Информатика Алгебра логики Алгебра логики - раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые с точки зрения их логических значений (истинности или ложности), и логические операции над ними. Логическая переменная - это переменная, которая обозначает любое высказывание и может принимать логические значения «истина» или «ложь». Для логических значений «истина» - «ложь» могут использоваться следующие обозначения: И - Л, true - false, да - нет, 1 - 0. Логическая операция полностью может быть описана таблицей истинности, указывающей, какие значения принимает составное высказывание при всех возможных значениях образующих его элементарных высказываний. Логические операции(1) 1. Конъюнкция или логическое умножение. Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна. Обозначение: &, ∧, ⋅. Таблица истинност: Логические операции(2) 2. Дизъюнкция или логическое сложение. Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны. Обозначение: +, ∨. Таблица истинности: Логические операции(3) 3. Отрицание, логическое отрицание или инверсия. Отрицание - означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно. Обозначение: не A, А, ¬A. Таблица истинности: Логические операции(4) 4. Импликация или логическое следование. Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (A), а второе (A) является следствием условия (A). Обозначения: →, ⇒. Таблица истинности: Логические операции(5) 5. Эквивалентность или логическая равнозначность. Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных A и B. Обозначения: ↔, ⇔, ≡. Таблица истинности: Порядок Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении 1. Инверсия(отрицание); 2. Конъюнкция (логическое умножение); 3. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение); 4. Импликация (следствие); 5. Эквивалентность (тождество). Законы АЛ Задачи(1.логические рассуждения) В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что: 1. Смит самый высокий; 2. играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; 3. играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; 4. когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; 5. Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое. Определите на каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами? Задачи(2.логические рассуждения) Девять школьников, остававшихся в классе на перемене, были вызваны к директору. Один из них разбил окно в кабинете. На вопрос директора, кто это сделал, были получены следующие ответы: Володя: «Это сделал Саша». Аня: «Володя лжёт!» Егор: «Маша разбила». Саша: «Аня говорит неправду!» Рома: «Разбила либо Маша, либо Нина…» Маша: «Это я разбила!» Нина: «Маша не разбивала!» Коля: «Ни Маша, ни Нина этого не делали». Олег: «Нина не разбивала!» Кто разбил окно, если известно, что из этих девяти высказываний истинны только три? Задачи(3.логические рассуждения) На одной улице стоят в ряд 4 дома, в каждом из них живёт по одному человеку. Их зовут Василий, Семён, Геннадий и Иван. Известно, что все они имеют разные профессии: скрипач, столяр, охотник и врач. Известно, что: 1) столяр живёт правее охотника; 2) врач живёт левее охотника; 3) скрипач живёт с краю; 4) скрипач живёт рядом с врачом; 5) Семён не скрипач и не живёт рядом со скрипачом; 6) Иван живёт рядом с охотником; 7) Василий живёт правее врача; 8) Василий живёт через дом от Ивана. Определить кто где живет. Задачи(4.логические рассуждения) У трех кукол Маши, Даши и Алены были платья трех разных цветов: красного, зеленого и синего. Туфли у них были таких же цветов. У Маши цвет платья и туфель совпадали. У Алены ни туфли, ни платье не были красными. Даша была в зеленых туфлях и в платье другого цвета. Как были одеты куклы? Задачи(5.таблицы истинности) Логическая функция F задаётся выражением: (¬x ∧ y ∧ z) ∨ (¬x ∧ y ∧ ¬z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z. Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция ??? ??? ??? F 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 Задачи(6.таблицы истинности) Логическая функция F задаётся выражением: (¬x ∧ z) ∨ (¬x ∧ ¬y ∧ ¬z). На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции F, содержащий все наборы аргументов, при которых функция F истинна. Определите, какому столбцу таблицы истинности функции F соответствует каждая из переменных x, y, z. Перем. 1 Перем. 2 Перем. 3 Функция ??? ??? ??? F 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
