(Метод математической индукции)

Лекция
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ
Определение. Индукция – вид умозаключения, при котором на
основании
анализа
частных
суждений
о
принадлежности
признака
отдельным элементам множества делается вывод о принадлежности этого
признака всему множеству.
Для проверки индуктивных умозаключений необходимо большое число
частных случаев, примеров, опытов, подтверждающих данный вывод. И если
утверждение истинно для первых десяти случаев (примеров, опытов) или
даже для первых десяти биллионов случаев, то из этого не следует, что
утверждение истинно для всех случаев подтверждающих данный вывод. То
есть для опровержения индуктивного умозаключения достаточно одного
единственного контрпримера, противоречащей инстанции.
Например: Для подтверждения того, что все жвачные животные имеют
рога, надо приводить в качестве примера всё множество жвачных животных:
коз, олений, коров и т.д. Но для опровержения достаточно в качестве
единственного примера использовать верблюда.
Виды индукций
Метод математической индукции.
Метод
полной
индукции
имеет
весьма
ограниченную
область
применения в математике, поскольку большинство рассматриваемых
множеств бесконечны: множество натуральных чисел, множество простых
1
чисел, множество многогранников и т.д. Проверить справедливость гипотезы
напрямую при бесконечном множестве исследуемых объектов невозможно.
В таких случаях применяется метод рассуждений, заменяющий полный
перебор всех вариантов, который также дает достоверный вывод. Этот метод
носит название метода математической индукции (ММИ).
Смысл ММИ заключается в применении аксиомы Пеано в виде
некоторого алгоритма:
1. Утверждение проверяется для некоторого начального элемента, n  1
2. Формулируется гипотеза о том, что утверждение справедливо для
некоторого n  k , где k  N
3. Доказывается (устанавливается истинность утверждения), что если из
того, что утверждение справедливо для произвольного n  k следует, что
оно справедливо и для n  k  1 , где k  1 N .
Если выполняются три пункта, то утверждение справедливо для
любого натурального числа: n N
При применении метода математической индукции одинаково важны
все этапы алгоритма:
Первый этап – база индукции дает возможность определить нижнюю
границу применения формулы или действия неравенства. В то же время
необходимо проверить справедливость этой формулы или неравенства для
первого элемента множества.
Второй этап – шаг к обобщению, который формулируется в виде
гипотезы, справедливой для всех n  k . Этот этап называют индуктивным
переходом или индуктивной фазой, т.е. от одного частного случая мы
перешли к обобщению для n  k .
На
третьем
этапе
необходимо
установить,
насколько
сильны
индуктивные выводы: либо убедиться в их справедливости, либо их
2
опровергнуть для значения, следующего за обобщением, т.е для n  k  1 .
Это так называемая фаза доказательства.
Пример №1: Доказать, что n N справедливо равенство
1  4  7  ...  3n  2 
n3n  1
2
1. Проверим равенство при n  1:
1
1 3 1  1
 1  1 - значит, формула верна.
2
2. Гипотеза: Пусть формула справедлива для n  k :
1  4  7  ...  3k  2 
k 3k  1
2
3. Докажем, что формула справедлива для n  k  1 :
1  4  7  ...  3k  2  3k  1  2 
k  13k  1  1
2
Упростив выражение и воспользовавшись гипотезой, имеем
k 3k  1 3k  1 k  13k  2


, что после приведения к общему знаменателю
2
1
2
примет вид
3k 2  5k  2 3k 2  5k  2

2
2
Пример №2: Методом математической индукции доказать, что 7 n  1 делится
на 6 при любом натуральном показателе n.
1. Проверим равенство при n  1:
7 1  1  6  6 : 6 - значит, формула верна.
2. Гипотеза: Пусть формула справедлива для n  k :
Предположим, что 7 k  1: 6
3. Докажем, что формула справедлива для n  k  1 :
Тогда,
 




7 k 1  1 7 7 k  1  7 7 k  1  7  1  7 7 k  1  6
 :6
:6
3
Так как 7 k  1 делится на 6, то по свойству делимости сумма 77 k  1  6 тоже
делится на 6.
Пример №3: Методом математической индукции доказать, что
n 3  3n 2  5n  3 делится на 3 при любом натуральном показателе n.
1. Проверим равенство при n  1:
13  3 12  5 1  3  12 : 3 - значит, формула верна.
2. Гипотеза: Пусть формула справедлива для n  k :
Предположим, что k 3  3k 2  5k  3 : 3
3. Докажем, что формула справедлива для n  k  1 :
Тогда,
k  13  3k  12  5k  1  3  k 3  3k 2  3k  1  3k 2  2k  1  5k  1  3 


 k 3  3k 2  3k  1  3k 2  6k  3  5k  5  3  k 3  3k 2  5k  3  3k  6k  3k 2  9 

 

 k 3  3k 2  5k  3  3 k  2k  k 2  3


 
:3
:3
Так как k 3  3k 2  5k  3 : 3 делится на 3, то по свойству делимости сумма


3 k  2k  k 2  3 тоже делиться на 3.
Пример №4: Методом математической индукции доказать, что 2 n  2  3 n  5n  4
делится на 5 при любом натуральном показателе n.
1. Проверим равенство при n  1:
21 2  31  5 1  4  15 : 5 - значит, формула верна.
2. Гипотеза: Пусть формула справедлива для n  k :
Предположим, что 2 k  2  3 k  5k  4 : 5
3. Докажем, что формула справедлива для n  k  1 :
2 k  2  3 k  5k  4  25
k  15
Тогда, 2 k 1 2  3 k 1  5k  1  4  2 k  2  2  3 k  3  5k  9  6


  
:5
:5
:5
Пример №5: Методом математической индукции доказать, что 3 3n  2  2 4 n 1
делится на 11 при любом натуральном показателе n.
1. Проверим равенство при n  1:
4
331 2  2 411  275 : 11 - значит, формула верна.
2. Гипотеза: Пусть формула справедлива для n  k :
3k  2
 2 4 k 1
Предположим, что 3
3. Докажем, что формула справедлива для n  k  1 :


3 k 1 2
4 k 1
 2 4k 11  33k  2  33  2 4 k 1  2 4  27 33k  2  2 4 k 1  11
2
Тогда, 3




 
:11
5
:11
Домашнее задание
1. Доказать, что для всех натуральных n верно равенство
1+3+5+…+(2n-1)=n2
2. Доказать, что для всех натуральных n верно равенство
3. Доказать, что для всех натуральных n выражение 9n − 3 делится без
остатка на 4
4. Доказать, что для всех натуральных n выражение 11n +3 делится на 6.
6