Rehenie uravnenii s pomosh&#39

МБОУ Первомайская СОШ
Исследовательская работа
Тема: Решение уравнений с помощью
неравенств Бернулли и Коши
Выполнил: ученица 10 класса Николаева
Виктория
Руководитель: учитель математики
Кулаева Лилия Минуровна
с. Первомайское, 2015 г.
1
План:
I.
Введение……………………………………………………………………………………………………............3
II.
Применение неравенства Бернулли…………………………………………………………………....4
III.
Применение неравенства Коши…………………………………………………………………………...5
IV.
Заключение…………………………………………………………………………………………………………...7
V.
Список литературы……………………………………………………………………………………………….7
VI.
Приложение…………………………………………………………………………………………………………..8
2
I.
Введение.
Выделены 4 основных метода решения уравнений: разложения на множители, замена
переменной, переход от неравенства функции к равенству аргумента, функциональнографический. Помимо перечисленных методов существуют и специальные. Как правило, они
используются в том случае, когда уравнение весьма затруднительно решается основными
методами. Один из специальных методов решения-решение уравнений с помощью
неравенств Бернулли и Коши.
Неравенство Бернулли-теорема, которая формулируется в 3 этапа:

Если h>-1, то при любом натуральном p выполняется:

Если h>-1, и

Если h>-1 и 0<p<1, то
(1  h) p  1  ph
, то
(1  h) p  1  ph
Замечание: равенство достигается тогда и только тогда, когда p=1 или h=0.
Неравенство Коши-среднее геометрическое не превышает или равно среднему
арифметическому. Равенство достигается при равенстве слагаемых. Выполняется при
неотрицательных
.
Его
можно
переписать
следующим
образом:
Цель работы: познакомиться с неравенствами Бернулли и Коши, научиться применять
их.
Задачи работы:научиться решать уравнения и задачи с помощью неравенства
Бернулли и Коши.
Актуальность моей работы заключается в том, что неравенства Бернулли и Коши
значительно облегчают решения уравнений, которые трудно решить традиционным
способом, а так же помогают значительно сократить время решения сложных уравнений. Это
необходимо мне, т.к. я учусь в старшем классе.
Методы исследования:
-работа с источниками литературы
-работа с Интернет-ресурсами
-описательный
3
II.
a)
Применение неравенства Бернулли.
Для того, чтобы использовать неравенство
вида
+…+
Бернули
для
решения
уравнений
=a нужно левую часть уравнения представить в виде суммы
степений вида
и к каждому слагаемому применить неравенство Бернулли. Если
после преобразований получим, что левая часть исходного уравнения совпадает с его
правой частью, то в силу привидённого замечания, делаем вывод, что p=1 или
Пример:
Решим уравнение:
+
=4.
В левой части уравнения стоят корни чётной степени, а это значит, что
), значит имеет место неравенство
,
и , ( тоесть
. Представим левую часть
уравнения в виде суммы степени
+
=
+
1
0   1 дают возможность применить неравенство Бернулли.
4
. Условия
и
+
Получили, что
, но
неверно, следовательно решений нет.
Ответ: решений нет.
= 4. Получается, что 4
+
б) Рассмотрим теперь применение неравенства Бернулли к
+…+
степеней
=
2, но это
уравнению вида
. Обе части уравнения представим в виде сумм
+
вида
. Затем к левой и правой частям уравнения применим неравенство
Бернулли.
Если после преобразований они совпадут, то определяем, при какие x выполняется
равенство.
Пример.
Решим
уравнение
.
уравнения в виде суммы степеней
правой части исходного уравнения :
Применим
к
обеим
преобразования:
частям
+
=
+
неравенство
Представим
Бернулли
+
(т.к
часть
. Приравняем её к
+
=
левую
.
)
и
выполним
+
Следовательно, левая часть исходного уравнения равна его правой части, если каждая из
них равна 2, значит, равенство возможно, если:
4
Ответ: x=0.
III.
a)
Применение неравенства Коши.
Рассмотрим частный случай неравенство коши для n=2, то есть
Или
. Поскольку мы хотим воспользоваться неравенством для
решения уравнений, нас интересует то, когда в неравенстве достигается равенство.
Выясним это с помощью преобразований:
отсюда следует, что
, если
. Для других значений n условия
также обеспечивает обращения неравенство Коши в равенство.
Пример:
Решим уравнение:
.
Сразу учтём область определения
неизвестного:
x  R, x  0. Исходя из вида левой части, можно догадаться, что
целесообразно применить неравенство Коши для n=3. Но неравенство Коши выполняется
для
неотрицательных членов (множителей).
Левая и правая части уравнения
представляют собой нечетные функции. Отсюда следует, что корни уравнения -числа
противоположные, поэтому достаточно решить уравнение для x>0. Преобразуем
уравнение, умножив обе его части на x, так как
.
Рассмотрим левую часть и оценим её:
, то есть
,а по условию
. Таким
образом, неравенство Коши обращается в равенство, а это возможно, если или
, учитывая нечётность функций, входящих в уравнение,
получаем
Ответ:
b)
.
.
Рассмотрим теперь применение неравенства Коши для решения уравнений вида:
5
.
Сначала оценим каждый арифметический корень левой части уравнения с учётом
показателя степени корня, для чего подкоренное выражение представляют в виде
произведения множителей, количество которых определяется показателем степени корня.
Например,
.
Затем складывают полученные оценки и записывают неравенство.
, где
.
Таким образом получают систему:
, а из неё- неравенство
каких x достигается равенство в неравенстве
. Теперь остаётся определить, при
.
Пример:
Решим уравнение:
. Оценим каждый арифметический
корень:
.
Найдём сумму полученных выражений:
.
С учётом исходного уравнения запишем систему:
Отсюда
, или
.
В полученном неравенстве при x=1 достигается равенство, следовательно, x=1 является
единственным корнем.
Ответ: x=1.
6
IV.
Заключение.
Неравенства Бернулли и Коши значительно облегчают решение уравнений, которые
трудно решить традиционным способом. Позволяют получить дополнительные знания в
области математики. Значительно сокращают время решения сложных уравнений.
Список используемой литературы:
V.
1.
Вавилов. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. «Наука» 1987 г.
2.
Большая советская энциклопедия по математике. Том № 1 и № 3.
3.
Журнал «Математика в школе» № 1 2002 г.
4.
Л.И. Терехина, И.И. Фикс. Высшая математика. Часть 2. Томск 2002 г.
5.
http://enc-dic.com/enc_math/Koshi-zadacha-1582.html
6.
http://www.math10.com/ru/algebra/neravenstva-sarevnovania.html
7.
http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/
8.
http://ru.math.wikia.com/wiki/
7
Приложение.
Применение неравенств Коши.
1.
Решить уравнение:
Решение. Очевидно, что левая часть уравнения представляет собой функцию, которая
определена при условиях
и
. Отсюда
Пусть
Тогда
исходное уравнение примет вид:
Поскольку
.
. С учётом обозначения
, приведём последнее уравнение к виду
Учитывая, что каждое слагаемое левой части неотрицательное, оценим левую часть:
Теперь ясно, что исходное уравнение равносильно системе
Неравенство этой системы обращается в равенство тогда,когда
, т.е.
Дальнейшее рассуждение легко записать чисто символически:
Оба полученных корня принадлежат промежутку
Ответ:
8
2.
Решите в целых числах уравнение:
Решение. Левая часть исходного уравнения представляет собой сумму
неотрицательных выражений, поэтому можно воспользоваться неравенством Коши:
двух
Cучётом исходного уравнения имеем:
От последнего неравенства легко перейти к неравенству
Отсюда
Подставим
в исходное уравнение, получим
При обозначении
Предыдущее равенство примет вид
.
Вернёмся к исходной переменной :
. Тогда
и
Полученные x,yцелыми не являются, следовательно, в целых числах решений нет.
Ответ: решений нет.
3.
Решить уравнение
Решение. Оценим каждый арифметический корень левой части уравнения. В силу
неотрицательности, имеем:
,
.
Найдём сумму полученных выражений:
, т.е
Преобразуем теперь правую часть исходного уравнения:
.
Сведя воедино найденные оценки левой и правой
и
частей
исходного
уравнения
, запишем систему:
,
Откуда
и, следовательнo, x=3.
Остаётся проверить, удовлетворяет ли найденное значение xО.Д.З.неизвестного. Из условий
Следует, что
Ответ: x=3
, т.е
.
9
4.
Задача.
Требуется изготовить бак с крышкой объёмом
, имеющий квадратное
основание. Сварка швов проводится по всему основанию и одному боковому ребру.
Стоимость сварки составляет 10 руб. за 1 м., а стоимость жести-20 руб. за 1 .Установить
размеры бака, при которых его стоимость будет наименьшей.
Решение. Обозначим буквой xсторону основания бака. Его высоту выразим из формулы
:
.
Тогда площадь поверхности бака с крышкой находим по формуле:
,
А длина свариваемых швов
.
Стоимость изготовления
.
Стоимость работ будет минимальной при наименьшем значении функции f(x):
.
После перегруппировки получаем:
.
Найдём наименьшее значение этой функции на промежутке
.
Возможны два способа решения: с помощью производной и с помощью неравенства Коши.
Итак, применим неравенство Коши к выражениям, стоящим в скобках:
.
Функция принимает наименьшее значение, когда достигается равенство, т.е при
и
.
Наименьшее значение функция достигает при x=0,5 , тогда h=1м.
Ответ:x=0,5 м ; h=1м.
5.
Решить уравнение
Используем неравенство Коши:
10
- первоначальное уравнение
Неравенство Коши превратится в равенство при условии:
Ответ:
11
Применение неравенств Бернулли.
1.
Решить уравнение:
,при условии, что
.
Решение представим левую часть уравнения в виде суммы степеней:
.
Поскольку основание степени с дробным показателем не отрицательно, заключаем, что
. Тогда для выражений
, к тому же
выполняются условия:
и
.
Значит, можно применить неравенство Бернулли и записать:
и
.
Теперь можно рассмотреть сумму:
.
Так как , равенство возможно, если
Отсюда
Ответ:
2.
.
.
.
Решите в целых числах уравнение:
Решение. Функция
определена при
.
Следовательно, целых решений отрицательных корней уравнение не имеет. Проверим,
существует ли корень, равный нулю. В самом деле, при x=0 уравнение принимает вид ,т.е
0=0. Следовательно, x=0 – корень уравнения.
Остаётся установить, не имеет ли уравнение положительных корней.
Преобразуем:
12
Получаем
В неравенстве
равенство достигается или при
x=1 или при 9x+1=0, т.е при
Второе значение xне входит в О.Д.З. неизвестной в исходном уравнении.
Ответ: x=0
x=1.
3.
Решить уравнение
Используем неравенство Бернулли:
Неравенство Бернулли превратится в равенство при условиях x=0
Ответ: x=0
13