому базису и перехода к новой системе координат заметно реже встречаются на практике. Однако, это как раз та тема, которая вызывает наибольшую путаницу и недопонимание у студентов. Дело осложняется ещё и тем, что в различных источниках информации используются разные схемы подачи материала и разные обозначения Но сейчас пришло время окончательно вас запутать «расставить все точки над i» и расстановка этих точек начинается с «плоского» случая. Кстати, и буква нужная сразу вспомнилась. Рассмотрим привычный ортонормированный базис или: и два подопытных вектора: . Как вы прекрасно знаете, любой другой вектор плоскости тоже можно разложить по базисным векторам: (причём единственным образом) и записать коэффициенты этого разложения (координаты) в скобках: И всё бы было тихо-спокойно, но мирную жизнь векторов нарушает появление другого базиса…. Почему он появляется? Так нужно в ряде задач высшей математики. И не только математики. В качестве демонстрационного базиса можно взять любую пару неколлинеарных векторов, но для удобства объяснений я рассмотрю следующий ортогональный базис : Обратите внимание, что новый базис не является ортонормированным – длины его векторов отличны от единицы: Наверное, все понимают происходящие события – когда меняется власть, то все подстраиваются под эту власть. Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти разложения тех же самых векторов по НОВОМУ базису. На иллюстрации хорошо видно готовые результаты: , то есть и – это координаты вектора «а» в базисе ; – есть координаты вектора «бэ» в новом базисе. Примечание: заметьте, что «условные единицы» нового базиса в и раз больше единицы исходного базиса. Но всё хорошо видно лишь потому, что я подобрал простые базисы и удобные векторы, и поэтому нам нужно изучить аналитический метод перехода от одного базиса к другому. Очевидно, что для осуществления такого перехода необходимо как-то связать векторы старого и нового базиса. Первое, что приходит в голову – это разложить векторы «пришлой власти» по базису : …если вам не понятно, откуда берутся все эти разложения – срочно изучать/повторять «школьные» действия с векторами! Коэффициенты разложений напрашивается записать в матрицу: так: . Или . …В верном направлении движемся, товарищи! И ту, и другую матрицу называют матрицей перехода от базиса к базису . По техническим причинам чаще встречается 2-й вариант – когда коэффициенты «укладывают» в столбцы. Но от красивой записи толку мало, и сейчас нам предстоит разобраться, как связаны между собой координаты базисе базисе произвольного вектора с его соответствующими координатами в старом в новом . ! Штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным! Для решения нашей задачи подставим разложения е равенство, раскроем скобки и перегруппируем слагаемые: во 2- Таким образом, с одной стороны, в нашем распоряжении есть старое разложение , но с другой стороны мы получили . Поскольку разложение вектора по базису единственно, то справедливы следующие равенства: С помощью полученных соотношений можно найти СТАРЫЕ координаты, если известны новые. Запишем формулы в виде простейшего матричного уравнения: и выполним проверку, тестируя наши подопытные векторы «а» и «бэ»: Что и требовалось проверить. Надеюсь, ни у кого не возникло проблем с матричным умножением. Хотя, в случае аварийных недоразумений всегда можно подставить новые координаты в равенства самые результаты. и получить те же Всё хорошо, всё правильно, но нам-то нужно наоборот – из старых координат получить новые. Давайте присмотримся к нашему матричному уравнению координатами векторов И, обозначив виде: …. В его середине находится матрица с , которые записаны в столбцы. , перепишем уравнение в компактном Для того чтобы выразить новые координаты через старые, умножим обе части на слева: В результате ситуация разрешилась самым благоприятным образом: Теперь нужно найти обратную матрицу. Так как векторы базиса линейно независимы, то определитель и обратная матрица заведомо существует. Я не буду подробно расписывать процесс её нахождения (с которым можно ознакомиться по ссылке) и сразу приведу готовый результат: – тот редкий случай, когда дробь целесообразно затолкать в матрицу. Пользуясь уравнением векторов , вычислим координаты в базисе : , то есть ; , то есть . Желающие могут протестировать другие «сподручные» векторы и свериться с чертежом. Нетрудно догадаться, что в столбцах полученной матрицы находятся коэффициенты разложения векторов старого базиса по векторам нового базиса: (убедитесь по чертежу в справедливости этих разложений) и матрица базиса называется (именно так!) матрицей перехода от к базису . Из статьи о линейных преобразованиях вы узнаете (или уже знаете), что любой квадратной матрице «два на два» соответствует определённое преобразование (грубо говоря, искажение) плоскости, и, как видите, невырожденная матрица «два на два» может иметь и другой геометрический смысл. Любопытные читатели непременно проанализируют, какие линейные преобразования задают рассмотренные матрицы. Систематизируем алгоритм решения данной задачи: итак, заданы два произвольных базиса плоскости базиса выражены через векторы 1-го: , при этом векторы 2-го ! Обозначения: в данном контексте двойные подстрочные индексы имеют следующий смысл: 1-я цифра обозначает номер координаты, 2-я цифра – номер вектора: – 1-я координата 1-го вектора (вектора вектора; ), – 2-я координата 1-го – 1-я координата 2-го вектора (вектора ), – 2-я координата 2-го вектора. Следует отметить, что в других источниках информации обозначения могут быть другими, я выбрал вариант, который мне показался наиболее понятным. В базисе базисе дан вектор . Требуется найти его координаты в . На первом шаге составляем матричное уравнение, при этом коэффициенты разложений (векторы «укладываем» в столбцы матрицы: следует «перебирать» строго по порядку!): или, если компактнее: Уравнение, кстати, легко преобразовать в формулы, выражающие старые координаты через новые. Выполняем матричное умножение: Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы: Читателям, углубленно изучающим математику, рекомендую вывести эти формулы самостоятельно (по аналогии конкретных рассуждений в разобранном примере). Но возвращаемся к нашей задаче. Она элементарна! Находим обратную матрицу и, вычисляя произведение , получаем координаты вектора в базисе : Простота простотой, но в действительности эта задача вызывает серьёзные затруднения у многих студентов. Связано это, видимо, с не наглядностью изложения материала. Как правило, в типовом источнике можно увидеть два «косых» базиса (если чертёж есть вообще), и вкупе со всеми этими штрихами (популярный стиль), непонятными индексами возникает только одно желание – захлопнуть книгу/закрыть окно. И в демонстрационном примере я специально рассмотрел два «хороших» базиса – чтобы не наглядный материал превратить в ненаглядный =) …так чувствуется, вам уже не терпится что-нибудь порешать! Пространственный случай для самостоятельного изучения: Задача 1 4) В трехмерном пространстве заданы базисы , причём: Записать два матричных уравнения, которые связывают координаты вектора в базисе с его координатами 2) Найти разложение вектора в базисе . . по базису Краткое решение и ответы в конце урока. Следует отметить, что формулировка этой задачи вовсе не подразумевает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Это могут быть векторы и другой природы. Я очень надеюсь, что на данный момент вы всё-таки почитали мои статьи по высшей алгебре и добрались до статьи о линейных преобразованиях, где я обобщил понятие вектора. Однако сейчас у нас на повестке дня аналитическая геометрия, и поэтому я перехожу к рассмотрению второго вопроса: Переход к новой системе координат Это не то же самое, что переход к новому базису! Хотя задача родственная. Наверняка первый чертёж урока вызвал у вас мысль, что «чего-то здесь не хватает». И действительно, коль скоро, речь шла о базисах, то нам было вполне достаточно векторов. А вектор – это птица свободная, и на иллюстрации их вообще можно было расположить как угодно. Но во многих случаях существует потребность учесть преобразование координат точек, и по этой причине возникает необходимость «застолбить» начальную точку отсчёта (начало координат), которая в тандеме с базисными векторами порождает аффинную систему координат. Рассмотрим две аффинные системы координат плоскости: . Первую систему по нестарой памяти назовём старой, вторую – новой, и, как водится, запишем традиционное разложение: Не углубляясь в книжные рассуждения, я сразу приведу готовые формулы, позволяющие узнать старые координаты произвольной точки плоскости, если известны её новые координаты , где – координаты точки : в старой системе координат. Данные равенства называются формулами преобразования аффинной системы координат, и в них легко просматривается знакомая матрица . Вернёмся к нашим ненаглядным базисам =), на основе которых построим две системы координат: . В качестве начала новой системы координат я выберу точку : Теперь «укладываем» коэффициенты разложений «столбцы» формул в : Подопытные точки опять же – синие и пушистые =) Пожалуйста, наклоните голову на 45 градусов влево и убедитесь, что в «оранжевой» системе координат точка имеет координаты , а точка – координаты (коричневые пунктирные линии). Вычислим координаты данных точек в исходном базисе : В чём и требовалось убедиться. Однако здесь опять всё «задом наперёд» – ведь в подавляющем большинстве случаев новые-то координаты нам как раз не известны. На очереди знакомая схема действий. Запишем формулы уравнения: в виде матричного или, если компактнее: И с помощью стандартных преобразований выражаем столбец новых координат: , где – координаты точки столбец рассчитывается по формуле в новом базисе. Данный . В нашем примере обратная матрица уже найдена в предыдущем параграфе и осталось как раз узнать этот столбец: Пожалуйста, снова наклоните голову влево на новой («оранжевой») системе координат точка координатами и убедитесь, что в обладает именно . Запишем рабочее матричное уравнение рассчитаем координаты точек и в новой системе координат: Рассмотренные формулы работают для произвольных аффинных систем плоскости, однако в практических задачах особую важность имеет переход от прямоугольной декартовой системы координат к другой декартовой системе . Но перед тем, как приступить к изучению этого частного случая, я расскажу вам о том, о чём многие слышали, но стеснялись спросить) Ориентация плоскости У плоскости может быть две ориентации. Левая. И правая. Первая ориентация задаётся левоориентированным базисом и, как следствие, левой системой координат, вторая – соответственно, правоориентированным базисом и правой системой. По сложившейся традиции разбираться будем на пальцах: разверните ладони вверх и прижмите к ним все пальцы, кроме указательных и больших. Теперь совместите указательные пальцы. Большие пальцы при этом расположатся по разные стороны. Наоборот: совместите большие пальцы – тогда по разные от них стороны окажутся пальцы указательные. Это признак того, что символические базисы и порождаемые ими системы координат имеют разную ориентацию. Если большой палец символизирует 1-й вектор базиса, а указательный палец – 2-й вектор базиса (ладони развёрнуты вверх),то базис правой руки принято считать правоориентированным, а базис левой руки – левоориентированным. Так, например, наша «школьная» система координат является правой. Как в этом убедиться? Совместите большой палец правой руки с вектором (первым вектором базиса). Тогда указательный палец будет смотреть в сторону вектора , и это признак того, что базис правоориентирован. Вообще, рассматриваемое понятие весьма удачно характеризует осевая (зеркальная) симметрия, которая меняет ориентацию плоскости. Изобразим в прямоугольной системе брата нашего меньшего и отобразим его симметрично относительно оси ординат: Совершенно понятно, что как ни перемещай, как ни крути изображения – совместить их не удастся. Это и есть эффект разной ориентации. Обратите внимание, что 1-й координатный вектор тоже подвергся отражению, и левая система задала левую ориентацию плоскости – координатная ось «развернулась» в противоположную сторону и положительные значения стали отсчитываться справа налево. И, кстати, ничто не мешает вести отсчёт именно так! Но тут нас вряд ли поймут – не зря же ориентацию назвали левой =) Хотя чисто «технически» она ничем не хуже. Если Тузика отобразить симметрично относительно оси другую левую систему , то получим , в которой единичный вектор смотрит вниз. Взаимную ориентацию двух базисов (а значит и взаимную ориентацию порожденных ими систем координат) можно установить аналитически: если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому больше нуля, то базисы ориентированы одинаково (оба левые или оба правые), в противном случае они имеют разную ориентацию. Так, в демонстрационном примере нашего урока , значит, базисы ориентированы одинаково. И поскольку «школьный» базис считается правым, то – тоже правый (впрочем, это и так очевидно). В Задаче 1 (пункт 2) определитель матрицы перехода отрицателен: , следовательно, базисы задают разную ориентацию трёхмерного пространства. С этим понятием можно ознакомиться в статье о векторном произведении векторов, ну а сейчас пришло время вернуться в основное русло урока: Преобразование прямоугольных систем координат На практике наиболее часто приходится осуществлять переход от одной правой декартовой системы координат к другой правой декартовой системе , и в этом случае общие формулы преобразования координат принимают следующий вид: , где – угол между первыми координатными векторами (не важно, положительный или отрицательный). Данные формулы, в частности используются в ходе приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. И, несмотря на то, что они выражают старые координаты точки через новые , равенства называют формулами перехода от старой системы координат к новой. Объяснение просто: если в какое-либо уравнение вместо «икса» и «игрека» подставить правые части этих равенств, то, собственно, именно такой переход и будет осуществлён. В том случае если новая система координат построена на тех же базисных векторах: , то речь идёт лишь о параллельном переносе начала координат, и формулы донельзя упрощаются: Пусть, например, – новое начало: Тогда старые координаты новых: точки легко получить из , а новые – из старых: Второй частный случай – это поворот осей с сохранением начала координат: Так как новое начало координат совпадает со старым, то в формулах преобразования координат исчезают свободные члены: Для самостоятельного решения: Задача 2 Прямоугольная декартова система координат системы поворотом на угол получена из . 1) С помощью матричного исчисления вывести формулы, выражающие новые координаты точки через её старые координаты 2) Найти новые координаты точки поворота . . , если известно, что угол На чертеже выше изображен именно этот легендарный угол, с синуса и косинуса которого начиналось наше знакомство с тригонометрией. Впрочем, если что – тригонометрические таблицы рядом. Краткое решение и ответ в конце урока. В общем случае правая прямоугольная система координат из системы получается в два шага: 4) поворотом координатных осей; 2) параллельным переносом начала координат. Ну, или в другом порядке. Следует отметить, что для двух левых декартовых систем работают те же самые формулы Но вот если одна из прямоугольных систем левая, а другая правая, то в двух местах следует поменять знаки: Кстати, здесь уже нельзя рассуждать о «чистом повороте» координатных осей, поскольку с помощью него невозможно «совместить двух Тузиков». И как раз одна система координат получается из другой в том числе с помощью зеркальной симметрии. Аналогичные формулы преобразования аффинных систем координат имеют место быть в трёхмерном пространстве: , где: где – координаты точки в аффинной системе – её координаты в системе – координаты начала в системе ; ; . Грубо говоря, здесь прибавилась одна координата и принципиальная схема рассуждений не изменилась. Но разнообразия (тех же поворотов), стало, безусловно, больше. И, разумеется, рассмотренный математический аппарат работает для векторов произвольной природы, в том числе векторов бОльшей размерности. Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Задача 1 Решение: 1) Матричное уравнение , где позволяет найти координаты вектора в базисе , если известны его координаты в базисе . Матричное уравнение соотносит координаты в другом порядке 2) Запишем матрицу . Координаты вектора в базисе найдём с помощью матричного уравнения Обратную матрицу найдем по формуле: . , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Таким образом: В результате: Ответ: Примечание: на самом деле такую задачу мы уже решали на уроке о линейной независимости и базисах (см. Примеры 8,9), но недостаток тех решений состоит в том, что метод Крамера позволяет найти новые координаты лишь отдельно взятого вектора. Задача 2 Решение: 1) Запишем формулы в матричной форме: Выразим новые координаты через старые: Обратную матрицу найдем по формуле: . , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Таким образом: Осуществляя матричное умножение, получаем искомые формулы: 2) Поскольку угол поворота составляет , то формулы принимают вид: Вычислим координаты точки Ответ: а) в новой системе координат: , б) Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно). Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов, требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение, даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =) Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников, чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы, а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще! Векторное произведение векторов В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора. Пусть это будут нетленные буквы . Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком. И сразу вопрос: если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ: Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО: Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР: , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву . Определение векторного произведения Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии. Определение: Векторным произведением неколлинеарных векторов ВЕКТОР , взятых в данном порядке, называется , длина которого численно равна площади параллелограмма, построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам ,и направлен так, что базис имеет правую ориентацию: Разбираем определение по косточкам, тут много интересного! Итак, можно выделить следующие существенные моменты: 1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны. Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже. 2) Векторы взяты в строго определённом порядке: умножается на «бэ», а не «бэ» на «а». Результатом умножения – «а» векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор есть, справедливо равенство (малиновый цвет). То . 3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора малинового вектора (а, значит, и ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах параллелограмм заштрихован чёрным цветом. . На рисунке данный Примечание: чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма. Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними. Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения: Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения: Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах найти по формуле: (красная штриховка), можно 4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор векторам , то есть направленный вектор векторам ортогонален . Разумеется, противоположно (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным . 5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости, и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки. Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь совместите указательный палец левой руки с тем же вектором а средний – с вектором , . При этом большой палец будет неизбежно смотреть вниз – по направлению вектора . Это левый или левоориентированный базис . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение ;-) Или просто попробуйте совместить «базисы» левой и правой руки, после чего станет понятно, что указательные и средние пальцы не совмещаются. …как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =) Векторное произведение коллинеарных векторов Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю. Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя: С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём. Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица, чтобы находить по ней значения синусов. Ну что же, разжигаем огонь: Пример 1 а) Найти длину векторного произведения векторов , если б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если Решение: Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться! А) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле: Ответ: Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы. Б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения: Ответ: Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры, соответственно, размерность – квадратные единицы. Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже. Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что того же. и – это обозначение одного и Популярный пример для самостоятельного решения: Пример 2 Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока. На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить. Для решения других задач нам понадобятся: Свойства векторного произведения векторов Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список. Для произвольных векторов следующие свойства: и произвольного числа справедливы 1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет. 2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью. Иными словами, порядок векторов имеет значение. 3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать? 4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем. В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример: Пример 3 Найти , если Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру: (1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения. (2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной. (3) Дальнейшее понятно. Ответ: Пора подбросить дров в огонь: Пример 4 Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если Решение: Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов. Решение для ясности разобьём на три этапа: 4) На первом шаге выразим векторное произведение произведение пока ни слова! через векторное , по сути, выразим вектор через вектор. О длинах (1) Подставляем выражения векторов . (2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов. (3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно. (4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения: (5) Приводим подобные слагаемые. В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь: 2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3: 3) Найдём площадь искомого треугольника: Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой. Ответ: Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения: Пример 5 Найти , если Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров ;-) Векторное произведение векторов в координатах С векторами, заданными в координатах, всё тоже просто и прозрачно. Сразу обращаю внимание на то, что разговор пойдёт о координатах ортонормированного базиса. В общем случае аффинного базиса нижеприведённая формула будет нерабочей. Кстати, кто ещё не успел ознакомиться с базисами, рекомендую статью Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Векторное произведение векторов ортонормированном базисе , заданных в , выражается формулой: Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами: Согласно свойствам определителя, если в определителе две строки переставить местами, то он сменит знак. Этот факт полностью соответствует свойству антикоммутативности векторного произведения. Данный определитель всегда раскрываем по первой строке, что продемонстрировано выше. Если есть трудности с определителями и формула не очень понятна, пожалуйста, посетите урок Как вычислить определитель, всё станет на свои места. Что получается в результате раскрытия определителя? В результате получается ВЕКТОР. А как иначе? Векторное произведение – это же вектор. Пример 6 Найти векторное произведение векторов и его длину. Решение: Задача состоит из двух частей: во-первых, необходимо найти само векторное произведение (вектор), и во-вторых, его длину. 4) Найдём векторное произведение: В результате получен вектор записать . , или, ещё можно Существует очень хороший способ проверки: как следует из определения, вектор должен быть ортогонален векторам . Ортогональность векторов, как мы разбирались, проверяется с помощью скалярного произведения: Если получилось хотя бы одно число, отличное от нуля, ищите ошибку в раскрытии определителя. 2) Вычислим длину векторного произведения. Используем простейшую формулу для вычисления длины вектора, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников: Ответ: В плане технических обозначений здесь, наоборот, вместо громоздкой конструкции запись выгодно использовать букву , поскольку она сокращает Аналогичный пример для самостоятельного решения: Пример 7 Даны векторы вычислить . Найти и . Решение с ответом в конце урока. Будьте внимательны! Огонь камина в самом разгаре, и самое время добавить живительный геометрический смысл в наши задачи: Пример 8 Даны вершины треугольника . Найти его площадь. Решение: Алгоритм решения, думаю, многие уже представляют. Сначала найдём векторы: Затем векторное произведение: Вычислим его длину: Формулы площадей параллелограмма и треугольника, само собой, остаются те же самые: Ответ: Рассмотренную задачу можно решить ещё двумя способами – было не обязательно выбирать стороны . Решение также допустимо провести через векторы либо . Желающие могут проверить, что во всех трёх случаях получится один и тот же ответ. Настоятельно рекомендую выполнить схематический рисунок, чтобы лучше понять вышесказанное. Еще одна важная особенность состоит в том, что в задачах на нахождение площади фигуры порядок векторов не имеет значения. Действительно, если находить , то получим противоположно направленный вектор , но формула вычисления длины вектора всё равно «съест» эти минусы. Заметьте, что такую перестановку нельзя делать в Примерах № 6, 7, поскольку там требовалось найти вполне конкретный вектор. Пример 9 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , если Это пример для самостоятельного решения. В заключение первого раздела рассмотрим обещанную задачу урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов: Пример 10 Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства: а) б) Решение: Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): . А) Найдём векторное произведение: Таким образом, векторы не коллинеарны. Б) Найдём векторное произведение: Значит, Ответ: а) не коллинеарны, б) Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов. Смешанное произведение векторов Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул. Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов: Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят. Сначала опять определение и картинка: Определение: Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке, называется объём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый. Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром: Погружаемся в определение: 1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, не компланарны. С компланарными векторами разберёмся ниже (что такое компланарность векторов, подробно разъяснено в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). 2) Векторы взяты в определённом порядке, то есть перестановка векторов в произведении последствий. , как вы догадываетесь, не проходит без 3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ: . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ». По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда, построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда. Примечание: чертёж является схематическим. 4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: . Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах : Знак модуля уничтожает возможный «минус» смешанного произведения. В курсе аналитической геометрии доказано, что объём тетраэдра (на рисунке отсечён «синей» плоскостью) равен одной шестой объёма параллелепипеда: В теории и практике тетраэдр часто называют треугольной пирамидой, поскольку все грани тетраэдра – треугольники. Смешанное произведение компланарных векторов Если векторы компланарны, то их можно расположить в одной плоскости. В результате параллелепипед «складывается» в плоскость, и объём такого вырожденного параллелепипеда равен нулю: . Немного отвлекусь от темы, возможно, не все знают ответы на следующие вопросы: – Чему равны длина и ширина точки? – Чему равна площадь прямой? – Чему равен объём плоскости? С позиции геометрии ответ таков: нулю Смешанное произведение векторов в координатах Способ расчёта смешанного произведения векторов чисто алгебраический: Смешанное произведение векторов ортонормированном базисе формулой: , заданных в правой ориентации, выражается Определение, строго говоря, неполное, но в теоретические тонкости вникать не будем, правая ориентация базиса – это его «нормальная» ориентация, в которой мы будем решать практические задачи. Вполне достаточно. В различных источниках на ваши головы выльют тонны различных свойств смешанного произведения. С практической точки зрения считаю важным отметить лишь некоторые вещи: Как и для векторного произведения, координаты векторов следует «укладывать» в определитель в строгом порядке. Если в смешанном произведении выбрать два вектора (любых) и переставить их местами, то нужно переставить и соответствующие строки определителя. А по свойству определителя, при перестановке двух строк он меняет знак. Таким образом, при перестановке любых двух векторов смешанное произведение меняет знак. Следует отметить, что координаты векторов не обязательно записывать в строки, их можно записать и в столбцы – слева направо, и тоже в строгом порядке: Значение определителя от этого не изменится (см. статью Свойства определителя и понижение его порядка). Дело вкуса. Второй важный момент касается компланарности векторов. Как уже отмечалось, если векторы компланарны, то Такое задание уже было! В конце урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов мы разбирали задачу «доказать, что три вектора образуют базис пространства», где рассчитывали определитель третьего порядка и получали некоторое число. Так вот: по сути – мы находили смешанное произведение трёх векторов. И с геометрической точки зрения полученное число по модулю равнялось объёму параллелепипеда, построенного на данных векторах! Ну, а если получался ноль, то делали вывод, что векторы компланарны и базиса не образуют. Закидываем остатки Буратино в огонь: Пример 11 Даны векторы . Вычислить: а) смешанное произведение векторов; б) объём параллелепипеда, построенного на векторах в) объём тетраэдра, построенного на векторах ; . Решение: Всё быстро и просто: а) По формуле смешанного произведения: (Определитель раскрыт по первому столбцу) б) Объём параллелепипеда, построенного на векторах смешанного произведения данных векторов: , равен модулю в) Вычислим объём тетраэдра, построенного на данных векторах: Ответ: В пункте а) тоже можно было добавить размерность «кубические единицы», но здесь к объёму добавляется знак «минус», поэтому смотреться будет всё-таки не очень. На практике, по моей субъективной оценке, в 95-99% случаев требуется вычислить объём треугольной пирамиды: Пример 12 Вычислить объём треугольной пирамиды, если даны её вершины Решение: Чайникам рекомендую выполнить схематический рисунок пирамидки, чтобы лучше понять суть проводимых действий. Сначала найдём векторы: Вычислим смешанное произведение: (Определитель раскрыт по первой строке) Вычислим объём треугольной пирамиды : Ответ: Рассмотренная задача имеет не единственное решение, можно было взять и другую группу векторов, начиная движуху от любой другой вершины пирамиды. Чем-то похоже на задачу предыдущей части урока о площади треугольника. Объём тетраэдра – хит смешанного произведения, поэтому заключительный счастливый номер пусть будет таким же: Пример 13 Вычислить объём пирамиды, заданной вершинами Это пример для самостоятельного решения. В образце решения рассмотрены векторы, отложенные от «традиционной» точки . Остались только веселящие душу угольки, и в заключение хочу добавить, что в общем виде смешанное произведение векторов определено в аффинной системе координат. Более подробную информацию и формулы можно почерпнуть у тандема Атанасяна-Базылева. Любите векторы, и векторы полюбят вас! Решения и ответы: Пример 2: Решение: По соответствующей формуле: Ответ: Пример 5: Решение: 1) Выразим вектор через вектор 2) Вычислим длину векторного произведения: Ответ: : Пример 7: Решение: 1) Найдём векторное произведение: 2) Вычислим длину векторного произведения: Ответ: Пример 9: Решение: Найдём вектор: . Векторное произведение: Площадь параллелограмма: Ответ: Пример 13: Решение: Найдём векторы: Вычислим смешанное произведение: (Определитель раскрыт по первой строке) Вычислим объём пирамиды Ответ: : Формулы деления отрезка в данном отношении. Формулы координат середины отрезка Прошло совсем немного времени, с того момента, когда пилотным выпуском появилась моя первая статья по аналитической геометрии – Векторы для чайников. Затем последовал важный урок Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. После кропотливого труда я вдруг заметил, что размеры веб страниц достаточно велики, и если так пойдёт дальше, то можно тихо мирно озвереть =) Поэтому предлагаю вашему вниманию небольшое эссе, посвященное очень распространённой геометрической задаче – о делении отрезка в данном отношении, и, как частный случай, о делении отрезка пополам. Данная задача по тем или иным причинам не вписалась в другие уроки, но зато сейчас есть прекрасная возможность рассмотреть её подробно и неторопливо. Приятная новость состоит в том, что мы немного отдохнём от векторов и сконцентрируем внимание на точках и отрезках. Формулы деления отрезка в данном отношении Понятие деления отрезка в данном отношении Нередко обещанного вовсе ждать не приходится, сразу рассмотрим пару точек и, очевидное невероятное – отрезок : Рассматриваемая задача справедлива, как для отрезков плоскости, так и для отрезков пространства. То есть, демонстрационный отрезок можно как угодно разместить на плоскости или в пространстве. Для удобства объяснений я нарисовал его горизонтально. Что будем делать с данным отрезком? На этот раз пилить. Кто-то пилит бюджет, кто-то пилит супруга, кто-то пилит дрова, а мы начнём пилить отрезок на две части. Отрезок делится на две части с помощью некоторой точки , которая, понятно, расположена прямо на нём: В данном примере точка делит отрезок ТАКИМ образом, что отрезок в два раза короче отрезка . ЕЩЁ можно сказать, что точка делит отрезок в отношении («один к двум»), считая от вершины . На сухом математическом языке этот факт записывают следующим образом: , или чаще в виде привычной пропорции: . Отношение отрезков принято стандартно обозначать греческой буквой «лямбда», в данном случае: . Пропорцию несложно составить и в другом порядке: – сия запись означает, что отрезок в два раза длиннее отрезка , но какого-то принципиального значения для решения задач это не имеет. Можно так, а можно так. Разумеется, отрезок легко разделить в каком-нибудь другом отношении, и в качестве закрепления понятия второй пример: Здесь справедливо соотношение: наоборот, тогда получаем: . Если составить пропорцию . После того, как мы разобрались, что значит разделить отрезок в данном отношении, перейдём к рассмотрению практических задач. Формулы деления отрезка в данном отношении на плоскости Если известны две точки плоскости точки формулами: , которая делит отрезок , то координаты в отношении , выражаются Откуда взялись данные формулы? В курсе аналитической геометрии эти формулы строго выводятся с помощью векторов (куда ж без них? =)). Кроме того, они справедливы не только для декартовой системы координат, но и для произвольной аффинной системы координат (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Такая вот универсальная задача. Пример 1 Найти координаты точки известны точки , делящей отрезок в отношении , если Решение: В данной задаче отношении, найдём точку . По формулам деления отрезка в данном : Ответ: Обратите внимание на технику вычислений: сначала нужно отдельно вычислить числитель и отдельно знаменатель. В результате часто (но далеко не всегда) получается трёх- или четырёхэтажная дробь. После этого избавляемся от многоэтажности дроби и проводим окончательные упрощения. В задаче не требуется строить чертежа, но его всегда полезно выполнить на черновике: Действительно, соотношение выполняется, то есть отрезок в три раза короче отрезка . Если пропорция не очевидна, то отрезки всегда можно тупо измерить обычной линейкой. Равноценен второй способ решения: в нём отсчёт начинается с точки справедливым является отношение: отрезок в три раза длиннее отрезка данном отношении: Ответ: и (человеческими словами, ). По формулам деления отрезка в Заметьте, что в формулах необходимо переместить координаты точки первое место, поскольку маленький триллер начинался именно с неё. на Также видно, что второй способ рациональнее ввиду более простых вычислений. Но всё-таки данную задачу чаще решают в «традиционном» порядке. Например, если по условию дан отрезок , то предполагается, что вы составите пропорцию , если дан отрезок подразумевается пропорция , то «негласно» . А 2-ой способ я привёл по той причине, что частенько условие задачи пытаются намеренно подзапутать. Именно поэтому очень важно выполнять черновой чертёж чтобы, во-первых, правильно проанализировать условие, а, во-вторых, в целях проверки. Обидно допускать ошибки в такой простой задаче. Пример 2 Даны точки а) точку б) точку . Найти: , делящую отрезок , делящую отрезок в отношении в отношении ; . Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Иногда встречаются задачи, где неизвестен один из концов отрезка: Пример 3 Точка принадлежит отрезку длиннее отрезка . Найти точку . Известно, что отрезок , если Решение: Из условия следует, что точка в два раза . делит отрезок , считая от вершины , то есть, справедлива пропорция: формулам деления отрезка в данном отношении: в отношении . По Сейчас нам неизвестны координаты точки : , но это не является особой проблемой, так как их легко выразить из вышеприведённых формул. В общем виде выражать ничего не стОит, гораздо проще подставить конкретные числа и аккуратно разобраться с вычислениями: Ответ: Для проверки можно взять концы отрезка в прямом порядке, убедиться, что при соотношении и, пользуясь формулами действительно получится точка . И, конечно же, конечно же, не лишним будет чертёж. А чтобы окончательно убедить вас в пользе клетчатой тетради, простого карандаша да линейки, предлагаю хитрую задачу для самостоятельного решения: Пример 4 Точка . Отрезок в полтора раза короче отрезка если известны координат точек . . Найти точку , Решение в конце урока. Оно, кстати, не единственное, если пойдёте отличным от образца путём, то это не будет ошибкой, главное, чтобы совпали ответы. Формулы деления отрезка в данном отношении в пространстве Для пространственных отрезков всё будет точно так же, только добавится ещё одна координата. Если известны две точки пространства , то координаты точки , которая делит отрезок выражаются формулами: в отношении , . Пример 5 Даны точки . Найти координаты точки отрезку , если известно, что . , принадлежащей Решение: Из условия следует отношение: . Данный пример взят из реальной контрольной работы, и его автор позволил себе небольшую шалость (вдруг кто споткнётся) – пропорцию в условии рациональнее было записать так: . По формулам координат середины отрезка: Ответ: Трёхмерные чертежи в целях проверки выполнять значительно сложнее. Однако всегда можно сделать схематический рисунок, чтобы разобраться хотя бы в условии – какие отрезки необходимо соотносить. Что касается дробей в ответе, не удивляйтесь, обычное дело. Много раз говорил, но повторюсь: в высшей математике принято орудовать обыкновенными правильными и неправильными дробями. Ответ в виде стандартен. пойдёт, но вариант с неправильными дробями более Разминочная задача для самостоятельного решения: Пример 6 Даны точки она делит отрезок . Найти координаты точки в отношении . , если известно, что Решение и ответ в конце урока. Если трудно сориентироваться в пропорциях, выполните схематический чертёж. В самостоятельных и контрольных работах рассмотренные примеры встречаются как сами по себе, так и составной частью более крупных задач. В этом смысле типична задача нахождения центра тяжести треугольника. Разновидность задания, где неизвестен один из концов отрезка, разбирать не вижу особого смысла, так как всё будет похоже на плоский случай, разве что вычислений чуть больше. Лучше вспомним годы школьные: Формулы координат середины отрезка Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке: В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое: Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить: В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь. Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка выражаются формулами: , то координаты его середины Пример 7 Параллелограмм вершин задан координатами своих . Найти точку пересечения его диагоналей. Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии. По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения способами. делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали . По : В результате: Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали . По : Таким образом: Ответ: Пространственный отрезок для самостоятельного решения: Пример 8 Даны точки . Найти середину отрезка . Вычисления не самые простые получились, числа с ходу придумал. Решение в конце урока. Как видите, задача деления отрезка пополам настолько прозрачна, что доступна и пятикласснику. На практике середину отрезка чаще всего находят, чтобы составить уравнение медианы треугольника. Но это уже тема другой статьи Не вижу смысла открывать трёхлитровую банку примеров, поэтому заключительный аккорд урока – случай, когда известна середина отрезка и один из его концов: Пример 9 Точка точки делит отрезок пополам. Найти точку , если известны Решение: Используем формулы координат середины отрезка: Нам неизвестны координаты . И снова можно вывести общую формулу для их нахождения, но гораздо легче сразу подставить числа. Только пропорциями верти: Ответ: Проверка выполняется даже устно: берём концы отрезка находим его середину. и Удачного распила! Решения и ответы: Пример 2: Решение: а) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении: Ответ: б) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении: Ответ: Пример 4: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении: Из условия следует, что . Примечание: формулировка условия «отрезок в полтора раза короче отрезка » эквивалентна формулировке «отрезок в полтора раза длиннее отрезка пропорция. По условию », именно из этих соображений и составлена , таким образом: Ответ: Пример 6: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении: В данной задаче Таким образом: . Ответ: Пример 8: Решение: Используем формулы координат середины отрезка: Ответ: Уравнение прямой на плоскости. Направляющий вектор прямой. Вектор нормали Прямая линия на плоскости – это одна из простейших геометрических фигур, знакомая вам ещё с младших классов, и сегодня мы узнаем, как с ней справляться методами аналитической геометрии. Для освоения материала необходимо уметь строить прямую; знать, каким уравнением задаётся прямая, в частности, прямая, проходящая через начало координат и прямые, параллельные координатным осям. Данную информацию можно найти в методичке Графики и свойства элементарных функций, я её создавал для матана, но раздел про линейную функцию получился очень удачным и подробным. Поэтому, уважаемые чайники, сначала разогрейтесь там. Кроме того, нужно обладать базовыми знаниями о векторах, иначе понимание материала будет неполным. На данном уроке мы рассмотрим способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости. Рекомендую не пренебрегать практическими примерами (даже если кажется очень просто), так как я буду снабжать их элементарными и важными фактами, техническими приёмами, которые потребуются в дальнейшем, в том числе и в других разделах высшей математики. Для подготовленных читателей быстрые ссылки: Уравнение прямой с угловым коэффициентом Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом? Общее уравнение прямой Направляющий вектор прямой Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору? Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой? Как составить уравнение прямой по двум точкам? Вектор нормали прямой Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали? Уравнение прямой в отрезках Параметрические уравнения прямой Простейшие задачи с прямой и мы начинаем: Уравнение прямой с угловым коэффициентом Всем известный «школьный» вид уравнения прямой называется уравнением прямой с угловым коэффициентом . Например, если прямая задана уравнением , то её угловой коэффициент: . Рассмотрим геометрический смысл данного коэффициента и то, как его значение влияет на расположение прямой: В курсе геометрии доказывается, что угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла между положительным направлением оси и данной прямой: , причём угол «откручивается» против часовой стрелки. Чтобы не загромождать чертёж, я нарисовал углы только для двух прямых. Рассмотрим «красную» прямую Согласно вышесказанному: Для «синей» прямой и её угловой коэффициент . (угол «альфа» обозначен зелёной дугой). с угловым коэффициентом справедливо равенство (угол «бета» обозначен коричневой дугой). А если известен тангенс угла, то при необходимости легко найти и сам угол с помощью обратной функции – арктангенса. Как говорится, тригонометрическая таблица или микрокалькулятор в руки. Таким образом, угловой коэффициент характеризует степень наклона прямой к оси абсцисс. При этом возможны следующие случаи: 1) Если угловой коэффициент отрицателен: , то линия, грубо говоря, идёт сверху вниз. Примеры – «синяя» и «малиновая» прямые на чертеже. 2) Если угловой коэффициент положителен: , то линия идёт снизу вверх. Примеры – «чёрная» и «красная» прямые на чертеже. 3) Если угловой коэффициент равен нулю: , то уравнение принимает вид , и соответствующая прямая параллельна оси Пример – «жёлтая» прямая. . 4) Для семейства прямых , параллельных оси (на чертеже нет примера, кроме самой оси ), углового коэффициента не существует (тангенс 90 градусов не определён). Чем больше угловой коэффициент по модулю, тем круче идёт график прямой. Например, рассмотрим две прямые . Здесь , поэтому прямая имеет более крутой наклон. Напоминаю, что модуль позволяет не учитывать знак, нас интересуют только абсолютные значения угловых коэффициентов. В свою очередь, прямая более крутА, чем прямые . Обратно: чем меньше угловой коэффициент по модулю, тем прямая является более пологой. Для прямых таким образом, прямая себе синяков и шишек. справедливо неравенство , более полога. Детская горка, чтобы не насадить Зачем это нужно? Продлить ваши мучения Знания вышеперечисленных фактов позволяет немедленно увидеть свои ошибки, в частности, ошибки при построении графиков – если на чертеже получилось «явно что-то не то». Желательно, чтобы вам сразу было понятно, что, например, прямая весьма крутА и идёт снизу вверх, а прямая и идёт сверху вниз. – очень полога, близко прижата к оси В геометрических задачах часто фигурируют несколько прямых, поэтому их удобно как-нибудь обозначать. Обозначения: прямые обозначаются маленькими латинскими буквами: . Популярный вариант – обозначение одной и той же буквой с натуральными подстрочными индексами. Например, те пять прямых, которые мы только что рассмотрели, можно обозначить через Поскольку любая прямая однозначно определяется двумя точками, то её можно обозначать данными точками: и т.д. Обозначение совершенно очевидно подразумевает, что точки принадлежат прямой . Пора немного размяться: . Как составить уравнение прямой с угловым коэффициентом? Если известна точка , принадлежащая некоторой прямой, и угловой коэффициент этой прямой, то уравнение данной прямой выражается формулой: Пример 1 Составить уравнение прямой с угловым коэффициентом что точка принадлежит данной прямой. , если известно, Решение: Уравнение прямой составим по формуле случае: . В данном Ответ: Проверка выполняется элементарно. Во-первых, смотрим на полученное уравнение и убеждаемся, что наш угловой коэффициент на своём месте. Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять данному уравнению. Подставим их в уравнение: Получено верное равенство, значит, точка уравнению. удовлетворяет полученному Вывод: уравнение найдено правильно. Более хитрый пример для самостоятельного решения: Пример 2 Составить уравнение прямой, если известно, что её угол наклона к положительному направлению оси принадлежит данной прямой. составляет , и точка Если возникли затруднения, перечитайте теоретический материал. Точнее больше практический, многие доказательства я пропускаю. Прозвенел последний звонок, отгремел выпускной бал, и за воротами родной школы нас поджидает, собственно, аналитическая геометрия. Шутки закончились…. А может быть только начинаются =) Общее уравнение прямой Ностальгически машем ручкой привычному и знакомимся с общим уравнением прямой. Поскольку в аналитической геометрии в ходу именно оно: Общее уравнение прямой имеет вид: , где – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл. Оденем в костюм и галстук уравнение с угловым коэффициентом Сначала перенесём все слагаемые в левую часть: . Слагаемое с «иксом» нужно поставить на первое место: В принципе, уравнение уже имеет вид , но по правилам математического этикета коэффициент первого слагаемого (в данном случае ) должен быть положительным. Меняем знаки: Готово. Запомните эту техническую особенность! Первый коэффициент (чаще всего ) делаем положительным! В аналитической геометрии уравнение прямой почти всегда будет задано в общей форме. Ну, а при необходимости его легко привести к «школьному» виду с угловым коэффициентом (за исключением прямых, параллельных оси ординат). Направляющий вектор прямой Зададимся вопросом, что достаточно знать, чтобы построить прямую? Две точки. Но об этом детском случае позже, сейчас властвуют палочки со стрелочками. У каждой прямой есть вполне определённый наклон, к которому легко «приспособить» вектор. Вектор, который параллелен прямой, называется направляющим вектором данной прямой. Очевидно, что у любой прямой бесконечно много направляющих векторов, причём все они будут коллинеарны (сонаправлены или нет – не важно). Направляющий вектор я буду обозначать следующим образом: . Сразу небольшая ремарка: при появлении трудностей в понимании терминов, пожалуйста, прочитайте (или перечитайте) статью Векторы для чайников. Но одного вектора недостаточно для построения прямой, вектор является свободным и не привязан к какой-либо точке плоскости. Поэтому дополнительно необходимо знать некоторую точку принадлежит прямой. , которая Как составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору? Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой данной прямой можно составить по формуле: , то уравнение Иногда его называют каноническим уравнением прямой. Что делать, когда одна из координат равна нулю, мы разберёмся в практических примерах ниже. Кстати, заметьте – сразу обе координаты не могут равняться нулю, так как нулевой вектор не задаёт конкретного направления. Пример 3 Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору Решение: Уравнение прямой составим по формуле случае: С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей: И приводим уравнение к общему виду: Ответ: . В данном Чертежа в таких примерах, как правило, делать не нужно, но понимания ради: На чертеже мы видим исходную точку , исходный направляющий вектор (его можно отложить от любой точки плоскости) и построенную прямую . Кстати, во многих случаях построение прямой удобнее всего осуществлять как раз с помощью уравнения с угловым коэффициентом. Наше уравнение легко преобразовать к виду подобрать ещё одну точку для построения прямой. и без проблем Как отмечалось в начале параграфа, у прямой бесконечно много направляющих векторов, и все они коллинеарны. Для примера я нарисовал три таких вектора: . Какой бы направляющий вектор мы не выбрали, в результате всегда получится одно и то же уравнение прямой . Составим уравнение прямой по точке вектору : и направляющему Разруливаем пропорцию: Делим обе части на –2 и получаем знакомое уравнение: Желающие могут аналогичным образом протестировать векторы или любой другой коллинеарный вектор. Теперь решим обратную задачу: Как найти направляющий вектор по общему уравнению прямой? Очень просто: Если прямая задана общим уравнением , то вектор является направляющим вектором данной прямой. Примеры нахождения направляющих векторов прямых: Утверждение позволяет найти лишь один направляющий вектор из бесчисленного множества, но нам больше и не нужно. Хотя в ряде случаев координаты направляющих векторов целесообразно сократить: Так, уравнение задаёт прямую, которая параллельна оси и координаты полученного направляющего вектора удобно разделить на –2, получая в точности базисный вектор вектора. Логично. Аналогично, уравнение разделив координаты вектора вектора орт в качестве направляющего задаёт прямую, параллельную оси , и, на 5, получаем в качестве направляющего . Читателям с низким уровнем подготовки рекомендую постоянно выполнять чертежи, чтобы лучше понимать мои объяснения. Теперь выполним проверку Примера 3. Пример уехал вверх, поэтому напоминаю, что в нём мы составили уравнение прямой по точке и направляющему вектору Во-первых, по уравнению прямой восстанавливаем её направляющий вектор: – всё нормально, получили исходный вектор (в ряде случаев может получиться коллинеарный исходному вектор, и это обычно несложно заметить по пропорциональности соответствующих координат). Во-вторых, координаты точки должны удовлетворять уравнению . Подставляем их в уравнение: Получено верное равенство, чему мы очень рады. Вывод: задание выполнено правильно. Пример 4 Составить уравнение прямой по точке вектору и направляющему Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Крайне желательно сделать проверку по только что рассмотренному алгоритму. Старайтесь всегда (если это возможно) выполнять проверку на черновике. Глупо допускать ошибки там, где их 100%-но можно избежать. В том случае, если одна из координат направляющего вектора нулевая, поступают очень просто: Пример 5 Составить уравнение прямой по точке вектору . и направляющему Решение: Формула не годится, так как знаменатель правой части равен нулю. Выход есть! Используя свойства пропорции, перепишем формулу в виде , и дальнейшее покатилось по глубокой колее: Ответ: Проверка: 1) Восстановим направляющий вектор прямой : – полученный вектор коллинеарен исходному направляющему вектору. 2) Подставим координаты точки в уравнение : Получено верное равенство Вывод: задание выполнено правильно Возникает вопрос, зачем маяться с формулой универсальная версия , если существует , которая сработает в любом случае? Причин две. Во-первых, формула в виде дроби лучше запоминается. А во-вторых, недостаток универсальной гораздо формулы состоит в том, что заметно повышается риск запутаться при подстановке координат. Пример 6 Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору Это пример для самостоятельного решения. Вернёмся к вездесущим двум точкам: Как составить уравнение прямой по двум точкам? . Если известны две точки , то уравнение прямой, проходящей через данные точки, можно составить по формуле: На самом деле это разновидность формулы и вот почему: если известны две точки , то вектор будет направляющим вектором данной прямой. На уроке Векторы для чайников мы рассматривали простейшую задачу – как найти координаты вектора по двум точкам. Согласно данной задаче, координаты направляющего вектора: Примечание: точки можно «поменять ролями» и использовать формулу . Такое решение будет равноценным. Пример 7 Составить уравнение прямой по двум точкам . Решение: Используем формулу: Причёсываем знаменатели: И перетасовываем колоду: Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6: Раскрываем скобки и доводим уравнение до ума: Ответ: Проверка очевидна – координаты исходных точек должны удовлетворять полученному уравнению: 1) Подставим координаты точки : Верное равенство. 2) Подставим координаты точки : Верное равенство. Вывод: уравнение прямой составлено правильно. Если хотя бы одна из точек не удовлетворяет уравнению, ищите ошибку. Стоит отметить, что графическая проверка в данном случае затруднительна, поскольку построить прямую и посмотреть, принадлежат ли ей точки , не так-то просто. Отмечу ещё пару технических моментов решения. Возможно, в данной задаче выгоднее воспользоваться зеркальной формулой точкам и, по тем же составить уравнение: Таки дробей поменьше. Если хотите, можете довести решение до конца, в результате должно получиться то же самое уравнение. Второй момент состоит в том, чтобы посмотреть на итоговый ответ и прикинуть, нельзя ли его ещё упростить? Например, если получилось уравнение , то здесь целесообразно сократить на двойку: – уравнение будет задавать ту же самую прямую. Впрочем, это уже тема разговора о взаимном расположении прямых. Получив ответ в Примере 7, я на всякий случай, проверил, не делятся ли ВСЕ коэффициенты уравнения на 2, 3 или 7. Хотя, чаще всего подобные сокращения осуществляются ещё по ходу решения. Пример 8 Составить уравнение прямой, проходящей через точки . Это пример для самостоятельного решения, который как раз позволит лучше понять и отработать технику вычислений. Аналогично предыдущему параграфу: если в формуле один из знаменателей (координата направляющего вектора) обращается в ноль, то переписываем её в виде . И снова заметьте, как неуклюже и запутанно она стала выглядеть. Не вижу особого смысла приводить практические примеры, поскольку такую задачу мы уже фактически прорешали (см. № 5, 6). Вектор нормали прямой (нормальный вектор) Что такое нормаль? Простыми словами, нормаль – это перпендикуляр. То есть, вектор нормали прямой перпендикулярен данной прямой. Очевидно, что у любой прямой их бесконечно много (так же, как и направляющих векторов), причём все векторы нормали прямой будут коллинеарными (сонаправленными или нет – без разницы). Разборки с ними будут даже проще, чем с направляющими векторами: Если прямая задана общим уравнением в прямоугольной системе координат, то вектор является вектором нормали данной прямой. Если координаты направляющего вектора приходится аккуратно «вытаскивать» из уравнения, то координаты вектора нормали достаточно просто «снять». Вектор нормали всегда ортогонален направляющему вектору прямой. Убедимся в ортогональности данных векторов с помощью скалярного произведения: Приведу примеры с теми же уравнениями, что и для направляющего вектора: Можно ли составить уравнение прямой, зная одну точку и вектор нормали? Нутром чувствуется, можно. Если известен вектор нормали, то однозначно определено и направление самой прямой – это «жёсткая конструкция» с углом в 90 градусов. Как составить уравнение прямой по точке и вектору нормали? Если известна некоторая точка нормали формулой: , принадлежащая прямой, и вектор этой прямой, то уравнение данной прямой выражается Тут всё обошлось без дробей и прочих нежданчиков. Такой вот у нас нормальный вектор. Любите его. И уважайте =) Пример 9 Составить уравнение прямой по точке Найти направляющий вектор прямой. и вектору нормали . Решение: Используем формулу: Общее уравнение прямой получено, выполним проверку: 1) «Снимаем» координаты вектора нормали с уравнения : – да, действительно, получен исходный вектор из условия (либо должен получиться коллинеарный исходному вектор). 2) Проверим, удовлетворяет ли точка уравнению : Верное равенство. После того, как мы убедились в том, что уравнение составлено правильно, выполним вторую, более лёгкую часть задания. Вытаскиваем направляющий вектор прямой: Ответ: На чертеже ситуация выглядит следующим образом: В целях тренировки аналогичная задача для самостоятельного решения: Пример 10 Составить уравнение прямой по точке Найти направляющий вектор прямой. и нормальному вектору . Заключительный раздел урока будет посвящен менее распространённым, но тоже важным видам уравнений прямой на плоскости Уравнение прямой в отрезках. Уравнение прямой в параметрической форме Уравнение прямой в отрезках имеет вид , где – ненулевые константы. Некоторые типы уравнений нельзя представить в таком виде, например, прямую пропорциональность (так как свободный член равен нулю и единицу в правой части никак не получить). Это, образно говоря, «технический» тип уравнения. Обыденная задача состоит в том, чтобы общее уравнение прямой представить в виде уравнения прямой в отрезках . Чем оно удобно? Уравнение прямой в отрезках позволяет быстро найти точки пересечения прямой с координатными осями, что бывает очень важным в некоторых задачах высшей математики. Найдём точку пересечения прямой с осью принимает вид . Обнуляем «игрек», и уравнение . Нужная точка получается автоматически: Аналогично с осью пересекает ось ординат. . – точка, в которой прямая Действия, которые я только что подробно разъяснил, выполняются устно. Пример 11 Дана прямая . Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки пересечения графика с координатными осями. Решение: Приведём уравнение к виду свободный член в правую часть: . Сначала перенесём Чтобы получить справа единицу, разделим каждый член уравнения на –11: Делаем дроби трёхэтажными: Точки пересечения прямой с координатными осями всплыли на поверхность: Ответ: Осталось приложить линеечку и провести прямую. Но я лучше в очередной раз напрягу Эксель: Легко усмотреть, что данная прямая однозначно определяется красным и зелёным отрезками, отсюда и название – «уравнение прямой в отрезках». Конечно, точки не так трудно найти и из уравнения , но задача всё равно полезная. Рассмотренный алгоритм потребуется для нахождения точек пересечения плоскости с координатными осями, для приведения уравнения линии второго порядка к каноническому виду и в некоторых других задачах. Поэтому пара прямых для самостоятельного решения: Пример 12 Составить уравнение прямой в отрезках и определить точки её пересечения с координатными осями. а) б) Решения и ответы в конце урока. Не забывайте, что при желании всё можно начертить. Как составить параметрические уравнениЯ прямой? Параметрические уравнения прямой больше актуальны для прямых в пространстве, но без них наш конспект осиротеет. Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то параметрические уравнения данной прямой задаются системой: Что такое функция, заданная параметрически, я уже объяснял в статье Производная неявной и параметрически заданной функций. Но всё равно немного повторюсь в следующей демонстрационной задаче: Пример 13 Составить параметрические уравнения прямой по точке направляющему вектору и Решение закончилось, не успев начаться: Параметр «тэ» может принимать любые значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности», и каждому значению параметра соответствует конкретная точка плоскости. Например, если , то получаем точку . Обратная задача: как проверить, будет ли точка принадлежать данной прямой? Подставим координаты точки уравнения: Из обоих уравнений следует, что единственное решение. условия в полученные параметрические , то есть, система совместна и имеет Рассмотрим более содержательные задания: Пример 14 Составить параметрические уравнения прямой Решение: По условию прямая задана в общем виде. Для того чтобы составить параметрические уравнения прямой, нужно знать её направляющий вектор и какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой. Найдём направляющий вектор: Теперь нужно найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой (подойдёт любая), в этих целях общее уравнение удобно переписать в виде уравнения с угловым коэффициентом: Напрашивается, конечно, точка Составим параметрические уравнения прямой: Ответ: И напоследок небольшая творческая задача для самостоятельного решения. Пример 15 Составить параметрические уравнения прямой, если известна принадлежащая ей точка и вектор нормали Задачу можно оформить не единственным способом. Одна из версий решения и ответ в конце урока. Существуют другие, более экзотические способы задать прямую, но то, что уже рассмотрено, хватит за глаза и за уши. Следующая статья, которую я рекомендую, называется Простейшие задачи с прямой на плоскости. В ней рассматриваются вещи, которые позволят окончательно укрепить ваш геометрический фундамент. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Найдём угловой коэффициент: Уравнение прямой составим по точке коэффициенту : и угловому Ответ: Пример 4: Решение: Уравнение прямой составим по формуле: Ответ: Пример 6: Решение: Используем формулу: Ответ: (ось ординат) Пример 8: Решение: Составим уравнение прямой по двум точкам: Умножаем обе части на –4: И делим на 5: Ответ: Пример 10: Решение: Используем формулу: Сокращаем на –2: Направляющий вектор прямой: Ответ: Пример 12: а) Решение: Преобразуем уравнение: Таким образом: Ответ: б) Решение: Преобразуем уравнение: Таким образом: Ответ: Пример 15: Решение: Сначала составим общее уравнение прямой по точке и вектору нормали : Умножаем на 12: Умножаем ещё на 2, чтобы после раскрытия второй скобки избавиться от дроби: Направляющий вектор прямой: Параметрические уравнения прямой составим по точке направляющему вектору Ответ: : и Простейшие задачи с прямой на плоскости. Взаимное расположение прямых. Угол между прямыми Продолжаем рассматривать эти бесконечные-бесконечные прямые. На уроке Уравнение прямой на плоскости мы познакомились с основными видами уравнений, направляющим вектором прямой и её вектором нормали. Данная статья является логическим продолжением темы, и в ней будут разобраны следующие типовые задачи, для опытных путешественников сразу кликабельное оглавление: Как определить взаимное расположение двух прямых? Как построить прямую, параллельную данной? Как найти точку пересечения двух прямых? Как построить прямую, перпендикулярную данной? Как найти расстояние от точки до прямой? Как построить точку, симметричную относительно прямой? Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми? Как найти угол между двумя прямыми? О-о-о-о-о… ну и жесть, словно вам сам себе приговор зачитал =) Впрочем, потом релаксация поможет, тем более, сегодня купил подходящие аксессуары. Поэтому приступим к первому разделу, надеюсь, к концу статьи сохраню бодрое расположение духа. Взаимное расположение двух прямых Рассмотрим две прямые, заданные уравнениями в общем виде: Тот случай, когда зал подпевает хором. Две прямые могут: 1) совпадать; 2) быть параллельными: ; 3) или пересекаться в единственной точке: . Справка для чайников: пожалуйста, запомните математический знак пересечения , он будет встречаться очень часто. Запись обозначает, что прямая пересекается с прямой в точке . Как определить взаимное расположение двух прямых? Начнём с первого случая: Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства Рассмотрим прямые и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: . Из каждого уравнения следует, что , следовательно, данные прямые совпадают. Действительно, если все коэффициенты уравнения на –1 (сменить знаки), и все коэффициенты уравнения сократить на 2, то получится одно и то же уравнение: умножить . Второй случай, когда прямые параллельны: Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но В качестве примера рассмотрим две прямые Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных : Однако совершенно очевидно, что . . . Вывод: И третий случай, когда прямые пересекаются: Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства Так, для прямых составим систему: Из первого уравнения следует, что , а из второго уравнения: , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны. Вывод: прямые пересекаются В практических задачах можно использовать только что рассмотренную схему решения. Она, кстати, весьма напоминает алгоритм проверки векторов на коллинеарность, который мы рассматривали на уроке Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов. Но существует более цивилизованная упаковка: Пример 1 Выяснить взаимное расположение прямых: Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых: а) Из уравнений прямых: найдём направляющие векторы . Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , значит, векторы прямые не коллинеарны и пересекаются. На всякий случай поставлю на распутье камень с указателями: 1) Если мало что понятно, начните со статьи Векторы для чайников. 2) Если не понятно, как находить направляющие векторы прямых, прошу посетить урок Уравнение прямой на плоскости. 3) Если неясно, причём тут определитель, вам сюда – Понятие линейной (не) зависимости векторов. Базис векторов. Остальные перепрыгивают камень и следуют дальше, прямо к Кащею Бессмертному =) б) Найдем направляющие векторы прямых : Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо. Очевидно, что коэффициенты при переменных этом . Выясним, справедливо ли равенство пропорциональны, при : Таким образом, в) Найдем направляющие векторы прямых : Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов: , следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают. Коэффициент пропорциональности «лямбда» нетрудно усмотреть прямо из соотношения коллинеарных направляющих векторов можно найти и через коэффициенты самих уравнений: Теперь выясним, справедливо ли равенство нулевые, поэтому: . Впрочем, его . . Оба свободных члена Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число). Таким образом, прямые совпадают. Ответ: Очень скоро вы научитесь (или даже уже научились) решать рассмотренную задачу устно буквально в считанные секунды. В этой связи не вижу смысла предлагать что-либо для самостоятельного решения, лучше заложим ещё один важный кирпич в геометрический фундамент: Как построить прямую, параллельную данной? За незнание этой простейшей задачи сурово наказывает Соловей-Разбойник. Пример 2 Прямая задана уравнением прямой, которая проходит через точку . Составить уравнение параллельной . Решение: Обозначим неизвестную прямую буквой . Что о ней сказано в условии? Прямая проходит через точку . А если прямые параллельны, то очевидно, что направляющий вектор прямой «цэ» подойдёт и для построения прямой «дэ». Вытаскиваем направляющий вектор из уравнения Уравнение прямой вектору : составим по точке Ответ: Геометрия примера выглядит незатейливо: : и направляющему Аналитическая же проверка состоит в следующих шагах: 1) Проверяем, что у прямых один и тот же направляющий вектор (если уравнение прямой не упрощено должным образом, то векторы будут коллинеарны). 2) Проверяем, удовлетворяет ли точка уравнению . полученному Аналитическую проверку в большинстве случаев легко выполнить устно. Посмотрите на два уравнения, и многие из вас быстро определят параллельность прямых безо всякого чертежа. Примеры для самостоятельного решения сегодня будут творческими. Потому что вам ещё придётся тягаться с Бабой-Ягой, а она, знаете, любительница всяких загадок. Пример 3 Составить уравнение прямой, проходящей через точку прямой , если , параллельную Существует рациональный и не очень рациональный способ решения. Самый короткий путь – в конце урока. С параллельными прямыми немного поработали и к ним ещё вернёмся. Случай совпадающих прямых малоинтересен, поэтому рассмотрим задачу, которая хорошо знакома вам из школьной программы: Как найти точку пересечения двух прямых? Если прямые пересекаются в точке координаты являются решением системы линейных , то её уравнений Как найти точку пересечения прямых? Решить систему. Вот вам и геометрический смысл системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными – это две пересекающиеся (чаще всего) прямые на плоскости. Пример 4 Найти точку пересечения прямых Решение: Существуют два способа решения – графический и аналитический. Графический способ состоит в том, чтобы просто начертить данные прямые и узнать точку пересечения непосредственно из чертежа: Вот наша точка: . Для проверки следует подставить её координаты в каждое уравнение, они должны подойти и там, и там. Иными словами, координаты точки являются решением системы . По сути, мы рассмотрели графический способ решения системы линейных уравнений с двумя уравнениями, двумя неизвестными. Графический способ, конечно, неплох, но существует заметные минусы. Нет, дело не в том, что так решают семиклассники, дело в том, что на правильный и ТОЧНЫЙ чертёж уйдёт время. Кроме того, некоторые прямые построить не такто просто, да и сама точка пересечения может находиться где-нибудь в тридесятом царстве за пределами тетрадного листа. Поэтому точку пересечения методом. Решим систему: целесообразнее искать аналитическим Для решения системы использован метод почленного сложения уравнений. Чтобы наработать соответствующие навыки, посетите урок Как решить систему уравнений? Ответ: Проверка тривиальна – координаты точки пересечения должны удовлетворять каждому уравнению системы. Пример 5 Найти точку пересечения прямых пересекаются. в том случае, если они Это пример для самостоятельного решения. Задачу удобно разбить на несколько этапов. Анализ условия подсказывает, что нужно: 1) Составить уравнение прямой . 2) Составить уравнение прямой . 3) Выяснить взаимное расположение прямых . 4) Если прямые пересекаются, то найти точку пересечения. Разработка алгоритма действий типична для многих геометрических задач, и я на этом буду неоднократно заострять внимание. Полное решение и ответ в конце урока: Ещё не стоптана и пара башмаков, как мы подобрались ко второму разделу урока: Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми Начнём с типовой и очень важной задачи. В первой части мы узнали, как построить прямую, параллельную данной, а сейчас избушка на курьих ножках развернётся на 90 градусов: Как построить прямую, перпендикулярную данной? Пример 6 Прямая задана уравнением в декартовой системе координат. Составить уравнение перпендикулярной прямой , проходящей через точку . Решение: По условию известно, что . Неплохо бы найти направляющий вектор прямой . Поскольку прямые перпендикулярны, фокус прост: Из уравнения «снимаем» вектор нормали: направляющим вектором прямой . Уравнение прямой вектору : составим по точке Ответ: Развернём геометрический этюд: , который и будет и направляющему М-да… Оранжевое небо, оранжевое море, оранжевый верблюд. Аналитическая проверка решения: 1) Из уравнений вытаскиваем направляющие векторы и с помощью скалярного произведения векторов приходим к выводу, что прямые действительно перпендикулярны: . Кстати, можно использовать векторы нормали, это даже проще. 2) Проверяем, удовлетворяет ли точка уравнению . полученному Проверку, опять же, легко выполнить устно. Пример 7 Найти точку пересечения перпендикулярных прямых уравнение , если известно в декартовой системе координат и точка Это пример для самостоятельного решения. В задаче несколько действий, поэтому решение удобно оформить по пунктам. Наше увлекательное путешествие продолжается: Расстояние от точки до прямой Перед нами прямая полоса реки и наша задача состоит в том, чтобы дойти до неё кратчайшим путём. Препятствий нет, и самым оптимальным маршрутом будет движение по перпендикуляру. То есть, расстояние от точки до прямой – это длина перпендикулярного отрезка. Расстояние в геометрии традиционно обозначают греческой буквой «ро», например: – расстояние от точки «эм» до прямой «дэ». . Расстояние от точки до прямой , заданной в декартовой системе координат, выражается формулой Пример 8 Найти расстояние от точки до прямой Решение: всё что нужно, это аккуратно подставить числа в формулу и провести вычисления: Ответ: Выполним чертёж: Найденное расстояние от точки до прямой – это в точности длина красного отрезка. Если оформить чертёж на клетчатой бумаге в масштабе 1 ед. = 1 см (2 клетки), то расстояние можно измерить обыкновенной линейкой. Рассмотрим ещё одно задание по этому же чертежу: Как построить точку, симметричную относительно прямой? Задача состоит в том, чтобы найти координаты точки , которая симметрична точке относительно прямой . Предлагаю выполнить действия самостоятельно, однако обозначу алгоритм решения с промежуточными результатами: 1) Находим прямую , которая перпендикулярна прямой 2) Находим точку пересечения прямых: . Оба действия подробно разобраны в рамках данного урока. . 3) Точка является серединой отрезка . Нам известны координаты середины и одного из концов. По формулам координат середины отрезка находим . Не лишним будет проверить, что расстояние тоже равно 2,2 единицам. Трудности здесь могут возникнуть в вычислениях, но в вышке здорово выручает микрокалькулятор, позволяющий считать обыкновенные дроби. Неоднократно советовал, посоветую и снова. Как найти расстояние между двумя параллельными прямыми? Пример 9 Найти расстояние между двумя параллельными прямыми , заданными в декартовой системе координат. Это очередной пример для самостоятельного решения. Немного подскажу: тут бесконечно много способов решения. Разбор полётов в конце урока, но лучше постарайтесь догадаться сами, думаю, вашу смекалку удалось неплохо разогнать. Угол между двумя прямыми Что ни угол, то косяк: В геометрии за угол между двумя прямыми принимается МЕНЬШИЙ угол, из чего автоматически следует, что он не может быть тупым. На рисунке угол, обозначенный красной дугой, не считается углом между пересекающимися прямыми. А считается таковым его «зелёный» сосед или противоположно ориентированный «малиновый» угол . Если прямые перпендикулярны, то за угол между ними можно принимать любой из 4 углов. Чем отличаются углы ? Ориентацией. Во-первых, принципиально важным является направление «прокрутки» угла. Во-вторых, отрицательно ориентированный угол записывается со знаком «минус», например, если . Зачем я это рассказал? Вроде бы можно обойтись и обычным понятием угла. Дело в том, что в формулах, по которым мы будем находить углы, запросто может получиться отрицательный результат, и это не должно застать вас врасплох. Угол со знаком «минус» ничем не хуже, и имеет вполне конкретный геометрический смысл. На чертеже для отрицательного угла следует обязательно указывать стрелкой его ориентацию (по часовой стрелке). Как найти угол между двумя прямыми? Существуют две рабочие формулы: Пример 10 Найти угол между прямыми Решение и Способ первый Рассмотрим две прямые, заданные общими уравнениями в декартовой системе координат: Если прямые не перпендикулярны, то ориентированный угол можно вычислить с помощью формулы: между ними Самое пристальное внимание обратим на знаменатель – это в точности скалярное произведение направляющих векторов прямых: Если , то знаменатель формулы обращается в ноль, а векторы будут ортогональны и прямые перпендикулярны. Именно поэтому сделана оговорка о неперпендикулярности прямых в формулировке. Исходя из вышесказанного, решение удобно оформить в два шага: 1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых: , значит, прямые не перпендикулярны. 2) Угол между прямыми найдём по формуле: С помощью обратной функции легко найти и сам угол. При этом используем нечётность арктангенса (см. Графики и свойства элементарных функций): Ответ: В ответе указываем точное значение, а также приближённое значение (желательно и в градусах, и в радианах), вычисленное с помощью калькулятора. Ну, минус, так минус, ничего страшного. Вот геометрическая иллюстрация: Неудивительно, что угол получился отрицательной ориентации, ведь в условии задачи первым номером идёт прямая именно с неё. и «открутка» угла началась Если очень хочется получить положительный угол, нужно поменять прямые местами, то есть коэффициенты уравнения уравнения взять из второго , а коэффициенты взять из первого . Короче говоря, начать нужно с прямой . Утаивать не буду, сам подбираю прямые в том порядке, чтобы угол получился положительным. Так красивее, но не более того. Для проверки решения можно взять транспортир и измерить угол. Способ второй Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом (декартовы координаты) и не перпендикулярны, то ориентированный угол между ними можно найти с помощью формулы: Условие перпендикулярности прямых выражается равенством , откуда, кстати, следует очень полезная взаимосвязь угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: , которая используется, в частности при нахождении уравнения нормали. Алгоритм решения похож на предыдущий пункт. Но сначала перепишем наши прямые в нужном виде: Таким образом, угловые коэффициенты: 1) Проверим, будут ли прямые перпендикулярны: , значит, прямые не перпендикулярны. 2) Используем формулу: Ответ: Второй способ уместно использовать тогда, когда уравнения прямых изначально заданы с угловым коэффициентом. Следует отметить, что если хотя бы одна прямая параллельна оси ординат, то формула не применима вообще, поскольку для таких прямых угловой коэффициент не определён (см. статью Уравнение прямой на плоскости). Есть и третий способ решения. Идея состоит в том, чтобы вычислить угол между направляющими векторами прямых с помощью формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов: Здесь уже речь идёт не об ориентированном угле, а «просто об угле», то есть результат заведомо будет положительным. Загвоздка состоит в том, что может получиться тупой угол (не тот, который нужен). В этом случае придётся делать оговорку, что угол между прямыми – это меньший угол, и из «пи» радиан (не из 180 градусов!) вычитать получившийся арккосинус. Желающие могут прорешать задачу третьим способом. Но я рекомендую всётаки придерживаться первого подхода с ориентированным углом, по той причине, что он широко распространён. Пример 11 Найти угол между прямыми декартовой системе координат. , заданными в Это пример для самостоятельного решения. Попробуйте решить его двумя способами. Как-то заглохла по ходу дела сказка…. Потому что нет никакого Кащея Бессмертного. Есть я, причём, не особо запаренный. Если честно, думал, статья значительно длиннее выйдет. Но все равно возьму недавно приобретенную шапочку с очками и пойду купаться в сентябрьской озёрной воде. Отлично снимает усталость и негативную энергетику. До скорых встреч! И помните, Бабу-Ягу никто не отменял =) Решения и ответы: Пример 3: Решение: Найдём направляющий вектор прямой Уравнение искомой прямой составим по точке вектору : и направляющему . Так как одна из координат направляющего вектора нулевая, уравнение перепишем в виде: Ответ: Пример 5: Решение: 1) Уравнение прямой составим по двум точкам : 2) Уравнение прямой составим по двум точкам : 3) Соответствующие коэффициенты при переменных пропорциональны: 4) Найдём точку не , значит, прямые пересекаются. : Примечание: здесь первое уравнение системы умножено на 5, затем из 1-го уравнения почленно вычтено 2-е. Ответ: Пример 7: Решение: 1) Найдём нормальный вектор прямой: . 2) Составим уравнение прямой вектору : по точке 3) Найдём точку пересечения прямых и направляющему : Примечание: второе уравнение умножено на 4, затем уравнения сложены почленно. Ответ: Пример 9: Решение: Расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно найти одну точку, принадлежащую любой из прямых. В целях удобного подбора точки перепишем уравнение коэффициентом: в виде уравнения с угловым . Точка . Вычислим расстояние: Последним действием числитель и знаменатель умножен на избавиться от иррациональности в знаменателе. – чтобы Ответ: Пример 11: Решение: Способ первый 1) Вычислим скалярное произведение направляющих векторов прямых: , значит, прямые не перпендикулярны. 2) Угол между прямыми найдём с помощью формулы: Таким образом: Ответ: Способ второй применить нельзя, так как прямая ординат, и её угловой коэффициент не определён. параллельна оси Линейные неравенства. Системы линейных неравенств На уроке Уравнение прямой на плоскости мы рассмотрели общее уравнение прямой . Уравнение – хорошо, в жизни пригодится, но не менее важно знать геометрический смысл линейных неравенств двух переменных. Принципиальное отличие от неравенств с одной переменной состоит в размерности. Если в примерах статьи Область определения функции существуют только «иксы» и только ось абсцисс, то сейчас добавляются «игреки» и поле деятельности расширяется до всей координатной плоскости. Далее по тексту словосочетание «линейное неравенство» понимаем в двумерном смысле, который прояснится через считанные секунды. Помимо аналитической геометрии, материал актуален для ряда задач математического анализа, экономико-математического моделирования, поэтому рекомендую проштудировать данную лекцию со всей серьёзностью. Линейные неравенства Различают два типа линейных неравенств: 1) Строгие неравенства: 2) Нестрогие неравенства: . . Какой геометрический смысл этих неравенств? Если линейное уравнение задаёт прямую, то линейное неравенство определяет полуплоскость. Для понимания нижеследующей информации нужно знать разновидности прямых на плоскости и уметь строить прямые. Если возникнут трудности в этой части, прочитайте справку Графики и свойства функций – параграф про линейную функцию. Начнём с простейших линейных неравенств. Голубая мечта любого двоечника – координатная плоскость, на которой нет ничегошеньки: Как известно, ось абсцисс задаётся уравнением (при любом значении «икс») равняется нулю – «игрек» всегда Рассмотрим неравенство . Как его понимать неформально? «Игрек» всегда (при любом значении «икс») положителен. Очевидно, что данное неравенство определяет верхнюю полуплоскость – ведь там и находятся все точки с положительными «игреками». В том случае, если неравенство нестрогое , к верхней полуплоскости дополнительно добавляется сама ось . Аналогично: неравенству удовлетворяют все точки нижней полуплоскости, нестрогому неравенству полуплоскость + ось . соответствует нижняя С осью ординат та же самая прозаичная история: – неравенство – неравенство – неравенство – неравенство задаёт правую полуплоскость; задаёт правую полуплоскость, включая ось ординат; задаёт левую полуплоскость; задаёт левую полуплоскость, включая ось ординат. На втором шаге рассмотрим неравенства, в которых отсутствует одна из переменных. Отсутствует «игрек»: Или отсутствует «икс»: С такими неравенствами можно разобраться двумя способами, пожалуйста, рассмотрите оба подхода. Попутно вспомним-закрепим школьные действия с неравенствами, уже разобранные на уроке Область определения функции. Пример 1 Решить линейные неравенства: Что значит решить линейное неравенство? Решить линейное неравенство – это значит найти полуплоскость, точки которой удовлетворяют данному неравенству (плюс саму прямую, если неравенство нестрогое). Решение, как правило, графическое. Удобнее сразу выполнить чертёж, а потом всё закомментировать: а) Решим неравенство Способ первый Способ весьма напоминает историю с координатными осями, которую мы рассмотрели выше. Идея состоит в преобразовании неравенства – чтобы в левой части оставить одну переменную без всяких констант, в данном случае – переменную «икс». Правило: В неравенстве слагаемые переносятся из части в часть со сменой знака, при этом знак САМОГО неравенства не меняется (например, если был знак «меньше», то так и останется «меньше»). Переносим «пятёрку» в правую часть со сменой знака: Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства не меняется. Умножаем обе части неравенства на : Теперь чертим прямую (синяя пунктирная линия). Прямая проведена пунктиром по той причине, что неравенство строгое, и точки, принадлежащие данной прямой, заведомо не будут входить в решение. Каков смысл неравенства ? «Икс» всегда (при любом значении «игрек») меньше, чем . Очевидно, что этому утверждению удовлетворяют все точки левой полуплоскости. Данную полуплоскость, в принципе, можно заштриховать, но я ограничусь маленькими синими стрелочками, чтобы не превращать чертёж в художественную палитру. Способ второй Это универсальный способ. ЧИТАЕМ ОЧЕНЬ ВНИМАТЕЛЬНО! Сначала чертим прямую . Для ясности, кстати, уравнение целесообразно представить в виде . Теперь выбираем любую точку плоскости, не принадлежащую прямой. В большинстве случаев, самая лакомая точка, конечно . Подставим координаты данной точки в неравенство : Получено неверное неравенство (простыми словами, неправда), значит, точка не удовлетворяет неравенству . Ключевое правило нашей задачи: – Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) не удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют данному неравенству. – Если какая-либо точка полуплоскости (не принадлежащая прямой) удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данной полуплоскости удовлетворяют данному неравенству. Можете протестировать: любая точка справа от прямой удовлетворять неравенству . не будет Какой вывод из проведённого опыта с точкой ? Деваться некуда, неравенству удовлетворяют все точки другой – левой полуплоскости (тоже можете проверить). б) Решим неравенство Способ первый Преобразуем неравенство: Правило: Обе части неравенства можно умножить (разделить) на ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ число, при этом знак неравенства МЕНЯЕТСЯ на противоположный (например, если был знак «больше либо равно», то станет «меньше либо равно»). Умножаем обе части неравенства на : Начертим прямую (красный цвет), причём, начертим сплошной линией, так как неравенство у нас нестрогое, и прямая заведомо принадлежит решению. Проанализировав полученное неравенство , приходим к выводу, что его решением является нижняя полуплоскость (+ сама прямая). Подходящую полуплоскость штрихуем либо помечаем стрелочками. Способ второй Начертим прямую . Выберем произвольную точку плоскости (не принадлежащую прямой), например, и подставим её координаты в наше неравенство : Получено верное неравенство, значит, точка удовлетворяет неравенству , и вообще – ВСЕ точки нижней полуплоскости удовлетворяют данному неравенству. Здесь подопытной точкой мы «попали» в нужную полуплоскость. Решение задачи обозначено красной прямой и красными стрелочками. Лично мне больше нравится первый способ решения, поскольку второй таки более формален. Пример 2 Решить линейные неравенства: Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь решить задачу двумя способами (к слову, это хороший способ проверки решения). В ответе в конце урока будет только итоговый чертёж. Думаю, после всех проделанных в примерах действий вам придётся на них жениться не составит труда решить простейшее неравенство вроде и т.п. Переходим к рассмотрению третьего, общего случая, когда в неравенстве присутствуют обе переменные: Как вариант, свободный член «цэ» может быть нулевым. Пример 3 Найти полуплоскости, соответствующие следующим неравенствам: Решение: Здесь используется универсальный метод решения с подстановкой точки. а) Построим уравнение прямой , при этом линию следует провести пунктиром, так как неравенство строгое и сама прямая не войдёт в решение. Выбираем подопытную точку плоскости, которая не принадлежит данной прямой, например, , и подставим её координаты в наше неравенство: Получено неверное неравенство, значит, точка и ВСЕ точки данной полуплоскости не удовлетворяют неравенству . Решением неравенства будет другая полуплоскость, любуемся синими молниями: б) Решим неравенство . Сначала построим прямую. Это сделать несложно, перед нами каноничная прямая пропорциональность . Линию проводим сплошняком, так как неравенство нестрогое. Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую прямой . Хотелось бы снова использовать начало координат, но, увы, сейчас оно не годится. Поэтому придётся работать с другой подругой. Выгоднее взять точку с небольшими значениями координат, например, . Подставим её координаты в наше неравенство: Получено верное неравенство, значит, точка полуплоскости удовлетворяют неравенству и все точки данной . Искомая полуплоскость помечена красными стрелочками. Кроме того, в решение входит сама прямая . Пример 4 Найти полуплоскости, соответствующие неравенствам: Это пример для самостоятельного решения. Полное решение, примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Разберём обратную задачу: Пример 5 а) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка , при этом сама прямая должна входить в решение. б) Дана прямая . Определить полуплоскость, в которой находится точка . Сама прямая не входит в решение. Решение: здесь нет необходимости в чертеже, и решение будет аналитическим. Ничего трудного: а) Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «меньше». По условию прямая входит в решение, поэтому неравенство будет нестрогим: б) Составим многочлен точке : и вычислим его значение в . Таким образом, искомое неравенство будет со знаком «больше». По условию прямая не входит в решение, следовательно, неравенство будет строгим: . Ответ: Творческий пример для самостоятельного изучения: Пример 6 Даны точки и прямая . Среди перечисленных точек найти те, которые вместе с началом координат лежат по одну сторону от заданной прямой. Небольшая подсказка: сначала нужно составить неравенство, определяющее полуплоскость, в которой находится начало координат. Аналитическое решение и ответ в конце урока. Системы линейных неравенств Система линейных неравенств – это система, составленная из линейных неравенств. …Обожаю такие определения, прямо в стиле известного политика и боксёра :).Вот уж действительно просто и доступно! А если серьёзно, то не хочется приводить громоздкое определение и систему в общем виде, лучше сразу перейдём к насущным вопросам: Что значит решить систему линейных неравенств? Решить систему линейных неравенств – это значит найти множество точек плоскости, которые удовлетворяют каждому неравенству системы. В качестве простейших примеров рассмотрим системы неравенств, определяющих координатные четверти прямоугольной системы координат («рисунок двоечников» находится в самом начале урока): Система неравенств задаёт первую координатную четверть (правая верхняя). Координаты любой точки первой четверти, например, и т.д. удовлетворяют каждому неравенству данной системы. Аналогично: – система неравенств верхняя); задаёт вторую координатную четверть (левая – система неравенств нижняя); задаёт третью координатную четверть (левая – система неравенств нижняя). задаёт четвёртую координатную четверть (правая Система линейных неравенств может не иметь решений, то есть, быть несовместной. Снова простейший пример: . Совершенно очевидно, что «икс» не может одновременно быть больше трёх и меньше двух. Решением системы неравенств может являться прямая, например: . Лебедь, рак, без щуки, тянут воз в две разные стороны. Да воз и ныне там – решением данной системы является прямая . Но самый распространённый случай, когда решением системы является некоторая область плоскости. Область решений может быть не ограниченной (например, координатные четверти) либо ограниченной. Ограниченная область решений называется многоугольником решений системы. Пример 7 Решить систему линейных неравенств На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с нестрогими неравенствами, поэтому оставшуюся часть урока водить хороводы будут именно они. Решение: то, что неравенств многовато, пугать не должно. Сколько может быть неравенств в системе? Да сколько угодно. Главное, придерживаться рационального алгоритма построения области решений: 1) Сначала разбираемся с простейшими неравенствами. Неравенства определяют первую координатную четверть, включая границу из координатных осей. Уже значительно легче, так как область поиска значительно сузилась. На чертеже сразу отмечаем стрелочками соответствующие полуплоскости (красные и синие стрелки) 2) Второе по простоте неравенство – здесь отсутствует «игрек». Вопервых, строим саму прямую , а, во-вторых, после преобразования неравенства к виду , сразу становится понятно, что все «иксы» меньше, чем 6. Отмечаем зелёными стрелками соответствующую полуплоскость. Ну что же, область поиска стала ещё меньше – такой не ограниченный сверху прямоугольник. 3) На последнем шаге решаем неравенства «с полной амуницией»: . Алгоритм решения мы подробно рассмотрели в предыдущем параграфе. Вкратце: сначала строим прямую, потом с помощью подопытной точки находим нужную нам полуплоскость. Встаньте, дети, встаньте в круг: Область решений системы представляет собой многоугольник , на чертеже он обведён малиновой линией и заштрихован. Перестарался немного =) В тетради область решений достаточно либо заштриховать, либо жирнее обвести простым карандашом. Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (для интереса можете проверить). Ответ: решением системы является многоугольник . При оформлении на чистовик неплохо бы подробно расписать, по каким точкам вы строили прямые (см. урок Графики и свойства функций), и как определяли полуплоскости (см. первый параграф данного урока). Однако на практике в большинстве случаев вам зачтут и просто правильный чертёж. Сами же расчёты можно проводить на черновике или даже устно. Помимо многоугольника решений системы, на практике, пусть и реже, встречается открытая область. Попытайтесь разобрать следующий пример самостоятельно. Хотя, точности ради, пыток тут никаких – алгоритм построения такой же, просто область получится не ограниченной. Пример 8 Решить систему Решение и ответ в конце урока. У вас, скорее всего, будут другие буквенные обозначения вершин полученной области. Это не принципиально, главное, правильно найти вершины и правильно построить область. Не редкость, когда в задачах требуется не только построить область решений системы, но и найти координаты вершин области. В двух предыдущих примерах координаты данных точек были очевидны, но на практике всё бывает далеко не айс: Пример 9 Решить систему и найти координаты вершин полученной области Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы. Неравенство задаёт левую полуплоскость с осью ординат, и халявы тут больше нет. После расчётов на чистовике/черновике или глубоких мыслительных процессов, получаем следующую область решений: Область решений представляет собой многоугольник . Теперь нужно найти координаты вершин полученной области. Здесь ясно прорисовались координаты только двух точек: . Остаётся решить вопрос с точками . Нетрудно заметить, что вершины являются точками пересечением прямых. Как найти точку пересечения двух прямых, мы рассмотрели на уроке Задачи с прямой на плоскости. Найдём координаты вершины : Примечание: из второго уравнения системы почленно вычтено первое уравнение. Более подробно о методе можно прочитать в статье Как решить систему уравнений? Найдём координаты точки : Примечание: второе уравнение системы умножено на 3, затем уравнения сложены почленно. Для красоты координаты точек тоже можно найти аналитическим методом: Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках . Кто из вас попадёт в «десятку»? Заключительный пример урока для самостоятельного решения: Пример 10 Найти область решений системы и координаты вершин полученной области И опять же, буквенные обозначения вершин многоугольника у нас могут отличаться. У меня будет точка «цэ», а у вас эта же вершина может быть обозначена через «дэ». Мы рассмотрели примеры средней степени сложности, чего вполне достаточно. В ряде задач, например, в задаче линейного программирования коэффициенты неравенств обычно велики, и приходится возиться (иногда долго) с подбором масштаба и построением самих прямых. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Ответ: Пример 4: Решение: а) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например, и подставим её координаты в неравенство: Получено неверное неравенство, значит, неравенство задаёт полуплоскость, которой не принадлежит точка , при этом прямая не входит в решение. б) Построим прямую . Выберем произвольную точку плоскости, не принадлежащую данной прямой, например, и подставим её координаты в неравенство: Получено верное неравенство, значит, неравенство задаёт полуплоскость, в которой находится точка , при этом прямая входит в решение. Ответ: Пример 6: Решение: Составим многочлен и вычислим его значение в точке : , следовательно, искомые точки должны удовлетворять неравенству (а значит, и условию ). Вычислим значения многочлена в каждой из пяти точек: Условию удовлетворяют точки . Ответ: в одной полуплоскости с началом координат лежат точки . Пример 8: Решение: изобразим на чертеже область решений, соответствующую заданной системе линейных неравенств: Ответ: область решений системы ограничена ломаной лучами . и Пример 10: Решение: изобразим на чертеже область решений данной системы неравенств: Область решений представляет собой многоугольник координаты вершин полученной области: . Найдём Ответ: область решений системы представляет собой многоугольник с вершинами в точках . Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Типовая задача с треугольником на плоскости Этот урок создан на подходе к экватору между геометрией плоскости и геометрией пространства. В данный момент назрела необходимость систематизировать наработанную информацию и ответить на очень важный вопрос: как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Трудность состоит в том, что задач по геометрии можно придумать бесконечно много, и никакой учебник не вместит в себя всё множество и разнообразие примеров. Это не производная функции с пятью правилами дифференцирования, таблицей и несколькими техническими приёмами…. Решение есть! Не буду говорить громких слов о том, что я разработал какую-то грандиозную методику, однако, по моему мнению, существует эффективный подход к рассматриваемой проблеме, позволяющий достигнуть хорошей и отличной результативности даже полному чайнику. По крайне мере, общий алгоритм решения геометрических задач очень чётко оформился в моей голове. ЧТО НЕОБХОДИМО знать и уметь для успешного решения задач по геометрии? От этого никуда не деться – чтобы наугад не тыкать носом кнопки, требуется освоить азы аналитической геометрии. Поэтому если вы только-только приступили к изучению геометрии или капитально позабыли её, пожалуйста, начните с урока Векторы для чайников. Кроме векторов и действий с ними, нужно знать базовые понятия геометрии плоскости, в частности, уравнение прямой на плоскости и простейшие задачи с прямой на плоскости. Геометрия пространства представлена статьями Уравнение плоскости, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость и некоторыми другими уроками. Кривые линии и пространственные поверхности второго порядка стоЯт некоторым особняком, и специфических задач с ними не так уж много. Предположим, студент уже обладает элементарными знаниями и навыками решения простейших задач аналитической геометрии. Но вот бывает же так: читаешь условие задачи, и… хочется вообще закрыть всё это дело, закинуть в дальний угол и забыть, как о страшном сне. Причём это принципиально не зависит от уровня вашей квалификации, сам время от времени сталкиваюсь с заданиями, у которых решение не очевидно. Как поступать в таких случаях? Не нужно бояться задачи, которая вам не понятна! Во-первых, следует установить – это «плоская» или пространственная задача? Например, если в условии фигурируют векторы с двумя координатами, то, понятно, тут геометрия плоскости. А если преподаватель загрузил благодарного слушателя пирамидой, то здесь явно геометрия пространства. Результаты первого шага уже неплохи, ведь удалось отсечь громадное количество ненужной для данной задачи информации! Второе. Условие, как правило, озаботит вас некоторой геометрической фигурой. Действительно, пройдитесь по коридорам родного ВУЗа, и вы увидите очень много озабоченных лиц. В «плоских» задачах, не говоря о разумеющихся точках и прямых, наиболее популярная фигура – треугольник. Его мы разберём очень подробно. Далее идёт параллелограмм, и значительно реже встречаются прямоугольник, квадрат, ромб, окружность, др. фигуры. В пространственных задачах могут летать те же плоские фигуры + сами плоскости и распространённые треугольные пирамиды с параллелепипедами. Вопрос второй – всё ли вы знаете о данной фигуре? Предположим, в условии идёт речь о равнобедренном треугольнике, а вы весьма смутно помните, что это такой за треугольник. Открываем школьный учебник и читаем про равнобедренный треугольник. Что делать… врач сказал ромб, значит, ромб. Аналитическая геометрия аналитической геометрией, но задачу помогут решить геометрические свойства самих фигур, известные нам из школьной программы. Если не знать, чему равна сумма углов треугольника, то мучиться можно долго. Третье. ВСЕГДА старайтесь выполнять чертёж (на черновике/чистовике/мысленно), даже если этого не требуется по условию. В «плоских» задачах сам Евклид велел взять в руки линейку с карандашом – и не только для того, чтобы понять условие, но и в целях самопроверки. При этом наиболее удобный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки). Уж не будем рассуждать о нерадивых студентах и вращающихся в гробах математиках – в таких задачах совершить ошибку практически невозможно. Для пространственных заданий выполняем схематический рисунок, который тоже поможет проанализировать условие. Чертёж или схематический чертёж зачастую сразу позволяет увидеть путь решения задачи. Конечно, для этого нужно знать фундамент геометрии и рубить в свойствах геометрических фигур (см. предыдущий пункт). Четвёртое. Разработка алгоритма решения. Многие задачи геометрии являются многоходовыми, поэтому решение и его оформление очень удобно разбивать на пункты. Нередко алгоритм сразу же приходит в голову, после того как вы прочитали условие или выполнили чертёж. В случае возникновения трудностей начинаем с ВОПРОСА задачи. Например, по условию «требуется построить прямую…». Здесь самый логичный вопрос такой: «А что достаточно знать, чтобы построить данную прямую?». Предположим, «точка нам известна, нужно знать направляющий вектор». Задаём следующий вопрос: «Как найти этот направляющий вектор? Откуда?» и т.д. Иногда случается «затык» – не решается задача и всё тут. Причины стопора могут быть следующими: – Серьёзный пробел в элементарных знаниях. Иными словами, вы не знаете или (и) не видите какой-то очень простой вещи. – Незнание свойств геометрических фигур. – Задача попалась трудная. Да, так бывает. Нет смысла часами париться и собирать слёзки в платочек. Обратитесь за консультацией к преподавателю, сокурсникам или задайте вопрос на форуме. Причём, его постановку лучше сделать конкретной – о том участке решения, который вам не понятен. Клич в виде «Как решить задачу?» выглядит не очень-то… и, прежде всего, для вашей собственной репутации. Этап пятый. Решаем-проверяем, решаем-проверяем, решаем-проверяем-даём ответ. Каждый пункт задачи выгодно проверять сразу после его выполнения. Это поможет немедленно обнаружить ошибку. Естественно, никто не запрещает быстренько прорешать задачу целиком, но возникает риск переписывать всё заново (часто несколько страниц). Вот, пожалуй, все основные соображения, которыми целесообразно руководствоваться при решении задач. Практическая часть урока представлена геометрией на плоскости. Примеров будет всего два, но мало не покажется =) Пройдёмся по нити алгоритма, который я только что рассмотрел в своём маленьком научном труде: Пример 1 Даны три вершины вершину . параллелограмма . Найти Начинаем разбираться: Шаг первый: очевидно, что речь идёт о «плоской» задаче. Шаг второй: в задаче речь идёт о параллелограмме. Все помнят такую фигуру параллелограмм? Не нужно улыбаться, немало людей получает образование в 30-40-50 и более лет, поэтому даже простые факты могут стереться из памяти. Определение параллелограмма встречается в Примере № 3 урока Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Шаг третий: Выполним чертёж, на котором отметим три известные вершины. Забавно, что несложно сразу построить искомую точку : Построить, это, конечно, хорошо, но решение необходимо оформить аналитически. Шаг четвёртый: Разработка алгоритма решения. Первое, что приходит в голову – точку можно найти как пересечение прямых . Их уравнения нам неизвестны, поэтому придётся заняться этим вопросом: 1) Противоположные стороны точкам параллельны. По найдём направляющий вектор данных сторон . Это простейшая задача, которая рассматривалась на уроке Векторы для чайников. Примечание: корректнее говорить «уравнение прямой, содержащей сторону», но здесь и далее для краткости я буду использовать словосочетания «уравнение стороны», «направляющий вектор стороны» и т.д. 2) Составим уравнение прямой направляющему вектору по известной точке и найденному (см. статью Уравнение прямой на плоскости) 3) Противоположные стороны параллельны. По точкам найдём направляющий вектор этих сторон 4) Составим уравнение прямой по точке . и направляющему вектору В пунктах 1-2 и 3-4 мы фактически дважды решили одну и ту же задачу, она, кстати, разобрана в примере № 3 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Можно было пойти более длинным путём – сначала найти уравнения прямых и только потом «вытащить» из них направляющие векторы . 5) Теперь уравнения прямых известны. Осталось составить и решить соответствующую систему линейных уравнений (см. примеры № 4, 5 того же урока Простейшие задачи с прямой на плоскости). Точка найдена. Задача довольно таки простая и её решение очевидно, но существует более короткий путь! Второй способ решения: Диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам. Точку я отметил, но чтобы не загромождать чертёж сами диагонали не провёл. 1) С помощью формул координат середины отрезка найдём точку середину диагонали . – 2) Рассмотрим диагональ . Из условия известна вершина «бэ», из предыдущего пункта найдена середина . Используя те же формулы координат середины отрезка, находим вершину . Хорошее знание свойств параллелограмма позволило значительно сократить решение! Желающие могут прорешать задачу. Всё перед глазами, все ссылки, комментарии даны. И, конечно, не забывайте про важный технический приём – решили пункт задания и сразу же его проверили (аналитически или по чертежу). Переходим к наиболее распространённой задаче, которая встречается практически в каждом сборнике, в каждой методичке: Типовая задача с треугольником на плоскости Многие помнят из школы признаки равенства треугольников, признаки подобия треугольников и мучительное заучивание доказательств теорем. Как в сердцАх сказал один мой одноклассник, «не понимаю, на… доказывать равенство треугольников, если и так видно, что они одинаковые». Мы тоже не будем ничего доказывать, поскольку аналитическая геометрия подкрадывается к треугольнику совсем с другой стороны. Типовая задача с треугольником на плоскости, как правило, формулируется так: Даны три вершины треугольника. Требуется найти… много чего требуется найти…. Повезёт, если будет пункта 3-4, но чаще всего их 5-6 и даже больше. Пример 1 Даны вершины треугольника . Требуется: 1) составить уравнения сторон и найти их угловые коэффициенты; 2) найти длину стороны ; 3) найти ; 4) составить уравнение прямой , проходящей через точку параллельно прямой ; 5) составить уравнение высоты и найти её длину; 6) вычислить площадь треугольника ; 7) составить уравнение медианы ; 8) найти точку пересечения . Знаете, прямо почувствовал себя палачом с большим топором. Чтобы не было так стыдно, скажу, что на практике в большинстве случаев пунктов бывает меньше. Просто я постарался собрать в одной задаче всё, что может встретиться. Для особо опасных энтузиастов заготовлена виселица ещё тройка пунктов, но это на закуску. …бррр, что-то у меня сегодня траурная тема пошла, не иначе, от убыли светового дня. Поэтому скорее перехожу к решению. Решение: С чего начать? Начать целесообразно с выполнения чертежа. По условию этого можно не делать, но для самоконтроля и самопроверки всегда строим чертёж на черновике. Ещё раз напоминаю, что самый выгодный масштаб 1 единица = 1 см (2 тетрадные клетки). Поехали щёлкать орехи: 1) Составим уравнения сторон и найдём их угловые коэффициенты. Поскольку известны вершины треугольника, то уравнения каждой стороны составим по двум точкам. Процесс подробно рассмотрен на уроке Уравнение прямой на плоскости. Составим уравнение стороны по точкам : Для проверки следует мысленно либо на черновике подставить координаты каждой точки в полученное уравнение. Теперь найдём угловой коэффициент. Для этого перепишем общее уравнение в виде уравнения с угловым коэффициентом: Таким образом, угловой коэффициент: Аналогично находим уравнения сторон . Не вижу особого смысла расписывать то же самое, поэтому сразу приведу готовый результат: 2) Найдём длину стороны . Это простейшая задача, рассмотренная на уроке Векторы для чайников. Для точек используем формулу: По этой же формуле легко найти и длины других сторон. Проверка очень быстро выполнятся обычной линейкой. 3) Найдём . Это угол при вершине . Есть несколько способов решения, но самый универсальный способ – находить угол при вершине, как угол между векторами. Данная задача подробно рассмотрена на уроке Скалярное произведение векторов. Используем формулу . Найдём векторы: Таким образом: Кстати, попутно мы нашли длины сторон . В результате: Ну что же, похоже на правду, для убедительности к углу можно приложить транспортир. Внимание! Не путайте угол треугольника с углом между прямыми. Угол треугольника может быть тупым, а угол между прямыми – нет (см. последний параграф статьи Простейшие задачи с прямой на плоскости). Однако для нахождения угла треугольника можно использовать и формулы вышеуказанного урока, но шероховатость состоит в том, что те формулы всегда дают острый угол. С их помощью я прорешал на черновике данную задачу и получил результат . А на чистовике пришлось бы записывать дополнительные оправдания, что . 4) Составить уравнение прямой , проходящей через точку прямой . параллельно Стандартная задача, подробно рассмотренная в примере № 2 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Из общего уравнения прямой вытащим направляющий вектор . Составим уравнение прямой по точке и направляющему вектору : Как найти высоту треугольника? 5) Составим уравнение высоты и найдём её длину. От строгих определений никуда не деться, поэтому придётся приворовывать из школьного учебника: Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. То есть, необходимо составить уравнение перпендикуляра, проведённого из вершины к стороне . Данная задача рассмотрена в примерах № 6, 7 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости. Из уравнения высоты снимаем вектор нормали составим по точке . Уравнение и направляющему вектору : Обратите внимание, что координаты точки нам не известны. Иногда уравнение высоты находят из соотношения угловых коэффициентов перпендикулярных прямых: тогда: . В данном случае . Уравнение высоты угловому коэффициенту плоскости): , составим по точке и (см. начало урока Уравнение прямой на Длину высоты можно найти двумя способами. Существует окольный путь: а) находим – точку пересечения высоты и стороны ; б) находим длину отрезка по двум известным точкам. Но на уроке Простейшие задачи с прямой на плоскости рассматривалась удобная формула расстояния от точки до прямой. Точка известна: , уравнение прямой тоже известно: , Таким образом: 6) Вычислим площадь треугольника. В пространстве площадь треугольника традиционно рассчитывается с помощью векторного произведения векторов, но здесь дан треугольник на плоскости. Используем школьную формулу: – площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. В данном случае: Как найти медиану треугольника? 7) Составим уравнение медианы . Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. а) Найдём точку – середину стороны . Используем формулы координат середины отрезка. Известны координаты концов отрезка: , тогда координаты середины: Таким образом: Уравнение медианы составим по точкам : Чтобы проверить уравнение, в него нужно подставить координаты точек 8) Найдём точку пересечения высоты и медианы. Думаю, этот элемент фигурного катания все уже научились выполнять без падений: Любители строгого оформления могут записать сакраментальное слово «Ответ» и скрупулезно перечислить в 8 пунктах полученные результаты. А сейчас рассмотрим более редкие задания. Треугольник тот же. 9) найти уравнение биссектрисы ; 10) найти центр тяжести треугольника; 11) составить систему линейных неравенств, определяющих треугольник. Как найти уравнение биссектрисы треугольника? . 9) Биссектриса делит угол пополам. Чтобы были более понятны последующие выкладки, я сразу приведу готовый чертёж с результатом: Из свойств биссектрисы внутреннего угла следует соотношение длин следующих отрезков: Длины сторон уже найдены в предыдущих пунктах: . Таким образом: . Координаты точки найдём по формулам деления отрезка в данном отношении. Да, параметр «лямбда» получился просто сказочным, а кому сейчас легко? Понеслась нелёгкая: На последнем шаге я провёл умножение числителя и знаменателя на сопряжённое выражение формулу – чтобы использовать и избавиться от иррациональности в знаменателе. Разбираемся со второй координатой: Таким образом: Предчувствие вас не обмануло, уравнение биссектрисы точкам составим по : Проверил, всё сходится. На практике, конечно, вычисления почти всегда будут проще. Никого не хотел запугать, так уж получилось =) Как найти центр тяжести треугольника? 10) А что такое вообще центр тяжести плоской фигуры? Мысленно вырежьте из тонкого однородного картона любую фигуру. …Почему-то фигура зайца в голову пришла. Так вот: если слегка насадить данную фигуру центром тяжести (какой же я изверг =)) на вертикально расположенную иголку, то теоретически фигура не должна свалиться. Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. В треугольнике три медианы и пересекаются они в одной точке. Из пункта № 7 нам уже известна одна из медиан: . Как решить задачу? Можно найти уравнение второй медианы (любой из двух оставшихся) и точку пересечения этих медиан. Но есть путь короче! Нужно только знать полезное свойство: Точка пересечения медиан делит каждую из медиан в отношении считая от вершины треугольника. Поэтому справедливо , отношение Нам известны точки . По формулам деления отрезка в данном отношении: Таким образом, центр тяжести треугольника: Заключительный пункт урока: 11) Составим систему линейных неравенств, определяющих треугольник. Для понимания решения необходимо хорошо изучить статью Линейные неравенства. Системы линейных неравенств. Для удобства перепишем найденные уравнения сторон: Рассмотрим прямую . Треугольник лежит в полуплоскости, где находится вершина . Составим вспомогательный многочлен и вычислим его значение в точке : . Поскольку сторона принадлежит треугольнику, то неравенство будет нестрогим: Если не понятно, что к чему, пожалуйста, вернитесь к материалам про линейные неравенства. Рассмотрим прямую . Треугольник расположен ниже данной прямой, поэтому очевидно неравенство . И, наконец, для прямой составим многочлен который подставим координаты точки : образом, получаем третье неравенство: . Итак, треугольник неравенств: ,в . Таким определяется следующей системой линейных Приехали. Как уже отмечалось, на практике рассмотренная задача с треугольником на плоскости очень популярна. Пунктов решения будет, конечно, не одиннадцать, а меньше, причём встретиться они могут в самых различных комбинациях. В этой связи вам придётся самостоятельно протягивать логическую цепочку решения. А вообще, всё довольно однообразно. Может ещё задачку? Да ладно, не надо стесняться, я же по глазам вижу, что хотите =) Ненасытные читатели могут ознакомиться с решениями других задач по аналитической геометрии. Подходящий архив можно закачать на странице Готовые задачи по высшей математике. Следует отметить, что по настоящему трудные задачи в аналитической геометрии встречаются редко, и вы справитесь практически с любой из них! Главное, придерживаться методики решения, которая освещена в самом начале урока. А теперь можно немного расслабиться, заданий для самостоятельного решения я не придумал. Кандидатур было много, но по основным приёмам решения все они до неприличия похожи на разобранные примеры. ...И приснится вам треугольник =)! Автор: Емелин Александр Линии второго порядка. Эллипс и его каноническое уравнение. Окружность После основательной проработки прямых на плоскости продолжаем изучать геометрию двухмерного мира. Ставки удваиваются, и я приглашаю вас посетить живописную галерею эллипсов, гипербол, парабол, которые являются типичными представителями линий второго порядка. Экскурсия уже началась, и сначала краткая информация обо всей экспозиции на разных этажах музея: Понятие алгебраической линии и её порядка Линию на плоскости называют алгебраической, если в аффинной системе координат её уравнение имеет вид состоящий из слагаемых вида неотрицательные числа). , где ( – многочлен, – действительное число, – целые Как видите, уравнение алгебраической линии не содержит синусов, косинусов, логарифмов и прочего функционального бомонда. Только «иксы» и «игреки» в целых неотрицательных степенях. Далее под словом «линия» по умолчанию будет подразумеваться алгебраическая линия на плоскости Порядок линии равен максимальному значению слагаемых. входящих в него По соответствующей теореме, понятие алгебраической линии, а также её порядок не зависят от выбора аффинной системы координат, поэтому для лёгкости бытия считаем, что все последующие выкладки имеют место быть в декартовых координатах . Общее уравнение линии второго порядка имеет вид , где действительные числа ( принято записывать с множителем- «двойкой»), причём коэффициенты Если – произвольные не равны одновременно нулю. , то уравнение упрощается до , и если коэффициенты одновременно не равны нулю, то это в точности общее уравнение «плоской» прямой, которая представляет собой линию первого порядка. Многие поняли смысл новых терминов, но, тем не менее, в целях 100%-го усвоения материала сунем пальцы в розетку. Чтобы определить порядок линии, нужно перебрать все слагаемые её уравнения и у каждого из них найти сумму степеней входящих переменных. Например: слагаемое содержит «икс» в 1-й степени; слагаемое в слагаемом нулю. содержит «игрек» в 1-й степени; переменные отсутствуют, поэтому сумма их степеней равна Далее из полученных чисел выбирается максимальное значение, в данном случае единица, – это и есть порядок линии. Теперь разберёмся, почему уравнение задаёт линию второго порядка: слагаемое содержит «икс» во 2-й степени; у слагаемого сумма степеней переменных: 1 + 1 = 2; слагаемое содержит «игрек» во 2-й степени; все остальные слагаемые – меньшей степени. Максимальное значение: 2 Если к нашему уравнению дополнительно приплюсовать, скажем, , то оно уже будет определять линию третьего порядка. Очевидно, что общий вид уравнения линии 3-го порядка содержит «полный комплект» слагаемых, сумма степеней переменных в которых равна трём: , где коэффициенты не равны одновременно нулю. В том случае, если добавить одно или несколько подходящих слагаемых, которые содержат и т.д. , то речь уже зайдёт о линии 4-го порядка, С алгебраическими линиями 3-го, 4-го и более высоких порядков нам придется столкнуться ещё не раз, в частности, при знакомстве с полярной системой координат. Однако вернёмся к общему уравнению вспомним его простейшие школьные вариации. В качестве примеров напрашивается парабола виду , и гипербола Однако не всё так гладко…. и , уравнение которой легко привести к общему с эквивалентным уравнением . Существенный недостаток общего уравнения состоит в том, что почти всегда не понятно, какую линию оно задаёт. Даже в простейшем случае не сразу сообразишь, что это гипербола. Такие расклады хороши только на маскараде, поэтому в курсе аналитической геометрии рассматривается типовая задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. Что такое канонический вид уравнения? Это общепринятый стандартный вид уравнения, когда в считанные секунды становится ясно, какой геометрический объект оно определяет. Кроме того, канонический вид очень удобен для решения многих практических заданий. Так, например, по каноническому уравнению «плоской» прямой, во-первых, сразу понятно, что это прямая, а во-вторых – элементарно просматривается принадлежащая ей точка вектор и направляющий . Очевидно, что любая линия 1-го порядка представляет собой прямую. На втором же этаже нас ждёт уже не вахтёр, а гораздо более разнообразная компания из девяти статуй: Классификация линий второго порядка С помощью специального комплекса действий любое уравнение линии второго порядка приводится к одному из следующих видов: ( 1) 2) 3) 4) 5) и – положительные действительные числа) – каноническое уравнение эллипса; – каноническое уравнение гиперболы; – каноническое уравнение параболы; – мнимый эллипс; – пара пересекающихся прямых; 6) – пара мнимых пересекающихся прямых (с единственной действительной точкой пересечения в начале координат); 7) – пара параллельных прямых; 8) – пара мнимых параллельных прямых; 9) – пара совпавших прямых. У ряда читателей может сложиться впечатление неполноты списка. Например, в пункте № 7 уравнение задаёт пару прямых , параллельных оси , и возникает вопрос: а где же уравнение , определяющее прямые , параллельные оси ординат? Ответ: оно не считается каноническим. Прямые представляют собой тот же самый стандартный случай , повёрнутый на 90 градусов, и дополнительная запись в классификации избыточна, поскольку не несёт ничего принципиально нового. Таким образом, существует девять и только девять различных видов линий 2-го порядка, но на практике наиболее часто встречаются эллипс, гипербола и парабола. Сначала рассмотрим эллипс. Как обычно, я акцентирую внимание на тех моментах, которые имеют большое значение для решения задач, и если вам необходим подробный вывод формул, доказательства теорем, пожалуйста, обратитесь, например, к учебнику Базылева/Атанасяна либо Александрова. Эллипс и его каноническое уравнение Правописание… пожалуйста, не повторяйте ошибок некоторых пользователей Яндекса, которых интересует «как построить эллибз», «отличие элипса от овала» и «эксцентриситет элебса». Каноническое уравнение эллипса имеет вид , где – положительные действительные числа, причём . Само определение эллипса я сформулирую позже, а пока самое время отдохнуть от говорильни и решить распространённую задачу: Как построить эллипс? Да, вот взять его и просто начертить. Задание встречается часто, и значительная часть студентов не совсем грамотно справляются с чертежом: Пример 1 Построить эллипс, заданный уравнением Решение: сначала приведём уравнение к каноническому виду: Зачем приводить? Одно из преимуществ канонического уравнения заключается в том, что оно позволяет моментально определить вершины эллипса, которые находятся в точках заметить, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению . . Легко В данном случае : Отрезок называют большой осью эллипса; отрезок – малой осью; число называют большой полуосью эллипса; число – малой полуосью. в нашем примере: . Чтобы быстро представить, как выглядит тот или иной эллипс достаточно посмотреть на значения «а» и «бэ» его канонического уравнения. Всё ладно, складно и красиво, но есть один нюанс: я выполнил чертёж с помощью программы. И вы можете выполнить чертёж с помощью какого-либо приложения. Однако в суровой действительности на столе лежит клетчатый листок бумаги, и на наших руках водят хороводы мыши. Люди с художественным талантом, конечно, могут поспорить, но мыши есть и у вас тоже (правда, поменьше). Таки не зря человечество изобрело линейку, циркуль, транспортир и другие нехитрые приспособления для черчения. По этой причине нам вряд ли удастся аккуратно начертить эллипс, зная одни вершины. Ещё куда ни шло, если эллипс небольшой, например, с полуосями . Как вариант, можно уменьшить масштаб и, соответственно, размеры чертежа. Но в общем случае крайне желательно найти дополнительные точки. Существует два подхода к построению эллипса – геометрический и алгебраический. Построение с помощью циркуля и линейки мне не нравится по причине не самого короткого алгоритма и существенной загроможденности чертежа. В случае крайней необходимости, пожалуйста, обратитесь к учебнику, а в реальности же гораздо рациональнее воспользоваться средствами алгебры. Из уравнения эллипса на черновике быстренько выражаем: Далее уравнение распадается на две функции: – определяет верхнюю дугу эллипса; – определяет нижнюю дугу эллипса. Заданный каноническим уравнением эллипс симметричен относительно координатных осей, а также относительно начала координат. И это отлично – симметрия почти всегда предвестник халявы. Очевидно, что достаточно разобраться с 1-й координатной четвертью, поэтому нам потребуется функция дополнительных точек с абсциссами калькуляторе: . Напрашивается нахождение . Настукаем три смс-ки на Безусловно, приятно и то, что если допущена серьёзная ошибка в вычислениях, то это сразу выяснится в ходе построения. Отметим на чертеже точки (красный цвет), симметричные точки на остальных дугах (синий цвет) и аккуратно соединим линией всю компанию: Первоначальный набросок лучше прочертить тонко-тонко, и только потом придать нажим карандашу. В результате должен получиться вполне достойный эллипс. Кстати, не желаете ли узнать, что это за кривая? Определение эллипса. Фокусы эллипса и эксцентриситет эллипса Эллипс – это частный случай овала. Слово «овал» не следует понимать в обывательском смысле («ребёнок нарисовал овал» и т.п.). Это математический термин, имеющий развёрнутую формулировку. Целью данного урока не является рассмотрение теории овалов и различных их видов, которым практически не уделяется внимания в стандартном курсе аналитической геометрии. И, в соответствии с более актуальными потребностями, мы сразу переходим к строгому определению эллипса: Эллипс – это множество всех точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух данных точек , называемых фокусами эллипса, – есть величина постоянная, численно равная длине большой оси этого эллипса: . При этом расстояния между фокусами меньше данного значения: . Сейчас станет всё понятнее: Представьте, что синяя точка «ездит» по эллипсу. Так вот, какую бы точку эллипса мы ни взяли, сумма длин отрезков одной и той же: всегда будет Убедимся, что в нашем примере значение суммы действительно равно восьми. Мысленно поместите точку «эм» в правую вершину эллипса, тогда: , что и требовалось проверить. На определении эллипса основан ещё один способ его вычерчивания. Высшая математика, порой, причина напряжения и стресса, поэтому самое время провести очередной сеанс разгрузки. Пожалуйста, возьмите ватман либо большой лист картона и приколотите его к столу двумя гвоздиками. Это будут фокусы . К торчащим шляпкам гвоздей привяжите зелёную нитку и до упора оттяните её карандашом. Гриф карандаша окажется в некоторой точке , которая принадлежит эллипсу. Теперь начинайте вести карандаш по листу бумаги, сохраняя зелёную нить сильно натянутой. Продолжайте процесс до тех пор, пока не вернётесь в исходную точку… отлично… чертёж можно сдать на проверку врачу преподавателю =) Как найти фокусы эллипса? В приведённом примере я изобразил «готовенькие» точки фокуса, и сейчас мы научимся добывать их из недр геометрии. Если эллипс задан каноническим уравнением координаты , где фокусов до центра симметрии эллипса. , то его фокусы имеют – это расстояние от каждого из Вычисления проще пареной репы: ! Со значением «цэ» нельзя отождествлять конкретные координаты фокусов! Повторюсь, что – это РАССТОЯНИЕ от каждого из фокусов до центра (который в общем случае не обязан располагаться именно в начале координат). И, следовательно, расстояние между фокусами тоже нельзя привязывать к каноническому положению эллипса. Иными словами, эллипс можно перенести в другое место и значение останется неизменным, в то время как фокусы, естественно, поменяют свои координаты. Пожалуйста, учитывайте данный момент в ходе дальнейшего изучения темы. Едем дальше: Эксцентриситет эллипса и его геометрический смысл Эксцентриситетом эллипса называют отношение принимать значения в пределах . , которое может В нашем случае: Выясним, как форма эллипса зависит от его эксцентриситета. Для этого зафиксируем левую и правую вершины рассматриваемого эллипса, то есть, значение большой полуоси будет оставаться постоянным. Тогда формула эксцентриситета примет вид: . Начнём приближать значение эксцентриситета к единице. Это возможно только в том случае, если . Что это значит? …вспоминаем про фокусы . Это значит, что фокусы эллипса будут «разъезжаться» по оси абсцисс к боковым вершинам. И, поскольку «зелёные отрезки не резиновые», то эллипс неизбежно начнёт сплющиваться, превращаясь всё в более и более тонкую сосиску, нанизанную на ось . Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета эллипса к единице, тем эллипс более продолговат. Теперь смоделируем противоположный процесс: фокусы эллипса пошли навстречу друг другу, приближаясь к центру. Это означает, что значение «цэ» становится всё меньше и, соответственно, эксцентриситет стремится к нулю: . При этом «зелёным отрезкам» будет, наоборот – «становиться тесно» и они начнут «выталкивать» линию эллипса вверх и вниз. Таким образом, чем ближе значение эксцентриситета к нулю, тем эллипс больше похож на… смотрим предельный случай , когда фокусы успешно воссоединились в начале координат: Окружность – это частный случай эллипса Действительно, в случае равенства полуосей каноническое уравнение эллипса принимает вид , который рефлекторно преобразуется к – хорошо известному из школы уравнению окружности с центром в начале координат радиуса «а». На практике чаще используют запись с «говорящей» буквой «эр»: . Радиусом называют длину отрезка , при этом каждая точка окружности удалена от центра на расстояние радиуса. Заметьте, что определение эллипса остаётся полностью корректным: фокусы совпали , и сумма длин совпавших отрезков для каждой точки окружности – есть величина постоянная. Так как расстояние между фокусами , то эксцентриситет любой окружности равен нулю. Строится окружность легко и быстро, достаточно вооружиться циркулем. Тем не менее, иногда бывает нужно выяснить координаты некоторых её точек, в этом случае идём знакомым путём – приводим уравнение матановскому виду: к бодрому – функция верхней полуокружности; – функция нижней полуокружности. После чего находим нужные значения, дифференцируем, интегрируем и делаем другие хорошие вещи. Статья, конечно, носит справочный характер, но как на свете без любви прожить? Творческое задание для самостоятельного решения Пример 2 Составить каноническое уравнение эллипса, если известен один из его фокусов и малая полуось (центр находится в начале координат). Найти вершины, дополнительные точки и изобразить линию на чертеже. Вычислить эксцентриситет. Решение и чертёж в конце урока Добавим экшена: Поворот и параллельный перенос эллипса Вернёмся к каноническому уравнению эллипса , а именно, к условию , загадка которого терзает пытливые умы ещё со времён первого упоминания о данной кривой. Вот мы рассмотрели эллипс разве на практике не может встретиться уравнение здесь , но ? Ведь , однако, это вроде бы как тоже эллипс! Подобное уравнение нечасто, но действительно попадается. И оно действительно определяет эллипс. Развеем мистику: В результате построения получен наш родной эллипс, повёрнутый на 90 градусов. То есть, запись эллипса – это неканоническая . Запись! – уравнение не задаёт какой-то другой эллипс, поскольку на оси не существует точек (фокусов), которые бы удовлетворяли определению эллипса. Как быть, если такое чудо-яйцо всё-таки встретилось на жизненном пути? В том случае если вам предложено построить эллипс, то, наверное, лучше построить его в нестандартном виде. С вершинами и дополнительными точками, думаю, трудностей не возникнет. Но если вам предложено найти фокусы, эксцентриситет и т.д., то настоятельно рекомендую начать (или продолжить после чертежа) решение так: «Повернём эллипс на 90 градусов и перепишем его уравнение каноническом виде: в » – дальше по обычной схеме. ! Примечание: в теории принято поворачивать не саму фигуру, а оси! И если от вас требуется именно ПРИВЕСТИ уравнение к каноническому виду, то решение, строго говоря, следует оформить иначе: «Перейдём к новой прямоугольной системе координат , повернув координатные оси на 90 градусов против часовой стрелки, и запишем уравнение эллипса в каноническом виде: ». Впрочем, эрудиты могут встать на скользкую дорожку путаницы, модифицировав все расчёты с учётом поворота. Но всё равно не советую. Потому что ребячество. Ведь эллипс можно повернуть и на другой угол =) Об этом мы ещё поговорим позже. В практических задачах гораздо чаще встречается параллельный перенос эллипса: Уравнение задаёт эллипс с большой полуосью «а», малой полуосью «бэ» и центром симметрии в точке Изобразим на чертеже эллипс формуле: точку . . Согласно , то есть наш подопытный эллипс «переехал» в : Значения остались прежними, а вот фокусы, разумеется, мигрировали, и формулы их координат нужно модифицировать поправками на соответствующие сдвиги: Здесь всё обходится значительно проще, чем при повороте, и если по условию не нужно приводить уравнение к каноническому виду, то лично я предпочту оставить его в виде . Что делать, если нужно приводить? «Чайникам» в большинстве случаев простят фразу: «Осуществим параллельный перенос эллипса в начало координат и перепишем уравнение в каноническом виде: ». Но академический подход предполагает параллельный перенос не самой фигуры, а системы координат! Поэтому людям, изучающим высшую математику по профилю и/или углублённо, гораздо лучше завернуть примерно следующее: «С помощью параллельного переноса исходной системы координат перейдём к новой прямоугольной системе координат в точке с началом и запишем уравнение эллипса в каноническом виде ». На самом деле упрощенная версия формулы нам знакома ещё со школьных времён: Уравнение точке задаёт окружность радиуса с центром в . Освежая ностальгические воспоминания, изобразим на чертеже окружность, заданную уравнением : В исследовательских целях приведём наше уравнение к общему виду, выполнив возведение в квадрат и приведение подобных слагаемых: – как правило, в таком обличье оно и встречается в природе. Таким образом, в практических задачах часто предварительно нужно выполнить обратное действие – выделить полные квадраты. Данный приём подробно разобран на уроках о геометрических преобразованиях графиков и интегрировании дробей. Хотя следующий простой пример не должен вызвать у вас затруднений даже без отработки данного метода: Пример 3 Построить график линии, заданной уравнением Решение и чертёж в конце урока. На практике эллипс (как и другие линии) может быть одновременно повёрнут на любой угол относительно своего канонического положения и перенесен в любую точку, отличную от начала координат. В таком случае решается типовая задача приведения линии 2-го порядка к каноническому виду, к которой я потихоньку начал вас готовить уже сегодня. Ну а пока самое время перейти ко второй части лекции, где жертвами станут гипербола и парабола. Решения и ответы: Пример 2: Решение: поскольку фокусы канонически расположенного эллипса имеют координаты до начала координат равно: По условию известно значение , то расстояние от каждого из фокусов . , из соотношения Запишем каноническое уравнение эллипса: Вершины эллипса расположены в точках Найдём дополнительные точки: Выполним чертёж: . находим: Вычислим эксцентриситет: Пример 3: Решение: выделим полный квадрат: – окружность радиуса Выполним чертёж: с центром в точке . Гипербола и парабола Переходим ко второй части статьи о линиях второго порядка, посвященной двум другим распространённым кривым – гиперболе и параболе. Если вы зашли на данную страницу с поисковика либо ещё не успели сориентироваться в теме, то рекомендую сначала изучить первый раздел урока, на котором мы рассмотрели не только основные теоретические моменты, но и познакомились с эллипсом. Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =) Гипербола и её каноническое уравнение Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса, здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ». Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции …. У гиперболы две симметричные ветви. У гиперболы две асимптоты. Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии: Пример 4 Построить гиперболу, заданную уравнением Решение: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20: Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной: И только после этого провести сокращение: Выделяем квадраты в знаменателях: Готово. Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей уже не обойтись: Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением : Как построить гиперболу? Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический. С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты. Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии: 1) Прежде всего, находим асимптоты. Если гипербола задана каноническим уравнением , то её асимптотами являются прямые . В нашем случае: . Данный пункт обязателен! Это принципиальная особенность чертежа, и будет грубой ошибкой, если ветви гиперболы «вылезут» за свои асимптоты. 2) Теперь находим две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках каноническое уравнение что . Выводится элементарно: если превращается в , то , откуда и следует, . Рассматриваемая гипербола имеет вершины 3) Ищем дополнительные точки. Обычно хватает двух-трёх. В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для 1-й координатной четверти. Методика точно такая же, как и при построении эллипса. Из канонического уравнения выражаем: Уравнение распадается на две функции: на черновике – определяет верхние дуги гиперболы (то, что нам надо); – определяет нижние дуги гиперболы. Напрашивается нахождение точек с абсциссами : 4) Изобразим на чертеже асимптоты , вершины , дополнительные и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединим соответствующие точки у каждой ветви гиперболы: Техническая трудность может возникнуть с иррациональным угловым коэффициентом Отрезок называют действительной осью гиперболы, его длину число число , но это вполне преодолимая проблема. – расстоянием между вершинами; называют действительной полуосью гиперболы; – мнимой полуосью. В нашем примере: , и, очевидно, если данную гиперболу повернуть вокруг центра симметрии и/или переместить, то эти значения не изменятся. Определение гиперболы. Фокусы и эксцентриситет У гиперболы, точно так же, как и у эллипса, есть две особенные точки , которые называются фокусами. Не говорил, но на всякий случай, вдруг кто неверно понимает: центр симметрии и точки фокуса, разумеется, не принадлежат кривым. Общая концепция определения тоже похожа: Гиперболой называют множество всех точек плоскости, абсолютное значение разности расстояний до каждой из которых от двух данных точек – есть величина постоянная, численно равная расстоянию между вершинами этой гиперболы: . При этом расстояние между фокусами превосходит длину действительной оси: . Если гипербола задана каноническим уравнением , то расстояние от центра симметрии до каждого из фокусов рассчитывается по формуле: . И, соответственно, фокусы имеют координаты Для исследуемой гиперболы : Разбираемся в определении. Обозначим через фокусов до произвольной точки . расстояния от гиперболы: Сначала мысленно передвигайте синюю точку по правой ветви гиперболы – где бы мы ни находились, модуль (абсолютное значение) разности между длинами отрезков будет одним и тем же: Если точку «перекинуть» на левую ветвь и перемещать её там, то данное значение останется неизменным. Знак модуля нужен по той причине, что разность длин может быть как положительной, так и отрицательной. Кстати, для любой точки правой ветви точки (поскольку отрезок короче отрезка левой ветви ситуация ровно противоположная и Более того, ввиду очевидного свойства модуля безразлично, что из чего вычитать. ). Для любой . Удостоверимся, что в нашем примере модуль данной разности действительно равен расстоянию между вершинами. Мысленно поместите точку в правую вершину гиперболы и требовалось проверить. , что . Тогда: Эксцентриситетом гиперболы называют отношение . Так как расстояние от центра до фокуса больше расстояния от центра до вершины: , то эксцентриситет гиперболы всегда больше «единицы»: Для данного примера: . . По аналогии с эллипсом, зафиксировав значение , желающие могут провести самостоятельный анализ и проверку следующих фактов: При увеличении эксцентриситета ветви гиперболы «распрямляются» к оси . В предельном случае они стремятся занять положение двух прямых, проходящих через точки параллельно оси ординат. Если же значение эксцентриситета приближается к единице, то ветви гиперболы «сплющиваются» к оси . Равносторонняя гипербола На практике часто встречается гипербола с равными полуосями. Если каноническое уравнение , то заметно упрощается: А вместе с ним упрощаются и уравнения асимптот: Прямые пересекаются под прямым углом и «справедливо» делят координатную плоскость на 4 одинаковые части, в двух из которых находятся ветви кривой. Образно говоря, равносторонняя гипербола «идеально сложена», то есть и не растянута и не сплющена. Так как , то , следовательно, эксцентриситет любой равносторонней гиперболы равен: . Предлагаю закрепить теорию и практические навыки миниатюрной задачей: Пример 5 Построить гиперболу и найти её фокусы. Это пример для самостоятельного решения. Кто пропустит, тот пропустит многое ;-) Решение и чертёж в конце урока. Начнём тревожить беззаботное существование нашей кривой: Поворот вокруг центра и параллельный перенос гиперболы Вернёмся к демонстрационной гиперболе . Что произойдёт, если в полученном уравнении поменять значения полуосей: ? Для эллипса данный трюк означал поворот на 90 градусов. Но здесь всё иначе! Уравнение определяет совершенно другую гиперболу. Ну, хотя бы обратите внимание на иные вершины: . Теперь рассмотрим уравнение , которое очевидно тоже задаёт гиперболу. Однако к исходному уравнению оно также не имеет никакого отношения! Это предыдущая гипербола, повёрнутая на 90 градусов, с вершинами И, наконец, оставшийся случай на оси ординат. задаёт нашу гиперболу , повернутую на 90 градусов. Как быть, если в практической задаче встретилась такая неканоническая запись? Если требуется только построить кривую, то строим её в предложенном виде. Это довольно просто. Уравнения асимптот гиперболы обладают обратными угловыми коэффициентами: Поскольку оси «поменялись ролями», то вершины будут расположены на оси ординат в точках . Выразим верхнюю ветвь гиперболы: И найдём несколько дополнительных точек: Выполним чертёж: Помимо геометрии, похожие графики требуется строить в некоторых задачах математического анализа. Однако по возможности всё-таки лучше осуществить поворот на 90 градусов и переписать уравнение в канонической форме. Для этого следует поменять местами значения полуосей и переставить «минус» к переменной «игрек»: . И далее работать уже с каноническим уравнением. ! Примечание: строгий теоретический подход предполагает поворот координатных осей, а не самой линии. При необходимости оформляйте решение по аналогии с соответствующим примечанием предыдущего урока. Параллельный перенос. Уравнение задаёт гиперболу с действительной полуосью «а», мнимой полуосью «бэ» и центром в точке . Так, например, гипербола имеет центр симметрии в точке . Асимптоты, само собой, переместились вместе с гиперболой, их уравнения отыскиваются по формулам: Полуоси и расстояние от фокусов до центра симметрии остались прежними, а вот координаты фокусов изменились с учётом параллельного переноса: Параллельный перенос гиперболы доставил заметно больше хлопот, чем параллельный перенос эллипса, смотрим на картинку: После таких трудов, уравнение трогать бессмысленно, но если таки просят, то придётся…. В нестрогом варианте: «Приведём уравнение гиперболы каноническому виду путём параллельного переноса в начало координат: к ». Или в строгом – с параллельным переносом системы координат началом в точку (см. шаблон у эллипса). На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. Парабола и её каноническое уравнение Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция Очевидно, что парабола симметрична относительно оси париться: – нижнюю ветвь. . Собственно, чего Пример 6 Построить параболу Решение: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение уравнение определяет верхнюю дугу параболы, – нижнюю дугу. В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» : Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу. Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое определение параболы: Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку . Точка называется фокусом параболы, прямая – директрисой (пишется с одной «эс») параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае координаты В нашем примере . При этом фокус имеет , а директриса задаётся уравнением . : Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы): Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение. Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси Эксцентриситет любой параболы равен единице: Поворот и параллельный перенос параболы Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой. ! Примечание: как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях. 1) Поворот вокруг вершины. Если в уравнении присутствует знак «минус»: , то это означает разворот параболы на 180 градусов относительно своего канонического положения. А если в уравнении переменные «поменялись местами»: , то это означает поворот канонической параболы на 90 градусов против часовой стрелки. На следующем чертеже изображены графики кривых : Оба уравнения задают неканоническое расположение нашей подопытной параболы , причём во втором случае легко получить функциональную запись, к которой мы привыкли в курсе математического анализа: . Таким образом, все параболы, с которыми мы обычно работаем – не каноничны! Я очень хотел «уложить на бок» классическую параболу разобрать каноническое уравнение малый фокальный параметр фокуса невразумителен. , но, к сожалению, у неё достаточно , и чертеж с точкой , директрисой и был бы крайне 2) Параллельный перенос. Без всякой оригинальности. Уравнение точке задаёт ту же параболу с вершиной в . По моим наблюдениям, во многих задачах матана очень популярен частный случай – когда каноническая парабола сдвигается влево или вправо по оси абсцисс. Ну, и как дополнительная опция, разворачивается, если при переменной «икс» есть знак «минус». Соответствующее творческое задание для самостоятельного решения: Пример 7 Построить параболу . Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокус и уравнение директрисы. Как лучше действовать? По условию требуется построить параболу . Именно такую – в неканоническом виде! Поэтому в первой части задачи следует представить уравнение в виде , что позволит сразу определить вершину. Затем по образцу Примера 6 нужно провести поточечное построение линии, работая с уравнениями . Вторая часть задания предполагает приведение уравнения к каноническому виду. Проанализируйте равенство – есть ли поворот, есть ли параллельный перенос? После того, как выясните каноническую запись , необходимо найти фокус параболы и уравнение её директрисы. Обратите внимание, что в контексте условия это, вероятнее всего, нужно сделать в каноническом положении! Ну, а наша обзорная экскурсия подошла к концу, и я надеюсь, что у вас не возникло и не возникнет трудностей с тремя атлантами темы – эллипсом, гиперболой и параболой. Предлагаю узнать новый теоретический материал и закрепить практические навыки на уроке Задачи с линиями 2-го порядка. Желаю успехов! Решения и чертежи: Пример 5: Решение: данная гипербола является равносторонней, поэтому имеет асимптоты . Действительная полуось , значит, вершины расположены в точках точки: Определим координаты фокусов: Выполним чертёж: . Найдём дополнительные Перед вами «школьная» гипербола в каноническом положении. График функции получается путём поворота (вокруг начала координат) построенного графика на 45 градусов против часовой стрелки (а если строже – путём поворота системы координат на противоположно ориентированный угол в «минус» 45 градусов). И в общем случае – график обратной пропорциональности представляет собой равностороннюю гиперболу, уравнение которой можно привести к каноническому виду . Пример 7: Решение: преобразуем уравнение: Вершина параболы находится в точке помощью уравнений Выполним чертёж: , ветви направлены влево. С найдём дополнительные точки: Парабола получена путём поворота параболы градусов и её параллельного переноса в точку уравнения находим фокальный параметр на 180 . Из канонического , фокус и уравнение директрисы . Примечание: в случае необходимости нетрудно найти координаты фокуса и уравнение директрисы неканонически расположенной параболы Учитывая поворот и параллельный перенос: . . Задачи с линиями 2-го порядка. Как найти геометрическое место точек? Данный практикум представляет собой логическое продолжение лекции о линиях второго порядка и её популярных представителях – эллипсе, гиперболе и параболе. Сегодня мы закрепим пройденный материал многочисленными задачами, и, кроме того, дополним теоретический багаж знаниями, которые я намеренно скрыл на первых занятиях, чтобы не перегружать «чайников» новой информацией. Признаюсь честно, ненавижу вымучивать первые абзацы своих статей (особенно, когда готов чёткий план урока), поэтому разольём кофе по чашкам, сядем в круг и перейдём к обсуждению вопросов по существу. В самостоятельных и контрольных работах наиболее часто встречаются следующие задания: – Найти геометрическое место точек (или составить уравнение множества точек), каждая из которых удовлетворяет определённым аналитическим условиям. Безусловно, данная формулировка является общей и не факт, что в итоге должна получиться обязательно линия, и обязательно второго порядка. Однако в контексте рассматриваемой темы эти магические слова практически всегда вызывают к жизни уравнение эллипса, окружности, гиперболы либо параболы. – Привести уравнение линии 2-го порядка к каноническому виду. Понятие канонического вида уравнения, а также некоторые элементы этой задачи многим читателям уже знакомы, и в ближайшем будущем вам представится отличная возможность продвинуться дальше. Нередко оба блюда подаются за один раз, то есть сначала требуется составить уравнение линии, а затем привести его к каноническому виду + в качестве десерта найти вершины, фокусы, эксцентриситет, директрисы, выполнить чертёж и т.д. Как гостеприимный хозяин заведения постараюсь всех накормить досыта, да так – чтобы некоторые не только с трудом вышли из-за стола, но и остались здесь на ночёвку =) Начислим для аппетита: Задача 1 Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки в два раза больше, чем от точки . Выполнить чертёж. Привести полученное уравнение к каноническому виду. Решение данной задачи всегда начинается стандартно – в рассмотрение вводится некоторая точка принадлежит искомой линии. с переменными координатами, которая Таким образом, наша аналитическая формулировка конкретизируется следующим образом: «составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой от точки в два раза больше, чем от точки ». Немного приостановимся и ответим на ключевой вопрос: о чём здесь идёт речь? Очевидно, что задач можно придумать бесконечно много, поэтому, в первую очередь необходимо правильно понять условие. А речь здесь идёт о расстоянии от точки «а» до точки «эм» и о расстоянии от точки «бэ» до той же точки «эм». Формула длины отрезка нам хорошо знакома ещё с первого урока по аналитической геометрии. Напоминаю: расстояние между двумя точками рассчитывается по формуле . Запишем длины соответствующих отрезков: для точек расстояние для точек расстояние ; . Теперь нужно составить уравнение. Согласно условию, расстояние раза больше расстояния в два , следовательно, справедливо равенство: Или: Уравнение успешно составлено, но какую линию оно задаёт – совершенно не понятно. Поэтому дальнейшие действия состоят в упрощении полученной конструкции, и сейчас мы ознакомимся с типовым техническим алгоритмом. Во-первых, избавимся от корней. Для этого возведём в квадрат обе части: активно пользуясь формулами сокращенного умножения, раскроем все скобки: перенесём всё в левую часть и приведём подобные слагаемые: разделим каждое слагаемое на –3: Получено уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Уже лучше, однако, и оно как неведома зверушка. По этой причине вторая часть преобразований состоит в попытке приведения уравнения к каноническому виду. Перед нами не самый тяжёлый случай, который уже фигурировал в конце статьи о линиях второго порядка. Искусственным приёмом выделяем полные квадраты: и завершающим штрихом рождаем квадрат в правой части: – уравнение окружности с центром в точке радиуса . Возьмём в руки остроногого друга: Не лишней будет кустарная, но эффективная геометрическая проверка. По условию для любой точки быть в 2 раза больше расстояния построенной линии расстояние должно . Мысленно выбираем наиболее удобную точку нашей окружности и убеждаемся в справедливости данного соотношения. В целях контроля можно взять ещё какую-нибудь точку и измерить длины отрезков обычной линейкой. Заключительная часть задания состоит в приведении уравнения линии к каноническому виду. Центр канонической окружности должен располагаться в начале координат, и, как я неоднократно оговаривался, есть два способа разрулить ситуацию. Первый, более простой метод: 1) Приведём уравнение окружности к каноническому виду путём её параллельного переноса центром в начало координат: Второй, более солидный и правильный метод: 2) Осуществим параллельный перенос прямоугольной системы координат началом в точку : Иными словами, мы перешли к новой системе координат ТАК, чтобы уравнение нашей окружности записалось в ней каноническим образом: . На первый взгляд кажется нелепым менять систему координат из-за однойединственной линии, но на самом деле этот подход более корректен, и об одной простой причине его корректности я расскажу на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду. Ответ: искомая линия с центром в точке уравнение: приведения). представляет собой окружность радиуса . Каноническое (либо в зависимости от способа Аналогичный пример для самостоятельного решения: Задача 2 Составить уравнение множества точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний от точек равна 20. Определить тип линии, выполнить чертёж и привести уравнение к каноническому виду. Указать координаты фокусов, записать уравнение асимптот, если они есть. Вычислить эксцентриситет кривой. Краткое оформление и чертёж в конце урока. Систематизируем порядок решения данной задачи: На первом шаге необходимо рассмотреть точку с неизвестными координатами, которая принадлежит искомому множеству точек, и разобраться в условии задачи. Как правило, в нём говорится о расстояниях от точки «эм» до других точек и/или других линий, а также о соотношениях этих длин. На втором шаге следует найти длины нужных отрезков и в соответствии с аналитическим условием задачи составить уравнение. На третьем шаге осуществляем упрощение полученного уравнения. Сначала приводим его к общему виду, а затем к форме, которая близкА к канонической. В некоторых задачах сразу получается каноническое уравнение. На четвёртом шаге – чертёж. На пятом – приведение к каноническому виду. На шестом – фокусы, асимптоты, эксцентриситет. Напоминаю, что находить их гораздо удобнее именно из канонической записи. На практике чаще всего заданий меньше, так, в некоторых случаях не надо приводить уравнение к каноническому виду, а в самой компактной версии не требуется и чертёжа – достаточно лишь упростить уравнение и назвать линию. Я специально «нагружаю» условия задач, чтобы образцы решений годились «на все случаи жизни». Но, тем не менее, надрываться тоже не будем, и разогреемся парой новых коктейлей: Задача 3 Составить уравнение множества точек, для каждой из которых квадрат расстояния до точки на 16 больше квадрата расстояния до оси ординат. Решение: Пусть точка принадлежит искомому множеству. Тогда: Примечание: строго говоря, в соответствии с формулировкой условия нужно рассмотреть (та же самая длина), но в этой и других задачах мы пренебрежём данной логической неточностью. Чему равно расстояние от точки до оси ординат? Можно воспользоваться стандартной формулой расстояния от точки до прямой, но если немного подключить воображение, то легко понять, что расстояние от любой точки до оси равно модулю её «иксовой» координаты: По условию на 16 больше, чем справедливо следующее равенство: (либо Таким образом: Раскручиваем гайки: ) , следовательно, «Иксы в квадрате» взаимоуничтожаются, и, очевидно, уравнение нужно максимально приблизить к каноническому виду – парабола с вершиной в точке параметром : , фокальным . Ответ: искомое множество точек представляет собой параболу Если дополнительно требуется привести уравнение линии к каноническому виду, то в данном примере это осуществляется элементарно: 1) Приведём уравнение параболы к каноническому виду путём её параллельного переноса центром в начало координат: 2) Перейдём к новой прямоугольной системе координат с центром в точке . , тогда уравнение параболы примет вид: Чертёж приводить не буду, поскольку параболу хотели. мы уже вертели, как Задача 4 Составить уравнение множества точек, для каждой из которых расстояние до точки равно расстоянию до оси абсцисс. Выполнить чертёж. Привести уравнение к каноническому виду. В образце решения последний пункт реализован обоими способами. Разобранные задачи с окружностями (особенно часто), параболами встречаются и в школьной программе. Ну а на нашей тусовке 18+ становится всё жарче – снимайте джемперы и пиджаки: Задача 5 Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Сделать чертеж. Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и директрисы (если они существуют). Решение: пусть точка принадлежит искомому множеству точек. В задаче говорится о расстоянии: , а также о расстоянии от точки до прямой, которое вычисляется по формуле , где – соответствующие коэффициенты общего уравнения прямой «дэ», «эм». – координаты точки В данном случае: . По условию для каждой точки отношение расстояния к расстоянию должно быть равно . А что такое отношение? Отношение – это пропорция, или попросту дробь: Уравнение составлено, но его вид оставляет желать лучшего. Сначала избавимся от трёхэтажной дроби. Для этого знаменатель левой части (дробь) перекинем направо: Сократим на : Чтобы окончательно избавиться от дробей, «поднимем тройку» на левый берег: Дальнейшие упрощения приобретают знакомые очертания. Возводим обе части в квадрат и раскрываем скобки: Перенесём всё налево и причешем слагаемые: Читатели с хорошим и высоким уровнем подготовки, разумеется, могут немного видоизменять вычисления и сокращать запись, выполняя некоторые действия в уме. Разделим обе части на 36: Организуем трёхэтажные дроби: И выполним деление: Почему целесообразен именно такой алгоритм, подробно закомментировано в Примере 4 статьи о гиперболе и параболе. В результате: – эллипс с центром в начале координат, полуосями . Обратите внимание, что такая формулировка однозначно определяет эллипс и добавлять что-либо излишне. Изобразим на чертеже найденный эллипс, точку прямую и : Геометрическая проверка тут затруднена, но с другой стороны и не сверхъестественна. Возьмём какую-нибудь точку эллипса, проще всего рассмотреть Для неё: . . По условию отношение должно равняться . Проверяем: требовалось проверить. , что и На практике можно выбрать любую точку эллипса, измерить расстояния линейкой, разделить на с помощью калькулятора и удостовериться, что получилось примерно . В данной задаче уравнение линии нарисовалось сразу в каноническом виде, что облегчает решение. Осталось разобраться с фокусами, эксцентриситетом, асимптотами и директрисами. Очевидно, что у эллипса отсутствуют асимптоты. Вычислим и запишем фокусы эллипса: . Первый фокус совпал с точкой Найдём эксцентриситет: . . По ещё одному странному совпадению эксцентриситет оказался равен отношению . …однако, совпадения ли это? Директрисы эллипса Директриса, как вы помните из материалов о параболе, – это прямая. Причём прямая с армией горячих поклонников :D ...ну что же, шалуны, завидуйте, у эллипса их две! Эллипс имеет две директрисы, и в каноническом положении задаются уравнениями эксцентриситет данного эллипса. , где «эпсилон» – они Для нашего героя : Так и есть, первая директриса полностью совпала с прямой «дэ». Более того, в условии задачи фактически сформулирована следующая теорема аналитической геометрии: Эллипс – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния до каждой точки от фокуса к расстоянию от неё до соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету: То есть, для любой точки фокуса эллипса отношение её расстояния от к расстоянию от неё же до ближайшей директрисы точности равно эксцентриситету: . Со вторым фокусом и второй директрисой аналогичная история, какую бы точку эллипса мы ни взяли – будет справедливо отношение: в Ответ: искомое геометрическое место точек представляет собой эллипс с фокусами и эксцентриситетом Уравнения директрис: . . Похожий пример для самостоятельного решения: Задача 6 Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой постоянно и равно . Выполнить чертеж. Привести уравнение линии к каноническому виду, найти фокусы, эксцентриситет, асимптоты и директрисы, если они существуют. В образце решения концовка реализована обоими способами, выбирайте версию, которая более уместна в вашем курсе высшей математики. Наша вечеринка в самом разгаре, и вокруг происходит столько интересного, что, порой, и говорить об этом неловко =) Зажигаем дальше! Задача 7 Составить уравнение линии, для каждой из которых разность расстояний до точек и по модулю равна 8. Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж. Найти асимптоты, фокусы, эксцентриситет и директрисы, если они существуют. Решение: пусть точка принадлежит искомой линии. Тогда: По условию: Или: Кстати, ничего не напоминает? Внимательные читатели уже определили линию ;-) Корни? Модуль? Застрелитесь! Ерунда! От модуля избавляемся немедленно: Теперь нужно избавиться от радикалов. Возводить в квадрат сразу – идея плохая (можете попробовать), поэтому разведём корни по углам ринга: Ну вот, теперь совсем другое дело: Успехи есть, но один корень остался. Оставим нашего зловреда в одиночестве и максимально упростим левую часть уравнения: Возводим в квадрат обе части ещё раз, и заметьте, как попутно и совершенно спокойно исчезает знак «+–»: Перебросим всё направо и «развернём» уравнение: Получено уравнение линии 2-го порядка в общем виде. Выделяем полный квадрат при переменной «игрек», для этого вынесем «минус девять» за скобку: Далее внутри скобки искусственно добавляем +25 (в целях применения формулы на следующем шаге) и, чтобы уравнение не изменилось, за скобками нужно прибавить : Хорошо осмыслите выполненное действие – фишка распространённая. Собираем квадрат разности и допиливаем константы: Вот тебе и раз. По всем признакам мыльная опера должна была закончиться гиперболой , но у нас «лишний» минус. Выполним проверку и раскроем скобки (что желательно сделать в любом случае)… нет, всё верно – получается исходное общее уравнение Изменим знаки у обеих частей: . Уже ближе к правде, но «минус» оказался «не на своём месте». В главе о повороте и параллельном переносе гиперболы я рассказывал, что это признак поворота данной кривой на 90 градусов относительно своего канонического положения. Но давайте сначала доведём до ума уравнение. Делим обе части на 144: И завершающий тонкий тюнинг: – вот она, долгожданная гипербола, удовлетворяющая условию задачи, ...которое фактически представляет собой определение гиперболы =) По условию требуется сначала привести уравнение к каноническому виду, и только потом выполнить чертёж. Дабы не превысить точку кипения серого вещества, применим упрощенную схему. Однако случай всё равно не самый простой. Центр симметрии нашей подопечной находится в точке кроме того, она повёрнута на 90 градусов вокруг этой точки , и, На первом шаге осуществим параллельный перенос гиперболы ТАК – чтобы её центр оказался в начале координат. В результате получится уравнение: . Вторым действием повернём гиперболу вокруг начала координат на 90 градусов, при этом меняем местами значения полуосей и перебрасываем «минус» к переменной «игрек»: В принципе, операции перестановочны, т.е. сначала можно было повернуть вокруг точки , а потом перенести центр в начало координат. Но тут промежуточное уравнение (после поворота) будет другим: Не забывая про асимптоты , выполним чертёж: Еще раз: где изначально расположена гипербола? В точке (центр симметрии), ветви направлены вверх и вниз. И если по условию вам требуется построить график , то руководствуйтесь алгоритмом, разобранным в начале урока Гипербола и парабола. Но работать гораздо удобнее с приведённым уравнением. Найдём фокусы: В случае перечисленных выше преобразований они как раз и «переезжают» в точки условия задачи. Вычислим эксцентриситет: Директрисы гиперболы У гиперболы, точно так же, как у эллипса, две директрисы. В каноническом случае они расположены между ветвями гиперболы и задаются такими же уравнениями эксцентриситет данной гиперболы. , где «эпсилон» В рассматриваемом примере: Более того, для гиперболы справедлива абсолютно такая же теорема: Гипербола – есть множество всех точек плоскости, таких, что отношение расстояния до каждой точки от фокуса к расстоянию от неё до соответствующей (ближайшей) директрисы равно эксцентриситету: То есть, для любой точки фокуса гиперболы отношение её расстояния от к расстоянию от неё же до ближайшей директрисы эксцентриситету: Для пары и любой точки равно . гиперболы (ради разнообразия я выбрал демонстрационную точку дальней ветви) отношение такое же: К слову, у параболы с её единственным фокусом и единственной директрисой по определению эти длины относятся «один к одному», поэтому эксцентриситет любой параболы и равен единице. Ответ: искомая линия представляет собой гиперболу центром симметрии в точке и повёрнутую на 90 градусов относительно своего канонического положения. Канонический вид уравнения: фокусы: с , эксцентриситет: директрисы: , асимптоты: , , . Очень хотелось упростить пример, но он взят из конкретной работы, поэтому пришлось с упорным занудством разобрать все-все-все тонкости и технические приёмы. Налью всем по стакану молока за вредность и подкину задание для самостоятельного решения: Задача 8 Найти уравнение геометрического места точек, для каждой из которых отношение расстояния до точки к расстоянию до прямой . Сделать точный чертеж. постоянно и равно Подумайте, о какой это точке и о какой прямой шепчет условие ;-) Героически разбираемся с решением и чертежом, после чего с чистой душой и лёгким сердцем засыпаем на раскладушках возле мониторов, чтобы проснуться к следующиму занятию со свежими головами и розовыми лицами. Спокойной ночи! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Пусть точка точек. Тогда: По условию: Или: Упростим уравнение: принадлежит искомому множеству Выделим полные квадраты: – окружность с центром в точке радиуса Выполним чертеж: Приведём уравнение к каноническому виду. 1) Способ первый. Осуществим параллельный перенос окружности центром в начало координат: . 2) Способ второй. С помощью параллельного переноса перейдём от исходной к новой прямоугольной системе координат точке с началом в . Таким образом, уравнение окружности запишется в каноническом виде: . Ответ: уравнение искомого множества точек окружность с центром в точке радиуса задаёт . Канонический вид уравнения: (или в зависимости от способа). Фокусы окружности совпадают и находятся в её центре. У окружности отсутствуют асимптоты. Эксцентриситет любой окружности равен нулю. Пример 4: Решение: пусть точка точек. Тогда: По условию: принадлежит искомому множеству – парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной и фокальным параметром : Примечание: аналитическое условие задачи формулирует определение данной параболы, т.е. точка является её фокусом, а ось абсцисс – директрисой. Приведём уравнение кривой к каноническому виду: 1) Осуществим параллельный перенос параболы начало координат: стрелке: и повернём её на 90 градусов по часовой . Либо так: повернём параболу градусов относительно точки координат: вершиной в по часовой стрелке на 90 : и перенесём её в начало . 2) Повернём прямоугольную систему координат на 90 градусов против часовой стрелки и перенесём её началом координат в точку новой системе координат уравнение данной параболы примет . Тогда в канонический вид Ответ: . – парабола. Каноническое уравнение: (либо в зависимости от способа приведения). Пример 6: Решение: пусть точка точек. Тогда: принадлежит искомому множеству По условию: Приведем уравнение к каноническому виду: – эллипс с центром в начале координат и полуосями, равными 1 и 2. Примечание: здесь нежелательна формулировка «с полуосями », поскольку буквой «а» стандартно обозначают большую полуось, а «единица» таковой не является по причине неканонического положения эллипса. Выполним чертеж: Приведём уравнение к каноническому виду: 1) Способ первый. Повернём эллипс вокруг центра на 90 градусов: . Вычислим и запишем фокусы: . Найдём эксцентриситет: . Директрисы эллипса задаются уравнениями данном случае: ,в Ответ: искомое множество точек представляет собой эллипс Канонический вид уравнения: эксцентриситет: . Фокусы: . , , директрисы: . 2) Способ второй. Используем поворот координатных осей на 90 градусов против часовой стрелки, то есть, перейдём к новой системе координат ось (ось совпадёт с осью старой системы координат, а будет противоположно направлена к оси ). Тогда: . ! Все дальнейшие действия проводятся в новой системе координат – с переменными ! Вычислим и запишем фокусы эллипса: . Эксцентриситет: . Директрисы эллипса задаются уравнениями данном случае: ,в Ответ: искомое множество точек представляет собой эллипс Канонический вид уравнения: эксцентриситет: . Фокусы: , директрисы: Пример 8: Решение: Пусть точка точек. Тогда: . Упростим уравнение: , . принадлежит искомому множеству , По условию: . – каноническое уравнение гиперболы с действительной полуосью , мнимой полуосью . Выполним чертёж: Ответ: Примечание: точка является вторым фокусом гиперболы, прямая – второй директрисой, а их отношение эксцентриситетом. – Как привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду? Задача приведения уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду следовала за нами практически с самого начала изучения темы и сейчас мы окончательно разберёмся, как общее уравнение линии второго порядка (здесь и далее подразумевается, что не равны одновременно нулю) свести к одному из девяти канонических случаев. В статьях об эллипсе, гиперболе и параболе, а также на практикуме Задачи с линиями второго порядка очень подробно отработан частный случай уравнения, когда коэффициент : Пожалуйста, внимательно посмотрите на своё уравнение, которое вам нужно привести к каноническому виду – есть ли в нём слагаемое, которое содержит произведение ? Если такого слагаемого нет, то вам хватит материалов перечисленных выше уроков. Если же такое слагаемое есть – то не хватит =) Как многие подметили, члены общего уравнения «отвечают» за параллельный перенос линии, который имеет место, когда хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. И логично предположить, что ненулевое слагаемое «отвечает» за поворот линии. Исключение составляет угол в 90 градусов (а также любой кратный ему угол, например ), при повороте на который мы отделываемся лёгким испугом, укладываясь в рамки хорошо отшлифованного частного случая . Простейший пример поворота на «нехороший» угол нам уже встречался – это неканонически расположенная «школьная» гипербола (см. Пример 5 статьи Гипербола и парабола). Уравнение с ненулевым коэффициентом «бэ» неприятно тем, что в общем случае его невозможно привести к каноническому виду с помощью обычных средств алгебры: переноса слагаемых, их группировки, вынесений за скобки, выделения полных квадратов и прочей школьной самодеятельности. Поэтому на помощь приходится привлекать более мощные методы решения. Рассмотрим в качестве примера уравнение Какие будут идеи? …Да ладно с ними, с идеями, тут даже не понятно, какую линию оно задаёт. Эллипс? Гиперболу? Параболу? Что-то другое из классификации? . Немного потраченного времени, и вы научитесь довольно легко находить ответы на эти вопросы, в частности, без особых проблем сможете определить, что данное уравнение определяет эллипс с полуосями , который расположен центром в точке и повёрнут относительного своего канонического положения на отрицательный угол, составляющий примерно : Мысленно возьмите эллипс в руки, поверните его на любой угол и переместите в произвольное место плоскости. Новому положению эллипса будет соответствовать совершенно другое уравнение, и если вам предъявить его без чертежа, то никто в жизнь не догадается, что оно определяет тот же самый эллипс. Именно поэтому и появилась задача приведения уравнения к каноническому виду – чтобы независимо от расположения линии выяснить, что это за зверь и каким нравом он обладает. На предыдущих уроках я рассматривал два способа приведения. Применительно к нашему примеру: 1) Повернём эллипс на точки (против часовой стрелки) вокруг и осуществим его параллельный перенос центром в начало координат. В результате получится нужное уравнение 2) Перейдём к прямоугольной системе координат путём поворота исходной системы координат . , которая получается на начала координат и её параллельного переноса центром в точку образом, в новой системе координат уравнение данного эллипса запишется в каноническом виде: . вокруг . Таким Прошу прощения за невысокое качество и точность чертежей данной статьи: Навскидку второй способ кажется вычурным и неуклюжим, однако, если немного призадуматься, то он более корректен. И толстый намёк на это уже проскочил чуть выше: куда бы мы ни переместили данную линию, какую бы систему координат ни выбрали – эллипс останется тем же самым эллипсом с полуосями , своими фокусами и другими индивидуальными характеристиками. У многих читателей в пределах досягаемости находится учебник по высшей математике. Пусть это будет его каноническое положение в исходной системе координат. Книгу можно положить на стол, на стул, на кровать, под кровать, в мусорное ведро – да куда угодно. Но учебник останется при этом тем же самым учебником. То есть, с позиций математики координатная сетка относительна и вторична по отношению к тому или иному объекту. Следовательно, вполне логично и правомерно тревожить именно систему координат, а не «уникальный» эллипс, учебник или что-то ещё. Конечно, с точки зрения физики положение тела имеет большое значение,… …пожалуй, сверну комментарий, а то сейчас набегут любители философии и устроят дискуссию =) Суть преамбулы состоит в том, что на данном уроке мы будем приводить уравнение линии 2-го порядка путём перехода к новой прямоугольной системе координат, в которой уравнение исследуемой линии примет канонический вид. Существует несколько практических методов приведения уравнения линии к каноническому виду, причём, некоторые из них являются достаточно трудными. Я постараюсь составить максимально простой конспект, доступный человеку с любым уровнем подготовки. Все линии 2-го порядка можно разделить на две большие группы: 1) центральные линии, обладающие единственным центром (точкой) симметрии (эллипс, мнимый эллипс, гипербола, пара мнимых или действительных пересекающихся прямых); 2) нецентральные линии, у которых центры симметрии отсутствуют (парабола) либо их бесконечно много (пара действительных или мнимых параллельных прямых, пара совпавших прямых). Итак, вы счастливый обладатель общего уравнения с ненулевым коэффициентом . С чего начать? На первом шаге целесообразно выяснить, к какой группе относится линия. Для этого нужно мысленно либо на черновике составить и вычислить определитель . Если уравнение центральной линии, если же , то перед нами – то нецентральной. Для уравнения : , значит, оно определяет центральную линию. Зачем это нужно? Чтобы подобрать наиболее выгодный способ решения. Конечно, если ваш преподаватель требует строго придерживаться определённого шаблона, то ничего не поделать…. Тем не менее, я постараюсь провести вас самой комфортной и короткой тропинкой через дебри. Для приведения уравнения центральной линии, по моему мнению, лучше всего использовать метод инвариантов. Но, к сожалению, он перестаёт работать в нецентральном случае, поэтому на помощь придётся привлечь достаточно трудоёмкий универсальный способ решения либо ортогональное преобразование квадратичной формы (однако тут уже нужно ориентироваться в другой теме). Сначала разберём одно, затем другое, и даже если вам нужно разобраться только с нецентральной линией, постарайтесь не пропускать первый параграф, поскольку вся информация взаимосвязана: Приведение уравнения центральной линии. Метод инвариантов Во-первых, разберёмся с термином. Инвариант – это величина, которая остаётся неизменной при тех или иных преобразованиях. Простейший пример геометрического инварианта – это длина отрезка относительно его параллельного переноса. В результате данного преобразовании меняются координаты концов отрезка, но его длина остаётся неизменной (инвариантной). В частности, длина и ширина учебника по высшей математике (который можно положить на стол, на стул, на кровать, под кровать, в мусорное ведро) – это инварианты относительно перемещения книги в пространстве. А вот если ненавистный томик… чего студент боится больше всего? …матана порвать в клочья, то его размеры уже перестанут быть инвариантами относительно этих механических повреждений =) Но инвариантом останется сам математический анализ. Так что рви, не рви, а осваивать его придётся =) Однако вернёмся к нашему демонстрационному уравнению . Очевидно, что можно выбрать бесконечно много других прямоугольных систем координат и получить бесконечно много разных уравнений вида , которые задают один и тот же эллипс. И возникает вопрос: а есть ли у этого множества уравнений что-то одинаковое, характерное только для данной линии? Иными словами, есть ли инварианты? Да, есть! Если уравнение линии 2-го порядка задано общим видом в некоторой прямоугольной системе координат, то инвариантами относительно поворота и параллельного переноса прямоугольной системы координат являются следующие ЧИСЛА: – сумма коэффициентов при старый знакомец: и ещё один определитель: Рассмотрим общее уравнение линии 2-го порядка и поставим задачу подобрать новую прямоугольную систему координат ТАК, чтобы уравнение данной линии приняло вид (который элементарно сводится к канонической форме). Заметим попутно логичную вещь – коэффициенты итогового уравнения, «отвечающие» за поворот и параллельный перенос равны нулю: Поскольку инварианты (числа) НЕ ЗАВИСЯТ от коэффициентов того или иного уравнения, которым задана конкретная исследуемая линия, то справедливыми являются следующие равенства: откуда следует простой и изящный алгоритм решения нашей задачи: 1) Из исходного уравнения находим числа 2) Решаем систему и записываем уравнение которое легко приводится к каноническому виду. При этом координаты . , нового начала координат отыскиваются как решение системы линейных уравнений системы координат уравнения либо , а угол «альфа» поворота новой относительно старой системы координат . В случае – из угол равен либо , , и это недостаток формулы. Но это не беда. Потому что есть другая формула: . Таким образом, решение нашей задачи укладывается в стройную и понятную схему, доступную даже школьнику. Выясним же, наконец, как из потрёпанного уравнения эллипс получается канонический : Пример 1 Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Найти начало соответствующей системы координат и угол её поворота Решение: перейдём к новой прямоугольной системе координат уравнение данной линии примет вид , в которой . На первом шаге из исходного уравнения находим коэффициенты . В тетради это удобно сделать следующим образом: Здесь важно не потерять «минусы», а также не забыть разделить пополам нужные числа. Кроме того, некоторые слагаемые уравнения могут отсутствовать, и тогда соответствующие коэффициенты будут равны нулю – не спешим и не путаемся! В нашем случае всё на месте и, соответственно, все коэффициенты ненулевые: Вычислим инварианты: Последний определитель выгодно раскрыть с помощью элементарного преобразования, прибавив к третьей строке первую строку: Инварианты найдёны, составим и решим систему: Из последних двух уравнений сразу просматривается значение коэффициента поскольку получаем: : , то, подставляя это произведение в 3-е уравнение, Но его обычно оставляют на закуску, тут важно разобраться с другими коэффициентами. Есть длинный путь, и есть короткий путь. Путь длинный: из 1-го уравнения выражаем второе уравнение: – подставляем во Решим квадратное уравнение: В результате получается два комплекта симметричных корней: Путь короткий, к которому я рекомендую пристреляться, в том числе, и чайникам. Это подбор корней. Смотрим на первые два уравнения системы: . Прикидку можно делать либо по первому уравнению, либо по второму, кому как удобнее. Лично я привык ориентироваться по сумме коэффициентов. Правдоподобных вариантов здесь не так и много: 0 и 50 10 и 40 – удовлетворяет и первому и второму уравнению 20 и 30 30 и 20 40 и 10 – симметричная пара корней 50 и 0 Как видите, на подходящую пару чисел мы «натыкаемся» практически сразу. В силу симметричности уравнений решением будут являться и «зеркальные» значения 40 и 10. Таким образом, в нашем распоряжении оказывается два набора корней: Не забываем выполнить проверку, подставив значения первого (можно второго) комплекта в левую часть каждого уравнения системы: Получены соответствующие правые части исходных уравнений, что и требовалось проверить. Теперь мысленно либо на черновике следует выяснить, какое решение приведёт нас к желаемому результату. Подставляем в уравнение : Техника завершающих преобразований хорошо знакома из предыдущих уроков об эллипсе, гиперболе и параболе: – эллипс с центром в точке малой полуосью . , большой полуосью Такой фразы будет достаточно – нас никто не спрашивал про фокусы, эксцентриситет и другие характеристики линии. Всё вышло удачно с первой попытки. Если в уравнение подставить второй набор корней , то получится , неканоническая запись того же эллипса – повернутого на 90 градусов. Случай такого поворота я рассмотрел ещё в ознакомительных материалах про эллипс. Координаты системы: начала новой системы координат найдём как решение Первое уравнение умножим на 9, второе уравнение умножим на 13 и из 2-го уравнения почленно вычтем 1-е (проще способа не видно): Таким образом: Найдём угол поворота новой системы координат относительно старой: Или по второй, более лёгкой, но почему-то менее распространённой формуле: В том случае если по условию необходимо выполнить чертёж – выполняем чертёж, приведённый в начале урока. Впрочем, мне нетрудно скопипастить: Ввиду сложности чертежа вполне допустимо его схематичное оформление, однако всё-таки постарайтесь, чтобы рисунок был похож на правду. В лайт-варианте можно изобразить только систему координат и эллипс в горизонтальном положении, но тогда могут возникнуть вопросы у преподавателя. Да, и ещё момент – при таких раскладах координаты центра запишутся в новой системе координат: путаницу. , что вызовет дополнительную Ответ: – эллипс с полуосями с началом в точке координат – в системе координат , повёрнутой относительно исходной системы на угол . Это мы рассмотрели так называемый эллиптический случай, когда коэффициенты – отличны от нуля и одного знака (оба положительны либо оба отрицательны), т.е. когда их произведение . Но при таком раскладе может получиться не только эллипс. Если все три коэффициента одного знака, то получится мнимый эллипс. Условно говоря, если бы мы в рассмотренной задаче получили уравнение , то пришли бы к уравнению . Причём, весь алгоритм и порядок оформления остались бы прежними + приятный бонус – отсутствие чертежа, поскольку мнимый эллипс остаётся разве что мнить =) Ещё одна разновидность эллиптического случая – нулевой свободный член: , предвестником которого является нулевой третий инвариант . И действительно, из 3-го уравнения системы следует, что если и , то нулю может быть равен только коэффициент «эф первое». Условно говоря, в нашей задаче получилось бы уравнение , которое легко сводится к пункту № 6 классификации линий 2-го порядка: – пара мнимых пересекающихся прямых с единственной действительной точкой их пересечения координат – с нулевыми координатами новой системы . Предлагаю самостоятельно ознакомиться с гиперболическим случаем: Пример 2 Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Найти начало соответствующей системы координат, угол её поворота и выполнить чертёж. После краткого образца решения есть важные дополнительные комментарии. Во второй части статьи рассмотрим параболический случай по очевидной причине метод инвариантов становится непригодным: , где Приведение нецентральной линии к каноническому виду Сейчас мы освоим универсальный метод решения, который приближен к соответствующему теоретическому материалу стандартного курса аналитической геометрии. Таким образом, разобранные ниже задачи помогут сориентироваться не только в практике, но и лучше понять теорию. Классический алгоритм приведения уравнения состоит в следующем: к каноническому виду вкратце На первом шаге выясняется угол поворота исходной линии относительно своего канонического положения и осуществляется поворот исходной системы координат на данный угол. В результате в новой прямоугольной системе координат уравнение исследуемой линии записывается в виде: На втором шаге выделяются полные квадраты (при необходимости), и проводится параллельный перенос системы координат началом в нужную точку . После чего в итоговой прямоугольной системе координат получается уравнение канонической формы рукой подать. , от которого до Должен отметить неудачные обозначения со штрихами, но так принято практически во всех учебниках, и сейчас я буду придерживаться стандарта (ну, или почти придерживаться), поскольку немалой части аудитории нужно сдавать теорию. Штрихи, как вы поняли, к производным функциям никакого отношения не имеют. В предыдущем параграфе я намеренно использовал обозначения вместо чтобы не привить «чайникам» отвращение к теме. и Таким образом, универсальный способ приведения к линии 2-го порядка к каноническому виду предполагает два последовательных преобразования прямоугольной системы координат – поворот и параллельный перенос: Как, наверное, все уже догадались и горестно вздохнули, удобный метод инвариантов позволял получить то же самое одним махом: Но в параболическом случае мы вынуждены выехать с тихой просёлочной дороги метода инвариантов на оживлённую автостраду общего способа решения: Пример 3 Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Выполнить чертёж. Решение: в первую очередь выясним тип линии. Вычислим определитель, составленный из коэффициентов : , значит, у нас нецентральная линия и это может быть или парабола, или пара параллельных прямых (действительных либо мнимых), или пара совпавших прямых. 1) Осуществим поворот исходной системы координат и переход к новой системе координат ТАК, чтобы получить уравнение вида поворот). (без слагаемого, «отвечающего» за Искомый угол поворота найдём по формуле: или Внимание! Данная формула справедлива только для параболического случая ( ). В нашем примере: . Вообще говоря, очевиден корень , но здесь есть одна тонкость. Наверняка многие обратили внимание на тот факт, что если линию 2го порядка (например, гиперболу) повернуть на 180 градусов, то она совпадёт сама с собой. Исключение составляет капризная парабола, ветви которой развернутся в противоположную сторону. А парабола у нас вполне может нарисоваться, поэтому, необходимо взять на заметку ещё один угол: самое: , или, что то же . Продолжаем: Если осуществляется поворот прямоугольной системы координат произвольный угол «альфа» и переход к новой системе координат то формулы перехода от старых координат к новым координатам аналитически выражается следующей системой: на , , где «альфа» – угол данного поворота. Из тригонометрических формул нетрудно выразить синус и косинус через известный нам тангенс, однако выражения получаются не однозначными: И сложившейся ситуации вполне прагматичным решением будет привлечь на помощь метод научного тыка. Не теряя времени, начинаем работать непосредственно с углом «альфа» и используем формулы . В результате дальнейших действий может получиться неканоническое уравнение (а это возможно в единственном случае – когда исследуемое уравнение задаёт параболу и та оказывается развёрнутой в другую сторону). Тогда следует рассмотреть противоположный угол поворота системы координат, при этом значение тангенса угла останется тем же самым: знаки: , но формулы сменят . Итак, для угла выбираем первый комплект формул: Подставим найденные (к слову, табличные) значения аналитические выражения поворота Теперь подставим уравнение в : и в исходное : Нет причин в ужасе закрывать глаза ладонями – это ещё далеко не самое страшное, что может встретиться. Аккуратно-внимательно используем формулы сокращённого умножения, раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые. И НЕ ТЕРЯЕМ ШТРИХИ: Очень многое взаимоуничтожается, и в первую очередь, конечно же, «убирается» поворот (слагаемое, содержащее произведение ): По всем признакам получается как раз парабола. Сократим каждое слагаемое на 2 и перебросим некоторые из них в правую часть: Перед слагаемым, содержащим «икс штрих», нарисовался знак минус, и это плохо. Для лучшего понимания я проиллюстрирую выполненные действия готовым чертежом: В результате поворота исходной системы координат градусов, мы перешли от уравнения вокруг точки на 45 к уравнению в новой системе координат . Но загвоздка состоит в том, что ветви параболы направлены «в противоход» оси (наклоните головы влево на 45 градусов), о чём нам и сообщил знак «минус» при переменной нового уравнения. Таким образом, выясняется, что поворот исходной системы координат следовало осуществить на угол . Ну что делать, не повезло, парабола запросто могла ведь «смотреть и в нужную сторону»…. Начинаем всё сначала. Тангенс правильного «кандидата» равен единице, и мы подставляем значение комплект формул: тоже в резервный Подставим значения в уравнения поворота: И, наконец, подставим уравнение в исходное : В качестве некоторой компенсации за наши мучения, для уравнения нецентральной линии существует эксклюзивная фишка, которую можно использовать как в целях самопроверки, так и по причине банальной лени. В результате рассматриваемой подстановки сумма упрощается до , где – старый знакомый инвариант. Таким образом, громоздкая сумма первых трёх слагаемых превратится в : Но при оформлении, конечно, желательно всё расписать подробно, как мы это сделали в ходе предыдущей неудачной попытки. Доводим уравнение до кондиции: Ну вот, так бы сразу: Проведём очередную разминку и заодно спасём от онемения пятую точку. Пожалуйста, встаньте лицом к монитору и наклонитесь вправо на 90 градусов. Теперь поверните голову ещё на 45 градусов в том же направлении и полюбуйтесь почти канонической параболой. 2) Осталось откалибровать уравнение до канонического вида параллельным переносом системы координат. Это значительно проще. Выделяем полный квадрат: Таким образом, вершина параболы расположена в точке – ВНИМАНИЕ, это координаты точки в новой системе координат .В позе страуса с наклоном головы вправо на 135 градусов можно отчётливо разглядеть, что у вершины параболы именно такие координаты! Путём параллельного переноса системы координат началом в точку перейдём к новой системе координат . Аналитически данное действие выражается заменами , в результате которых получается долгожданное каноническое уравнение: Выполним окончательный чертёж. Оси совпали, но это воля случая: Страусы одобряют =) Ответ: данная линия представляет собой параболу, каноническое уравнение которой получается путём поворота системы координат вокруг своего начала на параллельным переносом в точку . и её дальнейшим Существует ли способ проще? Существует! Изучайте квадратичные формы и урок об их ортогональном преобразовании, на котором решение этой задачи получилось заметно короче! Также интересно отметить, что для параболы метод инвариантов, хоть и не работает, но тоже позволяет найти её каноническое уравнение. Во-первых, полезно запомнить характеристический признак: уравнение линии 2-го порядка, инварианты которого удовлетворяют условиям параболу и только её. , задаёт Представьте, что вы видите уравнение в первый раз. Да… с оттенком черного юмора получилась фраза =) Выпишем коэффициенты и вычислим инварианты: , следовательно, данное уравнение определяет именно параболу, а не какую-то другую линию. И, во-вторых, найденные инварианты позволяют найти фокальный параметр параболы по формуле: Таким образом: Желающие могут использовать данный путь для самопроверки или даже в качестве основного решения в критической ситуации – когда не получается найти уравнение параболы стандартным способом, но жизненно важно родить хоть что-то. Кроме того, нетрудно найти угол поворота, а там, глядишь, и прокатит. Следующий пример для самостоятельной разработки: Пример 4 Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Выполнить чертёж, на котором отразить все преобразования системы координат. Краткий алгоритм решения с повторением важных моментов чуть ниже, а примерный образец оформления задачи – в конце урока. Следует отметить, что на практике достаточно популярна урезанная версия задачи. Случай, когда нужно выполнять только параллельный перенос, досконально изучен на предыдущих уроках, но бывает и так, что необходимо осуществить только поворот системы координат. Так, например, в уравнении отсутствуют слагаемые, «отвечающие» за параллельный перенос. Угол поворота системы координат находится элементарно: помощью «ускорителя» уравнение: , и, более того, с легко узнать итоговое – две параллельные прямые. Ещё раз подчёркиваю, что полученное уравнение имеет место в новой системе координат , повёрнутой относительно исходной системы на угол соответственно, прямые , и, будут параллельны новой оси . Полезно знать, что вырожденное уравнение параболического типа несложно выразить в явном виде и в исходной системе координат, поскольку проходят тривиальные алгебраические преобразования. Например: Полученный результат удобно использовать для самопроверки и выполнения чертежа. Что касается инвариантов, то дела тут обстоят хуже. Если для параболы мы ещё смогли вытянуть некоторую информацию из инвариантов, то здесь будем созерцать малополезный набор . Систематизируем порядок действий в параболическом случае:: 1) Из формулы или системы координат находим угол поворота исходной : 2) Для данного угла «альфа» рассчитываем . При этом проводим максимальные упрощения: выносим из-под корней всё, что можно вынести, и избавляемся от многоэтажных дробей, если таковые образовались. 3) Подставляем найденные значения поворота в формулы . 4) Подставляем найденные выражения поворота в исходное уравнение , внимательно раскрываем все скобки и приводим подобные слагаемые, в результате чего в новой системе координат где должно получиться уравнение вида . 4*) Примерно в 15% случаев (с нецентральной линией) может получиться уравнение, которое определяет параболу, развёрнутую относительно своего канонического положения (положительного направления оси ) на 180 , градусов. Тогда следует вернуться к Пункту 2 алгоритма, рассмотреть противоположный угол поворота и использовать формулы , не забывая, что само значение тангенса осталось таким же: . 5) В полученном уравнении выделяем полный квадрат (если необходимо), в результате чего должно получиться уравнение вида , где – некоторые константы. И, наконец, после параллельного переноса системы координат началом в точку (замен системе координат и перехода к окончательной ) наша цель достигнута: 6) Чертёж. Повторюсь, что во многих случаях пойдёт и схематическая версия, поскольку рисовать линии 2-го порядка под градусом – занятие нелёгкое. И в заключение коротко об общем алгоритме решения, который годится для всех случаев, и из которого, собственно, следуют все рассмотренные выше схемы: 1) По уравнению составляем характеристическое уравнение , , где – старые знакомые инварианты. 2) Решаем квадратное уравнение и находим его корни любых раскладах это будут действительные корни. . При 3) Данные корни определяют два угла поворота системы координат, вычисляем их тангенсы: Теперь нам нужно выбрать нужный угол (тот, который приведёт к каноническому виду). Выбор осуществляем на черновике, методом «практического тыка». Опытные читатели могут провести анализ в уме или даже сразу «увидеть» желаемый вариант. 4) Начинаем с 1-го угла. Берём значение и синус этого угла: . Найденные значения подставляем в формулы поворота: 5) Подставляем уравнение и рассчитываем косинус . и в исходное и проводим упрощения. Если всё сделано правильно, то должно получиться уравнение вида: в системе Но это может оказаться неканоническое уравнение, и тогда пункты 4, 5 следует проделать для второго угла. Кроме того, в случае с параболой есть ещё одна заморочка с углами, которую я подробно осветил в Примере 3. 6) В уравнении выделяем полные квадраты: и с помощью замен (параллельного переноса системы в точку ) переходим к уравнению в системе . Образец сего действия неоднократно встречался ранее, в частности, в том же Примере 3. 7) Доводим уравнение девяти канонических уравнений. до ума – чтобы получилось одно из Основная трудность общего способа состоит в его длительности и трудоёмкости, но любители сложностей могут потягать им Примеры № 1, 2. Ну а некоторые оказываются любителями поневоле :) – на первом курсе Физмата мне «повезло» с билетом по аналитической геометрии и я где-то 3 часа мучался с поворотом линии 2-го порядка, решая задачу в общем виде. Поэтому сейчас было бы просто кощунственно скрыть от вас эти знания! Успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: приведём данной линии к каноническому виду в новой системе координат Из уравнения . находим коэффициенты: Вычислим инварианты: Примечание: последний определитель выгоднее раскрыть по 3-й строке либо 3-му столбцу. Составим и решим систему: Из 1-го уравнения выражаем – подставляем во второе уравнение: Таким образом, получаются две пары корней: Примечание: решение несложно найти и подбором. Подставим в третье уравнение системы: Подставляем (сначала мысленно либо на черновике!) значения в уравнение : В результате получена неканоническая запись гиперболы (см. материалы параграфа о повороте гиперболы), т.е. первый набор корней нас не устраивает. Подставляем второй комплект корней – гипербола с центром в точке полуосью , мнимой полуосью . : , действительной Примечание: опытный читатель сразу выберет 2-й комплект корней – из тех соображений, что у итогового уравнения коэффициент при оказаться положительным. должен Координаты начала новой системы координат решения системы: найдём из Таким образом: Найдём угол поворота новой системы координат старой. относительно Так как , то формула не даёт однозначного ответа об угле поворота. Поэтому используем формулу: Выполним чертёж: Ответ: – каноническая гипербола с полуосями в системе координат с началом в точке (координаты старой системы), повёрнутой относительно исходной системы координат на угол . Дополнительная информация: гиперболический случай выражается аналитическим условием ( и имеют разные знаки). Если инвариант , то коэффициент , и гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые (пункт № 5 классификации). В нашем примере гипотетически получилось бы уравнение: – двух пересекающихся прямых , которые, кстати, представляют собой асимптоты рассмотренной гиперболы (изображены синим цветом на чертеже). Пример 4: Решение: сначала выяснить тип линии. Для этого вычислим определитель, составленный из коэффициентов : , значит, данное уравнение задаёт нецентральную линию. Осуществим поворот прямоугольной системы координат и переход к новой системе координат так, чтобы получить уравнение вида , где . Найдём искомый угол поворота: Если , то: Подставим Подставим уравнение Выделим полный квадрат: в формулы поворота: и в исходное : Осуществим параллельный перенос системы координат точку . Проведём замену новой системе координат : – пара прямых Выполним чертёж: началом в и запишем уравнение линии в , параллельных оси . Ответ: данная линия представляет собой пару параллельных прямых, каноническое уравнение системы координат угол точку которых получается путём поворота вокруг своего начала на и её дальнейшим параллельным переносом в . Полярные координаты Помимо аффинной системы координат и её популярного частного случая – прямоугольной (декартовой) системы, существуют и другие подходы к построению координатной сетки плоскости и пространства. В частности, широкое распространение получила полярная система координат, которая невероятно удобна для решения целого спектра практических задач. И через считанные минуты, не успевши опомниться, вы уже будете уверенно ориентироваться в полярных координатах! Чтобы определить полярную систему координат на плоскости, достаточно зафиксировать начало координат и задать единичный координатный вектор . Точка называется полюсом, а луч , сонаправленный с вектором – полярной осью. Графический шаблон – проще некуда, одна точка, один вектор, одна линия: На практике вместо вектора можно где-нибудь в углу указать масштаб, например: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки). По возможности, старайтесь выбирать именно такую, удобную во многих отношениях метрику. А теперь сама мякотка: Любая отличная от начала координат точка плоскости однозначно определяется своим расстоянием от полюса и ориентированным углом между полярной осью и отрезком : Для самого полюса , а угол не определён. Не напоминает ли это вам кое-что из темы Комплексные числа? ;-) Число называют полярным радиусом точки или первой полярной координатой. Расстояние не может быть отрицательным, поэтому полярный радиус любой точки . Первую полярную координату также обозначают греческой буквой («ро»), но я привык к латинскому варианту, и в дальнейшем буду использовать его. Число называют полярным углом данной точки или второй полярной координатой. Полярный угол стандартно изменяется в пределах (так называемые главные значения угла). Однако вполне допустимо использовать диапазон , а в некоторых случаях и вовсе возникает прямая необходимость рассмотреть все значения угла от нуля до «плюс бесконечности». Рекомендую, кстати, привыкнуть к радианной мере угла, поскольку оперировать градусами в высшей математике считается не комильфо. Пару называют полярными координатами точки . Из легко найти и их конкретные значения. Тангенс острого угла прямоугольного треугольника – есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету: , следовательно, сам угол: теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: , значит, полярный радиус: Таким образом, Один пингвин хорошо, а стая – лучше . . По : Отрицательно ориентированные углы я на всякий случай отметил стрелками, вдруг кто-то из читателей ещё не знал об этой ориентации. При желании можно «прикрутить» к каждому из них 1 оборот ( рад. или 360 градусов) и получить, к слову, удобные табличные значения: Но недостаток этих «традиционно» ориентированных углов состоит в том, что они слишком далеко (более чем, на 180 градусов) «закручены» против часовой стрелки. Предчувствую вопрос: «почему недостаток и зачем вообще нужны какие-то отрицательные углы?» В математике ценятся самые короткие и рациональные пути. Ну а уж с точки зрения физики направление вращения зачастую имеет принципиальное значение – каждый из нас пытался открыть дверь, дёргая ручку не в ту сторону =) Порядок и техника построения точек в полярных координатах Красивые картинки красивы, однако построение в полярной системе координат – занятие достаточно кропотливое. Трудностей не возникает с точками, у которых полярные углы составляют точки , в нашем примере это ; особых хлопот также не доставляют значения, кратные 45 градусам: построить, скажем, точку . Но как правильно и грамотно ? Потребуется клетчатый листок бумаги, карандаш и следующие чертёжные инструменты: линейка, циркуль, транспортир. В крайнем случае, можно обойтись одной линейкой, а то… и вовсе без неё! Читайте дальше и вы получите ещё одно доказательство, что эта страна непобедима =) Пример 1 Построить точку в полярной системе координат. Строим! Прежде всего, нужно выяснить градусную меру угла . Если угол малознаком или вас есть сомнения, то всегда лучше воспользоваться таблицей либо общей формулой перевода радианов в градусы. Итак, наш угол составляет (или ). Начертим полярную систему координат (см. начало урока) и возьмём в руки транспортир. Обладателям круглого инструмента не составит труда отметить 240 градусов, но с большой вероятностью у вас на руках будет полукруглая версия девайса. Проблема полного отсутствия транспортира при наличии принтера и ножниц решается рукоделием. Есть два пути: перевернуть листок и отметить 120 градусов, либо «прикрутить» пол оборота и рассмотреть противоположный угол взрослый способ и сделаем отметку в 60 градусов: . Выберем То ли транспортир лилипутский, то ли клетка гигантская =) Впрочем, чтобы отмерить угол масштаб не важен. Проводим карандашом тонкую прямую, проходящую через полюс и сделанную отметку: С углом разобрались, на очереди полярный радиус. Берём циркуль и по линейке устанавливаем его раствор в 3 единицы, чаще всего, это, конечно же, сантиметры: Теперь аккуратно устанавливаем иглу на полюс, и вращательным движением выполняем небольшую засечку (красный цвет). Искомая точка построена: Можно обойтись без циркуля, приложив линейку непосредственно к построенной прямой и отмерив 3 сантиметра. Но, как мы увидим позже, в задачах на построение в полярной системе координат типична ситуация, когда нужно отметить две или бОльшее количество точек с одним и тем же полярным радиусом, поэтому эффективнее закалять металл. В частности, на нашем чертеже, развернув ногу циркуля на 180 градусов, легко сделать вторую засечку и построить симметричную относительно полюса точку давайте и отработаем материал следующего параграфа: . На ней Взаимосвязь прямоугольной и полярной системы координат Очевидным образом присоединим к полярной системе координат «обычную» систему и изобразим на чертеже точку : Такое присоединение всегда полезно держать в голове, когда выполняете чертёж в полярных координатах. Хотя, волей-неволей оно напрашивается и без лишнего намёка. Установим взаимосвязь полярных и декартовых координат на примере конкретной точки . Рассмотрим прямоугольный треугольник ,в котором гипотенуза равна полярному радиусу: , а катеты – «иксовой» и «игрековой» координатам точки в декартовой системе координат: . Синус острого угла – есть отношение противолежащего катета к гипотенузе: Косинус острого угла – есть отношение прилежащего катета к гипотенузе: Заодно повторили определения синуса, косинуса (и чуть ранее тангенса) из программы 9 класса общеобразовательной школы. Пожалуйста, занесите в свой справочник рабочие формулы , выражающие декартовы координаты точки через её полярные координаты – с ними нам придётся столкнуться ещё неоднократно, и в следующий раз прямо сейчас =) Найдём координаты точки в прямоугольной системе координат: Таким образом: Полученные формулы открывают ещё одну лазейку в задаче построения, когда можно обойтись вообще без транспортира: сначала находим декартовы координаты точки (понятно, на черновике), затем мысленно находим нужное место на чертеже и отмечаем данную точку. На заключительном этапе проводим тонкую прямую, которая проходит через построенную точку и полюс. В результате получается, что угол якобы был отмерян транспортиром. Забавно, что совсем отчаянные студенты, могут обойтись даже без линейки, используя вместо неё ровный край учебника, тетради или зачётной книжки – ведь о метрике позаботились производители тетрадей, 1 клетка = 5 миллиметров. Напомнило мне всё это известный анекдот, в котором находчивые лётчики прокладывали курс по пачке Беломора =) Хотя, шутки шутками, а анекдот не так далёк от реальности, помнится, на одном из внутренних рейсов по РФ в лайнере отказали все навигационные приборы, и экипаж успешно посадил борт при помощи обычного стакана с водой, который показывал угол наклона самолёта относительно земли. А лётная полоса – вот она, из лобового стекла виднА. Используя процитированную в начале урока теорему Пифагора, легко получить и обратные формулы: , следовательно: Сам угол «фи» стандартно выражается через арктангенс – абсолютно так же как и аргумент комплексного числа со всеми его заморочками. Вторую группу формул также целесообразно поместить в свой справочный багаж. После подробного разбора полётов с отдельно взятыми точками перейдём к закономерному продолжению темы: Уравнение линии в полярных координатах По существу, уравнение линии в полярной системе координат представляет собой функцию полярного радиуса от полярного угла (аргумента). При этом полярный угол учитывается в радианах (!) и непрерывно принимает значения от до (иногда следует рассмотреть до бесконечности, или же в ряде задач для удобства от до ). Каждому значению угла «фи», которое входит в область определения функции единственное значение полярного радиуса. , соответствует Полярную функцию можно сравнить со своеобразным радаром – когда луч света, исходящий из полюса, вращается против часовой стрелки и «обнаруживает» (прорисовывает) линию. Дежурным примером полярной кривой является Архимедова спираль . На следующем рисунке изображен её первый виток – когда полярный радиус вслед за полярным углом принимает значения от 0 до : Далее, пересекая полярную ось в точке , спираль продолжит раскручиваться, бесконечно далеко удаляясь от полюса. Но подобные случаи на практике встречаются довольно редко; более типичная ситуация, когда на всех последующих оборотах мы «пройдёмся по той же самой линии», которая получена в диапазоне . В первом же примере мы сталкиваемся и с понятием области определения полярной функции: поскольку полярный радиус неотрицателен , то отрицательные углы здесь рассматривать нельзя. ! Примечание: в ряде случаев принято использовать обобщённые полярные координаты, где радиус может быть отрицательным, и такой подход мы вкратце изучим чуть позже Кроме спирали Архимеда, есть множество других известных кривых, но искусством, как говорится, сыт не будешь, поэтому я подобрал примеры, которые очень часто встречаются в реальных практических заданиях. Сначала простейшие уравнения и простейшие линии: Уравнение вида задаёт исходящий из полюса луч. Действительно, вдумайтесь, если значение угла всегда (каким бы ни было «эр») постоянно, то какая это линия? Примечание: в обобщённой полярной системе координат данное уравнение задаёт прямую, проходящую через полюс Уравнение вида определяет… догадайтесь с первого раза – если для любого угла «фи» радиус остаётся постоянным? Фактически это определение окружности с центром в полюсе радиуса . Например, . Для наглядности найдём уравнение данной линии в прямоугольной системе координат. Используя полученную в предыдущем параграфе формулу , проведём замену: Возведём обе части в квадрат: – уравнение окружности с центром в начале координат радиуса 2, что и требовалось проверить. Со времён создания и релиза статьи о линейной зависимости и линейной независимости векторов я получил несколько писем от посетителей сайта, которые задавали вопрос в духе: «вот есть простая и удобная прямоугольная система координат, зачём нужен ещё какой-то косоугольный аффинный случай?». Ответ прост: математика стремится объять всё и вся! Кроме того, в той или иной ситуации немаловажно удобство – как видите, с окружностью значительно выгоднее работать именно в полярных координатах по причине предельной простоты уравнения . А иногда математическая модель предвосхищает научные открытия. Так, в своё время ректор Казанского университета Н.И. Лобачевский строго доказал, через произвольную точку плоскости можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной. В результате он был ошельмован всем научным миром, но… опровергнуть данный факт никто не смог. Только спустя доброе столетие астрономы выяснили, что свет в космосе распространяется по кривым траекториям, где и начинает работать неевклидова геометрия Лобачевского, формально разработанная им задолго до этого открытия. Предполагается, что это свойство самого пространства, кривизна которого нам незаметна ввиду малых (по астрономическим меркам) расстояний. Рассмотрим более содержательные задачи на построение: Пример 2 Построить линию Решение: в первую очередь найдём область определения. Так как полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство . Можно вспомнить школьные правила решения тригонометрических неравенств, но в простых случаях как этот, я советую более быстрый и наглядный метод решения: Представьте график косинуса. Если он ещё не успел отложиться в памяти, то найдите его на странице Графики элементарных функций. О чём нам сообщает неравенство ? Оно сообщает нам о том, что график косинуса должен располагаться не ниже оси абсцисс. А это происходит на отрезке . И, соответственно, интервал Таким образом, область определения нашей функции: не подходит. , то есть график расположен справа от полюса (по терминологии декартовой системы – в правой полуплоскости). В полярных координатах часто бывает смутное представление о том, какую линию определяет то или иное уравнение, поэтому чтобы её построить, необходимо найти принадлежащие ей точки – и чем больше, тем лучше. Обычно ограничиваются десятком-другим (а то и меньшим количеством). Проще всего, конечно же, взять табличные значения угла. Для бОльшей ясности к отрицательным значениям я буду «прикручивать» один оборот: В силу чётности косинуса значения можно заново не считать: соответствующие положительные Изобразим полярную систему координат и отложим найденные точки, при этом одинаковые значения «эр» удобно откладывать за один раз, делая парные засечки циркулем по рассмотренной выше технологии: В принципе, линия отчётливо прорисовывается, но чтобы стопроцентно подтвердить догадку, давайте найдём её уравнение в декартовой системе координат. Можно применить недавно выведенные формулы , но я расскажу вам о более хитром приёме. Обе части уравнения «эр»: перехода искусственно домножаем на и используем более компактные формулы : Выделяя полный квадрат, приводим уравнение линии к узнаваемому виду: – уравнение окружности с центром в точке , радиуса 2. Коль скоро по условию требовалось просто выполнить построение и всё, плавно соединяем найденные точки линией: Готово. Ничего страшного, если получится немного неровно, вы же не обязаны были знать, что это окружность ;-) Почему мы не рассмотрели значения угла вне промежутка прост: нет смысла. Ввиду периодичности функции бесконечный бег по построенной окружности. ? Ответ нас ждёт Несложно провести нехитрый анализ и прийти к выводу, что уравнение вида задаёт окружность диаметра с центром в точке . Образно говоря, все такие окружности «сидят» на полярной оси и обязательно проходят через полюс. Если же , то весёлая компания перекочует налево – на продолжение полярной оси (подумайте, почему). Похожая задача для самостоятельного решения: Пример 3 Построить линию координат. и найти её уравнение в прямоугольной системе Систематизируем порядок решения задачи: В первую очередь находим область определения функции, для этого удобно посмотреть на синусоиду, чтобы сразу же понять, где синус неотрицателен. На втором шаге рассчитываем полярные координаты точек, используя табличные значения углов; проанализируйте, нельзя ли сократить количество вычислений? На третьем шаге откладываем точки в полярной системе координат и аккуратно соединяем их линией. И, наконец, находим уравнение линии в декартовой системе координат. Примерный образец решения в конце урока. Общий алгоритм и технику построения в полярных координатах мы детализируем и существенно ускорим во второй части лекции, но перед этим познакомимся ещё с одной распространённой линией: Полярная роза Совершенно верно, речь пойдёт о цветке с лепестками: Пример 4 Построить линии, заданные уравнениями в полярных координатах а) б) Существует два подхода к построению полярной розы. Сначала пойдём по накатанной колее, считая, что полярный радиус не может быть отрицательным: Решение: а) Найдём область определения функции: Такое тригонометрическое неравенство тоже нетрудно решить графически: из материалов статьи Геометрические преобразования графиков известно, что если аргумент функции удвоить, то её график сожмётся к оси ординат в 2 раза. Пожалуйста, найдите график функции в первом же примере указанного урока. Где данная синусоида находится выше оси абсцисс? На интервалах . Следовательно, неравенству удовлетворяют соответствующие отрезки, и область определения нашей функции: . Вообще говоря, решение рассматриваемых неравенств представляет собой объединение бесконечного количества отрезков, но, повторюсь, нас интересует только один период. Возможно, некоторым читателям более лёгким покажется аналитический способ нахождения области определения, условно назову его «нарезка круглого пирога». Резать будем на равные части и, прежде всего, найдём границы первого куска. Рассуждаем следующим образом: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от 0 до рад. включительно. В нашем примере: . Разделив все части двойного неравенства на 2, получаем искомый промежуток: Теперь начинаем последовательно «нарезать равные куски по 90 градусов» против часовой стрелки: – найденный отрезок – следующий интервал – следующий отрезок – и, наконец, интервал , понятно, входит в область определения; – не входит; – входит; – не входит. Прямо, как по ромашке – «любит, не любит, любит, не любит» =) С тем отличием, что тут не гадание. Да, прямо какая-то любовь по-китайски получается…. Итак, и линия представляет собой розу с двумя одинаковыми лепестками. Чертёж вполне допустимо выполнить схематически, однако крайне желательно правильно найти и отметить вершины лепестков. Вершинам соответствуют середины отрезков области определения, которые в данном примере имеют очевидные угловые координаты этом длины лепестков составляют: Вот закономерный результат заботливого садовника: Следует отметить, что длину лепестка легко сразу усмотреть из . При уравнения – так как синус ограничен: , то максимальное значение «эр» заведомо не превзойдёт двух. б) Построим линию, заданную уравнением . Очевидно, что длина лепестка этой розы тоже равна двум, но, прежде всего, нас интересует область определения. Применим аналитический метод «нарезки»: синус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от нуля до «пи» включительно, в данном случае: и получаем первый промежуток: . Делим все части неравенства на 3 Далее начинаем «нарезку пирога кускам» по – отрезок – интервал – отрезок войдёт в область определения; – не войдёт; – войдёт; – интервал – не войдёт; – отрезок – войдёт; – интервал рад. (60 градусов): – не войдёт. Процесс успешно завершён на отметке 360 градусов. Таким образом, область определения: . Проводимые действия полностью либо частично несложно осуществлять и мысленно. Построение. Если в предыдущем пункте всё благополучно обошлось прямыми углами и углами в 45 градусов, то здесь придётся немного повозиться. Найдём вершины лепестков. Их длина была видна с самого начала задания, осталось вычислить угловые координаты, которые равны серединам отрезков области определения: Обратите внимание, что между вершинами лепестков должны обязательно получиться равные промежутки, в данном случае 120 градусов. Чертёж желательно разметить на 60-градусные секторы (отграничены зелёными линиями) и провести направления вершин лепестков (серые линии). Сами вершины удобно наметить с помощью циркуля – единожды отмерять расстояние в 2 единицы и нанести три засечки на прочерченных направлениях в 30, 150 и 270 градусов: Готово. Понимаю, что занятие хлопотное, но если хотите всё оформить по уму, то придётся потратить время. Сформулируем общую формулу: уравнение вида , – натуральное число), задаёт полярную -лепестковую розу, длина лепестка которой равна . Например, уравнение единиц, уравнение т.д. задаёт четырёхлистник с длиной лепестка в 5 – 5-лепестковую розу с длиной лепестка в 3 ед. и О втором подходе я хотел вообще умолчать, однако не могу пройти мимо – уж слишком он распространён. Суть состоит в том, что полярная роза часто рассматривается в обобщённых полярных координатах, где полярный радиус может быть отрицательным. Вопрос области определения отпадает, но появляются другие приколы. Во-первых, разберёмся, как строить точки с отрицательным значением «эр». Если , то нужно мысленно найти точку с таким же углом, но радиуса и отобразить её симметрично относительно полюса. Вернёмся к первой полярной розе и рассмотрим интервал , на котором полярный радиус отрицателен. Как, например, изобразить точку Мысленно находим точку ? (левый верхний сектор) и отображаем её симметрично относительно полюса в точку . Таким образом, когда угол принимает значения из интервала один лепесток в правом нижнем секторе: , то прорисовывается ещё И, соответственно, когда угол проходит значения , то прорисовывается 4-й лепесток в противоположном (левом верхнем) секторе: Интересно отметить, что при таком подходе вторая полярная роза сохраняет своё количество лепестков. А происходит это по одной простой причине: когда угол проходит пустующие секторы (ещё раз посмотрите на чертёж!), то полярный радиус принимает отрицательные значения и из этих пустых секторов точки отображаются напротив, ровнёхонько накладываясь на «легальные» лепестки. Сформулируем правило розы для обобщенной системы координат: уравнение вида розу с длиной лепестка 1) если 2) если – натуральное) задаёт полярную - чётное, то роза имеет ровно лепестков; - нечётное, то роза имеет ровно лепестков. Например, роза роза , , при этом: имеет 8 лепестков, роза – 12 лепестков, роза – пять лепестков, – 7 лепестков и т.д. А почему закономерность столь необычна, я только что проиллюстрировал геометрически. Какой способ выбрать, решать вам, …но я бы не особо рекомендовал использовать обобщенные полярные координаты – у преподавателя могут появиться дополнительные вопросы на счет отрицательных значений полярного радиуса (а то и вообще всё будет забраковано по этой причине) Короткая задача для самостоятельного решения: Пример 5 Построить линии, заданные уравнением в полярных координатах а) б) Сформулировать общее правило о количестве и длине лепестков полярной розы вида , – натуральное) В моём образце решение проведено 1-м способом. Повторим порядок действий: – Сначала находим область определения. При этом для лучшего понимания своих действий рекомендую соотносить аналитический способ «нарезки» с графической интерпретацией. По материалам урока Геометрические преобразования графиков выясните, как выглядят, и при необходимости начертите графики функций . – Находим угловые координаты вершин лепестков – они расположены ровно посередине промежутков области определения. – Выполняем чертёж. Пойдёт схематическая версия, однако желательно разметить найденные секторы и угловые направления вершин лепестков (в случае необходимости – с помощью транспортира). Вершины удобно засекать циркулем, предварительно установив раствор, равный длине лепестка. Существуют более солидные и общие формулы окружности, полярной розы и желающие могут с ними ознакомиться в других источниках информации. Я лишь ограничился практически значимыми (с моей точки зрения) примерами. Предлагаю перейти ко 2-й части занятия под названием Как построить линию в полярной системе координат?, где мы продолжим рассматривать типовые задачи, и усовершенствуем свои навыки. Решения и ответы: Пример 3: Решение: найдём область определения: Вычислим полярные координаты точек, принадлежащих данной линии: Выполним чертёж: Найдём уравнение линии в декартовой системе координат: Проведём замены : Выделим полный квадрат: – окружность с центром в точке декартовы!) радиуса (координаты . Дополнительная информация: уравнение вида окружность диаметра с центром в точке задаёт . Пример 5: Решение: а) Найдём область определения: косинус неотрицателен, когда его аргумент находится в пределах от случае: до рад. включительно. В данном . Или: . Таким образом: – отрезок – интервал принадлежит области определения; – не принадлежит; – отрезок – интервал – принадлежит; – не принадлежит. Область определения: . Роза имеет два лепестка, вершины которых находятся на полярной оси и её продолжении, длина лепестка равна : б) область определения: . Роза имеет три лепестка единичной длины с вершинами, имеющими следующие угловые координаты: Выполним чертёж: Уравнение вида полярную , – натуральное), задаёт -лепестковую розу, длина лепестка которой равна . Если рассматривается обобщенная полярная система координат, то при чётном значения «ка» количество лепестков удваивается. Автор: Емелин Александр Как построить линию в полярной системе координат? На предыдущем уроке мы познакомились с полярными координатами, а также научились строить отдельно взятые точки и распространённые кривые в данной системе координат. Давайте подведём краткие промежуточные итоги и ответим на важный вопрос: как построить линию в полярной системе координат? – Сначала необходимо отметить полюс, изобразить полярную ось и указать масштаб. Кроме того, на первоначальном этапе желательно найти область определения функции, чтобы сразу же исключить из рассмотрения лишние угловые значения. – В большинстве случаев потребуется найти десяток-другой точек, принадлежащих линии. Но иногда можно обойтись меньшим количеством, а то и вовсе отделаться схематическим чертежом. – На следующем шаге следует прочертить угловые направления и отметить найденные точки. Как это сделать с помощью каменного топора транспортира, циркуля и линейки, я подробнейшим образом объяснил в начале статьи о полярных координатах. – И, наконец, отложенные точки нужно аккуратно-аккуратно соединить линией (линиями). Отработаем алгоритм построения на более основательных типовых задачах: Пример 6 Построить по точкам линию, заданную в полярной системе координат уравнением , рассматривая значения угла с интервалом в Найти уравнение линии в прямоугольной системе координат. рад. Решение: найдём область определения. Поскольку полярный радиус неотрицателен, то: Очевидно, что условие выполнено для любого значения «фи», но, тем не менее, расскажу об удобном графическом способе решения тригонометрического неравенства: изобразите на черновике (или представьте мысленно) график функции левой части неравеснтва и прямую правой части неравенства. Непосредственно по чертежу видно, что синусоида расположена не ниже прямой , а значит, неравенство выполнено для любого значения «икс». Итак, на угол не наложено никаких ограничений, и нам предстоит «перепахать» весь круг от 0 до , причём, по условию сделать это требуется строго с интервалом в руки: рад. (22,5 градусов). Ложку в зубы, калькулятор в и так далее, пока не будет пройден весь оборот до «двух пи». На практике обычно не расписывают подробные вычисления, а сразу заносят результаты в таблицу: Рекомендую использовать мой расчётный макет, созданный в MS Excel, который позволит буквально в пару щелчков вычислить все значения «эр», сэкономив целый вагон времени. Программу можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Особо нетерпеливым читателям предлагаю также воспользоваться handmade-продуктом и быстро начертить заготовку, ориентируясь по клеточкам: Углы проставлены для удобства и на чистовике, понятно, их записывать не надо. …поймал себя на мысли, что уже добрые пару лет не выполнял чертежи от руки. Сейчас аккуратно извлеку тетрадь из сканера и спрячу её в укромном месте – лет через 20-30 продам на антикварном аукционе за 100500 золотых червонцев =) Шутки шутками, а оперативная память моего первого компьютера ZX Spectrum составляла 32 килобайта. КИЛОбайта. При этом программисты умудрялись затолкать туда аркадные игры с сотнями экранов и отличной графикой (по меркам 8-разрядных машин, конечно). Сейчас на дворе февраль 2014 года, а ведь с той поры не прошло и пары десятилетий. Боюсь, что шутливое сравнение чертёжных инструментов с каменным топором довольно скоро перестанет быть шуткой =) После ностальгических воспоминаний отметим найденные точки на чертеже и аккуратно соединим их линией: Напоминаю, что одинаковые значения радиуса эффективнее засекать циркулем, а слишком малые значения для углов отметить и «на глазок». допустимо Найдём уравнение линии в декартовой системе координат. Для этого используем тоже уже знакомый приём – домножим обе части уравнения на «эр»: И по формулам перехода к прямоугольным координатам получим: Перенесём «икс» налево и возведём обе части в квадрат: Дальнейшее возведение левой части в квадрат только усложнит запись, поэтому результат целесообразнее оставить в таком виде. Из полученного уравнения следует, что кардиоида – это алгебраическая линия 4-го порядка, обратите внимание, насколько сложной получилась её формула по сравнению с полярной системой координат. Алгебраическим линиям 3-го, 4-го, 5-го, 6-го и высших порядков посвящены серьёзные исследования, и грибники без труда могут отыскать море информации по данной теме. Ну а я, как обычно, предлагаю вкусную и здоровую пищу на каждый день: Пример 7 Линия задана уравнением Требуется: в полярной системе координат. 1) построить линию по точкам, придавая начиная с и заканчивая значения через интервал , ; 2) найти уравнение линии в декартовой системе координат; 3) определить вид кривой. Типовая формулировка, предвещающая час (а то и больше) усердного пыхтения, а нередко и чертыханья студента. Но только не того, кто прочитал эту и предыдущую статью о полярных координатах! Примерный образец оформления задачи в конце урока. Рассмотрим ещё ряд важных особенностей решения: Пример 8 Линия задана уравнением Требуется: в полярной системе координат. 1) построить линию по точкам, начиная от значения через промежуток до и придавая ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат; 3) назвать линию, найти координаты фокусов и эксцентриситет. Решение: найдём область определения: Заметьте, что ноль в знаменателе нас тоже не устраивает, поэтому неравенство становится строгим. Перенесём косинус направо и развернём избушку к лесу задом: Неравенство несложно решить аналитически, но для лучшего понимания я опять воспользуюсь графическим методом. Изобразим на черновике или представим мысленно графики функций интересовать только один период – от , при этом нас будет до . Условию удовлетворяет та часть синусоиды, которая расположена ПОД прямой : То есть, в нашем распоряжении оказываются почти все значения угла за исключением макушки, расположенной на симметричном отрезке Таким образом, . . Арккосинус составляет примерно 37 градусов, поэтому из рассмотрения исключаем углы и . Заполним расчётную таблицу с прочерками в соответствующих ячейках: Чайники могут, в принципе, вообще не загружаться областью определения и ставить тире по факту: получилось отрицательное значение «эр» – поставили. Выполним чертёж: На него не вместились точки, соответствующие значениям уменьшать же из-за этого масштаб. Сойдёт и так. , но не 2) Найдём уравнение линии в прямоугольной системе координат. По всем признаком должна получиться гипербола. Избавляемся от дроби: Используем формулы перехода : Дальнейшие действия хорошо знакомы из практикума Задачи с линиями 2-го порядка: – искомое уравнение. 3) Данная линия представляется собой гиперболу с центром в точке , действительной полуосью , мнимой полуосью . Впрочем, формально по условию можно было и не упоминать о деталях. Вы спросите: «но в полярной же системе координат прорисовалась только одна ветвь гиперболы, поэтому не ошибочно ли говорить о целой гиперболе?». Не ошибочно! И вот по какой причине: если подразумевать обобщённую полярную систему координат с отрицательными значениями «эр», то при значениях угла из интервала прорисуется левая ветвь! Желающие могут провести самостоятельную проверку и анализ этого факта. Я не сторонник и даже противник обобщенных полярных координат, но в данном случае всё получается ловко и чертовски удобно – можно как бы и не оговариваться о том, что на чертеже только одна ветвь гиперболы. Вычислим координаты фокусов и эксцентриситет. По условию уравнение не нужно приводить к каноническому виду, а значит, требуемые вещи проще найти напрямую – с учётом параллельного переноса гиперболы, к тому же, она не повёрнута. Вычислим значение параллельный перенос в точку и поправкой на найдём фокусы: Эксцентриситет: Готово. Педантичные люди могут ещё записать развёрнутый ответ. Заключительное задание для самостоятельного решения: Пример 9 Линия задана уравнением Требуется: в полярной системе координат. 1) построить линию по точкам, начиная от значения через промежуток до и придавая ; 2) найти уравнение данной линии в прямоугольной системе координат и определить её вид. 3) Привести уравнение к каноническому виду и выполнить чертёж в прямоугольной системе координат. Найти фокусы кривой и её эксцентриситет. Внимательно проанализируйте, что и в каком порядке требуется выполнить по условию. Сам много раз налетал – краем глаза показалось одно, а нужно совсем другое. В образце решения приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду выполнено академическим способом. На основе полярных координат плоскости базируются цилиндрические и сферические координаты пространства. В частности, угловые величины широко используются в навигации (не зря упоминались лётчики и самолёты) и астрономии. Действительно, представьте земной шар (а если строго, эллипсоид), эллиптические орбиты планет и вы поймёте, что распиаренная прямоугольная система координат как-то здесь совсем не в тему. Ну а мне пора плотно прикрыть дверь аналитической геометрии и вернуться к матанализу, где полярные координаты тоже эксплуатируются на полную катушку. До скорых встреч! Решения и ответы: Пример 7: Решение: 1) Найдём область определения функции: – любое. Заполним таблицу требуемыми значениями угла и соответствующими значениями полярного радиуса: Выполним чертёж: 2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат: Используем формулы : – уравнение линии в прямоугольной системе координат. 3) Данная кривая представляет собой эллипс с центром симметрии в точке , большой полуосью и малой полуосью Пример 9: Решение: 1) Найдём область определения функции: . Заполним расчётную таблицу: Выполним чертёж: 2) Найдём уравнение линии в декартовой системе координат: Используем формулы : – искомое уравнение. Это парабола. 3) Приведём уравнение линии к каноническому виду с помощью перехода к новой системе координат исходной системы координат , которая получается путём поворота на параллельным переносом центром в точку системе координат). рад. вокруг точки и её (координаты – в старой В результате получено каноническое уравнение параболы фокальный параметр которой равен , . Выполним чертёж: Найдём фокус: . Эксцентриситет любой параболы равен единице. Автор: Емелин Александр Уравнение плоскости. Как составить уравнение плоскости? Взаимное расположение плоскостей. Задачи Пространственная геометрия не намного сложнее «плоской» геометрии, и наши полёты в пространстве начинаются с данной статьи. Для усвоения темы необходимо хорошо разобраться в векторах, кроме того, желательно быть знакомым с геометрией плоскости – будет много похожего, много аналогий, поэтому информация переварится значительно лучше. В серии моих уроков 2D-мир открывается статьёй Уравнение прямой на плоскости. Но сейчас Бэтмен сошёл с плоского экрана телевизора и стартует с космодрома Байконур. Начнём с чертежей и обозначений. Схематически плоскость можно нарисовать в виде параллелограмма, что создаёт впечатление пространства: Плоскость бесконечна, но у нас есть возможность изобразить лишь её кусочек. На практике помимо параллелограмма также прорисовывают овал или даже облачко. Мне по техническим причинам удобнее изображать плоскость именно так и именно в таком положении. Реальные плоскости, которые мы рассмотрим в практических примерах, могут располагаться как угодно – мысленно возьмите чертёж в руки и покрутите его в пространстве, придав плоскости любой наклон, любой угол. Обозначения: плоскости принято обозначать маленькими греческими буквами , видимо, чтобы не путать их с прямой на плоскости или с прямой в пространстве. Я привык использовать букву . На чертеже именно буква «сигма», а вовсе не дырочка. Хотя, дырявая плоскость, это, безусловно, весьма забавно. В ряде случаев для обозначения плоскостей удобно использовать те же греческие буквы с нижними подстрочными индексами, например, . Очевидно, что плоскость однозначно определяется тремя различными точками, не лежащими на одной прямой. Поэтому достаточно популярны трёхбуквенные обозначения плоскостей – по принадлежащим им точкам, например, скобки: фигурой. и т.д. Нередко буквы заключают в круглые , чтобы не перепутать плоскость с другой геометрической Для опытных читателей приведу меню быстрого доступа: Общее уравнение плоскости Как составить уравнение плоскости по точке и двум векторам? Как составить уравнение плоскости по трём точкам? Нормальный вектор плоскости Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали? Как построить плоскость, параллельную данной? Как найти расстояние от точки до плоскости? Взаимное расположение плоскостей: o Совпадающие плоскости o Параллельные плоскости o Расстояние между параллельными плоскостями o Пересекающиеся плоскости o Угол между плоскостями и мы не будем томиться долгими ожиданиями: Общее уравнение плоскости Общее уравнение плоскости имеет вид коэффициенты одновременно не равны нулю. , где Ряд теоретических выкладок и практических задач справедливы как для привычного ортонормированного базиса, так и для аффинного базиса пространства (если масло - масляное, вернитесь к уроку Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Для простоты будем полагать, что все события происходят в ортонормированном базисе и декартовой прямоугольной системе координат. А теперь немного потренируем пространственное воображение. Ничего страшного, если у вас оно плохое, сейчас немного разовьём. Даже для игры на нервах нужны тренировки. В самом общем случае, когда числа не равны нулю, плоскость пересекает все три координатные оси. Например, так: Ещё раз повторю, что плоскость бесконечно продолжается во все стороны, и у нас есть возможность изобразить только её часть. Рассмотрим простейшие уравнения плоскостей: Как понимать данное уравнение? Вдумайтесь: «зет» ВСЕГДА, при любых значениях «икс» и «игрек» равно нулю. Это уравнение «родной» координатной плоскости . Действительно, формально уравнение можно переписать так: , откуда хорошо видно, что нам по барабану, какие значения принимают «икс» и «игрек», важно, что «зет» равно нулю. Аналогично: – уравнение координатной плоскости – уравнение координатной плоскости ; . Немного усложним задачу, рассмотрим плоскость (здесь и далее в параграфе предполагаем, что числовые коэффициенты не равны нулю). Перепишем уравнение в виде: . Как его понимать? «Икс» ВСЕГДА, при любых значениях «игрек» и «зет» равно некоторому числу . Эта плоскость параллельна координатной плоскости . Например, плоскость параллельна плоскости и проходит через точку . Аналогично: – уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости ; – уравнение плоскости, которая параллельна координатной плоскости . Добавим членов: . Уравнение можно переписать так: , то есть «зет» может быть любым. Что это значит? «Икс» и «игрек» связаны соотношением , которое прочерчивает в плоскости некоторую прямую (узнаёте уравнение прямой на плоскости?). Поскольку «зет» может быть любым, то эта прямая «тиражируется» на любой высоте. Таким образом, уравнение определяет плоскость, параллельную координатной оси Аналогично: – уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси ; – уравнение плоскости, которая параллельна координатной оси . Если свободные члены нулевые, то плоскости будут непосредственно проходить через соответствующие оси. Например, классическая «прямая пропорциональность»: . Начертите в плоскости прямую и мысленно размножьте её вверх и вниз (так как «зет» любое). Вывод: плоскость, заданная уравнением , проходит через координатную ось . Завершаем обзор: плоскость проходит через начало координат. Ну, здесь совершенно очевидно, что точка удовлетворяет данному уравнению. И, наконец, случай, который изображён на чертеже: – плоскость дружит со всеми координатными осями, при этом она всегда «отсекает» треугольник, который может располагаться в любом из восьми октантов. Как грамотно построить перечисленные виды плоскостей на клетчатой бумаге – смотрите в справочных материалах о пространственных поверхностях. Линейные неравенства в пространстве Для лучшего понимания информации желательно хорошо изучить линейные неравенства на плоскости, поскольку многие вещи буду похожи. Параграф будет носить краткий обзорный характер с несколькими примерами, так как материал на практике встречается довольно редко. Если уравнение задаёт плоскость, то неравенства задают полупространства. Если неравенство нестрогое (два последних в списке), то в решение неравенства кроме полупространства входит и сама плоскость. Как и для линейных неравенств плоскости, справедлив аналогичный принцип: если одна точка полупространства удовлетворяет неравенству, то и ВСЕ точки данного полупространства удовлетворяют данному неравенству. Читайте примеры и посматривайте на чертёж: 1) . Как понимать данное неравенство? «Икс» и «зет» могут быть любыми, а вот «игрек» всегда больше либо равно нулю. Данное неравенство определяет правое полупространство; так как оно нестрогое, то координатная плоскость входит в решение. 2) – «игрек» и «зет» могут быть любыми, а вот «икс» строго меньше нуля. Неравенство задаёт дальнее от нас полупространство, и ввиду его строгости, координатная плоскость не входит в решение. 3) Сначала мысленно начертим плоскость – данная плоскость параллельна «родной» координатной плоскости и расположена на высоте (на 2 единицы выше плоскости ). При любых «икс» и «игрек» – «зет» меньше либо равно двум. Поэтому неравенство определяет нижнее полупространство + саму плоскость . 4) Дана плоскость . Я специально подобрал плоскость, которая «высекает» треугольник в первом октанте (такой, как на чертеже). Требуется строгим неравенством задать полупространство, которое содержит начало координат. Составим вспомогательный многочлен значение в начале координат: искомое неравенство: . и вычислим его , таким образом, Проведённый обзор полезен не только в аналитической геометрии, но и для решения ряда задач математического анализа. Как составить уравнение плоскости? Конструировать уравнение плоскости будем с помощью векторов и точек. Их должно быть как можно меньше, но достаточно, чтобы однозначно определить плоскость. Одним словом, красивая математическая лаконичность. Математика – царица наук, не стерва, но строгА. А уж насколько доступна, во многом зависит от вашего к ней отношения =) Казалось бы, плоскость можно определить с помощью двух неколлинеарных векторов. Но векторы свободны и бродят по всему пространству, поэтому ещё нужна фиксированная точка. Как составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам? Рассмотрим точку и два неколлинеарных вектора которая проходит через точку формулой: . Уравнение плоскости, параллельно векторам , выражается ! Примечание: под выражением «вектор параллелен плоскости» подразумевается, что вектор можно отложить и в самой плоскости. Для наглядности я буду откладывать векторы прямо в плоскости. Принципиально ситуация выглядит так: Обратите внимание, что точка и два коллинеарных вектора не определят плоскость однозначно (векторы будут свободно «вертеться» вокруг точки и зададут бесконечно много плоскостей). Пример 1 Составить уравнение плоскости по точке векторам и . Решение: Составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам: Определитель удобнее всего раскрыть по первому столбцу: Раскрываем определители второго порядка: На первом месте у нас находится знак «минус». Хорошим тоном считается убрать наглеца, в этих целях меняем знак у каждого слагаемого. Проводим дальнейшие упрощения и получаем уравнение плоскости: Сократить здесь ничего нельзя, поэтому: Ответ: …числа, конечно, страшноваты получились для первого примера =) …но переделывать, пожалуй, не буду, на практике большие числа – вещь распространённая. Как проверить задание? Для проверки пока не хватает информации, но я обязательно выполню её чуть позже. Пример 2 Составить уравнение плоскости по точке векторам и двум неколлинеарным . Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Иногда может потребоваться решить обратную задачу – по известному уравнению плоскости найти параллельные ей векторы. Кстати, сколько параллельных векторов существует у плоскости? Бесконечно много. Однако нельзя объять необъятное, поэтому «вытащим» из уравнения плоскости три таких вектора: Пусть плоскость задана общим уравнением . Тогда векторы будут параллельны данной плоскости (а, значит, компланарны), и любые два из них – линейно независимы. Так, в Примере № 1 мы составили уравнение плоскости . Построенной плоскости будут параллельны следующие векторы: . Если честно, не припомню, чтобы приходилось этим пользоваться, тем не менее, справка не лишняя. Итак, «конструкция» из двух неколлинеарных векторов и точки однозначно определяет плоскость. Но существует более очевидный способ, о котором упоминалось выше, и он громким стуком в дверь уже давно просится на урок. Три точки. Дёшево и сердито. Как составить уравнение плоскости по трём точкам? Любые ли три точки пространства задают плоскость? Нет. Во-первых, точки должны быть различными. А во-вторых, они не должны лежать на одной прямой (сразу все три). Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки одной прямой, можно составить по формуле: , которые не лежат на На самом деле это разновидность предыдущего способа, смотрим на картинку: Если известны три различные точки, не лежащие на одной прямой, то легко найти два неколлинеарных вектора, параллельных данной плоскости: То есть, наша формула фактически совпадает с формулой предыдущего параграфа. Многие уже заметили явную аналогию с материалами статьи Уравнение прямой на плоскости. Закономерности будут сохраняться и дальше! Чтобы не умереть от скуки, предлагаю раскрутить примеры-шарады: Пример 3 Составить уравнение плоскости по точкам . Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу: Вот теперь и аналитически видно, что всё дело свелось к координатам двух векторов. Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости: Больше ничего упростить нельзя, записываем: Ответ: Проверка напрашивается сама собой – в полученное уравнение плоскости нужно подставить координаты каждой точки. Если хотя бы одна из трёх точек «не подойдёт», ищите ошибку. Для «мёртвого» зачёта всегда выполняйте проверку мысленно или на черновике!!! Пример 4 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки начало координат. и Это пример для самостоятельного решения. Ещё раз присмотримся к формуле . В каждом столбце определителя встречаются координаты точки , и это можно с выгодой использовать. В предложенной задаче даны три точки: , начало координат. В качестве точки можно выбрать любую из трёх точек. Подумайте, как рациональнее оформить решение! Да, и постарайтесь, не пропускать это задание, в самом конце решения увидите важный технический нюанс ;-) Вектор нормали плоскости (нормальный вектор) Вектор нормали плоскости – это вектор, который перпендикулярен данной плоскости. Очевидно, что у любой плоскости бесконечно много нормальных векторов. Но для решения задач нам будет хватать и одного. Если плоскость задана общим уравнением , то вектор является вектором нормали данной плоскости. Просто до безобразия. Всё, что нужно сделать – это «снять» коэффициенты из уравнения плоскости. Обещанного три экрана ждут, вернёмся к Примеру № 1 и выполним его проверку. Напоминаю, что там требовалось построить уравнение плоскости по точке и двум векторам получили уравнение . В результате решения мы . Проверяем: Во-первых, подставим координаты точки Получено верное равенство, значит, точка плоскости. в полученное уравнение: действительно лежит в данной Во-вторых, из уравнения плоскости снимаем вектор нормали: . Поскольку векторы параллельны плоскости, а вектор перпендикулярен плоскости, то должны иметь место следующие факты: . Перпендикулярность векторов легко проверить с помощью скалярного произведения: Вывод: уравнение плоскости найдено правильно. В ходе проверки я фактически процитировал следующее утверждение теории: вектор параллелен плоскости только том случае, когда в том и . Решим важную задачу, которая имеет отношение и к уроку Скалярное произведение векторов: Пример 5 Найти единичный нормальный вектор плоскости . Решение: Единичный вектор – это вектор, длина которого равна единице. Обозначим данный вектор через коллинеарны: . Совершенно понятно, что векторы Сначала из уравнения плоскости снимем вектор нормали: Как найти единичный вектор? Для того чтобы найти единичный вектор нужно каждую координату вектора разделить на длину вектора . Перепишем вектор нормали в виде Согласно вышесказанному: и найдём его длину: . , Ответ: Проверка: требовалось проверить. , что и Читатели, которые внимательно изучили последний параграф урока Скалярное произведение векторов, наверное, заметили, что координаты единичного вектора косинусы вектора : – это в точности направляющие Отвлечёмся от разобранной задачи: когда вам дан произвольный ненулевой вектор, и по условию требуется найти его направляющие косинусы (см. последние задачи урока Скалярное произведение векторов), то вы, по сути, находите и единичный вектор, коллинеарный данному. Фактически два задания в одном флаконе. Необходимость найти единичный вектор нормали возникает в некоторых задачах математического анализа. С выуживанием нормального вектора разобрались, теперь ответим на противоположный вопрос: Как составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали? Эту жёсткую конструкцию вектора нормали и точки хорошо знает мишень для игры в дартс. Пожалуйста, вытяните руку вперёд и мысленно выберите произвольную точку пространства, например, маленькую кошечку в серванте. Очевидно, что через данную точку можно провести единственную плоскость, перпендикулярную вашей руке. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , выражается формулой: Выглядит значительно привлекательнее, чем предыдущие мытарства. В некоторых задачах аналитической геометрии уравнение плоскости можно составить несколькими способами, и решение через точку и нормальный вектор – самое оптимальное. Пример 6 Составить уравнение плоскости по точке нормали . и вектору Решение: Используем формулу: Ответ: Проверка выполняется очень легко: 1) Из полученного уравнения снимаем вектор нормали: – всё хорошо, полученный вектор совпал с вектором из условия (в ряде случаев может получиться коллинеарный вектор). 2) Подставим координаты точки Верное равенство, значит, точка в уравнение плоскости: принадлежит данной плоскости. Вывод: уравнение плоскости найдено правильно. Пример настолько прозрачен, что хочется немного завуалировать условие: Пример 7 Найти уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно оси . Это пример для самостоятельного решения. Просто, но со вкусом. Перейдём к более содержательным примерам. Типовая задача: Как построить плоскость, параллельную данной? Пример 8 Построить плоскость, проходящую через точку плоскости . Решение: Обозначим известную плоскость через условию требуется найти плоскость проходит через точку . параллельно . По , которая параллельна плоскости и Выполним схематический чертёж, который поможет быстрее разобраться в условии и понять алгоритм решения: У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали. Добавить нечего =) Осталось оформить мат в два хода: 1) Из уравнения плоскости: найдём вектор нормали . 2) Уравнение плоскости нормали : составим по точке и вектору Ответ: Как выполнить проверку, я уже рассказал. Продолжаем раскидывать стог сена пространственной геометрии: Как найти расстояние от точки до плоскости? Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенного из точки к данной плоскости: Формула очень похожа на формулу «плоской» геометрии расстояния от точки до прямой (см. Пример № 8 урока Простейшие задачи с прямой на плоскости). Расстояние от точки выражается формулой до плоскости При желании или надобносте можно найти и точку , но для этого нужно разобраться с уравнениями прямой в пространстве и посетить урок Основные задачи на прямую и плоскость. Пример 9 Найти расстояние от точки до плоскости Решение: анализировать тут нечего, главное, не допустить ошибку в вычислениях: Ответ: Такое даже для самостоятельного решения неловко предлагать. Заключительный раздел урока будет посвящен взаимному расположению плоскостей. Мы уже немного поговорили о параллельных плоскостях, и сейчас продолжим тему: Взаимное расположение плоскостей Для практики наиболее важна информация о взаимном расположении двух плоскостей, но и о трёх плоскостях также будет краткая справка. Рассмотрим две плоскости пространства, заданные общими уравнениями: Они могут: 1) совпадать; 2) быть параллельными: ; 3) пересекаться по некоторой прямой «эль»: . Всё очень и очень похоже на взаимное расположение прямых на плоскости (урок Простейшие задачи с прямой на плоскости). Совпадающие плоскости Две плоскости совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства Рассмотрим плоскости и составим систему: Из каждого уравнения системы следует, что совместна и плоскости . Таким образом, система совпадают. Параллельные плоскости Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных пропорциональны: , но . На практике очень часто первые три коэффициента банально совпадают ( ). Посмотрим, например, на уравнения параллельных плоскостей из Примера № 8: Комментарии, думаю, излишни, всё прекрасно видно. Но на всякий случай выполню формальную проверку, вдруг кому потребуется. Составим систему: Из первых трёх уравнений следует, что следует, что переменных параллельны. , а из четвёртого уравнения , значит, система несовместна. Но коэффициенты при пропорциональны, следовательно, плоскости Задача о нахождении параллельной плоскости уже была, поэтому решим чтонибудь новое: Как найти расстояние между плоскостями? Расстояние между двумя параллельными плоскостями выражается формулой: Координаты точек нам неизвестны, да их и не нужно знать, поскольку перпендикуляр между плоскостями можно протянуть в любом месте. Найдём расстояние между параллельными плоскостями Примера № 8: Пример 10 Найти расстояние между параллельными плоскостями . Решение: Используем формулу: Ответ: У многих наверняка возник вопрос: вот у этих плоскостей – первые три коэффициенты одинаковы, но это же не всегда так! Да, не всегда. Пример 11 Найти расстояние между параллельными плоскостями Проверим пропорциональность коэффициентов: но , , значит, плоскости действительно параллельны. Первые три коэффициента пропорциональны, но не совпадают. Однако формулато предусмотрена для совпадающих коэффициентов! Есть два пути решения: 1) Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую любой из плоскостей. Например, рассмотрим плоскость . Чтобы найти точку, проще всего обнулить две координаты. Обнулим «икс» и «зет», тогда: . Таким образом, точка принадлежит данной плоскости. Теперь можно использовать формулу расстояния от точки до плоскости рассмотренную в предыдущем разделе. , 2) Второй способ связан с небольшим трюком, который нужно применить, чтобы таки использовать формулу самостоятельного решения. ! Это пример для Пересекающиеся плоскости Третий, самый распространённый случай, когда две плоскости пересекаются по некоторой прямой : Две плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства Сразу отмечу важный факт: Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений Но о ней позже. задаёт прямую в пространстве. В качестве примера рассмотрим плоскости систему для соответствующих коэффициентов: . Составим Из первых двух уравнений следует, что , но из третьего уравнения следует, что , значит, система несовместна, и плоскости пересекаются. Проверку можно выполнить «по пижонски» одной строкой: Параллельные плоскости мы уже разобрали, теперь поговорим о перпендикулярных плоскостях. Очевидно, что к любой плоскости можно провести бесконечно много перпендикулярных плоскостей, а для того, чтобы зафиксировать конкретную перпендикулярную плоскость, нужно задать две точки: Пример 12 Дана плоскость . Построить плоскость данной и проходящую через точки , перпендикулярную . Решение: Начинаем анализировать условие. Что мы знаем о плоскости Известны две точки. Можно найти вектор , параллельный данной плоскости. Но этого мало, нужен ещё один. Так как плоскости должны быть перпендикулярны, то вторым вектором следует взять нормальный вектор плоскости . ? Проводить подобные рассуждения здОрово помогает схематический чертёж: Для лучшего понимания задачи отложите вектор нормали плоскости от точки в . Кстати, теперь чётко видно, почему одна точка не определит перпендикулярную плоскость – вокруг единственной точки будет «вращаться» бесконечно много перпендикулярных плоскостей. Так же нас не устроит и единственный вектор (без всяких точек). Вектор является свободным и «наштампует» нам бесконечно много перпендикулярных плоскостей (которые, к слову, будут параллельны между собой). В этой связи минимальную жёсткую конструкцию обеспечивают две точки. Задача разобрана, решаем: 1) Найдём вектор 2) Из уравнения 3) Уравнение плоскости и . снимем вектор нормали: составим по точке ) и двум неколлинеарным векторам . (можно было взять : Ответ: Проверка состоит из двух этапов: 1) Проверяем, действительно ли плоскости будут перпендикулярны. Если две плоскости перпендикулярны, то их векторы нормали будут ортогональны. Логично. Из полученного уравнения нормали снимаем вектор и рассчитываем скалярное произведение векторов: Таким образом, 2) В уравнение плоскости точек подставляем координаты . Обе точки должны «подойти». И первый, и второй пункт можно выполнить устно. Перейдём к заключительной задаче урока: Как найти угол между плоскостями? Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двухгранных угла и любой из этих углов называют углом между плоскостями. Обозначим угол между плоскостями через : Наклон плоскости однозначно определяется её вектором нормали, поэтому угол между плоскостями можно найти через угол между нормальными векторами данных плоскостей. А угол между векторами рассчитывается с помощью обыденной формулы, рассмотренной на уроке Скалярное произведение векторов: Распишем формулу в коэффициентах: Обратите внимание, что формула может дать и тупой угол, например, 150 градусов. Такой ответ не будет страшной ошибкой, но за угол между плоскостями, как правило, принимают острый угол, поэтому концовку задания лучше дополнить расчётом «традиционного» угла: 180 – 150 =30 градусов. Задачка поинтереснее: Пример 13 Найти угол между плоскостями Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Что-то не хочется мне вас сегодня отпускать… наверное, хорошо себя вели и активно работали на уроке =) Придётся рассказать что-нибудь ещё. Взаимное расположение трёх плоскостей Три плоскости могут располагаться в пространстве 8 способами, если интересуют все случаи, пожалуйста, посмотрите в книге Атанасяна-Базылева или в Интернете, видел вроде в Википедии, точно уже не помню. Самый известный случай взаимного расположения трёх плоскостей – плоскости пересекаются в одной точке. Живой пример находится совсем недалеко от вас. Посмотрите вверх – в угол комнаты, где пересекаются две стены и потолок. Пессимисты могут посмотреть вниз. Аналитически данному случаю соответствует система линейных уравнений , которая имеет единственное решение. Ничего не напоминает? Вот, оказывается, где прячется метод Крамера… – в углу вашей комнаты! На следующем уроке мы изучим Прямые в пространстве. Спасибо за работу, домашнего задания не будет! Решения и ответы: Пример 2: Решение: составим уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам: Ответ: Пример 4: Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам : Ответ: Пример 7: Решение: Так как плоскость перпендикулярна оси вектор , то является вектором нормали для данной плоскости. Уравнение плоскости составим по точке : и вектору нормали Ответ: Пример 11: Решение: Разделим все коэффициенты второго уравнения на два: Используем формулу Ответ: Пример 13: Решение: Обозначим . Используем формулу: За угол между плоскостями примем острый угол: Ответ: УравнениЯ прямой в пространстве Здравствуйте-здравствуйте! Впервые или снова, но очень рад вас видеть! Продолжаем знакомиться с пространственной геометрией – миром, в котором мы живём. На первом уроке мы вдоль и поперёк рассмотрели уравнение плоскости, а сейчас очередь дошла до моей очередной жертвы – прямой в пространстве. Если ваш уровень подготовки не очень высок, пожалуйста, начните с предыдущей статьи, там же есть путеводитель для чайников – тех, кто проходил мимо векторов пару раз и очень давно. В данном разделе мы разберём вопросы, связанные с уравнениЯМИ прямой в пространстве, посмотрим, как может располагаться прямая относительно координатных плоскостей, координатных осей и научимся решать типовые задачи. Я добросовестно постараюсь рассказать всё самое главное, что связано с пространственными прямыми. Начнём с уравненИЙ прямой в пространстве. Для лёгкого понимания темы целесообразно хорошо проштудировать уравнение «плоской» прямой, поскольку будет очень много похожих вещей. Но будут и отличия, на одно из которых вы уже наверняка обратили внимание. Я выделял большими буквами окончание слова «уравнение», подчеркивая, что оно находится ВО МНОЖЕСТВЕННОМ ЧИСЛЕ. И это не случайно, своеобразие пространственной прямой состоит в том, что она задаётся не одним уравнением, а некоторым множеством уравнений. Высшая математика не озадачивает нас улыбкой Джоконды, поэтому надвинем на лоб строгую параллельность морщин и приступим к делу. Если вас интересует что-то конкретное, используйте быстрые ссылки: канонические уравнения прямой (по точке и направляющему вектору); уравнения прямой по двум точкам; параметрические уравнения прямой; прямая, заданная пересечением двух плоскостей. Типовые задачи с пространственной прямой Как составить уравнения прямой в пространстве? Аналогично «плоской» прямой, существует несколько способов, которыми мы можем задать прямую в пространстве. Начнём с канонов – точки и направляющего вектора прямой: Канонические уравнения прямой Если известна некоторая точка пространства , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами: Приведённая запись предполагает, что координаты направляющего вектора не равны нулю. Что делать, если одна или две координаты нулевые, мы рассмотрим чуть позже. Как и в статье Уравнение плоскости, для простоты будем считать, что во всех задачах урока действия проводятся в ортонормированном базисе пространства. Пример 1 Составить канонические уравнения прямой по точке направляющему вектору и Решение: Канонические уравнения прямой составим по формуле: Ответ: И ежу понятно… хотя, нет, ежу не понятно вообще ничего. Что следует отметить в этом очень простом примере? Во-первых, полученные уравнения НЕ НАДО сокращать на единицу: . Сократить, точнее, можно, но это непривычно режет глаз и создаёт неудобства в ходе решения задач. А во-вторых, в аналитической геометрии неизбежны две вещи – это проверка и зачёт: На всякий случай смотрим на знаменатели уравнений и сверяемся – правильно ли там записаны координаты направляющего вектора . Нет, не подумайте, у нас не урок в детском садике «Тормозок». Данный совет очень важен, поскольку позволяет полностью исключить ошибку по невнимательности. Никто не застрахован, а вдруг неправильно переписали? Наградят премией Дарвина по геометрии. Далее подставляем координаты точки в найденные уравнения: Получены верные равенства, значит, координаты точки удовлетворяют нашим уравнениям, и сама точка действительно принадлежит данной прямой. Проверка очень легко (и быстро!) выполняется устно. В ряде задач требуется найти какую-нибудь другую точку данной прямой. Как это сделать? Берём полученные уравнения например, левый кусочек: , принадлежащую и мысленно «отщипываем», . Теперь этот кусочек приравниваем к любому числу (помним, что ноль уже был), например, к единице: . Так как , то и два других «куска» тоже должны быть равны единице. По сути, нужно решить систему: Проверим, удовлетворяет ли найденная точка уравнениям : Получены верные равенства, значит, точка прямой. действительно лежит на данной Выполним чертёж в прямоугольной системе координат. Заодно вспомним, как правильно откладывать точки в пространстве: Строим точку : – от начала координат в отрицательном направлении оси откладываем отрезок первой координаты (зелёный пунктир); – вторая координата нулевая, поэтому «не дёргаемся» с оси ни влево, ни вправо; – в соответствие с третьей координатой отмеряем три единицы вверх (фиолетовый пунктир). Строим точку : отмеряем две единицы «на себя» (желтый пунктир), одну единицу вправо (синий пунктир) и две единицы вниз (коричневый пунктир). Коричневый пунктир и сама точка наложились на координатную ось, обратите внимание, что они находятся в нижнем полупространстве и ПЕРЕД осью . Сама прямая проходит над осью и, если меня не подводит глазомер, над осью . Не подводит, убедился аналитически. Если бы прямая проходила ЗА осью , то следовало бы стереть ластиком частичку линии сверху и снизу точки скрещивания. У прямой бесконечно много направляющих векторов, например: (красная стрелка) Получился в точности исходный вектор , но это чистая случайность, такую уж я выбрал точку . Все направляющие векторы прямой коллинеарны, и их соответствующие координаты пропорциональны (более подробно – см. Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов). Так, векторы прямой. тоже будут направляющими векторами данной Дополнительную информацию о построении трёхмерных чертежей на клетчатой бумаге можно найти в начале методички Графики и свойства функций. В тетради разноцветные пунктирные дорожки к точкам (см. чертёж) обычно тонко прочерчивают простым карандашом тем же пунктиром. Разберёмся с частными случаями, когда одна или две координаты направляющего вектора нулевые. Попутно продолжаем тренировку пространственного зрения, которая началась в начале урока Уравнение плоскости. И вновь я расскажу вам сказку о голом короле – нарисую пустую систему координат и буду убеждать вас, что там есть пространственные прямые =) Проще перечислить все шесть случаев: 1) Для точки и направляющего вектора уравнения прямой распадаются на три отдельных уравнения: Или короче: канонические . Пример 2: составим уравнения прямой по точке вектору : и направляющему Что это за прямая? Направляющий вектор прямой коллинеарен орту , значит, данная прямая будет параллельна оси . Канонические уравнения следует понимать так: а) – «игрек» и «зет» постоянны, равны конкретным числам; б) переменная «икс» может принимать любые значения: (на практике данное уравнение, как правило, не записывают). В частности, уравнения задают саму ось . Действительно, «икс» принимает любое значение, а «игрек» и «зет» всегда равны нулю. Рассматриваемые уравнения можно интерпретировать и другим образом: посмотрим, например, на аналитическую запись оси абсцисс: . Ведь это уравнения двух плоскостей! Уравнение задаёт координатную плоскость , а уравнение – координатную плоскость . Правильно думаете – данные координатные плоскости пересекаются по оси . Способ, когда прямая в пространстве задаётся пересечением двух плоскостей, мы рассмотрим в самом конце урока. Два похожих случая: 2) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами . Такие прямые будут параллельны координатной оси . В частности, уравнения задают координатную саму ось ординат. 3) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору , выражаются формулами Данные прямые параллельны координатной оси задают саму ось аппликат. . , а уравнения Загоним в стойло вторую тройку: 4) Для точки и направляющего вектора уравнения прямой распадаются на пропорцию плоскости канонические и уравнение . Пример 3: составим уравнения прямой по точке вектору : и направляющему Разберём суть полученной записи. Уравнение задаёт плоскость в пространстве, причём данная плоскость будет параллельна «родной» координатной плоскости . Из пропорции легко выразить уравнение «плоской» прямой, единственное, эта прямая будет находиться не на плоскости , а на высоте . Если высота нулевая: , то уравнения принимают вид вот это уже в точности наша «плоская» прямая, лежащая в плоскости ,и . Таким образом, рассмотренный случай задаёт прямую, параллельную координатной плоскости . Действительно, задумайтесь, ведь направляющий вектор параллелен данной плоскости, ведь «зетовая» координата равна нулю. 5) Прямая, заданная точкой параллельна координатной плоскости выражаются формулами: В частности, уравнения плоскости . 6) Прямая, заданная точкой параллельна координатной плоскости выражаются формулами: В частности, уравнения плоскости . и направляющим вектором , и её канонические уравнения , . определяют прямую, лежащую в и направляющим вектором , и её канонические уравнения , . определяют прямую, лежащую в Настала пора хорошо закусить: Пример 4 Записать канонические уравнения прямой, если известна точка и направляющий вектор данной прямой. а) б) в) Записать уравнения прямой, проходящей через точку оси . параллельно Это примеры для самостоятельного решения, ответы в конце урока. Постарайтесь не пренебрегать примерами данного урока! Задачи вроде бы элементарны, но если на них забить, то в дальнейшем появятся серьёзные затруднения. Причём, в простых вещах. Как составить уравнения пространственной прямой по двум точкам? Если известны две точки пространства , то уравнения прямой, проходящей через данные точки, выражаются формулами: Унылый частный случай предыдущего параграфа. И в самом деле, вектор является направляющим вектором прямой. По возможности, рекомендую не пользоваться данными формулами. Хорошото оно, всё хорошо, но только до тех пор, пока знаменатели без нулей. Не буду объяснять все тонкости, но рекомендую придерживаться следующего алгоритма решения: Пример 5 Составить уравнения прямой, проходящей через точки Решение: Найдём направляющий вектор прямой: Уравнения прямой составим по точке точку (можно было выбрать ) и направляющему вектору : Ответ: В принципе, можно было сократить знаменатели пропорции на 2 и записать ответ в виде никакой. , но в данном случае надобности в этом нет Выполним проверку: Подставим координаты точки в полученные уравнения: Получены верные равенства. Подставим координаты точки : Получены верные равенства. Вывод: канонические уравнения прямой составлены правильно. Пример 6 Составить уравнения прямой, проходящей через точки . Это пример для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока. Параметрические уравнения прямой в пространстве Обязательно прочитайте данный параграф! Параметрические уравнения, конечно, не альфа и омега пространственной геометрии, но рабочий муравей многих задач. Причём, этот вид уравнений часто применяется неожиданно, и я бы сказал, изящно. Если известна точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор данной прямой, то параметрические уравнения этой прямой задаются системой: О самом понятии параметрических уравнений я рассказывал на уроках Уравнение прямой на плоскости и Производная параметрически заданной функции. Всё проще пареной репы, поэтому придётся приперчить задачу: Пример 7 Составить параметрические уравнения следующих прямых: Решение: Прямые заданы каноническими уравнениями и на первом этапе следует найти какую-нибудь точку, принадлежащую прямой, и её направляющий вектор. а) Из уравнений снимаем точку и направляющий вектор: . Точку можно выбрать и другую (как это сделать – рассказано выше), но лучше взять самую очевидную. Кстати, во избежание ошибок, всегда подставляйте её координаты в уравнения. Составим параметрические уравнения данной прямой: Удобство параметрических уравнений состоит в том, что с их помощью очень легко находить другие точки прямой. Например, найдём точку , координаты которой, скажем, соответствуют значению параметра : Таким образом: б) Рассмотрим канонические уравнения . Выбор точки здесь несложен, но коварен: (будьте внимательны, не перепутайте координаты!!!). Как вытащить направляющий вектор? Можно порассуждать, чему параллельна данная прямая, а можно использовать простой формальный приём: в пропорции находятся «игрек» и «зет», поэтому запишем направляющий вектор , а на оставшееся место поставим ноль: . Составим параметрические уравнения прямой: в) Перепишем уравнения в виде «зет» может быть любым. А если любым, то пусть, например, , то есть . Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Для нахождения направляющего вектора используем следующий формальный приём: в исходных уравнениях находятся «икс» и «игрек», и в направляющем векторе на данных местах записываем нули: . На оставшееся место ставим единицу: . Вместо единицы подойдёт любое число, кроме нуля. Запишем параметрические уравнения прямой: Для тренировки: Пример 8 Составить параметрические уравнения следующих прямых: Решения и ответы в конце урока. Полученные вами ответы могут несколько отличаться от моих ответов, дело в том, что параметрические уравнения можно записать не единственным способом. Важно, чтобы ваши и мои направляющие векторы были коллинеарны, и ваша точка «подходила» к моим уравнениям (ну, или наоборот, моя точка к вашим уравнениям). Как ещё можно задать прямую в пространстве? Хочется что-нибудь придумать с вектором нормали. Однако номер не пройдёт, у пространственной прямой нормальные векторы могут смотреть совершенно в разные стороны. Ещё об одном способе уже упоминалось на уроке Уравнение плоскости и в начале этой статьи: Прямая, заданная пересечением двух плоскостей Если плоскости пересекаются, то система линейных уравнений пространстве. задаёт прямую в То есть прямая задана уравнениями двух плоскостей. Типовая и распространенная задача состоит в том, чтобы переписать уравнения прямой в каноническом виде: Пример 9 Записать канонические уравнения прямой Решение: Чтобы составить канонические уравнения прямой, нужно знать точку и направляющий вектор. А у нас даны уравнения двух плоскостей…. 1) Сначала найдём какую-либо точку, принадлежащую данной прямой. Как это сделать? В системе уравнений нужно обнулить какую-нибудь координату. Пусть , тогда получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: решение системы: . Почленно складываем уравнения и находим Таким образом, точка принадлежит данной прямой. Обратите внимание на следующий технический момент: желательно найти точку с целыми координатами. Если бы в системе мы обнулили «икс» или «зет», то не факт, что получилась бы «хорошая» точка без дробных координат. Такой анализ и подбор точки следует проводить мысленно или на черновике. Выполним проверку: подставим координаты точки систему уравнений: равенства, значит, действительно в исходную . Получены верные . 2) Как найти направляющий вектор прямой? Его нахождение наглядно демонстрирует следующий схематический чертёж: Направляющий вектор нашей прямой ортогонален нормальным векторам плоскостей. А если , то вектор «пэ» найдём как векторное произведение векторов нормали: . Из уравнений плоскостей снимаем их векторы нормали: И находим направляющий вектор прямой: Как проверить результат, рассматривалось в статье Векторное произведение векторов. 3) Составим канонические уравнения прямой по точке направляющему вектору Ответ: : и На практике можно пользоваться готовой формулой: если прямая задана пересечением двух плоскостей вектор прямой. , то является направляющим вектором данной Пример 10 Записать канонические уравнения прямой Это пример для самостоятельного решения. Ваш ответ может отличаться от моего ответа (смотря, какую точку подберёте). Если отличие есть, то для проверки возьмите точку из вашего уравнения и подставьте в моё уравнение (или наоборот). Полное решение и ответ в конце урока. Во второй части урока мы рассмотрим взаимное расположение прямых в пространстве, а также разберём задачи, которые связаны с пространственными прямыми и точками. Терзают меня смутные ожидания, что материала будет прилично, поэтому лучше всё-таки сделать отдельную веб страницу. Добро пожаловать: Задачи с прямой в пространстве >>> Решения и ответы: Пример 4: Ответы: Пример 6: Решение: Найдём направляющий вектор прямой: Уравнения прямой составим по точке вектору Ответ: и направляющему : («игрек» – любое) Пример 8: Решения и ответы: в) Найдём направляющий вектор прямой: Параметрические уравнения прямой составим по точке . (можно выбрать точку «бэ») и направляющему вектору : Пример 10: Решение: Найдём какую-нибудь точку, принадлежащую данной прямой. Пусть , тогда: . Точка направляющий вектор прямой, используем формулу: Составим канонические уравнения прямой по точке направляющему вектору : . Найдём и Ответ: Взаимное расположение прямых в пространстве. Задачи с прямой в пространстве Данная статья – это вторая часть урока Уравнения в прямой пространстве. Не прошло и минуты, как я создал новый вёрдовский файл и продолжил столь увлекательную тему. Нужно ловить моменты рабочего настроя, поэтому лирического вступления не будет. Будет прозаическая порка =) Едем дальше: Взаимное расположение прямых в пространстве Две прямые 1) скрещиваться; пространства могут: 2) пересекаться в точке ; 3) быть параллельными ; 4) совпадать. Случай № 1 принципиально отличается от других случаев. Две прямые скрещиваются, если они не лежат в одной плоскости. Поднимите одну руку вверх, а другую руку вытяните вперёд – вот вам и пример скрещивающихся прямых. В пунктах же № 2-4 прямые обязательно лежат в одной плоскости. Как выяснить взаимное расположение прямых в пространстве? Рассмотрим две прямые пространства: – прямую , заданную точкой и направляющим вектором ; – прямую , заданную точкой и направляющим вектором . Для лучшего понимания выполним схематический чертёж: На чертеже в качестве примера изображены скрещивающиеся прямые. Как разобраться с этими прямыми? Так как известны точки , то легко найти вектор . Если прямые скрещиваются, то векторы не компланарны (см. урок Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов), а, значит, определитель, составленный из их координат, ненулевой. Или, что фактически то же самое, смешанное произведение векторов будет отлично от нуля: . В случаях № 2-4 наша конструкция «падает» в одну плоскость, при этом векторы компланарны, а смешанное произведение линейно зависимых векторов равняется нулю: . Раскручиваем алгоритм дальше. Предположим, что , следовательно, прямые либо пересекаются, либо параллельны, либо совпадают. Если направляющие векторы не коллинеарны, то прямые пересекаются. Как проверить два вектора на коллинеарность, подробно рассмотрено в той же статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Если направляющие векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Финальным гвоздём предлагаю следующий приём: берём какую-либо точку одной прямой и подставляем её координаты в уравнение второй прямой; если координаты «подошли», то прямые совпадают, если «не подошли», то прямые параллельны. Ход алгоритма незатейлив, но практические примеры всё равно не помешают: Пример 11 Выяснить взаимное расположение двух прямых Решение: как и во многих задачах геометрии, решение удобно оформить по пунктам: 1) Вытаскиваем из уравнений точки и направляющие векторы: 2) Найдём вектор: 3) Вычислим смешанное произведение векторов: Таким образом, векторы компланарны, а значит, прямые лежат в одной плоскости и могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. 4) Проверим направляющие векторы на коллинеарность. Составим систему из соответствующих координат данных векторов: Из каждого уравнения следует, что , следовательно, система совместна, соответствующие координаты векторов пропорциональны, и векторы коллинеарны. Вывод: прямые параллельны либо совпадают. 5) Выясним, есть ли у прямых общие точки. Возьмём точку , принадлежащую первой прямой, и подставим её координаты в уравнения прямой : Таким образом, общих точек у прямых нет, и им ничего не остаётся, как быть параллельными. Ответ: Интересный пример для самостоятельного решения: Пример 12 Выяснить взаимное расположение прямых Обратите внимание, что у второй прямой в качестве параметра выступает буква . Логично. В общем случае – это же две различные прямые, поэтому у каждой прямой свой параметр. И снова призываю не пропускать примеры, пороть буду предлагаемые мной задачи далеко не случайны ;-) Задачи с прямой в пространстве В заключительной части урока я постараюсь рассмотреть максимальное количество различных задач с пространственными прямыми. При этом будет соблюдён начатый порядок повествования: сначала мы рассмотрим задачи со скрещивающимися прямыми, затем с пересекающимися прямыми, и в конце поговорим о параллельных прямых в пространстве. Однако должен сказать, что некоторые задачи данного урока можно сформулировать сразу для нескольких случаев расположения прямых, и в этой связи разбиение раздела на параграфы несколько условно. Есть более простые примеры, есть более сложные примеры, и, надеюсь, каждый найдёт то, что нужно. Скрещивающиеся прямые Напоминаю, что прямые скрещиваются, если не существует плоскости, в которой бы они обе лежали. Когда я продумывал практику, в голову пришла задача-монстр, и сейчас рад представить вашему вниманию дракона с четырьмя головами: Пример 13 Даны прямые . Требуется: а) доказать, что прямые скрещиваются; б) найти уравнения прямой , проходящей через точку перпендикулярно данным прямым; в) составить уравнения прямой , которая содержит общий перпендикуляр скрещивающихся прямых; г) найти расстояние между прямыми. Решение: Дорогу осилит идущий: а) Докажем, что прямые скрещиваются. Найдём точки и направляющие векторы данных прямых: Найдём вектор: Вычислим смешанное произведение векторов: Таким образом, векторы не компланарны, а значит, прямые скрещиваются, что и требовалось доказать. Наверное, все уже давно подметили, что для скрещивающихся прямых алгоритм проверки получается короче всего. б) Найдём уравнения прямой , которая проходит через точку перпендикулярна прямым . Выполним схематический чертёж: и Для разнообразия я разместил прямую ЗА прямыми , посмотрите, как она немного стёрта в точках скрещивания. Скрещивания? Да, в общем случае прямая «дэ» будет скрещиваться с исходными прямыми. Хотя данный момент нас пока не интересует, надо просто построить перпендикулярную прямую и всё. Что известно о прямой «дэ»? Известна принадлежащая ей точка хватает направляющего вектора. . Не По условию прямая должна быть перпендикулярна прямым её направляющий вектор будет ортогонален направляющим , а значит, векторам векторное произведение: . Уже знакомый из Примера № 9 мотив, найдём Составим уравнения прямой «дэ» по точке вектору : и направляющему Готово. В принципе, можно сменить знаки в знаменателях и записать ответ в виде , но надобности в этом особой нет. Для проверки нужно подставить координаты точки в полученные уравнения прямой, затем с помощью скалярного произведения векторов убедиться, что вектор действительно ортогонален направляющим векторам «пэ один» и «пэ два». Как найти уравнения прямой, содержащей общий перпендикуляр? в) Эта задачка посложнее будет. Чайникам рекомендую пропустить данный пункт, не хочу охлаждать вашу искреннюю симпатию к аналитической геометрии =) Кстати, и более подготовленным читателям, возможно, лучше тоже повременить, дело в том, что по сложности пример надо бы поставить последним в статье, но по логике изложения он должен располагаться здесь. Итак, требуется найти уравнения прямой перпендикуляр скрещивающихся прямых. , которая содержит общий Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых – это отрезок, соединяющий данные прямые и перпендикулярный данным прямым: Вот наш красавец: – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых . Он единственный. Другого такого нет. Нам же требуется составить уравнения прямой , которая содержит данный отрезок. Что известно о прямой «эм»? Известен её направляющий вектор найденный в предыдущем пункте. Но, к сожалению, мы не знаем ни одной точки, принадлежащей прямой «эм», не знаем и концов перпендикуляра – , точек . Где эта перпендикулярная прямая пересекает две исходные прямые? В Африке, в Антарктиде? Из первоначального обзора и анализа условия вообще не видно, как решать задачу…. Но есть хитрый ход, связанный с использованием параметрических уравнений прямой. Решение оформим по пунктам: 1) Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме: Рассмотрим точку . Координат мы не знаем. НО. Если точка принадлежит данной прямой, то её координатам конкретное значение параметра, обозначим его через точки запишутся в виде: соответствует вполне . Тогда координаты Или: Жизнь налаживается, одна неизвестная – всё-таки не три неизвестных. 2) Такое же надругательство нужно осуществить над второй точкой. Перепишем уравнения второй прямой в параметрическом виде: Если точка принадлежит данной прямой, то при вполне конкретном значении её координаты должны удовлетворять параметрическим уравнениям: Или: 3) Вектор , как и ранее найденный вектор , будет направляющим вектором прямой . Как составить вектор по двум точкам, рассматривалось в незапамятные времена на уроке Векторы для чайников. Сейчас отличие состоит в том, что координаты векторов записаны с неизвестными значениям параметров. Ну и что? Никто же не запрещает из координат конца вектора вычесть соответствующие координаты начала вектора. Есть две точки: . Находим вектор: 4) Поскольку направляющие векторы коллинеарны, то один вектор линейно выражается через другой с некоторым коэффициентом пропорциональности «лямбда»: Или покоординатно: Получилась самая, что ни на есть обычная система линейных уравнений с тремя неизвестными , которая стандартно разрешима, например, методом Крамера. Но здесь есть возможность отделаться малой кровью, из третьего уравнения выразим «лямбду» и подставим её в первое и второе уравнение: Таким образом: , а «лямбда» нам не потребуется. То, что значения параметров получились одинаковыми – чистая случайность. 5) Небо полностью проясняется, подставим найденные значения в наши точки: Направляющий вектор коллега . особо не нужен, так как уже найден его После длинного пути всегда интересно выполнить проверку. Подставим координаты точки в уравнения : Получены верные равенства. Подставим координаты точки Получены верные равенства. в уравнения : 6) Заключительный аккорд: составим уравнения прямой (можно взять ) и направляющему вектору по точке : В принципе, можно подобрать «хорошую» точку с целыми координатами, но это уже косметика. Как найти расстояние между скрещивающимися прямыми? г) Срубаем четвёртую голову дракона. Способ первый. Даже не способ, а небольшой частный случай. Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра: . Крайние точки общего перпендикуляра предыдущем пункте, и задача элементарна: найдены в Способ второй. На практике чаще всего концы общего перпендикуляра неизвестны, поэтому используют другой подход. Через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, и расстояние между данными плоскостями равно расстоянию между данными прямыми. В частности, между этими плоскостями и торчит общий перпендикуляр. В курсе аналитической геометрии из вышесказанных соображений выведена формула нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми: (вместо наших точек «эм один, два» можно взять произвольные точки прямых). Смешанное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Векторное произведение векторов найдено в пункте «бэ»: вычислим его длину: Таким образом: Гордо выложим трофеи в один ряд: Ответ: а) доказать; , значит, прямые скрещиваются, что и требовалось , б) ; в) ; г) Что ещё можно рассказать про скрещивающиеся прямые? Между ними определён угол. Но универсальную формулу угла рассмотрим в следующем параграфе: Пересекающиеся прямые в пространстве Пересекающиеся прямые пространства обязательно лежат в одной плоскости: Первая мысль – всеми силами навалиться на точку пересечения сразу же подумалось, зачем себе отказывать в правильных желаниях?! Давайте навалимся на неё прямо сейчас! .И Как найти точку пересечения пространственных прямых? Пример 14 Найти точку пересечения прямых Решение: Перепишем уравнения прямых в параметрической форме: Данная задача подробно рассматривалась в Примере № 7 данного урока (см. Уравнения прямой в пространстве). А сами прямые, к слову, я взял из Примера № 12. Врать не буду, новые лень придумывать. Приём решения стандартен и уже встречался, когда мы вымучивали уравнения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых. Точка пересечения прямых координаты принадлежит прямой , поэтому её удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой, и им соответствует вполне конкретное значение параметра : Но эта же точка принадлежит и второй прямой, следовательно: Приравниваем соответствующие уравнения и проводим упрощения: Получена система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными. Если прямые пересекаются (что доказано в Примере № 12), то система обязательно совместна и имеет единственное решение. Её можно решить методом Гаусса, но уж таким детсадовским фетишизмом грешить не будем, поступим проще: из первого уравнения выразим «тэ нулевое» и подставим его во второе и третье уравнение: Последние два уравнения получились, по сути, одинаковыми, и из них следует, что . Тогда: Подставим найденное значение параметра в уравнения: Ответ: Для проверки подставим найденное значение параметра в уравнения: Получены те же самые координаты, что и требовалось проверить. Дотошные читатели могу подставить координаты точки и в исходные канонические уравнения прямых. Кстати, можно было поступить наоборот: точку проверить – через «тэ нулевое». найти через «эс нулевое», а Известная математический примета гласит: там, где обсуждают пересечение прямых, всегда пахнет перпендикулярами. Как построить прямую пространства, перпендикулярную данной? (прямые пересекаются) Пример 15 а) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой б) Найти расстояние от точки (прямые пересекаются). до прямой . Примечание: оговорка «прямые пересекаются» – существенна. Через точку можно провести бесконечно много перпендикулярных прямых, которые будут скрещиваться с прямой «эль». Единственное решение имеет место в случае, когда через данную точку проводится прямая, перпендикулярная двум заданным прямым (см. Пример № 13, пункт «б»). а) Решение: Неизвестную прямую обозначим через схематический чертёж: . Выполним Что известно о прямой ? По условию дана точка . Для того, чтобы составить уравнения прямой, нужно найти направляющий вектор. В качестве такого вектора вполне подойдёт вектор возьмём за шкирку его неизвестный конец. , им и займемся. Точнее, 1) Вытащим из уравнений прямой «эль» её направляющий вектор сами уравнения перепишем в параметрической форме: ,а Многие догадались, сейчас уже в третий раз за урок фокусник достанет белого лебедя из шляпы. Рассмотрим точку с неизвестными координатами. Поскольку точка , то её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям прямой «эль» и им соответствует конкретное значение параметра: Или одной строкой: Тогда: 2) По условию прямые должны быть перпендикулярны, следовательно, их направляющие векторы – ортогональны. А если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю: Что получилось? Простейшее линейное уравнение с одной неизвестной: 3) Значение параметра известно, найдём точку: И направляющий вектор: . 4) Уравнения прямой вектору составим по точке и направляющему : Знаменатели пропорции получились дробные, и это как раз тот случай, когда от дробей уместно избавиться. Я просто умножу их на –2: Ответ: Примечание: более строгая концовка решения оформляется так: составим уравнения прямой по точке и направляющему вектору . Действительно, если вектор является навправляющим вектором прямой, то коллинеарный ему вектор прямой. , естественно, тоже будет направляющим вектором данной Проверка состоит из двух этапов: 1) проверяем направляющие векторы прямых на ортогональность; 2) подставляем координаты точки «подходить» и там и там. в уравнения каждой прямой, они должны О типовых действиях говорилось очень много, поэтому я выполнил проверку на черновике. Кстати, запамятовал ещё пунктик – построить точку «зю» симметричную точке «эн» относительно прямой «эль». Впрочем, есть хороший «плоский аналог», с которым можно ознакомиться в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости. Здесь же всё отличие будет в дополнительной «зетовой» координате. Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве? б) Решение: Найдём расстояние от точки до прямой . Способ первый. Данное расстояние в точности равно длине перпендикуляра . Решение очевидно: если известны : точки , то: Способ второй. В практических задачах основание перпендикуляра частенько тайна за семью печатями, поэтому рациональнее пользоваться готовой формулой. Расстояние от точки до прямой выражается формулой: , где – направляющий вектор прямой «эль», а произвольная точка, принадлежащая данной прямой. Решаем: 1) Из уравнений прямой вектор 2) Точка достаём направляющий и самую доступную точку . известна из условия, заточим вектор: 3) Найдём векторное произведение и вычислим его длину: – 4) Рассчитаем длину направляющего вектора: 5) Таким образом, расстояние от точки до прямой: Ответ: После разобранной задачи вам не составит труда разобраться в следующем примере: Пример 16 В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти высоту и её длину. Это пример для самостоятельного решения. Не забывайте выполнять схематические чертежи! Полное решение и ответ в конце урока. В заключение параграфа рассмотрим угол: Как найти угол между прямыми в пространстве? Рисунка приводить не буду, думаю, всем понятно, что это за угол. Понятие угла в пространстве определено не только для пересекающихся прямых, но и для скрещивающихся прямых. Угол «альфа» между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. А формула едина и хорошо вам знакома: , где – направляющие векторы двух пересекающихся либо скрещивающихся пространственных прямых. В частности, если , то прямые перпендикулярны. Приведённая формула может дать любой угол от 0 до 180 градусов включительно, и многие авторитетные авторы учебников по геометрии углом между пространственными прямыми называют каждый из 4 углов. Однако на практике, как и в случае угла между «плоскими» прямыми, от вас, скорее всего, потребуют острый угол (что, в общем-то, логично). Поэтому если вы получили по формуле тупой угол, например, 120 градусов, то от греха подальше, внесите дополнение, что угол между прямыми равен: 180 – 120 = 60 градусов В примерах особого смысла нет, сильно сомневаюсь, что кто-то неправильно найдёт направляющие векторы пространственных прямых по их уравнениям. А практические задачи на применение самой формулы можно посмотреть, например, в статье Скалярное произведение векторов. Скоро-скоро грядут задачи на плоскость и прямую в пространстве, поэтому немного освежаем материал об уравнении плоскости. В контексте параграфа полезен следующий вопрос: определяют ли две пересекающиеся прямые плоскость в пространстве? Да, конечно, если даны две пересекающиеся прямые, то они однозначно определят плоскость, в которой лежат. Уравнение данной плоскости можно составить по двум направляющим векторам и какойнибудь точке, принадлежащей любой из прямых. Параллельные прямые в пространстве Параллельные прямые пространства, как и пересекающиеся прямые тоже лежат в одной плоскости: Что сразу можно сказать? Они не пересекаются, и у них один и тот же направляющий вектор. В начале этой статьи я зарубил четырёхглавого дракона, ловите мой мечкладенец, вас поджидает стандартный шестиглазый зверь: Пример 17 Дана прямая а) построить прямую точку . Требуется: , параллельную данной и проходящую через б) будут ли параллельные прямые однозначно определять плоскость в пространстве? Если да, то составить уравнение данной плоскости; в) найти расстояние между параллельными прямыми. Постарайтесь самостоятельно, не заглядывая в образец решения, выполнить предложенные задания. Вот, пожалуй, и все основные задачи с пространственными прямыми. После изучения уравнения плоскости и уравнений прямой в пространстве, можно приступить к рассмотрению задач на прямую и плоскость, они вряд ли покажутся вам сложнее. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 12: Решение: 1) Находим направляющие векторы и точки, принадлежащие данным прямым. Для нахождения точек удобно использовать нулевые значения параметров : 2) Найдём вектор: 3) Вычислим смешанное произведение векторов: Таким образом, прямые совпадать. могут пересекаться, быть параллельными или 4) Исследуем направляющие векторы на коллинеарность: , следовательно, направляющие векторы не коллинеарны, и прямые пересекаются. Ответ: Пример 16: Решение: 1) Выполним схематический чертёж: 2) Найдём вектор . 3) Запишем параметрические уравнения прямой направляющему вектору по точке и : 4) Точка , поэтому её координаты удовлетворяют параметрическим уравнениям данной прямой: . 5) Найдём вектор 6) Так как . – высота треугольника, то и: 7) Найдём точку: Точка совпала с точкой , значит, высота стороной , и треугольник является прямоугольным. 8) Найдём вектор . совпадает со 9) Составим уравнения высоты (катета направляющему вектору : 10) Найдём длину высоты ) по точке как длину вектора и : Ответ: Пример 17: Решение: а) Из уравнений прямой найдём её направляющий вектор: . Уравнения прямой направляющему вектору : составим по точке и б) Да, две параллельные прямые однозначно определяют плоскость, в которой они лежат. Точка принадлежит первой прямой. Найдём вектор: Уравнение искомой плоскости составим по точке неколлинеарным векторам в) Расстояние между параллельными прямыми расстояние от точки до прямой: 15). Таким образом: Ответ: и двум : найдём как (формула из Примера № а) б) да, в) Автор: Емелин Александр Взаимное расположение прямой и плоскости. Основные задачи на прямую и плоскость Как Волга неизбежно впадает в Каспийское море, так и плоскость в пространстве неминуемо встречается с прямой линией. И вот, после рассмотрения уравнения плоскости, уравнений пространственных прямых с типовыми задачами, настал долгожданный момент встретить бурными аплодисментами ещё целую группу примеров на плоскость и прямую в пространстве. Со многими приёмами решений мы уже знакомы из предыдущих уроков, поэтому особых трудностей возникнуть не должно. И сейчас я расскажу вам сказочку: Жили-были плоскость и прямая…. …так, стоп, надо умерять свои писательские потребности, а то сейчас уже пойдут откровенные гонки =) Давно думаю о своём блоге, да всё времени не хватает…. Высшей математики целый океан, и я приглашаю всех читателей зачистить бананы на очередном острове: Взаимное расположение прямой и плоскости Рассмотрим плоскость точкой и прямую и направляющим вектором , заданную . Существует три варианта взаимного расположения прямой и плоскости: 1) прямая пересекает плоскость в некоторой точке 2) прямая параллельна плоскости: 3) прямая лежит в плоскости: ; ; . Да, так вот нагло взяла, и лежит. Как выяснить взаимное расположение прямой и плоскости? Изучим аналитические условия, которые позволят нам ответить на данный вопрос. Выполним схематический чертёж, на котором прямая пересекает плоскость: Прямая пересекает плоскость тогда и только тогда, когда её направляющий вектор не ортогонален вектору нормали плоскости. Из утверждения следует, что скалярное произведение вектора нормали и направляющего вектора будет отлично от нуля: . В координатах условие запишется следующим образом: Если же данные векторы ортогональны, то есть если их скалярное произведение равно нулю: плоскости, либо лежит в ней: , то прямая либо параллельна Разграничим данные случаи. Если прямая параллельна плоскости, то точка ЛЮБАЯ точка данной прямой) не удовлетворяет уравнению плоскости: (а значит, и . Таким образом, условие параллельности прямой и плоскости записывается следующей системой: Если прямая лежит в плоскости, то точка (а, значит, и ЛЮБАЯ точка данной прямой) удовлетворяет уравнению плоскости: . Аналитические условия данного случая запишутся похожей системой: Разборки с взаимным расположением прямой и плоскости достаточно примитивны – всего в два шага. Кроме того, на практике можно обойтись даже без значка системы. Исследование взаимного расположения прямых в пространстве, которое проводилось на уроке Задачи с прямой в пространстве, намного трудозатратнее. А тут всё проще: Пример 1 Выяснить взаимное расположение прямой, заданной точкой направляющим вектором , и плоскости Решение: Вытащим вектор нормали плоскости: и . . Вычислим скалярное произведение вектора нормали плоскости и направляющего вектора прямой: , значит, прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. Подставим координаты точки в уравнение плоскости: Получено верное равенство, следовательно, точка лежит в данной плоскости. Разумеется, и любая точка прямой тоже будет принадлежать плоскости. Ответ: прямая лежит в плоскости Пример 2 Выяснить взаимное расположение плоскости прямой и . Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец оформления и ответ в конце урока. После небольшой разминки мускулатуры начинаем накидывать блины на штангу: Основные задачи на прямую и плоскость Данная задача прям таки вертится в умах человечества, и встречается в практических задачах чаще всего. Когда я приступил к разработке пространственной геометрии, то, начиная с урока Уравнение плоскости, мне даже было немного неловко, что посетители сайта обманывались в своих ожиданиях. Многие задачи уже были, а вот этой ещё нет…. Рассмотрим прямую , которая пересекает плоскость . Требуется найти точку, в которой прямая пересекает плоскость: . Хотел разобрать задачу в общем виде, но передумал… лучше традиционный практический пример: Пример 3 Дана прямая и плоскость . Требуется: а) доказать, что прямая пересекает плоскость; б) найти точку пересечения прямой и плоскости; в) через прямую плоскости ; провести плоскость г) найти проекцию прямой д) найти угол между прямой («омега»), перпендикулярную на плоскость и плоскостью ; . НеслАбо. А ведь всё началось с единственной точки пересечения =) Решение: Сначала закрепим задачу о взаимном расположении прямой и плоскости: а) Из уравнений прямой находим принадлежащую ей точку и направляющий вектор: Вектор нормали плоскости, как всегда, сдаётся без боя: Вычислим скалярное произведение: , значит, прямая пересекает плоскость, что и требовалось доказать. Как найти точку пересечения прямой и плоскости? б) Найдём точку пересечения плоскости и прямой: «Чёрный квадрат» Малевича, но тоже шедевр: . Не Приём решения стандартен и хорошо известен из статьи Задачи с прямой в пространстве. Сначала перепишем уравнения прямой в параметрической форме: Точка принадлежит данной прямой, поэтому её координаты при некотором значении параметра параметрическим уравнениям: , или одной строчкой: удовлетворяют . С другой стороны, точка принадлежит и плоскости следовательно, координаты точки должны удовлетворять уравнению плоскости , то есть должно выполняться равенство: , – ну, или попросту параметрические координаты точки нужно подставить в уравнение плоскости. Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим «тэ нулевое»: – полученное значение параметра подставляем в параметрические выражения координат нашей точки: Интересно, что в данном пункте всё обошлось даже без векторов. Чистка хвоста очевидна: координаты точки должны «подходить» и в уравнения прямой и в уравнение плоскости. Проверку несложно выполнить устно. в) Найдём уравнение плоскости , которая перпендикулярна плоскости проходит через прямую . Задача весьма напоминает Пример № 12 урока Уравнение плоскости, в котором мы рассмотрели построение перпендикулярной плоскости, проходящей через две точки. и Выполним схематический чертёж: Уравнение плоскости принадлежит прямой нормали можно составить по любой точке, которая , направляющему вектору плоскости прямой и вектору . В качестве точки, принадлежащей прямой «дэ», не возбраняется, конечно, взять найденную в предыдущем пункте точку пересечения , но в произвольной практической задаче она чаще всего не известна. Поэтому обычно используют самую «лёгкую добычу». В данном случае, очевидно, точку: . Уравнение плоскости «омега» составим по точке неколлинеарным векторам : и двум Таким образом: Проверка опять же довольно простая. Устно находим скалярное произведение нормальных векторов двух плоскостей. Оно равно нулю, значит, плоскости перпендикулярны. На втором шаге нужно убедиться, что прямая «дэ» действительно лежит в найденной плоскости «омега». Можно использовать типовой алгоритм, рассмотренный в самом начале урока. Но тут есть другая возможность – устно подставляем координаты двух известных точек плоскости вся прямая в полученное уравнение . Обе точки «подходят», и это гарантирует, что и лежит в плоскости . Как найти уравнения проекции прямой на плоскость? г) По умолчанию под проекцией понимается, как правило, ортогональная проекция. Что это такое и что это значит? Физкульт-пятиминутка. Пожалуйста, найдите дома швабру или метлу и поместите её между своих ног. Подбородок плотно прижат к груди. Теперь строго перпендикулярно смотрим вниз на швабру..., при этом получается такое умное лицо…. Скрытая от вас часть пола – это и есть проекция швабры на плоскость. Да… …а я как погляжу, вы без комплексов =) На чертеже наша «швабра» проведена малиновым цветом, а её проекция, прямая – коричневым цветом. Легко заметить, что проекция задаётся пересечением плоскостей: , и на самом деле ответ уже готов: Другое дело, что часто требуется представить уравнения прямой в канонической форме. Это стандартная задача, рассмотренная в Примерах № 9, 10 урока Уравнения прямой в пространстве. Точка , принадлежащая проекции, уже известна, осталось найти её направляющий вектор: Таким образом, канонические уравнения проекции: Обратите внимание, что на практике для решения данной задачи, в общемто, не надо находить именно точку пересечения (лишняя работа). Нас устроит любая точка, принадлежащая проекции. Красавица подбирается из системы в пространстве). (см. Примеры № 9, 10 урока Уравнения прямой Есть и другой способ нахождения проекции, связанный с построением перпендикуляра к плоскости «сигма», но, я тут прикинул, он вряд ли короче. Однако на всякий случай озвучу алгоритм, вдруг понадобится кому: – находим точку пересечения прямой и плоскости: способе уже обязательно находим); (вот в этом – из произвольной точки (не совпадающей с точкой ) опускаем перпендикуляр на плоскость (см. следующие параграфы); – основание перпендикуляра находим как пересечение прямой и плоскости ; – составляем канонические уравнения проекции по двум точкам: . Как найти угол между прямой и плоскостью? д) Логическое продолжение темы. Если прямая не перпендикулярна плоскости , то углом между прямой и плоскостью называется острый угол между прямой и её проекцией на плоскость . Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен 90 градусов. Продолжим эксплуатацию геометрического инвентаря: Справедлива следующая формула синуса угла между прямой и плоскостью: (вывод формулы можно посмотреть, например, в учебнике Атанасяна-Базылева). Таким образом, для нахождения данного угла достаточно знать лишь нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой. Скалярное произведение векторов уже найдено в пункте «а»: . Обратите внимание, что в формуле скалярное произведение находится под знаком модуля, который «съедает» возможный «минус». Вычислим длины векторов: По формуле: На иррациональность в знаменателе забиваем, поскольку нам нужен сам угол: Выложим в ряд головы очередного Змея-Горыныча: Ответ: а) б) в) , значит, прямая пересекает плоскость; ; ; г) ; д) Переходим к рассмотрению частного случая – когда: Прямая перпендикулярна плоскости В данном параграфе мы разберём ещё несколько распространённых задач. Чувствую, вы немного заскучали, поэтому пора предложить живительные примеры для самостоятельного решения. А потом ещё десяток =) Пример 4 Дана плоскость и точка . Требуется: а) составить канонические уравнения прямой перпендикулярно данной плоскости; б) найти точку в) найти точку , проходящей через точку , пересечения перпендикулярной прямой и плоскости; , симметричную точке относительно плоскости . Идейно похожая «плоская» задача рассмотрена на уроке Задачи с прямой на плоскости. Выполним схематический чертёж и коротко разберём алгоритм решения: а) Как составить уравнения перпендикулярной прямой «дэ», думаю, объяснять не нужно. Подсказка есть прямо на чертеже. б) Точка пересечения перпендикулярной прямой и плоскости находится обычным способом (см. п. «б» предыдущего примера). К слову, точка является проекцией прямой на плоскость «сигма». в) Рассмотрим отрезок . Если точка относительно плоскости, то, очевидно симметрична точке . Саму длину перпендикуляра мы рассчитывали в Примере № 9 на уроке Уравнение плоскости, но сейчас речь не о длине. Точка делит отрезок пополам. По условию нам дан один из концов отрезка , а в предыдущем пункте найдена середина . Таким образом, по формулам деления отрезка пополам, нетрудно найти координаты нужной точки . Полное решение и ответ в конце урока. Постарайтесь не заглядывать в образец, сложного-то здесь ничего нет. Вопрос очевидный, но на всякий случай коснёмся обратной задачи: как составить уравнение плоскости, которая проходит через данную точку перпендикулярно данной прямой? Берём направляющий вектор прямой – он же является вектором нормали плоскости. Поставлю и другую заплату, вроде в явном виде нигде не упоминал: можно ли составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку, не принадлежащую прямой? Да, конечно, причём плоскость будет определена однозначно. Конкретный пример можно посмотреть в Пункте № 12 задачи с треугольной пирамидой. Все задачи на пересечение прямой и плоскости, пожалуй, исчерпаны, теперь рассмотрим что-нибудь на прямую, параллельную плоскости. Таких примеров я отыскал совсем немного, и решил приютить одного сироту: Пример 5 Даны скрещивающиеся прямые Через прямую . провести плоскость, параллельную прямой . Решение: Задача простая, но всё равно выполним схематический чертёж: По условию требуется найти уравнение плоскости прямую , которая проходит через параллельно второй прямой. Уравнение плоскости составим по точке и двум неколлинеарным векторам. Поскольку прямая произвольная точка вектор: должна лежать в плоскости , то нам подойдёт , принадлежащая первой прямой, и её направляющий С другой стороны, плоскость прямой должна быть параллельна , а, значит, и её направляющему вектору Так как прямые скрещиваются, то их направляющие векторы коллинеарны. Уравнение плоскости составим по точке векторам . будут не и двум неколлинеарным : Ответ: Используя материалы начала урока, можно выполнить проверку – убедиться, что первая прямая действительно лежит в полученной плоскости, а вторая прямая – параллельна ей. Аналогично можно составить уравнение плоскости , которая проходит через прямую параллельно прямой . Решение будет точно таким же, изменится только точка – необходимо взять какую-нибудь точку, принадлежащую второй прямой. Очевидно, что данные плоскости будут параллельны: . Другие задачи по пространственной геометрии можно закачать на странице Бесплатные решения задач по высшей математике, только что заново пересмотрел свой архив, несколько десятков примеров точно есть. По ходу создания данного урока мне совершенно случайно попалась на глаза одна методичка для студентов-заочников, где среди прочих заданий, как раз есть десять задач по аналитической геометрии в пространстве. Находка оказалась очень своевременной и удачной, поскольку предоставила отличную возможность дополнительно наполнить эту статью полезным материалом, а также прикинуть, насколько пОлно я рассмотрел всю тему. То есть, провести ещё и небольшое самотестирование. Добро пожаловать в «реальные боевые условия»: Я перепишу условия всех десяти задач и кратко прокомментирую, как их решать. Желающие могут частично или полностью выполнить данные задания, правильные ответы – в конце урока. 1) Из точки опустить перпендикуляр на плоскость Смотрите Пример № 4 данного урока, пункт «а». 2) Найти проекцию точки на плоскость Проекция точки на плоскость – это в точности основание перпендикуляра, смотрите Пример № 4 данного урока, пункт «б». 3) Через прямую плоскости провести плоскость, перпендикулярную к . Смотрите Пример № 3 данного урока, пункт «в». 4) Написать уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и Смотрите Пример № 17 урока Задачи с прямой в пространстве, пункт «б». 5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно плоскостям и . Вот этой задачи нигде не встречалось. Уравнение искомой плоскости нужно составить по точке и двум нормальным векторам плоскостей. 6) Найти длину перпендикуляра, опущенного из точки плоскость на Смотрите Пример № 9 урока Уравнение плоскости. 7) Найти уравнение плоскости, зная, что точка служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Фактически нужно составить уравнение плоскости по точке нормали , где точка и вектору – начало координат. 8) Найти расстояние от точки до прямой . Смотрите Пример № 15 урока Задачи с прямой в пространстве, пункт «б». 9) Через начало координат провести плоскость, перпендикулярную прямой . Необходимо составить уравнение плоскости по точке и вектору нормали. 10) Найти уравнения перпендикуляра, опущенного из точки на прямую Смотрите Пример № 15 урока Задачи с прямой в пространстве, пункт «а». Ну что же, из 10 пробных задач не разобрана только одна (№ 5), да и та простая. Таким образом, примерно с 90%-ной вероятностью, вы должны найти то, что нужно. Иногда, конечно, встречаются трудные задачи или задачи с дОнельзя зашифрованным условием, но это редкость. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Найдем направляющий вектор и точку, принадлежащую прямой: Найдём вектор нормали плоскости: . Вычислим скалярное произведение: , значит, прямая параллельна плоскости или лежит в ней. Подставим координаты точки плоскости : в уравнение Получено неверное равенство, значит, точка не лежит в плоскости все точки прямой не лежат в данной плоскости. Ответ: ,и Пример 4: Решение: а) Найдём вектор нормали плоскости: . Уравнения перпендикулярной прямой составим по точке и вектору нормали : б) Перепишем уравнения прямой в параметрической форме: Основание перпендикуляра принадлежит данной прямой, и координатам данной точки соответствует определённое значение параметра: . Но точка также принадлежит и плоскости. Подставим параметрические координаты в уравнение плоскости: – подставим найденное значение параметра в параметрические координаты точки: в) Координаты симметричной точки середины отрезка: найдем по формулам координат Таким образом: Ответ: а) б) в) ; ; . Ответы на 10 задач: Задача с треугольной пирамидой После пройденного пути, который начался на уроке Векторы для чайников и закончился статьёй Задачи с прямой и плоскостью, рассмотрим распространённое задание, главным действующим героем которого является треугольная пирамида (тетраэдр). Посмотрим на эту пространственную фигуру и перечислим её элементарные признаки: У треугольной пирамиды есть: – четыре вершины; – шесть рёбер (сторон); – четыре грани. Чем богаты, тем и рады. Каждая из четырёх граней представляет собой треугольник, отсюда и название – треугольная пирамида или тетраэдр. Не буду перечислять геометрические свойства данной фигуры, известные из школьной программы, поскольку аналитическая геометрия вскрывает пакет молока своим способом. А именно, пристальное внимание уделяется уравнениям рёбер, плоскостей, всевозможным углам пирамиды и некоторым другим вещам, скоро увидите. Примечание: корректнее говорить «уравнения прямой, содержащей ребро (стОрону)» и «уравнение плоскости, содержащей грань». Но для краткости будем использовать словосочетания «уравнения ребра (сторонЫ)» и «уравнение грани». Особых трудностей не ожидается, так как весь инструментарий базируется на уже изученных материалах. Но если где-то обнаружатся пробелы, ничего страшного, каждый пункт решения будет снабжён ссылками на нужные уроки, чайник пыхтит – задача решается =) Кроме того, мы поэтапно выполним точный чертёж пирамиды в прямоугольной системе координат. Это очень важный шаг для тех, кто только начинает разбираться с трёхмерными чертежами. Приключения с треугольной пирамидой концептуально напоминают задачу с треугольником на плоскости. И начинаются они примерно так: Треугольная пирамида задана координатами своих вершин Далее, как правило, вам предложат четыре точки пространства. Причём, прямо сейчас =) Пусть это будут вершины . Требуется: Потребуется много чего…. Счастливчики отделаются 3-4 пунктами, а билет с крупным выигрышем может насчитывать добрый десяток заданий. Поздравляю, вы сорвали Джекпот! 1) найти длину ребра ; 2) составить уравнения стороны ; 3) найти угол между рёбрами 4) найти площадь грани ; ; 5) найти угол между ребром и плоскостью ; 6) составить уравнение грани ; 7) составить уравнения высоты ; , опущенной из вершины 8) вычислить длину высоты 9) найти основание высоты на грань ; ; 10) вычислить объем пирамиды; 11) составить уравнения медианы грани ; 12) составить уравнение плоскости, проходящей через прямую вершину и ; 13) найти угол между плоскостями и 14) выполнить чертёж пирамиды координат; в прямоугольной декартовой системе ; 15) перекреститься левой пяткой. Это единственная задача данного урока, и вот так, слегка креативно, я решил записать условие... …немного наскучило выстраивать вереницу Пример 1, Пример 2, Пример 3, …. Начнём-с бренчать монетами по карманам. Во-первых, разберёмся с обозначениями вершин. Самый распространённый вариант, когда они обозначены буквами чертёж: . Выполним схематический Если бегло просмотреть пункты задачи, то легко заметить, что в условии часто встречается грань . Чаще всего требуется составить уравнение этой «особенной» грани, а также найти её площадь. В качестве «особенной» вершины выступает точка плоскости , обычно из неё строится перпендикуляр к . А всё это я сказал к тому, что в вашей задаче могут быть совершенно другие обозначения вершин. Например, . При таких буквах «особенной» гранью, скорее всего, будет грань , а «особенной» точкой – вершина . В этой связи очень важно выполнить схематический рисунок пирамиды, чтобы не запутаться в дальнейшем алгоритме решение. Да, более подготовленные читатели могут представлять тетраэдр мысленно, но для чайников чертёж просто обязателен. Итак, на предварительном этапе разбираемся с обозначениями вершин пирамиды, анализируем условие, находим «нужную» плоскость и точку, выполняем бесхитростный набросок на черновике. С чего начать решение задачи? Перед тем, как отправиться в весёлое путешествие по пунктам условия, удобно найти три вектора. Почти всегда векторы откладываются от первой вершины, в данном случае – от точки чайников: . Решим элементарную задачу урока Векторы для Элементарность элементарностью, но многие давно заметили, что эти простые вычисления на самом деле… достаточно неприятны! Дело в том, у каждого из нас бывает наваждение а-ля «два плюс два равно пяти», поэтому лучше подстраховаться и воспользоваться программой, которая заранее обсчитает многие параметры пирамиды. Калькулятор можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, чтобы эффективнее и КОМФОРТНЕЕ воспринимать информацию, координаты четырёх точек и трёх полученных векторов рекомендую переписать на бумагу. Как найти длину ребра пирамиды? 1) Найдём длину ребра . Длина данного ребра равна длине вектора : Я обычно округляю результаты до двух знаков после запятой, но в условии задачи может быть дополнительное указание проводить округления, например, до 1-го или 3-го десятичного знака. Думаю, в случае необходимости никого не затруднит аналогичным образом найти длины рёбер или . Если же вам предложено найти длину какойнибудь другой стороны, то используйте формулу нахождения длины отрезка по двум точкам: Это всё простейшие задачи первого урока про векторы. Как составить уравнения стороны пирамиды? 2) Найдём уравнения ребра . Очевидно, что речь идёт об уравнениях прямой в пространстве, но нам не сказано, в каком виде их нужно составить. «По умолчанию» обычно подразумевается, что студент запишет канонические уравнения прямой. Уравнения ребра составим по точке направляющему вектору : (можно взять )и В целях проверки следует убедиться, что обе точки удовлетворяют найденным уравнениям. Как найти угол между рёбрами пирамиды? 3) Найдём угол между сторонами : Перед вами обычный угол пространственного треугольника, который рассчитывается как угол между векторами. И снова при делах тривиальная формула урока Скалярное произведение векторов: Заметьте, что в ходе решения можно (и нужно) использовать полученные ранее результаты, в данном случае нам уже известно, что С помощью обратной функции находим сам угол: Как найти площадь грани пирамиды? (см. пункт 1). 4) Найдём площадь грани : Площадь треугольника вычислим с помощью векторного произведения векторов, используя формулу . Сначала найдём векторное произведение: И вычислим его длину: Вынести из-под корня ничего нельзя, поэтому он войдёт в ответ в неизменном виде. Площадь грани : Если получаются страшноватые числа, не обращайте внимания, обычная картина. Главное, не допустить ошибку в вычислениях. Как найти угол между ребром и гранью? 5) Найдём угол между ребром и плоскостью . Это стандартная задача, рассмотренная в Примере № 3 п. «д» урока Основные задачи на прямую и плоскость. Прошу прощения за неточности ряда последующих чертежей, я рисую от руки, отражая лишь принципиальную картину: Используем формулу: И с помощью арксинуса рассчитываем угол: Как найти уравнение грани? 6) Составим уравнение плоскости точки . Первая мысль – использовать , но есть более выгодное решение. У нас уже найден вектор нормали уравнение грани и вектору нормали плоскости составим по точке . Поэтому (можно взять либо : Для проверки можно подставить координаты точек уравнение, все три точки должны «подходить». Как составить уравнения высоты пирамиды? в полученное ) 7) Звучит грозно, решается просто. Уравнения высоты по точке , опущенной из вершины и направляющему вектору на грань , составим : – по умолчанию записываем канонические уравнения. Вектор нормали в рассматриваемой задаче работает на всю катушку, и как только вам предложили найти площадь грани, составить уравнение грани или уравнения высоты – сразу пробивайте векторное произведение. Как найти длину высоты пирамиды? 8) Пример № 9 статьи Уравнение плоскости. Длину высоты расстояние от точки до плоскости найдём как : Результат громоздкий, поэтому позволим себе вольность не избавляться от иррациональности в знаменателе. Как найти основание высоты пирамиды? 9) Найдём основание высоты . Тема пересечения прямой и плоскости подробно муссировалась на уроке Задачи с прямой и плоскостью. Повторим. Перепишем уравнения высоты в параметрической форме: Неизвестным координатам точки значение параметра соответствует вполне конкретное : , или: . Основание высоты, понятно, лежит в плоскости. Подставим параметрические координаты точки в уравнение : Кому-то покажется жестью, но я ничего не придумал – такое задание с зубодробительными дробями время от времени встречается на практике. Полученное значение параметра подставим в координаты нашей точки: Сурово, но идеально точно. Я проверил. Как найти объем треугольной пирамиды? 10) Старая добрая задача. В аналитической геометрии объем пирамиды традиционно рассчитывается с помощью смешанного произведения векторов: Таким образом: В данном случае уместно выполнить проверку, вычислив объем тетраэдра по школьной формуле опущенной к этой грани. , где – площадь грани, Уместно ПОТОМУ, что мы знаем и площадь грани соответствующей высоты – длина высоты, , и длину Как составить уравнения медианы грани пирамиды? 11) Составим уравнения медианы грани . Ничего сложного, обычная медиана обычного пространственного треугольника: По сравнению с треугольником на плоскости, добавится лишь дополнительная координата. Нам известны вершины , и, по формулам координат середины отрезка, находим реквизиты точки : Уравнения медианы можно составить по двум точкам, но в статье Уравнения прямой в пространстве, по некоторым причинам я не рекомендовал использовать такой способ. Поэтому сначала найдём направляющий вектор прямой: За направляющий вектор можно взять любой коллинеарный вектор, и сейчас подходящий момент избавиться от дробей: Уравнения медианы составим по точке вектору и направляющему : Заметьте, что уравнения с эстетической точки зрения лучше составить по точке , так как координаты точки «эм» – дробные. Проверка рутинна, нужно подставить координаты точек полученные канонические уравнения. в Как составить уравнение плоскости, проходящей через вершину и ребро? 12) Составим уравнение плоскости, проходящей через прямую вершину и : А задаёт ли вообще прямая и не принадлежащая ей точка плоскость? Да, это «жёсткая конструкция», однозначно определяющая плоскость. К сожалению, мы не знаем вкусный нормальный вектор плоскости ,и самый короткий путь – составить уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам. В качестве точки обязательно выбираем «одинокую» точку, которая не принадлежит прямой, в данном случае – это вершина векторов уже известен: брата-мажора либо . Один из нужных , но, конечно же, удобнее выбрать его . В качестве второго вектора подходит (и вообще, бесконечно много векторов, но у нас есть только две «готовые» точки прямой ). Учитывая дробные координаты точки «эм», выгоднее найти: Уравнение плоскости составим по точке векторам и двум неколлинеарным : Очевидно, что координаты точек уравнение плоскости. должны «подходить» в полученное Как найти угол между гранью и плоскостью? 13) Найдём угол между плоскостями и . Очередной типовик, рассмотренный в Примере № 13 урока Уравнение плоскости. Данные плоскости пересекаются, и косинус угла выражается формулой: Напоминаю, что вектор нормали известны. , где между ними – вектор нормали плоскости и его длина Осталось снять вектор нормали: аккуратно провести вычисления: Возиться с такими корнями смысла нет, поэтому сразу находим угол: . уже и От тупизны подальше за ответ таки лучше принять острого соседа: Как начертить пирамиду в прямоугольной системе координат? 14) Выполним точный чертёж пирамиды координат. Это проще, чем кажется. прямоугольной системе С чего начать? Во-первых, необходимо уметь правильно изображать саму систему координат на клетчатой бумаге. Справка в начале методички Графики и свойства функций. Во-вторых, необходимо уметь строить точки в трёхмерном пространстве, об этом я уже начал рассказывать в статье Уравнения прямой в пространстве. И сейчас мы продолжим тему. Построим точку . На мой взгляд, сначала удобно разобраться с первыми двумя координатами – «иксом» и «игреком»: отмеряем 2 единицы в положительном направлении оси и 3 единицы в отрицательном направлении оси . В плоскости прочерчиваем пунктирные дорожки, которые параллельны соответствующим координатным осям. Пересечение дорожек я пометил небольшим ромбиком: Теперь, в соответствии с отрицательной «зетовой» координатой, отмеряем 1 единицу вниз и тоже проводим пунктирную дорожку. Здесь и будет находиться наша точка , она расположена в нижнем полупространстве. Для точки отмеряем 5 единиц «на себя» и 4 единицы вправо, строим параллельные осям пунктирные дорожки и находим их точку пересечения. В соответствии с «зетовой» координатой, чертим пунктиром «подставку для точки» – 2 единицы вверх. Данная точка расположена в верхнем полупространстве. Аналогично строятся две другие точки. Заметьте, что вершина в самой плоскости . лежит В тетради пунктирные линии аккуратно и не жирно проводятся простым карандашом. Теперь нужно разобраться в удалённости точек, а в этом как раз и помогут пунктирные линии. Немного включаем пространственное воображение и внимательно смотрим на ось . Очевидно, что самая близкая к нам вершина – , а самая удалённая – . Немало читателей уже мысленно прорисовали пирамиду, тем не менее, остановлюсь на построении подробнее. После того, как построены вершины, чайники могут тонко-тонко карандашом начертить все 6 сторон, и начинать разбираться, какие рёбра видимы, а какие рёбра скрыты. Лучше начать от самой близкой точки нашего зрения: . Очевидно, что все три «исходящих» ребра в поле Должен предостеречь, так бывает далеко не всегда, одно ребро, например, может быть от нас скрыто. Не теряйте визуального восприятия пространства! Какие ещё стороны в зоне видимости? ВиднЫ рёбра сторона , а вот спряталась за пирамидой: К слову, невидимое нам ребро проходит под осями . лежит в нижнем полупространстве и Чертеж-конфетка на практике получается не во всех случаях. Бывает, фортуна разворачивается и задом: То есть, грань пирамиды может полностью или частично закрывать всё остальное. Но самое скверное, когда перекрываются рёбра: Тут сразу три ребра выстроились на одной прямой (правая верхняя прямая). В похожей ситуации приходится жирно прочерчивать накладывающиеся стороны разными цветами и ниже чертежа записывать дополнительные комментарии о расположении пирамиды. Существуют и более мелкие неприятности, например, одна из сторон пирамиды может наложиться на координатную ось (а то и вовсе расположиться за ней). Увы, перечисленные случаи – не редкость на практике. Вот, пожалуй, и все основные сведения о построении треугольной пирамиды в декартовой системе координат. 15) Это пример для самостоятельного решения. В конце решения желательно остограммиться записать ответ, и по пунктам перечислить полученные результаты. За ваше здоровье! Автор: Емелин Александр Элементы высшей алгебры Множества. Операции над множествами. Отображение множеств. Мощность множества Приветствую вас на первом уроке по высшей алгебре, который появился… в канун пятилетия сайта, после того, как я уже создал более 150 статей по математике, и мои материалы начали оформляться в завершённый курс. Впрочем, буду надеяться, что не опоздал – ведь многие студенты начинают вникать в лекции только к государственным экзаменам =) Вузовский курс вышмата традиционно зиждется на трёх китах: – аналитической геометрии; – математическом анализе (пределы, производные и т.д.) – и, наконец, сезон 2015/16 учебного года открывается уроками Алгебра для чайников, Элементы математической логики, на которых мы разберём основы раздела, а также познакомимся с базовыми математическими понятиями и распространёнными обозначениями. Надо сказать, что в других статьях я не злоупотребляю «закорючками» , однако то лишь стиль, и, конечно же, их нужно узнавать в любом состоянии =). Вновь прибывшим читателям сообщаю, что мои уроки ориентированы на практику, и нижеследующий материал будет представлен именно в этом ключе. За более полной и академичной информацией, пожалуйста, обращайтесь к учебной литературе. Поехали: Множество. Примеры множеств Множество – это фундаментальное понятие не только математики, но и всего окружающего мира. Возьмите прямо сейчас в руку любой предмет. Вот вам и множество, состоящее из одного элемента. В широком смысле, множество – это совокупность объектов (элементов), которые понимаются как единое целое (по тем или иным признакам, критериям или обстоятельствам). Причём, это не только материальные объекты, но и буквы, цифры, теоремы, мысли, эмоции и т.д. Обычно множества обозначаются большими латинскими буквами (как вариант, с подстрочными индексами: и т.п.), а его элементы записываются в фигурных скобках, например: – множество букв русского алфавита; – множество натуральных чисел; ну что же, пришла пора немного познакомиться: – множество студентов в 1-м ряду … я рад видеть ваши серьёзные и сосредоточенные лица =) Множества и являются конечными (состоящими из конечного числа элементов), а множество – это пример бесконечного множества. Кроме того, в теории и на практике рассматривается так называемое пустое множество: – множество, в котором нет ни одного элемента. Пример вам хорошо известен – множество пусто =) на экзамене частенько бывает Принадлежность элемента множеству записывается значком , например: – буква «бэ» принадлежит множеству букв русского алфавита; – буква «бета» не принадлежит множеству букв русского алфавита; – число 5 принадлежит множеству натуральных чисел; – а вот число 5,5 – уже нет; – Вольдемар не сидит в первом ряду (и тем более, не принадлежит множеству или =)). В абстрактной и не очень алгебре элементы множества обозначают маленькими латинскими буквами и, соответственно, факт принадлежности оформляется в следующем стиле: – элемент принадлежит множеству . Вышеприведённые множества записаны прямым перечислением элементов, но это не единственный способ. Многие множества удобно определять с помощью некоторого признака (ов), который присущ всем его элементам. Например: – множество всех натуральных чисел, меньших ста. Запомните: длинная вертикальная палка выражает словесный оборот «которые», «таких, что». Довольно часто вместо неё используется двоеточие: – давайте прочитаем запись более формально: «множество элементов , принадлежащих множеству натуральных чисел, таких, что ». Молодцы! Данное множество можно записать и прямым перечислением: Ещё примеры: – и если и студентов в 1-м ряду достаточно много, то такая запись намного удобнее, нежели их прямое перечисление. – множество чисел, принадлежащих отрезку . Обратите внимание, что здесь подразумевается множество действительных чисел (о них позже), которые перечислить через запятую уже невозможно. Следует отметить, что элементы множества не обязаны быть «однородными» или логически взаимосвязанными. Возьмите большой пакет и начните наобум складывать в него различные предметы. В этом нет никакой закономерности, но, тем не менее, речь идёт о множестве предметов. Образно говоря, множество – это и есть обособленный «пакет», в котором «волею судьбы» оказалась некоторая совокупность объектов. Подмножества Практически всё понятно из самого названия: множество является подмножеством множества , если каждый элемент множества принадлежит множеству . Иными словами, множество содержится во множестве : Значок называют значком включения. Вернёмся к примеру, в котором – это множество букв русского алфавита. Обозначим через – множество его гласных букв. Тогда: Также можно выделить подмножество согласных букв и вообще – произвольное подмножество, состоящее из любого количества случайно (или неслучайно) взятых кириллических букв. В частности, любая буква кириллицы является подмножеством множества . Отношения между подмножествами удобно изображать с помощью условной геометрической схемы, которая называется кругами Эйлера. Пусть – множество студентов в 1-м ряду, – множество студентов группы, – множество студентов университета. Тогда отношение включений можно изобразить следующим образом: Множество студентов другого ВУЗа следует изобразить кругом, который не пересекает внешний круг; множество студентов страны – кругом, который содержит в себе оба этих круга, и т.д. Типичный пример включений мы наблюдаем при рассмотрении числовых множеств. Повторим школьный материал, который важно держать на заметке и при изучении высшей математики: Числовые множества Как известно, исторически первыми появились натуральные числа, предназначенные для подсчёта материальных объектов (людей, кур, овец, монет и т.д.). Это множество уже встретилось в статье, единственное, мы сейчас чуть-чуть модифицируем его обозначение. Дело в том, что числовые множества принято обозначать жирными, стилизованными или утолщёнными буквами. Мне удобнее использовать жирный шрифт: Иногда к множеству натуральных чисел относят ноль. Если к множеству присоединить те же числа с противоположным знаком и ноль, то получится множество целых чисел: , рационализаторы и лентяи записывают его элементы со значками «плюс минус»:)) Совершенно понятно, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел: – поскольку каждый элемент множества принадлежит множеству Таким образом, любое натуральное число можно смело назвать и целым числом. Название множества тоже «говорящее»: целые числа – это значит, никаких дробей. . И, коль скоро, целые, то сразу же вспомним важные признаки их делимости на 2, 3, 4, 5 и 10, которые будут требоваться в практических вычислениях чуть ли не каждый день: Целое число делится на 2 без остатка, если оно заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8 (т.е. любой чётной цифрой). Например, числа: 400, -1502, -24, 66996, 818 – делятся на 2 без остатка. И давайте тут же разберём «родственный» признак: целое число делится на 4, если число, составленное из двух его последних цифр (в порядке их следования) делится на 4. 400 – делится на 4 (т.к. 00 (ноль) делится на 4); -1502 – не делится на 4 (т.к. 02 (двойка) не делится на 4); -24, понятно, делится на 4; 66996 – делится на 4 (т.к. 96 делится на 4); 818 – не делится на 4 (т.к. 18 не делится на 4). Самостоятельно проведите несложное обоснование данного факта. С делимость на 3 чуть сложнее: целое число делится на 3 без остатка, если сумма входящих в него цифр делится на 3. Проверим, делится ли на 3 число 27901. Для этого просуммируем его цифры: 2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 – не делится на 3 Вывод: 27901 не делится на 3. Просуммируем цифры числа -825432: 8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 – делится на 3 Вывод: число -825432 делится на 3 Целое число делится на 5, если оно заканчивается пятёркой либо нулём: 775, -2390 – делятся на 5 Целое число делится на 10, если оно заканчивается на ноль: 798400 – делится на 10 (и, очевидно, на 100). Ну и, наверное, все помнят – для того, чтобы разделить на 10, нужно просто убрать один ноль: 79840 Также существуют признаки делимости на 6, 8, 9, 11 и т.д., но практического толку от них практически никакого =) Следует отметить, что перечисленные признаки (казалось бы, такие простые) строго доказываются в теории чисел. Этот раздел алгебры вообще достаточно интересен, однако его теоремы… прямо современная китайская казнь =) А Вольдемару за последней партой и того хватило…, но ничего страшного, скоро мы займёмся живительными физическими упражнениями =) Следующим числовым множеством идёт множество рациональных чисел: – то есть, любое рациональное число представимо в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Очевидно, что множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: И в самом деле – ведь любое целое число можно представить в виде рациональной дроби , например: и т.д. Таким образом, целое число можно совершенно законно назвать и рациональным числом. Характерным «опознавательным» признаком рационального числа является то обстоятельство, что при делении числителя на знаменатель получается либо – целое число, либо – конечная десятичная дробь, либо – бесконечная периодическая десятичная дробь (повтор может начаться не сразу). Полюбуйтесь делением и постарайтесь выполнять это действие как можно реже! В организационной статье Высшая математика для чайников и на других уроках я неоднократно повторял, повторяю, и буду повторять эту мантру: В высшей математике все действия стремимся выполнять в обыкновенных (правильных и неправильных) дробях Согласитесь, что иметь дело с дробью значительно удобнее, чем с десятичным числом 0,375 (не говоря уже о бесконечных дробях). Едем дальше. Помимо рациональных существует множество иррациональных чисел, каждое из которых представимо в виде бесконечной НЕпериодической десятичной дроби. Иными словами, в «бесконечных хвостах» иррациональных чисел нет никакой закономерности: («год рождения Льва Толстого» дважды) и т.д. О знаменитых константах «пи» и «е» информации предостаточно, поэтому на них я не останавливаюсь. Объединение рациональных и иррациональных чисел образует множество действительных (вещественных) чисел: – значок объединения множеств. Геометрическая интерпретация множества числовая прямая: вам хорошо знакома – это Каждому действительному числу соответствует определённая точка числовой прямой, и наоборот – каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. По существу, сейчас я сформулировал свойство непрерывности действительных чисел, которое хоть и кажется очевидным, но строго доказывается в курсе математического анализа. Числовую прямую также обозначают бесконечным интервалом ,а запись или эквивалентная ей запись символизирует тот факт, что принадлежит множеству действительных чисел (или попросту «икс» – действительное число). С вложениями всё прозрачно: множество рациональных чисел – это подмножество множества действительных чисел: , таким образом, любое рациональное число можно смело назвать и действительным числом. Множество иррациональных чисел – это тоже подмножество действительных чисел: При этом подмножества и не пересекаются – то есть ни одно иррациональное число невозможно представить в виде дроби. рациональной Существуют ли какие-нибудь другие числовые системы? Существуют! Это, например, комплексные числа, с которыми я рекомендую ознакомиться буквально в ближайшие дни или даже часы. Ну а пока мы переходим к изучению операций над множествами, дух которых уже материализовался в конце этого параграфа: Действия над множествами. Диаграммы Венна Диаграммы Венна (по аналогии с кругами Эйлера) – это схематическое изображение действий с множествами. Опять же предупреждаю, что я рассмотрю не все операции: 1) Пересечение множеств характеризуется логической связкой И и обозначается значком Пересечением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит и множеству , и множеству . Грубо говоря, пересечение – это общая часть множеств: Так, например, для множеств : Если у множеств нет одинаковых элементов, то их пересечение пусто. Такой пример нам только что встретился при рассмотрении числовых множеств: Множества рациональных и иррациональных чисел можно схематически изобразить двумя непересекающимися кругами. Операция пересечения применима и для бОльшего количества множеств, в частности в Википедии есть хороший пример пересечения множеств букв трёх алфавитов. 2) Объединение множеств характеризуется логической связкой ИЛИ и обозначается значком Объединением множеств и называется множество , каждый элемент которого принадлежит множеству или множеству : Запишем объединение множеств : – грубо говоря, тут нужно перечислить все элементы множеств и , причём одинаковые элементы (в данном случае единица на пересечении множеств) следует указать один раз. Но множества, разумеется, могут и не пересекаться, как это имеет место быть с рациональными и иррациональными числами: В этом случае можно изобразить два непересекающихся заштрихованных круга. Операция объединения применима и для бОльшего количества множеств, например, если , то: , при этом числа вовсе не обязательно располагать в порядке возрастания (это я сделал исключительно из эстетических соображений). Не мудрствуя лукаво, результат можно записать и так: 3) Разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству : Разность читаются следующим образом: «а без бэ». И рассуждать можно точно так же: рассмотрим множества записать разность , нужно из множества которые есть во множестве : . Чтобы «выбросить» все элементы, Пример с числовыми множествами: – здесь из множества целых чисел исключены все натуральные, да и сама запись так и читается: «множество целых чисел без множества натуральных». Зеркально: разностью множеств и называют множество , каждый элемент которого принадлежит множеству и не принадлежит множеству : Для тех же множеств – из множества «выброшено» то, что есть во множестве . А вот эта разность оказывается пуста: . И в самом деле – если из множества натуральных чисел исключить целые числа, то, собственно, ничего и не останется :) Кроме того, иногда рассматривают симметрическую разность объединяет оба «полумесяца»: , которая – иными словами, это «всё, кроме пересечения множеств». 4) Декартовым (прямым) произведением множеств множество элемент всех упорядоченных пар и называется , в которых элемент Запишем декартово произведение множеств ,а : – перечисление пар удобно осуществлять по следующему алгоритму: «сначала к 1-му элементу множества последовательно присоединяем каждый элемент множества затем ко 2-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества , затем к 3-му элементу множества присоединяем каждый элемент множества »: Зеркально: декартовым произведением множеств множество всех упорядоченных пар нашем примере: и , называется , в которых .В – здесь схема записи аналогична: сначала к «минус единице» последовательно присоединяем все элементы множества , затем к «дэ» – те же самые элементы: Но это чисто для удобства – и в том, и в другом случае пары можно перечислить в каком угодно порядке – здесь важно записать все возможные пары. А теперь гвоздь программы: декартово произведение иное, как множество точек координат . – это есть не что нашей родной декартовой системы Задание для самостоятельного закрепления материала: Выполнить операции 1) , если: ; 2) Множество удобно расписать перечислением его элементов. И пунктик с промежутками действительных чисел: 3) Напоминаю, что квадратная скобка означает включение числа в промежуток, а круглая – его невключение, то есть «минус единица» принадлежит множеству , а «тройка» не принадлежит множеству . Постарайтесь разобраться, что представляет собой декартово произведение данных множеств. Если возникнут затруднения, выполните чертёж ;) Краткое решение задачи в конце урока. Отображение множеств Отображение множества во множество – это правило, по которому каждому элементу множества ставится в соответствие элемент (или элементы) множества . В том случае если в соответствие ставится единственный элемент, то данное правило называется однозначно определённой функцией или просто функцией. Функцию, как многие знают, чаще всего обозначают буквой ставит в соответствие каждому элементу принадлежащее множеству . – она единственное значение , Ну а сейчас я снова побеспокою множество предложу им 6 тем для рефератов (множество студентов 1-го ряда и ): Векторы Матрицы Определители Комплексные числа (о, да!) Теория пределов Что такое производная? Установленное (добровольно или принудительно =)) правило соответствие каждому студенту реферата множества множества ставит в единственную тему . …а вы, наверное, и представить себе не могли, что сыграете роль аргумента функции =) =) Элементы множества (обозначается через образуют область определения функции ), а элементы множества значений функции (обозначается через – область ). Построенное отображение множеств имеет очень важную характеристику: оно является взаимно-однозначным или биективным (биекцией). В данном примере это означает, что каждому студенту поставлена в соответствие одна уникальная тема реферата, и обратно – за каждой темой реферата закреплён один и только один студент. Однако не следует думать, что всякое отображение биективно. Если на 1-й ряд (к множеству ) добавить 7-го студента, то взаимно-однозначное соответствие пропадёт – либо один из студентов останется без темы (отображения не будет вообще), либо какая-то тема достанется сразу двум студентам. Обратная ситуация: если к множеству добавить седьмую тему, то взаимнооднозначность отображения тоже будет утрачена – одна из тем останется невостребованной. Уважаемые студенты на 1-м ряду, не расстраивайтесь – остальные 20 человек после пар пойдут прибирать территорию университета от осенней листвы. Завхоз выдаст двадцать голиков, после чего будет установлено взаимнооднозначное соответствие между основной частью группы и мётлами…, а Вольдемар ещё и в магазин сбегать успеет =) Теперь разберёмся со «школьной» функцией одной переменной. Пожалуйста, загляните на страницу Функции и графики (отроется на соседней вкладке), и в Примере 1 найдите график линейной функции . Задумаемся, что это такое? Это правило , которое каждому элементу области определения (в данном случае это все значения «икс») ставит в соответствие единственное значение . С теоретико-множественной точки зрения, здесь происходит отображение множества действительных чисел во множество действительных чисел: Первое множество мы по-обывательски называем «иксами» (независимая переменная или аргумент), а второе – «игреками» (зависимая переменная или функция ). Далее взглянем на старую знакомую параболу . Здесь правило каждому значению «икс» ставит в соответствие его квадрат, и имеет место отображение: Итак, что же такое функция одной переменной? Функция одной переменной – это правило , которое каждому значению независимой переменной области определения ставит в соответствие одно и только одно значение из . Как уже отмечалось в примере со студентами, не всякая функция является взаимно-однозначной. Так, например, у функции каждому «иксу» области определения соответствует свой уникальный «игрек», и наоборот – по любому значению «игрек» мы сможем однозначно восстановить «икс». Таким образом, это биективная функция. ! На всякий случай ликвидирую возможное недопонимание: моя постоянная оговорка об области определения не случайна! Функция может быть определена далеко не при всех «икс», и, кроме того, может быть взаимнооднозначной и в этом случае. Типичный пример: А вот у квадратичной функции не наблюдается ничего подобного, во-первых: – то есть, различные значения «икс» отобразились в одно и то же значение «игрек»; и во-вторых: если кто-то вычислил значение функции и сообщил нам, что , то не понятно – этот «игрек» получен при или при однозначностью здесь даже не пахнет. ? Что и говорить, взаимной Задание 2: просмотреть графики основных элементарных функций и выписать на листок биективные функции. Список для сверки в конце этого урока. Мощность множества Интуиция подсказывает, что термин характеризует размер множества, а именно количество его элементов. И интуиция нас не обманывает! Мощность пустого множества равна нулю. Мощность множества Мощность множества букв русского алфавита тридцати трём. равна шести. равна И вообще – мощность любого конечного множества равно количеству элементов данного множества. …возможно, не все до конца понимают, что такое конечное множество – если начать пересчитывать элементы этого множества, то рано или поздно счёт завершится. Что называется, и китайцы когда-нибудь закончатся. Само собой, множества можно сравнивать по мощности и их равенство в этом смысле называется равномощностью. Равномощность определяется следующим образом: Два множества являются равномощными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие. Множество студентов равномощно множеству тем рефератов, множество букв русского алфавита равномощно любому множеству из 33 элементов и т.д. Заметьте, что именно любому множеству из 33 элементов – в данном случае имеет значение лишь их количество. Буквы русского алфавита можно сопоставить не только с множеством номеров 1, 2, 3, …, 32, 33, но и вообще со стадом в 33 коровы. Гораздо более интересно обстоят дела с бесконечными множествами. Бесконечности тоже бывают разными! ...зелёными и красными Самые «маленькие» бесконечные множества – это счётные множества. Если совсем просто, элементы такого множества можно пронумеровать. Эталонный пример – это множество натуральных чисел . Да – оно бесконечно, однако у каждого его элемента в ПРИНЦИПЕ есть номер. Примеров очень много. В частности, счётным является множество всех чётных натуральных чисел . Как это доказать? Нужно установить его взаимно-однозначное соответствие с множеством натуральных чисел или попросту пронумеровывать элементы: Взаимно-однозначное соответствие установлено, следовательно, множества равномощны и множество счётно. Парадоксально, но с точки зрения мощности – чётных натуральных чисел столько же, сколько и натуральных! Множество целых чисел тоже счётно. Его элементы можно занумеровать, например, так: Более того, счётно и множество рациональных чисел . Поскольку числитель – это целое число (а их, как только что показано, можно пронумеровать), а знаменатель – натуральное число, то рано или поздно мы «доберёмся» до любой рациональной дроби и присвоим ей номер. А вот множество действительных чисел уже несчётно, т.е. его элементы пронумеровать невозможно. Данный факт хоть и очевиден, однако строго доказывается в теории множеств. Мощность множества действительных чисел также называют континуумом, и по сравнению со счётными множествами это «более бесконечное» множество. Поскольку между множеством и числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие (см. выше), то множество точек числовой прямой тоже несчётно. И более того, что на километровом, что на миллиметровом отрезке – точек столько же! Классический пример: Поворачивая луч против часовой стрелки до его совмещения с лучом мы установим взаимно-однозначное соответствие между точками синих отрезков. Таким образом, на отрезке столько же точек, сколько и на отрезке и ! Данный парадокс, видимо, связан с загадкой бесконечности… но мы сейчас не будем забивать голову проблемами мироздания, ибо на очереди основы математической логики, а не философия =) Спасибо за внимание и успехов вам в учёбе! Решение заданий: Задание 1 1) 2) – это множество нечётных натуральных чисел: 3) – все точки координатной плоскости удовлетворяющие двум указанным неравенствам. Аналогично: , Задание 2 Взаимно-однозначные функции на иллюстрациях урока Функции и графики: Автор: Емелин Александр Основы математической логики Второй урок практического курса высшей алгебры будет посвящён основам математической логики, которая представляет собой не только отдельный раздел математики, но и имеет огромное значение при изучении всей вышки (да и не только вышки). «Существует и единственно», «из этого следует это», «необходимое условие», «достаточность», «тогда и только тогда» – знакомые обороты, не правда ли? И это не просто «дежурные» штампы, которыми можно пренебречь – это устойчивые выражения, обладающие строгим смыслом, с которым мы и познакомимся в данной статье. Кроме того, материал будет полезен начинающим изучать непосредственно математическую логику – я рассмотрю её базу: высказывания и действия над ними, формулы, основные законы + некоторые практические задачи. И, конечно же, вы узнаете очень важное, а местами и весьма забавное отличие матлогики от нашей «обычной» логики. Начинаем закладывать фундамент: Высказывания и высказывательные формы Высказывание – это предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания обычно обозначают строчными латинскими буквами соответственно: , а их истинность/ложность единицей и нулём – данная запись (не путать с модулем!) говорит нам о том, что высказывание истинно; – а эта запись – о том, что высказывание ложно. Например: – черепахи не летают; – Луна квадратная; – дважды два будет два; – пять больше, чем три. Совершенно понятно, что высказывания а высказывания и и истинны: , – ложны: Разумеется, далеко не все предложения являются высказываниями. К таковым, в частности относятся вопросительные и побудительные предложения: Вы не подскажете, как пройти в библиотеку? Пойдём в баню! Очевидно, что здесь не идёт речи об истине или лжи. Как не идёт о них речи и в случае неопределённости либо неполной информации: Завтра Петя сдаст экзамен – даже если он всё выучил, то не факт, что сдаст; и наоборот – если ничего не знает, то может и сдаст «на шару». …да ладно, Петь, не переживай – сдашь =) – а тут мы не знаем, чему равно «эн», поэтому это тоже не высказывание. Однако последнее предложение можно доопределить до высказывания, а точнее, до высказывательной формы, указав дополнительную информацию об «эн». Как правило, высказывательные формы записываются с так называемыми кванторами. Их два: – квантор общности (перевёрнутая буква A – от англ. All) понимается и читается как «для всех», «для любого (ой) (ых) »; – квантор существования (развёрнутая буква E – от англ. Exist) понимается и читается как «существует». Примеры: неравенство – для любого натурального числа выполнено . Данная высказывательная форма ложна, поскольку ей, очевидно, не соответствуют натуральные числа . – а вот это высказывательная форма уже истинна, как истинно и, например, такое утверждение: …ну а что, разве существует натуральное число, которое меньше, чем –10? Предостерегаю вас от опрометчивого использования данного квантора, ибо «для любого» может на поверку оказаться вовсе и «не для любого». Внимание! Если вам что-то не понятно в обозначениях, пожалуйста, вернитесь к уроку о множествах. – существует натуральное число, которое больше двух. Истина …и, главное, не поспоришь =) – Ложь Нередко кванторы «работают в одной упряжке»: – для любого вектора существует противоположный ему вектор. Прописная истина, а точнее, аксиома (утверждение, принимаемое без доказательства) векторного пространства. Обратите внимание, что квантор существования подразумевает сам факт существования объекта (хотя бы одного), который удовлетворяет определённым характеристикам. Пусть в мире существуют единственная белая ворона, но существуют же. Более того, в математике (как школьной, так и высшей) доказывается великое множество теорем на существование и как раз единственность чего-либо. Доказательство такой теоремы состоит из двух частей: 1) Существование объекта, удовлетворяющего определённым критериям. В этой части обосновывается сам факт его существования. 2) Единственность данного объекта. Этот пункт доказывается, как правило, методом от противного, т.е. предполагается, что существует 2-й объект с точно такими же характеристиками и далее это предположение опровергается. Школьников, впрочем, стараются не пугать подобной терминологией, и теорема часто преподносится в завуалированном виде, например: В любой треугольник можно вписать окружность и, причём только одну Кстати, а что такое вообще теорема? Логическую суть этого страшного слова мы узнаем очень скоро…. Логические операции (действия над высказываниями) Подобно тому, как с числами можно проводить арифметические действия (складывать, умножать и т.д.), к высказываниям тоже применимы свои операции. Существует три базовых логических операции: отрицание высказывания; конъюнкция или логическое умножение высказываний; дизъюнкция или логическое сложение высказываний. По порядку: 1) Отрицание высказывания Данной операции соответствует логическая связка НЕ и символ Отрицанием высказывания называется высказывание (читается «не а»), которое ложно, если истинно, и истинно – если ложно: Так, например, высказывание – черепахи не летают истинно: а его отрицание – черепахи летают если хорошенько пнуть – ложно: , ; высказывание а его отрицание – дважды два будет два ложно: , – неверно, что дважды два будет два – истинно: . Кстати, не нужно смеяться над примером с черепахами ;) садисты Удачной физической моделью данной операции является обычная лампочка и выключатель: свет включен – логическая единица или истина, свет выключили – логический ноль или ложь. 2) Конъюнкция (логическое умножение высказываний) Данной операции соответствует логическая связка И и символ либо Конъюнкцией высказываний и называют высказывание «а и бэ»), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания и : (читается Данная операция тоже встречается сплошь и рядом. Вернёмся к нашему герою с первой парты: предположим, что Петя получает допуск к экзамену по высшей математике, если сдаёт курсовую работу и зачёт по теме. Рассмотрим следующие высказывания: – Петя сдал курсовую работу; – Петя сдал зачёт. Заметьте, что в отличие от формулировки «Петя завтра сдаст» здесь уже в любой момент времени можно сказать, истина это или ложь. Высказывание (суть – Петя допущен к экзамену) будет истинно в том и только том случае, если он сдал курсовик и зачёт по что-то не сдано (см. три нижних строчки таблицы), то конъюнкция ложна. . Если хоть – И очень своевременно пришёл мне в голову отличный математический пример: знак системы соединяет входящие в неё уравнения/неравенства как раз по правилу И. Так, например, запись двух линейных уравнений в систему подразумевает то, что мы должны найти ТАКИЕ корни (если они существуют), которые удовлетворяют и первому и второму уравнению. Рассматриваемая логическая операция распространяется и на большее количество высказываний. Условно говоря, если в системе 5 уравнений, то её корни (в случае их существования) должны удовлетворять и 1-му и 2-му и 3му и 4-му и 5-му уравнению данной системы. И в заключение пункта вновь обратимся к доморощенной электротехнике: конъюнктивное правило хорошо моделирует выключатель в комнате и рубильник на электрическом щитке в подъезде (последовательное подключение). Рассмотрим высказывания: – выключатель в комнате включен; – рубильник в подъезде включен. Наверное, все уже поняли, что конъюнкция читается самым что ни на есть естественным образом: – выключатель в комнате включен и рубильник в подъезде включен. Очевидно, что тогда и только тогда, когда . В трёх других случаях (проанализируйте, каких) цепь разомкнётся и свет погаснет: . Давайте присоединим ещё одно высказывание: – рубильник на подстанции включен. Аналогично: конъюнкция когда цепи. будет истинна тогда и только тогда, . Здесь, к слову, уже будет 7 различных вариантов разрыва 3) Дизъюнкция (логическое сложение высказываний) Этой операции соответствует логическая связка ИЛИ и символ Дизъюнкцией высказываний и называют высказывание (читается «а или бэ»), которое ложно в том и только том случае, когда ложны оба высказывания и : Предположим, что в экзаменационном билете по высшей математике 2 вопроса и студент сдаёт экзамен, если ответит хотя бы на один вопрос. Рассмотрим следующие высказывания: – Петя ответил на 1-й вопрос; – Петя ответил на 2-й вопрос. Дизъюнктивная запись читается просто и понятно: Петя ответил на 1й или 2-й вопрос и подразумевает три истинных исхода (см. таблицу). При этом экзамен Пётр не сдаст «запорет» оба вопроса: в единственном случае – если Следует отметить, что союз «или» мы очень часто понимаем как «исключающее или», и, более того – его зачастую так и нужно понимать! Из той же фразы о сдаче экзамена человек, скорее всего, сделает вывод, что Петя ответил только на 1-й или только на 2-й вопрос. Однако рассматриваемое ИЛИ – это не обывательское «или». Операция логического сложения также применима для трёх и бОльшего количества высказываний. Некоторые лояльные преподаватели задают 10-15 вопросов и ставят экзамен, если студент хоть что-то знает = ) Иными словами, логическое ИЛИ скрывает за собой связку «хотя бы на один» (и она вовсе не означает, что СТРОГО на один!). Ну и давайте отвлечёмся от бытового электричества: подавляющее большинство сайтов Интернета расположены на профессиональных серверах, которые снабжаются, как правило, двумя блоками питания. В электротехнике это называется параллельным подключением, которое как раз и моделирует правило ИЛИ – сервер работает, если исправен хотя бы один блок питания. Оборудование, кстати, поддерживает «горячую» замену, т.е. сгоревший БП можно заменить, не выключая сервер. Такая же история с жёсткими дисками – они дублируются в так называемом RAID-массиве, и более того, сам Датацентр, где находятся серверы, обычно запитывается двумя независимыми электролиниями + дизель-генератор на всякий случай. Эти меры позволяют обеспечить максимальный аптайм сайтов. И коль скоро речь зашла о компьютерах, то они… базируются на рассмотренных логических операциях! Это кажется невероятным, но задумаемся – а что вообще могут «понимать» эти «железки»? А понимать они могут следующее: в проводе есть ток – это логическая единица; провод обесточен – это логический ноль. И ВСЁ! Именно данный факт первопричина того, что в основе измерения объёма информации лежит степень двойки: и т.д. Простейшим «компьютером» является… обычный выключатель – он хранит информацию в 1 бит (истину или ложь в указанном выше смысле). Центральный же процессор современного компьютера насчитывает сотни миллионов (!) транзисторов, и самое сложное программное обеспечение, самая «навороченная игра» раскладывается на множество нулей и единиц, которые обрабатываются с помощью элементарных логических операций! И уже следующие две операции, которые мы рассмотрим, являются не самостоятельными, то есть могут быть выражены через отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию: Импликация и логическое следствие. Необходимое условие. Достаточное условие До боли знакомые обороты: «следовательно», «из этого следует это», «если, то» и т.п. Импликацией высказываний (посылка) и (следствие) называют высказывание , которое ложно в единственном случае – когда истинно, а – ложно: Фундаментальный смысл операции таков (читаем и просматриваем таблицу сверху вниз): из истины может следовать только истина и не может следовать ложь; изо лжи может следовать всё, что угодно (две нижние строчки), при этом: истинность посылки заключения , является достаточным условием для истинности а истинность заключения посылки . – является необходимым условием для истинности Разбираемся на конкретном примере: Составим импликацию высказываний Если оба высказывания истинны импликация – идёт дождь и , то само собой истинна и – если на улице идёт дождь, то на улице сыро. При этом не может быть такого, чтобы дождь шёл сухо – на улице сыро: , а на улице было : Если же дождя нет так и сыро , то на улице может быть как сухо : (например, по причине того, что растаял снег). : А теперь ВДУМЫВАЕМСЯ в эти «штампованные» слова необходимость и достаточность: Дождь является достаточным условием для того, чтобы на улице было сыро, и с другой стороны, сырость на улице необходима для предположения о том, что прошёл дождь (ибо если сухо – то дождя точно не было). Обратная же импликация нелегальна: – сырости на улице ещё не достаточно для обоснования факта дождя, и, кроме того, дождь ведь не является НЕОБХОДИМОЙ причиной сырости (т.к., например, может пройти и растаять град). Вроде бы должно быть понятно, но на всякий случай ещё несколько примеров: – Чтобы научиться выполнять действия с матрицами, необходимо уметь складывать и умножать числа. Но этого, как вы правильно предчувствуете, не достаточно. – Чтобы научиться выполнять арифметические действия достаточно окончить 9 классов. Но это не является условием необходимым – считать может научить и бабушка, причём ещё в детском саду. – Чтобы найти площадь треугольника достаточно знать его сторону и высоту, проведённую к этой стороне. Однако опять же – это не необходимость, площадь треугольника можно найти и по трём сторонам (формуле Герона) или, например, с помощью векторного произведения. – Для допуска к экзамену по высшей математике Пете необходимо отчитаться по курсовой работе. Но этого не достаточно – потому что ещё нужно сдать зачёт. – Для того чтобы вся группа получила зачёт достаточно занести преподавателю ящик коньяка. И здесь, как нетрудно предположить, отпадает необходимость что-либо учить =) Но, обратите внимание, подготовка вовсе не возбраняется ;) Бывают ли условия необходимые и в то же время достаточные? Конечно! И очень скоро мы до них доберёмся. А сейчас об одном важном принципе матлогики: Математическая логика формальна Её интересует истинность или ложность высказываний, но не их содержание! Так, если мы составим импликацию Если черепахи не летают, то дважды два равно четырём, то она будет истинной! Иными словами, любое истинное высказывание можно обосновать любой истиной (1-я строчка таблицы), и с точки зрения формальной логики это будет истина! Но ещё интереснее ситуация с ложным посылом: любой ложью можно обосновать всё, что угодно – как истину так и ложь: – если Луна квадратная, то ; – если пингвины ходят в валенках, то черепахи носят шлёпанцы. А что? – по таблице оба высказывания истинны! Данные факты получили название парадокс импликации, но в действительности мы, конечно же, рассматриваем примеры, осмысленные с точки зрения нашей содержательной логики. И ещё один очень важный момент: импликацию часто обозначают значком (тоже читается «следовательно», «из этого следует это»), который мы также используем в ходе решения задач, доказательств теорем и т.д. И здесь речь идёт о совпадении обозначений – то, что мы используем в «обычных» математических выкладках, строго говоря, не является импликацией. В чём отличие? Когда мы решаем задачу и пишем, что («из а следует бэ»), то полагаем высказывание заведомо истинным, и более того, выводим из него другую истину . В математической логике это называется логическим следствием. Обычно следствие подлежит обоснованию, и поэтому при оформлении работ всегда старайтесь пояснять, какие аксиомы, теоремы, решённые задачи и т.д. вы использовали для того или иного вывода. Теорема по своей сути тоже представляет собой логическое следствие: её условие опирается на истинные посылки (аксиомы, ранее доказанные теоремы и т.д.). Доказательство же устанавливает истинность следствия использоваться ложные рассуждения. , причём в этом процессе не могут Недоказанная теорема называется гипотезой, и варианта тут два: либо она выводит из истины истину и представляет собой теорему, либо гипотеза невернА, т.е. из множества истинных посылок следует «не бэ»: . В случае опровержения получается тривиальный вывод наподобие «гипотеза Ивана Петрова неверная», но и это, бывает, дорогого стОит – дерзайте, уважаемые читатели! Рассмотрим в качестве примера, конечно, не мегатеорему, но утверждение, которое требует пусть простого, но обоснования. Хотя и его не будет =) =): – число делится на 4; – число делится на 2. Очевидно, что следствие истинно, то есть из того, что число делится на 4, следует и его делимость на 2. И, соответственно, противоположное заключение – есть ложь: При этом ещё раз обращаю внимание, что посылка изначально постулируется как истина (в отличие от импликации, где она может быть и ложной). Для логических следствий также в ходу понятия необходимости и достаточности, скопирую пару строк сверху: истинность посылки заключения , – это достаточное условие для истинности истинность заключения посылки . – это необходимое условие для истинности В нашем случае: Делимость числа на 4 является достаточным условием для того, чтобы оно делилось на 2. И с другой стороны, делимость числа на 2 является необходимым условием делимости на 4. Следует отметить, что рассмотренный пример можно записать и в виде импликации: (пользуясь таблицей, проанализируйте все расклады самостоятельно) Однако в общем случае «перенос понятий» некорректен! То есть, если мы ведём разговор о том, что , то это ещё не значит, что будет справедлива импликация . И такой пример я приведу в заключительном пункте. Как уже отмечалось, на практике импликацию часто обозначают значком , но чтобы не возникло путаницы, я намеренно использовал одиночную стрелку. Да, чуть не забыл – импликацию можно выразить через предыдущие операции. …Но об этом, пожалуй, во второй части о формулах и законах логики, а то у меня и так неслабый трактат получился. Эквиваленция. Необходимое и достаточное условие Эквиваленция обозначается значком и читается «тогда и только тогда» Наверное, многие догадываются, что это за операция: Эквиваленцией высказываний и называют высказывание , которое истинно в том и только том случае, когда высказывания и истинны или ложны одновременно: Данная операция естественным образом выражается формулой – «из а следует бэ и из бэ следует а». Предположим, что Петя вышел на финишную черту сессии, и ему осталось сдать 3 экзамена: – три экзамена сданы; – сессия успешно завершена. Очевидно, что при описанных выше обстоятельствах эти высказывания эквиваленты: – сессия успешно завершена тогда и только тогда, когда сдано 3 экзамена. Перед вами пример необходимого и достаточного условия: для того чтобы завершить сессию успешно Пете необходимо сдать 3 экзамена (в противном случае сессия будет не сдана) и в то же самое время этого достаточно (т.к. больше ничего делать не нужно). Особенность эквиваленции состоит в том, что имеет место либо и то и другое, либо ничего, например: Петя занимается штангой тогда и только тогда, когда Маша танцует на столе Это значит, что либо Петя занимается штангой и Маша танцует на столе, либо они оба лежат на диване Пётр, ты заслужил! =) Такие вот дружные Петя и Маша. Теперь вроде бы похожая фраза без «тогда и только тогда»: Петя занимается штангой, когда Маша танцует на столе Но смысл несколько поменялся: здесь можно предположить, что Петя, бывает, тягает штангу и без Маши, и другой стороны, Маше «до лампочки», качается ли во время её танца Петя. Вот в чём сила необходимого и достаточного условия! – оно объединяет и дисциплинирует =) …хотел я для прикола распределить роли наоборот, но затем передумал… всё-таки нельзя такое пропагандировать =) К слову, о дисциплине – рациональный подход как раз и предполагает необходимость и достаточность – когда человек для достижения какой-либо цели делает ровно столько, сколько нужно, и не больше. Это, конечно, бывает скучно в обычной жизни, но всячески приветствуется в математических рассуждениях, которые нас уже заждались: Треугольник является равносторонним тогда и только тогда, когда у него равные углы Высказывания – треугольник равносторонний и – у него равные углы можно соотнести эквиваленцией , но на практике мы почти всегда связываем их обоюдоострым значком логического следствия , который тоже читается «тогда и только тогда». Отличие от эквиваленции такое же: – когда мы утверждаем, что , то изначально полагаем высказывание истиной (и никак не ложью). И наоборот, запись подразумевает безусловную истинность посылки . И в заключение первой части урока вспомним знаменитую теорему, которую я переформулирую «по-взрослому»: Для того, чтобы треугольник был прямоугольным необходимо и достаточно, чтобы квадрат одной из его сторон равнялся сумме квадратов двух других сторон: Напоминаю, что сторона лежащая напротив угла называется гипотенузой (бОльшая сторона, ), а стороны – катетами. Перепишем теорему в сокращённой записи: – треугольник прямоугольный – выполнено Доказательство «теорем такого типа» состоит из 2 частей, у которых тоже есть стандартные названия (наверное, неоднократно сталкивались): 1) Необходимость (условия ): – иными словами, тут нужно доказать, что для того, чтобы треугольник был прямоугольным, необходимо выполнение равенства . Данный пункт – это собственно и есть теорема Пифагора, формулировка которой нам знакома ещё со школы: «Если треугольник прямоугольный, то ». 2) На втором шаге обосновывается достаточность: – здесь надо доказать, что справедливость равенства достаточна для того, чтобы треугольник был прямоугольным. Учащихся опять же такими словами не запугивают, и второй пункт формулируют в виде обратной теоремы Пифагора: «Если треугольник прямоугольный». , то Связей по схеме «тогда и только тогда» в математике очень много, и я только что привёл стандартную схему их доказательства. И, конечно же, всегда анализируйте, что означают «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» в том или ином случае. Следует отметить, что теорему можно рассмотреть с точки зрения логической операции , но вот запись (как и обратная запись ) становится нелегальной! Почему? Пусть треугольник не прямоугольный, – – равенство тогда по импликационной таблице получаем соответствует действительности! выполнено. Но , что не Но зато записи совершенно законны, поскольку логическое следствие отталкивается исключительно от истины! Жду вас во второй части нашего увлекательного урока, где мы познакомимся с основными логическими формулами и законами, а также порешаем практические задачи. Для решения задач потребуется пять табличек с этой страницы, поэтому я рекомендую сразу переписать их на листок – чтобы они были перед глазами. Кроме того, я открою вам секрет успешного изучения математической логики ;) Автор: Емелин Александр Формулы и законы логики На вводном уроке, посвящённом основам математической логики, мы познакомились с базовыми понятиями этого раздела математики, и сейчас тема получает закономерное продолжение. Помимо нового теоретического, а точнее даже не теоретического – а общеобразовательного материала нас ожидают практические задания, и поэтому если вы зашли на данную страницу с поисковика и/или плохо ориентируетесь в материале, то, пожалуйста, пройдите по вышеуказанной ссылке и начните с предыдущей статьи. Кроме того, для практики нам потребуется 5 таблиц истинности логических операций, которые я настоятельно рекомендую переписать от руки. НЕ запомнить, НЕ распечатать, а именно ещё раз осмыслить и собственноручно переписать на бумагу – чтобы они были перед глазами: – таблица НЕ; – таблица И; – таблица ИЛИ; – импликационная таблица; – таблица эквиваленции. Это очень важно. В принципе, их было бы удобно занумеровать «Таблица 1», «Таблица 2» и т.д., но я неоднократно подчёркивал изъян такого подхода – как говорится, в одном источнике таблица окажется первой, а в другом – сто первой. Поэтому будем использовать «натуральные» названия. Продолжаем: На самом деле с понятием логической формулы вы уже знакомы. Приведу стандартное, но довольно-таки остроумное определение: формулами алгебры высказываний называются: 1) любые элементарные (простые) высказывания 2) если и ; – формулы, то формулами также являются выражения вида . Никаких других формул нет. В частности формулой является любая логическая операция, например логическое умножение . Обратите внимание на второй пункт – он позволяет рекурсивным образом «создать» сколь угодно длинную формулу. Поскольку – формулы, то – тоже формула; так как и – формулы, то – тоже формула и т.д. Любое элементарное высказывание (опять же согласно определению) может входить в формулу неоднократно. Формулой не является, например, запись – и здесь прослеживается очевидная аналогия с «алгебраическим мусором» , из которого не понятно – нужно ли числа складывать или умножать. Логическую формулу можно рассматривать, как логическую функцию. Запишем в функциональном виде ту же конъюнкцию: Элементарные высказывания и в этом случае играют роль аргументов (независимых переменных), которые в классической логике могут принимать 2 значения: истина или ложь. Далее для удобства я буду иногда называть простые высказывания переменными. Таблица, описывающая логическую формулу (функцию) называется, как уже было озвучено, таблицей истинности. Пожалуйста – знакомая картинка: Принцип формирования таблицы истинности таков: «на входе» нужно перечислить все возможные комбинации истины и лжи, которые могут принимать элементарные высказывания (аргументы). В данном случае в формулу входят два высказывания, и нетрудно выяснить, что таких комбинаций четыре. «На выходе» же получаем соответствующие логические значения всей формулы (функции). Надо сказать, что «выход» здесь получился «в один шаг», но в общем случае логическая формула является более сложной. И в таких «непростых случаях» нужно соблюдать порядок выполнения логических операций: – в первую очередь выполняется отрицание ; – во вторую очередь – конъюнкция ; – затем – дизъюнкция ; – потом импликация ; – и, наконец, низший приоритет имеет эквиваленция . Так, например, запись подразумевает, что сначала нужно осуществить логическое умножение , а затем – логическое сложение: . Прямо как в «обычной» алгебре – «сначала умножаем, а затем складываем». Порядок действий можно изменить привычным способом – скобками: – здесь в первую очередь выполняется дизъюнкция потом более «сильная» операция. и только Наверное, все понимают, но на всякий пожарный: и это две разные формулы! (как в формальном, так и в содержательном плане) – Составим таблицу истинности для формулы . В данную формулу входят два элементарных высказывания и «на входе» нам нужно перечислить все возможные комбинации единиц и нулей. Чтобы избежать путаницы и разночтений договоримся перечислять комбинации строго в таком порядке (который я, собственно, де-факто использую с самого начала): В формулу входят две логические операции, и согласно их приоритету, в первую очередь нужно выполнить отрицание высказывания . Ну что же, отрицаем столбец «пэ» – единицы превращаем в нули, а нули – в единицы: На втором шаге смотрим на столбцы и и применяем к ним операцию ИЛИ. Немного забегая вперёд, скажу, что дизъюнкция перестановочна ( и – это одно и то же), и поэтому столбцы можно анализировать в привычном порядке – слева направо. При выполнении логического сложения удобно использовать следующее прикладное рассуждение: «Если два нуля – ставим ноль, если хотя бы одна единица – единицу»: Таблица истинности построена. А теперь вспомним старую-добрую импликацию: …внимательно-внимательно… смотрим на итоговые колонки…. В алгебре высказываний такие формулы называются равносильными или тождественными: (три горизонтальные чёрточки – это значок тождества) В 1-й части урока я обещал выразить импликацию через базовые логические операции, и выполнение обещания не заставило себя ждать! Желающие могут вложить в импликацию содержательный смысл (например, «Если идёт дождь, то на улице сыро») и самостоятельно проанализировать равносильное утверждение . Сформулируем общее определение: две формулы называются равносильными (тождественными), если они принимают одинаковые значения при любом наборе значений, входящих в эти формулы переменных (элементарных высказываний). Также говорят, что «формулы равносильны, если совпадают их таблицы истинности», но мне не очень нравится эта фраза. Задание 1 Составить таблицу истинности для формулы справедливости знакомого вам тождества Ещё раз повторим порядок решения задачи: и убедиться в . 1) Так как в формулу входят две переменные, то всего будет 4 возможных набора нулей и единиц. Записываем их в оговорённом выше порядке. 2) Импликации «слабее» конъюнкции, но они располагаются в скобках. Заполняем столбец , при этом удобно использовать следующее прикладное рассуждение: «если из единицы следует ноль, то ставим ноль, во всех других случаях – единицу». Далее заполняем столбец для импликации , и при этом, внимание! – столбцы и следует анализировать «справа налево»! 3) И на завершающем этапе заполняем итоговый столбец здесь удобно рассуждать так: «если в столбцах и то ставим единицу, во всех остальных случаях – ноль». .А две единицы, И, наконец, сверяемся с таблицей истинности эквиваленции . Основные равносильности алгебры высказываний С двумя из них мы только что познакомились, но ими дело, понятно, не огранивается. Тождеств довольно много и я перечислю самые важные и самые известные из них: Коммутативность конъюнкции и коммутативность дизъюнкции Коммутативность – это перестановочность: Знакомые с 1-го класса правила: «От перестановки множителей (слагаемых) произведение (сумма) не меняется». Но при всей кажущейся элементарности этого свойства, справедливо оно далеко не всегда, в частности, некоммутативным является умножение матриц (в общем случае их переставлять нельзя), а векторное произведение векторов – антикоммутативно (перестановка векторов влечёт за собой смену знака). И, кроме того, здесь я снова хочу подчеркнуть формализм математической логики. Так, например, фразы «Студент сдал экзамен и выпил» и «Студент выпил и сдал экзамен» различны с содержательной точки зрения, но неразличимы с позиций формальной истинности. …Таких студентов знает каждый из нас, и из этических соображений мы не будет озвучивать конкретных имён =) Ассоциативность логического умножения и сложения Или, если «по-школьному» – сочетательное свойство: Дистрибутивные свойства Обратите внимание, что во 2-м случае будет некорректно говорить о «раскрытии скобок», в известном смысле здесь «фикция» – ведь их можно убрать вообще: , т.к. умножение – это более сильная операция. И опять же – эти, казалось бы, «банальные» свойства выполняются далеко не во всех алгебраических системах, и, более того, требуют доказательства (о которых мы очень скоро поговорим). К слову, второй дистрибутивный закон несправедлив даже в нашей «обычной» алгебре. И в самом деле: Закон идемпотентности Что делать, латынь.... Прямо какой-то принцип здоровой психики: «я и я – это я», «я или я – это тоже я» =) И тут же несколько похожих тождеств: …мда, что-то я даже подзавис… так и доктором философии завтра можно проснуться =) Закон двойного отрицания Ну а здесь уже напрашивается пример с русским языком – все прекрасно знают, что две частицы «не» означают «да». А для того, чтобы усилить эмоциональную окраску отрицания нередко используют три «не»: – даже с крохотным доказательством получилось! Законы поглощения – «а был ли мальчик?» =) В правом тождестве скобки можно опустить. Законы де Моргана Предположим, что строгий Преподаватель (имя которого вам тоже известно:)) ставит экзамен, если – Студент ответил на 1-й вопрос и – Студент ответил на 2-й вопрос. Тогда высказывание , гласящее о том, что Студент не сдал экзамен, будет равносильно утверждению – Студент не ответил на 1-й вопрос или на 2-й вопрос. Как уже отмечалось выше, равносильности подлежат доказательству, которое стандартно осуществляется с помощью таблиц истинности. В действительности мы уже доказали равносильности, выражающие импликацию и эквиваленцию, и сейчас настало время закрепить технику решения данной задачи. Докажем тождество . Поскольку в него входит единственное высказывание , то «на входе» возможно всего лишь два варианта: единица либо ноль. Далее приписываем единичный столбец и применяем к ним правило И: В результате «на выходе» получена формула, истинность которой совпадает с истинностью высказывания . Равносильность доказана. Да, это доказательство является примитивным (а кто-то скажет, что и «тупым»), но типичный Преподаватель по матлогике вытрясет за него душу. Поэтому даже к таким простым вещам не стОит относиться пренебрежительно. Теперь убедимся, например, в справедливости закона де Моргана . Сначала составим таблицу истинности для левой части. Поскольку дизъюнкция находится в скобках, то в первую очередь выполняем именно её, после чего отрицаем столбец : Далее составим таблицу истинности для правой части . Здесь тоже всё прозрачно – в первую очередь проводим более «сильные» отрицания, затем применяем к столбцам правило И: Результаты совпали, таким образом, тождество доказано. Любую равносильность можно представить в виде тождественно истинной формулы . Это значит, что ПРИ ЛЮБОМ исходном наборе нулей и единиц «на выходе» получается строго единица. И этому есть очень простое объяснение: так как таблицы истинности и совпадают, то, разумеется, они эквивалентны. Соединим, например, эквиваленцией левую и правую часть только что доказанного тождества де Моргана: Или, если компактнее: Задание 2 Доказать следующие равносильности: а) ; б) Краткое решение в конце урока. Не ленимся! Постарайтесь не просто составить таблицы истинности, но ещё и чётко сформулировать выводы. Как я недавно отмечал, пренебрежение простыми вещами может обойтись очень и очень дорого! Продолжаем знакомиться с законами логики! Да, совершенно верно – мы с ними уже вовсю работаем: Формула, которая принимает значение Истина при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно истинной формулой или законом логики. В силу обоснованного ранее перехода от равносильности к тождественно истинной формуле , все перечисленные выше тождества представляют собой законы логики. Формула, которая принимает значение Ложь при любом наборе значений входящих в неё переменных, называется тождественно ложной формулой или противоречием. Фирменный пример противоречия от древних греков: – никакое высказывание не может быть истинным и ложным одновременно. Доказательство тривиально: «На выходе» получены исключительно нули, следовательно, формула действительно тождественна ложна. Однако и любое противоречие – это тоже закон логики, в частности: Нельзя объять столь обширную тему в одной-единственной статье, и поэтому я ограничусь ещё лишь несколькими законами: Закон исключённого третьего – в классической логике любое высказывание истинно или ложно и третьего не дано. «Быть или не быть» – вот в чём вопрос. Самостоятельно составьте табличку истинности и убедитесь в том, что это тождественно истинная формула. Закон контрапозиции Этот закон активно муссировался, когда мы обсуждали суть необходимого условия, вспоминаем: «Если во время дождя на улице сыро, то из этого следует, что если на улице сухо, то дождя точно не было». Также из данного закона следует, что если справедливой является прямая теорема , то обязательно истинным будет и утверждение , которое иногда называют противоположной теоремой. Если истинна обратная теорема , то в силу закона контрапозиции , справедлива и теорема, противоположная обратной: И снова вернёмся к нашим содержательным примерам: для высказываний – число делится на 4, – число делится на 2 справедливы прямая и противоположная теоремы, но ложны обратная и противоположная обратной теоремы. Для «взрослой» же формулировки теоремы Пифагора истинны все 4 «направления». Закон силлогизма Тоже классика жанра: «Все дубы – деревья, все деревья – растения, следовательно, все дубы – растения». Ну и здесь опять хочется отметить формализм математической логики: если наш строгий Преподаватель думает, что некий Студент – есть дуб, то с формальной точки зрения данный Студент, безусловно, растение =) …хотя, если задуматься, то может быть и с неформальной тоже =) Давайте на этой веселой ноте проведём доказательство. В данную формулу входят уже элементарных высказывания , а значит, всего будет: различных комбинаций нулей и единиц (см. три левых столбца таблицы). Заодно, кстати, записал вам общую формулу; с точки зрения комбинаторики, здесь размещения с повторениями. Составим таблицу истинности для формулы соответствии с приоритетом логических операций, придерживаемся следующего алгоритма: .В 1) выполняем импликации и . Вообще говоря, можно сразу выполнить и 3-ю импликацию, но с ней удобнее (и допустимо!) разобраться чуть позже; 2) к столбцам применяем правило И; 3) вот теперь выполняем ; 4) и на завершающем шаге применяем импликацию к столбцам и . Не стесняйтесь контролировать процесс указательным и средним пальцем :)) Из последнего столбца, думаю, всё понятно без комментариев: , что и требовалось доказать. Задание 3 Выяснить, будет ли являться законом логики следующая формула: Краткое решение в конце урока. Да, и чуть не забыл – давайте условимся перечислять исходные наборы нулей и единиц в точно таком же порядке, что и при доказательстве закона силлогизма. Строки конечно, можно и переставить, но это сильно затруднит сверку с моим решением. Преобразование логических формул Помимо своего «логического» назначения, равносильности широко используются для преобразования и упрощения формул. Грубо говоря, одну часть тождества можно менять на другую. Так, например, если в логической формуле вам встретился фрагмент , то по закону идемпотентности вместо него можно (и нужно) записать просто . Если вы видите по закону поглощения упрощайте запись до . И так далее. , то Кроме того, есть ещё одна важная вещь: тождества справедливы не только для элементарных высказываний, но и для произвольных формул. Так, например: , где – любые (сколь угодно сложные) формулы. Преобразуем, например, сложную импликацию тождество): (1-е Далее применим к скобке «сложный» закон де Моргана, при этом, в силу приоритета операций, именно закон , где : Скобки можно убрать, т.к. внутри находится более «сильная» конъюнкция: Далее напрашивается использовать «простой» закон де Моргана и т.д. Ну, а с коммутативностью вообще всё просто – даже обозначать ничего не нужно… что-то запал мне в душу закон силлогизма:)) Таким образом, закон можно переписать и в более затейливом виде: Проговорите вслух логическую цепочку «с дубом, деревом, растением», и вы поймёте, что от перестановки импликаций содержательный смысл закона нисколько не изменился. Разве что формулировка стала оригинальнее. В качестве тренировки упросим формулу . С чего начать? Прежде всего, разобраться с порядком действий: здесь отрицание применено к целой скобке, которая «скреплена» с высказыванием «чуть более слабой» конъюнкцией. По существу, перед нами логическое произведение двух множителей: . Из двух оставшихся операций низшим приоритетом обладает импликация, и поэтому вся формула имеет следующую структуру: . Как правило, на первом шаге (шагах) избавляются от эквиваленции и импликации (если они есть) и сводят формулу к трём основным логическим операциям. Что тут скажешь…. Логично. (1) Используем тождество случае . А нашем . Затем обычно следуют «разборки» со скобками. Сначала всё решение, затем комментарии. Чтобы не получилось «масло масляное», буду использовать значки «обычного» равенства: (2) К внешним скобкам применяем закон де Моргана где , . (3) К внутренним скобкам применяем закон двойного отрицания . Внешние скобки можно убрать, т.к. за её пределами находятся равные по силе операции. (4) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами скобки тоже убираем по озвученной выше причине. и . Оставшиеся (5) В силу коммутативности дизъюнкции меняем местами и . (6) Используем закон идемпотентности и , а также и закон исключенного третьего (7) Дважды используем тождество Вот оно как…, оказалось, что наша формула – тожественно истинна: Желающие могут составить таблицу истинности и убедиться в справедливости данного факта. Наверное, все обратили внимание на формализм последних преобразований, но решать лучше именно так! В противном случае с немалой вероятностью гарантированы проблемы с зачётом задания (впрочем, тут от преподавателя зависит). Математическая логика как наука – формальна, и строго говоря, осуществлять «перескоки» наподобие нежелательно. Пара задач для закрепления материала: Задание 4 Выразить эквиваленцию раскрыть скобки через отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и Аккуратно проводим преобразования в соответствии с равносильностями. После этого будет не лишним вернуться к параграфу об эквиваленции и найти там фразу, которая соответствует полученному результату ;-) Задание 5 Упростить логическую формулу Решения с подробными комментариями совсем близко. И в заключение урока небольшое напутствие для читателей, которым предстоит погружение в матлогику. Данный предмет у меня был на 1-м курсе института, и в ходе изучения исчисления высказываний, предикатов и прочих «машин тьюринга» я допускал принципиальную ошибку – а именно, пытался «подогнать» под математическую логику неформальную основу. И окончательное понимание всей стройности формальной теории, важности «очевидных» доказательств и т.д. пришло далеко не сразу. Скучно? Нет! – на самом деле очень красиво…. То же самое, кстати, относится к высшей алгебре и некоторым другим предметам. …но что бы вы прочитали эти строки, я всё-таки преподнёс материал, скорее в «школьном» стиле – с многочисленными содержательными примерами! Желаю успехов! Решения и ответы: Задание 1 Решение: составим таблицу истинности для формулы : (подробные инструкции по заполнению таблицы находятся после условия задачи) Полученный результат совпадает с эквиваленцией высказываний и , таким образом: Задание 2 Решение: доказательства проведём с помощью таблиц истинности: а) Дважды записываем все варианты истины и лжи высказывания применяем к столбцам операцию ИЛИ: Результат совпадает с . Тождество и доказано б) составим таблицу истинности для левой части тождества к столбцам . Сначала к столбцам и – операцию И: и применяем операцию ИЛИ, затем В результате истинность формулы высказывания совпала с истинностью , таким образом, тождество доказано. Задание 3 Решение: составим таблицу истинности: Вывод: данная формула не является тождественно истинной (законом логики) Задание 4 Решение: (1) Используем тождество (2) Дважды применяем тождество . . (3) Используем дистрибутивный закон случае: , в данном (квадратные скобки можно было не ставить – они не меняют порядок действий, но помогают лучше видеть ситуацию). (4) В квадратных скобках используем коммутативность конъюнкции. (5) Дважды используем тот же самый дистрибутивный закон. (6) Во второй слева скобке используем коммутативность конъюнкции. (7) Согласно закону противоречия: . (8) К формуле дважды применяем тожество . (9) А это уже для красоты :)) Скобки, кстати, можно было убрать намного раньше (я их не опускал с целью улучшить восприятие преобразований). Примечание: на 3-м шаге можно было раскрыть скобки по «правилу умножения многочленов» и сразу перейти к шагу № 7, но, строго говоря, это действие ещё нужно обосновать. А вдруг в алгебре логики это правило несправедливо? Задание 5 Решение: (1) Для левой скобки используем закон де Моргана. Во второй скобке – «раскладываем» импликацию. (2) В первой скобке дважды применяем закон двойного отрицания. В силу коммутативности конъюнкции меняем местам и . (3) К «иксу» и правой скобке применяем дистрибутивный закон. (4) Согласно закону противоречия высказывания, средняя скобка тождественно ложна. (5) К левой скобке применяем тождество . Убираем все скобки, поскольку это не меняет порядок действий. (6) Используем коммутативность умножения и закон поглощения . Ответ: Автор: Емелин Александр Уравнения в высшей математике. Рациональные корни многочленов. Схема Горнера Данный урок наряду с материалами о множествах, векторах, графиках и т.д. носит общеобразовательный характер и имеет большое значение для изучения ВСЕГО курса высшей математики. Сегодня мы повторим «школьные» уравнения, но не просто «школьные» – а те из них, которые повсеместно встречаются в различных задачах вышмата. Как обычно, повествование пойдёт в прикладном ключе, т.е. я не буду заострять внимание на определениях, классификациях, а поделюсь с вами именно личным опытом решения. Информация предназначена, прежде всего, для начинающих, но и более подготовленные читатели тоже найдут для себя немало интересных моментов. И, конечно же, будет новый материал, выходящий за рамки средней школы. Итак, уравнение…. Многие с содроганием вспоминают это слово. Чего только стОят «навороченные» уравнения с корнями... …забудьте о них! Потому что дальше вам будут встречаться самые безобидные «представители» этого вида. Или занудные тригонометрические уравнения с десятками методов решения. Если честно, я и сам их не особо любил…. Без паники! – далее вас ожидают преимущественно «одуванчики» с очевидным решением в 1-2 шага. Хотя и «репейник», безусловно, цепляется – здесь нужно быть объективным. Как ни странно, в высшей математике гораздо чаще приходится иметь дело с совсем примитивными уравнениями наподобие линейного уравнения . Что значит решить это уравнение? Это значит – найти ТАКОЕ значение «икс» (корень), которое обращает его в верное равенство. Перебросим «тройку» направо со сменой знака: и сбросим «двойку» в правую часть (или, то же самое – умножим обе части на ): Для проверки подставим завоёванный трофей в исходное уравнение : Получено верное равенство, значит, найденное значение действительно является корнем данного уравнения. Или, как ещё говорят, удовлетворяет данному уравнению. Обратите внимание, что корень можно записать и в виде десятичной дроби: И постарайтесь не придерживаться этого скверного стиля! Причину я повторял неоднократно, в частности, на первом же уроке по высшей алгебре. Кстати, уравнение можно решить и «по-арабски»: И что самое интересное – данная запись полностью легальна! Но если Вы не преподаватель, то так лучше не делать, ибо оригинальность здесь наказуема =) А теперь немного о графическом методе решения Уравнение имеет вид и его корень – есть «иксовая» координата точки пересечения графика линейной функции графиком линейной функции с (осью абсцисс): Казалось бы, пример настолько элементарен, что разбирать тут больше нечего, однако из него можно «выжать» ещё один неожиданный нюанс: представим то же самое уравнение в виде и построим графики функций : При этом, пожалуйста, не путайте два понятия: уравнение – это уравнение, а функция – это функция! Функции лишь помогают найти корни уравнения. Коих может быть два, три, четыре и даже бесконечно много. Ближайшим примером в этом смысле является всем известно квадратное уравнение, алгоритм решения которого удостоился отдельного пункта «горячих» школьных формул. И это не случайно! Если вы умеете решать квадратное уравнение и знаете теорему Пифагора, то, можно сказать, «пол высшей математики уже в кармане» =) Преувеличено, конечно, но и не так далеко от истины! А поэтому не поленимся и прорешаем какое-нибудь квадратное уравнение по стандартному алгоритму: , значит, уравнение имеет два различных действительных корня: Легко убедиться, что оба найденных значения действительно удовлетворяют данному уравнению: Что делать, если вы вдруг позабыли алгоритм решения, и под рукой нет средств/рук помощи? Такая ситуация может возникнуть, например, на зачёте или экзамене. Используем графический метод! И тут есть два пути: можно поточечно построить параболу где она пересекает ось , выяснив тем самым, (если пересекает вообще). Но лучше поступить хитрее: представим уравнение в виде более простых функций точек пересечения, как на ладони! , начертим графики – и «иксовые» координаты их Если окажется, что прямая касается параболы, то уравнение имеет два совпавших (кратных) корня. Если окажется, что прямая не пересекает параболу, значит, действительных корней нет. Для этого, конечно, нужно уметь строить графики элементарных функций, но с другой стороны эти умения по силам даже школьнику. И вновь – уравнение – это уравнение, а функции , которые лишь помогли решить уравнение! – это функции, И тут, кстати, уместно будет вспомнить ещё одну вещь: если все коэффициенты уравнения умножить на ненулевое число, то его корни не изменятся. Так, например, уравнение имеет те же самые корни. В качестве простейшего «доказательства» вынесу константу за скобки: и безболезненно её уберу (разделю обе части на «минус два»): НО! Если мы рассматриваем функцию , то здесь уже избавляться от константы нельзя! Допустимо разве что вынесение множителя за скобки: . Многие недооценивают графический метод решения, считая его чем-то «несолидным», а некоторые и вовсе забывают о такой возможности. И это в корне ошибочно, поскольку построение графиков иногда просто спасает ситуацию! Ещё один пример: предположим, вы не помните корни простейшего тригонометрического уравнения: . Общая формула есть в школьных учебниках, во всех справочниках по элементарной математике, но они вам недоступны. Однако решить уравнение критически важно (иначе «двойка»). Выход есть! – строим графики функций : после чего спокойненько записываем «иксовые» координаты их точек пересечения: Корней бесконечно много и в алгебре принята их свёрнутая запись: , где ( – множество целых чисел). И, не «отходя от кассы», пару слов о графическом методе решения неравенств с одной переменной. Принцип такой же. Так, например, решением неравенства является любое «икс», т.к. синусоида почти полностью лежит под прямой . Решением неравенства является множество промежутков, на которых куски синусоиды лежат строго выше прямой (оси абсцисс): или, если короче: А вот множество решений неравенства – пусто, поскольку никакая точка синусоиды не лежит выше прямой . Что-нибудь не понятно? Срочно штудировать уроки о множествах и графиках функций! Разминаемся: Задание 1 Решить графически следующие тригонометрические уравнения: Ответы в конце урока Как видите, для изучения точных наук совсем не обязательно зубрить формулы и справочники! И более того, это принципиально порочный подход. Как я уже обнадёжил вас в самом начале урока, сложные тригонометрические уравнения в стандартном курсе высшей математики приходится решать крайне редко. Вся сложность, как правило, заканчивается уравнениями вроде , решением которого являются две группы корней, происходящие от простейших уравнений и .С решением последнего сильно не парьтесь – посмотрите в книжке или найдите в Интернете =) Графический метод решения может выручить и в менее тривиальных случаях. Рассмотрим, например, следующее «разношёрстное» уравнение: Перспективы его решения выглядят... вообще никак не выглядят, однако стОит только представить уравнение в виде , построить графики функций и всё окажется невероятно просто. Чертёж есть в середине статьи о бесконечно малых функциях (откроется на соседней вкладке). Тем же графическим методом можно выяснить, что уравнение имеет уже два корня, причём один из них равен нулю, а другой, судя по всему, иррационален и принадлежит отрезку . Данный корень можно вычислить приближённо, например, методом касательных. Кстати, в некоторых задачах, бывает, требуется не отыскать корни, а выяснить, есть ли они вообще. И здесь тоже может помочь чертёж – если графики не пересекаются, то корней нет. Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами. Схема Горнера А теперь я предлагаю вам обернуть свой взор в средние века и прочувствовать неповторимую атмосферу классической алгебры. Для лучшего понимания материала рекомендую хоть чуть-чуть ознакомиться с комплексными числами. Они самые. Многочлены. Объектом нашего интереса будут наиболее распространённые многочлены вида с целыми коэффициентами называют степенью многочлена, число . Натуральное число – коэффициентом при старшей степени (или просто старшим коэффициентом), а коэффициент свободным членом. Данный многочлен я буду свёрнуто обозначать через . – Корнями многочлена называют корни уравнения Обожаю железную логику =) За примерами сходим в самое начало статьи: С нахождением корней многочленов 1-й и 2-й степеней нет никаких проблем, но по мере увеличения эта задача становится всё труднее и труднее. Хотя с другой стороны – всё интереснее! И как раз этому будет посвящена вторая часть урока. Сначала буквально пол экрана теории: 1) Согласно следствию основной теоремы алгебры, многочлен степени имеет ровно комплексных корней. Некоторые корни (или даже все) могут быть в частности действительными. При этом среди действительных корней могут встретиться одинаковые (кратные) корни (минимум два, максимум штук). Если некоторое комплексное число является корнем многочлена, то и сопряжённое ему число – тоже обязательно корень данного многочлена (сопряжённые комплексные корни имеют вид ). Простейший пример – квадратное уравнение, которое впервые встретилось в 8 (вроде) классе, и которое мы окончательно «добили» в теме комплексных чисел. Напоминаю: квадратное уравнение имеет либо два различных действительных корня, либо кратные корни, либо сопряжённые комплексные корни. 2) Из теоремы Безу следует, что если число уравнения множители: является корнем , то соответствующий многочлен можно разложить на , где – многочлен степени И опять же, наш старый пример: поскольку . – корень уравнения , то нетрудно получить хорошо знакомое «школьное» разложение . После чего . Следствие теоремы Безу имеет большую практическую ценность: если мы знаем корень уравнения 3-й степени виде , то можем представить его в и из квадратного уравнения остальные корни. Если нам известен корень легко узнать уравнения 4-й степени то есть возможность разложить левую часть в произведение И вопроса здесь два: , и т.д. Вопрос первый. Как найти этот самый корень ? Прежде всего, давайте определимся с его природой: во многих задачах высшей математики требуется отыскать рациональные, в частности целые корни многочленов, и в этой связи далее нас будут интересовать преимущественно они…. …они такие хорошие, такие пушистые, что их прямо так и хочется найти! =) Первое, что напрашивается – метод подбора. Рассмотрим, например, уравнение . Загвоздка здесь в свободном члене – вот если бы он равнялся нулю, то всё было бы в ажуре – выносим «икс» за скобки и корни сами «вываливаются» на поверхность: Но у нас свободный член равен «тройке», и поэтому мы начинаем подставлять в уравнение различные числа, претендующие на звание «корень». Прежде всего, напрашивается подстановка единичных значений. Подставим : Получено неверное равенство, таким образом, единица «не подошла». Ну да ладно, подставляем : Получено верное равенство! То есть, значение данного уравнения. является корнем Для отыскания корней многочлена 3-й степени существуют аналитический метод (так называемые формулы Кардано), но сейчас нас интересует несколько другая задача. Поскольку – есть корень нашего многочлена, то многочлен можно представить в виде отыскать «младшего собрата» и возникает Второй вопрос: как ? Простейшие алгебраические соображения подсказывают, что для этого нужно разделить на . Как разделить многочлен на многочлен? Тем же школьным методом, которым делят обычные числа – «столбиком»! Данный способ я подробнейшим образом разобрал в первых примерах урока Сложные пределы, и сейчас мы рассмотрим другой способ, который получил название схема Горнера. Сначала запишем «старший» многочлен со всеми, в том числе нулевыми коэффициентами: , после чего занесём эти коэффициенты (строго по порядку) в верхнюю строку таблицы: Слева записываем корень : Сразу же оговорюсь, что схема Горнера работает и в том случае, если «красное» число не является корнем многочлена. Однако не будем торопить события. Сносим сверху старший коэффициент: Процесс заполнения нижних ячеек чем-то напоминает вышивание, где «минус единица» – это своеобразная «игла», которая пронизывает последующие шаги. «Снесённое» число умножаем на (–1) и прибавляем к произведению число из верхней ячейки: Найденное значение умножаем на «красную иглу» и к произведению прибавляем следующий коэффициент уравнения: И, наконец, полученное значение снова «обрабатываем» «иглой» и верхним коэффициентом: Ноль в последней ячейке говорит нам о том, что многочлен разделился на без остатка (как оно и должно быть), при этом коэффициенты разложения «снимаются» прямо из нижней строки таблицы: Таким образом, от уравнения мы перешли к равносильному уравнению и с двумя оставшимися корнями всё ясно (в данном случае получаются сопряжённые комплексные корни). Уравнение , к слову, можно решить и графически: построить «молнию» абсцисс ( уравнение в виде графики пересечения. ) в точке и увидеть, что график пересекает ось . Или тот же «хитрый» приём – переписываем , чертим элементарные и детектируем «иксовую» координату их точки Кстати, график любой функции-многочлена 3-й степени пересекает ось хотя бы один раз, а значит, соответствующее уравнение имеет по меньшей мере один действительный корень. Данный факт справедлив для любой функции-многочлена нечётной степени. И тут ещё хочется остановиться на важном моменте, который касается терминологии: многочлен и функция-многочлен – это не одно и то же! Но на практике частенько говорят, например, о «графике многочлена», что, конечно, небрежность. Однако вернёмся к схеме Горнера. Как я недавно упомянул, эта схема работает и для других чисел, но если число не является корнем уравнения (остаток): , то в нашей формуле появляется ненулевая добавка «Прогоним» по схеме Горнера «неудачное» значение . При этом удобно использовать ту же таблицу – записываем слева новую «иглу», сносим сверху старший коэффициент (левая зелёная стрелка), и понеслось: Для проверки раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: , ОК. Легко заметить, что остаток («шестёрка») – это в точности значение многочлена при . И в самом деле – что так: , а ещё приятнее – вот так: Из приведённых выкладок нетрудно понять, что схема Горнера позволяет не только разложить многочлен на множители, но и осуществить «цивилизованный» подбор корня. Предлагаю вам самостоятельно закрепить алгоритм вычислений небольшой задачей: Задание 2 Используя схему Горнера, найти целый корень уравнения разложить соответствующий многочлен на множители и Иными словами, здесь нужно последовательно проверять числа 1, –1, 2, –2, … – до тех пор, пока в последнем столбце не «нарисуется» нулевой остаток. Это будет означать, что «игла» данной строки – есть корень многочлена Вычисления удобно оформить в единой таблице. Подробное решение и ответ в конце урока. Способ подбора корней хорош для относительно простых случаев, но если коэффициенты и/или степень многочлена велики, то процесс может затянуться. А может быть какие-то значения из того же списка 1, –1, 2, –2 и рассматриватьто смысла нет? И, кроме того, корни ведь могут оказаться и дробными, что приведёт к уж совсем не научному тыку. К счастью, существуют две мощные теоремы, которые позволяют значительно сократить перебор значений-«кандидатов» в рациональные корни: Теорема 1 Рассмотрим несократимую дробь число , где . Если является корнем уравнения член , то свободный делится на , а старший коэффициент В частности, если старший коэффициент – на . , то этот рациональный корень – целый: И мы начинаем эксплуатировать теорему как раз с этой вкусной частности: Вернёмся к уравнению . Так как его старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть исключительно целыми, причём свободный член должен обязательно делиться на эти корни без остатка. А «тройку» можно разделить только на 1, –1, 3 и –3. То есть у нас всего лишь 4 «кандидата в корни». И, согласно Теореме 1, другие рациональные числа не могут быть корнями данного уравнения В ПРИНЦИПЕ. В уравнении «претендентов» чуть больше: свободный член делится на 1, –1, 2, – 2, 4 и –4. Обратите внимание, что числа 1, –1 являются «завсегдатаями» списка возможных корней (очевидное следствие теоремы) и самым лучшим выбором для первоочередной проверки. Переходим к более содержательным примерам: Задача 3 Найти рациональные корни уравнения Решение: поскольку старший коэффициент , то гипотетические рациональные корни могут быть только целыми, при этом они обязательно должны быть делителями свободного члена. «Минус сорок» делится на следующие пары чисел: – итого 16 «кандидатов». И здесь сразу появляется заманчивая мысль: а нельзя ли отсеять все отрицательные или все положительные корни? В ряде случаев можно! Сформулирую два признака: 1) Если все коэффициенты многочлена неотрицательны или все неположительны, то он не может иметь положительных корней. К сожалению, это не наш случай( Вот если бы нам было дано уравнение – тогда да, при подстановке любого значение многочлена строго положительно , а значит, все положительные числа (причём, и иррациональные тоже) не могут быть корнями уравнения . 2) Если коэффициенты при нечётных степенях неотрицательны, а при всех чётных степенях (включая свободный член) – отрицательны, то многочлен не может иметь отрицательных корней. Или «зеркально»: коэффициенты при нечётных степенях неположительны, и при всёх чётных – положительны. Это наш случай! Немного присмотревшись, можно заметить, что при подстановке в уравнение любого отрицательного «икс» левая часть будет строго отрицательна, а значит, отрицательные корни отпадают Таким образом, для исследования осталось 8 чисел: Последовательно «заряжаем» их по схеме Горнера. Надеюсь, вы уже освоили устные вычисления: Удача поджидала нас при тестировании «двойки». Таким образом – есть корень рассматриваемого уравнения, и Осталось исследовать уравнение . Это легко сделать через дискриминант, но я проведу показательную проверку по той же схеме. Вопервых, обратим внимание, что свободный член равен 20-ти, а значит, по Теореме 1 из списка возможных корней выпадают числа 8 и 40, и для исследования остаются значения Горнера). (единица отсеялась по схеме Записываем коэффициенты трёхчлена в верхнюю строку новой таблицы и начинаем проверку с той же «двойки». Почему? А потому что корни могут быть и кратны, пожалуйста: одинаковых корней. Но не отвлекаемся: – это уравнение имеет 10 И здесь, конечно, я немного слукавил, заведомо зная, что корни рациональны. Ведь если бы они были иррациональными или комплексными, то мне светила бы безуспешная проверка всех оставшихся чисел. Поэтому на практике руководствуйтесь дискриминантом. Ответ: рациональные корни: 2, 4, 5 В разобранной задаче нам сопутствовала удача, потому что: а) сразу отвалились отрицательные значения, и б) мы очень быстро нашли корень (а теоретически могли проверить и весь список ). Но на самом деле ситуация бывает гораздо хуже. Приглашаю вас к просмотру увлекательной игры под названием «Последний герой»: Задача 4 Найти рациональные корни уравнения Решение: по Теореме 1 числители гипотетических рациональных корней условию условию должны удовлетворять (читаем «двенадцать делится на эль»), а знаменатели – . Исходя из этого, получаем два списка: «список эль»: и «список эм»: (благо, здесь числа натуральные). Теперь составим перечень всех возможных корней. Сначала «список эль» делим на . Совершенно понятно, что получатся те же самые числа. Для удобства занесём их в таблицу: Далее к тем же числителям «эль» «примериваем» знаменатель : Многие дроби сократились, в результате чего получись значения, которые уже есть в «списке героев». Добавляем только «новичков»: Аналогично – делим тот же «список эль» на и, наконец, на : Таким образом, команда участников нашей игры укомплектована: К сожалению, многочлен данной задачи не удовлетворяет «положительному» или «отрицательному» признаку, и поэтому мы не можем отбросить верхнюю или нижнюю строку. Придётся работать со всеми числами. Как ваше настроение? Да ладно, выше нос – есть ещё одна теорема, которую можно образно назвать «теоремой-убийцей»…. …«кандидатов», конечно же =) Но сначала нужно прокрутить схему Горнера хотя бы для одного целого числа. Традиционно возьмём единицу. В верхнюю строку запишем коэффициенты многочлена и всё как обычно: Поскольку четвёрка – это явно не ноль, то значение не является корнем рассматриваемого многочлена. Но она нам очень поможет. Теорема 2 Если при некотором целом значении отлично от нуля: значение многочлена , то его рациональные корни (если они есть) удовлетворяют условию В нашем случае и поэтому все возможные корни должны удовлетворять условию (назовём его Условием № 1). Данная четвёрка и будет «киллером» многих «кандидатов». В качестве демонстрации я рассмотрю несколько проверок: Проверим «кандидата» дроби . Для этого искусственно представим его в виде , откуда хорошо видно, что . Вычислим проверочную разность: возможный корень . Четыре делится на «минус два»: прошёл испытание. Проверим значение составляет: тоже остаётся в списке. . Здесь . Разумеется, , а значит, и проверочная разность , и поэтому второй «испытуемый» Любопытно, что для его визави разность составит и он нас покидает, так как четвёрка, ежу понятно, не делится на «минус три»: Ну и давайте распишу какую-нибудь дробь, например: – наверное, вы заметили, что при наличии «минуса», его нужно относить СТРОГО в числитель! Проверочная разность: , и поэтому значение тоже исключаем из списка потенциальных корней. Вычисления на самом деле здесь устные, и рекомендую самостоятельно проверить все возможные корни. Не откажите себе в удовольствии перечертить таблицу и вычёркивать их прямо оттуда. В результате этой суровой проверки наша «команда» изрядно поредела: Изначально было 24, осталось 10. Вместо «тотальной зачистки» Условие 1 можно проверять и по ходу перебора возможных корней. Убедились, что следующий «кандидат» прошёл тест и сразу прокручиваем его по схеме Горнера: С корнем мы снова «пролетели», но зато получили нового «киллера» . Составляем проверочный критерий: . По Теореме 2 все рациональные корни нашего многочлена (если они существуют) должны удовлетворять условию (Условие №2). И после проверки бравой десятки (а точнее, уже девятки) «кандидатов» в игре остаются «самые стойкие участники»: И опять – вместо того, чтобы «шерстить» всех «героев», можно придерживаться следующей схемы (предполагается, что список возможных корней не подвергался массовым проверкам): – поскольку число 2 удовлетворяет Условиям № 1, 2, то применяем к нему схему Горнера (см. ниже). После чего, кстати, появляется Условие № 3: ; – число -2 не удовлетворяет Условию 1, переходим к следующему «кандидату»; – число 3 не удовлетворяет Условию 2, переходим к следующему «кандидату»; – число -3 удовлетворяем всем трём Условиям, применяем к нему схему Горнера: Таким образом, значение является рациональным корнем нашего многочлена, и мы понижаем степень напряжённости: Переходим к рассмотрению уравнения Согласно Теореме 1, числители гипотетических корней данного многочлена должны удовлетворять условию , а знаменатели – условию . Исходя из этого, получаем два «урезанных» списка: «список эль»: и «список эм»: Всё начинается «по новой»! …шутка =) =) Слава те, многие корни уже отсеяны, и нам осталось проконтролировать, есть ли «последние герои» среди чисел , которые можно получить из этих «урезанных» списков. Нас покидает число –3. Коэффициенты многочлена не позволяют отбросить положительного или отрицательного «героя», и поэтому мы продолжаем их «пилить» по схеме Горнера: В результате исходный многочлен «разваливается» ещё больше: ну и небольшая косметика: И, наконец, разбираемся с квадратным уравнением : – иррациональное число, из чего следует, что данное квадратное уравнение имеет 2 иррациональных корня, и, соответственно, «выжившие победители» никак не могут быть корнями. Ответ: рациональные корни: Следует отметить, что для многочлена 4-й степени всё ещё существует аналитический способ нахождения корней (метод Феррари), но вот для многочленов бОльших степеней ситуация куда более грустная. И да – чуть не забыл о важных частных случаях уравнения 4-й степени: – если свободный член уравнения равен нулю, то, понятно, выносим «икс» за скобки; – уравнение вида называется биквадратным и сводится к квадратному путём замены (пример решения можно найти в статье об интервалах знакопостоянства функции). Я стараюсь учесть все пожелания – кто-то предпочитает задачки попроще, а кто-то посложнее: Задание 5 Найти рациональные корни следующих многочленов: Это примеры для нескучного времяпровождения. Все решения у меня в тетрадке перед глазами, но что-то приводить их не хочется, и поэтому внизу страницы только ответы. Давайте систематизируем общий алгоритм. Итак, требуется найти рациональные корни уравнения : 1) С помощью Теоремы 1 определяем все возможные корни. В тяжёлых случаях их удобно оформить отдельной таблицей и затем вычёркивать. 2) Проверяем, можно ли сразу отсеять все отрицательные или все положительные числа. 3) Используем схему Горнера. Не забываем, что нулевые коэффициенты многочленов пропускать нельзя! Проверку целесообразно начать со значений 1 и –1, при этом, если потенциальных корней достаточно много, то на каждом шаге подключаем Теорему 2. Появляющиеся Условия 1, 2, 3, … можно проверять не в массовом порядке, а по мере перебора возможных корней (в этом случае дальнейший алгоритм несколько изменится). Теорема 2 работает тем эффективнее, чем остаток-«убийца» меньше по модулю. 4) В том случае если обнаружился корень , переходим к уравнению и работаем с многочленом . Если это многочлен 2-й степени, исследуем его на наличие рациональных корней через дискриминант. Если степень многочлена больше двух, то, используя Теорему 1, снова определяем все возможные корни. Внимание! Новый список возможных корней – это урезанный вариант первоначального списка! Поэтому здесь нужно лишь проверить, входят ли «выжившие кандидаты» в урезанный список, и отсеять тех, кто «не вписался в новые рамки». 5) Далее алгоритм начинает зацикливаться. Анализируем коэффициенты многочлена и выясняем, можно ли отсеять все положительные или все отрицательные значения. 6) Используем схему Горнера, при этом начинаем с того же самого значения (если оно не отсеялось в Пункте № 4). Совершенно понятно, что в первую очередь выгоднее проверять целые и малые возможные корни. В том случае если обнаружился корень , переходим к уравнению и работаем с многочленом . Если это многочлен 2-й степени, то… и так далее – пока «не закончатся» уравнения или «кандидаты». Я очень рад, что вы дочитали статью до конца, и хочу завершить урок тем, чем начинал, а именно – уравнениями в высшей математике. Разумеется, в высшей математике гораздо больше различных типов уравнений, в частности, в ближайших статьях по алгебре вам встретятся уравнения с комплексными коэффициентами. И более того, коэффициентами и корнями уравнений могут быть не только числа, но и объекты другой природы. Так, например, корнями матричных уравнений являются матрицы, корнями дифференциальных уравнений – функции и т.д. Но эта информация не должна вас пугать – вряд ли новые виды уравнений окажутся сильно сложнее «школьных» уравнений. Желаю успехов! Решения и ответы: Задание 1 Ответы: а) решений нет (синусоида не пересекается с прямой ) Задание 2 Решение: используем схему Горнера: Ответ: – целый корень многочлена, Задание 5 Ответы: Автор: Емелин Александр Комплексные числа для чайников Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами и немного рубить в тригонометрии. Впрочем, если что позабылось, я напомню. Урок состоит из следующих параграфов: понятие комплексного числа; алгебраическая форма комплексного числа, тут же сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел; тригонометрическая и показательная форма комплексного числа; возведение комплексных чисел в степень, формула Муавра; извлечение корней из комплексных чисел, квадратное уравнение с комплексными корнями. На любой вкус и цвет – кому, что интересно. А комплексные числа действительно становятся любимой темой,... после того, как студенты знакомятся с другими разделами высшей алгебры =). Если Вы являетесь чайником, или только-только приступили к изучению комплексных чисел, то параграфы лучше прочитать по порядку, без «перескоков». Сначала «поднимем» информацию об «обычных» школьных числах. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой: Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число. Понятие комплексного числа Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ( ) комплексного числа , число называется мнимой частью ( ) комплексного числа . – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке: Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости: Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость. Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось – мнимая ось Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу по мнимой оси. Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и . Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять. Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа: , , , , , , , По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии. Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел . Числа частью. , , – это комплексные числа с нулевой мнимой Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси . В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями. Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе. Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры. Сложение комплексных чисел Пример 1 Сложить два комплексных числа , Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях. Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части. Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: от перестановки слагаемых сумма не меняется. – Вычитание комплексных чисел Пример 2 Найти разности комплексных чисел и , если , Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака: Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: переписать так: . Для наглядности ответ можно . Рассчитаем вторую разность: Здесь действительная часть тоже составная: Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: скобок уже не обойтись. . Вот здесь без Умножение комплексных чисел Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством: Пример 3 Найти произведение комплексных чисел , Очевидно, что произведение следует записать так: Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным. Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена. Я распишу подробно: Надеюсь, всем было понятно, что Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках. Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: . В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками. Деление комплексных чисел Пример 4 Даны комплексные числа , . Найти частное . Составим частное: Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение. Вспоминаем бородатую формулу наш знаменатель: и смотрим на . В знаменателе уже есть выражением в данном случае является , поэтому сопряженным , то есть Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число : Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках!!!). Распишу подробно: Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде . В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: правильный ответ: . Для любителей порешать приведу Редко, но встречается такое задание: Пример 5 Дано комплексное число форме (т.е. в форме . Записать данное число в алгебраической ). Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение Пример 6 .В , то есть на : Даны два комплексных числа произведение и частное. , . Найти их сумму, разность, Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать. Любое комплексное число (кроме нуля) тригонометрической форме: можно записать в , где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется. Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что : Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом. Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: любых значений «а» и «бэ». . Данная формула справедлива для Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат. Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: . Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку. Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента: . Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем. Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях. Пример 7 Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , . , Выполним чертёж: На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа: Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол. 1) Представим в тригонометрической форме число аргумент. Очевидно, что формуле: . Найдем его модуль и . Формальный расчет по . Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: . Ясно, как день, обратное проверочное действие: 2) Представим в тригонометрической форме число и аргумент. Очевидно, что формуле: . Формальный расчет по . . Найдем его модуль Очевидно, что (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: . Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку): 3) Представим в тригонометрической форме число и аргумент. Очевидно, что . Найдем его модуль . Формальный расчет по формуле: . Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: . Проверка: 4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что Формальный расчет по формуле: . . Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: градусов), и, соответственно: (270 . Проверка: Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что угол. Таким образом, запись принимает вид: и – это один и тот же Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи: Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче! В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен...». Это действительно очевидно и легко решается устно. Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь): 1) Если (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле 2) Если . (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле . 3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле . Пример 8 Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , . Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета. Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите: Как всегда, грязновато получилось =) Я представлю в комплексной форме числа будут для самостоятельного решения. и Представим в тригонометрической форме число модуль и аргумент. Поскольку , первое и третье числа . Найдем его (случай 2), то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде: – число в тригонометрической форме. Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол. Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Вы убедитесь, что действительно Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно . . Представим в тригонометрической форме число модуль и аргумент. Поскольку 60 градусов). . Найдем его (случай 1), то (минус Таким образом: – число в тригонометрической форме. А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем. Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол это в точности табличный угол – (или 300 градусов): – число в исходной алгебраической форме. Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока. В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа. Любое комплексное число (кроме нуля) показательной форме: можно записать в , где – это модуль комплексного числа, а комплексного числа. – аргумент Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде Например, для числа аргумент: , . предыдущего примера у нас найден модуль и . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: Число выглядеть так: . в показательной форме будет Число – так: И т.д. Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме . Возведение комплексных чисел в степень Начнем со всеми любимого квадрата. Пример 9 Возвести в квадрат комплексное число Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей правилу умножения многочленов. и перемножить числа по Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения : Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения: . Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок. Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ? И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула: Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , модули и сложить аргументы: нужно перемножить их Аналогично для показательной формы: если , то: Просто до безобразия. Пример 10 Дано комплексное число , найти . Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали: Тогда, по формуле Муавра: Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе делаем дробь правильной: что можно убавить один оборот: и . Для удобства , после чего становится хорошо видно, . Надеюсь всем понятно, что – это один и тот же угол. Таким образом, окончательный ответ запишется так: Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде: (т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде). Хотя – ни в коем случае не ошибка. Пример 11 Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме. Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока. Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел. Пример 12 Возвести в степень комплексные числа , , Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство. Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова: Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень: Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить: Пример 13 Возвести в степень комплексные числа , Это пример для самостоятельного решения. Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик: Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня: Действительно ли найденные корни являются решением уравнения Выполним проверку: ? Что и требовалось проверить. Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: . Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями. Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , случаях получается два сопряженных комплексных корня. и т.д. Во всех О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое: Пример 14 Решить квадратное уравнение Вычислим дискриминант: Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах! По известным формулам получаем два корня: – сопряженные комплексные корни Таким образом, уравнение корня: имеет два сопряженных комплексных , Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно комплексных корней, часть которых (или все) могут быть действительными. Простой пример для самостоятельного решения: Пример 15 Найти корни уравнения множители. и разложить квадратный двучлен на Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными). Как извлечь корень из произвольного комплексного числа? Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень . Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который рассмотрен на уроке Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного «эн»: Уравнение вида найти по формуле: числа имеет ровно корней , которые можно , где – это модуль комплексного – его аргумент, а параметр принимает , значения: Пример 16 Найти корни уравнения Перепишем уравнение в виде В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и . Общую формулу можно сразу немножко детализировать: , Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа Число : располагается в первой четверти, поэтому: Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж. Еще более детализируем формулу: , На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось. Подставляя в формулу значение , получаем первый корень: Подставляя в формулу значение , получаем второй корень: Ответ: , При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму. Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод. И напоследок рассмотрим задание-«хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: . Пример 17 Найти корни уравнения , где Сначала представим уравнение в виде Если : , тогда Обозначим привычной формульной буквой: . Таким образом, требуется найти корни уравнения В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: Детализирую общую формулу: , Найдем модуль и аргумент комплексного числа Число располагается во второй четверти, поэтому: : , , Еще раз детализирую формулу: , Корень удобно сразу же упростить: Подставляем в формулу значение и получаем первый корень: Подставляем в формулу значение и получаем второй корень: Подставляем в формулу значение и получаем третий корень: Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически: Как выполнить чертеж? Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности. Теперь берем аргумент первого корня градусах: точку и выясняем, чему равняется угол в . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже . Берем аргумент второго корня Отмеряем транспортиром и переводим его в градусы: и ставим на чертеже точку . По такому же алгоритму строится точка Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж. Уравнения четвертого и высших порядков встречаются крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами. Чтобы закрепить материал и узнать много нового, обязательно приходите на практикум Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами – будет жарко! Решения и ответы: Пример 6: Решение: Пример 8: Решение: Представим в тригонометрической форме число модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то образом: . Таким – число в тригонометрической форме. Представим в тригонометрической форме число модуль и аргумент. . Найдем его . Найдем его . Поскольку . (случай 3), то . Таким образом: тригонометрической форме. – число в Пример 11: Решение: Представим число в тригонометрической форме: формулу Муавра (это число : Пример 13: Решение: Пример 15: Решение: , Разложим квадратный двучлен на множители: Примера 8). Используем Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока Комплексные числа для чайников, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться: Пример 1 Упростить выражение , если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости. Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж. Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку. 1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение раскроем скобки и поправим причёску: , …Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился… Напоминаю, что в ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство знаках. . Главное, быть внимательным и не запутаться в 2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то: Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы перестановку естественно, совпадут. . Как вариант, здесь можно выполнить под формулу . Результаты, 3) И, наконец, всё выражение. Если , то: Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место: А сейчас ключевое правило: НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг. В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда! На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак. Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже. Обозначим наше достижение буквой Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас: Вычислим модуль комплексного числа: Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки. Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то: Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа. Таким образом: число в тригонометрической форме. – искомое Выполним проверку: , в чём и требовалось убедиться. Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице. Ответ: Аналогичный пример для самостоятельного решения: Пример 2 Упростить выражение , где . Изобразить полученное число на комплексной плоскости и записать его в показательной форме. Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку». Краткое решение и ответ в конце урока. Нередко задача допускает не единственный путь решения: Пример 3 Вычислить , если , Решение: прежде всего, обратим внимание на оригинальное условие – одно число представлено в алгебраической, а другое – в тригонометрической форме, да ещё и с градусами. Давайте сразу перепишем его в более привычном виде: . В какой форме проводить вычисления? Выражение , очевидно, предполагает первоочередное умножение и дальнейшее возведение в 10-ю степень по формуле Муавра, которая сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Таким образом, представляется более логичным преобразовать первое число. Найдём его модуль и аргумент: Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме: если , то В нашем случае: Далее применяем формулу Муавра является следствием указанного выше правила: Делая дробь оборота ( рад.): , которая правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 Готово. Второй способ решения состоит в том, чтобы перевести 2-е число в алгебраическую форму , выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра. Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают. В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому: Ответ: Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме: Самостоятельно: Пример 4 Упростить выражение Здесь нужно вспомнить действия со степенями, хотя одного полезного правила в методичке нет, вот оно: . И ещё одно важное замечание: пример можно решить в двух стилях. Первый вариант – работать с двумя числами и мириться с дробями. Второй вариант – представить каждое число в виде частного двух чисел: и избавиться от четырёхэтажности. С формальной точки зрения без разницы, как решать, но содержательное отличие есть! Пожалуйста, хорошо осмыслите: – это комплексное число; – это частное двух комплексных чисел ( зависимости от контекста можно сказать и так: число виде частного двух комплексных чисел. и ), однако в , представленное в Краткое решение и ответ в конце урока. Выражения – хорошо, а уравнения – лучше: Уравнения с комплексными коэффициентами Чем они отличаются от «обычных» уравнений? Коэффициентами =) В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера: Пример 5 Решить уравнение И незамедлительная преамбула по «горячим следам»: изначально правая часть уравнения позиционируется, как частное двух комплексных чисел ( и 13), и поэтому будет нехорошим тоном переписать условие с числом (хотя это и не повлечёт ошибки). Более явственно данное различие, кстати, просматривается в дроби – если, условно говоря, , то это значение в первую очередь понимается как «полноценный» комплексный корень уравнения, а не как делитель числа , и тем более – не как часть числа ! Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду : Уверенно упрощаем среднюю дробь: Результат переносим в правую часть и находим разность: Примечание: и вновь обращаю ваше внимание на содержательный момент – здесь мы не вычли из числа число, а подвели дроби к общему знаменателю! Следует отметить, что уже в ХОДЕ решения не возбраняется работать и с числами: , правда, в рассматриваемом примере такой стиль скорее вреден, чем полезен =) По правилу пропорции выражаем «зет»: Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход: Ответ: В целях проверки подставим полученное значение часть в левую исходного уравнения и проведём упрощения: исходного уравнения, таким образом, корень – получена правая часть найден верно. …Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите: Пример 6 Решить уравнение Данное уравнение сводится к виду Намёк, думаю, понятен – дерзайте! , а значит, является линейным. Конечно же… как можно без него прожить: Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай: Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными). Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение, с некоторыми отличиями в технике вычислений: Пример 7 Найти корни квадратного уравнения Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности. Для удобства выпишем коэффициенты: Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде : Вычислим дискриминант: А вот и главное препятствие: Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде: Возведём обе части в квадрат: Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему: Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары: Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом: Не помешает промежуточная проверка: что и требовалось проверить. В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»: Находим корни, не забывая, кстати, что : Ответ: Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению 1) Подставим : : верное равенство. 2) Подставим : верное равенство. Таким образом, решение найдено правильно. По мотивам только что разобранной задачи: Пример 8 Найти корни уравнения Следует отметить, что квадратный корень из чисто комплексного числа прекрасно извлекается и с помощью общей формулы , где , поэтому в образце приведены оба способа. Второе полезное замечание касается того, что предварительное извлечение корня из константы упрощает решение. ничуть не А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом :) Пример 9 Решить уравнение и выполнить проверку Решения и ответы в конце урока. Заключительный параграф статьи посвящён системе уравнений с комплексными числами Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: Пример 10 Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже. Решение: уже само условие подсказывает, что система имеет единственное решение, то есть, нам нужно найти два числа удовлетворяют каждому уравнению системы. , которые Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую), однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы: , значит, система имеет единственное решение. Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно: Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень: Аналогично: Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения уравнения системы: в левую часть каждого Получены соответствующие правые части, ч.т.п. Выполним чертёж: Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы: 1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем: 2) Ответ: Задание повеселее: Пример 11 Решить систему уравнений Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме. Краткое решение совсем близко. И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике. На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений! Решения и ответы: Пример 2: Решение: если , то: Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение: Изобразим полученное число на чертеже: Представим ответ в показательной форме. Найдем модуль и аргумент данного числа: Поскольку число расположено в 3-й четверти, то: Таким образом: Ответ: Пример 4: Решение: Пример 6: Решение: Умножим обе части уравнения на : Ответ: Пример 8: Решение: Первый способ: корни уравнения ищем в виде: Возведём обе части в квадрат: Комплексные числа равны, если равны их действительные и их мнимые части: Из 1-го уравнения следует, что: 1) , но это не удовлетворяет 2-му уравнению (равенство выполняется только в том случае, если и одного знака); 2) – подставим во 2-е уравнение: Таким образом: либо Ответ: Второй способ: используем формулу данном случае : .В Найдём модуль и аргумент комплексного числа: ; очевидно, что Таким образом: . Ответ: Пример 9: Решение: . Вычислим дискриминант: Таким образом: Ответ: Проверка: подставим в исходное уравнение верное равенство; верное равенство. Что и требовалось проверить. : Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера: Таким образом, система имеет единственное решение. Найдём произведение корней: Представим результат в тригонометрической форме: Ответ: Действия с матрицами Данное методическое пособие поможет Вам научиться выполнять действия с матрицами: сложение (вычитание) матриц, транспонирование матрицы, умножение матриц, нахождение обратной матрицы. Весь материал изложен в простой и доступной форме, приведены соответствующие примеры, таким образом, даже неподготовленный человек сможет научиться выполнять действия с матрицами. Для самоконтроля и самопроверки Вы можете бесплатно скачать матричный калькулятор >>>. Я буду стараться минимизировать теоретические выкладки, кое-где возможны объяснения «на пальцах» и использование ненаучных терминов. Любители основательной теории, пожалуйста, не занимайтесь критикой, наша задача – научиться выполнять действия с матрицами. Для СВЕРХБЫСТРОЙ подготовки по теме (у кого «горит») есть интенсивный pdf-курс Матрица, определитель и зачёт! Начнем. Матрица – это прямоугольная таблица каких-либо элементов. В качестве элементов мы будем рассматривать числа, то есть числовые матрицы. ЭЛЕМЕНТ – это термин. Термин желательно запомнить, он будет часто встречаться, не случайно я использовал для его выделения жирный шрифт. Обозначение: матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами Пример: рассмотрим матрицу «два на три»: Данная матрица состоит из шести элементов: Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет: Это просто таблица (набор) чисел! Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях. У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя! Рассматриваемая матрица имеет две строки: и три столбца: СТАНДАРТ: когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк, а только потом – количество столбцов. Мы только что разобрали по косточкам матрицу «два на три». Если количество строк и столбцов матрицы совпадает, то матрицу называют квадратной, например: – матрица «три на три». Если в матрице один столбец или одна строка то такие матрицы также называют векторами. , На самом деле понятие матрицы мы знаем еще со школы, рассмотрим, например точку с координатами «икс» и «игрек»: . По существу, координаты точки записаны в матрицу «один на два». Кстати, вот Вам и пример, почему порядок чисел имеет значение: совершенно разные точки плоскости. и – это две Теперь переходим непосредственно к изучению действий с матрицами: 1) Действие первое. Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу). Вернемся к нашей матрице . Как вы наверняка заметили, в данной матрице слишком много отрицательных чисел. Это очень неудобно с точки зрения выполнения различных действий с матрицей, неудобно писать столько минусов, да и просто в оформлении некрасиво выглядит. Вынесем минус за пределы матрицы, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: У нуля, как Вы понимаете, знак не меняется, ноль – он и в Африке ноль. Обратный пример: . Выглядит безобразно. Внесем минус в матрицу, сменив у КАЖДОГО элемента матрицы знак: Ну вот, гораздо симпатичнее получилось. И, самое главное, выполнять какиелибо действия с матрицей будет ПРОЩЕ. Потому что есть такая математическая народная примета: чем больше минусов – тем больше путаницы и ошибок. 2) Действие второе. Умножение матрицы на число. Пример: Всё просто, для того чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку. Еще один полезный пример: – умножение матрицы на дробь Сначала рассмотрим то, чего делать НЕ НАДО: Вносить дробь в матрицу НЕ НУЖНО, во-первых, это только затрудняет дальнейшие действия с матрицей, во-вторых, затрудняет проверку решения преподавателем (особенно, если задания). – окончательный ответ И, тем более, НЕ НАДО делить каждый элемент матрицы на минус семь: Из статьи Математика для чайников или с чего начать, мы помним, что десятичных дробей с запятой в высшей математике стараются всячески избегать. Единственное, что желательно сделать в этом примере – это внести минус в матрицу: А вот если бы ВСЕ элементы матрицы делились на 7 без остатка, то тогда можно (и нужно!) было бы поделить. Пример: В этом случае можно и НУЖНО умножить все элементы матрицы на все числа матрицы делятся на 2 без остатка. , так как Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «деление» нет. Вместо фразы «это поделить на это» всегда можно сказать «это умножить на дробь». То есть, деление – это частный случай умножения. 3) Действие третье. Транспонирование матрицы. Для того чтобы транспонировать матрицу, нужно ее строки записать в столбцы транспонированной матрицы. Пример: Транспонировать матрицу Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец: – транспонированная матрица. Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху. Пошаговый пример: Транспонировать матрицу Сначала переписываем первую строку в первый столбец: Потом переписываем вторую строку во второй столбец: И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец: Готово. Образно говоря, транспонировать – это значит взять матрицу за правый верхний угол и аккуратно повернуть её «на себя» по диагонали, «стряхивая» числа в столбцы транспонированной матрицы. Такая вот у меня ассоциация. 4) Действие четвертое. Сумма (разность) матриц. Сумма матриц действие несложное. НЕ ВСЕ МАТРИЦЫ МОЖНО СКЛАДЫВАТЬ. Для выполнения сложения (вычитания) матриц, необходимо, чтобы они были ОДИНАКОВЫМИ ПО РАЗМЕРУ. Например, если дана матрица «два на два», то ее можно складывать только с матрицей «два на два» и никакой другой! Пример: Сложить матрицы и Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы: Для разности матриц правило аналогичное, необходимо найти разность соответствующих элементов. Пример: Найти разность матриц , А как решить данный пример проще, чтобы не запутаться? Целесообразно избавиться от лишних минусов, для этого внесем минус в матрицу : Примечание: в теории высшей математики школьного понятия «вычитание» нет. Вместо фразы «из этого вычесть это» всегда можно сказать «к этому прибавить отрицательное число». То есть, вычитание – это частный случай сложения. 5) Действие пятое. Умножение матриц. Чем дальше в лес, тем толще партизаны. Скажу сразу, правило умножения матриц выглядит очень странно, и объяснить его не так-то просто, но я все-таки постараюсь это сделать, используя конкретные примеры. Какие матрицы можно умножать? Чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы равнялось числу строк матрицы . Пример: Можно ли умножить матрицу на матрицу ? , значит, умножать данные матрицы можно. А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно! , следовательно, выполнить умножение невозможно: Не так уж редко встречаются задания с подвохом, когда студенту предлагается умножить матрицы, умножение которых заведомо невозможно. Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц, умножение , так и умножение и возможно как Как умножить матрицы? Умножение матриц лучше объяснить на конкретных примерах, так как строгое определение введет в замешательство (или помешательство) большинство читателей. Начнем с самого простого: Пример: Умножить матрицу на матрицу Я буду сразу приводить формулу для каждого случая: – попытайтесь сразу уловить закономерность. Пример сложнее: Умножить матрицу на матрицу Формула: В результате получена так называемая нулевая матрица. Попробуйте самостоятельно выполнить умножение ответ (правильный ). Обратите внимание, что ! Это почти всегда так! Таким образом, при умножении переставлять матрицы нельзя! Если в задании предложено умножить матрицу на матрицу , то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот. Переходим к матрицам третьего порядка: Умножить матрицу на матрицу Формула очень похожа на предыдущие формулы: А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц: Умножьте матрицу на матрицу Вот готовое решение, но постарайтесь сначала в него не заглядывать! 6) Действие шестое. Нахождение обратной матрицы. Данная тема достаточно обширна, и я вынес этот пункт на отдельную страницу. А пока спектакль закончен. После освоения начального уровня рекомендую отработать действия с матрицами на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Желаю успехов! Автор: Емелин Александр Как вычислить определитель? В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ! Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители. Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами) На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: например: , и определитель третьего порядка, . Определитель четвертого порядка антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока. тоже не Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя! (Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка) Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем! Обозначения: Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой . 1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа. 2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь. Начнем с определителя «два» на «два»: ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе. Сразу рассмотрим пример: Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ. Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 - нормальные. Начнем с двух простых способов Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы: Пример: Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок». Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус: Пример: Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше. Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так. Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки. Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу. Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики. В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке. Для этого нам понадобится матрица знаков: знаки расположены в шахматном порядке. . Легко заметить, что Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя. Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления: И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот: ? Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький. Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё: Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец) Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей: 1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 2) Затем записываем сам элемент: 3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент: Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы). Переходим ко второму элементу строки. 4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 5) Затем записываем второй элемент: 6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент: Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель. Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности: 7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 8) Записываем третий элемент: 9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент: Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель. Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ! Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым. Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм. При этом матрица знаков у нас увеличится: В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу: А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке. Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли какнибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя. БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ ! Свойства определителя. Понижение порядка определителя На втором уроке мы узнаем основные свойства определителя, а также научимся приёмам их эффективного вычисления. Если вы слабо ориентируетесь в теме, пожалуйста, начните с одной из древнейших статей сайта – Как вычислить определитель? Она поможет не только чайникам, но даже тем, кто впервые услышал слово «определитель». Минуло два года с тех пор, когда на сайте было всего десять страничек, и вот, после моего долгогодолгого путешествия в мир матана, всё возвращается на круги своя. Представьте, что вам нужно вычислить определитель третьего порядка, разложив его по элементам строки (столбца). Хотя чего тут представлять – нужно же =) Над ним можно сидеть 5 минут, а можно 2-3 минуты. Или даже в районе одной минуты. Время, которое вы потратите, зависит не только от вашего опыта, но и от знаний свойств определителей. Не редкость, когда процесс решения вполне реально сократить до считанных секунд, а иногда и сразу увидеть результат! «Ерунда, чего экономить на спичках, и так всё решим», – скажут некоторые. Допустим. И не допустим оплошностей ;-) Но как быть с достаточно распространённым на практике определителем 4-го порядка? Воевать с этим перцем придётся уже 10-20 минут. И это будет даже не бой, а бойня, поскольку очень велика вероятность вычислительной ошибки, которая «завернёт» вас на второй круг решения. А если определитель пятого порядка? Спасёт только понижение порядка определителя. Да, такие примеры тоже встречаются в контрольных работах. Материалы данной страницы позволят значительно улучшить вашу технику решения определителей и упростят дальнейшее освоение высшей математики. Эффективные методы вычисления определителя В первую очередь коснёмся не свойств определителя, а как раз методов его рационального вычисления. Эти приёмы решения лежат на поверхности и понятны многим, но всё-таки остановимся на них подробнее. Предполагается, что читатель уже умеет достаточно уверенно раскрывать определитель третьего порядка. Как известно, данный определитель можно раскрыть 6 стандартными способами: по любой строке или любому столбцу. Казалось бы, без разницы, ведь ответ получится один и тот же. Но все ли способы одинаково легкИ? Нет. В большинстве случаев есть менее выгодные пути и более выгодные пути решения. Рассмотрим определитель , который я обильно покрыл татуировками ещё на первом уроке. В той статье мы подробно, с картинками разложили его по первой строке. Первая строка – это хорошо и академично, однако нельзя ли быстрее достичь результата? В определителе есть ноль, и, раскрывая его по второй строке либо по второму столбцу, вычислений заметно поубавится! Разложим определитель по второму столбцу: На практике нулевые элементы игнорируются, и запись решения принимает более компактный вид: Задание 1 Раскройте данный определитель по второй строке, используя укороченную запись. Решение в конце урока. Если в строке (либо столбце) два нуля, то это вообще настоящий подарок. Рассмотрим определитель и раскрываем: . Здесь два нуля в третьей строке, по ней Вот и всё решение! Особый случай, когда определитель имеет так называемый ступенчатый или треугольный вид, например: –в таком определителе все числа, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю. Разложим его по первому столбцу: В практических заданиях удобно руководствоваться следующим правилом – ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали: Аналогичный принцип справедлив и для ступенчатых определителей других порядков, например: Треугольные определители появляются в некоторых задачах линейной алгебры, и их решение чаще всего оформляют именно так. А если в строке (столбце) определителя находятся одни нули? Ответ, думаю, понятен. Мы ещё вернёмся к этому вопросу в свойствах определителя. Теперь представим, что долгожданные баранки не положены в новогодний подарок. Так давайте же распотрошим нехорошего Санта-Клауса! Здесь нет нулей, но всё равно существует способ облегчить себе жизнь. Данный определитель оптимальнее разложить по третьему столбцу, поскольку там самые маленькие числа. При этом запись решения принимает весьма лаконичный вид: Резюмируя параграф, сформулируем золотое правило вычислений: Определитель выгоднее раскрывать по ТОЙ строке (столбцу), где: 1) нулей побольше; 2) числа поменьше. Естественно, это справедливо и для определителей высших порядков. Небольшой пример для закрепления материала: Задание 2 Вычислить определитель, раскрыв его по строке либо столбцу, используя при этом наиболее рациональный способ Это пример для самостоятельного решения, оптимальное решение и ответ – в конце урока. И ещё один важный совет: не комплексуйте! Не нужно «зацикливаться» на традиционном разложении по первой строке либо первому столбцу. Как короче – так и решайте! Свойства определителя Насчитывается порядка десяти свойств определителя (смотрите учебники, справочники), однако реальное прикладное значение имеют только некоторые из них. И сейчас я попытаюсь в подробной и доступной форме поделиться практическим опытом использования данных свойств. Рассмотрим старых знакомых первого урока: матрицу определитель и её . На всякий случай повторю элементарное различие между понятиями: матрица – это таблица элементов, а определитель – это число. При транспонировании матрицы величина её определителя не меняется Транспонируем матрицу: Примечание: действие подробно разобрано на уроке Действия с матрицами. Согласно свойству, определитель транспонированной матрицы равен тому же значению: самостоятельно. . Желающие могут убедиться в этом В ходу и более простецкая формулировка данного свойства: если транспонировать определитель, то его величина не изменится. Запишем оба определителя рядышком и проанализируем один важный момент: В результате транспонирования первая строка стала первым столбцом, вторая строка – вторым столбцом, третья строка – третьим столбцом. Строки стали столбцами, а результат не изменился. Из чего следует важный факт: строки и столбцы определителя равноправны. Иными словами, если какое-нибудь свойство справедливо для строки, то аналогичное свойство справедливо и для столбца! В действительности с этим мы уже давно столкнулись – ведь определитель можно раскрыть как по строке, так равноправно и по столбцу. Не нравятся числа в строках? Транспонируйте определитель! Возникает только один вопрос, зачем? Практический смысл рассмотренного свойства невелик, но его полезно закинуть в багаж знаний, чтобы лучше понимать другие задачи высшей математики. Например, сразу становится ясно, почему при исследовании векторов на компланарность их координаты можно записать как в строки определителя, так и в столбцы. Если две строки (или два столбца) определителя поменять местами, то определитель сменит знак ! Помните, речь идёт об определителе! В самой матрице переставлять ничего нельзя! Сыграем в кубик-рубик с определителем . Поменяем первую и третью строку местами: Определитель сменил знак. Теперь в полученном определителе переставим вторую и третью строки: Определитель ещё раз изменил знак. Переставим второй и третий столбец: То есть, любая парная перестановка строк (столбцов) влечёт изменение знака определителя на противоположный. Игры играми, но на практике такие действия лучше не использовать. Толку от них особого нет, а вот запутаться и допустить ошибку несложно. Однако приведу одну из немногих ситуаций, когда в этом действительно есть смысл. Предположим, что в ходе решения некоторого примера у вас нарисовался определитель со знаком «минус»: Раскроем его, скажем, по первой строке: Очевидное неудобство состоит в том, что пришлось выполнять лишние реверансы – ставить большие скобки, а затем их раскрывать (кстати, крайне не рекомендую выполнять подобные действия «за один присест» устно). Чтобы избавиться от «минуса», рациональнее поменять местами любые две строки или любые два столбца. Переставим, например, первую и вторую строки: Теперь впереди помех нет, можно ехать дальше. Заядлых гонщиков ждёт кирпич: 29. Выглядит стильно, но в большинстве случаев с отрицательным знаком целесообразнее разбираться другим способом (читайте дальше). Рассмотренное действие опять же помогает лучше понять, например, некоторые свойства векторного произведения векторов или смешанного произведения векторов. А вот это уже более интересно: Из строки (столбца) определителя можно вынести общий множитель !!! Внимание! В правиле речь идёт об ОДНОЙ строке или об ОДНОМ столбце определителя. Пожалуйста, не путайте с матрицами, в матрице множитель выносится/вносится у ВСЕХ чисел сразу. Начнём с частного случая правила – вынесения «минус единицы» или просто «минуса». Встречаем очередного пациента: . В данном определителе слишком много минусов и неплохо бы сократить их количество. Вынесем –1 из первой строки: Или короче: Минус перед определителем, как уже демонстрировалось – не есть удобно. Смотрим на вторую строку определителя и замечаем, что минусов там тоже многовато. Вынесем «минус» из второй строки: Что можно сделать ещё? Все числа второго столбца делятся на 4 без остатка. Вынесем 4 из второго столбца: Справедливо и обратное правило – множитель можно не только вынести, но и внести, причём, в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец определителя. Ради шутки умножим на 4 третью строку определителя: Дотошные умы могут убедиться в равенстве исходного полученного и определителей (верный ответ: –216). На практике часто выполняют внесение минуса. Рассмотрим определитель . Отрицательный знак перед определителем можно внести в ЛЮБУЮ строку или в ЛЮБОЙ столбец. Самым лучшим кандидатом является третий столбец, в него и внесём минус: Также замечаем, что все числа первого столбца делятся на 2 без остатка, но стОит ли выносить «двойку»? Если вы собираетесь понижать порядок определителя (о чём пойдет речь в заключительном разделе), то, безусловно, стОит. Но если раскрывать определитель по строке (столбцу), то «двойка» впереди только удлинит запись решения. Однако если множитель велик, например, 13, 17 и т.п., то его, конечно, полюбому выгоднее вынести. Познакомимся с маленьким монстром: Из первой строки вынесем –11, из второй строки вынесем –7: . Вы скажете, вычисления и так быстро щёлкаются на обычном калькуляторе? Это правда. Но, во-первых, его может не оказаться под рукой, а во-вторых, если дан определитель 3-го или 4-го порядка с большими числами, то и стучать по кнопкам уже не сильно захочется. Задание 3 Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк и столбцов Это пример для самостоятельного решения. Ещё пара полезных правил: Если две строки (столбца) определителя пропорциональны (как частный случай – одинаковы), то данный определитель равен нулю Здесь пропорциональны соответствующие элементы первой и второй строки: Иногда говорят, что строки определителя линейно зависимы. Так как при транспонировании величина определителя не меняется, то из линейной зависимости строк следует и линейная зависимость столбцов. В пример можно вложить геометрический смысл – если считать, что в строках записаны координаты векторов пространства, то первые два вектора с пропорциональными координатами будут коллинеарны, а значит, все три вектора – линейно зависимы, то есть компланарны. В следующем примере пропорциональны три столбца (и, к слову, три строки тоже): Здесь второй и третий столбец одинаковы, это частный случай – когда коэффициент пропорциональности равен единице Перечисленные свойства вполне можно использовать на практике. Но помните, повышенный уровень знаний иногда наказуем ;-) Поэтому, возможно, лучше раскрывать такие определители обычным способом (зная наперёд, что получится ноль). Следует отметить, что обратное в общем случае неверно – если определитель равен нулю, то из этого ещё не следует, что его строки (столбцы) пропорциональны. То есть линейная зависимость строк/столбцов может быть и не явной. Существуют и более очевидный признак, когда сразу можно сказать, что определитель нулевой: Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю Пример: «Любительская» проверка элементарна, раскроем определитель по первому столбцу: Впрочем, результат не изменится, если раскрыть определитель по любой строке или любому столбцу. Выжимаем второй стакан апельсинового сока: Какие свойства определителей полезно знать? 1) Величина определителя не меняется при транспонировании. Свойство запоминаем. 2) Любая парная перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный. Свойство тоже запоминаем и стараемся не использовать во избежание путаницы. 3) Из строки (столбца) определителя можно вынести множитель (и внести его обратно). Используем там, где это выгодно. 4) Если строки (столбцы) определителя пропорциональны, то он равен нулю. Определитель с нулевой строкой (столбцом) равен нулю. На протяжении урока неоднократно наблюдалась элементарная закономерность – чем больше в строке (столбце) нулей, тем легче вычислить определитель. Возникает вопрос, а нельзя ли нули организовать специально с помощью какого-нибудь преобразования? Можно! Познакомимся ещё с одним очень мощным свойством: Понижение порядка определителя Очень хорошо, если вы уже разобрались с методом Гаусса и имеете опыт решения систем линейных уравнений этим способом. Фактически сформулированное ниже свойство дублирует одно из элементарных преобразований. Чтобы нагулять аппетит раздавим маленького лягушонка: К строке определителя можно прибавить другую строку, умноженную на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится Пример: в определителе получим ноль слева вверху. Для этого вторую строку мысленно либо на черновике умножим на 3: (–3, 6) и к первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 3: Результат записываем в первую строку: Проверка: Теперь в том же определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второй строке прибавим первую строку, умноженную (мысленно) на – 2 (смотрим и считаем снизу вверх): Результат записываем во вторую строку: Обратите внимание: при элементарном преобразовании меняется ТА строка, к которой прибавляЮТ. Сформулируем зеркальное правило для столбцов: К столбцу определителя можно прибавить другой столбец, умноженный на ненулевое число. При этом величина определителя не изменится Возьмём за лапки животное и, используя данное преобразование, получим ноль слева вверху. Для этого мысленно либо на черновике умножим второй столбец на –3: умноженный на –3: и к первому столбцу прибавим второй столбец, Результат запишем в первый столбец: И, наконец, в определителе получим ноль справа внизу. Для этого ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный (мысленно) на 2 (смотрим и считаем справа налево): Результат помещаем во второй столбец: При элементарном преобразовании меняется ТОТ столбец, к которому прибавляЮТ. Постарайтесь качественно переварить нижеследующий пример. Отправим в суп подросшее земноводное: Задача состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований понизить порядок определителя до второго порядка. С чего начать? Сначала в определителе нужно выбрать число-«мишень». В качестве «мишени» почти всегда выступает единица либо –1. Смотрим на определитель и замечаем, что здесь даже выбор есть. Пусть числом«мишенью» будет элемент : Примечание: смысл двойных подстрочных индексов можно узнать в статье Правило Крамера. Матричный метод. В данном случае индексы элемента говорят нам о том, что он располагается во второй строке, третьем столбце. Идея состоит в том, чтобы получить два нуля в третьем столбце: Либо получить два нуля во второй строке: Во второй строке числа поменьше (не забываем золотое правило), поэтому выгоднее взять именно её. А третий столбец с числом-«мишенью» останется неизменным: Ко второму столбцу прибавляем третий столбец: Тут и умножать ничего не пришлось. Результат записываем во второй столбец: К первому столбцу прибавляем третий столбец, умноженный (мысленно) на –2: Результат записываем в первый столбец, раскладываем определитель по второй строке: Как мы понизили порядок определителя? Получили два нуля во второй строке. Решим пример вторым способом, организуем нули в третьем столбце: Вторая строка с числом-«мишенью» останется неизменной: К первой строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на –4: Результат записываем в первую строку: К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную (мысленно) на 3 (смотрим и считаем снизу вверх): Результат записываем в третью строку, определитель раскрываем по третьему столбцу: Заметьте, что нет никакой необходимости переставлять строки или столбцы. Элементарные преобразования прекрасно работают как слева направо, так и справа налево. Как сверху вниз, так и снизу вверх. Задание 4 Вычислить тот же определитель , выбрав в качестве числа- «мишени» элемент . Понизить его порядок двумя способами: получив нули во второй строке и получив нули во втором столбце. Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и краткие комментарии в конце урока. Иногда в определителе отсутствует единица либо –1, например: .В этом случае «мишень» следует организовать с помощью дополнительного элементарного преобразования. Сделать это можно чаще всего несколькими способами. Например: к первой строке прибавим вторую строку, умноженную – 1: Результат записываем в первую строку: ! Внимание: НЕ НУЖНО из первой строки вычитать вторую строку, это значительно увеличивает вероятность ошибки. Только складываем! Поэтому к первой строке прибавляем вторую строку, умноженную –1. Именно так! Единица получена, чего и требовалось достичь. Далее можно получить два нуля в первой строке либо в первом столбце. Желающие могут довести решение до конца (верный ответ: –176). Стоит отметить, что готовая «мишень» чаще всего присутствует в исходном определителе, а уж для определителя 4-го порядка и выше дополнительное преобразование крайне маловероятно. Порубим на гуляш несколько крупных жаб: Задача Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера Ничего страшного, если вы ещё не успели ознакомиться с методом Крамера, в этом случае можно просто посмотреть, как понижается порядок у определителя «четыре на четыре». Да и само правило станет понятно, если чуть-чуть вникнуть в ход решения. Решение: сначала вычислим главный определитель системы: Есть возможность пойти стандартным путём, разложив данный определитель по строке либо столбцу. Вспоминая алгоритм первого урока, и, используя придуманную мной матрицу знаков например, по «классической» первой строке: , раскроем определитель, Не вижу вашего энтузиазма =) Безусловно, можно посидеть минут десять и аккуратно-внимательно родить правильный ответ. Но беда в том, что в дальнейшем предстоит вычислить ещё 4 определителя четвёртого порядка. Поэтому единственный разумный выход – понизить порядок определителя. Единиц в определителе много, и наша задача выбрать лучший вариант. Вспоминаем золотое правило: в строке (столбце) нулей должно быть побольше, и числа – поменьше. По этой причине вполне подходит вторая строка либо четвёртый столбец. Четвёртый столбец выглядит привлекательнее, причём, там есть две единицы. В качестве «мишени» выбираем элемент : Первая строка не изменится. И вторая тоже – там уже необходимый ноль: К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на –1 (смотрим и считаем снизу вверх): ! Внимание ещё раз: Не нужно из третьей строки вычитать первую строку. Только складываем! Результат записываем в третью строку: К четвёртой строке прибавим первую строку, умноженную на 3 (смотрим и считаем снизу вверх): Результат записываем в четвёртую строку: (1) Раскрываем определитель по четвёртому столбцу. Не забываем, что к элементу нужно добавить «минус» (см. матрицу знаков). (2) Порядок определителя понижен до 3-го. В принципе, его можно разложить по строке (столбцу), но лучше отработаем свойства определителя. Вносим минус во вторую строку. (3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 7. (4) Раскрываем определитель по второму столбцу, тем самым ещё понижая его порядок до двух. Заметьте, как сократилось решение! Главное, немного «набить руку» на элементарных преобразованиях, и такая возможность представится прямо сейчас. К тому же в вашем распоряжении есть калькулятор, который считает определители (в частности, его можно найти на странице Математические формулы и таблицы). С помощью калькулятора легко контролировать выполняемые действия. Получили определитель на первом шаге – и сразу проверили, равен ли он исходному определителю. Итак, , значит, система имеет единственное решение. Вычислим определитель . Появился ещё один ноль и очень вкусно выглядит третья строка. При этом в качестве «мишени» выгоднее выбрать элемент строке: , получив нули в третьей Тут даже умножать ничего не надо: Ко второму столбцу прибавим третий столбец: И к 4-му столбцу прибавим третий столбец: справа налево) . (смотрим и считаем Решаем дальше: (1) Раскрываем определитель по третьей строке. Порядок определителя понижен до трёх. (2) Вносим «минус» в первый столбец. (3) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 5. (4) Раскрываем определитель по второму столбцу, понижая порядок определителя до двух. По формулам Крамера: Вычислим определитель . Так получается, что в рассматриваемых определителях у нас есть нули, в произвольной же задаче их может и не быть. Поэтому для разнообразия оставим нули в покое и раскроем определитель не очень выгодным способом. Выберем элемент и получим нули в первой строке: Поехали: (1) К первому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –3. Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 8. К четвёртому столбцу прибавим третий столбец, умноженный на –1. (2) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен до трёх. (3) Ко второму столбцу прибавим первый столбец, умноженный на 5. К третьему столбцу прибавим первый столбец, умноженный на –2. (4) Раскрываем определитель по первой строке. Порядок определителя понижен до двух. (5) Столбцы определителя пропорциональны, значит, он равен нулю. По формулам Крамера: Задание 5 Самостоятельно вычислить определители и найти Концовка решения и ответ на дне страницы. Ваш путь решения может отличаться от моего пути решения, важно, чтобы совпали ответы. Выбор строки или столбца для преобразований нередко обусловлен не только числами, но и удобством решения с субъективной точки зрения. Кому-то удобнее решать по строкам, а кому-то по столбцам. У чайников особенно популярен выбор «мишени» в первой строке, поскольку процесс будет напоминать метод Гаусса. Замечательный получается у нас комплексный обед, и пришло время десерта: Это уже даже не жаба, это сам Годзилла. Возьмём заготовленный стакан апельсинового сока и посмотрим, как понижается порядок определителя. Алгоритм, думаю, понятен: с пятого порядка понижаем до четвёртого, с четвёртого – до третьего и с третьего – до второго: (1) К первой, третьей, четвертой и пятой строкам прибавим вторую строку. (2) Раскрываем определитель по 3-му столбцу. Порядок определителя понизился до четырёх. (3) Из 4-го столбца выносим 2. Первую строку умножаем на –1, и чтобы определитель не изменился, ставим перед ним «минус». Данное преобразование выполнено в целях упростить дальнейшие вычисления. (4) Ко второй и третьей строкам прибавим первую строку. К четвертой строке прибавим первую строку, умноженную на 3. (5) Раскрываем определитель по 4-му столбцу. Порядок понижен до трёх. (6) Раскрываем определитель по 2-му столбцу. Порядок понижен до двух. (7) Выносим «минус» из 1-го столбца. Всё вышло проще, чем казалось, у всех монстров есть слабые места! Неутомимые читатели могут попробовать решить определитель пятого порядка каким-нибудь другим способом, благо, единиц в нём тьма. Заходите, завтра в меню крокодилы! Решения и ответы: Задание 1: Решение: Задание 2: Решение: определитель выгоднее вычислить по третьей строке: Разложение по первому столбцу менее рационально – там числа больше, и вычисления чуть более громоздкие. Задание 3: Решение: (1) Из первой строки вынесли 13, из второй строки вынесли 2, из третьей строки вынесли 5. (2) Из второго столбца вынесли –7. (3) Разложили определитель по первому столбцу. Задание 4: Решение: Понизим порядок определителя, получив нули во второй строке: К первому столбцу прибавили второй столбец, умноженный на 2. К третьему столбцу прибавили второй столбец. Определитель раскрыли по второй строке. Понизим порядок определителя, получив нули во втором столбце: К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. Определитель раскрыли по второму столбцу. Задание 5: Решение: (1) К первой строке прибавим третью строку, умноженную на 3. Ко второй строке прибавим третью строку, умноженную на 5. К 4-й строке прибавим третью строку, умноженную на 2. (2) Раскрываем определитель по первому столбцу. (3) Ко второму столбцу прибавим третий столбец, умноженный на 9. К первому столбцу прибавим третий столбец. (4) Раскрываем определитель по третьей строке. (1) К первому столбцу прибавим второй столбец. К третьему столбцу прибавим второй столбец (2) Раскрываем определитель по третьей строке. (3) Вносим «минус» в первую строку. (4) Ко второй строке прибавим первую строку, умноженную на 6. К третьей строке прибавим первую строку (5) Раскрываем определитель по первому столбцу. Ответ: Как найти обратную матрицу? Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго. Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: .С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице, которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить. Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители. Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними. Есть? Тогда поехали дальше. А хотя… ехать могут все, если что-то не знаете, я буду ставить нужную ссылку по ходу объяснений. Существует два основных метода нахождения обратной матрицы: с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований. Сегодня мы изучим первый, более простой способ. Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле: , где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц «два на два», «три на три» и т.д. Обозначения: Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется найти обратную матрицу для матрицы «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения. Пример: Найти обратную матрицу для матрицы . Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам. 1) Сначала находим определитель матрицы. Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель? Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ. В рассматриваемом примере, как выяснилось, порядке. 2) Находим матрицу миноров , а значит, всё в . Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель. Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае . Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек. Возвращаемся к нашей матрице Сначала рассмотрим левый верхний элемент: Как найти его минор? А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров: Рассматриваем следующий элемент матрицы : Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент: То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу: Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры: Готово. – матрица миноров соответствующих элементов матрицы 3) Находим матрицу алгебраических дополнений . . Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел: Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок! – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . И всего-то лишь… 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений Что такое транспонирование матрицы, и с чем это едят, смотрите в лекции Действия с матрицами. – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 5) Ответ. Вспоминаем нашу формулу Всё найдено! . Таким образом, обратная матрица: Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами. Как проверить решение? Необходимо выполнить матричное умножение либо Проверка: Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах. Таким образом, обратная матрица найдена правильно. Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём. Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»: Пример: Найти обратную матрицу для матрицы Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два». Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 1) Находим определитель матрицы. Здесь определитель раскрыт по первой строке. Также не забываем, что матрица существует. , а значит, всё нормально – обратная 2) Находим матрицу миноров . Матрица миноров имеет размерность «три на три» найти девять чисел. , и нам нужно Я подробно рассмотрю парочку миноров: Рассмотрим следующий элемент матрицы: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент: Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два» Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента. Его нужно вычислить: Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров: Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже. Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках: Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно. Окончательный результат: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность. 3) Находим матрицу алгебраических дополнений . В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов: В данном случае: – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . 5) Ответ: . Проверка: Таким образом, обратная матрица найдена правильно. Как оформить решение на чистовик? Примерный образец чистового оформления задания можно найти на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы в параграфе, где идет речь о матричном методе решения системы линейных уравнений. По существу, основная часть упомянутой задачи – и есть поиск обратной матрицы. Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподавательсадист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =). В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше. Иногда обратную матрицу требуется найти методом Гаусса-Жордана, но второй способ доступен для студентов с приличной техникой элементарных преобразований. Желаю успехов! Автор: Емелин Александр Некоторые свойства операций над матрицами. Матричные выражения На базовых уроках Действия с матрицами, Как найти обратную матрицу? мы познакомились с понятием матрицы и основными операциями над матрицами. При этом основные акценты были подробно расставлены на технических приёмах вычисления, чтобы совершенно неподготовленный человек смог быстро научиться решать матрицы. Поэтому чайникам следует начать с первых двух статей и лягушатника с определителем матрицы. Из инструментальных средств рекомендую запастись матричным калькулятором, который позволит контролировать весь процесс решения и не допустить ошибок. Найти его можно, например, на складе математических формул и таблиц. А сейчас последует продолжение темы, в котором мы рассмотрим не только новый материал, но и отработаем действия с матрицами. Некоторые свойства операций над матрицами Существует достаточно много свойств, которые касаются действий с матрицами, в той же Википедии можно полюбоваться стройными шеренгами соответствующих правил. Однако на практике многие свойства в известном смысле «мертвЫ», поскольку в ходе решения реальных задач используются лишь некоторые из них. Моя цель – рассмотреть прикладное применение свойств на конкретных примерах, и если вам необходима строгая теория, пожалуйста, воспользуйтесь другим источником информации. Но сначала вернёмся к действиям с матрицами (к слову, в той статье мы уже неявно затронули ряд свойств). Начну с небольшого вопроса, который вызвал трудности у некоторых посетителей сайта: Можно ли к матрице прибавить число? Например: . Ну, или наоборот: Нет. К матрице можно прибавить только другую матрицу, причём точно такого же размера. Матрицу можно умножить на число. Но сложить их нельзя. Таковы правила игры. Следует отметить, что допустимо сложение определителя матрицы с числом: Результат вычисления определителя – число, а два числа суммируются без всяких проблем. Вышесказанное, естественно, справедливо и для разности, ведь вычитание – это частный случай сложения. Как на счёт того, чтобы плотно зависнуть у меня сегодня вечером? =) Практика показывает, что наибольшие трудности у студентов вызывает умножение матриц. Так наполним же кружки соответствующей информацией. Повторим само правило. В статье Действия с матрицами я рассказал о том, какие матрицы можно умножать и привёл ряд наиболее распространённых примеров. Давайте рассмотрим операцию чуть подробнее и выделим два существенных пункта: 1) Смотрим на левую часть. Из первого урока нам известно, что матричное умножение возможно в том и только в том случае, если количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы. 2) Смотрим на правую часть и обращаем внимание на размерность результата – СКОЛЬКО строк и столбцов должно быть у итоговой матрицы. Пример 1 Умножить матрицы Решение: произведение существует, причём итоговая матрица состоит из 1 строки и 2 столбцов: Ответ: Пример 2 Умножить матрицы Это пример для самостоятельного решения. Предложенные примеры не случайны. Они вроде бы просты, но у начинающих здесь нередко возникает путаница с размерами матрицы-результата. Поэтому читателям с небольшим опытом целесообразно переписать вышеприведённую формулу и особенно серьёзно отнестись к практическим примерам. А по каким принципам составляются начинка (суммы произведений чисел), думаю, все уже поняли. Дополнительно возьмём на вооружение образную ассоциацию, которая поможет хорошо запомнить действие. Читаем следующий параграф: Как возвести матрицу в квадрат? Операция определена только для квадратных матриц – «два на два», «три на три» и т.д. Возвести квадратную матрицу себя: в квадрат – это значит, умножить её саму на Пример 3 Возвести в квадрат матрицу Решение: пример рутинный, и чтобы извлечь максимальную пользу, давайте закрепим очень распространённый случай умножения двух матриц «три на три»: Строки первой матрицы – это столы в ресторане, а цветные столбцы второй матрицы – официанты. Сначала столы обслуживает красный официант, затем зелёный официант, и под конец застолья – синий официант. Тааак, хватит прикалываться, он не голубой =) Это действительно удобный мысленный приём, который можно использовать на практике – последовательно (слева направо) перебираем столбцы второй матрицы и «пристраиваем» их к каждой строке первой матрицы. Ответ: Возведение матрицы в куб и более высокие степени разберём позже. Немного о некоммутативности матричного умножения и единичной матрице Материал, по меньшей мере, частично вам знаком. Для тех, кто не знает термина: Коммутативность = Перестановочность. Обычные числа переставлять можно: , а матрицы в общем случае не перестановочны: . Собственно, подробная иллюстрация с конкретными примерами уже была дана в статье Действия с матрицами. Рассмотрим некоторые исключения из правила, которые потребуются для выполнения практических задач. Если у квадратной матрицы умножение коммутативно: существует обратная матрица , то их Чтобы проверить, правильно ли найдена обратная матрица, нужно вычислить произведение либо произведение и убедиться в том, что получится единичная матрица . Конкретные примеры можно посмотреть в статье Как найти обратную матрицу? Единичной матрицей называется квадратная матрица, у которой на главной диагонали расположены единицы, а остальные элементы равны нулю. Например: и т.д. , При этом справедливо следующее свойство: если произвольную матрицу умножить слева или справа на единичную матрицу подходящих размеров, то в результате получится исходная матрица: Как видите, здесь также имеет место коммутативность матричного умножения. Возьмём какую-нибудь матрицу, ну, скажем, матрицу из предыдущей задачи: . Желающие могут провести проверку и убедиться, что: Единичная матрица для матриц – это аналог числовой единицы для чисел, что особенно хорошо видно из только что рассмотренных примеров. Коммутативность числового множителя относительно умножения матриц Для матриц свойство: и действительного числа справедливо следующее То есть числовой множитель можно (и нужно) вынести вперёд, чтобы он «не мешал» умножить матрицы. Примечание: вообще говоря, формулировка свойства неполная – «лямбду» можно разместить в любом месте между матрицами, хоть в конце. Правило остаётся справедливым, если перемножаются три либо бОльшее количество матриц. Пример 4 Вычислить произведение Решение: (1) Согласно свойству перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя! (2) – (3) Выполняем матричное умножение. (4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на Окончательный ответ лучше оставить в виде . , хотя, в принципе, годится и внесение дроби: . На технических тонкостях умножения матрицы на число я подробно останавливался на уроке Действия с матрицами. Ответ: Маленькая шарада для самостоятельного решения: Пример 5 Вычислить , если Решение и ответ в конце урока. Какой технический приём важен в ходе решения подобных примеров? С числом разбираемся в последнюю очередь. Прицепим к локомотиву ещё один вагон: Как умножить три матрицы? Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =) Произведение трёх матриц 1) найти можно вычислить двумя способами: , а затем домножить на матрицу «цэ»: 2) либо сначала найти , потом выполнить умножение ; . Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения: Пример 6 Перемножить матрицы двумя способами Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц. 1) Используем формулу Действие первое: Действие второе: 2) Используем формулу Действие первое: Действие второе: Ответ: Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ. Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет. . С обычными числами Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались: Пример 7 Найти произведение трёх матриц Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче. Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей. Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос: Как возвести матрицу в куб и более высокие степени? Данные операции также определены только для квадратных матриц. Чтобы возвести квадратную матрицу в куб, нужно вычислить произведение: Фактически это частный случай умножения трёх матриц, по свойству ассоциативности матричного умножения: . А матрица, умноженная сама на себя – это квадрат матрицы: Таким образом, получаем рабочую формулу: То есть задание выполняется в два шага: сначала матрицу необходимо возвести в квадрат, а затем полученную матрицу умножить на матрицу . Пример 8 Возвести матрицу в куб. Это небольшая задачка для самостоятельного решения. Возведение матрицы в четвёртую степень проводится закономерным образом: Используя ассоциативность матричного умножения, выведем две рабочие формулы. Во-первых: трёх матриц. – это произведение 1) . Иными словами, сначала находим , затем домножаем его на «бэ» – получаем куб, и, наконец, выполняем умножение ещё раз – будет четвёртая степень. 2) Но существует решение на шаг короче: есть, на первом шаге находим квадрат и, минуя куб, выполняем умножение . То Дополнительное задание к Примеру 8: Возвести матрицу в четвёртую степень. Как только что отмечалось, сделать это можно двумя способами: 1) Коль скоро известен куб, то выполняем умножение . 2) Однако, если по условию задачи требуется возвести матрицу только в четвёртую степень, то путь выгодно сократить – найти квадрат матрицы и воспользоваться формулой . Оба варианта решения и ответ – в конце урока. Аналогично матрица возводится в пятую и более высокие степени. Из практического опыта могу сказать, что иногда попадаются примеры на возведение в 4-ю степень, а вот уже пятой степени что-то не припомню. Но на всякий случай приведу оптимальный алгоритм: 1) находим ; 2) находим ; 3) возводим матрицу в пятую степень: . Вот, пожалуй, и все основные свойства матричных операций, которые могут пригодиться в практических задачах. Во втором разделе урока ожидается не менее пёстрая тусовка. Матричные выражения Повторим обычные школьные выражения с числами. Числовое выражение состоит из чисел, знаков математических действий и скобок, например: . При расчётах справедлив знакомый алгебраический приоритет: сначала учитываются скобки, затем выполняется возведение в степень / извлечение корней, потом умножение / деление и в последнюю очередь – сложение /вычитание. Если числовое выражение имеет смысл, то результат его вычисления является числом, например: Матричные выражения устроены практически так же! С тем отличием, что главными действующими лицами выступают матрицы. Плюс некоторые специфические матричные операции, такие, как транспонирование и нахождение обратной матрицы. Рассмотрим матричное выражение , где – некоторые матрицы. В данном матричном выражении три слагаемых и операции сложения/вычитания выполняются в последнюю очередь. В первом слагаемом сначала нужно транспонировать матрицу «бэ»: , потом выполнить умножение и внести «двойку» в полученную матрицу. Обратите внимание, что операция транспонирования имеет более высокий приоритет, чем умножение. Скобки, как и в числовых выражениях, меняют порядок действий: – тут сначала выполняется умножение полученная матрица транспонируется и умножается на 2. , потом Во втором слагаемом в первую очередь выполняется матричное умножение , и обратная матрица находится уже от произведения. Если скобки убрать: , то сначала необходимо найти обратную матрицу ,а затем перемножить матрицы: . Нахождение обратной матрицы также имеет приоритет перед умножением. С третьим слагаемым всё очевидно: возводим матрицу в куб и вносим «пятёрку» в полученную матрицу. Если матричное выражение имеет смысл, то результат его вычисления является матрицей. Все задания будут из реальных контрольных работ, и мы начнём с самого простого: Пример 9 Даны матрицы . Найти: Решение: порядок действий очевиден, сначала выполняется умножение, затем сложение. Сложение выполнить невозможно, поскольку матрицы разных размеров. Не удивляйтесь, заведомо невозможные действия часто предлагаются в заданиях данного типа. Пробуем вычислить второе выражение: Тут всё нормально. Ответ: действие выполнить невозможно, . Повысим градус: Пример 10 Даны матрицы . Найти значения выражений: Решение: Разбираемся с произведением матрицы «дэ»: . Сначала транспонируем И умножаем матрицы: Матричное умножение выполнить невозможно, так как число столбцов матрицы не равно числу строк матрицы . А вот с произведением проблем не возникает: Еще раз заметьте, как на первом же шаге множитель (–1) выносится вперёд, и ноги до него доходят в самую последнюю очередь. С более сложными выражениями вроде разбираться поэтапно, чтобы не запутаться: Сначала находим произведение: чайникам рекомендую Затем считаем второе слагаемое: И, наконец, всё выражение: Более подготовленные студенты могут оформить решение одной строкой: Ответ: действие выполнить невозможно, , . Пара заключительных примеров для самостоятельного решения: Пример 11 Для матриц Примера №10 выполнить действия: Пример 12 Вычислить значение матричного многочлена если , . В последнем примере решение удобно оформить по пунктам. Матричные выражения – это просто! И вряд ли на практике вам встретится что-то сложнее, чем разобранные примеры. Теперь во всеоружии можно приступить к изучению матричных уравнений. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Ответ: Пример 5: Решение: Ответ: Пример 7: Решение: 1) Используем формулу 2) Используем формулу Ответ: Пример 8: Решение: Сначала возведём матрицу в квадрат: Возведём матрицу в куб: Возведём матрицу в четвёртую степень двумя способами: Ответ: Пример 11: Решение: Возведение в квадрат невозможно, поскольку операция определена только для квадратных матриц. Ответ: , действие выполнить невозможно, Пример 12: Решение: 1) 2) 3) 4) 5) Ответ: Примечание: выражение можно было вычислить и по-другому – предварительно раскрыть скобки: Матричные уравнения. Примеры решений Сейчас 00.12, 21 декабря 2012 года и я поздравляю всех посетителей сайта с Концом Света. Он оказался для меня самой настоящей находкой, поскольку каждый раз, начиная новую статью, я мучаюсь с первым абзацем, чтобы грамотно подобрать сухие точные фразы и сориентировать читателя в теме. Тибетские монахи сказали, что Армагеддон будет продолжаться две недели (видимо, все были студентами и сдавали сессии), поэтому у чайников ещё есть время ознакомиться с уроками Действия с матрицами, Свойства матричных операций и матричные выражения, Как найти обратную матрицу? Это не так сложно и не так много, как кажется! То есть для освоения матричных уравнений необходимо обладать некоторыми навыками, и быть, если не шаманом матриц, то, по меньшей мере, матричным охотником. Не переживайте, Конец Концом, а матричные уравнения сдадутся на милость победителя. Начнём с простого линейного уравнения, например уравнения . Оно состоит из математических знаков, чисел и неизвестной «икс». Перенесём «тройку» в правую часть и найдём решение уравнения: Выполним проверку, для этого подставим найденное значение исходное уравнение: в Получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Про матричные уравнения рассказывать? =) Они устроены практически так же, только вместо чисел… правильно – матрицы (и конечно, числа тоже есть, помним, что матрицу можно умножить на число). Плюс особенные фишки, характерные для действий с матрицами. Всё просто, и особых трудностей возникнуть не должно. Общие принципы решения матричных уравнений Типовое матричное уравнение состоит, как правило, из нескольких матриц и неизвестной матрицы , которую предстоит найти. То есть, решением матричного уравнения является матрица. Пример 1 Решить матричное уравнение, выполнить проверку Как решить матричное уравнение? Фактически нужно использовать алгоритм решения детского уравнения с числами. В правой части умножаем каждый элемент матрицы на три, а матрицу левой части переносим направо со сменой знака: Причёсываем правую часть: Выразим , для этого обе части уравнения умножим на : Все числа матрицы делятся на 2, поэтому уместно избавиться от дроби. А заодно и от «минуса». Делим каждый элемент матрицы на –2: Ответ: Как выполнить проверку? Подставим найденное значение и проведём упрощения: в левую часть исходного уравнения Последним действием вынесли «тройку» из матрицы. Получена правая часть исходного уравнения, значит решение найдено правильно. Кстати, всегда ли матричное уравнение вообще имеет решение? Конечно не всегда. С ходу привожу простейшее доказательство: . Пример, который мы разобрали, элементарен, и, скажу честно, вероятность столкнуться с чем-то подобным на практике невелика. Поэтому перейдём к более содержательным заданиям, которые с вероятностью, стремящейся к 100%, встретятся вам в реальной контрольной работе. Но прежде систематизируем общий ход решения: Распространённый алгоритм решения матричного уравнения Итак, на голову упал стандартный персонаж, состоящий из нескольких матриц, некоторых множителей и птицы счастья . На первом шаге уравнение приводится к одному из двух видов: либо , где – известные матрицы. Примечание: существует также третий вид: , но в действительности он встречается крайне редко. Тем не менее, в конце статьи я рассмотрю данный случай. Как привести уравнение к виду или ? Все действия вы видели в Примере №1 – это перенос матриц из части в часть, «упаковывание» множителей в матрицы, матричное сложение/вычитание. На втором шаге необходимо выразить или, выражаясь более академично, разрешить уравнение относительно . 1) . Для того, чтобы разрешить данное уравнение относительно , умножим обе его части на слева (здесь и далее предполагаем, что обратная матрица существует): !!! Внимание! Произведение матриц не перестановочно, поэтому критически важно, с какой стороны проводить умножение. По свойству матричных операций: , поэтому: Единичную матрицу можно убрать (см. урок Свойства операций над матрицами. Матричные выражения): Чего и требовалось достичь. Матрица 2) нам не известна. . Умножаем обе части уравнения на Согласно свойству матричных операций справа: , получаем: Единичную матрицу убираем: Готово. Матрица нам опять же не известна. Таким образом, на втором шаге решение выражается в виде либо в виде . Поскольку обратной матрицы мы не знаем, то третий этап решения будет состоять в её нахождении. Это стандартная задача урока Как найти обратную матрицу? На заключительном четвёртом шаге выполняем матричное умножение или , и, собственно, получаем ответ. После выполнения задания желательно провести проверку, впрочем, в большинстве случаев её требуется выполнить по условию задачи. Схема обыденна – необходимо подставить найденное значение в исходное уравнение и убедиться в том, что «всё сойдётся». Рассмотрим примеры решений уравнений обоих видов более подробно: Решение матричного уравнения вида …и добавить нечего =) Пример 2 Решить матричное уравнение, выполнить проверку Решение: Уравнение уже имеет вид действий проводить не нужно. Для разрешения уравнения относительно слева: , поэтому никаких предварительных умножим обе его части на Да-да, прямо так и пишем при оформлении решения. Хотя можно ограничиться единственной фразой: «Решение ищем в виде » – без всяких пояснений и вывода формулы . Из условия известны матрицы матрицы мы не знаем. Придётся её найти: , однако, обратной Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Таким образом, обратная матрица: На финише проводим матричное умножение и получаем решение: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение уравнения: в левую часть исходного Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно. Следующая задача весьма любопытна, и некоторые из вас сделают для себя неожиданное открытие: Пример 3 Решить матричное уравнение и сделать проверку: Решение: Неизвестная распложена справа от матрицы, и уравнение, очевидно, сведётся к виду . Используем уже знакомые из Примера №1 действия: Для разрешения уравнения относительно слева: умножим обе его части на Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Обратная матрица: Таким образом, решение уравнения: Ответ: Дробь красивше оставить перед вектором-столбцом, хотя вполне приемлемо записать и так: . Проверка: Подставим найденное значение уравнения: в левую часть исходного Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно. Напоминаю технический приём, который мы рассмотрели на уроке Свойства операций над матрицами. Матричные выражения. После подстановки в левую часть уравнения, константа уютно расположилась между матрицами. В подобных случаях число необходимо вынести вперёд и разобраться с ним в самом конце – после матричного умножения. А теперь остановимся вот на каком моменте…. Вернёмся к самому началу решения, когда мы получили матричное уравнение в виде Задача состояла в том, чтобы найти неизвестный вектор-столбец Перепишем уравнение в виде матрицы по обычному правилу: . . и в левой части умножим До боли знакомая картина =) Две матрицы равны, когда равны их соответствующие элементы. Это система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными: И полученный нами ответ системы: представляет собой решение данной . Таким образом, матричный метод решения системы – это, по сути, частный случай матричного уравнения. Пример 4 Найти из матричного уравнения: Проверить полученный результат. Заметьте, что справа находится нулевая матрица а не ноль. Нулевая матрица для матриц – это аналог нуля для чисел. И её можно не записывать, после того, как вы что-нибудь перенесёте в правую часть. Полное решение и примерный чистовой образец оформления задания в конце урока. В процессе решения матричных уравнений у начинающих могут появиться трудности с умножением матриц. В этом случае, пожалуйста, вернитесь к матричным выражениям и отработайте данное действие. Решение матричного уравнения вида Алгоритм решения точно такой же с некоторыми содержательными и техническими отличиями: Пример 5 Решить матричное уравнение, выполнить проверку найденного решения. Решение: Уравнение имеет готовый вид заняться «иксом». , что позволяет сразу же Для разрешения уравнения относительно справа: умножим обе его части на При оформлении можно записать и короче: «Решение ищем в виде Матрица «бэ» известна. Берём матрицу исследуем обратную сторону Луны: ». и без комментариев , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Таким образом, обратная матрица: Находим решение, при этом не забываем про порядок умножения матриц, обратная матрица едет во втором вагоне: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение уравнения: в левую часть исходного Получена правая часть исходного уравнения. Таким образом, решение найдено правильно. Усложним задание: Пример 6 Решить матричное уравнение, сделать проверку: Решение: Незнакомец расположился слева от матрицы, поэтому уравнение сводится к виду . Упаковываем множители, переносим свободную матрицу в правую часть и выполняем вычитание матриц: Для разрешения уравнения относительно справа: умножим обе его части на Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Обратная матрица: Здесь целесообразно внести минус в матрицу. Возможно, вам надоела однообразная картинка с нахождением обратной матрицы в каждом примере, я бы вполне мог пропускать данный пункт и сразу записывать: «обратная матрица такая-то…». Нет, полное решение приводится не случайно. Это отличная возможность потренироваться! Кроме того, у некоторых студентов действительно очень низкий уровень подготовки и полный трафарет того или иного примера будет как нельзя кстати. Да и сам Гугл, глядишь, научится решать матричные уравнения =) Находим решение: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение уравнения: в левую часть исходного Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно. Пример 7 Решить матричное уравнение и сделать проверку: Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока. В заключение коротко рассмотрим ещё один тип матричного уравнения, который практически не встречается: , где – известные матрицы. То есть, наш партизан залёг между двумя матрицами. Разрешим данное уравнение относительно на слева: Теперь умножим обе части на . Сначала умножим обе части справа: Готового примера у себя в коллекции я не нашёл, но сейчас всё равно чтонибудь подберу из этой оперы…. Вот: Да, работёнки здесь побольше. Раза в два. Как решить данное уравнение? – для матрицы – для матрицы находим обратную матрицу находим обратную матрицу – перемножаем три матрицы операций). ; ; (см. статью про свойства матричных Желающие могут прорешать данный пример, верный ответ: . Поздравляю ещё раз! Если вы читаете эти строки, то Конец Света так и не наступил! Конец Света как деньги – любит тишину =) На самом деле всё было так: летописцы майя составили свой календарь до дня зимнего солнцестояния 2012 года. А потом устали. Но на всякий случай передаю привет следующей цивилизации. Когда-нибудь они откопают хорошо сохранившийся в вечной мерзлоте сервер и расшифруют нашу клинопись =) Удачной сдачи зачётов и экзаменов! Решения и ответы: Пример 4: Решение: Приведем уравнение к виду Для разрешения уравнения относительно слева: : умножим обе его части на Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Обратная матрица: Решение системы: Ответ: Проверка: подставим найденное значение уравнения: в левую часть исходного Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, значение найдено верно. Пример 7: Решение: Приведем уравнение к виду Для разрешения уравнения относительно справа: : умножим обе его части на Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Обратная матрица: Таким образом: Ответ: Проверка: Подставим найденное значение уравнения: в левую часть исходного Получена правая часть исходного уравнения, таким образом, решение найдено верно. Как решить систему линейных уравнений? На данном уроке мы рассмотрим методы решения системы линейных уравнений. В курсе высшей математики системы линейных уравнений требуется решать как в виде отдельных заданий, например, «Решить систему по формулам Крамера», так и в ходе решения остальных задач. С системами линейных уравнений приходится иметь дело практически во всех разделах высшей математики. Сначала немного теории. Что в данном случае обозначает математическое слово «линейных»? Это значит, что в уравнения системы все переменные входят в первой степени: без всяких причудливых вещей вроде и т.п., от которых в восторге бывают только участники математических олимпиад. В высшей математике для обозначения переменных используются не только знакомые с детства буквы . Довольно популярный вариант – переменные с индексами: . Либо начальные буквы латинского алфавита, маленькие и большие: Не так уж редко можно встретить греческие буквы: – известные многим «альфа, бета, гамма». А также набор с индексами, скажем, с буквой «мю»: Использование того или иного набора букв зависит от раздела высшей математики, в котором мы сталкиваемся с системой линейных уравнений. Так, например, в системах линейных уравнений, встречающихся при решении интегралов, дифференциальных уравнений традиционно принято использовать обозначения Но как бы ни обозначались переменные, принципы, методы и способы решения системы линейных уравнений от этого не меняются. Таким образом, если Вам встретится что-нибудь страшное типа закрывать задачник, в конце концов, вместо , не спешите в страхе можно нарисовать солнце, вместо – птичку, а вместо – рожицу (преподавателя). И, как ни смешно, систему линейных уравнений с данными обозначениями тоже можно решить. Что-то у меня есть такое предчувствие, что статья получится довольно длинной, поэтому небольшое оглавление. Итак, последовательный «разбор полётов» будет таким:: – Решение системы линейных уравнений методом подстановки («школьный метод»); – Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы; – Решение системы по формулам Крамера; – Решение системы с помощью обратной матрицы; – Решение системы методом Гаусса. С системами линейных уравнений все знакомы из школьного курса математики. По сути дела, начинаем с повторения. Решение системы линейных уравнений методом подстановки Данный метод также можно назвать «школьным методом» или методом исключения неизвестных. Образно говоря, его еще можно назвать «недоделанным методом Гаусса». Пример 1 Решить систему линейных уравнений: Здесь у нас дана система из двух уравнений с двумя неизвестными. Обратите внимание, что свободные члены (числа 5 и 7) расположены в левой части уравнения. Вообще говоря, без разницы, где они находятся, слева или справа, просто в задачах по высшей математике нередко они расположены именно так. И такая запись не должна приводить в замешательство, при необходимости систему всегда можно записать «как обычно»: . Не забываем, что при переносе слагаемого из части в часть у него нужно поменять знак. Что значит решить систему линейных уравнений? Решить систему уравнений – это значит найти множество её решений. Решение системы представляет собой набор значений всех входящих в неё переменных, который обращает КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. Кроме того, система может быть несовместной (не иметь решений). Не тушуйтесь, это общее определение =) У нас же будет всего лишь одно значение «икс» и одно значение «игрек», которые удовлетворяют каждому уравнению с-мы. Существует графический метод решения системы, с которым можно ознакомиться на уроке Простейшие задачи с прямой. Там же я рассказал о геометрическом смысле системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Но сейчас на дворе эра алгебры, и числа-числа, действиядействия. Решаем: из первого уравнения выразим: Полученное выражение подставляем во второе уравнение: Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые и находим значение : Далее вспоминаем про то, от чего плясали: Значение нам уже известно, осталось найти: Ответ: После того, как решена ЛЮБАЯ система уравнений ЛЮБЫМ способом, настоятельно рекомендую выполнить проверку (устно, на черновике либо калькуляторе). Благо, делается это легко и быстро. 1) Подставляем найденный ответ в первое уравнение : – получено верное равенство. 2) Подставляем найденный ответ во второе уравнение – получено верное равенство. Или, если говорить проще, «всё сошлось» Рассмотренный способ решения не является единственным, из первого уравнения можно было выразить , а не . Можно наоборот – что-нибудь выразить из второго уравнения и подставить в первое уравнение. Кстати, заметьте, самый невыгодный из : четырех способов – выразить из второго уравнения: Получаются дроби, а оно зачем? Есть более рациональное решение. Тем не менее, в ряде случаев без дробей всё-таки не обойтись. В этой связи обращаю Ваше внимание на то, КАК я записал выражение. Не так: , и ни в коем случае не так: . Если в высшей математике Вы имеете дело с дробными числами, то все вычисления старайтесь проводить в обыкновенных неправильных дробях. Именно , а не или ! Запятую можно использовать лишь иногда, в частности, если – это окончательный ответ какой-нибудь задачи, и с этим числом больше не нужно выполнять никаких действий. Многие читатели наверняка подумали «да зачем такое подробное объяснение, как для класса коррекции, и так всё понятно». Ничего подобного, вроде бы такой простой школьный пример, а сколько ОЧЕНЬ важных выводов! Вот еще один: Любое задание следует стремиться выполнить самым рациональным способом. Хотя бы потому, что это экономит время и нервы, а также снижает вероятность допустить ошибку. Если в задаче по высшей математике Вам встретилась система двух линейных уравнений с двумя неизвестными, то всегда можно использовать метод подстановки (если не указано, что систему нужно решить другим методом) Ни один преподаватель не подумает, что ты лох снизит оценку за использование «школьного метода». Более того, в ряде случаев метод подстановки целесообразно использовать и при большем количестве переменных. Пример 2 Решить систему линейных уравнений с тремя неизвестными Похожая система уравнений часто возникает при использовании так называемого метода неопределенных коэффициентов, когда мы находим интеграл от дробно-рациональной функции. Рассматриваемая система взята мной как раз оттуда. При нахождении интеграла – цель быстро найти значения коэффициентов , а не изощряться формулами Крамера, методом обратной матрицы и т.д. Поэтому, в данном случае уместен именно метод подстановки. Когда дана любая система уравнений, в первую очередь желательно выяснить, а нельзя ли ее как-нибудь СРАЗУ упростить? Анализируя уравнения системы, замечаем, что второе уравнение системы можно разделить на 2, что мы и делаем: Справка: математический знак обозначает «из этого следует это», он часто используется в ходе решения задач. Теперь анализируем уравнения, нам нужно выразить какую-нибудь переменную через остальные. Какое уравнение выбрать? Наверное, Вы уже догадались, что проще всего для этой цели взять первое уравнение системы: Здесь без разницы, какую переменную выражать, можно было с таким же успехом выразить или . Далее, выражение для подставляем во второе и третье уравнения системы: Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые: Третье уравнение делим на 2: Из второго уравнения выразим и подставим в третьей уравнение: Практически всё готово, из третьего уравнения находим: Из второго уравнения: Из первого уравнения: Ответ: Проверка: Подставим найденные значения переменных в левую часть каждого уравнения системы: 1) 2) 3) Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, решение найдено верно. Пример 3 Решить систему линейных уравнений с 4 неизвестными Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы В ходе решения систем линейных уравнений нужно стараться использовать не «школьный метод», а метод почленного сложения (вычитания) уравнений системы. Почему? Это экономит время и упрощает вычисления, впрочем, сейчас станет всё понятнее. Пример 4 Решить систему линейных уравнений: Я взял ту же систему, что и первом примере. Анализируя систему уравнений, замечаем, что коэффициенты при переменной одинаковы по модулю и противоположны по знаку (–1 и 1). В такой ситуации уравнения можно сложить почленно: Действия, обведенные красным цветом, выполняются МЫСЛЕННО. Как видите, в результате почленного сложения у нас пропала переменная этом, собственно, и состоит суть метода – избавиться от одной из переменных. .В Теперь всё просто: – подставляем в первое уравнение системы (можно и во второе, но это не так выгодно – там числа больше): В чистовом оформлении решение должно выглядеть примерно так: Ответ: У некоторых явно возник вопрос: «Зачем все эти изыски, если можно просто выразить одну переменную через другую и подставить во второе уравнение?». Пример 5 Решить систему линейных уравнений: В данном примере можно использовать «школьный» метод, но большой минус состоит в том, что когда мы будем выражать какую-либо переменную из любого уравнения, то получим решение в обыкновенных дробях. А возня с дробями займет время, к тому же, если у Вас не «набита рука» на действиях с дробями, то велика вероятность допустить ошибку. Поэтому целесообразно использовать почленное сложение (вычитание) уравнений. Анализируем коэффициенты при соответствующих переменных: Как видим числа в парах (3 и 4), (4 и –3) – разные, поэтому, если сложить (вычесть) уравнения прямо сейчас, то от переменной мы не избавимся. Таким образом, хотелось бы видеть в одной из пар одинаковые по модулю числа, например, 20 и 20 либо 20 и –20. Будем рассматривать коэффициенты при переменной : Подбираем такое число, которое делилось бы и на 3 и на 4, причем оно должно быть как можно меньше. В математике такое число называется наименьшим общим кратным. Если Вы затрудняетесь с подбором, то можно просто перемножить коэффициенты: Далее: Первое уравнение умножаем на Второе уравнение умножаем на В результате: Вот теперь из первого уравнения почленно вычитаем второе. На всякий случай привожу еще раз действия, которые проводятся мысленно: Следует отметить, что можно было бы наоборот – из второго уравнения вычесть первое, это ничего не меняет. Теперь подставляем найденное значение системы, например, в первое: Ответ: в какое-нибудь из уравнений Решим систему другим способом. Рассмотрим коэффициенты при переменной Очевидно, что вместо пары коэффициентов (4 и –3) нам нужно получить 12 и – 12. Для этого первое уравнение умножаем на 3, второе уравнение умножаем на 4: Почленно складываем уравнения и находим значения переменных: Ответ: Второй способ несколько рациональнее, чем первый, так как складывать проще и приятнее чем вычитать. В высшей математике всегда стремимся складывать и умножать, а не вычитать и делить. Пример 6 Решить систему линейных уравнений: Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Продолжение урока на странице Правило Крамера. Метод обратной матрицы >>> Автор: Емелин Александр Правило Крамера. Метод обратной матрицы Представляю Вашему вниманию вторую часть урока Как решить систему линейных уравнений? В первой части мы рассмотрели немного теоретического материала, метод подстановки, а также метод почленного сложения уравнений системы. Всем, кто зашел на сайт через эту страницу рекомендую ознакомиться с первой частью. Возможно, некоторым посетителям покажется материал слишком простым, но по ходу решения систем линейных уравнений я сделал ряд очень важных замечаний и выводов, касающихся решения математических задач в целом. А сейчас мы разберём правило Крамера, а также решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричный метод). Все материалы изложены просто, подробно и понятно, практически все читатели смогут научиться решать системы вышеуказанными способами. Настоятельно рекомендую скачать программу для автоматизированного решения систем по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Всегда приятно знать правильный ответ заранее, более того, программа позволит сразу обнаружить ошибку по ходу решения задачи, что значительно сэкономит время! Решение системы по формулам Крамера Для того чтобы освоить данный параграф Вы должны уметь раскрывать определители «два на два» и «три на три». Если с определителями плохо, пожалуйста, изучите урок Как вычислить определитель? Сначала мы подробно рассмотрим правило Крамера для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Зачем? – Ведь простейшую систему можно решить школьным методом, методом почленного сложения! Дело в том, что пусть иногда, но встречается такое задание – решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными по формулам Крамера. Вовторых, более простой пример поможет понять, как использовать правило Крамера для более сложного случая – системы трех уравнений с тремя неизвестными. Кроме того, существуют системы линейных уравнений с двумя переменными, которые целесообразно решать именно по правилу Крамера! Рассмотрим систему уравнений На первом шаге вычислим определитель определителем системы. , его называют главным Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение, и для нахождения корней мы должны вычислить еще два определителя: и На практике вышеуказанные определители также могут обозначаться латинской буквой . Корни уравнения находим по формулам: , Пример 7 Решить систему линейных уравнений Решение: Мы видим, что коэффициенты уравнения достаточно велики, в правой части присутствуют десятичные дроби с запятой. Запятая – довольно редкий гость в практических заданиях по математике, эту систему я взял из эконометрической задачи. Как решить такую систему? Можно попытаться выразить одну переменную через другую, но в этом случае наверняка получатся страшные навороченные дроби, с которыми крайне неудобно работать, да и оформление решения будет выглядеть просто ужасно. Можно умножить второе уравнение на 6 и провести почленное вычитание, но и здесь возникнут те же самые дроби. Что делать? В подобных случаях и приходят на помощь формулы Крамера. , значит, система имеет единственное решение. ; ; Ответ: , Оба корня обладают бесконечными хвостами, и найдены приближенно, что вполне приемлемо (и даже обыденно) для задач эконометрики. Комментарии здесь не нужны, поскольку задание решается по готовым формулам, однако, есть один нюанс. Когда используете данный метод, обязательным фрагментом оформления задания является следующий фрагмент: « , значит, система имеет единственное решение». В противном случае рецензент может Вас наказать за неуважение к теореме Крамера. Совсем не лишней будет проверка, которую удобно провести на калькуляторе: подставляем приближенные значения в левую часть каждого уравнения системы. В результате с небольшой погрешностью должны получиться числа, которые находятся в правых частях. Пример 8 Решить систему по формулам Крамера. Ответ представить в обыкновенных неправильных дробях. Сделать проверку. Это пример для самостоятельного решения (пример чистового оформления и ответ в конце урока). Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными: Находим главный определитель системы: Если , то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если , то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя: , , И, наконец, ответ рассчитывается по формулам: Как видите, случай «три на три» принципиально ничем не отличается от случая «два на два», столбец свободных членов последовательно «прогуливается» слева направо по столбцам главного определителя. Пример 9 Решить систему по формулам Крамера. Решение: Решим систему по формулам Крамера. , значит, система имеет единственное решение. Ответ: . Собственно, здесь опять комментировать особо нечего, ввиду того, что решение проходит по готовым формулам. Но есть пара замечаний. Бывает так, что в результате вычислений получаются «плохие» несократимые дроби, например: . Я рекомендую следующий алгоритм «лечения». Если под рукой нет компьютера, поступаем так: 1) Возможно, допущена ошибка в вычислениях. Как только Вы столкнулись с «плохой» дробью, сразу необходимо проверить, правильно ли переписано условие. Если условие переписано без ошибок, то нужно пересчитать определители, используя разложение по другой строке (столбцу). 2) Если в результате проверки ошибок не выявлено, то вероятнее всего, допущена опечатка в условии задания. В этом случае спокойно и ВНИМАТЕЛЬНО прорешиваем задание до конца, а затем обязательно делаем проверку и оформляем ее на чистовике после решения. Конечно, проверка дробного ответа – занятие неприятное, но зато будет обезоруживающий аргумент для преподавателя, который ну очень любит ставить минус за всякую бяку вроде Примера 8. . Как управляться с дробями, подробно расписано в ответе для Если под рукой есть компьютер, то для проверки используйте автоматизированную программу, которую можно бесплатно скачать в самом начале урока. Кстати, выгоднее всего сразу воспользоваться программой (еще до начала решения), Вы сразу будете видеть промежуточный шаг, на котором допустили ошибку! Этот же калькулятор автоматически рассчитывает решение системы матричным методом. Замечание второе. Время от времени встречаются системы в уравнениях которых отсутствуют некоторые переменные, например: Здесь в первом уравнении отсутствует переменная , во втором – переменная . В таких случаях очень важно правильно и ВНИМАТЕЛЬНО записать главный определитель: – на месте отсутствующих переменных ставятся нули. Кстати определители с нулями рационально раскрывать по той строке (столбцу), в которой находится ноль, так как вычислений получается заметно меньше. Пример 10 Решить систему по формулам Крамера. Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока). Для случая системы 4 уравнений с 4 неизвестными формулы Крамера записываются по аналогичным принципам. Живой пример можно посмотреть на уроке Свойства определителя. Понижение порядка определителя – пять определителей 4-го порядка вполне решабельны. Хотя задача уже весьма напоминает ботинок профессора на груди у студента-счастливчика. Решение системы с помощью обратной матрицы Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока). Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений. Пример 11 Решить систему с матричным методом Решение: Запишем систему в матричной форме: , где Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули. Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения). Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу? Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы . Сначала разбираемся с определителем: Здесь определитель раскрыт по первой строке. Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент: То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент первой строке, третьем столбце, а, например, элемент строке, 2 столбце находится в находится в 3 В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно. Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее). Таким образом: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу? Теперь записываем обратную матрицу: Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример. Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера. Ответ: Пример 12 Решить систему с помощью обратной матрицы. Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока). Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!. Желаю успехов! Ответы: Пример 3: Пример 6: Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже). Примеры 10, 12: Полное решение примеров 8, 10, 12 >>> Автор: Емелин Александр Метод Гаусса (последовательного исключения неизвестных). Примеры решений для чайников Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений. Этот урок является третьим по теме. Если вы смутно представляете, что такое система линейных уравнений вообще, чувствуете себя чайником, то рекомендую начать с азов на странице Как решить систему линейных уравнений? Далее полезно изучить урок Правило Крамера. Матричный метод. Метод Гаусса – это просто! Почему? Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто! Кстати, на деньги попадают не только лохи, но еще и гении – портрет Гаусса красовался на купюре в 10 дойчмарок (до введения евро), и до сих пор Гаусс загадочно улыбается немцам с обычных почтовых марок. Метод Гаусса прост тем, что для его освоения ДОСТАТОЧНО ЗНАНИЙ ПЯТИКЛАССНИКА. Необходимо уметь складывать и умножать! Не случайно метод последовательного исключения неизвестных преподаватели часто рассматривают на школьных математических факультативах. Парадокс, но у студентов метод Гаусса вызывает наибольшие сложности. Ничего удивительного – всё дело в методике, и я постараюсь в доступной форме рассказать об алгоритме метода. Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений. Система линейных уравнений может: 1) Иметь единственное решение. 2) Иметь бесконечно много решений. 3) Не иметь решений (быть несовместной). Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений. Как мы помним, правило Крамера и матричный метод непригодны в тех случаях, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна. А метод последовательного исключения неизвестных в любом случае приведет нас к ответу! На данном уроке мы опять рассмотрим метод Гаусса для случая №1 (единственное решение системы), под ситуации пунктов №№2-3 отведена статья Несовместные системы и системы с общим решением. Замечу, что сам алгоритм метода во всех трёх случаях работает одинаково. Вернемся к простейшей системе с урока Как решить систему линейных уравнений? и решим ее методом Гаусса. На первом этапе нужно записать расширенную матрицу системы: . По какому принципу записаны коэффициенты, думаю, всем видно. Вертикальная черта внутри матрицы не несёт никакого математического смысла – это просто отчеркивание для удобства оформления. Справка: рекомендую запомнить термины линейной алгебры. Матрица системы – это матрица, составленная только из коэффициентов при неизвестных, в данном примере матрица системы: . Расширенная матрица системы – это та же матрица системы плюс столбец свободных членов, в данном случае: называть просто матрицей. . Любую из матриц можно для краткости После того, как расширенная матрица системы записана, с ней необходимо выполнить некоторые действия, которые также называются элементарными преобразованиями. Существуют следующие элементарные преобразования: 1) Строки матрицы можно переставлять местами. Например, в рассматриваемой матрице можно безболезненно переставить первую и вторую строки: 2) Если в матрице есть (или появились) пропорциональные (как частный случай – одинаковые) строки, то следует удалить из матрицы все эти строки кроме одной. Рассмотрим, например матрицу . В данной матрице последние три строки пропорциональны, поэтому достаточно оставить только одну из них: . 3) Если в матрице в ходе преобразований появилась нулевая строка, то ее также следует удалить. Рисовать не буду, понятно, нулевая строка – это строка, в которой одни нули. 4) Строку матрицы можно умножить (разделить) на любое число, отличное от нуля. Рассмотрим, например, матрицу . Здесь целесообразно первую строку разделить на –3, а вторую строку – умножить на 2: . Данное действие очень полезно, поскольку упрощает дальнейшие преобразования матрицы. 5) Это преобразование вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле ничего сложного тоже нет. К строке матрицы можно прибавить другую строку, умноженную на число, отличное от нуля. Рассмотрим нашу матрицу из практического примера: . Сначала я распишу преобразование очень подробно. Умножаем первую строку на –2: второй строке прибавляем первую строку умноженную на – , и ко . Теперь первую строку можно 2: разделить «обратно» на – 2: . Как видите, строка, которую ПРИБАВЛЯЛИ – не изменилась. Всегда меняется строка, К КОТОРОЙ ПРИБАВЛЯЮТ. На практике так подробно, конечно, не расписывают, а пишут короче: Еще раз: ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. Умножают строку обычно устно или на черновике, при этом мысленный ход расчётов примерно такой: «Переписываю матрицу и переписываю первую строку: » «Сначала первый столбец. Внизу мне нужно получить ноль. Поэтому единицу вверху умножаю на –2: , и ко второй строке прибавляю первую: 2 + (– 2) = 0. Записываю результат во вторую строку: » «Теперь второй столбец. Вверху –1 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: 1 + 2 = 3. Записываю результат во вторую строку: » «И третий столбец. Вверху –5 умножаю на –2: . Ко второй строке прибавляю первую: –7 + 10 = 3. Записываю результат во вторую строку: » Пожалуйста, тщательно осмыслите этот пример и разберитесь в последовательном алгоритме вычислений, если вы это поняли, то метод Гаусса практически «в кармане». Но, конечно, над этим преобразованием мы еще поработаем. Элементарные преобразования не меняют решение системы уравнений ! ВНИМАНИЕ: рассмотренные манипуляции нельзя использовать, если Вам предложено задание, где матрицы даны «сами по себе». Например, при «классических» действиях с матрицами что-то переставлять внутри матриц ни в коем случае нельзя! Вернемся к нашей системе косточкам. . Она практически разобрана по Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. И снова: почему первую строку умножаем именно на –2? Для того чтобы внизу получить ноль, а значит, избавиться от одной переменной во второй строке. (2) Делим вторую строку на 3. Цель элементарных преобразований – привести матрицу к ступенчатому виду: . В оформлении задания прямо так и отчеркивают простым карандашом «лестницу», а также обводят кружочками числа, которые располагаются на «ступеньках». Сам термин «ступенчатый вид» не вполне теоретический, в научной и учебной литературе он часто называется трапециевидный вид или треугольный вид. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система уравнений: Теперь систему нужно «раскрутить» в обратном направлении – снизу вверх, этот процесс называется обратным ходом метода Гаусса. В нижнем уравнении у нас уже готовый результат: Рассмотрим первое уравнение системы известное значение «игрек»: . и подставим в него уже Ответ: Рассмотрим наиболее распространенную ситуацию, когда методом Гаусса требуется решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Пример 1 Решить методом Гаусса систему уравнений: Запишем расширенную матрицу системы: Сейчас я сразу нарисую результат, к которому мы придём в ходе решения: И повторюсь, наша цель – с помощью элементарных преобразований привести матрицу к ступенчатому виду. С чего начать действия? Сначала смотрим на левое верхнее число: Почти всегда здесь должна находиться единица. Вообще говоря, устроит и –1 (а иногда и другие числа), но как-то так традиционно сложилось, что туда обычно помещают единицу. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки: Теперь первая строка у нас останется неизменной до конца решения. Уже легче. Единица в левом верхнем углу организована. Теперь нужно получить нули вот на этих местах: Нули получаем как раз с помощью «трудного» преобразования. Сначала разбираемся со второй строкой (2, –1, 3, 13). Что нужно сделать, чтобы на первой позиции получить ноль? Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2: Результат записываем во вторую строку: Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на – 3: (–3, –6, 3, –27). И к третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –3: Результат записываем в третью строку: На практике эти действия обычно выполняются устно и записываются в один шаг: Не нужно считать всё сразу и одновременно. Порядок вычислений и «вписывания» результатов последователен и обычно такой: сначала переписываем первую строку, и пыхтим себе потихонечку – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО и ВНИМАТЕЛЬНО: А мысленный ход самих расчётов я уже рассмотрел выше. Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»: В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение: На заключительном этапе элементарных преобразований нужно получить еще один ноль здесь: Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2: Попробуйте разобрать это действие самостоятельно – мысленно умножьте вторую строку на –2 и проведите сложение. Последнее выполненное действие – причёска результата, делим третью строку на 3. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: Круто. Теперь в действие вступает обратный ход метода Гаусса. Уравнения «раскручиваются» снизу вверх. В третьем уравнении у нас уже готовый результат: Смотрим на второе уравнение: образом: И, наконец, первое уравнение: малым: . Значение «зет» уже известно, таким . «Игрек» и «зет» известны, дело за Ответ: Как уже неоднократно отмечалось, для любой системы уравнений можно и нужно сделать проверку найденного решения, благо, это несложно и быстро. Пример 2 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Это пример для самостоятельного решения, образец чистового оформления и ответ в конце урока. Следует отметить, что ваш ход решения может не совпасть с моим ходом решения, и это – особенность метода Гаусса. Но вот ответы обязательно должны получиться одинаковыми! Пример 3 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Смотрим на левую верхнюю «ступеньку». Там у нас должна быть единица. Проблема состоит в том, что в первом столбце единиц нет вообще, поэтому перестановкой строк ничего не решить. В таких случаях единицу нужно организовать с помощью элементарного преобразования. Обычно это можно сделать несколькими способами. Я поступил так: (1) К первой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –1. То есть, мысленно умножили вторую строку на –1 и выполнили сложение первой и второй строки, при этом вторая строка у нас не изменилась. Теперь слева вверху «минус один», что нас вполне устроит. Кто хочет получить +1, может выполнить дополнительное телодвижение: умножить первую строку на –1 (сменить у неё знак). Дальше алгоритм работает уже по накатанной колее: (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 5. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. (3) Первую строку умножили на –1, в принципе, это для красоты. У третьей строки также сменили знак и переставили её на второе место, таким образом, на второй «ступеньке у нас появилась нужная единица. (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. (5) Третью строку разделили на 3. Скверным признаком, который свидетельствует об ошибке в вычислениях (реже – об опечатке), является «плохая» нижняя строка. То есть, если бы у нас внизу получилось что-нибудь вроде , и, соответственно, , то с большой долей вероятности можно утверждать, что допущена ошибка в ходе элементарных преобразований. Заряжаем обратный ход, в оформлении примеров часто не переписывают саму систему, а уравнения «берут прямо из приведенной матрицы». Обратный ход, напоминаю, работает, снизу вверх. Да тут подарок получился: Ответ: . Пример 4 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса Это пример для самостоятельного решения, он несколько сложнее. Ничего страшного, если кто-нибудь запутается. Полное решение и образец оформления в конце урока. Ваше решение может отличаться от моего решения. В последней части рассмотрим некоторые особенности алгоритма Гаусса. Первая особенность состоит в том, что иногда в уравнениях системы отсутствуют некоторые переменные, например: Как правильно записать расширенную матрицу системы? Об этом моменте я уже рассказывал на уроке Правило Крамера. Матричный метод. В расширенной матрице системы на месте отсутствующих переменных ставим нули: Кстати, это довольно легкий пример, поскольку в первом столбце уже есть один ноль, и предстоит выполнить меньше элементарных преобразований. Вторая особенность состоит вот в чём. Во всех рассмотренных примерах на «ступеньки» мы помещали либо –1, либо +1. Могут ли там быть другие числа? В ряде случаев могут. Рассмотрим систему: . Здесь на левой верхней «ступеньке» у нас двойка. Но замечаем тот факт, что все числа в первом столбце делятся на 2 без остатка – и другая двойка и шестерка. И двойка слева вверху нас устроит! На первом шаге нужно выполнить следующие преобразования: ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –1; к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3. Таким образом, мы получим нужные нули в первом столбце. Или еще такой условный пример: . Здесь тройка на второй «ступеньке» тоже нас устраивает, поскольку 12 (место, где нам нужно получить ноль) делится на 3 без остатка. Необходимо провести следующее преобразование: к третьей строке прибавить вторую строку, умноженную на –4, в результате чего и будет получен нужный нам ноль. Метод Гаусса универсален, но есть одно своеобразие. Уверенно научиться решать системы другими методами (методом Крамера, матричным методом) можно буквально с первого раза – там очень жесткий алгоритм. Но вот чтобы уверенно себя чувствовать в методе Гаусса, следует «набить руку», и прорешать хотя бы 5-10 систем. Поэтому поначалу возможны путаница, ошибки в вычислениях, и в этом нет ничего необычного или трагического. Дождливая осенняя погода за окном.... Поэтому для всех желающих более сложный пример для самостоятельного решения: Пример 5 Решить методом Гаусса систему четырёх линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Такое задание на практике встречается не так уж и редко. Думаю, даже чайнику, который обстоятельно изучил эту страницу, интуитивно понятен алгоритм решения такой системы. Принципиально всё так же – просто действий больше. Случаи, когда система не имеет решений (несовместна) или имеет бесконечно много решений, рассмотрены на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Там же можно закрепить рассмотренный алгоритм метода Гаусса. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на – 1. Внимание! Здесь может возникнуть соблазн из третьей строки вычесть первую, крайне не рекомендую вычитать – сильно повышается риск ошибки. Только складываем! (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5. (4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14. Обратный ход: Ответ: . Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Выполненные преобразования: (1) К первой строке прибавили вторую. Таким образом, организована нужная единица на левой верхней «ступеньке». (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 7. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 6. Со второй «ступенькой» всё хуже, «кандидаты» на неё – числа 17 и 23, а нам нужна либо единичка, либо –1. Преобразования (3) и (4) будут направлены на получение нужной единицы (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) Ко второй строке прибавили третью, умноженную на –3. Нужная вещь на второй ступеньке получена. (5) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 6. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на -83. Обратный ход: Ответ: Пример 5: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Выполненные преобразования: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (3) К третьей строке прибавили вторую, умноженную на 4. К четвертой строке прибавили вторую, умноженную на –1. (4) У второй строки сменили знак. Четвертую строку разделили на 3 и поместили вместо третьей строки. (5) К четвертой строке прибавили третью строку, умноженную на –5. Обратный ход: Ответ: Решение систем линейных уравнений. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения Продолжаем разбираться с системами линейных уравнений. До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: методом подстановки («школьным»), по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая: – Система несовместна (не имеет решений); – Система совместна и имеет бесконечно много решений. Примечание: термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность, как это сделать – см. статью о ранге матриц. Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса. На самом деле, к ответу приведет и «школьный» способ, но в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных. Те, кто не знаком с алгоритмом метода Гаусса, пожалуйста, сначала изучите урок метод Гаусса для чайников. Сами элементарные преобразования матрицы – точно такие же, разница будет в концовке решения. Сначала рассмотрим пару примеров, когда система не имеет решений (несовместна). Пример 1 Решить систему линейных уравнений Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить. Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1. (2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5. (3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3. (4) К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: . Ясно, что так быть не может. Действительно, перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений: Если в результате элементарных преобразований получена строка вида , где имеет решений). – число, отличное от нуля, то система несовместна (не Как записать концовку задания? Нарисуем белым мелом: «в результате элементарных преобразований получена строка вида дадим ответ: система не имеет решений (несовместна). , где »и Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение в более солидном стиле с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли. Обратите внимание, что здесь нет никакого обратного хода алгоритма Гаусса – решений нет и находить попросту нечего. Пример 2 Решить систему линейных уравнений Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Снова напоминаю, что ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, у алгоритма Гаусса нет сильной «жёсткости». Еще одна техническая особенность решения: элементарные преобразования можно прекращать сразу же, как только появилась строка вида , где . Рассмотрим условный пример: предположим, что после первого же преобразования получилась матрица . Матрица еще не приведена к ступенчатому виду, но в дальнейших элементарных преобразованиях нет никакой необходимости, так как появилась строка вида , где . Следует сразу дать ответ, что система несовместна. Когда система линейных уравнений не имеет решений – это почти подарок, ввиду того, что получается короткое решение, иногда буквально в 2-3 действия. Но всё в этом мире уравновешено, и задача, в которой система имеет бесконечно много решений – как раз длиннее. Пример 3 Решить систему линейных уравнений Тут 4 уравнений и 4 неизвестных, таким образом, система может иметь либо единственное решение, либо не иметь решений, либо иметь бесконечно много решений. Как бы там ни было, но метод Гаусса в любом случае приведет нас к ответу. В этом его и универсальность. Начало опять стандартное. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Вот и всё, а вы боялись. (1) Обратите внимание, что все числа в первом столбце делятся на 2, поэтому на левой верхней ступеньке нас устраивает и двойка. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на –4. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1. Внимание! У многих может возникнуть соблазн из четвертой строки вычесть первую строку. Так делать можно, но не нужно, опыт показывает, что вероятность ошибки в вычислениях увеличивается в несколько раз. Только складываем: К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –1 – именно так! (2) Последние три строки пропорциональны, две из них можно удалить. Здесь опять нужно проявить повышенное внимание, а действительно ли строки пропорциональны? Для перестраховки (особенно, чайнику) не лишним будет вторую строку умножить на –1, а четвертую строку разделить на 2, получив в результате три одинаковые строки. И только после этого удалить две из них. В результате элементарных преобразований расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду: При оформлении задачи в тетради желательно для наглядности делать такие же пометки карандашом. Перепишем соответствующую систему уравнений: «Обычным» единственным решением системы здесь и не пахнет. Нехорошей строки тоже нет. Значит, это третий оставшийся случай – система имеет бесконечно много решений. Иногда по условию нужно исследовать совместность системы (т.е. доказать, что решение вообще существует), об этом можно прочитать в последнем параграфе статьи Как найти ранг матрицы? Но пока разбираем азы: Бесконечное множество решений системы коротко записывают в виде так называемого общего решения системы. Общее решение системы найдем с помощью обратного хода метода Гаусса. Сначала нужно определить, какие переменные у нас являются базисными, а какие переменные свободными. Не обязательно заморачиваться терминами линейной алгебры, достаточно запомнить, что вот существуют такие базисные переменные и свободные переменные. Базисные переменные всегда «сидят» строго на ступеньках матрицы. В данном примере базисными переменными являются и Свободные переменные – это все оставшиеся переменные, которым не досталось ступеньки. В нашем случае их две: – свободные переменные. Теперь нужно все базисные переменные выразить только через свободные переменные. Обратный ход алгоритма Гаусса традиционно работает снизу вверх. Из второго уравнения системы выражаем базисную переменную Теперь смотрим на первое уравнение: . Сначала в него подставляем найденное выражение Осталось выразить базисную переменную переменные : : через свободные : В итоге получилось то, что нужно – все базисные переменные ( выражены только через свободные переменные и ) : Собственно, общее решение готово: Как правильно записать общее решение? Свободные переменные записываются в общее решение «сами по себе» и строго на своих местах. В данном случае свободные переменные следует записать на второй и четвертой позиции: . Полученные же выражения для базисных переменных и , очевидно, нужно записать на первой и третьей позиции: Придавая свободным переменным произвольные значения, можно найти бесконечно много частных решений. Самыми популярными значениями являются нули, поскольку частное решение получается проще всего. Подставим в общее решение: – частное решение. Другой сладкой парочкой являются единицы, подставим решение: в общее – еще одно частное решение. Легко заметить, что система уравнений имеет бесконечно много решений (так как свободным переменным мы можем придать любые значения) Каждое частное решение должно удовлетворять каждому уравнению системы. На этом основана «быстрая» проверка правильности решения. Возьмите, например, частное решение уравнения исходной системы: и подставьте его в левую часть каждого Всё должно сойтись. И с любым полученным вами частным решением – тоже всё должно сойтись. Но, строго говоря, проверка частного решения иногда обманывает, т.е. какоенибудь частное решение может удовлетворять каждому уравнению системы, а само общее решение на самом деле найдено неверно. Поэтому более основательна и надёжна проверка общего решения. Как проверить полученное общее решение ? Это несложно, но довольно муторно. Нужно взять выражения базисных переменных, в данном случае и , и подставить их в левую часть каждого уравнения системы. В левую часть первого уравнения системы: Получена правая часть исходного уравнения. В левую часть второго уравнения системы: Получена правая часть исходного уравнения. И далее – в левые части третьего и четвертого уравнение системы. Это дольше, но зато гарантирует стопроцентную правильность общего решения. Кроме того, в некоторых заданиях требуют проверку общего решения. Пример 4 Решить систему методом Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения. Это пример для самостоятельного решения. Здесь, кстати, снова количество уравнений меньше, чем количество неизвестных, а значит, сразу понятно, что система будет либо несовместной, либо с бесконечным множеством решений. Что важно в самом процессе решения? Внимание, и еще раз внимание. Полное решение и ответ в конце урока. И еще пара примеров для закрепления материала Пример 5 Решить систему линейных уравнений. Если система имеет бесконечно много решений, найти два частных решения и сделать проверку общего решения Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавляем первую строку. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. (2) К третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –5. К четвертой строке прибавляем вторую строку, умноженную на –7. (3) Третья и четвертая строки одинаковы, одну из них удаляем. Вот такая красота: Базисные переменные сидят на ступеньках, поэтому переменные. – базисные Свободная переменная, которой не досталось ступеньки здесь всего одна: Обратный ход: Выразим базисные переменные через свободную переменную: Из третьего уравнения: Рассмотрим второе уравнение выражение и подставим в него найденное : Рассмотрим первое уравнение найденные выражения и подставим в него и : Да, всё-таки удобен калькулятор, который считает обыкновенные дроби. Таким образом, общее решение: Еще раз, как оно получилось? Свободная переменная одиноко сидит на своём законном четвертом месте. Полученные выражения для базисных переменных места. тоже заняли свои порядковые , Сразу выполним проверку общего решения. Работа для негров, но она у меня уже выполнена, поэтому ловите =) Подставляем трех богатырей часть каждого уравнения системы: , , в левую Получены соответствующие правые части уравнений, таким образом, общее решение найдено верно. Теперь из найденного общего решения получим два частных решения. Шеф-поваром здесь выступает единственная свободная переменная . Ломать голову не нужно. Пусть , тогда Пусть решение. , тогда – частное решение. – еще одно частное Ответ: Общее решение: решения: , частные , . Зря я тут про негров вспомнил... ...потому что в голову полезли всякие садистские мотивы и вспомнилась известная фотожаба, на которой куклуксклановцы в белых балахонах бегут по полю за чернокожим футболистом. Сижу, тихо улыбаюсь. Знаете, как отвлекает…. Много математики вредно, поэтому похожий заключительный пример для самостоятельного решения. Пример 6 Найти общее решение системы линейных уравнений. Проверка общего решения у меня уже сделана, ответу можно доверять. Ваш ход решения может отличаться от моего хода решения, главное, чтобы совпали общие решения. Наверное, многие заметили неприятный момент в решениях: очень часто при обратном ходе метода Гаусса нам пришлось возиться с обыкновенными дробями. На практике это действительно так, случаи, когда дробей нет – встречаются значительно реже. Будьте готовы морально, и, самое главное, технически. Остановлюсь на некоторых особенностях решения, которые не встретились в прорешанных примерах. В общее решение системы иногда может входить константа (или константы), например: . Здесь одна из базисных переменных равна постоянному числу: . В этом нет ничего экзотического, так бывает. Очевидно, что в данном случае любое частное решение будет содержать пятерку на первой позиции. Редко, но встречаются системы, в которых количество уравнений больше количества переменных. Метод Гаусса работает в самых суровых условиях, следует невозмутимо привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду по стандартному алгоритму. Такая система может быть несовместной, может иметь бесконечно много решений, и, как ни странно, может иметь единственное решение. И, конечно, повторюсь в своем совете – чтобы комфортно себя чувствовать при решении системы методом Гаусса, следует набить руку и прорешать хотя бы десяток систем. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду. Выполненные элементарные преобразования: (1) Первую и третью строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –6. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –7. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. В результате элементарных преобразований получена строка вида где , значит, система несовместна. Ответ: решений нет. , Пример 4: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: Выполненные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. Для второй ступеньке нет единицы, и преобразование (2) направлено на её получение. (2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –3. (3) Вторую с третью строки поменяли местами (переставили полученную – 1 на вторую ступеньку) (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3. (5)У первых двух строк сменили знак (умножили на –1), третью строку разделили на 14. Обратный ход. – базисные переменные (те, которые на ступеньках), свободные переменные (те, кому не досталось ступеньки). – Выразим базисные переменные через свободные переменные: Из третьего уравнения: Рассмотрим второе уравнение: Подставим в него найденное выражение : Рассмотрим первое уравнение: Подставим в него найденные выражения: , : Общее решение: Найдем два частных решения Если , то Если , то Ответ: Общее решение: решения: , , частные . Проверка: подставим найденное решение (выражения базисных переменных , каждого уравнения системы: и ) в левую часть Получены соответствующие правые части, таким образом, общее решение найдено верно. Пример 6: Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 2. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на –2. К четвертой строке прибавляем первую строку, умноженную на –3. (2) К третьей строке прибавляем вторую строку. К четвертой строке прибавляем вторую строку. (3) Третья и четвертая строки пропорциональны, одну из них удаляем. – базисные переменные, – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную переменную: Ответ: Общее решение: Как найти ранг матрицы? Знание ранга матрицы повысит ваш ранг =) На сегодняшнем уроке мы познакомимся с понятием ранга алгебраической матрицы, научимся находить ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом Гаусса, а также рассмотрим важное практическое приложение темы: исследование системы линейных уравнений на совместность. Что такое ранг матрицы? В юмористическом эпиграфе статьи содержится большая доля истины. Само слово «ранг» у нас обычно ассоциируется с некоторой иерархией, чаще всего, со служебной лестницей. Чем больше у человека знаний, опыта, способностей, блата и т.д. – тем выше его должность и спектр возможностей. Выражаясь по молодёжному, под рангом подразумевают общую степень «крутизны». И братья наши математические живут по тем же принципам. Выведем на прогулку несколько произвольных нулевых матриц: Задумаемся, если в матрице одни нули, то о каком ранге может идти речь? Всем знакомо неформальное выражение «полный ноль». В обществе матриц всё точно так же: Ранг нулевой матрицы любых размеров равен нулю. Примечание: нулевая матрица обозначается греческой буквой «тета» В целях лучшего понимания ранга матрицы здесь и далее я буду привлекать на помощь материалы аналитической геометрии. Рассмотрим нулевой вектор нашего трёхмерного пространства, который не задаёт определённого направления и бесполезен для построения аффинного базиса. С алгебраической точки зрения координаты данного вектора записаны в матрицу «один на три» и логично (в указанном геометрическом смысле) считать, что ранг этой матрицы равен нулю. Теперь рассмотрим несколько ненулевых векторов-столбцов и векторовстрок: В каждом экземпляре есть хотя бы один ненулевой элемент, и это уже кое-что! Ранг любого ненулевого вектора-строки (вектора-столбца) равен единице И вообще – если в матрице произвольных размеров есть хотя бы один ненулевой элемент, то её ранг не меньше единицы. Алгебраические векторы-строки и векторы-столбцы в известной степени абстрактны, поэтому снова обратимся к геометрической ассоциации. Ненулевой вектор задаёт вполне определённое направление в пространстве и годится для построения базиса, поэтому ранг матрицы будем считать равным единице. Теоретическая справка: в линейной алгебре вектор – это элемент векторного пространства (определяемое через 8 аксиом), который, в частности, может представлять собой упорядоченную строку (или столбец) действительных чисел операциями с определёнными для них сложения и умножения на действительное число . С более подробной информацией о векторах можно ознакомиться в статье Линейные преобразования. Рассмотрим матрицу , строки которой линейно зависимы (выражаются друг через друга). С геометрической точки зрения во вторую строку записаны координаты коллинеарного вектора , который ничуть не продвинул дело в построении трёхмерного базиса, являясь в этом смысле лишним. Таким образом, ранг данной матрицы тоже равен единице. Перепишем координаты векторов в столбцы (транспонируем матрицу): Что изменилось с точки зрения ранга? Ничего. Столбцы пропорциональны, значит, ранг равен единице. Кстати, обратите внимание, что все три строки тоже пропорциональны. Их можно отождествить с координатами трёх коллинеарных векторов плоскости, из которых только один полезен для построения «плоского» базиса. И это полностью согласуется с нашим геометрическим смыслом ранга. Из вышеприведённого примера следует важное утверждение: Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам. Об этом я уже немного упоминал на уроке об эффективных методах вычисления определителя. Примечание: из линейной зависимости строк следует линейная зависимость столбцов (и наоборот). Но в целях экономии времени, да и в силу привычки я почти всегда буду говорить о линейной зависимости строк. Продолжим дрессировать нашего любимого питомца. Добавим в матрицу третьей строкой координаты ещё одного коллинеарного вектора : Помог ли он нам в построении трёхмерного базиса? Конечно, нет. Все три вектора гуляют туда-сюда по одной дорожке, и ранг матрицы равен единице. Можно взять сколько угодно коллинеарных векторов, скажем, 100, уложить их координаты в матрицу «сто на три» и ранг такого небоскрёба всё равно останется единичным. Познакомимся с матрицей , строки которой линейно независимы. Пара неколлинеарных векторов пригодна для построения трёхмерного базиса. Ранг этой матрицы равен двум. А чему равен ранг матрицы ? Строки вроде не пропорциональны…, значит, по идее трём. Однако ранг этой матрицы тоже равен двум. Я сложил первые две строки и записал результат внизу, то есть линейно выразил третью строку через первые две. Геометрически строки матрицы соответствуют координатам трёх компланарных векторов, причём среди этой тройки существует пара неколлинеарных товарищей. Как видите, линейная зависимость в рассмотренной матрице не очевидна, и сегодня мы как раз научимся выводить её «на чистую воду». Думаю, многие догадываются, что такое ранг матрицы! Рассмотрим матрицу Векторы данной матрицы равняется трём. , строки которой линейно независимы. образуют аффинный базис, и ранг Как вы знаете, любой четвёртый, пятый, десятый вектор трёхмерного пространства будет линейно выражаться через базисные векторы. Поэтому, если в матрицу равно будет равен трём. добавить любое количество строк, то её ранг всё Аналогичные рассуждения можно провести для матриц бОльших размеров (понятно, уже без геометрического смысла). Определение: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк. Или: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых столбцов. Да, их количество всегда совпадает. Из вышесказанного также следует важный практический ориентир: ранг матрицы не превосходит её минимальной размерности. Например, в матрице четыре строки и пять столбцов. Минимальная размерность – четыре, следовательно, ранг данной матрицы заведомо не превзойдёт 4. Обозначения: в мировой теории и практике не существует общепринятого стандарта для обозначения ранга матрицы, наиболее часто можно встретить: – как говорится, англичанин пишет одно, немец другое. Поэтому давайте по мотивам известного анекдота про американский и русский ад обозначать ранг матрицы родным словом. Например: . А если матрица «безымянная», коих встречается очень много, то можно просто записать . Как найти ранг матрицы с помощью миноров? На уроках о вычислении определителя и нахождении обратной матрицы нам уже встречались миноры второго порядка, получаемые вычёркиванием строк и столбцов в матрице «три на три». Сейчас мы расширим понятие минора и дадим его определение… да не вздыхайте так тяжко, тут с картинками =) Минором прямоугольной матрицы называется определитель, составленный из чисел, которые находятся на пересечении различных строк и различных столбцов матрицы. Число называют порядком минора. Заметьте, что сама матрица не обязана быть квадратной. Рассмотрим конкретный пример: Как получить какой-нибудь минор 2-го порядка? Нужно выбрать две произвольные строки, например, 2-ю и 4-ю, два произвольных столбца, например, 3-й и 5-й, и числа, находящиеся на их пересечении записать в минор второго порядка: . Сколько всего миноров 2-го порядка? Много. Существуют специальные комбинаторные формулы для подсчёта количества миноров, но в рамках данного занятия это малополезная информация. Получим какой-нибудь минор третьего порядка. Рассматриваем три произвольные строки, например, 1-ю, 3-ю и 4-ю, три произвольных столбца, например, 1-й, 2-й и 4-й и с их пересечения «снимаем» минор 3-го порядка: . Что касается миноров 4-го порядка, то здесь выбор уже невелик: необходимо задействовать все 4 строки и четыре произвольных столбца, например, все столбцы, за исключением 3-го: Алгоритм нахождения ранга матрицы с помощью миноров В качестве примера возьмём ту же матрицу . Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы и, очевидно, что он не превосходит 4. Как действовать дальше? Дальше необходимо начать перебор и вычисление миноров 2-го порядка. Если ВСЕ миноры 2-го порядка окажутся нулевыми, то ранг матрицы равен единице. Но это крайне маловероятно, рано или поздно (чаще всего рано), встретится ненулевой минор двух. , и данный факт означает, что ранг матрицы не менее На следующем шаге последовательно перебираем и рассчитываем миноры 3го порядка. Если ВСЕ эти миноры равны нулю, то . Если же встретился минор , то делаем вывод о том, что ранг матрицы не менее трёх и переходим к следующему шагу. Перебор и вычисление миноров 4-го порядка. Если ВСЕ миноры 4-го порядка равны нулю, то , если встретился минор , то . Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора. Схему «перебора в лоб» часто критикуют, но как ни странно, во многих случаях она даёт неплохие результаты. Тем не менее, следует отметить длительность процесса и в целях сокращения количества вычислений разработан: метод окаймляющих миноров Алгоритм в общем виде, боюсь, будет мало кому понятен, гораздо проще разобрать его на конкретной задаче: Пример 1 Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров Решение: дана квадратная матрица «четыре на четыре» и, понятно, её ранг не больше четырёх. Заряжаем: Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не менее единицы. Проверку миноров 2-го порядка начинаем с так называемого углового минора . , поэтому переходим к минору : , значит, ранг матрицы не менее двух. Что было бы нужно сделать, если бы и этот минор оказался нулевым? В этом случае рассматриваем минор дальше: , , и если он тоже равен нулю, едем , . При необходимости (когда получились одни нули), следует продолжить перебор миноров по аналогичной схеме у: 1-й и 3-й строк; 1-й и 4-й строк; 2-й и 3-й строк; 2-й и 4-й строк; 3-й и 4-й строк – до тех пор, пока не повстречается минор, отличный от нуля. Если все миноры 2-го порядка оказались нулевыми, то . Но в нашем случае уже на втором шаге обнаружен «хороший» минор, и теперь мы переходим к рассмотрению миноров третьего порядка. Приделываем ноги младшему коллеге , который будет входить во все рассматриваемые миноры высших порядков: Вопрос «третьим будешь?» может быть адресован либо красному, либо зелёному товарищу: Был бы пятый столбец – нашёлся бы ещё один друг. Начнём с красного: Не помогло. Теперь сообразим с зелёным: Тоже плохо. Свешиваем ноги ниже и последовательно берём в компанию «малиновые» и «коричневые» числа: Сначала «синие» с «малиновыми»: , значит, ранг матрицы не менее трёх. Если бы этот минор оказался равным нулю, то следовало бы вычислить определитель из «синих» и «коричневых» чисел. Других миноров 3-го порядка, которые содержат младший ненулевой минор тоже съел бублик, то – нет. И если бы «сине-коричневый» определитель . Миноров 3-го порядка на самом деле больше, и рассматриваемый метод в данном случае позволяет сократить вычисления, максимум, до четырёх определителей. Успех нас поджидал на 3-м шаге, и «хороший» ненулевой минор удостаивается ботинок: Теперь «синие» и «малиновые» столбцы должны входить во все миноры высших порядков. В данном случае это единственный минор 4-го порядка, совпадающий с определителем матрицы: (т.к. 2-я и 3-я строки пропорциональны – см. свойства определителя) Если бы у бабушки нас в матрице был пятый столбец, то следовало бы вычислить ещё один минор 4-го порядка («синие», «малиновый» + 5-й столбец). Вывод: максимальный порядок ненулевого минора равен трём, значит, . Возможно, не все до конца осмыслили данную фразу: минор 4-го порядка равен нулю, но среди миноров 3-го порядка нашёлся ненулевой – поэтому максимальный порядок ненулевого минора и равен трём. Возникает вопрос, а почему бы сразу не вычислить определитель? Ну, вопервых, в большинстве заданий матрица не квадратная, а во-вторых, даже если у вас и получится ненулевое значение, то задание с высокой вероятностью забракуют, так как оно обычно подразумевает стандартное решение «снизу вверх». А в рассмотренном примере нулевой определитель 4го порядка и вовсе позволяет утверждать, что ранг матрицы лишь меньше четырёх. Должен признаться, разобранную задачу я придумал сам, чтобы качественнее объяснить метод окаймляющих миноров. В реальной практике всё проще: Пример 2 Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров Решение и ответ в конце урока. Когда алгоритм работает быстрее всего? Вернёмся к той же матрице «четыре на четыре» . Очевидно, решение будет самым коротким в случае «хороших» угловых миноров: И, если , то , в противном случае – . Размышление совсем не гипотетично – существует немало примеров, где всё дело и ограничивается только угловыми минорами. Однако в ряде случаев более эффективен и предпочтителен другой способ: Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса? Параграф рассчитан на читателей, которые уже знакомы с методом Гаусса и мало-мальски набили на нём руку. С технической точки зрения метод не отличается новизной: 1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду; 2) ранг матрицы равен количеству строк. Совершенно понятно, что использование метода Гаусса не меняет ранга матрицы, и суть здесь предельно проста: согласно алгоритму, в ходе элементарных преобразований выявляются и удаляются все лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки, в результате чего остаётся «сухой остаток» – максимальное количество линейно независимых строк. Преобразуем старую знакомую матрицу с координатами трёх коллинеарных векторов: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку. (2) Нулевые строки удаляем. Таким образом, осталась одна строка, следовательно, . Что и говорить, это гораздо быстрее, чем рассчитать девять нулевых миноров 2-го порядка и только потом сделать вывод. Напоминаю, что в самой по себе алгебраической матрице ничего менять нельзя, и преобразования выполняются только с целью выяснения ранга! Кстати, остановимся ещё раз на вопросе, почему нельзя? Исходная матрица несёт информацию, которая принципиально отлична от информации матрицы и строки . В некоторых математических моделях (без преувеличения) разница в одном числе может быть вопросом жизни и смерти. …Вспомнились школьные учителя математики начальных и средних классов, которые безжалостно срезали оценку на 1-2 балла за малейшую неточность или отклонение от алгоритма. И было жутко обидно, когда вместо, казалось бы, гарантированной «пятёрки» получалось «хорошо» или того хуже. Понимание пришло намного позже – а как иначе доверить человеку спутники, ядерные боеголовки и электростанции? Но вы не беспокойтесь, я не работаю в этих сферах =) Перейдём к более содержательным заданиям, где помимо прочего познакомимся с важными вычислительными приёмами метода Гаусса: Пример 3 Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований Решение: дана матрица «четыре на пять», значит, её ранг заведомо не больше, чем 4. В первом столбце, отсутствует 1 или –1, следовательно, необходимы дополнительные действия, направленные на получение хотя бы одной единицы. За всё время существования сайта мне неоднократно задавали вопрос: «Можно ли в ходе элементарных преобразований переставлять столбцы?». Вот здесь – переставили первый-второй столбец, и всё отлично! В большинстве задач, где используется метод Гаусса, столбцы действительно переставлять можно. НО НЕ НУЖНО. И дело даже не в возможной путанице с переменными, дело в том, что в классическом курсе обучения высшей математике данное действие традиционно не рассматривается, поэтому на такой реверанс посмотрят ОЧЕНЬ криво (а то и заставят всё переделывать). Второй момент касается чисел. В ходе решения полезно руководствоваться следующим эмпирическим правилом: элементарные преобразования по возможности должны уменьшать числа матрицы. Ведь с единицей-двойкойтройкой работать значительно легче, чем, например, с 23, 45 и 97. И первое действие направлено не только на получение единицы в первом столбце, но и на ликвидацию чисел 7 и 11. Сначала полное решение, потом комментарии: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. И до кучи: к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на –1. (2) Последние три строки пропорциональны. Удалили 3-ю и 4-ю строки, вторую строку переместили на первое место. (3) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3. В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки. Ответ: Теперь ваша очередь мучить матрицу «четыре на четыре»: Пример 4 Найти ранг матрицы методом Гаусса Напоминаю, что метод Гаусса не предполагает однозначной жёсткости, и ваше решение, скорее всего, будет отличаться от моего решения. Краткий образец оформления задачи в конце урока. Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы? На практике зачастую вообще не сказано, какой метод необходимо использовать для нахождения ранга. В такой ситуации следует анализировать условие – для одних матриц рациональнее провести решение через миноры, а для других значительно выгоднее применить элементарные преобразования: Пример 5 Найти ранг матрицы Решение: первый способ как-то сразу отпадает =) Чуть выше я советовал не трогать столбцы матрицы, но когда есть нулевой столбец, либо пропорциональные/совпадающие столбцы, то всё же стОит провести ампутацию: (1) Пятый столбец нулевой, удалим его из матрицы. Таким образом, ранг матрицы не больше четырёх. Первую строку умножили на –1. Это ещё одна фирменная фишка метода Гаусса, превращающая следующее действие в приятную прогулку: (2) Ко всем строкам, начиная со второй, прибавили первую строку. (3) Первую строку умножили на –1, третью строку разделили на 2, четвёртую строку разделили на 3. К пятой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. (4) К пятой строке прибавили третью строку, умноженную на –2. (5) Последние две строки пропорциональны, пятую удаляем. В результате получено 4 строки. Ответ: Стандартная пятиэтажка для самостоятельного исследования: Пример 6 Найти ранг матрицы Краткое решение и ответ в конце урока. Следует отметить, что словосочетание «ранг матрицы» не так часто встретишь на практике, и в большинстве задач можно вообще обойтись без него. Но существует одно задание, где рассматриваемое понятие является главным действующим лицом, и в заключение статьи мы рассмотрим это практическое приложение: Как исследовать систему линейных уравнений на совместность? Нередко помимо решения системы линейных уравнений по условию предварительно требуется исследовать её на совместность, то есть доказать, что какое-либо решение вообще существует. Ключевую роль в такой проверке играет теорема Кронекера-Капелли, которую я сформулирую в необходимом виде: Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то система совместна, причём, если данное число совпадает с количеством неизвестных, то решение единственно. Таким образом, для исследования системы на совместность нужно проверить равенство , где – матрица системы (вспоминаем терминологию из урока Метод Гаусса), а – расширенная матрица системы (т.е. матрица с коэффициентами при переменных + столбец свободных членов). Всё просто: Пример 7 Исследовать систему на совместность и найти её решение, если система совместна А когда системы уже прорешаны – просто вдвойне… нет – втройне =) Решение: тем не менее, обратим внимание на строгую верхнюю строчку – по условию, в первую очередь, требуется проверить систему на совместность. Как начать решение? В любом случае записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим её к ступенчатому виду: а) Пример №1 статьи о методе исключения неизвестных: Элементарные преобразования не меняют ранга матриц, поэтому в результате выполненных действий получены эквивалентные исходным матрица системы и расширенная матрица системы . Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен трём. Здесь таковой минор в единственном экземпляре и совпадает он, понятно, с определителем самой матрицы: (см. урок о методах вычисления определителя) Следовательно, . Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы также равен трём: (взяты первые два столбца + столбец свободных членов). Таким образом, . Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна; и поскольку количество переменных ( – 3 шт.) совпадает с рангом, то система имеет единственное решение. Что дальше? Дальше следует непосредственно решить систему. Если по условию не предложен способ, то, конечно же, раскручиваем обратный ход метода Гаусса. Если требуется решить систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы, ну что поделать…. б) Пример №1 статьи о несовместных системах и системах с общим решением: В результате элементарных преобразований получена эквивалентная матрица системы и расширенная матрица системы . Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен двум, например: , поэтому Заметьте, что здесь есть возможность выбрать и другой минор 2-го порядка, но проще всего в качестве примера взять ступенчатый определитель. Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы равен трём, например: (первые два столбца + столбец свободных членов). Таким образом, Вывод: несовместна. . , значит, по теореме Кронекера-Капелли система Однако помните – если по условию не требуется исследовать систему на совместность, то вполне достаточно ограничиться стандартным ответом (см. решение вышеуказанного урока). в) Пример №3 той же статьи: В результате элементарных преобразований получена эквивалентная матрица системы и расширенная матрица системы . Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен двум, например: , следовательно, . Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы также равен двум, например: , поэтому Второй абзац можно полностью заменить хитрой лаконичной фразой: «по этой же причине ». Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Поскольку ранг меньше количества переменных ( – 4 шт.), то система имеет бесконечно много решений. Далее находим общее решение по стандартной схеме. Готово. Образец исследования системы на совместность также можно посмотреть в начале Примера №1 урока о нахождении различных базисных решений системы. …Всё-таки иногда удивительно обманываются ожидания – порой думаешь, что статья получится огромной, а она оказывается весьма компактной, а иногда, как сейчас – наоборот. Посмотрел статистику и жутко удивился добрым 20-ти тысячам символов. Поэтому всем высокого ранга и до скорых встреч! Решения и ответы: Пример 2: Решение: поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы. , значит, ранг матрицы не менее двух. Рассмотрим миноры 3-го порядка, при этом в них обязательно должен содержаться ненулевой минор . Таких миноров два: Максимальный порядок ненулевого минора равен двум. Ответ: Пример 4: Решение: с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. К 4-й строке прибавили 3-ю строку, умноженную на –2. (2) Вторая и 4-я строки одинаковы, 4-ю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. (3) Первую и третью строки поменяли местами. (4) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К 3-й строке прибавили первую строку, умноженную на –1. (5) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3. В результате получены 3 строки, значит, ранг матрицы равен 3. Ответ: Пример 6: Решение: ранг матрицы не превосходит минимальной размерности, то есть, трёх. В матрице есть ненулевые элементы, значит, ранг не менее единицы. Максимальный порядок ненулевого минора равен трём Ответ: Однородные системы линейных алгебраических уравнений В рамках уроков метод Гаусса и Несовместные системы/системы с общим решением мы рассматривали неоднородные системы линейных уравнений, где свободный член (который обычно находится справа) хотя бы одного из уравнений был отличен от нуля. И сейчас, после хорошей разминки с рангом матрицы, мы продолжим шлифовать технику элементарных преобразований на однородной системе линейных уравнений. По первым абзацам материал может показаться скучным и заурядным, однако данное впечатление обманчиво. Помимо дальнейшей отработки технических приёмов будет много новой информации, поэтому, пожалуйста, постарайтесь не пренебрегать примерами данной статьи. Что такое однородная система линейных уравнений? Ответ напрашивается сам собой. Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. Например: Совершенно ясно, что однородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение. И, прежде всего, в глаза бросается так называемое тривиальное решение . Тривиальное, для тех, кто совсем не понял смысл прилагательного, значит, беспонтовое. Не академично, конечно, но зато доходчиво =) …Чего ходить вокруг да около, давайте выясним, нет ли у данной системы каких-нибудь других решений: Пример 1 Решить однородную систему линейных уравнений Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система , и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно. Ответ: Сформулируем очевидный критерий: однородная система линейных уравнений имеет только тривиальное решение, если ранг матрицы системы (в данном случае 3) равен количеству переменных (в данном случае – 3 шт.). Разогреваемся и настраиваем свой радиоприёмник на волну элементарных преобразований: Пример 2 Решить однородную систему линейных уравнений Из статьи Как найти ранг матрицы? вспоминаем рациональный приём попутного уменьшения чисел матрицы. В противном случае вам придётся разделывать крупную, а частенько и кусачую рыбу. Примерный образец оформления задания в конце урока. Нули – это хорошо и удобно, однако на практике гораздо более распространен случай, когда строки матрицы системы линейно зависимы. И тогда неизбежно появление общего решения: Пример 3 Решить однородную систему линейных уравнений Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду. Первое действие направлено не только на получение единичного значения, но и на уменьшение чисел в первом столбце: (1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на –2. Слева вверху я получил единицу с «минусом», что зачастую намного удобнее для дальнейших преобразований. (2) Первые две строки одинаковы, одну из них удалили. Честное слово, не подгонял решение – так получилось. Если выполнять преобразования шаблонно, то линейная зависимость строк обнаружилась бы чуть позже. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3. (4) У первой строки сменили знак. В результате элементарных преобразований получена эквивалентная система: Алгоритм работает точно так же, как и для неоднородных систем. Переменные , «сидящие на ступеньках» – главные, переменная которой не досталось «ступеньки» – свободная. , Выразим базисные переменные через свободную переменную: Ответ: общее решение: Тривиальное решение входит в общую формулу, и записывать его отдельно излишне. Проверка выполняется тоже по обычной схеме: полученное общее решение необходимо подставить в левую часть каждого уравнения системы и получить законный ноль при всех подстановках. На этом можно было бы тихо-мирно закончить, но решение однородной системы уравнений часто требуется представить в векторной форме с помощью фундаментальной системы решений. Пожалуйста, временно забудьте об аналитической геометрии, поскольку сейчас речь пойдёт о векторах в алгебраическом смысле, который я немного приоткрыл в статье про ранг матрицы и окончательно расписал на уроке о линейных преобразованиях. Терминологии тушеваться не нужно, всё довольно просто: Фундаментальная система решений однородной системы уравнений Фундаментальная система решений – это множество линейно независимых векторов , каждый из которых является решением однородной системы, кроме того, решением также является линейная комбинация данных векторов произвольные действительные числа. Количество векторов формуле: , где фундаментальной системы рассчитывается по – Однако в практических заданиях гораздо удобнее ориентироваться на следующий признак: количество векторов фундаментальной системы равно количеству свободных неизвестных. Представим общее решение Примера №3 в векторной форме. Свободная переменная в данном случае одна, поэтому фундаментальная система решений состоит из единственного вектора . Как его найти? Для этого свободной переменной нужно придать произвольное ненулевое значение. Проще всего, конечно же, выбрать получить: и . Координаты вектора должны удовлетворять каждому уравнению системы, и будет не лишним в этом убедиться. Ответ следует записать в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы. В нашей ситуации линейная комбинация состоит из одинокого слагаемого. Общее решение однородной системы я буду обозначать через вектор Однородной»). (подстрочный индекс расшифровывается «Общее Ответ: общее решение: вещественное число) Придавая параметру , где (любое различные действительные значения, можно получить бесконечно много частных решений, например, если , то вектор частного решения однородного уравнения («Частное Однородной») равен: , то есть набор переменных системы. удовлетворяет каждому уравнению Это мы рассмотрели традиционный способ построения фундаментальной системы в так называемом нормальном виде – когда свободным переменным придаются исключительно единичные значения. Но правила хорошего математического тона предписывают избавляться от дробей, если это возможно. Поэтому в данном случае можно взять системы и из общего решения получить вектор с целыми координатами: И тогда ответ запишется в эквивалентной форме: , где (любое вещественное число) Оба варианта ответа правильны, однако чайникам я всё-таки рекомендую классику жанра. Поблагодарим задачник Рябушко за предоставленные примеры и перейдём к более основательным системам: Пример 4 Решить однородную систему линейных уравнений Ответ записать с помощью фундаментальной системы решений Самостоятельно, plz. Примерный образец оформления в конце урока. Закинем в копилку знаний ещё один полезный факт: Взаимосвязь решений неоднородной и соответствующей однородной системы уравнений Представьте двух близких родственниц: неоднородную систему (у которой хотя бы одно число правой части отлично от нуля) и такую же систему – только справа одни нули (то бишь, однородную систему). Нетрудно предположить, что если системы отличаются лишь столбцом свободных членов, то между их решениями должна существовать тесная связь. И это действительно так! Материал целесообразнее рассмотреть на конкретной задаче, которая, как и все другие, взята из реальной контрольной работы: Пример 5 Дана система линейных алгебраических уравнений Требуется: 1) найти общее решение; 2) используя результат предыдущего пункта, найти общее решение соответствующей однородной системы и записать его в векторной форме. Решение: по условию дана обычная неоднородная система уравнений, и первая часть не отличается новизной: 1) Запишем расширенную матрицу системы (не зеваем нолик в третьей строке) и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. К четвёртой строке прибавили первую строку, умноженную на –4. (2) Последние три строки одинаковы, две из них удалили. Обратным ходом метода Гаусса получим общее решение: – базисные переменные; – свободные переменные. Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения: – подставим в 1-е уравнение: Общее решение неоднородной системы обозначим через Неоднородной»). («Общее Ответ: 2) Во второй части задания требуется найти общее решение такой же, только однородной системы , причём по условию необходимо использовать ответ предыдущего пункта. Выполнять элементарные преобразования заново, разумеется, не нужно. Правило: общее решение неоднородной системы решения соответствующей однородной системы решения неоднородной системы равно сумме общего и какого-либо частного : Откуда легко выражается общее решение нашей однородной системы: Найдём какое-нибудь частное решение неоднородной системы. Проще всего взять нулевые значения свободных переменных : Таким образом, общее решение соответствующей однородной системы: Представим в векторной форме. Поскольку у нас две свободные переменные, то фундаментальная система решений будет состоять из двух векторов. Пойдём классическим путём: Рассмотрим пару значений свободных переменных первый вектор: и получим – координаты данного вектора удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (всегда желательна проверка!). Теперь рассматриваем пару и получаем второй вектор: – координаты данного вектора также удовлетворяют каждому уравнению однородной системы (тоже проверяем!). И вообще – любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы , где – произвольные действительные числа, является решением данной системы: Ответ: , где Иными словами, если взять два любых вещественных числа, например, системы: , то получится вектор частного решения однородной , то есть набор однородной системы. удовлетворяет каждому уравнению Если хотите избежать дробей, то при нахождении вектора выбрать значения следует и получить второй вектор в виде: В этом случае ответ запишется в эквивалентной форме: , где Порядком многих я, наверное, подзапутал, но коль скоро задание не придумано, то его нельзя было обойти стороной. Более распространённая тема для самостоятельного решения: Пример 6 Дана однородная система Найти общее решение и записать ответ с помощью векторов фундаментальной системы. В образце решения завершающим элементарным преобразованием я уже потихоньку начинаю приобщать вас к методу Гаусса-Жордана. Чтобы окончательно закрепить алгоритм, разберём финальное задание: Пример 7 Решить однородную систему, ответ записать в векторной форме. Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) У первой строки сменили знак. Ещё раз заостряю внимание на неоднократно встречавшемся приёме, который позволяет существенно упростить следующее действие. (1) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. К 4-й строке прибавили первую строку, умноженную на 2. (3) Последние три строки пропорциональны, две из них удалили. В результате получена стандартная ступенчатая матрица, и решение продолжается по накатанной колее: – базисные переменные; – свободные переменные. Выразим базисные переменные через свободные переменные. Из 2-го уравнения: – подставим в 1-е уравнение: Таким образом, общее решение: Поскольку в рассматриваемом примере три свободные переменные, то фундаментальная система содержит три вектора. Подставим тройку значений в общее решение и получим вектор , координаты которого удовлетворяют каждому уравнению однородной системы. И снова повторюсь, что крайне желательно проверять каждый полученный вектор – времени займет не так много, а от ошибок убережёт стопроцентно. Для тройки значений И, наконец, для тройки находим вектор получаем третий вектор: Ответ: , где Желающие избежать дробных значений могут рассмотреть тройки и получить ответ в эквивалентном виде: К слову о дробях. Посмотрим на полученную в задаче матрицу и зададимся вопросом – нельзя ли упростить дальнейшее решение? Ведь здесь мы сначала выразили через дроби базисную переменную , потом через дроби базисную переменную процесс это был не самый простой и не самый приятный. , и, надо сказать, Второй вариант решения: Идея состоит в том, чтобы попытаться выбрать другие базисные переменные. Посмотрим на матрицу и заметим две единицы в третьем столбце. Так почему бы не получить ноль вверху? Проведём ещё одно элементарное преобразование: (4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. Здесь базисные переменные через свободные переменные легко и практически мгновенно выражаются : По существу, мы применили метод Гаусса-Жордана, который как раз и направлен на скорейшее получение базисного решения посредством дополнительных элементарных преобразований. В результате общее решение: Последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных тройки и подстановкой их в получаем соответствующие векторы фундаментальной системы: Не забываем проверить координаты каждого вектора! Ответ: общее решение: , где – действительные числа. Как видите, второй способ гораздо проще и рациональнее, но для подобных изысков, конечно, необходимо обладать некоторым опытом. Надеюсь, данная статья окончательно развеяла все страхи перед векторами, и теперь вы с огромным удовольствием откроете учебник по линейной алгебре, чтобы изучить теорию векторных пространств, линейных преобразований и другие не менее интересные вещи. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавили первую строку. (3) У первой строки сменили знак. Ко второй строке прибавили третью строку, умноженную на 3. (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. (5) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 21. Ранг матрицы системы равен количеству переменных, значит, система имеет только тривиальное решение. Ответ: Пример 4: Решение: запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем её ступенчатому виду: (1) У третьей строки сменили знак и переместили её на 1-е место. (2) Ко 2-й и 4-й строкам прибавили первую строку, умноженную на 2 и 5 соответственно. (3) Вторую строку разделили на –5, 4-ю строку разделили на –17. (4) Вторая и 4-я строки одинаковы, последнюю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 4. – базисные переменные; – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную переменную. Из последних двух уравнений: – подставим в первое уравнение: Таким образом, общее решение: Найдем вектор фундаментальной системы решений. Для этого выберем в качестве значения свободной неизвестной : Ответ: общее решение однородной системы уравнений: , где (любое действительное число). Пример 6: Решение: Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) К первой строке прибавили третью строку, умноженную на –1. (2) Ко второй, третьей и четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 5, 4 и 5 соответственно. (3) Последние три строки пропорциональны, достаточно оставить только одну из них. У первой строки сменили знак. (4) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. – базисные переменные; – свободные переменные. Выразим базисные переменные через свободные переменные: Таким образом, общее решение: . Найдем векторы фундаментальной системы решений. Для этого последовательно выбираем в качестве значений свободных неизвестных следующие пары: и Ответ: общее решение: – произвольные действительные числа. : , где Метод Гаусса-Жордана. Как найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований? Однажды немецкий математик Вильгельм Йордан (мы неверно транскрибируем с немецкого Jordan как Жордан) сел решать очередную систему уравнений. Он любил этим заниматься и в свободное время совершенствовал свои навыки. Но вот настал момент, когда ему наскучили все методы решения и метод Гаусса в том числе... Предположим, дана система с тремя уравнениями, тремя неизвестными и записана её расширенная матрица . В наиболее распространенном случае получаются стандартные ступеньки , и так каждый день…. Одно и то же – как беспросветный ноябрьский дождь. На некоторое время развевает тоску другой способ приведения матрицы к ступенчатому виду: , причём он совершенно равноценен и может быть неудобен только по причине субъективного восприятия. Но всё рано или поздно приедается…. И подумал тогда Жордан – а зачем вообще мучиться с обратным ходом гауссовского алгоритма? Не проще ли сразу получить ответ с помощью дополнительных элементарных преобразований? …да, такое бывает только по любви =) Для освоения данного урока «чайникам» придётся пойти путём Жордана и прокачать элементарные преобразования хотя бы среднего уровня, прорешав, минимум, 15-20 соответствующих заданий. Поэтому если вы смутно понимаете, о чём идёт разговор и/или у вас возникнет недопонимание чего-либо по ходу занятия, то рекомендую ознакомиться с темой в следующем порядке: Метод Гаусса для чайников; Несовместные системы и системы с общим решением; Ранг матрицы; Однородные системы. Ну, и совсем замечательно, если отработано понижение порядка определителя. Как все поняли, метод Гаусса-Жордана представляет собой модификацию метода Гаусса и с реализацией основной, уже озвученной выше идеи, мы встретимся на ближайших экранах. Кроме того, в число немногочисленных примеров данной статьи вошло важнейшее приложение – нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Не мудрствуя лукаво: Пример 1 Решить систему методом Гаусса-Жордана Решение: это первое задание урока Метод Гаусса для чайников, где мы 5 раз трансформировали расширенную матрицу системы и привели её к ступенчатому виду: Теперь вместо обратного хода в игру вступают дополнительные элементарные преобразования. Сначала нам необходимо получить нули на этих местах: , а потом ещё один ноль вот здесь: . Идеальный с точки зрения простоты случай: (6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку. (7) К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –2. Не могу удержаться от иллюстрации итоговой системы: Ответ: Предостерегаю читателей от шапкозакидательского настроения – это был простейший демонстрационный пример. Для метода Гаусса-Жордана характерны свои специфические приёмы и не самые удобные вычисления, поэтому, пожалуйста, настройтесь на серьёзную работу. Не хочу показаться категоричным или придирчивым, но в подавляющем большинстве источников информации, которые я видел, типовые задачи рассмотрены крайне плохо – нужно обладать семью пядями во лбу и потратить массу времени/нервов на тяжёлое неуклюжее решение с дробями. За годы практики мне удалось отшлифовать, не скажу, что самую лучшую, но рациональную и достаточно лёгкую методику, которая доступна всем, кто владеет арифметическими действиями: Пример 2 Решить систему линейных уравнений методом Гаусса-Жордана. Решение: первая часть задания хорошо знакома: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –1. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 3. К четвертой строке прибавили первую строку, умноженную на –5. (2) Вторую строку разделили на 2, третью строку разделили на 11, четвёртую строку разделили на 3. (3) Вторая и третья строки пропорциональны, 3-ю строку удалили. К четвёртой строке прибавили вторую строку, умноженную на –7 (4) Третью строку разделили на 2. Очевидно, что система имеет бесконечно много решений, и наша задача – привести её расширенную матрицу к виду . Как действовать дальше? Прежде всего, следует отметить, что мы лишились вкусного элементарного преобразования – перестановки строк. Точнее говоря, переставить-то их можно, но в этом нет смысла (просто выполним лишние действия). И далее целесообразно придерживаться следующего шаблона: Находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –1 и 3), т.е. – наименьшее число, которое бы делилось без остатка и на 1, и на –1 и на 3. В данном случае, это, конечно же, «тройка». Теперь в третьем столбце нам нужно получить одинаковые по модулю числа, и этими соображениями обусловлено 5-е преобразование матрицы: (5) Первую строку умножаем на –3, вторую строку умножаем на 3. Вообще говоря, первую строку можно было умножить тоже на 3, но это было бы менее удобно для следующего действия. К хорошему привыкаешь быстро: (6) Ко второй строке прибавили третью строку. К первой строке прибавили третью строку. (7) Во втором столбце два ненулевых значения (24 и 6) и нам снова нужно получить одинаковые по модулю числа. В данном случае всё сложилось довольно удачно – наименьшее кратное 24, и эффективнее всего умножить вторую строку на –4. (8) К первой строке прибавили вторую. (9) Заключительный штрих: первую строку разделили на –3, вторую строку разделили на –24 и третью строку разделили на 3. Это действие выполняется В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ! Никаких преждевременных дробей! В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система: Элементарно выражаем базисные переменные через свободную: и записываем: Ответ: общее решение: В подобных примерах применение рассмотренного алгоритма чаще всего оправдано, поскольку обратный ход метода Гаусса обычно требует трудоёмких и неприятных вычислений с дробями. И, разумеется, крайне желательна проверка, которая выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке Несовместные системы и системы с общим решением. Для самостоятельного решения: Пример 3 Найти базисное решение с помощью элементарных преобразований Такая формулировка задачи предполагает использование метода ГауссаЖордана, и в образце решения матрица приводится к стандартному виду с базисными переменными . Однако всегда держите на заметке, что в качестве базисных можно выбрать и другие переменные. Так, например, если в первом столбце громоздкие числа, то вполне допустимо привести матрицу к виду переменные ), или к виду переменные ), или даже к виду переменными (базисные (базисные с базисными . Существуют и другие варианты. Но всё-таки это крайние случаи – не стОит лишний раз шокировать преподавателей своими знаниями, техникой решения и уж тем более не надо выдавать экзотических жордановсих результатов вроде . Впрочем, бывает трудно удержаться от нетипового базиса, когда в исходной матрице, скажем, в 4-м столбце есть два готовых нуля. Примечание: термин «базис» имеет алгебраический смысл и понятие геометрического базиса здесь ни при чём! Если в расширенной матрице данных размеров вдруг обнаруживается пара линейно зависимых строк, то её следует попытаться привести к привычному виду с базисными переменными . Образец такого решения есть в Примере №7 статьи об однородных системах линейных уравнений, причём там выбран другой базис. Продолжаем совершенствовать свои навыки на следующей прикладной задаче: Как найти обратную матрицу методом Гаусса? Обычно условие формулируют сокращённо, но, по существу, здесь также работает алгоритм Гаусса-Жордана. Более простой метод нахождения обратной матрицы для квадратной матрицы мы давнымдавно рассмотрели на соответствующем уроке, и суровой поздней осенью тёртые студенты осваивают мастерский способ решения. Краткое содержание предстоящих действий таково: сначала следует записать квадратную матрицу в тандеме с единичной матрицей: . Затем с помощью элементарных преобразований необходимо получить единичную матрицу слева, при этом (не вдаваясь в теоретические подробности) справа нарисуется обратная матрица. Схематически решение выглядит следующим образом: (Понятно, что обратная матрица должна существовать) Демо-пример 4 Найдём обратную матрицу для матрицы с помощью элементарных преобразований. Для этого запишем её в одной упряжке с единичной матрицей, и понеслась «двойка скакунов»: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3. (2) К первой строке прибавили вторую строку. (3) Вторую строку разделили на –2. Ответ: Сверьтесь с ответом первого примера урока Как найти обратную матрицу? Но то была очередная заманивающая задачка – в действительности решение гораздо более длительно и кропотливо. Как правило, вам будет предложена матрица «три на три»: Пример 5 Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований Решение: присоединяем единичную матрицу и начинаем выполнять преобразования, придерживаясь алгоритма «обычного» метода Гаусса: (1) Первую и третью строки поменяли местами. На первый взгляд, перестановка строк кажется нелегальной, но на самом деле переставлять их можно – ведь по итогу слева нам нужно получить единичную матрицу, а справа же «принудительно» получится именно матрица (вне зависимости от того будем ли мы переставлять строки в ходе решения или нет). Обратите внимание, что здесь вместо перестановки можно организовать «шестёрки» в 1-м столбце (наименьшее общее кратное (НОК) чисел 3, 2 и 1). Решение через НОК особенно удобно, когда в первом столбце отсутствуют «единицы». (2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили 1-ю строку, умноженную на –2 и –3 соответственно. (3) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –1 Вторая часть решения проводится по уже известной из предыдущего параграфа схеме: перестановки строк становятся бессмысленными, и мы находим наименьшее общее кратное чисел третьего столбца (1, –5, 4): 20. Существует строгий алгоритм нахождения НОК, но здесь обычно хватает подбора. Ничего страшного, если взять бОльшее число, которое делится и на 1, и на –5, и на 4, например, число 40. Отличие будет в более громоздких вычислениях. К слову о вычислениях. Для решения задачи совсем не зазорно вооружиться микрокалькулятором – числа здесь фигурируют немалые, и будет очень обидно допустить вычислительную ошибку. Итак: (4) Третью строку умножаем на 5, вторую строку на 4, первую строку на «минус двадцать»: (5) К 1-й и 2-й строкам прибавили третью строку. (6) Первую и третью строки разделили на 5, вторую строку умножили на –1. (7) Наименьшее общее кратное ненулевых чисел второго столбца (–20 и 44) равно 220. Первую строку умножаем на 11, вторую строку – на 5. (8) К первой строке прибавили вторую строку. (9) Первую строку умножили на –1, вторую строку разделили «обратно» на 5. (10) Теперь на главной диагонали левой матрицы целесообразно получить наименьшее общее кратное чисел диагонали (44, 44 и 4). Совершенно понятно, что это число 44. Третью строку умножаем на 11. (11) Каждую строку делим на 44. Данное действие выполняется в последнюю очередь! Таким образом, обратная матрица: Внесение и вынесение -й, в принципе, лишние действия, но того требует протокол оформления задачи. Ответ: Проверка выполняется по обычной схеме, рассмотренной на уроке об обратной матрице. Продвинутые люди могут несколько сократить решение, но должен предупредить, спешка тут чревата ПОВЫШЕННЫМ риском допустить ошибку. Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример 6 Найти обратную матрицу методом Гаусса-Жордана. Примерный образец оформления задачи внизу страницы. И ради того, чтобы вы «не проехали мимо с песнями» я оформил решение в уже упомянутом стиле – исключительно через НОК столбцов без единой перестановки строк и дополнительных искусственных преобразований. По моему мнению, эта схема – если и не самая, то одна из самых надёжных. Иногда бывает удобно более короткое «модернистское» решение, которое заключается в следующем: на первом шаге всё как обычно: . На втором шаге накатанным приёмом (через НОК чисел 2-го столбца) организуются сразу два нуля во втором столбце: . Перед данным действием особенно трудно устоять, если во 2-м столбце нарисовались одинаковые по модулю числа, например, те же банальные «единицы». И, наконец, на третьем шаге точно так же получаем нужные нули в третьем столбце: . Живой пример авангарда можно посмотреть во втором задании урока о решении системы в различных базисах. Что касается размерности, то в большинстве случаев приходится разруливать матрицу «три на три». Однако время от времени встречается лайт-версия задачи с матрицей «два на два» и хард… – специально для всех читателей mathprofi.ru: Пример 7 Найти обратную матрицу с помощью элементарных преобразований Это задание из моей собственной физматовской контрольной работы по алгебре, …эх, где мой первый курс =) Пятнадцать лет назад (листочек на удивление ещё не пожелтел), я уложился в 8 шагов, а сейчас – всего лишь в 6! Матрица, кстати, весьма творческая – на первом же шаге просматривается несколько заманчивых путей решения. Моя поздняя версия внизу страницы. И заключительный совет – после таких примеров очень полезна гимнастика для глаз и какая-нибудь хорошая музыка для релаксации =) Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 3: Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований получим базисное решение: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на 5. (3) Третью строку разделили на 3. (4) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 2. (5) Третью строку разделили на 7. (6) Наименьшее кратное чисел 3-го столбца (–3, 5, 1) равно 15. Первую строку умножили на 5, вторую строку умножили на –3, третью строку умножили на 15. (7) К первой строке прибавили 3-ю строку. Ко второй строке прибавили 3-ю строку. (8) Первую строку разделили на 5, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на 15. (9) Наименьшее кратное ненулевых чисел 2-го столбца (–2 и 1) равно: 2. Вторую строку умножили на 2 (10) К первой строке прибавили вторую строку. (11) Вторую строку разделили на 2. Выразим базисные переменные через свободные переменные : Ответ: общее решение: Пример 6: Решение: обратную матрицу найдём с помощью элементарных преобразований: (1) Первую строку умножили на –15, вторую строку умножили на 3, третью строку умножили на 5. (2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку. (3) Первую строку разделили на –15, вторую строку разделили на –3, третью строку разделили на –5. (4) Вторую строку умножили на 7, третью строку умножили на –9. (5) К третьей строке прибавили вторую строку. (6) Вторую строку разделили на 7. (7) Первую строку умножили на 27, вторую строку умножили на 6, третью строку умножили на –4. (8) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (9) Третью строку разделили на –4. К первой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1. (10) Вторую строку разделили на 2. (11) Каждую строку разделили на 27. В результате: Ответ: Пример 7: Решение: найдём обратную матрицу методом Гаусса-Жордана: (1) К 1-й и 4-й строкам прибавили 3-ю строку. (2) Первую и четвёртую строки поменяли местами. (3) Ко 2-й строке прибавили 1-ю строку. К 3-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на 2: (4) К 3-й строке прибавили 2-ю строку, умноженную на –2. К 4-й строке прибавили 2-ю строку. (5) К 1-й и 3-й строкам прибавили 4-ю строку, умноженную на –1. (6) Вторую строку умножили на –1, третью строку разделили на –2. Ответ: Решение системы при различных способах выбора базиса Представляю вашему вниманию заключительную статью по теме решения систем линейных уравнений. Материал предназначен для читателей, владеющих техникой элементарных преобразований на среднем и высоком уровне. Чайникам рекомендую начать с урока метод Гаусса для чайников =), ну а остальным, как людям опытным, предлагаю непосредственно перейти к обсуждению задачи. Рассмотрим некоторую систему линейных уравнений с пятью неизвестными . Можно было взять мЕньшее количество переменных, можно бОльшее, суть не в этом. Предположим, данная система совместна и имеет общее решение, в котором базисные переменные выражаются через свободные переменные . Ответим на вопрос, который зародился ещё на уроке Несовместные системы/системы с общим решением и окончательно созрел к занятию Метод Гаусса-Жордана: А почему, собственно, в роли базисных переменных должны выступать именно набор ? Нельзя ли в качестве базиса выбрать, например, ? Действительно, чем хуже «обычных» ? Примечание: здесь и далее термин «базис» используется в общем алгебраическом смысле, пожалуйста, не ассоциируйте его с аффинным базисом плоскости или пространства. В данном примере любые три переменные из списка выступать в качестве базисных переменных. могут И сегодня мы узнаем, как находить решение системы в различных базисах: Пример 1 Исследовать систему линейных уравнений на совместность. В случае совместности найти её решение при различных способах выбора базиса. Решение: надо сказать, задачка не внушает оптимизма, велика вероятность, что система совместна и нам придётся ворочать базисы. Ещё бы – вряд ли в таком контексте условия студент отделается несовместностью системы или единственным решением =) Но, так или иначе, первая часть предполагает исследование на совместность, которое проводится по типовой схеме с использованием теоремы КронекераКапелли. Спросите, зачем тут втиснулось исследование? Я взял пример из конкретной контрольной работы и решил не убирать первую часть (хотя мог бы), поскольку реализм на данном сайте ценится очень высоко. Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Первую и вторую строки поменяли местами. (2) Ко второй, третьей, четвертой строкам прибавили первую строку, умноженную на 2, –3 и –2 соответственно. (3) Ко второй строке прибавили четвертую строку. (4) К третьей и четвертой строкам прибавили вторую строку, умноженную на 5 и 2 соответственно. (5) Третья и четвертая строки пропорциональны, третью строку удаляем. У последней строки меняем знак. Если не очень понятны какие-нибудь моменты в преобразованиях, то, пожалуйста, отработайте метод Гаусса, благо, примеров я разобрал достаточно много. Проверка системы на совместность оформляется по шаблону, рассмотренному в последнем параграфе статьи о ранге матрицы: В результате элементарных преобразований получены эквивалентная исходным матрица системы и расширенная матрица системы . Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен 3, например , следовательно, По этой же причине . . Вывод: совместна. , значит, по теореме Кронекера-Капелли система Элементарные образования приблизили нас к наиболее традиционному выбору: – базисные переменные; – свободная переменная. Обратный ход метода Гаусса работает без всяких чудес. Из третьего уравнения: – подставим во второе уравнение: Подставим и Общее решение системы в базисе виде в первое уравнение: можно записать в привычном , но в целях выполнения дальнейших действий его удобнее оформить так: Запись обозначает, что свободная переменная принимает произвольные действительные значения, порождая тем самым бесконечно много частных решений. Выполним стандартную проверку – подставим результат в левую часть каждого уравнения исходной системы: Получены правые части соответствующих уравнений, таким образом, общее решение найдено верно. Саму систему лучше переписать в тетрадь или распечатать – чтобы посматривать на неё в ходе последующих проверок. По условию задачи требуется найти решение системы при различных (читай – при всех!) способах выбора базисных переменных. Помимо набора возможны следующие варианты: Других сочетаний нет. Не сказать, что задание сильно короткое, но с другой стороны в депрессию тоже не загонит. Начинаем путешествие: В построенном базисе свободных ( переведём неизвестную соответственно станет базисной). Переменная в разряд содержится в третьей строке полученного решения выразить Подставим через , поэтому нужно взять эту строку и : в оставшиеся выражения: И, соблюдая порядок переменных, запишем решение системы в базисе Для самоконтроля удостоверимся, что в правых частях находятся только свободные переменные (в нашем случае ) и константы. Запись обозначает, что свободная переменная принимает произвольные действительные значения. Общее решение также можно оформить и в обычном виде: . Понимаю, что неохота, но проходим таможенный контроль: Проверка: подставим найдённое решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены соответствующие правые части уравнений, что и требовалось проверить. Осуществим переход к следующему базисному решению: Поскольку переменная решения становится свободной, то из второй строчки текущего нужно выразить: – и подставить в оставшиеся выражения (первую и четвертую строки): Таким образом, решение системы в базисе : И снова окидываем результат взглядом – справа у нас должна находиться только свободная переменная и константы. Проверка: подставим результат в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, значит, решение найдено верно. Каждый раз проверку, конечно, можете и не выполнять, но тут есть одно большое и жирное НО В рассматриваемом задании часто ошибаются по невнимательности, поэтому настоятельно рекомендую проверять решение на каждом шаге – ведь если пропустить ошибку, всё остальное тоже будет неправильно. Ещё одним аргументом выступает сам естественнонаучный принцип: любое утверждение должно быть обосновано и/или доказано. Проверка реальна? Обязательно проверяем! Кстати, не такой плохой принцип и во многих жизненных ситуациях. Завершая задание, найдём решение системы в 4-м базисе. Осуществим переход: Переменные решения и меняются ролями, а значит, из первой строки текущего следует выразить: – подставим в оставшиеся выражения (3-ю и 4-ю строки): Записываем общее решение системы в базисе : Проверка: подставим найденное решение в левую часть каждого уравнения системы: ОК. Желающие могут замкнуть кругосветный круиз переходом решение. , получив тем самым первоначальное В соответствии с условием задачи оформляем резюме: Ответ: система совместна, решение системы при различных способах выбора базиса: Если в системе с четырьмя неизвестными базис состоит из двух переменных (например, – базисные переменные, – свободные переменные), то переход от одного решения к другому решению следует осуществлять по тому же алгоритму, и он даже запишется несколько компактнее, чем в разобранной задаче. Правда, самих базисов будет больше: Количество базисов системы с переменными, из которых образуют базис, можно подсчитать с помощью комбинаторной формулы количества сочетаний . Так, в условном примере начала урока с системой, содержащей пять неизвестных , три из которых образуют базис, будет уже 10 различных базисных решений. Однако на практике я не встречал ни того, ни другого случая, видимо, связка 4 переменные – 3 базисные переменные является наиболее разумной с точки зрения объёма работы. Такое тоже не встречалось, но на всякий пожарный: что делать, если по условию требуется найти конкретный базис, например, решение с базисными переменными и свободной переменной ? При необходимости найти этот базис сразу выручит только метод ГауссаЖордана, и ваша цель – привести расширенную матрицу системы к виду . Если же автор задачи не торопит вас с ответом, то кроме первого способа, годится и второй, более длинный путь: получаем «традиционное» решение и «без посредников» осуществляем переход к нужному базису: . Очевидно, что путешествовать от базиса к базису можно по разным маршрутам и решение следующей системы служит наглядной иллюстрацией данного факта: Пример 2 Найти решение системы линейных уравнений при различных способах выбора базиса В образце первое базисное решение получено методом Гаусса-Жордана, который здесь более выгоден, чем обратный ход метода Гаусса. В предложенной системе перебор базисных решений проведён в следующем порядке: Более стандартна последовательность первого примера, но данный вопрос не принципиален, и для закрепления алгоритма рекомендую попытаться провести решение по альтернативному маршруту, который Птицей счастья завтрашнего дня появляется на экранах ваших мониторов. Постарайтесь выполнить задание самостоятельно! Решение: запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду: (1) Ко второй и третьей строкам прибавили первую строку, умноженную на –2 и –3 соответственно. (2) Вторую строку разделили на 3, у третьей строки сменили знак. (3) К первой и третьей строкам прибавили вторую строку. (4) Первую строку разделили на 3, третью строку разделили на 4. (5) Ко второй строке прибавили третью строку (6) У второй строки сменили знак. Таким образом, решение системы в базисе : Проверка: подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, что и требовалось проверить. Найдем решение в базисе . Переменная переходит в разряд свободных, поэтому из первой строки текущего решения выразим: – подставим во вторую и третью строки: В результате, решение в базисе : Проверка: подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Получены правые части соответствующих уравнений, значит, решение найдено правильно. Осуществим переход к базису . Переменная перейдёт в разряд свободных, поэтому из 2-й строки текущего решения выразим: – подставим в третью и четвертую строки: Таким образом, решение в базисе : Проверка: Подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. Перейдём к базису . Переменная уходит в разряд свободных, поэтому из 3-й строки текущего решения выразим: – подставим в 1-ю и 4-ю строки: Решение в базисе : Проверка: Подставим данное решение в левую часть каждого уравнения системы: Полученное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. Ответ: решение системы при различных способах выбора базиса: Линейные преобразования для «чайников» На двух ближайших уроках я вкратце расскажу вам ещё об одном разделе высшей алгебры, который касается линейных преобразований… и тут сразу, заметьте, напрашивается добавить «преобразований чего-то». Тема обширная, тема интересная, и моя скромная задача состоит в том, чтобы в доступной форме донести до читателя её основы. В этой связи статья будет посвящена не только абстрактным алгебраическим вопросам, но и наполнена богатым геометрическим содержанием. Кроме того, сегодня мы обобщим такое важное понятие как вектор, имеющий к сему содержанию лишь частное отношение. Есть ли среди вас начинающие изучать высшую математику? …хотя, чего тут спрашивать, конечно же, есть… – не смогли ведь пройти мимо заголовка! …Ну вот вы мне и попались, голубчики =) Для эффективного изучения материала нужно знать основы алгебры, аналитической геометрии, а также уметь выполнять действия с матрицами. На самом деле всё довольно просто, но если у вас возникнут вопросы (или уже встретился какой-то непонятный термин), то, пожалуйста, воспользуйтесь ссылками. Обобщение понятия вектора. Векторное пространство Ожидание казни хуже самой казни и поэтому лучше сразу почувствовать леденящий холодок настоящей алгебры =) Начнём с обещанного разбора полётов, а именно с понятия вектора. Давайте вспомним, что мы о нём знаем. Палочка со стрелочкой, знакомая ещё из школы. В высшей математике эта палочка «поднялась» до свободного вектора плоскости и пространства. Хорошо…. Далее слово «вектор» встретилось нам в ходе изучения матриц. Так, например, матрицу «один на два» мы называем вектором- строкой, а матрицу «три на один» – вектором-столбцом. Это векторы? Да, это векторы! Причём эти векторы сами по себе не имеют никакого отношения к геометрии. В своих статьях по алгебре я неоднократно оговаривался, что «данный вектор нужно понимать в алгебраическом смысле» и на уроке о ранге матрицы привёл краткую теоретическую справку по этому поводу: вектор – это упорядоченный набор чисел (обычно действительных)… и далее по тексту. А вот это уже более близко к истине: здесь, скажем, двумерный вектор понимается именно как упорядоченная пара чисел, которую, в частности можно интерпретировать, как координаты геометрического вектора. Или как решение системы линейных уравнений (см., например, статью об однородных системах). Или ещё какнибудь. Но и это частность! На самом деле в определённом контексте векторами являются матрицы, многочлены, функции и т.д. …и даже наши «обычные» действительные числа! А почему нет? Пожалуйста: множество векторов (никаких геометрических ассоциаций!), имеющих в наборе одно действительное число . Так что же такое вектор? Что объединяет все эти случаи? Предположим, что для всех элементов некоторого множества определены операции их сложения и умножения на скаляр , причём результаты этих операций (полученные элементы) тоже принадлежат данному множеству. Если при этом выполнены следующие восемь аксиом (см. по ссылке), то рассматриваемые элементы называются векторами (никаких ассоциаций!!), а всё их множество – векторным или линейным пространством Обратите внимание на обозначения: абстрактный вектор чаще всего записывают жирной буквой – чтобы не возникало путаницы с различными «конкретными» векторами. Для векторного пространства стандартно используется буква . Итак, какие бы «частные семейства» векторов мы ни взяли (геометрические, матричные, строковые и т.д.) – для каждой из этих алгебраических структур справедливо следующее: – все элементы рассматриваемого множества можно складывать и умножать на скаляр (далее работаем с действительными числами), причём результаты этих операций тоже принадлежат данному множеству. – для операций сложения и умножения выполнены аксиомы векторного пространства. И здесь следует отметить, что термины «сложение» и «умножение» тоже носят общий символический смысл – в зависимости от природы того или иного векторного пространства эти операции определяются по-разному. В курсе линейной алгебры проводится скрупулезная проверка различных множеств на предмет того, образуют ли они линейное пространство. И если удастся определить сложение и умножение на скаляр медведей на велосипеде и доказать для данных операций выполнение указанных 8 аксиом, то векторами будут и эти объекты =) А теперь к основной теме урока: Что такое линейное преобразование? Если в линейном пространстве каждому вектору по некоторому правилу поставлен в соответствие вектор этого же пространства, то говорят, что в данном пространстве задана векторная функция векторного аргумента: (во избежание разночтений с другими математическими записями скобки нередко опускают: ). Данная функция называется линейным преобразованием, если для неё выполнены пресловутые свойства линейности, с которыми вы ещё не раз столкнётесь в ходе изучения высшей математики: , , где – произвольные векторы данного пространства, а действительное число. – Линейное преобразование также называют линейным оператором. Следующий пример оброс не только бородой, но и волосами на спине: рассмотрим линейное пространство векторов-строк вида ,в котором определены операция сложения и умножения вектора на число . Никакой геометрии!!! – то, что я сформулировал в статье о ранге матрицы, называется -мерным арифметическим векторным пространством, и сейчас мы имеем дело с частным арифметическим пространством размерности 2. Докажем, что функция векторного аргумента является линейным преобразованием. Доказательство состоит в проверке свойств линейности: Здесь мы воспользовались дистрибутивностью умножения на скаляр относительно сложения векторов (одна из аксиом векторного пространства) А здесь – аксиомой ассоциативности умножения на скаляр, коммутативностью (перестановочностью) самих действительных чисел (аксиома поля) и снова той же аксиомой ассоциативности. Читателям, которым предстоит изучать теорию высшей алгебры, следует привыкнуть к таким доказательствам. Беспощадно формально, но, как сказали бы древние римляне, Dura algebra sed algebra =) Таким образом, – это линейное преобразование. Разумеется, далеко не всякий оператор является линейным, и в других источниках информации можно найти массу примеров, как на удачную, так и неудачную проверку различных преобразований на линейность. И со строгостью доказательств на практике обычно всё попроще, …хотя, тут от преподавателя зависит – и по-хорошему, в математике ещё нужно обосновать, почему «ноль не равен единице». Ну а сейчас мы спускаемся на землю грешную и переходим к геометрическому смыслу линейных преобразований. Пусть – это множество геометрических векторов плоскости. Для простоты рассмотрим привычный ортонормированный базис и прямоугольную систему координат . Если задан какой-либо базис, то линейное преобразование удобнее представить в матричном виде. Как записать оператор в виде матрицы? На этот счёт существует общее правило: чтобы записать матрицу линейного преобразования в -мерном базисе нужно последовательно и строго по порядку применять данный оператор к базисным векторам, а результаты заносить в столбцы матрицы (слева направо). Наш случай элементарен: сначала применим линейное преобразование к первому базисному вектору: запишем результат в 1-й столбец: й орт: и . Затем «обрабатываем» 2- и заносим полученные координаты во 2-й столбец: – матрица линейного преобразования в базисе . Протестируем построенную матрицу с помощью вектора . Для этого «уложим» его координаты в вектор-столбец и выполним следующее матричное умножение: – в результате «на выходе» получены координаты вектора , что и требовалось проверить. Поскольку любая точка плоскости однозначно определяется её радиус-вектором ( – начало координат), то матрица преобразования, по существу, применима и к координатам точек. И далее для простоты я буду говорить, что, например, точка – перешла в точку : . Наверное, все уже поняли, что делает этот оператор. Мысленно представьте произвольный треугольник на плоскости. После применения рассматриваемого линейного преобразования данный треугольник увеличится в два раза. Такие треугольники (имеющие равные соответствующие углы), как многие помнят из школы, называются подобными. Да и сам оператор носит такое же название: Линейное преобразование подобия или гомотетией, причём: называется преобразованием – если , то речь идёт об однородном растяжении (увеличении) объектов плоскости в раз; – если – то о сжатии (уменьшении) в раз; – если , то преобразование тождественно (ничего не меняет). И если по модулю меньше нуля, то дополнительно к растяжению/сжатию/неизменности векторы меняют направление, а точки отображаются симметрично относительно начала координат. При имеет место так называемое нулевое преобразование. Следует отметить, что на прикладном и «любительском» уровне линейные преобразования чаще всего как раз и ассоциируются именно с геометрическими преобразованиями. Рассмотрим ещё несколько популярных примеров по теме, и, чтобы разнообразить серые геометрические будни, мысленно нарисуем на координатной плоскости кошачью морду. Можно и не мысленно =) …Представили? Нарисовали? Отлично! Преобразование растягивает объекты плоскости по направлению вектора (горизонтали) в 2 раза, после чего кот Леопольд радует нас своей широкой-широкой улыбкой! …хотя у многих, наверное, не кот… да и не факт, что с улыбкой… – как говорится, у каждого в голове своя морда =) И в самом деле, преобразуем точку : – «иксовая» координата увеличилась в 2 раза, а «игрековая» – не изменилась. Преобразование сожмёт кота по горизонтали в 3 раза. Желающие могут по ходу объяснений приготовить мясорубку тестировать для рассматриваемых матриц различные векторы и точки. Читателям с маломальскими навыками матричного умножения не составит особого труда делать это устно. Преобразование вытянет все ненулевые объекты плоскости по направлению вектора удивлённый кот.... (по вертикали) в полтора раза. Это будет очень Дополнительные знаки «минус» приведут к зеркальному отображению объектов (относительно оси ординат либо начала координат). – образно говоря, «челюсть налево, лоб направо». Это преобразование называется перекосом или сдвигом плоскости в направлении вектора (в данном случае). – данное преобразование поворачивает векторы системы против часовой стрелки на угол . И, наконец, венчает все эти метаморфозы ещё один лохматый пример: преобразование переводит единичный квадрат с вершинами в параллелограмм с вершинами . А тут уж дело случая – может получиться, как комната смеха, так и комната страха – зависит от того или иного преобразования. Из вышесказанного нетрудно понять, что в базисе любой квадратной матрице «два на два» соответствует некоторое линейное преобразование, и наоборот любому линейному преобразованию соответствует своя матрица «два на два». И данный факт справедлив вообще для любого аффинного базиса , причём одно и то же линейное преобразование в разных базисах будет иметь в общем случае разные матрицы (что следует из самого принципа формирования этих матриц). По аналогичной схеме можно рассмотреть векторы нашего трёхмерного пространства, с тем отличием, что преобразований будет больше, преобразования будут веселее. И, разумеется, линейные преобразования «работают» в векторных пространствах бОльшей размерности, однако там они уже далеки от геометрии. Разминаемся: Пример 1 В некотором аффинном базисе задано линейное преобразование . Найти образ точки проверку. . Используя обратное преобразование, выполнить Решение: потихоньку нагружаю вас терминологией: образ – это то, что должно получиться в результате преобразования. В данном случае, очевидно, должна получиться некоторая точка . Исходная точка соответственно, является прообразом. , ! Надеюсь, все понимают, что штрихи в данном контексте не имеют никакого отношения к производным. Образы векторов и точек мы уже неоднократно находили выше: Таким образом, линейное преобразование перевело точку точку в . Теперь найдём матрицу обратного преобразования, которое превращает образы векторов и точек обратно в их прообразы. Для этого запишем простейшее матричное уравнение (где – координатный столбец прообразов, а – образов) и для его разрешения относительно умножим обе части на обратную матрицу слева: «Развернём» уравнение в привычном порядке: Обратную матрицу можно найти через алгебраические дополнения либо методом Гаусса-Жордана, но здесь я рекомендую первый способ, поскольку он позволит быстро выяснить, а существует ли матрица вообще. Заряжаем стандартный алгоритм. Сначала вычислим определитель: , значит, матрица линейного преобразования обратима. С содержательной точки зрения это означает, что обратное линейное преобразование существует и задаётся оно в точности матрицей . Здесь и далее я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы. Итак, в результате стандартных действий находим точка и выясняем, во что превратится найденная : – получены координаты исходной точки , что и требовалось проверить. Ответ: Следует отметить, что обратное преобразование осуществимо далеко не всегда. Так бывает, например, при проектировании векторов на координатные оси или при тривиальном нулевом преобразовании. В таких случаях определитель матрицы прямого оператора равен нулю матрицы не существует. и обратной Творческая задача для самостоятельного решения: Пример 2 В результате применения оператора в некотором базисе получены образы . Найти прообразы данных векторов. Краткое решение и ответ в конце урока. Обратите внимание, что формулировка данной задачи вовсе не утверждает, что речь идёт именно о геометрических векторах. Как оно, собственно, и бывает в большинстве типовых заданий, которые для полного комфорта оформляются малопонятной клинописью: Пример 3 Даны два линейных преобразования: Спокойно, спокойно, сейчас во всём разберёмся… Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через . Решение: и как раз первое, что здесь можно сказать – это отсутствие информации о характере векторов . Известно только, что они заданы в некотором базисе, ибо матрица линейного преобразования НЕ МОЖЕТ существовать без базиса (т.к. она порождается базисными векторами). Сам базис нам тоже не известен, но для решения задачи информация о нём и не нужна. Тем не менее, для пущего понимания предположим, что все дела происходят в обычной декартовой системе координат . И, чтобы не прослыть живодёром, я рассмотрю 3D-модель кота Леопольда =) Запишем матрицу левого преобразования: . Данное преобразование переводит векторы в образы . Систему, кстати, удобнее переписать в виде уже знакомого матричного уравнения: или, если короче: . Данный оператор определённым образом преобразует все векторы (а значит и точки) пространства. Геометрически это означает, что кот Леопольд, оказывается, например, сплющенным (не знаю, не проверял). Теперь ВНИМАТЕЛЬНО записываем матрицу второго преобразования: (здесь существует немалый риск поставить ноль не там где нужно). Данное преобразование переводит векторы в образы , в результате чего «сплющенный кот», скажем, растягивается вдоль какой-нибудь плоскости. Аналогично – запишем преобразование в матричном виде: или: По условию, нужно найти результирующее (композиционное) преобразование, которое нам сразу даст «сплющенного и растянутого Леопольда». Подставим в уравнение : Всё оказалось до безобразия просто – главное, матрицы перемножить в правильном порядке. Вычислим матрицу композиционного преобразования: Если вы позабыли само матричное умножение, обратитесь к статье Свойства матричных операций, где я подробнейшим образом разобрал этот случай. В результате: Осуществим матричное умножение в правой части: Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Таким образом, итоговое преобразование, выражающее координаты векторовобразов через координаты векторов-прообразов виде следующей системы: , запишется в Выполним проверку. Для этого подставим уравнения , левой системы (см. условие) в правую часть каждого уравнения 2-й системы: Что и требовалось проверить. Этот способ, кстати, можно было бы рискнуть взять и за основой, если бы итоговое преобразование не требовалось найти средствами матричного исчисления Ответ: Как пользоваться этой системой? Очень просто – берём например, вектор и тупо подставляем его координаты: – таким образом, он превратился в вектор . Более академичный способ – использование матричного уравнения . Энтузиасты могут смоделировать деформацию кота Леопольда с помощью специализированного программного обеспечения и отправить мне картинку, которую я обязательно опубликую. Мне и самому интересно, что же там с ним на самом деле произошло =) В том случае, если нужно «вернуть кота к первоначальному виду», следует найти обратную матрицу результирующего преобразования воспользоваться уравнением . «Плоский» случай для самостоятельного решения: Пример 4 и Даны два линейных преобразования в некотором базисе: Найти образ вектора двумя способами: 1) путём последовательного применения преобразований и ; 2) с помощью композиционного оператора, выражающего координаты через . Был велик соблазн вас запутать, но всё же я воздержался. Однако на практике нужно иметь в виду следующее: – системы запросто могут быть переставлены местами; – условие задачи может требовать выразить через и тогда потребуется дополнительно находить обратную матрицу результирующего преобразования; В этой связи очень важно РАЗОБРАТЬСЯ в сути задания, и если что-то осталось недопонятым, обязательно перечитайте объяснения ещё раз – не лишним будет даже порисовать. А сейчас переходим к вопросу, который назревал в течение всего урока: Матрица линейного преобразования в различных базисах В начале статьи мы выяснили происхождение матрицы линейного преобразования на примере оператора и ортонормированного базиса . Напоминаю: для того, чтобы записать матрицу линейного оператора в каком-либо базисе, нужно строго по порядку подействовать этим оператором на базисные векторы и полученные координаты занести в столбцы матрицы (слева направо). В результате «обработки» векторов составлена матрица базисе. нами была данного линейного преобразования в данном Но ведь на «школьном» базисе свет клином не сошёлся! Ничто нам не мешает перейти к произвольному базису , где это же линейное преобразование, очевидно, выразится другой матрицей. Но сам-то оператор не изменится – он будет по-прежнему увеличивать векторы плоскости в 2 раза. Таким образом, справедливо следующее утверждение, которое по существу уже было озвучено ранее: Одно и то же линейное преобразование в разных базисах в общем случае имеет РАЗНЫЕ матрицы. И следующие две задачи как раз посвящены этому вопросу: Пример 5 В базисе задано линейное преобразование данного преобразования в базисе . Найти матрицу , если Решение: в условии задачи опять ничего не сказано о характере векторов, но для наглядности предположим, что данные базисы являются аффинным базисами плоскости. Как заметили внимательные читатели, предложенное линейное преобразование вытягивает все ненулевые объекты плоскости в направлении координатного вектора в 2 раза, и наша задача состоит в том, чтобы записать матрицу этого же преобразования в новом базисе Для решения этого вопроса существует специальная формула: , где – матрица перехода от базиса Составляется она просто: берём вектор коэффициенты его разложения (внимание!) в 1- к базису . . и «укладываем» й столбец матрицы: . Затем рассматриваем вектор заносим коэффициенты его разложения во 2-й столбец: Внимание! Базисные векторы, в данном случае векторы «перебирать» строго по порядку! и , следует Остальное дело техники. Находим обратную матрицу: Произведение: И, наконец, матрицу рассматриваемого линейного преобразования в новом базисе: Пользуясь ассоциативностью матричного умножения, можно было сначала найти , а затем , но, в общем-то, это уже несущественные детали. Ответ: Ещё раз повторим смысл задания: само линейное преобразование не поменялось – оно по-прежнему растягивает ненулевые объекты плоскости вдоль «старого» вектора в 2 раза и не деформирует их в направлении вектора , но в новом базисе другая. И вы видите её в ответе. матрица данного преобразования уже Очевидно, что найденная матрица задаёт обратное преобразование, т.е. выражает старые базисные векторы через новые. Аккуратно «транспонируем» столбцы матрицы в коэффициенты соответствующей системы: . Таким образом, при желании всегда можно вернуться к старому базису: . Обратная формула следует из простых логических соображений, но её можно вывести и формально – разрешив матричное уравнение относительно . Иногда матрицы и называют подобными. Какой базис удобнее? Конечно же, исходный, который задаётся матрицей – он сразу позволяет выяснить характер линейного преобразования. И что это за такой интересный базис, и как получить эту матрицу другим способом, вы узнаете на уроке о собственных векторах. Трехмерный случай для самостоятельного решения: Пример 6 Найти матрицу линейного преобразования в базисе , , , если она задана в базисе , где . Пожалуйста, не путайте это задание с Примером № 3 – по первой оглядке здесь тоже какие-то похожие равенства, тоже штрихи, но смысл совершено другой. Если там шла речь о двух линейных преобразованиях и взаимосвязи координат векторов, то здесь – об одном и том же преобразовании и взаимосвязи векторов двух базисов. Краткое решение и ответ совсем рядом. И в завершении урока вернёмся к двумерному случаю и матрицам «два на два». Казалось бы, с геометрической точки зрения эти матрицы задают линейные преобразования плоскости и разговор закончен. Но на самом деле это не так – у матриц есть и другой геометрический смысл, с которым можно ознакомиться на уроке Переход к новому базису. Сначала я хотел включить пару соответствующих примеров в эту статью, но чуть позже решил, что материал будет уместнее опубликовать в разделе аналитической геометрии. Ну и конечно, не забываем, что рассматриваемый материал касается не только геометрических векторов плоскости и пространства, но и вообще любых векторов. Спасибо за внимание, жду вас на следующем, не менее увлекательном уроке о собственных числах и собственных векторах линейного преобразования. Решения и ответы: Пример 2: Решение: найдём матрицу обратного преобразования: (см. урок. Как найти обратную матрицу) Найдём прообразы: Ответ: Пример 4: Решение: запишем матрицы преобразований: 1) Последовательно применим к вектору преобразования и 2) Найдём результирующее преобразование: Таким образом: Ответ: (нулевой вектор) Пример 6: Решение: Решение: Используем формулу матрицу перехода к новому базису: Найдём матрицу обратного перехода: Вычислим: . Запишем : Ответ: Собственные значения (числа) и собственные векторы. Примеры решений Будь собой Второй урок о линейных преобразованиях будет посвящён собственным числам и собственным значениям их матриц, и для более интересного чтения я рекомендую ознакомиться с первой статьёй. Однако если у вас совсем нет времени/сил/желания, то задачи этой страницы можно освоить и чисто формально. С небольшой художественной формальности я, собственно, и начну: Рассмотрим произвольную квадратную матрицу, например, .И умножим данную матрицу справа на какой-нибудь подходящий столбец. Мне пришёл в голову вектор : Вроде ничего примечательного – умножили матрицу на вектор- столбец и получили другой вектор-столбец . Обычная векторная жизнь. Но в обществе таких векторов существуют особые представители, которые обладают внутренним стержнем и не желают изменять себе в трудные минуты. Умножим ту же матрицу на : На последнем шаге вынесли константу. Что произошло? В результате умножения матрицы на вектор , данный вектор птицей Феникс возродился с числовым коэффициентом : Определение: ненулевой вектор , который при умножении на некоторую квадратную матрицу превращается в самого же себя с числовым коэффициентом , называется собственным вектором матрицы . Число называют собственным значением или собственным числом данной матрицы. Поскольку каждой квадратной матрице соответствует определенное линейное преобразование (в некотором базисе), то, исходя из содержательного смысла, часто говорят о собственных значениях и собственных векторах линейного преобразования. В Википедии есть удачный геометрический пример (взгляните!), иллюстрирующий рассматриваемые понятия – на репродукции Джоконды синий вектор не меняется в результате перекоса плоскости, а значит, является собственным вектором данного линейного преобразования с коэффициентом . И из комментария к иллюстрации можно сразу узнать, что любой коллинеарный ему вектор – тоже будет собственным вектором данного линейного преобразования. Я скуп на внешние ссылки, но здесь не удержался, пожалуйста, сообщите, если эту картинку вдруг удалят. Примеры ещё будут, примеры интересные, ну а пока что продолжаем: В первых абзацах статьи собственный вектор был выставлен «главным действующим лицом», но на самом деле всё немного не так: говорят, что собственный вектор соответствует собственному значению . И в практических заданиях сначала разыскиваются собственные числа и только потом соответствующие им собственные векторы. Как найти собственные значения и собственные векторы матрицы? Проведём исследование и получим алгоритм, по которому нужно решать данную задачу. Люди, которые не очень хорошо разбираются в математике (да и которые хорошо) обычно в страхе или отвращении захлопывают учебник, когда речь заходит о каком-либо доказательстве или выводе какой-нибудь формулы. Но это не тот случай – всё будет понятно даже полному чайнику: Пример 1 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Перед вами та же матрица, у которой я уже выдал одно собственное значение и один собственный вектор. Давайте научимся добывать их самостоятельно! Обозначим через уравнение неизвестный собственный вектор. Тогда матричное запишется следующим образом: В левой части по обычному правилу проведём матричное умножение, в правой части – внесём «лямбду»: Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы. Приравниваем соответствующие элементы векторов-столбцов и получаем однородную систему линейных уравнений: Перенесём всё налево: В первом уравнении за скобки вынесем «икс», во втором уравнении – «игрек»: По определению, собственный вектор не может быть нулевым поэтому нас не устраивает тривиальное решение системы. , Следовательно, уравнения линейно зависимы и определитель матрицы системы равен нулю: Это так называемое характеристическое уравнение матрицы , корни которого являются собственными числами данной матрицы. На практике, как правило, не нужно расписывать подробный вывод формулы – вполне достаточно руководствоваться формальным алгоритмом, и решение задачи можно начать примерно так: Сначала найдём собственные значения Составим характеристическое уравнение. Смотрим на исходную матрицу и записываем её определитель, вычитая при этом «лямбду» из чисел главной диагонали: Раскроем определитель и решим квадратное уравнение: Таким образом, собственные значения: Желательно располагать их в порядке возрастания, хотя это не принципиально. Теперь найдём собственные векторы В данном примере получены различные собственные числа и каждому из них соответствует свои собственные векторы. 1) Рассмотрим собственное число в однородную систему уравнений и подставим значение : Для записи системы целесообразно запомнить формальный приём: мысленно либо на черновике подставляем в определитель : – это и есть коэффициенты системы. Из обоих уравнений следует: Если в ходе решения выяснилось, что линейной зависимости нет (т.е. получается только тривиальное решение, в данном примере )– ищите ошибку! Этот признак касается всех задач рассматриваемого типа. Итак, в нашем распоряжении есть выражение , и, придавая переменной «игрек» (либо «икс») произвольные значения, мы получаем бесконечно много собственных векторов . Все они будут коллинеарны друг другу, и поэтому нам достаточно указать один из них. Обычно стараются выбрать «красивый» вектор – чтобы его «иксовая» координата была положительной, целой и минимальной, а «игрек» не дробным.Этому эстетическому критерию соответствует значение , тогда: Теперь обязательно проверяем, что частное решение удовлетворяет каждому уравнению системы: Таким образом: – первый собственный вектор. 2) Найдём собственные векторы, соответствующие числу мысленно либо на черновике подставим его в определитель запишем вторую однородную систему: Из обоих уравнений следует, что Положим В результате: , тогда: . . – второй собственный вектор. . Для этого и Повторим важные моменты решения: – полученная система (уравнения линейно зависимы); непременно имеет общее решение – «игрек» подбираем таким образом, чтобы он был целым и первая «иксовая» координата – целой, положительной и как можно меньше. – проверяем, что частное решение уравнению системы. Ответ: собственные числа: векторы: удовлетворяет каждому , собственные . Промежуточных «контрольных точек» было вполне достаточно, поэтому проверка равенств принципе, дело излишнее. ,в В различных источниках информации координаты собственных векторов довольно часто записывают не в столбцы, а в строки, например: (и, если честно, я сам привык записывать их строками). Такой вариант приемлем, но в свете темы линейных преобразований технически удобнее использовать векторы-столбцы. Возможно, решение показалась вам очень длинным, но это только потому, что я очень подробно прокомментировал первый пример. Пример 2 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Тренируемся самостоятельно! Примерный образец чистового оформления задачи в конце урока. Иногда требуется выполнить дополнительное задание, а именно: записать каноническое разложение матрицы Что это такое? Если собственные векторы матрицы виде: образуют базис, то она представима в , где – матрица составленная из координат собственных векторов, – диагональная матрица с соответствующими собственными числами. Такое разложение матрицы называют каноническим или диагональным. Рассмотрим матрицу первого примера. Её собственные векторы линейно независимы (неколлинеарны) и образуют базис. Составим матрицу из их координат: На главной диагонали матрицы в соответствующем порядке располагаются собственные числа, а остальные элементы равняются нулю: – ещё раз подчёркиваю важность порядка: «двойка» соответствует 1-му вектору и посему располагается в 1-м столбце, «тройка» – 2-му вектору. По обычному алгоритму нахождения обратной матрицы либо методом Гаусса-Жордана находим . Нет, это не опечатка! – перед вами редкое, как солнечное затмение событие, когда обратная совпала с исходной матрицей. Осталось записать каноническое разложение матрицы : Желающие могут перемножить три матрицы и удостовериться, что произведение равно . Разрешив матричное уравнение относительно диагональной матрицы, можно получить другое соотношение: Диагональную матрицу также называют матрицей линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Если не очень понятно, то давайте вспомним заключительную часть урока о линейных преобразованиях. В ней мы выяснили, что одному и тому же линейному преобразованию в разных базисах в общем случае соответствуют разные матрицы (в частности, матрицы и в нашем примере). И наиболее удобным из них как раз и является базис из собственных векторов (в случае его существования). Более того, все матрицы конкретного линейного преобразования в одном и том же векторном пространстве имеют один и то же характеристический многочлен, из-за чего характеристическое уравнение, вероятно, и получило своё название. Так, легко убедиться, что характеристическое уравнение матрицы : – совпадает с характеристическим уравнением матрицы , которое мы получили в 1-м примере. Однако такой удобный базис существует далеко не всегда: Пример 3 Найти каноническое разложение матрицы Решение: найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение: – получены кратные собственные числа. Мысленно либо на черновике подставим в определитель и запишем однородную систему линейных уравнений: Вторая координата принудительно равна нулю: (иначе в первом уравнении получится неверное равенство). За «икс» можно принять любое ненулевое значение, в хорошем стиле положим, что . Не ленимся, и проверяем, что эта пара значений удовлетворяет каждому уравнению системы! Таким образом, кратным собственным числам соответствует одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов в «лице» вектора поэтому канонического разложения матрицы ,и не существует. Почему? Потому что невозможно записать матрицу , которая должна состоять из двух линейно независимых собственных векторов. Размерность вектора равна двум («икс» и «игрек»), но сам-то вектор – один-одинёшенек. Коллинеарный товарищ, например причине, что , в пару не годится (хотя бы по той и обратной матрицы попросту не существует). У рассмотренного примера есть простое геометрическое объяснение: матрица определяет не что иное, как «перекос Джоконды», у которого существует лишь одно множество коллинеарных друг другу собственных векторов, которые это линейное преобразование переводит в коллинеарные исходным, причём равные векторы (коль скоро, ) Ответ: собственные векторы не образуют базиса, поэтому требуемое разложение неосуществимо. Обратите внимание на корректность и точность ответа – нас никто не спрашивал о собственных значениях и собственных векторах. Кстати, об условии – его могут сформулировать и коварно: записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов. Коварство состоит в том, что здесь можно найти собственные числа и машинально дать нелегальный ответ . Но базиса-то не существует! И сейчас назрели важные вопросы: Сколько у матрицы собственных чисел и собственных векторов? Ну, во-первых (вроде не говорил), эти понятия определены только для квадратных матриц. И с собственными числами всё просто: у матрицы существует ровно собственных значений. Могут ли они быть комплексными? Запросто. Простейший пример: – матрица поворота декартовой системы координат против часовой стрелки на угол , отличный от 180 и 360 градусов. Возьмём «школьный» угол в 30 градусов, запишем соответствующую матрицу поворота и составим характеристическое уравнение: Оно имеет сопряжённые комплексные корни , и дальнейшее решение показывает, что у рассматриваемого преобразования нет действительных собственных векторов. И это очевидно – при повороте на 30 градусов любой ненулевой вектор отображается в неколлинеарный ему вектор. Случай второй, самый распространённый. Собственные числа матрицы действительны и различны (как, например, в Примерах 1, 2). Такое линейное преобразование имеет ровно собственных линейно независимых векторов, и его недиагональную матрицу всегда можно записать в виде . Случай третий, самый интересный. Среди собственных чисел есть кратные, или же только кратные, как в Примере 3. В этих случаях неколлинеарных собственных векторов может оказаться… сколько угодно! Меньше, чем собственных чисел (Пример 3). Может оказаться ровно штук, и тогда будет существовать разложение . А может – вообще бесконечно много! Например, при повороте плоскости на 180 градусов. Ему соответствует матрица с характеристическим уравнением с кратными собственными числами продолжая стандартное решение, мы приходим к симпатичной ; и, системе , которой удовлетворяют координаты вообще любого вектора. Таким образом, любой ненулевой вектор этого преобразования является собственным! Оно и неудивительно – ведь при повороте на 180 градусов любой ненулевой вектор отображается в коллинеарный и противоположно направленный вектор, например: , и, вынося собственное число из столбца: окончательно убеждаемся, что , мы – есть собственный вектор. Следует отметить, что этот поворот – частный случай преобразования подобия, и у подобия, к слову, тоже любой ненулевой вектор собственный. Коэффициент же подобия – есть не что иное, как соответствующее собственное значение, в частности, при все геометрические объекты сохраняют свои размеры неизменными Однако не будем слишком увлекаться геометрией – ведь в термины вектор, базис и др. вкладывается, прежде всего, алгебраический смысл. Собственные векторы и собственные значения используются во многих математических задачах, моделях, но мы не будем увлекаться и ими :) – сейчас важно освоить техническую сторону вопроса. И задачи с матрицей «три на три» отличаются бОльшей технической сложностью: Пример 4 Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей Решение: такая формулировка задачи смущать не должна – ведь это и есть «генеральная линия партии». Энтузиасты могут провести самостоятельные выкладки по аналогии с Примером № 1, я же ограничусь «рабочим» решением примера. По условию требуется найти собственные векторы, но алгоритм таков, что в первую очередь всё равно нужно найти собственные числа. Вычтем «лямбду» из всех чисел главной диагонали матрицы характеристическое уравнение: и составим её Определитель раскроем по первому столбцу: На этом месте немного притормозим и познакомимся с очень полезным техническим приёмом, который значительно упростит дальнейшую жизнь. Практически во всех методических пособиях вам будет предложено раскрыть все скобки, получить слева многочлен 3-й степени, затем подбором найти корень и стать жертвой долгих мытарств, описанных в Примере № 1 урока Сложные пределы. За годы практики я отработал рациональную схему, позволяющую избежать этих неприятностей: Сначала представим в виде произведения «хвост» левой части: Выполненное действие не привело к заметному результату. Поэтому пробуем разложить на множители квадратный трёхчлен Решив квадратное уравнение, получаем Таким образом: Вынесем за скобку и проведём дальнейшие упрощения: . . Решаем ещё одно квадратное уравнение, в итоге: Это была самая длинная ветка алгоритма, в большинстве случаев произведение получается значительно быстрее. Собственные значения всегда стараемся расположить в порядке возрастания: Найдем собственные векторы: 1) Мысленно либо на черновике подставим значение в определитель , с которого «снимем» коэффициенты однородной системы: Систему можно решить с помощью элементарных преобразований и в следующих примерах мы прибегнем к данному методу. Но здесь гораздо быстрее срабатывает «школьный» способ. Из 3-го уравнения выразим: – подставим во второе уравнение: Поскольку первая координата нулевая, то получаем систему каждого уравнения которой следует, что , из . И снова обратите внимание на обязательное наличие линейной зависимости. Если получается только тривиальное решение то либо неверно найдено собственное число, либо с ошибкой составлена / решена система. Компактные координаты даёт значение Собственный вектор: И ещё раз – проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы. В последующих пунктах и в , последующих задачах рекомендую принять данное пожелание за обязательное правило. 2) Для собственного значения следующую систему: по такому же принципу получаем Из 2-го уравнения системы выразим: уравнение: – подставим в третье Поскольку «зетовая» координата равна нулю, то получаем систему , из каждого уравнения которой следует линейная зависимость . Пусть Проверяем, что решение системы. Таким образом, собственный вектор: удовлетворяет каждому уравнению . 3) И, наконец, собственному значению соответствует система: Второе уравнение выглядит самым простым, поэтому из него выразим и подставим в 1-е и 3-е уравнение: Всё хорошо – выявилась линейная зависимость в выражение : , которую подставляем В результате «икс» и «игрек» оказались выражены через «зет»: . На практике не обязательно добиваться именно таких взаимосвязей, в некоторых случаях удобнее выразить и через либо и через . Или даже «паровозиком» – например, «икс» через «игрек», а «игрек» через «зет» Положим , тогда: Проверяем, что найденное решение удовлетворяет каждому уравнению системы и записываем третий собственный вектор Ответ: собственные векторы: Геометрически эти векторы задают три различных пространственных направления («туда-обратно»), по которым линейное преобразование переводит ненулевые векторы (собственные векторы) в коллинеарные им векторы. Если бы по условию требовалось найти каноническое разложение то здесь это возможно, т.к. различным собственным числам соответствуют разные линейно независимые собственные векторы. Составляем матрицу матрицу , из их координат, диагональную из соответствующих собственных значений и находим обратную матрицу . Если же по условию нужно записать матрицу линейного преобразования в базисе из собственных векторов, то ответ даём в виде . Разница есть, и разница существенная! Ибо оная матрица – есть матрица «дэ». Задача с более простыми вычислениями для самостоятельного решения: Пример 5 Найти собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей При нахождении собственных чисел постарайтесь не доводить дело до многочлена 3-й степени. Кроме того, ваши решения систем могут отличаться от моих решений – здесь нет однозначности; и векторы, которые вы найдёте, могут отличаться от векторов образца с точностью до пропорциональности их соответствующих координат. Например, представить ответ в виде и . Эстетичнее , но ничего страшного, если остановитесь и на втором варианте. Однако всему есть разумные пределы, версия смотрится уже не очень хорошо. Примерный чистовой образец оформления задания в конце урока. Как решать задачу в случае кратных собственных чисел? Общий алгоритм остаётся прежним, но здесь есть свои особенности, и некоторые участки решения целесообразно выдержать в более строгом академичном стиле: Пример 6 Найти собственные числа и собственные векторы Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Конечно же, оприходуем сказочный первый столбец: И, после разложения квадратного трёхчлена на множители: В результате получены собственные числа кратны. , два из которых Найдем собственные векторы: 1) С одиноким солдатом разделаемся по «упрощённой» схеме: Из последних двух уравнений четко просматривается равенство очевидно, следует подставить в 1-е уравнение системы: , которое, Лучшей комбинации не найти: Собственный вектор: 2-3) Теперь снимаем пару часовых. В данном случае может получиться либо два, либо один собственный вектор. Невзирая на кратность корней, подставим значение в определитель , который приносит нам следующую однородную систему линейных уравнений: Собственные векторы – это в точности векторы фундаментальной системы решений Собственно, на протяжении всего урока мы только и занимались тем, что находили векторы фундаментальной системы. Просто до поры до времени данный термин особо не требовался. Кстати, те ловкие студенты, которые в маскхалатах проскочили тему однородных уравнений, будут вынуждены вкурить её сейчас. Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: Единственное действие состояло в удалении лишних строк. В результате получена матрица «один на три» с формальной «ступенькой» посередине. – базисная переменная, – свободные переменные. Свободных переменных две, следовательно, векторов фундаментальной системы тоже два. Выразим базисную переменную через свободные переменные: . Нулевой множитель перед «иксом» позволяет принимать ему совершенно любые значения (что хорошо видно и из системы уравнений). В контексте данной задачи общее решение удобнее записать не в строку, а в столбец: Паре соответствует собственный вектор: Паре соответствует собственный вектор: Примечание: искушенные читатели могут подобрать данные векторы и устно – просто анализируя систему , но тут нужны некоторые знания: переменных – три, ранг матрицы системы – единица, значит, фундаментальная система решений состоит из 3 – 1 = 2 векторов. Впрочем, найдённые векторы отлично просматриваются и без этих знаний чисто на интуитивном уровне. При этом даже «красивее» запишется третий вектор: . Однако предостерегаю, в другом примере простого подбора может и не оказаться, именно поэтому оговорка предназначена для опытных людей. Кроме того, а почему бы не взять в качестве третьего вектора, скажем, ? Ведь его координаты тоже удовлетворяют каждому уравнение системы, и векторы линейно независимы. Такой вариант, в принципе, годен, но «кривоват», поскольку «другой» вектор комбинацию представляет собой линейную векторов фундаментальной системы. Ответ: собственные числа: , собственные векторы: Аналогичный пример для самостоятельного решения: Пример 7 Найти собственные числа и собственные векторы Примерный образец чистового оформления в конце урока. Следует отметить, что и в 6-м и в 7-м примере получается тройка линейно независимых собственных векторов, и поэтому исходная матрица представима в каноническом разложении всех случаях: . Но такая малина бывает далеко не во Пример 8 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Определитель раскроем по первому столбцу: Дальнейшие упрощения проводим согласно рассмотренной методике, избегая многочлена 3-й степени: – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1) С корнем затруднений не возникает: Не удивляйтесь, помимо комплекта разницы тут никакой. Из 3-го уравнения выразим в ходу также переменные – – подставим в 1-е и 2-е уравнения: Из обоих уравнений следует: Пусть , тогда: 2-3) Для кратных значений получаем систему . Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. (2) Последние две строки одинаковы, одну из них удалили. (3) Дальше пошла уместная доводка матрицы методом Гаусса-Жордана: к первой строке прибавили вторую строку. (4) У первой строки сменили знак. Переменные – базисные, переменная – свободная. Так как свободная переменная одна, то фундаментальная система решений состоит из одного вектора. И мы счастливые наблюдатели случая, когда кратным собственным числам соответствует единственный собственный вектор. Записываем в столбец общее решение системы: значение , и, задавая свободной переменной , получаем нашего героя: Ответ: собственные числа: векторы: , собственные . Здесь матрицу нельзя представить виде – по той простой причине, что «собственного» базиса не существует – хоть трёхмерные векторыстолбцы и линейно независимы, но самих-то их всего лишь два. Недобор. Шестое чувство мне подсказывает, что многие воодушевились на задание повышенной сложности: Пример 9 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы Можно ли записать каноническое разложение этой матрицы? Не беда, если дело застопорилось, в психотерапевтических целях отложите тетрадь с решением на чёрный день. Когда заест скука – самое то =) Успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Найдем собственные значения. Составим и решим характеристическое уравнение: – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1) Пусть – собственный вектор. 2) Пусть – собственный вектор. Ответ: собственные значения: векторы: , собственные . Пример 5: Решение: сначала найдем собственные числа. Составим и решим характеристическое уравнение: Определитель раскроем по первой строке: – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1) Пусть 2) Пусть 3) Пусть Ответ: собственные векторы: Пример 7: Решение: составим и решим характеристическое уравнение: – собственные значения. Найдем собственные векторы: 1-2) Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: Выразим базисную переменную через свободные переменные: и запишем общее решение: . Найдём векторы фундаментальной системы, которые в данной задаче являются собственными векторами матрицы: Паре соответствует собственный вектор: Паре соответствует собственный вектор: Примечание: в качестве решения системы линейных уравнений данного пункта напрашивается тройка , но столбец линейно выражается через векторы фундаментальной системы. Использование такого и подобных ему решений в качестве одного из собственных векторов корректно, но нестандартно. 3) Пусть Ответ: собственные числа: , собственные векторы: Пример 9: Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: Определитель вычислим понижением порядка. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на –1. К четвёртой строке прибавим вторую строку, умноженную на : Разложим определитель по 4-му столбцу: К третьей строке прибавим первую строку: Собственные значения: Найдем собственные векторы: 1) Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Первую и третью строку поменяли местами. (2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и –2 соответственно. (3) Вторую строку разделили на 2. (4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку, умноженную на –1. (5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. У первой строки сменили знак, вторую строку умножили на 2. (6) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (7) У первой строки сменили знак, последние две строки разделили на 2. Выразив базисные переменные через свободную, запишем общее решение: . Придаём свободной переменной значение и получаем собственный вектор 2-3) Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Первая и четвёртая строки одинаковы. Вторая и третья строки одинаковы. Первую и вторую строку удалили из матрицы. Выразим базисные переменные через свободные переменные : Таким образом, общее решение: . Фундаментальная система состоит из двух векторов: при получаем ; при получаем . 4) Запишем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведём её к ступенчатому виду: (1) Первую и третью строку поменяли местами. (2) Ко 2-й и 3-й строкам прибавили первую строку, умноженную на –1 и 2 соответственно. (3) Вторую строку разделили на 2. (4) К 3-й и 4-й строкам прибавили вторую строку. (5) Последние две строки пропорциональны, третью строку удалили. Вторую строку умножили на –2. (6) К первой и второй строкам прибавили третью строку. (7) Последние две строки разделили на 2. Общее решение: . Придаём свободной переменной значение получаем собственный вектор и . Ответ: собственные значения: , собственные векторы: . Перечисленные четыре четырехмерных вектора линейно независимы, и поэтому матрицу линейного преобразования можно записать в виде . Но не нужно =) Квадратичные формы. Знакоопределённость форм. Критерий Сильвестра Прилагательное «квадратичный» сразу наталкивает на мысль, что что-то здесь связано с квадратом (второй степенью), и очень скоро мы узнаем это «что-то» и что такое форма. Прямо скороговоркой получилась :) Приветствую вас на своём новом уроке, и в качестве незамедлительной разминки мы рассмотрим форму в полосочку линейную. Линейной формой переменных называют однородный многочлен 1-й степени: , где: – какие-то конкретные числа* (предполагаем, что хотя бы одно из них отлично от нуля), а принимать произвольные значения. – переменные, которые могут * В рамках данной темы будем рассматривать только действительные числа. С термином «однородный» мы уже сталкивались на уроке об однородных системах линейных уравнений, и в данном случае он подразумевает, что у многочлена нет приплюсованной константы Например: . – линейная форма двух переменных Теперь форма квадратичная. Квадратичной формой переменных называют однородный многочлен 2-й степени, каждое слагаемое которого содержит либо квадрат переменной, либо парное произведение переменных. Так, например, квадратичная форма двух переменных имеет следующий вид: Внимание! Это стандартная запись, и что-то менять в ней не нужно! Несмотря на «страшный» вид, тут всё просто – двойные подстрочные индексы констант сигнализируют о том, какие переменные входят в то или иное слагаемое: – в этом слагаемом находится произведение – здесь произведение – и здесь произведение и (квадрат); ; . Далее будем полагать, что хотя бы одна из констант не равна нулю, и вот, пожалуйста, «неполный» пример: , в котором: – сразу упреждаю грубую ошибку, когда теряют «минус» у коэффициента, не понимая, что он относится к слагаемому: Иногда встречается «школьный» вариант оформления в духе , но то лишь иногда. Кстати, заметьте, что константы нам тут вообще ни о чем не говорят, и поэтому запомнить «лёгкую запись» труднее. Особенно, когда переменных больше. И квадратичная форма трёх переменных содержит уже шесть членов: …почему в «смешанных» слагаемых ставятся множители-«двойки»? Это удобно, и скоро станет понятно, почему. Далее ситуация начинает усугубляться: и усугублять мы её дальше не будем, т.к. формы с бОльшим количеством переменных встречаются довольно редко. Однако общую формулу запишем, её удобно оформить «простынёй»: – внимательно изучаем каждую строчку – ничего страшного тут нет! Квадратичная форма содержит слагаемых с квадратами переменных и слагаемых с их парными произведениями (см. комбинаторную формулу сочетаний). Больше ничего – никаких «одиноких иксов» и никакой приплюсованной константы (тогда уже получится не квадратичная форма, а неоднородный многочлен 2-й степени). Матричная запись квадратичной формы Как на счёт матриц? :) Знаю, знаю, соскучились. В практических задачах широко распространенная матричная запись квадратичных форм. Объяснения опять начну с формы линейной, например, от трёх переменных: . Её можно записать, как произведение двух матриц: И действительно, выполняя матричное умножение, получаем матрицу «один на один»: , единственный элемент которой можно эквивалентно записать вне матрицы: . Легко понять, что линейная форма «эн» переменных записывается в виде: Квадратичная форма представима в виде произведения уже трёх матриц: , где: – столбец переменных; – его транспонированная строка; – матрица квадратичной формы. Это так называемая симметрическая матрица, на главной диагонали которой расположены коэффициенты при квадратах неизвестных, а симметрично относительно неё – «смешанные» коэффициенты, причём, строго на «своих местах» (например, столбце, 3-й строке). – в 1-й строке, 3-м столбце и 1-м Определитель называют дискриминантом квадратичной формы, а ранг матрицы – рангом квадратичной формы. Если перемножить три матрицы , то получится в точности длинная «простыня» из предыдущего параграфа, но разворачивать её мы, конечно, не будем, а посмотрим, как это происходит в элементарном случае . Согласно общей формуле, матричная запись данной формы имеет следующий вид: И в самом деле: далее: , в чём и требовалось убедиться. Как вариант, сначала можно было перемножить правые матрицы, и затем первую матрицу умножить на полученный результат. Вам понравилось так же, как и мне? Ну тогда пример для самостоятельного решения =) Пример 1 Записать квадратичную форму в матричном виде и выполнить проверку. Определить дискриминант и ранг формы. …что-то смущает? ;) Краткое решение и ответ в конце урока! Статьи об определителе и ранге матрицы – в помощь. После чего разберём аналогичную задачу с формой трёх переменных: Пример 2 Записать матрицу квадратичной формы, найти её ранг и дискриминант Решение: сбросим тяжёлую ношу лишних формул, и будем ориентироваться на сами члены: – слагаемое дважды содержит 1-ю переменную, поэтому ; – из аналогичных соображений определяем и сразу записываем результаты на главную диагональ симметрической матрицы: . Так как в слагаемое входят 1-я и 2-я переменная, то (не забываем поделить на 2) и данный коэффициент занимает свои законные места: . Поскольку в форме отсутствует член с произведением присутствует с нулевым множителем: отправляются два нуля: И, наконец, из слагаемого завершена: ), то (а точнее, , и на холст . определяем , после чего картина – матрица квадратичной формы. Вот так-то оно бывает – мы не только не испугались «страшных обозначений» работать на себя! , но и заставили их По условию не требовалось записывать матричное уравнение, однако науки ради: Желающие могут перемножить три матрицы, в результате чего должна получиться исходная квадратичная форма. Теперь определим ранг формы. Он равен рангу матрицы . Так как в матрице есть хотя бы один ненулевой элемент, например, , то ранг не меньше единицы. Теперь вычислим минор , значит, ранг не меньше двух. И осталось проверить минор 3-го порядка, т.е. определитель всей матрицы. Здесь я ко второму столбцу прибавлю третий и раскрою определитель по 3-й строке: , значит, Если не очень понятно, что к чему, обязательно изучите статью о ранге матрицы – это довольно замысловатая задачка, и перед нами оказался лишь простой случай, когда угловые миноры не равны нулю. Дискриминант квадратичной формы получен автоматом. Ответ: , ранг равен трём, дискриминант Следующее задание для самостоятельного решения: Пример 3 Восстановить квадратичную форму по её матрице При этом не нужно вспоминать никаких формул! Решение почти устное: – сначала смотрим на главную диагональ и записываем слагаемые с квадратами переменных; – затем анализируем симметричные элементы 1-й строки (или 1-го столбца), и записываем все слагаемые, в которые входит 1-я переменная (не забывая удвоить коэффициенты); – далее смотрим на оставшиеся симметричные элементы 2-й строки (справа от диагонали) либо 2-го столбца (ниже диагонали) и записываем соответствующие парные произведения (с удвоенными коэффициентами!). – и, наконец, анализируем правую нижнюю пару симметричных чисел. Подробное решение и ответ в конце урока. Знакоопределённость квадратичной формы. Критерий Сильвестра До сих пор мы рассматривали «внешнее устройство» форм и пришло время изучить их функциональное назначение. Да, по существу, они работают, как функции. Вернёмся к простенькой линейной форме . Как отмечалось в начале урока, переменные могут принимать произвольные действительные значения (мы ограничились ими), и каждой такой паре соответствует определённое значение , например: , и так далее. Говоря языком науки, перед нами скалярная функция векторного аргумента, в которой каждому вектору ставится в соответствие определённое число . Обращаю ваше внимание, что сейчас идёт речь не о геометрическом векторе, а о векторе в его алгебраическом понимании. В зависимости от значений рассматриваемая форма может принимать как положительные, так и отрицательные значения, и то же самое касается любой линейной формы – если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля, то она может оказаться как положительной, так и отрицательной (в зависимости от значений ). Такая форма называется знакопеременной. И если с линейной формой всё прозрачно, то с формой квадратичной дела обстоят куда более интересно: Совершенно понятно, что данная форма может принимать значения любого знака, таким образом, квадратичная форма тоже может быть знакопеременной. А может и не быть: – всегда, если только – для любого вектора одновременно не равны нулю. , кроме нулевого . И вообще, если для любого ненулевого вектора , то квадратичную форму называют положительно определённой; если же , – то отрицательно определённой. И всё бы было хорошо, но определённость квадратичной формы виднА лишь в простых примерах, и эта видимость теряется уже при небольшом усложнении: –? Можно предположить, что форма определена положительно, но так ли это на самом деле? Вдруг существуют значения , при которых она меньше нуля? На этот счёт существует теорема: если ВСЕ собственные числа матрицы квадратичной формы положительны*, то она определена положительно. Если все отрицательны – то отрицательно. * В теории доказано, что все собственные числа действительной симметрической матрицы действительны Запишем матрицу вышеприведённой формы: и из уравнения значения: найдём её собственные Решаем старое доброе квадратное уравнение: , значит, форма определена положительно, т.е. при любых ненулевых значениях больше нуля. она Рассмотренный метод вроде бы рабочий, но есть одно большое НО. Уже для матрицы «три на три» искать собственные числа – есть занятие долгое и неприятное; с высокой вероятностью получится многочлен 3-й степени с иррациональными корнями. Как быть? Существует более простой путь! Критерий Сильвестра Нет, не Сильвестра Сталлоне :) Сначала напомню, что такое угловые миноры матрицы. Это определители её левого верхнего угла: которые «разрастаются» из и последний из них в точности равен определителю матрицы. Теперь, собственно, критерий: 1) Квадратичная форма определена положительно тогда и только тогда, когда ВСЕ её угловые миноры больше нуля: . 2) Квадратичная форма определена отрицательно тогда и только тогда, когда её угловые миноры знакочередуются, при этом 1-й минор меньше нуля: нечётное. , , если – чётное или , если – Если хотя бы один угловой минор противоположного знака, то форма знакопеременна. Если угловые миноры «того» знака, но среди них есть нулевые, то это особый случай, который я разберу чуть позже, после того, как мы перещёлкаем более распространённые примеры. Проанализируем угловые миноры матрицы : , и это сразу говорит нам о том, что форма не определена отрицательно. Вывод: все угловые миноры больше нуля, значит, форма определена положительно. Есть разница с методом собственных чисел? ;) Запишем матрицу формы первый её угловой минор из Примера 1: , а второй , откуда следует, что форма знакопеременна, т.е. в зависимости от значений , может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Впрочем, это и так очевидно. Возьмём форму из Примера 2: и её матрицу тут вообще без озарения не разобраться. Но с критерием Сильвестра нам всё нипочём: , следовательно, форма точно не отрицательна. , и точно не положительна (т.к. все угловые миноры должны быть положительными). Вывод: форма знакопеременна. Разминочные примеры для самостоятельного решения: Пример 4 Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность а) б) В этих примерах всё гладко (см. конец урока), но на самом деле для выполнения такого задания критерия Сильвестра может оказаться не достаточно. Дело в том, что существуют «краевые» случаи, а именно: если для любого ненулевого вектора определена неотрицательно, если , то форма – то неположительно. У этих форм существуют ненулевые векторы при которых , . Здесь можно привести такой «баян»: Выделяя полный квадрат, сразу видим неотрицательность формы: нулю и при любом векторе с равными координатами, например: , причём, она равна . «Зеркальный» пример неположительно определённой формы: и ещё более тривиальный пример: – здесь форма равна нулю при любом векторе , где – произвольное число. Как выявить неотрицательность или неположительнось формы? Для этого нам потребуется понятие главных миноров матрицы. Главный минор – это минор, составленный из элементов, которые стоят на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами. Так, у матрицы существуют два главных минора 1-го порядка: (элемент находится на пересечении 1-й строки и 1-го столбца); (элемент находится на пересечении 2-й строки и 2-го столбца), и один главный минор 2-го порядка: – составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца. У матрицы «три на три» придётся помахать бицепсами: главных миноров семь, и тут уже – три минора 1-го порядка, три минора 2-го порядка: – составлен из элементов 1-й, 2-й строки и 1-го, 2-го столбца; – составлен из элементов 1-й, 3-й строки и 1-го, 3-го столбца; – составлен из элементов 2-й, 3-й строки и 2-го, 3-го столбца, и один минор 3-го порядка: – составлен из элементов 1-й, 2-й, 3-й строки и 1-го, 2-го и 3-го столбца. Задание на понимание: записать все главные миноры матрицы . Сверяемся в конце урока и продолжаем. Критерий Шварценеггера: 1) Ненулевая* квадратичная форма определена неотрицательно тогда и только тогда, когда ВСЕ её главные миноры неотрицательны (больше либо равны нулю). * У нулевой (вырожденной) квадратичной формы все коэффициенты равны нулю. 2) Ненулевая квадратичная форма с матрицей определена неположительно тогда и только тогда, когда её: – главные миноры 1-го порядка неположительны (меньше либо равны нулю); – главные миноры 2-го порядка неотрицательны; – главные миноры 3-го порядка неположительны (пошло чередование); … – главный минор -го порядка неположителен, если – нечётное либо неотрицателен, если – чётное. Если хотя бы один минор противоположного знака, то форма знакопеременна. Посмотрим, как работает критерий в вышеприведённых примерах: Составим матрицу формы, и в первую очередь вычислим угловые миноры – а вдруг она определена положительно или отрицательно? Полученные значения не удовлетворяют критерию Сильвестра, однако второй минор не отрицателен, и это вызывает надобность проверить 2-й критерий (в случае 2-й критерий будет не выполнен автоматически, т.е. сразу делается вывод о знакопеременности формы). Главные миноры 1-го порядка: – положительны, главный минор 2-го порядка: – не отрицателен. Таким образом, ВСЕ главные миноры не отрицательны, значит, форма неотрицательна. Запишем матрицу формы , для которой, очевидно, не выполнен критерий Сильвестра. Но и противоположных знаков мы тоже не получили (т.к. оба угловых минора равны нулю). Поэтому проверяем выполнение критерия неотрицательности / неположительности. Главные миноры 1-го порядка: – не положительны, главный минор 2-го порядка: – не отрицателен. Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), форма определена неположительно. Теперь во всеоружии разберём более занятную задачку: Пример 5 Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность Данную форму украшает орден «альфа», который может равняться любому действительному числу. Но это ж только веселее будет, решаем. Сначала запишем матрицу формы, наверное, многие уже приноровились это делать устно: на главную диагональ ставим коэффициенты при квадратах, а на симметричные места – споловиненные коэффициенты соответствующих «смешанных» произведений: Вычислим угловые миноры: третий определитель я раскрою по 3-й строке: Кстати, в силу симметрии, по 3-му столбцу он раскрывается точно так же. Дальнейшее решение удобно разбить на 2 пункта: 1) Выясним, существуют ли значения «альфа», при которых форма определена положительно или неотрицательно. Согласно критерию Сильвестра, условию положительности формы соответствует следующая система линейных неравенств: В соответствии с поставленной задачей, сначала разберёмся со 2-м неравенством: умножим обе его части на , сменив у неравенства знак: , что противоречит первому неравенству системы. Таким образом, система несовместна, а значит, форма не может быть положительно определённой ни при каких «альфа», из чего логически и автоматически следует, что она не может быть и неотрицательной. 2) Проведём исследование на отрицательность / неположительнось. По Сильвестру, условию отрицательности формы соответствует следующая система линейных неравенств: Второе неравенство уже решено: , и оно не противоречит первому. И третье неравенство тоже «вписалось в рамки»: Таким образом, имеем совместную систему: . из которой следует, что форма определена отрицательно при Например, если : . – то при любом ненулевом векторе данная форма будет строго отрицательна. Осталось исследовать «пограничный» случай. Если , то: Последнее значение не удовлетворяет 2-му пункту критерия Сильвестра, однако оно равно нулю, что позволяет предположить неположительнось формы. Запишем матрицу формы и проверим критерий Шварценеггера. Главные миноры первого порядка: – отлично, все миноры неположительны, поэтому проверка продолжается. Рассчитываем миноры 2-го порядка. Если хотя бы один из них окажется отрицательным, то форма будет знакопеременной: Нет, все миноры неотрицательны, и минор 3-го порядка уже рассчитан: Таким образом, по критерию Шварценеггера (пункт 2), имеет место неположительнось формы, иными словами, при некоторых ненулевых значениях , причём, нулю она равна и . Ответ: при форма определена отрицательно, при неположительно, в остальных случаях форма знакопеременна. И творческое задание для самостоятельного решения: Пример 5* Исследовать квадратичную форму на знакоопределенность И в заключение статьи хочу выразить благодарность Сергею Хохлову, некогда ст. преподавателю МПГУ – за важные замечания и интересные дополнительные примеры, а также Арнольду Шварценеггеру, который сыграл в непривычном для себя амплуа и помог мне ярче объяснить материал :) Как сказал актёр, I’ll be back, и я жду вас на следующем уроке – о каноническом виде квадратичной формы. Решения и ответы: Пример 1. Решение: сначала приведём подобные слагаемые: Квадратичная форма двух переменных имеет вид данном случае: . Запишем форму в матричном виде: Проверка: что и требовалось проверить. Вычислим дискриминант формы: Поскольку Ответ: , то ранг формы равен двум. , , ранг формы равен двум. Пример 3. Решение: симметрическая матрица 4*4 определяет квадратичную форму 4 переменных. Коэффициенты главной диагонали ,в , следовательно: Симметричные коэффициенты 1-й строки: образом: , таким Оставшиеся симметричные элементы 2-й строки: , и: И, наконец, Ответ: Пример 4. Решение: а) запишем матрицу формы: и вычислим её угловые миноры: Таким образом, по критерию Сильвестра, форма определена отрицательно. б) запишем матрицу формы: и вычислим её угловые миноры: Вывод: форма знакопеременна. Задание на понимание: у данной матрицы четыре главных минора 1-го порядка: , шесть главных миноров 2-го порядка: четыре главных минора 3-го порядка: и один главный минор 4-го порядка, равный определителю матрицы. Пример 5*. Решение: запишем матрицу формы угловые миноры: и вычислим её Таким образом, форма не удовлетворяет критерию Сильвестра, однако, может оказаться неотрицательной (т.к. и остальные миноры нулевые). Для этого все главные миноры должны быть неотрицательны. Главные миноры 1-го порядка: . Вычислим главные миноры 2-го порядка: – среди главных миноров встретился отрицательный, следовательно, форма не удовлетворяет критерию неотрицательности. Ответ: форма знакопеременна. Как привести квадратичную форму к каноническому виду? Метод Лагранжа Приветствую вас на втором уроке о квадратичных формах, который посвящен её каноническому виду и соответствующим методам. «Чайникам» и вновь прибывшим с поисковика рекомендую сначала ознакомиться первой частью – чтобы быстренько привести себя в форму :) И мы сразу же продолжаем. Если в квадратичной форме отсутствуют слагаемые с парными произведениями переменных, то говорят, что она находится в каноническом виде. …Первая часть предложения была понятной? Тогда едем дальше. Любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду: – форму двух переменных виду –к (различаем коэффициенты «а» и «альфа»!); – трёх переменных виду –к ; … – форму переменных «простыня» – к виду: Чуть позже я сформулирую это утверждение более строго, расскажу о геометрическом смысле, да и просто смысле приведения – после того, как мы освоим техническую сторону вопроса. И ключевой момент этой технической стороны состоит в линейных заменах: – ТАКИХ, которые как раз и приводят форму к каноническому виду. Систему часто записывают в виде компактного матричного уравнения , где: – столбцы старых и новых переменных, – матрица линейного преобразования. Внимание! Если вам не понятно, как из уравнения получить систему замен, обязательно посмотрите здесь (после Примера 3). Это важно. Существует несколько способов приведения формы к каноническому виду, и в рамках сайта я расскажу о методе Лагранжа и методе ортогональных преобразований (уже следующий урок). Начнём с наиболее простого метода: Пример 6 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования. простенько и со вкусом Решение: здесь используются стандартные замены с последующим применением бородатой формулы : – форма в каноническом виде. Запишем матрицу проведённого линейного преобразования: состоит из «игрековых» коэффициентов замен Ответ: – она . , Пример, конечно, прозрачный, но сразу зададимся вопросом – как выполнить проверку? Её можно выполнить матричным методом по формуле , где – транспонированная матрица линейного преобразования, – исходная и – новая матрица квадратичной формы. В нашем случае – исходная матрица формы и, перемножая три матрицы: , – получаем матрицу формы , что и требовалось проверить. Но то был лишь частный случай: Пример 7 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. Записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Решение: когда в форме присутствуют квадраты переменных (а они есть почти всегда), то используется другой приём. Идея состоит в выделении полных квадратов по формулам дальнейшей заменой переменных. с , Сначала выбираем какую-нибудь переменную, которая находится в квадрате, здесь можно выбрать или . Переменные традиционно перебирают по порядку, поэтому рассматриваем есть эта переменная: и собираем вместе все слагаемые, где «двойку» удобно вынести за скобки: очевидно, всё дело сведётся к формуле , и нам нужно искусственно организовать данную конструкцию. Для этого в скобках прибавляем вычитание: и, чтобы ничего не изменилось – за скобками проводим выделяем полный квадрат: , после чего выполним проверку обратными действиями – раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: , ОК Теперь проведём замены : – форма в каноническом виде. И тут вроде бы можно записать матрицу линейного преобразования, но есть одна загвоздка, проведённые замены имеют вид но нам-то нужна другая матрица – матрица Для разрешения уравнения на слева: : уравнения относительно . умножим обе его части Я не буду подробно расписывать процесс нахождения обратной матрицы, а сразу приведу готовый результат – искомая матрица линейного преобразования. Напоминаю (см. начало урока), что в этой матрице находятся «игрековые» коэффициенты «прямых» замен: Справка: возможно, ещё не все до конца понимают, как из матричного уравнения получается система замен. В правой части уравнения выполняем матричное умножение: Две матрицы равны, если равны их соответствующие элементы, таким образом: И в самом деле, выполняя прямые замены в форме : – получаем её канонический вид, найденный выше. То же самое можно установить матричным методом. Запишем матрицу трёх матриц: формы и в результате перемножения – получим «каноническую» матрицу. Прямая подстановка, безусловно, удобнее, но особенность метода Лагранжа состоит в том, что к канонической форме мы подбираемся «с другой стороны» (за исключением немногочисленных случаев наподобие предыдущего примера). Ответ: , Если условие не запрашивает линейное преобразование, то решение заметно сократится. Но мы его наоборот – ещё больше увеличим :) В образовательных целях. Квадратичную форму можно привести к каноническому виду не единственным способом. Это следует уже из самого алгоритма действий. Так, например, полный квадрат можно выделить без выноса «двойки» за скобку: контроль: и, после замен тоже получается канонический, но уже другой вид рассматриваемой формы: Кстати, начать можно и со 2-й переменной – выполните это задание самостоятельно: Привести квадратичную форму к каноническому виду, выделив полный квадрат при переменной . Записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Решение и ответ в конце урока. Повысим уровень сложности, а точнее, количество переменных: Пример 8 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа Записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Решать начинаем традиционно – группируем все слагаемые, которые содержат 1-ю переменную: и начинаем конструировать полный квадрат: здесь чётко просматривается формула применения мы должны прибавить и вычесть и для её : «собираем» квадрат суммы и упрощаем «хвост», распишу это упрощение подробно: контроль: – ч.т.п. На следующем шаге обычно выделяется ещё один полный квадрат, но у нас осталось единственно слагаемое с парным произведением, и в подобной ситуации сразу же выполняются замены, в данном случае : В результате получен неканонический вид формы и поэтому нам потребуется ещё одна замена. Используем стандартный трюк, который встретился в самом начале урока: . Таким образом, получаем: – форма в каноническом виде. Теперь нужно записать матрицу соответствующего линейного преобразования. Ситуация осложнятся тем, что мы провели ДВА преобразования, и нам предстоит найти их композицию – результирующее преобразование, которое выражает через сумму / разность «игреков». Давайте разбираться, что к чему. Запишем первую замену матричной форме: Вторая же замена Из уравнений . имеет несколько другой вид: следует, что: Для разрешения полученного уравнения относительно части на слева: умножим обе его в Таким образом, нам нужно найти обратную матрицу нужно:)) и выполнить матричное умножение: (уже не – получив тем самым искомое результирующее преобразование. Но подставлять в форму что-то неохота, и поэтому «пропустим через мясорубку» её матрицу благо, матричный калькулятор под рукой: , – получена матрица приведённой формы , в чём мы и хотели убедиться. Обратите внимание на удобство матричной записи и матричного метода – они практически «сводят на нет» путаницу в индексах и степенях квадратичной формы. Ответ: , Тренируемся: Пример 9 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа а) б) – особенно часто встречающийся тип приведения. В образцах решения использован «традиционный» путь, т.е. полные квадраты выделяются по порядку, начиная с 1-й переменной. Перед заменой переменных полезно выполнять обратный ход – раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, чтобы получить исходный вид. Это вполне надёжный способ проверки. Также обратите внимание, что здесь не требуется указывать линейное преобразование, однако, я коротко рассказал, как его находить (мало ли, понадобится). …у всех всё получилось? Тогда продолжаем – начинается самое интересное! Наверное, все понимают, что подавляющее большинство линейных преобразований не приводят нас к желаемому результату. Вернёмся к подопытной форме Примера 7 и проведём, например, такую замену: . Запишем матрицу формы , матрицу преобразования и воспользуемся знакомой формулой: Таким образом, форма приняла другой, тоже неканонический вид . И тут я хочу отметить ещё одно преимущество матричного решения, о котором не говорил. В результате умножения ДОЛЖНА получиться симметрическая и только такая матрица, и этот факт значительно снижает риск пропустить ошибку. Но, разумеется, можно выполнить и прямую подстановку в : Правда, запутаться тут легче и гарантий никаких. Далее. Все преобразования, которые нам встретились выше, не вырождены. Что это означает? Это означает, что для них существует обратное преобразование – образно говоря, «путь назад». Теперь не образно:) определитель матрицы невырожденного линейного преобразования непременно отличен от нуля , что гарантирует существование обратной матрицы и «зеркальной» формулы , с помощью которой мы можем однозначно восстановить исходную матрицу . Чего не скажешь о преобразовании вырожденном – это «билет в один конец». Одним из таких преобразований является тривиальное нулевое преобразование. Так, например, если форма форму , то вырождается в нулевую с матрицей . Обратного пути нет, то есть, если нам изначально дана вырожденная «игрековая» форма с матрицей , то невозможно выяснить, от какой формы она произошла. Существуют и другие типы «вырождения», но всех их объединяет тот факт, что определитель матрицы такого преобразования равен нулю: , из чего следует, что обратной матрицы не существует, а значит, не существует и возврата. А теперь заметим, что нулевое преобразование привело нас… к каноническому виду ! И в самом деле – это же канонический вид по определению. И поэтому сейчас мы усилим утверждение, сформулированное в начале урока: любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью невырожденного линейного преобразования. Существование такого преобразования, в частности, гарантирует метод Лагранжа. И сейчас я озвучу кульминационный и ОЧЕНЬ важный момент: невырожденное линейное преобразование не меняет СУЩНОСТИ квадратичной формы. Здесь можно привести такой ассоциативный пример: рассмотрим произвольную ненулевую форму и представим, что это квадратный лист бумаги, на котором записано некое слово. Если форма находится в неканоническом виде, то лист занимает такое положение, в котором мы слова не видим, или же только догадываемся, что это за слово. 1) Невырожденное преобразование, которое приводит форму к каноническому виду, поворачивает листок бумаги к нам «лицом» – чтобы слово было отчётливо видно. Поскольку таких преобразований на самом деле много, то лист бумаги в общем случае будет менять свой размер и местоположение, и размер шрифта тоже будет меняться. Но что не изменится – так это слово. 2) Невырожденное преобразование, которое НЕ приводит форму к каноническому виду, делает то же самое с большим и толстым нюансом: слова мы по-прежнему не видим. 3) Вырожденное линейное преобразование либо полностью стирает с листа слово (нулевое преобразование), либо стирает отдельные буквы – так, чтобы нельзя было однозначно сказать, от какого слова они остались; причём, мы можем не увидеть даже и этих букв (если форма осталась в неканоническом виде). И, завершая ассоциацию, отметим наиболее интересный случай – когда невырожденное преобразование не только приводит форму к каноническому виду, но ещё и сохраняет размер листа, т.е. поворачивает его к нам в неизменном виде. Жду вас на третьем уроке о методе ортогонального преобразования, где мы продолжим увлекательную беседу и вложим в сущность формы конкретный геометрический смысл. Решения и ответы: Задание к Примеру 6. Решение: приведём форму каноническому виду Проведём замены к : – форма в каноническом виде. Найдём матрицу линейного преобразования , где матрица «иксовых» коэффициентов проведённых замен. В данном случае – (см. урок Как найти обратную матрицу?) Выполним проверку прямой подстановкой в : , что и требовалось проверить. Ответ: , Пример 9. Решение: а) проведём замены : Полученная форма имеет неканонический вид, и здесь следует выделить полные квадраты. Начнём с переменной теперь выделяем квадрат при переменной : : Контроль: , что и требовалось проверить. Проведём замены: Ответ: Примечание: проведённые замены можно записать в виде матричных уравнений . Из последнего уравнения выразим подставим в первое уравнение: . Таким образом, для нахождения матрицы итогового линейного преобразования нужно найти выполнить умножение и и . б) Решение: выделим полный квадрат при 1-й переменной: «собираем» полный квадрат и упрощаем «хвост»: выделим полный квадрат при 2-й переменной: Выполним проверку раскрыв все скобки: – получен исходный вид формы. Проведём замены: Ответ: Примечание: выполненные замены имеют вид матрица линейного преобразования: , таким образом, Ортогональное преобразование квадратичной формы На этом уроке мы продолжим приводить квадратичную форму (1-е занятие) к каноническому виду (2-е занятие), и помимо нового метода приведения, рассмотрим геометрический смысл темы и важное практическое приложение – о том, как привести линию второго порядка к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы. Сначала расскажу суть метода в общем виде. Ничего страшного, если что-то будет не понятно – всё разберём на конкретных примерах. Любую квадратичную форму с действительными (как мы оговорили) коэффициентами каноническому виду: числа матрицы можно привести к , где (тоже действительные). – собственные Такое приведение осуществляется с помощью линейного преобразования (замен): , коэффициенты которого (по столбцам!) – есть координаты соответствующих ортонормированных собственных векторов матрицы : Данные векторы нормированы (имеют единичную длину) и попарно ортогональны (грубо говоря, перпендикулярны); отсюда и название – метод ортогонального преобразования. Напоминаю распространённую матричную запись и , где: – матрица ортогонального преобразования. Посмотрим, как работает метод в простейшем случае: Пример 10 Это не опечатка – пример уже десятый! Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования Найти матрицу соответствующего преобразования. Решение: запишем матрицу формы уравнения и из найдём её собственные числа: Очевидно, что , таким образом: – квадратичная форма в каноническом виде. Найдём соответствующее линейное преобразование. Для этого нужно отыскать собственные векторы матрицы : 1) Если , то получаем систему линейных уравнений: , откуда следует, что . Полагая , запишем первый собственный вектор: – координаты удобно записывать именно в столбец! Сразу вычислим длину вектора (скоро потребуется): 2) Если , то имеем систему: , из которой следует, что Пусть , тогда и – второй собственный вектор. Его длина: Если матрица формы имеет различные собственные числа, то соответствующие собственные векторы попарно ортогональны. Убедимся в справедливости этого утверждения для нашей пары, вычислив их скалярное произведение: Поскольку длины векторов не равны единице, то их нужно нормировать, т.е. найти коллинеарные им векторы единичной длины. Для этого каждую координату собственного вектора делим на его длину: – координаты – координаты на ; на . Такую задачу мы решали в курсе аналитической геометрии на уроке… да, на уроке Уравнение плоскости (Пример 5), но сейчас речь идёт, подчёркиваю, о векторах в их алгебраическом смысле. Проверим, что длины полученных векторов действительно равны единице: , ч.т.п. Теперь последовательно помещаем координаты векторов в столбцы матрицы: – это и есть матрица выполненного ортогонального преобразования, в строках которой находятся «игрековые» коэффициенты линейных замен: Ответ: , . Полученный результат можно проверить: 1) непосредственной подстановкой в форму : 2) либо с помощью знакомой формулы: – получив «каноничную» матрицу. Справка: матрица ортогонального преобразования квадратичной формы относится к классу так называемых ортогональных матриц (Вики), которые встречаются не только в этой теме. Ортогональная матрица обладает рядом интересных свойств, в частности, её определитель равен +1 либо –1, а транспонированная матрица совпадает с обратной матрицей. А сейчас обратим внимание на следующий момент: канонический вид и алгоритм решения никак не регламентируют порядок расположения собственных чисел, и поэтому форму можно привести к такому виду не единственным способом. Так, если в прорешанном примере перечислить собственные числа в другом порядке: (никто ж не запрещает), то получится другой, тоже канонический вид векторы меняются местами: . При этом нормированные собственные и матрица линейного преобразования будет другой: . В строках этой матрицы находятся «игрековые» коэффициенты соответствующих линейных замен: Желающие могут выполнить прямую подстановку в выходе» получить и «на . Теперь рассмотрим эту же квадратичную форму в геометрической «ипостаси». Для понимания следующего примера нужно ориентироваться (хотя бы в общих чертах) в линиях второго порядка: Пример 11 С помощью теории квадратичных форм привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Иными словами, нам нужно выяснить, какую линию задаёт это уравнение (эллипс, гиперболу, параболу или какую-то другую) и записать его в каноническом виде. В курсе аналитической геометрии мы рассмотрели «традиционные» методы приведения, и вот сейчас познакомимся с ещё одним способом. Начало решения практически совпадает с предыдущей задачей, с той поправкой, что там фигурировали переменные и , а в геометрии обычно используют («старые» переменные) и («новые» переменные – штрихи здесь не имеют никакого отношения к производным). Итак, на первом шаге рассматриваем квадратичную форму , записываем её матрицу и находим её собственные числа. После чего возникает недавний вопрос – в каком порядке их следует перечислить: или ? Когда мы просто приводили форму к каноническому виду, это не имело значения. Но вот тут имеет. В первом случае у нас получится уравнение , во втором: . Оба уравнения задают гиперболу, однако канонический вид имеет только второе уравнение. Таким образом, нас устраивает «комплект» преобразование , но НЕ ФАКТ, что подойдет найденное . Дело в том, что ортонормированные собственные векторы можно выбрать ещё тремя способами: или , и если бы мы просто приводили форму к каноническому виду, то опять же – нас устроил бы любой из 4 вариантов. Но не сейчас. По той причине, что линейные преобразования должны соответствовать формулам формулами поворота декартовой системы координат на угол «фи». Этот факт справедлив только в том случае, если определитель матрицы преобразования равен «плюс» единице: . Проверяем: , таким образом, нам повезло, и преобразование шаблон действительно подходит под . Значениям соответствует табличный угол привычнее, конечно, говорить об угле , но . Таким образом, поворачивая систему на 45 градусов по часовой стрелке, мы переходим от уравнения в старой системе координат к каноническому уравнению в новой системе координат : Наклоните голову вправо на 45 градусов и убедитесь, что в «красной» системе координат гипербола действительно имеет канонический вид. Кроме того, нас устроило бы ещё одно преобразование: видеть, что его определитель равен «плюс» единице и формулам соответствует поворот системы . Легко на против часовой стрелки. В этом случае оси будут «смотреть» в противоположные стороны и гипербола тоже окажется в каноническом положении. Желающие могут повернуть голову влево на 135 градусов и приобщиться к прекрасному :) Ответ: Что произойдёт, если квадратичную форму приводить к каноническому виду методом Лагранжа? В общем случае будут получаться другие гиперболы. Но гиперболы! И вообще – любое невырожденное линейное преобразование данной формы будет приводить нас к уравнениям гипербол, и только к ним – как я отмечал в конце предыдущего урока, такое преобразование не меняет СУЩНОСТИ формы. Таким образом, метод Лагранжа – это «быстрый» способ узнать, что это за линия, но вот сохранение её размеров нам гарантирует лишь ортогональное преобразование. Ортогональное линейное преобразование переводит ортонормированный базис в другой ортонормированный базис и сохраняет размеры объектов. Это справедливо для пространства любой размерности, и, кроме того, применимо не только к квадратичным формам – ортогональному преобразованию (Вики) посвящена отдельная тема высшей алгебры, и интересующихся я отсылаю к соответствующим источникам информации. Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 12 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования. Решить задачу двумя способами (переставляя собственные числа) и записать матрицы соответствующих линейных преобразований. После чего мы продолжим банкет родственной геометрической задачей: Пример 13 Данную линию мы уже приводили к каноническому виду (Пример 1) и сейчас сделаем то же самое, используя новый метод. Надеюсь все прорешали предыдущее задание, поскольку начало решения будет совпадать с точностью до обозначений, и нам осталось выбрать подходящее преобразование: или Очевидно, здесь получится уравнение эллипса , и чтобы выдерживалось неравенство полуосей, нам подойдёт МЕНЬШИЙ коэффициент при переменной «икс штрих», то есть, следует выбрать первый вариант: В своём образце решения я сразу выбрал подходящее преобразование , определяющее поворот на угол у вас мог получиться и любой другой их трёх оставшихся случаев (в зависимости от выбора собственных векторов). Преобразование а вот тоже приемлемо (поворот примерно на и ), непригодны, так как не соответствуют формулам . Итак, в результате замен исходное уравнение преобразуется к виду: Данное уравнение задаёт тот же самый эллипс в системе цвет), которая получена поворотом системы на угол , но (зелёный : Осталось провести параллельный перенос координатных осей. Выделяем полные квадраты: И в результате замен получаем каноническое уравнение эллипса в «красной» системе : Ответ: Но для решения этой задачи, конечно, выгоднее метод инвариантов. Самостоятельно решите Пример 3 того же урока, которому была посвящена целая мыльная опера с несколькими чертежами: Пример 14 – привести уравнение линии к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования квадратичной формы. Следует отметить, что здесь нас устроит всего лишь одно преобразование из четырёх, поскольку перед нами парабола, и в каноническом положении она «смотрит» в одну, строго определённую сторону. Краткое решение и ответ в конце урока. Любопытно, что тут решение, наоборот – получилось заметно проще, чем «классическим» геометрическим методом. Ну и конечно, подарок, если нужно выполнить только один поворот, как в Примере 11. Кстати, как быстро и даже устно определить тип линии? Если определитель матрицы формы , то перед нами линия эллиптического типа (эллипс, мнимый эллипс или пара мнимых пересекающихся прямых), если пара пересекающихся прямых), и если – то гиперболического (гипербола или – то параболического (парабола, пара параллельных (мнимых или обычных) или пара совпавших прямых). На этой позитивной ноте перейдёт к квадратичным формам трёх переменных: Пример 15 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом ортогонального преобразования Найти соответствующее преобразование Решение начинается точно так же: запишем матрицу формы и найдём её собственные числа: определитель раскрою по 1-й строке: напоминаю полезный технический приём – в первом слагаемом, где нам светит «лямбда в кубе», не нужно спешить раскрывать скобки: решив квадратное уравнение, раскладываем трёхчлен на множители: таким образом, нам удалось избавиться от многочлена 3-й степени, отыскание корней которого – есть непростая задача. И теперь такой задачи нет: Порядок собственных чисел не имеет значения, и поэтому я выберу вариант: – чтобы красивее записать канонический вид: Найдём ортогональное линейное преобразование. Сложность задачи состоит в том, что если среди собственных чисел есть кратные, то ортогональность найденных собственных векторов не гарантирована, и в «неудачном» случае нам придётся предпринять меры по их ортогонализации. Впрочем, не будем торопить события: 1-2) Если , то получаем систему: , которая фактически состоит из одного уравнения. Выберем в качестве базисной переменную «альфа» и выразим её через свободные переменные: . Запишем общее решение в столбец: Теперь нам нужно найти векторы фундаментальной системы. Для значений получаем: – первый вектор фундаментальной системы; и для : – второй вектор. Легко видеть, что оба вектора удовлетворяют системе (уравнению ) и, естественно, являются собственными. Вычислим их скалярное произведение: , значит, данные векторы НЕ ортогональны, что нас не устраивает. Поэтому эту пару векторов следует ортогонализовать. Поскольку любая линейная комбинация векторов фундаментальной системы тоже является решением системы (уравнения ), то рассмотрим вектор , где – пока ёщё неизвестный числовой коэффициент, и составим следующее скалярное произведение, которое должно быть равно нулю: по свойствам скалярного произведения: откуда выражаем и находим: Таким образом, в качестве первого собственного вектора выбираем: и в качестве второго: Как на ладони видно: – что полученные векторы действительно ортогональны С третьим собственным вектором всё прозрачно: 3) Если , то получаем систему: из 2-го уравнения выразим – подставим в 1-е и 3-е уравнения: Пусть Таким образом, третий собственный вектор: . Не забываем о проверке – устно или на черновике подставляем его координаты в каждое уравнение системы. И проверяем, ортогонален ли он ранее найденным векторам : Отлично. Осталось вычислить длины векторов и при необходимости их нормировать: Таким образом, матрица ортогонального преобразования: Запишем ответ: и преобразование в виде прямых замен: Но подставлять всё это в что-то не хочется :) Однако, проверка нужна, и мне проще воспользоваться матричным калькулятором: Засёк для интереса время, «забивка» матриц и вычисления заняли ровно 2 минуты. И здесь есть ещё один интересный момент. В рассмотренной задаче векторы фундаментальной системы можно выбрать бесчисленным количеством способов, и поэтому мы можем построить бесконечно много ортогональных преобразований, которые приводят форму к виду конечно, не всегда. . Но так бывает, В заключение статьи кратко расскажу о геометрическом смысле ортогонального преобразования формы трёх переменных. Даже добавлять константу не буду: – данное уравнение определяет некоторую поверхность второго порядка в «школьном» базисе это за поверхность – скажет разве что вундеркинд. . Что Проведённое ортогональное преобразование осуществляет переход к другому ортонормированному базису – ТАКОМУ, в котором данная поверхность имеет канонический вид: – откуда сразу понятно, что это коническая поверхность, причём, ортогональное преобразование сохранило её размеры. Кстати, перед нами конус вращения, и теперь стало ясно, почему существует бесконечно много пригодных ортогональных преобразований: связку векторов мы можем «повернуть в горизонтальной плоскости» как угодно, и во всех полученных базисах канонический вид. коническая поверхность будет иметь Саму же разновидность поверхности можно выяснить быстрее – методом Лагранжа, но он в общем случае будет «показывать» нам конусы других размеров. И задача для самостоятельного решения, тоже с кратными собственными числами, ибо с разными получится как-то совсем скучно: Пример 16 Найти ортогональные линейные замены, приводящие форму к каноническому виду Не пропускайте, это несколько другой тип ;) Да и вычислений заметно меньше. Для квадратичных форм четырёх и бОльшего количества переменных задача ортогонального преобразования решается по аналогии. Но в учебной практике такие примеры редкость ввиду их вычислительной сложности, и поэтому я завершаю эту увлекательную тему. Квадратичные формы – держат нас в форме! Решения и ответы: Пример 12. Решение: запишем матрицу формы собственные числа: Решим квадратное уравнение: и найдём её – собственные числа, таким образом: – форма – в каноническом виде. Найдём собственные векторы, их длины и при необходимости выполним нормирование: 1) Если , то: , пусть Таким образом: . Разделим каждую координату на длину: 2) Если , то: , пусть Таким образом: Таким образом, матрица линейного преобразования: Выполним проверку прямой подстановкой в : , что и требовалось проверить. Ответ: чисел: , в случае перестановки собственных , , Пример 14. Решение: запишем матрицу найдём её собственные числа: квадратичной формы и так как каноничная парабола определяется уравнением нужно перечислить собственные числа в следующем порядке: Таким образом, квадратичная форма преобразуется к виду: . Найдём собственные векторы и при необходимости выполним их нормирование: 1) Если , то: , пусть , то нам 2) Если , то: , пусть Примечание: вектор в пару к не годится, т.к. линейное преобразование не будет соответствовать формулам поворота. Таким образом, матрица линейного преобразования: , которое по формулам уравнение к виду: приводит Однако, после раскрытия скобок, выясняется, что знак при переменной приведёт нас каноническому виду не . И поэтому нужно выбрать другое преобразование, определитель которого . Этому критерию подходит пара ортонормированных векторов , задающая , преобразование с поворотом на (это угол табличный: значениям соответствует или рад.) рад. (–135 градусов) Таким образом, данное преобразование приводит нас к уравнению: избавимся от иррациональности в знаменателях, домножив числители и знаменатели на : «собираем» полный квадрат при переменной и проводим замены : . Ответ: Пример 16. Решение запишем матрицу формы её собственные числа: определитель выгодно раскрыть по 3-й строке или 3-му столбцу: – собственные числа, таким образом: – форма Найдём собственные векторы: в каноническом виде. и найдём 1-2) Если , то получаем систему: , из которой очевиден собственный вектор Второй вектор найдём для из соотношения . . Пусть 3) Если , то: Пусть Проверим, что полученный вектор ортогонален двум первым векторам: Первый вектор уже имеет единичную длину, поэтому: другие векторы нужно нормировать: Таким образом, матрица ортогонального преобразования: Ответ: Проверим результат прямой подстановкой в форму : сгруппируем вместе и приведём подобные слагаемые: , что и требовалось проверить. Пределы: Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. Итак, что же такое предел? А сразу пример, чего бабушку лохматить…. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела . 2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ). 3) Функции под знаком предела, в данном случае Сама запись стремящемся к единице». . читается так: «предел функции при икс Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , …. То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Готово. Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией , , ,… Итак: если , то функция ? стремится к минус бесконечности: Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать функции: Вывод: при до бесконечности и смотрим на поведение функция неограниченно возрастает: И еще серия примеров: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: , , , , , , , , , Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , . ! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом. Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? 1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. 2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д. Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует! На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже: Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Пример: Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени. Разделим числитель и знаменатель на Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность. Что принципиально важно в оформлении решения? Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш. Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Пример 2 Найти предел Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени: Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности числитель и знаменатель на . Полное оформление задания может выглядеть так: Разделим числитель и знаменатель на делим Пример 3 Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( Для раскрытия неопределенности знаменатель на можно записать как ) необходимо разделить числитель и . Чистовой вариант решения может выглядеть так: Разделим числитель и знаменатель на Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности вида получиться конечное число, ноль или бесконечность. Пределы с неопределенностью вида у нас может и метод их решения Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность . Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него: . В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе. ! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Далее находим корни: Таким образом: Всё. Числитель на множители разложен. Знаменатель. Знаменатель упростить его никак нельзя. уже является простейшим множителем, и Очевидно, что можно сократить на : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: Разложим числитель на множители. Пример 5 Вычислить предел Сначала «чистовой» вариант решения Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: Знаменатель: , Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть. Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения. Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус. ! Важно В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки). , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно. Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Пример 6 Найти предел Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. Получена неопределенность вида , которую нужно устранять. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать выражением). (которое и называется сопряженным Умножаем числитель на сопряженное выражение: Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем. Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на : То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием. Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу : Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни: Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе: Готово. Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Пример 7 Найти предел Сначала попробуйте решить его самостоятельно. Окончательное решение примера может выглядеть так: Разложим числитель на множители: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение Спасибо за внимание. Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»! Желаю успехов! Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов математического анализа. Вопрос решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее, мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка. Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который дал строгие определения многим понятиям матана и заложил его основы. Надо сказать, этот уважаемый математик снился, снится и будет сниться в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов, так как доказал огромное количество теорем математического анализа, причём одна теорема убойнее другой. В этой связи мы пока не будем рассматривать определение предела по Коши, а попытаемся сделать две вещи: 1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов. Прошу прощения за некоторую ненаучность объяснений, важно чтобы материал был понятен даже чайнику, что, собственно, и является задачей проекта. Итак, что же такое предел? А сразу пример, чего бабушку лохматить…. Любой предел состоит из трех частей: 1) Всем известного значка предела . 2) Записи под значком предела, в данном случае . Запись читается «икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ). 3) Функции под знаком предела, в данном случае Сама запись стремящемся к единице». читается так: «предел функции . при икс Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность: сначала , затем , , …, , …. То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного, нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела: Готово. Итак, первое правило: Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. Мы рассмотрели простейший предел, но и такие встречаются на практике, причем, не так уж редко! Пример с бесконечностью: Разбираемся, что такое ? Это тот случай, когда неограниченно возрастает, то есть: сначала , потом , потом , затем и так далее до бесконечности. А что в это время происходит с функцией , , ,… Итак: если , то функция ? стремится к минус бесконечности: Грубо говоря, согласно нашему первому правилу, мы вместо «икса» подставляем в функцию бесконечность и получаем ответ. Еще один пример с бесконечностью: Опять начинаем увеличивать функции: Вывод: при функция И еще серия примеров: до бесконечности и смотрим на поведение неограниченно возрастает: Пожалуйста, попытайтесь самостоятельно мысленно проанализировать нижеследующее и запомните простейшие виды пределов: , , , , , , , , , Если где-нибудь есть сомнения, то можете взять в руки калькулятор и немного потренироваться. В том случае, если , попробуйте построить последовательность , , . Если , то , , . ! Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующую вещь. Даже если дан предел с большим числом вверху, да хоть с миллионом: , то все равно , так как рано или поздно «икс» начнёт принимать такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом. Что нужно запомнить и понять из вышесказанного? 1) Когда дан любой предел, сначала просто пытаемся подставить число в функцию. 2) Вы должны понимать и сразу решать простейшие пределы, такие как , , и т.д. Более того, у предела есть очень хороший геометрический смысл. Для лучшего понимания темы рекомендую ознакомиться с методическим материалом Графики и свойства элементарных функций. После прочтения этой статьи вы не только окончательно поймете, что такое предел, но и познакомитесь с интересными случаями, когда предела функции вообще не существует! На практике, к сожалению, подарков немного. А поэтому переходим к рассмотрению более сложных пределов. Кстати, по этой теме есть интенсивный курс в pdf-формате, который особенно полезен, если у Вас ОЧЕНЬ мало времени на подготовку. Но материалы сайта, разумеется, не хуже: Пределы с неопределенностью вида и метод их решения Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда , а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены Пример: Вычислить предел Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию. Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу? Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность вида . Можно было бы подумать, что , и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим. Как решать пределы данного типа? Сначала мы смотрим на числитель и находим в старшей степени: Старшая степень в числителе равна двум. Теперь смотрим на знаменатель и тоже находим в старшей степени: Старшая степень знаменателя равна двум. Затем мы выбираем самую старшую степень числителя и знаменателя: в данном примере они совпадают и равны двойке. Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность необходимо разделить числитель и знаменатель на в старшей степени. Разделим числитель и знаменатель на Вот оно как, ответ , а вовсе не бесконечность. Что принципиально важно в оформлении решения? Во-первых, указываем неопределенность, если она есть. Во-вторых, желательно прервать решение для промежуточных объяснений. Я обычно использую знак , он не несет никакого математического смысла, а обозначает, что решение прервано для промежуточного объяснения. В-третьих, в пределе желательно помечать, что и куда стремится. Когда работа оформляется от руки, удобнее это сделать так: Для пометок лучше использовать простой карандаш. Конечно, можно ничего этого не делать, но тогда, возможно, преподаватель отметит недочеты в решении либо начнет задавать дополнительные вопросы по заданию. А оно Вам надо? Пример 2 Найти предел Снова в числителе и знаменателе находим в старшей степени: Максимальная степень в числителе: 3 Максимальная степень в знаменателе: 4 Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку. Согласно нашему алгоритму, для раскрытия неопределенности делим числитель и знаменатель на . Полное оформление задания может выглядеть так: Разделим числитель и знаменатель на Пример 3 Найти предел Максимальная степень «икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1 ( Для раскрытия неопределенности знаменатель на можно записать как необходимо разделить числитель и . Чистовой вариант решения может выглядеть так: ) Разделим числитель и знаменатель на Под записью подразумевается не деление на ноль (делить на ноль нельзя), а деление на бесконечно малое число. Таким образом, при раскрытии неопределенности вида получиться конечное число, ноль или бесконечность. Пределы с неопределенностью вида у нас может и метод их решения Предвосхищаю вопрос от чайников: «Почему здесь деление на ноль? На ноль же делить нельзя!». Смысл записи 0:0 будет понятен позже, после ознакомления с четвёртым уроком о бесконечно малых функциях. А пока всем начинающим изучать математический анализ предлагаю читать далее. Следующая группа пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы: в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не к бесконечности, а к конечному числу. Пример 4 Решить предел Сначала попробуем подставить -1 в дробь: В данном случае получена так называемая неопределенность . Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и имеется неопределенности вида , то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращенного умножения. Если данные вещи позабылись, тогда посетите страницу Математические формулы и таблицы и ознакомьтесь с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Кстати его лучше всего распечатать, требуется очень часто, да и информация с бумаги усваивается лучше. Итак, решаем наш предел Разложим числитель и знаменатель на множители Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение: Сначала находим дискриминант: И квадратный корень из него: . В случае если дискриминант большой, например 361, используем калькулятор, функция извлечения квадратного корня есть на самом простом калькуляторе. ! Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно либо в задании опечатка. Далее находим корни: Таким образом: Всё. Числитель на множители разложен. Знаменатель. Знаменатель упростить его никак нельзя. уже является простейшим множителем, и Очевидно, что можно сократить на : Теперь и подставляем -1 в выражение, которое осталось под знаком предела: Естественно, в контрольной работе, на зачете, экзамене так подробно решение никогда не расписывают. В чистовом варианте оформление должно выглядеть примерно так: Разложим числитель на множители. Пример 5 Вычислить предел Сначала «чистовой» вариант решения Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: Знаменатель: , Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать, как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть. Рекомендация: Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это делаем. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела. Зачем? Да просто чтобы они не мешались под ногами. Главное, потом эти числа не потерять по ходу решения. Обратите внимание, что на заключительном этапе решения я вынес за значок предела двойку, а затем – минус. ! Важно В ходе решения фрагмент типа встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести -1 за скобки). , то есть появляется знак «минус», который при вычислении предела учитывается и терять его совсем не нужно. Вообще, я заметил, что чаще всего в нахождении пределов данного типа приходится решать два квадратных уравнения, то есть и в числителе и в знаменателе находятся квадратные трехчлены. Метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение Продолжаем рассматривать неопределенность вида Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное, помимо многочленов, у нас добавятся корни. Пример 6 Найти предел Начинаем решать. Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике. Получена неопределенность вида , которую нужно устранять. Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней. А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем? А без них жизнь проще. Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности используют метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов: И смотрим на наш предел: Что можно сказать? у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать выражением). (которое и называется сопряженным Умножаем числитель на сопряженное выражение: Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем. Хорошо, мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на : То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение. В известной степени, это искусственный прием. Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу : Неопределенность не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни: Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела. Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе: Готово. Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте? Примерно так: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение. Пример 7 Найти предел Сначала попробуйте решить его самостоятельно. Окончательное решение примера может выглядеть так: Разложим числитель на множители: Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение Спасибо за внимание. Помимо рассмотренных типов пределов на практике часто встречаются так называемые Замечательные пределы. После освоения двух базовых уроков, рекомендую изучить статью Методы решения пределов, материалы которой позволят выйти на «твёрдую четвёрку»! Желаю успехов! Замечательные пределы. Примеры решений Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей Пределы. Примеры решений. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме. А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы. Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне. Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически. Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентовзаочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел. Начнем. Первый замечательный предел Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала). Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что: Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях. Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены подругому, это ничего не меняет: – тот же самый первый замечательный предел. ! Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде не переставляя. , то и решать его нужно в таком же виде, ничего На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю. Примеры: , , , Здесь , , , замечательный предел применим. , и всё гуд – первый А вот следующая запись – ересь: Почему? Потому что многочлен пятерке. не стремится к нулю, он стремится к Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел можно найти в конце урока. ? Ответ На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»). Переходим к рассмотрению практических примеров: Пример 1 Найти предел Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела. Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике): Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится ,ав знаменателе . В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». А делается это очень просто: То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом: Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики. Готово. Окончательный ответ: Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так: “ Используем первый замечательный предел “ Пример 2 Найти предел Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль: Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей): Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у нас , значит, в числителе тоже нужно получить Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице: : Собственно, ответ готов: В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно. Пример 3 Найти предел Подставляем ноль в выражение под знаком предела: Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы). В данном случае: Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице): Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении. Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел: Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении: В итоге получена бесконечность, бывает и такое. Пример 4 Найти предел Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель: Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице) Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто. Постоянные множители вынесем за значок предела: Организуем первый замечательный предел: Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении: Избавимся от трехэтажности: Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю: Пример 5 Найти предел Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно: Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов. Второй замечательный предел В теории математического анализа доказано, что: Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: – это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Пример 6 Найти предел Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел. Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений. Нетрудно заметить, что при основание степени показатель – , то есть имеется, неопределенность вида ,а : Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень : Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем: Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву : При этом сам значок предела перемещаем в показатель: Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен. Пример 7 Найти предел Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример. Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас значит, в числителе тоже нужно организовать : Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель: Вроде бы основание стало напоминать , но у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, делаем дробь трехэтажной: Таким образом, основание приняло вид , и, более того, появилась нужная нам неопределенность . Организуем второй замечательный предел . Легко заметить, что в данном примере . Снова исполняем наш , искусственный прием: возводим основание степени в выражение не изменилось – возводим в обратную дробь Наконец-то долгожданное его в букву : , и, чтобы : устроено, с чистой совестью превращаем Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность вида , раскрывать такую неопределенность мы научились на уроке Пределы. Примеры решений. Делим числитель и знаменатель на : Готово. А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом: . Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так: Пример 8 Найти предел Сначала (мысленно или на черновике) пробуем подставить ноль (бесконечно малое число) в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена знакомая неопределенность . Очевидно, что в данном примере . С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию Выражение : со спокойной душой превращаем в букву : Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида . Раскладываем тангенс на синус и косинус (ничего не напоминает?): Косинус нуля стремится к единице (не забываем помечать карандашом), поэтому он просто пропадает в произведении: А что такое и к чему оно стремится, нужно уже знать, иначе «двойка»! Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов. Чтобы окончательно разобраться в пределах функций, и во 2-м замечательном пределе в частности, настоятельно рекомендую ознакомиться с третьим уроком – Методы решения пределов. В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? (со списком всех замечательных пределов можно ознакомиться в соответствующей методичке). Ничего страшного, практически все приёмы решения 1-го замечательного предела работают и для остальных замечательных пределов, читайте 2-й параграф заключительной статьи Сложные пределы. Да, так чему же равен предел Если у Вас получился ответ всё так безнадежно = ) Желаю успехов! ? , значит в понимании высшей математики не Методы решения пределов. Неопределённости. Порядок роста функции. Метод замены На уроках Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы мы рассмотрели азы темы, и данная статья продолжает наше погружение в мир пределов. Помимо закрепления материала, будет много новой информации о методах решения пределов, и, конечно же, примеры, примеры, примеры со всеми техническими тонкостями решений. Качественная проработка урока позволит выйти на уверенный средний уровень даже полному чайнику. Что необходимо знать и уметь на данный момент? – Вы должны ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Не выучить, не зазубрить, а именно понять хотя бы на общем, интуитивном уровне. Поэтому, если пределы сродни китайской грамоте, пожалуйста, начните с базового урока Пределы. Примеры решений, а также загляните в справку Графики и свойства элементарных функций, где я проиллюстрировал геометрический смысл понятия. – Необходимо уметь использовать основные методы решения пределов и справляться с наиболее распространёнными заданиями. Очень хорошо, если кроме примеров моих первых двух уроков, вы порешали (или попытались порешать) что-нибудь дополнительно. Есть? Едем дальше. Начнём с пары вопросов, которые вызвали недопонимание у некоторых посетителей сайта. За 2 года в отзывах и личной переписке мне удалось выяснить те моменты, которые недостаточно подробно рассмотрены в ранних статьях. И сейчас самое время акцентировать на них внимание. Первый вопрос затрагивает саму сущность предела. В черновой версии урока я даже процитировал Винни-Пуха: «Куда идём мы с Пятачком, большой-большой секрет». Но потом убрал… нехорошо как-то… выходит все, кто этого не понял – медведи с опилками в голове. «Чему равен предел ?» (пример условный) Действительно, чему? Здесь не указано, куда стремится «икс», и такая запись не имеет смысла: Предел функции не летает где-то по воздуху на воздушном шаре, он может существовать (или не существовать) только в определённой точке (в частности, в точке или ). Например: Заодно вспоминаем примитивный, но важный приём – чтобы вычислить предел, сначала нужно попытаться подставить значение «икс» в функцию. В случае с бесконечностью очевидно, что: Иными словами, если возрастает. , то функция неограниченно А вот следующего предела не существует: Значение не входит в область определения функции (под корнем получается «минус»). рАвно не существует и такого предела: Тут «икс» стремится к «минус бесконечности», и под корнем нарисуется бесконечно большое отрицательное число. Итак, в природе не существует «просто предела». Предел может существовать (или не существовать) лишь в определённой точке, в частности, в точке «плюс бесконечность» или «минус бесконечность». В процессе оформления практических примеров постарайтесь придерживаться следующей рекомендации: не допускайте неполной записи вроде , это одна из самых скверных оплошностей. Презумпция виновности студента утверждает, что он либо совсем не в теме, либо откуда-то впопыхах списал пример. Второй вопрос касается путаницы с неопределённостями, которые возникают в ходе решения более сложных пределов. Систематизируем информацию: Что в пределах функций ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью и НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью Прежде всего, перед решением любого предела, обязательно выполняем подстановку «икса» в функцию – неопределённости может и не быть! Однако сладостей много вредно, и на первых двух уроках мы сталкивались со следующими неопределённостями: Кроме указанных видов, существует довольно распространённая неопределённость («бесконечность минус бесконечность»), которую мы подробно разберём в этой статье, и совсем редко встречаются неопределённости . Для того чтобы устранить неопределённость, как вы знаете, необходимо использовать некоторые правила и методы решения пределов. Теперь о том, ЧТО НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью. Неопределённостью не является: – Любая определённость =) – Бесконечно малое число, делённое на ненулевую константу: можно отнести бесконечно малое число, делённое на бесконечно . Сюда же большое число: – Ненулевая константа, делённая на бесконечно малое число, например: . – Начинающие изучать математический анализ, часто пытаются устранить мифическую неопределённость определённость: . Но все попытки тщетны, поскольку это представим «бесконечность делить на ноль» в виде произведения: согласно предыдущему пункту: , и, . Приведу живой пример: Примечание: на практике значок часто записывают без «плюса»: , но, строго говоря, это две разные вещи. Для простоты я буду считать второе обозначение «плюс бесконечностью» и иногда в целях бОльшей чёткости изложения ставить знак «плюс». – Число, не равное единице, в бесконечно большой степени не является неопределённостью. Например: . В частности: . – Разность двух функций, каждая из которых стремится к нулю, например: . Таким образом, неопределённости «ноль минус ноль» тоже не существует – это определённость. Многие из перечисленных неопределённостей и определённостей уже встречались и ещё неоднократно встретятся на практике. До нового 2013 года остаются считанные дни, и в качестве подарка я принёс увесистый ящик с петардами: Порядок роста функции В данном параграфе будут разобраны пределы с многочленами, многочленами под корнем, когда или . Материал вам уже частично знаком, и настала пора разобраться в нём как следует. Давайте научимся находить решение в считанные секунды! Вычислим следующий предел: На базовом уроке Пределы. Примеры решений я рекомендовал рассуждать не совсем корректным способом: сначала «икс» равно 10, потом, 100, затем 1000, миллион и т.д. до бесконечности. В чём изъян такого подхода? Построим данную последовательность: Исходя из полученных результатов, складывается стойкое впечатление, что предел стремится к «минус бесконечности», но на поверку впечатление кардинально ошибочно: В этой связи необходимо знать теорию матана, а именно, некоторые выкладки о порядке роста функции. Применительно к нашему примеру можно сказать, что слагаемое обладает более высоким порядком роста, чем сумма . Иными словами, при достаточно больших значениях «икс» слагаемое «перетянет» на «плюс бесконечность» всё остальное: При небольших значениях «икс» – да, сладкая парочка перетягивает канат в сторону «минус бесконечности», что и привело нас к неверному первоначальному выводу. Но уже при получается гигантское положительное число . Если сильно уменьшить первое слагаемое, то от этого ничего не изменится: , будет лишь отсрочен тот момент, когда бравая дробь «вытянет» весь предел на «плюс бесконечность». Не поможет и «усиление противовеса»: . Нулей можете приписать, сколько хотите (без шуток). Удивительная наука математический анализ – способна низвести любого монстра до мелочи пузатой. Таким образом, кубическая функция имеет более высокий порядок роста, чем: – квадратичная функция; – линейная функция; – функция-константа; – сумма квадратичной функции, линейной функции и константы (в любых комбинациях). На простейшем примере поясню геометрический смысл вышесказанного. Представьте графики линейной , квадратичной и кубической функций (см. методичку Графики и свойства функций). Легко заметить, что при увеличении значений «икс», кубическая парабола взмывает вверх гораздо быстрее и круче, чем парабола и, тем более, прямая. Аналогичное правило можно сформулировать для любой степени: Степенная функция данной степени растёт быстрее, чем любая степенная функция более низкой степени. И быстрее, чем сумма любого количества степенных функций более низкой степени. Найдём предел Значение данного предела зависит только от слагаемого . Всё остальное МЫСЛЕННО отбрасываем: , и теперь ясно как день, что предел стремится к «минус бесконечности»: То есть, слагаемое более высокого порядка роста, чем всё остальное. У «хвоста» могут быть сколь угодно большие константы, другие знаки, но результат от этого НЕ ИЗМЕНИТСЯ. Сравнение бесконечно больших функций На первом уроке мы вычислили три предела с неопределённостью : В перечисленных примерах используется стандартный приём деления числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени и всё расписывается подробно. Но правильный ответ легко выяснить ещё до решения! В первом примере в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: . В таких случаях говорят, что функции числителя и знаменателя обладают одинаковым порядком роста. Или короче – числитель и знаменатель одного порядка роста. Действительно, в данном пределе и вверху, и внизу находятся квадратичные функции. Мир, равенство, братство. Во втором примере аналогично – в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО уберём всех малышей: Здесь знаменатель более высокого порядка, чем числитель. Функциямногочлен 4-й степени растёт быстрее кубической функции и «перетягивает» предел на ноль. И, наконец, в пределе карлики тоже идут лесом: А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель. Квадратичная функция растёт быстрее линейной и «перетягивает» предел на «плюс бесконечность». Сделаем краткую теоретическую выжимку. Рассмотрим две произвольные функции , которые определены на бесконечности. 1) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если , то функции называют эквивалентными на бесконечности. 2) Если , то функция 3) Если , то функция ! Примечание: при более высокого порядка роста, чем более высокого порядка роста, чем . . суть выкладок не меняется. Подчеркиваю ещё раз, что данные факты относятся к произвольным функциям, определённым на бесконечности, а не только к многочленам. Но у нас ещё непаханое поле полиномов, поэтому, продолжаем работать с ними… да вы не грустите, для разнообразия я добавлю корней =) Пример 1 Найти предел В наличии неопределённость и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени. Старшая степень числителя равна двум. Знаменатель…. Как определить старшую степень, если многочлен под корнем? МЫСЛЕННО отбрасываем все слагаемые, кроме самого старшего: . Константу тоже отбрасываем и выясняем старшую степень знаменателя: . Она тоже равна двум. Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу, отличному от нуля. Почему бы сразу не узнать ответ? В числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: . Таким образом, наши функции не только одного порядка роста, но ещё и эквивалентны на бесконечности. Оформляем решение: Разделим числитель и знаменатель на В действительности пару шагов можно пропустить, просто я подробно расписал, как в знаменателе под корень вносится . Пример 2 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь провести рассуждения по образцу первого примера. Также заметьте, что здесь неопределённость , что необходимо отразить в решении. Примерный образец чистового оформления примера в конце урока. Во избежание недочёта, всегда анализируйте, какая неопределённость получается в пределах рассматриваемого вида. Помимо неопределённости может встретиться неопределённость либо . Во всех четырёх случаях числитель и знаменатель необходимо разделить на «икс» в старшей степени. Пример 3 Найти предел Слишком трудный предел? Лёгкий испуг от хлопушки. Главное, грамотно управиться с радикалами. Проведём предварительный анализ: Сначала выясним старшую степень числителя. Там сумма двух корней. Под корнем отбросим младшее слагаемое: константу: слагаемые: . Под корнем и уберём отбросим все младшие . , значит, старшая степень числителя: . Разбираемся с нижним этажом. Под корнем константу: . У многочлена отбрасываем старшая степень равна двум. , значит, старшая степень знаменателя: Кстати, заметьте, что корень . более высокого порядка роста, чем , поэтому весь знаменатель будет стремиться к «плюс бесконечности». Сравниваем старшие степени: , следовательно, числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, и сразу можно сказать, что предел будет равен бесконечности. Оформляем решение, я распишу его максимально подробно: Разделим числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени: : Действия в числителе прозрачны, закомментирую знаменатель. У дроби «разнокалиберные» корни, и квадратный корень «подогнать» под кубический корень уравнение: необходимо . Составим и решим . Таким образом: . Ну и на всякий случай напоминаю формулу выполняется деление: , по которой Другие члены знаменателя: Правила действий с корнями можно найти на странице Математические формулы и таблицы в методичке Горячие формулы школьного курса математики. Также на действиях с радикалами я подробно останавливался при нахождении производных. Пример 4 Найти предел Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость корень ). ( более высокого порядка роста, чем Если «икс» стремится к «минус бесконечности» Призрак «минус бесконечности» уже давно витал в этой статье. Рассмотрим пределы с многочленами, в которых . Принципы и методы решения будут точно такими же, что и в первой части урока, за исключением ряда нюансов. Рассмотрим 4 фишки, которые потребуются для решения практических заданий: 1) Вычислим предел Значение предела зависит только от слагаемого , поскольку оно обладает самым высоким порядком роста. Если , то бесконечно большое по модулю отрицательное число в ЧЁТНОЙ степени, в данном случае – в четвёртой, равно «плюс бесконечности»: («двойка») положительна, поэтому: . Константа 2) Вычислим предел Здесь старшая степень опять чётная, поэтому: . Но перед расположился «минус» (отрицательная константа –1), следовательно: 3) Вычислим предел Значение предела зависит только от . Как вы помните из школы, «минус» «выскакивает» из-под нечётной степени, поэтому бесконечно большое по модулю отрицательное число в НЕЧЁТНОЙ степени равно «минус бесконечности», в данном случае: . Константа («четвёрка») положительна, значит: 4) Вычислим предел Первый парень на деревне снова обладает нечётной степенью, кроме того, за пазухой отрицательная константа, а значит: Таким образом: . Пример 5 Найти предел Используя вышеизложенные пункты, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель и знаменатель одного порядка роста, значит, в пределе получится конечное число. Узнаем ответ, отбросив всех мальков: Решение тривиально: Разделим числитель и знаменатель на Пример 6 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. А сейчас, пожалуй, самый тонкий из случаев: Пример 7 Найти предел Рассматривая старшие слагаемые, приходим к выводу, что здесь неопределённость . Числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, поэтому сразу можно сказать, что предел равен бесконечности. Но какой бесконечности, «плюс» или «минус»? Приём тот же – в числителе и знаменателе избавимся от мелочи: Решаем: Разделим числитель и знаменатель на Почему ? Проанализируем бесконечно малые слагаемые знаменателя: Если , то слагаемые с чётными степенями будут стремиться к бесконечно малым положительным числам (обозначаются через ), а слагаемые с нечётными степенями будут стремиться к бесконечно малым отрицательным числам (обозначаются через ). Теперь зададимся вопросом, какое из этих четырёх слагаемых будет стремиться к нулю (неважно с каким знаком) медленнее всего? Вспомним наивный приём: сначала «икс» равно –10, потом –100, затем –1000 и т.д. Медленнее всего к нулю будет приближаться слагаемое . Образно говоря, это самый «жирный» ноль, который «поглощает» все остальные нули. По этой причине на завершающем этапе и появилась запись . Следует отметить, что знаки бесконечно малых слагаемых числителя нас не интересуют, поскольку там нарисовалась осязаемая добротная единичка. Поэтому в числителе я поставил «просто нули». К слову, знаки при нулях не имеют значения и во всех примерах, где в пределе получается конечное число (Примеры №№5,6). Без измен, на то он и математический анализ, чтобы анализировать =) Впрочем, о бесконечно малых функциях позже, а то вы нажмёте маленький крестик справа вверху =) Пример 8 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. Рекомендую хорошо осмыслить информацию первой части урока, и по возможности сделать перерыв. Неопределённость «бесконечность минус бесконечность» Популярная неопределённость способами: устраняется тремя распространёнными – приведением выражения под знаком предела к общему знаменателю; – умножением/делением на сопряжённое выражение; – преобразованием логарифмов. Рассмотрим первый случай, о котором я ещё не рассказывал: Пример 9 Вычислить предел В данном пределе имеет место неопределённость , и общий алгоритм решения незамысловат: необходимо привести выражение к общему знаменателю, а затем попытаться что-нибудь сократить: (1) Раскладываем знаменатели на множители: в первом знаменателе выносим «икс» за скобки, во втором знаменателе используем формулу разности кубов . Данный шаг можно было пропустить, но этим пришлось бы заниматься потом, и, на мой взгляд, разложение на множители удобнее провести сразу же. (2) Приводим выражение к общему знаменателю. (3) Приводим подобные слагаемые в числителе. Неопределённость трансформировалась в неопределённость , которая стандартно раскрывается разложением числителя и знаменателя на множители. (4) Знаменатель уже разложен на множители. Раскладываем на множители числитель, в данном случае использована формула (5) Сокращаем числитель и знаменатель на , устраняя неопределённость. Как видите, новизны-то особой и нет. Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример 10 Вычислить предел Решение и ответ в конце урока Второй вид пределов с неопределённостью представляет собой разность, в которой присутствуют два или один корень: Пример 11 Вычислить предел . Каноничный образец. Метод решения подробно разобран на уроке Пределы. Примеры решений. Необходимо умножить и разделить на сопряженное выражение, чтобы потом воспользоваться формулой Умножим и разделим на сопряженное выражение: Неопределённость превратилась в неопределённость Такие семечки мы грызли в первом разделе данного урока. . Узнаёте? Числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу. Разделим числитель и знаменатель на : Не редкость, когда в разности всего один корень, но это не меняет алгоритма решения: Пример 12 Вычислить предел Пример 13 Вычислить предел Это пара коротких примеров для самостоятельного решения. Следует отметить, что пределы рассмотренного типа не обязаны равняться конечному числу, вполне может получиться и бесконечность, причём, как «плюс», так и «минус». Кстати, в примере №13 можно посмотреть на порядок роста членов, чтобы сразу выяснить ответ ;-) Иногда на практике встречаются пределы-«обманки», в которых неопределённости «бесконечность минус бесконечность» нет вообще, вот простейший пример: Таким образом, будьте предельно внимательны: перед решением предела необходимо убедиться, что неопределённость действительно есть! В заключительной части статьи вернёмся к незаслуженно забытым замечательным пределам, где рассмотрим, в том числе, третий тип пределов с неопределённостью . Метод замены переменной в пределе Весьма ходовой приём решения. Метод замены переменной применяют чаще всего для того, чтобы свести решение к первому замечательному пределу, намного реже – к другому замечательному пределу. Рассмотрим пару типовых образцов: Пример 14 Найти предел Решаем: В пределе находится арктангенс, от которого хорошо бы избавиться. Логично и очень удобно превратить «арк» в одну единственную букву. Проведём замену переменной: . Теперь в пределе нужно выразить всё остальное через «тэ». Во-первых, выясним, куда будет стремиться новая переменная «тэ»: Если , то , иными словами, новоиспеченная переменная тоже будет стремиться к нулю: Осталось в знаменателе выразить «икс» через «тэ». Для этого на обе части равенства «навешиваем» тангенсы: В правой части две взаимно обратные функции уничтожаются: , откуда: Взмахи волшебной палочки закончены, остальное просто: Используемые формулы и приёмы решения завершающего этапа очень подробно разобраны в первой части урока Замечательные пределы. Пример 15 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока. Ещё пара занятных примеров на тему замены переменной: Пример 16 Найти предел При подстановке единицы в предел получается неопределённость . Замена переменной уже напрашивается, но сначала преобразуем тангенс по формуле . Действительно, зачем нам тангенс? Заметьте, что , поэтому . Если не совсем понятно, посмотрите значения синуса в тригонометрической таблице. Таким образом, мы сразу избавляемся от множителя , кроме того, получаем более привычную неопределённость 0:0. Хорошо бы ещё и предел у нас стремился к нулю. Проведем замену: Если , то Под косинусом у нас находится «икс», который тоже необходимо выразить через «тэ». Из замены выражаем: . Завершаем решение: (1) Проводим подстановку (2) Раскрываем скобки под косинусом. (3) Используем формулу приведения , формулы приведения также можно найти в тригонометрических таблицах. (4) Чтобы организовать первый замечательный предел искусственно домножаем числитель на и обратное число , . Задание для самостоятельного решения: Пример 17 Найти предел Полное решение и ответ в конце урока. Это были несложные задачи в своём классе, на практике всё бывает хуже, и, помимо формул приведения, приходится использовать самые разные тригонометрические формулы, а также прочие ухищрения. В статье Сложные пределы я разобрал пару настоящих примеров =) В канун праздника окончательно проясним ситуацию ещё с одной распространённой неопределённостью: Устранение неопределённости «единица в степени бесконечность» Данную неопределённость «обслуживает» второй замечательный предел, и во второй части того урока мы очень подробно рассмотрели стандартные примеры решений, которые в большинстве случаев встречаются на практике. Сейчас картина с экспонентами будет завершена, кроме того, заключительные задания урока будут посвящены пределам-«обманкам», в которых КАЖЕТСЯ, что необходимо применить 2-й замечательный предел, хотя это вовсе не так. Недостаток двух рабочих формул 2-го замечательного предела состоит в том, что аргумент должен стремиться к «плюс бесконечности» либо к нулю. Но что делать, если аргумент стремится к другому числу? На помощь приходит универсальная формула (которая на самом деле является следствием второго замечательного предела): Неопределённость можно устранить по формуле: Где-то вроде уже пояснял, что обозначают квадратные скобки. Ничего особенного, скобки как скобки. Обычно их используют, чтобы чётче выделить математическую запись. Выделим существенные моменты формулы: 1) Речь идёт только о неопределённости и никакой другой. 2) Аргумент «икс» может стремиться к произвольному значению (а не только к нулю или ), в частности, к «минус бесконечности» либо к любому конечному числу. С помощью данной формулы можно решить все примеры урока Замечательные пределы, которые относятся ко 2-му замечательному пределу. Например, вычислим предел В данном случае : , и по формуле : Правда, делать так не советую, в традициях всё-таки применять «обычное» оформление решения, если его можно применить. Однако с помощью формулы очень удобно выполнять проверку «классических» примеров на 2-й замечательный предел. Всё это хорошо, правильно, но сейчас в кадре более любопытные кадры: Пример 18 Вычислить предел На первом шаге, не устану повторять, подставляем значение «икс» в выражение под знаком предела. А вдруг никакой неопределённости вообще нет? Так бывает! Но не в этот раз. Подставляя «тройку», приходим к выводу, что здесь неопределённость Используем формулу Чтобы не таскать за собой букву «е» и не мельчить, показатель удобнее вычислить отдельно: В данном случае: Таким образом: С точки зрения техники вычислений всё рутинно: сначала приводим первое слагаемое к общему знаменателю, затем выносим константы и проводим сокращения, избавляясь от неопределённости 0:0. В результате: Готово. Обещанный подарок с разностью логарифмов и неопределённостью : Пример 19 Вычислить предел Сначала полное решение, потом комменты: (1)-(2) На первых двух шагах используем формулы . У сложных производных мы «разваливаем» логарифмы, а здесь, наоборот – их нужно «собрать». (3) Значок предела перемещаем под логарифм. Это можно сделать, поскольку данный логарифм непрерывен на «минус бесконечности». Кроме того, предел же относится к «начинке» логарифма. (4)-(5) Стандартным приёмом, рассмотренным на базовом уроке про замечательные пределы, преобразуем неопределённость виду . (6) Используем формулу к . (7) Экспоненциальная и логарифмическая функция – взаимно обратные функции, поэтому и «е» и логарифм можно убрать. Действительно, согласно свойству логарифма: . Минус перед дробью вносим в знаменатель: (8) Без комментариев =) Рассмотренный тип предела не такой редкий, примеров 30-40 у себя нашёл. Пример 20 Вычислить предел Это пример для самостоятельного решения. Помимо использования формулы, можно представить предел в виде решение к случаю и заменой свести . В заключение рассмотрим пределы-«фальшивки». Вернёмся к неопределённости . Данную неопределённость далеко не всегда можно свести к неопределённости и воспользоваться 2-м замечательным пределом либо формулой-следствием. Преобразование осуществимо в том случае, если числитель и знаменатель основания степени – эквивалентные бесконечно большие функции. На пример: . Отвлечёмся от показателя и вычислим предел основания: В пределе получена единица, значит, числитель и знаменатель не просто одного порядка роста, а ещё и эквивалентны. На уроке Замечательные пределы. Примеры решений мы без проблем свели данный пример к неопределённости и получили ответ. Аналогичных пределов можно придумать очень много: и т.д. Дроби данных примеров объединяет вышеуказанная особенность: В других случаях при неопределённости не применим. 2-й замечательный предел Пример 21 Найти пределы Как ни старайся, а неопределённость неопределённость . не удастся преобразовать в Здесь числители и знаменатели оснований одного порядка роста, но не эквиваленты: . Таким образом, 2-й замечательный предел и, тем более формулу, ПРИМЕНИТЬ НЕЛЬЗЯ. ! Примечание: не путайте с Примером №18, в котором числитель и знаменатель основания не эквивалентны. Там готовая неопределённость , здесь же речь идёт о неопределённости . Метод решения пределов-«подделок» прост и знакОм: нужно числитель и знаменатель основания разделить на «икс» в старшей степени (невзирая на показатель): Если числитель и знаменатель основания разного порядка роста, то приём решения точно такой же: Пример 22 Найти пределы Это короткие примеры для самостоятельного изучения Иногда неопределённости может не быть вообще: Подобные фокусы особенно любимы составителями сборника Кузнецова. Вот почему очень важно ВСЕГДА на первом шаге выполнять подстановку «икса» в выражение под знаком предела! Завершая тотальное разоблачение пределов, я хочу поздравить всех посетителей сайта с новым 2013 годом! С подарком я успел, и постинг данной статьи осуществлен 31 декабря 2012 года. Вы спросите, а как же моя личная подготовка к празднику? Давно готов =) На протяжении многих лет я занимаюсь стратегическим планированием – чтобы не толкаться в очередях до и не пересекаться с краснокожими после =) Берегите печень! Решения и ответы: Пример 2 Старшая степень числителя: 2; старшая степень знаменателя: 3. Разделим числитель и знаменатель на : Пример 4 Разделим числитель и знаменатель на : Примечание: самым последним действием умножили числитель и знаменатель на знаменателе. , чтобы избавиться от иррациональности в Пример 6 Разделим числитель и знаменатель на : Пример 8 Разделим числитель и знаменатель на : Примечание: слагаемое стремится к нулю медленнее, чем поэтому является «главным» нулём знаменателя. Пример 10 Пример 12 Умножим и разделим на сопряженное выражение: Пример 13 Умножим и разделим на сопряженное выражение: Разделим числитель и знаменатель на Пример 15 Проведём замену: Если , то . : , Пример 17 Проведём замену: Если , то . Далее используем формулу приведения тригонометрическую формулу предел: , и первый замечательный Пример 20 Используем формулу Пример 22 Примечание: бесконечно малая функция стремится к нулю медленнее, чем , поэтому «более большой» ноль знаменателя играет определяющую роль: Бесконечно малые функции. Замечательные эквивалентности в пределах Продолжаем учебный цикл «пределы для чайников», который открылся статьями Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Если вы впервые на сайте, рекомендую также ознакомиться с уроком Методы решения пределов, который значительно улучшит вашу студенческую карму. В третьем мануале мы рассмотрели бесконечно большие функции, их сравнение, и сейчас настало время вооружиться лупой, чтобы после Страны великанов заглянуть в Страну лилипутов. Я провёл новогодние каникулы в культурной столице и вернулся в очень хорошем настроении, поэтому чтение обещает быть особо интересным. В данной статье будут подробно разобраны бесконечно малые функции, с которыми вы на самом деле уже неоднократно сталкивались, и их сравнение. С невидимыми событиями вблизи нуля тесно связаны многие замечательные пределы, замечательные эквивалентности, и практическая часть урока, в основном, посвящена как раз вычислению пределов с использованием замечательных эквивалентностей. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых Что тут сказать… Если существует предел называется бесконечно малой в точке . , то функция Существенным моментом утверждения является тот факт, что функция может быть бесконечно малой лишь в конкретной точке. Начертим знакомую линию : Данная функция бесконечно малА в единственной точке: Следует отметить что, в точках «плюс бесконечность» и «минус бесконечность» эта же функция будет уже бесконечно большой: . Или в более компактной записи: Во всех других точках, предел функции будет равен конечному числу, отличному от нуля. Таким образом, не существует такого понятия как «просто бесконечно малая функция» или «просто бесконечно большая функция». Функция может быть бесконечно малой или бесконечно большой только в конкретной точке. ! Примечание: для краткости я часто буду говорить «бесконечно малая функция», подразумевая, что она бесконечно малА в рассматриваемой точке. Таких точек может быть несколько и даже бесконечно много. Изобразим какуюнибудь непуганую параболу: Представленная квадратичная функция является бесконечно малой в двух точках – в «единице» и в «двойке»: Как и в предыдущем примере, на бесконечности данная функция является бесконечно большой: Смысл двойных знаков: Запись при обозначает, что при . ,а Запись при обозначает, что при . ,а Запись обозначает, что и при , и при . Запись обозначает, что и при , и при . Прокомментированный принцип «расшифровки» двойных знаков справедлив не только для бесконечностей, но и для любых конечных точек, функций и ряда других математических объектов. А теперь синус . Это пример, когда функция бесконечно малА в бесконечном количестве точек: Действительно, синусоида «прошивает» ось абсцисс через каждое «пи»: Заметьте, что сверху/снизу функция ограничена, и не существует такой точки, в которой бы она была бесконечно большой, синусу остаётся разве что облизываться на бесконечность. Отвечу ещё на пару простых вопросов: Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности? Конечно. Таких экземпляров воз и маленькая тележка. Элементарный пример: . Геометрический смысл данного предела, к слову, проиллюстрирован в статье Графики и свойства функций. Может ли функция НЕ БЫТЬ бесконечно малой? (в любой точке области определения) Да. Очевидный пример – квадратичная функция, график которой (парабола) не пересекает ось . Обратное утверждение, кстати, в общем случае неверно – гипербола из предыдущего вопроса, хоть и не пересекает ось абсцисс, но бесконечно малА на бесконечности. Сравнение бесконечно малых функций В статье Методы решения пределов были подробно рассмотрены гиганты, которые мерялись между собой порядком роста, и ситуацию контролировала самая большая особь. Общество карликов устроено точно так же, только соревнуются они в другой весовой категории – порядке малости. Среди лилипутов тоже существуют свои великаны, кто самый крупный – тот и девушку танцует. Проясним ситуацию. Рассмотрим следующую бесконечно малую функцию: Да, совершенно понятно, что предел равен нулю, но обратим внимание на довольно любопытную вещь: в пределе находится сумма функций , и некоторые из них будут стремиться к нулю быстрее, а некоторые – медленнее. Об этом я уже немного рассказывал в Примере №7 урока Методы решения пределов. Построим последовательность , которая стремится к нулю, и вычислим несколько значений трёхчлена : Очевидно, что с уменьшением значений «икс», функция убегает к нулю быстрее всех остальных (её значения обведены красным цветом). Говорят, что функция более высокого порядка малости, чем функции , а также более высокого порядка малости, чем . Но быстро бегать в Стране лилипутов – не есть доблесть, «тон задаёт» самый нерасторопный карлик , который, как и полагается боссу, идёт к нулю медленнее всех. Именно от него зависит, насколько быстро сумма приблизится к нулю: Образно говоря, бесконечно малая функция «поглощает» всё остальное, что особенно хорошо видно по итоговому результату третьей строки. Иногда говорят, что более низкого порядка малости, чем и их сумма. В рассмотренном пределе, всё это, конечно, не имеет особого значения, ведь в результате всё равно получается ноль. Однако «лилипуты-тяжеловесы» начинают играть принципиально важную роль в пределах с дробями. Начнём с примеров, которые, пусть редко, но встречаются в реальных практических работах: Пример 1 Вычислить предел Здесь неопределённость , и из вводного урока о пределах функций вспоминаем общий принцип раскрытия данной неопределённости: нужно разложить числитель и знаменатель на множители, а потом что-нибудь сократить: На первом шаге в числителе выносим за скобки , а в знаменателе «икс». На втором шаге сокращаем числитель и знаменатель на «икс», устраняя тем самым неопределённость. Указываем, что оставшиеся «иксы» стремятся к нулю, и получаем ответ. В пределе получилась баранка, следовательно, функция числителя более высокого порядка малости, чем функция знаменателя. Или короче: числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Что это значит? Числитель стремится к нулю быстрее, чем знаменатель, именно поэтому в итоге и получился ноль. Как и в случае с бесконечно большими функциями, ответ можно узнать заранее. Приём аналогичен, но отличается тем, что в числителе и в знаменателе нужно МЫСЛЕННО отбросить все слагаемые со СТАРШИМИ степенями, поскольку, как отмечалось выше, определяющее значение имеют медленные карлики: Пример 2 Вычислить предел Ноль на ноль…. Давайте сразу узнаем ответ: МЫСЛЕННО отбросим все старшие слагаемые (быстрых карликов) числителя и знаменателя: Алгоритм решения, точно такой же, как и в предыдущем примере: В данном примере знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель. При уменьшении значений «икс», самый медленный карлик числителя (и всего предела) становится настоящим монстром по отношению к своему более быстрому оппоненту . Например, если то – уже в 40 раз больше…. не монстр ещё, конечно, при данном значении «икс», но такой уже субъект с большим пивным животом. И совсем простой демонстрационный предел: , Пример 3 Вычислить предел Узнаем ответ, МЫСЛЕННО отбросив все старшие слагаемые числителя и знаменателя: Решаем: В результате получено конечное число. Хозяин числителя ровно в два раза толще начальника знаменателя. Это ситуация, когда числитель и знаменатель одного порядка малости. На самом деле сравнение бесконечно малых функций давно фигурировало на предыдущих уроках: (Пример №4 урока Пределы. Примеры решений); (Пример №17 урока Методы решения пределов) и т.д. Напоминаю заодно, что «икс» может стремиться не только к нулю, но и к произвольному числу, а также к бесконечности. Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах? Во-первых, предел должен вообще существовать в данной точке. Например, предела не существует. Если , то функция числителя не определена в точке «плюс бесконечность» (под корнем получается бесконечно большое отрицательное число). Подобные, казалось бы, вычурные примеры встречаются на практике: неожиданно, здесь тоже сравнение бесконечно малых функций и неопределённость «ноль на ноль». Действительно, если , то , как ни . …Решение? Избавляемся от четырёхэтажности дроби, получаем неопределённость стандартным методом. и раскрываем её Возможно, начинающих изучать пределы сверлит вопрос: «Как так? Вот есть неопределённость 0:0, но на ноль же делить нельзя!». Совершенно верно, нельзя. Рассмотрим тот же предел . Функция не определена в точке «ноль». Но этого, вообще говоря, и не требуется, важно чтобы функция существовала В ЛЮБОЙ бесконечно близкой к нулю точке (или более строго – в любой бесконечно малой окрестности нуля). ВАЖНЕЙШАЯ ОСОБЕННОСТЬ ПРЕДЕЛА, КАК ПОНЯТИЯ состоит в том, что «икс» бесконечно близко приближается к некоторой точке , но «заходить туда» он «не обязан»! То есть для существования предела функции в точке не имеет значения, определена ли там сама функция или нет. Более подробно об этом можно прочитать в статье Пределы по Коши, ну а пока что вернёмся к теме сегодняшнего урока: Во-вторых, функции числителя и знаменателя должны быть бесконечно малЫ в данной точке. Так, например, предел совсем из другой команды, здесь функция числителя не стремится к нулю: . Систематизируем информацию о сравнении бесконечно малых функций: Пусть при 1) Если чем . – бесконечно малые функции в точке ) и существует предел их отношений , то функция (т.е. . Тогда: более высокого порядка малости, Простейший пример: , то есть кубическая функция более высокого порядка малости, чем квадратичная. 2) Если чем . , то функция более высокого порядка малости, Простейший пример: , то есть квадратичная функция более высокого порядка малости, чем линейная. 3) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок малости. Простейший пример: , иными словами, карлик нулю строго в два раза медленнее, чем сохраняется постоянной. бежит к , и «дистанция» между ними Наиболее интересен частный случай, когда . Такие функции называют бесконечно малыми эквивалентными функциями. Перед тем как привести элементарный пример, поговорим о самом термине. Эквивалентность. Данное слово уже встречалось на уроке Методы решения пределов, в других статьях и встретится ещё неоднократно. Что такое эквивалентность? Существует математическое определение эквивалентности, логическое, физическое и т.д., но попытаемся понять саму сущность. Эквивалентность – это равнозначность (или равноценность) в какомнибудь отношении. Самое время размять мышцы и немного отдохнуть от высшей математики. Сейчас на улице хороший январский морозец, поэтому очень важно хорошо утеплиться. Пожалуйста, пройдите в прихожую и откройте шкаф с одеждой. Представьте, что там висят два одинаковых тулупа, которые отличаются только цветом. Один оранжевый, другой фиолетовый. С точки зрения своих согревающих качеств, данные тулупы являются эквивалентными. И в первом, и во втором тулупе вам будет одинаково тепло, то есть выбор равноценен, что оранжевый надеть, что фиолетовый – без выигрыша: «один к одному равно одному». Но вот с точки зрения безопасности на дороге тулупы уже не эквивалентны – оранжевый цвет лучше заметен водителям транспорта, …да и патруль не остановит, потому что с обладателем такой одежды и так всё понятно. В этом отношении можно считать, что тулупы «одного порядка малости», условно говоря, «оранжевый тулуп» в два раза «безопаснее» «фиолетового тулупа» («который хуже, но тоже заметен в темноте»). А если выйти на мороз в одном пиджаке и носках, то разница будет уже колоссальной, таким образом, пиджак и тулуп – «разного порядка малости». …зашибись, нужно запостить в Википедии со ссылкой на данный урок =) =) =) Напрашивающийся пример бесконечно малых эквивалентных функций вам хорошо знаком – это функции первого замечательного предела . Дадим геометрическое истолкование 1-го замечательного предела. Выполним чертёж: Ну вот, крепкая мужская дружба графиков виднА даже невооруженным взглядом. А бесконечно близко вблизи нуля их и мама родная не отличит. Таким образом, если , то функции бесконечно малЫ и эквивалентны. А если разница ничтожно мала? Тогда в пределе вверху можно заменить «иксом»: синус , или «икс» внизу синусом: . По сути, получилось геометрическое доказательство первого замечательного предела =) Аналогично, кстати, можно проиллюстрировать любой замечательный предел, который равен единице. ! Внимание! Эквивалентность объектов не подразумевает совпадение объектов! Оранжевый и фиолетовый тулупы эквивалентно теплЫ, но это разные тулупы. Функции практически неотличИмы вблизи нуля, но это две разные функции. Обозначение: эквивалентность обозначается значком «тильда». Например: – «синус икса эквивалентен иксу», если . Из вышесказанного следует очень важный вывод: если две бесконечно малые функции эквивалентны, то одну можно заменить другой. Данный приём широко применяется на практике, и прямо сейчас мы увидим, каким образом: Замечательные эквивалентности в пределах Для решения практических примеров потребуется таблица замечательных эквивалентностей. Не многочленом единым жив студент, поэтому поле дальнейшей деятельности будет очень широким. Сначала с помощью теории бесконечно малых эквивалентных функций перещёлкаем примеры первой части урока Замечательные пределы. Примеры решений, в которой были найдены следующие пределы: 1) Решим предел числителя . Заменим бесконечно малую функцию на эквивалентную бесконечно малую функцию : Почему можно провести такую замену? Потому что бесконечно близко вблизи нуля график функции практически совпадает с графиком функции . В этом примере мы использовали табличную эквивалентность , где . Удобно, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только «икс», но и сложная функция, которая стремится к нулю. 2) Найдём предел . В знаменателе используем эту же эквивалентность , в данном случае : Обратите внимание, что синус изначально находился под квадратом, поэтому на первом шаге тоже необходимо целиком поместить под квадрат. Не забываем и про теорию: в первых двух примерах получены конечные числа, значит, числители и знаменатели одного порядка малости. 3) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где : Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Лилипут быстрее, чем (и эквивалентный ему лилипут ) достигает нуля . 4) Найдём предел . Заменим бесконечно малую функцию числителя эквивалентной функцией , где : А здесь, наоборот, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель, карлик ему карлика ). убегает к нулю быстрее карлика (и эквивалентного Следует ли использовать замечательные эквивалентности на практике? Следует, но далеко не всегда. Так, решение не очень сложных пределов (наподобие только что рассмотренных) нежелательно решать через замечательные эквивалентности. Вас могут упрекнуть в халтуре и заставить прорешать их стандартным образом с помощью тригонометрических формул и первого замечательного предела. Однако с помощью рассматриваемого инструмента очень выгодно осуществлять проверку решения или даже сразу узнавать правильный ответ. Характерен Пример №14 урока Методы решения пределов: На чистовике целесообразно оформить немаленькое полное решение с заменой переменной. Но готовый ответ лежит на поверхности – мысленно используем эквивалентность : . И ещё раз геометрический смысл: почему в числителе функцию допустимо заменить функцией ? Бесконечно близко вблизи нуля их графики можно отличить разве что под мощным микроскопом. Помимо проверки решения, замечательные эквивалентности используются ещё в двух случаях: – когда пример достаточно сложен или вообще неразрешим обычным способом; – когда замечательные эквивалентности требуется применить по условию. Рассмотрим более содержательные задания: Пример 4 Найти предел На повестке дня неопределённость «ноль на ноль» и ситуация погранична: решение можно провести стандартно, но преобразований будет много. С моей точки зрения, здесь вполне уместно использовать замечательные эквивалентности: Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При : Вот и всё! Единственный технический нюанс: изначально тангенс находился в квадрате, поэтому после замены аргумент тоже необходимо возвести в квадрат. Пример 5 Найти предел Данный предел разрешим через тригонометрические формулы и замечательные пределы, но решение опять же будет не сильно приятным. Это пример для самостоятельного решения, будьте особенно внимательными в ходе преобразования числителя. Если возникнет путаница со степенями, представьте его в виде произведения: Пример 6 Найти предел А вот это уже тяжёлый случай, когда провести решение стандартным образом весьма непросто. Используем замечательные эквивалентности: Заменим бесконечно малые эквивалентными. При : Получена бесконечность, значит, знаменатель более высокого порядка малости, чем числитель. Резво практика пошла без верхней одежды =) Пример 7 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как разобраться с логарифмом ;-) Не редкость, когда замечательные эквивалентности используются в комбинации с другими методами решения пределов: Пример 8 Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования Заметьте, что здесь требуется применить замечательные эквивалентности по условию. Решаем: На первом шаге используем замечательные эквивалентности. При : С синусом всё понятно: . Что делать с логарифмом? Представим логарифм в виде и применим эквивалентность Как вы понимаете, в данном случае и . На втором шаге применим приём, рассмотренный ещё на уроке Пределы функций. Примеры решений. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение: Готово. Пример 9 Найти предел функции, используя эквивалентные бесконечно малые величины и другие преобразования Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Иногда замечательные эквивалентности приходится использовать последовательно – два и даже бОльшее количество раз, когда бесконечно малые эквивалентные функции вложены друг в друга по принципу «матрёшек»: Пример 10 Найти предел функции с помощью эквивалентных бесконечно малых функций Перед решением необходимо выполнить предварительные преобразования. В числителе вынесем за скобки «минус»: дальнейшем воспользоваться эквивалентностью чтобы в . В знаменателе проведём искусственное преобразование , чтобы далее применить эквивалентность . Кстати, запомните это трюк с логарифмом, он используется и в других задачах математического анализа. Начнём оформлять решение: В числителе используем замечательную эквивалентность случае . В данном . Важнейшим моментом является тот факт, что при «икс», стремящемся к нулю, . В знаменателе тоже бесконечно малая величина, именно поэтому можно применить эквивалентность , где при . После замены проведена пара технических действий – вынесение «минуса» в знаменателе и сокращение минусов. Неопределённость 0:0 никуда не делась, и есть надобность воспользоваться бесконечно малыми эквивалентными функциями ещё раз. Если , то : Задачка потолще для самостоятельного решения: Пример 11 Найти предел функции с помощью эквивалентных бесконечно малых функций Нетрудно догадаться, что «матрёшку» следует разбирать в привычном порядке, начиная от «внешней», и заканчивая самой маленькой «внутренней». Полное решение и ответ в конце урока. Как я уже отмечал, «икс» не обязан стремиться к нулю, он может стремиться к произвольному числу, в том числе и к бесконечности – лишь бы функции были бесконечно малыми, и существовал предел их отношений . Но практика показывает, что почти во всех заданиях , именно поэтому я и не привёл других примеров. Тем не менее, рассмотрим более редкий тип пределов, который встречается, в частности, при исследовании числовых рядов на сходимость: Пример 12 Найти предел функции В данном примере «икс» стремится к бесконечности, и . Иными словами, функция бесконечно малА в точке . Чтобы раскрыть неопределённость целесообразно использовать теорию эквивалентных бесконечно малых величин. Поскольку , то применима замечательная эквивалентность : Что и говорить, вкусный способ решения. Пример 13 Найти предел функции Это счастливый заключительный пример для самостоятельного решения. После эквивалентной замены неопределенность трансформируется в неопределённость , которая раскрывается по обычной схеме. Если возникли затруднения на завершающем этапе, пожалуйста, вернитесь к первой части урока Методы решения пределов. Что тут сказать… Всё =) Решения и ответы: Пример 5 Заменим бесконечно малые функции эквивалентными функциями. При : Пример 7 Представим логарифм в виде эквивалентными. При : и заменим бесконечно малые Здесь числитель более высокого порядка малости, чем знаменатель. Пример 9 Используем замечательные эквивалентности. При : Пример 11 1) Так как 2) Так как 3) Так как , то применима эквивалентность , то применима эквивалентность , то применима эквивалентность : : : Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной: Пример 13 Заменим бесконечно малую функцию эквивалентной функцией. Если то . Разделим числитель и знаменатель на : , Правила Лопиталя. Примеры решений Представьте стаю воробьёв с выпученными глазами. Нет, это не гром, не ураган и даже не маленький мальчик с рогаткой в руках. Просто в самую гущу птенчиков летит огромное-огромное пушечное ядро. Именно так правила Лопиталя расправляются с пределами, в которых имеет место неопределённость или . Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности, не случайно в сборниках задач, на контрольных работах, зачётах часто встречается устойчивый штамп: «вычислить предел, не пользуясь правилом Лопиталя». Выделенное жирным шрифтом требование можно с чистой совестью приписать и к любому пределу уроков Пределы. Примеры решений, Замечательные пределы. Методы решения пределов, Замечательные эквивалентности, где встречается неопределённость «ноль на ноль» либо «бесконечность на бесконечность». Даже если задание сформулировано коротко – «вычислить пределы», то негласно подразумевается, что вы будете пользоваться всем, чем угодно, но только не правилами Лопиталя. Всего правил два, и они очень похожи друг на друга, как по сути, так и по способу применения. Кроме непосредственных примеров по теме, мы изучим и дополнительный материал, который будет полезен в ходе дальнейшего изучения математического анализа. Сразу оговорюсь, что правила будут приведены в лаконичном «практическом» виде, и если вам предстоит сдавать теорию, рекомендую обратиться к учебнику за более строгими выкладками. Первое правило Лопиталя Рассмотрим функции точке , которые бесконечно малЫ в некоторой . Если существует предел их отношений устранения неопределённости , то в целях можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется. Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо. Что следует из вышесказанного? Во-первых, необходимо уметь находить производные функций, и чем лучше – тем лучше =) Во-вторых, производные берутся ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. Пожалуйста, не путайте с правилом дифференцирования частного !!! И, в-третьих, «икс» может стремиться куда угодно, в том числе, к бесконечности – лишь бы была неопределённость . Вернёмся к Примеру 5 первой статьи о пределах, в котором был получен следующий результат: К неопределённости 0:0 применим первое правило Лопиталя: Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла! Не редкость, когда правила Лопиталя приходится применять последовательно два или бОльшее количество раз (это относится и ко второму правилу). Вытащим на ретро-вечер Пример 2 урока о замечательных пределах: На двухъярусной кровати снова прохлаждаются два бублика. Применим правило Лопиталя: Обратите внимание, что на первом шаге в знаменателе берётся производная сложной функции. После этого проводим ряд промежуточных упрощений, в частности, избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице. Неопределённость не устранена, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз (вторая строчка). Я специально подобрал не самый простой пример, чтобы вы провели небольшое самотестирование. Если не совсем понятно, как найдены производные, следует усилить свою технику дифференцирования, если не понятен фокус с косинусом, пожалуйста, вернитесь к замечательным пределам. Не вижу особого смысла в пошаговых комментариях, так как о производных и пределах я уже рассказал достаточно подробно. Новизна статьи состоит в самих правилах и некоторых технических приёмах решения. Как уже отмечалось, в большинстве случаев правила Лопиталя использовать не нужно, но их зачастую целесообразно применять для черновой проверки решения. Зачастую, но далеко не всегда. Так, например, только что рассмотренный пример значительно выгоднее проверить через замечательные эквивалентности. Второе правило Лопиталя Брат-2 борется с двумя спящими восьмёрками . Аналогично: Если существует предел отношения бесконечно больших в точке функций: , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется. Примечание: предел должен существовать Опять же, в различных практических примерах значение может быть разным, в том числе, бесконечным. Важно, чтобы была неопределённость Проверим Пример №3 первого урока: второе правило Лопиталя: . . Используем Однако для Примера №2 той же статьи проверка данным способом будет весьма муторна. Тут придётся использовать правило Лопиталя три раза подряд (экспериментаторы могут попробовать). На самом деле ответ лежит на поверхности и почти мгновенно определяется устно (см. статью Методы решения пределов). Коль скоро речь зашла о великанах, разберём два каноничных предела: Пример 1 Вычислить предел Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя: Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифм с основанием бОльшим единицы ( и т.д.). Разумеется, «иксы» в старших степенях тоже будут «перетягивать» такие логарифмы. Действительно, функция растёт достаточно медленно и её график является более пологим относительно того же «икса». Пример 2 Вычислить предел Ещё один примелькавшийся кадр. В целях устранения неопределённости используем правило Лопиталя, причём, два раза подряд: , Показательная функция, с основанием, бОльшим единицы ( и т.д.) более высокого порядка роста, чем степенная функция с положительной степенью. Похожие пределы встречаются в ходе полного исследования функции, а именно, при нахождении асимптот графиков. Также замечаются они и в некоторых задачах по теории вероятностей. Советую взять на заметку два рассмотренных примера, это один из немногих случаев, когда лучше дифференцирования числителя и знаменателя ничего нет. Далее по тексту я не буду разграничивать первое и второе правило Лопиталя, это было сделано только в целях структурирования статьи. Вообще, с моей точки зрения, несколько вредно излишне нумеровать математические аксиомы, теоремы, правила, свойства, поскольку фразы вроде «согласно следствию 3 по теореме 19…» информативны только в рамках того или иного учебника. В другом источнике информации то же самое будет «следствием 2 и теоремой 3». Такие высказывания формальны и удобны разве что самим авторам. В идеале лучше ссылаться на суть математического факта. Исключение – исторически устоявшиеся термины, например, первый замечательный предел или второй замечательный предел. Продолжаем разрабатывать тему, которую нам подкинул член Парижской академии наук маркиз Гийом Франсуа де Лопиталь. Статья приобретает ярко выраженную практическую окраску и в достаточно распространённом задании требуется: Вычислить предел, используя правило Лопиталя Для разминки разберёмся с парой небольших воробушков: Пример 3 Вычислить предел по правилу Лопиталя Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель: В самом процессе нахождения производных нет чего-то нестандартного, так, в знаменателе использовано обычное правило дифференцирования произведения . Рассмотренный пример разруливается и через замечательные пределы, похожий случай разобран в конце статьи Сложные пределы. Пример 4 Вычислить предел по правилу Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. Нормально пошутил =) Типична ситуация, когда после дифференцирования получаются трех- или четырёхэтажные дроби: Пример 5 Вычислить предел, используя правило Лопиталя Напрашивается применение замечательной эквивалентности, но путь жёстко предопределён по условию: После дифференцирования настоятельно рекомендую избавляться от многоэтажности дроби и проводить максимальные упрощения. Конечно, более подготовленные студенты могут пропустить последний шаг и сразу записать: отличники. , но в некоторых пределах запутаются даже Пример 6 Вычислить предел, используя правило Лопиталя Пример 7 Вычислить предел, используя правило Лопиталя Это примеры для самостоятельного решения. В Примере 7 можно ничего не упрощать, слишком уж простой получается после дифференцирования дробь. А вот в Примере 8 после применения правила Лопиталя крайне желательно избавиться от трёхэтажности, поскольку вычисления будут не самыми удобными. Полное решение и ответ в конце урока. Если возникли затруднения – тригонометрическая таблица в помощь. И, упрощения совершенно необходимы, когда после дифференцирования неопределённость не устранена. Пример 8 Вычислить предел, используя правило Лопиталя Поехали: Интересно, что первоначальная неопределённость после первого дифференцирования превратилась в неопределённость , и правило Лопиталя невозмутимо применяется дальше. Также заметьте, как после каждого «подхода» устраняется четырёхэтажная дробь, а константы выносятся за знак предела. В более простых примерах константы удобнее не выносить, но когда предел сложный, упрощаем всё-всё-всё. Коварство решённого примера состоит ещё и в том, что при ,а , поэтому в ходе ликвидации синусов немудрено запутаться в знаках. В предпоследней строчке синусы можно было и не убивать, но пример довольно тяжелый, простительно. На днях мне попалось любопытное задание: Пример 9 Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя Если честно, немного засомневался, чему будет равен данный предел. Как демонстрировалось выше, «икс» более высокого порядка роста, чем логарифм, но «перетянет» ли он логарифм в кубе? Постарайтесь выяснить самостоятельно, за кем будет победа. Да, правила Лопиталя – это не только пальба по воробьям из пушки, но ещё и кропотливая работа…. В целях применения правил Лопиталя к бубликам или уставшим восьмёркам сводятся неопределённости вида . Расправа с неопределённостью подробно разобрана в Примерах №№913 урока Методы решения пределов. Давайте для проформы ещё один: Пример 10 Вычислить предел функции, используя правило Лопиталя На первом шаге приводим выражение к общему знаменателю, трансформируя тем самым неопределённость правило Лопиталя: в неопределённость . А затем заряжаем Здесь, к слову, тот случай, когда четырёхэтажное выражение трогать бессмысленно. Неопределённость тоже не сопротивляется превращению в или : Пример 11 Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя Предел здесь односторонний, и о таких пределах уже шла речь в методичке Графики и свойства функций. Как вы помните, графика «классического» логарифма не существует слева от оси , таким образом, мы можем приближаться к нулю только справа. Правила Лопиталя для односторонних пределов работают, но сначала необходимо разобраться с неопределённостью . На первом шаге делаем дробь трёхэтажной, получая неопределённость , далее решение идёт по шаблонной схеме: После дифференцирования числителя и знаменателя избавляемся от четырёхэтажной дроби, чтобы провести упрощения. В результате нарисовалась неопределённость . Повторяем трюк: снова делаем дробь трёхэтажной и к полученной неопределённости применяем правило Лопиталя ещё раз: Готово. Исходный предел можно было попытаться свести к двум бубликам: Но, во-первых, производная в знаменателе труднее, а во-вторых, ничего хорошего из этого не выйдет. Таким образом, перед решением похожих примеров нужно проанализировать (устно либо на черновике), К КАКОЙ неопределённости выгоднее свести – к «нулю на ноль» или к «бесконечности на бесконечность». В свою очередь на огонёк экзотические товарищи подтягиваются собутыльники и более . Метод трансформации прост и стандартен: Пример 12 Вычислить предел функции с помощью правила Лопиталя Для устранения неопределённости тождество: . В данном случае используем основное логарифмическое : На предпоследнем шаге, согласно известному школьному свойству, «сносим» синус из степени за пределы логарифма, получая произведение . На последнем шаге перемещаем значок предела в показатель (поскольку экспоненциальная функция непрерывна, да и предел относится, прежде всего, к верхнему этажу). Чтобы не мельчить, вычислим предел показателя отдельно: С неопределённостью разбираемся уже знакомым способом – делаем дробь трёхэтажной, получая долгожданную неопределённость применимо правило Лопиталя: , к которой Метаморфозы продолжаются, теперь вылезла неопределённость «ноль на ноль». В принципе, можно избавиться от косинуса, указав, что он стремится к единице. Но мудрая стратегия заключается в том, чтобы никто ни до чего не докопался. Поэтому сразу применим правило Лопиталя, как этого требует условие задачи: Не торопитесь, предел не равен нулю! Мы вычислили только предел показателя. В конце решения главное не забыть про экспоненту, я сейчас сам чуть про неё не забыл =) Окончательно: В ряде случаев после использование основного логарифмического тождества удаётся миновать неопределённость : Пример 13 Вычислить предел по правилу Лопиталя Очередной папуас случае тоже сдаётся перед формулой . В данном : В результате сразу получена неопределённость , что облегчает задачу. Предел показателя для удобства вычислим отдельно: В итоге: Аналогичное задание для самостоятельного решения: Пример 14 Вычислить предел по правилу Лопиталя Полное решение и ответ в конце урока. Предел с неопределённостью по правилу Лопиталя, если честно, у себя не нашёл, но для полноты картины решим многострадальный шестой пример урока Замечательные пределы: Пример 15 Вычислить с помощью правила Лопиталя Решайте =) В заключение хочу успокоить гринписовцев – ни один воробей от оружия серьёзно не пострадал, пределы – птицы юркие, да и ядра формы обтекаемой. Вспоминаем обычное требование: «…не пользуясь правилом Лопиталя». С беспощадной действительностью соприкоснёмся в статье Сложные пределы. Желаю успехов! Решения и ответы: Пример 4 Пример 6 Пример 7 Пример 9 Пример 14 Используем основное логарифмическое тождество и преобразование : Вычислим предел показателя: Таким образом: Пример 15 Используем основное логарифмическое тождество: Вычислим предел показателя: Таким образом: Сложные пределы В данной статье будут рассмотрены пределы повышенной сложности, и заключительный практикум по теме предназначен, прежде всего, для читателей со средним и высоким уровнем подготовки. Если ваши навыки вычисления пределов невелики или вовсе отсутствуют, пожалуйста, начните с вводного урока Пределы функций. Примеры решений. Многие методы решения пределов, о которых пойдёт речь, уже знакомы и сложность будет состоять преимущественно в технике вычислений. Кроме того, мы рассмотрим примеры с более редкими замечательными пределами, которые до сей поры были обделены моим вниманием. Пока не знаю, сколько будет примеров, 15, 20 или больше, но в любом случае программа предстоит насыщенная, поэтому сразу приступим к зачистке территории: Пример 1 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя При подстановке «единицы» в выражение под знаком предела, получается неопределённость , которая устраняется стандартным методом: числитель и знаменатель необходимо разложить на множители, а затем что-нибудь сократить. Разложить на множители…. Были бы у нас многочлены второй степени – без проблем. Но как раскладывать кубические многочлены? Кратко напомню теоретический материал курса высшей алгебры: Рассмотрим многочлен натуральной степени . Если число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. В результате деления получается многочлен степени , при этом: . Термины точно такие же, как и для чисел: – делимое; – делитель; – частное. Разделить многочлен на многочлен можно по схеме Горнера, но лично я привык выполнять деление «столбиком» и сейчас мы самым подробным образом разберём этот метод. Однако сразу же оговорюсь, что в использовании схемы Горнера нет ничего предосудительного или нестандартного. Кому как удобнее, кому как понятнее. Начнём оформлять решение и детально разберём техническую сторону вопроса: Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель: поскольку число является корнем уравнения , то многочлен делится на многочлен без остатка. Делить будем столбиком. В школе столбиком мы делили числа, и принцип деления многочленов весьма похож. Записываем начальный шаблон: Обратите внимание на очень важную вещь: в многочлене в явном виде отсутствует «икс» в первой степени. При делении ОБЯЗАТЕЛЬНО прописываем все недостающие слагаемые, прикрепляя к ним нулевые коэффициенты. Теперь в углу нужно разоблачить незнакомца : Каким он должен быть? Девчонки, признавайтесь =) …Нет-нет-нет, он должен быть ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось : Очевидно, что данному критерию удовлетворяет Действительно, . . Записываем первый трофей: Далее нашего героя необходимо умножить на делитель : , а результат записать во второй строке слева: Проводим отчёркивание и из первой строки почленно вычитаем вторую строку: Если подробно, (ноль под чертой не пишем), Сносим сверху следующее слагаемое: Алгоритм идёт на следующий круг. Снова ищем одночлен ТАКИМ, чтобы при его умножении на «икс» получилось В данном случае . Рисуем его справа под чертой: , он должен быть : и умножаем на делитель : , результат записываем в 4-ю строку: Ещё раз отчёркиваем и проводим почленное вычитание: под чертой не пишем), : (ноль Сносим сверху последнее слагаемое: Организуем завершающий цикл. Необходимо подобрать третье слагаемое которое при умножении на «икс» даёт : , Уравнению под чертой: Умножаем соответствует корень , который записываем справа на делитель : , результат записываем в 6-ю строку: Выполняем завершающее отчёркивание и почленное вычитание: В итоге получился ноль, и это значит, что все вычисления выполнены правильно. Иными словами, многочлен остатка. Таким образом: поделился на без Желающие могут раскрыть скобки в правой части и убедиться, что получится исходный многочлен . Рассмотренный алгоритм на самом деле не сложен, и рука набивается довольно быстро. Знаменатель. Разборки аналогичны. Так как число уравнения без остатка: является корнем , то соответствующий многочлен делится на В итоге Открываем решение и записываем всё, что нажито непосильным трудом: Приключения продолжаются – после сокращения неопределённость не устранена. Но уже легче, квадратные трёхчлены можно разложить на множители тривиальным способом, рассмотренным на первом уроке про пределы функций. Тем не менее, в целях закрепления алгоритма продолжим деление. Да простит меня сервак =) Числитель. Поскольку число является корнем уравнения , то соответствующий многочлен делится на без остатка. Поехали. На первом шаге подбираем ТАКИМ образом, чтобы при его умножении на «икс» получить : Искомое значение Умножаем : на делитель : , результат записываем слева, отчёркиваем и проводим почленное вычитание: Из первой строки сносим оставшееся слагаемое: Второе значение при умножении на «икс» должно давать «икс»: Очевидно, что : Умножаем на делитель : , результат записываем ниже, отчёркиваем и проводим почленное вычитание: В остатке получился ноль, значит, деление выполнено верно. Таким образом: Аналогично расправляемся со знаменателем: То есть Снова открываем решение и получаем окончательный ответ: Выполним проверку. Дважды используем правило Лопиталя: Сравните трудоёмкость двух способов решения. Думаю, теперь вам понятно, почему запрещают применять правило Лопиталя =) Времени и сил на первый пример совсем не жалко, так как необходимость делить многочлены время от времени возникает в других задачах, в частности, при нахождении нулей функции, в интегралах от дробно-рациональной функции. Поэтому с энтузиазмом отнесёмся к другим пределам… …они будут ещё длиннее =) Никто не знает, вдруг в жизни пригодится. Хах. Вспомнился заезженный анекдот в тему: если к вам на улице подошли Свидетели Иеговы, перехватите инициативу – начните им рассказывать про тройные интегралы. Пример 2 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Вернёмся к другому известному способу решения пределов, повысив их сложность: Пример 3 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Неопределённость ликвидируется стандартным методом – умножением и делением на сопряженное выражение. Единственное отличие, приём используется два раза: 1) для устранения разности сопряженное выражение домножаем числитель и знаменатель на ; 2) для устранения разности сопряженное выражение домножаем числитель и знаменатель на . Далее дважды используется формула . Сама техника решения подробно рассмотрена на уроке Пределы. Примеры решений. Оформляем: Оба вышеуказанных действия выгоднее выполнить «за один присест». Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения: Проверим решение по правилу Лопиталя: Пример 4 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это более сложный пример для самостоятельного решения. Иногда в пределах рассматриваемого типа приходится использовать не только формулу разности квадратов , но и формулу разности кубов: Пример 5 Найти предел Неопределённость устраняется умножением и делением на сопряженное выражение. Аналогичные, но более простые пределы мы рассмотрели в Примерах №№11-13 урока Методы решения пределов. Только здесь работает формула разности кубов: В данном случае разности . И, согласно формуле, для сопряженным выражением будет вот этот вот страх: Умножим и разделим на сопряженное выражение, чтобы использовать формулу Тоже знакомая картина…. : Старшая степень числителя: 2 Старшая степень знаменателя: 2 Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, и сразу можно сказать, что предел равен конечному числу. Разделим числитель и знаменатель на : Готово. Пример 6 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. После умножения/деления на сопряженное выражение и упрощений предел будет сведён к случаю Примеров №№1-3 статьи о бесконечно малых функциях. Полное решение и ответ в конце урока. А сейчас обещанные на уроке Методы решения пределов плюшки на замену переменной. Повышенной сложности: Пример 7 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Аргумент стремится к не самому распространённому числу: , с ходу и не сообразишь, есть здесь вообще неопределённость или нет. Поэтому откроем тригонометрическую таблицу, и выпишем следующие значения: Проверим предел на наличие неопределённости: Да, действительно, два бублика. Проведём предварительный анализ. В пределе находятся тригонометрические функции, и решение, скорее всего, сведётся к первому замечательному пределу. В этой связи напрашивается замена, после которой новая переменная будет стремиться к нулю. Но перед заменой целесообразно провести некоторое упрощение выражения. В пределе есть тангенс, а работать с этой функцией неудобно (как и с котангенсом тоже). Таким образом, сначала лучше свести всё дело к синусам и косинусам. Пример свирепый, поэтому я закомментирую каждый шаг: (1) Используем формулу . (2) Дробь числителя приводим к общему знаменателю. (3) Избавляемся от трёхэтажности дроби, а также от косинуса, указывая, что . (4) Выносим константу за значок предела. Неопределённость никуда не делась, но от тангенса мы избавились, что уже является небольшим достижением Проведем замену переменной: Если , то Ну и ещё – из замены нужно выразить: . (5) Выполняем подстановку в соответствии с выполненной заменой. (6) Используем тригонометрические формулы: (7) Используя значения , упрощаем выражение. (8) Раскрываем скобки в числителе и знаменателе. (9) Приводим подобные слагаемые в числителе. (10) Константу –2 выносим за значок предела. В знаменателе переставляем слагаемые. И снова два нуля, причём не видно как решать предел дальше…. Но если хорошенько пошуршать в тригонометрических формулах, то история закончится счастливым концом: (11) Используем формулы половинного угла: косинуса, указывая, что . В числителе избавляемся от . (12) В знаменателе выносим за скобки . (13) Сокращаем числитель и знаменатель на . Забавно, что всё обошлось даже без замечательного предела. Не знаю, кто и на каком месте будет рвать себе волосы, но правило Лопиталя даёт ответ фантастически быстро: Пример 8 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. В тригонометрической таблице нет информации об отрицательных значениях угла. Понятие ориентации угла дано в статье Простейшие задачи с прямой на плоскости. Наглядная иллюстрация с конкретными примерами также фигурирует при нахождении аргумента комплексного числа. Чтобы воспользоваться таблицей, прибавляем один «оборот»: один и тот же угол. Таким образом: , то есть и – это Полное решение и ответ в конце урока Как-то незаслуженно оказались забыты степени: Пример 9 Найти предел На повестке дня неопределённость , и решение, очевидно, нужно свести к замечательной формуле . Но в нашем пределе нет единицы, только одинокий косинус. Что делать? Организуем! (1) Приводим основание степени к виду , для этого используем искусственный приём: прибавляем и вычитаем единицу. Таким образом: (2) В целях применения 2-го замечательного предела возводим основание в степень степень , и, чтобы ничего не изменилось – в обратную . (3) Используем замечательный предел . (4) Теперь в показателе необходимо устранить неопределённость 0:0. Сначала меняем знак в числителе: (5) В числителе используем формулу , минус выносим из предела. . (6) Искусственно преобразуем знаменатель, чтобы получить два первых замечательных предела. Очень кстати в одном примере подвернулись сразу оба замечательных предела, и после их повторения во второй части статьи рассмотрим: Замечательные пределы с экспонентой и логарифмом На практике чаще встречаются пределы и особенно их частные случаи Предела помню. . лично ни разу не видел, а может быть, и видел, да не Иногда перечисленные пределы называют третьим, четвёртым и пятым замечательным пределом, но своё негативное отношение к избыточной нумерации я уже высказал на уроке Правила Лопиталя, поэтому пусть это будут «просто» замечательные пределы без номеров. Сама техника решения мало чем отличатся от первого замечательного предела: Пример 10 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Чтобы использовать замечательный предел необходимо применить уже знакомый искусственный приём: в знаменателе умножаем и делим на 2: Вот и всё. Напоминаю, что в качестве параметра «альфа» может выступать не только переменная «икс», но и сложная функция, лишь бы она стремилась к нулю. В рассмотренном примере . Короткий закусочный предел для самостоятельного решения: Пример 11 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Заметьте, что условие задачи не ограничивает нас в выборе действий, примеры можно было решить и через замечательные эквивалентности: (эквивалентность (эквивалентности ). ) Какой способ выбрать? Рекомендую всё-таки решать через замечательные пределы (конечно, если пример не дико сложный) – выглядит солиднее. Существенная особенность пределов состоит в том, что при перестановке числителя и знаменателя результаты тоже «переворачиваются»: Пример 12 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Как говорится, мал пример да заковырист…. Решаем: На первом шаге нужно перейти к новой переменной ТАК, чтобы она стремилась к нулю. Проведём замену: , тогда: Если , то Для самостоятельного решения: Пример 13 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Если возникли затруднения на начальном этапе, пожалуйста, вернитесь к Примеру №9. Разберём напоследок что-нибудь посложнее. Типовой и довольно распространённый предел: Пример 14 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Сначала полное решение, потом комментарии: (1) На первых шагах избавляемся от синуса. Умножим числитель и знаменатель на . (2) Используем первый замечательный предел , где . Константу выносим из предела. (3) Проводим искусственное преобразование числителя. Возьмите его на заметку, разность экспонент раскручивается именно так. (4) Почленно делим числитель на знаменатель. (5) Числитель и знаменатель первой дроби умножаем на 2. Числитель и знаменатель второй дроби умножаем на –3. (6) В обеих дробях используем замечательный предел остались от козлика рожки да ножки. , после чего Используя правило Лопиталя, выполним проверку: Заключительный пример посвящен раритету . Если его не встречал я, то это не значит, что его не встретите вы. Встретите. Причём, прямо сейчас =) Пример 15 Найти предел, не пользуясь правилом Лопиталя Это пример для самостоятельного решения. Всего примеров получилось таки 15, а не 20, и ваш покорный слуга постарался отобрать самые распространенные вещи. Желающие ознакомиться с другими пределами, могут закачать соответствующий архив решений в банке задач по высшей математике. Однако должен предупредить, будьте осторожнее – некоторые экземпляры не то, чтобы сильно сложные, но точно рождены воспалённым сознанием. Я постарался разобрать тему без навороченных нелепых примеров, поскольку убеждён, что студент должен мучиться с удовольствием =) И приснится вам сегодня правило Лопиталя =) Решения и ответы: Пример 2 Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе используем формулу суммы кубов Знаменатель: Таким образом: Пример 4 Умножим числитель и знаменатель на сопряженные выражения. Разложим числитель и знаменатель на множители: : Пример 6 Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение, используем формулу разности кубов : Пример 8 Используем формулу : Проведём замену переменной: Если , то Используем тригонометрическую формулу : Используем формулы половинного аргумента Пример 11 : Умножаем числитель и знаменатель на предел , где замечательный предел: , используем замечательный . В конце используем 1-й Пример 13 Пример 15 Числовая последовательность. Как найти предел последовательности? На данном уроке мы узнаем много интересного из жизни участников большого сообщества под названием Вконтакте числовые последовательности. Рассматриваемая тема относится не только к курсу математического анализа, но и затрагивает основы дискретной математики. Кроме того, материал потребуется для освоения других разделов вышки, в частности, в ходе изучения числовых рядов и функциональных рядов. Можно банально сказать, что это важно, можно ободряюще сказать, что это просто, можно сказать ещё много дежурных фраз, однако сегодня первая, необыкновенно ленивая учебная неделя, поэтому меня жутко ломает сочинять первый абзац =) Уже в сердцАх сохранил файл и собрался спать, как вдруг… голову озарила идея чистосердечного признания, которое невероятно облегчило душу и подтолкнуло к дальнейшему стуку пальцами по клавиатуре. Отвлечёмся от летних воспоминаний, и заглянем в этот увлекательный и позитивный мир новой социальной сети: Понятие числовой последовательности Сначала задумаемся над самим словом: а что такое последовательность? Последовательность – это когда что-то расположено за чем-то. Например, последовательность действий, последовательность времён года. Или когда кто-то расположен за кем-то. Например, последовательность людей в очереди, последовательность слонов на тропе к водопою. Немедленно проясним характерные признаки последовательности. Вопервых, члены последовательности располагаются строго в определённом порядке. Так, если двух человек в очереди поменять местами, то это уже будет другая последовательность. Во-вторых, каждому члену последовательности можно присвоить порядковый номер: С числами всё аналогично. Пусть каждому натуральному значению по некоторому правилу поставлено в соответствие действительное число . Тогда говорят, что задана числовая последовательность Да, в математических задачах в отличие от жизненных ситуаций последовательность почти всегда содержит бесконечно много чисел. При этом: называют первым членом последовательности; – вторым членом последовательности; – третьим членом последовательности; … – энным или общим членом последовательности; … На практике последовательность обычно задаётся формулой общего члена, например: – последовательность положительных чётных чисел: . Таким образом, запись однозначно определяет все члены последовательности – это и есть то правило (формула), по которому натуральным значениям в соответствие ставятся числа . Поэтому последовательность часто коротко обозначают общим членом, причём вместо «икс» могут использоваться другие латинские буквы, например: Последовательность положительных нечётных чисел Ещё одна распространённая последовательность : : Как, наверное, многие подметили, переменная «эн» играет роль своеобразного счётчика. На самом деле с числовыми последовательностями мы имели дело ещё в средних классах школы. Вспомним арифметическую прогрессию. Определение переписывать не буду, коснёмся самой сути на конкретном примере. Пусть прогрессии. Тогда: – первый член, а – шаг арифметической – второй член данной прогрессии; – третий член данной прогрессии; – четвертый; – пятый; … И, очевидно, энный член задаётся рекуррентной формулой Примечание: в рекуррентной формуле каждый следующий член выражается через предыдущий член или даже через целое множество предыдущих членов. Полученная формула малопригодна на практике – чтобы добраться, скажем, до , нужно перебрать все предыдущие члены. И в математике выведено более удобное выражение энного члена арифметической прогрессии: . В нашем случае: Подставьте в формулу натуральные номера правильность построенной выше числовой последовательности. и проверьте Аналогичные выкладки можно провести для геометрической прогрессии, энный член которой задаётся формулой , где – первый член , а – знаменатель прогрессии первый член частенько равен единице. . В заданиях по матану Примеры: прогрессия задаёт последовательность прогрессия задаёт последовательность прогрессия ; задаёт последовательность прогрессия последовательность ; ; задаёт . Надеюсь, все знают, что –1 в нечётной степени равно –1, а в чётной – единице. Прогрессию называют бесконечно убывающей, если случая). (последние два Давайте добавим в свой список двух новых друзей, один из которых только что постучался в матрицу монитора: Последовательность «мигалкой»: на математическом жаргоне называют Таким образом, члены последовательности могут повторяться. Так, в рассмотренном примере последовательность состоит из двух бесконечно чередующихся чисел. А бывает ли так, что последовательность состоит из одинаковых чисел? Конечно. Например, задаёт бесконечное количество «троек». Для эстетов есть случай, когда в формуле всё же формально фигурирует «эн»: Факториал: Всего лишь свёрнутая запись произведения: Отнюдь не графомания, пригодится для задач ;-) Рекомендую осмыслитьзапомнить и даже переписать в тетрадь. …Пришёл тут в голову один вопрос: а почему никто не создаёт такие полезные граффити? Едет себе человек в поезде, смотрит в окно и изучает факториалы. Панки отдыхают =) Возможно, некоторым читателям всё-таки ещё не до конца понятно, как расписать члены последовательности, зная общий член. Тот редкий случай, когда контрольный выстрел возвращает к жизни: Разберёмся с последовательностью . Сначала подставим в энный член значение вычисления: Далее подставим в общий член Потом подставим следующий номер и внимательно проведём : : Четвёрку: Чего уж, теперь и отличную отметку не зазорно заработать: и так далее… пока разогреется самый последний чайник! Понятие предела последовательности. Простейшие примеры Для лучшего осмысления нижеследующей информации желательно ПОНИМАТЬ, что такое предел функции. Конечно, в стандартном курсе математического анализа сначала рассматривают предел последовательности и только потом предел функции, но дело в том, что о самой сущности предела я уже подробно рассказывал. Более того, в теории числовая последовательность считается частным случаем функции, и людям, которые знакомы с пределом функции, будет заметно веселее. Впрочем, дальше могут читать все-все-все, однако если у вас возникнет непонимание или недопонимание чего-либо, то, пожалуйста, начните с пределов функций. Пригласим на танец незамысловатую подругу : Что происходит, когда «эн» увеличивается до бесконечности? Очевидно, что члены последовательности будут бесконечно близко приближаться к нулю. Это и есть предел данной последовательности, который записывается следующим образом: Если предел последовательности равен нулю, то её называют бесконечно малой. В теории математического анализа даётся строгое определение предела последовательности через так называемую эпсилон-окрестность. Этому определению будет посвящёна следующая статья, а пока что разберём его смысл: Изобразим на числовой прямой члены последовательности симметричную относительно нуля (предела) -окрестность: и Теперь зажмите синюю окрестность рёбрами ладоней и начинайте её уменьшать, стягивая к пределу (красной точке). Число является пределом последовательности, если ДЛЯ ЛЮБОЙ заранее выбранной -окрестности (сколь угодно малой) внутри неё окажется бесконечно много членов последовательности, а ВНЕ неё – лишь конечное число членов (либо вообще ни одного). То есть эпсилон-окрестность может быть микроскопической, да и того меньше, но «бесконечный хвост» последовательности рано или поздно обязан полностью зайти в данную окрестность. Есть даже такая задача – доказать предел последовательности, пользуясь определением. Последовательность тоже бесконечно малА: с той разницей, что её члены не прыгают туда-сюда, а подбираются к пределу исключительно справа. Естественно, предел может быть равен и любому другому конечному числу, элементарный пример: Здесь дробь стремится к нулю, и соответственно, предел равен «двойке». Если у последовательности существует конечный предел , то она называется сходящейся (в частности, бесконечно малой при ). В противном случае – расходящейся, при этом возможны два варианта: либо предела вовсе не существует, либо он бесконечен. В последнем случае последовательность называют бесконечно большой. Пронесёмся галопом по примерам первого параграфа: Последовательности являются бесконечно большими, поскольку их члены уверенным ходом продвигаются к «плюс бесконечности»: Арифметическая прогрессия с первым членом бесконечно великА: и шагом тоже К слову, расходится и любая арифметическая прогрессия, за исключением случая с нулевым шагом – когда к конкретному числу бесконечно добавляется . Предел такой последовательности существует и совпадает с первым членом. У последовательностей схожая судьба: Любая бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как ясно уже из названия, бесконечно малА: Если знаменатель геометрической прогрессии бесконечно великА: Если же , например, , то предела , то последовательность вообще не существует, так как члены без устали прыгают то к «плюс бесконечности», то к «минус бесконечности». А здравый смысл и теоремы матана подсказывают, что если что-то куда-то и стремится, то это заветное место единственно. После небольшого разоблачения становится понятно, что в безудержных метаниях виновата «мигалка», которая, кстати, расходится и сама по себе. Действительно, для последовательности легко подобрать окрестность, которая, скажем, зажимает только число –1. В результате бесконечное количество членов последовательности («плюс единиц») останутся вне данной окрестности. Но по определению, «бесконечный хвост» последовательности с определённого момента (натурального номера) должен полностью заходить в ЛЮБУЮ -окрестность своего предела. Вывод: предела Факториал не существует. является бесконечно большой последовательностью: Причём, растёт он как на дрожжах, так, представляет собой число, у которого более 100 цифр (разрядов)! Почему именно 70? На нём просит пощады мой инженерный микрокалькулятор. С контрольным выстрелом всё чуть сложнее, и мы как раз подошли к практической части лекции, в которой разберём боевые примеры: Как найти предел последовательности? А вот сейчас необходимо уметь решать пределы функций, как минимум, на уровне двух базовых уроков: Пределы. Примеры решений и Замечательные пределы. Потому что многие методы решения будут похожи. Но, прежде всего, проанализируем принципиальные отличия предела последовательности от предела функции: В пределе последовательности «динамическая» переменная «эн» может стремиться только к «плюс бесконечности» – в сторону увеличения натуральных номеров . В пределе функции «икс» может быть направлен куда угодно – к «плюс/минус бесконечности» либо к произвольному действительному числу. Последовательность дискретна (прерывна), то есть состоит из отдельных изолированных членов. Раз, два, три, четыре, пять, вышел зайчик погулять. Для аргумента же функции характерна непрерывность, то есть «икс» плавно, без приключений стремится к тому или иному значению. И, соответственно, значения функции будут так же непрерывно приближаться к своему пределу. По причине дискретности в пределах последовательностей встречаются свои фирменные вещи, такие как факториалы, «мигалки», прогрессии и т.п. И сейчас я постараюсь разобрать пределы, которые свойственны именно для последовательностей. Начнём с прогрессий: Пример 1 Найти предел последовательности Решение: нечто похожее на бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, но она ли это? Для ясности распишем несколько первых членов: Так как , то речь идёт о сумме членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая рассчитывается по формуле . Оформляем решение: Используем формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: . В данном случае: знаменатель прогрессии. – первый член, Главное, совладать с четырёхэтажностью дроби: Есть. – Пример 2 Написать первые четыре члена последовательности и найти её предел Это пример для самостоятельного решения. Для устранения неопределённости в числителе потребуется применить формулу суммы первых членов арифметической прогрессии: , где – первый, а – энный член прогрессии. Поскольку в пределах последовательностей «эн» всегда стремится к «плюс бесконечности», то неудивительно, что неопределённость – одна из самых популярных. И многие примеры решаются точно так же, как пределы функций! Как вычислить эти пределы? Смотрите Примеры №№1-3 урока Пределы. Примеры решений. А может быть что-нибудь посложнее наподобие Ознакомьтесь с Примером №3 статьи Методы решения пределов. ? С формальной точки зрения разница будет лишь в одной букве – там «икс», а здесь «эн». Приём тот же – числитель и знаменатель надо разделить на «эн» в старшей степени. Также в пределах последовательностей достаточно распространена неопределённость . Как решать пределы вроде статьи. можно узнать из Примеров №11-13 той же Чтобы разобраться с пределом , обратитесь к Примеру №7 урока Замечательные пределы (второй замечательный предел справедлив и для дискретного случая). Решение снова будет как под копирку с различием в единственной букве. Следующие четыре примера (№№3-6) тоже «двулики», но на практике почемуто больше характерны для пределов последовательностей, чем для пределов функций: Пример 3 Найти предел последовательности Решение: сначала полное решение, потом пошаговые комментарии: (1) В числителе дважды используем формулу . (2) Приводим подобные слагаемые в числителе. (3) Для устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на («эн» в старшей степени). Как видите, ничего сложного. Пример 4 Найти предел последовательности Это пример для самостоятельного решения, формулы сокращенного умножения в помощь. В пределах с показательными последовательностями применяется похожий метод деления числителя и знаменателя: Пример 5 Найти предел последовательности Решение оформим по той же схеме: (1) Используя свойства степеней, вынесем из показателей всё лишнее, оставив там только «эн». (2) Смотрим, какие показательные последовательности есть в пределе: выбираем последовательность с наибольшим основанием: . В целях устранения неопределённости делим числитель и знаменатель на . и (3) В числителе и знаменателе проводим почленное деление. Поскольку является бесконечно убывающей геометрической прогрессией , то она стремится к нулю. И тем более к нулю стремится константа, делённая на растущую прогрессию: соответствующие пометки и записываем ответ. . Делаем Пример 6 Найти предел последовательности Это пример для самостоятельного решения. Как-то незаслуженно остался в забвении стильный почерк, присущий только пределу последовательности. Пора исправить ситуацию: Пример 7 Найти предел последовательности Решение: чтобы избавиться от «вечного соперника» нужно расписать факториалы в виде произведений. Но прежде, чем приступить к математическому граффити, рассмотрим конкретный пример, например: . Последним множителем в произведении идёт шестёрка. Что нужно сделать, чтобы получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: 6 – 1 = 5. Чтобы получить множитель, который располагается ещё дальше, нужно из пятёрки ещё раз вычесть единичку: 5 – 1 = 4. И так далее. Не беспокойтесь, это не урок в первом классе коррекционной школы, на самом деле мы знакомимся с важным и универсальным алгоритмом под названием «как разложить любой факториал». Давайте разделаемся с самым злостным флудером нашего чата: Очевидно, что последним множителем в произведении будет . Как получить предыдущий множитель? Вычесть единицу: Как достать прадедушку? Ещё раз вычесть единицу: Ну и ещё на один шаг продвинемся вглубь: Таким образом, наше чудовище распишется следующим образом: С факториалами числителя всё проще, так, мелкие хулиганы. . Оформляем решение: (1) Расписываем факториалы (2) В числителе ДВА слагаемых. Выносим за скобки всё, что можно вынести, в данном случае это произведение . Квадратные скобки, как я где-то пару раз говорил, отличаются от круглых скобок только своей квадратностью. (3) Сокращаем числитель и знаменатель на флуда тут и впрямь много. …. …хммм, (4) Упрощаем числитель (5) Сокращаем числитель и знаменатель на . Тут в известной степени повезло. В общем случае вверху и внизу получаются заурядные многочлены, после чего приходится выполнять стандартное действие – делить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Более подготовленные студенты, которые легко раскладывают факториалы в уме, могут решить пример значительно быстрее. На первом шаге делим почленно числитель на знаменатель и мысленно выполняем сокращения: Но способ с разложением всё-таки более основателен и надёжен. Пример 8 Найти предел последовательности Это пример для самостоятельного решения. Желающие набить руку на рассмотренных типах пределов могут обратиться к сборнику Кузнецова. Около 150 прорешанных примеров можно найти здесь >>> (задачи №№2-6). Как и в любом обществе, среди числовых последовательностей попадаются экстравагантные личности. Теорема: произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность – есть бесконечно малая последовательность. Если вам не очень понятен термин «ограниченность», пожалуйста, изучите статью об элементарных функциях и графиках. Аналогичная теорема справедлива, кстати, и для функций: произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию – есть бесконечно малая функция. Пример 9 Найти предел последовательности Решение: последовательность последовательность теореме: – ограничена: ,а – бесконечно малА, значит, по соответствующей Просто и со вкусом. Да-да, так и оформляем. А почему бы и нет? Пример 10 Найти предел последовательности Это пример для самостоятельного решения. Ещё две распространённые ограниченные функции – арктангенс и арккотангенс: Аргументы перечисленных тригонометрических функций могут быть заполнены знатной абракадаброй, но это не должно приводить в панику – существенно то, что последовательности ограничены! Иногда в ходе вычисления пределов последовательностей приходится использовать довольно неожиданные приёмы: Пример 11 Найти предел последовательности Решение: неопределённость можно раскрутить двумя способами. Первый путь – через первый замечательный предел, который справедлив, как ни странно, и для последовательностей: (1) Используем формулу . (2) Избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице. (3) Неопределённость не устранена, но теперь вместо тангенса у нас синус, и появляется возможность организовать 1-й замечательный предел. Проводим стандартный искусственный приём: делим всё выражение на и, чтобы ничего не изменилось, домножаем на . (4) Используем первый замечательный предел , при этом, в качестве бесконечно малой величины выступает стремится к нулю при . , которая, понятно, Дальнейшее просто. Прокатывает и 2-й метод решения – через замечательные эквивалентности: Заменим бесконечно малую последовательность эквивалентной: при . В данном случае Готово. Пример 12 Найти предел последовательности Это пример для самостоятельного решения. Здесь аргумент арктангенса также бесконечно мал, поскольку его знаменатель более высокого порядка роста, чем числитель. Решать, разумеется, значительно выгоднее через замечательную эквивалентность. Оба рассмотренных примера справедливы и для функций, похожие пределы также разобраны в Примерах 12-13 урока о бесконечно малых величинах. В заключение урока рассмотрим ещё один важный вопрос: Как найти предел знакочередующейся последовательности? Такая последовательность уже неоднократно встречалась в статье, например, первая скрипка теоретического параграфа . Действительно, как аналитически найти предел знакочередующейся последовательности, если знак то «плюс», то «минус»? И я, наконец-то, заряжаю в свой револьвер тот самый волшебный патрон: Пример 13 Найти предел последовательности Решение: на первом шаге следует найти предел последовательности , которая составлена из модулей членов. Знак модуля уничтожает возможный минус, поэтому чтобы получить , нужно попросту убрать множитель, обеспечивающий знакочередование. Чаще всего это «мигалка»: Теперь как ни в чём не бывало, вымучиваем наш обычный предел: Получено конечное число. Очевидно, что знакочередование не поменяет сути – члены последовательности будут «прыгать» вокруг своего предела, бесконечно близко приближаясь к нему. Собственно, это проиллюстрировано на единственном рисунке данного урока. Ситуация принципиально такая же, как, например, у более простых последовательностей . Ответ: так как последовательность является знакочередующейся и то . , Если в ходе исследования знакочередующейся последовательности получен бесконечный результат последовательности (или если предела нет), то у предела не существует вообще. Такой инцидент напоминает историю с . Наше увлекательное путешествие в мир последовательностей подошло к концу и, надеюсь, оно составило достойную конкуренцию Вконтакте =) =) =) Успехов в учёбе! Решения и ответы: Пример 2: Решение: Найдём предел последовательности: Используем формулу суммы прогрессии В данном случае Пример 4: Решение: . первых членов арифметической Пример 6: Решение: Пример 8: Решение: Пример 10: Решение: последовательность – ограничена: , а последовательность соответствующей теореме: , значит, по Пример 12: Решение: Заменим бесконечно малую эквивалентной: В данном примере . при . Предел последовательности и предел функции по Коши Сегодня на уроке мы разберём строгое определение последовательности и строгое определение предела функции, а также научимся решать соответствующие задачи теоретического характера. Статья предназначена, прежде всего, для студентов 1-го курса естественнонаучных и инженерно-технических специальностей, которые начали изучать теорию математического анализа, и столкнулись с трудностями в плане понимания этого раздела высшей математики. Кроме того, материал вполне доступен и учащимся старших классов. За годы существования сайта я получил недобрый десяток писем примерно такого содержания: «Плохо понимаю математический анализ, что делать?», «Совсем не понимаю матан, думаю бросить учёбу» и т.п. И действительно, именно матан часто прореживает студенческую группу после первой же сессии. Почему так обстоят дела? Потому что предмет немыслимо сложен? Вовсе нет! Теория математического анализа не столь трудна, сколько своеобразна. И её нужно принять и полюбить такой, какая она есть =) Начнём с самого тяжёлого случая. Первое и главное – не надо бросать учёбу. Поймите правильно, бросить, оно всегда успеется ;-) Безусловно, если через год-два от выбранной специальности будет тошнить, тогда да – следует задуматься (а не пороть горячку!) о смене деятельности. Но пока стОит продолжить. И, пожалуйста, забудьте фразу «Ничего не понимаю» – так не бывает, чтобы СОВСЕМ ничего не понимать. Что делать, если с теорией плохо? Это, кстати, касается не только математического анализа. Если с теорией плохо, то сначала нужно СЕРЬЁЗНО налечь на практику. При этом решаются сразу две стратегические задачи: – Во-первых, значительная доля теоретических знаний появилась благодаря практике. И поэтому многие люди понимают теорию через… – всё верно! Нетнет, вы не о том подумали =) – И, во-вторых, практические навыки с большой вероятностью «вытянут» вас на экзамене, даже если…, но не будем так настраиваться! Всё реально и всё реально «поднять» в достаточно короткие сроки. Математический анализ – это мой любимый раздел высшей математики, и поэтому я просто не мог не протянуть вам ноги руку помощи: В начале 1-го семестра обычно проходят пределы последовательностей и пределы функций. Не понимаете, что это такое и не знаете, как их решать? Начните со статьи Пределы функций, в которой «на пальцах» рассмотрено само понятие и разобраны простейшие примеры. Далее проработайте другие уроки по теме, в том числе урок о пределах последовательностей, на котором я фактически уже сформулировал строгое определение. На начальном этапе не рекомендую особо заглядывать в учебник по математическому анализу, да и в собственные записи тоже. Хотя давайте немного причастимся: Какие значки помимо знаков неравенств и модуля вы знаете? Из курса алгебры нам известны следующие обозначения: – квантор всеобщности обозначает– «для любого», «для всех», «для каждого», то есть запись следует прочитать «для любого положительного эпсилон»; – квантор существования, – существует значение принадлежащее множеству натуральных чисел. , – длинная вертикальная палка читается так: «такое, что», «такая, что», «такой, что» либо «такие, что», в нашем случае, очевидно, речь идёт о номере – поэтому «такой, что»; – для всех «эн», бОльших чем ; – знак модуля означает расстояние, т.е. эта запись сообщает нам о том, что расстояние между значениями меньше эпсилон. А теперь попытайтесь прочитать строку целиком. Ну как, убийственно сложно? =) После освоения практики жду вас в следующем параграфе: Определение предела последовательности И в самом деле, немного порассуждаем – как сформулировать строгое определение последовательности? …Первое, что приходит на ум в свете практического занятия: «предел последовательности – это число, к которому бесконечно близко приближаются члены последовательности». Хорошо, распишем последовательность : Нетрудно уловить, что подпоследовательность бесконечно близко приближаются к числу –1, а члены с чётными номерами – к «единице». А может быть предела два? Но тогда почему у какой-нибудь последовательности их не может быть десять или двадцать? Так можно далеко зайти. В этой связи логично считать, что если у последовательности существует предел, то он единственный. Примечание: у последовательности нет предела, однако из неё можно выделить две подпоследовательности (см. выше), у каждой из которых существует свой предел. Таким образом, высказанное выше определение оказывается несостоятельным. Да, оно работает для случаев вроде (чем я не совсем корректно пользовался в упрощённых объяснениях практических примеров), но сейчас нам нужно отыскать строгое определение. Попытка вторая: «предел последовательности – это число, к которому приближаются ВСЕ члены последовательности, за исключением, разве что их конечного количества». Вот это уже ближе к истине, но всё равно не совсем точно. Так, например, у последовательности половина членов вовсе не приближается к нулю – они ему просто-напросто равны =) К слову, «мигалка» значения. вообще принимает два фиксированных Формулировку нетрудно уточнить, но тогда возникает другой вопрос: как записать определение в математических знаках? Научный мир долго бился над этой проблемой, пока ситуацию не разрешил известный маэстро, который, по существу, и оформил классический матанализ во всей его строгости. Коши предложил оперировать окрестностями, чем значительно продвинул теорию. Рассмотрим некоторую точку и её произвольную -окрестность: Значение «эпсилон» всегда положительно, и, более того, мы вправе выбрать его самостоятельно. Предположим, что в данной окрестности находится множество членов (не обязательно все) некоторой последовательности . Как записать тот факт, что, например десятый член попал в окрестность? Пусть он находится в правой её части. Тогда расстояние между точками и должно быть меньше «эпсилон»: . Однако если «икс десятое» расположено левее точки «а», то разность будет отрицательна, и поэтому к ней нужно добавить знак модуля: Определение: число . называется пределом последовательности, если для любой его окрестности номер номерами Или короче: (заранее выбранной) существует натуральный – ТАКОЙ, что ВСЕ члены последовательности с бОльшими окажутся внутри окрестности: , если Иными словами, какое бы малое значение «эпсилон» мы ни взяли, рано или поздно «бесконечный хвост» последовательности ПОЛНОСТЬЮ окажется в этой окрестности. Так, например, «бесконечный хвост» последовательности зайдёт в любую сколь угодно малую -окрестность точки ПОЛНОСТЬЮ . Таким образом, это значение является пределом последовательности по определению. Напоминаю, что последовательность, предел которой равен нулю, называют бесконечно малой. Следует отметить, что для последовательности уже нельзя сказать «бесконечный хвост зайдёт» – члены с нечётными номерами по факту равны нулю и «никуда не заходят» =) Именно поэтому в определении использован глагол «окажутся». И, разумеется, члены такой последовательности, как тоже «никуда не идут». Кстати, проверьте, будет ли число её пределом. Теперь покажем, что у последовательности не существует предела. Рассмотрим, например, окрестность точки . Совершенно понятно, что нет такого номера, после которого ВСЕ члены окажутся в данной окрестности – нечётные члены всегда будут «выскакивать» к «минус единице». По аналогичной причине не существует предела и в точке . Начинающим рекомендую 2-3 раза перечитать вышесказанное + параграф понятие предела последовательности предыдущего урока, где я объяснил то же самое, но без математических значков. Закрепим материал практикой: Пример 1 Доказать что предел последовательности равен нулю. Указать номер , после которого, все члены последовательности гарантированно окажутся внутри любой сколь угодно малой -окрестности точки . Примечание: у многих последовательностей искомый натуральный номер зависит от значения – отсюда и обозначение Решение: рассмотрим произвольную проверим, найдётся ли номер -окрестность точки . и – такой, что ВСЕ члены с бОльшими номерами окажутся внутри этой окрестности: Чтобы показать существование искомого номера Так как при любом значении «эн» , выразим через . , то знак модуля можно убрать: Используем «школьные» действия с неравенствами, которые я повторял на уроках Линейные неравенства и Область определения функции. При этом важным обстоятельством является то, что «эпсилон» и «эн» положительны: Поскольку слева речь идёт о натуральных номерах, а правая часть в общем случае дробна, то её нужно округлить: Примечание: иногда для перестраховки справа добавляют единицу, но на самом деле это излишество. Условно говоря, если и мы ослабим результат округлением в меньшую сторону , то ближайший подходящий номер («тройка») всё равно будет удовлетворять первоначальному неравенству. А теперь смотрим на неравенство и вспоминаем, что изначально мы рассматривали произвольную -окрестность, т.е. «эпсилон» может быть равно любому положительному числу. Вывод: для любой сколько угодно малой значение -окрестности точки нашлось , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство является пределом последовательности требовалось доказать. . Таким образом, число по определению. Что и К слову, из полученного результата естественная закономерность: чем меньше хорошо просматривается -окрестность – тем больше номер , после которого ВСЕ члены последовательности окажутся в данной окрестности. Но каким бы малым ни было «эпсилон» – внутри всегда будет «бесконечный хвост», а снаружи – пусть даже большое, однако конечное число членов. Как впечатления? =) Согласен, что странновато. Но строго! Пожалуйста, перечитайте и осмыслите всё ещё раз. Рассмотрим аналогичный пример и познакомимся с другими техническими приёмами: Пример 2 Используя определение последовательности, доказать, что Решение: по определению последовательности нужно доказать, что (проговариваем вслух!!!). Рассмотрим произвольную -окрестность точки ли натуральный номер – такой, что для всех бОльших номеров и проверим, существует выполнено неравенство: Чтобы показать существование такого , нужно выразить «эн» через «эпсилон». Упрощаем выражение под знаком модуля: Модуль уничтожает знак «минус»: Знаменатель положителен при любом «эн», следовательно, палки можно убрать: Перетасовка: Теперь надо бы извлечь квадратный корень, но загвоздка состоит в том, что при некоторых «эпсилон» правая часть будет отрицательной. Чтобы избежать этой неприятности усилим неравенство модулем: Почему так можно сделать? Если, условно говоря, окажется, что подавно будет выполнено и условие , то . Модуль может только увеличить разыскиваемый номер , и это нас тоже устроит! Грубо говоря, если подходит сотый, то подойдёт и двухсотый! В соответствии с определением, нужно показать сам факт существования номера (хоть какогото), после которого все члены последовательности окажутся в -окрестности. Кстати, именно поэтому нам не страшнО финальное округление правой части в бОльшую сторону. Извлекаем корень: И округляем результат: Вывод: т.к. значение «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки значение нашлось , такое, что для всех бОльших номеров выполнено неравенство . Таким образом, определению. Что и требовалось доказать. по Советую особо разобраться в усилении и ослаблении неравенств – это типичные и очень распространённые приёмы математического анализа. Единственное, нужно следить за корректностью того или иного действия. Так, например, неравенство вычитая, скажем, единицу: ни в коем случае нельзя ослаблять, Опять же условно: если номер может уже и не подойти. точно подойдёт, то предыдущий Следующий пример для самостоятельного решения: Пример 3 Используя определение последовательности, доказать, что Краткое решение и ответ в конце урока. Если последовательность бесконечно велика, то определение предела формулируется похожим образом: точка называется пределом последовательности, если для любого, сколь угодно большого числа существует номер , такой, что для всех бОльших номеров , будет выполнено неравенство «плюс бесконечность»: . Число называют окрестностью точки Иными словами, какое бы большое значение мы ни взяли, «бесконечный хвост» последовательности обязательно зайдёт в -окрестность точки оставив слева лишь конечное число членов. Дежурный пример: И сокращённая запись: Для случая версия в конце урока. , если запишите определение самостоятельно. Правильная После того, как вы «набили» руку на практических примерах и разобрались с определением предела последовательности, можно обратиться к литературе по математическому анализу и/или своей тетрадке с лекциями. Рекомендую закачать 1-й том Бохана (попроще – для заочников) и Фихтенгольца (более подробно и обстоятельно). Из других авторов советую Пискунова, курс которого ориентирован на технические ВУЗы. Попытайтесь добросовестно изучить теоремы, которые касаются предела последовательности, их доказательства, следствия. Поначалу теория может казаться «мутной», но это нормально – просто нужно привыкнуть. И многие даже войдут во вкус! Строгое определение предела функции , Начнём с того же самого – как сформулировать данное понятие? Словесное определение предела функции проще: «число формулируется значительно является пределом функции , если при «икс», стремящемся к (и слева, и справа), соответствующие значения функции стремятся к » (см. чертёж). Всё вроде бы нормально, но слова словами, смысл смыслом, значок значком, а строгих математических обозначений маловато. И во втором параграфе мы познакомимся с двумя подходами к решению данного вопроса. Пусть функция определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки . В учебной литературе общепринято считают, что функция там не определена: Такой выбор подчёркивает суть предела функции: «икс» бесконечно близко приближается к , и соответствующие значения функции – бесконечно близко к . Иными словами, понятие предела подразумевает не «точный заход» в точки, а именно бесконечно близкое приближение, при этом не важно – определена ли функция в точке или нет. Первое определение предела функции, что неудивительно, формулируется с помощью двух последовательностей. Во-первых, понятия родственные, и, вовторых, пределы функций обычно изучают после пределов последовательностей. Рассмотрим последовательность точек (на чертеже отсутствуют), принадлежащих промежутку и отличных от которая сходится к , . Тогда соответствующие значения функции тоже образуют числовую последовательность, члены которой располагаются на оси ординат. Предел функции по Гейне: число точке называется пределом функции в , если для любой последовательности точек (принадлежащих и отличных от ), которая сходится к точке соответствующая последовательность значений функции сходится к , . Эдуард Гейне – это немецкий математик. …И не надо тут ничего такого думать, гей в Европе всего лишь один – это Гей-Люссак =) Второе определение предела соорудил… да-да, вы правы. Но сначала разберёмся в его конструкции. Рассмотрим произвольную -окрестность точки («чёрная» окрестность). По мотивам предыдущего параграфа, запись означает, что некоторое значение находится внутри «эпсилон»-окрестности. функции Теперь найдём -окрестность, которая соответствует заданной окрестности (мысленно проводим чёрные пунктирные линии слева направо и затем сверху вниз). Обратите внимание, что значение выбирается по длине меньшего отрезка, в данном случае – по длине более короткого левого отрезка. Более того, «малиновую» -окрестность точки можно даже уменьшить, поскольку в нижеследующем определении важен сам факт существования этой окрестности. И, аналогично, запись означает, что некоторое значение находится внутри «дельта»-окрестности. Предел функции по Коши: число точке называется пределом функции , если для любой заранее выбранной окрестности малой), существует -окрестность точки в (сколь угодно , ТАКАЯ, что: КАК ТОЛЬКО значения (принадлежащие ) входят в данную окрестность: (красные стрелки) – ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции гарантированно зайдут в -окрестность: (синие стрелки). Должен предупредить, что в целях бОльшей доходчивости я немного сымпровизировал, поэтому не злоупотребляйте =) Короткая запись: , если В чём суть определения? Образно говоря, бесконечно уменьшая окрестность, мы «сопровождаем» значения функции до своего предела, не оставляя им альтернативы приближаться куда-то ещё. Довольно необычно, но опять же строго! Чтобы как следует проникнуться идеей, перечитайте формулировку ещё раз. ! Внимание: если вам потребуется сформулировать только определение по Гейне или только определение по Коши, пожалуйста, не забывайте о существенном предварительном комментарии: «Рассмотрим функцию , которая определена на некотором промежутке за исключением, возможно, точки ». Я обозначил это единожды в самом начале и каждый раз не повторял. Согласно соответствующей теореме математического анализа, определения по Гейне и по Коши эквивалентны, однако наиболее известен второй вариант (ещё бы!), который также называют «предел на языке »: Пример 4 Используя определение предела, доказать, что Решение: функция определена на всей числовой прямой кроме точки . Используя определение докажем существование предела в данной точке. , Примечание: величина «дельта»-окрестности зависит от «эпсилон», отсюда и обозначение Рассмотрим произвольную этому значению неравенства Предполагая, что -окрестность. Задача состоит в том, чтобы по проверить, существует ли -окрестность, ТАКАЯ, что из следует неравенство . , преобразуем последнее неравенство: (разложили квадратный трёхчлен) После упрощений для лучшего понимания перепишем ещё раз то, что требовалось проверить: «…существует ли неравенства -окрестность, ТАКАЯ что из следует неравенство Конечно, существует, например, ?» . В этом случае из неравенства следует (формально оно же само). Следует отметить, что в качестве примера можно привести и любую меньшую «дельта»-окрестность, например, , поскольку из неравенства тем более следует, что (из того, что «в кармане меньше 50 рублей» следует то, что «в кармане меньше 100 рублей»). Однако в качестве стандартного примера окрестности практически всегда берут «пограничное» значение, в данном примере Вывод: для любой сколько угодно малой окрестность точки -окрестности точки . нашлась , такая, что из неравенства следует неравенство . Таким образом, по определению предела функции. Ч.т.д. Небольшое задание для самостоятельного решения. Пример 5 Доказать, что Слишком просто? А вы попробуйте грамотно оформить, и, самое главное, ПОНЯТЬ, ход решения ;-) Следует отметить, что рассмотренные задачи не дают нам каких-то способов решения пределов, они позволяют лишь доказать либо опровергнуть существование некоторых из них. Определение бесконечного предела, в частности предела , тоже формулируется двумя способами. Приведу наиболее популярный вариант. Пусть функция определена на промежутке , который содержит сколь угодно большие значения «икс». Предел функции равен «плюс бесконечности» при , если для любого сколь угодно большого числа (заранее заданного) найдётся окрестность , такая, что: КАК ТОЛЬКО значения аргумента войдут в данную окрестность: (красная стрелка), ТАК СРАЗУ соответствующие значения функции зайдут в -окрестность: Сокращённая запись: (синяя стрелка): , если Определения следующих двух пределов предлагаю сформулировать самостоятельно: Изобразите на чертеже принципиальную картину, прорисуйте окрестности и постарайтесь корректно записать определения. Для обозначения закрытых окрестностей используйте буквы буквы , для открытых к бесконечности – . Ответы в конце урока. Случаи «минус бесконечности» и обобщённый случай легко отыскать в соответствующей литературе. Что делать дальше? После освоения теории пределов целесообразно перейти к изучению непрерывности функции, правда, в рамках сайта сформулировано лишь «прикладное» определение непрерывности, поэтому книги в помощь. Далее в 1-м семестре, как правило, проходят производные. Здесь я рекомендую придерживаться той же схемы – сначала учимся дифференцировать, затем осваиваем теоретический материал о производной, «сопутствующие» теоремы и т.д. Ни в коем случае не расстраивайтесь, если дела «пойдут не очень», в конце концов, тут нужно принять во внимание, что учиться на «технаря» вообще непросто: что-то даётся легче, что-то труднее, а с чем-то может и помучиться придётся. Лично у меня некоторые разделы математики шли лучше, некоторые хуже, а программирование вообще переносилось с трудом (уж не знаю, почему). Нельзя идеально знать и любить всё. Оглядываясь в прошлое, с улыбкой вспоминаю свои первый месяцы учёбы – тогда математический анализ показался мне самой трудной дисциплиной, и я с перепуга выучил ВЕСЬ материал 1-го семестра, даже сказать точнее не выучил, а почти во всём разобрался, чего и всем желаю! Надеюсь, данная статья была полезна, а может, и послужила ключом к предмету! Решения и ответы: Пример 3: Решение: докажем, что . Для этого рассмотрим произвольную -окрестность точки найдётся ли натуральный номер – такой, что Преобразуем неравенство: и проверим, выполнено: (подумайте, почему) Для всех «эн»: , поэтому: Вывод: т.к. «эпсилон» выбиралось произвольно, то для любой сколько угодно малой -окрестности точки такое, что нашлось значение выполнено образом, , . Таким по определению. Что и требовалось доказать. Формулировка предела: , если Пример 5: Решение: функция определена на всей числовой прямой. Используя определение существование предела в точке Рассмотрим произвольную , докажем . -окрестность и проверим, найдётся ли окрестность, такая что из неравенства следует . Преобразуем неравенство с «эпсилон»: - В качестве искомой окрестности выбираем . Вывод: для любой сколь угодно малой -окрестности точки значение , такое, что следовательно, нашлось , по определению. Ч.т.д. Формулировки пределов: , если , если ПРОИЗВОДНЫЕ Как найти производную? Примеры решений Как найти производную, как взять производную? На данном уроке мы научимся находить производные функций. Но перед изучением данной страницы я настоятельно рекомендую ознакомиться с методическим материалом Горячие формулы школьного курса математики. Справочное пособие можно открыть или закачать на странице Математические формулы и таблицы. Также оттуда нам потребуется Таблица производных, ее лучше распечатать, к ней часто придется обращаться, причем, не только сейчас, но и в оффлайне. Есть? Приступим. У меня для Вас есть две новости: хорошая и очень хорошая. Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные, совсем не обязательно знать и понимать, что такое производная. Более того, определение производной функции, математический, физический, геометрический смысл производной целесообразнее переварить позже, поскольку качественная проработка теории, по моему мнению, требует изучения ряда других тем, а также некоторого практического опыта. И сейчас наша задача освоить эти самые производные технически. Очень хорошая новость состоит в том, что научиться брать производные не так сложно, существует довольно чёткий алгоритм решения (и объяснения) этого задания, интегралы или пределы, например, освоить труднее. Советую следующий порядок изучения темы: во-первых, эта статья. Затем нужно прочитать важнейший урок Производная сложной функции. Эти два базовых занятия позволят поднять Ваши навыки с полного нуля. Далее можно будет ознакомиться с более сложными производными в статье Сложные производные. Логарифмическая производная. Если планка окажется слишком высока, то сначала прочитайте вещь Простейшие типовые задачи с производной. Помимо нового материала, на уроке рассмотрены другие, более простые типы производных, и есть прекрасная возможность улучшить свою технику дифференцирования. Кроме того, в контрольных работах почти всегда встречаются задания на нахождение производных функций, которые заданы неявно или параметрически. Такой урок тоже есть: Производные неявных и параметрически заданных функций. Я попытаюсь в доступной форме, шаг за шагом, научить Вас находить производные функций. Вся информация изложена подробно, простыми словами. Собственно, сразу рассмотрим пример: Пример 1 Найти производную функции Решение: Это простейший пример, пожалуйста, найдите его в таблице производных элементарных функций. Теперь посмотрим на решение и проанализируем, что же произошло? А произошла следующая вещь: у нас была функция которая в результате решения превратилась в функцию , . Говоря совсем просто, для того чтобы найти производную функции, нужно по определенным правилам превратить её в другую функцию. Посмотрите еще раз на таблицу производных – там функции превращаются в другие функции. Единственным исключением является экспоненциальная функция , которая превращается сама в себя. Операция нахождения производной называется дифференцированием. Обозначения: Производную обозначают или . ВНИМАНИЕ, ВАЖНО! Забыть поставить штрих (там, где надо), либо нарисовать лишний штрих (там, где не надо) – ГРУБАЯ ОШИБКА! Функция и её производная – это две разные функции! Вернемся к нашей таблице производных. Из данной таблицы желательно запомнить наизусть: правила дифференцирования и производные некоторых элементарных функций, особенно: производную константы: , где – постоянное число; производную степенной функции: , в частности: , , . Зачем запоминать? Данные знания являются элементарными знаниями о производных. И если Вы не сможете ответить преподавателю на вопрос «Чему равна производная числа?», то учеба в ВУЗе может для Вас закончиться (лично знаком с двумя реальными случаями из жизни). Кроме того, это наиболее распространенные формулы, которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с производными. В реальности простые табличные примеры – редкость, обычно при нахождении производных сначала используются правила дифференцирования, а затем – таблица производных элементарных функций. В этой связи переходим к рассмотрению правил дифференцирования: 1) Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной , где – постоянное число (константа) Пример 2 Найти производную функции Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас . Решаем: Самое время использовать правило, выносим постоянный множитель за знак производной: А теперь превращаем наш косинус по таблице: Ну и результат желательно немного «причесать» – ставим минус на первое место, заодно избавляясь от скобок: Готово. 2) Производная суммы равна сумме производных Пример 3 Найти производную функции Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху: Применяем второе правило: Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде , а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как это сделать – рассмотрено в моих методических материалах. Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной: Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно (чтобы не переписывать лишний раз длинное выражение). Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение: Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают: Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет. Пример 4 Найти производную функции Попробуйте решить данный пример самостоятельно (ответ в конце урока). Желающие также могут воспользоваться интенсивным курсом в pdfформате, который особенно актуален, если у вас в распоряжении совсем мало времени. 3) Производная произведения функций Вроде бы по аналогии напрашивается формула состоит в том, что: …., но неожиданность Эта необычное правило (как, собственно, и другие) следует из определения производной. Но с теорией мы пока повременим – сейчас важнее научиться решать: Пример 5 Найти производную функции Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от . Сначала применяем наше странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных: Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника. Пример 6 Найти производную функции В данной функции содержится сумма и произведение двух функций – квадратного трехчлена и логарифма . Со школы мы помним, что умножение и деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием. Здесь всё так же. СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения: Теперь для скобки используем два первых правила: В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции: Готово. При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде не обязательно расписывать так подробно. Вообще, они обычно решаются устно, и сразу записывается, что Пример 7 . Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока) 4) Производная частного функций В потолке открылся люк, не пугайся, это глюк. А вот это вот суровая действительность: Пример 8 Найти производную функции Чего здесь только нет – сумма, разность, произведение, дробь…. С чего бы начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но, В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих: Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной: Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны. Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не выносить, но в этом случае они будут «путаться под ногами», что загромождает и затрудняет решение. Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление. Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь – сначала применяем правило дифференцирования частного: Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило, здесь это сделаем устно, надеюсь, Вы уже немного освоились в производных: Штрихов больше нет, задание выполнено. На практике обычно (но не всегда) ответ упрощают «школьными» методами: Пример 9 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Время от времени встречаются хитрые задачки: Пример 10 Найти производную функции Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как использовать правило дифференцирования частного (а его можно использовать), всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее? Дело в том, что формула совсем не хочется. достаточно громоздка, и применять ее В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель. Преобразуем функцию: Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно: Готово. Пример 11 Найти производную функции Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак: Произведение все-таки дифференцировать проще: Пример 12 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). 5) Производная сложной функции Данное правило также встречается очень часто. Но о нём рассказать можно очень много, поэтому я создал отдельный урок на тему Производная сложной функции. Желаю успехов! Ответы: Пример 4: . В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что и – постоянные числа, не важно чему они равны, важно, что это - константы. Поэтому Пример 7: выносится за знак производной, а . Пример 9: Пример 12: Автор: Емелин Александр Производная сложной функции. Примеры решений На данном уроке мы научимся находить производную сложной функции. Урок является логическим продолжением занятия Как найти производную?, на котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно. На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных. Смотрим в таблицу на правило (№ 5) дифференцирования сложной функции: Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией. Функцию я буду называть внешней функцией, а функцию (или вложенной) функцией. – внутренней ! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал. Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим: Пример 1 Найти производную функции Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя: В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией. Первый шаг, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней. В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике. Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число). Что мы вычислим в первую очередь? В первую очередь нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией : Во вторую очередь нужно будет найти функцией: , поэтому синус – будет внешней После того, как мы РАЗОБРАЛИСЬ с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции . Начинаем решать. Из урока Как найти производную? мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем всю функцию в скобки и ставим справа вверху штрих: Сначала находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные шаблоны применимы и в том случае, если «икс» заменить любой дифференцируемой функцией . В данном примере ВМЕСТО «икс» у нас : Обратите внимание, что внутренняя функция не трогаем. не изменилась, её мы Ну и совершенно очевидно, что Результат применения формулы выглядит так: в чистовом оформлении Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая: Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения: Готово Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения. Пример 2 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Пример 3 Найти производную функции Как всегда записываем: Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: внутренняя функция: , значит, многочлен И, только потом выполняется возведение в степень – и есть , следовательно, степенная функция – это внешняя функция: Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз: любой табличный шаблон справедлив не только для «икс», но и для любой дифференцируемой функции . Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий: Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется: Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат: Готово. Пример 4 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так? Пример 5 а) Найти производную функции б) Найти производную функции Пример 6 Найти производную функции Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид: Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции : Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы: Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять). Пример 7 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного , но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример: Пример 8 Найти производную функции Здесь можно использовать правило дифференцирования частного , но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции: Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель: Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция. Используем наше правило : Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз: Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила совпасть. , ответы должны Пример 9 Найти производную функции Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока). До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрёшки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций. Пример 10 Найти п
