О.Н. Костиков
ТЕРМОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
2007
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
Национальный аэрокосмический университет
им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт»
О.Н. Костиков
ТЕРМОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
Конспект лекций по нормативной дисциплине
бакалаврата «Авиация и космонавтика»
Харьков «ХАИ» 2007
УДК 621.1.016.7 + 621.1.016.4
Термодинамика и теплообмен / О.Н. Костиков. – Конспект лекций по
нормативной дисциплине бакалаврата «Авиация и космонавтика». –
Харьков: Нац. аэрокосм. ун-т «Харьк. авиац. ин-т», 2007. – 180 с.
Рассмотрены основы технической термодинамики и инженерной
теплопередачи применительно к задачам проектирования объектов
аэрокосмической техники. Даны основные понятия и определения
термодинамики и теплообмена, изложены соответствующие фундаментальные законы, приведены содержательные и математические
модели термодинамических процессов в типовых элементах указанных объектов, рассмотрены отвечающие этим элементам простейшие
задачи теплопроводности, конвективного и лучистого теплопереноса.
Для студентов бакалаврата «Авиация и космонавтика».
Ил. 58.
Библиогр.: 17 назв.
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.В. Соловей,
д-р техн. наук, проф. Э.Г. Братута
© Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт», 2007 г.
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Термодинамика и теплообмен» является нормативной при подготовке специалистов в области авиации и космонавтики.
В ней объединены основные положения и методы двух отраслей знания.
Термодинамика есть наука о закономерностях преобразования
энергии в макрообъектах с тепловым движением. Теплообмен (теплоперенос, теплопередача) – это наука о процессах распространения
тепловой энергии в пространстве с неоднородным распределением
температуры.
В упомянутой дисциплине рассматривают лишь вопросы взаимопревращения тепловой и механической энергий (соответствующую
часть термодинамики называют технической) и те методы расчета
процессов теплообмена, которые принято относить к инженерной теплопередаче.
Термодинамику и теплообмен как науки объединяет то, что каждая
из них изучает соответствующие аспекты тепловых явлений. Последние есть непременной стороной функционирования объектов аэрокосмической техники.
Так, у большинства двигателей и энергоустановок летательных
аппаратов основным рабочим процессом является именно преобразование тепловой энергии в механическую. Эти и другие модули самолетов, ракет и космических станций снабжены системами обеспечения теплового режима, для расчета которых необходимо знать особенности теплообмена внутри твердых тел и на их поверхности.
Без учета тепловой стороны процесса невозможно решать вопросы гидрогазодинамики объектов аэрокосмической техники.
Поэтому дисциплина «Термодинамика и теплообмен» имеет
большое значение при подготовке специалистов в области авиации и
космонавтики.
Для термодинамики и теплообмена характерен феноменологический метод исследования, суть которого состоит в следующем:
- формулируют аксиомы, обобщающие результаты наблюдений
над макроскопическими свойствами конечных объектов и процессами
их изменения;
3
- из таких аксиом (законов) с помощью логики и математического
аппарата непрерывных функций выводят следствия для конкретных
объектов и процессов.
Поскольку феноменологический метод не привлекает каких-либо
представлений о структуре вещества, особенности которой во многом
определяют изучаемые макроскопические явления, он в ряде случаев
не позволяет выявить их физическую сущность. Тем не менее, на
этом пути получено много фундаментальных результатов, предсказаны важные эффекты, построены достоверные методы расчета.
В частности, результаты исследования рабочих процессов в двигателях, энергоустановках и системах обеспечения теплового режима
летательных аппаратов, которые выполнены с использованием моделей, построенных на основе феноменологического подхода, хорошо
согласуются с опытом.
Упомянутые модели могут описывать рабочие процессы в объектах аэрокосмической техники на различных уровнях сложности. Последние определяются видом моделируемых процессов и требуемым
объемом информации, который зависит от стадии разработки объекта.
Например, детальному расчету термогазодинамических процессов
в двигателях и энергоустановках летательных аппаратов предшествует их первичный термодинамический анализ, в ходе которого устанавливают опорные значения параметров рабочего процесса и некоторые интегральные характеристики его эффективности. На этой стадии в качестве содержательной модели объекта принимают равновесную термодинамическую систему. Равновесная термодинамика
позволяет найти предельные значения эффективности рабочих процессов, рассматриваемых в идеальном варианте их протекания. Она
и представлена в первой части конспекта лекций.
Детальный анализ рабочих процессов должен опираться на математические модели, учитывающие реальную неоднородность параметров в рабочих объектах. Именно такие модели применяют в теории теплообмена. Здесь предполагают, что соблюдается лишь локальное термодинамическое равновесие в новой содержательной модели – сплошной среде (континууме). Более подробно она описана
во второй части конспекта лекций.
4
Часть первая
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
___________________________________________________________
Глава 1. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
1.1. Основные понятия и определения
1.1.1. Термодинамическая система (ТДС) и ее состояние
Термодинамической системой называют конечный объект исследования, макроскопические свойства которого обусловлены вероятностным поведением «ансамбля» огромного количества хаотично
движущихся частиц. Вследствие этого такой системе присущ особый
тип движения, называемый тепловым.
Термодинамическая система может быть однородной и неоднородной. В первом случае свойства системы распределены непрерывно; во втором они изменяются скачком на границах разнородных частей, называемых фазами. Если в ТДС присутствуют разные по химической природе независимые составляющие, то говорят о наличии в
ней компонентов. Когда в системе происходят фазовые или химические превращения, ее считают сложной, в противном случае – простой. Например, газ в камере сгорания воздушно-реактивного двигателя можно рассматривать как сложную однородную ТДС, состоящую
из компонентов ( N 2 ,
O 2 , CO 2 и др.). Содержимое водородного ба-
ка ракеты есть сложная неоднородная ТДС, включающая жидкую и
паровую фазы.
Форму бытия ТДС называют состоянием. Его принято именовать
стационарным, когда свойства системы не изменяются во времени.
Если, в дополнение к этому, в ТДС нет никаких макропотоков, состояние системы определяют как равновесное. Например, состояние горючего в каналах охлаждения камеры жидкостного ракетного двигателя на установившемся режиме работы стационарно, но неравновесно, ибо это горючее пронизывает поток теплоты, отводимый от
внутренней стенки камеры.
Благодаря тепловому движению термодинамическая система,
предоставленная самой себе, с течением времени приходит в состояние равновесия и самопроизвольно выйти из него не может. Это утверждение есть первый постулат термодинамики.
5
1.1.2. Окружающая среда (ОС) и ее взаимодействие с ТДС
Термодинамическую систему можно вывести из равновесного состояния, приведя ее во взаимодействие с окружающей средой, то
есть с объектами, находящимися вне системы.
Такое взаимодействие, например, возникает, когда имеется разница в значении некоторого одноименного свойства у ТДС и ОС (его
называют потенциалом взаимодействия). При этом изменение состояния системы идет в направлении выравнивания значений потенциала взаимодействия у ТДС и ОС. Когда они становятся одинаковыми, говорят, что ТДС находится в равновесии с ОС (при этом и сама
ТДС приходит в равновесное состояние, отличное от того, которое
было до взаимодействия). В связи с отмеченным различают равновесие внутреннее (в самой системе) и внешнее (равновесие ТДС и ОС).
Во время упомянутого взаимодействия изменяются и свойства, не
являющиеся потенциалами. То из них, которое меняет свое значение
только при взаимодействии одного вида, называют координатой
взаимодействия. Изменение таких свойств воспринимают как признак
взаимодействия, поэтому их кладут в основу классификации видов
взаимодействий. Классификация возможна и по другим признакам.
Например, важны такие виды взаимодействия ТДС и ОС, как термическое (обусловлено наличием теплового движения) и механическое (осуществляется посредством силы). ТДС, которая вступает с
ОС только в эти виды взаимодействия, называют термомеханической. Частным случаем ее является термодеформационная система
(здесь воздействие силы приводит к изменению размеров системы).
Так, газ в цилиндре поршневого двигателя есть термодеформационная система.
Независимо от вида взаимодействия его конечным результатом
термодинамика считает обмен энергией между ТДС и ОС, рассматривая различные виды взаимодействия как разные формы энергообмена.
Если термодинамическая система способна вступать в разные виды взаимодействия с окружающей средой, появляется возможность
за счет одного из них вывести систему из состояния равновесия, а с
помощью другого вернуть ее в это состояние. Такую процедуру трактуют как превращение видов взаимодействия (форм передачи энергии).
Поскольку форма энергообмена системы с окружением определяется видом энергии, который присущ рассматриваемому элементу
ОС, упомянутое превращение взаимодействий обеспечивает преобразование видов энергии в процессе передачи ее между элементами
окружающей среды через термодинамическую систему.
6
Способность ТДС к преобразованию видов энергии принципиально важна. Она, в частности, сделала возможным создание тепловых
двигателей (они превращают тепловую энергию в механическую).
Количество видов взаимодействий, в которые может вступать
ТДС, определяет число термодинамических степеней свободы системы. Когда это число n равно нулю, ТДС именуют изолированной.
Классическая термодинамика изучает лишь взаимодействия с
бесконечно малой разницей в значениях потенциалов у ТДС и ОС.
При таких равновесных взаимодействиях сохраняется внешнее и
внутреннее равновесие системы.
1.1.3. Термодинамический процесс (ТДП)
Изменение состояния системы (непрерывную последовательность
различных ее состояний) называют термодинамическим процессом.
Он возникает, как правило, из-за внешнего действия на ТДС, хотя
возможно протекание процесса и в изолированной системе вследствие наличия в ней неоднородного поля потенциала (в сложных ТДС).
Различают ТДП равновесные (последовательность равновесных
состояний) и неравновесные (части системы в ходе процесса находятся в различных состояниях). Чтобы процесс был равновесным, его
скорость должна быть значительно меньше скорости самопроизвольного перехода ТДС из неравновесного состояния в равновесное (скорости релаксации).
Равновесные процессы обладают свойством обратимости. Процесс обратим, если направление его может быть изменено на противоположное так, что система в ходе обратной последовательности
изменения внешних условий пройдет в противоположном порядке те
же состояния, что и при прямом направлении, а в системе и ее окружении не возникнут остаточные изменения. Процессы, не удовлетворяющие этому условию, называют необратимыми.
Скорость реальных процессов обычно больше скорости релаксации. Поэтому в системе наблюдается неравномерное распределение
свойств, меняющееся во времени (изменение возникает вначале на
границе ТДС и ОС, а затем распространяется вглубь системы). Неравномерность распределения ведет к наличию в ТДС макропотоков.
Следовательно, реальные ТДП всегда неравновесны (необратимы). Тем не менее классическая термодинамика изучает только равновесные (обратимые) процессы как идеальные варианты (эталоны)
реальных процессов (эффективность равновесного процесса всегда
выше, чем соответствующего неравновесного).
Важное место в термодинамике занимают круговые процессы –
они возвращают ТДС в начальное состояние через последовательность промежуточных неповторяющихся состояний. Если по завершении кругового процесса (цикла) в окружающей среде остаются конечные изменения, то периодическое повторение его приведет к накоп7
лению их без остаточных изменений в ТДС. Результатом этого может
быть упомянутый ранее энергообмен между элементами окружения с
преобразованием видов энергии.
1.1.4. Параметры, уравнения и диаграммы состояния
Состояние ТДС задают посредством параметров состояния –
численных характеристик макроскопических свойств системы, существенных для термодинамики.
Различают параметры состояния внешние (они зависят от положения не принадлежащих к ТДС тел) и внутренние (отображают факторы, благодаря которым достигается равновесие системы).
Параметры состояния подразделяют также на интенсивные (не
зависящие от массы системы) и экстенсивные, которые зависят от
нее (вследствие этого последние подчиняются правилу аддитивности). Экстенсивные параметры, отнесенные к единице количества
вещества в ТДС, приобретают смысл интенсивных.
Параметры состояния классифицируют еще на калорические (они
имеют энергетическую природу) и термические (их смысл не связан
непосредственно с понятием энергии).
Среди параметров принято выделять минимально необходимые
для однозначного описания состояния ТДС (их задают независимо).
Количество таких параметров обычно равно числу термодинамических степеней свободы.
Все другие параметры считают функциями независимых. Соответствующие функциональные связи называют уравнениями состояния.
Они отображают в пространстве состояний адекватные термодинамические поверхности.
В случае трехмерного пространства состояний термодинамическую поверхность обычно изображают на плоскости, осями которой
являются два параметра состояния, в виде семейства линий (каждая
из них отвечает различным неизменным значениям третьего параметра). Такие плоскости называют диаграммами состояния.
На диаграмме состояния можно указать ход равновесного ТДС в
виде кривой процесса, представляющей собой геометрическое место
точек, которые отображают соответствующую последовательность
равновесных состояний системы.
1.2. Описание состояния системы
1.2.1. Термические параметры
В технической термодинамике используют три термических параметра: температуру Т , давление р и объем V . Величина Т есть
интенсивный внутренний параметр; величины
8
р
и
V
могут играть
роль как внешнего, так и внутреннего параметра в зависимости от условий взаимодействия ТДС и ОС.
Температура является характеристикой интенсивности теплового
движения. Часто ее определяют как меру равновесного состояния
ТДС, поскольку последнее обеспечивается именно тепловым движением. Более высокой считают температуру того тела, энергия которого будет уменьшаться, если осуществить между телами термическое
взаимодействие при неизменности внешних параметров. На практике
температуру тела определяют, приводя к равновесию с ним эталонную ТДС, некоторым состояниям которой приписаны конкретные значения температуры. В термодинамике используют абсолютную температурную шкалу Кельвина (в ней тройной точке воды отвечает температура Т = 273,16 К).
Давление в термодинамике вводят как интенсивный параметр,
макроскопически выражающий механическое проявление совокупного
массового движения частиц, из которых состоит система. Численно
давление равно силе, действующей на единицу поверхности по нормали к ней. Величину р отсчитывают от чистого вакуума и измеряют
в паскалях (Па).
Объем V [м3] термодинамической системы – это экстенсивный
параметр, который характеризует размеры части пространства, занятой системой. При рассмотрении простых однородных ТДС используют удельный
v
[м3/кг] или мольный
ним, что киломоль содержит
масса, поэтому
μ
vμ
[м3/кмоль] объемы. Напом-
кг вещества, где
μ
– молекулярная
v μ = μv .
1.2.2. Калорические параметры
Для описания энергетической стороны состояния ТДС в технической термодинамике достаточно двух калорических параметров –
внутренней энергии U [Дж] и энтропии S [Дж/К]. Удобно использовать третий параметр – энтальпию
I ≡ U + pV .
(1.1)
Внутренняя энергия есть мера всех видов внутреннего движения
в системе. Иногда выделяют части U : тепловую энергию (является
мерой теплового движения) и химическую энергию (изменяется при
химических превращениях). В технической термодинамике изменение
внутренней энергии определено изменением энергии тепловой, поэтому здесь упомянутые термины отождествляют.
Ранее отмечалось, что для ТДС характерно вероятностное поведение «ансамбля» огромного числа частиц, составляющих систему.
Мерой вероятности данного термодинамического состояния и есть
энтропия.
9
Калорические параметры U, I, S являются однозначными функциями состояния, поэтому изменение их в термодинамическом процессе 1-2 определяют по начальным и конечным состояниям системы:
ΔU12 = U 2 − U1; ΔI12 = I 2 − I1; ΔS12 = S2 − S1.
В связи с этим элементарные изменения внутренней энергии, энтальпии, энтропии обладают свойствами полных дифференциалов. В технической термодинамике имеют дело не с абсолютными значениями
U, I, S , а с изменениями их, так что здесь нуль отсчета калорических параметров может быть принят произвольно (но одинаково для
всех рассматриваемых состояний).
Параметры U, I, S – экстенсивные, поэтому значения их для
ТДС равны суммам соответствующих параметров j-х частей системы:
U Σ = ∑ U j ; I Σ = ∑ I j ; SΣ = ∑ S j .
Если масса M системы или ее частей неизменна, удобно применять удельные значения внутренней энергии, энтальпии и энтропии:
u = U M;
i = I M;
s = S M.
При необходимости можно использовать мольные значения этих
параметров, полученные делением U, I, S на число киломолей N в
системе.
1.2.3. Структура уравнений состояния
Существует два подхода к введению структуры уравнений состояния. Первый из них определяет уравнение состояния как функциональную связь между потенциалом и координатами взаимодействия.
Другой подход исходит из второго постулата термодинамики,
согласно которому все равновесные внутренние параметры
bк
модинамической системы есть функции внешних параметров
температуры
Если
bк
Т:
b к = f (а1 ,..., аi ,..., аn , T ) .
тер-
ai
и
(1.2)
– термический параметр, уравнение состояния называют
термическим. В калорических уравнениях состояния b к представляет собой калорический параметр.
Для простых однородных систем термическое уравнение состояния имеет вид
p = f (v, T ),
или
10
(1.3)
⎛ ∂p ⎞
⎛ ∂p ⎞
dp = ⎜ ⎟ dv + ⎜ ⎟ dT .
⎝ ∂v ⎠ T
⎝ ∂T ⎠ v
(1.4)
Калорическое уравнение состояния здесь обычно пишут как
u = f ( v, T ) ,
откуда
⎛ ∂u ⎞
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜ ⎟ dv + ⎜ ⎟ dT .
⎝ ∂v ⎠ T
⎝ ∂T ⎠ v
(1.5)
(1.6)
В случае, когда внешним параметром системы является давление,
вместо (1.5) берут уравнение
i = f (p, T ) ,
(1.7)
так что
∂i
⎛ ∂i ⎞
di = ⎜ ⎟ dp + ⎛⎜ ⎞⎟ dT .
⎝ ∂T ⎠ p
⎝ ∂p ⎠ T
(1.8)
Приведенные формулы дают лишь структуру уравнений состояния
в интегральной и дифференциальной формах. Конкретный вид их зависит от свойств термодинамической системы; его устанавливают
опытом.
Для сложных ТДС в уравнения состояния вводят в качестве независимой переменной еще состав системы.
1.3. Вычисление количеств взаимодействий
1.3.1. Общий вид формул взаимодействия
Упомянутые формулы позволяют вычислить количественную меру
взаимодействия, то есть переданную в ходе его энергию. В большинстве своем они являются обобщением соответствующей зависимости
механики. Элементарное количество механического взаимодействия,
по определению, равно произведению обобщенной силы на дифференциал сопряженной с ней обобщенной координаты. В термодинамике это определение распространяют на большинство видов взаимодействия, заменяя понятия «обобщенные сила и координата» понятиями «потенциал и координата взаимодействия».
Следовательно, формула количества взаимодействия имеет вид
δК i = Pi dX i ;
(1.9)
2
K i12 = ∫ Pi dX i
1
11
(1.10)
для элементарного и конечного равновесных процессов. Здесь
Pi
–
потенциал і-го взаимодействия ТДС, X i – сопряженная этому потенциалу координата; цифрами 1 и 2 обозначены состояния системы в
начале и конце процесса.
Количество взаимодействия измеряют в Дж, знак K i устанавливают по знаку дифференциала координаты взаимодействия. Для систем с постоянной массой M обычно оперируют удельными значениями
количеств
δk i = δK i M
взаимодействия
k i12 = K i12 M .
и
Количество взаимодействия есть функция термодинамического
процесса: на диаграмме
X i , Pi
(рис. 1.1) величине
К i12
соответст-
вует площадь под кривой процесса 1-2. По этой причине элементарное количество взаимодействия
го
дифференциала,
К io = ∫ δK i
а
δK i
значение
Ki
для
кругового
процесса
в общем случае не равно нулю.
Pi
Подчеркнем, что формулы
(1.9) и (1.10) записаны для равновесного
взаимодействия.
Только в этом случае величины
2
1
не обладает свойствами полно-
Pi
2
P idX i
1
Xi
и
Xi
вполне определены, а
изменение X i однозначно связано с видом взаимодействия.
Если процесс неравновесен,
указанная однозначность может быть нарушена, а сами ве-
личины Pi и X i , как параметРис. 1.1
ры равновесного состояния,
теряют смысл.
Соответствие потенциала и координаты взаимодействия конкретным параметрам состояния определяется видом взаимодействия.
Для рассматриваемых приложений существенны термическое, механическое и расходное взаимодействия.
1.3.2. Количество термического взаимодействия
Количество и вид такого взаимодействия кратко называют теплотой. Эта форма энергообмена обусловлена разностью температур
ТДС и ОС; в ходе ее изменяется энтропия системы. Поэтому здесь
12
потенциалом взаимодействия есть температура, сопряженной с ним
координатой является энтропия, и согласно (1.9) формула количества теплоты имеет вид
δК T ≡ δQ = TdS .
(1.11)
Представление об энтропии как координате термического взаимодействия ввел Клаузиус. Он же установил, что энтропия ТДС при равновесном взаимодействии растет, когда температура окружающей
среды больше температуры системы, и падает, если Т ос < Tтдс . В
первом случае говорят, что «теплота подводится» к системе, во втором – что «теплота отводится» от нее. Поэтому «подводимую» теплоту считают положительной, «отводимую» – отрицательной.
Количество теплоты можно также вычислить по формуле
δQ = CdT ,
(1.12)
если ввести параметр
C = δQ dT ,
(1.13)
называемый теплоемкостью. Он представляет собой отношение количества энергии, переданного на элементарном участке равновесного процесса энергообмена в форме теплоты, к соответствующему изменению температуры.
Поскольку Q зависит от хода процесса, теплоемкость является
его функцией. Однако в процессе, на который наложены определенные ограничения, теплоемкость можно считать свойством системы,
рассматривая его как функцию состояния. Именно такой подход использован в подразд. 1.4 и далее применительно к изохорной
Cv
и
C p теплоемкостям, соответствующим процессам
v = const и p = const . В расчетах обычно оперируют удельными
c x [Дж/(кг·К)] или мольными μc x [Дж/(кмоль·К)] значениями тепло-
изобарной
емкостей.
Термодинамическую систему, не вступающую в термическое
взаимодействие, называют адиабатной.
1.3.3. Количество механического взаимодействия
Количество и вид этого взаимодействия называют работой. Важнейшим ее представителем является работа деформационная; она
соответствует случаю изменения величины объема ТДС под действием силы давления.
Рассмотрим эту работу в процессе расширения системы с объемом V и давлением p (рис. 1.2). Элементарному перемещению dx
границы системы с площадью
A отвечает работа
13
δК д = δL д ≡ ∫ pdAdx = pdV .
pdA
dA
dx
V,p
(1.14)
А
Сравнивая эту формулу количества деформационной работы с общей зависимостью (1.9), видим, что
здесь потенциалом взаимодействия
есть давление, а сопряженной с ним
координатой – объем системы.
При расширении деформационная
(dv > 0), при
отрицательна (dv < 0 ) .
работа положительна
сжатии –
Это правило знака деформационной
работы обобщают: вообще считают
A
положительной
работу,
которую
«осуществляет» ТДС над окружаюРис. 1.2
щей средой («отводимую» работу), и
отрицательной работу, «совершаемую» ОС в отношении термодинамической системы («подводимую» работу).
1.3.4. Количество расходного взаимодействия
Во многих устройствах между ТДС и ОС происходит энергообмен,
обусловленный механическим перемещением массы (например, при
подаче воздуха в камеру сгорания газотурбинной установки от компрессора или при выпуске пара через дренажный клапан бака жидкостно-ракетного двигателя). Такую форму энергообмена называют
расходным взаимодействием.
Формулу его количества обоснуем на примере выпуска пара через
дренажный клапан
A
(рис. 1.3). Каждый килограмм пара «уносит» из сисW
темы свои внутреннюю u ,
dM
(dV) кинетическую w 2 / 2 и потенциальную gy энергии.
Кроме того, при «выталкивании» массы dM ТДС
«совершает» над ОС работу
dl
y
p
pAdl = pdV = pvdM.
Суммарная потеря энергии
системой при массообмене
dM будет
Рис. 1.3
14
(
)
(
)
δKp = u + w2 2 + gy + pv dM= i + w2 2 + gy dМ.
Аналогичное выражение получаем для энергии, поступающей в
систему при вводе массы в нее (например, для случая наддува топливных баков).
Таким образом, формула количества расходного взаимодействия имеет вид
δK p = i + w 2 2 + gy dM .
(1.15)
(
Знак
Кр
)
положителен при вводе массы в ТДС
(dM > 0) и отри-
цателен при выводе; величины i , w , y берут для вводимой или выводимой масс, причем под w понимают скорость движения массы
относительно границ системы.
Формула (1.15) справедлива не только для равновесного взаимодействия (расходное взаимодействие считают равновесным, когда
ввод-вывод массы происходит при параметрах системы либо скорость этого процесса значительно меньше скорости релаксации).
Систему, обменивающуюся массой с окружающей средой, называют открытой, не обменивающуюся – закрытой. Открытость ТДС
означает наличие у нее дополнительной степени свободы. Поэтому
свойства открытой системы зависят от новой переменной – количества вещества, которое можно выразить числом килограмм M или киломолей N . Заметим еще, что у таких систем даже в равновесном
процессе нарушается однозначность связи изменения координаты
взаимодействия с его видом.
1.4. Уравнения состояния рабочих тел
1.4.1. Рабочее тело и его виды
В технической термодинамике ТДС обычно представлена некоторым объемом нетвердой среды. В таких случаях ТДС называют еще
рабочим телом. Рабочие тела энергетических объектов термодинамика характеризует определенными содержательными и математическими моделями.
Перечень содержательных моделей рабочих тел чаще всего
включает: газ идеальный, газ реальный, жидкость, двухфазное рабочее тело, влажный воздух. Газ – это сжимаемая среда, жидкость –
несжимаемая нетвердая, двухфазное рабочее тело состоит из газовой (паровой) и жидкой фаз, влажный воздух есть совокупность сухого
воздуха и пара воды. Математические модели рабочих тел представлены соответствующими термическими и калорическими уравнениями
состояния.
15
1.4.2. Термодинамические свойства
однокомпонентного идеального газа
Наиболее простым термическим уравнением состояния газа есть
уравнение Клапейрона
pv = RT ,
(1.16)
где R – газовая постоянная, Дж/(кг·К); она не зависит от Т, p, v , но
различна у разных газов, будучи их первой индивидуальной характеристикой. Значения R , как и других индивидуальных констант веществ, приведены в справочниках, например в [1, 2].Уравнение (1.16)
отвечает одному килограмму газа; для M килограмм имеем
pV = MRT .
Модификацией (1.16) есть уравнение Клапейрона – Менделеева
pvμ = R μ T ;
в нем универсальная газовая постоянная
(1.17)
R μ = μR
одинакова для
всех газов: R μ = 8314Дж (кмоль⋅ К ). Уравнение (1.17) соответствует
одному киломолю газа; для N киломолей получаем
pV = NR μ T .
Газ, отвечающий уравнению Клапейрона, называют идеальным.
Таковым можно считать любой газ при невысокой плотности
ρ =1 v
и не очень низкой температуре (в большинстве газовых термомеханических систем такое условие выполняется).
Имея в виду соотношения (1.5) – (1.6) и независимость внутренней
энергии идеального газа от удельного объема (закон Джоуля), калорическое уравнение состояния здесь пишут в виде
⎛ ∂u ⎞
du = ⎜ ⎟ dT ; u = f (T ) ,
⎝ ∂T ⎠ v
или
где
du = c v dT; u = ∫ c v dT ,
cv
– вторая индивидуальная характеристика конкретного газа
(его удельная изохорная теплоемкость).
Из формулы (1.1), закона Джоуля и уравнения Клапейрона следует, что энтальпия идеального газа есть функция только температуры.
Поэтому вместо соотношений (1.7), (1.8) здесь имеем
∂i ⎞
di = ⎛⎜
⎟ dT ;
⎝ ∂T ⎠ p
или
16
i = f (T ) ,
di = c p dT; i = ∫ c p dT ,
где
(1.19)
c p – удельная изобарная теплоемкость конкретного газа.
Сравнение разности di − du , записанной согласно зависимостям
(1.18), (1.19) и полученной дифференцированием выражения (1.1) с
учетом соотношения (1.16), приводит к уравнению Майера
(1.20)
cp − cv = R .
Согласно опытным данным, функциональные связи теплоемкостей
2
идеального газа и температуры имеют вид с = а + бt + вt , причем значения коэффициентов a, б , в различны у разных газов
t – температура по шкале Цельсия). Температурные зависимости c v и c p отличаются только величиной слагаемого a , что следует из уравнения Майера. Значения a, б , в приведены в справоч(здесь
никах, например в работе [1]. В упрощенных расчетах теплоемкости
c v и c p принимают неизменными.
1.4.3. Уравнения состояния смеси идеальных газов
В технической термодинамике чаще всего имеют дело не с химически однородными газами, а с их композициями (например, сухой
воздух, продукты горения или разложения). Каждую из таких композиций здесь рассматривают как химически нереагирующую термодинамически равновесную смесь идеальных газов-компонентов, каждый из
которых занимает весь объем смеси
Vc и имеет ее температуру Tc .
При этом термическое уравнение состояния имеет вид
для всей смеси и
р c Vc = M c R cTc
(1.21)
p jVc = M jR jTc ,
(1.22)
или
(1.23)
p c Vj = M jR jTc ,
для j-го компонента. Здесь p j – парциальное давление, которое испытывает компонент в смеси;
Vj
– парциальный объем (его займет
компонент, находясь под давлением смеси
Условную газовую постоянную смеси
мулам
17
p c ).
R c рассчитывают по фор-
R c = ∑ g jR j ,
или
−1
gj = M j Mc
где
(1.24)
и
⎛ rj ⎞
(1.25)
Rc = ⎜∑ ⎟ ,
⎜ R ⎟
j⎠
⎝
rj = Vj Vc есть массовая и объемная доли
j-го компонента в смеси. Формулы (1.24) и (1.25) получены с использованием уравнений (1.21) – (1.23), соотношения ∑ g j = 1 и закона
pc = ∑ p j .
Вместо rj в уравнение (1.25) можно подставлять мольные доли
n j = N j N c , поскольку n j = rj . Это легко установить делением
Дальтона
друг на друга уравнений Клапейрона – Менделеева, записанных для
компонента и смеси аналогично (1.23) и (1.21). Равенство n j = r j вытекает также из следствия закона Авогадро, по которому при одинаковых Т и р мольные объемы всех идеальных газов равны (так что
Vj N j = Vc N c ). Заметим попутно, что деление
дает p j = r jp c , что эквивалентно p j = n jp c .
(1.22) на (1.23)
Калорическое уравнение состояния смеси пишут в виде
du c = с v dTc ; u c = ∫ c v dTc ,
c
или
где
c
di c = c pc dTc ; i c = ∫ c pc dTc ,
c vc
и
c pc
(1.26)
(1.27)
– изохорная и изобарная удельные теплоемкости
смеси. Их находят по соответствующим теплоемкостям компонентов,
пользуясь аддитивностью внутренней энергии и энтальпии:
с c = ∑ g jс j = R c ∑
rj
Rj
cj .
(1.28)
1.4.4. Описание состояния реального газа
При больших плотностях и низких температурах газ уже нельзя
считать идеальным; здесь приходится использовать более сложные
уравнения состояния.
18
Так, существует ряд термических уравнений состояния реального
газа, например уравнения Битти – Бриджмена, Мартина – Хау, Вукаловича – Новикова и другие [3, 4]. В основе их лежит уравнение Клапейрона (1.16), отклонение от которого учитывают посредством поправок, являющихся константами или функциями температуры. Многие уравнения представляют собой интерполяционные формулы, которые описывают экспериментальные данные о связи Т, р, v в определенных областях изменения параметров.
Калорические уравнения состояния реального газа учитывают зависимость внутренней энергии от удельного объема и энтальпии от
давления. Их составляют, опираясь на результаты опытных исследований поведения
u, i
или
c v , c p . Поскольку в основе этих калори-
ческих уравнений лежит эксперимент, они пригодны лишь в соответствующих диапазонах значений параметров.
С учетом отмеченного, в расчетной практике часто используют не
термические и калорические уравнения состояния реального газа, а
табличные данные, на основе которых они были составлены. Такие
таблицы обязательно приводят в справочниках, например в [1, 2] и
других.
В приближенных расчетах удобно применять не таблицы, а построенные на их основе диаграммы. Каждая точка на любой из этих
диаграмм отвечает определенному состоянию конкретного рабочего
тела. Значения его параметров в этом состоянии читают на осях координат (например, на абсциссе s и ординате i ), а также на изопараметрических линиях ( Т,
р, v в случае s, i -диаграммы).
1.4.5. Расчет параметров состояния
жидкости, пара и двухфазных сред
Рассмотрим вначале размещение областей существования указанных рабочих тел на диаграммах состояния
v, p
и
s, T
(рис. 1.4, а и б). Двухфазная область «жидкость – пар» занимает зону
II; зоны I и III отвечают только жидкости и только пару соответственно.
Зона II отделена от зон I и III пограничной кривой, две ветви которой
выходят из критической точки «кт» (в ней исчезает разница свойств
жидкости и пара, находящихся в равновесии). Левую ветвь именуют
нижней пограничной кривой (линией кипящей насыщенной жидкости),
правую – верхней пограничной кривой (линией сухого насыщенного
пара). Зоны I, II, III часто называют областями недогретой жидкости,
влажного пара и перегретого пара соответственно.
19
p
T
T2>T1
T1
кт
кт
I
III
Tкр
II
III
нж
pкр
нп
p1
I
T1
p2>p1
II
нж
нп
p1
S
v
а
б
Рис. 1.4
Если подводить теплоту к жидкости в условиях p = const , температура ее будет нарастать; увеличивается и удельный объем жидкости. При достижении температуры фазового перехода (температуры насыщения Tн ) жидкость закипает (точка «нж» на рис. 1.4).
Дальнейший подвод теплоты сопровождается переходом все большей части жидкости в пар; в точке «нп» жидкость полностью превращена в пар. Вследствие однозначной связи давлений и температур,
отвечающих равновесному сосуществованию жидкой и паровой фаз,
изобарный процесс кипения является одновременно изотермным, как
это и показано на рис. 1.4 (линии между точками «нж» и «нп»).
На диаграммах хорошо видны «скачки» удельного объема
Δv = v′′ − v′ (рис. 1.4, а) и энтропии Δs = s′′ − s′ (рис. 1.4, б) вещества при изменении его фазового состояния (здесь и далее верхние индексы ′ и ″ относятся к жидкости и пару на пограничной кривой). Скачок энтропии свидетельствует, согласно формуле (1.11), о
наличии теплового эффекта фазового перехода:
r = Tн (s′′ − s′).
(1.29)
Такое количество теплоты надо подвести к системе, чтобы 1 кг жидкости превратить в пар, или отвести от системы для конденсации 1 кг
пара.
Вычисление термических и калорических параметров рабочего
тела в указанных выше областях имеет свои особенности.
Для недогретой жидкости нет общей зависимости между
Т, р, v . Обычно используют опытные данные (в виде таблиц) либо
описывающие их интерполяционные формулы. В технических расчетах жидкость считают практически несжимаемой, то есть принимают
v = const
при
T = const . В то же время жидкость заметно расши20
ряется при нагревании, поэтому производная
(∂р ∂Т )v здесь суще-
ственна.
Энтальпию недогретой жидкости вычисляют по формуле
p
т
i p, T = ∫ ∂i ∂p т dp + ∫ c p dT .
(1.30)
po
то
Она получена интегрированием выражения (1.8) с учетом соотноше-
(
)
(
)
ния (1.19) при следовании из нуля отсчета энтальпии ( р о ,
Т о ) вначале по изотерме Tо в точку ( р, Т о ), а затем по изобаре р в рассматриваемое состояние ( р, Т ). При малых по сравнению с критическими температурах и давлениях энтальпия и теплоемкость c p
большинства жидкостей слабо зависят от давления; влияние T на
c p также невелико [5]. В этих условиях используют упрощенную зависимость
i(p, T ) ≈ c p (T − To ).
(1.31)
Для насыщенных жидкости и пара связь между температурой
(Т н )
и давлением
Клаузиуса
(р н )
выражается уравнением Клапейрона –
dp н
r
=
.
dTн Tн (v′′ − v′)
(1.32)
Величины удельных объемов жидкости и пара на пограничной кривой
однозначно определены температурой насыщения: v′ есть возрас-
тающая, а v′′ – убывающая функция Т н . Поэтому разность v′′ − v′
уменьшается по мере приближения к точке «кт» (см. рис. 1.5, а). При
температурах, существенно меньших критической, объем v′ столь мало зависит от
Тн ,
что его можно считать постоянной величиной.
v′′ , наоборот, зависит от температуры тем сильнее, чем она
меньше, и при относительно низких Т н удовлетворяет уравнению
Объем
(1.16).
Энтальпию насыщенной жидкости
i′
мостям (1.30) или (1.31), если в них под
можно вычислить по зависи-
T
и
p
понимать
Тн
и
pн .
i′′ определяют с учетом формулы
i′′ − i′ = r ,
(1.33)
зная i′ и теплоту фазового перехода r .
Для насыщенного пара величину
21
Состояние перегретого пара обычно задают параметрами
p
и
T . Связь их с удельным объемом v
имеет разный вид в различных
областях и тем ближе к уравнению (1.16), чем дальше расположено
рассматриваемое состояние от пограничной кривой.
Энтальпию перегретого пара находят по соотношению
Т
(1. 34)
i p, T = i′p′ + ∫ с р dT ,
Тн
(
где функция
)
с р (Т ) и значения i′p′ , Т н
соответствуют давлению
Интеграл в этой зависимости называют теплотой перегрева
отвечает степени перегрева
ческие зависимости
ср
от
р
(Т − Т н )р
и
Т
при давлении
р.
р.
q п р ; он
Эмпири-
здесь достаточно сложны; прибли-
женно можно принять
i(p, T ) = i′p′ + c p m (T − Tн )p ,
где среднее значение теплоемкости перегретого пара
с р = q п T − Tн p .
m
p
(
)
(1.35)
(1.36)
Двухфазная область II на рис. 1.4 отвечает термодинамически
равновесной смеси кипящей насыщенной воды и сухого насыщенного
пара. Свойства такой смеси определены не только температурой
(или давлением
р н ), но и соотношением масс пара М п
Тн
и жидкости
М ж . Его характеризуют степенью сухости
x = М п (М п + М ж ).
(1.37)
В силу аддитивности объема и энтальпии их удельные значения в
двухфазной области вычисляют по соотношениям
v х = v′ + (v′′ - v′) х ,
i х = i′ + (i′′ - i′) х .
(1.38)
(1.39)
В практических расчетах термических и калорических параметров
состояния указанных рабочих тел обычно используют экспериментальные данные и описывающие их интерполяционные формулы (они
справедливы в определенных областях состояния). Это относится как
к зависимости между термическими параметрами, так и к функции
c p (p , T ) ,
а во многих случаях и непосредственно к значениям эн-
тальпии. Таблицы опытных значений
22
Т , р , v , u , i , s , а также соот-
ветствующие им диаграммы состояния приведены в справочниках
(см., например, [1], [2]).
Экспериментальные данные сводят в таблицы, по ним также строят термодинамические диаграммы типа показанной на рис. 1.4. В частности, таблицы свойств воды и водяного пара приведены в [2].
1.4.6. Термодинамические свойства влажного воздуха
При расчете газовых машин, использующих атмосферный воздух,
обычно не учитывают наличия в нем водяного пара (иначе говоря,
воздух считают «сухим»). Это допущение, однако, неприемлемо для
систем жизнеобеспечения, так как они должны подавать воздух не
только с заданными температурой и давлением, но и с определенной
влажностью.
В таких системах значения температуры и давления близки к
стандартным атмосферным. При этом сухой воздух и водяной пар
вполне отвечают уравнению Клапейрона и закону Джоуля, так что к
влажному воздуху применимы соотношения для идеально-газовых
смесей (см. подразд. 1.4.3).
Особенностью же влажного воздуха, вызывающей необходимость
специального его рассмотрения, есть то, что количество водяного пара в смеси не может быть произвольным (оно определено величинами Т и р ). Это количество выражают отношением масс водяного пара и сухого воздуха (массовым влагосодержанием):
d = M вп / M св .
Его можно выразить через парциальное давление водяного пара
р вп , если учесть, что в равновесной идеально-газовой смеси каждый
компонент занимает весь объем смеси и имеет ее температуру Т .
Поделив друг на друга уравнения Клапейрона, записанные для М вп
и М св килограмм компонентов, получаем после постановки значений
газовых постоянных Rсв = 287 Дж/(кг·К) и Rвп = 461 Дж/(кг·К):
d = 0,622 p вп (р − р вп ) .
(1.40)
Здесь в соответствии с законом Дальтона р – давление смеси (влажного воздуха).
Плотность
ρ =1 v
влажного воздуха определяют по его терми-
ческому уравнению состояния:
где условную газовую
р ρ = R вв T ,
постоянную R вв находят
(1.41)
как для смеси иде-
альных газов (см. подразд. 1.4.3). Массовые доли сухого воздуха и
водяного пара при отнесении их к влажному воздуху равны соответ23
gсв = 1 (1 + d ) и gвп = d (1 + d ) . С учетом значений га-
ственно
зовых постоянныхе
R св и R вп , согласно формуле (1.24), имеем
R вв = (287 + 461d ) (1 + d ) .
(1.42)
Энтальпию влажного воздуха рассчитывают на 1 кг сухого воздуха, или, что то же, на
1+ d
кг влажного. Обозначив эту величину
согласно принципу аддитивности имеем
′′ = і св + і впd .
i′вв
i′′′ ,
Здесь
удельные энтальпии сухого воздуха i св и водяного пара і вп должны
иметь одно начало отсчета. Принято, что энтальпия воды равна нулю
при 0 0С [5], поэтому и нуль i св помещен в эту точку (поскольку влажный воздух считают идеально-газовой смесью, все энтальпии есть
функции только температуры).
Диапазон изменения
Т
в системах с влажным воздухом невелик,
так что изобарную теплоемкость сухого воздуха можно принять неизменной и равной с св
. При этом согласно уравнению
р = 1 кДж /( кг ⋅ К )
(1.19) i св
= с св
р t , или iсв = t кДж/ кг, где t
– температура по шкале
Цельсия. Энтальпию водяного пара следует искать, используя уравнения (1.34) и (1.33). С учетом принятого начала отсчета имеем:
(
)
t
вп
i вп = r 0 C + ∫ c вп
p 0 dt , где c р 0
0
– теплоемкость водяного пара на
0
0
изобаре
р0 = 610,8 Па (давление насыщения при t = 0 C ). По-
скольку
с вп
р 0 = 1,93 кДж /( кг ⋅ К ) , а теплота парообразования воды
при 0 0С равна 2501 кДж/кг, имеем івп = 2501+1,93t кДж/кг.
Найденные значения i св и і вп приводят к следующей зависимости для энтальпии влажного воздуха:
′′ = t + ( 2501 + 1,93t ) d
i′вв
кДж/Кг.
(1.43)
Практические расчеты систем с влажным воздухом удобно вести
по d,i-диаграмме [6].
24
Глава 2. ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
2.1. Первый закон термодинамики
2.1.1. Сущность, формулировки и общее аналитическое
выражение первого закона
Первый закон термодинамики характеризует количественную
сторону процессов преобразования энергии. Применительно к термодинамическим системам оно выражает закон сохранения энергии, согласно которому в макромире энергия не возникает и не уничтожается, она может лишь передаваться между телами и превращаться из
одного вида в другой.
В соответствии с этим полная энергия изолированной ТДС не меняется. Изменение полной энергии системы возможно только в результате энергообмена ее с окружающей средой. По величине изменение полной энергии ТДС равно алгебраической сумме количеств
взаимодействий.
Приведенные формулировки первого закона термодинамики эквивалентны. Последней из них отвечают аналитические выражения
dE = ∑ δK i ;
E 2 − E1 = ∑ K i12
(2.1)
(2.2)
для элементарного и конечного (1-2) процессов. Здесь полная энергия
2
системы E = U + Mw / 2 + Mgy ; где U , M , w – внутренняя
энергия, масса и скорость перемещения системы; g – гравитационная постоянная; y – высота положения центра массы относительно
принятого уровня отсчета. Суммирование количеств воздействий
δK i
или K i ведут по числу термодинамических степеней свободы
ТДС, при этом количества работ берут с обратным знаком.
Соотношения (2.1) и (2.2) есть общая математическая модель равновесных и неравновесных процессов преобразования энергии. Она
может быть конкретизирована соответственно типу ТДС и виду взаимодействий.
2.1.2. Основное уравнение термодинамики
Большинство выводов классической термодинамики сформулировано применительно к не перемещающейся в пространстве простой
закрытой системе, которая вступает с ОС в термическое и деформационное взаимодействия. Для нее в левой части аналитического выражения первого закона присутствует только изменение внутренней
энергии, а в правой части находятся лишь количества теплоты и де25
формационной работы. Поэтому формула (2.1) здесь конкретизируется так:
du = δq − δlд
(2.3)
(постоянство массы позволяет использовать удельные величины).
Соотношение (2.3) справедливо и в случае перемещения ТДС в
пространстве (например, для порции газа в тракте воздушнореактивного двигателя), если вести запись первого закона в сопутствующих (относительных) координатах.
При равновесном взаимодействии ТДС и ОС из выражения (2.3),
согласно формулам (1.11) и (1.14), получаем
du = Tds − pdv .
(2.4)
Аналитическое выражение первого закона в этой форме называют
основным уравнением термодинамики.
Часто используют запись его через энтальпию. Заменяя в соотношении (2.4) левую часть согласно формуле (1.1), имеем
di = Tds + vdp .
(2.5)
В технической термодинамике выражения (2.4) и (2.5) обычно
представляют в виде, удобном при анализе преобразования теплоты
в работу:
δq = du + pdv ;
δq = di − vdp .
(2.6)
(2.7)
2.1.3. Запись первого закона для открытых систем
Если термодеформационная система открыта (например, наддув
или суфлирование топливных баков), надо учесть расходное взаимодействие, так что согласно формулам (2.1), (1.14), (1.15), вместо
уравнения (2.6) будет
(2.8)
δQ = dU + pdV − ∑ i + w 2 2 + gy jdM j .
(
)
Это выражение записано для полной массы системы; взаимодействия приняты равновесными; суммирование ведут по всем j-м вводам
(dM > 0) и выводам (dM < 0) массы.
В технической термодинамике часто встречается стационарная
проточная система, которая представляет собой термодинамическую модель газового тракта турбореактивного двигателя (рис. 2.1).
26
ВД
КС
К
РС
Т
2
1
Рис. 2.1
Газ, находящийся в тракте, «воспринимает» теплоту
сгорания КС, «обменивается» технической работой
Q в камере
L тех с ком-
прессором К и турбиной Т , а также вступает в расходное взаимодействие К р на входе (1) и выходе (2) двигателя.
Стационарность системы означает, что полная энергия ее не меняется во времени. Согласно уравнению (2.1), это возможно при равенстве нулю алгебраической суммы количеств всех взаимодействий.
Если взять секундные количества и отнести их к 1 кг массового расхо-
&
да газа m
(1.15) даст
&1 =m
& 2,
=m
упомянутое условие с учетом формулы
(
)
q12 = (i 2 − i1 ) + w 22 − w12 2 + g( y 2 − y1 ) + l тех12 .
(2.9)
Эту формулу, отвечающую стационарной проточной системе, называют еще аналитическим выражением первого закона для потока
среды. Его можно получить также, рассматривая в абсолютных координатах перемещение некоторой порции среды, которую представляют как закрытую термодеформационную систему. Для элементарного перемещения вместо выражения (2.9) будет
δq = di + d w 2 2 + gdy + δl тех .
(2.10)
Сопоставление уравнений (2.10) и (2.7) дает механическую форму
записи первого закона термодинамики:
− vdp = d w 2 2 + gdy + δl тех ,
(2.11)
в которой
(
)
(
)
− vdp = δl p
(2.12)
есть располагаемая, или полезная внешняя работа. Она представляет собой разность между деформационной работой
работой проталкивания
27
δl д = pdv
и
δl п = d (рv) ,
что видно из соотношения pdv = d (pv ) − vdp .
(2.13)
Для стационарной проточной системы работа проталкивания равна сумме работ ввода и вывода порции среды, что следует из обоснования формулы количества расходного взаимодействия (см. подразд. 1.3.4). Обобщая этот результат, можно считать, что работа проталкивания затрачивается на перемещение ТДС в ОС той же природы.
2.2. Второй закон термодинамики
2.2.1. Сущность и формулировки второго закона
Второй закон термодинамики характеризует качественную сторону процессов преобразования энергии. В разных формулировках он
указывает на однонаправленность самопроизвольных макропроцессов и тем самым утверждает, что все реальные процессы в макромире необратимы.
Наиболее общую формулировку второго закона термодинамики
дал Больцман: природа стремится перейти от состояний менее вероятных к состояниям более вероятным. Согласно этой формулировке,
самопроизвольно могут идти только процессы, ведущие к установлению равновесия в системе (по первому постулату термодинамики
равновесное состояние наиболее вероятно).
Из других формулировок второго закона упомянем только две,
которые касаются интересующих нас процессов превращения
теплоты в работу и энергообмена в форме теплоты.
По Клаузиусу, теплота не может переходить от холодного тела к
горячему сама собой, без компенсирующего процесса. Ценность этой
формулировки – в указании на осуществимость несамопроизвольных
процессов (для этого необходим дополнительный процесс, компенсирующий несамопроизвольность основного).
Формулировка Томсона – Планка: невозможна периодически действующая машина, которая превращала бы всю тепловую энергию
тела в работу; часть этой энергии должна быть передана другому телу с меньшей температурой. Здесь конкретизирован вид процесса,
компенсирующего несамопроизвольность превращения теплоты в работу.
2.2.2. Аналитическое выражение второго закона
Ранее отмечалось, что необратимость термодинамического
процесса связана с неравновесностью системы и взаимодействия ее
с окружением.
28
Опыт свидетельствует: неравновесность взаимодействия, независимо от вида его, приводит к тому, что часть передаваемой энергии
«усваивается» системой в виде теплоты, причем такой эффект сопутствует обоим направлениям энергообмена (от ОС к ТДС и наоборот).
Это сказывается на изменении энтропии системы: при отсутствии
термического взаимодействия она возрастает, а в случае наличия его
энтропия увеличивается сильнее при подводе теплоты и уменьшается слабее (по модулю) при отводе ее по сравнению с равновесным
теплообменом.
Для элементарного процесса неравновесного взаимодействия сказанное можно выразить неравенством
ds >
δq
,
T
(2.14)
основываясь на формуле (1.11). Здесь δq – энергообмен между ТДС
и ОС в форме теплоты; Т – температура системы после релаксации.
В изолированных системах с неравновесными процессами изменения состояния также наблюдается рост энтропии по сравнению с
равновесным протеканием процессов. Считая, что упомянутое изменение состояния происходит в результате неравновесного взаимодействия между малыми частями ТДС, неравенство (2.14) распространяют и на этот случай.
Таким образом, указанное соотношение характеризует генерацию
энтропии в ТДС, сопровождающую как внешнюю, так и внутреннюю
неравновесность системы, а следовательно, и необратимость термодинамических процессов. Это дает основание считать неравенство
(2.14) аналитическим выражением второго закона термодинамики.
Оно позволяет определить направление реальных процессов в
(δq = 0) реальные процессы ведут к
увеличению энтропии (ds > 0 ) . Такова же формулировка принципа
ТДС. Например, в адиабатной
возрастания энтропии и для изолированных ТДС. По величине роста
энтропии в таких системах судят о степени необратимости протекающих в них процессов.
Эта необратимость (неравновесность) ухудшает качество термодинамических процессов. Так, если при механическом взаимодействии к системе «подводится» некоторое количество работы с целью
осуществления определенного эффекта (например, сжатия газа), то
из-за необратимости часть подведенной работы будет «усвоена» системой в виде теплоты, и нехватка «полученной» работы не даст возможности достичь ожидаемого эффекта в полной мере, соответствующей подведенной работе.
29
2.2.3. Объединенное выражение первого и второго законов
Применяя уравнение первого закона в форме (2.3) к неравновесной ТДС, выразим в нем δq согласно неравенству (2.14). Заметим
также, что обусловленная неравновесностью часть деформационного
взаимодействия уже отражена в ds , поэтому δl д можно заменить по
формуле (1.14). В итоге получаем объединенное выражение первого
и второго законов для простой закрытой термодеформационной системы:
(2.15)
Tds > du + pdv .
Сопоставив его с основным уравнением термодинамики (2.4), запишем:
(2.16)
du ≤ Tds − pdv ,
где знаки < и = относятся к необратимым и обратимым процессам соответственно.
2.3. Третий закон термодинамики
Этот закон имеет ограниченную область применения. Его используют в случаях, когда необходимо знать абсолютное значение энтропии системы (например, в химической термодинамике). Третий закон,
сформулированный Планком на основе тепловой теоремы Нернста,
дает информацию о значении
S0
– энтропии при абсолютном нуле
температуры (T = 0 ), а также о зависимости теплоемкости от температуры в области Т → 0 .
Обобщив результаты экспериментальных исследований конденсированных веществ при низких температурах, Нернст установил, что
вблизи абсолютного нуля температуры энтропия таких веществ остается неизменной:
lim ΔS = 0 .
(2.17)
lim S = S0 = 0 .
(2.18)
T →0
Позднее Планк распространил это утверждение на любые
термодинамические системы и предположил, что в предельных
условиях T = 0 энтропии их совпадают и равны нулю:
T →0
Итоговая формулировка третьего закона термодинамики такова:
по мере приближения температуры к абсолютному нулю энтропия
всякой равновесной системы при изотермных процессах перестает
зависеть от каких-либо параметров состояния и в пределе (Т = 0 К )
принимает одинаковое для всех систем нулевое значение.
30
Из третьего закона вытекает, что теплоемкости веществ при
Т → 0 становятся равными нулю. В самом деле, по формулам (1.13)
и (1.11) имеем теплоемкость системы в процессе
x = const :
⎛ ∂S ⎞
С x = T⎜ ⎟ .
⎝ ∂T ⎠ x
(2.19)
Согласно выражению (2.17), при Т → 0 производная энтропии обращается в нуль, поэтому в области абсолютного нуля температуры
должно быть C x = 0 .
Зная поведение
Cx
при
лютное значение энтропии
Т →0 и величины S0 ,
Sт
вычисляют абсо-
согласно формулам (1.11) и (1.13). По
результатам интегрирования составлены таблицы удельных и мольных энтропий веществ в функции
Т , х.
Глава 3. ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
3.1. Изопараметрические процессы
В технической термодинамике широко используют соотношения
для изопараметрических процессов (последние идут при неизменном
значении некоторого параметра х). Чаще всего имеют дело с изотермным (Т = const), изобарным (p = const), изохорным (v = const ) , а
также изоэнтропным (s = const) процессами. Посредством их в первом
приближении аппроксимируют реальные процессы в элементах энергетических установок и систем.
К числу характеристик упомянутых процессов относят: условие
осуществления; уравнение процесса; формулы работы, теплоты, теплоемкости; выражения для расчета изменений калорических параметров; связи между одноименными термическими параметрами в
начале и конце процесса.
Эти соотношения (кроме первых двух, которые заданы) получают
подстановкой условия x = const (или уравнения процесса) в термическое и калорическое уравнения состояния, формулы количества
взаимодействий, аналитические выражения первого и второго законов термодинамики (в последнем знак > заменяют на знак =, поскольку процессы считают обратимыми).
31
3.1.1. Расчет характеристик процессов
Т = const, p = const, v = const
Именно так получены приведенные ниже формулы для расчета
характеристик изотермного, изобарного, изохорного процессов (для
них условия осуществления есть одновременно уравнениями процесса). Последовательность формул: связь термических параметров; изменения удельных значений внутренней энергии, энтальпии, энтропии; удельные величины деформационной и располагаемой работ,
удельные теплота и теплоемкость процесса. Формулы, получаемые с
привлечением уравнений состояния, записаны применительно к идеальному газу с постоянной теплоемкостью.
Для изотермного процесса (Т = const):
Δs12
p 2 p1 = v1 v 2 ;
Δu12 = 0 ;
Δi12 = 0 ;
= R ln(v 2 v1 ) = − R ln(p 2 p1 );
lд12 = RT ln (v 2 v1 ) = − RT ln (p 2 p1 );
lp12 = − RT ln (p 2 p1 ) = lд12 ;
q12 = lд12 ;
c12 = ∞ .
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
Для изобарного процесса (р = const):
Δs12
T2 T1 = v 2 v1 ;
Δu12 = c v (T2 − T1 ) ;
Δi12 = c p (T2 − T1 ) ;
= c p ln (T2 T1 ) = c p ln (v 2 v1 );
lд12 = p(v 2 − v1 );
lp12 = 0 ;
q12 = c p (T2 − T1 ) = Δi12 ;
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
c12 = c p .
Для изохорного процесса (v = const):
T2 T1 = p 2 p1 ;
32
(3.15)
Δu12 = c v (T2 − T1 ) ;
Δi12 = c p (T2 − T1 ) ;
Δs12 = c v ln(T2 T1 ) = c v ln(p 2 p1 );
lд12 = 0 ;
lp12 = − v(p 2 − p1 );
q12 = c v (T2 − T1 ) = Δu12 ;
c12 = c v .
Теплоемкость процесса с х , естественно, равна с р и с v
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
для изо-
барного и изохорного процессов, а в изотермном процессе формаль-
но с т = ∞ , ибо такой результат дает формула (1.13) при dT = 0 .
На самом же деле температура системы здесь остается неизменной
не вследствие бесконечно большой теплоемкости, а по причине равенства работы и теплоты процесса.
Формулы для расчета изменения удельной энтропии s12 являются частными случаями зависимостей
s 2 − s1 = c v ln(T2 T1 ) + R ln(v 2 v1 )
или
s 2 − s1 = c p ln (T2 T1 ) − R ln (p 2 p1 ) .
(3.22)
(3.23)
Они, в свою очередь, получены интегрированием выражения
(2.14) с заменой в нем знака > на знак = и записью
δq
по уравнениям
(2.6) или (2.7) с последующим использованием выражений (1.18) и
(1.19); при интегрировании учтена неизменность
сv
и
с р . Заметим,
что вывод формул (3.22) и (3.23) сделан для обратимого процесса,
поскольку именно ему отвечает зависимость
ds = δq T .
(3.24)
Однако результирующее изменение энтропии как функции состояния
определяется только начальным и конечным значениями ее. Поэтому,
если соответствующие состояния 1 и 2 известны для необратимого
процесса, величину
Δs12
в нем можно вычислять как изменение эн-
тропии в условном обратимом процессе, который был осуществлен
между этими состояниями.
33
3.1.2. Изоэнтропный процесс
(
)
Перейдем к рассмотрению изоэнтропного s = const процесса.
Из аналитического выражения второго закона термодинамики следует, что изоэнтропным является обратимый адиабатный процесс.
При этом первый закон термодинамики можно записать в виде
du + pdv = 0 или di − vdp = 0 . Разделив последнее соотношение на предшествующее, получим дифференциальное уравнение
изоэнтропного процесса:
v ⎛ ∂p ⎞
⎛ ∂i ⎞
(3.25)
=
−
⎜ ⎟
⎜ ⎟.
p ⎝ ∂v ⎠s
⎝ ∂u ⎠s
Обозначив (∂i ∂u )s = k , перепишем выражение (3.25) в виде
dp p = − k (dv v ). Интегрируя его между состояниями 1 и 2, в случае неизменности k имеем ln (p 2 p1 ) = k ln (v1 v 2 ) . После потенцирования будет
p 2 ⎛ v1 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
p1 ⎝ v 2 ⎠
или
k
,
(3.26)
p 2 v k2 = p1v1k , откуда следует
pv k = const .
(3.27)
Это соотношение называют уравнением изоэнтропы (обратимой
адиабаты, или адиабаты Пуассона). Оно связывает давление и
удельный объем в изоэнтропном процессе любого рабочего тела при
условии постоянства показателя изоэнтропы (адиабаты) k ; в случае изменения k в процессе 1-2 берут среднее значение этой величины.
Для идеального газа
di = c p dT , du = c v dT , так что
k = cp cv ,
(3.28)
и с учетом зависимости (1.20) можно записать:
cp =
k
1
R , cv =
R.
k −1
k −1
(3.29)
Используя термическое уравнение состояния идеального газа,
можно найти еще связь между значениями
тропном процессе такого газа:
34
v
и
T, p
и
T
в изоэн-
1
⎞ k −1
v1 ⎛ T2
= ⎜⎜ ⎟⎟
v 2 ⎝ T1 ⎠
,
k
⎞ k −1
p 2 ⎛ T2
= ⎜⎜ ⎟⎟
p1 ⎝ T1 ⎠
(3.30)
.
(3.31)
Изменение внутренней энергии и энтальпии в изоэнтропном процессе идеального газа с постоянными теплоемкостями равно
Δu12 = c v (T2 − T1 ) ,
Δi12 = c p (T2 − T1 ) .
Применительно к другим рабочим телам величины
гут быть определены как
− lд12
− lр12
и
Δu12
и
Δi12
мо-
соответственно. Это вытека-
ет из первого закона термодинамики (см. подразд. 2.1.2); именно за
счет уменьшения внутренней энергии и энтальпии «получают» указанные виды работ в адиабатном процессе.
Соотношения для вычисления деформационной работы изоэнтропного процесса найдем, используя формулу (1.14) и уравнение
pv k = p1v1k :
2
2
p1v1k 1− k
k dv
v 2 − v11− k =
lд12 = ∫ pdv = p1v1 ∫ k =
1− k
1
1v
k −1 ⎤
⎡
1
k
−
p1 v1 ⎡ ⎛ v 2 ⎞ ⎤ p 1 v 1 ⎢ ⎛ p 2 ⎞ k ⎥
⎜ ⎟
⎜ ⎟
(
=
⎢1 − ⎜ ⎟
k − 1 ⎢ ⎝ v1 ⎠
⎣
)
1− ⎜ ⎟
⎥=
⎢
⎥⎦ k − 1
⎝ p1 ⎠
⎢⎣
⎥
⎥⎦
.
Аналогично определяем располагаемую работу:
2
l р12 = − ∫ vdp =
1
1
1 k
p1 v1 ∫
2
dp
p
1 k
p 11 k v 1 1−1
p1
=
1−1 k
⎡
⎛p
k
p 1 v 1 ⎢1 − ⎜⎜ 2
=
⎢ ⎝ p1
k −1
⎣⎢
Формулы
35
(
k −1
⎤
⎞ k
⎟⎟
⎠
k
− p 12−1
⎥ = kl .
д 12
⎥
⎦⎥
k
)=
lд12
и
k −1 ⎤
⎡
⎛p ⎞ k
pv
= 1 1 ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥
k − 1 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥
⎥⎦
⎣⎢
(3.32)
lp12 = klд12
(3.33)
справедливы для любых рабочих тел. В случае идеального газа с постоянными теплоемкостями они принимают вид
R
(T1 − T2 ) = c v (T1 − T2 ) = −Δu12 ,
k −1
lp12 = kc v (T1 − T2 ) = c p (T1 − T2 ) = − Δi12 .
Понятно, что уравнения lд = − Δu12 и lp = − Δi12
12
12
lд12 =
справед-
ливы в адиабатном процессе любого рабочего тела. Однако только
применительно к идеальному газу их использование для вычисления
и lр целесообразно в связи с простотой формул Δu12 и Δi12 .
12
В случае другого рабочего тела удобно действовать наоборот, опре-
lд12
деляя Δu12 и Δi12 через соответствующие работы, которые вычисляют по соотношениям (3.32) и (3.33).
Теплота изоэнтропного процесса, по определению, равна нулю,
поэтому равна нулю и его теплоемкость. Это не означает, что тело
потеряло способность реагировать изменением температуры на энергообмен в форме теплоты; просто в адиабатном процессе нет такого
энергообмена, так что формально
сs = δq s / dT = 0 .
3.1.3. Изопараметрические процессы реального газа
Большинство приведенных в подразд. 3.1.1 и 3.1.2 формул для
расчета характеристик процессов x = const соответствует идеальному газу с постоянными теплоемкостями
cp
и
c v . Если они зависят
от температуры, эту зависимость учитывают в ходе вывода зависимо-
стей для Δu12 , Δi12 , Δs12 .
При расчете характеристик изопараметрических процессов реального газа следует заменить те соотношения, которые были получены
с использованием термического и калорического уравнений состояния. То же надо иметь в виду в случае работы с жидкостью, двухфазной средой, влажным воздухом. Приближенные расчеты здесь проще
вести не по формулам, а с помощью диаграмм состояния.
36
Во всех случаях при расчете характеристик процесса известны
значения параметров системы в начальном состоянии и условие завершения процесса.
3.2. Политропный процесс
3.2.1. Уравнение процесса
Важную роль в технической термодинамике играет политропный
процесс, уравнение которого имеет вид
(3.34)
pv n = const
при n = const . Это объясняется тем, что, во-первых, политропой
идеального газа удобно аппроксимировать реальные процессы в различных технических устройствах, а во-вторых, политропный процесс
есть обобщение рассмотренных выше изопараметрических процессов.
Действительно, если показатель политропы n = 0 , уравнение
(3.34) дает p = const , значение n = 1 отвечает изотермному процессу идеального газа (только для него уравнение
pv = const
озна-
чает T = const ), условие n = k приводит к уравнению изоэнтропного процесса, а значение n = ∞ дает v = const , если переписать
1n
уравнение политропы в виде р v = const .
Чаще всего уравнение политропного процесса применяют для аппроксимации процессов сжатия и расширения, которые обычно располагаются между изотермой и адиабатой. Поэтому в большинстве
случаев значения показателя политропы лежат в интервале
l < n < k.
Уравнение политропного процесса можно получить, используя
аналитические выражения первого закона (2.6) и (2.7), в которых du
и di записаны для идеального газа:
cdT = c v dT + pdv
и
cdT = c p dT − vdp .
Разделим последнее выражение на предшествующее, тогда
c − cp
Обозначив
(c − c p )
=−
v dp
.
p dv
c − cv
(c − c v ) = n , перепишем последнее соотноше-
ние в виде
37
dv
dp
n =− .
v
p
Интегрируя это дифференциальное уравнение политропного процесса при условии n = const и потенцируя полученное соотношеn
ние, окончательно имеем pv = const .
n = const для идеального газа с неизменными теплос р и с v совпадает с требованием с = const . Из приве-
Условие
емкостями
денных выше уравнений первого закона вытекает, что при этих условиях количественное распределение подведенной теплоты между изменением внутренней энергии (энтальпии) и деформационной (располагаемой) работой в ходе процесса неизменно. Эти особенности
политропного процесса часто считают его определением.
3.2.2. Формулы для расчета характеристик
политропного процесса
Поскольку уравнения политропы и изоэнтропы одинаковы по форме и отличаются только величиной показателя, большинство характеристик политропного процесса можно определить по формулам их
для изоэнтропного процесса, заменив «k» на «n».
Следовательно, в политропном процессе идеального газа с неизменными теплоемкостями
ср и сv
будет:
p 2 ⎛ v1 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
p1 ⎝ v 2 ⎠
n
;
n
⎞ n −1
p 2 ⎛ T2
= ⎜⎜ ⎟⎟
p1 ⎝ T1 ⎠
(3.35)
;
1
⎞ n −1
v1 ⎛ T2
= ⎜⎜ ⎟⎟ ;
v 2 ⎝ T1 ⎠
Δu12 = c v (T2 − T1 ) ;
Δi12 = c p (T2 − T1 ) ;
38
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
lд12
n −1 ⎤
⎡
⎛p ⎞ n
pv
= 1 1 ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ;
n − 1 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥
⎢⎣
⎥⎦
lp12 = nlд12 ;
q12 = Δu12 + lд12 .
(3.40)
(3.41)
(3.42)
Теплоемкость политропного процесса
cn =
найдена
с
учетом
n−k
cv
n −1
соотношений
(3.43)
(с n − c p ) (c n − c v ) = n
и
cp / cv = k .
Δs12 можно определить по зависимости
Δs12 = c n ln(T2 T1 ) ,
(3.44)
полученной из выражения (2.14) с учетом c n = const (ввиду обраИзменение энтропии
тимости процесса знак > заменен на знак =).
Заметим, что формулы, включающие величину n , надо проверять на «работоспособность» в случаях n = 0 , n = 1, n = ∞ .
3.2.3. Соотношения между изменением внутренней энергии,
теплотой и работой в политропном процессе
Изобразим на диаграммах v, p и s, T рассмотренные в подразд.
3.1.1 и 3.1.2 варианты осуществления политропного процесса идеального газа так, чтобы они проходили через одну точку 1, отвечающую начальному состоянию (рис. 3.1).
То, что линии n = 0 и n = ∞ на v, p -диаграмме и линии n = 1
и n = k на s, T -диаграмме параллельны соответственно абсциссам
и ординатам, вытекает из условий осуществления этих процессов
( p = const , v = const , T = const , s = const ). Изотерма n = 1
на v, p -диаграмме есть равнобокая гипербола (для идеального газа
T = const
означает
pv = const ).
Кривая изоэнтропного процесса
круче изотермы, поскольку k > 1 (обычно
1,29 ≤ k ≤ 1,67 ). Изобара и изохора на s, T -диаграмме представлены логарифмическими восходящими кривыми согласно формуле
здесь
проходит
39
(3.44), причем изохора – более крутая (ввиду неравенства
взятой разности
ратуры).
Δs
на изохоре отвечает больший прирост темпе-
р
T
n=
q<0
lд > 0
n=0
1
lд < 0
1
n=1
n=k
n=
cv < cp
n=1
q>0
n=k
v
а
n=0
S
б
Рис. 3.1
На рис. 3.1 стрелками показано направление процессов расширения; в случае s, T -диаграммы оно найдено посредством таких схем:
p = const : lд > 0 ⇒ dv > 0 ⇒ dT > 0 ;
↑
↑
δlд = pdv pv= RT
T = const : lд > 0 ⇒ δq > 0 ⇒ ds > 0 .
↑
↑
δq = du + pdv ds = δq T
s = const : lд > 0 ⇒ du < 0 ⇒ dT < 0 .
↑
↑
Tds = du + pdv du = c v dT .
Эти схемы приводят также к следующим зависимостям знаков теплоты и изменения внутренней энергии от значения показателя политропы:
расширение lд > 0 :
сжатие lд < 0 :
n =0
q > 0 Δu > 0
q<0
Δu < 0
n = 1 q > 0 Δu = 0
q<0
Δu = 0
n = k q = 0 Δu < 0
q=0
Δu > 0
Анализ этих зависимостей позволяет установить связь между q ,
(
l д , Δu
)
(
для процессов с промежуточными значениями n:
40
)
расширение
(lд > 0):
сжатие
0 < n < 1 u ← q → lд
1 < n < k u → lд ← q
k < n < ∞ q ← u → lд
(lд < 0):
u → q ← lд
u ← lд → q
q → u ← lд
На рис. 3.2 дан график зависимости теплоемкости с n от
значения показателя политропы. В диапазоне 1 < n < k, который встречается чаще всего,
теплоемкость
политропного
процесса отрицательна.
Указанное
обстоятельство
можно объяснить, опираясь на
приведенную выше связь величин q , l д , Δu . В процессах
Cn
Cp
Cv
0
1
k
n
расширения при 1 < n < k на
совершение работы затрачивается не только подведенная теРис. 3.2
плота, но и часть внутренней
энергии газа, поэтому температура понижается, несмотря на подвод
теплоты. В процессах сжатия с указанным значением n внутренняя
энергия растет вследствие подвода работы, но последняя частично
«уходит» в окружающую среду в виде теплоты, что, согласно формуле (1.13), соответствует отрицательной теплоемкости.
3.3. Течения газа
без совершения технической работы
3.3.1. Особенности анализа потоков газа
с использованием термодинамических моделей
При термодинамическом анализе течений газа используют аналитические выражения первого закона в формах (2.10) и (2.11). Можно
также привлекать приведенные ранее формулы для вычисления характеристик термодинамических процессов: те из них, которые не вытекают из первого закона, действительны как для неподвижных, так и
для подвижных термомеханических систем.
Поскольку упомянутые формы записи первого закона соответствуют порции газа, которая в каждом своем положении имела равновесное состояние, параметры потока не должны меняться поперек
направления течения. Вместе с тем условие равновесности не накла41
дывает запрета на изменение параметров газа вдоль канала. Действительно, разницу параметров в двух сечениях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга, можно рассматривать как результат изменения состояния порции газа за время ее перемещения на
это расстояние. Чтобы иметь возможность использования дифференциальной формы записи первого закона, надо ввести допущение, что
на расстоянии dx вдоль канала изменение параметров газа дифференциально мало. Заметим, что уравнение первого закона в указанных формах можно использовать только для стационарных потоков
при условии, что массовый расход газа в любом сечении канала один
и тот же.
Поскольку здесь речь идет о потоках газа, не совершающих технической работы, последний член в уравнениях (2.10) и (2.11) принимаем равным нулю. Кроме того, для газа слагаемое gdy пренебрежимо
мало в сравнении с другими членами уравнения. Поэтому вместо
уравнений (2.10) и (2.11) имеем
(3.45)
δq = di + d w 2 2 ,
(3.46)
− vdp = d w 2 2 .
(
(
)
)
3.3.2. Обратимые течения газа в каналах
Важнейшей характеристикой рассматриваемых процессов является изменение кинетической энергии газа. Оно определяется уравнениями (3.45) и (3.46), интегрирование которых между сечениями 1 и 2
канала дает
w 22 − w12
= q12 − Δi12 ,
(3.47)
2
2
w 22 − w12
= − ∫ vdp = lp12 .
2
1
(3.48)
Согласно выражениям (3.45) или (3.47), изменение кинетической
энергии газа, не совершающего технической работы, определяется
количеством теплоты и величиной изменения энтальпии. Если тече-
(
)
ние адиабатно δq = 0 , ускорение потока сопровождается убылью
энтальпии, а уменьшение скорости газа приводит к росту ее.
Зависимости (3.46) и (3.48) также позволяют сделать важные выводы. Перепишем уравнение (3.46) в виде
wdw = − vdp .
42
(3.49)
Отсюда следует, что в потоке газа, не совершающем технической работы, знаки dw и dp противоположны. Таким образом, чтобы увеличить скорость газа, надо снизить его давление, а уменьшение скорости потока ведет к повышению давления. Каналы, в которых газ
расширяется с уменьшением давления и увеличением скорости, называют соплами. Каналы, где осуществляется сжатие газа за счет
уменьшения скорости, называют диффузорами. Сопла и диффузоры
являются непременными элементами авиационных и ракетных двигателей.
Как следует из выражения (3.48), конечное изменение кинетической энергии газа равно его располагаемой работе (при отсутствии
технической работы и без учета изменения потенциальной энергии
положения). Это позволяет выяснить, какой из термодинамических
процессов наиболее целесообразен с точки зрения ускорения потока
в соплах и сжатия его в диффузорах.
p
p
1
δq=0
2
2s
2т
δq=0
2
vdp
vdp
dT=0
1
2s
а
dT=0
1
1
2т
v
б
v
Рис. 3.3
Из рис. 3.3, а видно, что применительно к течениям в соплах изот
s
термный 1− 2 процесс расширения лучше адиабатного 1− 2 : в
2
первом случае располагаемая работа lр = − ∫ vdp больше, так что
12
1
прирост скорости газа в изотермных соплах выше.
Напомним, что при адиабатном расширении газа температура его
уменьшается: здесь согласно уравнению (2.3), будет du = − pdv .
Поэтому для обеспечения изотермности ускорения газа надо подводить к нему теплоту. Реализация этой рекомендации применительно к
43
соплам двигателей летательных аппаратов сложна технически.
Обычно здесь процесс ускорения газа – политропный, близкий к
адиабатному. В зависимости от особенностей течения он может
иметь показатель политропы n < k или n > k . Первый вариант
возможен, если течение сопровождается догоранием горючего в
окислителе, второй – если сопло принудительно охлаждают. При математическом моделировании течений в соплах двигателей летательных аппаратов их чаще всего принимают адиабатными.
Аналогичный анализ течения газа в диффузорах показывает, что и
тут изотермный процесс лучше адиабатного. При сжатии по кривой
T = const располагаемая работа меньше (рис. 3.3, б), поэтому перепад скорости газа, необходимый для повышения давления на заданную величину, будет ниже. Для поддержания изотермности необходимо отводить теплоту от газа, так как сжатие ведет к увеличению
температуры. Обычно теплоотвода не делают, поэтому действительные процессы сжатия в диффузорах близки к адиабатным ( δq = 0 ).
Те из приведенных выше соотношений, в которых фигурирует теплота, удобно использовать при анализе адиабатных процессов, а те,
где есть располагаемая работа, – при анализе политропных. Итак,
для адиабатных процессов
w 22 − w12
= − i 2 − i1 ,
(3.50)
(
2
)
для политропных –
n −1 ⎤
⎡
⎛ p2 ⎞ n ⎥
w 22 − w12
n
⎢
=
p1v1 1 − ⎜⎜ ⎟⎟
.
⎢
⎥
2
n −1
⎝ p1 ⎠
⎢⎣
⎥⎦
(3.51)
Соотношение (3.50) получено без привлечения информации об
уравнении состояния, поэтому оно применимо для любых рабочих
тел. Формула (3.51) предполагает, что имеют дело с идеальным газом. Впрочем, ранее отмечалось, что политропой идеального газа
можно аппроксимировать процессы сжатия и расширения реальных
газов. Если в зависимости (3.51) заменить n на k, то полученное выражение для изменения скорости в адиабатном процессе будет пригодным для любой среды. Однако применение выражения (3.50) целесообразнее при наличии
s, i -диаграммы.
Соотношение (3.50) по-
зволяет также найти изменение температуры газа между сечениями 1
и 2, если известна связь i и Т (см. ранее записанные формулы для
Δi12 ).
44
3.3.3. Изоэнтропное истечение газа
из резервуара неограниченной емкости
Рассмотрим важную для теории реактивных двигателей задачу о
вытекании газа из бака через сужающийся насадок. Ввиду больших
(
)
размеров бака можно считать, что газ в нем покоится w1 = 0 , а
термодинамические параметры газа в баке остаются неизменными.
Если истечение адиабатно и обратимо, то, согласно формуле
(3.51), имеем для скорости идеального газа на срезе насадка:
k −1 ⎤
⎡
⎛ p2 ⎞ k ⎥
2k
⎢
,
(3.52)
wc =
RT1 1 − ⎜⎜ ⎟⎟
⎢
⎥
k −1
⎝ p1 ⎠
⎢⎣
⎥⎦
где Т1 и р1 – параметры газа в баке, р 2 – давление окружающей
среды. График этой функции показан на рис. 3.4 (кривая линия).
Опыт
подтверждает
справедливость зависимости (3.52), но только в диа- W
C
T1, p1
пазоне «перепадов» давле-
р * р1 < p 2 p1 < 1,
где p * p1 – перепад, при
котором w c становится
равной скорости звука ac
WC
W 1= 0
ния
a*
p2 < p1
на срезе насадка.
Ситуацию
w c = ac
на-
зывают кризисом течения,
имея в виду, что, начиная с
нее, снижение давления окружающей среды уже не
оказывает ожидаемого воздействия на скорость истечения:
0
p*/p1
1
p2/p1
Рис. 3.4
wc
остается неизменной и равной
ac . Параметры потока на срезе насадка в момент кризиса называют
критическими (здесь и далее они обозначены индексом ∗ ).
Значение p 2 p1 , отвечающее наступлению кризиса, отыщем из
условия w* = a * . Согласно зависимостям (3.50), (1.19) и (3.29) в
случае идеального газа с постоянной теплоемкостью получаем
45
w* = 2c p (T1 − T *) =
2k
R (T1 − T *) ,
k −1
а по формуле скорости звука для идеального газа имеем
a* = kRT * .
Поэтому при
(3.53)
w* = a * будет
2k
R (T1 − T *) = kRT * ,
k −1
откуда
T*
2
=
.
T1 k + 1
(3.54)
Поскольку истечение обратимо, а газ идеален, с учетом формулы
(3.31) получаем
k
p * ⎛ 2 ⎞ k −1
=⎜
(3.55)
⎟ .
p1 ⎝ k + 1 ⎠
Указанное несоответствие данных теории и опыта связано с тем,
что термодинамическое соотношение (3.52) не учитывает волновой
«механизм» влияния снижения давления окружающей среды на скорость истечения. Небольшое уменьшение этого давления есть возмущение, которое в виде акустической волны перемещается по газу.
Пока скорость истечения меньше скорости звука, возникающая при
снижении
р2
волна разрежения достигает среза насадка, так что
давление здесь становится равным новому значению
р 2 . Начиная с
момента w* = a * волны разрежения уже не могут перемещаться
по струе газа. Поэтому давление на срезе остается равным р * ; следовательно, не меняется и скорость истечения.
3.4. Термодинамика компрессоров и детандеров
3.4.1. Особенности термодинамического анализа
процессов в указанных машинах
Компрессором называют техническое устройство (машину), где
благодаря «подводу» механической работы к рабочему телу последнее сжимается, вследствие чего давление его возрастает. При малой
степени повышения давления компрессор принято именовать вентилятором (например, вентилятор наружного контура в двухконтурных
46
воздушно-реактивных двигателях). Обычно назначение вентилятора –
не столько повышение давления, сколько перемещение газа. Детандер – это машина, в которой за счет расширения рабочего тела снижают его температуру или «получают» механическую работу. Можно
выделить две группы компрессоров и детандеров.
К первой группе относят машины объемного типа – здесь изменение давления порции рабочего тела и перемещение ее происходит
вследствие периодического изменения величины так называемого
рабочего объема, который занимает указанная порция. При изменении давления этот объем замкнут; его величину уменьшают или увеличивают перемещением части оболочки объема относительно другой ее части (например, передвигая поршень в цилиндре).
Вторую группу образуют машины динамического типа – здесь изменение давления рабочего тела сопровождается взаимодействием
его с твердыми элементами, движущимися в непрерывном потоке рабочего тела (например, с лопатками рабочего колеса турбины).
Вследствие такого взаимодействия изменяется кинетическая энергия
потока, а изменение давления требует еще одного этапа – взаимопревращения кинетической энергии и энергии давления рабочего тела в сопловых или диффузорных каналах. Последовательность этих
двух этапов в машинах с подводом и отводом работы противоположна. Например, в компрессоре вначале увеличивают кинетическую
энергию потока, которую затем превращают в энергию давления. В
детандере вначале энергию давления превращают в кинетическую
энергию потока, а последнюю передают твердым телам.
Целью термодинамического анализа процессов, происходящих в
упомянутых машинах, является поиск наиболее целесообразного варианта их проведения – такого, который бы давал минимальную работу в случае компрессора и максимальную работу (либо наибольшее
снижение температуры) в случае детандера при заданном отношении
давлений на входе и выходе машины. Анализ ведут, считая все процессы обратимыми; такие машины называют идеальными.
В основу анализа машин динамического типа естественно положить уравнение первого закона термодинамики для проточной системы. Поскольку нас интересует результирующий эффект работы машины в целом, а не детали процессов преобразования энергии в ней,
используем упомянутое уравнение для конечного процесса 1-2, где
точка 1 отвечает состоянию рабочего тела на входе в машину, точка 2
– состоянию на выходе из нее.
Изменением потенциальной энергии положения рабочего тела в
машине пренебрегают, поэтому из форм записи уравнения первого
закона (2.9) и (2.11) получим
lтех12 = q12 − Δi12 − w 22 − w12 / 2 ,
(3.56)
47
(
)
(
2
)
lтех12 = − ∫ vdp − w 22 − w12 2 .
(3.57)
1
Первое из этих выражений целесообразно использовать, когда процесс в машине в целом адиабатен, второе – когда он политропен.
Расчету по формулам (3.56) и (3.57) может помешать отсутствие
информации о скорости рабочего тела на входе и выходе машины. В
таком случае используют понятие полных (заторможенных) параметров.
Введем эти параметры, записав уравнение (3.56) для случая
q12 = 0 в следующем виде:
lтех12 = i1 + w12 2 − i 2 + w 22 2 = i10 − i 02 .
Здесь
(3.58)
i0 = i + w 2 2
так называемая полная энтальпия (энтальпия торможения) потока.
0
Из этого выражения следует, что значение i соответствует состоянию, которое приобретает рабочее тело, имевшее энтальпию i и скорость w, после энергоизолированного торможения до полной остановки.
Для идеального газа с постоянной теплоемкостью соотношение
(3.58) принимает вид
cpT 0 = cpT + w 2 2 ,
(
) (
)
откуда
k −1 w 2
w2
,
=T+
T =T+
kR 2
2c p
0
(3.59)
0
где Т – полная (заторможенная) температура. Полные (заторможенные) значения давления и удельного объема идеального газа определяют с использованием зависимостей (3.31) и (3.30):
k
0
0
⎛ T ⎞ k −1
p
(3.60)
=⎜ ⎟ ;
p
⎜ ⎟
⎝T⎠
1
⎛ T 0 ⎞ k −1
v
= ⎜⎜ ⎟⎟
0
v
⎝T⎠
48
,
(3.61)
0
0
поэтому относительно р и v процесс торможения должен быть не
только энергоизолированным, но и обратимым.
В случае, когда рабочее тело представляет собой жидкость (несжимаемую среду), полное давление находят по формуле
(3.62)
p 0 = p + ρw 2 / 2 ,
где
ρ = 1 v – плотность жидкости.
Итак, при отсутствии данных о скорости рабочего тела на входе и
выходе машин динамического типа работу их вычисляют по соотношениям
lтех12 = q12 − i 02 − i10 ;
(3.63)
2
lтех12 = − ∫ v 0dp 0 .
(3.64)
1
Работа машин объемного типа в соответствии с принципом их
действия, на первый взгляд, должна быть равна работе деформационной. Однако детальный анализ показывает, что и здесь ее p
надо вычислять по располагае2
мой работе (см. формулы (3.57) B
и (3.64)). Объясняется это тем,
что изменение давления порции
рабочего тела в машинах объемного типа непременно сопровождается процессами ввода
порции в рабочий объем и вывода ее из него (объем при этом
1
A
размыкают). Такое «сопровождение» есть как в поршневых,
так и в ротационных машинах.
Поясним это на примере од- 0
v
ноступенчатого
поршневого
Рис. 3.5
компрессора; его теоретическая
индикаторная диаграмма дана на рис. 3.5. Здесь только процесс сжатия 1-2 является термодинамическим; другие процессы не таковы
и показаны на v, p -диаграмме условно. Перед сжатием порции газа
(
)
ее надо ввести в цилиндр – этот процесс «всасывания» осуществляют во время хода поршня от «головки» цилиндра. Его работе, отнесенной к 1 кг газа, на рис. 3.5 отвечает площадь под линией А–1. После сжатия газ надо вывести из цилиндра – этот процесс вытеснения
«нагнетания» соответствует ходу поршня к головке цилиндра, начиная от того положения, которое поршень занимал в момент, обозна49
ченный на рис. 3.5 точкой 2. Удельную работу процесса вытеснения
выражает площадь под линией 2–В.
Суммарная работа, затраченная на получение порции сжатого газа, равна сумме упомянутых площадей и площади под кривой 1–2
(работы собственно процесса сжатия):
2
2
l = p1v1 + ∫ pdv + (− p 2 v 2 ) = ∫ pdv − (p 2 v 2 − p1v1 ) =
1
1
2
= lд12 − lп12 = lp12 = − ∫ vdp.
1
Составляющая ( p 2 v 2 − p1v1 ) этого соотношения есть работа проталкивания lп .
12
Поскольку все работы осуществлены подвижным элементом оболочки рабочего объема (поршнем), полученную зависимость можно
записать в виде
2
lтех12 = − ∫ vdp .
(3.65)
1
Это выражение и соотношение (3.64) для технической работы машин динамического типа аналогичны; различие между ними лишь в
0
0
том, что во втором из них использованы полные параметры v , p .
Сравнивая зависимость (3.65) с уравнением (2.7), видим, что формально ее можно заменить формулой
lтех12 = q12 − Δi12 .
(3.66)
Для общности записи расчетных соотношений можно считать, что
выражения (3.65) и (3.66) справедливы для машин обоих типов, но в
случае машин динамического типа следует использовать полные значения параметров
i, v, p .
Этого можно не делать, если значения
скорости рабочего тела на входе и выходе машины мало отличаются
друг от друга.
Упомянутые выражения получены из уравнений первого закона
термодинамики, поэтому они справедливы для любого рабочего тела.
В случае идеального газа с постоянной теплоемкостью соотношения (3.66) и (3.65) преобразуют к виду
lтех12 = q12 − c p (T2 − T1 );
50
(3.67)
lтех12
n −1 ⎤
⎡
⎛p ⎞ n
n
=
RT1 ⎢1 − ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎥ ,
⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥
n −1
⎥⎦
⎣⎢
(3.68)
где n – показатель политропы. Первую из этих формул удобно использовать при адиабатном процессе, вторую – при политропном.
Расчеты по зависимостям (3.65) и (3.66) при других рабочих телах
требуют знания термического и калорического уравнений состояния.
Если реальный процесс сжатия или расширения аппроксимируют политропой идеального газа, то применимо выражение (3.68). Приближенные расчеты удобно вести с использованием s, i -диаграммы.
Подчеркнем, что зависимости (3.65), (3.66) и все вытекающие из
них формулы для расчета работы машины дают величину удельной
работы (приходящейся на 1 кг рабочего тела). Чтобы определить
мощность машины, надо значение этой работы умножить на секунд& , кг / с .
ный массовый расход рабочего тела m
3.4.2. Термодинамика идеального компрессора
Поскольку в компрессоре работу «подводят» к газу, соотношения
(3.65) и (3.66) здесь дают отрицательные значения lтех . Для удоб12
ства вводят понятие «потребной» работы компрессора:
lком = −lтех ,
12
так что
lком = (i 2 − i1 ) − q12 ;
(3.69)
2
lком = ∫ vdp .
(3.70)
1
Последняя формула позволяет установить наиболее целесообразный вариант осуществления процесса по v, p -диаграмме.
Как видно из рис. 3.6, потребная работа компрессора будет наименьшей в случае изотермного хода процесса (кривая 1-2т). Для
обеспечения условия T = const при сжатии необходимо от каждого
2
килограмма газа отвести теплоту q12 = − ∫ vdp (см. уравнение
1
(2.7)). В случае идеального газа потребную работу изотермного
компрессора (и, соответственно, количество отводимой теплоты) находят по формуле
51
т
lком
= RT1 ln(p 2 p1 ) .
р
2т 2 n 2s
l ком
1′
1
v
Рис. 3.6
(3.71)
Еще больший выигрыш в
работе можно получить, если
перед сжатием предварительно охладить газ (процесс 1-1′2т).
Однако в компрессорах
двигателей летательных аппаратов специальное охлаждение рабочего тела не предусматривают. Здесь процесс
сжатия считают адиабатным
(кривая 1-2s на рис. 3.6). Если
принять, что рабочее тело
представляет собой идеальный газ с постоянной теплоемкостью, то потребная работа
адиабатного компрессора:
s
lком
= с р T2 − T1 , (3.72)
(
)
или
k −1
⎡
⎤
k
⎛
⎞
k
p
s
(3.73)
=
lком
RT1 ⎢⎜⎜ 2 ⎟⎟ − 1⎥ .
⎥
⎢
k −1
⎝ p1 ⎠
⎥⎦
⎢⎣
s
При вычислении lком по формуле (3.73) зависимость (3.72) можно
использовать для расчета увеличения температуры газа Т2–Т1 вследствие адиабатного сжатия в компрессоре.
В авиационных двигателях применяют в основном осевые многоступенчатые компрессоры лопаточного типа (см. рис. 2.1). Выражения
(3.72) и (3.73) пригодны для расчета потребной работы как всего компрессора, так и каждой ступени его (в последнем случае сечения 1 и 2
отвечают входу и выходу ступени).
В многоступенчатых стационарных компрессорах (с использованием в качестве ступени поршневого или центробежного лопаточного компрессора) предусматривают промежуточное охлаждение газа
между ступенями в теплообменниках. Это позволяет приблизить результирующий процесс сжатия к описанному выше изотермному, в то
время как сжатие в каждой ступени – адиабатное.
52
Обычно такие многоступенчатые компрессоры проектируют с равномерным
распределением
степени
повышения
давления
πк = р 2 р1
по ступеням, что соответствует отводу одного и того же
количества теплоты в каждом из теплообменников. Схему процесса
сжатия в трехступенчатом компрессоре этого типа см. на рис. 3.7.
Здесь индексами 1i и 2i отмечены состояния газа на входе и выходе
i-й ступени (i = 1, 2, 3). Охлаждение газа ведут при
р 2 = const = p1 до температуры, равной исходному значению
i +1
23
13
12
=p
1
p2
=p
on s
t
3
=c
22
p2
Т2
13
Т
2s
2т 23
2
р
p2
i
22
21
Т1
13
21
12
=c
s
on
t
p 11
11
12
11
s
v
а
б
Рис. 3.7
T1 , а сжатие в каждой ступени дает увеличение температуры до одинаковой величины T2 . Распределение степени повышения давления
вычисляют по формуле
где
p 2i / p1i = n p 2n p11 ,
n
(3.74)
– число ступеней компрессора. На рис. 3.7, а нанесены также
т
s
линии 11 −2 и 11 −2 , соответствующие одноступенчатым изотермному и адиабатному компрессорам, повышающим давление сразу от
р1 до р 2 . Площадь между линией сжатия в многоступенчатом ком1
3
s
прессоре и линией 11 −2 отвечает достигнутой экономии потребной
работы компрессора.
s
В описанном компрессоре потребную работу каждой ступени li
надо вычислять, согласно зависимости (3.73), по степени повышения
53
давления в ступени
πi = р 2i р1i . Для всех n ступеней она одинако-
= nlis . Теплота,
q i = c p (T2 − T1 ), если
ва, так что потребная работа всего компрессора lком
отводимая после каждой ступени, равна
принять, что газ идеальный с постоянной теплоемкостью.
3.4.3. Термодинамика идеального детандера
Независимо от типа детандеров (объемного или динамического)
их термодинамический анализ, обычно имеющий целью определение
технической работы при расширении рабочего тела в заданном интервале давлений, ведут по одинаковым расчетным формулам (3.65)
и (3.66) с учетом сделанных в подразд. 3.4.1 замечаний об учете скорости рабочего тела на входе и выходе машины.
Расширение рабочего тела отвечает «отводу» работы от ТДС, поэтому значения lтех здесь будут положительными. Если ввести по12
нятие работы, «производимой» детандером, как
lдет = lтех ,
12
(3.75)
то в соответствии с упомянутыми формулами
lдет = q12 + (i1 − i 2 ),
(3.76)
2
lтех = − ∫ vdp .
(3.77)
1
Второе выражение позволяет достаточно просто найти целесообразный вариант осуществления процесса расширения в детандере с
помощью v, p -диаграммы. Так же, как и для сопл (рис. 3.3, а), изо-
термный процесс лучше адиабатного: при T = const работа, «получаемая» от детандера, оказывается большей. Но поддержание изотермности требует «искусственного» подогрева газа в ходе расширения; количество подводимой теплоты, согласно уравнению (2.7), равно работе изотермного детандера. В случае идеального газа ее
вычисляют по формуле
т
lдет
= RT1 ln p1 p 2 .
(3.78)
В одноступенчатых детандерах такой подвод теплоты не делают;
тут реализуется процесс расширения, близкий к адиабатному (вследствие некоторого отвода теплоты к элементам конструкции кривая процесса обычно проходит несколько левее адиабаты 1-2s
(см. рис. 3.3, а)). Аналогична ситуация и для многоступенчатых детандеров (турбин) двигателей летательных аппаратов.
(
54
)
В многоступенчатых турбинах стационарных газотурбинных и паротурбинных установок возможно приближение суммарного процесса
расширения к изотермному за счет подвода теплоты к газу или пару в
нагревателях, расположенных между группами ступеней.
При математическом моделировании процесса расширения в детандерах двигателей летательных аппаратов с использованием моделей термодинамического уровня этот процесс обычно считают
адиабатным. Если принять, что рабочее тело представляет собой
идеальный газ с постоянной теплоемкостью, то работа адиабатного
детандера равна
s
lдет
= c p T1 − T2 ,
(3.79)
или
k −1
⎡
⎤
k
⎛p ⎞
k
s
(3.80)
=
lдет
RT1 ⎢1 − ⎜ 2 ⎟ ⎥ .
⎥
⎢
k −1
⎝ p1 ⎠
(
)
⎣⎢
⎥⎦
Когда газ в детандере расширяют с целью понижения температуры (например, в турбохолодильном агрегате системы вентиляции
салона пассажирского самолета), целью термодинамического анализа становится определение величины этого понижения. Обычно такие
детандеры выполняют адиабатными.
В случае идеального газа с постоянной теплоемкостью изменение
температуры при адиабатном расширении вычисляют, используя зависимость (3.79). Таким образом, это изменение равно
s
T2 − T1 = − lдет
cp ,
(3.81)
s
где работа идеального адиабатного детандера lдет соответствует
формуле (3.80).
Если газ реальный и термическое уравнение состояния его известно, применяют зависимость
p2
p2
T2 − T1 = ∫ ∂T ∂p s dp = ∫ α s dp .
(3.82)
p1
p1
Здесь температурный коэффициент изоэнтропного изменения
(
давления
αs
)
в соответствии с дифференциальными уравнением эн-
тропии [4, 5] равен
α s = (∂v ∂T )p T c p .
(3.83)
Задача отыскания величины снижения температуры при обратимом адиабатном расширении реального газа значительно проще решается с помощью s, i -диаграммы. Проведя из точки 1 (состояние на
55
входе в детандер) линию
получают значение
чения.
T2
s = const
до пересечения с изобарой
p2 ,
на изотерме, проходящей через точку пересе-
3.5. Необратимые процессы в элементах энергоустановок
3.5.1. Влияние необратимости на течение газа
в диффузорах, соплах, компрессорах и детандерах
Реальные необратимые процессы имеют худшие результативные
характеристики, чем соответствующие им идеализированные обратимые. Ухудшение характеристик легко проследить на примере адиабатных (δq = 0) процессов сжатия и расширения газа в технических
устройствах, если с учетом вида зависимостей (3.47) и (3.66) изобразить их на s, i -диаграмме.
Так, процесс адиабатного сжатия газа в компрессоре или диффузоре на рис. 3.8, а показан вертикальной линией 1-2 в случае обра-
=
=
2
p
1
p
1
Δi12H
Δi12
2
2H
co
ns
t
i
co
ns
t
i
p1
=
t
ns
o
c
1
p2
а
=
t
ns
o
c
2H
2
S
Δi12H
(ds = 0) и отклоняющейся вправо линией 1-2н в случае не-
Δi12
тимого
б
Рис. 3.8
(
)
обратимого ds > 0 протекания. Как видно, изменение энтальпии в
реальном процессе сильнее, чем в идеальном, что, согласно формулам (3.66) и (3.47), потребует лишней затраты работы в компрессоре
и большего торможения потока в диффузоре.
Аналогично, рассматривая адиабатное расширение в детандере
или сопле (рис. 3.8, б), видим, что необратимость, отклоняющая процесс вправо
(ds > 0) , приводит к меньшему изменению энтальпии.
56
S
Согласно тем же зависимостям, это снижает работу, полученную в
детандере, и прирост скорости, достигаемый в сопле.
Средствами равновесной термодинамики нельзя вычислить генерацию энтропии, вызванную необратимостью. Поэтому влияние ее на
характеристики процесса при расчете технических устройств учитывают, вводя поправочные коэффициенты, значения которых устанавливают на основе обобщения результатов опыта.
Так, действительную работу компрессора
lдет
lком
или детандера
определяют по формулам:
lком = − lтех12 (ηriк ηмех к ); lдет = lтех12 ηriд ηмех д . (3.84)
Здесь lтех – техническая работа соответствующей идеальной ма12
шины, ηri – относительный внутренний коэффициент полезного
действия (КПД), характеризующий степень необратимости процесса
сжатия или расширения;
ηмех
– механический КПД машины, оцени-
вающий прочие виды потерь в ней.
Аналогично реальную скорость истечения
сопла находят как
где
ϕс < 1
Wс р
из сужающегося
Wc p = Wc ϕc ,
(3.85)
– коэффициент скорости, учитывающий необратимость
расширения газа в сопле;
Wc
– идеальная скорость истечения
согласно подразд. 3.3.3.
3.5.2. Адиабатное дросселирование газа
Газовые тракты часто содержат участки с резким изменением проходного сечения или направления потока. На преодоление таких препятствий необратимо тратится работа, признаком чего является наблюдаемое в опыте падение давления газа. Этот процесс называют
дросселированием.
Рассмотрим течение газа по горизонтальному трубопроводу постоянного поперечного сечения. Применив к участку 1-2, содержащему неподвижное препятствие, аналитическое выражение первого закона в форме (2.9), имеем при адиабатном
(q12 = 0) дросселирова-
нии
i 2 = i1 .
57
(3.86)
Действительно, здесь можно принять w 2 = w1 , пренебречь изменением потенциальной энергии газа, а технической работы поток не
совершает. Следовательно, результирующее изменение энтальпии в
случае адиабатного дросселирования отсутствует.
Если газ идеален и теплоемкость его неизменна, то, согласно
уравнению (1.19) условие i 2 = i1 ведет к равенству T2 = T1. Температура реального газа при адиабатном дросселировании может изменяться – это явление называют дроссель-эффектом, или эффектом
Джоуля – Томсона. Различают дифференциальный дроссель-эффект
(при дифференциально малом уменьшении давления газа) и интегральный (в случае конечного падения p ).
Дифференциальный дроссель-эффект характеризуют производной ∂Т ∂р i , называемой еще температурным коэффициентом
(
)
адиабатного дросселирования α i . Его можно найти из дифференциального уравнения энтальпии [5, 7]:
αi = (∂T ∂p)i = [T(∂v ∂T )p − v] cp .
(3.87)
αi < 0 ,
α i = 0 . Со-
Температура газа в ходе дросселирования возрастает, если
уменьшается при
αi > 0 ,
и не изменяется в случае
стояние, при котором достигается значение α i = 0 , называют точкой инверсии эффекта Джоуля – Томсона; непрерывная последовательность таких точек образует кривую инверсии.
Интегральный дроссель-эффект устанавливают интегрированием:
p2
p2
T2 − T1 = ∫ ∂T ∂p i dp = ∫ α i dp .
(3.88)
p1
p1
(
)
При отсутствии общей зависимости между
ласти
состояний
T2 − T1
используют
T, p, v
s, i -диаграмму.
в «рабочей» об-
Для
здесь достаточно провести из точки 1 линию
определения
i = const
до
пересечения с изобарой p 2 . Это пересечение даст точку 2; все параметры реального газа в ней находят по диаграмме.
Изложенное показывает, что адиабатным дросселированием можно охладить газ, если
α i > 0 ; для этого начальная температура газа
должна быть меньше верхней температуры инверсии. Последнюю
находят как большее из двух значений, даваемых формулой
Т и = v(∂T ∂v )p
58
(3.89)
при давлениях, обычных для аэрокосмических энергоустановок и систем. Преимуществом такого способа охлаждения является простота
дроссельного устройства (дросселя).
Ранее (см. подразд. 3.4.3) указывалось, что падение температуры
газа наблюдают и при обратимом адиабатном расширении его с производством технической работы. Детандер сложнее дросселя, однако
в нем температура снижается сильнее при том же перепаде давлений
Δp12 = p1 − p 2 . Действительно, из формул (3.83) и (3.87) следует
α s − α i = v c p , так что α s > α i , поскольку v и c p всегда поло-
жительны. Дополнительным преимуществом охлаждения газа посредством изоэнтропного расширения в детандере является получение технической работы. Кроме того, при этом температура снижается независимо от начального значения ее, ибо для любого газа
(∂v ∂T )p > 0 , что, согласно выражению (3.83), дает αs > 0
гда. Неравенство
αs > αi
все-
подтверждает тезис о большей эффек-
тивности обратимых процессов по сравнению с необратимыми.
3.5.3. Термодинамика процессов смешения
Необратимость этих процессов подтверждает тот факт, что никогда не было обнаружено самопроизвольного разделения однородной
системы на части с различными значениями одноименных параметров.
Ограничимся рассмотрением трех задач адиабатного смешения
порций или потоков одного и того же газа в системах с неподвижными
стенками. Начальные состояния их обозначим j ; определяем параметры газа после смешения.
Пусть порции массой M j находятся в закрытом жестком теплоизолированном сосуде объема V с перегородками. После изъятия
перегородок произойдет смешение порций с установлением единого
для всего газа массой М = ∑ М j значения каждого из параметров.
Поскольку газ не взаимодействует с окружающей средой, то ввиду
аддитивности экстенсивных параметров (см. подразд. 1.2.2) для
удельного значения x любого из них (кроме энтропии) справедлива
формула
(3.90)
x = ∑ x jM j M .
(
)
Так же с учетом соотношений (1.18) или (1.19) находят температу-
(
)
ру x = T идеального газа с постоянной теплоемкостью; при этом
давление газа определяют по уравнению Клапейрона. Если газ ре59
альный, для поиска
T
и
p
надо использовать его калорическое и
термическое уравнения состояния, либо s, i -диаграмму.
В основе расчета параметров потока газа на выходе из жесткой
теплоизолированной камеры смешения, в которую по таким же патрубкам поступают потоки одинаковых газов с массовыми расходами
& j [кг/с], лежит аналитическое выражение первого закона термодиm
намики для стационарной проточной системы (см. подразд. 2.1.3). Во
многих приложениях допустимо пренебречь кинетической и потенциальной энергиями всех потоков и принять, что давления p j больше,
чем заданное давление p в отводящем патрубке.
С учетом введенных допущений первый закон запишем в виде
& j − i∑ m
& j = 0,
∑ i jm
так что удельная энтальпия выходящего потока
& j ∑m
& j.
i = ∑ i jm
(
)
(3.91)
Зная i и p , по s, i -диаграмме реального газа находят остальные параметры на выходе камеры смешения. В случае идеального газа с
постоянной теплоемкостью температуру выходящего потока определяют как
& j ∑m
& j,
(3.92)
T = ∑ Tj m
(
)
а удельный объем v – по уравнению (1.16). Если необходимо учесть
кинетические энергии потоков, в соотношение (3.91) вводят полные
энтальпии согласно определению (3.58).
По аналогичной схеме ведут термодинамический анализ процесса
разделения потока газа в канале по нескольким патрубкам, присоединенным к каналу (при этом задано давление p в канале, а давления в
патрубках
p j приняты меньшими p ).
С использованием первого закона термодинамики решают и задачу о смешении порций газа при заполнении объема. Пусть в жесткий
V , содержащий M1 кг газа с параметрами T1 и p1 , по нескольким патрубкам вводят массы М j того
же газа с параметрами Т j и p j > p1 . Если пренебречь кинетической
теплоизолированный сосуд объема
и потенциальной энергиями вводимых масс, то из уравнения (2.8)
имеем U − U1 = ∑ i jM j , где U = u M1 + ∑ M j – внутренняя
(
энергия газа в сосуде после заполнения его массой
образом,
60
)
∑Mj.
Таким
По
u = (u1M1 + ∑ i jM j ) (M1 + ∑ M j ).
величине параметров u и v = V (M1 + ∑ M j )
(3.93)
с помощью
s,i-диаграммы находят остальные параметры реального газа. Для
идеального газа с постоянной теплоемкостью из выражения (3.93)
следует
T = (T1M1 + ∑ kTjM j ) (M1 + ∑ M j ),
(3.94)
где k – показатель изоэнтропы газа. Уравнение Клапейрона позволяет найти давление газа в сосуде после его заполнения.
3.5.4. Термодинамический анализ систем наддува и вытеснения
Непременными элементами двигательных установок летательных
аппаратов являются подсистемы наддува и вытеснения (например, наддува то&н
Т он , i он m
&д
m
пливных баков самолета, вытеснения
компонентов из баков жидкостноракетного двигателя и др.). Термодинамические процессы, протекающие при
Т , Р, V
наддуве и вытеснении, необратимы.
&и
&к
m
m
Расчетная схема для определения параметров системы наддува и вытеснения показана на рис. 3.9.
В соответствии с уравнением первого закона термодинамики для открытых
систем скорость изменения внутренней
энергии рабочего тела в газовой «подушке» над жидкостью в баке равна се&ж
m
кундному обмену энергией между подушкой и окружением посредством тепРис. 3.9
лоты, работы и массообмена:
dU dt = Q c + Q ж + Q х − pdV dt +
Здесь
Qc , Q ж
&н
i 0н m
& и + iк m
& к + im
& д.
+ iиm
– секундный теплообмен газа подушки со стенкой ба-
ка и поверхностью жидкости (величины
Qж
Q
берут со своими знаками, в
входит и тепловой эффект физико-химических превращений на
границе раздела);
Qх
(3.95)
Qх
– тепловой эффект химических реакций (знак
берут соответственно типу реакции);
61
dV dt
– скорость измене-
ния объема газовой подушки (ее определяют по величине секундного
& ж и плотности ρ ж жидкости: dV dt = m
& ж ρ ж ); i 0н , i и ,
расхода m
i к , i – удельные значения полной энтальпии газа наддува и энтальпий испаряющейся жидкости, выпадающего конденсата, газа в подушке;
& н, m
& и, m
& к, m
&д
m
– соответствующие массовые расходы в се-
кунду (их берут со своими знаками; расход
&д
m
уходит через дренаж-
ный клапан).
В качестве дополнительных уравнений можно взять термическое и
калорическое уравнение состояния газа в подушке, а также уравнение
расхода
& н +m
& и +m
& к +m
& д,
(3.96)
dM dt = m
где М – масса газа в подушке. Их использование позволит найти выражение для скорости изменения термических параметров газа в подушке при заданных условиях работы системы наддува и вытеснения.
Для определения состава газа в подушке в первом приближении
допускают ее равновесие с жидкостью. Тогда можно использовать закон Дальтона р = ∑ p j и считать парциальное давление пара в подушке равным давлению насыщения при температуре жидкости.
3.5.5. Первичный термодинамический анализ камер сгорания
и рекуперативных теплообменников
Камерой сгорания называют устройство, в котором происходит
химическая реакция между горючим и окислителем с выделением теплоты. Такие камеры являются обязательным элементом тепловых
двигателей, в том числе авиационных и ракетных. Здесь их обычно
выделяют в отдельный узел (исключение составляют поршневые двигатели, где камера сгорания представлена головкой цилиндра).
При первичном термодинамическом анализе не рассматривают
детально реальный процесс взаимодействия горючего и окислителя,
в ходе которого происходят изменения их агрегатного состояния, химические превращения и выделение теплоты. Его заменяют термодинамически эквивалентным процессом подвода теплоты к рабочему
телу неизменного состава, которое подчиняется уравнениям состояния идеального газа с постоянной теплоемкостью (см. подразд. 1.4.3).
При анализе процесса подвода теплоты в камерах сгорания газотурбинных и ракетных двигателей обычно используют полные параметры (см. подразд. 3.4.1). Исходными данными здесь, как правило,
являются значения давления и температуры. Давление принимают
неизменным по длине камеры сгорания, а температуру задают в начале и конце процесса, то есть в начальном (1) и конечном (2) сече62
ниях камеры. Расчету подлежат изменение удельных значений калорических параметров
( u , i, s )
и удельное количество подведенной
теплоты q12 .
Последнее определяют с использованием уравнения первого закона термодинамики для проточной системы (2.9). Технической работы здесь нет, а изменением потенциальной энергии можно пренебречь, поэтому для камеры сгорания получаем
(3.97)
q12 = i 02 − i10 .
Изменения удельных значений внутренней энергии Δu12 , энтальпии
(Δi12 ),
энтропии
(Δs12 )
(
)
находят по формулам (3.9), (3.10),
(3.11) для процесса p = const .
Изобарность допускают и при первичном термодинамическом
анализе рекуперативных теплообменников (применяемых, например,
в системах подготовки воздуха для вентиляции салонов пассажирских
самолетов). Схема расчета здесь совпадает с рассмотренной выше.
Если скорости потоков на входе и выходе теплообменника малы, допустимо использовать не полные, а термодинамические значения
T, p, v . При первичном термодинамическом анализе теплообменников может быть задана не температура в конце процесса
удельное количество подведенной (отведенной) теплоты
q12 .
T2 ,
а
Глава 4. ЦИКЛЫ ТЕПЛОВЫХ МАШИН
4.1. Структура и эффективность тепловых машин
4.1.1. Структура тепловых машин. Прямой и обратный циклы
Ранее
(см.
подразд.
1.1.2)
отмечалась
способность
термодинамической
системы
преобразовывать
энергию
взаимодействующих с ней тел из одного вида в другой. Устройство, в
котором посредством ТДС осуществляют взаимопревращение
тепловой и механической энергий, называют тепловой машиной.
Различают два класса таких машин. Первый из них составляют
тепловые двигатели (они преобразуют тепловую энергию в механическую). Ко второму классу относят тепловые насосы – эти машины
за счет «затраты» работы превращают тепловую энергию низкого
температурного потенциала в такую же энергию с высоким температурным потенциалом.
63
Структуру тепловой машины (совокупность элементов, которые
она непременно содержит) можно обосновать, опираясь на первый и
второй законы термодинамики. Выполним это обоснование применительно к тепловому двигателю.
Согласно уравнению первого закона в формах (2.6) или (2.10), для
преобразования тепловой энергии в механическую достаточно трех
объектов: источника тепловой энергии, термомеханической системы
(здесь она представлена рабочим телом) и технического устройства, с которым система «обменивается» работой. Однако по второму
закону термодинамики (см. подразд. 2.2.1) необходим еще сток теплоты.
Акт преобразования тепловой энергии в механическую рабочее
тело совершает в ходе изменения своего состояния вследствие взаимодействия с техническим устройством, источником и стоком теплоты. Поскольку назначение теплового двигателя – «создать» работу,
после приема теплоты рабочее тело должно расшириться (см. подразд. 1.3.3). Чтобы вернуть рабочее тело в исходное состояние (это
необходимо для осуществления следующего акта преобразования),
его следует сжать после отвода неиспользованной части теплоты (такой отвод компенсирует несамопроизвольность превращения теплоты
в работу). В итоге приходим к структуре теплового двигателя, показанной на рис. 4.1, а.
Взаимодействуя с остальными элементами двигателя, рабочее
тело совершает круговой процесс, или цикл (см. подразд. 1.1.3). Каждый цикл включает следующие друг за другом участки подвода теплоты qI к рабочему телу, расширения последнего в детандере с «производством» работы lрасш , отвода неиспользованной теплоты qII, сжа-
тия рабочего тела при передаче ему работы lсж (упомянутые участки
Детандер
Рабочее
тело
lрасш
Детандер
Компрессор
lсж
qI
q II
Сток
ТI
Сток
lрасш
qI
Рабочее
тело
q II
ТII < TI
а
Источник
б
Рис. 4.1
64
lсж
Компрессор
ТI
Источник
ТII < TI
цикла могут частично «перекрываться»).
Понятно, что в тепловом двигателе должно быть
lрасш > lсж
,
или lрасш + lсж > 0 . Круговой процесс тепловой машины с таким соотношением работ называют прямым циклом; для него характерны
упомянутая последовательность участков и условие Т II < TI (температура стока теплоты меньше, чем у источника).
Структура теплового насоса, по определению, должна содержать
источник и сток теплоты, а также техническое устройство, за счет работы которого теплоту «перекачивают» в направлении большей температуры (именно для компенсации несамопроизвольности этого
процесса передачи теплоты необходима затрата работы). Упомянутое
техническое устройство сжимает рабочее тело, повышая его температуру от значения, при котором возможен прием теплоты из источни-
TII , до величины, обеспечивающей отдачу теплоимеющему температуру TI > TII . Для возврата рабочего
ка с температурой
ты стоку,
тела в исходное состояние его надо расширить после взаимодействия со стоком.
Таким образом, структура теплового насоса (см. рис. 4.1, б)
включает те же элементы, что и у теплового двигателя, но температура стока теплоты ТI здесь больше, чем температура источника ТІІ.
Преобразуя тепловую энергию низкого температурного потенциала в
теплоту с высоким значением его, рабочее тело совершает круговой
процесс, содержащий те же участки, что и в цикле теплового двигателя. Однако размещение этих участков другое: расширение идет за отводом теплоты, а сжатие – за подводом. Цикл с такой последовательностью участков называют обратным: у него
lсж > lрасш ,
или
lсж + lрасш < 0 , а температура стока теплоты превышает температуру источника.
Как сказано выше, необратимость «повторения» актов преобразования энергии обуславливает наличие в структуре тепловых машин
дополнительного технического устройства (компрессора у двигателя и
детандера у насоса). Если использован объемный тип такого устройства, то последнее конструктивно объединяют с основным техническим устройством. Например, в поршневых двигателях внутреннего
сгорания (ДВС) рабочее тело попеременно расширяют и сжимают в
одном и том же цилиндре с поршнем.
65
4.1.2. Методы оценки термодинамической эффективности
тепловых машин
Термодинамическое качество тепловых машин оценивают коэффициентом эффективности их циклов.
Для тепловых двигателей таковым является коэффициент полезного действия (КПД) цикла – отношение полученной работы
lц = lрасш + lсж
q I . Работа цикла lц
к затраченной теплоте
равна его теплоте
всегда
q ц = q I + q II ; в этом можно убедиться, интегри-
руя по циклу уравнение первого закона термодинамики в формах (2.6)
или (2.10). Поэтому КПД цикла теплового двигателя (прямого цикла)
ηпц =
то есть
lц q ц q I + q II
,
=
=
qI qI
qI
ηпц = 1−
q II
qI
.
(4.1)
ηпц < 1 даже в гипотетическом варианте обратимого протекания цикла (тогда его КПД η t наСогласно второму закону термодинамики,
зывают термическим). Реальный цикл необратим, поэтому его КПД
ηi , именуемый внутренним, меньше соответствующего термического. Объединенное неравенство
ηi < ηt < 1
(4.2)
иногда называют аналитическим выражением второго закона через
КПД прямого цикла.
Наибольшее значение КПД имеет прямой цикл, в котором состояние рабочего тела изменяется по изотермам при взаимодействии с
источником и стоком теплоты, а процессы в детандере и компрессоре
адиабатны. Термический КПД этого цикла Карно (рис. 4.2) в случае
обратимого протекания всех процессов, согласно выражениям (4.1) и
(1.11), равен
ηцк
t = 1−
Т II
.
ТI
(4.3)
Поскольку обратимый цикл Карно с термодинамической точки зрения
– наилучший, формула (4.3) характеризует предельно возможное
превращение теплоты в работу при заданных температурах источника
(Т I ) и стока (TII ).
66
Т cpI = q abc Δs abc
и
TcpII = q cda Δs cda
c
Расширение
Cжатие
Поэтому термодинамическую эффективность других циклов тепловых двигателей оценивают, сравнивая их с циклом Карно. При таком сравнении с помощью s, T -диаграммы выясняют степень заполнения площадью рассматриваемого цикла аbcd (на рис. 4.2 заштрихована) площади соответствующего цикла Карно (интервалы T и s у
него те же, что у рассматриваемого цикла).
Можно и напрямую сравнивать прямые циклы, изо- T
Цикл Карно
бразив их в s, T -диаграмме
qI
(например, при одинаковой
2
3
площади q I у двух циклов TI
b
лучше тот, у которого площадь q II меньше).
a
Аналитическое сравнение
прямых циклов ведут, вычисd
ляя их термические КПД не- TII
посредственно по формуле
1
4
(4.1) или определив прежде
qII
среднеинтегральные температуры процессов подвода
s
и отвода теплоты. Их ввоРис. 4.2
дят (см. рис. 4.2) как
, поэтому термиче-
ский КПД любого цикла, согласно выражению (4.1), равен
ηt
цикла
Карно, осуществляемого между этими температурами в интервале
энтропий
Δs abc = −Δs cda
анализируемого цикла.
Эффективность обратных циклов также оценивают графически и
аналитически; процедура оценки и вид коэффициентов эффективности зависят от функционального назначения теплового насоса (они
рассмотрены в подразд. 4.7).
4.1.3. Схематизация рабочего процесса тепловых машин
В большинстве случаев сравнивают именно обратимые циклы, то
есть идеализированные термодинамические аналоги рабочего процесса тепловых машин. В случае газообразного рабочего тела идеализация сводится к следующему:
- учитывают только расширение-сжатие и процессы, выполняющие функцию подвода и отвода теплоты; последние заменяют термодинамически эквивалентным теплообменом рабочего тела с источником и стоком теплоты, температура которых неизменна;
67
- считают, что порция рабочего тела, преобразующая теплоту в
работу, совершает круговой процесс, состоящий из указанных в подразд. 4.1.1 участков; по завершении его эта же порция осуществляет
следующий цикл;
- рабочее тело представляет собой идеальный газ с постоянными массой, химическим составом и значениями c x и R ;
- упомянутые участки цикла есть обратимые изопараметрические процессы; в частности, расширение и сжатие изоэнтропны.
Аналогичные допущения (кроме третьего) принимают и при использовании двухфазного рабочего тела.
Такая идеализация позволяет средствами равновесной термодинамики установить принципиальные факторы, влияющие на
эффективность тепловых машин, и найти опорные значения их
основных параметров.
Наряду с формулами типа (4.3) для коэффициентов эффективности, в математическую модель термодинамического цикла тепловой
машины входят выражения, позволяющие вычислить параметры состояния рабочего тела в узловых точках 1, 2, 3, 4 (см. рис. 4.2) и определить характеристики всех участков цикла. Эти выражения получают, следуя рекомендациям подразд. 3.1 – 3.4, поэтому далее приведены только формулы коэффициентов эффективности.
Они справедливы для типопредставителей тепловых машин и лежат в основе оценки качества их рабочего процесса. Так, внутренний
КПД необратимого цикла теплового двигателя получают умножением
ηt
на относительный внутренний КПД цикла
ηri : ηi = ηt ηri . Ка-
чество работы двигателя в целом выражают эффективным КПД
ηe = ηi Пη j , где Пη j
– произведение КПД, характеризующих про-
чие потери во всех j-х элементах двигателя. Значение их, как и ηri ,
устанавливают экспериментально.
При термодинамическом анализе рабочего процесса тепловых
машин заменяющий его идеализированный цикл строят в расчете на
один килограмм рабочего тела.
Переходя к рассмотрению обратимых циклов классов тепловых
машин, заметим, что термодинамически наилучший цикл Карно трудно реализовать технически. Например, изотермный подвод и отвод
теплоты в двигателях с газовым рабочим телом при существующих
уровнях температур
ТІ
и
Т ІІ
приводит к очень большим давлениям
и степеням расширения, что требует крайне тяжелых и громоздких
конструкций. Поэтому реальные тепловые машины работают, используя другие круговые процессы.
68
4.2. Циклы поршневых ДВС
Двигатель внутреннего сгорания (ДВС) – это тепловой двигатель,
у которого термодинамическим процессом подвода теплоты «замещают» реакцию горения, протекающую «внутри» рабочего тела (иногда эта реакция еще и «создает» само рабочее тело).
Первыми были применены в авиации ДВС с компрессором и детандером объемного типа; по временным и пространственным признакам осуществления рабочего процесса их можно назвать двигателями периодического, или последовательного, действия. Здесь все
участки цикла происходят последовательно во времени в одном и том
же рабочем объеме, где находится порция газа. Следующий цикл может быть осуществлен в этом объеме только по завершении предыдущего, поэтому действие двигателя как бы «распадается» на следующие друг за другом периоды, соответствующие времени цикла.
4.2.1. Индикаторная диаграмма и термодинамический аналог
рабочего процесса
Классическим примером таких ДВС является поршневой двигатель. В четырехтактном варианте его исполнения один период включает следующие процессы: всасывание в цилиндр рабочего тела
(воздуха или горючей смеси), сжатие его поршнем, горение топлива,
расширение продуктов сгорания с передачей работы поршню, выталкивание этих продуктов.
Протекание упомянутых процессов хорошо видно на индикаторной диаграмме. Так нар
зывают
графическое
С
изображение связи между давлением газа в
цилиндре и объемом
надпоршневой
части
В
последнего за время
одного периода. ИндиD
каторная диаграмма чеЕ
тырехтактного карбюра0
А
торного ДВС показана
на рис. 4.3.
При ходе поршня
ВМТ
НМТ v
вправо от «верхней
1
мертвой точки» ВМТ (1й такт) цилиндр через 3
впускной клапан 1 за- 2
полняется (линия ОА)
смесью воздуха с каРис. 4.3
пельками и паром жид69
кого топлива из карбюратора. Ход поршня влево от «нижней мертвой
точки» НМТ (2-й такт; клапаны 1 и 2 закрыты) дает возможность сжать
рабочую смесь (линия АВ). В момент достижения поршнем ВМТ смесь
воспламеняют искрой, которую создает «свеча» 3. Горение смеси
приводит к резкому нарастанию давления при незначительном смещении поршня (линия ВС). Рабочему ходу поршня вправо в результате действия на него расширяющихся продуктов сгорания (3-й такт)
соответствует линия СД. Когда поршень достигнет НМТ, открывают
выпускной клапан 2, и вследствие вытекания продуктов сгорания в
атмосферу давление в цилиндре быстро падает (линия ДЕ). Четвертый такт происходит с открытым клапаном 2; во время его поршень
выталкивает оставшиеся в цилиндре продукты сгорания в атмосферу
(линия ЕО).
При термодинамическом анализе рабочего процесса двигателя
индикаторную диаграмму заменяют идеализированным аналогом –
обратимым прямым циклом. Суть замены – введение допущений, изложенных в подразд. 4.1.3. В частности, процессы всасывания рабочей смеси и выталкивания продуктов сгорания не рассматривают,
расширение-сжатие считают изоэнтропным, а горение топлива и выброс «отработавших» газов замещают термодинамически эквивалентными процессами подвода и отвода теплоты, то есть теплообменом рабочего тела с воображаемыми источником и стоком теплоты.
Предполагают также, что рабочее тело является идеальным газом
неизменного состава при c x = const .
4.2.2. Циклы Отто, Дизеля, Тринклера
Процесс отвода теплоты в ДВС объемного типа принимают изохорным. Подвод теплоты здесь может быть изохорным (цикл Отто,
рис. 4.4, а), изобарным (цикл Дизеля, рис. 4.4, б) и смешанным изохорно-изобарным (цикл Тринклера, рис. 4.4, в).
p qI 3
qI
p
2
p
3
dq=0
a
qI
3
dq=0
dq=0
2
2
4
qII
qII
qII
1
1
v
а
4
4
б
Рис. 4.4
70
1
v
v
в
Цикл Отто является термодинамическим аналогом рассмотренной
в подразд. 4.2.1 индикаторной диаграммы. По нему работают карбюраторные ДВС. Циклы Дизеля и Тринклера реализованы в поршневых
двигателях с «воспламенением от сжатия». Здесь чистый воздух
сжимают до температуры, необходимой для самовоспламенения мелкораспыленного топлива, постепенно подаваемого в цилиндр; в ходе
горения происходит значительное перемещение поршня. Вид процесса подвода теплоты в таких двигателях зависит от конструкции части
цилиндра, где протекает сгорание.
Формулу термического КПД цикла Тринклера получают
подстановкой
в
зависимость
(4.1)
соотношений
qI = cv (Ta − T2 ) + cp (T3 − Ta )
и
q II = c v (T4 − T1 ) .
Предвари-
тельно выражают температуры узловых точек 2, а, 3, 4 через Т І , используя связи (3.30) и (3.31) на изоэнтропах 1-2 и 3-4, а также зависимости
Ta T2 = p a p 2
и
T3 Ta = v 3 v a
(они следуют из урав-
нения Клапейрона). Итогом выкладок является формула
1
λρ k − 1
цт
,
ηt = 1 − k −1 ⋅
(4.4)
(λ − 1) + kλ(ρ − 1)
ε
λ = p a p 2 – степень повышения давления при подводе теплоты; ρ = v 3 v a – степень предваригде
ε = v1 v 2
– степень сжатия;
тельного расширения.
Соотношение (4.4) позволяет получить выражения для термического КПД цикла Дизеля (у него λ = 1) и цикла Отто (здесь ρ = 1).
Во всех случаях величину
термического КПД определяет
t
s
n
прежде всего степень сжатия: T
co
чем выше
ε , тем больше ηt . У
2ЦД
карбюраторных ДВС степень
сжатия топливовоздушной смеси ограничена возникновением
детонационного горения, когда
резко ухудшается работа двигателя. Такого ограничения нет у
ДВС, работающих по циклам
Дизеля и Тринклера; здесь достижимы более высокие значения ε , а следовательно, и термического КПД. При одинаковой
верхней температуре
Т3
3p=
a
2ЦТ
c
=
2ЦО v
1
s
n
o
t
v
4
=
c
s
n
o
t
qII
S
Рис. 4.5
цик71
лов будет
цд
( q1
цо
цт
ηцд
>
η
>
η
t
t
t ,
что хорошо видно на рис. 4.5
> q1цт > q1цо , а q II одинакова у всех циклов).
4.3. Циклы газотурбинных двигателей
Газотурбинные двигатели (ГТД) относятся к ДВС непрерывного,
или параллельного, действия. У двигателей этого класса процессы,
составляющие цикл, осуществляют непрерывно в газе, который протекает через разные рабочие объемы, размещенные в пространстве
друг за другом. В каждом объеме реализуют только один процесс, так
что все процессы идут параллельно во времени. Цикл совершает
порция газа, мысленно выделяемая в потоке, в результате прохождения ее через все объемы. Для сжатия-расширения газа здесь используют машины динамического типа (см. подразд. 3.4.1).
Описанная схема позволяет увеличить скорость процессов сжатия-расширения и устранить нетермодинамические процессы всасывания и вытеснения. Это сокращает время цикла, то есть увеличивает
секундную работу одного килограмма газа. Кроме того, использование
компрессора и детандера, подвижные части которых не совершают
возвратно-поступательных перемещений, дает возможность резко
увеличить секундный расход газа без существенного роста габаритов
и массы конструкции. В итоге удается создавать двигатели непрерывного действия большой единичной мощности при сравнительно малых размерах и массе. Например, самый мощный (3160 кВт) поршневой авиадвигатель ВД-4К (24-цилиндровая четырехрядная «звезда»)
имел массу 1900 кг (0,60 кг/кВт). Газотурбинный двигатель Д-27 развивает мощность 10000 кВт при относительной массе порядка
0,25 кг/кВт.
4.3.1. Цикл турбореактивного и турбовального двигателей
Типичным представителем рассматриваемого класса ДВС есть
ТРД – турбореактивный двигатель (см. рис. 2.1). Здесь воздух сжимается во входном диффузоре ВД и компрессоре К, далее в камере
сгорания КС сжигается топливо, после чего продукты сгорания расширяются в турбине Т и реактивном сопле РС (истечение продуктов
сгорания из сопла и обеспечивает тягу двигателя).
При моделировании рабочего процесса ТРД термодинамическим
циклом сжатие-расширение считают адиабатным, а горение и выхлоп
замещают эквивалентными процессами подвода и отвода теплоты.
Их принимают изобарными, поскольку рабочие объемы все время разомкнуты, а поток газа непрерывен (потери давления в идеальном
цикле не учитывают).
72
Круговой процесс, состоящий из двух адиабат и двух изобар, называют циклом Брайтона (см. рис. 4.6). Сравнение этого цикла с циклом Дизеля (см. рис. 4.4, б) показывает еще одно преимущество двигателей непрерывного действия. Здесь возможно более глубокое
адиабатное расширение, что увеличивает работу цикла.
Термический КПД цикла Брайтона
1
(4.5)
ηk = 1 − (k −1) k ,
πc
где πc = p 2 p1 – степень поЦБ
p
e
2
qI
3
вышения давления в процессе
сжатия. Формула (4.5) получена d
подстановкой в зависимость (4.1)
q I = c p (T3 − T2 ) и
q II = c p (T4 − T1 ) с последующим выражением
Т 2 Т1 и
Т 3 Т 4 через отношения давле-
т ТРД
значений
dq=0
c
д ТРД
ТВД
т ТВД
1
qII
4
v
ний согласно связи (3.31).
При пользовании формулой
Рис. 4.6
(4.5) и ей подобными для двигателя непрерывного действия надо учитывать следующее обстоятельство. Идеальные циклы таких авиационных двигателей обычно строят
для крейсерского режима полета, допуская, что точки 1 и 4 находятся на изобаре, соответствующей T
st
n
o
давлению атмосферы р н . Осталь=c
p
ные точки цикла здесь принято на3'
st
носить по параметрам торможения
n
o
2'
c
(см. подразд. 3.4.1).
=
p
Из формулы (4.5) вытекает, что
3
эффективность цикла Брайтона
тем выше, чем больше давление,
2
при котором подводят теплоту к
st
n
o
рабочему телу. Это же видно на
=c
p
рис. 4.7: у цикла 1-2′-3′-4′ КПД выше, так как при одинаковом с цик4' 4
лом 1-2-3-4 значении q I здесь
1
меньше отводимая теплота.
S
Другой способ повышения эфРис. 4.7
фективности цикла Брайтона – регенерация теплоты, то есть час73
тичное использование отводимой теплоты для предварительного подогрева рабочего тела. С этой целью сжатый в компрессоре воздух
перед подачей в камеру сгорания можно пропустить через теплообменник, омываемый выхлопными газами.
Как видно из рис. 4.8, условием регенерации в цикле Брайтона
T
3
qI
4
2
1
qРЕГ
qII
Т 4 > T2 .
ηt = (q I − q II ) q I ,
есть неравенство
При
этом
а в
отсутствие регенерации в таком же
цикле 1-2-3-4 пришлось бы подводить теплоту
q I + q рег
и отво-
дить теплоту
q II + q рег
, так что
термический КПД был бы равен
S
ηt = (q I − q II ) (q I + q рег
),
что меньше предыдущего результата.
Заштрихованная на рис. 4.8 площадь соответствует регенерируеРис. 4.8
мой теплоте
q рег
при условии, что воздух нагревается в теплооб-
Tвто = Т 4 , а продукты сгорания охлаждатемпературы Т гто = Т 2 . Такую регенерацию, воз-
меннике до температуры
ются здесь до
можную лишь при равновесном теплообмене, называют предельной.
В действительности теплообмен требует конечной разности температур между воздухом и газом, так что предельная регенерация неосуществима.
Применение регенеративного цикла Брайтона в авиационных
двигателях ограничено значительными размерами и массой теплообменника.
Возвращаясь к обычному циклу Брайтона, заметим, что на рис. 4.6
кроме узловых точек 1, 2, 3, 4 показаны еще промежуточные точки
«д» и «т», соответствующие выходу из диффузора и турбины. Их положение на изоэнтропах зависит от типа двигателя и условий его работы.
У ТРД основное сжатие происходит в компрессоре, а расширение
– в реактивном сопле, поэтому точки « д » и « т трд » расположены
вблизи узловых точек 1 и 3. Точку « т трд » наносят, исходя из условия
равенства площадей с-д-2-е и d-ттрд-3-2-е, отражающих располагаемую (техническую) работу компрессора и турбины соответственно.
74
При многокаскадной конструкции системы компрессор-турбина на
изоэнтропах 1-2 и 3-4 наносят точки, отвечающие всем компрессорам
и турбинам.
По циклу Брайтона работают также турбовинтовые двигатели. Они
объединяют преимущества ДВС непрерывного действия и тягового
винта, который как движитель более эффективен по сравнению с реактивной струей при умеренных скоростях полета (до 500 … 650 км/ч).
Турбовинтовой двигатель (ТВД) отличается от ТРД тем, что турбина его имеет увеличенную мощность, основная часть которой передается винту через редуктор. Винт дает более 90% тяги ТВД; оставшуюся долю ее создает выхлопной патрубок, спрофилированный
как сопло (в нем продукты сгорания расширяются до атмосферного
давления). С учетом того, что ТВД, как и ТРД, снабжен входным
диффузором для «предварительного» сжатия воздуха, циклы этих
двигателей совпадают, включая положение точки « д » (см. рис. 4.6).
Однако точка « т твд », соответствующая выходу из турбины ТВД, расположена вблизи узловой точки 4. Сечению, которое отделяет «турбину компрессора» от «турбины винта», в цикле ТВД отвечает точка
« тк твд » (на рис. 4.6 не показана). Ее изображают на изоэнтропе
расширения по условию равенства работ компрессора и соответствующих ему ступеней турбины. Остальная часть турбины ТВД может
быть выполнена как отдельный узел со своим валом, «пропущенным»
через вал компрессора (ТВД со «свободной» турбиной).
Рассмотренному циклу полностью идентичен цикл турбовинтовентиляторного двигателя (ТВВД). Так называют разновидность
ТВД со специально спрофилированным высоконапорным винтом
(винтовентилятором), сохраняющим высокий тяговый КПД на больших дозвуковых скоростях полета (около 850 км/ч).
Упомянутые выше преимущества двигателей непрерывного действия привели к замене поршневых ДВС вертолетов на газотурбинные, называемые турбовальными двигателями (ТВаД).
Схема их близка к ТВД; отличие состоит в том, что турбина вала
обычно является свободной, а выхлопной патрубок спрофилирован
как диффузор. В нем давление газа повышается от давления за турбиной вала
р тв
до атмосферного
р н . Это позволяет получить боль-
шую степень расширения на турбине и уменьшить потери кинетической энергии.
При первичном термодинамическом анализе указанное обстоятельство не учитывают, считая, что ТВаД работает по идеализированному циклу Брайтона (см. рис. 4.6).
75
4.3.2. Циклы двухконтурных двигателей
Основным типом двигателей дозвуковых самолетов стал двухконтурный турбореактивный двигатель, предложенный Люлькой.
Характерная его особенность – разделение входящего воздуха на два
потока. Один из них протекает по внутреннему контуру, представляющему собой обычный ТРД. Второй поток движется в наружном
контуре, где размещен только компрессор низкого давления (вентилятор), вращаемый турбиной, которая расположена во внутреннем контуре. Тягу такого двигателя создают реактивная струя продуктов сгорания, выходящая из внутреннего контура, и поток воздуха, созданный вентилятором наружного контура. Известны двухконтурные двигатели как с раздельным истечением этих рабочих тел, так и со
смешением их.
В первом случае тепловой машиной является только внутренний
контур; наружный контур здесь следует рассматривать лишь как движитель (он играет ту же роль, что винт у ТВД или ТВВД). Поэтому
термодинамический цикл двухконтурного двигателя без смешения
потоков (ТРДД) такой же, как у простого ТРД (см. рис. 4.6). Этот цикл
Брайтона строят по параметрам внутреннего контура; при анализе его
эффективности следует учесть, что турбина ТРДД часть своей мощности передает вентилятору наружного контура, а расходы воздуха в
контурах разные.
В двухконтурных двигателях со смешением потоков (ТРДДсм)
часть внутренней энергии продуктов сгорания передается воздуху наружного контура. Этот процесс можно рассматривать как теплообмен
между рабочими телами контуров в камере смешения, размещенной
между турбиной и соплом. Поэтому такой двигатель представляет собой совокупность двух тепловых машин с разными расходами рабочего тела, но связанных между
T
собой указанным теплообме3
ном и передачей вентилятору
части работы турбины.
Основной является тепловая
машина,
отвечающая
2
Т
внутреннему контуру. Ее идеальный
термодинамический
см
const цикл приведен на рис. 4.9.
=
Здесь полные давления обоих
рн
потоков на входе в камеру
4
смешения взяты одинаковыми,
1
процесс смешения «т-см» принят изобарным (он необратим
и на рис. 4.9 показан условно).
s Полная температура рабочего
тела за камерой (точка «см»)
Рис. 4.9
76
определена с использованием формулы (3.92) по известным расходам
mj
контура
и полным температурам
Tj
Tj
газа в контурах (для наружного
равна температуре воздуха после вентилятора, для внут-
реннего – температуре продуктов сгорания за последней турбиной).
Цикл тепловой машины, соответствующей наружному контуру
ТРДДсм, аналогичен показанному на рис. 4.6 и 4.7. Начальные параметры цикла такие же, как во внутреннем контуре; точка 2 отвечает
сечению за вентилятором; подводимая теплота q I равна энергообмену в камере смешения; температуры в точках 3 и 4 здесь равны
температурам в точках «см» и 4 на рис. 4.9 (в идеальном цикле не
учитывают потери давления вследствие необратимости).
Благодаря распределению внесенной с топливом энергии по
большей массе рабочего тела экономичность двухконтурного двигателя выше, чем у обычного ТРД при высоких скоростях полета, характерных для ТРД [8]. Возможность использования на этих скоростях тяги, создаваемой вентилятором, объясняется размещением его за
входным диффузором. Последний снижает скорость потока до значений, обеспечивающих дозвуковое обтекание лопаток вентилятора.
Схема Люльки позволяет за счет изменения степени двухконтурности (отношения массовых расходов воздуха в наружном и внутреннем контурах) получать характеристики двигателя, оптимально отвечающие типу самолета и заданным режимам полета. Так, при степени
двухконтурности 4,5…6 ТРДД дают очень большую тягу (230 кН у двигателя Д-18 при расходе воздуха 765 кг/с), что необходимо для сверхтяжелых самолетов.
4.3.3. Циклы двигателей с форсажной камерой
Эти двигатели появились вначале в связи с необходимостью быстрого повышения мощности существовавших ТРД без значительного
изменения их конструкции. Чтобы увеличить тягу ТРД, за турбиной
разместили вторую (форсажную) камеру сгорания для сжигания дополнительного топлива (выхлопные газы обычных ТРД содержат достаточное для этого количество кислорода).
Идеализированный цикл турбореактивного двигателя с форсажной
камерой (ТРДФ) показан на рис. 4.10. Его можно рассматривать как
цикл Брайтона с промежуточным подогревом. Соответствующую
этому подогреву дополнительную теплоту
q′I′
подводят при давлении
p фк < p 2 , так что термический КПД цикла ТРДФ меньше, чем у «исходного» цикла Брайтона 1-2-3-4трд (сравниваем циклы с одинаковыми
значениями
πс = р 2 р1
и температурами
77
Т 3 газа перед турбиной).
Поэтому первоначально форсажные камеры применяли для кратковременного повышения тяги. Сейчас их считают эффективным
средством улучшения летно-тактических данных самолетов на сверхзвуковых скоростях полета [8].
При таких ско′
′
q
ростях внутренний
I
ns t
Т
o
c
фк КПД цикла ТРДФ
q′I
p2 =
становится боль3
ше ηi цикла ТРД
2
Т
(при
одинаковой
температуре газа
перед
турбиной
4
T3 ). Причиной то1
4трд
s
Рис. 4.10
му – зависимость
внутреннего КПД
от степени повышения температуры в цикле (см.
подразд. 4.5). С
ростом ее увеличивается работа цикла lц , что ведет к снижению относительной доли потерь. В ТРДФ верхняя температура цикла
Т фк
приближается к предельно достижимой в реакции горения углеводородного топлива. Это дает возможность увеличить lц в три раза и более при скоростях полета порядка 1000 м/с. Кроме того, такие скорости благодаря сильному сжатию воздуха в диффузоре позволяют
снизить степень повышения давления в компрессоре π к , следовательно, уменьшить работу турбины. В итоге давление за турбиной
оказывается достаточно высоким для обеспечения эффективного
подвода теплоты.
Указанные обстоятельства привели к введению форсажной камеры и в конструкцию двухконтурных двигателей, что позволило применять их на сверхзвуковых скоростях полета [8]. Обычно форсажную
камеру используют в двухконтурных двигателях со смешением, размещая ее в общем потоке рабочего тела. Степень двухконтурности
таких ТРДДФ тем выше, чем больше доля времени полета с дозвуковой скоростью в «полетном задании», на которое проектируют самолет. Переход от ТРДФ к ТРДДФ снижает удельную массу двигателя,
обеспечивает решение задачи охлаждения форсажной камеры и реактивного сопла, увеличивает степень форсирования (отношение
форсажной тяги к максимальной бесфорсажной).
Как и у ТРДДсм, в двухконтурных двигателях с форсажной камерой тепловыми машинами являются оба контура. Поскольку в идеа78
лизированных циклах потери давления на смешение и при течении не
учитывают, рабочему процессу внутреннего контура ставят в соответствие цикл ТРДФ (см. рис. 4.10), наружного – цикл ТРД (см. рис. 4.6 и
4.7). Строя их, учитывают разные расходы воздуха в контурах и связь
тепловых машин посредством теплообмена в камере смешения, теплоподвода в форсажной камере, затраты части работы турбины внутреннего контура на привод вентилятора.
В частности, в упомянутых циклах идентичны точки 1, изобары отвода теплоты рн = const, значения одноименных параметров на входе
и выходе форсажной камеры. Температуру газа на входе в форсажную камеру здесь принимают равной температуре за камерой смешения (точка «см» на рис. 4.9), которую рассчитывают так же, как у
ТРДДсм. Все сказанное о КПД цикла ТРДФ верно и для ТРДДФ; более
того, применение промежуточного подогрева в цикле двухконтурного
двигателя еще эффективнее, чем у обычных ТРД.
4.4. Циклы прямоточного и ракетного двигателей
4.4.1. Цикл прямоточного двигателя
С увеличением скорости полета торможение воздуха в диффузоре
дает все больший рост давления, и точка « д » цикла Брайтона
(см. рис. 4.6) перемещается вверх по изоэнтропе 1-2. При некоторой
скорости полета сжатие в диффузоре полностью обеспечивает заданную степень повышения давления
πс = р 2 р1 , которая опреде-
ляет термический КПД цикла.
В этом случае отпадает необходимость в компрессоре, а следовательно, и в турбине. Такой воздушно-реактивный двигатель называют
прямоточным (ПВРД). В его цикле (см. рис. 4.6 и 4.7) вся изоэнтропа
3-4 соответствует расширению газа в реактивном сопле.
Понятно, что ПВРД не создает стартовой тяги, поэтому его применяют лишь на летательных аппаратах, «разгоняемых» предварительно с помощью других устройств. По геометрии входного устройства,
камеры сгорания и реактивного сопла различают прямоточные двигатели для дозвуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростей полета. Однако во всех случаях термодинамическим аналогом рабочего
процесса ПВРД является цикл Брайтона.
4.4.2. Цикл ракетного двигателя
К ДВС непрерывного действия относят и ракетные двигатели жидкого (ЖРД) и твердого (РДТТ) топлива. Здесь химическая реакция
между горючим и окислителем (оба компонента топлива находятся в
указанных агрегатных состояниях) создает высокотемпературный газ,
который затем расширяется в сопле с увеличением скорости. Если
79
принять расширение адиабатным, а упомянутую реакцию и «выхлоп»
заместить изобарными процессами подвода и отвода теплоты, то получим термодинамический цикл ракетного двигателя, показанный
p
qI
на рис. 4.11 (здесь последователь2
3
ность указанных процессов условно
изохорой 1-2, которая отδq=0 замкнута
вечает жидкому или твердому состоянию).
4
о
При этом lц = − ∫ vdp= i3 − i4, а
1
4
qII
3о
v
Рис. 4.11
(
q I = i 3о − i 2 ≈ i 3о − i1,
термический
ηt = lц q1
о
ηцрд
=
i
t
3 − i4
так
КПД
что
цикла
будет равен
) (i3о − i1 ).
(4.6)
о
Здесь i 3 – полная энтальпия газа на входе в сопло, і 4 – энтальпия
на выходе из сопла при условии расширения газа до атмосферного
давления ( р 4 = р н ). Под і1 обычно понимают энтальпию «пороховой шашки» или жидких компонентов в баках при параметрах атмосферы (для низкокипящих компонентов – при атмосферном давлении
и соответствующей ему температуре насыщения).
Термический КПД цикла ракетного двигателя можно также определить по формуле (4.1), приблизительно вычислив
qI
и
q II
по вы-
ражению (3.14) для теплоты изобарного процесса идеального газа с
постоянной теплоемкостью:
ηцрд
t
c p (T4 − T1 )
q II
.
= 1−
= 1−
о
qI
c p T3 − T2
Поскольку у ракетного двигателя
T1
и
T2
)
много меньше
T3о
и
T4 ,
(
), что после подстановки соотношения
о
о ( k −1) k
T3 = (p 4 p3 )
для изоэнтропы 3-4 дает
имеем
T4
(
о
ηцрд
=
1−
T
T
t
4
3
1
ηцрд
=
−
1
t
( k −1) k ,
πc
80
(4.7)
где
πc = p 3о p 4
– степень расширения газа в реактивном сопле.
4.4.3. Циклы ракетно-прямоточных двигателей
Выше отмечалось, что прямоточный воздушно-реактивный двигатель не имеет стартовой тяги и требует предварительного «разгона»
посредством дополнительных устройств. Этим разгонным устройством может служить ракетный двигатель.
Если ЖРД или РДТТ «встроен» в ПВРД, то такой комбинированный двигатель называют ракетно-прямоточным (РПД). В зависимости от «полетного задания» может быть предусмотрена как раздельная, так и совместная работа ракетного и прямоточного блоков РПД.
В первом случае РПД обязательно снабжают камерой сгорания такой
же, как у ПВРД (с собственной системой подачи топлива); во втором
может быть предусмотрено лишь дожигание в потоке воздуха части
горючего ракетного блока (эта часть содержится в продуктах сгорания
ЖРД или РДТТ). Ракетный блок обычно помещают в центральном теле сверхзвукового воздухозаборника ПВРД; предпочтение отдают ракетному блоку на основе РДТТ, особенно в РПД с параллельной работой обоих блоков.
Рабочий процесс РПД моделирует совокупность цикла Брайтона и
цикла ракетного двигателя. При одновременной работе прямоточного
и ракетного блоков учитывают связь между циклами, которую создают
процесс передачи теплоты от одного цикла к другому и процесс дополнительного сжатия воздуха реактивной струей ракетного блока.
Это сжатие обеспечивает превосходство РПД с параллельной работой блоков над ПВРД по экономичности и лобовой тяге [8]. В сравнении с ракетным двигателем такой РПД имеет больший удельный
импульс ввиду присоединения воздушной массы к струе продуктов
сгорания ЖРД или РДТТ. Последнее преимущество сохраняется даже
при отключении камеры сгорания прямоточного блока или отсутствии
дожигания горючего ракетного блока в потоке воздуха.
4.5. Условия высокой эффективности циклов ДВС
В основе рабочего процесса большинства авиадвигателей непрерывного действия лежит цикл Брайтона (см. рис. 4.6). Его термический КПД, согласно выражению (4.5), определяется степенью повышения давления
πc = p 2 p1 .
Судя по формуле (4.7), это справедливо и для цикла ракетных
двигателей, которые также относятся к ДВС непрерывного действия.
81
Из числа ДВС периодического действия в авиации применяют двигатели, работающие по циклу Отто (см. рис. 4.4, а). Для него из соотношения (4.4) следует
ηцо
t = 1−
Степень сжатия
ε = v1 v 2
1
ε
k −1
.
(4.8)
здесь можно заменить величиной
π1c/ k ,
учитывая связь (3.26); при этом зависимость (4.8) совпадет с выражениями (4.5) и (4.7).
Изложенное позволяет сформулировать общее правило обеспечения высокого термического КПД цикла ДВС: подвод теплоты надо
осуществлять при большом давлении. Другой путь улучшения
ηt
–
регенерацию теплоты – в двигателях летательных аппаратов реализовать трудно из-за габаритно-массовых ограничений.
Именно по пути увеличения степени повышения давления в цикле
и шло развитие авиационных и ракетных двигателей. Например, ГТД
первого поколения имели компрессоры с
πk = p 2 p д
(см. рис. 4.6)
от 3,5 до 5,0. В двигателях четвертого поколения устанавливались
компрессоры с π k = 21…27 что существенно улучшило экономичность рабочего процесса: удельный расход топлива
с уд
[кг/(Н·ч)]
снизился с 1,4 … 1,2 до 0,62 … 0,58 [8].
Однако при увеличении степени повышения давления растет
верхняя температура цикла
Т3
Т3 –
πс за-
(см. рис. 4.7). В циклах ГТД
это температура газа перед турбиной. Поэтому увеличение
ставляет применять для турбин все лучшие конструкционные материалы и снабжать их все более эффективными системами охлаждения.
Впрочем, при анализе эффективности циклов ДВС не следует относиться к увеличению верхней температуры как к некоему «вредному» обстоятельству. Хотя
Т 3 не входит явно в формулы для η t , рост
термического КПД при увеличении степени повышения давления
обеспечивается именно вследствие возрастания среднеинтегральной
температуры процесса подвода теплоты (см. подразд. 4.1.2).
Кроме того, от
Т3
зависит удельная работа цикла, которая явля-
ется вторым важнейшим показателем его эффективности. Вычислим
ее для обратимого цикла Брайтона (см. рис. 4.6) как разность модулей располагаемых работ изоэнтропных процессов 3-4 и 1-2. С учетом соотношений (3.33), (3.32), (1.16) эта разность равна
82
⎛ θ
⎞
k
( k −1) k
⎜
− 1 ⎜ ( k −1) k − 1⎟⎟ ,
lt =
RT1 πc
(4.9)
k −1
⎝ πc
⎠
где θ = T3 T1 – степень подогрева. Как видно, работа цикла определяется не только величиной π с ; она еще непосредственно зависит
от верхней температуры Т 3 . Анализ выражения (4.9) показывает, что
(
ЦБ
ЦБ
lt
имеет максимум по
Влияние
Т3
)
πс .
на работу цикла сохраняется и для реального (необЦБ
ратимого) цикла Брайтона ( li
есть возрастающая функция
ЦБ
Более того, у такого цикла не только работа lі
висит от верхней температуры Т 3 = θТ1 [8]:
, но и КПД
Т 3 ).
ЦБ
ηі
за-
π(ck −1) k − 1 ⎛ θηc ηp e ⎞
k
⎜⎜ ( k −1) k − 1⎟⎟
R
ЦБ
ηc
k −1
⎝ πc
⎠ .
(4.10)
ηi =
k усл
R усл θ − π(ck −1) k − 1 ηc − 1
k усл − 1
Здесь k и R – показатель изоэнтропы и газовая постоянная воздуха;
ηс и ηр – КПД процессов сжатия и расширения; е ≈ 1,05 – поправка
на различие свойств воздуха и продуктов сгорания; k усл и R усл –
[ (
)
]
условные средние значения показателя изоэнтропы и газовой постоянной рабочего тела в камере сгорания.
Зависимость внутреннего КПД
ЦБ
ηi
от
Т3
объясняется увеличе-
ЦБ
нием работы цикла li
с ростом θ , что приводит к снижению относительной доли работы, затрачиваемой на преодоление потерь. С
другой стороны, эта доля усиливается при увеличении
зависимость
ЦБ
ηi
от
поэтому
πс имеет максимум, тогда как термический КПД
ЦБ
ηt
πс ,
непрерывно расчет с увеличением
πс согласно формуле (4.5).
Из сказанного о работе и КПД необратимого цикла Брайтона вытекает, что условием высокой эффективности действительных цик83
лов является обеспечение максимальной верхней температуры и
оптимальной степени повышения давления. Последнюю выбирают по
максимуму lі или ηі в зависимости от приоритета мощности или экономичности двигателя.
При полном использовании кислорода воздуха в процессе горения углеводородного топлива теоретически достижимо значение
Т3 = 2200…2800 К. Таким верхним температурам цикла соответствуют
оптимальные
πсopt
ηi
степени
повышения
давления
πсopt
li
= 40…70 и
. = 400…600.
Однако существующие материалы лопаток турбины и системы их
охлаждения не позволяют получить указанные значения
Т3 .
Этим
объясняется применение в современных газотурбинных двигателях
цикла Брайтона с промежуточным подогревом. Как упоминалось в
подразд. 4.3.3, на сверхзвуковых скоростях полета внутренний КПД
такого цикла становится больше ηi простого цикла Брайтона.
Что касается достигнутых величин
πс ,
то они вполне соответст-
вуют значениям, оптимальным для «освоенных» уровней температуры
Т3 .
Например, на больших сверхзвуковых скоростях полета
суммарная степень повышения давления в ГТД составляет 100…150,
а при дозвуковых скоростях степень повышения давления в
компрессоре π к = 30 и более [8].
4.6. Циклы космических энергоустановок
Космические энергоустановки (КЭУ) вырабатывают электроэнергию, питающую бортовую аппаратуру, специальное оборудование,
систему жизнеобеспечения, электроракетные двигатели. Уровень
мощности КЭУ определяется задачей, решаемой космическим летательным аппаратом (КЛА), и потребностями его функционирования.
В настоящее время монопольное положение среди КЭУ занимают
фотоэлектрические преобразователи (солнечные батареи) с химическими аккумуляторами. Их среднесуточная мощность составляет от
нескольких десятков ватт у микроспутников до одного-двух киловатт
для геостационарных платформ связи и аппаратов зондирования
Земли (сеансная мощность здесь достигает 1,5…4 Квт). У орбитальных КЛА с экипажем (типа МКС) электрическая мощность находится
на уровне десятков киловатт, что также обеспечивается солнечными
батареями.
Однако в перспективе не исключены потребности в мощности порядка сотен и тысяч киловатт для КЛА орбитального и межпланетного
84
типов. Основой КЭУ при этом становится ядерный реактор с различными системами преобразования тепловой энергии в электрическую.
В их число входит и преобразователь на основе тепловой машины, в
цикле которой может быть использован как газ, так и рабочее тело,
претерпевающее фазовые переходы. При разработке таких машин
предпочтение отдают схеме непрерывного действия, учитывая ее
преимущества, упомянутые в начале подразд. 4.3.
4.6.1. Циклы газотурбинных КЭУ
В отличие от авиационных газотурбинных установок (см. подразд. 4.3.1), в космических ГТУ подвод и отвод теплоты осуществляют
посредством теплообменников, а рабочее тело циркулирует по связывающему их замкнутому контуру [9, 10].
Такая замкнутость позволяет использовать газ (например, гелий) с
максимальными значениями показателя изоэнтропы k , газовой постоянной
R
и теплоемкости
cp .
Это дает возможность повысить
термический КПД, увеличить работу цикла, уменьшить поверхности
теплообмена. В итоге удается снизить габариты и массу КЭУ, особенно если принять большое начальное давление цикла (что ведет к
уменьшению объемов газа, пропускаемых через элементы установки).
Газотурбинные КЭУ чаще всего работают по циклу Брайтона (см.
рис. 4.6), в том числе с регенерацией теплоты (см. рис. 4.8). Наличие
теплообменников обеспечивает возможность применения и других
циклов.
Так, в подразд. 3.3.2, 3.4.2 и 3.4.3 отмечалось, что изотермные
процессы сжатия и расширения предпочтительнее адиабатных; в частности, они позволяют затратить меньше работы в компрессорах и
получить ее больше в детандерах. Поскольку работа цикла lц ГТУ с
подводом и отводом теплоты при p = const равна разности располагаемых работ турбины и компрессора, изотермное проведение процессов в них даст увеличение lц .
Оно хорошо видно на рис. 4.12: площадь 1-2-3-4 цикла с изотермным изменением давления (процессы 1-2 и 3-4) больше площади
1-2Б-3-4Б соответствующего цикла Брайтона (при одинаковых на-
πс , T3 ). Однако рост lц сопровожподводимой теплоты q I , причем таким,
чальных параметрах и значениях
дается здесь увеличением
что термический КПД
ηt
оказывается меньшим, чем у соответствую-
щего цикла Брайтона.
Тем не менее, цикл с изотермным сжатием и расширением (рис.
4.12) представляет интерес, поскольку дает возможность уменьшить
85
co
ns
t
p=
p=
con
st
расход газа при заданной мощности ГТУ. Кроме того, вследствие
роста работы цикла снижается относительная доля потерь в компрессоре и турбине, так что внутренний КПД ηi здесь может оказаться
выше, чем в цикле
Брайтона (особенно
Т
при больших потехарактерных
рях,
для космических ГТУ
3
4
с малыми проходными сечениями газового тракта).
Если же в цикле с
изотермным сжатием
2Б
и расширением осуществлена регене4Б
рация теплоты, то
2
его термический КПД
1
превышает значение
s
ηt
в соответствую-
щем цикле Брайтона.
Более того, изотермное проведение указанных процессов позволяет применить регенерацию даже в тех случаях, когда при использовании цикла Брайтона она
была невозможна (см. рис. 4.12; здесь Т 4 Б < Т 2 Б ).
Чтобы достичь изотермности процесса изменения давления, надо
отводить теплоту при сжатии и подводить ее при расширении. В случае компрессора и турбины такой теплообмен сложно обеспечить в
ходе всего процесса, поэтому термодинамические преимущества рассмотренного цикла реализуют лишь частично в схемах с промежуточным охлаждениТ
d
3
ем и подогревом гаst
n
за.
co
=
Такой цикл покаp
зан на рис. 4.13 для
c
4
случая, когда в линиях сжатия и расширения установлеa
2
t
но по одному промеons
c
жуточному теплообp=
меннику. В них тепв
1
лота отводится от газа (участок «а-в») и
s
подводится к нему
(участок «с-d») в коРис. 4.13
86
Рис. 4.12
личествах, обеспечивающих восстановление температуры до значений
Т1 и Т 3 соответственно.
В отличие от авиационных ГТУ, где основные параметры цикла
выбирают исходя из необходимых величин lц и ηi , цикл космических
ГТУ следует оптимизировать еще по массе холодильника-излучателя
(он служит для «сброса» теплоты q II ) и промежуточных теплообменников (при наличии их). Подчеркнем важность такой характеристики
цикла, как внутренний КПД ηi : при заданной электрической мощности
N эл
КЭУ он определяет тепловую мощность реактора, а следова-
тельно, и массу его защиты (в КЭУ с
N эл ≈ 1000 кВт она составля-
ет ~ 50% массы всей установки). Поэтому при выборе вида цикла и
рабочего тела КЭУ необходимо избегать чрезмерного уменьшения
проходных сечений газового тракта (это ухудшает газодинамику проточной части компрессора и турбины, сильно влияя на их КПД).
4.6.2. Циклы паротурбинных КЭУ
Использование рабочего тела, которое может переходить из жидкого состояния в паровое и наоборот, открывает возможность осуществления цикла Карно в тепловой машине непрерывного действия. В
самом деле, если изобарные процессы подвода и отвода теплоты
реализовать в двухфазной области состояния рабочего тела, то они
будут одновременно изотермными (см. подразд. 1.4.5). Считая, что
процессы в компрессоре и детандере адиабатны, получаем цикл Карно (рис. 4.14), термический КПД которого вычисляют по формуле
(4.3).
Однако термодинамические преимущества такого цикла «погаша-
p
кт
T
pI
3
2 qI
pII
1
TI
TI
qII
а
4
кт
2
qI
TII
TII
1
v
4
qII
б
Рис. 4.14
87
3
pI
pII
s
ются» низким относительным внутренним КПД ηri из-за малой эффективности процессов сжатия и расширения влажного пара. Работа
сжатия при этом велика, компрессор громоздок, лопатки его и турбины подвержены эрозионному разрушению каплями жидкости.
кт
p
2
T
кт
3
qI
a
TI
2
1
qII
4
TII
1
qI
qII
v
а
б
3
4
pI
pII
S
Рис. 4.15
Проблемы, связанные со сжатием влажного пара, устранены в
цикле Рэнкина (рис. 4.15). Благодаря отводу теплоты до полной конденсации пара существенно уменьшена работа процесса 1-2 (сравним заштрихованные площади на рис. 4.15, а и 4.14, а) и повышен его
относительный внутренний КПД. Поэтому, несмотря на уменьшение
термического КПД
ηt
по сравнению с циклом Карно, здесь достигнут
такой же внутренний КПД
ηi = ηri ηt .
В то же время несомненны
технические преимущества цикла Рэнкина: упомянутый компрессор
заменен компактным жидкостным насосом.
Еще эффективнее цикл Рэнкина с перегревом пара (рис. 4.16, а).
Проведение расширения в области сухого перегретого пара улучшает
качество процесса и устраняет эрозионное разрушение лопаток турбины. При большом верхнем давлении р І перегрев может привести к
чрезмерно высокой максимальной температуре цикла. Эту опасность
ликвидируют посредством промежуточного (между ступенями турбины) перегрева пара (рис. 4.17, б). Термический КПД при этом возрастает (формально добавлен цикл с большим коэффициентом заполнения).
Согласно формуле (4.1), термический КПД цикла Рэнкина с перегревом пара равен
о
о
ηцр
i 3о − i о2 ,
(4.11)
t = 1 − i 4 − i1
или приближенно
(
)(
88
)
(
о
о
ηцр
=
i
−
i
t
3
4
) (i3о − i1о ),
(4.12)
если пренебречь работой насоса, которая в соответствии с уравненио
о
ем (3.63) равна і1 − і 2 .
T
T
кт
a
qI
3 p
I
a
qI
b
2
1
кт
4
b
2
pII
4
1
qII
а
т3
qII
s
s
б
Рис. 4.16
В подразд. 4.1.2 отмечалось, что эффективность циклов можно
оценивать по разности среднеинтегральных температур процессов
подвода и отвода теплоты (чем больше эта разность, тем выше
η t ).
Увеличение ее в циклах паротурбинных установок требует расширения интервала между давлениями р І и р ІІ .
Нижний предел значений Т ІІ и р ІІ ограничен трудностями отвода теплоты к окружающей среде и большими габаритами конденсатора. Допустимый максимум величин Т І , р І определен сужением изотермного участка подвода теплоты и необходимостью многократного
перегрева пара. Упомянутое сужение уменьшает термический КПД
цикла, поэтому целесообразно применение рабочих тел с высокими
критическими параметрами.
Эффективность циклов паротурбинных установок может быть также повышена за счет регенерации теплоты. Например, в цикле Рэнкина с предельной регенерацией (рис. 4.17, а) достижим такой же
термический КПД, как в цикле Карно. Целесообразно применение регенерации и в цикле Рэнкина с перегревом пара (рис. 4.17, б). В обоих
случаях точка 4р не должна попасть на линию малой степени сухости
пара (иначе условия работы последних ступеней турбины будут неблагоприятны). Для циклов на рис. 4.17 термический КПД
ηt = 1 − i о4р − i1о i 3о − i оа .
(4.13)
(
)(
89
)
При выборе вида цикла и рабочего тела паротурбинной КЭУ следует учитывать влияние их не только на внутренний КПД ηi и работу
T
T
кт
pI
a
2
1
кт
a
3
4
qрег
b
pII
4p
2
1
4p
qрег
S
а
3 pI
c
4
pII
S
б
Рис. 4.17
цикла lі , но и на массу холодильника-излучателя, а также на степень
сложности конструкции установки. В частности, при анализе целесообразности усложнения тепловой схемы (введения промежуточного
перегрева и регенерации) обязательно сопоставление достигаемого
повышения энергетических показателей КЭУ с изменением упомянутых факторов. Так, регенерация теплоты, приводящая к более сложной конструкции и увеличению массы установки, дает существенный
рост ηi и уменьшение площади холодильника-излучателя для органических рабочих тел типа даутерма, но при использовании жидких
металлов практически не влияет на эти характеристики [9, 10].
Жидкие металлы (калий, натрий, цезий, рубидий) являются основным видом рабочего тела космических паротурбинных установок, хотя
использование их усложняет конструкцию и эксплуатацию КЭУ, в частности, запуск ее в космосе. Снимающие это ограничение рабочие
тела типа даутерма, дифенила, толуола дают в циклах с регенерацией такие же значения КПД, как у простого цикла на калии, однако
площадь холодильника-излучателя у них оказывается намного большей. Заметим, что этот показатель у КЭУ на жидких металлах существенно лучше и по сравнению с газотурбинными установками.
4.7. Циклы тепловых насосов
В системах жизнеобеспечения и терморегулирования летательных
аппаратов возможно применение второго вида тепловых машин – тепловых насосов. Повышая за счет затраты работы температурный потенциал теплоты, эти устройства чаще всего выполняют функции
уменьшения или увеличения температуры заданного объекта. В пер90
вом случае тепловой насос называют холодильной установкой, во
втором – отопительной.
Согласно подразд. 4.1.1, тепловой насос работает по циклу, обратному по отношению к тепловому двигателю. Поэтому циклы тепловых насосов получают обращением уже рассмотренных циклов тепловых двигателей с газовым и двухфазным рабочим телом.
4.7.1. Термодинамические циклы тепловых насосов
с газовым рабочим телом
В таких машинах чаще всего применяют компрессоры и детандеры динамического типа, поэтому здесь используют обратный цикл
Брайтона (рис. 4.18).
p
3
qI
2
T
δq=0
a
aK
b
TI 3
4K
4
qII
TII
1
c
=
st
n
o
2K = c
p
1
4
v
а
p
2
st
n
co
б
S
Рис. 4.18
Его начинают (точка 1) адиабатным сжатием газа до температуры
Т 2 , превышающей температуру Т І горячего стока теплоты. За счет
разности Т І и температуры газа от него отводят теплоту q I в теплообменнике (этот процесс 2-3 считают изобарным). Далее газ адиабатно расширяют в детандере, что приводит к снижению температуры
его до значения Т 4 , меньшего температуры Т ІІ холодного источника теплоты. Это дает возможность отобрать от последнего теплоту
q II в теплообменнике (изобара 4-1 на рис. 4.18). Затем цикл повторяют с той же порцией газа (он непрерывно циркулирует в замкнутом
тракте, объединяющем все рабочие объемы).
Если функционально тепловой насос предназначен для охлаждения объекта (то есть является холодильной установкой), то горячим
стоком является окружающая среда либо другой заданный объект с
более высокой, чем у охлаждаемого, температурой. Эффективность
91
обратимого цикла такой установки оценивают термическим холодильным коэффициентом
η tf =
Для
обратного
q II
q II
.
=
lц
q I − q II
цикла
Брайтона
(4.14)
qII = cp (T1 − T4 ),
qI = cp (T2 − T3 ) ; подстановка этих выражений в формулу (4.14) и
замена T3 T4 и T2 T1 на отношения соответствующих давлений
согласно зависимости (3.31) дает:
ОЦБ
ηtf
где
πp = p3 p 4
1
= ( k −1) k ,
πp
−1
– степень расширения газа в детандере (при боль-
шой скорости течения хладагента
Величина
ηtf
(4.15)
π p = p 3о p о4 ).
по формуле (4.15) ниже, чем в обратном цикле
Карно, осуществляемом в том же интервале температур источника
(ТІІ) и стока (ТІ) теплоты. Для него, с учетом соотношений (4.14) и
(1.11), получаем:
к
ηоц
(4.16)
tf = TII TI − TII .
Преимущества обратного цикла Карно хорошо иллюстрируются
рис. 4.18, б: по сравнению с циклом 1-2-3-4 цикл 1-2К-3-4К отбирает
больше теплоты от охлаждаемого объекта при меньшей затрате работы и меньшем количестве теплоты, которое необходимо передать
горячему стоку.
Из рис. 4.18, б также видно, что указанное различие можно уменьшить, «сузив» обратный цикл Брайтона (упомянутые величины у
циклов в-а-3-с и в-аК-3-4К отличаются меньше, чем у «полных» циклов 1-2-3-4 и 1-2К-3-4К). Однако в «узком» цикле 1 кг газа отводит
меньше теплоты, что потребует увеличения расхода газа для обеспечения заданной холодопроизводительности. Кроме того, на узкий
цикл сильнее влияет реальная необратимость процессов расширения
и сжатия.
В случае, когда тепловой насос используют для нагрева объекта
(отопительная установка), стоком теплоты является этот объект, а
холодным источником – окружающая среда или другой заданный
объект с более низкой, чем у нагреваемого, температурой. Эффективность цикла такой установки характеризуют термическим отопительным коэффициентом
92
(
)
qI
qI
.
=
lц
q I − q II
Отняв от числителя и добавив к нему q II , получаем
ηth = 1 + ηtf .
ηth =
(4.17)
(4.18)
Все сказанное выше об особенностях обратных циклов Карно и
Брайтона (в том числе «узкого») справедливо и для отопительной установки.
Преимуществом ее по сравнению с обычными нагревателями (типа электрического) является то, что при использовании теплового насоса подводимая к объекту теплота по модулю всегда больше модуля
затраченной работы:
дает
q = l ).
q I = lц + q II (обычный нагреватель в идеале
Например, отопительная установка, работающая по
обратному циклу Карно, имеет
ηth = 6,6 при ТІ = 298 К и ТІІ = 253 К.
4.7.2. Циклы парокомпрессионных тепловых насосов
Согласно подразд. 4.1.1. и 4.6.2, для таких насосов следует использовать цикл, обратный показанному на рис. 4.16, а. При обращении этого цикла участок а-2-1 должен быть заменен изоэнтропным
процессом расширения рабочего тела в детандере. Однако создать
детандер для насыщенной жидкости крайне сложно. Поэтому на практике вместо детандера применяют дроссель.
Последний представляет собой короткий канал с местным уменьшением поперечного сечения. При прохождении через такое сужение
рабочее тело дросселируется (см. подразд. 3.5.2). Если процесс
адиабатен, дросселирование ведет к падению температуры на- T
кт
pI
сыщенной жидкости или влажного
пара (здесь
Ta
всегда меньше
TI
3
a
2
qI
верхней температуры инверсии
pII
Tи по формуле (3.89)). Дроссель
TII
1'
настраивают так, чтобы темпера1
тура рабочего тела снизилась до
4
qII
значения Т II (рис. 4.19), при котором происходит отбор теплоты
S
qII от холодного источника.
Рис. 4.19
Понижение давления на дросселе не сопровождается «производством» работы (как это было бы в
случае процесса расширения в детандере). В результате КПД цикла
93
уменьшается, но существенно упрощаются конструкция теплового насоса, его изготовление и эксплуатация.
Процесс дросселирования необратим по своей природе (падение
давления обусловлено диссипацией энергии потока). Поэтому при
адиабатном дросселировании энтропия рабочего тела возрастает
(см. подразд. 2.2.2), и линия 3-4, которой на рис. 4.19 условно показан
процесс, отклоняется вправо. Остальные участки цикла парокомпрессионного теплового насоса считают обратимыми: 4-1 – изобарноизотермный подвод теплоты q II от холодного источника, 1-2 – адиабатное сжатие пара в компрессоре, 2-а -3 – изобарный отвод теплоты
qI к горячему стоку.
Применение в тепловом насосе поршневого компрессора позволяет вести процесс сжатия в области влажного пара (линия 1′-а на
рис. 4.19). В этом случае цикл парокомпрессионного теплового насоса
отличается от обратимого цикла Карно только наличием необратимого процесса расширения 3-4.
Эффективность рассматриваемых циклов оценивают холодильным или отопительным коэффициентами (см. предыдущий подраздел) в зависимости от назначения парокомпрессионного теплового
насоса.
Если его используют как холодильную установку, КПД цикла по
аналогии с зависимостью 4.14 равен
поскольку здесь
ηf = (i1 − i3 ) (i 2 − i1 ),
i 4 = i 3 , а lц равна работе
(4.19)
компрессора. При ис-
пользовании турбокомпрессора и большой скорости течения хладагента в формулу (4.19) подставляют полные значения энтальпий.
Если парокомпрессионный тепловой насос служит отопительной
установкой, КПД его цикла вычисляют аналогично формуле (4.18).
Расчеты показывают, что коэффициенты эффективности цикла
парокомпрессионного теплового насоса отличаются от соответствующих коэффициентов обратного цикла Карно меньше, чем у тепловых насосов с газовым рабочим телом. Однако вывод о термодинамическом преимуществе парокомпрессионного теплового насоса
справедлив только при относительно малом температурном интервале
Т І − Т ІІ .
Этот интервал температур должен укладываться между критической и тройной точками рабочего тела парокомпрессионного теплового насоса, а давление насыщенного пара при этом не должно быть
слишком высоким или низким (иначе конструкция окажется сложной).
94
Часть вторая
ИНЖЕНЕРНАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Глава 5. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
5.1. Закон Фурье
5.1.1. Исходные понятия и определения
Теплопроводностью (кондукцией) называют самопроизвольный
необратимый процесс переноса внутренней (тепловой) энергии в пространстве с неоднородным распределением температуры, обусловленный движением и взаимодействием микрочастиц тела. В газах и
жидкостях такими частицами являются молекулы, в твердых телах –
электроны, ионы, атомы.
В инженерной теплопередаче не рассматривают «механизм» переноса тепловой энергии, а устанавливают связь между конечным результатом процесса и его «движущими» факторами. Поэтому здесь
в качестве содержательной модели тел принимают воображаемую
сплошную среду, макроскопические характеристики которой распределены в пространстве непрерывным образом. Дискретность реальных тел, если она влияет на процесс теплообмена, учитывают, приписывая среде некоторые макроскопические свойства, также распределенные непрерывно.
Для процесса теплопереноса существенны две основные характеристики: неоднородность распределения температуры (движущий
фактор) и количество переданной энергии (конечный результат).
В отличие от равновесной термодинамики, где температура характеризует макроскопическую систему в целом, в теории теплообмена
значения температуры указывают для элементарных объемов
сплошной среды. Такие объемы должны содержать количество микрочастиц, обеспечивающее статистически устойчивое значение температуры и других макропараметров. В то же время эти объемы
должны быть достаточно малы по сравнению с рассматриваемым телом для того, чтобы их можно было считать точками в математическом смысле.
С учетом сказанного температуру
Т [К ] в теории теплообмена
характеризуют скалярным полем Т (х, у, z, t), где х, у, z – декартовы
координаты элементарных объемов сплошной среды (точек пространства), t – время. Если поле Т явно не зависит от времени, его
называют стационарным. В данный момент времени геометрический
образ температурного поля дает семейство изотермных поверхностей
(геометрических мест точек, имеющих одинаковую температуру) или
95
изотерм (линий пересечения изотермных поверхностей с какой-либо
плоскостью).
Скалярному полю Т (х, у, z, t) можно поставить в соответствие
векторное поле градиента температуры grad T (x, y, z, t). Последний вводят обычным образом:
ΔT v ∂T
=n
Δn →0 Δn
∂n
r
grad T = n lim
[K / м],
(5.1)
где Δn – расстояние между изотермными поверхностями, температуры которых различаются на ΔT (vрис. 5.1). Это расстояние отсчитывают в данной точке по нормали n к поверхности, а саму нормаль
направляют в сторону роста температуры.
Определение (5.1) можно записать r
как
grad T = ∇T ,
где
(5.2)
r r ∂ r ∂ r ∂
∇=i
+ j +k
∂z
∂x
∂y
(5.3)
представляет
векторный дифференциальный оператор Гаr r собой
r
мильтона ( i ,
j, k
есть орты осей х, у, z).
Теплоту, то есть количество энергии, переданной в ходе теплообмена,
характеризуют
вектором
плотности
теплового
потока
gradT
n
T + ΔT
)
(ΔT > 0
}Δn
r
q ( x , y, z, t ), модуль ко-
торого равен теплоте,
проходящей через единицу площади изотермной поверхности в едиr
Рис. 5.1
ницу времени. Вектор q
направлен перпендикулярно этой поверхности и, согласно второму закону термодинамики,
обращен в сторону уменьшения температуры; его размерность
[q] = Дж/(м2⋅с) = Вт/м2.
Для определения количества теплоты Q , прошедшей в единицу
st
T = con
времени через произвольную поверхность
A,
необходимо интегри-
r
ровать по ней поле нормальных компонент вектора q ( x , y, z, t ) :
r r
(5.4)
Q = ∫ n ⋅ qdA = ∫ q n dA ,
A
A
96
r
где n – внешняя нормаль к участку dA поверхности
Q , Вт, называют тепловым потоком.
A . Величину
5.1.2. Основной закон теплопроводности
Этот закон устанавливает пропорциональность векторов плотности теплового потока и градиента температуры в виде
r
r
q = − λ ∇T ,
(5.5)
где коэффициент теплопроводности λ , Вт/(м·К) характеризует спо-
собность конкретной сплошной среды «передавать» определенное
количество теплоты при заданном градиенте температуры. Свойство
теплопроводности приписывают воображаемой сплошной среде для
учета самопроизвольного процесса переноса тепловой энергии, реально происходящего в результате движения и взаимодействия микрочастиц тела.
Значение коэффициента теплопроводности конкретных материалов находят опытным путем как функцию температуры; для газов λ
еще зависит от давления. Сведения о величине коэффициентов теплопроводности конструкционных материалов, жидкостей и газов, применяемых в аэрокосмических объектах, можно найти в справочниках,
например, в [1, 11].
Формула (5.5) представляет собой обобщенное математическое
выражение гипотезы Фурье, согласно которой количество теплоты,
переданной в направлении n через площадку ΔA , пропорционально
ее величине и производной температуры по направлению n . Гипотеза эта многократно подтверждена опытом, поэтому соотношение (5.5)
называют аналитическим выражением закона Фурье: вектор плотности теплового потока пропорционален соответствующему градиенту
температуры. Уравнение (5.5) позволяет решить ряд простейших задач стационарной теплопроводности (см. подразд. 5.3).
5.2. Краевая задача теплопроводности
5.2.1. Дифференциальное уравнение теплопроводности
В общем случае для решения задач теплопроводности (нахождеr
ния полей Т и q ) соотношения (5.5) недостаточно. Здесь необходима постановка краевой задачи, представляющей собой совокупность
дифференциального уравнения теплопроводности и условий однозначности (краевых условий).
Упомянутое дифференциальное уравнение есть математическое
выражение первого закона термодинамики (закона сохранения энергии) применительно к процессу переноса теплоты в твердых телах.
97
n
Согласно этому закону (см. формулу (2.1)), изменение тепловой
(внутренней) энергии U в некотором
А
объеме V твердого тела без теплоисточников (рис. 5.2) может происходить
лишь в результате теплообмена поdV
средством теплопроводности на поверхности А, ограничивающей указанный объем (если деформация объема
вследствие изменения температуры
dA
пренебрежимо мала). Рассматривая
изменение энергии за единичный промежуток времени, имеем
V
q
∂
r r
u
dV
n
ρ
=
−
∫
∫ ⋅ qdA , (5.6)
∂t V
A
ρ – плотность тела, u – удельное
Рис. 5.2
где
значение внутренней энергии.
При отсутствии температурной деформации ρ и V не меняются
во времени, поэтому
∂
∂u
∂
(
)
ρ
=
ρ
=
ρ
dV,
u
dV
u
dV
∫
∫
∫
∂t V
V∂t
V ∂t
а по теореме Гаусса – Остроградского
r r
r r
∫ n ⋅ qdA = ∫ ∇ ⋅ qdV ,
A
V
так что уравнение (5.6) можно переписать в виде
r r⎤
⎡ρ ∂u + ∇
⋅ q ⎥dV = 0 .
∫⎢
⎦
V ⎣ ∂t
В силу произвольности объема V последнее равенство дает
∂u
r
ρ + divq = 0
∂t
при условии непрерывности функций, находящихся под знаком интеграла. Поскольку для твердых тел
r
du = cdT , после замены q
кону Фурье (5.5) имеем
ρc
∂T
= div(λ gradT ),
∂t
или
98
по за-
∂T 3 ∂ ⎛ ∂T ⎞
ρc
=∑
⎜ λi
⎟.
∂t i =1 ∂x i ⎝ ∂x i ⎠
(5.7)
В случае изотропного однородного тела дифференциальное
уравнение теплопроводности (5.7) принимает вид
3 2
ρc
или
∂T
∂ T
= λ∑ 2 ,
∂t
i =1 ∂x i
r2
∂T
= a∇ T ,
∂t
( )
(5.8)
где a = λ / ρc – коэффициент температуропроводности, м2/с,
являющийся мерой теплоинерционных свойств тела (его можно рассматривать как физическое свойство вещества). Уравнение Фурье–
Кирхгофа (5.8) устанавливает связь между временным и пространственным изменениями температуры в любой точке тела.
Если в теле имеются распределенные источники тепловыделения с объемной плотностью (мощностью)
qv,
Вт/м3, то записанные
выше уравнения примут вид
ρc
∂T
= div(λ gradT ) + q v ;
∂t
r2
q
∂T
= a∇ T + v .
∂t
ρс
(5.9)
В случае стационарного поля температуры (стационарного теплового режима) дифференциальное уравнение теплопроводности для
тела с внутренним тепловыделением превращается в уравнение Пуассона:
r2
∇ T + qv / λ = 0 .
(5.10)
При отсутствии источников теплоты стационарное поле температуры
удовлетворяет уравнению Лапласа:
r2
∇ T = 0.
(5.11)
5.2.2. Условия однозначности для задач теплопроводности
Чтобы выделить конкретную задачу из бесчисленного их множества, описываемого дифференциальным уравнением теплопроводности, необходимо присоединить к этому уравнению математическое
описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса.
99
Это описание называют условиями однозначности; оно включает условия геометрические, физические, начальные, граничные.
Геометрические условия характеризуют форму и размеры тела
(расчетной области), физические условия дают сведения о свойствах
тела ( λ, c, ρ ) и распределении внутренних источников теплоты, начальные условия (существенны для нестационарных задач) описывают поле температуры в начальный момент времени t = 0 .
Граничные условия отражают тепловое взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой. Оно может быть охарактеризовано различным образом. Так, граничное условие 1-го рода дает
распределение температуры на поверхности тела, 2-го рода – значение ее производных здесь. Граничное условие 3-го рода информирует о температуре окружающей текучей среды (жидкости или газа) и
законе теплообмена между нею и поверхностью тела, а граничное условие 4-го рода устанавливает правило сопряжения температурных
полей рассматриваемого тела и контактирующих с ним других твердых тел.
5.2.3. Методы решения краевой задачи теплопроводности
Сложность решения краевой задачи зависит от ее типа (размерности задачи, формы расчетной области, вида условий однозначности).
Аналитические решения получены в основном при существенных
упрощениях. Например, в подразд. 5.3 представлены простейшие задачи стационарной теплопроводности для плоской и цилиндрической
стенок без тепловыделений с равномерным распределением температуры на поверхностях. Двумерные задачи более сложны; их решение удается представить лишь бесконечным рядом с использованием
экспоненты, а также функций тригонометрических и бесселевых (для
плоской и осесимметричной геометрии соответственно). Решения задач такого типа обычно приводятся не в учебниках, а в специальных
монографиях, например в работе [12].
В настоящее время для решения трудных задач используют численные методы, реализуемые на ЭВМ. Недостатком такого подхода
является то, что численное решение отвечает конкретной задаче (с
фиксированными параметрами), в то время как аналитическое решение позволяет установить влияние всех аргументов на распределение
температуры в задачах данного класса. Указанный недостаток численных методов компенсируется быстродействием современных
ЭВМ, что дает возможность установить упомянутое влияние аргументов посредством численного эксперимента.
100
5.3. Простейшие случаи теплопроводности
5.3.1. Однородная плоская стенка без тепловыделения
Рассмотрим стационарное поле температуры в такой стенке толщиной δ , размещенной перпендикулярно оси х (рис. 5.3). Если стенка не ограничена по у и z , а температура на поверхностях ее распределена равномерно, то при λ = const уравнение теплопроводно2
2
сти (5.11) принимает вид d T / dx = 0 .
Первое
интегрирование
его
дает
dT / dx = C1 ,
второе
–
T = C1x + C 2 , то есть температура изменяется по толщине стенки
линейно (рис. 5.3). Постоянные интегрирования находим из граничных
условий.
Пусть заданы граничные условия 1-го рода: T = Tw при x = 0
и
T = Tw 2
x = δ . Подставив их в
при
найденное
решение,
(
)
C 2 = Tw 1 , C1 = Tw 2 − Tw1
T = Tw1 − ΔTδ x δ , (5.12)
ΔTδ = Tw1 − Tw 2 – перепад
температуры (температурный напор)
в стенке.
Согласно
закону
Фурье,
q n = −λ(∂T ∂n ) , и для рассматриваемого случая (q n = q x = q ) будет
λ
q = Tw1 − Tw 2 .
(5.13)
δ
(
Для
участка
)
(
стенки
площадью
)
Q A = qA = λ Tw 1 − Tw 2 A / δ ,
R λА = δ /(λA)
T
имеем
/ δ.
Таким образом,
где
1
или
r
n2
Tw1
s
n1
T w2
δ
x
Рис. 5.3
A тепловой поток
QA = ΔTδ / R λА , где
– термическое сопротивление теплопроводности
этого участка. Соответственно, удельное (приходящееся на единицу
площади поперечного сечения) значение термического сопротивления теплопроводности плоской стенки будет:
R λуд = δ / λ .
101
(5.14)
5.3.2. Влияние неоднородности стенки
Если все ограничения подразд. 5.3.1 сохраняются, но стенка состоит из нескольких слоев, имеющих разные значения λ , то с учетом
полученного выше решения для каждого из слоев имеем
λi
q=
Tw i − Tw i +1
δi
(
).
Определив отсюда температурные напоры на всех n слоях и сложив
полученные равенства, придем к выражению
n δ
Tw1 − Tw n +1 = q ∑ i .
i =1 λ i
При граничных условиях первого рода эта формула позволяет вычислить плотность теплового потока q и далее найти температуру на
«правой стороне» слоя с номером j :
Tw j+1 = Tw1
δi
− q∑ .
i =1 λ i
j
(5.15)
В пределах каждого слоя распределение температуры линейно, а для
всей составной стенки оно будет представлено ломаной.
Как видно из полученного выражения, термические сопротивления
теплопроводности последовательно расположенных элементов складываются непосредственно.
Для многослойной стенки можно ввести эквивалентный
λ экв , исходя из равенства
n δ
δ
= q∑ i = q Σ ,
λ экв
i =1 λ i
коэффициент теплопроводности
Tw1 − Tw n +1
n
где
δ Σ = ∑ δi
– суммарная толщина стенки. Тогда
i =1
δi
.
i =1 λ i
n
λ экв = δ Σ ∑
Введением
λ экв
(5.16)
многослойная стенка сводится к эквивалентной од-
нородной (эквивалентной по результирующему перепаду температуры, вызываемому заданным q ).
Приведенное решение задачи для многослойной стенки
соответствует случаю идеального теплового контакта между слоями.
102
5.3.3. Влияние зависимости коэффициента теплопроводности
от температуры
Эту зависимость учтем при прочих ограничениях, отвечающих
λ = λ(T ):
λ = λ 0 (1 + вТ ) .
подразд. 5.3.1, считая линейной связь
Здесь величина
λ = λ0 .
T
(5.17)
отсчитана от значения температуры, при которой
С учетом формулы (5.17) закон Фурье для плоской стенки можно
q = −λ 0 (1 + вT )dT / dx . Разделяя переменные,
проинтегрируем это выражение в пределах: x от 0 до δ , T от Tw
1
до Tw :
2
(Tw1 + Tw 2 )⎤
⎡
qδ = λ 0 ⎢1 + в
⎥ (Tw1 − Tw 2 ).
2
⎦
⎣
записать в виде
Полученную формулу можно переписать так:
q=
где
λ cp =
λ cp
δ
(Tw
1
− Tw 2 ),
(5.18)
T
Tw1
w1
1
∫ λ (T )dT
− Tw 2 Tw 2
(5.19)
есть среднеинтегральное значение коэффициента теплопроводности в рассматриваемом интервале температур.
Сравнивая зависимость (5.18) с формулой (5.13), которая выведена для стенки с λ = const , видим, что последнюю можно использо-
λ = λ(Т ) , если заменить в ней λ на λ ср .
Интегрируя записанную выше связь q и T в пределах 0 ↔ x ,
Tw1 ↔ T , получим зависимость для расчета распределения
вать и для случая
температуры по толщине стенки:
(
)
в 2
⎡
qx = −λ 0 ⎢(T − Tw1 ) + T − Tw2 1 ⎤⎥ ;
2
⎣
⎦
⎛ 2qx 2
⎞
2
T 2 + T + ⎜⎜
− Tw1 − Tw2 1 ⎟⎟ = 0 ;
в
⎝ вλ 0 в
⎠
103
1
1 2qx 2
T=− + 2 −
+ Tw1 + Tw2 1 .
в
λ 0в в
в
распределение температуры при λ = λ (Т )
(5.20)
не является
Как видно,
линейным; характер температурной кривой определяется знаком и
численным значением коэффициента в .
5.3.4. Влияние кривизны стенки
Это влияние рассмотрим на примере однородной, не ограниченной по высоте цилиндрической стенки, с равномерным
распределением температур
r2
на
поверхностях
и
r1
λ = const при отсутствии
тепловыделений (рис. 5.4).
Tw1
Несмотря на последнее
обстоятельство, для такой
стенки плотность теплового
потока изменяется по радиуTw2 су, так как функцией радиуса
является площадь сечения,
перпендикулярного к направлению теплового потока. ПоРис. 5.4
этому здесь закон Фурье целесообразно записать в виде
где
Q
Q
dT
= −λ ,
2π r l
dr
2πrl.
↔ Tw 2 и
– тепловой поток через цилиндрическую поверхность
Интегрируя это выражение в пределах r1
↔ r2 , Tw1
r1 ↔ r , Tw1 ↔ T , получим
r
Q
ln 2 = Tw1 − Tw 2
2 π l λ r1
и
Q
r
ln = Tw1 − T ,
2 π l λ r1
откуда
104
T = Tw1 − (Tw1 − Tw 2 )
ln(r r1 )
.
ln (r2 r1 )
(5.21)
Как видно, распределение температуры по толщине цилиндрической стенки является логарифмическим. Термическое сопротивление
теплопроводности такой стенки:
ΔTδ
r
1
=
ln 2 .
Q
2 π l λ r1
Относя температурный напор ΔTδ = Tw − Tw к линейной
1
2
плотности теплового потока q l = Q / l (она не зависит от радиуRλ =
са), получим линейное термическое сопротивление теплопроводности цилиндрической стенки:
Часто под
Rλl
r2
1
R λl =
ln .
2 π λ r1
1 r2
понимают величину
ln ,
2λ r1
(5.22)
тогда связь между
температурным напором и этим сопротивлением следует брать в виде
ΔTδ = q l R λl / π .
Для многослойной цилиндрической стенки вместо (5.22) будет
1 n 1 ri +1
(5.23)
R λl =
∑ ln
2π i =1 λ i
ri
при идеальном тепловом контакте слоев.
Глава 6. ПРОЦЕССЫ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
6.1. Закон Ньютона – Рихмана
6.1.1. Исходные понятия и определения
Опыт показывает, что в текучей среде существует, кроме теплопроводности, еще один «механизм» переноса тепловой энергии (теплоты). Он обусловлен перемещением макрообъемов жидкости или газа в пространстве с неоднородным полем температуры. Этот вид теплообмена называют конвекцией.
105
Ввиду молекулярного строения жидкостей и газов конвекции всегда сопутствует теплопроводность (см. подразд. 5.1.1). Совместный
перенос теплоты в текучей среде посредством конвекции и теплопроводности именуют конвективным теплообменом.
Различают вынужденную и естественную (свободную) конвекцию. В первом случае пространственное перемещение текучей среды
происходит за счет поверхностных сил, а именно, перепада давления,
создаваемого внешним источником (насосом, компрессором). Например, вынужденной является конвекция при прокачке горючего по каналам охлаждения камеры жидкостного ракетного двигателя. Естественная конвекция возникает в результате действия поля массовых
сил на текучую среду с неоднородным распределением плотности,
обусловленным переменностью температуры среды. Примером естественной конвекции может быть передача теплоты от батареи отопления к воздуху жилого помещения.
Соответственно упомянутым видам конвекции принято различать
конвективный теплообмен при вынужденном и естественном движении текучей среды.
6.1.2. Основной закон конвективного теплообмена
Для инженерной практики наибольший интерес представляет конвективный теплообмен в области контакта текучей среды с твердым
телом. В этом случае говорят о теплоотдаче; последняя подчиняется закону Ньютона – Рихмана:
q n = α(Tw − Tf ).
(6.1)
Коэффициент пропорциональности α , Вт/(м2·К), между плотностью теплового потока q n (отнесена к поверхности твердого тела с
r
внешней
нормалью
n ) и температурным напором
ΔTwf = Tw − Tf (разностью «характерных» температур поверхности Tw и текучей среды Tf ) называют коэффициентом теплоотда-
чи. Он выражает интенсивность рассматриваемого процесса теплообмена, представляя собой количество теплоты, прошедшей в единицу времени через единицу поверхности твердого тела при единичном температурном напоре.
Закон
Ньютона – Рихмана
можно
переписать
в
виде
q n = ΔTwf R α уд , или ΔTwf = q n R α уд , где величину
R α уд = 1 α
(6.2)
рассматривают как удельное значение термического сопротивления
теплоотдачи (см. подразд. 5.3.1). Для участка поверхности твердого
106
тела
площадью
А
имеем
Q A = α(Tw − Tf )A ,
ΔTwf = Q A R αA ; здесь термическое
взятого участка R αA = 1 (αA ).
или
сопротивление теплоотдачи
При использовании выражений (6.1) или (6.2) в инженерных расчетах предполагают, что характерные значения
Tw
и
Tf
известны.
Поэтому основной задачей науки о конвективном теплообмене является поиск коэффициента теплоотдачи α .
6.1.3. Методы определения коэффициента теплоотдачи
Этот коэффициент можно вычислить аналитически, решив уравнение теплоотдачи
α=−
полученное
путем
q n = α(Tw − Tf )
λ f ⎛ ∂T ⎞
⎜ ⎟ ,
Tw − Tf ⎝ ∂n ⎠ n =0
объединения
(6.3)
закона Ньютона – Рихмана
q n = −λ f (∂T ∂n )n =0 , запиr
санного для «пристеночного» слоя текучей среды (здесь n – внешняя
и закона Фурье
нормаль к поверхности твердого тела). Заметим, что использование в
этом слое закона Фурье вполне правомерно, поскольку в непосредственной близости к стенке «поперечный» (по нормали к ней) перенос
теплоты осуществляется только теплопроводностью текучей среды
как при ламинарном, так и при турбулентном течении ее.
Однако использование соотношения (6.3) для поиска α требует
предварительного нахождения поля температуры Т в текучей среде.
Для этого необходимо решить краевую задачу конвективного теплообмена, основой которой является система дифференциальных
уравнений гидрогазодинамики. Интегрирование этой системы (даже
не осложненной конвективным теплообменом) крайне затруднительно, что вынуждает прибегать к серьезным упрощениям в постановке
задач. Для инженерной практики интерес представляют лишь некоторые аналитические решения задачи конвективного теплообмена между текучей средой и поверхностью твердого тела, полученные в приближении пограничного слоя [13 – 16].
Поскольку при аналитическом решении задач конвективного теплообмена приходится делать ряд допущений, полученные зависимости требуют экспериментальной проверки. Кроме того, само аналитическое рассмотрение возможно лишь для простейших случаев. Поэтому при изучении конвективного теплообмена большую роль играет
эксперимент. Именно опытным путем получен основной массив данных по конвективному теплообмену.
107
К недостаткам экспериментального метода исследования относится то обстоятельство, что любой единичный опыт дает лишь одно
значение искомой величины при заданном наборе аргументов. Тем не
менее, результаты единичных опытов удается обобщить на все сходные случаи, используя теорию подобия и анализ размерностей. Такое
обобщение позволяет получить зависимости коэффициента теплоотдачи от всех влияющих величин, не уступающие по информативности
соответствующим аналитическим выражениям.
6.2. Подобие и моделирование в исследовании
конвективного теплообмена
6.2.1. Теория подобия в исследовании теплоотдачи
Согласно теории подобия, для обобщения результатов единичного опыта их надо представить в безразмерном виде как функциональную связь между искомым параметром и отношениями факторов, определяющих физическое явление. Такая связь одинакова у всех
сходных явлений одной природы, если у них численно совпадают
упомянутые отношения. В этом случае сопоставляемые явления называют подобными, а отношения факторов – критериями (числами)
подобия.
Выражение критериев через характерные значения (масштабы)
параметров процесса в теории подобия устанавливают, приводя к
безразмерной форме соответствующее дифференциальное уравнение, поскольку именно его члены описывают факторы, существенные
для процесса.
Применяя такую процедуру к уравнению движения, получают критерии динамического подобия. Из их числа для случая стационарной
теплоотдачи к потоку несжимаемой среды определяющими являются
критерии Рейнольдса Re и Фруда Fr.
Критерии теплового подобия найдем, приведя к безразмерной
форме уравнения энергии и теплоотдачи [14]. Выразив размерные
параметры и операторы как произведения соответствующих безразмерных величин и масштабов, имеем
3
ρ о с о w o To
∂T λ o To 3 ∂ ⎡ ⎛⎜ ∂T ⎞⎟⎤
= 2 ∑
ρc ∑ w j
⎥
⎢λ⎜
⎟
x
x
x
lo
∂
∂
∂
j=1
lo j=1 j ⎢⎣ ⎝ j ⎠⎥⎦
j
и
λo
λ
αo α = −
lo Tw − Tf
⎛ ∂T ⎞
⎜ ⎟
⎝ ∂n ⎠ n =0
для уравнений энергии и теплоотдачи соответственно (первое из них
записано для стационарного течения несжимаемой среды с пренеб108
режимо малым диссипативным тепловыделением). Здесь индексом
«о» помечены масштабы, знаки «–» стоят над безразмерными параметрами. Разделив размерные множители (составлены из масштабов) каждого уравнения на один из них, получим
3 ∂ ⎡ ⎛ ∂T ⎞⎤
λo
∂T
⎟⎥ ;
ρс ∑ w j
=
∑
⎢ λ ⎜⎜
∂x j ρo c o w olo j=1 ∂x j ⎣⎢ ⎝ ∂x j ⎟⎠⎥⎦
j=1
α olo
λ ⎛ ∂T ⎞
α=−
⎜ ⎟ .
Tw − Tf ⎝ ∂n ⎠ n =0
λo
3
Теперь уравнения стали безразмерными. Каждое из них будет идентичным у двух сравниваемых случаев теплоотдачи, если для этих
случаев численно совпадут безразмерные комплексы из масштабов.
Следовательно, эти комплексы являются критериями теплового подобия. Выясним их физический смысл.
Критерий Нуссельта
Nu =
α o lo
λo
(6.4)
является, по сути, искомым безразмерным коэффициентом теплоотдачи. Его можно рассматривать как отношение удельных термических
проводимостей теплоотдачи
αо
и теплопроводности
λ о lo
текучей
среды. Согласно смыслу коэффициента теплоотдачи, критерий Нуссельта выражает отношение интенсивностей конвективного теплопереноса и теплопроводности вблизи поверхности теплообмена. Случай
Nu = 1 означает, что процесс теплоотдачи осуществляется только
теплопроводностью, поэтому критерий Нуссельта характеризует увеличение интенсивности теплообмена возле стенки за счет конвекции
текучей среды. Поскольку в критерий Нуссельта входит искомая величина (коэффициент теплоотдачи), он является не определяющим, а
определяемым критерием подобия.
Критерий Пекле
Ре =
ρ o c o w o l o w o lo
=
λo
ao
(6.5)
представляет собой определяющий критерий теплового подобия. Как
видно из уравнения энергии, он выражает отношение удельных термических проводимостей конвекции
λ о lo
ρо c o w o
и теплопроводности
в потоке текучей среды. Следовательно, этот критерий явля-
ется мерой относительной роли «молярного» и молекулярного переноса теплоты в потоке.
109
Заметим, что критерий Пекле можно представить в виде
Pe =
w o l o w o lo ν o
=
= Re Pr ,
ao
ν o ao
(6.6)
где критерий Прандтля
ν o μ o c oρo μ o c o
Pr =
=
⋅
=
λo
ao ρ o λ o
(6.7)
целиком составлен из физических свойств среды и поэтому является
их безразмерной характеристикой (иначе говоря, он безразмерно характеризует физические условия однозначности). С учетом того, что
критерий Рейнольдса Re уже входит в систему критериев динамического подобия, которые для задач конвективного теплообмена являются определяющими, здесь вместо критерия Пекле обычно используют критерий Прандтля.
Вторым критерием динамического подобия, существенным для
рассматриваемых задач, есть критерий Фруда, если под массовой силой понимать «подъемную» силу, вызванную нахождением в гравитационном поле текучей среды с неоднородным (из-за теплообмена)
распределением плотности ρ . Напряженность этой силы на единицу
gΔρ = g(ρо − ρ) = gρоβΔТ , где g – гравитациускорение, β – коэффициент объемного расширения, ΔТ –
объема составит
онное
температурный напор. Здесь принято, что изменение плотности
вследствие
неизотермичности
отвечает
зависимости
ρ = ρо (1 − βΔТ ). Взяв отношение этой напряженности и объемной
ρо w o2 / lo ,
напряженности
сил
инерции
имеем
Frп = w 02 (gβΔTlo ) .
Использование критерия для подъемной силы в таком виде неудобно, поскольку здесь присутствует скорость движения среды, а
наибольшую роль этот критерий играет в задачах естественной конвекции, когда указанная скорость не содержится в условиях однозначности. Для таких задач интенсивность и характер движения определяются отношением подъемной и вязкостной сил. Чтобы прийти к
2
этому отношению, умножим 1 Frп на Re :
gβΔTlo w o2lo2 gβΔTlo3
.
⋅ 2 =
2
2
wo
ν0
νo
Полученный безразмерный комплекс называют критерием Грасгофа:
110
Gr =
gβΔTlo3
.
(6.8)
2
νо
Если теплообмен происходит в условиях действия поля массовой силы, отличной от гравитационной, то в критерий Грасгофа вместо g
подставляют напряженность результирующего поля массовых сил
(суммарное ускорение).
С учетом изложенного, результаты экспериментального исследования стационарной теплоотдачи к несжимаемой текучей среде следует оформлять в виде критериального уравнения
Nu = f (Re, Gr, Pr, X w ,...),
(6.9)
X w – безразмерная координата поверхности теплообмена; символ ... означает, что в уравнения могут входить дополнительные «пагде
раметрические» критерии, безразмерно характеризующие геометрические и граничные условия однозначности (они имеют вид симплексов – отношений однотипных масштабов). Определяющие критерии
Re, Gr, Pr представлены комплексами характерных величин (масштабов) процесса, значения которых также берут из условий однозначности. В отличие от них определяемый критерий Nu содержит
еще искомую величину α .
6.2.2. Анализ размерностей в исследовании теплоотдачи
Структуру критериев подобия можно также установить, опираясь
на представления анализа размерностей. В основе его лежат три
теоремы:
- всякое соотношение между размерными величинами можно
привести к соотношению безразмерных величин;
- размерности производных величин имеют форму степенного
одночлена размерностей основных величин;
- количество безразмерных комплексов, характеризующих процесс, равно разности количеств производных и основных величин, существенных для процесса.
Последняя теорема позволяет проверить правильность использования анализа размерностей для поиска критериев подобия. «Технология» же поиска состоит в переходе от размерных величин к безразмерным (этот переход допускает первая теорема) с применением
второй теоремы. Предварительно следует установить полную систему величин, существенных для данного явления.
Выполним упомянутый переход для стационарного случая вынужденной конвекции жидкости в трубе. Понятно, что коэффициент теплоотдачи зависит от обстоятельств течения (они определены харак111
D o и скоростью Wo ), а также от свойств жидкоρо , вязкости μ о , теплопроводности λ о , теплоем-
терными размером
сти (ее плотности
кости
с о ). Характерные значения, или масштабы, величин (помечены
индексом «о») берут из условий однозначности. Согласно второй теореме анализа размерностей, имеем
α = D o a w o b ρo c μ o d λ o e c o f .
Выразим размерности всех параметров через размерности основных величин (длины, времени, массы, температуры), обозначив их
[ ] [ ][
][ ][ ] [ ][ ]
L, t , M, T соответственно. Вспоминая, что [α ] = Вт (м 2 ⋅ К ),
[μ] = Па⋅ с , [λ] = Вт/(м⋅ К) , [с] = Дж/(кг⋅ К) , причем Вт = Дж / с ,
Па = Н / м 2 , Дж = Н ⋅ м , Н = кг ⋅ м / с 2 , получаем
b
c
d
e
2
М
a ⎛ L ⎞ ⎛ M ⎞ ⎛ M ⎞ ⎛ ML ⎞ ⎛ L ⎞
= L ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎜⎜ 2 ⎟⎟
3
⎝ t ⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ Lt ⎠ ⎝ t T ⎠ ⎝ t T ⎠
t T
f
.
Поскольку размерности правой и левой частей этого выражения
должны совпадать, значения показателей степеней в обеих частях у
L, t , M, T должны быть одинаковы. Приравнивая упомянутые показатели, получаем систему алгебраических уравнений:
- для L: 0 = а + b - 3с - d + e + 2f;
- для t: -3 = -b - d - 3e - 2f;
- для М: 1 = c + d + e;
- для Т: -1 = -e - f.
Она содержит шесть неизвестных, поэтому два показателя степени
следует задать. Принимая за таковые степени с и f, выражаем через
них остальные показатели: e = 1 - f; d = f - c; b = c; a = c - 1.
Подставив полученные показатели в исходное выражение, имеем
f
Do c
λo
c
c μo
f
α =
w o ρo
c
o .
c
f
Do
μo λo
Обобщая полученную степенную зависимость между размерностями величин на сами эти величины, запишем:
D ос c c μ of λ o f
w oρo c f c o ,
α=А
Do
μo λo
[ ]
[ ]
[
[ ]
][ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ] [ ]
где A – числовой множитель. Объединив величины с одинаковыми
показателями степени, получим
112
⎛ρ w D ⎞
αD o
= A⎜⎜ o o o ⎟⎟
λo
⎝ μo ⎠
c
⎛ μoco ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ λo ⎠
f
.
(6.10)
Проверка показывает, что здесь все комплексы параметров являются безразмерными. Сравнивая их с выражениями (6.4) – (6.7), видим, что эти комплексы представляют собой критерии Нуссельта,
Рейнольдса и Прандтля соответственно. Сама же зависимость (6.10),
согласно уравнению (6.9), является основой критериального уравнения теплоотдачи при вынужденной конвекции жидкости в трубе.
Как видно, анализ размерностей позволил установить вид определяющих критериев подобия
(Re, Pr ) и безразмерного коэффициен-
та теплоотдачи (определяемого критерия Nu ). Этот анализ выявил
также структуру критериального уравнения теплоотдачи (имеет вид
степенного одночлена). Значения множителя A и показателей степени c, f в этом уравнении не определены – их устанавливают посредством эксперимента. Те значения A , c, f , которые найдены в
единичном опыте с некоторым диапазоном изменения определяющих
и параметрических критериев, справедливы для всех сходных случаев вынужденной конвекции, подобных исследованному (то есть
имеющих значения указанных критериев, попадающие в упомянутый
диапазон).
Аналогичная процедура для стационарной естественной конвекции приводит к уравнению
Nu = BGr m1 Pr m 2 ,
(6.11)
где Gr – число Грасгофа согласно (6.8). Здесь учтено, что при естественной конвекции обстоятельства течения определяются характерным линейным размером lo (например, высотой вертикальной стенки) и комплексом gβ ΔТ , входящим в формулу подъемной силы.
Сопоставление выражений (6.10) и (6.11) позволяет утверждать,
что в тех случаях стационарной вынужденной конвекции, когда существенный вклад вносит конвекция естественная, основой критериального уравнения теплоотдачи является выражение
Nu = C Re n1 Gr n 2 Pr n 3 ,
(6.12)
где числовой множитель
C
и показатели степени
ni
находят опыт-
ным путем.
В уравнения (6.11) и (6.12) могут также входить параметрические
критерии, отражающие влияние геометрических и граничных условий
однозначности, а также безразмерная координата поверхности теплообмена.
113
6.2.3. Моделирование процессов теплоотдачи
Кроме обобщения результатов единичного опыта, теория подобия
и анализ размерностей позволяют еще осуществлять экспериментальное исследование процессов конвективного теплообмена не в
натурных условиях, а на физической модели с последующим перенесением результатов опыта на условия натуры.
Упомянутая модель представляет собой геометрически подобный
натурному объект удобных размеров, в котором опытное изучение
конвективного теплообмена ведут с (возможно) иными, чем в натуре,
текучей средой и материалом стенки, отличным от натуры уровнем
температуры, замененным «источником нагрева». Например, исследование теплоотдачи при охлаждении камеры ЖРД больших размеров можно вести на уменьшенной копии камеры, выполненной из дешевого металла по упрощенной технологии, с нетоксичной текучей
средой и при сниженной температуре стенки, нагрев которой осуществляют не за счет реакции горения компонентов топлива в камере, а
посредством электроподогревателей. Тем самым достигаются существенная экономия средств и улучшение условий проведения опыта.
Понятно, что результаты модельного эксперимента могут быть
перенесены в условия натуры только в случае подобия натурного и
смоделированного процессов. Согласно подразд. 6.2.1 и 6.2.2, для
этого требуется геометрическое подобие натуры и модели, численное
равенство параметрических критериев, отражающих граничные условия однозначности, а также такой диапазон изменения существенных
для процесса параметров, при котором получаемые в модельном
опыте значения определяющих критериев подобия были бы равны
величинам соответствующих критериев, имеющимся в натурных условиях.
Выполнить требование подобия геометрии и граничных условий, а
также равенства критериев Рейнольдса и Грасгофа у модели и нату-
= Re н ; Grм = Grн ) не так уж трудно. Сложнее обстоит
условием Prм = Prн . Оно серьезно ограничивает возмож-
ры ( Re м
дело с
ность замены текучей среды: у капельных жидкостей число Прандтля
составляет от нескольких единиц до сотен, а у газов – от 0,67 до 1.
Замену рабочей среды затрудняет также зависимость физических
свойств ее от температуры. Согласно теории подобия, упомянутая
зависимость, представленная в безразмерном виде, должна быть
одинакова у исходной и взятой сред. Однако такое совпадение наблюдается лишь в пределах некоторых групп сред в определенных
интервалах температуры.
114
6.2.4. Обработка результатов опыта в критериях подобия
Согласно подразд. 6.2.1 и 6.2.2, результаты экспериментального
исследования процессов теплоотдачи выражают критериальными
уравнениями вида (6.12), дополненными, в случае необходимости,
параметрическими критериями, учитывающими геометрию и граничные условия (в уравнения для локальных α включают также безразмерную координату поверхности теплообмена). Численный множитель С и показатели степеней n i находят методами математической
статистики с применением ЭВМ. В простых случаях возможна «ручная» обработка результатов опыта с нанесением их в логарифмических координатах.
При обработке результатов опыта учитывают «устоявшиеся» рекомендации по учету воздействия некоторых граничных условий. Так,
влияние величины термической нагрузки и направления теплового
потока (нагрев или охлаждение текучей среды) чаще всего учитывают
0, 25
поправкой Prf Prw
, справедливой, по Михееву, как для капельных жидкостей, так и для газов. Здесь индексы «f» и «w» означа-
(
)
ют, что свойства рабочей среды при вычислении чисел Прандтля
и
Prw
берут при характерных температурах
Tf
и
Tw .
Prf
Подчеркнем еще раз, что критериальное уравнение, полученное
обработкой результатов единичного опыта, справедливо только в тех
диапазонах изменения определяющих и параметрических критериев
подобия, которые имели место в ходе проведения опыта. Использование критериального уравнения возможно лишь при граничных условиях того же типа (чаще всего q = const или T = const ) и выборе характерных параметров одного вида. Например, при исследовании теплоотдачи в трубах за характерный линейный размер lo могут быть приняты диаметр или длина трубы, а в качестве характерной
температуры Tf взята температура среды на входе или ее средняя
температура вдоль трубы. Важно также проследить, по какому коэффициенту теплоотдачи определено число Нуссельта.
α = q ΔTwf вычисляют по текущим значениям плотности теплового потока q и температурного напора ΔTwf , находя последний как ΔTwf = Tw , x − Tf , x ,
Локальный коэффициент теплоотдачи
где
Tw , x
– местная температура стенки;
Tf , x
– среднемассовая
температура текучей среды в рассматриваемом сечении. Для труб ее
определяют
по
энтальпии
потока
среды
в
сечении
115
i x = ∫ ρwidA / ∫ ρwdA . Если известно распределение тепло-
А сеч
вого потока
q
А сеч
по длине трубы, можно использовать выражение
x
& )dx , где П
Tf , x = Tf , вх ± ∫ (qП с р m
&
m
– периметр сечения трубы,
o
– массовый расход жидкости или газа.
Средний коэффициент теплоотдачи
вычисляют по общему тепловому потоку
A пов
мена
Q
α = Q (A пов ΔT wf )
на поверхности теплооб-
и среднему температурному напору
ΔT wf ,
которого могут быть взяты следующие значения:
1l
– среднеинтегральное
ΔTи = ∫ Tw , x
lo
(
в качестве
− Tf , x )dx ;
ΔT1 − ΔT2
ln ΔT1 ΔT2
– среднелогарифмическое
ΔTл =
– среднеарифметическое
ΔTa = ( ΔT1 + ΔT2 ) 2 .
Здесь
ΔT1 и ΔT2
;
– больший и меньший из температурных напоров
ΔTвх = (Tw − Tf )вх ; ΔTвых = (Tw − Tf )вых .
Если известны локальные значения α , то средний коэффициент теп-
на входе и выходе:
лоотдачи находят интегрированием:
α = (1 А пов ) ∫ αdA ,
А пов
или
l
α = (1 l )∫ αdx
o
для труб и пластин.
Отметим в заключение, что сокращение числа аргументов при использовании обобщенных переменных (критериев подобия) вместо
исходных параметров не только облегчает обработку результатов
опыта, но и упрощает само проведение эксперимента.
Действительно, при «обычном» проведении опыта необходимо
найти зависимость искомой величины (коэффициента теплоотдачи)
от всех влияющих параметров. Для этого следует выполнить соответствующее число серий опытов, причем в каждой серии должны оста116
ваться неизменными все параметры, кроме одного. При исследовании теплоотдачи это требование не всегда выполнимо. Например,
если параметр μ изменять за счет изменения температуры, то значения параметров
ρ, λ, с
не могут быть сохранены. Большие трудно-
сти возникают и при последующем подборе эмпирической зависимости, отражающей влияние всех параметров, если число их велико.
При использовании методов теории подобия и анализа размерностей находят зависимость искомой величины не от всех влияющих
параметров, а только от некоторых их комплексов (критериев подобия), число которых всегда меньше числа параметров. Например, для
развитой вынужденной конвекции (см. подразд. 6.2.2) имеем два определяющих критерия вместо шести исходных влияющих параметров. Тем самым существенно сокращается число серий опытов. Кроме того, при использовании критериев подобия снимается требование
сохранения в данной серии опытов значений всех аргументов, за исключением изменяемого целенаправленно. Например, варьирование
числа Прандтля посредством изменения температуры повлечет за
собой изменение числа Рейнольдса вследствие зависимости
μ = μ(Т ) .
Однако это не приведет к трудностям поиска функцио-
нальной связи чисел
Nu, Re, Pr .
6.3. Процессы конвекции в однофазной среде
6.3.1. Естественная конвекция
Различают естественную конвекцию текучей среды в большом
объеме и в ограниченном пространстве. В первом случае основой
критериального уравнения теплоотдачи является выражение (6.11). В
нем постоянные
В
и
mi
зависят от ориентации теплообменной по-
верхности к вектору результирующего ускорения, а также от режима
движения среды (ламинарного, переходного или турбулентного). В
качестве характерного значения
Т
здесь берут температуру
Tf
сре-
ды вдали от стенки или среднеарифметическую температуру пограничного слоя
(Tw + Tf ) 2 ; характерным линейным размером явля-
ется «высота» теплообменной поверхности, отсчитываемая в направлении вектора результирующего ускорения. Особенностью критериального уравнения является равенство значений
m1 и m 2 .
Например, результаты многочисленных исследований теплоотдачи при естественной гравитационной конвекции у вертикальной стенки обобщены зависимостью
117
Nu п = B(Grп Prп )m ,
(6.13)
где индекс «п» означает, что роль характерной величины играет упо-
Т п = (Tw + Tf ) 2 .
Значения В и m есть функции величины произведения Gr Pr . Так,
−3
если 10
< Grп Prп < 5 ⋅ 10 2 , то влияние свободной конвекции
мянутая выше температура пограничного слоя
невелико и теплоотдача определяется, главным образом, теплопроводностью
(при
этом
m = 1 / 8, B = 1,18 ). В случае
5 ⋅102 < Grп Prп < 2 ⋅107 имеем m = 1/ 4, B = 0,54; здесь наблюдается
развитая
ламинарная
конвекция.
При
2 ⋅107 < Grп Prп < 1013 режим течения в погранслое переходный и
турбулентный, тогда m = 1/ 3, B = 0,135. Во всех исследованиях,
обобщенных уравнением (6.13), число Прандтля Prп ≥ 0,7 .
Упомянутое уравнение применимо и для горизонтальных труб, а
также для шаров (здесь характерным размером служит диаметр). Допустимо использовать соотношение (6.13) и в случае горизонтально
расположенных плоских поверхностей, если за характерный размер
принять меньшую длину поверхности. Однако здесь коэффициент теплоотдачи следует увеличить по сравнению с выражением (6.13) на
30 %, когда возле поверхности возможна развитая естественная конвекция, и уменьшить на 30 %, когда такое движение затруднено. Например, при
Tw > Tf
первому случаю отвечает расположение сре-
ды над горизонтальной поверхностью теплообмена, второму – под
ней.
Теплообмен в результате естественной конвекции в ограниченном
пространстве принято схематизировать передачей теплоты от горячей стенки к холодной через разделяющий их зазор, заполненный текучей средой. Такой теплообмен зависит от вида зазора (различают
вертикальные, горизонтальные, цилиндрические, сферические зазоры) и взаимного расположения горячей и холодной стенок (в случае
зазоров последних трех типов). Его описывают критериальными уравнениями вида (6.11), в которые для вертикальных зазоров вводят поn
правку h δ , где h и δ – высота и толщина зазора.
В инженерной практике допустимо использование единой для всех
зазоров расчетной зависимости, основанной на формуле теплопроводности:
(
)
λ экв
(Tw1 − Tw 2 ).
q=
δ
118
(6.14)
Здесь
λ экв = ε к λ – эквивалентный коэффициент теплопроводности
в зазоре, учитывающий влияние естественной конвекции на теплообмен q между стенками, имеющими температуру Tw и Tw ( λ – ис1
2
тинный коэффициент теплопроводности среды). Поправку ε к представляют функцией
ε к = В Grf Prf m ,
(6.15)
3
6
где B = 0,105 и m = 1 / 3 при 10 < Grf Prf < 10 ; B = 0,4 и
m = 1 / 5 при 10 6 < Grf Prf < 1010 . Если Grf Prf < 103 , влиянием естественной конвекции пренебрегают ε к = 1 . Индекс «f» означает, что при нахождении критериев Грасгофа и Прандтля в качестве характерной принята средняя температура среды в зазоре, условно вычисляемая как Tf = Tw + Tw
2 . Характерным линей-
(
)
(
(
1
2
)
)
ным размером здесь служит толщина зазора
δ.
6.3.2. Вынужденное обтекание плоской пластины
Гидравлический аспект этого обтекания и структуру динамического
пограничного слоя рассматривают в гидрогазодинамике (погранслой
включает участки ламинарного, переходного и турбулентного течений). Такая структура является обычной для погранслоя, хотя в некоторых случаях (высокая степень турбулентности набегающего потока,
острая кромка пластин) пограничный слой может быть турбулентным
по всей длине.
Задачу о теплообмене продольно обтекаемой пластины можно
решить аналитически с использованием интегральных соотношений
импульсов или энергии [13, 15, 16].
Для ламинарного пограничного слоя оба решения при Pr ≥ 1 и
условии
Tw = const
приводят к уравнению в критериях подобия,
достаточно близкому к более общей зависимости
Nu fl = 0,66 Re 0fl,5 Prf0, 43 Prf Prw 0, 25 ,
(
полученной экспериментально (в случае условия
)
(6.16)
q w = const
чи-
словой множитель заменяют на 0,5). Во всех числах подобия свойства среды взяты при температуре внешнего потока
Tf ; характерным
линейным размером является длина пластины l .
Аналогичные решения для турбулентного погранслоя также дают
результаты, хорошо согласующиеся с опытным уравнением
119
Nu fl = 0,037 Ref0l,8 Prf0, 43 (Prf Prw )0, 25 .
(6.17)
Как видно, показатель степени у числа Рейнольдса здесь значительно
выше, чем в соотношении (6.16). Это обстоятельство отражает существенную интенсификацию теплоотдачи при турбулентном режиме
течения вследствие активного «поперечного перемешивания» объемов текучей среды.
Такая турбулентная интенсификация наблюдается не только при
вынужденном обтекании пластины; она характерна для всех случаев
конвективного теплообмена.
Критериальные уравнения (6.16) и (6.17) составлены для средних
по длине пластины чисел Нуссельта
Nu fl = α l λ f . Локальный ко-
эффициент теплоотдачи α x изменяется вдоль пластины: он постепенно падает вследствие увеличения толщины пограничного слоя
(кроме переходной области, где наблюдается рост
αx
из-за возник-
новения турбулентности в погранслое). Формулы для расчета
имеются в специальной литературе.
Nu fx
6.3.3. Теплообмен при течении в трубах
В гидрогазодинамике это течение подразделяют на динамически
стабилизированную область (развитое течение) и начальный (входной) участок. Длина последнего lн определяется интенсивностью
формирования скоростного (динамического) погранслоя; в сечении,
отстоящем на расстоянии lн от входа в трубу, эти пограничные слои
«смыкаются». Далее все сечение трубы занимает скоростной погранслой, что и является признаком динамической стабилизации потока.
Если течение в трубе проf
исходит в условиях теплообf
мена, то кроме понятия скоростного пограничного слоя используют аналогичное представление о тепловом погранслое. Последним называют непосредственно прилегающий к стенке слой текучей
T
δт
W
r
n
Tw
среды толщиной δ т , в котором
температура изменяется от
температуры стенки
Рис. 6.1
Тw
до
температуры основного потока
120
Тf
(рис. 6.1).
Зону формирования теплового погранслоя в трубе называют
термическим начальным (входным) участком, а область после сечения, где тепловые погранслои сомкнулись, считают зоной стабилизированного теплообмена. Упомянутые области показаны на
рис. 6.2, а и б соответственно для случаев охлаждения Tf
> Tw
и подогрева
(Tf
(
вх
)
вх
< Tw ) текучей среды в трубе. Как видно, на тер-
мическом входном участке кроме теплового пограничного слоя существует «термическое ядро» потока с постоянным по сечению значением температуры Tf ; в стабилизированной области температура среды изменяется по всему сечению (оно полностью занято тепловым
погранслоем).
Tw
Tw
Tf
Tf
W
W
Tfвх
Tw
Tfвх
а
Tw
б
Рис. 6.2
Длину динамического начального участка lн всегда отсчитывают
от входа в трубу, термического lнт – от сечения, с которого начинается теплообмен (последнее не обязательно совпадает со входом).
Ориентировочно можно принять, что при ламинарном режиме
lнт ≈ lн Pr ,
а при турбулентном – термический начальный участок
занимает 10…15 диаметров трубы.
Изменение интенсивности теплообмена по длине термического
начального участка трубы сходно с тем, какое наблюдают при вынужденном обтекании пластины. По мере увеличения толщины погранслоя локальный коэффициент теплоотдачи
αх
падает монотонно, ес-
ли течение ламинарно, и с зоной подъема в области перехода ламинарного динамического погранслоя в турбулентный, если поток на
входе в трубу турбулентен. В зоне стабилизированного теплообмена
величина
αх
постоянна.
121
Значения локального коэффициента теплоотдачи α х могут быть
вычислены по аналитическим зависимостям, полученным для ламинарного и турбулентного режимов течения. В специальной литературе
приведены решения как в случае размещения термического начального участка в зоне динамически стабилизированного потока, так и
при условии одновременного развития динамического и теплового пограничных слоев. Эти решения при х → ∞ позволяют найти коэффициент теплоотдачи на участке стабилизированного теплообмена.
В инженерной практике чаще оперируют с критериальными уравнениями для среднего по длине трубы коэффициента теплоотдачи
α , которые получены обобщением экспериментальных данных. Наиболее известны уравнения Михеева:
0, 25
Pr
⎛
⎞
Nu fd = 0,15 Re 0fd,33 Prf0,33 Grfd Prf 0,1 ⎜⎜ f ⎟⎟ εl ; (6.18)
⎝ Prw ⎠
0, 25
⎛ Pr ⎞
0 ,8
Nu fd = 0,021Re fd
Prf0, 43 ⎜⎜ f ⎟⎟ εl .
(6.19)
⎝ Prw ⎠
(
)
Первое из них соответствует ламинарному течению, второе –
турбулентному. Здесь характерными величинами процесса являются
диаметр d трубы, расходная скорость течения и среднемассовая
температура
Tf
текучей среды. Поправка на длину трубы
εl > 1
учитывает влияние на α повышенных величин α х на термическом
начальном участке, которое наблюдается при относительных длинах
l d < 50 ; значения εl
берут из справочников (см., например, [13]).
В уравнении (6.18) присутствует критерий
Grfd ,
учитывающий
влияние свободной конвекции на теплообмен (при ламинарном режиме оно заметно). Например, вынужденное течение текучей среды
вниз по трубе с
Tw > Tf
сопровождается возникающим возле стенки
восходящим свободно-конвективным движением, которое «турбулизует» пристеночный слой, вследствие чего теплоотдача возрастает. В
уравнение (6.19) критерий Грасгофа не включен, так как при турбулентном течении перемешивание текучей среды столь интенсивно,
что естественная конвекция практически не сказывается на теплоотдаче.
Уравнения (6.18) и (6.19) можно применять и для расчета теплообмена в трубах с некруговым поперечным сечением. В этих случаях
122
d подставляют эквивалентный гидравлический диаметр
dг = 4А П, где А – площадь поперечного сечения с периметром П .
вместо
6.3.4. Теплоотдача поперечно обтекаемых труб
Вязкость среды и неравномерное вдоль «обвода» сечения распределение давления приводят к весьма сложной картине поперечного обтекания труб. Из-за вязкости на «лобовой» части поверхности
трубы возникает динамический погранслой, толщина которого нарастает по обводу сечения, начиная от передней критической точки. При
больших числах Рейнольдса ламинарный погранслой переходит в
турбулентный. С неравномерным распределением давления связан
отрыв пограничного слоя в «кормовой» зоне течения, где во внешнем
потоке существует положительный градиент давления. Этот отрыв
сопровождается образованием крупномасштабных вихрей и носит периодический характер.
Положение точки отрыва зависит от величины градиента давления
и вида пограничного слоя (турбулентный погранслой устойчивее к отрыву). Опыт показывает, что в случае обтекания труб с круговым поперечным сечением ламинарный погранслой (формируется при
Re fd < 2 ⋅105 ) отрывается еще в «лобовой» зоне течения
( ϕ ≈ 80 град при отсчете угла от передней критической точки). Отрыву
турбулентного
погранслоя,
существующего
при
Re fd = 2...5 ⋅105 , соответствует угол ϕ ≈ 120 град.
Такой характер обтекания приводит к существенной неравномер-
(
)
ности распределения локальных коэффициентов теплоотдачи
αϕ
вдоль обвода сечения. Ввиду нарастания толщины пограничного слоя
значение
α ϕ падает вдоль обвода, начиная от передней критической
точки. В месте перехода ламинарного погранслоя в турбулентный величина
α ϕ резко увеличивается, а в дальнейшем вновь начинает па-
дать. Второй подъем величины локального коэффициента теплоотдачи соответствует зоне отрыва пограничного слоя.
Для той части обвода кругового цилиндра, где погранслой примыкает к поверхности, имеются аналитические зависимости для
α ϕ , по-
лученные на основе теории пограничного слоя.
В инженерных расчетах обычно используют критериальные уравнения для среднего по обводу значения коэффициента теплоотдачи
α , найденные обобщением результатов опыта. Например, Жукаускас
рекомендует такие зависимости:
123
0,5
Nu fd = 0,5 Re fd
Prf0,38 (Prf Pr w )0, 25 ;
(6.20)
Nu fd = 0,25 Re 0fd,6 Prf0, 43 (Prf Pr w )0, 25 .
(6.21)
Первая из них справедлива при
Refd = 5...1000 ,
вторая – при
103 < Re fd < 2 ⋅105 . Здесь в числах подобия характерными являются диаметр d трубы, температура Tf и скорость Wf «набегающего» потока.
Если угол
ψ
между
Wf
уравнения вводят поправку
и осью трубы отличается от 90 град, то в
ε ψ < 1; в диапазоне ψ = 90...30
град
ε ψ ≈ 1 − 0,54 cos 2 ψ .
На практике чаще имеют дело с конвективным теплообменом не
единичного цилиндра, а системы («пучка») труб с коридорным и шахматным размещением («упаковкой»). В такой системе теплоотдача
труб первого ряда близка к рассмотренной выше, ибо на него набегает равномерный поток. Второй и последующие ряды обтекаются средой, «возмущенной» предшествующими трубами, поэтому теплообмен здесь интенсивнее. Опыт показывает, что начиная с третьего ряда теплоотдача стабилизируется: значения α для всех рядов далее
примерно одинаковы.
Средний по обводу трубы коэффициент теплоотдачи α вычисляют по уравнениям вида (6.20) – (6.21) с поправками:
текания,
εt
– на относительный шаг
t d , εi
εψ
– на угол на-
– на номер ряда в пучке.
Значения числового множителя и показателя степени у критерия Рейнольдса зависят не только от режима течения, но и от вида упаковки
(коридорной или шахматной).
6.3.5. Теплообмен при большой скорости движения газа
Как известно, большая скорость W движения текучей среды приводит к проявлению ее сжимаемости. Степень этого проявления тем
больше, чем выше значение критерия Маха M = W a (здесь а –
скорость звука).
В сжимаемых средах возможно взаимопреобразование кинетической и внутренней энергий, поэтому существенное проявление сжимаемости сказывается на конвективном теплообмене между потоком
газа и поверхностью твердого тела. Действительно, торможение газа
в динамическом пограничном слое, сопровождающееся переходом
124
кинетической энергии во внутреннюю (тепловую), приводит к увеличению температуры газа в погранслое.
Степень этого «кинетического подогрева» оценивают по температуре газа непосредственно возле стенки при условии, что последняя
теплоизолирована. Такую температуру восстановления, или «адиабатную температуру стенки», вычисляют по формуле
где
Tf
k −1 2 ⎞
⎛
M ⎟,
Т r = Tf ⎜1 + r
2
⎠
⎝
(6.22)
– температура газа вне погранслоя (в основном потоке);
(
)
r
–
коэффициент
восстановления
r < 1 , приближенно равный
r = Prf0,5 и r = Prf0,33 при ламинарном и турбулентном течениях
соответственно. В случае больших чисел Маха температура газа
Tf . Например, при турбулентном
М = 6 температура восстановле-
вблизи стенки сильно отличается от
Tf = 288 К
ния равна Tr = 2133 K .
течении воздуха с
и
Кинетический нагрев газа в динамическом погранслое ведет к изменению его свойств, что сказывается на величине коэффициента
теплоотдачи. Более того, значительное увеличение температуры пограничного слоя может «обратить» направление теплового потока. В
самом деле, если значение
Tr
у потока с
Tf < Tw
превысит
Tw ,
поток будет не охлаждать, а нагревать стенку.
Поэтому при расчете конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела и высокоскоростным потоком газа вносят изменения не только в зависимости для коэффициента теплоотдачи, но и
в закон Ньютона – Рихмана. Здесь его следует писать в виде
q n = α(Tw − Tr ) ,
(6.23)
поскольку теплообмен определяется разностью температуры стенки
Tw
и температуры слоя газа, непосредственно прилегающего к стен-
ке, а эта температура при большой скорости движения равна Tr .
Что касается зависимостей для расчета коэффициентов теплоотдачи, то в них естественно ввести дополнительные критерии подобия – Маха М и Пуассона Ро ≡ k , где k – показатель изоэнтропы.
Именно они характеризуют проявление сжимаемости, которое и является причиной повышения температуры газа в динамическом погранслое, ведущего к изменению его свойств.
Примером таких зависимостей может служить критериальное
уравнение локальной теплоотдачи пластины, обтекаемой высокоскоростным потоком газа:
125
Nu wx
⎛T ⎞
,8
= 0,029 Re0wx
Prw0,4 ⎜⎜ w ⎟⎟
⎝ Tr ⎠
0,39
k −1 2 ⎞
⎛
+
1
r
Mf ⎟
⎜
2
⎝
⎠
0,11
. (6.24)
Характерными величинами здесь являются температура стенки
координата
x,
Tw
и
отсчитываемая от входной кромки. Уравнение обоб5
7
щает результаты опытов при значениях Re wx = 5 ⋅ 10 ...2 ⋅ 10
M f = 1,7...4 ,
Tr ) = 0,55...0,95 .
(турбулентный погранслой), числах Маха
температурного фактора
(Tw
величине
Существует и другой подход к учету изменения свойств газа в динамическом пограничном слое при большой скорости движения. Согласно Эккерту, значения коэффициента теплоотдачи можно вычислять по обычным критериальным уравнениям (представлены в предыдущих подразделах), если свойства газа брать при «эффективной»
температуре
Tэ = 0,5(Tw + Tf ) + 0,22(Tr − Tf ) .
(6.25)
Этот подход также учитывает влияние «критериев сжимаемости»
и
k , поскольку в Tэ
входит температура восстановления
M
Т r . Он да-
ет удовлетворительные результаты в достаточно широком диапазоне
чисел Маха, особенно если вычислять коэффициент восстановления
0,5
0,33
в Т r по зависимостям r = Prэ
и r = Prэ
, то есть определять
Tэ посредством последовательных приближений.
Однако метод эффективной температуры не учитывает явлений,
которые возникают в случае диссоциации газа
(
)
(М > 10) и тем бо-
лее его ионизации М > 25 . Расчету теплоотдачи в этих условиях
посвящена специальная литература.
6.4. Теплообмен при фазовых переходах
6.4.1. Теплоотдача при кипении в большом объеме
Кипением называют процесс интенсивного парообразования в капельной жидкости, для которого характерно периодическое возникновение в ней новых поверхностей раздела фаз. Чтобы этот процесс
реализовался, необходим определенный перегрев жидкости
ΔTfн = Tf − Tн над температурой насыщения Т н .
Такой перегрев можно обеспечить в любой точке жидкости, темпе-
ратура
Tf
которой близка к
Т н для имеющегося давления, если рез126
ко «сбросить» последнее. В результате жидкость вскипает по всему
объему. Это «объемное кипение» мы не рассматриваем.
Дальнейшее изложение касается кипения на поверхности нагрева, обусловленного подводом к ней теплового потока q . Здесь существенно перегревается лишь слой жидкости, непосредственно прилегающий к твердой поверхности. Этот перегрев можно характеризовать
температурным напором
ΔTwн = Tw − Tн , где Tw
– температура
поверхности нагрева (стенки). Именно от величины ΔTwн зависят интенсивность парообразования и вид поверхностей раздела фаз.
При малом значении q упомянутый перегрев не может обеспечить фазового перехода, так что теплота передается к жидкости естественной конвекцией (см. подразд. 6.3.1). По достижении требующегося для кипения перегрева в пристеночном слое жидкости начинают
образовываться поверхности раздела фаз. Вначале они имеют сферический вид: в случае смачивающей жидкости во впадинах микрошероховатости стенки возникают пузырьки пара, которые растут в результате испарения в них жидкости. Когда радиус пузырька становится равным
R o = 0,01 θ σ [(ρ′ − ρ′′)g ] ,
пузырек отрывается от поверхности нагрева и всплывает под действием подъемной силы
ния в градусах;
ρ′′
σ
(ρ′ − ρ′′)g . Здесь θ – краевой угол смачива-
– коэффициент поверхностного натяжения;
ρ′
и
– плотности жидкости и пара на линии насыщения; g – гравитационное ускорение.
Пузырьки «зарождаются» лишь во впадинах, размеры которых
достаточны для размещения в них сферы с «критическим радиусом»
R к = 2 σ Tн [rρ′′(Tw − Tн )],
характеризующим минимально возможный объем пузырька в момент
зарождения (здесь r – удельная теплота парообразования). Как видно,
Rк
тем меньше, чем больше температурный напор
ΔTwн , кото-
рый пропорционален плотности q теплового потока на стенке. Поэтому с ростом q все больше впадин микрошероховатости становятся «центрами парообразования», и количество пузырьков пара увеличивается. Соответственно усиливается «перемешивание» пристеночного слоя жидкости пузырьками, обусловленное их ростом и отрывом.
По мнению большинства исследователей, именно это перемешивание обеспечивает очень высокие значения коэффициентов теплоотдачи α при таком пузырьковом кипении вследствие отвода от
стенки теплоты перегрева
с′ΔТ wн
127
хорошо «турбулизованной» жид-
костью ( c′ – удельная теплоемкость ее на линии насыщения). Далее
теплота расходуется на испарение жидкости в пузырек в процессе его
роста на стенке и последующего всплытия. Интенсивность теплообмена при кипении тем выше, чем больше число центров парообразования и частота отрыва пузырьков.
Однако увеличение количества действующих центров парообразования приводит также к тому, что соседние пузырьки становятся все
ближе. В конце концов они «сливаются», образуя сплошную паровую
пленку на поверхности нагрева. При этом последняя оказывается отделенной от жидкости, вследствие чего коэффициент теплоотдачи
резко падает: теплота передается к жидкости через слой пара с малой теплопроводностью. Непосредственный контакт жидкости со
стенкой возможен только в момент периодических «прорывов» пленки
(в виде крупных объемов пара) в толщу жидкости. Такой режим кипения называют пленочным; в силу малых значений α его стараются
избегать, когда процесс кипения организуют с целью передачи теплоты от поверхности нагрева к жидкости. Переход от пузырькового кипения к пленочному называют кризисом кипения.
Изложенное иллюстрирует
α
типичная «кривая кипения»
(рис. 6.3), характеризующая
зависимость коэффициента
теплоотдачи α от темпера-
A
Кризис кипения
B
турного напора
ΔТ wн .
Об-
ласть А отвечает режиму
свободной конвекции, В и С
– режимам пузырькового и
пленочного кипения соответственно. Для воды при атмосферном давлении первая
область ограничена темпера-
C
ΔТ wн
Рис. 6.3
ΔТwн = 25 К ( q = 8,3⋅105 Вт / м2 ),
турным напором ΔТwн = 5К
3
2
(или q = 5,8⋅10 Вт/ м ); кризис кипения наступает при
здесь достигается максимальное
(
)
значение коэффициента теплоотдачи α = 3 ⋅ 10 4 Вт / м 2 ⋅ К .
Наличие кривых кипения конкретных жидкостей позволяет получать простые формулы для расчета коэффициентов теплоотдачи.
Так, в случае воды участку кривой кипения, соответствующему развитому пузырьковому кипению, отвечает степенная зависимость
(6.26)
α = 3,14q 0,7 p 0,15 ,
128
где давление p = 1...40 бар .
Обобщенные связи коэффициента теплоотдачи и определяющих
факторов ищут, используя критерии подобия. Последние устанавливают для пузырькового кипения, анализируя систему соответствующих уравнений.
Например, придерживаясь изложенных выше представлений о
«механизме» процесса кипения, Кружилин проанализировал систему
уравнений конвективного теплообмена в жидкой фазе, а также уравнения движения парового пузырька, уравнение теплообмена на его
поверхности и уравнения, характеризующие число действующих центров парообразования. Анализ показал, что определяющими безразмерными аргументами здесь являются критерий Якоба
c′ΔTwн ρ′
⋅ ,
Ja =
(6.27)
′
′
ρ
r
критерий Прандтля для жидкости Prн и отношение двух характерных
радиусов пузырька R к R o . Критерий Якоба (объемное число фа-
зового перехода) представляет собой энтальпию перегрева единицы
объема жидкости, отнесенную к объемной теплоте парообразования.
В последующем этот критерий и отношение
Rк Ro
преобразованы
в два других безразмерных комплекса, один из которых характеризует
число действующих центров парообразования, а другой – частоту отрыва пузырьков.
Лабунцов обобщил обширный массив опытных данных по пузырьковому кипению в большом объеме критериальным уравнением
обычной структуры:
(6.28)
Nu ∗ = B Re∗n Prн0,33 .
Здесь число Нуссельта Nu ∗ = αl∗ λ′ и критерий Рейнольдса
Re∗ = ρ′′Wкипl∗ μ′ построены по характерному линейному размеру l∗ = 0,5R к Ja ; критерий Прандтля Prн вычислен по теплофизическим свойствам жидкости μ′ , с′ , λ′ на линии насыщения. Тур-
булизация жидкости при кипении определяется интенсивностью парообразования, поэтому модифицированный критерий Рейнольдса
Re∗ включает приведенную «скорость кипения» (скорость отвода па3
ра) Wкип = q (rρ′′), которая представляет собой количество м
2
пара, образующегося в секунду на один м поверхности нагрева.
−5
4
Уравнение (6.28) справедливо для диапазона Re ∗ = 10 ...10 ,
129
Prн = 0,86...7,6 ; в нем B = 0,0625 и n = 0,5 при Re∗ < 0,01,
а в случае Re ∗ > 0,01 следует брать B = 0,125 и n = 0,65 .
Плотность теплового потока q кр , при которой наступает кризис
кипения, находят по формуле Кутателадзе:
q кр = 0,13...0,16 r ρ′′ 4 σg ρ′ − ρ′′ .
(6.29)
Изложенных выше представлений о механизме кипения придерживается большинство исследователей. Существуют и другие содержательные модели процесса кипения; их можно найти в специальной
литературе.
(
(
)
)
6.4.2. Кипение при движении жидкости в трубах
Особенностью рассматриваемого случая является повышение
температуры жидкости
Tf
по мере продвижения ее вдоль обогре-
ваемой трубы. В силу этого по длине трубы имеют место различные
режимы теплоотдачи.
На входном (экономайзерном) участке
Tf < Tн ,
и теплообмен
подчиняется закономерностям вынужденной конвекции в трубах (см.
подразд. 6.3.3). По достижении в пристеночном слое жидкости перегрева
Tf − Tн , необходимого для кипения, здесь начинается образо-
вание паровых пузырьков (участок поверхностного кипения). Двухфазная зона потока постепенно увеличивается, пока не заполнит все
сечение трубы (развитое пузырьковое кипение, или эмульсионный
режим). Последующее увеличение перегрева приводит к образованию больших пузырей, поперечный размер которых близок к диаметру трубы (пробковый режим кипения). Когда такие пузыри-пробки
«сливаются», центральная часть сечения трубы оказывается полностью занятой паром, а жидкость располагается на стенке сравнительно тонким слоем. Такой режим движения двухфазного потока называют стержневым (по пару), или кольцевым (по жидкости). Кипение
кольцевого слоя жидкости сопровождается выбросом капель в поток
пара и постепенным «оголением» стенки. В итоге все сечение трубы
занимает паровой поток с находящимися в нем каплями жидкости.
Этот влажный пар далее превращается в сухой и затем – в перегретый.
Все сказанное касается вертикальных труб. В случае горизонтального расположения наблюдается нарушение осевой симметрии структуры двухфазного потока. В частности, на режимах пробковом и
130
стержневом жидкая и паровая фазы «расслаиваются» так, что паровая часть потока занимает верхнюю зону сечения трубы.
Максимальные значения коэффициента теплоотдачи α при кипении жидкости в трубах соответствуют стержневому режиму, когда
термическое сопротивление создает лишь тонкий сильно турбулизованный слой жидкости на стенке. Однако этот режим чреват возможным оголением стенки, что влечет за собой резкое уменьшение α и
рост температуры поверхности обогрева. Поэтому устройства с кипением жидкости в трубах обычно проектируют в расчете на реализацию эмульсионного и пробкового режимов.
Для них коэффициенты теплоотдачи чаще всего вычисляют по интерполяционной формуле Лабунцова:
(6.30)
α α w = 4α w + α q 5α w − α q .
(
Здесь
α , α w , αq
)(
)
– коэффициенты теплоотдачи соответственно:
при кипении движущейся жидкости, при вынужденной конвекции однофазной жидкости, при развитом пузырьковом кипении в большом
объеме. Эту формулу используют при α q α w = 0,5...2 ; в случае
α q α w < 0,5 теплоотдача полностью соответствует вынужденной
конвекции (α = α w ), а при α q α w > 2 интенсивность теплообмена определяется только кипением (α = α q ). Формула (6.30) составлена для потоков с паросодержанием β ≤ 0,7 ( β представляет
собой отношение объемных расходов пара и парожидкостной смеси).
6.4.3. Теплоотдача при конденсации пара
В теплотехнических устройствах конденсация пара, то есть превращение его в жидкость, чаще всего происходит при соприкосновении пара со стенкой, температура которой
Tw
ниже температуры на-
сыщения Tн . Обычно имеют дело с пленочной конденсацией, когда
образующаяся жидкость стекает по стенке в виде пленки с постепенно увеличивающейся толщиной δ (рис. 6.4).
Фазовому переходу соответствует скачок температуры ΔТ фп , который в большинстве случаев пренебрежимо мал (~ 0,03 К для водяного пара при атмосферном давлении). Поэтому температуру поверхности пленки считают равной
Tн , что при линейном распределении
температуры позволяет выразить тепловой поток от пара к стенке
131
q = (Tн − Tw )λ δ .
формулой (5.13):
q
δ
Пар
Пленка
T
– коэффициент
теплопроводности конденсата, δ – толщина
пленки (считаем, что перенос теплоты осуществляется только теплопроводностью при
y
x
λ
Здесь
Tн
Tw
λ = const ). В то же время по закону Ньютона
– Рихмана q = α(Tн − Tw ) . Сравнение записанных выражений дает α = λ δ . Следовательно, для вычисления коэффициента теплоотдачи при пленочной конденсации необходимо знать толщину пленки.
Теоретическую зависимость для δ пленки,
ламинарно стекающей по вертикальной стенке, впервые получил Нуссельт из условия раy
венства сил трения и тяжести (силы инерции и
поверхностного напряжения, а также взаимоРис. 6.4
действие пленки с паром Нуссельт не учитывал). Его решение приводит к следующей формуле для среднего по
высоте стенки h коэффициента теплоотдачи:
Здесь
g
⎡ ρ2gλ3r ⎤
α = 0,943 ⎢
⎥
⎣μ(Tн − Tw )h ⎦
– гравитационное ускорение,
ρ
и
0, 25
.
(6.31)
μ – плотность и динамиr – теплота фазового пе-
ческий коэффициент вязкости конденсата,
рехода; все теплофизические свойства конденсата приняты неизменными по толщине пленки.
Формуле (6.31) эквивалентно критериальное уравнение
Nu h = 0,943 Gah Pr Ku 0, 25 ,
(6.32)
(
)
где число Нуссельта
Nu h = α h λ
критерий Галилея
Gah = ρ 2 gh 3 μ 2
определено по высоте стенки
h,
характеризует отношение
массовой силы к силе вязкости, критерий Прандтля вычислен по
свойствам конденсата
Ku = r cΔTwн
(Pr = μc λ ) ,
а критерий Кутателадзе
представляет собой массовое число фазового пе-
рехода, найденное по температурному напору
132
ΔTwн = Tw − Tн .
λ, ρ , μ, c
(Tw + Tн ) 2 .
Значения
целесообразно брать при температуре
Если заметить, что число Рейнольдса
Reδ = ρWδ μ
в рас-
смотренном случае напрямую выражается через коэффициент теплоотдачи α , то уравнение (6.32) можно переписать в виде
Re δ = 0,943 Ga 0h, 25 Pr Ku −0,75 .
(6.33)
Действительно, массовый расход конденсата на единицу ширины
& = ρWδ в сечении x = h определяется количеством
пленки m
(
)
& = αΔTwнh r .
m
Re δ = α ΔTwн h (rμ ) = Nu (Pr Ku ) .
сконденсированного
пара:
Поэтому
имеем
Более поздние решения учитывали наличие силы инерции и конвективный перенос теплоты в пленке. Сравнение их с формулой Нуссельта (6.31) подтверждает ее справедливость при Ku > 5 ,
Pr < 100 . Если значения критериев подобия не отвечают этому
диапазону, в формулу вводят поправки на влияние упомянутых факторов.
При больших температурных напорах следует учесть зависимость
теплофизических свойств конденсата от температуры. Это можно
сделать, введя в формулы (6.31) – (6.33) множители Михеева
Prн Prw 0, 25 или Лабунцова λ w λ н 3 8 μ н μ w 1 8 .
Приведенные выше уравнения соответствуют строго ламинарному
течению, которое сохраняется лишь в случае весьма малых чисел
(
)
(
Рейнольдса. Уже при
Re δ ≈ 3...8
) (
)
на поверхности пленки начинают
появляться волны. Наложение их на ламинарную пленку изменяет интенсивность теплообмена. Для учета этого обстоятельства Лабунцов
0, 04
рекомендует поправочный множитель ε в = Re δ .
Волновое
течение
переходит
в
турбулентное
при
100 < Reδ < 400 . Если число Рейнольдса больше указанных значений, на последовательно расположенных участках пленки наблюдаются ламинарный, волновой и турбулентный режимы течения. Для
такого общего случая средний коэффициент теплоотдачи вычисляют
по критериальному уравнению:
Re δн = 89 + 0,024 Prн0,5 Prн Prw 0, 25 ×
(6.34)
4 3
−1
13
× Ga hн Prн Ku н − 2300
.
{
[
(
(
)
133
)
]}
Индекс «н» означает, что теплофизические свойства конденсата взяты при температуре насыщения Т н .
Приведенные соотношения пригодны и для расчета пленочной
конденсации неподвижного пара на внешней поверхности горизонтальной трубы, если в критериях
Ga , Nu , Reδ
заменить высоту
стенки h на диаметр трубы d .
Более сложные случаи конденсации (наличие движения пара вне
и внутри труб, ослабленная гравитация, конденсация из парогазовой
смеси, капельная конденсация и др.) рассмотрены в специальной литературе.
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЕМ
7.1. Закон Стефана – Больцмана
7.1.1. Исходные понятия и определения
Теплоперенос излучением (радиация) включает: преобразование
внутренней энергии вещества в энергию излучения, перенос ее в пространстве посредством электромагнитных волн (дискретными «порциями» – фотонами) и поглощение этой энергии веществом с превращением во внутреннюю энергию.
При решении практических задач лучистого теплообмена не
рассматривают детали взаимопреобразования внутренней энергии и
энергии электромагнитного поля, равно как и вопросы переноса энергии этим полем. Здесь тепловое излучение описывают (по аналогии с
геометрической оптикой) системой тепловых лучей, распространяющихся во всех направлениях прямолинейно в сплошной среде, свойства которой характеризуют коэффициентами излучения и поглощения (они являются функциями состояния). Такой метод применим, когда характерный линейный размер задачи много больше длины волны излучения λ , а время процесса значительно превышает период
колебания всех частот, содержащихся в излучении. В большинстве
инженерных задач это требование выполняется.
Твердые и жидкие тела, как правило, непрозрачны для тепловых
лучей; они излучают и поглощают в очень тонком слое, непосредственно примыкающем к поверхности. Поэтому процесс здесь рассматривают как поверхностный и все его характеристики относят к единице площади поверхности.
Газы, особенно трех- и многоатомные, излучают и поглощают
тепловые лучи во всем своем объеме, так что количественные характеристики процесса в этом случае относят к единице объема.
134
Различают интегральное и спектральное излучение. Интегральным называют излучение во всем диапазоне длин волн, спектральным – излучение в узком интервале от λ до λ + dλ .
Поверхностной плотностью потока интегрального излучения
E, Вт / м 2 , называют полное количество энергии, испускаемой в
полусферу единицей площади поверхности в единицу времени:
Е = dQ dF . Та же величина для спектрального излучения соответствует единичному интервалу длин волн: E λ = dE dλ . Очевидно,
что полный поток теплового излучения Q = ∫ EdF , а величину Е
F
∞
можно определить как
E = ∫ E λ dλ
(пределы интегрирования могут
0
−3
быть изменены на диапазон длин волн 0,8 ⋅10 ...0,8 м, соответствующий тепловым лучам).
Энергия теплового излучения, падающего на твердое или жидкое тело, может поглощаться, отражаться или пропускаться телом:
Е пад = Е погл + Е отр + Е проп . Отношения соответствующих количеств энергии к падающей энергии называют поглощательной А ,
отражательной R и пропускательной D способностями тела.
Очевидно, что A + R + D = 1.
Еэф
Тело с A = 1 именуют абсолютно черным, с R = 1 – абсолютно белым, с D = 1 – абсолютно прозрачным.
Для нечерных тел существует понятие эффективного
излучения, являющегося суммой собственного и отраженного излучений (рис. 7.1):
Eэф = Есоб + Еотр.
В случае газовых тел
вводят соответствующие объРис. 7.1
емные характеристики излучения. Так, объемной плотностью потока излучения называют количество энергии, испускаемой единицей объема среды в единицу времени по всем направлениям в пределах сферы:
ηλ = dQλ dV. Роль величин A
и
135
R
η = dQ dV ,
здесь играют коэффициенты
α = ηпогл ηпад , β = ηрас ηпад ;
сумму называют коэффициентом ослабления k .
поглощения и рассеивания:
их
Важное значение в теории радиационного теплообмена играет
(
)
понятие абсолютно черного тела А = 1 , законы излучения которого лежат в основе всех расчетов лучистого теплообмена. Излучение реальных тел обычно выражают через излучение абсолютно черного тела. Так, вводят интегральные и спектральные степени черноты
ε = Е Ео , ε λ = Е λ Е λо
(здесь и далее индексом «о» поме-
чены характеристики абсолютно черного тела).
Степень черноты зависит от природы тела, состояния его поверхности, температуры. Поглощательная и отражательная способности твердых тел зависят также от распределения падающего излучения по длинам волн.
7.1.2. Основной закон лучистого теплообмена
Таковым является закон Стефана – Больцмана, связывающий
поверхностную плотность потока интегрального излучения абсолютно
черного тела с его температурой:
Е о = σо Т 4 ,
(7.1)
−8
Вт м 2 ⋅ К 4 – коэффициент излучения
где σ о = 5,6687 ⋅10
абсолютно черного тела (постоянная Стефана – Больцмана). С использованием этого закона построено большинство инженерных методик расчета лучистого теплообмена.
Излучение абсолютно черного тела характеризуется непрерывным спектром с максимумом, положение которого по длинам волн оп−3
ределяет закон Вина: λ ( max )T = 2,896 ⋅ 10
м ⋅ К . Излучение
реальных тел всегда меньше по спектральной интенсивности, чем излучение абсолютного черного тела, при тех же значениях λ и Т .
Многие тела излучают тепловую энергию в небольших интервалах
длин волн, имея прерывистый спектр (особенно это относится к газам
при умеренных температурах).
Выполняя практические расчеты, излучение и поглощение реальных тел приближенно рассматривают как соответствующие характеристики «серого тела». Таковым называют тело, спектр излучения
которого непрерывен и подобен спектру абсолютно черного тела при
(
)
той же температуре, а спектральная степень черноты
ελ
постоянна
во всем диапазоне длин волн и не зависит от температуры (так что
ε λ = ε ).
136
Закон Стефана – Больцмана применим к серым телам с поправкой на степень черноты ε :
Е = εσ о Т 4 = σТ 4 ,
(7.2)
где
σ = εσо – коэффициент излучения серого тела.
Еще один важный закон лучистого теплообмена установлен
Кирхгофом. Согласно ему, при равновесном излучении отношение
величин Е и А любого тела равно плотности потока излучения абсолютно черного тела при той же температуре:
Е λ А λ = Е λо .
Поскольку
Е Е о = ε , Е λ Е λо
Е А = Ео ,
= ε λ , закон
Кирхгофа можно записать в виде
ε = А ; ελ = Аλ ,
(7.3)
то есть при равновесном излучении степень черноты тела равна поглощательной способности.
7.2. Лучистый теплообмен между твердыми телами
При расчете такого теплообмена обычно используют концепцию
серых тел, разделенных абсолютно прозрачной (диатермичной) средой. Учитывают также, что каждое из тел «посылает» другому не
только собственное излучение согласно (7.2), но и отраженную часть
попавшего на рассматриваемое тело потока теплоты, излученного
другим телом (то есть тела «обмениваются» эффективным излучением).
Разность этих эффективных излучений Е эф каждого из тел и
определяет величину итогового теплопереноса между телами:
q1→2 = E эф − Е эф .
1
С
учетом
соотношений
Q = qF ,
2
Е эф = Е соб + Е отр ,
Е соб = εσ о Т 4 , Е отр = Е пад R , A + R = 1, A = ε
(7.4.) можно привести к виду
(
Q1→2 = ε пр σ о Fp T14 − T24
где
Q1→2
(7.4)
),
выражение
(7.5)
– полный тепловой поток между телами 1 и 2, имеющими
площади поверхностей F1 и
F2 ; ε пр
системы рассматриваемых тел;
Fp
– приведенная степень черноты
– расчетная площадь теплообме-
на (в качестве ее обычно берут площадь поверхности одного из тел).
137
Центральной проблемой расчета теплообмена излучением между твердыми телами является определение приведенной степени
черноты системы при выбранной расчетной площади теплообмена. В
общем случае приведенная степень черноты ε пр зависит от степеней черноты тел, участвующих в теплообмене, формы их поверхностей, взаимного расположения тел и расстояния между ними.
Наиболее простой является система, состоящая из двух близко
расположенных параллельных стенок со столь большими поверхностями, что излучение каждой из них полностью попадает на другую.
Поскольку стенки неограниченны, здесь целесообразно работать с
плотностями тепловых потоков.
С учетом записанных выше соотношений имеем для тепловых
потоков, посылаемых стенками 1 и 2:
q1 = E эф = Е1 + 1 − А1 q 2 ;
(
)
= Е 2 + (1 − А 2 )q1 ,
1
q 2 = Е эф 2
откуда
E1 + E 2 − A1E 2
E1 + E 2 − A 2 E1
; q2 =
.
A1 + A 2 − A1A 2
A1 + A 2 − A1A 2
Пусть Т1 > T2 , тогда результирующий тепловой поток будет равен
A 2 E1 − A1E 2
,
q1→2 = q1 − q 2 =
A1 + A 2 − A1A 2
q1 =
или
q1→2 =
(1 A1 )E1 − (1 A 2 )E 2
В силу законов Стефана –
.
1 A 2 + 1 A1 − 1
4
Больцмана Е = εσо Т
(
(А = ε ) окончательно получаем
(
q1→2 = ε пр σ о Т14 − Т 42
) и Кирхгофа
),
где приведенная степень черноты
ε пр =
1
.
1 ε1 + 1 ε 2 − 1
(7.6)
Как видно, в простейшем случае параллельных стенок приведенная степень черноты определяется только величинами
εі
поверх-
ностей излучения. К такой системе можно приближенно свести доста138
точно много реальных сочетаний тел, участвующих в лучистом теплообмене.
Другая часто встречающаяся упрощенная система – совокупность двух тел, одно из которых полностью охвачено поверхностью
другого (внешнего) тела. В этом случае излучение внутреннего тела 1
полностью попадает на поверхность охватывающей оболочки 2, а тепловой поток, посылаемый оболочкой, частично «переизлучается » на
нее саму. Такая особенность системы учитывается соотношением для
приведенной степени черноты, которое имеет вид
−1
⎡1 F ⎛ 1
⎞⎤
ε пр = ⎢ + 1 ⎜⎜ − 1⎟⎟⎥ ,
(7.7)
⎣ ε1 F2 ⎝ ε 2 ⎠⎦
если в качестве расчетной площади теплообмена Fp в зависимости
(7.5) принять площадь поверхности внутреннего тела F1 .
Для более сложных систем (рис. 7.2) приведенную степень чер~
ноты обычно находят по формуле ε пр = ε1ε 2 ϕ , где коэффициент
облученности
1
cos ϕ1 cos ϕ2
~
ϕ=
dF1dF2
∫∫
2
Fp F1F2
πr
(7.8)
учитывает основные характеристики системы тел: размер и форму
поверхностей, их взаимное расположение, включая расстояние r ме-
жду элементами dFi поверхностей.
Для наиболее часто встречающихся
2
систем коэффициенты облученноn2
сти уже вычислены; их значения
ϕ2
можно найти в справочниках (см.,
например, [11].
Если необходимо уменьшить
ϕ1
теплообмен излучением, между
«участниками» процесса устанавливают радиационно непрозрачные
1
разделительные экраны с большой
отражательной способностью (то
есть с малой величиной А , или, согласно закону Кирхгофа, с малой
dF1
степенью черноты ε ).
Оценим
«заградительное»
Рис. 7.2
действие экранов на примере рассмотренной ранее системы двух параллельных бесконечных стенок.
Для простоты примем, что степени черноты стенок 1 и 2, а также эк139
dF
r
n
рана «э» одинаковы:
ε1 = ε 2 = ε э = ε . Тогда приведенная степень
черноты всех систем (1 – э, э – 2 и 1 – 2 без экрана), согласно формуле (7.6), будет равна ε пр = 1 2 ε − 1 . В силу стационарности проq1э = ε пр σ о Т14 − Т 4э
цесса
тепловые
потоки
и
q э 2 = ε пр σо Т 4э − Т 42 одинаковы и равны результирующему теп-
(
(
)
(
)
)
(q12 )э . Выразим из записанных соотношений разно4
4
4
4
сти Т1 − Т э и Т э − Т 2 через (q12 )э , далее просуммируем их, в
ловому потоку
итоге получим
(q12 )э = 0,5 ε пр σо (Т14 − Т 42 ).
Сопоставление этой формулы с полученной ранее зависимостью для
q12
параллельных стенок без разделительного экрана по-
казывает, что один экран с
ε э = ε1 = ε 2
уменьшает тепловой поток
в два раза. Можно показать, что при установке
теплоты сокращается в
n
таких экранов поток
(n + 1) раз. При произвольных степенях чер-
ноты стенок и экранов будет
(q12 )э
q12
=
1
1 + ε пр ∑ (2 ε эi − 1)
n
,
(7.9)
i =1
где
ε пр
– приведенная степень черноты системы без экранов соглас-
но (7.6)
Заметим, что вывод о полезности установки экранов сохраняет
силу и при высоких значениях
ε э = 1.
εэ ,
включая предельный случай
Однако уменьшение степени черноты экранов существенно
сказывается на эффективности их установки. Так, один экран из стали
листовой шлифованной, имеющий, как и стенки из того же материала,
ε = 0,56 , уменьшает тепловой поток в два раза, а
ε э = 0,045 при
полированного
алюминия
с
степень черноты
экран
из
ε1 = ε 2 = 0,56 сокращает поток теплоты уже в 18 раз.
140
7.3. Теплоперенос излучением в системе «газ – оболочка»
Тепловая радиация газа зависит от его состава и термодинамического состояния. Спектр излучения газа, как указывалось ранее, прерывист. Он состоит из линий, полос и непрерывных участков, расположенных в широком диапазоне длин волн, что объясняется вкладом
излучения всех составляющих газа (молекул, атомов, ионов).
Радиационные свойства газа характеризуют посредством коэффициентов излучения, поглощения и рассеивания (последний вводят
для газов, содержащих твердые или жидкие частицы, когда газ приобретает свойства дисперсной среды). Одноатомные газы и двухатомные, состоящие из однородных атомов (N2, O2, H2), имеют малую
излучательную и поглощательную способности. Поэтому в инженерных расчетах их обычно рассматривают как прозрачные среды. Значительной способностью излучать и поглощать лучистую энергию обладают многоатомные газы, в частности СО2 и Н2О (они входят в состав продуктов сгорания углеводородных топлив). Для таких газов
указанный выше подход неприемлем, и если они находятся между
твердыми телами, то представленные в подразд. 7.2 зависимости для
расчета теплового взаимодействия поверхностей непригодны.
При корректной постановке задачи здесь следует решать уравнение переноса энергии в излучающе-поглощающей среде:
dI λ dl = aλ I λ − I λ ,
(
o
)
где
Iλ
Iλo
– то же для абсолютно черного тела, находящегося при темпера-
– спектральная интенсивность излучения в направлении
туре газа;
aλ
l;
– спектральный коэффициент поглощения (относитель-
ное изменение уменьшения интенсивности излучения на единицу
длины луча). Для сред, где происходит еще и рассеивание излучения,
уравнение переноса существенно усложняется, превращаясь в интегродифференциальное.
Инженерные расчеты лучистого теплообмена в газах обычно ведут с использованием осредненных характеристик газового объема,
таких, как суммарная энергия его излучения и суммарное поглощение
им внешнего лучистого потока. Эти характеристики, в принципе, могут
быть получены решением записанного выше уравнения переноса
энергии при соответствующих граничных условиях. Однако такой путь
реализуют крайне редко ввиду его сложности. На практике используют экспериментальные данные по собственному излучению газов, а
также их способности поглощать падающее излучение окружающих
стенок. Эти данные обычно представлены в справочниках в виде номограмм.
Поскольку излучение и поглощение газов носят объемный характер, соответствующие свойства газа зависят от толщины слоя среды
141
и концентрации излучающих и поглощающих объектов (молекул, атомов, ионов). Поэтому коэффициенты теплового излучения газового
объема зависят от произведения парциального давления р на среднюю длину луча
l
в пределах слоя газа. Если собственное излучение
4
газового объема вычислять по соотношению q = ε f σ o T , то сте-
пень черноты газа ε f будет еще и функцией температуры, так как излучаемая газом энергия пропорциональна абсолютной температуре в
степени, меньшей четырех.
Номограммы для ε f составлены таким образом, что вычисляемая
по приведенной формуле плотность теплового потока q будет определять излучение, проходящее через единичную площадку из окружающей ее газовой полусферы. В этом случае длина пути луча l по
всем направлениям одинакова и равна радиусу полусферы. Излучение других объемов можно заменить излучением такой эквивалентной
газовой полусферы, если радиус ее вычислить как
V
– величина рассматриваемого объема,
его оболочки.
Широко известны номограммы ε f
Степень черноты смеси этих газов:
l = 3,6V F , где
F – площадь поверхности
= f (T, pl ) для СО 2 и Н 2 О .
ε f = ε CO 2 + ε H 2 O − ε CO 2 ε H 2 O ;
(7.10)
последний член здесь учитывает взаимопоглощение из-за частичного
совпадения полос излучения и поглощения в спектрах
Степень черноты
величину
ε Н 2О
ε СО 2
берут непосредственно по номограмме, а
вычисляют
ε Н 2О = 1 − (1 − ε′Н 2О ) n ,
СО 2 и Н 2 О .
с
где значения
использованием
ε′Н 2О
и
n
формулы
определяют по
номограммам (последнее соотношение учитывает более сильное
влияние парциального давления р по сравнению с длиной пути луча
l
для
Н 2 О ).
Изложенное позволяет определить собственное излучение газового объема. Если последний окружен оболочкой, необходимо учитывать излучение стенок, частичное поглощение его газом и отражение
от стенок излучения газа. Такие расчеты требуют знания коэффициента
А fw
поглощения газового объема по отношению к эффектив-
ному излучению стенок; они достаточно приближенны.
142
Упомянутый коэффициент
А fw
не является физической характе-
ристикой газа, поскольку зависит от спектра падающего излучения и
температуры стенок. Только при равновесном излучении
(Tf = Tw )
он становится таковой, ибо в соответствии с законом Кирхгофа будет
A f = εf .
Для величины
А fw
газового объема, имеющего везде температу-
Tf , по отношению к излучению абсолютно черной оболочки с температурой Tw получены эмпирические зависимости:
A fw = ε′fw (Tf Tw )0,65 ; A fw = ε′fw (Tf Tw )0, 45 , (7.11)
из которых первая отвечает СО 2 , а вторая – Н 2 О . Здесь ε′fw –
степень черноты газового объема при температуре Tw , действитель-
ру
ной средней длине луча и «пересчитанном» парциальном давлении
р′ = p(Tw Tf ) ; значения ε′fw находят по номограммам.
Если определять А fw согласно зависимостям (7.11),
ность лучистого потока от газа к «серой» стенке:
q = ε′w σo ε f Tf4 − A fw Tw4 ,
(
)
где приведенная степень черноты стенки
то плот-
ε′w = 0,5(1 + ε w )
(7.12)
учиты-
вает первые отражения (последняя формула справедлива при степени черноты стенки
ε w ≥ 0,8 ).
Некоторые авторы рекомендуют определять приведенную степень
черноты стенки по выражению
ε′w = ε w [1 + (1 − ε w )(1 − ε f )],
а значение
А fw
принимать равным степени черноты газа
считанной при температуре стенки
(7.13)
εf ,
под-
Tw .
Рекомендуемые выше расчетные соотношения пригодны в случае
неизменных значений температур газового объема и оболочки. Если
поле температуры газа неоднородно, а различные части поверхности
оболочки имеют разные оптические характеристики и значения температуры, ситуация существенно усложняется. Выходом из нее может
быть использование зонального метода, когда газ и оболочку делят
на определенное число объемов и площадок, которые можно считать
изотермными. Для каждой такой ячейки записывают уравнения баланса энергии, после чего полученную систему уравнений решают относительно неизвестных лучистых потоков теплоты.
143
Еще сложнее ситуация при описании излучения движущегося газа
и горения в нем твердых или жидких частиц. Такие задачи характерны
для камер сгорания двигателей летательных аппаратов. Методы их
решения рассмотрены в специальной литературе.
Глава 8. ЗАДАЧИ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА
8.1. Передача теплоты через стенку
8.1.1. Исходные положения
Сложным называют теплообмен, при котором одновременно присутствуют рассмотренные в главах 5 – 7 процессы переноса теплоты
посредством теплопроводности, конвекции, излучения (все сразу или
два из них). Процессы могут протекать как в одной и той же части
пространства, так и в разных, но примыкающих друг к другу частях,
составляющих единую расчетную область.
В инженерной теплопередаче задачи сложного теплообмена
обычно упрощают: при протекании в одной части пространства различных процессов вводят принцип их аддитивности, а в случае реализации процессов в разных областях один из них заменяют соответствующим граничным условием или дополнительным членом в уравнении теплообмена.
Замену процесса граничным условием используют, в частности,
рассматривая перенос теплоты от одной текучей среды к другой через разделяющую их твердую стенку. Проблему сводят к решению
задачи теплопроводности в стенке (см. подразд. 5.3), выставив на ее
поверхностях граничные условия третьего рода в виде закона Ньютона – Рихмана (см. подразд. 6.1.2). Коэффициент теплоотдачи в нем
находят предварительно по критериальным уравнениям конвективного теплообмена, приведенным в подразд. 6.3 – 6.4. Если для вычисления определяющих критериев подобия необходимы значения температуры поверхностей стенки, которые до решения задачи теплопроводности неизвестны, прибегают к методу последовательных приближений.
8.1.2. Плоская стенка
Рассмотрим плоскую однородную неограниченную стенку без тепловыделения с λ = const , расположенную перпендикулярно оси x .
Обе поверхности стенки (толщина ее равна δ ) «омываются» текучими средами, которые имеют температуры Т f > Tf для сред, рас1
2
положенных слева и справа от стенки; соответствующие коэффициенты теплоотдачи равны
α1 и α 2 .
144
Решение стационарной задачи совпадает с изложенным в подразд. 5.3.1 до этапа поиска констант интегрирования. Последние
здесь находят по граничным условиям третьего рода. Они определяются законом Ньютона – Рихмана (6.1), который мы запишем в виде
− λ ∂T ∂n w = α Tw − Tf , используя закон Фурье (5.5). Эти ус-
(
)
(
)
ловия позволяют определить только первую постоянную интегрирования:
∂T
α
= C1 ⇒ C1 = − (Tw − Tf ) .
∂x
λ
Заметим, что она содержит неизвестную величину – температуру
стенки
Тw
(заданы только значения
Однако неизвестные
равенства
Т w1
и
Тw2
α , λ и Tf ).
можно исключить, если сложить
Tf1 − Tw1 = q α1 ;
Tw 2 − Tf 2 = q α 2 ;
Tw1 − Tw 2 = qδ λ .
Два из них выражают граничные условия на левой и правой поверхностях стенки; последнее равенство отвечает решению (5.13). Сложив эти равенства, имеем
⎛ 1 δ 1 ⎞
Tf1 − Tf 2 = q⎜⎜ + + ⎟⎟ .
(8.1)
⎝ α1 λ α 2 ⎠
Определив отсюда плотность теплового потока q , находим по граничным условиям Т w и Т w ; далее по формуле (5.12) вычисляем
1
2
Т – температуру в любом сечении стенки.
Выражение в скобках соотношения (8.1) называют удельным термическим сопротивлением теплопередачи. Оно складывается из соответствующих сопротивлений теплопроводности
плоотдачи
R λ уд = δ λ
и те-
R α уд = 1 α . Связь (8.1) обычно пишут в виде
Tf1 − Tf 2 = q k ,
(8.2)
где коэффициент теплопередачи
k = 1 (1 α1 + δ λ + 1 α 2 ).
(8.3)
Для многослойной стенки (см. подразд. 5.3.2) все сказанное сохраняет силу, но коэффициент теплопередачи здесь
145
⎛ 1
δ
1 ⎞
k = ⎜⎜ + ∑ i + ⎟⎟
⎝ α1 i =1λ i α 2 ⎠
n
−1
,
(8.4)
а температуру внутри стенки определяют по формуле (5.15). Выражение (8.4) отвечает идеальному тепловому контакту слоев.
8.1.3. Цилиндрическая стенка
Сохранив представленную выше постановку задачи для цилинд-
рической стенки толщиной δ = r2 − r1 , используем тот же прием и
результаты подразд. 5.3.4. В итоге имеем
⎛ 1
1
r
1 ⎞
⎟⎟ , (8.5)
Tf1 − Tf 2 = q l ⎜⎜
ln 2 +
+
⎝ 2πr1α1 2πλ r1 2πr2 α 2 ⎠
где q l = Q l – линейная плотность теплового потока для стенки
высотой l , а выражение в скобках – линейное термическое сопротивление теплопередачи. Обратную ему величину называют линейным
коэффициентом теплопередачи
kl .
Обычно коэффициент опреде-
ляют несколько иным соотношением:
⎛ 1
1 d
1 ⎞
⎟⎟
k l = ⎜⎜
+ ln 2 +
⎝ α1d1 2λ d1 α 2 d 2 ⎠
−1
,
(8.6)
при этом линейную плотность теплового потока вычисляют по формуле
(8.7)
q l = πk l Tf − Tf .
(
1
2
)
В случае многослойной цилиндрической стенки линейный коэффициент теплопередачи вида (8.6) следует записывать как
−1
n 1
⎛ 1
d i+1
1 ⎞
kl = ⎜
ln
+∑
+
(8.8)
⎟
d i α 2d n +1 ⎠
⎝ α1d1 i =1 2λ i
при идеальном тепловом контакте слоев.
8.1.4. Управление теплопередачей
Рассмотрим возможности увеличения или уменьшения передаваемого теплового потока при неизменных Т f и Т f на примере ци1
2
линдрической стенки.
Согласно формуле (8.7), для увеличения теплового потока через
стенку следует принять меры к увеличению линейного коэффициента
146
теплопередачи. Соответственно выражению (8.6), это можно сделать
за счет увеличения λ , уменьшения толщины стенки, увеличения коэффициентов теплоотдачи
α1
и
α 2 , увеличения поверхностей теп-
лоотдачи F1 и F2 (например, за счет оребрения). Анализ показывает,
что эффективным является уменьшение максимального из слагаемых
в формуле (8.6). Если говорить о линейных термических сопротивле-
(
)
ниях теплоотдачи 1 αd , то эффективно увеличение меньшего из
коэффициентов теплоотдачи и оребрение поверхности на его стороне
(при
α 2 < α1
увеличение
F2
посредством оребрения целесообраз-
но до тех пор, пока α 2 F2 не сравняется с α1F1 ).
Для уменьшения теплопередачи необходимо принять противоположные меры. В частности, одним из способов такого уменьшения
является нанесение материала с малым λ на внешнюю поверхность
трубы. Однако анализ выражения (8.8) показывает, что такая теплоизоляция этой поверхности не всегда приводит к уменьшению теплового потока через стенку, ибо увеличение линейного термического сопротивления теплопроводности при этом сопровождается уменьшением линейного термического сопротивления теплоотдачи (из-за роста
d n +1 ).
Условие целесообразности нанесения изоляции выясним на при-
d1 и наружным d 2
толщиной (d из − d 2 ) 2 .
мере однородной трубы с внутренним
диаметра-
ми, покрытой слоем изоляции
Для такой
трубы зависимость (8.8) приобретает вид
⎛ 1
d
1
d
1
1 ⎞
⎟⎟
ln 2 +
ln из +
k l = ⎜⎜
+
⎝ α 1d1 2 λ т d1 2 λ из d 2 α 2 d из ⎠
−1
если пренебречь термическим сопротивлением контакта (здесь
λ т – коэффициенты теплопроводности изоляции и трубы).
,
λ из и
Подстановка этого выражения в формулу (8.7) и последующее по-
строение графика функции
q l = f (d из )
позволяют установить, что
эта функция имеет максимум при так называемом критическом значении диаметра изоляции
В зоне
d из < d изкр
d изкр = 2λ из α 2 .
линейная плотность теплового потока
ql
d из , то есть изоляция не выполняет своего
назначения. Лишь при d из > d из наращивание слоя изоляции дает
кр
увеличивается с ростом
147
q l . По этой причине считают, что нанесение изоляции эффективно только для труб, наружный диаметр которых d 2 ≥ d из .
кр
снижение
8.2. Поле температуры в теле с источниками теплоты
8.2.1. Неограниченная плоская стенка
с равномерным охлаждением поверхностей
Рассмотрим стационарное одномерное поле температуры в однородной безграничной плоской стенке толщиной 2δ , размещенной
перпендикулярно оси х и омываемой с двух сторон текучей средой
Т f = Tf , α1 = α 2 . Стенка содержит равномерно распределен-
(
1
)
2
ные источники теплоты с объемной плотностью
q v , Вт/м3, не
изме-
няющейся во времени; коэффициент теплопроводности материала
стенки λ не зависит от температуры.
Поскольку условия теплоотдачи с обеих сторон стенки одинаковы,
температурное поле симметрично относительно ее средней линии.
Разместив на ней начало координат, имеем граничные условия:
dT dx = 0
x = δ.
при
х = 0 ; − λ(dT dx )w = α(Tw − Tf )
при
Симметричный отвод теплоты и равномерное размещение ее источников позволяют решить задачу, используя лишь закон Фурье
(5.5). Согласно этому закону,
ловий
откуда
q = − λdT dx , а ввиду указанных ус-
q = q v x . Сравнение этих выражений дает
q
dT
= − v x,
λ
dx
qv 2
x + C.
(8.9)
2λ
Постоянную интегрирования С найдем из граничного условия при
x = δ : здесь − λ(dT dx )w = q v δ , так что Tw = Tf + q v δ α .
Подставив значение Tw в решение (8.9), получим
T=−
q vδ q vδ2
.
С = Тf +
+
2λ
α
Следовательно, уравнением температурного поля будет выражение
148
q v δ q vδ2
+
T = Tf +
α
2λ
⎡ ⎛ x ⎞2 ⎤
⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥
⎢⎣ ⎝ δ ⎠ ⎥⎦
(8.10)
(температура распределена по параболическому закону). Максимум
температуры соответствует середине пластины: при х = 0 будет
Tmax = Tf + q v δ[1 α + δ (2λ )].
8.2.2. Сплошной круговой цилиндр
с равномерным охлаждением
Постановка рассматриваемой задачи аналогична предыдущей;
изменились только геометрия тела и условия его охлаждения – последнее стало односторонним (по наружной поверхности цилиндра).
Тепловой поток по-прежнему определяется внутренним тепловыде-
q v и поперечными размерами тела: для линейной плотности
q l = Q l имеем q l = q v πr 2 (в отличие от подразд. 5.3.4 здесь q l
лением
есть функция радиуса).
Подставив
ql
в закон Фурье
Q
dT
= −λ ,
2πrl
dr
(8.11)
получаем после разделения переменных:
qv
dT = − rdr .
2λ
Интегрирование этого выражения дает
T=−
qv 2
r + C.
4λ
Значение константы C найдем из граничных условий третьего рода. Вначале перепишем последнее соотношение для наружной поверхности цилиндра. При
r = rw
имеем
T = Tw , так что
qv 2
rw .
4λ
температуры Tw
C = Tw +
Затем выразим значение
баланса на поверхности
из уравнения теплового
r = rw : q v πrw2 = α (Tw − Tf )2 πrw ,
куда
149
от-
Tw = Tf +
q v rw
.
2α
Подставив это значение в найденное ранее выражение для C ,
получаем далее распределение температуры по радиусу цилиндра:
2
q v rw q v rw2 ⎡ ⎛ r ⎞ ⎤
+
T = Tf +
(8.12)
⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ .
2α
4λ ⎣⎢ ⎝ rw ⎠ ⎥⎦
Максимальное значение температуры соответствует оси цилиндра: при r = 0 имеем
Tmax = Tf +
q v rw ⎛ 1 rw ⎞
⎜ + ⎟.
2 ⎝ α 2λ ⎠
На единицу длины цилиндра с его поверхности «снимается» тепловой
2
поток q lw = q v πrw .
8.3. Теплоотдающие стержни и ребра
8.3.1. Стержень постоянного сечения
Рассмотрим стержень произвольного, но постоянного по координате х сечения с площадью А и периметром П . Левый торец
(х = 0) примыкает к стенке, имеющей температуру Т о ,
правый торец (х = l ) , как и вся боковая поверхность стержня, констержня
тактирует с текучей средой, имеющей температуру
теплоотдачи α ).
Если принять, что поперечный размер стержня
Тf
(коэффициент
d э = 4А П
мал
по сравнению с длиной l , то задачу можно решить как одномерную
(при достаточно большом коэффициенте теплопроводности λ изменением температуры по сечению пренебрегают). «Боковой» отток теплоты посредством теплоотдачи учтем в одномерной модели введением распределенных по длине стержня теплостоков с объемной
плотностью
q v = α(Tf − T )П А .
Тогда задаче отвечает уравне-
ние Пуассона (5.10):
d 2T q v
+
= 0,
2
λ
dx
или
150
(8.13)
d 2ϑ
dx 2
=
αП
ϑ,
λА
где ϑ = Т − Tf – превышение температуры стержня над температурой окружающей среды.
Переписав это уравнение в виде
d 2ϑ
2
=
m
ϑ,
(8.14)
2
примем в нем
dx
m = const
(для этого надо положить
α = const ,
λ = const ; далее принято также Tf = const ). С учетом введенных
ограничений можем записать общий интеграл уравнения в виде
ϑ = C1e mx + C 2 e − mx .
Постоянные интегрирования найдем из смешанных граничных ус-
ϑ0 = C1 + C2 . Если не
учитывать отвод теплоты с правого торца стержня, то при x = l буml
дет dϑ dx = 0 , так что C1e
− C 2 e − ml = 0 . Подставив сюда
следующее из первого условия соотношение С1 = ϑ0 − С 2 , полуловий. При
x=0
имеем
чим
С1 =
с учетом чего будет
ϑ=
или
ϑ = ϑ0 ,
ϑ0 e −ml
e
ml
+e
ϑ0
e ml + e
− ml
;
откуда
С2 =
ϑ0e ml
e
ml
,
− ml mx
ml − mx
(
),
e
e
+
e
e
− ml
ϑ = ϑ0
e m (l − x ) + e − m (l − x )
что можно также записать в виде
e
ml
+e
− ml
ch[m(l − x )]
,
ch (ml )
e x + e − x 2 = ch x .
ϑ = ϑ0
(
+e
− ml
)
,
(8.15)
если вспомнить, что
Формулу (8.15) широко используют на практике, поскольку при
больших λ доля теплоты, отводимая торцом стержня, мала по сравнению с теплотой, «снимаемой» с боковой его поверхности.
151
Количество теплоты, отдаваемое поверхностью стержня, всегда
равно количеству теплоты, подведенному к его основанию, так что
λϑ0 A
dϑ
Q = −λ⎛⎜ ⎞⎟ A =
m sh (ml ) ,
ch (ml )
⎝ dx ⎠ x =0
или
Q = λmAϑ0 th (ml) = ϑ0 αλПA th (ml) .
(8.16)
Это количество теплоты отводится стержнем при найденном распределении температуры по его длине. Если бы температура стержня
ϑ0 , то в окружающую среду отдавалась бы тепло= αϑ0lП . Отношение теплот Q и Q max называют ко-
везде была равна
та
Q max
эффициентом
стержня:
качества
(эффективности)
теплорассеивающего
Q
th (ml )
=
.
(8.17)
Q max
ml
С учетом вида функции th (ml ) коэффициент эффективности тем
выше, чем больше величины λ , А П и меньше значения α , l .
η=
Заметим что для учета теплоотдачи с торцевой поверхности
стержня достаточно увеличить длину его на величину
А П.
8.3.2. Теплоотдающие ребра
Все полученные формулы пригодны и для прямых ребер постоянного по высоте сечения после замены длины стержня l на высоту
ребра h и пересчета значения m . Так, для ребер с основанием в виде прямоугольника со сторонами в и δ p (ширина и толщина ребра)
при
в >> δ обычно принимают П = 2в , тогда m = 2α (λδ p ) .
Если сечение ребра переменно по его высоте, расчет распределения температуры и отводимой теплоты усложняется. Например,
для прямых ребер трапециевидной по высоте формы и кольцевых
ребер постоянной толщины распределение температуры и тепловой
поток выражаются через модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого и первого порядков.
Впрочем, существует приближенный метод расчета теплоты, отводимой упомянутыми ребрами. Он основан на замене их эквивалентным прямым ребром постоянной толщины
высотой
h э = h + δh 2,
где
δо
и
152
δh
δ э = (δо + δ h ) 2
с
– толщины исходного ребра
у основания (при
лентного ребра
x = 0 ) и у вершины (при x = h ). Ширину эквива-
вэ для прямых исходных ребер оставляют прежней, а
в случае кольцевых исходных ребер ее принимают равной средней
длине окружности кольца:
вэ = π(rh + ro ),
где
rh
и
ro
– радиус
кольцевого ребра у его вершины и основания.
Плотность теплового потока, отводимого таким эквивалентным
ребром с площадью боковой поверхности
где
Qэ
Fэ ,
будет
q э = Q э Fэ ,
соответствует зависимости (8.16) после замены длины
стержня
на
высоту
ребра
hэ
и
пересчета
величины
m:
m э = 2α (λδ э ) . Теплоту же, отводимую исходным ребром переменного сечения с площадью боковой поверхности F , вычисляют как
Q = εq э F .
(8.18)
Поправочный коэффициент ε (рис. 8.1) зависит от соотношения
превышений температур вершины и основания эквивалентного ребра
ϑh ϑo э = 1 ch m э h э , а также геометрии исходных ребер, а
(
)
(
)
δ h δ o для прямого сужающегося ребра
(рис. 8.1, а) и значения rh ro для кольцевого ребра постоянной тол-
именно, от величины
щины (рис. 8.1, б).
Если кольцевое ребро выполнено сужающимся к вершине, в фор-
ε
1,2
1,1
1,0
ε r /r =1,0
0
0,25
0,75
1,0
0,50
0,8
0,6
δh δo =1,0
0,2
0,4
0,6
0,8 ϑh ϑo
а
h o
1,5
2,0
3,0
4,0
0,2
0,4
0,6
б
0,8 ϑh ϑo
Рис. 8.1
мулу (8.18) вместо ε вводят произведение упомянутых поправок для
кольцевого ребра постоянной толщины и прямого сужающегося ребра. В случае, когда кольцевое ребро имеет небольшую высоту (разность между радиусами основания и вершины), можно непосредственно использовать формулу (8.16) для прямого ребра постоянной
153
толщины, заменив ширину ребра в на среднюю длину окружности
кольца.
Расчет отводимой теплоты можно вести и с применением коэффициента качества ребра
η. Тогда Q = ηαϑо F , где α
– коэффи-
ϑо – превышение температуры основания ребра,
F – площадь боковой поверхности исходного ребра. Значение η получают, умножив на упомянутые выше поправки ε коэффициент эффективности эквивалентного ребра ηэ , который вычисляют по формуле (8.17) после замены l на h э и m на m э .
циент теплоотдачи,
В космических энергоустановках применяют ребра, отдающие теплоту в окружающую среду с температурой Tf посредством излучения. В этом случае уравнение Пуассона (8.13) следует записать как
d 2T
2 4
4
=
n
T
−
T
(8.19)
f .
2
Здесь
2
x
dx
(
)
– координата, отсчитываемая по высоте ребра
h;
n = ε пр σ о П (λА ) , где σ о – постоянная Стефана – Больцмана,
ε пр – приведенная степень черноты системы «поверхность ребра –
окружающая среда». При большом отношении ширины ребра в к его
2
толщине δ р берут П = 2в , так что n = 2 ε пр σ о (λδ р ).
Если целью расчета является определение излучаемой ребром
теплоты, достаточно найти градиент температуры dT dx в корневом сечении. Тогда целесообразно приведение уравнения (8.19) к виду
(
)
dд
= n 2 T 4 − Tf4
dT
введением переменной д = dT dx . Решение этого уравнения дает
д
dT dx = 0,633n T 5 − 5TTf4 + C ,
n = const . Значение постоянной интегрирования
если принять
C = 4Tf5 следует из граничного условия на вершине ребра, где при
достаточно больших h можно принять dT dx = 0 , T = Tf .
dT dx для корневого сечения
ребра (здесь T = Tо ) в закон Фурье q = − λdT dx и далее в соотПодставив полученную величину
154
ношение Q = qA , получаем выражение для теплоты, отводимой излучающим ребром:
Q = −0,633 ε пр σ o λПАTо5 1 − 5Тf4 + 4 Tf5 ,
(8.20)
(
)
Tf = Tf To . В случае, когда излучатель состоит из нескольких
ребер, при назначении приведенной степени черноты ε пр следует
где
учесть переизлучение в системе ребер, если таковое имеется.
8.3.3. Теплопередача через ребристую плоскую стенку
В подразд. 8.1.4 отмечалось, что одним из способов интенсификации теплопередачи является оребрение стенки, особенно с той стороны, где меньше коэффициент теплоотдачи α . В связи с этим рассмотрим стенку с односторонним оребрением (рис. 8.2). Согласно законам Ньютона – Рихмана и Фурье, запишем выражения для тепловых потоков: входящего в стенку, проходящего через ее основание и
выходящего из нее (в расчете «на одно ребро»):
Q = α1 Tf1 − Tw1 Fw1 ;
Tf2 < Tf1
(
)
λ
Q = (Tw − Tw )Fw ;
δw
Q = αпр (Tw − Tf )Fpc .
1
2
Здесь
Fw1
2
1
2
– площадь по-
верхности стенки с неоребренной стороны, приходящаяся «на одно ребро»;
λ
Fp
Тf1
α1
Fw2
Fw1
αp
δp
α w2
в
h
δw
Рис. 8.2
– коэффициент те-
плопроводности материала стенки;
α пр
– «приведенный» коэффи-
циент теплоотдачи на суммарной поверхности оребренной стороны
площадью
Fw 2
Fpc = Fp + Fw 2 ,
где
Fp
– площадь поверхности ребра,
– площадь поверхности основания стенки между двумя ребра-
ми.
Найдя из этих формул температурные напоры и просуммировав
их, получим
155
⎛ 1
⎞
δ
1
w
⎟.
Tf1 − Tf 2 = Q⎜
+
+
⎜ α1Fw λFw α пр Fpc ⎟
⎝
⎠
1
1
Введя плотность теплового потока как q = Q Fw , имеем
1
(8.21)
⎛ 1 δw
⎞
1
⎜
⎟.
+
+
Tf1 − Tf 2 = q
⎜
⎟
⎝ α1 λ α пр Fpc Fw1 ⎠
Выражение в скобках есть удельное термическое сопротивление
теплопередачи ребристой стенки, а обратная величина
−1
k pc
⎛ 1 δw
1 ⎞⎟
⎜
=
+
+
⎜α
⎟
⎝ 1 λ α пр k op ⎠
(8.22)
представляет собой ее коэффициент теплопередачи (при отнесении
теплового потока к неоребренной поверхности стенки). В последнем
выражении k op = Fpc Fw – коэффициент оребрения.
1
Приведенный коэффициент теплоотдачи на оребренной стороне
стенки найдем, сопоставляя два выражения для Q :
α пр (Tw 2 − Tf 2 )Fpc =
= α w 2 (Tw 2 − Tf 2 )Fw 2 + α р (Tw 2 − Tf 2 )Fp η
(последнее слагаемое здесь записано с учетом формулы (8.17)). Из
этого равенства имеем
α пр = α w 2
Fw 2
Fpc
Найдя по формуле (8.21) значение
нее выражениям для
Tw1
и
Tw 2
Q
+ αp
Fp
Fpc
η.
(8.23)
Q , далее по записанным ра-
вычисляем температуры основания стенки
на левой и правой ее стороне. Величина
Tw 2
есть одно-
временно температурой корня ребра, что позволяет найти распределение температуры по высоте ребра, используя зависимость
(8.15).
Заметим еще раз, что оребрение целесообразно со стороны
меньшего α ; «наращивание» поверхности ребер эффективно до тех
пор, пока
α пр k op
не станет равным
α1.
При этом достигается ин-
тенсификация теплопередачи, то есть через стенку проходит больший
156
тепловой
поток
Q
при
заданном
температурном
напоре
ΔTf = Tf1 − Tf 2 . Однако если целью оребрения является снижение
температуры стенки, то ребра необходимо размещать со стороны
среды с меньшим значением
Tf .
Стремясь к увеличению произведения
вать взаимосвязь
k op
и
α пр .
α пр k op ,
следует учиты-
Коэффициент оребрения
k op
тем
больше, чем выше ребра и больше их число; последнее обстоятельство заставляет делать ребра тонкими. Однако с уменьшением толщины ребра δ р и ростом его высоты h падает значение коэффици-
η, входящего множителем в соотношение
коэффициента теплоотдачи α пр . Поэтому
ента эффективности ребра
(8.23) для приведенного
при выборе размеров ребра ориентируются на оптимальное сочетание величин h и δ р , обеспечивающее максимальное значение произведения
α пр k op ≤ α1 .
Величина коэффициента
α пр
зависит и от расстояния между
ребрами. При конвективной теплоотдаче это расстояние не должно
быть меньше двух толщин динамического пограничного слоя, особенно при ламинарном режиме течения. Для излучающих ребер ориентируются на расстояние, при котором получаются приемлемые значения степени черноты системы с учетом переизлучения.
Проектируя оребрение, обращают внимание и на его массу. При
выбранном расстоянии между ребрами и заданной их ширине масса
определится соотношением высоты
h
и толщины
δр
ребра, а также
формой его сечения. Оптимальным будет такое сочетание этих факторов, которое обеспечит минимум массы ребра, отводящего заданный тепловой поток.
Технологически наиболее просты прямые ребра постоянной толщины. Для них условиями минимальной массы будут отношения
h
δр = λ α
или
δ р h 2 = 2,486ε пр σ о Т 3о λ .
157
Первое условие соответствует конвективному теплоотводу, второе
действительно для излучающих ребер (в нем
To
– температура кор-
невого сечения; принято Th = 0 ).
Что касается формы сечения ребра, то минимум массы будет достигнут для сечения, обеспечивающего неизменность градиента температуры по высоте ребра. В случае прямых ребер такому требованию удовлетворяет контур сечения, образованный вогнутыми дугами
(на практике контур принимают треугольным или трапециевидным с
малым отношением толщин у вершины и основания сечения).
8.4. Нестационарная теплопроводность
8.4.1. Постановка задач и методы их решения
Ряд важных для объектов аэрокосмической техники задач теплопроводности не может быть рассмотрен в рамках предположения о
неизменности параметров процесса во времени (например, задача о
нагреве стенки сопла ракетного двигателя в режиме запуска). При
решении нестационарных задач необходимо найти изменение температурного поля во времени и определить количество теплоты, отдаваемое или поглощаемое телом при его охлаждении или нагреве.
Задачи нестационарной теплопроводности можно разделить на
две основные группы. К первой из них относятся задачи о теле, переходящем из некоторого начального теплового состояния в другое стационарное (чаще всего равновесное) состояние. Во вторую группу
входят задачи о телах, температурные поля которых претерпевают
периодические изменения (например, под влиянием внешнего воздействия).
Независимо от вида группы краевая задача нестационарной теплопроводности включает соответствующие дифференциальное уравнение и условия однозначности. В последние непременно входит начальное условие – распределение температуры в теле в нулевой момент времени:
T(x, y, z, 0) = T0 (x, y, z ). Кроме того, величины,
входящие в другие условия однозначности, могут изменяться во времени по заданному закону.
Для решения краевых задач нестационарной теплопроводности
применяют как аналитические, так и численные методы. К числу первых относят, например, метод разделения переменных, метод источников, метод интегральных преобразований. Эти методы позволяют
решать сравнительно простые задачи. Нестационарные температурные поля в телах сложной геометрической формы, как правило, рассчитывают численными методами (например, методом конечных разностей).
158
8.4.2. Охлаждение неограниченной плоской пластины
Рассмотрим задачу охлаждения неограниченной плоской изотропной пластины без внутренних источников теплоты при постоянных
значениях плотности ρ , удельной теплоемкости c и коэффициента
λ . В момент времени t = 0 пластину с распределением температуры T(x , 0 ) = T0 (x ) помещают в текучую среду с
температурой Tf < T ( х , 0 ) , после чего на обеих поверхностях пластины начинается отвод теплоты при постоянных во времени α и
Tf .
теплопроводности
Отсчет температуры пластины будем вести от температуры среды, тогда уравнение Фурье – Кирхгофа (5.8) примет вид
2
∂ϑ
∂ ϑ
=a 2,
∂t
∂x
(8.24)
где величина ϑ = Т − Т f представляет собой превышение температуры. В силу симметрии охлаждения начало оси x целесообразно
разместить на середине толщины пластины. В этом случае граничными условиями являются соотношения
∂ϑ ∂х х =0 = 0 и
(∂ϑ
∂х )х =δ = −(α λ )ϑ х =δ
Начальное
условие:
при
(
)
(толщина пластины взята равной
t=0
ϑ = ϑ0 ( x ) ,
было
ϑ0 = Т 0 − Т f .
2δ ).
где
Решаем задачу методом Фурье, согласно которому вначале ищем
частные решения
ϑn
исходного уравнения, удовлетворяющие только
граничным условиям. Затем, пользуясь линейностью уравнения, находим общее решение задачи как суперпозицию этих частных решений:
∞
ϑ x , t = ∑ B n ϑn x , t ,
n =1
причем такую, которая удовлетворяет уже и начальным условиям за
(
)
(
)
счет соответствующего выбора коэффициентов
Bn .
Выполняя первый этап поиска решения, представим последнее в
виде произведения двух функций, из которых одна является функцией только t , а другая – только x :
ϑ = ϑ(x , t ) = ϕ(x )ψ(t ).
Подставив его в уравнение (8.24), имеем
159
∂ψ(t )
∂ 2 ϕ(x )
ψ ( t ),
ϕ(x ) = a
2
∂t
∂x
или после разделения переменных:
ϕ′′(x )
ψ′(t )
.
=a
ϕ(x )
ψ (t )
Поскольку левая часть полученного уравнения зависит лишь от t , а
правая – только от x , каждая из них должна быть равна некоторой
(
)
константе. Ввиду неравенства Tf < T х , 0 , то есть v > 0 , происходит охлаждение пластины, поэтому такую константу следует принять отрицательной. С учетом сказанного имеем:
ϕ′′(x )
1 ψ′(t )
2
= −k ;
= −k 2 .
a ψ(t )
ϕ(x )
Таким образом, исходное дифференциальное уравнение в частных производных сведено к двум обыкновенным дифференциальным
уравнениям:
ϕ′′ x + k 2 ϕ x = 0 ;
ψ ′ t + ak 2 ψ t = 0 .
Решение первого из них имеет вид
( )
()
второго –
( )
()
ϕ(x ) = C1 sin (kx ) + C 2 cos(kx ) ,
ψ (t ) = C 3e
− ak 2 t
.
В итоге получим частное решение
ϑ = [C1 sin (kx ) + C 2 cos(kx )]C3e
.
Граничное условие при x = 0 дает C1 = 0 , поэтому
− ak 2 t
ϑ = Be
− ak 2 t
cos(kx ),
B = C 2C3 . Подчинив это уравнение граничному
x = δ , получаем соотношение
ctg(kδ ) = kδ (aδ λ ) ,
где
или
ctgμ =
μ
.
aδ λ
160
условию при
Это характеристическое уравнение позволяет найти собственные
значения, а следовательно, и собственные функции рассматриваемой
задачи. Решая его графическим методом, получают бесконечное
μ1 < μ 2 < μ3 < ... < μ n < ... , соответствующее
значению aδ λ . Значения μ для разных aδ λ табу-
множество корней
конкретному
лированы [13, 14].
Каждому найденному значению
стное решение:
μ
будет соответствовать свое ча-
⎛
ϑn = Bn cos⎜ μ n
⎝
x⎞
⎟e
δ⎠
−μ 2n
at
δ2 .
В соответствии со сказанным выше, на втором этапе представляем общее решение бесконечным рядом
2 at
−
μ
∞
⎛ x ⎞ n δ2
ϑ = ∑ Bn cos⎜ μ n ⎟e
,
n =1
⎝ δ⎠
коэффициенты которого ищем, исходя из начального условия. Для
этого предварительно разложим известную функцию
собственным функциям
⎛
сos⎜ μ n
⎝
ϑ0 (х ) в ряд по
x⎞
⎟:
δ⎠
⎛ x⎞
ϑ0 (x ) = ∑ Bn cos⎜ μ n ⎟ .
n =1
⎝ δ⎠
∞
Далее приравниваем коэффициенты при собственных функциях одного порядка (с одинаковым значением n ). Заметим, что для этого
функция
ϑ0 = (х ) должна допускать разложение в ряд Фурье.
В итоге получаем температурное поле вида
μn
⎡+δ
⎛ μ x ⎞dx⎤ ×
(
)
ϑ= ∑
ϑ
x
cos
⎜ n ⎟ ⎥
⎢∫ 0
⎝ δ⎠ ⎦
n =1 δ(μ n + сosμ n sin μ n ) ⎣−δ
n →∞
x⎞
⎛
× cos⎜ μn ⎟e
⎝ δ⎠
Поскольку время
t
at
−μ2n
2
δ
(8.25)
.
входит только в показатель степени при числе
e , зависимость ϑ(t ) носит экспоненциальный характер.
161
8.4.3. Безразмерная форма решений
Предшествующее рассмотрение показывает, что даже в простейшем случае аналитический расчет нестационарного поля температуры весьма трудоемок. Однако результаты решения некоторых простых, но важных для практики задач (пластина, цилиндр, шар) можно
представить в безразмерной форме в виде номограмм или таблиц.
Продемонстрируем возможность такого представления для полученного выше решения задачи нестационарной теплопроводности
плоской неограниченной пластины. Для простоты возьмем случай, когда в нулевой момент времени температура в пластине распределена
ϑ0 = const .
равномерно:
В этом случае итоговое уравнение
температурного поля выглядит так:
∞
ϑ = ∑ ϑ0
n =1
2 sin μ n
⎛
сos⎜ μ n
μ n + sin μ n cos μ n
⎝
x⎞
⎟e
δ⎠
−μ 2n
at
δ 2 . (8.26)
Заметим, что в этом уравнении собственные числа μ n (корни характеристического уравнения) и, следовательно, выражения
2 sin μ n (μ n + sin μ n cos μ n ) = D n
являются функциями только безразмерного комплекса
называемого
2
числом
Био.
Отношение
x δ=X
аδ λ = Bi ,
и
комплекс
аt δ = Fo (число Фурье) здесь также безразмерны. Поэтому после
деления ϑ на ϑ0 уравнение температурного поля становится
безразмерным:
∞
ϑ
−μ 2n Fo
= θ = ∑ D n cos(μ n X )e
.
(8.27)
ϑ0
n =1
Исследования показали, что при Fo ≥ 0,3 этот ряд столь быстро
сходится, что распределение температуры достаточно точно описывается его первым членом. Поэтому в случае Fo ≥ 0,3 можно записать:
θ = D1 cos μ1X exp − μ12 Fo ,
или
(8.28)
θ x = f x Bi exp − μ12 Fo .
Как видно, при заданной координате Х безразмерная температура θ является функцией только двух безразмерных комплексов:
(
(
)
( )
(
θ x = θ x (Bi, Fo ) .
162
)
)
(8.29)
После табулирования эту функцию для заданных координат (например, для оси и поверхности пластины) достаточно просто представить в координатах ln θ и Fo , если принять Bi в качестве параметра семейства.
Выясним смысл безразмерных комплексов Bi и Fo . Представим
Bi = aδ λ как отношение термических сопротивлений
теплопроводности δ λ и теплоотдачи 1 α («внутреннего» и «внешчисло Био
него» термических сопротивлений пластины). По этой причине число
Био рассматривают как критерий теплового подобия, безразмерно
характеризующий граничные условия третьего рода.
Заметим, что критерий Био Bi формально совпадает с числом
Нуссельта Nu (см. подразд. 6.2.1). Однако на самом деле они существенно отличаются друг от друга.
Действительно, число Nu является критерием подобия процессов конвективного теплообмена, при исследовании которых коэффициент теплоотдачи α есть искомая величина. Тем самым число Нуссельта представляет собой определяемый критерий в отличие от
числа Био, определяющего характер процесса нестационарной теплопроводности в твердом теле (здесь величина α задана).
Кроме того, в критериях Нуссельта и Био характерный линейный
размер δ и коэффициент теплопроводности λ соответствуют разным
областям теплопереноса: текучей среде в первом случае и твердому
телу – во втором. Поэтому физический смысл чисел Nu и Bi неодинаков: критерий Нуссельта характеризует интенсификацию теплоотдачи за счет конвекции среды (см. подразд. 6.2.1), а критерий Био, как
сказано выше, отражает влияние теплоотдачи на процесс изменения
температуры в твердом теле.
2
Число Фурье Fo = at δ можно
представить как отношение текущего
θ
времени t ко времени перестройки
2
температурного поля в теле δ a .
1
Ввиду этого число Fo рассматриваFo 0 = 0
ют как критерий теплового подобия,
Fo i
характеризующий протекание нестаFoj > Foi
ционарного процесса распространения теплоты в теле (определяющий
критерий тепловой гомохронности).
-1
1
0
Х
Из решения задачи для случая
ϑ0 = const
lп
следует, что при задан-
ных граничных условиях в любой мо163
Рис. 8.3
(
)
мент времени Fo > 0 распределение температуры в пластине
представлено симметричной кривой с максимумом на «оси» пластины (рис. 8.3). Можно показать, что для любого момента времени касательные к кривым в точках Х = ±1, соответствующих поверхности
пластины, проходят через два направляющих полюса, которые удалены от этих точек на расстояния lп = 1 Bi . Иначе говоря, вид температурных кривых и его изменение с течением времени зависят от
значения числа Био.
Рассмотрим предельные случаи Bi → ∞ и Bi → 0 . В первом
из них вследствие ничтожно малых значений внешнего термического
1
θ
1
θ
Fo0 = 0
Fo 0 = 0
0
Fo i
Fo i
F o j > F oi
F o j > Fo i
X
0
а
сопротивления
X
б
1α
Рис. 8.4
температура поверхности пластины практически
сразу становится равной Tf , а направляющие полюса переходят на
эту поверхность (рис. 8.4, а). Для такого случая кривизна температурных линий постепенно уменьшается по мере роста числа Фурье (увеличения времени).
При Bi → 0 полюса «уходят» на бесконечность, так что для любого момента времени линия θ является почти прямой, параллельной оси X (рис. 8.4, б). С увеличением Fo эти линии перемещаются;
их положение соответствует значениям температуры от
θ∞ = 0 .
θ0 = 1
до
8.4.4. Регулярный режим охлаждения тел
Для тел, отличных от пластины, уравнение температурного поля
имеет структуру, аналогичную полученной выше: оно представляет
164
собой сумму бесконечного ряда, члены которого расположены по быстро убывающим экспоненциальным функциям:
∞
ϑ = ∑ Bn U n e −m n t .
(8.30)
n =1
Здесь множители B n и U n учитывают геометрию тела, причем B n
зависит еще и от начальных условий.
Последняя зависимость существенна лишь в случае малых
значений t
0 < t < t р ; при ln ϑ
(
)
ϑ(
этом поле температуры в теле
определяется несколькими членами ряда (неупорядоченная
стадия процесса). С увеличением
t ряд сходится настолько быстро,
что, начиная с некоторого значения t = t р , температурное поле
,t
X A , t)
XB
ϑ(
)
arctg m
достаточно хорошо описывается
tp ti
tj
первым членом ряда. Поскольку
t
коэффициент B1 хотя и опредеРис. 8.5
ляется из начальных условий, но
не зависит от координат (постоянен для всех точек тела), то при
t > t р начальное тепловое состояние тела уже не оказывает влияния
на закон изменения температуры по времени (рис. 8.5).
Этой второй стадии процесса, называемой регулярным режимом,
для всех точек тела отвечает зависимость
(8.31)
ln ϑ = −mt + C x , y, z ,
где
(
)
d ln ϑ
1 dϑ
=−
m=−
dt
ϑ dt
(8.32)
есть темп охлаждения (относительная скорость падения температуры). Его легко определить опытным путем (рис. 8.5):
m = ln ϑi − ln ϑ j t j − t i .
(
)(
)
Можно показать, что темп охлаждения пропорционален коэффициенту теплоотдачи, площади поверхности тела и обратно пропорционален его теплоемкости (первая теорема Кондратьева). Коэффициент пропорциональности равен отношению средней температуры поверхности тела
ϑF
к средней температуре всего тела
165
ϑv
(при
Bi < 0,1
он близок к единице). В случае
α → ∞,
или
Bi → ∞ ,
темп охлаждения становится прямо пропорциональным коэффициенту температуропроводности тела (вторая теорема Кондратьева).
При этом коэффициент пропорциональности зависит только от формы и размеров тела; например, для безграничной пластины он равен
π 2δ −2 .
(
)
8.5. Тепловая защита
8.5.1. Виды тепловой защиты
Важной целью теплофизического проектирования объектов аэрокосмической техники является защита «стенки» конструкции от воздействия высокотемпературного газового потока. Примерами такой
стенки могут быть жаровые трубы камеры сгорания газотурбинного
двигателя, камера ракетного двигателя, лобовая часть оболочки спускаемого космического летательного аппарата. Упомянутую тепловую
защиту обеспечивают посредством защитных покрытий (жаростойких или уносимых) и конвективного теплоотвода (охлаждение жидкостное, пористое, пленочное, заградительное). Кроме того, заданного теплового состояния стенки можно достичь за счет использования
ее теплоемкости (емкостная тепловая защита).
Для последней характерен нестационарный режим работы: по мере отвода теплоты в стенку происходит ее прогрев. Стенка сохраняет
работоспособность до тех пор, пока температура на поверхности контакта ее с газом не превысит предельно допустимого значения. В ряде случаев критерием работоспособности может быть заданная температура «внутренней» поверхности стенки. Расчет емкостной тепловой защиты ведут по формулам нестационарной теплопроводности.
Понятно, что для эффективной работы такая стенка должна иметь
большую массу, а ее материал – высокую теплоемкость (точнее, малый коэффициент температуропроводности).
Жаростойкое покрытие можно применить как в нестационарных
условиях нагрева (при емкостном теплоотводе в основную стенку), так
и в стационарных (в системах с конвективным охлаждением защищаемой стенки с другой стороны).
В обоих случаях нанесение жаростойкого покрытия приводит к
уменьшению температуры защищаемой стенки за счет дополнительного перепада температуры на слое покрытия. Наличие покрытия дает возможность повысить температуру поверхности контакта конструкции с газом, что снижает тепловой поток, поступающий в стенку.
Дополнительным положительным обстоятельством здесь является
166
уменьшение температурных напряжений в основной стенке ввиду
снижения
qrad T в ней.
Понятно, что для достижения поставленных перед покрытием целей материал его должен иметь малые коэффициенты теплопроводности (при работе в стационарном режиме) и температуропроводности (если условия работы нестационарные). Непременные требования – высокие термостойкость и термопрочность, способность противостоять большим термическим напряжениям. Обычно жаростойкие
покрытия изготавливают из тугоплавких металлов, графита, металлокерамики.
Температурное состояние стенки с защитным жаростойким покрытием в стационарных условиях определяют, решая соответствующие
задачи теплопередачи (см. подразд. 8.1). В случае нестационарных
режимов даже упрощенные аналитические методики расчета изменения во времени температуры поверхности соприкосновения стенки с
крайне сложны. Для практических целей вполне
покрытием Т ст
(
п
)
пригодна приближенная аппроксимация соответствующих решений в
виде зависимости
lg
где
Т г − Т стп
(
Т г − Т стп
)о
= 0,0212 −
μ = 1 Bi + 1 K + 1 (KBi ) ; Т г
0,45
Fo ,
μ + 0,4
– температура газа;
(8.33)
(Т ст )о –
п
температура упомянутой поверхности в начальный момент времени.
Критерии Био и Фурье здесь находят по характеристикам покрытия, а
величина К представляет собой отношение теплоемкостей защитного слоя и основной стенки: К = ρ сδ п ρ сδ ст .
(
) (
)
Подчеркнем, что жаростойкие покрытия за все время своей работы не меняют размеров и формы, поэтому они применимы для защиты таких элементов, как горловина камеры ракетного двигателя.
В отличие от жаростойких уносимые покрытия разрушаются в
процессе взаимодействия с высокотемпературным газовым потоком.
При нагреве уносимого теплозащитного покрытия его поверхность
может оплавляться, сублимировать (переходить непосредственно из
твердой фазы в газообразную), гореть (вступать в химическую реакцию с газовым потоком) или разлагаться под действием высокой температуры. Совокупность всех процессов, происходящих на поверхности разрушающегося покрытия, называют абляцией. Основной смысл
нанесения аблирующих покрытий – поглощение ими большого количества теплоты на осуществление фазовых и химических превращений. Кроме того, поступление газообразных продуктов абляции в
167
пограничный слой основного потока уменьшает тепловой поток, идущий к стенке.
Задача о расчете распределения температуры в уносимом теплозащитном покрытии представляет собой разновидность задачи Стефана (теплопроводность при подвижной границе системы); ее решение рассмотрено далее (см. подразд. 8.5.2).
Конвективный теплоотвод обеспечивает стационарный режим работы защищаемой стенки. Простейший вид такой тепловой защиты –
жидкостное охлаждение «внутренней» поверхности стенки (противоположной той поверхности, которая омывается горячим газовым потоком). При заданных температуре газа Т г и условиях его теплообмена со стенкой температурное состояние последней зависит от температуры охладителя
Т охл ,
а также от интенсивности теплоотдачи
на внутренней поверхности. Чтобы подогрев жидкости не был чрезмерным, теплоемкость ее должна быть высокой. Расчет жидкостного
охлаждения ведут по изложенным ранее соотношениям теплопередачи (см. подразд. 8.1.2, 8.1.3) и конвективного теплообмена (см. подразд. 6.3.3, 6.3.5). Такое охлаждение широко используют в жидкостных ракетных двигателях: здесь горючее подают в зазор между корпусом камеры и ее «рубашкой».
Более эффективным видом конвективного теплоотвода является испарительное охлаждение, когда отводимая от стенки теплота
расходуется не только на прогрев жидкости, но и на кипение ее. При
этом достигают высоких значений коэффициента теплоотдачи на
«внутренней» стороне стенки. Проектируя такие системы охлаждения,
основное внимание обращают на теплоту испарения хладоагента. Из
обычных жидкостей наибольшей теплотой парообразования r обладает вода: при атмосферном давлении у нее r = 2260 кДж/кг. В случае высокой температуры стенки для охлаждения можно применить
жидкие металлы, имеющие на порядок большие значения r ; например, у лития r = 20500 кДж/кг.
К системам конвективной тепловой защиты относится и пористое
охлаждение, при котором через стенку с проницаемыми порами в направлении горячего газа «продавливают» охладитель (газ или жидкость). В первом случае охлаждение называют эффузионным, во втором – конденсатным. Проходя через поры, охладитель «отбирает»
теплоту от стенки, а выйдя на поверхность ее, препятствует теплообмену между горячим газовым потоком и стенкой. Оба эти фактора ведут к снижению температуры стенки. Особо отметим, что при пористом охлаждении «попавшая» в защищаемую стенку теплота «выносится» охладителем обратно в поток газа.
Расчет пористого охлаждения сводится обычно к определению
поля температуры в стенке (см. подразд. 8.5.3). По расходу охладителя на единицу площади защищаемой поверхности пористое охлажде168
ние наиболее эффективно из всех видов конвективной тепловой защиты. Однако при этом необходимы технологически сложная пористая стенка и чистый хладоагент, не дающий осадка в процессе нагрева и кипения.
Более простым является пленочное охлаждение, при котором защищаемую поверхность покрывают пленкой жидкости, подаваемой
через щели в стенке. Протекая вдоль поверхности, жидкая пленка испаряется; прослойка жидкости и образующийся пар «оттесняют» горячий газ от защищаемой поверхности. Это ведет к уменьшению температуры стенки, снижается и тепловой поток к ней.
В случае больших размеров защищаемой поверхности приходится
выполнять в стенке несколько щелей; увеличение их количества «выравнивает» температурное поле. Понятно, что при увеличении расхода жидкости через щель
& охл
m
можно увеличить расстояние между
щелями, однако расход не должен превышать значения, после достижения которого пленка отделяется от охлаждаемой поверхности.
Это значение зависит от скорости газового потока, ширины щели, угла
наклона ее (при углах менее 150 пленка всегда примыкает к стенке).
Выбирая величину расхода, надо также следить за тем, чтобы число
Рейнольдса для пленки Re пл = w в вщ ν охл , подсчитанное по
скорости выхода охладителя
wв
и ширине щели
вщ , не превысило
величины, при которой пленка теряет устойчивость (это приводит к
уносу капель жидкости газовым потоком).
Тепловой баланс при пленочном охлаждении выражают зависимостью
α
(I r − I w )lt = m& охл (cΔTохл + r ),
(8.34)
сpw
позволяющей найти расстояние между щелями t , размещенными на
защищаемой поверхности шириной l . Здесь α – коэффициент теплоотдачи от газа к стенке; с р – изобарная теплоемкость газа при
w
температуре поверхности стенки; I w и I r – полные энтальпии газа
при температурах поверхности стенки и восстановления (см. подразд.
6.3.5); c и r – теплоемкость и теплота парообразования охладителя;
ΔТ охл
– разность температур насыщения охладителя и выхода его
из щели.
Если на защищаемую поверхность подавать через щели не жидкость, а газ, то такой вид охлаждения называют заградительным.
Вдув газа в пограничный слой основного (горячего) потока уменьшает
его температуру и увеличивает толщину погранслоя. В итоге снижа169
ется тепловой поток, подводимый к защищаемой стенке, и падает ее
температура.
Чаще всего системы заградительного охлаждения проектируют
так, чтобы «защитный» газ подавался по касательной к поверхности
стенки, а расход его обеспечивал отсутствие нормального к стенке
градиента температуры в пограничном слое. Формально это означает
полную теплоизоляцию стенки, хотя в действительности температура
ее нарастает по длине из-за прогрева защитного газа вдоль потока в
процессе смешивания его с горячим газом.
Мерой эффективности заградительного охлаждения в таком слуо
Т ог − Т w в , где Т ог –
чае является отношение θ = Т г − Т w
(
)(
полная температура основного потока;
Tw
и
)
Tw в
– температура по-
верхности стенки в рассматриваемом сечении и в месте вдува защитного газа.
Если свойства основного и защитного газа отличаются мало, то
при турбулентном течении в погранслое расчет
сти
θ
ведут по зависимо-
−0,8
⎡
w (х − х о )⎤
θ = ⎢1 + 0,24 Rec−1 4 г
(8.35)
⎥ ,
w в вщ ⎦
⎣
справедливой для w г х (w в вщ ) > 60 . Здесь w г – скорость горячего газа, координата х соответствует основному участку струи защитного газа, число Рейнольдса струи Re c = w в вщ ν подсчитано
по скорости вдува w в и ширине щели вщ . Длину х о начального
участка струи защитного газа, на котором в струе сохраняется ядро с
постоянной скоростью
w в , рекомендуют искать по формуле
−1
хо ⎛
w ⎞ wг + wв
,
= ⎜ 0,107 + 0,037 в ⎟
вщ ⎝
wг ⎠ wг − wв
следующей из теории свободных спутных струй при w в < w г .
(8.36)
Заметим, что коэффициент теплоотдачи горячего газового потока
к защищаемой поверхности в системах с применением аблирующих
покрытий, а также пористого, пленочного и заградительного охлаждения следует вычислять с учетом поступления («вдува») продуктов абляции или защитного пара (газа) в основной поток. Эти вопросы рассмотрены в специальной литературе.
170
8.5.2. Задача Стефана для аблирующего покрытия
В неподвижной системе координат задача о температурном поле
такого покрытия является нестационарной. Если внешняя (аблирующая) поверхность в ходе уноса вещества распространяется внутрь
покрытия с постоянной скоростью
w a , то задачу можно свести к ква-
зистационарной посредством введения подвижной системы координат, связанной с аблирующей поверхностью.
Рассмотрим такой прием на примере одномерной задачи для полупространства. Пусть к начальному моменту времени t = 0 тело
(
)
x ≥ 0 , достигло у
Tw = Ta = const . Иначе гово-
(покрытие), располагавшееся в полупространстве
поверхности температуры абляции
ря, при
t=0
начался унос вещества с поверхности, характеризуе-
мый плотностью потока массы
расход
аблирующего
&A A
m
вещества
с
кг/(м2·с), где
площади
&A
m
A.
– массовый
Принимаем
& A = const , то есть считаем неизменной скорость движения граm
& A ρп A . Если еще допустить, что абляция идет
ницы тела w a = m
в слое, толщина которого пренебрежимо мала по сравнению с толщиной всего покрытия, то поле температуры для произвольного момента
времени t > 0 , согласно формуле (5.8), определится уравнением
2
∂T
∂ Т
= aп 2 ,
∂t
∂х
(8.37)
где коэффициент температуропроводности покрытия
неизменен (здесь
λ п , ρп , с п
ап = λп (ρпсп )
– теплопроводность, плотность и теп-
лоемкость материала покрытия). Начальное распределение температуры задается решением задачи о прогреве тела с неподвижной границей до достижения поверхностью
Т(х → ∞) = Т0 и,
Т(хa , t ) = Тw = Ta , где х а = w a t .
При
этом
x=0
температуры
Tw = Ta .
t = 0,
имеем
начиная
с
Для перехода к квазистационарной задаче вводим новую систему
координат, начало которой находится на подвижной поверхности те-
ξ = x − w a t , а от(х, t ) . С учетом этого
ла. В этой системе пространственная координата
счет времени таков же, как в старой системе
после замены переменных уравнение Фурье – Кирхгофа (8.37) пре171
вращается в обыкновенное дифференциальное уравнение относительно температуры
Т(ξ ):
aп d 2 T
dT
=−
,
2
dξ
w а dξ
для
которого
граничные
Т(∞ ) = Т 0 .
условия
(8.38)
имеют
вид:
Т(0) = Т а ,
Решение уравнения (8.38) таково:
Т(ξ ) = −С1
aп
e
wa
−
wa
ξ
aп
+ C2 .
Константы интегрирования находим из граничных условий: согласно
второму
условию,
имеем
С1 = (Т 0 − Т а )w a aп .
ная
температура
х = w a t ) равна
в
С2 = Т 0 ,
а
из
первого
следует
Таким образом, избыточная относитель-
полупространстве
T(ξ ) − T0
=e
Ta − T0
(справа
−
wa
ξ
aп
от
поверхности
.
(8.39)
Нестационарное распределение температуры в исходной системе
(
)
координат х , t можно получить, перейдя от ξ к х , t в этом выражении.
Уравнение (8.39) позволяет найти тепловой поток, отводимый
внутрь стенки. Согласно закону Фурье (5.5), имеем
q вн = −λ п (dT dξ )ξ=0 = λ п (Ta − T0 )w a aп .
Скорость перемещения аблирующей поверхности вглубь покрытия
wa
определяют
из
уравнения
теплового
баланса
q г = q а + q из + q вн , где q г , q а , q из – плотности тепловых потоков: подводимого от горячего газа, «уносимого» продуктами абляции,
излучаемого поверхностью покрытия. С учетом выражений
q г = α Ir − Ia cp ;
(
)
a
& A A = ra ρп w a ;
q a = ra m
(
q из = ε пр σо Т а4 − Т г4
172
);
q вн = ρп w а сп (Т а − Т 0 )
имеем
wa =
Здесь
α
(
α(I r − I a ) c pa − ε пр σ о Т а4 − Т г4
ρп [ra + c п (Т а − Т 0 )]
)
.
(8.40)
– коэффициент теплоотдачи от горячего газа, имеющего
Т г , к аблирующей поверхности с температурой Т а ; I a
и I r – полные энтальпии газа при температурах абляции Т а и восстановления Т r (см. подразд. 6.3.5); c p – изобарная теплоемкость
a
газа при Т а ; ε пр – приведенная степень черноты системы «аблирующая поверхность – горячий газ»; σ о – постоянная Стефана –
Больцмана; ra – удельная теплота абляции (ее поглощает единица
температуру
массы унесенного вещества).
Величина
ra
выражает свойство уносимого покрытия поглощать
теплоту в процессе его разрушения, но не учитывает защитного эффекта, обусловленного выходом газообразных или парообразных
продуктов абляции в пограничный слой горячего газа. Поэтому для
сравнительной оценки различных покрытий лучше использовать эффективную теплоту абляции rэф = q о − q из − q вн
ρп w а ,
(
где
qo
)(
)
– плотность теплового потока от горячего газа к поверхности,
находящейся при температуре
Т а , но в условиях, когда абляции нет.
Впрочем, сравнивать уносимые покрытия надо не только по зна-
чению rэф , но и по величине λ п . Действительно, при большом λ п
происходит быстрый разогрев всего покрытия и защищаемой конструкции, так что покрытие не выполняет своей роли.
Следует отметить, что массовый поток газообразных или парооб& ′A = ϕm
& A , поступающий с поверхности площаразных продуктов m
дью A , зависит от степени «газификации» ϕ . Последняя равна отношению потока упомянутых продуктов к общему расходу вещества
уносимого покрытия. Если покрытие в ходе взаимодействия с горячим
газом сублимирует, то
ϕ = 1, а ra
равна теплоте сублимации. В слу-
ϕ
и ra определяют с учетом скорости реакции горения или разложения и теплоты
этой реакции. При использовании оплавляющихся покрытий ϕ = 0 , а
чае химического характера взаимодействия значения
173
под ra понимают сумму теплоты плавления и увеличения энтальпии
пленки до момента «сдува» ее с покрытия горячим газовым потоком.
8.5.3. Распределение температуры в стенке
с пористым охлаждением
Поставленную задачу рассмотрим для случая конденсатного охлаждения (см. подразд. 8.5.1) неограниченной плоской стенки при условии, что температура горячей поверхности стенки равна температуре насыщения. Это условие означает, что расход конденсата (охлаждающей жидкости) взят таким, что кипение его внутри стенки не
наблюдается (в обычных пористых структурах оно может быть неустойчивым), но и недогрев конденсата на горячей поверхности не предусмотрен (чтобы не было уноса части пленки без ее испарения).
Ввиду больших значений коэффиT
циента теплоотдачи внутри стенки при
конденсатном охлаждении можно принять, что температура жидкости
Tw
Tw′
становится равной температуре стенTн
ки сразу при входе ее, то есть темпеТ′охл
ратурные поля стенки и охладителя
совпадают (рис. 8.6). Поскольку величина коэффициента теплопроводности материала пористой стенки (меТ′охл
таллического «скелета» ее) λ с на по0
x рядок и более превышает значение
δ
этого коэффициента для охлаждаю-
(
)
( )
щей жидкости
Рис. 8.6
λ охл ,
далее считаем,
что теплота в пористой стенке передается только по скелету. Допустим еще пренебрежимо малый вклад
конвекции в теплообмен между жидкостью и стенкой на «холодной»
поверхности ее (подходящий к этой поверхности охладитель получает
теплоту только посредством теплопроводности).
Анализ условий задачи позволяет рассматривать теплоту, которую «поглощает» охладитель, находящийся в порах, как равномерно
размещенные в стенке стоки теплоты с объемной плотностью
& A c охлdT (Adx ) .
qv = − m
Здесь
&A
m
– секундный массовый
расход охладителя, приходящийся на площадь
щищаемой стенки,
с охл
A
поверхности за-
– удельная теплоемкость охладителя.
Соответственно, поле температуры в стенке будет отвечать
уравнению Пуассона (5.10), которое после подстановки выражения
для
q v примет вид:
174
d 2T
dT
= 0,
2
dx
dx
& A c охл (Аλ ), причем под λ здесь следует
где B = m
эффективную теплопроводность λ = λ с (1 − П ), где П
−B
(8.41)
понимать
– порис-
тость стенки (отношение объема пор ко всему объему стенки).
Решение уравнения (8.41) имеет вид
Т = С1е Вх + С 2 .
Постоянные интегрирования С1 и С 2 найдем из граничных условий:
Т = Т′w
при
x=0
и
Т = Т w = Тн
при
x=δ
(здесь
Тн
– тем-
охладителя). Граничные условия дают:
Tw′ = C1 + C2; Tн = C1еВδ + C2, откуда С1 = Т′w − Тн 1 − eBδ ;
С2 = Tw′ − Т′w − Тн 1 − eBδ . Тогда температурное поле в пористой стенке выглядит так:
Вх
пература
насыщения
(
)
(
(
)
)
(
)
1− е
T = Tw′ − (Tw′ − Tн )
.
Вδ
1− е
Недостаток этого выражения – присутствие в нем неизвестной
температуры поверхности стенки
Tw′
(со стороны подачи охладите-
ля). Ее можно исключить, записав уравнение поля температуры ох-
Т охл при − ∞ ≤ х ≤ 0 и учтя граничные ус′ , а при х = 0 будет
ловия здесь: для х = −∞ имеем Т = Т′охл
Т′охл = Т′w и λ охлdTохл dx = λdT dx , где Т отвечает запи-
лаждающей жидкости
санному выше выражению. В итоге получаем:
′
Т − Т′охл
= е − Вδ(1− х δ ) .
′
Т н − Т′охл
(8.42)
Если на обеих поверхностях стенки заданы граничные условия
третьего рода, то распределение температуры в стенке описывается
зависимостью
Т − Т гу
1 + Вг − е −Вх
.
(8.43)
=
− Вδ
′
′
Т охл − Т гу 1 + Вг − 1 − Вохл е
(
Здесь комплексы
& A c охл
Вохл = m
) (
)
& A c охл (Аα г ),
Вг и Вохл имеют вид: Вг = m
(Аα охл ), а условная температура газа Т гу вве175
дена как
Т гу = Т г − Вг rохл с охл , причем α г
и
α охл
– коэффи-
циент теплоотдачи со стороны газа и со стороны охладителя, rохл –
теплота парообразования охлаждающей жидкости.
Необходимую для расчетов по выражениям (8.42) и (8.43) плот& A A находят из уравнения теплового
ность расхода охладителя m
баланса:
&A A=
m
′ ) + rохл
с охл (Т н − Т′охл
,
(8.44)
I r – полные энтальпии горячего газа при температурах насыщения Tн и восстановления Tr (см. подразд. 6.3.5); c р – изобарн
ная теплоемкость газа при Tн . Записанная формула отвечает слу-
где
Iн
α г (I r − I н ) с рн
и
чаю, когда излучение в системе «пористая стенка – горячий газ» можно не учитывать.
Библиографический список
1.
Варгафтик Н.Е. Справочник по теплофизическим свойствам
газов и жидкостей. – М.: Физматгиз, 1972. – 708 с.
2.
Ривкин С.Л., Александров А.А. Теплофизические свойства
воды и водяного пара. – М.: Энергия, 1980. – 424 с.
3.
Беляев Н.М. Термодинамика. – К.: Вища шк., 1987. – 344 с.
4.
Техническая термодинамика / Под ред. В.И. Крутова. – М.:
Высш. шк., 1991. – 382 с.
5.
Кириллин В.А., Сычев В.В., Шейндлин А.Е. Техническая
термодинамика. – М.: Энергоатомиздат, 1983. – 416 с.
6.
Воронец Д.А., Козич Д.Е. Влажный воздух: термодинамические свойства и применение. – М.: Энергоатомиздат, 1984. – 136 с.
7.
Вукалович М.П., Новиков И.И. Техническая термодинамика.
– М.: Энергия, 1968. – 496 с.
8.
Теория и расчет воздушно-реактивных двигателей / Под
ред. С.М. Шляхтенко. – М.: Машиностроение, 1987. – 568 с.
9.
Основы теории, конструкции и эксплуатации космических
ЯЭУ / Куландин А.А., Тимашев С.В., Атамасов В.Д. и др. – Л.: Энергоатомиздат, 1987. – 328 с.
10. Теория и расчет энергосиловых установок космических летательных аппаратов / Квасников Л.А., Латышев Л.А., ПономаревСтепной Н.Н. и др. – М.: Машиностроение, 1984. – 332 с.
11. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент:
Справочник / Под общ. ред. В.А. Григорьева и В.М. Зорина. – М.:
Энергоиздат, 1982. – 512 с
176
12. Лыков А.В. Теория теплопроводности. – М.: Высш. шк., 1967.
– 599 с.
13. Основы теплопередачи в авиационной и ракетнокосмической технике / Под ред. В.К. Кошкина. – М.: Машиностроение,
1975. – 623 с.
14. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача.
– М.: Энергия, 1975. – 488 с.
15. Теория тепломассообмена / Под ред. А.И. Леонтьева. – М.:
Высш. шк., 1979. – 495 с.
16. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. – М.: Атомиздат, 1979. – 416 с.
17. Михеев М.А. Основы теплопередачи. – М.: Госэнергоиздат,
1956. – 392 с.
177
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………..
3
Часть первая
ТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕРМОДИНАМИКА
Глава 1.
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
Глава 2.
2.1.
2.2.
2.3.
Глава 3.
3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
Глава 4.
4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ……………………
Основные понятия и определения………………………..
Описание состояния системы……..................................
Вычисление количеств взаимодействий………………..
Уравнения состояния рабочих тел……………………….
ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ……………………………..
Первый закон термодинамики…………………………….
Второй закон термодинамики……………………………..
Третий закон термодинамики……………………………..
ОСНОВНЫЕ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ
ПРОЦЕССЫ………............................................................
Изопараметрические процессы…………………………...
Политропный процесс………………………………………
Течения газа без совершения технической работы…..
Термодинамика компрессоров, детандеров……………
Необратимые процессы в элементах энергоустановок
ЦИКЛЫ ТЕПЛОВЫХ МАШИН……………………………...
Структура и эффективность тепловых машин …….......
Циклы поршневых ДВС………………………………….....
Циклы газотурбинных двигателей………………………..
Циклы прямоточного и ракетного двигателей……….....
Условия высокой эффективности циклов ДВС ……
Циклы космических энергоустановок……………….......
Циклы тепловых насосов…………………………………..
5
5
8
11
15
25
25
28
30
31
31
37
41
46
56
63
63
69
72
79
81
84
90
Часть вторая
ИНЖЕНЕРНАЯ ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Глава 5.
5.1.
5.2.
5.3.
Глава 6.
6.1.
6.2.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ………….
Закон Фурье…………………………………………………
Краевая задача теплопроводности……………………..
Простейшие случаи теплопроводности………………..
ПРОЦЕССЫ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА…...
Закон Ньютона – Рихмана………………………………..
Подобие и моделирование в исследовании
конвективного теплообмена……………………………...
6.3. Процессы конвекции в однофазной среде…………….
6.4. Теплообмен при фазовых переходах…………………..
Глава 7. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ИЗЛУЧЕНИЕМ……..
178
95
95
97
101
105
105
108
117
126
134
7.1. Закон Стефана – Больцмана…………………………….
7.2. Лучистый теплообмен между твердыми телами……..
7.3. Излучение в системе «газ – оболочка»……………......
Глава 8. ЗАДАЧИ СЛОЖНОГО ТЕПЛООБМЕНА………………..
8.1. Передача теплоты через стенку………………………...
8.2. Поле температуры в теле с источниками теплоты…..
8.3. Теплоотдающие стержни и ребра………………………
8.4. Нестационарная теплопроводность……………………
8.5. Тепловая защита…………………………………………..
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК…………………………………….
179
134
137
141
144
144
148
150
158
166
176
Костиков Олег Николаевич
ТЕРМОДИНАМИКА И ТЕПЛООБМЕН
Редактор Е.А. Александрова
Св. план, 2007
Подписано в печать 23.02.2007
Формат 60x84 1/16. Бум. офс. №2. Офс. печ.
Усл. печ. л. 10. Уч.-изд. л. 11,5. Т. 200 экз. Заказ 100.
Цена свободная
Национальный аэрокосмический университет им. Н.Е. Жуковского
«Харьковский авиационный институт»
61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
http://www.khai.edu
Издательский центр "ХАИ"
61070, Харьков-70, ул. Чкалова, 17
izdat@khai.edu
