МКОУ «Средняя общеобразовательная школа №4» города Шадринска Задачник по курсу «Избранные вопросы математики» для 7 класса Шадринск Задачник по курсу «Избранные вопросы математики» для 7 класса средней общеобразовательной школы. Составитель: Обвинцева Надежда Александровна, учитель МКОУ «Средняя общеобразовательная школа №4» г. Шадринска. В данном сборнике представлены практико-ориентированные задачи школьного курса различных тематик, соответствующих учебному курсу «Избранные вопросы математики». Сборник может быть использован для подготовки учащихся к ОГЭ в 9 классе и ЕГЭ в 11 классе. 2 Содержание 1. Задачи по теме: «Движение»……………………………. 2. Задачи по теме: «Производство, работа»……………….. 6 3. Задачи по теме: «Проценты»…………………………….. 8 4. Задачи по теме: «Смеси и сплавы»……………………… 11 5. Задачи по теме: «Геометрия»……………………………. 12 6. Задачи по разным темам…………………………………. 14 4 Литература ……………………………………………….. 16 3 1. Задачи по теме: «Движение» 1.1. Велосипедист должен был проехать весь путь с определенной скоростью за 2 ч. Но он увеличил скорость на 3 км/ч, поэтому на весь путь затратил 1 2 ч. Найдите длину пути. 3 1.2. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 2,5 ч. Но он увеличил скорость на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 2 ч. Найдите длину пути. 1.3. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определенной скоростью, намеченный путь он пройдет за 1,2 ч. Но он увеличил скорость на 1 км/ч, поэтому прошел путь за 1 ч. Найдите длину пути. 1.4. Путь от А до В пешеход проходит за 2 ч. Если он увеличит скорость на 2 км/ч, то уже за 1,8 ч он пройдет на 3 км больше, чем расстояние от А до В. Найдите расстояние от А до В. 1.5. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 80 км, одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 2 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 4 км/ч. 1.6. Расстояние по реке между пунктами А и В равно 45 км. Одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок, если скорость течения реки равна 3 км/ч. 1.7. Из двух пунктов реки, расстояние между которыми равно 36 км, навстречу друг другу движутся две моторные лодки. Лодка, идущая по течению, собственная скорость которой равна 18 км/ч, до встречи шла 0,5 ч, другая лодка, собственная скорость которой равна 20 км/ч, до встречи шла 1,5 ч. Найдите скорость течения реки. 4 1.8. Из двух пунктов реки одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки. Через 1,2 ч они встретились. Собственная скорость лодки, которая шла по течению реки, равна 18 км/ч, а лодки, которая шла против течения реки, 16 км/ч. до встречи одна лодка прошла на 9,6. км больше другой. Найдите скорость течения реки. 1.9. Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 2 ч такое же расстояние, какое он проходит за 2 ч 15 мин против течения. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера. 1.10. Из Москвы в Ленинград отправился пассажирский поезд, скорость которого равна 80 км/ч. Спустя 20 мин из Ленинграда в Москву отправился скорый поезд, скорость которого равна 90 км/ч. Через сколько часов после выхода поезда из Москвы произойдет встреча, если считать расстояние от Москвы до Ленинграда равным 650 км? 1.11. Из пункта А в пункт В вышел товарный поезд. Спустя 3 ч вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость. которого на 30 км/ч больше скорости товарного. Через 15 ч после своего выхода пассажирский поезд, обогнав товарный, находился от него на расстоянии 300 км. Найдите скорость товарного поезда. 1.12. Из города А в город В выехал велосипедист. После того как велосипедист проехал 18 км, из города А вслед за ним выехал мотоциклист, который прибыл в В на 0,3 ч позже велосипедиста. Каково расстояние между городами, если скорость велосипедиста равна 10 км/ч, а скорость мотоциклиста равна 40 км/ч? 1.13. Половину пути мотоциклист ехал с намеченной скоростью 45 км/ч, затем задержался на 10 мин, а поэтому, чтобы наверстать потерянное время, он увеличил скорость на 15 км/ч. Каков весь путь мотоциклиста? 1.14. Расстояние между двумя пунктами поезд проходит по расписанию с намеченной скоростью за 5 ч. Через 3 ч после от5 правления он был задержан в пути на 15 мин. Поэтому, чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, поезд увеличил скорость на 10 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда. 1.15. Расстояние между двумя пунктами автомобиль должен был пройти за 3ч. Первые 2 ч он ехал с намеченной скоростью, а затем увеличил ее на 10 км/ч и поэтому в конечный пункт приехал на 12 мин раньше, чем предполагал. Найдите первоначальную скорость автомобиля. 1.16. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 190 км, выехал автобус, а через 1 ч вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого в 1,5 раза больше скорости автобуса. Найдите скорость автобуса, если известно, что он прибыл в пункт В на 40 мин позже легкового автомобиля. 1.17. Муравьишка был в гостях в соседнем муравейнике. Туда он шел пешком, а обратно ехал: первую половину пути он ехал на Гусенице – в 2 раза медленнее, чем шел пешком, а вторую половину пути он ехал на Кузнечике – в 5 раз быстрее, чем пешком. На какой путь Муравьишка затратил времени меньше: в гости или обратно? 2. Задачи по теме: «Производство, работа» 2.1. По плану тракторная бригада должна была вспахать поле за 14 дней. Бригада вспахивала ежедневно на 5 га больше, чем намечалось по плану, и потому закончила пахоту за 12 дней. Сколько гектаров - было вспахано? Найдите площадь поля. 2.2. Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но завод выпускал ежедневно по 2 машины сверх плана, а поэтому выполнил заказ за 18 дней. Сколько машин выпустил завод? 2.3. Колхоз должен был закончить сен за 5 дней. Колхозники засевали в день на 20 га больше, чем предполагалось по плану, 6 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8. 2.9. 2.10. 2.11. а поэтому закончили сен за 4 дня. Сколько гектаров должен был засеять колхоз? Заказ по выпуску машин завод должен был выполнить за 20 дней. Но уже за 18 дней завод перевыполнил план на 6 машин, так как ежедневно выпускал по 3 машины сверх плана. Сколько машин выпустил завод? Бригада рабочих должна была выполнить заказ за 5 дней. Ежедневно перевыполняя норму на 18 деталей, она за 3,5 дня работы не только выполнила задание, но изготовила 7 деталей сверх плана. Сколько деталей изготовила бригада? В трех цехах завода работает 650 человек. Во втором цехе рабочих в 4 раза больше, чем в первом, а в третьем — столько, сколько в двух первых цехах вместе. Сколько рабочих работает в каждом цехе? Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше, чем третий, а первый — столько, сколько второй и третий вместе. Сколько деталей изготовил каждый цех? Двое рабочих различной квалификации получили за работу 436 р. Первый работал 30 дней, второй — 28 дней. Сколько рублей за день причитается первому рабочему, если он за 8 дней получил на 22 р. больше, чем второй рабочий за б дней? Марина с Олей взялись приготовить пирожное “Корзиночка”. Они взяли 1 часть сахара, 1 часть маргарина, 2 части муки, 1,5 части повидла. Сколько грамм потребуется в отдельности сахара, маргарина, муки, повидла на приготовление пирожного, если при замесе теста получилось 1100 грамм. Трое изобретателей получили за свое изобретение премию в размере 1410 р., причем второй получил 1/3 того, что получил первый, и еще 60 р., а третий получил 1/3 денег второго и еще 30 р. Какую премию получил каждый? Машинистка должна была напечатать за определенное время 200 страниц. Печатая в день на 5 страниц больше, она завер7 2.12. 2.13. 2.14. 2.15. 2.16. шила работу на 2 дня раньше срока. Сколько страниц в день печатала машинистка? Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч, а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно? Два трактора израсходовали 234 л горючего, причем первый расходовал в час на 0,5 л меньше, чем второй, а работал на 1,5 ч больше. Сколько горючего в час расходовал каждый трактор, если они израсходовали горючего поровну? Одним и тем же количеством сена можно прокормить одну корову в течение 60 дней, а одну лошадь – в течение 36 дней. На сколько дней хватит этого сена для коровы и лошади вместе при той же дневной норме? Две бригады лесорубов заготовили в январе 900 м3 древесины. В феврале первая бригада заготовила на 15%, а вторая — на 12% больше, чем в январе. Известно, что в феврале они заготовили 1020 м3 древесины. Сколько кубических метров древесины заготовила каждая бригада в январе? Колхоз ежегодно с двух участков собирал 500 т пшеницы. После проведения агротехнических мероприятий урожай на первом участке увеличился на 30%, а на втором — на 20%. Поэтому колхоз собрал с этих участков 630 т пшеницы. Сколько пшеницы собирал колхоз с каждого участка до проведения агротехнических мероприятий? 3. Задачи по теме: «Проценты» 3.1. На сколько процентов изменилась цена, если она: а) была 100 р., а стала 250 р.; б) была 100 р., а стала 120 р.? 3.2. В магазине цены были сначала повышены на 10 %, а потом снижены на 10 %. Как изменились цены? 8 3.3. На сколько процентов новая цена меньше старой и на сколько процентов старая цена больше новой, если: а) цена снижена наполовину; б) цена повышена наполовину; в) цена увеличена в 4 раза; г) цена уменьшена в З раза? 3.4. Фирма платит рекламным агентам 5 % от стоимости заказа. На какую сумму надо найти заказ, чтобы заработать 1000 р.? 3.5. Предприниматель покупает кондитерские изделия по оптовой цене 96 рублей и продает их в розницу с надбавкой в 30 %. Какова розничная цена? 3.6. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за прибылью он увеличил цену на билеты на 25 %. Количество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки. Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы она стала первоначальной? 3.7. После уплаты всех налогов, которые в сумме составили 30 % от дохода, предприниматель оставил себе на законном основании 35000 р. Какова была величина чистого дохода предпринимателя? 3.8. Определите, какую массу картофеля (сырья) нужно взять для получения 120 кг полуфабриката, если потери при холодной обработке составляют 20 % массы сырья. 3.9. В магазине цену на товар снизили с 400 р. до 360 р. На. сколько процентов снижена цена? 3.10.В двух бочках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10 %, а затем увеличили на 10%.Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 10%, а затем уменьшили на 10 %. В какой бочке стало больше воды? 3.11.Зарплату рабочему повысили на 10 %, а через год еще на 20 %. На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению с первоначальной? 9 3.12.Производительность труда на заводе снизилась на 20 %. На сколько процентов надо ее теперь повысить, чтобы достигнуть первоначальной? 3.13.Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную? 3.14.Определите первоначальную стоимость продукта, если после подорожания на 120 %, 200 % и 100 % его конечная стоимость составила 264 р. 3.15.После реконструкции завод увеличил выпуск продукции на 30%. Спустя некоторое время выпуск продукции увеличился на 10 %, а после замены оборудование еще на 15 %. На сколько процентов увеличился первоначальный выпуск продукции? 3.16.Комиссионный магазин продал сданную на продажу вещь со скидкой 12 % от первоначально назначенной цены и получил при этом 10 % прибыли. Сколько процентов прибыли первоначально предполагал получить магазин? 3.17.Два магазина торгуют одним и тем же товаром. В первом из них цены на 10 % ниже, но и количество проданных изделий в день на 10 % больше. В каком из этих магазинов выручка за день больше? 3.18.На весенней распродаже в одном магазине шарф стоимостью 350р. уценили на 40 %, а через неделю еще на 5 %. В другом магазине шарф такой же стоимости уценили сразу на 45 %. В каком магазине выгоднее купить шарф? 3.19.На сезонной распродаже в марте месяце зимние сапоги можно купить за 1875 р., скидка на них составила 25 % от первоначальной стоимости. Через месяц сапоги подешевели еще на 20 %. Сколько денег сэкономит человек от первоначальной стоимости сапог, если купит их в апреле? 3.20.Занятия ребенка в танцевальном кружке родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 350 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 5 % от суммы 10 оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на две недели? 3.21.Арендатор отдела в магазине забыл вовремя оплатить аренду за место. Определите размер пени за каждый просроченный день, если за 20 дней просрочки сумма платежа увеличилась с 10 до 14 тыс. р. 3.22.Какой должен быть первоначальный капитал, чтобы при начислении 5 % в месяц получить через полгода 10 тыс. р.? 3.23.Какой должна быть процентная ставка в банке, чтобы каждые три года капитал увеличивался в четыре раза? 3.24.За каждый из девяти первых месяцев года цены вырастали на 25 %, а за каждые из трех следующих месяцев на х %. Найдите х, если в целом за год цены выросли в восемь раз. 3.25.Банк «Винни-Пух и Пятачок» начисляет своим вкладчикам по 10 % ежемесячно. Иа сделал вклад в этот банк в размере 1,00 $. Сколько денег он может снять со своего счета через два месяца? 4. Задачи по теме: «Смеси и сплавы» 4.1. Сколько граммов воды можно выпарить из 80 г 6 %-го раствора соли, чтобы получить раствор, содержащий 10 % соли? 4.2. Имеется два кислотных раствора: один 20 %, другой 30 %. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? 4.3. Смешали 300 г 50 %-го и 100 г 30 %-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси. 4.4. Сколько чистой воды надо добавить к 300 г морской воды, содержащей 4 % соли, чтобы получить воду, содержащую 3 % соли? 11 4.5. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 35 % кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получим раствор, содержащий 36 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в каждом растворе? 4.6. Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый 40 %й, второй — 60 %-й. Эти растворы смешали, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили 20 %-й раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80 %-го раствора, то получили бы 70 %-й раствор. Определите количество 40 %-го и 60 %-го раствора. 4.7. Имеются две смеси апельсинового и ананасового соков. Первая смесь содержит 40 % апельсинового сока, а вторая — 80 %. Сливаются р л первой смеси и л второй, в результате получается 20 л смеси, содержащей 70 % апельсинового сока. Определите р и q. 4.8. Сколько граммов воды надо добавить к 50 г раствора, содержащего 8 % соли, чтобы получить 5 % раствор? 4.9. Сколько граммов 30 %-го раствора надо добавить к 80 г 12 %-го раствора этой же соли, чтобы получить 20 %-й раствор соли? 4.10. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20 % олова. Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков? 4.11. Имеется два куска сплава олова и Свинца, содержащие 60 % и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45 % олова? 4.12. Кусок сплава меди и цинка массой 36 кг содержит 45 % меди. Сколько килограммов меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60 % меди? 12 4.13. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45 % меди. Сколько килограммов олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40 % меди? 4.14. Два слитка, один из которых содержит 35 % серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 30 г, содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков? 5. Задачи по теме: «Геометрия» 5.1. Периметр треугольника равен 11 см. Одна сторона в 2 раза меньше другой и на З см меньше третьей. Найдите меньшую сторону треугольника. 5.2. В треугольнике первый угол в 2 раза больше второго и на 20° меньше третьего. Найдите больший угол треугольника. Сумма катетов треугольника равна 7 см, а один катет больше другого на 1 см. Найдите площадь треугольника. 5.3. Сумма двух сторон прямоугольника равна 13 см, а одна из этих сторон больше другой на 3 см. Найдите площадь прямоугольника. 5.4. Сумма двух углов треугольника равна 80°, а один из этих углов больше другого на 60°. Найдите углы треугольника. 5.5. Сумма двух углов треугольника равна 130°, а один из этих углов меньше другого на 70°. Найдите углы треугольника 5.6. Площадь квадрата на 12 м2 меньше площади прямоугольника. Одна из сторон прямоугольника на 6 м больше, а другая на 3 м меньше стороны квадрата. Найдите стороны прямоугольника. 5.7. Площадь участка, имеющего форму квадрата, на 550 м2 больше площади участка прямоугольной формы. Длина участка прямоугольной формы на 10 м больше, а ширина на 15 м меньше стороны участка, имеющего форму квадрата. Найдите длину и ширину участка прямоугольной формы. 5.8. Каждую сторону квадрата увеличили на 20 %. На сколько процентов увеличилась площадь квадрата? 13 5.9. На сколько процентов увеличится объем куба, если его ребро увеличить на 10 %. 5.10. Длину прямоугольника уменьшили на 20 %. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась? 5.11. Ширина прямоугольника в 2 раза короче его длины. Если длину прямоугольника увеличить на 36 см, а ширину – на 48 см, то ширина составит 2/3 длины. Определить стороны прямоугольника. 5.12. Длина средней по величине стороны треугольника равна полусумме длин большей и меньшей сторон, а удвоенная большая сторона на 3 см больше суммы двух других сторон. Определить стороны треугольника, если его периметр равен 42 см. 5.13. Для сада выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если прямоугольный участок заменить квадратным той же площади. Для этого надо длину участка уменьшить на 40 м, а ширину увеличить на 30 м. Какова длина и ширина выделенного участка? 5.14. Длина садового участка на 10 м. больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400 кв.м. Для этого длину увеличили на 10м., а ширину – на 2м. Найдите площадь нового участка. 5.15. Для школьной площадки выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Если его заменить квадратным участком той же площади, то потребуется меньше материала для его огораживания. Для этого надо длину участка уменьшить на 12 м, а ширину увеличить на 10 м. Чему равна сторона квадратного участка? 5.16. Зрительный зал клуба имел форму прямоугольника длиной 24,8м. Длину зала увеличили на 2м. за счет подсобных помещений, и тогда площадь увеличилась на 20 кв.м. Найдите первоначальную площадь зала. 14 6. Задачи по разным темам 6.1. В трех поселках 6000 жителей. Во втором поселке вдвое больше жителей, чем в первом, а в третьем — на 400 жителей меньше, чем во втором. Сколько жителей во втором поселке? 6.2. В первом цехе завода рабочих в 1,5 раза больше, чем во втором, во втором — на 200 человек больше, чем в третьем. Всего рабочих в первом и третьем цехах вместе 800 человек. Сколько рабочих в третьем цехе? 6.3. В трех цехах завода работает 650 человек. Во втором цехе рабочих в 4 раза больше, чем в первом, а в третьем — столько, сколько в двух первых цехах вместе. Сколько рабочих работает в каждом цехе? 6.4. Три цеха изготовили 2648 деталей. Второй цех изготовил деталей в 3 раза больше, чем третий, а первый — столько, сколько второй и третий вместе. Сколько деталей изготовил каждый цех? 6.5. На первой и второй полках лежало вместе 90 книг, а на первой и третьей полках лежало вместе 75 книг. На сколько больше книг лежало на второй полке, чем на третьей? 6.6. На соревнованиях по картингу по кольцевой трассе один из картов проходил круг на 5 мин медленнее другого и через час отстал от него ровно на круг. За сколько минут каждый карт проходил круг? 6.7. Сумма лет трех братьев равна 45. Пять лет назад число лет старшего брата равнялось сумме лет остальных братьев, а через 7 лет лета среднего брата будут составлять ½ суммы лет остальных братьев. Сколько лет каждому из братьев? 6.8. Два товарища купили за 480 руб. радиоприемник, и при этом один из них отдал все свои деньги, а другой - только ¾ своих денег. Если бы первый дал ¾ своих денег, а второй – все свои деньги, то для уплаты за приемник не хватало бы 15 руб. Сколько денег было у каждого? 15 6.9. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал 1/5 всего пути и еще 60 км, во второй ¼ всего пути и еще 20 км и в третий день 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами. 6.10. В двух школах поселка было 1500 учащихся. Через год число учащихся первой школы увеличилось на 10%, а второй – на 20%, и в результате общее число учащихся стало равным 1720. Сколько учащихся было в каждой школе первоначально? 6.11. Имеется 9 слитков золота и 11 слитков серебра, их взвесили, вес как раз совпал. Переложили слиток золота и слиток серебра, золото стало легче на 13 ланов. Спрашивается, какой вес слитка золота и слитка серебра каждого в отдельности? 16
