02.03.2021 Тригонометрическая форма записи комплексного числа 10 класс Определение 1: Модулем комплексного числа z = a + a 2 b2 bi называют число . 2 2 z a b Обозначают: Геометрически модуль комплексного числа z = a + bi – это расстояние от точки координатной плоскости, соответствующей числу z, до начала координат. Пример 1: Найдите модуль комплексного числа: а) 21 – 20i б) 10 в) i(i – 1) г) i 1 i i Если z = a + 0 · i = а – действительное число, то z a 2 02 a 2 a То есть для действительных чисел введенное понятие модуля совпадает с ранее изученным. Совпадают и свойства модуля: они такие же, как и для действительных чисел. Наиболее важное свойство: Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел. z1 z 2 z1 z 2 Приведем еще некоторые свойства модуля: 1) z 0; z 0 z 0. 2) z z . 3) z z . 1 z 4) z z z или 2 . z z 2 z1 z1 5) . z2 z2 6) z z , n N . n n 7) z1 z 2 z1 z 2 . Модуль комплексного числа равен 1 тогда и только тогда, когда соответствующая ему точка координатной плоскости лежит на числовой окружности. Действительно, и равенство x yi 1 , и принадлежность точки (x; y) числовой окружности на координатной плоскости по определению означают, что x y 1. 2 2 Как же записывают точки числовой окружности в виде комплексных чисел? Если комплексное число z лежит на числовой окружности, то z cos i sin для некоторого действительного числа α; если z cos i sin , то z лежит на числовой окружности. Если комплексное число z лежит на единичной 1 1 окружности, то z . Обратно, если z , то z лежит z z на единичной окружности. Определение 2: Тригонометрической формой записи отличного от нуля комплексного числа z называют его запись в виде z cos i sin , где ρ – положительное действительное число. Всякое отличное от нуля комплексное число z может быть записано в виде z z cos i sin , где α – некоторое действительное число. Если z cos i sin запись числа z, то z и - другая тригонометрическая 2n, n Z . Итак, в тригонометрической форме записи z cos i sin число ρ определено однозначно: z , а вот число α (в силу периодичности косинуса и синуса) не однозначно (обычно говорят «с точностью до 2πn»). Например, 1 cos i sin cos i sin( ) cos 3 i sin 3 cos(3 ) i sin( 3 ) cos 2n i sin( 2n) 5 5 3 3 i cos i sin cos i sin cos i sin 2 2 2 2 2 2 cos 2n i sin 2n 2 2 1 3 2 2 4 4 i cos i sin cos i sin 2 2 3 3 3 3 2 2 cos 2n i sin 2n 3 3 Чтобы избежать неопределенности, математики договорились выбирать число α , принадлежащее какому-нибудь фиксированному промежутку длины 2π, обычно это полуинтервал (– π; π]. Определение 3: Аргументом отличного от нуля комплексного числа z называют действительное число α такое, что: а) ; ; б ) z z cos i sin . Обозначение: arg z. Геометрически: Множество всех комплексных чисел с одним и тем же модулем R – это окружность радиуса R с центром в начале координат; Множество всех комплексных чисел с фиксированным аргументом α – это открытый луч, выходящий из начала координат и наклоненный под углом α к положительному направлению оси абсцисс. Любой такой луч пересекается с любой такой окружностью в единственной точке. Поэтому, зная модуль и аргумент комплексного числа, мы однозначно можем определить само число. Два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их модули и равны их аргументы. Если z1 1 cos i sin и z2 2 cos i sin , то а) z1 z2 12 cos i sin ; z1 1 cos i sin . б) z2 2 а) При умножении комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются. б) При делении комплексных чисел модули делятся, а аргументы вычитаются. Список использованных источников: 1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – 8-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2011.