Шульман

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физико-технический факультет
Кафедра прикладной газовой динамики и горения (ПГДиГ)
ДОПУСТИТЬ К ЗАЩИТЕ
Руководитель ООП,
зав. кафедрой ПГДиГ,
д.ф.-м.н., профессор
______________ Г.Р. Шрагер
«______» __________ 2020 г.
ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА БАКАЛАВРА
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В ПЛОСКОЙ И ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ПОСТАНОВКАХ
С УЧЕТОМ НЕИЗОТЕРМИЧНОСТИ ПОТОКОВ
по основной образовательной программе подготовки бакалавров
направление подготовки 24.03.03 – Баллистика и гидроаэродинамика
Арутюнян Мартин Мамукаевич
Руководитель ВКР:
ассистент
___________ Е. И. Хегай
«_____»___________2020 г.
Автор работы:
студент группы № 10607
___________ М.М. Арутюнян
Томск 2020 г.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физико-технический факультет
Кафедра прикладной газовой динамики и горения (ПГДиГ)
УТВЕРЖДАЮ
Руководитель ООП,
зав. кафедрой ПГДиГ,
д-р физ.-мат. наук, профессор
____________ Г.Р. Шрагер
«____» ___________ 2020 г.
Задание
на практику студенту группы № 10607
Арутюнян Мартин Мамукаевич
1. Тема: Численное моделирование одномерных течений в плоской и
осесимметричной постановках с учетом неизотермичности потоков.
2. Цель: Разработка методики решения задачи об установившемся течении
реологически сложной жидкости в плоском и осесимметричном каналах.
3. Руководитель практики: ассистент Хегай Ефим Игоревич.
4. Срок сдачи студентом отчета о выпускной квалификационной работе на
кафедре «07» июня 2020 г.
5. Календарный план выполнения выпускной квалификационной работы:
№ Название раздела
1 Проведение литературного поиска по изучаемой проблеме.
Формулировка математической постановки задачи о течении
2 неньютоновской жидкости в плоском и осесимметричном
каналах.
Разработка метода расчета, написание и отладка программы
3
для ЭВМ.
4 Проведение параметрических исследований.
5 Написание отчета.
2
Срок
исполнения
04.05.202015.05.2020
16.05.202019.05.2020
20.05.202023.05.2020
24.05.202031.05.2020
01.06.202007.06.2020
6. Рекомендуемая литература для изучения:
1. Ландау, Л.Д. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т.I.
Механика. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лившиц – 5-е изд., стереот. – М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 224 с.
2. Янков В.И. Переработка волокнообразующих полимеров. Основы
реологии полимеров и течение полимеров в каналах. – Москва-Ижевск.: НИЦ
«Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных
исследований, 2008. – 264с.
3. Шульман З. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных
жидкостей. - М.: Энергия, 1975.
4. Роуч П., Вычислительная гидродинамика - М.: Мир, 1980. -618 с.
5. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики
жидкости / С. Патанкар. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 152 с.
Научный руководитель:
ассистент
/
Е.И. Хегай
Задание принял к исполнению:
«___» __________ 2020 г.
/ М.М. Арутюнян
3
РЕФЕРАТ
Работа содержит 25 страницы, 13 рисунков, 1 таблицу, 9 источников
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ,
ОДНОМЕРНОЕ ТЕЧЕНИЕ, НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ,
СТЕПЕНЬ НЕЛИНЕЙНОСТИ, ЧИСЛО БРИНКМАНА
Предметом
исследования
в
настоящей
работе
являлось
неизотермического течения вязкой жидкости в плоском /осесимметричном
канале.
Целью работы является разработка методики решения задачи об
установившемся течении реологически сложной жидкости в плоском /
осесимметричном канале, а также численное моделирование подобных
течений. Изучение поведения жидкостей в зависимости от основных
определяющих параметров, таких как: показатель степени нелинейности и
число Бингама (безразмерный параметр вязкопластичности).
В результате выполнения работы было:
1. Сформулирована математическая постановка задачи о стационарном
неизотермическом
течении
степенной
жидкости
в
плоском
/
осесимметричном канале с учетом вязкой диссипации и зависимости
консистенции среды от температуры в одномерном приближении.
2. Разработан численный алгоритм решения задачи на основе метода
конечных разностей.
3. Проведена проверка аппроксимационной сходимости алгоритма расчета.
4. Проведены параметрические расчеты при разных значениях показателя
нелинейности и параметра реологической модели (числа Бринкмана).
4
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. .............................................................................................................. 6
1 Постановка одномерной задачи........................................................................ 8
1.1 Постановка задачи в декартовой системе координат. ................................ 8
1.2 Постановка задачи в цилиндрической системе координат ........................ 9
1.3 Постановка задачи в обобщенном виде .................................................... 12
2 Численное решение одномерной задачи. ....................................................... 13
2.1 Метод решения. .......................................................................................... 13
2.2 Проверка аппроксимационной сходимости. ............................................. 16
3 Результаты расчетов. ....................................................................................... 18
Заключение. ........................................................................................................ 22
Список литературы. ........................................................................................... 23
Приложение 1 ..................................................................................................... 24
5
ВВЕДЕНИЕ
В промышленности производится и перерабатывается множество
жидкостей,
обладающих
различными
структурно-механическими
свойствами. Многие из них при своем течении проявляют нелинейную
вязкость. К ярко выраженным нелинейно-вязким средам относятся нефть,
нефтепродукты, растворы и расплавы полимеров, суспензии угольного
топлива, лаки, краски, зубная паста, жидкие пищевые продукты [1]. В общем
случае
течения
обуславливается
вязкой
жидкости
диссипацией
являются
неизотермическими,
механической
энергии,
что
возможными
химическими источниками тепла, различными условиями теплообмена на
границах области. Физические характеристики среды при этом зависят от
температуры. Решение задач о неизотермических течениях неньютоновских
жидкостей с учетом диссипации механической энергии и зависимости
реологических характеристик от температуры связано со значительными
трудностями. Поэтому в большинстве случаев теоретические исследования
течения и теплообмена при переменных физических характеристиках
жидкости выполнены приближенными или численными методами [2].
Основы теории неизотермических течений вязких жидкостей и теории
гидродинамической устойчивости обсуждаются в [3-9].
Поэтому
настоящая
работа
посвящена
исследованию
неизотермического течения реологически сложной жидкости в плоском
канале. В случае установившегося течения задачу можно свести к
одномерной и решить аналитически. При этом сложность получения
решения рассматриваемой задачи зависит от реологии жидкости, типа
граничных условий и вида температурной зависимости потока. В этой связи
в случае использования распределений скорости и температуры для
одномерного стационарного течения в качестве граничных условий для
полной постановки задачи, например на входной границе области решения,
часто
требуется
вывод
оригинального
6
аналитического
решения,
соответствующего
условиям
конкретной
задачи.
С
другой
стороны
численное решение одномерной задачи получить несложно и, можно
численную процедуру нахождения граничных значений искомых функций в
одномерном приближении включать в общий вычислительный алгоритм.
Целью работы является разработка методики решения задачи об
установившемся течении реологически сложной жидкости в плоском канале,
а также численное моделирование подобных течений. Изучение поведения
жидкостей в зависимости от основных определяющих параметров, таких как:
число Рейнольдса, показатель степени нелинейности и число Бингама
(безразмерный параметр вязкопластичности).
7
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рисунок 1. Область решения.
Рассматривается плоское неизотермическое течение неньютоновской
несжимаемой жидкости в прямом канале. Область решения показана на
рисунке 1. Жидкость подается через входное сечение с постоянным
расходом. Реологические свойства жидкости подчиняются закону Оствальда
де Вилля с учетом неизотермичномти потока.
Полагая, что течение является ламинарным, будет справедливо
допущение, что течение является одномерным в данной постановке. Вдоль
канала жидкость движется с установившимся профилем скорости.
1.1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
С учетом сделанных допущений об установившемся ламинарном
течении уравнения движения и теплопроводности в декартовой системе
координат запишутся в виде
8
  V

x  x
 p
  p  const ,


y

(1.1)
 2T
V
 2 
 0.
x
x
2
(1.2)
Система уравнений (1.1) – (1.2) замыкается реологическим законом
  0  e
  T T1 
V

x
n 1
(1.3)
,
На твердых стенках выполняется условие прилипания и температура
задается равной T1. Таким образом граничные условия запишутся в виде
T
 V
 0   0,
  0   0,

x

x

V  L   0, T  L   T1.

(1.4)
Систему (1.1) – (1.4) запишем в безразмерном виде.
В качестве характерных масштабов длины и скорости возьмем
соответственно L – полуширина входного сечения, U – среднерасходная
скорость на входе. Характерные масштабы вязкости  и давления p
вычислим в процессе обезразмеривания.
Для безразмерных переменных имеем
x
x
p

V
, p  ,   , V  ,    T  T1 .
L
p*
*
U
Отсюда получаем
x  x  L, p  p  p* ,     * , V  V  U .
Рассмотрим уравнение (1.3) системы
U 
*    0  e   
L
n 1
U 
Разделим на 0   
L
V

x
n 1
n 1
U 
 0   
L
n 1
*
 e
V
x
n 1
,
V
 
, получим
n 1
x
U 
0   
L
9
n 1
,
 L
Величина *   
0  U 
n 1
U 
Тогда *  0   
L
— безразмерная, примем её равной единице.
n 1
V
и 
x
n 1
.
Теперь рассмотрим уравнение движения (1.1).
0U n   V  p  p
 
.
 
Ln1  x   x  L  y
Далее разделим обе части уравнения на
0U n
Ln1
:
p Ln  p   V 

 
.
0U n  x  x   x 
p Ln
– безразмерная величина, примем её равной единице.
0U n
Отсюда масштаб давления p 
Подставив
в
уравнение
0U n
Ln
.
теплопроводности
(1.2)
безразмерные
переменные получим
  2
U 
 0   
2
2
 L x
L
n 1
2
V

.
x
Разделим уравнение на

 L2
2
 2T 0U n1
V
.


2
n 1
x
L
x
Br 
0U n1
– число Бринкмана.
 Ln1
В итоге получили систему уравнений в безразмерном виде:
  V

x  x

   p,

(1.5)
10
 2T
V
 Br  
 0.
2
x
x
2
(1.6)
Система уравнений (1.1) – (1.2) замыкается реологическим законом
V
 e 
x
n 1
T
(1.7)
,
Граничные условия запишутся в виде
T
 V
 0   0,
  0   0,
x
 x
V 1  0, T 1  0.

1.2
ПОСТАНОВКА
ЗАДАЧИ
(1.8)
В
ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЕ
КООРДИНАТ
С учетом сделанных допущений об установившемся ламинарном
течении уравнения движения и теплопроводности в цилиндрической системе
координат запишутся в виде
1   V
 r
r r 
r
 p
  p  const ,

 z
   T 
(1.9)
V
 0.
r

r r  r 
r
2
(1.10)
Система уравнений (1.9) – (1.10) замыкается реологическим законом
  0  e
  T T1 
V

r
n 1
(1.11)
,
На твердых стенках выполняется условие прилипания и температура
задается равной T1. Таким образом граничные условия запишутся в виде
T
 V
 0   0,
  0   0,
r
 r
V  R   0, T  R   T1.

(1.12)
Систему (1.9) – (1.12) запишем в безразмерном виде.
11
В качестве характерных масштабов длины и скорости возьмем
соответственно R – входного сечения, U – среднерасходная скорость на
входе. Характерные масштабы вязкости  и давления p вычислим в
процессе обезразмеривания.
Для безразмерных переменных имеем
r
r
p

V
, p  ,   , V  ,    T  T1 .
R
p*
*
U
Отсюда получаем
r  r  R, p  p  p* ,     * , V  V  U .
Рассмотрим уравнение (1.11) системы
U 
*    0  e   
R
n 1

U 
Разделим на 0   
R
 R
Величина *   
0  U 
V

r
n 1
n 1
U 
 0   
R
n 1
e
V
r

*
n 1
,
V
 
, получим
n 1
r
U 
0   
R
n 1
,
n 1
U 
Тогда *  0   
R
— безразмерная, примем её равной единице.
n 1
V
и 
r
n 1
.
Теперь рассмотрим уравнение движения (1.9).
0U n 1  
R n1
V  p  p
  r
.
 
r r 
r  R  z
Далее разделим обе части уравнения на
p R n  p 1  
V

  r
n
0U  r r  r 
r
0U n
R n1
:

.

p R n
– безразмерная величина, примем её равной единице.
0U n
12
Отсюда масштаб давления p 
Подставив
в
уравнение
0U n
Rn
.
теплопроводности
(1.10)
безразмерные
переменные получим
 1    
U 
  r
  0   
2
 R r r  r 
R
Разделим уравнение на
1 

r r
n 1
2
V

.
r

 R2
2
n 1
V
   0U
r


.


n 1
R
r
 r 
0U n1
– число Бринкмана.
Br 
 R n1
В итоге получили систему уравнений в безразмерном виде:
1   V
  r
r r 
r

   p,

(1.13)
1   T 
V
 0.
r
  Br  
r r  r 
r
2
(1.14)
Система уравнений (1.1) – (1.2) замыкается реологическим законом
V
 e 
r
T
n 1
,
(1.15)
Граничные условия запишутся в виде
T
 V
 0   0,
  0   0,
r
 r
V 1  0, T 1  0.

(1.16)
1.3 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В ОБОБЩЕННОМ ВИДЕ
Системы уравнений (1.5) – (1.8) в декартовых координатах и (1.13) –
(1.16) в цилиндрических координатах можно объединить, и записать в
обобщенном виде с использованием параметра k
13
1
k

  k V
 
 


   p,

(1.17)
2
1   k T 
V

 Br  
 0.


k
    

(1.18)
Система уравнений (1.1) – (1.2) замыкается реологическим законом
V
 e 

n 1
T
(1.19)
,
Граничные условия запишутся в виде
T
 V
0

0,


 0   0,
 


V 1  0, T 1  0.

(1.20)
При k = 0 система уравнений (1.17) – (1.20) соответствует постановке
задачи в декартовой системе координат, а при k = 1 – в цилиндрической
системе координат.
2. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ
2.1. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Поставленную задачу будем решать численно.
Рисунок 3. Дискретизация области решения.
Разобьём отрезок 0  x  1 на N равных интервалов, как показано на
рисунке 3. Ширина каждого интервала равна h 
1
. В узлах, лежащих в
N
середине интервалов, будем вычислять значения скорости, а в узлах,
лежащих на концах интервалов, будем вычислять вязкость и температуру.
14
Задачу будем решать методом прогонки. Для этого дискретизируем
наше дифференциальное уравнение (1.17):
ihk i
1
 i  0.5 h 
k
k
Vi 1  Vi
V V
  i  1 h  i 1 i i 1
h
h
 p
h
Отсюда, получим выражение:


 i  1 h   i 1  Vi 1   i  1 h   i 1  ih   i  Vi 
k
k
k
 ih   i  Vi 1   i  0.5  h   h 2   p
k
k
(2.1)
Будем считать, что в соседних узлах значения скорости связаны
уравнением
Vi  i 1  Vi 1  i 1 .
α
и
β
называют
прогоночными
коэффициентами
Понизим порядок i на единицу и подставим в (2.1):


 i  1 h   i 1   i  Vi   i  1 h   i 1  i   i  1 h   i 1  ih   i  Vi 
k
k
k
k
 ih  i Vi 1   i  0.5 h   h2   p
k
k
Отсюда выразим Vi:
k
ih   i

Vi 
 Vi 1 
k
k
 i  1 h   i 1   i  1  ih   i
 i  0.5  h   h 2   p   i  1 h   i 1  i

k
k
 i  1 h   i 1   i  1  ih   i
k
k
(2.2)
Сравнивая выражения (2.1) и (2.2) можно сделать вывод, что

 i 1 



 i 1 

ihk  i
k
k
 i  1 h   i 1   i  1  ih   i
 i  0.5  h   h   p   i  1 h   i 1  i
k
k
 i  1 h   i 1   i  1  ih   i
k
k
2
15
,
(2.3).
Из граничного условия (1.20) на левой твердой стенке получим, что
1  1 и 1  0 . Далее, зная первые значения прогоночных коэффициентов
можно найти значения во всех остальных узлах по формулам (2.3).
Из граничного условия (1.20) на правой стенке получим, что
VN  
 N 1
. Далее, зная все прогоночные коэффициенты, по формуле
1   N 1
(2.2) можно найти значения скорости во всех расчетных узлах.
Так как перепад давления δp явно не задан, будем находить его исходя
из условия, что расход жидкости через сечение канала равен единице и
вычисляется по формуле
1
Q  2  V  k dx  1.
k
0
Интеграл в формуле вычисляется методом трапеций. При этом перепад
давления вычисляется методом половинного деления.
Вязкость будем вычислять из дискретного аналога уравнения (1.16):
i  e
Рассматриваемая
Ti
V V
 i i 1
h
реологическая
n1
(2.4)
модель
обладает
особенностью
«бесконечной» вязкости при стремлении к нулю второго инварианта тензора
скоростей деформаций. С целью обеспечения сходимости методики расчета
применяется регуляризация реологической модели.
Суть регуляризации состоит в том, что в реологический закон вводится
малый параметр, который ограничивает рост вязкости в областях малых
скоростей сдвига, слабо изменяя ее величину в остальной части потока.
Таким образом, выражение (2.4) преобразуется к виду
n1
2
 V V
i
i 1
2


h


2
i  eTi  
16
(2.5)
Изначально неизвестные значения вязкости зададим равными единице.
Далее, итерационным циклом при заданном перепаде вычислим точные
значения скорости и вязкости во всех расчетных узлах.
Перепад давления будем находить методом половинного деления,
подбирая его таким, чтобы расход жидкости на всем отрезке равнялся
единице.
Аналогично решению уравнения для скорости, методом прогонки
решается уравнение (1.18) для температуры.
В программе расчета организовано три итерационных цикла:
1. Для нахождения установившегося распределения скорости и
вязкости при заданном перепаде давления.
2. Для вычисления перепада давления методом половинного деления.
3. Для нахождения установившегося распределения температуры.
Блок-схема программы расчета представлена на рисунке 4.
Рисунок 4. Блок схема программы.
Листинг программы на языке Паскаль представлен в приложении 1.
17
2.2 ПРОВЕРКА АППРОКСИМАЦИОННОЙ СХОДИМОСТИ
С целью проверки правильности работы разработанного алгоритма и
достоверности
получаемых
результатов
проведена
проверка
аппроксимационной сходимости.
В таблице 1 приведены максимальные значения скорости, вязкости и
температуры при n = 0.8, Br = 0.2 и ε = 0.001 в декартовой системе координат.
В таблице 2 приведены максимальные значения скорости, вязкости и
температуры при n = 0.8, Br = 0.2 и ε = 0.001 в цилиндрической системе
координат.
Таблица 1 – Значения скорости, вязкости и температуры в точке x = 0,
при n = 0.8, Br = 0.2 и ε = 0.001 (k = 0).
h
V
μ
T
1
10
1.366
3.593
0.103
1
20
1.412
3.568
0.109
1
40
1.437
3.556
0.113
1
80
1.450
3.549
0.115
1
160
1.456
3.546
0.116
Таблица 2 – Значения скорости, вязкости и температуры в точке x = 0,
при n = 0.8, Br = 0.2 и ε = 0.001 (k = 1).
h
V
μ
T
1
10
1.514
3.654
0.094
1
20
1.704
3.544
0.116
1
40
1.816
3.496
0.130
1
80
1.878
3.470
0.138
1
160
1.910
3.456
0.142
Далее продемонстрированы графики скорости (рисунок 5), вязкости
(рисунок 6) и температуры (рисунок 7) при значениях параметров n = 0.8,
Br = 0.2 и ε = 0.001 на последовательности N в декартовой системе
координат.
18
Рисунок 5. Графики скорости на сетках:
1 – N = 10, 2 – N = 20, 3 – N = 40, 4 – N = 80, 5 – N = 160.
Рисунок 6. Графики вязкости на сетках:
1 – N = 10, 2 – N = 20, 3 – N = 40, 4 – N = 80, 5 – N = 160.
Рисунок 7. Графики температуры на сетках:
1 – N = 10, 2 – N = 20, 3 – N = 40, 4 – N = 80, 5 – N = 160.
19
Результаты, приведенные в таблицах 1, 2 и графики на рисунках 5-7,
демонстрируют наличие аппроксимационной сходимости алгоритма.
Все дальнейшие расчеты будем проводить на сетке N = 160.
3 РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ
Влияние
параметра
нелинейности
n
на
скорость,
вязкость
и
температуру демонстрируют графики на рисунках 8-10. Максимальное
значение скорости с уменьшение степени нелинейности уменьшается. При
n<1
наблюдается
бесконечное
возрастание
вязкости
вблизи
линии
симметрии; при n > 1 наблюдается увеличение вязкости в окрестности
твердых стенок и резкое уменьшение в центральном сечении канала.
Максимальное значение температуры с ростом показателя нелинейности
увеличивается.
а
б
Рисунок 8. Графики скорости при Br = 0.1 и (1) n = 0.4, (2) n = 1, (3) n = 1.6.
(а – в плоской постановке, б – в осесимметричной постановке)
20
а
б
Рисунок 9. Графики вязкости при Br = 0.1 и (1) n = 0.4, (2) n = 1, (3) n = 1.6.
(а – в плоской постановке, б – в осесимметричной постановке)
а
б
Рисунок 10. Температура при Br = 0.1 и (1) n = 0.4, (2) n = 1, (3) n = 1.6.
(а – в плоской постановке, б – в осесимметричной постановке)
Влияние
числа
Бринкмана
на
характер скорости,
вязкости и
температуры иллюстрируют графики, приведенные на рисунках 11-13. При
Br = 0 температура во всей области равняется нулю. С увеличением Br
увеличивается температура в канале, при этом максимальное значение
наблюдается на линии симметрии (рисунок 13). Повышение температуры
приводит к уменьшению вязкости, что видно из рисунка 12. Уменьшение
вязкости в свою очередь приводит к возрастанию скорости на линии
симметрии (рисунок 11).
21
а
б
Рисунок 11. Скорость при n = 1.0 и (1) Br = 0, (2) Br = 0.5, (3) Br = 2.
(а – в плоской постановке, б – в осесимметричной постановке)
а
б
Рисунок 12. Вязкость при n = 1.0 и (1) Br = 0, (2) Br = 0.5, (3) Br = 2.
(а – в плоской постановке, б – в осесимметричной постановке)
а
б
Рисунок 13. Температура при n = 1.0 и (1) Br = 0, (2) Br = 0.5, (3) Br = 2.
(а – в плоской постановке, б – в осесимметричной постановке)
22
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Сформулирована математическая постановка задачи о стационарном
неизотермическом течении степенной жидкости в плоском канале с учетом
вязкой диссипации и зависимости консистенции среды от температуры в
одномерном приближении. Разработан численный алгоритм решения задачи
на
основе
метода
конечных
разностей.
Проведена
проверка
аппроксимационной сходимости алгоритма расчета.
В результате проведенных параметрических расчетов получены
характерные распределения скорости, вязкости и температуры в сечении
канала при разных значениях показателя нелинейности и числа Бринкмана.
23
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Перминов А.В. Движение жидкостей с различной реологией во внешних
силовых полях: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 - Механика жидкости, газа
и плазмы. - Пермь, 2015.
2. Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер Установившееся неизотермическое течение
степенной жидкости в плоском/осесимметричном канале // Вестник ТГУ
(Математика и механика). - Томск: Издательский дом ТГУ, 2018. - С. 41-52.
3. Янков В.И. Переработка волокнообразующих полимеров. Основы
реологии полимеров и течение полимеров в каналах. – Москва-Ижевск.: НИЦ
«Регулярная
и
хаотическая
динамика»,
Институт
компьютерных
исследований, 2008. – 264с.
4. Шульман З. П. Конвективный тепломассоперенос реологически сложных
жидкостей. - М.: Энергия, 1975.
5. Тарунин, Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной
конвекции / Е.Л. Тарунин – Иркутск: Изд-во Иркутского университета, 1990.
– 228 с.
6. Лобов, Н.И. Численные методы решения задач теории гидродинамической
устойчивости: учебное пособие / Н.И. Лобов, Д.В. Любимов, Т.П. Любимова
– Пермь: Изд-во Пермского университета, 2004. – 101 с.
7.
Гершуни,
Г.З.,
Жуховицкий
Е.М.
Конвективная
устойчивость
несжимаемой жидкости / Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий – М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1972. − 392 с.
8. Гершуни Г.З. Устойчивость конвективных течений / Г.З. Гершуни, Е.М.
Жуховицкий, А.А. Непомнящий − М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1989. −
320 с.
9. Дразин, Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости / Ф.
Дразин. Пер. с англ. Г.Г. Цыпкина; под ред. А.Т. Ильичева. – М.: Физматлит,
2005. – 288 с.
24
Приложение 1
Листинг программы расчета на языке Паскаль
const
N: integer = 160;
h: real = 1.0 / N;
k: real = 0.40;
Bn: real = 0.10;
eps: real = 0.001;
o: real = 1.0;
var
V:
M:
T:
P:
Q:
array [0..N + 1] of real;
array [0..N] of real;
array [0..N] of real;
real;
real;
M0: array [0..N] of real;
T0: array [0..N] of real;
Pmin, Pmax: real;
A, B: array [0..N + 1] of real;
E: real;
EV, EM, ET: boolean;
i: integer;
F: text;
begin
for i := 0 to N + 1 do V[i] := 1.0;
for i := 0 to N do M[i] := 1.0;
for i := 0 to N do T[i] := 0.0;
repeat
for i := 0 to N do T0[i] := T[i];
Pmin := -100.0;
Pmax := 0.0;
repeat
repeat
for i := 0 to N do M0[i] := M[i];
P := 0.5 * (Pmin + Pmax);
A[1] := 1.0;
B[1] := 0.0;
25
for i := 1 to N do
begin
A[i + 1] := -(M[i] * abs(power(i * h, o))) / (M[i - 1] * (A[i] 1.0) * abs(power((i - 1) * h, o)) - M[i] * abs(power(i * h, o)));
B[i + 1] := (h * h * P * abs(power((i - 0.5) * h, o)) - M[i - 1] *
B[i] * abs(power((i - 1) * h, o))) / (M[i - 1] * (A[i] - 1.0) * abs(power((i
- 1) * h, o)) - M[i] * abs(power(i * h, o)));
end;
V[N + 1] := -B[N + 1] / (1.0 + A[N + 1]);
for i := N downto 0 do V[i] := A[i + 1] * V[i + 1] + B[i + 1];
for i := 0 to N do M[i] := exp(-T[i]) * power(sqrt(abs((V[i + 1] V[i]) / h) * abs((V[i + 1] - V[i]) / h) + eps * eps), k - 1.0);
E := 0.0;
for i := 1 to N do if (E < abs(1.0 - M[i] / M0[i])) then E := abs(1.0
- M[i] / M0[i]);
EM := E < 0.000000001;
until EM;
Q := 0.0;
for i := 1 to N do Q := Q + power(2, o) * 0.5 * (V[i] + V[i - 1]) * h *
abs(power(i * h, o));
EV := abs(Q - 1.0) < 0.000001;
if (Q > 1.0) then Pmin := P else Pmax := P;
until EV;
A[1] := 1.0;
B[1] := 0.0;
for i := 1 to N - 1 do
begin
A[i + 1] := -abs(power((i + 0.5) * h, o)) / ((A[i] - 1.0) *
abs(power((i - 0.5) * h, o)) - abs(power((i + 0.5) * h, o)));
B[i + 1] := -(B[i] * abs(power((i - 0.5) * h, o)) + Bn * M[i] *
sqr(V[i+1] - V[i]) * abs(power(i * h, o))) / ((A[i] - 1.0) * abs(power((i 0.5) * h, o)) - abs(power((i + 0.5) * h, o)));
end;
T[N] := 0.0;
for i := N - 1 downto 0 do T[i] := A[i + 1] * T[i + 1] + B[i + 1];
E := 0.0;
for i := 0 to N do if (E < abs(1.0 - T[i] / T0[i])) then E := abs(1.0 T[i] / T0[i]);
26
ET := E < 0.000005;
until ET;
AssignFile(F, 'Result B000 ' + FloatToStr(o) + ' n = ' + FloatToStr(k) + '
Bn = ' + FloatToStr(Bn) + ' N = ' + FloatToStr(N) + '.dat');
Rewrite(F);
for i := 0 to N do
WriteLn(F, (i * h):7:5, '
M[i]:12:6, '
', T[i]:12:6);
', (0.5 * (V[i] + V[i + 1])):12:6, '
Close(F);
WriteLn(0.5 * (V[0] + V[1]), '
', M[0], '
WriteLn('End');
end.
27
', T[0]);
',
Автор работы
/
Арутюнян М.М.
Научный руководитель
/
Хегай Е.И.
Заведующий кафедрой
/
Шрагер Г.Р.