Тригонометрия

ГБПОУ РО
«Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,
информационных и промышленных технологий»
Алексеева Е.В.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Математика»
для студентов 1 курса
всех специальностей
ББК 22.15
А-47
Рекомендовано к изданию Методическим советом РКРИПТ
Рецензенты: Гайдай Е.В. – председатель городского методического объединения,
преподаватель математики
Степанец В.В. – преподаватель математики РЭТК
Тригонометрия: учебно-методическое пособие по дисциплине «Математика» для студентов 1 курса всех специальностей / сост.: Алексеева Е.В. – Ростов-на-Дону: РКРИПТ, 2015.
– 60 с.
Учебное пособие разработано в соответствии с рабочей программой дисциплины «Математика».
В учебное пособие вошли теоретические сведения из раздела «Тригонометрия», приведены основные тригонометрические формулы, рассмотрены типовые практические задания, связанные с
применением этих формул. В пособии приведены методы решения тригонометрических уравнений
различных типов, а также включены задания для самостоятельного решения по всем темам раздела.
Учебное пособие носит практический характер и может быть использовано как на занятиях, так
и во время внеаудиторной подготовки.
Предназначено для студентов 1 курса всех специальностей очного отделения.
© Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники, информационных
и промышленных технологий, 2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
1. УГОЛ. ГРАДУСНАЯ И РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА, СВЯЗЬ МЕЖДУ НИМИ .
.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3.1 Чётность, нечётность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
3.2 Периодичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ограниченность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КООРДИНАТ . . . . . . . . . . . .
5. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ АРГУМЕНТОВ . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. ФОРМУЛЫ (ТЕОРЕМЫ) СЛОЖЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕФУНКЦИИ ДВОЙНОГО УГЛА . . . . . . . . . . . . . . . . .
9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО УГЛА . . . . . . . . . . .
.
10. ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
11. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
13. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ ИЛИ РАЗНОСТЬ . . . . . . . . . .
.
14. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . .
14.1 Свойства и график функции y  sin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
14.2 Свойства и график функции y  cos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Свойства и график функции y  tgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
14.4 Свойства и график функции y  ctgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
16. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ОБРАТНЫХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
16.1 Свойства и график функции y  arcsin x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
16.2 Свойства и график функции y  arccos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
16.3 Свойства и график функции y  arctgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
5
7
7
8
8
8
9
10
14
18
21
23
24
30
33
34
34
37
39
40
42
44
44
44
45
.
16.4 Свойства и график функции y  arcctgx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
.
17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
47
17.1 Простейшие тригонометрические уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
17.2 Основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения . .
50
17.2.1 Уравнения, содержащие одну тригонометрическую
функцию одного и того же аргумента или приводимые к ним . . . . . . . . . . . 50
17.2.2 Однородные уравнения первой и второй степени . . . . . . . . . . . . . . . . 53
17.2.3 Тригонометрические уравнения, решаемые разложением
левой части на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Тригонометрия, как и всякая научная дисциплина, возникла из потребностей практической деятельности человечества. Различные задачи астрономии, мореплавания, землемерия,
архитектуры привели к необходимости разработки способа вычисления геометрических фигур по известным значениям других их элементов, найденных путем непосредственных измерений. Так, например, на основе данных, полученных в результате наблюдений и измерений, астрономы вычислили расстояние от Земли до других небесных тел.
Само название «тригонометрия» греческого происхождения, в переводе на русский
язык оно обозначает «измерение треугольников»: тригоном – треугольник, метрейн – измерение.
Современная точка зрения на тригонометрические функции как на функции числового
аргумента во многом обусловлена развитием физики, механики, техники. Эти функции легли
в основу математического аппарата, при помощи которого изучаются различные периодические процессы: колебательные движения, распространение волн, движение механизмов, колебание переменного электрического тока.
На первоначальных стадиях своего развития тригонометрия служила средством решения вычислительных геометрических задач, и ее содержание считалось вычислением элементов простейших геометрических фигур, т. е. треугольников. В современной тригонометрии самостоятельное и столь же важное значение имеет изучение свойств тригонометрических функций.
Этим функциям принадлежит исключительно важное значение в современном математическом аппарате, необходимом для изучения закономерностей явлений природы и для использования этих закономерностей в практической деятельности человека.
1. УГОЛ. ГРАДУСНАЯ И РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА, СВЯЗЬ МЕЖДУ НИМИ
Угол – это часть плоскости, ограниченная двумя лучами, имеющими общее начало
(рис. 1).
А
0
В
Рис. 1
Лучи OA  и OB  называют сторонами угла, общее начало точку O – вершиной угла.
Величина угла измеряется в градусах или радианах.
1
0
Угол в 1 – это центральный угол, опирающийся на дугу, равную
части окружно360
сти.
4
Угол в 1 радиан – это угол, опирающийся на дугу, равную радиусу.
Между градусной и радианной мерой углов существует следующее соотношение:
1800   радиан.
2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Тригонометрические функции вводятся двумя способами – геометрическим и алгебраическим.
В курсе планиметрии рассматривается прямоугольный треугольник, и тригонометрические функции острого угла вводятся следующим образом:
Рис.2
Синусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего к этому углу катета к гипотенузе, т.е.
sin A 
a
.
c
Косинусом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе, т.е.
cos A 
b
.
c
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего к этому углу катета к прилежащему, т.е.
tgA 
a
.
b
Котангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение прилежащего к этому углу катета к противолежащему, т.е.
ctgA 
b
.
a
Геометрический способ определения тригонометрических функций не удобен тем, что
с его помощью вводятся тригонометрические функции только положительного острого угла.
5
Дать определение тригонометрических функций любого угла (аргумента) позволяет алгебраический способ задания с помощью единичной (тригонометрической) окружности.
Единичной (тригонометрической) окружностью называется окружность, центр которой находится в начале координат, радиус равен единице, указано направление обхода (положительное – против часовой стрелки, отрицательное – по часовой стрелке) и начало отсчёта углов (положительная часть оси OX) (рис. 3).
+
Рис. 3
Отложим в положительном направлении от начала отсчёта угол величиной  . Точку
пересечения второй (подвижной) стороны угла с единичной окружностью обозначим P
(рис. 4).
Рис.4
sin  называется ордината точки P .
Косинусом угла  cos  называется абсцисса точки P .
Синусом угла

Тангенсом угла 
tg называется отношение синуса угла 
ла:
tg 
к косинусу того же уг-
sin 
.
cos 
6
Котангенсом угла 
ctg называется отношение косинуса угла 
угла:
ctg 
к синусу того же
cos 
.
sin 
Функции sin  , cos  , tg  , ctg  называются основными тригонометрическими
функциями.
Существуют также вспомогательные тригонометрические функции – секанс угла 
sec   и косеканс угла  cosec , которые определяются следующим образом:
sec  
1
,
cos 
cosec 
1
sin 
3. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
3.1 Чётность, нечётность
y
M1
sin α
α
0
P(1;0)
cos α x
-α
sin (-α)
M2
Рис.5
Функция y  cos x является чётной, для неё выполняется условие
cos x   cos x .
Функции y  sin x, y  tgx,
вия:
7
y  ctgx являются нечётными, для них выполняются усло-
sin x    sin x
tg x    tgx
ctg x   ctgx
3.2 Периодичность
Функция f  x  называется периодической, если существует такое число T  0 , что
для любого x из области определения этой функции выполняется равенство:
f ( x  T )  f ( x)  f ( x  T ) .
Число T называется периодом функции f (x) .
Все тригонометрические функции являются периодическими.
Наименьшим положительным целым периодом для функций синус и косинус является
период, равный 2 или 3600 , т.е. справедливы следующие равенства:




sin   3600  k  sin , k  Z
cos   3600  k  cos , k  Z .
Наименьшим положительным периодом функций тангенс и котангенс является период,
равный 1800 или  , т.е. справедливы следующие равенства:


ctg  1800  k   ctg , k  Z .
tg   1800  k  tg , k  Z
3.3 Ограниченность
Тригонометрические функции синус и косинус являются ограниченными: снизу числом
– 1, сверху числом 1, т.е.
 1  sin   1 ,
 1  cos  1.
Тригонометрические функции тангенс и котангенс не ограничены.
4. ЗНАКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В КООРДИНАТНЫХ
ЧЕТВЕРТЯХ
Рис. 6
8
5. ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
НАИБОЛЕЕ ЧАСТО ВСТРЕЧАЮЩИХСЯ АРГУМЕНТОВ
 
300  
6
1
2

0 0 0 
sin
0
cos
1
3
2
tg
0
3
3
ctg

3
 
900  
2
1800  
 3 
2700  
 2 
3600 2 
1
0
-1
0
0
-1
0
1
3

0

0
3
3
0

0

 
450  
4
 
60 0  
3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
1
Упражнения.
Вычислить:
1. 5 sin 900  2 cos 00  2 sin 2700  10 cos1800
Ответ: -1.
0
0
0
0
2. 3tg0  2 cos 90  3 sin 270  3 cos180
Ответ: 2
3. sin1800  sin 2700  ctg900  tg1800  cos 900
3

4. tg  sin  cos  sin 
2
2

3
5. sin  cos  cos   tg 0
2
2
6. 4 sin   cos 2  5tg

3
7. 4tg2  2 sin  3 cos  4tg
2
2

8. 6  sin 2  3 cos   2 sin  cos 2
2
Ответ: -1
9. 4 sin   2 cos
Ответ: 0.
3
 3 sin 2  tg
2

10. 6  2 sin 2  3 cos   2 sin  cos 2
2



11. 2 sin  3 cos  5tg
4
3
4



12. 4tg2  2 sin  3 cos  4 sin
3
6
6
2
Ответ: 0
Ответ: -2
Ответ: 11
2  3,5
Ответ:
Ответ:
3
2
2
7 3
2
1
Ответ: 
2
Ответ:
4




15.  2 sin    3tg    2 cos    2ctg 
4 
6 
6 
4

4  2tg2 450  ctg4 600
16.
3 sin3 900  4 cos2 600  4ctg450
9
Ответ: 0
Ответ: 11.




13. 3 sin  2 cos  3tg  4ctg
3
6
3
2



14. 3  sin2  2 cos2  3tg2
2
3
4
2
Ответ: 1
2
Ответ: 4.
Ответ: 17
54
6. ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
№
Основное тождество
1.
2.
3.
4.
Следствия
sin    1  cos2 
sin   cos   1
2
2
tg 2  1 
cos   1  sin2 
1
cos   
cos 
2
ctg2  1 
1
sin   
sin 
2
1
1  tg2
1
1  ctg2
1
,
ctg
1
ctg 
tg
tg 
tg  ctg  1
Основные тригонометрические тождества связывают между собой все четыре тригонометрические функции одного и того же аргумента.
Основные тригонометрические тождества с учётом знаков тригонометрических функций по координатным четвертям позволяют находить по известному значению одной из тригонометрических функций значения всех остальных тригонометрических функций одного и
того же аргумента.
Основные тригонометрические тождества так же используются при упрощении тригонометрических выражений.
12
, 1800    2700 .
13
2
Решение. cos найдём из соотношения cos   1  sin  . Перед радикалом выПример 1. Найти cos , tg, ctg , если sin   
бираем знак - , т.к. угол  находится в III четверти, в которой косинус отрицателен.
2
144
25
5
 12 
cos   1       1 

 .
169
169
13
 13 
Тангенс и котангенс найдём, пользуясь их определением:
tg 
sin 
12  5  12
2
5
    
 2 , ctg  .
cos 
13  13  5
5
12
Пример 2. Найти sin , cos, ctg , если tg  3, 900    1800 .
Решение. Из основного тригонометрического тождества tg  ctg  1 следует
1
1
, ctg   .
ctg 
3
tg
10
Синус  найдём, пользуясь тождеством 3:
2
1
10
1
9
3
3 10
 1
,

 sin 2  
 sin  

.
  1 
2
2
10
10
sin  9 sin 
10
 3
 находится во II четверти.
2
Косинус  найдём, пользуясь соотношением cos   1  sin  , откуда
Синус в данном случае положителен, т.к. угол
9
1
1
10



.
10
10
10
10
cos    1 
Пример 3. Упростить выражение sin  cos   sin  cos  .
Решение. Применим формулы сокращённого умножения квадрат суммы и квадрат разности:
2
2
sin 2   2 sin  cos   cos2   sin 2   2 sin  cos   cos2   2 sin 2   2 cos2  


 2 sin 2   cos2   2  1  2
1
1

.
2
1  tg  1  ctg2
Решение. Из основных тригонометрических тождеств 2 и 3 вытекает
Пример 4. Упростить выражение
1
1
2

cos

,
 sin 2  ,
2
2
1  tg 
1  ctg 
таким образом,
1
1

 cos2   sin 2   1 .
2
2
1  tg  1  ctg 
Пример 5. Упростить выражение sin   cos   sin   cos 
Решение. Применим формулу сокращённого умножения разность квадратов к первым
двум слагаемым, получим
4
4

2

2

sin 4   cos4   sin 2   cos2   sin 2   cos2  sin 2   cos2   sin 2   cos2  
 sin 2   cos2   sin 2   cos2   0.
Пример 6. Упростить выражение ctg 
cos 
.
1  sin 
cos 
, тогда имеем
sin 
cos 
cos 
cos 
cos   sin  cos   sin  cos 
ctg 




1  sin  sin  1  sin 
sin 1  sin  
Решение. По определению ctg 
cos 
ctg


sin 1  sin   1  sin 
11
.
Упражнения.
№ 1.
1 
    . Найти sin  , tg  , ctg  .
2 2
1) Дано: cos   ,
Ответ: sin  
3
3
, tg   3, ctg  
.
2
3
2 3
,
   2 .
2 2
2) Найти cos , tg, ctg , если sin   
Ответ: cos  
2
, tg  1, ctg  1 .
2
3) Найти sin , cos, ctg , если cos   
1 
,   .
2 2
10
3 10
, cos   
, ctg  3 .
10
10
3
3
4) Дано: ctg  ,    
. Найти sin , cos, tg .
4
2
Ответ: sin  
4
5
3
5
Ответ: sin    , cos    ,
tg 
5) Найти cos , tg, ctg , если sin  
4
.
3
3 
,   .
5 2
4
3
4
Ответ: cos    , tg   , ctg 
5
4
3
1
2
6) Найти sin , cos, ctg , если tg   ,
Ответ: sin   
3
   2
2
5
2 5
, cos  
, ctg  2 .
5
5
№ 2. Вычислить значение каждой тригонометрической функции, если
3 
,
 
5
2
15 
2) sin  
,
 
17
2
4
4
3
, tg   , ctg  
5
3
4
8
15
8
Ответ: cos    , tg   , ctg  
17
8
15

4
3
3) sin   0,8;
Ответ: cos   0,6; tg   ; ctg  
 
3
4
2
3
4
3
4) cos   0,6;    
Ответ: sin   0,8; tg  ; ctg 
3
4
2
1) cos   
№ 3.
Ответ: sin  
Упростить выражения:
  cos2 
2
2
2) 1  sin   cos 
1) 1  sin
2
Ответ: 2
Ответ: 0
12
  cos2   1
2
2
4) 1  cos   sin 
5) 1  sin  1  sin  
6) 1  cos  1  cos  
2
2
7) sin   cos    sin   cos  
2
2
8) cos   tg   sin   ctg 
 1
  1

 tg   
 tg 
9) 
 cos 
  cos 

1  sin 2 
10)
1
1  cos2 
3) 2 sin
11)
12)
13)
14)
15)
16)
2
sin   tg
tg
cos   ctg
ctg
cos
cos

1  sin  1  sin 
sin 
sin 

1  cos cos  1
5 cos  4 3  5 sin 

3  5 sin  4  5 cos
sin   cos  2  1
ctg  sin  cos 
sin 3   cos 3 
17)
1  sin  cos 
1  tg 2
18)
 sin 2 
2
1  tg 
1  2 sin  cos
19)
 cos
sin   cos
cos 
cos 

 2tg 2 
20)
1  cos  1  sin 
1  4 sin 2  cos2 
 2 sin  cos
21)
1  2 sin  cos
tg 2  ctg3
22)
ctg 2  tg 3
13
Ответ: sin
2

2
Ответ: 2 cos


2
Ответ: sin 
Ответ: cos
2
Ответ: 2
Ответ: 1
Ответ: 1
Ответ:
1
sin2 
Ответ: 1  cos
Ответ: 1  sin 
2
cos
2
Ответ:
sin 
Ответ:
Ответ: 0
2
Ответ: 2 tg 
Ответ: sin   cos 
2
Ответ: cos

Ответ: sin 
Ответ: 0
Ответ: 1
Ответ:
tg 2
tg 3
№ 3. Доказать тождества:
1) 1  ctg   1  ctg  
2

2

2
sin 2 
ctg 2 
1
2) tg   sin  
sin 2 
3
3
3) sin 1  ctg   cos 1  tg   sin   cos 
2
2
sin 2 x
sin x  cos x
4)

 sin x  cos x
sin x  cos x
1  tg 2 x
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Что называется углом?
2. Какова связь между градусной и радианной мерами угла?
3. Какая окружность называется тригонометрической?
4. Сформулируйте геометрическое определение тригонометрических функций.
5. Сформулируйте алгебраическое определение тригонометрических функций.
6. Перечислите основные свойства тригонометрической функции y  sin x .
7. Перечислите основные свойства тригонометрической функции y  cos x .
8. Перечислите основные свойства тригонометрической функции y  tgx .
9. Перечислите основные свойства тригонометрической функции y  ctgx .
10. Какой период имеют функции y  sin x, y  cos x ?
11. Какой период имеют тригонометрические функции y  tgx, y  ctgx ?
12. Какие знаки имеют тригонометрические функции в координатных четвертях?
7. ФОРМУЛЫ (ТЕОРЕМЫ) СЛОЖЕНИЯ
1.
sin     sin   cos   cos   sin 
синус суммы двух аргументов
2.
sin     sin   cos   cos   sin 
синус разности двух аргументов
3.
cos    cos   cos   sin   sin 
косинус суммы двух аргументов
4.
cos    cos   cos   sin   sin 
косинус разности двух аргументов
5.
6.
tg  tg
1  tg  tg
tgα  tgβ
tg    
1  tgα  tgβ
tg    
тангенс суммы двух аргументов
тангенс разности двух аргументов
14
0
Пример 1. Вычислить без помощи таблиц sin15 .
Решение. Представим 15  45  30 , тогда
0

0
0

sin150  sin 450  300  sin 450 cos 300  cos 450 sin 300 
2 3
2 1
6 2


 
2 2
2 2
4
Пример 2. Найти sin    , если sin   0,8, cos   0,6, 0   
Решение. Применим формулу синуса суммы двух аргументов:

,
2
3
   2 .
2
sin     sin   cos   cos   sin  .
sin  и cos  известны по условию, найдём cos и sin  с помощью следствий из основного тригонометрического тождества 1 с учётом знаков искомых тригонометрических функций в данных координатных четвертях:
cos   1  sin 2  , cos   1  0,82  1  0,64  0,36  0,6
sin    1  cos2  , sin    1  0,62   1  0,36   0,64  0,8
Подставим найденные значения в формулу, получим:
sin     0,8  0,6  0,6   0,8  0,48  0,48  0.
Упражнения.
№ 1. Вычислить без помощи таблиц:
0
0
0
Ответ:
1) sin105 , cos105 , tg105
0
0
0
3) sin 78 cos18  sin18 cos 78
0
0
0
4) sin 63 cos 33  sin 33 cos 63
0
0
6 2
,
4
3
Ответ:
2
1
Ответ:
2
Ответ:
2) sin 75 , cos 75 , tg 75
0
6 2
,
4
0
0
№ 2. Вычислить:
1) sin 56 cos 11  cos 56 sin 11
0
0
0
0
2) cos 75 cos 15  sin 15 sin 75
0
0
0
0
3) sin 10 cos 20  cos 10 sin 20
0
0
0
0
4) cos 70 cos 10  sin 70 sin 10
0
15
0
0
0
2
2
Ответ: 0
1
Ответ:
2
1
Ответ:
2
Ответ:
2 6
,  32
4
6 2
, 32
4
3
2
2
Ответ:
2
2
Ответ:
2
5) cos 18 cos 12  sin 18 sin 12
0
0
0
0
Ответ:
6) sin 40 cos 5  cos 40 sin 5
0
0
0
0
7) cos 7 cos 38  sin 7 sin 38
0
0
0
0
№ 3. Упростить:
1) cos   cos 3  sin   sin 3
2) sin 2 cos   cos 2  sin 
3) sin   cos 3  cos   sin 3
4) cos   cos 2  sin   sin 2
5) sin   sin 2   cos   cos 2 
2
cos 4
sin 3
sin 4
cos 
Ответ: 21  cos  
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
2
№ 4. Вычислить:
1) sin    , если sin   0,6; 0   


; sin   0,8; 0   
2
2
Ответ: 1
2) sin    , если sin  
Ответ: 
44
.
125
3) cos    , если sin  
Ответ:
3

7
3
.
, 0    ; sin    ,    
5
2
25
2
24
.
145
1
3
4) cos    , если tg  1 ,
Ответ:
44
.
125


5) cos   30 , если tg   
Ответ:


   ; cos   0,8,
2
20
,
29
0

3
,
10
3  30
.
2 19

6) tg 45   , если cos   0,6,
0
Ответ: 
3
24
; cos    ,
2
25

  .
2

  .
2

   .
2
3
   2
2
1
.
7
16
№ 5. Упростить выражения:
1) sin   sin   cos    cos 

 


 
2) sin 10   cos 5    cos 10   sin 5  
3) cos     2 sin  sin 
4) sin      2 cos  sin 
5) cos    cos     sin   sin   
0

0
 

0

0
 
Ответ: cos 

6) sin   45 cos   45  cos   45 sin   45
0
0
sin    sin  
sin    sin  
sin    sin  
8)
cos    cos  
cos    sin  sin 
9)
cos    sin  sin 
sin    cos  sin 
10)
cos    sin  sin 


Ответ: tg 

2 cos   2 sin 450  
12)
2 sin 600    3 cos 


2 cos   2 cos   
4

13)


2 sin     2 sin 
4

0
sin 45    cos 450  
14)
sin 450    cos 450  
sin    2 sin  cos 
15)
2 sin  sin   cos  
2 sin  cos   sin  
16)
cos    2 sin  sin 



17





Ответ: 1
Ответ: 1



cos   
sin   
cos 2
Ответ: tg 
sin   2 sin 600  
2 cos 300    3 cos 

0
sin150
Ответ: tgα  ctgβ
7)
11)
0
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
3ctg
Ответ:
2
Ответ: tg 


Ответ: tg 
Ответ: tg   
Ответ: tg   
8. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕФУНКЦИИ ДВОЙНОГО УГЛА
1.
sin 2  2 sin   cos 
синус двойного угла
1. cos 2  cos   sin 
2
2.
2
2. cos 2  2 cos   1
2
косинус двойного угла
3. cos 2  1  2 sin 
2
3.
tg 2 
2 tg 
1  tg 2 α
тангенс двойного угла
1
cos2αo tg2α , если sin   ,
2
Пример 1. Найти sin2 αi
Решение. Применим формулу (1):

   .
2
sin 2  2 sin   cos  ,
sin известен из условия, cos найдём из соотношения cos    1  sin  (перед радикалом выбираем знак минус, т.к. угол  находится во II четверти, в которой косинус отрицателен):
2
2
1
3
3
1
.
cos    1      1   

4
4
2
2
Подставим в формулу (1), получим
1 
3
3
  
.
sin 2  2    
2  2 
2
Применим формулу (2.3):
2
1 1
1
cos 2  1  2 sin  , cos 2  1  2     1   .
2 2
 2
2
tg 2 найдём по определению
tg2α 
sin2α
3 1
, tg2α  
   3.
cos2α
2 2
Пример 2. Упростить выражение
1  sin 2  cos 2
.
1  sin 2  cos 2
Решение. Применим в числителе и в знаменателе формулы синуса и косинуса двойного
угла
18
1  sin 2  cos 2 1  2 sin  cos   cos2   sin 2  2 sin 2   2 sin  cos 



1  sin 2  cos 2 1  2 sin  cos   cos2   sin 2  2 cos2   2 sin  cos  .
2 sin sin   cos  

 tg .
2 cos sin   cos  
Пример 3. Выразить sin 3x и cos 3x через одноимённые тригонометрические функции
угла x .
Решение. Представим 3x  2 x  x и применим формулу синуса суммы, а затем формулы синуса и косинуса двойного угла, получим:
sin 3x  sin(2 x  x)  sin 2 x cos x  cos 2 x sin x  2 sin x cos2 x  sin x  2 sin3 x.
Представим cos x  1  sin x , тогда
2

2

2 sin x 1  sin2 x  sin x  2 sin3 x  2 sin x  2 sin3 x  sin x  2 sin3 x  3sin x  4 sin3 x .
Таким образом,
sin 3x  3 sin x  4 sin3 x .
Аналогичным образом выведем формулу для cos 3x :
cos 3 x  cos(2 x  x)  cos 2 x cos x  sin 2 x sin x  (2 cos2 x  1) cos x  2 sin 2 x cos x 
 2 cos3 x  cos x  2(1  cos2 x) cos x  2 cos3 x  cos x  2 cos x  2 cos3 x  4 cos3 x  3 cos x
Таким образом,
cos 3x  4 cos3 x  3 cos x .
Данные формулы называют формулами синуса и косинуса тройного угла соответственно. Эти формулы часто применяют при упрощении тригонометрических выражений и решении тригонометрических уравнений.
Упражнения:
№ 1. Найти:
1) cos 2 , если tg  3 , 180    270
0
1
2
2) tg 2 , если sin   ,
0
2700    3600
3) sin 2 , если tg  2, 180    270
0
0
1
90 0    180 0
3
4
0
0
5) ctg 2, если sin   , 90    180
5
4) sin 2 , если tg    ,
19
Ответ: 
4
5
Ответ:  3
Ответ:
4
5
3
5
24
Ответ:
7
Ответ: 
6) tg 2 , если cos   
3
0
0
, 180    270
2
7) sin 22 30 cos 22 30
0
0
0
0
8) 2 sin15 cos15
9) cos
2

 sin 2

8
8
0
2tg 22 30
10)
1  tg 2 22030
Ответ:
3
2
4
1
Ответ:
2
2
Ответ:
2
Ответ:
Ответ: 1
№ 2. Упростить выражения:
1)
2
tgα  ctgα
Ответ: sin 2
2) 1 cos 2
Ответ: 2 cos 
3)
Ответ: tg
sin 2  sin 
1  cos  cos 2
sin 2  sin 
4)
1  cos 2  cos
1  cos 2
5)
1  cos 2
1  cos 2  sin 2
6)
1  cos 2  sin 2
1  sin 2
7)
cos 2
cos 2
8)
 cos
cos  sin 
sin 3   sin 3
9)
cos 3   cos 3
cos 2  cos 2 
10)
1  cos 2 
2 sin 2  sin 4
11)
sin 4  2 sin 2
12) tgα  ctgα   sin2α
cos 2 2  4 cos 2   3
13)
cos 2 2  4 cos 2   1
14) sin 2  tg 2
2
Ответ: tg
Ответ: ctg 
2
Ответ: tg
Ответ:
sin   cos 
cos   sin 
Ответ: sin
Ответ: ctg
Ответ:  tg 
2
Ответ: tg 
2
Ответ: 2
Ответ: tg 
4
Ответ: cos 2  tg 
20
№ 3*** Доказать тождества:
1) cos   sin   1  0,5 sin 2
4
3)
4
2
1  sin 2


 tg    
cos 2
4

5) cos   sin   sin 2 
4
4
6
2) cos
  sin6   1  0,75sin2 2
2 
4) 1  sin   2 cos 

2 cos 2  450
4




2
*** – задание повышенной сложности
9. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ПОЛОВИННОГО УГЛА
Формулы для тригонометрических функций половинного аргумента позволяют выразить функции аргумента
1.
2.
3.

через тригонометрические функции аргумента  .
2

1  cos 

2
2

1  cos 
cos  
2
2

1  cos 
,   2k  1
tg  
2
1  cos 

sin 
tg 
,   2k  1
2 1  cos 
 1  cos 
tg 
,   2k  1 ,
2
sin 
  2k
sin
Синус половинного угла
Косинус половинного угла
Тангенс половинного угла
Все тригонометрические функции любого аргумента можно выразить через тангенс половинного угла этого аргумента:

2 ,   2k  1
sin  

1  tg 2
2

1  tg 2
2 ,   2k  1
cos  

1  tg 2
2

2 tg
2
tg  

1  tg 2
2
2tg
21
0
Пример 1. Вычислить sin15 .
Решение. Представим 150 
300
и применим формулу синуса половинного угла, полу2
чим:
300
1  cos 300
sin15  sin


2
2
2 3

4
2 3
.
2
0
В процессе решения перед радикалом выбрали знак +, т.к. угол в 15 находится в
0
1
3


2 4
I четверти.




, cos , tg , если cos   0,8, 0    .
2
2
2
2
Решение. Применим формулы половинного аргумента. Угол  находится в I четверти,

следовательно, угол
тоже находится в I четверти, поэтому во всех формулах половинного
2
Пример 2. Найти sin
аргумента перед радикалами выбираем знак +.

1  cos 
1  0,8
9 3 10
,




2
2
2
10
10

1  cos 
1  0,8
1
10
,
sin 



2
2
2
10 10

1  cos 
1  0,8
0,2
1 1
tg 



 .
2
1  cos 
1  0,8
1,8
9 3
cos
Упражнения.
№ 1. Найти значения тригонометрических функций половинного угла по известному
значению тригонометрической функций угла  .


, tg , если sin   0,8, 1800    2700 .
2
2


1
Ответ: cos   0,2 , tg   .
2
2
2

0
0
2) Найти tg , если tg  3, 180    270 .
2

10  1
Ответ: tg  
2
9



119

и0 .
3) Найти sin , cos и tg , если cos  
2
2
2
169
2
 5
 12
 5
, cos  , tg  .
Ответ: sin 
2 13
2 13
2 12
1) Найти cos
22



3
, cos и tg , если cos   и 2700    3600
2
2
2
4

2

14

7
, cos  
, tg  
Ответ: sin 
.
2
4
2
4
2
7



4
0
0
5) Найти sin , cos и tg , если sin    и 180    270 .
2
2
2
5



Ответ: sin  0,8 , cos   0,2 , tg  2
2
2
2
4) Найти sin
№ 2. Доказать тождества:
2
1) 1  sin   2 cos  45 
0



2
1  cos 

 tg
sin 
2
1  sin 2


 tg    
5)
cos 2
4



7) tg  ctg  2ctg
2
2
2
 
 
9) tg     tg    
4 2
 4 2  cos 
3)
2 
2) 1  sin   2 sin 
4



2
sin 

 tg
1  cos 
2
sin 2
cos 


 tg
6)
1  cos 2 1  cos 
2


8) sin   tg  cos   tg
2
2
4)
10. ФОРМУЛЫ ПОНИЖЕНИЯ СТЕПЕНИ
№
Формула
Название
1.
1  cos 2
sin  
2
Формула понижения степени
для функции синус
2.
cos 2  
1  cos 2
2
Формула понижения степени
для функции косинус
2
Упражнения.
Преобразовать в произведение
1) 1  2 cos   cos 2
2)
23
1  cos  
1  cos  
Ответ:  4 cos   sin
Ответ: ctg
2
 
2
2

2
11. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Формулами приведения называются формулы, позволяющие выражать тригонометрические функции любого аргумента через тригонометрические функции острого положительного угла, в связи с тем, что любой угол можно представить в виде суммы или разности одной или нескольких четвертей и положительного острого угла.
Функция, стоящая в левой части формулы приведения, называется приводимой функцией; функция, стоящая в правой части формулы приведения, называется приведённой
функцией.
При применении формул приведения удобно пользоваться следующим основным правилом:
1. Если аргумент приводимой функции имеет вид




3

  2700   ,
  900   или
2
2
то наименование функции меняется на сходственную, т.е. синус на косинус или наоборот, тангенс на котангенс или наоборот).
2. Если аргумент приводимой функции имеет вид    180 0   , то наименование
функции не меняется.
3. Знак приведённой функции определяют по знаку приводимой.


0
Пример 1. Вычислить cos 240 .
Решение. Представим 240  180  60 и учтём, что угол в 240
III четверти, в которой приводимый косинус отрицателен, тогда
0
0
0

нус
0
находится в

1
cos 2400  cos 1800  600   cos 600   .
2
0
Пример 2. Вычислить sin 870 .
0
Решение. Представим 870  2  360  150 , тогда в силу периодичности функции си-


sin 8700  sin 2  360  1500  sin 1500 .
Представим 150  180  30 , тогда воспользовавшись формулой приведения, полу0
чим:
0
0


sin 1500  sin 1800  300  sin 300 
2
Пример 3. Доказать тождество 2 cos 

4

1
.
2

  1  sin  .
2
Решение. Преобразуем левую часть данного тождества по формуле понижения степени
для функции косинус:
 
1  cos 2  
 4 2   1  sin  ,
2
2


1  cos     1  sin  ,
2

24
по формуле приведения


cos     sin  ,
2

таким образом, получаем
1  sin   1  sin  .
Упражнения.
№ 1. Вычислить:
0
2) cos 210
0
3) sin 240
 
5) tg  315 
4) tg  225
0
0
6) ctg150
Ответ: 1 .
0
Ответ: 
0
Ответ:
0
Ответ: 
7) sin 120
8) cos 150
0
10) ctg120
0
Ответ:


12) cos 120 
11) sin  135

0
13) sin 225
14) cos 240
15) tg 210
3
3
3
2
3
2
Ответ: -1
9) tg135
25
3
.
2
3
Ответ: 
.
2
3
Ответ: 
.
2
0
Ответ:  1 . cos 150
Ответ: 
0
1) sin 300
0
2
2
1

2
2

2
1

2
3
3
0
Ответ: 
0
Ответ:

0
3
3
Ответ:
Ответ:
Ответ:

0

17) cos  210

0

16) sin  240
18) сos315
3
2
3
Ответ: 2
2
Ответ:
2
Ответ:
0
Ответ: 
0
19) tg 330

0


0
 cos 225  tg  330  ctg 240 
20) cos  300
21) sin  300
Ответ:
0
0
0
0
3
3
1
2
0
Ответ:
0
Ответ: 9.
22) 6 sin120 tg 300 ctg 225
23)
sin1600 cos 700  cos 2000 sin 700  cos 2350 sin 2150
tg550 ctg 2150
24)
cos  150 0 tg150 0  sin 300 0

 cos  240 0  ctg120 0
0
0
cos 330
cos 420

3 2
2


2
Ответ: sin 55

Ответ:
0
39
4
№ 2. Не изменяя названия приводимой функции, привести к тригонометрической
функции положительного острого угла:
0
1) sin 200 ,


cos1540 , tg357 0 , ctg 2890 .

2) sin  501 ,
0




cos  3040 , tg  18540 , ctg  13420

№ 3. Следующие тригонометрические функции привести к функциям острого положительного угла, изменив название приводимой функции на сходственное:
0
1) sin1242 ,
0
2) sin154 ,
cos 9300 , tg 24020 , ctg35460




cos 2420 , tg  2530 , ctg  3460 .
№ 4. Упростить:


sin  2 
2
  cos 2 
1)
2
1  tg 
2)
2 cos 2 
 cos 2 
 3

1  sin  2 
 2

Ответ: 0.
Ответ: sin
2
.
26
3)
4)
5)
6)
7)
8)
sin  
tg  tg  sin    
2

sin   0,5 sin  2 


1  sin   
2

0
sin 180  a  cos 900  a  tg 3600  a  ctg 2700  a


 3

sin  a   cos  a   tg   a   ctg  a 
2

 2

2 sin 400  cos1300  3sin1600  cos  1100
sin1600  cos1100  sin 2500  cos 3400  tg1100  tg3400



 









Ответ: sin 

Ответ: 2 tg 
Ответ: 2 cos 

tg 2700  a  sin1300  cos 3200  sin 2700
9)
ctg 1800  a  cos 500  sin 2200  cos 3600

Ответ: cos 
 
Ответ: sin 20
Ответ: 0
2
Ответ: ctg 40


10) ctg 360    cos 180    tg 270    sin 90  
0
0
0
0
0

0
Ответ: 0
№ 5. Вычислить:
1) sin163 cos 347  sin 73 sin167
0
0
0

0

 cos 33   sin 220
2) sin 292 sin 293  sin  338 sin 337
0
0
3) cos 327  cos17
0
0



 cos  3370  sin  400
0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
4) sin 25 cos 65  sin 115 cos 245  sin 295 cos 335
0
0
0
0

№ 6. Упростить:

 
 
 
2) sin180     cos90     ctg 360     tg 270   
3) cos90   cos180    tg 180     tg 270   
4) ctg   360 cos  270   cos  360   2 sin  180 
1) sin   sin 90    sin 180    sin 270    sin 360  
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 3


  3

    tg    ctg   
 2

2
  2

3 



6) sin  
 cos    sin  2 cos   
2
2




tg     cos   
2

7)
 3
  3

tg     cos   
 2
  2

5) cos     sin
27
1
.
2
2
Ответ:
.
2
Ответ:
0
Ответ: 0
Ответ: 1.

Ответ: sin 
Ответ:  2ctg
Ответ: 1.
Ответ: 2 sin 
Ответ: 1.
Ответ: -1.
Ответ: ctg




tg      ctg   
2

2

8)
3 



tg      ctg   
2

2

 3

cos   sin   
 2

9)
sin   cos4   


cos  ctg    sin4   
2

10)
 3

sin5   ctg    
 2

 3

1  cos     cos  4
 2

11)
 3

1  sin  6  sin   
 2

0
0
cos  288 ctg 72
12)
 tg180
0
0
tg  162 sin108

13)
14)
15)
16)



Ответ: -1.
Ответ:  ctg 
Ответ: cos 
Ответ: 1

Ответ: 0

sin  234 0  cos 216 0
 tg 36 0
0
0
sin144  cos126
ctg 44 0  tg 2260 cos 4060
 ctg 72 0  tg180
0
cos 316
2
0
cos 197  cos 2 287 0 sin 2 3230

1  sin 2 217 0
cos 2 37 0
cos 7500  sin 4200
1  cos18000  tg  4200

sin  3300  cos  3900
tg 4200

Ответ: 2








Ответ: 1
Ответ: 1

Ответ: 1.
sin 5150 cos  4750  ctg 2220 ctg 4080
ctg 4150 ctg  5050  tg197 0 tg 730
Ответ:
1
cos2 250
2
cos 2 6960  tg  2600 tg 5300  cos 2 1560
18)
tg 2 2520  ctg 2 3420
Ответ:
1 2 0
tg 18
2
17)







 
sin  3280 sin 9580 cos  5080 cos  10220
19)

ctg5720
tg  2120
20) sin 825
0
21) sin 585
0

 
cos 15   cos 75 sin 555   tg155  tg 245
1
cos 315   tg  382 tg 608 
cos 660 cos 480
0
0
0
0
0
0
Ответ: -1.
0
Ответ: 0.
0
0
0
Ответ: 2,5
28
№ 7***. Доказать тождество:


sin   
2
  ctg   3 


1  sin3  
4 2 
№ 8*** Преобразовать в произведение:
1  sin 
1  sin 
2 

Ответ: tg 
4
№ 9. Найти:




1) cos 270   , если sin 180    0,3,
0


0
900    1800
Ответ: cos 270    sin   0,3

0



2) tg 180   , если cos 180    0,6, 180    270
0


0
0
0
4
3
0
0
0
0
3) cos630    , если ctg 540    5, 90    180
Ответ: tg 180    
0




26
26
0
0
0
0
4) ctg 900   , если ctg 90    8, 90    180
1
Ответ: ctg  
8
0
0
0
0
5) sin 90   , если tg 270    4, 180    270
Ответ: cos 630   


0






17
17
0
0
0
0
6) sin 180   , если cos 270    0,8, 0    90
Ответ: cos   





Ответ: sin 180    0,8
0
*** задания повышенной сложности
29



2
12. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕ
№
Формула
Название
1.
sin   sin   2 sin

 
cos
2
2
сумма синусов
2.
sin   sin   2 sin
 

cos
2
2
разность синусов
3.
cos   cos   2 cos

 
cos
2
2
сумма косинусов
4.
cos   cos   2 sin

 
sin
2
2
разность косинусов
5.
tg  tg 
sin  
cos  cos 
сумма тангенсов
6.
tg  tg 
sin  
cos  cos 
разность тангенсов
Пример 1. Преобразовать в произведение sin 42  cos 62 .
0
0


Решение. Применим формулу приведения для sin 42  sin 90  48  cos 48 , то0
гда
0
0
0
sin 420  cos 620  cos 480  cos 620 ,
теперь применим формулу разности косинусов:
cos 480  cos 620  2 sin
480  620
480  620
sin
 2 sin 550 sin 70 .
2
2
Пример 2. Преобразовать в произведение 1  2 sin  .
Решение. Вынесем за скобки в преобразуемом выражении 2 и заменим
после чего применим формулу разности синусов:

1
на sin 300 ,
2

30 0  
30 0  
1

0
1  2 sin   2  sin    2 sin 30  sin   2  2  sin
cos

2
2
2

 


 4 sin150   cos150  .
2 
2

30
Пример 3. Преобразовать в произведение cos   sin  .
Решение. Применим для обоих слагаемых формулы понижения степени, получим:
2
2
1  cos 2 1  cos 2 cos 2  cos 2



2
2
2
  sin   sin  .
cos 2   sin 2  
 2 sin
2  2
2  2
sin
2
2

2
Упражнения.
№ 1. Преобразовать в произведение:
1) cos 50  cos 20
2) cos 18  cos 10
3) cos 4  cos 28
4) sin 7  sin 19
0
0
0
0
5) cos 36  sin 16
0
7) cos

8
 cos
0

18
9) tg12  tg32
0
0
0
0
0
6) sin
8) sin

10

0
 sin

12
 cos

10
12
5
7
 tg
10) tg
24
24
№ 2. Вычислить:
11
5
 sin
12
12
0
0
2) cos 97  cos 83
1) sin
sin 760  sin160
3)
cos 760  cos160
sin 200  sin1000
4)
cos 200  cos1000
sin 750  cos1050
5)
sin 750  cos1050
Ответ: 0
Ответ:  3
Ответ:
3
Ответ:
3
№ 3. Преобразовать в произведение:
1) sin 4  sin 2
2) cos 2  cos 6
Ответ: 2 sin 3 cos 
Ответ: 2 sin 4 sin 2
3) tg  tg 3
Ответ:
4) sin   cos 
5) cos   sin 
6) sin     sin   
31
2
2
Ответ: 
sin 4
cos  cos 3


Ответ: 2 cos   
4



Ответ: 2 sin   
4

Ответ: 2 sin cos 
cos   cos 
cos   cos 
sin 7  sin 5
8)
sin 7  sin 5
cos 6  cos 4
9)
cos 6  cos 4
Ответ:  ctg
7)

 
ctg
2
2
Ответ: tg   ctg 6
Ответ:  tg  tg 5
11) sin   sin 
5

cos
2
2
Ответ: sin      sin   
12) tg   tg 
Ответ:
13) cos   cos 2  cos 6  cos 7
Ответ: 4 cos
10) sin   sin 3  sin 2  sin 4
2
2
2
2
14) sin 9  sin10  sin11  sin12
15) cos 2  cos 3  cos 4  cos 5
16) sin 4  sin 5  sin 6  sin 7
sin 2  sin 3  sin 4
cos 2  cos 3  cos 4
cos 6  cos 7  cos 8  cos 9
18)
sin 6  sin 7  sin 8  sin 9
cos 2  cos 6  cos10  cos14
19)
sin 2  sin 6  sin10  sin14
17)
20) cos   sin   cos 3  sin 3
Ответ: 4 cos  sin
sin    sin  
sin 2   cos 2 

5
cos cos 4
2
2

21
Ответ: 4 cos cos  sin
2
2

7
Ответ: 4 sin sin  cos
2
2

11
Ответ:  4 sin sin  sin
2
2
Ответ: tg 3
Ответ: ctg
15
2
Ответ: tg 2


 2 
4

Ответ: 2 2 cos  sin
№ 4. Преобразовать в произведение:
1) 1  sin   cos 
2) 1  cos   sin 
3) sin   sin   sin    
4) cos12  2 cos 24  cos 36
0

 
cos  
2
 2 4

 
Ответ: 2 2 sin cos  
2
 2 4



cos
Ответ: 4 cos sin
2
2
2
0
2 0
Ответ:  4 cos 24 sin 6
Ответ: 2 2 cos
0
0
32
13. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ ИЛИ РАЗНОСТЬ
№
Формула
Название
1.
sin  cos  
1
sin    sin  
2
Произведение синуса на косинус
2.
cos  cos  
1
cos    cos  
2
Произведение косинусов
3.
sin  sin  
1
cos    cos  
2
Произведение синусов
Пример 1. Упростить выражение sin 2 cos 6  sin 4 cos12 .
Решение. Применим в обоих слагаемых формулу произведения синуса на косинус и
учтём нечётность синуса, получим:
1
sin2  6   sin2  6  
2
1
1
1
 sin4  12   sin4  12   sin 8  sin 4   sin16  sin 8  
2
2
2
1
1
16  4
16  4
 sin16  sin 4    2 sin
cos
 sin 6 cos10.
2
2
2
2
sin 2 cos 6  sin 4 cos12 
Пример 2. Доказать тождество sin 40 sin 50 
0
0
1
cos100 .
2
Решение. Применим формулу произведения синусов и учтём чётность косинуса, получим:
sin 400 sin 500 
 


 

1
1
1
cos 400  500  cos 400  500  cos100  cos 900  cos100.
2
2
2
Упражнения
№ 1. Преобразовать в сумму или разность
0
0
0
3) cos 23  cos 17
4) sin 16  sin 34
5) sin 11  cos 10
6) cos 0,253  cos 0,345
0
0
0
0
7) cos 45  cos 15
0
33
0
2) cos 75 cos105
1) cos 45 cos 75
0
0
0
8) sin 105  sin 75
0
0
9) sin

24
11) cos
13) sin
 cos

10

5
24
 cos
 sin
10) cos 20  cos 10
0


0
12) sin 40  sin 4
0
5
0
14) 2 cos   cos 3
5
8
15) sin 5  sin 3
17) cos     cos 
sin  sin  
19)
sin   sin 
16) sin 4  cos 2
18) sin 2  sin    
20) cos82 30 cos 37 30
0
0
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Запишите формулу синуса суммы двух углов.
2. Запишите формулу синуса разности двух углов.
3. Запишите формулу косинуса суммы двух углов.
4. Запишите формулу косинуса разности двух углов.
5. Запишите формулу тангенса суммы двух углов.
6. Запишите формулу тангенса разности двух углов.
7. Запишите формулу синуса двойного угла.
8. Запишите формулы косинуса двойного аргумента.
9. Запишите формулу тангенса двойного угла.
10. Запишите формулу понижения степени для функции синус.
11. Запишите формулу понижения степени для функции косинус.
12. Запишите формулы половинного аргумента для функций синус, косинус, тангенс.
13. Запишите формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций
в произведение.
14. Запишите формулы преобразования произведения тригонометрических функций в
сумму или разность.
15. Сформулируйте основное правило для применения формул приведения.
14. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
14.1 Свойства и график функции y  sin x .
Кривую y  sin x построим, разделив часть окружности, находящуюся в I четверти на
4 равные части и через точки деления проведём прямые, параллельные оси x . Ординаты точек деления окружности представляют собой синусы соответствующих углов. Первая четверть окружности соответствует углам от 0 до

. Поэтому на оси ОX возьмём отрезок
2
 
0; 2  и из точек деления на окружности восстановим перпендикуляры до пересечения
34
с ранее проведёнными горизонтальными прямыми. Точки пересечения соединим плавной линией.


На интервале  ;   каждое значение аргумента x можно представить в виде
2 
x
где 0   
2
 ,

. По формуле приведения
2




sin     cos   sin    .
2

2

Точки оси OX с абсциссами
x



2
 и

2
  симметричны относительно прямой


. Это позволяет получить график функции y  sin x в интервале  ;   путём
2
2 
 
симметричного отображения графика этой функции в интервале 0;  относительно пря 2
мой x 

2
(рис. 7).
Рис. 7
Теперь, используя свойство нечётности функции y  sin x , достроим её график на
промежутке   ;0 , симметрично отобразив уже построенную кривую относительно начала
координат (рис. 8).
35
Рис. 8
Т.к. функция y  sin x периодична с периодом 2 , то для построения всего графика
этой функции достаточно кривую (рис. 8) периодически продолжить влево и вправо с периодом 2 .
Полученная в результате кривая является графиком функции y  sin x и называется
синусоидой (рис. 9).
Рис. 9.
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел R .
2) Множество значений функции – отрезок  1;1.
3) Функция является периодической с наименьшим положительным периодом
2 3600 , т.е.


sinx  2k   sin x, k  Z .
4) Функция y  sin x является нечётной, т.е.
sin  x    sin x .
36
5) Нули функции: x  k ,
kZ.
Наименьшие значения, равные  1 , функция принимает при x  


2
 2k , k  Z .
 2k , k  Z .
2
6) Положительные значения функция принимает при x  2k ;   2k  , k  Z ,
отрицательные значения функция принимает при x    2k ;2  2k  , k  Z .

 

7) Функция возрастает при x     2k ;  2k  , k  Z ,
2
 2

3


 2k  , k  Z .
функция убывает при x    2k ;
2
2

Наибольшие значения, равные 1, функция принимает при x 
Упражнения
№ 1. Пользуясь графиком функции y  sin x , выяснить, возрастает или убывает функция на промежутках


1)  ;   ;
2 
  
;
;
 2 2 
2) 
3) 0;   ;
4)   ;0 ;
  
;
.
 3 3 
5) 
№ 2. Указать по графику функции промежутки, в которых
sin x  0 и sin x  0 , если  2  x  2 .
5 

№ 3. Начертить график функции y  sin x на отрезке   ;
. По графику функ2 

ции указать множество точек, для которых
1) sin x  1 ;
2) sin x  1;
3) sin x 
1
1
1
; 4) sin x  ; 5) sin x   .
2
2
2
14.2 Свойства и график функции y  cos x .
Согласно
формуле
приведения


cos x  sin x   , поэтому график функции
2

y  cos x можно получить сдвигом графика функции y  sin x на
(рис. 10) .
37

влево вдоль оси OX
2
Рис. 10
На рис. 11 изображён график функции y  cos x , называемый косинусоидой.
Рис. 11
1) Область определения функции – множество всех действительных чисел R .
2) Множество значений функции – отрезок  1; 1 .
3) Функция является периодической с наименьшим положительным периодом 2 3600 ,
т.е.
cosx  2k   cos x, k  Z .
4) Функция y  cos x является чётной, т.е.
cos x   cos x .
38

 k , k  Z .
2
Наименьшие значения, равные  1 , функция принимает при x   2k  1, k  Z .
Наибольшие значения, равные 1, функция принимает при x  2k , k  Z .
5) Нули функции: x 

 

 2k ;  2k  , k  Z .
2
 2

3


 2k  , k  Z .
отрицательные значения функция принимает при x    2k ;
2
2

6) Положительные значения функция принимает при x   
7) Функция возрастает при x     2k ;2k  , k  Z ,
функция убывает при x  2k ;   2k  , k  Z .
Упражнения
№ 1. Пользуясь графиком функции y  cos x , выяснить, возрастает или убывает
функция на промежутках:


 3
  

;  .
1)  ;   ; 2)  ;  ; 3)   ;2 ; 4)   ;0 ; 5) 
 2
 2 2
4 

№ 2. Указать по графику функции промежутки, в которых
sin x  0 и sin x  0 , если  2  x  2 .
5 

№ 3. Начертить график функции y  cos x на отрезке   ;
. По графику функ2 

ции указать множество точек, для которых
1) cos x  1 ;
2) cos x  1;
3) cos x 
1
1
1
; 4) cos x  ; 5) cos x   .
2
2
2
14.3 Свойства и график функции y  tgx .

 

 k ;  k  .
2
 2

1) Область определения функции –  
2) Множество значений функции – множество всех действительных чисел R .
3) Функция является периодической с наименьшим положительным периодом
т.е.
tg x  k   tgx , k  Z
4) Функция y  tgx является нечётной, т.е.
tg  x   tgx .
39
 1800 ,
5) Нули функции: x  k ,
k Z .


6) Положительные значения функция принимает при x   k ;
kZ.


 k  ,
2

 

 k ; k  ,
 2

отрицательные значения функция принимает при x   
kZ.

 

 k ;  k  , k  Z (рис. 12).
2
 2

7) Функция возрастает при x   
Рис. 12
14.4 Свойства и график функции y  ctgx .
1) Область определения функции – k ;   k  .
2) Множество значений функции – множество всех действительных чисел R .
3) Функция является периодической с наименьшим положительным периодом
т.е.
 1800  ,
сtgx  k   сtgx , k  Z
4) Функция y  сtgx является нечётной, т.е.
сtg x   сtgx .
40
5) Нули функции: x 

2
 k , k  Z .




 k  , k  Z .
2

 

отрицательные значения функция принимает при x     k ;k  , k  Z .
 2

6) Положительные значения функция принимает при x   k ;
7) Функция убывает при x  k ;  k  , k  Z (рис. 13).
Рис. 13
Упражнения
1. Указать по графику y = tg x два промежутка, в которых:
2. Пользуясь графиками, сравнить следующие числа:
3
и tg 2 ;
4
 9 
 11 
3. tg  
 и tg  
;
 25 
 25 
1. tg
2. ctg
tg x > 0, tg x <0.


и ctg ;
6
3
4. ctg 6,3 и ctg 6,2 .
3. Пользуясь графиком тангенса, указать все точки интервала  

 
;  , в которых
2 2
выполняется неравенство:
1. tg x  1 ;
2. tg x  1 ;
3. tg x   3 .
4. Пользуясь графиком функции y  ctg x , указать все точки интервала 0;   , в которых выполняется неравенство:
1. ctg x  0
2. ctg x  0
3. ctg x  1
5. Указать промежутки возрастания и убывания функции y  ctg x на интервале
  ;3  и точки, в которых ctg x  0 .
41
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Перечислите свойства функции y  sin x .
2. Изобразите схематически график функции y  sin x .
3. Перечислите свойства функции y  cos x .
4. Изобразите схематически график функции y  cos x .
5. Перечислите свойства функции y  tgx .
6. Изобразите схематически график функции y  tgx .
7. Перечислите свойства функции y  ctgx .
8. Изобразите схематически график функции y  ctgx .
15. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Арксинусом числа a  1  a  1 называется угол

го равен a .
Обозначение: arcsin a .
Арккосинусом числа a  1  a  1 называется угол
рого равен a .
Обозначение: arccos a .
Арктангенсом числа a называется угол


0     , косинус кото-

 
      , тангенс которого равен a .
2
 2
Обозначение: arctga
Арккотангенсом числа a называется угол
вен a .
Обозначение: arcctga .

 
      , синус которо2
 2

0     , котангенс которого ра-
Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента:
1. arcsin  a    arcsin a
2. arctg a   arctga
3. arccos a     arccos a
4. arcctg a     arcctga
Некоторые соотношения, справедливые для обратных тригонометрических функций:
9. tg arctga   a
1. sin arcsin a   a
2. sin arccos a   1  a
3. sinarctga 
4. sinarcctga 
2
a
1  a2
1
1  a2
10. tg arcctga  
11. tg arcsin a  
1
a
a
1 a2
1 a2
12. tg arccos a  
a
42
13. ctgarcctga   a
5. cosarccos a   a
6. cosarcsin a   1  a
7. cosarctga  
14. ctgarctga  
2
1
15. ctg arcsin a  
1 a2
8. cosarcctga  
1
a
a
16. ctg arccos a  
1 a2
1 a2
a
a
1 a2
17. arcsin a  arccos a 

2
Упражнения.
№ 1. Вычислить
2
2
 1
3) arcsin  
 2
1
5) arccos
2

3

7) arccos 

2


1) arcsin
2) arcsin
4) arcsin  1
6) arccos


2
2
8) arccos  1
10) arctg1
9) arctg 3
11) arctg 

3
2
3

3 
12) arcctg 1
№ 2. Вычислить
3
 arcsin1
2
2

3
 1 
  arcsin 1
2) arcsin0  arcsin 
  arcsin 

2
2



1) arcsin0  arcsin
1
 arcsin
3) 6 arcsin 1  12 arcsin
3
 1 
 5 arcsin 
.
2
2

№ 3. Вычислить
1) sinarcsin 0,8;
cosarcsin 0,8; tgarcsin 0,8; ctgarcsin 0,8.
2) sinarcsin0,4; cosarcsin0,4; tg arcsin0,4; ctgarcsin0,4 .
43
16. СВОЙСТВА И ГРАФИКИ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
16.1 Свойства и график функции y  arcsin x
1. Область определения функции – отрезок  1;1.
  
2. Область значений функции – отрезок  ;  .
 2 2
3. Функция непериодическая.
4. Функция нечётная, т.е.
arcsin  x    arcsin x .
5. Нули функции: x  0 , следовательно, график проходит через начало координат.
6. Положительные значения функция принимает при x  0;1 ,
отрицательные значения функция принимает при x   1;0  .
7. Функция возрастает при x   1;1 (рис. 14).
Рис. 14
16.2 Свойства и график функции y  arccos x
1. Область определения функции – отрезок  1;1.
2. Область значений функции – отрезок 0;   .
3. Функция не является периодической.
4. Функция общего вида, т.к.
arccos x     arccos x .
5. Нули функции: x  1 .
6. Положительные значения функция принимает при x   1;1 .
7. Функция убывает при x   1;1 (рис. 15).
44
Рис. 15
16.3 Свойства и график функции y  arctgx
1. Область определения функции: D y    ;   R .
  
;   функция ограничена.
 2 2
2. Область значений: E  y    
3. Функция непериодическая.
4. Функция нечётная, т.к.
arctg x   arctgx
5. Во всей области определения функция возрастает.
6. x  0 – нуль функции
7. При x   ;0  функция принимает отрицательные значения,
при x  0;   функция принимает положительные значения (рис.16).
y = tg x
Рис.16
45
16.4 Свойства и график функции y  arcctgx
1. Область определения функции: D y    ;   R .
2. Область значений: E y   0;    функция ограничена.
3. Функция непериодическая.
4. Функция общего вида, т.к.
arcctg x     arcctgx
5. Во всей области определения функция убывает.
6. Нулей у функции нет.
7. Во всей области определения функция принимает только положительные значения.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте определение арккосинуса числа a .
2. Сформулируйте определение арксинуса числа a .
3. Сформулируйте определение арктангенса числа a .
4. Сформулируйте определение арккотангенса числа a .
5. Запишите формулы для обратных тригонометрических функций от отрицательного
аргумента.
6. Перечислите свойства обратной тригонометрической функции y  arcsin x .
7. Изобразите схематически график функции y  arcsin x .
8. Перечислите свойства обратной тригонометрической функции y  arccos x .
9. Изобразите схематически график функции y  arccos x .
10. Перечислите свойства обратной тригонометрической функции y  arctgx .
11. Изобразите схематически график функции y  arctgx .
12. Перечислите свойства обратной тригонометрической функции y  arcctgx .
13. Изобразите схематически график функции y  arcctgx .
46
17. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическими называются уравнения, в которых неизвестная переменная
стоит в аргументе тригонометрической функции.
17.1 Простейшие тригонометрические уравнения
Как правило, тригонометрические уравнения с помощью равносильных преобразований, замен и решений алгебраических уравнений сводятся к простейшим тригонометрическим уравнениям.
Сводная таблица решений простейших тригонометрических уравнений
Частные случаи
Уравнение
Решение
a  1
sin x  a,
a 1
k
x   1 arcsin a  k , x     2k , x  k , k  Z
2
k Z
k  Z;
cos x  a,
x   arccos a  2k ,
a 1
k Z
tgx  a
a0
x  arctg a  πk, k  Z
47
x  arctg a  πk, k  Z
.

 2k ,
2
k  Z;
x
x  2k , k  Z

x   2k  1,
x   k , k  Z
2
kZ
x

4
 k ,
x  k , k  Z
3
 k ,
4
kZ
x
x

4
k Z
k Z
ctgx  a
a 1
x

2
 k , k  Z
.
x

4
k Z
 k ,
 k ,
1
.
2
Пример 1. Решить уравнение sin 2 x 
Решение.
1
k
2 x   1 arcsin  k , k  Z ,
2
2 x   1
k
x   1
k


Пример 2. Решить уравнение cos 3x 

6

12
 k , k  Z ,

k
2
, kZ.

3
.

4
2
Решение.
3x 

4
  arccos
3x  
x

 2k , k  Z ,
6

18
3
 2k , k  Z ,
2

2k
, k Z .
3


2 cos3x  45    3 ,
3
,
cos3x  45   
2
Пример 3. Решить уравнение 2 cos 3x  450  3  0 .
Решение.
0
0

3
  3600  k , k  Z ,
3 x  450   arccos 

 2 

3
3 x  450  1800  arccos   3600  k , k  Z
2 

3x   1800  300  450  3600  k , k  Z ,


x  500  150  1200  k , k  Z .
Пример 4. Решить уравнение
Решение.




3 sin 2 x  300 
3
0.
2
3
3 sin 2 x  300   ,
2
48


sin 2 x  300  
3
,
2

3
k
  1800  k , k  Z ,
2 x  300   1  arcsin 

 2 
3
k 1
2 x  300   1  arcsin
 1800  k , k  Z ,
2
2 x   1
k 1
x   1
 600  300  1800  k , k  Z ,
k 1
Пример 5. Решить уравнение
300  150  900  k , k  Z .


3tg  3x    1  0 .
3

Решение.


3  tg  3x    1,
3


1

,
tg  3x    
3
3


 1 
3x   arctg 
  k, k  Z,
3
3


1
3 x    arctg
 k, k  Z ,
3
3
  k
x     , k  Z,
9 18 3
 k
x    , kZ .
6 3
Упражнения.
Решить уравнения:
1. sin 3x 
1
2
2
2
x 
3. sin    0
2 6


4. cos 3 x    0
4



5. sin x    1
3

2. cos 4 x 
49
Ответ: x   1

Ответ: x 
Ответ: x 

3


k
, k Z
18 3
 k
Ответ: x  
 , k Z
16 2
k
 2k , k  Z

k
, k Z
12 3
5
Ответ: x  
 2k , k  Z
6


6. cos 3 x 

0
6
Ответ: x 
3x 1

2 2



10. 3tg  x 
k

k

k
9

9

 3 0
3
Ответ: x  
11. 4 sin x  3
2

k
3
, k Z
2k
, k Z
3
Ответ:
1
sin 2 x 
4
Ответ:

0
0
 k , k  Z
6

 k , k  Z ;
3
x   1
k 1


0
k


x   1
k
x   1
k 1
6
3
 k , k  Z
 k , k  Z ;

6
 k , k  Z
Ответ: x  60  60  360  k , k  Z
3tg x  600  3  0


14. 3tg  3 x    3
4

13.

Ответ: x  22,5  22,5  360  k , k  Z
2 0
x   1
12.
, k Z
3
Ответ: x   1
9. 2 cos 2 x  45 
0
9

Ответ: x   1
7. 2 sin 3x  3  0
8. 1  sin

0
Ответ: x  

36
0

k
3
0
, k Z
17.2 Основные типы тригонометрических уравнений и методы
их решения
17.2.1 Уравнения, содержащие одну тригонометрическую функцию одного и того
же аргумента или приводимые к ним
Уравнения данного типа решают методом замены.
Пример 1. Решить уравнение sin x  2 sin x  3  0 .
Решение. Сделаем замену sin x  y, y  1 , тогда получим квадратное уравнение
2
y2  2 y  3  0,
y1  3, y2  1.
50
Первый корень является посторонним, подставим в уравнение замены значение второго
корня:

 2k , k  Z .
2
2
Пример 2. Решить уравнение 2 sin x  3 cos x .
2
2
Решение. Представим sin x  1  cos x , тогда получим
2 1  cos2 x  3 cos x  0, 2 cos2 x  3 cos x  2  0
Замена cos x  y, y  1 , тогда
1
2 y 2  3 y  2  0, y1  2 (пост. корень), y2  .
2
1
1
cos x  , x   arccos  2k , k  Z ,
2
2
sin x  1, x  


x

3
 2k ,
k Z .
Пример 3. Решить уравнение tg 3 x  2ctg 3 x  3  0 .
1
, получим
tg3x
2
tg 3x 
3  0,
tg 3x
Сделаем замену tg 3 x  y  0 , тогда получим
2
y   3  0, y 2  3 y  2  0 ,
y
корнями полученного уравнения являются y1  1, y2  2 .
Решение. Представим ctg3x 
Таким образом, получили два простейших тригонометрических уравнения:
tg 3 x  1,
tg 3 x  2 .
 k
Решением первого уравнения является x 
 , k  Z , решением второго урав12 3
1
n
нения является x  arctg2 
, nZ .
3
3
Упражнения.
Решить уравнения:
1. sin x  2 sin x  3  0
2
51
Ответ: x 

2
 2k , k  Z
x
2. 3 sin x  2 sin x  1  0
2
Ответ:
2
4. 2 cos x  3 cos x  1  0
2
2
 2k , k  Z ;
x   1
Ответ: x 
3. sin x  2 sin x  1  0


2
Ответ:
1
arcsin  m, m  Z
3
m 1
 2k , k  Z
x  2k , k  Z ;
x

 2m, m  Z
3
5. 3 sin x  2 cos x  0
Ответ: x   1
6. 3 cos x  2 sin x  0
Ответ: x  
k
2
7. sin x  2 cos x  2  0
2
2
6
 k , k  Z
 2k , k  Z
3
Ответ: x  2k , k  Z
2
8. sin x  cos x 


1
4
Ответ: x  

3
 2k , k  Z
9. 2 cos x  2 cos x  3 sin x
Ответ: x   arccos
10. 2 sin x  2  5 cos x
Ответ: x 
11. 4 cos x  4 sin x  1
Ответ: x   1

12. cos 2 x  3 sin x  1  0
Ответ: x   1

2
2
2
2
14. 2 sin 2 x  2 cos 2 x  2  0
2
16. 4 cos 2 x  17 sin 2 x  8  0
18.
tgx 
3
4
tgx
 k , k  Z
6
 k , k  Z
 k , k  Z
6
 k
, k Z
Ответ: x  
4 2
 k
x 
, k  Z.
Ответ:
4
2
x  m, m  Z
1
arcsin
k
4  k , k  Z
Ответ: x   1
2
2
x  arctg2  k , k  Z,
Ответ:
x  arctg3  m, m  Z

x   k, k  Z,
Ответ:
4
x  arctg3  m, m  Z
k
13. 2 cos 2 x  2 cos 4 x  3 sin 2 x  1
17. tg x  6ctgx  5  0
2
k
2
2

2
 2k , k  Z
5
52
17.2.2 Однородные уравнения первой и второй степени
Однородным уравнением первой степени называется уравнение вида
a sin x  b cos x  0 .
Решают уравнение данного типа делением обеих частей на cos x  0 , в итоге уравнение
сводится к простейшему
b
tgx   .
a
Однородным уравнением второй степени называется уравнение вида
a sin2 x  b sin x cos x  c cos2 x  0 .
Обе части данного уравнения делят на cos x  0 , в результате получают уравнение
2
atg 2 x  btgx  c  0 ,
которое решают заменой переменной
tgx  y .
Упражнения.
Решить уравнения:
1)
3 sin x  cos x
Ответ: x 

6
 k , k  Z
2) 2 sin x  cos x
Ответ: x  arctg
3) 3 sin x 
Ответ: x 
3 cos x  0
4) cos 2 x  sin 2 x  0
Ответ: x 
5) sin x  3 sin x cos x  2 cos x  0
2
2
6) sin x  2 sin x cos x  3 cos x  0
2
2
7) 3 sin x  4 sin x cos x  5 cos x  2
2
2
8) 2 sin x  5 sin x cos x  7 cos x  1
2
53
2

6

1
 πk, k  Z
2
 k , k  Z

k
, k Z
8 2

x   πk, k  Z,
Ответ:
4
x  artg 2  m, m  Z

x    k, k  Z,
Ответ:
4
x  arctg3  m, m  Z

x   k, k  Z ,
Ответ:
4
x  arctg3  m, m  Z
Ответ:
x  artg 2  k, k  Z ,
x  arctg3  m, m  Z
10) 6 sin x  sin x cos x  cos x  2
2
2
11) cos 2 x  3 sin 2 x cos 2 x  1  0
2

x    k, k  Z ,
4
Ответ:
3
x  arctg  m, m  Z
4

x   k, k  Z ,
Ответ:
4
x  arcctg2  m, m  Z

 k, k  Z ,
4
Ответ:
1
x  arcctg  m, m  Z
2

x   k,k  Z
Ответ:
2
x  arctg4  n,n  Z
x
12) 3 cos 2 x  0,5 sin 4 x  1
2
13) sin 2 x  4 cos 2 x  4
x
14) cos x  5 sin x  2
2
2
Ответ:
x

6
x
15) 3 cos x  sin x  2
2
2
Ответ:
x

6
x
16) 7 cos x  sin x  5
2
2
Ответ:
x

6

6
 k , k  Z ,
 m, m  Z

6
 k , k  Z ,
 m, m  Z

6
 k , k  Z ,
 m, m  Z

 k, k  Z ,
4
Ответ:
3
x  arctg  m, m  Z
4
x
17) 6 sin x  sin x cos x  cos x  2
2
2
54
17.2.3 Тригонометрические уравнения, решаемые разложением
левой части на множители
Этот метод решения применяется в случае, когда левая часть уравнения может быть
представлена в виде произведения, а правая часть равна 0.
Пример 1. Решить уравнение sin 3x  sin x  0 .
Решение. Применим в левой части уравнения формулу преобразования суммы синусов
в произведение:
3x  x
3x  x
cos
 0,
2
2
2 sin 2 x cos x  0 ,
2 sin
откуда получаем
sin 2 x  0 или cos x  0 .
Из первого уравнения
2 x  k , k  Z ,
из второго уравнения
x
Ответ: x 
k
2
, k  Z; x 

2

2
x
k
2
, k Z ,
 n, n  Z .
 n, n  Z .
Пример 2. Решить уравнение 2 cos xctg3 x  ctg3 x.
Решение. Перенесём всё в левую часть уравнения и вынесем за скобки общий множитель:
2 cos xctg3x  ctg3x  0 ,
ctg3x2 cos x  1  0 ,
ctg3 x  0 или 2 cos x  1  0 .
Из первого уравнения следует
3x 

2
 k , k  Z ;
x

6

k
3
, k  Z.
Решим второе уравнение:
1
1
2 cos x  1  0, cos x  , x   arccos  2n, n  Z ;
2
2
 k

Ответ: x  
, k  Z , x    2n, n  Z .
6 3
3
x

3
 2n, n  Z .
Пример 3. Решить уравнение 2 sin x  3 sin 2 x .
Решение. Применим в правой части формулу синус двойного угла, после чего перенесём всё в левую часть уравнения, получим:
2
2 sin 2 x  2 3 sin x cos x  0 .
55
Вынесем за скобки общий множитель 2 sin x :


2 sin x sin x  3 cos x  0 ,
тогда
sin x  0 или sin x  3 cos x  0 .
Из первого уравнения
x  k , k  Z .
Решим второе уравнение, которое является однородным уравнением первой степени,
поэтому обе его части разделим на cos x  0 , тогда
tgx  3  0, tgx  3,
Ответ: x  k , k  Z , x 

3
x  arctg 3  n, n  Z ;
x

 n, n  Z .
3
 n, n  Z .
Пример 4. Решить уравнение 2 sin x cos x  3  2 cos x  3 sin x  0 .
Решение. Сгруппируем первое с третьим и второе с четвёртым слагаемые, после чего из
каждой группы вынесем за скобки общий множитель:
получили
2 sin x cos x  2 cos x   3 sin x  3   0 ,
2 cos xsin x  1  3sin x  1  0 ,
sin x  12 cos x  3   0 ,
sin x  1  0 или 2 cos x  3  0 .
Решим первое уравнение:
x   2k  1, k  Z .
sin x  1,
Решим второе уравнение:
2 cos x  3, cos x 
3
,
2
x   arccos
Ответ: x   2k  1, k  Z , x  

6
3
 2n, n  Z ,
2
x

6
 2n, n  Z .
 2n, n  Z .
Упражнения.
Решить уравнения:
1) sin x  sin 2 x  cos x  2 cos x
2
2

 2k , x   n, k , n  Z
3
4
2) cos 9 x  cos 7 x  cos 3x  cos x  0
l
 n
Ответ: x  k , x  , x  
, k , l, n  Z
5
6 3
Ответ: x  
56
3) 1  cos x  cos 2 x  cos 3x  0
Ответ: x   1  2k ,
4)
x

3


2n
, x   l ,
2
3
sin 4x cos 2x  sin 5x cos x
k , l, n  Z
Ответ:
x  k , k  Z
x
5) 1  cos 6 x  tg 3 x
Ответ: x 
6) sin 4 x  sin 2 x  0
Ответ:
2
 m

,m Z
6 3
k
x
7) 3sin x cos x  2 cos x  0
Ответ:

l
3
12 6
k
x
, k  Z,
2
x
2

,

2

3
,
k, l  Z
 k , k  Z
 k , k  Z ,
2
 m, m  Z
3
x  k , k  Z ,
x  arctg
8) 9 sin x  3 sin x cos x  25 cos x  25
Ответ:
9) cos 2 x  5 sin 2 x  1  0
Ответ:
10) sin 3x  sin x  0
Ответ:
11) cos 4 x  cos x  0
Ответ:
12) sin 5 x  sin x  0
Ответ:
13) cos 2 x  cos x  0
Ответ:
2
57
2
3
 m, m  Z
16
x  k , k  Z ,
x  arctg5  m, m  Z
k
x
, k  Z,
2

x   m, m  Z
2
 2k
x 
, k  Z,
5
5
 2m
x 
, mZ
3
3
k
x
, k  Z,
2
 m
x 
, mZ
6
3
x  2k , k  Z ,
2m
x
, mZ
3
x  arctg
 3

 x  0
14) cos3x  2   sin
 2



15) cos 2 x  sin 6 x 

0
2
16) 1  cos 2 x  sin x
x  k , k  Z ,
Ответ:
x
, mZ
2
 k
x 
, k  Z,
8
4
Ответ:
 m
x 
, mZ
4
2
x  k , k  Z ,
Ответ:
x   1
x
17) 1  cos 2 x  cos x
m
Ответ:

2
 3

 2x   0
 2

19) cos x  sin
20)
sin 2 x
1  cos 2 x

1  cos 2 x
2 cos x
 m, m  Z
 k , k  Z ,

x


Ответ: решений нет
Ответ:
22) sin 6 x cos 2 x  sin 5 x cos 3x
Ответ:
24) cos 3x cos x  sin 3x sin x
6
2m
, mZ
3
3
x  2k , k  Z ,
Ответ:
2m
x
, mZ
3
Ответ:
21) cos 4 x cos 2 x  cos 5 x cos x
23) cos 2 x cos 3x  sin 6 x sin x

 2m, m  Z
3
x    2k , k  Z ,
x
18) cos x  cos  2 x   0
m
x
k
, k  Z,
3
x  m, m  Z
x  k , k  Z ,
x


m
, mZ
6
3
 k
x 
, k  Z,
8
4
Ответ:
 m
x 
, mZ
6
3
 k
Ответ: x  
, k  Z,
8 4
58
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Назовите типы простейших тригонометрических уравнений.
2. Запишите формулы решений простейших тригонометрических уравнений.
3. Запишите формулы решений простейшего тригонометрического уравнения
sin x  a для случаев, когда a  1, a  0, a  1 .
4. Запишите формулы решений простейшего тригонометрического уравнения
cos x  a для случаев, когда a  1, a  0, a  1 .
5. Запишите формулы решений простейшего тригонометрического уравнения tgx  a
для случаев, когда a  1, a  0, a  1 .
6. Запишите формулы решений простейшего тригонометрического
ctgx  a для случаев, когда a  1, a  0, a  1 .
7. Перечислите основные типы тригонометрических уравнений.
59
уравнения
Учебное издание
Составитель:
Алексеева Е.В.
ТРИГОНОМЕТРИЯ
Учебно-методическое пособие
по дисциплине «Математика»
для студентов 1 курса
всех специальностей
Формат 60х84 1/8. Гарнитура Таймс. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 6,97. Тираж 300 экз.
Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,
информационных и промышленных технологий
344011, г. Ростов-на-Дону, ул. Красноармейская, 11
Отпечатано: Ростовский-на-Дону колледж радиоэлектроники,
информационных и промышленных технологий