Министерство образования и науки Российской Федерации ФГАОУ ВПО «УрФУ имени первого Президента России Б.Н.Ельцина» Кафедра электротехники и электротехнологических систем Задание № 2 по дисциплине «Электротехника» Тема: Расчет электрической цепи синусоидального тока. Вариант: 07 Выполнил студент гр.ЭН-270021 Проверил преподаватель Екатеринбург 2019 Лапшин И. А. Бородин М.Ю. Параметры всех элементов схемы замещения и напряжение источника заданы: R1 = 9,0 Ом; C3 = 265,3 мкФ; R2 = 20,0 Ом; R3 = 16,0 Ом; L1 = 38,2 мГн; Напряжение сети U = 127 В; Частота сети f = 50 Гц. Задание: 1. Рассчитать токи, напряжения, активные, реактивные и полные мощности, сдвиги фаз каждого участка цепи; 2. Вычислить ток, активную, реактивную и полную мощности всей цепи, а также cosφ всей цепи; 3. Построить совмещенную векторную диаграмму токов и напряжений рассматриваемой цепи; 4. Провести анализ результатов расчета с использованием векторной диаграммы. Решение: Упрощенная схема заданной цепи может быть изображена, как показано на рис. 1. Рис. 1. Упрощенная схема замещения заданной электрической цепи Здесь Z1, Z2, Z3 - полные комплексные сопротивления ветвей (участков цепи), определяемые параметрами элементов в соответствующих ветвях. В алгебраической форме записи: 𝑍1 = 𝑅1 + 𝑗 ∙ 2𝜋𝑓𝐿1 = (9,0 + 𝑗 ∙ 12) Ом 𝑍2 = 𝑅2 + 𝑗 ∙ 0 = 20 Ом 𝑍3 = 𝑅3 − 𝑗 1 1 = 16 − 𝑗 = 16 − 𝑗 ∙ 12 Ом 2𝜋𝑓 ∗ С3 2 ∗ 3,14 ∗ 50 ∗ 265,3 ∗ 10−6 Полные комплексные сопротивления ветвей в показательной форме записи: 𝑍1 = (9,0 + 𝑗 ∙ 12) = 15𝑒 𝑗53° Ом 𝑍2 = 20 + 𝑗 ∙ 0 = 20𝑒 𝑗0° Ом 𝑍3 = 16 − 𝑗 ∙ 12 = 20𝑒 𝑗(−37°) Ом При решении задачи методом эквивалентных преобразований вторая и третья ветви могут быть заменены одной эквивалентной ветвью (рис. 9) с полным комплексным сопротивлением Z 2−3, равным 𝑍2−3 𝑍2 ∙ 𝑍3 20𝑒 𝑗0° ∙ 20𝑒 𝑗(−37°) 400𝑒 𝑗(−37°) = = = = 10,5𝑒 𝑗(−18,6°) 𝑍2 + 𝑍3 (20 + 𝑗 ∙ 0) + (16 − 𝑗 ∙ 12) 38𝑒 𝑗(−18,4°) При этом схема цепи преобразуется к виду, показанному на рис. 2. Рис. 2. Эквивалентное преобразование двух параллельных ветвей На следующем этапе эквивалентного преобразования два последовательно соединенных элемента в схеме на рис. 2 заменяются эквивалентным с полным комплексным сопротивлением Z экв , равным 𝑍экв = 𝑍1 + 𝑍2−3 = 15𝑒 𝑗53° + 10,5𝑒𝑗(−18,6°) = (9,0 + 𝑗 ∙ 12) + (10,0 − 𝑗 ∙ 3,3)=19+ +𝑗 ∙ 8,7 = 21𝑒 𝑗24,6° При этом схема преобразуется к простейшему виду, эквивалентному всей цепи (рис. 3). Рис. 3. Схема замещения, эквивалентная всей цепи Далее, следуя в обратном порядке по этапам эквивалентных преобразований, определяются необходимые токи и напряжения по закону Ома в комплексном виде. Начальная фаза напряжения в задании не определена, т.е. не задан начальный момент времени отсчета синусоидальных токов и напряжений. В этом случае начальная фаза напряжения может быть задана произвольно. Она будет определять начальный момент времени отсчета. Удобно задать начальную фазу равной нулю (ψu=0). Тогда комплексное напряжение сети: 𝑈̇ = 127𝑒 𝑗0° В По закону Ома для схемы на рис. 3: 𝐼1̇ = 𝑈̇ 127𝑒 𝑗0° = = 6,1𝑒 −𝑗24,6° 𝑍экв 21𝑒𝑗24,6° Для схемы на рис. 2 отдельно для каждого из двух участков цепи: 𝑈̇1 = 𝐼1̇ ∙ 𝑍1 = 6,1𝑒 −𝑗24,6° ∗ 15𝑒 𝑗53° = 91,5𝑒 𝑗28,4° В 𝑈̇2−3 = 𝐼1̇ ∙ (𝑍2−3 ) = 6,1𝑒 −𝑗24,6° ∗ 10,5𝑒 𝑗(−18,6°) = 64,05𝑒 −𝑗43.2° В Для исходной схемы на рисунке №2 для второй ветви по закону Ома: 𝑈̇2−3 64,05𝑒 −𝑗43.2° 𝐼2̇ = = = 3,2𝑒 −𝑗43.2° А 𝑗0° 𝑍2 20𝑒 Для третьей ветви: 𝐼3̇ = 𝑈̇2−3 64,05𝑒 −𝑗43.2° = = 3,2𝑒 𝑗(−6,5°) А 𝑗(−37°) 𝑍3 20𝑒 Таким образом, эти выражения определяют токи и напряжения на всех участках заданной электрической цепи. Для составления баланса мощности определим мощности всех элементов цепи. При этом активная мощность резистора определяется его сопротивлением и квадратом действующего значения тока в этом резисторе: 𝑃1 = 𝐼12 ∙ 𝑅1 = 6,12 ∗ 9 = 334,9 Вт 𝑃2 = 𝐼22 ∙ 𝑅2 = 3,22 ∗ 20 = 204,8 Вт 𝑃3 = 𝐼32 ∙ 𝑅3 = 3,22 ∗ 16 = 163,8 Вт Активная мощность всей цепи определяется суммой активных мощностей всех резисторов: 𝑃 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 = 334,9 + 204,8 + 163,8 = 703,5 Вт Реактивная мощность индуктивных и емкостных элементов также определяется их сопротивлением и квадратом действующего значения тока в этих элементах. В частности, для рассматриваемой цепи: 𝑄𝐿1 = 𝐼12 ∙ 𝑋𝐿1 = 6,12 ∗ 12 = 446,5ВАр 𝑄𝐶3 = 𝐼32 ∙ 𝑋𝐶3 = 3,22 ∗ 12 = 122,9 ВАр Реактивная мощность всей цепи определяется мощностью индуктивного и емкостного элементов: 𝑄 = 𝑄𝐿1 − 𝑄𝐶3 = 446,5 − 122,9 = 323,6 ВАр Полная мощность цепи из треугольника мощностей: 𝑆 = √𝑄2 + 𝑃2 = √323,62 + 703,52 = 774,4 ВА С другой стороны, полная мощность, создаваемая источником, определяется в соответствии с произведением действующих значений напряжения сети U и тока I потребляемого всей цепью из сети: 𝑆 = 𝐼1 ∙ 𝑈 = 6,1 ∗ 127 = 774,7 ВА Из сопоставления результатов видно, что баланс полной мощности сходится. Коэффициент мощности всей цепи: 𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑃 𝑆 = 703,5 774,4 = 0,91; При этом характер всей цепи активно–индуктивный, т.к. реактивная мощность положительна. Для графического анализа полученного результата строится векторная диаграмма. Векторная диаграмма строится по результатам расчетов токов и напряжений на всех участках рассматриваемой цепи. При этом длина вектора в масштабе отражает величину тока или напряжения (I, U), а направление вектора (угол между вектором и вещественной осью) отражает начальную фазу (ψi , ψu). Построенная векторная диаграмма показана на рис.4 . Рис. 4. Совмещенная векторная диаграмма токов и напряжений Векторная диаграмма позволяет достаточно просто и наглядно оценить достоверность полученных результатов. В частности, как видно из векторной диаграммы, на первом участке цепи напряжение U1 отстает по фазе от тока I на 53о. Т. е. сдвиг фаз φ1 = 53о. Это соответствует заданному активно–емкостному характеру приемника в первом участке цепи и аргументу комплексного полного сопротивления первой ветви 𝑍1 Векторы тока второй ветви I2 и напряжения на этой ветви U2-3 направлены одинаково, т. е. сдвиг фаз второй ветви φ2=0. Это соответствует заданному активному характеру второй ветви и аргументу комплексного полного сопротивления второй ветви 𝑍2 Вектор тока I3 повернут относительно вектора напряжения на этой ветви U2-3 в сторону отставания на угол 37о. Это соответствует разности фаз для заданного активно–индуктивного приемника φ3=37о и аргументу комплексного полного сопротивления третьей ветви в выражении 𝑍3 Полный ток цепи I1 опережает по фазе напряжение сети U на угол 25о. Это также свидетельствует об активно-емкостном характере всей цепи и соответствует аргументу полного комплексного сопротивления всей цепи 𝑍экв Кроме того, на векторной диаграмме может быть проверено соотношение токов ветвей по первому закону Кирхгофа и соотношение напряжений по второму закону Кирхгофа. В частности, в рассматриваемой цепи должно выполняться равенство: 𝐼 ̇ = 𝐼2̇ + 𝐼3̇ , или в векторной форме 𝐼 = 𝐼2 + 𝐼3 . На векторной диаграмме это соотношение показано пунктиром. Для напряжений соблюдается равенство: 𝑈̇ = 𝑈̇1 + 𝑈̇2−3 , или в векторной форме 𝑈 = 𝑈1 + 𝑈2−3 . Это соотношение также показано на векторной диаграмме пунктиром. Проведенный анализ свидетельствует о достоверности результатов расчета.
