Лабораторная работа 1, 2 Численные методы решения нелинейных уравнений • методом половинного деления с помощью инструментальных средств. • методом итераций с помощью инструментальных средств. Цель: изучить численные методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным; научиться программировать алгоритмы итерационных методов уточнения корней; сравнить скорость сходимости различных методов. Перед выполнением работы рекомендуется внимательно изучить материал лекций, а также ответить на вопросы для самоконтроля. Расчетные программы заданий 2,3 могут быть составлены на любом алгоритмическом языке. Задание 1. Графическим методом определить наличие, приблизительное расположение и количество корней заданных уравнений. Пояснения. В ходе выполнения этого задания необходимо установить для заданных уравнений отрезки, содержащие все корни. Для этого преобразуйте исходное уравнение к виду 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) и постройте (можно “от руки” приблизительные) графики функций 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) и 𝑦 = 𝑓2 (𝑥). Точки пересечения графиков этих функций укажут расположение корней уравнения. Уравнения для выполнения первого и последующих заданий берутся из таблицы 1 (см. приложение к работе). Задание 2. Составьте программу для уточнения корней уравнений по методу половинного деления. В качестве начального отрезка используйте интервал, найденный при выполнении первого задания. В программе предусмотрите счетчик количества итераций, совершаемых для достижения заданной точности. Используя составленную программу, определите приближенные значения корней с разной точностью (например, 10−3, 10−5, 10−8). Результаты представьте в виде таблицы: Корень 1 Приближенное значение Точность Кол-во итераций 10−3 10−5 10−8 2 … Задание 3. Составьте программу для уточнения корня по методу простых итераций. В программе предусмотрите счетчик количества итераций, совершаемых для достижения заданной точности. В качестве начального приближения к корню 𝑥0 выберите любую точку из интервала [𝑎, 𝑏], найденного при выполнении задания 1. Используя составленную программу, определите приближенные значения корней с разной точностью (например,10−3, 10−5, 10−8). Результаты представьте в виде, аналогичном заданию 2. Пояснения. Преобразуйте исходное уравнение к виду, подходящему для метода простых итераций, т.е. к виду 𝑥 = 𝜙(𝑥). Проверьте основное условие сходимости метода: |𝜙 ′ (𝑥)| < 1 для средней точки интервала [𝑎, 𝑏]. При невыполнении условия найдите другой способ перехода от исходного уравнения к уравнению в итерационной форме или запишите уравнение в виде 𝑥 = 𝑥 − константы к обеспечьте выполнение условия сходимости. 𝑓(𝑥) к и выбором Анализ результатов. Составьте сводную таблицу (для выбранной точности, например 10−8): Корень Отрезок изоляции Метод половинного деления Приближенное Количество значение итераций Метод итераций Приближенное Количество значение итераций 1 2 3 … На основе таблицы сформулируйте выводы о скорости сходимости различных методов. Отчет Отчет о выполнении работы состоит из двух частей: теоретической и практической. В первой части отчета необходимо привести краткое описание и характеристики использованных методов (рабочая формула, условия сходимости, критерии применимости). Во второй части отчета должны быть представлены результаты выполнения практических заданий для каждого уравнения. Должны быть приведены графики, поясняющие процесс локализации корней, подробно отражена проверка сходимости метода простых итераций, а также приведены таблицы с результатами. В заключении необходимо сделать анализ результатов и сформулировать выводы. К отчету должны быть приложены тексты расчетных программ. Таблица 1. № вар Уравнение № вар Уравнение 𝑥 𝑒 − 6𝑥 − 3 = 0 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 1 = 0 1 11 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑥 = 5 3𝑥 + 2 − 𝑥 = 0 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 = 0 (𝑥 − 1)2 − 2𝑒 𝑥 = 0 2 12 𝑙𝑛 𝑥 + (𝑥 + 1)3 = 0 3𝑥 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 1) = 0 3 𝑥 − 4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0 5 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 𝑥 2 − 2 3 13 3𝑥 − 𝑒 𝑥 = 1 𝑒 𝑥 = (𝑥 + 1)3 2𝑒 𝑥 = 5𝑥 2 + 2 𝑥 2 + 4 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0 4 14 𝑙𝑛 𝑥 + 2(𝑥 − 3) = 0 2𝑥 + 𝑥 2 = 5 2𝑥 − (𝑥 − 2)2 = 0 2𝑥 2 − 5 = 2𝑥 5 15 𝑥 2 2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0; 𝑥 > −𝜋 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 0.5𝑥 = 0 𝑙𝑛( 𝑥 + 5) + (𝑥 − 3) = 0 6 16 𝑥 𝑒 − 1/𝑥 = 0 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 1 = 0 2 − 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 𝑥 − 𝑡𝑔 𝑥 = 0; 𝑥 ∈ [0; 𝜋/2] 7 17 𝑥 3 − 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 0 𝑒 2𝑥+1 + 3𝑥 + 1 = 0 𝑥 2 𝑒 − 3𝑥 + 1 = 0 𝑒 𝑥+1 − (𝑥 − 1)2 = 0 8 18 (𝑥 − 1)2 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 𝑥 2 𝑐𝑜𝑠( 2𝑥 − 1) = 1 𝑒 𝑥 + 𝑥2 − 2 = 0 𝑒 𝑥 − 5 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 0; 𝑥 ∈ [−𝜋; 𝜋] 9 19 3 𝑥3 + 1 − 𝑒 𝑥 = 0 𝑐𝑜𝑠( 𝑥 + 0.5) = 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 + 2𝑥 − 3 = 0 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 − 𝑥 2 + 1 = 0 10 20 2 (𝑥 + 1) − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 = 3 𝑒 𝑥 + 𝑥2 = 3
