Цель работы: сравнить практические результаты измерения импеданса для различных цепей с теорией. Приборы и материалы: Осциллограф (0,025%), вольтметр (±0,254 В), резистор, конденсатор, катушка индуктивности. 1. Теория Под двухполюсником понимается электрическая цепь, состоящая из некоторого числа элементов и имеющая два контакта. Соответственно под четырехполюсником понимается цепь, имеющая 4-е контакта (2-а входных и 2-а выходных). В данной этой работе рассматриваются лишь линейные n-полюсники. Особенностью линейных n-полюсников является то, что их поведение описывается линейным дифференциальным. 1.1 Общие понятия и некоторые полезные соотношения Представление напряжений и токов, комплексные амплитуды, импеданс. При подключении n-полюсников за счет внешнего генератора на входных клеммах возникает напряжение, которое в дальнейшем будет записываться как uin, а через n-полюсник течет ток i. Считая, что все эти величины гармонические запишем: u = U*exp {j(ω − ϕu )}; i = I*exp {j(ω − ϕi )}; Этим значениям u, i соответствуют комплексные амплитуды: (1) (2) Uc = U* exp(−j*ϕu); Ic = I* exp(−j*ϕi); (3) (4) Их отношение называется комплексным импедансом: Zc = 𝑈𝑐 𝐼𝑐 = 𝑈 𝐼 ∗ exp{ 𝑗(𝜙𝑖 − 𝜙𝑢 )} = 𝑧 ∗ exp{𝜙} (5) Это и есть основная характеристика 2-полюсника. Основной характеристикой четырехполюсника является комплексная величина, называемая коэффициентом передачи: ̇ 𝑈 𝐾̇ = 𝑈вых = 𝐾𝑒 𝑗𝜑 , где К- амплитудная , ̇ вх 2 𝜑 -фазовая характеристики (6). 1.2 Рассмотрение простейших двухполюсников В настоящей работе мы рассматриваем 4-е типа двухполюсников: Рис. 1: Типы исследуемых двухполюсников Необходимо отметить что мы включали двухполюсники следующим образом: сигнал с генератора мы подавали как и показано на рисунке на клеммы по "краям" двухполюсника, а сигнал снимали, сравнивая напряжение на клемме, соединенной с резистором и клемме, "между" активным элементом и этим резистором. Двухполюсник А. Zsum = ZR + ZC = R + |𝑍| = √(𝑅𝜔𝐶)2 +1 𝜔𝐶 1 j𝜔C =R−j 1 (7) 𝜔C 1 ) 𝑅𝜔𝐶 arg(𝑍) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( (8), (9) Двухполюсник B. Zsum = ZR + ZL = R + j𝜔𝐿 |𝑍| = √(𝜔𝐿)2 + 𝑅 2 (10) 𝜔𝐿 arg(𝑍) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( ) (11), (12) 𝑅 Двухполюсник С. Этот двухполюсник является модификацией двухполюсника А. 𝑍Z c R Zsum = ZR + Z +Z = R(1 + c 1−j𝜔𝑅𝐶 2 ) R (𝜔𝑅𝐶 ) +1 1 𝜔𝑅𝐶 |𝑧| = 𝑅√(1 + (𝜔𝑅𝐶)2 +1)2 + ((𝜔𝑅𝐶)2 +1)2 𝜔𝑅𝐶 arg(𝑍) = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( ) (𝜔𝑅𝐶)2 + 2 (13) (14) (15) Двухполюсник D. Этот двухполюсник является "гибридом" двухполюсников B и С: 𝑍 Z Zsum = ZR + Z L+ZR = R(1 + L |𝑧| = 𝑅√(1 + R 𝜔𝑅𝐿 )2 (𝐿𝜔)2 +𝑅2 (𝐿𝜔)2 +j𝜔𝑅𝐿 ) (𝐿𝜔)2 +𝑅2 (𝐿𝜔)2 + ((𝐿𝜔)2 +𝑅2 )2 (𝑅𝐿𝜔) ) 2(𝐿𝜔)2 +𝑅2 arg(𝑍) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 3 (16) (17) (18). 1.3 Простейшие четырехполюсники В этой схеме мы рассматриваем два четырехполюсника: мостовой четырехполюсник и так называемый тройной RC фазовращатель. Мостовой четырехполюсник. При этом предполагается, что C1 = C2 = C и R1 = R2 = R, в таком случае токи по обеим веткам совпадают. Согласно векторным диаграммам импеданса этот четырехполюсник обладает свойством не изменять амплитуду сигнала, но сдвигать его на некоторый угол ϕ, который определяется как: 𝜙 𝑈𝑅 2 𝑈𝐶 𝑡𝑔 ( ) = = 𝜔𝑅𝐶 (19) При этом сдвиг фазы может изменяться в пределах ϕ ∈ [0; π) и сдвигу в π соответствует ωRC → +∞, что невозможно. Поэтому для получения более существенных сдвигов фазы используют тройной RC фазовращатель. Тройной RC фазовращатель. Эта схема позволяет значительно сдвигать фазу выходного сигнала, однако также уменьшает амплитуду. Ω = 𝜔𝑅𝐶; 𝐾(𝜔) = 𝜙= Рис. 4: Схема тройного RC фазовращателя 4 3𝜋 2 Ω3 √(1−6Ω2 )2 +Ω2 (5−Ω)2 − 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( Ω(5−Ω)2 ) 1−6Ω2 (20) (21) 2. Практическая часть. В этом задании ищем зависимость импеданса и сдвига фазы в линейном двухполюснике от частоты входного напряжения. Двухполюсник №1. 2Uвх, В 26,6 2OG, В 10,3 ω, Гц |Z|, кОм 100 2Uвых, В 12 100 28,8167 100 1,03201 200 18 26,6 12,2 200 19,2111 200 0,74474 300 21,2 26,6 11,6 300 16,3113 300 0,57898 400 22,6 26,2 10,4 400 15,0708 400 0,47819 600 23,8 26 7,6 600 14,2017 600 0,32502 800 24,4 25,8 6 800 13,7459 800 0,24845 1500 25,8 26,2 3,92 1500 13,2016 1500 0,15253 2000 25,6 26,2 2,4 2000 13,3047 2000 0,09389 2500 25,6 26,2 2,16 2500 13,3047 2500 0,08448 3000 25,6 26,2 1,68 3000 13,3047 3000 0,06567 4000 25,8 26,2 1,22 4000 13,2016 4000 6000 25,8 26 1,02 6000 13,1008 6000 0,03955 8000 25,8 26 0,52 8000 13,1008 8000 0,02016 ω, Гц arg(Z), 0,0473 |Z| 35 30 25 20 15 10 5 0 100 200 300 400 600 800 1500 2000 2500 3000 4000 6000 8000 5 ω, Гц arg(Z) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 100 200 300 400 600 800 1500 2000 2500 3000 4000 6000 8000 Двухполюсник 2 2Uвх, В 25,8 2OG, В 0 ω, Гц |Z|, кОм 100 2Uвых, В 25,2 100 13,3095 100 0 400 24,6 25,8 1,24 400 13,6341 400 0,05043 700 24,4 25,8 2 700 13,7459 700 0,08206 1000 24,2 25,8 3,12 1000 13,8595 1000 0,12929 1200 24,4 26,2 3,84 1200 13,959 1200 0,15803 1400 24,4 26,2 4 1400 13,959 1400 0,16468 1600 24,4 26,2 4,8 1600 13,959 1600 0,19801 2000 24,4 26,2 5,76 2000 13,959 2000 0,23831 2500 24,2 26,2 7,36 2500 14,0744 2500 0,30903 3000 23,6 26,2 8,2 3000 14,4322 3000 0,35486 4000 22,8 26,2 10,2 4000 14,9386 4000 0,46382 5000 21,8 26,2 11,8 5000 15,6239 5000 0,57196 6000 20,4 26,2 13 6000 16,6961 6000 0,69093 7000 19,2 26,2 13,4 7000 17,7396 7000 0,77248 8000 18 26,2 13,8 8000 18,9222 8000 0,87363 10000 16 26,2 13,6 10000 21,2875 10000 1,01599 ω, Гц 6 ω, Гц arg(Z), ω, Гц |Z|, 25 20 15 10 5 0 ω, Гц arg(Z), 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 100 400 700 1000 1200 1400 1600 2000 2500 3000 4000 5000 6000 7000 8000 10000 2.1 Двухполюсник 3 7 ω, Гц 2Uвх, В 26,2 2OG, В 3,2 ω, Гц |Z| кОм ω, Гц arg(Z), рад 100 2Uвых, В 15,2 100 22,4079 100 0,21211 150 16 26,2 4,08 150 21,2875 150 0,25785 200 17,2 26,2 4,88 200 19,8023 200 0,28767 300 18,8 26,2 5,76 300 18,117 300 0,31139 500 21,4 26,2 5,92 500 15,9159 500 0,28029 650 22,6 25,8 5,36 650 14,8407 650 0,23945 800 23,4 25,8 4,8 800 14,3333 800 0,20659 1500 24,8 26 3,12 1500 13,629 1500 0,12614 2000 25,4 26 2,6 2000 13,3071 2000 0,10254 3000 25,6 26 1,8 3000 13,2031 3000 0,07037 4000 25,6 26 1,24 4000 13,2031 4000 0,04846 7000 25,6 26 0 7000 13,2031 7000 0 ω, Гц |Z| 25 20 15 10 5 0 100 150 200 300 500 650 800 1500 2000 3000 4000 7000 8 ω, Гц arg(Z) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 100 150 200 300 500 650 800 1500 2000 3000 4000 7000 9 ω, Гц Двухполюсник 4 2Uвх, В 25,8 2OG, В 0 ω, Гц |Z|, кОм 100 2Uвых, В 25,4 100 13,2047 100 0 500 24,4 25,8 1,44 500 13,7459 500 0,05905 800 24,2 25,8 2,12 800 13,8595 800 0,08772 1500 24,2 26,2 3,68 1500 14,0744 1500 0,15266 2000 23,2 26,2 4,6 2000 14,681 2000 0,1996 2500 22,4 26,2 5,2 2500 15,2054 2500 0,23428 3000 21,6 26,2 5,76 3000 15,7685 3000 0,26993 4000 20,2 26,2 6 4000 16,8614 4000 0,30158 5000 19,4 26,2 6,04 5000 17,5567 5000 0,3166 7000 17,6 26,2 5,6 7000 19,3523 7000 0,32381 8000 16,8 26,2 5,2 8000 20,2738 8000 0,31469 10000 16 26,2 4,88 10000 21,2875 10000 0,30994 ω, Гц ω, Гц arg(Z), рад (Z| 25 20 15 10 5 0 100 500 800 1500 2000 2500 3000 4000 5000 7000 8000 10000 1 0 ω, Гц arg(Z), 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 100 500 800 1500 2000 2500 3000 4000 5000 7000 8000 10000 ω, Гц 2.5.1 Четырехполюсник A В этом задании определяем зависимость фазовой характеристики четырехполюсника от частоты при постоянном сопротивлении нагрузки, и от сопротивления нагрузки при постоянной частоте(100 гц). При R=140 кОм При φ, рад ω=73 Гц ω, Гц 2OG, В 2OF, В 10 1,02 12,2 15 1,92 12,4 0,0837 R, кОм 2OG, В 2OF, В φ, рад 0,15546 0 0,62 12,3 0,05043 20 4,16 12,6 0,33647 10 1,08 12,3 0,08792 25 6,16 12,7 0,50641 20 2,96 12,3 0,24304 30 7,6 12,7 0,64153 30 4,32 12,3 0,35887 40 10 12,8 0,89667 40 5,76 12,3 0,48736 50 11,4 12,8 1,09872 50 7,28 12,2 0,63941 60 12,4 13 1,26579 60 8,48 12,2 0,76853 73 13,1 13,1 1,5708 70 9,52 12,2 0,89519 1 1 100 12,4 13,1 1,89918 80 10,1 12,2 0,9753 150 10,5 13,2 2,22184 90 10,8 12,2 1,08702 200 8,56 13,2 2,436 100 11,2 12,2 1,16309 250 7,12 13,2 2,57188 110 11,6 12,2 1,25587 300 6,08 13,1 2,65895 120 11,8 12,2 1,31402 400 4,72 13,1 2,773 130 12 12,2 1,38948 600 3,1 13,2 2,90453 140 12,2 12,2 1,5708 850 2,08 13,2 2,98336 1000 1,84 13,2 3,00174 1500 1 12,2 3,05953 2500 0,4 12,3 3,10907 3000 0 12,3 3,14159 φ 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 3000 2500 1500 1000 850 600 400 300 250 200 150 100 73 60 50 40 30 25 20 15 10 0 ω φ 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 1 2 90 100 110 120 130 140 R 2.5.1 Четырехполюсник B На данном графике представлена экспериментальная зависимость фазовой характеристики RC моста, изображенного на рис.4 от частоты входного напряжения. ω, Гц 2OG, В 2OF, В 60 100 200 300 400 500 700 1000 2000 3000 4000 6000 8000 10000 30000 - φ, рад 2,14 3,86 3,14159 3,14159 2,48 2,10061 3,96 1,79601 5,16 6,12 7,32 7,76 6,4 4,72 3,6 2,52 1,82 1,56 0 5,16 6,36 8,16 9,68 12,1 12,8 13 13 13,2 13,2 13,3 1,5708 1,2952 1,11307 0,93006 0,55733 0,37766 0,28059 0,19508 0,13832 0,11846 0 1 3 φ 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 ω 3. Вывод Мы исследовали двух- и четырехполюсники, сняв зависимость сдвиг фазы от частоты поданного сигнала. Также для всех двухполюсников была снята зависимость величины импеданса от частоты. Для всех двухполюсников полученные опытным путём результаты почти полностью совпали с теорией. 1 4