Рассеяние релятивистских электронов в сильном электромагнитном поле с учетом внутренней динамики мишени ТМФ 95 418 1993

Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
П. А. Головинский, М. А. Долгополов, Рассеяние релятивистских электронов в сильном электромагнитном поле
с учетом внутренней динамики мишени, ТМФ, 1993, том 95,
номер 3, 418–426
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 46.242.14.63
9 марта 2020 г., 00:31:06
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
Том 95, №3
июнь, 1993
© 1993 г.
П. А. Головинский, М. А. Долгополов
РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
В СИЛЬНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ С
УЧЕТОМ ВНУТРЕННЕЙ ДИНАМИКИ МИШЕНИ
Рассмотрено вынужденное тормозное излучение релятивистских элек­
тронов в сильном электромагнитном поле. Учитывалась поляризация
мишени во внешнем поле, а также ее возбуждение. Получены выражения
для дифференциального сечения процесса в поле линейной и циркуляр­
ной поляризации.
1. В В Е Д Е Н И Е
З а д а ч а о рассеянии релятивистских электронов кулоновским центром
в присутствии сильного поля электромагнитной волны была рассмотрена
впервые в работе [1]. В то же время реальные мишени - атомы, ионы и сами
атомные ядра, являются составными системами, имеющими собственную
внутреннюю структуру.
Учет динамики частиц мишени может самым существенным образом от­
разиться на рассеянии электронов. При рассмотрении динамики частиц
мишени мы будем иметь в виду процессы двух типов: реальные переходы,
сопровождающиеся изменением состояния мишени, и виртуальные пере­
ходы, при которых конечное состояние не отличается по энергии от на­
чального, но которые могут оказать существенное воздействие на процесс
рассеяния налетающего электрона.
Ранее было изучено рассеяние нерелятивистских электронов. Процес­
сы с возбуждением атома (иона) при рассеянии электрона в присутствии
сильного электромагнитного поля изучались в работах [2, 3]. Важная роль
динамики мишени в процессе однофотонного тормозного эффекта также в
настоящее время хорошо известна и подробно изучена. Основные теоре­
тические представления, связанные с поляризационным тормозным эффек­
том, были сформулированы в работах [4-8], а современное состояние воп­
роса наиболее полно отражено в монографии [9]. Кроме того, имеются
убедительные экспериментальные доказательства, подтверждающие пра­
вильность предсказаний теории [10].
РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
419
Физическая суть поляризационного тормозного эффекта заключается в
том, что внешнее поле вызывает динамическую поляризацию мишени и
тем самым создает дополнительное взаимодействие мишени с налетающим
электроном. З а счет поляризации мишени во взаимодействии электрона
с мишенью появляется переменная составляющая, которая изменяется со
временем с частотой внешнего поля ш. Это дополнительное взаимодейст­
вие вызывает переходы электрона в непрерывном спектре с изменением его
энергии (±а>) и тем самым вносит вклад в амплитуду тормозного эффекта.
Поляризационная амплитуда интерферирует с амплитудой, возникающей
от тормозного эффекта при рассеянии электрона в статическом поле ми­
шени, и в ряде случаев может превосходить ее. Таким образом, динами­
ческая часть тормозного эффекта неотделима от его статической части, и
они, вообще говоря, должны рассматриваться совместно.
Сильное световое поле способно вызвать поляризацию мишени не толь­
ко на основной частоте, но также и на кратных частотах. Соответствую­
щие гармоники взаимодействия способны давать вклад в многофотонный
вынужденный тормозной эффект (ВТЭ). Много фотонный ВТЭ в случае
однофотонного резонанса между атомными уровнями рассмотрен в рабо­
те [11]. Общее понятие поляризационного взаимодействия в задаче о В Т Э
введено в работе [12]. В ней также рассчитан многофотонный В Т Э при
больших прицельных параметрах налетающих электронов и получено пра­
вило сумм для сечений. Последовательная теория поляризационного В Т Э ,
а также применение к этой задаче модельного атомного потенциала даны
в работе [13].
Однако перечисленные выше исследования ограничивались нереляти­
вистскими скоростями налетающих электронов. В то же время лазерные
поля
в
современных
экспериментах
достигли
интенсивностей
1018 Вт/см 2 и выше и вплотную приблизилась к релятивистским интенсивностям 1019 Вт/см 2 , при которых кинетическая энергия электрона сопоста­
вима с энергией покоя электрона или превышает ее. В ближайшее время,
очевидно, релятивистская граница интенсивностей лазерных полей будет
пройдена [14]. Релятивистский ВТЭ без учета поляризационных эффектов
изучался в работе [1], а с учетом поляризационных эффектов он рассмат­
ривался ранее только для однофотонных процессов [15, 16]. Столкновение
релятивистских свободных электронов рассмотрено в работе [17], где по­
лучено добавочное поляризационное взаимодействие между электронами.
Настоящее исследование посвящено рассмотрению релятивистского
В Т Э с учетом поляризации мишени, а также расчету возбуждения мишени
при рассеянии релятивистских электронов в присутствии сильного элект­
ромагнитного поля.
420
П. А. ГОЛОВИНСКИЙ, М. А. ЛОЛГОПОЛОВ
2. О Б Щ Е Е О П И С А Н И Е Р А Д И А Ц И О Н Н Ы Х П Р О Ц Е С С О В
В СИЛЬНОМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
Прежде чем переходить к анализу и решению сформулированной во вве­
дении задачи, остановимся на общих правилах расчета процессов в силь­
ном световом поле, основываясь на методе континуального интегрирова­
ния [18, 19]. Хотя эти правила получены ранее методами, основанными
на каноническом квантовании [20], нам представляется, что использование
континуального интегрирования позволяет получить те же результаты для
данной задачи более коротким путем, и поэтому мы коротко изложим такой
подход.
Как известно, лагранжиан спинорной квантовой электродинамики имеет
вид [18]
(1)
1(х) = ф (х) 7ll (idp + еЛ^ (х)) ф (х) - тфф - ± (0„Л„ (х) - диA» (а?))2 .
Производящий функционал для функций Грина может быть записан в фор­
ме
(2)
W[ri, fj, 1*]=jfj
x
ех
Р { Ji (L (x) + # + ЧФ + M / 0
dx
*}
П * (^^м) ^ <1фв,ф>
где ~ - нормировочный множитель.
Поскольку предполагается рассматривать сильные электромагнитные
поля, то из вектор-потенциала А^ целесообразно выделить классическую
часть Л£:
А„ = Л* +а„.
Далее классическую часть поля А^ мы будем считать заданной внешним
сильным электромагнитным полем и интегрирование по нему в континуаль­
ном интеграле (2) производить не будем. Интегрируя по частям лагранжи­
ан свободного электромагнитного поля и преобразуя функционал стандар­
тным образом - сдвигом, уничтожающим линейные по ф, ф и ам члены в
показателе экспоненты в формуле (2), получим производящий функционал
для функций Грина в виде
(3)
W[r,^)
х
=
expl-i
exPt[ijd<X(-ie±ya^±^
fj (x) G (я, у) rj (у) dAxd*y
РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
421
Здесь функция Грина свободного электромагнитного поля D^u (ж — у) в ка­
либровке Фейнмана имеет обычный вид [21]
Л , - (* - У) = Q*)~* jd4kexp[ik(x
- у)} ( - ^ ) .
Функция Грина G{x)y) = П" 1 для фермионов, в отличие от случая свобод­
ного электрон-позитронного поля, является решением уравнения
Ъ И
+ еА1 (*)) G (а, у) = £4 (х - у),
в котором учтено наличие сильного внешнего поля. Явный вид для элект­
рона в поле плоской электромагнитной волны можно найти, например, в
работе [22]. Приведенные выше соотношения дают картину Фарри для пе­
ременного поля. Далее все процессы можно рассчитывать в координатном
представлении точно так же, как и в отсутствие внешнего поля [23] с учетом
замены функции Грина свободного электрона функцией Грина электрона во
внешнем поле А^.
3. Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н О Е С Е Ч Е Н И Е Р А С С Е Я Н И Я
Рассмотрим рассеяние релятивистского электрона на мишени в поле
электромагнитной волны. Полученное выше выражение (3) для произво­
дящего функционала позволяет сразу записать амплитуду рассеяния с пе­
реходом рассеивающегося электрона из состояния г в состояние / в первом
порядке теории возмущений по взаимодействию электрона с четырехтоком
J*b перехода мишени из состояния а в состояние 6 в виде [23]
(4)
Sfi = -ге / dAxxjjf (х) АЬа (х) ф{ (х),
где вектор-потенциал Л 6а , создаваемый мишенью, связан с четырехвектором J*6 соотношением
(5)
Abail=jd*yD^(x-y)JZ»(y).
Учитывая квазиэнергетический характер состояний мишени в периодичес­
ком по времени сильном поле [24], ток перехода можно представить в виде
разложения в ряд Фурье по квазиэнергетическим гармоникам:
(6)
J"; (У) = £
Jb«n) (у) exp (i {ШЬа + пш)г),
где иъа = Еь — Еа - частота перехода между начальным состоянием мишени
с квазиэнергией Еа и конечным состоянием с квазиэнергией Еь.
Таким образом, мишень в конечном состоянии может как сохранить ис­
ходное, так и перейти в другое квазиэнергетическое состояние. В первом
422
П. А. ГОЛОВИНСКИЙ, М. А. ДОЛГОПОЛОВ
случае мы имеем упругое (Ь = а) рассеяние на мишени с учетом ее по­
ляризуемости. Во втором случае состояние мишени при столкновении с
электроном меняется (6 ф а). Очевидно, что оба случая имеют общую
физическую природу и их целесообразно рассматривать по возможности
совместно. Ранее они рассматривались отдельно друг от друга, как, на­
пример, в работах [3, 12], и связь между этими родственными процессами
терялась.
Подставляя (6) в (5), получим
1
(7)
Лба
"
=
°°
(2^ Е
f
ех
Р (»'"»*) / AZ (k) ™P H k x ) dk,
где
(8)
A?' (k) = D,u (kn) J dy exp (-iky) # e(n) (y),
Эффектами запаздывания можно пренебречь, если характерные импуль­
сы к ^> Qn.
При рассеянии потенциалом мишени, невозмущенным внешним полем,
П п> = LJba = 0, и мишень воспринимается как источник статического поля [1].
При рассеянии на поляризационном потенциале или рассеянии с измене­
нием состояния мишени запаздыванием можно пренебречь только при ма­
лой фотонности процесса и малых частотах, когда период осцилляции час­
тиц мишени намного превышает время распространения электромагнитно­
го взаимодействия на характерное расстояние мишени / (£ « ^ <С -&-)•
Рассмотрим, какими будут выражения для дифференциальных сечений
процессов в поле линейно поляризованной волны лазерного излучения с
вектором-потенциалом
Л£ = ам cos <р,
ф — кх.
Подставив решение уравнения Дирака для линейно поляризованной вол­
ны [22] в (4) с учетом (7) и (8), получим амплитуду перехода р — р' в виде
s)
w
s/i = E £ Ф"
т
т—п+з
-— (uviTiYupr) 2тг8 (SUJ + q0-q'0
(PoPo)
где
(.0
г=АМ4+.(*Ш
а
е
а»(Ы я (к.))* р
+
Ш:^
+ Пп) ,
РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
423
Здесь использованы обозначения [21]
1 Г
Вп (sap) = —
d<p cosn у? exp (/ (у?)),
** J-г
f (<£>) = —i (a sin if — P sin 2ip — stp) ,
2 2
Qfj. = Pfi~ 7Г~^м есть средний кинетический импульс или квазиимпульс частицы, а = / ( £ - $ ,
P=^f{b~w)Отметим, что парциальные амплитуды SJ? имеют вид, подобный ампли­
туде излучения в поле волны [22], с тем отличием, что вектор-потенциал А^
является распределенной функцией в пространстве импульсов и не облада­
ет свойством поперечности. Условие q0 = q0 + su + Qn дает связь между
квазиэнергиями начального и конечного состояний.
Сечение m-фотонного ВТЭ, просуммированное по конечным состояниям
и усредненное по начальным, по общим правилам [22] будет иметь вид
Лг<™>
4a 2 m2
v r
(и)
2(4тг2)
<т
Y% , , £ г<»'ч
тт
2c*2m2Sp
г
р + т\
I р' + т
Т
2т
2т
Вычисление следа проводится стандартным образом, но является весьма
громоздким, и мы приводим его в приложении. Окончательный результат
имеет вид
(12)
da^
dQ
2а 2
2(Dp)(Dp')-D>(pp')
(4^) 2
+ 2(Ci -Ci)
+A(kD)a
[р [-к (аА) D + a (к A) D + a (AD) к
+ к (aD) Ap'\ 1
- 2С2а2 (Ак)2 (рр') + 2а2 (кр') А2 (кр)
-2(рА)
{кA) ( d - С,)2 + m2D2 + 4m 2 С, (С г - С,) (Л*) 2 а 2 | .
Символ = над слагаемым в формуле (12) указывает на наличие в фор­
муле, кроме данного члена, также члена со знаком плюс, отличающегося
перестановкой крайних стоящих под знаком множителей. Символом — мы
обозначили наличие, кроме данного члена, также перестановочного члена
со знаком минус. Например, к (аА) D = к (аА) D + D (аА) к. В формуле (12)
введены обозначения
(13)
Д , = А»С0 + *„Са + 2С2[(Ак) а» - (Аа) *„],
Со — В0,
С\
А
2кр'
С = —
2
2ifep''
Г
3
eVi?2
2 (Jbp) (fcp')"
424
П. А. ГОЛОВИНСКИЙ, М. А. ДОЛГОПОЛОВ
Индексы п и s в формулах (12) и (13) опущены, поскольку они легко вос­
станавливаются по предыдущим выражениям (9) и (10).
Если внешнее поле отсутствует (а — 0) и рассеяние происходит на чис­
то кулоновском потенциале, то Л = (0,Л о ), Л0 (k) = Q. В этом случае
D ~ Ли сечение (12) переходит в формулу для рассеяния релятивистского
электрона на кулоновском центре, вычисленную в первом борновском при­
ближении [22]. При учете сильного поля (без учета динамики мишени) наш
результат переходит в результат, полученный в работе [1].
Д л я циркулярно поляризованной плоской электромагнитной волны ее
4-потенциал можно записать в виде [22]
а = ах cos ip 4 а2 sin <py
ip — kx,
Oi, a2 одинаковы по величине и ортогональны друг другу: а\ — а\ — 0,
ага2 = 0. Соответствующая волновая функция, являющаяся решением урав­
нения Дирака, приведена в [22].
Амплитуду перехода можно преобразовать к виду (10), где
B0 = F0,
Я!=1,
B2 = -F0,
a = a\Fl + d2F2.
Здесь введены обозначения [22]
F0 (s) = J-8 (z) exp (is(f0),
Fi (s) = [Js+l (z) exp (t (1 + s) (fo) 4 Js-\ (z) exp (i (s - 1) y>0)]/2,
F2 (s) - [Ja+i (z) exp (t (1 4- s) (fo) - Js.x (z) exp (*' (s - 1) <p0)]/2i.
Кроме того, qp-Рц-
e2 щ^к^
и z = (a* + a!)
;
, sin (p0 — a2/z,
При этом дифференциальное сечение рассеяния сохраняет вид [12].
4. З А К Л Ю Ч Е Н И Е
Таким образом, полученные результаты позволяют производить расче­
ты различных процессов столкновения электронов со сложными мишеня­
ми в полях релятивистской интенсивности. К числу таких процессов мо­
гут быть отнесены столкновения с возбуждением многозарядных ионов и
возбуждение тяжелых ядер. В задаче возбуждения многозарядных ионов
определенную роль может играть динамика мишени под действием внеш­
него переменного поля, описываемая разложением тока мишени (6). При
рассмотрении ядерных процессов, стимулированных электронным ударом,
РАССЕЯНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЭЛЕКТРОНОВ
425
прямым возбуждением мишени полем лазерного излучения можно пренеб­
речь и в разложении (6) остается только нулевая гармоника. При прове­
дении конкретных расчетов можно также использовать медленность изме­
нения внешнего поля по сравнению с характерными ядерными временами,
Соотношения, аналогичные приведенным в работе, могут быть получены и
для сечения рождения электрон-позитронных пар при столкновении элект­
ронов с атомными ядрами в поле лазерной волны.
Авторы признательны М. В. Федорову и А. Е. Казакову за полезное
обсуждение. Работа выполнена но гранту 2513043 Министерства науки,
высшей школы и технической политики РФ.
Приложение
Для вычисления следа воспользуемся равенством
Aka=-aicA
+
2(Ak)a-2(Aa)k.
Введем обозначение
D = АСо + кСъ + 2С2 [(Ак) а - (Аа) к],
где Со = Д,, Сг = &,
С2 = - £ , ,
С3 = - щ ^ -
Тогда
+ m2 Sp [(б + ( d - С2) akAJ (D -f (C\ - C2) Aha
Мы учли, что след нечетного числа матриц Дирака равен нулю. Дальней­
шие вычисления проводятся стандартным образом:
Sp[DpAkap] = Sp[akApDp']
= -ЦаА)
[(кр) (Dp') + (кр') (pD) - (kD) (pp')]
+ 4ар[(*а) (Dp1) + (кр1) (AD) - (kD) (Ар')}
- 4 (AD) [(M) (pp') + {кр') (Ар) - (кр) (Ар'))
+ 4 (ар7) [(Ы) (pD) +,(kD) (Ар) - (кр) (AD)]
= Цр[-к (аА) D-D
(аА) к + а (к A) D + a (AD) к-a
- A (aD) к + к (aD) A + D (к А) а Л-A (kD) а-к
+
(kD) A
(AD) а]р'}
4(pp')[(aA){kD)-(aD)(kA)]
= Ар (~к (a A) D + 'а (к A) D + R ^ D ) ^ + A^bDJa) + 8С 2 а 2 (А&)2 (pp') ,
Sp[akApAkap'} = 8a2 (ip ; ) [-2 (pA) (JbA) -f A2 (Jbp)],
Sp[akap'] = - 4 a 2 (*p') •
426
П. А. ГОЛОВИНСКИЙ, М. А. ДОЛГОПОЛОВ
Список литературы
[I]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[II]
[12]
[13]
[14]
[15]
[16]
[17]
[18]
[19]
[20]
[21]
[22]
[23]
[24]
Денисов М. М., Федоров М. В. / / ЖЭТФ. 1967. Т. 53. № 4. С. 1340-1352.
Федоров М. В., Юдин Г. Л. / / ЖЭТФ. 1981. Т. 81. № 6. С. 2013-2018.
Беигман И. Л., Чинков Б. Я. / / Письма в ЖЭТФ. 1987. Т. 46. № 8. С. 314-316.
Буймистров В. М., Трахтенберг Л. И. / / ЖЭТФ. 1975. Т. 69. № 1. С. 108-114.
Буймистров В. М., Трахтенберг Л. И. / / ЖЭТФ. 1977. Т. 73. № 3. С. 850-853.
Амусья М. Я., Балтенков А. С, Пайзиев А. А. / / Письма в Ж Э Т Ф . 1976. Т. 24.
№ 6. С. 366-369.
Зон Б. А. II ЖЭТФ. 1977. Т. 73. № 1. С. 128-133.
Зон Б. А. II ЖЭТФ. 1979. Т. 77. № 1. С. 44-51.
Амусья М. Я., Буймистров В. М., Зон Б. А., Цытович В. Я. и др. Поляриза­
ционный тормозной эффект. М.: Наука, 1987.
Верховцева Э. Т., Гнатченко Е. В., Зон Б. А., Некипелов А. А., Ткаченко А. А.
II Ж Э Т Ф . 1990. Т. 98. № 3. С. 797-807.
Gersten J. I., Mittleman M. Я. / / Phys. Rev. 1976. V. A13. № 1. P. 123-134.
Beilin E. L., Zon B. A. // J. Phys. B. 1983. V. 16. № 4. P. 159-162.
Головинский Я. A. I/ ЖЭТФ. 1988. Т. 94. № 1. С. 87-94.
Коротеев Я. И., Шумай И. Л. Физика мощного лазерного излучения. М.: Наука,
1991.
Астапенко В. А.ь Буймистров В. М., Кротов Ю. М. и др. Ц Ж Э Т Ф . 1985.
Т. 88. JV* 5. С. 1560-1569.
Амусья М. Я., Кучиев Ю. М., Король А. В., Соловьев А. В. // Ж Э Т Ф . 1985.
Т. 88. № 2. С. 383-389.
Завтрак С. Т., Комаров Л. И. / / ТМФ. 1990. Т. 84. № 3. С. 431-445.
Гитман Д. М., Фрадкин Е. С, Шварцман Ш. М. Квантовая электродинамика
с нестабильным вакуумом. М.: Наука, 1991.
Попов В. Я. Континуальный интеграл в квантовой теории поля и статистичес­
кой физике. М.: Атомиздат, 1976.
Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М.} Питаевский Л. Я. Квантовая электродина­
мика. М.: Наука, 1980.
Ритус В. И. I/ Т р . ФИАН. 1979. Т. 111. С. 5-151.
Бьеркен Дою. Д., Дрелл С. Д. Релятивистская квантовая теория. М.: Наука,
1978.
Рапопорт Л. II., Зон Б. А., Манакое Я. Л. Теория многофотонных процессов в
атомах. М.: Атомиздат, 1978.
Воронежский государственный
университет
Поступила в редакцию
16.III.1992г.
P.A.Golovinskiy, M.A.Dolgopolov
RELATIVISTIC ELECTRON S C A T T E R I N G
IN THE S T R O N G E L E C T R O M A G N E T I C FIELD
WITH I N T E R N A L TARGET D Y N A M I C S
Stimulated bremsstrahlung of relativistic electrons in the strong electromagnetic field
is considered. A target polarization and excitation are taken into account. The expres­
sions for differential cross sections are obtained for linear and circular polarizations of
electromagnetic field.