Теорема косинусов для четырехугольника

Санкт–Петербургский государственный университет
Гордеев Юрий Борисович
Теорема косинусов для четырехугольника
Уровень образования: магистратура
Направление 01.04.02 «Прикладная математика и информатика»
Основная образовательная программа ВМ.5754.2020 «Математические
методы цифровизации экономики»
Научный руководитель:
Доктор физико-математических наук
Прасолов Александр Витальевич
Санкт-Петербург
2020 г.
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Теорема Бретшнейдера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
Теорема Птолемея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Теорема Стюарта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Теорема Помпею . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Список литературы
2
Введение
Расчет метрических соотношений в треугольнике, как правило, основывается на известных из школьной программы теоремах синусов и косинусов. Поскольку всякий четырехугольник можно разбить на треугольники,
то упомянутые теоремы могут пригодиться также при расчетах элементов
четырехугольника. Однако в геометрии четырехугольника существует ряд
красивых и удобных теорем, играющих самостоятельную роль. Именно об
одной из них и пойдет речь в данной работе.
Теорема Бретшнейдера
Рассмотрим четырехугольники следующих типов:
1. Выпуклые четырехугольники. Четырехугольник называется выпуклым, если он находится в одной полуплоскости относительно прямой,
содержащей любую его сторону.
2. Вогнутые четырехугольники. Одна из диагоналей такого четырехугольника располагается вне этого четырехугольника.
3. Вырожденные четырехугольники. Одна из вершин такого четырехугольника является внутренней точкой отрезка, соединяющего две
его несоседние вершины.
В последнем случае конфигурация четырех вершин не очень напоминает
четырехугольник. Условимся подобную конструкцию называть четырехверишнником, или тетроном. Этим общим термином обозначаются четыре
произвольные точки пространства, последовательно соединенные отрезками (последняя точка соединяется с первой). В данной работе мы будем рассматривать преимущественно плоские тетроны, все четыре вершины которых располагаются в одной плоскости. Очевидно, что выпуклые, вогнутые
и вырожденные четырехугольники являются тетронами.
Введем следующие обозначения. Пусть стороны AB = a, BC = b,
CD = c, DA = d, диагонали AC = m, BD = n, углы ∠A = ∠BAD,
∠C = ∠BCD, δ1 = ∠ADB, δ2 = ∠CDB.
3
Теорема Бретшнейдера (теорема косинусов для четырехугольника). Для любого четырехугольника рассматриваемого типа справедливо
равенство
m2 n2 = a2 c2 + b2 d2 − 2abcd cos(∠A + ∠C).
(1)
Приведем ниже доказательство данной теоремы.
Доказательство. Теорема синусов, примененная к треугольникам
ABD и BCD, позволяет записать равенства
sinδ1
sin∠A sinδ2
sin∠C
=
,
=
.
a
n
b
n
Перемножив их, получаем равенство
sinδ1 sinδ2 =
ab
sin∠Asin∠C,
n2
или, с учетом формулы косинуса суммы двух углов,
sinδ1 sinδ2 =
ab
cos∠Acos∠C
−
cos(∠A
+
∠C)
.
n2
(2)
Величины cos∠A, cos∠C можно выразить по теореме косинусов, примененной к треугольникам ABD и BCD:
a2 + d2 − n2
b2 + c2 − n2
cos∠A =
, cos∠C =
.
2ad
2bc
Подставив эти выражения в (2), получим равенство
2
2
2
2
2
2
!
ab a + d − n b + c − n
·
−
cos
∠A
+
∠C
.
n2
2ad
2bc
sinδ1 sinδ2 =
(3)
С другой стороны,
sinδ1 sinδ2 = cosδ1 cosδ2 − cos(δ1 + δ2 ).
Каждый из входящих в это выражение косинусов можно выразить по теореме косинусов через элементы треугольников ABD, BCD и ACD:
4
• из ABD
n2 + d2 − a2
cosδ1 =
;
2nd
• из BCD
cosδ2 =
• из ACD
cos δ1 + δ2
n2 + c2 − b2
;
2nc
c2 + d2 − m2
.
=
2cd
Таким образом,
sinδ1 sinδ2 =
n2 + d2 − a2 n2 + c2 − b2 c2 + d2 − m2
·
−
2nd
2nc
2cd
(4)
Приравнивая друг другу правые части равенств (3) и (4), найдем
n2 + d2 − a2 n2 + c2 − b2 − 2n2 c2 + d2 − m2 =
= a2 + d2 − n2 b2 + c2 − n2 − 4abcd cos ∠A + ∠C .
После раскрытия скобок и приведения подобных членов получаем равенство (1).
Рассмотрим ряд следствий, вытекающих из теоремы Бретшнейдера.
Теорема Птолемея
Теорема Птолемея. Во всяком выпуклом четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
Доказательство. Так как во вписанном в окружность выпуклом
четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180◦ °, то, полагая
в равенстве (1) ∠A + ∠C = 180◦ , получаем
2
2
m2 n2 ≈a2 c2 + b2 d2 + 2abcd, или mn = ac + bd ,
откуда mn = ac + bd.
Теорема доказана.
5
Теорема Стюарта
Теорема Стюарта. Для тетрона справедливо равенство
m ab + n2 = ac2 + bd2 .
Доказательство. По теореме косинусов для треугольника ACD
m2 = c2 + d2 − 2cd cos∠D
(5).
Учитывая, что cos ∠A+∠C = −cos∠D, в соответствии с теоремой Бретшнейдера запишем равенство
m2 n2 = a2 c2 + b2 d2 + 2abcd cos∠D.
(6)
Умножим обе части равенства (5) на ab и полученное равенство сложим с
(6). В результате получим
m2 n2 + abm2 = ac2 a + b + bd2 a + b .
Сократив обе части этого равенства на a + b = m, получим равенство
Стюарта.
Равенство Стюарта полезно при определении длин замечательных
отрезков в треугольнике.
6
Теорема Помпею
Теорема Помпею. Пусть ABC — правильный треугольник, M произвольная точка плоскости, не лежащая на окружности, описанной
около 4ABC. Существует треугольник, длины сторон которого равны
AM , BM и CM .
Доказательство. Требуемый треугольник существует, если отрезки
AM , BM и CM удовлетворяют неравенству треугольника. Данный факт
будет иметь место, если наибольший из этих отрезков меньше суммы двух
других. Пусть AM — наибольший отрезок. По теореме Бретшнейдера для
четырехугольника ABM C
AM 2 ·BC 2 = AC 2 ·BM 2 + AB 2 ·CM 2 −
−2AB·BM ·AC·CM cos ∠BM C + 60◦ ,
или, поскольку AB = BC = AC,
AM 2 = BM 2 + CM 2 −
2
2BM ·CM cos ∠BM C + 60◦ < BM + CM ,
т.е.
AM < BM + CM.
Теорема доказана.
7
Список литературы
[1] Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М.: Просвещение, 1990 (с. 19
- 25)
[2] Астапов Н.С. Теорема о четырехвершиннике. Математическое образование, №2 (13), 2000.
[3] Астапов Н.С., Жуков А.В. Замечательный четырехвершинник.
Квант, 1996, № 1.
8