о научно-исследовательской работе
реклама
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени М.В.Ломоносова
НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ
имени Д.В.Скобельцына
УДК 537.312.62; 621.385.6
Инв.№ 2007/2
УТВЕРЖДАЮ
Зам.директора НИИЯФ МГУ
В.В.Радченко
ноября 2007г.
ОТЧЕТ
О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ
«Теоретический расчет предельной чувствительности детекторов излучения в
субтерагерцовой и терагерцовой областях частот на основе джозефсоновских
туннельных наноструктур с учетом неравновесной функции распределений
электронов в шунте джозефсоновского перехода, возникающей под действием
излучения»
по теме:
«Проведение расчетов и математического моделирования неравновесных
функций распределения»
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ
ВТОРОЙ ЭТАП НИР
ДОГОВОР № 243/07 от 5 апреля 2007
на выполнение научно-исследовательской работы
Государственный контракт от № 02.513.11.3157 от " 5 " апреля 2007 г.
в рамках ФЦНТП «Исследования и разработки по приоритетным
направлениям развития научно-технологического комплекса России на 20072012 годы»
Руководитель НИР,
доктор.физ.-мат. наук, г.н.с.
М.Ю.Куприянов
Москва 2007
2
СПИСОК ОСНОВНЫХ ИСПОЛНИТЕЛЕЙ
Руководитель работ –
главный научный
сотрудник НИИЯФ
МГУ, профессор, д.ф.м.н.
подпись, дата
ВНС, МГУ, д.ф.-м.н.
МНС, МГУ к.ф.-м.н
МНС, МГУ к.ф.-м.н
Программист, к.т.н.
Аспирант
2
М.Ю.Куприянов
Введение,
реферат,
заключение
И.А.Девятов
Раздел 1,2,3
Д.В.Гончаров
Раздел 1
С.Г. Домбраускас
Раздел 2
Ю.М.Куприянов
Раздел 3
Т.Ю.Карминская
Раздел 1
3
РЕФЕРАТ
Отчет: 30 с., 1 кн., 1 рис., 13 источников.
Проведение расчетов и математического моделирования
неравновесных функций распределения.
Работы проводились в рамках
02.513.11.3157 от
государственного
контракта
№
" 5 " апреля 2007 г. на выполнение научно-
исследовательских работ между Федеральным агентством по науке и
инновациям и Институтом радиотехники и электроники РАН, выполняемых
в
рамках
федеральной
целевой
научно-технической
программы
«Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития
научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы», научноисследовательские работы по лоту «Отработка научных основ технологии
получения наноматериалов для высокоэффективных детекторов излучения в
области 0.2-4000 микрон (мероприятие 1.3 Программы)» шифр «2007-3-1.307-02-077» по теме:
«Отработка научных основ технологии получения
высокоэффективных
детекторов
излучения
в
субтерагерцовой
и
терагерцовой областях частот на основе туннельных наноструктур.
На втором этапе выполнения НИР в соответствии с Техническим
заданием и Календарным планом работ исследования были сосредоточены
на проведении расчетов и математическом моделировании неравновесных
3
4
функций распределения в металлическом шунте для случая квантового
поглощения излучения. Расчет проводился в моделях, описывающих
механизмы электронной релаксации в чистых и гряных металлах, а также в
модели релаксации возбуждений
с ядром,
обратно пропорциональным
квадрату передаваемой энергии при столкновении.
4
5
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
6
1.
Расчет неравновесной функции распределения электронов в
металлическом шунте при квантовом поглощении электромагнитного 8
излучения для модели релаксации возбуждений, соответсвующей
«чистому» пределу.
2.
Расчет неравновесной функции распределения электронов в
металлическом шунте при квантовом поглощении электромагнитного 21
излучения для модели релаксации возбуждений с ядром, обратно
пропорциональному
квадрату
передаваемой
энергии
при
столкновении.
3.
Расчет неравновесной функции распределения электронов в
металлическом шунте при квантовом поглощении электромагнитного 24
излучения для модели релаксации возбуждений, соответсвующей
«грязному» пределу.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
26
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
29
5
6
ВВЕДЕНИЕ
Основной целью проекта является получение нового научного знания
по
проблеме
«Теоретический
расчет
предельной
чувствительности
детекторов излучения в субтерагерцовой и терагерцовой областях частот на
основе джозефсоновских туннельных наноструктур с учетом неравновесной
функции распределений электронов в шунте джозефсоновского перехода,
возникающей под действием излучения.»
Основанием
для
государственный контракт
выполнение
выполнения
настоящей
НИР
является
№ 02.513.11.3157 от " 5 " апреля 2007 г. на
научно-исследовательских
работ
между
Федеральным
агентством по науке и инновациям и Институтом радиотехники и
электроники РАН, выполняемых в рамках федеральной целевой научнотехнической программы
«Исследования и разработки по приоритетным
направлениям развития научно-технологического комплекса России на 20072012 годы», научно-исследовательские работы по лоту «Отработка научных
основ технологии получения наноматериалов для высокоэффективных
детекторов излучения в области 0.2-4000 микрон (мероприятие 1.3
Программы)» шифр «2007-3-1.3-07-02-077» по теме: «Отработка научных
основ технологии получения высокоэффективных детекторов излучения в
субтерагерцовой и терагерцовой областях частот на основе туннельных
наноструктур.
6
7
В полном соответствии с Техническим заданием и Календарным
планом данного договора на втором этапе основные усилия были
сосредоточены на проведении расчетов и математического моделирования
неравновесных функций распределения в металлическом шунте для случая
квантового
поглощения
излучения.
Расчет
проводился
в
моделях,
описывающих различные механизмы электронной релаксации, в том числе:
в модели релаксации возбуждений, соответствующей «чистому»
пределу;
в
модели
релаксации
возбуждений
с
ядром,
обратно
пропорциональным квадрату передаваемой энергии при столкновении.
в модели релаксации возбуждений, соответствующей «грязному»
пределу.
Ниже приводятся отчетные материалы по каждому из указанных выше
направлений.
7
8
1. Расчет неравновесной функции распределения электронов в
металлическом
шунте
электромагнитного
при
излучения
квантовом
для
поглощении
модели
релаксации
возбуждений, соответсвующей «чистому» пределу.
Известно [1-3], что проблема расчета неравновесных флуктуаций в
диффузном металлическом резисторе сводится к расчету соответствующей
неравновесной функции распределения электронов по энергии
f ( ) и
последующем подставлении ее в выражение для спектральной плотности
флуктуаций [2]:
L/2
4
S I ( )
dx d f ( , x)[1 f ( , x)] ,
RL L/ 2
(1)
где R – сопротивление резистора, определяемое при низких температурах в
первую очередь упругим рассеяние на примесях, L –длина перехода, x –
координата в направлении протекания тока. В планируемом эксперименте
неравновесная
функция
джозефсоновского
распределения
перехода
будет
в
металлическом
генерироваться
шунте
микроволновым
излучением с длиной волны много большей размеров шунта. Поэтому в (1)
можно пренебречь пространственной зависимостью функции распределения
и для ее расчета использовать стационарное кинетическое уравнение,
записанное в следующей форме:
8
9
coll
,
I abs I inel
(2)
Первый член I abs в кинетическом уравнении (2) описывает квантовое
поглощение микроволнового излучения, существенное при относительно
высоких частотах сигнала. При выполнении условия
1
imp
in1 ,
(3)
1
где imp
-скорость упругой релаксации на примесях, in1 e1e e1ph -
скорость неупругой релаксации, обусловленной электрон-электронным и
электрон-фононным рассеянием, первый член в кинетическом уравнении (2)
(член источника) имеет следующий вид [4]:
I abs ( ) e1pt f ( ) f ( ) 2 f ( ) ,
где
e1pt e2 DA02 /( c)2 ,
гармонического
A0
-
(4)
вектор-потенциал
электромагнитного
сигнала
коэффициент диффузии пленки, c – скорость света.
9
высокочастотного
A(t ) A0 cos( 0t ) ,
D
–
10
Входящий в кинетическое уравнение (2) неупругий интеграл столкновений
coll
учитывает, в общем случае, как электрон-фононное взаимодействие, так
I inel
и электрон-электронное взаимодействие:
coll
Iinel
I ee I e ph ,
(5)
Столкновительный интеграл
I e ph
электрон-фононного взаимодействия
имеет следующий вид [5,6]:
I e ph ( )
ph
D
d 1 f ( ) f ( ) 1 N ( ) 1 f ( ) f ( ) N ( )
2
0
f ( )1 f ( )1 N ( ) f ( ) 1 f ( ) N ( ) ,
(6)
где D - температура Дебая, ph - безразмерная константа электронфононного взаимодействия, N ( ) - число заполнения фононов.
Интеграл столкновений I ee электрон-электронного взаимодействия имеет, в
общем случае, вид [8]:
I ee ( ) d 1 d K ( ) f ( ) f (1 ) 1 f ( ) 1 f (1 )
f ( ) f (1 ) 1 f ( )1 f (1 ) .
10
(7)
11
В рассматриваемом в данном разделе
“чистом” пределе ядро K ( ) ,
входящее в электрон-электронный интеграл столкновений (7), не зависит от
величины передаваемой энергии и равно:
K ( ) Kcl ( )
2
64
F1
ksc
const ,
pF
(8)
где F , pF - энергия и импульс Ферми соответственно, k sc - обратная длина
экранирования.
Для соответствующих планируемому эксперименту азотных температурах
достаточно ограничиться «чистой» формой интеграла столкновений. Более
того, при азотных температурах скорость электрон-электронной релаксации
ee1 ( ) много меньше скорости электрон-фононной релаксации e1ph ( )
(параметр
малости,
как
следует
из
(6),(8)
e1e
1
e ph
D
F
).
Тогда,
ограничиваясь в первом приближении в стационарном кинетическом
уравнении (2) электрон-фононным столкновительным интегралом (6) и
квантовым источником (4), и считая температуру абсорбера T много меньше
частоты сигнала , мы получили следующее уравнение для неравновесной
части ( ) функции распределения
f ( ) f F ( ) ( ) ,
(9)
11
12
( f F ( ) -равновесная функция распределения Ферми):
x3
2
2
( x ) 2 dz ( z )( z x ) 4 x dz ( z ) z
x
x
3
(10)
(1 x ) ( x 1) ( x 1) 2 ( x ) dz ( z )( z x ) 2 .
x
В формуле (10)
pt1
e1ph ( )
- отношение скорости поглощения фотонов к
скорости электрон-фононной релаксации на частоте монохроматического
сигнала,
x /
-
энергия,
нормированная
на
энергию
кванта
поглощаемого сигнала, (x) - ступенчатая функция Хэвисайда. Уравнение
(10) отличается от рассмотренных в [7,8] квантовых кинетических
уравнений тем, что оно не линеаризовано, т.е. входящая в них поправка
(x) к полной функции распределения электронов по энергиям f (x) не
предполагалась малой по сравнению с единицей. При этом входящие в
фигурные скобки при (x) в первой строке (10) интегралы описывают
согласованное с мощностью принимаемого сигнала время релаксации
(эффект, не учитываемый в линейном приближении), а слагаемое
( x 1) ( x 1) 2 ( x)
во
второй
строке
(10)
учитывает
эффект
«последовательного поглощения фотонов».
Для численного решения нелинейного интегрального уравнения (10)
нами была разработана специальная итерационная процедура, позволяющая
12
13
с высокой точностью найти решение нелинейного интегрального уравнения
(10),
сведя
ее
решение
к
последовательному
решению
линейных
интегральных уравнений Вольтерра 2-го типа. Для этого в качестве первого
приближения на интервале [0,1] известным методом (на двух сетках, считая
от правого края интервала) решалось линейное интегральное уравнение
Вольтерра, получающееся из (10) отбрасыванием нелинейных частей в
первой строке (10) (интегралов в фигурных скобках) и слагаемого
( x 1) ( x 1) 2 ( x)
во второй строке (10), ответственного за
последовательное поглощение фотонов. На следующей итерации опять
решалось линейное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, но на
интервале [0,2] и с интегралами в фигурных скобках первой строки и
слагаемым ( x 1) ( x 1) 2 ( x) во второй строке (10), рассчитанных
на основании первой итерации. Далее итерационный процесс повторялся,
последовательно
увеличивая
рассматриваемый
интервал
x
решения
уравнения (10). При этом хватало небольшого (5-8) числа итераций, чтобы
независимо рассчитываемая ошибка численного решения была на много
порядков (более 7) меньше самой величины решения. Естественно, такая
итерационная процедура оказывается устойчивой при малых (менее 0.1)
значений параметра
pt1
e1ph
, пропорционального мощности сигнала.
Проведенные нами оценки показали, что 0.01 для анализируемой
экспериментальной ситуации.
13
14
На рис. 1 представлены результаты численного решения уравнения
(10), проведенного для различных значений параметра (нормированной
мощности сигнала) по описанной выше итерационной процедуре.
Рис. 1. Функции распределения электронов в металлической пленки,
облучаемой микроволновым излучением, соответствующие решению (10) с
различными значениями нормированной мощности . Кривая «1»
соответствует 10 3 , «2» соответствует 10 5 ,«3» соответствует 10 7 .
14
15
Кривая «1» на рис. 1 соответствует значению нормированной мощности
10 3 , кривая «2» соответствует 10 5 , а кривая «3» соответствует
10 7 . Видно, что с уменьшением мощности сигнала величина
неравновесной функции распределения также уменьшается, выходя тем ни
менее на значение, равное 0.5 при 0 [9]. Данный результат также
непосредственно следует и аналитически из вида (10). При малых значениях
мощности сигнала на рис.1, построенном в двойном логарифмическом
масштабе,
присутствует
соответствующей
линейный
участок
обратно-степенной
вблизи
зависимости
и
x 1,
менее
( ) 4 .
Данная
зависимость в линейном режиме при учете только электрон-фононного
взаимодействия была предсказана ранее в [7-9]. С увеличением мощности
сигнала, (кривые «2», «3» на рис. 1) функция распределения при малых
значениях энергии
быстрее выходит на насыщение с увеличением
мощности сигнала, что отражает согласованный с мощностью сигнала учет
времени
релаксации
в
нелинейном
интегральном
уравнении
(9).
«Ступеньки» функции распределения на рис.1 при 1 соответствуют
последовательному поглощению фотонов.
Последовательный учет электрон-электронного взаимодействия в
кинетическом уравнении (2) ведет к существенному усложнению описанной
выше
итерационной
процедуры
решения
нелинейного
квантового
кинетического уравнения (10) даже в «чистом» пределе с независящем от
передаваемой
энергии
ядром
(8)
15
электрон-электронного
интеграла
16
столкновений (7). Так, для неравновесной поправки ( ) к полной функции
распределения (9) при низкой температуре k BT нелинеаризованная
форма электрон-электронного интеграла столкновений (7) имеет как
квадратичные, так и кубичные по ( ) члены, так и двойные интегралы, что
отражает большее (по сравнению с электрон-фононным взаимодействием)
число взаимодействующих частиц:
I ee ( x )
1
ee
x2
( x ) 6 dz ( z ) z 3 dz( z x ) ( z )
0
2
x
(11)
x
dz( z )[ ( z x ) ( x z )] dz{( z ) ( z )[ ( z x ) ( z x )]} ,
0
x
где
( z ) 2 dy ( y ) ( z ) ,
(12)
z
z
0
0
( z ) dy ( y ) ( z y ) 2 dy ( y ) ( z y ) .
(13)
Тем ни менее, нам удалось разработать итерационную процедуру,
позволяющую численно решать кинетическое уравнение в «чистом» пределе
с
учетом
как
электрон-фононного,
взаимодействия.
16
так
и
электрон-электронного
17
Объединение
описывающее
формул
квантовое
(10)-(11)
дает
поглощение
и
кинетическое
релаксацию
в
уравнение,
диффузной
металлической пленке с учетом как электрон-фононного, так и электронэлектронного канала релаксации:
x
x2
x3
2
2
( x ) 2 dz ( z ){z x 3z} (4 x 6 ) dz ( z ) z
2
x
0
3
(14)
(1 x ) ( x 1) ( x 1) 2 ( x ) dz ( z ){( z x ) 2 3 ( z x )}
x
x
dz( z )[ ( z x ) ( x z )] dz{( z ) ( z )[ ( z x ) ( z x )]} ,
0
x
где ee
1
e1ph
.
Алгоритм численного решения кинетического уравнения (14) схож с
алгоритмом
решения
кинетического
уравнения
(10)
и
сводится
к
итерационному применению известных алгоритмов решения интегральных
уравнений Вольтерра второго рода. При этом итерационном алгоритме
двумерные интегралы, входящие в (14) (см. также (11-13) удалось свести к
одномерным, что существенно повысило скорость и точность расчетов.
Так,
в
качестве
первой
итерации
интегрального уравнения на интервале [0,1]:
17
рассматривалось
решение
18
1
1
x2
x3
2
2
1 ( x ) 2 dz ( z ){z x 3z} dz1 ( z ){( z x ) 2 3 ( z x )} ,
2
x
x
3
(15)
являющегося основной частью общего уравнения (14). В уравнении (15) не
учитывалась часть согласованного с мощностью принимаемого сигнала
времени релаксации, высокие по степени
слагаемые, а также
последовательное поглощения фотонов. Интегральное уравнение (15) можно
численно решить как уравнение Вольтерра 2-го рода стандартным образом
(на двух сетках, от правого края области рассмотрения (15), т.е. от 1). На
следующей итерации рассматривалось следующее интегральное уравнение
на интервале [0,2]:
min{ x ,1}
2
x2
x3
2
2
2 ( x ) 2 dz 2 ( z ){z x 3z} (4 x 6 ) dz1 ( z ) z
2
x
0
3
(16)
2
(1 x ) 1 ( x 1) 21 ( x ) dz 2 ( z ){( z x ) 2 3 ( z x )} ( 2 ) ( x ) ,
x
x
0
( 2 ) ( x ) (0.5 x ) dz1 ( z )[1 ( z x ) 1 ( x z )]
dz{1 ( z ) 1 ( z )[1 ( z x ) 1 ( z x )]} .
x
0.5
Интегральное уравнение (16) также можно численно
решать как
интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода, но уже от значений x 2 . При
этом мы учитываем как последовательное двухфотонное поглощение, так и
18
19
дополнительные слагаемое в самосогласованном с мощностью сигнала
времени релаксации (последний член в первой строке (16)), а также высшие
по степени слагаемые (член ( 2 ) ( x ) ). Учет этих эффектов производится
на основе функций распределения 1 ( x ) , рассчитанных на основе первой
итерации (уравнение (15)). Также, на основании рассчитанных на первой
итерации функций 1 ( x ) , рассчитывались по формулам (12-13) функции
1 ( z ), 1 ( z ) , входящие в (16). Это позволило избежать занимающее много
времени расчеты двойных интегралов, входящих в исходное уравнение (12).
Далее итерационный процесс повторялся. Опуская для краткости немного
отличающуюся от общего итерационного ряда третью итерацию, выпишем
выражение для N>3 итерации:
min{ x , N 1}
N
x2
x3
N ( x ) 2 dz N ( z ){z 2 x 2 3z} (4 x 6 ) dz N 1 ( z ) z
2
x
0
3
(1 x ) N 1 ( x 1) N 1 ( x 1) 2 N 1 ( x )
N
dz N ( z ){( z x ) 2 3 ( z x )} ( N ) ( x ) ,
x
x
( N ) ( x ) (( N 1) / 2 x ) dz N ( z )[ N 1 ( z x ) N 1 ( x z )]
0
( N 1) / 2
dz{
N 1
x
( z ) N 1 ( z )[ N 1 ( z x ) N 1 ( z x )]} .
19
(17)
20
Интегральное уравнение (17) численно решается аналогично (16), но уже от
значения x=N. При этом мы учитываем как последовательное N-фотонное
поглощение, так и дополнительные слагаемое в самосогласованном с
мощностью сигнала времени релаксации (последний член в первой строке
(17)), а также высшие по степени слагаемые (член ( N ) ( x ) ). Учет этих
эффектов производиться на основе функций распределения N 1 ( x ) ,
рассчитанных на предыдущей итерации. Также на основании рассчитанных
на предыдущей итерации функций N 1 ( x ) , рассчитывались по формулам
(12)-(13) функции N 1 ( z ), N 1 ( z ) , входящие в (17).
Численные расчеты, проведенные на основании формул (12)-(17),
показали, что учет, наряду с электрон-фононным и электрон-электронного
взаимодействие не меняет существенным образом функцию распределения
электронов по энергии, представленную на рис. 1 и рассчитанную с учетом
только электрон-фононного взаимодействия, для параметров задачи,
соответствующих планируемому эксперименту. Это следует из того, что
скорость электрон-электронной релаксации ee1 ( ) много меньше скорости
электрон-фононной релаксации e1ph ( ) при соответствующих эксперименту
частотах сигнала порядка терагерца (параметр малости, как следует из (6,8)
e1e
1
e ph
D
F
).
20
21
2. Расчет неравновесной функции распределения электронов в
металлическом шунте при квантовом поглощении электромагнитного
излучения для модели релаксации возбуждений
с ядром,
обратно
пропорциональному квадрату передаваемой энергии при столкновении.
При низких температурах T 1K в медных и золотых пленках с
примесями железа экспериментально обнаружено аномальная обратноквадратичная энергетическая зависимости ядра
K ( ) , входящего в
электрон-электронный интеграл столкновений (7) [9,10]:
K ( ) K S ( ) K0S 2 .
(18)
Несмотря на то, что рабочая температура предполагаемого детектора
достаточно высока (азотные температуры), а эффекты, ответственные за
отличие от «чистого» предела для ядра K ( ) (8) в электрон-электронном
взаимодействии обычно проявляются при достаточно низких температурах
(<
1K),
представляет
некоторый
интерес
проанализировать
вид
неравновесных функций распределения, возникающих при электронэлектронном взаимодействии с интегралом столкновений, описываемым
формулой (7) и зависящим от энергии ядром K ( ) (18), поскольку механизм
21
22
релаксации шунте в данной экспериментальной ситуации заранее не
известен.
Выделяя,
следуя
(9),
неравновесную
часть
( ) функции
распределения f ( ) , мы получили для нелинеаризованной формы электронэлектронного интеграла столкновений (7) с ядром (18) следующее
выражение, отличное от формулы (11) в «чистом» пределе:
x
I ( x ) K ( x ) dzK ( z )z dz ( z )K ( z x )( z x ) K ( x z )( x z )
0
0
s
e e
s
0
4 dyK (e)] 2 dzK ( z )( z )
0
0
z
(19)
z
dz ( z ) ( z x ) K ( z x ) 2 dyK ( y )
x
x
dzK ( z )( z )[ ( z x ) ( x z )] dzK ( z ){( z ) ( z )[ ( z x ) ( z x )]},
0
x
x
где ( z ), ( z ) описываются формулами (12)-(13), а ядро K (z ) отражает
обратно-квадратичную зависимость (18).
Объединение уравнений (10),(19) дает квантовое кинетическое
уравнение, описывающее как квантовое поглощение фотонов в диффузной
пленке, так и электрон-фононное и аномальное электрон-электронное
взаимодействие с ядром (18). Структура получившегося уравнения подобна
(14) и может быть решена описанным после (14) итерационной процедурой.
22
23
Однако, непосредственное применение обратно-квадратичного ядра ведет к
логарифмическим и вида 1/x расходимостям в итерационном процессе.
Данную проблему можно формально решить, вводя лоренцево обрезание
расходимости по формуле
K ( z )
1
,
z2 2
(20)
где -малый параметр, что ведет к устойчивому итерационному процессу.
Применение «обрезания» типа (20) является разумной аппроксимацией,
поскольку в оригинальной работе [10] было отмечено, что обратноквадратичная зависимость (18) отвечает ограниченному как сверху, так и
снизу интервалу передаваемых при взаимодействии энергии.
23
24
3. Расчет неравновесной функции распределения электронов в
металлическом шунте при квантовом поглощении электромагнитного
излучения для модели релаксации возбуждений, соответсвующей
«грязному» пределу.
При
низких
температурах
возможна
интерференция
электрон-
электронного рассеяния и рассеяния на примесях. При низких температурах
она приводит к квантовым поправкам к проводимости, изменению
зависимости от температуры “времени сбоя фазы” и изменению вида
энергетической зависимости ядра K ( ) , входящего в электрон-электронный
интеграл столкновений (7). Экспериментальные исследования формы ядра
K ( ) при низких температурах показали, что в серебряных пленках его
зависимость от энергии может хорошо аппроксимироваться
обратной
дробно-степенной зависимостью [12]:
K ( ) K A A ( ) K0A A 3/ 2 ,
(21)
При этом обратная дробно-степенная зависимость (21) согласовывалась с
признанной на время проведения эксперимента теорией [13]: форма
энергетической зависимости ядра K ( ) оказалась согласованной и с
зависимостью времени сбоя фазы от температуры.
24
25
Выделяя,
следуя
(9),
неравновесную
( ) функции
часть
распределения f ( ) , мы получили для нелинеаризованной формы электронэлектронного интеграла столкновений (7) с ядром (21) выражение, подобное
формуле (19) с заменой K s ( z ) K A A ( z ) . Объединение уравнений (10),(19) с
ядром K A A (z ) дает квантовое кинетическое уравнение, описывающее как
квантовое поглощение фотонов в диффузной пленке, так и электронфононное и интерференционное электрон-электронное взаимодействие с
ядром (21). Структура получившегося уравнения подобна (14). Оно может
быть решено применением описанной после выражения (14) итерационной
процедурой. Однако, также как и в случае с ядром с обратно-квадратичной
зависимостью,
непосредственное
применение
ядра
(21)
ведет
к
расходимостям в итерационном процессе. Данную проблему можно
формально решить, вводя обрезание расходимости по формуле
K ( z )
1
,
z 3/ 2 3/ 2
(22)
где -малый параметр, что приводит к устойчивому итерационному
процессу.
25
26
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Основные задачи исследований второго этапа договора № 243/07 от 7
апреля 2007 г. выполнены полностью. Они соответствуют Техническому
заданию и Календарному плану данного договора и государственному
контракту № 02.513.11.3157 от " 5 " апреля 2007 г. на выполнение научноисследовательских работ между Федеральным агентством по науке и
инновациям и Институтом радиотехники и электроники РАН, выполняемых
в
рамках
федеральной
целевой
научно-технической
программы
«Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития
научно-технологического комплекса России на 2007-2012 годы», научноисследовательские работы по лоту «Отработка научных основ технологии
получения наноматериалов для высокоэффективных детекторов излучения в
области 0.2-4000 микрон (мероприятие 1.3 Программы)» шифр «2007-3-1.307-02-077» по теме:
«Отработка научных основ технологии получения
высокоэффективных
детекторов
излучения
в
субтерагерцовой
и
терагерцовой областях частот на основе туннельных наноструктур.
В
процессе
интегральное
выполнения
кинетическое
работы
уравнение
было
для
выведено
электронной
нелинейное
функции
распределения для случая квантового поглощения излучения. Расчет
проводился в моделях, описывающих различные механизмы электронной
релаксации соответствующие чистому и грязному пределам, а также в
26
27
модели релаксации возбуждений
с ядром,
обратно пропорциональным
квадрату передаваемой энергии при столкновении.
Для численного решения выведенного нелинейного интегрального
уравнения
была
позволяющая
с
разработана
высокой
специальная
точностью
итерационная
найти
решение
процедура,
нелинейного
интегрального уравнения. Данный алгоритм сводился к последовательному
решению линейных интегральных уравнений Вольтерра 2-го типа и
аппроксимации на их основе нелинейных слагаемых исходного уравнения.
Разработанная итерационная процедура, позволила численно решать
кинетическое уравнение в «чистом» пределе с учетом как электронфононного, так и электрон-электронного взаимодействия. При этом
итерационном алгоритме двумерные интегралы, входящие в (14) (см. также
(11)-(13)) удалось свести к одномерным, что существенно повысило
скорость и точность расчетов.
Численные расчеты, проведенные на основании формул (12)-(17),
показали, что учет, наряду с электрон-фононным и электрон-электронного
взаимодействия не меняет существенным образом функцию распределения
электронов по энергии, представленную на рис. 1.
Таким образом, показано, что представленная на рис. 1 функция
распределения,
рассчитанная с учетом только электрон-фононного
взаимодействия, может служить основой для проведения дальнейших
расчетов, запланированных в Техническом задании госконтракта. Область
27
28
применимости
этого
результата
полностью
соответствует
набору
параметров, реализуемому в экспериментальной части работ по данной теме.
Для численного решения нелинейных интегральных уравнений для
электронной
функции
распределения
при
механизмах
электронной
релаксации соответствующих модели релаксации возбуждений
обратно
пропорциональным
столкновении
и
квадрату
грязному пределу,
передаваемой
предложен
с ядром,
энергии
эффективный
при
метод
устранения возникающих сингулярностей. Показано, что данные механизмы
релаксации действительно необходимо учитывать при низких (менее 1К)
температурах. Эти температуры существенно ниже той области температур,
в
которых
планируются
проводить
основные
исследования, предусмотренные госконтрактом.
28
экспериментальные
29
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. M. R. Arai, Appl. Phys. Lett. A fundamental noise limit for biased resistors at
low temperatures, 42, p. 906 (1983).
2. K.E. Nagaev, Physics Letters A, On the shot noise in dirty metal contacts, 169,
p. 103 (1992).
3. A.-M. Tremblay and F. Vidal, Fluctuations in dissipative steady states of thin
metallic films, Phys. Rev. B 25, p. 7562 (1982).
4. Г.М. Элиашберг, ЖЭТФ 61, с 1254 (1971).
5. N. Ashcroft and N. Mermin, Solid State Physics (Saunders College
Publishing, 1976).
6. K.E. Nagaev, Influence of electron-electron scattering on shot noise in
diffusive contacts, Phys. Rev. B., 52, p. 4740 (1995).
7. Девятов И.А., Куприянов М.Ю., Исследование неравновесности
электронной подсистемы в низкотемпературных детекторах микроволнового
излучения, Письма в ЖЭТФ, Т. 80, вып.10, 2004, с. 752-757.
8. Девятов И.А., Крутицкий П.А., Куприянов М.Ю., “Исследование
различных мод работы сверхпроводникового детектора микроволнового
излучения сверхмалых размеров”, Письма в ЖЭТФ, т. 84, вып.2, 2006, с. 6166.
9. В.Ф. Елесин, Ю.В. Копаев, Сверхпроводники с избыточными
квазичастицами, УФН 133, с.259 (1981).
29
30
10. H. Pothier, S. Gueron, N. O. Birge, D. Esteve, and M. H. Devoret, Energy
Distribution Function of Quasiparticles in Mesoscopic Wires, Phys. Rev. Lett. 79,
p. 3490 (1997).
11. F. Pierre, H. Pothier, D. Esteve, and M.H. Devoret, Energy redistribution
between quasiparticles in mesoscopic silver wires, J. Low Temp. Phys. 118, 437445 (2000).
12. A.B. Cougman, F. Pierre, H. Pothier, D. Esteve, and Norman O. Birge,
Comparison of energy and phase relaxation in metallic wires, J. Low Temp.
Phys. 118, 447-456 (2000).
13. B. L. Altshuler and A. G. Aronov, in Electron-Electron Interactions in
Disordered Systems, Vol. 10 of Modern Problems in Condensed matter
Sciences (North-Holland, New York, 1985), p. 1.
30
