МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И.А. Бунина Фаустова Н.П., Меркулова Т.В. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ (вопросы частной методики, часть 2) Учебное пособие Елец ЕГУ им. И.А. Бунина 2007 ФОРМИРОВАНИЕ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ УМЕНИЯ РЕШАТЬ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ Умение решать задачи является одним из основных умений, которым овладевают школьники при усвоении содержания различных учебных предметов. Не случайно Н.Г. Салмина и В.П. Сохина подчеркивают, что «...умение ставить и решать задачи определяют степень обученности, общей подготовленности учащихся» [16, с. 151]. Об особой роли задач в общей системе обучения свидетельствует целый ряд работ психологов, педагогов и методистов. В то же самое время решение задач в любой предметной области вызывает наибольшие трудности у учащихся как начальных, так и старших классов. Сформированность умения решать задачи, как показывает изучение практики работы школы органами образования, остается западающим звеном и отстает от сформированности других умений и навыков. Анализ психолого-педагогической, научно-методической литературы по проблеме формирования у младших школьников умения решать арифметические задачи, изучение практики работы школы позволили увидеть, что одним из путей совершенствования умения решать арифметические задачи, повышения эффективности этого процесса является формирование умения решать арифметические задачи в единстве и во взаимосвязи с общим умением решать задачи, на его основе. Такой подход к формированию умения решать арифметические задачи требует осмысления студентом целого ряда теоретических вопросов, связанных с данной проблемой: функции задач в обучении математике младших школьников, структура деятельности по их решению, качество полноценного умения решать арифметические задачи и др. § 1. Функции арифметических задач в обучении математике младших школьников Решение арифметических задач в обучении математике младших школьников полифункционально. Арифметические задачи являются целью обучения: в процессе их решения младшие школьники овладевают умением решать арифметические задачи предусмотренных программой видов и типов. Арифметические задачи - важнейшее средство обучения: в процессе их решения раскрываются новые математические понятия (конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связь между величинами и др.), происходит овладение операционными знаниями, через содержание задач учащиеся получают новые сведения. В процессе решения задач происходит развитие учащихся: развивается мышление, память, формируются интеллектуальные операции, опыт творческой деятельности и др. Арифметические задачи - средство воспитания: формируются отношения детей друг к другу, к окружающему миру, положительные качества личности. Осознание учителем различных функций задач в обучении чрезвычайно важно, так как это определяет методику работы с ними. В практике работы школы учителем, как правило, актуально осознается лишь одна функция: задачи - цель обучения. И как следствие этого – «натаскивание» детей на решении задач предусмотренных программой видов и типов. Не происходит овладение детьми на соответствующем уровне общим способом деятельности по решению задач, дети вынуждены запоминать способы решения отдельных задач. Такой подход не обеспечивает усвоение детьми теоретических знаний (понятий, зависимостей, свойств и др.), которые в соответствии с требованиями учебной программы по математике должны формироваться в процессе решения арифметических задач. 2 В подтверждение сказанного приведем один пример. При решении задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц дети должны не только научиться правильно выбирать арифметическое действие, но и усвоить смысл отношений «больше на...», «меньше на...», которые являются одними из важнейших понятий математики. Рассмотрим задачу: «У Вити 5 рыбок, у Коли на 2 рыбки больше. Сколько рыбок у Коли?». Работа над подобной задачей проводится, как правило, следующим образом. Учитель спрашивает, что известно в задаче (или: «Скажи условие задачи»), что надо узнать в задаче (или: «Скажи вопрос задачи»), а затем предлагает детям назвать действие, которым решается задача. В некоторых случаях учитель требует пояснить, почему выбрано именно это арифметическое действие. Обоснование выбора арифметического действия обычно звучит так: «Прибавлял, потому что сказано «больше», «Прибавлял, потому что у Вити 5 рыбок, а у Коли на 2 больше», «Потому что у Коли на 2 больше» и т.п. Как видим, выбор арифметического действия дети осуществляют либо на основе установления механической связи отдельного слова («больше») с арифметическим действием, либо на основе представления конкретной ситуации, описанной в задаче. Это является следствием того, что учителем не осознается как специальная учебная задача овладение детьми в процессе решения задач данного вида знанием смысла отношения «больше на ...»: как видим, эти знания при решении задачи актуально не осознаются детьми (обоснование выбора арифметического действия должно было бы звучать так: «У Коли на 2 рыбки больше, чем у Вити, т.е. столько же, сколько у Вити, да еще две. Нахожу большее число, буду прибавлять»), в связи с чем не усваиваются. Таким образом, не выполняется требование учебной программы по математике о том, что формирование данного понятия должно осуществляться в процессе решения простых арифметических задач данного вида. Подобная последовательность вопросов учителя не способствует формированию полноценных знаний о структуре деятельности по решению любой арифметической задачи: сначала нужно установить связи между данными и искомым, актуализировать необходимые знания, а затем уже выбрать арифметическое действие. В приведенном же примере видно, что сначала ребенок побуждается указать арифметическое действие, которым решается задача, а затем обосновать причину его выбора, т.е. ориентировочные операции актуализируются после исполнительных операций, что не имеет никакого здравого смысла. § 2. Понятие арифметической задачи. Её структура Под арифметической задачей будем понимать один из видов заданий, в котором есть словие, требование, но нет указания на то арифметическое действие, которое нужно осуществить над данными в условии числами, чтобы выполнить требование. Условие арифметической задачи включает: множества и их численности, либо величины и их значения, либо «отвлеченные числа»; связи между данными и искомым, либо между данными, на основе которых выбираются арифметические действия. В требовании указывается на искомое. Требование может быть сформулировано в вопросительной или повествовательной форме. Структура арифметической задачи может быть различной. 1. Стандартная структура задачи: сначала условие, потом требование. Например: «С аэродрома сначала улетело 6 самолетов, а затем 4 самолета. Сколько всего самолетов улетело?» 2. Нестандартная структура задачи: а) Сначала требование, потом условие (Сколько всего самолетов улетело с аэродрома, если сначала улетело 6 самолетов, а потом 4 самолета?). 3 б) Условие разъединено требованием (С аэродрома улетело сначала 6 самолетов. Сколько всего самолетов улетело, если потом улетело 4 самолета?). В традиционных школьных учебниках большинство арифметических задач (примерно 90%) имеют стандартную структуру текста. Такими же, как правило, являются задачи, составляемые учителями и представленные в различных дидактических материалах. Результатом такого подбора задач в практике работы массовой школы является следующий факт: в конце учебного года при работе с простой арифметической задачей со стандартной структурой текста правильно выделили условие и требование 96,6% первоклассников, участвующих в эксперименте, с нестандартной структурой текста - 61% (а), 58% (б). Значительная часть детей, не выделивших правильно составные части задачи, не смогли решить арифметическую задачу. § 3. О классификации арифметических задач, решаемых в начальных классах В зависимости от числа арифметических действий, выполняемых при решении задачи, все арифметические задачи делятся на две группы: простые арифметические задачи и составные арифметические задачи. К простым арифметическим задачам относятся задачи, для решения которых арифметическое действие нужно выполнить только один раз. Все остальные задачи относятся к составным арифметическим задачам. Существуют классификации простых арифметических задач по различным основаниям. Например, по виду арифметического действия, которым решается задача. Выделяются в соответствии с этим простые арифметические задачи на сложение, вычитание, умножение, деление. Однако в методическом отношении наиболее удобной является классификация, имеющая своим основанием математические положения, лежащие в основе выбора арифметического действия (их называют теоретической основой выбора арифметического действия). Классификация предложена М.А. Бантовой [1]. Она выделяет три группы задач. I группа - задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является его конкретный смысл. К этой группе относятся следующие виды задач: 1) на нахождение суммы, 2) на нахождение остатка, 3) на нахождение произведения, 4) на деление по содержанию, 5) на деление на равные части. До того времени, пока задачи не решаются с помощью составления уравнения, в эту группу входят также задачи на нахождение неизвестных слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, делимого, делителя, множителя, т.е. обратные задачам 15. II группа - задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых являются связи между компонентами и результатами арифметических действий. Это задачи, являющиеся обратными по отношению к задачам 1-5 первой группы, когда они решаются с помощью составления уравнения. III группа - задачи, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является связь отношений «больше», «меньше» с соответствующими арифметическими действиями: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая и косвенная формы), на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз (прямая и косвенная формы), на разностное и кратное сравнение (по два вида). 4 Все составные задачи, решаемые в начальных классах, делятся на две группы: I группа - составные нетиповые задачи, II группа - составные типовые задачи. Ко второй группе относятся задачи, связанные с пропорциональными величинами: на нахождение четвертого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, задачи на движение. Все остальные составные арифметические задачи, решаемые в начальных классах, относятся к составным нетиповым задачам. § 4. Анализ процесса решения задачи Термин «решение задачи» употребляется в методике обучения математике младших школьников в широком и узком смыслах. Под решением задачи в широком смысле понимают всю деятельность, выполняемую решающим задачу для ответа на ее вопрос. Под решением задачи в узком смысле - выполнение выбранного арифметического действия и ответ на вопрос задачи. Все обучение решению задач в школе, как правило, сводится к тому, чтобы, как отмечает М.И. Моро, «... объяснить (рассказать), какие действия нужно выполнить над данными в задаче числами и дать ответ на вопрос задачи» [10]. Что же касается умственных операций, выполняемых при решении задачи, т.е. всей деятельности, то, как справедливо считает Д.Н. Богоявленский, не только ученики, но и сами учителя не имеют понятия о тех операциях, которые они выполняют, решая задачу. Это, по мнению ряда психологов и методистов, является одной из причин того, что умение решать задачи является в школе западающим звеном и значительно отстаёт от сформированности вычислительных навыков. Не случайно многие работы посвящены анализу процесса решения задач (М.А. Бантова, Ю.М. Колягин, Н.С. Попова, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман и др.). Наиболее полно вся система операций, составляющих процесс решения простой и составной арифметических задач, выделена М.А. Бантовой [2]. Она считает, что деятельность по решению простой арифметической задачи состоит из следующих операций: 1) Выделение данных. 2) Выделение искомого. 3) Установление связей между данными и искомым. Учитывая конкретное содержание задачи, ученик должен установить, как связаны между собой данные и искомые. Так, при решении задач первой группы должно быть установлено, какая операция выполнена над множествами (например, операция объединения множеств), величинами; при решении задач третьей группы должно быть выделено отношение «больше» или «меньше», характеризующее связь между данными числами и искомым, или между данными числами. 4) Актуализация знаний, на основе которых выбирается арифметическое действие, т.е. теоретической основы выбора арифметического действия. 5) Выбор арифметического действия. 6) Выполнение арифметического действия. 7) Выделение ответа на вопрос задачи. 8) Проверка решения задачи. Выполнение 1-2 операций в методической литературе обычно называют усвоением содержания задачи, 3-5 - поиском решения задачи, 6-7 - решением задачи. Среди этих операций можно выделить основные операции, т.е. те, ради которых выполняется вся система операций. Учитывая, что задачи в начальном курсе 5 математики есть средство формирования знаний, к числу основных следует отнести 3-7 операции. Остальные - к вспомогательным. Всякая деятельность, в том числе и по решению задач, состоит из трех частей: ориентировочной, исполнительной и контрольно-корректировочной (1-5 – ориентировочная, 6-7 – исполнительная, 8 – контрольная часть деятельности по решению простой арифметической задачи). Решение любой составной арифметической задачи есть решение системы простых арифметических задач, следовательно, в выделении операций, составляющих деятельность по решению составных арифметических задач, нужно из этого и исходить. Операции, выполняемые при решении составной арифметической задачи: 1) Выделение данных. 2) Выделение искомого. 3) Выделение двух систем операций: над объектами данной задачи О n, над числами АДn и установление связей между операциями над объектами и арифметическими действиями. Выполнение этих двух систем операций реально осуществляется в разных порядках. I вариант: О1- О2 – О3 – О4 – АД1 – АД2 – АД3 – АД4. II вариант: О1 – АД1 –О2 – АД2 - ...- О4 – АД4 . III вариант: О4 – О3 – О2 – О1 – АД1 – АД2 – АД3 – АД4. IV вариант: О4 – АД4 – О3 – АД3 – О2 – АД2 – О1 – АД1 (АД1 – АД2 – АД3 – АД4). V вариант: О3 – О2 – О4 – О3 -...- О1 – АД1 - ... – АД4 . VI вариант: О3 – АД3 – О2 - АД2 – О1 –АД1- ... – О4 – АД4 . Могут быть и другие варианты, но они в начальном курсе математики используются не так часто. Выбор варианта зависит: 1. От структуры задачи (в приведённой задаче (порядок действий совпадает с порядком заданных в задаче чисел) более естественными являются I и II варианты). 2. От подготовленности учащихся к решению задач той или иной структуры: на этапе ознакомления с задачами нового типа - I или III, на этапе формирования - II или IV варианты. 4) Выполнение арифметического действия. 5) Выделение ответа на вопрос задачи. 6) Проверка решения задачи. Как видим, деятельность по решению простых и составных арифметических задач имеет общие этапы, хотя содержание операций каждого этапа, безусловно, полностью не могут совпадать. Укажем эти этапы: 1. Ознакомление с содержанием задачи. 2. Поиск решения задачи. 3. Решение задачи. 4. Проверка решения задачи. § 5. Свойства полноценного умения решать арифметические задачи Рассматривая умение не только как компонент содержания образования, но и как результат обучения, приходим к выводу, что понятие «качество умения» утверждает степень соответствия сформированного в процессе обучения умения тому, каким должно быть умение в зависимости от целей обучения. В соответствии с этим под качеством умения будем понимать обнаруживающуюся в деятельности совокупность 6 его свойств. Полноценным умением будем называть умение, обладающее совокупностью свойств, соответствующих целям обучения [20]. Качество любого умения в содержательных и деятельностных характеристиках отражается в требованиях к нему как ожидаемому результату обучения. На основе анализа психолого-педагогической литературы и учета того, что у младших школьников лишь закладываются основные понятия, к основным свойствам умения решать арифметические задачи мы отнесли осознанность, самостоятельность, перенос, правильность и прочность [19,20]. Осознанность умения решать арифметические задачи характеризуется актуальным осознанием в процессе решения задачи математических положений, лежащих в основе выбора арифметического действия (осознанность используемых обосновывающих знаний), и выполняемых операций (осознанность используемых операционных знаний). Проявляется осознанность в том, что в процессе решения задачи ученик актуализирует используемые содержательные и операционные знания. О сформированности умения решать арифметические задачи можно говорить только в том случае, если ученик без вмешательства со стороны, правильно выполняет всю систему операций, составляющих процесс решения задачи. Это есть проявление такого свойства умения как самостоятельность. Показатель самостоятельности - мера помощи со стороны учителя. Перенос умения решать арифметические задачи характеризуется проявлением умения в новых условиях. Если ученик правильно выбирает арифметическое действие, то говорят, что умение решать арифметические задачи обладает правильностью. Для оценки правильности умения используется коэффициент правильности, который определяется отношением числа правильно решенных задач к числу всех задач, предлагаемых для решения. Если ученик сохраняет сформированное умение в течение длительного времени, то сформированное у него умение обладает прочностью. Прочность умения рассматривается как сохраняемость осознанности, самостоятельности и правильности. Прочность правильности умения характеризуется отношением коэффициентов правильности, вычисленных в конце формирования умения (К1) и через некоторый промежуток времени после прекращения функционирования (К2): К1 . К2 Правильность обладает высоким уровнем прочности, если указанный коэффициент прочности равен или близок к единице. Аналогично вычисляются коэффициенты прочности осознанности, самостоятельности умения. Кпр.= § 6. Общие вопросы методики формирования умения решать арифметические задачи В системе обучения решению арифметических задач необходимо выделить две линии: первая линия - формирование общего умения решать задачи, вторая линия формирование умения решать задачи каждого вида (типа) на основе общего умения. Под общим умением решать арифметические задачи мы будем понимать овладение системой операций, составляющих процесс решения любой арифметической задачей, а также знаниями о задаче и ее структуре [19, 20]. Работу по формированию общего умения решать задачи целесообразно начать при введении первых арифметических задач, т.е. задач на нахождение суммы и остатка. 7 В методике обучения решению задач каждого вида (типа) следует предусмотреть следующие ступени: а) подготовка к введению задач нового вида (типа); б) ознакомление с решением задач нового вида (типа); в) формирование умения решать арифметические задачи данного вида (типа) [1]. Рассмотрим основные задачи и методику работы на каждой ступени. На подготовительной ступени к введению простых арифметических задач ученик должен усвоить теоретическую основу выбора арифметического действия, составных арифметических задач - актуализировать систему теоретических знаний, которые составляют теоретическую основу выбора арифметического действия простых, входящих в неё задач. Необходимо раскрыть новые связи и отношения, которые даются в задаче косвенно (например, два поезда вышли одновременно и встретились через три часа; столько же; по одинаковой цене и т.д.); ознакомить с новыми величинами, которые войдут в содержание задачи; с новыми объектами (комбайн, эскалатор и др.), используя предметные картинки, слайды и т.д. Ученик на этой ступени должен усвоить содержание операций, составляющих процесс решения задач нового вида (типа). На ступени ознакомления с задачей нового вида (типа) ученик должен усвоить всю систему операций (их последовательность и содержание), составляющих процесс ее решения. В связи с этим на ступени ознакомления учителем используется различная методическая оснастка. При ознакомлении с содержанием задачи учащиеся после ее прочтения и представления конкретной ситуации, описанной в задаче, выделяют данные и искомое. Существуют дидактические средства, позволяющие ребенку «увидеть» данные и искомое: выделение объектов и чисел, выражающих либо численность множества объектов, либо являющихся значением величин; инсценирование задачи, способствующее осознанию условия и требования задачи (Приглашаются два ученика, одному дается роль условия задачи, второму - вопроса задачи. После прочтения задачи учителем, первый ученик делает шаг вперед и говорит: «Условие задачи: ... (повторяет условие задачи)», второй ученик поступает аналогично с вопросом задачи.). Важно научить ребенка правильно повторять задачу, а затем читать: делать логическое ударение на числах и объектах, численность которых обозначают данные числа, на вопросе задачи. При поиске решения простой арифметической задачи ученик выполняет операции 3-5; составной арифметической задачи - 3. Это центральный момент по решению задачи. Главная цель учителя так организовать работу детей, использовать такие методические приемы и средства, чтобы научить ученика самостоятельному нахождению решения задачи. Большую помощь в этом оказывает иллюстрация задачи, которая должна стать «средством ученика». Умению иллюстрировать задачу нужно целенаправленно обучать. Виды иллюстраций, используемых в традиционной начальной школе: 1) Непосредственная (сами предметы, о которых идет речь в задаче), образная (рисунки тех предметов, о которых идет речь в задаче). Часто иллюстрации сопровождаются числовыми надписями. Эти виды иллюстраций применяются при решении простых арифметических задач в первом и втором классах в начале ступени ознакомления с задачей нового вида. 2) Чертежи. Чаще всего выполняются с использованием отрезков, которые выражают количественные отношения. Программой предусматривается использование чертежей при решении задач со второго класса. Используется такой вид иллюстрации в практике работы школы, к сожалению, явно недостаточно. 3) Краткая запись задачи. 8 Нет установленного образца её выполнения, форма краткой записи задачи диктуется целесообразностью, удобством. Выполняется в любой форме, лишь бы она помогала установлению связей между данными и искомым или между данными. Числа записываются с наименованиями, словами или отдельными буквами обозначаются объекты. Отношения «больше», «меньше» могут указываться стрелками, которые обозначают численность каких множеств (или значения величин) находятся в данном отношении. Сами слова «больше», «меньше» можно заменять одной буквой и для отличия от наименований подчёркивать. Обозначать отношения «больше», «меньше» знаками «>», «<» в краткой записи задачи ни в коем случае нельзя: это не стенографические знаки, а знаки бинарных отношений, которые ставятся между двумя математическим выражениями (а>d, 4<5, а+в>3+х и т.д.). Примеры: 1) К. - 8 яб. С. - ? яб., на 2 яб. м. или 2) К. - 8 яб. С. - ? яб., на 2 яб. м. На наш взгляд, вариант 2 целесообразнее, так как в задаче речь идёт о двух объектах и без стрелок вполне очевидно, численности каких множеств сравнивается. В тех случаях, когда в краткой записи трудно обозначить искомое вопросительным знаком, требование задачи записывается полностью. Не каждую задачу нужно иллюстрировать. Иллюстрация должна быть помощником, а не материалом, за которую ставится отметка. Но учить иллюстрации необходимо. На этапе ознакомления с задачей нового вида (типа) это должно быть предметом специального усвоения. Краткая запись, как вид иллюстрации задачи, используется во всех начальных классах для решения составных и реже - простых арифметических задач. 4) Особая трудность возникает при обучении решению первых простых арифметических задач у первоклассников. В методической литературе рекомендуется при обучении первоклассников решению простых арифметических задач использовать предметные или образные иллюстрации и схематические (в виде краткой записи или чертежа). Предметная иллюстрация, безусловно, помогает создать яркое представление той жизненной ситуации, которая описывается в задаче, что в дальнейшем служит отправным моментом для выбора арифметического действия. Однако, она имеет ряд недостатков: она не изображает наглядно объект усвоения - связь между данными и искомым, не помогает абстрагироваться от конкретной ситуации задачи и выделить существенно общее для всех задач каждого вида - связь между данными и искомым, её использование ограничено (особенно при самостоятельном решении), чаще всего она является «средством учителя», а не «средством самого ученика». В связи с этим предметную иллюстрацию целесообразно использовать только при ознакомлении с решением простых арифметических задач. Схематическая наглядность в виде краткой записи или чертежа имеет ряд преимуществ перед предметной или образной наглядностью, но затрудняет учеников, так как требует умения писать и чертить, что должно стать предметом специального усвоения. Следовательно, использовать её с первых дней обучения ребёнка школе сложно. Учитывая это, при обучении первоклассников решению простых арифметических задач мы считаем целесообразным использовать иллюстрацию в виде «картинки с точками». 9 При решении простых арифметических задач объектом усвоения является не та ситуация, которая описана в задаче, а те связи, которые существуют между данными или между данными и искомым. Разнообразие конкретных предметов и сюжетов в задачах не позволяет детям выделить и осознать эти связи при использовании предметной наглядности. Для того чтобы помочь детям выполнению этих операций при решении задачи, мы поступили следующим образом [17]. Каждый конкретный предмет, о котором идёт речь в задаче, мы обозначили точкой, что позволило абстрагироваться от всех свойств объектов в задаче. С помощью схем мы изобразили и связи между объектами, т.е. операции над множествами. Так модель ситуации, описанной в задаче: «С аэродрома улетело сначала 6 самолётов, а потом ещё 2 самолёта. Сколько всего самолётов улетело с аэродрома?», будет иметь вид: •••••• • • ? Модель ситуации, описанной в задаче: «В гараже было 6 машин, 2 машины уехали. Сколько машин осталось в гараже?», будет иметь вид: ••• • . ••• ? Как видим, иллюстрации помогают ученику, конкретизируя ситуацию, описанную в задаче, в то же время абстрагироваться от неё, выделить и актуально осознать, «увидеть» связи между данными и искомым. Кроме того, она указывает способ организации деятельности ребёнка, направленной на выявление объекта усвоения. Эти иллюстрации просты в исполнении, поэтому ребёнок может научиться выполнять их с первого дня обучения в школе, раскрывая в процессе практических действий связи между данными и искомым. Иллюстрации в виде «картинок с точками» целесообразно использовать на этапах подготовки и ознакомления с простыми арифметическими задачами, теоретической основой выбора арифметического действия в которых является конкретный смысл арифметических действий. Выполнять иллюстрации можно в блокноте для рисования. До того момента, пока дети не умеют писать, решение либо проговаривается устно, либо записывается на наборном полотне с помощью разрезных цифр. Как показало проведённое исследование, все дети, правильно выполнившие иллюстрацию, правильно выбрали арифметическое действие даже в задачах с усложнённым конкретным содержанием и усложнённой структурой текста. Кроме того, они смогли обосновать выбор арифметического действия. Замечено, что использование при решении задач «картинок с точками» резко повышает интерес к этой деятельности, делает её одной из самых привлекательных для ребёнка. Не менее важным средством, помогающим ученику осуществить поиск решения задачи, является разбор задачи. Методисты выделяют два вида разбора: 1) Разбор по существу, представляющий собою беседу, позволяющую ученику раскрыть проблему задачи, или, словами В.Оконь, «развязать трудный узел» [15]. 10 Например, задача на нахождение неизвестного по двум разностям: «Купили по одинаковой цене 10 м шерсти и 14 м полотна, за полотно заплатили на 200 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько уплатили за всё полотно и за всю шерсть в отдельности?» Трудный узел: установить, что 200 р. уплатили за полотно, купленное сверх 10 м. Учитель ставит вопросы: - За сколько метров полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? ( За 10 м.) - За какое полотно уплатили 200 р.? (За полотно, купленное сверх 10 м, уплатили 200 р.) Следовательно, 200 р. это стоимость какого полотна? (200 р. - это стоимость полотна, купленного сверх 10 м.) - Если мы знаем стоимость полотна и будем знать его количество, то, что мы сможем узнать по этим данным? ( Зная стоимость полотна и его количество, можно узнать цену полотна.) Дальше переходят к формальному разбору от числовых данных. Об этом виде разбора речь пойдёт далее. 2) Формальный разбор, представляющий собою беседу, выполняемую по определённой схеме. Он позволяет выделить две системы операций: над числами и объектами задачи. Заканчивается он составлением плана решения задачи. Выделяют два вида формального разбора: разбор от вопроса к числовым данным; разбор от данных к вопросу. Чтобы научить школьника самостоятельно осуществлять поиск решения задачи, методисты разрабатывают «памятки» по решению задач, которые отображают систему операций по её решению. Этими памятками дети пользуются в процессе решения задач сначала с помощью и под руководством учителя, а затем самостоятельно. При обучении решению простых арифметических задач можно использовать следующие памятки [18]: а) При решении первых простых арифметических задач: Рассуждаю так: 1. Мне известно... 2. Надо узнать... 3. Рисую и объясняю... 4. Подумаю, надо объединять или удалять... 5. Подумаю, надо прибавлять или вычитать... 6. Выполняю решение... 7. Отвечаю на вопрос задачи... б) При решении различных видов простых арифметических задач: Рассуждаю так: 1. Мне известно... 2. Надо узнать... 3. Запишу задачу кратко... 4. Подумаю, большее или меньшее число надо находить... 5. Подумаю, каким действием... 6. Выполняю решение... 7. Отвечаю на вопрос задачи... 8. Проверяю... При обучении решению составных арифметических задач считаем целесообразным использовать два вида памяток: 1) Разбор от вопроса к числовым данным. Рассуждаю так: 1. Мне известно... 2. Надо узнать... 11 3. Запишу задачу кратко... 4. Подумаю, что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи... 5. Каким действием? 6. Подумаю, могу ли сразу ответить на вопрос задачи? Почему? (Операции 4-6 выполняются столько раз, сколько арифметических действий в задаче.) 7. Составляю план решения. 8. Выполняю решение. 9. Отвечаю на вопрос задачи. 10. Проверяю. 2)Разбор от числовых данных к вопросу. Рассуждаю так: 1. Мне известно... 2. Надо узнать... 3. Запишу кратко задачу... 4. Выделяю два данных числа... 5. Подумаю, что можно узнать по этим данным... 6. Каким действием? (Операции 4-6 выполняются столько раз, сколько арифметических действий в задаче.) 7. Составляю план решения... 8. Выполняю решение... 9. Отвечаю на вопрос задачи... 10. Проверяю. Кроме памяток, являющихся вербальными моделями способов деятельности по решению составных арифметических задач, мы сочли необходимым при обучении детей этой возрастной группы решению данных задач использовать схематическую модель способа деятельности по решению составной арифметической задачи, так называемую «схему размышления». Она отображает в наглядной форме всю последовательность операций, выполняемых при решении составной арифметической задачи. Приведём примеры полного рассуждения ученика при разборе задачи от вопроса к числовым данным и от числовых данных к вопросу с использованием схем размышления. Задача. Во дворе играли 5 девочек и 4 мальчика. Сколько детей осталось играть во дворе, если 6 детей ушло? 1) Полное рассуждение ученика при разборе от вопроса к числовым данным. 1. Мне известно, что играли во дворе 5 девочек, 4 мальчика и что 6 детей ушли. 2. Надо узнать, сколько детей осталось играть во дворе. 3. Запишу задачу кратко. В задаче главные слова: играли, ушли, осталось. Играли - 5 дев. и 4 мал. Ушли - 6 дет. Осталось - ? дет. Главный вопрос задачи подчёркиваю. 4. Чтобы узнать, сколько детей осталось играть, надо знать, сколько детей играли и сколько детей ушли. (Изображает часть схемы: Ост. ? 12 Играли Ушли ). 5. Если я буду знать, сколько всего детей играло и сколько ушло, то смогу узнать, сколько осталось играть действием вычитания (ставит в схеме знак «-»). 6. Сразу узнать, сколько детей осталось играть, я не могу, потому что не знаю, сколько всего детей играло (ставит в схеме около «Играли» знак вопроса). 4а. Чтобы узнать, сколько всего детей играло во дворе, надо знать, сколько играло мальчиков и сколько девочек (изображает в схеме). 5а. Если я буду знать, сколько играло девочек и сколько мальчиков, то смогу узнать, сколько всего детей играло действием сложения (ставит в схеме знак «+»). 6а. Я могу сразу узнать, сколько всего детей играло, потому что знаю, что девочек играло 5, мальчиков - 4. 7. Составляю план решения. Сначала действием сложения узнаю, сколько всего детей играло, потом действием вычитания узнаю, сколько детей осталось играть (ставит в схеме соответственно цифры 1 и 2 над знаками действий). Схема приобретает вид: Ост. ? Играли 2 ? Ушли 1 + Дев. Мальч. + (О2 — АД2 — О1 — АД1 — АД1 — АД2 ) 2) Разбор от числовых данных к вопросу. Выполним только операции, начиная с 4. 4. Знаю, что девочек было 5, мальчиков 4. 5. Могу узнать, сколько играло всего детей. 6. Действием сложения. 4а. Буду знать, сколько всего играло и знаю, что 6 детей ушли. 5а. Смогу узнать, сколько детей осталось играть, отвечу на главный вопрос задачи. 6а. Действием вычитания. Одновременно также можно выполнить схему, отображающую процесс поиска решения задачи: Дев. Мальч. 1 + Играли 2 - Ушли Остал. 13 В методической литературе даются всевозможные памятки, но, на наш взгляд, они не отображают полностью деятельность ребёнка по решению задачи, т.е. не являются моделью этой деятельности. Поэтому их использование не обеспечивает требуемой эффективности процесса обучения решению задач. Выполнение записи решения задач Большинство простых арифметических задач решается устно, на этапе ознакомления запись решения осуществляется всегда. Приняты следующие формы записи решения задачи. Рассмотрим на примере ранее рассмотренной составной арифметической задачи. 1) Запись решения задачи с помощью составления математического выражения: а) по ступенькам без письменных пояснений: 5 + 4 (дет.), (5 + 4 ) - 6 (дет.), (5 + 4) - 6 = 3 (дет.). Ответ: осталось играть 3 детей. б) по ступенькам с письменными пояснениями: 5 + 4 (дет.) - столько играло, (5 + 4) - 6 (дет.) - столько осталось играть, (5 + 4) - 6 = 3 (дет.). Ответ: 3 детей. в) сразу выражением с письменными пояснениями: (5 + 4) - 6 = 3 (дет.) - столько осталось играть. Ответ: 3 детей. г) сразу выражением без письменных пояснений: (5 + 4) - 6 = 3 (дет.) Ответ: осталось играть 3 детей. 2) Запись решения задачи отдельными действиями: а) с письменными пояснениями: 1. 5 + 4 = 9 (дет.) - столько играло, 2. 9 - 6 = 3 (дет.) - столько осталось играть. Ответ: 3 детей. б) без письменных пояснений: 1) 5 + 4 = 9 (дет.) 2) 9 - 6 = 3 (дет.) Ответ: осталось играть 3 детей. Согласно программе 1-1У запись решения первых составных арифметических задач выполняется с помощью составления выражения. Кроме арифметического способа решения задач, простые арифметические задачи II группы, начиная с 4 класса, могут решаться алгебраическим способом. Запись решения в этом случае осуществляется с помощью составления уравнения. Могут быть те же формы (см. 1) а) - г)), что и при решении задачи арифметическим путём. Рассмотрим форму записи решения 1б. Задача. После того, как с аэродрома улетело 4 вертолёта, там осталось 2 вертолёта. Сколько вертолётов было на аэродроме? Х (в.)- столько было на аэродроме, Х-4 (в.)- столько осталось на аэродроме, 2 (в.) - столько осталось на аэродроме. Составляем уравнение: Х-4=2 Решение уравнения: Х-4=2 Х=4+2 14 Х=6 6-4=2 2=2 Ответ: 6 вертолётов. Памятка при решении простой арифметической задачи с помощью составления уравнения может быть следующей: Рассуждаю так: 1. Подумаю, что обозначу за Х. 2. Подумаю, что буду уравнивать. 3. Составляю два выражения, являющимися значениями одной и той же величины. 4. Записываю уравнение. 5. Решаю уравнение. 6. Проверяю. Проверка решения задачи В начальных классах методисты рекомендуют пять способов осуществления проверки правильности решения задачи [1,22]. 1)Установление соответствия полученного результата условию задачи. При проверке решения задачи этим способом выполняют арифметические действия над числами, которые получатся в ответе на вопрос задачи; если при этом получатся числа, данные в условии задачи, то можно считать, что задача решена правильно. Рассмотрим применение этого способа для проверки решения следующей задачи: «В первый ларёк привезли 6 ящиков апельсинов, а во второй 4 таких же ящика. Сколько килограммов апельсинов привезли в каждый ларёк, если всего привезли 90 кг?». В результате решения этой задачи ученики найдут, что в первый ларёк привезли 54 кг апельсинов, а во второй - 36 кг апельсинов. Для проверки правильности решения надо установить, будет ли в двух ларьках 90 кг. Проверяем 54+36=90 (кг). Число, полученное в ответе соответствует данному. Значит, можно считать, что задача решена правильно. Этот способ проверки используется, начиная со второго класса. Его целесообразно применять для проверки решения задач такой структуры, в которых можно получить числа, данные в задаче, путём выполнения соответствующих арифметических действий над числами, полученными в ответе (задачи на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям и др.). 2) Составление и решение обратной задачи. В этом случае детям предлагается составить и решить задачу, обратную по отношению к данной задаче. Если при решении обратной задачи в результате получится число, которое было известно в данной задаче, то можно считать, что задача решена правильно. Этот способ вводится во втором классе, лишь бы обратная задача была посильна детям. В связи с этим детям надо указывать, какое число можно брать искомым в обратной задаче. Безусловно, не надо решение всех задач проверять способом составления обратной задачи: он очень громоздок, труден, решение обратной задачи может оказаться труднее данной. Однако, во многих случаях очень полезны сами упражнения в составлении и решении обратных задач, поскольку они помогают уяснить связи между данными задачи. В связи с этим целесообразно проверять этим способом решение всех простых задач, задач на нахождение четвёртого пропорционального, задач, в которых находится сумма, разность или частное двух произведений и других задач. 3) Решение задачи другим способом. 15 Если задачу можно решить другим способом, то полученные в обоих способах одинаковые результаты подтверждают правильность решения задачи. 4) Прикидка ответа (установление соответствия искомого числа области своих значений). Применение этого способа состоит в том, что до решения задачи устанавливается область значений искомого числа, т.е. устанавливается, больше или меньше какого-то из данных чисел должно быть искомое число. После решения задачи определяется, соответствует ли полученный результат установленной области значений, если он не соответствует установленным границам, значит, задача решена неправильно. Пусть надо проверить способом прикидки решение задачи: «После того как с аэродрома улетело 8 вертолётов, там осталось 3 вертолёта. Сколько всего вертолётов было на аэродроме?» До решения задачи выясняется, что всего вертолётов было больше, чем улетело. Если ученик ошибётся и получит в ответе, например, число 6 (вероятная ошибка), то сразу же заметит, что задача решена неправильно. Как видим, этот способ помогает заметить ошибочность решения, но не исключает других способов проверки решения. Вводится этот способ в первом классе. Пользуясь им, проверяют решение простых, а также составных арифметических задач. 5) По мнению С.Е. Царёвой, все перечисленные способы проверки имеют общий недостаток - каждый из них направлен на проверку конечного результата и в абсолютном большинстве случаев не даёт возможности обнаружить ошибки в ходе решения, если они были допущены. Эти недостатки в определённой мере способствуют тому, что в практике обучения, особенно при самостоятельном решении задачи, такие способы проверки используются редко. С.Е. Царёва предлагает использовать проверку решения задачи путём определения смысла составленных по задаче выражений (действий) и последующей проверке правильности вычислений [22]. Приведём образец полного рассуждения при проверке решения задачи рассматриваемым приёмом. Задача. Пионеры собрали с участка 100 кг моркови. В ящики они уложили 36 кг моркови, а остальную морковь в корзины, по 16 кг в каждую. Сколько потребовалось корзин? Решение первого ученика: 1) 36-16=20(кг), 2) 100 : 20 = 5 (к.). Ответ: потребовалось 5 корзин. Решение второго ученика: 1) 100-36=64 (кг), 2) 64 :16=4 (к.). Ответ: потребовалось 4 корзины. Проверка первого решения: Читаю выражение в первом действии: разность 36 и 16. Нахожу в тексте задачи, что обозначают числа 36 и 16. 36 - столько килограммов моркови уложили в ящики, 16 столько килограммов моркови укладывали в одну корзину. Этим действием я узнал, на сколько больше моркови уложили в ящики, чем в одну корзину. Это в задаче не спрашивается, такое действие не нужно было выполнять. По данным 36 кг и 16 кг ничего, что нужно для решения задачи, узнать нельзя. Нужно брать другие данные, например, 100 кг и 36 кг. Продолжается поиск нового решения задачи. Проверка второго решения: Читаю выражение в первом действии: разность 100 - 36. Нахожу в тексте задачи, что обозначают эти числа. 100 - столько килограммов моркови собрали с участка, 36 16 столько килограммов моркови из собранной уложили в ящики. Разность 100 и 36, а также результат 64 будут показывать, сколько килограммов моркови уложили в корзины. Читаю выражение во втором действии: частное 64 и 16. Выясняю, что обозначает каждое число в этом выражении: 64 - результат первого действия, он показывает, сколько килограммов моркови уложили в корзины, 16 - столько килограммов моркови укладывали в одну корзину. Частное 64 и 16 будет показывать, сколько потребуется корзин, чтобы разложить 64 кг моркови. Второе действие - последнее в записи решения. Читаю вопрос задачи: «Сколько потребовалось корзин?». В вопросе задачи и спрашивается о том, что мы нашли в последнем действии. Следовательно, действия при решении задачи выбраны правильно. Проверяем вычисления. 100-36=100-30-6=64 - верно; 64:16 (подберу такое число, при умножении 16 на которое получится 64, 16•4=64. Второе действие тоже выполнено верно). Так как при решении задачи правильно выбраны арифметические действия и правильно выполнены вычисления, то задача решена верно. Правильный ответ на вопрос задачи: потребовалось 4 корзины [22]. Можно согласиться с С.Е. Царёвой, что обучение описанному способу проверки важно не только для формирования у учащихся умения проверять решение, но и для формирования умения выбирать арифметические действия, так как при хорошем владении этим приёмом контроль решающим может проводиться уже не после завершения решения, а после выбора каждого действия. Закрепление умения решать задачи рассматриваемого вида Цель работы на третьей ступени формирования умения решать задачи определённого вида - сформировать у учащихся умение решать арифметические задачи с определённой связью между данными и искомым, обобщить способ решения задач этой группы. Работа над обобщением способа решения задач не должна подменяться работой по запоминанию способа решения, в результате которой ученик узнаёт задачу знакомого вида и вспоминает порядок выполнения действий при её решении: сначала сложу, потом разделю и т.д. [1]. Выделим условия, реализация которых позволит достичь целей третьей ступени. 1. Решение ряда аналогичных задач, отличающихся конкретным содержанием и усложняющихся за счёт ситуаций, описанных в задачах, чисел в них, увеличения числа действий, которыми решается задача, путём включения новых связей между данными и искомым. 2. Решение достаточного числа задач. Задачи рассматриваемого вида включаются не подряд, а рассредоточено: сначала включаются чаще, а потом всё реже и реже в перемежении с другими видами. 3. Управление деятельностью школьника. На первой стадии ступени закрепления ученик в плане внешней громкой речи выполняет все операции деятельности по решению задачи (Задание ученику: рассуждай вслух полно.) На этой стадии ученик должен усвоить все операции деятельности по решению задач данного вида (типа). Вторая стадия - стадия частичного свёртывания выполнения системы операций. Вспомогательные операции ученик выполняет про себя, основные вслух (Задание ученику: решай, рассуждай вслух кратко.). Третья стадия - стадия полного свёртывания выполнения системы операций (Задание ученику: решай, рассуждай про себя кратко.). 17 4. Индивидуальный подход к учащимся. Овладение умением решать задачи определённого вида наступает не у всех детей одновременно. Так, одна группа детей уже на первых уроках, предназначенных для обобщения способа решения задач рассматриваемого вида, может, читая задачу, сразу же установить соответствующие связи и правильно выбрать действия. Другая группа детей решит задачу после того, как выполнит краткую запись или чертёж. В это время третья группа может решить задачу только после соответствующего разбора под руководством учителя. Учитывая это, важно создать такие условия, при которых каждый из детей будет работать в меру своих возможностей. Это достигается путём предъявления различных требований к разным группам учащихся. Практически такой дифференцированный подход реализуется по-разному. Например, можно предложить всем детям прочитать одну и ту же задачу, затем спросить, кто из них знает, как решать задачу. Тем ученикам, которые утвердительно ответили на этот вопрос, предлагается составить самостоятельно план решения и выполнить решение. Остальным - выделить данные, искомое, выполнить иллюстрацию; после этого опять-таки можно спросить, кто теперь знает, как решать задачу. Ещё часть детей включается в самостоятельное решение задачи. С остальными учащимися по памятке выполняется разбор задачи под руководством учителя, который заканчивается составлением плана решения. Решение задачи предлагается записать самостоятельно. Ученики, справившиеся с решением раньше других, получают дополнительные задания. Возможен и такой вариант: для самостоятельной работы предлагается несколько задач рассматриваемого вида, но разной трудности. Причём задачи подбираются с таким расчётом, чтобы каждый ученик мог решить лёгкую задачу, что служило бы подготовкой к самостоятельному решению более трудной задачи. Например, предлагается такая пара задач: 1) С трёх яблонь собрали 310 кг яблок. С первой яблони 120 кг, со второй 90 кг. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони? 2) С трёх яблонь собрали 240 кг яблок. С первой яблони собрали 96 кг, со второй 1/4 того, что собрали с первой яблони. Сколько килограммов яблок собрали с третьей яблони? Учитель говорит детям, что вторая задача труднее первой, но можно всем попробовать её решить. Те дети, которые не смогут решить эту задачу, пусть сначала решат первую, а потом им легко будет решить и вторую. В целях обобщения способа решения время от времени имеет смысл проводить элементарное исследование решения задачи. Это установление условий, при которых задача имеет или не имеет решения, имеет одно или несколько решений, а также установление условий изменения значения одной величины в зависимости от изменения другой. Например, учащимся предлагается подобрать пропущенные числа в задаче и решить её: «Сестре ... лет, а брат на ... года моложе. Сколько лет брату?». Проводится беседа: - Каким действием будете решать задачу? (Вычитанием.) - Что надо учитывать при подборе первого числа? - Что надо учитывать при подборе второго числа? (Оно должно быть меньше первого.) - Теперь подберите числа и прочитайте задачу. (Сестре 9 лет, а брат на 2 года моложе. Сколько лет брату?) - Решите задачу. - Может ли второе число равняться 9? 10? 18 - Рассмотрим ещё такой пример. Дети решили задачу: «Из Москвы и из СанктПетербурга одновременно навстречу друг другу вышли два скорых поезда. Скорость московского поезда 112 км в час, санкт-петербургского - 105 км в час. Расстояние между городами 651 км. Какое расстояние пройдёт каждый поезд до встречи?». После решения задачи можно провести такую беседу: - При каких условиях поезда могли встретиться на середине пути? (Если бы они шли с одинаковой скоростью или если бы санкт-петербургский поезд вышел раньше московского.) - При каких условиях поезда могли встретиться ближе к Москве? (Если бы московский поезд шёл с меньшей скоростью, чем петербургский или если бы московский поезд вышел позднее петербургского.) - Если после встречи поезда продолжат свой путь, то который из них затратит больше времени для прохождения остального пути? (Петербургский, потому что скорость у него меньше, а оставшийся путь больше, чем оставшийся у московского поезда.) - При каких условиях в этом случае поезда затратили бы одинаковое время на прохождение остального пути? (Если бы петербургский поезд пошёл со скоростью московского, а московский - со скоростью петербургского, или если бы петербургский поезд увеличил скорость, или если бы московский поезд уменьшил скорость.). Такие вопросы могут ставить и сами дети. 5) Сравнение решений задач рассматриваемого вида и ранее изученных видов, но сходных в каком-то отношении с задачами нового вида. Выполнение таких заданий позволяет предупредить смешение способов решения задач этих видов. Например, следует проводить сравнение задач на увеличение числа в несколько раз и увеличение числа на несколько единиц. 6) Выполнение заданий творческого характера. К ним относится решение задач повышенной трудности, решение задач несколькими способами, решение задач с недостающими и лишними данными, решение задач, имеющих несколько решений, составление и преобразование задач. К задачам повышенной трудности относят такие задачи, в которых связи между данными и искомыми выражены необычно, например: «Одно число уменьшили на 4, второе число уменьшили на 5. На сколько уменьшили два числа вместе?». Эта задача на нахождение суммы, но каждое слагаемое является разностью. К задачам повышенной трудности относятся также задачи, вопрос которых сформулирован нестандартно, например: «Можно ли из 12 м сшить 3 платья и блузку, если на одно платье идёт 3 м, на блузку - 2 м?». Здесь вопрос задачи требует не нахождения значения величины, а сравнения чисел, но для этого необходимо решить задачу с другим вопросом: «Сколько метров ткани потребуется для пошива 3 платьев и блузки?». Решение задач повышенной трудности помогает выработке у детей вдумчивого отношения к содержанию и поиску решения задачи. Такие задачи нужно предлагать в любом классе. Поиск различных способов решения задач приводит детей к «открытию» новых связей между данными и искомым, а также к использованию уже известных связей, но в новых условиях. Работа над задачами с недостающими данными и лишними данными воспитывает у детей привычку к более внимательному осмыслению связей между данными и искомым. Чрезвычайно эффективным средством для обобщения способа решения задач являются упражнения по их составлению и преобразованию. Укажем основные виды таких упражнений [1]. 1. Постановка вопроса к данному условию задачи или изменение данного вопроса. 19 Такие упражнения помогают обобщению знаний о связях между данными и искомым, так как при выполнении такой деятельности дети устанавливают, что можно узнать по определённым данным. Например, школьникам предлагается поставить различные вопросы к условию задачи: «У малышей детского сада было 20 красных мячей и 10 зелёных». Учащиеся могут поставить вопросы: Сколько всего мячей у малышей? На сколько красных мячей больше, чем зелёных? Во сколько раз красных мячей больше, чем зелёных? Во многих случаях целесообразно сделать некоторые ограничения. Например, предложить поставить вопрос так, чтобы задача решалась указанным действием, одним действием, двумя действиями и т.д. После решения некоторых задач полезно предложить детям изменить вопрос задачи. Например, пусть ученики решили задачу: «Два поезда вышли одновременно навстречу друг другу из Москвы и Киева. Московский поезд проходил 68 км в час, а киевский 75 км в час. Через сколько часов поезда встретятся, если расстояние от Москвы до Киева 858 км?». После решения задачи можно предложить изменить вопрос так, чтобы спрашивалось о расстоянии. Учащиеся могут поставить такие вопросы: На каком расстоянии от Москвы (Киева) произошла встреча? Какое расстояние прошёл каждый поезд до встречи? Какое расстояние надо пройти каждому поезду после встречи до места назначения? На сколько километров больше прошёл до встречи киевский поезд и т.д. 2. Составление задачи по данному вопросу. Представляют интерес такие вопросы, для составления задач по которым нужно выполнить некоторые практические работы: составьте задачу, в которой надо узнать площадь пола вашей комнаты; количество требуемой для его покраски краски; количество обоев, необходимых для оклеивания комнаты и т.д. Для составления таких задач полезно, чтобы ученики использовали свои блокноты-справочники, в которых они записывали числовые данные, взятые из детских газет и журналов, передач по радио и телевидению, из бесед с родителями, а также получая данные непосредственно (проводя наблюдения, измерения и др.). На отдельных страницах блокнота дети записывают данные о своём классе, школе, посёлке, городе, области, интересные данные о жизни животных, о растениях, значения некоторых величин и др. 3. Подбор числовых данных или их изменение. Эти упражнения служат главным образом целям знакомства учащихся с реальными количественными отношениями. Например, учащимся предлагается полный текст задачи с пропущенными числовыми данными: «На ... одинаковых платьев пошло ... метров ткани. На сколько платьев хватит ... метров такой же ткани?». Учащиеся устанавливают, какие числовые данные можно задать сразу, а какие получить путём вычислений: сразу можно задать количество платьев, а расход ткани на все платья можно получить путём вычисления, имея ввиду ещё одно число, которое в задачу не включается - расход ткани на одно платье. Особый интерес представляет выполнение заданий по замене одних числовых данных другими, но так, чтобы задачу можно было решить другим способом. Например, учащиеся решили задачу: «На дворе играли 5 девочек и 2 мальчика. Сколько детей осталось играть после того, как трое детей ушли?». После решения такой задачи учитель предлагает изменить числовые данные так, чтобы задача решалась другим способом (изменить число мальчиков на большее или число ушедших детей на меньшее). 4. Составление задач по аналогии. Составление учащимися аналогичных задач помогает установлению общих связей между данными и искомым при разных жизненных ситуациях. Аналогичные задачи надо составлять после решения данной готовой задачи, предлагая при этом, когда 20 возможно, изменять не только сюжет и числа, но и величины. Например, если учащиеся четвёртого класса решали задачу с величинами цена, количество, стоимость, можно предложить составить похожую задачу, но с величинами скорость, время, расстояние. 5. Составление обратных задач. 6. Составление задач по их иллюстрациям. Прежде чем предлагать детям составить задачу по той или иной иллюстрации, необходимо проанализировать эту ситуацию, т.е. провести беседу и выяснить, понимают ли дети, что изображено, что обозначают данные числа, что надо узнать. 7. Составление задач по данному решению. Предлагая составить задачу, надо сначала выполнить анализ данного решения задачи. В отдельных случаях целесообразно подсказать детям сюжет или же назвать величины. Например, предлагая учащимся второго класса составить задачу по выражению (15:5)•4, учитель сообщает, что в задаче будет идти речь о величинах цена, количество, стоимость. 8. Преобразование данных задач в задачи родственных им видов. К задачам родственных видов относятся задачи, в которых величины связаны одинаковой зависимостью. Например, родственными будут задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям, так как в них величины связаны пропорциональной зависимостью. § 7. Методика обучения решению простых арифметических задач План 1. Время, порядок, задачи изучения темы. 2. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождение суммы и остатка, нахождение неизвестных уменьшаемого, вычитаемого, слагаемого. 3. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождение произведения, деление по содержанию и на равные части. 4. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и на разностное сравнение чисел. 5. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и кратное сравнение чисел. 7.1. Формирование умения решать простые арифметические задачи осуществляется на протяжении всех лет обучения в начальных классах. Рассмотрим порядок введения задач по годам обучения. I класс: задачи на нахождение суммы, остатка, нахождение неизвестного слагаемого, увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая форма), разностное сравнение. II класс: остальные виды задач на сложение и вычитание, задачи на нахождение произведения, деление по содержанию и на равные части. III класс: остальные виды задач на умножение и деление. IV класс: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и в несколько раз (косвенная форма), на нахождение неизвестных компонентов действий (слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого, множителей, делимого, делителя), решаемые с помощью составления уравнений. 21 Кроме указанных задач в III - IV классах формируется умение решать простые арифметические задачи на нахождение цены, стоимости и количества, массы, общей массы - III класс, на нахождение скорости, времени, расстояния, длины, ширины, площади прямоугольника и др. (по двум значениям величин из тройки величин находится значение третьей величины) - IV класс. Работа над формированием умения решать простые арифметические задачи любого вида идёт в соответствии с общими положениями. Задачи изучения темы: 1. Сформировать знания о задаче, структуре задачи и структуре деятельности по её решению. 2. Сформировать правильное, осознанное, обобщённое, прочное, обладающее свойством самостоятельности умение решать простые арифметические задачи предусмотренных программой видов. Как было сказано ранее, ведущей линией в процессе обучения решению задач должна быть линия по формированию общего умения решать задачи. На это указывает и Л.В. Занков. Он считает, что одной из основных причин плохого положения с решением задач в школе является недостаточное овладение детьми знаниями о задаче, её структуре, структуре деятельности по её решению. Это подтвердило и проведённое нами исследование. Общее умение формируется в процессе решения задач. Целесообразно начать эту работу при введении первых простых арифметических задач - задач на нахождение суммы и остатка. Но прежде, чем раскрыть содержание работы на всех этапах становления умения решать задачи этих видов, построим алгоритм действий учителя, последовательность операций в котором не зависит от той системы, в которой осуществляется обучение. Отличаются операции в основном своим содержанием. 1) На основе анализа учебной программы и школьного учебника учитель определяет цель введения задач рассматриваемого вида в курс математики, теоретическую основу выбора арифметического действия и уровень раскрытия теоретической основы выбора арифметического действия. Так, например, в процессе решения задач на нахождение суммы в традиционной системе обучения младшие школьники усваивают конкретный смысл арифметического действия сложения: связь операции объединения непустых непересекающихся множеств с арифметическим действием сложения. Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах данного вида и является конкретный смысл арифметического действия сложения. Уровень раскрытия - эмпирический без введения термина. Рассмотрим на примере задач на нахождение суммы, которые вводятся первыми. Задача. Мама купила 5 яблок и 4 груши. Сколько всего яблок купила мама? Полное рассуждение ученика в процессе решения задачи, соответствующее содержанию традиционного курса математики. Мне известно, что мама купила 5 яблок и 4 груши. Надо узнать, сколько всего фруктов купила мама. Мама купила 5 яблок да ещё 4 груши. Буду прибавлять. Запишу решение задачи: 5+4=9 (фр.) Ответ: мама купила 9 фруктов. В качестве иллюстрации в основном используется предметная или образная наглядность. Краткой записью задачи дети ещё не владеют. Объект усвоения - связь между операцией объединения множеств и действием сложения - в наглядной форме не изображается, он может быть только найден в процессе работы с предметной или образной наглядностью. Однако, используемая в данном случае наглядность, как правило, является «средством учителя» и при самостоятельном решении задач не используется. В связи с этим ученик чаще всего выбирает арифметическое действие, 22 которым решается задача на основе представления конкретной ситуации, описанной в задаче, или установления механической связи между отдельным словом или группой слов и арифметическим действием (всего купила - значит, надо прибавлять и т.д.). Чтобы помочь детям осуществить выбор арифметического действия на основе выделения существенных признаков данной связи между операцией над множествами и арифметическим действием, можно использовать «картинки с точками», о которых шла речь ранее. Это позволит, во-первых, наглядно изобразить объект усвоения; вовторых, использовать наглядность, являющуюся «средством ученика»; в- третьих, дети смогут опираться на неё её при самостоятельном решении задачи. Использование данной наглядности не требует дополнительных затрат времени, но позволяет формировать умение решать простые арифметические задачи, обладающее способностью к переносу. Кроме того, мы изменили памятку по решению простой арифметической задачи (см. п.6). Предложенная нами «памятка» изоморфно отображает систему операций, выполняемую учеником при решении простой арифметической задачи, т.е. является моделью этой деятельности. Использование данной схематической наглядности в виде «картинки с точками», памятки позволяет формировать полноценное умение решать простые арифметические задачи на нахождение суммы. Рассмотрим полное рассуждение ученика при решении ранее рассмотренной задачи на нахождение суммы. Мне известно, что мама купила 5 яблок и 4 груши. Надо узнать, сколько всего фруктов купила мама. Рисую и объясняю. Обозначу каждый фрукт точкой. Рисую 5 точек, обвожу замкнутой линией, столько яблок купила мама. Рисую 4 точки, обвожу замкнутой линией, столько груш купила мама. Обвожу замкнутой линией все точки. Столько всего фруктов купила мама. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. На доске постепенно появляется «картинка с точками»: • • • • • • • • • ? • Подумаю, •надо объединять или удалять... Чтобы узнать, сколько• всего фруктов купила мама, я объединю все яблоки и груши. Подумаю, надо прибавлять или вычитать... Я объединял фрукты, буду прибавлять. Запишу решение задачи: 5 + 4 = 9 (фр.) - столько всего фруктов купила мама. Ответ: 9 фруктов. Проверку правильности решения задачи в этот период дети самостоятельно не выполняют: она осуществляется с помощью учителя. Письменные пояснения к выполненному действию также не выполняются. Таким образом, памятка по решению задачи будет иметь вид: Рассуждаю так: 1. Мне известно... 2. Надо узнать... 3. Рисую и объясняю... 4. Подумаю, надо объединять или удалять... 5. Подумаю, надо прибавлять или вычитать... 6. Выполняю решение… 7. Отвечаю на вопрос задачи… 23 7.2. На основе анализа деятельности ученика по решению задачи выделяем, чему должен научиться ребёнок на этапе подготовки к введению задач на нахождение суммы и остатка, и на основе этого моделируем подготовительный этап. На подготовительном этапе к введению задач на нахождение суммы и остатка ребёнок должен научиться: а) Выделять из множества его подмножество с данной численностью по какомулибо одному или нескольким признакам и изображать это подмножество в виде «картинки с точками». б) Выполнять практически операцию объединения множеств с заданной численностью, изображать операцию с помощью «картинки с точками» и находить численность получившегося множества с помощью присчитывания (отсчитывания). в) Устанавливать связь между операцией объединения множеств и арифметическим действием сложения (между операцией удаления из множества его правильной части и действием вычитания), выполняя его в неявном виде: «5 да ещё 4, стало 9»(5 без 2, стало 3). Для решения поставленных задач детям предлагаются практические задания на выделение из множества подмножества с данной численностью, изображение подмножества в виде «картинки с точками», практическое выполнение операции объединения множеств, изображение её в виде «картинки с точками», нахождение численности получившегося множества. Приведём примеры таких заданий. 1. Учитель предлагает детям положить перед собой на парте 4 круга(3 красных квадрата, 2 больших синих треугольника и т.д.). 2. На наборное полотно ставятся 5 красных кругов и предлагается ученикам нарисовать в тетради столько же кругов, сколько на наборном полотне. Затем учитель убирает круги с наборного полотна и спрашивает: - Сколько кругов было на наборном полотне? ( 5.) - Как вы можете это доказать? (У нас в тетради нарисовано кругов столько же, сколько было на наборном полотне.) После этого учитель ставит на наборное полотно 6 карточек с нарисованными на них машинами. - Нарисуйте в тетради столько же машин, сколько я поставила на наборное полотно. В процессе беседы выясняется, что это трудно и долго. - Как вы думаете, после того, как вы нарисуете машины в тетради, а я уберу с наборного полотна эти картинки, о чём я у вас спрошу? (Сколько было машин на наборном полотне?) - Как вы считаете, обязательно ли рисовать именно машины, чтобы ответить на этот вопрос? (Нет.) - Какой выход можно найти из этой ситуации? (Можно вместо машин нарисовать круги, квадраты). - Можно каждую машину обозначить точкой? - Сколько точек нарисуете? (Выполняют в тетради, учитель на доске.) - Покажем, что все машины изобразили, обведём все точки замкнутой линией (Учитель собирает карточки с машинами в одну пачку и ставит на наборное полотно.). - Сколько же было машин на наборном полотне? (6.) - Как вы можете это доказать? После выполнения 2-3 таких заданий, детям предлагается «картинка с точками», говорится про что она нарисована (например, про розы) и спрашивается, о чём по ней можно рассказать (В вазе 3 розы.). Поставьте на наборное полотно слева 3 красных круга, возьмите 2 синих круга и поставьте их на наборное полотно справа (Дети выполняют и показывают наборные 24 полотна учителю.). Придвиньте синие круги к красным, объедините синие и красные круги. Скажите не считая, сколько всего кругов на наборном полотне? (3 да ещё 2.) Сколько всего кругов на наборном полотне? (Присчитывают вслух синие круги к красным, говорят: 5.) - Нарисуем «картинку с точками» сначала про красные круги. Как обозначите каждый круг? Сколько нарисуете точек? Рисуйте и вслух объясняйте, что делаете. (Учитель выполняет на доске, дети вместе с ним рисуют и проговаривают: «Рисую 3 точки, обвожу их замкнутой линией. Столько положили красных кругов». Нарисуем рядом «картинку с точками» про синие круги. Сколько точек будете рисовать? (Выполняется аналогично.) Нам нужно узнать, сколько всего кругов на наборном полотне? Что для этого нужно с кругами сделать? (Показывают вместе с учителем жестом и говорят: «Объединить красные и синие круги».) На «картинке с точками» это изображают так: обводят замкнутой линией все точки, чтобы показать, что это все круги. Как получили 5? (3 да ещё 2, стало 5.) «Картинка с точками» имеет в данном примере следующий вид: • • • • • • 2) Возьмите 4 треугольника, поставьте их на наборное полотно, отодвиньте, удалите 1 треугольник. Скажите не считая, сколько треугольников осталось? (4 без 1.) Сколько треугольников осталось? (Один ученик выполняет на наборном полотне или на магнитной доске.) Далее выполняется «картинка с точками». Работа организуется аналогично предыдущему заданию. Рассуждение ученика, выполняемое вместе с учителем, звучит следующим образом: «Обозначу каждый треугольник точкой. Рисую 4 точки, обвожу замкнутой линией. Столько было всего треугольников. Обвожу замкнутой линией одну точку, столько треугольников отодвинули. Обвожу замкнутой линией остальные точки. Столько треугольников осталось. Покажите жестом и скажите, что нужно сделать с одним треугольником, чтобы узнать, сколько треугольников осталось? (Удалить.) На «картинке с точками» это изображается так: перечёркивают крестом те точки, которые удаляют. Сколько треугольников осталось? Как получили число 3? (4 без 1, стало 3.) • • • • 3) На доске «картинка с точками»: • • • • • . . - Это «картинка» про карандаши. О чём можно по ней рассказать? (У мальчика было 5 карандашей. 3 карандаша он отдал.) Что надо узнать? (Надо узнать, сколько карандашей осталось.) Спрашивается, что показывает каждая из «картинок» - частей всей «картинки». Затем предлагается показать жестом и сказать, как можно узнать, сколько карандашей осталось у мальчика. (Из 5 карандашей удалить 3 карандаша.) 25 Скажите не считая, сколько осталось карандашей у мальчика? (5 без 3.) Сколько осталось карандашей у мальчика? (2.) На ступени ознакомления с задачами на нахождение суммы и остатка (они вводятся одновременно) осуществляется, во-первых, подготовительная работа к овладению общим умением решать задачи (знакомство с задачей (контекстуально), структурой задачи (дети подводятся к пониманию того, что каждая задача состоит из условия и вопроса; условие отражает то, что известно в задаче, вопрос - то, что надо узнать); процессом её решения (усваивают какие операции, в каком порядке выполняются при решении задач рассматриваемого вида); во-вторых, усваивают теоретическую основу выбора арифметического действия в задачах этого вида. Выделим виды заданий, предлагаемых детям для решения выше указанных задач. Задания для осознания детьми структуры задачи 1) Выполнение схемы к данной задаче, преобразование задачи по схеме задачи из стандартной структуры в нестандартную и обратно. 2) Составление задачи на основе использования предметной наглядности, «схемы задачи». 3) Составление задачи по «картинке с точками», по данному условию, вопросу. Рассмотрим фрагмент урока, на котором дети впервые встречаются с терминами «задача» (контекстуально), «условие задачи», «вопрос задачи». - Внимательно наблюдайте за тем, что я делаю. У мальчика было 3 красных яблока (показывает картинки с яблоками и ставит их на наборное полотно) и 2 зелёных яблока (поступает аналогично). Скажите, что мы знаем о яблоках? Что мы можем узнать про яблоки? (Сколько всего яблок было у мальчика?) Давайте повторим, что мы знаем о яблоках? Что надо узнать? Мы составили с вами задачу. Повторим всю задачу. - Нарисуем к задаче, которую мы с вами составили, схему. Повторите, что мы знаем. Это условие задачи, в условии говорится о том, что известно в задаче. Изобразим его одной чертой (рисуют: дети в тетрадях, учитель на доске). Что надо узнать в задаче? Это вопрос задачи, в вопросе говорится о том, что надо узнать. Изобразим его двумя чертами (выполняют в тетрадях). Это схема задачи: . В задаче всегда есть условие и вопрос. Затем под руководством учителя осуществляется решение задачи. Работа над другими задачами на нахождение суммы и остатка строится аналогично (сначала выполняется схема задачи, затем решение). В конце урока подводится итог: что нового узнали на уроке? Задания для усвоения детьми теоретической основы выбора арифметического действия Усвоению детьми теоретической основы выбора арифметического действия способствовало выполнение на основе использования модели объекта действия заданий, позволяющих овладеть умением устанавливать связи между данными и искомым в конкретной ситуации, описанной в задаче, и между операцией над множествами и соответствующим арифметическим действием: 1) Выполнение иллюстраций в виде «картинки с точками» в процессе решения задачи. 2) Составление задачи по иллюстрации. 3) Выполнение «картинки с точками» по математическому выражению, составление задачи и её решение. При выполнении этих заданий дети в процессе практических действий осуществляют переход не только от конкретной ситуации, описанной в задаче к арифметическому действию, но и обратно: от арифметического действия к операции 26 над множествами, а затем к конкретной ситуации, что позволяет им видеть общее в частном и частное в общем. Приведём фрагмент урока, на котором при выполнении задания дети самостоятельно составляют задачу на основе использования модели в виде «картинки с точками» и записывают её решение. На доске учителем выполняется иллюстрация в виде «картинки с точками»: • • • • • ? Сначала детям предлагается внимательно посмотреть на «картинку с точками», подумать, что нужно сделать с предметами, чтобы ответить на вопрос задачи, затем каждому самостоятельно составить задачу и записать на наборном полотне её решение. Один ученик выполняет задание на отвороте доски. Затем несколько детей воспроизводят вслух составленную ими задачу, одна из них решается. После её решения ученикам ставится вопрос: «Почему задачи разные, а решались одинаково?», т.е. дети подводятся к обобщению связи операции над множествами с соответствующим арифметическим действием. Задания для усвоения системы операций, составляющих процесс решения простой арифметической задачи 1) Усвоение содержания и порядка следования операций в процессе выполнения задания «Закончи предложение» и инсценирования, работе по «памятке». 2) Усвоение содержания операций в процессе их выполнения под руководством учителя в процессе решения простых арифметических задач. Для усвоения системы операций, составляющих процесс решения простой арифметической задачи, т.е. структуры деятельности, работу можно организовать следующим образом. Сначала дети усваивают содержание каждой операции и с помощью учителя выполняют их в определённом порядке. В качестве примера приведём фрагмент одного из уроков. Учитель читает задачу и иллюстрирует её, используя предметную наглядность: «Девочке нужно выстирать 7 носовых платочков, она выстирала 4 платочка. Сколько платочков ей осталось выстирать?» (Одновременно на наборное полотно пачкой ставятся 7 квадратов, потом 4 квадрата из пачки ставятся по одному, а оставшиеся 3 стоят пачкой.) - Как вы думаете, что известно в задаче? - Повторим вместе. (Мне известно, что девочке нужно выстирать 7 платочков, 4 платочка она уже выстирала.) - Над чем теперь мы должны подумать? (Что надо узнать в задаче?) - Что же надо узнать в задаче? Скажем вместе. (Надо узнать, сколько платочков осталось выстирать девочке.) - Найти решение задачи нам поможет «картинка с точками». Рисуйте «картинку с точками» про платочки и вслух объясняйте. Один ученик выполняет на доске, остальные - в тетрадях, все вслух проговаривают: «Обозначу каждый платочек точкой, рисую 7 точек, обвожу их замкнутой линией. Столько всего платочков было у девочки. Обвожу замкнутой линией 4 точки, столько платочков девочка выстирала. Обвожу замкнутой линией остальные точки, столько платочков осталось девочке выстирать. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком».). . . . ? . . . . 27 - Внимательно посмотрите на «картинку», подумайте, покажите жестом и скажите, что надо делать с платочками, чтобы узнать, сколько платочков осталось девочке выстирать? Повторим вслух вместе: «Чтобы узнать, сколько платочков осталось девочке выстирать, я из всех платочков удалю 4, которые она уже выстирала». - Изобразим это на «картинке». - Подумайте, надо прибавлять или вычитать, чтобы узнать, сколько платочков осталось выстирать девочке? (Надо вычитать, потому что удаляли платочки.) Повторим вместе. - Скажите решение задачи (повторяют вместе). - Как ответить на вопрос задачи, сколько платочков осталось девочке выстирать? - Когда дети усвоят содержание всех операций, выполняемых в процессе решения задач данных видов, их знакомят с памяткой. Задания памятки побуждают ученика выполнять все операции, осознанно усвоить всю систему операций, а, следовательно, структуру деятельности по решению задачи. Так как к моменту введения памятки дети ещё не владеют навыком чтения, задания предлагаются в лаконичной форме, от первого лица, что подчёркивает необходимость их выполнения каждым учеником. На уроке, когда осуществляется знакомство с памяткой, сначала каждое задание закрыто полоской бумаги. Задания последовательно открываются. Дети вместе с учителем вслух читают задание. Затем задание выполняется (см. п. 6, памятка (а)). Задания памятки 4-7 выделяются цветом, так как соответствуют основным операциям. Для лучшего усвоения знания о структуре деятельности, постепенного увеличения самостоятельности учащихся в процессе работы над задачей на первых уроках после ознакомления с памяткой можно использовать специальные приёмы: инсценирование, «Закончи предложение»[1]. Так, например, при использовании инсценирования в работе над задачей, задания памятки предлагается выполнять поочерёдно различным ученикам (7 человек), как бы по ролям, а остальным - контролировать правильность и последовательность операций, проговаривая негромко все рассуждения по операциям. Ступень ознакомления можно считать законченной, если дети осознают структуру деятельности, которую они выполняют при решении задач рассматриваемого вида, т.е. какие операции, как, в каком порядке и почему выполняются. На этой ступени, как и в дальнейшем, серьёзное внимание надо уделять формированию не только ориентировочной и исполнительной частей деятельности, но и контрольно-корректировочной. Возможность осуществлять это обеспечивается актуальным осознанием в процессе решения задачи всех операций деятельности, использованием памятки. При решении задачи с использованием памятки дети научатся соотносить каждый шаг выполняемой деятельности с её моделью, т.е. осуществлять пооперационный контроль - сначала контроль над правильностью выполняемых операций со стороны учителя, затем взаимный контроль и самоконтроль. К формированию контроля по результату действия можно приступить на ступени закрепления умения решать задачи на нахождение суммы и остатка. Учитывая замечание психологов о том, что способ осуществления контроля принципиального значения для качества усвоения не имеет, но взаимный контроль способствует созданию положительной учебной мотивации [21], в большинство первых уроков следует включать задания, требующие работы учеников парами. Задания для формирования умения контролировать себя в процессе решения задачи: 28 1) По «картинке с точками» всем детям, сидящим слева, предлагается составить задачу и рассказать её ему соседу («контролёру»), который должен проверить правильность составления задачи и сообщить её классу, если считает задачу интересной и правильно составленной. 2) При работе над готовой задачей все операции деятельности по её решению ученик проговаривает своему соседу. Если рассуждение правильное, то «контролёр» поднимает зелёный круг, если допустил ошибку - красный и сообщает ошибку классу. 3) После самостоятельного решения (составления) задачи учитель предлагает доказать своему соседу правильность решения (составления) задачи. При формировании умения решать простые арифметические задачи на нахождение суммы и остатка ступень ознакомления занимает приблизительно 10 уроков, так как формирование общего умения решать арифметические задачи и умения конкретизировать задачу только начинается. На ступени закрепления умения решать задачи на нахождение суммы и остатка, во-первых, продолжается работа по формированию общего умения решать задачи, начатая на предыдущем этапе, во-вторых, дети должны твёрдо усвоить систему операций, выполняемых при решении простых арифметических задач на нахождение суммы и остатка и знания математических положений, лежащих в основе выбора арифметического действия в задачах этих видов. Реализация первой цели обеспечивается выполнением той же системы заданий, что и на предыдущей ступени. Чтобы содействовать достижению второй цели, необходимо обеспечить постепенное преобразование действия, сформированного на предыдущей ступени как внешнего, материализованного во внутреннее, идеальное, обеспечив при этом переход от выполнения деятельности в сотрудничестве с учителем и учащимися к вполне самостоятельному и достаточно быстрому её выполнению. С этой целью предусматривается стадиальность свёртывания выполнения операций (см.п.6 ). Кроме того, на этой ступени особое внимание уделяется усложнению решаемых задач по различным линиям, выполнению творческих заданий (см.п.6). Совершенствование умения решать простые арифметические задачи на нахождение суммы и остатка продолжается и в дальнейшем при решении простых арифметических задач других видов (общность используемых содержательных и операционных знаний), составных арифметических задач, включающих в себя простые арифметические задачи данных видов. На примере рассмотрения задач на нахождение суммы и остатка мы выделили основные операции деятельности учителя по формированию у школьников умения решать арифметические задачи. 7.3. Задачи на нахождение неизвестных уменьшаемого, вычитаемого, слагаемого Задачи на нахождение неизвестного слагаемого вводятся в первом классе при изучении темы «Числа от 11 до 20». Задачи на нахождение неизвестных уменьшаемого и вычитаемого во 2 классе при изучении темы «Числа от 1 до 100» . В традиционной школе место введения задач на нахождение неизвестных компонентов действий сложения и вычитания было обусловлено рассмотрением связей между компонентами и результатом соответствующих арифметических действий, на основе которых решались задачи данных видов с помощью составления уравнения. Однако с помощью составления уравнения эти задачи давно не решаются, а место их введения осталось почти тем же. С этим нельзя согласиться. 29 Теоретической основой выбора арифметического действия в этих задачах до решения их с помощью составления уравнения (4 кл.) является конкретный смысл действия сложения (задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого) или вычитания (задачи на нахождение неизвестного слагаемого, вычитаемого). Такой же является теоретическая основа выбора арифметического действия в задачах на нахождение суммы и на нахождение остатка. Это позволяет говорить о том, что задачи этих видов целесообразнее было бы ввести на ступени закрепления умения решать задачи на нахождение суммы и остатка (что и было сделано нами при проведении экспериментальной работы в школе) до ознакомления с задачами на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая форма). Кроме теоретической основы выбора арифметического действия к этому времени дети усвоили, какие операции, как, в каком порядке и почему выполняются при решении задач на нахождении суммы и остатка. Анализ деятельности по решению задач на нахождение неизвестных компонентов действий сложения и вычитания позволяет увидеть, что система операций при их решении полностью совпадает с системой операций по решению задач на нахождение суммы и остатка. Следовательно, введение их в этот период будет способствовать совершенствованию и обобщению умения решать задачи на нахождение суммы и остатка, облегчит детям овладение умением решать задачи на нахождение неизвестных компонентов действий сложения и вычитания, создаст условия повышения самостоятельности ребёнка при поиске решения задач. Приведём примеры полного рассуждения ученика при решении задач каждого из этих видов. Задача на нахождение неизвестного слагаемого Задача. В вазе стояло 9 васильков и ромашек, из них 5 васильков. Сколько в вазе было ромашек? Мне известно, что в вазе было 9 васильков и ромашек, из них 5 васильков. Надо узнать, сколько было ромашек. Рисую и объясняю. Обозначу каждый цветок точкой. Рисую 9 точек, обвожу замкнутой линией. Столько было васильков и ромашек. Обвожу линией 5 точек, столько было васильков. Обвожу линией остальные точки, столько было ромашек. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. Подумаю, нужно объединять или удалять. Чтобы узнать, сколько было ромашек, надо из всех цветков удалить васильки. . . . . . . . . . ? Подумаю, надо прибавлять или вычитать. Я удалял васильки, буду вычитать. Выполняю решение. Из 9 вычесть 5, получится 4. Отвечаю на вопрос задачи. В вазе было 4 ромашки. Задача на нахождение неизвестного уменьшаемого Задача. После того как девочка отправила 6 открыток, у неё осталось 4 открытки. Сколько открыток было у девочки? Мне известно, что девочка отправила 6 открыток, и у неё осталось 4 открытки. Надо узнать, сколько открыток было у девочки. 30 Рисую и объясняю. Обозначу каждую открытку точкой. Рисую 6 точек, обвожу замкнутой линией. Столько открыток девочка отправила. Рисую 4 точки, обвожу их линией. Столько открыток осталось. Обвожу линией все точки, столько открыток было у девочки. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. Подумаю, нужно объединять или удалять. Чтобы узнать, сколько открыток было у девочки, надо объединить открытки, которые девочка отправила и те, которые у неё остались. . . . . . . . . . . ? Подумаю, надо прибавлять или вычитать. Я объединял открытки, буду прибавлять. Выполняю решение. К 6 прибавить 4, получится 10. Отвечаю на вопрос задачи. У девочки было 10 открыток. Задача на нахождение неизвестного вычитаемого Задача. Девочке нужно вымыть 8 тарелок. После того, как она вымыла несколько тарелок, ей осталось вымыть 3 тарелки. Сколько тарелок вымыла девочка? Мне известно, что девочке нужно вымыть 8 тарелок и что 3 тарелки она уже вымыла. Надо узнать, сколько тарелок девочка вымыла. Рисую и объясняю. Обозначу каждую тарелку точкой. Рисую 8 точек, обвожу замкнутой линией. Столько было тарелок. Обвожу линией 3 точки, столько тарелок осталось вымыть. Обвожу линией остальные точки, столько тарелок вымыла девочка. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. Подумаю, нужно объединять или удалять. Чтобы узнать, сколько тарелок вымыла девочка, надо из всех тарелок удалить те тарелки, которые остались. . . . . . . . . ? Подумаю, надо прибавлять или вычитать. Я удалял тарелки, буду вычитать. Выполняю решение. Из 8 вычесть 3, получится 5. Отвечаю на вопрос задачи. Девочка вымыла 5 тарелок. Как видим, если задачи на нахождение неизвестных компонентов арифметических действий сложения и вычитания ввести на ступени закрепления умения решать арифметические задачи на нахождение суммы и остатка, то специальной подготовительной работы не потребуется, т.к. содержательные знания (о задаче, её структуре, обосновывающие выбор арифметического действия) и операционные знания сформированы у детей в процессе решения задач на нахождение суммы и остатка. 7.4. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождения произведения, деление по содержанию и на равные части 31 Задачи на нахождение произведения, деление по содержанию и на равные части вводятся во 2 классе при изучении конкретного смысла арифметических действий умножения и деления. Собственно говоря, в процессе их решения и усваивается конкретный смысл обоих арифметических действий. Сначала вводятся задачи на нахождение произведения (теоретическая основа выбора арифметического действия конкретный смысл действия умножения), затем задачи на деление по содержанию, вслед за ними деление на равные части (теоретическая основа выбора арифметического действия- конкретный смысл действия деления). Задачи на нахождение произведения Задача. На 3 тарелки положили по 5 яблок на каждую. Сколько всего яблок положили? Полное рассуждение ученика. Мне известно, что на 3 тарелки положили по 5 яблок на каждую. Надо узнать, сколько всего яблок положили. Рисую и объясняю. Обозначу каждое яблоко точкой, рисую 5 точек, обвожу замкнутой линией. Столько яблок на одной тарелке. Рисую ещё 5 точек, обвожу линией. Столько яблок на второй тарелке и т.д. Обвожу линией все точки, столько яблок на 3 тарелках. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. . . . . . . . . . . . . . . . ? -Чтобы узнать, сколько всего яблок на тарелках, надо объединить поровну по 5 яблок. а) Объединила поровну по 5, буду прибавлять (подготовительный этап). Запишу решение: 5+5+5=15(яб.) б) По 5 взяли 3 раза, буду умножать. Запишу решение: 5•3=15 (яб.) Отвечаю на вопрос задачи. Всего на тарелках 15 яблок. 2) Чтобы узнать, сколько всего яблок, надо объединить поровну. Буду умножать. Запишу решение: 5•3=15 (яб.) Отвечаю на вопрос задачи. Всего на тарелках 15 яблок. Анализ полного рассуждения ученика показывает, что к моменту введения задач на нахождение произведения он должен: 1) Практически выполнять операцию объединения равночисленных непересекающихся множеств с заданной численностью и заданным числом множеств, изображать операцию объединения равночисленных непересекающихся множеств в виде «картинки с точками». 2) Устанавливать связь между операцией объединения этих множеств с арифметическим действия сложения и находить численность получившегося множества путём сложения. 3) Владеть операционными знаниями по решению задачи. Из этого вытекают задачи подготовительной работы к решению задач этого вида, которая начинается во 2 кл. классе при изучении сложения и вычитания в процессе выполнения заданий вида: 32 а) Положите по 2 круга 4 раза. Как вы думаете, чтобы узнать, сколько всего кругов, что нужно с ними сделать, покажите жестом и скажите (Объединить все круги). Каким действием будем находить, сколько всего кругов? Почему? (Мы объединяли круги, значит надо прибавлять). Запишите решение. Дети записывают: 2+2+2+2=8. Далее устанавливают, что слагаемые этой суммы одинаковые и что их 4. б) Учитель читает задачу: «Было 4 коробки цветных карандашей по 6 штук в каждой. Сколько всего карандашей было?». После прочтения задачи учитель спрашивает детей, как они понимают выражение «в каждой» (в первой коробке 6 карандашей, во второй - тоже 6, в третьей 6 карандашей и в четвёртой 6 карандашей). Затем он предлагает детям вместе решить эту задачу, рассуждая вслух по памятке и выполняя «картинку с точками». Мне известно, что было 4 коробки по 6 карандашей в каждой. Надо узнать, сколько всего карандашей. Рисую и объясняю. Обозначу каждый карандаш точкой. Рисую 6 точек, обвожу линией. Столько карандашей в одной коробке. Рисую ещё 6 точек, обвожу линией. Столько карандашей во второй коробке и т.д. Обвожу линией все точки, столько всего карандашей. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. ... ... . ... ... ... ... ... ... ? Чтобы узнать, сколько всего карандашей, надо их объединить. Учитель обращает внимание детей на то, что объединяют равные количества карандашей и что в этом случае будем говорить «объединяю поровну». Объединял поровну карандаши, буду прибавлять. Запишу решение: 6+6+6+6=24 (кар.) Отвечаю на вопрос задачи. Всего 24 карандаша. На этом же этапе целесообразно предлагать детям творческие задания: составление задач по «картинке с точками», по решению; выполнение «картинки с точками» по заданному решению и др. Работа в этом случае организуется аналогично работе с задачами на нахождение суммы и остатка. Таким образом, на подготовительной ступени дети усваивают первую ступень в конкретном смысле умножения: от операции над множествами к сложению одинаковых слагаемых. Во 2 же классе происходит ознакомление с задачами на нахождение произведения. В процессе решения задач, аналогичных предложенной ранее, детям раскрывается содержание второй ступени конкретного смысла умножения: от сложения одинаковых слагаемых к арифметическому действию умножения. Так, если при решении задачи с полным рассуждением и выполнением «картинки с точками» дети получают решение 6+6+6+6=24, то учитель обращает внимание на то, что слагаемые одинаковые и можно сказать так: по 6 взяли 4 раза. Математики договорились в таком случае, когда слагаемые одинаковые, записывать это действие короче: 6•4=24, где число 4 показывает, сколько раз число 6 берётся слагаемым. Читают такую запись следующим образом: по 6 взять 4 раза, получится 24; 6 умножить на 4, получится 24. Как считает М.А. Бантова, двойной записью (6+6+6+6=24 и 6•4=24)надо пользоваться дольше, т.к. в этом случае дети лучше усваивают смысл каждого компонента умножения в записи решения. На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение произведения учащиеся должны постепенно перейти от выполнения сложения и умножения к выполнению сразу действия умножения. Сначала им предлагается про себя объяснить 33 решение сложением, а вслух назвать или записать решение умножением. Постепенно дети научатся выбирать сразу действие умножения, минуя сложение. На этапе закрепления выполняются разнообразные задания, которые позволяют закрепить знание конкретного смысла умножения и формировать умение решать задачи на нахождение произведения: решение аналогичных задач сначала с полным рассуждением, а затем с кратким; составление задач по решению (например, 5•3=15), по «картинке с точками», преобразование задач из стандартной структуры в нестандартную и обратно и др. (см. работу над задачами на нахождение суммы и остатка на этапе закрепления). Задачи на деление по содержанию и на равные части Методика работы над задачами на деление аналогична методике работы над задачами на нахождение произведения. В связи с этим приведём только полное рассуждение ученика в процессе решения задач обоих видов. Задача на деление по содержанию. 8 апельсинов разложили по 4 апельсина на каждую тарелку. Сколько потребовалось тарелок? Мне известно, что 8 апельсинов разложили по 4 апельсина на каждую тарелку. Надо узнать, сколько потребовалось тарелок. Рисую и объясняю. Обозначу каждый апельсин точкой. Рисую 8 точек, обвожу замкнутой линией, столько было всего апельсинов. Обвожу линией 4 точки, столько апельсинов на одной тарелке. Обвожу линией ещё 4 точки, столько апельсинов ещё на одной тарелке. Все апельсины разложили. Разложили поровну по 4, буду делить. (На подготовительном этапе: разложили поровну по 4, получилось 2 (путём счёта получившихся подмножеств находят результат, решение не записывается). Запишу решение: 8:4=2 (тар.) Отвечаю на вопрос задачи. Потребовалось 2 тарелки. Задача на деление на равные части. 8 апельсинов разложили на 2 тарелки поровну. Сколько апельсинов на каждой тарелке? Ученик также выделяет данные, искомое и затем выполняет «картинку с точками». Рисую и объясняю. Обозначу каждый апельсин точкой, рисую 8 точек, обвожу их замкнутой линией. Столько было всего апельсинов. Рисую под ними две замкнутые линии, столько было тарелок. Обвожу линией 2 точки - сколько тарелок, размещаю по одной точке в каждую замкнутую линию (тарелку) и т.д. Все апельсины разложили поровну. а) На подготовительном этапе находит количество апельсинов на каждой тарелке путём счёта. Решение не записывается. б) На остальных этапах рассуждает так: все апельсины разложили поровну, буду делить. Запишу решение: 8:2=4 (ап.) Отвечаю на вопрос задачи. На каждой тарелке по 4 апельсина. 7.5. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и разностное сравнение чисел Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая форма) и на разностное сравнение по обеим программам вводятся в первом классе. Такой порядок введения обусловлен тем, что при решении задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц легче раскрыть смысл выражений «больше (меньше) на...», а также двоякий смысл разности (если первое число больше второго на несколько 34 единиц, то второе число меньше первого на столько же единиц), что является основой для решения задач на разностное сравнение, а в дальнейшем - для решения задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, выраженных в косвенной форме, которые вводятся в по программе 1-4 в 4 классе. Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженные в прямой форме, вводятся одновременно, через несколько уроков после ознакомления с задачами на нахождение суммы и остатка. Первыми рассматриваются задачи, в которых даны численность множества (или его правильной части) и разность численностей множества и его правильной части. Требуется найти численность правильной части (или множества) (М.1, ч. 1, с.88). Например, задача: «Белоснежка хотела испечь 6 пирожков, а испекла на 2 пирожка меньше. Сколько пирожков испекла Белоснежка?». Затем рассматриваются задачи, в которых даны численность одного из множеств и разность их численностей, требуется найти численность второго множества (М.1, ч. 2, с.6). Например, задача: «Вера вымыла 3 чашки, а Света на 2 чашки больше. Сколько чашек вымыла Света?». Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах обоих видов является связь отношения больше на... (меньше на...) с арифметическим действием сложения (вычитания). Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи на увеличение числа на несколько единиц первого вида. Задача. Девочка хотела отправить 5 новогодних поздравительных открыток, а отправила на 2 открытки больше. Сколько открыток отправила девочка? Мне известно, что девочка хотела отправить 5 открыток, а отправила на 2 открытки больше. Надо узнать, сколько открыток отправила девочка. Запишу кратко задачу: Хотела отправить - 5 от. Отправила - ? от., на 2 от. б. Подумаю, надо находить большее или меньшее число. Буду находить большее число, потому что девочка отправила столько же открыток, сколько хотела и ещё 2 открытки. Подумаю, каким действием. Нахожу большее число, буду прибавлять. Выполняю решение: 5+2=7 (от.) Отвечаю на вопрос задачи: девочка отправила 7 открыток. Полное рассуждение ученика при решении задач на уменьшение числа на несколько единиц второго вида. Задача. У Коли 7 марок, а у Тани на 3 марки меньше. Сколько марок у Тани? Мне известно, что у Коли 7 марок, у Тани на 3 марки меньше. Надо узнать, сколько марок у Тани. Запишу кратко задачу: К. - 7 мар. Т. - ? мар., на 3 мар. м. Подумаю, надо находить большее или меньшее число. Нахожу меньшее число, потому что у Тани столько же марок, сколько у Коли, но без 3. Подумаю, каким действием. Нахожу меньшее число, буду вычитать. Выполняю решение: 7-3=4 (мар.). Отвечаю на вопрос задачи: у Тани 4 марки. Анализ полного рассуждения ученика при решении задач каждого вида, составленного на основе изучения программы по математике и учебника, позволяет выделить знания, умения и навыки, которые необходимо сформировать на подготовительном этапе к введению задач данного вида. 35 К моменту введения задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц школьник должен: 1) Усвоить связи: если объединяем, прибавляем, то получаем большее число; удаляем, вычитаем - получаем меньшее число; чтобы получить большее число - надо прибавить, чтобы получить меньшее число - нужно вычесть. 2) Усвоить систему операций, составляющих процесс решения задач данных видов. Эти связи можно раскрыть, выполняя следующие задания: 1) Положите на парту слева 3 зелёных квадрата. Положите на парту справа 2 красных квадрата. Придвиньте красные квадраты к зелёным, объедините квадраты. Сколько всего квадратов? (5.) Учитель ставит на наборное полотно карточку с числом 5. Сколько зелёных квадратов? (Учитель ставит на наборное полотно карточку с числом 3.) Сравните эти числа. Как получили большее число? (К 3 прибавили 2, получили 5.) Прибавили - получили большее число. Значит, если прибавляем, то получаем большее число. 2) После решения задачи «Доктор Айболит принял 4 зверей с зубной болью и 2 зверей с головной болью. Сколько всего больных принял доктор Айболит?» учитель проводит следующую работу: - Чтобы узнать, сколько всего больных принял доктор Айболит, что мы сделали со зверями с зубной болью и с головной, покажите жестом и скажите? - Сколько всего зверей принял Айболит? (Учитель ставит на наборное полотно карточку с числом 5.) - Сколько зверей с зубной болью принял Айболит?(Учитель ставит на наборное полотно карточку с цифрой 3.) - Сравните число всех зверей и число зверей с зубной болью (5 больше, чем 3.). - Почему мы получили большее число? (Мы прибавляли.) - Значит, если прибавляем, то получаем большее число. 3) В процессе выполнения практических заданий, аналогичных 1, дети усваивают, что если прибавили 1 (2,3), то стало больше на 1 (2,3); если вычли 1(2,3), то стало меньше на 1(2,3). Если вычитаем, то получаем меньшее число. Кроме того, в этот период актуализируется смысл отношений «больше на...» и «меньше на...», которые рассматривались в дочисловой период, а также раскрывается связь: чтобы получить число, которое больше данного на 1(2,3), надо прибавить 1 (2,3). После такой подготовительной работы проводится ознакомление с решением задач. Но прежде даётся задача, которую дети после решения преобразуют в задачу на увеличение числа на несколько единиц. 1) Белоснежка хотела испечь гномам 7 пирожков, а испекла 7 пирожков и ещё 2.Сколько всего пирожков испекла Белоснежка? Решение выполняется с полным рассуждением по памятке. После решения задачи детям предлагается ещё раз послушать задачу и подумать, как иначе можно сказать условие задачи. (Белоснежка хотела испечь 7 пирожков, а испекла на 2 больше.) Значит, если прибавляем, то получаем большее число. В памятке вместо задания «Подумаю, надо объединять или удалять...» записывается задание «Подумаю, надо находить большее или меньшее число...». Обоснование выбора арифметического действия в этой задаче даётся следующим образом: «Нахожу большее число, потому что Белоснежка испекла на 2 больше, т.е. столько, сколько хотела испечь, и ещё 2». Аналогично проводится работа по введению задач на уменьшение числа на несколько единиц. После того, как большинство детей самостоятельно смогут выполнить полное объяснение, можно переходить к краткому объяснению. 36 Учитывая, что одни дети раньше усвоят систему операций, другие позже, необходимо так же, как и при решении задач других видов, осуществлять индивидуальный подход к учащимся при работе над задачами. При введении задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц первого вида также можно использовать «картинки с точками» или схему, выполненную с помощью отрезков. В ранее приведённой задаче эти иллюстрации имели бы следующий вид: а) . . . . . . . . . ? (Обозначу каждый пирожок точкой, рисую 7 точек, обвожу замкнутой линией. Столько пирожков хотела испечь Белоснежка. Рисую 2 точки, потому что Белоснежка испекла на 2 пирожка больше, т.е. столько, сколько хотела да ещё 2. Обвожу 2 точки линией. Обвожу замкнутой линией все точки, столько пирожков всего испекла Белоснежка. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. Подумаю, большее или меньшее число надо находить. (Нахожу большее число. Стало 7 да ещё 2.) Подумайте, каким действием будете решать. (Нахожу большее число, буду прибавлять.). б) 7 п. 7 п. 2 п. ? п. После того, как введены задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, в которых дана разность численностей множества и его правильной части, при составлении задач по «картинке с точками» или по схеме нужно предлагать детям составить задачи со словами «больше на...», «меньше на ...». Следующими вводятся задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, в которых дана разность численностей двух множеств. При выполнении следующих заданий раскрывается и уточняется смысл выражений «столько же», «больше на ...», «меньше на ...»: 1) Положите на парту в один ряд 5 кругов, в другой 5 квадратов. Что можно сказать про число кругов и квадратов? (Их поровну, квадратов столько же, сколько кругов.) 2) Положите в первый ряд ещё 2 круга. Каких фигур больше? Докажите. (Кругов столько же, сколько квадратов, да ещё 2.) 3) Положите 3 треугольника, под ними положите квадратов на 2 больше, чем треугольников. Что значит «на 2 больше»? (Столько же, сколько треугольников, да ещё 2.) Смысл выражения «меньше на...» раскрывается при выполнении аналогичных заданий. При решении задач первого вида детьми усваивается теоретическая основа выбора арифметического действия: связь отношения «больше на...» (меньше на...) с арифметическим действием сложения (вычитания), и система операций, составляющих процесс решения задач на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц. Несколько иной будет иллюстрация в виде «картинки с точками», т.к. речь в них ведётся о двух множествах. Однако, чаще всего эта иллюстрация уже не нужна, дети 37 могут найти арифметическое действие без использования схематической наглядности. Учитель, как правило, в это время знакомит детей с иллюстрацией в виде краткой записи задачи. В памятке вместо задания «Рисую и объясняю...» появляется задание «Запишу задачу кратко...». Задание студенту для самостоятельной работы: составить фрагмент урока по ознакомлению с задачами на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц второго вида. Следующими вводятся задачи на нахождение разности двух чисел (М.1, ч. 2, с.10). Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах данного вида является правило: чтобы узнать, на сколько одно из данных чисел больше (меньше) другого, надо из большего числа вычесть меньшее. Полное рассуждение ученика при решении задачи на нахождение разности двух чисел. Задача. На уроках труда дети изготовили 8 флажков и 6 звёздочек. На сколько больше изготовили флажков, чем звёздочек? Мне известно, что на уроках труда дети изготовили 8 флажков и 6 звёздочек. Надо узнать, на сколько больше изготовили флажков, чем звёздочек. Запишу задачу кратко: Ф. - 8 шт. на ? шт. б. З. - 6 шт. Применю правило: чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее. Выполняю решение. Из 8 вычесть 6, получится 2. Отвечаю на вопрос задачи. Флажков изготовили на 2 больше, чем звёздочек. Таким образом, на подготовительной ступени необходимо, чтобы дети усвоили не только смысл отношений «больше на...», «меньше на...», но и двоякий смысл разности: если первое число больше (меньше) второго на несколько единиц, то второе меньше (больше) первого на столько же единиц. В качестве иллюстрации к задачам данного вида можно использовать следующую схему (её в практике традиционного обучения чаще называют чертежом): 8 шт. Ф. 6 шт. на ?.шт. б. З. Подготовительная ступень Приведём примеры таких заданий, выполнение которых должно обеспечить усвоение ранее указанных связей: 1) Положите в один ряд 6 синих квадратов, во второй ряд 8 жёлтых квадратов. В каком ряду квадратов больше? На сколько квадратов больше во втором ряду? Как узнали? (Положили парами, двум квадратам из второго ряда не было пары в первом ряду.) Отодвиньте эти два квадрата. Что можно сказать о числе квадратов в первом ряду? (Их меньше.) На сколько меньше? (На 2.) Во втором ряду на 2 квадрата больше, чем в первом, тогда в первом на 2 квадрата меньше. (Показывает.) 2) После решения некоторых задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц внимание детей акцентируется на том же соотношении. 38 3) Детям предлагают вопросы, например: «Берёзок посадили на 3 больше, чем тополей. Что можно сказать о числе тополей?», «В нашем классе девочек на 2 больше, чем число мальчиков. Что можно сказать о числе мальчиков в классе?». 4) Решается задача на увеличение числа на несколько единиц с кратким рассуждением ученика. Например: «На тарелке лежало 5 яблок, а груш на 2 больше. Сколько груш было на тарелке?» (Чтобы узнать, сколько груш было на тарелке, надо находить большее число, потому что груш было столько же, сколько яблок, и ещё 2, т.е. на 2 больше, чем яблок. Буду прибавлять. К 5 прибавить 2, получится 7. На тарелке лежало 7 груш. Выясняется, почему смогли решить эту задачу (Знали способ, как найти большее число.) Затем предлагается условие задачи: «На прогулку вышли 5 девочек и 3 мальчика» и предлагается поставить вопрос к этому условию. Вполне вероятно, что дети сформулируют вопрос «Сколько всего мальчиков и девочек вышли на прогулку?». В этом случае можно предложить сравнить число девочек и мальчиков и сформулировать новый вопрос, который потребовал бы сравнить число девочек и мальчиков. Получается задача: «На прогулку вышли 7 девочек и 4 мальчика. На сколько больше вышло на прогулку девочек, чем мальчиков?». Выясняется, что детям трудно указать действие, которым решается задача, у них недостаточно знаний для её решения. Формулируется учебная задача: найти способ нахождения, на сколько одно число больше другого. Ознакомление (или поиск способа решения) с задачами на нахождение разности двух чисел можно провести следующим образом [1,18]. Учитель прикрепляет на доску водой слева 5 зелёных кругов, справа 3 красных круга. Каждый круг учитель обводит мелом. Дети считают, сколько кругов слева и сколько справа, устанавливают, что слева больше, чем справа. Надо узнать, на сколько зелёных кругов больше, чем красных. Предлагает детям вспомнить, как устанавливали, какое из чисел больше (см. задание 1 на подготовительной ступени) и подумать, как можно действовать с кругами в этом случае. Детьми предлагается вариант: поставить парами по 1 зелёному и по 1 красному кругу. Учитель говорит о том, что круги перемещать друг под друга не будем, и спрашивает, как можно образовать пары. (Возможно, дети предложат снимать по 1 зелёному и 1 красному кругу, пока не останутся круги одного цвета, которым не будет пары. Если у детей не возникнет эта идея, то учитель сам снимет 1 красный и 1 зелёный круг. Дальше дети сообразят сами.) Снимают по одному кругу каждого цвета до тех пор, пока на доске останутся 2 зелёных круга. Сколько зелёных кругов сняли? Сколько красных кругов сняли? (На доске на месте снятых кругов остаются обведённые мелом круги.) Сравните число снятых зелёных и красных кругов. (Их поровну, зелёных кругов сняли столько же, сколько красных.) На сколько же зелёных кругов больше? Сколько было зелёных кругов? Сколько их удалили? Как же получили 2 круга? (Из 5 удалили 2.) Если мы удаляли круги, то каким действием будем узнавать, на сколько зелёных кругов больше? Запишем: 5-3=2(кр.) Что показывает число 2? (На столько зелёных кругов больше, чем красных.) Составьте про зелёные и красные круги задачу, решение которой записано на доске. Каким действием узнали, на сколько красных кругов больше, чем зелёных? Значит, чтобы узнать, на сколько одно число больше другого, нужно из большего числа вычесть меньшее. Затем можно обратить внимание детей на то, что можно было к условию задачи, которую они составили про круги, поставить и другой вопрос. Совместно с детьми формулируется вопрос: «На сколько красных кругов меньше, чем зелёных?» и делается вывод: «Чтобы узнать, на сколько одно число меньше другого, надо из большего числа вычесть меньшее». 39 Предлагается детям для решения задача про девочек и мальчиков, которую они раньше не могли решить. Выясняется, как можно проиллюстрировать задачу. Ученики вспоминают, что можно взять «картинку с точками». Задача решается с полным рассуждением вслух. Мне известно ... Надо узнать ... Рисую и объясняю. Один ученик выполняет на доске, остальные - в тетрадях. - Про кого мы будем рисовать «картинку с точками»? (Про девочек и про мальчиков). Запишем это на доске, а вы в тетрадях. (Учитель пишет на доске буквы Д. и М.) - Обозначу каждого ребёнка точкой. Рисую 7 точек, обвожу линией. Столько было девочек. Рисую «картинку» про мальчиков. Рисую 4 точки, обвожу линией. Столько было мальчиков. - Давайте вспомним, как мы действовали с кругами, и подумаем, как поступим с точками, чтобы узнать, на сколько девочек больше, чем мальчиков. (Предлагается зачёркивать по одной точке из числа девочек и числа мальчиков.) - Обведите замкнутой линией все зачёркнутые точки, которыми обозначали девочек. Сколько точек обвели? Обведите замкнутой линией остальные точки. Что показывает эта «картинка»? (На столько девочек больше, чем мальчиков.) Это нам известно в задаче? (Нет.) Как обозначим на «картинке с точками»? (Вопросительным знаком.) Д. • • • М. • • • • • • • • ? - Чтобы узнать, на сколько девочек больше, чем мальчиков, что нужно сделать? (Удалить 4 девочки.) Удаляем столько девочек, сколько было мальчиков. Изобразите это на «картинке с точками». Значит, каким действием будем узнавать, на сколько девочек больше, чем мальчиков? (Вычитанием.) Скажите решение задачи. (Решение записывается на доске.) Дайте ответ на вопрос задачи. (Девочек на 3 больше, чем мальчиков.) Посмотрите на решение задачи и скажите, как узнать, на сколько одно число больше другого? Повторяют вместе: «Чтобы узнать, на сколько одно из двух данных чисел больше другого, надо из большего числа вычесть меньшее». Что ещё показывает число 3?(На сколько мальчиков меньше, чем девочек.) Значит, как узнать, на сколько одно число меньше другого? Вторая задача «Треугольников 8, а квадратов 5. На сколько квадратов меньше, чем треугольников?» решается аналогично с использованием «картинки с точками». После решения опять делается вывод и формулируется правило. На следующих уроках продолжается решение задач рассмотренного вида. Решение выполняется с использованием «картинки с точками» (или с использованием чертежа) до тех пор, пока дети не осмыслят правило (1-2 урока). Надо предлагать детям составлять задачи этого вида, как по иллюстрации, так и по данному условию, вопросу. На этих же уроках решаются задачи с отвлечёнными числами и задачи, где числа являются значениями величин. В дальнейшем, обобщая способ решения, можно предупредить образование формальных связей: слово «больше» дети часто связывают только с действием сложения, «меньше» - с действием вычитания. 40 Чтобы предупредить такие ошибки, предлагаются пары задач, которые после решения сравниваются. 1) На уроках труда изготовили 8 флажков, а звёздочек на 2 больше. Сколько изготовили звёздочек? 2) Купили 6 красных шаров и 4 зелёных. На сколько больше купили красных шаров? Сначала задачи на нахождение разности решаются с полным рассуждением. После того, как большинство детей усвоят содержание всех операций (4-5 уроков), постепенно переходят к краткому рассуждению. Для самостоятельного решения даются задачи на всех ступенях. 7.6. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и кратное сравнение чисел Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз (прямая форма) и на кратное сравнение чисел по программе 1-4 вводятся в третьем классе. Такой порядок введения обусловлен тем, что при решении задач на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз легче раскрыть смысл отношений «больше (меньше) в...», а также двоякий смысл кратного отношения (если одно из двух данных чисел больше второго в несколько раз, то второе число меньше первого во столько же раз), что является основой для решения задач на кратное сравнение, а в дальнейшем - для решения задач на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, выраженных в косвенной форме, которые вводятся в 4 классе. Задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз, выраженные в прямой форме, вводятся последовательно (на одном уроке задачи на увеличение числа в несколько раз, через урок - на уменьшение числа в несколько раз). Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах обоих видов являются конкретный смысл соответствующего арифметического действия (умножения или деления) и связь отношения «больше (меньше) в...» с арифметическим действием умножения (деления). Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи на увеличение числа в несколько раз. Задача. Для детского сада купили 3 зелёных мяча, а красных в 2 раза больше. Сколько купили красных мячей? Мне известно ... Надо узнать... Рисую и объясняю. Обозначу каждый мяч точкой. Рисую 3 точки, обвожу линией, столько было зелёных мячей. Рисую 2 раза по 3 точки, обвожу линией каждые 3 точки линией, потому что красных мячей 2 раза по 3. Обвожу линией все точки, столько всего красных мячей. Это мне неизвестно, обозначу вопросительным знаком. З. К. • • • • • • • • • ? («Картинка с точками» может выполняться (если учитель считает целесообразным) только на этапе ознакомления, а затем - краткая запись задачи по мере необходимости. К данной задаче краткая запись будет иметь вид: З. - 3 м. К. - ? м., в 2 раза б. 41 Подумаю, надо находить большее или меньшее число. Нахожу большее число, потому что красных мячей в 2 раза больше, т.е. их 2 раза по 3. Подумаю, каким действием. Буду умножать. Выполняю решение. 3 умножить на 2, получится 6. (Запись решения по действиям с полным пояснением: 1) 3•2=6 (м.) - столько купили красных мячей.) Отвечаю на вопрос задачи: для детского сада купили 6 красных мячей. (Запись ответа. Ответ: 6 красных мячей.) Исходя из полного рассуждения ученика при решении задачи на увеличение числа в несколько раз, задачи подготовительной работы будут следующими: 1) Актуализировать знание конкретного смысла умножения. 2) Раскрыть смысл отношения «больше в...» и его связь с арифметическим действием умножения. Эти задачи решаются в процессе выполнения следующих заданий: 1) Поставьте на верхнюю полку наборного полотна 4 треугольника. Поставьте на нижнюю полку наборного полотна 2 раза по 4 круга. Нарисуем «картинку с точками» про треугольники и круги (выполняют с полным рассуждением). Т. К. . . . . . . . . . . . - Сравните количество кругов и треугольников: каких фигур больше? (Кругов.) - Кругов, действительно, больше. Их 2 раза по 4. Далее учитель сообщает, что в этом случае говорят, что кругов в 2 раза больше, чем треугольников. - Как вы думаете, что можно сказать о числе треугольников? (Их в 2 раза меньше, чем кругов.) 2) Положите слева 2 квадрата, а справа 3 раза по 2 квадрата. Что можно сказать о числе квадратов справа: их больше или меньше, чем слева и попробуйте это доказать. (Справа 3 раза по 2 квадрата, значит их больше в 3 раза, чем слева.) Что можно сказать о числе квадратов слева? (их меньше в 3 раза, чем квадратов справа.) 3) Положите справа 3 круга, а слева в 2 раза больше. Что это значит? (Слева надо положить по 3 круга 2 раза.) Что можно сказать о числе кругов справа: их больше или меньше, чем слева? (Их в 4 раза меньше.) После такой подготовительной работы проводится ознакомление с решением задач данного вида. Рассматривается конкретная задача. Например: «Серёжа вырезал 4 красных квадрата, а синих в 3 раза больше. Сколько синих квадратов вырезал Серёжа?». Сначала выясняется, что значит «в 3 раза больше», затем задача решается с полным рассуждением и иллюстрацией (либо предметной, либо в виде «картинки с точками», которая в данном случае имеет вид: К. С. . . . . .... ... . .... .... ? В результате многократного решения, составления таких задач дети усвоят, что увеличение числа в несколько раз выполняется действием умножения. На этапе закрепления умения решать задачи данного вида постепенно переходят от полного рассуждения к краткому обоснованию выбора арифметического действия (нахожу число большее в 3 раза, буду умножать на 3). Иллюстрация сначала 42 выполняется в виде краткой записи, а затем к ней обращаются только в случае затруднения в выборе арифметического действия. В качестве иллюстрации возможно также использовать следующую схему, являющуюся моделью данной задачи: К. 4 к. 4к. С. 4к. 4к. . ? к. Однако содержание работы на подготовительном этапе в этом случае должно быть скорректировано в соответствии с особенностями этой модели задачи. Задачи на уменьшение числа в несколько раз, выраженные в прямой форме Полное рассуждение ученика при решении задачи данного вида. Задача. У Володи было 8 зелёных кругов, а синих в 2 раза меньше. Сколько синих кругов у Володи? Мне известно ... Надо узнать ... Рисую и объясняю. Обозначу каждый круг точкой. Рисую 8 точек, обвожу линией. Столько у Володи зелёных кругов. Синих - в 2 раза меньше. Надо 8 кругов разделить на 2 равные части и взять одну часть, столько будет синих кругов. З. . . . С. . . . . . . . . . . . . . («Картинка с точками» или чертёж могут выполняться (если учитель считает целесообразным) только на этапе ознакомления, а затем - краткая запись задачи по мере необходимости. К данной задаче краткая запись будет иметь вид: З. - 8 к. С. - ? к., в 2 раза м.) Подумаю, надо находить большее или меньшее число. Нахожу меньшее число, потому что синих мячей в 2 раза меньше, их столько, сколько зелёных в одной части. Подумаю, каким действием. Буду делить. Выполняю решение. 8 разделить на 2, получится 4. (Запись решения по действиям с полным пояснением: 1) 8:2=4 (к.) - столько было синих кругов.) Отвечаю на вопрос задачи: У Володи было 4 синих круга. (Запись ответа. Ответ: 4 синих круга.) Исходя из полного рассуждения ученика при решении задачи на уменьшение числа в несколько раз, задачи подготовительной работы будут следующими: 1) Актуализировать знание конкретного смысла деления (деление на равные части). 2) Актуализировать двоякий смысл отношения: если первое число больше второго в несколько раз, то второе меньше первого во столько же раз. 43 Вторая задача реализуется в процессе решения задач на увеличение числа в несколько раз. Для актуализации конкретного смысла арифметического действия деления (деление на равные части) можно предложить детям выполнить иллюстрацию в виде «картинки с точками» при решении задачи: «6 конфет раздали 3 детям поровну. Сколько конфет дали каждому ребёнку?» После решения задачи выясняется, что разделили 6 на 3 равные части, и что каждый ребёнок получил столько, сколько в одной части, т.е. в 3 раза меньше. Ознакомление с задачами на уменьшение числа в несколько раз осуществляется аналогично ознакомлению с предыдущим видом задач. Предоставляем студенту возможность самостоятельно смоделировать эту ступень работы над задачами данного вида. На этапе закрепления работа над задачами ведётся так же, как и над другими видами задач. Задачи на уменьшение числа на несколько единиц надо перемежать с задачами на увеличение числа в несколько раз, на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, что позволит предупредить смешение. Причём необходимо предлагать решать, составлять задачи, как со стандартной, так и нестандартной структурой текста. Следующими вводятся задачи на кратное сравнение чисел. Теоретической основой выбора арифметического действия в задачах данного вида является правило: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше (меньше) другого, надо большее число разделить на меньшее. Полное рассуждение ученика при решении задачи на кратное сравнение. Задача. В первом ряду 6 кругов, во втором кругу 2 круга. Во сколько раз в первом ряду кругов больше, чем во втором? Мне известно... Надо узнать... Запишу задачу кратко: I р. - 6 к. во ? раз б. II р. - 2 к. Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше другого, надо большее число разделить на меньшее. Выполняю решение: 6 разделить на 2 получится 3. (Запись решения задачи по действиям с полным пояснением: 1) 6:2=3 (раза) - во столько в первом ряду больше кругов, чем во втором.) Отвечаю на вопрос задачи. В первом ряду в 3 раза больше кругов, чем во втором. (Запись ответа. Ответ: в 3 раза больше.) К условию этой задачи можно сформулировать второй вопрос: «Во сколько раз во втором ряду кругов меньше, чем в первом». Рассуждение аналогично предыдущей задаче. Как видим, чтобы сформировать полноценное умение решать задачи на кратное сравнение, необходимо, чтобы дети усвоили не только смысл отношений «больше в...», «меньше в...», но и двоякий смысл кратного отношения: «если одно число больше второго в несколько раз, то второе число меньше первого во столько же раз», а также, чтобы у них было сформировано умение решать задачи на деление по содержанию. Отсюда вытекают задачи работы на подготовительной ступени. Задание студенту для самостоятельной работы: разработать методику работы по формированию умения решать задачи данного вида на всех ступенях его становления. 44 Решение задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц и в несколько раз, выраженных в косвенной форме, по ныне действующим в традиционной школе программам, осуществляется в 4 классе. Решение этих задач основывается на знании двоякого смысла разности или кратного отношения и умения решать задачи этих видов, выраженные в прямой форме. Ко времени введения задач данного вида эти знания и умения должны быть сформированы у детей в процессе решения, как простых задач, так и составных, в состав которых входят задачи, раскрывающие понятия разности и кратного отношения. При работе над ними используется та же методика, что и при формировании умения решать задачи данных видов, выраженных в прямой форме. Особое внимание при формировании умения решать задачи, где отношения выражены в косвенной форме, нужно уделить предупреждению их смешения с задачами, где отношения выражены в прямой форме. С этой целью методисты [1] предлагают проводить сравнение аналогичных задач, а также их решений, выявляя существенные различия. § 8. Методика введения первых составных арифметических задач План 1. Время, порядок, задачи изучения темы. 2. Методика формирования умения решать нетиповые составные арифметические задачи. 1.Первые составные арифметические задачи по новой программе 1-4 вводятся в третьей четверти первого класса (задачи в два действия). Порядок введения первых составных нетиповых задач в первом классе следующий: 1) Составные задачи, включающие простые арифметические задачи на увеличение числа на несколько единиц (прямая форма) и на нахождение суммы. Например: «На первой проволоке 7 шариков, а на второй – на 3 шарика больше. Сколько всего шариков на двух проволоках?» (М.1, ч. 2,с. 56). 2) Составные задачи, включающие простые арифметические задачи на уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма) и на нахождение суммы. Например: «На одной проволоке 10 шариков, а на другой – на 3 меньше. Сколько всего шариков на двух проволоках?» (М.1, ч. 2, с. 57). 3) Составные задачи, включающие простые арифметические задачи на нахождение суммы и на нахождение остатка. Например: «Тыкву массой 6 кг нарезали на куски. Одна покупательница взяла 2 кг, другая – 1 кг. Сколько килограммов тыквы ещё не продано?» (М. 1, ч.2, с. 65). 4) Составные задачи, включающие две простые арифметические задачи на нахождение суммы. Например: «У продавца было 4 ящика апельсинов. Со склада привезли ещё 2 ящика лимонов и 5 ящиков яблок. Сколько всего ящиков с фруктами стало?». 5) Составные задачи, включающие две простые арифметические задачи: одна - на нахождение суммы, вторая – на разностное сравнение Например: «У папы в одной сумке арбуз массой 7 кг, а в другой – 4 кг картофеля и 2 кг капусты. Какая сумка тяжелее и на сколько?» (М.1, ч.2, с.73). 5) Составные задачи, включающие две простые задачи, вида: «В саду расцвело 8 красных пионов, 6 розовых, а белых на 3 меньше, чем красных и розовых вместе. Сколько расцвело белых пионов?» [4, с.138]. В процессе работы над задачами ученик должен: 1) Уяснить отличие составной арифметической задачи от простой. 45 2) Овладеть правильным, осознанным, обобщённым, прочным умением решать составные арифметические задачи, предусмотренные программой. 2.При решении первых составных задач основными видами иллюстрации задачи в традиционной системе обучения являются предметная (или образная) наглядность или краткая запись. Как указывалось ранее (см.п.6), предметная иллюстрация чаще всего не является «средством ученика», не изображает наглядно объект усвоения связь между данными и искомым, не помогает абстрагироваться от конкретной ситуации задачи и выделить существенно общее для всех задач одной математической структуры. Краткая запись, наиболее часто используемая при решении составных нетиповых задач, в том виде, в каком она используется в традиционной школе, чаще всего не является средством для поиска решения задачи, вызывает трудности в выполнении. Есть определённые находки в альтернативных системах обучения, однако они не используются в практике работы традиционной школы, хотя такая возможность есть. Рассмотрим, как осуществляется работа над первыми составными задачами в традиционной системе обучения. Полное рассуждение ученика в процессе решения составной арифметической задачи рассмотрено нами ранее (см.п.6). Анализ этого рассуждения показывает, что в процессе работы с составными арифметическими задачами, в первую очередь, ребёнок должен усвоить отличие составной задачи от простой - её нельзя решить одним действием, для её решения надо выделить простые задачи, установив соответствующую систему связей между данными и искомым. С этой целью на подготовительной ступени предусматривается выполнение специальных заданий. 1) Решение задач с недостающими данными, например: а) В вазе лежало 5 яблок и груши. Сколько всего фруктов было в вазе? б) В детский сад купили мячи и куклы. Сколько всего игрушек купили в детский сад? После прочтения таких задач, учитель спрашивает, что нужно знать, чтобы узнать, сколько всего фруктов было в вазе (сколько игрушек купили в детский сад). Можем ли сразу узнать, сколько всего фруктов было в вазе? (сколько игрушек купили) Почему? (В задаче не сказано, сколько было груш, или сколько было мячей и сколько было кукол.) Далее дети подбирают числа и решают задачи. Выполняя такие задания, дети убеждаются, что для выполнения решения задачи нужно два числовых данных, их может не хватать, их надо получить (или подобрать, как в данных примерах). 2) Решение пар простых задач, в которых число, полученное в ответе на вопрос в первой задаче, является одним из данных во второй задаче, например: а) 1.На складе погрузили в машину 6 ящиков апельсинов и 5 ящиков яблок. Сколько ящиков с фруктами погрузили в машину? 2.На машине было 12 ящиков с фруктами. У магазина выгрузили 7 ящиков. Сколько ящиков с фруктами осталось в машине? б) 1.Вчера Дима прочитал 4 страницы книги, а сегодня – на 1 страницу меньше, Сколько страниц он прочитал сегодня? 2. Вчера Дима прочитал 4 страницы, а сегодня - …страницы. Сколько всего страниц Дима прочитал за эти дни? Дополни условие, используя ответ предыдущей задачи (М.1,ч.2, с. 56). После решения задачи сравниваются, подмечается их связь между собой и под руководством учителя эта пара задач заменяется одной задачей. В дальнейшем дети сами заменяют пары подобных задач одной. В учебнике их достаточное количество. 1) Решение задач с двумя вопросами (очень широко представлено в учебнике математики по новой программе. (М.1, ч.2, с. 15 и т.д.) Занимает этот вид 46 работы очень большое место в новом учебнике. Эти задачи решаются на протяжении всего второго полугодия даже после ознакомления с составными арифметическим задачами. а) У Васи 6 иностранных марок, а российских на 3 марки меньше. Сколько российских марок у Васи? Сколько всего марок у Васи? б) На носки у бабушки пошло 2 мотка шерсти, а на кофту – на 6 мотков больше. Сколько мотков шерсти пошло у бабушки на кофту? Сколько всего мотков шерсти пошло на кофту и носки? (М.1, ч.2, с. 18). 3)Постановка вопроса к данному условию. Было 5 тарелок, но 2 тарелки разбились. Поставь вопрос и реши задачу. 4) Составление задач по математическому выражению. Младший школьник в процессе решения задач должен научиться осуществлять поиск их решения от вопроса к числовым данным и от числовых данных к вопросу. Сразу два способа поиска решения составных арифметических задач давать, безусловно, сложно. Учитель должен для себя решить, каким способом дети вначале будут осуществлять поиск решения. На нём следует сконцентрировать внимание на подготовительной ступени. В начальных классах ученик овладевает разными способами записи решения задачи (см.п.6). Самым перспективным является запись решения с помощью составления выражения, т.к. она готовит детей к решению задач с помощью составления уравнения в старших классах. В практике работы школы запись решения задач чаще всего выполняется по действиям. Причём, очень часто после решения по действиям предлагается «решить задачу другим способом - с помощью составления выражения». Во-первых, в этом случае имеет место не второй способ решения задачи, а другая форма записи решения; во-вторых, выражение в этом случае составляется формально: одно из числовых данных во втором действии (если задача решается в два действия) заменяется выражением из первого действия, имеющим это числовое значение. Сам способ получения числового выражения при таком подходе не усваивается детьми и не может быть перенесён в новые условия при решении задач с помощью составления уравнения. Чтобы обеспечить возможность более лёгкого перехода детей к решению составных задач, необходимо выполнение следующих заданий: а) Поиск решения простой арифметической задачи от вопроса к числовым данным с выполнением «схемы размышления» и записью решения выражением. Например, задача: «На ёлку повесили 7 красных шаров и 3 синих. Сколько всего шаров повесили?» После выделения данных, искомого ставятся вопросы: - Чтобы узнать, сколько всего шаров повесили, что для этого нужно знать? (Нужно знать, сколько повесили красных шаров и сколько синих.) - Изобразим это так: Всего ? Красные + ? + Синие - Каким действием? - Можно сразу узнать, сколько всего шаров? - Почему? - Запишем решение выражением с пояснением. Решение: 7+3 (шар.) - столько всего, 47 7+3=10 (шар.). Ответ: 10 шаров. б) Поиск решения простой арифметической задачи от числовых данных к вопросу с записью решения выражением. В качестве примера приведём работу с той же задачей. После выделения данных, искомого ставятся вопросы: - Если вы знаете, сколько красных и сколько синих шаров повесили на ёлку, то, что вы можете узнать по этим данным? (Сколько всего шаров повесили?) - Каким действием? Решение может быть записано так же, как в предыдущем примере. 6) Формирование умения решать простые арифметические задачи, входящие в составную. Необходимым условием для решения составной задачи является овладение учеником полноценным умением решать простые арифметические задачи, входящие в составную. Следовательно, до введения составных задач определённой структуры надо сформировать умение решать соответствующие виды простых задач. 7) формирование умения строить схематическую модель задачи. Для ознакомления с составной арифметической задачей отводится специально два-три урока, на которых особое внимание уделяется всей системе операций, составляющих процесс решения составной арифметической задачи. По мнению М.А. Бантовой [1], первыми лучше включать задачи, при решении которых надо выполнить два различных арифметических действия: сложение и вычитание. При этом содержание задач должно позволить иллюстрировать их. Возникает вопрос: какой математической структуры задачи ввести первыми. М.А. Бантова считает, что начать надо с решения задач в два действия, включающих простые арифметические задачи на нахождение суммы и остатка. По её мнению, составная арифметическая задача такой математической структуры явно отличается от простой задачи, т.к. в её условии три числа, т.е. здесь обе простые задачи лежат как бы на поверхности. Это позволит детям быстрее осознать существенный признак составной задачи - её нельзя решить, выполнив одно арифметическое действие, содержание задачи помогает правильному установлению связей. В этом случае детям легче по задаче составить выражение. По мнению М.И. Моро начать надо с задач в два действия, которые включают простые задачи на уменьшение числа на несколько единиц и на нахождение суммы. Она считает, что при решении такой составной арифметической задачи дети быстрее, чем в задачах ранее указанной структуры, увидят, что её нельзя решить одним действием, чтобы ответить на вопрос задачи. На наш взгляд, выбор варианта существенного значения не имеет. Важно методически грамотно провести подготовительную ступень с учётом того варианта, который выбран. Первыми вводятся составные арифметические задачи, включающих в себя простые задачи на увеличение числа на несколько единиц и на нахождение суммы.. Выберем вариант, предложенный авторами учебника математики 1 класса. Например. На первой проволоке 7 шариков, а на второй – на 3 шарика больше, Сколько всего шариков на двух проволоках? Рассмотрим ознакомление с составной арифметической задачей данной структуры. Варианты работы учителя на этом этапе могут быть различными. Один из них - предложить задачу в готовом виде и выполнить под руководством и с помощью учителя все операции деятельности по ее решению. Учитель читает задачу: «На первой проволоке 7 шариков, а на второй – на 3 шарика больше. Сколько всего шариков на двух проволоках?». 48 Выясняется, что известно в задаче, что надо узнать. Затем выполняется краткая запись задачи. I проволока – 7 ш. ? ш. II проволока – ? ш., на 3 ш. б. - Повторим вопрос задачи. Начнём выполнять «схему размышления», как это мы делали раньше. (Учитель выполняет на доске.) - Посмотрите внимательно на краткую запись и подумайте, чтобы узнать, сколько всего шариков на двух проволоках, что для этого надо знать, посмотрите на краткую запись задачи? (Надо знать, сколько шариков на первой проволоке и сколько на второй.) Учитель продолжает выполнение «схемы». - А если бы мы знали, сколько шариков на первой проволоке и сколько на второй, то каким действием смогли бы узнать, сколько шариков на двух проволоках вместе? (Действием сложения. Отметим это в «схеме». - Подумайте, можем мы сразу узнать, сколько шариков на двух проволоках? (Нет.) - Почему? (Не знаем, сколько шариков на второй проволоке.) - Отмечаем это в «схеме». Ставим около слов «II проволока» вопросительный знак. - Что теперь нам надо узнавать, посмотрите на «схему». Где появился ещё один вопросительный знак? (Надо узнавать, сколько шариков на второй проволоке?) - Что нужно знать, чтобы узнать, сколько шариков на второй проволоке? (Надо знать, сколько шариков на первой проволоке и на сколько шариков больше на второй проволоке, чем на первой.) Учитель отмечает в «схеме». - Это мы можем узнать сразу? (Да.) - Каким действием? (Действием сложения.) Учитель ставит в «схеме» знак «+». - Посмотрите на «схему», сколько раз мы выполняли действие, чтобы ответить на вопрос задачи: «Сколько шариков на двух проволоках?» (Два раза.) - Вспомните, раньше для решения задач сколько действий выполняли? (Одно.) - Значит, есть задачи, в которых нельзя сразу, выполнив одно действие, ответить на её вопрос. Действий в решении этой задачи два. Нужно установить, в каком порядке будем их выполнять, составим план решения. - Что узнаем сначала? - Каким действием? (Учитель отмечает в схеме: ставит «1» над знаком «+» в «схеме»). - Что узнаем потом? - Каким действием? (Поступает аналогично.) Можно по ходу составления «схемы» над прямоугольниками писать числа, которые даны в задаче (когда «схема» будет выполняться самими детьми в тетрадях, числа, данные в задаче, постепенно записывать карандашом над прямоугольниками; это позволит при записи решения работать только со «схемой».). Схема приобретает вид: ? Всего 1 2 + I п.прпрпро волпровол ока 49 I II ? 1 + На 3 ш.б. - Запишем решение задачи выражением с полным пояснением (выражение составляется по ступенькам). 7+3 (ш.) - столько на второй проволоке, (7+3) +7 (ш.) - столько всего на двух проволоках, (7+3) +7=17 (ш.). Ответ: 17 шариков. После решения задачи подводится итог: что нового узнали при решении этой задачи? (Задачу не всегда можно решить, выполнив действие один раз.) Далее на этом и последующих уроках решаются аналогичные задачи с постепенным увеличением самостоятельности детей. Памятка может быть введена позднее. Методика её введения аналогична ознакомлению детей с памяткой по решению простой арифметической задачи (см. п.7). Постепенно вводятся задачи другой математической структуры (см. выше). Работа над задачами строится в соответствии с общими положениями (см. п.6). Предлагаемые задачи должны быть с разной структурой текста (стандартной и нестандартной.) В период ознакомления с составными задачами, как отмечает М.А. Бантова, очень важно добиться различения детьми простых и составных задач. С этой целью надо составные задачи перемежать с простыми арифметическими задачами, выясняя каждый раз, почему одна из них решается одним действием, а другая двумя; составные задачи преобразовывать в простые и обратно; включать задания на составление задач, аналогичных решённой; на составление задач по данному решению, по краткой записи; по «схеме размышления» и др. В дальнейшем решаются составные арифметические задачи, которые органически связываются с изучаемым материалом. По мере продвижения учащихся задачи усложняются: либо по линии включения новых связей, т.е. новых видов простых задач, либо по линии увеличения числа арифметических действий (1 класс задачи в два действия, 2,3 класс - преимущественно 2-3 действия, 4 класс - в 2-4 действия). Наряду с нетиповыми составными арифметическими задачами постепенно вводятся типовые арифметические задачи с пропорциональными величинами. Методика работы над ними будет рассмотрена в следующем параграфе. Необходимо отметить, что в новом учебнике сделана попытка дать план решения составной арифметической задачи. Однако выделенная система операций отличается от той системы операций, которая должна выполняться решающим задачу. Таким образом, с самого начала формируется деятельность по решению задачи, являющаяся дефектной. Это не может способствовать формированию полноценного умения решать составные арифметические задачи и обеспечить перенос сформированного умения на задачи новой математической структуры. § 9. Методика формирования умения решать составные арифметические задачи, связанные с пропорциональными величинами План 1. Методика формирования умения решать задачи на нахождение четвёртого пропорционального. 2. Методика формирования умения решать задачи на пропорциональное деление. 3. Методика формирования умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям. 4. Методика работы над задачами на движение. 50 В начальных классах рассматривается решение задач, связанных с пропорциональными величинами: задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестного по двум разностям. Кроме этого, специально рассматриваются задачи, связанные с движением. Решение этих задач основывается на знании связей между соответствующими величинами. 9.1. Задачи на нахождение четвёртого пропорционального В задачах этого типа даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной и одно из соответствующих значений другой переменной, а второе значение этой величины является искомым. Для любых трёх величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на нахождение четвёртого пропорционального. Рассмотрим на примере задач с величинами цена, количество, стоимость [1]. В таблице дана классификация задач на нахождение четвёртого пропорционального с величинами цена, количество, стоимость. Как видно из таблицы, первые четыре задачи с прямо пропорциональной зависимостью между величинами, а две последние - с обратно пропорциональной. В III классе рассматриваются преимущественно задачи с прямо пропорциональной зависимостью (I-IV виды), при этом рассматриваются задачи с такими группами величин: цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса; ёмкость одного сосуда, число сосудов, общая ёмкость; выработка в единицу времени, время работы, общая выработка; расход материи на одну вещь, число вещей, общий расход материи. В IV классе рассматривается решение всех шести видов задач, вводятся новые группы величин: скорость, время, расстояние; длина прямоугольника, его ширина и площадь; урожай с единицы площади, площадь, весь урожай. Таблица 1 Величины Задача Вид Цена Количество Стоимость зада чи I ПостоянДаны два Дано одно За 3 кг яблок заплатили ная значения значение, а 150 р. Сколько надо уплатить за другое 6 кг яблок по такой же цене? искомое II ПостоянДано одно Даны два За 6 кг яблок уплатили ная значение, значения 180р. Сколько килограммов другое яблок можно купить по такой является же цене на 150 р.? искомым III Даны два Постоянное Дано одно За кусок льняного полотна значения значение, а ценой по другое 20 р. за метр уплатили 80 р. является Сколько уплатили за кусок искомым шерсти такой же длины, если ее цена 40 р. за метр? IV Дано одно Постоянное Даны два За кусок шерсти ценой по 51 значение, другое является искомым значения V Даны два Дано одно Постоянная значения значение, а другое искомое VI Дано одно Даны два Постоянная значение, значения другое искомое 40 р. за метр уплатили 160 р., а за кусок льняного полотна такой же длины уплатили 80 р. По какой цене покупали льняное полотно? За 6 тетрадей в клетку ценой по 10 руб. уплатили столько же, сколько за тетради в линейку ценой по 12 р. Сколько купили тетрадей в линейку? За 5 тетрадей в линейку ценой по 12 р. уплатили столько же, сколько за 6 тетрадей в клетку. По какой цене покупали тетради в клетку? Основной способ решения задач на нахождение четвёртого пропорционального способ нахождения значения постоянной величины (название способа детям не сообщается). Некоторые задачи решаются способом отношений. Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвёртого пропорционального должна предусмотреть ознакомление с величинами и связями между ними. Ознакомление с рядом величин (длина отрезка, масса, ёмкость, время, площадь) ведётся в непосредственной связи с изучением арифметического и геометрического материала. Для введения задач на нахождение четвёртого пропорционального необходимо ознакомить детей с такими величинами, как цена, количество, стоимость, скорость и др. Причём ознакомление с ними должно вестись одновременно с раскрытием связей между пропорциональными величинами. Например, при ознакомлении с величинами цена, количество, стоимость можно провести на уроке игру в магазин или организовать экскурсию в магазин (см. [1], с. 226). На других уроках раскрываются связи: если известны стоимость и количество, то можно найти цену действием деления; если известны стоимость и цена, то можно найти количество действием деления и т.д. Для закрепления знания связей между величинами надо включать простые задачи для устного решения, при этом полезно выполнять упражнения на составление и решение обратных задач по отношению к данной простой задаче. Кроме того, для письменного решения следует предлагать составные задачи с теми же величинами, например: «Купили 5 тетрадей по 9 р. и ластик за 2 р. Сколько заплатили за всю покупку?». Аналогично проводится в IV классе работа ещё над двумя группами величин: скорость, время, расстояние и длина прямоугольника, его ширина, площадь. Связи между величинами из других групп, как считают методисты, учащиеся могут установить сами, поскольку они перенесут знания о связях, усвоенных ранее. М.А. Бантова [1] предлагает одновременно с закреплением знаний о связях между величинами в процессе решения простых, а затем составных задач, наблюдать за изменением одной из трёх величин в зависимости от изменения другой при неизменной третьей. Например, предлагается упражнение в решении ряда односюжетных задач: «Блокнот стоит 5 р. Сколько будут стоить 2 блокнота; 3 блокнота; 4 блокнота; 12 блокнотов; а блокнотов?». Решение целесообразно записать в таблице: 52 Цена блокнота 5 Число блокнотов 5 5 5 5 5 5 5 2 4 4 4 1 1 2 2 3 Стоимость блокнотов 1 10 15 20 5 а 12 6 60 5•а Прослеживая изменение величин, дети устанавливают: при увеличении или уменьшении числа блокнотов их стоимость увеличивается или уменьшается, если блокноты покупают по одной и той же цене. Можно пронаблюдать, что при увеличении (уменьшении) числа блокнотов в несколько раз при неизменной цене, стоимость блокнотов увеличивается (уменьшается) во столько же раз. После проведённой подготовительной работы решение задач на нахождение четвёртого пропорционального способом нахождения значения постоянной величины не вызывает затруднений у учащихся. Первыми включаются задачи с величинами: цена, количество, стоимость, поскольку дети имеют больший опыт оперировать этими величинами, причём сначала надо рассмотреть задачи первого вида. Первые из рассматриваемых задач, по мнению методистов, полезно иллюстрировать рисунком и выполнить краткую запись в виде таблицы. Приведём полное рассуждение ученика в процессе решения задачи на нахождение четвёртого пропорционального. Задача. Ученик купил по одинаковой цене 8 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. За тетради в клетку он уплатил 16р. Сколько он уплатил за тетради в линейку? Мне известно, что ученик купил по одинаковой цене 8 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. За тетради в клетку он заплати 16 р. Надо узнать, сколько заплатил ученик за тетради в линейку. Запишу задачу кратко (в виде таблицы): Объекты Т. в кл. Т. в лин. Цена Количество 8 т. 5 т. Одинаковая Стоимость 16 р. ? р. Затем выполняется разбор задачи либо от вопроса к числовым данным, либо от числовых данных к вопросу. Рассмотрим разбор задачи от числовых данных к вопросу. Если я знаю, что стоимость тетрадей в клетку - 16 р., их количество - 8 тетр., то могу узнать цену действием деления. Если я буду знать цену тетради в линейку (она такая же, что и цена тетради в клетку) и их количество - 5 тетрадей, то смогу узнать стоимость тетрадей в линейку действием умножения, и отвечу на вопрос задачи. Одновременно с устным выполнением разбора ученик может в таблице с краткой записью задачи фиксировать ход размышления (см. таблицу). 53 Составляю план решения: сначала действием деления узнаю цену тетради, затем действием умножения узнаю стоимость тетрадей в линейку. Запишу решение задачи по действиям с полным пояснением: 1. 16 : 8 = 2 (р.) - цена тетради, 2. 2 • 5 = 10 (р.) - стоимость тетрадей в линейку. Ответ: 10 рублей. (Отвечаю на вопрос задачи: стоимость тетрадей в линейку 10 рублей.) Проверка решения задач может быть выполнена способом составления и решения обратных задач, способом установления границ искомого числа и др. На основе анализа полного рассуждения ученика мы видим, что на этапе подготовки к решению задач данного типа ребёнок должен усвоить понятия о цене, количестве, стоимости и связях между ними, о чём и велась речь ранее. Ознакомление с задачей данного типа можно провести по-разному: можно предложить для решения готовую задачу или на основе предложенного рисунка составить самим детям задачу. Работа над задачей ведётся в соответствии с заданиями памятки по решению составной задачи. Решение первых задач следует записывать с пояснениями, затем по указанию учителя. Форма записи (по действиям, выражением по ступенькам, сразу выражением) также оговаривается учителем. В целях обобщения способа решения после рассмотрения нескольких задач первого вида с величинами цена, количество, стоимость вводятся задачи этого же вида с другими величинами, а затем предлагаются задачи других видов. Проводятся также различные упражнения творческого характера. Особенно полезны упражнения по сравнению задач различных видов, связанных с одной какой-либо группой величин. Например, предлагаются для самостоятельного решения задачи I, III и V видов с величинами цена, количество, стоимость. После решения устанавливают сходство и различие между ними. 9.2. Задачи на пропорциональное деление В задачах этого типа даны три величины, связанные прямо или обратно пропорциональной зависимостью, из них две переменные и одна постоянная, при этом даны два значения одной переменной и сумма соответствующих значений другой переменной, слагаемые этой суммы являются искомыми. Для любых трёх величин, связанных пропорциональной зависимостью, можно составить шесть видов задач на пропорциональное деление, четыре из которых с прямо пропорциональной зависимостью величин, а две с обратно пропорциональной зависимостью. В начальных классах предусмотрено программой решение задач на пропорциональное деление только с прямо пропорциональной зависимостью величин, причём только способом нахождения значения постоянной величины [1]. Рассмотрим на примере задач с величинами цена, количество, стоимость. Задача. Купили по одинаковой цене 5 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку. За всю покупку заплатили 91 руб. Сколько стоят тетради в клетку и тетради в линейку в отдельности? Полное рассуждение ученика (от числовых данных к вопросу). 1. Мне известно, что купили по одинаковой цене 5 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку. За всю покупку заплатили 91 руб. 2. Надо узнать, сколько заплатили за тетради в клетку и сколько за тетради в линейку. 3. Выполню краткую запись в виде таблицы: 54 Объекты Тетр.в кл. Тетр.в лин. Цена Количество 5 тетр. 8 тетр. Одинаковая Стоимость ? р. ? р. 91 р. Таблица 2 Вид задач Величины I Цена Постоян-ная Количество Даны два или более значений. Стоимость Дана сумма значений, соответст. количеству. Найти слагаемые. II Постоян-ная Дана сумма Даны два или значений, более значений. соответст. стоимости. Найти слагаемые. III Даны два Постоянная или более значений. Дана сумма значений, соответст. стоимости. Найти слагаемые. IV Дана сумма Постоянная значений, соответст. цене. Найти слагаемые. Даны значения. 55 Задача За 3 кг яблок и 6 кг груш заплатили 90 р. Сколько заплатили за яблоки и груши в отдельности, если купили их по одинаковой цене? За 9 кг фруктов уплатили 90 р. Сколько килограммов яблок и груш в отдельности купили, если покупали их по одинаковой цене и за яблоки заплатили 30 р., а за груши – 60 р.? В магазине купили одинаковое количество ручек и карандашей. Ручка стоила 4 р., карандаш 2 р. За всю покупку заплатили 60 р. Сколько стоили все ручки и карандаши в отдельности? два Купили одинаковое количество ручек и карандашей. Карандаш с ручкой стоили 6 р. За все ручки заплатили 40 р., за все карандаши 20 р. Сколько стоили карандаш и ручка в отдельности? 4. Знаю, что купили 5 тетрадей в клетку и 8 тетрадей в линейку. 5. Могу узнать, сколько всего тетрадей купили. 6. Действием сложения. 4а. Знаю, стоимость всех тетрадей, и буду знать, сколько всего тетрадей купили, т.е. их общее количество. 5а. Могу узнать, цену тетради. 6а. Действием деления. 4б-6б. Зная цену тетради и количество тетрадей в клетку, могу узнать их стоимость действием умножения. 4в-6в. Зная цену тетради и количество тетрадей в линейку, могу найти их стоимость действием умножения. 7. Составляю план решения: сначала действием сложения узнаю общее количество тетрадей; потом действием деления узнаю цену тетради; затем действием умножения узнаю стоимость тетрадей в клетку и затем в линейку и отвечу на вопрос задачи. 8. Записываю решение задачи по действиям с полным пояснением: 1) 5+8=13 (тетр.) - столько всего тетрадей купили; 2) 91:13=7 (р.) - цена тетради; 3) 7•5=35(р.) - стоимость тетрадей в клетку; 4) 7•8=56 (р.) - стоимость тетрадей в линейку. 9. Ответ: 35 р. и 56 р. Выполним операции 4-6 при разборе задачи от вопроса к числовым данным: 4) Чтобы узнать, стоимость тетрадей в клетку (линейку), надо знать цену тетради и количество тетрадей. 5) Если я буду знать цену и количество тетрадей, то смогу узнать стоимость действием умножения. 6) Сразу узнать стоимость тетрадей в клетку (линейку) я не могу, потому что не знаю цену тетради. 4а) Чтобы узнать цену тетради, нужно знать общее количество тетрадей и их стоимость. 5а) Если я буду знать общую стоимость тетрадей и их количество, то смогу узнать цену действием деления. 6а) Сразу узнать цену тетради я не могу, потому что не знаю общее количество. 4б) Чтобы узнать общее количество тетрадей, нужно знать количество тетрадей в клетку и количество тетрадей в линейку, которые купили. 5б) Если я буду знать количество купленных тетрадей в клетку и в линейку, то смогу узнать общее количество тетрадей действием сложения. 6б) Это я могу узнать сразу, потому что знаю, что тетрадей в клетку было 5, а в линейку 8. 7. Составляю план решения (см. выше). При разборе от вопроса к числовым данным целесообразно выполнять «схему размышления», которая в данном случае будет иметь следующий вид: ? Стоимость кл. 3 • Цена К-во кл. :: Общ.стоим. 2 : К-во кл. Общ. к-во + ? 1 К-во лин. 56 ? На основе анализа полного рассуждения ученика в процессе решения задачи на пропорциональное деление мы видим, что на этапе подготовки к введению задач данного вида необходимо, чтобы ученик усвоил: 1) знание связи между величинами цена, количество, стоимость; 2) систему операций, которая выполняется при решении составной арифметической задачи; 3) знание о задаче и её структуре; 4) выполнение краткой записи в виде таблицы. Всё это возможно сделать при решении задач на нахождение четвёртого пропорционального, которые вводятся в третьем классе и продолжают решаться в четвёртом классе. Таким образом, успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться сформированностью умения решать задачи на нахождение четвёртого пропорционального. В связи с этим в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач с величинами цена, количество, стоимость на нахождение четвёртого пропорционального. Причём, при решении задач нужно акцентировать внимание на связях между величинами: чтобы найти цену..., нужно стоимость... разделить на количество...; чтобы найти стоимость..., нужно цену... умножить на количество...; на правильном выполнении иллюстрации задачи. Ознакомление с задачами данного типа можно провести по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить её, преобразовав задачу на нахождение четвёртого пропорционального. Рассмотрим второй вариант: дети составляют задачу на нахождение четвёртого пропорционального. Например: «Купили по одинаковой цене 5 тетрадей в клетку и заплатили 35 р. Сколько будут стоить 8 тетрадей в линейку, купленных по той же цене?» На доске после составления задачи выполняется краткая запись: Объекты Тетр. в кл. Тетр. в лин. Цена Количество 5 тетр. 8 тетр. Одинаковая Стоимость 35 р. ? р. Задача решается детьми устно. Учитель записывает полученное число в таблице вместо вопросительного знака и предлагает найти сумму чисел, обозначающих стоимость тетрадей. Выясняется, что 91 р. уплатили за все тетради. В краткую запись вносятся изменения: Объекты Тетр. в кл. Тетр. в лин. Цена Количество 5 тетр. 8 тетр. Одинаковая 57 Стоимость ? р. ? р. 91 р. Ученики составляют задачу по этой краткой записи и отмечают, что такие задачи они ещё не решали. Формулируется учебная задача: «Найти способ решения таких задач». Учитель предлагает детям самостоятельно решить задачу. Если одному будет трудно, попытаться поработать над поиском способа решения с соседом или с группой. После того, как способ решения будет найден, проводиться защита проектов: решений задач (рассуждение ведётся в соответствии с заданиями памятки). Надо пояснить, что два вопроса в таких задачах заменяют одним вопросом со словом «каждый», например: «Сколько стоили тетради каждого вида?». Важно подчеркнуть, что здесь два вопроса и при решении будет в ответе два числа. Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных детьми и учителем, включающих различные группы величин, после выделения данных и искомого, сначала надо установить, о каких величинах идёт речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос на два вопроса, если в нём есть слово каждый. Решение, как правило, выполняется самостоятельно, разбор ведётся только с отдельными учениками. Вместо краткой записи можно выполнить чертёж. Например: 5 т. ? р. 91р. 7 т. ? р. На этапе закрепления умения решать задачи данного типа, по мнению М.А. Бантовой, и с ней нельзя не согласиться, не следует каждый раз выполнять иллюстрацию. Если ученик, прочитав задачу, знает, как её решать, то пусть её решает, предварительно составив план её решения. Краткой записью или чертежом воспользуются только те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путём введения дополнительных данных (например: «В первом куске было 16 м материи, а во втором в два раза меньше...») или постановкой вопроса (например: «На сколько больше заплатили за второй кусок, чем за первый?»). Обобщению умения решать задачи рассмотренного вида помогают задания творческого характера. Назовём некоторые из них. До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее или меньшее число и почему, а после решения проверить, соответствуют ли этому виду полученные числа, что является одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли в ответе получить одинаковые числа и при каких условиях. Полезны задания на составление задач учащимися с последующим их решением, а также задания по преобразованию задач. Это составление задач, аналогичных решённой задаче, составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, составление и решение задач по краткой схематической записи и др. Работа по ознакомлению с задачами на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти 58 задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь - деление). Однако сходство задач приводит и к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений. Приведём пару таких задач: 1) В магазин в первый день привезли 3 одинаковых мешка картофеля, а во второй - 5 таких же мешков. Всего за эти два дня привезли 560 кг картофеля. Сколько килограммов картофеля привезли в каждый день? 2) В магазин за два дня привезли 8 одинаковых мешков картофеля. В первую неделю привезли 210 кг картофеля, а во второй 350 кг. Сколько мешков картофеля привезли в каждую неделю? Записав каждую задачу кратко, ученики установят, в чём их сходство и в чём различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений этих задач (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем различие (в первой задаче два последних действия - умножение, а во второй - деление). Для обобщения способа решения задач данного типа детям в дальнейшем предлагаются сначала задачи первого вида, но с другими величинами, затем вводятся задачи II вида, несколько позднее задачи III и IV видов. Так же, как и при работе над задачами первого вида, следует предлагать детям задания творческого характер на составление и преобразование задач. 9.3. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям включают две переменные и одну или несколько постоянных величин, причём даны два значения одной переменной и разность соответствующих значений другой переменной, а сами значения этой переменной являются искомыми. По отношению к каждой тройке величин, находящихся в пропорциональной зависимости, можно выделить шесть видов задач на нахождение неизвестных по двум разностям [1]. Таблица 3 Вид задач и I Величины Цена Постоянная Количество Стоимость Даны два Дана разность значения. значений, соответст. количеству. Найти каждое значение. 59 Задача Купили по одинаковой цене 5 м шелка и 3 м полотна. За шелк заплатили на 240 р. больше, чем за полотно. Сколько заплатили за шелк и полотно в отдельности? Постоян II ная Дана Даны разность два значения. значений, соответст. стоимости. Найти каждое значение. Купили по одинаковой цене шелк и полотно. За шелк заплатили 600 р., за полотно 360 р. Шелка было на 2 м больше, чем полотна. Сколько купили метров шелка и полотна в отдельности? Задача. Купили по одинаковой цене 14 м полотна и 10 м шерсти. За всё полотно уплатили на 280 р. больше, чем за всю шерсть. Сколько заплатили за полотно и шерсть в отдельности? Задачи этого типа представляют определённую трудность для детей в связи с тем, что стоимость и количество заданы в виде разностей: купили больше и заплатили больше. В связи с этим работу над задачами данного типа нужно построить так, чтобы дети осознали, что (на примере данной задачи) за полотно, купленное сверх 10 м заплатили 280 р. В связи с этим до формального разбора при поиске решения задачи на этапе ознакомления целесообразно выполнить разбор по существу, позволяющий развязать этот «трудный узел» задачи. Приведём полное рассуждение ученика при решении задачи данного типа, но прежде выполним разбор по существу, который осуществляется по вопросам учителя. После выделения условия, требования задачи и выполнения краткой записи задачи в виде таблицы, учитель ставит вопросы: Объекты задачи Полотно Шерсть Цена Количество 14 м 10 м Одинаковая Стоимость ? р., на 280 р. б. ? р. - За какое количество полотна уплатили столько же, сколько за всю шерсть? ( За 10 м.) Сколько уплатили за полотно, купленное сверх 10 м? (280 р.) - Если мы будем знать количество полотна, купленного сверх 10м и знаем его стоимость, то, что сможем узнать по этим данным? (Цену 1 м полотна или шерсти.) Далее выполняется формальный разбор от числовых данных. 4) Знаю, что купили 14 м полотна и 10м шерсти. 5) Могу узнать, сколько полотна купили за 280 р. 6) Действием вычитания. 4а) Знаю стоимость полотна (280 р.) и буду знать количество, за которое уплатили 280 р. 5а) Могу узнать цену полотна. 6а) Действием деления. 4б) Буду знать цену полотна и знаю его количество. 5б) Могу узнать стоимость полотна. 6б) Действием умножения. 60 4в) Буду знать стоимость полотна и знаю, что за полотно заплатили на 280 р. больше, чем за шерсть. Значит, за шерсть заплатили на 280 р. меньше. 5в) Могу узнать стоимость шерсти. 6в) Действием вычитания. 7. Составляю план решения: сначала действием вычитания узнаю, за какое количество полотна уплатили 280 р., затем действием деления узнаю цену полотна или шерсти, потом действием умножения узнаю стоимость полотна, затем действием вычитания узнаю стоимость шерсти. 8. Запишу решение по действиям с полным пояснением: 1) 14-10=4(м)- за столько полотна заплатили 280 р.; 2) 280:4=70(р.) - цена полотна (шерсти); 3) 70•14=980(р.) - стоимость полотна; 4) 980-280=700 (р.) - стоимость шерсти. Ответ: 980 р. и 700 р. На основе анализа содержания задачи и деятельности по её решению можно увидеть, что необходимые знания, умения и навыки у детей уже сформированы (знания связи между величинами цена, количество, стоимость и умение находить одну из них по двум значениям других величин) в процессе решения задач на нахождение четвёртого пропорционального и на пропорциональное деление. Однако в задачах данного типа дано не значение одной из переменных величин, а разность двух её значений, что и составляет проблему задачи (нужно найти цену, имея не значения стоимости и количества, а значения разности стоимостей и разности количеств). В связи с этим на подготовительном этапе к введению задач данного типа необходимо предусмотреть специальные задания, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи: 1) Ученик купил по одинаковой цене 9 тетрадей в клетку и 5 тетрадей в линейку. Каких тетрадей ученик купил больше? За какие тетради он уплатил денег больше? 2) Ученик купил по одинаковой цене тетрадей в клетку на 4 больше, чем тетрадей в линейку, и уплатил за них на 16 р. больше, чем за тетради в линейку. Сколько стоила одна тетрадь? К первой задаче ученики выполняют чертёж, затем отвечают на поставленные вопросы (Ученик купил тетрадей в клетку на 4 тетради больше, чем в линейку; за тетради в клетку он уплатил больше, потому что он купил их больше, а цена одинаковая.). Далее выясняется, за сколько тетрадей в клетку он уплатил столько же, сколько за все тетради в линейку. К. Л. 9 т. 5 т. Учитель предлагает прочитать вторую задачу и, обращаясь к тому же чертежу, проводит беседу: - Как вы понимаете выражение «тетрадей в клетку купил на 4 больше, чем тетрадей в линейку»(тетрадей в клетку столько же, сколько в линейку и ещё 4). Покажите это на чертеже. - Что значит «уплатил за тетради в клетку на 16 р. больше»? (Уплатил за тетради в клетку столько же, сколько за тетради в линейку, и ещё 16 р.) Покажите это на чертеже. - За сколько тетрадей ученик уплатил 16 р.? (За 4 тетради.) - Значением какой величины является 16 р.? (16 р, - значение стоимости.) - Значением какой величины является 4 т.? (4 тетради - значение количества.) 61 - Значит, нам известны значения двух величин - стоимости и количества - и знаем, что цена одинаковая. Что можно найти по этим данным? (Цену.) Каким действием? Учитель может предложить аналогичные задания из учебника, а также составленные им с другими величинами. Ознакомление с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить разными путями: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав её из задачи на нахождение четвёртого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и другом случае работа над задачей ведётся по одному и тому же плану: выделение условия, требования задачи, её иллюстрации в виде краткой записи (в виде таблицы) и чертежа, затем разбор по существу, формальный разбор и т.д. (см. выше). На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать задания аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида по аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решений. Полезно также выполнить задания по сравнению задач на пропорциональное деление и задач с соответствующими величинами на нахождение неизвестных по двум разностям. 9.4. Задачи, связанные с движением Задачи, связанные с движением, т.е. задачи с величинами скорость, время, расстояние, рассматриваются в IV классе [1]. Анализ содержания составных арифметических задач на движение и процесса их решения позволил увидеть, что подготовительная работа к решению задач, связанных с движением, предусматривает обобщение представлений детей о движении, знакомство с новой величиной - скоростью, раскрытие связей между величинами скорость, время, расстояние. С целью обобщения представлений детей о движении М.А. Бантова [1] считает целесообразным провести специальную экскурсию по наблюдению за движением транспорта, после чего осуществить наблюдение в условиях класса, где движение будут демонстрировать сами дети. Выполняя различные задания, дети подводятся к осознанию того, что скорость - это расстояние, которое проходит какое-либо тело за единицу времени, и что скорости различных тел отличаются. Наблюдая за движением в условиях класса, детям показывается, как выполняют чертежи: расстояние обозначается отрезком; место отправления, встречи, прибытия - точкой или чёрточкой; направление движения - стрелкой. Раскрытие связей между величинами скорость, время, расстояние ведётся по той же методике, как и раскрытие связей между другими пропорциональными величинами. В результате этой работы дети должны усвоить такие связи: если известны расстояние и время движения, то можно найти скорость действием деления; если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние действием умножения; если известны расстояние и скорость, то можно найти время действием деления. Затем, опираясь на эти знания, дети будут решать составные арифметические задачи, в том числе задачи на нахождение четвёртого пропорционального, на пропорциональное деление, на нахождение неизвестных по двум разностям с величинами скорость, время, расстояние. Основным видом иллюстрации при поиске решения задач с данными величинами, по мнению М.А. Бантовой, должен быть чертёж, так как он помогает наиболее наглядно представить жизненную ситуацию, отражённую в задаче и установить связи между данными и искомым. На наш взгляд, в качестве иллюстрации содержания задачи, наряду с чертежом, можно использовать 62 краткую запись в виде таблицы, т.к. она позволяет увидеть связи между данными и искомым. Методика работы на этапе закрепления умения решать задачи с данными величинами строится аналогично ранее рассмотренным составным задачам. В особую группу выделяются задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях (правильнее бы их было называть так: задачи на движение в противоположных направлениях в случае сближения и в случае удаления движущихся тел), которые также решаются в IV классе. Каждая из этих задач имеет три вида в зависимости от данных и искомого. I вид: даны скорость каждого из тел и время движения, искомое - расстояние. II вид: даны скорость каждого из тел и расстояние, искомое - время движения. III вид: даны расстояние, время движения и скорость одного из тел, искомое - скорость другого тела. На подготовительном этапе к введению задач на встречное движение необходимо сформировать представление об одновременном движении двух тел: если два тела вышли одновременно навстречу друг другу, то до встречи они будут находиться в пути одинаковое время и при этом пройдут всё расстояние между пунктами, из которых вышли. С этой целью детям могут быть предложены следующие задания: 1) Из двух городов навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через 4 часа. Сколько времени был в пути каждый поезд? 2) Из села в город вышел пешеход и в это время из города навстречу ему выехал велосипедист, который встретил пешехода через 25 мин. Сколько времени был в пути до встречи пешеход? При ознакомлении с решением задач на встречное движение методисты считают целесообразным ввести на одном уроке все три вида задач, получая новые задачи путём преобразования данной в обратные. Такой приём, по их мнению, позволяет детям самостоятельно найти решение преобразованных задач. Рассмотрим методику работы над конкретной задачей, предложенную М.А.Бантовой [1]. Учитель читает задачу: «Из двух посёлков навстречу друг другу одновременно выехали два велосипедиста и встретились через 2 ч. Один ехал со скоростью 15 км в час, а второй со скоростью 18 км в час. Найти расстояние между посёлками». Выделяются данные, искомое. Затем под руководством учителя выполняется иллюстрация. - Построим отрезок. - Пусть это будет посёлок, из которого выехал первый велосипедист. (Обозначает римской цифрой «I».) А это посёлок, из которого выехал второй велосипедист. (Обозначает римской цифрой «II».) Обозначим направление и скорость каждого велосипедиста. Сколько времени был в пути каждый из них? (Обозначает на чертеже.) Обозначим место встречи. Вспомним, что нужно узнать? Обозначим расстояние вопросительным знаком. На доске получается следующая иллюстрация: 15 км/ч 18 км/ч I II ? км Двое из вас будут велосипедистами. С какой скоростью ехал первый велосипедист? (15 км в час.) Это твоя скорость. (Даёт карточку, на которой написано число 15.) C какой скоростью ехал второй велосипедист? (18 км в час.) Это твоя 63 скорость. (Даёт карточку с числом 18 второму ученику.) Сколько времени они будут двигаться до встречи? Начинайте двигаться. Прошёл час. (Дети ставят карточки на наборное полотно.) Расстояние, на которое сближаются велосипедисты за единицу времени, называют скоростью сближения. Насколько сблизились два велосипедиста за 1 час, скажите, не вычисляя. (За 1 час велосипедисты сблизились на 15 + 18 километров.) Прошёл второй час. (Дети ставят карточки.) Встретились ли велосипедисты? Почему? (Шли до встречи два часа.) 15 км/ч 18 км/ч I II 15 15 18 ? км 18 - Посмотрите внимательно на иллюстрацию задачи и попробуйте составить план её решения. Проговорите его соседу. Запишите вместе решение задачи по действиям с пояснениями на листах, которые я дала на каждую парту. Затем предложенные решения-проекты защищаются. Возможны два способа решения задачи. Первый способ: 1) 15•2=30 (км) - столько проехал первый велосипедист; 2) 18•2=36 (км)- столько проехал второй велосипедист; 3) 30 + 36 = 66 (км) - расстояние между посёлками. Ответ: 66 км. Второй способ: 1) 15 + 18 = 33 (км) - скорость сближения; 2) 33 • 2 = 66 (км) - расстояние между посёлками. Ответ: 66 км. Если дети не найдут второй способ решения, надо вновь проиллюстрировать: прошёл час - что произошло в расстоянии между велосипедистами? (Сблизились на 33 км.) Прошёл ещё час - ещё сблизились на 33 км, т.е. велосипедисты проехали два раза по 33 км. Затем учитель изменяет текст задачи, используя такой же чертёж: ?ч 15 км/ч 18 км/ч I II 66 км По чертежу коллективно составляется задача, затем решается. Решение записывается по действиям с пояснениями (аналогично предыдущей). Затем текст задачи изменяется ещё раз. 2ч 15 км/ч ? км/ч I II 66 км Работа ведётся так же, как при решении предыдущих задач. На последующих уроках для обобщения способа решения включаются готовые задачи на встречное движение, при этом дети сами выполняют чертёж, выясняя предварительно, ближе к 64 какому пункту произойдёт встреча. Как и при решении задач других типов следует выполнять различные творческие задания (см. п.6). Аналогичным образом ведётся работа над задачами на движение в противоположных направлениях. § 10. Организация контроля над самостоятельной работой студентов при изучении темы « Формирование у младших школьников умения решать арифметические задачи» Вопросы к экзамену 1. Функции арифметических задач в обучении математике младших школьников. 2. Понятие арифметической задачи, её структура. 3. Классификация арифметических задач, решаемых в начальных классах. 4. Анализ процесса решения простых и составных арифметических задач. 5. Качество полноценного умения решать арифметические задачи. 6. Ступени в формировании умения решать арифметические задачи и содержание работы на каждой из них. 7. Методика работы над отдельной задачей. 8. Различные виды иллюстраций, используемых в начальных классах при поиске решения арифметической задачи. 9. Виды разбора арифметической задачи, используемого при поиске её решения. 10. Различные формы записи решения арифметической задачи. 11. Методика работы на ступени закрепления умения решать арифметические задачи данного вида (типа). 12. Различные способы проверки правильности решения арифметической задачи. 13. Простые арифметические задачи на сложение и вычитание, решаемые в начальных классах. Задачи, время, порядок их введения; оснащение учебного процесса. 14. Простые арифметические задачи на умножение и деление, решаемые в начальных классах. Задачи, время, порядок их введения; оснащение учебного процесса. 15. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождение суммы, остатка. 16. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождение неизвестных слагаемого, уменьшаемого и вычитаемого. 17. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (прямая и косвенная формы). 18. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на разностное сравнение. 19. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождение произведения. 20. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на деление по содержанию и на равные части. 21. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и кратное сравнение. 22. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи с помощью составления уравнений. 23. Методика подготовительной работы и ознакомление с первыми составными задачами. Различные подходы к их введению. 24. Методика формирования умения решать составные арифметические задачи на нахождение четвертого пропорционального. 25. Методика формирования умения решать составные арифметические задачи на пропорциональное деление. 65 26. Методика формирования умения решать составные нахождение неизвестного по двум разностям. 27. Методика формирования умения решать простые величинами скорость, время, расстояние. 28. Методика формирования умения решать составные встречное движение. 29. Методика формирования умения решать составные движение в противоположных направлениях. арифметические задачи на арифметические задачи с арифметические задачи на арифметические задачи на Семестровые задания(представляются к летней сессии, 6 семестр) 1. Составить следующую таблицу по простым арифметическим задачам: Вид задачи Задача Теор. основа выбора арифметич. действия Полное рассуждение ученика в процессе решения задачи Краткое рассуждение ученика в процессе решения задачи 2. Составить таблицу по составным типовым арифметическим задачам: Полное рассуждение ученика в процессе Тип задачи Задача решения задачи 3. Разработать конспект урока по ознакомлению с задачей нового вида (типа). 4. Составить фрагмент урока по работе над решенной задачей. ЛИТЕРАТУРА 1. Бантова, М.А. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст] / М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова.- М.: Просвещение, 1984. –336 с. 2. Бантова, М.А. Анализ процесса решения простых арифметических задач [Текст] /М.А. Бантова// Педагогика и методика начального образования. ХХХ Герценовские чтения. Научные доклады /М.А. Бантова. Л., 1977. С. 34 - 37. 3.Бантова М.А. Методика формирования знаний конкретного смысла арифметических действий /М.А. Бантова// Начальная школа. - 1979. - N 1.- С. 51- 58. 4.Дрозд, В.Л. Методика начального обучения математике[Текст] / В.Л. Дрозд, А.А. Столяр. - Минск: Высшая школа, 1988. – 238 с. 5. Истомина, Н.Б. Методика преподавания математики в начальных классах [Текст] / Н.Б. Истомина.- М.: Линка - Пресс, 1990. – 321 с. 6.Математика: Учебник для 1 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 1 / М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова. - М.: Просвещение, 2003.- 111 с. 7.Математика. Учебник для 1 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 2./ М.И. Моро, С.И. Волкова, С.В. Степанова - М.: Просвещение, 2003.- 95 с. 8.Математика: Учебник для 2 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 1 / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003. –79 с. 66 9. Математика: Учебник для 2 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 2 / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003. – 95 с. 10. Математика: Учебник для 3 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 1 / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003. – 103 с. 11. Математика: Учебник для 3 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 2 / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003. – 103 с. 12. Математика: Учебник для 4 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 1 / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003. - 111 с. 13. Математика: Учебник для 4 класса четырёхлетней начальной школы. Часть 2 / М.И. Моро, М.А. Бантова и др.- М.: Просвещение, 2003. - 111 с. 14. Моро, М.И. Методика обучения математике в I - III классах: Пособие для учителя[Текст] / М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М.: Просвещение, 1978. - 336 с. 15. Оконь, В. Процесс обучения [Текст] /В. Оконь. - М.: Госучпедгиз.-1962. - 70 с. 16. Салмина Н.Г. Обучению общему подходу к решению задач[Текст] / Н.Г. Салмина, В.П. Сохина //Вопросы психологии. – 1981. - N 4. - С. 151 - 155. 17. Петерсон, Л.Г. Методические рекомендации. Математика, 1 класс: Пособие для учителей [Текст] / Л.Г. Петерсон. - М.: БАЛАСС. С-инфо,1996. 18. Программно – методические материалы. Математика. Начальная школа[Текст]. М.: Дрофа, 2000. – 185 с. 19. Фаустова, Н.П. Формирование учебных умений у младших школьников. Монография [Текст] / Н.П. Фаустова. - М.: Прометей, 1998. - 127 с. 20. Фаустова, Н.П. Формирование интеллектуальных умений у младших школьников. Монография [Текст] / Н.П. Фаустова, Т.В. Меркулова. - М.: МПГУ, 2003. - 168 с. 21. Фаустова, Н.П. Методика обучения математике младших школьников (вопросы частной методики) [Текст] / Н.П. Фаустова, Т.В. Меркулова. – М.: МПГУ, 2007. – 312 с. 22. Фридман, Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе [Текст] /Л.М. Фридман. - М.: Просвещение, 1983. - 158 с. 23. Царёва, С.Е. Проверка решения задачи и формирование самоконтроля учащихся[Текст] / С.Е. Царёва // Начальная школа. - 1984. –N8.- С. 31-35. 24. Эрдниев, П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе [Текст] /П.М. Эрдниев.- М.: Педагогика, 1988. – 235 с. 25. Статьи в журналах «Начальная школа», «Начальная школа: плюс, минус», «Феникс», газете «Первое сентября». СОДЕРЖАНИЕ Формирование у младших школьников умения решать арифметические задачи….………………................................................... 3 §1. Функции арифметических задач в обучении математике младших школьников….……………………………………………………………….. 3 §2. Понятие арифметической задачи. Её структура…………………… 5 67 §3. О классификации арифметических задач, решаемых в начальных классах…….………………………………………......................................... §4. Анализ процесса решения задачи……..…………………………… §5. Свойства полноценного умения решать арифметические задачи….…………………………………………………….…………… §6. Общие вопросы методики формирования умения решать арифметические задачи…..……………………………….………………. §7. Методика обучения решению простых арифметических задач…………………………………………………………….................... 7.1. Время, порядок, задачи изучения темы…………………................. 7.2. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождение суммы и остатка……………. 7.3. Задачи на нахождение неизвестных уменьшаемого, вычитаемого, слагаемого……………………….………………………………………… 7.4. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на нахождения произведения, деление по содержанию на равные части………………………………………….…. 7.5. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и разностное сравнение………………………….. 7.6. Методика формирования умения решать простые арифметические задачи на увеличение (уменьшение) числа в несколько раз и кратное сравнение чисел……………………………... §8. Методика введения первых составных задач.………………………. §9. Методика формирования умения решать составные арифметические задачи, связанные с пропорциональными величинами……………………………………………………………….. 9.1. Задачи на нахождение четвёртого пропорционального.................... 9.2. Задачи на пропорциональное деление………………………........... 9.3. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям………… 9.4. Задачи, связанные с движением…………………………............... §10. Организация контроля над самостоятельной работой студентов при изучении темы «Формирование у младших школьников умения решать арифметические задачи»………………………………………... Литература……………………………………………………...................... 68 6 7 9 10 28 28 31 38 41 45 53 60 67 67 72 78 82 85 87 Учебное издание Нинель Павловна Фаустова Татьяна Владимировна Меркулова МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ ( вопросы частной методики, часть 2) Учебное пособие Технический редактор - И. П. Безногих Техническое исполнение - В. Н. Бутов Переплет и обложка выполнены в МУП "Типография" г. Ельца Лицензия на издательскую деятельность ИД №06146. Дата выдачи 26.10.01. Формат 60 х 84 /16. Гарнитура Times. Печать трафаретная. Усл.-печ.л. 3,15 Уч.-изд л. 3,5 Тираж 500 экз. Заказ 169 Отпечатано с готового оригинал-макета на участке оперативной полиграфии Елецкого государственного университета им. И. А. Бунина Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина» 399770. г. Елец, ул. Коммунаров, 28 69
