Приложение 1. Решение примеров, заданных на дом  x

Приложение 1.
Решение примеров, заданных на дом
1) Простейшие уравнения и уравнения, непосредственно сводящиеся к простейшим.
Пример 2. Решить уравнение sin 3x   3 .
4
2
3x
3
 (1) n arcsin( 
)  n, n  Z
4
2
3x
3
 (1) n ( arcsin
)  n, n  Z
4
2
Решение.
3x
3
 (1) n 1 arcsin
 n, n  Z
4
2
3x

 (1) n 1   n, n  Z
4
3
4n
n 1 4
x  (1) 

, nZ
9
3
Ответ: x  (1) n 1  4  4n , n  Z
9
3
Пример 3. Решить уравнение 3tg (3 x  1) 
Решение. 3tg (3 x  1) 
3 x  1  arctg


3x 
x
6

18
6
3
3
3
tg (3 x  1) 
3x  1 
3  0.
3
 n, n  Z
3
 n, n  Z
 1  n, n  Z

1 n
 , nZ
3 3
Ответ: x 

18

1 n
 , nZ
3 3
2) Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования сумм тригонометрических функций в произведение
Пример 2. Решить уравнение sin х + sin 5х = sin 3х + sin 7х
Решение. 2sin 3х cos 2х = 2sin 5х cos 2х
sin 3х cos 2х - sin 5х cos 2х = 0
cos 2х(sin 3х - sin 5х) = 0
cos 2х(sin 5х - sin 3х) = 0
cos 2х=0
или
sin 5х - sin 3х = 0
2x 
x


2
4
 m, m  Z

m
2
, mZ
2sin x cos 4х = 0
sin x=0
или
x  k , k  Z
cos 4х = 0
4x 
x

2

8
 n, n  Z

n
4
, nZ
Ответ: x    m , m  Z , x  k , k  Z , x    n , n  Z .
8 4
4
2
Пример 3. Решить уравнение 1+соs х + соs 2х + соs 3х = 0
Решение. (1+соs 2х) + (соs х + соs 3х) = 0
2cos² х + 2cos 2х cos х = 0
2 cos х(cos х + cos 2х) = 0
cos х=0
или
cos х+cos 2х = 0
x

2
 m, m  Z
2cos 1,5x cos 0,5х = 0
cos 1,5x=0
или
3x 
  k , k  Z
2
2
 2k
x 
, kZ
3
3
cos 0,5х = 0
x 
  n, n  Z
2 2
x    2n, n  Z
Ответ: x 

2
 m, m  Z , x    2k , k  Z , x    2n, n  Z .
3
3
3) Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
a) Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Пример 2. Решить уравнение cos 2х +sin²x +sin х = 0,25
Решение. cos² х - sin²x +sin²x +sin х - 0,25 = 0
1 - sin²x +sin х - 0,25 = 0
4sin²x -4sin х - 3 = 0
Пусть sin x = t, |t|1 (*), тогда: 4t²-4t-3=0, D=64, t1 = -1/2, t2=3/2 – вне (*).
sin х = -1/2
1
x  (1) k arcsin(  )  k , k  Z
2
1
x  (1) k ( arcsin )  k , k  Z
2

x  (1) k 1  k , k  Z
6
Ответ: x  (1) k 1

6
 k , k  Z .
б) Использование замены t = sin x + cos x.
Пример 4. Решить уравнение 3sin 2х + 5(cos х + sin х) = -1
Решение. Пусть sin x +cos x = t, тогда: sin 2х = t²-1.
3(t² - 1) +5t + 1 = 0, 3t² +5t - 2 = 0, D=49, t1 = -2, t2=1/3.
sin x +cos x = -2
или
sin x +cos x = 1/3


2
cos( x  )   2 , нет корней
cos( x  ) 
,
4
4
6
x

4
  arccos
2
 2n, n  Z
6
2 
2 
  2n, n  Z Ответ: x   arccos
  2n, n  Z .
6
4
6
4
5)Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени
Пример 2. Решить уравнение соs22х + соs2х + соs23х + соs24х = 2
x   arccos
1  cos 4 x 1  cos 2 x 1  cos 6 x 1  cos 8 x



2
2
2
2
2
1  cos 4x  1  cos 2x  1  cos 6x  1  cos 8x  4
cos 2x  cos 4x  cos 6x  cos 8x  0
(cos 2 x  cos 8 x)  (cos 4 x  cos 6 x)  0
2 cos 5x cos 3x  2 cos 5x cos x  0
cos 5 x(cos 3x  cos x)  0
Решение.
или
cos 5x=0
5x 
x


2
10

cos 3х+cosx=0
 k , k  Z
k
5
, kZ
2 cos 2x cos x  0
cos 2x  0
2x 
2
 n, n  Z

n
cos x  0
x

2
 m, m  Z
 n
Ответ: x    k , k  Z , x  
, n  Z , x    m, m  Z .
4 2
4 2
10 5
2
6) Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
Пример 2. Решить уравнение cos 3x+sin х sin 2х = 0
Решение. cos 3x+ ½ (cos х – cos 3х) = 0
2cos 3x + cos х – cos 3х = 0
cos 3x + cos х = 0
2cos 2x cos х = 0
cos 2х=0
или
cos х = 0


2 x   n, n  Z
x   k , k  Z
2
2
 n
 n
Ответ: x  
x   , nZ
, n  Z , x    k , k  Z .
4 2
4 2
2
7) Уравнения, при решении которых используется универсальная тригонометрическая подстановка
Пример 2. Решить уравнение 2sin 2х +3tg х = 5
x


или
, nZ
Решение.
2  2tgх
 3tgх  5  0,
1  tg 2 х
ОДЗ : х 

2
 n, n  Z .
4tgх  3tgх  3tg 3 x  5  5tg 2 x
0
1  tg 2 х
3tg 3 x  5tg 2 x  7tgx  5  0
Пусть tgx  t , тогда 3t³-5t²+7t-5=0. По схеме Горнера:
3 5 7 5
1
3 2 5
0
t=1 является корнем.
(t -1)(3t²-2t+5)=0
t-1=0
или
t=1
3t²-2t+5=0
D<0, корней нет.
tgх  1

x   n, n  Z
4
Ответ: x    n, n  Z .
4
8) Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла
Пример 2. Решить уравнение sin 7 x  2 cos 5 x  3 cos 7 x  2 sin 5 x  0
Решение. sin 7 x  3 cos 7 x  2 cos 5 x  2 sin 5 x
1
3
2
2
sin 7 x 
cos 7 x 
cos 5 x 
sin 5 x
2
2
2
2
Введем вспомогательный угол φ1, такой, что cos 1  1 , sin 1  3 , 1   и угол φ2, такой, что
2
2
3
2
2
 , тогда
sin  2 
, cos  2 
, 2 
cos
2

sin 7 x  sin
3
sin( 7 x 
7x 
2 sin
2

x
3
 5x 
2

24
sin( x 
24

cos 7 x  sin
3
)  sin( 5 x 
12 cos
sin( x 
x
3

2x 
sin

2

12 x 
2

4 cos
24
)0
 n, n  Z

24
4
 n, n  Z
4
cos 5 x  cos

4
sin 5 x
)0
7x 

7
12  0
) cos(6 x 


4

3
 5x 
2

4 0
7
)0
24
или
7
)0
24
7 
6x 
  k , k  Z
24 2
5
6x 
 k , k  Z
24
5 k
x
 ,k Z
144 6
cos(6 x 
Ответ: x     n, n  Z , x  5  k , k  Z
144 6
24
9) Уравнения, решаемые с помощью умножения на некоторую тригонометрическую функцию
Пример 2. Решить уравнение соs 2х + соs 4х + соs 6х + соs 8х = - 0,5.
Решение. Умножим обе части уравнения на 2sin х (корни уравнения sin х = 0 , x = πn, nZ не являются
корнями исходного уравнения):
2sinxсоs 2х + 2sinxсоs 4х + 2sinxсоs 6х + 2sinxсоs 8х = - sinx
sin3x-sinх + sin5x-sin 3х +sin7x-sin 5х + sin9x-sin7х = - sinx
sin9x = 0
9 x  k , k  Z
k
x
,k  Z
9
Так как корни уравнения sinх = 0 не являются корнями исходного уравнения, то из полученных решений необходимо
исключить все числа вида х = πn, nZ. Ответ: k , где k  целоечисло, не кратное 9.
9
10) Уравнения, решаемые разложением на множители
Пример 2. Решить уравнение 1 + sin x + соs х + sin 2х + соs 2х = 0.
Решение. sin ² x + cos² x + sin x + соs х + 2sin хcos x + соs² х - sin² x = 0
2cos² x + sin x + соs х + 2sin хcos x = 0
(2cos² x + соs х) + (2sin хcos x + sin x) = 0
cos x(2cos x + 1) + sin x(2cos x + 1) = 0
(2cos x + 1)(cos x + sin x) = 0
2cos x + 1= 0
или
cos x + sin х = 0
cos x = - ½
1 + tg х = 0
2
tg х = -1
x
 2k , k  Z
3
x

4
Ответ: x   2  2k , k  Z , x     n, n  Z .
 n, n  Z
3
4
11) Уравнения, содержащие дополнительные условия
Пример 2. Найти наименьший положительный корень уравнения sin 6x – sin 4х = 0.
Решение. 2sin x cos 5x  0
sin x = 0
или
cos 5x = 0

x  n, n  Z
5 x   k , k  Z
2
x

10

k
5
,k  Z
Наименьшим положительным корнем из первой серии решений является число π, из второй – число  . Наименьшим
10
среди этих чисел является число  .
10
Ответ:  .
10
Системы уравнений
1) Системы уравнений, в которых одно уравнение - алгебраическое, а другое содержит тригонометрические
функции

Пример 2. Решить систему уравнений  x  y 

,
2

sin x  cos y  2 .



y
 x,

2
Решение. 

sin x  cos(  x) 

2

2


 y   x,
2

sin x  sin x  2



y   x,

2


sin x  2

2


n 
x  (1)
 n,


4

 y    (1) n   n, n  Z .

2
4

Ответ: (( 1) n   n,   (1) n   n), n  Z . .
4
2
4
2) Системы, в которых оба уравнения содержат тригонометрические функции

3
Пример 2. Решить систему уравнений sin x sin y  4 ,

cos x cos y  3 .

4


Решение. Применим способ сложения: cos x cos y  sin x sin y  3

2
cos x cos y  sin x sin y  0


3
cos( x  y ) 

2
cos( x  y )  0



 x  y   6  2k , k  Z


 x  y    n, n  Z

2



x 

 x 



 x 



 x 


y
y

6

2
y
y

2
 2k , k  Z
 n, n  Z

6
 2k , k  Z
 n, n  Z

2
2x 
 2k  n,


3

Еще раз применим способ сложения: 
2 y    2k  n, k  Z , n  Z

3


2 x    2k  k ,


3

2 y  2  2k  n, k  Z , n  Z

3



n

 x  3  k  2 ,

Ответ:
 y    k  n , k  Z , n  Z


6
2

 x    k  n ,


6
2



 y   k  n , k  Z , n  Z

3
2




x  3

 y  


6


 x 


6


 y 

3

 k 
n
,
2
n
 k 
, k  Z, n  Z
2
n
 k 
,
2
n
 k 
, k  Z, n  Z
2
Тригонометрические неравенства
1) Простейшие неравенства
Пример 2. Решить неравенство cos(3 x  1)  
2
2
Решение.
Покажем решение на тригонометрической окружности
для усложненного аргумента (3х+1).
3
5
 2n  3x  1 
 2n, n  Z
4
4
3
5
 1  2n  3x 
 1  2n, n  Z
4
4
 1 2n
5 1 2n
 
x
 
, n  Z Ответ:
4 3
3
12 3
3
3π/4
1
5π/4


4

1 2n

;
3
3
5 1 2n
, n  Z .
 
12 3
3
Пример 4. Решить неравенство ctgx  1 .
3
Решение.
ctgx 
3
3
Покажем решение на тригонометрической окружности
с использованием оси котангенсов.

3
1
 n  x    n, n  Z
Ответ:   n  x    n, n  Z .
3
2)Решение неравенств заменой переменной
Пример 2. Решить неравенство 3cos 2x + 2cos x ≥ 5 .
Решение. 3(2cos² x – 1)+ 2cos x – 5 ≥ 0
6cos² x + 2cos x – 8 ≥ 0
3cos² x + cos x – 4 ≥ 0
Пусть cos x = t, | t |  1 (*).
3 t² + t - 4 > 0
D=49, t1, 2   1  7
6
4
t1   ,  вне (*), t 2  1
3
cos x ≥ 1
cos x = 1
x = 2πk, k Z
Ответ:. 2πk, k Z
0
π/3