М. В. Егупова Практические приложения математики в школе Учебное пособие для студентов педагогических вузов Москва 2015 УДК 51(075.8) ББК 74.262.21 Е 31 Рецензенты: Гусев Валерий Александрович, доктор педагогических наук, профессор, кафедра элементарной математики и методики обучения математике, МПГУ. Кучугурова Нина Дмитириевна, доктор педагогических наук, профессор, кафедра элементарной математики и методики обучения математике, МПГУ. Егупова М. В. Практические приложения математики в школе: Учеб. пособие для студентов педагогических вузов. – М.: Прометей, 2015. – 248 с. ISBN 978-5-9906264-5-4 Предлагаемое издание знакомит читателя с методикой практико-ориентированного обучения математике в школе. Вопросы обучения школьников практическим приложениям математики рассмотрены в историческом и современном контексте, проиллюстрированы примерами задач. Пособие подготовлено на кафедре элементарной математики и методики обучения математике МПГУ и адресовано студентам, аспирантам и преподавателям математических факультетов вузов педагогической направленности, а также учителям математики общеобразовательных школ, желающим повысить свою квалификацию в этом направлении. ISBN 978-5-9906264-5-4 УДК 51(075.8) ББК 74.262.21 © Егупова М.В., текст, 2015 © Издательство «Прометей», 2015 Оглавление Предисловие.............................................................................................4 Раздел I. История становления прикладной составляющей школьного математического образования..........................................7 Тема 1. Приложения математики в период становления школьного математического образования: XVII–XIX века................ 7 Тема 2. Обучение приложениям математики в трудовой школе в период образовательных реформ начала ХХ века...........................15 Тема 3. Политехническая и прикладная направленность обучения математике в школе во второй половине ХХ века...........26 Раздел II. Математическое моделирование как теоретическая основа практико-ориентированного обучения математике в школе....................................................................................................42 Тема 1. Представления о математическом моделировании в науке............................................................................................................42 Тема 2. Значение и функции обучения школьников математическому моделированию..........................................................50 Тема 3. Методические особенности обучения школьников математическому моделированию..........................................................60 Раздел III. Линия практических приложений математики в школе как средство реализации практико-ориентированного обучения.............................................68 Тема 1. Практико-ориентированное обучение математике.............68 Тема 2. Конструирование содержательно-методологической линии практических приложений математики...................................75 Тема 3. Цели, задачи и этапы реализации линии практических приложений математики................................................81 Раздел IV. Задачи в практико-ориентированном обучении математике в школе.............................................................................101 Тема 1. Понятие и особенности школьных задач на приложения математики....................................................................101 Тема 2. Методические требования к задачам на приложения математики.................................................................................................106 Тема 3. Уровни сложности задач на приложения математики......121 Тема 4. Классификация задач на приложения математики............128 Тема 5. Задачи на приложения математики на уроках.....................137 3 Раздел V. Образовательные продукты в практикоориентированном обучении математике в школе .........................148 Тема 1. Образовательный продукт: наборы задач на приложения...........................................................................................148 Тема 2. Образовательный продукт: прикладное исследовательское задание.....................................................................164 Тема 3. Образовательный продукт: прикладное проектное задание....................................................................................185 Приложение.........................................................................................201 4 Предисловие В настоящее время согласно новому стандарту общего образования1 одним из важных аспектов обучения математике в школе является его практическая ориентация, которая заключается в направленности обучения на формирование у школьников понимания роли математики в описании объектов окружающего мира, подготовку учащихся к использованию математических методов для решения широкого круга проблем, то есть в формировании у них «математического взгляда» на окружающий мир. В предлагаемом учебном пособии рассматриваются вопросы обучения школьников практическим приложениям математики в историческом и современном контексте. Издание адресовано прежде всего студентам бакалавриата и магистратуры математических факультетов педвузов, обучающимся по направлению «Педагогическое образование». Оно может быть использовано как в базовом курсе теории и методики обучения математике в соответствующих его разделах, так и для организации занятий курсов по выбору (спецкурсов). В пособии пять разделов, которые, в свою очередь, разделены на несколько тем. К каждой теме даны ключевые слова, отражающие ее основное содержание. В конце раздела приведены контрольные вопросы и задания. Для удобства читающего ссылки на литературные источники даны сразу в тексте. В конце раздела или темы выделена ключевая информация. Первый раздел посвящен анализу программ, исторических документов, связанных с реформированием образования, учебников и методических пособий прошлых лет, в контексте обучения школьников практическим приложениям математики. Это позволяет представить процесс формирования прикладной составляющей математики в школе в историческом контексте. Во втором разделе представлен обзор методических особенностей обучения школьников элементам метода математического моделирования, что позволяет перейти к изучению методики реализации практико-ориентированного обучения математике в школе. В третьем разделе представлена содержательно-методологическая линия практических приложений математике, Федеральный государственный образовательный стандарт среднего (полного) общего образования. URL: http://www.edu.ru/db/mo/Data/d_12/m413.pdf 1 5 с помощью которой и реализуется практико-ориентированное обучение школьников. Четвертый раздел посвящен рассмотрению задач на приложения математики. Здесь обсуждаются различные подходы к пониманию методического значения таких задач, приведена система классификаций, функции и пути использования их в обучении математике на уроке и во внеурочное время. Пятый раздел содержит рекомендации по созданию образовательных продуктов, которые могут быть использованы в практико-ориентированном обучении математике в школе, а также примеры таких продуктов. Все разделы проиллюстрированы задачами на приложения математики, к большинству задач приведены подробные решения с методическими комментариями. В пособии рассмотрено около 100 задач по различным темам школьной геометрии, также имеются задачи из курса алгебры основной школы. В заключение приведен список рекомендуемой литературы, в который включены учебники математики для школы, как современные, так и прошлых лет, учебные пособия для школьников и студентов, научно-методические исследования по вопросу обучения практическим приложениям математики в школе. В приложении представлены материалы к внеурочным занятиям по геометрии, объединенным одной темой, – изучение особенностей зрительного восприятия средствами школьной геометрии. 6 Раздел I. История становления прикладной составляющей школьного математического образования Тема 1. Приложения математики в период становления школьного математического образования: XVII–XIX века Цифирная школа, школа математических и навигацких наук (1701), арифметика Л. Магницкого (1703), утилитарный характер изучения математики, народные училища (1786), трехуровневая система образования (первая половина XIX в.), реальные училища (1872), профессиональная ориентация обучения математике. Анализ исторических документов, учебников математики разных лет, исследований по истории образования показал, что в истории отечественного математического образования всегда присутствовала тема связи обучения с жизнью. Приложения математики в результате реформирования, трансформации образовательных целей то выступали на первый план, то выполняли вспомогательную роль в обучении. Как свидетельствуют Ю. М. Колягин1, Т. С. Полякова2, В. В. Ор3 лов , в ХVI– XVII вв. системы образования в современном понимании не существовало. Математика изучалась ограниченным кругом людей для осуществления практической деятельности, связанной с ведением хозяйства, торговли, межеванием земель, податными сборами и т.п. Обучение математике носило рецептурный характер, математическая теория излагалась в связи с решением какой-либо задачи, сюжет которой был связан с событиями, возникающими в реальной жизни. Массовая образовательная система в России (цифирные школы) появилась только в эпоху Петра I. В так называемых «цифирных Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. – М.: Просвещение, 2001. 2 Полякова Т. С. История отечественного школьного образования (два века). Кн. 2. – Р-на/Д, 2001. 3 Методика обучения геометрии: Учеб. пособие для студентов высших педагогических учеб. заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчищина и др.; под ред. В. А. Гусева. – М.: Академия, 2004. 1 7 книгах» учебный материал был представлен в виде задач-примеров из жизненной практики, связанных с выплатой жалования, вычислением земельных площадей, совершением торговых сделок. Математические дисциплины (арифметика, геометрия, тригонометрия) в этот период, как отмечает А. Я. Халамайзер, выделились в отдельные предметы. Содержание образования по-прежнему было нацелено на подготовку обучающихся к определенной профессиональной деятельности, то есть носило контекстный характер. В качестве примера автор приводит факт открытия в 1701 г. «школы математических и навигацких наук». Математика была разделена не только на отдельные дисциплины, но и на теоретическую (чистую) и практическую (прикладную), показывающую пути использования математических знаний в профессиональной деятельности1. В этой школе преподавал, помимо учителей-иностранцев, Леонтий Магницкий – один из наиболее образованных людей своего времени. Широко известная «Арифметика» Л. Магницкого, изданная в 1703 г., содержала не только основы математических знаний, но и сведения по мореходной астрономии и навигации с необходимыми таблицами и задачами, что, несомненно, подчеркивало не просто прикладной, а утилитарный характер изучения математики в этот период. И. К. Андронов отмечает, что все эти прогрессивные изменения были обусловлены развитием самой математики как науки2. На XVII–XVIII вв. приходится период, который А. Н. Колмогоров условно называет периодом «высшей математики»3. Дальнейшее развитие науки на этом временном отрезке было обусловлено возникновением практических потребностей в технике, военном деле, навигации и картографии. В конце XVIII – начале XIX в., как пишут Ю. М. Колягин, Т. С. Полякова, российское математическое образование неоднократно подвергалось реформированию. Основным объектом реформ являлось содержание образования. Проанализируем изменения, происходившие в прикладной составляющей содержания математического образования в XVIII–XIX вв. Халамайзер А. Я. Исторический обзор создания учебников математики в нашей стране // Проблемы школьного учебника. Вып. 12. – М.: Просвещение, 1983. – С. 178–192. 2 Андронов И. К. Первый учитель математики российского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе. – 1969. – № 6. – С. 75–78. 3 Колмогоров А. Н. Математика / Математический p/p/pэнциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1988. – С. 67–72. 1 8 В середине ХVIII в. состоялось разделение математики на ряд учебных предметов. В частности, самостоятельным учебным предметом стала геометрия. Известные исследователям учебники по геометрии того времени имели деление на теоретический курс и практические приложения. Мотивация изучения предмета была связана, как отмечает В. Е. Прудников, с предстоящей профессией, о чем ярко свидетельствует содержание задач. Так, например, в учебнике Г. В. Крафта (1748), адресованного гимназистам, обучающимся при Академии наук, предлагалось в качестве упражнений «узнать перпендикуляр, упадающий на лежащую за рекой неприятельскую ставку», «снять по зеркалу неприступной башни высоту»1. Как подчеркивает В. В. Орлов, два направления в преподавании геометрии (теоретическое и практическое) постепенно сближались, так как дворянство стремилось прежде всего к общему, а не специальному образованию. Нужно отметить, что в тот период основной задачей обучения было не развитие учеников, а заучивание конкретных фактов, алгоритмов действий. Большая часть задач носила практический, даже утилитарный характер: требовалось снять план земельного участка, измерить его площадь и т.д. К концу ХVIII в. в связи с проникновением математики во многие сферы деятельности человека происходит увеличение общекультурной значимости этой науки. Признается, что обучение математике оказывает влияние на умственное развитие учащихся. В это же время происходит разделение двух моделей математического образования: контекстной, оставшейся в профессиональном образовании, и общекультурной, занявшей место в сфере массового образования2. В результате реформы образования (1786) были созданы народные училища. В них велось преподавание геометрии по учебнику М. Е. Головина. Заучивание наизусть по-прежнему оставалось главным методом обучения. Однако в руководстве для учителей, как пишет Т. С. Полякова, содержатся рекомендации предлагать разнообразные задачи практического, бытового содержания для того, чтобы научить применять заученные правила3. Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII–XXI веков. – М.: Гос. учеб.педагог. изд-во Мин. просв/p/p/. РСФСР, 1956. 2 Методика обучения геометрии… 3 Полякова Т. С. Указ. соч. 1 9 Позднее, в конце 20-х – начале 30-х гг. XIX в., математика как учебная дисциплина существенно трансформировалась: совершенно упразднялась прикладная математика, изучение теоретического материала значительно ограничивалось. В. В. Орлов акцентирует внимание на следующем факте: в средних учебных заведениях давались только те математические знания, которые были необходимы в определенных профессиях, в промышленности, армии и флоте. Эти знания не были организованы в цельную систему, отсутствовали научная строгость, логически выдержанная последовательность в изложении материала. Через небольшой период времени стало понятно, что математическое образование в таком усеченном виде существовать дальше не может. В первой половине ХIХ в. в результате образовательных реформ в России была создана, как отмечает Т. С. Полякова, трехуровневая система математического образования, включавшая начальное (приходские и уездные училища), среднее (гимназии) и высшее математическое образование (университеты). Математика в гимназиях, как это было и ранее, делилась на «чистую» и «прикладную». Однако число практических приложений в учебных пособиях для гимназий постепенно уменьшается. Их основной функцией становится иллюстрация изучаемой теории, а не профессиональная подготовка. Содержательно прикладные геометрические задачи по-прежнему сводятся к измерениям и построениям на местности. Подтверждение этому находим в учебнике по геометрии для гимназий Ф. Буссе (1845). Прикладные задачи собраны в небольшой (всего 7 задач) раздел «Некоторые задачи из практической геометрии»1. В предисловии к этому разделу автор поясняет: «Практическая геометрия заключает в себе правила, по которым, с помощью известных орудий, можно означать на поверхности земли линии, углы, фигуры и измерять их; определять высоты предметов и расстояния между ними <…> Здесь будут показаны самые простейшие задачи как применения некоторых теорем планиметрии». Вот примеры задач из этого раздела: • В данной точке D данной прямой DN на земле отложить угол, равный данному ВАС. • Измерить высоту приступного предмета. • Измерить высоту неприступного предмета. Буссе Ф. Основания геометрии. Руководство, составленное для гимназий, по поручению министерства народного просвещения. – СПб., 1845. 1 10 Действительно, задачи (вместе с решениями) напоминают некоторые правила, применимые к целому ряду реальных ситуаций. Это связано с традициями обучения, принятыми в конце ХIХ в.: способы решения задач и примеров часто заучивались как теория, поэтому задачи и формулировались «в общем виде». В другом учебном издании того же временного периода, «Практические упражнения в геометрии…» (1844)1, также имеется отдельный раздел – «Задачи, относящиеся к практической геометрии». Однако собранные в нем задачи уже не представляют собой правила для заучивания, а предназначены для проверки знаний и повторения изученного. Один из его авторов, известный педагог-математик П. С. Гурьев, придавал очень большое значение задачам в обучении математике. По его мнению, главная роль задач состоит в развитии мышления, кроме того, они должны вызывать у учеников интерес. Такой взгляд на обучение математике, по мнению В. Е. Прудникова, был совершенно новым для своего времени2. Многие задачи из рассматриваемого пособия хорошо известны нам и сегодня. Приведем наиболее узнаваемые примеры: • Определить ширину реки, не переезжая через нее. • Найти высоту какого-либо предмета, например дерева, посредством отбрасываемой им тени. • Измерить высоту горы, которой вершина доступна. В программе по математике, составленной в 1852 г., которую анализирует Ю. М. Колягин, по-прежнему сохраняется особое внимание к решению задач практического содержания и рассмотрению приложений теории к практике3. Предусматривалось даже проведение измерительных работ на местности с использованием различных приборов. Ранее, как видно из примеров, этот материал также присутствовал, но в виде отдельных задач. Такие приложения математики в дальнейшем неоднократно включались в учебники, учебные пособия, задачники для школьников. Примерно в это же время, как указывает Л. Б. Модзалевский, осознавая необходимость изменений в практике обучения, Н. И. Лобачевский участвует в создании учебных программ для училищ и Гурьев П., Дмитриев А. Практические упражнения в геометрии, или Собрание геометрических вопросов и задач с их ответами и решениями. – СПб., 1844. 2 Прудников В. Е. Указ соч. 3 Колягин Ю. М. Русская школа… 1 11 гимназий. В «Наставлениях учителям математики в гимназиях» он подчеркивает, что цель и сущность математического образования состоит «в двоякой пользе сего учения: <…> применение его к потребностям в нашей жизни и дальнейшее развитие самой науки»1. В конце ХIХ в., как указывает В. В. Орлов, происходит расширение сети образовательных учреждений. Вначале по Уставу 1864 г. гимназии были разделены на классические и реальные. В реальных гимназиях большее внимание уделялось преподаванию математики, физики, естествознания и космографии, а в гимназиях превалировал гуманитарный характер обучения. Впоследствии реальные гимназии будут преобразованы в реальные училища, обучение в которых станет профессионально-ори­ ентированным. Отметим интересный факт. Права выпускников реальных училищ были урезаны. В отличие от гимназистов, они не могли поступать в университеты, где значимое место отводилось занятию теорией наук. В 1872 г. в России, как пишет А. В. Ланков, был принят и утвержден устав реальных училищ. В них должны были давать «общее образование, приспособленное к практическим потребностям и к приобретению технических познаний»2. Поэтому в учебных пособиях для реальных училищ приложения математики заняли не последнее место. Подтвердим этот вывод на примере двух таких пособий – М. Ф. Борышкевича3 и С. В. Маракуева4. Авторы единодушно считают необходимым ознакомить ученика с приложениями математики, по словам С. В. Маракуева, «не только с отвлеченными истинами, но и с наиболее употребительными их применениями в жизни». Задачи, связанные с приложениями математики, включены в большинство изучаемых разделов в обоих пособиях. Эти задачи используются не только для повторения, как у П. С. Гурьева, но и при изучении теоретических вопросов. Так, например, при изложении свойств перпендикуляра и наклонных линий, учащимся предварительно предлагается решить следующую задачу: Материалы для биографии Н. И. Лобачевского / Сост. Л. Б. Модзалевский. – М.-Л., 1948. Ланков А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики: Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1951. 3 Там же. 4 Маракуев С. В. Геометрия практическая. Приложение ее к линейному черчению, землемерию, съемке планов, некоторым ремеслам и строительному искусству. – М.: Тип. А. В. Васильева, 1900. 1 2 12 • Измерить расстояние от сучка в доске стола до его края. Сюжеты прикладных задач затрагивают как традиционные темы для учебников того времени (построения и измерения на местности, устройства измерительных приборов), так и вопросы торговли, строительства, столярного дела. Интересно заметить, что не все сюжеты носят утилитарный характер. Отдельные задачи призваны ознакомить учащихся с устройством окружающего мира, возможно, недоступного для непосредственного ведения хозяйственной и производственной деятельности. В подтверждение этому приведем задачу из пособия М. Борышкевича: • Определить окружность Луны, когда известно, что диаметр ее равен 468 географических миль. Для нашего анализа также представляет интерес пособие Г. Я. Юревича «Краткая геометрия для двуклассных сельских училищ» (1912)1. Это пособие предназначено для изучения начального курса геометрии. Существовало два типа такого курса: элементарный и элементарно-теоретический. Двуклассные училища открывались в сельской местности, поэтому обучение в них велось по элементарному курсу, носившему практический характер, что соответствовало потребностям крестьянского труда. Первая часть книги охватывала «приготовительный» курс и являлась универсальной по содержанию для учебного заведения любого профиля. А во вторую часть, содержащую сокращенный курс элементарной геометрии, были включены сведения о практических применениях геометрии к съемке планов, измерению поверхностей и вычислению объемов тел. Имелись прикладные задачи, непосредственно связанные с сельскохозяйственным трудом. Например: • Сколько пудов прессованного сена может поместиться в сарае, длина которого равна 12 саженям, ширина 4 сажени и вышина 2 сажени, если кубическая сажень прессованного сена весит 400 пудов? *** Итак, изучение прикладных аспектов математической науки являлось неотъемлемой частью математического образования в России на рубеже XVIII–XIX вв. Изучение приложений теории к практике имело большое значение как для подготовки к профессиональной деятельности, так и для воспитания образованного человека. МатемаЮревич Г. Я. Краткая геометрия для двуклассных сельских училищ. 8-е изд.- Рига: Книгоизд-во Г. Я. Юревича, 1912. 1 13 тическое образование в целом на этом историческом этапе начинает приобретать черты общекультурной значимости. Этот период будем считать периодом становления не только математического образования, но и его прикладной составляющей. Приложения математики на начальном этапе (ХVII в.) предстают в виде рецептов разрешения конкретных ситуаций. Для ХVIII в. основным было практическое направление, реализуемое в сфере профессионального образования. В конце ХVIII в. теоретическое и практическое направления в обучении стали сближаться. Однако до ХIХ в. изучалась именно прикладная геометрия, а ее теоретическая составляющая служила лишь инструментом решения задач из практики. В учебной литературе XVIII–ХIХ вв. содержатся прикладные задачи, практические задания, а также отдельные сведения о применении математики к наиболее распространенным и востребованным на тот период времени видам деятельности человека. Для геометрии часто встречающимися примерами приложений были: использование геометрических построений для съемки планов местности, вычисление площадей поверхностей и объемов тел в сельскохозяйственной деятельности, использование свойств фигур в столярном и строительном деле. Приоритетной целью использования приложений математики в обучении на протяжении рассмотренного времени (ХVII–ХIХ вв.) являлась профессиональная ориентация обучения. Далее по убыванию значимости – получение полезных для дальнейшей жизни сведений дополнительно к изучаемому математическому материалу, ознакомление с устройством окружающего мира, поддержание интереса к предмету. 14 Тема 2. Обучение приложениям математики в трудовой школе в период образовательных реформ начала ХХ века Международная реформа преподавания математики, Первый Всероссийский съезд преподавателей математики (27.12.1911– 3.01.1912), Второй Всероссийский съезд преподавателей математики (26.12.1913–3.01.1914), трудовая школа, монотехнизм, политехнизм, утилитарность в обучении математике, «Наглядная геометрия» А. М. Астряба (1923), «Курс опытной геометрии» А. М. Астряба (1928), «Практические занятия по геометрии» Я. И. Перельмана (1923), измерительные работы на местности. Следующий период развития школьного математического образования связан со становлением нового Советского государства. Такие политические перемены не могли не вызвать реформирования всей образовательной системы. Проследим, как в этих условиях трансформировалась прикладная составляющая математики в школе. Как отмечают Н. Я. Виленкин и Р. К. Таварткиладзе, в истории образования начало ХХ в. связано с международным движением за реформу преподавания математики1. В России разрабатывается ряд тезисов, которые затем были положены в основу этой реформы. Среди них было сформулировано и такое положение: уделять больше внимания практическим приложениям и усилению связи между математикой и другими дисциплинами. В России насущные проблемы обучения математике в средней и высшей школе были обсуждены на двух ставших историческими съездах преподавателей математики. Среди вопросов, поставленных перед участниками съездов, одним из немаловажных был вопрос о цели овладения математическими знаниями. Речь уже не идет о контекстной модели обучения, но все же прикладной ориентации математики в школе придается существенное значение. В резолюции Первого Всероссийского съезда (27 декабря 1911 г. – 3 января 1912 г.) прямо рекомендовалось создать для школы задачники с прикладным содержанием: «…признается желательным выработка Таварткиладзе Р. К., Виленкин Н. Я. О путях совершенствования содержания и преподавания школьного курса математики. – Тбилиси: Изд-во Тбил. ун-та, 1985. 1 15 задачников, соответствующих кругу интересов учащихся на каждой ступени их обучения и включающих в себя данные из физики, космографии, механики и пр.»1 На Втором съезде (26 декабря 1913 г. – 3 января 1914 г.), проблеме практической ориентации обучения математике было уделено внимание в нескольких выступлениях. В частности, С. Н. Поляков2 в докладе «Вопрос о реформе школьной математики с методологической точки зрения» говорит о том, что математика «укорачивает путь человеческого мышления при познании <…> великой книги природы и жизни, она свои выводы несет в другие науки». Развивая эту мысль, он приходит к выводу, что формально-логическое и практическое направления в преподавании математики могут быть объединены в новое методологическое направление. Его целью является «не столько миропонимание, сколько методы миропонимания». Там же автор указывает на возможную искусственность и отвлеченность фабул задач, связанных с «миропониманием». Но такие задачи, по его мнению, содействуют «усвоению математических методов научного исследования». Среди требований к таким задачам С. Н. Поляков указывает следующие: они «должны быть просты, отвечать реальным соотношениям и освещать какой-либо из приемов научного исследования». Эти идеи в дальнейшем будут реализовываться в той или иной степени в учебных пособиях по математике для школьников как в рассматриваемый период, так и вплоть до сегодняшнего времени. Вслед за Р. С. Черкасовым проследим перемены, произошедшие в образовательной системе в начале ХХ в.3 В послереволюционной России вопросы образования стояли очень остро. Старая система была признана непригодной, традиции русской дореволюционной школы отвергались. Необходимо было разработать принципы построения «новой школы». В связи с нехваткой квалифицированных, образованных рабочих кадров встает вопрос о раннем профессиональном обучении. Р. С. Черкасов выявляет две различные точки зрения на эту пробле1 Труды 1-го Всероссийского съезда преподавателей математики: 1911–1912 гг. Т. 1. – СПб.: Север, 1913. 2 Труды 2-го Всероссийского съезда преподавателей математики. Доклады. – М., 1915. 3 Черкасов Р. С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. – 1997. – № 2. – С. 83–90. 16 му: монотехнизм (ознакомление в процессе обучения с процессами, характерными для различных производств, и в результате приобретение узкой профессиональной специализации) и политехнизм (традиционное общее образование должно стать профессионально-ориентированным, то есть перед учащимися ставится задача изучения принципов работы той или иной техники, но не приобретения навыков ее эксплуатации). Решение проблемы раннего профессионального обучения вылилось в создание в 1918 г. единой девятилетней трудовой школы для детей 8–13 лет на базе существовавших ранее учебных заведений. Ее основой должен был стать производительный труд школьников (монотехнический подход). В программе 1925 г. имеется и прямое указание на необходимость усиления прикладной составляющей математики в школе, установления связей изучаемого материала с реальной жизнью (политехнический подход). Как указывает Ю. М. Колягин, идея трудовой школы стала одной из ведущих идей советской педагогики 20-х гг. прошлого века. В основе этой идеи лежал принцип восприятия обучения через труд. Для детей 8–12 лет это означало обучение через познавательную игру и посильную трудовую деятельность, для подростков 13–16 лет – через знакомство с производственным трудом1. По оценке Ю. М. Колягина, эти вроде бы вполне здравые идеи на практике получили совсем иное воплощение. Организация учебного процесса предполагала замену предметного обучения на изучение комплексных тем, ликвидацию классно-урочной системы, отказ от стабильных программ и учебников и т.п. Обучение должно было осуществляться в процессе решения «жизненных задач». А. В. Ланков2 по поводу преподавания математики в сложившихся условиях пишет: «Новые программы отмечают, что в школе не должно быть математики, как оторванного, самодовлеющего предмета: математика “должна явиться упражнением в счете и измерении изучаемых ими реальных вещей”. Роль математики новые программы определяют как служебную. “Мы пользуемся – говорят они, – ее языком, ее символами для того, чтобы эту жизнь понять, определить, преобразовать”». Далее автор предупреждает о заблуждении считать математику второстепенной наукой и призывает сохранить 1 2 Колягин Ю. М. Русская школа… Ланков А.В. Математика и комплекс. – М.-Л.: ГИЗ, 1926. 17 традиционный подход к ее изучению. Не отвергая тезиса о том, что изучение математики должно сопровождаться решением задач из практической жизни, он указывает на имеющиеся перегибы в этом направлении в трудовой школе: «Математические знания и уменья должны представлять собой орудия познания жизни. Но можно ли изучить математику в процессе познания жизни?» Однако далеко не все разделяли взгляды А. В. Ланкова. В этот период, как пишет Н. Н. Никитин, появились учебные пособия по математике, имеющие целью дать узкие, утилитарные знания. Содержание этих учебников было ориентировано на использование математики в определенной области производства или сельского хозяйства. Вот примеры названий некоторых из них: «Математика токаря», «Математика летом», «Паровоз на уроках математики», «Производственные задачи и вопросы прикладной математики»1. При ближайшем знакомстве с этими пособиями оказывается, что написаны они не профессиональными педагогами, а людьми технических специальностей, работниками сельского хозяйства. Так, упомянутые ранее книги «Паровоз на уроках математики» и «Самолет на уроках математики» были написаны инженером В. Добровольским. Получить по этим книгам конкретные математические знания было весьма трудным делом из-за отсутствия какой-либо логической последовательности в изложении математики. Невозможно по этим пособиям ознакомиться и с устройством паровозов (или самолетов) хотя бы на начальном уровне, пригодном для дальнейшего профессионального обучения. Связи математики с жизнью, к которой стремился автор, не получилось. Таким образом, анализ исторических фактов показывает, что в рассматриваемый период произошел возврат к утилитарному изучению математики. Такие попытки уже были ранее в реальных училищах, но все же в них сохранялись предметное преподавание и классно-урочная система. В трудовой школе все это было утеряно. Изучение «рецептов» применения знаний не привело к повышению уровня образованности школьников, поэтому в дальнейшем от такого подхода полностью отказались. По свидетельству Ю. М. Колягина, за пределами Москвы и Петербурга учителя продолжали обуНикитин Н. Н. Преподавание математики в советской школе 1917–1947 гг. // Математика в школе. – 1947. – № 5. – С. 4–22. 1 18 чать детей по старой системе, и через короткий промежуток времени от этих идей отказались. «Единая трудовая школа» в таком виде смогла просуществовать примерно до начала 30-х гг.1 В этот период, судя по тиражам и количеству переизданий, довольно широко распространенными пособиями для преподавания геометрии были учебники методиста-математика А. М. Астряба (1879–1962), ставшего впоследствии профессором, заведующим кафедрой методики математики Киевского педагогического института. В этих учебниках был реализован другой подход к преподаванию математики. Он основывался на идее использования приложений в обучении, близкой к той, которая была изложена в упомянутом ранее докладе С. Н. Полякова. Подтвердим на примерах сделанный вывод. В «Наглядной геометрии»2, учебнике для школ первой ступени, изложение геометрии А. М. Астряб считал целесообразным начать не с изучения отвлеченных сведений о фигурах на плоскости, а с систематизации и развития имеющихся у ребенка сведений о реальном трехмерном пространстве. В предисловии автор указывает на особенности обучения «наглядной» геометрии, среди которых важно выделить следующую: весь геометрический материал вводится на основе имеющихся у детей данного возраста представлений о предметах, существующих в реальном мире. В содержание обучения также были включены геодезические измерения, которые, по мнению автора, «дают детям <…> удивительно яркие образы геометрических фигур». В настоящее время такой подход можно считать начальным этапом обучения математическому моделированию – обучения умению сопоставлять абстрактные математические понятия и их прообразы, существующие в реальности. Логическим продолжением этого учебника стал «Курс опытной геометрии»3. В предисловии указано: «Предлагаемый “Курс опытной геометрии” ставит себе целью изложить в популярной форме элементарный курс геометрии в объеме, необходимом для применения геометрических знаний в практической жизни». Но обучение геометрии здесь не сводится к решению каких-либо задач из практики. Рассмотрение примеров из реального мира позволяет автору мотивировать необходимость введения геометрических 1 2 3 Колягин Ю. М. Русская школа… Астряб А. М. Наглядная геометрия. – М.-Л.: Гос. изд., 1923. Астряб А. М. Курс опытной геометрии. – М.-Л.: Гос. изд., 1928. 19 понятий, формул, теорем. В учебном пособии имеются хорошо известные задачи об измерении расстояний и высот при различных ограничениях, на которых не будем останавливаться подробно. Задачи с подобным содержанием встречаются и в современной учебной литературе. Проанализируем подход к использованию приложений математики еще одного автора учебников по геометрии того временного периода, сегодня больше известного как популяризатора науки, Я. И. Перельмана. В 20-х гг. прошлого века по заданию Наркомпроса РСФСР в числе своих учебных пособий он написал «Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений»1. Эта книга адресована не только учащимся, но и «учащим». Первая глава предназначена для учителя. Ее название сформулировано автором в виде вопроса: «Как сделать изучение геометрии интересным и жизненным?» В содержании Я. И. Перельман касается вопросов повышения качества преподавания геометрии в школе, указывает на особенности изучения математики в целом, отмечает важную роль задач в обучении. Главная мысль автора состоит в том, что ученик «должен чувствовать, что геометрия снабжает его применимыми к жизни сведениями, вооружает могущественным орудием познания действительности». Обратим внимание на то, что Я. И. Перельман не призывает дать ученикам узкие знания по геометрии, предназначенные для применения в отдельных профессиональных сферах. (Вспомним, что именно на это предполагалось нацелить обучение в трудовой школе.) Напротив, он подчеркивает, что приобретение качественных теоретических знаний школьниками возможно только тогда, когда присутствует интерес к изучаемому предмету. А основой интереса, по мнению Я. И. Перельмана, могут выступать знания о возможностях применения теории на практике. Это созвучно и сегодняшним воззрениям на организацию обучения математике. На протяжении всей книги автор передает учителю свой опыт составления задач, связанных с применением математики. Для этого в каждой главе Я. И. Перельман приводит справочные сведения. Воспользовавшись ими, учитель должен был сам составлять задачи, подобные рассмотренным. Кроме того, автор часто обращается к учителю с различными методическими советами. Перельман Я. И. Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений: Пособие для учащихся и учащих. – М.-Л.: Госиздат, 1923. 1 20 Приведем пример. После задачи следующего содержания: «Наклон почвы не замечается нами, если высота подъема не превышает 1/24 его основания (“заложения”). Сколько приблизительно градусов в угле такого наклона?» – автор дает рекомендации «приучать пользоваться учеников подобными приближенными приемами, дающими часто возможность обходиться не только без тригонометрических таблиц, но и без знания тригонометрии. Учащиеся должны уметь использовать до конца свои геометрические познания и не оставаться беспомощными перед задачами, хотя и неразрешимыми вполне точно доступными им средствами, но допускающими достаточное для практики приближенное решение»1. В этом примере автор обращает внимание учителя на то, что для решения задач, возникающих в реальной ситуации, довольно часто бывает достаточно сделать вычисления приближенно, с определенной степенью точности. Для этого целесообразно выбрать и соответствующий способ решения. В книге приведено довольно много задач, где требуется обосновать или проверить используемую на практике эмпирическую формулу, позволяющую делать вычисления быстро и с нужной степенью точности, так называемые задачи на «проверку технических рецептов геометрического характера». Необходимо обратить внимание и на то, что Я. И. Перельман последовательно, на примерах показывает, как на основе различных данных можно составлять «реальные» задачи, называемые в современной методической литературе прикладными, практическими. Так, к приведенной выше задаче дается вариант подобной ей: • Для русских железных дорог принят предельный уклон 0,008. Для Закавказской железной дороги допущены, в виде исключения, уклоны до 0,025. Каким углам, в градусной мере, соответствуют эти уклоны? Этот подход к составлению задач возможно использовать и сегодня в практике работы учителя математики. В пособии все задачи иллюстрируют применение математики к различным областям знаний и распределены не по темам школьной геометрии, а по разделам приложений. Оно служило дополнением к другому пособию, «Новый задачник по геометрии»2. В нем задачи разделены по темам школьного курса геометрии, решения и ответы помещены в конце задачника. Перельман Я. И. Практические занятия по геометрии… Перельман Я. И. Новый задачник по геометрии (концентрический). Для 5, 6, 7-го годов обучения. 8-е изд. – М.-Л.: Госиздат, 1930. 1 2 21 В современных сборниках подобных задач также обнаруживаются эти два варианта систематизации. По темам школьного курса задачи распределяются тогда, когда авторы предполагают, что книга будет использована на уроках. Второй вариант чаще встречается в сборниках задач, посвященных дополнительному образованию, внеурочному обучению. Удобно иметь систематизацию одного и того же набора задач в двух описанных выше вариантах по следующим причинам. Как правило, ученикам известно, по какой теме школьного курса математики дана задача, соответственно этому, они выбирают и математический аппарат для ее решения. Если это не так, то большинство из них будут испытывать затруднения в поиске решения. Однако при возникновении реальной ситуации, когда надо применить свои познания на практике (ведь именно это имитируется в прикладной задаче), нет указаний или подсказок, что здесь следует воспользоваться, например, теоремой Пифагора или свойствами равнобедренного треугольника. Вопрос привлечения нужных знаний приходится решать самостоятельно. Для моделирования этой ситуации и удобно использовать задачи, систематизированные по отраслям знаний. Нужно отметить, что многие приведенные здесь задачи часто встречаются в современных пособиях. Однако не все задачи безупречны. Обратимся к следующему примеру. Задача 52 (глава V). Земля и Марс обращаются вокруг Солнца по почти круговым путям на расстоянии 150 и 230 миллионов километров. Во сколько раз при наибольшем приближении к Земле Марс ближе к нам, чем при наибольшем его удалении от нас? Проанализируем правомерность сделанных допущений в фабуле задачи. Известно, что Марс обращается вокруг Солнца по вполне отчетливому эллипсу. Этим он сильно отличается от таких планет, как Венера, Земля и Нептун, орбиты которых практически круговые. Наибольшее расстояние между Солнцем и Марсом составляет примерно 250 млн км, а наименьшее – 207 млн км. Максимальное приближение Земли и Марса друг к другу называют великим противостоянием. Именно об этом событии и идет речь в задаче. Однако орбиты этих планет лежат в разных плоскостях и расстояния между ними в моменты различных противостояний нельзя считать одинаковыми. В 1830 г. Земля и Марс оказались на расстоянии 58,12 млн км, а в 2003-м – 55,76 млн км. Эта разница считает22 ся существенной даже в космических масштабах1. По этим причинам нельзя считать, что данная задача снабжает ученика «применимыми к жизни сведениями». В содержании фабул задач встречаются и несуразности. Например, на фоне реалий сегодняшнего времени довольно жестоким выглядит содержание следующей задачи. Задача 128 (глава IX). Если бы все население земного шара утонуло в Ладожском озере, то на сколько поднялся в нем уровень воды? Человеческое тело вытесняет в среднем 50 куб. дециметров. Приведенные примеры позволяют утверждать, что не все фабульные задачи, направленные на применение математики к разрешению реальных ситуаций, могут быть успешно использованы в обучении. К ним необходимо предъявить ряд методических требований. Наряду со сказанным, отметим, что проанализированное учебное пособие является одним из немногих, где уделяется внимание методике составления и использования задач подобного типа в обучении. Продолжим анализ путей развития прикладной составляющей математики в школе. К 30-м гг. XX в. в школьном образовании, как указывает Р. С. Черкасов, наметились следующие перемены2. В 1927–1928 гг. началось восстановление предметной системы преподавания на государственном уровне. В 1930/31 учебном году вводится всеобщее обязательное обучение, в сельской местности – четырехлетнее, в городах – семилетнее, с политехнической направленностью. С 1932/33 учебного года была начата реорганизация семилетней политехнической школы в десятилетнюю. В школьных программах того времени, как и ранее, связь теории с практикой выступала в качестве основного требования к преподаванию математики. Однако теперь это положение должно было реализовываться на фоне систематизированного изучения математических дисциплин. В 1935 г. в соответствии с указанными изменениями была принята очередная программа по математике, которая просуществовала около 20 лет без значительных изменений. Программа восстанавливала математику как самостоятельную дисциплину, признавая ее большое образовательное и практическое значение. Одним из основных требований по-прежнему остается установление во время обучения связи теории с практикой. «Ученик должен уже в школе научиться 1 2 Левин А. Н. Тайны красной планеты // Популярная механика. – 2007. – № 12. – С. 43–44. Черкасов Р. С. История отечественного школьного математического образования… 23 прилагать полученные им знания к разрешению практических вопросов как из области других наук, так и непосредственно в его практической работе»1. В подтверждение сказанному Н. Н. Никитин приводит следующий факт: с 1939/40 учебного года в программу по геометрии «в целях усиления практической направленности» были введены измерительные работы на местности. В курс школьной геометрии в обязательном порядке должны были быть включены приложения математики к геодезии: изучаются не только всевозможные приемы измерений на местности, но и принципы работы простейших геодезических приборов. Этот материал, как показал проведенный анализ, присутствовал и ранее, в дореволюционных учебных пособиях. Но в учебниках 30–60-х гг. ХХ в. этим вопросам уделено особое внимание. Так, по учебнику Н. Н. Никитина2 учащиеся должны были ознакомиться с десятком разнообразных геодезических приборов и изучить принципы их работы. Однако в учебнике для педагогических институтов «Методика геометрии» этого же временного периода Н. М. Бескин3 не уделяет построениям на местности никакого внимания. Формулируя цели обучения геометрии, автор лишь вскользь упоминает о прикладной составляющей курса, говоря о двоякой ценности геометрических сведений. В самом учебнике о практических приложениях упоминается только в главе «Методика преподавания наглядной геометрии», написанной А. М. Астрябом. Позиция этого автора в отношении приложений была проанализирована ранее. *** Итак, назовем рассмотренный период периодом развития прикладной составляющей математики в трудовой школе. В этот период изучение математики в трудовой школе на основе знакомства с производственными, сельскохозяйственными и другими задачами из практики, объединенными в так называемые комплексные темы, не принесло ожидаемых результатов по подготовке к профессиональному обучению. Такое сближение преподавания математики с жизнью не позволило получать учащимся качественные, систематизироНикитин Н. Н. Преподавание математики… Никитин Н. Н. Геометрия: Учебник для 6–8 классов. – М.: Учпедгиз, 1962. 3 Бескин Н. М. Методика геометрии. – М.-Л.: Гос. учеб.-педагог. изд-во Мин. просв. РСФСР, 1947. 1 2 24 ванные знания по математике. Поэтому от такого подхода отказались и вернулись к предметному обучению. Но о полном отказе от использования приложений в обучении математике речи не шло. Подтверждением этому служит, например, факт обязательного изучения элементов геодезии в курсе школьной геометрии. В отдельных учебных пособиях имеются попытки систематизации, определения методики составления и использования задач, связанных с практическими приложениями математики. Расположим по степени значимости основные цели использования приложений в обучении математике в этот период времени (ХIХ–ХХ вв.): • подготовка к получению профессии; • обучение применению изученного теоретического материала на практике; • получение полезных для дальнейшей жизни сведений дополнительно к изучаемому математическому материалу; • помощь в изучении теоретического материала. Подготовка к профессиональной деятельности занимает по-прежнему лидирующую позицию. Но теперь теоретическое направление в обучении выдвинуто на первый план. Практическая составляющая математики в школе стала выполнять иллюстративную роль, служить основой для получения теоретических выводов. 25 Тема 3. Политехническая и прикладная направленность обучения математике в школе во второй половине ХХ века Политехническое обучение, связь обучения с жизнью и трудом, программа по математике для средней школы (1968), факультативные занятия, теоретико-множественный подход, математическое моделирование, реформа средней общеобразовательной и профессиональной школы (1984), прикладная направленность обучения математике, задача с практическим содержанием. Зарождение принципа политехнического обучения произошло еще в начале ХХ в., как было показано ранее. В 50–60-е гг. этот принцип в школьном математическом образовании снова занял главенствующие позиции. Известный математик и методист, академик Б. В. Гнеденко считал, что в школе необходимо уделять значительное внимание вопросам политехнического образования. Реализация принципа политехнизма, по его мнению, должна означать ряд педагогических действий, которые могли бы способствовать подготовке учащихся к профессиональной деятельности в области промышленности и производства. В качестве одного из средств реализации этого принципа снова предлагается «ознакомление учащихся на практике с простейшими приборами и инструментами, практическими устройствами и развитие начальных навыков обращения с ними»1. Политехническое обучение, как указывает Б. В. Гнеденко, проводилось по трем основным линиям: осознанное усвоение теоретических знаний; овладение техникой математических вычислений, преобразований, геометрических построений; умение прилагать математические знания к решению прикладных задач. Повышенное внимание к приложениям математики в школе было вызвано успехами нашей страны, тогда СССР, в технике и атомной энергетике, началом космической эры. Так, в частности, в 1953 г. под руководством C. А. Лебедева в Московском институте точной механики и вычислительной техники АН СССР была создана первая отечественная универсальная цифровая быстродействующая электронная счетная машина (БЭСМ). 27 июня 1954 г. в Обнинске была пущена первая Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование в современном мире. – М.: Просвещение, 1985. 1 26 в мире атомная электростанция мощностью 5 МВт. 4 октября 1957 г. в СССР был запущен в космос первый в мире искусственный спутник Земли1. Эти события нашли отражение и в содержании задач по геометрии. Приведем несколько примеров таких задач2, фабулы которых иллюстрируют технические достижения нашей страны в исследовании космического пространства. • В соответствии с программой исследования космического пространства 3 апреля 1973 года в Советском Союзе произведен запуск орбитальной научной станции «Салют-2» Длина орбиты автоматической станции равна 41 500 км. Считая орбиту станции круговой, вычислите радиус орбиты. • Наибольшее расстояние от поверхности Земли искусственного спутника «Интеркосмос-10», запуск которого осуществлен в Советском Союзе 30 октября 1973 года, равно 1477 км, наименьшее – 265 км. Вычислите длину орбиты спутника, считая ее круговой. В этот исторический период, как пишет академик А. Н. Крылов, одним из факторов, повлиявших на развитие техники и производства, стало широкое применение математических теорий в инженерной практике3. На производстве и в сельском хозяйстве возникла острая потребность в квалифицированных рабочих кадрах и грамотных инженерно-технических работниках. Высокая популярность технических вузов среди абитуриентов того времени связана именно с таким положением в стране. Поэтому появление принципа политехнизма было вызвано прежде всего необходимостью обучения основам производства. Все вышесказанное нашло отражение в методической науке. Так, В. М. Брадис в учебном пособии для студентов педвузов4 рассматривает вопрос о роли практических приложений в преподавании математики. «Вопрос о приложениях математики имеет первостепенное значение для преподавания математики: нельзя плодотворно изучать математику, отрывая теорию от ее практических приложений. Важно Большой энциклопедический словарь. 2-е изд. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1998. 2 Варданян С.С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6–8 классов средней школы / Под ред. В. А. Гусева. – М.: Просвещение, 1989. 3 Академик А. Н. Крылов. Воспоминания и очерки. – М.: Изд. АН СССР, 1956. 4 Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. – М.: Гос. учеб.педагог. изд-во Мин. просв. РСФСР, 1954. 1 27 правильно понимать связь между “чистой” математической наукой и ее приложениями». При изложении вопросов, связанных с методикой обучения геометрии, В. М. Брадис подчеркивает, что успешность овладения школьной геометрией заключается в гармоничном развитии «трех сторон дела» – пространственного воображения, логического мышления и «выработки навыка в практических приложениях». В восьмой главе автор отводит два коротких параграфа практическим приложениям школьной тригонометрии к физике, топографии и астрономии. В то же время В. М. Брадис отмечает, что в сборниках задач и школьных учебниках геометрии недостаточно задач, «действительно возникающих в различных отраслях науки и техники». По мнению автора, подобные задачи «вносят хорошее оживление, приучают ориентироваться в разнообразной жизненной обстановке, вырабатывают правильное воззрение на геометрию как науку о свойствах реально существующих форм», поэтому их присутствие в обучении необходимо. Примерно в это же время была написана книга «Методика преподавания математики» под общей редакцией С. Е. Ляпина1. В разделе «Методика преподавания геометрии» авторы указывают на необходимость усиления внимания к практическому применению знаний «в связи со стоящими перед школой задачами политехнического обучения». В подтверждение этому при изложении методики обучения отдельных тем приводятся примеры «практических задач». Следует отметить, что таких примеров очень немного. Это связано с тем, что учебное пособие построено на анализе школьных учебников математики того периода – анализируются в сравнении порядок изложения материала, способы введения понятий и имеющиеся типы задач. В частности, рассматривается учебник геометрии А. П. Киселева2. Задач, связанных с применением изученного материала на практике, в этом школьном учебнике почти нет. И в пособии В. М. Брадиса, и в пособии под редакцией С. Е. Ляпина нет достаточных материалов для выстраивания учителем собственной методики обучения приложениям школьной математике: задачи не систематизированы, их роль в обучении ограничена демонстрацией применения изученного. Методика преподавания математики: Пособие для учителей математики 8–10 классов средней школы. Ч. II / Под ред. С. Е. Ляпина. – Л.: Гос. учеб.-педагог. изд-во Мин. просв. РСФСР, 1956. 2 Киселев А. П. Элементарная геометрия. Для средних учеб. заведений. С приложением большого количества упражнений и статьи: «Главнейшие методы решения геометрических задач на построение». – М.: Тип. Рябушинского, 1914. 1 28 Неоднократно подчеркивается значимость приложений математики в политехническом обучении. Этот факт свидетельствует о том, что, как и в предыдущий период, сохраняется профессиональная ориентация в обучении практическим приложениям математики. Как пишет Ю. М. Колягин, в соответствии с требованиями времени в 1958 г. вышла новая программа по математике для средней школы. В программе был записан определяющий принцип – «связь обучения с жизнью и трудом, существенное усиление политехнической направленности обучения математике»1. В преподавании математики рекомендовалось уделять внимание развитию счетно-конструктивных навыков, умению пользоваться измерительными инструментами для выполнения практических работ на местности, логарифмической линейкой. Так, в учебнике Н. Н. Никитина2 предлагается изучить принципы работы около десятка разнообразных геодезических приборов. Подробно разбирается устройство экера, астролябии, рейсмаса, малки. Названия этих приборов незнакомы современным школьникам. В этом же учебнике предлагается выполнить ряд практических работ. Например, требовалось «определить в окружающей обстановке высоту какого-нибудь предмета, к основанию которого подойти нельзя», детально изучался одни из методов съемки плана земельного участка «с помощью астролябии путем обхода по контуру». Такая избыточность изучения элементов геодезии была продиктована необходимостью ранней профессиональной ориентацией школьников. Следует отметить, что не во всех учебниках геометрии обнаруживается такое подробное изучение устройства приборов для съемки местности. Большинство пособий по математике для школьников все же ориентировано на теоретическую подготовку. Практические приложения математики по-прежнему выполняют иллюстративную роль. Продолжая анализ учебных пособий для студентов педагогических вузов, отметим, что в последующем издании «Методики преподавания математики…» под редакцией С. Е. Ляпина3 вопросу проведения геодезических работ при обучении геометрии посвящен отдельный параграф. При изложении целей обучения геометрии авторы (С. А. Гастева, Б. И. Крельштейн, С. Е. Ляпин, М. М. Шидловская) пишут: 1 2 3 Колягин Ю. М. Русская школа… Никитин Н. Н. Геометрия… Методика преподавания математики… 29 «Геометрические знания <…> должны помочь ученикам решать задачи производственного характера, узнавать геометрические фигуры в какой-либо реальной конструкции, быстро ориентироваться в чертежах, изображающих конкретные детали механизмов <…> и т.п. Обучение геометрии – важная часть политехнического обучения». Этот пример также показывает попытки сделать обучение математике, и геометрии в частности, профессионально-ориентированным уже в школе. Эти положения нашли отражение и в содержании школьных задач: • Вариометр (прибор, употребляемый в радиотехнике для настройки колебательных контуров) состоит из двух цилиндрических катушек – неподвижной внешней (статор) и подвижной внутренней (ротор), насаженных на общую ось, перпендикулярную их образующим. Требуется, зная внешний диаметр ротора и внутренний диаметр статора, найти, при каких значениях своей ширины (то есть при каких значениях длины своей образующей) ротор будет свободно вращаться. Однако, как и в 20-е гг. ХХ столетия, когда совершались попытки объединения школы и производства в трудовых школах, снова, как указывает Ю. М. Колягин, повторился отрицательный результат. Он пишет: «…“шпиндельная математика”, естественно, в школе не прижилась; весь политехнизм оказался на уровне деклараций»1. Анализ сборников задач того времени показывает, что прикладные задачи носили узкопрофессиональный характер, их фабула зачастую была сложна для восприятия школьнику, да и учителю из-за использования в ней специальной терминологии (см. предыдущий пример). Таким образом, целевая установка на подготовку школьников к практической работе определила тенденцию к снижению уровня математических знаний. Во второй половине 60-х гг. школьное математическое образование в нашей стране претерпело значительную перестройку. Под руководством известных математиков и педагогов А. И. Маркушевича и А. Н. Колмогорова была образована Комиссия по определению содержания среднего математического образования, которая в 1968 г. подготовила и издала новую программу по математике для средней школы. Одной из важных особенностей этой программы стало создание новой для нашей школы формы обучения – факультативных занятий. На таких занятиях предполагается углубление и расширение программного материала, а также изучение дополнитель1 30 Колягин Ю. М. Русская школа… ных тем, важных с образовательной точки зрения и раскрывающих практические приложения математики. Так, например, в пособии под редакцией В. В. Фирсова1 рассматривается вопрос о приложениях сферической геометрии к навигации, картографии и геодезии. Кроме подробного разбора теории, решаются следующие задачи прикладного характера: • Известны географические координаты – широта и долгота пунктов А и В земной поверхности: ϕА, λА и ϕВ, λВ. Требуется найти кратчайшее расстояние между пунктами А и В вдоль земной поверхности (радиус Земли считается известным: R = 6371 км). • Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если известны географические координаты этих точек: ϕА, λА и ϕВ, λВ. Найдите расстояние при движении ледокола от пункта А (70°, 30°) до пункта В (70°, –170°) при движении: а) по локсодромии; б) по ортодромии. Таким образом, учащиеся получают возможность ознакомиться не с отдельными иллюстративными примерами приложений математики, а изучить фрагмент математической теории и исследовать ее приложения к определенной области. При таком подходе уже возможно утверждать, что школьники действительно изучают практические приложения математики. Однако на этом этапе прикладные задачи решаются интуитивно, без использования метода математического моделирования, без предварительного знакомства с понятием модели. Кроме того, обучение на факультативных занятиях не является обязательным для всех учащихся. Поэтому знакомство с приложениями математики доступно не всем школьникам. По свидетельству Ю. М. Колягина, переход массовой школы на новую систему обучения математике был связан с рядом трудностей. Так, например, методической основой новых учебников по геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова2 стал теоретико-множественный подход, отличающийся повышенной степенью абстракции. Анализируя этот учебник, заключим, что на освоение теоретического материала теперь требовалось больше времени. 1 Избранные вопросы математики. Факультативный курс. 10 класс / Под ред. В. В. Фирсова. – М.: Просвещение, 1980. 2 Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия: Учеб. пособие для 6–8 классов средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1979. 31 Количество задач прикладного содержания было минимальным. Их тематикой по-прежнему оставалась геодезия (измерения на местности), техника. Причем в задачах использовалась специальная терминология этих областей знаний с необходимыми пояснениями. Например, в ученике имеются задачи на вычисление азимутов направлений, румбов, рассматривается устройство измерительного прибора, позволяющего определять величину зазора между стенками детали, пропорционального циркуля, масштабной линейки. Есть отдельный пункт «Измерительные работы» в теме «Некоторые применения подобия и формул тригонометрии», в котором рассмотрено всего две задачи: измерение высоты предмета и измерение расстояния до недоступной точки. Рассматриваются межпредметные связи геометрии и физики. Но этот материал невелик и не является обязательным для изучения. Таким образом, изучение практических приложений математики снова нельзя назвать систематизированным и последовательным. Прикладной материал по-прежнему только иллюстрирует изучаемую теорию. Несмотря на сохранение отдельных традиционных подходов в целом такие изменения получили отрицательную оценку некоторых профессиональных математиков, преподавателей вузов и школ. Вот что писал по этому поводу российский математик, академик АН СССР Л. С. Понтрягин в широко обсуждавшейся в то время статье, опубликованной в журнале «Коммунист»: «Теоретико-множественный подход – лишь удобный для математиков-профессионалов язык научных исследований. Действительная же тенденция развития математики заключается в ее движении к конкретным задачам, к практике. <…> С большой досадой приходится констатировать, что вместо того, чтобы прививать учащимся практические умения и навыки в использовании обретаемых знаний, учителя подавляющую часть учебного времени тратят на разъяснение смысла вводимых отвлеченных понятий, трудных для восприятия в силу своей абстрактной постановки, никак не “стыкующихся” с собственным опытом детей и подростков, не способствующих развитию их математического мышления и, главное, ни для кого не нужных»1. Однако, вслед за Н. Я. Виленкиным2, нельзя не отметить положительную сторону произошедших изменений. Школьная математика (и геометрия, в частности) приобрела большую строгость и фундаПонтрягин Л. О математике и качестве ее преподавания // Коммунист. – 1980. – № 14. – С. 99–112. 2 Таварткиладзе Р. К., Виленкин Н. Я. Указ. соч. 1 32 ментальность. Из прикладной математики в школьную практику было перенесено понятие математического моделирования. Об этом свидетельствует, например, статья С. Л. Соболева в журнале «Математика в школе», где он писал следующее: «Практическая направленность курса математики в наше время означает прежде всего то, что учащихся надо познакомить с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями. Школьников надо практически научить строить математические модели для встречающихся жизненных ситуаций»1. В. И. Арнольд отмечал, что умение составлять адекватные модели реальных ситуаций должно стать неотъемлемой частью математического образования. Успех приносит не столько применение готовых рецептов, сколько математический подход к явлениям реального мира2. Предпосылкой к внедрению в обучение метода математического моделирования стало и произошедшее в этот же период расширение содержания предметов математического цикла. Введены новые разделы, направленные на изучение теории вероятностей, векторного исчисления и координатного метода. Однако в широко распространенном в те годы учебнике по методике преподавания математики3 для студентов педвузов отдельного параграфа о математическом моделировании или о методике обучения решению задач прикладного характера нет. В дальнейшем, как указывает Ю. М. Колягин, в 1985 г., была принята программа, в которой были учтены недостатки ее предшественницы и отказались от чрезмерной строгости в изложении материала и обязательного единого теоретико-множественного подхода к построению курса математики. В тоже время декларировалась необходимость усилить прикладное содержание математики в школе, сделать его менее абстрактным и формализованным. Такие изменения были вызваны требованиями, предусмотренными реформой средней общеобразовательной и профессиональной школы (1984). Среди главных задач этой реформы в области обучения математике была названа ориентация на усиление мировоззренчеСоболев С. Л. Судить по конечному результату // Математика в школе. – 1984. – № 1. – С. 15–19. 2 Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире // Математика в образовании и воспитании / Сост. В. Б. Филиппов. – М.: Фазис, 2000. 3 Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. факультетов педагогических институтов / Ю. М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 1975. 1 33 ской, прикладной и практической направленности курса математики, его воспитывающего воздействия. Под этим понималось формирование у школьников устойчивого интереса к предмету и его приложениям, создание правильных представлений о неразрывной связи математики с практикой, о роли математических методов в решении народно-хозяйственных задач и т.п. Как показал анализ, такие задачи ставились перед школой и ранее, но теперь предполагалось, что методика их решения в практике обучения будет лишена недостатков, имевших место ранее. В этот период в курс школьной геометрии включались задачи не только производственного или сельскохозяйственного содержания, но и задачи из области экономики, истории и других сфер человеческой деятельности. Принцип политехнизма уступил место более естественной «прикладной направленности обучения математике», став ее составляющей. Термин «прикладной» был заимствован из терминологического тезауруса математической науки и в рамках теории и методики обучения математике получил иное толкование. Назовем рассмотренный период развития прикладной составляющей школьного математического образования периодом политехнизма, а следующий за ним – периодом прикладной направленности. Понятие прикладной направленности обучения математике, введенного в научно-методическую литературу в 1974 г. В. В. Фирсовым, определялось им следующим образом: «…существо прикладной направленности среднего математического образования заключается в осуществлении целенаправленной содержательной и методической связи школьного курса математики с практикой, что предполагает введение в школьную математику специфических моментов, характерных для исследования прикладных проблем математическими методами».1 Прикладная направленность обучения математике была выделена В. В. Фирсовым в одну из содержательно-дидактических линий, тесно связанную с другими линиями (функциональной, числовой и прочими) школьного курса. Она должна быть реализована не только в изучении разделов прикладного характера (элементов теории вероятности, математической логики и т.д.), решении прикладных задач межпредметного характера, но прежде всего в формировании у 1 Фирсов В. В. О прикладной ориентации курса математики // Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей (Из опыта работы) / Сост. С. И. Шварцбурд, О. А. Боковнев. – М.: Просвещение, 1977. – С. 215–239. 34 школьников конкретных, осознанных представлений о значении математики как науки в различных областях действительности. Приведем несколько наиболее известных взглядов на проблему осуществления прикладной направленности преподавания математики в школе, появившихся в последние десятилетия ХХ в. Ю. М. Колягин и В. В. Пикан считают, что «прикладная направленность обучения математике состоит в ориентации содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках, в профессиональной деятельности, в сельском хозяйстве и в быту»1. При этом они различают еще и «практическую направленность обучения математике – направленность содержания и методов обучения на решение задач и упражнений, на формирование у школьников навыков самостоятельной деятельности математического характера». Н. А. Терешин под прикладной направленностью школьного курса математики понимает направленность содержания и методов обучения на применение математики для решения задач, возникающих вне математики, что в целом согласуется со взглядами предыдущих авторов2. Однако Г. В. Дорофеев считает, что термин «прикладной» в рамках математики в школе необходимо понимать иначе, чем это принято в науке. «Если определенный математический аппарат применяется для достижения некоторых конкретных целей, стоящих перед учащимися, то уже можно считать, что этот аппарат имеет для них прикладное значение, то есть приносит им вполне практическую пользу»3. Под прикладной направленностью тогда понимается обучение применению математического аппарата как в самом курсе математики, так и в других дисциплинах с использованием методов и приемов, характерных для деятельности в области применения математики. В монографии Р. К. Таварткиладзе, Н. Я. Виленкина4 рассматривается ряд принципов обучения математике, среди которых в качестве ведущего указывают принцип связи обучения с практикой. Колягин Ю. М., Пикан В. В. О прикладной и практической направленности обучения математике // Математика в школе. – 1985. – № 6. – С. 27–32. 2 Терешин Н. А. Прикладная направленность школьного курса математики: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. 3 Дорофеев Г. В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – № 5. – С. 28–30. 4 Таварткиладзе Р. К., Виленкин Н. Я. Указ. соч. 1 35 Подробно разбирая реализацию этого принципа, авторы указывают на пути использования практических задач в обучении математики в школе – для мотивации введения понятий, для демонстрации дальнейших приложений этого понятия. Приводится конкретный пример роли практических задач в формировании понятия функции. Сам термин «практическая задача» в работе специально не определяется. В качестве синонима к нему используются «реальная задача», «прикладная математическая задача», «текстовая задача». В этой монографии в неявном виде предъявлены требования к рассматриваемому типу задач. Среди них, например, такой: «Посредством решения практических задач прививается вкус как к отвлеченному мышлению, так и к тождественным преобразованиям» или «Желательны задачи, метод решения которых не предопределен заранее помещением их в соответствующий раздел…». Большинство таких требований носит частнометодический характер и не позволяет перенести их на все задачи такого типа. В книге для учителя «Прикладная направленность школьного курса математики» Н. А. Терешин1 рассматривает понятия прикладной задачи, модели и моделирования. Приведенные автором примеры осуществления прикладной направленности математики в школе касаются курса алгебры основной школы или алгебры и начал анализа старшей школы. Примеров из курса геометрии практически нет. И. М. Шапиро в книге для учителя «Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики»2 приводит свое понимание данного типа задач. Автором сформулированы три требования к таким задачам, состоящие в познавательной ценности, реальности и доступности используемого в них нематематического материала. Представляют интерес выделенные в этом пособии пути использования практических задач: мотивировка введения понятий, иллюстрация учебного материала, закрепление и углубление знаний. Эти пути описаны наиболее полно, имеются соответствующие примеры. Тем не менее и в этот раз, по выражению А. Г. Мордковича, не обошлось без появления работ, имеющих «псевдоприкладной» характер. В этих работах рассматривались, например, «задачи», где «раТерешин Н. А. Указ. соч. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. – М.: Просвещение, 1990. 1 2 36 бочий обдумывает, как из заготовки конической формы изготовить деталь цилиндрической формы, чтобы ее объем был наибольшим»1. Как справедливо замечает автор, в практической деятельности задача так никогда не ставится, поскольку при изготовлении детали важны ее функциональные размеры, то есть размеры, указанные в чертеже, который рабочий получил от инженера. В таких задачах практическая часть сформулирована в отрыве от реальности. Кроме указанного недостатка, отметим, что большинство прикладных задач не соответствовали возрастным интересам школьников. Их фабула была непонятна ученикам, так как не отвечала их знаниям и жизненному опыту, а значит, такие задачи только формально содействовали достижению задекларированных воспитательных целей. Приведем пример такого рода задачи из книги В. А. Петрова2: • Сделайте графическое построение прокоса, оставляемого точкой ножа ротационной косилки при условии, что линейная скорость ножа больше скорости поступательного движения самой косилки. Во многих пособиях по геометрии этого временного периода были собраны практические задачи из пособий предыдущих лет с незначительными изменениями в содержании фабул. Например, следующие задачи из пособия С. С. Варданяна3 очень похожи на задачи Я. И. Перельмана4. • Диаметры колес телеги равны 75 и 90 см. Какой путь пройдет телега, если на этом пути переднее колесо сделает на 230 оборотов больше заднего? • Столб высотой 15 м закрывается монетой диаметром 2 см, если ее держать на расстоянии 70 см от глаза. Найдите расстояние от столба до наблюдателя. Нет сомнений в том, что необходимо использовать накопленный положительный опыт, что и делалось авторами. Приращение банка задач, связанных с приложениями математики в школе, в этот период происходило в основном в направлении производственной тематики. Общекультурные области знаний в фабулах задач пракМордкович А. Г. Зачем учить математику? // Первое сентября, 2002, № 22. – С. 5–6. Петров В. А. Прикладные задачи на уроках математики: Книга для учителя. – Смоленск: Изд-во СГПУ, 2001. 3 Варданян С. С. Задачи по планиметрии… 4 Перельман Я. И. Практические занятия по геометрии… 1 2 37 тически не встречались. Имеющиеся проблемы в этом направлении (недостаточное количество приложений математики в школьном курсе, трудности внедрение методик использования методов прикладной математики для решения задач) были выделены в статье В. В. Фирсова1. Он писал: «…введение новых прикладных областей в объем среднего математического образования совершенно недостаточно, ибо возможности подобного введения принципиально ограничены. <…> ограничены также и возможности введения в школьный курс математики непосредственных иллюстраций практического применения математики к решению внематематических задач». В практику преподавания вопрос обучения школьников приложениям математики так и не вошел. Об этом факте свидетельствует и то, что содержание учебников геометрии авторов А. В. Погорелова2, Л. С. Атанасяна3 и др., имевших большое распространение в школе и в те годы, было ориентировано на изучение теории. Еще одним доказательством высказанного мнения служит то, что задачи рассматриваемого типа не включались в содержание ни текущего, ни итогового контроля. Исключение составляли так называемые текстовые задачи, фабула которых очень отдаленно отражает реальность. *** Исследование вопроса использования приложений в обучении математике в периоды политехнизма (30–70-е гг. ХХ в.) и прикладной направленности (70–80-е гг. ХХ в.) показало, что изменение роли математики в хозяйственной деятельности человека ведет к изменению целей обучения. Потребность в решении производственных задач вызвала появление политехнического принципа. Этому принципу соответствовали приложения математики, связанные с изучением основ производства, принципов работы различных механизмов и приборов, а также освоением космического пространства. Дальнейшее развитие науки и техники и последовавшее за этим расширение и усложнение приложений математики в естественных и гуманитарных областях знаний трансформировало принцип политехФирсов В. В. Указ. соч. Геометрия: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 1991. 3 Геометрия: Учебник для 7–9 классов средних школ / Л. С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1991. 1 2 38 низма в прикладную направленность обучения математике. Задачи на производственную тематику уже не полностью соответствовали основной задаче осуществления прикладной направленности обучения, которая заключалась в формировании определенного уровня математической культуры школьника. Достижение этого уровня означало осознанное понимание происхождения математических объектов, наличие представлений о возможности применения математики к решению задач, возникающих в разнообразных областях знаний, о ее приложениях к различным сферам деятельности человека. Расположим по степени значимости основные цели использования приложений в обучении математике в периоды политехнизма и прикладной направленности: • приобретение полезных для дальнейшей жизни сведений дополнительно к изучаемому математическому материалу; • помощь в изучении теоретического материала; • знакомство с ролью математики в изучении и преобразовании реального мира; • знакомство с методом математического моделирования для решения прикладных задач; • развитие мышления и поддержание интереса к предмету. Как видим, цели использования приложений в обучении во второй половине ХХ в. ориентированы прежде всего на получение общих представлений о применении математики в реальном мире. Это связано с усложнением самой науки математики и расширением сферы ее приложений в технике, производстве, естественных и гуманитарных науках. Стало вполне очевидным, что подготовить геодезиста или строителя в рамках школы невозможно. Контрольные вопросы и задания 1. Составьте аннотированный библиографический список, содержащий литературу об известных методистах и авторах учебников по математике для школьников XVII–XX вв. 2. Докажите на примерах, что в период становления школьного математического образования изучение математики носило утилитарный характер. 3. Охарактеризуйте две модели школьного математического образования конца XVII в.: контекстную и общекультурную. 39 4. В результате образовательных реформ первой половины ХIХ в. была создана трехуровневая система математического образования. Назовите эти уровни. Сколько уровней содержит современная образовательная система? 5. В чем состояли различия в содержании обучения математике в реальных и классических гимназиях конца XIX в.? Подтвердите сделанный вывод примерами. 6. Характеризуя обучение математике на рубеже XVII–XIX вв., исследователи называют его «рецептурным». Что это означает? 7. Приведите наиболее характерные примеры практических приложений математики, которые были включены в обучение в XVII–XIX вв. 8. В связи с какими мировыми историческими событиями были созваны Первый и Второй Всероссийские съезды учителей математики? 9. Поясните суть понятий «монотехнизм» и «политехнизм». 10. Сформулируйте основной принцип обучения в трудовой школе периода 20-х гг. прошлого века. 11. Охарактеризуйте ряд учебных пособий по математике для трудовых школ (на выбор) с точки зрения их прикладной ориентации (воспользуйтесь электронной библиотекой http://www.mathedu.ru). 12. Проведите сравнительный анализ учебных пособий по геометрии авторов А. М. Астряба1 и Я. И. Перельмана2. 13. Составьте «реальную» задачу согласно методическим рекомендациям Я. И. Перельмана. 14. Приведите наиболее характерные примеры практических приложений математики, которые использовались в обучении в 30–60-х гг. прошлого века. 15. Сформулируйте основную идею политехнического обучения, реализованного в школе в 50–60-х гг. прошлого века. 16. Как принцип политехнизма был отражен в содержании школьных задач? Приведите примеры. 17. Попытку объединения обучения математике в школе и профессиональной подготовки в 60-х гг. прошлого века Ю. М. Колягин назвал «шпинделизацией» математики. Почему эта попытка оказалась неудачной? 1 2 40 Астряб А. М. Курс опытной геометрии. Перельман Я. И. Практические занятия по геометрии… 18. Перечислите ключевые идеи реформирования школьного математического образования в 60-х гг. прошлого века. 19. Охарактеризуйте понятие факультативных занятий по математике как формы обучения. 20. Перечислите главные задачи реформы средней образовательной и профессиональной школы 1984 г. 21. Поясните суть понятия прикладной направленности обучения математике, введенного в научно-методическую литературу В. В. Фирсовым в 1974 г. 22. Приведите примеры задач, имеющих, по выражению А. Г. Мордковича, «псевдоприкладной» характер. Обоснуйте свое мнение. 41 Раздел II. Математическое моделирование как теоретическая основа практико-ориентированного обучения математике в школе Тема 1. Представления о математическом моделировании в науке Математизация (Г. Фройденталь), математическая деятельность, модель, моделирование, построение математической модели (А. Д. Мышкис), рациональные рассуждения (И. И. Блехман), прикладная задача, особенности метода математического моделирования. Процесс проникновения методов математики в другие науки, упорядочение научных знаний с помощью математики принято называть математизацией. Как отмечает Г. Фройденталь, сущность математизации состоит в построении математических моделей процессов и явлений и разработке методов их исследования. С философской точки зрения под математизацией наук понимают одно из культурных явлений, которое влияет на наши общие представления о мире, о процессе познания, определяет отношение человека к реальности, его понимание возможностей преобразования объективного мира. Г. Фройденталь называет математизацию процессом «упорядочения действительности»1. Необходимость в таком упорядочении возникает вследствие накопления научных знаний в определенной области. Явление математизации наук – довольно сложный и многоаспектный процесс, который может быть изучен с многих точек зрения. Изучение значения математизации как средства описания, упорядочения и обобщения достижений различных наук является значимым и в методической подготовке учителя. Н. Н. Моисеев утверждает, что существует и обратный процесс в математизации наук. Возникновение новых естественнонаучных концепций часто оказывалось связанным с появлением нового 1 Фройденталь Г. Аксиоматическая абстракция. Математика понятий и математика алгоритмов // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Изд-во УРАО, 2001. 42 математического аппарата. Например, одновременно с развитием механики развивался и соответствующий аналитический аппарат, математический анализ, который позволил описать движение тел в пространстве. Примеров, когда математизируемая наука привносит что-то новое в математику, фактически способствуя ее развитию, существует немало. Вот как пишет об этом Н. Н. Моисеев: «Новые факты, открытые учеными, технические конструкции, созданные инженерами, рождают новые математические задачи. На их основе возникают теории, которые на каком-то этапе, в какой-то момент помогут ученым открыть новые явления и т.д.»1 Сказанное еще раз подчеркивает взаимное влияние математики и других областей знаний, что подтверждает бинарное назначение приложений математики. Процесс математизации исследуется и развивается в специальной математической области – прикладной математике. Фрагменты некоторых разделов прикладной математики изучаются и на школьном уровне, чаще на углубленном. Это элементы дискретной математики (теория графов, задача четырех красок), численные методы (решение систем линейных уравнений), исследование операций (задача коммивояжера, элементы линейного программирования). Изложение для школьников отдельных вопросов из этих разделов можно найти, например, в журнале «Квант». К основной особенности процесса математизации отнесем необходимость выделения из общей ситуации проблемы, которая может быть разрешена средствами математических теорий. Далее строится содержательная модель этой проблемы – непосредственно прикладная задача. При прохождении этих двух этапов математическая деятельность как таковая, казалось бы, отсутствует. Однако эти этапы, в сущности, определяют весь дальнейший ход применения математики. Здесь, наряду со знанием области приложений, требуются развитая математическая интуиция, широкие математические знания. Вот как пишет об этом Б. В. Гнеденко: «Математик-прикладник обязан владеть существом реальной задачи, уметь выбрать математический инструмент, который лучше всего подходит к ней, а если такого инструмента еще не существует, то разработать его, построить разумную математическую модель изучаемого процесса, вывести из нее необходимые следствия и найти их истолкование»2. 1 2 Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. – М.: Наука, 1979. Гнеденко Б. В. Математика и математическое образование… 43 Процесс математизации является составной частью математического моделирования реального объекта. Поиск приложений математики, то есть возможности решить задачу, поставленную на практике или в какой-либо научной области, математическими методами, – особый вид математической деятельности. Овладение такой деятельностью школьниками при изучении математики позволяет утверждать о наличии у них сформированного умения применять полученные знания к решению задач, поставленных в реальности. Выделим общекультурную составляющую представлений о математическом моделировании, которой необходимо владеть учителю математики. Резюмируем имеющиеся в науке общие представления о моделировании. Термин «модель» широко используется не только в математике, но и в других науках и практических областях деятельности. «Модель» происходит от латинского modelus, что означает «мера, мерило, образец, норма». Согласно «Энциклопедическому словарю», модель – это любой образ, аналог (условный или мысленно представляемый) какого-либо объекта, который в процессе исследования его замещает1. Здесь термин «объект» понимается в широком смысле: объектом может быть не только физическое тело (предмет), но и любые реальная ситуация, явление, процесс. Там же дано наиболее общее понятие о моделировании. Моделирование – это исследование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем построения и изучения их моделей. Моделирование также подразумевает и применение построенных моделей для создания новых объектов с заданными характеристиками, рационализации способов их построения. Математическая модель, согласно «Математическому энциклопедическому словарю», – это «приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики»2. Как известно, построение математической модели опирается на систему предположений (гипотез): о форме рассматриваемого реального тела, о пропорциональности заданных величин и т.д. Выбор гипотезы – один из наиболее важных этапов построения модели. Именно это определяет степень ее адекватности реальному объекту. В истории науки имеется немало примеров неправильных гипотез. Большой энциклопедический словарь. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. – М.: Советская энциклопедия, 1988. 1 2 44 Например, широко известны многочисленные гипотезы о форме Земли. Как следствие, при анализе математических моделей, построенных на основании таких гипотез, были сделаны неверные выводы. Общий подход к построению математической модели изучаемого объекта описан А.Д. Мышкисом1 и состоит в выделении тех его характеристик, которые, с одной стороны, содержат более или менее полную информацию об объекте, а с другой – допускают математическую формализацию. Математическая формализация означает, что выделенным характеристикам объекта возможно поставить в соответствие подходящие математические понятия. Тогда обнаруженные и предполагаемые связи между отдельными частями изучаемого объекта могут быть записаны с помощью математических отношений. В результате получается математическое описание изучаемого объекта, то есть его математическая модель. С одной из древнейших математических моделей, геометрией Евклида, учащиеся и знакомятся в школе. Прямые, плоскости, фигуры и т.п. являются моделями окружающего нас пространства. Как показано в научных исследованиях (А. А. Самарский, А. П. Михайлов, И. И. Блехман, А. Д. Мышкис, А. Н. Тихонов, Д. П. Костомаров, Н. Н. Моисеев и другие), для решения прикладных задач необходимо не только широкое знание математики и ее методов, но и представление о том, как эти методы могут быть использованы в других науках. А. Д. Мышкис приводит трехэтапную схему применения метода математического моделирования. Сначала уточняется суть проблемы, сформулированной на языке другой науки, – строится содержательная модель объекта. Затем эта содержательная модель переводится на формальный математический язык (первый этап). Далее построенная математическая модель изучается, по сути, решается полученная математическая задача (второй этап). Результат решения снова переводится на язык той науки, на котором была сформулирована исходная проблема (третий этап). А. Н. Тихонов разделяет процесс математического моделирования на четыре основных этапа: первый – установление законов, связывающих объекты модели; второй – решение математических задач внутри построенной модели; третий – согласование результатов наблюдений или измерений параметров реальных объектов с теоретичеМышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. 3-е изд., испр. – М.: КомКнига, 2007. 1 45 ским исследованием построенной модели; четвертый – уточнение и модернизация модели на основании результатов, полученных на третьем этапе1. Очевидно, приведенные подходы не противоречат друг другу. Процесс построения математической модели связан с применением рациональных рассуждений. В прикладной математике «рациональное рассуждение» И. И. Блехман понимает следующим образом: «…такое рассуждение может включать физические соображения, ссылки на интуицию, различные более или менее правдоподобные упрощения, решения математических задач и ссылки на теоремы на чисто дедуктивном уровне, вычисления...»2 Известно, что математическое моделирование является ведущим методом изучения окружающей действительности и играет фундаментальную роль в многочисленных приложениях математики, выступая генератором наиболее прогрессивных направлений в развитии науки и техники. Математическое абстрагирование естественнонаучной, инженерной, экономической, социальной проблемы позволяет глубже проникнуть в суть рассматриваемого явления, чем непосредственное наблюдение или экспериментальное исследование. Как указывает Н. Н. Моисеев, «наука только и может иметь дело с моделями, с приближенным описанием действительности, отражающими те или иные стороны реальной действительности. Математическая модель – это лишь специальный способ описания, позволяющий для анализа использовать формально-логический аппарат математики. Изучение математических моделей – это основной метод познания, используемый в естественных науках»3. Таким образом, через знакомство с основами метода математического моделирования учитель может показать школьникам на доступном для них уровне значение математики для других наук и проиллюстрировать влияние проблем, возникающих в различных сферах практической деятельности, на развитие самой математики, на расширение арсенала математических моделей. Количество доступных для понимания учащимися содержательных примеров подобной математической деятельности в естеТихонов Н. Л. Задачи прикладного характера и их роль в формировании и развитии интереса к профессии у школьников при изучении математики в 6–8 классах общеобразовательной школы: Методич. рекомендации. – М.: Изд-во МГПИ, 1980. 2 Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. – М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 3 Моисеев Н. Н. Математические модели экономической науки. – М.: Наука, 1973. 1 46 ствознании, технике и т.п. невелико из-за ограниченности имеющихся у них сведений в этих областях. Частично решить эту проблему учитель может, подбирая примеры из обыденной жизни. Ведь решением прикладных задач занимаются не только специалисты-математики. Модели и моделирование лежат в основе познавательных процессов человека. Применение математических методов для изучения закономерностей реальной действительности, для изменения окружающего мира сводится, по существу, к исследованию математических моделей. Отметим, что математика применяется не непосредственно к реальному объекту, а к его математической модели. При изучении реального объекта, выявляются его свойства, которые могут быть описаны на языке той или иной науки. Таким образом, утверждает А. Д. Мышкис1, строится механическая, или физическая, или биологическая, или социальная модель объекта. Это его содержательная модель – собственно прикладная задача, в которой подобран упрощенный объект, с одной стороны, отражающий основные свойства исходного объекта, с другой – допускающий достаточно простое математическое описание. При построении содержательной модели не учитывается ряд несущественных для достижения заданной цели свойств реального объекта. На основе сказанного составим такое представление о прикладной задаче, поставленной в науке: прикладная задача возникает при изучении реального объекта с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели может быть неизвестен. Прикладная задача является содержательной моделью реального объекта, отражающей отдельные его характеристики. В прикладной задаче выделены исходные данные и сформулировано то, что необходимо найти, установить согласно цели исследования этого объекта. В качестве резюме выделим особенности применения метода математического моделирования, которые следуют из проведенного анализа и могут быть учтены при обучении школьников приложениям математики. Будем руководствоваться следующими выводами, полученными на основе анализа работ математиков и педагогов, упомянутых выше. Перед непосредственным построением математической модели объекта, то есть подбором математического аппарата для его иссле1 Мышкис А. Д. Указ. соч. 47 дования, должен быть осуществлен переход от реальной ситуации к ее содержательной модели, а также сформулирована совокупность гипотез о свойствах (физических, химических, биологических и т.д.) объектов содержательной модели, их взаимодействии между собой и с окружающей средой, то есть построена их концептуальная модель. Выбранная математическая модель должна удовлетворять ряду требований. Это требования адекватности (соответствия математической модели реальному объекту), точности, достаточной простоты, полноты, продуктивности (доступности исходных данных – в справочниках или эмпирическим путем). В научной литературе выделены принципы построения моделей, их типы, требования к математической модели. Резюмируем ряд особенностей метода математического моделирования, которые могут быть использованы учителем при обучении школьников практическим приложениям математики: 1. Математика применяется не к реальному объекту, а к его содержательной модели. 2. У одного объекта может быть несколько математических моделей. Создаваемая модель должна отражать те свойства реального объекта, которые входят в проблему его исследования. Для исследования реального объекта могут быть использованы математические модели различных типов. Для исследования различных объектов может быть использована одна модель (принцип множественности моделей). 3. Соответствие математической модели реальному объекту относительно и имеет рамки применимости (требование адекватности модели реальному объекту). 4. Если выбранные математические средства позволяют провести исследование реального объекта в приемлемые сроки и экономно по затратам труда и средств, то выбранная модель является достаточно простой (требование достаточной простоты). 5. Модель должна давать возможность с помощью математических методов получить необходимую информацию о реальном объекте (свойство полноты математической модели). 6. В большинстве случаев сложный объект возможно расчленить на ряд агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными стандартные, хорошо изученные математические модели (принцип агрегирования). 48 7. Оценка результатов исследования математической модели происходит по следующим направлениям: верификация (проверка адекватности результата поставленной задаче), оценка точности и единственности полученных результатов. Это, хотя и схематичное, описание особенностей математического моделирования дает представление о способе его применения для «математического понимания природы»1, о направлениях формирования способности к такой деятельности. Способность математически исследовать окружающую действительность не является отличительным качеством специалистов-математиков. Этой способностью в той или иной степени необходимо обладать каждому: для правильной ориентации в реальных ситуациях, для принятия решений, адекватных поставленной проблеме, и т.д. Таким образом, представления о математическом моделировании имеют общекультурную и общеобразовательную ценность и составляют математическую культуру каждого – и ученика, и учителя. Подтверждением этому мнению служат исследования многих ученых: математиков, методистов, педагогов, психологов. Представления о модели, математической модели, методе математического моделирования, его этапах, особенностях, принципах построения математических моделей составляют методологическую основу обучения школьников практическим приложениям математики. 1 Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире. 49 Тема 2. Значение и функции обучения школьников математическому моделированию Понятие моделирования в обучении математике (Н. Я. Виленкин, Ю. А. Гастев, Л. Д. Кудрявцев, А. Г. Мордкович, В. А. Стукалов и другие), элементы метода математического моделирования в обучении школьников (Л. М. Фридман, А. Я. Блох), функции обучения математическому моделированию: образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей. В настоящее время методологический аппарат моделирования как метода познания достаточно хорошо изучен. Определены понятия «модель» и «моделирование», имеются различные классификации целей моделирования, определены этапы построения модели (Н. Я. Виленкин, Ю. А. Гастев, Л. Д. Кудрявцев, А. Г. Мордкович, В. А. Стукалов, Л. М. Фридман и другие). В обучении математике понятие моделирования (математического моделирования) используется в нескольких аспектах: 1. Как принцип обучения (В. В. Давыдов). Автор считает, что поскольку математика занимается изучением математических структур, которые могут быть моделями реальных объектов, то в основу изучаемого курса математики должен быть положен принцип моделирования. 2. Как средство обучения (Е. С. Муравьева). Автор предлагает использовать возможности моделирования для выделения и фиксации таких свойств изучаемых объектов, которые недоступны непосредственному наблюдению. 3. Как метод обучения (Р. А. Низамов, А. А. Шибанов, А. А. Реан, В. С. Карапетян, В. А. Тайницкий). По мнению авторов, математическое моделирование способствует развитию мышления и познавательных способностей школьника, поэтому его использование целесообразно во всех формах учебного процесса. 4. Как метод преподавания (Н. В. Кузьмина). Учитель может использовать принцип моделирования в качестве приема объяснения нового материала, средства передачи знаний и формирования умений и навыков, их обобщения и систематизации, инструмента контроля и коррекции знаний. 50 5. Как цель обучения и эффективное средство реализации ряда педагогических задач (Л. Г. Петерсон). Моделирование выступает как инструмент решения практических задач и как средство формирования представлений о математическом объекте как о модели реального процесса. 6. Как средство активизации познавательной деятельности в учебном процессе (Е. С. Муравьев, В. С. Абатурова). 7. Как один из методов решения задач (Е. С. Канин, Ф. Ф. Нагибин). 8. Как способ исследовательской деятельности, обучение приемам которого способствует реализации дидактического принципа научности. (И. Я. Мешкова). 9. Как эвристический метод учебного познания (А. Г. Мордкович, Л. В. Вилькеев). В последнем аспекте объединены все вышеперечисленные подходы. А. Г. Мордкович считает, что с точки зрения места, роли и выполнения функций в учебном процессе моделирование может выступать как: а) форма познавательной деятельности; б) один из способов поиска решения задач; в) средство формирования новых знаний; г) способ наглядного воплощения усвоенных знаний. Опираясь на такой подход, А. Г. Мордкович выдвинул концепцию школьного курса алгебры, идейной основой которого являются понятия: «математический язык», «математическая модель», при этом «математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, которые учитель излагает только потому, что они есть в программе, а как цельная развивающаяся и в тоже время развивающая дисциплина общекультурного характера <…> Методология новой концепции заключается в следующем: каждый год обучения ориентирован на конкретную модель реальной действительности»1. Подобная концепция может быть реализована и на материале школьного курса геометрии. Частичная реализация этой идеи имеется в сконструированной выше линии практических приложений математики (ППМ). Проблема разработки методики обучения математическому моделированию школьников также неоднократно освещалась в учебно-методической литературе. Приведем некоторые устоявшиеся положения этой методики. 1 Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс: В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений. 13-е изд., испр. – М.: Мнемозина, 2009. 51 Относительно обучения Л. М. Фридман понимает моделирование как метод опосредованного познания со следующим перечнем целей: 1) замена исходного объекта в некотором мысленном (воображаемом) или реальном действии (процессе), исходя из того, что использовать объект, подобный исходному, более удобно для этого действия в данных условиях (модель-заместитель); 2) создание представления об исходном объекте (реально существующем или воображаемом) с помощью объекта-аналога (модель-представление); 3) истолкование (интерпретация) исходного объекта в виде объекта-аналога (модель-интерпретация); 4) исследование (изучение) исходного объекта с помощью объекта-аналога, посредством изучения объекта-аналога (модель исследовательская)1. Моделирование автор рассматривает как особую деятельность по построению (выбору или конструированию) моделей для указанных выше целей. Существенным является указание автора на то, что моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие процессы, как восприятие, представление, память, воображение и, конечно, мышление. А. Я. Блох предложил три основных способа использования в обучении метода математического моделирования: 1. При введении конкретных понятий, при этом выделяется два типа введения понятий – модельный и формальный. 2. При решении текстовых задач. Их роль связывается с отработкой приемов по переводу условия, заданного текстом, на язык формул; обращается внимание на тривиальность этих задач с точки зрения модельной деятельности в целом, поскольку их условия допускают полное, адекватное отображение на уровень модельных представлений. Особая роль в отражении идеи математического моделирования приписывается задачам, фабулы которых допускают неоднозначность перевода на язык математики. 3. Для использования зависимостей, выражающих естественнонаучные закономерности. Компоненты математического моделирования могут быть отработаны при установлении соотношений между матема1 Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в обучении. – М.: Знание, 1984. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Педагогика и психология», № 6). 52 тическими особенностями формул и соответствующими содержательными понятиями и явлениями, выражаемыми этими формулами. А. Я. Блох при исследовании методических аспектов понятия математической модели выделяет два «слоя»1. Первый «слой» относится к построению математической модели объекта, который сам по себе уже является математическим. Если при решении задачи, относящейся к одной области математики, заимствуются средства из другой ее области, то появляется внутренне-математическое моделирование. Второй «слой» связан с построением математической модели объекта, не являющегося математическим. Внешне-математическое моделирование предполагает применение знаний о функциональных зависимостях, выражающих естественнонаучные или производственные закономерности. Математическое моделирование выполняет ряд дидактических функций в обучении математике в школе. Наиболее полно эти функции выделены Н. А. Терешиным2. Автор разделяет их на две группы: мировоззренческие и социально-педагогические. Однако на современном этапе отдельные функции из этих групп утратили свою актуальность. Так, функция обучения программированию на ЭВМ и работе на микрокалькуляторе передана школьному предмету «информатика». Наиболее значимые для современной образовательной парадигмы функции обучения школьников математическому моделированию следующие: образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей. Раскроем эти функции в контексте практико-ориентированного обучения математике в школе. 1. Образовательная функция. Современная дидактика утверждает, что образование состоит не столько в формировании «абстрактного» знания, сколько в развитии умений использовать его для получения новых знаний и решения жизненных задач3. Поэтому образовательная функция изучения математических моделей объектов окружающего мира имеет бинарное назначение: с одной стороны, способствует усвоеБлох А. Я. О соотношении школьного курса алгебры и базисных математических дисциплин / Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей: Учеб. пособие для студентов математических и физ.-мат. специальностей педагогических институтов / Сост. Н. С. Антонов, В. А. Гусев. – М.: Просвещение, 1985. 2 Терешин Н. А. Указ. соч. 3 Педагогика. Учебное пособие для студентов педагогических вузов и педагогических колледжей / Под ред. П. И. Пидкасистого. – М: Педагогическое общество России, 1998. 1 53 нию содержания школьного курса математики, а с другой – показывает приложения этого курса к изучению объектов окружающего мира. Например, при изучении школьного курса геометрии имеется возможность показать, что одни и те же математические модели (по сути, изученные определения, свойства, формулы и т.п.) могут быть использованы для изучения различных реальных объектов, а следовательно, расширить область применения полученных знаний. Сравним следующие две задачи, которые иллюстрируют универсальность математических знаний. Математическая модель условия этих задач одинаковая – по гипотенузе и острому углу прямоугольного треугольника вычислить противолежащий катет. • Лестница длиной 12 м прислонена к стене дома. Угол ее наклона к поверхности земли равен 72°. Какой высоты достигает верхний конец лестницы? • Угол подъема при взлете модели самолета равен 30°. На какую высоту поднимется самолет, пролетев 200 м, если угол подъема останется неизменным? При решении этих задач учащиеся, с одной стороны, приобретают умение находить в прямоугольном треугольнике по двум заданным элементам третий, а с другой – убеждаются в универсальности математических знаний, в их применимости к описанию объектов различной природы. Знакомство с различными моделями окружающей действительности расширяет знания учащихся о мире. В следующей задаче приведен пример использования геометрии в геодезии. Здесь же есть возможность продемонстрировать иерархичность моделей выбранного объекта – если некоторые модели объединены одной целью, но с различной степенью точности отражают моделируемый объект, то говорят, что такие модели составляют иерархию. • Найдите расстояние между двумя соседними меридианами на экваторе. Приведем ее решение. Если принять, что Земля имеет форму геоида, то мы не сможем решить задачу средствами школьного курса математики. Поэтому возьмем в качестве модели формы Земли сферу. Тогда меридианы являются большими окружностями на сфере с радиусом, равным радиусу Земли. Кратчайшим расстоянием между ними является дуга большой окружности (экватора), соответствующей углу α = 1°. Значит, необхо54 димо вычислить длину дуги окружности заданного радиуса. Радиус Земли R можно принять равным 6371 км. Тогда по формуле длины Rα дуги окружности имеем: L = π180 . Подставив заданные значения, приближенно получим 111,13 км. Таким образом, иерархия моделей здесь представлена цепочкой геоид–сфера. Такое упрощение модели Земли позволяет решить задачу средствами школьного курса математики, однако не дает возможности использовать приведенный способ решения, например, для прокладывания курса корабля. (Этот способ решения не позволяет найти истинного расстояния между меридианами.) 2. Функция контроля учебной деятельности учащихся. Эта функция моделирования на сегодняшний день приобретает особую актуальность в связи с включением в содержание ОГЭ и ЕГЭ задач, связанных с практическими приложениями математики в школе. Приведем примеры. Построение математической модели, сформулированной в задаче ситуации, позволяет учителю убедиться в том, что знания учащихся носят неформальный характер. Так, при изучении третьего признака равенства треугольников вводится понятие «жесткости» фигуры. Следующая задача поможет учителю проконтролировать понимание учащимися сути изученного понятия. • Прямоугольная калитка (рис. 1, слева) со временем расшатывается и становится похожей на параллелограмм. Этого можно избежать, прибив к ней еще одну планку. Только надо знать, как это сделать. (Верный ответ на рис. 1 справа.) Рис. 1 При решении этой задачи ученик должен «увидеть» треугольники, образуемые досками, из которых сделана калитка. В этом слу55 чае учитель может считать, что ученик не только запомнил признак равенства треугольников по трем сторонам, но и умеет использовать его для разрешения ситуации, близкой к реальной. 3. Интерпретационная функция. Эта функция отражает принцип множественности моделей, принятый в прикладной математике. Известно, что один и тот же объект может быть представлен с помощью различных моделей в зависимости от цели исследования объекта. Например, окружность задается с помощью указания ее радиуса, уравнением относительно осей координат, а также с помощью чертежа. В одних случаях целесообразно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других – геометрической моделью. Каждая из этих моделей является ее интерпретацией. Выбранная математическая модель объекта должна удовлетворять ряду требований. Это требования адекватности, точности, достаточной простоты, полноты, продуктивности (доступности исходных данных – в справочниках или эмпирическим путем). Проиллюстрируем примером требование адекватности, то есть соответствия математической модели реальному объекту. Согласно заданной цели исследования модель должна отражать требуемые характеристики объекта. • Перед вами стеклянные чайники четырех моделей одинаковой вместимости (рис. 2). В каком чайнике заваренный чай останется теплым дольше? Рис. 2 Для решения задачи учащимся необходимо выделить те характеристики объектов (чайников), которые повлияют на скорость остывания. Это может быть материал, из которого изготовлены чайники; 56 объем и свойства жидкости, в них налитой; а также площадь поверхности чайника. Так как первые две характеристики у всех чайников одинаковые, остается сравнить последнюю. Из курса физики известно, что время охлаждения пропорционально площади поверхности тела. Значит, чем меньше поверхность чайника, тем дольше остывает чай. Самая маленькая площадь поверхности у четвертого чайника, так как его форма близка к сфере. Таким образом, мы выберем реальный объект, математической моделью которого является сфера. Именно эта модель адекватна заявленным требованиям. В процессе изучения геометрии в школе имеется возможность показать, что при построении математических моделей в прикладной математике реальная ситуация описывается приближенно, так как в модели невозможно (да и нет необходимости) учесть все связи и характеристики изучаемых объектов. Отбрасывание второстепенных деталей облегчает изучение отраженного в модели объекта. В условии следующей задачи уже даны все необходимые упрощения: форма Земли принята за сферу, нет препятствий для зрения человека, острота зрения достаточна и т.д. Таким образом, задача может рассматриваться как содержательная модель реальной ситуации. • Человек среднего роста на совершенно ровном месте видит вокруг себя не далее 4,5 км. Как велика в градусной мере та дуга земной поверхности, которую он видит? Радиус Земли принять равным 6400 км. 4. Функция реализации межпредметных связей связана с необходимостью ознакомления школьников с областями знаний, где возможно применение метода математического моделирования для исследования объектов действительности. Традиционно, в школьном курсе математики межпредметные связи иллюстрируются на примере решения задач с физическим содержанием. Здесь приведем иллюстрацию, связанную с изучением химии. Расстановка коэффициентов в уравнениях химических реакций может занять немало времени, если делать это методом подбора. Если же к решению этой проблемы применить математические знания и составить небольшое алгоритмическое предписание, основанное на решении системы уравнений, то пошаговое его выполнение позволит 57 расставлять коэффициенты в химических уравнениях любой сложности. Итак: 1) обозначим неизвестные коэффициенты химического уравнения x, y, z и т.д.; 2) составим уравнения, определяющие количество атомов каждого химического элемента, входящего в состав реагирующих веществ до и после реакции. Для этого перемножим соответствующие коэффициенты и индексы; 3) выберем переменную, которая в составленной системе принимает наименьшее значение, и приравняем ее к единице; 4) вычислим значения остальных переменных. Если хотя бы одно из полученных значений окажется дробным, необходимо вернуться к предыдущему пункту и увеличить значение выбранной переменной на единицу. Расчет будет закончен, если все полученные значения коэффициентов – целые числа. Продемонстрируем выполнение алгоритма на примере. Пусть требуется расставить коэффициенты в следующем уравнении: СаО + Р2О5 → Са3(РО4)2 1. Введем обозначения для неизвестных коэффициентов: хСаО + yР2О5 = zСа3(РО4)2. 2. Составляем уравнение для каждого химического элемента: Са : х = 3z; Р : 2y = 2z; О : x + 5y = 8z. x = 3z Получаем систему уравнений: y = z x + 5 y = 8z 3. Пусть z =1. 4. Тогда, решая систему уравнений, получим: x = 3, y = 1. Так как все полученные значения – целые, расчет прекращается. Ответ: 3СаО + Р2О5 = Са3(РО4)2. Приведенный способ расстановки коэффициентов в уравнении химической реакции демонстрирует школьникам межпредметные связи алгебры и химии. Изученный учащимися способ является для них актуальным и значимым для успешной учебной деятельности. 58 Учащиеся убеждаются, что полученные математические знания, связанные с составлением и решением систем линейных уравнений, действительно будут ими востребованы при изучении химии. Представленные функции (образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей) и их трактовка в контексте практико-ориентированного обучения математике позволяют выделить ряд особенностей обучения школьников математическому моделированию, которые будут рассмотрены далее. 59 Тема 3. Методические особенности обучения школьников математическому моделированию Использование подготовительных упражнений, сопровождение изложения теоретического материала примерами практических приложений математики, использование поисковых домашних заданий, реализация бинарного подхода в отборе практических приложений математики. Для успешного обучения школьников построению математических моделей реальных объектов, учителю необходимо учесть ряд особенностей этого процесса. 1. Использование подготовительных упражнений. Учащимся необходимо не только решать задачи на приложения соответствующего уровня сложности, но и выполнять подготовительные упражнения на отработку того или иного этапа метода математического моделирования. Эти упражнения могут примыкать к задачам в качестве дополнительных заданий и вопросов или предлагаться как самостоятельные задания. 2. Сопровождение изложения теоретического материала примерами практических приложений математики. Деятельность учителя, связанная с обучением математическому моделированию в условиях ограниченности урочного времени, может быть организована в форме комментариев с прикладных позиций изложения учебного теоретического материала, решения математических задач. Примеры практических приложений математики подбираются с учетом возрастных интересов школьников и служат подготовкой к применению метода математического моделирования. Приведем пример иллюстрирования изложения теоретического материала практическими приложениями математики, позволяющий учителю на уроке мотивировать процесс обучения. В крупных периодических изданиях («Аргументы и факты», «Комсомольская правда» и другие) в последнее время часто встречается реклама, обращенная персонально к читателю и обещающая большой выигрыш «одному счастливчику». Для этого ему необходимо, проведя несложные вычисления с использованием даты своего рождения, номера телефона или других персональных данных, связанных с числами, получить наперед заданное число, указанное в рекламном объявле60 нии. Если арифметические действия привели к этому «счастливому» результату, то читателю якобы положена крупная денежная сумма (объявление на рис. 3) или ценный приз. Однако при внимательном анализе произведенных арифметических действий легко обнаружить, что победителями являются все читатели. Ведь число, связанное с персональными данными читателя, в ходе выполнения требуемых в объявлении арифметических действий незаметно «исчезает». Покажем, как в этом объявлении «исчезнет» год рождения читателя. Пусть читатель родился в году х. Тогда, записав требуемые действия, получим: (х – 333 + 2014 – х + 1319) · 1000 = 3000 000. Рис. 3 Легко заметить, что значение выражения от переменной х не зависит. Нами собрана довольно большая коллекция подобных объявлений. Можно предложить учащимся собрать свою коллекцию аналогичных объявлений и сделать к ним, пользуясь своими знаниями математики, необходимые разъяснения, раскрывающие уловку рекламодателей. 3. Использование поисковых домашних заданий. При постановке домашних заданий учителю необходимо предлагать заинтересованным учащимся дополнительные задания на поиск практических приложений математики, содержание которых может быть связано с 61 интересами и увлечениями школьника, с выбранным им профилем обучения. Такие домашние задания направлены на подготовку школьников к прикладной проектной и исследовательской деятельности. Приведем пример поискового домашнего задания по теме «Объемы и площади поверхности тел. Вычисление коэффициента комфортности жилища», иллюстрирующий третью особенность обучения школьников математическому моделированию (использование поисковых домашних заданий). Постановка задания. Установите геометрическую форму и размеры различных национальных типов жилья народов мира. Вычислите коэффициент комфортности жилища по следующей формуле: k= 36 πV 2 S3 , где V – объем, S – площадь поверхности фигуры. (При правильном вычислении коэффициент k всегда меньше либо равен единице. Чем ближе этот коэффициент к единице, тем жилье комфортнее.) Данные представьте в таблице по следующим столбцам: 1) название жилища, 2) изображение жилища; 3) значение коэффициента комфортности. Сделайте вывод, какое жилье, на ваш взгляд, является наиболее комфортным. Поисковая деятельность учащихся состоит в самостоятельном анализе научно-популярной, справочной литературы и вычленении из ее содержания сведений о форме и размерах различных национальных жилищ. Обучающие возможности этого задания обоснованы большим выбором форм жилищ. При вычислении их объемов и площадей поверхностей отрабатываются необходимые для усвоения этой темы умения и навыки. При выполнении этого задания у учащихся формируются следующие поисковые, исследовательские навыки: работа с информационными источниками, анализ и выделение главного, систематизация, сравнение и обобщение информации и т.п. Жилища, которые могут выбрать учащиеся: 1) восточносибирский чум – конус, высотой h = 4 м и радиусом основания r = 3 м; 2) жилище эскимосов на Аляске – конус, высотой h = 5 м и радиусом основания r = 4 м; 3) жилище береговых чукчей – цилиндр (основание), высотой Н = 1,3 м; конус (крыша), высотой h = 2 м и радиусом основания r = 2,5 м; 62 4) жилище аборигенов Северной Австралии – часть сферы, высотой h = 2,5 м и радиусом основания r = 3 м; 5) жилище народов кирди в Камеруне – цилиндр, высотой h = 2 м и радиусом основания r = 6 м; 6) традиционное европейское жилище – комната в форме прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 6; 3; 2,7 м. Результаты обсуждаются совместно со всеми учащимися, выполнявшими это задание. По результатам вычислений выбирается самое комфортное жилище. Также целесообразно с учащимися обсудить возможные погрешности вычислений, сделанные допущения и упрощения. 4. Реализация бинарного подхода в отборе практических приложений математики. Подбор задач на приложения необходимо осуществлять с учетом бинарного назначения практических приложений математики в обучении (с одной стороны, обучение приложениям математики, с другой – обучение математике через ее приложения). При разработке внеурочных занятий по математике прикладного содержания (кружков, курсов по выбору и т.д.) отбор материала определяется необходимостью рассмотрения разделов математики, служащих, с одной стороны, теоретической основой приложений, а с другой – расширяющих и углубляющих знания учащихся по школьному курсу математики. Например, на внеурочном занятии «Построение правильного пятиугольника» учитель предлагает школьникам изучить несколько способов решения задачи на построение правильного пятиугольника циркулем и линейкой (по его стороне, по диагонали и по углу 72°), а затем приводит несколько примеров приближенного построения этой фигуры, применяемого в живописи и искусстве оригами. Таким образом, учащиеся овладевают математической теорией, а затем знакомятся с ее приложениями. Приведем пример построения правильного пятиугольника методом Дюрера. Великий немецкий живописец, гравер и рисовальщик Альбрехт Дюрер (1471–1528) часто использовал в своем творчестве изображение правильного пятиугольника. Дюрер нашел легкий способ его построения. Пусть это построение и не совершенно точное, но для практических целей вполне достаточное. Этот способ заключался в следующем (рис. 4). 63 1. Из точек А и В проведем две окружности радиусом АВ. Обозначим точки пересечения этих окружностей D и С. Рис. 4 2. Проведем серединный перпендикуляр к АВ через точки D и С. 3. Из точки D радиусом АВ проведем еще одну окружность. Обозначим точки пересечения с предыдущими окружностями и серединным перпендикуляром к АВ точками Е, F и G. 4. Проведем прямые EG и FG. Точки их пересечения с соответствующими окружностями обозначим H и I. Это вершины правильного пятиугольника. 5. Вершину L построим как пересечение дуг окружностей радиуса АВ с центрами в точках I и H. Соединим точки А, В, H, L, I. Построение завершено. Анализ и доказательство здесь отсутствуют, так как метод построения не имеет цели получить точное изображение правильного пятиугольника. Учитель далее может предложить учащимся найти на картинах А. Дюрера объекты, расположенные художником в вершинах правильного пятиугольника. Учет перечисленных методических особенностей позволит сделать процесс обучения математическому моделированию непрерывным и поступательным, что обеспечит качественную подготовку школьника к решению задач практического характера, включенных в государственную итоговую аттестацию по математике на основной и старшей ступенях общего образования. 64 *** Итак, математическое моделирование выступает идейной основой практико-ориентированного обучения математике в школе. Поиск приложений математики, то есть возможности решить задачу, поставленную на практике или в какой-либо научной области, математическими методами, – особый вид математической деятельности. Математическая модель, согласно «Математическому энциклопедическому словарю», – это «приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики». Процесс построения математической модели связан с применением рациональных рассуждений. Представление о прикладной задаче, поставленной в науке: прикладная задача возникает при изучении реального объекта с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели может быть неизвестен. Прикладная задача является содержательной моделью реального объекта, отражающей отдельные его характеристики. В прикладной задаче выделены исходные данные и сформулировано то, что необходимо найти, установить согласно цели исследования этого объекта. Особенности метода математического моделирования, которые могут быть использованы учителем при обучении школьников практическим приложениям математики: 1. Математика применяется не к реальному объекту, а к его содержательной модели. 2. У одного объекта может быть несколько математических моделей. Создаваемая модель должна отражать те свойства реального объекта, которые входят в проблему его исследования. Для исследования реального объекта могут быть использованы математические модели различных типов. Для исследования различных объектов может быть использована одна модель (принцип множественности моделей). 3. Соответствие математической модели реальному объекту относительно и имеет рамки применимости (требование адекватности модели реальному объекту). 4. Если выбранные математические средства позволяют провести исследование реального объекта в приемлемые сроки и экономно по затратам труда и средств, то выбранная модель является достаточно простой (требование достаточной простоты). 65 5. Модель должна давать возможность с помощью математических методов получить необходимую информацию о реальном объекте (свойство полноты математической модели). 6. В большинстве случаев сложный объект возможно расчленить на ряд агрегатов (подсистем), для адекватного математического описания которых оказываются пригодными стандартные, хорошо изученные математические модели (принцип агрегирования). 7. Оценка результатов исследования математической модели происходит по следующим направлениям: верификация (проверка адекватности результата поставленной задаче), оценка точности и единственности полученных результатов. В обучении математике понятие моделирования (математического моделирования) используется в нескольких аспектах: принцип, средство, метод обучения; метод преподавания; цель обучения и эффективное средство реализации ряда педагогических задач; средство активизации познавательной деятельности; один из методов решения задач; способ исследовательской деятельности; эвристический метод учебного познания. Функции обучения математическому моделированию: образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей. Методические особенности обучения математическому моделированию в практико-ориентированном обучении школьников состоят: в использовании подготовительных упражнений, сопровождении изложения теоретического материала примерами практических приложений математики, использовании поисковых домашних заданий, реализации бинарного подхода в отборе практических приложений математики. Контрольные вопросы и задания 1. Составьте для учащихся краткий словарь терминов, необходимых в обучении математическому моделированию (не менее 7 терминов). 2. Приведите пример рационального рассуждения при решении прикладной задачи в науке или школьной практике. 3. Перечислите особенности методов математического моделирования, которые должны быть учтены учителем при обучении школьников практическим приложениям математики. 66 4. Кратко охарактеризуйте функции обучения математическому моделированию (образовательная, контроля учебной деятельности учащихся, интерпретационная, реализации межпредметных связей). 5. Приведите пример реализации интерпретационной функции в обучении математическому моделированию в школе. 6. Составьте подготовительные упражнения на отработку этапа формализации метода математического моделирования для учащихся 8 класса. 7. Предложите поисковое домашнее задание прикладного характера по теме «Симметрия фигур». 8. Подберите прикладные иллюстрации к теме «Признаки равенства треугольников» (не менее трех иллюстраций). 67 Раздел III. Линия практических приложений математики в школе как средство реализации практико-ориентированного обучения Тема 1. Практико-ориентированное обучение математике Практико-ориентированное образование, практико-ориентированность обучения математике в школе, место и значение практических приложений математики в современных нормативных документах, ФГОС общего образования (2011), модернизация образования, содержание практических приложений математики в современных школьных учебниках и учебных пособиях. В педагогической науке понятие практико-ориентированного образования традиционно связывается с профессиональной подготовкой специалиста в среднем специальном или высшем учебном заведении. Поэтому в соответствующих исследованиях его называют профессионально-ориентированным. Суть такого образования состоит в ориентации теоретической подготовки обучающихся на приобретение знаний, умений, навыков, практических способов деятельности в рамках получаемой профессии, в формировании у них значимых для будущей специальности личностных качеств. В педагогике также исследована дидактическая категория «практико-ориентированный подход в обучении», в основном в профессиональном обучении, высшем и среднем. В этом контексте под практико-ориентированным подходом понимается нацеленность образовательного процесса на конечный продукт обучения. Таким продуктом может быть и сумма профессиональных компетенций, и опыт практических действий в рамках конкретной специальности1. В средних специальных учебных заведениях необходимость сочетания общеобразовательной и профессиональной подготовки обусловлена их спецификой. Это закономерно ведет к профессиональной Сазанова Е. А. Особенности теории и технологии практико-ориентированного подхода при подготовке учителя: Дис. … канд. пед. наук. – Томск, 2000. 1 68 направленности обучения математике. Так, например, при подготовке специалистов по социально-экономическому направлению особенно важны знания элементарных функций, их свойств и графиков, теории вероятностей и математической статистики. Средствами дисциплин математического цикла формируется достаточно обширный список профессиональных компетенций, необходимых для расчетно-экономической деятельности. Так, для специальности «Банковское дело» во ФГОС среднего профессионального образования включена дисциплина «Финансовая математика», предназначенная для приобретения практико-ориентированных математических знаний1. Таким образом отбор содержания обучения математике в системе среднего профессионального образования имеет профессиональную значимость для обучающихся. А практико-ориентированность образования выражается в направленности на приобретение учащимися практических навыков использования изученного в профессиональной деятельности. В основе практико-ориентированного обучения в высшем профессиональном образовании, по утверждению Ф. Г. Ялалова, лежит сочетание фундаментального образования и профессионально-прикладной подготовки для обеспечения связи содержания профессионального образования с реальными потребностями промышленности и социальной сферы2. На современном этапе перед вузами в связи с введением ФГОС высшего профессионального образования стоит задача организации обучения на компетентностной основе путем усиления его практической направленности при сохранении фундаментальности. В условиях общего образования не предусмотрено получение профессии. Однако есть необходимость в подготовке учащихся к выбору сферы будущей профессиональной деятельности, в формировании у них адекватной современному уровню знаний картины мира. Основы практико-ориентированного обучения математике закладывались в предыдущие периоды развития школьной образовательной системы. Анализ истории развития школьного математиФедеральные государственные образовательные стандарты среднего профессионального образования по специальностям: 080110 «Банковское дело», 040401 «Социальная работа», 080118 «Страховое дело», 031001 «Правоохранительная деятельность». URL: http://www.edu.ru/db/portal/sred/archiv_new.htm 2 Ялалов Ф. Г. Деятельностно-компетентностный подход к практико-ориентированному образованию // Эйдос. – 2007. – 15 января. URL: http://www.eidos.ru/journal/2007/0115-2.htm 1 69 ческого образования показал, что становление практико-ориентированного обучения тесно связано с дидактическими принципами связи обучения с жизнью, политехнизма, межпредметных связей, профессиональной и прикладной направленности. В начале ХХ в. в периоды трудовой школы и политехнизма обучение математике носило выраженный профессионально-ориентированный характер. В дальнейшем от такого подхода отказались, перейдя к реализации прикладной направленности обучения. В настоящее время практико-ориентированное обучение математике в школе вновь становится востребованным. Об этом, например, свидетельствует факт введения в итоговую аттестацию задач практического характера. Очевидно, что теперь практико-ориентированность должна пониматься несколько иначе. Анализ современных тенденций развития школьного математического образования показывает, что содержание обучения математике в школе сегодня имеет в основном общекультурную значимость для учащихся. Если ранее школьники подробно изучали, например, принципы работы ряда геодезических приборов, выполняли практические работы, связанные с измерениями и построениями на местности, то сегодняшние ученики не всегда знают даже названия простейших измерительных приборов. У современных школьников нет потребности обогащать свой жизненный опыт подобными знаниями и навыками, они перешли в разряд профессиональных. В практикоори­ентированном обучении возможна подготовка учащихся к решению задач, часто возникающих в практической деятельности человека. Однако им необходимо в процессе обучения математике не только усвоить ряд фактов и способов действий, но и обрести способность объяснять с помощью этих фактов различные явления действительности, устанавливать взаимосвязи между объектами реального мира. Именно способность математизировать информацию об окружающем мире и получать на основе этого новую информацию является одной из характеристик самостоятельно мыслящего, интеллектуально развитого человека. В этом и состоит практико-ориентированность обучения математике в школе. Исторический анализ показал, что использование в обучении математике ее практических приложений является специфической особенностью российского школьного математического образования. Перед учителем сегодня стоит задача не утерять лучшие методи70 ческие достижения в этом вопросе и поднять их на новую ступень. Накопленный исторический опыт свидетельствует, что приложения математики к изучению реального мира могут быть использованы для достижения различных целей, связанных с обучением, развитием и воспитанием учащихся. Постановка таких целей, как мы имели возможность убедиться, зависела от общей политики государства в этот исторический период и, соответственно, от выбранных приоритетов в образовании. Какие цели обучения приложениям математики в школе поставлены сегодня? Что из предыдущего опыта в этом направлении следует сохранить, а от чего категорически отказаться? Согласно ФГОС общего образования раскрытие математических законов в живой природе, показ взаимосвязей математики с искусством, практическими сферами деятельности – одна из основных задач практико-ориентированного обучения математике в школе. Однако в настоящее время еще не сформирована общетеоретическая база, разрознены формы и приемы обучения школьников практическим приложениям математики, нет устоявшегося содержания. Как указано во ФГОС основного общего образования, изучение математики сегодня направлено, в частности, на «осознание значения математики <…> в повседневной жизни человека; формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, универсальном языке науки, позволяющем описывать и изучать реальные процессы и явления»1. На пути достижения поставленных в этом документе результатов обучения математике имеется ряд объективных трудностей. Так, подбор приложений, которые показали бы существенную роль математики в исследовании реальности, в решении известных проблем естествознания, затруднен в связи с тем, что для их понимания сведений по элементарной математике недостаточно. Возможность выбора содержания прикладных задач ограничена рамками содержания школьного курса математики и других дисциплин, изучаемых в школе. Кроме того, простым добавлением прикладных разделов или задач к содержанию школьного курса ограничиться нельзя. Требуются методики обучения практическим приложениям математики, отвечающие современной образовательной парадигме. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования // Министерство образования и науки РФ. URL: http://минобрнауки.рф/ документы/938 1 71 Анализ учебных пособий, программ, научных исследований показал, что связь обучения математике с жизнью, прикладная и практическая ориентация курса математики, декларируемая в документах, не всегда реализовывалась в преподавании в школе. Так, в хорошо известных учебниках по геометрии авторов А. Н. Колмогорова, А. В. Погорелова учащимся предлагается в большей мере теоретический курс с редкими примерами приложений. Безусловно, наряду с этими учебниками существовали (и есть сейчас) сборники задач с прикладным и практическим содержанием. Однако по различным причинам подобные задачи редко использовались на уроках. Одной из таких причин являлось отсутствие задач на приложения математики в итоговом контроле на различных этапах обучения. На сегодняшний день, как известно, произошли существенные изменения в содержании итогового контроля. В кодификаторе требований к уровню подготовки выпускников по математике для составления контрольных измерительных материалов единого государственного экзамена указано, что школьники должны уметь строить и исследовать простейшие математические модели, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни1. Открытый банк заданий для проведения ЕГЭ постепенно наполняется задачами на проверку указанного умения. Эти факты свидетельствуют о том, что такое умение ранее практически не формировалось при обучении математике в школе, но в настоящее время ситуация меняется. Анализ современных образовательных тенденций в преподавании математики показывает, что практические приложения должны составлять неотъемлемую часть содержания обучения математике. Проследим, как это положение отражено в современных учебниках геометрии для основной и старшей ступени общего образования. Проанализируем учебники геометрии, рекомендованные Министерством образования и науки РФ к использованию в общеобразовательных учреждениях в 2013/14 учебном году, в которых практическим приложениям уделено специальное внимание. Рассмотрим учебники геометрии для 7–9 классов (для базового и углубленного изучения), а также для 10–11 классов (базовый и профильный уровень) авторского коллектива А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик, Т. Г. Ходот. 1 72 http://www.fipi.ru/ege-i-gve-11/demoversii-specifikacii-kodifikatory Во введении к учебнику для 7 класса сказано: «Эти учебники написаны в единой научно-методической концепции, согласно которой геометрия, изучающая окружающий нас мир, сочетает строгую логику с живостью наглядных представлений, идет от практики и применяется на практике»1. Задачи в учебниках для углубленного изучения структурированы по рубрикам, одна из которых названа «Применяем геометрию». В ней по замыслу авторов собраны задачи, связанные с приложениями геометрии. Такие задачи имеются во всех учебниках этой линии. Однако они представлены не в каждой теме. В учебниках обращается внимание на практическое применение геометрии, на ее связь с искусством, архитектурой, приложения иллюстрируют изложение теоретического материала. Авторы поясняют свою концепцию изложения курса геометрии словами академика А. Д. Александрова «Задача преподавания геометрии – развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понимание и логическое мышление»2. Следуя А. Д. Александрову, авторы «под практикой» понимают все виды человеческой деятельности, среди которых особо выделяют интеллектуальную. «Таким образом, практическая составляющая геометрии проявляется в различных применениях последней как в других науках, так и в реальной жизни, и в искусстве, и в ремесле»3. Авторы учебников геометрии для 7–9 классов4 И. М. Смирнова и В. А. Смирнов также уделяют специальное внимание прикладным аспектам. Об этом свидетельствует содержание таких тем курса, как «Кривые и графы», «Изопериметрическая задача» и т.д. Задачи с практическим содержанием включены авторами в дидактические материалы5. Выпущен отдельным изданием и сборник таких задач6. Анализируя содержание большинства учебников геометрии других авторов, отметим, что в них также использованы практиче1 Геометрия: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учреждений / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2003. 2 Вернер А. Л. Уроки Александрова // Математика в школе. – 2002. – № 7. – С. 21–26. 3 Рыжик В. И. Геометрия и практика // Математика в школе. – 2006. – № 6. – С. 9. 4 Геометрия. 7–9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2005. 5 Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия: Дидактические материалы: Учеб. пособие для 9 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2007. 6 Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010. (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика», вып. 34). 73 ские приложения для иллюстрации теоретического материала в фабуле учебных задач. Однако это скорее сделано «по традиции», количество приложений совсем невелико, их тематика не отличается разнообразием. Чаще всего это задачи и примеры, связанные с измерениями на местности. Таким образом, положения, сформулированные в нормативных документах, свидетельствуют о необходимости обучения школьников приложениям математики и задают результаты такой работы. Однако на уровне содержания учебного предмета «Математика» этот вопрос проработан недостаточно. Авторы учебников в той или иной степени используют практические приложения математики в обучении. Однако этого явно недостаточно для формирования прикладных умений школьников. Очевидно, присутствие приложений в школьном курсе математики обусловливается не только необходимостью знакомства школьников с возможностью применения полученных знаний на практике, но и приобретением более сложных умений, связанных с формированием общей культуры школьников. Необходимыми компонентами общей культуры в рассматриваемом контексте являются представления о математических методах изучения реального мира, об особенностях применения математики к решению прикладных задач, понимание значения математики для естественных и гуманитарных наук, техники и производства. 74 Тема 2. Конструирование содержательно-методологической линии практических приложений математики Бинарность в обучении практическим приложениям математики, практико-ориентированное обучение, содержательно-методическая линия, содержательно-методологическая линия, формализация действительности, содержательная модель, ведущая идея, принципы конструирования линии ППМ (математизации, соответствия, доступности, достоверности, открытости). Как известно, в школьном курсе математики выделены следующие основные содержательно-методические линии: геометрических фигур и их свойств, геометрических величин, геометрических преобразований на плоскости и в пространстве, векторно-координатную и элементов тригонометрии (геометрия); числовая, функционально-графическая, тождественных преобразований, уравнений и неравенств (алгебра и начала анализа). Отдельно рассматривают и стохастическую линию. Основой для выделения содержательно-методических линий, по мнению А. Я. Блоха, служат «крупные блоки математического знания и те фрагменты учебного материала, к которым эти блоки особенно удачно применимы с целью их методического изучения»1. Каждая из линий, по утверждению А. Я. Блоха, «имеет некоторое количество характерных для нее представлений, понятий и методов применений». Е. И. Лященко выделены составляющие элементы линии: «а) содержание учебного материала в выделенной линии (понятия и их определения, утверждения и их обоснование, правила и алгоритмы); б) некоторые методические требования к содержанию и последовательности расположения учебного материала (избранная в учебнике трактовка понятий, структура расположения материала и другое); в) наборы математических задач (характеристика их познавательной и обучающей функции)»2. «Внутри каждой из содержательнометодических линий могут быть использованы различные средства Блох А. Я. О соотношении школьного курса алгебры… Лященко Е. И. Содержательно-методологические линии школьной математики / Проблемы теории и практики обучения математике: Сб. научных работ, представленных на Международную научную конференцию «59-е Герценовские чтения». – СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2006. – С. 128–132. 1 2 75 по приданию самой линии целостности, но они чаще всего будут локальны и применимы для конкретной линии…» Таким образом, автором фактически выделена общая структура линии. В школьном курсе математики Е. И. Лященко отдельно выделяет различные содержательно-методологические линии. К ним отнесены, например, линии математического языка, доказательств. От содержательно-методических они отличаются наличием понятий и методов, которые изучаются не только внутри линии, но могут быть использованы для раскрытия содержания и установления связей между объектами других линий. Например, линия доказательств, группирует скорее не математическое, а логическое и эвристическое содержание. Соответствующее содержание объединено аксиоматическим методом, играющим важнейшую роль и в школьной, и в вузовской математике. Базовое понятие этой линии, доказательство, – не только фундаментальное понятие математики-науки, но и общенаучное понятие. Линия практических приложений математики в школе (далее – линия ППМ) также является содержательно-методологической. Методологическая функция линии состоит в изучении понятий и методов, объединяющих содержание не только методических, но и предметных линий всего школьного курса математики. Линия ППМ объединяет содержание, которое нельзя назвать только математическим. Это общие сведения о возможных областях приложений математики, знания о сущности процесса установления соответствия между реальными и математическими объектами и т.п. Математическим методом, интегрирующим это содержание, очевидно, является метод математического моделирования. Содержательно-методические и содержательно-методологические линии характеризуются базовыми понятиями, содержанием учебного материала, наборами задач, математическими методами их решения, временем и этапами реализации линий в учебном процессе. Представим содержательную характеристику линии ППМ по этим составляющим с примерами из школьного курса геометрии. К базовому понятию линии естественно отнести понятие математической модели, так как оно проявляется во всех средствах обучения практическим приложениям математики в школе. Математическим методом выделяемой линии является метод математического моделирования, который одновременно является специальным 76 (частнометодическим) методом обучения и методом решения задач на приложения математики в школе. Методологическая функция линии ППМ позволяет сформулировать ведущую идею и принципы ее конструирования. Накопленный педагогический опыт свидетельствует, что практические приложения геометрии для их использования в обучении должны быть подобраны специальным образом. Как известно, приобретенные школьниками умения применять геометрию проявляются при изучении ряда школьных предметов: физики, химии, географии и т.д. Для развития таких умений в курс геометрии традиционно включаются межпредметные задачи. Для того чтобы уроки геометрии не подменяли уроки других дисциплин, при подборе задач межпредметного содержания основной акцент делается на построение математической модели, на выбор подходящего математического аппарата. Используемые при этом физические, химические или какие-либо другие модели задачи достаточно просты. Таким же образом осуществляется и подбор всех видов задач на приложения математики. Ведь на уроках математики школьники прежде всего обучаются математике. Руководствуясь выводами, полученными в результате изучения роли математики в познании предметного мира, исторических аспектов развития математики-науки, исторического анализа развития прикладной составляющей школьного курса математики, сформулируем ведущую идею реализации линии практических приложений математики в школе и практико-ориентированного обучения математике в целом. Содержание и методы обучения, используемые при реализации линии ППМ, направлены: на формирование у школьников понимания роли математики в решении широкого круга проблем, возникающих в учебной, научной и профессиональной деятельности, в повседневной жизни; на формирование способности использовать полученные знания вне рамок учебного процесса. Опираясь на ведущую идею и на известные общедидактические принципы связи обучения с жизнью, теории с практикой1, выделим принципы конструирования линии практических приложений математики в школе: Ситаров В. А. Дидактика: Учеб. пособие для студентов высших педагогических учеб. заведений / Под ред. В. А. Сластенина. – М.: Академия, 2002. 1 77 1) математизации знаний; 2) соответствия содержания практических приложений математики познавательным возможностям и интересам учащихся; 3) доступности для изучения на школьном уровне средств математизации знаний; 4) достоверности содержания практических приложений математики; 5) открытости содержания линии ППМ. 1. Принцип математизации знаний Этот принцип означает, что процесс применения математики для изучения и преобразования реальных объектов является методологической основой конструирования линии ППМ. Наблюдения за обучением школьников, а также анализ учебно-методической литературы показывают, что при решении большинства задач практического характера у учащихся нет необходимости выявлять проблему, подлежащую математизации. Они сразу имеют дело с содержательной моделью ситуации, часто полностью адаптированной для построения математической модели. Таким образом, важнейший этап применения математики для исследования реального объекта оказывается пропущенным. Решение этой методической проблемы возможно путем добавления задач, для решения которых такая деятельность станет необходимой. Но на решение подобных задач требуется выделить немало учебного времени, что в условиях урока далеко не всегда возможно. Однако такая возможность есть при организации прикладной проектной и исследовательской деятельности школьников, что будет показано далее. Итак, в процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания. Современная математика объединяет различные области знаний в единую систему. Этот процесс отражен в содержании обучения и в его целях, направленных на овладение учащимися способами изучения и описания реальности с помощью математики. Согласно этому школьники должны уметь выделять математические закономер78 ности в окружающей действительности и понимать возможность и необходимость применения математических сведений к разрешению ситуаций, возникающих в реальном мире. Учет в обучении математике принципа математизации знаний позволит обеспечить целостное восприятие учащимися идей прикладной математики и сформирует у них понимание роли математических знаний для решения широкого круга проблем. Этим принципом утверждаем, что у каждого выпускника школы должна быть сформирована способность к формализации действительности, то есть к выделению математических свойств реальных объектов. Таким образом, формируется «математический взгляд» на окружающий мир. При этом учащийся может не обладать широкими математическими знаниями, но он должен понимать, что в решении стоящей перед ним проблемы (бытовой или профессиональной) может принять участие математика, использованы присущие ей приемы мыслительной деятельности (синтез, анализ, аналогия и т.д.). 2. Принцип соответствия содержания практических приложений математики познавательным возможностям и интересам учащихся Принцип означает, что отбор содержания практических приложений математики производится из научных областей знаний, практических сфер деятельности, среди бытовых и занимательных ситуаций с реальным сюжетом с учетом возрастных интересов и познавательных возможностей учащихся. Подробнее этот принцип будет раскрыт при формулировании методических требований к фабуле задач, связанных с практическими приложениями математики в школе. 3. Принцип доступности для изучения на школьном уровне средств математизации знаний Принцип означает, что математические понятия и методы, используемые для изучения выбранных прикладных областей, не должны выходить за рамки школьного курса математики. Его содержание может рассматриваться как теоретическая основа практических приложений. Например, школьная геометрия является теоретической основой некоторых разделов геодезии и астрономии. Такой подход мотивирует на изучение математики и повышает ее значимость для освоения других дисциплин, способствует формированию математи79 ческого восприятия действительности («математический взгляд» на окружающий мир). 4. Принцип достоверности содержания практических приложений математики В соответствии с этим принципом отражение реальных объектов в сюжетах задач и прикладных иллюстрациях должно быть адекватным действительности. Отобранные для обучения практические приложения математики должны демонстрировать школьникам действенность математических методов для изучения процессов и явлений действительного мира. В практике обучения описание реальных объектов из-за их сложности и многоаспектности часто возможно дать только в упрощенном, «очищенном» виде. Однако недопустимо выхолащивание сути описываемой реальной ситуации и использование ее только в дидактических целях. Это искажает представления школьников об изучении реальности с помощью математики, делает их недостаточно достоверными. 5.Принцип открытости содержания линии ППМ Принцип означает, что обеспечивающие реализацию линии ППМ наборы задач, исследовательские и проектные задания, методические разработки, связанные с организацией дополнительного математического образования (например, разработки курсов по выбору учащихся), допускают возможность их дополнения образовательными продуктами, которые созданы учителем. 80 Тема 3. Цели, задачи и этапы реализации линии практических приложений математики Уровни обучения математическому моделированию по Н. Я. Виленкину, этапы процесса математического моделирования (математизация, формализация, внутримодельное решение, интерпретация результата), этапы реализации линии ППМ (пропедевтический, подготовительный, основной, заключительный), прикладные математические умения школьников, компоненты линии ППМ (содержательный, деятельностный, задачно-классификационный, процессуальный). Сформулированные ранее принципы конструирования линии ППМ определяют цели, задачи и этапы ее реализации. Так как базовым понятием линии ППМ является понятие математической модели, а математическим методом – метод математического моделирования, то прежде, чем перейти к рассмотрению целей, задач и этапов реализации этой линии, представим последовательность изучения школьниками элементов метода математического моделирования. Использованию элементов метода математического моделирования в школе посвящено немало методических исследований, в большинстве из которых выделялись различные этапы и уровни обучения этому методу. Н. Я. Виленкиным1 выделены «в порядке нарастающей сложности» следующие уровни обучения математическому моделированию, определяющие последовательность изучения понятий, связанных с этим методом. Приведем их. Это обучение: 1) «языку», на котором будет вестись моделирование; 2) «переводу» реальной ситуации на математический язык; 3) выбору существенных переменных и построению схемы их взаимосвязей; 4) составлению математических выражений реально существующих отношений и связей; 5) решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа; 6) исследованию полученного решения и, в частности, простейшим навыкам самоконтроля. 1 Таварткиладзе Р. К., Виленкин Н. Я. Указ. соч. 81 Содержание этих уровней обосновывает необходимость и целесообразность выделения четырех этапов процесса математического моделирования в обучении математике в школе: математизация (анализ условия), формализация (построение математической модели условия), внутримодельное решение, интерпретация результата. Чаще выделяют только три этапа: формализация (построение математической модели), внутримодельное решение, интерпретация результата. Но при решении ряда задач не всегда возможно сразу предъявить математическую модель условия. Например, в фабуле задачи присутствует непонятная или неизвестная учащимся нематематическая терминология. Поэтому целесообразно выделить еще один этап – этап математизации, на котором будет проделана подготовительная работа к составлению математической модели: проведен предварительный анализ условия задачи с целью установления возможности применения математики для ее решения, определены все нематематические термины, дана им математическая интерпретация, выявлены отношения между объектами условия задачи, уяснен смысл задачи в целом. Итак, в качестве этапов процесса математического моделирования выделим следующие. Этап 0. Математизация (анализ условия). Этап 1. Формализация (построение математической модели условия). Этап 2. Внутримодельное решение. Этап 3. Интерпретация результата. Учитывая необходимость обучения школьников элементам метода математического моделирования, руководствуясь представленными в нормативных документах требованиями к уровню геометрической подготовки учащихся по использованию приобретенных знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, а также опираясь на принципы конструирования линии практических приложений математики в школе, сформулируем общие цели ее реализации: 1) формирование системы математических знаний во взаимосвязи с их практическими приложениями к изучению окружающего мира; 2) формирование прикладной математической грамотности, понимаемой как способность использовать математику для описания действительности и решения задач реального мира методом математического моделирования; 82 3) демонстрация идей математизации наук через знакомство с теоретическими основами практических приложений математики. Перечисленные цели достаточно широки и могут быть достигнуты на двух уровнях – прагматическом и исследовательском. Начальный уровень, прагматический, определяется необходимостью ориентации в современном мире для практической жизни, подготовленностью к решению бытовых и профессиональных задач с использованием математического аппарата. Этот уровень посилен для всех учащихся и заложен в стандартах общего математического образования. Продвинутый уровень, исследовательский, состоит в наличии способности обучаемого математически исследовать объекты реального мира с различными целями, то есть в математическом подходе к явлениям реального мира1. Достижение этого уровня доступно не всем учащимся. Обучение на таком уровне возможно организовать во внеклассной работе по математике: на занятиях курсов по выбору и элективных курсов, при выполнении школьниками исследовательских и проектных заданий и т.п. Выделение ведущей идеи реализации линии ППМ позволило перейти к конкретизации этой идеи в виде принципов конструирования и следующих из них общих целей реализации линии. Так, например, принцип математизации знаний, с одной стороны, следует из указанной в ведущей идее необходимости формирования у школьников понимания роли математики в изучении реального мира, а с другой – лежит в основе всех трех целей реализации линии ППМ. Этапы реализации линии практических приложений математики. Выделим четыре этапа реализации линии практических приложений математики в школе: пропедевтический, подготовительный, основной и заключительный. Они вполне традиционны. Укажем временные рамки для этих этапов: 1. Пропедевтический (основная ступень, 5–6 классы). 2. Начальный (основная ступень, 7 класс). 3. Основной (основная ступень, 8–9 классы). 4. Заключительный (старшая ступень, 10–11 классы). Пропедевтический этап достаточно хорошо изучен и реализован в учебно-методических комплексах для 5–6 классов разных авторов. Например, в учебниках математики Н. С. Подходовой и соавт., а также 1 Арнольд В. И. Математика и математическое образование в современном мире. 83 Л. Г. Петерсон, Т. Г. Ходот, И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича отражена работа с учащимися по формированию интуитивных представлений о модели, математической модели, процессе моделирования. Так, в учебнике математики для 5 класса И. И. Зубаревой и А. Г. Мордковича1 изучаются темы «Математический язык», «Математическая модель». Понятие модели вводится с помощью рассмотрения двух задач, в которых требуется найти значение одного и того же выражения. Выражение, полученное в процессе решения, согласно авторам, – это математическая модель реальной жизненной ситуации, о которой говорится в задаче. Авторы обращают внимание учащихся на следующее: «Выполняя задания по переводу “обычной” речи на математический язык, мы каждый раз составляли математическую модель данной ситуации. Однако важно не только уметь составлять математические модели, но и выполнять обратную работу – понимать, какую ситуацию (или обстоятельства) описывает данная модель». Таким способом неявно выделяются этапы моделирования: формализация и интерпретация. Учащиеся приобретают простейшие навыки работы с моделями на примере решения текстовых задач, сопоставления реальных объектов с их математическими прообразами. Таким образом, считаем, что выделен и разработан пропедевтический этап линии практических приложений математики в школе. Рассмотрим остальные три этапа реализации линии ППМ – подготовительный, основной и заключительный для школьного курса геометрии. Частные образовательные задачи реализации линии ППМ. Для каждого этапа на основании указанных общих целей сформулированы частные образовательные задачи реализации линии ППМ с учетом содержания курса геометрии в заданный временной отрезок; закономерностями окружающего мира, понятными школьникам в связи с изучением нематематических дисциплин и приобретением жизненного опыта; степенью овладения приемами мыслительной деятельности (синтезирование, анализирование, установление аналогий и т.д.) и учебно-познавательной деятельности школьников; последовательностью изучения элементов метода математического моделирования. Перейдем к рассмотрению частных задач начального, основного и заключительного этапов реализации линии ППМ. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. 1 84 Начальный этап (основная ступень, 7 класс) К 7 классу у школьников происходит расширение знаний о мире. Количество учебных предметов, изучаемых ими, увеличивается: математика делится на две дисциплины (алгебра и геометрия), начинается изучение физики, продолжается изучение биологии и географии. Значит, появляется возможность использовать содержательные примеры приложений геометрии к естествознанию. К этому возрасту у учащихся накоплен определенный практический опыт и в повседневной жизни. С позиций возрастной психологии в возрасте 12–13 лет активно формируется продуктивное представление (понимаемое А. А. Реаном1 как воспроизведение образов предметов, не воспринимаемых в данный момент времени, в контексте новых условий и с учетом всех основных свойств этих предметов), а также произвольное внимание (по Л. С. Выготскому, один из видов внимания – психический процесс, который заключается в сознательном и активном сосредоточении субъекта в данный момент времени на каком-либо реальном или идеальном объекте). К этому возрасту также начинает преобладать словесно-логическое, абстрактное мышление. Эти особенности личности школьников позволяют осуществить начальный этап реализации линии ППМ. На начальном этапе ставятся следующие частные образовательные задачи: • создать мотивацию изучения геометрии во взаимосвязи с ее практическими приложениями к изучению окружающего мира; • ввести понятие математической модели на геометрическом материале; • сформировать представление об этапах метода математического моделирования при решении задач, связанных с приложениями геометрии; • нацелить учащихся на выявление возможностей применения математического аппарата при изучении естественного блока школьных дисциплин. На этом этапе предполагается развить понятие математической модели, сформированное у школьников на интуитивном уровне на пропедевтическом этапе. В учебнике алгебры 7 класса автора А. Г. Мордковича2 это понятие вводится на примере решения Психология человека от рождения до смерти / Под общ. ред. А. А. Реана. – СПб.: Прайм-Еврознак, 2002. 2 Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс… 1 85 текстовой задачи следующего содержания: «В школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б – 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В – 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г – 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения: в 7А: 15 + 13 = 28 учеников; в 7Б: 12 + 12 = 24 ученика; в 7В: 9 + 18 = 27 учеников; в 7Г: 20 + 10 = 30 учеников. После ее решения автор указывает: «Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся а девочек и b мальчиков, значит, всего учеников а + b. Такова математическая модель данной реальной ситуации. Алгебра, в частности, занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре». Такой путь введения понятия математической модели есть необходимость повторить на уроках геометрии в 7 классе для обобщения этого понятия. Например, при изучении начальных геометрических понятий предлагаем использовать следующую схему «Угол» (рис. 5), центральным элементом которой является математическая (геометрическая) модель реального объекта, выраженная словесно и/или графически. Далее учитель дает учащимся такое уточнение этого понятия: математическую модель, отображающую геометрические свойства объекта, называют геометрической моделью. Аналогичным образом (на примере решения текстовой задачи) в курсе алгебры вводится трехэтапная схема применения метода математического моделирования: «первый этап – составление математической модели, второй этап – работа с математической моделью, третий этап – ответ на вопрос задачи»1. Такая работа проводится в самом начале изучения курса алгебры. На первых уроках геометрии в 7 классе при изучении основных свойств измерения углов есть возможность показать применение метода математического моделирования по четырем этапам, например, при решении следующей задачи. 1 86 Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс… Рис. 5 • Наблюдая на пристани за отплывающим кораблем, можно заметить, что по мере удаления от берега его видимый размер уменьшается. Как объяснить это явление? Приведем пример поиска решения задачи согласно выделенным этапам, который учащиеся осуществляют вместе с учителем. Предварительно сделаем следующее замечание. Рассмотренные общий подход к построению математической модели реального объекта в прикладной математике (А. Д. Мышкис, А. Н. Тихонов, Г. И. Рузавин), методические исследования по использованию математического моделирования в обучении математике (А. Я. Блох, А. Г. Мордкович, В. А. Стукалов) показывают, что процесс математизации реального объекта, то есть перевод условия задачи на математический язык, определяет выбор математического аппарата для решения задачи. Для того чтобы этот выбор был сделан в соответствии с реальной ситуацией задачи, предлагаем этап математизации проводить по следующему плану: 1. Уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие задачи. 2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Установление связей между этими объектами. 3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным объектам. 87 0 этап. Математизация 1. Уяснение смысла нематематических понятий, входящих в условие задачи. Начнем с пояснения, что означают слова «видимый размер». В противном случае непонятно, что за явление надо объяснить. Мы хорошо знакомы с линейными размерами предметов. Сколько их? Как их принято называть? (Ответ: три размера – длина, ширина и высота.) При описании свойств математических объектов встречается понятие видимого размера. Часто оно используется в упрощенном виде. Мы говорим, например: «Из точки А отрезок а виден под углом α». Такой угол принято называть видимым или угловым размером предмета. Понятие углового размера очень важно в астрономии. Знание углового размера (астрономы говорят «углового диаметра» или «видимого диаметра») небесного тела позволяет вычислить его линейные размеры. Угловых размеров у предмета может быть бесконечно много, так как имеется бесчисленное число точек наблюдения – вершин углов зрения, под которыми виден предмет. Иначе говоря, угловой размер предмета зависит от выбранной точки наблюдения. Для решения практических задач выбирают «удобный» угол зрения, например, тот, под которым видна высота рассматриваемого предмета. 2. Выделение реальных объектов, значимых для решения задачи. Установление связей между этими объектами. Теперь выделим объекты условия задачи: наблюдатель, корабль, расстояние от берега до корабля. Они все связаны между собой. Есть еще объекты (берег, пристань), которые не влияют на поиск решения задачи. Но на первоначальном рисунке мы их изобразим. (Возможно предложить школьникам и готовый рисунок к условию.) 3. Подбор математических интерпретаций, адекватных выделенным реальным объектам. По этому рисунку сделаем чертеж, отбирая нужные объекты и устанавливая к ним подходящие геометрические эквиваленты (рис. 6). Изобразим на одном чертеже два положения корабля по мере удаления от берега. Точкой О обозначим наблюдателя (точнее, его глаз), отрезки АВ и А1В1 – корабль (или его высота над поверхностью воды), отрезки ОА и ОА1 (ОА < ОА1) – расстояние от наблюдателя до корабля. 88 Рис. 6 В этом примере этап математизации описан достаточно подробно. Его изложение может быть сокращено с учетом уровня математической подготовки школьников, их интересов, жизненного опыта и наличия учебного времени. Однако план реализации этого этапа необходимо довести до сведения учащихся. 1 этап. Формализация. Построенный чертеж и есть геометрическая модель условия задачи. Однако не хватает вопроса задачи. Сформулируем задачу так: Луч ОВ1 проходит между сторонами угла АОВ. Какой угол больше: ∠АОВ или ∠А1ОВ1? Почему? В приведенной формулировке задача встречается в учебнике автора А. В. Погорелова1. 2 этап. Внутримодельное решение. Так как на рис. 6 луч ОВ1 проходит между сторонами угла АОВ и пересекает отрезок АВ с концами на его сторонах, то по свойству измерения углов (градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами) ∠АОВ > ∠А1ОВ1. 3 этап. Интерпретация. Так как угол, под которым виден корабль, с увеличением расстояния уменьшается, то и его видимые размеры уменьшаются. На примере решения этой задачи учитель имеет возможность продемонстрировать все четыре этапа метода математического моделирования. Специальное внимание здесь уделено обучению этапу математизации, его выполнение является наиболее сложным. Содержание этого этапа также нацеливает учащихся на применение математики при изучении физики. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. пособие для 6–10 классов средней школы. 6-е изд. – М.: Просвещение, 1987. – С. 19, зад. 29. 1 89 При решении ряда задач на приложения математики в школе ситуация, описанная в условии, практически не нуждается в математизации, то есть проведение нулевого этапа не требуется. Например, рассмотрим следующую задачу, при решении которой воспользуемся трехэтапной схемой применения метода математического моделирования (этапы 1–3). Здесь, в отличие от предыдущей задачи, не требуется выделять математизируемые объекты, устанавливать их свойства и отношения между ними. Этот процесс очевиден, поэтому сразу переходим к первому этапу – построению математической модели условия задачи. • От оконного стекла треугольной формы откололся один из его уголков. Можно ли по сохранившейся части вырезать такое же оконное стекло? 1 этап. Изобразив стекло на рис. 7 согласно описанной ситуации, приходим к математической формулировке задачи: Имеется треугольник, у которого известны сторона и прилежащие к ней углы. Можно ли построить треугольник равный данному? Это математическая (геометрическая) модель исходной задачи. Рис. 7 2 этап. Внутримодельное решение сводится к обоснованию возможности построения треугольника по трем заданным элементам на основании соответствующего признака равенства треугольников. 3 этап. Для того чтобы заказать стекло, необходимо измерить сохранившуюся сторону и углы. На примере этой задачи учитель может показать учащимся важность этапа интерпретации для практической деятельности и таким образом способствовать формированию их познавательного интереса, а значит, и мотивировать изучение геометрии. 90 Таким образом, на подготовительном этапе учителю необходимо ввести понятия «математическая модель» и «метод математического моделирования» на геометрическом и на алгебраическом материале. Такой подход способствует формированию у школьников наиболее полных представлений об этих центральных для рассматриваемой линии понятий. Приведенные примеры демонстрируют возможность выполнения задач первого, подготовительного, этапа реализации линии практических приложений математики в школе. Основной этап (8–9 классы) Содержанием этого этапа является накопление знаний о практических приложениях геометрии и приобретение учащимися опыта применения метода математического моделирования к решению задач. На основном этапе решаются следующие частные образовательные задачи, развивающие задачи предыдущего этапа: • поддерживать мотивацию изучения геометрии во взаимосвязи с ее практическими приложениями к окружающему миру; • расширить представление об этапах метода математического моделирования при решении задач, связанных с приложениями геометрии (выделять этапы решения задачи на приложения, строить математическую модель по содержательной модели согласно заданной цели, выбирать рациональный метод решения задачи, интерпретировать полученный результат); • формировать умение выделять математический аппарат, используемый при описании реальных объектов в учебной и научно-популярной литературе. (Здесь имеется в виду процесс взаимодействия личности с математическим знанием. Научить всем «рецептам» решения задач невозможно. Необходимо формировать у ученика способность понимать смысл поставленной перед ним задачи, а затем обучать поиску математических методов (или каких-либо других методов), адекватных поставленной проблеме.) На этом этапе продолжается обучение школьников построению математических моделей, адекватных предложенной задачной ситуации. Школьникам предлагаются для решения задачи на приложения, математическая модель которых может быть выбрана несколькими способами или с различной степенью точности и т.п. Рассматривая специально подобранный пример (или серию примеров), учащиеся убеждаются, что математическая модель – 91 это приближенное описание какого-либо класса объектов1 реального мира на языке математики, при этом один объект может иметь более одной модели. Геометрическая модель описывает геометрические свойства объекта согласно заданной цели. В 8–9 классах обращается специальное внимание учащихся на особенности работы с моделью на каждом этапе. С этой целью подбираются примеры задач, имеющие несколько внутримодельных решений. Здесь, в зависимости от требований условия, должна вестись работа по выбору рационального решения. Для иллюстрации особенностей такой работы подбираются задачи, в которых интерпретация ответа нетривиальна – учащимся необходимо выбрать нужные точность числа, форму его представления и т.п. Также на этом этапе учитель обращает внимание учащихся на то, что одна математическая модель может быть использована для интерпретации различных по своей природе объектов. Заключительный этап (10–11 классы) На этом этапе происходит обобщение сведений, полученных о практических приложениях школьного курса геометрии. Такое обобщение производится по направлениям приложений: приложения геометрии к естествознанию (физика, химия, биология, астрономия); приложения геометрии к практическим дисциплинам (строительство, архитектура, геодезия и т.п.); приложения геометрии к изобразительному искусству (живопись, фотоискусство, скульптура) и т.д., а также по теоретическим основам приложений (сферическая геометрия как основа геодезии, астрономии и картографии; теория математических бильярдов, применяемая для изучения динамики твердого тела). Такая методическая работа ведется с учетом профиля обучения на старшей ступени общего образования. Представленный подход согласуется с особенностями данного возрастного периода. Старшеклассники оценивают учебный процесс с позиции своей будущей профессиональной деятельности. Характерной особенностью учебно-познавательной деятельности старшеклассника является ее активизация и возрастающая самостоятельность. Мышление учащихся этого возраста приобретает творческий характер, повышается их способность к абстрагированию и обобщению изЗдесь термин объект понимается в наиболее широком смысле: объектом может служить не только то, что обычно именуется этим словом, но и любая ситуация, явление, процесс и т.д. 1 92 ученного. В этот период активно формируется научное мировоззрение и теоретическое мышление, направленное на познание общих закономерностей окружающего мира1. В связи с этим на уроках и элективных курсах необходимо обратить внимание школьников на теоретические основы приложений, связанные с такими темами как «Основы сферической геометрии», «Элементы начертательной геометрии», «Теория математических бильярдов» и т.д. Заключительный этап предполагает решение следующих частных образовательных задач, которые развивают задачи предыдущих этапов: • обобщить и систематизировать знания учащихся по геометрии как теоретической основе приложений; • показать возможности использования метода математического моделирования для решения широкого круга задач, связанных с практическими приложениями геометрии, в том числе требующих всестороннего анализа данных и допускающих неоднозначное построение математической модели; • достичь овладения учащимися следующими элементами метода математического моделирования: осуществление анализа содержания задачи, направленного на выявление объектов, подлежащих математизации; установление соответствия между содержательной и математической моделью объекта; • способствовать формированию прикладной исследовательской деятельности при изучении теоретических основ приложений, которые выходят за рамки школьного курса геометрии. В процессе обучения практическим приложениям математики в школе необходимо формировать у учащихся прикладные математические умения. Систематизируем их по четырем этапам метода математического моделирования. Учащиеся должны уметь: 0 этап. Математизация (анализ условия). 0.1. Выделять объекты окружающей действительности, которые могут быть описаны средствами школьного курса математики. 0.2. Заменять исходные объекты и отношения их математическими эквивалентами. Описывать эти объекты и отношения на языке математики. 1 Смирнова И. М. Педагогика геометрии: Монография. – М.: Прометей, 2004. 93 1 этап. Формализация (построение математической модели условия). 1.1. Устанавливать соответствие между содержательной и математической моделями объекта в зависимости от предъявленных условий. 1.2. Соотносить реальные объекты различной природы с одной математической (геометрической) моделью. 1.3. Описывать реальный объект несколькими математическими (геометрическими) моделями. 1.4. Оценивать полноту исходных данных для построения математической модели. 2 этап. Внутримодельное решение. 2.1. Выбирать рациональные методы исследования реальных объектов в зависимости от поставленной задачи. 2.2. Составлять математическую модель с учетом требуемой точности описания реальных объектов задачи. 3 этап. Интерпретация результата. 3.1. Анализировать использованные математические методы решения с точки зрения их рациональности для исследования реального объекта. 3.2. Интерпретировать результат исследования математической модели с требуемой погрешностью. Представим структуру линии ППМ, выделив следующие ее компоненты: содержательный, включающий содержание учебного материала (содержание школьного курса математики и связанные с ним приложения в научных областях знаний, практических областях деятельности, бытовых, занимательных и игровых ситуациях с реальным сюжетом), базовое понятие (математическая модель), этапы процесса математического моделирования (математизация, формализация, внутримодельное решение, интерпретация); деятельностный, представленный прикладными математическими умениями школьников; задачно-классификационный, содержащий систему классификаций задач на приложения по различным основаниям (этот компонент подробно раскрыт далее); процессуальный, в котором выделены временные этапы реализации линии ППМ. На рис. 8 представлена структура линии ППМ, иллюстрирующая взаимосвязи и соподчиненность перечисленных компонентов (на схеме это отражено соответственно дву- и однонаправленными стрелками). 94 0. Математизация 3. Интерпретация результата 3.1. Анализировать использованные математические методы решения с точки зрения их рациональности для исследования реального объекта. 3.2. Интерпретировать результат исследования математической модели с требуемой погрешностью. 2. Внутримодельное решение 2.1. Выбирать рациональные методы исследования реальных объектов в зависимости от поставленной задачи. 2.2. Составлять математическую модель с учетом требуемой точности описания реальных объектов задачи. ЭТАПЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЛИНИИ ППМ Процессуальный компонент ПО СЛОЖНОСТИ МАТЕМАТИЗАЦИИ УСЛОВИЯ ЗАДАЧИ Пропедевтический (5–6 классы) Рис. 8. Начальный (7 класс) I. Имеется прямое указание на ма- II. Прямого указания на модель тематическую модель. нет, но реальные объекты и отношения однозначно соотносимы с математическими объектами и отношениями. Основной (8–9 классы) Заключительный (10–11 классы) III. Реальные объекты и отноше- IV. Реальные объекты и отношения соотносимы с математически- ния явно не выделены. ми объектами и отношениями, но неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий. Задачно-классификационный компонент (признаки классификации задач на приложения: по области приложений математики, математическим методам решения, сложности математизации условия, назначению в обучении, способу представления, полноте данных) 1.1. Устанавливать соответствие между содержательной и математической моделью объекта в зависимости от предъявленных условий. 1.2. Соотносить реальные объекты различной природы с одной математической моделью. 1.3. Описывать реальный объект несколькими математическими моделями. 1.4. Оценивать полноту исходных данных для построения математических моделей. 1. Формализация 3. ЭТАПЫ ПРОЦЕССА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ Математическая модель 0.1. Выделять объекты окружающей действительности, которые могут быть описаны средствами Деятельностный школьного курса математики. компонент 0.2. Заменять исходные объекты и ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕ- отношения их математическими МАТИЧЕСКИЕ УМЕНИЯ эквивалентами. Описывать эти объекты и отношения на языке ШКОЛЬНИКОВ математики. Содержательный компонент 2. БАЗОВОЕ ПОНЯТИЕ 1. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА ЛИНИИ ППМ Содержание школьного курса математики и связанные с ним практические приложения Покомпонентная структура содержательно-методологической линии практических приложений математики в школе Так, из анализа содержания учебного материала линии ППМ, следует, что ее базовым понятием является понятие математической модели, а основным методом – метод математического моделирования, этапы которого определяют прикладные математические умения школьников. Это, в свою очередь, позволило выделить уровни сложности задач на приложения и установить их связи с этапами реализации линии ППМ. На основе приведенной систематизации прикладных математических умений, выделим типы заданий, способствующих их формированию: 1. Сформулировать математические утверждения, отобрать формулы, понятия, которые необходимо использовать для ответа на вопрос задачи (здесь и далее имеется в виду задача на приложения). 2. Выбрать из предложенных задачу, в которой математической моделью является следующее утверждение, понятие, формула. 3. Среди данных задач найти такие, у которых математические модели совпадают. 4. Указать математические модели следующих реальных объектов (у одного объекта может быть несколько моделей). 5. Изобразить ситуацию, описанную в задаче на чертеже (она может быть неоднозначной в геометрическом смысле). 6. Перевести задачу с естественного языка на математический. 7. Привести несколько математических моделей решения задачи, выбрать рациональное с точки зрения рассматриваемой реальной ситуации. 8. Установить требуемую точность (допустимую погрешность) результата. 9. Оценить, достаточно ли данных для построения математической модели объекта, есть ли лишние данные. 10. Выбрать из предложенных математизаций одного объекта ту, которая соответствует заданному условию. Подобные умения также могут быть сформированы при организации бесед на прикладную тематику как эвристического, так и репродуктивного характера (пример такой беседы имеется в статье «Беседы об угле зрения»1), выполнении проектов и проведении учебных исследований, связанных с процессом математизации реальности, но 1 96 Егупова М. В. Беседы об угле зрения // Математика в школе. – 2008. – № 9. – С. 69–73. в первую очередь при решении специально подобранных задач, связанных с практическими приложениями математики. Перечисленные прикладные математические умения и типы заданий, способствующие формированию таких умений, дают возможность учителю проектировать содержание линии, ее этапов. *** Итак, целесообразность выделения линии ППМ следует из современных целей школьного математического образования, отраженных в соответствующих нормативных документах, и назревшей потребности систематизировать такие приложения, определить цели и результаты их изучения. Методологическая функция линии ППМ состоит в изучении понятий и методов, объединяющих содержание не только методических, но и предметных линий всего школьного курса математики. К ее базовому понятию естественно отнести понятие математической модели, так как оно проявляется во всех средствах обучения приложениям математики в школе. Математическим методом линии является метод математического моделирования. Принципы конструирования линии ППМ: 1. Математизации знаний. 2. Соответствия областей практических приложений математики познавательным возможностям и интересам учащихся. 3. Доступности для изучения на школьном уровне средств математизации знаний. 4. Достоверности содержания практических приложений математики. 5. Открытости содержания линии ППМ. Общие цели реализации линии ППМ: 1. Формирование системы математических знаний во взаимосвязи с их практическими приложениями к изучению окружающего мира. 2. Формирование прикладной математической грамотности, понимаемой как способность использовать математику для описания действительности и решения задач реального мира методом математического моделирования. 3. Демонстрация идей математизации наук через знакомство с теоретическими основами практических приложений математики. 97 Этапы реализации линии ППМ: пропедевтический, начальный, основной и заключительный. Уровни сложности задач на приложения: I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель. II. Прямого указания на модель нет, но объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями. III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями, но неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий. IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их математические эквиваленты неизвестны школьникам. Определение уровня сложности задачи на приложения в практической работе учителя целесообразно проводить по двум критериям: новизна для школьников объектов и отношений содержательной модели задачи; сложность подбора математических эквивалентов к этим объектам и отношениям. Прикладные математические умения школьников: 0 этап. Математизация (анализ условия). 0.1. Выделять объекты окружающей действительности, которые могут быть описаны средствами школьного курса математики. 0.2. Заменять исходные объекты и отношения их математическими эквивалентами. Описывать эти объекты и отношения на языке математики. 1 этап. Формализация (построение математической модели условия). 1.1. Устанавливать соответствие между содержательной и математической моделью объекта в зависимости от предъявленных условий. 1.2. Соотносить реальные объекты различной природы с одной математической (геометрической) моделью. 1.3. Описывать реальный объект несколькими математическими (геометрическими) моделями. 1.4. Оценивать полноту исходных данных для построения математической модели. 2 этап. Внутримодельное решение. 2.1. Выбирать рациональные методы исследования реальных объектов в зависимости от поставленной задачи. 2.2. Составлять математическую модель с учетом требуемой точности описания реальных объектов задачи. 3 этап. Интерпретация результата. 98 3.1. Анализировать использованные математические методы решения с точки зрения их рациональности для исследования реального объекта. 3.2. Интерпретировать результат исследования математической модели с требуемой погрешностью. Структурные компоненты линии ППМ: содержательный, включающий содержание учебного материала, базовое понятие, этапы метода математического моделирования; деятельностный, представленный прикладными математическими умениями школьников; задачно-классификационный, содержащий систему классификаций задач на приложения (она будет дана полностью в следующем разделе, здесь представлена классификация по уровням сложности); процессуальный, в котором выделены временные этапы реализации линии ППМ. Контрольные вопросы и задания 1. Поясните суть понятий «практико-ориентированное образование» и «практико-ориентированное обучение математике». Как эти понятия соотносятся? 2. Проанализируйте содержание нормативных документов, регламентирующих школьное математическое образование. Выявите в них признаки направленности на практико-ориентированное обучение математике. 3. Приведите примеры практических приложений математики, включенных авторами в современные школьные учебники геометрии. 4. В чем состоит бинарность обучения практическим приложениям математике в школе? 5. Поясните, что в методической науке принято понимать под содержательно-методической линией? В чем отличие этого понятия от понятия содержательно-методологической линии? 6. Обоснуйте на примерах, что линия ППМ является содержательно-методологической. 7. Какое понятие выбрано в качестве базового понятия линии ППМ? Свой ответ обоснуйте. 99 8. Дайте краткую характеристику принципам конструирования линии ППМ (математизации, соответствия, доступности, достоверности, открытости). 9. В чем состоит ведущая идея линии ППМ? Как вы ее понимаете? 10. Охарактеризуйте этапы процесса математического моделирования (математизация, формализация, внутримодельное решение, интерпретация результата). 11. Продемонстрируйте применение метода математического моделирования по четырем этапам при решении конкретной задачи на приложения математики. 12. Кратко опишите особенности этапов реализации линии ППМ. 13. Подберите примеры задач на приложения математики четырех уровней сложности. 14. Составьте несколько (не менее трех) задач на приложения математики по следующей содержательной модели реальной ситуации: необходимо вычислить диаметр некоторого реального объекта. 15. Представьте на схеме взаимосвязи основных структурных компонентов линии ППМ. 16. Приведите примеры задач, с помощью которых возможно сформировать конкретные прикладные умения у школьников. Дайте методическое обоснование такой возможности. 100 Раздел IV. Задачи в практико-ориентированном обучении математике в школе Тема 1. Понятие и особенности школьных задач на приложения математики Средства обучения практическим приложениям математики, понятие учебной прикладной задачи по Н. А. Терешину, различия между текстовой сюжетной и прикладной задачей. К задачам на приложения математики естественно отнести задачи, в содержании которых отражены практические приложения школьного курса математики. К основным средствам обучения практическим приложениям математики в школе относят: • практические и лабораторные работы, направленные на наблюдение и выделение математических закономерностей в окружающей природе; • компьютерные программы, позволяющие моделировать реальные процессы и объекты, обрабатывать информацию о них; • лекции, краткие информационные сообщения, беседы о методах использования математического аппарата в других науках и производственной деятельности эвристического или репродуктивного (понимание объяснений учителя учеником и осознанное усвоение ими знаний) характера; • учебные исследования и проекты с прикладным содержанием; • курсы по выбору и элективные курсы, отражающие прикладные аспекты математики. В основу всех перечисленных средств положены задачи, отражающие реальные ситуации применения математической теории на практике. Такие задачи в науке принято называть прикладными, а в школьном курсе математики различными авторами они называются практическими, практико-ориентированными, контекстными, прикладными и т.п. На практике прикладная задача возникает из реальной ситуации, которая носит проблемный характер, то есть требует выполнения каких-либо действий с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели неизвестен. Прикладная задача является 101 содержательной моделью этой ситуации, отражающей те ее стороны, которые необходимы для разрешения поставленной проблемы. В прикладной задаче, в отличие от реальной ситуации, выделены исходные данные и сформулировано то, что необходимо найти, установить. В методике обучения математике наиболее известным определением учебной прикладной задачи является следующее. Под прикладной задачей (задачей прикладного характера, с прикладным содержанием) понимают задачу, «поставленную вне математики и решаемую математическими средствами»1. Данное определение носит довольно общий характер и может быть использовано как в науке математике, так и в школьной практике. Однако между школьной задачей с прикладным содержанием и научной прикладной проблемой имеются очевидные различия, которые состоят: в целях решения задач, в способах достижения результата, в уровне сложности применяемого математического аппарата. Но у них есть и общие черты, которые позволяют подготовить школьников к использованию математики в реальных условиях. Это применяемый для решения таких задач метод математического моделирования, отражение реальной ситуации в содержательной модели, требования к выбору математической модели. Учебная прикладная задача – один из довольно сложных и неоднозначных в методическом смысле объектов. Этот вид задач служит двум основным целям, отражающим бинарное назначение практических приложений математики в обучении: с одной стороны, с помощью таких задач происходит обучение математике через ее приложения, с другой – имеется возможность обучать приложениям математики. Термин «прикладная задача» в связи с учебным характером школьных задач не совсем точен. В ряде методической литературе встречается термин «практическая задача» или «задача с практическим содержанием», под которым подразумевается установление посредством фабульной окраски связи теории с практикой. Однако этот термин в теории и методике обучения математике имеет не единственное значение и часто используется в другом контексте. Например, разделяя учебный материал на теоретический и практический, традиционно имеют в виду применение теории к решению математических задач. 1 Терешин Н. А. Указ. соч 102 Поэтому задачи, обеспечивающие практико-ориентированное обучение, по сути, являются учебными прикладными математическими задачами – задачами, связанными с практическими приложениями математики. Определим их следующим образом. Задача, связанная с практическими приложениями математики (задача на приложения1), – это задача, представляющая собой содержательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики. Из этого следует, что: • содержание условия задачи на приложения ограничивается содержанием школьных дисциплин (математических и нематематических) и жизненным опытом учащихся; • учебный характер задачи на приложения выражен в ее соответствии ряду известных дидактических целей, поставленных перед школьными математическими задачами (подготовка к изучению теоретических вопросов, закрепление приобретенных теоретических знаний, формирование умений и навыков, контроль над усвоением математических знаний)2; • задача на приложения является сюжетной (текстовой) задачей. Последний вывод требует аргументации. Под текстовыми задачами понимают задачи, в которых описан некоторый сюжет с целью нахождения определенных количественных характеристик3. В связи с этим их часто называют еще сюжетными. Это старейший вид задач, использовавшийся в обучении «для упражнений мышления ученика, для вывода математических правил и для упражнения в приложении этих правил в решении частных практических вопросов»4. Первые две функции текстовых задач сохранились и до наших дней, а что касается третьей (приложение математики к решению практических вопросов), то традиционные задачи на покупку и продажу, совместную работу, движение и т.п. сегодня не имеют для приобретения жизненного опыта такого значения, как, скажем, в ХIХ в. Кроме того, подавляющее большинство таких задач, применяемых в школьДля краткости будем в тексте называть задачи, связанные с приложениями математики, задачами на приложения. 2 Методика преподавания математики в средней школе… 3 Фридман Л. М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика: Учеб. пособие для учителей и студентов педвузов и колледжей. – М.: Школьная Пресса, 2002. 4 Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. – СПб., 1876. 1 103 ном обучении, носит искусственный характер, отдаленный от реальной действительности. И лишь довольно небольшая часть текстовых задач, содержание которых наиболее достоверно отражает приложения математики, может быть приближена, по сути, к прикладным задачам, решаемым в научной и производственной практике. Грань между задачей с прикладным содержанием и традиционно понимаемой текстовой задачей проведем следующим образом. И текстовая задача, и задача на приложения – фабульные, изложены на естественном языке и требуют построения математической модели. Ознакомление учащихся с сущностью и практикой математического моделирования является главной целью использования этих видов задач в обучении математике. Однако чем больше содержательная модель описанной в задаче ситуации будет «очищена» от реальности, чем выше степень ее идеализации и схематизации, тем меньше в такой задаче прикладной направленности. Кроме того, в прикладной задаче, даже учебной, важна сама ее постановка: условие и формулировка вопроса должны быть связаны с анализом реального объекта с заданной целью. Проиллюстрируем выявленные различия на примерах. Определим, какая из следующих задач ближе к текстовым, а какая к прикладным. 1. С ветки дерева одновременно взлетели три птицы. В какой момент они окажутся в одной плоскости? 2. Почему на проезжей части крышки люков имеют круглую, а не квадратную форму? В сюжете первой задачи реальные объекты (дерево, птицы) составляют лишь терминологический фон. Рассмотренная в задаче ситуация искусственна, ее анализ не обогащает знаний учащихся о закономерностях реального мира, а сама задача призвана закрепить понятие плоскости. Поэтому первую задачу следует отнести к текстовым. Во второй задаче имеется реальный объект (крышка люка), и полученные знания о нем имеют применение на практике. Эту задачу отнесем к прикладным. Возможность выбора фабулы для учебных прикладных задач ограничена рамками содержания школьного курса математики. Подбор приложений математики, которые показали бы существенную роль математики в исследовании реальности, в решении известных проблем естествознания, затруднен в связи с тем, что для их понимания знания элементарной математики очень часто недостаточно. 104 Кроме этого, хорошо известно, что изучение математической теории и развитие умения пользоваться ею для решения чисто математических задач традиционно занимает большую часть времени, отводимого на математику в школе. Обучение школьников использованию математического аппарата в решении задач на приложения почти тождественно обучению методу математического моделирования. Выделим наиболее важные характерные особенности процесса применения математики к исследованию реальных объектов, то есть особенности задач на приложения, которые должны составить математическую грамотность школьников в этом вопросе и с которыми должны быть знакомы учителя математики. Эти особенности тесно связаны с основными этапами математического моделирования. 1. При переходе от условия прикладной задачи к строгой математической модели используются не доказательные, а правдоподобные рассуждения. Это, например, рассуждения по аналогии, использование понятий вне рамок их первоначального определения, использование результатов приближенного решения. 2. Уровень строгости и полноты математического исследования согласуется со смыслом исходной ситуации, то есть с реальным смыслом величин, входящих в условие задачи. 3. Выбор математического аппарата (метода) для решения задачи осуществляется на основе ряда критериев. Решение реальной задачи должно быть не только правильным, но и экономным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования (требование рациональности). 4. Полученный результат решения прикладной задачи на этапе интерпретации может быть подтвержден экспериментально1. 1 Фирсов В. В. Указ. соч. 105 Тема 2. Методические требования к задачам на приложения математики Функции школьных математических задач по Л. В. Фридману, требования к задачам прикладного характера (И. А. Рейнгард, В. М. Брадис и другие) требования к фабуле и к математическому содержанию задач на приложения математики. Для создания образовательных продуктов (отдельных задач и наборов задач, связанных с приложениями математики; исследовательских и проектных заданий; методических разработок элективных курсов и курсов по выбору прикладного содержания) требуется определить методические требования к задачам на приложения. Подбор задач для создания образовательных продуктов согласно таким требованиям обеспечит достижение максимального обучающего, развивающего и воспитательного эффекта при использовании таких продуктов в преподавании математики в школе. Задачи на приложения математики в обучении выполняют все функции, свойственные школьным математическим задачам, на которые указывает Л. В. Фридман: формирование мотивации к учению и познавательного интереса, иллюстрация и конкретизация учебного материала, контроль и оценка учебной деятельности, приобретение новых знаний и т.д.1 Эти функции реализуются как через математический аппарат, используемый при формулировании и решении задачи, так и через ее фабулу. Поэтому надлежащего воспитательного и образовательного эффекта возможно ожидать лишь от задач, удовлетворяющих определенным требованиям. В. Г. Болтянский считает, что «задачи прикладного характера имеют в общеобразовательной школе важное значение прежде всего для воспитания интереса к математике. На примере хорошо составленных задач прикладного содержания учащиеся будут убеждаться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, в ее пользе и необходимости для практической работы, увидят широту возможных приложений математики, поймут ее роль в современной культуре»2. 1 Фридман Л. М. Теоретические основы методики обучения математике. – М.: Либроком, 2009. 2 Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. – 1982. – № 2. – С. 40-43. 106 Что же такое «хорошо составленные» задачи? Какие требования надо предъявить к таким задачам, чтобы была высока результативность их применения в различных учебных ситуациях? Эти требования могут быть обоснованы и сформулированы, исходя из следующих особенностей таких задач. По утверждению Н. А. Терешина, одна из функций задач на приложения состоит в том, чтобы дать учащимся представление о возможностях использования математики для решения проблем, поставленных другими областями знаний1. Поэтому, во-первых, такая задача носит не только дидактический характер. В ней соединены достоверность описываемой ситуации и доступность ее математического разрешения средствами школьного курса математики. Во-вторых, задача на приложения – это учебная задача, и прежде всего она способствует обучению математике, приобретению знаний именно в этой области. В-третьих, важным этапом решения задачи на приложения является ее перевод на язык математики. Для этого необходимо понимание нематематической ситуации, описанной в ее фабуле. Учащиеся могут опираться только на уже имеющиеся у них знания и жизненный опыт. Если таковые отсутствуют или недостаточны, то решение и математической части задачи становится непосильным для школьников. В-четвертых, немаловажным является и то, что сама постановка задачи должна быть интересна для школьника. Интерес этот может состоять в получении новой, значимой для школьника данного возраста информации об окружающем мире, в возможности проверить на практике результат задачи или в объяснении математической природы явлений, которым он может быть свидетелем в реальной жизни. В методической литературе неоднократно формулировались требования к задачам прикладного характера. И. А. Рейнгард считал обязательным «наличие в задачах передового технического и реального практического содержания»2, которое должно сочетаться с доступностью изложения. В. М. Брадис отмечал, что в формулировках задач с прикладным содержанием важны реальность и правдоподобность числовых данных, возможность отыскать недостающие данные в справочниках или получить в результате измерений3. М. МирзоахТерешин Н. А. Указ. соч. Рейнгард И. А. Сборник задач по геометрии и тригонометрии с практическим содержанием. – М.: Учпедгиз, 1960. 3 Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. 1 2 107 медов выдвинул требование соответствия содержания задачи школьного курса программе по математике1. Также в задаче, по его мнению, не должны быть использованы неизвестные учащимся термины. Похожие требования предлагает принять и А. Ахлимерзаев, добавляя следующие: не узкопрофильная направленность; наличие у учащихся необходимых умений решать стандартные задачи2. Достаточно широкий перечень требований к подобным задачам приводит М. И. Якутова, среди которых такие: сохранение в фабуле условий, имеющих место в реальной действительности; использование в задаче известных, легко определяемых или интуитивно ясных учащимся понятий; краткость и простота анализа фабулы задачи3. И. М. Шапиро выдвигает такие требования к задачам на приложения, которые он называет задачами с практическим содержанием: познавательная ценность задачи и ее воспитывающее влияние на учеников; доступность школьниками используемого в задаче нематематического материала; реальность описываемой в условии задачи ситуации, числовых значений данных, постановки вопроса и полученного решения4. Л. Э. Хаймина делает попытку систематизировать все ранее сформулированные требования по трем направлениям: «1. Требования к методике использования в обучении <…> • рациональное включение прикладных задач в каждую тему; • наличие в небольшом количестве задач с недостающими, избыточными, противоречивыми данными. 2. Требования к представленным видам деятельности: • наличие прикладных задач всех типов; • использование заданий, требующих самостоятельного составления задач. 3. Требования к формулировке прикладной задачи и организации ее в цепочки: • формулировка ряда прикладных задач в виде последовательных целевых указаний к определенному виду деятельности и установки на порядок ее осуществления: “измерьте…”, “рассмотрите…” и т.п. Мирзоахмедов М. Методика обучения решению прикладных задач при углубленном изучении математики: Дис. ... канд. пед. наук. – Душанбе, 1989. 2 Ахлимерзаев А. Прикладная направленность изучения начал математического анализа в старших классах средней школы как средство усиления принципов политехнизма в обучении: Дис. … канд. пед. наук. – Фергана, 1986. 3 Якутова М. И. Пути реализации прикладной направленности курса алгебры восьмилетней школы: Дис. ... канд. пед. наук. – М., 1988. 4 Шапиро И. М. Указ. соч. 1 108 • наличие “цепочек” познавательных задач различных видов (логических и творческих…)»1. Представленные Л. Э. Хайминой требования скорее являются требованиями не к задачам, а к методике реализации прикладной направленности курса математики, чему и посвящено исследование автора. В. А. Петров2 считает, что задачи, связанные с приложениями математики, должны удовлетворять следующим требованиям: 1. Производственная реальность сюжета. 2. Математическая существенность сюжета. 3. Естественность вопроса задачи. 4. Математическая содержательность. 5. Терминологический лаконизм. Некоторые из рассмотренных требований уже не отвечают современной образовательной парадигме, принятому компетентностному подходу к обучению. Так, например, требованию краткости и простоты анализа фабулы или требованию терминологического лаконизма не соответствуют контекстные задачи, которые носят прикладной характер и обладают довольно сложной и обширной фабулой, требующей тщательного нетривиального анализа условия для построения математической модели. Задачи на приложения могут быть использованы на всех этапах обучения, а не только после решения достаточного числа стандартных математических задач по изучаемой теме. Основываясь на анализе современного опыта использования такого типа задач в обучении и обобщая выделенные другими авторами требования, сформулируем ряд требований, разделив их на требования к фабуле и требования к математическому содержанию задачи. 1. Требования к фабуле задачи: 1.1. Отражение реального объекта, его свойств. 1.2. Связь математики с другими науками, практическими областями деятельности. 1.3. Наличие проблемы или свойств объекта, для изучения которых действительно необходимо применить математику. Хаймина Л. Э. Задачи прикладной направленности в обучении математике: Учеб.методич. разработка для учителей школ и студентов математического факультета. – Архангельск: Изд-во ПомГУ им. М. В. Ломоносова, 2000. 2 Петров В. А. Указ. соч. 1 109 1.4. Соответствие возрастным особенностям (познавательным интересам, ведущему типу деятельности) школьника. 1.5. Доступность фабулы для понимания учащимся: используемые нематематические термины известны школьникам в результате изучения других дисциплин, легко определяемы или интуитивно ясны. 2. Требования к математическому содержанию задачи. 2.1. Математическая содержательность решения задачи. 2.2. Соответствие численных данных задачи существующим на практике. 2.3. Соответствие фактических данных, сделанных допущений и упрощений реальному процессу, объекту, ситуации, описанных в задаче. 2.4. Возможность включения задач на приложения в систему тренировочных заданий, упражнений и задач курса математики в школе. Приведем примеры. 1. Требования к фабуле задачи. 1.1. Отражение реального объекта, его свойств. На примере следующей задачи покажем нарушение этого требования: • Кузнечик прыгает по прямой большими и малыми прыжками. Большой прыжок составляет 12 см, малый – 7 см. Как ему попасть из точки О в точку А, находящуюся от О на расстоянии 3 см. Обосновать практическую значимость этой задачи довольно затруднительно. Понятно, что прыжок реального кузнечика может и не соответствовать указаннымвеличинам и направлениям. Кроме того, анализируя формулировку задачи, естественно задать вопрос: в каком направлении может прыгать кузнечик, только в одну сторону или туда и обратно? Этот вопрос оказывается существенным для поиска решения. Ту же математическую идею проиллюстрируем, например, с помощью такой ситуации: • Необходимо разметить деревянную планку, сделав засечки через каждые 3 см. Можно ли для этого воспользоваться спичечным коробком, длина которого равна 5 см, а ширина 3,5 см? Фабула последней задачи, согласно высказанному требованию, описывает возможные действия с реальными предметами (деревян110 ной планкой, спичечным коробком). Понятно, что разметка планки начинается с одного из концов, и вопрос «о направлении» из первой задачи здесь снимается. 1.2. Связь математики с другими науками, практическими областями деятельности. Это требование состоит в предоставлении в фабуле задачи фактов, свидетельствующих о связи математики с другими науками. Такие задачи носят мировоззренческий характер, иллюстрируя всеобщность математического метода познания, универсальность математических понятий. Приведем примеры задач, иллюстрирующих связь геометрии с естествознанием: • Полное солнечное затмение – одно из самых удивительных природных явлений. Оно происходит тогда, когда Луна оказывается между Землей и Солнцем, заслоняя собой солнечный свет. Постройте математическую модель этого явления и укажите условия, при которых оно возможно. • Докажите, что угол подъема Полярной звезды над горизонтом в данной точке численно равен широте этой точки. • Известно, что по форме некоторые вирусы являются правильными многогранниками. Это было установлено по их теням под электронным микроскопом. Как по тени определить вид правильного многогранника? 1.3. Наличие проблемы или свойств объекта, для изучения которых действительно необходимо применить математику. Примеры таких задач приведены при обсуждении предыдущего требования. Однако в литературе встречаются задачи, в которых это требование нарушено. Такой является задача о садовнике1. Задача «Садовник». У садовника имеется 32 м провода, которым он хочет обозначить на земле границу клумбы. Форму клумбы ему надо выбрать из следующих вариантов (рис. 9). Обведите в таблице слово «Да» или «Нет» около каждой формы клумбы в зависимости от того, хватит или не хватит садовнику 32 м провода, чтобы обозначить ее границу. Международная программа по оценке образовательных достижений учащихся (2006 г.) // Центр оценки качества образования Института содержания и методов обучения РАО. URL: www.centeroko.ru/pisa06/pisa06.htm (дата обращения: 23.02.2013) 1 111 Рис. 9 Форма клумбы Хватит ли 32 м провода, чтобы обозначить границу клумбы? Форма а Да / Нет Форма б Да / Нет Форма в Да / Нет Форма г Да / Нет Приведенный пример все же далек от реальности и имеет дидактический характер, или, по точному выражению А. Г. Мордковича, «псевдоприкладной». В практической деятельности выбор формы клумбы определяется все же эстетическими, дизайнерскими соображениями, а не наличием подручного материала (в данном случае провода заданной длины). Иными словами, в работе по устройству клумбы первична совсем не длина провода. Если речь идет о садовнике, профессионально занимающемся своим делом, то он, скорее всего, уже точно будет знать, какой формы клумбу ему поручено разметить, и будет иметь для этого соответствующие приспособления и материалы. Поэтому прикладные математические умения с помощью этого задания проверить довольно затруднительно. Безусловно, описанная в данном задании ситуация, требует применения математических знаний. Ее математическая модель такова: 112 • Даны геометрические фигуры (см. рис. 9). Определите, какая из них имеет периметр, равный 32 м. Несколько изменим предложенное задание. В реальности скорее имеет место ситуация, в каком-то смысле обратная предыдущей. На естественном языке это можно записать так: • Садовод-любитель на своем участке решил разбить цветочную клумбу. Для этого у него имеется 32 м бордюрной ленты. Перед устройством клумбы нужно подготовить на бумаге чертеж с указанием всех необходимых для разметки расстояний. В справочном пособии «Ваш приусадебный участок» он нашел несколько подходящих образцов таких клумб (рис. 10). Укажите на их контурах нужные размеры, исходя из имеющейся длины бордюрной ленты и соблюдая пропорции представленных геометрических форм1. Рис. 10 Для возвращения к тестовой форме, как это было в первоначальном варианте, достаточно добавить группы предполагаемых ответов. Математическая модель предложенной задачи такова: Укажите возможные размеры данной геометрической фигуры, если известно, что ее периметр равен 32 м. С помощью такого задания возможно проверить способность учащихся к применению математических сведений для разрешения реально сложившейся ситуации. Рассмотренный пример еще раз подтверждает существование проблемы подбора заданий прикладного характера на материале школьного курса математики. Ваш приусадебный участок. Справочное издание / Сост. В. С. Заломов. – М.: Славянка, 1994. 1 113 1.4. Соответствие возрастным особенностям (познавательным интересам, ведущему типу деятельности) школьника. Несоответствие фабулы задачи познавательным интересам школьников может привести к обратному эффекту, снижая интерес школьника к математике, утверждению его во мнении о формальности и скучности этой учебной дисциплины. А. В. Шевкин справедливо отмечает по поводу использования различных фабул при составлении задач: «…есть ли у нас уверенность, что через фабулу задач можно и нужно решать какие-либо проблемы? <…> Задачи на оборонную тематику, включенные в предвоенные сборники задач, или задачи про “продовольственную программу” вряд ли помогли выиграть войну или решить проблемы сельского хозяйства. Спору нет, фабула задач должна иметь связь с жизнью, но эта связь должна проходить в области естественных жизненных интересов ребенка <...> Сборник школьных задач <...> не должен подменять энциклопедии...»1 Вот пример такой неудачной задачи: • Стол строгального станка весит вместе с обрабатываемой деталью Р = 100 кг. Скорость v прохождения стола под резцом равна 1 м/с, а время разгона стола до начала резания равно 0,5 с. Определить, каков должен быть коэффициент трения стола о направляющие, чтобы усилие, требуемое для разгона стола до начала резания, не превышало 40 кг. Фабула этой задачи носит узкопрофессиональный характер и довольно сложна для восприятия современному школьнику, да и учителю. Как уже упоминалось, такие задачи известный ученый-методист Ю. М. Колягин называет «шпиндельными». Из возрастной психологии известно, что, например, для учащихся в возрасте 10–12 лет ведущей является практическая деятельность. Обучение в этом возрастном периоде происходит в большей степени с опорой на наглядность. Эта особенность отражена в фабулах следующих задач: • Вы решили использовать рейку для проведения прямых линий. Как убедиться в том, что рейка имеет хотя бы один ровный край? • Как проверить правильность чертежного треугольника, то есть убедиться в том, что с его помощью можно строить прямые углы? Шевкин А. В. Как не надо обновлять тематику школьных задач // Математика в школе. – 1995. – № 2. – С. 51–53. 1 114 • Если под рукой не оказалось чертежного треугольника, то прямой угол можно получить двукратным перегибанием листа бумаги любой формы. Объясните, почему в данном случае получаются прямые углы? 1.5. Доступность фабулы для понимания учащимся: используемые нематематические термины известны школьникам в результате изучения других дисциплин, легко определяемы или интуитивно ясны. Выполнение этого требования иллюстрирует следующая задача. Сведения, использованные в ее фабуле, хорошо известны учащимся из курса географии: • Спутник пролетает над точкой А земной поверхности. Сколько времени наблюдатель, находящийся в точке А, будет видеть спутник (от момента его появления из-за горизонта и до момента захода спутника за горизонт), если Rземли ≈ 6300 км, высота спутника над Землей 220 км, а время облета Земли спутником (один виток) Т ≈ 90 мин. Фабула задачи может содержать не только факты из различных школьных дисциплин. Возможно использование сведений об известных, часто встречаемых в производственной и хозяйственной деятельности объектах. Например, на уроке планиметрии в основной школе по теме «Тригонометрические функции острого угла» предлагаем использовать такую задачу: • При строительстве промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать размеры сооружаемого объекта. Это позволяет заранее определить требуемую длину стрелы крана. Вывести формулу для определения длины стрелы автомобильного крана, с помощью которого можно построить здание, имеющего форму параллелепипеда высоты Н, длины d и ширины 2l c плоской крышей (рис. 11). 115 Рис. 11 2. Требования к математическому содержанию задачи. 2.1. Математическая содержательность решения задачи. Как было сказано выше, при решении прикладной задачи в науке сначала строят ее содержательную модель (физическую, химическую, биологическую), а затем исследуют ее математическими средствами. При подборе задач на приложения для школьников необходимо учитывать, что основной целью решения таких задач является обучение математике. Задачи, в которых математический аппарат является вспомогательным, а главная идея решения заключается в применении физических, химических, экономических или других закономерностей, решаются на занятиях по соответствующим дисциплинам. Приведем пример задачи, которая не соответствует рассматриваемому требованию: • На дне водоема глубиной Н лежит монета. Мы смотрим на монету по вертикали сверху. Каково кажущееся расстояние от поверхности воды до монеты. Показатель преломления n воды известен. Для решения этой задачи прежде, чем перейти к математической модели, необходимо построить и подробно исследовать ее физическую модель. Для построения математической модели и внутримодельного решения нужны сведения из тригонометрии на уровне определений. Очевидно, что такая задача должна быть решена в курсе физики. 2.2. Соответствие численных данных задачи существующим на практике. Приведем пример выполнения этого требования. • Медная проволока диаметром 0,4 см смотана в моток массой 2,8 кг. Сколько метров проволоки в мотке? 116 Для решения задачи необходимо знать плотность меди. Это значение легко найти в соответствующей таблице, имеющейся в любом справочнике по физике: ρ = 8,9 г/см3. Формула зависимости плотности от массы тела и его объема имеется там же и хорошо известна учащимся: ρ = m/V. Характерно, что здесь, как и в предыдущем примере, используются знания из школьного курса физики, но физическая модель задачи достаточно проста. Приведем пример нарушения требования в части соответствия числовых данных имеющим место на практике. Здесь речь может идти не только о реалистичности приводимых данных, таких ошибок в задачах практически нет. Чаще всего нарушения касаются представлений числовых данных. Например, они приводятся с излишней точностью или, как в следующей задаче, в форме, которую невозможно получить прямым измерением: • Под каким углом на Землю падает луч Солнца, если вертикально воткнутый в Землю шест возвышается над Землей на 6 м и отбрасывает тень, равную 6 3 м? Числовые данные в этой задаче подобраны так, чтобы вычисления были удобными. В результате решения имеем: tg α = 3 ; α = 60°. Однако на практике длину тени, равную 6 3 , с помощью измерений, например, рулеткой получить невозможно. Приведем пример задачи, соответствующей заявленному требованию. • В день летнего солнцестояния (21–22 июня) Солнце на широте Москвы поднимается над горизонтом на угол, приблизительно равный 57°. Найдите, какой длины будет ваша тень в этот момент. Характерно, что в процессе решения этой задачи учащиеся используют сведения, полученные в курсе географии: устанавливаются межпредметные связи. Кроме того, это задача с недостающими данными. Для ее решения необходимо знать свой рост. Важно и то, что формулировка задачи носит личностный характер, то есть обращена к конкретному ученику. Из-за разницы в росте получатся неодинаковые ответы. Как правило, в этой ситуации у школьников сразу возникает желание узнать: а что получилось у одноклассника? Такая ситуация создает условия для формирования познавательного интереса. Поэтому такая задача не станет «проходной», которая после ее решения будет сразу забыта. 117 Небольшое обсуждение полученных результатов не только поднимет интерес учащихся к изучению математики, но и послужит образовательным целям: позволит им лучше запомнить определение тангенса угла. 2.3. Соответствие фактических данных, сделанных допущений и упрощений реальному процессу, объекту, ситуации, описанных в задаче. Не все сюжетные задачи, называемые авторами прикладными (или практическими, подразумевая их реальное применение к жизненной ситуации), отвечают всем указанным выше требованиям. Чаще всего встречается нарушение следующего характера: сюжет не отражает реальной ситуации в полной мере, ее описание дано схематично и упрощенно. Такой была задача о кузнечике. Приведем еще один пример: • Предположим, что вы захотели сварить себе кашу. Возьмите кастрюлю, насыпьте крупу и наклоните кастрюлю так, чтобы крупа закрыла половину дна. Заметьте точку на стенке кастрюли, ближайшую к ее краю, до которой поднялась крупа, и зажмите ее пальцем. Пересыпьте крупу в другое место, а в эту кастрюлю налейте жидкость до полученной отметки. Можете начинать варить кашу. Пока она варится, подумайте, почему отношение объемов крупы и жидкости не зависит ни от количества взятой крупы, ни от размеров кастрюли. В фабуле задачи не указывается, из какой крупы таким способом можно сварить кашу. Вычисления показывают, что отношения объема крупы и жидкости приблизительно равно 1:4,5. Однако, из опыта известно, что для варки, например, манной каши соотношение жидкости и крупы берется иное – примерно 1:20, что существенно отличается от ответа задачи. Следовательно, по этому «рецепту» вкусной каши у ученика может и не получиться. Такие задачи выполняют общие функции учебных математических задач, однако не могут дать правильного представления о приложениях математики. Ценность задач такого рода в обучении состоит скорее в том, что, используя знакомые школьникам реальные объекты, удается в доступной форме донести суть задания, пояснить математическое содержание, использовать элемент занимательности и т.д. Такие задачи имеют чисто дидактический характер и ближе к так называемым текстовым задачам, к которым не предъявляются требования реалистичности сюжета. 118 Немного изменим фабулу последней задачи: • Для приготовления порции домашней лапши по рецепту необходимо взять 100 мл воды. Имеется стакан цилиндрической формы объемом 200 мл. Можно ли с его помощью отмерить нужное количество жидкости? В этом случае надо наклонить стакан так, чтобы оставшаяся в нем жидкость закрыла все дно (рис. 12). Тогда жидкость займет ровно половину объема стакана. Теперь указана вполне реальная ситуация, в которой может быть применен описанный способ. Рис. 12 2.4. Возможность включения задач на приложения в систему тренировочных заданий, упражнений и задач курса математики в школе. При раскрытии этого важного требования нельзя ограничиться несколькими примерами, так как оно связано с механизмами включения задач на приложения в общую систему обучения математике в школе. В методической литературе выделено три основных направления использования задач на приложения на уроке математики: 1) задачи или практические задания для введения новых понятий и теорем; 2) несложные задачи для первичного закрепления введенных понятий и теорем; 3) более сложные задачи для включения понятия в систему известных фактов. Такие задачи решаются учащимися в классе и дома с целью дальнейшего закрепления изученного материала, формирования математических умений. Задачи последней группы также могут быть включены в различные итоговые и проверочные работы. 119 Во внеурочное время задачи прикладного характера включались в содержание факультативных, кружковых занятий по математике. На современном этапе в связи с принятием Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования (2002), ФГОС основного общего образования (2010), ФГОС среднего (полного) общего образования (2012) требуется обоснование и выявление новых механизмов использования задач на приложения в преподавании математики. Это продиктовано тем, что прикладные аспекты должны сыграть особую роль как в предпрофильной подготовке, нацеливающей учащихся на выбор профиля обучения, так и в дальнейшем, при непосредственном обучении по выбранному профилю. В настоящее время предлагается включать контекстные задачи в содержание обучения. Они поставлены в форме, наиболее близкой к той, в которой такие задачи имеют место в реальности или в соответствующей области знаний. Конечно, для их решения на уроке требуется значительное время, которое не всегда возможно выделить. Однако появившиеся в настоящее время разнообразные формы внеклассной работы (проектная и исследовательская деятельность, элективные курсы и курсы по выбору) позволяют решить эту проблему. Итак, перечень требований к фабуле и к математическому содержанию задач на приложения позволяет отбирать задачи этого типа из различных источников, переформулировать их согласно заданным требования, а также дополняет понятие задачи на приложения. Обсуждаемые далее функции таких задач служат для формирования представлений о путях использования практических приложений математики в учебном процессе. 120 Тема 3. Уровни сложности задач на приложения математики Этапы метода математического моделирования, математизация, уровень сложности задачи. Сложность поиска решения задач на приложения прежде всего связана с осуществлением нулевого этапа метода математического моделирования – этапа математизации. В связи с этим выделим уровни сложности выполнения этапа математизации при решении задачи на приложения математики, которые и будем считать уровнями сложности таких задач. Таких уровней четыре: I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель. II. Прямого указания на модель нет, но объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями. III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями, но неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий. IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их математические эквиваленты неизвестны школьникам. Задачи первых двух уровней сложности, как правило, не вызывают у школьников затруднений при построении математической модели и готовят к решению задач третьего уровня. Одна из особенностей задач третьего уровня состоит не только в нетривиальности построения математической модели, но и в неопределенности выбора математического аппарата для их решения. Это сближает такие задачи с прикладными задачами, поставленными в реальной ситуации. Задачи первых двух уровней целесообразно использовать на уроках математики. Задачи третьего и четвертого уровней требуют большего учебного времени для решения, поэтому их предпочтительнее использовать во внеклассном обучении математике. Задачи третьего и четвертого уровней сложности в большинстве составляют задачи, направленные на развитие умения применять метод математического моделирования для решения широкого круга задач, связанных с практическими приложениями геометрии, в том числе требующих всестороннего анализа данных и допускающих неоднозначное по121 строение математической модели. К ним могут быть отнесены задачи с недостающими, лишними, противоречивыми и скрытыми данными. Рассмотрим эти уровни подробнее. I. В задаче имеется прямое указание на математическую модель. На первом уровне рассматриваются такие содержательные модели реальности, объекты и отношения которых практически не требуют математизации. Математическая модель представлена в явном виде. Например, такова следующая задача: • Для определения того, что керамическая плитка имеет квадратную форму, измеряют и сравнивают ее диагонали. Достаточна ли такая проверка? При переводе на математический язык получаем такую задачу: • Верно ли, что если диагонали прямоугольника равны, то этот прямоугольник – квадрат? Также примером задач этого уровня служат задачи на использование различных инструментов для проведения измерений. В содержательной модели таких задач имеется прямое указание на математическую модель. Для их решения необходимо только найти подходящий математически аппарат, то есть выполнить внутримодельное решение. Этап интерпретации здесь отсутствует. • Можно ли пользоваться чертежным угольником как центроискателем? Каким образом? • Если под рукой не оказалось чертежного угольника, то прямой угол можно получить двукратным перегибанием листа бумаги любой формы. Объясните, почему в данном случае получаются прямые углы? II. Прямого указания на модель нет, но объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями. На втором уровне объекты и отношения задачи хорошо знакомы учащимся из жизненного опыта или в результате изучения других школьных дисциплин. Поэтому школьники могут легко соотнести их с соответствующими математическими объектами и отношениями. Это наиболее многочисленная группа задач. Большинство задач этой группы составляют задачи, назначение в обучении которых связано с формированием математических понятий. 122 Приведем содержательную модель такой задачи, которая может стать основой для нескольких задач: • Лестница прислонена к стене дома. Составим следующий набор задач по этой содержательной модели: • На какую высоту можно подняться по лестнице длиной L, отстоящей от стены на расстояние b. • Какой длины должна быть лестница, чтобы по ней можно было взбираться на высоту h? Ее нижний конец при этом отстоит от стены на расстояние b. • Фонарь висит на стене дома на высоте h. Можно ли в нем заменить лампочку, воспользовавшись лестницей длины L. Лестница не съезжает со стены, если прислонена к ней под углом α. У этих задач одна математическая модель – прямоугольный треугольник, но для их внутримодельного решения используется разный математический аппарат: для первых двух задач – теорема Пифагора, для последней – определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике. Таким образом, подобный набор задач позволяет во взаимосвязи формировать ряд понятий, объединенных понятием прямоугольного треугольника. В условии следующей задачи уже сделаны необходимые упрощения. Все объекты задачи имеют математические эквиваленты, поэтому составление математической модели такой задачи, как правило, не вызывает затруднений у школьников. • Человек среднего роста на совершенно ровном месте видит вокруг себя не далее 4,5 км. Как велика в градусной мере, та дуга земной поверхности, которую он видит? Радиус Земли принять равным 6400 км. III. Объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями, но неоднозначно. Требуется учет реально сложившихся условий. На третьем уровне объекты и отношения содержательной модели неоднозначно соотносимы с их математическими эквивалентами. Соответствующая математическая модель выбирается в зависимости от реальных условий, описанных в задаче. Например, на карте Московской области Москва и другие города занимают определенную площадь, а значит, их математической моделью может служить некоторая геометрическая фигура. Но на политической карте Европы столицы государств, в том числе и Москва, 123 отмечены небольшими кружочками. В этом случае математическая модель города – точка, которая, как известно, не имеет размеров. В следующих примерах построение математической модели усложнено тем, что в условии задачи есть объекты, математические интерпретации которых также неоднозначны. • Найдите расстояние между двумя соседними меридианами на экваторе. Если принять, что Земля имеет форму геоида, то такая модель Земли не позволит решить задачу средствами школьного курса геометрии. Если моделью формы Земли будет сфера, тогда для решения задачи будет использована известная школьникам формула длины дуги окружности. • На какой широте Земли длина параллели в два раза меньше, чем длина экватора? Казалось бы, понятия «широта», «параллель», «экватор» хорошо знакомы учащимся. Эти понятия изучаются в курсе географии 6 класса1. Однако понятие широты может быть определено по-разному. Часто встречается такое определение: «Географической широтой заданной точки называется величина в градусах дуги меридиана от экватора до параллели, проходящей через эту точку». Приведенное определение является, по сути, наглядной иллюстрацией широты на глобусе, который, как известно, имеет форму шара. Если принять, что Земля – геоид, то строгое определение широты таково: «Географическая широта точки М – это величина угла ϕМ между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемый от 0° до 90° в обе стороны от экватора, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной, –90° ≤ ϕМ ≤ 90°». Значит, при поиске математического эквивалента понятия широты учащиеся могут встретить два приведенных выше определения. Школьникам необходимо выбрать, каким из них целесообразно воспользоваться при решении данной задачи. Приведем пример задачи, в которой выбор подходящего математического аппарата для внутримодельного решения зависит от конкретных условий, имеющих место в реальности. Герасимова Т. П., Неклюкова Н. П. Начальный курс географии. 6 класс. – М.: Дрофа, 2010. 1 124 • На плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную ВС. Эта задача имеет несколько решений. Выбор подходящего математического аппарата для внутримодельного решения зависит от условий, которые могут появиться в реальной ситуации прокладывания этой параллельной прямой. Например, если необходимо построить забор параллельно имеющемуся, то возможно предположить, что для построений на местности мы будем ограничены шириной улицы. Также ограничения могут возникнуть со стороны возможности использования геодезических инструментов. А если построения проводятся не на местности, а, например, в плотницком деле для разметки деревянных деталей, то и математическая модель будет соответствовать этим реальным условиям. IV. Объекты и отношения задачи явно не выделены или их математические эквиваленты неизвестны школьникам. На четвертом уровне объекты и отношения, подлежащие математизации, в содержательной модели не выделены. Проиллюстрируем это на примере следующей задачи: • Определите, на какой табурет (рис. 13) можно сесть без риска оказаться на полу. а) б) Рис. 13 В тексте задачи речь идет о табурете, а объектами, которые необходимо математизировать, являются его ножки и сидение, точнее, их взаимное расположение. Математическими эквивалентами этих объектов являются отрезки, которые на рис. 13 б образовывают треугольник. Поскольку эта фигура является жесткой, то именно на такой табурет можно садиться. Ясно, что, пользуясь жизненным опы125 том, школьники могут указать правильное решение. Однако просьба воспроизвести необходимые математические рассуждения вызывает затруднения даже у студентов старших курсов математического факультета МПГУ. В следующей задаче требуется выделить нужные характеристики объекта и учесть их при ее решении. • В магазине имеются чайники четырех моделей. Выберите тот чайник, в котором вода будет остывать дольше всего. При такой формулировке задачи учащиеся исследуют вопросы об объеме чайников и материале, из которого они изготовлены. Если эти параметры совпадают, то решение задачи сводится к сравнению их площадей поверхностей. К этому уровню также относим задачи, в содержании которых встречается непонятная или неизвестная школьникам терминология. Например, для решения следующей задачи учащимся необходимо вспомнить или изучить заново понятия «курс корабля» и «ортодромия», «географические координаты точки». • Вычислить начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если известны географические координаты этих точек ϕА, λА и ϕВ, λВ. Определение уровня сложности задачи на приложения в практической работе учителя целесообразно проводить по двум критериям: новизна для школьников объектов и отношений содержательной модели задачи; сложность подбора математических эквивалентов к этим объектам и отношениям. Выбор этих критериев обоснован тем, что у учащихся имеется некоторая сумма знаний и жизненный опыт, соответствующие их возрасту и содержанию школьной программы. Так, поиск решения задачи о табуретах у учащихся старшего школьного возраста не вызовет затруднений. Ими уже накоплены для этого необходимые предметные знания и жизненный опыт. Поэтому для них эта задача не будет задачей высокого уровня сложности. Следовательно, уровень сложности задачи на приложения – характеристика непостоянная. Одной и той же задаче, решенной, например, в 7 классе на уроке и в 9 классе на итоговой аттестации, может быть присвоен разный уровень сложности. Это может быть связано, например, с изменением оценивания первого критерия (степени новизны для школьников объектов и отношений содержательной модели) за время обучения. Определение 126 уровней сложности задач на приложения позволит выделить базовые задачи, решение которых является обязательным для всех учащихся заданной возрастной группы. Таким образом, на подготовительном этапе реализации линии ППМ обучение математизации целесообразно использовать задачи первого и второго уровней сложности, на основном этапе – задачи с первого по третий уровень сложности, заключительный этап характеризуется присоединением задач четвертого уровня к первым трем. 127 Тема 4. Классификация задач на приложения математики Классификации школьных математических задач (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, Л. М. Лоповок и другие); классификационные признаки задач на приложения: по области приложений математики, по математическим методам решения, по сложности математизации условия задачи, по назначению в обучении, по способу представления, по полноте данных. Проблема классификации школьных математических задач рассматривалась многими учеными-методистами (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, Л. М. Лоповок, В. А. Петров, Л. М. Фридман, И. М. Шапиро и другие). Выделялись различные основания для классификации задач, связанных с практическими приложениями математики в школе. Рассмотрим ряд из них. Л. М. Лоповок1 в соответствии с содержанием и типами учебных математических задач делит их на четыре группы: задачи, иллюстрирующие применение теорем (формул); задачи на проверку правильности применяемых приемов работы; задачи вычислительного характера; задачи на выполнение построений. Л. Э. Хаймина2 выделяет две группы таких задач: задачи на формирование понятия и задачи, связанные с деятельностью учащихся на этапе исследования решения. К последней группе задач автор относит задачи с недостающими и скрытыми данными, задачи с лишними данными, задачи с противоречивыми данными и т.п. Таким образом, первая группа определяет назначение таких задач в обучении, а вторая среди задач прикладного содержания выделяет задачи, при решении которых выполняются учебные действия исследовательского характера. И. М. Шапиро, предлагает следующие «разновидности» задач: 1) на вычисление значений величин, встречающихся в практической деятельности; 2) на составление расчетных таблиц; 3) на построение простейших номограмм; 4) на применение и обоснование эмпирических формул; 5) на вывод формул зависимостей, встречающихся на практике3. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы: Пособие для учителя / Под ред. А. И. Фетисова. – М.: Просвещение, 1967. 2 Хаймина Л. Э. Методика реализации прикладной направленности курса алгебры основной школы: Дис. ... канд. пед. наук. – Архангельск, 1998. 3 Там же. 1 128 Такое деление задач ориентировано на обучение отдельным приемам использования математической теории в практической деятельности. На основе имеющихся методических исследований обобщим классификационные признаки таких задач. Согласно бинарному назначению задач на приложения, выделим два вида этих задач (по их постановке): на обучение приложениям математики, на изучение математики с помощью ее приложений. Задачи этих двух видов, в свою очередь, характеризуются следующими основными признаками: по области приложений математики, по математическим методам решения, по сложности математизации условия задачи, по назначению в обучении, по способу представления, по полноте данных. Поясним это. 1. По области приложений математики. Этот признак характеризует фабулу задачи, в которой могут быть отражены научные области знаний; практические области деятельности; бытовые, занимательные и игровые ситуации с реальным сюжетом. 2. По математическим методам решения. Традиционно в школьном курсе математики выделяют три группы методов – арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), геометрический (использованием подобия, площадей фигур и т.п.). В настоящее время в связи с введением в курс математики элементов теории вероятностей и математической статистики к существующим методам добавляется вероятностно-статистический. Еще раз подчеркнем, что основным математическим методом решения таких задач является метод математического моделирования. Перечисленные методы для задач на приложения – это методы внутримодельного решения. 3. По сложности математизации условия задачи. Этот признак отражает четыре уровня сложности задач на приложения: в задаче имеется прямое указание на математическую модель; объекты и отношения задачи легко соотносимы с соответствующими математическими объектами и отношениями; объекты и отношения задачи соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно, требуется учет реально сложившихся условий; объекты и отношения задачи явно не выделены. 129 4. По назначению в обучении. Основное назначение школьных задач связано с формированием математических понятий. Задачи на приложения могут быть классифицированы следующим образом: на актуализацию знаний и умений, необходимых для формирования понятия; на мотивацию введения понятия; на распознавание понятия; на применение понятия; на включение нового понятия в систему известных. 5. По способу представления. Задача на приложения может быть представлена следующими способами: в текстовом виде, который может представлять собой фрагмент учебного или научного текста, инструкцию и т.п.; в графическом виде: таблица, диаграмма, график, схема, чертеж, фотография и т.п.; в комбинированном, объединяющим текстовый и графический способы представления. 6. По полноте данных. Этот признак объединяет задачи на приложения с недостающими и скрытыми данными; с лишними данными; с противоречивыми данными, а также и наиболее распространенные задачи с полными данными. Представленные классификации таких задач по шести признакам отвечают на вопрос о форме и содержании задач на приложения и позволяют определить значение таких задач в учебном процессе. В приведенных ранее примерах (Л. М. Лоповок, И. М. Шапиро, Л. Э. Хаймина) рассмотрены классификации по одному-двум признакам, которые не могут стать, по выражению Ю. М. Колягина, «рабочим инструментом» авторов учебных пособий, учителя и ученика. Соединим эту совокупность классификаций в одну систему классификаций1, где два вида задач на приложения, выделенные по их постановке, характеризуются шестью основными признаками, из которых три (по области приложений математики, по сложности математизации условия задачи, по способу представления) применимы только к данному виду задач, а оставшиеся три (по математическим методам решения, по назначению в обучении, по полноте данных) являются общими для всех школьных математических задач. Выделенные классификационные признаки позволяют дать методическую характеристику задаче на приложения. Такую характеристику назовем методическим паспортом задачи. Представим построенную систему классификаций задач на приложения в виде графической модели (рис. 14). В центре модели два Новиков А. М., Новиков Д. А. Методология научного исследования. – М.: Либроком, 2010. – С. 157. 1 130 Рис. 14 я • • • • По назначению в обучении По математическим методам решения По полноте данных На изучение математики с помощью ее приложений на прилож е На обучение приложениям математики и ач По сложности математизации условия задачи По способу представления • Прямое указание на математическую модель • Реальные объекты и отношения легко соотносимы с математическими объектами и отношениями • Реальные объекты и отношения соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно • Реальные объекты и отношения явно не выделены • Текстовый • Графический • Комбинированный По области приложений математики За д • Научные области знаний • Практические области деятельности • Бытовые, занимательные, игровые ситуации с реальным сюжетом На актуализацию знаний На мотивацию изучения понятия На распознавание понятия На включение нового понятия в систему известных Арифметический Геометрический Алгебраический Вероятностно-статистический С недостающими и скрытыми данными С лишними данными С противоречивыми данными С полными данными • • • • • • • • Система классификации задач на приложения математики ни вида задач на приложения, которые соединены с выделенными ранее классификационными признаками. Для каждого признака указано его содержание в фигурной скобке. Далее будет показано на примере, как по предложенной модели можно составить паспорт конкретной задачи на приложения. Рассмотрим более подробно приведенную систему классификаций задач на приложения. Выделенные два вида задач на приложения отражают бинарное назначение практических приложений математики в школе в обучении: с одной стороны, обучение приложениям математики, с другой – обучение математике через ее приложения. Поясним это. При решении задач, направленных на обучение практическим приложениям математики, требуются знания из области приложений. Такова, например, задача о точечном источнике света. • Сформулируйте и докажите математическое утверждение, которое послужит теоретическим объяснением зависимости между силой освещения и расстоянием от источника света. Необходимо доказать, что при сечении конуса плоскостью, параллельной основанию, получается сечение, площадь которого прямо пропорциональна квадрату расстояния от сечения до вершины. Действительно, представим, что имеется некоторый точечный источник света (карманный фонарик). Световой поток от такого источника представляет собой конус. Направим его на некоторую поверхность, увидим световое пятно, которое можно считать основанием конуса. Будем удалять или приближать эту поверхность (например, кусок картона) к источнику света. Заметим, что при удалении поверхности на расстояние, вдвое большее расстояния от источника света, площадь светового пятна увеличится в четыре раза, а количество световой энергии, приходящееся на единицу площади, станет вчетверо меньшим. (Мы увидим, что пятно станет менее ярким. А из курса физики известно, что сила освещения обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.) В современной астрономии эту закономерность используют для определения расстояний до различных отдаленных объектов Вселенной. Задачи, предназначенные для обучения математике через ее приложения, составляют большую часть школьных задач на приложения. Такие задачи служат для актуализации знаний и умений, необходимых для формирования математических понятий; для мотивации введения понятий; для распознавания, применения понятий и 132 включения их в систему известных понятий, что соответствует пятому признаку приведенной классификации. Подобная классификация математических задач широко известна и приведена в исследованиях Л. М. Лоповка, Е. С. Канина, К. И. Нешкова и А. Д. Семушина и других. Признак классификации по области приложений математики позволяет определить тематические направления фабул задач на приложения этих двух видов. Это необходимо для отбора таких задач согласно возрастным интересам и познавательным возможностям школьников, выбранному профилю обучения. В теории и методике обучения математике хорошо известны задачи по следующим тематическим направлениям: экономика (В. С. Абатурова, А. Г. Еленкин, В. Ф. Любичева, А. С. Симонов), геодезия (В. Н. Ганьшин, П. Я. Дорф, А. О. Румер, Т. Такидзе), сельское хозяйство (В. А. Петров), техника (А. Н. Артболевский, А. Ахлимерзаев, И. А. Скосырская), искусство (А. И. Азевич). Признак классификации по математическим методам решения рассмотрен в работах многих авторов в связи с типизацией задач различных разделов школьного курса математики. Система задач любого школьного учебника по математике также служит примером рассматриваемого классификационного признака. Этот признак включен в систему признаков для распределения задач на приложения по разделам школьного курса математики. Признак по уровням сложности математизации условия задачи необходим для отбора задач по четырем этапам реализации линии практических приложений математики в школе (пропедевтический, подготовительный, основной и заключительный) и определяет четыре уровня сложности задач на приложения, выделенные ранее. Признак классификации по способу представления отражает способы описания реальных ситуаций, требующих применения математики. Задачи на приложения в графической и комбинированной формах встречаются в отечественной учебно-методической литературе нечасто, однако такая форма принята в международных исследованиях достижений школьников (PISA). Признак классификации по полноте данных применим и к учебным математическим задачам. Задачи этого типа рассмотрены, например, в работах Г. И. Саранцева1. Применительно к задачам на приложения он реализован в работе Л. Э. Хайминой2. 1 Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб. пособие для студентов математических специальностей педагогических вузов и университетов. М.: Просвещение, 2002. 2 Хаймина Л. Э. Задачи прикладной направленности… Таким образом, любая школьная задача на приложения может быть описана с помощью предлагаемых признаков. Например, рассмотрим следующую задачу о высоте Солнца над горизонтом: • Определите с помощью лупы высоту Солнца над горизонтом. Кратко представим идею ее решения. Лупа – собирающая линза. Если пропустить лучи Солнца перпендикулярно поверхности лупы так, чтобы они собрались в фокусе на поверхности Земли, то, измерив две стороны получившегося прямоугольного треугольника (рис. 15), найдем угол падения солнечных лучей на Землю, или угловую высоту Солнца над горизонтом. Рис. 15 Определим вид этой задачи и ее признаки согласно построенной классификации. Это задача на обучение практическим приложениям математики, так как для ее решения требуется знание геометрической оптики. По области приложений математики эту задачу отнесем к научным областям знаний, в частности к физике. Математический метод решения связан с использованием свойств прямоугольного треугольника, а значит, его можно считать геометрическим. По способу представления это текстовая задача. По назначению в обучении – задача на распознавание понятия, так как после построения чертежа к задаче учащемуся необходимо обнаружить на нем прямоугольный треугольник, установить его известные элементы. Один из углов этого треугольника и является углом, определяющим высоту Солнца над горизонтом. Эта задача относится к высокой сложности математизации условия. На первый взгляд реальные объекты явно выделены – лупа и Солнце. Но для решения задачи необходимы другие объекты, хотя и тесно связанные с перечисленными, – фокус лупы, солнечные лучи. 134 Поэтому считаем, что здесь реальные объекты и отношения явно не выделены. Проиллюстрируем сказанное на модели системы классификаций задач на приложения математики, отметив на ней выявленные признаки задачи жирным шрифтом (рис. 16). 135 Рис. 16 я • • • • По назначению в обучении По математическим методам решения По полноте данных На изучение математики с помощью ее приложений на прилож е На обучение приложениям математики и ач По сложности математизации условия задачи По способу представления • Прямое указание на математическую модель • Реальные объекты и отношения легко соотносимы с математическими объектами и отношениями • Реальные объекты и отношения соотносимы с математическими объектами и отношениями неоднозначно • Реальные объекты и отношения явно не выделены • Текстовый • Графический • Комбинированный По области приложений математики За д • Научные области знаний • Практические области деятельности • Бытовые, занимательные, игровые ситуации с реальным сюжетом На актуализацию знаний На мотивацию изучения понятия На распознавание понятия На включение нового понятия в систему известных Арифметический Геометрический Алгебраический Вероятностно-статистический С недостающими и скрытыми данными С лишними данными С противоречивыми данными С полными данными • • • • • • • • Вид и классификационные признаки задачи о высоте солнца над горизонтом ни Тема 5. Задачи на приложения математики на уроках Формирование математических понятий с помощью задач на приложения математики: 1) актуализация знаний и умений, необходимых для усвоения понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3) распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового понятия в систему известных понятий. Изучение математических предложений (определений, аксиом, теорем) Я. И. Груденов1 делит на три этапа: введение, усвоение и закрепление. Для реализации этих этапов необходимы соответствующие задачи и упражнения. В настоящее время при формировании понятий в обучении школьного курса математике сложилась практика использования задач по пяти основным направлениям: 1) актуализация знаний и умений, необходимых для усвоения понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3) распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового понятия в систему известных понятий (Л. М. Лоповок, Е. С. Канин, К. И. Нешков, А. Д. Семушин). Эти направления отражены в пятом признаке (по назначению в обучении) приведенной ранее классификации. Методика работы с задачами по каждому направлению имеет определенные особенности. Раскроем эти особенности на примере использования задач на приложения на различных этапах обучения геометрии в основной школе на уроках: при введении, усвоении и закреплении изученного. I. Введение понятий Я. И. Груденов предлагает на этапе введения понятия организовывать на уроке математики обучение таким образом, что учащиеся либо сами «открывают» новые понятия, самостоятельно формулируют их определения, либо с помощью соответствующих задач готовятся к их пониманию. На этом этапе считаем целесообразным использовать задачи, способствующие актуализации знаний и умений, необходимых для усвоения понятия; мотивации изучения понятия. Л. М. Лоповок приводит пример задачи, которую учитель решает с учащимися для актуализации их знаний перед изложением теоремы об объеме шарового сегмента: Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1990. 1 137 • Купол имеет форму шарового сегмента с радиусом основания R и высотой Н. Для его строительства смонтированы подмостки, завершающиеся пятью цилиндрическими кольцами высоты h. Определить площадь поверхности этих колец. При решении этой задачи учащиеся определяют радиусы колец, то есть радиусы сечений шарового сегмента плоскостями, параллельными плоскости его основания. Кроме того, учащиеся рассматривают «ступенчатую» цилиндрическую фигуру. Все эти сведения понадобятся школьникам при изучении теоремы. Приведем примеры использования задач на приложения с целью мотивации изучения понятий. Перед тем как перейти к определению вводимого понятия, целесообразно провести подготовительную работу. Для этого учитель предлагает учащимся ряд задач, при решении которых еще нет необходимости использовать понятие на уровне точного определения. Оно вводится только на интуитивном уровне, то есть имеется некоторая информация, характеризующая понятие с той или иной стороны. Такие задачи используются для мотивирования изучения нового понятия. Задачи для этой цели подбираются первого или второго уровня сложности (имеется прямое указание на математическую модель, объекты и отношения легко соотносимы с математическими объектами и отношениями), они имеют направленность на изучение математики с помощью ее приложений. Проиллюстрируем рассмотренное положение примерами. Следующая задача мотивирует введение понятия центральной симметрии. • Игра в монеты. Двое по очереди кладут на лист бумаги прямоугольной формы пятикопеечные монеты. Монеты можно класть только на свободные места, то есть так, чтобы они не покрывали друг друга даже отчасти. Сдвигать монеты с места, на которое они положены, нельзя. Предполагается, что каждый имеет достаточное количество монет. Выигравшим считается тот, кто положит монету последним. Как должен класть монеты начинающий игру, чтобы выиграть? Учитель для поиска выигрышной стратегии предлагает учащимся ознакомиться с новым для них понятием центральной симметрии и сообщает им следующие сведения. Пусть на плоскости выбрана точка О. Возьмем какую-нибудь точку М и проведем прямую АМ. Отложим на этой прямой от точки О отрезок ОМ1, равный ОМ, но по другую сторону от точки О (рис. 17). Точки М и М1 называют симметричными относительно точки О, которую называют центром симметрии. 138 Рис. 17 Далее учитель сообщает учащимся о том, что понятие центральной симметрии позволяет найти выигрышную стратегию в этой игре (мотивирует изучение этого понятия), и предлагает сделать это вначале самостоятельно. При необходимости учитель помогает учащимся сформулировать выигрышную стратегию, которая состоит в следующем. Начинающий игру должен положить монету на центр бумажного листа. В дальнейшем он кладет свою монету каждый раз, как бы повторяя ходы второго игрока, но с противоположной стороны относительно монеты, с которой была начата игра. Это он всегда сможет сделать после каждого хода второго игрока. Поэтому именно начинающий сделает последний ход в этой игре и, следовательно, выиграет. Таким образом, на языке геометрии стратегия начинающего игру заключается в том, что первым ходом определяется центр симметрии. В дальнейшем первый играющий кладет свою монету каждый раз симметрично относительно центра стола монете, положенной вторым играющим. Мотивом изучения учащимися нового понятия в данном случае является интерес к поиску выигрышной стратегии игры. На примере следующей задачи покажем, как можно мотивировать изучение осевой симметрии. • Закончите изображение древнегреческой амфоры, изображенной на рис. 18 а, действуя следующим образом: перегните лист бумаги так, чтобы на одной его половине осталось изображение части амфоры, а другая половина оказалась чистой (линия сгиба показана пунктиром на рис. 18 б). С помощью булавки, делая проколы по контуру рисунка, перенесите данное изображение на чистую половину листа бумаги. Развернув его в исходное положение и соединив линиями точки проколов, получите полное изображение амфоры (рис. 18 в). 139 Установите правило, пользуясь которым можно завершить данное изображение без перегибания листа бумаги. а) б) в) Рис. 18 При решении задачи учитель помогает учащимся сформулировать следующее правило: каждой точке М имеющегося изображения сопоставить точку М1 так, чтобы прямая, по которой был перегнут лист бумаги, проходила через середину отрезка ММ1 и была к нему перпендикулярна. В этом примере мотивом для введения понятия осевой симметрии служит возможность объяснения произведенных учащимися действий с помощью геометрии. Задача об измерении высоты столба предваряет введение понятия тангенса угла. • Как измерить высоту столба (вышки или мачты) по длине тени? В процессе решения этой задачи учитель мотивирует необходимость введения нового понятия, опираясь на понятия, уже известные школьникам. Учащиеся вместе с учителем проводят следующие рассуждения. Предположим, что угол, под которым виден предмет из точки на конце его тени, может быть измерен (рис. 19). Получим такую геометрическую задачу: • Найти катет ВС прямоугольного треугольника, зная его катет АС и угол А. 140 Рис. 19 Решение подобных задач хорошо известно учащимся. Они знают, что sinA = a и cosA = bc Поделив первое равенство на второе, c . a sin A A . В последнее равенство входит получим b = cosA . Отсюда a = b sin cosA отношение двух функций угла А – синуса и косинуса. Учитель далее сообщает учащимся, что это отношение очень часто встречается при решении самых разнообразных задач. Поэтому его рассматривают как одну функцию угла – тангенс. Далее учитель вместе со школьниками делает следующий вывод: тангенсом угла называется отношение синуса угла к его косинусу. II. Усвоение понятий По мнению Я. И. Груденова1, на этом этапе учащиеся должны уметь применять изученные на предыдущем этапе определения, аксиомы, теоремы. Считаем, что для этого целесообразно использовать задачи на распознавание и применение понятия. Эти задачи способствуют первичному закреплению введенного понятия, так как для их решения, как правило, учащимся достаточно использовать только что изученный материал, например только определение понятия или его основные свойства. Такие задачи, как правило, не усложнены необходимостью применения других нововведенных фактов: определений, теорем, формул и т.д. Здесь целесообразно использовать задачи на приложения первого или второго уровня сложности. Проиллюстри1 Груденов Я. И. Указ. соч. 141 руем рассмотренное положение примерами. Приведем пример задачи на распознавание понятия развернутого угла. • Прежде чем пользоваться чертежным треугольником для проведения перпендикуляров, мы хотим убедиться, что он имеет прямой угол. Как это сделать? Предположим, что учащимися только что изучено понятие развернутого угла. Для распознавания этого понятия и его первичного закрепления при решении задачи им необходимо воспользоваться хорошо известным им понятием прямого угла. Учитель проводит совместно с учащимися такие рассуждения. Развернутый угол равен 180°, или сумме двух прямых углов. Значит, для проверки правильности чертежных треугольников необходимо обвести прямой угол чертежного треугольника на листе бумаги дважды так, как показано на рис. 20. Если стороны прямых углов на полученном чертеже лежат на одной прямой АВ (являются дополнительными полупрямыми одной прямой АВ), то есть получен развернутый угол, то чертежный треугольник правильный. Рис. 20 Приведем еще ряд задач на распознавание и применение понятий, которые разделены Л. М. Лоповком на две группы: 1) «на объяснение некоторого реального явления»; 2) «на применение понятий в различных областях практической деятельности человека»1. 1. Задачи на объяснение некоторого реального явления. • Почему мотоцикл с коляской стоит на дороге устойчиво, а для мотоцикла без коляски необходима дополнительная опора? Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы: Пособие для учителя / Под ред. А. И. Фетисова. – М.: Просвещение, 1967. 1 142 • Почему бетонные плиты, которыми мостят дорогу, изготавливают только в форме правильных шестиугольников или квадратов? • Почему в садовой калитке всегда прибивают диагональную планку? • Почему листы жести на крыше «сшивают» по направлениям, перпендикулярным к гребню крыши? 2. Задачи на применение понятий в различных областях практической деятельности человека. • Как используется признак параллельности плоскостей при устройстве пола? • Как используются аксиомы плоскости при разбивке котлована под фундамент дома? III. Закрепление понятий По утверждению Я. И. Груденова, закрепление понятий заключается в повторении их определений, теорем, связанных с этими понятиями и отработке навыков их применения к решению задач1. На этом этапе целесообразно использовать задачи на включение нового понятия в систему известных. Эти задачи способствуют осмысленному применению и длительному сохранению в памяти учащихся содержания пройденного материала, а также могут быть использованы для повторения отдельных глав или целого курса. Уровень сложности задач на приложения в этом случае выбирается в зависимости от цели урока и подготовленности учащихся к решению таких задач. Проиллюстрируем примером. Площадь круга и его частей • Вычислите площадь окна, имеющего форму прямоугольника, законченного вверху сегментом 60°. Высота окна отсчитывается от середины дуги сегмента до основания и равна 2,4 м, ширина его 1,6 м. Условие задачи практически не требует перевода на математический язык, имеется прямое указание на математическую модель, которая изображена на рис. 21. Площадь искомой фигуры можно вычислить так: SАЕDСВ = SАВСЕ + (SEOCD – SΔEOC) ≈ 3,7 м2. Для того чтобы решить эту задачу, учащимся нужно использовать ранее изученные факты: понятия дуги и радиуса окружности, равнобедренного, равностороннего и прямоугольного треугольни1 Груденов Я. И. Указ. соч. 143 ков, синуса острого угла прямоугольного треугольника, формулы нахождения площадей четырехугольника и треугольника, теоремы Пифагора, о сумме углов треугольника и т.д. В то же время она не является задачей повышенной сложности и доступна для решения большинству учащихся в классе. Рис. 21 Таким образом, показано, что задачи на приложения могут быть использованы на различных этапах изучения математических понятий, теорем и т.п. На каждом из рассмотренных этапов (введение, усвоение, закрепление) задачи на приложения подбираются с учетом их уровня сложности. Это позволяет утверждать, что включение таких задач в учебный процесс на уроке является целесообразным с двух точек зрения: с одной стороны, с помощью таких задач происходит обучение математике через ее приложения, с другой – имеется возможность обучать приложениям математики. Такой подход отражает бинарное назначение практических приложений школьного курса математики в обучении, который далее будет отражен в методической системе подготовки учителя к практико-ориентированному обучению математике в школе. *** Итак, задача, связанная с практическими приложениями математики (задача на приложения), – это задача, представляющая собой содер- 144 жательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики. Различия между задачей на приложения и сюжетной задачей, в фабуле которой использованы реальные объекты, состоят в степени достоверности описания этих объектов и отношений между ними. Методические требования к задачам на приложения математики в школе разделены на две группы: требования к фабуле и к математическому содержанию. 1. Требования к фабуле задачи. 1.1. Отражение реального объекта, его свойств. 1.2. Связь математики с другими науками, практическими областями деятельности. 1.3. Наличие проблемы или свойств объекта, для изучения которых действительно необходимо применить математику. 1.4. Соответствие возрастным особенностям (познавательным интересам, ведущему типу деятельности школьника). 1.5. Доступность фабулы для понимания учащимся: используемые нематематические термины известны школьникам в результате изучения других дисциплин, легко определяемы или интуитивно ясны. 2. Требования к математическому содержанию задачи. 2.1. Математическая содержательность решения задачи. 2.2. Соответствие численных данных задачи существующим на практике. 2.3. Соответствие фактических данных, сделанных допущений и упрощений реальному процессу, объекту, ситуации, описанных в задаче. 2.4. Возможность включения задач на приложения в систему тренировочных заданий, упражнений и задач курса математики в школе. Наиболее важные характерные особенности процесса применения математики к исследованию реальных объектов, то есть особенности задач на приложения: 1. При переходе от условия прикладной задачи к строгой математической модели используются не доказательные, а правдоподобные рассуждения. Это, например, рассуждения по аналогии, использование понятий вне рамок их первоначального определения, использование результатов приближенного решения. 145 2. Уровень строгости и полноты математического исследования согласуется со смыслом исходной ситуации, то есть с реальным смыслом величин, входящих в условие задачи. 3. Выбор математического аппарата (метода) для решения задачи осуществляется на основе ряда критериев. Решение реальной задачи должно быть не только правильным, но и экономным по затраченным усилиям, доступным современным вычислительным средствам, удобным для дальнейшего использования (требование рациональности). 4. Полученный результат решения прикладной задачи на этапе интерпретации может быть подтвержден экспериментально1. Функции задач на приложения математики, общие с учебными математическими задачами и упражнениями: запоминание теоретических фактов, формирование навыков исследовательской деятельности, усиление мотивации к обучению, формирование мировоззрения и другие. Некоторые специфические функции задач на приложения: • установление связи между реальным миром предметов и явлений и математикой; • ознакомление учащихся с основами метода математического моделирования; • формирование математической грамотности, мировоззрения и миропонимания школьников. Согласно бинарному назначению задач на приложения, выделим два вида этих задач (по их постановке): на обучение приложениям математики, на изучение математики с помощью ее приложений. Задачи этих двух видов, в свою очередь, характеризуются следующими основными признаками: по области приложений математики, по математическим методам решения, по сложности математизации условия задачи, по назначению в обучении, по способу представления, по полноте данных. В настоящее время при формировании понятий в обучении школьного курса математике сложилась практика использования задач по пяти основным направлениям: 1) актуализация знаний и умений, необходимых для усвоения понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3) распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового понятия в систему известных понятий. По этим направлениям следует подбирать и задачи на приложения. 1 Фирсов В. В. Указ. соч. 146 Контрольные вопросы и задания 1. Кратко охарактеризуйте основные средства обучения практическим приложениям математике в школе. 2. В чем состоят различия между прикладной задачей, поставленной в науке и в обучении математике в школе? 3. Каковы общие черты школьной задачи на приложения и научной прикладной проблемой? 4. Поясните, какая из приведенных задач не является задачей на приложения математики. • Электропоезд длиной 100 м проезжает мимо километрового столба за 5 с. За какое время он проедет по мосту, длиной 800 м? • Докажите, что чем дальше от глаза находится предмет, тем меньших размеров он нам кажется. Свой ответ аргументируйте. 5. В чем состоит мировоззренческая функция задач на приложения в обучении математике в школе? 6. Какое требование нарушено при формулировании следующей задачи на приложения математики? • С пшеничного поля одновременно взлетели три птицы. В какой момент они окажутся в одной плоскости? 7. Приведите пример задачи на приложения, основная функция которой – способствовать запоминанию теоретических фактов. 8. Составьте аннотированный библиографический список сборников математических задач для основной школы (не менее 6 источников). Выделите процентное содержание в них задач на приложения математики. 9. Охарактеризуйте признаки классификации задач на приложения математики (по области приложений математики, по математическим методам решения, по сложности математизации условия задачи, по назначению в обучении, по способу представления, по полноте данных). 10. Охарактеризуйте, используя графическую схему (см. рис. 14), следующую задачу на приложения математики. • Докажите, что чем дальше от глаза находится предмет, тем меньших размеров он нам кажется. 11. Приведите пример задачи на приложения математики: а) для введения понятия; б) усвоения понятия; в) закрепления понятия. 147 Раздел V. Образовательные продукты в практико-ориентированном обучении математике в школе Тема 1. Образовательный продукт: наборы задач на приложения Понятие образовательного продукта, приемы упорядочивания учебных математических задач (система, цикл, блок, серия, комплекс, цепочка), методические приемы конструирования наборов задач на приложения. Образовательный продукт (далее – ОП) в современной научной литературе рассматривается в двух аспектах: как результат научно-педагогического труда и как продукт познания, полученный обучающимся «в виде суждений, текстов, рисунков, поделок и т.п.», а также «изменения личностных качеств ученика, развивающихся в учебном процессе»1. В практико-ориентированном обучении математике в школе предполагается использование следующих типов ОП: отдельные задачи и наборы задач, связанные с практическими приложениями математики; прикладные исследовательские и проектные задания; методические разработки внеурочных занятий по математике (курсов по выбору, кружков и т.п.) прикладного содержания. Во всех перечисленных типах ОП содержательную основы составляют задачи на приложения математики. В методической науке известны различные приемы систематизации школьных математических задач. Под системой задач понимают совокупность упорядоченных и подобранных в соответствии с поставленной целью задач, действующих как одно целое, взаимосвязь и взаимодействие которых приводят к намеченному результату2. Наибольшую известность в методике обучения математике получили упорядочивания систем задач в циклы (Г. В. Дорофеев), блоки Хуторской А. В. Эвристический тип образования: результаты научно-практического исследования // Эйдос, 1998, 07 июля. URL: http://www.eidos.ru/journal/1998/0707.htm 2 Ковалева Г. И. Методическая система обучения будущих учителей математики конструированию систем задач: Дис. ... д-ра пед. наук. – Волгоград, 2012. 1 148 (Т. М. Калинкина, Г. И. Саранцев), серии (Н. С. Мельник), комплексы (Н. Я. Виленкин, А. Сатволдиев), цепочки (В. А. Гусев, Д. Пойа). Каждая из таких систем задач имеет ряд особенностей. Цикл задач. Г. В. Дорофеев предлагает составлять циклы взаимосвязанных задач, характеризуя их так: каждая конкретная задача имеет определенный набор связанных с ней задач – определенную «окрестность» по содержанию, методам рассуждений, используемым понятиям. Задача с «букетом окрестностей» и представляет собой цикл1. Он отмечает, что циклом задач, связанных между собой по методическим функциям и математическому содержанию, также является всякая система упражнений, направленная на пропедевтику, формирование или отработку конкретного понятия, утверждения или метода рассуждений. Подобные циклы могут быть составлены и с привлечением задач на приложения. Блок задач рассматривают Г. И. Саранцев и Т. М. Калинкина2. По мнению этих авторов, он представляет собой совокупность связанных между собой задач, объединенных общей идеей. В данную группу задачи включаются по принципу упорядочивания посредством их обобщения, конкретизации, аналогии таким образом, что каждая последующая задача либо обобщает предыдущую, либо конкретизирует ее, либо является ее аналогом, либо использует результат предыдущей задачи. Серия задач. Систему задач, объединенных общей идеей решения, Н. С. Мельник3 называет серией задач. Она может выполнять различные функции в обучении: углубление знаний учащихся, формирование навыков решения задач. Комплекс задач, называемых сквозными, предлагают использовать в обучении математике в школе Н. Я. Виленкин и А. Сатволдиев4. Авторы выделяют метод сквозных задач, под которым понимают «использование упорядоченных комплексов математических задач, свяДорофеев Г. В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. – 1983. – № 6. – С. 34–39. 2 Саранцев Г. И., Калинкина Т. М. Методы научного познания как средство упорядочения геометрических задач // Математика в школе. – 1994. – № 6. – С. 2. 3 Мельник Н. С. О взаимосвязанных геометрических задачах // Математика в школе. – 1989. – № 6. – С. 4. 4 Виленкин Н. Я. Сатволдиев А. Метод сквозных задач в школьном курсе математики // Повышение эффективности обучения математике в школе / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. – С. 101–112. 1 149 занных с одной и той же физической моделью». Такие задачи распределяются по всему курсу математики и помогают учащимся осознать смысл рассматриваемых понятий, их свойства, различные случаи их практического применения внутри одной физической модели. Авторами выделены четыре таких модели: равномерное прямолинейное движение, равноускоренное движение, органический рост и убывание величин, колебательное движение. Их изучение, по утверждению Н. Я. Виленкина и А. Сатволдиева, позволяет прийти к основным понятиям школьного курса математики. Цепочка задач. Цепочки эквивалентных вспомогательных задач рассматривает Д. Пойа1. Построение таких цепочек приближает к решению исходной задачи. Система вопросов, задач и заданий для школьного курса геометрии, построенная В. А. Гусевым, также является цепочкой, упорядоченной по сложности применения приемов мыслительной деятельности2. Л. Э. Хаймина3 описывает цепочку прикладных задач как последовательность целевых указаний к определенному виду деятельности и установке порядка ее осуществления: «измерьте…», «рассмотрите…» и т.п. Н. В. Вахрушева4 рассматривает цепочки профессионально-ориентированных задач как последовательность взаимосвязанных (по фабуле, сюжету, методам решения) сюжетных задач, фабулы которых обеспечивают развитие профессиональной значимой для обучаемого информации, а решение находится с применением изучаемого математического аппарата одной или нескольких учебных тем. Таким образом, различием между циклами, блоками, сериями и цепочками задач является характер внутренних связей между задачами. Так, при составлении цепочки внутренние связи линейные, в циклах, блоках и сериях такие связи ветвящиеся. Причем для получения запланированного результата обучения важно соблюдать заданную последовательность решения задач. Комплекс может быть объединением цепочек, циклов, блоков и серий задач. Итак, задачи на приложения математики могут быть организованы в циклы, блоки, серии, цепочки и комплексы. Рассмотрим методические приемы конструирования цепочек и циклов таких задач. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976. Методика обучения геометрии… 3 Хаймина Л. Э. Методика реализации прикладной направленности… 4 Вахрушева Н. В. Использование цепочек взаимосвязанных задач в реализации профессиональной направленности обучения математике в экономическом вузе: Дис. ... канд. пед. наук. – Арзамас, 2006. 1 2 150 Цепочки имеют линейные связи между задачами. Обобщая представленные ранее подходы, под цепочками задач на приложения понимаем последовательность взаимосвязанных (по фабуле, методам решения, назначению в обучении) задач. Задачи на приложения возможно сгруппировать в три типа цепочек, связанных с формированием математических понятий: 1) задачи, формирующие одно математическое понятие и имеющие сюжеты по одному тематическому направлению; 2) задачи, имеющие различные сюжеты и формирующие одно математическое понятие; 3) задачи, формирующие различные математические понятия и имеющие сюжеты по одному тематическому направлению. Приведем примеры цепочек задач на приложения первого и второго типов. Они составлены к одной из первых тем школьного курса геометрии – «Расстояние. Отрезок, длина отрезка». Цепочки составлены к учебнику геометрии для 7–9 классов1 § 2 «Отрезок и луч», § 3 «Измерение длин отрезков». Авторами учебника, И. М. Смирновой и В. А. Смирновым, по рассматриваемым темам дается следующая характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий): «Формулировать определения и иллюстрировать понятия: отрезка, равенства отрезков, длины отрезка. Производить операции сложения и вычитания отрезков, умножения и деления отрезка на натуральное число. Измерять длину отрезка с помощью линейки. Решать задачи на нахождение длины отрезка»2. Согласно выделенным учебным действиям учащихся и будет осуществлен подбор задач в «цепочку». Задачи в этом ОП представлены цепочкой первого типа (задачи, формирующие одно математического понятия и имеющие сюжеты по одному тематическому направлению). Подобранные задачи направлены на формирование различных видов учебной деятельности школьника, связанных с формированием понятием отрезка. Первая цепочка состоит из пяти задач, связанных одним сюжетом (измерение расстояний). Переход от одной задачи цепочки к другой обусловлен последовательностью изложения учебного ма1 Геометрия. 7–9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2005. 2 Смирнова И. М. Смирнов В. А. Геометрия. 7–9 классы. Программа и тематическое планирование. – М., 2012 // Авторский сайт И. М. и В. А. Смирновых. URL: http://www. geometry2006.narod.ru 151 териала и формирования учебных действий школьников. В решении каждой последующей задачи учитываются приобретенные учащимся при решении предыдущей задачи знания, умения, навыки. 1.1. Измерьте линейкой 20 см длину своей ступни, ладони, шага, размах между кончиком большого пальца и мизинцем. Сделайте те же измерения портняжным сантиметром. Сравните результаты. Как добиться повышения точности при измерении каждым из этих инструментов? Указание. Сделать несколько измерений и вычислить среднее значение. В этой задаче иллюстрируется понятие отрезка, длины отрезка и формируются учебные действия, связанные с измерением и сложением отрезков. В следующей задаче практические действия, производимые учащимися в предыдущей задаче, необходимо проделать мысленно, то есть длину отрезка следует вычислить, а не измерить. Связующей сюжетной линией между первой и второй задачами является измерение длины шага. 1.2. Каждый представляет, что такое миллион, и столь же хорошо представляет себе длину своего шага. Сделайте прикидку, как далеко вы отойдете, сделав миллион шагов. Больше, чем на 10 км, или меньше? Решение. Миллион шагов гораздо больше, чем 10 км. Пусть средняя длина шага взрослого человека равна 75 см. Тогда, сделав миллион шагов, человек должен пройти 750 км. 1.3. Как верно измерить длину шага? Рассмотрите рис. 22, на котором изображен шагающий человек. Выберите отрезок, длина которого равна длине шага этого человека: АС; АD; ВС; ВD. Ответ: АС или ВD. В третьей задаче продолжается изучение реальной ситуации, связанной с шагами человека. Здесь учащиеся вновь возвращаются к практическим действиям по нахождению длины отрезка (шага). Однако теперь задача усложнена тем, что им необходимо выбрать нужную длину отрезка. Результаты, полученные при решении первой и третьей задач, учащиеся используют в четвертой. Они научились правильно измерять длину шага и умеют найти среднюю величину. Теперь необходимо применить полученные знания и умения в измененной ситуации. 152 Рис. 22 1.4. Вы хотите определить длину своего шага, чтобы впоследствии измерять расстояния шагами. Для этого недостаточно сделать один шаг и измерить расстояние между нужными точками двух ступней. При всем старании вы вряд ли сможете сделать один обычный шаг – для этого вам нужно оказаться в состоянии обычной ходьбы. Так как же все-таки узнать длину своего шага? Решение. Достаточно пройти какое-либо известное и не слишком короткое расстояние, а затем поделить это расстояние на количество сделанных шагов. 1.5. Возможно ли определить рост людей, которые прошли по берегу моря (рис. 23)? Для этого есть несложное правило: средняя длина шага взрослого человека равна примерно половине его роста, считая до уровня глаз. Найдите рост людей, воспользовавшись этим правилом. (Пусть человек, оставивший большие следы, имеет длину шага 65 см, а маленькие следы – 50 см.) Указание. Воспользовавшись приведенными данными, по формуле вычислить рост людей, оставивших следы на песке. В последней задаче продолжена сюжетная линия о шагах, но теперь, учащиеся должны включить полученные умения в систему имеющихся у них умений. В частности, требуется получить необходимые данные о длине шагов, по словесному описанию составить формулу, произвести вычисления, подставляя требуемые числовые значения. 153 Рис. 23 Итак, представленная цепочка из пяти задач позволяет закрепить и «практико-ориентировать» понятие отрезка и свойства длины отрезка, включить полученные знания в систему известных школьникам математических фактов и сведений об окружающем мире. Предполагается, что задачи 1.2 и 1.3 учащиеся решают под руководством учителя, задачи 1.1, 1.4 и 1.5 предназначены для самостоятельной работы. Заметим, что уровень сложности задачи 1.4 можно понизить, если дать учащимся указание воспользоваться результатом решения задачи 1.1. Если для задачи 1.5 имеется масштабная съемка следов ног, то в условии можно не приводить длины шагов, а попросить школьников получить эти данные измерением. Следующая цепочка задач является цепочкой второго типа (задачи имеют различные сюжеты, но формируют одно понятие) и предназначена для изучения сложения и вычитания отрезков, деления отрезка на равные части. Она начинается с задачи повышенной трудности, далее трудность задач убывает (за исключением последней задачи). При обсуждении решения первой задачи учитель может задавать наводящие вопросы, оказывать другую помощь для поддержания познавательного интереса учащихся. При обсуждении остальных задач «доза» помощи учителя уменьшается. 154 2.1. Как отметить середину прямолинейной дорожки, если у вас есть только веревка, которая короче, чем дорожка? Указание. Надо откладывать веревку с противоположных концов дорожки. 2.2. На листе бумаги отмечены две точки А и В. Как с помощью перегибания этого листа разделить отрезок АВ пополам? Решение. Перегнем лист бумаги по прямой линии, проходящей через точки А и В так, чтобы сами точки остались на видимой стороне бумаги после перегибания. Тогда, прижав друг к другу точки А и В неразвернутого листа и разгладив этот лист, на месте сгиба получим искомую точку С. 2.3. Необходимо разметить деревянную планку, сделав засечки через каждые 3 см. Можно ли для этого воспользоваться спичечным коробком, длина которого равна 5 см, а ширина 3,5 см? Если это возможно, то укажите хотя бы один способ. Решение. 5 + 5 – 3,5 – 3,5 = 3. 2.4. Бревно длиной 10 м необходимо распилить на части длиной: а) 70 и 90 см; б) 70 и 80 см. Укажите хотя бы один такой способ. Решение. а) (13 · 70 + 90), (4 · 70 + 8 · 90); б) (4 · 70 + 9 · 80), (12 · 70 + 2 · 80). 2.5. Расстояние от Земли до Солнца равно 150 млн км, а до Луны – 400 тыс. км. Чему равно расстояние от Луны до Солнца во время: а) солнечного затмения; б) лунного затмения? Решение. Обозначим точками С, Л и З Солнце, Луну и Землю соответственно. а) При солнечном затмении СЛ = СЗ – ЛЗ = 149 600 тыс. км (рис. 24 а). б) При лунном затмении СЛ = СЗ + ЗЛ = 150 400 тыс. км (рис. 24 б). а) б) Рис. 24 На примере решения задач 2.1–2.4 учитель имеет возможность не только организовать усвоение соответствующего теоретического материала, но и проиллюстрировать особенности прикладной мате155 матической деятельности, а также заложить основы для формирования у школьников представлений о математической модели и методе математического моделирования. Математическая модель (найти середину отрезка) задач 2.1 и 2.2 одинаковая, а способы решения различаются. Ситуации в задачах 2.3 и 2.4 на первый взгляд разные, а математический аппарат для их решения один (это диофантовы уравнения, которые решены способом подбора корней). Задачу 2.5 целесообразно использовать для иллюстрации аксиомы взаимного расположения точек на прямой, а также для демонстрации учащимся применения математики при изучении естественного блока школьных дисциплин. Заметим, что при решении этой задачи у учителя есть возможность обратить внимание школьников на выбор математической интерпретации реальных объектов условия. Солнце, Луна и Земля могут быть представлены, например, как окружности. Но для решения данной задачи можно использовать более простую математическую модель. Предполагается, что задачи 2.1, 2.2 решаются учениками под руководством учителя, а задачи 2.3 и 2.4 предназначены для самостоятельной работы. Задача 2.5 – повышенной трудности, для ее решения учащемуся необходимо изучить дополнительную литературу по астрономии. Поэтому эта задача может быть использована во внеурочной деятельности как небольшое задание-исследование. Все представленные задачи входят в комплекс задач, связанных с измерением расстояний и размеров предметов. При изучении других тем школьного курса геометрии этот комплекс задач может быть дополнен новыми цепочками, блоками, сериями и т.п. Итак, ОП содержит десять задач на приложения выбранной темы с решениями и методическими комментариями. Задачи организованы в два типа цепочек и ориентированы на разные этапы изучения теоретического материала, а также на демонстрацию его практического применения в окружающем мире. В зависимости от потребностей учебного процесса каждая из цепочек может быть дополнена однотипными задачами с другими данными и похожим сюжетом. Под циклом задач на приложения понимаем набор задач, состоящий из учебной математической задачи (центральная задача цикла) со взаимосвязанными с ней задачами на приложения (задачи из «бу156 кета окрестностей») или из задачи на приложения (центральная задача цикла) со взаимосвязанными с ней учебными математическими задачами (задачи из «букета окрестностей»). Задачи на приложения имеют бинарное назначение в обучении математики (с одной стороны, обучение практическим приложениям математики, с другой – обучение математике через ее приложения). Эта бинарность реализуется в двух методических приемах конструирования циклов таких задач: «от теории к ее практическим применениям» и «от практической проблемы к поиску теории для ее разрешения». Кратко поясним суть выделенных приемов. Методический прием «от теории к ее практическим применениям» подразумевает, что вначале рассматривается некоторая математическая задача (задачи), затем к ней как к математической модели подбираются возможные практические приложения. Методический прием «от практической проблемы к поиску теории для ее разрешения» состоит в следующем: вначале рассматривается некоторая реальная ситуация (задача), затем к ней как к содержательной модели подбираются возможные математические модели, предлагается их интерпретация. Приведем пример цикла задач, иллюстрирующего методический прием «от теории к ее практическим применениям». Характерной особенностью цикла задач является наличие некоторой центральной задачи. Рассмотрим хорошо известную задачу, выполняющую на первый взгляд исключительно дидактическую функцию в обучении. Подобную задачу можно встретить во многих учебниках геометрии, как современных, так и прошлых лет. • На плоскости обозначены три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой. Через точку А проложите прямую, параллельную ВС. У этой задачи имеется несколько решений. Кратко приведем их. Решение 1 1) Соединяя точки А и В, продолжим АВ за точку В так, что АВ = ВD (рис. 25). 2) Соединяя точки D и С, продолжим DC за точку С так, что DC = СЕ. 3) АЕ || ВС, так как ВС средняя линия треугольника АDЕ. 157 Рис. 25 Решение 2 1) Соединим точки А и С и разделим отрезок АС пополам точкой О, АО = ОС (рис. 26). 2) Продолжим ВО за точку О так, что ВО = ОЕ. 3) АЕ || ВС, так как АВСЕ – параллелограмм. Решение 3 1) Из точки А на прямую ВС опустим перпендикуляр АD (рис. 27). 2) В точке А построим перпендикуляр АЕ к прямой АD. 3) АЕ || ВС, так как известно, что две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны. Рис. 26 158 Рис. 27 Рис. 28 Решение 4 1) Соединим точки А и С. Получим угол АСВ (рис. 28). 2) Построим от луча AС в полуплоскость, не содержащую точку В, угол САЕ, равный углу AСB. 3) АЕ || ВС по признаку параллельных прямых (так как внутренние накрест лежащие углы при прямых АЕ и ВС и секущей AС равны по построению). Решение 5 1) Построим окружность, проходящую через точку А и пересекающую прямую ВС в точках В' и С' так, что А' ≠ АС'. Для этого центр окружности О не должен лежать на перпендикуляре к прямой ВС, проходящем через точку А (рис. 29). 2) Построим окружность радиуса R = АВ' с центром в точке С'. 159 3) Среди точек пересечения построенных окружностей есть одна точка, соединив которую с точкой А, мы получим прямую, параллельную ВС. Это точка Е, лежащая по одну сторону с точкой А от прямой ВС. АЕ || ВС. Рис. 29 Далее учащимся предлагается ряд задач на приложения, позволяющих выполнить этап интерпретации полученных решений, то есть установить связь изученной теории с ее практическим применением. К исходной задаче, используя найденные решения, составим набор связанных с ней задач на приложения, «букет окрестностей», по выражению Г. В. Дорофеева. Задача 1. Пусть точки А, В, С заданы на земной поверхности. Все ли построения из решений 1–5 осуществимы в этом случае? Как известно, всю земную поверхность можно считать сферой, а небольшую ее часть – плоскостью. Если точки А, В и С находятся, например, на разных материках, то предложенная задача вообще не может быть решена средствами евклидовой геометрии. Рассмотрим случай, когда часть земной поверхности, на которой расположены данные точки, можно принять за плоскость. Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, надо знать, как на местности обозначаются точки, прямые, откладываются углы. Это может быть сделано как с использованием специальных геодезических приборов, так и с помощью простейших приспособлений. Точку в этом случае представляет забитый в землю кол (трубка, штырь, столб и т.п.), который называют вехой. Прямая линия обозначается двумя вешками. Чертить на земной поверхности какие бы 160 то ни было линии (прямые или дуги) очень сложно, поэтому циркулем при построениях на местности не пользуются. Отрезки нужной длины откладываются с помощью мерной ленты (или обыкновенной веревки). Углы измеряются и откладываются путем построения соответствующих им треугольников. Так, например, прямой угол на местности может быть построен с помощью египетского треугольника (прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 м). А для построения угла, близкого к 45°, можно использовать треугольники со сторонами 7, 4 и 5 м или 7, 6 и 5 м, в которых угол 45° будет лежать против 5-метровой стороны. Поэтому для ответа на поставленный вопрос учащимся необходимо проверить, можно ли решения 1–5 осуществить на местности без использования циркуля. Довольно легко провести построения 1–4. Приемы нахождения на местности середины отрезка, точки пересечения прямых, построения перпендикуляра и откладывания углов подробно описаны в книгах «Примени математику»1 и «Простейшие измерения на местности»2. Пятое решение основано на построении окружностей и точек их пересечения, поэтому на местности применить этот способ с учетом сделанных ограничений невозможно. Задача 2. Пусть для устройства цветника необходимо разметить клумбу с параллельными краями. Каким из предложенных способов 1–4 здесь удобно воспользоваться? При решении этой задачи выбор подходящего математического аппарата для внутримодельного решения зависит от дополнительных условий, которые могут появиться в реальной ситуации провешивания параллельных прямых. Пусть для построений на местности мы ограничены шириной клумбы. Например, за ее границами посажен газон, наступать на который еще нельзя. Провести построения в ограниченном таким образом пространстве позволяют способы 2, 3 и 4. Задача 3. Как можно осуществить построения, если точки А, В, С удалены друг от друга на значительное расстояние и длины мерной ленты для проведения построений не хватает? Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. Примени математику. – М., Наука, 1990. Ганьшин В. Н. Простейшие измерения на местности. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1983. 1 2 161 В этой ситуации поступают, например, так. Надо провести с помощью вешек прямую ВС и изменить положение точек В и С, поместив их на доступном от точки А расстоянии (рис. 30). Если этого сделать не удается (точка А удалена от прямой ВС на расстояние, которое больше длины рулетки), то можно построить несколько параллельных ВС линий в сторону точки А (рис. 31). Построения надо проводить до тех пор, пока не появится возможность проложить прямую через точку А. Задача 4. Пусть точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, отмечены на листе фанеры. Через точку А проложите прямую, параллельную ВС, с помощью линейки и чертежного треугольника. Прикладываем к прямой ВС чертежный треугольник стороной, которая является гипотенузой. Далее, прижав треугольник к бумаге, придвигаем линейку к одному из его катетов (рис. 32). Затем, удерживая линейку на месте, передвигаем по ней треугольник до тех пор, пока его гипотенуза не коснется точки А. Затем по этой стороне проводим прямую АЕ, которая и будет искомой. Целесообразно задать учащимся дополнительный вопрос. Как поступить, если точка А не попадет на гипотенузу? (Надо продлить прямую ВС и начать построение в удобном месте.) Рис. 30 162 Рис. 31 Рис. 32 В результате решения этого цикла задач учащиеся приобретают прочные неформальные знания, что достигается неоднократным обращением к исходной математической задаче и способам ее решения в процессе поиска ответов на другие задачи цикла. Кроме того, учебная деятельность учащихся мотивирована путем ее направленности на возможность практического применения знаний. Имеется также возможность осуществления уровневой и профильной дифференциации с помощью отбора решений исходной задачи. 163 Тема 2. Образовательный продукт: прикладное исследовательское задание Исследовательская деятельность, ее этапы, учебное исследование, виды исследовательских заданий, прикладное исследовательское задание. Как известно, исследование представляет собой процесс выработки новых знаний. Исследовательская деятельность – деятельность, связанная с решением творческой, исследовательской задачи с заранее неизвестным результатом. В дидактике учебное исследование трактуется как вид познавательной деятельности, который основан на выполнении учебных заданий, предполагающих самостоятельное выявление учащимися новых для них знаний, способов деятельности и направленных на достижение целей обучения. По утверждению В. А. Далингера1, исследовательскую деятельность учащихся целесообразно организовывать: 1) при выявлении свойств понятий или отношений между ними; 2) установлении связей данного понятия с другими; 3) ознакомлении с фактом, отраженным в содержании теоремы; 4) обобщении, составлении обратной, противоположной теоремы; 5) классификации математических объектов; 6) решении задач несколькими способами, составлении новых задач и т.д. Это означает, что исследовательская деятельность школьников может быть организована как на уроке математики, так и во внеурочное время и носить как теоретический, так и прикладной характер. Под учебно-исследовательской деятельностью учащихся В. А. Далингер понимает учебную деятельность по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных методов познания, что является условием и средством развития у обучающихся творческих исследовательских умений2. Ученик, способный к исследовательской деятельности, должен не только обладать математическими знаниями, Далингер В. А. Учебно-исследовательская деятельность учащихся в процессе изучения математики // Вестник Омского государственного педагогического университета. Вып. 2007. URL: http://www.omsk.edu 2 Там же. 1 164 но и уметь действовать самостоятельно, нешаблонно, использовать накопленные теоретические сведения и практический опыт, критически осмысливать полученные результаты. Решение задач, связанных с приложениями математики, способствует формированию приемов исследовательской деятельности. Учебная исследовательская деятельность предполагает наличие следующих основных этапов: 1. Постановка проблемы. 2. Изучение соответствующей теории, сбор материала по проблеме исследования. 3. Выдвижение гипотезы и подбор методов проведения исследования. 4. Анализ и обобщение собранного материала, выводы. 5. Представление результатов исследования1. Выделяют три вида исследовательских заданий, различающихся продолжительностью выполнения и числом учащихся, вовлеченных в выполнение задания: «мини-исследование», «урок-исследование», «исследовательский комплекс»2. «Мини-исследование» выполняется группой учащихся или индивидуально, не содержит всех этапов исследования, оно краткосрочное. «Урок-исследование» предполагает участие всех учащихся, присутствующих на занятии (оно может быть и внеклассным), содержит все или большинство этапов исследования. Оно рассчитано на выполнение в течение одного урока. «Исследовательский комплекс» выполняется индивидуально или группой учащихся, преимущественно на внеклассных занятиях, содержит все этапы исследования, является долгосрочным. Эта классификация выступает основой для различных приемов составления исследовательских заданий, в том числе носящих прикладной характер. В процессе обучения происходит постепенная смена способов управления исследовательской деятельностью учащихся со стороны учителя: прямые указания, наводящие вопросы, консультирование самостоятельного исследования. Это определяет степень самостоятельности учащихся: проведение исследования совместно с учителем, по предложенному учителем плану с подробными инструкциями, по краткому плану, самостоятельно. 1 Исследовательская деятельность учащихся в профильной школе / Под ред. Б. А. Тать­ янкина. – М.: 5 за знания, 2007. 2 Охтеменко О. В. Исследовательские задания как средство формирования познавательного интереса и развития математического мышления учащихся на уроках алгебры в основной школе: Дис. ... канд. пед. наук. – М., 2003. 165 Под прикладным исследовательским заданием по математике для школьников понимаем исследовательское задание, связанное с решением задач на приложения с неизвестным заранее результатом. При создании ОП «прикладное исследовательское задание» необходимо: выбрать вид задания, определить способ управления деятельностью учащихся, степень самостоятельности учащихся при его выполнении. В одном исследовательском задании может одновременно присутствовать несколько способов управления деятельностью учащихся. Соответственно, меняется и степень самостоятельности школьников при выполнении исследовательского задания. Методические особенности прикладного учебного исследования состоят в следующем: • постановка задания вне математики, в реальной действительности и его возможность решения математическими средствами; • овладение учащимися рядом сведений из той области знаний (строительство, архитектура, геодезия и т.п.), в которой ведется исследование, подбор математических моделей изучаемых объектов; • использование в исследовании метода математического моделирования; • возможность постановки эксперимента для проверки гипотез и представления результатов исследования. Выбор тем исследований по математике осуществляется учителем в зависимости от интересов и способностей учащегося. Они могут быть направлены на углубленное изучение отдельных вопросов («Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха», «Обобщенное уравнение Эйлера» – темы исследований учащихся СУНЦ МГУ), носить общекультурный, исторический характер («Отец современной алгебры Ф. Виет», «Математика Древней Греции и Индии»), а также быть связаны с изучением приложений математики («Винтовые линии и спирали в природе и технике», «Теневые изображения объектов в начертательной геометрии», «Геометрия столкновений. Бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики»). Однако для большинства учащихся работа над темой исследования превращается в переписывание текстов из различных источников информации. При попытке задать вопрос по существу учитель часто сталкивается либо с полным непониманием учеником изучаемой проблемы, либо с довольно поверхностными представлениями о предмете обсуждения. Понятно, что такая учебная работа выполнена формально школьником и не принесла никакой пользы ее исполнителю. 166 Одним из способов преодоления такой ситуации является составление учителем для учащегося системы вопросов по теме исследования, определяющей направление деятельности ученика. Приведем пример таких вопросов к исследовательской работе учащихся, связанной с изучением ее приложений, который иллюстрирует такую профессиональную деятельность учителя. Тема этого прикладного учебного исследования – «Геометрия и механизмы зрения». Вопросы, на которые должны ответить учащиеся в ходе исследования: 1. Каковы границы поля зрения человека? 2. Чем различается поле зрения человека и животных? 3. Что такое угол зрения? 4. От чего зависит угловой размер предмета? 5. Как геометрия помогает проверить остроту зрения? 6. Как находят линейные размеры предметов с помощью угла зрения? 7. Что такое параллакс? Каждый такой вопрос порождает еще блок вопросов, предлагаемых учащимися по мере исследования ими темы. Так, на этапе работы с информационными источниками возможны такая помощь и участие учителя. Помимо общих рекомендаций по сбору фактического материала, учителю необходимо научить школьника понимать прочитанное. Как известно, работа с текстом – первый исследовательский навык, который приобретает ученик. Приведем пример обучения работе с текстом, подобранным к ответу на вопрос о параллаксе. В левом столбце табл. 1 дан текст, составленный на основе содержания соответствующего раздела школьного учебника астрономии1. В правом столбце к отдельным частям текста сформулированы вопросы, направленные на изучение геометрической составляющей излагаемого материала и выявления геометрического смысла понятия параллакса. Работа учащихся с таким текстом, заключенным в таблицу и сопровожденным вопросами и заданиями, занимает довольно много учебного времени. В то же время составление учащимися ответов на вопросы по каждому фрагменту практически гарантирует понимание ими прочитанного. Такая кропотливая работа над текстом по силам не Воронцов-Вельяминов Б. А. Астрономия. Учебник для средней школы. – М.: Просвещение, 1983. 1 167 каждому учащемуся. Время, затраченное на прочтение текста и объем выполненных заданий, позволяет учителю косвенно оценить исследовательские навыки учащегося, его интерес к исследуемой теме. Предполагаемые решения и ответы на вопросы приведены после таблицы. Таким образом, в процессе выполнения исследования на втором этапе учащиеся имеют возможность применять хотя бы на интуитивном уровне элементы метода математического моделирования, связанные с математизацией реальных объектов. Основной обучающий эффект такой учебной работы состоит в возможности осмысленного, нешаблонного применения учащимися геометрических знаний для изучения закономерностей окружающего мира. Кроме того, при таком подходе к организации учебного исследования имеется возможность формирования навыков работы с научным текстом. В приведенном выше примере формируется способность школьников к смысловому чтению. Таблица 1. Что такое параллакс? Учебный текст Вопросы к тексту Для определения расстояний до не- 1. Покажите на рисунке, почему в бесных светил можно использовать описанном опыте возникает эффект метод параллакса, который основан «перескакивания» пальца на явлении параллактического смещения. Параллактическое смещение есть кажущееся угловое смещение предмета, вызванное изменением точки наблюдения. Поясним это на опыте. Посмотрите одним глазом на свой палец на фоне стены и заметьте место на стене, которое закрыто пальцем. Затем посмотрите на палец другим глазом. Он будет виден на фоне стены в другом ее месте Расстояние между двумя точками, из которых наблюдатель определяет направление к предмету, называется базисом 168 2. Что является базисом в приведенном выше опыте? 3. Как изменяется параллактическое смещение с изменением размеров базиса или при изменении расстояния до наблюдаемого предмета? Окончание таблицы 1 Учебный текст Вопросы к тексту Зная длину базиса и измерив углы 4. Выведите формулу для вычислемежду ним и направлением к пред- ния расстояния указанным спосомету от концов базиса, можно опре- бом делить расстояние до предмета вычислением, не прибегая к измерению расстояния непосредственно Параллаксом (или параллактиче- 5. Почему для более удаленных объским смещением) называется угол, ектов требуется больший базис? под которым от предмета виден базис наблюдателя. Основным способом определения 5. Почему для более удаленных обърасстояний до небесных светил яв- ектов требуется больший базис? ляется определение их параллаксов. Для тел солнечной системы и для тел, лежащих далеко за ее пределами, базис берется разным. В качестве базиса может быть взят радиус Земли, радиус земной орбиты Горизонтальным параллаксом назы- 6. Выведите формулу для вычислевается угол, под которым со светила ния расстояний с помощью горивиден радиус Земли, перпендикуляр- зонтального параллакса ный к лучу зрения Так как Земля имеет не совсем сферическую форму, то во избежание разногласий в определении горизонтальных параллаксов необходимо вычислять их значения для определенного радиуса Земли. За такой радиус принят экваториальный радиус Земли R = 6378 км. Тогда горизонтальные параллаксы Луны и Солнца приближенно равны 57’ и 8’’,80 7. Найдите расстояние от Земли до Луны и Солнца, пользуясь методом горизонтального параллакса. 8. Укажите угловой диаметр Земли, видимый с Луны 169 Решения и ответы к табл. 1 «Что такое параллакс?» 1. Сделаем чертеж (рис. 33). Пусть А – палец, на который смотрит наблюдатель, точки О1, О2 – левый и правый глаза соответственно, точки В1, В2 – метки, точки пересечения плоскости стены с лучами зрения О1А и О2А соответственно. Из рисунка видно, что при изменении точки наблюдения с О1 на О2 меняется положение метки с В1 на В2, что и дает эффект перескакивания. Рис. 33 2. Базисом является расстояние между глазами. 3. При увеличении базиса и уменьшении расстояния до предмета параллактическое смещение увеличивается (рис. 34). 4. Пусть требуется найти расстояние АВ (рис. 35). Для этого измеряют длину отрезка ВС, называемого базисом, и два угла В и С в треугольнике АВС. Далее по теореме синусов находится АВ. AB = BC sinC sinB . 5. Небесные тела удалены на значительное расстояние от Земли, поэтому их параллаксы очень малы. Так как параллактическое смещение увеличивается с увеличением базиса, то при выборе большего базиса повышается точность измерений. 170 Рис. 34 Рис. 35 6. Треугольник ОАS – прямоугольный (рис. 36). Отсюда формула для расчета расстояния от Земли до небесного объекта: D = R/sin p (1), где R – радиус Земли, р – горизонтальный параллакс. 7. Подставляя нужные значения в формулу (1) приближенно получим, что расстояние от Земли до Луны 384 683 км, расстояние от Земли до Солнца – 152 263 534 км. 171 Рис. 36 8. Как известно, предметы имеют не только линейные, но и угловые размеры. Угловые размеры измеряют в градусах. В отличие от линейных, они непостоянны и зависят от точки, из которой смотрят на предмет. В данном случае угловой диаметр Земли (или угловой размер диаметра Земли) равен удвоенному горизонтальному параллаксу Луны, то есть 114'. Далее приведем пример, иллюстрирующий возможности формирования у школьников приемов исследовательской деятельности с помощью задач на приложения. Задача из книги А. И. Островского1 использована для проведения небольшого прикладного исследования, направленного на изучение основ начертательной геометрии. • В одной книге помещен рисунок (рис. 37), на котором изображены два вертикальных столба и их тени на горизонтальную плоскость. По этим данным требуется найти положение источника света (лампочки, фонаря) и его «основания» (то есть проекции источника света на горизонтальную плоскость). Решите эту задачу и ответьте на дополнительные вопросы: 1. Существенно ли, что столбы вертикальны? 2. Существенно ли, что плоскость, на которую падают тени, горизонтальна? 3. Все ли приведенные на рисунке данные являются необходимыми? Островский А. И. 75 задач по элементарной математике – простых, но… – М.: Просвещение, 1966. 1 172 Рис. 37 Исследовательская деятельность учащихся при решении такой задачи состоит в поиске связи между физическим явлением и его математической интерпретацией; выявлении свойств понятий, отношений между ними. Учитель может направить исследование учащихся по следующему пути. Формулировка задачи связана с реальной ситуацией, понимание которой требует от учащихся знания закона о прямолинейности распространения световых лучей. Этот физический закон позволяет уяснить причину образования тени. Тени отбрасывают все непрозрачные тела, расположенные на пути лучей света. Лучи же, скользящие по контуру предмета, обрисовывают его тень. Следовательно, глядя на рисунок, справедливо предположить, что световой луч, идущий от источника света, положение которого необходимо определить, соединяет верхнюю точку столба и крайнюю точку тени. Итак, нам известно положение двух световых лучей, исходящих от источника. Так как оба столба освещены одним источником света, то он может находиться только на пересечении прямых, содержащих эти световые лучи. Таким образом, для того, чтобы найти положение источника света, необходимо к двум перпендикулярам и их проекциям на горизонтальную плоскость построить две наклонные и найти точку пересечения этих наклонных, которая и будет являться искомым источником света. Поиск ответа на дополнительные вопросы связан со способностью представлять описанную ситуацию в новых преобразованных условиях, анализировать данные, делать выводы. В качестве одного из этапов поиска решения задачи целесообразно предложить учащимся проделать эксперимент по созданию реальной модели данной ситуации (например, используя плоскость стола, два закрепленных вер173 тикально карандаша и настольную лампу). Приведем решение этой задачи, для обоснования которого использованы как математические, так и физические факты. Решение. Обозначим АВ и СD столбы, освещенные источником света, МВ и ND – их тени на горизонтальной плоскости α. Необходимо построить точку S – источник света и точку K – его проекцию на плоскость α. Для удобства элементы, которые даны в условии задачи, на чертеже будем обозначать сплошными линиями, остальные – пунктирными. Из условия имеем: Дано: 1. Горизонтальная плоскость α. 2. АВ ⊥ α. 3. СD ⊥ α. 4. МВ лежит в плоскости α. 5. ND лежит в плоскости α. Построить: 6. S, K. Анализ. Из условия известно, что имеется единственный источник света. Два световых луча от этого источника проходят через точки А, М и С, N. Следовательно, для того, чтобы найти положение источника света, достаточно построить точку S пересечения прямых АМ и СN. Проекцией точки S на горизонтальную плоскость α будет точка, полученная в результате пересечения прямых МВ и ND, точка K. Построение (рис. 38). 7. АМ ∩ СN = S; 8. МВ ∩ ND = K. Рис. 38 174 Доказательство. 9. S – источник света согласно закону о прямолинейности распространения световых лучей. Докажем, что K – проекция точки S на плоскость α, то есть необходимо доказать, что SK ⊥ α. 10. Точки М, А, В образуют вертикальную плоскость β, β ⊥ α (аксиома плоскости, 1, 2). 11.Точки С, N, D образуют вертикальную плоскость γ, γ ⊥ α (аксиома плоскости, 1, 3). 12. SK ⊂ β (10, 7, 8). 13. SK ⊂ γ (11, 7, 8). 14. β ∩ γ = SK (12, 13). 15. SK ⊥ α (10, 11, 14, теорема: если две плоскости, перпендикулярные третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пересечения перпендикулярна третьей плоскости). Ответы на дополнительные вопросы требуют анализа и обобщения исследовательской работы: 1. Для нахождения положения самого источника света реальное направление столбов не имеет никакого значения. Изменение направления столбов, то есть их отклонение от вертикали, возможно при изменении положения точек А и С или точек В и D. Очевидно, что при этом способ построения точки S останется прежним. Для нахождения же положения основания источника света нужно быть уверенным в том, что столбы вертикальны. Если это не так, то плоскости β и γ не будут являться вертикальными, а значит, и прямая их пересечения не будет перпендикулярна горизонтальной плоскости α. Таким образом, основание перпендикуляра, опущенного из точки S на плоскость α, построить указанным нами способом нельзя. Для подбора другого способа построения нужны дополнительные данные. Необходимо знать положения оснований перпендикуляров, опущенных из вершин столбов на горизонтальную плоскость, далее нужно построить «тени» этих перпендикуляров и воспользоваться уже известным способом для нахождения «основания» источника света. 2. Аналогичен ответ на второй вопрос: для нахождения положения самого источника света расположение плоскости, на которую падают тени, не имеет никакого значения; для нахождения же положения основания источника света существенно, что тени вертикальных столбов отброшены на горизонтальную плоскость. 175 3. Если, как принято в основном условии, столбы вертикальны, а тени падают на горизонтальную поверхность, то для решения задачи достаточно задать на рисунке один столб с падающей от него тенью и только направление тени второго столба. По этим данным сначала находим «основание» источника света, а затем сам источник (рис. 39). Рис. 39 Если на рисунке будут даны один столб с падающей от него тенью и тень второго вертикального столба, то по этим данным можно найти не только положение источника света и его «основание», но и высоту второго столба (рис. 40). Рис. 40 176 Если же задать лишь направления двух теней, то по этим данным легко найти положение «основания» источника света, но и только. Положение самого источника мы не сумеем найти даже в том случае, если нам будут известны обе тени (но ни одного столба). Таким образом, при решении этой задачи учащиеся под руководством учителя или самостоятельно выполняют (явно или неявно) следующие учебные действия, связанные с проведением исследования: анализ имеющейся информации по рассматриваемому вопросу, экспериментирование, систематизация и анализ полученного фактического материала, выдвижение гипотезы, подтверждение или опровержение гипотез, доказательство гипотез1. Приведем еще один пример прикладного исследовательского задания, связанного с изучением новой для учащихся нематематической терминологии. Школьникам предлагается изучить характерную для навигации проблему выбора направления движения корабля. Предполагается, что учащиеся узнают ряд понятий и теорем сферической геометрии (сферические угол и треугольник, теорема косинусов для сферического треугольника и другие), ознакомятся с методом математического моделирования, его этапами. Для успешного выполнения задания учащимся необходимо вспомнить ряд известных им понятий: географические координаты точек на земной поверхности, меридиан, параллель, экватор, – а также изучить на начальном уровне понятия навигации: ортодромия, локсодромия, курс корабля. Постановка задания для школьников. Навигация – это наука о способах выбора пути. Простейшими задачами навигации являются задачи на определение кратчайшего маршрута, выбор направления движения, вычисление географических координат точки на поверхности Земли. Для решения таких задач используется сферическая геометрия. Исследуйте вопрос о выборе направления движения корабля: вычислите начальный курс корабля при движении по ортодромии из А в В, если известны географические координаты этих точек ϕА, λА и ϕВ, λВ. Приведем возможный ход выполнения задания учащимися и сопутствующую этому методическую работу учителя. Приступая к обсуждению с учащимися выполнения этого задания, учитель предлагает им использовать метод математического 1 Далингер В. А. Указ. соч. 177 моделирования, мотивируя это следующим. В рассматриваемой задаче трудно сразу предъявить математическую модель условия – много непонятной учащимся терминологии (начальный курс, ортодромия). Поэтому целесообразно сначала проделать подготовительную работу: определить все нематематические термины задачи, дать им математические интерпретации, выявить отношения между объектами задачи и уяснить смысл задачи в целом. Определим пути взаимодействия учителя и ученика на каждом этапе математического моделирования: 1) математизация (анализ условия); 2) формализация (построение математической модели условия); 3) внутримодельное решение; 4) интерпретация результата, – которые и составят план выполнения задания школьниками. Так, на первом этапе учащиеся подбирают в литературе, рекомендованной учителем, различные определения нужных нематематических терминов и предъявляют их учителю. Учитель помогает подобрать математическую интерпретацию этих терминов и, при наличии нескольких определений одного понятия, показывает преимущества и недостатки возможной математической модели, а также помогает осуществить рациональный выбор модели для решения конкретной задачи. Второй этап выполняется каждым учащимся самостоятельно, учитель должен только проверить итоговый результат – построенную математическую модель задачной ситуации в целом. Третий этап требует активного участия учителя. Его роль заключается в помощи в освоении понятий и теорем сферической геометрии, то есть, собственно, в изучении нового для учащихся математического материала. Доза этой помощи может быть различной и зависеть от желаемой глубины изучения вопроса, способностей и потребностей конкретной группы учащихся. Четвертый этап выполняется учащимися самостоятельно. На этом этапе происходит осмысление и интерпретация результатов решения задачи. Кратко изложим содержание всех четырех этапов. Этап 1. Математизация (анализ условия) Условие задачи содержит не совсем ясные и даже совершенно незнакомые слова – специальные термины других наук: курс корабля, ортодромия, географические координаты точек. Главной целью первого этапа является выяснение их смысла и выявление на этой основе их возможной математической модели. 1. Курс корабля. Вообще говоря, в задаче идет речь о начальном курсе корабля. 178 Почему требуется вычислить именно начальный курс, мы поговорим позже, когда будем выяснять значение термина «ортодромия». Курсом корабля в точке А земной поверхности называется угол между плоскостью меридиана, проходящего через точку А, и продольной плоскостью судна, отсчитываемый в градусах от северной части меридиана по часовой стрелке (от 0° до 360°). В этом определении встречается специальная терминология: меридиан, продольная плоскость судна. Дадим этим терминам математическую интерпретацию. Известно, что меридианы являются большими окружностями на поверхности Земли, принимаемой нами за сферу. Все меридианы пересекаются в точках Северного и Южного полюсов и имеют одинаковую длину (как большие окружности сферы). Продольная плоскость судна – это вертикальная плоскость, являющаяся плоскостью симметрии судна и проходящая через крайние точки кормы и носа судна. Эта плоскость проходит через центр Земли1, а значит, является диаметральной плоскостью сферы, то есть пересекает сферу по большой окружности. Значит, курс судна с точки зрения математики – это величина двугранного угла между плоскостями, каждая из которых пересекает сферу по большим окружностям. На рис. 41 изображен двугранный угол АО между плоскостями, содержащими большие окружности АВ и АС на сфере. Величина этого угла равна величине линейного угла XAY между касательными АХ и AY к этим большим окружностям, или величине угла ВОС между радиусами ОВ и ОС, лежащими в плоскости, перпендикулярной ребру двугранного угла. Встречается и другое определение курса корабля: Угол между направлениями движения судна в море и направлением на север называется курсом судна. Соответственно, получаем и другую математическую интерпретацию этого понятия. Она более простая. Величина угла между направлениями на шаре есть величина плоского угла между хордами, соединяющими соответствующие точки земной поверхности. Нетрудно заметить, что угол ВАС между хордами АВ и АС будет меньше угла XAY между касательными АХ и АY (см. рис. 41). Причем, если рассматриваемые расстояния АВ и АС на поверхности Земли-шара невелики, то разность величин соответствующих углов будет близка к нулю. Если считать Землю сферой, то отвесная линия, лежащая в вертикальной плоскости, всегда проходит через ее центр. 1 179 Рис. 41 Какую из этих двух математических моделей использовать в решении задачи? В условии задачи заданы произвольные координаты точек земной поверхности, значит, следует рассмотреть наиболее общий случай и воспользоваться для этого первым определением. 2. Ортодромия. Этот термин, совсем незнакомый школьникам, имеет простой смысл. Известно, что всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении окружность. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается так называемая большая окружность. В геодезии и навигации большие окружности называют ортодромиями. Таким образом, можно сказать, что корабль движется по дуге АВ большой окружности. Хотя ортодромия и является кратчайшим путем на сфере, путь корабля в навигации прокладывают по другой кривой. Дело в том, что ортодромия, отличная от меридиана или экватора, пересекает различные меридианы под разными углами и, следовательно, при движении по ортодромии приходится непрерывно менять курс. Это неудобно, поэтому на практике для прокладки курса используют кривую, которая пересекает все меридианы под постоянным углом. Ее называют локсодромией (в переводе «косой бег»). При движении по локсодромии путь несколько удлиняется. При небольших расстояниях между точками А и В это удлинение несущественно. Если же сферическое расстояние АВ велико, то поступают следующим образом: рассчитывают ортодромию, связывающую А и В, а за180 тем вычисляют координаты нескольких промежуточных точек, далее определяют курс по локсодромии, связывающей последовательно эти промежуточные точки, и следуют этим курсом. Такие точки еще называют точками смены курса. Поэтому в задаче и идет речь о вычислении начального курса корабля в точке А – начальной точке движения. 3. Географические координаты точек. На первый взгляд именно это понятие из всех использованных в задаче является наиболее знакомым учащимся. Географическими координатами точек земной поверхности являются широта и долгота. Они изучались в курсе географии 6 класса и определялись так. Географическая широта заданной точки определяется величиной в градусах дуги меридиана от экватора до параллели, проходящей через эту точку. Географическая долгота заданной точки определяется величиной в градусах дуги параллели от начального меридиана до меридиана, проходящего через эту точку. Однако на основе этих определений учащимся в 6 классе было довольно трудно уяснить математическую суть этого понятия. Поэтому предстоит заново изучить этот вопрос на совершенно новом уровне. Приведенные выше определения – лишь наглядная иллюстрация широты и долготы на глобусе. Их точное определение иное. Это связано с тем, что Земля не является шаром и глобус лишь упрощенная ее модель. Истинная форма Земли, называемая геоидом, весьма сложна, хотя и близка к эллипсоиду вращения, сплюснутому в направлении полюсов. По этой причине возникает расхождение между географическими координатами, полученными из астрономических наблюдений, и координатами, определенными для данной точки по глобусу или карте. Вследствие неправильной формы Земли отвесная линия не в любой точке проходит через ее центр. Она может даже не пересечь земную ось. Отсюда возникают так называемые уклонения отвеса, выражающиеся в неправильных измерениях направлений отвеса при переходе от точки к точке. А так как при практическом нахождении широт и долгот одним из основных направлений, по которому ориентируются астрономические инструменты, является отвесная линия, расхождение между истинными географическими координатами точки Земли и ее координатами на глобусе становится очевидным. Сформулируем строгое определение широты и долготы. 181 Географическая широта точки М – это величина угла ϕM между отвесной линией в данной точке и плоскостью экватора, отсчитываемого от 0 до 90° в обе стороны от экватора, причем к северу от экватора широта считается положительной, а к югу – отрицательной, –90° ≤ ϕM ≤ 90°. Географическая долгота точки М есть величина двугранного угла λM между плоскостью меридиана, проходящего через данную точку, и плоскостью начального Гринвичского меридиана. Долготы от 0 до 180° к востоку от начального меридиана называют восточными и считаются положительными, к западу – западными и отрицательными, –180° ≤ λM ≤ 180°. Снова необходимо решить вопрос о том, какой математической интерпретацией понятия географических координат воспользоваться при решении задачи. Понятно, что наш выбор зависит от того, будем ли мы считать Землю шаром или геоидом. Целесообразно принять Землю за шар. Тогда мы можем воспользоваться определениями долготы и широты, известными из курса географии 6 класса, дав им соответствующую математическую интерпретацию. В противном случае решение задачи значительно усложняется и становится недоступным для учащихся. Этап 2. Формализация (построение математической модели условия) На первом этапе мы выяснили смысл понятий, встречающихся в тексте задачи. Одновременно мы выбрали соответствующие условию задачи математические модели этих понятий. Теперь нанесем все данные задачи на чертеж. Эта работа поможет установить взаимосвязи между объектами задачи. На рис. 42 О – центр Земли-шара, С – точка Северного полюса, СН – Гринвичский меридиан, сферический угол ВАС – начальный курс судна в точке А, который необходимо найти. Плоские углы ϕA и ϕB – широты точек А и В, а плоские углы λA и λB – долготы точек А и В. 182 Рис. 42 Этап 3. Внутримодельное решение Сферическому треугольнику АВС на сфере (О, R) соответствует трехгранный угол ОАВС, причем величины углов А, В и С этого треугольника равны величинам двугранных углов при соответствующих ребрах ОА, ОВ и ОС трехгранного угла, а длины противолежащих сторон ВС = а, АС = b и АВ = c связаны с соответствующими плоскими углами α = ∠ВОС, β = ∠АОС и γ = ∠АОВ трехгранного угла (см. рис. 42) формулами а = Rα, b = Rβ, c = Rγ, где R – радиус сферы (для этой задачи, R – радиус Земли), а α, β и γ – радианные меры соответствующих углов. Поскольку значение R фиксировано, то вместо длин сторон а, b и с будем рассматривать плоские углы α, β и γ. Для вычисления искомого сферического угла ВАС, который для краткости будем обозначать одной буквой А, применим теорему косинусов к сферическому треугольнику АВС: cos ∠ВОС = cos ∠АОС cos ∠АОВ + sin ∠АОС sin ∠АОВ cos ∠А. Заметим, что из условия задачи (см. рис. 41): α = ∠ВОС = 90° – ϕВ, β = ∠АОС = 90° – ϕА. Неизвестен ∠АОВ. Найти его возможно с помощью теоремы косинусов для сферической геометрии. Выразим ∠С через координаты точек А и В. По определению сферического угла ∠С ≤ 180°. Поэтому либо ∠С = |λА – λВ|, если |λА – λВ| ≤ 180°, либо ∠С = 360° – |λА – λВ|, если |λА – λВ| > 180°. 183 Теперь, зная α, β и ∠С, находим γ = ∠АОВ. Это можно сделать с помощью обычной теоремы косинусов, примененной к некоторому плоскому треугольнику и проведя ряд выкладок. Мы воспользуемся готовой теоремой косинусов для сферических треугольников (или трехгранных углов): соs γ = cos α cos β + sin α sin β cos ∠С, подставляя известные значения углов, получим: соs γ = sin ϕA sin ϕB + cos ϕA cos ϕB cos (λA – λB). Подставляя найденное значение соs γ, имеем: cos ∠А = [sin ϕВ – sin ϕA (sin ϕA sin ϕВ + cos ϕA cos ϕВ cos (λA – λВ))] : cos ϕA sin γ. Этап 4. Интерпретация результата В задании требовалось вычислить начальный курс корабля. Согласно построенной модели искомой величиной является сферический угол А. Его позволяет вычислить последняя формула. При выполнении этого прикладного исследовательского задания учащиеся значительно расширяют свои познания в области сферической геометрии, приобретают прикладные умения, связанные с неоднозначностью выбора математической модели объекта, получают навыки работы с источниками литературы. 184 Тема 3. Образовательный продукт: прикладное проектное задание Понятие учебной проектной деятельности, классификация учебных проектов, этапы реализации, особенности прикладного учебного проекта Проектная деятельность учащихся – одна из активно используемых форм обучения в современной школе. Но в методической литературе еще не сформировано единых представлений о структуре, формах, методике организации такой деятельности школьников. В учебно-методической литературе описано три формы учебного проекта: монопредметный, межпредметный и надпредметный1. Монопредметный проект выполняется в рамках одного учебного предмета, межпредметный предполагает использование знаний по двум и более предметам, надпредметный (внепредметный) проект выполняется на стыках областей знаний и выходит за рамки школьных предметов. Проектная деятельность учащихся является дополнением к учебной деятельности и носит либо прикладной, либо исследовательский характер. В научно-методической литературе2 выделяются следующие признаки проектной деятельности учащихся: • ориентация на получение конкретного результата; • предварительная фиксация (описание) результата в виде эскиза с разной степенью детализации и конкретизации; • относительно жесткая фиксация срока достижения результата; • предварительное планирование действий по достижению результата; • планирование во времени с конкретизацией результатов отдельных действий, обеспечивающих достижение общего результата проекта (этапы проекта); • выполнение действий с их одновременным мониторингом и коррекцией; • получение продукта проектной деятельности, его соотнесение с исходной ситуацией проектирования, анализ новой ситуации. Полат Е. С., Бухаркина М. Ю. Современные педагогические и информационные технологии в системе образования: Учеб. пособие. – М.: Гардарики, 2007. 2 Матяш Н. В. Психология проектной деятельности школьников в условиях технологического образования / Под ред. В. В. Рубцова. – Мозырь: Белый ветер, 2000. 1 185 Учебная проектная деятельность может быть организована как в урочное, так и во внеурочное время. Проекты, длительные по времени выполнения и требующие привлечения большого количества информации, выносятся на внеурочные занятия. Подробнее о проектной деятельности учащихся можно узнать из книги М. А. Ступницкой «Что такое учебный проект?»1. Одна из современных классификаций учебных проектов по общедидактическому принципу приведена в учебном пособии Е. С. Полат, М. Ю. Бухаркиной и соавт.2 Она может быть применена к проектам, реализуемым в преподавании любой учебной дисциплины. Эта классификация отражена авторами в таблице, приведем ее (табл. 2). В научно-методической литературе3 описано четыре основных этапа реализации учебного проекта: подготовительный, планирования, выполнения проекта, представления результатов проектирования. Таблица 2. Классификация учебных проектов Общедидактическая характеристика Тип проекта Доминирующий в проекте метод Исследовательский или вид деятельности Творческий Ролево-игровой Информационный Предметно-ориентировочный Предметно-содержательная область Монопроект Межпредметный Характер координации проекта С открытой координацией (непосредственный) Со скрытой координацией Характер контактов Внутренний Международный Количество участников проекта Личностный Парный Групповой Ступницкая М. А. Что такое учебный проект? – М.: Первое сентября, 2010. Полат Е. С., Бухаркина М. Ю. Указ. соч. 3 Блохин А. Л. Метод проектов как личностно-ориентированная педагогическая технология: Автореф. дис. … канд. пед. наук. – Р-н/Д, 2005. 1 2 186 Окончание таблицы 2 Общедидактическая характеристика Продолжительность проведения Тип проекта Краткосрочный Средней продолжительности Долгосрочный I. Подготовительный этап. На этом этапе учитель сообщает учащимся необходимую предварительную информацию о выполнении проектного задания: что такое проект? Как организовать работу над проектом? Как представить его результаты? Каковы критерии оценивания проекта? II. Этап планирования. На этом этапе учитель разъясняет проектное задание, вместе с учащимися составляет план его выполнения, помогает учащимся распределить обязанности в группе по выполнению проекта. III. Этап выполнения проекта. Выполнение проекта учащимися возможно на специально отведенных занятиях под руководством учителя или самостоятельно по составленному на предыдущем этапе плану. Этот этап завершается подготовкой к защите проекта IV. Этап представления полученных результатов работы над проектом. Представление учащимися практических результатов выполнения проектного задания традиционно происходит в форме защиты проекта. Оценивание проекта производится учителем (возможно, совместно с группой учащихся и учителей) по заранее выработанным на предварительном этапе и известным участникам критериям. Содержание этих этапов разрабатывается учителем при создании прикладного проектного задания согласно выбранному типу. Методические особенности прикладного учебного проекта состоят в следующем: • постановка задания вне математики, в реальной действительности и его возможность решения математическими средствами; • овладение учащимися рядом сведений из тех областей знаний (строительство, архитектура, экономика и т.п.), в которых ведется проектирование; • использование при проектировании метода математического моделирования; 187 • возможность использования результата выполнения проекта в реальной действительности (достижение этого результата связано с привлечением математических средств). В качестве примера рассмотрим фрагмент прикладного учебного проекта на тему «Строительство детской площадки». Этот проект может быть предложен учащимся 10 класса. Тип проекта: практикоори­ентированный, межпредметный, краткосрочный. Постановка проектного задания для школьников Поступил заказ на проектирование детской площадки. Заказчики выдвинули следующие требования: • на площадке квадратной формы площадью 81 м2 должны быть размещены следующие малые архитектурные формы: горка, вертикальные и горизонтальные качели, крытая песочница, турник, башенка со скамейкой; • все объекты должны состоять из многогранников и тел вращения; • сумма всех затрат на материалы не должна превышать 200 тыс. руб. (оплата труда рабочим не входит в эту сумму). Литература для школьников: 1. Сотникова В. О. Проектирование элементов благоустройства. Детские площадки, площади отдыха, малые сады. – Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2008. 2. СНИП МГСН 1.02-02,4.12.2. Благоустройство территорий. URL: www.tehlit.ru. Для работы над проектом школьники делятся на две группы: «архитектор» и «финансовый директор» Задание для архитекторов: 1. Построить в 3DMax малые архитектурные формы, состоящие из многогранников и тел вращения (качели, горка и т.п.). Определить их возможные реальные размеры и площадь, которую они займут на площадке. 2. Разработать основу площадки, наметив места размещения объектов с учетом требований безопасности (между объектами должны быть расстояния: играющие дети не должны травмировать друг друга, одновременно раскачиваясь на качелях и скатываясь с горки). 3. Перенести на основу площадки построенные объекты. 188 Задание для финансового директора: Рассчитать необходимое количество материала для строительства и затраты на его приобретение. Основа для площадки, разработанная учащимися, показана на рис. 43 (1 – горизонтальные качели; 2 – горка; 3 – песочница; 4 – турники; 5 – скамейка; 6 – вертикальные качели). Выполненный проект представлен на рис. 44. Основа детской площадки Проект детской площадки Рис. 43 Рис. 44 189 Для выполнения этого проекта школьникам необходимо знать формулы площадей и объемов многогранников, тел вращения. Также учащиеся должны уметь пользоваться компьютерной программой 3DMax и приложением Microsoft PowerPoint. Конкретным практическим результатом выполнения данного проекта будет являться трехмерное изображение детской площадки, выполненное в 3DMax, а также расчет необходимых строительных материалов. Приведем пример прикладного проектного задания по геометрии для учащихся основной школы. Для того чтобы вызвать познавательный интерес у школьников, назовем его «Этот неуловимый диаметр». Постановка проектного задания состоит в формулировании вопросов, объединенных одной проблемой – необходимости измерить диаметр реального объекта при различных ограничениях. В результате выполнения этого задания школьники должны «открыть» несколько практических приемов измерения диаметра, опираясь на известные им математические знания. С этой целью мы предложим им несколько задач на приложения и теоретические сведения по геометрии, которые понадобятся для их решения. Итак, школьникам предлагается следующее прикладное проектное задание: Можно ли восстановить размеры случайно разбитого круглого стекла? Как узнать диаметр ствола дерева или водопроводной трубы, если измерить его непосредственно невозможно? Найдите диаметры окружностей реальных объектов, недоступные для прямого измерения. Опишите найденные способы языком геометрии. Задачи на приложения, которые необходимо решить школьникам для выполнения проектного задания: 1. На рис. 45 показано два способа измерения диаметра ствола дерева. На каких геометрических утверждениях они основаны? 2. Во время археологических раскопок были обнаружены фрагменты круглой тарелки (рис. 46). Можно ли по найденным частям восстановить ее размер? 3. Найдите с помощью штангенциркуля и линейки диаметр водопроводной трубы, больше чем наполовину вкопанной в землю. 4. У настенных часов разбилось круглое стекло, закрывающее циферблат. Как узнать его диаметр, чтобы заказать новое? 5. Диаметры каменных шаров (рис. 47), внутренние части которых недоступны, можно вычислить, предварительно сделав измерения при помощи чертежного угольника. Опишите этот способ. 190 В результате выполнения этого задания школьники не только выявят практические приемы измерений, но и повторят следующие утверждения: 1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. 2. Около всякого треугольника можно описать окружность. Ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Рис. 45 3. Углы, вписанные в окружность, стороны которых проходят через концы диаметра окружности, – прямые. 4. Длина окружности вычисляется по формуле: l = 2πR. Рис. 46 191 Рис. 47 5. Диаметр окружности, проведенный через середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен этой хорде. 6. Касательные к окружности, проведенные через концы ее диаметра, параллельны. 7. Если хорды АВ и СD окружности пересекаются в точке М, то АМ · ВM = СM · DM. Предложенные задачи организованы в цикл, который демонстрирует методический прием «от практической проблемы к поиску теории для ее разрешения» включения практических приложений математики в обучение, который был рассмотрен ранее. Контрольные вопросы и задания 1. Определите (по аналогии с цепочками задач) комплексы, блоки и серии задач на приложения математики, предложите приемы их конструирования, составьте соответствующие наборы задач. 2. Кратко охарактеризуйте виды внеурочной работы по математике в школе. 3. Предложите тему прикладного учебного исследования по математике для учащихся основной школы. 4. Предложите тему курса по выбору (математического кружка) по математике прикладного содержания. Составьте к предложенной теме аннотированный библиографический список (не менее 6 источников). 192 5. Составьте прикладное проектное задание по математике для учащихся 7 класса. Обоснуйте его образовательное значение. 6. Подберите готовый образовательный продукт для реализации практико-ориентированного обучения или из методической литературы. Оцените его по следующим критериям: математическая корректность содержания ОП; соответствие ОП поставленной методической задаче; использование в ОП соответствующего содержания обучения математике в школе, методической литературы, нормативных документов; адекватность выбранных студентами методов и технологий обучения поставленным целям и содержанию ОП; умение указать уровень реализации ОП в обучении школьников; соответствие ОП методическим требованиям к ОП данного вида; степень достижения заданных образовательных результатов при фактическом использовании ОП. 193 Рекомендуемая литература 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 194 Александров А. Д. Диалектика геометрии // Математика в школе. – 1986. – № 1. – С. 12–19. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. – 1980. – № 3. – С. 56–62. Андронов И. К. Первый учитель математики российского юношества Леонтий Филиппович Магницкий // Математика в школе. – 1969. – № 6. – С. 75–78. Арнольд В. И. Математическое понимание природы. – М.: Издво МЦНМО, 2009. Арнольд В. И. Принципы отбора и составления арифметических задач. – М.: Изд-во МЦНМО, 2008. Артоболевский А. Н. Арифметические задачи с производственно-бытовым содержанием. – М.: Учпедгиз, 1961. Астряб А. М. Курс опытной геометрии. – М.-Л.: Гос. изд., 1928. Астряб А. М. Наглядная геометрия. – М.-Л.: Гос. изд., 1923. Балк М. Б., Балк Г. Ф. Математические встречи. Ч. 1. – Смоленск: Изд-во СГПИ, 1994. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Прикладная математика: Предмет, логика, особенности подходов. С примерами из механики. – М.: Изд-во ЛКИ, 2007. Болтянский В. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. – 1982. – № 2. – С. 40–43. Борышкевич М. Ф. Курс элементарной геометрии с практическими задачами. Для городских училищ по программе Винницкого съезда учителей. – Киев, 1894. Брадис В. М. Методика преподавания математики в средней школе. – М., Гос. учеб.-педагог. изд-во Мин. просв. РСФСР, 1954. Буссе Ф. Основания геометрии. Руководство, составленное для гимназий, по поручению министерства народного просвещения. – СПб., 1845. Варданян С. С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6–8 классов средней школы / Под ред. В. А. Гусева. – М.: Просвещение, 1989. Вернер А. Л. Уроки Александрова // Математика в школе. – 2002. – № 7. – С. 21–26. 17. Виленкин Н. Я. Основные этапы развития математики // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Изд-во УРАО, 2001. 18. Виленкин Н. Я. Сатволдиев А. Метод сквозных задач в школьном курсе математики // Повышение эффективности обучения математике в школе / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1989. – С. 101–112. 19. Возняк Г. М. Прикладные задачи в мотивации обучения // Математика в школе. – 1990. – № 2. – С. 9–11. 20. Волошинов А. В. Математика и искусство. – М.: Просвещение, 2000. 21. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). – М.: Наука, 1990. (Библиотечка «Квант», вып. 77). 22. Ганьшин В. Н. Простейшие измерения на местности. 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Недра, 1983. 23. Геометрия. 5–6 классы: Учеб. пособие. / В. А. Гусев. – М.: Русское слово, 2002. 24. Геометрия. 7–9 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – М.: Мнемозина, 2005. 25. Геометрия. Пробный учебник для 10–11 классов общеобразовательных учреждений / В. Н. Руденко, Г. А. Бахурин, А. Я. Цукарь. – М., Искатель, 2005. 26. Геометрия: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учреждений / А. В. Погорелов. – М.: Просвещение, 2003. 27. Геометрия: Учебник для 7–9 классов общеобразовательных учреждений / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2003. 28. Геометрия: Учебник для 7–9 классов средней школы / Л. С. Атанасян и др. – М.: Просвещение, 1991. 29. Геометрия: Учеб. пособие для 11 класса с углубленным изучением математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2004. 30. Геометрия: Учеб. пособие для 8 класса с углубленным изучением математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2002. 31. Геометрия: Учеб. пособие для 9 класса с углубленным изучением 195 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 196 математики / А. Д. Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2004. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. – М.: Издво академии архитектуры, 1936. Гильберт Д. Математические проблемы и их источники // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Изд-во УРАО, 2001. Гнеденко Б. В. Введение в специальность математика. – М.: Наука, 1991. Гнеденко Б. В., Погребысский И. Б. Леонтий Магницкий и его «Арифметика» // Математика в школе. – 1969. – № 6. – С. 78–82. Головин М. Е. Краткое руководство к геометрии. – СПб., 1786. Грегг Д. Р. Опыты со зрением в школе и дома. – М.: Мир, 1970. Гурьев П., Дмитриев А. Практические упражнения в геометрии, или Собрание геометрических вопросов и задач с их ответами и решениями. – СПб., 1844. Гуткин Л. И. Сборник задач по математике с практическим содержанием. – М.: Высшая школа, 1968. Денисова М. И., Беспалько Н. А. Применение математики к решению прикладных задач // Математика в школе. – 1981. – № 2. – С. 29–31. Дорофеев Г. В. О составлении циклов взаимосвязанных задач // Математика в школе. – 1983. – № 6. – С. 34–39. Дорофеев Г. В. Применение производных при решении задач в школьном курсе математики // Математика в школе. – 1980. – № 5. – С. 28–30. Дорф П. Я. Прикладные вопросы на уроках математики в средней школе // Математика в школе. – 1941. – № 3. – С. 36–42. Дорф П. Я., Румер А. О. Измерения на местности. – М.: АПН, 1957. Евтушевский В., Глазырин А. Методика приготовительного курса алгебры. – СПб., 1876. Егупова М. В. Беседы об угле зрения // Математика в школе. – 2008. – № 9. – С. 69–73. Егупова М. В. Нестареющие задачи Я. И. Перельмана // Математика в школе. – 2008. – № 3. – С. 65–70. Жак Я. Е. Несколько простых прикладных задач // Математика в школе. – 1977. – № 6. – С. 37. 49. Жохов А. Л. Как помочь формированию мировоззрения школьников: Книга для учителя и не только для него. – Самара: Издво СамГПУ, 1995. 50. Зубарева И. И., Мордкович А. Г. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. 2-е изд. – М.: Мнемозина, 2003. 51. Зылевич П. И., Дадаян А. А., Акуленко Л. Е. Сборник задач по математике. – Минск: Народная асвета, 1978. 52. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. 10 класс / Под ред. В. В. Фирсова. – М.: Просвещение, 1980. 53. Кипнис И. М. Сборник прикладных задач на неравенства. – М.: Просвещение, 1964. 54. Киселев А. П. Элементарная геометрия. Для средних учеб. заведений. С приложением большого количества упражнений и статьи: «Главнейшие методы решения геометрических задач на построение». – М.: Тип. Рябушинского, 1914. 55. Клайн М. Зарождение математики и ее роль в познании // Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике / Сост. Г. Д. Глейзер. – М.: Изд-во УРАО, 2001. 56. Колмогоров А. Н. Математика в ее историческом развитии / Сост. Г. А. Гальперин. – М.: Наука, 1991. 57. Колмогоров А. Н. Математика // Математический энциклопедический словарь. – М., Советская энциклопедия, 1988. – С. 67–72. 58. Колмогоров А. Н. О профессии математика. – М.: Изд. МГУ, 1988. 59. Колмогоров А. Н., Семенович А. Ф., Черкасов Р. С. Геометрия. Учеб. пособие для 6–8 классов средней школы / Под ред. А. Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1979. 60. Колягин Ю. М. Задачи в обучении математике. Ч. 1. Математические задачи как средство обучения и развития учащихся. – М.: Просвещение, 1977. 61. Колягин Ю. М. Русская школа и математическое образование: Наша гордость и наша боль. – М.: Просвещение, 2001. 62. Крогиус В. А. Прямолинейная тригонометрия. Учебники и учебные пособия для трудовой школы. – М.-Л.: Гос. изд, 1928. 63. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977. 64. Кудрявцев Л. Д. Современная математика и ее преподавание: 197 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 198 Учеб. пособие для вузов. 2-е изд., доп. / Предисл. П. С. Александрова. – М.: Наука, 1985. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. 3-е изд. / Пер. с англ. под. ред. А. Н. Колмогорова. - М.: Изд-во МЦНМО, 2001. Ланков А. В. К истории развития передовых идей в русской методике математики. Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1951. Ланков А. В. Математика и комплекс. – М.-Л.: ГИЗ, 1926. Левин А. И. Задачи с прикладным содержанием // Математика в школе. – 1956. – № 1. – С. 89–91. Леман И. Увлекательная математика. – М.: Знание, 1985. Лиман М. М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981. Лямин А. А. Физико-математическая хрестоматия. Геометрия. Т. 3. – М.: Сотрудник, 1914. Маракуев С. В. Геометрия практическая. Приложение ее к линейному черчению, землемерию, съемке планов, некоторым ремеслам и строительному искусству. – М.: Тип. А. В. Васильева, 1900. Мартин П., Шмидт О. Геометрия дома, поля и мастерских. – Л., 1924. Материалы для биографии Н. И. Лобачевского / Сост. Л. Б. Модзалевский. – М.-Л., 1948. Международная программа по оценке образовательных достижений учащихся (2006 г.) // Центр оценки качества образования Института содержания и методов обучения РАО. URL: www.centeroko.ru/pisa06/pisa06.htm Метельский Н. В. Дидактика математики. – Минск: Изд. БГУ им. В. И. Ленина, 1975. Моисеев Н. Н. Математика ставит эксперимент. – М.: Наука, 1979. Моносзон Э. И. Формирование мировоззрения учащихся. – М.: Педагогика, 1985. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей. 3-е изд., испр. – М.: КомКнига, 2007. Никитин Н. Н. Геометрия: Учебник для 6–8 классов. – М.: Учпедгиз, 1962. Никитин Н. Н. Преподавание математики в советской школе 1917–1947 гг. // Математика в школе. – 1947. – № 5. – С. 4–22. 82. Островский А. И. 75 задач по элементарной математике – простых, но… – М.: Просвещение, 1966. 83. Перельман Я. И. Занимательная геометрия. – М.: Триада-Литера, 1994. 84. Перельман Я. И. Новый задачник по геометрии (концентрический). Для 5, 6, 7-го годов обучения. 8-е изд. – М.-Л.: Госиздат, 1930. 85. Перельман Я. И. Практические занятия по геометрии. Образцы, темы и материалы для упражнений: Пособие для учащихся и учащих. – М.-Л.: Госиздат, 1923. 86. Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Т. 1. – М.-Л.: Гостехиздат, 1948. 87. Петров В. А. Математика. 5–11 классы. Прикладные задачи: Учеб.-методич. пособие. – М.: Дрофа, 2010. 88. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1979. 89. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976. 90. Полякова Т. С. История отечественного школьного образования (два века). Кн. 2. – Р-н/Д, 2001. 91. Понтрягин Л. О математике и качестве ее преподавания // Коммунист. – 1980. – № 14. – С. 99–112. 92. Прудников В. Е. Русские педагоги-математики XVIII–XXI веков. – М.: Гос. учеб.-педагог. изд-во Мин. просв. РСФСР, 1956. 93. Рейнгард И. А. Сборник задач по геометрии и тригонометрии с практическим содержанием. – М.: Учпедгиз, 1960. 94. Розов Н. Х. Гуманитарная математика // Математика в высшем образовании. – 2003. – № 1. – С. 53–62. 95. Рубинштейн С. Л. О мышлении и путях его исследования. – М.: Изд-во АН СССР, 1958. 96. Рузавин Г. И. Математизация научного знания. – М.: Мысль, 1984. 97. Рыжик В. И. Геометрия и практика // Математика в школе. – 2006. – № 6. – С. 9. 98. Сергеев И. Н., Олехник С. Н., Гашков С. Б. Примени математику. – М., Наука, 1990. 99. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2010. (Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика», вып. 34). 100. Смычников Д. Измерительные работы на местности в курсе математики средней школы, 5–10 классы. – М.: Гос. учеб.-педагог. изд-во Мин. просв. РСФСР, 1953. 199 101. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. – М.: Радио и связь, 1984. 102. Тарасов Л. В., Тарасова А. Н. Беседы о преломлении света / Под ред. В. А. Фабриканта. – М.: Наука, 1982. (Библиотечка «Квант», вып. 18). 103. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной математике. – М.: Наука, 1981. 104. Фирсов В. В. О прикладной ориентации курса математики // Углубленное изучение алгебры и анализа: Пособие для учителей (Из опыта работы) / Сост. С. И. Шварцбурд, О. А. Боковнев. – М.: Просвещение, 1977. – С. 215–239. 105. Фридман Л. М. Наглядность и моделирование в обучении. – М.: Знание, 1984. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Педагогика и психология», № 6). 106. Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. – М.: Мир, 1977. 107. Халамайзер А. Я. Исторический обзор создания учебников математики в нашей стране // Проблемы школьного учебника. Вып. 12. – М.: Просвещение, 1983. – С. 178–192. 108. Черкасов Р. С. История отечественного школьного математического образования // Математика в школе. – 1997. – № 2. – С. 83–90. 109. Шапиро И. М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. – М.: Просвещение, 1990. 110. Шарыгин И. Ф. Геометрия. 7–9 классы: Учебник для общеобразовательных учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2002. 111. Шарыгин И. Ф. Нужна ли школе ХХI века геометрия? // Математика в школе. – 2004. – № 4. – С. 72–79. 112. Штейнгауз Г. Математика – посредник между духом и материей / Пер. с польск. Б. И. Копылова, под ред. А. В. Хачояна. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. 113. Юревич Г. Я. Краткая геометрия для двуклассных сельских училищ. 8-е изд. – Рига: Книгоизд-во Г. Я. Юревича, 1912. 114. Яглом И. М. Математика и реальный мир. – М.: Знание, 1978. 115. Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. – М.: Советское радио, 1980. 116. Яглом И. М. Что такое математика? // Квант. – 1992. – № 9. – С. 2–8. 117. Якиманская И. С. Развивающее обучение. – М.: Педагогика, 1979. 200 Приложение Учебные материалы к курсу по выбору «Геометрия и механизмы зрения» Приложения математики традиционно представлены в форме задач с прикладным содержанием. Часто этого бывает недостаточно для создания полной информационной картины о связи математики с окружающим миром. Поэтому с учащимися можно провести беседы, построенные на обсуждении ряда вопросов и выполнении практических заданий. Именно эту форму представления учебных материалов мы и предлагаем использовать. Для этого содержание курса разбито на восемь бесед: 1. Что мы видим? Поле зрения и его границы. 2. Как увидеть собственный нос? 3. Что такое угол зрения? 4. Геометрия помогает проверить остроту зрения. 5. Под одним углом зрения. 6. Что такое параллакс? 7. Геометрия разоблачает обманы зрения. 8. Зачем фотографу геометрия? 1. Что мы видим? Поле зрения и его границы Известно, что человек обладает пятью органами чувств. Это органы зрения, слуха, вкуса, обоняния и осязания. Зрение дает нам около 80% информации об окружающем мире: о местоположении предметов, о цвете и свете, о многом другом, что формирует образы явлений и предметов в нашем сознании. Результатом работы зрительной системы является формирование модели окружающего мира. Последовательность мгновенных отображений внешнего мира на глазном дне служит лишь входом для дальнейшей обработки в зрительных отделах мозга. Продуктом этой обработки является видимая картина мира. Зрение – сложный физиологический процесс. Для его подробного изучения необходимы знания нескольких отраслей естественных наук и математики. Знание механизмов зрительного восприятия помогает человеку в решении профессиональных и бытовых задач. Отдельные механизмы зрения могут быть описаны на языке геометрии. 201 Конечно, говоря о зрении, одной лишь геометрией не обойтись. Необходимо иметь представление об анатомическом строении глаза. На рис. П1 дан схематический чертеж глазного яблока (1 – склера; 2 – роговица; 3 – водянистая жидкость; 4 – радужная оболочка; 5 – зрачок; 6 – хрусталик; 7 – цилиарная мышца; 8 – стекловидное тело; 9 – сетчатка; 10 – зрительная ось). На рисунке указаны далеко не все элементы, составляющие человеческий глаз, так как это довольно сложный орган. Обратим внимание лишь на те элементы, которые будут интересовать нас в ходе изложения. Рис. П1 Зрачок – некое подобие окна в глазу, через которое проникают световые лучи, отраженные от освещенного предмета. Далее свет проходит через хрусталик, который преломляет его так, чтобы на сетчатке могло уместиться изображение некоторого предмета, видимого через окно-зрачок. Поверхность сетчатки выстлана особыми светочувствительными клетками. При помощи этих клеток и создается изображение предмета, видимого глазом в данный момент. Таким образом, рассеянный свет от предмета приходит в наш глаз по прямым лучам, а когда мы начинаем говорить о зрении, то все как бы выворачиваем наизнанку, употребляя такое выражение, как «луч зрения». Словно и в самом деле прямые «лучи зрения» выходят из глаза 202 во все стороны, ощупывая все, что находится вокруг нас. Такие зрительные лучи являются моделью геометрического понятия луча. Отметим значимую для нас прямую, соединяющую предмет, зрачок и центральную ямку сетчатки. Эта прямая называется зрительной осью. На ней лежат точки, которые глаз воспринимает наиболее отчетливо. Такие точки называются точками наилучшего видения. Направление зрительной оси соответствует направлению нашего взгляда. Важно знать, какая часть окружающего пространства доступна нашему зрению. Тогда, используя геометрию, мы сможем пояснить некоторые особенности зрения и ответить на ряд вопросов. Например, как мы видим отдельные предметы и почему они представляются нам именно так, а не иначе? Почему удаленные предметы кажутся маленькими, а близко расположенные мы не всегда видим целиком? Совокупность точек пространства, которые видимы глазом, называют областью зрения или областью видения, а совокупность видимых точек плоскости – полем зрения. Часто поле зрения понимают упрощенно. Это понятие связывают с некоторой окружностью на плоскости. На самом деле поле зрения имеет сложный контур. Определение его границ – трудный процесс, требующий специального оборудования. Такое оборудование используется в медицине для диагностики некоторых заболеваний глаза. Поэтому мы будем говорить об упрощенном способе определения границ видимой части плоскости. Наши глаза находятся в постоянном движении, видимая часть пространства ежесекундно меняется. Поэтому для эксперимента необходимо зафиксировать положение глаз. Договоримся, что будем определять границы поля зрения для одного неподвижного глаза. Это важно! Поместим наблюдателя напротив гладкой, ровно окрашенной стены на расстоянии 1 м от нее. Пусть он неподвижным взглядом фиксирует на стене яркий кружок диаметром около 4 мм, размещенный на уровне глаз. Обозначим этот кружок точкой О, а точкой Г – зрачок выбранного глаза (рис. П2). Таким образом, зрительная ось ГО перпендикулярна плоскости стены. Такое расположение наблюдателя считают идеальным, а точку О называют точкой наилучшего видения. Ясно, что кроме этой точки мы видим еще множество других точек. 203 Рис. П2 Где же расположена граница между видимыми и невидимыми глазом точками? Возьмем указку с ярким концом, будем передвигать ее по стене от точки О, как показано на рис. П2. Попросим наблюдателя сообщать нам о восприятии глазом конца указки. В какой-то момент наблюдатель скажет: «Не вижу». Это означает, что мы вышли из поля зрения. Отметим здесь граничную точку. При такой работе мы получим множество граничных точек поля зрения. Последовательно соединив их, увидим некоторый контур – границу видимых точек данной плоскости. Ясно, что внутри этого контура заключены далеко не все видимые точки в окружающем нас пространстве. Пространственная фигура, содержащая все точки, видимые глазом, имеет сложный контур. Для простоты сравним ее с конусом, вершина которого в зрачке наблюдателя. Лучи, проведенные из зрачка к точкам, лежащим на границе полученного контура, – образующие этого конуса. Проведенный эксперимент обладает очень малой степенью точности, о чем уже говорилось выше. Поэтому использовать полученный контур для установления каких-либо числовых характеристик, показывающих возможности зрения, нельзя. Воспользуемся данными, взятыми из специальной литературы. Углы между образующими, полученные при сечении конуса горизонтальной и вертикальной плоскостями, составляют 154° и 132° соответственно. Приведем значения углов меж204 ду зрительной осью и образующими конуса, взятыми в вертикальной и горизонтальной плоскостях. В горизонтальной плоскости в сторону носа угол составляет 62°, в сторону уха – 92°. В вертикальной плоскости вверх поле зрения распространяется в пределах угла, равного 60°, вниз – 72°. Это средние значения углов для здорового глаза. Поле зрения одного глаза называют монокулярным полем зрения (рис. П3 а). На самом же деле в повседневной жизни мы постоянно пользуемся двумя глазами. Проведем такой же эксперимент для другого глаза, используя ту же точку О. Получим границы поля зрения для второго глаза. Можно заметить, что поле зрения левого и правого глаз имеют некоторую общую часть (рис. П3 б) – это бинокулярное поле зрения. Бинокулярное поле зрения состоит из точек, видимых обоими глазами. Свойство глаз видеть одновременно одни и те же точки пространства играет большую роль в восприятии предметов, позволяет получить более точное и полное представление об их форме и расположении относительно друг друга, помогает ориентироваться в окружающем мире. Рис. П3 Полученные размеры поля зрения непостоянны. Они зависят от освещенности стены, от прозрачности воздуха и других физических и физиологических факторов. Заметное расширение или сужение поля зрения происходит при изменении расстояния ГО от наблюдателя до стены. Можно подтвердить экспериментально, что при уменьшении (увеличении) ГО уменьшается (увеличивается) и поле зрения. Итак, моделью части плоскости может служить поле зрения. В эксперименте по 205 определению границ поля зрения от наблюдателя требовалось, чтобы его глаз был неподвижен, но на самом деле глаз находится в постоянном движении. Зрительная ось ГО смещается от своего идеального положения, а значит, смещаются и боковые лучи вместе с полем зрения. Таким образом, зрение можно сравнить с прожектором на стройке, который освещает то один, то другой участок окружающего пространства. Можно возразить, что таких прожекторов у нас два. Да, но работают они настолько согласованно, что сравнение с одним прожектором вполне отвечает всем свойствам зрения. Поворачивая глаз, мы увеличиваем видимое пространство, но движения глаза ограничены. Известно, что зрительную ось можно отклонить от ее идеального положения приблизительно на угол 50° в любом направлении. А боковые лучи, перемещаясь со зрительной осью, могут встретить естественные преграды: нос и надбровные дуги, которые несколько уменьшают поле зрения. Зрение адаптивно. В процессе эволюции у каждого биологического вида сформировался такой зрительный аппарат, который помогает своему обладателю выжить в его среде обитания. Биологам известно, что у животных разных видов свойства зрения существенно различаются. На круговых диаграммах (рис. П4) приведены граничные значения углов поля зрения человека и некоторых животных: 1 – бинокулярное поле зрения; 2 – область, видимая только одним глазом, правым или левым; 3 – область, невидимая глазом, – так называемая слепая зона. Интересно заметить, что у потенциальных жертв слепая зона мала по сравнению с зоной видения. Например, монокулярное поле зрения кролика составляет 170,5°. Благодаря этому животное, не поворачивая головы, может рассмотреть все, что происходит не только впереди, но и позади него. Ведь слепая зона (недоступная зрению часть пространства) у него всего 9°. Широким полем зрения обладает и лошадь, которую тоже относят к «жертвам». Форма головы и расположение глаз обеспечивают ей достаточно полный круговой обзор для своевременного обнаружения врагов и быстрой реакции на опасность. У хищников же, наоборот, слепая зона достаточно велика. Это видно на диаграммах углов зрения человека, кошки, филина. 206 Рис. П4 2. Как увидеть собственный нос? Попытаемся разглядеть собственный нос. Без помощи зеркала, конечно. Как он виден одним и двумя глазами? Полученные в предыдущем пункте сведения о поле зрения и его граничных углах позволят нам ответить на этот вопрос. Закроем левый глаз, тогда правым глазом, изменяя положение зрительной оси, мы сможем осмотреть свой нос. Зафиксируем примерное положение зрительной оси так, чтобы нос был хорошо виден. На рис. П5 такое положение зрительной оси показано лучом GО'. На этом рисунке изображено сечение той пространственной ситуации, которую мы изучаем: горизонтальная плоскость рисунка перпендикулярна условной плоскости нашего лица и проходит через прямую, на которой находятся зрачки глаз. Пусть сечение какой-то части носа этой горизонтальной плоскостью есть равнобедренный треугольник АВС, где АВ – основание носа. Идеальное расположение зрительной оси (перпендикулярно прямой, соединяющей зрачки левого и правого глаз) определяет луч GО. Положение зрительной оси, направленной так, чтобы нос был виден, показано лучом GО'. Так как зрительную ось можно отклонять от идеального положения на угол 50°, то допустим, что зрительная ось GО' смещена от своего идеального положения на этот наибольший угол 50°. 207 Рис. П5 Рассмотрим три возможных случая расположения луча GО': луч GО' не пересекает сторон АС и ВС треугольника АВС; луч GО' пересекает стороны АС и ВС треугольника АВС; луч GО' проходит через вершину С треугольника АВС. Интерпретируем эти случаи к нашей ситуации. Предположим, что размеры носа и расстояние между глазами таковы, что луч GО' не пересекает сторон АС и ВС треугольника АВС, как изображено на рис. П6. Используя данные о предельных углах между лучами, ограничивающими область видения глаза, и зрительной осью этого глаза, отложим от зрительной оси GО' в горизонтальной плоскости в сторону носа ∠МGО' = 62° (рис. П6). ВС полностью лежит в области видения глаза. Это следует из следующих рассуждений: 1. ∠АGО = 90°, так как GО ⊥ АG как идеальный луч зрения. 2. ∠АGО' = ∠АGО – ∠ОGО' = 90° – 50° = 40°. 3. ВС лежит между сторонами ∠АGО', так как по условию GО' не пресекает сторону ВС, а точка В лежит на луче АG. 4. ∠АGО' < ∠МGО'. 5. ВС лежит между сторонами ∠МGО' (3, 4). Проведя аналогичные рассуждения для правого глаза, получим, что АС также лежит в области видения этого глаза. 208 Рис. П6 Рис. П7 Если размеры носа и расстояние между глазами таковы, что луч GО' пересекает нос (стороны АС и ВС треугольника АВС, рис. П7), то по данным о граничных углах поля зрения мы видим влево от луча GО' на угол 62°, а вправо – на угол 92°. 209 Очевидно, что и в этом случае нос лежит полностью в поле нашего зрения. В третьем случае (луч GО' проходит через вершину С треугольника АВС) аналогичным образом убеждаемся, что нос попадает в поле зрения глаза. Таким образом, одним глазом нос виден независимо от его размеров и расстояния между глазами. Посмотрим на нос двумя глазами. Нос почти не виден! Можно разглядеть лишь его нечеткий контур. Однако, опираясь на все предыдущие рассуждения, мы должны его видеть! Почему же этого не происходит? В силу особенностей зрения разрешить это противоречие, используя только геометрию, довольно сложно. Рассматривая нос двумя глазами, мы теоретически должны его видеть (рис. П8), однако в действительности нос все же не виден. Рис. П8 Это противоречие можно разъяснить так. Если правым глазом мы рассматриваем поверхность носа с правой стороны, то левым глазом мы в это же время видим все точки, расположенные с левой стороны от носа, в том числе и те, которые невидимы для правого глаза в данный момент (они закрыты носом). Таким образом, нос становится для нас как бы прозрачным в силу того, что в момент такого расположения зрительных лучей нет невидимых точек в поле зрения обоих глаз (бинокулярном поле зрения). Кроме того, важно учесть и физиологические особенности зрения. Зрительные оси правого и левого глаз, на которых, как мы пом210 ним, лежат точки наилучшего видения, могут пересекаться, только начиная с расстояния, примерно равного 10–15 см, нос имеет «высоту» явно меньшую. Такое ограничение связано с работой глазных мышц, они не могут повернуть глазные яблоки так, чтобы лучи зрения были направлены почти навстречу друг другу. Нос виден нечетко, его контур размыт потому, что ясно видеть (то есть различать очертания предметов без двоения их контуров) мы можем только в том случае, если лучи зрения G1K и G2K (см. рис. П8) пересекаются под углом, меньшим либо равным 15°. Проверим, что в нашем случае ∠G1KG2 > 15°. Рассмотрим равнобедренный треугольник G1KG2. Проведем в нем высоту KD (см. рис. П8). KD || OG1, так как OG1 – идеальный луч зрения, а KD – высота треугольника. ∠G1KD = ∠KG1О = 50°, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых KD и OG1 и секущей KG1. Аналогично рассуждая, получим, что ∠G2КD = 50°. Значит, искомый ∠G1KG2 = ∠G1KD + ∠G2KD = 100°, что, конечно, больше 15°. Интересно знать, начиная с какого же расстояния от наших глаз предметы видны четко, без двоения. Задание. Определите наименьшее расстояние от предмета до глаз, на котором этот предмет был бы виден ясно. Подтвердите расчеты экспериментально. (Расчеты будут верны только для здорового глаза.) Решение. На рис. П9 точками G1 и G2 обозначим зрачки левого и правого глаз, рассматриваемый предмет находится в точке K. 1. ∠G1КG2 = 15° – условие ясного видения. 2. G1G2 = 6 см – расстояние между глазами. Дано (рис. П.9) 3. KМ ⊥ G1G2 4. Найти KМ – расстояние от глаз до предмета. 5. ΔG1KМ – прямоугольный (3). 6. KM = G1M tg∠G1KM (5); KM = 3 tg 7 ,5° ≈ 23 см. 211 Рис. П9 Действительно, именно на таком расстоянии от глаз рекомендуется держать книгу, которую мы читаем. Подтверждающий это эксперимент можно провести так: поместим в бинокулярное поле зрения карандаш на расстоянии от глаз, меньшем, чем 23 см. Контур карандаша двоится, виден нечетко. Будем постепенно увеличивать это расстояние. Зафиксируем момент, когда карандаш будет виден довольно ясно. Теперь измерим, воспользовавшись чьей-либо помощью, расстояние от карандаша до глаз. Оно должно быть примерно равным 23 см. Любопытно рассмотреть еще одну проблему: возможно ли одновременное отклонение от идеального положения зрительных осей правого и левого глаза на угол 50°? Задание. На каком расстоянии от глаз должны были бы пересечься зрительные оси, если их одновременное отклонение от своего идеального положения в сторону носа составило 50°? Решение. Искомым расстоянием является высота KМ прямоугольного треугольника G1KМ (см. рис. П9). По определению тангенса угла имеем: KМ = tg 40° × G1М; KМ ≈ 2,5 см. Полученный результат свидетельствует о том, что такое отклонение зрительных осей невозможно. Ведь, как было сказано ранее, расстояние между точкой их пересечения K и прямой G1G2 не может быть менее 10–15 см. 212 3. Что такое угол зрения? В математике при описании свойств математических объектов встречается понятие угла зрения. Однако часто оно используется в упрощенном виде. Мы говорим, например: «Из точки А отрезок а виден под углом α». Кто и откуда смотрит на этот отрезок? Или эта фраза имеет какой-то другой смысл? Опираясь на уже известные понятия: поле зрения, луч зрения, идеальный луч зрения – и на соответствующие им геометрические понятия, попробуем подробнее объяснить, что означают слова «видеть под углом». В наше поле зрение попадает множество предметов. К каждому предмету от глаза можно провести бесконечное число лучей зрения (рис. П10). Любые два из них образуют некоторый угол. Каждый из таких углов – угол зрения. Рис. П10 Для практических нужд, как правило, берут угол зрения, под которым виден весь предмет. Это угол, составленный двумя лучами зрения, которые проходят через концы отрезка, являющегося высотой этого предмета. В остальных случаях угол зрения, взятый таким образом, что его стороны проходят через какие-либо точки рассматриваемого предмета, будет углом зрения, под которым виден некоторый отрезок, заключенный между этими точками. Углов зрения, под которым виден данный предмет, может быть бесконечно много, так как имеется бесчисленное число точек наблюдения – вершин такого угла (рис. П11). Поэтому при решении практических задач выбирают «удобный» угол зрения, например тот, под которым видна высота рассматриваемого предмета (рис. П12). Договоримся, что в дальнейшем, говоря об угле зрения, будем иметь в виду именно такой угол. Во всех остальных случаях к термину «угол зрения» будем добавлять необходимые пояснения. 213 Рис. П11 Рис. П12 Отметим, что вместо термина «угол зрения» часто употребляют также и термин «угловой размер», в отличие от линейных размеров, с которыми все хорошо знакомы (длина, ширина, высота). Так поступают, в частности, в астрономии. Например, если говорят, что угловой размер Луны равен 0,5°, то имеют в виду, что под таким углом виден наблюдателю с Земли диаметр лунного диска. Знание углового размера (астрономы говорят «углового диаметра» или «видимого диаметра») небесного тела позволяет вычислить его линейные размеры. Вследствие огромной удаленности космических объектов угловые диаметры планет и звезд очень малы и изменяются в угловых минутах и секундах. 214 Угол зрения – величина непостоянная. Она зависит от размеров предмета и от расстояния от глаза до предмета. Нетрудно понять, что чем больше предмет, тем под большим углом зрения он виден. На рис. П13 предметы высотой АВ и А1В находятся на равном расстоянии от глаза и А1В > АВ. Нетрудно понять, что в этом случае угол зрения ϕ', под которым виден больший отрезок А1В, больше угла зрения ϕ, под которым виден меньший отрезок АВ. Рис. П13 Рис. П14 Будем увеличивать расстояние от глаза до предмета, тогда угол зрения будет уменьшаться (рис. П14). Поэтому чем дальше от глаза находится предмет, тем меньших размеров он нам кажется. В этом легко убедиться, если сравнить, например, видимые и действительные размеры небесных тел. Нельзя ли дать этому факту математическое обоснование? Пусть предмет, высота которого равна а, удалили на расстояние l, а затем на расстояние L от глаза, l < L. Изобразим это на рис. П15. Точкой О обозначим глаз наблюдателя, тогда пусть ОА = l, ОА1 = L и АВ = А1В1 = а. Для упрощения рассуждений, расположим луч зрения ОА так, чтобы ∠ВАО и ∠В1А1О были прямыми. Имеем углы 215 зрения ∠АОВ = α и ∠А1ОВ1 = β, составленные соответствующими зрительными лучами. Докажем, что если l < L, то α < β. 1. Треугольники АВО и А1В1О – прямоугольные. 2. ОА < ОА1 или l < L. Дано (рис. П15). 3. Доказать: α < β. Рис. П15 4. tg α = AB AO , tg β = A1B1 A1O , или tg α = al , tg β = a L , по определению тангенса угла (1). 5. tg α tg β 6. L l 7. tg α tg β = L l (4). > 1 (2). > 1 (5, 6). 8. tg α > tg β (7). 9. α > β, так как функция тангенс возрастает на промежутке (0; 90°) и α, β ∈ (0; 90°) по условию (1) как углы соответствующих прямоугольных треугольников. Таким образом, мы показали, что чем дальше от глаза находится предмет, тем меньше угол зрения, под которым он виден, но еще не нашли ответа на вопрос, почему при удалении от глаза предмет кажется нам уменьшающимся. 216 Для этого необходимо вспомнить, как получается изображение на сетчатке. Достаточно провести лучи зрения от крайних точек предмета к глазу наблюдателя – они пересекутся в оптическом центре глаза и на сетчатке получится обратное уменьшенное изображение (рис. П16). Рис. П16 Посмотрим, как изменится размер изображения предмета при увеличении расстояния от него до глаза (рис. П17). Построим изображения одного и того же предмета, находящегося на разном расстоянии от глаза наблюдателя. Для простоты будем считать, что поверхность сетчатки не сферическая, а плоская. Как уже говорилось, лучи зрения пересекаются в оптическом центре – некоторой точке О, находящейся в глазу наблюдателя. Продолжим лучи зрения ОА, ОВ, ОВ1 за точку О до пересечения с плоскостью сетчатки, получим точки А', В', В'1. Таким образом, изображение АВ есть А'B', изображение А1В1 есть А'В'1. Будем считать, что прямая, содержащая луч зрения ОА, перпендикулярна плоскости сетчатки. Из рис. П17 видно, что А'В' > А'В'1, то есть при удалении предмета его изображение на сетчатке становится меньше, поэтому он и кажется нам уменьшающимся. 217 Рис. П17 Докажем, что если l < L, то A'B' > A'B'1. По доказанному выше известно, что если l < L, то α > β, но ∠АОВ = ∠А'ОВ' = α, ∠А1ОВ1 = = ∠A'1OB'1 = β, как вертикальные. Из прямоугольного треугольника ОА'В': tg α = A′B1′ A ′O следовательно . Из прямоугольного треугольника ОА'В'1: tg β = A′B ′ OA′ > A′B1′ A′O A′B ′ OA′ , , тогда А'В' > А'В'1, что и требовалось доказать. 4. Геометрия помогает проверить остроту зрения Способность глаза различать предметы небольших размеров принято характеризовать остротой зрения. Она определяется тем минимальным углом между лучами, идущими от двух точек к глазу наблюдателя, при котором эти точки еще видны раздельно, а не сливаются в одну. Наименьший угол зрения, под которым глаз способен различить две точки по отдельности, будем называть предельным углом зрения. Чем больше этот угол, тем ниже острота зрения. Для людей с нормальным зрением средняя величина предельного угла зрения приблизительно равна 1'. Под таким углом видна, например, типографская точка диаметром 0,5 мм с расстояния 1,7 м. Проведем следующий опыт. Будем удалять от глаза предмет, имеющий высоту АВ, до тех пор, пока точки А и В не сольются в одну. Таким образом, мы достигнем наименьшего значения угла зрения. Интересно, каково расстояние между точками А', В', являющимися изображением на сетчатке точек А и В, если угол зрения равен предельному? Как и ранее, будем считать поверхность сетчатки 218 плоской. Выберем расположение луча зрения ОА так, чтобы ∠ВАО и ∠В'А'О были прямыми. Рассмотрим (рис. П18) прямоугольный треугольник В'А'О. Пусть ∠A ′OB ′ = 1 ° 60 . Известно, что глубина глаза или расстояние от оптического центра до сетчатки ОА' = 2,5 см. Тогда, пользуясь определением тангенса угла, найдем А'В': tg∠A ′OB ′ = AA′BO′ , тогда А'В' = tg ∠А'ОВ' ⋅ А'О; ′ A ′B ′ = 1 ⋅ 1 ⋅ 2 ,5π = 7 ,3 ⋅ 10 −4 60 180 (см), или 7,3 ⋅ 10–2 мм. Изображение та- кого размера попадает на две соседние светочувствительные клетки, которыми выстлана поверхность сетчатки. И в этом случае две точки воспринимаются глазом раздельно. Если же изображение предмета умещается только на одной клетке сетчатки, то предмет воспринимается глазом как одна точка. Рис. П18 Как уже говорилось, предельный угол зрения измеряют для оценки остроты зрения. Чтобы ее вычислить, нужно найти отношение 1' к предельному углу зрения α, измеренному для конкретного глаза. Считается, что нормальная острота зрения равна единице и достигается в том случае, когда α ≈ 1'. В медицинской практике остроту зрения проверяют по специальной таблице, которая содержит строки букв разного размера. Острота зрения определяется по наименьшей строке, которую полностью правильно читает пациент. Такое иссле219 дование проводится для каждого глаза отдельно, так как у правого и левого глаз этот показатель может несколько различаться. Свою остроту зрения можно узнать и без специального оборудования. Для этого измерим величину предельного угла зрения, проведя несложный опыт. На листе бумаги начертим 20 горизонтальных черных линий длиной 4 см и толщиной 1 мм так, чтобы они заполняли квадрат (рис. П19). Приклеим этот чертеж на хорошо освещенную стену и отойдем от него на такое расстояние, чтобы линии слились в сплошной серый фон. Вычислим величину предельного угла зрения, под которым еще различимы по отдельности линии толщиной 1 мм. Рис. П19 Рассмотрим треугольник ОАВ (рис. П20), где О – глаз наблюдателя, АВ = 1 мм – толщина линии, ОА и ОВ – лучи зрения, которые мы выберем так, чтобы ОА ⊥ АВ. Найдем ∠АОВ, используя определение −3 ⋅ AB = 110 тангенса угла: tg∠AOB = OA , где ОА – расстояние от глаза до OA чертежа, которое можно измерить непосредственно. Пусть для нашего наблюдателя расстояние ОА = 3,42 м. Тогда предельный ∠АОВ = 1'. Это значит, что острота зрения равна единице, что считается нормой. Задание. Линии на чертеже сливаются для вашего глаза на расстоянии 2 м. Нормальная ли это острота зрения? 220 3 Рис. П20 ⋅ Решение. tg α = 110 = 5 ⋅ 10 −4 , α = 1,7'. Острота зрения ниже 2 нормальной и составляет 1' : 1,7' ≈ 0,6. Задание. На открытом воздухе при умеренном освещении для здорового глаза предельный угол зрения может быть равен 40''. На каком расстоянии прекращается видимость черного круга диаметром 10 см, расположенного на белом фоне? Решение. Пусть черный круг находится в плоскости, перпендикулярной лучу зрения. Этот луч зрения имеет начало в глазу наблюдателя и проходит через центр круга. АВ = 10 см = 0,1 м – диаметр круга, О – точка, где расположен глаз наблюдателя. ∠АОВ = 40'' (см. рис. П20). Тогда по определению тангенса угла в прямоугольном AB ; tg 40'' ≈ 2 ⋅ 10–4. Здесь треугольнике имеем: AB = tg40 ′′ ; OA = tg40 ′′ OA можно воспользоваться микрокалькулятором. Тогда, ОА = 500 м. Из вышесказанного следует, что угол зрения имеет наименьшее значение. Оно приблизительно равно 1'. Существует ли наибольшее значение угла зрения? На первый взгляд может показаться, что наибольшее значение угла зрения совпадает со значением угла, ограничивающего поле зрения по вертикали. На самом деле это не так. Поле зрения разделено на зоны по степени четкости восприятия изображения глазом. Зона, где предметы воспринимаются наиболее четко, ограничена углом 17° в вертикальной плоскости. Это и есть приблизительная величина наибольшего угла зрения. Конечно, мы можем видеть предметы, имеющие угловую величину больше 17°. Это 221 происходит потому, что человеческий глаз находится в постоянном движении. Лучи зрения как бы ощупывают предмет в различных направлениях. Мы уже знаем, что при наблюдении предмета невооруженным глазом под углом зрения, близким к предельному, он представляется нам в виде точки. Это могут быть пылинки, имеющие микроскопические размеры, или далекие звезды. Можно ли рассмотреть такой предмет более детально, то есть под большим углом зрения? В такой ситуации прибегают к помощи различных оптических приборов. Они позволяют значительно увеличить угол зрения и расширить возможности зрительной системы человека. Одни приборы (лупа, микроскоп) позволяют в увеличенном виде рассмотреть предметы небольших размеров или вообще невидимые глазом. Другие (например, бинокль или телескоп) помогают разглядеть крупные, но слишком удаленные от нас объекты. Основная характеристика оптического прибора – это его увеличение. Если говорят, что оптический прибор имеет увеличение в N раз, то это значит, что отношение угла зрения ϕ' при рассматривании предмета через прибор к углу зрения ϕ для невооруженного глаза равно N при условии, что ϕ и ϕ' невелики. Действительно, при визуализации предмета с помощью оптического прибора увеличивается угол зрения, под которым он виден, а значит, увеличивается и изображение этого предмета на сетчатке глаза. Будем наблюдать предмет АВ сначала невооруженным глазом, а затем через прибор, увеличивающий угол зрения. Изобразим, что при этом происходит, на рис. П21. АВ – рассматриваемый предмет, А1В1 – его изображение на сетчатке. Пусть отрезок А'В' показывает, каким выглядит предмет АВ, если рассматривать его через прибор. А'1В1 – изображение А'В' на сетчатке глаза. Понятно, что предмет АВ увеличился в ϕ′ ϕ 222 A1′ B1 A1B1 раз. Пусть = N . Докажем, что K = N, где N – увеличение прибора. A1′ B1 A1B1 =K , Рис. П21 Для упрощения доказательства, как и ранее, будем считать, что поверхность сетчатки – плоскость, обозначим ее α. Пусть ВО ⊥ α. О – оптический центр. Из свойства вертикальных углов следует, что ϕ = ∠А1ОВ1, ϕ' = ∠А'1ОВ'. Тогда из ΔА1ОВ1 по определению тангенса угла имеем: tg ϕ = A1B1 B1O ; из ΔА'1ОВ' по определению тангенса угла: tg ϕ ′ = A1′ B1 B1O . Так как ϕ и ϕ' невелики по условию, то можно считать, что tg ϕ = ϕ и tg ϕ' = ϕ'. Тогда ϕ = A1B1 B1O и ϕ′ = A1′ B1 ϕ ′ ⋅ B1O ϕ = A1′ B1 B1O ⋅ B1O A1B1 . Отсюда K = N. 5. Под одним углом зрения До сих пор мы говорили о том, что один и тот же предмет мы можем видеть под различными углами зрения. Столь же часто мы встречаемся и с другой ситуацией: предметы, имеющие разные линейные размеры, мы можем видеть под одним и тем же углом зрения. И тогда их видимые размеры кажутся нам одинаковыми. Вам наверняка приходилось смотреть на небо в ясную погоду, когда на Солнце набегало легкое облачко. В этот момент можно разглядеть солнечный диск без вреда для зрения. Одновременно на небе днем бывает виден и лунный диск. Тогда отчетливо видно, что угловые размеры Луны и Солнца практически одинаковые, хотя их линейные размеры существенно различаются. Видимый диаметр Луны равен 31'05'', а Солнца – 31'59''. 223 Обратимся к такому известному природному явлению, как полное солнечное затмение. Это красивое зрелище возникает тогда, когда центр Луны (меньшего шара) оказывается на прямой, проходящей через глаз наблюдателя на Земле и центр Солнца (большего шара). В этот момент Луна полностью заслоняет Солнце, то есть Луна и Солнце видны под одним и тем же углом зрения. Это было бы невозможно, если бы размеры тел, а также расстояние от них до Земли не состояли в определенной зависимости. Какой именно? Найдем условие, при котором это происходит. А сначала проделаем несложный опыт. Возьмем два шара различного диаметра, например теннисный мячик и шарик для игры в пинг-понг. Закроем один глаз и, держа шары в руках, расположим их так, чтобы меньший шар точно закрывал больший. Теперь оба шара видны нам под одним углом зрения. Как связаны между собой диаметры шаров и расстояния от них до глаза? Для простоты вычислений будем считать, что центр нашего глаза и центры шаров находятся на одной прямой. Представим себе, что проведена некоторая плоскость через наш глаз (центр которого совпадает с точкой О) и центры О1 и О2 шаров. Получим чертеж, изображенный на рис. П22. Выберем диаметры кругов – отрезки АВ и CK – так, чтобы АВ || СK. Рис. П22 Введем обозначения: АВ = d, CK = D, ОО1 = l и ОО2 = L. По условию d < D, l < L, ∠АОВ = ∠СОK. Треугольники ОАО1 и ОСО2 подобны по двум углам (∠О – общий, ∠А = ∠С как соответственные углы при параллельных прямых АВ и СK и секущей ОС). Из подобия треугольников следует, что 224 CO2 AO1 = OO2 OO1 , D d = L l (*). Это означает, что диаметр D во столько же раз больше диаметра d, во сколько раз расстояние L больше расстояния l. Только при таком условии шары видны под одним и тем же углом зрения. Заметим, что рассмотренные круги являются центрально-подобными фигурами. Точке A сопоставлена точка C так, что A и C лежат на луче с началом в некоторой точке О (см. рис. П22), причем ОC = kОA, где k = D d . Очевидно, что любой точке М меньшего круга можно сопоставить точку М1 плоскости так, что точки М и М1 будут лежать на луче с началом в фиксированной точке О, причем ОМ1 = kОМ. Если k = D то точка М1 d принадлежит большему кругу. Задание. Проверьте справедливость формулы (*) для Солнца и Луны, считая, что расстояние L от Земли до Солнца составляет приблизительно 150 млн км, расстояние l от Земли до Луны – 380 тыс. км, диаметр Солнца D ≈ 1,39 млн км, диаметр Луны d ≈ 3480 км. Подставив данные числа в равенство (*), получим, что Ll ≈ 400 и D d ≈ 400 . Это означает, что при данных расстояниях и диаметрах Луна и Солнце имеют практически одинаковые угловые размеры. Поэтому в момент полного солнечного затмения видно, как диск Луны точно закрывает диск Солнца. Происходят ли солнечные затмения на других планетах нашей системы? Ученые утверждают, что только на Земле сложились условия для такого явления. Любые подобные фигуры можно расположить таким образом, что они будут видны под одним и тем же углом зрения. А могут ли произвольные фигуры быть видны под одним углом зрения? Утверждая так, имеют в виду, что высоты этих фигур должны быть видны под одним углом зрения. Обнаруженная зависимость может быть использована в тех случаях, когда требуется найти недоступные для непосредственного измерения расстояния или размеры предмета. 225 Задание. Определите расстояние от наблюдателя до товарного вагона, если известно, что наблюдатель со своего места может закрыть вагон монетой, которую держит в вытянутой руке. Диаметр монеты 3 см. Высота вагона 2,5 м. Решение. Измерим расстояние от глаза до монеты в вытянутой руке (рис. П23). ОВ = l = 55 см. Диаметр монеты известен: АВ = d = 3 см. Высота вагона также дана в условии задачи: CK = D = 2,5 м. Необходимо найти ОK = L – расстояние от наблюдателя до товарного вагона. Рассмотрим ΔОАВ и ΔОСK. Они подобны по двум углам: ∠О – общий, ∠А = ∠С как соответственные углы при параллельных прямых АВ и СK и секущей ОС. Из подобия треугольников, как и в предыдущей задаче, получим: D = Ll ; L ≈ 47 м. d Рис. П23 Этим способом определения расстояния удобно воспользоваться, когда размер отдаленного предмета известен, тогда легко можно приблизительно установить расстояние от него до нас. Задание. Определите высоту телеграфного столба, если на расстоянии 130 м он закрывается спичкой, которую наблюдатель держит в вытянутой руке. Спичка расположена вертикально. Ее длина равна 4 см. Решение. Как и в предыдущей задаче, воспользовавшись подобием соответствующих треугольников, приходим к формуле: D = Ll . d По условию L = 130 м, l = 0,55 м, d = 0,04 м, значит, D = 226 130 ⋅ 0 ,04 ≈ 9 ,5 (м). 0 ,55 Такой способ позволяет найти высоту предмета, измерить которую невозможно. Задание. Вычислите, какой величины должны быть буквы на классной доске, чтобы ученики, сидя и за последними партами, видели их столь же ясно, как буквы в своих книгах. Высота буквы в книге – 2,5 мм, расстояние от последних парт до доски – 5 м, расстояние от глаза до книги – 20 см. Решение. Как и в предыдущих задачах, используем выведенную формулу для определения высоты букв на доске. Их высота будет равна 6,25 см. В заключение приведем отрывок из романа Ж. Верна «Таинственный остров». Герои романа для измерения высоты скалы действовали по известной нам схеме. «Сайрес Смит захватил с собою прямую ровную жердь длиной около двенадцати футов – длину он определил по собственному росту, который он знал совершенно точно. Герберту Сайрес Смит поручил нести отвес – то есть гибкую лиану, к концу которой был привешен обыкновенный камень. Остановившись шагах в двадцати от кромки моря и шагах в пятистах от гранитного кряжа, Сайрес Смит воткнул жердь в песок и старательно выпрямил ее, добившись путем выверки отвесом, чтобы она стояла перпендикулярно к плоскости горизонта. Сделав это, Сайрес Смит лег на землю на таком расстоянии, чтобы в поле его зрения находились и верхний конец жерди, и гребень гранитной стены. Это место он отметил на песке колышком и, повернувшись к Герберту, спросил: – Ты знаком с геометрией? – Немножко, мистер Сайрес, – ответил Герберт, боясь попасть впросак. – Помнишь свойства подобных треугольников? – Да, – ответил юноша, – у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны друг другу. – Так вот, дитя мое, у меня тут два подобных прямоугольных треугольника – один поменьше, в нем двумя катетами будут: жердь, воткнутая перпендикулярно в песок, и отрезок прямой, равный расстоянию от нижнего конца жерди до колышка, а гипотенузой – мой луч зрения; у второго треугольника катетами являются: отвесная линия гранитной стены, высоту которой нам нужно измерить, и отре227 зок, равный расстоянию от колышка до подошвы стены, а в качестве гипотенузы – мой луч зрения, то есть продолжение гипотенузы первого треугольника. – Понял, мистер Сайрес! Я все понял! – воскликнул Герберт. – Расстояние от колышка до жерди пропорционально расстоянию от колышка до подошвы стены, а высота жерди пропорциональна высоте стены. – Правильно, Герберт, – подтвердил инженер. – И когда мы измерим оба расстояния от колышка, то, зная высоту жерди, мы быстро решим пропорцию и таким образом узнаем высоту стены, что избавит нас от труда измерять ее непосредственно. Основания обоих треугольников были измерены при помощи той же самой жерди, высота которой над поверхностью песка равнялась десяти футам; оказалось, что расстояние между колышком и жердью – пятнадцать футов, а расстояние между колышком и подошвой стены – пятьсот футов. Закончив измерения, Сайрес Смит и юноша возвратились в трущобы. Там инженер взял плоский камень, принесенный им из прежних экспедиций, нечто вроде шиферного сланца, на котором легко было нацарапать цифры остроконечной ракушкой. И на этой аспидной доске Сайрес Смит составил следующую пропорцию: 15 : 500 = 10 : х; 500 ⋅ 10 = 5000; 5000 : 15 = 333,33 Следовательно, высота гранитной стены равнялась тремстам тридцати трем футам». 6. Что такое параллакс? До сих пор в наших экспериментах мы проводили наблюдения одним, правым или левым, глазом. Теперь попробуем выяснить некоторые интересные особенности зрения двумя глазами. Встаньте напротив классной доски (или любой другой ровной вертикальной поверхности), посмотрите на большой палец вытянутой руки сначала одним, а затем другим глазом. Можно заметить, что палец как бы перескакивает из одного положения в другое – происходит изменение видимого положения объекта (пальца) относительно удаленного фона (доски) в зависимости от положения точки наблюдения (глаза). Такое явление называют параллактическим (греч. «смена, чередование») смещением. Почему происходит это явление? Понять это поможет чертеж. На рис. П24 точки О1, О2 – левый и правый глаза наблюдателя. А – конец большого пальца вытянутой руки. Проведем лучи зрения О1А и 228 О2А от каждого глаза через конец большого пальца до пересечения с вертикальной плоскостью доски. Получим точки В1, В2 – положения пальца в проекции на доску. Из рисунка видно, что при изменении точки наблюдения с О1 на О2 меняется проекция положения пальца с В1 на В2, что и дает эффект перескакивания. Рис. П24 Из геометрических соображений понятно, что при уменьшении расстояния между большим пальцем и глазом (например, при сгибании руки в локте) параллактическое смещение В1В2 будет увеличиваться, а значит, увеличится угол О1АО2, который и называют параллаксом. Для изменения параллакса можно менять и его базис О1О2. В нашем опыте сделать это невозможно, так как базисом является расстояние между глазами. По выбранному базису такое явление еще называют параллаксом зрения. Задание. Чему равен параллакс, получившийся в описанном выше эксперименте в результате смещения большого пальца наблюдателя? Решение. Воспользуемся рис. П24. Необходимо найти ∠В1АВ2. Так как ∠В1АВ2 = ∠О1АО2 как вертикальные, то вычислим ∠О1АО2. Пусть точка А (конец большого пальца) выбрана так, что треугольник О1АО2 равнобедренный. Пусть также его основание О1О2 (расстояние 229 между глазами) равно 6,5 см, а боковые стороны (расстояние от глаз до кончика большого пальца) О1А и О2А равны 60 см. Тогда по теореме косинусов имеем: cos∠O1 AO2 = AO12 + AO22 −O1O22 2⋅ AO1⋅ AO2 cos∠O1 AO2 = 1 − 6 ,52 2⋅602 =1− O1O22 2⋅ A12 ≈ 0 ,9941 . Тогда ∠В1АВ2 = ∠О1АО2 ≈ 6°12'. Замеченное нами явление не просто занимательный эксперимент. Эта особенность зрения лежит в основе способа определения расстояний, которые нельзя измерить непосредственно. Зная длину базиса и измерив углы между ним и направлениями к предмету от концов базиса, можно определить расстояние до предмета вычислением. На Земле такой способ измерения расстояний носит название метода триангуляции (лат. «треугольник»). Он был изобретен еще в XVII в. и был удобен тем, что точному измерению больших расстояний не могут помешать встречающиеся на пути препятствия (леса, реки, болота и т.п.). Метод триангуляции помог ученым уточнить знания о форме и размерах Земли. С его помощью геодезисты составляли географические карты. Тот же способ, применяемый для вычисления расстояний до небесных тел, носит название метода параллаксов. В зависимости от выбранного базиса (аналогично параллаксу зрения) различают суточный и годичный параллакс. В первом случае в качестве базиса берется радиус Земли, во втором случае базисом служит радиус земной орбиты. Такое различие в выборе базиса легко объяснимо с точки зрения математики. Чем больше базис, тем точнее результат измерения. Угловые размеры звезд настолько малы, что такой подход имеет решающее значение для достоверности наблюдений. Ниже поговорим об этом подробнее. Мы же вернемся к исследованному нами параллаксу зрения. Это явление тоже имеет непосредственное применение на практике. Описанный далее способ оценки расстояний используется геологами, туристами для ориентирования на местности, а мы его можем проверить, даже не выходя из дома. 230 Задание. Пусть за окном мимо вас по улице идут прохожие. Вы можете отчетливо различить их шаги. Тогда для того, чтобы узнать расстояние от вас до них, нужно поступить так. Если пешеход идет в сторону правой руки, смотрите на вытянутый в его сторону палец сначала правым глазом. Как только палец закроет фигуру движущегося человека, надо закрыть правый глаз, а левый открыть. Пешеход словно отодвинется назад. Теперь подсчитайте количество шагов до того места, где ваш палец снова его закроет. Осталось полученное количество шагов умножить на 10 – и вы узнаете расстояние от вас до человека, идущего по улице. Почему умножение числа шагов на 10 дает нужный результат? Решение. На рис. П25 L, Р – это левый и правый глаза, R – конец большого пальца вытянутой руки. А – первое положение пешехода, В – второе. Будем считать, что прямая LP приблизительно параллельна направлению движения пешехода АВ. Рис. П25 Пусть средняя длина шага равна 0,75 м, расстояние между глазами – 0,06 м, расстояние от глаз до кончика большого пальца – 0,6 м. Искомое расстояние – отрезок АR. Заметим, что треугольники LPR и ABR подобны по двум углам. Из подобия треугольников: AR = AB ⋅ PR . LP Допустим, что пешеход в нашем эксперименте сделал всего N шагов. Тогда, AR = 0N,06 ⋅ 0 ,6 = 10N (шагов). Если нужно узнать расстояние в метрах, а не в шагах, то достаточно полученный результат умножить на среднюю длину шага – 0,75 м. 231 Здесь уместно задать вопрос: какое условие должно быть соблюдено, чтобы предложенным способом можно было решить задачу? Пусть средняя длина шага равна 0,75 м. Для того чтобы пешеход сделал хотя бы один шаг, необходимо, чтобы отрезок АВ, соответствующий перемещению пешехода, был больше или равен 0,75 м. Выясним, какое наименьшее расстояние РА должно быть между наблюдателем и пешеходом при АВ ≥ 0,75. Пусть LР = 0,06 м, АВ = 0,75 м, PR = 0,6 м. Найдем РА. Так как рассматриваемые треугольники подобны, AB = RA AB ⋅ PR ; RA ≈ 7,5 м; РА = PR + RA = 8,1 м. LP PR ; RA = LP Если расстояние от нас до пешехода приблизительно больше 8 м, то можно без опасений использовать предложенную схему решения. Но будем помнить, что все же точность такой оценки невелика, но это именно оценка, а не измерение. Такой способ оценки расстояния используется геологами, туристами при необходимости ориентирования на местности. Видимое изменение положения предмета возможно и в случае перемещения наблюдателя из одной точки в другую. Тогда базисом параллакса будет расстояние между этими точками. Зная длину базиса и измерив углы между ним и направлениями к предмету от концов базиса, можно определить расстояние до предмета вычислением, не прибегая к измерению расстояния непосредственно. Этой возможностью широко пользуются при земляных работах или в военном деле, а в астрономии – для определения расстояния до небесных тел. Задание. Определить расстояние АВ до дерева А (рис. П26), находящегося на другом берегу реки. Решение. Выберем точку С на берегу так, чтобы отрезок ВС служил базисом, длину которого можно измерить. Затем при помощи угломерного инструмента, находясь в точке В, измерим ∠АВС, наводя его сначала на предмет, а потом на точку С (где должен быть вбит колышек). Точно так же измеряем ∠АСВ. Таким образом, в треугольнике АВС нам известны одна сторона ВС (длина базиса) и два прилежащих к ней угла. В этом случае расстояния до предмета АВ и АС можно BC sin∠ACB , где вычислить, используя теорему синусов: AB = sin∠ BAC ∠ВАС = 180° – ∠АСВ – ∠АВС (по теореме о сумме углов треугольника). 232 Рис. П26 Такой способ измерения расстояний на Земле носит название метода триангуляции. Основным способом определения расстояний до небесных светил является определение их параллаксов. Однако теперь для повышения точности их измерения размер базиса необходимо значительно увеличить. Ведь параллаксы даже самых близких звезд очень малы, менее 1''. Для тел Солнечной системы, сравнительно близких к нам, достаточным базисом является радиус Земли. Для этих объектов можно вычислить горизонтальный параллакс. Его определяют как угол с вершиной в центре небесного светила и со сторонами, направленными к центру Земли и к точке наблюдения на земной поверхности (рис. П27). Для измерения горизонтального параллакса необходимо, чтобы два наблюдателя одновременно видели светило из точек А и В. И если параллакс измерен, то расстояние L до космического тела вычисляется из соответствующего прямоугольного треугольника по R формуле: L = земли . Такой способ определения расстояний называют sin γ методом горизонтального параллакса. 233 Рис. П27 Для измерения параллаксов светил, лежащих далеко за пределами Солнечной системы, в качестве базиса берут радиус земной орбиты. Тогда говорят о годичном параллаксе. Это угол, под которым со светила виден средний радиус земной орбиты при условии его перпендикулярности к лучу зрения. 7. Геометрия разоблачает обманы зрения Человек пользуется зрением на протяжении всей жизни. Полученная через зрительные ощущения информация служит основой для создания образов окружающего мира. Мы привыкли полностью доверять своему зрению. Однако в обыденной жизни мы довольно часто сталкиваемся со зрительными иллюзиями, обманом зрения. Одну из таких иллюзий мы попробуем объяснить, используя свойства подобия и некоторые другие геометрические закономерности. Замечено, что если в поле зрения обоих глаз находится предмет, ширина которого меньше расстояния между глазами, то этот предмет кажется как бы прозрачным при попытке глаз рассмотреть предметы, находящиеся за ним. Иначе говоря, хотя этот предмет и виден довольно отчетливо, он вместе с тем не закрывает того, что находится за ним. Возьмите ученическую линейку (или сверните узкую полоску бумаги) и поместите ее вертикально на небольшом расстоянии от глаз. Теперь посмотрите не на линейку, а вдаль. Непрозрачный предмет покажется вам прозрачным. То есть линейка видна довольно от234 четливо, но вместе с тем она не закрывает того, что находится дальше за ней. Теперь заменим линейку, например, на тетрадь. Как бы мы ни старались снова смотреть вдаль, нужного эффекта прозрачности не добиться. Почему? За объяснениями вновь обратимся к геометрии. Для начала сделаем чертеж (рис. П28). Обозначим отрезком LР расстояние между глазами, отрезком АВ – ширину линейки. Из рисунка видно, что лучи зрения LА и PВ пересекутся в некоторой точке О, находящейся за линейкой. Ясно, что внутри треугольника ОАВ лежат точки, которые нельзя видеть ни левым, ни правым глазом. Вне треугольника в пределах конусов зрения все точки видимы для обоих глаз. Эта область невелика, что и позволяет нам одновременно видеть и предмет, и почти все, что находится за ним. Рис. П28 Осталось понять, почему тетрадь не стала прозрачной. Дело в том, что ширина тетради АВ больше расстояния между глазами LР (рис. П29). Это означает, что лучи зрения правого и левого глаз не смогут пересечься и теперь невидимая область простирается вдаль бесконечно. 235 Рис. П29 Предмет покажется нам прозрачным, только если его ширина меньше расстояния между глазами. При монокулярном зрении, то есть когда мы смотрим одним глазом, описанный эффект невозможен. Любой предмет, независимо от размеров, всегда будет закрывать некоторую часть конуса зрения. Задание. Найдите расстояние между точкой О и линейкой АВ. Начиная с этого расстояния возможен полный просмотр пространства за линейкой. Пусть линейка находится на расстоянии a от прямой LP (рис. П30). Проведем высоту ОС в треугольнике ОLP. Обозначим С1 – точку пересечения высоты ОС с диаметром круга АВ. Искомым расстоянием будет расстояние ОС1. Пусть известно, что LP = l, АВ = d, СС1 = a. Найдем ОС1. ΔОАВ подобен ΔОLP по двум углам. Следовательно, их площади относятся как квадраты сходственных сторон: S∆OLP S∆OAB = ( ABLP ) ⋅ S∆OLP = 12 OC ⋅ LP ; S∆OAB = 12 OC1 ⋅ AB . Подставив по2 следние два равенства в первое, получим: тогда ОС = ОС1 + СС1 = х + а, 236 x +a x = 1 d OC OC1 , x = 1ad . −d = LP AB . Пусть ОС1 = х, Рис. П30 Таким образом, полный просмотр пространства, например, за предметом шириной 5 см, находящимся на расстоянии 1,5 м от глаз наблюдателя, при расстоянии между глазами, равном 6 см, возможен начиная с 7,5 м. a = 1,5 м, d = 5 см = 0,05 м, l = 6 см = 0,06 м. Отсюда: х = 7,5 м. Теперь нетрудно понять, почему возникает следующий зрительный эффект. Назовем его «дырка в ладони». Сверните лист писчей бумаги в трубочку диаметром около 3 см и смотрите через нее вдаль, приставив ее к одному глазу, вторым глазом в это время разглядывайте ладонь второй руки, приставленную вплотную к дальнему концу трубки. После некоторой тренировки вы увидите в ладони четкую дыру, сквозь которую хорошо просматриваются удаленные предметы. Но ведь совершенно очевидно, что ее там нет! Другой пример бинокулярной зрительной иллюзии можно наблюдать, если поместить кисти рук на расстоянии 30–40 см от лица, расположив указательные пальцы горизонтально и сведя их вместе, а затем посмотреть мимо пальцев вдаль. При этом обычно начинает казаться, что между пальцами появился объект, похожий на сосиску. Эта «виртуальная сосиска» будет тем длиннее, чем дальше будет находиться точка фиксации взора. Эта иллюзия объясняется особенностями работы механизмов, формирующих единый бинокулярный образ предмета на основе несколько различающейся информации, поступающей от левого и правого глаз. 237 С давних пор люди не только поражаются обманам зрения и забавляются зрительными иллюзиями, но и сознательно используют их в своей практической деятельности. Уже тысячи лет зрительные иллюзии целенаправленно используются в архитектуре для создания определенных пространственных впечатлений, например для кажущегося увеличения высоты и площади залов. Еще более эффективно зрительные иллюзии используются в изобразительном и цирковом искусстве. Зрительные иллюзии стали основой кинематографии и телевидения, учитываются в полиграфии и в военном деле. Создаваемая при помощи технических средств виртуальная зрительная реальность занимает в жизни современного человека огромное место и тесно переплетается с действительностью. В научной и популярной литературе описаны многие сотни зрительных иллюзий. Причины некоторых из них давно установлены, а других – до конца не раскрыты до сих пор. Приведем примеры того, как зрительные иллюзии влияют на восприятие архитектурных сооружений. Хозяин решил построить новый дом в два этажа на своем дачном участке, пригласил рабочих, которые сложили кирпичные стены, так называемую коробку. Хозяин остался недоволен их работой, так как издалека стены выглядели падающими несмотря на то, что непосредственная проверка показывала, что они выложены строго вертикально. Это противоречие помог бы разрешить архитектор. Еще древнегреческие зодчие знали, что идеальная вертикальная прямая издалека выглядит вогнутой. Учет восприятия пропорций и форм сооружений был назван энтазисом (от греч. entasis – напряжение). Для устранения такого эффекта они прибегали к разным приемам. Нашему хозяину они посоветовали бы пристроить к дому веранду, то есть добавить ломаных линий в очертания дома. Конечно, необходимо продумать и элементы украшений фасада. Как объяснить этот зрительный эффект? Вероятнее всего, он возникает потому, что поверхность сетчатки глаза все-таки не плоская, а ближе к сферической, что и объясняет искажение форм предметов больших размеров. Множество «поправок» на оптические иллюзии можно обнаружить в пропорциях величайшего памятника древнегреческого искусства знаменитого Парфенона, храма богини Афины, построенного на 238 Акрополе в 447–438 гг. до н. э. Иктином и Калликратом. Каждая каменная балка архитрава (рис. П31) в центре на 6 см уже, чем по краям. Стесанная по кривой линии, издали она выглядит абсолютно ровной. Колонны Парфенона слегка выпуклы в средней части. Если бы они были прямыми, то издали казались бы вогнутыми. Угловые колонны толще других. Они ближе придвинуты к соседним и слегка наклонены к центру здания – иначе строение казалось бы разваливающимся. Остальные колонны тоже наклонены внутрь на 6 см относительно вертикальной оси. Парфенон стоит на подиуме, изогнутая поверхность которого возвышается к центру. Так же изогнуты и ступени. В верхней части фриза скульптурные изображения выполнены более рельефно. Этот прием смягчает впечатление резкого уменьшения фигур, возникающее при взгляде снизу. Рис. П31 Конечно, секрет совершенства архитектурных форм Парфенона не только в перечисленных приемах. Немалую роль играет использование золотого сечения в построении пропорций этого храма. Исследованию этих пропорций посвящено немало трудов архитекторов, математиков, историков. 8. Зачем фотографу геометрия? Слово «фотография» в буквальном переводе с греческого означает «пишу светом». Первые фотомастерские, появившиеся в России в конце ХIХ – начале ХХ в., так и назывались – «светопись». Основу для изобретения фотографии заложил в IV в. до н. э. древнегреческий ученый Аристотель. Он заметил и описал интересное явление: свет, 239 проникающий в затемненное помещение сквозь маленькое отверстие в оконной ставне, рисует на стене пейзаж за окном. Изображение получается перевернутым и очень бледным, но воспроизводит натуру без искажений. Через 20 веков серьезный шаг к изобретению фотосъемки сделал итальянский математик, инженер, медик и философ Джероламо Кардано, которому принадлежит изобретение карданного вала. Кардано поместил в камеру-обскуру линзу и с ее помощью получил первые, пусть и сильно расплывчатые, изображения предметов. А зафиксировать световой рисунок удалось только в ХIХ в., и сделал это французский изобретатель Жозеф Нисефор Ньепс. Производя съемку, фотохудожник каждый раз решает непростую задачу – добиться реалистичного изображения трехмерного пространства на плоской поверхности. В этом ему помогает не только совершенная фотографическая техника, но и знание приемов композиции, правил выбора освещения и многое другое. Есть по крайней мере два простейших приема композиции, которыми легко может пользоваться любой фотолюбитель. В их основе лежат известные из школьного курса математические факты. Размещение объектов по правилу золотого сечения. Даже начинающий фотограф знает, что если объект съемки поместить в центр кадра, то фотография получится невыразительной. Возникает вопрос: где разместить основной объект, чтобы выделить его среди второстепенных объектов, гармонично с ними сочетать и учесть массу других деталей? Выбрать точку расположения объекта съемки помогает знание золотого сечения. Напомним, что золотым сечением называют такое деление целого на части, когда отношение большей части к целому равно отношению меньшей части к большей. Например, если отрезок АС разделен в золотом сечении точкой В (рис. П32), то можно записать пропорцию: АВ : АС = ВС : АВ. Рис. П32 240 Значение этого отношения, приближенно равное 5/8, называют числом Фидия. Золотое сечение – признанное мерило красоты и гармонии – было известно еще в Древнем Египте, его свойства изучали Евклид и Леонардо да Винчи. В эпоху Возрождения правило золотого сечения с успехом применяли в архитектуре и живописи для построения гармоничных композиций. Было замечено, что определенные точки изображения всегда привлекают внимание зрителя независимо от размеров картины. Таких точек – зрительных центров – всего четыре. Чтобы их найти, надо стороны прямоугольного картинного полотна дважды разделить по принципу золотого сечения и через точки деления провести прямые (рис. П33). На пересечении этих прямых и будут расположены дополнительные центры. Рис. П33 Правило золотого сечения распространилось и на искусство фотографии. Оно стало одним из базовых в композиции. Основной объект съемки следует располагать или вдоль прямых, делящих кадр в золотом сечении, или в зрительных центрах. Конечно, конкретное расположение зависит от типа объекта, его размера, замысла фотографа и т.п., но для достижения наибольшей выразительности правило золотого сечения должно быть обязательно учтено либо во время съемки, либо при подготовке фотографии к печати. На практике не так-то легко на глаз построить золотое сечение. Поэтому при съемке можно использовать несколько упрощенный композиционный прием – так называемое правило третей, когда сто241 роны кадра делятся не по золотому сечению, а просто на три равные части. Кстати, у ряда моделей фотоаппаратов такую сетку можно увидеть, глядя в объектив. Покажем, как работает правило золотого сечения, на примере трех фотографий парусника в море (рис. П34 а, б, в). На снимке П34 а линия горизонта совпадает с прямой, делящей кадр пополам, а парусник помещен в центр композиции. Правило золотого сечения здесь не использовалось. Во втором случае (рис. П34 б) линия горизонта лежит на нижней прямой золотого сечения, а парусник находится в одной из точек пересечения таких прямых. Новая композиция привлекает внимание зрителя к виду неба и заката. Переместим линию горизонта выше (рис. П34 в). Снимок опять дает новое впечатление – акцент перенесен на отражение заката в воде. Какой вариант из трех лучше, судить, конечно, зрителю. Рис. П34 Еще одно применение правила золотого сечения иллюстрирует рис. П35 а, б. На обоих рисунках построены так называемые диагональные сетки с учетом всех четырех зрительных центров. Суть построения в том, чтобы разбить кадр на несколько секций. В этих секциях располагаются основные объекты изображения. а) б) Рис. П35 242 На фото П36 а, б показано, как пользоваться одной из них: главные объекты на снимках надо располагать в зрительных центрах. а) б) Рис. П36 Создание иллюзии глубины изображения с помощью линейной перспективы. С точки зрения математики обычный фотоснимок – это изображение на плоскости, полученное путем проектирования его из одной точки. Однако мы хотим отобразить реальность с максимальной достоверностью и поэтому ищем новые средства для демонстрации трехмерности пространства и окружающих нас предметов. Одно из таких средств – линейная перспектива. Слово «перспектива» в переводе с латинского означает «ясно вижу». В изобразительном искусстве линейная перспектива – это изображение предметов на плоскости в соответствии с кажущимися изменениями их величины. Основу современной теории перспективы заложили великие художники эпохи Возрождения – Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и другие. На одной из гравюр Дюрера (рис. П37) изображен способ рисования с натуры через стекло с нанесенной на него квадратной сеткой. Этот процесс можно описать так: если встать перед окном и, не изменяя точки зрения, обвести на стекле все, что видно за ним, то полученный рисунок и будет перспективным изображением пространства. 243 Рис. П37 Как человеческий глаз видит предметы, находящиеся от него на разном расстоянии, мы выяснили выше. Тогда мы объяснили, почему чем дальше от нас находится предмет, тем меньших размеров он нам кажется. Это один из законов изображения объектов в линейной перспективе. Фотоснимок кажется пространственным, если масштабы изображения предметов переднего и отдаленных планов отличаются. Например, на фото П38 одинаковые чашки имеют разные линейные размеры. Обратим внимание на то, что чашки расположены в зрительных центрах. Рис. П38 Иллюзия глубины в плоских изображениях может быть достигнута и при помощи параллельных прямых, уходящих вдаль, – это, например, дорога или парковая аллея (фото на рис. П39). Параллельные 244 в действительности стороны аллеи по мере удаления кажутся сходящимися в одной точке у горизонта. Это происходит из-за визуального уменьшения ширины аллеи по мере ее удаления. Рис. П39 Задание. Можно ли вычислить, на каком расстоянии от глаза сойдутся в точку параллельные стороны аллеи? Вспомним, что каждый предмет превращается для нормального глаза в точку тогда, когда виден под углом 1'. Пусть ширина аллеи 3 м. Тогда несложный подсчет покажет, что стороны аллеи сойдутся на расстоянии 10 км. Можем ли мы увидеть точку схода? На ровной местности горизонт лежит ближе 10 км, а именно на расстоянии всего 4,4 км. Следовательно, человек с нормальным зрением, стоя на ровном месте, не может видеть точки встречи сторон аллеи. Мы могли бы наблюдать ее лишь при одном из следующих условий: 1) если понижена острота зрения; 2) если аллея не горизонтальна; 3) если мы поднимемся над землей. На фотоснимках линейная перспектива получается автоматически, независимо от желания и замысла фотографа. Однако на разных снимках она может выглядеть по-разному. На первый взгляд это кажется неправдоподобным – ведь по закону линейной перспективы характер изменения линейных размеров объектов всегда остается постоянным. Тем не менее на одних снимках эти изменения могут быть сильно выражены, а на других – едва различимы. Это дает фотографу возможность изменять вид линейной перспективы и тем самым усиливать или, наоборот, ослаблять иллюзию глубины изображения на своих снимках. Надеемся, что теперь, глядя на любительские и профессиональные работы фотографов, вы сможете увидеть нечто большее, чем просто изображение. 246 Егупова Марина Викторовна Практические приложения математики в школе Учебное пособие для студентов педагогических вузов В авторской редакции Технический редактор Копылова С. Г. Оформление обложки Зотова Н. Г. Компьютерная верстка Асташин Е. О. Издательство «Прометей» 115035, Москва, ул. Садовническая, д.72, стр.1 Тел/факс: 8 (495) 799-54-29 E-mail: info@prometej.su Подписано в печать 07.04.2015. Формат 60х90/16. Бум. офсетная. Печать цифровая. Объем 15,5 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 477.
