operators

1
Îïåðàòîðè
Îïåðàòîð Â öå ïðàâèëî âèäó
(1)
çà ÿêèì êîæíèé åëåìåíò ψ ëiíiéíîãî ïðîcòîðó ïåðåâîäèòüñÿ â iíøèé
åëåìåíò ϕ öüîãî æ ëiíiéíîãî ïðîñòîðó,
Âψ = ϕ.
(2)
Ïðèêëàäè îïåðàòîðiâ:
• îïåðàòîð ïîõiäíî¨ ∂x
ψ → ϕ,
 :
ψ (x) → ψ 0 (x) = ∂x ψ (x)
∂x :
•
îïåðàòîð iíâåðñi¨ êîîðäèíàò Î
Î :
•
−
−
ψ (→
r ) → ψ (−→
r)
îïåðàòîð çñóâó êîîðäèíàò T̂a
T̂a :
ψ (x) → ψ (x + a) .
Ïðèéíÿòî ââàæàòè, ùî îïåðàòîð äi¹ ëèøå íà òå, ùî çíàõîäèòüñÿ
ñïðàâà âiä íüîãî. Òîáòî ÿêùî Âψ = ϕ, òî
χÂψ = χϕ.
(3)
Äëÿ ïîñëiäîâíîñòi îïåðàòîðiâ ââàæà¹òüñÿ, ùî ïåðøèì äi¹ òîé îïåðàòîð, ùî ¹ êðàéíiì ñïðàâà, ïîòiì íàñòóïíèé çà íèì, i ò.ä. Òîáòî
ÂB̂ψ = Â B̂ψ = Âϕ = χ,
(4)
äå B̂ψ = ϕ.
ßê âèäíî ç (4), äîáóòîê îïåðàòîðiâ òàêîæ ¹ îïåðàòîðîì: øëÿõîì ïåðåïîçíà÷åííÿ Ĉ = ÂB̂ âèðàç (4) çâîäèòüñÿ äî (2).
1
1.1
Ëiíiéíiñòü îïåðàòîðiâ
Îïåðàòîð  ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì, ÿêùî îäíî÷àñíî âèêîíóþòüñÿ íàñòóïíi óìîâè ëiíiéíîñòi îïåðàòîðà:
X
X
Â
ψi =
Âψi
(5)
i
i
c = const.
Âcψ = cÂψ,
Çàäà÷à 1.
Äîâåñòè, ùî îïåðàòîð ∂x ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì.
(6)
Ðîçâ'ÿçîê.
Ïåðåâiðÿ¹ìî ïåðøó óìîâó ëiíiéíîñòi (5). Íåõàé ψ = Pi ψi, òîäi
!0
∂x ψ = ψ 0 =
X
ψi
=
i
X
ψi0 =
i
X
∂x ψi ,
(7)
i
òîáòî ïåðøà óìîâà âèêîíó¹òüñÿ.
Ïåðåâiðÿ¹ìî äðóãó óìîâó ëiíiéíîñòi (6):
∂x cψ = (cψ)0 = c0 ψ + cψ 0 = 0ψ + cψ 0 = c∂x ψ,
(8)
òîáòî äðóãà óìîâà òàêîæ âèêîíó¹òüñÿ.
Îïåðàòîð ïîõiäíî¨ ∂x çàäîâîëüíÿ¹ îáîì óìîâàì ëiíiéíîñòi, îòæå âií ¹
ëiíiéíèì îïåðàòîðîì.
Çàäà÷à 2. Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð çñóâó T̂a .
Ðîçâ'ÿçîê.
Ïåðåâiðÿ¹ìî ïåðøó óìîâó ëiíiéíîñòi (5). Íåõàé ψ = Pi ψi, òîäi
T̂a ψ (x) = ψ (x + a) =
X
ψi (x + a) =
i
X
T̂a ψi (x) ,
(9)
i
òîáòî ïåðøà óìîâà âèêîíó¹òüñÿ.
Ïåðåâiðÿ¹ìî äðóãó óìîâó ëiíiéíîñòi (6):
T̂a cψ (x) = cψ (x + a) = cT̂a ψ (x) ,
(10)
òîáòî äðóãà óìîâà òàêîæ âèêîíó¹òüñÿ.
Îòæå, öåé îïåðàòîð ¹ ëiíiéíèì.
Çàäà÷à 3. Ïåðåâiðèòè ëiíiéíiñòü îïåðàòîðà ïiäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ Ân =
()n , n ≥ 0.
2
Ðîçâ'ÿçîê.
•
Âèïàäîê n = 0.
Ïåðøà óìîâà:
!0
X
Â0 ψ = ψ 0 =
ψi
=1
(11)
i
6=
X
Â0 ψi =
X
i
ψi0
=
X
i
1,
i
òîáòî äàíà óìîâà íå âèêîíó¹òüñÿ.
Äðóãà óìîâà:
0
(12)
òîáòî äðóãà óìîâà íå âèêîíó¹òüñÿ. Òóò íåÿâíî âðàõîâàíî íàñòóïíå
ïåðåïîçíà÷åííÿ: φ = cψ.
Îòæå, Â0 íå ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì âíàñëiäîê ïîðóøåííÿ óìîâ ëiíiéíîñòi.
Âèïàäîê n = 1.
Ïåðøà óìîâà:
Â0 cψ = (cψ) = 1 6= cψ 0 = c,
•
!1
Â1 ψ = ψ 1 =
X
ψi
=
X
i
ψi =
i
X
ψi1 =
i
X
Â1 ψi .
(13)
i
Äðóãà óìîâà:
(14)
Îáèäâi óìîâè ëiíiéíîñòi çàäîâîëüíÿþòüñÿ, îòæå îïåðàòîð Â1 ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì.
Ïðèìiòêà. Ïåðåâiðêó äëÿ Â1 ìîæíà íå ïðîâîäèòè, ÿêùî âðàõóâàòè,
ùî Â1 = Iˆ îäèíè÷íèé îïåðàòîð, òîáòî îïåðàòîð, ÿêèé çàâæäè
ïåðåâîäèòü åëåìåíò ψ â ñàìîãî ñåáå (íi÷îãî íå çìiíþ¹).
Âèïàäîê n > 1.
Ïåðøà óìîâà. Íåõàé ψ = Pi ψi = ψ1 + ψ2. Òîäi
Â1 cψ = (cψ)1 = cψ = cψ 1 = cÂ1 ψ.
•
n X
k k n−k
Ân>1 ψ = ψ = (ψ1 + ψ2 ) =
ψ ψ
n 1 2
k=1
n
n
6=
ψ1n
+
ψ2n
= Ân ψ1 + Ân ψ2 .
3
(15)
Îñêiëüêè ïåðøà óìîâà (5) äëÿ îïåðàòîðà Ân>1 íå âèêîíó¹òüñÿ, òî
âií íå ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì äëÿ áóäü-ÿêîãî çíà÷åííÿ n > 1.
Îòæå, îïåðàòîð ïiäíåñåííÿ äî ñòåïåíÿ Ân ¹ ëiíiéíèì îïåðàòîðîì ëèøå ó
âèïàäêó n = 1.
Çàäà÷à 4. Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð iíâåðñi¨ êîîðäèíàò Î .
Çàäà÷à 5. Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð çìiíè ìàñøòàáó
M̂a :
Çàäà÷à 6.
íÿ
1.2
ψ (x) →
√
aψ (ax) .
Ïåðåâiðèòè íà ëiíiéíiñòü îïåðàòîð êîìïëåêñíîãî ñïðÿæåíĈ :
ψ (x) → ψ ∗ (x) .
Êîìóòàòîð òà àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ
Êîìóòàòîð
îïåðàòîðiâ Â òà B̂ :
(16)
h
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â.
ßêùî êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ ðiâíèé 0, òî êàæóòü, ùî îïåðàòîðè êîìóòóþòü.
 çàãàëüíîìó âèïàäêó îïåðàòîðè íå êîìóòóþòü, òîáòî ðåçóëüòàò äi¨
îïåðàòîðiâ çàëåæèòü âiä ïîðÿäêó ¨õ âèêîíàííÿ. Íàïðèêëàä:
−
→
− →
→ íàâêîëî ðiçíèõ îñåé a , b
→
• îïåðàòîðè ïîâîðîòó R̂−
a , R̂−
b
• îïåðàòîðè çñóâó T̂a òà iíâåðñi¨ Î
T̂a Îψ (x) = T̂a ψ (−x) = ψ (−x + a)
(17)
6= Î T̂a ψ (x) = Îψ (x + a) = ψ (−x − a) .
Áóäü-ÿêèé îïåðàòîð çàâæäè êîìóòó¹ ñàì iç ñîáîþ, òîáòî
Â2 − Â2 = 0.
Àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ Â òà B̂ :
n
o
Â, B̂ = ÂB̂ + B̂ Â.
h
i
Â, Â =
(18)
ßêùî àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ ðiâíèé 0, òî êàæóòü, ùî îïåðàòîðè
àíòèêîìóòóþòü.
4
Çàäà÷à 7.
Äîâåñòè, ùî
i
h
i
Â, B̂ = − B̂, Â
(19)
i
Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â
= − B̂ Â − ÂB̂
h
i
= − B̂, Â .
(20)
h
Ðîçâ'ÿçîê.
h
Çàäà÷à 8.
Ïîêàçàòè, ùî
"
#
X
Âi ,
X
i
(21)
i
Xh
=
Âi , B̂k .
B̂k
k
i,k
Ðîçâ'ÿçîê.
"
#
X
i
Âi ,
X
B̂k =
X
=
X
=
X
Âi
i
k
X
B̂k −
B̂k
X
X
Âi
i
k
k
Âi B̂k −
X
B̂k Âi
(22)
k,i
i,k
Âi B̂k − B̂k Âi
i,k
i
Xh
=
Âi , B̂k .
i,k
Çíàéòè àíòèêîìóòàòîð îïåðàòîðiâ Â òà B̂ , ÿêùî ¨õíié
êîìóòàòîð äîðiâíþ¹ íóëþ.
Ðîçâ'ÿçîê.
Çàäà÷à 9.
n
o
Â, B̂ = ÂB̂ + B̂ Â
h
i
= Â, B̂ = ÂB̂ − B̂ Â = 0
= ÂB̂ + ÂB̂ = 2ÂB̂ = 2B̂ Â.
5
⇒
ÂB̂ = B̂ Â
(23)
Çàäà÷à 10.
.
Ðîçâ'ÿçîê.
h
B̂, Ĉ
Âèðàçèòè êîìóòàòîð
h
ÂB̂, Ĉ
i
÷åðåç êîìóòàòîðè
h
Â, Ĉ
i
i
i
h
i
ÂB̂, Ĉ = ÂB̂ Ĉ − Ĉ ÂB̂
= ÂB̂ Ĉ − ÂĈ B̂ + ÂĈ B̂ − Ĉ ÂB̂
= Â B̂ Ĉ − Ĉ B̂ + ÂĈ − Ĉ Â B̂
h
i h
i
= Â B̂, Ĉ + Â, Ĉ B̂.
(24)
Çíàéòè êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ Â òà B̂ , ÿêùî ¨õíié àíòèêîìóòàòîð äîðiâíþ¹ íóëþ.
Çàäà÷à 12. Íåõàé êîìóòàòîð îïåðàòîðiâ  òà B̂ ðiâíèé ¨õ àíòèêîìóòàòîðó. Çíàéòè B̂ Â. Ùî ìîæíà ïðè öüîìó ñêàçàòè ïðî ÂB̂ ?
h
i
h
i
Çàäà÷à 13. Çíàéòè Â, B̂ 2 , ÿêùî Â, B̂ = λ = const.
Çàäà÷à 14. Äîâåñòè òîòîæíiñòü ßêîái
h h
ii h h
ii h h
ii
Â, B̂, Ĉ + B̂, Ĉ, Â + Ĉ, Â, B̂ = 0.
(25)
Çàäà÷à 11.
1.3
Ôóíêöi¨ âiä îïåðàòîðiâ
Íåõàé f (x) ôóíêöiÿ, äëÿ ÿêî¨ âèçíà÷åíèé ðÿä Òåéëîðà
f (x) =
∞
X
f (n) (0)
n=1
Òîäi ôóíêöiÿ âiä îïåðàòîðà f
íàñòóïíèì ÷èíîì:
Â
n!
xn .
öå îïåðàòîð, ÿêèé âèçíà÷à¹òüñÿ
∞
X
f (n) (0) n
f  =
 .
n!
n=1
Çàäà÷à 15.
Ðîçêðèòè äóæêè â îïåðàòîðíîìó âèðàçi
6
(26)
 − B̂
.
 + B̂
Ðîçâ'ÿçîê.
 − B̂
 + B̂ =   + B̂ − B̂  + B̂
= Â2 + ÂB̂ − B̂ Â − B̂ 2
h
i
= Â2 + Â, B̂ − B̂ 2 .
(27)
Ïðèìiòêà. Ïîðÿäîê ðîçêðèòòÿ äóæîê íå ñóòò¹âèé. Ðåçóëüòàò íå çìiíèòüñÿ, ÿêùî ðîçêðèâàòè ñïåðøó äðóãi äóæêè.
Çàäà÷à 16.
Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ
 + B̂
2
.
Ðîçâ'ÿçîê.
 + B̂
2
= Â + B̂ Â + B̂
= Â Â + B̂ + B̂ Â + B̂
= Â2 + ÂB̂ + B̂ Â + B̂ 2
n
o
= Â2 + Â, B̂ + B̂ 2 .
(28)
Ïðèìiòêà. Îñêiëüêè ïðî îïåðàòîðè  òà B̂ íi÷îãî íå âiäîìî, òî âîíè íå
îáîâ'ÿçêîâî êîìóòóþòü ìiæ ñîáîþ. Ñàìå òîìó ïðàâèëî ðîçêðèòòÿ êâàäðàòó ñóìè òóò íå ïiäõîäèòü: îïåðàòîðè íå ¹ ÷èñëàìè.
2
Çàäà÷à 17. Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ (x∂x ) .
Ðîçâ'ÿçîê.
Îñêiëüêè äóæêè ìiñòÿòü îïåðàòîð ïîõiäíî¨, äëÿ çðó÷íîñòi ñïðàâà âiä äóæîê ïîñòàâèìî ñèìâîë •, ÿêèé ïîçíà÷๠ôóíêöiþ, íà ÿêó äi¹ îïåðàòîð.
Òîäi
(x∂x )2 • = x∂x x∂x •
= x∂x • +x2 ∂x2 •
= x∂x + x2 ∂x2 •,
(29)
äå âèêîðèñòàíî, ùî ∂xf g = (f g)0 = f 0g + f g0. Îïóñòèâøè ñèìâîë •, îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî
(x∂x )2 = x2 ∂x2 + x∂x .
(30)
Çàäà÷à 18.
Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ (∂x + x)2.
7
Ðîçâ'ÿçîê.
Àíàëîãi÷íî äî ïîïåðåäíüî¨ çàäà÷i,
(∂x + x)2 • = (∂x + x) (∂x + x) •
= (∂x + x) (∂x • +x•)
= ∂x2 • +x∂x • +∂x x • +x2 •
= ∂x2 • +x∂x • + • +x∂x • +x2 •
= ∂x2 • +2x∂x • + • +x2 •
= ∂x2 + 2x∂x + x2 + 1 • .
(31)
Îïóñòèâøè ñèìâîë •, îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî
(∂x + x)2 = ∂x2 + 2x∂x + x2 + 1.
(32)
−̂
−̂
p âèçíàr òà iìïóëüñó ÷àñòèíêè →
Îïåðàòîðè êîîðäèíàòè →
÷àþòüñÿ ÿê
→
−̂
→
−̂
−
p = −i~∇.
(33)
r =→
r,
Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð [p̂x, x].
Ðîçâ'ÿçîê.
Àíàëîãi÷íî äî ïîïåðåäíiõ çàäà÷, ìà¹ìî
Çàäà÷à 19.
çâiäêè îñòàòî÷íî
[p̂x , x] • = [−i~∂x , x] •
= −i~∂x x • +i~x∂x •
= −i~ • −i~x∂x • +i~x∂x •
= −i~•,
(34)
[p̂x , x] = −i~.
(35)
−̂
Îïåðàòîð ìîìåíòó iìïóëüñó →
L âèçíà÷à¹òüñÿ ÿê âåêòîð→
−̂
→
−̂
íèé äîáóòîê îïåðàòîðiâ r òà p
Çàäà÷à 20.
(36)
−
äå →
e i îäèíè÷íèé âåêòîð (îðò) âçäîâæ îñi Oxi , εijk ñèìâîë Ëåâi×èâiòè, à ïî ïîâòîðþâàíèì iíäåêñàì ïðîâîäèòüñÿ ïiäñóìîâóâàííÿ.
→
−̂
−̂
−̂
−
L =→
r ×→
p =→
e i εijk x̂j p̂k ,
8
Ðîçïèñàâøè (36) ïîêîìïîíåíòíî òà âðàõóâàâøè ïðåäñòàâëåííÿ (33),
îòðèìó¹ìî
L̂x = ε1jk xj p̂k = y p̂z − z p̂y ,
L̂y = ε2jk xj p̂k = z p̂x − xp̂z ,
(37)
L̂z = ε3jk xj p̂k = xp̂y − y p̂x .
h
i
L̂i , x̂s
Çíàéòè êîìóòàòîð
.
Ðîçâ'ÿçîê.
Ç (36), ðîçêðèâøè êîìóòàòîð çãiäíî (16) òà âðàõóâàâøè (33), ìà¹ìî
h
i
L̂i , x̂s = [εijk xj p̂k , xs ]
= εijk [xj p̂k , xs ] ,
(38)
äå âðàõîâàíî, ùî εijk ¹ ñòàëîþ âiäíîñíî îïåðàòîðiâ êîîðäèíàòè òà iìïóëüñó, à òîìó éîãî ìîæíà âèíåñòè çà ìåæi êîìóòàòîðà.
Âèêîðèñòàâøè (24), ç (38) îòðèìó¹ìî
εijk [xj p̂k , xs ] = εijk xj [p̂k , xs ] + εijk [xj , xs ] p̂k
= εijk xj (−i~δks )
= −i~εijs xj ,
(39)
äå âðàõîâàíî, ùî [p̂k , xs] = −i~δks, [xj , xs] = 0. Îñòàòî÷íî, âðàõóâàâøè â
(39), ùî εijs = −εisj , ìà¹ìî
h
i
L̂i , x̂s = i~εisj xj .
Çàäà÷à 21.
(40)
Äëÿ îïåðàòîðiâ
1
(mωx̂ − ip̂)
2~mω
1
â = √
(mωx̂ + ip̂) ,
2~mω
↠= √
(41)
äå m, ω êîíñòàíòè, x̂, p̂ îïåðàòîðè êîîðäèíàòè
òà iìïóëüñó â 1 † âèìiðíîìó ïðîñòîði, çíàéòè êîìóòàòîð â , â .
Ïðèìiòêà. Îïåðàòîðè ↠òà â íàçèâàþòüñÿ îïåðàòîðàìè íàðîäæåííÿ òà çíèùåííÿ ÷àñòèíîê.
9
Ðîçâ'ÿçîê.
Ç (41) i (21)
1
[(mωx̂ − ip̂) , (mωx̂ + ip̂)]
2~mω
1
=
m2 ω 2 [x̂, x̂] + imω [x̂, p̂] − imω [p̂, x̂] + [p̂, p̂]
2~mω
i
([x̂, p̂] − [p̂, x̂])
=
2~
i
= − [p̂, x̂]
~
↠, â =
(42)
äå ó 3-ìó ðÿäêó âðàõîâàíî, ùî [x̂, x̂] = [p̂, p̂] = 0, à â 4-ìó âèêîðèñòàíî
(19).
Ïiäñòàâèâøè (35) â (42), îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî, ùî
† â , â = −1.
(43)
Çíàéòè êîìóòàòîð f
f  ôóíêöiÿ âiä îïåðàòîðà.
Ðîçâ'ÿçîê.
Âèêîðèñòîâóþ÷è (26) òà (21), ìà¹ìî
Çàäà÷à 22.
h i
 , B̂
, ÿêùî
h
i
Â, B̂ = c =
i
h i X f (n) (0) h
Ân , B̂ .
f  , B̂ =
n!
n
const,
(44)
Ðîçãëÿíåìî ÂnB̂ , âðàõóâàâøè óìîâó çàäà÷i ÂB̂ − B̂ Â = c:
Ân B̂ = Ân−1 ÂB̂
= Ân−1 B̂ Â + c
99K = Ân−1 B̂ Â + cÂn−1
= Ân−2 ÂB̂ Â + cÂn−1
n−2
= Â
B̂  + c  + cÂn−1
99K = Ân−2 B̂ Â2 + 2cÂn−1
= Ân−3 ÂB̂ Â2 + 2cÂn−1
= ...
99K = B̂ Ân + ncÂn−1 ,
10
(45)
äå 99K ïðîñòî âêàçó¹ íà çàêîíîìiðíiñòü. Ïiäñòàâëÿþ÷è (45) â (44), îñòàòî÷íî îòðèìó¹ìî
h i
X f (n) (0)
f  , B̂ = c
nÂn−1
n!
n
X f (n) (0)
∂ Ân
=c
n!
n
X f (n) (0)
= c∂Â
Ân
n!
n
0
= cf  .
(46)
Íåõàé σ̂ îïåðàòîð, äëÿ ÿêîãî σ̂2 = Iˆ. Çíàéòè eασ̂ , äå α äîâiëüíå ÷èñëî.
Ðîçâ'ÿçîê.
Ç (26) ìà¹ìî
Çàäà÷à 23.
e
ασ̂
=
=
=
∞
X
αn
n=0
∞
X
k=0
∞
X
k=0
n!
σ̂ n
∞
α2k 2k X α2k+1 2k+1
σ̂ +
σ̂
(2k)!
(2k + 1)!
k=0
(47)
∞
α2k ˆ X α2k+1
I+
σ̂
(2k)!
(2k
+
1)!
k=0
= Iˆ cosh α + σ̂ sinh α,
äå ó 3-ìó ðÿäêó âðàõîâàíî, ùî
∀k, σ̂ 2k = σ̂ 2
Çàäà÷à 24.
α
Íåõàé
k
ˆ
= Iˆk = I.
const. Äîâåñòè, ùî äëÿ äîâiëüíîãî ÷èñëà
eα(Â+B̂ ) = eα eαB̂ e−cα /2 .
(48)
h
i
Â, B̂ = c =
2
11
Ðîçâ'ÿçîê.
Ïðîäèôåðåíöiþ¹ìî ôóíêöiþ f = eαÂeαB̂ ïî α:
∂α f = ∂α eα eαB̂
αÂ
αB̂
αÂ
αB̂
= ∂α e
e +e
∂α e
=e
αÂ
αB̂
Âe
α αB̂
+e
e
B̂
(49)
= Âf + f B̂,
äå ó 4-ìó ðÿäêó âèêîðèñòàíî (46).
Ç (46) ñëiäó¹, ùî
h
i
(50)
eα , B̂ = αceα ,
çâiäêè, ïîìíîæèâøè (50) ñïðàâà íà eαB̂ , îòðèìó¹ìî
(51)
h
i
f, B̂ = αcf.
Ç (49) òà (51) îòðèìó¹ìî äèôåðåíöiàëüíå ðiâíÿííÿ äëÿ f :
∂α f = Âf + B̂f + αcf
= Â + B̂ + αc f.
(52)
Ïîìíîæèâøè (52) ñïðàâà íà f −1 òà ïðîiíòåãðóâàâøè ïî α, ìà¹ìî
f = eα(Â+B̂ ) ecα
2 /2
= eα eαB̂ .
(53)
Ïîìíîæèâøè (53) íà e−cα /2, îòðèìó¹ìî (48).
2
Çàäà÷à 25.
Ðîçêðèòè äóæêè äëÿ
 − B̂
2
.
Ðîçêðèòè îïåðàòîðíi äóæêè ∂x + x1 3.
2
Çàäà÷à 27. Ðîçêðèòè îïåðàòîðíi äóæêè (∂x · x) .
Çàäà÷à 28. Ïîêàçàòè, ùî
Çàäà÷à 26.
[p̂i , xj ] = −i~δij ,
äå p̂i i-òà êîìïîíåíòà îïåðàòîðà iìïóëüñó, x̂j j -òà êîìïîíåíòà
îïåðàòîðà êîîðäèíàòè, δij ñèìâîë δ-Êðîíåêåðà.
Çàäà÷à 29. Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð [p̂i , p̂j ].
12
Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð
h
L̂i , p̂s
Îá÷èñëèòè êîìóòàòîð
Çàäà÷à 32. Äîâåñòè, ùî
h
L̂i , L̂j
Çàäà÷à 30.
Çàäà÷à 31.
i
.
.
i
Ŝ −1 f  Ŝ = f Ŝ −1 ÂŜ ,
(54)
äå Ŝ −1 îïåðàòîð, îáåðíåíèé äî Ŝ , òîáòî
Çàäà÷à 33.
ˆ
Ŝ −1 Ŝ = Ŝ Ŝ −1 = I.
h
i
Â, B̂ = c =
Äîâåñòè, ùî ÿêùî
const, òî
ˆ
eα B̂e−α = B̂ + αcI,
äå α äîâiëüíå ÷èñëî, Iˆ îäèíè÷íèé îïåðàòîð.
Ïiäêàçêà. Ñêîðèñòàòèñÿ (46).
13
(55)